A = B - Johannes Gutenberg-Universität Mainz

Methoden der
Psychologie
Prof. Dr. G. Meinhardt
2. Stock, Nordflügel
R. 02-429 (Persike)
R. 02-431 (Meinhardt)
Sprechstunde jederzeit
nach Vereinbarung
Forschungsstatistik I
Dr. Malte Persike
persike@uni-mainz.de
WS 2008/2009
Fachbereich Sozialwissenschaften
Psychologisches Institut
Johannes Gutenberg Universität Mainz

Methoden der
Psychologie
Thema der Stunde
Reanimation Mengenlehrekenntnisse
Einführung in die Wahrscheinlichkeitslehre
Begriff der Wahrscheinlichkeit
Klassische Definition nach Laplace
Abzählprinzipien I

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Mengenlehre, naive
Venn-
Diagramme
Operationen
G. Cantors Definition einer Menge (1895)
Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung
M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m
unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die
'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.
Schreibe:
Somit auch:
m ∈ M
m ∈ M ∈ N
Definition einer Menge:
Extensional: M = {1, 3, 5, 7, 9}
Intensional: M = {m | ungerade natürliche Zahl < 10}
lies: „für die gilt“

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Mengenlehre, naive
Mächtigkeit und Identität von Mengen
Venn-
Diagramme
|M|
ist die Mächtigkeit einer Menge und bezeichnet
die Anzahl der Elemente in der Menge.
Operationen
Bei der extensionalen Definition einer Menge sind die
Anzahl gleicher Elemente und auch die Reihenfolge
von Elementen gleichgültig.
M 1
= {1, 3, 5, 7, 9}
M 2
= {3, 7, 1, 9, 5}
M 3
= {1, 1, 1, 3, 5, 5, 7, 9, 9}
Die Menge der
Mächtigkeit 0 ist die
leere Menge
M = { } bzw. M = ∅
sind dieselbe Menge der Mächtigkeit |M| = 5.

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Mengenlehre, naive
Mengen und Teilmengen
Venn-
Diagramme
Ist eine Menge A eine Teilmenge von B, so gilt für jedes
a Є A auch a Є B.
Operationen
Dann schreibt man:
A ⊆ B
Gilt A ⊆ B und auch B ⊆ A, so sind A und B gleich.
Dann schreibt man:
A = B
Ambiguität: A ⊆ B schließt A = B nicht aus. Nur wenn
hier nicht B ⊆ A gilt, ist A eine echte Teilmenge von B.
Dann schreibt man:
A ⊂ B

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Mengenlehre, naive
Venn-Diagramme
Venn-
Diagramme
Jede Menge M 1…i und alle Beziehungen zwischen
diesen Mengen sind durch einen Kreis repräsentiert.
Operationen
A
B
A
B
A ⊄ B und B ⊄ A
A
A = B
B
A ⊂ B

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Mengenlehre, naive
Die Potenzmenge
Venn-
Diagramme
Eine Potenzmenge P(M) ist die Menge aller möglichen
Teilmengen von M plus der leeren Menge ∅.
Formal:
A ∈ P(M) genau dann, wenn A ⊆ M
Operationen
Beispiel:
Ergebnisse eines einmaligen Münzwurfs
M = {K, Z, S}
P(M) = {∅, {K}, {Z}, {S}, {K,Z}, {K,S}, {Z,S}, {K,Z,S}}
Die Mächtigkeit einer Menge M sei |M| = n. Dann gilt für die
Mächtigkeit der Potenzmenge:
P(M) = 2 n

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Mengenlehre, naive
Mengenoperationen
Venn-
Diagramme
Vereinigung von Mengen:
A ∪ B
Operationen
(Durch-)Schnitt von Mengen:
A ∩ B
Differenz von Mengen:
A \ B

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Mengenlehre, naive
Mengenoperationen
Venn-
Diagramme
Vereinigung von Mengen:
A ∪ B
Operationen
A ∪ B = {m | m ∈ A oder m ∈ B}
A
B
A ∪ B (Vereinigungsmenge)

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Mengenlehre, naive
Mengenoperationen
Venn-
Diagramme
Operationen
(Durch-)Schnitt von Mengen: A ∩ B
A ∩ B = {m | m ∈ A und m ∈ B}
A
B
A ∩ B (Schnittmenge)

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Mengenlehre, naive
Mengenoperationen
Venn-
Diagramme
Differenz von Mengen:
A \ B
Operationen
A \ B = {m | m ∈ A und nicht m ∈ B}
A
B
A \ B (Differenzmenge)

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Ereignisse &
Algebren
Laplace
Definition
Abzählregeln
Geschichte der WT
Anfänge Mitte des 17. Jh. (Huygens, Pascal, Fermat,
Bernoulli). Aufgaben des Glücksspiels. Nur Arithmetik
und Kombinatorik.
Weiterentwicklungen im 18.-19. Jh. durch Laplace,
Gauss, Poisson: Fehlertheorie, Ballistik, Pop.stat.
Durchbruch zu Beginn des 20. Jh: Entwicklung der
W-Theorie, Fundament in axiomatischen Aufbau
(Kolmogoroff). Theorie der stochastischen Prozesse
(Wiener, Markoff, Chintchin), Partikelphysik.
Heute zentraler Bestandteil wiss. Betätigung:
Informationstheorie, Physik, Bevölkerungsstatistik,
Epidemiologie, Materialprüfung, Statik,
Personalauswahl, psychologische Testung,
Versuchsplanung und Stichprobentheorie.

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Zufällige Ereignisse
Ereignisse &
Algebren
Laplace
Definition
Abzählregeln
Die Wahrscheinlichkeitslehre befasst sich mit
zufälligen Ereignissen
Für diese Zufallsereignisse gilt:
1. Sie sind wiederholbar
2. Sie besitzen eine Stabilität in der relativen
Häufigkeit ihres Auftretens

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Ereignisse &
Algebren
Laplace
Definition
Abzählregeln
Zufällige Ereignisse
Empirische Definition der Wahrscheinlichkeit
(von Mises, 1919)
( ): = lim A
P A
N →∞
n
N
Beispiel 2: Relative
Häufigkeit für das
Würfeln einer „6“ in
Abhängigkeit von der
Anzahl der
Würfelversuche:
n A
: Häufigkeit des Ereignisses A
N : Gesamtzahl aller Versuche

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Ereignisse &
Algebren
Laplace
Definition
Abzählregeln
Zufällige Ereignisse
Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit
(von Mises, 1919)
Probleme der Statistischen Definition
In vielen Fällen ist die empirische Bestimmung
einer Häufigkeitsverteilung nicht möglich
Nur in wenigen der verbleibenden Fälle ist die
Anzahl der Versuche sehr viel größer als 1
Der Limes (∞) ist praktisch nicht realisierbar;
Wahrscheinlichkeit wäre also nur eine Hypothese
Interpretation von Wahrscheinlichkeiten ist unklar

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Was ist ein Ereignis
Ereignisse &
Algebren
Laplace
Definition
Abzählregeln
Ein (Zufalls-)Ereignis bezeichnet eine Menge
möglicher Ergebnisse eines Zufallsexperimentes.
Ein Ereignis ist die Realisation eines Komplexes Ξ von
Bedingungen.
Beispiel:
Ein sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen (= der
Komplex Ξ von Bedingungen).
Mögliche Ereignisse sind:
Das Würfeln einer „6“: {6}
Das Würfeln einer Zahl < 3: {1, 2}
Das Würfeln einer Primzahl: {2, 3, 5}

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Elementarereignisse
Ereignisse &
Algebren
Laplace
Definition
Abzählregeln
Zwei Ereignisse B 1 und B 2 heißen paarweise
unvereinbar (disjunkt), wenn gilt:
Beispiel:
E
∩ E =∅ „unmögliches Ereignis“
1 2
Die kleinste Einheit disjunkter Ereignisse, in die
sich mögliche Ergebnisse eines Zufallsexperimentes
zerlegen lassen, heißt Elementarereignis.
Beim Würfelwurf sind die Ereignisse
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
Elementarereignisse, nicht aber {2, 4, 6} und {1, 4, 5}.

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Stichprobenraum
Ereignisse &
Algebren
Gilt:
A = E ∪E ∪…
∪E
1 2 n
Laplace
Definition
und sind die E i paarweise unvereinbar, so lässt sich A in
genau die Teilereignisse E i zerlegen.
Wenn stets mindestens eines der Ei eintritt, folgt
Abzählregeln
Ω = E ∪E ∪…
∪E
1 2 n
„sicheres Ereignis“
Dann bilden die E i ein vollständiges System paarweise
unvereinbarer Ereignisse (Elementarereignisse), den
Stichprobenraum.

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
σ-Algebra
(auch: Ereignisalgebra)
Ereignisse &
Algebren
Laplace
Definition
Abzählregeln
Zu einem Stichprobenraum kann eine Ereignisalgebra
konstruiert werden, die ein abgeschlossenes System
von Ereignissen darstellt.
Regel:
Bilde eine Menge U aus dem sicheren Ereignis, dem
unmöglichen Ereignis und allen Ereignissen, die sich in
Elementarereignisse zerlegen lassen und füge die leere
Menge ∅ hinzu..
Beispiel: E 1 , E 2 , E 3 seien die Felder eines Glücksrades
{ ,{ 1} ,{ 2} ,{ 3} ,{ 1, 2} ,{ 1, 3} ,{ 2, 3} ,{ 1, 2,
3}
}
U = ∅ E E E E E E E E E E E E =Ω

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
σ-Algebra
Der Begriff der Abgeschlossenheit
Ereignisse &
Algebren
Laplace
Definition
{ ,{ 1} ,{ 2} ,{ 3} ,{ 1, 2} ,{ 1, 3} ,{ 2, 3} ,{ 1, 2,
3}
}
U = ∅ E E E E E E E E E E E E =Ω
Warum heißt dieses System „abgeschlossen“ für das
betrachtete Zufallsereignis
Es erfüllt folgende Axiome:
1. Ω ∈ U und ∅ ∈U Sicheres/unmögliches Ereignis in U
Abzählregeln
2. Wenn A ∈ U, dann auch Ω \A ∈ U Komplementereignis in U
3. A 1
∪ A 2
∪ … ∪ A n
∈ U
und A 1
∩ A 2
∩ … ∩ A n
∈ U Vereinigungs-/Schnittmenge in U
Also: Alle denkbaren Ausgänge des Zufallsexperimentes sind in
U enthalten.

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Ereignisse &
Algebren
Die Wahrscheinlichkeitsdefinition
von Laplace
Jedem Ereignis A, welches der σ-Algebra U angehört, kann so
eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden.
Laplace
Definition
Abzählregeln
PA ( )
=
m
n
m = Mächtigkeit der Menge an
gleichmöglichen Elementarereignissen
aus U, die Teilereignis
von A sind.
n = Mächtigkeit des Stichprobenraumes
(also Anzahl aller
Elementarereignisse aus U)
Die Wahrscheinlichkeit ist demnach eine auf der σ-
Algebra U definierte Funktion P(A).

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Ereignisse &
Algebren
Laplace
Definition
Abzählregeln
Die Wahrscheinlichkeitsdefinition
von Laplace
Folgerungen aus der Definition von P(A)
1. Für jedes A aus U gilt:
P(A) ≥ 0, weil weder m noch n negativ werden können
2. Für das sichere Ereignis gilt:
P(Ω) = 1, weil hier m = n
3. Ist ein Ereignis A zerlegbar in die Elementarereignisse E 1
,
E 2
, … E i
so gilt:
P(A) = P(E 1
) + P(E 2
) + … + P(E i
)
Additionstheorem der Wahrscheinlichkeiten

Methoden der
Psychologie
Mengenlehre
Wk-Theorie
Grundlagen
Beispiele
Ereignisse &
Algebren
Summe von 2 Würfelwürfen
Laplace
Definition
Anzahl von „Zahl“ bei 3 Münzwürfen
Abzählregeln
Frage des Landsknechts an Huygens