Methoden der Psychologie - Johannes Gutenberg-Universität Mainz

Methoden der
Psychologie
Prof. Dr. G. Meinhardt
6. Stock, Taubertsberg 2
R. 06-206 (Persike)
R. 06-321 (Meinhardt)
Sprechstunde jederzeit
nach Vereinbarung
Forschungsstatistik II
Dr. Malte Persike
� persike@uni-mainz.de
� http://psymet03.sowi.uni-mainz.de/
SS 2009
Fachbereich Sozialwissenschaften
Psychologisches Institut
Johannes Gutenberg Universität Mainz

Methoden der
Psychologie
Varianzanalyse
Einfaktorielle ANOVA – Mittelwertevergleiche
� Problem: Ein signifikantes Ergebnis in der ANOVA zeigt
nicht an, zwischen welchen Treatmentstufen der Effekt
besteht.
� Für die Prüfung der Mittelwerte einzelner Faktorstufen
gibt es zwei unterschiedliche Verfahrensweisen
1. A-Priori Tests zur Prüfung von Hypothesen,
die bereits vor der Untersuchung formuliert
worden sind.
2. A-Posteriori Tests (Post-hoc Tests) zur
Prüfung von Hypothesen, die nach Ansehen
der Daten gebildet wurden.

Methoden der
Psychologie
Varianzanalyse
Einfaktorielle ANOVA – Mittelwertevergleiche
� Bei den Mittelwertevergleichen im Rahmen der
ANOVA müssen nicht stets nur zwei Mittelwerte
verglichen werden.
� Es können Fragen beantwortet werden wie
1. Sind die Mittelwerte zweier Faktorstufen
unterschiedlich?
2. Ist eine Faktorstufe unterschiedlich zum
Mittelwert aller vorhergehenden Faktorstufen?
3. Sind die letzten beiden Faktorstufen
unterschiedlich zu den ersten beiden?

Methoden der
Psychologie
Varianzanalyse
Einfaktorielle ANOVA – Mittelwertevergleiche
� Sind die Mittelwerte zweier Faktorstufen unterschiedlich?
D= Aj −Am ≠
� Ist eine Faktorstufe unterschiedlich zum Mittelwert aller
vorhergehenden Faktorstufen?
1
D= A ( )
k − ⋅ A1+ A2 + ... + Ak−1
≠0
k −1
� Sind die letzten beiden Faktorstufen unterschiedlich zu
den ersten beiden?
1 1
D= ⋅ ( A ) ( )
1+ A2 − ⋅ Ak−1+ Ak
≠0
2 2
0

Methoden der
Psychologie
Varianzanalyse
Einfaktorielle ANOVA – Mittelwertevergleiche
� Die allgemeine Formel zur Berechnung von Differenzen
bei zwei oder mehr zu vergleichenden Mittelwerten
lautet:
mit
j=
1
� Oft berücksichtigt man noch die Nebenbedingung
k
D = ∑c
⋅x
k
∑
j=
1
k
∑
j=
1
c
c
j
j
=
=
j j
0
2

Methoden der
Psychologie
Varianzanalyse
Einfaktorielle ANOVA – Mittelwertevergleiche
� Die Varianz einer so berechneten Mittelwertedifferenz in
der ANOVA ist immer:
1 ⎛ ⎞
Var D = σˆ = ⎜ ∑ c
⎟
σˆ
⎜⎝ ⎠
2 2 2
( ) D j Fehler
n ⎜ ⎟ j=
1
� Es wird also die in der ANOVA berechnete
Fehlervarianz zugrunde gelegt.
� Dieses Vorgehen ist konzeptuell identisch mit dem Pollen
der Varianzen beim unabhängigen t-Test.

Methoden der
Psychologie
Varianzanalyse
A-Priori Tests („Kontraste“)
� Zur Berechnung von A-Priori Tests („Kontraste“) lassen
sich nun zwei Prüfgrößen konstruieren
t
=
=
D
σˆ
D
∑
j=
1
n⋅D c
df = df
⋅σˆ
2
j Error
F
mit mit
Fehler
=
D
σ
2
2
ˆ D
n⋅D =
⎛ ⎞⎟
⎜ ⎟⋅
2 2
⎜
⎜∑ c j σFehler
⎜⎝
⎟ j=
1 ⎠
2
dfZähler
= 1
df = df
Nenner Fehler

Methoden der
Psychologie
Varianzanalyse
A-Priori Tests („Kontraste“)
� Die Äquivalenz der t-verteilten Prüfgröße und der Fverteilten
Prüfgröße ergibt sich aus der Tatsache, dass
man für die Prüfung von Differenzen von Mittelwerten
zeigen kann, dass gilt:
2
= df = k df = 1; df = k
t F
Z N
� Die quadrierte t- Verteilung mit df=k Freiheitsgraden
entspricht genau der F-Verteilung mit einem Zähler- und
df=k Nennerfreiheitsgraden

Methoden der
Psychologie
Varianzanalyse
A-Priori Tests („Kontraste“)
� Zumeist sollen mit A-Priori Kontrasten genau zwei
Treatmentstufen miteinander vergleichen werden.
� Dann vereinfachen sich die Formeln der t-verteilten
Prüfgröße eines Kontrastes zu
und
t
x − x Δx
σˆ σˆ
1 2 = = mit df = p( n−1)
ΔxΔx 2
σˆ
Fehler
SE = σˆ Δx
= ⋅
2
n

Methoden der
Psychologie
Varianzanalyse
A-Priori Tests („Kontraste“)
� Der Standardfehler bestimmt sich aus der Fehlervarianz,
die ja die gepoolte Varianz aus allen Stichproben ist.
� Damit gehen in die gepoolte Varianz der ANOVA n·k
Datenwerte ein.
� Beim normalen t-Test für 2 unabhängige Stichproben
sind es nur n·2.
� Ein t-Test (i.e. A-Priori Kontrast) in der ANOVA hat also
bei k > 2 mehr Freiheitsgrade als ein einfacher
paarweiser t-Test und ist daher trennschärfer.

Methoden der
Psychologie
Varianzanalyse
A-Posteriori Tests
� Gerade bei umfangreicheren Versuchsdesigns und
unklaren Hypothesen werden während der Auswertung
Effekte entdeckt, für die zuvor keine Hypothesen
bestanden.
� In solchen Fällen ist es trotzdem sinnvoll zu prüfen, ob
sich Signifikanzen ergeben, um gezielt Fragestellungen
für weitere Untersuchungen zu entwickeln
� Achtung: Eine im Nachhinein aufgestellte Hypothese
mit einem A-Posteriori Test zu prüfen und zu belegen,
hat faktisch keine Aussagekraft
(ist jedoch in der empirischen Forschung durchaus verbreitet)

Methoden der
Psychologie
Varianzanalyse
A-Posteriori Tests – Scheffé Test
� Ziel: Prüfung von paarweisen Mittelwertsunterschieden
ohne α-Fehler Inflation
� Scheffé konnte zeigen, dass durch eine Korrektur der
F-Statistik eine beliebige Anzahl von
Mittelwertsvergleichen durchgeführt werden können,
ohne dass es zur α-Fehler Kumulierung kommt
F = ( k−1) ⋅F
corr

Methoden der
Psychologie
Varianzanalyse
A-Posteriori Tests – Scheffé Test
� Durch Umstellen der Gleichung für die F-verteilte
Prüfgröße bei Mittelwertsvergleichen lässt sich damit der
kritische Mittelwertsunterschied berechnen
D
crit
=
� Der kritische F-Wert hat:
2
( p ) σFehler F(
df , df ,1−α)
2⋅ −1 ⋅ ⋅
A Fehler
� Ist also irgendeine Mittelwertedifferenz zwischen Gruppen
in der ANOVA größer als D crit , so ist sie signifikant
n
dfZähler = p −1
df =
df
Nenner Fehler

Methoden der
Psychologie
Varianzanalyse
A-Posteriori Tests – Weitere Verfahren
� Der Scheffé Test ist der konservativste unter den
üblichen A-Posteriori Tests.
� Er ist zudem robust gegenüber Verletzungen der
Voraussetzungen der ANOVA
� Andere, progressivere Tests sind der Duncan-Test, der
Newmann-Keuls Test oder der Tukey Test