Freitag, 25.06.10

Plan für heute3Was vor 1 Woche geschahAlgebraisierung von Kennlinien Der Weg vom emprischen Befund zur FormelDynamische Systemanalyse Vorübung zur RegelungsdynamikEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische SystemanalyseNeurophysiologisches System82 wesentliche Merkmale1. Eingangsgröße kann positiv wie negativ sein, die Ausgangsgröße nurnichtnegativ2. Ausgangsgröße ist verhält sich bei positivem ii Eingang annäherndlinear, für negativen Eingang geht sie gegen 0Einf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische SystemanalyseNeurophysiologisches System10Um die Enge der asymptotischen Annäherung zu variieren, führen wir einen2Parameter c ein, und setzen:cy =Warum c² ? – Aus reinen Gründen der Anschaulichkeit, denn es gilt für:xx =y ⇔ x =y = cDer Parameter c entspricht anschaulich den Koordinaten desjenigenHyperbelpunktes, der dem Ursprung am nächsten kommt.Einf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische SystemanalyseNeurophysiologisches System11Vergessen wir den negativen Ast (links unten) vorerstDen positiven Ast (rechts oben) müssen wir an der Ordinate spiegeln, damit er, wiegewollt, nach rechts hin ansteigt; das erreichen wir durch Umkehr des Vorzeichens2cy =− xEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische SystemanalyseNeurophysiologisches System12Ferner möchten wir erreichen, dass dem Ordinatenwert y eineneue Abszisse zugeordnet wird (bislang nur im negativen x-Bereich definiert). Das erreichen wir durch eine sogenannteKoordinatentransformation und wir ersetzen (-x) durch (-x + y)2cy= −⇔22y − xy − c =0x − y⇔1 22y = ( x + x + 4c2)Einf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

Beispiele1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische Systemanalyse131. Neurophysiologisches SystemRichtungssensible Rezeptoren2. Verhaltenspsychologisches SystemSoziale DistanzEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

Soziale Distanz1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische Systemanalyse14Kontakt mit Artgenossen induziert verschiedeneGemütslagenGefühl der Sicherheit, wenn es sich um vertrauteArtgenossen handeltGefühl der Erregung, wenn es sich um fremdeArtgenossen handeltBeide Effekte sind distanzabhängigSie nehmen monoton ab, je weiter man von der Quelleentfernt ist, um ab einer gewissen Distanz vollständigabzubrechenEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

Soziale Distanz1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische Systemanalyse15Erster Ansatz1a y =x , mit a>1Für uns einfacher gehen wir analog zum vorigenBeispiel von einer Hyperbel aus y = , für x>0dx2Distanzen nehmen wir per se nur als positive Werte an(richtungsneutral), wir befinden uns also direkt impositiven AstEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

Soziale Distanz1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische Systemanalyse16Wir beschränken die Hyperbel, aus rationellen GründenKein unendliches Wachstum von Erregung/Sicherheit möglichAb einer gewissen Distanz verliert jeglicher Artgenosse völlig seinenEinflussx = Distanz zum ArtgenossenI = Intensität der Emotiona bzw. b sind einschränkende Faktoreny − b =xc 2 − aEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

Soziale Distanz1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische Systemanalyse17Das Problem an sich ist gelöst, wir werden zum Dienste ihrerVerwendbarkeit aber noch weiter an der Funktion für dieKennlinie schleifenc2y − b =Wir setzen fest, dass die Hyperbel am y-Achsenabschnitt 1 seinsoll (maximales Gefühl, als inferable frei normierbar)• Für x=0 und y=1 erhalten wir• Damit läßt sich sich c² eliminierenc2x − a= a(b −1)a(b −1)y − a =x − a⇔bx − ay =x − aAls nächstes führen wir den Parameter r ein, unsere ‚Rampe.Einf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

Soziale Distanz1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische Systemanalyse18Als nächstes führen wir den Parameter r ein, unsere ‚Rampe‘. Mit ihm könnenwir den Grad der Krümmung der Kurve beschreiben und aus der konkavenKurve gar eine konvexe machen.r=| cotα|Den Kehrwert dieses Betrages können wir ermitteln, indem wir unserebisherige Formel an der Stelle x=0 differenzieren. Diese Operation ergibt:dy b(x − a)− ( bx − a)=2dx( x − a)Bzw. an der Stelle des y-Achsenabschnitts (x=0)Einf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbachdy − ab + a 1−btanα== =dx x= 0 2a a25.06.2010

Soziale Distanz1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische Systemanalyse19Um den Cotangens zu erhalten stürzen wir den Bruch1−batanα= ⇔ cotα=a1−bWir wollen dafür sorge tragen, dass die Krümmung immer zu einer monotonfallenden Kennlinie führt, r soll gleichzeitig ein positiver Parameter sein.ar = ⇔a= r(b−1)b−1Diesen Term können wir benutzen, und unseren Parameter a durch r(was inhaltlich aussagekräftiger ist, quasi eine semantisch greifbareBedeutung hat) zu ersetzen und erlangeny=bx − r(b −1)x − r(b −1)Einf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

Soziale Distanz1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische Systemanalyse20Schließlich beseitigen wir noch b zugunsten der Maximaldistanz x max , jenseitsderer der Partner keine emotionale Wirkung mehr ausübt. Hierzu müssen wiry=0 setzen. Das ergibtbxmax− rb + r = 0⇔Dies eingesetzt in unsere bisherige Formel ergibt:b=rr − xmaxy=⎧r(xmax− x)⎪r(xmax− x)+ x ⋅ x⎨⎪⎪⎩ 0maxfür x < x maxsonstEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

Systemtheoretische1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische Systemanalyse21Begründung von KennlinienBeispiele AugenrollungWeber, Fechner Stevens – psychophysische MaßformelnEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

Augenrollung1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische Systemanalyse22Die Anomalie der AugenrollungAufrichtung der Augen (analog zu einer Boje) bei KopfdrehungbewirktRollwinkel ρ ist beim Menschen kaum 10°, sorgt also für keinenennenswerte Stabilisierung, was bei verschiedenen Tieren andersist.Einf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

Augenrollung1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische Systemanalyse23Annahme: Der Utriculus (mit sinusartiger Kennlinie) liefert die Signale,welche die Augenrollung steuern.Problem: Die Augenrollung erreicht ihr Maximum nicht, wie von einerSinusfunktion zu erwarten bei horizontaler Kopflage, sondern bereits beieiner seitlichen Kopfneigung von ca. 60°Einf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

Augenrollung1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische Systemanalyse24Lösungsansatz: Die spezifische Anatomie der Maculae Utriculierlaubt gar keinen ‚perfekten‘ Sinus, da sie1. weder genau horizontal im Kopf liegen2. noch mathematisch exakte Ebenen darstellenε - kann bis zu 15° betragenEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

Augenrollung1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische Systemanalyse25Die Verkantung der Ebenen alleine löst das Problem nochnicht ganz. Der Scherungsreiz s‘ am linken Utriculus bei einerKopfschräglage α wäre danns'= sin( α + ε )Entsprechend für den gegenüberliegenden Utriculuss'' = sin( α − ε )Die Addition beider ergibtEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

Augenrollung1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische Systemanalyse26s'+s'' =(2cosε ) ⋅sinαDa 2*cos(ε) eine anatomische Konstante ist, heben sich dieSchräglagen der Utriculi aufAber: Nicht der Reiz als solcher, sondern dessen neuronalesErregungsmuster steuert die AugenrollungNeue Frage: Wie ist eigentlich in den Sinneszellen dieAbbiegung der Haare auf die Frequenz vonAktionspotentialen kodiert?Einf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

Augenrollung1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische Systemanalyse27r‘ bzw. r‘‘ - Erregungsgrößen der UtriculiSubtraktion der Erregungskurven (z.B. Innervierung antagonistischerMuskelgruppen) So kommt tatsächlich eine Kennlinie zustande, die der Forderung der gegen 60°verschobenen Extrema genügtEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische SystemanalysePsychophysische Maßformeln28Weber„jnd“ (just noticable difference)Zu Deutsch: Unterschiedsschwelleh FechnerEmpfindungsquant EUnabhängig von AbsolutschwelleStevensWahl eines entsprechenden Reizeszu einem gegebenenEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische SystemanalysePsychophysische Maßformeln29Wie soll man mit dem Widerspruch zwischen Fechner undStevens umgehen?Fechner lässt sich organetisch finden (neurophysiologischei hMessungen an peripheren Rezeptoren) Stevens beschreibt psychophysische py py Messergebnise. Seine Formelerlaubt jedoch keine vergleichbar einfache Reduktion auf dieOrganetik des Systems.Frage: Könnte eine Potenzfunktion 2er Variablen nicht vielleichtdurch geeignete Verknüpfung von logarithmisch arbeitendenÜbertragungsgliedern erzeugt werden?Einf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische SystemanalysePsychophysische Maßformeln30 MacKay (1963)Zentralnervöse Instanz (Organisator)• Reagiert auf den Empfang sensorischer Meldungen mit Eigenaktivität• Diese neutralisiert jene Meldungen kompensatorisch durch ein Art Abgleich (matching)Adaptive Reaktion und nicht das sensorische Signal selbst, bestimmt gemäßdieser Theorie die Intensität, mit der man den Reiz empfindetS - StimulusLinker oberer Block – Sinnesorganx - steuert Organisator EingangE - state of readinessy - drosselt x in Abhängigkeit von EEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische SystemanalysePsychophysische Maßformeln31Annahme: Prozess kommt zur Ruhe, wenn gilt Bzw. nach Delogarithmisierung (hier z.B. mit der Basis 10)Daraus folgt nun nach geringfügiger Umformung unmittelbar dieStevenssche MaßformelEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische SystemanalysePsychophysische Maßformeln32Angenommen, es habe sich in einer bestimmten Reizsituation ergeben,dass das Signal x und sein Abgleich y numerisch gerade gleichgroßsind. Es ist also:In diesem Fall kann, ohne dass E sich ändert, S um einen Betrag ΔSanwachsen, bis die Differenz die Schwelle c erreicht, also bis an dieGrenzeFür die Empfindungsstärke E 0 ergibt sich bei c=0 nunFür das oben vorgeschlagene c=x-y giltEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische SystemanalysePsychophysische Maßformeln33Für das oben vorgeschlagene c=x-y giltDa die Versuchsperson von dieser Änderung nichts merkt, dürfen wiransetzenbzw.Ausgerechnet erhalten wir:Einf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische SystemanalysePsychophysische Maßformeln34Fazit:MacKay hat es geschafft ein Wirkungsgefüge aufzustellen, was tatsächlichunter den entsprechenden Bedingungen g Weber/Fechner und StevensErgebnisse produzieren kann.Die Eleganz dieser Theorie ist naturgemäß noch kein Erweis ihrer Richtigkeit;man müßte nun erst einmal Experimente ansetzen, die gezielt dieImplikationen des Wirkungsgefüges unter die Lupe nehmen.Es kam hier lediglich darauf an, zu demonstrieren, wie aussichtslos es wäre,wenn man in einer theoretischen Situation wie der hier vorliegenden einenAusweg ohne Zuhilfenahme der Systemtheorie auch nur versuchen wollte.Einf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische SystemanalyseÜbung zur Regelungsdynamik35 Ein einfaches Simulationsspiel Diskretisation der Zeit: Die Zeit im physikalischklassischen Sinne betrachten wir natürlich alskontinuierlich. Nur im Dienste der Simulationvereinfachen wir und ‚tun so‘ als ob es diskreteZeitschritte gäbe.Einf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz, Markus Goldbach,MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische SystemanalyseÜbung zur Regelungsdynamik36 Ein einfaches Simulationsspiel - Regelkreis 3 Personen• Mrs. Regler (R)• y = -x• Sir Regelstrecke (S)• x = y+z• Zerkracher (Z)• Bringt das Chaos ins SpielEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz, Markus Goldbach,MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische SystemanalyseÜbung zur Regelungsdynamik37 Totzeit liegt beim Regler, d.h. dort findetder Zeitschritt statt Für den Zerkracher kommen folgendeTaktiken (neben voller Willkür) in BetrachtEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz, Markus Goldbach,MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

Ergebnis1. Rekapitulation2. Algebraisierung von Kennlinien3. Dynamische Systemanalyse38 StoßfolgeEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz, Markus Goldbach,MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

39Vielen Dank für Eure AufmerksamkeitEinf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz, Markus Goldbach,MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010

Literaturnachweis40„Struktur und Bedeutung: Eine Einführung in dieSystemtheorie“, Norbert Bischof, 1995Einf. Systemtheorie SS 2010, J. Gutenberg Uni Mainz,Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach25.06.2010