Skript aus der Mikrosystemtechnik

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3. Systembeschreibung im Bildbereich Seite 24 Vorlesung Systemtheorie Prof. Dr.-Ing. Ch. Ament Albert-Ludwigs- Universität Freiburg aus: Unbehauen, Regelungstechnik I
3. Systembeschreibung im Bildbereich Seite 24a Vorlesung Systemtheorie Prof. Dr.-Ing. Ch. Ament Laplace-Rücktransformation Gegeben ist die folgende Funktion im Bildbereich: Vorgehensweise zur Rücktransformation: • Totzeit T t zunächst unberücksichtigt lassen. • Falls Grad Z(s) ≥ Grad N(s) : Polynomdivision mit dem Rest R(s) führt auf: Rücktransformation von G( s) = Z s) = Z N( s) ( * * −1 Z ( s) mittels Korr.1: L {} 1 = δ ( t) Z( s) −Tt s ⋅ e N( s) R( s) ( s) + N( s) • Faktorisierung des Nenners N(s) (ggf. mit Hilfe der Polynomdivision) • Ansatz zur Partialbruchzerlegung: a) einfacher Pol: b) ρ-facher Pol: c) konjugiert komplexer Pol: s c + a c1 + s + a s c s + c 1 2 c + α s + β 2 + K+ 2 ( s + a) ( s + a) ρ • Bestimmung der unbekannten Koeffizienten c i der Partialbruchzerlegung: o entweder: Koeffizientenvergleich für s 0 , s 1 , s 2 , … o oder: spezielle Werte für s einsetzen (insbesondere die Pole) • Rücktransformation: a) nach Korr.6: b) nach Korr.7: L −1 ⎧ ⎨ ⎩s 1 + 2 ⎧ −1 n! L ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ = e a ⎭ ( s + a) n+ 1 −at ⎫ ⎬ = t ⎭ n⋅ e −at c ρ für t ≥ 0 für t ≥ 0 c) Quadratische Ergänzung des Nenners und dann −1 ⎧ ω ⎫ 0 −at nach Korr.13: L ⎨ e sin( ω0t) 2 2 ⎬ = ⋅ für t ≥ 0 ⎩( s + a) + ω0 ⎭ −1 ⎧ s + a ⎫ −at sowie nach Korr.14: L ⎨ = e ⋅ cos( ω0t) 2 2 ⎬ für t ≥ 0 ⎩( s + a) + ω0 ⎭ • Einzeltransformationen zu g(t) superponieren. • Ggf. Berücksichtigung der Totzeit nach Verschiebungsregel (3): −1 Tts L ⎧ − e G( s) ⎫ ⎨ ⋅ ⎬ = g( t − Tt ) ⋅σ ( t − Tt ) ⎩ ⎭ Albert-Ludwigs- Universität Freiburg
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