Function Spaces as Dirichlet Spaces (About a Paper by Maz'ya and ...

22 N. Jacob and R. L. Schilling
No. f(x) ρ(dt) Comments
16. ex − x(1 + 1/x) x δ1(dt) + ( t
1−t
17. x(1 + 1/x) x+1 − ex t δ∞(dt) + ( t
1−t
) t sin πt
1(0,1)(t) dt e = 2.71828...; [1]
π
) t−1 sin πt
1(0,1)(t) dt e = 2.71828...; [1]
π
18. x(1 + x) 1/x − x δ1(dt) + 1 π (t − 1)−1/t sin π t 1 (1,∞)(t) dt [1]
19.
(
1 +
1
x
) x ( ) 1/x
Γ(1 + x)
1
π
t t−1 sin(πφ(t))
1(0,∞)(t) dt [3, 24]
|1−t| t |Γ(1−t)| 1/t
φ(t) =
{
1 − t if 0 t < 1,
1 − n/t if n s < n + 1,
20.
21.
22.
− x t ∑ log Γ(x+1) k=1
x 2 log x
∞
√ xK ν−1( √ x)
Kν( √ 2 dt
,
x) π 2 t [J ν 2 (√ t)+Y ν 2 (√ t)]
xKν+β( √ x)
Kν( √ , δ∞(dt) +
x)
log |Γ(1−t)|+(k−1) log t
1(k−1,k)(t) dt [5]
(log |Γ(1−t)|) 2 +(k−1) 2 π 2
4 sin
πβ
2
∫ ∞
0 K β(2t sinh y) (e (2ν+β)y −e −(2ν+β)y ) dy
J ν 2 ( √ t)+Y ν 2 ( √ t)
ν 0; [11]
dt β > 0, −β < ν < min(0, 1 − β ) 2
or β ∈ (0, 2), ν 0; [12]
23. x 1−β/2 Kν( √ x)
Kν+β( √ x)
24.
25.
26.
√ xI ν+1( √ x)
Iν( √ 2 ∑ ∞
x) n=1 δ j ν,n 2
√ x
αKν( √ x)+βKν−1( √ x)
γKν( √ x)+δKν−1( √ x)
√ x
αIν( √ x)+βIν−1( √ x)
γIν( √ x)+δIν−1( √ x)
Jν+β( √ t)Yν( √ t)−Jν( √ t)Yν+β( √ t)
J ν+β 2 (√ t)+Y ν+β 2 (√ t)
1
π
dt
0 < β < 1 & ν + β 0; [12]
π t β/2
(dt) ν 0; [14]
√ ν−1 2 (√ ν 2 ν 2 (√ ν−1 2 αδ[J ν−1 2 (√ t)+Y ν−1 2 t)]+βγ[J ν 2 ( √ t)+Y ν 2 ( √ t)]+2(βδ+αγ)/(π √ t)
[δJ t)−γY t)] 2 +[γJ t)+δY t)] 2
dt δ/γ > 0, ν > 0; [13]
αγJ 2 ν ( √ t)+βδJ 2 ν−1 (√ t)
γ 2 J 2 ν ( √ t)+δ 2 J 2 ν−1 (√ t)
dt
π √ t
γ/δ > 0, ν > 0; [13]