Function Spaces as Dirichlet Spaces (About a Paper by Maz'ya and ...

Function Spaces as Dirichlet Spaces 17
Proof. We begin with the elementary remark that 1 − e −x ∼ x/(1 + x) for all
x 0. Therefore, we find
∫ ∞
(
f(r) =
πn/2
4 Γ ( 1 − e
)
−rλ ∫ ∞
[ ∫ 1 (
exp − 1 − t ) ] ) ρ(ds)
t n/2−1 dt dλ .
n
2 0 λ 2 0+ 0 4sλ
s
∫ ∞
( ∫ ∞
[ ∫ 1
rλ
(
∼
0 0+ 0 1 + rλ exp − 1 − t ) ] ) ρ(ds)
t n/2−1 dt dλ
4sλ
s
∫ ∞
( ∫ ∞
[ ∫ 1
r x (
s
=
0 0+ 0 1 + r x exp − 1 − t ) ] ) dx
t n/2−1 dt ρ(ds)
4x
x
s
2
∫ ∞
( ∫ 1
[ ∫ ∞
]
rx
(
=
0 0 0+ s + rx ρ(ds) exp − 1 − t ) ) dx
t n/2−1 dt
4x
x 2
{ ∫ 1 ∫ ∞
}( ∫ 1 (
= +
g(rx) exp − 1 − t ) ) dx
t n/2−1 dt
4x
x 2
0
=: I 1 + I 2 .
1
We will estimate I 1 and I 2 separately.
∫ ∞
( ∫ 1
I 2 =
r
c 1 r
r
∫ ∞
r∫ ∞
r
0
0
(
g(y) exp −
g(y) dy ∫ 1
t n/2−1 dt
y 2
0
g(y) dy
y 2 .
(1 − t)r
) ) r dy
t n/2−1 dt
4y
y 2
On the other hand, we find
∫ ∞
( ∫ 1 (
(1 − t)r
) ) r dy
I 2 = g(y) exp − t n/2−1 dt
r 0
4y
y 2
∫ ∞
( ∫ 1
) dy
r g(y)e −1/4 t n/2−1 dt
so that
c 2 r
r
∫ ∞
r
0
g(y) dy
y 2 ,
I 2 ∼ r
Let us now estimate I 1 . We have
∫ 1
( ∫ r
I 1 =
0 0
∫ r
( ∫ 1
= 4
0
0
∫ ∞
r
(
g(y) exp −
r
(
4y exp −
g(y) dy
y 2 .
y 2
(1 − t)r
)
t n/2−1 r dy
4y
)
(1 − t)r
4y
)
t n/2−1 dt
)
dt
y 2
g(y) dy
y .