Entwicklung neuer oxidischer Wärme - Forschungszentrum Jülich

4 2.1 Thermische Leitfähigkeit2. Theoretische Beschreibung von thermischer Leitfähigkeit und thermischemAusdehnungskoeffizienten2.1 Thermische LeitfähigkeitDie thermische Leitfähigkeit λ von Festkörpern lässt sich berechnen aus dem Produkt von spezifischerWärme C, der Phononengeschwindigkeit v und der freien Weglänge l. Da C und l von der Frequenz ωabhängen, muss entsprechend über alle Frequenzen bis zur Debyefrequenz ω D summiert werden [20],wobei C(ω) die spektrale spezifische Wärme ist:ωD1λ = ∫C(ω ) vl(ω ) dw(1)30In einem realen Festkörper gibt es nun eine Reihe von Streumechanismen, die die freie Weglängeund damit die thermische Leitfähigkeit reduzieren. Nach Klemens [21] kann man die effektive freieWeglänge l eff wie folgt berechnen:1leff1 1= ∑ bzw.=lj j λ∑j1λ j(2)wobei die l j die freien Weglängen für die verschiedenen Streuprozesse sind. In realen Gitternexistieren immer anharmonische Schwingungen. Die Streuung an diesen Gitterschwingungen, diesogenannten Umklappprozesse, reduziert die freie Weglänge und damit die sogenannte intrinsischeWärmeleitfähigkeit λ i oberhalb der Debye-Temperatur linear mit der Temperatur. Dies ist eine Folgeder linear mit der Temperatur ansteigenden Phononen-Zustandsdichte. Eine Abschätzung diesesBeitrages liefert die Leibfried-Schlömann Gleichung [22]:21γ T== B Tλ3 1/3 3i 3.81 ( k / h)M V0θD(3)wobei γ die Grüneisen Konstante, k die Boltzmann sowie h die Plancksche Konstante, T die absoluteTemperatur, M die mittlere Atommasse, V 0 das mittlere Atomvolumen und θ D die Debye-Temperatursind. Auch wenn Gleichung 3 die Abhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit von den auftretendenParametern richtig beschreibt, ist der ermittelte Absolutwert 3 bis 4 mal kleiner als der tatsächlichgemessene Wert. Dies wird auch durch die eigenen Messungen bestätigt (s. Kap. 6.4).Der Effekt von Fremdatomen auf die thermische Leitfähigkeit ist ein wichtiger Effekt im Rahmen dieserArbeit, da darauf die gezielte Reduzierung der thermischen Leitfähigkeit beruht. Er wird in einer Reihevon Arbeiten behandelt und z.B. in [23] und [24] diskutiert. Der Beitrag von Fremdatomen lässt sichnach einer Beziehung von Ambegaokar [25] abschätzen:21 4πV0θD= ∑v hΓ2λFnn= A(4)