Skript aus der Mikrosystemtechnik

ALBERT-LUDWIGS- 

UNIVERSITÄT FREIBURG 

Skriptum zur Vorlesung 

Systemtheorie 

Ch. Ament 

Universität Freiburg 

IMTEK – Institut für Mikrosystemtechnik 

Professur für Systemtheorie 

Georges-Köhler-Allee 103 

79110 Freiburg 

www.imtek.de/systemtheorie 

Version 2.2

Gliederung und Literatur Seite 2 

Vorlesung Systemtheorie 

Prof. Dr.-Ing. Ch. Ament 

Gliederung 

1 Beschreibung dynamischer Systeme durch das Blockschaltbild (4 Std.) 

1.1 Beispiele zum Aufstellen des Blockschaltbildes 

1.2 Häufig verwendete Übertragungsglieder 

1.3 Nichtlineare Glieder und Linearisierung 

1.4 Numerische Simulation auf Basis des Blockschaltbildes (Simulink) 

2 Systembeschreibung im Zeitbereich (6 Std.) 

2.1 Differenzialgleichung (DGL) 

2.1.1 Aufstellen der DGL 

2.1.2 Lösung von linearen DGLen mit konstanten Koeffizienten 

2.2 Übertragungsverhalten 

2.2.1 Gewichtsfunktion und Faltung 

2.2.2 Eigenschaften 

2.2.3 Spezielle Antwortfunktionen 

2.3 Darstellung im Zustandsraum 

2.3.1 Zustandsbegriff 

2.3.2 Numerische Simulation 

2.3.3 Lineare Systeme 

2.3.4 Aufstellen der Zustandsgleichung aus Blockschaltbild und DGL 

3 Systembeschreibung im Bildbereich (8 Std.) 

3.1 Laplace-Transformation 

3.1.1 Grundlagen 

3.1.2 Lösung von DGLen 

3.2 Übertragungsfunktion 

3.3 Exkurs: Signale im Bildbereich 

3.4 Frequenzgang 

3.5 Ortskurve 

3.6 Bode-Diagramm 

3.6.1 Definition 

3.6.2 Bode-Diagramme häufig verwendeter Übertragungsglieder 

3.6.3 Rechenregeln 

Albert-Ludwigs- 

Universität Freiburg




4 Analyse von Systemeigenschaften (5 Std.) 

4.1 Stabilität 

4.1.1 Definition der Stabilität und Stabilitätsbedingungen 

4.1.2 Hurwitz-Kriterium 

4.1.3 Nyquist-Kriterium 

4.2 Steuerbarkeit 

4.3 Beobachtbarkeit 

5 Regelung (7 Std.) 

5.1 Reglerentwurf im Bildbereich 

5.1.1 Struktur des Regelkreises 

5.1.2 Forderungen für die Reglersynthese 

5.1.3 Auswahl geeigneter Glieder zur dynamischen Korrektur 

5.1.4 Reglersynthese auf Basis des Bode-Diagramms 

5.2 Reglerentwurf im Zustandsraum 

5.2.1 Struktur des Regelkreises 

5.2.2 Reglersynthese durch Eigenwertvorgabe 

5.2.3 Bestimmung des Vorfilters 

5.3 Numerische Werkzeuge für den Reglerentwurf 

6 Beobachtung nicht direkt messbarer Systemzustände (2 Std.) 

6.1 Idee und Struktur eines Beobachters 

6.2 Beobachtersynthese 






Literatur 

• Föllinger, O: 

Regelungstechnik, 8. Auflage, Hüthig, Heidelberg, 1994. € 48,– 

• Unbehauen, H.: 

Band 1: Klassische Verfahren zur Analyse und Synthese linearer kontinuierlicher 

Regelsysteme, Vieweg, 9. Auflage, 1997. € 29,90 


Band 2: Zustandsregelung, digitale und nichtlineare Regelsysteme, Vieweg, 7. 

Auflage, 1997. € 29,90 


Band 3: Identifikation, Adaption, Optimierung, Vieweg, 5. Auflage, 1995. 

€ 29,90 


Regelungstechnik: Aufgaben I, Vieweg, 1992. € 29,90 

• Unbehauen, R.: 

Systemtheorie I – Allgemeine Grundlagen, Signale und lineare Systeme im Zeit- und 

Frequenzbereich, 8. Auflage, Oldenbourg, 2002, € 54,80 

• Unbehauen, R.: 

Systemtheorie II – Mehrdimensionale, adaptive und nichtlineare Systeme, 8. Auflage, 

Oldenbourg, 1998, € 54,80 

• J. Lunze: 

Automatisierungstechnik – Mehtoden zur Überwachung und Steuerung 

kontinuierlicher und ereignisdiskreter Systeme, Oldenbourg, 2003, € 44,80 

• Dörrscheidt, F., Latzel, W.: 

Grundlagen der Regelungstechnik, 2. Auflage, Teubner, Stuttgart, 1993. € 34,90 

• L. Merz, H. Jaschek: 

Grundkurs der Regelungstechnik – Einführung in die praktischen und theoretischen 

Methoden, 14. Auflage, Oldenbourg, 2003, € 24,80 

• Norman S. Nise: 

Control Systems Engineering, Wiley Text Books; 3rd edition, 2000, € 57,90 

• Benjamin Kuo: 

Automatic Control Systems, Prentice Hall; 8. Aufl. 2003, € 54,90 



1. Beschreibung dynamischer Systeme durch das Blockschaltbild Seite 5 



Häufig verwendete Übertragungsglieder 

I. Elementare, lineare Übertragungsglieder 

a) Proportionalglied 

(P-Glied) 

y() t = K ⋅ u() 

t 

K 

u 

y 

b) Integrierglied 

(I-Glied) 

t 

yt () = K⋅∫ u( τ) 

dτ 

0 

u 

K 

y 

c) Differenzierglied 

(D-Glied) 

yt () = K ⋅ d dt ut 

K 

() 

u 

y 

d) Summierglied 

(S-Glied) 

y ( t) 

= ± u1( 

t) 

± u2 

( t) 

u 1 

( ) 

( ) 

u 2 

y 

e) Totzeitglied 

(T t -Glied) 

yt () = Kut ⋅ ( − T t 

) 

K 

u 

y 

II. Zusammengesetzte, lineare Übertragungsglieder 

a) Verzögerungsglied 1. Ordnung 

(PT 1 -Glied) 

Ty&( t) + y() t = K ⋅ u() 

t 

K T 

u 

y 

b) Verzögerungsglied 2. Ordnung 

(PT 2 -Glied) 

2 

T &&() y t + 2dTy&( t) + y() t = K⋅u() 

t 

K 

u 

d 

T 

y 

III. Nichtlineare Übertragungsglieder 

a) Kennlinienglied 

(KL-Glied) 

( ) 

yt () = Fut () 

u 

F(u) 

y 

b) Multiplizierglied 

(M-Glied) 

yt () = Ku ⋅ () t ⋅u() 

t 

1 2 

u 1 

K 

u 2 

y 






Numerische Simulation mit Simulink 

Hintergrund 

Start 

• Matlab (von „Matrix Laboratory“) ist eine Interpreter-Programmiersprache, die 

speziell für numerische Algorithmen entwickelt wurde. 

• Insbesondere sind alle Variablen als Matrizen vordefiniert und die Befehle auf die 

Verarbeitung von Matrizen bzw. Vektoren ausgelegt, so dass auch sehr große 

Datenfelder bzw. -listen schnell bearbeitet werden können. 

• Für spezielle Aufgabenstellungen (Regelungstechnik, Signal- oder 

Bildverarbeitung, ...) kann der Befehlsumfang durch entsprechende Toolboxen 

erweitert werden. 

• Eine solche Toolbox ist auch „Simulink“, das die graphische Modellierung 

dynamischer Systeme als Blockschaltbild erlaubt. Diese Modelle können dann 

numerisch simuliert und analysiert werden. 

• Zunächst „matlab“ starten. Nachdem der Prompt „>>“ des Matlab-Interpreters 

erschienen ist, startet man Simulink mit dem Befehl „simulink“. 

• Es erscheint das nachfolgend gezeigte Fenster mit der Bibliothek der in Simulink 

vordefinierten Übertragungsblöcke. 






Modellierung 

• Es muss zuerst ein neues Arbeitsblatt geöffnet werden (z. B. mit dem Icon „weißes 

Blatt“ im oben gezeigten Fenster) 

• Nun können Blöcke aus dem Bibliotheks-Fenster per Maus auf das Arbeitsblatt 

geschoben werden. Die Ein- und Ausgänge der Blöcke können dort per Maus 

verbunden werden. 

• Doppelklicken Sie einen Block, um seine Parameter zu definieren oder die Anzeige 

eines „Scope“ zu öffnen.. 

• Um einen vorhandenen Block auf dem Arbeitsblatt zu duplizieren, klicken Sie ihn mit 

der rechten Maustaste an und positionieren das Duplikat entsprechend. 

• Verwenden Sie ebenfalls die rechte Maustaste, um von einer vorhandenen 

Signalverbindung einen neuen Abzweig zu erstellen! 

Simulation 

• Sie starten die numerische Simulation mit dem „Play“-Button (schwarzes Dreieck) im 

Kopf des Arbeitsblattes (siehe Bild). 

• Im Menü „Simulation“, Untermenü „Simulation Paramter“ können Sie die Paramter 

der numerischen Simulation festlegen, z. B. 

o Start- und Endzeitpunkt, 

o Integrationsverfahren, 

o Fehlermaße, welche die Güte der numerischen Simulation festlegen 






Steckbrief: Das Proportionalglied (P-Glied) 

Funktionalbeziehung: 

Sprungantwort: 

y ( t) 

= K u( 

t) 

h( t) 

= K σ ( t) 

Übertragungsfunktion: 

G ( s) 

= K 

K 

Symbol: 

K 

u 

y 

h(t) 

Simulink: 

0 

Ortskurve: 

t 

zu finden in der Bibliothek: 

Simulink\Math\Gain 

Eigenschaften: Verstärkung K als „Gain“ 

Beschreibung: 

• Proportionale Verstärkung des 

Eimgangssignals 

• Übertragungsglied besitzt kein 

„Gedächtnis“ 

• Elementares, lineares, zeitinvariantes 

Übertragungsglied 

Bode-Diagramm: 

mit K = 20 db 

log K 

A(ω) dB 

K 

G(jω) 

K dB 

ϕ(ω) 

0° 

ω 






Steckbrief: Das Integrierglied (I-Glied) 



y( 

t) 

= K 

t 

∫ 

τ = 0 

u( 

τ ) dτ 

h( t) 

= K ⋅ t ⋅σ 

( t) 


G ( s) 

= 

K 

s 

h(t) 

Steigung K 

Symbol: 

K 

u 

K 

y 

0 

Ortskurve: 

1 

t 

Simulink (für K=1): 

Zu finden in der Bibliothek: 

Simulink\Continuous\Integrator 

“Initial Condition“: ein zusätzlicher, 

additiver Anfangswert für t = 0 

Beschreibung: 

• Das Eingangssignal wird über die Zeit 

hinweg aufintegriert. 

• Das Ausgangssignal verändert sich nur 

dann nicht, falls das Eingangssignal 

Null ist. 



G(jω) 


A(ω) dB 

-20dB/Dek. 

0dB 

0° 

ϕ(ω) 

-90° 

K 

ω 






Steckbrief: Das Differenzierglied (D-Glied) 


y ( t) 

= K u& 

( t) 


G ( s) 

= K s 

Symbol: 

K 

u 

y 



h( t) 

= K ⋅δ 

( t) 

K 

h(t) 

0 

Ortskurve: 

t 


Simulink\Continuous\Derivative 

G(jω) 

Beschreibung: 

• Das Eingangssignal wird zeitlich 

differenziert. 

• Das D-Glied verstärkt Signale hoher 

Frequenz stark (siehe Bode-Diagramm), 

daher verstärkt es in unerwünschter 

Weise auch Rauschen am Eingang. 

Seine Realisierung ist daher 

problematisch. 




A(ω) dB 

0dB 

90° 

ϕ(ω) 

+20dB/Dek. 

0° 

K 

ω 






Steckbrief: Das Summierglied (S-Glied) 


y t) 

= ± u ( t) 

± u ( ) ±K 

( 

1 2 

t 


G s) 

= ± U ( s) 

± U ( ) ±K 

( 

1 2 

s 

Symbol: 

u 1 

( ) 

( ) 

u 2 

y 

Simulink: 


Simulink\Math\Sum 

Eigenschaften: unter „List of Sign“ können 

die Vorzeichen (+/–) definiert werden. 

Beschreibung: 

• Die Eingangssignale werden unter 

Berücksichtigung der Vorzeichen 

summiert. 








Steckbrief: Das Totzeitglied (T t -Glied) 


y t) 

= K u( 

t − T ) 

( 

t 


h t) 

= K ⋅σ 

( t − T ) 

( 

t 


G( 

s) 

= K e 

−s 

T t 

K 

K 

h (t) 

Symbol: 

u 

K 

y 

0 

T t 

t 

Ortskurve: 


K 


Simulink\Continuous\Transport Delay 

Eigenschaften: Totzeit als „Time Delay“, 

zusätzlich ist die Größe des 

Pufferspeichers vordefiniert, der die 

Funktionswerte während der Totzeit 

sichert. 

Beschreibung: 

• Das Totzeitglied gibt das 

Eingangssignal unverändert, aber um 

die Totzeit T t verzögert wieder aus. 



Bode-Diagramm für K=1: 

A(ω) dB 

0dB 

0° 

ϕ(ω) 

G(jω) 

-57° 

ω = 0 

-90° 

ω 0 

=1/T t 

ω 

Für den Phasenverlauf kann keine 

Asymptote angegeben werden, es müssen 

Stützstellen bestimmt werden: 

⎛ 180° 

⎞ 

ϕ( ω) 

= −Tt 

⋅ω 

⋅ ⎜ ⎟ 

⎝ π ⎠ 






Steckbrief: Das Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied) 


T y& 

( t) 

+ y( 

t) 

= K u( 

t) 


K 

G( 

s) 

= 1+ T s 

Symbol: 

K T 

u 

y 

0 


h( 

t) 

= K 

Simulink: 

Ortskurve: 

K 

−t 

/ T 

( 1− 

e ) ⋅σ ( t) 

h(t) 

0,95K 

0,63K 

T 2T 3T 

t 


Simulink\Continuous\Transfer Fcn 

Eigenschaften: [K] als „Numerator“ 

und [T 1] als „Denominator“ 

Beschreibung: 

G(jω) 

K 

• Das Ausgangssignal y folgt dem 

Eingang u verzögert. Je größer die 

Zeitkonstante T, desto langsamer ist das 

System. Nach dem Einschwingen gilt 

y = K ⋅ u . 


0dB 

-3dB 

A(ω) dB 

-20dB/Dek. 

• Lineares, zeitinvariantes Glied 

• Lässt sich aus elementaren Gliedern 

zusammensetzen: 

u 

K/T 

y 

ϕ(ω) 

0° 

-66°/Dek. 

-45° 

1/K 

ω 0 

=1/T 

-90° 

ω 






Steckbrief: Das Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT 2 -Glied) 


2 

T & y 

( t) 

+ 2dT 

y& 

( t) 

+ y( 

t) 

= K u( 

t) 


G ( s) 

= 

2 2 

T s 

Symbol: 

u 

K 

Simulink: 

K 

+ 2dT 

d 

T 

s + 1 


Simulink\Continuous\Transfer Fcn 

Eigenschaften: [K] als „Numerator“ 

und [T^2 2*d*T 1] als „Denominator“ 

Beschreibung: 

• Schwingungsfähiges 

Verzögerungsglied. Nach dem 

Einschwingen gilt y = K ⋅ u . 

• Lineares, zeitinvariantes Glied 

• Lässt sich aus elementaren Gliedern 

zusammensetzen: 

y 


a) ungedämpfter Fall (d = 0): 

h( t) 

= K(1 

− cosω 

0t) 

⋅σ 

( t) 

b) periodischer Fall ( 0 < d < 1): 

−δt 

δ 

h( t) 

= K[1 

− e (cosωt 

+ sinωt)] 

⋅σ 

( t) 

ω 

c) aperiodischer Grenzfall (d = 1): 

−ω0t 

h( t) 

= K[1 

− e (1 + ω 

0t)] 

⋅σ 

( t) 

d) aperiodischer Fall (d > 1): 

−δt 

δ 

h( t) 

= K[1 

− e (coshωt 

+ sinhωt] 

⋅σ 

( t) 

ω 

mit: ω = 1/ 0 

T , δ = dω 

0 

, 

2 

2 

ω = ω 

0 

1− 

d , ω = ω 

0 

d −1 

Ortskurve: 

G (jω ) 


0dB 

K 

A(ω 0 

) dB 

= -20 log 2d 

u 

1/T 

K/T 

y 

A(ω) dB 

-40dB/Dek. 

2d/K 

0° 

1/K 

ϕ(ω) 

-90° 

Tangente mit (-132°/d)/Dek. 

-180° 

ω 0 

=1/T 

ω 



2. Systembeschreibung im Zeitbereich Seite 15 


Dr.-Ing. Ch. Ament 

Lösung linearer Differenzialgleichungen (DGLen) mit konstanten Koeffizienten 

Gegeben ist die DGL in der Form 

( n) 

a 

n 

y ( t) 

+ K + a1 

y( 

t) 

+ a0 

y( 

t) 

= b0 

u( 

t) 

+ b1 

u( 

t) 

+ K + b 

m 

u 

( m) 

( t) 

mit 

an 

≠ 0 

und 

a , b ∈ IR 

i 

i 

1. Schritt: Lösung der homogenen DGL 

a 

( n) 

n 

y ( K 

1 

0 

t) 

+ + a y( 

t) 

+ a y( 

t) 

= 0 

Bestimme aus der zugehörigen charakteristischen Gleichung 

die Lösungen (Wurzeln) s , , . 

1 K 

s n 

Der allgemeine Lösungsansatz ist 

mit folgendem Ansatz für y k (t): 

n 

a 

n 

s + K + a a 

y ( t) 

= 

h 

n 

∑ 

k = 1 

1 

s + 

0 

= 

C 

k 

y ( t) 

Fall 1: die Wurzel s k ist von allen anderen Wurzeln verschieden: 

Fall 2: die Wurzel s k tritt ρ-fach auf: 

y 

y ( t) 

= e 

k 

skt 

i sk 

t 

i 

( t) 

= t 

−1 ⋅ e mit i=1, 2, ..., ρ 

Spezialfall 3: System mit der Ordnung n = 2 (mit s 

1 

= δ1 

+ jω1 

, s 

2 

= δ 

2 

+ jω2 

): 

mit 

δ1t 

a) reell, verschieden ( ω1 = 0, 

δ1 

≠ δ 

2 

): y t) 

= e , 

δ1t 

b) reell, gleich ( ω 

1 

= 0, 

δ1 

= δ 

2 

): y t) 

= e , 

1 ( 

1 ( 

k 

0 

t 

y ( δ 2 

2 

t) 

= e 

t 

y ( 

δ1 

2 

t) 

= t ⋅ e 

δ1t 

δ 2t 

c) konjugiert komplex ( ω 

1 

= ω2 

≠ 0 ): y1( t) 

= e ⋅ cosω1t 

, y2( t) 

= e ⋅sinω1t 

C 

1 

, 

C ∈ IR 

2 

2. Schritt: Bestimmung einer partikulären Lösung für die inhomogene DGL 

2 

Fall 1: Der Eingang u(t) ist ein Polynom in t: u ( t) 

= u + u t + u t + K+ 

u p 

t 

0 

1 

2 

p 

• Ansatz für die partikuläre Lösung: 

2 

y ( t) 

= q + q t + q t + K+ 

q 

p 

0 

1 

2 

p 

t 

p 

• In die inhomogene DGL einsetzen (ableiten!) 

• Koeffizienten q i bestimmen 






Fall 2: Der Eingang u(t) ist nicht in spezieller Form gegeben: „Variation der Konstanten“ 

• Ansatz für die partikuläre Lösung: y 

p 

( t) 

= ∑C 

n 

k = 1 

• In die inhomogene DGL einsetzen (ableiten!) 

• Funktionen C k (t) daraus bestimmen 

k 

( t) 

y ( t) 

k 

3. Schritt: Allgemeine Lösung der DGL 

Homogene und partikuläre Lösung werden superponiert: 

y( t) 

= y ( t) 

y ( t) 

h 

+ 

p 

4. Schritt: Lösung des Anfangswertproblems 

Die n Konstanten C k werden aus den n gegebenen Anfangsbedingungen 

y( 0) = y (0) + C y (0) = y 

p 

n 

∑ 

k = 0 

y& 

( 0) = y& 

(0) + C y& 

(0) = y& 

p 

n 

∑ 

k = 0 

k 

k 

k 

k 

0 

0 

bestimmt. 

& y 

( 0) = && y (0) + C && y (0) = & y 

p 

n 

∑ 

k = 0 

... 

k 

k 

0 






Rechenregeln für die δ - und σ -Funktion 

1. Addition 

aδ ( t) 

+ bδ 

( t) 

= ( a + b) 

δ ( t) 

mit a, b: Konstanten 

2. Multiplikation 

a) f ( t) 

δ ( t) 

= f (0) δ ( t) 

mit f (t) stetig in t = 0 

b) f t) 

δ ( t − t ) = f ( t ) δ ( t − ) 

( 

0 0 

t0 

mit 

(t) stetig in t = t 

f 

0 

c) 

d 

dt 

( f ( t) 

δ ( t) 

) 

= 

= 

f (0) & δ ( t) 

f& 

( t) 

δ ( t) 

+ 

f ( t) 

& δ ( t) 

3. Differentiation 

d 

σ ( t) 

= δ ( t) 

dt 

4. Integration 

t 

a) ∫δ 

( τ ) d τ = σ ( t) 

−∞ 

t2 

⎧ 1 für t1 

< t < t 

b) ∫δ 

( τ − t) 

dτ 

= ⎨ 

⎩0 

sonst 

t 

1 

2 

5. Faltung 

a) 

∞ 

∫ 

−∞ 

f ( τ ) δ ( t −τ 

) dτ 

f ( t) 

∗δ 

( t) 

= 

∞ 

∫ 

−∞ 

δ ( τ ) f ( t −τ 

) dτ 

= δ ( t) 

∗ f ( t) 

= 

= 

f ( t) 

f ( t) 

b) f ( t) 

∗σ 

( τ ) = σ ( t) 

∗ f ( t) 

= ∫ f ( τ ) dτ 

c) f t) 

∗δ ( t − t ) = f ( t − ) 

( 

0 

t0 

∞ 

0 

t2 

d) ∫ 

t1 

⎧ f ( t) 

für t1 

< t < t 

f ( τ ) δ ( t −τ 

) dτ 

= ⎨ 

⎩0 

sonst 

2 






Darstellung eines (nichtlinearen) dynamischen Systems im Zustandsraum 

Zustandsdifferentialgleichung: x &( t) 

= f ( x( 

t), 

u( 

t) 

) 

Ausgangsgleichung: y ( t) 

= g( x( 

t), 

u( 

t) 

) 

mit folgenden Größen: 

Zustandsvektor 

Eingangsvektor 

⎡ x1 

( t) 

⎤ 

⎢ ⎥ 

⎢ 

x2 

( t) 

x( 

t) 

= ⎥ 

⎢ M ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎣xn 

( t) 

⎦ 

mit n: Anzahl der Zustände 

⎡ u1(t) 

⎤ 

u( 

t) 

= 

⎢ ⎥ 

⎢ 

M 

⎥ 

mit m: Anzahl der Eingänge 

⎢⎣ 

u ( t) 

⎥ 

m ⎦ 

Ausgangsvektor 

⎡ y1(t) 

⎤ 

⎢ ⎥ 

y( 

t) 

= ⎢ M ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎣y 

p 

( t) 

⎦ 

mit p: Anzahl der Ausgänge 

Blockschaltbild: 

u 

f(x,u) 

x(0) 

1 x 

y 

g(x,u) 






Beispiel eines nichtlinearen dynamischen Systems in 

Zustandsraum-Darstellung 

Als sehr einfaches Modell eines ökologischen Systems soll eine Räuber-Beute-Beziehnung 

beschrieben werden. Mit x 1 (t) wird die Zahl der Hasen (Beutetiere) zum Zeitpunkt t 

bezeichnet, x 2 (t) entspricht der Zahl der Füchse (Räuber). 

x 1 (t) 

x 2 (t) 

Die Anzahl der Geburten pro Zeit der Hasen ist proportional zum Bestand (Geburtenrate a 1 ). 

Ebenso ist die Zahl der natürlichen Tode proportional zum Bestand (natürliche Todesrate b 1 ). 

Zusätzlich werden Hasen von den Füchsen getötet, diese Zahl ist proportional zum Produkt 

der Bestände von Hasen bzw. Füchsen (Todesrate durch Räuber c 1 ). Die Bilanzierung des 

Bestands der Hasen ergibt: 

x& 

1( t) 

= ( a1 

− b1 

) ⋅ x1 

( t) 

− c1 

⋅ x1 

( t) 

⋅ x2 

( t) 

Die Zahl der Geburten pro Zeit der Füchse ist nahrungsabhängig: Diese Zahl ist proportional 

zum Produkt der bestände von Hasen bzw. Füchsen (nahrungsabhängige Geburtenrate a 2 ). 

Wie bei den Hasen ist auch die Zahl der natürlichen proportional zum Bestand (natürliche 

Todesrate b 2 ). Die Bilanzierung des Bestands der Füchse ergibt: 

x& 

2 

( t) 

= a2 

⋅ x1( 

t) 

⋅ x2 

( t) 

− b2 

⋅ x2 

( t) 

Beide Gleichungen, die auch als Lotka-Volterra-Gleichungen bekannt sind, bilden gemeinsam 

die Zustands-Differenzialgleichung des Systems. Das System ist nichtlinear aufgrund der 

multiplikativen Terme x t) 

⋅ x ( ) . 

1( 2 

t 

Für eine numerische Simulation (z. B. mit Simulink) eignen sich folgende Werte: 

Hasen 

Füchse 

a 1 = 0.05 a 2 = 0.0001 

b 1 = 0.02 b 2 = 0.01 

c 1 = 0.0005 

Mit den Anfangsbedingungen x 1 (0)=100 Hasen und x 2 (0)= 20, 60, 100 Füchse. 






Numerische Simulation eines (nichtlinearen) dynamischen Systems in 

Zustandsraum-Darstellung 

und den Anfangswert x ( 0) = x 

0 

definiert. 

( x( 

t), 

u( 

)) 

x &( t) 

= f t 

Von diesem Anfangswert ausgehend soll ein numerisches Verfahren den Zustandspunkt für 

nachfolgende diskrete Zeitpunkte t 1 , t 2 , t 3 , ... näherungsweise bestimmen. 

Mit Hilfe eines Einschrittverfahrens kann eine Näherung ~ x ( t i 

) des Zustandspunktes rekursiv 

bestimmt werden: 

~ x ( t ~ x t h ( ~ 

i 1) 

= ( 

i 

) + ⋅Φ 

x ( ti 

), u( 

ti 

), h) 

+ 

mit Zeitschrittweite h zwischen den Zeitpunkten t i+1 und t i sowie der Verfahrensfunktion Φ. 

Je nach der Ordnung p des gewählten Verfahrens bestimmt sich die Verfahrensfunktion in 

folgender Weise: 

p=1: Verfahren von Euler 

Φ 

( x , u, 

h) = f ( x, 

u) 

p=2: Verfahren von Heun: 

Φ 

1 

( x, u, 

h) = [ f ( x, 

u) 

+ f ( x + h ⋅ f ( x, 

u), 

u) 

] 

p=4: Verfahren von Runge-Kutta: 

mit 

Φ 

2 

1 

6 

2 

6 

2 

6 

1 

6 

( x, u, 

h) = ⋅ k 

1 

+ ⋅ k 

2 

+ ⋅ k 

3 

+ ⋅ k 

4 

k 

1 

= f ( x, 

u) 

1 

k 

2 

= f ( x + ⋅ h ⋅ k 

1, 

u) 

2 

1 

k 

3 

= f ( x + ⋅ h ⋅ k 

2 

, u) 

2 

k 

4 

= f ( x + h ⋅ k 3, u) 

Ein im Allgemeinen nichtlineares dynamisches System ist durch die Zustandsdifferenzialgleichung 






Darstellung eines linearen dynamischen Systems im Zustandsraum 

Zustandsdifferentialgleichung: x &( t) 

= A x( 

t) 

+ B u( 

t) 

Ausgangsgleichung: y ( t) 

= C x( 

t) 

+ D u( 

t) 

mit folgenden Größen: 

Zustandsvektor 

Eingangsvektor 

⎡ x1 

( t) 

⎤ 

⎢ ⎥ 

⎢ 

x2 

( t) 

x( 

t) 

= ⎥ 

⎢ M ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎣xn 

( t) 

⎦ 

mit n: Anzahl der Zustände 

⎡ u1(t) 

⎤ 

u( 

t) 

= 

⎢ ⎥ 

⎢ 

M 

⎥ 

mit m: Anzahl der Eingänge 

⎢⎣ 

u ( t) 

⎥ 

m ⎦ 

Ausgangsvektor 

⎡ y1(t) 

⎤ 

⎢ ⎥ 

y( 

t) 

= ⎢ M ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎣y 

p 

( t) 

⎦ 

mit p: Anzahl der Ausgänge 

Systemmatrix 

⎡a11 

⎢ 

⎢ 

a21 

A = 

⎢ M 

⎢ 

⎣an1 

a 

a 

a 

12 

22 

M 

n2 

L 

L 

O 

L 

a1 

n ⎤ 

a 

⎥ 

2n 

⎥ , Eingangsmatrix 

M ⎥ 

⎥ 

ann 

⎦ 

⎡b11 

⎢ 

⎢ 

b21 

B = 

⎢ M 

⎢ 

⎣bn1 

L 

L 

O 

L 

b 

b 

b 

1m 

2m 

M 

nm 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

Ausgangsmatrix 

⎡c 

⎢ 

C = ⎢ M 

⎢ 

⎣c 

p 

11 

1 

c 

c 

12 

M 

p2 

L 

O 

L 

c1 

n 

⎤ 

⎥ 

M ⎥ , Durchgangsmatrix 

c ⎥ 

pn ⎦ 

⎡d 

⎢ 

D = ⎢ M 

⎢ 

⎣d 

p 

11 

1 

L 

O 

L 

d 

d 

1m 

M 

pm 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

Blockschaltbild: 

u 

D 

B 

x(0) 

1 x 

y 

C 

A 



3. Systembeschreibung im Bildbereich Seite 22 



Rechenregeln der Laplace-Transformation 

Bezeichnung 

1. Linearität 

(Superposition) 

Originalfunktion 

f(t) für t ≥ 0 

c 

1 

f1( t) 

± c2 

f 

2 

( t) 

±K 

mit Konstanten c , c , 1 2 

K 

Bildfunktion 

F(s) 

c 

1 

F1 

( 

2 2 

s 

s) 

± c F ( ) 

± K 

2. Ähnlichkeit f (at) 

mit a > 0 

3. Verschiebung im 

Zeitbereich 

4. Verschiebung im 

Bildbereich 

5. Differentiation im 

Zeitbereich 

f ( t − a) 

σ ( t − a) 

mit a > 0 

e 

−a t f (t) 

mit a beliebig, komplex 

1 

a 

e 

⎛ 

F⎜ 

⎝ 

−a s 

s 

a 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

F(s) 

F ( s + a) 

df ( t) 

s F( s) 

− f (0) 

dt 

( ) 

dt 

d 2 

f t 

2 

s F( 

s) 

− s f (0) − f (0 ) 

2 

k 

d f ( t) 

dt 

k 

s 

k 

− s f 

F( 

s) 

− s 

( k −2) 

k −1 

(0) − f 

& 

f (0) −K 

( k −1) 

(0) 

6. Differentiation im 

Bildbereich 

7. Integration im 

Zeitbereich 

8. Integration im 

Bildbereich 

− t ⋅ 

f (t) 

( − 1) 

k ⋅t k ⋅ f ( t) 

t 

∫ 

0 

dF ( s) 

ds 

k 

d F( 

s) 

1 

f ( τ ) dτ 

F( 

s) 

s ⋅ 

f ( t) 

t 

∞ 

∫ 

s 

ds 

k 

F( 

ω) dω 

9. Faltung im 

Zeitbereich f 

1 

( t) 

∗ f 

2 

( t) 

= ∫ f1( 

t −τ 

) f 

2 

( τ ) dτ 

F1 ( s) 

⋅ F2 

( s) 

10. Faltung im 

Bildbereich 

f1( t) 

⋅ f 

2 

( t) 

1 

2πj 

c+ 

j∞ 

∫ 

F ( s −ω) 

F 

1 

c− 

j∞ 

2 

( ω) 

dω 

11. Anfangswert lim f ( t) 

= lim s ⋅ F( 

s) 

t→0 

t→∞ 






Bezeichnung 

Originalfunktion 

f(t) für t ≥ 0 

12. Endwert lim f ( t) 

= lim s ⋅ F( 

s) 

13. Parsevalsche 

Gleichung 

t→∞ 

∞ 

∫ 

0 

f 

2 

t→0 

∞ 

1 

2 

( t) 

= ∫ F( 

jω) 

dω 

2π 

−∞ 

Bildfunktion 

F(s) 

Korrespondenzen der Laplace-Transformation 







Universität Freiburg 

aus: Unbehauen, Regelungstechnik I

3. Systembeschreibung im Bildbereich Seite 24a 



Laplace-Rücktransformation 

Gegeben ist die folgende Funktion im Bildbereich: 

Vorgehensweise zur Rücktransformation: 

• Totzeit T t zunächst unberücksichtigt lassen. 

• Falls Grad Z(s) ≥ Grad N(s) : 

Polynomdivision mit dem Rest R(s) führt auf: 

Rücktransformation von 

G( 

s) 

= 

Z s) 

= Z 

N( 

s) 

( * 

* −1 

Z ( s) 

mittels Korr.1: L {} 1 = δ ( t) 

Z( 

s) 

−Tt 

s 

⋅ e 

N( 

s) 

R( 

s) 

( s) 

+ 

N( 

s) 

• Faktorisierung des Nenners N(s) (ggf. mit Hilfe der Polynomdivision) 

• Ansatz zur Partialbruchzerlegung: 

a) einfacher Pol: 

b) ρ-facher Pol: 

c) konjugiert komplexer Pol: 

s 

c 

+ 

a 

c1 

+ 

s + a 

s 

c s + c 

1 

2 

c 

+ α s + β 

2 

+ K+ 

2 

( s + a) ( s + a) ρ 

• Bestimmung der unbekannten Koeffizienten c i der Partialbruchzerlegung: 

o entweder: Koeffizientenvergleich für s 0 , s 1 , s 2 , … 

o oder: spezielle Werte für s einsetzen (insbesondere die Pole) 

• Rücktransformation: 

a) nach Korr.6: 

b) nach Korr.7: 

L 

−1 

⎧ 

⎨ 

⎩s 

1 

+ 

2 

⎧ 

−1 n! 

L ⎨ 

⎩ 

⎫ 

⎬ = e 

a ⎭ 

( s + a) 

n+ 

1 

−at 

⎫ 

⎬ = t 

⎭ 

n⋅ 

e 

−at 

c 

ρ 

für t ≥ 0 

für t ≥ 0 

c) Quadratische Ergänzung des Nenners und dann 

−1 

⎧ ω ⎫ 

0 

−at 

nach Korr.13: L ⎨ 

e sin( ω0t) 

2 2 ⎬ = ⋅ für t ≥ 0 

⎩( 

s + a) 

+ ω0 

⎭ 

−1 

⎧ s + a ⎫ 

−at 

sowie nach Korr.14: L ⎨ 

= e ⋅ cos( ω0t) 

2 2 ⎬ 

für t ≥ 0 

⎩( 

s + a) 

+ ω0 

⎭ 

• Einzeltransformationen zu g(t) superponieren. 

• Ggf. Berücksichtigung der Totzeit nach Verschiebungsregel (3): 

−1 

Tts 

L 

⎧ − 

e G( 

s) 

⎫ 

⎨ ⋅ ⎬ = g( 

t − Tt 

) ⋅σ 

( t − Tt 

) 

⎩ ⎭ 






Anfang und Ende der Ortskurve für rationale Frequenzgänge 

Gegeben ist der Frequenzgang eines dynamischen Systems 

b 

G( 

jω) 

= 

a 

0 

0 

+ b ( jω) 

+ K + b 

1 

( jω) 

n 

+ a ( jω) 

+ K + a ( jω) 

1 

mit m < n (reales System) und b 0 

≠ 0 . 

m 

n 

m 

− 

⋅ e 

jωT 

t 

Anfang der Ortskurve 

• Falls a 0 

≠ 0 : 

Die Ortskurve beginnt auf der reellen Achse beim Wert 

b 

0 

K = . 

• Falls a a = K = 0 : Das System ist ρ-fach integrierend. 

0 

= 

1 

a ρ −1 

= 

π 

Die Ortskurve beginnt im Unendlichen mit dem Phasenwinkel − ρ ⋅ . 

2 

a 

0 

Ende der Ortskurve 

• Falls = 0 : System ohne Totzeit 

T t 

Die Ortskurve läuft im Winkel 

• Falls > 0 : 

T t 

π 

− ( n − m) 

⋅ in den Ursprung. 

2 

Das Totzeitglied führt zu einer mit der Frequenz ω linear wachsenden negativen 

Phasendrehung. 

Daher kann kein Eintrittswinkel berechnet werden und die Ortskurve läuft 

spiralförmig in den Ursprung ein. 

Verlauf der Ortskurve 

• Bei reinen Verzögerungsgliedern ( m = 0 ) ist der Amplituden- und Phasenverlauf 

monoton fallend. 

Das bedeutet für die Ortskurve, dass sie im Uhrzeigersinn um den Ursprung läuft und 

mit wachsender Frequenz ω immer näher an den Ursprung herankommt. 






A(ω) dB 

+20 

0 

–20 

–40 

–60 

φ (ω) 

2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 

0,01 0,1 1 10 100 

2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 

0,01 0,1 1 10 100 






Ehemalige Prüfungsaufgabe zur Konstruktion des Bode-Diagramms 

Gegeben ist folgendes System: 

u 

G 1 

(s) 

G 2 

(s) 

y 

mit 

G ( jω) 

= 1 2 jω 

und 

1 

+ 

G 

2 

( 

10 

jω) 

= 

(1 + 10 jω)(1 

+ 0,2 jω) 

Zeichnen Sie die asymptotischen Amplituden- und Phasenverläufe im umseitigen Bode- 

Diagramm. 






A(ω) dB 

+20 

0 

–20 

–40 

–60 

2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 

0,01 0,1 1 10 100 

φ (ω) 

2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 

0,01 0,1 1 10 100 






A(ω) dB 

+20 

0 

–20 

–40 

–60 

2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 

0,01 0,1 1 10 100 

φ (ω) 

2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 

0,01 0,1 1 10 100 



4. Analyse von Systemeigenschaften Seite 30 

Vorlesung Systemtheorie Prof. Dr.-Ing. Ch. Ament 

Stabilität: Definition und Bedingungen 

Stabilitätsdefinition 

Stabilitätsbedingung 

im Zeitbereich 

(Gewichtsfunktion) 

im Zeitbereich 

(Zustandsraumdarstellung) 

im Bildbereich (für rationale 

Übertragungsglieder) 

(asymptotisch) 

stabil 

Der Ausgang des nicht angeregten 

Systems klingt nach einer 

beliebigen Anfangsauslenkung 

asymptotisch auf Null ab: 

lim y( 

t) 

= 0 

t→∞ 

Die Gewichtsfunktion 

klingt asymptotisch auf 

Null ab: 

lim g( 

t) 

= 0 

t→∞ 

Falls alle Eigenwerte der 

Systemmatrix A in der linken 

komplexen Ebene liegen. 

Falls alle Pole der 

Übertragungsfunktion G(s) 

in der linken komplexen 

Ebene liegen. 

grenzstabil 


Systems bleibt nach einer 

beliebigen Anfangsauslenkung für 

wachsende Zeiten t in endlichen 

Grenzen: 

lim y( 

t) 

t→∞ 

≤ C < ∞ 


bleibt für wachsende 

Zeiten t in endlichen 

Grenzen: 

lim g( 

t) 

t→∞ 

≤ C < ∞ 

Falls alle Eigenwerte der 

Systemmatrix A in der linken 

komplexen Ebene oder auf 

der imaginären Achse liegen, 

wobei die Eigenwerte auf der 

imaginären Achse alle 

einfach sind. 

Falls alle Pole der Übertragungsfunktion 

G(s) in der 

linken komplexen Ebene 

oder auf der imaginären 

Achse liegen, wobei die Pole 

auf der imaginären Achse 

alle einfach sind. 

instabil 


Systems strebt nach einer 

beliebigen Anfangsauslenkung 

mit wachsender Zeit t gegen 

Unendlich: 

lim y( 

t) 

→ ∞ 

t→∞ 


strebt mit wachsender 

Zeit t gegen Unendlich: 

lim g( 

t) 

→ ∞ 

t→∞ 

Falls mindestens ein 

Eigenwert der Systemmatrix 

A in der rechten komplexen 

Ebene liegt oder ein 

mehrfacher Eigenwert auf 

der imaginären Achse 

vorhanden ist. 

Falls mindestens ein Pol der 

Übertragungsfunktion G(s) 

in der rechten komplexen 

Ebene liegt oder ein 

mehrfacher Pol auf der 

imaginären Achse vorhanden 

ist. 






Stabilitätskriterium nach Hurwitz 

(nach A. Hurwitz, 1895) 

Für das System mit der rationalen Übertragungsfunktion (ohne Totzeit) 

b 

G( 

s) 

= 

a 

0 

0 

+ b s + K+ 

b 

1 

m 

+ a s + K+ 

a 

soll geprüft werden, ob es (asymptotisch) stabil ist. 

Haben Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion keine gemeinsamen Nullstellen, kann die 

Stabilitätsuntersuchung auf Basis der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms 

p ( s) 

= a + a s + K + 

0 

1 

1 

n 

s 

s 

m 

n 

n 

a n 

s 

durchgeführt werden. Zur Eindeutigkeit wird a 0 

> 0 vorausgesetzt (gegebenenfalls mit „–1“ 

multiplizieren!). 

Notwendige Bedingung: 

Ist das System (asymptotisch) stabil, so müssen alle Koeffizienten a i des charakteristischen 

Polynoms vorhanden und positiv sein: 

a > 0 für i = 1,..., 

n 

i 

Sobald dies für ein a i nicht erfüllt ist, kann das System also auch nicht stabil sein! 

Hinreichende Bedingungen: 

Das System ist genau dann (asymptotisch) stabil, wenn zusätzlich zur notwendigen 

Bedingung die nachfolgend aufgeführten hinreichenden Bedingungen erfüllt sind: 

n = 

Hinreichende Bedingungen 

2 – keine weiteren Bedingungen – 

3 a a − a a 0 

1 2 0 3 

> 

2 

4 a ( a a − a a ) − a a 0 

1 2 3 1 4 0 3 

> 

5 a a − a a 0 und 

3 4 2 5 

> 

( a − a a )( a a − a a ) − ( a a − a a 0 

1 2 0 3 3 4 2 5 1 4 0 5 

> 

a ) 2 Albert-Ludwigs- 





Eine allgemeine Formulierung der hinreichenden Bedingungen für Systeme beliebiger 

Ordnung n liefert das folgende Hurwitz-Schema. 

(Für Systeme der Ordnung n ≤ 5 sind die Bedingungen äquivalent zu den vorstehenden.) 

Aus den Koeffizienten der charakteristischen Gleichung wird die folgende Determinante mit n 

Zeilen und n Spalten gebildet: 

H n 

= 

a 

a 

M 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

a 

a 

a 

a 

M 

3 

2 

1 

0 

0 

0 

a 

a 

a 

a 

a 

a 

M 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

a 

a 

a 

a 

a 

a 

M 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

K 

K 

K 

K 

K 

K 

O 

Man bildet daraus zusätzlich alle „linken oberen“ Unterdeterminanten, also: 

H 

1 

= a 1 

, 

a 

a 

1 3 

H 

2 

= , 

a0 

a2 

3 

a 

1 

0 

a 

3 

H = a a a , usw. 

2 

0 a a 

1 

a 

5 

4 

3 

Das System (mit 

positiv sind: 

a 0 

> 0 ) ist genau dann (asymptotisch) stabil, wenn alle Determinanten 

H > 0 , H > 0 , 0 , ... , 

1 2 

H > 0 

3 

> 

H n 






Stabilitätskriterium nach Nyquist 

Mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums wird das Stabilitätsverhalten von rückgekoppelten 

Systemen untersucht, die folgende Form haben: 

u 

G 0 

(s) 

y 

Die Übertragungsfunktion des offenen Kreises ist G 0 (s), sie kann auch eine Totzeit 

beinhalten. 

Die Stabilitätsaussage wird für den geschlossenen Kreis (rückgekoppeltes System) getroffen! 

Nyquistkriterium in Ortskurvendarstellung 

Ist die Übertragungsfunktion des offenen Kreises G 0 (s) stabil und besitzt die Ortskurve keine 

„zu komplizierte“ Gestalt, dann ist der geschlossene Kreis genau dann stabil, wenn die 

Ortskurve den kritischen Punkt –1 links liegen lässt. 

Beispiele (aus Unbehauen, Regelungstechnik I): 

stabil 

stabil 

instabil 

instabil 

stabil 

instabil 

stabil 

instabil 






Nyquistkriterium im Bode-Diagramm 

Folgende Zusammenhänge bilden die Ortskurve in das Bode-Diagramm ab: 

• Der Einheitskreis in der Ortskurve (A(ω) = 1) entspricht der 0dB-Linie im 

Amplitudenverlauf des Bode-Diagramms. 

• Die negative reelle Achse in der Ortskurve (ϕ(ω) = –180°) entspricht der –180°-Linie 

im Phasenverlauf des Bode-Diagramms. 

• Der kritische Punkt –1 in der Ortskurvendarstellung entspricht also einer der 

Amplitude A dB = 0 dB und der Phase ϕ = –180° im Bode-Diagramm. 

Im einfachen (und durchaus häufigen) Fall, dass die Ortskurve den Einheitskreis nur einmal 

schneidet, lässt sich das Nyquistkriterium leicht auf die Darstellung im Bode-Diagramm 

anwenden: 

Die Frequenz, bei der die Ortskurve den Einheitskreis schneidet wird als Durchtrittsfrequenz 

ω D bezeichnet. Dies entspricht dem Schnitt des Amplitudenverlaufs mit der 0dB-Linie im 

Bode-Diagramm. Das System ist genau dann stabil, wenn die Phase in diesem Punkt gilt: 

ϕ(ω D ) > –180° 

Im stabilen Fall wird im Punkt der Durchtrittsfrequenz die Phasendifferenz zu –180° als 

Phasenreserve ϕ R bezeichnet: 

ϕ R = ϕ(ω D ) – (–180°) 

Stabiler Fall 

Instabiler Fall 

Einheitskreis 

Einheitskreis 

-1 

ϕ R 

ω = ω D 

ϕ(ω D 

) 

G(jω) 

ω = ω D 

-1 

ϕ(ω D 

) 

G(jω) 

0dB 

0dB 

0° 

0° 

ϕ(ω) 

-180° 

ϕ(ω D 

) 

ϕ R 

ϕ(ω) 

-180° 

ϕ(ω D 

) 

ω D 

ω 

ω D 

ω 






Steuerbarkeit 

Definition 

Das System in der Zustandsraumdarstellung 

x &( t) 

= A x( 

t) 

+ B u( 

t) 

, y ( t) 

= C x( 

t) 

+ D u( 

t) 

heißt steuerbar, wenn sein Zustandspunkt x(t) durch geeignete Wahl des Eingangsvektors u(t) 

in endlicher Zeit aus einem beliebigen Anfangszustand x 0 in den Endzustand 0 bewegt werden 

kann. 

Anschauliche Interpretation 

Ein steuerbares System ist so strukturiert, dass man durch die Eingangsgrößen u(t) auf alle 

inneren Zustandsgrößen x(t) des Systems einwirken kann. 

Sind im umgekehrten Fall Teile des Systems nicht durch Eingangsgrößen beeinflussbar, dann 

sind diese Systemteile nicht steuerbar. Diese können dann auch nicht von außen dynamisch 

beeinflusst werden. 

Daher ist die Steuerbarkeit eines Systems die Voraussetzung, um einen Zustandsregler 

erfolgreich entwerfen zu können. 

Kriterium (nach Kalman) 

Die Steuerbarkeit eines Systems wird durch die Matrizen A, B bestimmt. 

Es wird die Steuerbarkeitsmatrix Q S (mit n Zeilen und 

Q 

S 

n ⋅ m 

= [ B, 

A B, 

A B, 

K , A 

2 

n−1 

Spalten) berechnet: 

Das System ist genau dann steuerbar, wenn Q S den Höchstrang n hat, also n linear 

unabhängige Spaltenvektoren besitzt. 

B] 






Beobachtbarkeit 

Definition 

Das System in der Zustandsraumdarstellung 

x &( t) 

= A x( 

t) 

+ B u( 

t) 

, y ( t) 

= C x( 

t) 

+ D u( 

t) 

heißt beobachtbar, wenn man bei bekanntem u(t) aus der Messung von y(t) über eine endliche 

Zeitspanne den Anfangszustand x 0 eindeutig ermitteln kann, ganz gleich, wo dieser liegt. 

Anschauliche Interpretation 

Ein beobachtbares System ist so strukturiert, dass man durch die Beobachtung der 

Ausgangsgrößen y(t) (bei bekannten Eingangsgrößen u(t)) auf alle inneren Zustandsgrößen 

x(t) des Systems schließen kann. 

Haben Teile des Systems keinerlei Wirkung auf die Ausgangsgrößen, dann sind diese 

Systemteile nicht beobachtbar. Damit können die Zustände dieser Systemteile nicht von 

Diese können dann auch nicht von außen dynamisch beeinflusst werden. 

Daher ist die Beobachtbarkeit eines Systems die Voraussetzung, um einen 

Zustandsbeobachter erfolgreich entwerfen zu können. 

Kriterium (nach Kalman) 

Die Steuerbarkeit eines Systems wird durch die Matrizen A, C bestimmt. 

Es wird die Beobachtbarkeitsmatrix Q B (mit 

Q 

B 

n ⋅ p 

⎡ C ⎤ 

⎢ ⎥ 

⎢ 

C A 

⎥ 

2 

= ⎢ C A ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢ M ⎥ 

n−1 

⎢ 

⎣C 

A ⎥ 

⎦ 

Zeilen und n Spalten) berechnet: 

Das System ist genau dann beobachtbar, wenn Q B den Höchstrang n hat, also n linear 

unabhängige Zeilenvektoren besitzt. 



5. Regelung Seite 37 



Beispiele zur Struktur von Regelkreisen 

Spülkasten 

Das Füllvolumen eines Spülkastens soll auf einen konstanten Wert über ein Zulaufventil 

geregelt werden. Ein Schwimmer stellt dazu über das Ventil den Wasserzulauf proportional 

zur Füllhöhe des Spülkastens ein. Das Ventil schließt dabei mit steigender Schwimmerhöhe. 

a) Zeichnen Sie das Blockschaltbild dieser Füllmengenregelung. Verwenden Sie dazu die 

Begriffe „Sollhöhengeber“, „Ventil“, „Schwimmer“, „Leitungsdruck“ und „Kasten“. 

b) Bezeichnen Sie die Blöcke mit den passenden regelungstechnischen Begriffen. 

c) Bezeichnen Sie die Signale mit den passenden regelungstechnischen Begriffen und 

ihren physikalischen Größen (z.B. Volumen, Druck, Durchfluss, Weg, usw.). 

Wohnraumheizung 

Das Wirkschaltbild einer Wohnraumheizung ist im Folgenden dargestellt. 

Wand 

Fenster 

Bimetallfeder 

kalt 

warm 

Handrad 

Ventil 

auf 

zu 

Heizung 

Der Heizungsthermostat regelt linear den Warmwasser-Zufluss in den Heizkörper in einem 

Zimmer mit realen Eigenschaften. Durch die temperaturproportionale Ausdehnung einer 

Bimetallfeder und durch ein Handrad wird über eine Wippe die Ventilstellung beeinflusst. 

a) Zeichnen Sie das Blockschaltbild dieser Wohnraumheizung. Verwenden Sie dazu die 

Begriffe „Handrad des Thermostaten“, „Bimetallfeder“, „Wippe“, „Ventil und 

Heizkörper“, „Wohnraum“ und „Fenster“. 

b) Bezeichnen Sie die Blöcke mit den passenden regelungstechnischen Begriffen. 

c) Bezeichnen Sie die Signale mit den passenden regelungstechnischen Begriffen und 

ihren physikalischen Größen (z.B. Strom, Druck, usw.). 






Struktur eines Regelkreises 

Soll-Istwert-Vergleich 

Störung z 

Führungsgröße 

w 

Messeinrichtung 

Regeldifferenz 

e 

Regler 

Stellgröße 

u 

erweiterte Strecke 

Strecke 

Stelleinrichtung 

Regelgröße 

y 

G R 

(s) 

G s 

(s) 

G 0 

(s) 

Forderungen an den Regelkreis 

Grundforderungen: 

(I) Der Regelkreis muss stabil sein. 

(II) Der Regelkreis muss genügende stationäre Genauigkeit besitzen. 

Erweiterte Forderungen: 

(III) Der Regelkreis muss genügend gedämpft sein. (kein zu starkes Oszillieren) 

(IV) Der Regelkreis muss hinreichend schnell sein. (gute Dynamik) 

Sowohl die Erfüllung der Grundforderungen (I) und (II) als auch die Erfüllung der erweiterten 

Forderungen (III) und (IV) stellen jeweils meist einen Zielkonflikt dar. 

Durch die Wahl einer geeigneten Korrektureinrichtung (Regler G R (s)) muss ein Kompromiss 

gefunden werden. 






Vorgehen beim Reglerentwurf 

Ist die zu regelnde Strecke G S 

(s) 

stabil 

ja 

nein 

alternativer Regerentwurf! 

z.B. durch Eigenwertvorgabe 

im Zustandsraum 

Besitzt die zu regelnde Strecke G S 

(s) 

einen I-Anteil 

ja 

kein I-Anteil im Regler G R 

(s) 

notwendig, z.B. P-, PD-Regler 

nein 

I-Anteil durch Regler G R 

(s) 

ergänzen, z.B. PI-, PID-Regler 

Hohe dynamische Anforderungen an 

das geregelte System 

nein 

kein D-Anteil notwendig, 

z.B. P-, PI-Regler 

ja 

D-Anteil im Regler G R 

(s) 

sinnvoll, z.B. PD-, PID-Regler 

Zeitkonstanten des Reglers so wählen, 

dass Durchtrittsfrequenz ω D 

möglichst hoch liegt, 

z.B. durch Kompensation der größten Streckenzeitkonstanten 

Reglerverstärkung so einstellen, dass die gewünschte 

Phasenreserve ϕ R 

=30°...70° eingehalten wird 






A(ω) dB 

+20 

0 

–20 

–40 

–60 

2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 

0,01 0,1 1 10 100 

φ (ω) 

2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 

0,01 0,1 1 10 100 






Darstellung des geschlossenen Regelkreises mit linearer 

Zustandsrückführung: 

Zustandsdifferentialgleichung der Strecke: x &( t) 

= A x( 

t) 

+ B u( 

t) 

Ausgangsgleichung der Strecke: y ( t) 

= C x( 

t) 

+ D u( 

t) 

lineare Zustandsrückführung und Vorfilter: u ( t) 

= −K 

x( 

t) 

+ S w( 

t) 

Durch Einsetzen für u(t) 

erhält man die Gleichungen des geregelten Systems: 

Zustandsdifferentialgleichung des geregelten Systems: x &( t) 

= ( A − BK) 

x( 

t) 

+ BS w( 

t) 

Ausgangsgleichung des geregelten Systems: y ( t) 

= ( C − DK) 

x( 

t) 

+ DS w( 

t) 

Blockschaltbild des geschlossenen Regelkreises in Zustandsraumdarstellung: 

D 

w 

S 

u 

B 

1 

x(0) 

x 

C 

y 

A 

K 



6. Beobachtung nicht direkt messbarer Systemzustände Seite 42 



Darstellung des geschlossenen Regelkreises mit linearer Zustandsrückführung 

und Beobachter: 

Zustandsdifferentialgleichung der Strecke: x &( t) 

= A x( 

t) 

+ B u( 

t) 

Ausgangsgleichung der Strecke für (D = 0): y ( t) 

= C x( 

t) 

lineare Zustandsrückführung und Vorfilter: u ( t) 

= −K 

xˆ( 

t) 

+ S w( 

t) 

Zustandsdifferentialgleichung des Beobachters: xˆ 

&( 

t) 

= A xˆ( 

t) 

+ B u( 

t) 

+ H ( y − C xˆ 

) 

mit dem Anfangswert: x ˆ( 

t) 

= 0 

Darstellung im Blockschaltbild 

w 

S 

Vorfilter 

u 

B 

x(0) 

1 

x 

y 

C 

A 

Strecke 

B 

1 

H 

x^ 

C 

^y 

A 

Regler 

K 

Beobachter 



6. Beobachtung nicht direkt messbarer Systemzustände Seite 43 



Dualität von Regler- und Beobachterentwurf 

Regler 

Beobachter 

Dualität 

In den Gleichungen kann formal ausgetauscht werden: 

A ↔ A 

B ↔ C 

T 

T 

K ↔ H 

T 

Voraussetzung Das System muss steuerbar sein. Das System muss beobachtbar sein. 

Entwurf 

Bestimmung der 

Zustandsrückführung K: 

det( s I − A + B K) 

= 

( s − s ) ⋅ ( s − s 

1 

2 

! 

) L( 

s − 

s n 

) 

Bestimmung der 

Beobachtermatrix H: 

det( s I − A + H C) 

= 

( s − s 

b1 

) ⋅ ( s − s 

b2 

! 

) L( 

s − s 

bn 

) 

Entwurf mit 

Matlab 

Vorfilter 

Entwurfsparameter sind die 

Eigenwerte s 1 ,...,s n 

• s i in der linken komplexen 

Ebene (Stabilität) 

• s i nach links schieben: 

System schneller 

• s i zu weit links: 

Stellgrößen werden größer 

und sind nicht mehr 

realisierbar 

K=place(A,B,[s1 s2 ...]) 

oder 

K=acker(A,B,[s1 s2 ...]) 

Bestimmung der Vorfiltermatrix: 

[ C( A − B K ) ] −1 −1 

S = − 

B 

Entwurfsparameter sind die 

Eigenwerte s b1 ,...,s bn 

• s bi in der linken komplexen 

Ebene (Stabilität) 

• s bi links der Eigenwerte des 

geregelten Systems, damit der 

Beobachter schneller ist als die 

Regelung 

• s bi nicht zu weit links, sonst 

reagiert Beobachter „nervös“ 

auf Störungen 

H=(place(A’,C’,[sb1 sb2 ...]))’ 

oder 

H=(acker(A’,C’,[sb1 sb2 ...]))’

Skript aus der Mikrosystemtechnik

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