Heuristiken zur Ein-Depot-Tourenplanung Barbara König

(2,1) (4,2){1,2}(1,2){2,4}(2,4)1Abbildung 3.3: Reduktion des Beispiels auf TSP mit zulässiger TourBeweisskizze: Die Reduktion erfolgt durch:V := {(i, j), {i, j}, (j, i) : {i, j} ∈ E ′ } ∪ {1, . . . , n}E := V × VK := {((i, j), {i, j}), ({i, j}, (i, j)) : {i, j} ∈ E ′ }c(e) :=∪ {((h, i), (i, j)) : {h, i}, {i, j} ∈ E ′ , h ≠ j}∪ {((i, j), p), (p, (i, j)) : {i, j} ∈ E ′ , 1 ≤ p ≤ n}{1 falls e ∈ Kα := |V |2 sonstDa eine Tour durch G über genau α Kanten verläuft, hat sie genau dannKosten kleiner gleich α, wenn nur Kanten aus K benutzt werden.In einem Graph, der ein n-Vertex-Cover besitzt, kann jede Kante einem benachbartenKnoten zugeordnet werden. Eine Zuordnung der Kanten {i, i 1 }, . . . ,{i, i m } zum Knoten i entspricht einem Pfad j 1 , (i, i 1 ), {i, i 1 }, (i 1 , i), . . . , (i, i m ),{i, i m }, (i m , i), j 2 , 1 ≤ j 1 , j 2 ≤ n, der nur über Kanten aus K verläuft.Umgekehrt ergibt sich aus einem solchen Pfad eine Zuordnung der Kanten zueinem Knoten.Abbildung 3.3 zeigt den zu unserem Beispiel gehörenden Graphen G.Satz 3.5 TSP ist NP-vollständig.23