Heuristiken zur Ein-Depot-Tourenplanung Barbara König

Aus 〈G, c, α A + C · α B + 2M〉 ∈ EXACT TSP kann man mit Behauptung 2schließen, daß G A eine Tour der Länge α A und G B eine Tour der Länge α Bhat. Diese Touren müssen nach Behauptung 1 minimal sein, da G sonst einekürzere Tour hätte. Es gilt damit: 〈G A , c A , α A 〉 ∈ EXACT TSP und 〈G B , c B , α B 〉 ∈EXACT TSP.Analog zu EXACT TSP kann man auch EXACT VRP definieren. Wie in Satz 3.11kann für EXACT VRP die Zugehörigkeit zu NP ∧ Co-NP bewiesen werden. DaEXACT TSP auf EXACT VRP reduziert werden kann, ist EXACT VRP ebenfallsNP ∧ Co-NP-vollständig.3.3 TSP und VRP als OptimierungsproblemWenn man das TSP als Optimierungs- und nicht mehr als Entscheidungsproblembetrachtet, so kann man sich nicht mehr darauf beschränken, Probleme alsMengen von Zeichenketten zu betrachten, sondern muß das TSP als Funktionformulieren.Definition 3.9 (OPTIMAL TSP) OPTIMAL TSP sei eine Funktion:OPTIMAL TSP : Σ ∗ → lNOPTIMAL TSP(〈G, c〉) = α ⇐⇒ 〈G, c, α〉 ∈ EXACT TSPFür unkorrekte Codierungen eines Graphen G mit Kostenfunktion c istOPTIMAL TSP nicht definiert.Um OPTIMAL TSP in eine entsprechende Komplexitätsklasse einordnen zukönnen, benötigt man den Begriff des Orakels.Definition 3.10 (Orakel-Turingmaschine) Eine Orakel-Turingmaschine mitOrakel M ist eine deterministische oder nichtdeterministische Turingmaschine,die im Laufe ihrer Berechnung beliebig oft eine Frage an das Orakel stellen darf,d.h. die Antwort auf die Frage x ∈ M für beliebige x ∈ Σ ∗ ohne irgendwelchenAufwand von Rechenzeit oder Speicherplatz erhält.Probleme, die von deterministischen Turingmaschinen, die ein Orakel aus NPbenutzen, erkannt werden können, bilden die Menge ∆ P 2 (oder auch P NP ). Dieentsprechende Menge für nichtdeterministische Turingmaschinen wird mit Σ P 2oder NP NP bezeichnet. Sie sind beide Klassen der polynomiellen Hierarchie.Ebenso kann man Klassen von Funktionen bilden, die von deterministischenbzw. nichtdeterministischen Turingmaschinen mit Orakel aus NP berechnet werden.Diese Klassen werden im folgenden mit F (P NP ) bzw F (NP NP ) bezeichnet.Satz 3.15 OPTIMAL TSP ∈ F (P NP )33