Function Spaces as Dirichlet Spaces (About a Paper by Maz'ya and ...

Since 1 − e −λ λ ∧ 1 2λ/(1 + λ) for all λ > 0, we find
∫ 1
0
x −n/2 h(x) dx 2 ∫ ∞
( ∫ 1
Γ ( 1
)
n
2 0+ 0 1 − t
= 2 ∫ 1
( ∫ ∞
Γ ( )
n
2 0 0+
= 2 ∫ 1
Γ ( g(1 − t)
)
t n/2−1 dt
n
2 0 1 − t
= 2 ( ∫ 1/2
Γ ( g(1 − t)
)
t n/2−1 dt +
n
2 0 1 − t
( ∫ 1/2
c ′ g( 1)
∫ 1
2
n
t n/2−1 dt +
0
1
2
Function Spaces as Dirichlet Spaces 15
1−t
)
s
1 + 1−t t n/2−1 dt ρ(ds)
s
)
1
s + 1 − t ρ(ds) t n/2−1 dt
1/2
∫ 1
1/2
g(1 − t)
1 − t
g(1 − t)
1 − t
)
t n/2−1 dt ,
)
t n/2−1 dt
where we use that s ↦→ g(s)/s is decreasing. Thus,
∫ 1
0
( ∫ 1/2
x −n/2 h(x) dx ˜c n t n/2−1 dt +
0
( ∫ 1/2
c n t n/2−1 dt +
0
∫ 1
1/2
∫ 1
0
g(1 − t)
1 − t
)
t n/2−1 dt
g(s)
s ds )
< ∞.
To show the finiteness of the second integral in the statement, we use the elementary
estimate e −λ 1/(1 + λ), λ 0, to get
∫ ∞
1
x −n/2−1 h(x) dx
=
∫ ∞
x −n/2−1 xn/2
1 Γ ( n
2
∫ ∞
( ∫ 1
= 1
Γ ( )
n
2
1 )
Γ ( n
2
= 1
Γ ( )
n
2
= 1
Γ ( )
n
2
1
∫ ∞
1
∫ ∞
1
∫ ∞
1
0
( ∫ ∞
[ ∫ 1
) e −x/s t n/2 e
0+
[ ∫ ∞
e −x(1−t)/s t
0+
( ∫ 1
[ ∫ ∞
0
0+
( ∫ 1
[ ∫ ∞
0
( ∫ 1
0
0+
1
1 + x(1−t)
s
g(x(1 − t))
x(1 − t)
0
tx/s dt
n/2−1 ρ(ds)
s
1
s tn/2−1 ρ(ds)
] ρ(ds)
t s
] ) dx
dt
x
]
]
1
s + x(1 − t) ρ(ds) t n/2−1 dt
t n/2−1 dt) dx
x .
) dx
dt
x
) dx
x
)
dx