Heuristiken zur Ein-Depot-Tourenplanung Barbara König

Falls die Lösung des ganzzahligen Programms Subtouren enthält, die nicht alleKnoten des Graphen umfassen, so gibt es eine Subtour, die die 1 nicht beinhaltet.Die Knotenmenge dieser Subtour heiße Q, Q ≠ V .Seien die y i beliebige reelle Zahlen.Dann gilt:∑y i − y j + k · x ij = ∑ y i − ∑ y j + k · |Q| = k · |Q|i,j∈Q,x ij =1 i∈Q j∈Q∑≰ |Q| · (k − 1) = (k − 1)i,j∈Q,x ij =1Das heißt, man kann keine reellen Zahlen y i finden, so daß eine Lösung desganzzahligen Programms, die Subtouren enthält, auch in B liegt.Umgekehrt gibt es aber auch zu jeder Rundtour immer eine Belegung für diey i . Numeriert man beispielsweise jeden Knoten i in der Tour in der Reihenfolge,in der er besucht wird, beginnend mit einem beliebigen Startknoten und weistdiese Nummer y i zu, so erfüllen die y i die obigen Bedingungen.2.1.3 Zusammenhang zwischen Subtour-breaking constraintsund dem Maximal Flow Problem in NetzwerkenBetrachtet man die Subtour-breaking constraints genauer, so erkennt man inihnen das Maximal Flow Problem in Netzwerken und das dazu duale Problem(beschrieben beispielsweise in [4, 38]). Als Ausgangssituation hat man eine MatrixX = (x ij ), die die Bedingungen (2.2)–(2.4) erfüllt, d.h. die eine Tour durch denGraphen beschreibt, die aber u.U. noch in Subtouren zerfallen kann.Umformulierung des ersten Subtour-breaking constraint:B = {(x ij ) : ∑ ∑x ij ≤ 1, Q ⊂ V, Q ≠ V, Q ≠ ∅}i∈Q i∉QDemgegenüber steht das duale MAXFLOW-Problem:Der Knoten q ∈ V sei eine feste Quelle, die Senke s ∈ V sei variabel.Minimiereunter den Restriktionen:k∑ k∑x ij · h ij (2.6)i=1 j=1w s − w q = 1 (2.7)w i − w j + h ij ≤ 0, i, j ∈ {1, . . . , k} (2.8)h ij ≤ 0, i, j ∈ {1, . . . , k} (2.9)11