QQ-Plot Beispiel - Johannes Gutenberg-Universität Mainz

Methoden derPsychologieProf. Dr. G. Meinhardt2. Stock, NordflügelR. 02-429 (Persike)R. 02-431 (Meinhardt)Sprechstunde jederzeitnach VereinbarungForschungsstatistik IDr. Malte Persike persike@uni-mainz.deWS 2008/2009Fachbereich SozialwissenschaftenPsychologisches InstitutJohannes Gutenberg Universität Mainz

Methoden derPsychologieQQ-PlotBeispielNormalverteilung empirischer DatenDer QQ-Plot Häufig ist es wichtig zu entscheiden, ob die Daten einerStichprobe normalverteilt sind. Beispiel: Liefert ein neu entwickelter EQ-Test (EmotionalIntelligence) normalverteilte Ergebnisse? Es gibt statistische Tests zur Prüfung derNormalverteilung von empirischen Häufigkeitsdaten, diewir im Rahmen der Inferenzstatistik kennenlernenwerden. Der Quantil-Quantil Plot ist eine einfache grafischeMethode der Normalverteilungsprüfung

Methoden derPsychologieQQ-PlotBeispielNormalverteilung empirischer Daten≈Der QQ-Plot Idee: Wenn Stichprobendaten normalverteilt sind, solltendie empirischen Quantile mit den theoretischenQuantilen übereinstimmen. Gegeben sei die beobachtete Realisation y. Wennunterhalb von y für eine theoretisch normalverteilteZufallsvariable p Werte liegen [also P(Y ≤ y) bzw. F(y)]solte auch in den Stichprobendaten unterhalb von y einAnteil p der Werte liegen.Theoretisches Quantil ≈ Empirisches Quantil

Methoden derPsychologieQQ-PlotBeispielNormalverteilung empirischer Daten≈Der QQ-Plot Bei n Beobachtungen existieren n direkt bestimmbareempirische Quantile. Das Quantil für das i-te Datum (i =1…n) der sortierten Datenreihe wird berechnet alspi=i− 0.5n Über die Subtraktion von 0.5 ist der Tatsache Rechnunggetragen, dass das 100% Quantil für dieNormalverteilung nicht definiert (bzw. ∞) ist Die theoretischen Quantile für die erhaltenen z-Wertekönnen nun aus den (standardisierten) Daten anhand derinversen Normalverteilung Φ -1 bestimmt werden.

Methoden derPsychologieQQ-PlotBeispielNormalverteilung empirischer Daten≈Der QQ-Plot - VerfahrenSchritt 1: Sortieren der Stichprobendaten nachaufsteigender GrößeNr123456789101112Datum446148682560413745364353Sortiert253637414344454853606168z-1.876-0.927-0.841-0.496-0.324-0.237-0.1510.1080.5391.1431.2291.833p.042.125.208.292.375.458.542.625.708.792.875.958Qp-1.732-1.150-0.812-0.549-0..319-0.1050.1050.3190.5490.8121.1501.732e-0.1450.223-0.0290.052-0.005-0.133-0.256-0.211-0.0090.3310.0790.102

Methoden derPsychologieNormalverteilung empirischer DatenDer QQ-Plot - VerfahrenSchritt 2: z-Transformation der Rohdaten≈1.7321.1500.8120.5490.3190.105-0.105-0..319-0.549-0.812-1.150-1.732Qp686160534845444341373625Sortiert534336453741602568486144Datum1.8331.2291.1430.5390.108-0.151-0.237-0.324-0.496-0.841-0.927-1.876z.958.875.792.708.625.542.458.375.292.208.125.042p0.1020.0790.331-0.009-0.211-0.256-0.133-0.0050.052-0.0290.223-0.145eNr121110987654321xxzs−=QQ-PlotBeispiel

Methoden derPsychologieQQ-PlotBeispielNormalverteilung empirischer Daten≈Der QQ-Plot - VerfahrenSchritt 3: Bestimmung der Quantilszahlen pNr123456789101112Datum446148682560413745364353Sortiert253637414344454853606168z-1.876-0.927-0.841-0.496-0.324-0.237-0.1510.1080.5391.1431.2291.833p.042.125.208.292.375.458.542.625.708.792.875.958Qp-1.732-1.150-0.812-0.549-0..319-0.1050.1050.3190.5490.8121.1501.732e-0.1450.223-0.0290.052-0.005-0.133-0.256-0.211-0.0090.3310.0790.102

Methoden derPsychologieQQ-PlotBeispielNormalverteilung empirischer Daten≈Der QQ-Plot - VerfahrenSchritt 4: Bestimmung der erwarteten Quantile Q paus dertheoretischen standardnormalen Verteilung Φ -1 (p, x, s)Nr123456789101112Datum446148682560413745364353Sortiert253637414344454853606168z-1.876-0.927-0.841-0.496-0.324-0.237-0.1510.1080.5391.1431.2291.833p.042.125.208.292.375.458.542.625.708.792.875.958Qp-1.732-1.150-0.812-0.549-0..319-0.1050.1050.3190.5490.8121.1501.732e-0.1450.223-0.0290.052-0.005-0.133-0.256-0.211-0.0090.3310.0790.102

Methoden derPsychologieQQ-PlotBeispielNormalverteilung empirischer Daten≈Der QQ-Plot - VerfahrenSchritt 5: Zeichnen des QQ-Plots3Beobachtetes Quantil210-3 -2 -1 0 1 2 3-1-2-3Erwartetes Quantil

Methoden derPsychologieQQ-PlotBeispielNormalverteilung empirischer Daten≈Der QQ-Plot - VerfahrenSchritt 6: Bestimmung der Güte der Passung Die Gesamtvarianz der Datenwurde berechnet als1s y yn2= ( )2∑ i−N i = 1 Es kann nun aber für jeden(standardisierten) Rohdatenwertein eigener Erwartungswertbestimmt werden, nämlich daszugehörige Quantil aus dertheoretischen Verteilungsfunktion1s y yn2( )2e= ∑ i−QpN i = 1 Dies ist die sogenannte„Fehlervarianz“ oder„unaufgeklärte Varianz“

Methoden derPsychologieQQ-PlotBeispielNormalverteilung empirischer Daten≈Der QQ-Plot - VerfahrenSchritt 6: Bestimmung der Güte der Passung Die Differenz (s² - s e²) ist dann die „aufgeklärteVarianz“ Nun kann der Anteil der aufgeklärten Varianz an derGesamtvarianz berechnet werden alsη2s2 − s2= e⋅100%s2 Zur Bewertung des η² („eta“) gibt es Faustregeln. EinAnteil von mindestens 70% ist als akzeptabel zubewerten, mindestens 80% als gut, mindestens 90% alssehr gut.

Methoden derPsychologieQQ-PlotBeispielNormalverteilung empirischer Daten≈Der QQ-Plot - VerfahrenSchritt 6a: Bestimmung der Abweichung e zwischenbeobachtetem und erwartetem Quantil.Nr123456789101112Datum446148682560413745364353Sortiert253637414344454853606168z-1.876-0.927-0.841-0.496-0.324-0.237-0.1510.1080.5391.1431.2291.833p.042.125.208.292.375.458.542.625.708.792.875.958Qp-1.732-1.150-0.812-0.549-0..319-0.1050.1050.3190.5490.8121.1501.732e-0.1450.223-0.0290.052-0.005-0.133-0.256-0.211-0.0090.3310.0790.102

Methoden derPsychologieQQ-PlotBeispielNormalverteilung empirischer Daten≈Der QQ-Plot - VerfahrenSchritt 6b: Bestimmung des Anteils der erklärten Varianz ander Gesamtvarianz. Die Gesamtvarianz s² ist bei standardisierten Datenimmer 1. Bei unstandardisierten Daten wäre es schlichtdie Varianz der Rohdaten. Die Fehlervarianz ist der Mittelwert allerAbweichungsquadrate (y i-y Qp)², im Beispiel s e2=0.027. Damit ergibt sich für die aufgeklärte Varianzη² = (1 – 0.027)/1 = 0.973, also 97.3%. Die Annahme normalverteilter Stichprobendaten wirdgestützt.

Methoden derPsychologieQQ-PlotBeispielNormalverteilungZusammenfassung Für die theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilungpsychologisch relevanter Zufallsvariablen wird oft dieNormalverteilung angenommen. Sie ist durch zwei Parameter, μ und σ definiert. Ob diese Annahme haltbar ist, kann a priori nur durch eintheoretisches Rational begründet werden. Die erfolgreiche Prüfung empirischer Daten aufNormalverteilung ist kein Indikator für die Validität destheoretischen Rationals. Zur naturnotwendigen Normalverteilung bestimmterZufallsvariablen siehe Glass & Hopkins (1996), “God lovesthe normal curve”, S. 80 ff.