Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Lớp 10-11-12 TRỌN BỘ (Tài liệu lưu hành nội bộ) (GoodRead)

Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 10
2 2
c) ⇔ ( a − 1) ( a + 2a
+ 3) ≥ 0
3 3 3 2 2
d) Sử dụng hằng đẳng thức a + b = ( a + b) − 3a b − 3ab
.
2 2 2
BĐT ⇔ ( a + b + c) ⎡ ⎣a + b + c − ( ab + bc + ca) ⎤
⎦ ≥ 0 .
2 2 2 4 2 2 4
( b − a) ( ab −1)
e) ⇔ ( a − b ) ( a + a b + b ) ≥ 0 f) ⇔
≥ 0
2 2
(1 + ab)(1 + a )(1 + b )
g) ⇔ ( a 2 1) 2
3 3
+ > 0
h) ⇔ ab( a − b)( a − b ) ≥ 0 .
2 2
Bài 3. Cho a, b, c, d ∈ R. Chứng minh rằng a + b ≥ 2ab
(1). Áp dụng chứng minh các bất
đảng thức sau:
4 4 4 4
a) a + b + c + d ≥ 4abcd
b) ( a + 1)( b + 1)( c + 1) ≥ 8abc
2 2 2 2
c) ( a + 4)( b + 4)( c + 4)( d + 4) ≥ 256abcd
4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
HD: a) a + b ≥ 2 a b ; c + d ≥ 2c d ; a b + c d ≥ 2abcd
2 2 2
b) a + 1 ≥ 2 a; b + 1 ≥ 2 b; c + 1 ≥ 2c
2 2 2 2
c) a + 4 ≥ 4 a; b + 4 ≥ 4 b; c + 4 ≥ 4 c; d + 4 ≥ 4d
Bài 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu a b < 1 thì a a +
< c (1). Áp dụng chứng
b b + c
minh các bất đảng thức sau:
a b c
a b c d
a) + + < 2 b)
a + b b + c c + a
1 < + + + <
a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b
2
a + b b + c c + d d + a
c) 2 < + + + < 3
a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b
HD: BĐT (1) ⇔ (a – b)c < 0.
a a + c
a) Sử dụng (1), ta được: <
a + b a + b + c
, b b + a
<
b + c a + b + c
, c c + b
<
c + a a + b + c
.
Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.
a a a
b) Sử dụng tính chất phân số, ta có:
< <
a + b + c + d a + b + c a + c
b b b
Tương tự,
< <
a + b + c + d b + c + d b + d
c c c
< <
a + b + c + d c + d + a a + c
d d d
< <
a + b + c + d d + a + b d + b
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
a + b a + b a + b + d
c) Chứng minh tương tự câu b). Ta có:
< <
a + b + c + d a + b + c a + b + c + d
Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm.
2 2 2
Bài 5. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức: a + b + c ≥ ab + bc + ca (1). Áp dụng
chứng minh các bất đảng thức sau:
2 2 2 2
a) ( a + b + c) ≤ 3( a + b + c )
b) a 2 b 2 c 2
+ + ⎛ a + b + c ⎞
2
≥ ⎜ ⎟
3 ⎝ 3 ⎠
2
4 4 4
c) ( a + b + c) ≥ 3( ab + bc + ca)
d) a + b + c ≥ abc( a + b + c)
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 46/219.