Skript aus der Mikrosystemtechnik

4. Analyse von Systemeigenschaften Seite 31
Vorlesung Systemtheorie
Prof. Dr.-Ing. Ch. Ament
Stabilitätskriterium nach Hurwitz
(nach A. Hurwitz, 1895)
Für das System mit der rationalen Übertragungsfunktion (ohne Totzeit)
b
G(
s)
=
a
0
0
+ b s + K+
b
1
m
+ a s + K+
a
soll geprüft werden, ob es (asymptotisch) stabil ist.
Haben Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion keine gemeinsamen Nullstellen, kann die
Stabilitätsuntersuchung auf Basis der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms
p ( s)
= a + a s + K +
0
1
1
n
s
s
m
n
n
a n
s
durchgeführt werden. Zur Eindeutigkeit wird a 0
> 0 vorausgesetzt (gegebenenfalls mit „–1“
multiplizieren!).
Notwendige Bedingung:
Ist das System (asymptotisch) stabil, so müssen alle Koeffizienten a i des charakteristischen
Polynoms vorhanden und positiv sein:
a > 0 für i = 1,...,
n
i
Sobald dies für ein a i nicht erfüllt ist, kann das System also auch nicht stabil sein!
Hinreichende Bedingungen:
Das System ist genau dann (asymptotisch) stabil, wenn zusätzlich zur notwendigen
Bedingung die nachfolgend aufgeführten hinreichenden Bedingungen erfüllt sind:
n =
Hinreichende Bedingungen
2 – keine weiteren Bedingungen –
3 a a − a a 0
1 2 0 3
>
2
4 a ( a a − a a ) − a a 0
1 2 3 1 4 0 3
>
5 a a − a a 0 und
3 4 2 5
>
( a − a a )( a a − a a ) − ( a a − a a 0
1 2 0 3 3 4 2 5 1 4 0 5
>
a ) 2 Albert-Ludwigs-
Universität Freiburg