Numerische Löser (Zeitintegrationsverfahren) - IAG - Universität ...

Lösungseigenschaften von Finite-Differenzen-Verfahren
- Diagrammkatalogreihe -
Katalog 1
Numerische Löser (Zeitintegrationsverfahren)
für die gewöhnliche Modelldifferentialgleichung
y´ = α y
© Markus J. Kloker
Institut für Aerodynamik und Gasdynamik der Universität Stuttgart, 1996
Version 2005

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Inhaltsverzeichnis
Seite
0 Einführung 0
I Runge-Kutta-Verfahren 2
II Adams-Bashforth-Verfahren
(mit Euler-Explizit und Leapfrog)
9
III Adams-Moulton-Verfahren (mit Euler-Implizit) 15
IV Gear-Verfahren 22
V Adams-Prädiktor-Korrektor-Verfahren
a) niedrige Fehlerordnung 27
b) höhere Fehlerordnung 31
Einführung
• Modell-G-DGL y´ = α y
Exakte Lösung y = y0exp(αx)
α = αr + iαi , komplexe Konstante; Sonderfälle:
1. α = iαi : neutrale Schwingung mit der Wellenzahl αi ;
die komplexe G-DGL entspricht dem System der zwei
reellen DGLs yr´ = – αi yi , yi´ = αi yr ,
und es genügt, yr zu betrachten. Beispiel:
αi = π: yr = y0rcos(πx) − y0isin(πx);
mit y0r = 1, y0i = 0: yr = cos(πx), s. Seite 1a, links.
2. α = αr : reines exponentielles Abklingen (αr < 0). Bsp.:
αr = –1: y = yr = y0e –x ;
mit y0 = 1: y = e –x , s. Seite 1a, rechts.
Die komplexe Modell-G-DGL erlaubt eine kompakte analytische Darstellung
der tatsächlichen numerischen Integration mit der Schrittweite h, xn+1 = xn + h.
• Stabilität (→ Stabilitätslimit für die Integrationsschrittweite h)
Bedingung für Stabilität: ⎢yn+1 / yn ⎢= ⎢P ⎢≤ 1 für αr ≤ 0, αi beliebig.
P ist das charakteristische Polynom des numerischen Verfahrens.
Pexakt = exp(αh) = 1 + (αh) + 1/2(αh) 2 + 1/6(αh) 3 + 1/24(αh) 4 + 1/120(αh) 5 +…
Beispiel: Euler explizit, yn+1= yn + h(αy)n = yn (1 + αh) → P = 1 + αh.
Der Vergleich mit Pexakt zeigt auch die Abbruchfehlergenauigkeit des Verfahrens
an. Das explizite Euler-Verfahren ist von erster Ordnung, O(h 1 ) oder kurz
O1, da es die exakte Reihe bis zum Term mit h 1 reproduziert.
Stabilitätskurve s(Θ):
Auftragung von ⎢P(αh) ⎢= 1 in der komplexen Ebene αrh – αi h.
Θ: Winkel zwischen der negativen reellen Achse und dem Vektor αh.
Das Schrittweitenlimit ist dann:

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Bei α = iαi : si = s (Θ = 90°) = ⎢αi h ⎢max ; hmax = si / ⎢αi ⎢
Bei α = αr : sr = s (Θ = 0°) = ⎢αr h ⎢max ; hmax = sr / ⎢αr ⎢
Allgemeines Stabilitätslimit: tan Θ = ⎢αi ⎢/ ⎢αr ⎢. hmax = s(Θ)/√(αr 2 + αi 2 )
� Stabilitätsdiagramme: s(Θ) in der Ebene αrh – αi h.
Die Werte sr , si sind in den Tabellen bei den einzelnen Verfahrenstypen angegeben.
Das dominante Problem für die Verfahren ist die Schwingungslösung.
Beispiel: Euler explizit; 1) α = iαi , ⎢1 + iαih ⎢≤ 1 unmöglich , si = 0.
2) α = αr , ⎢1 + αrh ⎢≤ 1, → –2≤ αrh≤0, sr = 2.
• Lösungseigenschaften (→ Genauigkeitslimit für die Schrittweite h):
Es lässt sich schreiben: yn+1 = P yn
P = A exp(iθ) , A=√(Pr 2 +Pi 2 ), tanθ = Pi/Pr.
Exakte Werte: Pexakt = exp(αh),
Aexakt = exp(αr h) , θexakt = (αi h).
Numerisch: Durch Einsetzen der Modellgleichung in die jeweiligen Integrationsformeln
können durch die Numerik modifizierte Amplitudenfaktoren und
Wellenzahlen berechnet werden. Diese enthalten bis auf den Rundungsfehler
des Computers alle numerischen Fehler des Verfahrens und erlauben eine analytische
Darstellung der numerischen Lösung (pseudonumerische Lösung).
Amod : modifizierter Amplituden- bzw. Abklingfaktor pro Schritt
APmod : A-Faktor pro exakter Wellenlänge, APmod = Amod **(2π /|αi h|)
(αi h) mod : modifizierte dimensionslose Wellenzahl
Beispiel: Euler explizit; 1) α = iαi , Amod =√(1 + (αi h) 2 ) > 1, s. S. 10, links;
(αi h) mod = tan -1 (αi h), s. S. 10, links.
2) α = αr , Amod = 1 + αr h, s. S. 10, rechts.
� Diagramme:
1) Amod , APmod , (αi h) mod = f (αi h) für die Schwingungslösung.
Hier wird die modifizierte Amplitude und Wellenzahl aufgetragen über der
numerischen Wellenauflösung (αi h); αi h = 1 z.B. bedeutet, dass h gleich
λ/(2π) ist (αi = 2π/λ, λ - Wellenlänge der Schwingung), d.h. die Schwingung
wird mit 6.3 Intervallen aufgelöst.
2) Amod , (αi h) mod /π = f (– αr h) für die Abklinglösung.
Hier werden der Abklingfaktor pro Rechenschritt und eine möglicherweise
künstlich erzeugte Schwingung mit der Wellenzahl (αi) mod dargestellt über der
dimensionslosen Abklingrate. Ein relevantes Maß ist die Halbwertsstrecke, d.h.
für –αr h =0.693 ist der Abklingfaktor Aexakt = 0.5. Beim expliziten Eulerverfahren
muss für gute Genauigkeit gelten (s. S. 10 rechts): –αr h