Function Spaces as Dirichlet Spaces (About a Paper by Maz'ya and ...

12 N. Jacob and R. L. Schilling
Analogously, we have
∫ ∞
1
g(s)
s
ds
s = ∫ ∞
=
1
∫ 1
0+
( ∫ ∞
0+
log(1 + r)
r
)
ρ(dr) ds
s + r s
ρ(dr) +
∫ ∞
1
log(1 + r)
r
Now we use that log(1 + r) r, i.e., ∫ 1
log(1 + r)/r ρ(dr) ∫ 1
0+
is finite by assumption. Thus,
∫ ∞
1
g(s)
s
Lemma 3.7. Let g(s) = ∫ ∞
0+
that G = ∫ 1
0 g(s)/s ds + ∫ ∞
ds
s < ∞ if, and only if, ∫ ∞
µ(t) =
1
log(1 + r)
r
ρ(dr).
0+
ρ(dr) < ∞.
1 ρ(dr) which
s
ρ(dr) be a complete Bernstein function such
s+r
g(s)/s 2 ds < ∞. Then the function
1
∫ t
0
( ∫ ∞
is also a complete Bernstein function with representation
µ(t) =
where the measure ν is given by
ν(A) =
∫ 1
0
r
∫ ∞
0+
( ∫ ∞
0
g(s) ds
s 2 )
dr, t > 0, (22)
t
ν(ds) , (23)
s + t
ρ(xy · A) dy
y 2 ) dx
x
for all Borel sets A ⊂ (0, ∞). Alternatively,
∫ ∞
( ∫ 1 ∞
µ(t) = (1 − e −λt 1 − e −λz
)
λ 2 z
0
0+
)
ρ(dz) dλ .
(24)
Proof. Using the fact that all integrands are nonnegative, a straightforward
calculation gives
µ(t) =
=
= t
=
=
∫ t ∫ ∞
0
∫ t
g(s) ds
r s dr
( ∫ 2 ∞
g(ry) dy
1 y y
( ∫ ∞
g(txy)
1 txy
( ∫ ∞
[ ∫ ∞
0
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
1
0+
( ∫ ∞
[ ∫ ∞
1
0+
) dr
dy
y
r
)
dx
]
t dy
z + txy ρ(dz) y
)
dx
t
s + t ρ(xy · ds) ] dy
y 2 ) dx
x ,