Function Spaces as Dirichlet Spaces (About a Paper by Maz'ya and ...

10 N. Jacob and R. L. Schilling
and the convolution theorem for the (one-sided) Laplace transform,
where Lu(x) = ∫ ∞
e −xy u(y) dy and
0
u ⋆ w(x) =
L(u ⋆ w) = Lu · Lw,
∫ x
0
u(x − r)w(r) dr.
Setting u(r) := ∫ ∞
0+ e−r/s /s ρ(ds) and w(r) := Γ ( )
n −1r n/2−1 we find
2
Finally,
and (21) follows.
( 1
)
r −n/2 g =
r
∫ ∞
0
e −rx u ⋆ w(x) dx.
∫ x
( ∫
1
∞
)
u ⋆ w(x) =
0 Γ ( ) t n/2−1 −(x−t)/s ρ(ds)
e dt
n
2
0+
s
= 1 ∫ ∞
( ∫ x
)
Γ ( ) e −x/s t n/2 t/s dt ρ(ds)
e
n
2 0+
0 t s
= 1 ∫ ∞
( ∫ x/s
)
Γ ( ) s n/2−1 e −x/s y n/2−1 e y dy ρ(ds),
n
2 0+
0
Lemma 3.5. Let g : [0, ∞) → [0, ∞) be a monotone increasing function with
g(0) = 0. If
∫ 1
G := g(s) ds ∫ ∞
s + g(s) ds
s s < ∞,
0
then the function µ(t) defined in Lemma 3.3 is finitely valued and
µ(t) =
∫ t
Conversely, if µ(1) < ∞, then G < ∞.
Proof. By definition, µ(t) := ∫ t
0
∫ 1
( ∫ ∞
µ(1) =
0
r
0
g(s) ds
s 2 )
dr
1
g(s) ds
s + t ∫ ∞
t
g(s)
s
ds
s .
∫ ∞
g(s)/s 2 ds dr so that
r
∫ 1
( ∫ ∞
0
1
g(s) ds ) ∫ ∞
g(s) ds
dr =
s 2 1 s s
and
µ(1) =
∫ 1
0
( ∫ ∞
r
g(s) ds
s 2 )
dr
∫ 1
0
( ∫ ∞
)
ds
g(r) dr =
r s 2
∫ 1
0
g(r) dr
r .