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IEEE TRANS. SIGNAL PROC. 18
and
Biorthogonal filters for Bio (6,8) in Example 4:
⎡
⎡
⎤
p −33 · · · p 03 · · · p 33
· · · · · · · · · · · · · · ·
⎢ p −30 · · · p 00 · · · p 30
⎥
⎣ · · · · · · · · · · · · · · · ⎦ = 1
625
⎢
p −3−3 · · · p 0−3 · · · p 3−3
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
q (1)
−23 · · · q (1)
13 · · · q (1) ⎤
43
· · · · · · · · · · · · · · ·
q (1)
−20 · · · q (1)
10 · · · q (1)
40
⎥
· · · · · · · · · · · · · · · ⎦
q (1)
−2−3 · · · q (1)
1−3 · · · q (1)
4−3
= 1
16
⎡
⎢
⎣
⎤
˜p −44 · · · ˜p 04 · · · ˜p 44
· · · · · · · · · · · · · · ·
˜p −40 · · · ˜p 00 · · · ˜p 40
⎥
· · · · · · · · · · · · · · · ⎦ = 1
4725
˜p −4−4 · · · ˜p 0−4 · · · ˜p 4−4 ⎢
⎣
˜q (1)
−34 · · · ˜q (1)
14 · · · ˜q (1) ⎤
55
· · · · · · · · · · · · · · ·
˜q (1)
−30 · · · ˜q (1)
10 · · · ˜q (1)
50
⎥
· · · · · · · · · · · · · · · ⎦
˜q (1)
−3−4 · · · ˜q (1)
1−4 · · · ˜q (1)
5−4
= 1
625
q (2)
k
APPENDIX B
0 0 0 0 18 18 0
0 0 18 36 24 36 18
0 18 24 351 351 24 18
0 36 351 120 351 36 0
18 24 351 351 24 18 0
18 36 24 36 18 0 0
0 18 18 0 0 0 0
⎤
,
⎥
⎦
0 0 0 0 0 −6 0
0 0 0 −12 4 4 −6
0 −6 4 8 −117 4 0
0 4 −117 28 8 −12 0
−6 4 8 −117 4 0 0
0 −12 4 4 −6 0 0
0 0 −6 0 0 0 0
⎡
⎢
⎣
⎡
⎤
,
⎥
⎦
0 0 0 0 0 0 141 0 0
0 0 0 0 282 −94 −94 282 0
0 0 141 −94 −188 −741 −188 −94 141
0 0 −94 −741 1951 1951 −741 −94 0
0 282 −188 1951 6633 1951 −188 282 0
0 −94 −741 1951 1951 −741 −94 0 0
141 −94 −188 −741 −188 −94 141 0 0
0 282 −94 −94 282 0 0 0 0
0 0 141 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 6 6 0
0 0 0 0 12 18 8 12 6
0 0 6 18 16 210 204 8 6
0 6 8 210 396 156 210 18 0
0 12 204 156 2451 396 16 12 0
6 8 210 396 156 210 18 0 0
6 18 16 210 204 8 6 0 0
0 12 18 8 12 6 0 0 0
0 0 6 6 0 0 0 0 0
= q(1) −k , ˜q(2) k
= ˜q(1) −k , k ∈ Z2 .♦
⎤
,
⎥
⎦
⎤
,
⎥
⎦
Biorthogonal filters for Bio (4,8) in Example 5:
APPENDIX C