Physikalische Messtechnik - Institut für Physik

wird klar, dass J(ω) das Leistungsspektrum von y(ω) ist. Es lässt sich zusammenfassen:
Mit Hilfe der Wiener-Chintschin-Relationen lässt sich die Autokorrelation mit der Rücktransformierten
des Leistungsspektrums gleichsetzen.
3.7.1.2. Herleitung des Widerstandsrauschen nach Nyquist
In einem Widerstand entsteht Rauschen durch die thermische Bewegung der Elektronen im Widerstand,
die eine fluktuierende EMF V (t) zur Folge hat. Mit Hilfe der Wiener-Chintschin-Relationen
gilt, dass kurze Korrelationszeiten, d.h. die Elektronen stoßen schnell hintereinander, eine breites
Spektrum des Rauschens zur Folge haben. Das Spektrum reicht hier also zu hohen Frequenzen.
Nyquist leitete sein Theorem analog zu Plancks Ableitung der Schwarzkörperstrahlung ab. Wir betrachten
folgenden Aufbau, der aus einem Sender und einem Absorber von Fluktuationen besteht.
R R
≈ V(t) ≈ V(t)
L
Für die Überlegungen geht man von zwei Spannungsquellen aus, die über eine verlustfreie
Leitung der Länge L miteinander verbunden sind. Sie sind durch die Widerstände und die jeweiligen
Rauschspannungsquellen dargestellt. Die gesamte Anordnung befinde sich im Gleichgewicht, d.h.
es wird ebenso viel elektrische Leistung in den Widerständen absorbiert wie sie emittieren. Damit
sind die beiden Abschlusswiderstände analog zum schwarzen Strahler zu sehen. Eine elektrische
Welle V (r, t) = V0ekr−ωt , die sich mit der c ′ = ω
k
Geschwindigkeit ausbreitet, wird stehende Moden
ausbilden, wenn die Länge der Verbindung ganzzahlige Vielfache der Wellenlänge kL = 2πn ist.
Damit ergibt sich für die Anzahl der Moden im Intervall ω bis ω + dω:
Jede Mode besitzt nach Planck die Energie:
∆n = 1 1 dω
dk =
2π 2π c ′
ε(ω) =
�ω
e �ω
k B T − 1
(3.48)
(3.49)
Für �ω ≪ kT lässt sich die Exponentialfunktion in eine Taylor-Reihe entwickeln mit dem Resultat:
ε(ω) = kBT (3.50)
In jedem Frequenzintervall ω bis ω + dω muss die abgegebene und aufgenommene Leistung gleich
sein. Mit der Anzahl der Moden pro Längeneinheit ergibt sich für die abgegebene bzw. aufgenom-
mene Leistung:
P = c ′
�
1
2π
dω
c ′
�
ε(ω) = 1
ε(ω)dω (3.51)
2π
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