Function Spaces as Dirichlet Spaces (About a Paper by Maz'ya and ...

Function Spaces as Dirichlet Spaces 13
and we get (23) if we define ν by (24). Since
∫
t ∞
s + t = (1 − e −λt ) se −λs dλ,
0
we find
µ(t) =
=
∫ ∞
0
∫ ∞
( ∫ ∞
)
(1 − e −λt ) se −λs ν(ds) dλ
0+
( ∫ ∞
)
(1 − e −λt ) se −λs ν(ds) dλ .
0
0+
Finally,
∫ ∞
0
se −λs ν(ds)
∫ 1
( ∫ ∞
[ ∫ ∞
] ) dy dx
=
se −λs ρ(xy · ds)
0 1 0+
y 2 x
∫ 1
( ∫ ∞
[ ∫ ∞
z
(
=
0 1 0+ xy exp − λz ) ] ) dy dx
ρ(dz)
xy y 2 x
∫ 1
( ∫ ∞
[ ∫ ∞
] )
=
zr e −λzξr ρ(dz) dξ dr
0 1 0+
∫ ∞
( ∫ 1
[ ∫ ∞
] )
=
e −λzξr dξ zr dr ρ(dz)
0+ 0 1
∫ ∞
( ∫ 1
)
e −λzr
=
λ dr ρ(dz)
0+
0
= 1 ∫ ∞
1 − e −λz
ρ(dz),
λ 2 z
0+
(z = xys)
(
ξ =
1
, r = )
1
x y
and the proof is finished.
4. Equivalent Seminorms
Let ψ : R n → R be a c.n.d.f. of the form
∫
ψ(ξ) = (1 − cos yξ) m(|y| 2 ) dy
y≠0
where
m(r) =
∫ ∞
0+
e −rs ν(ds)