Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Lớp 10-11-12 TRỌN BỘ (Tài liệu lưu hành nội bộ) (GoodRead)

Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 10 

CHƯƠNG I 

MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP 

1. Mệnh đề 

• Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. 

• Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai. 

2. Mệnh đề phủ định 

Cho mệnh đề P. 

• Mệnh đề "Không phải P" đgl mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P . 

• Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng. 

3. Mệnh đề kéo theo 

Cho hai mệnh đề P và Q. 

• Mệnh đề "Nếu P thì Q" đgl mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P ⇒ Q. 

• Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. 

Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng P ⇒ Q. 

Khi đó: 

– P là giả thiết, Q là kết luận; 

– P là điều kiện đủ để có Q; 

– Q là điều kiện cần để có P. 

4. Mệnh đề đảo 

Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P đgl mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q. 

5. Mệnh đề tương đương 


• Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" đgl mệnh đề tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q. 

• Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng. 

Chú ý: Nếu mệnh đề P ⇔ Q là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q. 

6. Mệnh đề chứa biến 

Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó 

mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề. 

7. Kí hiệu ∀ và ∃ 

• "∀x ∈ X, P(x)" 

I. MỆNH ĐỀ 

• "∃x ∈ X, P(x)" 

• Mệnh đề phủ định của mệnh đề "∀x ∈ X, P(x)" là "∃x ∈ X, P(x)". 

• Mệnh đề phủ định của mệnh đề "∃x ∈ X, P(x)" là "∀x ∈ X, P(x)". 

8. Phép chứng minh phản chứng 

Giả sử ta cần chứng minh định lí: A ⇒ B. 

Cách 1: Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng 

minh B đúng. 

Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do A 

không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng. 

9. Bổ sung 


• Mệnh đề "P và Q" đgl giao của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P ∧ Q. 

• Mệnh đề "P hoặc Q" đgl hợp của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P ∨ Q. 

• Phủ định của giao, hợp hai mệnh đề: P ∧ Q = P ∨ Q , P ∨ Q = P ∧ Q . 

Baøi 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến: 

a) Số 11 là số chẵn. b) Bạn có chăm học không ? 

c) Huế là một thành phố của Việt Nam. d) 2x + 3 là một số nguyên dương. 

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 1/219.

Đại số 10 

Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk 

e) 2 − 5 < 0 . f) 4 + x = 3. 

g) Hãy trả lời câu hỏi này!. h) Paris là thủ đô nước Ý. 

2 

i) Phương trình x − x + 1 = 0 có nghiệm. k) 13 là một số nguyên tố. 

Baøi 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? 

2 2 

a) Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. b) Nếu a ≥ b thì a ≥ b . 

c) Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6. d) Số π lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4. 

e) 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. f) 81 là một số chính phương. 

g) 5 > 3 hoặc 5 < 3. h) Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5. 

Baøi 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? 

a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. 

b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau. 

c) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau 

0 

và có một góc bằng 60 . 

d) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc 

còn lại. 

e) Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng. 

f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng. 

g) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. 

h) Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông. 

Baøi 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? Phát biểu các mệnh đề đó 

thành lời: 

a) ∀x ∈ R, x 2 > 0 . b) ∃x ∈ R, 

x > x 2 

c) ∃x ∈Q,4x 2 − 1 = 0 . 

2 

2 

d) ∀n ∈ N, 

n > n . e) ∀x ∈ R, x − x = 1 > 0 f) ∀x ∈ R, x > 9 ⇒ x > 3 

g) x R, x 3 x 2 

2 

∀ ∈ > ⇒ > 9 . h) ∀x ∈ R, x < 5 ⇒ x < 5 i) ∃x ∈ R,5x − 3x 2 ≤ 1 

2 

k) ∃x ∈ N, x + 2x 

+ 5 là hợp số. l) ∀n ∈ N, n 2 + 1 không chia hết cho 3. 

m) ∀n ∈ N , n( n + 1) là số lẻ. n) ∀n ∈ N , n( n + 1)( n + 2) chia hết cho 6. 

Baøi 5. Điền vào chỗ trống từ nối "và" hay "hoặc" để được mệnh đề đúng: 

a) π < 4.... π > 5. b) ab = 0 khi a = 0.... b = 0 . 

c) ab ≠ 0 khi a ≠ 0.... b ≠ 0 d) ab > 0 khi a > 0.... b > 0.... a < 0.... b < 0 . 

e) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 …. cho 3. 

f) Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0 …. bằng 5. 

Baøi 6. Cho mệnh đề chứa biến P(x), với x ∈ R. Tìm x để P(x) là mệnh đề đúng: 

a) P( x) :" x 2 − 5x + 4 = 0" b) P( x) :" x 2 − 5x + 6 = 0" 

2 

c) P( x) :" x − 3x 

> 0" 

d) P( x) :" x ≥ x" 

e) P( x) :"2x 

+ 3 ≤ 7" f) P( x) :" x + x + 1 > 0" 

Baøi 7. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: 

a) Số tự nhiên n chia hết cho 2 và cho 3. 

b) Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5. 

c) Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau. 

d) Số tự nhiên n có ước số bằng 1 và bằng n. 

Baøi 8. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: 

a) ∀x ∈ R : x 2 > 0 . b) ∃x ∈ R : x > x 2 . 

c) ∃x ∈Q : 4x 2 − 1 = 0 . 

2 

d) ∀x ∈ R : x − x + 7 > 0 . 

2 

e) ∀x ∈ R : x − x − 2 < 0 . f) ∃x ∈ R : x 2 = 3 . 

g) n N, n 2 

2 

∀ ∈ + 1 không chia hết cho 3. h) ∀n ∈ N, n + 2n 

+ 5 là số nguyên tố. 

2 

i) ∀n ∈ N, 

n + n chia hết cho 2. k) ∀n ∈ N, n 2 − 1 là số lẻ. 

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 2/219. 

2 

2


Baøi 9. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện 

đủ": 

a) Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. 

b) Nếu a + b > 0 thì một trong hai số a và b phải dương. 

c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. 

2 2 

d) Nếu a = b thì a = b . 

e) Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c. 

Baøi 10. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện 

đủ": 

a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng 

thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau. 

b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. 

c) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. 

d) Nếu tứ giác H là một hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông. 

e) Nếu tam giác K đều thì nó có hai góc bằng nhau. 

Baøi 11. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ": 

a) Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. 

b) Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. 

c) Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau. 

d) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3. 

e) Số tự nhiên n là số lẻ khi và chỉ khi n 2 là số lẻ. 

Baøi 12. Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng: 

a) Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1. 

0 

b) Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn 60 . 

c) Nếu x ≠ − 1 và y ≠ − 1 thì x + y + xy ≠ − 1 . 

d) Nếu bình phương của một số tự nhiên n là một số chẵn thì n cũng là một số chẵn. 

e) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn. 

f) Nếu một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp 

được đường tròn. 

2 2 

g) Nếu x + y = 0 thì x = 0 và y = 0. 

II. TẬP HỢP 

1. Tập hợp 

• Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. 

• Cách xác định tập hợp: 

+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { … }. 

+ Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp. 

• Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu ∅. 

2. Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau 

• A ⊂ B ⇔ ( ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B) 

+ A ⊂ A, 

∀ A + ∅ ⊂ A, 

∀ A + A ⊂ B, 

B ⊂ C ⇒ A ⊂ C 

• A = B ⇔ ( A ⊂ B vaø B ⊂ A ) 

3. Một số tập con của tập hợp số thực 

• N * ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R 

• Khoảng: { } 

a b x R a x b 

( ; ) = ∈ < < ; ( a; +∞ ) = { x ∈ R a < x} 

; ( −∞ ; b) 

= { x ∈ R x < b} 

• Đoạn: [ a; b] = { x ∈ R a ≤ x ≤ b} 




• Nửa khoảng: [ a; b) = { x ∈ R a ≤ x < b} 

; a b { x R a x b} 

[ a; +∞ ) = { x ∈ R a ≤ x} 

; ( −∞ ; b] 

= { x ∈ R x ≤ b} 

4. Các phép toán tập hợp 

( ; ] = ∈ < ≤ ; 

• Giao của hai tập hợp: A ∩ B ⇔ { x x ∈ A vaø x ∈ B} 

• Hợp của hai tập hợp: A ∪ B ⇔ { x x ∈ A hoaëc x ∈ B} 

• Hiệu của hai tập hợp: A \ B ⇔ { x x ∈ A vaø x ∉ B} 

Phần bù: Cho B ⊂ A thì CAB 

= A \ B . 

Baøi 1. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó: 

2 2 

A = { x ∈ R (2x − 5x + 3)( x − 4x 

+ 3) = 0} 

2 3 

B = { x ∈ R ( x − 10x + 21)( x − x) = 0} 

C = { x ∈ R (6x 2 − 7x + 1)( x − 5x 

+ 6) = 0} 

D = { 2 

x ∈ Z 2x − 5x 

+ 3 = 0} 

E = { x ∈ N x + 3 < 4 + 2x vaø 5x − 3 < 4x 

− 1} 

F = { x ∈ Z x + 2 ≤ 1} 

∈ < H = { 2 

x ∈ R x + x + 3 = 0} 

G = { } x N x 5 

Baøi 2. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó: 

−3 ; 9; − 27; 81 

A = { 0; 1; 2; 3; 4 } B = { 0; 4; 8; 12; 16 } C = { } 

D = { 9; 36; 81; 144 } E = { 2,3,5,7,11 } 

F = { 3,6,9,12,15 } 

G = Tập tất cả các điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. 

H = Tập tất cả các điểm thuộc đường tròn tâm I cho trước và có bán kính bằng 5. 

Baøi 3. Trong các tập hợp sau đây, tập nào là tập rỗng: 

∈ 

x ∈ R x − x + 1 = 0} 

C = { 

2 

x ∈Q x − 4x 

+ 2 = 0} 

∈ − = E = { 2 

x ∈ N x + 7x 

+ 12 = 0} 

F = { 2 

x ∈ R x − 4x 

+ 2 = 0} 

A = { x Z x 1} 

D = { x Q x 2 2 0} 

Baøi 4. Tìm tất cả các tập con, các tập con gồm hai phần tử của các tập hợp sau: 

a, b, c, 

d 

A = { 1, 2 } 

B = { 1, 2, 3 } 

C = { } 

D = { 2 

x ∈ R 2x − 5x 

+ 2 = 0} 

E = { 

2 

x ∈Q x − 4x 

+ 2 = 0} 

Baøi 5. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập con của tập nào? 

a) A = { 1, 2, 3 } , B = { x N x 4} 

+ ∞ , D = { 2 } 

∈ < , C = (0; ) x ∈ R 2x − 7x 

+ 3 = 0 . 

b) A = Tập các ước số tự nhiên của 6 ; B = Tập các ước số tự nhiên của 12. 

c) A = Tập các hình bình hành; B = Tập các hình chữ nhật; 

C = Tập các hình thoi; 

D = Tập các hình vuông. 

d) A = Tập các tam giác cân; B = Tập các tam giác đều; 

C = Tập các tam giác vuông; D = Tập các tam giác vuông cân. 

Baøi 6. Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A với: 

a) A = {2, 4, 7, 8, 9, 12}, B = {2, 8, 9, 12} 

b) A = {2, 4, 6, 9}, B = {1, 2, 3, 4} 

c) A = { 2 

x ∈ R 2x − 3x 

+ 1 = 0} 

, B = { x R 2x 

1 1} 

∈ − = . 

d) A = Tập các ước số của 12, B = Tập các ước số của 18. 

2 

e) A = { x R ( x 1)( x 2)( x 8x 

15) 0} 

2 2 

∈ < , B = { x Z (5x 3 x )( x 2x 

3) 0} 

∈ + − − + = , B = Tập các số nguyên tố có một chữ số. 

f) A = { } 

x Z x 2 4 

∈ − − − = . 



2 2 

g) A = { x N ( x 9)( x 5x 6) 0} 

∈ − − − = , B = { x N x laø soá nguyeân toá , x 5} 

∈ ≤ . 

Baøi 7. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho: 

a) {1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}. b) {1, 2} ∪ X = {1, 2, 3, 4}. 

c) X ⊂ {1, 2, 3, 4}, X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} d) 

Baøi 8. Tìm các tập hợp A, B sao cho: 

a) A∩B = {0;1;2;3;4}, A\B = {–3; –2}, B\A = {6; 9; 10}. 

b) A∩B = {1;2;3}, A\B = {4; 5}, B\A = {6; 9}. 

Baøi 9. Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A với: 

a) A = [–4; 4], B = [1; 7] b) A = [–4; –2], B = (3; 7] 

c) A = [–4; –2], B = (3; 7) d) A = (–∞; –2], B = [3; +∞) 

e) A = [3; +∞), B = (0; 4) f) A = (1; 4), B = (2; 6) 

Baøi 10. Tìm A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ C với: 

a) A = [1; 4], B = (2; 6), C = (1; 2) b) A = (–∞; –2], B = [3; +∞), C = (0; 4) 

c) A = [0; 4], B = (1; 5), C = (−3; 1] d) A = (−∞; 2], B = [2; +∞), C = (0; 3) 

e) A = (−5; 1], B = [3; +∞), C = (−∞; −2) 

Baøi 11. Chứng minh rằng: 

a) Nếu A ⊂ B thì A ∩ B = A. b) Nếu A ⊂ C và B ⊂ C thì (A ∪ B) ⊂ C. 

c) Nếu A ∪ B = A ∩ B thì A = B d) Nếu A ⊂ B và A ⊂ C thì A ⊂ (B ∩ C). 

III. SỐ GẦN ĐÚNG – SAI SỐ 

1. Số gần đúng 

Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng. 

2. Sai số tuyệt đối Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì ∆ 

a 

= a − a đgl sai số tuyệt đối 

của số gần đúng a. 

3. Độ chính xác của một số gần đúng 

Nếu ∆ 

a 

= a − a ≤ d thì a − d ≤ a ≤ a + d . Ta nói a là ssố gần đúng của a với độ chính 

xác d, và qui ước viết gọn là a = a ± d . 

4. Sai số tương đối Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , kí 

∆a 

hiệu δ 

a 

= . 

a 

• δ 

a 

càng nhỏ thì độ chính xác của phép đo đạc hoặc tính toán càng lớn. 

• Ta thường viết δ 

a 

dưới dạng phần trăm. 

5. Qui tròn số gần đúng 

• Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các 

chữ số bên phải nó bởi số 0. 

• Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay thế chữ số đó và các 

chữ số bên phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị vào chữ số ở hàng qui tròn. 

Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số qui tròn đến một hàng nào đó thì sai sô tuyệt đối của 

số qui tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng qui tròn. Như vậy, độ chính xác của số 

qui tròn bằng nửa đơn vị của hàng qui tròn. 

6. Chữ số chắc 

Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d. Trong số a, một chữ số đgl chữ số chắc 

(hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó. 

Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các 

chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc. 


MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ CHƯƠNG I (THAM KHẢO) 

ĐỀ 1 

Câu 1: (2,0 điểm) Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề , nếu là mệnh đề hãy xét tính đúng sai của nó 

và lập các mệnh đề phủ định. 

a) Số 2011 không chia hết cho 11 

b) Buôn Ma Thuột không phải là thành phố trực thuộc tỉnh Đăk Lăk. 

c) Học, học nữa, học mãi. 

d) Tam giác ABC với AB = 3; BC = 4 ; AC = 5 là tam giác vuông. 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho A = {n∈N | n là ước của 12} ; B = {n∈N | n là ước của 18}. 

Xác định các tập A ∪ B ; A ∩ B ; A \ B ; B \ A 

Câu 3: (2,0 điểm) Xác định các tập A ∪ B ; A ∩ B và A \ B rồi biểu diễn kết quả trên trục số: 

a) A = (−1; 5) ; B = [0; 6). b) A = [1; 3] ; B = (2; +∞). 

Câu 4: (2,0 điểm) Tìm các tập hợp A , B biết: A ∩ B = {3; 6; 9} ; A \ B ={1; 5; 7; 8} ; B \ A ={2; 10} 

Câu 5: (2,0 điểm) Một lớp có 40 học sinh trong đó có 20 học sinh giỏi Văn , 30 học sinh giỏi Toán và có 

8 học sinh không giỏi môn nào. Hỏi có bao nhiêu học sinh giỏi cả hai môn Văn và Toán. 

ĐỀ 2 

Câu 1: (1,0 điểm) 

a) Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Ngày 20/11/2011 là ngày chủ nhật” 

b) Cho mệnh đề: P “Số 30 chia hết cho 6” , Q: “Số 30 chia hết cho 3”. 

Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” và “ điều kiện đủ”. 

Mệnh đề P ⇒ Q đúng hay sai? 

Câu 2: (3,0 điểm) Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê mỗi phần tử của nó: 

A = {x∈Z | 1 < x 2 ≤ 9} ; B = {x∈R | x 3 – 4x 2 + 3x = 0} 

C = {n∈ N * | n là số chính phương và n 2 ≤ 25} ; D = {x∈Q | x 2 – 4x + 2 = 0} 

E = {x∈Z | x = 3k với k∈Z và –1< k < 5} ; F = {x∈Z | x 2 > 4 và |x| < 10} 

0 

Câu 3: (2,0 điểm) Xét hai mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD có tổng hai góc A và C bằng 180 ” 

Q: “Tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn” 

a) Phát biểu mệnh đề “ P⇒ Q ” b) Xác định tính đúng, sai của mệnh đề trên. 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho các tập hợp sau: A = {x ∈ R/ –2 ≤ x ≤ 3}, B = [–1 ; 5], C = [–4 ; 4), D = (3 ; 5]. 

Tìm và biểu diễn trên trục số các kết quả của các phép toán sau : 

A∩B ; A∪B ; A \ B ; D∪(A∩B) ; N ∩(A∪B) ; R \ (C∪D) 

Câu 5: (1,0 điểm) a) Cho { 2;3;11} 

B n | n à 

= ∈N l soá nguyeân toá vaø n < 12 .Tìm tất cả các tập 

A = ; { } 

con gồm 4 phần tử sao cho A ⊂ X ⊂ B 

b) Tìm số thực m sao cho: ⎡ m 

⎢ 

+ 1 

m; 

⎤ 

⎥ ⊂ X với X = (–∞ ; –1) ∪(1 ; + ∞) 

⎣ 2 ⎦ 

ĐỀ 3 

Câu 1: (2,0 điểm) Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề , nếu là mệnh đề hãy xét tính đúng 

sai của nó và lập các mệnh đề phủ định 

a. Hãy cố gắng lên. b. Phương trình x 2 + x + 1 = 0 vô nghiệm với mọi số thực x. 

c. 3 + 5 = 7 d. 16 không phải là số nguyên tố 

Câu 2: (2,0 điểm) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q, xét tính đúng sai và phát biểu mệnh đề đảo của nó 

a. P: “ABCD là hình chữ nhật” và Q: “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường” 

b. P: “3 > 5” và Q: “7 > 10” 

c. P: “ABC là tam giác vuông cân tại A” và Q: “Góc B = 45 0 ” 

Câu 3: (2,0 điểm) Cho A = {x | x là ước nguyên dương của 12}; B = {x ∈ N | x ≤ 5} 

C = {1,2,3} và D = {x ∈ N | (x + 1)(x − 2)(x − 4) = 0} 

a.Tìm tất cả các tập X sao cho D ⊂ X ⊂ A 

b.Tìm tất cả các tập Y sao cho (C ∪Y) = B 


Câu 4: (2,0 điểm) Cho A = {x ∈ N | x < 7} và B = {1;2;3;6;7;8} 

a.Xác định A∪B ; A∩B ; A\B ; B\A 

Câu 5: (2,0 điểm) Xác định các tập hợp sau: 

b.CMR, (A∪B)\(A∩B) = (A\B)∪(B\A) 

a) (–3 ; 5] ∩ [1 ; +∞) b) (−2 ; 5] ∩ Z c) (− ∞ ; 2) \ (–3 ; 5] d) [–3 ; 5] ∩ N 

ĐỀ 4 

Câu 1: (2,0 điểm) Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng cách sử dụng “điều kiện cần và đủ” và xét tính đúng 

sai của mệnh đề P ⇔ Q. 

a. P: “ ABCD là hình bình hành ” và Q: “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ” 

b. P: “ 9 không phải là số nguyên tố ” và Q: “ 9 2 + 1 không phải là số nguyên tố ” 

Câu 2: (2,0 điểm) Viết lại các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó: 

A = {2; 3; 5 ; 7 ; 11; 13; 17} ; B = {3; 15; 35 ; 63} ; C = {–5; 0; 5 ; 10 ; 15} ; D = {–2; 3} 

Câu 3: (2,0 điểm) Cho ba tập hợp: I = {x ∈ R | x 2 − x + 2 = 0} ; 

J = {x ∈ N | (2x − 1)(x 2 − 5x + 6) = 0}; K = {x | x = 2k với k ∈ Z và −3 < x < 13} 

Tìm J∩K ; J \ K ; K \ J ; I ∩ (J∪K) 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho A = {x ∈ R| 1≤ x ≤ 5} ; B = {x ∈ R| 4 ≤ x ≤ 7} và C = {x ∈ R| 2 ≤ x < 6} 

a. Hãy xác định A ∩B ; A ∩C ; B ∩C ; A ∪C ; A\(B ∪C) 

b. Gọi D = {x ∈ R| a ≤ x ≤ a +1}. Hãy xác định a để: D ∩ X = ∅ với X = C \ (A ∩B) 

2 

Câu 5: (1,0 điểm) Cho tập hợp A = { x | x à 8x 

+ 1 cuõng 

à 

} 

Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A. 

l soá nguyeân toá vaø l soá nguyeân toá . 

ĐỀ 5 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm): 

Câu 1: (2,0 điểm) Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề?Câu nào là mệnh đề đúng? Tìm mệnh 

đề phủ định của mệnh đề đúng đó. 

a) 2009 có phải là số nguyên tố không? c) 2009 là một số nguyên lẻ. 

b) 2009 là một số nguyên chia hết cho 3. 

Câu 2: (3,0 điểm) 

a) Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau : 

A = {x∈Z | −2 < x < 5} ; B = {x∈Z | 2x 2 − 5x + 2 = 0} 

b) Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp {b;c} 

Câu 3: (2,0 điểm) 

a) Dùng máy tính cầm tay viết số gần đúng của số 2009 chính xác đến chữ số hàng đơn vị và chữ 

số hàng phần trăm. 

b) Chứng minh rằng mệnh đề “ ∀n∈Z, n 2 + 2 không chia hết cho 4 ” là mệnh đề đúng. Viết mệnh 

đề phủ định của mệnh đề đó. 

II. PHẦN RIÊNG ( 3 điểm): 

(Học sinh học theo chương trình nào thì phải làm phần riêng của chương trình đó) 

1. Theo chương trình Chuẩn 

Câu 4a: (3,0 điểm) Cho hai tập hợp E = ( −3;2) , F = [0; +∞) 

1) Xác định các tập hợp E ∪ F ; ( CRF) 

∩ E ( Với R là tập số thực cho trước) 

2) Tìm tất cả các số thực m sao cho E ∩ [m; m +1] = ∅. 

2. Theo chương trình Nâng cao 

Câu 4b: (3,0 điểm) Cho hai tập hợp E = ( −3;2) , F = [0; +∞) 

1) Xác định các tập hợp E ∩ F; C ( E ∪ F) 

( Với R là tập số thực cho trước) 

R 

2) Tìm tất cả các số thực m sao cho tập hợp S = {x∈R| x 2 – 2x + m = 0} là tập hợp con của tập F. 


ĐỀ 6 


Câu 1: (3,0 điểm) Cho hai mệnh đề P: “ 5 + 7 = 12” và Q: “ ∀x∈R, x 2 > 0” 

a) Nêu mệnh đề phủ định của hai mệnh đề trên. 

b) Cho biết tính chất đúng sai của hai mệnh đề P và P ⇒ Q 

Câu 2: (3,0 điểm) Cho ba tập hợp 

A = {1;2;3;4} ; B = {2;4;6;8} và C = {x∈R | x 4 − 5x 2 + 4 = 0}. 

a) Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp A ∪ B , A\ B và C. 

b) Tìm tất cả các tập hợp X sao cho (A ∩ B) ⊂ X ⊂ A. 

Câu 3: (1,0 điểm) Dùng máy tính cầm tay để viết số gần đúng của các số 2010 và 3 2014 chính xác 

đến chữ số hàng phần trăm. 




Câu 4a: (3,0 điểm) Cho hai tập hợp G = (0;3) và H = (−∞; 2]. 

a) Xác định các tập hợp G ∩ H, G ∩Z , CR 

( G ∪ H ) 

b) Tìm 2 số thực m, n để có {x∈R | x 2 − mx + n = 0} = {1;2} 


Câu 4b: (3,0 điểm) Cho hai tập hợp G = (0;3) và H = (−∞; 2]. 

a) Xác định các tập hợp G ∪ H, H ∩ N , ( CRG) ∩ ( CR 

H ) 

b) Tìm 2 số thực m, n để có {x∈R | x 3 −mx 2 + nx − 2 = 0} = {1;2} 

ĐỀ 7 

I. PHẦN CHUNG (7.0 điểm) 

Câu 1. (2.0 điểm) Cho mệnh đề P(x) : “ x 4 = x ” 

1) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: P(0), P(1), P(2). 

2) Dùng kí hiệu ∀ hoặc ∃ viết lại mệnh đề P(x) để được mệnh đề đúng. 

Câu 2. (3.0 điểm) 

1) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề đó: 

A = “∀x ∈ R; x 2 – 3x + 2 > 0”, 

B = “∃x∈R; x 4 + 5x 2 – 6 =0”. 

2) Cho 3 tập hợp: A = (– ∞ ; -2] , B = [– 4 ; 2] và C = (0 ; 5). 

Tìm: (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A\(B ∩ C). 

Câu 3. (2.0 điểm) 

1) Chiều dài của con đường l = 189,62 m ± 0,01 m. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng 189,62. 

⎛ 1 ⎞ 

2) Cho số thực m < 0. Tùy theo giá trị của m. Hãy tìm ( −∞; m) 

∩ ⎜ ; +∞⎟ 

⎝ 3m 

⎠ 

II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) 

1. Theo chương trình Chuẩn. 

A = n∈N | n là 

soá nguyeân toá vaø n < 9 ; 

Câu 4.a(1.5 điểm) Cho 2 tập hợp: { } 

B = {n ∈ Z | n là öôùc cuûa 6} 

Tìm A \ B, A ∩ B. 

A∩ B ⊂ A 

Câu 5.a. (1.5 điểm) 1) Cho A, B là các tập hợp. Chứng minh: ( ) 

2) Tìm số các tập con của tập hợp {a, b, c} 

2. Theo chương trình Nâng cao. 

Câu 4.b. (1.0 điểm) Chứng minh rằng: nếu n là số nguyên lẻ thì 3n + 2 cũng là số nguyên lẻ. 

Câu 5.b. (2.0 điểm) 1) Xét tính đúng sai của mệnh đề sau: 

“Nếu mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề sai. Thì mệnh đề Q ⇒ P cũng là mệnh đề sai”. 

2) Cho hình chữ nhật có các kích thước 2m ± 0,02 m; 3m ± 0,04m 

. Chứng minh 

chu vi hình chữ nhật là10m 

± 0,12 m. 


ĐỀ 8 


Câu 1: (1,5 điểm) Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề? Câu nào là mệnh đề đúng. 

a) Số 2011 chia hết cho 5. 

b) Hôm qua bạn làm gì vậy ? 

c) Số 100 là số chính phương. 

Câu 2: (2,0 điểm) Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau : 

A = ”Số 101 không phải là số nguyên tố” ; B = { ∃x∈Q| 2x 2 – 3x – 5 = 0} 

C = {∃n∈N | n 2 + 1 là số lẻ} ; D = {∀x∈ R | x 2 + 2 < 0} 

Câu 3: (3,5 điểm) 

1. Cho ba tập hợp: A = {x∈N | 1 < x 2 < 17} ; B = {x∈Z | (x 3 – 9x)(3x 2 − 10x + 3) = 0} 

C = {x∈N | x là số nguyên tố và x là ước của 30} 

a) Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp A, B và C. 

b) Tìm A ∩ B ; (A ∪ B) \ C ; (B \ C) ∩ Z với Z là tập hợp các số nguyên. 

2. Cho A = {–1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7} ; B = {x∈Z | 1 ≤ ⎢x⎥ < 3}. 

Tìm tất cả các tập hợp X biết X ⊂ (A ∩ B) 




Câu 4a: (3,0 điểm) Cho hai tập hợp E = ( −∞; 4] , F = [1; 6) 

a) Xác định các tập hợp E ∩ F ; E \ F ; CR ( E ∪ F) 

( Với R là tập số thực cho trước) 

b) Tìm tất cả các số thực m sao cho tập S⊄ (E ∩ F) với S ={x∈R| x 2 – 2(m+1)x + m 2 + 2m = 0} 


Câu 4b: (3,0 điểm) Cho hai tập hợp E = ( −∞; 4] , F = [1; 6) 

a) Xác định các tập hợp E ∪ F ; F ∩Z ; CR ( E \ F) 

(VớiZ , R là tập số nguyên và tập số thực ) 

b) Tìm tất cả các số thực m sao cho: (C R 

F ) ∩ [m – 1; m +1] ≠ ∅. 



CHƯƠNG II 

HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 

I. HÀM SỐ 

1. Định nghĩa 

• Cho D ⊂ R, D ≠ ∅. Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x ∈ 

D với một và chỉ một số y ∈ R. 

• x đgl biến số (đối số), y đgl giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: y = f(x). 

• D đgl tập xác định của hàm số. 

• T = { y f ( x) 

x D} 

= ∈ đgl tập giá trị của hàm số. 

2. Cách cho hàm số 

• Cho bằng bảng • Cho bằng biểu đồ • Cho bằng công thức y = f(x). 

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) 

có nghĩa. 

3. Đồ thị của hàm số 

M x; f ( x) trên 

Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm ( ) 

mặt phẳng toạ độ với mọi x ∈ D. 

Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f(x) là một đường. Khi đó ta nói y = f(x) là 

phương trình của đường đó. 

4. Sư biến thiên của hàm số 

Cho hàm số f xác định trên K. 

• Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x , x ∈ K : x < x ⇒ f ( x ) < f ( x ) 

1 2 1 2 1 2 

• Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x , x ∈ K : x < x ⇒ f ( x ) > f ( x ) 

1 2 1 2 1 2 

5. Tính chẵn lẻ của hàm số 

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. 

• Hàm số f đgl hàm số chẵn nếu với ∀x ∈ D thì –x ∈ D và f(–x) = f(x). 

• Hàm số f đgl hàm số lẻ nếu với ∀x ∈ D thì –x ∈ D và f(–x) = –f(x). 

Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. 

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. 

VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định của hàm số 

• Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho 

biểu thức f(x) có nghĩa: D = { x R f ( x) 

coù nghóa} 

∈ . 

• Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp: 

1) Hàm số y = P ( x ) 

: Điều kiện xác định: Q(x) ≠ 0. 

Q( x) 2) Hàm số y = R( x) : Điều kiện xác định: R(x) ≥ 0. 

Chú ý: + Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau. 

+ Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A ⊂ D. 

⎧A 

≠ 0 

+ A.B ≠ 0 ⇔ ⎨ . 

⎩B 

≠ 0 

Baøi 1. Tình giá trị của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: 

a) f ( x) = − 5x 

. Tính f(0), f(2), f(–2), f(3). 

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 10/219.


Tài liệu giảng dạy tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk 

b) 

x −1 

f ( x) 

= 

. Tính f(2), f(0), f(3), f(–2). 

2 

2x 

− 3x 

+ 1 

c) f ( x) = 2 x − 1 + 3 x − 2 . Tính f(2), f(–2), f(0), f(1). 

⎧ 2 

khi x < 0 

⎪ x −1 

⎨ 

d) f ( x) = 

⎪ 

x + 1 khi 0 ≤ x ≤ 2 . Tính f(–2), f(0), f(1), f(2) f(3). 

2 

⎪⎩ 

x − 1 khi x > 2 

⎧− 1 khi x < 0 

⎪ 

e) f ( x) = ⎨0 khi x = 0 . Tính f(–2), f(–1), f(0), f(2), f(5). 

⎪ ⎩1 khi x > 0 

Baøi 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 

2x 

+ 1 

x − 3 

4 

a) y = 

b) y = c) y = 

3x 

+ 2 

5 − 2x 

x + 4 

x 

x −1 

3x 

d) y = 

e) y = 

f) y = 

2 

2 

2 

x − 3x 

+ 2 

2x 

− 5x 

+ 2 

x + x + 1 

x −1 

2x 

+ 1 

1 

g) y = 

h) y = 

i) y = 

x 3 2 

4 2 

+ 1 

( x − 2)( x − 4x 

+ 3) x + 2x 

− 3 

Baøi 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 

a) y = 2x 

− 3 

b) y = 2x 

− 3 

c) y = 4 − x + x + 1 

1 

1 

d) y = x − 1 + e) y = 

x − 3 

( x + 2) x −1 

f) y = x + 3 − 2 x + 2 

5 − 2x 

1 

1 

g) y = 

h) y = 2x 

− 1 + 

i) y = x + 3 + 

( x − 2) x −1 

3 − x 

x 2 − 4 

Baøi 4. Tìm a để hàm số xác định trên tập K đã chỉ ra: 

2x 

+ 1 

a) y = 

; 

2 

x − 6x + a − 2 

K = R. ĐS: a > 11 

3x 

+ 1 

b) y = 

; 

2 

x − 2ax 

+ 4 

K = R. ĐS: –2 < a < 2 

c) y = x − a + 2x − a − 1 ; K = (0; +∞). ĐS: a ≤ 1 

x − a 

4 

d) y = 2x − 3a 

+ 4 + ; K = (0; +∞). ĐS: 1 ≤ a ≤ 

x + a − 1 

3 

x + 2a 

e) y = ; K = (–1; 0). ĐS: a ≤ 0 hoặc a ≥ 1 

x − a + 1 

1 

f) y = + − x + 2a 

+ 6 ; K = (–1; 0). ĐS: –3 ≤ a ≤ –1 

x − a 

1 

e) y = 2x + a + 1 + ; K = (1; +∞). ĐS: –1 ≤ a ≤ 1 

x − a 

VẤN ĐỀ 2: Xét sự biến thiên của hàm số 

Cho hàm số f xác định trên K. 

• y = f(x) đồng biến trên K ⇔ ∀x , x ∈ K : x < x ⇒ f ( x ) < f ( x ) 

1 2 1 2 1 2 



f ( x2) − f ( x1) 

⇔ ∀x1, x2 ∈ K : x1 ≠ x2 

⇒ > 0 

x − x 

2 1 

• y = f(x) nghịch biến trên K ⇔ ∀x , x ∈ K : x < x ⇒ f ( x ) > f ( x ) 

1 2 1 2 1 2 

f ( x2) − f ( x1) 

⇔ ∀x1, x2 ∈ K : x1 ≠ x2 

⇒ < 0 

x − x 

2 1 

Baøi 1. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra: 

a) y = 2x 

+ 3 ; R. b) y = − x + 5 ; R. 

2 

c) y = x − 4x 

; (–∞; 2), (2; +∞). d) y = 2x + 4x 

+ 1; (–∞; 1), (1; +∞). 

4 

3 

e) y = ; (–∞; –1), (–1; +∞). f) y = ; (–∞; 2), (2; +∞). 

x + 1 

2 − x 

Baøi 2. Với giá trị nào của m thì các hàm số sau đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định 

(hoặc trên từng khoảng xác định): 

a) y = ( m − 2) x + 5 

b) y = ( m + 1) x + m − 2 

m 

m +1 

c) y = d) y = 

x − 2 

x 

VẤN ĐỀ 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số 

Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau: 

• Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không. 

• Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D). 

+ Nếu f(–x) = f(x), ∀x ∈ D thì f là hàm số chẵn. 

+ Nếu f(–x) = –f(x), ∀x ∈ D thì f là hàm số lẻ. 

Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với ∀x ∈ D thì –x ∈ D. 

+ Nếu ∃x ∈ D mà f(–x) ≠ ± f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ. 

2 

Baøi 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: 

4 2 

a) y = x − 4x 

+ 2 

b) y = − 2x + 3x 

c) y = x + 2 − x − 2 

d) y = 2x + 1 + 2x 

− 1 e) y = ( x − 1) 

f) y = x + x 

2 

x + 4 

x + 1 + x −1 

g) y = h) y = 

4 

x 

x + 1 − x −1 

II. HÀM SỐ BẬC NHẤT 

3 

2 

2 

2 

i) y = 2x − x 

1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) 

• Tập xác định: D = R. 

• Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R. 

+ Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R. 

• Đồ thị là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b). 

Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d′): y = a′x + b′: 

+ (d) song song với (d′) ⇔ a = a′ và b ≠ b′. 

+ (d) trùng với (d′) ⇔ a = a′ và b = b′. 

+ (d) cắt (d′) ⇔ a ≠ a′. 

2. Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) 




⎧ 

b 

ax + b khi x ≥ − 

⎪ 

y = ax + b = ⎨ 

a 

⎪ 

b 

− ( ax + b) 

khi x < − 

⎪⎩ 

a 

Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và 

y = –ax – b, rồi xoá đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành. 

Baøi 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

x − 3 

a) y = 2x 

− 7 

b) y = − 3x 

+ 5 c) y = d) 

2 

Baøi 2. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau: 

a) y = 3x − 2; y = 2x 

+ 3 

b) y = − 3x + 2; y = 4( x − 3) 

5 − x 

y = 

3 

x − 3 5 − x 

c) y = 2 x; y = −x 

− 3 

d) y = ; y = 

2 3 

Baøi 3. Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trị k để đồ thị của hàm số y = − 2 x + k( x + 1) : 

a) Đi qua gốc tọa độ O b) Đi qua điểm M(–2 ; 3) 

c) Song song với đường thẳng y = 2. x 

Baøi 4. Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b : 

a) Đi qua hai điểm A(–1; –20), B(3; 8). 

2 

b) Đi qua điểm M(4; –3) và song song với đường thẳng d: y = − x + 1. 

3 

c) Cắt đường thẳng d 1 : y = 2x 

+ 5 tại điểm có hoành độ bằng –2 và cắt đường thẳng d 2 : 

y = –3x 

+ 4 tại điểm có tung độ bằng –2. 

1 

d) Song song với đường thẳng y = x và đi qua giao điểm của hai đường thẳng 

2 

1 

y = − x + 1 và y = 3x 

+ 5. 

2 

Baøi 5. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho ba đường thẳng sau phân biệt 

và đồng qui: 

a) y = 2 x; y = −x − 3; y = mx + 5 

b) y = –5( x + 1); y = mx + 3; y = 3x + m 

c) y = 2x − 1; y = 8 − x; y = (3 − 2 m) x + 2 

d) y = (5 − 3 m) x + m − 2; y = − x + 11; y = x + 3 

e) y = − x + 5; y = 2x − 7; y = ( m − 2) x + m 2 + 4 

Baøi 6. Tìm điểm sao cho đường thẳng sau luôn đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào: 

a) y = 2mx + 1− m 

b) y = mx − 3 − x 

c) y = (2m + 5) x + m + 3 

d) y = m( x + 2) 

e) y = (2m − 3) x + 2 

f) y = ( m −1) x − 2m 

Baøi 7. Với giá trị nào của m thì hàm số sau đồng biến? nghịch biến? 

a) y = (2m + 3) x − m + 1 

b) y = (2m + 5) x + m + 3 

c) y = mx − 3 − x 

d) y = m( x + 2) 

Baøi 8. Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng cho sau đây: 

a) 3y − 6x 

+ 1 = 0 b) y = −0,5x 

− 4 

x 

c) y = 3 + 2 

d) 2y + x = 6 



e) 2x − y = 1 

f) y = 0,5x 

+ 1 

Baøi 9. Với giá trị nào của m thì đồ thị của các cặp hàm số sau song song với nhau: 

a) y = (3m − 1) x + m + 3; y = 2x 

− 1 

m 2( m + 2) 3m 5m 

+ 4 

b) y = x + ; y = x − 

1− m m − 1 3m + 1 3m 

+ 1 

c) y = m( x + 2); y = (2m + 3) x − m + 1 

Baøi 10. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

⎧−x 

khi x ≤ −1 

⎧−2x 

− 2 khi x < −1 

⎪ 

⎪ 

a) y = ⎨1 khi − 1 < x < 2 b) y = ⎨0 khi −1 ≤ x ≤ 2 

⎪⎩ 

x −1 khi x ≥ 2 

⎪⎩ 

x − 2 khi x ≥ 2 

c) y = 3x 

+ 5 

d) y = −2 x − 1 e) y = − 1 2x 

+ 3 + 

5 

2 2 

f) y = x − 2 + 1− x g) y = x − x − 1 h) y = x + x − 1 + x + 1 

III. HÀM SỐ BẬC HAI 

• Tập xác định: D = R 

• Sự biến thiên: 

2 

y = ax + bx + c (a ≠ 0) 

⎛ b ∆ ⎞ 

• Đồ thị là một parabol có đỉnh I ⎜ − ; − ⎟ 

⎝ 2a 

4a 

⎠ , nhận đường thẳng b 

x = − làm trục đối 

2a 

xứng, hướng bề lõm lên trên khi a > 0, xuông dưới khi a < 0. 

Chú ý: Để vẽ đường parabol ta có thể thực hiện các bước như sau: 

⎛ b ∆ ⎞ 

– Xác định toạ độ đỉnh I ⎜ − ; − ⎟ 

⎝ 2a 

4a 

⎠ . 

b 

– Xác định trục đối xứng x = − và hướng bề lõm của parabol. 

2a 

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các 

trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng). 

– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol. 

Baøi 1. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

2 

2 

a) y = x − 2x 

b) y = − x + 2x 

+ 3 c) y = − x + 2x 

− 2 

1 2 

2 

2 

d) y = − x + 2x 

− 2 e) y = x − 4x 

+ 4 f) y = −x − 4x 

+ 1 

2 

Baøi 2. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đồ thị của các hàm số sau: 

2 

a) y = x − 1; y = x − 2x 

− 1 b) y = − x + 3; y = −x − 4x 

+ 1 

2 

2 2 

c) y = 2x − 5; y = x − 4x 

+ 4 d) y = x − 2x − 1; y = x − 4x 

+ 4 

2 2 

e) y = 3x − 4x + 1; y = − 3x + 2x 

− 1 f) y = 2x + x + 1; y = − x + x − 1 

Baøi 3. Xác định parabol (P) biết: 

2 

2 

2 2 




2 

3 

a) (P): y = ax + bx + 2 đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng x = . 

2 

2 

b) (P): y = ax + bx + 3 đi qua điểm A(–1; 9) và có trục đối xứng x = − 2 . 

2 

c) (P): y = ax + bx + c đi qua điểm A(0; 5) và có đỉnh I(3; –4). 

2 

d) (P): y = ax + bx + c đi qua điểm A(2; –3) và có đỉnh I(1; –4). 

2 

e) (P): y = ax + bx + c đi qua các điểm A(1; 1), B(–1; –3), O(0; 0). 

2 

f) (P): y = x + bx + c đi qua điểm A(1; 0) và đỉnh I có tung độ bằng –1. 

Baøi 4. Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị của mỗi hàm số sau luôn cắt trục hoành tại hai 

điểm phân biệt và đỉnh I của đồ thị luôn chạy trên một đường thẳng cố định: 

a) 

2 

2 m 

2 2 

y = x − mx + − 1 

b) y = x − 2mx + m − 1 

4 

2 

Baøi 5. Vẽ đồ thị của hàm số y = − x + 5x 

+ 6 . Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số 

m, số điểm chung của parabol y = − x + 5x 

+ 6 và đường thẳng y = m . 

Baøi 6. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

2 

= − + b) ( ) 

2 

a) y x 2 x 1 

y = x x − 2 

c) y = x − 2 x − 1 

x neáu x 

d) y 

⎧⎪− 2 

− 2 < 1 ⎧− 2x 

+ 1 neáu x ≥ 0 ⎧ 2x 

khi x < 0 

= ⎨ 

e) y = 

2 

⎨ 2 

f) y = ⎨ 2 

⎪⎩ 2x − 2x − 3 neáu x ≥ 1 ⎩x + 4x + 1 neáu x < 0 ⎩x 

− x khi x ≥ 0 

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II 

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 

a) y = 2 − x − 

2 

4 

x + 4 

1− x − 1+ 

x 

3x 

− x 

b) y = c) y = 

x 

2 

x − x + x −1 

x + 2x 

+ 3 

x + 2 + 3 − 2x 

2x 

−1 

d) y = 

e) y = 

f) y = 

2 − 5 − x 

x −1 

x x − 4 

Bài 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: 

2 

x + 1 

1 

a) y = − x + 4x 

− 1 trên (−∞; 2) b) y = trên (1; +∞) c) y = 

x − 1 

x −1 

1 

x + 3 

d) y = 3 − 2x 

e) y = 

f) y = trên (2; +∞) 

x − 2 

x − 2 

Bài 3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: 

a) 

x 

y = 

4 2 

+ x − 2 

x 

2 

−1 

b) y = 3 + x + 3 − x c) y = x( x + 2 x ) 

x + 1 + x −1 

x x 

d) y = 

e) y = 

f) y = x − 2 

x + 1 − x −1 

2 

x + 1 

Bài 4. Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên tập đối xứng D. Chứng minh rằng: 

1 

a) Hàm số F( x) = [ f ( x) + f ( − x) 

] là hàm số chẵn xác định trên D. 

2 

1 

b) Hàm số G( x) = [ f ( x) − f ( − x) 

] là hàm số lẻ xác định trên D. 

2 

c) Hàm số f(x) có thể phân tích thành tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ. 

3 

2 

2 

2 


HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 

§1 HÀM SỐ 

I. Ôn tập về hàm số 

1. Hàm số: 

Cho D ⊂ R . Hàm số f xác định trên D là một quy tắc ứng với mỗi x∈D là một và chỉ một số y ∈ R , kí 

hiệu là y= f(x). Khi đó: 

+ x gọi là biến số (hay đối số) của hàm số và y gọi là hàm số của x; 

+ D gọi là tập xác định (hay miền xác định); 

+ f( x ) là giá trị của hàm số tại x. 

2. Cách cho hàm số 

+ Hàm số cho bằng bảng. 

+ Hàm số cho bằng biểu đồ. 

+ Hàm số cho bằng công thức: y=f( x ) 

Chú ý: Khi hàm số cho bởi công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì : “ Tập xác định của hàm số y=f( x ) là 

tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f( x ) có nghĩa”. 

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số 

a) y=f( x )= x − 3 

b) y= 3 x + 2 

⎧2x 

+ 1 khi x ≥ 0 

Ví dụ 2: Cho y = ⎨ − 

2 

x khi x < 0 

c) y= x + 1 + 1− 

x 

⎩ 

a) Tìm tập xác định của hàm số. 

b) Tính f(−1), f(1), f(0). 

3. Đồ thị hàm số 

Đồ thị của hàm số y=f( x ) xác định trên D là tập hợp các điểm M(x;f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x 

∈D. 

II. Sự biến thiên của hàm số 

Cho f(x) xác định trên khoảng K. Khi đó: 

f đồng biến ( tăng) trên K ⇔∀x 1 ;x 2 ∈K ; x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) 

f nghịch biến ( giảm) trên K ⇔∀x 1 ;x 2 ∈K ; x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ) 

Bảng biến thiên: là bảng tổng kết chiều biến thiên của hàm số (xem SGK) 

III. Tính chẵn lẻ của hàm số 

+ f gọi là chẵn trên D nếu ∀x∈D ⇒ −x ∈D và f(−x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. 

+ f gọi là lẻ trên D nếu ∀x∈D ⇒ −x ∈D và f(−x) = − f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng. 

CÁC DẠNG BÀI TẬP 

I. Tìm tập xác định của hàm số 

*Phương pháp 

+ Để tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) ta tìm điều kiện để f(x) có nghĩa,tức là: 

D = {x∈ R | f(x) ∈ R } 

+ Cho u(x), v(x) là các đa thức theo x , khi ta xét một số trường hợp sau : 

a) Miền xác định của hàm số dạng đẳng thức : y=u(x) ; y = u(x)+v(x) ; y=| u(x) | ; 

y = | u ( x) 

| … là D = R 

(không chứa căn bậc chẵn, không có phân số, chỉ có căn bậc lẻ,…) 

u( 

x) 

b) Miền xác định hàm số y = là D = { x∈ R | v(x) ≠ 0 } 

v( 

x) 

c) Miền xác định hàm số y = u (x) 

là D = { x∈ R | u(x) ≥ 0 } 

d) Miền xác định hàm số y = 

u( 

x) 

v( 

x) 

e) Miền xác định hàm số y = u ( x) 

+ v( 

x) 

là 

là D = { x∈ R | u(x) > 0 } 

⎪⎧ 

u( 

x) 

≥ 0 

D= {x∈ R | u(x) ≥ 0 } ∩ {x∈ R | v(x) ≥ 0 } tức là nghiệm của hệ ⎨ ⎪⎩ v( 

x) 

≥ 0 


II. Xét sự biến thiên của hàm số 

* Phương pháp 

+ Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x). 

+ Viết D về dạng hợp của nhiều khoảng xác định ( nếu có ). 

+ Xét sự biến thiên của hàm số trên từng khoảng xác định K= (a;b) như sau: 

. Giả sử ∀x 1 ,x 2 ∈ K, x 1 < x 2 

. Tính f(x 2 ) - f(x 1 ) 

f ( x2 ) − f ( x1) 

. Lập tỉ số T = 

x2 

− x1 

Nếu T > 0 thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) 

Nếu T < 0 thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b). 

VÍ DỤ: 

III. Xét tính chẵn lẻ của hàm số 

* Phương pháp 

+ Tìm tập xác định D của hàm số y =f(x) 

+ Chứng minh D là tập đối xứng, tức là : ∀ x∈D ⇒ −x ∈ D 

+ Tính f(-x), khi đó 

. Nếu f(-x) = f(x) với ∀ x∈D thì y =f(x) là hàm số chẵn 

. Nếu f(-x) = -f(x) với ∀ x∈D thì y = f(x) là hàm số lẻ. 

. Nếu có một x 0 ∈ D sao f(-x 0 ) ≠ f(x 0 ) & f(-x 0 ) ≠ -f(x 0 ) thì hàm số y = f(x) không chẵn và không lẻ. 

1.1. Tìm tập xác định của các hàm số sau 

3x 

−1 

a) y= 3x 3 − x +2 b) y = c) y= 3x − 2 

− 2x 

+ 2 

2x 

+ 1 

d) y= − 2x 

+ 1 − x − 1 e) y= f) y= 1 

x 2 

x 1 

− 2x 

+ 1 

x + + 

2 

1 

g) y= x + 1 

h) y = 

2 

x + 4x 

+ 5 

⎧1- x neáu x ≤ 0 

1.2. Cho hàm số y= ⎨ 

. Tính các giá trị của hàm số đó tại x =−3; x =0; x =1 

⎩x neáu x > 0 

⎧2x 

− 3 

⎪ khi x ≤ 0 

1.3. Cho hàm số y= ⎨ x −1 

Tính giá trị của hàm số đó tại x =5; x =−2; x = 2 

2 ⎪− ⎩ x + 2x khi x > 0 

⎧ − 3x 

+ 8 vôùi x < 2 

1.4. Cho hàm số y=g( x ) ⎨ 

Tính các giá trị g(−3); g(0); g(1); g(2); g(9) 

⎩ x + 7 vôùi x ≥ 2 

1.5. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng được chỉ ra 

a) y=f( x )= −2x 2 −7 trên khoảng (−4;0) và trên khoảng (3;10) 

x 

b) y=f( x )= trên khoảng (−∞;7) và trên khoảng (7;+∞) 

x − 7 

1.6. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau 

2 

x 2 

a) y=f( x )= 2x + 3 

b) y=f( x )= 

c) y=f( x )=x 3 − 1 d) y=3 


3x 

− 2 

a) y= 

b) y= 2 x + 4 

2 

+ 

4x 

+ 3x 

− 7 

x − 3 

3x 

− 5 c) y= − x 5 +7 x −3 

7 + x 

x + 9 

d) y= e) y= 

x 2 

4x 

+ 1 − − 2x 

+ 1 

f) y= 

+ 2x 

− 5 

x 2 

+ 8x 

− 20 

+ 

x 


2x 

−1 

g) y= 

(2x 

+ 1)( x − 3) 


2x 

− 3 

x 2 + 2x 

a) y = 

b) y = 

2 

x − x + 1 

x 

2 

2x 

+ 1 

d) y = 

e) y = 

3 

( x + 2) x + 1 

x − 3x 

+ 2 

1.9. Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng đã chi ra 

a) y= −2 x +3 trên R 

b) y= x 2 +10 x +9 trên (−5;+∞) 

1 

h) y= 1 3 x 

− 

x − 2 − 4x 

+ 2 

x + 3 

c) y = 

2 

x − 3x 

+ 2 

2x 

+ 1 

f) y = 

2 

x + x + 1 

c) y= − x + 1 

trên (−3;−2) và (2;3) 

1.10. Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng đã chi ra 

a) y = x 2 +4x-2 ; (- ∞ ;2) , (-2;+ ∞ ) b) y = -2x 2 +4x+1 ; (-∞ ;1) , (1;+ ∞ ) 

c) y = 

4 

x + 1 

; (-1;+ ∞ ) d) y = 

3 

2 − x 

; (2;+ ∞ ) 

1.11. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau 

a) y= −4 b) y= 3x 2 −1 

4 2 

− x + x + 1 

c) y= − x 4 +3 x −2 d) y= 

x 

1.12. Xét tính chẵn lẻ của các số sau 

a) y = x 4 -x 2 +2 b) y= -2x 3 +3x 

c) y = | x+2| - |x-2| d) y = |2x+1| + |2x-1| 

e) y = (x-1) 2 f) y = x 2 +2 

a 

1.13. Cho hàm số y= f(x) = , với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến (tăng), nghịch biến trên các khoảng 

x − 2 

xác định của nó. 

⎪⎧ 

− 2( x − 2) neáu -1 ≤ x < 1 

1.14. Cho hàm số f ( x) 

= ⎨ 

2 

⎪⎩ x −1 

neáu x ≥ 1 

a) Tìm tập xác định của hàm số f. 

b) Tính f(-1), f(0,5), f( 2 ), f(1), f(2). 

2 

BÀI TẬP THÊM 1 

Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau : 

3x + 5 

a) y = D= R \{− 1 2 x + 1 

2 } b) 3x 

+ 5 

y = 

D= R 

2 

x − x + 1 

x − 2 

x −1 

c) y = 

D= R \{1;2} d) y = 

2 

x − 3x 

+ 2 

x − 2 

D=[1;+∞)\{2} 

2 

x − 2 

3x + 1 

e) y = 

D=(−1;+∞) f) y = 

( x + 2) x + 1 

x 2 − 9 

D= R \{−3;3} 

x 

g) y = − − x 

2 

1− 

x 

i) 

x − 3 2 − x 

D=(−∞;0]\{−1} h) y = 

D=(−2;2] 

x + 2 

x −1 

+ 4 − x 

y = 

D=[1;4]\{2;3} j) y= 2 x + 1 − 3 − x D=[− 1 ( x − 2)( x − 3) 

2 ;3] 

Bài tập 2 : Cho hàm số 

⎪⎧ 

− 2( x − 2) 

f ( x) 

= ⎨ 

2 

⎪⎩ x −1 

neáu -1 ≤ x < 1 

neáu x ≥ 1 


a) Tìm tập xác định của hàm số f. D=[−1;∞) 

b) Tính f(-1), f(0,5), f( 2 ), f(1), f(2). 

2 

Bài tập 3: Trong các điểm sau M(-1;6), N(1;1), P(0;1), 

điểm nào thuộc đồ thị hàm số y=3x 2 -2x+1. 

Bài tập 4: Trong các điểm A(-2;8), B(4;12), C(2;8), D(5;25+ 2 ), điểm nào thuộc đồ thị hàm số f(x)= x 2 + x − 3 . 

Bài tập 5: Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó: 

a) y= x 2 +2x-2 trên mỗi khoảng (-∞;-1) và (-1;+∞) T= x 2 +x 1 +2 

x −∞ −1 +∞ 

y=x 2 +∞ +∞ 

+2x-2 

−3 

b) y= -2x 2 +4x+1 trên mỗi khoảng (-∞;1) và (1;+∞) T=−2(x 1 +x 2 −2) 

x −∞ 1 +∞ 

y=-2x 2 3 

+4x+1 

−∞ 

−∞ 

2 

−2 

c) y= trên mỗi khoảng (-∞;3) và (3;+∞) T= 

x − 3 

( x1 − 3)( x2 

− 3) 

x −∞ 1 +∞ 

2 0 +∞ 

y= 

x − 3 

−∞ 0 

1 

d) y= trên mỗi khoảng (-∞;2) và (2;+∞) 

x − 2 

−1 

T= 

( x1 − 2)( x2 

− 2) 

e) y= x 2 -6x+5 trên mỗi khoảng (-∞;3) và (3;+∞) 

T= x 2 +x 1 −6 

f) y= x 2005 +1 trên khoảng (-∞;+∞) 

x 1 

2005 

x 1 < x 2 

2005 => f(x 1 )= 

2005 

x 1 +1< x 2 

2005 

+1=f(x 2 )⇒ đồng biến 

Bài tập 7: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau : 

a) y=x 4 −3x 2 +1 chẵn b) y= -2x 3 +x lẻ 

c) y= |x+2| - |x-2| lẻ d) y=|2x+1|+|2x-1| chẵn 

e) y= |x| chẵn f) y=(x+2) 2 

g) y=x 3 +x lẻ h) y=x 2 +x+1 

i) y=x|x| lẻ j) y= 1 + x + 1− 

x D=[−1;1] chẵn 

k) y= 1 + x − 1− 

x D=[−1;1] lẻ 

1. Tìm tập xác định của hàm số 

a) y = |x+2| - | 3x 2 -4x-3| D= R 

2 

b) y = | x + x − 4 | 

D= R 

c) y = 

1 

| 5x + 6 | + 

5 

D= R 

1 

d) y = 

x 2 + 1 

D= R 

| 2x 

− 3 | 

e) y = 

2 

x + x + 6 

D= R 

1 

f) y= 

x − 3x 

D= R \{0;3} 

BÀI TẬP THÊM 2 


g) y = 

1 

1 − x + 

x 1+ 

x 

D=(−1;1]\{0} 

h) y = 

2x 

−1 

x | x − 4 | 

D=(0;+∞)\{4} 

i) y = 

1 

3 − x + 

x 

2 −1 

D=(−∞;3]\{−1;1} 

j) y = 

1 

2 2 

D= R vì 2x − 4x + 4 = ( 2x 

− 2) + 2 >0 ∀x 

2 

2x 

− 4x 

+ 4 

k) y = 6 − x + 2x 

2x 

+ 1 

1 

D=[ − ;6] 

2 

2x 

+ 1 

l) y = 

x(| 

x | −1) 

D= R \{−1;0;1} 

2 

x + 1 

m) y = + x 

2 − x 

1+ 

x D=[−1;2) 

1 

n) y = + ( x + 2) 

2 

x + 3x 

+ 3 

x + 3 

D=[−3;+∞) vì 

o) y = 

1 2 

+ | x + 1| x − x + 6 

2 

x + 3x 

+ 5 

D= R 

vì 

2 3 2 11 

x + 3x + 5 = ( x + ) + >0 ∀ x 

2 4 

2 1 2 23 

x − x + 6 = ( x − ) + >0 ∀ x 

2 4 

| x | 

p) y = 

2 

| x − 2 | + | x + 2x 

| 

D= R 

vì không có giá trị nào của x để |x−2|+|x 2 +2x|=0. Thật vậy: 

nếu x−2=0⇒ x=2 thì x 2 +2x≠ 0 

3x 

+ 5 

q) y = 3 D= R \{−1;1} 

2 

x −1 

r) y = 

2 

x + 2x + 1 + x − 3 D=[3;+∞) 

2 

s) y = x − 2x + 1 + x − 3 - x − 4 + 1 D=[4;+∞) 

1 

t) y = 

D= R \{1} 

2 

2 

| x − 3x 

+ 2 | + | x −1| 

vì khi x=1 thì mẫu bằng 0 (tương tự câu p) 

2 

| x | −1 

x − | x | 

u) y = − 

D= R \{−1;1} 

2 

2 

x −1 

x − 2 | x | + 1 

⎡ 2 

2 

x − 2x + 1 , khi x ≥ 0 

x − 2 | x | + 1 ⇔ ⎢ 

2 

⎣ ⎢ x + 2x + 1 , khi x < 0 

v) y = 1− | x | 

D=[−1;1] 

w) y = 

1 

| x 2 −1| 

D= R \{−1;1} 

⎪⎧ 

1- x neáu - 2 ≤ x ≤ 0 

x) y = f(x)= ⎨ D=[−2;2] 

⎪⎩ x neáu 0 ≤ x ≤ 2 

x 

2 

+ 3x 

+ 3 ≠0 ∀ x 


2. Xét sự biến thiên của các hàm số trên các khoảng đã chỉ ra 

2x 

3 

−6 

a) y = trên ( ; +∞ ) 

T= 

2x − 3 2 

(2x2 − 3)(2x1 

− 3) 

2 

b) y = 3x 2 -4x+1 trên (-∞; ) 3 

T=3x 2 + 3x 1 −4 

− 3x 

+ 1 

2 

c) y = 

trên (1;+ ∞ ) T= 

x −1 

( x2 −1)( x1 

−1) 

x + 3 

−5 

d) y = trên (2; + ∞ ) T= 

x − 2 

( x2 − 2)( x1 

− 2) 

e) y = | x+2| - | x-2 | trên (-2;2) 

∀ x ∈ (−2;2) khi đó −2< x 0; x−2

− 2 

e/ y = 

2 

x − x − 6 

6 − 2x 

g/ y = 

x − 2 

i/ y = x + 3 + 

k/ y = 

m) y = 

x 

2 

1 

4 − x 

f/ y = x − 2 

h/ y = 

j/ y = 

+ 4x 

+ 5 

l/ y 

x 

2 

− 3 

− 5x 

+ 6 

o) y = 

p)y = ( 3 x + 4)( 

3 − x) 

q) y = 

1 

x − 1 

+ 3 

x + 2 

x + 1 

(x − 3) 

x 

4 

2 

= − . 

( 2x 

−1)(x 

− 2) 

x 

2 

− 3x 

+ 2 

2 

2x −1 

(x + 2) 

x + 1 

x −1 

r) y = 

- 3 3x 

− 5 

2 

| x − 2 | −1 

s) y = x + 1− x 

2. Tìm m để tập xác định hàm số là (0 , + ∞ ) 

a) y = x − m + 2x 

− m −1 

b) y = 

x − m 

2x − 3m 

+ 4 + 

ĐS: a) m > 0 

x + m −1 

b) m > 4/3 

3. Định m để hàm số xác định với mọi x dương 

a/ y = x − m − 1 + 4x − m b/ y = 

x − m 

x + m − 2 + 

x + m 

4. Xét sự biến thiên của các hàm số trên khoảng đã chỉ ra : 

a/ y = x 2 − 4x (-∞, 2) ; (2, +∞) 

b/ y = −2x 2 + 4x + 1 (-∞, 1) ; (1, +∞) 

4 

c/ y = 

x + 1 

(−1, +∞) f/ y = x − 1 

1. Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số : 

a/ y = 4x 3 + 3x b/ y = x 4 − 3x 2 − 1 

1 

2 

c/ y = − 

d/ y = 1+ 3x 

x 

+ 3 

e/ y = |1 − x| + /1 + x| f/ y = |x + 2| − |x − 2| 

g/ y = |x + 1| − |x − 1| h/ y = 1− x + 1+ x 

⏐2 + x⏐+⏐2 − x⏐ 

i/ y = | x| 5 .x 3 k/ y = 

⏐ 2+x ⏐−⏐2 − x ⏐ 

§2 HÀM SỐ y= ax + b 

1. Hàm số bậc nhất 

Hàm số dạng y = ax + b , a;b∈ và a≠ 0. Hệ số góc là a 

Tập xác định: D = 

Chiều biến thiên: a > 0 hàm số đồng biến trên 

a < 0 hàm số nghịch biến trên 

Bảng biến thiên: 

Đồ thị hàm số: là một đường thẳng. Đồ thị không song song và trùng với các trục tọa độ, cắt trục tung tại điểm 

(0;b) và cắt trục hoành tại (-b/a;0). 

2. 


* Cho hai đường thẳng (d):y= ax+b và (d’)= a’x+b’, ta có: 

(d) song song (d’)⇔ a=a’ và b≠b’ 

(d) trùng (d’)⇔ a=a’ và b=b’ 

(d) cắt (d’) ⇔ a≠a’. 

(d)⊥(d’)⇔ a.a’= −1 

2. Hàm số hằng y=b 

Đường thẳng y= b là đường thẳng song song hoặc trùng trục Ox và cắt Oy tại điểm có tọa độ (0;b). 

Đường thẳng x= a là đường thẳng song song hoặc trùng trục Oy và cắt Ox tại điểm có tọa độ (a;0) 

3. Hàm số bậc nhất trên từng khoảng, hàm số y= |ax+b| 

Muốn vẽ đồ thị hàm số y = ax + b ta làm như sau: 

+ Vẽ hai đường thẳng y = ax + b, y = - ax – b 

+ Xóa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành 

Ví dụ 1: Khảo sát vè vẻ đồ thị hàm số y= | x | (Xem SGK tr.42) 

⎧x 

+ 1 neáu 0 ≤ x < 2 

⎪ 

1 

Ví dụ 2: Xét hàm số y=f(x)= ⎨− 

x + 4 neáu 2 ≤ x ≤ 4 

⎪ 2 

⎪⎩ 

2x 

− 6 neáu 4 < x ≤ 5 

Đồ thị (hình) 

y 

4 

y 

A 

O 

B 

C 

D 

x 

Ví dụ 3 : Xét hàm số y=|2x-4| 

Hàm số đã cho có thể viết lại như sau : 

⎧2x 

− 4 neáu x ≥ 2 

y= ⎨ 

⎩− 

2x 

+ 4 neáu x < 2 

Đồ thị (hình) 

O 

2 

4 

x 

Ví dụ 4: Tìm hàm số bậc nhất y=f(x) biết đồ thị của nó đi qua 2 điểm A(0 ; 4) , B (-1;2).Vẽ đồ thị và lập bảng 

biến thiên của hàm số y = g( x) = − f ( x) 

. 

Giải 

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b, a ≠ 0. 

⎧b 

= 4 ⎧a 

= 2 

Đồ thị hàm số qua điểm A , B ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 

⎩2 = − a + b ⎩b 

= 4 

Vẽ đồ thị hàm g( x) = − 2x 

+ 4 , ta vẽ đồ thị hai hàm số 

⎧− 

2x 

− 4 neáu x ≥ −2 

y = ⎨ 

trên cùng 1 hệ trục tọa độ, rồi bỏ đi phần phía trên trục Ox. 

⎩2x 

+ 4 neáu x < −2 

Vẽ đồ thị hàm g( x) = − 2x 

+ 4 

Bảng biến thiên. 

y 

-4 

-2 

o 

x 

x 

− ∞ 

-2 

+ ∞ 

g(x) 

0 

-4 

− ∞ 

− ∞ 

2.1. Vẽ đồ thị các hàm số sau 

BÀI TẬP §2-C2 


a) y= −2 x +1 b) y= 3 c) y= − 2 7 

3 x − 

x − 3 

5 − x 

e) y= 

f) y= 

2 

3 

2.2. Vẽ đồ thị các hàm số sau: 

a) y=|x|+2x b) y= |3x−2| 

x + 2 vôùi x>2 

⎧2x 

−1 vôùi x ≥1 

⎧ 

⎪ 

c) y = ⎨ 

d) y = ⎨1 

⎩1 vôùi x ≤ 2 

⎪ x + 1 vôùi x 0 a < 0 


• Hàm số nghịch biến trên khoảng 

b 

b 

( -∞; − ) và đồng biến trên khoảng ( − ; 

2a 

2a 

+∞) 

• Bảng biến thiên 

x 

b 

- ∞ − +∞ 

2a 

y +∞ +∞ 

∆ 

− 

4a 

• Hàm số nghịch biến trên khoảng 

b 

b 

(-∞; − ) và đồng biến trên khoảng ( − ; 

2a 

2a 

+∞) 

• Bảng biến thiên 

x 

b 

- ∞ − +∞ 

2a 

y 

∆ 

− 

4a 

-∞ -∞ 

3. Cách vẽ đồ thị 

⎛ b ∆ ⎞ 

2 

-Xác định đỉnh : I⎜− 

; − ⎟ ; ∆ = b − 4ac 

(không có ∆ ' ) 

⎝ 2a 4a 

⎠ 

b 

2 

( Sau khi tính x I = − ⇒ y I = axI 

+ bxI 

+ c . Khi đó I(x I ; y I ) 

2 a 

b 

-Vẽ trục đối xứng x = − 

2a 

- Xác định các điểm đặc biệt (thường là giao điểm của parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng với 

chúng qua trục đối xứng) 

- Căn cứ vào tính đối xứng , bề lõm và hình dáng parabol để nối các điểm đó lại 

(Đồ thị hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c cũng là một parapol) 

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = -x 2 +4x-3 

Tập xác định : R 

Đỉnh :I(2;1) 

Trục đối xứng :x = 2 

Bảng biến thiên : 

Điểm đặc biệt : 

x = 0 ⇒ y = -3 

y = 0 ⇒ x = 1 hoặc x = 3 

x 

-∞ 

y= -x 2 +4x-3 

-∞ 

Ví dụ 2: dựa vào ví 1 vẽ đồ thị hàm số y = |-x 2 +4x-3| 

Cách vẽ : vẽ y= -x 2 +4x-3 sau đó lấy đối xứng phần âm qua trục Ox 

2 

1 

+∞ 

-∞ 

y 

1 

O 

A 

2 

y= -x 2 +4x-3 

x 

2 

5 

-2 

Ví dụ 3: Xác định hàm số bậc hai 

2 

y = 2x + bx + c biết đồ thị của nó 

1) Có trục đối xứng là x=1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4. 

2) Có đỉnh là (-1;-2) 

3) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm (1;-2). 

Giải 


−b 

−b 

1) Trục đối xứng x = 1= = ⇔ b = − 4 

2a 

4 

Cắt trục tung tại (0;4) ⇔ 4 = y(0) 

= c 

⎧ −b 

−b 

x = = = − 1 ⇔ b = 4 

⎪ 2a 

4 

2) Đỉnh ⎨ 2 

⎪ b − 4ac 16 − 8c 

y = − = − = − 2 ⇔ c = 0 

⎪⎩ 4a 

8 

−b 

−b 

3) Hoành độ đỉnh x = = = 2 ⇔ b = − 8 

2a 

4 

Đồ thị qua điểm (1;-2) ⇔ − 2 = y(1) = − 6 + c ⇔ c = 4. 

Tìm tọa độ giao điểm 

Cho hai đồ thị (C 1 ) : y = f(x); (C 2 ) y = g(x).Tọa độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) là ngiệm của hệ phương 

⎪⎧ 

y = f ( x) 

trình ⎨ . Phương trình f(x) = g(x) (*) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ). Ta 

⎪⎩ y = g( 

x) 

có: 

+ Nếu (*) vô nghiệm thì (C 1 ) và (C 2 ) không có giao điểm. 

+ Nếu (*) có n nghiệm thì (C 1 ) và (C 2 ) có n giao điểm. 

+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau. 

3.1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau 

a) y= −x 2 + 2 x −2 b) y= 2x 2 + 6 x +3 c) y = x 2 −2x d) y = 

−x 2 +2x+3 e) y = −x 2 +2x−2 f) y = − 2 

1 x 2 +2x-2 

3.2. Xác định parapol y=2x 2 +bx+c, biết nó: 

a) Có trục đối xứng x=1 vá cắt trục tung tại điểm (0;4); Đáp số: b= −4, c= 4 

b) Có đỉnh I(−1;−2); Đáp số: b= 4, c= 0 

c) Đi qua hai điểm A(0;−1) và B(4;0); Đáp số: b= −31/4, c=−1 

d) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(1;−2). Đáp số: b= −8, c= 4 

3.3. Xác định parapol y=ax 2 −4x+c, biết nó: 

a) Đi qua hai điểm A(1;−2) và B(2;3); Đáp số: a= 3, c= −1 

b) Có đỉnh I(−2;−1); Đáp số: a= −1, c= −5 

c) Có hoành độ đỉnh là −3 và đi qua điểm P(−2;1); Đáp số: a= −2/3, c= −13/3 

d) Có trục đối xứng là đường thẳng x=2 vá cắt trục hoành tại điểm M(3;0). ĐS a=1 

3.4. Tìm parapol y = ax 2 +bx+2 biết rằng parapol đó: 

a) đi qua hai điểm M(1;5) và N(-2;8) Đáp số: a=2, b=1 

− 3 

b) đi qua điểm A(3;-4) và có trục đối xứng x= 4 

Đáp số: a=− 4 9 , b=− 2 3 

c) có đỉnh I(2;-2) Đáp số: a=1, b=4 

1 

d) đi qua điểm B(-1;6), đỉnh có tung độ − 4 

Đáp số: a=16, b=12 hoặc a=1, b=−3 

3.5. Xác định parapol y=a x 2 +bx+c, biết nó: 

a) Đi qua ba điểm A(0;−1), B(1;−1), C(−1;1); Đáp số: a=1, b=−1, c= −1 

b) Đi qua điểm D(3;0) và có đỉnh là I(1;4). Đáp số: a=−1, b=2, c=3 

c) Đi qua A(8;0) và có đỉnh I(6;12) Đáp số: a=−3, b=36, c=−96 

d) Đạt cực tiểu bằng 4 tại x=−2 và đi qua A(0;6). Đáp số: a=1/2, b=2, c=6 

3.6. Viết phương trình của y=ax 2 +bx+c ứng với các hình sau: 

3.7. Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số cho sau đây. Trong mỗi trường hợp vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng 

hệ trục toạ độ: 

a) y = x-1 và y = x 2 -2x-1 

b) y = -x+3 và y = -x 2 -4x+1 

c) y = 2x-5 và y = x 2 -4x+4 . 


a) 

b)

3.8. Tìm hàm số y = ax 2 +bx+c biết rằng hàm số đạt cực tiểu bằng 4 tại x=2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;6). 

3.9. Tìm hàm số y = ax 2 +bx+c biết rằng hàm số đạt cực đại bằng 3 tại x=2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;−1). 

2 2 8 

3.10. Vẽ đồ thị hàm số y= x − x + 2 

3 3 

3.11. Vẽ đồ thị hàm số y=x 2 −2|x|+1 

1.Tìm tập xác định của hàm số : 

4 

a/ y = 2 − x − 

x + 4 

d/ y = 

x 2 

+ 

2 − 

2x + 3 

5 − x 

2. Xét sự biến thiên của hàm số. 

b/ y = 

e/ y = 

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG 

1 − x − 1+ 

x 

x 

x + 2 + 3 − 2x 

x −1 

a/ y = −x 2 + 4x − 1 trên (−∞; 2) b/ y = 

1 

c/ y = 

x −1 

3. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số : 

4 2 

x + x − 2 

a/ y = 

2 

x −1 

d/ y = x(x 2 + 2|x|) e/ y = 

x + 1 

x −1 

c/ y = 

f/ y = 

d/ y = 3 − 2x 

e/ y = 

b/ y = x − 2 c/ y = 3 + x + 3 − x 

x + 1 + x −1 

x + 1 − x −1 

x 

2 

x x 

f/ y = 

2 

x + 1 

1 

4.Cho hàm số y = 

x −1 

a/ Tìm tập xác định của hàm số. b/ CMR hàm số giảm trên tập xác định. 

2 

x 

5.Cho hàm số : y = x 

a/ Khảo sát tính chẵn lẻ. 

b/ Khảo sát tính đơn điệu 

c/ Vẽ đồ thị hàm số trên 

3x 

2 

− x 

− x + x −1 

2x −1 

x x − 4 

trên (1; +∞) 

3 

1 

x − 2 

6.Cho hàm số y = 5 + x + 5 − x 

a/ Tìm tập xác định của hàm số. 

b/ Khảo sát tính chẵn lẻ. 

7.Cho Parabol (P) : y = ax 2 + bx + c 

a/ Xác định a, b, c biết (P) qua A(0; 2) và có đỉnh S(1; 1) 

b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với a, b, c tìm được. 

c/ Gọi (d) là đường thẳng có phương trình : y = 2x + m. Định m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm. 

8.Cho y = x(|x| − 1) 

a/ Xác định tính chẵn lẻ. 

b/ Vẽ đồ thị hàm số. 

9.Cho hàm số y = x 2 − 4x + m 

Định m để hàm số xác định trên toàn trục số. 

10.Cho (P) : y = x 2 − 3x − 4 và (d) : y = −2x + m. Định m để (P) và (d) : Có 2 điểm chung phân biệt, tiếp xúc và 

không cắt nhau. 


TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG II 

ĐỀ 1 

Câu 1:(3,0 điểm) Tìm tập xác định của các hàm số sau: 

1 3x 

x + 9 

1 

a) y = − 

b) y = 

c) y = 3− x + 

2 

2 

x − 2 − 4x 

+ 2 

x + 8x 

− 20 

x −1 

Câu 2:(2,0 điểm) Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) y = 1+ x b) 

x.| x | 

y = 

3 

x −1 

Câu 3:(2,0 điểm) Xét sự biến thiên của hàm số: 

a) y = x 2 – 2x + 3 trong (–∞ ; 1); b) 

3 

y x 2 

trong (2 ; +∞) 

Câu 4:(2,0 điểm) 

a) Cho parabol (P): 

2 

y ax bx 

= + − 1. Xác định a, b biết (P) đi qua hai điểm A(1; 0) ; B(2; −3). 

b) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 

2 

y x x 

= + 2 − 3 . 

Câu 5:(1,0 điểm) Tìm m để hàm số y = x − m + 2x − m − 1 có tập xác định là khoảng (0 ; +∞) 

ĐỀ 2 


2 

x + 2 x 

x + 5 

a) y = 

b) y = + 2 − x 

2 

4 − x 

x − 5x 

+ 4 

Câu 2:(3,0 điểm) Cho hàm số: 

y f x x x x 

2 

= ( ) = − 4 + 4 + + 2 . 

a) Tính f ( − 2) ; f (0) . 

b) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f ( x ) 

c) Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) trên tập xác định của nó. 

Câu 3:(2,0 điểm) Cho parabol (P): 

2 

y = ax + bx + c 

c) 

2x 

−1 

y = 

(2x 

+ 1)( x − 3) 

⎛ 1 3 ⎞ 

a) Tìm a, b, c biết (P) có đỉnh I ⎜ ; − ⎟ và đi qua điểm A ( ) 

⎝ 2 4 ⎠ 1; − 1 

b) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) ứng với a, b, c vừa tìm được. 

Câu 4:(1,0 điểm) Cho hai hàm số f ( x ) , g( x) 

xác định trên tập đối xứng D. Đặt h( x) = f ( x) + g( x) 

; 

k( x) = f ( x). g( x) 

. Chứng minh nếu f ( x ) , g( x ) là hai hàm số lẻ thì h( x ) là hàm số lẻ và k( x) 

là hàm số 

chẵn. 

ĐỀ 3 


x 

x − 3 2 − x 

a) y = − −x 

b) y = 

2 

1− 

x 

x + 2 

Câu 2:(2,0 điểm) Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: 

a) y = 1− 3x − 1+ 3x 

b) y = 

x x 

x − 2 − x + 2 

Câu 3:(3,0 điểm) Tìm parabol y = ax 2 + bx + 1, biết parabol đó: 

a) đi qua 2 điểm M(1 ; 5) và N(–2 ; –1) 

c) 

y = 

x − 1 + 4 − x 

( x − 2)( x − 3) 

b) đi qua A(1 ; –3) và có trục đối xứng x = 5 2 

c) có đỉnh I(2 ; –3) 

d) đi qua B(–1 ; 6), đỉnh có tung độ là –3. 

4 3 2 

Câu 4:(1,0 điểm) Tìm m để hàm số sau là hàm số chẵn: y = f ( x) = x + ( m + 1) x + mx − 3 (m: tham số) 

x 

Câu 5:(1,0 điểm) Tìm m để hàm số y = x − m + 1 – 

xác định trên đoạn [ 2;3 ] 

2m 

+ 1− 

x 


ĐỀ 4 


2x 

−1 

a) y = 2x + 1 − 3− x b) y = 

c) 

x | x − 4 | 

1 

Câu 2:(2,0 điểm) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: a) y = 

2 

x + 1 

Câu 3:(3,0 điểm) Xác định a, b sao cho đồ thị hàm số y ax b 

điểm có tung độ bằng 5. 


⎧3x 

+ 3 khi x < 0 

⎪ 

f x ⎨x x x 

⎪− 8x 

+ 48 khi x > 5 

y = 

2 

( ) = − 4 + 3 khi 0 ≤ ≤ 5 

⎩ 

x 

1 

x 

2 

2 − 4 + 4 

b) 

3 3 

y = x − 3 − x + 3 

= + đi qua điểm ( 1;2 ) 

a) Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số. Tìm x để f ( x ) < 0. 

b) Tìm m để phương trình f ( x) 

= m có 4 nghiệm phân biệt. 

ĐỀ 5 


a) 

y = 

3x 

2 

− x 

− + −1 

2 

x x x 

b) 

2 

x + 2x 

+ 3 

y = 

2 − 5 − x 

Câu 2:(2,0 điểm) Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau: a) 

y = 

c) y = 

x 

100 2 

x 

4 

+ x 

+ 

x 

x + 2 + 3 − 2x 

x −1 

M − và cắt trục tung tại 

2012x 

y = 

x + 1 

b) 

2012 

2 

Câu 3:(3,0 điểm) Cho hàm số y = − x + 4x 

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. 

b) Viết phương trình y = ax + b của đường thẳng ∆ đi qua A(1;3) và song song với đường thẳng d có 

phương trình y = 2x – 3. Tìm tọa độ giao điểm giữa đồ thị (P) và đường thẳng ∆. 

2 

⎡2 ⎞ 

Câu 4:(2,0 điểm) Tìm m để hàm số y = ( m + 1) x − 2mx 

+ 3 nghịch biến trên nửa khoảng 

⎢ ; +∞ ⎟ 

⎣3 

⎠ . 

ĐỀ 6 


2 − x 

a) y = 

2 

x − 3x 

− 4 


a) Xét tính chẵn lẻ của hàm số: 

y = 

b) 

⎧1 khi x > 0 

⎪ 

y = ⎨0 khi x = 0 

⎪ 

⎩ − 1 khi x < 0 

2 

x + 1 + x −1 

3 

b) Xét sự biến thiên của hàm số : y = 2 − x 

trên ( 2 ; +∞ ) 

Câu 3:(3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho parabol có phương trình: 

1 

Tìm a, b biết parabol đi qua điểm B ( − 1;6 ) và tung độ đỉnh của của parabol là − . 

4 

2 

y ax bx 

= + + 2 . 

x − m 

Câu 4:(2,0 điểm) Tìm m để hàm số y = 2x − 3m 

+ 4 + có tập xác định hàm số là (0; +∞). 

x + m − 1 

ĐỀ 7 


1 1 

2x 

−1 

a) y = − 

b) y = x − 1 + 5 − x c) y = 

x 3 − x 

x x − 4 


2 

Câu 2:(2,0 điểm) Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) y = 4x 

+ 3 b) 


y = f ( x) = 4 − 4x + x 

a) Tính f (0) ; f ( − 2) . 

b) Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) trên tập xác định của nó. 


a) Cho parabol (P): 

2 

y ax bx 

= + + 3. Xác định a, b biết (P) có đỉnh I(4; 11). 

2 

b) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = − x + 2x 

+ 3 . 

ĐỀ 8 


2 

3 2 

y = x . x + 3 

x + 3 

x + 2 

a) y = 

b) y = 

2 

3 − x + 8 

( x − 3x 

+ 2) − 2 


x 

a) Xét sự biến thiên của hàm số: y = trên khoảng ( −∞ ;3) 

3 − x 

1+ x − 1− 

x 

b) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: y = 

3 

x 

2 

Câu 3:(3,0 điểm) Tìm a, b, c để hàm số y = ax + bx + c , a ≠ 0 đi qua hai điểm A(0; 3) ; B( −2; 15) và có 

giá trị nhỏ nhất bằng −1. 

2 

Câu 4:(2,0 điểm) Xác định m để đường thẳng mx + y + 3 = 0 tiếp xúc với đồ thị hàm số: y = x − 3x 

+ 5 

ĐỀ 9 

Câu 1:(2,0 điểm) Tìm tập xác định của hàm số sau: 

5 − x + 2x 

− 3 

1 

a) y = 

b) y = x x − 2 + 

2 

2 

4x 

− x 

x − 4x 

+ 3 

Câu 2:(3,0 điểm) Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: 

2013 2013 

| x −1| − | x + 1| 

a) f ( x) = 20x −11 − 20x 

+ 11 ; b) f ( x) 

= 

| x + 2 | − | x − 2 | 

Câu 3:(3,0 điểm) Cho hàm số 

2 

y x − 4x 

+ 3m 

= có đồ thị ( ) 

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị ( Cm 

) khi m = 1. 

b) Xác định m để đồ thị ( ) 

m 

C . 

C cắt đường thẳng y = x +1 tại hai điểm phân biệt. 

a 

Câu 4:(2,0 điểm) Cho hàm số y = , với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến , nghịch biến trên các 

x − 2 

khoảng xác định của nó. 

ĐỀ 10 

x + 1 

Câu 1:(2,0 điểm) Tìm tập xác định các hàm số sau: a) y = b) y = 3− 2x + 4x 

+ 5 

2 

x −1 

1 

1 

Câu 2:(3,0 điểm) Xét sự biến thiên của các hàm số: a) y = − b) y = 

2 

x 

x −1 

2 

Câu 3:(3,0 điểm) Cho hàm số y = x + bx + c 

a) Xác định b,c biết đồ thị là một parabol có đỉnh A(2;-3) 

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. 

2 

Câu 4:(2,0 điểm) Tìm m để parabol (P): y = x − 3x 

− 4 và đường thẳng (d): y = − 3x + m cắt nhau tại giao 

điểm có hoành độ thuộc nửa khoảng [ − 4;2) 

. 

m 


Tài liệu giảng dạy tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 10 

CHƯƠNG III 

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 

I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 

1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1) 

• x 0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x 0 ) = g(x 0 )" là một mệnh đề đúng. 

• Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. 

• Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình. 

Chú ý: 

+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau: 

1 

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức thì cần điều kiện P(x) ≠ 0. 

P ( x ) 

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P( x) thì cần điều kiện P(x) ≥ 0. 

+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm 

số y = f(x) và y = g(x). 

2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả 

Cho hai phương trình f 1 (x) = g 1 (x) (1) có tập nghiệm S1 

và f 2 (x) = g 2 (x) (2) có tập nghiệm S 2 . 

• (1) ⇔ (2) khi và chỉ khi S 1 = S 2 . 

• (1) ⇒ (2) khi và chỉ khi S 1 ⊂ S 2 . 

3. Phép biến đổi tương đương 

• Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó 

thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau: 

– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức. 

– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0. 

• Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ 

quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. 

Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: 

5 5 

1 1 

a) 3x 

+ = 12 + 

b) 5x 

+ = 15 + 

x − 4 x − 4 

x + 3 x + 3 

2 1 1 

2 2 

c) x − = 9 − 

d) 3x 

+ = 15 + 

x −1 x −1 

x − 5 x − 5 


a) 1+ 1− x = x − 2 

b) x + 1 = 2 − x 

c) x + 1 = x + 1 

d) x − 1 = 1− 

x 

e) 

Bài 3. 

x 3 

2 

= 

f) x − 1− x = x − 2 + 3 

x −1 x −1 

Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: 

2 

a) x − 3( x − 3x 

+ 2) = 0 

b) x + 1( x − x − 2) = 0 

c) 

x 1 

= − x − 2 

x − 2 x − 2 

2 

2 

d) x − 4 x + 3 

= + x + 1 

x + 1 x + 1 





a) x − 2 = x + 1 

b) x + 1 = x − 2 

c) 2 x − 1 = x + 2 

d) x − 2 = 2x 

− 1 


a) 

x x 

x − 2 x − 2 

= 

b) = 

x −1 x −1 

x −1 x −1 

c) 

x x 

x −1 1− 

x 

= 

d) = 

2 − x 2 − x 

x − 2 x − 2 

II. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0 

ax + b = 0 (1) 

Hệ số 

Kết luận 

a ≠ 0 

b 

(1) có nghiệm duy nhất x = − 

a 

a = 0 

b ≠ 0 (1) vô nghiệm 

b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x 

Chú ý: Khi a ≠ 0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn. 

Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: 

2 

a) ( m + 2) x − 2m = x − 3 

b) m( x − m) = x + m − 2 

b) m( x − m + 3) = m( x − 2) + 6 d) m 2 ( x − 1) + m = x(3m 

− 2) 

Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c: 

a) x − a b x − 

− = b − a ( a, b ≠ 0) b) ( ab + 2) x + a = 2 b + ( b + 2a) x 

a b 

2 

c) x + ab x + bc x + 

+ + b = 3 b ( a, b, c ≠ −1) 

a + 1 c + 1 b + 1 

d) x − b − c x − c − a x − a − 

+ + b = 3 ( a, b, c ≠ 0) 

a b c 

Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình: 

i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x ∈ R. 

a) ( m − 2) x = n − 1 

b) ( m + 2m − 3) x = m − 1 

2 

c) ( mx + 2)( x + 1) = ( mx + m ) x d) ( m − m) x = 2x + m − 1 

2 

2 2 

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 

1. Cách giải 



ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) 

2 

∆ = b − 4ac 

Kết luận 

∆ > 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt x 

∆ = 0 

b 

(1) có nghiệm kép x = − 

2a 

∆ < 0 (1) vô nghiệm 

1,2 

− b ± 

= 

2a 

∆ 

Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = c a . 

c 

– Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = − . 

a 

b 

– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b′ = . 

2 

2. Định lí Vi–et 

Hai số x , x là các nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 khi và chỉ khi 

1 2 

chúng thoả mãn các hệ thức 

b 

S = x1 + x2 

= − và 

a 

2 

c 

P = x1x2 

= . 

a 

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình ax + bx + c = 0 

2 

Để giải và biện luận phương trình ax + bx + c = 0 ta cần xét các trường hợp có thể xảy 

ra của hệ số a: 

– Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bx + c = 0 . 

– Nếu a ≠ 0 thì mới xét các trường hợp của ∆ như trên. 

Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: 

2 

a) x + 5x + 3m 

− 1 = 0 

b) 2x + 12x − 15m 

= 0 

2 2 

c) x − 2( m − 1) x + m = 0 

d) ( m + 1) x − 2( m − 1) x + m − 2 = 0 

2 

e) ( m − 1) x + (2 − m) x − 1 = 0 f) mx − 2( m + 3) x + m + 1 = 0 

Bài 2. Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại: 

2 3 

a) x − mx + m + 1 = 0; x = − b) 2x − 3m x + m = 0; x = 1 

2 

2 

2 

2 

2 

2 2 

c) ( m + 1) x − 2( m − 1) x + m − 2 = 0; x = 2 d) x − 2( m − 1) x + m − 3m = 0; x = 0 

2 

2 2 

VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (1) 

⎧∆ 

≥ 0 

• (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0 • (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ ⎨ 

⎩P 

> 0 

⎧∆ 

≥ 0 

⎧∆ 

≥ 0 

⎪ ⎪ 

• (1) có hai nghiệm dương ⇔ ⎨P 

> 0 • (1) có hai nghiệm âm ⇔ ⎨P 

> 0 

⎪ ⎩S 

> 0 

⎪ ⎩S 

< 0 

Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0. 

Bài 1. Xác định m để phương trình: 

i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt 


2



iii) có hai nghiệm dương phân biệt 

2 

a) x + 5x + 3m 

− 1 = 0 

b) 2x + 12x − 15m 

= 0 

2 2 

c) x − 2( m − 1) x + m = 0 

d) ( m + 1) x − 2( m − 1) x + m − 2 = 0 

2 

e) ( m − 1) x + (2 − m) x − 1 = 0 f) mx − 2( m + 3) x + m + 1 = 0 

2 

g) x − 4x + m + 1 = 0 

h) ( m + 1) x + 2( m + 4) x + m + 1 = 0 

VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et 

1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số 

b 

c 

Ta sử dụng công thức S = x1 + x2 = − ; P = x1x2 

= để biểu diễn các biểu thức đối 

a 

a 

xứng của các nghiệm x 1 , x 2 theo S và P. 

2 2 2 2 

1 2 1 2 1 2 

Ví dụ: x + x = ( x + x ) − 2x x = S − 2P 

3 3 2 2 

x1 + x2 = ( x1 + x2) ⎡( x1 x2) 3 x1x ⎤ 

⎣ + − 

2 ⎦ = S( S − 3 P) 

2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số 

Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm: 

b 

c 

S = x1 + x2 = − ; P = x1x2 

= (S, P có chứa tham số m). 

a 

a 

Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x 1 và x 2 . 

3. Lập phương trình bậc hai 

Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng: 

2 

x − Sx + P = 0 , trong đó S = u + v, P = uv. 

2 

2 

2 

2 

Bài 1. Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: 

A = x 

2 

2 2 

1 2 

3 3 

1 2 

4 4 

1 2 

+ x ; B = x + x ; C = x + x ; D = x − x ; E = (2 x + x )(2 x + x ) 

2 

1 2 

a) x − x − 5 = 0 b) 2x − 3x 

− 7 = 0 c) 3x + 10x 

+ 3 = 0 

2 

2 

d) x − 2x 

− 15 = 0 e) 2x − 5x 

+ 2 = 0 f) 3x + 5x 

− 2 = 0 

2 

Bài 2. Cho phương trình: ( m + 1) x − 2( m − 1) x + m − 2 = 0 (*). Xác định m để: 

a) (*) có hai nghiệm phân biệt. 

b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia. 

c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2. 

2 

Bài 3. Cho phương trình: x − 2(2m + 1) x + 3 + 4m 

= 0 (*). 

a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x 1 , x 2 . 

b) Tìm hệ thức giữa x 1 , x 2 độc lập đối với m. 

3 3 

1 2 

c) Tính theo m, biểu thức A = x + x . 

d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. 

2 2 

1 2 

e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x , x . 

HD: a) m 

2 

2 

1 2 2 1 

2 

2 

≥ b) x1 + x2 − x1x2 = − 1 c) A = (2 + 4 m)(16m + 4m 

− 5) 

2 

d) m 1 ± 2 7 

2 2 2 

= e) x − 2(8m + 8m − 1) x + (3 + 4 m) = 0 

6 

2 2 

Bài 4. Cho phương trình: x − 2( m − 1) x + m − 3m 

= 0 (*). 

a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại. 



b) Khi (*) có hai nghiệm x 1 , x 2 . Tìm hệ thức giữa x 1 , x 2 độc lập đối với m. 

2 2 

1 2 

8 

c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả: x + x = . 

2 

1 2 1 2 1 2 

HD: a) m = 3; m = 4 b) ( x + x ) − 2( x + x ) − 4x x − 8 = 0 c) m = –1; m = 2. 

2 2 3 

Bài 5. Cho phương trình: x − ( m − 3 m) x + m = 0 . 

a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia. 

b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại. 

HD: a) m = 0; m = 1 b) x = 1; x = 5 2 − 7; x = −5 2 − 7 . 

2 2 2 

2 2 

Bài 6. (nâng cao) Cho phương trình: 2x + 2x sinα 

= 2x 

+ cos α (α là tham số). 

a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi α. 

b) Tìm α để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN. 

IV. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU 

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 

1. Định nghĩa và tính chất 

⎧A 

khi A ≥ 0 

• A = ⎨ 

⎩ − A khi A < 0 

• A ≥ 0, ∀ A 

2 2 

• A. B = A . B 

• A = A 

• A + B = A + B ⇔ A. B ≥ 0 • A − B = A + B ⇔ A. B ≤ 0 

• A + B = A − B ⇔ A. B ≤ 0 • A − B = A − B ⇔ A. B ≥ 0 

2. Cách giải 

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: 

– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. 

– Bình phương hai vế. 

– Đặt ẩn phụ. 

• Dạng 1: 

⎡⎧ f ( x) ≥ 0 

C1 

⎢ ⎨ 

C ⎧g( x) ≥ 0 

2 

f ( x) g( x) 

f ( x) = g( x) 

⎩ = ⎪ 

⇔ ⎢ ⇔ ⎨⎡ f ( x) = g( x) 

⎢ ⎧ f ( x) < 0 

⎢ ⎨ 

⎪ ⎢ f ( x) = −g( x) 

⎣⎩− f ( x) = g( x) 

⎩⎣ 

C1 2 2 

• Dạng 2: f ( x) = g( x) 

⇔ [ f ( x) ] = [ g( x) 

] 

2 

⎡ f ( x) = g( x) 

⇔ ⎢ 

⎣ f ( x) = −g( x) 

• Dạng 3: a f ( x) + b g( x) = h( x) 

Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải. 

C 

Bài 1. Giải các phương trình sau: 

a) 2x − 1 = x + 3 

b) 4x + 7 = 2x 

+ 5 c) x − 3 x + 2 = 0 

2 

2 

d) x + 6x + 9 = 2x 

− 1 e) x − 4x − 5 = 4x 

− 17 f) 4x − 17 = x − 4x 

− 5 

g) x −1 − x + 2x + 3 = 2x 

+ 4 h) x − 1 + x + 2 + x − 3 = 14 i) x − 1 + 2 − x = 2x 


a) 4x + 7 = 4x 

+ 7 

b) 2x − 3 = 3 − 2x 

c) x − 1 + 2x + 1 = 3x 

2 2 

d) x − 2x − 3 = x + 2x 

+ 3 e) 2x − 5 + 2x − 7x 

+ 5 = 0 f) x + 3 + 7 − x = 10 



2 

2 

2



2 

2 

a) x − 2x + x −1 − 1 = 0 b) x − 2x − 5 x − 1 + 7 = 0 c) x − 2x − 5 x −1 − 5 = 0 

2 

2 

d) x + 4x + 3 x + 2 = 0 e) 4x − 4x − 2x 

−1 − 1 = 0 f) x + 6x + x + 3 + 10 = 0 


a) mx − 1 = 5 

b) mx − x + 1 = x + 2 c) mx + 2x − 1 = x 

d) 3x + m = 2x − 2m 

e) x + m = x − m + 2 f) x − m = x + 1 

Bài 5. Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất: 

a) mx − 2 = x + 4 

b) 

V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN 

2 

2 

Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: 

– Nâng luỹ thừa hai vế. 

– Đặt ẩn phụ. 

Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định. 

Dạng 1: 

2 

⎧⎪ 

f ( x) = g( x) 

⇔ f ( x) = [ g( x) 

⎨ 

] 

⎪⎩ g( x) ≥ 0 

Dạng 2: f ( x) = 

⎧ f ( x) = g( x) 

g( x) 

⇔ ⎨ 

⎩ f ( x) ≥ 0 ( hay g( x) ≥ 0) 

Dạng 3: af ( x) + b 

⎧⎪ t = f ( x), t ≥ 0 

f ( x) + c = 0 ⇔ ⎨ 

2 

⎪⎩ at + bt + c = 0 

Dạng 4: f ( x) + g( x) = h( x) 

• Đặt u = f ( x), v = g( x) 

với u, v ≥ 0. 

• Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v. 

Dạng 5: f ( x) + g( x) + f ( x). g( x) = h( x) 

Đặt t = f ( x) + g( x), t ≥ 0 . 


a) 2x − 3 = x − 3 

b) 5x + 10 = 8 − x c) x − 2x 

− 5 = 4 

2 

2 

d) x + x − 12 = 8 − x e) x + 2x + 4 = 2 − x f) 3x − 9x + 1 = x − 2 

2 

2 

g) 3x − 9x + 1 = x − 2 h) x − 3x − 10 = x − 2 i) ( x − 3) x + 4 = x − 9 


2 2 

a) x − 6x + 9 = 4 x − 6x 

+ 6 b) ( x − 3)(8 − x) + 26 = − x + 11x 

2 

c) ( x + 4)( x + 1) − 3 x + 5x 

+ 2 = 6 d) ( x + 5)(2 − x) = 3 x + 3x 

2 2 

e) x + x + 11 = 31 

f) x − 2x + 8 − 4 (4 − x)( x + 2) = 0 


a) x + 1 − x − 1 = 1 

b) 3x + 7 − x + 1 = 2 

2 2 

c) x + 9 − x − 7 = 2 

d) 3x + 5x + 8 − 3x + 5x 

+ 1 = 1 

3 3 

2 

2 

2 2 

2 2 

e) 1+ x + 1− x = 2 

f) x + x − 5 + x + 8x 

− 4 = 5 

2 

2 

2 2 



3 3 

3 3 

g) 5x + 7 − 5x 

− 13 = 1 

h) 9 − x + 1 + 7 + x + 1 = 4 


a) x + 3 + 6 − x = 3 + ( x + 3)(6 − x) 

b) 2x + 3 + x + 1 = 3x + 2 (2x + 3)( x + 1) − 16 

c) x − 1 + 3 − x − ( x −1)(3 − x) = 1 d) 7 − x + 2 + x − (7 − x)(2 + x) = 3 

e) x + 1 + 4 − x + ( x + 1)(4 − x) = 5 f) 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x − 5x 

+ 2 

2 

g) x x 2 

2 

1+ − = x + 1− x h) x + 9 − x = − x + 9x 

+ 9 

3 


a) 2x − 4 + 2 2x − 5 + 2x + 4 + 6 2x 

− 5 = 14 

b) x + 5 − 4 x + 1 + x + 2 − 2 x + 1 = 1 

c) 2x − 2 2x −1 − 2 2x + 3 − 4 2x − 1 + 3 2x + 8 − 6 2x 

− 1 = 4 

VI. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC 

2 

Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định 

của phương trình (mẫu thức khác 0). 


2 10 50 

a) 1+ = − 

x − 2 x + 3 (2 − x)( x + 3) 

c) 

2x 

+ 1 x + 1 

= 

3x 

+ 2 x − 2 

2 2 

b) x + 1 x − 1 2 x + 1 

+ = 

x + 2 x − 2 x + 1 

2 

d) x − 3 x + 5 = − 1 

2 

x − 4 

2x − 5x + 2 2x + x + 15 

x + 3 4x 

− 2 

e) 

= 

f) = 

x −1 x − 3 

( x + 1) (2x 

−1) 


a) mx − m + 1 = 3 

b) mx + m − 2 = 3 

x + 2 

x − m 

d) x + m x + 3 

( m + 1) x + m − 2 

= 

e) 

= m 

x −1 x − 2 

x + 3 

2 2 

c) x − m x −1 

+ = 2 

x −1 

x − m 

x x 

f) = 

x + m x + 1 

VII. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG 

ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0) 

2 

4 2 

⎧⎪ t = x , t ≥ 0 

1. Cách giải: ax + bx + c = 0 (1) ⇔ ⎨ 2 

⎪⎩ at + bt + c = 0 (2) 

2. Số nghiệm của phương trình trùng phương 

Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng. 

⎡(2) 

voâ nghieäm 

• (1) vô nghiệm ⇔ ⎢(2) 

coù nghieäm keùp aâm 

⎢ 

⎣(2) coù 2 nghieäm aâm 




⎡(2) coù nghieäm keùp baèng 0 

• (1) có 1 nghiệm ⇔ 

⎢ 

⎣(2) coù 1 nghieäm baèng 0, nghieäm coøn laïi aâm 

⎡(2) 

coù nghieäm keùp döông 

• (1) có 2 nghiệm ⇔ 

⎢ 

⎣(2) coù 1 nghieäm döông vaø 1 nghieäm aâm 

• (1) có 3 nghiệm ⇔ (2) coù 1 nghieäm baèng 0, nghieäm coøn laïi döông 

• (1) có 4 nghiệm ⇔ (2) coù 2 nghieäm döông phaân bieät 

3. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn 

• Dạng 1: ( x + a)( x + b)( x + c)( x + d) = K, 

vôùi a + b = c + d 

– Đặt t = ( x + a)( x + b) ⇒ ( x + c)( x + d) 

= t − ab + cd 

– PT trở thành: t + ( cd − ab) t − K = 0 

• Dạng 2: ( x + a) + ( x + b) 

= K 

2 

4 4 

a + b 

a − b b − a 

– Đặt t = x + ⇒ x + a = t + , x + b = t + 

2 

2 2 

4 2 2 4 ⎛ a − b ⎞ 

– PT trở thành: 2t + 12α t + 2α − K = 0 ⎜ vôùi α = ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

4 3 2 

• Dạng 3: ax + bx + cx ± bx + a = 0 ( a ≠ 0) (phương trình đối xứng) 

– Vì x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x 2 , ta được: 

⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

PT ⇔ a⎜ 

x + b x c 0 

2 ⎟ + ⎜ ± ⎟ + = (2) 

⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ 

1 ⎛ 

1 ⎞ 

– Đặt t = x + ⎜ hoaëc t = x − ⎟ 

x ⎝ x ⎠ với t ≥ 2 . 

2 

– PT (2) trở thành: at + bt + c − 2a = 0 ( t ≥ 2) . 


4 2 

4 2 

4 2 

a) x − 3x 

− 4 = 0 

b) x − 5x 

+ 4 = 0 c) x + 5x 

+ 6 = 0 

4 2 

4 2 

4 2 

d) 3x + 5x 

− 2 = 0 

e) x + x − 30 = 0 f) x + 7x 

− 8 = 0 

Bài 2. Tìm m để phương trình: 

i) Vô nghiệm ii) Có 1 nghiệm iii) Có 2 nghiệm 

iv) Có 3 nghiệm 

v) Có 4 nghiệm 

4 2 2 

4 2 2 

a) x + (1 − 2 m) x + m − 1 = 0 

b) x − (3m + 4) x + m = 0 

4 2 

c) x + 8mx − 16m 

= 0 


a) ( x −1)( x − 3)( x + 5)( x + 7) = 297 

b) ( x + 2)( x − 3)( x + 1)( x + 6) = − 36 

4 4 

4 4 

c) x + ( x − 1) = 97 

d) ( x + 4) + ( x + 6) = 2 

4 4 

4 3 2 

e) ( x + 3) + ( x + 5) = 16 

f) 6x − 35x + 62x − 35x 

+ 6 = 0 

4 3 2 

g) x + x − 4x + x + 1 = 0 



VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 

1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 

⎧ a1x + b1 y = c1 

2 2 2 2 

⎨ 

( a b a b 

a x b y c 

1 

+ 

1 

≠ 0, 

2 

+ 

2 

≠ 0) 

⎩ 2 

+ 

2 

= 

2 

Giải và biện luận: 

a1 b1 

c1 b1 

a1 c1 

– Tính các định thức: D = , D 

a b 

x 

= , Dy 

= . 

c b a c 

D = 0 

Xét D 

D ≠ 0 

D x ≠ 0 hoặc D y ≠ 0 

D x = D y = 0 

2 2 

2 2 

2 2 

Kết quả 

⎛ D Dy 

⎞ 

x 

Hệ có nghiệm duy nhất ⎜ x = ; y = ⎟ 

⎝ D D ⎠ 

Hệ vô nghiệm 

Hệ có vô số nghiệm 

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: 

phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 

2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 

Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các 

phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các 

phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: 

⎧5x 

− 4y 

= 3 

⎧ 2x 

+ y = 11 

⎧3x 

− y = 1 

a) ⎨ 

b) ⎨ 

c) ⎨ 

⎩7x 

− 9y 

= 8 

⎩5x 

− 4y 

= 8 

⎩6x 

− 2y 

= 5 

⎧3 2 

⎧⎪ ( 2 + 1) 

x + y = 2 −1 

⎪ x + y = 16 

d) ⎨ 

e) 4 3 

⎧⎪ 3x 

− y = 1 

⎨ 

f) 

⎪⎩ 2x 

− ( 2 − 1) 

y = 2 2 ⎪ 

5 3 

⎨ 

x − y = 11 

⎪⎩ 5x + 2y 

= 3 

⎩2 5 


⎧1 8 ⎧ 10 1 

⎧ 27 32 

− = 18 

⎪ x y 

+ = 1 

⎪ x − 1 y + 2 

+ = 7 

⎪2x − y x + 3y 

a) ⎨ 

b) ⎨ 

c) ⎨ 

⎪ 

5 4 

25 3 

+ = 51 

⎪ + = 2 

⎪ 

45 48 

− = −1 

⎪⎩ x y 

⎪⎩ 

x − 1 y + 2 

⎪⎩ 

2x − y x + 3y 

⎧2 x − 6 + 3 y + 1 = 5 ⎧ 2 x + y − x − y = 9 ⎧ 4 x + y + 3 x − y = 8 

d) ⎨ 

e) ⎨ 

f) ⎨ 

⎩5 x − 6 − 4 y + 1 = 1 ⎩3 x + y + 2 x − y = 17 ⎩3 x + y − 5 x − y = 6 

Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: 

⎧ mx + ( m − 1) y = m + 1 ⎧ mx + ( m − 2) y = 5 ⎧( m − 1) x + 2y = 3m 

−1 

a) ⎨ 

b) 

⎩ 2x 

+ my = 

⎨ 

c) 

2 

⎩( m + 2) x + ( m + 1) y = 

⎨ 

2 ⎩ ( m + 2) x − y = 1− 

m 

⎧ ( m + 4) x − ( m + 2) y = 4 ⎧ ( m + 1) x − 2y = m −1 

⎧ mx + 2y = m + 1 

d) ⎨ 

e) ⎨ 

⎩(2m − 1) x + ( m − 4) y = m 

2 2 

f) ⎨ 

⎩ m x − y = m + 2m 

⎩2x + my = 2m 

+ 5 

Bài 4. Trong các hệ phương trình sau hãy: 

i) Giải và biện luận. ii) Tìm m ∈ Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. 

⎧ ( m + 1) x − 2y = m −1 

⎧ mx − y = 1 ⎧ mx + y − 3 = 3 

a) ⎨ 2 2 

b) ⎨ c) 

⎩ m x − y = m + 2m 

⎩x + 4( m + 1) y = 4m 

⎨ 

⎩x + my − 2m 

+ 1 = 0 

Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy: 

i) Giải và biện luận. 




ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m. 

⎧ mx + 2y = m + 1 

⎧ 6 mx + (2 − m) y = 3 ⎧ mx + ( m − 1) y = m + 1 

a) ⎨ 

b) ⎨ 

c) ⎨ 

⎩2x + my = 2m 

+ 5 

⎩ ( m −1) x − my = 2 ⎩ 2x 

+ my = 2 


⎧ ax + y = b 

⎧y − ax = b 

ax y a b 

a) ⎨ 

b) ⎨ 

c) 

⎩3x 

+ 2y 

= −5 

⎩2x 

− 3y 

= 4 

⎨ ⎧ + = + 

⎩x + 2y = a 

⎧ ( a + b) x + ( a − b) 

y = a ⎧ 2 2 

2 

d) ⎨ 

e) 

ax + by = a + b 

⎧⎪ ax − by = a − b 

⎨ 

f) ⎨ 

⎩(2 a − b) x + (2 a + b) 

y = b ⎩bx + ay = 2ab 

2 

⎪⎩ bx − b y = 4b 


⎧ 3x + y − z = 1 

⎧ x + 3y + 2z 

= 8 

⎧x − 3y + 2z 

= −7 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

a) ⎨2x − y + 2z 

= 5 

b) ⎨2x + y + z = 6 c) ⎨ − 2x + 4y + 3z 

= 8 

⎪⎩ 

x − 2y − 3z 

= 0 

⎪ ⎩3x + y + z = 6 

⎪ ⎩3x + y − z = 5 

IX. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 

1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai 

• Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. 

• Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. 

• Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 

2. Hệ đối xứng loại 1 

⎧ f ( x, y) = 0 

Hệ có dạng: (I) ⎨ 

(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)). 

⎩g( x, y) = 0 

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi). 

• Đặt S = x + y, P = xy. 

• Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P. 

• Giải hệ (II) ta tìm được S và P. 

• Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X − SX + P = 0 . 

3. Hệ đối xứng loại 2 

⎧ f ( x, y) = 0 (1) 

Hệ có dạng: (I) ⎨ 

⎩ f ( y, x) = 0 (2) 

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại). 

• Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: 

⎧ f ( x, y) − f ( y, x) = 0 (3) 

(I) ⇔ ⎨ 

⎩ f ( x, y) = 0 (1) 

• Biến đổi (3) về phương trình tích: 

⎡ x = y 

(3) ⇔ ( x − y). g( x, y) = 0 ⇔ 

⎢ 

. 

⎣g( x, y) = 0 

⎡⎧ f ( x, y) = 0 

⎢ ⎨ 

x = y 

• Như vậy, (I) ⇔ ⎢⎩ 

. 

⎢ ⎧ f ( x, y) = 0 

⎢ ⎨ 

⎣⎩g( x, y) = 0 

• Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I). 

4. Hệ đẳng cấp bậc hai 

⎧ 2 2 

⎪a x b xy c y d 

Hệ có dạng: (I) 

1 

+ 

1 

+ 

1 

= 

1 

⎨ 

. 

2 2 

⎪⎩ a2 x + b2 xy + c2y = d2 

• Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0). 


2


Bài 1. 

• Khi x ≠ 0, đặt y = kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương 

trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y). 

Chú ý: 

a) 

– Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm số để 

giải (sẽ học ở lớp 12). 

– Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm ( x0; y0) thì ( y0; x0) 

cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x = y . 

Giải các hệ phương trình sau: 

⎧ 2 2 

x 4y 

8 

⎨ 

+ = 

b) 

⎩ x + 2y 

= 4 

⎧ 2 2 

d) 

x − 3xy + y + 2x + 3y 

− 6 = 0 

⎨ 

e) 

⎩2x 

− y = 3 

⎧ 2 

x − xy = 24 

⎨ 

⎩2x 

− 3y 

= 1 

⎧3x 

− 4y 

+ 1 = 0 

⎨ 

⎩xy = 3( x + y) − 9 

⎧ 

g) 

y + 

2 

x = 4x 

⎧ 2x 

+ 3y 

= 5 

⎨ 

h) ⎨ 2 2 

⎩2x 

+ y − 5 = 0 

⎩3x − y + 2y 

= 4 


⎧ x + y = 6 

⎧ x + y = m 

a) ⎨ 

⎩x 2 + y 2 

b) ⎨ 2 2 

= m 

⎩x − y + 2x 

= 2 


⎧ x + xy + y = 11 

⎧ x + y = 4 

a) ⎨ 2 2 

b) ⎨ 2 2 

⎩x + y − xy − 2( x + y) = −31 

⎩x + xy + y = 13 

⎧ x y 13 ⎪ + = 

⎧ 3 3 3 3 

d) ⎨ y x 6 

e) 

x + x y + y = 17 

⎨ 

⎪ x + y + xy = 5 

⎩x 

+ y = 6 

⎩ 


⎧ x + y + xy = m 

⎧ x + y = m + 1 

a) ⎨ 2 2 

b) ⎨ 2 2 2 

⎩x + y = 3 − 2m 

⎩x y + xy = 2m − m − 3 


2 

2 2 

⎧⎪ x = 3x + 2y 

⎧⎪ x − 2y = 2x + y 

a) ⎨ 

b) 

2 

⎨ 2 2 

⎪⎩ y = 3y + 2x 

⎪⎩ y − 2x = 2y + x 

⎧ y 

⎧ 2 

y + 2 

x − 3y 

= 4 

3y 

= 

⎪ 

d) 

x 

⎪ 2 

⎨ 

e) 

x 

x 

⎨ 2 

⎪y 

− 3x 

= 4 

⎪ x + 2 

3x 

= 

⎪⎩ y 

⎪ 2 

⎩ y 


2 ⎧⎪ x = 3x + my 

a) ⎨ 

b) 

⎧⎪ 2 2 

x(3 4 y ) m(3 4 m ) 

2 

⎨ 

− = − 

2 2 

⎪⎩ y = 3y + mx 

⎪⎩ y(3 − 4 x ) = m(3 − 4 m ) 


x xy y 

a) 

⎧⎪ 2 − 2 

3 + = − 

2 2 

1 

⎧⎪ 2x − 4xy + y = −1 

⎨ 

b) 

2 2 

⎨ 2 2 

⎪⎩ 3x − xy + 3y 

= 13 

⎪⎩ 3x + 2xy + 2y 

= 7 

2 2 

⎧⎪ 3x + 5xy − 4y 

= 38 

d) ⎨ 

e) 

⎧⎪ 2 2 

x 2xy 3y 

9 

2 2 

⎨ 

− + = 

2 2 

⎪⎩ 5x − 9xy − 3y 

= 15 ⎪⎩ x − 4xy + 5y 

= 5 


c) 

f) 

i) 

c) 

c) 

f) 

c) 

c) 

f) 

c) 

0 0 

⎧ 2 

( x − y) = 49 

⎨ 

⎩3x 

+ 4y 

= 84 

⎧ 2x 

+ 3y 

= 2 

⎨ 

⎩xy + x + y + 6 = 0 

⎧2x 

− y = 5 

⎨ 2 2 

⎩x + xy + y = 7 

⎧3x 

− 2y 

= 1 

⎨ 2 2 

⎩x + y = m 

⎧ xy + x + y = 5 

⎨ 2 2 

⎩x + y + x + y = 8 

4 2 2 4 

⎧⎪ x + x y + y = 481 

⎨ 2 2 

⎪⎩ x + xy + y = 37 

⎧ ( x + 1)( y + 1) = m + 5 

⎨ 

⎩xy( x + y) = 4m 

3 ⎧⎪ x = 2x + y 

⎨ 3 

⎪⎩ y = 2y + x 

⎧ 2 1 

2x 

= y + 

⎪ y 

⎨ 

⎪ 2 1 

2y 

x 

⎪⎩ 

= + x 

⎧⎪ 2 

xy x m( y 1) 

⎨ 

+ = − 

2 

⎪⎩ xy + y = m( x −1) 

y xy 

c) 

⎧⎪ 2 

3 4 

⎨ 

− = 

2 2 

⎪⎩ x − 4xy + y = 1 

x xy y 

f) 

⎧⎪ 2 2 

3 8 4 0 

⎨ 

− + = 

2 2 

⎪⎩ 5x − 7xy − 6y 

= 0 




a) 

2 2 

⎧⎪ x + mxy + y = m 

⎨ 2 2 

⎪⎩ x + ( m − 1) xy + my = m 

b) 

2 ⎧⎪ xy − y = 12 

⎨ 2 

⎪⎩ x − xy = m + 26 

c) 

2 2 

⎧⎪ x − 4xy + y = m 

⎨ 2 

⎪⎩ y − 3xy 

= 4 

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III 


2 2 

a) m x + 4m − 3 = x + m 

b) ( a + b) 2 x + 2a 2 = 2 a( a + b) + ( a 2 + b 2 ) x 

2 2 2 2 

c) a x + 2ab = b x + a + b 

d) a( ax + b) = 4ax + b 2 − 5 

Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 

a) 

c) 

Bài 3. 

2x + m x + m −1 − = 1 

x −1 

x 

2 

b) m x m x 2m 

1 

x −1 − = + 

2mx 

− 1 m + 1 

− 2 x − 1 = 

d) x − 1 + 2x − 3 = m 

x −1 x −1 

Giải và biện luận các phương trình sau: 

2 

2 2 

a) 2x + 12x − 15m 

= 0 

b) x − 2( m − 1) x + m = 0 

2 

b) x − mx + m − 1 = 0 

d) x − 2( m − 2) x + m( m − 3) = 0 

Bài 4. Tìm m để phương trình có một nghiệm x 0 . Tính nghiệm còn lại: 

2 

3 

2 2 

a) x − mx + m + 1 = 0; x0 

= − b) 2x − 3m x + m = 0; x0 

= 1. 

2 

Bài 5. Trong các phương trình sau, tìm m để: 

i) PT có hai nghiệm trái dấu 

ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt 

iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt 

iv) PT có hai nghiệm phân biệt x , x thoả: x + x = ; x + x = 

2 

1 2 

2 

3 3 

1 2 

0 

2 2 

2 2 

1 2 

3 

a) x − 2( m − 2) x + m( m − 3) = 0 b) x + 2( m − 1) x + m = 0 

2 2 

c) x − 2( m + 1) x + m − 2 = 0 d) ( m + 2) x − 2( m − 1) x + m − 2 = 0 

2 

e) ( m + 1) x + 2( m + 4) x + m + 1 = 0 f) x − 4x + m + 1 = 0 

Bài 6. Trong các phương trình sau, hãy: 

i) Giải và biện luận phương trình. 

ii) Khi phương trình có hai nghiệm x , x , tìm hệ thức giữa x , x độc lập với m. 

2 

1 2 

2 

2 

1 2 

a) x + ( m −1) x − m = 0 

b) x − 2( m − 2) x + m( m − 3) = 0 

2 

c) ( m + 2) x − 2( m − 1) x + m − 2 = 0 d) x − 2( m + 1) x + m − 2 = 0 


2 2 

2 

2 2 

2 2 

a) x + x − 6 = 12 

b) x + x + 11 = 31 

c) 16x + 17 = 8x 

− 23 

d) x − 2x − 8 = 3( x − 4) 

2 

e) 3x − 9x + 1 + x − 2 = 0 

f) 51− 2x − x = 1− 

x 

2 2 

g) ( x − 3) x − 4 = x − 9 

h) x + 3 + 1 = 3x 

− 1 


a) 4 − 3 10 − 3x = x − 2 

b) x − 5 + x + 3 = 2x 

+ 4 

c) 3x + 4 − 2x − 1 = x + 3 d) x − 3x + 3 + x − 3x 

+ 6 = 3 

2 

2 

2 2 



g) 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4 h) x + 1 −1 

= x − x + 8 


x + 3 

a) x + 2 x −1 − x − 2 x − 1 = 2 b) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 

2 

4 2 2 

2 2 

c) x − x − 1 + x + x − 1 = 2 d) x − x − x − x + 13 = 7 

2 2 

2 2 

e) x + 2 x − 3x + 1 = 3x 

+ 4 f) 2x + 3 2x + x + 1 = 9 − x 

Bài 10. Trong các hệ phương trình sau: 

i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. 

ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m. 

⎧ mx + 2y = m + 1 

⎧ mx + y = 3m 

a) ⎨ 

b) ⎨ 

⎩2x + my = 2a 

−1 

⎩x + my = 2m 

+ 1 

⎧x − 2y = 4 − m 

⎧ 2x 

+ y = 5 

c) ⎨ 

d) ⎨ 

⎩2x + y = 3m 

+ 3 

⎩2y − x = 10m 

+ 5 

Bài 11. Giải các hệ phương trình sau: 

⎧ x + xy + y = −1 

2 2 

2 2 

⎧⎪ x + y = 5 

⎧⎪ x y + y x = 30 

a) ⎨ 2 2 

b) ⎨ 

c) 

⎩x y + y x = −6 

4 2 2 4 

⎨ 3 3 

⎪⎩ x − x y + y = 13 ⎪⎩ x + y = 35 

3 3 

2 2 

⎧⎪ x + y = 1 

⎧⎪ x + y + xy = 7 

⎧ x + y + xy = 11 

d) ⎨ 

e) 

5 5 2 2 

⎨ 

f) 

4 4 2 2 

⎨ 2 2 

⎪⎩ x + y = x + y 

⎪⎩ x + y + x y = 21 ⎩x + y + 3( x + y) = 28 

Bài 12. Giải các hệ phương trình sau: 

⎧ 1 

( x + y)(1 + ) = 5 

⎧ 2 2 

y( x + 1) = 2 x( y + 1) 

⎪ xy 

⎪ 

a) ⎨ 

b) 

2 2 1 

⎨ ⎛ 

2 2 1 ⎞ 

⎪ ( x + y )(1 + ) = 49 

⎪( x + y ) 

1+ = 24 

⎜ 2 2 

2 2 

x y 

⎟ 

⎪⎩ 

x y 

⎩ ⎝ ⎠ 

c) 

e) 

⎧ 1 1 

x + y + + = 4 

⎪ x y 

⎨ 

2 2 1 1 

⎪ x + y + + = 4 

2 2 

⎪⎩ x y 

⎧ 2 2 

2x y + y x + 2y + x = 6xy 

⎪ 

⎨ 1 y x 

⎪ 

xy + + + = 4 

⎩ xy x y 


2 ⎧⎪ x = 3x + 2y 

a) ⎨ 

b) 

2 

⎪⎩ y = 3y + 2x 

d) 

⎧ 2 1 

2x 

= + y 

⎪ y 

⎨ 

⎪ 2 1 

2y 

x 

⎪⎩ 

= x 

+ 

e) 

⎧ x y 2 

+ = 

⎪ 2 2 

d) 

x + 1 y + 1 3 

⎨ 

⎪ 1 

( x + y)(1 + ) = 6 

⎪⎩ xy 

⎧ 1 

xy + = 4 

⎪ xy 

f) ⎨ 

⎪ 

⎛ 1 ⎞ 

( x + y) ⎜1+ ⎟ = 5 

⎪⎩ 

⎝ xy ⎠ 

3 ⎧⎪ x = 2x + y 

⎨ 3 

⎪⎩ y = 2y + x 

⎧ 3 

2x 

+ y = 

⎪ 

2 

x 

⎨ 

3 

⎪ 2y 

+ x = 

2 

⎪⎩ y 

c) 

f) 

3 ⎧⎪ x = 3x + 8y 

⎨ 3 

⎪⎩ y = 3y + 8x 

⎧ 2 

y + 2 

3y 

= 

⎪ 2 

x 

⎨ 2 

⎪ x + 2 

3x 

= 

⎪ 2 

⎩ y 



CHƯƠNG IV 

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 

I. BẤT ĐẲNG THỨC 

1. Tính chất 

Điều kiện 

Nội dung 

a 

c > 0 a 

c < 0 a bc (2b) 

a 

a > 0, c > 0 a 

n nguyên dương 

a 

0 < a 

a > 0 a 

(6a) 

a 

3 b 

(6b) 

2. Một số bất đẳng thức thông dụng 

2 

2 2 

a) a ≥ 0, ∀ a . a + b ≥ 2ab 

. 

b) Bất đẳng thức Cô–si: 

+ Với a, b ≥ 0, ta có: 

a b 2 

ab + Với a, b, c ≥ 0, ta có: a + b + c ≥ 

3 

abc . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c. 

3 

Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất ⇔ x = y. 

– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất ⇔ x = y. 

c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối 


a > 0 

Nội dung 

x ≥ 0, x ≥ x, 

x ≥ − x 

x ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a 

⎡x 

≤ −a 

x ≥ a ⇔ ⎢ 

⎣x 

≥ a 

a − b ≤ a + b ≥ a + b 

d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác 

Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có: 

+ a, b, c > 0. 

+ a − b < c < a + b ; b − c < a 

e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki 

2 2 2 2 2 

Với a, b, x, y ∈ R, ta có: ( ax + by) ≤ ( a + b )( x + y ) . Dấu "=" xảy ra ⇔ ay = bx. 




VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản 

• Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau: 

– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết. 

– Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh. 

• Một số BĐT thường dùng: 

2 2 

2 2 

+ A 2 ≥ 0 + A + B ≥ 0 + A. B ≥ 0 với A, B ≥ 0. + A + B ≥ 2AB 

Chú ý: 

– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức. 

– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có 

thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức. 

Bài 1. Cho a, b, c, d, e ∈ R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 

2 2 2 

a) a + b + c ≥ ab + bc + ca 

b) a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b 

2 2 2 

2 2 2 

c) a + b + c + 3 ≥ 2( a + b + c) 

d) a + b + c ≥ 2( ab + bc − ca) 

4 4 2 2 

e) a + b + c + 1 ≥ 2 a( ab − a + c + 1) f) a b c ab ac 2bc 

4 + + ≥ − + 

2 2 2 2 2 2 

2 

2 2 

2 2 2 2 2 

g) a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ≥ 6abc 

h) a + b + c + d + e ≥ a( b + c + d + e) 

1 1 1 1 1 1 

i) + + ≥ + + với a, b, c > 0 

a b c ab bc ca 

k) a + b + c ≥ ab + bc + ca với a, b, c ≥ 0 

2 2 2 

2 2 2 

HD: a) ⇔ ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) ≥ 0 b) ⇔ ( a − b) + ( a − 1) + ( b −1) ≥ 0 

2 2 2 

c) ⇔ ( a − 1) + ( b − 1) + ( c −1) ≥ 0 d) ⇔ ( a − b + c) 2 ≥ 0 

2 2 2 2 2 

⎛ a ⎞ 

e) ⇔ ( a − b ) + ( a − c) + ( a −1) ≥ 0 f) ⇔ ⎜ − ( b − c) ⎟ ≥ 0 

⎝ 2 ⎠ 

2 2 2 

g) ⇔ ( a − bc) + ( b − ca) + ( c − ab) ≥ 0 

2 2 2 2 

⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ 

h)⇔ ⎜ − b⎟ + ⎜ − c⎟ + ⎜ − d ⎟ + ⎜ − e⎟ 

≥ 0 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

2 2 2 

⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 

i) ⇔ ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ ≥ 0 

⎝ a b ⎠ ⎝ b c ⎠ ⎝ c a ⎠ 

2 2 2 

a − b + b − c + c − a ≥ 0 

Bài 2. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 

a) a 3 b 3 

+ ⎛ a + b ⎞ 

3 

4 4 3 3 

≥ ⎜ ⎟ ; với a, b ≥ 0 b) a + b ≥ a b + ab 

2 ⎝ 2 ⎠ 

k) ⇔ ( ) ( ) ( ) 

4 

3 3 3 

c) a + 3 ≥ 4a 

d) a + b + c ≥ 3abc 

, với a, b, c > 0. 

e) 

a 

6 6 

a b 

+ b ≤ + ; với a, b ≠ 0. f) 

2 2 

b a 

4 4 

2 

2 

1 1 2 

+ ≥ ; với ab ≥ 1. 

2 2 

1+ a 1+ 

b 1 + ab 

a + 3 

5 5 4 4 2 2 

g) > 2 

h) ( a + b )( a + b) ≥ ( a + b )( a + b ) ; với ab > 0. 

2 

a + 2 

3 

HD: a) ⇔ ( a b )( a b ) 2 0 

3 3 

+ − ≥ b) ⇔ ( a − b )( a − b) ≥ 0 

8 



2 2 

c) ⇔ ( a − 1) ( a + 2a 

+ 3) ≥ 0 

3 3 3 2 2 

d) Sử dụng hằng đẳng thức a + b = ( a + b) − 3a b − 3ab 

. 

2 2 2 

BĐT ⇔ ( a + b + c) ⎡ ⎣a + b + c − ( ab + bc + ca) ⎤ 

⎦ ≥ 0 . 

2 2 2 4 2 2 4 

( b − a) ( ab −1) 

e) ⇔ ( a − b ) ( a + a b + b ) ≥ 0 f) ⇔ 

≥ 0 

2 2 

(1 + ab)(1 + a )(1 + b ) 

g) ⇔ ( a 2 1) 2 

3 3 

+ > 0 

h) ⇔ ab( a − b)( a − b ) ≥ 0 . 

2 2 

Bài 3. Cho a, b, c, d ∈ R. Chứng minh rằng a + b ≥ 2ab 

(1). Áp dụng chứng minh các bất 

đảng thức sau: 

4 4 4 4 

a) a + b + c + d ≥ 4abcd 

b) ( a + 1)( b + 1)( c + 1) ≥ 8abc 

2 2 2 2 

c) ( a + 4)( b + 4)( c + 4)( d + 4) ≥ 256abcd 

4 4 2 2 2 2 2 2 

2 2 2 2 

2 

2 2 2 

HD: a) a + b ≥ 2 a b ; c + d ≥ 2c d ; a b + c d ≥ 2abcd 

2 2 2 

b) a + 1 ≥ 2 a; b + 1 ≥ 2 b; c + 1 ≥ 2c 

2 2 2 2 

c) a + 4 ≥ 4 a; b + 4 ≥ 4 b; c + 4 ≥ 4 c; d + 4 ≥ 4d 

Bài 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu a b < 1 thì a a + 

< c (1). Áp dụng chứng 

b b + c 

minh các bất đảng thức sau: 

a b c 

a b c d 

a) + + < 2 b) 

a + b b + c c + a 

1 < + + + < 

a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b 

2 

a + b b + c c + d d + a 

c) 2 < + + + < 3 

a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b 

HD: BĐT (1) ⇔ (a – b)c < 0. 

a a + c 

a) Sử dụng (1), ta được: < 

a + b a + b + c 

, b b + a 

< 

b + c a + b + c 

, c c + b 

< 

c + a a + b + c 

. 

Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm. 

a a a 

b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: 

< < 

a + b + c + d a + b + c a + c 

b b b 

Tương tự, 

< < 

a + b + c + d b + c + d b + d 

c c c 

< < 

a + b + c + d c + d + a a + c 

d d d 

< < 

a + b + c + d d + a + b d + b 

Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. 

a + b a + b a + b + d 

c) Chứng minh tương tự câu b). Ta có: 

< < 

a + b + c + d a + b + c a + b + c + d 

Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm. 

2 2 2 

Bài 5. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức: a + b + c ≥ ab + bc + ca (1). Áp dụng 

chứng minh các bất đảng thức sau: 

2 2 2 2 

a) ( a + b + c) ≤ 3( a + b + c ) 

b) a 2 b 2 c 2 

+ + ⎛ a + b + c ⎞ 

2 

≥ ⎜ ⎟ 

3 ⎝ 3 ⎠ 

2 

4 4 4 

c) ( a + b + c) ≥ 3( ab + bc + ca) 

d) a + b + c ≥ abc( a + b + c) 




e) 

a + b + c ab + bc + ca 

4 4 4 

≥ với a,b,c>0. f) a + b + c ≥ abc nếu a + b + c = 1 

3 3 

2 2 2 

HD: ⇔ ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) ≥ 0 . 

a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) b, c) Vận dụng a) 

d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1) 

f) Sử dụng d) 

3 3 2 2 

Bài 6. Cho a, b ≥ 0 . Chứng minh bất đẳng thức: a + b ≥ a b + b a = ab( a + b) 

(1). Áp 

dụng chứng minh các bất đảng thức sau: 

1 1 1 1 

a) 

+ + ≤ ; 

3 3 3 3 3 3 

a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 

với a, b, c > 0. 

1 1 1 

b) + + ≤ 1; a 

3 b 

3 b 

3 c 

3 c 

3 a 

3 

+ + 1 + + 1 + + 1 

với a, b, c > 0 và abc = 1. 

1 1 1 

c) + + ≤ 1; a + b + 1 b + c + 1 c + a + 1 

với a, b, c > 0 và abc = 1. 

Bài 7. 

3 3 3 3 3 3 3 3 3 

d) 4( a + b ) + 4( b + c ) + 4( c + a ) ≥ 2( a + b + c) 

; với a, b, c ≥ 0 . 

e*) 

A B C 

sin A + sin B + sinC 

≤ cos + cos + cos ; với ABC là một tam giác. 

2 2 2 

3 3 3 3 3 3 

2 2 

HD: (1) ⇔ ( a − b )( a − b) ≥ 0 . 

3 3 

1 1 

a) Từ (1) ⇒ a + b + abc ≥ ab( a + b + c) 

⇒ 

≤ 

. 

a 3 + b 3 + abc ab( a + b + c) 

Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. 

b, c) Sử dụng a). 

3 3 2 2 

3 3 3 

d) Từ (1) ⇔ 3( a + b ) ≥ 3( a b + ab ) ⇔ 4( a + b ) ≥ ( a + b) 

(2). 

Từ đó: VT ≥ ( a + b) + ( b + c) + ( c + a) = 2( a + b + c) 

. 

e) Ta có: 

C A − B C 

sin A + sin B = 2 cos .cos ≤ 2 cos . 

2 2 2 

3 3 

Sử dụng (2) ta được: a + b ≤ 3 4( a + b ) . 

⇒ 

C C 

sin A + sin B ≤ 4(sin A + sin B) ≤ 4.2.cos = 2 cos 

2 2 

3 3 3 3 3 

A 

Tương tự, 

3 sin B 

3 sinC 

2 3 

3 3 

B 

+ ≤ cos , sinC 

+ sin A ≤ 23 

cos 2 

2 


Cho a, b, x, y ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): 

2 2 2 2 2 2 

a + x + b + y ≥ ( a + b) + ( x + y) 

(1) 

Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: 

2 2 

a) Cho a, b ≥ 0 thoả a + b = 1. Chứng minh: 1+ a + 1+ b ≥ 5 . 

2 1 2 1 

b) Tìm GTNN của biểu thức P = a + + b + . 

2 2 

b a 

c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 1. Chứng minh: 

2 1 2 1 2 1 

x + + y + + z + ≥ 82 . 

2 2 2 

x y z 



Bài 8. 

d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 3 . Tìm GTNN của biểu thức: 

2 2 2 

P = 223 + x + 223 + y + 223 + z . 

2 2 2 2 

HD: Bình phương 2 vế ta được: (1) ⇔ ( a + b )( x + y ) ≥ ab + xy (*) 

• Nếu ab + xy < 0 thì (*) hiển nhiên đúng. 

• Nếu ab + xy ≥ 0 thì bình phương 2 vế ta được: (*) ⇔ ( bx − ay) 2 ≥ 0 (đúng). 

2 2 2 2 

a) Sử dụng (1). Ta có: 1+ a + 1 + b ≥ (1 + 1) + ( a + b) = 5 . 

2 2 

2 ⎛ 1 1 ⎞ 2 ⎛ 4 ⎞ 

b) Sử dụng (1). P ≥ ( a + b) + ⎜ + ⎟ ≥ ( a + b) + ⎜ ⎟ = 17 

⎝ a b ⎠ ⎝ a + b ⎠ 

1 1 4 

Chú ý: + ≥ (với a, b > 0). 

a b a + b 

c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: 

2 1 2 1 2 1 2 ⎛ 1 1 1 ⎞ 

x + + y + + z + ≥ ( x + y + z) 

+ 

2 2 2 

⎜ + + ⎟ 

x y z 

⎝ x y z ⎠ 

1 1 1 9 

Chú ý: + + ≥ (với x, y, z > 0). 

x y z x + y + z 

d) Tương tự câu c). Ta có: P ≥ ( ) x y z 

2 9 

≥ ( x y z) ⎛ ⎞ 

+ + + ⎜ ⎟ = 82 . 

⎝ x + y + z ⎠ 

3 223 + ( + + ) = 2010 . 

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: 

2 2 2 

a) ab + bc + ca ≤ a + b + c 0 

2 2 2 3 3 3 

d) a( b − c) + b( c − a) + c( a + b) 

> a + b + c 

HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a > b − c ⇒ a > b − 2bc + c . 


2 2 2 2 

2 

2 

2 2 2 

b) Ta có: a > a − ( b − c) ⇒ a > ( a + b − c)( a − b + c) 

. 


c) ⇔ ( a + b + c)( a + b − c)( b + c − a)( c + a − b) > 0 . 

d) ⇔ ( a + b − c)( b + c − a)( c + a − b) > 0 . 

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si 

1. Bất đẳng thức Cô–si: 

a b 

+ Với a, b ≥ 0, ta có: 

+ ≥ ab . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b. 

2 

+ Với a, b, c ≥ 0, ta có: a + b + c ≥ 

3 

abc . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c. 

3 

2 

⎛ a + b ⎞ 

⎛ a + b + c ⎞ 

2. Hệ quả: + ⎜ ⎟ ≥ ab 

+ ⎜ ⎟ ≥ abc 

⎝ 2 ⎠ 

⎝ 3 ⎠ 

3. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: 

+ Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất ⇔ x = y. 


3 

2 

2



Bài 1. 

+ Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất ⇔ x = y. 

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 

2 2 2 

a) ( a + b)( b + c)( c + a) ≥ 8abc 

b) ( a + b + c)( a + b + c ) ≥ 9abc 

c) ( 3 ) 

(1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 1+ abc 3 

d) bc + ca + ab ≥ a + b + c ; với a, b, c > 0. 

a b c 

2 2 2 2 2 2 

e) a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ≥ 6abc 

ab bc ca a + b + c 

f) + + ≤ ; với a, b, c > 0. 

a + b b + c c + a 2 

a b c 3 

g) + + ≥ ; với a, b, c > 0. 

b + c c + a a + b 2 

HD: a) a + b ≥ 2 ab; b + c ≥ 2 bc; c + a ≥ 2 ca ⇒ đpcm. 

3 

2 2 2 3 2 2 2 

b) a + b + c ≥ 3 abc; a + b + c ≥ 3 a b c ⇒ đpcm. 

c) • (1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1+ a + b + c + ab + bc + ca + abc 

3 

3 2 2 2 

• a + b + c ≥ 3 abc • ab + bc + ca ≥ 3 a b c 

3 3 2 2 2 

⇒ ( 3 ) 

(1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 1+ 3 abc + 3 a b c + abc = 1+ 

abc 3 

2 

d) bc + ca ≥ 2 abc = 2c 

, ca + ab ≥ 2 a bc = 2a 

, ab + bc ≥ 2 ab c = 2b 

⇒đpcm 

a b ab b c bc c a ac 

2 2 2 

3 3 3 3 

e) VT ≥ 2( a b + b c + c a) 

≥ 6 a b c = 6abc 

. 

f) Vì a + b ≥ 2 ab nên 

ab ab ab 

≤ = . Tương tự: 

a + b 2 ab 2 

ab bc ca ab + bc + ca a + b + c 

⇒ + + ≤ ≤ 

a + b b + c c + a 2 2 

2 

2 

bc bc ca ca 

≤ ; ≤ . 

b + c 2 c + a 2 

(vì ab + bc + ca ≤ a + b + c ) 

⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ ⎛ c ⎞ 

g) VT = ⎜ + 1⎟ + ⎜ + 1⎟ + ⎜ + 1⎟ 

− 3 

⎝ b + c ⎠ ⎝ c + a ⎠ ⎝ a + b ⎠ 

= ⎛ 

[ a b b c c a ] 

⎞ 

( + ) + ( + ) + ( + ) ⎜ + + ⎟ − 3≥ − 3 = 3 . 

2 

⎝ b + c c + a a + b ⎠ 2 2 

• Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b. 

1 ⎡⎛ x y ⎞ ⎛ z x ⎞ ⎛ z y ⎞ ⎤ 

Khi đó, VT = ⎢⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ − 3⎥ 

≥ 1 (2 + 2 + 2 − 3) = 3 . 

2 ⎣⎝ y x ⎠ ⎝ x z ⎠ ⎝ y z ⎠ ⎦ 2 2 

Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 

3 3 3 ⎛ 1 1 1 ⎞ 

2 

a) ( a + b + c ) ⎜ + + ⎟ ≥ ( a + b + c) 

⎝ a b c ⎠ 

3 3 3 2 2 2 

3 3 3 3 

b) 3( a + b + c ) ≥ ( a + b + c)( a + b + c ) c) 9( a + b + c ) ≥ ( a + b + c) 

HD: a) VT = 

⎛ 3 3 

a b ⎞ ⎛ 3 3 

b c ⎞ ⎛ 3 3 

c a ⎞ 

2 2 2 

a + b + c + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ 

⎝ b a ⎠ ⎝ c b ⎠ ⎝ a c ⎠ . 

3 3 

2 2 

Chú ý: a + b ≥ 2 a b = 2ab 

. Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. 

b a 

b) ⇔ 2( a 3 b 3 c 3 ) ( a 2 b b 2 a) ( b 2 c bc 2 ) ( c 2 a ca 

2 ) 

+ + ≥ + + + + + . 



3 3 

Chú ý: a + b ≥ ab( a + b) 

. Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. 

3 3 3 2 2 2 

c) Áp dụng b) ta có: 9( a + b + c ) ≥ 3( a + b + c)( a + b + c ) . 

2 2 2 2 

Dễ chứng minh được: 3( a + b + c ) ≥ ( a + b + c) 

⇒ đpcm. 

1 1 4 

Bài 3. Cho a, b > 0. Chứng minh + ≥ (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: 

a b a + b 

a) 1 + 1 + 1 ≥ 2 ⎛ ⎜ 

1 + 1 + 

1 ⎞ 

⎟ ; với a, b, c > 0. 

a b c ⎝ a + b b + c c + a ⎠ 

1 1 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 

b) + + ≥ 2⎜ 

+ + ⎟ ; với a, b, c > 0. 

a + b b + c c + a ⎝ 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 

⎠ 

1 1 1 

1 1 1 

c) Cho a, b, c > 0 thoả + + = 4 . Chứng minh: + + ≤ 1 

a b c 

2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 

ab bc ca a + b + c 

d) + + ≤ ; với a, b, c > 0. 

a + b b + c c + a 2 

2xy 8yz 4xz 

e) Cho x, y, z > 0 thoả x + 2y + 4z 

= 12 . Chứng minh: + + ≤ 6 . 

x + 2y 2y + 4z 4z + x 

f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 

1 + 1 + 1 ≥ 2 ⎛ ⎜ 

1 + 1 + 

1 ⎞ 

⎟ 

p − a p − b p − c ⎝ a b c ⎠ . 

⎛ 1 1 ⎞ 

HD: (1) ⇔ ( a + b) ⎜ + ⎟ ≥ 4 . Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si. 

⎝ a b ⎠ 

a) Áp dụng (1) ba lần ta được: 1 + 1 ≥ 4 ; 1 + 1 ≥ 4 ; 

1 + 1 ≥ 

4 

a b a + b b c b + c c a c + . a 


b) Tương tự câu a). 

1 1 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 

c) Áp dụng a) và b) ta được: + + ≥ 4⎜ 

+ + ⎟ 

a b c ⎝ 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 

⎠ . 

1 1 ⎛ 1 1 ⎞ 

d) Theo (1): ≤ a b 4 

⎜ + ⎟ 

+ ⎝ a b ⎠ ⇔ ab 1 

≤ ( a + b ) . 

a + b 4 

Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm. 

e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a + b + c = 12 ⇒ đpcm. 

f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c. 

Áp dụng (1) ta được: 1 + 1 ≥ 4 = 

4 . 

p − a p − b ( p − a ) + ( p − b ) c 

Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm. 

1 1 1 9 

Bài 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh + + ≥ (1). Áp dụng chứng minh các 

a b c a + b + c 

BĐT sau: 

2 2 2 ⎛ 1 1 1 ⎞ 3 

a) ( a + b + c ) ⎜ + + ⎟ ≥ ( a + b + c) 

. 

⎝ a + b b + c c + a ⎠ 2 

b) Cho x, y, z > 0 thoả x + y + z = 1. Tìm GTLN của biểu thức: P = 

c) Cho a, b, c > 0 thoả a + b + c ≤ 1. Tìm GTNN của biểu thức: 

1 1 1 

P = + + . 

a 

2 bc b 

2 ac c 

2 

+ 2 + 2 + 2 ab 

x y z 

+ + 

x + 1 y + 1 z + 1 

. 




1 1 1 1 

d) Cho a, b, c > 0 thoả a + b + c = 1. Chứng minh: 

+ + + ≥ 30 . 

a 2 + b 2 + c 

2 ab bc ca 

e*) Cho tam giác ABC. Chứng minh: 

1 + 1 + 1 ≥ 

6 . 

2 + cos2A 2 + cos2B 2 − cos2C 

5 

⎛ 1 1 1 ⎞ 

HD: Ta có: (1) ⇔ ( a + b + c) ⎜ + + ⎟ ≥ 9. Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si. 

⎝ a b c ⎠ 

a) Áp dụng (1) ta được: 1 + 1 + 1 ≥ 

9 . 

a + b b + c c + a 2( a + b + c ) 

2 2 2 2 2 2 

9( a + b + c ) 3 3( a + b + c ) 3 

⇒ VT ≥ 

= . ≥ ( a + b + c) 

2( a + b + c) 2 a + b + c 2 

2 2 2 2 

Chú ý: ( a + b + c) ≤ 3( a + b + c ) . 

b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau: 

P = x + 1− 1 y + 1− 1 z + 1−1 

⎛ 1 1 1 ⎞ 

+ + = 3 − ⎜ + + ⎟ 

x + 1 y + 1 z + 1 ⎝ x + 1 y + 1 z + 1⎠ 

Ta có: 1 1 1 9 9 

9 3 

+ + ≥ = . Suy ra: P ≤ 3 − = . 

x + 1 y + 1 z + 1 x + y + z + 3 4 

4 4 

Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau: 

Cho x, y, z > 0 thoả x + y + z = 1 và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN 

của biểu thức: P = 

x y z 

+ + 

kx + 1 ky + 1 kz + 1 

. 

9 9 

c) Ta có: P ≥ = ≥ 9 . 

a 2 + 2 bc + b 2 + 2 ca + c 2 + 2 ab ( a + b + c ) 

2 

1 9 

d) VT ≥ 

+ 

a 2 + b 2 + c 

2 ab + bc + ca 

⎛ 1 1 1 ⎞ 7 

= ⎜ 

+ + 

a 2 b 2 c 

2 

⎟ + 

⎝ + + ab + bc + ca ab + bc + ca ⎠ ab + bc + ca 

9 7 9 7 

≥ 

+ ≥ + = 30 

( a + b + c) 

2 ab + bc + ca 1 1 

3 

1 

Chú ý: ab bc ca a b c 2 1 

+ + ≤ ( + + ) = . 

3 3 

e) Áp dụng (1): 

1 + 1 + 1 ≥ 

9 

2 + cos2A 2 + cos2B 2 − cos2C 6 + cos2A + cos2B − cos2C 

9 6 

≥ = . 

3 5 

6 + 2 

Bài 5. 

a) 

c) 

Chú ý: cos2A + cos2B − cos2C ≤ 3 . 

2 

Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau: 

x 

y 

18 x 

= + ; x > 0 . b) y = + 2 ; x > 1 . 

2 x 

2 x −1 

x 

y 

3 1 x 

= + ; x > − 1 . d) y = + 5 ; x > 

1 

2 x + 1 

3 2x 

−1 2 



e) 

g) 

x 

y 

5 x 

= + ; 0 < x < 1 

f) y = +1 ; x > 0 

1− 

x x 

2 

x 

2 

x + 4x 

+ 4 

y 

; x 0 

2 2 

= > h) y = x + ; x > 0 

x 

3 

x 

3 

HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny = 3 2 khi x = 3 

c) Miny = 

3 

6 − khi x = 

2 

e) Miny = 2 5 + 5 khi x 

6 1 

3 − d) Miny = 30 + 1 30 + 1 

khi x = 

3 

2 

5 − 5 

= f) Miny = 

4 

3 

34 khi x = 3 2 

5 

g) Miny = 8 khi x = 2 h) Miny = 5 

27 khi x = 5 3 

Bài 6. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau: 

a) y = ( x + 3)(5 − x); − 3 ≤ x ≤ 5 b) y = x(6 − x); 0 ≤ x ≤ 6 

5 

5 

c) y = ( x + 3)(5 − 2 x); − 3 ≤ x ≤ d) y = (2x + 5)(5 − x); − ≤ x ≤ 5 

2 

2 

1 5 

x 

e) y = (6x + 3)(5 − 2 x); 

− ≤ x ≤ f) y = ; x > 0 

2 2 

x 2 + 2 

2 

x 

g) y = 

3 

( 2 

x + 2) 

HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3 

c) Maxy = 121 

8 khi x = 1 

− d) Maxy = 625 

4 

8 khi x = 5 4 

1 

e) Maxy = 9 khi x = 1 f) Maxy = 

2 2 khi x = 2 ( x 2 

2 + ≥ 2 2 x ) 

2 2 3 2 2 3 2 x 

g) Ta có: x + 2 = x + 1+ 1 ≥ 3 x ⇔ ( x + 2) ≥ 27x 

⇔ 

( x + 2) 

2 

2 3 

≤ 

1 

27 

⇒ Maxy = 1 27 

khi x = ±1. 

VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki 

1. Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B) 

2 2 2 2 2 

• Với a, b, x, y ∈ R, ta có: ( ax + by) ≤ ( a + b )( x + y ) . Dấu "=" xảy ra ⇔ ay = bx. 

2 2 2 2 2 2 2 

• Với a, b, c, x, y, z ∈ R, ta có: ( ax + by + cz) ≤ ( a + b + c )( x + y + z ) 

Hệ quả: 

2 2 2 

2 2 2 2 

• ( a + b) ≤ 2( a + b ) • ( a + b + c) ≤ 3( a + b + c ) 

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 

2 2 

2 2 735 

a) 3a + 4b 

≥ 7, với 3a + 4b 

= 7 b) 3a + 5b 

≥ , với 2a − 3b 

= 7 

47 

2 2 2464 

2 2 4 

c) 7a + 11b 

≥ , với 3a − 5b 

= 8 d) a + b ≥ , với a + 2b 

= 2 

137 

5 




Bài 2. 

2 2 

2 2 9 

e) 2a + 3b 

≥ 5 , với 2a + 3b 

= 5 f) ( x − 2y + 1) + (2x − 4y 

+ 5) ≥ 

5 

HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 3, 4, 3 a, 4 b . 

2 3 

b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số , − , 3 a, 5b 

. 

3 5 

3 5 

c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số , − , 7 a, 11b 

. 

7 11 

d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 1,2, a, b . 

e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2, 3, 2 a, 3 b . 

2 2 9 

f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 và BĐT ⇔ a + b ≥ . 

5 

Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm. 

Chứng minh các bất đẳng thức sau: 

2 2 1 

3 3 1 

a) a + b ≥ , với a + b ≥ 1. b) a + b ≥ , với a + b ≥ 1. 

2 

4 

4 4 1 

4 4 

c) a + b ≥ , với a + b ≥ 1. d) a + b ≥ 2 , với a + b = 2 . 

8 

2 2 2 2 2 

HD: a) 1 ≤ (1a + 1 b) ≤ (1 + 1 )( a + b ) ⇒ đpcm. 

3 3 2 3 

b) a + b ≥ 1 ⇒ b ≥ 1 − a ⇒ b ≥ (1 − a) = 1− 3a + 3a − a 

3 3 ⎛ 1 ⎞ 1 1 

⇒ b + a ≥ 3⎜ 

a − ⎟ + ≥ . 

⎝ 2 ⎠ 4 4 

2 2 4 4 2 2 2 1 

c) (1 + 1 )( a + b ) ≥ ( a + b ) ≥ ⇒ đpcm. 

4 

2 2 2 2 2 

2 

2 2 

d) (1 + 1 )( a + b ) ≥ ( a + b) = 4 ⇒ a + b ≥ 2 . 

2 2 4 4 2 2 2 

4 4 

(1 + 1 )( a + b ) ≥ ( a + b ) ≥ 4 ⇒ a + b ≥ 2 

Bài 3. Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

P = 1− x + 1− y + 1− z . 

HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P ≤ 1+ 1+ 1. (1 − x) + (1 − y) + (1 − z) 

≤ 6 

1 

Dấu "=" xảy ra ⇔ 1− x = 1− y = 1− z ⇔ x = y = z = . 

3 

1 

Vậy Max P = 6 khi x = y = z = . 

3 

Bài 4. Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng: 

2 1 2 1 2 1 

x + + y + + z + ≥ 

2 2 2 

x y z 

HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: 

⎛ 2 1 ⎞ 2 2 ⎛ 9 ⎞ 

⎜ x + (1 9 ) x 

2 

⎟ + ≥ ⎜ + ⎟ 

⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ 

2 

82 

2 1 1 ⎛ 9 ⎞ 

⇒ x + ≥ x 

2 

⎜ + ⎟ 

x 82 ⎝ x ⎠ 

2 1 1 ⎛ 9 ⎞ 

Tương tự ta có: y + ≥ y 

2 

⎜ + ⎟ 

y 82 ⎝ y 

(2), ⎠ z 2 1 1 ⎛ 

z 

z 9 ⎞ 

+ ≥ 

2 

⎜ + ⎟ 

82 ⎝ z ⎠ 

Từ (1), (2), (3) suy ra: 

(1) 

(3) 



1 ⎡ 

⎛ 1 1 1 ⎞⎤ 

1 ⎡ 

1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 80 ⎛ 1 1 1 ⎞⎤ 

P ≥ ⎢( x + y + z) + 9⎜ 

+ + ⎟⎥ 

= ⎢( x + y + z) 

+ ⎜ + + ⎟ + ⎜ + + ⎟⎥ 

82 ⎣ 

⎝ x y z ⎠⎦ 

82 ⎣ 

9 ⎝ x y z ⎠ 9 ⎝ x y z ⎠⎦ 

1 ⎡2 ⎛ 1 1 1 ⎞ 80 9 ⎤ 

≥ ⎢ ( x + y + z) ⎜ + + ⎟ + . ⎥ ≥ 82 . 

82 ⎢⎣ 

3 ⎝ x y z ⎠ 9 x + y + z⎥⎦ 

1 

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = . 

3 

1 

Bài 5. Cho a, b, c ≥ − thoả a + b + c = 1. Chứng minh: 

4 

(1) (2) 

7 < 4a + 1 + 4b + 1 + 4c 

+ 1 ≤ 21 . 

HD: Áp dụng BĐT (B) cho 6 số: 1;1;1; 4a + 1; 4b + 1; 4c 

+ 1 ⇒ (2). 

Chú ý: x + y + z ≤ x + y + z . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 0. Từ đó ⇒ (1) 

Bài 6. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của các biểu thức sau: 

4 1 

2 3 

a) A = + , với x + y = 1 b) B = x + y , với + = 6 

x 4 y 

x y 

2 2 

⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

HD: a) Chú ý: A = ⎜ ⎟ + 

. 

⎝ x ⎠ 

⎜ 2 y ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 1 

Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x; ; y; ta được: 

x 2 y 

2 

25 ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 4 1 ⎞ 

≤ x. + y. ≤ ( x + y) 

+ 

4 ⎜ x 2 y ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 

⎠ ⎝ x 4y 

⎠ 

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 4 ; y = 1 . Vậy minA = 25 

5 5 

4 khi x 4 y 1 

= ; = . 

5 5 

2 2 

2 3 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 

b) Chú ý: + = ⎜ ⎟ + 

x y ⎝ x ⎠ 

⎜ y ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 3 

Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x; y; ; ta được: 

x y 

⎛ 2 3 ⎞ 2 3 

( x y) ⎛ 

⎞ 

+ ⎜ + ⎟ ≥ x. + y. = 2 + 3 

x y ⎜ x y ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

. 

2 

( ) 

2 

( ) 

2 + 3 

⇒ x + y ≥ . 

6 

2 

Bài 7. 

2 3 + 3 2 2 3 + 3 2 

( 2 + 3 

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = ; y = . Vậy minB = )2 

6 3 6 2 

6 

Tìm GTLN của các biểu thức sau: 

2 2 

a) A = x 1+ y + y 1+ x , với mọi x, y thoả x + y = 1. 

2 2 

HD: a) Chú ý: x + y ≤ 2( x + y ) = 2 . 

2 2 

A ≤ ( x + y )(1 + y + 1 + x) = x + y + 2 ≤ 2 + 2 . 

2 

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = . 

2 

. 



Bài 8. 


Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau: 

a) A = 7 − x + 2 + x , với –2 ≤ x ≤ 7 b) B = 6 x − 1 + 8 3 − x , với 1 ≤ x ≤ 3 

2 2 

2 2 

c) C = y − 2x 

+ 5 , với 36x + 16y 

= 9 d) D = 2x − y − 2 , với x + y = 1. 

4 9 

2 2 

5 

HD: a) • A ≤ (1 + 1 )(7 − x + x + 2) = 3 2 . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = . 

2 

• A ≥ (7 − x) + ( x + 2) = 3 . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = –2 hoặc x = 7. 

5 

⇒ maxA = 3 2 khi x = ; minA = 3 khi x = –2 hoặc x = 7. 

2 

2 2 

b)• B ≤ (6 + 8 )( x − 1+ 3 − x) = 10 2 . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 43 

25 . 

• B ≥ 6 ( x − 1) + (3 − x) + 2 3 − x ≥ 6 2 . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 3. 

⇒ maxB = 10 2 khi x = 43 ; minB = 6 2 khi x = 3. 

25 

2 2 2 2 

1 1 

c) Chú ý: 36x + 16 y = (6 x) + (4 y) 

. Từ đó: y − 2 x = .4 y − .6x 

. 

4 3 

⎛ ⎞ 

⇒ y 2 x .4 y .6x ( 16y 2 36x 

2 ) 

1 1 1 1 5 

− = − ≤ ⎜ + ⎟ + = 

4 3 ⎝16 9 ⎠ 

4 

5 5 15 25 

⇒ − ≤ y − 2x 

≤ ⇒ ≤ C = y − 2x 

+ 5 ≤ . 

4 4 4 4 

⇒ minC = 15 4 khi x = 2 , y = − 9 ; maxC = 25 

5 20 

4 khi x 2 y 9 

= − , = . 

5 20 

2 2 

x y 

d) Chú ý: 1 ( (3 2 2 

x ) (2 y ) ) 

2 1 

+ = + . Từ đó: 2 x − y = .3 x − .2y 

. 

4 9 36 

3 2 

2 1 ⎛ 4 1 ⎞ 

⇒ x y x y ( x 2 y 

2 ) 

2 − = .3 − .2 ≤ ⎜ + ⎟ 9 + 4 = 5 

3 2 ⎝ 9 4 ⎠ 

⇒ −5 ≤ 2x − y ≤ 5 ⇒ −7 ≤ D = 2x − y − 2 ≤ 3 . 

8 9 

8 9 

⇒ minD = –7 khi x = − , y = ; maxD = 3 khi x = , y = − . 

5 5 

5 5 



II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 

BẬC NHẤT MỘT ẨN 

1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 

2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn 

Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi 

lấy giao các tập nghiệm thu được. 

3. Dấu của nhị thức bậc nhất 

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 

Bài 1. Giải các bất phương trình sau: 

3 3( 2x 

− 7) 

2x 

+ 1 3 

a) − 2x 

+ > b) 3 − > x + 

5 3 

5 4 

5( x 1) 2( x 1) 

c) 

− 1 

+ 

3( x + 1) x −1 

− < d) 2 + < 3 − 

6 3 

8 4 

Bài 2. Giải và biện luận các bất phương trình sau: 

a) m( x − m) ≤ x − 1 

b) mx + 6 > 2x + 3m 

c) ( m + 1) x + m < 3m 

+ 4 

d) mx + 1 > m + x 

e) m( x − 2) x − m x + 

+ > 1 

f) 3 − mx < 2( x − m) − ( m + 1) 

6 3 2 

Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: 

2 2 

a) m x + 4m − 3 < x + m 

b) m x + 1 ≥ m + (3m − 2) x 

2 


Kết quả tập nghiệm 

a > 0 

⎛ b ⎞ 

S = ⎜ −∞; 

− ⎟ 

⎝ a ⎠ 

a < 0 

⎛ b 

S = 

a ; ⎞ 

⎜ − +∞ ⎟ 

⎝ ⎠ 

a = 0 

b ≥ 0 

S = ∅ 

b < 0 

S = R 

f(x) = ax + b (a ≠ 0) 

⎛ b ⎞ 

x ∈ ⎜ −∞; 

− ⎟ 

⎝ a ⎠ 

a.f(x) < 0 

⎛ b 

x ∈ 

a ; ⎞ 

⎜ − +∞ ⎟ 

⎝ ⎠ 

a.f(x) > 0 

c) mx − m > mx − 4 

d) 3 − mx < 2( x − m) − ( m + 1) 

VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn 

Bài 1. Giải các hệ bất phương trình sau: 

⎧ 15x 

− 8 

⎧4x 

− 5 

⎧4 1 

⎪8x 

− 5 > 

a) ⎨ 

2 

⎪ < x + 3 

b) 7 

⎪ − 12x 

≤ x + 

⎪ 

3 

⎨ 

c) 

3x 

+ 8 

⎨ 

3 2 

2(2x 

− 3) > 5x 

− 

⎪ 

4x 

3 2 x 

> 2x 

− 5 

⎪ 

− − 

< 

⎩ 

4 

⎩ 4 

⎩ 2 3 

2 

2 

2 

2 




⎧ x 4 

⎧11− x 

⎧ 

1 

⎪ ≤ x + 

d) 2 3 

⎪ ≥ 2x 

− 5 

⎨ 

e) 2 

⎪15x 

− 2 > 2x 

+ 

⎪ 

2x 

− 9 19 + x 

⎨ 

f) 

< 

⎪ ( ) 

x − 8 

⎨ 

3 

2 3x 

+ 1 ≥ 

⎪ ( ) 

3x 

−14 

2 x − 4 < 

⎩ 3 2 

⎩ 

2 

⎩ 

2 

⎧2x 

− 3 3x 

+ 1 

⎧3x −1 3( x − 2) 5 − 3x 

⎪ < 

− − 1 > 

g) ⎨ 

4 5 

⎪ 

h) 4 8 2 ⎧ 3x 

+ 1 ≥ 2x 

+ 7 

⎪ 

5 x 

⎨ 

i) 

4x −1 x −1 4 − 5x 

⎨ 

3x 

+ < 8 − 

⎪ 

x x 

3 − > − 

⎩4 + 3 > 2 + 19 

⎩ 2 3 

⎪⎩ 18 12 9 

Bài 2. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau: 

⎧ 5 

⎧ 

1 

⎪6x 

+ > 4x 

+ 7 

a) 7 

⎪15x 

− 2 > 2x 

+ 

⎨ 

b) 

⎪ 

8x 

+ 3 

⎨ 

3 

3x 

14 

< 2x 

+ 25 

⎪ 

− 

2( x − 4) < 

⎩ 2 

⎩ 

2 

Bài 3. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 

⎧ x + m −1 

> 0 

⎧ x −1 

> 0 

⎧ 

a) ⎨ 

b) ⎨ 

c) 

x + 

2 

4m ≤ 2mx 

+ 1 

⎨ 

⎩3m 

− 2 − x > 0 

⎩mx 

− 3 > 0 

⎩3x 

+ 2 > 2x 

−1 

⎧7x 

− 2 ≥ − 4x 

+ 19 

⎧mx 

− 1 > 0 

d) ⎨ 

e) ⎨ 

⎩2x 

− 3m 

+ 2 < 0 

⎩(3m − 2) x − m > 0 

VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn 

1. Bất phương trình tích 

• Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.) 

• Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1). 

2. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu 

P( x) 

• Dạng: > 0 (2) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.) 

Q( x) • Cách giải: Lập bảng xét dấu của P ( x ) 

. Từ đó suy ra tập nghiệm của (2). 

Q( x) Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu. 

3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ 

• Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định 

nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. 

⎧ g( x) > 0 

• Dạng 1: f ( x) < g( x) 

⇔ ⎨ 

⎩ − g( x) < f ( x) < g( x) 

• Dạng 2: 

⎡⎧ g( x) < 0 

⎢⎨ 

f ( x) 

coù nghóa 

⎢ ⎩ 

f ( x) > g( x) ⇔ ⎢⎧g( x) ≥ 0 ⎪ 

⎢⎨⎡ 

f ( x) < −g( x) 

⎢⎪ ⎢ 

⎣⎩⎣ f ( x) > g( x) 

Chú ý: Với B > 0 ta có: A 


⎡ A < −B 

A > B ⇔ ⎢ 

. 

⎣A 

> B 

a) ( x + 1)( x −1)(3x 

− 6) > 0 b) (2x − 7)(4 − 5 x) ≥ 0 c) x − x − 20 > 2( x − 11) 

3 2 

d) 3 x(2x + 7)(9 − 3 x) ≥ 0 e) x + 8x + 17x 

+ 10 < 0 f) x + 6x + 11x 

+ 6 > 0 


2 

3 2 



(2x 

− 5)( x + 2) 

a) 

> 0 

− 4x 

+ 3 

3x 

− 4 

d) > 1 

x − 2 

b) x − 3 x + 5 

> 

x + 1 x − 2 

2x 

− 5 

e) ≥ − 1 

2 − x 

c) x − 3 1− 

2 

< 

x 

x + 5 x − 3 

f) 2 ≤ 

5 

x −1 2 x −1 

−4 3 

2x 

g) < 

h) 

+ x 

2x 

− 5 3x 

+ 2 

≥ 1 − x i) < 

3x 

+ 1 2 − x 

1− 

2x 

3x 

+ 2 2x 

− 5 


a) 3x 

− 2 > 7 

b) 5x 

− 12 < 3 

c) 2x − 8 ≤ 7 

2 

d) 3x 

+ 15 ≥ 3 

x + 1 

x 

e) x − 1 > f) x − 2 < 

2 

2 

g) 2x − 5 ≤ x + 1 

h) 2x + 1 ≤ x 

i) x − 2 > x + 1 


2x 

+ m − 1 

a) > 0 

b) mx − m + 1 < 0 

x + 1 

x −1 

c) x −1( x − m + 2) > 0 

HD: Giải và biện luận BPT dạng tích hoặc thương: 

( a1 x + b1 )( a2 x + b2 

) > 0 , a 1 x + b 1 

x > 0 

a x + b x 

(hoặc < 0. ≥ 0, ≤ 0) 

– Đặt 

x 

2 2 

b b 

= − 1 ; x = − 2 . Tính x1 − x2 

. 

a a 

1 2 

1 2 

– Lập bảng xét dấu chung a1. a2 , x1 − x2 

. 

– Từ bảng xét dấu, ta chia bài toán thành nhiều trường hợp. Trong mỗi trường hợp ta 

xét dấu của ( a1 x + b1 )( a2 x + b2 

) (hoặc a 1 x + b 1 

x ) nhờ qui tắc đan dấu. 

a x + b x 

⎡ ⎛ 3 − m ⎞ 

⎢m 

< 3 : S = ( −∞; −1) ∪ ⎜ ; +∞ ⎟ 

⎢ 

⎝ 2 ⎠ 

3 m 

a) 

⎢ ⎛ − ⎞ 

m > 3 : S = −∞; ∪( − 1; +∞) 

⎢ ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

⎢ 

⎣m = 3 : S = R \ { −1} 

⎡ m < 3 : S = (1; +∞) 

c) 

⎢ 

a) 

⎣m ≥ 3 : S = ( m − 2; +∞) 

1. Dấu của tam thức bậc hai 

∆ < 0 

∆ = 0 

∆ > 0 

2 2 

2 a 

Nhận xét: • ax + bx + 0 

c > 0, ∀ ⎧ > 

x ∈ R ⇔ ⎩ 

⎨ ∆ < 0 

2 a 

• ax + bx + 0 

c < 0, ∀ ⎧ < 

x ∈ R ⇔ ⎩ 

⎨ ∆ < 0 

b) 

⎡ ⎛ m −1 

⎞ 

⎢m 

< 0 : S = ( −∞;1) ∪ ⎜ ; +∞⎟ 

⎢ 

⎝ m ⎠ 

⎢ ⎛ m −1 

⎞ 

m > 0 : S = ;1 

⎢ ⎜ ⎟ 

⎢ ⎝ m ⎠ 

⎣m 

= 0 : S = ( −∞ ;1) 

III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 

f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 

a.f(x) > 0, ∀x ∈ R 

⎧ b ⎫ 

a.f(x) > 0, ∀x ∈ R \ ⎨− 

⎬ 

⎩ 2a 

⎭ 

a.f(x) > 0, ∀x ∈ (–∞; x 1 ) ∪ (x 2 ; +∞) 

a.f(x) < 0, ∀x ∈ (x 1 ; x 2 ) 




2. Bất phương trình bậc hai một ẩn ax + bx + c > 0 (hoặc ≥ 0; < 0; ≤ 0) 

Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai. 

2 

VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn 

Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau: 

2 

a) 3x − 2x 

+ 1 

2 

b) − x + 4x 

+ 5 

2 

c) − 4x + 12x 

− 9 

2 

d) 3x − 2x 

− 8 

2 

e) − x + 2x 

− 1 

2 

f) 2x − 7x 

+ 5 

2 2 

2 

2 2 

(3 x − x)(3 − x ) 

g) (3x − 10x + 3)(4x 

− 5) h) (3x − 4 x)(2x − x − 1) i) 

2 

4x 

+ x − 3 


2 

a) 2x − 5x 

+ 2 < 0 

2 

b) − 5x + 4x 

+ 12 < 0 

2 

c) 16x + 40x 

+ 25 > 0 

2 

d) − 2x + 3x 

− 7 ≥ 0 

2 

e) 3x − 4x 

+ 4 ≥ 0 

2 

f) x − x − 6 ≤ 0 

2 

2 

2 

−3x 

− x + 4 

4x 

+ 3x 

− 1 

5x 

+ 3x 

− 8 

g) 

> 0 

h) 

> 0 i) 

< 0 

2 

2 

2 

x + 3x 

+ 5 

x + 5x 

+ 7 

x − 7x 

+ 6 


2 

a) x − mx + m + 3 > 0 

2 

2 

b) (1 + m) x − 2mx + 2m 

≤ 0 c) mx − 2x 

+ 4 > 0 

HD: Giải và biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành như sau: 

– Lập bảng xét dấu chung cho a và ∆. 

– Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm của BPT. 

Bài 4. Giải các hệ bất phương trình sau: 

2 ⎧⎪ 2x 

+ 9x 

+ 7 > 0 

a) ⎨ 

b) 

2 

2x 

x 6 2 

0 

⎧⎪− 2x 

− 5x 

+ 4 < 0 

2 

⎨ 

c) 

2 

⎨ 2 

⎪⎩ x + x − 6 < 0 

⎪⎩ 3x 

− 10x 

+ 3 ≥ 0 ⎪ ⎩ − x − 3x 

+ 10 > 0 

⎧ 2 

x + 4x 

+ 3 ≥ 0 

⎪ 

2 

2 

⎧⎪− x + 4x 

− 7 < 0 

d) ⎨2x 

− x −10 ≤ 0 

e) ⎨ 

f) 

2 

x x 5 0 

2 

⎨ 

+ + < 

2 

⎪ 2 

x − 2x 

−1 ≥ 0 

⎩2x 

− 5x 

+ 3 > 0 

⎪⎩ 

⎪⎩ x − 6x 

+ 1 > 0 

g) 

2 

2 

x − 2x 

− 7 

1 x − 2x 

− 2 10x 

− 3x 

− 2 

−4 ≤ ≤ 1 h) ≤ ≤ 1 i) − 1 < < 1 

2 

2 

x + 1 

13 2 

x − 5x 

+ 7 

− x + 3x 

− 2 

VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai 

Bài 1. Tìm m để các phương trình sau: i) có nghiệm 

2 

ii) vô nghiệm 

a) ( m − 5) x − 4mx + m − 2 = 0 b) ( m − 2) x + 2(2m − 3) x + 5m 

− 6 = 0 

2 

c) (3 − m) x − 2( m + 3) x + m + 2 = 0 d) (1 + m) x − 2mx + 2m 

= 0 

2 

e) ( m − 2) x − 4mx + 2m 

− 6 = 0 f) ( − m + 2m − 3) x + 2(2 − 3 m) x − 3 = 0 

Bài 2. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: 

2 

2 

2 

2 2 

a) 3x + 2( m − 1) x + m + 4 > 0 b) x + ( m + 1) x + 2m 

+ 7 > 0 

2 

c) 2 x + ( m − 2) x − m + 4 > 0 d) mx + ( m − 1) x + m − 1 < 0 

2 

e) ( m −1) x − 2( m + 1) x + 3( m − 2) > 0 f) 3( m + 6) x − 3( m + 3) x + 2m 

− 3 > 3 

Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: 

2 

a) ( m + 2) x − 2( m − 1) x + 4 < 0 b) ( m − 3) x + ( m + 2) x − 4 > 0 

2 2 

c) ( m + 2m − 3) x + 2( m − 1) x + 1 < 0 d) mx + 2( m − 1) x + 4 ≥ 0 

2 

e) (3 − m) x − 2(2m − 5) x − 2m 

+ 5 > 0 f) mx − 4( m + 1) x + m − 5 < 0 


2 

2 

2 

2 

2 

2 

2


VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai 

1. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ 

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng 

định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. 

⎡⎧ f ( x) ≥ 0 

C ⎧g( x) ≥ 0 C 

1 2 ⎨ 

⎪ 

⎢ f ( x) = g( x) 

• Dạng 1: f ( x) = g( x) ⇔ f ( x) g( x) 

⎩ 

⎨⎡ = ⇔ ⎢ 

⎢ 

f ( x) 0 

f ( x) g( x) 

⎢ 

⎩ 

⎪ ⎣ = − ⎧ < 

⎢ 

⎨ 

⎣⎩ f ( x) = −g( x) 

⎡ f ( x) = g( x) 

• Dạng 2: f ( x) = g( x) 

⇔ ⎢ 

⎣ f ( x) = −g( x) 

⎧ g( x) > 0 

• Dạng 3: f ( x) < g( x) 

⇔ ⎨ 

⎩ − g( x) < f ( x) < g( x) 

• Dạng 4: 

⎡⎧ g( x) < 0 

⎢⎨ 

f ( x) 

coù nghóa 

⎢ ⎩ 

f ( x) > g( x) ⇔ ⎢⎧g( x) ≥ 0 ⎪ 

⎢⎨⎡ 

f ( x) < −g( x) 

⎢⎪ ⎢ 

⎣⎩⎣ f ( x) > g( x) 

Chú ý: • A = A ⇔ A ≥ 0 ; A = −A ⇔ A ≤ 0 

• Với B > 0 ta có: A 

⎡ A < −B 

A > B ⇔ ⎢ 

. 

⎣A 

> B 

• A + B = A + B ⇔ AB ≥ 0 ; A − B = A + B ⇔ AB ≤ 0 

2. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn 

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng 

luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn. 

• Dạng 1: 

⎧⎪ 

g( x) ≥ 0 

f ( x) = g( x) 

⇔ ⎨ 

⎪⎩ f ( x) = [ g( x) 

] 

• Dạng 2: f ( x) = 

⎧ f ( x) ≥ 0 ( hoaëc g( x) ≥ 0) 

g( x) 

⇔ ⎨ 

⎩ f ( x) = g( x) 

• Dạng 3: a. f ( x) + b. ⎧⎪ t = f ( x), t ≥ 0 

f ( x) + c = 0 ⇔ ⎨ 

2 

⎪⎩ at + bt + c = 0 

• Dạng 4: f ( x) ± 

⎧ ⎪ u = f x 

g( x) = h( x) 

. Đặt ⎨ ( ) ; u v ≥ 0 đưa về hệ u, v. 

⎪⎩ v = g( x) 

• Dạng 5: 

• Dạng 6: 


2 2 

⎧ f ( x) ≥ 0 

f ( x) < g( x) ⇔ ⎪ 

⎨g( x) > 0 

⎪ 

⎩ f ( x) < [ g( x) 

] 

2 

⎡⎧ g( x) < 0 

⎢⎨ 

f ( x) ≥ 0 

f ( x) > g( x) 

⇔ ⎢ ⎩ 

⎢ ⎧ ⎪g( x) ≥ 0 

⎢ ⎨ 

⎣⎪⎩ f ( x) > [ g( x) 

] 

2 

2 2 

2 2 

a) x − 5x + 4 = x + 6x 

+ 5 b) x − 1 = x − 2x 

+ 8 c) 2 − 3x − 6 − x = 0 




2 

d) 2 x − x − 3 = 3 

e) x − 1 = 1− x 

f) x − 1+ x + 1 = 

x ( x − 2) 


2 

a) 2x − 5x 

− 3 < 0 

b) x − 8 > x + 3x 

− 4 c) x −1 − 2x 

< 0 

2 2 

d) x + 4x + 3 > x − 4x 

− 5 e) x − 3 − x + 1 < 2 f) x − 3x + 2 + x > 2x 

2 

x − 4x 

g) ≤ 1 

2 

x + x + 2 


h) 

2 

2x 

− 5 + 1 > 0 

x − 3 

i) 

x 

2 

2 

2 2 

2 

x − 2 

≥ 3 

− 5x 

+ 6 

a) 2x − 3 = x − 3 

b) 5x + 10 = 8 − x c) x − 2x 

− 5 = 4 

2 

2 

d) x + 2x + 4 = 2 − x e) 3x − 9x + 1 = x − 2 f) 3x − 9x + 1 = x − 2 

2 2 

g) 3x + 7 − x + 1 = 2 h) x + 9 − x − 7 = 2 i) 

Bài 4. Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa) 

3 3 3 

3 3 3 

2 

2 

21+ x + 21− x 21 = 

21+ x − 21− 

x x 

3 3 

a) x + 5 + x + 6 = 2x 

+ 11 b) x + 1 + 3x + 1 = x − 1 c) 1+ x + 1− x = 2 

3 3 3 

d) x + 1 + x + 2 + x + 3 = 0 

Bài 5. Giải các phương trình sau: (biến đổi biểu thức dưới căn) 

a) x − 2 + 2x − 5 + x + 2 + 3 2x 

− 5 = 7 2 

b) x + 5 − 4 x + 1 + x + 2 − 2 x + 1 = 1 

c) 2x − 2 2x −1 − 2 2x + 3 − 4 2x − 1 + 3 2x + 8 − 6 2x 

− 1 = 4 

Bài 6. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ) 

2 2 

a) x − 6x + 9 = 4 x − 6x 

+ 6 b) ( x + 4)( x + 1) − 3 x + 5x 

+ 2 = 6 

2 2 

c) ( x − 3) + 3x − 22 = x − 3x 

+ 7 d) ( x + 1)( x + 2) = x + 3x 

− 4 

Bài 7. Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ) 

2 2 

3 3 

a) 3x + 5x + 8 − 3x + 5x 

+ 1 = 1 b) 5x + 7 − 5x 

− 13 = 1 

3 3 

3 3 

c) 9 − x + 1 + 7 + x + 1 = 4 d) 24 + x − 5 + x = 1 

4 4 

e) 47 − 2x + 35 + 2x 

= 4 

f) 


2 

2 

x 

2 

2 

2 

+ 4356 + x − 

2 2 

x x + 4356 − x = 5 

x 

a) x + x − 12 < 8 − x b) x − x − 12 < 7 − x c) −x − 4x + 21 < x + 3 

2 

2 

d) x − 3x − 10 > x − 2 e) 3x + 13x + 4 ≥ x − 2 f) 2x + 6x + 1 > x + 1 

g) x + 3 − 7 − x > 2x 

− 8 h) 2 − x > 7 − x − −3 − 2x 

i) 2x + 3 + x + 2 ≤ 1 


2 

a) ( x − 3)(8 − x) + 26 > − x + 11x 

b) ( x + 5)( x − 2) + 3 x( x + 3) > 0 

2 

2 2 

c) ( x + 1)( x + 4) < 5 x + 5x 

+ 28 d) 3x + 5x + 7 − 3x + 5x 

+ 2 ≥ 1 

Bài 10. Giải các bất phương trình sau: 

a) 

2 

x − 4x 

3 − x 

≤ 2 

b) 

2 

−2x 

− 15x 

+ 17 

≥ 0 

x + 3 

2 

2 



2 2 

c) ( x + 3) x − 4 ≤ x − 9 

d) 

Bài 11. Giải các bất phương trình sau: 

3 2 

3 2 3 2 

2 2 

− x + x + 6 − x + x + 6 

≥ 

2x 

+ 5 x + 4 

a) x + 2 ≤ x + 8 

b) 2x + 1 ≥ 3x 

− 1 c) x + 1 > x − 3 

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV 

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 

3 3 3 

a) a + b + c ≥ a + b + c , với a, b, c > 0 và xyz = 1. 

b) a + b + c a + b + c a + b + 

+ + c ≥ 9 , với a, b, c > 0. 

a b c 

c) 1 + 1 + 1 ≥ 2 ⎛ ⎜ 

1 + 1 + 

1 ⎞ 

⎟ , với a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác, p nửa chu vi. 

p − a p − b p − c ⎝ a b c ⎠ 

d) a b − 1 + b a −1 

≤ ab , với a ≥ 1, b ≥ 1. 

3 3 3 3 3 3 3 

HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a + b + c ≥ 3 a b c = 3 ⇒ 2( a + b + c ) ≥ 6 (1) 

3 3 3 3 

3 

3 3 3 

a + 1+ 1 ≥ 3 a ⇒ a + 2 ≥ 3a 

(2). Tương tự: b + 2 ≥ 3b 

(3), c + 2 ≥ 3c 

(4). 

Cộng các BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được đpcm. 

⎛ b a ⎞ ⎛ b c ⎞ ⎛ c a ⎞ 

b) BĐT ⇔ ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ ≥ 6 . Dễ dàng chứng minh. 

⎝ a b ⎠ ⎝ c b ⎠ ⎝ a c ⎠ 

1 1 4 

1 1 4 4 

c) Áp dụng BĐT: + ≥ , ta được: + ≥ = . 

x y x + y p − a p − b p − a + p − b c 

Tương tự: 1 + 1 ≥ 4 ; 

1 + 1 ≥ 

4 . Cộng các BĐT ⇒ đpcm. 

p − b p − c a p − c p − a b 

a + ab − a ab 

d) Áp dụng BĐT Cô–si: a b − 1 = a. 

ab − a ≤ = . 

2 2 

ab 

Tương tự: b a −1 

≤ . Cộng 2 BĐT ta được đpcm. Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = 2. 

2 

Bài 2. Tìm GTNN của các biểu thức sau: 

1 

a) A = x + , với x > 1. 

x − 1 

4 1 

5 

b) B = + , với x, y > 0 và x + y = . 

x 4 y 

4 

1 1 

c) C = a + b + + , với a, b > 0 và a + b ≤ 1. 

a b 

3 3 3 

d) D = a + b + c , với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 3 . 

1 

HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = ( x − 1) + + 1 ≥ 2 + 1 = 3. 

x −1 

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 2. Vậy minA = 3. 

4 

b) B = x y 

x 

+ 1 

4 + 4 5 

4y 

+ − ≥ 4 

x 

x 1 

2 .4 + 2 .4 

y 

y − 5 = 5 . 

4 

1 

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 1; y = . Vậy minB = 5. 

4 

3 

3 




1 1 4 

4 1 3 

c) Ta có + ≥ ⇒ B ≥ a + b + = a + b + + 

a b a + b 

a + b a + b a + b 

≥ 3 

2 + ≥ 5 . 

a + b 

Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = 1 . Vậy minC = 5. 

2 

3 3 

3 3 

3 3 

d) Áp dụng BĐT Cô–si: a + b + 1 ≥ 3ab 

, b + c + 1 ≥ 3bc 

, c + a + 1 ≥ 3ca 

. 

3 3 3 

3 3 3 

⇒ 2( a + b + c ) + 3 ≥ 3( ab + bc + ca) = 9 ⇒ a + b + c ≥ 3 . 

Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = 1. Vậy minD = 3. 

Bài 3. Tìm GTLN của các biểu thức sau: 

a) A = a + 1 + b + 1 , với a, b ≥ –1 và a + b = 1. 

b) B = x 2 (1 − 2 x) 

, với 0 < x < 1 2 . 

1 

c) C = ( x + 1)(1 − 2 x) 

, với − 1 < x < . 

2 

HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 1,1, a + 1, b + 1 ta được: 

A = 1. a + 1 + 1. b + 1 ≤ (1 + 1)( a + 1+ b + 1) = 6 . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = 1 2 . 

⇒ maxA = 6 . 

b) Áp dụng BĐT Cô–si: B = 

1 

3 . Vậy maxB = 1 27 . 

⎛ x + x + 1− 

2x 

⎞ 1 

x. x(1 − 2 x) 

≤ ⎜ 

⎟ = . 

⎝ 3 ⎠ 27 

1 1 ⎛ 2x 

+ 2 + 1− 

2x 

⎞ 9 

c) Áp dụng BĐT Cô–si: C = (2x 

+ 2)(1 − 2 x) 

≤ ⎜ 

⎟ = . 

2 2 ⎝ 2 ⎠ 8 

1 

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = − . Vậy maxC = 9 4 

8 . 

Bài 4. Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm: 

⎧ 

a) 

x + 

2 

4m ≤ 2mx 

+ 1 

⎨ 

b) 

⎧ 2 

x 3x 

4 0 

⎨ 

− − ≤ 

⎩3x 

+ 2 > 2x 

−1 

⎩( m −1) x − 2 ≥ 0 

⎧7x 

− 2 ≥ − 4x 

+ 19 

⎧ 

c) ⎨ 

d) 

2x 

+ 1 > x − 2 

⎨ 

⎩2x 

− 3m 

+ 2 < 0 

⎩m 

+ x > 2 

Bài 5. Tìm m để các hệ bất phương trình sau vô nghiệm: 

a) 

⎧ mx + 2 

9 < 3x + m 

⎧ 2 

⎨ 

b) 

x + 10x 

+ 16 ≤ 0 

⎨ 

⎩4x 

+ 1 < − x + 6 

⎩mx 

> 3m 

+ 1 


2x 

− 5 1 

a) 

< b) x − 5 x + 6 x + 1 

≥ 

2 

x − 6x 

− 7 x − 3 

2 

x + 5x 

+ 6 x 

2 1 2x 

−1 

2 1 1 

c) − ≥ 

d) + − ≤ 0 

2 

x x x 1 3 

− + 1 + x + 1 

x x − 1 x + 1 

Bài 7. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 

2 

a) ( m −1) x − 2( m + 3) x − m + 2 = 0 b) ( m − 1) x + 2( m − 3) x + m + 3 = 0 

Bài 8. Tìm m để các biểu thức sau luôn không âm: 

2 

a) (3m + 1) x − (3m + 1) x + m + 4 b) ( m + 1) x − 2( m − 1) x + 3m 

− 3 

2 

2 

2 

3 

2 



Bài 9. Tìm m để các biểu thức sau luôn âm: 

2 

2 2 

a) ( m − 4) x + ( m + 1) x + 2m 

− 1 b) ( m + 4m − 5) x − 2( m − 1) x + 2 

Bài 10. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: 

a) 

2 

x − 8x 

+ 20 

< 0 

2 

mx + 2( m + 1) x + 9m 

+ 4 

2 

b) 

2 

3x 

− 5x 

+ 4 

> 0 

2 

( m − 4) x + (1 + m) x + 2m 

−1 

x + mx − 1 

2x 

+ mx − 4 

c) 

< 1 

d) − 4 < < 6 

2 

2 

2x 

− 2x 

+ 3 

− x + x −1 

Bài 11. Tìm m để các phương trình sau có: 

i) Một nghiệm ii) Hai nghiệm phân biệt iii) Bốn nghiệm phân biệt 

4 2 

a) ( m − 2) x − 2( m + 1) x + 2m 

− 1 = 0 b) ( m + 3) x − (2m −1) x − 3 = 0 

Bài 12. Giải các phương trình sau: 

21 2 

a) ( x + 1) 16x + 17 = ( x + 1)(8x 

− 23) b) x 4x 

6 0 

2 

x − 4x 

+ 10 − + − = 

2x 

13x 

c) 

+ = 6 

2 2 

2x − 5x + 3 2x + x + 3 


2 2 

d) 

x 

2 

2 

4 2 

2 

⎛ x ⎞ 

+ ⎜ ⎟ = 1 

⎝ x −1⎠ 

a) x − 8x + 12 = x − 8x 

+ 12 b) x + 3 − 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 1 

c) 2 2 x −1 − 1 = 3 

d) x + 14x − 49 + x − 14x 

− 49 = 14 

2 2 

e) x + 1− x = − 2(2x 

− 1) 


2 

a) x − 4x − 5 < 4x 

− 17 b) x − 1 + x + 2 < 3 c) 2 x − 3 − 3x + 1 ≤ x + 5 

2 

d) x − 5 x + 4 

2 

x − 4 

2 

≤ 1 

e) 

2x 

−1 1 

< 

2 

x − 3x 

− 4 2 

g) x − 2x − 3 − 2 > 2x 

− 1 h) 2 x + 1 < x − 2 + 3x 

+ 1 


f) x − 6 > x − 5x 

+ 9 

a) x − 2x 

+ 3 = 0 

b) 2x + 3 + x + 1 = 3x + 2 (2x + 3)( x + 1) − 16 

c) x + 4 − 1− x = 1− 2x 

d) x + 1 + 4 − x + ( x + 1)(4 − x) = 5 

e) 4x 1 4x 2 

2 

− + − 1 = 1 f) 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x − 5x 

+ 2 

2 

2 2 

g) ( x + 5)(2 − x) = 3 x + 3x 

h) x( x − 4) − x + 4 x + ( x − 2) = 2 

2 2 

i) x + x + 11 = 31 k) x + 9 − x = − x + 9x 

+ 9 

Bài 16. Giải các bất phương trình sau 

2 

a) −x − 8x − 12 > x + 4 b) 5x + 61x < 4x 

+ 2 c) 

d) 

2 

3(4x 

− 9) 

≤ 2x 

+ 3 

2 

3x 

− 3 

2 

2 2 

e) ( x − 3) x + 4 ≤ x − 9 f) 

2 

2 

2 − x + 4x 

− 3 ≥ 2 

x 

2 

9x 

− 4 

≤ 3x 

+ 2 

2 

5x 

−1 



CHƯƠNG V 

THỐNG KÊ 

I. Một số khái niệm 

• Một tập con hữu hạn các đơn vị điều tra đgl một mẫu. 

• Số phần tử của một mẫu đgl kích thước mẫu. 

• Các giá trị của dấu hiệu thu được trên mẫu đgl một mẫu số liệu. 

II. Trình bày một mẫu số liệu 

• Tần số của một giá trị là số lần xuất hiện của mỗi giá trị trong mẫu số liệu. 

• Tần suất f 

i 

của giá trị x 

i 

là tỉ số giữa tần số n 

i 

và kích thước mẫu N: 

ni 

fi 

= (thường viết tần suất dưới dạng %) 

N 

• Bảng phân bố tần số – tần suất • Bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp 

III. Biểu đồ 

• Biểu đồ hình cột • Biểu đồ hình quạt • Đường gấp khúc 

IV. Các số đặc trưng của mẫu số liệu 

1. Số trung bình 

• Với mẫu số liệu kích thước N là { x1, x2,..., x N }: 

x1 + x2 + ... + x 

x = 

N 

N 

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số: 

n 1 x 1 

+ n 2 x 2 

+ ... + n k 

x k 

x = 

N 

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số ghép lớp: 

n1c 1 

+ n2c2 + ... + nkck 

x = (c i là giá trị đại diện của lớp thứ i) 

N 

2. Số trung vị 

Giả sử ta có một mẫu gồm N số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm (hoặc 

không tăng). Khi đó số trung vị M e là: 

– Số đứng giữa nếu N lẻ; 

– Trung bình cộng của hai số đứng giữa nếu N chẵn. 

3. Mốt 

Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là 

Chú ý: 

Giá trị Tần số Tần suất (%) 

x 1 n 1 f 1 

x 2 n 2 f 2 

… … … 

x k n k f k 

N 100 (%) 

Lớp Tần số Tần suất (%) 

[x 1 ; x 2 ) n 1 f 1 

[x 2 ; x 3 ) n 2 f 2 

… … … 

[x k ; x k+1 ) n k f k 

N 100 (%) 

M 

O 

. 

– Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của 

mẫu. 

– Nếu các số liệu trong mẫu có sự chênh lệch quá lớn thì dùng số trung vị làm 

đại diện cho các số liệu của mẫu. 

– Nếu quan tâm đến giá trị có tần số lớn nhất thì dùng mốt làm đại diện. Một 

mẫu số liệu có thể có nhiều mốt. 

4. Phương sai và độ lệch chuẩn 

Để đo mức độ chênh lệch (độ phân tán) giữa các giá trị của mẫu số liệu so với số 



Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan chu Trinh Đăk Lăk 

trung bình ta dùng phương sai s 2 và độ lệch chuẩn s s 2 = . 

x1, x2,..., x N 

: 

• Với mẫu số liệu kích thước N là { } 

⎛ ⎞ 

s = x − x = x − ⎜ x ⎟ 

⎠ 

N N N 

2 1 2 1 2 1 

∑( i 

) ∑ i i 

N i N 2 

∑ 

= 1 i= 1 N ⎝ i= 

1 

2 2 

= x − ( x) 

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất: 

⎛ ⎞ 

s = n x − x = n x − ⎜ n x ⎟ 

⎠ 

k k k 

2 1 2 1 2 1 

∑ i( i 

) ∑ i i i i 

N i N 2 

∑ 

= 1 i= 1 N ⎝ i= 

1 

2 

k k k 

2 2 

⎛ ⎞ 

= ∑ fi( xi − x) 

= ∑ fixi − ⎜∑ 

fixi 

⎟ 

i= 1 i= 1 i= 

1 

⎝ ⎠ 

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: 

⎛ ⎞ 

s = n c − x = n c − ⎜ n c ⎟ 

⎠ 

k k k 

2 1 2 1 2 1 

∑ i( i 

) ∑ i i i i 

N i N 2 

∑ 

= 1 i= 1 N ⎝ i= 

1 

2 

k k k 

2 2 

⎛ ⎞ 

= ∑ fi( ci − x) 

= ∑ fici − ⎜∑ 

fici 

⎟ 

i= 1 i= 1 i= 

1 

⎝ ⎠ 

(c i , n i , f i là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ I; 

N là số các số liệu thống kê N = n1 + n2 + ... + nk 

) 

Chú ý: Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán (so với số trung bình) của 

các số liệu thống kê càng lớn. 

2 

2 

2 

Bài 1. Trong các mẫu số liệu dưới đây: 

i) Cho biết dấu hiệu và đơn vị điều tra là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu? 

ii) Lập bảng phân bố tần số, tần suất. Nhận xét. 

iii) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất. 

iv) Tính số trung bình, số trung vị, mốt. 

v) Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét. 

1) Tuổi thọ của 30 bóng đèn được thắp thử (đơn vị: giờ) 

1180 1150 1190 1170 1180 1170 1160 1170 1160 1150 



2) Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 của 31 tỉnh 

30 30 25 25 35 45 40 40 35 45 

25 45 30 30 30 40 30 25 45 45 

35 35 30 40 40 40 35 35 35 35 35 

3) Số con của 40 gia đình ở huyện A. 

2 4 3 2 0 2 2 3 4 5 

2 2 5 2 1 2 2 2 3 2 

5 2 7 3 4 2 2 2 3 2 

3 5 2 1 2 4 4 3 4 3 

4) Điện năng tiêu thụ trong một tháng (kW/h) của 30 gia đình ở một khu phố A. 

165 85 65 65 70 50 45 100 45 100 

100 100 100 90 53 70 141 42 50 150 

40 70 84 59 75 57 133 45 65 75 



5) Số học sinh giỏi của 30 lớp ở một trường THPT. 

0 2 1 0 0 3 0 0 1 1 0 1 6 6 0 

1 5 2 4 5 1 0 1 2 4 0 3 3 1 0 

6) Nhiệt độ của 24 tỉnh, thành phố ở Việt Nam vào một ngày của tháng 7 (đơn vị: độ) 

36 30 31 32 31 40 37 29 41 37 35 34 

34 35 32 33 35 33 33 31 34 34 32 35 

6) Tốc độ (km/h) của 30 chiếc xe môtô ghi ở một trạm kiểm soát giao thông. 

40 58 60 75 45 70 60 49 60 75 

52 41 70 65 60 42 80 65 58 55 

65 75 40 55 68 70 52 55 60 70 

7) Kết quả điểm thi môn Văn của hai lớp 10A, 10B ở một trường THPT. 

Lớp 10A Điểm thi 5 6 7 8 9 10 Cộng 

Tần số 1 9 12 14 1 3 40 

Lớp 10B Điểm thi 6 7 8 9 Cộng 

Tần số 8 18 10 4 40 

8) Tiền lương hàng tháng của 30 công nhân ở một xưởng may. 

Tiền lương 300 500 700 800 900 1000 Cộng 

Tần số 3 5 6 5 6 5 30 

9) Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi của 30 bệnh nhân mắc bệnh đau mắt hột. 

21 17 22 18 20 17 15 13 15 20 15 12 18 17 25 

17 21 15 12 18 16 23 14 18 19 13 16 19 18 17 

10) Năng suất lúa (đơn vị: tạ/ha) của 120 thửa ruộng ở một cánh đồng. 

Năng suất 30 32 34 36 38 40 42 44 

Tần số 10 20 30 15 10 10 5 20 

Bài 2. Trong các mẫu số liệu dưới đây: 

i) Cho biết dấu hiệu và đơn vị điều tra là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu? 

ii) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp. Nhận xét. 

iii) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất. 

iv) Tính số trung bình, số trung vị, mốt. 

v) Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét. 

1) Khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch được ở nông trường T (đơn vị: g). 

90 73 88 99 100 102 101 96 79 93 

81 94 96 93 95 82 90 106 103 116 

109 108 112 87 74 91 84 97 85 92 

Với các lớp: [70; 80), [80; 90), [90; 100), [100; 110), [110; 120]. 

2) Chiều cao của 35 cây bạch đàn (đơn vị: m). 

6,6 7,5 8,2 8,2 7,8 7,9 9,0 8,9 8,2 7,2 7,5 8,3 

7,4 8,7 7,7 7,0 9,4 8,7 8,0 7,7 7,8 8,3 8,6 8,1 

8,1 9,5 6,9 8,0 7,6 7,9 7,3 8,5 8,4 8,0 8,8 

Với các lớp: [6,5; 7,0), [7,0; 7,5), [7,5; 8,0), [8,0; 8,5), [8,5; 9,0), [9,0; 9,5]. 

3) Số phiếu dự đoán đúng của 25 trận bóng đá học sinh. 

54 75 121 142 154 159 171 189 203 211 225 247 251 

259 264 278 290 305 315 322 355 367 388 450 490 

Với các lớp: [50; 124], [125; 199], … (độ dài mỗi đoạn là 74). 

4) Doanh thu của 50 cửa hàng của một công ti trong một tháng (đơn vị: triệu đồng). 

102 121 129 114 95 88 109 147 118 148 128 71 93 

67 62 57 103 135 97 166 83 114 66 156 88 64 

49 101 79 120 75 113 155 48 104 112 79 87 88 

141 55 123 152 60 83 144 84 95 90 27 

Với các lớp: [26,5; 48,5), [48,5; 70,5), … (độ dài mỗi khoảng là 22). 



Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan chu Trinh Đăk Lăk 

5) Điểm thi môn Toán của 60 học sinh lớp 10. 

1 5 4 8 2 9 4 5 3 2 7 2 7 10 0 

2 6 3 7 5 9 10 10 7 9 0 5 3 8 2 

4 1 3 6 0 10 3 3 0 8 6 4 1 6 8 

2 5 2 1 5 1 8 5 7 2 4 6 3 4 2 

Với các lớp: [0;2), [2; 4), …, [8;10]. 

6) Số điện tiêu thụ của 30 hộ ở một khu dân cư trong một tháng như sau (đơn vị: kW): 

50 47 30 65 63 70 38 34 48 53 33 39 32 40 50 

55 50 61 37 37 43 35 65 60 31 33 41 45 55 59 

Với các lớp: [30;35), [35; 40), …, [65;70]. 

7) Số cuộn phim mà 40 nhà nhiếp ảnh nghiệp dư sử dụng trong một tháng. 

5 3 3 1 4 3 4 3 6 8 4 2 4 6 

8 9 6 2 10 11 15 1 2 5 13 7 7 2 

4 9 3 8 8 10 14 16 17 6 6 12 

Với các lớp: [0; 2], [3; 5], …, [15; 17]. 

8) Số người đến thư viện đọc sách buổi tối trong 30 ngày của tháng 9 ở một thư viện. 

85 81 65 58 47 30 51 92 85 42 55 37 31 82 63 

33 44 93 77 57 44 74 63 67 46 73 52 53 47 35 

Với các lớp: [25; 34], [35; 44], …, [85; 94] (độ dài mỗi đoạn bằng 9). 

9) Số tiền điện phải trả của 50 gia đình trong một tháng ở một khu phố (đơn vị: nghìn 

đồng) 

Lớp [375; 449] [450; 524] [525; 599] [600; 674] [675; 749] [750; 825] 

Tần số 6 15 10 6 9 4 

10) Khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch ở một nông trường (đơn vị: gam). 

Lớp [70; 80) [80; 90) [90; 100) [100; 110) [110; 120) 




CHƯƠNG VI 

GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC 

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 

I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 

1. Định nghĩa các giá trị lượng giác 

Cho ( OA, OM) = α . Giả sử M( x; y) . 

sin 

tang 

T 

Nhận xét: 

cosα 

= x = OH 

sinα 

= y = OK 

sinα 

⎛ π ⎞ 

tanα = = AT ⎜α ≠ + kπ 

⎟ 

cosα 

⎝ 2 ⎠ 

cosα 

cotα = = BS ( α ≠ kπ 

) 

sinα 

• ∀α, −1 ≤ cosα ≤ 1; −1 ≤ sinα 

≤ 1 

π 

• tanα xác định khi α ≠ + kπ 

, k ∈ Z • cotα xác định khi α ≠ kπ , k ∈ Z 

2 

• sin( α + k2 π ) = sinα 

• tan( α + kπ ) = tanα 

cos( α + k2 π ) = cosα 

cot( α + kπ ) = cotα 

2. Dấu của các giá trị lượng giác 

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 

0 

sin 0 

cos 1 

tan 0 

Phần tư 

Giá trị lượng giác 

I II III IV 

cosα + – – + 

sinα + + – – 

tanα + – + – 

cotα + – + – 

π 

6 

π 

4 

π 

3 

π 2π 3π 

2 3 4 

0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 

1 

2 

3 

2 

3 

3 

2 

2 

2 

2 

cot 3 1 

3 

2 

1 

2 

1 

0 

3 

2 

1 

− 

2 

2 

2 

π 

3π 

2 

2π 

0 –1 0 

2 

− –1 0 1 

2 

1 3 − 3 –1 0 0 

3 

3 

0 

B S 

K 

M 

3 

− –1 0 

3 

O 

α 

H 

A 

cotang 

cosin 




4. Hệ thức cơ bản: 

2 2 

2 1 2 1 

sin α + cos α = 1 ; tan α.cot α = 1 ; 1+ tan α = ; 1+ cot α = 

2 2 

cos α 

sin α 

5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt 

Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau 

cos( − α) = cosα 

sin( π − α) = sinα 

⎛ π ⎞ 

sin ⎜ − α ⎟ = 

⎝ 2 ⎠ 

cos α 

sin( − α) = − sinα 

cos( π − α) = − cosα 

⎛ π ⎞ 

cos⎜ 

− α ⎟ = sin α 

⎝ 2 ⎠ 

tan( − α) = − tanα 

tan( π − α) = − tanα 

⎛ π ⎞ 

tan⎜ 

− α ⎟ = 

⎝ 2 ⎠ 

cot α 

cot( − α) = − cotα 

cot( π − α) = − cotα 

⎛ π ⎞ 

cot ⎜ − α ⎟ = 

⎝ 2 ⎠ 

tan α 

Góc hơn kém π 

Góc hơn kém 2 

π 

II. Công thức lượng giác 

1. Công thức cộng 

⎛ π ⎞ 

sin( π + α) = − sinα 

sin ⎜ + α ⎟ = cos α 

⎝ 2 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

cos( π + α) = − cosα 

cos⎜ 

+ α ⎟ = − sin α 

⎝ 2 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

tan( π + α) = tanα 

tan⎜ 

+ α ⎟ = − cot α 

⎝ 2 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

cot( π + α) = cotα 

cot ⎜ + α ⎟ = − tan α 

⎝ 2 ⎠ 

sin( a + b) = sin a.cos b + sin b.cos 

a 

sin( a − b) = sin a.cos b − sin b.cos 

a 

cos( a + b) = cos a.cos b − sin a.sin 

b 

cos( a − b) = cos a.cos b + sin a.sin 

b 

tan a + tan b 

tan( a + b) 

= 

1 − tan a.tan 

b 

tan a − tan b 

tan( a − b) 

= 

1 + tan a.tan 

b 

Hệ quả: 

⎛ 1 tan 1 tan 

tan π ⎞ + α ⎛ 

, tan 

π ⎞ − 

⎜ + α ⎟ = ⎜ − α ⎟ = 

α 

⎝ 4 ⎠ 1− tanα 

⎝ 4 ⎠ 1+ 

tanα 

2. Công thức nhân đôi 

sin 2α = 2sin α.cosα 

2 2 2 2 

cos2α = cos α − sin α = 2 cos α − 1 = 1− 

2sin α 

2 tanα 

cot α −1 

tan 2 α = ; cot 2α 

= 

2 

1− 

tan α 

2 cotα 


2


Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 

2 1− 

cos2α 

3 

sin α = 

sin 3α = 3sinα − 4sin α 

2 

3 

2 1+ 

cos2α 

cos3α = 4 cos α − 3cosα 

cos α = 

3 

2 

3tanα 

− tan α 

tan 3α 

= 

2 1− 

cos2α 

2 

tan α = 1− 

3tan α 

1 + cos2α 

3. Công thức biến đổi tổng thành tích 

a + b a − b 

cos a + cos b = 2 cos .cos 

2 2 

a + b a − b 

cos a − cos b = − 2sin .sin 

2 2 

a + b a − b 

sin a + sin b = 2sin .cos 

2 2 

a + b a − b 

sin a − sin b = 2 cos .sin 

2 2 

sin( a + b) 

tan a + tan b = 

cos a.cos 

b 

tan a − tan b = 

sin( a − b) 

cos a.cos 

b 

sin( a + b) 

cot a + cot b = 

sin a.sin 

b 

sin( b − a) 

cot a − cot b = 

sin a.sin 

b 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

sinα + cosα = 2.sin⎜α + ⎟ = 2.cos⎜α 

− ⎟ 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

sinα − cosα = 2 sin⎜α − ⎟ = − 2 cos ⎜α 

+ ⎟ 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

4. Công thức biến đổi tích thành tổng 

1 

cos a.cos b = ⎡cos( ) cos( ) 

2 

⎣ a − b + a + b ⎤ 

⎦ 

1 

sin a.sin b = ⎡cos( a b) cos( a b) 

2 

⎣ − − + ⎤ 

⎦ 

1 

sin a.cos b = ⎡sin( a − b) + sin( a + b) 

⎤ 

2 

⎣ 

⎦ 

VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác 

Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn 

của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG. 

Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau: 

a) A = 

c) C = 

Bài 2. Cho 

a) A = 

c) C = 

0 0 

sin 50 .cos( − 300 ) 

b) B = 

3π 

⎛ 2π 

⎞ 

cot .sin⎜ 

− ⎟ 

5 ⎝ 3 ⎠ 

0 0 

0 < α < 90 . Xét dấu của các biểu thức sau: 

0 

sin( α + 90 ) 

b) B = 

0 

cos(270 − α) 

d) D = 

0 21 

sin 215 .tan 7 

π 

4π π 4π 9π 

d) D = cos .sin .tan .cot 

5 3 3 5 

0 

cos( α − 45 ) 

0 

cos(2α + 90 ) 




π 

Bài 3. Cho 0 < α < . Xét dấu của các biểu thức sau: 

2 

a) A = cos( α + π ) 

b) B = tan( α − π ) 

⎛ 2π 

⎞ 

⎛ 3π 

⎞ 

c) C = sin ⎜α 

+ ⎟ 

d) D = cos⎜α 

− ⎟ 

⎝ 5 ⎠ 

⎝ 8 ⎠ 

Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau: 

a) A = sin A + sin B + sinC 

b) B = sin A.sin B.sin 

C 

A B C 

A B C 

c) C = cos .cos .cos 

d) D = tan + tan + tan 

2 2 2 

2 2 2 

VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) 

Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị 

lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết. 

I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại 

1. Cho biết sinα, tính cosα, tanα, cotα 

2 2 

• Từ sin α + cos α = 1 ⇒ cosα 

= ± 1− sin α . 

– Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 

– Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì 

sinα 

1 

• Tính tanα 

= ; cotα 

= . 

cosα 

tanα 

2. Cho biết cosα, tính sinα, tanα, cotα 

2 2 

• Từ sin α + cos α = 1 ⇒ sinα 

= ± 1− cos α . 

2 

2 

cosα 

= 1− sin α . 

cosα 

= − 1− sin α . 

– Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì sinα 

= 1− cos α . 

– Nếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 

sinα 

= − 1− cos α . 

sinα 

1 


= ; cotα 

= . 

cosα 

tanα 

3. Cho biết tanα, tính sinα, cosα, cotα 

1 

• Tính cotα 

= . 

tanα 

1 

2 

• Từ 1 tan α 

2 

cos α = + ⇒ 1 

cosα 

= ± 

. 

2 

1+ 

tan α 

– Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cosα 

= 

1 

. 

2 

1+ 

tan α 

– Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì cosα 

= − 

1 

. 

2 

1+ 

tan α 

• Tính sinα = tan α.cosα 

. 

4. Cho biết cotα, tính sinα, cosα, tanα 

1 


= . 

cotα 

1 

2 

• Từ 1 cot α 

2 

sin α = + ⇒ 1 

sinα 

= ± . 

2 

1+ 

cot α 

2 

2 

2 

2 



– Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì sinα 

= 

1 

. 

2 

1+ 

cot α 

– Nếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sinα 

= − 

1 

. 

2 

1+ 

cot α 

II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức 

• Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức. 

• Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết 

III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG 

Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi: 

2 2 2 

4 4 2 2 2 2 2 

A + B = ( A + B) − 2AB 

A + B = ( A + B ) − 2A B 

3 3 2 2 

3 3 2 2 

A + B = ( A + B)( A − AB + B ) A − B = ( A − B)( A + AB + B ) 

IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình 

2 

2 

• Đặt t = sin x, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ cos x = t . Thế vào giả thiết, tìm được t. 

Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính. 

2 

• Thiết lập phương trình bậc hai: t − St + P = 0 với S = x + y; 

P = xy . Từ đó tìm x, y. 

Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với: 

4 

a) cos a , 270 0 a 360 

0 

2 π 

= < < b) cos α = , − < α < 0 

5 

5 2 

5 π 

1 0 0 

c) sin a = , < a < π 

d) sin α = − , 180 < α < 270 

13 2 

3 

3π 

π 

e) tan a = 3, π < a < f) tanα = − 2, < α < π 

2 

2 

0 

3π 

g) cot15 = 2 + 3 

h) cotα = 3, π < α < 

2 

Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với: 

cot a + tan a 3 π 

a) A = khi sin a = , 0 < a < 

ĐS: 25 

cot a − tan a 5 2 

7 

b) 

2 

8tan a + 3cot a −1 1 

B = khi sin a = , 90 < a < 180 

tan a + cot a 

3 

0 0 

ĐS: 8 3 

2 2 

sin a + 2sin a.cos a − 2 cos a 

c) C = khi cot a = −3 

2 2 

2sin a − 3sin a.cos a + 4 cos a 

sin a + 5cos a 

d) D = khi tan a = 2 

3 3 

sin a − 2 cos a 

3 3 

8cos a − 2sin a + cos a 

e) E = khi tan a = 2 

3 

2 cosa 

− sin a 

cot a + 3tan a 

2 

g) G = khi cos a = − 

2 cot a + tan a 

3 

sin a + cos a 

h) H = khi tan a = 5 

cos a − sin a 

ĐS: 

23 

− 

47 

ĐS: 55 

6 

ĐS: 

3 

− 

2 

ĐS: 19 

13 

3 

ĐS: − 

2 




5 

Bài 3. Cho sin a + cos a = . Tính giá trị các biểu thức sau: 

4 

3 3 

a) A = sin a.cos 

a b) B = sin a − cos a c) C = sin a − cos a 

ĐS: a) 9 

7 

41 7 

b) ± c) ± 

32 

4 

128 

Bài 4. Cho tan a − cot a = 3 . Tính giá trị các biểu thức sau: 

2 2 

4 4 

a) A = tan a + cot a b) B = tan a + cot a c) C = tan a − cot a 

ĐS: a) 11 b) ± 13 

c) ± 33 13 

Bài 5. 

4 4 3 

4 4 

a) Cho 3sin x + cos x = . Tính A = sin x + 3cos x . ĐS: 

4 

4 4 1 

4 4 

7 

A = 4 

b) Cho 3sin x − cos x = . Tính B = sin x + 3cos x . ĐS: B = 1 

2 

c) Cho 4sin 

4 x + 3cos 

4 x = 7 . Tính C = 3sin 

4 x + 4 cos 

4 x . ĐS: C = 7 ∨ C = 

57 

4 

4 28 

Bài 6. 

1 

a) Cho sin x + cos x = . Tính sin x, cos x, tan x, cot x . 

5 

b) Cho tan x + cot x = 4 . Tính sin x, cos x, tan x, cot x . 

ĐS: a) 4 ; − 3 ; − 4 ; − 3 b) 

5 5 3 4 

1 2 − 3 

; ; 2 + 3; 2 − 3 

2 2 − 3 

2 

hoặc 

2 − 3 1 

2 − 3; 2 + 3; ; 

2 

2 2 − 3 

VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết 

Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết). 

Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau: 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

a) 120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550 

7π 13π 5π 10π 5π 11π 16π 13π 29π 31π 

b) 9 π; 11 π; ; ; − ; ; − ; ; − ; ; ; − 

2 4 4 3 3 3 3 6 6 4 

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau: 

⎛ π ⎞ 

a) A = cos⎜ 

+ x ⎟ + cos(2 π − x) + cos(3 π + x) 

⎝ 2 ⎠ 

⎛ 7π 

⎞ ⎛ 3π 

⎞ 

b) B = 2 cos x − 3cos( π − x) + 5sin⎜ − x ⎟ + cot ⎜ − x ⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

⎛ π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ π ⎞ 

c) C = 2sin ⎜ + x ⎟ + sin(5 π − x) + sin⎜ + x ⎟ + cos⎜ + x ⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

⎛ 3π 

⎞ ⎛ 3π 

⎞ 

d) D = cos(5 π − x) − sin⎜ + x ⎟ + tan⎜ − x ⎟ + cot(3 π − x) 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 




0 0 0 0 

sin( −328 ).sin 958 cos( −508 ).cos( −1022 ) 

a) A = − 

0 0 

cot 572 tan( −212 ) 

0 0 

ĐS: A = –1 

sin( −234 ) − cos216 0 

b) B = 

.tan 36 

0 0 

sin144 − cos126 

ĐS: B = − 1 

0 0 0 0 0 

c) C = cos20 + cos 40 + cos60 + ... + cos160 + cos180 ĐS: C = − 1 

2 0 2 0 2 0 2 0 

d) D = cos 10 + cos 20 + cos 30 + ... + cos 180 

ĐS: D = 9 

0 0 0 0 0 

e) E = sin 20 + sin 40 + sin 60 + ... + sin340 + sin 360 

ĐS: E = 0 

0 0 0 0 

f) 2sin(790 + x) + cos(1260 − x) + tan(630 + x).tan(1260 − x) 

ĐS: F = 1+ 

cos x 

VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác 

Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác. 

Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức. 

Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì: 

A + B + C = π và 

Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: 

4 4 2 

a) sin x − cos x = 1− 

2 cos x 

4 4 2 2 

b) sin x + cos x = 1− 

2 cos x.sin 

x 

6 6 2 2 

c) sin x + cos x = 1− 

3sin x.cos 

x 

A B C π 

+ + = 

2 2 2 2 

8 8 2 2 4 4 

d) sin x + cos x = 1− 4sin x.cos x + 2sin x.cos 

x 

2 2 2 2 

e) cot x − cos x = cos x.cot 

x 

2 2 2 2 

f) tan x − sin x = tan x.sin 

x 

g) 1+ sin x + cos x + tan x = (1 + cos x)(1 + tan x) 

2 2 

h) sin x.tan x + cos x.cot x + 2sin x.cos x = tan x + cot x 

i) 

sin x + cos x − 1 2 cos x 

= 

1− cos x sin x − cos x + 1 

2 

1+ 

sin x 

2 

k) = 1+ 

tan x 

2 

1− 

sin x 


a) 

tan a.tan 

b = 

2 2 

tan a + tan b 

cot a + cot b 

sin a cos a 

c) 1− − = sin a.cos 

a 

1+ cot a 1+ 

tan a 

e) 

g) 

i) 

2 

1+ cos a ⎡ (1 − cos a) 

⎤ 

⎢1 − ⎥ = 2 cot a 

sin a 

2 

⎣ sin a ⎦ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

sin 

cos 

1+ sin a 1− 

sin a ⎞ 

− ⎟ = 4 tan 

1− sin a 1+ 

sin a ⎠ 

2 2 

a − tan 

2 2 

a − cot 

a 

a 

= tan 

6 

a 

2 

2 

a 

b) 

d) 

f) 

h) 

k) 

sin a cos a 1+ 

cot a 

− = 

sin a − cos a cos a − sin a 2 

1− 

cot a 

2 

sin a sin a + cos a 

− = sin a + cos a 

sin a − cos a 2 

tan a −1 

2 2 4 

tan a 1+ cot a 1+ 

tan a 

. = 

2 2 2 2 

1+ tan a cot a tan a + cot a 

2 2 2 2 

tan a − tan b sin a − sin b 

= 

2 2 2 2 

tan a.tan b sin a.sin 

b 

3 3 

tan a 1 cot a 

tan a cot 

2 

a a a 2 

sin 

− sin .cos 

+ cos a 

= + 

2 

3 3 

a 




Bài 3. Cho 

4 4 

sin x cos a 1 + = , vôùi a , b > 0. Chứng minh: 

a b a + b 


2 2 2 

8 8 

sin x cos x 1 

+ = 

a b ( a + b) 

a) (1 − sin x)cot x + 1− cot x b) (tan x + cot x) − (tan x − cot x) 

c) 

e) 

2 2 2 

cos x + cos x.cot 

x 

2 2 2 

sin x + sin x.tan 

x 

sin 

cos 

2 2 

x − tan 

2 2 

a − cot 

x 

x 

2 2 

g) sin x(1 + cot x) + cos x(1 + tan x) 

h) 

3 3 3 

2 2 

2 2 

d) ( x.sin a − y.cos a) + ( x.cos a + y.sin a) 

f) 

2 2 4 

sin x − cos x + cos x 

2 2 4 

cos x − sin x + sin x 

1+ cos x 1− 

cos x 

− ; x∈ 

(0, π ) 

1− cos x 1+ 

cos x 

1+ sin x 1− 

sin x ⎛ π π ⎞ 

i) + ; x∈ ; 

1 sin x 1 sin x 

⎜ − ⎟ 

− + ⎝ 2 2 ⎠ k) x 2 x 2 x x ⎛ π 3π 

⎞ 

cos − tan − sin ; ∈⎜ ; ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ 

Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: 

4 4 6 6 

a) 3(sin x + cos x) − 2(sin x + cos x) 

ĐS: 1 

8 8 6 6 4 

b) 3(sin x − cos x) + 4(cos x − 2sin x) + 6sin x 

ĐS: 1 

4 4 2 2 

c) (sin x + cos x − 1)(tan x + cot x + 2) 

ĐS: –2 

2 2 2 2 2 

d) cos x.cot x + 3cos x − cot x + 2sin x 

ĐS: 2 

e) 

f) 

4 4 

sin x + 3cos x −1 

6 6 4 

sin x + cos x + 3cos x −1 

2 2 2 2 

ĐS: 2 3 

tan x − cos x cot x − sin x 

+ ĐS: 2 

2 2 

sin x cos x 

6 6 

sin x + cos x −1 

g) 

4 4 

sin x + cos x −1 

Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: 

a) sin B = sin( A + C) 

b) cos( A + B) = − cosC 

ĐS: 3 2 

A + B C 

c) sin = cos 

d) cos( B − C) = − cos( A + 2 C) 

2 2 

− 3A + B + C 

e) cos( A + B − C) = − cos2C 

f) cos = − sin 2A 

2 

A + B + 3C 

A + B − 2C 3C 

g) sin = cosC 

h) tan = cot 

2 

2 2 

VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng 


a 

tan a + tan b 


a 

tan( a + b) 

= 


b 


b 


tan( a − b) 

= 


b 

1 + tan a.tan 

b 


Hệ quả: tan π ⎞ + α ⎛ 

, tan 

π ⎞ − 

⎜ + α ⎟ = ⎜ − α ⎟ = 

α 

⎝ 4 ⎠ 1− tanα 

⎝ 4 ⎠ 1+ 

tanα 

Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau: 

0 0 0 

π 5π 7π 

a) 15 ; 75 ; 105 b) ; ; 

12 12 12 


.


Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: 

⎛ π ⎞ 3 π 

a) tan⎜α + ⎟ khi sin α = , < α < π 

⎝ 3 ⎠ 5 2 

ĐS: 

38 − 25 3 

11 

⎛ π ⎞ 

12 3π 

(5 −12 3) 

b) cos⎜ 

− α ⎟ khi sin α = − , < α < 2π 

ĐS: 

⎝ 3 ⎠ 

13 2 

26 

1 1 


c) cos( a + b).cos( a − b) khi cos a = , cosb 

= ĐS: − 

3 4 

144 

d) sin( a − b), cos( a + b), tan( a + b) 

khi sin a = 8 , tan b = 5 và a, b là các góc nhọn. 


21 140 21 

ĐS: ; ; . 

221 221 220 

π π 

e) tan a + tan b, tan a, tan b khi 0 < a, b< , a + b = và tan a.tan b = 3 − 2 2 . Từ đó 

2 4 

π 

suy ra a, b . ĐS: 2 2 − 2 ; tan a = tan b = 2 − 1, a = b = 

8 

Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: 

a) A = 

b) B = 

2 o 2 o 2 o 

sin 20 + sin 100 + sin 140 

ĐS: 3 2 

2 o o 2 o 

cos 10 + cos110 + cos 130 

ĐS: 3 2 

c) C = 

d) D = 

e) E = 

o o o o o o 

tan 20 .tan 80 + tan80 .tan140 + tan140 .tan 20 ĐS: –3 

o o o o o o 

tan10 .tan 70 + tan 70 .tan130 + tan130 .tan190 ĐS: –3 

o o o 

cot 225 − cot 79 .cot 71 

o 

cot 259 + cot 251 

2 o 2 

o 

o 

ĐS: 3 

f) F = cos 75 − sin 75 

ĐS: − 

g) G = 

1− 

tan15 

1+ 

tan15 

o 

0 

0 0 

h) H = tan15 + cot15 

ĐS: 4 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

HD: 40 = 60 − 20 ; 80 = 60 + 20 ; 50 = 60 − 10 ; 70 = 60 + 10 

Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau: 

2 2 

a) sin( x + y).sin( x − y) = sin x − sin y 

b) 

tan x + tan y = 

2sin( x + y) 

cos( x + y) + cos( x − y) 

ĐS: 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π 

⎞ 

c) tan x.tan⎜ x + ⎟ + tan ⎜ x + ⎟.tan ⎜ x + ⎟ + tan ⎜ x + ⎟.tan x = − 3 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ 3π 

⎞ 2 

d) cos ⎜ x − ⎟.cos⎜ x + ⎟ + cos ⎜ x + ⎟.cos ⎜ x + ⎟ = (1 − 3) 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 4 

e) 

o o o o 

o o o o 

(cos70 + cos50 )(cos230 + cos290 ) + (cos 40 + cos160 )(cos320 + cos380 ) = 0 

2 2 

tan 2x 

− tan x 

f) tan x.tan3x 

= 

2 2 

1 − tan 2 x.tan 

x 

Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước: 

3 

3 

3 

2 




a) 2 tan a = tan( a + b) khi sin b = sin a. cos( a + b) 

b) 2 tan a = tan( a + b) khi 3sin b = sin(2 a + b) 

c) tan a.tan b = − 1 khi cos( a + b) = 2 cos( a − b) 

3 

1− 

k 

d) tan( a + b).tan b = khi cos( a + 2 b) = k cos a 

1+ 

k 

HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a 

c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b 


a) sinC = sin A.cos B + sin B.cos 

A 

sinC 

0 

b) 

= tan A + tan B ( A, B ≠ 90 ) 

cos A.cos 

B 

c) tan A + tan B + tanC = tan A.tan B.tan C ( A, B, C ≠ 90 ) 

d) cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = 1 

A B B C C A 

e) tan .tan + tan .tan + tan .tan = 1 

2 2 2 2 2 2 

A B C A B C 

f) cot + cot + cot = cot .cot .cot 

2 2 2 2 2 2 

cosC 

cos B 

o 

g) cot B + = cot C + ( A ≠ 90 ) 

sin B.cos A sin C.cos 

A 

A B C A B C A B C A B C 

h) cos .cos .cos = sin sin cos + sin cos sin + cos sin sin 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 

2 A 2 B 2 C A B C 

i) sin + sin + sin = 1+ 

2sin sin sin 

2 2 2 2 2 2 

HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 180 0 

⎛ A B ⎞ C 0 

e, f) Sử dụng ⎜ + ⎟ + = 90 

⎝ 2 2 ⎠ 2 

⎛ A B C ⎞ 

g) VT = VP = tanA h) Khai triển cos⎜ 

+ + ⎟ 

⎝ 2 2 2 ⎠ 

⎛ A B C ⎞ 

i) Khai triển sin ⎜ + + ⎟ 

⎝ 2 2 2 ⎠ . 

⎛ B C ⎞ A B C A B C 

Chú ý: Từ cos⎜ 

+ ⎟ = sin ⇒ cos .cos = sin + sin .sin 

⎝ 2 2 ⎠ 2 2 2 2 2 2 

A B C 2 A A B C 

⇒ sin .cos .cos = sin + sin .sin .sin 

2 2 2 2 2 2 2 

Bài 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh: 

a) tan A + tan B + tanC ≥ 3 3, ∀ ∆ABC nhoïn. 

2 2 2 

b) tan A + tan B + tan C ≥ 9, ∀ ∆ABC nhoïn. 

6 6 6 

c) tan A + tan B + tan C ≥ 81, ∀ ∆ABC nhoïn. 

2 A 2 B 2 C 

d) tan + tan + tan ≥ 1 

2 2 2 

A B C 

e) tan + tan + tan ≥ 3 

2 2 2 

0 



VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân 

Công thức nhân đôi 


2 2 2 2 


2sin α 

2 tanα 

cot α −1 


= 

2 

1− 

tan α 

2 cotα 


2 1− 

cos2α 

3 

sin α = 


2 

3 

2 1+ 

cos2α 


cos α = 

3 

2 

3tanα 

− tan α 

tan 3α 

= 

2 1− 

cos2α 

2 

tan α = 1− 

3tan α 

1 + cos2α 

2 

Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: 

5 3π 

a) cos2 α, sin 2 α, tan 2α khi cos α = − , π < α < 

13 2 

b) cos2 α, sin 2 α, tan 2α khi tanα = 2 

4 π 3π 

c) sin α, cosα khi sin 2 α = − , < α < 

5 2 2 

7 

d) cos2 α, sin 2 α, tan 2α khi tanα = 

8 

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức sau: 

a) 

A 

o o o o 

= cos20 .cos 40 .cos60 .cos80 

ĐS: 1 

o o o 

b) B = sin10 .sin 50 .sin 70 

ĐS: 1 8 

π 4π 5π 

c) C = cos .cos .cos 

7 7 7 

ĐS: 1 8 

d) D 

0 0 0 

= cos10 .cos50 .cos70 

ĐS: 

o o o o 

e) E = sin 6 .sin 42 .sin 66 .sin 78 

ĐS: 1 

16 

2π 4π 8π 16π 32π 

f) G = cos .cos .cos .cos .cos 

ĐS: 1 

31 31 31 31 31 

32 

h) 

i) I 

H 

o o o o o 

= sin 5 .sin15 .sin 25 .... sin 75 .sin85 

ĐS: 

0 0 0 0 0 

= cos10 .cos20 .cos30 ...cos70 .cos80 

ĐS: 

16 

3 

8 

2 


3 

256 

π π π π π 

k) K = 96 3 sin .cos .cos cos cos 

ĐS: 9 

48 48 24 12 6 

π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 

1 

l) L = cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos 

ĐS: 

15 15 15 15 15 15 15 





π π π 

2 

m) M = sin .cos .cos 

ĐS: 

16 16 8 

8 

Bài 3. Chứng minh rằng: 

a a a a sin a 

a) P = cos cos cos ... cos = 

2 2 3 

n 

2 2 2 n a 

2 .sin 

2 

n 

π 2π nπ 

1 

b) Q = cos .cos ... cos = 

2n + 1 2n + 1 2n 

+ 1 n 

2 

2π 4π 2nπ 

1 

c) R = cos .cos ... cos = − 

2n + 1 2n + 1 2n 

+ 1 2 


4 4 3 1 

6 6 5 3 

a) sin + cos x = + cos 4x 

b) sin x + cos x = + cos 4x 

4 4 

8 8 

3 3 1 

6 x 6 x 1 

2 

c) sin x.cos x − cos x.sin x = sin 4x 

d) sin − cos = cos x(sin x − 4) 

4 

2 2 4 

2 ⎛ π x ⎞ 

e) 1− sin x = 2sin ⎜ − ⎟ 

⎝ 4 2 ⎠ 

g) 

⎛ π ⎞ 

1+ cos + x 

⎛ π x ⎞ 

⎜ ⎟ 

tan . 

⎝ 2 ⎠ 

⎜ + ⎟ 

= 1 

⎝ 4 2 ⎠ ⎛ π ⎞ 

sin⎜ 

+ x ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

f) 

h) 

1− 

sin x 

⎛ π ⎞ 2 ⎛ π ⎞ 

2 cot ⎜ + x ⎟.cos 

⎜ − x ⎟ 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

⎛ π ⎞ 1+ 

sin 2x 

tan⎜ 

+ x ⎟ = 

⎝ 4 ⎠ cos2 x 

cos x ⎛ x 

i) cot 

π ⎞ 

tan 2x 

− tan x 

= ⎜ − ⎟ 

k) tan x.tan3x 

= 

1− sin x ⎝ 4 2 ⎠ 

2 2 

1 − tan x.tan 2x 

2 

l) tan x = cot x − 2 cot x 

m) cot x + tan x = 

sin 2x 

2 

= 

2 2 

1 

n) 

1 1 1 1 1 1 x 

π 

+ + + cos x = cos , vôùi 0 < x < . 

2 2 2 2 2 2 8 2 

VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi 

1. Công thức biến đổi tổng thành tích 

a + b a − b 


2 2 

a + b a − b 


2 2 

a + b a − b 


2 2 

a + b a − b 


2 2 

sin( a + b) 


cos a.cos 

b 


sin( a − b) 

cos a.cos 

b 

sin( a + b) 


sin a.sin 

b 

sin( b − a) 


sin a.sin 

b 



⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

sinα + cosα = 2.sin⎜α + ⎟ = 2.cos⎜α 

− ⎟ 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

sinα − cosα = 2 sin⎜α − ⎟ = − 2 cos ⎜α 

+ ⎟ 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

2. Công thức biến đổi tích thành tổng 

1 

cos a.cos b = ⎡cos( a − b) + cos( a + b) 

⎤ 

2 

⎣ 

⎦ 

1 

sin a.sin b = ⎡cos( a − b) − cos( a + b) 

⎤ 

2 

⎣ 

⎦ 

1 


⎤ 

2 

⎣ 

⎦ 

Bài 1. Biến đổi thành tổng: 

a) 2sin( a + b).cos( a − b) 

b) 2 cos( a + b).cos( a − b) 

13x 

x 

c) 4sin 3 x.sin 2 x.cos x 

d) 4sin .cos x.cos 

2 2 

o 

o 

π 2π 

e) sin( x + 30 ).cos( x − 30 ) 

f) sin .sin 

5 5 

g) 2sin x.sin 2 x.sin3 x. h) 8cos x.sin 2 x.sin 3 x 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

i) sin ⎜ x + ⎟.sin ⎜ x − ⎟.cos2x 

k) 4 cos( a − b).cos( b − c).cos( c − a) 

⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 

Bài 2. Chứng minh: 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

a) 4 cos x.cos⎜ − x ⎟cos⎜ + x ⎟ = cos3x 

b) 4sin x.sin⎜ − x ⎟sin⎜ + x ⎟ = sin3x 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

Áp dụng tính: 

o o o 

o o o 

A = sin10 .sin 50 .sin 70 

B = cos10 .cos50 .cos70 

0 0 0 

C = sin 20 .sin 40 .sin 80 

0 0 0 

D = cos20 .cos 40 .cos80 

Bài 3. Biến đổi thành tích: 

a) 2sin 4x 

+ 2 

b) 3 − 4 cos x 

2 

c) 1− 3tan x 

d) sin 2x + sin 4x + sin 6x 

e) 3 + 4 cos4x + cos8x 

f) sin 5x + sin 6x + sin 7x + sin 8x 

g) 1+ sin 2 x – cos2 x – tan 2x 

h) sin ( x + 90 ) − 3cos ( x − 90 ) 

i) cos5x + cos8x + cos9x + cos12x 

k) cos x + sin x + 1 


cos7x − cos8x − cos9x + cos10x 

sin 2x + 2sin3x + sin 4x 

a) A = 

b) B = 

sin 7x − sin 8x − sin 9x + sin10x 

sin3x + 2sin 4x + sin 5x 

1+ cos x + cos2x + cos3x 

sin 4x + sin 5x + sin 6x 

c) C = 

d) D = 

2 

cos x + 2 cos x −1 

cos 4x + cos5x + cos6x 

Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau: 

π 2π 

π 7π 

a) A = cos + cos 

b) B = tan + tan 

5 5 

24 24 

2 o 2 o 2 o 

2 

2 o 2 

2 o 2 o o o 

c) C = sin 70 .sin 50 .sin 10 d) D = sin 17 + sin 43 + sin17 .sin 43 

o 




1 

o 

1 3 

e) E = − 2sin 70 

f) F = − 

o 

o 

2sin10 

sin10 cos10 

o 

tan 80 

cot10 

g) G = − 

cot 25 + cot 75 tan 25 + tan 75 

0 0 0 0 

h) H = tan 9 − tan 27 − tan 63 + tan 81 

o o o o 

1 

1 

ĐS: A = B = 2( 6 − 3) C = D = 

3 2 

64 

4 

E = 1 F = 4 G = 1 H = 4 

Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau: 

π 7π 13π 19π 25π 

a) sin sin sin sin sin 

30 30 30 30 30 

b) 

o 

o 

ĐS: 1 

32 

o o o o o 

16.sin10 .sin 30 .sin 50 .sin 70 .sin 90 ĐS: 1 

o o o o 

c) cos24 + cos 48 − cos84 − cos12 

ĐS: 1 2 

2π 4π 6π 

1 

d) cos + cos + cos 

ĐS: − 

7 7 7 

2 

π 2 3 

e) cos cos cos 

7 π π 

7 7 

ĐS: 1 2 

π 5π 7π 

f) cos + cos + cos 

9 9 9 

ĐS: 0 

2π 4π 6π 8π 

g) cos + cos + cos + cos 

5 5 5 5 

ĐS: –1 

π 3π 5π 7π 9π 

h) cos + cos + cos + cos + cos 

11 11 11 11 11 

ĐS: 1 2 


a) 

b) 

c) 

o o o o 

tan 9 − tan 27 − tan 63 + tan 81 = 4 

o o o 

tan 20 − tan 40 + tan 80 = 3 3 

o o o o 

tan10 − tan 50 + tan 60 + tan 70 = 2 3 

8 3 

d) tan30 + tan 40 + tan 50 + tan 60 = .cos20 

3 

o o o o o 

e) tan 20 + tan 40 + tan 80 + tan 60 = 8sin 40 

o o o o o 

6 o 4 o 2 o 

f) tan 20 − 33tan 20 + 27tan 20 − 3 = 0 

Bài 8. Tính các tổng sau: 

a) S1 = cosα + cos3α + cos5 α + ... + cos(2n −1) α ( α ≠ kπ 

) 

π 2π 3 π ( n −1) 

π 

b) S2 

= sin + sin + sin + ... + sin . 

n n n n 

π 3π 5 π (2n 

−1) 

π 

c) S3 

= cos + cos + cos + ... cos . 

n n n n 

1 1 1 

d) S4 

= + + ... + , vôùi a = 

π . 

cos a.cos2a cos2 a.cos3a cos4 a.cos5a 

5 

⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

e) S5 = ⎜1+ ⎟⎜1+ ⎟⎜1 + ⎟ ... ⎜1+ 

cos x cos2x cos3x n 1 

cos2 − ⎟ 

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ x ⎠ 



Bài 9. 

sin 2nα 

π 

ĐS: S 1 

= ; S2 = cot ; S 

2sinα 

2 

3 

= − cos π ; 

n 

n 

n−1 

tan 5a 

− tan a 

tan 2 x 

S4 

= = 1− 5 ; S5 

= 

sin a 

x 

tan 2 

3 1 

a) Chứng minh rằng: sin x = (3sin x − sin3 x) (1) 

4 

a 3 a 3 a n−1 3 a 

b) Thay x = vaøo (1), tính S 

n 

n 

= sin + 3sin + ... + 3 sin . 

3 

2 

n 

3 3 3 

1 ⎛ n a ⎞ 

ĐS: Sn 

= ⎜ 3 sin − sin a . 

4 n ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

Bài 10. 

sin 2a 

a) Chứng minh rằng: cos a = . 

2sin a 

x x x 

sin x 

b) Tính Pn = cos cos ... cos . 

ĐS: P 

2 2 n 

n 

= . 

2 2 

n x 

2 sin 

2 

n 


1 x 

a) Chứng minh rằng: = cot − cot x . 

sin x 2 

1 1 1 n−1 

α n−1 

b) Tính S = + + ... + (2 α ≠ kπ 

) ĐS: S = cot − cot 2 α 

sinα sin 2α n−1 

sin 2 α 

2 


2 

a) Chứng minh rằng: tan x.tan 2x = tan 2x − 2 tan x . 

b) Tính 

S 

a a a a a 

2 2 2 

2 2 

2 2 n−1 2 

n 

= tan .tan a + 2 tan .tan + ... + 2 tan .tan 

2 n n−1 

2 

1 1 1 1 

Bài 13. Tính sin 2 x, biết: + + + = 7 ĐS: 8 2 2 2 2 

tan x cot x sin x cos x 

9 


a) cot x − tan x − 2 tan 2x = 4 cot 4x 

b) 

c) 

1 6 3tan x 

− tan x = + 1 d) 

6 2 

cos x cos x 

2 

2 

ĐS: 

1− 2sin 2x 

1+ 

tan 2x 

= 

1− 

sin 4x 

1− 

tan 2x 

1 sin 2x 

− cos2x 

tan 4x 

− = 

cos4x sin 2x + cos2x 

S 

n 

n a 

= tan a − 2 tan 

2 

n 

e) tan 6x − tan 4x − tan 2x = tan 2 x.tan 4 x.tan 6x 

sin 7x 

f) = 1+ 2 cos2x + 2 cos4x + 2 cos6x 

sin x 

g) cos5 x.cos3x + sin 7 x.sin x = cos2 x.cos4x 

Bài 15. 

2 tan( a + b) 

a) Cho sin(2 a + b) = 5sin b . Chứng minh: 

tan a 

= 3 




b) Cho tan( a + b) = 3tan a . Chứng minh: sin(2a + 2 b) + sin 2a = 2sin 2b 


A B C 

a) sin A + sin B + sinC 

= 4 cos cos cos 

2 2 2 

A B C 

b) cos A + cos B + cosC 

= 1+ 

4sin sin sin 

2 2 2 

c) sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4sin A.sin B.sinC 

d) cos2A + cos2B + cos2C = −1− 

4 cos A.cos B.cosC 

2 2 2 

e) cos A + cos B + cos C = 1− 

2 cos A.cos B.cosC 

2 2 2 

f) sin A + sin B + sin C = 2 + 2 cos A.cos B.cosC 

Bài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biết: 

π 

1 

a) B − C = vaø sin B.sin C = . 

ĐS: B = π , C = π , A = 

π 

3 2 

2 6 3 

2π 1+ 

3 

5 

b) B + C = vaø sin B.cos C = . ĐS: A = π , B = π , C = 

π 

3 4 


Bài 18. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông: 

a) cos2A + cos2B + cos2C 

= − 1 b) tan 2A + tan 2B + tan 2C 

= 0 

b c a 

c) 

cos B + cosC = sin B.sinC 

d) B a + c 

cot = 2 b 

Bài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân: 

A + B 

2 

a) a tan A + b tan B = ( a + b)tan 

b) 2 tan B + tanC = tan B.tanC 

2 

sin A + sin B 1 C 2sin A.sin 

B 

c) 

= (tan A + tan B ) d) cot = 

cos A + cos B 2 

2 sin C 

Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều: 

a) sin A + sin B + sinC ≤ 3 3 

2 

π 

HD: Cộng sin vào VT. 3 

b) cos A + cos B + cosC ≤ 3 

2 

π 

HD: Cộng cos vào VT. 3 

c) tan A + tan B + tanC 

≥ 3 3 (với A, B, C nhọn) 

d) cos A.cos B.cosC ≤ 1 

8 

HD: Biến đổi cos A .cos B .cos C − 1 về dạng hằng đẳng thức. 

8 



BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG VI 


2 2 4 

sin x − cos x + cos x 4 

2 

a) 

= tan x b) (tan 2x − tan x)(sin 2x − tan x) = tan x 

2 2 4 


x 

c) 

2 x 

2 x 

6 + 

tan cot 

2 cos4 

1+ cos x 1− 

cos x 4 cot x 

+ = 

d) − = 

1− 

cos 4x 

1− cos x 1+ 

cos x sin x 

2 2 

sin x cos x 

0 0 

e) 1− − = sin x.cos 

x f) cos x + cos(120 − x) + cos(120 + x) = 0 

1+ cot x 1+ 

tan x 

⎛ π ⎞ 

2 cos x − 2 cos + x 

2 x 2 3x 

⎜ 4 

⎟ 

cot − cot 

g) 

⎝ ⎠ = tan x h) 2 2 = 8 

⎛ π ⎞ 

2 x ⎛ 2 3x 

⎞ 

2sin ⎜ + x ⎟ − 2 sin x 

cos .cos x. ⎜1+ 

cot ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

2 ⎝ 2 ⎠ 

i) 6 x 6 ⎛ 1 

cos sin x cos2x 1 sin 2 ⎞ 

4 4 

⎛ π ⎞ 

− = ⎜ − 2x 

⎟ k) cos x − sin x + sin 2x = 2 cos⎜ 

2x 

− ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

⎝ 4 ⎠ 

Bài 2. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 

4 4 6 6 

a) 3(sin x + cos x) − 2(sin x + cos x) 

6 4 2 2 4 4 

b) cos x + 2sin x cos x + 3sin x cos x + sin x 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ 3π 

⎞ 

c) cos ⎜ x − ⎟.cos⎜ x + ⎟ + cos ⎜ x + ⎟.cos⎜ x + ⎟ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

d) 2 x 2 ⎛ 2π 

⎞ 

x 2 ⎛ 2π 

⎞ 

cos + cos ⎜ + ⎟ + cos ⎜ − x ⎟ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

1 

Bài 3. a) Chứng minh: cotα 

− cot 2α 

= . 

sin 2α 

1 1 1 1 

b) Chứng minh: + + + = cot x − cot16x 

. 

sin 2x sin 4x sin8x sin16x 

Bài 4. a) Chứng minh: tanα = cotα − 2 cot 2α 

. 

1 x 1 x 1 x 1 x 

b) Chứng minh: tan + tan + ... + tan = cot − cot x . 

2 2 2 2 n n n n 

2 2 2 2 2 2 

1 4 1 

Bài 5. a) Chứng minh: = − . 

2 2 2 

4 cos x sin 2x 4sin x 

1 1 1 1 1 

b) Chứng minh: + + ... + = − . 

x x n x 2 

2 2 2 2 sin x n 2 x 

4 cos 4 cos 4 cos 4 sin 

2 2 

n 

n 

2 2 2 

3 1 

Bài 6. a) Chứng minh: sin x = (3sin x − sin3 x) 

. 

4 

3 x 3 x n−1 3 x 1 ⎛ n x ⎞ 

b) Chứng minh: sin + 3sin + ... + 3 sin = 3 sin sin x 

3 2 

n ⎜ − 

4 n ⎟ 

3 3 ⎝ 3 ⎠ . 

1 tan 2 

Bài 7. a) Chứng minh: 1 + α 

cos2 α 

= tan α 

. 

b) Chứng minh: 

⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ tan 2 x 

⎜1+ ⎟⎜1 + ⎟... ⎜1+ ⎟ = . 

cos2x 

tan x 

⎝ 2 

n 

⎠⎝ cos2 x ⎠ ⎝ cos2 x ⎠ 

n 




sin 2α 

Bài 8. a) Chứng minh: cosα 

= . 

2sinα 

x x x sin x 

b) Chứng minh: cos .cos ...cos = . 

2 2 n 

2 2 n x 

2 sin 

2 

n 

Bài 9. Đơn giản các biểu thức sau: 

a) 

o o o o o o o o o 

A = tan3 .tan17 .tan 23 .tan 37 .tan 43 .tan 57 .tan 63 .tan 77 .tan83 

2π 4π 6π 8π 

b) B = cos + cos + cos + cos 

5 5 5 5 

11π 

5π 

c) C = sin .cos 

12 12 

π 5π 7π 11π 

d) D = sin .sin .sin .sin 

24 24 24 24 

o 

0 0 

HD: a) A = tan 27 . Sử dụng tan x.tan(60 − x).tan(60 + x) = tan3x 

. 

b) B = –1 c) C = 1 − 3 d) D = 

1 

2 4 

16 

Bài 10. Chứng minh: 

π 2π 3π 

1 

a) cos − cos + cos = 

7 7 7 2 

3 o 2 

b) 8sin 18 + 8sin 18 = 1 

π π π π 

c) 8 + 4 tan + 2 tan + tan = cot 

8 16 32 32 

1 1 4 

d) + = 

o 

o 

cos290 3.sin 250 3 

e) 

o 

8 3 

tan30 + tan 40 + tan 50 + tan 60 = cos20 

3 

o o o o o 

o o o o o 3 + 1 

f) cos12 + cos18 − 4 cos15 .cos21 .cos24 = − 

2 

o o o o 

g) tan 20 + tan 40 + 3.tan 20 .tan 40 = 3 

π 3π 9π 

1 

h) cos + cos + ... + cos = 

11 11 11 2 

2π 4π 10π 

1 

i) cos + cos + ... + cos = − 


1 

Bài 11. a) Chứng minh: sin x.cos x.cos2 x.cos 4x = sin 8x 

. 

8 

0 0 0 0 π 3π 5π 

b) Áp dụng tính: A = sin 6 .sin 42 .sin 66 .sin 78 , B = cos .cos .cos . 

7 7 7 

4 3 1 1 

Bài 12. a) Chứng minh: sin x = − cos2x + cos4x 

. 

8 2 8 

4 π 4 3π 4 5π 4 7π 

3 

b) Áp dụng tính: S = sin + sin + sin + sin . ĐS: S = 

16 16 16 16 

2 

1− 

cos2x 

Bài 13. a) Chứng minh: tan x = . 

sin 2x 



2 π 2 3π 2 5π 

b) Áp dụng tính: S = tan + tan + tan . 


Bài 14. Không dúng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau: 

a) 

0 0 

sin18 , cos18 

2 0 2 0 

2 0 2 0 0 0 

b) A = cos 18 .sin 36 − cos36 .sin18 

c) B = sin 24 − sin 6 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 

d) C = sin 2 .sin18 .sin 22 .sin 38 .sin 42 .sin 58 .sin 62 .sin 78 .sin82 

0 5 −1 

HD: a) sin18 = . Chú ý: sin 54 

4 

b) A 

1 

= c) B 

16 

= 

5 −1 

4 

0 0 

0 0 

= cos36 ⇒ sin(3.18 ) = cos(2.18 ) 

5 −1 

0 0 1 

d) C = . Sử dụng: sin x.sin(60 − x).sin(60 + x) = sin 3x 


4 


a) Nếu cos( a + b) = 0 thì sin( a + 2 b) = sin a . 

b) Nếu sin(2 a + b) = 3sin b thì tan( a + b) = 2 tan a . 

Bài 16. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: 

a) b cos B + c cosC = a cos( B − C) 

b) S = 2R sin A.sin B.sinC 

A B C 

c) 2 S = R( a cos A + b cos B + c cos C) 

d) r = 4Rsin sin sin 

2 2 2 


sin B + sinC 

a) Nếu sin A = 

thì tam giác ABC vuông tại A. 

cos B + cosC 

2 

tan B sin B 

b) Nếu = thì tam giác ABC vuông hoặc cân. 

tanC 

2 

sin C 

sin B 

c) Nếu = 2 cos A thì tam giác ABC cân. 

sinC 

2 


MỘT SỐ BÀI TOÁN ÔN TẬP HỌC KỲ I KHỐÍ 10 

PHẦN I: ĐẠI SỐ 

Chương I :MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP 

Bài 1. Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: 

a) x R, 

x 2 - x +1 > 0 

b) x R , x+3 = 5 

c) n Z , n 2 -n chia hết cho 2 

d) qQ ,16q 2 – 1 = 0 

Bài2 .Cho mệnh đề “ Với mọi số tự nhiên n , nếu n 2 -1 chia hết cho 8 thì n là số lẻ ” 

Hãy phát biểu mệnh đề đảo . Và xét tính đúng , sai của mệnh đề đảo đó . 

Bài 3. a)Chứng minh định lý sau bằng phƣơng pháp phản chứng : 

2 2 

Với mọi số tự nhiên a và b , nếu a b chia hết cho 8 thì a và b không thể đồng thời là 

các số lẻ . 

b) Sử dụng thuật ngữ “ điều kiện cần ” và “ điều kiện đủ ” để phát biểu định lý trên . 

c) Định lý trên có định lý đảo không ? giải thích ? 

Bài 4.Cho các tập hợp sau : 

D ={ xN/ x ≤ 5} 

E = { xR/ 2x( 3x 2 – 2x -1) = 0} 

F = {xZ / -2 ≤ x < 2} 

a) Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp 

b)Tập F có bao nhiêu tập con . Hãy liệt kê các tập hợp con của F 

c) Hãy xác định các tập hợp sau : 1)D F ,D E ,E\F 

2)(E F) D 

3) (F\D) E 

4) D \(E F) , (D E) (D\F) 

Bài5. Bài 6.Cho các tập hợp 

x R - 3 x 2 B x R 0 x 8 

A 

, 

C x 

R x -1 

, D x 

R x 6 

a/ Dùng kí hiệu đoạn , khoảng , nửa khoảng để viết lại các tập hợp trên. 

b/ Biểu diễn các tập hợp A , B , C , D trên trục số. 

c/ Xác định các tập hợp sau : 

A B , A C , A D , B C , B D , C D , A B . 

d/ Xác định các tập hợp : 

A ( B C);(AB) 

C ; (AC) 

\ B ; (D\ B) A 

; R \ A ; R \ B; R \ C 

Bài6. Cho tập hợp E={1;2;3;4}.Hãy tìm các tập con X và Y của tập E sao cho với mọi 

tập con A của tập E ta đều có A Y=A X. 

Bài7. Cho số gần đúng a với sai số tuyệt đối a dƣới đây. Hãy tìm các chữ số chắc của a 

và viết a dƣới dạng chuẩn: 

a) a = 136549; a = 250 b) a = 32,5496; a = 0,003 . 

Bài8. Cho giá trị gần đúng của số 3 2 =1,25992104 với 6 chữ số chắc .hãy viết giá trị gần 

đúng của 3 2 dƣới dạng chuẩn và tính sai số tuyệt đối của giá trị này? 

Bài9. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x = 43m 0,5m và chiều dài y = 

63m 0,5m. 

Chứng minh chu vi P của miếng đất là P = 212m 2m 

Chương II: HÀM SỐ 

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số(1đ) 

x 1 

3x 

4 

ay ) 

by ) 

2x 

2 

x1 

( x2) x4 


2 16 

c) x 

x 

x 

y 

d) y 

5 x x 5 

x 

2 

1 

Bài2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: 

a, y = 3x 4 - 5x 2 + 1 

x 

2 

b, y = 

|2x 1| |2x 

1| 

c, y = x + 2 - x - 2 d, y = x 7 +x 

Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số y mx ( m 1) x 

2 

2 x 

2 

1 

có trục đối xứng là Oy 

Bài 4: Khảo sát sự biến thiên của các hàm số 

2 3 x 1 

a) y 2 x x b) y 7 5x 3 x x c) 

y 

x 1 

Bài 5:a) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua hai điểm M(2; 3) và N(-1; 1) 

b) Vẽ đƣờng thẳng vừa tìm đƣợc ở câu a. 

Bài 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 

Bài 7: Cho hàm số y = ax 2 + bx + 6 

3 1 

x 

; x 

2 2 

y 

2 

1 

2x x 3 ; x 

 

2 

a) Tìm a ,b để đồ thị đi qua hai điểm 2; 0 

và 3;0 

 

b) Với a ,b vừa tìm đƣợc ở câu a hãy khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 

y = ax 2 + bx + 6 . 

c) Từ đó suy ra đồ thị hàm số y = 

2 

ax bx 6 . 

d) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình : 

2 

x 5x 6 m 

Bài 8: Cho hàm số y = x x 2 x 2 

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 

b) Chứng minh đồ thị (C) đối xứng qua gốc tọa độ 

c) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình : 

2x x 2 x 2 m 

Chương III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH . 

I.PHƢƠNG TRÌNH 

Bài 1:. Giải và biện luận các phƣơng trình sau theo tham số m: 

a) m(x - 3) = 2(x - m) + 1 b) m 2 x + 1 = 2m(x +1) 

2 

mx 1 m m x 1 

c) 

2 

x1 x1 x 1 

 

 

d) mx 1 2x m 3 

Bài 2: Cho phƣơng trình sau( m là tham số): mx 2 - 2(m - 2)x + m - 1 = 0 

a, Xác định m để phƣơng trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại. 

b, Xác định m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện 

x 1 2 + x 2 2 = 8. 

Bài 3: Giải các phƣơng trình sau : 

1) 2x1 x 3 

2) x 2 2x = x 2 5x + 6 

x 2 1 2 

3) 

4) x 2 6x + 9 = 4 x 2 6x 6 

x 2 x x( x 2) 

Bài 4: Tìm m để phƣơng trình có nghiệm tùy ý ,có nghiệm , vô nghiệm 


a) 2x+m -4(x-1) =x-2m+3 b) m 2 –x +2 = m(x-3) 

c) m 2 (x-1) = -(4m+3) x -1 e) (2m+3)x – m +1 = (m+2) (x+4) 

Bài 5: Cho các phƣơng trình sau : 

x 2 2mx + m 2 2m + 1 = 0 mx 2 (2m + 1)x + m 5 = 0 

a) Giải phƣơng trình với m = -8 

b) Tìm m để pt có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó 

c) Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu , cùng dấu , cùng dƣơng , cùng âm . 

1 1 1 

d) Tìm m để phƣơng trình có 2 nghiệm x 1 ,x 2 thỏa mãn 1 2 

x2 x1 

2 x x 

II/ HỆ PHƢƠNG TRÌNH : 

 

6mx 

(2 m) 

y 9 

Bài 1: Cho hệ phƣơng trình : ( m : tham số ) 

( m 1) 

x my 4 

a) Giải và biện luận hệ phƣơng trình trên. 

b) Cho (x;y) là nghiệm của hệ, lập hệ thức độc lập giữa x và y với m. 

2 

Bài 2: Cho hệ phƣơng trình: mx y m 

x my m 1 

a) Định m để hệ vô nghiệm . 

b) Định m để hệ có nghiệm duy nhất .Tìm hệ thức giữa nghiệm x , y độc lập với m. 

c) Định m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên . 

Bài 3: Giải các hệ phƣơng trình : 

4x 

9y 

6 

 

x 2y 1 x 2y 

2 0 

a) 

b) 

2 

 

3x 6xy x 3y 

0 

2 

xy y 3y 

1 0 

3 3 

x + y = 2 

2 2 

x 2y 2x y 

c) 

d) 

xy x + y = 2 

2 2 

 

y 2x 2y x 

2 2 

x 3y 2z 

8 

x y x y 4 

 

e) 

f) 2x 2y z 6 

x x y 1 y y 1 

2 

 

 

3x y z 6 

ChươngIV: BẤT ĐẲNG THỨC 

1)Chứng minh các BĐT sau đây: 

a) a a b) a 

2 ab b 

2 0 c) 

2 2 2 

( a b) 2( a b ) d) 

4 

2 2 2 

a b c ab bc ca 

2 1 

a 

2 ab b 

2 0 e) 

2)Chứng minh các BĐT sau đây với a, b, c > 0 và khi nào đẳng thức xảy ra: 

1 1 

b 

a) ( a b)(1 ab) 4ab b) ( ab)( ) 4 c) ( ac ) 2 

a b c 

d) ( a b)( b c)( c a) 8abc 

e) (1 a )(1 b )(1 c ) 8 

b c a 

g) ( a 

2 

2)( b 

2 

2)( c 

2 

2) 16 2. abc 

3 a) TìmGTLN của hàm số: y ( x 3)(7 x) 

với 3x 

7 

b)Tìm GTNN của hàm số: 

4 

y x3 với x > 3 

x 3 

c) TìmGTLN của hàm số: y 2x 13 

x 

với 1 x 3 

2 


ab

x 2 

d) Tìm GTNN của hàm số: y với x > 1 . 

2 x 1 

a 

6 

b 

6 

c 

6 

4)Với a,b,c>0 chứng minh rằng ab bc ca 

b 

2 

c 

2 

a 

2 

c 

2 

a 

2 

b 

2 

2 2 

a b 

5)Với a,b,c>0 chứng minh rằng a b 

b a 

6)Với a,b,c>0 và a.b.c=1 chứng minh rằng 

1 1 1 ab bc ca 

 

a 

3 

b c b 

3 

a c c 

3 

b a 

2 

2 

7)Với a,b,c>0 chứng minh 

32 c b 

a b c ac ab 1 

b 

2 

ac 

2 

PHẦN II: HÌNH HỌC 

Bài 1: Cho tam giác MNP có MQ là trung tuyến của tam giác . Gọi R Là trung điểm của 

MQ. Chứng minh rằng: 

 

a) 2RM RN RP 0 

 

b) ON 2OM OP 4 OD, O 

bÊt k× 

c) Dựng điểm S sao cho tứ giác MNPS là hình bình hành. Chứng tỏ rằng: 

 

MS MN PM 2MP 

d)Với điểm O tùy ý, hãy chứng minh rằng 

 

ON OS OM OP 

 

ON OM OP OS 4OI 

. 

Bài 2: Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện : 

a) MA = MB b) MA + MB + MC = 0 c) MA + MB = MA 

 

MB 

 

d) MA MC MB 0 e) MA MB MC 2BC f ) 2KA KB KC CA 

Bài 3: 

Cho ABC . K, I, J là các điểm thỏa mãn: 

 

2KB 

KA KC CA ; IA 2IB và 3JA 2JC 

0 

a) Dựng các điểm I, J, K 

b) Chứng minh IJ qua trọng tâm G của tam giác ABC 

c) E là điểm trên đƣờng thẳng BC sao cho EB = k BC (k là số thực). 

Xác định k để 3 điểm I,J,E thẳng hàng 

d)Tìm tập hợp các điểm P sao cho PB tPA tPC 

Bài 4: Cho 3 điểm A(1,2), B(-2, 6), C(4, 4) 

a) Chứng minh A, B,C không thẳng hàng 

b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB 

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC 

d) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành 

e) Tìm toạ độ điểm N sao cho B là trung điểm của đoạn AN 

f) Tìm toạ độ các điêm H, Q, K sao cho C là trọng tâm của tam giác ABH, B là trọng 

tâm của tam giác ACQ, A là trọng tâm của tam giác BCK. 

g) Tìm toạ độ điểm T sao cho 2 điểm A và T đối xứng nhau qua B, qua C. 

 

h) T × m to¹ ®é ®iÓm U sao cho AB 3 BU; 2AC 5BU 

Bài5: Cho A (-1 ; -1) và B (5; 6) 

a)Tìm M x’Ox để tam giác ABM cân tại M 


4

)Tìm N y’Oy để tam giác ABN vuông tại N 

c)Xác định H,K để ABHK là hình bình hành nhận J(1;4) làm tâm 

 

d)Xác định C thỏa 3 AC - 4 BC = 2 AB 

e)Tìm G sao cho O là trọng tâm tam giác ABG 

f)Xác định I x’Ox để IA 

+ IB 

+ IN 

đạt giá trị nhỏ nhất 

Câu6: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB,BC lấy các điểm E,G sao cho 

3 2 

AE AB, 

BG BC . Gọi H, I lần lƣợt là trung điểm AC, EH 

4 5 

 

a)Phân tích AI theo AB và AC 

 

3 

 

2 

 

b)CMR, AG AB AC 

5 5 

c)CMR, 3 

 

điểm A,I,G 

 

thẳng 

 

hàng 

 

d)CMR, 8AE 15BG 12CH 

0 

 

2 

e) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MA. MB MA. MC 0 

Bài 7: Cho tam giác ABC và điểm M bất kì. 

 

a) Chứng minh: AC + BM = AM + BC 

 

b) Cho đoạn AB = 8. Tìm tập hợp điểm M sao cho MA. MB = 9 

 

MA MB 2MB MC 0 

c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho 

Bài 8: . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(- 1; 4), B(1; - 2), C(- 3; 

0) 

a)Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân. 

b)Tính diện tích của tam giác ABC và h a , m a, R. 

Bài 9: Trong tam giác ABC ,chứng minh : 

a) a = bcosC + ccosB. 

b) b 2 – c 2 = a ( b.cosC – c.cosB) 

c) ( b 2 – c 2 ) cosA = a ( c.cosC – b.cosB ) 

d) Nếu b + c = 2a thì 2 1 

1 

h h h 

a b c 

Bài 10:Chứng minh : 

2 2 

sin x 

cos x 

a) 

s inx cos x . 

cos x 1 t anx s inx 1 cot 

x 

 

cos x s inx 1 

b) t anx . cot 

x 

1 s inx 1 cos x 

s inx.cos x 


Chủ đề : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 

Giải các phương trình sau : 

a) 3( x − 2) + 5(1 − 2 x) = 8; b) 4 x − 2 2 x + 

− 1 = 5 ; c) 1 5 1 3 x − 

x − + ( x − 4) = 

1 ; 

3 2 4 

2 4 3 2 

d) 2 x − 3 x + 

= 5 ; e) 4 x − 6 5 x + 7 3 x − 

− = 2 ; 

g) 4 − 3 x 2 + 7 x 6 − 13 x 

= − . 

4 3 

6 8 12 

8 6 16 

2 2 

2 2 

h) (3x 

− 5) = (3x 

+ 2) ; i) 4 x − (2x 

+ 5) = 0 . k) 4 x − 7 3 x + 2 x 

= − ; 

5 15 30 

2 2x 

− 2 

1 

l) 4(2x 

− 5) − 3(4 − 3 x) = 0 . m/ x − 1+ = 

n/ 1 + = 7 − 2 x 

x − 2 x − 2 

x − 3 x − 3 

x − 2 1 2 

x + 2 1 2 

p/ − = 

q) − = . 

x + 2 x x( x − 2) 

2x − 2 x x( x − 2) 


a. 3 x + 13 = x + 1 

b. 5 x + 10 = 8 − x c. x − 2 x − 5 = 4 d. x + 4 = 2 

e. 2x 2 + 4x 

− 5 = x − 2 f. 2x 2 + 5x 

+ 6 = x + 4 g. 

2 

3x 

9x 

1 

− + = x − 2 h. x − 2x − 5 = 4 

i. 3x 2 − 4x 

− 4 = 2x 

+ 5 j. x + 3 + x + 8 = 5 

k. 3 x + 12 − 5x 

+ 6 = 2 

2 

2 

2 

2 

l. x − x − 3 + x − x + 9 = 0 m. 2x −8x 

+ 12 = x − 4x 

− 6 n. x − 3 + x = 1+ x − 3 

o. x − 2 = 2 − x + 1; p. x x − 1 = 2 x − 1 

q. 

2 

3x + 5x − 7 = 3x 

+ 14 

2 

2 

3x + 1 4 

x + 3x 

+ 4 

r. = s. = 

x-1 x-1 

x+4 

x+4 ; t. x − 1 (x 2 − x − 6) = 0 ; 


1/ a. 2x 

+ 1 = x − 3 ; b. |x 2 − 2x| = |x 2 − 5x + 6|; c. |x + 3| = 2x + 1 

d. | x − 2 | = 3x 2 − x − 2 e. | 2x – 4| = x – 1. f. |4x + 1| = 2x + 5 

2/ a.⎥ 3x – 4⎥ = x + 2 b.⎥ x + 3⎥ = x 2 – 4x +3 c.⎥ 5x + 1⎥ =⎥ 2x – 3⎥ 

d.⎥ x 2 – 4x – 5⎥ =⎥ 2x 2 – 3x –5⎥ e. x 2 + 2⎥ x⎥ – 3 = 0 f. x 2 – 3⎥ x – 2⎥ + 2 = 0 

g. 

5x 

16 

+ 4 + 2 = 

+ 

5x 

1 

x x 

h. 2 1 

3x x − 2 

x 2 − x − = ; k. = 

3 

3 

x −1 

x 

. 

Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ : 

1/ x 4 – 5x 2 + 4 = 0; 2/ 4x 4 + 3x 2 – 1 = 0; 3/ 

Giải các hệ phương trình sau : 

a. 

⎧2x 

+ 3y 

= 5 

⎨ 

⎩3x 

+ y = −3 

b. 

⎧− 2x 

+ y = 3 

⎨ 

⎩4x 

− 2y 

= −6 

x 

⎧x 

+ 2y 

= −3 

c. ⎨ 

⎩ − 2x 

− 4y 

= 1 

2 

− 3x 

+ 2 = x 2 − 3x − 4; 4/ x 2 − 6x + 9 = 4 

Các bài toán có tham số 

⎧7 4 

x + y = 41 

⎪3 3 

d. ⎨ 

⎪ 3 5 

x y 11 

⎪⎩ 5 − 2 

= − 

e. 

x 

⎧2x − 3y + z = 13 

⎪ 

⎨ − x + y + 2z 

= − 3 . 

⎪ ⎩3x + 2y − 3z 

= 2 

2 

− 6x 

+ 6 . 

Giải và biện luận các pt sau theo tham số m: 

1) a. 2mx + 3 = m − x; b. (m − 1)(x + 2) + 1 = m 2 c. (m 2 + m)x = m 2 − 1 

d. m(x – m) = x + m – 2 e. m 2 ( m −1) 

x + m − 2 (3m 

− 2) x 

(x – 1) + m = x(3m – 2); f. = m ; g. = 3 

x + 3 

x − m 

2) a. 2x 2 +5x + m+3 = 0; b. (m–1)x 2 – 2(m + 1)x + m –5 = 0; c. mx 2 – (2m – 1)x + 1 –3m = 0 

d. x 2 − x + m = 0 e. x 2 − 2(m + 3)x + m 2 + 1 = 0 

Với giá trị nào của m thì pt sau vô nghiệm , có nghiệm duy nhất, có tập nghiệm là R? 

a. m 3 x = mx + m 2 – m b. m 2 x + 4 = m 2 – (3m – 2) 

Cho pt x 2 – 8x + 5 = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 .Tính giá trị của các biểu thức: 

2 2 

3 3 

a. A = x1 + x2 

b. B = x1 + x2 

c. C = x1 − x2 

d. D = x1 + x2 


Cho pt: x 2 – 2(m – 1)x + m 2 –3m + 4 = 0 (x 2 – 2(m – 1)x – 4m + 8 = 0). Tìm m để pt: 

a. Có hai nghiệm phân biệt. b. Có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. 

c. Tìm m để pt có hai nghiệm x 1 và x 2 sao cho: i) x 1 + x 2 = 4 ; ii) x 1 . x 2 = 8 

Tính các nghiệm trong mỗi trường hợp đó. 

Cho pt x 2 + (m − 1)x + m + 2 = 0 

a/ Giải phương trình với m = – 8 

b/ Tìm m để pt có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó 

c/ Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu 

d/ Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x 2 1 + x 2 2 = 9 

Cho pt: x 2 – (m + 1)x + m –3 = 0 

a. CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 

b. Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu 

c. Tìm m để pt có hai nghiệm dương phân biệt 

Cho phương trình: (m + 1)x 2 – 2(m –1)x + m –2 = 0 ( m là tham số) 

a. Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt. 

b. Tìm m để pt có một nghiệm bằng 3. Tính nghiệm kia. 

c. Tìm m để pt có hai nghiệm x 1 và x 2 sao cho: 4(x 1 + x 2 ) = 7x 1 .x 2 . (ĐS: m = 1) 

a. Cho phương trình: x 2 + (m –1)x + m + 6 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có 

2 2 

hai nghiệm x 1 và x 2 sao cho: x 

1 

+ x2 

= 10 

(ĐS: m = –3) 

b. Cho phương trình: x 2 – 2mx + 3m–2 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có hai 

2 2 

nghiệm x 1 và x 2 sao cho: x1 + x2 = x1 x2 + 4 (ĐS: m = 2 v m = ¼) 

c. Cho phương trình: x 2 – 3x + m –2 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có hai 

3 3 

nghiệm x 1 và x 2 sao cho: x1 + x2 = 9 

(ĐS: m = 4) 

Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm x 1 và x 2 thỏa: x 1 = 3x 2 : 

a. x 2 – 2(m –2)x + 4m + 8 = 0 (ĐS: m = 10 v m = –2/3) 

b. mx 2 – 2(m + 3)x + m – 2 = 0 (ĐS: m = –1 v m = 27) 

Cho phương trình x 2 − 2(m − 1)x + m 2 − 3m = 0. Định m để phương trình: 

a/ Có hai nghiệm phân biệt b/ Có nghiệm. 

c/ Có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó. d/ Có một nghiệm bằng –1 tính nghiệm còn lại 

2 2 

e/ Có hai nghiệm thoả 3( x 1 + x 2 ) = − 4 x 1 x 2 f/ Có hai nghiệm thoả x 1 + x 2 = 2 

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 

1. Một gia đình có bốn người lớn và ba trẻ em mua vé xem xiếc hết 370 000 đồng.Một gia đình khác có hai 

người lớn và hai trẻ em cũng mua vé xem xiếc tại rạp đó hết 200000 đồng. Hỏi giá vé người lớn và giá vé trẻ 

em là bao nhiêu ? 

2. Tìm một số có hai chữ số, biết hiệu của hai chữ số đó bằng 3. Nếu viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì 

được một số bằng 4 5 

số ban đầu trừ đi 10 

3. Một chủ cửa hàng bán lẻ mang 1500000 đồng đến ngân hàng đổi tiền xu để trả lại cho người mua . Ông ta 

đổi được tất cả 1 450 đồng xu các loại 2000 đồng, 1000 đồng và 500 đồng. Biết rằng số tiền xu loại 1000 

đồng bằng hai lần hiệu của số tiền xu loại 500 đồng với số tiền xu loại 2000 đồng . Hỏi mỗi loại có bao nhiêu 

đồng tiền xu ? 

4. Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện.Đoàn xe có 57 chiếc gồm 3 loại 

xe chở 3 tấn , xe chở 5 tấn, xe chở 7,5 tấn. Nếu dùng tất cả xe 7,5 tấn chở ba chuyến thì được số xi măng 

bằng tổng số xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến và xe 3 tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại? 


Chủ đề : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2 ẨN 

A. TÓM TT LÝ THUYT : 

•.CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP 

⎧ax + by = c (1) 

Dạng 1: ⎨ 2 2 

⎩ Ax + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (2) 

Phương pháp: Tính x theo y (y theo x) 

Thế vào (2) để được phương trình bậc 2) theo 1 ẩn duy nhất 

Dạng 2: Hệ đối xứng hai ẩn loại 1 

là hệ có tính chất: Khi thay x bởi y thì mỗi phương trình trong hệ không thay đổi. 

Phương pháp: Đặt x + y = S, xy = P 

Đưa hệ phương trình về hệ 2 ẩn S, P 

x, y là nghiệm X 2 – SX + P = 0 

Chú ý : điều kiện hệ có nghiệm: S 2 – 4P ≥ 0 

Dạng 3: Hệ đối xứng hai ẩn loại 2 

Là hệ phương trình có tính chất khi thay x bởi y thì phương trình này trong hệ sẽ 

biến thành phương trình kia 

Phương pháp: Trừ hai vế của phương trình 

Dùng phương pháp thế để giải hệ 

B: CÁC VÍ D : 

⎧x + 2y = 5 (1) 

Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình ⎨ 2 2 

(I) 

⎩ x + 2y − 2xy = 5(2) 

Giải: Từ (1) ⇒ x = 5 – 2y 

⎧x = 5 − 2y ⎧ x = 5-2y 

⎧ x = 5 − 2y ⎧ x = 3 ⎧x = 1 

(I) ⇔ ⎨ 

⇔ 

2 2 ⎨ 

⇔ 

2 

⎨ ⇔ ⎨ V ⎨ 

⎩ (5 − 2y) + 2y − 2(5 − 2y)y = 5 ⎩10y − 30y + 10 = 0 ⎩y = 1 ∨ y = 2 ⎩y = 1 ⎩y = 2 

Vậy nghiệm hệ phương trình (3; 1); (1; 2) 

2 2 

⎧ x + xy + y = 4 

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: ⎨ 

(II) 

⎩xy + x + y = 2 

Giải: Đặt S = x + y, P = xy 

2 2 2 

⎪⎧ S − 2P + P = 4 ⎧S − P = 4 ⎧ S + S − 6 = 0 ⎧ S = − 3 V S = 2 ⎧S = − 3 ⎧S = 2 

(II) ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ V ⎨ 

⎪⎩ 

S+ P = 2 ⎩ S + P = 2 ⎩P = 2 −S 

⎩ P = s − S ⎩ P = 5 ⎩P = 0 

⎧S = −3 

TH1: ⎨ ⇒ x, y là nghiệm phương trình: X 2 + 3X + 5 = 0 

⎩P = 5 

∆ = 9 – 20 < 0 : Vô nghiệm 

⎧S = 2 

TH2: ⎨ ⇒ x, y là phương trình X 2 ⎡X = 0 

– 2X = 0 ⇒ 

⎩P = 0 

⎢ ⇒ Nghiệm hệ phương trình (0 ; 2) hay (2 ; 0) 

⎣X = 2 

2 

⎧x − 2x = y 

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình ⎨ 

2 

⎩y − 2y = x 

2 2 

⎧ x − y − 2(x − y) = −(x − y) ⎧(x − y)(x + y − 1) = 0 ⎧ x − y = 0 

⎧x + y − 1 = 0 

⇔ ⎨ 

⇔ 

2 

⎨ 

⇔ 

2 

⎨ 2 (II) V ⎨ 2 (III) 

⎩x − 2x = y 

⎩ x − 2x = y ⎩x − 2x = y ⎩ x − 2x = y 

⎧ x = y ⎧x = 0 ⎧x = 3 

* (II) ⇔ ⎨ ⇔ 

2 

⎨ V ⎨ 

⎩x − 3x = 0 ⎩y = 0 ⎩y = 3 


⎧ 1− 

5 

⎧ 1+ 

5 

2 

⎧ 

⎧ y = 1− 

x ⎧ 

1± 

5 

x − x − 1 = 0 

x = 

x = 

⎪x 

= ⎪ 

* (III) ⎨ 

⇔ 

2 

⎨ 

⇔ 

2 

⎪ 

⎨ 2 ⇔ ⎨ 

V 

2 

⎨ 

⎩x − 2x = 1− 

x ⎩y = 1 − x ⎪ 

⎩ y = 1− 

x ⎪ 1− 5 1+ 

5 1 5 

y = 1 − = 

⎪ − 

y = 

⎪⎩ 2 2 ⎪⎩ 2 

⎛1− 5 1+ 

5 ⎞ ⎛1+ 5 1− 

5 ⎞ 

Kết luận hệ phương trình có 4 nghiệm (0; 0) (3; 3) 

⎜ 

; 

2 2 ⎟ 

⎜ 

; 

⎝ 

⎠ 2 2 ⎟ 

⎝ 

⎠ 

C. BÀI TP : 

Bài 1: Giải các hệ phương trình 

2 2 

⎧x − y = 2 

⎧x − 5xy + y = 7 ⎧2x − y − 7 = 0 

⎧4x + 9y = 6 

a) ⎨ 

b) 

2 2 

⎨ 

c) ⎨ 

d) 

2 2 

⎨ 2 

⎩ x + y = 164 ⎩2x + y = 1 

⎩ y − x + 2x + 2y + 4 = 0 ⎩ 3x + 6xy − x + 3y = 0 


⎧ 7 

⎧x + y + xy = 11 ⎧ ⎪x y + y x = 30 

xy = 4 

x + y + xy = 

⎧ 

⎪ 2 

a) ⎨ 

b) 

2 2 

⎨ 

c) ⎨ 

d) 

2 2 

⎨ 

⎩x 

y + y x = 30 ⎪⎩ x x + y y = 35 ⎩x 

+ y = 28 

⎪ 2 2 5 

x y + y x = 

⎪⎩ 2 

⎧x + y + xy = 2 ⎧x − y − xy = 3 

⎧xy − x + y = −3 

⎧x 

− y = 2 

e) ⎨ 

f) 

2 2 

⎨ 

g) 

2 2 

⎨ 

h) 

2 2 

⎨ 

2 2 

⎩x 

+ y + xy = 4 ⎩x 

+ y + xy = 1 

⎩x 

+ y − x + y + xy = 6 ⎩x 

+ y = 164 

⎧x 

+ y = 5 

⎧x( x − y + 1) + y( y − 1) = 2 ⎧x 

+ y = 1 

⎧xy( x + y) = 2 

⎪ 

i) ⎨ 

j) 

2 2 

⎨ 

k) 

3 3 

⎨ 

l) 

3 3 

⎨ x y 13 

⎩x 

+ y + x − y = 4 ⎩x 

+ y = 61 

⎩x 

+ y = 2 

⎪ + = 

⎩ y x 6 

2 

2 

⎧x 

+ y = 6 ⎧x + y + xy = 5 

⎧( x −1)( y − 1) = 18 ⎧⎪ 

3x 

− xy + 3y 

= 13 

m) ⎨ 

n) 

2 2 

⎨ 

o) 

2 2 

⎨ 

p) 

2 2 

⎨ 

2 

2 

⎩x 

+ y = 2( xy + 2) ⎩x 

y + y x = 6 

⎩x 

+ y = 65 

⎪⎩ x − 3xy 

+ y = −1 

2 2 

2 

2 2 

⎧ x + y + xy = 7 ⎧ 2( x + y) − xy = 1 ⎧ x + xy + y = 7 

⎧3( x + y) 

= xy 

q) ⎨ 

r) 

2 2 

⎨ 

s) 

2 2 

⎨ t) ⎨ 

⎩x + y − xy = 3 ⎩ x y + xy = 0 

⎩x + xy + y = 

2 2 

5 

⎩x 

+ y = 160 


2 

2 

2 2 

2 

⎧2x +xy= 3x ⎧x -2x=y 

⎧x -2y = 2x + y 

⎧x = 3x+2y 

a) ⎨ 

b) 

2 

⎨ 

c) 

2 

⎨ 

d) 

2 2 

⎨ 2 

⎩2y + xy= 3y ⎩y -2y=x 

⎩y -2x =2y + x 

⎩ y =3y+2y 

⎧ 

Bài 4: Giải và biện luận hệ phương trình x + y = 

⎨ 

4 

⎩xy 

= m 

⎧x 

+ y = 4 

Bài 5: Cho hệ phương trình ⎨ . 

2 2 

⎩x 

+ y = m 

a) Giải hệ khi m =10 b) Giải và biện luận 

⎧x + y + xy = m + 1 

Bài 6: Cho hệ ⎨ 

. 

⎩( x + y) 

xy = m 

a) Giải hệ khi m =2 b) Định m để hệ có nghiệm 

⎧x + y = m + 1 

Bài 7: Cho hệ phương trình ⎨ 

2 2 

2 

⎩x 

+ y + xy = m + 2 

a) Giải hệ khi m = 5 b) Định m để hệ có nghiệm 

⎧x + y + xy = m 


. 

2 2 

⎩x 

+ y = m 

a) Giải hệ khi m =5 b) Giải và biện luận 

2 

⎧ ⎪( x + y) 

= 4 


2 2 

⎪⎩ x + y = 2(1 + m) 

a) Giải hệ khi m =10 b) Giải và biện luận 

2 3 2 

⎧ x = y − 4y + my 

Bài 10 : Định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất ⎨ 

. 

2 3 2 

⎩ y = x − 4x + mx 


HÌNH HỌC 

Bài 1: Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F chứng minh : 

 

a) 

AB + DC = AC + 

DB 

b) 

AB + ED = AD + EB c) 

AB − CD = AC − BD d) 

AD + CE + DC = AB − EB 

 

e) AC+ DE - DC - CE + CB = AB 

f ) AD + BE + CF = AE + BF + CD = AF + BD + CE 

Bài 2: Cho tam giác MNP có MQ là trung tuyến của tam giác . Gọi R Là trung điểm của MQ. Cmr : 

 

a) 2RM + RN + RP = 0 b) ON + 2OM + OP = 4OR 

, ∀ O. 

 

c) Dựng điểm S sao cho tứ giác MNPS là hình bình hành. Chứng tỏ rằng MS + MN − PM = 2MP 

 

d)Với điểm O tùy ý, hãy chứng minh rằng ON + OS = OM + OP ; ON + OM + OP + OS = 4OI 

Bài 3:.Cho 4 điểm bất kì A,B,C,D và M,N lần lượt là trung điểm của đoạn 

thẳng AB,CD.Chứng minh rằng: 

 

 

a) CA + DB = CB + DA = 2MN 

b) AD + BD + AC + BC = 4MN 

 

c) Gọi I là trung điểm của BC.Chứng minh rằng: 2( AB + AI + NA + DA) = 3DB 

Bài 4:. Cho tam giác MNP có MQ ,NS,PI lần lượt là trung tuyến của tam giác. Chứng minh rằng: 

 

a) MQ + NS + PI = 0 . b) Chứng minh rằng hai tam giác MNP và tam giác SQI có cùng trọng tâm . 

c) Gọi M’ Là điểm đối xứng với M qua N , N’ Là điểm đối xứng với N qua P , P’ Là điểm đối xứng với P 

 

qua M. Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kì ta luôn có: ON + OM + OP = ON 

' 

+ OM 

' 

+ OP 

' 

Bài 5: Gọi G và G′ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A′ B′ C′ . 

 

Chứng minh rằng AA′ + BB′ + CC′ = 3GG′ 

Bài 6: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trên AC sao cho NC=2NA, gọi K là 

trung điểm của MN 

1 1 1 1 

a) CMR: AK= AB + AC b) Gäi D lµ trung ®iÓm cña BC, chøng minh : KD= AB + AC 

4 6 

4 3 

 

Bài 7: a) Cho MK và NQ là trung tuyến của tam giác MNP.Hãy phân tích các véctơ MN, NP, 

PM theo hai 

 

véctơ u = MK , v = NQ 

 

b) Trên đường thẳng NP của tam giác MNP lấy một điểm S sao cho SN = 3SP 

. Hãy phân tích véctơ MS 

 

theo hai véctơ u = MN , v = MP 

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MG và H là điểm trên cạnh 

MN sao cho MH = 1 

MN .Hãy phân tích các véctơ MI , MH , PI, 

PH theo hai véctơ u = PM , v = PN 

5 

Bài 8: Cho 3 điểm A(1,2), B(–2, 6), C(4, 4) 

a) Chứng minh A, B,C không thẳng hàng 

b)Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB 

c)Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC 

d)Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bh 

e)Tìm toạ độ điểm N sao cho B là trung điểm của đoạn AN 

f)Tìm toạ độ các điêm H, Q, K sao cho C là trọng tâm của tam giác ABH, B là trọng tâm của tam giác ACQ, 

A là trọng tâm của tam giác BCK. 

g)Tìm toạ độ điểm T sao cho 2 điểm A và T đối xứng nhau qua B, qua C. 

 

h) T × m to¹ ®é ®iÓm U sao cho AB = 3 BU; 2AC = −5BU 

 

k) H·y ph©n tich AB, theo 2 vec t¬ AU vµ CB ; theo 2 vect¬ AC vµ CN 

Bài 9: Cho tam giác ABC có M(1,4), N(3,0); P(–1,1) lần lượt là trung điểm của các cạnh: BC, CA, AB. Tìm 

toạ độ A, B, C. 

Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Chứng minh rằng các điểm: 

1;1 1;7 0;4 

1;1 1;3 C − 2;0 thẳng hàng. 

a) A ( ) , B ( − ) , C ( ) thẳng hàng. b) M ( − ) , N ( ) , ( ) 

c) Q( − 1;1) 

, R ( 0;3) 

, S ( − 4;5) 

không thẳng hàng. 

Bài 11: Trong hệ trục tọa cho hai điểm A( 2;1) 

và B ( 6; − 1) 

.Tìm tọa độ: 

a) Điểm M thuộc Ox sao cho A,B,M thẳng hàng. b) Điểm N thuộc Oy sao cho A,B,N thẳng hàng. 


Bài 12 Cho ba điểm A(1; 5), B(3; 1), C(–1; 0) 

→ → 

a) Tìm tọa độ của các vectơ AB, 

AC . b) Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác 

→ → → 

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC d) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA− 2 MB = 0 

→ → → → 

e) Tìm tọa độ điểm I sao cho IA− 2 IB− IC = 0 

Bài 13 Cho hai điểm A(–1; 1), B(3; 3) 

a) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn AB b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆OAB 

c) Tìm tọa độ của điểm I ∈ Ox sao cho ba điểm A, B, I thẳng hàng 

→ → 

d) Tìm tọa độ của điểm K ∈ Oy sao cho | KA | + | KB | là nhỏ nhất 

Bài 14 Cho ba điểm A(1; 5), B(–3; – 5), C(3; 3) 

→ → → 

a) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn AB b) Tìm tọa độ điểm I sao cho IB+ 3IC 

= 0 

→ → → → 

c) Tìm tọa độ điểm K sao cho KA+ 3KB− 2 KC = 0 

→ → 

d) Tìm tọa độ điểm M ∈ Ox sao cho | MA | + | MB | là nhỏ nhất 

Bài 15 Cho ba điểm A(– 1; 1), B(5; – 2), C(2 ; 4) 

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC b) Tìm tọa độ của vectơ AB 

→ 

c) Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD sao cho AB // CD và CD = 2AB 

→ → → → 

d) Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 MA− MB+ 3MC = AB 

Bài 16 Cho ba điểm A(– 1; 1), B(5; – 2), C(2 ; 7). a) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn BC 

→ → → 

b) Chminh ∆ABC cân tại đỉnh A, tính diện tích của ∆ABC. c) Tìm tọa độ điểm K sao cho KA+ 2 KB = 0 

→ → 

d) M ∈AC sao cho AM = x AC . Tìm x để ba điểm I, K, M thẳng hàng 

Bài 17 Cho hai điểm A(–1; 2), B(1; 3) 

a) Chứng minh ba điểm O, A, B không thẳng hàng 

b) Tìm tọa độ điểm M ∈ Ox sao cho ba điểm M, A, B thẳng hàng 

c) Tìm tọa độ đỉnh C sao cho tứ giác OABC là hình bình hành có AB || OC và OC = 3AB 

d) Tìm tọa độ giao điểm N của OB và AC 

 

Bài 18 Cho 3 điểm A( –1; 3), B( 2; –1), C( 6; 5) . Tính AB. 

AC và cosA 

Bài 19 Cho ∆ABC,có A (1 ; 2) , B (4 ; 6), C (9; –4). 

a) Chứng minh ∆ABC vuông tại A. b) Tính gần đúng số đo góc B. 

Bài 20 Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc B= 60 0 . 

 

a) Xác định góc giữa các vectơ (BA, BC); (AB,BC); (CA,CB); (AC, BC); 

b) Tính giá trị lượng giác của các góc trên. 

Bài 21 Cho ba điểm A(3; 2), B(6; 6), C(–3; –6) 

 

Chứng minh với mọi điểm D ta có DA. BC + DB. CA + DC. AB = 0 

Bài 22 Cho A(–2:–3),B(1;1),C(3;–3) 

a) CMR tam giác ABC cân. b/Tính diện tích tam giác ABC. 

Bài 23 Cho tam giác ABC có A(4;1),B(2;4),C(2;–2) a) CMR tam giác ABC cân. b) Tính diện tích ∆ABC. 

Bài 24 Cho a = (1;3), b = (2;– 5), c 

= (4;1). a)Tìm tọa độ vectơ : u = 2a − b + 3c 

; 

b)Tìm tọa độ vectơ 

 

x sao cho : x + a = b − c c)Tìm các số k và h sao cho c = ha + kb 

 

Bài 25 a) Cho u = 2i − 3 j và u = ki + 4 j . Tìm các giá trị của k để hai vectơ u và v cùng phương. 

b) Cho các vectơ a = (– 1;4), b = (2;– 3), c = (1;6) Phân tích c theo a và b 

c) Cho 3 vectơ a = (m;m) , b = (m – 4;1) , c 

= (2m + 1;3m – 4). Tìm m để a + b cùng phương với c . 


Câu 1: (1 điểm) Cho 3 tập hợp [ 2;3] 

Đề số 1 

2; 

A = − , B = [ +∞ ) , ( 4;5) 

Tìm A ∩ B ; A ∪ B ; B ∩ C ; C \ B 

Câu 2: (1 điểm) Tìm tập xác định của các hàm số: 

C = − . 

3 2 

x + 1 

1) y = x + 3x 

+ 1 

2) y = 

x − 3 

Câu 3: 

1) (0,75 điểm) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x 

+ 3 

2 

2) (0,5 điểm) Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị của hai hàm số: y = x − 3x + 7; y = x + 4 

Câu 4: 

1) (0,75 điểm) Giải và biện luận phương trình: ( x − 2) m = x + 3 

2) (2 điểm) Giải các phương trình sau: 

2 

x + 3x + 2 4x 

− 5 

a) = 

b) x − 2 = x − 4 

c) 3x 

− 4 = 2x 

+ 5 

x + 3 4 

⎛ 1 1 ⎞ 

Câu 5: (0,75 điểm) Với mọi số dương a, b. Chứng minh rằng: ( a + b) 

⎜ + ⎟ ≥ 4 

⎝ a b ⎠ 

Câu 6: (0,75 điểm) Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng: 

 

1) AB + BC + CD + DA = 0 2) AB+ CD = AD+ 

CB 

Câu 7: (1,75 điểm) Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(1; –1). 

1) Tìm tọa độ trung điểm AB, trọng tâm tam giác ABC 

2) Tìm tọa độ điểm D sao ABCD là hình bình hành. 

3) Chứng minh tam giác ABC vuông cân tại A. 

Câu 8: (0,5 điểm) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với điểm M tùy ý ta có: 

 

MA. BC + MB. CA + MC. AB = 0 

Đáp án đề số 1 

Câu Nội dung Điểm 

2;3 2; C = − 4;5 . 

1 A = [ − ] , B = [ +∞ ) , ( ) 

A ∩ B =[ 2;3 ] 

A∪ B = [ − 2; +∞ ) 

B ∩ C = [ 2;5) 

C \ B = ( − 4;2] 

2 1) D=R 

2) Tìm tập xác định của các hàm số 

Hàm số xác định ⇔ 

x 1 0 

{ x + 3 ≥ 

− ≠ 0 

⇔ 

x 1 

{ x ≥ 3 

− 

≠ 

TXĐ: D = [ − 1; +∞ ) \ 3 

y = 

x + 1 

x − 3 

3.1 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x 

+ 3 

BBT: 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 


x +∞ 

-∞ 

y 

-∞ 

+∞ 

x = 0⇒ y = 3; y = 0 

⇒ x = − 

3 

2 

y 

4 

0.5 

3 

2 

3 

- 

2 

o 

x 

3.2 

2 

y = x − 3x + 7; y = x + 4 

2 

x x x 

− 3 + 7 = + 4 

2 

⇔ x − 4x 

+ 3 = 0 

⎡x 

= 1 ⎡ y = 5 

⇔ ⎢ ⇒ 

⎣x 

= 3 ⎢ 

⎣ y = 7 

Vậy có hai giao điểm: (1;5), (3;7) 

4.1 ( x − 2) m = x + 3 ⇔ ( m − 1) x = 2m 

+ 3 (*) 

2m 

+ 3 

• m ≠ 1: (*) có nghiệm x = 

m −1 

• m = 1: (*) ⇔ 0x 

= 5 (vô nghiệm) 

4.2a 

2 

x + 3x + 2 4x 

− 5 

= 

x + 3 4 

ĐK: x ≠ − 3 

2 

x + 3x + 2 4x 

− 5 

= 

x + 3 4 

⇔ 4 x 2 + 3x + 2 = x + 3 4x 

− 5 

( ) ( )( ) 

−23 

⇔ 5x = −23 ⇔ x = (N) 

5 

−23 

Vậy nghiệm pt là: x = 

5 

4.2b x − 2 = x − 4 

ĐK: x ≥ 4 

x − 2 = x − 4 

( x ) 2 

⇔ x − 2 = − 4 

2 

⇔ x − 9x 

+ 18 = 0 

⇔ 

⎡x 

= 6 (N) 

⎢ ⎣x 

= 3 (L) 

Vậy nghiệm phương trình: x = 6 

-2 

⇔ + + = + − 

2 2 

4x 12x 8 4x 7x 

15 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 100/219.

4.2c 3x 

− 4 = 2x 

+ 5 

5 

ĐK: x ≥ − 

2 

0.25 

⎡3x 

− 4 = 2x 

+ 5 

3x 

− 4 = 2x 

+ 5 ⇒ ⎢ 

⎣3x 

− 4 = −2x 

− 5 

0.25 

⎡x 

= 9 ( N) 

⇔ ⎢ 

⎢ 

1 

x = − ( N ) 

⎣ 5 

⎡x 

= 9 

Vậy nghiêm pt: ⎢ 

⎢ 

1 

x = − 

⎣ 5 

0.25 

5 ⎛ 1 1 ⎞ 

( a + b) 

⎜ + ⎟ ≥ 2 

⎝ a b ⎠ 

Do a, b > 0 nên 1 , 1 > 0 

a b 

Áp dụng BĐT Cô–si: a + b ≥ 2 ab 

0.25 

1 1 1 

+ ≥ 2 

a b ab 

0.25 

⎛ 1 1 ⎞ 

Nhân vế với vế ta được: ( a + b) 

⎜ + ⎟ ≥ 4 (ĐPCM) 

0.25 

⎝ a b ⎠ 

 

6.1 AB + BC + CD + DA = 0 

 

VT = AC + CA = 0 

0.25 

 

6.2 AB+ CD 

 

= AD 

 

+ CB 

 

0.25 

Ta có: AB = AD + DB; 

CD = CB + BD 

Lấy vế cộng vế ta được: 

 

AB + CD = AD + CB + DB + BD = AD+ 

CB ( đpcm) 0.25 

0.25 

7.1 Trung điểm AB: ( 0;2 ) 

⎛ 

Trọng tâm G 1 ⎞ 

⎜ ;1⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

7.2 Gọi D(x;y) 

A(–1; 1), B(1; 3), C(1; –1). 

 

AD = ( x + 1; y −1) 

x 

−∞ 

1 

4 

+∞ 

y 

−∞ 

−∞ 

 

Do ABCD là hình bình hành nên ta có: AD = BC 

⎧x 

+ 1 = 0 ⎧x 

= −1 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 

⎩y 

− 1 = − 4 ⎩y 

= −3 

Vậy D(–1; –3) 

 

AB = (2;2); AC 2; −2 

 

AC. AB = 0 ⇒ AC ⊥ AB 

 

AB = AC = 2 2 

7.3 ( ) 

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A . 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 


8 MA. BC + MB. CA + MC. AB = 0 

 

MA. 

BC = MA. MC − MA. 

MB 

 

MB. 

CA = MB. MA − MB. 

MC 

 

MC. 

AB = MC. MB − MC. 

MA 

Cộng vế với vế ta được: 

 

MA. BC + MB. CA + MC. AB = 0 

0.25 

0.25 

I. Phần chung: 

Câu 1: (1đ) 

Đề số 2 

a) Viết tập hợp = { ∈ Ζ (2 − 2)( 2 − 3 + 2) = 0} 

A x x x x bằng cách liệt kê các phần tử. 

b) Tìm (1;2) ∩[ − 3;6); [ − 4;4) ∪ (3;6) 

Câu 2: (2đ) 

a) Tìm tập xác định của các hàm số sau: y = 2x 

+ 1 và 

2 

x −1 

y = 

x + 1 

b) Tìm hàm số y = ax + b , biết đồ thị hàm số đi qua điểm A (1;2) và song song với đường thẳng 

9x 

+ 3y 

= 7 . 

c) Tìm giao điểm của đường thẳng 9x 

+ 3y 

= 7 và parabol (P) có phương trình y = x + 3x 

+ 

3 

Câu 3: (2,75đ) 

1) Giải các phương trình sau: 

3x 

− 7 2 

a) 15x 

+ 16 = 2x 

+ 3 b) 3x 

− 4 = 2x 

− 1 c) 3 

2 + = 

x −1 x −1 

2) Giải và biện luận phương trình sau: (2m + 1) x − 2m = 3x 

− 2 

Câu 4: (1,25đ) Cho tam giác ABC vuông ở A có 2 cạnh AB=7, AC=10 

 

 

a) Tính AB. 

AC 

b) Tính cosin của các góc ( AB, BC),( AB, CB) 

II. Phần riêng: 

A. Chương trình chuẩn: 

Câu 5a: (2,25đ) 

 

1) Cho 4 điểm bất kì M, N, P, Q. Chứng minh rằng MN + PQ = MQ + PN 

 

2) Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Tính AB − AC 

3) Cho tam giác ABC có A( −3;2), B(1;3), C( −1; − 6) . 

 

a) Tìm AB, AC, 

BC 

b) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A. 

c) Tính chu vi tam giác ABC. 

⎛ a ⎞⎛ b ⎞⎛ c ⎞ 

Câu 6a: (0,75đ) Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: ⎜1+ ⎟⎜1+ ⎟⎜1+ ⎟ ≥ 8 

⎝ b ⎠⎝ c ⎠⎝ a ⎠ 

B. Chương trình nâng cao: 

Câu 5b: (2,25đ) 

1) Định m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm: 

⎧− 4x + my = 1+ 

m 

⎨ 

⎩( m + 6) x + 2y = 3 + m 

2) Cho tam giác ABC có c = 35, b = 20, 0 

A = 60 

a) Tính chiều cao h a b) Tính diện tích tam giác ABC. 

3) Cho tam giác ABC, biết A(1;2), B(5;2), C(1; − 3) 

 

a) Tính AB, 

BC 

b) Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. 

2 7 


Câu 6b: (0,75đ) Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng 

a b c 1 1 1 

+ + ≥ + + 

bc ac ab a b c 


Câu Đáp án Điểm 

Câu 1a a) Cho 2x 

− 2 = 0 ⇔ x = 1 

2 

x − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1; x = 2 

Câu 

1b 

Câu 2a 

Câu 

2b 

Câu 2c 

Vậy A = { 1;2} 

b) ( 1;2 ) ∩[ − 3;6) = (1;2) 

[ − 4;4) ∪ (3;6) = [ − 4;6) 

−1 

a) • 2x 

+ 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 

2 

−1 

D = [ ; +∞ ) 

2 

• x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ − 1 

D = R \ − 1 

{ } 

b) Vì đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng 9x 

+ 3y 

= 7 nên 

−9 

a = = −3 

3 

Vì hàm số qua A(1;2) 

nên ta có 2 = a.1+ b ⇔ 2 = − 3.1+ b ⇔ b = 5 

Vậy hàm số là y = − 3x 

+ 5 

c) Phương trình hoành độ giao điểm: 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

Câu 

3.1a 

⎡ ⎛ 7 ⎞ 

0 

9 7 2 7 2 18 

⎢x 

= ⎜ y = ⎟ 

− ⎝ 3 ⎠ 

x + = x + 3x + ⇔ x + x = 0 ⇔ ⎢ 

3 3 3 3 ⎢ ⎛ 61 ⎞ 

⎢x 

= − 6 ⎜ y = ⎟ 

⎣ ⎝ 3 ⎠ 

7 61 

Vậy giao điểm là 

⎛ ⎜0; ⎞ ⎟; ⎛ ⎜ −6; 

⎞ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

a) 

⎧ −3 

⎧2x 

+ 3 ≥ 0 

⎪x 

≥ 

PT ⇔ ⎨ 

⇔ 2 

2 ⎨ 

⎩15 x + 16 = (2x 

+ 3) ⎪ 2 

⎩15x + 16 = 4x + 12x 

+ 9 

⎧ −3 

3 ⎪ 

x ≥ 

⎧ − 

2 

⎪x 

≥ 

⎪ 

⇔ ⎨ 2 ⇔ ⎨⎡x 

= −1 

⎪ 2 

4 − 3 − 7 = 0 ⎪⎢ 

⎩ x x 

⎢ 

7 

⎪ x = 

⎩⎣ 4 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

Vậy phương trình có nghiệm là x = –1; x = 7 4 

0.25 


Câu 

3.1b 

Câu 

3.1c 

⎧ 1 

⎧2x 

−1 ≥ 0 

x ≥ 

⎪ 

⎪ 2 

b) ⎨⎡3x 

− 4 = 2x 

−1 

⇔ ⎨ 

⎢ 

⎡x 

= 3 

⎪ 3 − 4 = − 2 + 1 ⎪ 

⎩⎣ 

x x 

⎪ 

⎢ 

⎩⎣x 

= 1 

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = 3 

2 

c) Đk: x −1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 1 

Phương trình trở thành: 

2 2 

3x − 7 + 2( x + 1) = 3( x −1) ⇔ 3x − 5x 

+ 2 = 0 

⎡x 

= 1 ( loai) 

⇔ ⎢ 

⎢ 

2 

x = 

⎣ 3 

0,25 

0,25 

0.25 

0.25 

0.25 

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 3 

Câu (2m + 1) x − 2m = 3x − 2 ⇔ (2m − 2) x = 2m − 2 (1) 

3.2 Nếu 2m 

− 2 ≠ 0 ⇔ m ≠1thì PT có nghiệm duy nhất x = 1 

Nếu 2m 

− 2 = 0 ⇔ m = 1thì (1) trở thành 0x = 0 , PT có vô số nghiệm. 

Kết luận: 

Với m ≠ 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. 

Với m = 1 thì phương trình có vô số nghiệm. 

 

 

Câu 4 a) AB. AC = AB . AC cos( AB, AC) 

0 

= 7.10. c os90 = 0 

 

0 

b) Ta có ( AB, BC) = 180 − ABC 

 

cos( AB, BC) 

= − 

− cos ABC = 

7 

149 

Ta có x −∞ 1 +∞ 7 

4 

y 

. Nên cos( AB, CB) 

= 

−∞ 

−∞ 

149 

 

Câu 5a 1) MN + PQ = MQ + PN 

 

Ta có VT= MQ + QN + PN + NQ = MQ + PN + 0 = VP 

 

Vậy MN + PQ = MQ + PN 

 

2) Ta có AB − AC = CB nên AB − AC = CB = CB = a 

 

 

3) a) AB = (4;1) , AC = (2; −8) 

, BC = ( −2; −9) 

 

b) Ta có AB. AC = 4.2 + 1.( − 8) = 0 ⇒ tam giác ABC vuông tại A 

Câu 6a 

c) AB = 17 , AC = 2 17 , BC = 85 

Vậy chu vi tam giác là: 17 + 2 17 + 85 = 3 17 + 85 

Vì 3 số a, b, c dương nên áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có 

1 + a a 

2 

b 

≥ b 

; 1+ b 

2 b 

c 

≥ c 

; 1 + c ≥ 

a 

2 

⎛ a ⎞⎛ b ⎞⎛ c ⎞ abc 

Nhân vế với vế ta có ⎜1+ 1 1 8 

b 

⎟⎜ + + ≥ 

c 

⎟⎜ 

a 

⎟ 

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ abc 

⎛ a ⎞⎛ b ⎞⎛ c ⎞ 

Từ đó suy ra ⎜1+ ⎟⎜1+ ⎟⎜1+ ⎟ ≥ 8 

⎝ b ⎠⎝ c ⎠⎝ a ⎠ 

Câu 

−4 

m 

2 

5b.1 1) D = = −m − 6m − 8 = 0 ⇔ m = − 2; m = −4 

m + 6 2 

c 

a 

0.25 

0.25 

0.25 

0.5 

0.25 

0.25 

0.25 

0.5 

0.25 

0.5 

0.5 

0.25 

0.25 

0.75 


Câu 

5b.2 

Câu 

5b.3 

Câu 

6b 

1+ 

m m 

= = − − + 2 = 0 ⇔ = 1; = −2 

3 + m 2 

2 

Dx 

m m m m 

− 4 m + 1 

= = −11 − 18 = 0 ⇔ = − 2; = 9 

m + 6 3+ 

m 

2 

Dy 

m m m m 

Hệ phương trình có vô số nghiệm ⇔ D = D = D = 0 ⇔ m = − 2 

2 2 2 2 2 

2) a) Ta có a = b + c − 2 bc.cos A = 20 + 35 − 20.35 = 925 

Vậy a ≈ 30,41 

3 

20.35. 

2 S bc.sin A 

h = 2 

a 

19,93 

a 

= a 

≈ 30,41 

≈ 

1 1 

b) S = a. h a 

≈ .30, 41.19,93 ≈ 303,04 

2 2 

 

3) a) AB = (4;0) 

 

BC = ( −4; −5) 

b) Ta có 

 

⎧xD 

− 1 = − 4 ⎧xD 

= −3 

AD = BC ⇔ ( xD 

−1; yD 

− 2) = ( −4; −5) 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 

⎩yD 

− 2 = − 5 ⎩yD 

= −3 

Vậy D( −3; − 3) 

Vì 3 số a, b,c dương nên áp dụng bất đẳng thức Cô–si, ta có: 

a b 1 a c 1 b c 1 

+ ≥ 2 ; + ≥ 2 ; + ≥ 2 

2 

2 

2 

bc ac c bc ab b ac ab a 

a b c 1 1 1 

Cộng vế với vế ta được: 2( + + ) ≥ 2( + + ) 


a b c 1 1 1 

Từ đó suy ra + + ≥ + + 


x 

y 

0.25 

0.5 

0.25 

0.25 

0.5 

0.25 

0.25 

0.75 

Đề số 3 

Câu 1. (1đ) Xác định các tập hợp sau: 

a) [ −3;0] ∩ ⎡ ⎣ −1;6 

) b) ⎡− ⎣ 5;1) ∪ ( 0;1) 

c) R \ (3; +∞ ) 

Câu 2 (1,75đ) 

1) Tìm tập xác định của các hàm số sau: 

3 

1 

a) y = 3x + 4x 

− 1 b) y = + 

x − 2 

x + 1 

2) a) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x 

+ 3 . 

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 2x 

+ 3 và y = 3. 

Câu 3 (2,75đ) 


a) 3x + 1 = 2x 

− 1 b) 2x − 2 = x − 1 

x 

c) 

2x 

+ 1 = −1 

m − 2 x = 3m 

− 1 

2) Giải và biện luận phương trình theo tham số m: ( ) 

4 

Câu 4 (0,75đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y = x + , x > 0 

x 

Câu 5 ( 2,25đ) 

 

1) Cho 6 điểm A,B,C,D,E,F . Chứng minh rằng: AC + BD + EF = AF + BC + ED . 

2 


2) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Hãy tính BA + AC . 

3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A( 1,3 ), B ( 3, 2) 

− − . 

a) Hãy tìm tọa độ trung điểm của đoạn thằng AB. 

b) Tìm tọa độ điểm D là điểm đối xứng của A qua B. 

Câu 6 (1,25đ) 

 

1) Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC=3cm, BC=5cm. Tính CA 

 

. CB . 

 

A 1,3 , B 4,2 . Hãy chứng tỏ rằng OA ⊥ AB 

2) Trong mặt phẳng Oxy cho ( ) ( ) 

CÂU 1 a) ⎡ 

⎣−3;0 ⎤ 

⎦ ∩ ⎡ 

⎣− 1;6 ) = ⎡ 

⎣−1;0 

⎤ 

⎦ 

b) ⎡ 

⎣−5;1) ∪ ( 0;1) = ⎡ 

⎣ −5;1) 

c) R \ (3; +∞ ) = ( −∞,3⎤ 

⎦ 

CÂU 2 1) 

CÂU 3 

a) D = R 

x 1 0 

⎨ 

⎧ + ≥ 

⎩x 

− 2 ≠ 0 


b) ⇒ D = ⎡− 1, +∞) \ { 2} 

2) a) A( 0;3 ), B( 1;5 ) 

⎣ 

Biễu diễn lên mặt phẳng tọa độ Oxy 

b) Tọa độ giao điểm của hai đồ thị (0; 3) 

−1 

1) a) Nếu 3x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ thì 3x + 1 = 2x 

−1 

⇔ x = − 2 ( L) 

3 

−1 

Nếu 3x 

+ 1 < 0 ⇔ x < thì − (3x + 1) = 2x 

− 1 ⇔ x = 0 ( L) 

3 

Vậy phương trình vô nghiệm 

⎧x 

−1 ≥ 0 

b) 2x − 2 = x − 1 ⇔ ⎨ 

2 

⎩2x 

− 2 = ( x −1) 

⎧x 

≥ 1 

⎪ 

⇔ ⎨ ⎡ x = 1 

⎪ ⎢ 

⎩⎣x 

= 3 

Vậy nghiệm của phương trình x = 1 hoặc x = 3 

x 

c) 

2x 

+ 1 = −1 

−1 

ĐK x ≠ 

2 

2 

(1) x 1( 2x 

1) 

2 

(1) 

⇒ = − + ⇔ x + 2x + 1 = 0 ⇔ x = − 1 

2 

Vậy nghiệm của PT x = − 1 

3m 

−1 

2) + m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ; PT có nghiệm duy nhất x = 

m − 2 

+ m − 2 = 0 ⇔ m = 2 ; thế m = 2 vào PT ta được 0x = 5 . Vậy PT Vô nghiệm 

3m 

−1 

Kết luận + m ≠ 2 ; PT có nghiệm duy nhất x = 

m − 2 

+ m = 2 ; PT vô nghiệm 

ĐIỂM 

0,25 

0,25 

0,5 

0,25 

0,5 

0,5 

0,5 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 


CÂU 4 

4 

Vì x > 0 nên x 

> 0 

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số x x 

4 

; ta có : 

Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 2. Vậy GTNN f ( x) 

= 4 khi x = 2 

Câu 5 1) 

 

AC + BD + EF = AF + BC + ED 

⇔ AC − AF + BD − BC + EF − ED = 0 

 

⇔ FC + CD + DF = 0 

 

⇔ FD + DF = 0 ⇔ 0 = 0( ) 

 

Vậy AC + BD + EF = AF + BC + ED 

Câu 6 

x 

−∞ 

+∞ 

1 

4 

y 

2) −∞ 

−∞ 

 

⇒ BA + AC = BC = a 

3) a) Giả sử I ( x y ) 

I 

I 

4 

x + 

x 4 4 

≥ x. = 2 ⇔ x + ≥ 2 

2 x x 

(đpcm) 

, là tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB 

x A 

+ x B y A 

+ 

x 

y B 

I 

= ; yI 

= 

2 2 

⎛ 1 ⎞ 

⇒ I ⎜1, 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

D x , y là tọa độ của điểm đối xứng của A qua B 

b) Giả sử ( ) 

D 

D 

x = 2 x − x ; y = 2y − y 

D B A D B A 

⇒ D ( 7, − 7) 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

1) cosC = 

3 

5 

0,25 

 

CA. CB = CA . CB cosC 

= 9 

 

0,25 

2) OA = ( 1;3 ); AB = ( 3; −1) 

 

0,25 

OA. AB = 1.3 + 3. ( − 1) 

= 0 

Vậy OA 

⊥ AB 

 

0,25 

0,25 

Đề số 4 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 

2 2 

Câu I (2,5 điểm) Cho phương trình: x − 2mx + m − 2m 

+ 1 = 0 (1) 

1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. 

2) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1, x2 

sao cho biểu thức T = x1x2 + 4( x1 + x2) 

đạt giá trị nhỏ 

nhất 

Câu II (2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 6), B(8; 0) và C(1; –3). 

Gọi I là trung điểm của AB. 

 

1) Tìm tọa độ của I, tọa độ của AB và tọa độ trọng tâm tam giác ABC. 

 

2) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 2010. OM = 2011. OA + OB (O là gốc tọa độ). 

Câu III (2,0 điểm) 

1) Giải phương trình: 5x 

− 1 = x − 5 


1 1 1 

1 

2) Cho ba số không âm x, y, z thoả mãn + + = 2 . Chứng minh rằng xyz ≤ . 

1+ x 1+ y 1+ 

z 

8 

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) 

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) 

A. Theo chương trình Chuẩn 

Câu IVa (3,0 điểm). 

⎧ 1 3 

− = 4 

⎪ x − 1 y + 1 

1) Giải hệ phương trình: 

⎨ 

⎪ 3 2 

− = 5 

⎪⎩ 

x − 1 y + 1 

2) Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB = 2a, đáy nhỏ BC = a và đáy lớn AD = 3a. 

Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng BM ⊥ AC . 

B. Theo chương trình Nâng cao 

Câu IVb (3,0 điểm). 

⎧( m + 1) x − y = m + 1 

1) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: ⎨ 

⎩x + ( m − 1) y = 2 

Khi đó hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x + y . 

2) Cho tam giác ABC. Lần lượt lấy các điểm M, N, P trên các đoạn thẳng AB, BC, CA sao cho 

1 1 1 

 

AM = AB; BN = BC; 

CP = CA. Chứng minh rằng AN + BP + CM = 0 . 

3 3 3 


Câu Hướng dẫn chấm Điểm 

I 2,5 

1) Để phương trình có nghiệm thì: ∆ ' ≥ 0 ⇔ 2m −1 ≥ 0 ⇔ m ≥ 1 

2 

1,5 

2) Với m ≥ 1 theo định lí Viét ta có 

2 

( ) 

T = x x + 4 x + x = m + 6m + 1 = f ( m) 

. 

1 2 1 2 

2 

⎧ ⎪x1 + x2 

= 2m 

⎨ 2 

. 

⎪⎩ x1x2 

= m − 2m 

+ 1 

⎡1 ⎞ 

Lập BBT của f ( m) trên ⎢ ; +∞ ⎟ ta tìm được GTNN của T bằng 11 

⎣2 

⎠ 

4 khi m = 1 . 0,5 

2 

II 2,5 

 

AB 8; −6 

; G(3; 1) 3x 0,5 

1) I(4; 3); ( ) 

2) Tam giác OAB vuông tại O nên AB = 10 suy ra OI = 5 

 

Suy ra OM OM 2011 

= = . 2 OI = 2011 .5 = 2011 = R 

2010 1005 201 

0,5 

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm O bán kính R = 2011 

201 . 0,5 

III 2,0 

1 

1) 5x − 1 = x − 5. ĐKXĐ x ≥ 

5 

0,25 

⎧ 

2 

⎪ 2 

x x 

5x 1 ( x 5) 

⎧ 

5 − 1 = − 5 ⇔ 

− = − 

⇔ 

x − 15x 

+ 26 = 0 

⇔ x = 13 

0,5 

⎨ ⎨ 

⎪⎩ x ≥ 5 

⎩x 

≥ 5 

KL: Phương trình có một nghiệm x = 13 

0,25 

0,5 


y z 

2) Từ giả thiết ta có 

1 = 2 − 1 − 1 = + 

1+ x 1+ y 1+ z 1+ y 1+ 

z 

Áp dụng BĐT Côsi ta có: 

Tương tự ta có: 

1 y z 

≥ 2 . . Dấu “=” xảy ra khi y = z 

1+ x 1+ y 1+ z 

1 x z 

≥ 2 . . Dấu “=” xảy ra khi x = z 

1+ y 1+ x 1+ z 

1 x y 

≥ 2 . . Dấu “=” xảy ra khi x = y 

1+ z 1+ x 1+ y 

0.25 

Vì hai vế không âm nên nhân các BĐT trên vế theo vế ta được đpcm. 

0.25 

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z. 

IVa 3,0 

1) ĐK: x ≠ 1; y ≠ − 1 . 

0,5 

Đặt u = 1 

x − 1 

, v = 1 

y + 1 

. Ta được: ⎧u − 3v = 4 ⎧u 

= 1 

⎨ ⇔ ⎨ 

⎩3u − 2v = 5 ⎩v 

= −1 

x −∞ 1 +∞ 

1 

Thay x − 1 

= 1; 4 

y = –1 ⇒ Nghiệm của hpt là: (2; –2) 

−∞ 

−∞ 

2) 

 

AC. BM = AB + BC BC + CM 

= 

( )( ) 

 

⎛ CB + BA + AD ⎞ 

AB + BC BC + 

⎜ 

2 ⎟ 

⎝ 

⎠ 

( ) 

1 ⎛ 2 2 ⎞ 

3a 

AB BC BC. 

AD 

Suy ra: đpcm 2 

⎜ − + + ⎟ 

IVb 3,0 

1) D = m 2 , D x = m 2 + 3; D y = m + 1 

Để hệ có nghiệm duy nhất thì: D ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 

1,0 

2 

m +1 m + 1 

Khi m ≠ 0 thì nghiệm của hệ: x = ; y = 

2 

m m 2 0,5 

⇒ y + x = m 2 

+ m + 2 

có giá trị nhỏ nhất là 7 2 

m 

8 đạt đựơc khi m = –4 0,5 

 

2). Ta có: AN + BP + CM = 

0,5 

 

= ( AB + BN ) + ( BC + CP) + ( CA + AM ) = ( AB + BC + CA) + 1 + 

( AC + CB + BA) 

= 0 0,5 

3 

Đề số 5 

I. PHẦN CHUNG (8 điểm) 

Câu 1: (2đ) 

2 

a) Cho parabol (P): y = ax + bx + c . Xác định a, b, c biết parabol (P) cắt trục tung tại điểm có 

tung độ bằng 3 và có đỉnh S(–2; –1). 

b) Vẽ đồ thị hàm số y = x + 4x 

+ 3 . 

Câu 2: (2đ) Giải các phương trình sau: 

2 

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 109/219. 

2a 

a 

0.25 

0.25 

1,0 

0,5 

0,5 

0,5

a) 2x − 3 = x − 2 

b) x + 2 = 2x 

− 3 

2 

Câu 3: (1đ) Giải và biện luận phương trình sau theo m: m x − 6 = 4x + 3m 

1 

Câu 4: (1đ) Cho ∆ ABC có G là trọng tâm và M là điểm trên cạnh AB sao cho MA = MB . 

2 

1 

Chứng minh: GM = CA . 

3 

Câu 5: (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(–1; 5), B(3; 3), C(2; 1) 

a) Xác định điểm D sao cho OABC là hình bình hành. 

b) Xác định điểm M trên Oy sao cho tam giác AMB vuông tại M. 

II. PHẦN RIÊNG (2điểm) 

Thí sinh chỉ được làm một trong hai câu (câu 6a hoặc 6b) 

Câu 6.a: (Chương trình Chuẩn) 

a + b ab + 1 ≥ 4ab 

. 

1) (1đ) Cho a, b là hai số dương. Chứng minh ( )( ) 

2) (1đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại B. Biết A(1; –1), B(3; 0) và đỉnh C có tọa độ dương. 

Xác định tọa độ của C. 

Câu 6.b: (Chương trình Nâng cao) 

1) (1đ)Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: mx − m + 3 = 1 

x + 1 

2) (1đ) Chứng minh: 

0 0 0 0 0 

1 2sin15 cos15 1 2sin15 cos15 2 cos15 

+ + − = 


Câu Ý Nội dung Điểm 

I. 1 Xác định hệ số a,b,c của parabol (P). (1 đ ) 

(P) cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 3 suy ra c = 3 

(P) có đỉnh S(–2; –1) suy ra: 

⎧ b 

⎪− 

= −2 

⎧ b = 4 

⎨ 2a 

⇔ ⎨ 

a = 1 

⎪− 1 = 4a 

− 2b 

+ 3 ⎩ 

⎩ 

0,25 

0,75 

2 

2 

Vẽ parabol (P) y = x + 4 x + 3 

(1 đ ) 

+ Đỉnh của (P): S(– 2; –1) 

0.25 

+ Trục đối xứng của (P): x = – 2 

+ a = 1 > 0: Bề lõm quay lên phía trên. 

+ (P) cắt trục hoành tại các điểm (– 1; 0), (– 3; 0) 

+ Các điểm khác thuộc (P): A(0; 3), B(– 4; 3) 

0,25 

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 110/219.

-4 0.5 

II. (2đ ) 

a 

Giải phương trình 2x − 3 = x − 2 (1) 

(1đ ) 

Điều kiện: x ≥ 2 

0,25 

Với ĐK trên thì PT (1) ⇔ 2x – 3 = (x – 2) 2 0,25 

2 2 

⇔ 2x − 3 = x − 4x + 4 ⇔ x − 6x 

+ 7 = 0 

0,25 

⇔ x = 3 − 2 ∨ x = 3 + 2 

Đối chiếu với điều kiện, PT có nghiệm duy nhất x = 3 + 2 

0,25 

b Giải phương trình x + 2 = 2x 

− 3 (2) (1đ) 

x ≥ − 2 (2) ⇔ x + 2 = 2x – 3 ⇔ x = 5 (thỏa điều kiện đang xét.) 

Vậy x = 5 là một nghiệm của pt 

x < − 2 , (2) 

x 

y 

−∞ 

−∞ 

1 

4 

x 

+∞ 

−∞ 

1 

− − 2 = 2x 

− 3 ⇔ x = ( không thỏa điều kiện đang xét) 

3 

Vậy pt đã cho có một nghiệm x = 5 

III. Cho a,b là hai số dương.Chứng minh ( )( ) 

IV. 

0,5 

0,5 

a + b ab + 1 ≥ 4ab 

(1đ) 

a > 0, b > 0 ⇒ ab > 0 

0,25 

Theo Côsi: a + b ≥ 2 ab, ab + 1 ≥ 2 ab 

0,5 

⇒ ( a + b)( ab + 1) ≥ 4ab 

0,25 

1 

Chứng minh GM = CA 

3 

(1đ) 

A 

M 

G 

0,25 

C 

I 

B 


Gọi I là trung điểm BC thì ta có :GM = AM − AG = 1 AB − 

2 AI 

3 3 

0,25 

Mà AI = 1 

( AB + 

AC) 

2 

0,25 

1 1 1 1 

=> GM = AB − ( AB + AC) 

= − AC = 

CA 

3 3 3 3 

0,25 

V. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(–1; 5), B(3; 3), C(2; 1) (2đ ) 

a Xác định điểm D sao cho OABC là hình bình hành. (1đ ) 

 

 

Gọi D(x;y) thì ta có: AD = ( x + 1; y − 5), BC = ( −1; −2) 

0,25 

 

ABCD là hinh bình hành ⇔ AD = BC 

0,25 

⎧ 

⇔ 

x + 1 = −1 

⎧ 

⎨ ⇔ 

x = −2 

⎨ Vậy D(–2; 3) 

0,5 

⎩y 

− 5 = − 2 ⎩y 

= 3 

b Xác định điểm M trên Oy sao cho tam giác AMB vuông tại M (1đ ) 

 

 

M nằm trên Oy nên M(0; y), AM = (1; y − 5), BM = ( −3; y − 3) 

0,25 

 

△AMB 

vuông tại M ⇔ AM. BM = 0 

⇔ –3 + (y – 5)(y – 3) = 0 

0,25 

⇔ y 2 – 8y +12 = 0 ⇔ y = 6; y = 2 0,25 

Vậy M(0;2), hoặc M(0; 6) 0,25 

VIa 1 Giải và biện luận phương trình: m 2 

x − 6 = 4 x + 3 m (1) (1đ ) 

(1) ⇔ (m 2 – 4)x = 3(m + 2) 0,25 

m = 2: (1) ⇔ 0x = 12: PT vô nghiệm 0,25 

m = –2: (1) ⇔ 0x = 0: PT nghiệm đúng với mọi x ∈ R 0,25 

3 

m ≠ ± 2 : PT có một nghiệm: x = 

m − 2 

0,25 

VIa 2 Xác định tọa độ của C (1 đ ) 

 

Gọi C(x;y) với x>0, y>0, ta có AB = (2;1), BC = ( x − 3; y) 

0,25 

∆ABC vuông cân tại B nên ta có: 

 

⎧AB 

⊥ BC ⎧⎪ AB. BC = 0 x y 

⎨ ⇔ ⎨ 

AB = BC 

2 2 

⎩ 

⎪⎩ 

AB = BC 

⎧2( − 3) + = 0 

2 2 

⎩5 = ( x 3) y 

0,5 

Giải ra x = 2; y=2 Vậy C(2; 2) 0,25 

VIb 1 

Giải và biện luận phương trình: mx − m + 3 (1,0 đ) 

= 1 (1) 

x + 1 

Điều kiện x ≠ –1, (1) ⇔ mx – m +3 = x + 1 ⇔ (m – 1)x = m – 2 (2) 0,25 

Với m = 1 , pt (2) vô nghiệm, nên pt (1) vô nghiệm 0,25 

m − 2 

Với m ≠ 1, pt (2) có nghiệm duy nhất x = , nghiệm này là nghiệm của 

m − 1 

(1) khi m 2 3 

1 m m −1 2 

0,25 

Vậy m ≠ 1 và m ≠ 3 m + 4 

: PT có nghiệm duy nhất x = 

2 m −1 

m = 1 hoặc m = 3 2 : PT vô nghiệm 0,25 

VIb 2 

Chứng minh 

0 0 0 0 0 

1+ 2sin15 cos15 + 1− 2sin15 cos15 = 2 cos15 (*) (1,0đ) 


VT (*) = 

2 0 2 0 0 0 

sin 15 + cos 15 + 2sin15 cos15 + 

2 0 2 0 0 0 

+ sin 15 + cos 15 − 2sin15 cos15 

2 2 

= ( 0 0 ) ( 0 0 

sin15 + cos15 + sin15 − cos15 ) 

0 0 0 0 

= sin15 + cos15 + sin15 − cos15 

0 0 0 0 

0 

= sin15 + cos15 − sin15 + cos15 = 2 cos15 

(Vì 0 < sin15 0 < cos15 0 ) 

0,25 

0,25 

0,5 

A. PHẦN CHUNG (7 điểm) 

2 

Đề số 6 

Bài 1: (2 điểm) Cho hàm số y = − x + 2x 

= 3. 

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số. 

b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng d : y = −x 

− 1 với đồ thị (P). 

Bài 2: (2 điểm) Cho phương trình ( m + 1) x − (2m + 1) x + m − 2 = 0 . 

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 

b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = –2. Tìm nghiệm còn lại. 

Bài 3: (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho A(–1; 1), B(1; 3), C(2; 5). 

a) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác đó. 

b) Tìm toạ độ điểm M trên trục hoành sao cho tam giác MAB vuông tại M. 

2 

2 2 2 

Bài 4: (1 điểm) Cho các số thực x, y, z đều khác 0 thoả hệ thức x + y + z = 1. Chứng minh: 

2 2 2 2 2 2 

x y y z z x 

+ + ≥ 1 

2 2 2 

z x y 

Đẳng thức xảy ra khi nào? 

B. PHẦN RIÊNG (3 điểm) 

I. Chương trình cơ bản 

Bài 5a: (2 điẻm) Giải các phương trình sau: 

2 

2 

a) x − 3 x −1 − 1 = 0 

b) x + x + 2 = x + 1 

Bài 6a: (1 điểm) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, 

 

CD, MN. Chứng minh GA + GB + GC + GD = 0 . 

II. Chương trình nâng cao 

Bài 5b: (2 điểm) 

2 

a) Tìm a đê phương trình x + 2ax 

− 4 = 0 có hiệu các nghiệm x , x bằng 6. 

2 2 

b) Giải phương trình: 5 2x + 3 = 2x 

− 3 . 

Bài 6b: (1 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC 

 

sao cho NC = 2NA. K là trung điểm của MN. Chứng minh AK = 1 AB + 

1 AC . 

4 6 


Bài Nội dung Điểm 

1.a Toạ độ đỉnh I(1; 4) 

Bảng biến thiên 

Đồ thị 

x 

y 

−∞ 

−∞ 

1 

4 

+∞ 

−∞ 

1 2 

0,5 


4 

3 

y 

−1 

O 1 3 

x 

0,5 

1.b 2 

2 

Xét phương trình: − x + 2x + 3 = −x 

− 1 ⇔ − x + 3x 

+ 4 = 0 

⎡ x = −1 

⇔ 

⎢ 

⎣x 

= 4 

Vậy có 2 giao điểm: (–1; 0), (4; –5) 

0,5 

0,5 

2.a 

⎧a ≠ 0 

PT có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ⎨ 

⎩∆ 

> 0 

0,5 

⎧m 

≠ −1 

⎧m 

≠ −1 

⎪ 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 9 

⎩8m 

+ 9 > 0 

⎪ 

m > − 

0,5 

⎩ 8 

2.b 

2 

4 0,5 

x 1 

= − 2 là 1 nghiệm của PT ⇒ ( m + 1)( −2) − (2m + 1)( − 2) + m − 2 = 0 ⇔ m = − 

9 

3.a 

m − 

x1x 

2 

= = − ⇒ x 

2 

= 

m + 1 5 5 

 

0,5 

AB = (2;2), AC = (3;4) ⇒ AB, 

AC không cùng phương 

⇒ A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác 

0,5 

AB = 2 2, AC = 5, BC = 5 ⇒ Chu vi ∆ABC là 2 2 + 5 + 5 

3.b Gọi 

 

M(x; 0) là điểm 

 

nằm trên Ox 

MA = ( −1 − x;1), MB(1 − x;3) 

 

∆MAB vuông tại M ⇔ MA. MB = 0 

⇔ ( −1 − x)(1 − x) + 1.3 = 0 ⇔ x 2 + 2 = 0 (vô nghiệm) 

Vậy không có điểm M nào trên Ox thoả mãn. 

4 2 2 2 

Trước hết chứng minh: a + b + c ≥ ab + bc + ca (1) 

5a.1 

2 2 2 

Thật vậy, (1) ⇔ ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) ≥ 0 (luôn đúng) 

Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c. 

xy yz zx 

Áp dụng (1) với a = , b = , c = , ta có: 

z x y 

⇔ 

2 2 2 2 2 2 

x y y z z x xy yz yz zx zx xy 

+ + ≥ . + . + . 

2 2 2 

z x y z x x y y z 

2 2 2 2 2 2 

x y y z z x 2 2 2 

+ + ≥ y + z + x ≥ 1 

2 2 2 

z x y 

Đẳng thức xảy ra ⇔ xy = yz = zx ⇔ x = y = z = 

z x y 

x 

2 

− 3 x −1 − 1 = 0 (1) 


1 

3 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5

5a.2 

• Nếu x ≥ 1 thì (1) trở thành: 

• Nếu x < 1 thì (1) trở thành: 

Vậy tập nghiệm của PT là S = { − 4;1;2 } 

2 

x + x + 2 = x + 1 (2) 

Bình phương 2 vế ta được: x + x + 2 = ( x + 1) ⇔ x = 1 

Thử lại, x = 1 thoả mãn (2). Vậy PT có nghiệm x = 1. 

 

6a GA + GB + GC + GD = 2GM 

+ 2GN 

 

= 2( GM + GN) = 0 

5b.1 

5b.2 

6b 

2 

2 2 ⎡ x = 1 

x − 3( x −1) − 1 = 0 ⇔ x − 3x 

+ 2 = 0 ⇔ 

⎣ ⎢ x = 2 

2 2 ⎡ x = 1 ( loaïi) 

x + 3( x −1) − 1 = 0 ⇔ x + 3x 

− 4 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= −4 

2 2 

∆′ = a + 4 > 0, ∀ a ⇒ PT luôn có 2 nghiệm phân biệt. 

Hiệu 2 nghiệm x , x bằng 6 ⇔ x − x = ⇔ ( x − x ) 2 = 36 

Vậy a = ± 5 

1 2 

2 

1 2 1 2 

1 2 

6 

1 2 

⇔ ( x + x ) − 4x x = 36 ⇔ 4a + 16 = 36 ⇔ a = ± 5 

Đặt t = 2x + 3, t ≥ 3 

2 

PT trở thành: 

2 2 ⎡ t = −1 ( loaïi) 

5t = t − 6 ⇔ t − 5t 

− 6 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣t 

= 6 

2 2 

t = 6 ⇒ 2x + 3 = 6 ⇔ 2x + 3 = 36 ⇔ x = ± 4 

Vậy PT có hai nghiệm x = 4; x = − 4 . 

1 

AK = ( AM + 

 

AN ) 

2 

1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 

= ⎜ AB + AC ⎟ = AB + AC 

2 ⎝ 2 3 ⎠ 4 6 

2 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

Đề số 7 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm ). 

Câu I (1 điểm). Xác định tập hợp sau và biểu diễn kết quả trên trục số: (–1; 7) \ [2; 3] 

Câu II (2 điểm). 

2 

1. Xác định các hệ số a, b của parabol y = ax + bx − 3 , biết rằng parabol đi qua điểm A( 5; –8) 

và có trục đối xứng x = 2. 

2. Vẽ đồ thị hàm số y = − x + 4x 

− 3 . 

Câu III ( 2 điểm ). 

1. Giải phương trình: 2x + 2 = x − 3. 

2 

2 

2. Giải và biện luận phương trình: m x − 3 = 9x + m theo tham số m. 

Câu IV ( 2 điểm ). 

1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. 

 

Chứng minh: AB + CD = 2. MN 

2. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A (–1; 0 ), B (2; 3). Tìm tọa độ điểm N trên trục tung sao 

cho N cách đều hai điểm A và B. 

II. PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ). Học sinh chỉ được chọn một trong hai câu Va hoặc Vb 

Câu Va. ( chương trình chuẩn) 

1. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: f ( x) = x + 2 − 2 − x 


2. Ba bạn An, Bình, Chi đi mua trái cây. Bạn An mua 5 quả cam, 2 quả quýt và 8 quả táo với 

giá tiền 95000 đồng. Bạn Bình mua 1 quả cam, 5 quả quýt và 1 quả táo với giá tiền 28000 đồng. 

Bạn Chi mua 4 quả cam, 3 quả quýt và 2 quả táo với giá tiền 45000 đồng. Hỏi giá tiền mỗi quả 

cam, quýt, táo. 

1 

3. Cho cos a = . Tính giá trị của biểu thức P = 3sin 

2 a + 2 cos 

2 a . 

5 

Câu Vb. ( chương trình nâng cao) 

1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: f ( x) = x − 2x 

+ 3 trên khoảng (1; + ∞ ). 

⎛ a ⎞⎛ b ⎞⎛ c ⎞ 

2. Chứng minh rằng, với 3 số a, b, c dương, ta có: ⎜ + a⎟⎜ + b⎟⎜ + c⎟ 

≥ 8 abc 

⎝ b ⎠⎝ c ⎠⎝ a ⎠ 

1 

3. Cho sin a = ( 90 0 ≤ a ≤ 180 0 ). Tính cosa và tana. 

5 



I 1,0 điểm. 

+ ( –1; 7) \ [ 2; 3] = ( –1; 2 ) ∪ ( 3; 7) 

+ Biểu diễn kết quả đúng, có chú thích 

II 

III 

IV 

II. 1 

II. 2 

III. 1 

III. 2 

IV. 1 

IV. 2 

2,0 điểm 

1,0 điểm 

⎧− 8 = 25a 

+ 5b 

− 3 

⎪ 

+ Từ giả thiết ta có hệ PT: ⎨ − b 

⎪ = 2 

⎩ 2a 

⎧ a = −1 

⇔ ⎨ 

⎩ b = 4 

+ KL 

1,0 điểm 

+ Đỉnh I (2; 1), trục đối xứng x = 2, bề lõm quay xuống 

+ Lập bảng giá trị ( có giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ ) 

+ Vẽ đúng đồ thị 

2,0 điểm 

1,0 điểm 

+ Đk: x ≥ –1 

+ Bình phương 2 vế ta có PT hệ quả: 2x + 2 = x 2 – 6x + 9 

⇔ x 2 – 8x + 7 = 0 ⇔ x = 1 ( thỏa đk ) hoặc x = 7 ( thỏa đk ) 

+ Thử lại và kết luận PT có 1 nghiệm x = 7 

1,0 điểm 

PT ⇔ ( m 2 – 9 ) x = m + 3 

1 

+ Nếu m ≠ ± 3 PT có nghiệm duy nhất x = m − 3 

+ m = 3 : PT vô nghiệm, m = –3 PT nghiệm đúng với mọi x ∈ R 

+ KL 

2,0 điểm 

1,0 điểm 

 

+ AB = AM + MN + NB ( 1 ), CD = CM + MN + ND ( 2 ) 

+ Cộng ( 1 ) và ( 2 ), giải thích do M, N trung điểm, suy ra kết quả 

1,0 điểm 

+ N ∈ Oy suy ra N(0; y) 

+ NA = NB ⇔ NA 2 = NB 2 ⇔ y = 2 


2 

0,5 

0,5 

0,5 

0,25 

0.25 

0,25 

0,25 

0,5 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,5 

0,5 

0,25 

0,5 

0,25

Va 

Vb 

Va.1 

Va. 2 

Va. 3 

Vb. 1 

Vb. 2 

+ KL 

3,0 điểm 

1,0 điểm 

+ Tập xác định: D = [ –2; 2], mọi x ∈ D suy ra – x ∈ D 

+ Chứng minh f ( − x) = − f ( x) 

+ KL: Vậy hàm số lẻ trên D 

1,0 điểm 

+ Gọi x, y, z là giá tiền mỗi quả cam, quýt, táo ( x, y, z > 0 ) 

⎧ 5x + 2y + 8z 

= 95000 ⎧ x = 5000 

⎪ 

⎪ 

+ Từ gt ta có hệ PT: ⎨ x + 5y + z = 28000 ⇔ ⎨y 

= 3000 

⎪ 

⎩4x + 3y + 2z 

= 45000 ⎪ 

⎩z 

= 8000 

+ KL 

1,0 điểm 

+ sin 2 a = 1 – cos 2 a = 24 

25 

+ P = 74 

25 

3,0 điểm 

1,0 điểm 

+ ∀ x 1 , x 2 ∈ ( 1; + ∞ ), x 1 ≠ x 2 , 

+ Giải thích được x 1 + x 2 – 2 > 0 

+ KL: hàm số đồng biến trên ( 1; + ∞ ) 

1,0 điểm 

( ) 

f ( x ) − f x 

1 2 

x 

− x 

1 2 

= x 1 + x 2 – 2 

0,25 

0,5 

0,25 

0,25 

0,5 

0,25 

0,5 

0,5 

0,5 

0,25 

0,25 

Vb. 3 

+ Bất đẳng thức Cô–si cho hai số dương a a a 

và a, ta có: + a ≥ 2 

b b b 

Tương tự có hai bất đẳng thức còn lại 

+ Nhân ba bất đẳng thức vế theo vế suy ra đpcm 

1,0 điểm 

+ cos 2 a = 1 – sin 2 a = 24 

25 ⇒ cosa = 24 

− ( vì góc a tù nên cosa < 0 ) 

5 

+ tana = 

sin a 

= − 

6 

cos a 12 

2 

0.5 

0,5 

0,5 

0,5 

Đề số 8 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7,0 Điểm) 

Câu 1. (2 điểm) 

1) Tìm tập xác định của hàm số sau: y = 

x + 2 

+ 

x −1 

3 − x 

2) Giải phương trình 4x 

− 9 − 2x 

= − 3 

2 

Câu 2. (2.5 điểm) Cho hàm số y = 2x + 5x 

− 3 có đồ thị là (P). 

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số. 

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D): y = 8x 

− 2 . 

Câu 3. (2.5 điểm) 

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho 3 điểm A( −1;4), B( −2; − 3), C(2,3) 

. 


a) Chứng minh A, B, 

C là ba đỉnh của một tam giác. 

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC . 

2) Cho tam giác ABC, 

G là trọng tâm tam giác, D là điểm đối xứng của B qua G . Chứng 

1 

minh rằng: CD = ( BA + CA ) . 

3 

II. PHẦN RIÊNG: ( 3,0 Điểm). 

A – Theo chương trình chuẩn. 

Câu 4A. (1 điểm) Giải phương trình x + 2x 

− 3 = 2 . 

⎧ 3 4 

+ = 11 

Câu 5A. (1 điểm) Giải hệ phương trình: ⎪ x + 1 y − 1 

⎨ 

⎪ 5 6 

− = −7 

⎪ ⎩ x + 1 y −1 

 

Câu 6A. (1 điểm) Tam giác ABC đều cạnh a có trọng tâm G . Tính GB. 

GC . 

B – Theo chương trình nâng cao. 

⎧x − y − xy = 3 

Câu 4B. (1 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ 2 2 

⎩x + y + xy = 1 

2 

Câu 5B. (1 điểm) Xác định a để phương trình 2x − 4x + a = x − 1 có nghiệm: 

Câu 6B. (1 điểm) Cho tam giác ABC có a = BC, b = CA, 

c = AB . Chứng minh rằng: 

2 2 

b − c = a( bcosC − ccos B) 

. 

C – Theo chương trình chuyên. 

⎧xy + x + y = 5 

Câu 4C. (1 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ 3 3 

⎩( x + 1) + ( y + 1) = 35 

Câu 5C. (1 điểm) Cho phương trình x + 9 − x = − x + 9x + m . 

a) Giải phương trình khi m = 9 . 

b) Xác định m để phương trình có nghiệm . 

Câu 6C. (1 điểm ) Cho tam giác đều ABC cạnh 3a. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy các điểm M, N, 

P sao cho MB = a, NC = 2a, AP = x (0 < x < 3a). Tìm x để AM ⊥ PN . 



1.1 

⎧x 

+ 2 ≥ 0 

⎪ 

Điều kiện ⎨3 − x ≥ 0 

0.5 

⎪ 

⎩x 

− 1 ≠ 0 

Tập xác định D =[–2;1) ∪ (1;3] 

0.5 

1.2 

3 

0.25 

|4x – 9| = 2x –3 đk: x ≥ 

2 

⎡4x 

− 9 = 3 − 2x 

0.25 

⇔ ⎢ 

⎣4x 

− 9 = 2x 

− 3 

0.25 

⇔ x = 2, x = 3 (thỏa điều kiện) 

Kết luận nghiệm của phương trình là x = 2, x = 3 

0.25 

2 


2.1 

2 

5 49 

y = 2x + 5x 

− 3 Đỉnh I ⎛ 

⎜ − ; − 

⎞ 

⎟ 

⎝ 4 8 ⎠ 

5 

Trục đối xứng x = − 

4 

Hệ số a = 2 > 0 nên bề lõm hướng lên trên 

Bảng biến thiên 

x −∞ 

5 

− 

4 

+∞ 

+∞ +∞ 

y 

49 

− 

8 

Bảng giá trị 

x –3 0 1 

y 0 –3 4 

0.25 

0.25 

0.5 

0.25 

Đồ thị 

2 

5 

2 

0.5 

4 

6 

2.2 Phương trình hoành độ giao điểm 

2 

2x + 5x − 3 = 8x 

− 2 

⇔ − − = 

2 

2x 

3x 

1 0 

3 17 3 17 

⇔ x = − , x = 

+ 

4 4 

3 − 17 3 + 17 

;4 − 2 17 , ;4 + 2 17 

4 4 

 

3.1 a Ta có: AB = ( −1; − 7), AC = (3; −1) 

−1 −7 

 

Vì ≠ suy ra hai vec tơ AB, 

AC không cùng phương. 

3 − 1 

Vậy A, B, 

C không thẳng hàng, Suy ra điều phải chứng minh 

 

 

3.1b Gọi H ( x; y ) ⇒ AH = ( x + 1; y − 4), BH = ( x + 2; y + 3) 

 

BC = (4;6), AC = (3; −1) 

 

⎧⎪ 

AH ⊥ BC ⎧⎪ 

AH. BC = 0 

H là trực tâm ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 

⎪⎩ 

BH ⊥ AC ⎪⎩ 

BH. AC = 0 

Suy ra tọa độ giao điểm ( ) ( ) 

( x ) ( y ) 

( x ) ( y ) 

⎧⎪ 4 + 1 + 6 − 4 = 0 ⎧4x 

+ 6y 

= 20 

⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

⎪⎩ 3 + 2 − + 3 = 0 ⎩3x 

− y = −3 

⎛ 

Giải ra x = .., y = .. KL H 1 ; 

36 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝11 11 ⎠ 

 

3.2 Gọi M là trung điểm của BC , ta có CD = −2GM 

1 

= −2 AM 3 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 


4A 

5A 

6A 

4B 

= − 2 1 

. ( AB AC ) 

3 2 + 

1 1 

= − ( AB + AC) = ( BA + CA) 

3 3 

⎧2x 

− 3 ≥ 0 3 

x + 2x 

− 3 = 2 ⇔ 2x 

− 3 = 2 − x đk: ⎨ ⇔ ≤ x ≤ 2 

⎩2 − x ≥ 0 2 

2 

⇔ 2x − 3 = 4 − 4x + x 

2 

⇔ x − 6x 

+ 7 = 0 

⇔ x = 3± 

2 

So điều kiện, chọn nghiệm x = 3− 

2 

1 1 

Điều kiện: x ≠ −1, y ≠ 1đặt được X = , Y = 

x + 1 y −1 

⎧3X 

+ 4Y 


Đưa về hệ phương trình ⎨ 

⎩5X 

− 6Y 

= −7 

Tìm được X = 1, Y = 2 

⎧ 1 

= 1 ⎧ x = 0 

⎪ x + 1 ⎪ 

⎨ ⇔ 

1 

⎨ 3 

⎪ = 2 ⎪y 

= 

y −1 

⎩ 2 

⎪⎩ 

 

Xác định được góc giữa 2 vec tơ GB và GC bằng 120 

o 

a 3 

Tính được GB = GC = 

3 

Viết được công thức tính vô hướng 

2 

a 

Thay vào và ra đáp số − 

6 

⎧x − y − xy = 3 ⎧x − y − xy = 3 

⎨ 

⇔ 

2 2 

⎨ 2 

⎩x + y + xy = 1 ⎩( x − y) + 3xy 

= 1 

Đặt S = x – y; P = xy, ta có: 

⎧S 

− P = 3 

⎨ 2 

⎩S 

+ 3P 

= 1 

Giải hệ tìm được : S = 2 ; P = –1 và S = –5; P = –8 

Giải tìm x, y. 

⎧x 

− y = 2 

⎧x 

= 1 

S = 2; P = –1: ta có hệ: ⎨ . Giải tìm được ⎨ 

⎩xy 

= −1 

⎩y 

= − 1 

Với S = –5; P = –8 ta có hệ vô nghiệm. 

(1; − 1) . 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: S = { } 

5B 

2 

⎧x 

−1≥ 

0 

2x − 4x + a = x − 1 ⇔ ⎨ 2 2 

⎩2x − 4 x + a = ( x −1) (1) 

2 

(1) ⇔ − x + 2x + 1 = a 

2 

Vẽ đồ thị hàm số y = − x + 2x 

+ 1(P), rồi tìm giao điểm của (P) và y = a. 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 


0.25 

6B 

4C 

5C 

Ta tìm được a ≤ 2 thì phương trình có nghiệm thỏa điều kiện x ≥ 1 . 

2 2 2 

b = a + c − 2ac cos B; 

Theo định lý cosin, ta có 

2 2 2 

c = a + b − 2abcos C; 

2 2 

Trừ vế theo vế ta được b − c = ... 

2 2 

Suy ra b − c = a( bcosC − ccos B) 

⎧( x + 1)( y + 1) = 6 

Biến đổi ⎨ 

3 

⎩[(x+1)+(y+1)] − 3[( x + 1) + ( y + 1)]( x + 1)( y + 1) = 35 

Đặt S = ( x + 1) + ( y + 1); P = ( x + 1)( y + 1) 

Hệ trở thành 

⎧P = 6 ⎧S = 5 ⎧x = 2 ⎧x 

= 1 

⎨ ⇒ 

2 

⎨ ⇒ ⎨ ∨ ⎨ 

⎩S( S − 3 P) = 35 ⎩P = 6 ⎩y = 1 ⎩y 

= 2 

a. Với m = 9 phương trình trở thành x + 9 − x = − x + 9x 

+ 9 (1) 

Điều kiện : 0 ≤ x ≤ 9 . Bình phương hai vế của (1) ta được 

(1) ⇔ 2 x(9 − x) 

= x(9 – x) 

⇔ x(9 − x) 

= 0 hay x(9 − x) 

= 2 

⇔ x = 0; x = 9 hay x 2 – 9x + 4 = 0 

⇔ x = 0; x = 9 hay x = 9 ± 65 . 

2 

Đối chiếu với điều kiện , cả bốn nghiệm trên đều thích hợp . 

⎧⎪ 

0 ≤ x ≤ 9 

b. Điều kiện ⎨ 

. Lúc đó phương trình đề bài tương 

2 

⎪⎩ x − 9x − m ≤ 0 

đương với x(9 – x) – 2 x(9 − x) 

+ m – 9 = 0 (2) 

2 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25đ 

0.25đ 

81 ⎛ 9 ⎞ 

Đặt t = x(9 − x) 

, thế thì 0 ≤ t = x(9 − x) 

= − ⎜ x − ⎟ ≤ 9 4 ⎝ 2 ⎠ 2 . 0.25đ 

(2) ⇔ t 2 – 2t + m – 9 = 0 (3) 

phương trình đề bài có nghiệm khi (3) có nghiệm t sao cho 0 ≤ t ≤ 9 2 . 

(3) ⇔ – t 2 + 2t + 9 = m 

Lập bảng biến thiên của hàm số y = – t 2 + 2t + 9 với 0 ≤ t ≤ 9 2 

Căn cứ bảng biến thiên : phương trình có nghiệm khi – 9 4 ≤ m ≤ 10 . 0.25đ 

2 


6C 

2 1 

Biểu diễn AM = AB + AC 

3 3 

1 x 

Biểu diễn PN = ( AC − AB ) 

3 a 

 

Điều kiện AM ⊥ PN ⇔ AM. PN = 0. Tính được 

x = 

4 

5 

a 

0.25đ 

0.25đ 

0.25đ 

0.25đ 

Đề số 9 

I. Phần chung cho tất cả các thí sinh ( 7 điểm ). 

Câu 1 (2 điểm). 

2 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số: y = − 3x + 2x 

+ 1 . 

2 

b) Dựa vào đồ thị (P), tìm x để − 3x 

+ 2x 

+ 1 ≥ 0 . 


2 2 

Cho phương trình: x − 2( m − 1) x + m − 3 = 0 , (m tham số) 

a) Tìm m để phương trình trên có nghiệm. 

1 1 

b) Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm x1 , x 

2 

thỏa: + = 2 . 

x1 x2 


1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; –1), B(2; 4), C(1; 0). 

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. 

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. 

2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng với A qua G, M là trung điểm của 

 

AC. Phân tích vectơ MH theo vectơ BA và BC . 

II. Phần riêng ( 3 điểm ). 

A. Theo chương trình chuẩn: 

Câu 4a: 

1. (2 điểm) Giải các phương trình sau: 

a) 

2 

3 x x 4 

+ − = b) 

2 

3x 

+ 2 = x − 2 

2. (1 điểm) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: 

m 2 ( x − 1) + 3 m = x + 2 

B. Theo chương trình nâng cao: 

Câu 4b: 

1. (2 điểm) Giải hệ phương trình: 

2 

⎧ ⎪x y + y = −2 

⎨ 

2 

⎪⎩ xy + x = −2 

2. (1 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b; S là diện tích tam giác ABC. Biết: 

1 

S = ( a + b − c )( a + c − b ) . Chứng minh tam giác ABC vuông. 

4 



1a + TXĐ: D = R 

0.25 

+ Đỉnh: I( 1 ; 4 ) 

3 3 và trục đx: x = 1 3 

0.25 

+ Lập đúng BBT 

0.25 

⎛ 1 ⎞ 

+ Điểm ĐB: A(0; 1), B(1; 0), C ⎜ − ;0 ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

+ Vẽ đúng đồ thị 

0.25 

0.5 

1b 

1 

Dựa vào đồ thị ta có y ≥ 0 ⇔ − ≤ x ≤ 1 

3 

0.5 


' 

2a ∆ ≥ 0 

⇔ − 2m 

+ 4 ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 

+ KL 

2b ĐK: m ≤ 2 

x1 + x2 

+ Biến đổi đưa về pt 

x . x 

+ Ta có 

= 2 

1 2 

2 

1 

+ 

2 

= 2( − 1); 

1. 2 

= − 3 

x x m x x m 

2 

+ Khi đó pt trở thành m − m − 2 = 0 ( m ≠ ± 3) 

+ Giải pt và so sánh đk, kết luận m = –1, m = 2 

 

3.1.a + Gọi D(x;y). Tính được AB = ( − 1;5), DC = (1 − x; −y) 

 

+ ABCD là hbh ⇔ AB = DC 

⎧1 − x = −1 

⇔ ⎨ 

⎩ − y = 5 

⎧x 

= 2 

⇔ ⎨ ⇒ D(2; −5) 

⎩y 

= − 5 

3.1.b Gọi H(x;y) là trực tâm 

 

⎧AH ⊥ BC ⎧⎪ 

AH. BC = 0 

+ Ta có 

⎨ ⇒ ⎨ 

⎩CH ⊥ AB ⎪⎩ CH. AB = 0 

⎧x 

+ 4y 

= −1 

+ Đưa về được hệ: ⎨ 

⎩x 

− 5y 

= 1 

⎧ 1 

x = − 

⎪ 9 ⎛ 1 2 ⎞ 

+ Giải hệ được: ⎨ ⇒ H ⎜ − ; − ⎟ 

⎪ 2 ⎝ 9 9 ⎠ 

y = − 

⎪⎩ 9 

 

3.2 + Ta có: MA + MH = 2MG 

2 1 

+ ⇒ MH = − 2GM + AM = − BM + AC 

3 2 

1 1 5 1 

= − ( BA + BC) + ( BC − BA) 

= − BA + BC 

3 2 6 6 

5 1 

+ Kết luận: MH = − BA + BC 

6 6 

4a.1.a 

2 

PT ⇔ 3+ x = x + 4 

Đk: x ≥ − 4 

+ Biến đổi PT đưa về PT: 8x + 13 = 0 

13 

+ Giải PT được x = − (thỏa đk) 

8 

+ Kết luận: 

4a.1.b 

2 

2 

+ TH1: x ≥ − , PT trở thành: 3x + 2 = x − 2 

3 

+ Giài PT được x = –1 (loại); x = 4 (chọn) 

2 

2 

+ TH2: x < − PT trở thành: −3x 

− 2 = x − 2 

3 

+ Giải PT được: x = 0 (loại), x = –3 (chọn) 

4a.2 

2 2 

Biến đổi đưa về PT: ( m − 1) x = m − 3m 

+ 2 

0.25 

0.5 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.5 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 


+ m ≠ ± 1: PT có 1 nghiệm 

+ m = 1: PT có nghiệm mọi x 

+ m = –1: PT vô nghiệm 

+ KL: 

m − 2 

x = 

m + 1 

4b.1 2 2 

⎧ ⎪x y + y = −2 ⎧ x y + y = −2 

⎨ 

⇔ 

2 

⎨ 

⎪⎩ 

xy + x = −2 

⎩xy( x − y) − ( x − y) = 0 

2 

⎧ x y + y = −2 

⇔ ⎨ 

⎩( x − y)( xy − 1) = 0 

2 2 

⎧x y + y = − 2 ⎧x y + y = −2 

⇔ ⎨ 

( I) ∨ ⎨ 

( II) 

⎩x − y = 0 ⎩xy 

− 1 = 0 

Giải hệ (I) được nghiệm x = y = –1 

Giải hệ (II) được nghiệm x = y = –1 

Kết luận nghiệm x = y = –1 

4b.2 p( p − a)( p − b)( p − c) = ( p − b)( p − c) 

⇔ p( p − a)( p − b)( p − c) = ( p − b) ( p − c) 

⇔ p( p − a) = ( p − b)( p − c) 

2 2 2 

a b c ABC A 

2 2 

⇔ ( a + b + c)( b + c − a) = ( a − b + c)( a + b − c) 

⇔ = + ⇔ ∆ ⊥ 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.5 

0.25 

0.5 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

Đề số 10 

I. PHẦN CHUNG: (7điểm) (Dành cho tất cả các học sinh) 

Câu 1: (2điểm) 

1) Cho hai tập hợp A = ⎡0;2 ⎣ ), B = (1;3) . Hãy xác định các tập hợp: A ∪ B, A ∩ B, A \ B 

2 

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = − x + 4 x + 5 


1) Xét tính chẵn lẻ của hàm số: f ( x) = x + 1 − x − 1 

2 2 

2) Cho phương trình : x − 2mx + m − m = 0. Tìm tham số mđể phương trình có hai nghiệm 

phân biệt x1, x2 

thỏa mãn : 

2 2 

x1 + x2 = 3x1x2 


1) Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(1;2), B( − 3;4), C(5;6) 

. 

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. 

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. 

3 0 0 

2) Cho sin α = (0 < α < 90 ) .Tính giá trị biểu thức: P 1 − tan α 

= 

5 

1 + tanα 

II. PHẦN RIÊNG: (3điểm) (Học sinh chọn Câu4a hoặc Câu 4b để làm) 

Câu 4a: (3điểm) (Dành cho học sinh học sách nâng cao) 

2 2 

1) Giải phương trình : 4x − 9x − 6 4x − 9x 

+ 12 + 20 = 0 

⎧⎪ mx + y = m 

2) Tìm m để hệ phương trình : ⎨ 

có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. 

⎪⎩ x + my = 4 

 

3) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC = a 2 . Tính : CA. CB, AB. 

BC 

Câu 4b: (3điểm) (Dành cho học sinh học sách chuẩn) 

4 2 

1) Giải phương trình: x − 7x 

+ 12 = 0 


2 2 ⎧⎪ x + y = 13 

2) Giải hệ phương trình: ⎨ 

⎪⎩ xy = 6 

3) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(1; −2), B(5; − 1), C(3;2) 

. Tìm tọa độ điểm D 

để tứ giác ABCD là hình bình hành. 

Đáp án đề số 10 


A ∪ B = ⎡ ⎣ 0;3) 

0.25 

1.1 

A ∩ B = (1;2) 

0.25 

A \ B = ⎡ ⎣ 0;1⎤ 

⎦ 

0.25 

TXĐ: D = R , tọa độ đỉnh I(2;9) 0.25 

a = − 1: Parabol quay bề lõm xuống dưới và nhận x = 2 làm trục đối xứng. 0.25 

x −∞ 2 +∞ 

y 9 

0.25 

−∞ 

−∞ 

1.2 

1 0 

9 

y 

I 

0.5 

8 

6 

5 

4 

2 

- 1 

O 

2 

- 5 5 1 0 

2.1 

2.2 

TXĐ: D = R , ∀x ∈D ⇒ −x ∈ D 

0.25 

f ( − x) = − x + 1 − −x 

− 1 

0.25 

f ( − x) = x −1 − x + 1 = − f ( x) 

0.25 

Kết luận: Hàm số lẻ 0.25 

∆ / 

= m 

2 

−( m 

2 

− m) = m > 0, S = x x 2 m, P x . x m 

2 

1 + 2 = = 1 2 = − m 

0.25 

x 

2 

x 

2 

x x x x 

2 

1 + 2 = 3 1 2 ⇔ ( 1 + 2) − 5x1x2 

= 0 

⇔ 4m 2 

− 5( m 

2 

− m) = 0 

0.5 

m 0 

m 

2 ⎡ = 

⇔ − + 5 m = 0 ⇔ ⎢ 

⎣m 

= 5 

Kết luận : m = 5. 

0.25 

 

AB = ( −4;2) 

, AC = (4;4) 

0.25 


3.1a 

3.1b 

3.2 

 

AB 

A B C 

−4 2 

0.25 

≠ 

4 4 

0.25 

không cùng phương với AC 

, , không thẳng hàng. 0.25 

xA + xB + x 

0.25 

x C 

G = = 1 

3 

yA + yB + y 

0.25 

y C 

G = = 4 

3 

Trọng tâm tam giác ABC là : G(1;4) 0.25 

3 0 0 2 9 4 

0.25 

sin α = ,(0 < α < 90 ) ⇒ cosα = 1− sin α = 1− = 

5 25 5 

3 

0.25 

tanα = 

4 

3 1 

0.25 

1− tanα 

= 1− = 4 4 

3 7 

1+ tanα 

= 1+ = 4 4 

0.25 

4a.1 

4a.2 

P 1 − tan α 

= = 

1 

1+ 

tanα 

7 

0.25 

x 

2 9 111 

x x 

2 

0.25 

4 − 9 + 12 = (2 − ) + > 0, ∀x 

∈R 

4 16 

2 

2 

⎡y 

= 2 

Đặt : y = 4x − 9x 

+ 12 > 0 ,phương trình trở về: y − 6y 

+ 8 = 0 ⇔ ⎢ 

0.25 

⎣y 

= 4 

2 2 

y = 2 ⇔ 4x − 9x + 12 = 2 ⇔ 4x − 9x 

+ 8 = 0 : Phương trình vô nghiệm 

y x 2 x x 2 

9 ± 145 

= 4 ⇔ 4 − 9 + 12 = 4 ⇔ 4 − 9x − 4 = 0 ⇔ x = 0.25 

8 

m 1 2 

D = = m − 1. Với : m ≠ ± 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất 0.25 

1 m 

và x = 1 không thỏa mãn hệ phương trình. Nên : x ≠ 1 

y 

Từ PT thứ nhất ta có : m = 1 − x 

thay vào PT thứ hai ta được: 

⎡ 

2 

⎢ 

5+ 9 + 4y 

0.25 

x = 

2 2 

2 2 ⎢ 

x − 5 x + (4 − y ) = 0 ⇔ x − 5 x + (4 − y ) = 0 ⇔ 

2 

⎢ 

2 

⎢ 5− 9 + 4y 

⎢x 

= 

⎣ 2 

Để x∈Z cần phải có 

2 

y n 2 ⎧n 

− 2y 

= 1 ⎧⎪ 

9 + 4 = , n∈Z 

⇔ ( n − 2 y)( n + 2 y) = 9, y∈Z 

⇔ ⎨ hoặc n − 2 y = −1 

⎨ 

⎩n 

+ 2y 

= 9 ⎪⎩ n + 2y 

= −9 

0.25 

⎧⎪ n − 2y 

= 9 

hoặc ⎨ 

⎪⎩ n + 2y 

= 1 

hoặc ⎧⎪ n − 2y 

= −9 

⎨ 

⎪⎩ n + 2y 

= −1 


= 3 

⎨ 

⎪⎩ n + 2y 

= 3 


= −3 

⎨ 

⎪⎩ n + 2y 

= −3 

Giải ra được : y = 2, − 2,0. 

0.25 


Thử lại : 

4a.3 

4b.1 

4b.2 

4b.3 

y 2 

y 2 

= hệ có nghiệm : ( ) ( ) m 

1 

0;2 , 5;2 ⇒ = 2 hoặc m = − . 

2 

0; −2 , 5; −2 ⇒ = −2 

hoặc m = 

1 2 

= − hệ có nghiệm : ( ) ( ) m 

y 0 

4;0 , ⇒ = 0 

= hệ có nghiệm : ( ) ( 1;0 ) m 

0.25 

⎧ 1 1 ⎫ 

Vậy : m∈⎨−2; − ;0; ;2⎬ 

⎩ 2 2 

0.25 

⎭ 

Tính được : AB = AC = a 

0.25 

 

0 2 2 

CA. CB = AC. CB.cos45 = a. a 2. = a 

0.25 

2 

 

AB BC BA BC BA BC 0 2 

0.25 

. = − . = − . .cos45 = −a. a 2. = −a 

2 

2 

Đặt t x 2 2 

= ≥ 0 đưa về phương trình t − 7t 


0.25 

Giải được : 

⎡t 

= 3 

⎢ 

⎣t 

= 4 

2 

2 

t = 3 ⇔ x = 3 ⇔ x = ± 3 

t = 4 ⇔ x = 4 ⇔ x = ± 2 .Kết luận phương trình có 4 nghiệm : x = ± 3, x = ± 2 

⎧ ⎧ ⎧ ⎡ ⎧ x + y = 5 

⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ 

⎪ 

2 2 2 2 

x + y = 13 ⎪( x + y) − 2xy = 13 ⎪( x + y) = 25 ⎢ ⎩ xy = 6 

⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ 

xy 6 xy 6 xy 6 

⎢ 

⎪ = ⎪ = ⎪ = ⎧ x + y = − 5 

⎢ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 

⎩ 

⎩ 

⎢⎩ ⎣ xy = 6 

⎩ 

⎧⎪ x + y = 5 ⎧ x = 2 ⎧⎪ x = 3 

⎨ ⇔ ⎨ hoặc ⎨ 

⎪⎩ xy = 6 ⎩x 

= 3 ⎪⎩ y = 2 

⎧⎪ 

x + y = − 5 ⎪⎧ 

x = −2 

⎨ ⇔ ⎨ 

⎪⎩ 

xy = 6 ⎪⎩ 

y = −3 

hoặc ⎧⎪ x = −3 

⎨ 

0.25 

⎪⎩ y = −2 

Hệ phương trình có 4 nghiệm : (2;3),(3;2),( −2; −3),( −3; − 2) 

0.25 

 

 

Gọi D( x; y), AD = ( x − 1; y + 2), BC = ( −2;3) 

0.5 

⎧⎪ x − 1 = −2 

Tứ giác ABCD là hình bình hành nên: AD = BC ⇔ ⎨ 

0.25 

⎪⎩ y + 2 = 3 

⎧⎪ x = −1 

Giải được : ⎨ .Kết luận : D( 1;1) 

⎪⎩ y = 1 

− 0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 


Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Hình học 10 

CHƯƠNG I 

VECTƠ 

I. VECTƠ 

1. Các định nghĩa 

 

• Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB . 

• Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó. 

 

• Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB . 

• Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 . 

• Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 

• Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. 

• Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. 

 

Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a, b,... 

để biểu diễn vectơ. 

+ Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. 

Mọi vectơ 0 đều bằng nhau. 

2. Các phép toán trên vectơ 

a) Tổng của hai vectơ 

 

• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB + BC = AC . 

 

• Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB + AD = AC . 

 

• Tính chất: a + b = b + a ; ( a 

+ b ) + c = a 

+ ( b + c 

) 

; a + 0 = a 

b) Hiệu của hai vectơ 

• Vectơ đối của a là vectơ b 

sao cho a + b = 0 . Kí hiệu vectơ đối của a là −a 

. 

• Vectơ đối của 0 là 0 . 

 

• a − b = a + ( −b 

) . 

 

• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB − OA = AB . 

c) Tích của một vectơ với một số 

• Cho vectơ a và số k ∈ R. ka là một vectơ được xác định như sau: 

+ ka cùng hướng với a nếu k ≥ 0, ka ngược hướng với a nếu k < 0. 

+ ka = k . a 

. 

• Tính chất: ( 

k a + b ) 

= ka + kb ; ( k + l) 

a = ka + la ; ( 

k la) 

 

= ( kl) 

a 

 

ka = 0 

 

 

⇔ k = 0 hoặc a = 0 

 

. 

 

• Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a vaø b ( 

a ) 

 

≠ 0 cuøng phöông ⇔ ∃k ∈ R : b = ka 

 

• Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ≠ 0: AB = k AC . 

• Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng 

 

phương a , b 

và x 

tuỳ ý. Khi đó ∃! m, n ∈ R: x = ma + nb 

 

. 

Chú ý: 

• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: 

 

M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ MA + MB = 0 ⇔ OA + OB = 2OM 

(O tuỳ ý). 

• Hệ thức trọng tâm tam giác: 

 

G là trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = 0 ⇔ OA + OB + OC = 3OG 

(O tuỳ ý). 


Hình học 10 


VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ 

Baøi 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và 

điểm cuối là các điểm A, B, C, D ? 

Baøi 2. Cho ∆ABC có A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. 

 

a) Chứng minh: BC′ = C′ A = A′ B′ 

. 

 

b) Tìm các vectơ bằng B′ C′ , C′ A′ 

. 

Baøi 3. Cho tứ giác ABCD. 

 

Gọi M, 

 

N, P, 

 

Q lần 

 

lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, 

BC. Chứng minh: MP = QN ; MQ = PN . 

Baøi 4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh: 

 

a) AC − BA = AD ; AB + AD = AC . 

 

b) Nếu AB + AD = CB − CD thì ABCD là hình chữ nhật. 

 

Baøi 5. Cho hai véc tơ a , b 

 

 

. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a + b = a − b . 

 

Baøi 6. Cho ∆ABC đều cạnh a. Tính AB + AC ; AB − AC . 

 

Baøi 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB + AC + AD . 

 

Baøi 8. Cho ∆ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ HA, HB, 

HC . 

 

Baøi 9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ AB + AD , 

 

AB + AC , AB − AD . 

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ 

Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng 

phương, ta thường sử dụng: 

– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ. 

– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác. 

– Tính chất của các hình. 

Baøi 1. Cho 

 

6 

 

điểm 

 

A, B, 

 

C, D, E, F. Chứng minh: 

 

a) AB + DC = AC + DB 

b) AD + BE + CF = AE + BF + CD . 

Baøi 2. Cho 4 

 

điểm 

 

A, B, C, 

 

D. Gọi 

 

I, J lần lượt là 

 

trung 

 

điểm 

 

của AB 

 

và CD. 

 

Chứng minh: 

a) Nếu AB = CD thì AC = BD b) AC + BD = AD + BC = 2IJ 

. 

 

c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: GA + GB + GC + GD = 0 . 

d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và 

BC . Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm. 

Baøi 3. Cho 

 

4 điểm 

 

A, 

 

B, 

 

C, D. Gọi 

 

I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh: 

2( AB + AI + JA + DA) = 3DB 

. 

Baøi 4. Cho ∆ABC. 

 

Bên 

 

ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng 

 

minh: RJ + IQ + PS = 0 . 

Baøi 5. Cho tam giác ABC, 

 

có 

 

AM 

 

là 

 

trung tuyến. I là trung điểm của AM. 

a) Chứng minh: 2IA + IB + IC = 0 . 

 

b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA + OB + OC = 4OI 

. 

Baøi 6. Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường 

tròn 

 

ngoại 

 

tiếp. Chứng minh: 

 

a) AH = 2OM 

b) HA + HB + HC = 2HO 

c) OA + OB + OC = OH . 

Baøi 7. Cho hai tam giác ABC và A′B′C′ lần lượt có các trọng tâm là G và G′. 



 

a) Chứng minh AA′ + BB′ + CC′ = 3GG′ 

. 

b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm. 

Baøi 8. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh: 

AM 1 AB = + 

2 AC 

. 

3 3 

Baøi 9. Cho tam giác ABC. 

 

Gọi M 

 

là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm 

thuộc AC sao cho CN = 2NA 

. K là trung điểm của MN. Chứng minh: 

a) AK 1 AB = + 

1 AC 

 

b) KD 1 AB 1 AC 

= + . 

4 6 

4 3 

Baøi 10. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng: 

a) AM 1 OB = − OA 

 

b) BN 1 OC = −OB 

 

c) MN 1 ( OC OB 

= − ) . 

2 

2 

2 

Baøi 11. Cho ∆ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng: 

a) AB 2 CM = − − 

4 BN 

 

c) AC 4 CM 2 BN 

 

= − − c) MN 1 BN 1 CM 

= − . 

3 3 

3 3 

3 3 

Baøi 12. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G. 

a) Chứng minh: AH 2 AC = − 

1 AB 

và CH 1 ( AB AC 

= − + ) . 

3 3 

3 

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH 1 AC = − 

5 AB 

 

. 

 

6 6 

 

Baøi 13. Cho hình bình hành ABCD, đặt AB = a, 

AD = b . Gọi I là trung điểm của CD, G là 

 

trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ BI, 

AG theo a , b 

. 

 

Baøi 14. Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ BC vaø BD theo các vectơ 

 

AB vaø AF . 

Baøi 15. Cho 

 

hình thang OABC, 

 

AM 

 

là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ 

AM theo các vectơ OA, OB, 

OC . 

Baøi 16. Cho 

 

∆ABC. 

 

Trên 

 

các 

 

đường 

 

thẳng 

 

BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho 

 

MB = 3 MC, NA = 3 CN, PA + PB = 0 . 

 

a) Tính PM, 

PN theo AB, 

AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng. 

Baøi 17. Cho ∆ABC. Gọi A 1 , B 1 , C 1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. 

 

a) Chứng minh: AA1 + BB1 + CC1 = 0 

 

b) Đặt BB = u, 

CC = v . Tính BC, CA, 

AB theo u vaø v . 

1 1 

Baøi 18. Cho ∆ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh 

BC kéo 

 

dài 

 

sao cho 

 

5FB = 

 

2FC. 

a) Tính AI, 

AF theo AB vaø AC . 

 

b) Gọi G là trọng tâm ∆ABC. Tính AG theo AI vaø AF . 

Baøi 19. Cho ∆ABC có 

 

trọng tâm 

 

G. 

 

Gọi H là điểm đối xứng của G qua B. 

 

a) Chứng minh: HA − 5HB + HC = 0 

. 

 

b) Đặt AG = a, 

AH = b . Tính AB, 

AC theo a vaø b . 

VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ 

Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của 

 

điểm đó đối với hình vẽ. Thông 

 

thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM = a , trong đó O và a đã được 

xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về: 




– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k. 

– Hình bình hành. 

– Trung điểm của đoạn thẳng. 

– Trọng tâm tam giác, … 

 

Baøi 1. Cho ∆ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA − MB + MC = 0 . 

Baøi 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I . M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường thẳng 

AB . Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI. 

 

a) Chứng minh: BN − BA = MB . 

 

b) Tìm các điểm D, C sao cho: NA + NI = ND ; NM − BN = NC . 

Baøi 3. Cho hình bình hành ABCD. 

 

a) Chứng minh rằng: AB + AC + AD = 2AC 

. 

 

b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3 AM = AB + AC + AD . 

Baøi 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. 

a) Chứng minh: MN 1 = ( AB + DC ) . 

2 

 

b) Xác định điểm O sao cho: OA + OB + OC + OD = 0 . 

Baøi 5. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm 

 

của 

 

AB, 

 

CD, 

 

O là 

 

trung 

điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có: SA + SB + SC + SD = 4SO 

. 

Baøi 6. Cho 

 

∆ABC. 

 

Hãy 

 

xác định các điểm I, J, K, 

 

L thoả 

 

các 

 

đẳng 

 

thức sau: 

a) 2IB + 3IC 

= 0 

b) 2 JA + JC − JB = CA 

 

 

c) KA + KB + KC = 2BC 

d) 3LA − LB + 2LC 

= 0 . 

Baøi 7. Cho 

 

∆ABC. 

 

Hãy 

 

xác định các điểm I, J, K, 

 

L thoả 

 

các 

 

đẳng 

 

thức sau: 

a) 2IA − 3IB = 3BC 

b) JA + JB + 2JC 

= 0 

 

 

c) KA + KB − KC = BC 

d) LA − 2LC = AB − 2AC 

. 

Baøi 8. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau: 

 

 

a) IA + IB − IC = BC 

b) FA + FB + FC = AB + AC 

 

 

c) 3KA + KB + KC = 0 

d) 3LA − 2LB + LC = 0 . 

Baøi 9. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng 

thức sau: 

 

 

a) IA + IB + IC = 4ID 

b) 2FA + 2FB = 3FC − FD 

 

c) 4KA + 3KB + 2KC + KD = 0 . 

Baøi 10. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý. 

 

a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD = MC + AB , ME = MA + BC , 

 

MF = MB + CA . Chứng 

 

minh 

 

D, 

 

E, F không 

 

phụ 

 

thuộc 

 

vào vị trí của điểm M. 

b) So sánh 2 véc tơ MA + MB + MC vaø MD + ME + MF . 

Baøi 11. Cho tứ giác ABCD. 

 

a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: GA + GB + GC + GD = 0 (G đgl trọng tâm của 

tứ giác ABCD). 

b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có: OG 1 ( = OA + OB + OC + OD) 

. 

4 

Baøi 12. Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD. A′, B′, C′, D′ lần lượt là trọng tâm của các tam 

giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh: 

a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA′, BB′, CC′, DD′. 

b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác A′B′C′D′. 



Baøi 13. Cho tứ giác ABCD. Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao 

cho các vectơ v đều bằng k MI . 

với mọi điểm M: 

 

 

a) v = MA + MB + 2MC 

b) v = MA − MB − 2MC 

 

 

c) v = MA + MB + MC + MD d) v = 2MA + 2MB + MC + 3MD 

. 

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau 

• Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng 

 

thức AB = k AC , với k ≠ 0. 

• 

 

Để chứng 

 

minh hai điểm M, N trùng nhau 

 

ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức 

 

OM = ON , với O là một điểm nào đó hoặc MN = 0 . 

 

Baøi 1. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA + 2OB − 3OC 

= 0 . Chứng tỏ rằng A, B, C 

thẳng hàng. 

Baøi 2. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho: 

1 1 

BH = BC , BK = BD . Chứng minh: A, K, H thẳng hàng. 

 

5 

 

6 

 

HD: BH = AH − AB; 

BK = AK − AB . 

 

Baøi 3. Cho ∆ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: 1 IB = 2IC 

, JC = − JA , 

 

2 

KA = −KB 

. 

 

a) Tính IJ , IK theo AB vaø AC . (HD: 4 IJ = AB − AC ) 3 

b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm ∆AIB). 

Baøi 4. Cho tam giác 

 

ABC. 

 

Trên 

 

các 

 

đường 

 

thẳng 

 

BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P 

 

sao cho MB = 3MC 

, 

NA 

= 3CN 

, PA + PB = 0 . 

a) Tính PM, 

PN theo AB, 

AC . 

b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng. 

Baøi 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho 

AD = 1 2 AF, AB = 1 AE. Chứng minh: 

2 

a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng. 

b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành. 

 

Baøi 6. Cho ∆ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: IA + 3IC 

= 0 , JA + 2JB + 3JC 

= 0 . 

Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng. 

 

Baøi 7. Cho ∆ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: 3MA + 4MB 

= 0 , NB − 3NC 

= 0 . 

Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, 

 

với 

 

G là 

 

trọng tâm 

 

của 

 

∆ABC. 

 

Baøi 8. Cho ∆ABC. Lấy các điểm M N, P: MB − 2MC = NA + 2NC = PA + PB = 0 

 

a) Tính PM, 

PN theo AB vaø AC . b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng. 

Baøi 9. Cho ∆ABC. Về phía ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. 

Chứng minh các tam giác RIP và JQS có cùng trọng tâm. 

Baøi 10. Cho tam giác ABC, A′ là điểm đối xứng của A qua B, B′ là điểm đối xứng của B qua 

C, C′ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có 

chung trọng tâm. 

 

Baøi 11. Cho ∆ABC. Gọi A′, B′, C′ là các điểm định bởi: 2A′ B + 3A′ 

C = 0 , 2B′ C + 3B′ 

A = 0 

, 

 

2C′ A + 3C′ 

B = 0 . Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có cùng trọng tâm. 




Baøi 12. Trên các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC lấy các điểm A′, B′, C′ sao cho: 

AA′ BB′ CC′ 

= = 

AB BC AC 

Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có chung trọng tâm. 

Baøi 13. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý. Gọi A′, B′, C′ lần lượt là điểm đối xứng của 

M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB. 

a) Chứng minh ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ đồng qui tại một điểm N. 

b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm 

 

G của 

 

∆ABC. 

 

Baøi 14. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M, N thoả mãn: 3MA + 4MB 

= 0 , 

1 

CN = BC . Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ∆ABC. 

2 

Baøi 15. Cho 

 

tam 

 

giác 

 

ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho 

BD = DE = EC 

. 

 

a) Chứng minh AB + AC = AD + AE 

. 

 

b) Tính AS = AB + AD + AC + AE theo AI . Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng. 

 

Baøi 16. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BM = BC − 2AB 

, 

CN = xAC − BC . 

a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng. 

b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC. Tính IM 

IN . 

Baøi 17. Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho a + b + c ≠ 0 . 

 

a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm G thoả mãn aGA + bGB + cGC = 0 

. 

b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho MP = aMA + bMB + cMC . Chứng minh ba điểm 

G, M, P thẳng hàng. 

 

Baøi 18. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn MN = 2MA + 3MB − MC 

. 

 

a) Tìm điểm I thoả mãn 2IA + 3IB − IC = 0 . 

b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 

 

Baøi 19. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn MN = 2MA − MB + MC 

. 

 

a) Tìm điểm I sao cho 2IA − IB + IC = 0 . 

b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 

c) Gọi P là trung điểm của BN. Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố 

định. 

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ 

Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để 

đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn: 

– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của 

đoạn thẳng đó. 

– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi đường tròn có tâm là 

điểm cố định và bán kính là khoảng không đổi. 

Baøi 1. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 

 

 

a) MA + MB = MA − MB 

b) 2MA + MB = MA + 2MB 

. 

HD: a) Đường tròn đường kính AB b) Trung trực của AB. 

Baøi 2. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 



a) MA + MB + MC = 3 

MB + MC b) MA + BC = MA − MB 

2 

 

 

c) 2MA + MB = 4MB − MC d) 4MA + MB + MC = 2MA − MB − MC . 

HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm ∆ABC). 

b) Dựng hình bình hành ABCD. Tập hợp là đường tròn tâm D, bán kính BA. 


 

a) Xác định điểm I sao cho: 3IA − 2IB + IC = 0 . 

b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức: 

 

MN = 2MA − 2MB + MC 

luôn đi qua một điểm cố định. 

 

c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3HA − 2HB + HC = HA − HB . 

 

d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2 KA + KB + KC = 3 KB + KC 


 

a) Xác định điểm I sao cho: IA + 3IB − 2IC 

= 0 

. 

 

b) Xác định điểm D sao cho: 3DB − 2DC 

= 0 . 

c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng. 

 

d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA + 3MB − 2MC = 2MA − MB − MC . 

II. TOẠ ĐỘ 

1. Trục toạ độ 

• Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ 

đơn vị e . Kí hiệu ( O; e 

) . 

• Toạ độ của vectơ trên trục: u = ( a) ⇔ u = a. 

e 

. 

• Toạ độ của điểm trên trục: M( k) ⇔ OM = k. 

e . 

 

• Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB = a ⇔ AB = a. 

e 

. 

 

Chú ý: + Nếu AB cuøng höôùng vôùi e thì AB = AB . 

 

Nếu AB ngöôïc höôùng vôùi e thì AB = − AB . 

+ Nếu A(a), B(b) thì AB = b − a . 

+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: AB + BC = AC . 

2. Hệ trục toạ độ 

• Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt 

 

là i , j . O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung. 

 

• Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u = ( x; y) ⇔ u = x. i + y. 

j . 

 

• Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M( x; y) ⇔ OM = x. i + y. 

j . 

 

• Tính chất: Cho a = ( x; y), b = ( x′ ; y′ 

), k ∈ R 

⎧ ⎪ x = x′ 

 

+ a = b ⇔ ⎨ 

+ a ± b = ( x ± x′ ; y ± y′ 

) 

⎪⎩ y = y′ 

+ b 

cùng phương với a ≠ 0 

 

, A( xA; yA), B( xB; yB), C( xC; yC 

): 

⇔ ∃k ∈ R: x′ = kx vaø y′ 

= ky . 

⇔ x ′ y ′ 

= (nếu x ≠ 0, y ≠ 0). 

x y 

 

+ ka = ( kx; ky) 


Hình học 10 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk 

 

AB = ( x − x ; y − y ) . 

+ 

B A B A 

+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: x A 

+ x B y A 

+ 

x 

y B 

I 

= ; yI 

= . 

2 2 

A B C A B C 

+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: x + x + x y + 

x 

y + y 

G 

= ; yG 

= . 

3 3 

+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: x A 

− kx B y A 

− 

x 

ky B 

M 

= ; yM 

= . 

 

1− 

k 1− 

k 

( M chia đoạn AB theo tỉ số k ⇔ MA = kMB ). 

VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục 

Baøi 1. Trên trục x'Ox cho 

 

2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −2 và 5. 

a) Tìm tọa độ của AB . 

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng 

 

AB. 

 

c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2MA + 5MB 

= 0 . 

d) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA + 3NB 

= − 1. 

Baøi 2. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −3 và 1. 

a) Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA − 2MB 

= 1. 

b) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3NB = AB . 

Baøi 3. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(−2), B(4), C(1), D(6). 

1 1 2 

a) Chứng minh rằng: + = . 

AC AD AB 

b) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh: IC ID IA 2 

. = . 

c) Gọi J là trung điểm của CD. Chứng minh: AC . AD = AB. 

AJ . 

Baøi 4. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c. 

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB. 

 

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA + MB − MC = 0 

. 

c) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA − 3NB = NC . 

Baøi 5. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tuỳ ý. 

a) Chứng minh: AB. CD + AC. DB + DA. BC = 0 . 

b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD. Chứng minh rằng 

các đoạn IJ và KL có chung trung điểm. 

VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục 

Baøi 1. Viết tọa độ của các vectơ sau: 

 

a) a i j b 1 

= 2 + 3 ; = i − 5 j; c = 3 i ; d = −2 

j . 

3 

 

b) a i j b 1 

3 ; i j; c i 3 

= − = + = − + j; d = − 4 j; e = 3i 

. 

2 2 

 

Baøi 2. Viết dưới dạng u = xi + yj khi biết toạ độ của vectơ u là: 

 

a) u = (2; − 3); u = ( − 1;4); u = (2;0); u = (0; −1) 

. 

 

b) u = (1;3); u = (4; − 1); u = (1;0); u = (0;0) . 

 

Baøi 3. Cho a = (1; − 2), b = (0;3) . Tìm toạ độ của các vectơ sau: 



1 

a) x = a + b; y = a − b; z = 2a − 3b 

. b) u = 3a − 2 b; v = 2 + b; w = 4a − b . 

2 

⎛ 1 ⎞ 

Baøi 4. Cho a = (2;0), b = ⎜ − 1; ⎟, c = (4; −6) 

. 

⎝ 2 ⎠ 

 

a) Tìm toạ độ của vectơ d = 2a − 3b + 5c 

. 

 

b) Tìm 2 số m, n sao cho: ma + b − nc = 0 . 

 

c) Biểu diễn vectơ c theo a, b 

. 

Baøi 5. Cho hai điểm A(3; − 5), B(1;0) 

. 

 

a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: OC = −3AB 

. 

b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C. 

c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3. 

Baøi 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0). 

a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. 

b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB. 

Baøi 7. Cho ba điểm A(1; −2), 

 

B(0; 

 

4), 

 

C(3; 2). 

a) Tìm toạ độ các vectơ AB, AC, 

BC . 

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. 

 

c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM = 2AB − 3AC 

. 

 

d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN + 2BN − 4CN 

= 0 . 

Baøi 8. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2). 

a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C. 

b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C. 

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. 

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I 

Baøi 1. Cho tam giác ABC với trực tâm H, B′ là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường 

 

tròn ngoại tiếp tam giác. Hãy xét quan hệ giữa các vectơ AH vaø B′ C; 

AB′ 

vaø HC . 

Baøi 2. Cho bốn điểm 

 

A, B, 

 

C, D. 

 

Gọi I, 

 

J lần 

 

lượt là trung điểm của AB và CD. 

a) Chứng minh: AC + BD = AD + BC = 2IJ 

. 

 

b) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: GA + GB + GC + GD = 0 . 

c) Gọi P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD; M, N là trung điểm của các đoạn 

thẳng AD và BC. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ và MN có chung trung điểm. 

Baøi 3. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý. 

 

a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD = MC + AB , ME = MA + BC 

, 

MF = MB + CA . Chứng minh 

các 

điểm 

D, E, F không 

phụ thuộc 

vào vị trí của điểm M. 

b) So sánh hai tổng vectơ: MA + MB + MC và MD + ME + MF . 

Baøi 4. Cho ∆ABC với 

 

trung 

 

tuyến 

 

AM. Gọi I là trung điểm AM. 

 

a) Chứng minh: 2IA + IB + IC = 0 . 

 

b) Với điểm O bất kì, chứng minh: 2OA + OB + OC = 4OI 

. 

Baøi 5. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ∆ABC. 

Chứng minh: 

 

a) 2AI = 2AO + AB . b) 3 DG = DA + DB + DC . 

Baøi 6. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD. 

1 

 

a) Chứng minh: AI = ( AD + 2AB) 

b) Chứng minh: OA + OI + OJ = 0 . 

2 




 

c) Tìm điểm M thoả mãn: MA − MB + MC = 0 . 

 

Baøi 7. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD = 2AB 

, 

2 AE = AC . 

 

5 

 

a) Tính AG, DE, 

DG theo AB vaø AC . 

b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng. 

2 

Baøi 8. Cho ∆ABC. Gọi D là điểm xác định bởi AD = AC và M là trung điểm đoạn BD. 

5 

a) Tính AM 

 

theo AB vaø AC . 

IB AM 

b) AM cắt BC tại I. Tính và . 

IC AI 

Baøi 9. 

 

Cho ∆ABC. 

 

Tìm tập hợp các điểm M thỏa 

 

điều 

 

kiện: 

 

a) MA = MB 

b) MA + MB + MC = 0 

 

 

c) MA + MB = MA − MB 

d) MA + MB = MA + MB 

 

e) MA + MB = MA + MC 

Baøi 10. Cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2). 

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC. 

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. 

Baøi 11. Cho A(2; 3), B(−1; −1), C(6; 0). 

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. 

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC. 

c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 

Baøi 12. Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1). Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho: 

a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh. 

b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh. 


MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA HÌNH HỌC CHƯƠNG I 

ĐỀ 1 

Câu 1: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = a , AC = 2a. 

Tính độ dài của các vec tơ:AB AC ; AB AC 

Câu 2: (4,0 điểm) Cho ABC và một điểm M thỏa hệ thức BM 2MC . 

1) Chứng minh rằng: AM = 1 AB 

2 AC 

3 3 

2) Gọi BN là trung tuyến của ABC và I là trung điểm của BN. CMR: 

i/ 2MB MA MC 4MI 

j/ AI BM CN CI BN AM 

Câu 3: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC, xác định điểm I thỏa : IA IB 2IC AB 

Câu 4: (2,0 điểm) Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. 

a/ Chứng minh: AM BN CP 0 

b/ Đặt BN u, 

CP v . Tính BC, CA, 

AB theo u va v . 

Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cạnh BC. Chứng minh rằng: 

MC MB 

AM . AB . AC 

BC BC 

ĐỀ 2 

Câu 1: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = a , 

0 

B 60 . 

Tính độ dài của các vec tơ: AB AC và AB AC 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao 

cho AN 

1 

NC . Gọi K là trung điểm của MN, chứng minh rằng: 

2 

a/ AK 

1 1 

1 1 

AB AC b/ KD AB AC 

4 6 

4 3 

Câu 3: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. 

a/ Chứng minh rằng v MA 2MB 3MC không phụ thuộc vào vị trí điểm M. 

b/ Dựng điểm D sao cho CD 

v ; CD cắt AB tại K. Chứng minh: KA 2KB 0 và CD 3CK 

Câu 4: (2,0 điểm) Cho ABC. Gọi G là trọng tâm, I là trung điểm BC . CMR : 

1 1 

1 1 

a/ AI AB AC b/ AG AB AC 

2 2 

3 3 

Câu 5: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là điểm tùy ý. Gọi A 1 , B 1 , C 1 lần lượt là các điểm 

đối xứng của M qua các trung điểm I, J, K của các cạnh BC, CA, AB. 

1) Chứng minh AA 1 , BB 1 , CC 1 đồng quy tại trung điểm O của mỗi đoạn. 

2) Chứng minh M, O, G thẳng hàng. 


ĐỀ 3 

Câu 1: (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính BC AB ; AB AC theo a. 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC . 

1) Tìm điểm K sao cho : KA 2KB CB 

2) Tìm điểm M sao cho : MA MB 2MC 

0 

Câu 3: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một điểm 

trên cạnh AC sao cho AK = 1 AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng 

3 

Câu 4: (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có tâm O. 

1) Chứng minh rằng : AB CD AD BC . 

2) Phân tích véc tơ OA theo AB, 

AD . 

Câu 5: (2,0 điểm) Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh : OA OB OC OD OE 0 

ĐỀ 4 

Câu 1: (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a. 

a/ Tính AB AD b/ Dựng u = AB AC . Tính u 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, F thoả các đẳng thức sau: 

a/ IA IB IC BC 

b/ FA FB FC AB AC 

Câu 3: (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng 

minh rằng: a/ AD MB NA 0 ; b/ CD CA CB 0 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi G và H lần lượt là trọng tâm và 

trực tâm của ABC và M là trung điểm của BC 

1) Chứng minh rằng : 

i) HA HB HC 2HO 

ii) OA OB OC OH 

iii) OA OB OC 3OG 

2) Ba điểm O , H , G có thẳng hàng không ? 

Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M thoả: 

3 

MA MB MC MB MC 

2 


ĐỀ 5 

Câu 1: (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. 

Tính độ dài các véc tơ: AC AB ; AB A D ; AB BC 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. 

1) Chứng minh: BB ' C ' C DD ' 0 

2) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm 

Câu 3: (3,0 điểm) Cho ABC có trọng tâm G. Gọi I, J lần lượt là 2 điểm thoả IB BA , 

a) CMR: 

2 

IJ AC 2AB 

5 

b) Tính IG theo AB, 

AC 

c) CMR: IJ đi qua trọng tâm G. 

Câu 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi M là một điểm trên đoạn BC, sao cho MB = 2MC. 

1 2 

Chứng minh rằng: AM AB AC 

3 3 

Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M thoả: MA MB MA MC 

2 

JA JC . 

3 

ĐỀ 6 

Câu 1: (2,0 điểm) Cho ABC, dựng các hình bình hành ACMN; BCQP; ABRS. 

a/ CMR: SR PQ MN 0 

b/ CMR: SN MQ RP 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh vectơ v MA MB 2MC 

không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Hãy dựng điểm D sao cho CD 

Câu 3: (2,0 điểm) Cho tứ giác ABCD, gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BD. Chứng minh rằng: 

a/ AB + CD = AD + CB b/ AB + CD = 2IJ 

c/ Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng: GA+GB+GC = DA 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho ABC và điểm M thoả hệ thức: BM 3MC . 

1 3 

a) Chứng minh rằng: AM AB AC 

4 4 

b) Gọi CN là trung tuyến của ABC, I là trung điểm của CN. 

c) Chứng minh rằng: MA MB 2MC 4MI . 

Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi I , J là hai điểm thỏa: IA 2 IB , 3JA 2JC 

0 

Chứng minh IJ qua trọng tâm G của 

ABC 

v 


ĐỀ 7 

Câu 1: (2,0 điểm) Cho 4 điểm A , B , C , D bất kỳ . Gọi E , F lần lượt là trung điểm AB , CD. Chứng 

minh: 

a) AB CD AD BC ; b) AD BC 2 EF c) 

AB CD AC BD 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý. 

a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC AB , ME MA BC , MF MB CA. 

Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 

b) So sánh 2 véc tơ MA MB MC ; MD ME MF . 

Câu 3: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC . Gọi M , N , P là ba điểm thoả 

MB 2MC 0 ; 2NC NA 0 ; PA PB 0 

a. Tính: PM theo PB, 

PC b. Tính: PN theo PA, 

PC c. Chứng minh: M, N, P thẳng hàng . 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR : 

a/ OA +OB +OC +OD +OE +OF = 0 b/ OA +OC +OE = 0 

c/ AB +AO +AF =AD d/ MA+MC +ME = MB +MD +MF (Với M tùy ý ) 

Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC. Lần lượt lấy các điểm M, N, P trên các đoạn AB, BC và CA sao cho 

1 

1 

1 

AM AB ; BN BC ; CP CA . Chứng minh: AN BP CM 0 

3 

3 

3 

ĐỀ 8 

Câu 1: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm tam giác 

ABC. Tính: AB AC ; GA 2( GB GC) 

theo a. 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác, D là điểm 

đối xứng của A qua O. 

1) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành 

2) Chứng minh: HA HD 2 HO ; HA HB HC 2 HO ; OA OB OC OH 

3) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh OH 3OG . 

Từ đó kết luận gì về 3 điểm G, H, O. 

Câu 3: (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD. Lấy điểm M trên đoạn BI sao 

cho BM = 2MI. Chứng minh ba điểm A, M, C thẳng hàng. 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, lấy điểm P, Q sao cho PA 2PB ; 3QA 2QC 

0 

1) Biểu thị AP theo AB ; AQ theo AC 

2) Chứng minh PQ đi qua trọng tâm tam giác ABC. 

Câu 5: (1,0 điểm) Cho tứ giác ABCD . Các điểm M,, N, P và Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD và DA 

. Chứng minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. 



CHƯƠNG II 

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 

VÀ ỨNG DỤNG 


I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ 

0 

0 

TỪ 0 ĐẾN 180 

Lấy M trên nöûa ñöôøng troøn ñôn vò taâm O. Xeùt goùc nhoïn α = xOM . Giaû söû M(x; y). 

sinα = y (tung ñoä) 

cosα = x (hoaønh ñoä) 

y 

tanα = y ⎛ tung ñoä ⎞ 

⎜ ⎟ (x ≠ 0) 

y M 

x ⎝ hoaønh ñoä ⎠ 

 

-1 O x 1 x 

cotα = x ⎛ hoaønh ñoä ⎞ 

⎜ ⎟ (y ≠ 0) 

y ⎝ tung ñoä ⎠ 

Chú ý: – Nếu α tù thì cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0. 

– tanα chỉ xác định khi α ≠ 90 0 , cotα chỉ xác định khi α ≠ 0 0 và α ≠ 180 0 . 

2. Tính chất 

• Góc phụ nhau 

• Góc bù nhau 

sin(90 − α) = cosα 

0 

cos(90 − α) = sinα 

0 

tan(90 − α) = cotα 

0 

cot(90 − α) = tanα 

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 

4. Các hệ thức cơ bản 

sinα 

tan α = (cosα 

≠ 0) 

cosα 

cosα 

cot α = (sinα 

≠ 0) 

sinα 

tan α.cotα = 1 (sin α.cosα 

≠ 0) 

0 

sinα 0 

cosα 1 

tanα 0 

Chú ý: 0 ≤ sinα 

≤ 1; −1 ≤ cosα 

≤ 1. 

Baøi 1. Tính giá trị các biểu thức sau: 

0 0 0 

0 

sin(180 − α) = sinα 

0 

cos(180 − α) = − cosα 

0 

tan(180 − α) = − tanα 

0 

cot(180 − α) = − cotα 

0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 180 0 

1 

2 

3 

2 

3 

3 

cotα || 3 1 

2 2 

sin α + cos α = 1 

2 1 

1+ tan α = (cosα 

≠ 0) 

2 

cos α 

2 1 

1+ cot α = (sinα 

≠ 0) 

2 

sin α 

0 0 0 

a) asin 0 + b cos 0 + csin 90 

b) a cos90 + bsin 90 + csin180 

2 

2 

2 

2 

3 

2 

1 

2 

1 0 

0 –1 

1 3 || 0 

3 

3 

0 || 




2 0 2 0 2 0 

c) a sin 90 + b cos90 + c cos180 d) 

2 2 0 0 2 0 2 

2 0 2 0 2 0 

3 − sin 90 + 2 cos 60 − 3tan 45 

e) 4a sin 45 − 3( a tan 45 ) + (2a 

cos45 ) 

Baøi 2. Tính giá trị của các biểu thức sau: 

a) sin x + cos x khi x bằng 0 0 ; 45 0 ; 60 0 . b) 2sin x + cos2x 

khi x bằng 45 0 ; 30 0 . 

Baøi 3. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại: 

1 

1 

a) sin β = , β nhọn. b) cosα = − c) tan x = 2 2 

4 

3 

0 6 − 2 

0 0 0 

Baøi 4. Biết sin15 = . Tinh cos15 , tan15 , cot15 . 

4 

Baøi 5. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức: 

1 

a) sin x , 90 0 x 180 

0 tan x + 3cot x + 1 

= < < . Tính A = 

. 

3 

tan x + cot x 

sinα 

− cosα 

b) tanα = 2 . Tính B = 

3 3 

sin α + 3cos α + 2sinα 

Baøi 6. Chứng minh các đẳng thức sau: 

2 

4 4 2 2 

a) (sin x + cos x) = 1+ 2sin x.cos 

x 

b) sin x + cos x = 1− 

2sin x.cos 

x 

2 2 2 2 

6 6 2 2 

c) tan x − sin x = tan x.sin 

x 

d) sin x + cos x = 1− 

3sin x.cos 

x 

e) sin x.cos x(1 + tan x)(1 + cot x) = 1+ 

2sin x.cos 

x 

Baøi 7. Đơn giản các biểu thức sau: 

a) cos y + sin y.tan 

y 

b) 1+ cos b. 1− cos b c) sin a 1+ 

tan a 

d) 

1− 

cos 

1− 

sin 

2 

2 

x 

+ tan x.cot 

x 

x 

e) 

2 2 

1− 

4sin x.cos 

(sin x + cos x) 

0 0 2 2 2 

f) sin(90 − x) + cos(180 − x) + sin x(1 + tan x) − tan x 

Baøi 8. Tính giá trị các biểu thức sau: 

a) 

2 0 2 0 2 0 2 0 

cos 12 + cos 78 + cos 1 + cos 89 b) 

2 

x 

2 0 2 0 2 0 2 0 

sin 3 + sin 15 + sin 75 + sin 87 

2 

II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 

1. Góc giữa hai vectơ 

 

 

Cho a, b ≠ 0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA = a, 

OB = b . 

 

Khi đó ( a, b ) = AOB 

 

với 0 0 ≤ AOB ≤ 180 0 . 

Chú ý: 

 

+ ( a b 

, ) = 90 0 

⇔ a ⊥ b 

 

 

+ ( a b 

, ) = 0 0 

⇔ a , b 

 

cùng hướng 

 

+ ( a b 

, ) = 180 0 

⇔ a , b 

 

ngược hướng 

 

+ ( a, b ) = ( b, 

a) 

2. Tích vô hướng của hai vectơ 

 

• Định nghĩa: a. b = a . b .cos( a, 

b ) . 

2 

 

Đặc biệt: a. a = a = a 2 

. 

 

• Tính chất: Với a, b, 

c bất kì và ∀k∈R, ta có: 

+ a 

. b = b. 

a 

; ( 

a b c ) 

+ = a . 

b + a . 

c ; 

( 

) ( 

 

ka . b k a. b ) 

 

= = a. 

( kb ) 

2 2 

; a ≥ 0; a = 0 ⇔ a 

= 0 

 

. 

a 

A 

a 

O 

b 

B 

b 



 

 

+ ( ) 2 2 2 

a + b = a + 2 a. 

b + b ; ( ) 2 2 2 

a − b = a − 2 a. 

b + b 

 

2 2 

a b ( 

 

− = a − b )( 

 

a + b ) . 

 

+ a. 

b 

> 0 ⇔ ( a, 

b 

 

) nhoïn + a. 

b 

< 0 ⇔ ( a, 

b ) tuø 

 

a. 

b 

= 0 ⇔ ( a, 

b ) vuoâng. 

3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng 

• Cho a = (a 1 , a 2 ), b 

= (b 1 , b 2 ). Khi đó: a. b = a b + a b . 

 

• a = a + a 

2 2 

1 2 

; 

 

cos( a, b) 

= 

a b 

+ a b 

1 1 2 2 

2 2 2 2 

1 2 1 2 

a + a . b + b 

1 1 2 2 

; 

 

; a ⊥ b ⇔ a b + a b = 

2 2 

• Cho A( xA; yA), B( xB; yB). Khi đó: AB = ( xB − xA) + ( yB − yA) 

. 

1 1 2 2 

0 

Baøi 1. Cho 

 

tam giác ABC vuông tại 

 

A, 

 

AB = a, BC = 2a. Tính các 

 

tích 

 

vô hướng: 

a) AB. 

AC 

b) AC. 

CB 

c) AB. 

BC 

Baøi 2. Cho 

 

tam giác ABC đều cạnh 

 

bằng 

 

a. Tính các tích vô hướng: 

 

a) AB. 

AC 

b) AC. 

CB 

c) AB. 

BC 

Baøi 3. Cho bốn điểm A, 

 

B, 

 

C, D 

 

bất kì. 

 

a) Chứng minh: DA. BC + DB. CA + DC. AB = 0 . 

b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui". 

Baøi 4. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh: 

 

BC. AD + CA. BE + AB. CF = 0 . 

Baøi 5. Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của 

hai đường thẳng AM và BN. 

 

a) Chứng minh: AM. AI = AB. AI, BN. BI = BA. 

BI . 

 

b) Tính AM. AI + BN. 

BI theo R. 

Baøi 6. Cho tam 

 

giác 

 

ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8. 

a) Tính AB. 

AC 

, rồi suy ra giá trị của góc A. 

b) Tính CA. 

CB . 

 

c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CD. 

CB . 

Baøi 7. Cho 

 

hình vuông ABCD cạnh 

 

a. Tính 

 

giá 

 

trị các 

 

biểu thức 

 

sau: 

 

a) AB. 

AC 

b) ( AB + AD)( BD + BC) 

c) ( AC − AB)(2 AD − AB) 

 

 

d) AB. 

BD 

e) ( AB + AC + AD)( DA + DB + DC) 

HD: a) a 2 b) a 2 c) 2 a 2 d) − a 2 e) 0 


 

giác 

 

ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3. 

a) Tính AB. 

AC , rồi suy ra cosA. 

 

b) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC. Tính AG. 

BC . 

 

c) Tính giá trị biểu thức S = GA. GB + GB. GC + GC. 

GA . 

d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC 

(D ∈ BC). Tính AD theo AB, 

AC , suy ra 

AD. 

3 1 

HD: a) AB. 

AC = − , cos A 

2 

= − 4 

b) 

AG . BC = 

5 

29 

c) S = − 

3 

6 

AB 

d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB = DC 

AC . 

3 2 54 

⇒ AD = AB + AC , AD = 

5 5 

5 

Baøi 9. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 60 0 . M là trung điểm của BC. 




a) Tính BC, AM. 

 

b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: 2IA + IB = 0, JB = 2JC 

. 

HD: a) BC = 19 , AM = 

7 

2 

b) IJ = 2 133 

3 

Baøi 10. Cho tứ giác ABCD. 

 

2 2 2 2 

a) Chứng minh AB − BC + CD − DA = 2 AC. 

DB . 

b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là: 

2 2 2 2 

AB + CD = BC + DA . 

Baøi 11. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh: 

1 

MH. 

MA = BC 2 . 

4 

Baøi 12. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh: 

 

2 2 2 2 

a) MA + MC = MB + MD b) MA. MC = MB. 

MD 

 

2 

c) MA + MB. MD = 2 MA. 

MO (O là tâm của hình chữ nhật). 

Baøi 13. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0). 

a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC. 

 

b) Tìm toạ độ điểm M biết CM = 2AB − 3AC 

. 

c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 


 

giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8). 

a) Tính AB. 

AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. 

b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 

c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC. 

d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC. 

e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng. 

f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N. 

g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật. 

h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO. 

 

i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA + 2TB − 3TC 

= 0 

k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B. 

l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ∆ABC. 

Baøi 15. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho: 

 

 

2 

a) MA = 2 MA. 

MB 

b) ( MA − MB)(2 MB − MC) = 0 

 

 

2 

c) ( MA + MB)( MB + MC) = 0 d) 2 MA + MA. MB = MA. 

MC 

Baøi 16. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho: 

 

 

a) MA. MC + MB. 

MD = a 2 

b) MA. MB + MC. MD = 5a 2 

 

2 2 2 2 

c) MA + MB + MC = 3MD 

d) ( MA + MB + MC)( MC − MB) = 3a 2 

Baøi 17. Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M 

1 

sao cho: MA. MB + MC. 

MD = IJ 2 . 

2 

III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 

Cho ∆ABC có: 

– độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c 

– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: m a , m b , m c 

– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: h a , h b , h c 

– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r 



1. Định lí côsin 

2 2 2 

– nửa chu vi tam giác: p 

– diện tích tam giác: S 

2 2 2 

2 2 2 

a = b + c − 2 bc.cos 

A ; b = c + a − 2 ca.cos 

B ; c = a + b − 2 ab.cosC 

2. Định lí sin 

a b c 

= = = 

sin A sin B sinC 2R 

3. Độ dài trung tuyến 

2 2 2 

2 2 2 

2 2( b + c ) − a 

2 2( a + c ) − b 

2 2( a + b ) − c 

ma 

= ; mb 

= ; mc 

= 

4 

4 

4 

4. Diện tích tam giác 

1 1 1 

S = aha = bhb = chc 

2 2 2 

= 1 bcsin A = 1 casin B = 

1 absinC 

2 2 2 

= abc 4R 

= pr 

= p( p − a)( p − b)( p − c) 

(công thức Hê–rông) 

A 

2 2 2 

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước. 

5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại) 

Cho ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao. 

2 2 2 

• BC = AB + AC (định lí Pi–ta–go) 

2 

2 

• AB = BC. 

BH , AC = BC. 

CH 

2 

1 1 1 

• AH = BH. 

CH , 

= + 

2 2 2 

AH AB AC 

B H C 

• AH. BC = AB. 

AC 

• b = a.sin B = a.cosC = c tan B = c cot C ; c = a.sin C = a.cos B = b tanC = b cot C 

6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung) 

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định. 

• Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD. 

 

P M/(O) = MA. MB = MC. 

MD = MO − R 

• Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT. 

2 2 2 

P M/(O) = MT = MO − R 

2 2 

M 

A 

C 

T 

O 

D 

R 

B 

Baøi 1. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có; 

a) a = b.cos 

C + c.cos 

B 

b) sin A = sin B cosC + sinC cos B 

2 2 2 3 2 2 2 

c) ha 

= 2Rsin BsinC 

d) ma + mb + mc 

= ( a + b + c ) 

4 

1 

 

2 2 

e) S ( ) 

ABC 

AB . AC AB. 

AC 2 

∆ 

= − 

2 

Baøi 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 




a) Nếu b + c = 2a thì 

2 1 1 

= + b) Nếu bc = a 2 thì sin BsinC = sin 2 A, 

hbhc = h 

2 

a 

h h h 

a b c 

2 2 2 

c) A vuông ⇔ mb + mc = 5ma 

Baøi 3. Cho tứ giác lồi ABCD, gọi α là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD. 

1 

a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: S = AC. BD.sinα 

. 

2 

b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc. 

Baøi 4. Cho ∆ABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH. 

2 2 

a) Chứng minh AH = a.sin B.cos B, BH = a.cos B, CH = a.sin 

B . 

2 2 

b) Từ đó suy ra AB = BC. BH, AH = BH. 

HC . 

Baøi 5. Cho ∆AOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao. Đặt OA = a, AOH = α . 

a) Tính các cạnh của ∆OAK theo a và α. 

b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và α. 

c) Từ đó tính sin 2 α, cos2 α, tan 2α theo sin α, cos α, tanα . 

Baøi 6. Giải tam giác ABC, biết: 

a) 

0 

c A B 

0 

= 14; = 60 ; = 40 

b) b = 4,5; A 

 

= 30 0 ; C 

 

= 75 

0 

c) 

0 

c A C 

0 

= 35; = 40 ; = 120 

d) a = 137,5; B 

 

= 83 0 ; C 

 

= 57 

0 


a) a b C 

0 

= 6,3; = 6,3; = 54 

b) b c A 

0 

= 32; = 45; = 87 

c) a b C 

0 

= 7; = 23; = 130 

d) b c A 

0 

= 14; = 10; = 145 


a) a = 14; b = 18; c = 20 

b) a = 6; b = 7,3; c = 4,8 

c) a = 4; b = 5; c = 7 

d) a = 2 3; b = 2 2; c = 6 − 2 

Baøi 1. Chứng minh các đẳng thức sau: 

a) 

c) 

e) 

f) 

sin x 1+ 

cos x 2 

+ = 

1+ 

cos x sin x sin x 

2 

⎛ 2 

tan x −1⎞ 

1 

⎜ ⎟ − 

= −1 

⎝ 2 tan x ⎠ 2 2 

4sin x.cos 

x 

2 2 


sin x cos x 

− = sin x − cos x 

cos x(1 + tan x) sin x(1 + cot x) 

⎛ x 

x 

x 

cos ⎞ ⎛ 

x 

sin ⎞ 

⎜ tan + ⎟. ⎜ cot + ⎟ = 

1 

⎝ 1+ sin x ⎠ ⎝ 1+ 

cos x ⎠ sin x.cos 

x 

2 2 2 2 2 

g) cos x(cos x + 2sin x + sin x tan x) = 1 

b) 

d) 

3 3 

sin x + cos x 

= 1− 

sin x.cos 

x 

sin x + cos x 

2 2 

cos x − sin x 

= 1+ 

tan 

4 4 2 

sin x + cos x − sin x 

0 5 −1 

Baøi 2. Biết sin18 = . Tính cos18 0 , sin72 0 , sin162 0 , cos162 0 , sin108 0 , cos108 0 , tan72 0 . 

4 

Baøi 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

4 2 2 

4 2 2 

a) A = cos x − cos x + sin x 

b) B = sin x − sin x + cos x 

 

Baøi 4. Cho các vectơ a , b 

 

. 

 

 

, , biết a, b ≠ 0 và hai vectơ u = a + 2 b, v = 5a − 4b 

vuông góc. 

a) Tính góc ( a b) 


2 

x


 

b) Tính a + b 

 

, biết a = 11, b = 23, a − b = 30 . 

 

c) Tính góc ( a b 

 

, ) , biết ( a + 3 b) ⊥ (7a − 5 b), ( a − 4 b) ⊥ (7a − 2 b) 

. 

 

0 

d) Tính a − b , 2a + 3b 

, biết a = 3, b = 2, ( a, b) = 120 . 

 

e) Tính a , b , biết a + b = 2, a − b = 4, (2 a + b) ⊥ ( a + 3 b) 

. 

Baøi 5. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 6. 

 

a) Tính AB. 

AC và cosA. 

 

b) M, N là hai điểm được xác định bởi AM 2 

= AB, 

AN = 

3 

AC . Tính MN. 

3 4 

Baøi 6. Cho hình bình hành ABCD có AB = 3 , AD = 1, BAD 

0 

= 60 

 

. 

a) Tính AB. AD, BA. 

BC . 

 

b) Tính độ dài hai đường chéo AC và BD. Tính cos ( AC, 

BD) 

. 

Baøi 7. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân 

đỉnh A là ABD và ACE. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI ⊥ DE. 

Baøi 8. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là trực tâm 

của các tam giác ABO và CDO. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng 

minh HK ⊥ IJ. 

Baøi 9. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, M là trung điểm cạnh AB. Trên đường chéo 

AC lấy điểm N sao cho 3 AN = AC . 4 

a) Chứng minh DN vuông góc với MN. 

 

b) Tính tổng DN. NC + MN. 

CB . 

Baøi 10. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 

 

 

a) AB 

 

. AM 

 

− AC 

 

. AM = 

 

0 

b) AB 

 

. AM 

 

+ AC. AM 

 

= 0 

 

c) ( MA + MB)( MA + MC) = 0 d) ( MA + MB + 2 MC)( MA + 2 MB + MC) = 0 

Baøi 11. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: 

2 2 

2 2 

a) b − c = a( b.cos C − c.cos B) 

b) ( b − c ) cos A = a( c.cos C − b.cos B) 

b) sin A = sin B.cosC + sin C.cos B = sin( B + C) 

Baøi 12. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: 

a) Nếu ( a + b + c)( b + c − a) = 3bc 

thì A 

0 

= 60 . 

3 3 3 

b) Nếu b + c − a = a 

b + c − a 

2 

thì A 

0 

= 60 . 

c) Nếu cos( A + C) + 3cos B = 1 thì B 

0 

= 60 . 

2 2 2 2 

d) Nếu b( b − a ) = c( a − c ) thì A 

0 

= 60 . 

Baøi 13. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: 

2 2 

a) Nếu b − a = b cos A − a cos B thì ∆ABC cân đỉnh C. 

2c 

sin B 

b) Nếu = 2 cos A thì ∆ABC cân đỉnh B. 

sinC 

c) Nếu a = 2 b.cosC 

thì ∆ABC cân đỉnh A. 

b c a 

d) Nếu 

cos B + cosC = sin B.sinC 

thì ∆ABC vuông tại A. 

2 

e) Nếu S = 2R sin B.sinC 

thì ∆ABC vuông tại A. 

Baøi 14. Cho ∆ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông 




2 2 2 

góc với nhau là: b + c = 5a 

. 


a) Có a = 5, b = 6, c = 3. Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho BM 

= 2, BK = 2. Tính MK. 

b) Có cos A = 5 , điểm D thuộc cạnh BC sao cho ABC 

= DAC 

, DA = 6, BD = 16 . Tính 

9 

3 

chu vi tam giác ABC. 

HD: a) MK = 8 30 

15 

b) AC = 5, BC = 25 , AB = 10 

3 

2 2 

Baøi 16. Cho một tam giác có độ dài các cạnh là: x + x + 1; 2x + 1; x − 1. 

a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên. 

0 

b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc bằng 120 . 

Baøi 17. Cho ∆ABC có B 

0 

< 90 , AQ và CP là các đường cao, S 

ABC 

= 9S 

BPQ 

. 

a) Tính cosB. 

b) Cho PQ = 2 2 . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. 

HD: a) cos B = 1 b) R = 

9 3 

2 


0 

a) Có B 

= 60 , R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp. Tính bán kính của đường tròn ngoại 

tiếp ∆ACI. 

0 

b) Có A 

= 90 , AB = 3, AC = 4, M là trung điểm của AC. Tính bán kính đường tròn 

ngoại tiếp ∆BCM. 

c) Có a = 4, b = 3, c = 2, M là trung điểm của AB. Tính bán kính của đường tròn ngoại 

tiếp ∆BCM. 

HD: a) R = 2 b) R = 5 13 c) R = 

8 23 

6 

3 30 

Baøi 19. Cho hai đường tròn (O 1 , R) và (O 2 , r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Một đường thẳng 

tiếp xúc với hai đường tròn tại C và D. Gọi N là giao điểm của AB và CD (B nằm giữa 

A và N). Đặt AO C = α, 

AO D = β . 

1 2 

a) Tính AC theo R và α; AD theo r và β. 

b) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ACD. 

α β 

HD: a) AC = 2Rsin , AD = 2r 

sin b) Rr . 

2 2 

Baøi 20. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AC, BD = a, CAB 

= α , 

CAD 

= β . 

a) Tính AC. b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, α, β. 

a 

a 

2 cos( β −α) 

HD: a) AC = 

b) S = 

. 

sin( α + β ) 

2sin( α + β ) 

∆ 

∆ 



CHƯƠNG III 

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng 

 

Vectơ u ≠ 0 

 

đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc 

trùng với ∆. 

Nhận xét: – Nếu u là một VTCP của ∆ thì ku (k ≠ 0) cũng là một VTCP của ∆. 

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP. 

2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 

 

Vectơ n ≠ 0 

 

đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆. 

Nhận xét: – Nếu n là một VTPT của ∆ thì kn (k ≠ 0) cũng là một VTPT của ∆. 

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT. 

– Nếu u là một VTCP và n 

là một VTPT của ∆ thì u ⊥ n . 

3. Phương trình tham số của đường thẳng 

 

Cho đường thẳng ∆ đi qua M0( x0; y0) và có VTCP u = ( u1; u2 

) . 

Phương trình tham số của ∆: 

I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 

⎧ x = x + tu 

⎨ 

⎩y = y + tu 

0 1 

0 2 

⎧ x = x tu 

Nhận xét: – M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃ t ∈ R: 

0 

+ 

1 

⎨ . 

⎩y = y0 + tu2 

– Gọi k là hệ số góc của ∆ thì: 

+ k = tanα, với α = xAv , α ≠ 90 . 

(1) ( t là tham số). 

0 

+ k = u u2 

1 

, với u 1 

≠ 0 . 

4. Phương trình chính tắc của đường thẳng 

 

Cho đường thẳng ∆ đi qua M0( x0; y0) và có VTCP u = ( u1; u2 

) . 

Phương trình chính tắc của ∆: 

x − x0 y − y0 

= (2) (u 1 ≠ 0, u 2 ≠ 0). 

u u 

1 2 

Chú ý: Trong trường hợp u 1 = 0 hoặc u 2 = 0 thì đường thẳng không có phương trình 

chính tắc. 

5. Phương trình tham số của đường thẳng 

2 2 

PT ax + by + c = 0 với a + b ≠ 0 đgl phương trình tổng quát của đường thẳng. 

Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax + by + c = 0 thì ∆ có: 

 

 

 

VTPT là n = ( a; b) 

và VTCP u = ( −b; a) 

hoặc u = ( b; −a) 

. 

 

– Nếu ∆ đi qua M0( x0; y0) và có VTPT n = ( a; b) 

thì phương trình của ∆ là: 

Các trường hợp đặc biệt: 

a( x − x ) + b( y − y ) = 0 

0 0 




Các hệ số Phương trình đường thẳng ∆ Tính chất đường thẳng ∆ 

c = 0 ax + by = 0 

∆ đi qua gốc toạ độ O 

a = 0 by + c = 0 

∆ // Ox hoặc ∆ ≡ Ox 

b = 0 ax + c = 0 

∆ // Oy hoặc ∆ ≡ Oy 

• ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình của ∆: x y 

a + b = 1. 

(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) . 

• ∆ đi qua điểm M0( x0; y0) và có hệ số góc k: Phương trình của ∆: y − y0 = k( x − x0) 

(phương trình đường thẳng theo hệ số góc) 

6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng 

Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a x + b y + c = và ∆ 2 : a x + b y + c = . 

1 1 1 

0 

2 2 2 

0 

Toạ độ giao điểm của ∆ 1 và ∆ 2 là nghiệm của hệ phương trình: 

⎧ a1x + b1 y + c1 

= 0 

⎨ 

(1) 

⎩a2 x + b2 y + c2 

= 0 

• ∆ 1 cắt ∆ 2 ⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔ a 1 b 1 

≠ (nếu a2 , b2 , c2 

≠ 0 ) 

a b 

2 2 

• ∆ 1 // ∆ 2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔ a 1 b 1 c 1 

= ≠ (nếu a2 , b2 , c2 

≠ 0 ) 

a b c 

2 2 2 

• ∆ 1 ≡ ∆ 2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ a 1 b 1 c 1 

= = (nếu a2 , b2 , c2 

≠ 0 ) 

a b c 

2 2 2 

7. Góc giữa hai đường thẳng 

 

Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a1x + b1 y + c1 = 0 (có VTPT n1 = ( a1; b1 

) ) 

 

và ∆ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 (có VTPT n2 = ( a2; b2 

) ). 

 

⎧ 0 

⎪( n1 , n2 ) khi ( n1, n2 

) ≤ 90 

( ∆1 , ∆2 ) = ⎨ 0 0 

⎪⎩ 180 − ( n1, n2 ) khi ( n1, n2 

) > 90 

n n 

1. 

2 

n n 

a 1 b 1 

+ a 2 b 2 

cos( ∆1 , ∆2 ) = cos( 

1, 2) 

= = 

n n 2 2 2 2 

1 

. 

2 a + b . a + b 

1 1 2 2 

Chú ý: • ∆ 1 ⊥ ∆ 2 ⇔ a1a2 + b1b 

2 

= 0 . 

• Cho ∆ 1 : y = k1x + m1 

, ∆ 2 : y = k2x + m2 

thì: 

+ ∆ 1 // ∆ 2 ⇔ k 1 = k 2 + ∆ 1 ⊥ ∆ 2 ⇔ k 1 . k 2 = –1. 

8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 

• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 

Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và điểm M ( x ; y ) . 

0 0 0 

ax0 + by0 

+ c 

d( M0, ∆) 

= 

2 2 

a + b 

• Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng 

Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và hai điểm M( xM; yM ), N( xN ; yN 

) ∉ ∆. 

– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔ ( axM + byM + c)( axN + byN 

+ c) > 0 . 

– M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔ ( axM + byM + c)( axN + byN 

+ c) < 0 . 

• Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 



Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a x + b y + c = và ∆ 2 : a x + b y + c = cắt nhau. 

1 1 1 

0 

2 2 2 

0 

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 là: 

a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2 

= ± 

2 2 2 2 

a + b a + b 

1 1 2 2 

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng 

• Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ ta cần xác 

 

định một điểm M0( x0; y0) ∈ ∆ và một VTCP u = ( u1; u2 

) của ∆. 

⎧ x = x tu 

PTTS của ∆: 

0 

+ 

1 

⎨ ; PTCT của ∆: x − x 0 y − y 0 

= (u 1 ≠ 0, u 2 ≠ 0). 

⎩y = y0 + tu2 

u1 u2 

• Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta cần xác định một điểm 

 

M0( x0; y0) ∈ ∆ và một VTPT n = ( a; b) 

của ∆. 

PTTQ của ∆: a( x − x ) + b( y − y ) = 0 

0 0 

• Một số bài toán thường gặp: 

+ ∆ đi qua hai điểm A( xA; yA) , B( xB; yB 

) (với xA ≠ xB, 

yA ≠ yB 

): 

x − xA y − yA 

PT của ∆: = 

x − x y − y 

B A B A 

+ ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): PT của ∆: x y 

a + b = 1. 

+ ∆ đi qua điểm M0( x0; y0) và có hệ số góc k: PT của ∆: y − y0 = k( x − x0) 

Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của một 

đường thẳng. 

• Để tìm điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau: 

Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và vuông góc với d. 

– Xác định I = d ∩ ∆ (I là hình chiếu của M trên d). 

– Xác định M′ sao cho I là trung điểm của MM′. 

Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM′. Khi đó: 

 

⎧⎪ 

M′ đối xứng của M qua d ⇔ MM′ 

⊥ u 

⎨ d (sử dụng toạ độ) 

⎪ ⎩I 

∈ d 

• Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, ta 

có thể thực hiện như sau: 

– Nếu d // ∆: 

+ Lấy A ∈ d. Xác định A′ đối xứng với A qua ∆. 

+ Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và song song với d. 

– Nếu d ∩ ∆ = I: 

+ Lấy A ∈ d (A ≠ I). Xác định A′ đối xứng với A qua ∆. 

+ Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và I. 

• Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, ∆, ta có 

thể thực hiện như sau: 

– Lấy A ∈ d. Xác định A′ đối xứng với A qua I. 

– Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và song song với d. 

Baøi 1. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP u : 


Hình học 10 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk 

 

 

 

a) M(–2; 3) , u = (5; −1) 

b) M(–1; 2), u = ( −2;3) 

c) M(3; –1), u = ( −2; −5) 

 

 

 

d) M(1; 2), u = (5;0) 

e) M(7; –3), u = (0;3) f) M ≡ O(0; 0), u = (2;5) 

Baøi 2. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT n : 

 

 

 

a) M(–2; 3) , n = (5; −1) 

b) M(–1; 2), n = ( −2;3) 

c) M(3; –1), n = ( −2; −5) 

 

 

 

d) M(1; 2), n = (5;0) 

e) M(7; –3), n = (0;3) f) M ≡ O(0; 0), n = (2;5) 

Baøi 3. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc 

k: 

a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = 3 c) M(5; 2), k = 1 

d) M(–3; –5), k = –1 e) M(2; –4), k = 0 f) M ≡ O(0; 0), k = 4 

Baøi 4. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B: 

a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8) 

d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2) 

g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6) 

Baøi 5. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song 

với đường thẳng d: 

a) M(2; 3), d: 4x − 10y 

+ 1 = 0 b) M(–1; 2), d ≡ Ox c) M(4; 3), d ≡ Oy 

⎧ x = 1− 

2t 

d) M(2; –3), d: ⎨ e) M(0; 3), d: x − 1 y + 

= 4 

⎩y 

= 3 + 4t 

3 − 2 

Baøi 6. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc 

với đường thẳng d: 

a) M(2; 3), d: 4x − 10y 

+ 1 = 0 b) M(–1; 2), d ≡ Ox c) M(4; 3), d ≡ Oy 

⎧ x = 1− 

2t 

d) M(2; –3), d: ⎨ e) M(0; 3), d: x − 1 y + 

= 4 

⎩y 

= 3 + 4t 

3 − 2 

Baøi 7. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao 

của tam giác với: 

a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2) 

c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6) 

Baøi 8. Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các 

đường cao của tam giác, với: 

a) AB : 2x − 3y − 1 = 0, BC : x + 3y + 7 = 0, CA : 5x − 2y 

+ 1 = 0 

b) AB : 2x + y + 2 = 0, BC : 4x + 5y − 8 = 0, CA : 4x − y − 8 = 0 

Baøi 9. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của 

các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với: 

⎛ 3 5 ⎞ ⎛ 5 7 ⎞ 

a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b) M ⎜ ; − ⎟, N ⎜ ; − ⎟, P(2; −4) 

⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 

⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

⎛ 3 ⎞ ⎛ 7 ⎞ 

c) M ⎜2; − ⎟, N ⎜1; − ⎟, P(1; −2) 

d) M ⎜ ;2 ⎟, N ⎜ ;3 ⎟, P(1;4) 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

Baøi 10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn 

bằng nhau, với: 

a) M(–4; 10) b) M(2; 1) c) M(–3; –2) d) M(2; –1) 

Baøi 11. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành 

một tam giác có diện tích S, với: 

a) M(–4; 10), S = 2 b) M(2; 1), S = 4 c) M(–3; –2), S = 3 d) M(2; –1), S = 4 

Baøi 12. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M′ đối xứng với M qua đường 

thẳng d với: 

a) M(2; 1), d : 2x + y − 3 = 0 

b) M(3; – 1), d : 2x + 5y 

− 30 = 0 

c) M(4; 1), d : x − 2y 

+ 4 = 0 

d) M(– 5; 13), d : 2x − 3y 

− 3 = 0 

Baøi 13. Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, với: 



a) d : 2x − y + 1 = 0, ∆ : 3x − 4y 

+ 2 = 0 b) d : x − 2y + 4 = 0, ∆ : 2x + y − 2 = 0 

c) d : x + y − 1 = 0, ∆ : x − 3y 

+ 3 = 0 d) d : 2x − 3y + 1 = 0, ∆ : 2x − 3y 

− 1 = 0 

Baøi 14. Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với: 

a) d : 2x − y + 1 = 0, I(2;1) 

b) d : x − 2y + 4 = 0, I( − 3;0) 

c) d : x + y − 1 = 0, I(0;3) 

d) d : 2x − 3y + 1 = 0, I ≡ O(0;0) 

VẤN ĐỀ 2: Các bài toán dựng tam giác 

Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một tam 

giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó. 

Để giải loại bài toán này ta thường sử dụng đến các cách dựng tam giác. 

Sau đây là một số dạng: 

Dạng 1: Dựng tam giác ABC, khi biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường cao 

BB′, CC′. 

Cách dựng: 

– Xác định B = BC ∩ BB′, C = BC ∩ CC′. 

– Dựng AB qua B và vuông góc với CC′. 

– Dựng AC qua C và vuông góc với BB′. 

– Xác định A = AB ∩ AC. 

Dạng 2: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao 

BB′, CC′. 

Cách dựng: 

– Dựng AB qua A và vuông góc với CC′. 

– Dựng AC qua A và vuông góc với BB′. 

– Xác định B = AB ∩ BB′, C = AC ∩ CC′. 

Dạng 3: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường trung 

tuyến BM, CN. 

Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM ∩ CN. 

– Xác định A′ đối xứng với A qua G (suy ra BA′ // CN, CA′ // BM). 

– Dựng d B qua A′ và song song với CN. 

– Dựng d C qua A′ và song song với BM. 

– Xác định B = BM ∩ d B , C = CN ∩ d C . 

Dạng 4: Dựng tam giác ABC, khi biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC và trung 

điểm M của cạnh BC. 

Cách dựng: 

– Xác định A = AB ∩ AC. 

– Dựng d 1 qua M và song song với AB. 

– Dựng d 2 qua M và song song với AC. 

– Xác định trung điểm I của AC: I = AC ∩ d 1 . 

– Xác định trung điểm J của AB: J = AB ∩ d 2 . 

 

– Xác định B, C sao cho JB = AJ, 

IC = AI . 

 

Cách khác: Trên AB lấy điểm B, trên AC lấy điểm C sao cho MB = −MC 

. 

Baøi 1. Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường cao. Viết phương trình 

hai cạnh và đường cao còn lại, với: (dạng 1) 

a) AB : 4x + y − 12 = 0, BB′ : 5x − 4y − 15 = 0, CC′ 

: 2x + 2y 

− 9 = 0 

b) BC : 5x − 3y + 2 = 0, BB′ : 4x − 3y + 1 = 0, CC′ 

: 7x + 2y 

− 22 = 0 

c) BC : x − y + 2 = 0, BB′ : 2x − 7y − 6 = 0, CC′ 

: 7x − 2y 

− 1 = 0 

d) BC : 5x − 3y + 2 = 0, BB′ : 2x − y − 1 = 0, CC′ 

: x + 3y 

− 1 = 0 




Baøi 2. Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường cao. Viết phương 

trình các cạnh của tam giác đó, với: (dạng 2) 

a) A(3;0), BB′ : 2x + 2y − 9 = 0, CC′ 

: 3x −12y 

− 1 = 0 

b) A(1;0), BB′ : x − 2y + 1 = 0, CC′ 

: 3x + y − 1 = 0 

Baøi 3. Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến. Viết 

phương trình các cạnh của tam giác đó, với: (dạng 3) 

a) A(1;3), BM : x − 2y + 1 = 0, CN : y − 1 = 0 

b) A(3;9), BM : 3x − 4y + 9 = 0, CN : y − 6 = 0 

Baøi 4. Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường trung tuyến. Viết 

phương trình các cạnh còn lại của tam giác đó, với: 

a) AB : x − 2y + 7 = 0, AM : x + y − 5 = 0, BN : 2x + y − 11 = 0 

HD: a) AC :16x + 13y − 68 = 0, BC :17x + 11y 

− 106 = 0 

Baøi 5. Cho tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh và toạ độ trung điểm của cạnh thứ ba. 

Viết phương trình của cạnh thứ ba, với: (dạng 4) 

a) AB : 2x + y − 2 = 0, AC : x + 3y − 3 = 0, M( − 1;1) 

b) AB : 2x − y − 2 = 0, AC : x + y + 3 = 0, M(3;0) 

c) AB : x − y + 1 = 0, AC : 2x + y − 1 = 0, M(2;1) 

d) AB : x + y − 2 = 0, AC : 2x + 6y + 3 = 0, M( − 1;1) 

Baøi 6. Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh, phương trình một đường cao và một trung 

tuyến. Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với: 

a) A(4; −1), BH : 2x − 3y + 12 = 0, BM : 2x + 3y 

= 0 

b) A(2; − 7), BH : 3x + y + 11 = 0, CN : x + 2y 

+ 7 = 0 

c) A(0; −2), BH : x − 2y + 1 = 0, CN : 2x − y + 2 = 0 

d) A( −1;2), BH : 5x − 2y − 4 = 0, CN : 5x + 7y 

− 20 = 0 

Baøi 7. 

a) 

VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng 

Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a x + b y + c = và ∆ 2 : a x + b y + c = . 

1 1 1 

0 

2 2 2 

0 

Toạ độ giao điểm của ∆ 1 và ∆ 2 là nghiệm của hệ phương trình: 

⎧ a1x + b1 y + c1 

= 0 

⎨ 

(1) 

⎩a2 x + b2 y + c2 

= 0 

• ∆ 1 cắt ∆ 2 ⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔ a 1 b 1 

≠ (nếu a2 , b2 , c2 

≠ 0 ) 

a b 

2 2 

• ∆ 1 // ∆ 2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔ a 1 b 1 c 1 

= ≠ (nếu a2 , b2 , c2 

≠ 0 ) 

a b c 

2 2 2 

• ∆ 1 ≡ ∆ 2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ a 1 b 1 c 1 

= = (nếu a2 , b2 , c2 

≠ 0 ) 

a b c 

2 2 2 

Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau: 

– Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng. 

– Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó. 

Baøi 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ độ 



giao điểm của chúng: 

a) 2x + 3y + 1 = 0, 4x + 5y 

− 6 = 0 b) 4x − y + 2 = 0, − 8x + 2y 

+ 1 = 0 

⎧x = 5 + t ⎧x = 4 + 2t 

⎧x = 1− t ⎧x = 2 + 3t 

c) ⎨ , ⎨ 

d) ⎨ , ⎨ 

⎩y = − 3 + 2t ⎩y = − 7 + 3t 

⎩y = − 2 + 2t ⎩y = −4 − 6t 

⎧ x = 5 + t 

e) ⎨ , 

⎩y 

= − 1 

x + y − 5 = 0 f) x = 2, x + 2y 

− 4 = 0 

Baøi 2. Cho hai đường thẳng d và ∆. Tìm m để hai đường thẳng: 

i) cắt nhau ii) song song iii) trùng nhau 

a) d : mx − 5y + 1 = 0, ∆ : 2x + y − 3 = 0 

b) d : 2 mx + ( m −1) y − 2 = 0, ∆ : ( m + 2) x + (2m + 1) y − ( m + 2) = 0 

c) d : ( m − 2) x + ( m − 6) y + m − 1 = 0, ∆ : ( m − 4) x + (2m − 3) y + m − 5 = 0 

d) d : ( m + 3) x + 2y + 6 = 0, ∆ : mx + y + 2 − m = 0 

Baøi 3. Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui: 

a) y = 2x − 1, 3x + 5y = 8, ( m + 8) x − 2my = 3m 

b) y = 2 x − m, y = − x + 2 m, mx − ( m − 1) y = 2m 

− 1 

c) 5x + 11y = 8, 10x − 7y = 74, 4 mx + (2m − 1) y + m + 2 

d) 3x − 4y + 15 = 0, 5x + 2y − 1 = 0, mx − (2m − 1) y + 9m 

− 13 = 0 

Baøi 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d 1 và d 2 và: 

a) d : 3x − 2y + 10 = 0, d : 4x + 3y − 7 = 0, d qua A(2;1) 

1 2 

b) d : 3x − 5y + 2 = 0, d : 5x − 2y + 4 = 0, d song song d : 2x − y + 4 = 0 

1 2 3 

c) d : 3x − 2y + 5 = 0, d : 2x + 4y − 7 = 0, d vuoâng goùc d : 4x − 3y 

+ 5 = 0 

1 2 3 

Baøi 5. Tìm điểm mà các đường thẳng sau luôn đi qua với mọi m: 

a) ( m − 2) x − y + 3 = 0 

b) mx − y + (2m 

+ 1) = 0 

c) mx − y − 2m 

− 1 = 0 

d) ( m + 2) x − y + 1 = 0 

Baøi 6. Cho tam giác ABC với A(0; –1), B(2; –3), C(2; 0). 

a) Viết phương trình các đường trung tuyến, phương trình các đường cao, phương trình 

các đường trung trực của tam giác. 

b) Chứng minh các đường trung tuyến đồng qui, các đường cao đồng qui, các đường 

trung trực đồng qui. 

Baøi 7. Hai cạnh của hình bình hành ABCD có phương trình x − 3y = 0, 2x + 5y 

+ 6 = 0 , đỉnh 

C(4; –1). Viết phương trình hai cạnh còn lại. 

Baøi 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách đều hai điểm P, Q với: 

a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 5), P(–2; 9), Q(3; –2) 

Baøi 9. 

a) 

VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 

Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và điểm M ( x ; y ) . 

0 0 0 

ax0 + by0 

+ c 

d( M0, ∆) 

= 

2 2 

a + b 

2. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng 

Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và hai điểm M( xM; yM ), N( xN ; yN 

) ∉ ∆. 

– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔ ( axM + byM + c)( axN + byN 

+ c) > 0 . 




– M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔ ( axM + byM + c)( axN + byN 

+ c) < 0 . 

3. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 

Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a x + b y + c = và ∆ 2 : a x + b y + c = cắt nhau. 

1 1 1 

0 

2 2 2 

0 

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 là: 

a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2 

= ± 

2 2 2 2 

a + b a + b 

1 1 2 2 

Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam giác 

ABC ta có thể thực hiện như sau: 

Cách 1: 

– Tìm toạ độ chân đường phân giác trong hoặc ngoài (dựa vào tính chất đường phân 

giác của góc trong tam giác). 

Cho ∆ABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE (D, E ∈ BC) 

AB 

ta có: DB = − DC 

AC . 

AB 

, EB = EC 

AC . 

 

. 

– Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. 

Cách 2: 

– Viết phương trình các đường phân giác d 1 , d 2 của các góc tạo bởi hai đường thẳng 

AB, AC. 

– Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với d 1 (hoặc d 2 ). 

+ Nếu B, C nằm khác phía đối với d 1 thì d 1 là đường phân giác trong. 

+ Nếu B, C nằm cùng phía đối với d 1 thì d 1 là đường phân giác ngoài. 

Baøi 1. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với: 

a) M(4; −5), d : 3x − 4y 

+ 8 = 0 b) M(3;5), d : x + y + 1 = 0 

⎧ x = 2t 

x − 2 y + 1 

c) M(4; −5), d : ⎨ d) M(3;5), d : = 

⎩y 

= 2 + 3t 

2 3 

Baøi 2. 

a) Cho đường thẳng ∆: 2x − y + 3 = 0 . Tính bán kính đường tròn tâm I(–5; 3) và tiếp xúc 

với ∆. 

b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 2 cạnh là: 2x − 3y + 5 = 0, 3x + 2y 

− 7 = 0 và 

đỉnh A(2; –3). Tính diện tích hình chữ nhật đó. 

c) Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng song song: 

d1 x y 2 : 6x 8y 

13 0 Baøi 3. Cho tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC, với: 

a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3) b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4) 

Baøi 4. Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng ∆ một khoảng k, với: 

a) ∆ : 2x − y + 3 = 0, k = 5 

x 3t 

b) ∆ : ⎨ = , k = 3 

⎩y 

= 2 + 4t 

c) ∆ : y − 3 = 0, k = 5 

d) ∆ : x − 2 = 0, k = 4 

Baøi 5. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ và cách điểm A một 

khoảng bằng k, với: 

a) ∆ : 3x − 4y + 12 = 0, A(2;3), k = 2 b) ∆ : x + 4y − 2 = 0, A( − 2;3), k = 3 

c) ∆ : y − 3 = 0, A(3; − 5), k = 5 d) ∆ : x − 2 = 0, A(3;1), k = 4 

Baøi 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng d, với: 

a) A(–1; 2), B(3; 5), d = 3 b) A(–1; 3), B(4; 2), d = 5 

c) A(5; 1), B(2; –3), d = 5 d) A(3; 0), B(0; 4), d = 4. 



Baøi 7. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách đều hai điểm P, Q, với: 

a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 2), P(2; 3), Q(4; –5) 

c) M(10; 2), P(3; 0), Q(–5; 4) d) M(2; 3), P(3; –1), Q(3; 5) 

Baøi 8. Viết phương trình đường thẳng d cách điểm A một khoảng bằng h và cách điểm B một 

khoảng bằng k, với: 

a) A(1; 1), B(2; 3), h = 2, k = 4 b) A(2; 5), B(–1; 2), h = 1, k = 3 

Baøi 9. Cho đường thẳng ∆: x − y + 2 = 0 và các điểm O(0; 0), A(2; 0), B(–2; 2). 

a) Chứng minh đường thẳng ∆ cắt đoạn thẳng AB. 

b) Chứng minh rằng hai điểm O, A nằm cùng về một phía đối với đường thẳng ∆. 

c) Tìm điểm O′ đối xứng với O qua ∆. 

d) Trên ∆, tìm điểm M sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất. 

Baøi 10. Cho hai điểm A(2; 2), B(5; 1). Tìm điểm C trên đường thẳng ∆: x − 2y 

+ 8 = 0 sao cho 

diện tích tam giác ABC bằng 17 (đvdt). 

⎛ 76 18 ⎞ 

HD: C(12;10), C ⎜ − ; − ⎟ 

⎝ 5 5 ⎠ . 

Baøi 11. Tìm tập hợp điểm. 

a) Tìm tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: − 2x + 5y 

− 1 = 0 một khoảng bằng 3. 

b) Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng d : 5x + 3y − 3 = 0, ∆ : 5x + 3y 

+ 7 = 0 . 

c) Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng d : 4x − 3y + 2 = 0, ∆ : y − 3 = 0 . 

d) Tìm tập hợp các điểm có tỉ số các khoảng cách đến hai đường thẳng sau bằng 5 

13 : 

d : 5x − 12y 

+ 4 = 0 và ∆ : 4x − 3y 

− 10 = 0 . 

Baøi 12. Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng: 

a) 3x − 4y + 12 = 0, 12x + 5y 

− 20 = 0 b) 3x − 4y − 9 = 0, 8x − 6y 

+ 1 = 0 

c) x + 3y − 6 = 0, 3x + y + 2 = 0 d) x + 2y − 11 = 0, 3x − 6y 

− 5 = 0 

Baøi 13. Cho tam giác ABC. Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: 

a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) 

b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3) 

c) AB : 2x − 3y + 21 = 0, BC : 2x + 3y + 9 = 0, CA : 3x − 2y 

− 6 = 0 

d) AB : 4x + 3y + 12 = 0, BC : 3x − 4y − 24 = 0, CA : 3x + 4y 

− 6 = 0 

Baøi 14. 

a) 

VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai đường thẳng 

 

Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a1x + b1 y + c1 = 0 (có VTPT n1 = ( a1; b1 

) ) 

 

và ∆ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 (có VTPT n2 = ( a2; b2 

) ). 

 

⎧ 0 

⎪( n1 , n2 ) khi ( n1, n2 

) ≤ 90 

( ∆1 , ∆2 ) = ⎨ 0 0 

⎪⎩ 180 − ( n1, n2 ) khi ( n1, n2 

) > 90 

n n 

1. 

2 

n n 

a 1 b 1 

+ a 2 b 2 

cos( ∆1 , ∆2 ) = cos( 

1, 2) 

= = 

n n 2 2 2 2 

1 

. 

2 a1 + b1 . a2 + b2 

0 

Chú ý: • ( 

0 

0 ≤ ∆ , ∆ ) ≤ 90 . 

1 2 

• ∆ 1 ⊥ ∆ 2 ⇔ a1a2 + b1b 

2 

= 0 . 




• Cho ∆ 1 : y = k1x + m1 

, ∆ 2 : y = k2x + m2 

thì: 

+ ∆ 1 // ∆ 2 ⇔ k 1 = k 2 + ∆ 1 ⊥ ∆ 2 ⇔ k 1 . k 2 = –1. 

• Cho ∆ABC. Để tính góc A trong ∆ABC, ta có thể sử dụng công thức: 

 

AB. 

AC 

cos A = cos ( AB, 

AC) = 

AB . AC 

Baøi 1. Tính góc giữa hai đường thẳng: 

a) x − 2y − 1 = 0, x + 3y 

− 11 = 0 b) 2x − y + 5 = 0, 3x + y − 6 = 0 

c) 3x − 7y + 26 = 0, 2x + 5y 

− 13 = 0 d) 3x + 4y − 5 = 0, 4x − 3y 


Baøi 2. Tính số đo của các góc trong tam giác ABC, với: 

a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) 

b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3) 

c) AB : 2x − 3y + 21 = 0, BC : 2x + 3y + 9 = 0, CA : 3x − 2y 

− 6 = 0 

d) AB : 4x + 3y + 12 = 0, BC : 3x − 4y − 24 = 0, CA : 3x + 4y 

− 6 = 0 

Baøi 3. Cho hai đường thẳng d và ∆. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng đó bằng α, với: 

a) d : 2 mx + ( m − 3) y + 4m − 1 = 0, ∆ : ( m − 1) x + ( m + 2) y + m − 2 = 0, α = 45 . 

b) d : ( m + 3) x − ( m − 1) y + m − 3 = 0, ∆ : ( m − 2) x + ( m + 1) y − m − 1 = 0, α = 90 . 

Baøi 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và tạo với đường thẳng ∆ một góc α, 

với: 

0 

a) A(6;2), ∆ : 3x + 2y 

− 6 = 0, α = 45 b) A( − 2;0), ∆ : x + 3y 

− 3 = 0, α = 45 

0 

c) A(2;5), ∆ : x + 3y 

+ 6 = 0, α = 60 

d) A(1;3), ∆ : x − y = 0, α = 30 

Baøi 5. Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; –1) và phương trình một cạnh là 3x 

− y + 5 = 0 . 

a) Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông. 

b) Tìm toạ độ 4 đỉnh của hình vuông. 

Baøi 6. 

a) 

0 

0 

0 

0 



1. Phương trình đường tròn 

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 

2 2 2 

Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: ( x − a) + ( y − b) 

= R . 

2 2 

2 2 

Nhận xét: Phương trình x + y + 2ax + 2by + c = 0 , với a + b − c > 0 , là phương trình 

2 2 

đường tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a + b − c . 

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn 

Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆. 

∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d( I, ∆ ) = R 

VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn 

2 2 2 

• Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: ( x − a) + ( y − b) 

= R 

thì (C) có tâm I(a; b) và bán kính R. 

2 2 

• Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = 0 

2 2 2 

thì – Biến đổi đưa về dạng ( x − a) + ( y − b) 

= R 

2 2 

hoặc – Tâm I(–a; –b), bán kính R = a + b − c . 

2 2 

Chú ý: Phương trình x + y + 2ax + 2by + c = 0 là phương trình đường tròn nếu thoả 

2 2 

mãn điều kiện: a + b − c > 0 . 

Baøi 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn. Tìm tâm và 

bán kính của đường tròn đó: 

2 2 

2 2 

a) x + y − 2x − 2y 

− 2 = 0 

b) x + y − 6x + 4y 

− 12 = 0 

2 2 

2 2 

c) x + y + 2x − 8y 

+ 1 = 0 

d) x + y − 6x 

+ 5 = 0 

Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn: 

2 2 

a) x + y + 4mx − 2my + 2m 

+ 3 = 0 

2 2 2 

b) x + y − 2( m + 1) x + 2my + 3m 

− 2 = 0 

Baøi 3. * Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn: 

2 2 

a) x + y − 6x + 2y ln m + 3ln m + 7 = 0 

2 2 

b) x + y − 2x + 4y + ln( m − 2) + 4 = 0 

2 2 

c) x + y − 4x cos m + 2ysin m − 4 = 0 

VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình đường tròn 

Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính 

R của (C). Khi đó phương trình đường tròn (C) là: 

2 2 2 

( x − a) + ( y − b) 

= R 

Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A. 

– Bán kính R = IA. 

Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆. 

– Bán kính R = d( I, ∆ ) . 

Dạng 3: (C) có đường kính AB. 

– Tâm I là trung điểm của AB. 




– Bán kính R = AB 

2 . 

Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng ∆. 

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. 

– Xác định tâm I là giao điểm của d và ∆. 


Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng ∆. 


⎧I 

∈ d 

– Tâm I của (C) thoả mãn: ⎨ . 

⎩d( I, ∆) 

= IA 


Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm B. 


– Viết phương trình đường thẳng ∆′ đi qua B và vuông góc với ∆. 

– Xác định tâm I là giao điểm của d và ∆′. 


Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 . 

⎧ d( I, ∆ d I 

– Tâm I của (C) thoả mãn: 

1) = ( , ∆2 

) (1) 

⎨ 

⎩d( I, ∆1 

) = IA (2) 


Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi ∆ 1 và ∆ 2 

hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến ∆ 1 và ∆ 2 . 

1 

– Nếu ∆ 1 // ∆ 2 , ta tính R = d ( ∆ 1, ∆ 2) 

, và (2) được thay thế bới IA = R. 

2 

Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d. 

⎧ d( I, ∆ d I 

– Tâm I của (C) thoả mãn: 

I d 1 ) = ( , ∆ 

2 ) 

⎨ . 

⎩ ∈ 

– Bán kính R = d( I, ∆ 

1) 

. 

Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác). 

2 2 

Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = 0 (*). 

– Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình. 

– Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c ⇒ phương trình của (C). 

⎧ IA = IB 

Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn: ⎨ . 

⎩IA 

= IC 

– Bán kính R = IA = IB = IC. 

Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC. 

– Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác 

– Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên. 

– Bán kính R = d( I, AB) . 

Baøi 1. Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với: (dạng 1) 

a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2) 

Baøi 2. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆, với: (dạng 2) 

a) I(3;4), ∆ : 4x − 3y 

+ 15 = 0 b) I(2;3), ∆ : 5x −12y 

− 7 = 0 

c) I( −3;2), ∆ ≡ Ox 

d) I( −3; −5), ∆ ≡ Oy 

Baøi 3. Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với: (dạng 3) 

a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6) 



Baøi 4. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng 

∆, với: (dạng 4) 

a) A(2;3), B( −1;1), ∆ : x − 3y 

− 11 = 0 b) A(0;4), B(2;6), ∆ : x − 2y 

+ 5 = 0 

c) A(2;2), B(8;6), ∆ : 5x − 3y 

+ 6 = 0 

Baøi 5. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng ∆, 

với: (dạng 5) 

a) A(1;2), B(3;4), ∆ : 3x + y − 3 = 0 b) A(6;3), B(3;2), ∆ : x + 2y 

− 2 = 0 

c) A( −1; −2), B(2;1), ∆ : 2x − y + 2 = 0 d) A(2;0), B(4;2), ∆ ≡ Oy 

Baøi 6. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm B, 


a) A( −2;6), ∆ : 3x − 4y − 15 = 0, B(1; − 3) b) A( −2;1), ∆ : 3x − 2y − 6 = 0, B(4;3) 

c) A(6; −2), ∆ ≡ Ox, B(6;0) 

d) A(4; − 3), ∆ : x + 2y − 3 = 0, B(3;0) 

Baøi 7. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 , 


a) A(2;3), ∆ : 3x − 4y + 1 = 0, ∆ : 4x + 3y 

− 7 = 0 

1 2 

b) A(1;3), ∆ : x + 2y + 2 = 0, ∆ : 2x − y + 9 = 0 

1 2 

c) A ≡ O(0;0), ∆ : x + y − 4 = 0, ∆ : x + y + 4 = 0 

1 2 

d) A(3; −6), ∆ ≡ Ox, 

∆ ≡ Oy 

1 2 

Baøi 8. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 và có tâm nằm trên 

đường thẳng d, với: (dạng 8) 

a) ∆ : 3x + 2y + 3 = 0, ∆ : 2x − 3y + 15 = 0, d : x − y = 0 

1 2 

b) ∆ : x + y + 4 = 0, ∆ : 7x − y + 4 = 0, d : 4x + 3y 

− 2 = 0 

1 2 

Baøi 9. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với: (dạng 9) 

a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) b) A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1) 

c) A(1; 2), B(3; 1), C(–3; –1) d) A(–1; –7), B(–4; –3), C ≡ O(0; 0) 

e) AB : x − y + 2 = 0, BC : 2x + 3y − 1 = 0, CA : 4x + y − 17 = 0 

Baøi 10. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: (dạng 10) 

a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0) b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) 

c) AB : 2x − 3y + 21 = 0, BC : 3x − 2y − 6 = 0, CA : 2x + 3y 

+ 9 = 0 

d) AB : 7x − y + 11 = 0, BC : x + y − 15, CA : 7x + 17y 

+ 65 = 0 

VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm 

1. Tập hợp các tâm đường tròn 

Để tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C), ta có thể thực hiện như sau: 

a) Tìm giá trị của m để tồn tại tâm I. 

⎧ x f m 

b) Tìm toạ độ tâm I. Giả sử: I ⎨ = ( ) 

. 

⎩y 

= g( m) 

c) Khử m giữa x và y ta được phương trình F(x; y) = 0. 

d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện của m ở a) để giới hạn miền của x hoặc y. 

e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm là F(x; y) = 0 cùng với phần giới hạn ở d). 

2. Tập hợp điểm là đường tròn 

Thực hiện tương tự như trên. 

Baøi 1. Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C) có phương trình (m là tham số): 

2 2 

a) x + y − 2( m −1) x − 4my + 3m 





2 2 

b) x + y − 2mx − 4( m + 1) y + 3m 

+ 14 = 0 

2 2 2 

c) x + y − 2mx − 2m y + 2 = 0 

2 2 2 

d) x + y + mx − m( m + 2) y − 2m 

− 4 = 0 

Baøi 2. * Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C) có phương trình (t là tham số): 

2 2 

a) x + y − 2(cos2t + 4) x − 2ysin 2t + 6 cos2t 

− 3 = 0 

2 2 2 

b) x + y − 4x sin t + 4(cos2t − sin t) y − 2 cos t = 0 

c) 

2 2 t 2t t 

x + y − 2(2 − e ) x + 4( e −1) y − e − 3 = 0 

2 2 2 2 2 2 

d) ( t + 1)( x + y ) + 8( t −1) x − 4( t + 4t + 1) y − 3t 

− 3 = 0 

Baøi 3. Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C), biết: 

a) (C) tiếp xúc với đường thẳng d : 6x − 8y 

+ 15 = 0 và có bán kính R = 3 

b) (C) tiếp xúc với hai đường thẳng d : x + 2y − 3 = 0, d : x + 2y 

+ 6 = 0 

1 2 

c) (C) tiếp xúc với hai đường thẳng d : 2x + 3y − 6 = 0, d : 3x − 2y 

+ 9 = 0 

1 2 

2 2 

d) (C) tiếp xúc với đường tròn ( C′ ) : x + y − 4x + 6y 

− 3 = 0 và có bán kính R = 2. 

e) (C) đi qua điểm A(2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d : y − 5 = 0 

Baøi 4. Cho hai điểm A(2; –4), B(–6; 2). Tìm tập hợp các điểm M(x; y) sao cho: 

2 2 

a) AM + BM = 100 b) MA = 

MB 3 c) AM 2 + BM 2 = k 

2 (k > 0) 

Baøi 5. Cho 

 

hai 

 

điểm A(2; 3), B(–2; 

 

1). 

 

Tìm tập hợp các điểm M(x; y) sao cho: 

a) AM. BM = 0 b) AM. BM = 4 

Baøi 6. Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ đó đến hai 

đường thẳng d và d′ bằng k, với: 

a) d : x − y + 3 = 0, d′ 

: x + y = 1 = 0, k = 9 b) 

Baøi 7. Cho bốn điểm A(4; 4), B(–6; 4), C(–6; –2), D(4; –2). 

a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. 

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M đến các cạnh 

của hình chữ nhật bằng 100. 

VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C) 

Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d: Ax + By + C = 0 và đường tròn (C): 

2 2 

x + y + 2ax + 2by + c = 0 , ta có thể thực hiện như sau:. 

• Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R. 

– Xác định tâm I và bán kính R của (C). 

– Tính khoảng cách từ I đến d. 

+ d( I, d) < R ⇔ d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. 

+ d( I, d) = R ⇔ d tiếp xúc với (C). 

+ d( I, d) > R ⇔ d và (C) không có điểm chung. 

• Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình: 

⎧ Ax + By + C = 0 

⎨ 2 2 

(*) 

⎩x + y + 2ax + 2by + c = 0 

+ Hệ (*) có 2 nghiệm ⇔ d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. 

+ Hệ (*) có 1 nghiệm ⇔ d tiếp xúc với (C). 

+ Hệ (*) vô nghiệm ⇔ d và (C) không có điểm chung. 



Baøi 1. Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C), với: 

2 2 

a) d : mx − y − 3m − 2 = 0, ( C) : x + y − 4x − 2y 

= 0 

2 2 

b) d : 2x − y + m = 0, ( C) : x + y − 6x + 2y 

+ 5 = 0 

2 2 

c) d : x + y − 1 = 0, ( C) : x + y − 2(2m + 1) x − 4y + 4 − m = 0 

2 2 

d) d : mx + y − 4m = 0, ( C) : x + y − 2x − 4y 

− 4 = 0 

2 2 

Baøi 2. Cho đường tròn (C): x + y − 2x − 2y 

+ 1 = 0 và đường thẳng d đi qua điểm A(–1; 0) 

và có hệ số góc k . 

a) Viết phương trình đường thẳng d. 

b) Biện luận theo k vị trí tương đối của d và (C). 

c) Suy ra phương trình các tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A. 

Baøi 3. Cho đường thẳng d và đường tròn (C): 

i) Chứng tỏ d cắt (C). ii) Tìm toạ độ các giao điểm của d và (C). 

1 2 2 

a) d đi qua M(–1; 5) và có hệ số góc k = − , ( C) : x + y − 6x − 4y 

+ 8 = 0 

3 

2 2 

b) d : 3x − y − 10 = 0, ( C) : x + y − 4x − 2y 

− 20 = 0 

VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối của hai đường tròn (C 1 ) và (C 2 ) 

Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn 

2 2 

(C 1 ): x + y + 2a x + 2b y + c = 0 , (C 2 ): x + y + 2a x + 2b y + c = 0 . 

1 1 1 

2 2 

2 2 2 

ta có thể thực hiện như sau: 

• Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I 1 I 2 với các bán kính R 1 , R 2 . 

+ R1 − R2 < I1I2 < R1 + R2 

⇔ (C 1 ) cắt (C 2 ) tại 2 điểm. 

+ I1I2 = R1 + R2 

⇔ (C 1 ) tiếp xúc ngoài với (C 2 ). 

+ I1I2 = R1 − R2 

⇔ (C 1 ) tiếp xúc trong với (C 2 ). 

+ I1I2 > R1 + R2 

⇔ (C 1 ) và (C 2 ) ở ngoài nhau. 

+ I1I2 < R1 − R2 

⇔ (C 1 ) và (C 2 ) ở trong nhau. 

• Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C 1 ) và (C 2 ) là nghiệm của hệ phương trình: 

⎧ 2 2 

⎪x + y + 2a1x + 2b1 y + c1 

= 0 

⎨ 2 2 

⎪⎩ x + y + 2a2 x + 2b2 y + c2 

= 0 

(*) 

+ Hệ (*) có hai nghiệm ⇔ (C 1 ) cắt (C 2 ) tại 2 điểm. 

+ Hệ (*) có một nghiệm ⇔ (C 1 ) tiếp xúc với (C 2 ). 

+ Hệ (*) vô nghiệm ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm chung. 

Baøi 1. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (C 1 ) và (C 2 ), tìm toạ độ giao điểm, nếu có, với: 

2 2 2 2 

1 2 

a) ( C ) : x + y + 6x − 10y + 24 = 0, ( C ) : x + y − 6x − 4y 


2 2 2 2 

1 2 

b) ( C ) : x + y − 4x − 6y + 4 = 0, ( C ) : x + y −10x − 14y 

+ 70 = 0 

c) ( 2 2 

C1 ) : x y 6x 3 y 0, ( C2 ) 5 5 

coù taâm I ⎛ 

2 5; ⎞ 

+ − − = ⎜ ⎟ vaø baùn kính R 

2 2 

= 

⎝ ⎠ 

2 

Baøi 2. Biện luận số giao điểm của hai đường tròn (C 1 ) và (C 2 ), với: 




2 2 2 2 2 2 

1 2 

a) ( C ) : x + y − 6x − 2my + m + 4 = 0, ( C ) : x + y − 2mx − 2( m + 1) y + m + 4 = 0 

2 2 2 2 

1 2 

b) ( C ) : x + y + 4mx − 2my + 2m + 3 = 0, ( C ) : x + y + 4( m + 1) x − 2my + 6m 

− 1 = 0 

Baøi 3. Cho hai điểm A(8; 0), B(0; 6). 

a) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB. 

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của OA, AB, OB. Viết phương trình đường tròn 

ngoại tiếp tam giác MNP. 

c) Chứng minh rằng hai đường tròn trên tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ tiếp điểm. 

VẤN ĐỀ 6: Tiếp tuyến của đường tròn (C) 

Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆. 

∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d( I, ∆ ) = R 

• Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M0( x0; y0)∈ (C). 

 

– ∆ đi qua M0( x0; y0) và có VTPT IM 0 . 

• Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước. 

– Viết phương trình của ∆ có phương cho trước (phương trình chứa tham số t). 

– Dựa vào điều kiện: d( I, ∆ ) = R , ta tìm được t. Từ đó suy ra phương trình của ∆. 

• Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm A( xA; yA) ở ngoài đường tròn (C). 

– Viết phương trình của ∆ đi qua A (chứa 2 tham số). 

– Dựa vào điều kiện: d( I, ∆ ) = R , ta tìm được các tham số. Từ đó suy ra phương trình 

của ∆. 

Baøi 1. Cho đường tròn (C) và đường thẳng d. 

i) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ 

độ. 

ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d. 

iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d. 

2 2 

a) ( C) : x + y − 6x − 2y + 5 = 0, d : 2x − y + 3 = 0 

2 2 

b) ( C) : x + y − 4x − 6y = 0, d : 2x − 3y 

+ 1 = 0 

Baøi 2. Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d. 

i) Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C). 

ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A. 

iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d. 

iv) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d. 

2 2 

a) ( C) : x + y − 4x − 6y − 12 = 0, A( − 7;7), d : 3x + 4y 

− 6 = 0 

2 2 

b) ( C) : x + y + 4x − 8y + 10 = 0, A(2;2), d : x + 2y 

− 6 = 0 

Baøi 3. Cho hai điểm A(1; 2), B(3; 4) và đường thẳng d : y = −3 − 3x 

. 

a) Viết phương trình các đường tròn (C 1 ) và (C 2 ) qua A, B và tiếp xúc với d. 

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (khác d) của hai đường tròn đó. 

2 2 2 

Baøi 4. Cho đường tròn (C): x + y − 6x − 2my + m + 4 = 0 . 

a) Tìm m để từ A(2; 3) có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C). 

b) Viết phương trình các tiếp tuyến đó khi m = 6. 



III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP 


Cho F 1 , F 2 cố định với F F 

F 1 , F 2 : các tiêu điểm, F F 

= c (c > 0). 

1 2 

2 

M ∈( E) ⇔ MF + MF = 2a 

(a > c) 

1 2 

= c : tiêu cự. 

1 2 

2 

2. Phương trình chính tắc của elip 

2 2 

x y 

2 2 2 

+ = 1 ( a > b > 0, b = a − c ) 

2 2 

a b 

• Toạ độ các tiêu điểm: F ( − c;0), F ( c;0) 

. 

1 2 

• Với M(x; y) ∈ (E), MF1 , MF2 

đgl các bán kính qua tiêu điểm của M. 

c 

c 

MF1 = a + x, 

MF2 

= a − x 

a 

a 

3. Hình dạng của elip 

• (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng. 

• Toạ độ các đỉnh: A ( −a;0), A ( a;0), B (0; − b), B (0; b) 

1 2 1 2 

• Độ dài các trục: trục lớn: A1 A2 = 2a 

, trục nhỏ: B1B 2 

= 2b 

• Tâm sai của (E): 

c 

e = (0 < e < 1) 

a 

• Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x = ± a, 

y = ± b (ngoại tiếp elip). 

4. Đường chuẩn của elip (chương trình nâng cao) 

a 

• Phương trình các đường chuẩn ∆ i ứng với các tiêu điểm F i là: x ± = 0 

e 

• Với M ∈ (E) ta có: 

MF1 MF2 

= = e 

d( M, ∆ ) d( M, ∆ ) 

(e < 1) 

1 2 

VẤN ĐỀ 1: Xác định các yếu tố của (E) 

2 2 

Đưa phương trình của (E) về dạng chính tắc: x + y = 1. Xác định a, b, c. 

2 2 

a b 

Các yếu tố: – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b. 

– Tiêu cự 2c. 

– Toạ độ các tiêu điểm F ( − c;0), F ( c;0) 

. 

1 2 

– Toạ độ các đỉnh A ( −a;0), A ( a;0), B (0; − b), B (0; b) 

. 

1 2 1 2 

c 

– Tâm sai e = . 

a 

a 

– Phương trình các đường chuẩn x ± = 0 

e 

Baøi 1. Cho elip (E). Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, 

tâm sai, phương trình các đường chuẩn của (E), với (E) có phương trình: 

2 2 

2 2 

2 2 

2 2 

a) x + y = 1 b) x + y = 1 c) x + y = 1 d) x + y = 1 

9 4 

16 9 

25 9 

4 1 




2 2 

2 2 

2 2 

2 2 

e) 16x + 25y 

= 400 f) x + 4y 

= 1 g) 4x + 9y 

= 5 h) 9x + 25y 

= 1 

VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình chính tắc của (E) 

Để lập phương trình chính tắc của (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (E). 

Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (E): 

2 2 2 

c 

+ b = a − c + e = + Các tiêu điểm F1 ( − c;0), F2 

( c;0) 

a 

+ Các đỉnh: A ( −a;0), A ( a;0), B (0; − b), B (0; b) 

1 2 1 2 

Baøi 1. Lập phương trình chính tắc của (E), biết: 

a) Độ dài trục lớn bằng 6, trục nhỏ bằng 4. 

b) Độ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 6. 

c) Độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng tiêu cự. 

d) Tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M ( 15; − 1) 

. 

e) Độ dài trục nhỏ bằng 6 và đi qua điểm M ( − 2 5;2) 

. 

e) Một tiêu điểm là F 1 

( − 2;0) và độ dài trục lớn bằng 10. 

⎛ 3 ⎞ 

f) Một tiêu điểm là F 1 

( − 3;0) 

và đi qua điểm M ⎜1; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 

⎛ 3 ⎞ 

g) Đi qua hai điểm M(1;0), N ⎜ ;1⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 

Baøi 2. Lập phương trình chính tắc của (E), biết: 

a) Độ dài trục lớn bằng 10, tâm sai bằng 3 5 . 

b) Một tiêu điểm là F 1 

( − 8;0) và tâm sai bằng 4 5 . 

c) Độ dài trục nhỏ bằng 6, phương trình các đường chuẩn là x 7 ± 16 = 0 . 

d) Một đỉnh là A 1 

( − 8;0) , tâm sai bằng 3 4 . 

⎛ 5 ⎞ 

e) Đi qua điểm M ⎜2; 

− ⎟ 

⎝ 3 ⎠ và có tâm sai bằng 2 3 . 

VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm trên (E) thoả mãn điều kiện cho trước 

Chú ý các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y) ∈ (E): 

c 

c 

MF1 = a + x, 

MF2 

= a − x 

a 

a 

Baøi 1. Cho elip (E) và đường thẳng d vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm bên phải F 2 

cắt (E) 

tại hai điểm M, N. 

i) Tìm toạ độ các điểm M, N. ii) Tính MF1 , MF2 

, MN . 

2 2 

2 2 

2 2 

a) 9x + 25y 

= 225 

b) 9x + 16y 

= 144 c) 7x + 16y 

= 112 

Baøi 2. Cho elip (E). Tìm những điểm M ∈ (E) sao cho: 

i) MF1 = MF2 

ii) MF2 = 3MF1 

iii) MF1 = 4MF2 

2 2 

2 2 

2 2 

a) 9x + 25y 

= 225 

b) 9x + 16y 

= 144 c) 7x + 16y 


Baøi 3. Cho elip (E). Tìm những điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông, với: 



2 2 

2 2 

2 2 

a) 9x + 25y 

= 225 

b) 9x + 16y 

= 144 c) 7x + 16y 


Baøi 4. Cho elip (E). Tìm những điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 

2 2 

2 2 

2 2 

0 

60 , với: 

a) 9x + 25y 

= 225 

b) 9x + 16y 

= 144 c) 7x + 16y 



Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các dạng: 

Dạng 1: MF1 + MF2 = 2a 

⇒ Tập hợp là elip (E) có hai tiêu điểm F 1 , F 2 , trục lớn 2a. 

Dạng 2: 

x 

a 

2 2 

y 

+ = 1 (a > b) ⇒ Tập hợp là elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b. 

b 

2 2 

2 2 

Baøi 1. Cho đường tròn (C): x + y − 6x 

− 55 = 0 và điểm F 1 

( − 3;0) : 

a) Tìm tập hợp các tâm M của đường tròn (C′) di động luôn đi qua F 1 và tiếp xúc với (C). 

b) Viết phương trình của tập hợp trên. 

2 2 

2 2 

Baøi 2. Cho hai đường tròn (C): x + y + 4x 

− 32 = 0 và (C′): x + y − 4x 

= 0 : 

a) Chứng minh (C) và (C′) tiếp xúc nhau. 

b) Tìm tập hợp các tâm M của đường tròn (T) di động và tiếp xúc với hai đường tròn trên. 

c) Viết phương trình của tập hợp đó. 

Baøi 3. Tìm tập hợp các điểm M có tỉ số các khoảng cách từ đó đến điểm F và đến đường 

thẳng ∆ bằng e, với: 

1 

1 

a) F(3;0), ∆ : x − 12 = 0, e = b) F(2;0), ∆ : x − 8 = 0, e = 

2 

2 

4 

3 

c) F( − 4;0), ∆ : 4x + 25 = 0, e = d) F(3;0), ∆ : 3x − 25 = 0, e = 

5 

5 

Baøi 4. Cho hai điểm A, B lần lượt chạy trên hai trục Ox và Oy sao cho AB = 12. 

a) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn AB. 

1 

b) Tìm tập hợp các điểm N chia đoạn AB theo tỉ số k = − . 

2 

VẤN ĐỀ 5: Một số bài toán khác 

Baøi 1. Tìm tâm sai của (E) trong các trường hợp sau: 

a) Mỗi đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. 

b) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc vuông. 

0 

c) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc 60 . 

d) Độ dài trục lớn bằng k lần độ dài trục nhỏ (k > 1). 

e) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục nhỏ bằng tiêu cự. 

2 2 

Baøi 2. Cho elip (E): x + y = 1. Một góc vuông đỉnh O quay quanh O, có 2 cạnh cắt (E) lần 

2 2 

a b 

lượt tại A và B. 

1 1 

a) Chứng minh rằng + không đổi. 

OA 

2 OB 

2 

b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB. Suy ra đường thẳng AB luôn tiếp xúc với 

một đường tròn (C) cố định. Tìm phương trình của (C). 

1 

HD: a) + 1 

b) 1 1 1 1 1 

ab 

= + = + ⇒ OH = 

a 

2 b 

2 

OH 2 OA 2 OB 2 a 2 b 2 

2 2 

a + b 




Cho F 1 , F 2 cố định với F F 

F 1 , F 2 : các tiêu điểm, F F 

= c (c > 0). 

1 2 

2 

M ∈( H) ⇔ MF − MF = 2a 

(a < c) 

1 2 

= c : tiêu cự. 

1 2 

2 

2. Phương trình chính tắc của hypebol 

2 2 

x y 

2 2 2 

− = 1 ( a, b > 0, b = c − a ) 

2 2 

a b 

• Toạ độ các tiêu điểm: F ( − c;0), F ( c;0) 

. 

1 2 

• Với M(x; y) ∈ (H), MF1 , MF2 

đgl các bán kính qua tiêu điểm của M. 

c 

c 

MF1 = a + x , MF2 

= a − x 

a 

a 

3. Hình dạng của hypebol 

• (H) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng. 

• Toạ độ các đỉnh: A ( − a;0), A ( a;0) 

1 2 

• Độ dài các trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b 

• Tâm sai của (H): 

c 

e = (e > 1) 

a 

• Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x = ± a, 

y = ± b . 

• Phương trình các đường tiệm cận: 

4. Đường chuẩn của hypebol 

b 

y = ± x . 

a 

• Phương trình các đường chuẩn ∆ i ứng với các tiêu điểm F i là: 

• Với M ∈ (H) ta có: 

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG HYPEBOL 

MF1 MF2 

= = e (e < 1) 

d( M, ∆ ) d( M, ∆ ) 

1 2 

a 

x ± = 0 

e 

VẤN ĐỀ 1: Xác định các yếu tố của (H) 

2 2 

Đưa phương trình của (H) về dạng chính tắc: x − y = 1. Xác định a, b, c. 

2 2 

a b 

Các yếu tố: – Độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b. 

– Tiêu cự 2c. 

– Toạ độ các tiêu điểm F ( − c;0), F ( c;0) 

. 

1 2 

– Toạ độ các đỉnh A ( − a;0), A ( a;0) 

. 

1 2 

c 

– Tâm sai e = . 

a 

b 

– Phương trình các đường tiệm cận: y = ± x 

a 

a 

– Phương trình các đường chuẩn x ± = 0 

e 

Baøi 1. Cho hypebol (H). Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các 



Baøi 2. 

a) 


đỉnh, tâm sai, phương trình các đường tiệm cận, phương trình các đường chuẩn của 

(H), với (H) có phương trình: 

2 2 

2 2 

2 2 

2 2 

a) x − y = 1 b) x − y = 1 c) x − y = 1 d) x − y = 1 

9 16 

16 9 

25 9 

4 1 

2 2 

2 2 

2 2 

2 2 

e) 16x − 25y 

= 400 f) x − 4y 

= 1 g) 4x − 9y 

= 5 h) 9x − 25y 

= 1 

VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình chính tắc của (H) 

Để lập phương trình chính tắc của (H) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (H). 

Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (H): 

2 2 2 

c 

+ b = c − a + e = + Các tiêu điểm F1 ( − c;0), F2 

( c;0) 

a 

+ Các đỉnh: A ( − a;0), A ( a;0) 

1 2 

Baøi 1. Lập phương trình chính tắc của (H), biết: 

a) Độ dài trục thực bằng 6, trục ảo bằng 4. 

b) Độ dài trục thực bằng 8, tiêu cự bằng 10. 

2 

c) Tiêu cự bằng 2 13 , một tiệm cận là y = x . 

3 

d) Độ dài trục thực bằng 48, tâm sai bằng 13 

12 . 

e) Độ dài trục ảo bằng 6, tâm sai bằng 5 4 . 


a) Một đỉnh là A(5; 0), một tiêu điểm là F(6; 0). 

b) Một tiêu điểm là F(–7; 0), tâm sai e = 2. 

c) (H) đi qua hai điểm M ( ) 

2; 6 , N( − 3;4) . 

d) Độ dài trục thực bằng 8 và đi qua điểm A(5; –3). 

e) Tiêu cự bằng 10 và đi qua điểm A(–4; 3). 

2 2 

f) Có cùng tiêu điểm với elip (E): 10x + 36y 

− 360 = 0 , tâm sai bằng 5 3 . 


a) Một đỉnh là A(–3; 0) và một tiệm cận là d: 2x − 3y 

= 0 . 

Baøi 4. 

a) 

b) Hai tiệm cận là d: 2x ± y = 0 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 2 5 

5 . 

c) Tiêu cự bằng 8 và hai tiệm cận vuông góc với nhau. 

d) Hai tiệm cận là d: 3x ± 4y 

= 0 và hai đường chuẩn là ∆: 5x 

± 16 = 0 . 

e) Đi qua điểm E(4; 6) và hai tiệm cận là d: 3x ± y = 0 . 



VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm trên (H) thoả mãn điều kiện cho trước 

Chú ý: • Các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y) ∈ (H): 

c 

c 

MF1 = a + x , MF2 

= a − x 

a 

a 

• Nếu M thuộc nhánh phải thì x ≥ a 

c 

⇒ MF 1 = x a 

a 

+ , MF c 

2 = x a 

a 

− (MF 1 > MF 2 ) 

• Nếu M thuộc nhánh trái thì x ≤ – a 

⎛ c ⎞ 

⇒ MF1 

= − ⎜ x + a⎟ 

⎝ a ⎠ , MF ⎛ c 

2 

a 

x a ⎞ 

= −⎜ 

− ⎟ 

⎝ ⎠ (MF 1 < MF 2 ) 

Baøi 1. Cho hypebol (H) và đường thẳng d vuông góc với trục thực tại tiêu điểm bên trái F 1 

cắt (H) tại hai điểm M, N. 

i) Tìm toạ độ các điểm M, N. ii) Tính MF1 , MF2 

, MN . 

2 2 

2 2 

2 2 

a) 16x − 9y 

= 144 b) 12x − 4y 

= 48 c) 10x + 36y 

− 360 = 0 

Baøi 2. Cho hypebol (H). Tìm những điểm M ∈ (H) sao cho: 

i) MF = 3MF 

ii) MF = 3MF 

iii) MF = 2MF 

iv) MF = 4MF 

2 1 

1 2 

2 2 

1 2 

2 2 

1 2 

a) x 2 y 2 

− = 1 b) x − y = 1 c) x − y = 1 d) x 2 

2 

y 1 

9 16 


4 5 

4 − = 

Baøi 3. Cho hypebol (H). Tìm những điểm M ∈ (H) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông, 

với: 

2 

2 2 

2 2 

2 2 

a) x 2 

y 1 

4 − = b) x − y = 1 c) x − y = 1 d) x − y = 1 

9 4 


9 16 

Baøi 4. Cho hypebol (H). Tìm những điểm M ∈ (H) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc α, với: 

a) x 2 y 2 

0 

− = 1, α = 120 b) x 2 y 2 

0 

− = 1, α = 120 c) x 2 y 2 

0 

− = 1, α = 60 

4 5 

36 13 

16 9 

Baøi 5. 

a) 



Dạng 1: MF1 − MF2 = 2a 

⇒ Tập hợp là hypebol (H) có hai tiêu điểm F 1 , F 2 , trục thực 

2a. 

Dạng 2: 

x 

a 

2 2 

y 

− = 1 ⇒ Tập hợp là hypebol (H) có độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b. 

b 

2 2 

2 2 

Baøi 1. Cho đường tròn (C): x + y + 4x 

= 0 và điểm F 2 

(2;0) . 

a) Tìm toạ độ tâm F 1 và bán kính R của (C). 

b) Tìm tập hợp các tâm M của đường tròn (C′) di động luôn đi qua F 2 và tiếp xúc với (C). 

c) Viết phương trình của tập hợp trên. 

2 2 

2 2 

Baøi 2. Cho hai đường tròn (C): x + y + 10x 

+ 9 = 0 và (C′): x + y − 10x 

+ 21 = 0 . 




a) Xác định tâm và tính bán kính của (C) và (C′). 

b) Tìm tập hợp các tâm M của đường tròn (T) tiếp xúc với (C) và (C′). 

c) Viết phương trình của tập hợp đó trên. 

2 

2 y 

HD: c) (H): x − = 1. 

24 

Baøi 3. Cho hai đường thẳng ∆: 5x 

− 2y 

= 0 và ∆′: 5x + 2y 

= 0 . 

a) Tìm tập hợp (H) các điểm M có tích các khoảng cách từ M đến ∆ và ∆′ bằng 100 

29 . 

b) Viết phương trình các đường tiệm cận của (H). 

c) Gọi N là một điểm bất kì trên (H). Chứng minh tích các khoảng cách từ N đến các 

đường tiệm cận của (H) bằng một số không đổi. 

Baøi 4. Tìm tập hợp các điểm M có tỉ số các khoảng cách từ đó đến điểm F và đến đường 

thẳng ∆ bằng e, với: 

a) F(4;0), ∆ : x − 1 = 0, e = 2 b) F(3 2;0), ∆ : x − 3 2 , e = 

3 2 

2 3 

3 

3 

c) F(6;0), ∆ : 3x − 8 = 0, e = d) F ( 3;0 ), ∆ : 3x − 4 = 0, e = 

2 

2 

Baøi 5. 

a) 

VẤN ĐỀ 5: Một số bài toán khác 

2 2 

Baøi 1. Cho hypebol (H): 9x 

−16y 

− 144 = 0 . 

a) Viết phương trình các đường chuẩn của (H). 

b) Viết phương trình các đường tiệm cận của (H). 

c) Gọi M là một điểm bất kì trên (H). Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến hai 

đường tiệm cận bằng một số không đổi. 

2 2 


−16y 

− 144 = 0 . 

a) Tìm điểm M trên (H) sao cho bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng 2 lần bán kính qua 

tiêu điểm bên phải của M. 

b) Tìm điểm N trên (H) sao cho F NF 

0 

1 2 

90 

= . 

c) Chứng minh rằng nếu một đường thẳng d cắt (H) tại P, Q và cắt hai đường tiệm cận tại 

P′, Q′ thì PP′ = QQ′. 

HD: c) Chứng tỏ hai đoạn PQ và P′Q′ có chung trung điểm. 

2 2 

Baøi 3. Cho hypebol (H): x − y = 1. 

2 2 

a b 

a) Gọi M là điểm tuỳ ý trên (H). Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến hai đường 

tiệm cận bằng một số không đổi. 

b) Từ một điểm N bất kì trên (H), dựng hai đường thẳng song song với hai đường tiệm 

cận, cùng với hai đường tiệm cận tạo thành một hình bình hành. Tính diện tích hình bình 

hành đó. 

Baøi 4. 

a) 

HD: a) 

a 

2 2 

a b 

2 2 

+ b 

1 

b) ab . 

2 




Cho điểm F và đường thẳng ∆ không đi qua F. 

M ∈( P) ⇔ MF = d( M, ∆) 

F: tiêu điểm, ∆: đường chuẩn, p = d( F, ∆) 

: tham số tiêu. 

2. Phương trình chính tắc của parabol 

• Toạ độ tiêu điểm: 

V. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PARABOL 

y 

2 

= 2 px (p > 0) 

⎛ p ⎞ 

F ⎜ ;0⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 

• Phương trình đường chuẩn: ∆: 

p 

x + = 0 . 

2 

• Với M(x; y) ∈ (P), bán kính qua tiêu điểm của M là 

3. Hình dạng của parabol 

• (P) nằm về phía bên phải của trục tung. 

• (P) nhận trục hoành làm trục đối xứng. 

• Toạ độ đỉnh: O(0;0) 

• Tâm sai: e = 1. 

p 

MF = x + . 

2 

VẤN ĐỀ 1: Xác định các yếu tố của (P) 

Đưa phương trình của (P) về dạng chính tắc: y 

Các yếu tố: 

– Toạ độ tiêu điểm 

2 

⎛ p ⎞ 

F ⎜ ;0⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 

– Phương trình đường chuẩn ∆: 

= 2 px . Xác định tham số tiêu p. 

p 

x + = 0 . 

2 

Baøi 3. Cho parabol (P). Xác định toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của (P), với: 

Baøi 4. 

a) 

2 

2 

a) ( P) : y = 6x 

b) ( P) : y = 2x 

c) ( P) : y = 16x 

d) ( P) : y = x 

2 

2 

VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình chính tắc của (P) 

Để lập phương trình chính tắc của (P) ta cần xác định tham số tiêu p của (P). 

Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (P): 

– Toạ độ tiêu điểm 

⎛ p ⎞ 

F ⎜ ;0⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

– Phương trình đường chuẩn ∆: 

p 

x + = 0 . 

2 

Baøi 5. Lập phương trình chính tắc của (P), biết: 

a) Tiêu điểm F(4; 0) b) Tiêu điểm F(3; 0) c) Đi qua điểm M(1; –4) 

c) Đường chuẩn ∆: x + 2 = 0 d) Đường chuẩn ∆: x + 3 = 0 e) Đi qua điểm M(1; –2) 

Baøi 6. Lập phương trình chính tắc của (P), biết: 

2 2 

a) Tiêu điểm F trùng với tiêu điểm bên phải của elip (E): 5x + 9y 

= 45 . 




Baøi 7. 

a) 

2 2 

b) Tiêu điểm F trùng với tiêu điểm bên phải của hypebol (H): 16x − 9y 

= 144 . 

2 2 

c) Tiêu điểm F trùng với tâm của đường tròn (C): x − 6x + y + 5 = 0 . 

VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm trên (P) thoả mãn điều kiện cho trước 

Chú ý: Công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y) ∈ (P): 

p 

MF = x + 

2 

Baøi 6. Cho parabol (P) và đường thẳng d vuông góc với trục đối xứng tại tiêu điểm F cắt (P) 

tại hai điểm M, N. 

i) Tìm toạ độ các điểm M, N. ii) Tính MF, MN . 

2 

2 

a) ( P) : y = 6x 

b) ( P) : y = 2x 

c) ( P) : y = 16x 

d) ( P) : y = x 

Baøi 7. Cho parabol (P). 

i) Tìm những điểm M ∈ (P) cách tiêu điểm F một đoạn bằng k. 

ii) Chọn M có tung độ dương. Tìm điểm A ∈ (P) sao cho ∆AFM vuông tại F. 

2 

2 

a) ( P) : y = 8 x, k = 10 b) ( P) : y = 2 x, k = 5 c) ( P) : y = 16 x, k = 4 

Baøi 8. Cho parabol (P) và đường thẳng d có hệ số góc m quay quanh tiêu điểm F của (P) cắt 

(P) tại hai điểm M, N. 

i) Chứng minh xM . xN 

không đổi. 

ii) Tính MF, NF, MN theo m. 

Baøi 9. 

a) 

2 

2 

a) ( P) : y = 4x 

b) ( P) : y = 2x 

c) ( P) : y = 16x 

d) ( P) : y = x 

2 

2 

2 

2 

2 



Dạng 1: MF = d( M, ∆) 

⇒ Tập hợp là (P) có tiêu điểm F. 

2 

Dạng 2: y = 2 px ⇒ Tập hợp là (P) có tiêu điểm 

⎛ p ⎞ 

F ⎜ ;0⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 

Baøi 6. Tìm tập hợp các tâm M của đường tròn (C) di động luôn đi qua điểm F và tiếp xúc với 

đường thẳng ∆, với: 

a) F(2;0), ∆ : x + 2 = 0 b) F(3;0), ∆ : x + 3 = 0 c) F(1;0), ∆ : x + 1 = 0 

Baøi 7. Cho parabol (P). Đường thẳng d quay quanh O cắt (P) tại điểm thứ hai là A. Tìm tập 

hợp của: 

 

i) Trung điểm M của đoạn OA ii) Điểm N sao cho NA + 2NO 

= 0 . 

Baøi 8. 

a) 

2 

2 

a) y = 16x 

b) y = 4x 

c) y = 2x 

d) y x 

2 

2 = 




Baøi 1. Cho ba điểm A(2; 1), B(–2; 2), M(x; y). 

a) Tìm hệ thức giữa x và y sao cho tam giác AMB vuông tại M. 

b) Tìm phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường trung trực đoạn AB. 

0 

c) Tìm phương trình của đường thẳng d đi qua A và tạo với AB một góc 60 . 

2 2 

HD: a) x + y − 3y 

− 2 = 0 b) 8x − 2y 

+ 3 = 0 

c) ( ∓ ) x ( ) 

4 3 1 − 3 ± 4 y ± 6 − 7 3 = 0 

Baøi 2. Cho ba đường thẳng d1 : 3 x + 4 y − 12 = 0 , d 2 : 3x + 4y 

− 2 = 0 , d 3 : x − 2y 

+ 1 = 0 . 

a) Chứng tỏ rằng d 1 và d 2 song song. Tính khoảng cách giữa d 1 và d 2 . 

b) Tìm phương trình đường thẳng d song song và cách đều d 1 và d 2 . 

c) Tìm điểm M trên d 3 cách d 1 một đoạn bằng 1. 

HD: a) 2 b) 3x + 4y 

− 7 = 0 c) M(3; 2) hoặc M(1; 1) 

⎧ x 7 2m 

Baøi 3. Cho điểm A(2; –3) và hai đường thẳng d : ⎨ = − x t 

, d′ ⎧ = − 5 + 4 

: ⎨ . 

⎩y 

= − 3 + m ⎩y 

= − 7 + 3t 

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A và cắt d, d′ tại B, B′ sao cho 

AB = AB′. 

b) Gọi M là giao điểm của d và d′ . Tính diện tích của tam giác MBB′. 

x 2 6t 

HD: a) ∆ : 

⎧ ⎨ = + 

b) S = 5 

⎩y 

= − 3 + 2t 

Baøi 4. Cho đường thẳng d m : ( m − 2) x + ( m − 1) y + 2m 

− 1 = 0 . 

a) Chứng minh rằng d m luôn đi qua một điểm cố định A. 

b) Tìm m để d m cắt đoạn BC với B(2; 3), C(4; 0). 

0 

c) Tìm phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với BC một góc 45 . 

d) Tìm m để đường thẳng d m tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = 5 . 

HD: a) A(1; –3) 

8 3 

b) ≤ m ≤ 

7 2 

c) x + 5y + 14 = 0, 5x − y − 8 = 0 

d) m = 3, m = 

4 

3 

Baøi 5. Cho hai đường thẳng: 

d : x cost + ysin t − 3cost − 2sin t = 0 và d′ : x sin t − y cost + 4 cost + sin t = 0 

a) Chứng minh rằng d và d′ lần lượt đi qua 2 điểm cố định A, A′ và d ⊥ d′. 

b) Tìm phương trình tập hợp giao điểm M của d và d′ . Viết phương trình tiếp tuyến của 

tập hợp đó vẽ từ điểm B(5; 0). 

2 2 

HD: a) A(3; 2), A′(–1; 4) b) (C): ( x − 1) + ( y − 3) = 5 

2x + 11y − 10 = 0, 2x + y − 10 = 0 

Baøi 6. Cho ba điểm M(6; 1), N(7; 3), P(3; 5) lần lượt là trung điểm của ba cạnh BC, CA, AB 

của tam giác ABC. 

a) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. 

b) Tìm phương trình các trung tuyến AM, BN, CP. 

c) Tính diện tích của tam giác ABC. 

HD: a) A(4; 7), B(2; 3), C(10; –1) 

b) 3x + y − 19 = 0, y = 3, 6x + 7y 

− 53 = 0 c) S = 20 

Baøi 7. Cho tam giác ABC có A(8; 0), B(0; 6), C(9; 3). Gọi H là chân đường cao vẽ từ C 

xuống cạnh AB. 

a) Tìm phương trình cạnh AB và đường cao CH. 




b) Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của C trên Ox và Oy. Chứng minh I, H, K thẳng hàng. 

Baøi 8. Cho ba điểm A(0; –1), B(4; 1), C(4; 2). Viết phương trình đường thẳng d khi biết: 

a) d đi qua A và khoảng cách từ B đến d bằng hai lần khoảng cách từ C đến d. 

b) d đi qua C và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại E và F sao cho: OE + OF = − 3 . 

c) d đi qua B, cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N với xM > 0, yN 

> 0 và sao cho: 

1 1 

i) OM + ON nhỏ nhất ii) + nhỏ nhất. 

OM 

2 ON 

2 

HD: a) x − y − 1 = 0, 2x − 3y 

− 3 = 0 b) 2x − y − 6 = 0, x − 4y 

+ 4 = 0 

c) i) x + 2y 

− 6 = 0 ii) 4x + y − 17 = 0 

Baøi 9. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết: 

a) Đỉnh B(2; 6), phương trình một đường cao và một phân giác vẽ từ một đỉnh là: 

x − 7y + 15 = 0, 7x + y + 5 = 0 

b) Đỉnh A(3; –1), phương trình một phân giác và một trung tuyến vẽ từ hai đỉnh khác 

nhau là: x − 4y + 10 = 0, 6x + 10y 

− 59 = 0 . 

HD: a) 4x − 3y + 10 = 0, 7x + y − 20 = 0, 3x + 4y 

− 5 = 0 

b) 2x + 9y − 65 = 0, 6x − 7y − 25 = 0, 18x + 13y 

− 41 = 0 

Baøi 10. Cho hai điểm A(3; 4), B(–1; –4) và đường thẳng d : 3x + 2y 

− 7 = 0 . 

a) Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B và có tâm I ∈ d. 

⎛ 

b) Viết phương tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm E 1 ⎞ 

⎜ ;4⎟ 

. Tính độ dài của tiếp tuyến đó và 

⎝ 2 ⎠ 

tìm toạ độ tiếp điểm. 

c) Trên (C), lấy điểm F có xF 

= 8 . Viết phương trình đường tròn (C′) đối xứng với (C) 

qua đường thẳng AF. 

2 2 

HD: a) x + y − 6x + 2y 

− 15 = 0 

b) y − 4 = 0, 4x − 3y 

+ 10 = 0 , d = 5 , tiếp điểm (3; 4), (–1; 2) 

2 

2 2 

c) (C′): x + y −16x − 8y 

+ 55 = 0 

2 2 

Baøi 11. Cho đường cong (C m ): x + y + mx − 4y − m + 2 = 0 . 

a) Chứng minh rằng với mọi m, (C m ) luôn là đường tròn và (C m ) luôn đi qua 2 điểm cố 

định A, B. 

b) Tìm m để (C m ) đi qua gốc toạ độ O. Gọi (C) là đường tròn ứng với giá trị m vừa tìm 

được. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d : 4x + 3y 

− 5 = 0 và 

chắn trên (C) một dây cung có độ dài bằng 4. 

 

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có vectơ chỉ phương là a = ( −2;1) 

. 

d) Tìm m để (C m ) tiếp xúc với trục tung. Viết phương trình đường tròn ứng với m đó. 

HD: a) A(1; 1), B(1; 3) 

2 2 

b) m = 2, (C): x + y + 2x − 4y 

= 0 , ∆ : 4x + 3y − 8 = 0, ∆ : 4x + 3y 

+ 7 = 0 

1 2 

2 2 

c) x + 2y − 8 = 0, x + 2y 

+ 2 = 0 d) m = –2, x + y − 2x − 4y 

+ 4 = 0 

2 2 

Baøi 12. Cho đường cong (C t ): x + y − 2x cost − 2y sin t + cos2t 

= 0 (0 < t < π). 

a) Chứng tỏ (C t ) là đường tròn với mọi t. 

b) Tìm tập hợp tâm I của (C t ) khi t thay đổi. 

c) Gọi (C) là đường tròn trong họ (C t ) có bán kính lớn nhất. Viết phương trình của (C). 

0 

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với trục Ox một góc 45 . 

2 2 

π 2 2 

HD: b) x + y = 1 c) t = , ( C) : x + y − 2y 

− 1 = 0 

2 



d) x − y − 1 = 0, x + y + 1 = 0, x − y + 3 = 0, x + y − 3 = 0 

Baøi 13. Cho hai đường thẳng d : x − 3y + 4 = 0, d : 3x + y + 2 = 0 . 

1 2 

a) Viết phương trình hai đường tròn (C 1 ), (C 2 ) qua gốc toạ độ O và tiếp xúc với d 1 , d 2 . 

Xác định tâm và bán kính của 2 đường tròn đó. Gọi (C 1 ) là đường tròn có bán kính lớn 

hơn. 

b) Gọi A và B là tiếp điểm của (C 1 ) với d 1 và d 2 . Tính toạ độ của A và B. Tính góc AOB . 

c) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C 1 ) tạo ra 1 dây cung nhận điểm E(4; –2) làm 

trung điểm. 

d) Trên đường thẳng d3 : 3 x + y − 18 = 0 , tìm những điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến 

của (C 1 ) vuông góc với nhau. 

2 2 2 2 

1 2 

HD: a) ( C ) : x + y − 6x + 2y = 0, ( C ) : 5x + 5y + 2x − 6y 

= 0 

b) A(2; 2), B(0; –2), AOB 

0 

= 135 c) ∆: x − y − 6 = 0 d) (5; 3), (7; –3) 

Baøi 14. Cho đường tròn (C) đi qua điểm A(1; –1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x + 2 = 0 tại 

điểm B có yB 

= 2 . 

a) Viết phương trình đường tròn (C). 

b) Một đường thẳng d đi qua M(4; 0) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của 

d và (C). 

2 2 

HD: a) x + y − 2x − 4y 

− 4 = 0 

b) k 

5 

< : 2 điểm chung, k 


5 

= : 1 điểm chung, k 


⎧ 2 2 

a + b = 

5 

> : không điểm chung 


Baøi 15. Cho 4 số thực a, b, c, d thoả điều kiện: 

1 

⎨ . Bằng phương pháp hình học, 

⎩c 

+ d = 3 

9 + 6 2 

chứng minh rằng: ac + cd 

+ bd 

≤ . 

4 

2 2 

HD: Xét đường tròn (C): x + y = 1 và đường thẳng d : x + y = 3 . Gọi M(a; b) ∈ (C), 

N(c; d) ∈ d.Gọi A, B là các giao điểm của (C) và d với đường thẳng y = x . 

( ) 

⎛ 2 2 ⎞ 

⇒ A⎜ 

; ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ , B ⎛ 3 ; 

3 ⎞ 

⎜ ⎟ . Tính MN 2 2 3 − 2 

= 10 – 2( ac + cd + bd) 

, AB = . 

⎝ 2 2 ⎠ 2 

Từ MN ≥ AB ta suy ra đpcm. 

2 2 

Baøi 16. Cho elip (E): 4x 

+ 9y 

− 36 = 0 . 

a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của (E). 

b) Tính diện tích hình vuông có các đỉnh là giao điểm của (E) với 2 đường phân giác các 

góc toạ độ. 

HD: b) S = 144 

13 . 

2 2 

Baøi 17. Cho elip (E): 16x + 25y 

− 400 = 0 . 

a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của (E). 

b) Viết phương trình các đường phân giác của góc F 1MF2 với M ⎛ 16 ⎞ 

⎜3; 

− ⎟ 

⎝ 3 ⎠ và F 1, F 2 là 

các tiêu điểm của (E). 

27 

HD: b) 3x − 5y − 25 = 0, 5x + 3y 

− = 0 

5 

Baøi 18. Cho elip (E): x 

2 2 

+ 4y 

− 20 = 0 và điểm A(0; 5). 

2 




a) Biện luận số giao điểm của (E) với đường thẳng d đi qua A và có hệ số góc k. 

b) Khi d cắt (E) tại M, N, tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MN. 

⎡ 1 

⎢k 

< − 

HD: a) 4 

1 1 

1 

⎢ : 2 giao điểm, − < k < : không giao điểm, k = ± : 1 giao điểm 

⎢ 

1 

4 4 

4 

k > 

⎣ 4 

2 2 

b) x + 4y 


2 2 2 

Baøi 19. Cho họ đường cong (C m ): x + y − 2mx + 2m 

− 1 = 0 (*). 

a) Tìm các giá trị của m để (C m ) là đường tròn. 

b) Tìm phương trình tập hợp (E) các điểm M trong mặt phẳng Oxy sao cho ứng với mỗi 

điểm M ta có duy nhất 1 đường tròn thuộc họ (C m ) đi qua điểm M đó. 

2 

2 

HD: a) –1 ≤ m ≤ 1 b) (E): x + y = 1 (Đưa PT (*) về PT với ẩn m. Tìm điều kiện 

2 

để PT có nghiệm m duy nhất). 

2 y 2 

Baøi 20. Cho elip (E): x + = 1. 

16 9 

a) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có 2 đỉnh là 2 tiêu điểm của (E) và 2 tiêu 

điểm là 2 đỉnh của (E). 

b) Tìm điểm M trên (H) sao cho 2 bán kính qua tiêu điểm của M vuông góc với nhau. 

c) Chứng minh tích các khoảng cách từ một điểm N bất kì trên (H) đến hai đường tiệm 

cận của (H) bằng một hằng số. 

HD: a) x 2 y 2 

1 

7 − 9 

= b) 4 điểm M ⎛ 5 7 ; 

9 ⎞ 

⎜ ± ± ⎟ 

⎝ 4 4 ⎠ 

2 2 

c) 63 

16 . 

Baøi 21. Cho hypebol (H): x − 4y 

− 4 = 0 . 

a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của (H). 

b) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 4) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao 

điểm của d và (H). 

Baøi 22. Cho các điểm A ( − 2;0), A (2;0) và điểm M(x; y). Gọi M′ là điểm đối xứng của M 

1 2 

qua trục tung. 

a) Tìm toạ độ của điểm M′ theo x, y . Tìm phương trình tập hợp (H) các điểm M thoả 

 

MA . M′ A = 0 . Chứng tỏ (H) là một hypebol. Xác định toạ độ các tiêu điểm và phương 

2 2 

trình các đường tiệm cận của (H). 

b) Viết phương trình của elip (E) có 2 đỉnh trên trục lớn của (E) trùng với 2 đỉnh của (H) 

⎛ 

và (E) đi qua điểm B 2 ; 

2 2 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 3 3 ⎠ . 

c) Tìm toạ độ giao điểm của (H) với 2 đường chuẩn của (E). 

⎛ 

2 2 

2 2 

4 3 2 3 ⎞ 

HD: a) x − y = 4 b) (E): x + 4y 

= 4 c) 4 điểm ⎜ ± ; ± ⎟ 

⎝ 3 3 ⎠ 

2 2 


− 5y 

− 20 = 0 . 

a) Tìm tiêu điểm, tâm sai, tiệm cận của (H). 

b) Gọi (C) là đường tròn có tâm trùng với tiêu điểm F 1 (có hoành độ âm) của (H) và bán 

kính R bằng độ dài trục thực của (H). M là tâm đường tròn đi qua tiêu điểm F 2 và tiếp xúc 

ngoài với (C). Chứng minh rằng M ở trên (H). 

2 2 

HD: b) (C): ( x + 3) + y = 20 . Kiểm chứng MF1 − MF2 = 2 5 = 2a 

⇒ M ∈ (H). 



2 

Baøi 24. Cho hypebol (H): x 2 

y 1 

3 − = . 

⎛ 5 ⎞ 

a) Viết phương trình của elip (E) có cùng tiêu điểm với (H) và đi qua điểm P ⎜2; ⎟ 

⎝ 3 ⎠ . 

b) Đường thẳng d đi qua đỉnh A 2 của (E) (có hoành độ dương) và song song với đường 

thẳng ∆: 2x 

− 3y 

+ 12 = 0 . Viết phương trình của d. Tìm toạ độ giao điểm B (khác A 2 ) của 

d với (E). Xác định điểm C ∈ (E) sao cho tam giác A 2 BC có diện tích lớn nhất. 

2 2 

HD: a) x y 

⎛ 1 20 ⎞ 

+ = 1 b) d: 2x − 3y 

− 6 = 0 , B⎜ 

− ; − ⎟ 

9 5 

⎝ 3 9 ⎠ , C ⎛ 5 ⎞ 

⎜ −2; ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

2 2 

Baøi 25. Cho hypebol (H): x − 

y = 1. Gọi F 1 , F 2 là 2 tiêu điểm và A 1 , A 2 là 2 đỉnh của (H). 

2 2 

a b 

Trên (H), lấy điểm M tuỳ ý, kẻ MP ⊥ Ox. Chứng minh: 

2 2 2 

a) ( MF + MF ) = 4( OM + b ) b) 

1 2 

2 2 

PM b 

= . 

2 

A P. 

A P a 

1 2 

2 2 

1 2 1 2 1 2 

HD: a) Viết ( MF + MF ) = ( MF − MF ) + 4 MF . MF . 

2 

b) Tính PM , A P. A P theo toạ độ điểm M. 

1 2 

2 

Baøi 26. Cho parabol (P): y = 4x 

. 

a) Tìm toạ độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn ∆ của (P). 

b) Tìm điểm M trên (P) mà khoảng cách từ M đến F bằng 5. 

HD: b) N(4; 4); N(4; –4) 

⎛ 2 

2 

t ⎞ 

Baøi 27. Cho parabol (P): y = 2x 

có tiêu điểm F và điểm M ⎜ ; t ⎟ (với t ≠ 0). 

⎝ 2 ⎠ 

a) Chứng tỏ rằng M nằm trên (P). 

b) Đường thẳng FM cắt (P) tại N (khác M). Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo t. 

c) Tìm tập hợp (P′) các điểm I khi t thay đổi. 

⎛ 4 2 

t + 1 t −1⎞ 

HD: b) I 

⎜ ; 

2 

4t 

2t 

⎟ c) (P′): y 2 = x − 

1 

⎝ 

⎠ 

2 

2 

Baøi 28. Cho parabol (P): y = 2 px (p > 0). Một đường thẳng d đi qua tiêu điểm F cắt (P) tại 

M và N. Gọi t là góc của trục Ox và FM 

. 

1 1 

a) Chứng minh rằng khi d di động quay quanh F thì tổng + không đổi. 

FM FN 

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích FM.FN. Suy ra vị trí của d. 

p 

p 1 1 2 

HD: a) FM = , FN = ⇒ + = 

1− cost 

1+ 

cost 

FM FN p 

1 1 

b) Áp dụng BĐT Cô–si: + ≥ FM FN 

1 1 

FM FN 

2 . 

2 1 

⇔ ≥ 2 ⇔ FM. FN ≥ p 2 

p FM . FN 

1 1 

π 

Dấu "=" xảy ra ⇔ = ⇔ cost 

= 0 ⇔ t = ⇔ d ⊥ Ox. 

FM FN 

2 

Baøi 29. 

a) 


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II MÔN: TOÁN – KHỐI 10 

A – ĐẠI SỐ 


2 

a) ( x + 2)( x - 4) £ 0 

2 

b) x(9x - 1)(3x 

+ 1) £ 0 

2 

c) (2x 

+ 5)(2x 

- 1) £ 0 

2 

d) (1 - 3 x)( - 6x + 5x 

+ 1) ³ 0 

2 

e) 9x 

- 4x 

£ 0 

2 

f) x( x - 3) - (3 - x) £ 0 

g) ( x )( x) 

2 

2 

- 3 2 - > 0 

h) x + 4x 

+ 3£ 0 

i) - 6x 

+ x + 1³ 

0 


a) 4 x - 3 £ 0 

b) 2 2 

- x 

x( x - 3) 

³ 1 

c) 

³ 0 

2x 

+ 1 

3x 

- 2 

( x - 5)(1 - x) 

2 

3 5 

( x + 2)(3x + 7x 

+ 4) 

2 3 

d) ³ 

e) 

£ 0 f) ³ 

2 

1- x 2x 

+ 1 

x(3 - 5 x) 

x - 3x + 2 x -1 


a) (- x 2 + 3x – 2)(x 2 2 

x - 3x 

+ 2 

– 5x + 6) ³ 0 b) 

> 0 

2 

x - 4x 

+ 3 

3 2 

3 2 

x + 2x 

- 3 

- x + 2x + x - 2 

c) 

£ 0 

d*) 

3 ³ 0 

x(2 - x) 

4x 

- 9x 


2 

a) x - 2x - 8 < 2x 

b) x 2 2 

+ 2 x + 3 - 10 £ 0 c) x - 3 + 2x 

+ 1 ³ 0 

9 

2 

d) ³ x - 2 

e) 10x 

- 3x 

- 2 

2 

£ 1 

f) x -5x + 4 > x - 4 

2 

x - 5 - 3 

- x + 3x 

- 2 


a) 4x - 1 + 2 - x > x - 2 b) x - 2 + 3x > 4 - x 

c) 2 x - 5 - x + 1 £ 0 

d) 6 - x - 2 4 - x ³ x - 3 e) x - 5 - 5 - x ³ 2 - x 

f) x - 4 £ 3 - 2x 


a) 4 - x 2 x + 1 

2 

2 

= 

b) 10 - 6 x +1 = x -9x c) x - 2x + 3 = 5 - x 

x - 3 2 - x 

d) 3 -x - 1 + 2 - 3x = 7 - x e) 


2 

x -5x + 4 = x - 4 f) 

2 

x + x + 1 

= -3 

2x 

-1 - x -1 

2 

a) 16x + 17 = 8x 

- 23 

b) x - 3x 

+ 2 = 2x 

-1 

c) 2x - 3x +1 = 6 . 

Bài 8* Giải các phương trình sau: 

2 

3 

3 

a) x - 1 = x + 1 

b) 12 - x + 14 + x = 2 

2 

c) x + 3 - 2x 

-1 

= 3x 

- 2 

d) (x+4)(x+1) - 3 x + 5x + 2 =6 

e) 

2 2 

x + 5x + 7 = x + 5x +13 f) 

2 2 

( x - 2) x + 4 = x - 4 



2 

a) - x + 6x 

- 5 > 8 - 2x 

b) ( x + 5)(3x 

+ 4) < 4( x -1) 

c*) 2x 2 2 

- 3x 

4 2 

+ x - 5x 

- 6 > 10x 

+ 15 

d) 2 + x + + 

< 2 

x 

Bài 10. Tìm m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Î ¡ : 

a) (m - 3)x 2 -2mx + m - 6 < 0; b) x 2 - mx + m + 3 > 0; 

c) mx 2 - (m + 1)x + 2 ³ 0; d) (m + 1)x 2 - 2mx + 2m £ 0. 

Bài 11. Cho phương trình (m - 2)x 2 - 2(m + 1)x + 2m – 6 = 0. Tìm m để phương trình 

a) Có hai nghiệm phân biệt 

b) Có hai nghiệm trái dấu 

c) Có hai nghiệm âm phân biệt 

d) Có hai nghiệm dương phân biệt. 

Bài 12. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện được chỉ ra: 

a) x 2 + (2m + 3)x + m – 2 = 0 , x 1 < 0 £ x 2 . 

b) mx 2 +2(m - 1)x +m – 5 = 0, x 1 < x 2 < 0 . 

c) (m + 3)x 2 + 2(m - 3)x + m – 2 = 0, x 1 ³ x 2 > 0. 

Bài 13* Cho phương trình x 4 + 2(m + 2)x 2 – (m + 2) = 0 (1) 

a) Giải phương trình (1) khi m = 1. 

b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt; 

c) Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt; 

d) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt; 

e) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất. 

Bài 14. Cho tam thức bậc hai f(x) = 3x 2 – 6(2m +1)x + 12m + 5. 

a) Tìm m để f(x) > 0 với mọi x Î R. 

b*) Tìm m để f(x) có ít nhất một nghiệm lớn hơn -1. 

Bài 15. Để may đồng phục áo thể dục cho học sinh khối 10 trường A, người ta chọn 46 học sinh 

trong tổng số 550 học sinh khối 10 để đo chiều cao (đơn vị: cm) và thu được bảng sau: 

a) Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? 

b) Đây là điều tra mẫu hay điều tra toàn bộ? 

c) Tìm số trung bình. 

d) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. 

e) Vẽ biểu đồ tần số hình cột, tần suất hình quạt. 

g) Cả khối 10 cần may khoảng bao nhiêu áo mỗi cỡ? 

Lớp Tần số Cỡ 

áo 

[160; 162] 5 S1 

[163; 165] 11 S2 

[166; 168] 15 S3 

[169; 171] 9 S4 

[172; 174] 6 S5 

N = 46 

Bài 16: Để khảo sát kết quả thi tốt nghiệp môn Toán của học sinh trường A, người ta lấy kết quả 

của 100 học sinh khối 12 và thu được bảng sau: 

Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Tấn số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N=100 


a) Tìm số trung bình. 

b) Tìm số trung vị và mốt. Nêu ý nghĩa của chúng. 

c) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. 

d) Tìm số học sinh đỗ tốt nghiệp môn Toán (ta coi một học sinh đạt từ 5 điểm trở lên là đỗ 

tốt nghiệp môn Toán). 

e) Vẽ biểu đồ tấn suất hình quạt thể hiện số học sinh đỗ, trượt tốt nghiệp môn Toán. 

Bài 17. Điều tra về số giờ tự học ở nhà (đơn vị: giờ) của 50 học sinh lớp 10, ta có bảng 

phân bố tần số ghép lớp sau: 

Lớp 

Tần số 

[0; 10) 

[10; 20) 

[20; 30) 

[30; 40) 

[40; 50) 

[50; 60] 

5 

9 

15 


9 

2 

Cộng N = 50 

a) Dấu hiệu, đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bằng bao nhiêu? 

b) Bổ sung cột tần suất để hình thành bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp. 

c)Vẽ biểu đồ hình cột tần số và đường gấp khúc tần suất. 

d) Tính số trung bình. Nêu ý nghĩa. 

e)Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Nêu ý nghĩa. 

Bài 18. Chọn 23 học sinh và ghi cỡ giày của các em ta được mẫu số liệu sau: 

39 41 40 43 41 40 44 42 41 43 38 39 

41 42 39 40 42 43 41 41 42 39 41 

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất. 

b) Tính số trung vị và số mốt. Nêu ý nghĩa của chúng. 

c) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn. Nêu ý nghĩa. 

Bài 19. Tính các giá trị lượng giác khác của góc a khi biết : 

a) cos a = 

2 3p 

p 

, < a < 2p 

b) tana = - 2, < a < p 

5 2 

2 

1 3p 

p 

c) sin a = - , p < a < c) cota = 5, - p < a < - 

3 2 

2 

a 4 

p 

Bài 20. Tính các giá trị lượng giác của góc a khi biết cos = và 0 < a < . 

2 5 

2 

Bài 21. Cho tan a = 4 . Tính giá trị các biểu thức: 

3 

4sina 

- cosa 

a) A = 

3sina 

+ 2cosa 

3 3 

sin a - 2cos a 

b) B = 

sina 

+ 5cosa 

3 

3sin a cosa 

c) C = 

4 4 

4sin a + cos a 


Bài 22. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 

a) A = 3(sin 4 x + cos 4 x) - 2(sin 6 x + cos 6 x) ; 

b) B = 3(sin 8 x - cos 8 x) + 4(-2sin 6 x + cos 6 x) + 6 sin 4 x ; 

c) C = cos 6 x + 2sin 4 x cos 2 x + 3 sin 2 x cos 4 x + sin 4 x; 

d) D = sin3x sin 3 x + cos3x cos 3 x - cos 3 2x . 

6 6 2 2 

e) E = sin x + cos x + 3sin xcos x 

2 2 2p 

2 2p 

f) F = cos x + cos ( + x) + cos ( - x ) 

3 3 

2 2 2p 

2 4p 

g) G = sin x + sin ( x + ) + sin ( x + ). 

3 3 

1 

Bài 23. Cho sina 

+ cosa 

= . Tính giá trị các biểu thức: 

2 

4 4 

a) A = sin a.cosa b) B = sin a + cos a 

c) C = | sina 

- cos a | . 

Bài 24. 

2 

p 

a) Cho sin a = với 0 < a < . Tính các giá trị lượng giác còn lại của cung a. 

3 

2 

æ 3p 

ö 

b) Cho cot a = - 3 vô ùi a Îç ;2p÷ 

è 2 ø . Tính giaù trò 1 7 

P = tan a 

cos a 

+ sin a 

- ; 

c ) Cho 

12 æ 3p 

ö 

sin a = - ; ç < a < 2 p ÷ . Tính 

13 è 2 ø 

p cos( - a ) . 

3 

Bài 25. Tính giá trị các biểu thức: 

1 

0 

a) A = - 4cos20 

b) B = 3 - 

1 

0 

0 0 

cos80 

sin 20 cos20 

c) C = sin10 0 . sin30 0 . sin50 0 . sin70 0 0 0 0 0 0 0 

d) D = sin 20 sin 40 sin80 + cos 20 cos 40 cos80 

p 7p 13p 19p 25p 

e) E = sin .sin .sin .sin .sin 

30 30 30 30 30 

e) F = 

2p 4p 6p 

cos + cos + cos 

7 7 7 

Bài 26. a) Cho tan a = 2. Tính sin 2a, cos 2a, tan 2a, cot 2a. 

4 p 

a 

b) Cho sina = và < a 

5 2 2 

c) Cho cos2a = 1 

8 và 0 < a < 

p 

2 . Tính sin 2 a ; tan 2 a ; sin a ; cos a . 

Bài 27*. Chứng minh các đẳng thức: 

4 4 3 1 

p p 

a) sin a + cos a = + cos4a ; 

c) cos x.cos( - x).cos( + x) = 1 cos3x ; 

4 4 

3 3 4 

6 6 5 3 

p p 

b) sin a + cos a = + cos4a ; 

d) sin x.sin( - x).sin( + x) = 1 sin 3x 

8 8 

3 3 4 


e) 

tan x -sin x 1 

= 

3 

sin x cos x(1 + cos x) 

f) 

sin 4a 

cos 2a 

. tana 

1+ cos 4a 1+ 

cos 2a 2 2 4 

tan 

g) 

1+ cot 1 tan 

. 

+ 

= 

x 

2 2 2 2 

1+ tan x cot x tan x + cot x 

h) cos 3 x.sinx - sin 3 x.cosx = 1 4 sin4x 

i) sin 3 x.cos3x + cos 3 x.sin3x = 3 4 sin4x 

sin( a - b) sin( b - c) sin( c - a) 

j) 

+ + = 0 

cos a.cos b cos b.cos c cos c.cos 

a 

Bài 28. Rút gọn các biểu thức: 

p p 2 p p 2 

a) A = [sinx.sin( - x).sin( + x)] + [cosx.cos( - x).cos( + x)] 

3 3 3 3 

3p 

9p 

b) B = sin( - x) + cos(7 p + x) + 2sin( + x) 

2 2 

101p 2011p 1001p 

c) C = cos( + x) + sin(2009 p + x) + cos( + x) - tan( - x) + cot(3 p + x) 

. 

2 2 2 

p p 2p 2p 

d) D = tan x.tan( x + ) + tan( x + ).tan( x + ) + tan( x + ).tan x 

3 3 3 3 

2 2 

tan 2a 

- tan a 

e) E = 

; 

2 2 

1 - tan 2 a.tan 

a 

1 1 1 1 

f) F = (1 + )(1 + )(1 + )(1 + ) 

cos a cos2a cos4a cos8a . 

1 1 1 1 1 1 p 

g) G = + + + cos x (0 < x < ) 

2 2 2 2 2 2 2 

Bài 29*. Rút gọn các biểu thức: 

sinx + sin2x + sin3x + sin4x 

a) A = 

cosx + cos2x + cos3x + cos4x ; 

sin3x + 2sin4x + sin5x 

c) C = 

sin2x + 2sin3x + sin4x . 

cos 4a 

- cos 2a 

sin 4x + sin 5x + sin 6x 

b) B = d) D = 

sin 4a 

+ sin 2a 

cos4x + cos5x + cos6x 

1 

Bài 30*. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = . 

6 6 

sin x + cos x 

B – HÌNH HỌC 

Bài 1. Cho D ABC có µ 0 

A = 60 , AC = 8 cm, AB =5 cm. 

a) Tính độ dài cạnh cạnh BC, diện tích, chiều cao AH của tam giác ABC. 

b) Chứng minh góc B µ nhọn. 

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. 

Bài 2. Cho D ABC , a=13 cm b= 14 cm, c=15 cm. 

a) Tính diện tích D ABC, các góc, độ dài các trung tuyến, 

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. 


Bài 3. Cho D ABC có b=4,5 cm , góc µ 0 

A = 30 , µ 0 

C = 75 

a) Tính độ dài các cạnh a, c và số đo góc B µ . 

b) Tính diện tích D ABC và chiều cao BH. 

Bài 4. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc, phương trình tổng quát của đường 

thẳng d trong các trường hợp sau: 

ur 

a) d đi qua A(2; -3) và có vectơ chỉ phương u = (2;-1) 

. 

ur 

b) d đi qua B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến n = (-2; 5) . 

c) d qua hai điểm C(3; -2) và D(-1; 3). 

d) d qua E(2; -4) và vuông góc với đường thẳng d’: x – 2y – 1 = 0. 

e) d qua F(-1; 3) và song song với đường thẳng d’: x + 3y – 5 = 0. 

Bài 5. 

a) Viết phương trình đường thẳng qua A(1; 2) và song song với đường thẳng 4x – 3y + 5 = 0 . 

b) Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng 4x + 7y – 2 = 0 và 8x + y – 

13 = 0, đồng thời song song với đường thẳng x – 2y = 0. 

c) Viết phương trình đường thẳng qua A(-2; 3) và vuông góc với đường thẳng 3x – 4y = 0. 

Bài 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có tọa độ các trung điểm của các cạnh là 

M(2;1) N(5;3) P(3;-4) 

a) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC 

b) Viết phương trình 3 đường trung trực của tam giác ABC 

c) Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

d) Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 

Bài 7. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ∆ABC có đỉnh A(2; 2) và phương trình hai đường cao 

kẻ từ B, C lần lượt là: 9x – 3y - 4 = 0, x + y – 2 = 0. 

a) Viết phương trình các cạnh của ∆ ABC; 

b) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với AC. 

Bài 8. Lập phương trình các cạnh của ∆ ABC , biết đỉnh B(2; 5) và hai đường cao có phương 

trình: 2x + 3y + 7 = 0, x – 11y + 3 = 0. 

Bài 9. Vie át phương trình ñöô øng thaúng (D) bie át: 

a) (D) qua M(1;1) vaø taïo 1 go ùc 45 0 vô ùi ñöô øng thaúng (d): x – y – 2 = 0 

b) (D) qu a M(5; 1) vaø taïo 1 go ùc 60 0 vô ùi ñöô øng thaúng (d): 2x + y – 4 = 0. 

Bài 10. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, c ho P(2; 5), Q (5; 1). 

a) Vie át phương trình ñöô øng trung tröïc c uûa PQ . 

b) Vie át pt ñöô øng thaúng qu a P sao c ho kho aûng c aùc h töø Q ñe án ñöô øng thaúng ño ù b aèng 3. 

Bài 11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d) 2x+3y-1= 0 và M(2;1). 

a) Tìm M trên (d) sao cho OM=5. 

b) Xác định tọa độ H là hình chiếu M của trên(d). 

c) Xác định tọa độ điểm N đối xứng với M qua (d). 


Bài 12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(-1;-2) B(3;-1) C(0;3) 

a) Chứng minh 3 điểm A, B, C không thảng hang. 

b) Lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường cao CH 

c) Lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường trung tuyến AM 

d) Xác định tọa độ trọng tâm , trực tâm của tam giác ABC 

e) Viết phương trình đường tròn tâm C tiếp xúc với AB 

f) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

g) Tính diện tích tam giác ABC 

Bài 13. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ) có phương trình: 

(d 1 ): (m+1)x - 2y - m -1 = 0; (d 2 ): x + (m-1)y – m + 2 = 0 

a) Chứng minh rằng: (d 1 ) đi qua một điểm cố định. 

b) Biện luận theo m vị trí tương đối của (d 1 ) và (d 2 ) 

c) Tìm m để giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) nằm trên trục Oy. 

Bài 14. Cho ∆ ABC biết A(2; -1) và pt hai đường phân giác trong của góc B và C lần lượt là: 

(d B ): x - 2y + 1 = 0, (d C ): x + y + 3 = 0. Tìm pt đường thẳng chứa cạnh BC. 

Bài 15. Viết phương trình của đường tròn (C) trong các trường hợp sau: 

a) (C) có tâm I(1 ; - 2) và tiếp xúc với đường thẳng 4x – 3y + 5 = 0 

b) (C) đi qua 3 điểm A(1 ; 0), B(0 ; 2), C(2 ; 3) 

c) (C) đi qua A(2 ; 0), B(3 ; 1) và có bán kính R = 3. 

d) (C) đi qua 2 điểm A(2 ; 1),B(4 ; 3) và có tâm I nằm trên đường thẳng x – y + 5= 0 

2 2 

Bài 16. Trong mặt phẳng 0xy cho phương trình x + y - 4x + 8y 

- 5 = 0 (I). 

a) Chứng tỏ phương trình (I) là phương trình của đường tròn, xác định tâm và bán kính của 

đường tròn đó. 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại các điểm A(-1; 0), B(5; 0). 

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến đi qua C(0;-1). 

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d 1 

có phương trình x + y + 6 = 0. 

e) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d 2 

có phương trình 3x + 2y + 1 = 0. 

2 2 

Bài 17. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(0; - 1), B(0;1), C(1; ) . 

a) Chứng tỏ A, B, C không thẳng hàng. 

b) Viết phương trình đường tròn (S) đường kính AB. 

1 3 

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (S) biết tiếp tuyến đi qua M ( ; ) . 

2 2 

d) Viết phương trình chính tắc của elíp nhận hai điểm A, B làm các đỉnh và đi qua C. 

a) A(1; 3), B(5; 6), C(7; 0); b) A(0; 1), B(1; -1), C (2; 0); c ) A(1; 4), B(-7; 4), C(2; -5). 

2 2 

x y 

Bài 18. Cho (E): + = 1 . X aùc ñònh to ïa ño ä c aùc ñænh, tie âu ñie åm c u ûa e lip. Tính ño ä daøi truïc 

25 9 

lô ùn , truïc nho û, tie âu c öï c uûa e lip. 

Bài 19. Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau: 

3 


a) Có độ dài trục lớn bằng 14 và tâm sai bằng 12/13. 

b) A 1 (-2;0) là một đỉnh và F 2 (1; 0) là một tiêu điểm. 

c) Có một tiêu điểm là (-7; 0) và đi qua M(-2; 12). 

d) Tiêu cự banừg 6 và tâm sai bằng 2/3. 

e) Đi qua hai điểm P(4; 3 ) và Q( 8 ; -3). 

Bài 20. Cho elip (E): x 2 + 9y 2 = 9. Tìm trên (E) các điểm M thỏa mãn: 

a) MF 1 = 2 MF 2 . 

b) M nhìn F 1 ; F 2 dưới một góc vuông. 

c) M nhìn F 1 ; F 2 dưới một góc 60 0 . 

CHÚ Ý: Ngoài các bài tập bổ sung trên, học sinh cần làm đầy đủ các bài tập ở sách giáo 

khoa. 

ĐỀ THI THAM KHẢO – MÔN: TOÁN – KHỐI 10 

Thời gian: 90 phút 

I. PHẦN CHUNG: (8,0 điểm) 

Câu 1. (2,5 điểm) Giải các bất phương trình sau : 

x 

2 

1 3 

a) 2x - 5 < 3 - b) (- 3x + 1)( x - 3x 

+ 2) ³ 0 

c) £ 

4 x + 2 2 - 3x 

2 

2 

Câu 2. (1,0 điểm) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình : x + (1 - 2m) 

x + m -1 

= 0 có hai 

nghiệm dương phân biệt. 

Câu 3. (1,5 điểm) Số điểm kiểm tra Toán của 28 em học sinh lớp 10A được cho bởi bảng sau: 

1 3 6 9 7 5 6 2 7 6 5 8 2 3 

0 7 8 5 2 1 9 8 4 4 4 5 6 9 

a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, với các lớp sau: [ 0;2 ); [ 2;4 ); [ 4;6 ); [ 6;8 ); [ ) 

b) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn dựa trên bảng đã lập ở câu a. 

Câu 4. ( 2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho DABC với A(2; 1), B(4; 3) và C(-2; 4) 

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC. 

b) Tính diện tích tam giác ABC. 

c) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 

4 

Câu 5. (1,0 điểm) Cho cosα = - với π < α < π 

5 

2 

II. PHẦN RIÊNG: (2,0 điểm) 

Dành cho học sinh học chương trình nâng cao: 

2 

Câu 6A.(1,0 điểm) Giải phương trình: 5x 6x 4 > 2( x 1) 

. Tính các giá trị lượng giác còn lại của cung a . 

- - - . 

Câu 7A.(1,0 điểm) Viết phương trình chính tắc của Hypebol (H) biết (H) đi qua điểm ( 2; 3 ) và một 

đường tiệm cận của (H) tạo với trục tung một góc 30 0 . 

Dành cho học sinh học chương trình chuẩn: 

2 

Câu 6B.(1,0 điểm) Tìm các giá trị của m để hàm số y = x + mx - m có tập xác định là ¡ . 

Câu 7B.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(- 2; 3) và đường thẳng (d) có phương trình 

3x + y - 7 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu của A trên (d). 

8;10 . 


Đề 1 

I. Phần chung: (7,0 điểm) 

Câu 1: (2,0 điểm) Giải các bất phương trình sau: 

3x 

−14 

a) > 1 

b) x ≤ 2 x − 4 + x − 2 

2 

x + 3x 

−10 

Câu 2: (1,0 điểm) Người ta đã thống kê số gia cầm bị tiêu huỷ trong vùng dịch của 6 xã A, B, C, 

D, E, F như sau (đơn vị: nghìn con): 

Xã A B C D E F 

Số lượng gia cầm bị tiêu huỷ 12 27 22 15 45 5 

Tính số trung bình, số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng trăm) của bảng số 

liệu thống kê trên. 

Câu 3: (2,0 điểm) 

sin + − − 

a) Chứng minh rằng: 

x cos x 1 1 cos 

= 

x 

2 cos x sin x − cos x + 1 

5 

b) Cho sin( x − π ) = 

13 , với x ⎛ π ⎞ 

∈⎜ 

− ⎟ 

⎝ 

;0 ⎛ 3π 

⎞ 

. Tính cos⎜2x 

− ⎟ 

2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

Câu 4: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; 2), B(3; –4), 

C(0; 6). 

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng chứa cạnh AB và đường cao AH của ∆ABC. 

b) Viết phương trình đường tròn có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng BC. 

II. Phần riêng (3,0 điểm) 


Câu 5a: (2,0 điểm) 

a) Giải phương trình sau: x + 2 = 4 − x . 

b)Tìm m để p/ trình sau có 2 nghiệm phân biệt: −x − 2( m − 3) x + m − 5 = 0 . 

Câu 6a: (1,0 điểm) Cho ∆ABC có độ dài các cạnh AB = 25, BC = 36, CA = 29. Tính độ dài của 

đường cao xuất phát từ A, bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp của 

∆ABC. 


Câu 5b: (2,0 điểm) 

a) Giải bất phương trình sau: x + 2 < 4 − x . 

b) Tìm m để bất pt sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R: −x − 2( m − 3) x + m − 5 ≤ 0 . 

Câu 6b: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M ( ) 

2 

2 

5;2 3 . Viết phương trình 

chính tắc của elip (E) đi qua điểm M và có tiêu cự bằng 4. 

Đáp án đề 1 


1 a) 3x 

−14 3x 

−14 

> 1 ⇔ − 1 > 0 

2 2 

x + 3x − 10 x + 3x 


0,25 

2 2 

3x −14 − x − 3x + 10 −x 

− 4 

⇔ > 0 ⇔ > 0 

2 2 



0,25 

2 

2 

−x 

− 4 

2 

Vì −x − 4 < 0, ∀ x ∈R nên 

> 0 ⇔ x + 3x 

− 10 < 0 

2 

x + 3x 


0,25 

⇔ x ∈ ( − 5;2) 

0,25 

b) x ≤ 2 x − 4 + x − 2 

Nếu x ∈ ( −∞;0] 

thì BPT ⇔ ⇔ −x ≤ 2(4 − x) + x − 2 ⇔ 0 ≤ 6 luôn thỏa mãn 

0,25 

Nếu x ∈ (0;4] thì ⇔ x ≤ 2(4 − x) + x − 2 ⇔ x ∈ (0;3] 

0,25 

Nếu x ∈ (4; +∞) 

thì ⇔ x ≤ 2( x − 4) + x − 2 ⇔ x ∈ [5; +∞) 

0,25 


Tập nghiệm bất phương trình đã cho là ( −∞;3] ∪ [5; +∞ ) 

0,25 

2 Số trung bình là 21 0,25 

Sắp xếp 5; 12; 15; 22; 27; 45 ⇒ số trung vị là 18,5 0,25 

Phương sai ≈ 164,33 

0,25 

Độ lệch chuẩn là ≈ 12,82 

0,25 

3 a) sin x + cos x −1 1− 

cos x 

2 2 

= ⇔ [sin x − (cos x − 1) ] = 2 cos x(1 − cos x) 

2 cos x sin x − cos x + 1 

0,25 

2 2 

Ta có :[sin x + (cos x −1)][sin x − (cos x −1)]= sin x − (cos x − 1) 

0,25 

2 2 2 

= sin x − cos x + 2cos x − 1 = 2cos x − 2cos x 

0,25 

= 2cos x(1 − cos x) 

(đpcm) 0,25 

b) 

5 5 5 

Ta có sin( x − π ) = ⇔ − sin x = ⇔ sin x = − 

13 13 13 

0,25 


Vì ⎛ π ⎞ 

∈⎜ 

− ;0⎟ 

⇒ cos > 0 ⇒ cos = 1− sin = 1− = 

⎝ 2 ⎠ 

169 13 

0,25 

⎛ 3π ⎞ ⎛ π 3π 

⎞ 

cos⎜ 2x − ⎟ = sin ⎜ − 2x + ⎟ = −sin 2x 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 

0,25 

⎛ 3π 

⎞ 

5 12 120 

⇒ cos⎜2x − ⎟ = − 2sin x cos x = − 2. . = − 

⎝ 2 ⎠ 

13 13 169 

0,25 

4 a) A(1; 2), B(3; –4), C(0; 6) 

 

 

AB = (2; − 6) = 2(1; −3) ⇒ vtpt n = (3;1) ⇒ ptAB : 3( x − 1) + ( y − 2) = 0 

0,50 

⇒ ptAB : 3x + y − 5 = 0 

 

BC = ( −3;10) ⇒ ptAH : 3( x −1) −10( y − 2) = 0 ⇔ 3x − 10y 

+ 17 = 0 

0,50 

b) ptBC :10( x − 3) + 3( y + 4) = 0 ⇔ 10x + 3y 

− 18 = 0 

0.50 

|10 + 6 −18 | 2 

R = d( A; BC) 

= = 

109 109 

0,25 

⇒ pt( C) : ( x − 1) + ( y − 2) = 0,25 


5a a) ⎧4 − x ≥ 0 

x + 2 = 4 − x ⇔ ⎨ 

⎩x + 2 = 16 − 8x + x 2 

0.50 

6a 

b) 

2 2 4 

⎧x 

≤ 4 

⇔ ⎨ 2 

⇔ x = 2 

⎩x 

− 9x 

+ 14 = 0 

Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt −x − 2( m − 3) x + m − 5 = 0 

2 2 

⇔ ∆ ' = ( m − 3) + m − 5 > 0 ⇔ m − 5m 

+ 4 > 0 

0.50 

⇔ m ∈( −∞;1) ∪ (4; +∞ ) 

0.50 

25 + 36 + 29 

p = = 45 ⇒ p − a = 9, p − b = 19, p − c = 20 

2 

0,25 

6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 6,7 7,0 

8,5 7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,1 7,1 7,3 

8,7 7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8 7,2 7,5 8,3 

7,1 

7,5 

(đvdt) 

7,6 

2S 720 

AH = ABC 

= = 20 

BC 36 

0,25 

SABC 

360 

SABC 

= pr ⇔ r = = = 8 

p 45 

0,25 

abc abc 25.36.29 145 

S ABC 

R 

4R 

4S 

4.360 8 

0,25 

ABC 


2 

0.50

5b a) ⎧ x < 4 

⎪ 

⎧−2 ≤ x < 4 

x + 2 < 4 − x ⇔ ⎨x 

≥ −2 

⇔ ⎨ 2 

. 

⎪ 2 x − 9x 

+ 14 > 0 

x + 2 < 16 − 8x + x 

⎩ 

⎩ 

0,50 

⎧x 

∈[ −2;4) 

⇔ ⎨ ⇔ x ∈[ −2;2) 

⎩x 

∈ ( −∞ ;2) ∪ (7; +∞ ) 

0,50 

b) 

2 

⎧a 

= − 1< 

0 

−x − 2( m − 3) x + m − 5 ≤ 0 , ∀x ∈ R ⇔ ⎨ 2 

⎩ ∆ ' = ( m − 3) + m − 5 ≤ 0 

0,50 

2 

⇔ m − 5m + 4 ≤ 0 ⇔ m ∈[1;4] 

0,50 

6b 

Viết PT chính tắc của elip (E) đi qua điểm M ( 5;2 3 ) và có tiêu cự bằng 4. 

2 2 

x y 

PT (E) có dạng: + = 1 ( a > b > 0) 

2 2 

a b 


2 2 2 2 

M ( 5;2 3) ∈( E) ⇒ + = 1 ⇔ 12a + 5b = a b 

2 2 

a b 

0,25 

Tiêu cự bằng 4 nên 2c = 4 ⇒ c = 2 0,25 

2 2 2 2 2 2 2 2 

4 2 

⎧⎪ 

12a + 5b = a b ⎧⎪ 

12a + 5b = a b ⎪⎧ a − 21a 

+ 20 = 0 

⎨ 

⇔ 

2 2 2 

⎨ 

⇔ 

2 2 

⎨ 

2 2 

⎪⎩ 

b + c = a ⎪⎩ 

b = a − 4 

⎪⎩ b = a − 4 

0,25 

2 2 2 

⎧ ⎪a = 20 x y 

⇔ ⎨ ⇔ pt( E) : + = 1 

2 

⎪⎩ b = 16 20 16 

0,25 

Đề 2 



2 

2 + 7x 

−15x 

2 

a) 

≥ 0 

b) 4x + 4x − 2x 

+ 1 ≥ 5 

2 

3x 

− 7x 

+ 2 

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R: 

2 2 

( m + 2) x − 2( m − 2) x + 2 ≥ 0 

Câu 3: (1,0 điểm) Số tiết tự học tại nhà trong 1 tuần của một nhóm 20 học sinh được cho trong 

bảng sau: 

9 15 11 12 16 12 10 14 14 15 16 13 16 8 9 11 10 12 18 18 

a) Lập bảng phân bố tần số của bảng số liệu trên. 

b) Tính số trung bình và phương sai của bảng số liệu đó. 

Câu 4: (1,0 điểm) Cho 2 số x, y thoả mãn x + y ≥ 0 . Chứng minh bất đẳng thức: 

5 5 4 4 

x + y − x y − xy ≥ 0 

Câu 5: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC có tọa độ các trung điểm của 

các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M(2; 1), N(5; 3), P(3; –4). 

a) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. 

b) Viết phương trình đường tròn có tâm A và đi qua điểm B. 




⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 2 

a) Rút gọn biểu thức: A = cos⎜ + x ⎟ cos⎜ − x ⎟ + sin x 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

1 

b) Cho sin x + cos x = . Tính giá trị biểu thức B = sin 2 x . 

2 


Câu 7a: (1,0 điểm) Cho ∆ABC có độ dài các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. 

2 2 2 2 

Chứng minh rằng nếu: b( b − a ) = c( a − c ) thì A 

0 

= 60 . 



sin a + sin 4a + sin 7a 

a) Đơn giản biểu thức: C = 

cos a + cos4a + cos7a 

5π 

3π 

b) Tính giá trị của biểu thức: D = sin .cos 

8 8 

Câu 7b: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình chính tắc của parabol 

2 2 

(P), biết tiêu điểm F của (P) trùng với tâm của đường tròn (C): x − 6x + y + 5 = 0 . 



1 a) 2 

2 + 7x −15 x − (5x + 1)(3x 

− 2) 

≥ 0 ⇔ ≥ 0 

2 

3x 

− 7x 

+ 2 (3x 

−1)( x − 2) 

0,50 

1 1 2 

⇔ ∈ ⎡ ⎢ 

− ; ;2 

⎟ ∪ ⎟ 

⎣ 5 3 ⎠ 

⎢ 

⎣3 

⎠ 

0,50 

2 

b) 2 2 

4x + 4x − 2x + 1 ≥ 5 ⇔ (2x + 1) − | 2x 

+ 1| −6 ≥ 0 . Đặt t = 2x 

+ 1 , t ≥ 0 . 

0,50 

Có BPT trung gian: t 2 − t − 6 ≥ 0 

⎡t 

≤ −2 

⇔ ⎢ ⇔ t ≥ 3 (vì t ≥ 0) 

⎣t 

≥ 3 

0,25 

2 

⇔ 2x + 1 ≥ 3 ⇔ 4x + 4x −8 ≥ 0 ⇔ x ∈( −∞; −2] ∪ [1; +∞) 

0,25 

2 2 

( m + 2) x − 2( m − 2) x + 2 ≥ 0 . Ta có 

BPT nghiệm đúng với mọi x 

2 

m 2 0, m R 

+ > ∀ ∈ . 

⇔ ∆ = − − + ≤ 

2 2 

' ( m 2) 2( m 2) 0 

2 

⇔ −m − 4m ≤ 0 ⇔ m ∈( −∞; −4] ∪ [0; +∞) 

0,50 

3 Bảng phân bố tần số 

Giá trị 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 0,50 

Tần số 1 2 2 2 3 1 2 2 3 2 

Số trung bình: 12,95. 

Phương sai: 8,65 

0,50 

4 

5 5 4 4 

4 4 

Ta có: x + y − x y − xy ≥ 0 (*) ⇔ x ( x − y) + y ( y − x) ≥ 0 

4 4 

⇔ ( x − y)( x − y ) ≥ 0 

0,50 

2 2 2 2 

2 2 2 

⇔ ( x − y)( x − y )( x + y ) ≥ 0 ⇔ ( x − y) ( x + y)( x + y ) ≥ 0 

(**) 

BĐT (**) luôn đúng với x + y ≥ 0 ⇒ (*) luôn đúng. 

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y. 

5 a) M(2; 1), N(5; 3), P(3; –4). 

 

NP = ( −2; − 7), PM = ( − 1;5), MN = (3;2) 

⎧x 

• 

A 

− 2 = − 2 ⎧x 

MA NP 

A 

= 0 

= ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇒ A(0; −6) 

⎩yA 

− 1 = − 7 ⎩yA 

= −6 

⎧x 

• 

B 

− 5 = − 1 ⎧x 

NB PM 

B 

= 4 

= ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇒ B(4;8) 

⎩yB 

− 3 = 5 ⎩yB 

= 8 

0,50 

0,50 

0,25 

0,25 

0,25 


⎧x 

• 

C 

− 3 = 3 ⎧x 

PC MN 

C 

= 6 

= ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇒ C(6; −2) 

0,25 

⎩yC 

+ 4 = 2 ⎩yC 

= −2 

b) 

2 2 2 2 

• Bán kính: R = AB = (4 − 0) + (8 + 6) = 212 

0,50 

6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 6,7 7,0 7,1 

8,5 7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,1 7,1 7,3 7,5 

• Phương trình đường tròn tâm A và qua B là 

0,50 

8,7 7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8 7,2 7,5 8,3 7,6 

6a a) 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 2 1 ⎛ π ⎞ 2 

A = cos ⎜ + x⎟cos ⎜ − x⎟ + sin x = ⎜cos + cos 2x ⎟ + sin x 0,50 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ 

1 2 2 1 

A = (1 − 2sin x) + sin x = 0,50 

2 2 

b) 

1 2 1 1 

Từ sin x + cos x = ⇒ (sin x + cos x) = ⇒ 1+ 2sin x.cos 

x = 0,50 

2 4 4 

3 

⇒ 2sin x.cos 

x = − 0,25 

4 

3 

Do đó: B = sin 2x = − 

0,25 

4 

7a Ta có: 

2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 0,50 

b( b − a ) = c( a − c ) ⇔ b + c = a ( b + c) 

⇔ a = b + c − bc 

2 2 2 

b + c − a 1 

Mặt khác: cos A = = ⇒ 0 

A = 60 

2bc 

2 

0,50 

6b a) 

sin sin 4 sin 7 (sin 7 sin ) sin 4 

C = + + + + 

= 

cos a + cos 4a + cos7 a (cos7a + cos a) + cos 4a 

2sin 4 a.cos3a + sin 4a 

= 

2cos 4 a.cos3a + cos 4a 

0,50 

sin 4 a(2cos3a 

+ 1) 

= = tan 4a 

cos 4 a.(2cos3a 

+ 1) 

0,50 

b) 5π 3π ⎛ 5π ⎞ 3π 3π 3π 

= sin .cos = sin ⎜π 

− ⎟.cos = sin cos 

8 8 ⎝ 8 ⎠ 8 8 8 

0,50 

1 6π 

1 3π 

2 

= sin = sin = 

2 8 2 4 4 

0,50 

7b 

2 2 

2 2 

• (C): x − 6x + y + 5 = 0 ⇔ ( x − 3) + y = 4 

• Tâm của đường tròn (C) là F(3; 0) 

0,50 

p 

• (P) có tiêu điểm F(3; 0) ⇒ = 3 ⇒ p = 6 

2 

0,50 

2 

• Phương trình Parabol là y = 12x 

Đề 3 



2 

x − 3x 

− 4 

a) ≤ 0 

3− 

4x 

b) 2x 

+ 5 > 7 − 4x 

Câu 2: (1,0 điểm) Cước phí điện thoại trong 1 tháng của 8 gia đình trong một khu phố được cho 

trong bảng sau (đơn vị: nghìn đồng) 

Hộ gia đình A B C D E F G H 

Cước phí điện thoại 85 79 92 85 74 71 62 110 

Tính số trung bình, số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng trăm) của bảng số 

liệu thống kê trên. 

Câu 3: (2,0 điểm) 


2 2 4 

sin x − cos x + cos x 

a) Đơn giản biểu thức: A = 

. 

2 2 4 


⎛ π ⎞ 2 

3 3 

b) Cho sin ⎜ x + ⎟ = . Tính giá trị biểu thức B = sin x + cos x . 

⎝ 4 ⎠ 5 

Câu 4: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; 4), B(4; 3), 

C(2; 7). 

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng chứa cạnh AB và đường trung tuyến AM của 

∆ABC. 

b) Viết phương trình đường tròn có tâm là trọng tâm G của ∆ABC và đi qua điểm A. 




2 

a) Giải phương trình: x + x + 1 = 2x 

+ 1. 

b) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 

2 

x m x 

− 4( − 2) + 1 = 0 

2 2 

Câu 6a: (1,0 điểm) Cho hai đường tròn ( C1 

) : x + y − 4x + 6y 

− 3 = 0 và 

Xét vị trí tương đối của hai đường tròn trên. 



2 2 

( C2) : ( x 6) y 4 

− + = . 

2 

a) Giải bất phương trình sau: 3x 

+ 13 + 2x 

< 1. 

2 

b) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R: x − 4( m − 2) x + 1 ≥ 0 

Câu 6b: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E), 

M − . 



1 a) 

2 

x − 3x − 4 ( x + 1)( x − 4) 

≤ 0 ⇔ ≥ 0 

3 − 4x 

4x 

− 3 

0,5 

3 

⇔ x ∈[ −1; ) ∪ [4; +∞ ) 

4 

0,5 

b) 

2 2 

2x + 5 > 7 − 4x ⇔ 4x + 20x + 25 > 49 − 56x + 16x 

0,5 

biết (E) có một tiêu điểm là F(–8; 0) và đi qua điểm ( 5; 3 3) 

⇔ 12 − 76 + 24 < 0 ⇔ 3 ⎞ 

− 19 + 6 < 0 ⇔ ∈⎜ ;6⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

0,5 

2 • Sắp xếp lại các giá trị: 62; 71; 74; 79; 85; 85; 92; 110 

Số trung vị là: 

79 + 85 

0,25 

= 82 

2 

• Số trung bình là: 82,25 0,25 

• Phương sai: 186,9375 0,25 

• Độ lệch chuẩn: 13,67 0,25 

3 a) 

b) 

A = 

2 2 ⎛ 1 

2 2 4 4 2 

sin x − cos x + cos x cos − 2cos + 1 

= 

x x 

2 2 4 4 2 

cos x − sin x + sin x sin x − 2sin x + 1 

2 2 4 

x − x 4 

tan x 

2 2 4 

(cos 1) sin 

⇔ A = = = 

(sin x −1) cos x 

⎛ π ⎞ 2 

Cho sin ⎜ x + ⎟ = . Tính giá trị biểu thức B = sin 

⎝ 4 ⎠ 5 

Viết B = (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x) 

. 0,50 

x + cos x . 

3 3 

0,50 

0,25 


⎛ π ⎞ 2 2 

sinx + cos x = 2 sin ⎜ + ⎟ = 2. = 

⎝ 

x 4 ⎠ 5 5 

0,25 

4 

−1 

25 21 71 

0,25 

sin x.cos x = = − ⇒1− sin x.cos 

x = 

2 50 50 

6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 6,7 7,0 7,1 

B = (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x) 

= 8,5 7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,1 7,1 7,3 7,5 

8,7 7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8 7,2 7,5 8,3 7,6 

4 a) Cho tam giác ABC với A(1; 4), B(4; 3), C(2; 7). 

Viết PTTQ của đường thẳng chứa cạnh AB và đường trung tuyến AM 

của ∆ABC. 

 

 

• AB = (3; −1) 

nên véc tơ pháp tuyến của AB là n = (1;3) 

pttq AB :1( x − 1) + 3( y − 4) = 0 ⇔ x + 3y 

− 13 = 0 

 

• Trung điểm của BC là M(3; 5) ⇒ AM = (2;1) ⇒ VTPT của AM là (1; –2) 

⇒ pttq AM : x − 2y 

+ 7 = 0 

0,25 

0,50 

0,50 

7 14 

• Trọng tâm của ∆ABC là G ⎛ ⎞ 

⎜ ; ⎟ 

⎝ 3 3 ⎠ 

. 0,50 

bán kính của đường tròn là: 

2 2 

2 2 ⎛ 7 ⎞ ⎛ 14 ⎞ 20 

R = GA = ⎜1− ⎟ + ⎜ 4 − ⎟ = 

0,25 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 9 

2 2 

⎛ 7 ⎞ ⎛ 14 ⎞ 20 

Phương trình đường tròn tâm G và đi qua A: ⎜ x − ⎟ + ⎜ y − ⎟ = 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 9 

0,25 

5a a) 

⎧ 1 

2 

⎪x 

≥ − 

x + x + 1 = 2x 

+ 1 ⇔ ⎨ 2 

. 

⎪ 2 2 

⎩x + x + 1 = 4x + 4x 

+ 1 

0,50 

⇔ x = 0 

0,50 

b) 

2 

Phương trình: x − 4( m − 2) x + 1 = 0 (*) 

2 

(*) vô nghiệm ⇔ ∆ ' = 4( m − 2) − 1 < 0 

0,50 

2 ⎛ 3 5 ⎞ 

⇔ 4 m − 16 m + 15 < 0 ⇔ m ∈⎜ ; ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ 

0,50 

2 2 

6a Cho hai đường tròn ( C ) : x + y − 4x + 6y 

− 3 = 0 và 

• Tâm 

2 2 

( C2) : ( x 6) y 4 

− + = . 

I I I I 

2 2 

1(2; − 3), 

2 

= (6;0) ⇒ 

1 2 

= 4 + 3 = 5 

2 2 

• R1 = 2 + ( − 3) + 3 = 4, R2 = 2 ⇒ R1 + R 

2 

= 3 + 2 = 5 

0,50 

Vậy hai đường tròn tiếp xúc nhau 

5b a) 2 2 

3x + 13 + 2x < 1 ⇔ 3x + 13 < 1− 2x 

. 0,25 

⎧ ⎛ 1 ⎞ 

⎧1 − 2x 

> 0 ⎪x 

∈⎜ −∞; ⎟ 

⎨ 

⇔ 

2 2 ⎨ ⎝ 2 ⎠ 

⎩3x + 13 < 1− 4x + 4x 

⎪ 2 

⎩x 

− 4x 

− 12 > 0 

0,25 

⎧ ⎛ 1 ⎞ 

⎪x 

∈⎜ −∞; ⎟ 

⇔ ⎨ ⎝ 2 ⎠ 

⎪ 

⎩x 

∈ ( −∞ ; − 2) ∪ (6; +∞ ) 

0,25 

⇔ x ∈ ( −∞; − 2) 

0,25 

b) 

2 

x − 4( m − 2) x + 1 ≥ 0 , ∀x ∈ R 

0,50 


1 

0,50

2 

⇔ ∆ ' = 4m 

− 16m 

+ 15 ≤ 0 (vì a = 1 > 0) 

⎡3 5 ⎤ 

⇔ m ∈ ⎢ ; 

⎣2 2 ⎥ ⎦ 

0,50 

6b (E) có một tiêu điểm là F(–8; 0) và đi qua điểm M ( 5; − 3 3) 

. 

2 2 

x y 

• Phương trình chính tắc (E) có dạng : + = 1, a > b > 0 

2 2 

a b 

• F( −8;0) ⇒ c = 8, M (5; −3 3) ∈( E) 

⇒ 25 + 

27 

2 2 

a b 

2 2 2 2 2 

⎧⎪ a = b + 64 ⎧⎪ a = b + 64 ⎧⎪ 

a = 100 

• Giải hệ ⎨ ⇔ 

2 2 2 2 

⎨ ⇔ 

4 2 

⎨ 

2 

⎪⎩ 27a + 25b = a b ⎪⎩ b + 12b − 1728 = 0 ⎪⎩ 

b = 36 

2 2 

x y 

• Vậy phương trình của (E) là + = 1 

0,25 


Đề 4 



1 3 

a) 

2 

2x 

5x 

2 ≥ b) x + 3 ≥ 2x 

+ 5 

− + 2 − x 

Câu 2: (1,0 điểm) Số tiền lãi hàng tháng của một cửa hàng trong một năm được cho trong bảng sau 

(đơn vị: triệu đồng): 

Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

Số tiền lãi 12 15 18 12 12 16 18 19 15 17 20 17 

Tính số trung bình, số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng vạn) của bảng 

số liệu thống kê trên. 

Câu 3: (2,0 điểm) 

sin x + sin 2x 


. 

1+ cos x + cos2x 

3 3 

b) Cho sin x − cos x = 2 . Tính giá trị biểu thức B = sin x − cos x . 

Câu 4: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC với A(1; 1), B(–1; 3), C(–3; –1). 

a) Viết phương trình các đường trung trực của các cạnh AB và AC. 

b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 




a) Giải phương trình: 3x − 9x + 1 = x − 2 . 

2 

b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: ( m −1) x − 2( m −1) x − 1 = 0 . 

Câu 6a: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = 2 3 , AC = 4 và góc C 

BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC. 



a) Giải phương trình: ( x + 3)(7 − x) + 12 = x − 4x 

+ 3 

2 

2 

0,25 

0,25 

0,25 

0 

= 60 . Tính độ dài cạnh 

b) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R: ( m −1) x − 2( m −1) x −1 ≥ 0 . 

2 


2 2 

Câu 6b: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hypebol (H): x − 9y 

= 36 . Tìm tọa 

độ các tiêu điểm, độ dài các trục của hypebol (H). 



1 a) 1 3 1 3 

0 

2 

x x x 2 

2 − 5 + 2 2 − 

⇔ 2x − 5x 

+ 2 

x − 2 

0,25 

2(3x 

−1) 

⇔ 

≥ 0 

(2x 

−1)( x − 2) 

0,25 

6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 6,7 7,0 7,1 

8,5 7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,1 7,1 7,3 7,5 

8,7 7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8 7,2 7,5 8,3 7,6 

b) x + 3 ≥ 2x 

+ 5 

5 ⎛ 5 ⎞ 

• TH 1: 2x + 5 < 0 ⇔ x ≤ − ⇔ x ∈⎜ 

−∞; 

− ⎟ 

2 ⎝ 2 ⎠ 

Bất phương trình thỏa mãn 

⎧ 2 2 

x 3 (2x 

5) ⎧ ( x + 2)(3x 

+ 8) ≤ 0 

⎪ + ≥ + ⎪ 

• TH2: ⎨ 5 ⇔ ⎨ 5 

⎪x 

≥ − 

⎪ 

x ≥ − 

⎩ 2 

⎩ 2 

0,50 

0.25 

0.25 

⎧ ⎡ 8 ⎤ 

x ∈ − ; − 2 

⎪ 

⎢ 

3 

⎥ ⎡ 5 ⎤ 

⇔ 

⎣ ⎦ 

⎨ ⇔ x ∈ − ; −2 

⎡ 5 ⎞ ⎢ 

x ; 

2 

⎥ 

⎪ ∈ 

⎣ ⎦ 

⎢ − +∞ ⎟ 

⎪⎩ 

⎣ 2 ⎠ 

0.25 

Kết luận: x ∈( 

−∞; −2⎤ 

⎦ 0.25 

2 • Sắp xếp lại dãy số liệu 12; 12; 12; 15; 15; 16; 17; 17; 18; 18; 19; 20 

Có số trung bình là ≈ 15,9167 , Số trung vị là: 16,5 0.50 

3 a) 

b) 

Phuơng sai: ≈7,0764, độ lệch chuẩn là: ≈ 2,660 

0.50 

A = 

sin x + sin 2x sin x(1 + 2 cos x) 

= 

. 0.50 

1+ cos x + cos2x 2 

2 cos x + cos x 

sin x(1 + 2 cos x) 

= = tan x 

cos x(1 + 2 cos x) 

0.50 

1 

sin x − cos x = 2 ⇒ 1− 2sin x cos x = 2 ⇒ 2sin x cos x = −1⇒ sin x cos x = − 0.50 

2 

3 3 ⎛ 1 ⎞ 2 

B = sin x − cos x = (sin x − cos x)(1 + sin x cos x) = 2. ⎜1− ⎟ = 

⎝ 2 ⎠ 2 

4 a) Cho A(1; 1), B(–1; 3), C(–3; –1). 

Gọi ∆1 , ∆ 

2 

lần lượt là trung trực của các cạnh AB và AC và M, N lần lượt 

là trung điểm của AB và AC ta có: 

 

 

• AB = ( − 2;2) = −2(1; −1), M(0;2) ⇒ pttq∆1 

: x − y + 2 = 0 

• AC = ( −4; − 2) = −2(2;1), N( −1;0) ⇒ pttq∆ 

: 2x + y + 2 = 0 

b) • Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ I = ∆1 ∩ ∆2 

0,50 

2 

0,50 

0,50 

0,50 


⎧ 4 

x = − 

⎧x 

− y + 2 = 0 ⎪ 4 2 

Giải hệ: 

3 ⎛ ⎞ 

⎨ 

⇔ ⎨ ⇒ I ⎜ − ; ⎟ 

⎩2x 

+ y + 2 = 0 

⎪ 

2 ⎝ 3 3 ⎠ 

y = 

⎩ 3 

2 2 49 1 50 

Bán kính R ⇒ R = IA = + = 0,25 

9 9 9 

2 2 

⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 50 

Vậy PT đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: ⎜ x + ⎟ + ⎜ y − ⎟ = 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 9 

0,25 

5a a) 

2 

⎧x 

≥ 2 

3x − 9x + 1 = x − 2 ⇔ ⎨ 2 

. 

⎩2x 

− 5x 

− 3 = 0 

0,50 

⇔ x = 3 

0,50 

b) 

2 

( m −1) x − 2( m −1) x − 1 = 0 (*) 

• m = 1: (*) trở thành: – 1 = 0 ⇒ (*) vô nghiệm 

0,25 

• m ≠ 1: (*) có nghiệm 

2 

⇔ ∆' = ( m − 1) + ( m −1) ≥ 0 ⇔ m( m −1) ≥ 0 ⇔ m ∈( 

−∞;0 ⎤ 

⎦ ∪ (1; +∞) 

0,50 

Kêt luận: phương trình có nghiệm khi m ∈( 

−∞;0 ⎤ 

⎦ ∪ (1; +∞) 

0,25 

6a 

AB 2 3 

Ta có 2R 

= = = 4 ⇒ R = 2 

sinC 

3 

0,25 

2 

AC 

AC 4 

0 

⇒ = 4 ⇔ sin B = = = 1 ⇔ B 

̂ 

= 90 

sin B 

4 4 

0,25 

0 

BC = AC.cosC 

= 4 cos60 = 2 

0,50 

5b a) 

2 2 

( x + 3)(7 − x) + 12 = x − 4x + 3 ⇔ ( − x + 4x + 21) + 

(*) 

( x + 3)(7 − x) − 12 = 0 

0,25 

6b 

b) 

2 

Đặt ( x + 3)(7 − x) = t, t ≥ 0 . (*) ⇔ t + t − 12 = 0 ⇔ t = 3 

0,25 

Giải phương trình ( x + 3)(7 − x) = 3 ⇔ − x + 4x 

+ 21 = 9 

0,25 

⎡ x = − 

⇔ x − 4x 

− 12 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= 6 

2 2 

2 

( m −1) x − 2( m −1) x −1 ≥ 0 (*) 

Với m = 1: (*) trở thành: −1 ≥ 0 ⇒ (*) vô nghiệm 

⎧m 

− 1 > 0 ⎧m 

> 1 

Với m ≠ 1: (*) nghiệm đúng∀ x ∈ R ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 

⎩∆' ≤ 0 ⎩m( m −1) ≤ 0 

⇒ không tồn tại m thỏa mãn đề bài 

2 y 2 

Viết lại phương trình (H): x − = 1 

36 4 

2 2 2 2 2 

⇒ a = 36, b = 4 ⇔ c = a + b = 40 ⇔ c = 2 10 

2 

0,25 

0,50 

0,50 

0,25 

Hai tiêu điểm là F ( − 2 10;0), F (2 10;0) 

0,25 

1 2 

Độ dài trục thực là 2a = 12 0,25 

Độ dài trục ảo 2b = 4 0,25 

Đề 5 




2 

a) x − 3 x + 1 > 1 

b) 2x + 5 > 7 − 4x 

2 

x −1 

Câu 2: (1,0 điểm) Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau: 

Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ờ trường THPT C. ( đơn vị : giây ) 

6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 6,7 7,0 7,1 

8,5 7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,1 7,1 7,3 7,5 

8,7 7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8 7,2 7,5 8,3 7,6 

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp như sau: 

[6,0; 6,5); [6,5; 7,0); [7,0; 7,5); [7,5; 8,0); [8,0; 8,5); [8,5; 9,0] 

b) Tính số trung bình cộng của bảng phân bố trên. 

Câu 3: (2,0 điểm) 

1+ cos2x 

− sin 2x 


. 

1− 

cos2x 

− sin 2x 

π 

b) Cho tan x + cot x = 3 với 0 < x < . Tính sin 2 x, cos2 x . 

4 

Câu 4: (2,0 điểm) Trong mp với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC có A(–1; –2), B(3; –1), C(0; 3). 

a) Viết phương trình các đường cao xuất phát từ A và B của tam giác ABC. 

b) Viết phương trình đường tròn có tâm là trực tâm H của ∆ABC và đi qua điểm A. 




a) Giải phương trình: x − 5x + 6 = 4 − x . 

2 

b) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm dương phân biệt: x − 2mx − m − 5 = 0 . 

Câu 6a: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x 

các trục, toạ độ các tiêu điểm của elip (E). 



a) Giải phương trình: ( x + 5)( x − 2) + 3 x( x + 3) = 0 

2 

2 2 

b) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm âm phân biệt: x − 2mx − m − 5 = 0 . 

Câu 6b: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y 

2 

+ 9y 

= 36 . Tìm độ dài 

2 

= 4x 

. Viết pt chính 

tắc của hypebol (H) có 1 đỉnh trùng với tiêu điểm F của parabol (P) và có tâm sai bằng 3 . 



1 a) 2 

x − 3x + 1 − 3x 

+ 2 

> 1 ⇔ > 0 

2 

x −1 

( x − 1)( x + 1) 

0,50 

⎛ 2 ⎞ 

Bảng xét dấu và kết luận: x ∈( −∞; −1) ∪⎜ ;1⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

0,50 

b) 

2 

2x + 5 > 7 − 4x ⇔ 3x − 19x 

+ 6 < 0 

0,50 

⎛ 1 ⎞ 

⇔ x ∈⎜ ;6 ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

0,50 


2 a) Lớp các thành tích 

chạy 500 m 

Tần số Tần suất (%) 

(theo giây) 

[6,0; 6,5) 2 6,06 

[6,5; 7,0) 5 15,15 

[7,0; 7,5) 10 30,30 

0,50 

[7,5; 8,0) 9 27,27 

[8,0; 8,5) 4 12,12 

[8,5; 9,0] 3 9,10 

33 100% 

b) 6,25.2 + 6,75.5 + 7,25.10 + 7,75.9 + 8,25.4 + 8,73.3 

x = ≈ 7,50 

33 

0,50 

3 a) 2 

1+ cos2x − sin 2 x (cos x − sin x) + (cos x − sin x)(cos x + sin x) 

= 

1− cos2x − sin 2 x 2 

(cos x − sin x) − (cos x − sin x)(cos x + sin x) 

0,50 

b) 

(cos x − sin x).2 cos x 

= = −cot 

x 

(cos x − sin x).( −2sin x) 

0,50 

1 2 2 

Ta có: 3 = tan x + cot x = = ⇒ sin 2x 

= 

sin x.cos x sin 2x 

3 

0,50 

π 

π 

0 < x < ⇒ 0 < 2x < ⇒ cos2x 

> 0 

4 2 

0,25 

⇒ cos2x 

= 1− 

sin 2x 

2 

4 5 

= 1− = 0,25 

9 3 

4 a) A(–1; –2), B(3; –1), C(0; 3). Gọi H là trực tâm của ∆ABC. 

0,50 

BC = ( −3;4) ⇒ pttq AH : − 3( x + 1) + 4( y + 2) = 0 ⇔ 3x − 4y 

− 5 = 0 

 

AC = (1;5) ⇒ pttq BH :1( x − 3) + 5( y + 1) = 0 ⇔ x + 5y 

+ 2 = 0 

0,50 

b) Toạ độ trực tâm H(x;y) là nghiệm của 

⎧3x 

− 4y 

− 5 = 0 ⎛17 11 ⎞ 

0,50 

hệ: ⎨ ⇔ H ⎜ ; − ⎟ 

⎩x 

+ 5y 

+ 2 = 0 ⎝19 19 ⎠ 

2 2 2 

2 2 17 11 45 

Bán kính đường tròn R = AH = ⎛ ⎜ + 1 ⎞ ⎟ + ⎛ ⎜ − + 2 

⎞ ⎟ = ⎜ ⎛ ⎞ 

⎟ 

⎝19 ⎠ ⎝ 19 ⎠ ⎝ 19 ⎠ 

2 2 2 

⎛ 17 ⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎛ 45 ⎞ 

Phương trình đường tròn: ⎜ x − ⎟ + ⎜ y + ⎟ = ⎜ ⎟ 

⎝ 19 ⎠ ⎝ 19 ⎠ ⎝ 19 ⎠ 

5a a) 

2 

⎧x 

≤ 4 

x − 5x + 6 = 4 − x ⇔ ⎨ 2 2 

⎩x − 5x + 6 = 16 − 8x + x 

⎧x 

≤ 4 

⎪ 


⎨ 10 ⇔ x = 

x = 3 

⎪⎩ 3 

b) 2 

x − 2mx − m − 5 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt 

⎧ 2 

∆′ ⎪ 

= m + m + 5 > 0 

⇔ ⎨ S = 2m 

> 0 

⎪ 

⎩P 

= − ( m + 5) > 0 

0,25 

0,25 

0,50 

0,50 

0,50 


6a 

5b a) 

⎧∀m 

⇔ 

⎪ ⎨m 

> 0 ⇒ vô nghiệm ⇒ không có giá trị m thoả mãn yêu cầu đề 

⎪ ⎩m 

< −5 

bài. 

2 2 

0,50 

2 2 x y 

(E): x + 9y 

= 36 ⇔ + 

36 4 

= 1 

0,25 

2 ⎧ a = 6 

⎧⎪ a = 36 ⎪ 

⇒ ⎨ ⇒ b 2 

2 ⎨ = 

⎪⎩ b = 4 ⎪ 

⎩c 

= 4 2 

0,25 

Độ dài các trục: 2a = 12, 2b = 4 0,25 

Toạ độ các tiêu điểm: F ( 4 2;0 ), F ( 4 2;0) 

− 0,25 

1 2 

2 2 

( x + 5)( x − 2) + 3 x( x + 3) = 0 ⇔ x + 3x − 10 + 3 x + 3x 

= 0 0,25 

6b 

⎧⎪ 2 

⇔ 

t = x + 3 x, t ≥ 0 

⎨ 

⇔ 

2 

⎪⎩ t + 3t 


⎧ 2 

⎪t = x + 3 x, t ≥ 0 

⎨⎡ t = −5 ( loaïi) 

⎪⎢ 

⎩⎣t 

= 2 

x 

⇔ x 

2 ⎡ = 

+ 3x 

= 2 ⇔ 1 

⎢ 

⎣x 

= −4 

b) 2 

x − 2mx − m − 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt 

⎧ 2 

∆′ ⎪ 

= m + m + 5 > 0 

⇔ ⎨ S = 2m 

< 0 

⎪ 

⎩P 

= − ( m + 5) > 0 

⎧∀m 

⎪ 

⇔ ⎨m 

< 0 ⇔ m < − 5 

⎪ ⎩m 

< −5 

(P): y 

2 

0,25 

0,50 

0,50 

0,50 

= 4x 

⇒ p = 2 ⇒ F(1;0) 0,25 

F(1;0) là một đỉnh của (H) ⇒ a = 1 

c 

0,25 

Tâm sai: e = = 3 ⇒ c = 3 

a 

2 2 2 

b = c − a = 3 − 1 = 2 

0,25 

2 

2 y 

Phương trình (H): x − 

2 

= 1 

0,25 

Đề 6 



2 

x − 4 

2 

a) 

≤ 0 

b) x − 3x ≤ x + 1 

2 

x − 6x 

+ 8 

Câu 2: (1,0 điểm) Có 100 học sinh tham dự kỳ thi học sinh giỏi môn toán (thang điểm là 20) kết 

quả được cho trong bảng sau: 

Điểm 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 

Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N = 100 


Tính số trung bình và số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn của bảng số liệu thống kê trên. 

Câu 3: (2,0 điểm) 

a) Rút gọn biểu thức: A = 

sin 

cos 

2 

2 

x 2 2 2 2 

+ tan y.cos x − sin x − tan y . 

y 

2 2 

4sin x + 5sin x cos x + cos x 

b) Cho tan x = 3 . Tính giá trị của biểu thức A = 

2 

sin x − 2 

Câu 4: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC với A( 2; 1), B(4; 3) và C(6; 7). 

a) Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng chứa cạnh BC và đường cao AH. 

b) Viết phương trình đường tròn có tâm là trọng tâm G của ∆ABC và tiếp xúc với đường thẳng 

BC. 




a) Giải phương trình: x + x − 12 = x − 1. 

2 

b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: ( m + 1) x − (2m − 1) x + m = 0 . 

Câu 6a: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 

2 2 

( x − 1) + ( y − 2) = 16 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(1; 6). 



a) Giải bất phương trình: x + x + 1 ≤ 2x 

+ 1. 

2 

b) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm cùng dấu: ( m + 1) x − (2m − 1) x + m = 0 . 

Câu 6b: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 

2 2 

x + y − 4x + 6y 

− 3 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(2; 1). 



2 

2 

1 a) 2 

x − 4 ( x − 2)( x + 2) 

≤ 0 ⇔ ≤ 0 

2 

x − 6x 

+ 8 ( x − 2)( x − 4) 

⇔ ⎨ ⎧ ( x + 2)( x − 4) ≤ 0 

⎩x 

≠ 2; x ≠ 4 

0,25 

0,50 

⇔ x ∈[ − 2;4) \ { 2} 

0,25 

b) ⎧ x + 1 ≥ 0 

2 ⎪ 2 

x − 3x ≤ x + 1 ⇔ ⎨x − 3x ≤ x + 1 

⎪ 2 

⎩ − x − 1 ≤ x − 3x 

⎧x 

≥ −1 ⎧x 

≥ −1 

⎪ 2 

⎪ 

⇔ ⎨x − 4x −1 ≤ 0 ⇔ ⎨2 − 5 ≤ x ≤ 2 + 

⎪ 2 

x 2x 

1 0 

⎪∀x 

⎩ − + ≥ ⎩ 

5 ⇔ x ∈ ⎡⎣ 

2 − 5;2 + 5⎤⎦ 

0,50 

0,50 

2 Điểm 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0,25 


Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N = 100 

Số trung vị là 15,5 

Số trung bình ≈ 15,23 0,25 

Phương sai: ≈ 3,96 , Độ lệch chuẩn ≈ 1,99 

0,50 

3 a) 2 2 2 2 2 2 

A = sin x.(1 + tan y) + tan y.cos x − sin x − tan y 

0,50 

2 2 2 

= (sin x + cos x − 1)tan y = 0 

0,50 

b) 2 2 2 

4sin x + 5sin x cos x + cos x 4 tan x + 5tan x + 1 

A = = 

2 2 2 

sin x − 2 tan x − 2(1 + tan x) 

2 

4 tan x + 5tan x + 1 4.9 + 5.3 + 1 52 

= = = − 

2 

− tan x − 2 −9 − 2 11 

0,50 

0,50 

4 a) Cho ∆ABC với A( 2; 1), B(4; 3) và C(6; 7). 

a) Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng chứa cạnh BC và đường cao 

AH. 

 

• Đường thẳng BC có VTCP là BC = (2;4) = 2(1;2) 

nên có VTPT là (2; –1) 

0,50 

Vậy phương trình BC là 2x 

− y − 5 = 0 

b) 

• Đường cao AH đi qua A và có véc tơ pháp tuyến là (1; 2) 

Vậy phương trình AH là: x + 2y 

− 4 = 0 

⎛ 11⎞ 

• Trọng tâm G của tam giác ABC là G ⎜ 4; ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 


8 − − 5 

2 

• Bán kính R = d( G, BC) 

= 

3 

= 

4 + 1 3 5 

2 ⎛ 11⎞ 

4 

• Phương trình đường tròn cần tìm là: ( x − 4) + ⎜ y − ⎟ = 

⎝ 3 ⎠ 45 

2 

0,50 

0,25 

0,50 

0,25 

5a a) 

2 

⎧x 

≥ 1 

x + x − 12 = x −1 

⇔ ⎨ 2 2 

⎩x + x − 12 = x − 2x 

+ 1 

⎧x 

≥ 1 

⎪ 

13 

⇔ ⎨ 13 ⇔ x = 

x = 3 

⎪⎩ 3 

0,50 

0,50 


) 2 

( m + 1) x − (2m − 1) x + m = 0 (*) 

1 

• Nếu m = –1 thì (*) trở thành: 3x − 1 = 0 ⇔ x = 

3 

• Nếu m ≠ − 1 thì (*) có nghiệm khi và chỉ khi 

2 1 

(2m −1) − 4 m( m + 1) ≥ 0 ⇔ − 8m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≤ 

8 

0,25 

0,50 

• Kết luận: Với m ≤ 1 thì (*) có nghiệm. 0,25 

8 

6a 2 2 

Cho (C): ( x − 1) + ( y − 2) = 16 . Viết PTTT của (C) tại điểm A(1; 6). 

• (C) có tâm I(1; 2) 

 

• Tiếp tuyến đi qua A (1; 6) và có véctơ pháp tuyến là IA = (0;4) 

0,25 

0,25 

• nên phương trình tiếp tuyến là: y − 6 = 0 

0,50 

5b a) 

⎧ 1 

2 

⎪ x ≥ − 

x + x + 1 ≤ 2x 

+ 1 ⇔ ⎨ 2 

⎪ 2 2 

⎩x + x + 1 ≤ 4x + 4x 

+ 1 

⎧ 1 

⎧ 1 x ≥ − 

⎪x 

≥ − ⎪ 

⇔ 2 

⎨ 2 ⇔ ⎨ ⇔ x ∈ [0; +∞) 

⎪ 2 

⎡ x ≤ − 1 

⎩3x 

+ 3x 

≥ 0 ⎪ 

⎪⎣ 

⎢ 

⎩ x ≥ 0 

0,50 

0,50 

b) 2 

( m + 1) x − (2m − 1) x + m = 0 (*) 

(*) có hai nghiệm cùng dấu 

⎧ a = m + 1 ≠ 0 

⇔ ⎪∆ 

= − 8m 

+ 1 > 0 

⎨ 

⎪ 

m 

P = > 0 

⎪ ⎩ m + 1 

0,50 

6b 

⎧m 

≠ −1 

⎪ 1 

⎛ 1 ⎞ 

⇔ ⎨m 

< 

⇔ m ∈( −∞; −1) ∪⎜ 0; ⎟ 

⎪ 8 

⎝ 8 ⎠ 

⎪ ⎩m 

∈ ( −∞ ; − 1) ∪ (0; +∞ ) 

2 2 

Cho (C): x + y − 4x + 6y 

− 3 = 0 . Viết PTTT của đường tròn (C) tại điểm M(2; 1). 

• Tâm của đường tròn (C) là : I(2; –3) 

 

• Véc tơ pháp tuyến của tiếp tuyến là : IM = (0;4) 

0,50 

0,25 

0,25 


• nên phương trình tiếp tuyến là y − 1 = 0 

0,50 

Đề 7 



2 

3x 

− 4x 

−11 a) 

1 

2 

≤ 

b) x − 9x −10 ≤ x − 2 

2 

x − x − 6 

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu: 

2 2 

x − (2m + 1) x + m + m = 0 

Câu 3: (1,0 điểm) Bảng số liệu sau cho biết thời gian làm một bài toán (tính bằng phút) của 50 học 

sinh trong một lớp học: 

Thời gian 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

Tần số 1 3 4 7 8 9 8 5 3 2 N = 50 

Tính số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai của bảng số liệu thống kê trên. 

Câu 4: (1,0 điểm) Cho 2 số a, b thoả mãn: 3a + 4b 

= 7 . Chứng minh bất đẳng thức: 

2 2 

3a 

+ 4b 

≥ 7 . 

Câu 5: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC có A(3; 5), B(1; –2) và C(1; 2). 

a) Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh AB và đường cao AH của ∆ABC. 

b) Viết phương trình đường tròn có tâm B và tiếp xúc với đường thẳng AH. 




1 1 1 

a) Chứng minh hệ thức sau: = − . 

2 2 2 

4 cos x sin 2x 4sin x 

1 ⎛ π ⎞ 

b) Cho sin x + cos x = , ⎜ < x < π ⎟ 

5 ⎝ 2 ⎠ . Tính sin x , cos x . 

Câu 7a: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có A = 60 0 , AB = 5, AC = 8. Tính diện tích S, đường cao 

AH và bán kính đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC. 



3 1 

a) Chứng minh hệ thức sau: sin x = (3sin x − sin 3 x) 

. 

4 

⎛ π ⎞ 

b) Cho tan x + cot x = 4, ⎜ 0 < x < ⎟ 

⎝ 4 ⎠ . Tính tan x , cot x . 

Câu 7b: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 

2 2 

( x − 1) + ( y − 2) = 8. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) song song với đường thẳng 

∆: x − y − 1 = 0 . 



1 a) 2 2 

3x − 4x −11 2x − 3x 

− 5 

≤ 1 ⇔ ≤ 0 

2 

x − x − 6 ( x + 2)( x − 3) 

0,50 

( x + 1)(2 x − 5) ⎡5 

⎞ 

⇔ ≤ 0 ⇔ x ∈( −2; −1] ∪ ;3⎟ 

( x + 2)( x − 3) 

⎢ 

⎣2 

⎠ 

0,50 


2 

b) ⎧x 

≥ 2 

2 ⎪ 2 

x − 9x −10 ≤ x − 2 ⇔ ⎨x − 9x 

−10 ≥ 0 

⎪−5x 

≤ 14 

⎩ 

⎧x 

≥ 2 

⎪ ⎡ x ≤ − 1 

⇔ ⎪ ⇔ x ≥ 10 

⎨⎣ ⎢ x ≥ 10 

⎪ 14 

⎪x 

≥ − 

⎩ 5 

2 2 

x − (2m + 1) x + m + m = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 

2 2 

⎧⎪ ∆ = (2m + 1) − 4( m + m) > 0 

0,50 

⇔ ⎨ 2 ⎪ ⎩P = m + m > 0 

⇔ m ∈( −∞; −1) ∪ (0; +∞ ) 

0,50 

3 Thời gian 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

Tần số 1 3 4 7 8 9 8 5 3 2 N = 50 

0,50 

Số trung bình: 7,68. Số trung vị: 8 0,25 

Mốt: 8. Phương sai : 4,54 0,25 

4 Cho 2 số a, b thoả mãn: 3 a 4 b 

2 2 

+ = 7 . Chứng minh bất đẳng thức: 3a + 4b 

≥ 7 . 

2 2 2 2 2 

1 2 1 2 1 1 2 2 

Áp dụng bất đẳng thức ( a + a )( b + b ) ≥ ( a b + a b ) , ta có: 

( ) 

2 

⎡ 

⎡ 

⎤ 

⎣( 3) + 2 ⎤ 

⎦ ⎣ 3 a + (2 b) ⎦ ≥ (3a + 4 b) 

2 2 2 2 

2 2 2 2 

⇔ 7(3a + 4 b ) ≥ 49 ⇔ (3a + 4 b ) ≥ 7 

0,25 

Dấu "=" xảy ra 3 2 

a b 

3a 

2b 

0,25 

5 a) A(3; 5), B(1; –2) và C(1; 2). 

Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là: x − 3 y − 5 

0,50 

= ⇔ 7x − 2y 


−2 −7 

 

BC = (0;4) ⇒ Phương trình đường thẳng chứa đường cao AH là: y − 5 = 0 0,50 

b) 

−2 − 5 

Bán kính: R = d( B, AH) = = 7 

0 + 1 

0,50 

2 2 

PT đường tròn: ( x − 1) + ( y + 2) = 49 

0,50 

6a a) 2 2 

1 1 sin x + cos x 

+ = 

2 2 2 2 

4 cos x 4sin x 4sin x.cos 

x 

0,50 

1 

= ⇒ đpcm. 

2 

sin 2x 

0,50 

b) 


sin x + cos x = ⇔ 1+ 2sin x cos x = ⇔ sin x cos x = − 

5 25 25 

0,25 

Vậy sinx và cosx là hai nghiệm của phương trình: 


2 

0,25 

t − t − = 0 ⇔ 25t − 5t 


5 25 

0,50 

0,50 

0,50 


7a 

6b a) 

b) 

⎡ 4 

⎢t 

= 

⇔ ⎢ 

5 

⎢ 

3 

t = − 

⎣ 5 

0,25 

Mặt khác 

π 

3 4 

< x < π ⇒ sin x > 0, cos x < 0 ⇒ cos x = − ; sin x = 

2 5 5 

0,25 

1 1 3 

• S∆ ABC 

= AB. AC.sin A = 5.8. = 10 3 (đvdt) 

2 2 2 

0,25 

2 2 2 

1 

• BC = AB + AC − 2 AB. AC.cos 

A = 25 + 64 − 2.5.8. = 49 ⇒ BC = 7 

2 

0,25 

1 2. S 20 3 

∆ 

= ⇒ = = 0,25 

2 BC 7 

∆ABC 

• S 

ABC 

BC. 

AH AH 

S 

• 

∆ABC 

abc abc 5.8.7 7 3 

= ⇒ R = = = 0,25 

4R 

4S 

4.10 3 3 

∆ABC 

3 2 

Ta có: 4sin x = 2sin x.2sin x = 2sin x(1 − cos2 x) 

0,50 

= 2sin x − 2sin x cos2x = 2sin x − (sin 3x − sin x) = 3sin x − sin 3x 

⇒ đpcm 0,50 

⎛ π ⎞ 

tan x + cot x = 4, ⎜ 0 < x < ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

Ta luôn có tan x.cot x = 1 nên tanx và cotx là các nghiệm của PT: 

y 

2 

− 4y 

+ 1 = 0 

y 2 3 

⇔ ⎡ ⎢ 

= − 

⎣y 

= 2 + 3 

π 

Với 0 < x < ⇒ 0 < tan x < 1; cot x > 1 

4 

0,25 

Vậy tan x = 2 − 3 và cot x = 2 + 3 

0,25 

7b Tâm I(1; 2), bán kính R = 2 2 

0,25 

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : x − y − 1 = 0 

nên phương trình tiếp tuyến có dạng: x − y + C = 0 ( C ≠ − 1) 

0,25 

1− 2 + C 

⎡ C = 5 

d( I, ∆) = R ⇔ = 2 2 ⇔ C − 1 = 4 ⇔ ⎢ 0,25 

1+ 

1 

⎣C 

= −3 

Vậy phương trình tiếp tuyến là x − y + 5 = 0 hoặc x − y − 3 = 0 

0,25 

Đề số 8 


Câu 1: (2,0 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình sau: 

2 

a) x + 11 x − 3 ≥ − 

2 2 

1 

b) 2x + 2x − 4x + 12 = 4x 

+ 8 

2 

x − 6x 

+ 5 

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R: 

2 

x − mx − 3m 

−1 ≥ 0 . 

Câu 3: (1,0 điểm) Điểm thi môn tiếng Anh của một lớp gồm 30 học sinh (thang điểm 100) được 

cho bởi bảng phân bố tần số ghép lớp như sau: 

Lớp [50; 60) [60; 70) [70; 80) [80; 90) [90; 100] 


0,25 

0,25 


Tìm số trung bình và phương sai của bảng số liệu trên. 

Câu 4: (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 

5 

y = ( x + 3)(5 − 2 x) 

(với −3 

≤ x ≤ ) 

2 

Câu 5: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC biết A(2; 3), B(1; –2), C(0; 6). 

a) Viết phương trình các đường thẳng đi qua A lần lượt song song và vuông góc với đường 

thẳng BC 

b) Viết phương trình đường tròn có đường kính BC. 




2 2 2 2 2 

a) Rút gọn biểu thức: A = cos x.cot x + 3cos x − cot x + 2sin x 

0 0 0 0 0 

b) Tính giá trị biểu thức: B = cos20 + cos 40 + cos60 + ... + cos160 + cos180 . 

Câu 7a: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình chính tắc của elip (E), 

biết một tiêu điểm của (E) là F 1 (–8; 0) và điểm M ( 5; 3 3 ) 



a) Rút gọn biểu thức: C = 

2 2 2 2 

tan x − cos x cot x − sin x 

+ 

2 2 

sin x cos x 

− thuộc (E). 

2 0 2 0 2 0 2 0 

b) Tính giá trị biểu thức: D = cos 10 + cos 20 + cos 30 + ... + cos 180 . 

Câu 7b: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình chính tắc của hypebol 

(H), biết (H) đi qua hai điểm M ( ) 

2; 6 , N( − 3;4) . 


Câ 

u 

Ý Nội dung Điể 

m 

1 a) 2 2 

x + 11x − 3 2x + 5x 

+ 2 

≥ −1 ⇔ 

≥ 0 

2 

x − 6x 

+ 5 ( x − 2)( x − 3) 

0,50 

⎡ 1 ⎞ 

⇔ x ∈( −∞; −2] ∪ ⎢− ;2 ⎟ ∪ (3; +∞) 

⎣ 2 ⎠ 

0,50 

b 

) 

2 

2x + 

2 2 

2x − 4x + 12 = 4x + 8 ⇔ (2x − 4x + 12) + 

2 

2x − 4x 

+ 12 − 20 = 0 

0,25 

2 

2 

Đặt 2x − 4x + 12 = t; t ≥ 0 ta có phương trình trung gian t + t − 20 = 0 

0,25 

⎡ t = −5 ( loaïi) 

⇔ 

⎢ 

⇔ t = 4 

⎣t 

= 4 

2 2 

⎡ x = 1− 

3 

Giải phương trình: 2x − 4x + 12 = 4 ⇔ x − 2x 

− 2 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= 1+ 

3 

2 2 

x − mx − 3m 

−1 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x 

2 2 

⇔ ∆ = m + 4(3m + 1) ≤ 0 ⇔ m + 12m 

+ 4 ≤ 0 

⇔ m ∈ ⎡ 

⎣−6 − 32; − 6 + 32 ⎤ 

⎦ 0,50 

3 Các số đại diện là: 55; 65; 75; 85; 95 nên số trung bình là 77 0,50 

Phương sai: 122,7 0,50 

4 

5 

5 ⎧x 

− 3 ≥ 0 

y = ( x + 3)(5 − 2 x) 

(với −3 

≤ x ≤ ). Vì −3 

≤ x ≤ ⇔ ⎨ 

2 

2 ⎩5 − 2x 

≥ 0 

0,25 

Ta có: (2x + 6) + (5 − 2 x) = 11 (không đổi) 0,50 


0,25 

0,25 

0,50

nên 2 y = (2x + 6)(5 − 2 x) 

đạt GTLN ⇔ 2x + 6 = 5 − 2x ⇔ x = − 

Vậy y = ( x + 3)(5 − 2 x) 

đạt GTLN bằng 121 

8 khi x 1 

= − 0,25 

4 

 

5 a) 

A(2; 3), B(1; –2), C(0; 6) ⇒ BC = ( −1;8) 

 

Đường thằng ( d 1 

) qua A và song song với BC nhận BC = ( −1;8) 

làm VTCP 

0,50 

x − 2 y − 3 

⇒ phương trình ( d1) : = ⇔ 8x + y − 19 = 0 

−1 8 

 

Đường thẳng ( d 2 

) qua A và vuông góc với BC nhận BC = ( −1;8) 

làm VTPT 

0,50 

⇒ phương trình ( d 2 

) : −( x − 2) + 8( y − 3) = 0 ⇔ x − 8y 

+ 22 = 0 

b 

⎛ 1 ⎞ 

) Gọi I là trung điểm của BC ⇒ I ⎜ ;2 ⎟ 

⎝ 2 ⎠ . BC 2 2 

= (0 − 1) + (6 + 2) = 65 

⎛ 1 ⎞ 

BC 65 

0,50 

Đường tròn có tâm I ⎜ ;2 ⎟ và bán kính R = = 

⎝ 2 ⎠ 2 2 

6a a) 

b 

) 

Phương trình đường tròn đường kính BC là: x ( y 2) 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 

4 

2 

1 ⎞ 

2 65 

− ⎟ + − = 

2 ⎠ 

4 

2 2 2 2 2 2 2 2 

A = cos x.cot x + 3cos x − cot x + 2sin x = 2 + cos x − cot x(1 − cos x) 

0,50 

2 2 2 1 

= 3 − sin x(1 + cot x) = 3 − sin x. = 2 

0,50 

2 

sin x 

Áp dụng: 

0 0 

cosα = − cos(180 −α) ⇔ cosα + cos(180 − α) = 0 và cho 

0 0 0 0 

α = 20 ;40 ;60 ;80 

Ta có B là tổng của 4 cặp ghép tương ứng trong công thức nêu trên. 

B 

0 0 0 0 0 0 0 

= (cos20 + cos160 ) + (cos 40 + cos140 ) + ... + (cos80 + cos100 ) + cos180 = − 0,50 

1 

7a 

Phương trình chính tắc của (E) có dạng: x 2 y 2 

+ = 1 (a > b > 0) 

2 2 

a b 

0,25 

Tiêu điểm của (E) là F 1 (–8; 0) nên c = 8. 

25 27 

vì M ( 5; − 3 3 ) ∈ (E) nên ta có: + = 1 ⇔ 27 

2 2 2 2 

a + 25 b = a b 

2 2 

a b 

0,25 

⎧ 2 2 2 2 2 

⎪a − b = c ⎧⎪ 

a = b + 64 

Ta có ⎨ 

⇔ 

2 2 2 2 ⎨ 2 2 2 2 

⎪⎩ 

27a + 25b = a b ⎪⎩ 

27( b + 64) + 25 b − ( b + 64) b = 0 

0,25 

⎧ 2 2 2 2 2 

⎪a = b + 64 ⎧⎪ a = b + 64 ⎧⎪ 

a = 100 

⇔ ⎨ ⇔ 

4 2 ⎨ ⇔ 

2 ⎨ 2 

⎪⎩ b + 12b − 1728 = 0 ⎪⎩ b = 36 ⎪⎩ 

b = 36 

Phương trình (E) là: x 2 y 2 

+ = 1 


0,25 

6b a) 2 2 

tan x − cos x 2 2 2 

2 2 

= tan x(1 + cot x) − cot x = 1+ tan x − cot x 

2 

sin x 

0,50 

cot 

2 2 

x − sin 

cos 

2 

x 

0,50 

0,50 

x 2 2 2 2 2 

= cot x(1 + tan x) − tan x = 1+ cot x − tan x 

0,25 


7b 

b 

) 

⇒ C = 2 0,25 

2 0 2 0 2 0 2 0 

Tìm D = cos 10 + cos 20 + cos 30 + ... + cos 180 

2 2 0 2 2 

0 0 0 0 

• cos a + cos (90 − a) = cos a + sin a = 1 , cho a = 10 ;20 ;30 ;40 

2 0 2 0 2 2 

0 0 0 0 

• cos ( b + 90 ) + cos (180 − b) = sin b + cos b = 1, cho b = 10 ;20 ;30 ;40 

Vậy D = 

0,50 

2 0 2 0 

8 + cos 90 + cos 180 = 8 + 1 = 9 

0,50 

(H) đi qua hai điểm M ( ) 

2; 6 , N( − 3;4) . 

2 2 

Phương trình chính tắc của (H) có dạng: x − y 

2 2 

a b 

= 1 

0,25 

4 6 

2 2 2 2 

Vì M ( 2; 6 ) ∈( H) 

⇒ − = 1 ⇔ 6a − 4b + a b = 0 

2 2 

a b 

9 16 

2 2 2 2 

N( −3;4) ∈( H) ⇒ − = 1⇒16a − 9b + a b = 0 

2 2 

a b 

0,25 

⎧ 2 2 2 2 2 2 2 

⎪6a − 4b + a b = 0 ⎧⎪ b = 2a ⎧⎪ 

a = 1 

Giải hệ: ⎨ ⇔ 

2 2 2 2 ⎨ ⇔ 

2 ⎨ 2 

⎪⎩ 16a − 9b + a b = 0 ⎪⎩ a = 1 ⎪⎩ 

b = 2 

0,25 

2 y 2 

Kết luận phương trình (H) là x − 

1 2 

= 1 

0,25 

Đề số 9 

Câu 1: 

1) Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh: a + b + c ≥ ab + bc + ca 

2) Giải các bất phương trình sau: 

3x 

−14 

a) 2x − 5 ≤ x + 1 

b) 

> 1 

2 

x + 3x 


Câu 2: 

a) Tính các giá trị lượng giác sin2α, cos2α biết cotα = −3 và 7 π 

< α < 4π 

. 

2 

2sinα 

+ cosα 

b) Cho biết tanα = 3. Tính giá trị của biểu thức : 

sinα 

− 2 cosα 

Câu 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(–1; 2), B(3; –5), C(–4; –9). 

a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. 

b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. 

c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 

Câu 4: Cho ∆ ABC có A 

0 

= 60 , AC = 8 cm, AB = 5 cm. 

a) Tính cạnh BC. 

b) Tính diện tích ∆ ABC. 

c) Chứng minh góc B̂ nhọn. 

d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. 

e) Tính đường cao AH. 


Câu 1: 

1) Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh: a + b + c ≥ ab + bc + ca 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a + b ≥ 2 ab, b + c ≥ 2 bc, c + a ≥ 2 ac 

Cộng các bất đẳng thức trên, vế theo vế, rồi chia cho 2 ta được: a + b + c ≥ ab + bc + ca 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c 



⎧x 

≥ −1 

⎧x 

≥ −1 

⎪ 

⎡4 

⎤ 

a) 2x − 5 ≤ x + 1 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨4 

⇔ x ∈ ;6 

x 1 2x 5 x 1 x 6 

⎢ 

3 

⎥ 

⎩− − ≤ − ≤ + 

⎪ 

≤ ≤ ⎣ ⎦ 

⎩ 3 

2 

3x 

−14 −x 

− 4 

2 

b) 

> 1 ⇔ > 0 ⇔ x + 3x 

− 10 < 0 ⇔ − 5 < x < 2 

2 2 



Câu 2: 

a) Tính các giá trị lượng giác sin2α, cos2α biết cotα = −3 và 7 π 

< α < 4π 

. 

2 

2 1 1 2 9 

• sin α = = ⇒ cos α = 

2 

1+ 

cot α 10 10 

2 9 4 

• cos2α 

= 2 cos α − 1 = 2. − 1 = 

10 5 

7π 

2 ⎛ 4 ⎞ 3 

• < α < 4π ⇔ 7π < 2α < 8π ⇒ sin 2α < 0 ⇒ sin 2α = − 1− cos 2α 

= − 1− ⎜ ⎟ = − 

2 ⎝ 5 ⎠ 5 

Vì 

2sinα 

+ cosα 

b) Cho biết tanα = 3. Tính giá trị của biểu thức: 

sinα 

− 2 cosα 

2sinα + cosα 2 tanα 

+ 1 

tanα 

= 3 ⇒ cosα 

≠ 0 ⇒ = = 7 

sinα − 2 cosα tanα 

− 2 

Câu 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(–1; 2), B(3; –5), C(–4; –9). 

a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. 

 

2 2 2 

AB = (4; − 7), AC = ( −3; − 11), BC = ( −7; −4) ⇒ AB = 65, AC = 130, BC = 65 

⇒ AB = 65, AC = 130; BC = 65 ⇒ ∆ABC vuông cân tại B. 

b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. 

1 65.65 65 

• Diện tích tam giác ABC là S = AB. 

BC = = (đvdt) 

2 2 2 

AC 130 

• Bán kính R = = 

2 2 

c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 

⎛ 5 7 ⎞ 

• Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm I của AC ⇒ I ⎜ − ; − ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ 

2 2 

⎛ 5 ⎞ ⎛ 7 ⎞ 130 

⇒ PT đường tròn: ⎜ x + ⎟ + ⎜ y + ⎟ = 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4 

Câu 4: Cho ∆ ABC có A 

0 

= 60 , AC = 8 cm, AB = 5 cm. 

2 2 2 1 

a) BC = AB + AC − 2 AB. AC.cos A = 64 + 25 − 2.8.5. = 49 ⇒ BC = 7 

2 

1 1 3 20 3 

S = AB. AC.sin A = .8.5. = = 10 3 (đvdt) 

2 2 2 2 

b) 

ABC 

c) Chứng minh góc B̂ nhọn. 

2 2 2 

Ta có: AB + BC = 74 > AC = 64 ⇒ B̂ nhọn 

d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. 

2 


a BC 

• R = 7 7 3 

2sin A = 2sin A = 0 

2sin 60 

= 3 

• S 10 3 

r = = = 3 

p 10 

e) Tính đường cao AH. 

2S∆ABC 

2.10 3 20 3 

• AH = = = 

BC 7 7 



Câu 1: (2,0 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình sau: 

a) 

1 < 

2 

b) x − 2 + 3 − x = 1 

2 2 

x + 4 x − 4x 

+ 3 

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m đề phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu: 

2 

(2m − 1) x + 3( m + 1) x + m + 1 = 0 

Câu 3: (1,0 điểm) Số áo sơ – mi nam của một cửa hàng bán được trong một tháng, theo các kích cỡ 

khác nhau, được cho trong bảng sau: 

Kích cỡ 36 37 38 39 40 41 

Số áo bán được 15 18 36 40 15 6 

Tìm số trung bình, số trung vị, mốt và phương sai của bảng số liệu trên. 

7x 

+ 5y 

Câu 4: (1,0 điểm) Cho 2 số không âm x, y. Chứng minh bất đẳng thức: 

≥ xy . 

140 

Câu 5: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC với A(2; 1), B(4; 3) và C(6; 7). 

a) Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh AB, BC của tam giác ABC. 

b) Tính số đo góc A và tính diện tích của tam giác ABC. 




a) Rút gọn biểu thức: A = 

b) Cho tanα = 3. Tính giá trị biểu thức 

0 0 0 0 

sin( x − 30 )cos(30 + x) + sin(30 + x)cos( x − 30 ) 

2 tan x 

2 2 

B = sin α + 5cos α 

Câu 7a: (1,0 điểm) Cho ∆ABC có độ dài các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. 

Chứng minh rằng nếu: ( a + b + c)( b + c − a) = 3bc 

thì A 

0 

= 60 . 



2 2 

sin x cos x 

a) Chứng minh hệ thức sau: 1− − = sin x.cos 

x 

1+ cot x 1+ 

tan x 

b) Cho cota = 1 3 . Tính giá trị biểu thức C 3 

= 

sin 2 a −sin a cos a − cos 

2 a 

Câu 7b: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình chính tắc của parabol 

2 2 

(P), biết tiêu điểm F của (P) trùng với tiêu điểm bên phải của elip (E): 5x 

+ 9y 

= 45 . 

Đáp án đề số 10 


1 a) 2 2 2 

1 2 2( x + 4) − ( x − 4x + 3) x + 4x 

+ 5 

< ⇔ > 0 ⇔ > 0 

2 2 2 2 2 2 

x + 4 x − 4x + 3 ( x + 4)( x − 4x + 3) ( x + 4)( x − 4x 

+ 3) 

0,25 

x 4x 3 0 (vì x + 4x + 5 > 0, x + 4 > 0, ∀ x ) 0,50 

2 

⇔ − + > 

2 2 


) 

⇔ x ∈( −∞;1) ∪ (3; +∞) 

x − 2 + 3 − x = 1 (*) 

Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 3 

(*) trở thành x − 2 + 3 − x + 2 ( x − 2)(3 − x) = 1 ⇔ ( x − 2)(3 − x) = 0 

0,50 

⇔ x = 2; x = 3 (thoả điều kiện) 0,25 

2 

2 

(2m − 1) x + 3( m + 1) x + m + 1 = 0 có 2 nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 0,25 

⇔ (2m − 1)( m + 1) < 0 

0,25 

⎛ 1 ⎞ 

⇔ ∈⎜ 

−1; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

0,50 

3 • N = 15 + 18 + 36 + 40 + 15 + 6 = 130 

• Số trung bình là: 38,31 

0,50 

• Số trung vị là: 38 

• Mốt là: 39 

• Phương sai là: 1,69 

0,50 

4 a) Vì x, y là hai số không âm nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 

7x + 5y ≥ 2 7 x.5y 

0,50 

7x 

+ 5y 

⇔ 7x + 5y ≥ 2 35. xy = 140. xy ⇔ ≥ xy 

0,50 

140 

5 a) Với A(2; 1), B(4; 3) và C(6; 7). 

x − 2 y −1 

0,50 

• Phương trình AB là: = ⇔ x − y − 1 = 0 

2 2 

x − 4 y − 3 

• Phương trình BC là: = ⇔ 2x 

− y − 5 = 0 

0,50 

2 4 

 

b) 

• AB = (2;2), AC = (4;6) , AB = 2 2; AC = 2 13 

0,25 

 

AB. AC 2.4 + 2.6 5 

• cos A = = = 

0,25 

AB . AC 2 2.2 13 26 

6a a) 

0,25 

0,25 

25 1 

• sin A = 1− = 0,25 

26 26 

1 1 1 

• Diện tích ∆ABC là S = AB. AC.sin A = .2 2.2 13. = 2 (đvdt) 0,25 

2 2 26 

0 0 0 0 

sin( x − 30 )cos(30 + x) + sin(30 + x)cos( x − 30 ) 

A = 

2 tan x 

0 0 1 0 1 3 

• sin( x − 30 ) cos( x + 30 ) = ⎡⎣ 

sin 2x + sin( − 60 ) ⎤⎦ 

= sin 2x 

− 

0,50 

2 2 4 

0 0 1 0 1 3 

• sin( x + 30 ) cos( x − 30 ) = [sin 2x + sin 60 ] = sin 2x 

+ 

2 2 4 

sin 2x 2sin x.cos 

x 

2 

A = = = 2cos x 

tan x sin x 

0,50 

cos x 

B = sin α + 5cos α = 1+ 

4cos α 

0,50 

4 4 7 

= 1 + = 

2 

1 tan α 

1 + = 

0,50 

+ 1 + 9 5 

b) 2 2 2 


7a 2 2 

( a + b + c)( b + c − a) = 3 bc ⇔ ( b + c) − a = 3bc 

0,25 

2 2 2 

2 2 2 b + c − a 

⇔ b + c − a = bc ⇔ = 1 

0,25 

bc 

2 2 2 

b + c − a 1 

⇔ cos A = = 

2bc 

2 

0,25 

0 

⇒ A = 60 

0,25 

6b a) 2 2 

3 3 

sin cos 

1 x x 

1 + cot x 

1 + tan x 

sin x cos x 

1− 

− 

sin x + cos x sin x + cos x 

0,25 

(sin x + cos x) − (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x) 

= 

sin x + cos x 

0,25 

(sin x + cos x)sin x.cos 

x 

= 

sin x + cos x 

0,25 

= sin x.cos x ( đpcm) 0,25 

b) 

1 

Vì cot a = nên sina ≠ 0 

3 

3 

2 

2 

sin 

3(1 + cot a) 

0,50 

⇒ C = a = 

2 2 2 

sin a − sin a cos a − cos a 1− cot a − cot a 

sin a 

⎛ 1 ⎞ 20 

2⎜1+ 

⎟ 

= 

⎝ 9 ⎠ 

= 9 = 4 

1 1 5 

1− 

− 3 9 9 

2 

0,50 

7b 

2 2 

2 2 x y 

• (E) : 5x + 9y 

= 45 ⇔ + = 1 

9 5 

2 

2 2 

⇒ a = 9, b = 5 

0,25 

⇒ c = 4 ⇒ c = 2 ⇒ Tiêu điểm bên phải của (E) là F 2 (2;0) 

0,25 

p 

• Tiêu điểm của (P) là F(2; 0) nên 2 4 

2 = ⇒ p = 

0,25 

2 

Phương trình chính tắc của (P) là y = 8x 

0,25 


2 2 


Câu 1: Cho f ( x) = x − 2( m + 2) x + 2m + 10m 

+ 12 . Tìm m để: 

a) Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm trái dấu 

b) Bất phương trình f(x) ≥ 0 có tập nghiệm R 

⎧ 2 

x − 8x 

+ 15 ≥ 0 

⎪ 2 

Câu 2: Giải hệ bất phương trình ⎨x 

−12x 

− 64 ≤ 0 

⎪10 − 2x 

≥ 0 

⎩ 

Câu 3: 

a) Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc vào α . 

2 2 

cot 2α − cos 2α sin 2 α.cos2α 

A = + 

2 

cot 2α 

cot 2α 

b) Cho P = sin( π α ) cos( π α ) 

⎛ π ⎞ 

⎜ α ⎟ π α . Tính P + Q = ? 

⎝ 2 ⎠ 

+ − và Q = sin − sin( − ) 

2 2 

Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn có p/ trình: x + y − 2x + 4y 

− 4 = 0 

a) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn. 

b) Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d có 

phương trình: 3x 

− 4y 

+ 1 = 0 . 


2 

Câu 1 : Cho phương trình: mx −10x 

− 5 = 0 . 

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt. 

x 

Câu 2: Giải hệ bất phương trình: 

⎧⎪ 2 

9 0 

⎨ 

− < 

2 

⎪⎩ ( x − 1)(3x + 7x 

+ 4) ≥ 0 

Câu 3: Cho tam giác ABC có a = 5, b = 6, c = 7 . Tính: 

a) Diện tích S của tam giác. b) Tính các bán kính R, r. 

c) Tính các đường cao h a , h b , h c . 

⎛ π ⎞ 

sin( π + x)cos⎜ 

x − ⎟tan(7 π + x) 

Câu 4: Rút gọn biểu thức A = 

⎝ 2 ⎠ 

⎛ 3π 

⎞ 

cos(5 π − x)sin⎜ 

+ x ⎟ tan(2 π + x) 

⎝ 2 ⎠ 

Câu 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho 3 điểm A(0; 8), B(8; 0) và C(4; 0) 

a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua C và vuông góc với AB. 

b) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC. 

c) Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó. 

Đề số 13 

Câu 1: Giải các bất phương trình sau: 

2 

a) − 3x + x + 4 ≥ 0 b) (2x − 4)(1 − x − 2 x 2 ) < 0 c) 1 ≤ 

1 

x − 2 x 2 − 4 

1 

Câu 2: Định m để hàm số sau xác định với mọi x: y = 

. 

2 

x −( m − 1) x + 1 

Câu 3: 

a) Tính 


cos 12 

π . 

3 0 0 

b) Cho sin a = với 90 < a < 180 . Tính cosa, tana. 

4 

4 4 2 

c) Chứng minh: sin x − cos x = 1− 2 cos x . 


Câu 4: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5 . Tính cosB = ? 

Câu 5: 

a) Viết phương trình đường tròn tâm I(1; 0) và tiếp xúc với trục tung. 

2 2 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x + y − 6x + 4y 

+ 3 = 0 tại điểm M(2; 1) 

c) Cho tam giác ABC có M(1; 1), N(2; 3), P(4; 5) lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. 

Viết phương trình đường thẳng trung trực của AB? 

Đề số 14 

2 

Câu 1: Cho f ( x) = ( m −1) x − 4mx + 3m 

+ 10 . 

a) Giải bất phương trình: f(x) > 0 với m = – 2. 

b) Tìm m để phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt. 

Câu 2: 

a) Xét dấu tam thức bậc hai sau: f ( x) = x + 4x 

− 1 

2 

b) Giải phương trình: 2x + 4x 

− 1 = x + 1 

Câu 3: Chứng minh các đẳng thức sau: 

1 1 

a) + = 1 b) 1+ sin a + cos a + tan a = (1 + cos a)(1 + tan a) 

2 2 

1+ tan a 1+ 

cot a 

cos a 

1 

c) + tan a = 

1+ 

sin a cos a 

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 3), B(2; 7), C(–3: 8) . 

a) Viết phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A . 

b) Viết phương trình đường tròn có tâm A và đi qua điểm B . 

c) Tính diện tích tam giác ABC . 

2 

Đề số 15 

Câu 1: Định m để phương trình sau có nghiệm: ( m − 1) x + 2mx + m − 2 = 0 

Câu 2: Cho a, b, c là những số dương. Chứng minh: ( a + b)( b + c)( c + a) ≥ 8abc 

. 

Câu 3 : Cho tam giác ABC biết A(1; 4); B(3; –1) và C(6; 2). 

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, CA. 

b) Lập phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM. 

Câu 4: 

a) Cho đường thẳng d: 2x + y − 3 = 0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc trục hoành sao cho khoảng 

cách từ M đến d bằng 4. 

b) Viết phương trình đường tròn tâm I(2; 0) và tiếp xúc với trục tung. 

Câu 5: 

2 

π 

a) Cho sin a = với 0 < a < . Tính các giá trị lượng giác còn lại. 

3 

2 

π 

b) Cho 0 < a , b < và tan a = 1 , tan b = 1 . Tính góc a + b =? 

2 

2 3 

Đề số 16 


a) x = x − 2 

b) x −3 x − 4 ≤ 0 

3 − 4x 

2 

2 

Câu 2: Cho phương trình: mx − 2( m − 1) x + 4m 

− 1 = 0 . Tìm các giá trị của m để: 

a) Phương trình trên có nghiệm. 

2 


) Phương trình trên có hai nghiệm dương phân biệt. 

Câu 3: 

4 0 0 cotα 

+ tanα 

a) Cho cos α = vaø 0 < α < 90 . Tính A = 

. 

5 

cotα 

− tanα 

b) Biết sinα 

+ cosα 

= 2 , tính sin 2 α = ? 

Câu 4: Cho ∆ ABC với A(2, 2), B(–1, 6), C(–5, 3). 

a) Viết phương trình các cạnh của ∆ ABC. 

b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của ∆ ABC. 

c) Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác vuông cân. 

Câu 5: Cho đường thẳng d có phương trình 3x − 4y + m = 0 , và đường tròn (C) có phương trình: 

2 2 

( x − 1) + ( y − 1) = 1. Tìm m để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) 

Câu 1: 

Đề số 17 

2 

a) Tìm m, hàm số y = x − mx + m có tập xác định là (– ∞ ; + ∞ ). 

b) Giải bất phương trình sau: 

Câu 2: 

3x 

+ 1 < 3 

x − 3 

3 3 

sin α − cos α 

1) Rút gọn biểu thức A = + sinα 

+ cosα 

sinα 

− cosα 

2) Cho A, B, C là 3 góc trong 1 tam giác. Chứng minh rằng: 

⎛ A + B ⎞ C 

a) sin( A + B) = sinC 

b) sin ⎜ ⎟ = cos . 

⎝ 2 ⎠ 2 

2 0 0 0 

3) Tính giá trị biểu thức A = 8sin 45 − 2(2 cot 30 − 3) + 3cos90 

Câu 3: Có 100 học sinh tham dự kỳ thi học sinh giỏi môn toán, kết quả được cho trong bảng sau: 

(thang điểm là 20) 

Điểm 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 

Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N=100 

a) Tính số trung bình và số trung vị. 

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn. 

Câu 4: Cho hai đường thẳng ∆: 3x 

+ 2y 

− 1 = 0 và ∆′: − 4x + 6y 

− 1 = 0 . 

a) Chứng minh rằng ∆ vuông góc với ∆ ' 

b) Tính khoảng cách từ điểm M(2; –1) đến ∆ ' 

Câu 5: 

a) Cho tam giác ABC có A(3; 1), B(–3; 4), C(2: –1) và M là trung điểm của AB . Viết phương 

trình tham số của trung tuyến CM. 

2 2 

b) Lập p/trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x + y − 4x + 6y 

− 3 = 0 tại M(2; 1). 

Đề 18 

Câu 1: Giải bất phương trình: 

2 ≤ 

3 − 

1 

x + 3 x + 1 x 

2 

Câu 2: Cho phương trình: − x + ( m + 2) x − 4 = 0 . Tìm các giá trị của m để phương trình có: 

a) Hai nghiệm phân biệt 

b) Hai nghiệm dương phân biệt. 

Câu 3: 

4 4 3 

a). Chứng minh rằng: a + b ≥ a b + ab 3 , ∀a, 

b∈ R . 


3π 

1+ 

cos x 

b) Cho tan x = − 4 vaø < x < 2 π. Tính A = 

2 2 

sin x 

c) Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc vào α ? 

( tanα cotα ) ( tanα cotα 

) 

2 2 

A = + − − 

x 16 4t 

Câu 4 : Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ( d) : ⎧ ⎨ = − + ( t ∈ R) 

⎩y 

= − 6 + 3t 

a) Tìm tọa độ các điểm M, N lần lượt là giao điểm của (d) với Ox, Oy. 

b) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác OMN. 

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M. 

d) Viết phương trình chính tắc của Elip đi qua điểm N và nhận M làm một tiêu điểm. 

Câu 5: Cho tam giác ∆ ABC có b =4 ,5 cm , góc A 

 

a) Tính các cạnh a, c. 

b) Tính góc B . 

c) Tính diện tích ∆ ABC. 

d) Tính độ dài đường cao BH. 

Câu 1: Giải các bất phương trình sau : 

a) 

2 > 

5 

2x 

+ 1 x −1 

Đề số 19 

b) 3 − 2x ≤ x 

Câu 2: Cho f ( x) = ( m + 1) x − 2( m + 1) x − 1. 

a) Tìm m để phương trình f (x) = 0 có nghiệm 

b) Tìm m để f (x) ≤ 0 , ∀x 

∈R 

Câu 3: 

2sin x + 3cos x 

a) Cho tan x = − 2 . Tính A = 

2 cos x − 5sin x 

b) Rút gọn biểu thức: B = 

2 

2 2 

2 

0 

= 30 , C 

 

1− 

2sin α 2 cos α −1 

+ 

cosα + sinα cosα − sinα 

0 

= 75 

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(1; 4), B(–7; 4), C(2; –5). 

a) Chứng tỏ A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. 

b) Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A, B, C. 

c) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC. 

Câu 5: Cho ∆ ABC có a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm. 

a) Tính diện tích ∆ ABC. 

b) Tính góc B ( B tù hay nhọn) 

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. 

d) Tính m 

b 

, h 

a 

? 


2 

a) (1 − x)( x + x − 6) > 0 

b) 

Đề số 20 

1 x + 2 

≥ 

x + 2 3x 

− 5 

Câu 2: Cho bất phương trình: ( m + 3) x + 2( m − 3) x + m − 2 > 0 

a) Giải bất phương trình với m = –3. 

b) Với những giá trị nào của m thì bất phương trình vô nghiệm? 

c) Xác định m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x ? 


2

Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức: a + b + c ≥ ab + bc + ca với a, b, c ≥ 0 

Câu 4: Chứng minh rằng: 

2 2 2 2 

a) cot x − cos x = cot x.cos 

x 

2 2 2 2 

b) ( x sin a − y cos a) + ( x cos a + y sin a) 

= x + y 

Câu 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho 3 điểm A(–2; 1), B(1; 4), C(3; –2). 

a) Chứng tỏ rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. 

b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và song song với BC. 

c) Viết phương trình đường trung tuyến AM của ∆ABC. 

d) Viết phương trình của đường thẳng đi qua trọng tâm G của ∆ABC và vuông góc với BC. 

Đề số 21 

Câu 1: 


2 

a) x − 4 x + 3 < 1− 

2 

x b) 3x − 5x 

− 2 > 0 

3 − 2x 

x 

2) Cho y = + 2 , x > 1 . Định x để y đạt giá trị nhỏ nhất. 

2 x −1 

Câu 2: Sau một tháng gieo trồng một giống hoa, người ta thu được số liệu sau về chiều cao (đơn 

vị là milimét) của các cây hoa được trồng: 

Nhóm Chiều cao Số cây đạt được 

1 Từ 100 đến 199 20 

2 Từ 200 đến 299 75 

3 Từ 300 đến 399 70 

4 Từ 400 đến 499 25 

5 Từ 500 đến 599 10 

a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp của mẫu số liệu trên. 

b) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột . 

c) Hãy tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê. 

Câu 3: 

sin a 

a) Cho tana = 3 . Tính 

3 3 

sin a + cos a 

b) Cho cos a = 1 , cos b = 1 . Tính giá trị biểu thức A = cos( a + b).cos( a − b) 

. 

3 4 

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(0; 9), B(9; 0), C(3; 0) 

a) Tính diện tích tam giác ABC. 

b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua C và vuông góc với AB 

c) Xác định tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

Đề số 22 

Câu 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau: 

2 2 

a) x − 5x − 4 ≤ x + 6x 

+ 5 b) 4x + 4x − 2x 

+ 1 ≥ 5 

Câu 2: Định m để bất phương trình sau đúng với mọi x∈R: 

2 

2 

m( m − 4) x + 2mx 

+ 2 ≤ 0 

3 3 

cos α − sin α 

π 

Câu 3: Rút gọn biểu thức A = . Tính giá trị biểu thức A khi α = . 

1 + sinα 

cosα 

3 

Câu 4: Chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền được cho trong bảng sau: 


Tần 

Lớp chiều cao (cm) 

số 

[ 168 ; 172 ) 

4 

[ 172 ; 176 ) 

4 

[ 176 ; 180 ) 

6 

[ 180 ; 184 ) 

14 

[ 184 ; 188 ) 

8 

[ 188 ; 192 ] 

4 

Cộng 40 

a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp ? 

b) Nêu nhận xét về chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền kể trên ? 

c) Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn ? 

d) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a). 

Câu 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(–1; 2), B(3; –5), C(4; 7). 

a) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC. 

b) Tính diện tích tam giác ABK. 

c) Viết phương trình đường thẳng qua A và chia tam giác thành 2 phần sao cho diện tích phần 

chứa B gấp 2 lần diện tích phần chứa C. 

d) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC . Tìm tâm và bán kính của đường tròn này. 


Taøi lieäu giaûng daïy phuï ñaïo toå Toaùn THPT Phan Chu Trinh Ñaêk Laêk Ñaïi soá 11 

CHƯƠNG 0 

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 

I. HỆ THỨC CƠ BẢN 

1. Định nghĩa các giá trị lượng giác: 

Nhận xét: 

OP = cosα 

OQ = sinα 

AT = tanα 

BT ' = cotα 

sin 

B T' 

Q 

M 

α 

O p 

tang 

T 

cotang 

cosin 

A 

• ∀α, −1 ≤ cosα ≤ 1; −1 ≤ sinα 

≤ 1 

π 

• tanα xác định khi α ≠ + kπ 

, k ∈ Z 

2 

• cotα xác định khi α ≠ kπ , k ∈ Z 

2. Dấu của các giá trị lượng giác: 

Cung phần tư I II II IV 

Giá trị lượng giác 

sinα + + – – 

cosα + – – + 

tanα + – + – 

cotα + – + – 

3. Hệ thức cơ bản: 

4. Cung liên kết: 

sin 2 α + cos 2 α = 1; tanα.cotα = 1 

2 1 2 1 

1+ tan α = ; 1+ cot α = 

2 2 

cos α 

sin α 

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau 

cos( − α) = cosα 

sin( π − α) = sinα 

⎛ π ⎞ 

sin ⎜ − α ⎟ = 

⎝ 2 ⎠ 

cos α 

sin( − α) = − sinα 

cos( π − α) = − cosα 

⎛ π ⎞ 

cos⎜ 

− α ⎟ = sin α 

⎝ 2 ⎠ 

tan( − α) = − tanα 

tan( π − α) = − tanα 

⎛ π ⎞ 

tan⎜ 

− α ⎟ = 

⎝ 2 ⎠ 

cot α 

cot( − α) = − cotα 

cot( π − α) = − cotα 

⎛ π ⎞ 

cot ⎜ − α ⎟ = 

⎝ 2 ⎠ 

tan α 


Ñaïi soá 11 

Taøi lieäu giaûng daïy phuï ñaïo toå Toaùn THPT Phan Chu Trinh Ñaêk Laêk 

Cung hơn kém π 

Cung hơn kém 2 

π 

⎛ π ⎞ 

sin( π + α) = − sinα 

sin ⎜ + α ⎟ = cos α 

⎝ 2 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

cos( π + α) = − cosα 

cos⎜ 

+ α ⎟ = − sin α 

⎝ 2 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

tan( π + α) = tanα 

tan⎜ 

+ α ⎟ = − cot α 

⎝ 2 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

cot( π + α) = cotα 

cot ⎜ + α ⎟ = − tan α 

⎝ 2 ⎠ 

5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt 

0 

sin 0 

cos 1 

tan 0 

π 

6 

π 

4 

π 

3 

π 2π 3π 

2 3 4 

0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 

1 

2 

3 

2 

3 

3 

2 

2 

2 

2 

cot 3 1 

3 

2 

1 

2 

1 

0 

3 

2 

1 

− 

2 

2 

2 

π 

3π 

2 

2π 

0 –1 0 

2 

− –1 0 1 

2 

1 3 − 3 –1 0 0 

3 

3 

0 

3 

− –1 0 

3 

II. CÔNG THỨC CỘNG 

Công thức cộng: 


a 


a 


b 


b 

tan a + tan b 

tan( a + b) 

= 


b 


tan( a − b) 

= 

1 + tan a.tan 

b 

Hệ quả: 


tan π ⎞ + α ⎛ 

, tan 

π ⎞ − 

⎜ + α ⎟ = ⎜ − α ⎟ = 

α 

⎝ 4 ⎠ 1− tanα 

⎝ 4 ⎠ 1+ 

tanα 



III. CÔNG THỨC NHÂN 

1. Công thức nhân đôi: 


2 2 2 2 


2sin α 

2 tanα 

cot α −1 


= 

2 

1− 

tan α 

2 cotα 


2 1− 

cos2α 

3 

sin α = 


2 

3 

2 1+ 

cos2α 


cos α = 

3 

2 

3tanα 

− tan α 

tan 3α 

= 

2 1− 

cos2α 

2 

tan α = 1− 

3tan α 

1 + cos2α 

2 

2. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan 2 

α : 

Đặt: t 

α 2t 

= tan ( α ≠ π + 2 k π ) thì: sinα = ; 

2 

1 + t 2 

2 

1− 

t 

cosα 

= ; 

2 

1 + t 

2t 

tanα = 

1 − 

t 2 

IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 

1. Công thức biến đổi tổng thành tích: 

a + b a − b 


2 2 

a + b a − b 


2 2 

a + b a − b 


2 2 

a + b a − b 


2 2 

2. Công thức biến đổi tích thành tổng: 



1 

cos a.cos b = ⎡cos( ) cos( ) 

2 

⎣ a − b + a + b ⎤ 

⎦ 

1 

sin a.sin b = ⎡cos( a b) cos( a b) 

2 

⎣ − − + ⎤ 

⎦ 

1 


⎤ 

2 

⎣ 

⎦ 

sin( a + b) 

cos a.cos 

b 

sin( a − b) 

cos a.cos 

b 

sin( a + b) 


sin a.sin 

b 

sin( b − a) 


sin a.sin 

b 

sinα + cosα = 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

2.sin⎜α + ⎟ = 2.cos⎜α 

− ⎟ 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

sinα − cosα = 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

2 sin⎜α − ⎟ = − 2 cos ⎜α 

+ ⎟ 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 




CHÖÔNG I 

HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC – PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC 

I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

Vấn đề 1: 

TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ 

y = sin x : Tập xác định D = R; tập giá trị T = ⎡ ⎣ −1, 1⎤ 

⎦ ; hàm lẻ, chu kỳ T 

0 

= 2π . 

* y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 

2 

= π 

a 

* y = sin(f(x)) xác định ⇔ f ( x) 

xác định. 

y = cos x : Tập xác định D = R; Tập giá trị T = ⎡ ⎣ −1, 1⎤ 

⎦ ; hàm chẵn, chu kỳ T 

0 

= 2π . 

* y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 

2 

= π 

a 

* y = cos(f(x)) xác định ⇔ f ( x) 

xác định. 

y = tan x : Tập xác định D R \ ⎧ π ⎫ 

= ⎨ + kπ , k ∈ Z ⎬ ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T 

0 

= π . 

⎩ 2 ⎭ 

* y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 

= π 

a 

π 

* y = tan(f(x)) xác định ⇔ f ( x) 

≠ + kπ 

( k ∈ Z) 

2 

y 

= cot x : Tập xác định D = R \ { kπ , k ∈ Z} 

; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T 

0 

= π . 

* y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 

= π 

a 

* y = cot(f(x)) xác định ⇔ f ( x) ≠ kπ ( k ∈ Z) 

. 

* y = f 1 (x) có chu kỳ T 1 ; y = f 2 (x) có chu kỳ T 2 

Thì hàm số y = f1( x) ± f2( x) 

có chu kỳ T 0 là bội chung nhỏ nhất của T 1 và T 2 . 



Baøi 1. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau: 

a) 

⎛ 2x 

⎞ 

y = sin⎜ ⎟ 

⎝ x −1⎠ 

2 

d) y = 1− cos x 

e) y = 

⎛ π ⎞ 

g) y = cot ⎜ x + ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

b) y = sin x 

c) y = 2 − sin x 

h) 

y = 

1 

sin x + 1 

sin x 

cos( x −π ) 

Baøi 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 

⎛ π ⎞ 

a) y = 2sin⎜ 

x + ⎟ + 1 

⎝ 4 ⎠ 

d) 

2 

y = 4sin x − 4sin x + 3 e) 

⎛ π ⎞ 

f) y = tan ⎜ x − ⎟ 

⎝ 6 ⎠ 

i) y = 

1 

tan x −1 

b) y = 2 cos x + 1 − 3 c) y = sin x 

2 

y = cos x + 2sin x + 2 f) 

4 2 

y = sin x − 2 cos x + 1 

g) y = sinx + cosx h) y = 3 sin 2x 

− cos2x 

i) y = sin x + 3 cos x + 3 

Baøi 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số: 

a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sinx + cosx 

d) y = tanx + cotx e) y = sin 4 x f) y = sinx.cosx 

g) y = 

sin x − tan x 

sin x + cot x 

Baøi 4. Tìm chu kỳ của hàm số: 

h) y = 

3 

cos x + 1 

sin 

3 

x 

i) y = tan x 

x 

a) y = sin 2x 

b) y = cos c) y = 

3 

x 

d) y = sin 2x 

+ cos e) y = tan x + cot 3x 

f) 

2 

g) y = 2sin x . cos3x 

h) 

2 

2 

sin 

x 

3x 

2x 

y = cos − sin 

5 7 

y = cos 4x 

i) y = tan(−3x + 1) 

HD: a) π b) 6π c) π d) 4π e) π f) 70π g) π h) 4 

π 

i) 3 

π 

Vấn đề 2: 

ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

1) Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: 

– Tìm tập xác định D. 

– Tìm chu kỳ T 0 của hàm số. 

– Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần). 

– Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T 0 có thể chọn: 

⎡ T 

x ∈ ⎡ ⎣ 0, T ⎤ 

0 ⎦ hoặc 

0 

T0 

⎤ 

x ∈ ⎢− 

, ⎥ . 

⎣ 2 2 ⎦ 

– Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ. 

 

– Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo vectơ v = k. T0 

. i về bên trái và 

 

phải song song với trục hoành Ox (với i là véc tơ đơn vị trên trục Ox). 




2) Một số phép biến đổi đồ thị: 

a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = 

f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn 

vị nếu a < 0. 

b) Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục 

hoành. 

⎧ f ( x), neáu f ( x) ≥ 0 

c) Đồ thị y = f ( x) 

= ⎨ được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ 

⎩ − f ( x), neáu f ( x) < 0 

nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) 

nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành. 

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx. 

– Tập xác định: D = R. 

1 

y 

y = sinx 

– Tập giá trị: ⎡ 

⎣−1, 1 ⎤ 

⎦ . 

– Chu kỳ: T = 2. 

3π 

− 

2 

−π 

π 

− 0 

2 

π π 3π 

2π 5π 

2 

2 

2 

x 

– Bảng biến thiên trên đoạn ⎡ 

⎣0, 2π 

⎤ 

⎦ 

–1 

x 0 

y 

 

– Tịnh tiến theo véctơ v = 2 kπ . i ta được đồ thị y = sinx. 

Nhận xét: 

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. 

⎛ π ⎞ 

⎛ π ⎞ 

– Hàm số đồng biến trên khoảng ⎜ 0, ⎟ và nghịch biến trên ⎜ , π ⎟. 

⎝ 2 ⎠ 

⎝ 2 

y ⎠ 

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx. 

1 

– Tập xác định: D = R. 

– Tập giá trị: ⎡ 

⎣−1, 1 ⎤ 

⎦ . 

– Chu kỳ: T = 2. 


⎣0, 2 π ⎤ 

⎦ : 

x 0 

π 

2 

1 

 

– Tịnh tiến theo véctơ v = 2 kπ . i ta được đồ thị y = cosx. 

π 

Nhận xét: 

– Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. 

3π 

2 

3π 

− 

2 

−π 

2π 

0 

0 0 

–1 

π 

2 

π 

3π 

2 

2π 

1 1 

y 0 

0 

–1 

π 

− 0 

2 

–1 

y = cosx 

π π 3π 

2π 5π 

2 

2 

2 

x 



⎛ π ⎞ 

⎛ 3π 

⎞ 

– Hàm số nghịch biến trên khoảng ⎜ 0, ⎟ và nghịch biến trên khoảng ⎜π 

, ⎟. 

⎝ 2 ⎠ 

⎝ 2 ⎠ 

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx. 

⎧π 

⎫ 

– Tập xác định: D = R \ ⎨ + kπ 

, k ∈ Z ⎬ 

⎩ 2 ⎭ 

– Tập giá trị: R. 

– Giới hạn: 

lim 

π 

x→± 

2 

y = ∞ 

3π 

− 

2 

π 

π 

− 

2 

O 

y 

y = tanx 

π π 3π 2π 5π 

2 

2 

2 

x 

⇒ x = ± π : là tiệm cận đứng. 

2 

– Chu kỳ: T = . 

⎛ π π ⎞ 

– Bảng biến thiên trên ⎜ − , ⎟ : 

⎝ 2 2 ⎠ 

y 0 

–∞ 

 

– Tịnh tiến theo véctơ v = kπ . i ta được đồ thị y = tanx. 

Nhận xét: 


– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D. 

x 

π 

− 0 

2 

π 

2 

+∞ 

Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx. 

– Tập xác định: D = R \{ kπ 

, k ∈ Z} 

– Tập giá trị: R. 

– Giới hạn: 

lim y = + ∞ , lim y = − ∞ 

x→0 

x→ 

x 

tiệm cận đứng: x = 0, x = . 

– Chu kỳ: T = . 


⎣0, 

π ⎤ 

⎦ : 

x 0 

π 

2 

+∞ 

y 0 

− 2 

π 3π 

− 

2 

 

– Tịnh tiến theo véctơ v = kπ . i ta được đồ thị y = cotx. 

Nhận xét: 


– Hàm số luôn giảm trên tập xác định D. 

π 

–∞ 

−π 

π 

− 

2 

y 

O 

y = cotx 

π π 3π 

2 

2 

2π 

x 




Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx. 

– Vẽ đồ thị y = sinx. 

– Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox. 

y 

1 

y = –sinx 

–2 3π 

− 

2 

−π 

π 

− 

2 

O 

π 

2 

π 

3π 

2 

2π 

x 

–1 

Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = ⏐sinx⏐ 

⎧sin x, neáu sin x ≥ 0 

y = sin x = ⎨ ⎩ -sin x, neáu sin x < 0. 

1 

y 

y = /sinx/ 

π 

π 

− 

2 

O 

π 

2 

π 

3π 

2 

2π 

x 

Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx. 

– Vẽ đồ thị y = cosx. 

– Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị y = 1+ cos x bằng cách tịnh tiến đồ thị y = cos x lên 

trục hoành 1 đơn vị. 


⎣0, 2π ⎤ 

⎦ : 

x 0 

y = cosx 

y = 1 + cosx 

1 

2 

2 

y 

π 

2 

0 

1 

π 

–1 

0 

3π 

2 

0 

1 

2π 

1 

2 

1 

y = 1 + cosx 

−π 

π 

− 

2 

O 

π π 3π 

2 

2 

y = cosx 

x 

–1 



Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x. 

– y = sin2x có chu kỳ T = π 


⎣0, 2π ⎤ 

⎦ : 

x 

2x 

y = sin2x 0 

− π − π 0 

2 4 

π 

−π − 0 

2 

–1 

0 

π 

2 

π 

2 

1 

π 

2 

π 

0 

y 

1 

y = sin2x 

π 

− 

2 

π 

− 

4 

O 

π 

4 

π 3π 

π 5π 

2 2 

4 

x 

–1 

Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x. 

– y = cos2x có chu kỳ T = π 


⎣0, 2π ⎤ 

⎦ : 

x 

2x 

y = cos2x 

π 

− 

2 

−π 

–1 

π 

− 0 

4 

π 

− 0 

2 

1 

0 

π 

4 

π 

2 

0 

π 

2 

π 

–1 

y 

1 

y = cos2x 

π 

2 

π 

4 

O 

π 

4 

π 

2 

3π 

4 

x 

–1 


Ñaïi soá 11 Taøi lieäu giaûng daïy phuï ñaïo toå Toaùn THPT Phan Chu Trinh Ñaêk Laêk 

⎛ π ⎞ 

Ví dụ 10: Vẽ đồ thị y = sin⎜ 

x + ⎟ có chu kỳ T = 2π . 

⎝ 4 ⎠ 

x 

x 

π 

+ 

4 

– π 

3π 

− 

4 

⎛ π ⎞ 

y = sin⎜ 

x + ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 2 

− 

2 

3 

− π π 

− 

4 2 

π 

− 

2 

–1 

π 

− 0 

4 

− 

2 

2 

π 

− 0 

4 

0 

π 

4 

2 

2 

π π 3π 

4 2 4 

π 3π 

0 

2 2 

1 

2 

2 

0 

− 

π 

5π 

4 

2 

2 

y 

1 

−π 3π 

− 

4 

π 

− 

2 

2 / 2 

π 

− 

4 

− 2 / 2 

O 

–1 

π 

4 

⎛ 

π 

⎞ 

y = sin ⎜ 

x + 

⎟ 

⎝ 

4 

⎠ 

π 3π π 5π 3π 

7π 

2 4 4 2 4 

x 

Ví dụ 11: Vẽ đồ thị 

x 

x 

π 

− 

4 

⎛ π ⎞ 

y = cos⎜ 

x − ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

y = cos⎜ 

x − ⎟ có chu kỳ T = 2π . 

⎝ 4 ⎠ 

– π 

3π 

− 

4 

5π 

− 

4 

−π 

− 

2 

2 

–1 

π 

− 

2 

3π 

− 

4 

− 

2 

2 

π 

− 0 

4 

π 

− 

2 

0 

π 

4 

π 

− 0 

4 

1 

2 

2 

π 3π 

π 

2 4 

π π 3π 

4 2 4 

2 

2 

0 

− 

2 

2 



⎛ π ⎞ 

Ví dụ 12: Vẽ đồ thị y = sin x + cos x = 2 sin⎜ 


⎝ 4 ⎠ 

3π 

π π 

π π 3π 

x – π − − − 0 

π 

4 2 4 

4 2 4 

π 3π 

π π 

π π 3π 

5π 

x + − − − 0 

π 

4 4 2 4 

4 2 4 

4 

⎛ π 

2 –1 2 0 2 1 2 0 2 

⎞ 

sin⎜ 

x + 

− 

− 

⎟ 2 

2 

2 

2 

2 

⎝ 4 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

2 sin⎜ 

x + ⎟ 

⎝ 4 ⎠ –1 

sin x 

+ cosx 1 

− 

2 

2 

–1 

1 

0 

0 

1 

1 

2 

2 

1 

1 

0 

0 

–1 

1 

y 

2 

−π 3π 

− 

4 

π 

− 

2 

π 

− 

4 

− 

1 

O 

2 

–1 

π 

4 

y = 

π 3π π 5π 3π 

7π 

2 4 4 2 4 

⎛ 

π 

⎞ 

2 sin ⎜ 

x + 

⎟ 

⎝ 

4 

⎠ 

x 

y 

2 

1 

−π 3π 

π π O π π 

5π 3π 

− − − 

3π π 

7π 

4 2 4 4 2 2 4 2 4 

y = sin x + cos x 

x 

Ví dụ 13: Vẽ đồ thị y = cos x − sin x = 

⎛ π ⎞ 

2 cos⎜ 


⎝ 4 ⎠ 

x π 

3π 

π π 0 π π 3π 

− − − 

4 2 4 

4 2 4 

π 

cosx –1 − 

2 

2 

2 

2 

0 

1 

0 − 

2 

2 

2 

2 

–1 

sinx 0 − 

2 

2 

2 

2 

–1 − 0 

1 

2 

2 

2 

2 

0 

cosx – sinx –1 0 1 2 1 0 –1 − 2 –1 

cosx 

− sin x 1 

0 

1 

2 

1 

0 

1 

2 

1 




y 

y 

2 

2 

1 

y = cosx – sinx 

1 

y = ⏐cosx – sinx⏐ 

−π 

3π 

− 

4 

π 

− 

2 

π 

− 

4 

o 

−1 

π 

4 

π 3π π 5π 

2 4 

4 

x 

−π 

3π 

− 

4 

π 

− 

2 

π 

− 

4 

o 

π 

4 

π 3π π 5π 

2 4 

4 

x 

− 

2 

Ví dụ 14: Vẽ đồ thị y = tanx + cotx. 

– Tập xác định: D R \ ⎧ π ⎫ 

= ⎨k. , k ∈ Z ⎬ 

⎩ 2 ⎭ 

– Chu kỳ T = π . 

π π π 

x − − − 

2 3 4 

tanx || − 3 –1 

cotx 0 

y = 

tanx + cotx 

–∞ 

π 

− 

6 

3 

3 

0 

0 

π 

6 

3 

3 

− 

3 

3 

–1 − 3 || 3 1 

+∞ 

− 

4 3 

3 

2 

− 

4 3 

3 

–∞ 

4 3 

3 

π 

4 

π 

3 

π 

2 

1 3 || 

2 

3 

3 

4 3 

3 

0 

+∞ 

y 

y = tanx + cotx 

4 3 

3 

2 

π 

− 

2 

π 

− 

3 

π 

− 

4 

π 

− 

6 

O 

π 

6 

π 

4 

π 

3 

π 

2 

x 

–2 

4 3 

3 



II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 

I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 

1. Phương trình sinx = sinα 

a) sin x = sin α ⇔ 

⎡ x = α + k2π 

⎢ 

( k ∈ Z) 

⎣x 

= π − α + k2π 

sin x = a. Ñieàu kieän : −1 ≤ a ≤ 1. 

b) 

⎡ x = arcsin a + k2π 

sin x = a ⇔ 

⎢ 

( k ∈ Z) 

⎣x = π − arcsin a + k2π 

c) sin u = − sin v ⇔ sin u = sin( − v) 

d) sin u = cos v ⇔ sin u sin π ⎞ 

= ⎜ − v⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

e) sin u = − cos v ⇔ 

⎛ π ⎞ 

sin u = sin⎜ 

v − ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 


sin x = 0 ⇔ x = kπ 

( k ∈ Z) 

sin x = 1 ⇔ 

π 

π 

x = + k2 π ( k ∈ Z) 

sin x = −1 ⇔ x = − + k2 π ( k ∈ Z) 

2 

2 

2 2 

π 

sin x = ± 1 ⇔ sin x = 1 ⇔ cos x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = + kπ 

( k ∈ Z) 

2 

2. Phương trình cosx = cosα 

a) cos x = cosα ⇔ x = ± α + k2 π ( k ∈ Z) 

cos x = a. Ñieàu kieän : −1 ≤ a ≤ 1. 

b) 

cos x = a ⇔ x = ± arccos a + k2 π ( k ∈ Z) 

c) cosu = − cos v ⇔ cosu = cos( π − v) 

d) cosu = sin v ⇔ cosu cos π ⎞ 

= ⎜ − v⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

e) cosu = − sin v ⇔ cosu cos π ⎞ 

= ⎜ + v⎟ 

⎝ 2 ⎠ 


cos x = 0 ⇔ 

π 

x = + kπ 

( k ∈ Z) 

2 

cos x = 1 ⇔ x = k2 π ( k ∈ Z) 

cos x = −1 ⇔ x = π + k2 π ( k ∈ Z) 

2 2 

cos x = ± 1 ⇔ cos x = 1 ⇔ sin x = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ 

( k ∈ Z) 




3. Phương trình tanx = tanα 

a) tan x = tan α ⇔ x = α + kπ 

( k ∈ Z) 

b) tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ 

( k ∈ Z) 

c) tan u = − tan v ⇔ tan u = tan( − v) 

d) tan u cot v tan u tan ⎛ π ⎞ 

= ⇔ = ⎜ − v⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

e) tan u cot v tan u tan ⎛ π ⎞ 

= − ⇔ = ⎜ + v⎟ 

⎝ 2 ⎠ 


π 

tan x = 0 ⇔ x = kπ ( k ∈ Z) 

tan x = ± 1 ⇔ x = ± + kπ 

( k ∈ Z) 

4 

4. Phương trình cotx = cotα 

cot x = cot α ⇔ x = α + kπ 

( k ∈ Z) 

cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ 

( k ∈ Z) 


π 

π 

cot x = 0 ⇔ x = + kπ ( k∈ 

Z) 

cot x = ± 1 ⇔ x = ± + kπ 

( k ∈ Z) 

2 

4 

5. Một số điều cần chú ý: 

a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc 

chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. 

π 

* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x ≠ + kπ 

( k ∈ Z). 

2 

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x ≠ kπ 

( k ∈ Z) 

* 

π 

Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x ≠ k 

2 

( k ∈ Z) 

* Phương trình có mẫu số: 

• sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ 

( k ∈ Z) 

π 

• cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ 

( k ∈Z) 

2 

π 

• tan x ≠ 0 ⇔ x ≠ k ( k ∈ Z) 

2 

π 

• cot x ≠ 0 ⇔ x ≠ k ( k ∈ Z) 

2 

b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau 

để kiểm tra điều kiện: 

1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. 

2. Dùng đường tròn lượng giác. 

3. Giải các phương trình vô định. 



Baøi 1. Giải các phương trình: 

⎛ π ⎞ 

1) cos⎜2x 

+ ⎟ = 0 

⎝ 6 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

4) sin ⎜3x 

+ ⎟ = 0 

⎝ 3 ⎠ 

7) sin ( 3 1) 

10) 

1 

2 

⎛ π ⎞ 

2) cos⎜ 

4x 

− ⎟ = 1 

⎝ 3 ⎠ 

⎛ x π ⎞ 

5) sin ⎜ − ⎟ = 1 

⎝ 2 4 ⎠ 

x + = 8) cos( 15 ) 

⎛ π ⎞ 1 

cos⎜ 

− 2x 

⎟ = − 

⎝ 6 ⎠ 2 

⎛ π ⎞ 

13) tan⎜3x 

+ ⎟ = −1 

⎝ 6 ⎠ 


⎛ π ⎞ 

3) cos⎜ 

− x ⎟ = −1 

⎝ 5 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

6) sin ⎜ + 2x 

⎟ = −1 

⎝ 6 ⎠ 

0 2 

⎛ x π ⎞ 3 

x − = 9) sin ⎜ − ⎟ = − 

2 

⎝ 2 3 ⎠ 2 

x − = 12) cot ( 3 10 ) 

11) tan( 2 1) 

3 

⎛ π ⎞ 

14) cot ⎜2x 

− ⎟ = 1 

⎝ 3 ⎠ 

0 3 

x + = 

15) cos(2x + 25 0 ) = 

1) sin(3x + 1) = sin( x − 2) 

2) cos ⎛ π 

x 

⎞ cos ⎛ π 

⎜ − ⎟ = ⎜2x 

+ 

⎞ 

⎟ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 

3) cos3x 

= sin 2x 

4) sin( x − 120 ) + cos2x 

= 0 

5) cos ⎛ π 

2x 

⎞ cos ⎛ π 

⎜ + ⎟ + ⎜ x − ⎞ 

⎟ = 0 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

7) tan ⎛ π 

3x 

⎞ tan 

⎛ π 

⎜ − ⎟ = ⎜ x + 

⎞ 

⎟ 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 

0 

⎛ π x ⎞ 

6) sin 3x 

+ sin⎜ 

− ⎟ = 0 

⎝ 4 2 ⎠ 

8) cot ⎛ π 

2x 

⎞ cot 

⎛ π 

⎜ − ⎟ = ⎜ x + 

⎞ 

⎟ 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

9) tan(2x + 1) + cot x = 0 

10) cos( x + x) = 0 

2 

11) sin( x − 2 x) = 0 

12) tan( x + 2x 

+ 3) = tan 2 

13) 

15) 

2 

cot x = 1 

14) 

sin 

1 

cos x = 16) sin 

2 

2 

2 

2 1 

x = 

2 

⎛ π ⎞ 

⎜ x − ⎟ = cos 

⎝ 4 ⎠ 

2 2 

x 

− 

3 

2 

2 

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

Dạng Đặt Điều kiện 

2 

asin x + bsin x + c = 0 

t = sinx −1 ≤ t ≤ 1 

2 

a cos x + b cos x + c = 0 

t = cosx −1 ≤ t ≤ 1 

2 

a tan x + b tan x + c = 0 t = tanx 

π 

x ≠ + kπ 

( k ∈ Z) 

2 

2 

a cot x + b cot x + c = 0 

t = cotx x ≠ kπ 

( k ∈Z) 

Nếu đặt: 

2 

t = sin x hoaëc t = sin x thì ñieàu kieän : 0 ≤ t ≤ 1. 




Baøi 1. Giải các phương trình sau: 

1) 2sin 2 x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin 2 x – 4cosx – 1 = 0 

3) 4cos 5 x.sinx – 4sin 5 x.cosx = sin 2 2 

4x 4) x ( ) 

2 

5) ( ) 

3 

tan + 1− 3 tan x − 3 = 0 

4sin x − 2 3 + 1 sin x + 3 = 0 6) 4 cos x + 3 2 sin 2x = 8cos x 

7) tan 2 x + cot 2 x = 2 8) cot 2 2x – 4cot2x + 3 = 0 


1) 4sin 2 3x + ( ) 

2 3 + 1 cos3x 

− 3 = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0 

3) 4cos 2 (2 – 6x) + 16cos 2 1 

(1 – 3x) = 13 4) ( ) 

5) 

7) 

cos 

3 

cos x + tan2 x = 9 6) 9 – 13cosx + 

1 

2 

sin x = cotx + 3 8) 2 

3 3 tan x 3 3 0 

2 

x − + − + = 

4 

= 0 

2 

1+ 

tan x 

1 

cos x + 3cot2 x = 5 

2 x 

9) cos2x – 3cosx = 4 cos 10) 2cos2x + tanx = 4 2 5 

⎛ sin 3x + cos3x ⎞ 3 + cos2x 

Baøi 3. Cho phương trình ⎜sin 

x + ⎟ = . Tìm các nghiệm của phương 

⎝ 1+ 

2sin 2x 

⎠ 5 

trình thuộc( 0 ; 2π ) . 

Baøi 4. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của 

phương trình thuộc ( −π ; π ) . 

4 4 ⎛ π ⎞ 4 ⎛ π ⎞ 5 

Baøi 5. Giải phương trình : sin x + sin ⎜ x + ⎟ + sin ⎜ x − ⎟ = . 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 4 

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX 

DẠNG: a sinx + b cosx = c (1) 

Cách 1: 

• Chia hai vế phương trình cho 

(1) ⇔ 

a 

2 2 

+ b ta được: 

a sin x + b cos x = 

c 

a + b a + b a + b 

2 2 2 2 2 2 

a 

b 

= = ∈ ⎣ ⎦ 

2 2 2 2 

a + b a + b 

• Đặt: sin α , cosα ( α ⎡0, 2π 

⎤) 

phương trình trở thành: sin α.sin x + cos α .cos x = 

a 

c 

2 2 

+ b 

⇔ cos( x − α) = 

c 

= cos β (2) 

2 2 

a + b 

• Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 

a 

c 

2 2 

+ b 

2 2 2 

≤ 1 ⇔ a + b ≥ c . 

• (2) ⇔ x = α ± β + k2 π ( k ∈ Z) 

Cách 2: 



x π 

a) Xét x = π + k2π ⇔ = + kπ có là nghiệm hay không? 

2 2 

x 

b) Xét x ≠ π + k2π 

⇔ cos ≠ 0. 

2 

Đặt: 

x 2t 1− 

t 

t = tan , thay sin x = , cos x = , ta được phương trình bậc hai theo t: 

2 2 2 

1+ t 1+ 

t 

2 

( b + c) t − 2at + c − b = 0 (3) 

Vì x ≠ π + k2π ⇔ b + c ≠ 0, nên (3) có nghiệm khi: 

2 2 2 2 2 2 

∆ ' = a − ( c − b ) ≥ 0 ⇔ a + b ≥ c . 

x 

Giải (3), với mỗi nghiệm t 0 , ta có phương trình: tan = t0. 

2 

Ghi chú: 

1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận. 

2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: 

3) Bất đẳng thức B.C.S: 

2 

2 2 2 2 2 2 

y = a.sin x + b.cos x ≤ a + b . sin x + cos x = a + b 

2 2 

a + b ≥ c 

2 . 

2 2 2 2 sin x cos x a 

⇔ min y = − a + b vaø max y = a + b ⇔ = ⇔ tan x = 

a b b 


6 

1) cos x + 3 sin x = 2 2) sin x + cos x = 3) 3 cos3x 

+ sin3x 

= 2 

2 

4) sin x cos x 2 sin 5x 

⎛ π ⎞ 

6) 3 sin 2x 

+ sin⎜ 

+ 2x 

⎟ = 1 

⎝ 2 ⎠ 


1) 

3 −1 sin x − 3 + 1 cos x + 3 − 1 = 0 

+ = 5) ( ) ( ) 

2 

2sin x + 3 sin 2x 

= 3 2) sin 8x − cos6x = 3 ( sin 6x + cos8x) 

3 1 

3) 8cos x = sin x 

+ cos x 

4) cosx – 3 sin 2 cos ⎛ π ⎞ 

x = ⎜ − x ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

5) sin5x + cos5x = 2 cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6) 2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6) 


1) 3sinx – 2cosx = 2 2) 3 cosx + 4sinx – 3 = 0 

3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5 


⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

1) 2sin⎜ 

x + ⎟ + sin⎜ 

x − ⎟ = 3 2 

⎛ π ⎞ 

2) 3 cos2x + sin 2x + 2sin ⎜2x 

− ⎟ = 2 2 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 2 

⎝ 6 ⎠ 

Baøi 5. Tìm m để phương trình: (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm . 

Baøi 6. Tìm m để phương trình: (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm. 

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI 

DẠNG: a sin 2 x + b sinx.cosx + c cos 2 x = d (1) 




Cách 1: 

• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không? 

Lưu ý: cosx = 0 

• Khi cos x ≠ 0 

π 

2 

⇔ x = + kπ 

⇔ sin x = 1 ⇔ sin x = ± 1. 

2 

, chia hai vế phương trình (1) cho 

2 2 

a.tan x + b.tan x + c = d(1 + tan x) 

• Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: 

2 

( a − d) t + b. t + c − d = 0 

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 

2 

cos x ≠ 0 ta được: 

1− cos2x sin 2x 1+ 

cos2x 

(1) ⇔ a. + b. + c. 

= d 

2 2 2 

⇔ b.sin 2 x + ( c − a).cos2x = 2d − a − c (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x) 


2 2 

2sin x + 1− 3 sin x.cos x + 1− 3 cos x = 1 

1) ( ) ( ) 

2 

2) ( ) 2 

3) 

3sin x + 8sin x.cos x + 8 3 − 9 cos x = 0 

2 2 

4sin x + 3 3 sin x.cos x − 2 cos x = 4 

2 2 1 

4) sin x + sin 2x − 2 cos x = 

2 

2 2 

2sin x 3 + 3 sin x.cos x + 3 − 1 cos x = − 1 

5) ( ) ( ) 

6) 

2 2 

5sin x + 2 3 sin x.cos x + 3cos x = 2 

2 2 

7) 3sin x + 8sin x.cos x + 4 cos x = 0 

8) ( ) 2 ( ) 2 

− x + x + + x = 

9) ( ) ( ) 

2 1 sin sin 2 2 1 cos 2 

2 2 

3 + 1 sin x − 2 3 sin x.cos x + 3 − 1 cos x = 0 

4 2 2 4 

10) 3cos x − 4sin x cos x + sin x = 0 

11) cos 2 x + 3sin 2 x + 2 3 sinx.cosx – 1 = 0 

12) 2cos 2 x – 3sinx.cosx + sin 2 x = 0 


3 2 3 

1) sin x + 2sin x.cos x – 3cos x = 0 2) 

3 2 2 3 

3) sin x − 5sin x.cos x − 3sin x.cos x + 3cos x = 0 

Baøi 3. Tìm m để phương trình: ( ) 

2 2 

2 2 −1 

3 sin x.cos x − sin x = 

2 

m + 1 sin x – sin 2x + 2cos 

x = 1 có nghiệm. 

Baøi 4. Tìm m để phương trình: (3m – 2)sin 2 x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos 2 x = 0 vô 

nghiệm . 

V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG 



Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 

⎛ ⎞ 

• Đặt: t = cos x ± sin x = 2.cos ⎜ x ∓ π ⎟; t ≤ 2. 

⎝ 4 ⎠ 

2 1 2 

⇒ t = 1± 2sin x.cos x ⇒ sin x.cos x = ± ( t − 1). 

2 

• Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này 

tìm t thỏa t ≤ 2. Suy ra x. 

Lưu ý dấu: 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

• cos x + sin x = 2 cos⎜ x − ⎟ = 2 sin ⎜ x + ⎟ 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

• cos x − sin x = 2 cos⎜ x + ⎟ = − 2 sin ⎜ x − ⎟ 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0 

⎛ ⎞ 

• Đặt: t = cos x ± sin x = 2. cos ⎜ x ∓ π ⎟ ; Ñk : 0 ≤ t ≤ 2. 

⎝ 4 ⎠ 

1 2 

⇒ sin x.cos x = ± ( t − 1). 

2 

• Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 


1) 2sin 2x − 3 3 ( sin x + cos x) 

+ 8 = 0 2) 2( sin x + cos x) 

+ 3sin 2x 

= 2 

3) 3( sin x + cos x) 

+ 2sin 2x 

= − 3 4) ( 1− 2 )( 1+ sin x + cos x) 

= sin 2x 

5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6) ( 1+ 2 )( sin x + cos x) 

− sin 2x 

= 1+ 

2 


1) sin 2x − 4( cos x − sin x) 

= 4 2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 

3) ( 1− 2 )( 1+ sin x − cos x) 

= sin 2x 

4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0 

⎛ π ⎞ 

5) sin2x + 2 sin ⎜ x − ⎟ = 1 

⎝ 4 ⎠ 

2 

6) ( ) ( ) 

sin x − cos x − 2 + 1 (sin x − cos x) + 2 = 0 


1) sin 3 x + cos 3 x = 1 + ( ) 2 2 

− sinx.cosx 2) 2sin2x – 3 6 sin x + cos x + 8 = 0 

VI. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC 





1) sin 2 x = sin 2 3x 2) sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x = 3 2 

3) cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x = 1 4) cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + cos 2 4x = 2 


1) sin 6 x + cos 6 x = 1 4 

2) sin 8 x + cos 8 x = 1 8 

3) cos 4 x + 2sin 6 x = cos2x 4) sin 4 x + cos 4 x – cos 2 x + 


1 

2 

4sin 2x – 1 = 0 

1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0 

3) sin 3 x + cos 3 x = cos2x 4) sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x 

5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos 2 x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos 2 x 

7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin 2 3x 

8) sinx + sin2x + sin3x = 2 (cosx + cos2x + cos3x) 


1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0 

3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x 

4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos 2 x + 1 


1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x 

3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos 2 2x = sin 2 2x + sinx 


1) sin 3 x + cos 3 x + 

1 ⎛ π ⎞ 

sin 2 x .sin ⎜ x + ⎟ = cosx + sin3x 

2 ⎝ 4 ⎠ 

2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x 


ĐỀ 1 

Bài 1: (2 điểm) 

a) Tìm tập xác định của các hàm số sau: 

2sin x −1 

1 

i) y = . ii) y = 

1 − cos x 

3 cot 2x 

+ 1 

. 

x x 

b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = 2 3sin cos − cos x + 1 

2 2 

Bài 2: (3,5 điểm) Giải các phương trình sau: 

⎛ π ⎞ 

a) 2cos⎜ 

x + ⎟ + 3 = 0 . c) tan x.tan 3x = 1. 

⎝ 3 ⎠ 

b) 

2 

sin x − 

2 

3 sin 2x + 3cos x = 0 . d) 

2 2 2 

cos x + cos 2x + cos 3x 

= 1. 


a) 

6 6 

1− 

cos 2x 

1 10 10 sin x + cos x 

1+ cot 2x 

= . c) 

2 

( sin x + cos x) 

= 

. 

2 2 

sin 2x 

4 sin 2x 

+ 4cos 2x 

b) 

2 

sin x(1 + tan x) = 3sin x(cos x − sin x) + 3 d) sin 3x + cos3x + 2cos x = 0 

Bài 4: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 

6 6 1 4 4 

⎡−π π ⎤ 

y = sin x + cos x + (sin x + cos x) + cos 2x 

trên ; 

2 

⎢ 

⎣ 6 6 ⎥ 

⎦ 

ĐỀ 2 


tan 3x 

a) Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = 

cos 2x 

+ 1 

b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 3 cos 2x + 2sin x cos x − 2 . 


0 

⎛ π ⎞ 

a) 2sin ( x + 45 ) = − 3 . b) sin ⎜ x − ⎟ + cos 2x 

= 0 . 

⎝ 3 ⎠ 

b) cos 2x 

+ 3sin x = 2 . d) cos 2xsin x + cos3x + cos x = 0 . 


a) 

⎛ 3π 

⎞ 

π π 

4x 

2 

cos ⎜ − 2x 

⎟ − 3 cos 2x 

= 3 , với x − < . c) cos = cos x 

⎝ 2 ⎠ 

3 6 

3 

b) sin 3 x cos 3 x 2( sin 5 x cos 

5 x) 

+ = + d) 

Bài 4: (1 điểm) Cho phương trình: 

phương trình thoả mãn điều kiện x − 1 < 3 

sin 5x sin 3x 2sin 2x 

7 8sin 

2 2 

− − + = − 

2 

cos x − 4cos x + 3 = x.(2sin x − x) 

⎛ π x ⎞ 

⎜ ⎟ . Tìm các nghiệm của 

⎝ 4 2 ⎠ 

ĐỀ 3 


1 

a) Tìm tập xác định của hàm số: y = 

sin 2x 

− cos x 

4 2 

b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = sin x − 2cos x + 1 


⎛ π ⎞ 

a) 2sin ⎜ x + ⎟ = − 2 . c) cos x − sin x = 2 sin 2x 

. 

⎝ 4 ⎠ 

b) 

3 

4cos 3 2 sin 2 8cos 

x x x 

+ = . d) ( ) 

2sin x cos x − 1 = 3 cos 2x 

. 


⎛ π ⎞ 

1 ⎛ 3π 

⎞ cos3x 

−1 

a) cos5x sin 4x = cos3 x.sin 2x 

, với x ∈ ⎜ 0; ⎟ c) + tan ⎜ 2x 

− ⎟ = 

⎝ 2 ⎠ 

2sin x ⎝ 2 ⎠ sin 2x 

sin 3x 

−1 

sin 3x 

sin 5x 

b) 

+ 2 tan x = cos x. 

d) = 

sin 

Tài 

2x 

− 

liệu 

cos 

lưu 

x 

hành nội bộ 

3 

Trang 

5 

21/240.

Bài 4: (1 điểm) Tìm m để phương trình : sin 2( x −π 

) − sin(3 x − π ) = msin 

x có nghiệm x ≠ kπ ( k ∈ Z ) 

ĐỀ 4 


1 

a) Tìm tập xác định của hàm số: y = + 1− 

cos 2x 

. 

⎛ π ⎞ 

2 tan ⎜ 2x 

− ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

b) Tìm tập giá trị của hàm số: 

4 4 

y = sin x + cos x + 1 


a) 

⎛ 3π 

⎞ 

0 

2sin ⎜ x − ⎟ − 2 = 0 . b) 3 tan(2x − 30 ) − 1 = 0 . 

⎝ 4 ⎠ 

b) sin 3x − cos( π − 3 x) = 2 cos 2x 

. d) 

2 

2sin x + 3 sin 2x 

= 3. 


a) 

2 π 

2 

1 

2sin ( x − ) = 2sin x − tan x 

c) cos x + cos 2x + cos3x + cos 4x + cos5x 

= − 

4 

2 

b) 

1+ 

cot 2x cot x 

4 4 

1 2cos x 

+ 2 

2 ( sin x + cos x) 

= 3 d) 

= 2 2 sin x + 

cos x 

cos x(sin x − cos x) sin x − cos x 

Bài 4: (1 điểm)Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 

1 1 1 

y = sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x 

với 0 ≤ x ≤ π 

2 3 4 


a) Xét tính chẵn lẻ của hàm số: 

ĐỀ 5 

3 

y = tan 2x + 2cot x 

⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ 

b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = 2 ⎢sin ⎜ + 2x ⎟ − sin ⎜ − 2x 

⎟ 

4 4 

⎥ 

⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ trên ⎡ 

0; π ⎤ 

⎢ 

⎣ 2 ⎥ 

⎦ 

Giải các phương trình sau: 

Bài 2: (3,5 điểm) 0 0 

tan 2x − 1 = 3 

c) cos(2x 

+ 30 ) + cos( x − 60 ) = 0 

a) ( ) 

2 ⎛ π ⎞ 1 

1 

b) cos ⎜3x 

− ⎟ = 

d) 3 sin x cos 

⎝ 6 ⎠ 2 

= x 

cos x 

− 

Giải các phương trình sau: 

Bài 3: (3,5 điểm) 

2 2 

a) 1 sin x sin cos x ⎛ π 

sin 2cos 

x ⎞ 

+ x − x = ⎜ − ⎟ c) ( 1− tan x)( 1+ sin2x) 

= 1+ 

tan x 

2 2 ⎝ 4 2 ⎠ 

2 

2 

b) (sin x + cos x) + 3 cos 2x 

= 2 . d) sin 2x − 2cos x + 3sin x − cos x = 0 

Xác định m để hai phương trình sau tương đương với nhau: 

Bài 4: (1 điểm) 3 

2 

4cos x + (1 − 2cos x)cos 2x − 3cos x + 1 = 0 và 2( m − 2)cos x − mcos x = cos3x 


a) Tập xác định của hàm số: 

b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 

ĐỀ 6 

tan x + cot x 

y = 

. 

1− 

sin 2x 

4 2 4 2 

y = sin x(1 + sin x) + cos x(1 + cos x) 


⎛ π ⎞ 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

a) 3 cot ⎜ 2x 

− ⎟ + 1 = 0. c) sin ⎜3x 

− ⎟ + cos⎜ 2x 

− ⎟ = 0 . 

⎝ 3 ⎠ 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

2 x 

2 ⎛ 3π 

⎞ 

b) 4sin − 3 cos 2x 

= 1+ 2cos ⎜ x − ⎟ d) 3 tan 2x 

− 2sin 2x 

= 0 

2 ⎝ 4 ⎠ 



a) 

3 

2sin x − cos 2x + cos x = 0 

3( sin x + tan x) 

c) 

− 2cos x = 2 

tan x − sin x 

b) 

2 

3 sin 2x 

− 2sin x = 1 

2 

d) (sinx − cos x) + cos2x − 3sin x + cos x = 0 

4 4 

Bài 4: (1 điểm) Cho phương trình: ( ) 

2 sin x + cos x + cos 4x + 2sin 2x + m = 0 

⎡ π ⎤ 

Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 

⎢ 

0; 

⎣ 2 ⎥ 

⎦ 

ĐỀ 7 


3 

x − sin x 

a) Xét tính chẵn lẻ của hàm số: y = . 

cos 2x 

b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = 

⎛ π ⎞ 

⎜ x + ⎟ + 

⎝ 4 ⎠ 


a) 

⎛ π ⎞ 2 

cos ⎜3x 

− ⎟ = − 

⎝ 6 ⎠ 2 

2 

2cos 1 

. c) 3tan 3 

2 

b) sin x(1 − sin x) = cos x(cos x + 3) . d) 

Bài 1: (3 điểm) Giải các phương trình sau: 

tan 3x − tan x = 2 sin 4x − sin 2x 

. c) 

a) ( ) 

x = , với x ∈ ⎡⎣ 0;2π 

) . 

cos x − sin x + sin x cos x = 

2 

4 4 1 

tan 2x + cot x = 8cos 2 x . 

π 

2 

cos x − sin 2x 

b) 3 sin 2x + 2cos( x − ) + 2cos x = 1 

d) + 3 = 0 

2 

3 

1+ sin x − 2cos x 

Bài 1: (3 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 

⎡π 

cos ( 3 9 ) 

2 

⎤ 

⎢ 

x − x + 160x 

+ 800 = 1 

⎣ 8 

⎥ 

⎦ 

ĐỀ 8 


1+ 

tan x 

a) Xét tính chẵn lẻ của hàm số : y = 

1 − tan x 

b) Tìm tập giá trị của hàm số: y = 1− 

2 sin 3x 


a) 2cos x − 3 = 0, x ∈ (0;2 π ) 

c) 

b) cos x − sin x = sin 2x 

d) 

3 


4 4 1 

a) sin 3 x cos 3 x cos2x( 2cos x sin x) 

+ = − c) 

sin x(sin x + cos x) − 1 

b) 

2 

= 0 

cos x + sin x −1 

d) 

2 

3tan x − 2 3 tan x − 3 = 0 

2 2 

sin x + 3cos x = 3 sin 2x 

+ 1 

2 ⎛ π ⎞ 

2 

2sin ⎜ x − ⎟ = 2sin x − tan x 

⎝ 4 ⎠ 

3 1− 

cot x 

3tan 2x 

− − 2 + 2cos 2x 

= 0 

cos 2x 

1+ 

cot x 


Bài 4: (1 điểm) Cho phương trình: 

x 

x 

a) Giải phương trình với m = − 4 . 

b) Tìm m để phương trình có nghiệm. 

2 

+ 2 tan x + − m = 0 

2 

sin sin 2 



CHƯƠNG II 

TỔ HỢP – XÁC SUẤT 

A. TỔ HỢP 

I. Qui tắc đếm 

1. Qui tắc cộng: 

Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu 

phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất 

kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện. 

2. Qui tắc nhân: 

Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách 

thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n 

cách thực hiện. 

Baøi 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 

con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố 

D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất cả 

bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D? 

ĐS: có 12 đường. 

Baøi 2: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi 

có bao nhiêu trận đấu? 

ĐS: có 25.24 = 600 trận 

Baøi 3: a) Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có 

mấy cách chọn lấy 1 bông hoa? 

b) Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau? 

ĐS: a) 18. b) 15. 

Baøi 4: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội 

chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu 

cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là 

như nhau? 

ĐS: 36. 

Baøi 5: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu 

vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu: 

a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được? 

b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng? 

ĐS: a) 35. b) 29. 

Baøi 6: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập 

một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. 

Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên? 

Baøi 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế 

dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau. 




Baøi 8: Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một dãy sao cho hai 

viên bi cùng màu không được ở gần nhau. 

Baøi 9: Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Từ hộ 

đồng quản trị đó, người ta muốn lập ra một ban thường trực gồm 3 người. Hỏi có bao nhiêu 

cách chọn ban thường trực sao cho trong đó phải có ít nhất một người nam. 

ĐS: 161. 

Baøi 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y) biết rằng: 

a) x ∈ A, 

y ∈ A b) { x, y} 

⊂ A c) x ∈ A, y ∈ A vaø x + y = 6 . 

ĐS: a) 25. b) 20. c) 5 cặp. 

Baøi 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1. Có bao 

nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y), biết rằng: x ∈ A, y ∈ A, 

x > y . 

n( n −1) ĐS: . 

2 

Baøi 12: Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số 

theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi). 

ĐS: Số cần tìm có dạng: abcba ⇒ có 9.10.10 = 900 (số) 

Baøi 13: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả: 

a) gồm 6 chữ số. 

b) gồm 6 chữ số khác nhau. 

c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2. 

ĐS: a) 6 6 b) 6! c) 3.5! = 360 

Baøi 14: a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số? 

b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số? 

c) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn? 

d) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì 

giống nhau? 

e) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5? 

ĐS: a) 3125. b) 168. c) 20 d) 900. e) 180000. 

Baøi 15: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số: 

a) Gồm 2 chữ số? b) Gồm 2 chữ số khác nhau? c) Số lẻ gồm 2 chữ số? 

d) Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại? 

f) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? 

ĐS: a) 25. b) 20. c) 15 d) 8. e) 120. f) 24. 

Baøi 16: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số: 

a) Khác nhau? 

b) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300? 

c) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? 

d) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn? 

e) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ? 

ĐS: a) 100. b) 60. c) 36 d) 52. e) 48. 

Baøi 17: a) Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau 

nhỏ hơn 400? 

b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong 

khoảng (300 , 500). 

ĐS: a) 35. b) 24. 



II. Hoán vị 

1. Giai thừa: 

n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1 

n! = (n–1)!n 

n! 

= (p+1).(p+2)…n (với n>p) 

p ! 

n! 

= (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) 

( n − p)! 

2. Hoán vị (không lặp): 

Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó 

được gọi là một hoán vị của n phần tử. 

Số các hoán vị của n phần tử là: P n = n! 

3. Hoán vị lặp: 

Cho k phần tử khác nhau: a 1 , a 2 , …, a k . Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n 1 phần tử 

a 1 , n 2 phần tử a 2 , …, n k phần tử a k (n 1 +n 2 + …+ n k = n) theo một thứ tự nào đó được gọi là 

một hoán vị lặp cấp n và kiểu (n 1 , n 2 , …, n k ) của k phần tử. 

Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n 1 , n 2 , …, n k ) của k phần tử là: 

n! 

P n (n 1 , n 2 , …, n k ) = 

n ! n !... n ! 

4. Hoán vị vòng quanh: 

Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi 

là một hoán vị vòng quanh của n phần tử. 

Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Q n = (n – 1)! 

1 2 

k 

Baøi 1: Rút gọn các biểu thức sau: 

7!4! ⎛ 8! 9! ⎞ 

A = ⎜ − ⎟ 

10! ⎝ 3!5! 2!7! ⎠ 

2011! 2009 

B = 

. 

2010! − 2009! 2011 

n 

C = 

5! ( m + 1)! 

. 

m( m + 1) ( m −1)!3! 

7! ( m 2)! 

D = 

2 

( m m) . + 

k −1 

E = k. k! 

+ 4!( m − 1)! 

∑ F = ∑ 

k= 

1 

k= 

2 k! 

6! ⎡ 1 ( m + 1)! m.( m −1)! 

⎤ 

A = 

. . − 

( m − 2)( m − 3) 

⎢ 

( m + 1)( m − 4) ( m − 5)!5! 12.( m − 4)!3! 

⎥ (với m ≥ 5) 

⎣ 

⎦ 

Baøi 2: Chứng minh rằng: 

a) Pn – Pn –1 = ( n –1) Pn 

–1 

b) P n = ( n − 1) P n− 

1 + ( n − 2) P n− 

2 + ... + 2 P2 + P1 

+ 1 

c) 

2 

n 1 1 

= + 

n! ( n −1)! ( n − 2)! 

1 1 1 1 

d) 1 + ... 3 

1! + 2! + 3! + + n! 

< 

n 

e) n! ≥ 2 −1 

Baøi 3: Giải các bất phương trình sau: 

1 ⎛ 5 ( n + 1)! n.( n −1)! 

⎞ 

a) ⎜ . − 

⎟ ≤ 5 

n − 2 ⎝ n + 1 ( n − 3)!4! 12( n − 3).( n − 4)!2! ⎠ 

3 n! 

c) n + ≤ 10 

( n − 2)! 

b) 4 ≤ n! + ( n + 1)! < 50 

ĐS: a) ⇔ ( n − 1) n 

≤ 5 ⇒ n = 4, n = 5, n = 6 b) n = 2, n = 3 

6 


n



Baøi 4: Giải các phương trình sau: 

2 

Px 

− Px 

−1 

1 

a) P2 . x – P3 

. x = 8 

b) = c) 

P 6 

x+ 

1 

( n + 1)! 

= 72 

( n −1)! 

n! n! 

d) 

3 

( n − 2)! ( n −1)! 

= 

n! 

e) ( n 3)! 

20 n 

3 n! 

n + = 10 

( n − 2)! 

ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3 c) n = 8 

d) n = 3 e) n = 6 f) n = 2 

Baøi 5: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các 

số đó có bao nhiêu số: 

a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1? 

c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345? 

ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! 

Baøi 6: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các 

số đó có bao nhiêu số: 

a) Bắt đầu bởi chữ số 9? b) Không bắt đầu bởi chữ số 1? 

c) Bắt đầu bởi 19? d) Không bắt đầu bởi 135? 

ĐS: a) 24. b) 96. c) 6 d) 118. 

Baøi 7: Với mỗi hoán vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả các 

số tự nhiên có được từ các hoán vị của 7 phần tử trên? 

ĐS: Với mọi i, j ∈ { 1,2,3,4,5,6,7 }, số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!. 

⇒ Tổng tất cả các số là: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).10 6 

= 6! (1+2+…+7).(1+10+…+10 6 ) 

Baøi 8: Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hoán vị của 6 chữ số 1, 

2, 3, 4, 5, 6. 

ĐS: 279999720. 

Baøi 9: Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển 

sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên: 

a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng môn? 

c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa? 

ĐS: a) P 12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) 

Baøi 10: Có 5 học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và 3 học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi 

xung quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: 

a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1? 

c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau? 

ĐS: a) Q 8 = 7! b) Q 7 = 6! c) Có 4!5.4.3 cách sắp xếp 

Baøi 11: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ 

số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? 

8! 7 

ĐS: − 

3! 3! 

Baøi 12: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số 

này bằng 9. 

ĐS: 18. 

Baøi 13: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các 

số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? 

ĐS: 480. 

Baøi 14: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao 

cho: 

a) Bạn C ngồi chính giữa? 

b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế? 



ĐS: a) 24. b) 12. 

Baøi 15: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4 

người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao 

cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau? 

ĐS: 143327232000. 

Baøi 16: Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: 

a) Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau? 

b) Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau? 

ĐS: a) 86400. b) 2903040. 

Baøi 17: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ 

ngồi nếu: 

a) Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? 

b) Chỉ có nữ ngồi kề nhau? 

ĐS: a) 34560. b) 120960. 

Baøi 18: Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết 

rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau? 

ĐS: 4838400. 

Baøi 19: Có 2 đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 11 và 

10 học sinh khối 12. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phòng thi có 5 dãy 

ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi nhau có cùng 

một đề? 

ĐS: 26336378880000. 

Baøi 20: Có 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6 

viên bi xanh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao 

cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? 

ĐS: 298598400. 

Baøi 21: Trên giá sách có 30 tập sách. Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để có: 

a) Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau? 

b) Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau? 

ĐS: a) 2.29!. b) 28.29!. 

Baøi 22: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 

có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần? 

ĐS: 3360. 

Baøi 23: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ 

số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần. 

ĐS: 5880. 

Baøi 24: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi 

có bao nhiêu số như thế nếu: 

a) 5 chữ số 1 được xếp kề nhau? 

b) Các chữ số được xếp tuỳ ý? 

ĐS: a) 120. b) 3024. 




III. Chỉnh hợp 

1. Chỉnh hợp (không lặp): 

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự 

nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. 

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: 

k 

n! 

An 

= n( n −1)( n − 2)...( n − k + 1) = 

( n − k)! 

• Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n. 

n 

• Khi k = n thì A 

n 

= P n = n! 

2. Chỉnh hợp lặp: 

Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được 

lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp 

chập k của n phần tử của tập A. 

Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: 

A 

k 

n 

= n 

k 


2 5 

A5 A10 

1 2 3 4 

A = + B = P A + P A + P A + P A − P P P P 

P2 7P5 


A49 + A49 A 

C = 

17 

+ A 

⎛ 

17 

P5 P4 P3 P2 

⎞ 

2 

− D = 


+ + + 

4 3 2 1 

A 

5 

A49 A 

⎜ 

17 

A5 A5 A5 A ⎟ 

⎝ 

5 ⎠ 


39A49 

12!(5! − 4!) 

21( P3 − P2 

) 

E = 

+ 

F = 


38A49 + A 13!4! 

⎛ P P P P ⎞ 

49 

20 

5 4 3 2 

+ + + 

⎜ 4 3 2 1 

A5 A5 A5 A ⎟ 

⎝ 

5 ⎠ 

ĐS: A = 46; B = 2750; C = 1440; D = 42 


1 1 1 n −1 

a) + + ... + = , vôùi n ∈ N, n ≥ 2. 

2 2 2 

A A A n 

b) 

c) 

2 3 

n 

n+ 2 n+ 

1 2 n 

n+ k n+ k 

. 

n+ 

k 

A + A = k A với n, k ∈ N, k ≥ 2 

k k 1 

1 

. 

k 

n 

= 

n− 

+ 

n−1 

A A k A − 


a) 

A 

3 

n 

Pn 

+ 2 

d) 

n−4 

A . P 

= 20n 

b) A 

= 210 

e) 2( A 

n−1 3 

10 9 8 

x x x 

y+ 

1 

x+ 1. 

Px −y 

x−1 

3 2 

n 

5An 

1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 3 4 

+ = 2(n + 15) c) 

3 2 

n 

3An 

+ ) = P n+1 f) 

2 2 

x x x x 

2 2 

n 

A2 

n 

3A 

− + 42 = 0. 

2 2 

n n n n 

2P + 6A − P A = 12 

2 2 

x 

+ = A2 

x 

g) A + A = 9 A . 

h) P . A + 72 = 6( A + 2 P ) i) 2A 

50 

A 

5 

6 5 4 

k) = 72. 

l) Pn + 3 

= 720A 

n. 

Pn 

−5 

m) An + An = An 

P 

ĐS: a) n = 6 b) n = 3 c) n = 6 d) n = 5 

e) n = 4 f) n = 2; 3 g) x = 11. h) x = 3; 4. 

i) x = 5. k) x = 8, y ≤ 7, y ∈ N. 



Baøi 4: Giải các bất phương trình: 

a) 

4 

A n + 

< 

4 15 

( n + 2)! ( n −1)! 

3 2 

d) An An 

b) 

An 

< + 12 

e) 

P 

A 

P 

4 

n+ 

2 

143 

3 

− < 0 c) An 

+ 15 < 15n 

4P 

n+ 2 n−1 

1 

+ 1 143 

− < 0 

4P 

n+ 2 n−1 

ĐS: a) n = 3; 4; 5 b) 2 ≤ n ≤ 36 

Baøi 5: Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, x3,... , x 

n 

với: 

x 

n 

4 

n+ 

4 

A 143 

= − ( n = 1, 2, 3, ...) 

P 4. P 

ĐS: n1 = 1, x 63 23 

1 

= − ; n2 = 2, x2 

= − . 

4 8 

Baøi 6: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép 

thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 

ĐS: 

Có 

A 

3 3 

10. 

6 

A cách 

Baøi 7: Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ – 

không. Hỏi có thể có được bao nhiêu vectơ? 

2 

ĐS: A 

4 

= 12 vectơ 

Baøi 8: Một lớp học chỉ có các bàn đôi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết rằng 

chỉ có thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ 

ngồi vừa đủ số học sinh) 

2 

ĐS: A 

n 

= 132 ⇔ n = 12 

Baøi 9: Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký. 

Hỏi có mấy cách chọn? 

ĐS: 6840. 

Baøi 10: Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao 

nhiêu cách chọn nếu: 

a) Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn). 

b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B 

đá quả số 4. 

ĐS: a) 55440. b) 120. 

Baøi 11: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang 

trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: 

a) Người đó có 6 pho tượng khác nhau? 

b) Người đó có 4 pho tượng khác nhau? 

c) Người đó có 8 pho tượng khác nhau? 

ĐS: a) 6!. b) 360. c) 20160. 

Baøi 12: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số: 

a) Các chữ số khác nhau? 

b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau? 

4 

ĐS: a) 9.A 

9 

b) Có 9 5 số 

Baøi 13: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu: 

a) Số gồm 5 chữ số khác nhau? 

b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau? 

c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5? 

4 

3 3 

ĐS: a) 6. A 

6 

b) 6. A5 + 3.5A5 

c) Số gồm 5 chữ số có dạng: abcde 


n+ 

2 

n



4 

• Nếu a = 5 thì có A 

6 

số 

• Nếu a ≠ 5 thì a có 5 cách chọn. Số 5 có thể đặt vào 1 trong các vị trí b, c, d, e ⇒ có 4 

3 

cách chọn vị trí cho số 5. 3 vị trí còn lại có thể chọn từ 5 chữ số còn lại ⇒ có A 

5 

cách chọn. 

⇒ Có 

A 

4 3 

6 

4.5. A5 

+ = 1560 số 

Baøi 14: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9 có thể lập bao nhiêu biển số xe gồm 3 chữ số (trừ số 000)? 

ĐS: 

3 


1 

A − = 999 

Baøi 15: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số với: 

a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau? 

b) Chữ số đầu và cuối khác nhau? 

c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau? 

ĐS: a) 9. 

b) Có tất cả: 

A 

4 

A 


= 9.10 4 số 

6 5 


− A10 

= 9.10 5 số gồm 6 chữ số ⇒ Có 9.10 5 – 9.10 4 số 

c) Có 9.10.10.10 = 9000 số 

Baøi 16: Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số? Trong đó có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ 

số khác nhau? 

ĐS: a) 

6 

A 


= 10 6 b) 

6 

A 


= 15120 

Baøi 17: Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 

26 chữ cái A, B, C, …, Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9. Hỏi: 

a) Có bao nhiêu biển số xe trong đó có ít nhất một chữ cái khác chữ cái O và các chữ số đôi 

một khác nhau? 

b) Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác nhau và có đúng 2 chữ số lẻ giống nhau? 

ĐS: a) Số cách chọn 2 chữ cái: 26 × 26 – 1 = 675 cách 

4 

Số cách chọn 4 chữ số: A 


= 5040 cách 

⇒ Số biển số xe: 675 × 5040 = 3.402.000 số 

b) • Chữ cái thứ nhất: có 26 cách chọn 

Chữ cái thứ hai: có 25 cách chọn 

• Các cặp số lẻ giống nhau có thể là: (1;1), (3;3), (5;5), (7;7), (9;9) 

⇒ Có 5 cách chọn 1 cặp số lẻ. 

2 

Xếp một cặp số lẻ vào 4 vị trí ⇒ có C 

4 

cách 

2 

4 

⇒ Có 5. C cách sắp xếp cặp số lẻ. 

• Còn lại 2 vị trí là các chữ số chẵn: 

Chữ số chẵn thứ nhất: có 5 cách chọn 

Chữ số chẵn thứ hai: có 5 cách chọn 

2 

4 

⇒ Có 26 × 25 × 5 × C × 5 × 5 = 487500 cách 

Baøi 18: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số đó bằng 18? 

b) Hỏi có bao nhiêu số lẻ thoả mãn điều kiện đó? 

ĐS: Chú ý: 18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 8 

18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7 

18 = 0 + 1 + 2 + 4 + 5 + 6 

a) 3 × 5 × 5! b) 192 + 384 + 192 = 768 số 

Baøi 19: Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và thoả: 

a) Số chẵn. b) Bắt đầu bằng số 24. c) Bắt đầu bằng số 345. 

d) Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1? 

ĐS: a) 312. b) 24. c) 6. d) 120 ; 480. 



Baøi 20: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số 

khác nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau: 

a) n là số chẵn? 

b) Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1? 

(ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2) 

ĐS: a) 3000. b) 2280. 

Baøi 21: a) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và 

chia hết cho 3. 

b) Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho 

trong các chữ số đó có mặt số 0 và số 1. 

(HVCN Bưu chính Viễn thông, 1999) 

c) Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau 

trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4. 

ĐS: a) 18. b) 42000. c) 13320. 

Baøi 22: a) Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành 

từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8. 

b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 

4. Tính tổng của các số này. 

ĐS: a) 37332960. b) 96 ; 259980. 

Baøi 23: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 (chữ số hàng 

vạn khác 0). 

(ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1) 

b) Cho 10 chữ số 0, 1, 2, ..., 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 

xây dựng từ 10 chữ số đã cho. 

(ĐH Y khoa Hà Nội, 1997) 

ĐS: a) 3024. b) 36960. 




IV. Tổ hợp 

1. Tổ hợp (không lặp): 

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử của A được gọi là một tổ 

hợp chập k của n phần tử. 

Số các tổ hợp chập k của n phần tử: 

C 

k 

n 

k 

n 

A n! 

= = 

k! k!( n − k)! 

0 

• Qui ước: C 

n 

= 1 

Tính chất: 

0 n k n−k k k−1 k k n − k + 1 k−1 

Cn = Cn = 1; Cn = Cn ; Cn = Cn− 

1 

+ Cn− 

1; 

Cn = Cn 

k 

2. Tổ hợp lặp: 

Cho tập A = { a 1; a 2;...; a n} 

và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là 

một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A. 

Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: 

3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp: 

k k m 1 

n 

= 

n+ k− 1 

= 

n+ k−1 

C C C − 

• Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức: A = k! 

C 

• Chỉnh hợp: có thứ tự. Tổ hợp: không có thứ tự. 

⇒ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp 

Ngược lại, là tổ hợp. 

• Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k ≤ n): 

+ Không thứ tự, không hoàn lại: 

+ Có thứ tự, không hoàn lại: 

+ Có thứ tự, có hoàn lại: 

k 

C 

n 

k 

A 

n 

k 

A 

n 

k 

n 

k 

n 

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức tổ hợp 

Baøi 1: Tính giá trị các biểu thức sau: 

4 3 4 2 

7 7 8 

+ 

3 

5 6 6 P 


23 13 7 

1+ C + C −C A 

A = C25 −C15 − 3C10 

B = 

1+ C + C −C 

5 6 7 

D = C 15 

+ 2 C 15 

+ C 15 

7 

C17 

ĐS: A = – 165 B = 4 



n n n 

Pn 

+ 2 

C15 + 2C15 + C15 

n n n 

k 


An 

. Pn −k 

C17 

2 

k 

n 

1 Cn Cn Cn 

n 

+ 2 + ... + + ... + 

1 k−1 n−1 

Cn Cn Cn 

A = C . C2 . C 

3 

; B = 

C = C k n 

ĐS: A = 

(3 n)! 

( n!) 

3 

+ ; 

B = (n+1)(n+2) + 1 C = 

n( n + 1) 

2 


15 15 15 

C = C + 2 C + C 


C 

17 



Baøi 1: Chứng minh các hệ thức sau: 

k p − k p k 

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp 

a) Cn . Cn− k 

= Cn . Cp 

(k ≤ p ≤ n) b) C 

k+ k k− k+ 

n n n n+ 

2 

n 

= (1 ≤ k ≤ n) 

k k−1 

n 

C k 

n−1 

m k k m−k 

n 

. 

m n 

. 

n−k 

c) C + 2C + C = C 

d) C C = C C (0 ≤ k ≤ m ≤ n) 

e) 

k k+ 1 k+ 2 k+ 3 k+ 2 k+ 

3 

n n n n n+ 2 n+ 

3 

2C + 5C + 4C + C = C + C f) 

k k−1 k−2 k−3 

k 

n n n n n+ 

3 

g) C + 3C + 3C + C = C (3 ≤ k ≤ n) 

k k− k− k− k− 

k 

n n n n n n+ 

4 

h) C + 4C + 6C + 4C + C = C (4 ≤ k ≤ n) 

ĐS: Sử dụng tính chất: 

Baøi 2: Chứng minh các hệ thức sau: 

k−1 

k k 

n 

+ 

n 

= 

n+ 

1 

C C C 

0 p 1 p−1 p 0 p 

r q r q r q r+ 

q 

k 

k 2 

2 

k ( k − 1) C n 

= n ( n − 1) C − n − ( 2 < k < n) 

0 2 1 2 n 2 n 

n n n 2n 

a) C . C + C . C + ... + C . C = C b) ( C ) + ( C ) + ... + ( C ) = C 

0 2 4 2 p 1 3 2 p−1 2 p−1 

2 p 2 p 2 p 2 p 2 p 2 p 2 p 

c) C + C + C + ... + C = C + C + ... + C = c 

1 2 3 

p p p p 

d) 1 − Cn + Cn − Cn + ... + ( − 1) Cn = ( − 1) Cn 

− 1 

ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x) r .(1+x) q = (1+x) r+q . So sánh hệ số của x p ở 2 vế. 

b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n 

c) Sử dụng (x+y) 2p và (x–y) 2p 

r r−1 

r 

n n−1 n−1 

d) Sử dụng C = C + C , với r lẻ thì nhân 2 vế với –1. 

Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp 

1 1 

Baøi 1: Chứng minh rằng: . 

2 2 

2 

C n 

n 

< ( n ∈ N, n ≥ 1) 

n 

2n 

+ 1 

1 n (2 n)! 1.3.5...(2n 

−1) 

HD: Biến đổi vế trái: . C 

2 2n 

= = 

n 2n 

2 2 . n! n! 

2.4.6...(2 n) 

1.3.5...(2n 

−1) 1 

Vậy ta phải chứng minh: 

< 

2.4.6...(2 n) 2n 

+ 1 

2 2 

2k −1 ( 2k −1) ( 2k −1) 2k 

−1 

Ta có: 

= < = 

2k 

2 2 

4k 

4k 

−1 

2k 

+ 1 

Cho k lần lượt từ 1, 2, …, n. Rồi nhân các BĐT vế theo vế, ta được đpcm. 


n 

n n n 

2n+ k 2n−k 2n 

HD: • Đặt u k = C2n+ k. 

C2n− k 

(k = 0;1;…;n) 

Ta chứng minh: u k > u k+1 (*) 

2 

C . C ≤ ( C ) (với k, n ∈ N, 0 ≤ k ≤ n) 

n 

n n n n 

Thật vậy, (*) ⇔ C2n+ k. C2n− k 

> C2n+ k+ 1. 

C2n−k− 

1 

⇔ n + 2nk > 0 

Điều này luôn luôn đúng ⇒ đpcm. 




Baøi 1: a) Chứng minh: 

b) Chứng minh: 

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức tổ hợp 

m 

n 

Từ đó suy ra C ; C + là lớn nhất. 

C 

C 

k − 1 k 

n 

< Cn 

với n = 2m, k ≤ m. Từ đó suy ra 

k − 1 k 

n 

< Cn 

với n = 2m + 1, k ≤ m. 

m 

n 

HD: a) Theo tính chất: 

1 

C 

k 

n 

n − k + 1 . 

k−1 

Cn 

n 1 

= Cn 

⇒ 

1 

k 

k 1 

C = + 

− k 

− 

n + 1 

Với k ≤ m ⇒ 2k ≤ n ⇒ − 1 > 1 ⇒ 

k k 1 

Cn 

> C − 

n 

k 

k n k 

Vì Cn 

C − k 

= 

n 

nên C 

n 

lớn nhất. 

b) Tương tự 

Baøi 2: Cho n > 2, p ∈ [1; n]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 

HD: Vì C 

Ta có: 

Vậy 

p 

n 

C 

n p 

C − 

n 

= nên ta chi cần xét 1 ≤ p ≤ 2 

n 

p 

n 

p 

p 1 

C − Cn 

n p 1 

> 

n 

⇔ 

p 1 

C = − + 

− p 

> 1 ⇔ p < 

n 

p 

C 

n 

nhỏ nhất khi p = 1 hoặc p = n – 1, ứng với 

p 

C 

n 

lớn nhất khi p = 

Baøi 3: Với giá trị nào của p thì 

HD: Ta có: 

p 

m 

p 1 

m 

n − 1 

2 

p 

C 

n 

lớn nhất. 

n 

k 

n + 1 

2 

C 

1 n 1 

n 

C − 

n 

m 

C 

n 

là lớn nhất. 

p 

C 

n 

. 

= = n 

(nếu n lẻ) hoặc p = 

2 

n (nếu n chẵn) 

C m p 1 m 1 1 

C = − + + 

− p 

= p 

− . Tỉ số này giảm khi p tăng. 

p p 1 

• Cm 

C − m − p + 1 m + 1 

> 

m 

⇔ ≥ 1, 

do đó: p ≤ 

p 

2 

• Nếu m chẵn: m = 2k ⇒ p ≤ k + 1 2 

Để C 

p 

m 

p 1 

C − 

m 

> ta phải có: p ≤ k + 1 2 , vì p, k ∈ N nên chọn p = k 

• Nếu m lẻ: m = 2k + 1 ⇒ p ≤ k + 1, ta sẽ có: 

p 

m 

p 1 

m 

C 

1 

C = khi p = k + 1 ⇒ p k+ 

1 (2k 

+ 1)! 

C 

− m 

= C2k+ 

1 

= 

( k + 1)! k! 

* Áp dụng bài toán này ta có thể giải nhiều bài toán khác. Ví dụ: 

Có 25 học sinh. Muốn lập thành những nhóm gồm p học sinh. Tìm giá trị của p để được 

số cách chia nhóm là lớn nhất? Tìm số cách chia nhóm đó. 

p 

* Vì có 25 học sinh, chọn p em nên số nhóm có thể lập là C 

25 

. 

p 

Theo trên, ta có m = 25 (lẻ) với k = 12 do đó C 

25 

lớn nhất khi p = k + 1 = 13. 

Vậy p = 13, khi đó: số nhóm tối đa có thể lập: 

13 

C 

25 

= 5200300. 



Dạng 5 : Giải phương trình, bất phương trình có chứa biểu thức tổ hợp 


a) 

A 

d) C 

g) C 

Ax 

k) 

x− 

C 

4 

An 

= 

3 n 4 

n 1 

C − 

+ 

− 

n 

x+ 4 2x−10 

10+ x 

C10 

+ x 

24 

23 

b) 

1 1 1 

C − C = C 

c) C 1 x + 6C 2 x + 6C 3 x = 9x 2 − 14x 

x x x 

4 5 6 

2 x 2 1 

4 3 3 

= e) x − C . x + C . C = 0 f) A 

x+ 

3 3 

8+ x 

5Ax+ 

6 

5 

5 

x−2 

x−2 3 

x+ 1 x−1 

2x 

28 225 

2x 

4 

24 

52 

2 x 2 

x 

C − 

x 

− 2 + = 101 

3 x−2 

x x 

= h) C + 2 C = 7( x − 1) i) A + C = 14 x 

C 

= 336 l) 

− 

C 

= m) 1 2 3 7 

Cx + Cx + Cx 

= x 

2 

x−1 x−2 x−3 x−10 

1 1 7 

n) Cx + Cx + Cx + ... + Cx 


o) − = 

1 2 1 

Cx Cx+ 1 

6Cx+ 

4 

ĐS: a) n = 5 b) x = 2 c) x = 7 d) x = 14 e) x = 3 

f) x = 10 g) x = 17 h) x = 5 i) x = 5 k) x = 8 

l) x = 7 m) x = 4 n) x = 10 o) x = 3; x = 8 

Baøi 2: Giải các bất phương trình: 

a) 

C 

A 

n−3 

n−1 

4 

n+ 

1 

1 

< b) 

14P 

3 

Pn 

+ 5 

≤ 60A 

( n − k)! 

k+ 

2 

n+ 

3 

4 3 5 2 

c) Cn− 1 

−Cn− 1 

− An−2 

< 0 

4 

2 2 

d) 2Cx+ 1 

+ 3Ax 

< 30 e) 1 2 2 6 3 

n−2 n−1 

A2 

x 

− Ax ≤ C x 

x 

+ 10 f) Cn+ 1 

−Cn+ 

1 

≤ 100 

2 

ĐS: a) đk: n ≥ 3, n 2 + n – 42 > 0 ⇔ n ≥ 6 

⎧k 

≤ n 

b) ⎨ 

⎩( n + 5)( n + 4)( n − k + 1) ≤ 0 

• Xét với n ≥ 4: bpt vô nghiệm 

• Xét n ∈ {0,1,2,3} ta được các nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3) 

c) đk: n ≥ 5, n 2 – 9n – 22 < 0 ⇒ n = 5; 6; 7; 8; 9; 10 

d) x = 2 e) x = 3, x = 4 

Baøi 3: Giải các hệ phương trình: 

⎧ x 

A 

⎪ 

y y−x 

+ C 126 

a) 

y 

= 

⎨P 

b) 

C y y y 

x C + 1 

x C −1 

⎧ + y y+ 

1 

1 

x ⎪C 

= = c) 

x 

− Cx 

= 0 

⎨ 

x+ 

1 

⎪ 

6 5 2 

y y−1 

4C 

5 0 

⎩Px 

+ 1 

= 720 

⎪⎩ x 

− Cx 

= 

⎧ x x 1 

⎧ y y 

2A 

d) 

x 

+ 5Cx 

= 90 

C 

⎪ 

y 

: Cy+ 

2 

= 

y−2 y−1 

⎪ 

⎨ 

e) 

3 

⎧ ⎪5Cx 

= 3Cx 

y y 

⎨ 

f) 

⎪⎩ 5Ax 

− 2Cx 

= 80 

⎪ x x 1 

⎨ 

y y−1 

Cy 

: Ay 

= 

⎪⎩ Cx 

= Cx 

⎩ 24 

⎧ x+ 

1 

A 

⎪ 

y y−x−1 

+ C 

g) 

y 


⎧ y−3 y−2 

⎪7A 

⎨ P 

h) 

5x 

= A 

⎧ y y 

5x 

⎪2A 

⎨ 

i) 

x 

+ Cx 

= 180 

x 

y−2 y−3 

⎨ y y 

⎪ 

4C 

⎩Px 

+ 2 

= 720 

⎪⎩ 4x 

= 7C5 

x 

⎪⎩ Ax 

− Cx 

= 36 

⎧ x = 5 

⎧ x = 8 

⎧ x = 17 

ĐS: a) ⎨ b) ⎨ c) ⎨ d) x = 5, y = 2. 

⎩y 

= 7 

⎩y 

= 3 

⎩y 

= 8 

e) x = 4, y = 8. f) x = 7, y = 4 

k k+ 1 k 2 

Baøi 4: Tìm số tự nhiên k sao cho C , C , C 

+ lập thành một cấp số cộng. 

ĐS: k = 4; 8. 

14 14 14 




Dạng 6: Tìm số tổ hợp trong các bài toán số học 

Baøi 1: Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề 

thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý 

thuyết và 1 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi? 

ĐS: 

• Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập: 

• Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập: 

2 1 

4 6 

C . C = 36 

1 2 

4 6 

C . C = 60 

Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi. 

Baøi 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn 

chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu: 

a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý. b) Có 1 nam và 3 nữ. c) Có 2 nam và 2 nữ. 

d) Có ít nhất 1 nam. e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ. 

ĐS: a) 

4 

C 

40 

b) 

4 4 4 

40 25 15 

e) C − C − C 

1 3 

25. 

15 

2 2 

25 15 

1 3 2 2 3 1 4 

25 15 25 15 25 15 25 

C C c) C . C d) C . C + C . C + C . C + C 

Baøi 3: Cho 5 điểm trong mặt phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu vectơ 

tạo thành từ 5 điểm ấy? Có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy? 

ĐS: 20 ; 10. 

Baøi 4: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem 

thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có 

bao nhiêu cách làm như vậy? 

ĐS: 1200. 

Baøi 5: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu 

cách lấy được: 

a) 4 viên bi cùng màu? b) 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh? 

ĐS: a) 20. b) 150. 

Baøi 6: Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy 

viên. Hỏi có mấy cách chọn? 

ĐS: 4651200. 

Baøi 7: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi 

một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn 

bó hoa trong đó: 

a) Có đúng 1 bông hồng đỏ? 

b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ? 

ĐS: a) 112 b) 150. 

Baøi 8: Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 

chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, chữ số khác có mặt đúng 1 lần. 

ĐS: 544320. (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999) 

Baøi 9: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu số: 

a) Chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một và chữ số đứng đầu là chữ số 2? 

b) Gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một sao cho 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 

chữ số lẻ? 

ĐS: a) 360. b) 2448. (ĐH Cần Thơ, 2001) 

Baøi 10: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 

0), trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có chữ số 1). 

b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có 

mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. 

ĐS: a) 33600 b) 11340. (ĐH QG, Tp.HCM, 2001) 

Baøi 11: Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số 

được viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Hỏi có 



bao nhiêu số như vậy? 

ĐS: 1800. (ĐH Sư phạm Vinh, 1998) 

Baøi 12: Từ một tập thể 14 người gồm 6 năm và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn 

chọn một tổ công tác gồm có 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau: 

a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ? 

b) Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ? 

ĐS: a) 2974. b) 15048. (ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001) 

Baøi 13: Một đồn tàu có 3 toa chở khác. Toa I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị đi tàu. 

Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi: 

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa. 

b) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên. 

ĐS: a) 99. b) 24. (ĐH Luật Hà Nội, 1999) 

Baøi 14: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số 

học sinh đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít 

nhất hai học sinh khá. 

ĐS: 3780. (HVKT Quân sự, 2001) 

Dạng 7: Tìm số tổ hợp trong các bài toán hình học 

Baøi 1: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có 3 đường 

nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành? 

2 n( n −1) 

ĐS: • Số giao điểm: Cn 

= 

2 

3 n( n −1)( n − 2) 

• Số tam giác: Cn 

= 

6 

Baøi 2: Cho 10 điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. 

a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm? 

b) Có bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm? 

c) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong 10 điểm trên? 

d) Nếu trong 10 điểm trên không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện được 

tạo thành? 

ĐS: a) 

2 

C 


b) 

2 

A 


c) 

3 

C 


d) 

Baøi 3: Cho đa giác lồi có n cạnh (n ≥ 4) 

a) Tìm n để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh? 

b) Giả sử 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính số giao điểm 

(không phải là đỉnh) của các đường chéo ấy? 

2 

ĐS: a) Cn 

− n = n ⇔ n = 5 

b) Giao điểm của 2 đường chéo của 1 đa giác lồi (không phải là đỉnh) chính là giao điểm 

của 2 đường chéo một tứ giác mà 4 đỉnh của nó là 4 đỉnh của đa giác. Vậy số giao điểm 

4 

C 


phải tìm bằng số tứ giác với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác: 

Baøi 4: Cho một đa giác lồi có n-cạnh ( n ∈, b ≥ 3) . 

a) Tìm số đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra 1 đa giác có số cạnh bằng số đường chéo? 

b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh của đa giác? 

c) Có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo? 

n( n − 3) 

ĐS: a) ; n = 5. b) ( n − 2)( n − 1) n n( n −1)( n − 2)( n − 3) 

. c) 

. 

2 

6 

24 


4 

C 

n



Baøi 5: Tìm số giao điểm tối đa của: 

a) 10 đường thẳng phân biệt? b) 10 đường tròn phân biệt? 

c) 10 đường thẳng và 10 đường tròn trên? 

ĐS: a) 45. b) 90. c) 335. 

Baøi 6: Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2). Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, trên (d2) 

lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên 

(d1) và (d2). 

ĐS: 5950. (ĐH SP Quy Nhơn, 1997) 

Baøi 7: Cho mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh được lấy từ 

các đỉnh của H. 

a) Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh 

của H? 

b) Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác không có 

cạnh nào là cạnh của H? 

ĐS: a) 1140; 20. b) 320 ; 80. (HVNH, 2000, khối D) 

Baøi 8: Có 10 điểm A, B, C, ... trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. 

a) Nối chúng lại ta được bao nhiêu đường thẳng? Trong đó có bao nhiêu đường không đi qua 

A hay B? 

b) Có bao nhiêu tam giác đỉnh bởi các điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao 

nhiêu tam giác chứa cạnh AB? 

ĐS: a) 45; 28. b) 120 ; 36 ; 8. 

Baøi 9: Có p điểm trong mặt phẳng trong đó có q điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm 

nào thẳng hàng. Nối p điểm đó lại với nhau. Hỏi: 

a) Có bao nhiêu đường thẳng? b) Chúng tạo ra bao nhiêu tam giác? 

ĐS: a) 1 ( 1) ( 1) 2; 

2 p p − − q q − + . b) 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) 

6 p p − p − − q q − q − . 

Baøi 10: Cho p điểm trong không gian trong đó có q điểm đồng phẳng, số còn lại không có 4 

điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đó. Hỏi: 

a) Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau? b) Chúng tạo ra bao nhiêu tứ diện? 

ĐS: a) 

C 

3 3 

p 

Cq 

− + 1. b) 

C 

4 4 p 

− Cq 

. 

Baøi 11: Cho p điểm trong đó có q điểm cùng nằm trên 1 đường tròn, ngoài ra không có 4 điểm 

nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu: 

a) Đường tròn, mỗi đường đi qua ba điểm? 

b) Tứ diện với các đỉnh thuộc p điểm đó? 

ĐS: a) 

C 

3 3 

p 

Cq 

− + 1. b) 

C 

4 4 p 

− Cq 

. 



V. Nhị thức Newton 

1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi n∈N và với mọi cặp số a, b ta có: 

n 

n 

k n k k 

n 

k= 

0 

( a b ) C a − 

+ = ∑ b 

2. Tính chất: 

1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 

2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n 

3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: T k+1 = C a 

k n−k k 

n 

b 

( k =0, 1, 2, …, n) 

4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: 

5) C 

0 

n 

n 

n 

= C = 1, 

k−1 

k k 

n 

+ 

n 

= 

n+ 

1 

C C C 

C 

k 

n 

= 

n k 

C − 

n 

* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt 

thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn: 

0 n 1 n−1 

n 

n n n 

(1+x) n = C x + C x + ... + C 

⇒ 

0 n 1 n−1 

n n 

n n n 

(x–1) n = C x − C x + ... + ( − 1) C ⇒ 

0 1 n 

n n n 

C + C + ... + C = 2 

0 1 

n n 

n n n 

C − C + ... + ( − 1) C = 0 

n 

Dạng 1: Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton 

Baøi 1: Tìm hệ số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với: 

9 4 


15 9 

a) ( x − 3) ; M = x 

b) (2x − 1) ; M = x c) (2 − x) ; M = x 



13 7 

d) (1 − 3 x) ; M = x 

e) (3 x − x ) ; M = x f) (2 − 5 x) ; M = x 



⎛ 2 ⎞ 

g) ⎜ x − ⎟ ; M = x 

⎝ x ⎠ 

17 8 9 


⎛ 1 ⎞ 

h) ⎜2 x − ⎟ ; M = x 

⎝ x ⎠ 

3 15 25 10 

3 

14 

⎛ 2 ⎞ 

i) ⎜ y − ⎟ ; M = y 

⎝ y ⎠ 

k) (2x − 3 y) ; M = x y l) ( x + xy) ; M = x y k) (2x + 3 y) ; M = x y 

ĐS: 

Baøi 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức: 

⎛ 1 ⎞ 

a) ⎜ x + 

4 ⎟ 

⎝ x ⎠ 



⎛ 

b) ⎜ x 

⎝ 

2 

1 ⎞ 

+ 

4 ⎟ 

x ⎠ 



c) 

⎛ 

⎜ x 

⎝ 

3 

1 ⎞ 

− 

2 ⎟ 

x ⎠ 

5 

⎛ 

d) ⎜ x 

⎝ 

2 


⎞ 

− ⎟ 

x ⎠ 

2 1 

⎛ 1 ⎞ 

⎛ 2 1 ⎞ 

⎛ 3 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

e) ⎜2x 

− ⎟ 

f) ⎜ x + 

⎝ x ⎠ 

3 ⎟ g) ⎜ x + 

2 ⎟ h) ⎜ x + ⎟ 

⎝ x ⎠ 

⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ 

ĐS: a) 45 b) 495 c) –10 d) 15 e) –8064 f) 210 

Baøi 3: Khai triển đa thức P(x) dưới dạng: 


a) P( x) = (1 + x) + (1 + x) + ... + (1 + x) ; a ? 

15 

2 

P( x) = a + a x + a x + ... + a x . Xác định hệ số a k : 

9 

0 1 2 

2 3 20 

b) P( x) = (1 + x) + 2(1 + x) + 3(1 + x) + ... + 20(1 + x) ; a ? 

80 2 80 

0 1 2 80 78 

c) P( x) = ( x − 2) = a + a x + a x + ... + a x ; a ? 

50 2 50 

0 1 2 50 46 

d) P( x) = (3 + x) = a + a x + a x + ... + a x ; a ? 


15 

n 

n 

6 

10



3 4 5 30 

e) P( x) = (1 + x) + (1 + x) + (1 + x) + ... + (1 + x) ; a ? 

ĐS: a) a 9 

= 3003 b) a 15 

= 400995 c) a 78 

= 12640 d) a 46 = 18654300 

Baøi 4: Trong khai triển ( x + y + z) 

, tìm số hạng chứa x 

ĐS: Trước hết tìm tất cả số hạng chứa x k . 

Ta có: (x + y + z) n n 

= ⎡ 

k k 

x ( y z) ⎤ C x ( y z) 

mà (y + z) n–k m m n k m 

= ... + C y z − − + ... 

⇒ số hạng chứa 

x 

k 

⎣ 

n−k 

m 

n 

+ + 

⎦ 

= ... + 

n 

+ + ... 

. y là: C . C 

k m k m n k m 

n n k 

x y z − − 

− 

3 

k 

m 

. y (k, m < n) 

n−k 

Baøi 5: Tìm hệ số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với: 



a) (1 − x + x ) ; M = x 

b) (1 + x + 2 x ) ; M = x 

2 5 3 

2 3 8 8 

c) ( x + x − 1) ; M = x 

d) (1 + x − x ) ; M = x 

8 

2 8 

2 3 10 5 

e) (1 + x + x + x ) ; M = x f) ⎣ 

⎡1 + x (1 − x) ⎦ 

⎤ ; M = x 

Baøi 6: 

a) Cho biết trong khai triển 

⎛ 

⎜ x 

⎝ 

ba bằng 11. Tìm hệ số của x 2 . 

3 

1 ⎞ 

+ 

2 ⎟ 

x ⎠ 

⎛ 2 1 ⎞ 

b) Cho biết trong khai triển ⎜ x + ⎟ 

⎝ x ⎠ 

ba là 46. Tìm hạng tử không chứa x. 

n 

n 

tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ 

, tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ 

c) Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển 

hạng tử của khai triển chứa x 4 . 

d) Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển 

1 2 n 20 

2n+ 1 2n+ 1 2n+ 

1 

⎛ 1 

⎜ 

⎝ x 

C + C + ... + C = 2 − 1. 

e) Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển 

0 0 n n n n 

C − 1 1 −2 2 

n 

Cn Cn Cn 

4 

+ x 

n 

7 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

n 

⎛ 

⎜ x 

⎝ 

, biết rằng: 

(2 + x) 

, biết rằng: 

3 − 3 + 3 − ... + ( − 1) = 2048 

⎞ 

− ⎟ 

3 ⎠ 

2 2 

ĐS: a) n = 4, C 2 4 

= 6 b) n = 9 ; 84 c) n = 8; 1120 x 4 d) n = 10; 210 x 26 

e) n = 11; 22 x 10 

Baøi 7: a) Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển của nhị thức: ( 3 3 + 2 ) 5 

n 

n 

là 97. Tìm 

⎛ 1 ⎞ 

b) Tìm số mũ n của biểu thức ⎜ b + 

3 

⎟ . Biết tỉ số giữa các hệ số của số hạng thứ 5 và 

⎝ 12 ⎠ 

thứ 3 trong khai triển của nhị thức đó là 7:2. Tìm số hạng thứ 6? 

⎛ 

c) Tìm số hạng thứ 6 của khai triển ⎜ 

⎝ 

d) Tìm số hạng chứa a 7 trong khai triển 

1 ⎞ 

x − ⎟ 

x ⎠ 

15 

⎛ 3 3 2 2 

⎜ a + 

⎝ 64 3 

. 

⎞ 

a ⎟ 

⎠ 


. 



⎛ 

e) Tìm số hạng giữa của khai triển ⎜ 

⎝ 

1 

+ 

x 

5 

3 

⎞ 

x ⎟ 

⎠ 

⎛ 1 

f) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức: ⎜ + 

⎝ x 

g) Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển 

ĐS: a) 

d) 

⎛ 

⎜ 

⎝ 


. 

⎞ 

x + ⎟ 

x ⎠ 

3 1 

C 2 

5 

.3.2 = 60 b) n = 9 ⇒ T 4 

5 

6 = C9 

( b ) 

7 −30 

924 a .2 . 

e) 

Baøi 8: Trong khai triển của nhị thức: 

giống nhau? 

15 30 15 

⎛ 

k a ⎞ ⎛ b ⎞ 

ĐS: Ta có: T k+1 = C 3 

21. . 

⎜ 3 

b ⎟ ⎜ a ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

16 

. 

5 

⎞ 

x ⎟ 

⎠ 


⎛ 1 ⎞ 126 

. 

= 

⎜ ⎟ 

⎝ b ⎠ b b 

3 2 3 2 

T 16 

= C 30 . x . y . f) 495. g) 1820. 

21−k 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

3 

a 

b 

+ 

k 

b ⎞ 

a ⎟ 

⎠ 

3 

k 

21 

. 

c) 

T 

5 

6 = C 15 . 

, tìm các số hạng chứa a, b với luỹ thừa 

21−k k k 21−k 

− − 

3 6 2 6 

= C21 . a . b 

5 5 

21− 

k k k 21− 

k 

9 

⇒ − = − ⇒ k = 9. Vậy số hạng cần tìm là: T 10 = 2 2 

21 

3 6 2 6 

C . a . b 

Baøi 9: Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên trong khai triển sau: 

a) 

4 


( x + x) . b) 

ĐS: a) 

2 6 7 10 10 


⎛ 

⎜ x + 

⎝ 

C x, C x , C x . b) 

1 ⎞ 

⎟ 

x ⎠ 

3 

13 

. 

0 13 3 9 6 5 9 

13 13 13 13 

C x , C x , C x , C x . 

Baøi 10: a) Tìm số hạng của khai triển ( 3 + 2) là một số nguyên. 

b) Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển 

3 

9 

6 

( 3 − 15) . 

c) Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển 

d) Có bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển 

5 3 

36 

( 3 + 7) . 

4 


( 3 + 5) . 

ĐS: a) T4 = 4536, T10 

= 8. b) T1 = 27, T3 = 2005, T5 = 10125, T7 

= 3375. 

c) T7 , T22 , T 

37. 

d) 32 số hạng 

Baøi 11: a) Tìm số hạng thứ ba của khai triển 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

13 

a + 

a 

1 

a − 

b) Trong khai triển (1 + x) n theo lũy thừa tăng của x, cho biết : 

c) Trong khai triển 

44. Tìm n. 

ĐS: a) 

⎛ 

⎜ a a + 

⎝ a 

13 51 

1 ⎞ 

n 

4 

⎟ 

⎠ 

n = 14, T = 91 a . b) 

3 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

n 

3 2 

n n 

nếu C : C = 4 :1. 

⎧ T3 = 4T 

⎪ 5 

⎨ 40 

⎪T 

= T 

⎩ 3 

4 6 

. Tìm n và x? 

cho biết hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ ba và thứ hai là 

1 

n = 6, x = ± . c) n = 11 

2 




Dạng 2 : Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp 

Baøi 1: Tính các tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển ( a + b) 

): 

0 1 6 

6 6 6 

a) S = C + C + ... + C 

HD: Sử dụng: (1 + x) 

6 , với x = 1 

0 1 2 2 5 5 

5 5 5 5 

b) S = C + 2C + 2 C + ... + 2 C 


5 , với x = 2 

0 1 2 2010 

2010 2010 2010 2010 

c) S = C + C + C + ... + C 


2010 , với x = 1 

0 1 2 2 2010 2010 


d) S = C + 2C + 2 C + ... + 2 C HD: Sử dụng: (1 + x) 


6 7 8 9 10 11 

11 11 11 11 11 11 

e) S = C + C + C + C + C + C 


11 , với x = 1 

16 0 15 1 14 2 16 

16 16 16 16 

f) S = 3 C − 3 C + 3 C − ... + C 

HD: Sử dụng: ( x − 1) , với x = 3 

17 0 1 16 1 17 17 

17 17 17 

g) S = 3 C + 4 .3 . C + ... + 4 C 

HD: Sử dụng: (3x 

+ 4) , với x = 1 

Baøi 2: Tính các tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển ( a + b) 

): 

a) 

b) 

c) 

d) 

d) 

0 1 2 n 

n n n n 

S = C + C + C + ... + C . 

HD: Sử dụng: 

0 2 4 2 n 

1 2n 2n 2n ... 

2n 

S = C + C + C + + C 


1 3 5 2 n− 

1 

2 

= 

2n + 

2n + 

2n + ... + 

2n 

S C C C C 

0 1 2 3 n n 

n 

3 

n 

3 

n 

... 3 

n 

S = C + C + C + + C 


0 1 2 2 n n 

n 

6 

n 

6 

n 

... 6 

n 

S = C + C + C + + C 


0 1 2 2 n n 

n 

2 

n 

2 

n 

... 2 

n 

S = C + C + C + + C 


Baøi 3: Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng trực tiếp khai triển ( a + b) 

): 

a) 

0 2 2 n 1 3 2 n− 

1 

2n 2n ... 

2n 2n 2n ... 

2n 

C + C + + C = C + C + + C 

HD: 

0 1 2 2n 

2n 2n 2n 2n 

n 

b) C + C + C + ... + C = 4 

HD: 

c) 

d) 

1 2 2 3 3 2 −1 2 −1 2 n 

2n 2n 2n 2n 

1 − 10. C + 10 . C − 10 . C + ... − 10 C + 10 = 81 . HD: 

0 2 2 4 4 2n 2n 2n−1 2n 

2n 2n 2n 2n 

C + C 3 + C 3 + ... + C 3 = 2 .(2 + 1) 

n 

n 

HD: 

2004 

0 2 2 4 4 2004 2004 3 + 1 

e) S = C2004 + 2 C2004 + 2 C2004 + ... + 2 C2004 

= 

2 

m n m+ 

n 

Baøi 4: Dùng đẳng thức (1 + x) .(1 + x) = (1 + x) 

, chứng minh rằng: 

a) 

b) 

c) 

0 k 1 k 1 2 k 2 m k m k 

m n m n m n m n m+ 

n 

C . C + C . C + C . C + ... + C . C = C , m ≤ k ≤ n . 

0 2 1 2 2 2 n 2 n 

n 

+ 

n 

+ 

n 

+ + 

n 

= 

2n 

( C ) ( C ) ( C ) ... ( C ) C . 

n 

16 

n 

17 

(1 + x) 

, với x = 1 

(1 − x) 

2n , với x = 1 

n 

(1 + x) 

, với x = 3 

n 

(1 + x) 

, với x = 6 

n 

(1 + x) 

, với x = 2 

(1 − x) 

2n , với x = 1 

(1 + x) 

2n , với x = 1 

(1 − x) 

2n , với x = 10 

2n 

2n 

(1 + x) + (1 − x) 

, với x = 3 

2004 2004 

HD: (1 + x) + (1 − x) 

, với x = 2 

(Hệ thức Van der mon de (Van đec mon)). 

0 k 1 k+ 1 2 k+ 2 n−k n (2 n)! 

Cn . Cn + Cn. Cn + Cn . Cn + ... + Cn . Cn 

= 

( n − k)!( n + k)! 

Baøi 5: Tính giá trị các biểu thức A, B bằng cách tính A + B, A – B: 

2 n 0 2 n −2 2 0 2 

C n 

2n C2n C2n 

2 n −1 1 2 n −3 3 1 2 n −1 

C2n + C2n + + C2n 

a) A = 2 + 2 + ... + 2 

B = 2 2 ... 2 

n 0 n−2 2 n−4 4 

Cn Cn Cn 

n−1 1 n−3 3 n−5 5 

Cn Cn Cn 

b) A = 2 + 2 + 2 + ... B = 2 + 2 + .2 + ... 



HD: a) Ta có : 

(2 1) 

. Thay x = 1 ta được A + B = 3 2n = 9 n 

Mặt khác, (2 x –1) = ∑ . Thay x = 1 ta được A – B = 1 

Từ đó suy ra: A = 

b) Khai triển 

2n 

2n 

x + = ( ) 2 n−k 

k 

∑ C2n. 2x 

k= 

0 

2n 

2n 

k 2n−k k 

C2n.(2 x) .( −1) 

k= 

0 

1 (9 

n 

+ 1) 

n 

, B = − 

2 

n 

1 (9 1) 2 

(2x 

+ 1) , với x = 1 ⇒ A + B = 

n 

Khai triển (2x 

− 1) , với x = 1 ⇒ A – B = 1 

1 n 1 n 

⇒ A = (3 + 1), B = (3 − 1) 

2 2 

Baøi 6: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển thị thức ( + 1) bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a 

là số tự nhiên) của số hạng ax 12 trong khai triển đó. 

ĐS: a = 210. (HV hành chính QG, 2000) 

Baøi 7: Chứng minh: 

a) 

0 2001 1 2000 k 2001 −k 

2001 0 2002 

2002 2002 2002 2001 

... 

2002 2002−k 

... 

2002 1 

1001.2 

S = C C + C C + + C C + + C C = 

HD: a) Chú ý: C C 

− k 

= ... = 2002. C 

⇒ S = 

n 

3 

x 2 

k 2001−k k 

2002 2002 2001 

2002 

2001 

k 

2001 2002 

∑ C2001 

= 2002.2 = 1001.2 

k= 

0 

Baøi 8: Tính các tổng sau (sử dụng đạo hàm của khai triển ( a + b) 

): 

0 1 2 2010 


a) S = C + 2C + 3 C + ... + 2011C 

HD: Lấy đạo hàm: (1 + x) 


ĐS: 

Baøi 9: Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng đạo hàm của khai triển ( a + b) 

): 

a) 

b) 

c) 

d) 

1 2 n n 1 

n n n 

S = 1. C + 2. C + ... + n. C = n.2 − 

HD: 

2 3 n 

n 2 

n n n 

S = 2.1. C + 3.2. C + ... + n( n − 1). C = n.( n − 1)2 − HD: 

2 1 2 2 2 n 

n 2 

n n n 

S 1 C 2 C ... n C n( n 1).2 − 

n 

n 

n 

⎡ n ′ 

⎣(1 + x) 

⎤ 

⎦ , với x = 1 

⎡ n ′′ 

⎣(1 + x) 

⎤ 

⎦ , với x = 1 

2 k 

= + + + = + HD: = [ ( − 1) + ] 

1 n−1 2 n−2 3 n−3 n n−1 

n3 2 

n 

3 3 

n 

3 ... 

n 

.4 

S = C + C + C + + nC = n 

HD: 

Baøi 10: Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng tích phân của khai triển ( a + b) 

): 

a) 

b) 

c) 

d) 

0 

2 

1 

3 

2 

n+ 1 

n 

n 1 

− 

n n n n 

2 2 2 3 1 

S = 2 C + C + C + ... + C = 

2 3 n + 1 n + 1 

n + 1 

− 

0 1 1 1 2 1 n 2 1 

S = Cn + Cn + Cn + ... + Cn 

= 

2 3 n + 1 n + 1 

n 

0 1 2 − n 

n n n 

... 

n 

1 1 ( 1) 1 

S = C − C + C − + C = 

2 3 n + 1 n + 1 

n 

0 1 2 − n 

n n n 

... 

n 

1 1 1 ( 1) 1 

S = C − C + C − + C = 

2 4 6 2( n + 1) 2( n + 1) 

HD: 

HD: 

HD: 

HD: 

k C k k k C 

n 

⎡ n ′ 

⎣(3 + x) 

⎤ 

⎦ , với x = 1 

2 

∫ 

n 

n 

S = (1 + x) 

dx 

0 

1 

∫ 

n 

S = (1 + x) 

dx 

0 

1 

∫ 

n 

S = (1 − x) 

dx 

0 

1 

∫ 

2 

n 

S = x(1 − x ) dx 

0 

k 

n 




n + 1 

− 

1 0 1 1 1 2 1 n 2 1 

e) S = Cn + Cn + Cn + ... + Cn 

= 

2 4 6 2( n + 1) 2( n + 1) 

0 2 −1 1 2 −1 2 2 −1 n 3 − 2 

f) S = Cn + Cn + Cn + ... + Cn 

= 

2 3 n + 1 n + 1 

2 2 n+ 1 n+ 1 n+ 

1 

HD: 

HD: 

1 

∫ 

2 

n 

S = x(1 + x ) dx 

0 

2 

∫ 

n 

S = (1 + x) 

dx 

1 

Dạng 3: Toán chia hết 

Nếu a chia cho b có số dư là r thì a = bq + r 

nên a n = (bq + r) n = b n q n + nb n–1 q n–1 r + … + nbqr n–1 + r n 

Do đó a n và r n có cùng số dư khi chia cho b. Tức là: a n ≡ r n (mod b) 

Vậy nếu a≡ r (mod b) thì a n ≡ r n (mod b) 

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với ∀n ∈ Z + , ta có: 

a) 4 n + 15n – 1 ⋮ 9 b) 16 n – 15n – 1 ⋮ 225 

HD: a) Ta có 4 n = (3+1) n = 3 n + n.3 n–1 + … + 3n + 1 ≡ 3n + 1 (mod 9) 

(vì 3 k ⋮ 9 , ∀k ≥ 2) 

4 n + 15n – 1 ≡ 3n + 1 + 15n – 1 (mod 9) = 18n (mod 9) 

Vậy 4 n + 15n – 1 ⋮ 9 

b) 16 n = (1 + 15) n n( n −1) = 1 + n.15 + .15 

2 

+ … + n.15 n–1 + 15 n 

2 

≡ 1 + 15n (mod 15 2 ) 

Do đó: 16 n – 15n – 1 ≡ 1 + 15n – 15n – 1 ≡ 0 (mod 225) 

Vậy 16 n – 15n – 1 ⋮ 225 

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với ∀n ∈ Z + , ta có: 2 6n+1 + 3 6n+1 + 5 6n + 1 ⋮ 7 

HD: 2 6n+1 + 3 6n+1 + 5 6n+1 + 1 = 2(2 6 ) n + 3(3 6 ) n + (5 6 ) n + 1 

= 2.64 n + 3.729 n + 15625 n + 1 

= 2[(7.9 + 1) n – 1] + 3[(7.104 + 1) n – 1] + [(7.2232 + 1) n – 1] + 7 

Do đó với mọi số tự nhiên p và q thì: 

(7p+1) q – 1 = [(7p+1)–1].[(7p+1) q–1 + … + (7p+1) + 1] 

nên biểu thức đã cho luôn chia hết cho 7. 



B. XÁC SUẤT 

I. Biến cố và xác suất 

1. Biến cố 

• Không gian mẫu Ω: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. 

• Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A ⊂ Ω. 

• Biến cố không: ∅ 

• Biến cố chắc chắn: Ω 

• Biến cố đối của A: A = Ω \ A 

• Hợp hai biến cố: A ∪ B 

• Giao hai biến cố: A ∩ B (hoặc A.B) 

• Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = ∅ 

• Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố 

kia. 

2. Xác suất 

n( A) 

• Xác suất của biến cố: P(A) = 

n( Ω ) 

• 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1; P(∅) = 0 

• Qui tắc cộng: Nếu A ∩ B = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 

Mở rộng: A, B bất kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B) 

• P( A ) = 1 – P(A) 

• Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B) 

Baøi 1: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố: 

a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8. 

b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ. 

c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn. 

ĐS: a) n(Ω) = 36. n(A) = 5 ⇒ P(A) = 5 b) 1 c) 3 36 4 

4 

Baøi 2: Một lớp học có 25 học sinh, trong đó gồm có 15 em học khá môn Toán, 17 em học khá 

môn Văn. 

a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 môn. 

b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn. 

C 

ĐS: a) n(A∩B) = n(A) + n(B) – n(A∪B) = 15 +17 – 25 = 7 ⇒ P(A∩B)= 

7 

25 

Baøi 3: Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: 

a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7. 

b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau. 

2 

b) 

3 

C8 

25 

ĐS: a) 1 6 

b) 1 6 

Baøi 4: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 

một viên bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi 

xanh. 

ĐS: 5 8 




Baøi 5: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4 

viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh. 

ĐS: 1 2 

Baøi 6: Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn trúng của người 

thứ nhất là 3 5 , của người thứ hai là 1 . Tính xác suất để con thú bị bắn trúng. 

2 

ĐS: 4 5 

Baøi 7: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố 

sau: 

a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm. 

b) Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm. 

c) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm. 

d) Không lần nào xuất hiện mặt 6 chấm. 

ĐS: a) 1 b) 1 c) 11 d) 25 

6 

6 

36 

36 

Baøi 8: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: 

a) Cả 4 đồng xu đều ngửa. 

b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa. 

c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa. 

ĐS: a) 1 b) 1 c) 11 

16 4 

16 

Baøi 9: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác 

suất để lấy được: 

a) ít nhất 2 bóng tốt b) ít nhất 1 bóng tốt. 

Baøi 10: Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 

học sinh giỏi cả 2 môn. GVCN chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đó là học sinh giỏi. 

Baøi 11: Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy 

ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen. 

Baøi 12: Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính 

xác suất để 2 em đó khác phái. 

Baøi 13: Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn 

ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để : 

a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi 

c) Không có học sinh trung bình. 

Baøi 14: Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số 

trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để: 

a) Số đó là số lẻ. 

b) Số đó chia hết cho 5 

c) Số đó chia hết cho 9. 



II. Biến ngẫu nhiên rời rạc 

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc 

• X = {x 1 , x 2 , …,x n } 

• P(X=x k ) = p k p 1 + p 2 + … + p n = 1 

2. Kì vọng (giá trị trung bình) 

• µ = E(X) = 

n 

∑ 

i= 

1 

x p 

3. Phương sai và độ lệch chuẩn 

• V(X) = 

n 

( ) 2 

∑ xi 

− µ pi 

= 

i= 

1 

i 

i 

n 

∑ x p µ • σ(X) = V( X ) 

i= 

1 

2 2 

i i 

− 

Baøi 1: Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền. Mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn của người 

thứ nhất là 0,8. Tính xác suất làm bàn của người thứ hai, biết rằng xác suất để cả hai người 

cùng làm bàn là 0,56 và xác suất để bị thủng lưới ít nhất một lần là 0,94. 

Baøi 2: Một cặp vợ chồng có 3 người con. Gọi X là số lần sinh con trai. Lập bảng phân phối xác 

suất của biến ngẫu nhiên X. 

Baøi 3: Một hộp đựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Gọi X là số lần 

lấy được bi đỏ. Lập bảng phân phối của biến ngẫu nhiên X. 

Baøi 4: Cho bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X: 

X 1 2 3 

P 0,3 0,5 0,2 

Tìm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. 

Baøi 5: Một hộp đựng 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Gọi X là số bi đỏ 

lấy ra. Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. 

Baøi 6: Hai xạ thủ độc lập cùng bắn vào 1 bia. Mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác suất để xạ thủ thứ 

nhất bắn trúng bia là 0,7. Xác suất để xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là 0,8. Gọi X là số đạn bắn 

trúng bia. Tính kỳ vọng, phương sai của X. 




Bài 1. Một cơ quan có 4 cổng ra vào. 

a) Hỏi một người khách có thể chọn bao nhiêu cách ra vào cơ quan đó? 

b) Có thể chọn bao nhiêu cách vào ra cơ quan đó bằng 2 cổng khác nhau (cổng vào khác 

cổng ra)? 

ĐS: 

Bài 2. Có 10 môn học buổi sáng và 7 môn học buổi chiều. 

a) Hỏi có mấy khả năng học sinh lựa chọn để buổi sáng chỉ học 1 môn và buổi chiều chỉ học 

1 môn? 

b) Hỏi có mấy khả năng học sinh lựa chọn để buổi sáng chỉ học 1 môn và buổi chiều không 

học môn nào? 

ĐS: 

Bài 3. Một người có 6 cái áo, 5 cái quần và 3 đôi giày. Trong đó có 3 áo sọc và 3 áo trắng, 2 

quần đen, 2 đôi giày đen. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn mặc áo – quần – giày, 

nếu: 

a) Chọn áo, quần, giày nào cũng được? 

b) Nếu chọn áo sọc thì với quần nào, giày nào cũng được; còn nếu chọn áo trắng thì chỉ mặc 

với quần đen và đi giày đen? 

ĐS: 

Bài 4. Một nhóm học sinh gồm có 30 em giỏi Toán và 20 em giỏi Văn. Có bao nhiêu cách chọn 

ra 5 học sinh sao cho có ít nhất 3 em giỏi Toán? 

ĐS: 

Bài 5. Một đồn cảnh sát có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 

người ở địa điểm B, còn 5 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công? 

ĐS: 

Bài 6. Trong số 10 7 số điện thoại 7 chữ số thì những số có 7 chữ số khác nhau chiếm tỉ lệ bao 

nhiêu? 

ĐS: 

Bài 7. Hội đồng quản trị của một công ty gồm 15 người. Từ hội đồng đó bầu cử ra một chủ tịch, 

một phó chủ tịch và 2 ủy viên kiểm tra) Hỏi có bao nhiêu cách? 

ĐS: 16380 

Bài 8. Trong bình hoa có 10 bông hồng đỏ và 5 bông hồng trắng. Có bao nhiêu cách lấy ra từ 

bình hoa 4 bông hồng cùng màu? 

ĐS: 215 

Bài 9. Một bộ sách gồm 30 tập. Hỏi có bao nhiêu cách sắp bộ sách đó lên kệ sách dài sao cho 

tập 1 và tập 2 không đứng kề nhau. 

ĐS: 30! – 2 . 29! = 28 . 29! 

Bài 10. Hai nhân viên bưu điện cần phải chuyển 10 lá thư đến 10 địa chỉ. Hỏi họ có bao nhiêu 

cách phân công công việc đó? 

ĐS: 2 10 

Bài 11. Cần phát 12 đề thi gồm 6 đề A và 6 đề B cho 12 học sinh, mỗi học sinh đều được 1 đề. 

Có bao nhiêu cách sắp xếp các học sinh ấy thành hai dãy mỗi dãy 6 học sinh sao cho các học 

sinh ngồi kề nhau thì không cùng đề với nhau còn các học sinh ngồi trước cùng đề với học 

sinh ngồi ngay phía sau. 

ĐS: 2 . 6! 6! 

Bài 12. Có thể chia 12 quyển sách khác nhau cho 4 đứa trẻ theo bao nhiêu cách biết rằng: 

a) Mỗi đứa trẻ được 3 quyển sách? 

b) Hai đứa lớn nhất được 4 quyển sách mỗi đứa và hai đứa bé nhất được 2 quyển sách mỗi 

đứa? 

ĐS: a) 369600; b) 207900. 

Bài 13. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 người khách: 

a) Vào 5 ghế thành 1 dãy 




b) Vào 5 ghế chung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này? 

ĐS: a) 120 b) 24 

Bài 14. Một dãy ghế dành cho 3 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: 

a) Họ ngồi thế nào cũng được? 

b) Nam ngồi kề nhau, nữ ngồi kề nhau? 

c) Chỉ có nữ ngồi kề nhau? 

ĐS: a) 120; b) 24; c) 24. 

Bài 15. Xếp 6 người ngồi vào 1 dãy 6 ghế, có bao nhiêu cách nếu: 

a) Có 3 người trong họ muốn ngồi kề nhau? 

b) Có 2 người trong họ không muốn ngồi kề nhau? 

c) Có 3 người trong họ không muốn ngồi kề nhau đôi một? 

ĐS: a) 144; b) 480; c) 144. 

Bài 16. Có bao nhiêu cách xếp 5 người gồm 3 nam và 2 nữ vào một hàng ghế gồm 8 ghế nếu: 

a) Họ ngồi thế nào cũng được? 

b) Họ ngồi kề nhau? 

c) 3 nam ngồi kề nhau, 2 nữ ngồi kề nhau và giữa hai nhóm này có ít nhất 1 ghế trống? 

ĐS: a) 6720; b) 480; c) 144. 

Bài 17. Một hàng ghế gồm 10 chiếc ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp một đôi vợ chồng ngồi vào 

các ghế đó nếu: 

a) Họ ngồi ghế nào cũng được? 

b) Họ ngồi kề nhau? 

c) Vợ ngồi bên phải chồng? 

d. Họ ngồi cách nhau một ghế? 

ĐS: a) 90; b) 18; c) 9; d) 16. 

Bài 18. Có bao nhiêu cách xếp 5 người vào một cái bàn có 5 chỗ ngồi sao cho A và B ngồi cạnh 

nhau nếu? 

a) Cái bàn là bàn dài? 

b) Cái bàn là bàn tròn không phân biệt các chỗ? 

c) Cái bàn là bàn tròn có đánh số (có phân biệt chỗ)? 

ĐS: a) 48; b) 12; c) 60. 

Bài 19. Lớp có 12 nam trong đó có An và có 8 nữ trong đó có Bình. Có bao nhiêu cách cử ra 5 

người đi dự trại hè quốc tế sao cho phải có ít nhất hai nam, ít nhất hai nữ, hơn nữa An và 

Bình không đồng thời được cử đi? 

ĐS: 9240 

Bài 20. Một lớp học có 15 học sinh ưu tú trong đó có An và Bình. Có bao nhiêu cách cử 4 học 

sinh ưu tú đi du học ở 4 nước khác nhau, mỗi nước một người, trong 4 người đó có An và 

Bình. 

ĐS: 4.3. A 2 13 

= 4.3.13.12 = 1872 

Bài 21. Có 5 học sinh trong đó có An và Bình. Hỏi có bao nhiêu cách xếp họ lên một đoàn tàu 

gồm 8 toa nếu: 

a) 5 người lên cùng một toa? b) 5 người lên 5 toa đầu? 

c) 5 người lên 5 toa khác nhau? d) An và Bình lên cùng toa đầu? 

e) An và Bình lên cùng một toa? 

f) An và Bình lên cùng một toa, ngoài ra không có người nào khác lên toa này? 

ĐS: a) 7; b) 120; c) 6720 d) 512; e) 4096; f) 343. 

Bài 22. Giám đốc một công ty muốn chọn một nhóm 5 người vào hội đồng tư vấn. Trong công 

ty có 12 người hội đủ điều kiện để được chọn, trong đó có hai cặp vợ chồng. Hỏi có bao 

nhiêu cách chọn nếu: 

a) Hội đồng này có đúng một cặp vợ chồng? 

b) Hội đồng này không thể gồm cả vợ lẫn chồng (nếu có)? 

ĐS: a) 112; b) 560. 

Bài 23. Cho 5 quả cầu màu trắng có bán kính khác nhau và 5 quả cầu màu xanh có bán kính 

khác nhau. Người ta muốn xếp 10 quả cầu đó vào một hàng 10 chỗ cho trước. 



a) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau? 

b) Có bao nhiêu cách xếp sao cho hai quả cầu đứng cạnh nhau thì phải khác nhau? 

c) Có bao nhiêu cách xếp sao cho 5 quả cầu trắng đứng kề nhau? 

ĐS: a) 3628800; b) 28800; c) 86400. 

Bài 24. Cho 1 thập giác lồi: 

a) Tìm số đường chéo? 

b) Tìm số tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác? 

c) Trong các tam giác trên có bao nhiêu tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của thập giác? 

Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của thập giác? 

ĐS: 

Bài 25. a) Cho trước 15 điểm trong mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kỳ trong số đó không cùng 

nằm trên 1 đường thẳng. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua 2 điểm trong số đó? 

b) Cho trước 25 điểm trong không gian sao cho 4 điểm bất kỳ trong số đó không cùng nằm 

trong 1 mặt phẳng. Có bao nhiêu tam giác nối 3 điểm bất kỳ trong số đó? Có bao nhiêu tứ diện 

nối 4 điểm bất kỳ trong số đó? 

ĐS: a) 105; b) 2300; 12650. 

Bài 26. Một họ n đường thẳng song song cắt một họ m đường thẳng song song. Hỏi có bao 

nhiêu hình bình hành được tạo thành? 

mn( m −1)( n −1) 

ĐS: 

4 

Bài 27. Cho một đa giác lồi n đỉnh (n ≥ 4) 

a) Tính số đường chéo của đa giác này? 

b) Biết rằng 3 đường chéo không đi qua cùng một đỉnh thì không đồng quy, hãy tính số các giao 

điểm không phải là đỉnh của các đường chéo ấy? 

ĐS: a) n( n − 3) ; b) n ( n −1)( n − 2)( n − 3) 

2 

24 

Bài 28. Cho tam giác ABC. Xét tập hợp đường thẳng gồm 4 đường thẳng song song với AB, 5 

đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA. Hỏi các đường thẳng 

này tạo được: 

a) Bao nhiêu tam giác? 

b) Bao nhiêu hình thang mà không phải là hình bình hành? 


Bài 29. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được lập nên từ các số 1, 2, 3, 4, 5 và: 

a) Bắt đầu với chữ số 3? 

b) Không bắt đầu với chữ số 5? 

c) Bắt đầu với số 54? 

d) Không bắt đầu với số 543? 

Bài 30. Có 100000 chiếc vé số được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi có bao nhiêu vé số gồm 

5 chữ số khác nhau? 

Bài 31. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số 

khác nhau? 

Bài 32. Có bao nhiêu số gồm n chữ số, trong đó các chữ số chỉ là 1, 2, 3, sao cho mỗi chữ số có 

mặt ít nhất một lần trong mỗi số đó? 

Bài 33. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi sao cho tất cả các chữ số đều 

khác không và có mặt đồng thời các chữ số 2, 4, 5. 

ĐS: 1800. 

Bài 34. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số trong đó 

a) Có một chữ số 1? 

b) Có chữ số 1 và các chữ số đều khác nhau? 


Bài 35. a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau. 

b) Tính tổng các số ở câu a) 




ĐS: a) 648; b) 355680. 

Bài 36. Có bao nhiêu số lớn hơn 2000 với các chữ số khác nhau từng đôi lấy từ tập X = {0, 1, 2, 

3, 4} 

ĐS: 168. 

Bài 37. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số biết rằng hai chữ số đứng kề nhau phải khác 

nhau? 

ĐS: 59049 

Bài 38. Với các chữ số 2, 3, 5, 8 có thể lập được bao nhiêu 

a) Số tự nhiên lớn hơn 400 và nhỏ hơn 600? 

b) Số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau từng đôi và chia hết cho 4? 

ĐS: a) 16; b) 6. 

Bài 39. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác 

nhau từng đôi và: 

a) Các số này lớn hơn 300000? 

b) Các số này lớn hơn 300000 và chia hết cho 5? 

c) Các số này lớn hơn 350000? 

ĐS: a) 360; b) 120; c) 264. 

Bài 40. Với 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 8 người ta muốn lập những số gồm bốn chữ số khác nhau. 

a) Có bao nhiêu số nhỏ hơn 5000? 

b) Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn 7000? 

ĐS: a) 120; b) 120. 

Bài 41. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi và khác 0 biết rằng tổng của 

3 chữ số này bằng 8. 

ĐS: 12. 

Bài 42. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi biết rằng tổng 3 chữ số này 

bằng 12. 

ĐS: 54. 

Bài 43. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta muốn lập các số gồm 8 chữ số khác nhau từng 

đôi. Có bao nhiêu số trong đó 

a) Chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần? 

b) Chữ số 1 có mặt hai lần, chữ số 2 có mặt hai lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? 

4 2 2 2 

ĐS: a) 6720 HD: A 5 8 

; b)10080 HD: A8 . C4 .1 = C8 . C6 

.4!. 

Bài 44. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau 

từng đôi trong đó: 

a) Phải có mặt chữ số 0? b) Phải có mặt chữ số 6? 

c) Phải có mặt hai chữ số 0 và 6? 

4 4 

3 2 2 

ĐS: a) 4. A 4 6 

= 1440; b) 6. A6 − 5. A5 

= 1560; c) 1.4. A5 + 5. A4 . A4 

= 960 

Bài 45. Cho S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Có bao nhiêu tập con A của S trong mỗi trường 

hợp sau: 

a) A có 5 phần tử. 

b) A có 5 phần tử và phần tử bé nhất của A là 3. 

c) A có 5 phần tử và phần tử bé nhất của A bé hơn hay bằng 3. 

ĐS: a) 252; b) 35; c) 231. 

Bài 46. a) Có bao nhiêu tập con của {1, 2, ..., 11} chứa ít nhất một số chẵn? 

b) Có bao nhiêu tập con của {1, 2, ..., 12} chứa ít nhất một số chẵn? 

ĐS: a) 2 11 – 2 6 ; b) 2 12 – 2 6 . 

Bài 47. Giả sử chỉ có một phần tư số tập con 5 phần tử của {1, 2, ..., n} chứa số 7. Hãy tìm n. 

ĐS: n = 20. 

Bài 48. Tính giá trị các biểu thức sau: 

10! + 8! 

7!4! ⎡ 8! 9! ⎤ 

A = B = . 

8! 

10! 

⎢ − 

3!5! 2!7! 

⎥ 

⎣ ⎦ 



C = A 2 A 5 

⎛ 


P P P P 

+ D = 

+ + + 

P2 7P 

⎜ 

3 

⎝ A A A A 

Bài 49. Giải các phương trình: 

2 2 

a) 

x 2x 

5 1 3 2 

1 3 2 1 

5 5 5 5 

⎞ 

. A 

⎟ 

⎠ 

2 

5 

k 

n+ 5 

= 15 

n+ 1. 

n+ 1−k 

2 A + 50 = A ( x ∈ N ) 

b) P A P 

3 4 2 

x−1 

30 

c) Ax − 2Cx = 3Ax 

d) Ax+ 1 

+ 2P x−1 

= Px 

7 

ĐS: c) x = 6 v x = 11; d) x = 7; 

Bài 50. Giải các hệ phương trình 

⎧ x 

y−x 

⎪A a) y 

: Px −1 

+ Cy 


⎨ 

b) 

C = C C C = 

C 

⎪⎩ Px 

+ 1 

= 720 

3 5 5 

y y−1 y−1 y−1 

x−1 + 

x−1 

x x 

y− 1 y y− 2 y+ 1 y+ 

1 

x x−2 + 

x−2 + 2 

x−2 

x 

c) 

A yA = A = 

C 


ĐS: a) x = 5, y = 7; b) x = 7, y = 3; c) x = 7, y = 3. 


a) (n!) 2 > n n (n∈N, n≥2) 

n−1 

⎛ n 

0 1 n 2 − 2 ⎞ 

b) Cn . Cn... 

Cn 

≤ (n∈N, n≥2); khi nào dấu “=” xảy ra) 

⎜ n −1 

⎟ 

⎝ ⎠ 


a) Pk . A 2 n 

A 2 n 

A 2 n 

nk A 

5 

+ 1. + 3. + 5 

! 

n+ 

5 

= (k ≤ n; k, n∈N) 

k k− k− k− k− 

k 

n n n n n n+ 

4 

b) C + 4C + 6C + 4C + C = C (4 ≤ k ≤ n) 

c) 

k k 1 k 2 k 3 k 2 k 3 

n 

+ + n 

+ + n 

+ + n 

= + + 

n+ 2 

+ 

n+ 

3 

2C 5C 4C C C C 

10 9 9 9 


d) C = C + C + ... + C 


P = ( n − 1)( P + P ) 

b) C C 

a) 

n n−1 n−2 

c) 

d) 

e) 

m m m m+ 1 m+ 

1 

n 

+ 

n−1 + ... + 

n− 10 

= 

n+ 1 

− 

n−10 

C C C C C 

k m−k k m 

n n− k 

= Cm Cn 

0 n 

n 

n 

+ 2 1 2 1 

n 

+ 3 

n 

+ ... + ( + 1) 

n 

= ( + 2)2 − 

2 1 3 2 4 3 n+ 1 n 

C 

n 

n 

Cn Cn Cn 

+ 1 

− 

Cn 

+ + + + + = 

C C C n C n 

0 2 2 2 2 3 1 

2 ... 

2 3 4 n + 1 n + 1 

2 n 

n 

+ 2 n 

+ + 2 

n 

= 

2n 

0 1 

n 

f) ( ) ( ) ... ( ) 

g) 

h) 

ĐS: 

C C C C 

m m m m+ 1 m+ 

1 

n 

+ 

n−1 + ... + 

n− p 

= 

n+ 1 

− 

n−p 

C C C C C 

0 k k k k 

n 

− 1 n 

+ 2 n 

− 3 

n 

+ + − 

n 

= − 

n 

C C C C ... ( 1) C ( 1) C 

−1 

f. (1 + x) n (n + 1) n = (1 + x) 2n . So sánh hệ số của x n ở cả 2 vế. 

g. Sử dụng công thức Pascal 

Bài 54. Tính các tổng sau: 

a) 

b) 

c) 

0 2 4 k 2k 

n n n n 

A = C + 2C + 4 C + ... + 2 C + ... 

1 2 2 2 3 2 k 2 n 

n n n n n 

S = 1. C + 2 C + 3 C + ... k C + ... + n C 

n 1 n 1 2 2 n−2 

n n n 

n n n 

(1 + x) − C x(1 + x) + C x (1 + x) + ... + ( − 1) C x 

1 3 5 k 2k+ 

1 

n n n n 

B = C + 2C + 4 C + ... + 2 C + ... 




d) 

e) 

1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... + 

1 

0! n! 1!( n −1)! 2!( n − 2)! k!( n − k)! n!0! 

1 1 1 n 

... ( 1) 

1 

0! n! − 1!( n −1)! + 2!( n − 2)! − + − n!0! 

ĐS: a) Khai triển các biểu thức ( 1+ 2 ) n 

và ( 1− 

2 ) n 

b) Đạo hàm các hàm số: f(x) = (1 + x) n và g(x) = x(1 + x) n . 

d) 

Bài 55. CMR: C , C , C 

n 

2 

; e) 0. 

n! k k+ 1 k+ 

2 

n n n 

(với k+3 ≥ n ; n, k∈N) là 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng. 

Bài 56. Viết khai triển của biểu thức (3 x –1) , từ đó chứng minh rằng : 

16 0 15 1 14 2 16 16 

16 16 16 16 

3 . C − 3 . C + 3 . C − ... + C = 2 


n 

n 

a) C + 2C + 3 C + ... + ( n + 1) C = ( n + 2).2 − 

b) 

0 1 2 1 

n n n n 

2 n 

n 

n 

+ 3 2 

n 

+ + − 

n 

= − 

2.1C 3.2 C ... n( n 1) C n( n 1).2 − 

2 1 2 2 2 2 

n n n 

n 

n 

c) 1 C + 2 C + ... + n C = n( n − 1).2 − 


a) 

b) C 

n 

0 1 2 3 − n 

n n n n 

... 

n 

1 1 1 1 ( 1) 1 

C − C + C − C + + C = 

2 4 6 8 2n 

+ 2 2( n + 1) 

1 2 2 n 2n−1 2n−1 

0 C2n− 1.2 C2n− 1.2 ( −1) C2n− 

1.2 

2n−1 

Bài 59. Chứng minh: 

− + + ... + = 0 

1+ 1 1+ 2 1 + ( n + 1) 

Bài 60. a) Tính I = x (1 + x ) dx 

n 

n k n n 

k C 

2 + 2 + 1 

1 n 2 − 3 

∑ . Cn − ∑ 

= 

k n 

k k 1 1 

0 1 + + 

= + k= 

0 ( k + 1).2 ( n + 1).2 

1 

2 3 

∫ 

0 

16 

n + 1 

− 

1 0 1 1 1 2 1 n 2 1 

b) Chứng minh : Cn + Cn + Cn + ... + Cn 

= 

3 6 9 3n 

+ 3 3( n + 1) 

Bài 61. Cho n∈N, chứng minh hệ thức sau: 

n+ 1 n 

n+ 

1 n 

k k k+ 

1 

+ ∑ Cn 

= + ∑ Cn 

. e 

1 k= 0 1 1 k= 

0 1 

(1 + e) 1 2 1 

n + k + n + k + 

Bài 62. Với giá trị nào của x thì số hạng thứ 4 trong khai triển của (5 + 2 x) 

16 lớn hơn số hạng 

thứ 3 và thứ 5. 


ĐS: < x < . 

28 13 

⎛ 1 ⎞ 

Bài 63. Số hạng thứ 3 trong khai triển ⎜2x 

+ 

x 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

hạng đó bằng số hạng thứ 2 trong khai triển (1 + x 3 ) 

30 . 

ĐS: x = 2. 

Bài 64. a) Dùng khai triển của P = 

n 

n 

không chứa x. Với giá trị nào của x thì số 

( a + b + c) 

, CMR số các hoán vị khác nhau của m chữ a, n 



chữ b, p chữ c là: N = 

( m + n + p)! 

m! n! p! 

b) Áp dụng:Tính hệ số của đơn thức x 6 y 5 z 

4 trong khai triển của P = (2 x – 5 y + z ) 

15 

Bài 65. Xác định hệ số của x 4 trong khai triển của P = (1 + 2x + 3 x 2 ) 


Bài 66. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển, biết: 

a) 

⎛ 

⎜ 

⎝ x x + x 

28 

− 

3 15 

⎛ 1 

b) ⎜2nx 

+ 

⎝ 2nx 

1 

c) 

( ) n 

− 

ax x 4 

⎛ 

d) ⎜ 

⎝ 

5 2 

x 

2 

n 

⎞ 

⎟ n n−1 n−2 

⎠ , biết C + C + C = 79. 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

3n 

n n n 

, biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 64. 

+ , biết tổng các hệ số bậc chẵn trong khai triển bằng 512. 

1 ⎞ 

− 

6 

⎟ 

2 x ⎠ 

n 

, biết tổng hệ số của số hạng thứ hai và thứ 3 trong khai triển bằng 25,5. 

ĐS: a) 792. b) 240 c) 45a 2 d) 1547 


⎛ 

x 1 ⎞ 

Bài 67. Tìm giá trị của x sao cho trong khai triển của 

2 + 

, (n là số nguyên dương) 

⎜ 

x 1 

2 − ⎟ 

⎝ 

⎠ 

có số hạng thứ 3 và thứ 5 có tổng bằng 135, còn các hệ số của ba số hạng cuối của khai triển 

đó có tổng bằng 22. 

ĐS: x = 2; x = –1. 

Bài 68. Tìm số nguyên dương n sao cho trong khai triển của 

và số hạng thứ 3 là 3 2. 

ĐS: n = 5. 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

n 

1 ⎞ 

+ 3⎟ 

2 ⎠ 

n 

tỉ số của số hạng thứ 4 

Bài 69. Tìm giá trị của x sao cho trong khai triển của 

⎛ 6 −1 

x − x 

⎞ 

⎜ ⎟ hiệu số giữa số hạng thứ k 

⎝ ⎠ 

+ 1 và số hạng thứ k bằng 30 còn số mũ của x trong số hạng thứ k gấp đôi số mũ của x trong 

số hạng thứ k + 1. 

ĐS: x1 = 2 ; x 5 5. 2 

= 

4 

⎛ 

Bài 70. Với những giá trị nào của x, số hạng thứ 3 của khai triển 

⎜ 

⎝ 


1 

7 2 

x 

+ x 

lg 

n 

x 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

9 

bằng 3600. 

⎛ 

x 1 ⎞ 

Bài 71. Tìm giá trị của số thực x, sao cho trong khai triển 

2 + 

tổng các số hạng 

⎜ 

x− 

x 1 ⎟ 

⎝ 

⎠ 

thứ 3 và thứ 5 là 135, tổng của 3 hạng tử cuối là 22. 

Bài 72. Gieo một đồng tiền hai lần, xét biến cố A = “ ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp ”. Tính 

n( Ω ) và n(A). 

Bài 73. Gieo đồng thời ba con xúc sắc cân đối, đồng chất. Gọi A là biến cố ba mặt không giống 

nhau. Tính n( Ω ) và n(A). 

Bài 74. Gieo một con xúc sắc hai lần. tính xác suất của biến cố: 

a) A : “ tổng số chấm hai lần gieo bằng 8”. 




b) B : “ tổng số chấm hai lần gieo là một số chia hết cho 9 ”. 

c) C : “ tổng số chấm hai lần gieo là như nhau ”. 

Bài 75. Gieo một con xúc sắc hai lần. Tính xác suất của biến cố: 

a) A : “ lần đầu được mặt có số chấm lẻ, lần sau được mặt có số chấm lớn hơn 2 ”. 

b) B : “ một lần được số chấm là chẵn, một lần được số chấm là lẻ ”. 

Bài 76. Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số 

trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để: 

a) Số đó là số lẻ. 

b) Số đó chia hết cho 5 

c) Số đó chia hết cho 9. 

Bài 77. Một hộp đựng 8 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ, cân đối, đồng chất. Lấy ngẫu nhiên 4 viên. 

Tính xác suất để được: 

a) 4 viên bi màu xanh. b) 4 viên bi màu đỏ. 

c) 2 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu đỏ. 

Bài 78. Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác 

suất để lấy được: 

a) ít nhất 2 bóng tốt b) ít nhất 1 bóng tốt. 

Bài 79. Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 

học sinh giỏi cả 2 môn. GVCN chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đó là học sinh giỏi. 

Bài 80. Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy 

ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen. 

Bài 81. Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính 

xác suất để 2 em đó khác phái. 

Bài 82. Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn 

ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để : 

a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi 

c) Không có học sinh trung bình. 



CHƯƠNG III 

DÃY SỐ – CẤP SỐ 

I. Phương pháp qui nạp toán học 

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương 

n, ta thực hiện như sau: 

• Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. 

• Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ≥ 1), chứng minh rằng 

mệnh đề đúng với n = k + 1. 

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n ≥ p thì: 

+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; 

+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k ≥ p và phải chứng 

minh mệnh đề đúng với n = k + 1. 

Baøi 1: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có: 

n( n + 1) 

a) 1 + 2 + … + n = 

2 

2 

b) 2 2 2 n( n + 1)(2n 

+ 1) 

1 + 2 + ... + n = 

6 

3 3 3 ⎡n( n + 1) ⎤ 

c) 1 + 2 + ... + n = ⎢ 

⎣ 2 ⎥ 

d) 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n( n + 1) 

⎦ 

n( n + 1)( n + 2) 1 1 1 n 

e) 1.2 + 2.3 + ... + n( n + 1) = f) + + ... + = 

3 

1.2 2.3 n( n + 1) n + 1 


n 

n 2 

a) 2 > 2n 

+ 1 (n ≥ 3) b) 2 + > 2n 

+ 5 

1 1 1 

c) 1 + + ... + < 2 − (n ≥ 2) d) 1 3 2 n − 

. ... 

1 1 < 

2 2 

2 n n 

2 4 2n 

2n 

+ 1 

1 1 

1 1 1 13 

e) 1 + + ... + < 2 n 

f) + + ... + > 

2 n 

n + 1 n + 2 2n 

24 


a) 

n 

3 

+ 11n 

chia hết cho 6. b) 

2n−2 2n−1 

3 2 

n + 3n + 5n 


c) 7.2 + 3 chia hết cho 5. d) n + 2n 


2n+ 1 n+ 

2 

e) 3 + 2 chia hết cho 7. f) 13 n − 1 chia hết cho 6. 

n( n − 3) 

Baøi 4: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là 

2 

Baøi 5: Dãy số (a n ) được cho như sau: a 1 

= 2, a 1 

= 2 + a với n = 1, 2, … 

n+ 

3 

n 

. 

2 

(n > 1) 

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có: 

a n 

= 

n+ 1 

2 cos 

2 

π . 




II. Dãy số 

1. Dãy số 

u : N* 

→ R 

Dạng khai triển: (u 

n ↦ u( n) 

n ) = u 1 , u 2 , …, u n , … 

2. Dãy số tăng, dãy số giảm 

• (u n ) là dãy số tăng ⇔ u n+1 > u n với ∀ n ∈ N*. 

un 

1 

⇔ u n+1 – u n > 0 với ∀ n ∈ N* ⇔ + > 1 với ∀n ∈ N* ( u n > 0). 

u 

• (u n ) là dãy số giảm 

⇔ u n+1 

un 

1 

⇔ u n+1 – u n < 0 với ∀ n ∈ N* ⇔ + < 1 với ∀n ∈ N* (u n > 0). 

u 

3. Dãy số bị chặn 

• (u n ) là dãy số bị chặn trên ⇔ ∃M ∈ R: u n ≤ M, ∀n ∈ N*. 

• (u n ) là dãy số bị chặn dưới ⇔ ∃m ∈ R: u n ≥ m, ∀n ∈ N*. 

• (u n ) là dãy số bị chặn ⇔ ∃m, M ∈ R: m ≤ u n ≤ M, ∀n ∈ N*. 

Baøi 1: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (u n ) cho bởi: 

a) 

d) 

u 

n 

u n 

2 

2n 

−1 

= 

2 

n + 1 

⎛ 1 ⎞ 

= ⎜ − ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

n 

b) 

u 

n 

n 

n + ( −1) 

= 

2n 

+ 1 

2 

n 

n 

n 

c) 

e) u = n + cos n f) u 

Baøi 2: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (u n ) cho bởi: 

a) 1 

1 

= 2, n+ 

1 

= ( n 

1) 

3 

+ b) u1 = 15, u2 = 9, u n + 2 

= u n − u 

n + 1 

2 

c) u1 = 0, un+ 

1 

= 

2 

u + 1 

d) u1 = 1, u2 = − 2, u 

+ 2 

= u 

+ 1 

− 2u 

n 

u 

n 

n 

n n n 

= 

n −1 

n 

2 

+ 1 

( n + 1)! 

= 

n 

2 

Baøi 3: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (u n ), dự đoán công thức số hạng tổng quát u n và chứng 

minh công thức đó bằng qui nạp: 

u = 1, u = 2u 

+ 3 b) 

a) 

1 n+ 

1 

d) 

1 n+ 

1 

n 

1 n+ 

1 

2 

n 

u = 3, u = 1 + u c) u1 = 3, u n+ 

1 = 2 u 

u = − 1, u = 2u 

n 

+ 1 e) u1 = 1, u n+ 

1 = u n 

+ 7 

5 

e) u 

1 

= , u 

4 

ĐS: a) 

u n 

n+ 

1 

= 2 − 3 b) un 

= n + 8 c) 

d) un 

= − 1 e) un 

= 7n 

− 6 f) 

Baøi 4: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u n ) cho bởi: 

a) 

u 

n 

2n 

+ 1 

= 

3n 

− 2 

2 

b) 

n 

4 −1 

= 

4 + 5 

u n n 

n 

u n 

= 3.2 −1 

n+ 

1 

+ 

u n 

= 

n+ 

1 

2 1 

c) 

2 

u n 

n+ 

1 

n 

= ( −1) 

n + 2 

n + n + 1 

2 

2 − n 

d) un 

= 

e) u cos 

2 

n 

= n + n f) un 

= 

n + 1 

n 

Baøi 5: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số (u n ) cho bởi: 

2n 

+ 3 

1 

2 

a) un 

= 

b) u 

n + 2 

n 

= 

c) un 

= n + 4 

n( n + 1) 

u 

= 


n 

n 

+ 1 

2


d) 

u 

n 

n 

= 

2 

n 

2 

+ 2n 

+ n + 1 

e) 

u 

n 

= 

2 

n 

n + 2n + n 

n π 

f) u n 

= ( −1) cos 2 n 

III. Cấp số cộng 

1. Định nghĩa: (u n ) là cấp số cộng ⇔ u n+1 = u n + d, ∀n ∈ N* (d: công sai) 

2. Số hạng tổng quát: u = u1 + ( n − 1) d với n ≥ 2 

uk− 1 

+ uk 

+ 1 

3. Tính chất các số hạng: uk 

= với k ≥ 2 

2 

n( u1 

+ un 

) 

4. Tổng n số hạng đầu tiên: Sn 

= u1 + u2 

+ ... + un 

= = 

2 

n 

n ⎡⎣ 

2 u1 

+ ( n −1) 

d⎤⎦ 

2 

Baøi 1: Trong các dãy số (u n ) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và 

công sai của nó: 

3n 

+ 2 

2 

a) u n = 3n – 7 b) un 

= c) un 

= n 

5 

d) 3 n 

7 − 3n 

n 

u 

n 

= e) un 

= f) u 

n 

= − 1 

2 

2 

Baøi 2: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: 

⎧ u 

a) 

1 

+ u5 − u3 


⎧ u 

⎨ 

b) 

2 

+ u5 − u3 

= 10 ⎧ u 

⎩ u1 + u6 

= 17 

⎨ 

c) 

3 

= −15 

⎩ u4 + u6 

= 26 

⎨ 

⎩u14 

= 18 

⎧u 

d) 

7 

− u3 

= 8 

⎧ ⎪u7 + u15 

= 60 

⎧ u 

⎨ 

e) 

⎩ u2. u7 

= 75 

⎨ 2 2 

f) 

1 

+ u3 + u5 

= −12 

⎨ 

⎪⎩ u4 + u12 


⎩ u1u 2u3 

= 8 

Baøi 3: a) Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng. 

b) Giữa các số 4 và 67 hãy đặt thêm 20 số nữa để được một cấp số cộng. 

Baøi 4: a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các 

bình phương của chúng là 293. 

b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 22 và tổng các 

bình phương của chúng bằng 66. 

Baøi 5: a) Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm số đo các góc đó. 

b) Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có công sai d = 3 0 . 

Tìm số đo của các góc đó. 

c) Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc 

nhỏ nhất. Tìm số đo các góc đó. 

Baøi 6: Chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì các số x, y, z cũng lập 

thành một cấp số cộng, với: 

a) 

b) 

2 2 2 2 2 2 

x = b + bc + c ; y = c + ca + a ; z = a + ab + b 

2 2 2 

x = a − bc; y = b − ca; 

z = c − ab 

Baøi 7: Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với: 

a) 

2 

a = 10 − 3 x; b = 2x + 3; c = 7 − 4x 

b) 

3 2 

a = x + 1; b = 3x − 2; c = x − 1 

Baøi 8: Tìm các nghiệm số của phương trình: x − 15x + 71x 

− 105 = 0 , biết rằng các nghiệm số 

phân biệt và tạo thành một cấp số cộng. 

Baøi 9: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng 

thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, …. Hỏi có bao nhiêu hàng? 


2



IV. Cấp số nhân 

1. Định nghĩa: (u n ) là cấp số nhân ⇔ u n+1 = u n .q với n ∈ N* (q: công bội) 

1 

2. Số hạng tổng quát: 

= u q − với n ≥ 2 

3. Tính chất các số hạng: 

4. Tổng n số hạng đầu tiên: 

un 

1 . n 

2 

k k− 1. 

k+ 

1 

u = u u với k ≥ 2 

⎡ S = nu vôùi q = 1 

n 1 

⎢ 

n 

⎢ u1 

(1 − q ) 

Sn 

= vôùi q ≠ 

⎢ 

⎣ 

1− 

q 

Baøi 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết: 

⎧u 

a) 

4 

− u2 

= 72 

⎧u ⎨ 

b) 

1 

− u3 + u5 

= 65 ⎧ u 

⎩u5 − u3 

= 144 

⎨ 

c) 

3 

+ u5 

= 90 

⎩ u1 + u7 

= 325 

⎨ 

⎩u2 − u6 

= 240 

⎧ u 

⎧ u 

d) 

1 

+ u2 + u3 

= 14 

1 

+ u2 + u3 

= 21 

⎪ 

⎧ ⎪u1 + u2 + u3 + u4 

= 30 

⎨ 

e) ⎨ 1 1 1 7 f) 

⎩ u1 . u2. u3 

= 64 

+ + = 

⎨ 2 2 2 2 

⎪ 

u 

⎩u1 u2 u3 

12 ⎪⎩ 1 

+ u2 + u3 + u4 

= 340 

Baøi 2: a) Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. 

b) Giữa các số 243 và 1 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. 

Baøi 3: Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216. 

Baøi 4: a) Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng công bội là 3, tổng số các số hạng là 

728 và số hạng cuối là 486. 

b) Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các 

số hạng là 889. 

Baøi 5: a) Tìm 4 góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối 

gấp 9 lần góc thứ hai. 

b) Độ dài các cạnh của ∆ABC lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng ∆ABC có hai 

góc không quá 60 0 . 

Baøi 6: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng 

thứ nhất 35, còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560. 

Baøi 7: Số số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn. Tổng tất cả các số hạng của nó lớn gấp 3 

lần tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Xác định công bội của cấp số đó. 

Baøi 8: Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là 148 , đồng thời, 

9 

theo thứ tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng. 

Baøi 9: Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2 thì các số đó 

tạo thành một cấp số cộng, còn nếu sau đó tăng số cuối thêm 9 thì chúng lại lập thành một 

cấp số nhân. 

Baøi 10: Tìm 4 số trong đó ba số đầu là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân, còn ba số sau là 

ba số hạng kế tiếp của một cấp số cộng; tổng hai số đầu và cuối bằng 32, tổng hai số giữa 

bằng 24. 

Baøi 11: Tìm các số dương a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b lập thành một cấp số cộng và (b + 1) 2 , 

ab + 5, (a + 1) 2 lập thành một cấp số nhân. 

2 1 2 

Baøi 12: Chứng minh rằng nếu 3 số , , lập thành một cấp số cộng thì 3 số x, y, z lập 

y − x y y − z 

thành một cấp số nhân. 

1 



Bài 1: Tính tổng : S 

= 1.2 + 2.3 + ... + n( n + 1) 


⎧⎪ u1 

= 1 

Bài 2: Dãy số ( u 

n) 

xác định bởi công thức: ⎨ 

với n ≥ 1. 

⎪⎩ un+ 

1 

= 3un 

−1 

Chứng minh dãy số tăng bằng phương pháp quy nạp 

Bài 3: Cho dãy số ( u n 

) xác định bởi: u = 5 

1 

4 

và un 

+ 1 

u 

n+ 

1 

= với mọi n ≥ 1. 

2 

1 

a) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với mọi n ≥ 1 ta có u = 1 

+1 

2 

+ 

n 

. 

n 

b) Chứng minh rằng dãy số ( u n 

) là dãy giảm và bị chặn. 

Bài 4: Xét tính tăng, giảm của dãy số ( un) 

với: 

n 

a) u 

n 

= 2 − 

n 

3 n + 1 

b) un 

= 

n 

4 

Bài 5: Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 =2 và u 

1 

= u + 2 với mọi 1 n = 2 

với mọi n ≥ 1. Có nhận xét gì về dãy số này ? 

Bài 6: Cấp số cộng: 

n+ 3 2 

a) Tìm các nghiệm của phương trình: x –15x + 71 x –105 = 0 . Biết rằng các nghiệm này 

tạo thành một cấp số cộng. 

b) Cho một cấp số cộng biết tổng ba số hạng đầu tiên bằng –6 và tổng các bình phương của 

chúng bằng 30. Hãy tìm cấp số cộng đó. 

4 2 2 

c) Cho phương trình x – (3m + 4) x + ( m + 1) = 0 . Định m dể phương trình có bốn 

nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. 

1 1 1 

d) Cho các số a, b, c thoả mãn , , tạo thành một cấp số cộng. Chứng minh 

a + b a + c b + c 

2 2 2 

rằng a , b , c cũng tạo thành một cấp số cộng 

e) Nếu số thứ p, thứ q và thứ r của một cấp số cộng lần lượt là a, b, c. Chứng minh rằng: 

( q – r) a + ( r – p) b + ( p – q) c = 0 

f) Cho biết tổng n số hạng của một cấp số cộng là Sn 

= n(5 n – 3) . Tìm số hạng thứ p của 

cấp số cộng đó. 

g) Cho hai cấp số cộng lần lượt có tổng n số hạng là Sn 

= 7n 

+ 1 và Tn 

= 4n 

+ 7 . Tìm tỉ số 

u11 

của 2 số hạng thứ 11 của hai cấp số đó. 

v11 

Bài 7: Cấp số nhân: 

a) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số nhân, biết số hạng thứ hai là 16 và tổng ba số 

hạng đầu bằng 56. 

b) Một cấp số nhân ( un) 

có 5 số hạng, biết công bội 

n 

1 

q = và u1 u4 24 

4 

+ = . Tìm các số hạng 

của cấp số nhân này. 

Bài 8: Cấp số cộng – Cấp số nhân: 

a) Các số x + 6 y, 5x + 2 y, 8x + y , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Đồng thời 

x − 1, y + 2, x − 3y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Hãy tìm x và y. 

b) Cho 3 số có tổng bằng 28 lập thành cấp số nhân. Tìm cấp số nhân đó biết nếu số thứ nhất 

giảm 4 thì ta được 3 số lập thành cấp số cộng. 

c) Tìm hai số a và b biết ba số: 1, a + 8 , b theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và ba số 

1, a, 

b theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. 




d) Ba số có tổng là 217 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một CSN, hoặc là các số hạng 

thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một CSC. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của CSC để tổng 

của chúng là 280? 

e) Một CSC và một CSN có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của CSC lớn hơn số 

hạng thứ 2 của CSN là 10, còn các số hạng thứ 3 bằng nhau. Tìm các cấp số ấy? 

n n 

2 − 5 

1 1 1 

Bài 9: Cho dãy số (u n ) với u n 

= 

2 n 

+ 5 n 

. Tính S10 

= + + .... + 

u −1 u −1 u − 1 

. 


2 

7n 

− 3n 

Bài 10: Cho dãy số (u n ), kí hiệu tổng n số hạng đầu tiên của nó là S n , được xác định S n 

= . 

2 

a) Tính u 1 , u 2 , u 3 . 

b) Chứng minh dãy số trên là một cấp số cộng và xác định số hạng tổng quát của nó. 

Bài 11: 

a) 



CHƯƠNG IV 

GIỚI HẠN 

I. Giới hạn của dãy số 

Giới hạn hữu hạn 

1. Giới hạn đặc biệt: 

1 

lim 0 

n→+∞ n 

= ; 1 

+ 

lim = 0 ( k ∈Z ) 

n→+∞ 

k 

n 

n→+∞ 

n 

lim q = 0 ( q < 1) ; lim C = C 

n→+∞ 

2. Định lí : 

a) Nếu lim u n = a, lim v n = b thì 

• lim (u n + v n ) = a + b 

• lim (u n – v n ) = a – b 

• lim (u n .v n ) = a.b 

u 

• lim n a 

= (nếu b ≠ 0) 

vn 

b 

b) Nếu u n ≥ 0, ∀n và lim u n = a 

thì a ≥ 0 và lim 

un 

c) Nếu un ≤ vn 

,∀n và lim v n = 0 

thì lim u n = 0 

d) Nếu lim u n = a thì lim u n 

= a 

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 

S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 u 

+ … = 

1 

1− q 

= 

a 

( q < 1) 

Giới hạn vô cực 


lim n = +∞ lim n = +∞ ( k ∈Z ) 

n 

lim q = +∞ ( q > 1) 

2. Định lí: 

1 

a) Nếu lim u n 

= +∞ thì lim 0 

u = 

n 

u 

b) Nếu lim u n = a, lim v n = ±∞ thì lim n v = 0 

n 

c) Nếu lim u n = a ≠ 0, lim v n = 0 

un 

⎧+∞ neáu a. v 0 

thì lim = 

n 

> 

⎨ 

v 

neáu a. v 0 

n ⎩ −∞ 

n < 

d) Nếu lim u n = +∞, lim v n = a 

0 

thì lim(u n .v n ) = ⎨ ⎧+∞ neáu a > 

⎩ −∞ neáu a < 0 

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô 

định: 0 0 , ∞ , ∞ – ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử 

∞ 

dạng vô định. 

k 

+ 

Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số: 

• Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n. 

1 

1 

1+ 

2 

1+ − 3 

n + 1 1 

VD: a) lim lim n 

n + n − 3n = = b) lim = lim 

n 

= 1 

2n 

+ 3 3 2 

1− 

2n 

1 

2 + 

− 2 

n 

n 

2 2 ⎛ 4 1 ⎞ 

c) lim( n − 4n + 1) = lim n ⎜1− + = +∞ 

n 2 ⎟ 

⎝ n ⎠ 

• Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức 

( )( ) ( 3 3 3 3 

)( 2 3 2 

; 

) 

VD: lim ( n 2 − 3n − n) 

( 2 )( 2 

n −3n −n n − 3n + n) 

−3n 

= lim 

= lim 

( 2 ) 

2 

3 

a − b a + b = a − b a − b a + ab + b = a − b 

n − 3n + n 

• Dùng định lí kẹp: Nếu un ≤ vn 

,∀n và lim v n = 0 thì lim u n = 0 

n − n + n 


= − 

3 2


VD: 


sin 

a) Tính lim 

n 

sin 

. Vì 0 ≤ n 1 1 

≤ và lim 0 

n n n n = nên lim sin n 

n = 0 

3sin n − 4 cos n 

2 2 2 2 

b) Tính lim 

. Vì 3sin n − 4 cos n ≤ (3 + 4 )(sin n + cos n) = 5 

2 

2n 

+ 1 

3sin n − 4 cos n 5 

nên 0 ≤ 

≤ 

2 2 

2n 

+ 1 2n 

+ 1 

. 

5 

3sin n − 4 cosn 

Mà lim = 0 nên lim = 0 

2 

2 

2n 

+ 1 

2n 

+ 1 

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: 

• Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0. 

• Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ 

thừa cao nhất của tử và của mẫu. 

• Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞ nếu hệ số cao nhất 

của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu. 

Baøi 1: Tính các giới hạn sau: 

a) 

2 

lim 2n 

− n + 3 

3 2 

n + 2 n + 1 

4 

n 

lim 

( 1)(2 )( 

2 

+ + + 1) 

d) 

n n n 


a) 

1+ 

3 

lim 

4 + 

n 

3 

n 

n 

n+ 

1 

2 + 5 

d) lim 

1 5 

n 

+ 


a) 

lim 

2 

2 

4n 

+ 1 + 2n 

−1 

n + 4n + 1 + n 

2 

b) 

e) 

b) 

e) 

b) 

lim 

n 

2n 

+ 1 

3 2 

+ 4n 

+ 3 

n 

2 

+ 1 

lim 

2 4 

+ + 1 

n 

n 

n 

4.3 + 7 

lim 

2.5 

n 

+ 7 

n 

n+ 

1 

n 

1+ 2.3 − 7 

lim 

5 

n 2.7 

n 

+ 

lim 

n 

2 

n 

2 

n 

+ 3 − n − 4 

+ 2 + n 

c) 

f) 

c) 

f) 

c) 

3 2 

3n + 2n + n 

lim 

3 

n + 4 

4 2 

2n 

+ n − 3 

lim 

3 3 2 2 

− + 1 

n 

n 

n+ 1 n+ 

2 

4 + 6 

lim 

5 

n 

+ 8 

n 

n 

1− 2.3 + 6 

n 

lim 

2 n (3 n+ 1 

− 5) 

2 3 6 

n + 1− 

n 

lim 

n + 1 + n 

4 2 

2 2 

4n 

+ 1 + 2n 

(2n n + 1)( n + 3) 

n − 4n − 4n 

+ 1 

d) lim 

e) lim f) lim 

2 

n + 4n + 1 + n 

( n + 1)( n + 2) 

2 

3n 

+ 1 + n 


⎛ 1 1 1 ⎞ 

⎛ 1 1 1 ⎞ 

a) lim ⎜ + + ... + 

⎟ b) lim ⎜ + + ... + ⎟ 

⎝1.3 3.5 (2n 

− 1)(2n 

+ 1) ⎠ 

⎝1.3 2.4 n( n + 2) ⎠ 

⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

⎛ 1 1 1 ⎞ 

c) lim ⎜1− 1 − ... 1− 

2 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ d) lim ⎜ + + ... + ⎟ 

⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ n ⎠ 

⎝1.2 2.3 n( n + 1) ⎠ 

2 n 

1+ 2 + ... + n 

1+ 2 + 2 + ... + 2 

e) lim 

f) lim 

2 

2 

n + 3n 

1 3 3 ... 3 

n 

+ + + + 




a) lim ( n 2 + 2n − n − 1) 

b) ( 2 2 

lim n + n − n + 2 ) c) ( 

3 3 

lim 2n − n + n − 1) 

d) ( 2 4 

lim 1+ − + 3 + 1) 

e) ( 2 ) 

1 

lim 

n n n 

4n 

+ 1 − 2n 

−1 

g) lim 

2 

n + 4n + 1 − n 


a) 

2 

2 

2 cos n 

lim 

2 

n + 1 

6 2 

h) 

b) 

lim n − n − n f) 

2 3 6 

n 

lim 

+ 1− 

n 

n + 1 − n 

4 2 

n 

( − 1) sin(3 n + n ) 

lim 

3n 

−1 

2 

2 3 2 

i) 

c) 

lim 

n 

2 2 

+ 2 − n + 4 

2 2 

n − 4n − 4n 

+ 1 

2 

3n 

+ 1 − n 

2 − 2n 

cos n 

lim 3 n + 1 

3sin n + 5cos ( n + 1) 3sin ( n + 2) + n 

3n 

− 2n 

+ 2 

d) lim 

e) lim 

f) lim 

2 

2 

n + 1 

2 − 3n 

n (3cos n + 2) 

⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

Baøi 7: Cho dãy số (u n ) với u n = ⎜1− 1 ... 1 

2 ⎟⎜ − 

2 ⎟ ⎜ − 

2 ⎟ , với ∀ n ≥ 2. 

⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ n ⎠ 

a) Rút gọn u n . b) Tìm lim u n . 

1 1 1 

Baøi 8: a) Chứng minh: 

= − (∀n ∈ N * ). 

n n + 1 + ( n + 1) n n n + 1 

1 1 1 

b) Rút gọn: u n = + + ... + 

. 

1 2 + 2 1 2 3 + 3 2 n n + 1 + ( n + 1) n 

c) Tìm lim u n . 

⎧ u1 

= 1 

⎪ 

Baøi 9: Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: ⎨ 1 . 

⎪ 

un+ 

1 

= un + ( n ≥ 1) 

n 

⎩ 2 

a) Đặt v n = u n+1 – u n . Tính v 1 + v 2 + … + v n theo n. 

b) Tính u n theo n. 

c) Tìm lim u n . 

⎧ u 

Baøi 10: Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: 

1 

= 0; u2 

= 1 

⎨ 

⎩2 un+ 2 

= un+ 

1 

+ un, ( n ≥ 1) 

1 

a) Chứng minh rằng: u n+1 = − u + 1, ∀n ≥ 1. 

2 n 

b) Đặt v n = u n – 2 3 . Tính v n theo n. Từ đó tìm lim u n . 

2 

II. Giới hạn của hàm số 




Giới hạn hữu hạn 


lim x = x ; lim c = c (c: hằng số) 

x→x 

0 

0 

x→x 


a) Nếu lim f ( x) 

= L và 

x→x 

0 

thì: lim [ ( ) ( )] 

x→x 

0 

0 

0 

lim g( x) 

= M 

x→x 

f x + g x = L + M 

[ ] 

lim f ( x) − g( x) 

= L − M 

x→x 

0 

[ f x g x ] 

lim ( ). ( ) = L. 

M 

x→x 

f ( x) 

L 

lim = (nếu M ≠ 0) 

x → x g ( x ) M 

0 

b) Nếu f(x) ≥ 0 và lim f ( x) 

= L 

x→x0 

thì L ≥ 0 và lim f ( x) 

= L 

c) Nếu 

0 

x→x 

lim f ( x) 

= L thì 

x→x 

3. Giới hạn một bên: 

lim f ( x) 

= L ⇔ 

x→x 

0 

⇔ 

0 

0 

0 

lim f ( x) 

x→x 

− + 

0 

→ 

0 

= L 

lim f ( x) = lim f ( x) 

= L 

x→x x x 

Một số phương pháp khử dạng vô định: 

Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực 


lim x 

k = +∞ ; lim k ⎧+∞ neáu k chaün 

x = ⎨ 

x→+∞ 

x→−∞ 

⎩ −∞ neáu k leû 

c 

lim c = c ; lim = 0 

x→±∞ 

x→±∞ 

k 

x 

1 

1 

lim = −∞ ; lim = +∞ 

− 

+ 

x→0 

x 

x→0 

x 

1 1 

lim = lim = +∞ 

− + 

x→0 x x→0 

x 


Nếu lim f ( x) 

= L ≠ 0 và lim g( x) 

= ±∞ thì: 

0 

x→x 

lim f ( x) g( x) 

x→x 

0 

⎧+∞ 

⎪ 

= ⎨ −∞ 

⎪ 

⎩ 

x→x 

0 

neáu L vaø lim g( x) 

cuøng daáu 

x→x 

0 

neáu L vaø lim g( x) 

traùi daáu 

x→x 

⎧ 0 neáu lim g( x) 

= ±∞ 

x x0 

f ( x) 

→ 

lim = ⎪ neáu lim g( x) 0 vaø L. g( x) 0 

x→x0 g( x) 

⎨ 

+∞ = > 

x→x0 

⎪ 

⎪ −∞ neáu lim g( x) = 0 vaø L. g( x) < 0 

⎩ x→x0 

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 

0 

0 , ∞ , ∞ – ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử dạng vô 

∞ 

định. 

0 

1. Dạng 0 0 

a) L = lim P( x) 

với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x 

x → x ( ) 

0 ) = Q(x 0 ) = 0 

0 

Q x 

Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. 

3 2 2 

x − 8 ( x − 2)( x + 2x + 4) x + 2x 

+ 4 12 

VD: lim = lim = lim = = 3 

x→2 2 

x − 4 x→2 ( x − 2)( x + 2) x→2 

x + 2 4 

b) L = lim P( x) 

với P(x 

x x ( ) 

0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc 

→ 

0 

Q x 

Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. 

( )( ) 

2 − 4 − x 2 − 4 − x 2 + 4 − x 

1 1 

VD: lim = lim = lim = 

x → 0 x x → 0 x ( 2 + 4 − x ) x → 0 2 + 4 − x 4 

( ) 

c) L = lim P x 

với P(x 

x → x Q ( x ) 

0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn không đồng bậc 

0 

m n m n 

Giả sử: P(x) = u( x) − v( x) vôùi u( x0) = v( x0) 

= a . 

Ta phân tích P(x) = ( 

m 

u( x) a) ( a 

n 

v( x) 

) 

− + − . 



3 3 

x + 1 − 1− x ⎛ x + 1 −1 1− 1− 

x ⎞ 

VD: lim 

= lim ⎜ + ⎟ 

x→0 x x→0⎝ 

x x ⎠ 

⎛ 1 1 ⎞ 1 1 5 

= lim 

+ = + = 

x→0⎜ 

3 2 3 

( x + 1) + x + 1 + 1 1+ 1− 

x ⎟ 3 2 6 

⎝ 

⎠ 

2. Dạng ∞ ∞ : L = P( x) 

lim với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. 

x →±∞ Q ( x ) 

– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. 

– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc 

nhân lượng liên hợp. 

5 3 

2 2 + − 

2x + 5x − 3 x 2 

VD: a) lim = lim x = 2 

x→+∞ 

2 

x + 6x 

+ 3 x→+∞ 

6 3 

1+ + 

x 2 

x 

3 

2 − 

2x 

− 3 

b) lim = lim x = −1 

x→−∞ 

2 

x→−∞ 

x + 1 − x 

1 

− 1+ −1 

2 

x 

3. Dạng ∞ – ∞: Giới hạn này thường có chứa căn 

Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu. 

VD: ( x x ) 

( )( ) 

1+ x − x 1+ x + x 

1 

lim 1+ − = lim = lim = 0 

x→+∞ x→+∞ 1+ x + x x→+∞ 

1+ x + x 

4. Dạng 0.∞: 

Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. 

VD: 

x x − 2. x 0. 2 

lim ( x − 2) = lim = = 0 

+ 

x − 4 

+ 

x + 2 2 

x→2 2 

x→2 

Baøi 1: Tìm các giới hạn sau: 

a) 

x→0 

2 3 

1+ x + x + x 

lim 

1+ 

x 

b) 

lim 

x→−1 

2 

3x 

+ 1 − x 

x −1 

c) 

⎛ π ⎞ 

sin ⎜ x − ⎟ 

lim 

⎝ 4 ⎠ 

x 

π 

x→ 

2 

d) 

lim 

x→−1 

x 

4 

x −1 

+ x − 3 

e) 

lim 

x→2 

2 

x − x + 1 

x −1 

f) 

lim 

x→1 

2 

x − 2x 

+ 3 

x + 1 

x + 8 − 3 

g) lim 

x→1 

x − 2 


3 2 

x − x − x + 1 

a) lim 

x→1 

2 

x − 3x 

+ 2 

d) 

g) 

lim 

x→3 

3 2 

x − 5x + 3x 

+ 9 

x 

4 2 

− 8x 

− 9 

(1 + x)(1 + 2 x)(1 + 3 x) −1 

lim 

x→0 

x 

h) 

b) 

e) 

h) 

lim 

x→2 

lim 

x→1 

3 2 

x 

3x 

− 4 − 3x 

− 2 

x + 1 

x 

4 

−1 

3 2 

− 2x 

+ 1 

5 6 

x − 5x + 4x 

lim 

x→1 

2 

(1 − x) 

2 

x + x + ... + x − n 

lim 

x→1 

x −1 

n 

2 1 

i) lim x sin 

x →0 

2 

5 

x + 1 

c) lim 

x→−1 

3 

x + 1 

m 

x −1 

f) lim 

x→1 

n 

x −1 

4 

x −16 

i) lim 

x→−2 

x + 2x 

3 2 





a) 

d) 

lim 

x→2 

lim 

x→2 

4x 

+ 1 − 3 

x 

2 

− 4 

x + 2 − 2 

x + 7 − 3 

1+ x −1 

g) lim 

x→0 

3 1 + x − 1 


a) 

d) 

lim 

x→0 

lim 

x→0 

3 

1+ x − 1+ 

x 

x 

2 

3 

1+ 4x 

− 1+ 

6x 

1+ 4 x. 1+ 6x 

−1 

g) lim 

x→0 

x 


a) 

d) 

g) 

x 

2 

x 

+ 1 

xlim 

→+∞ 2 

2 

x − x + 1 

lim 

x→±∞ 

lim 

x→−∞ 

2 

x + 2x + 3 + 4x 

+ 1 

2 

4x 

+ 1 + 2 − x 

2 

(2x 

−1) x − 3 

x − 5x 


2 

a) lim 

⎛ 

x x x 

⎞ 

⎜ + − ⎟ 

x→+∞ 

⎝ ⎠ 

c) 

x 

2 3 3 

lim 

⎛ 

x 1 x 1 

⎞ 

⎜ + − − ⎟ 

→+∞ ⎝ 

⎠ 

e) ( 3 3 ) 

lim 2x 

1 2x 

1 

x→+∞ 

⎛ 1 3 ⎞ 

g) lim ⎜ − 

x→1 

1 x 3 ⎟ 

⎝ − 1− 

x ⎠ 


a) 

d) 

lim 

x→2 

lim 

+ 

+ 

x→2 

x −15 

x − 2 

2 

x − 4 

x − 2 

2 

x −1 

b) lim . 

x→1 

3 

4x 

+ 4 − 2 

e) 

h) 

b) 

e) 

h) 

b) 

e) 

h) 

lim 

x→1 

lim 

x→−3 

lim 

x→2 

3 

2x 

+ 2 − 3x 

+ 1 

x −1 

x + 3 − 2x 

3 

x 

2 

+ 3x 

8x 

+ 11 − x + 7 

x 

2 

− 3x 

+ 2 

3 

x x 

lim 

x→2 

2 

2 

x − 5 x + 2 

3 

lim 

x→0 

lim 

x→±∞ 

lim 

x→±∞ 

lim 

x→+∞ 

8 + 11 − + 7 

1+ 2 x. 1+ 4x 

−1 

x 

2 

2x 

− x + 1 

x − 2 

2 

c) 

f) 

i) 

c) 

f) 

i) 

c) 

4x − 2x + 1 + 2 − x 

f) 

2 

9x − 3x + 2x 

2 

x + 2x + 3x 

2 

4x 

+ 1 − x + 2 

i) 

lim 

x→0 

lim 

x→0 2 

lim 

x→0 

x→0 

2 

1+ x −1 

x 

x 

x 

2 

+ 1 −1 

+ 16 − 4 

x + 9 + x + 16 − 7 

x 

2 1+ x − 8 − x 

lim 

x 

lim 

x→1 

lim 

x→0 

lim 

3 

x→+∞ 

lim 

x→+∞ 

3 

3 3 2 

5 − x − x + 7 

x 

2 

−1 

x + 1 − 1− 

x 

x 

x 

x 

x 

2 

2 

2x 

+ 1 

3 2 

2 

− 3x 

+ 2 

x + 1 

+ x + 1 

x − 5x 

+ 2 

lim 

x →−∞ 2 x + 1 

2 

b) lim 

⎛ 

2x 1 4x 4x 

3 

⎞ 

⎜ − − − − ⎟ 

x→+∞ 

⎝ 

⎠ 

⎛ 

⎞ 

d) lim ⎜ x + x + x − x ⎟ 

x→+∞ 

⎝ 

⎠ 

− − + f) lim ( 3 3x 

3 − 1 + x 

2 + 2 ) 

b) 

e) 

lim 

− 

x→2 

h) 

x→−∞ 

lim 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 1 ⎞ 

+ ⎟ 

− 3 + 2 − 5 + 6 ⎠ 

x→2 

2 2 

x x x x 

x −15 

x − 2 

2 − x 

+ 

xlim 

→2 

2 

2 

x − 5 x + 2 

c) 

f) 

1+ 3x 

− 2x 

lim 

+ 

x − 3 

x→3 

2 − x 

2 

− 

xlim 

→2 

2 

2 

x − 5 x + 2 

Baøi 8: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra: 

⎧ 1+ x −1 

khi x > 0 

⎧ 2 

⎪ 3 

a) f ( x) 1+ x −1 

⎪ 

9 − x 

= ⎨ 

taïi x = 0 b) f ( x) = khi x < 3 

⎨ x − 3 

taïi x = 3 

⎪3 

khi x ≤ 0 

⎪ 

⎩1 − x khi x ≥ 3 

⎪⎩ 2 



⎧ 2 

x − 2x 

⎧ 2 

x − 3x 

+ 2 

khi x > 2 

⎪ 3 

c) f ( x) 8 − x 

⎪ 

khi x > 1 

2 

= ⎨ 

taïi x = 2 d) f ( x) = ⎨ x −1 

taïi x = 1 

4 

⎪ x −16 

⎪ x 

⎪ 

khi x < 2 

− khi x ≤ 1 

⎩ x − 2 

⎪⎩ 2 

Baøi 9: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:: 

⎧ 3 

x −1 

⎧ 1 3 

⎪ 

a) f ( x) khi x < 1 

⎪ − khi x > 1 

= ⎨ x −1 taïi x = 1 b) f ( x) = ⎨x 

−1 3 

x −1 

taïi x = 1 

⎪ 

⎩mx 

+ 2 khi x ≥ 1 

⎪ 2 2 

⎩ m x − 3mx + 3 khi x ≤1 

⎧ x + m khi x < 0 

⎪ 

⎧ x + 3m khi x < −1 

c) f ( x) = 2 

⎨ x + 100x 

+ 3 taïi x = 0 d) f ( x) = ⎨ 2 

taïi x = −1 

⎪ 

khi x ≥ 0 

⎩ x + x + m+ 3 khi x ≥ −1 

⎩ x + 3 




III. Hàm số liên tục 

1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x 0 ⇔ lim f ( x) = f ( x ) 

x→x 

• Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 ta thực hiện các bước: 

B1: Tính f(x 0 ). 

B2: Tính lim f ( x) 

(trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f ( x) 

, lim f ( x) 

) 

x→x 

B3: So sánh 

0 

lim f ( x) 

với f(x 0 ) và rút ra kết luận. 

x→x 

0 

0 

x→x 

+ 

0 

0 

x→x 

2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 

3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và 

lim f ( x) = f ( a), lim f ( x) = f ( b) 

+ − 

x→a x→b 

4. • Hàm số đa thức liên tục trên R. 

• Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 

5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x 0 . Khi đó: 

• Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x 0 . 

f ( x) 

• Hàm số y = liên tục tại x 0 nếu g(x 0 ) ≠ 0. 

g( x) 

6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b): f(c) = 0. 

Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít 

nhất một nghiệm c∈ (a; b). 

Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f ( x ) , M = max f ( x ) . Khi đó với mọi T 

[ a ; b ] 

[ a ; b ] 

∈ (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b): f(c) = T. 

− 

0 

Baøi 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: 

⎧ 

⎧ x + 3 

x + 3 − 2 

⎪ 

a) f ( x) khi x ≠ 1 

⎪ 

khi x ≠ 1 

= ⎨ x −1 

taïi x = −1 

b) f ( x) = ⎨ x −1 

taïi x = 1 

⎪− ⎩ 1 khi x = 1 

⎪ 1 

khi x = 1 

⎪⎩ 4 

⎧ 2 3 

2 − 7x + 5x − x 

⎧ x − 5 

⎪ 

c) f( x) khi x ≠2 

⎪ 

khi x > 5 

= ⎨ 2 

taïi x = 2 d) f ( x) = 5 

x − 3x 

+ 2 

⎨ 2x 

−1 − 3 

taïi x = 

⎪ 2 

⎩1 khi x = 2 

⎪ 

⎩( x − 5) + 3 khi x ≤ 5 

⎧ x −1 

⎧1 − cos x khi x ≤ 0 

⎪ 

khi x < 1 

e) f ( x) = ⎨ 

taïi x = 0 f) f ( x) = ⎨ 1 

⎩ x + 1 khi x > 0 

2 − x −1 

taïi x = 

⎪ 

⎩ − 2x 

khi x ≥ 1 

Baøi 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: 

⎧ 2 

a) f ( x) = 

x 

khi x < 1 

⎨ 

taïi x = 1 

⎩2mx 

− 3 khi x ≥ 1 

⎧ 3 2 

⎪ 

x − x + 2x 

−2 

b) f( x) = khi x ≠1 

⎨ x−1 

taïi x = 1 

⎪ 

⎩3x + m khi x = 1 



c) 

⎧ m 

khi x = 0 

⎪ 

2 

x − x − 6 

f ( x) = ⎨ 

khi x ≠ 0, x ≠ 3 taïi x = 0 vaø x = 3 

⎪ x( x − 3) 

⎪⎩ n 

khi x = 3 

⎧ 2 

⎪ 

x − x − 2 

d) f ( x) = khi x ≠ 2 

⎨ x − 2 

taïi x = 2 

⎩ 

⎪ m 

khi x = 2 

Baøi 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: 

⎧ 3 

x + x + 2 

khi x ≠ −1 

⎧ 2 

⎪ 3 

⎪ 

x − 3x + 4 khi x < 2 

a) f ( x) 

= ⎨ x + 1 

b) f ( x) = ⎨5 khi x = 2 

⎪ 4 

⎪ 

khi x = −1 

⎩2x 

+ 1 khi x > 2 

⎪⎩ 3 

⎧ 2 

⎧ 2 

x − 4 

x − 2 

⎪ 

c) f ( x) 

khi x ≠ −2 

⎪ 

khi x ≠ 2 

= ⎨ x + 2 

d) f ( x) = ⎨ x − 2 

⎪ 

⎩ − 4 khi x = − 2 

⎪ 

⎩2 2 khi x = 2 

Baøi 4: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng: 

⎧ 2 

x − x − 2 

⎧ 2 

⎪ 

a) f ( x) 

khi x ≠ 2 

⎪ 

x + x khi x < 1 

= ⎨ x − 2 

b) f ( x) = ⎨2 khi x = 1 

⎪ 

⎩m 

khi x = 2 

⎪ 

⎩mx 

+ 1 khi x > 1 

⎧ 3 2 

x − x + x − 

⎪ 

2 2 

c) f ( x) 

khi x ≠ 1 

⎧ 2 

= ⎨ x −1 

d) f ( x) 

= 

x 

khi x < 1 

⎨ 

⎪ 2mx 

− 3 khi x ≥ 1 

⎩3x + m khi x = 1 

⎩ 

Baøi 5: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 

3 

3 2 

a) x − 3x 

+ 1 = 0 

b) x + 6x + 9x 

+ 1 = 0 c) 2x 

+ 6 1− x = 3 

Baøi 6: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: 

a) 

x 

5 

− 3x 

+ 3 = 0 

b) x 

5 

+ x − 1 = 0 

c) 

5 3 

3 

4 3 2 

x + x − 3x + x + 1 = 0 

Baøi 7: Chứng minh rằng phương trình: x − 5x + 4x 

− 1 = 0 có 5 nghiệm trên (–2; 2). 

Baøi 8: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số: 

a) 

3 

m( x −1) ( x − 2) + 2x 

− 3 = 0 

b) 

c) a( x − b)( x − c) + b( x − c)( x − a) + c( x − a)( x − b) = 0 d) 

4 2 

x + mx − 2mx 

− 2 = 0 

2 3 2 

(1 − m )( x + 1) + x − x − 3 = 0 

e) cos x + m cos2x 

= 0 

f) m(2 cos x − 2) = 2sin 5x 

+ 1 

Baøi 9: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm: 

a) 

c) 

2 

ax + bx + c = 0 với 2a + 3b + 6c = 0 b) 

3 2 

x + ax + bx + c = 0 

Baøi 10: Chứng minh rằng phương trình: 

và 2a + 6b + 19c = 0. 

2 

2 

ax + bx + c = 0 với a + 2b + 5c = 0 

ax + bx + c = 0 luôn có nghiệm x ∈ 

⎡ 1⎤ 

⎢0; ⎣ 3 

⎥ 

⎦ với a ≠ 0 




Bài 1. Tìm các giới hạn sau: 

1+ 2 + 3 + ... + n 

a) lim 

3n 3 

d) 

Bài 2. 

2 

lim n + 2n 

2 2 

n + 3 n − 1 

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV 

b) 

e) 

⎛ n + 2 sin n ⎞ 

lim ⎜ + 

n 1 n ⎟ 

⎝ + 2 ⎠ 

5n+ 

1 

lim 2 + 3 

3 5n+ 

2 

+ 1 

c) 

f) 

2 

n + 2n 

lim 

3n 

2 

+ n + 1 

n 

( − 1) + 4.3 

n 

lim 

( 1) n+ 

1 2.3 n 

− − 

g) lim ( n 2 − 3n − n 

2 + 1) 

g) ( 

3 3 2 

lim n + 3n − n) 

h) ( 2 4 

lim 1+ n − n + n ) 

2 

2 cos n 

n 

i) lim 

k) lim 

l) ( 2 

n 3 3 

lim − 2 − n + 2n 

) 

a) 

2 

n +1 

Tìm các giới hạn sau: 

x 

lim 

x 

x→3 

2 

2 

− 5x 

+ 6 

− 8x 

+ 15 

4 3 2 

2x − 5x + 3x 

+ 1 

d) lim 

x→1 

3 

4 3 2 

x − 8 x + 6 x − 1 

3 

x − 2x 

−1 

g) lim 

x→1 

5 

x − 2x 

−1 


a) 

x − 2 

lim 

3 − x + 7 

x→2 

1+ 2x 

− 3 

d) lim 

x →4 

x − 2 

g) 

lim 

x→1 

3 

3 

x + 7 − 5 − x 

x −1 

x −1 

k) lim 

x →0 

x −1 


a) 

d) 

g) 

Bài 5. 

a) 

lim 

+ 

x→−2 

x→2 

2 

2x 

− 3x 

+ 2 

x + 2 

2 

2x 

− 5x 

+ 2 

lim 

− 

( 

2 

x − 2) 

8 + 2x 

− 2 

lim 

+ 

x + 2 

Tìm các giới hạn sau: 

x→−2 

lim 

x→−∞ 

3 2 

2x − 3x + 4x 

−1 

2 

4 3 2 

x − 5x + 2x − x + 3 

4 3 

d) lim 2x − x + x 

x →+∞ 3 4 2 

x + 2 x − 7 

b) 

1 

x→ 

2 

2 2 

3n 

+ 1 − n −1 

2 

8x 

−1 

lim 

6 

2 

x − 5 x + 1 

x 

e) lim 

x→1 

x 

3 

4 

− 3x 

+ 2 

− 4x 

+ 3 

x + 2 

h) lim 

x →−2 

2 

2 

x + 5 x + 2 

1+ x −1 

b) lim 

x→ 0 x 

2x 

+ 7 − 3 

e) lim 

x →1 

x + 3 − 2 

1+ x − 1− 

x 

h) lim 

x→ 0 x 

l) 

b) 

e) 

h) 

b) 

lim 

x→0 

lim 

− 

x→1 

x→3 

2 

3 3 

3 2 

1+ x −1 

x 

2 

x 

2 

x −1 

3x 

+ 4 

lim 

+ 3 − x 

lim 

− 

x→−3 

+ 3x 

− 4 

2 

2x 

+ 5x 

− 3 

( x − 3) 

2 

x + x −1 

lim 

2 

2 

x + x + 1 

x→+∞ 

e) ( 2 

lim x 1 x) 

x→−∞ 

2 

c) 

f) 

i) 

x − 4x + 4x 

− 3 

lim 

2 

x − 3x 

x→3 

x→2 

3 2 

3 2 

x − 2x − 4x 

+ 8 

lim 

4 2 

x − 8x 

+ 16 

x→−1 

2 

( x + 2) −1 

lim 

2 

x −1 

c) lim 

x→1 

x 

x + 8 − 3 

2 

+ 2x 

− 3 

x + 1 −1 

f) lim 

x →0 2 

4 − x + 16 

3 

2 

4x 

− 2 

i) lim 

x →2 

x − 2 

x + 2 + x + 7 − 5 

m) lim 

x →2 

x − 2 

c) 

f) 

lim 

+ 

x→−1 

x + 

lim 

+ 

x − 

x→0 

3 

3x 

− 4x 

+ 1 

x + 1 

x 

x 

i) lim ( x − 2 ) 

c) 

+ + f) 

+ 

x→2 

x→+∞ 

x 2 

x 

− 4 

2 3 

lim (2x 

− 3) (4x 

+ 7) 

(3 3 2 

x + 1)(10 x + 9) 

lim ( x + x − x + 1) 

x→−∞ 

2 



g) 

lim 

x→ −∞ 

2 

x + 1 − x 

5 + 2x 

2 

x + 2x + 3x 

k) lim 

x →−∞ 2 

4x 

+ 1 − x + 2 

Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số: 

a) 

⎧1 − x khi x ≤3 

⎪ 

f ( x) = 2 

⎨ x − 2x 

− 3 

⎪ 

khi x > 3 

⎩ 2x 

− 6 

h) lim ( x 2 x 3 x) 

x→−∞ 

5x + 3 1− 

x 

− + + i) lim 

x →−∞ 1− 

x 

l) lim ( x 2 + x − 2x 

2 − 1) 

m) lim ( x 2 + 2x + x) 

x→−∞ 

trên R b) 

⎧ 12 − 6x 

⎪ 

khi x ≠ 2 

c) f ( x) = ⎨ 2 

x − 7x 

+ 10 

⎪ 

⎩2 khi x = 2 

trên R d) 

Bài 7. Tìm a để hàm số liên tục trên R: 

2 ⎧⎪ 2a 

+ 1 khi x ≤1 

a) f ( x) = ⎪ 

⎨ 

3 2 

x − x + 2x−2 

khi x > 1 

⎪⎩ 

x−1 

b) 

⎧ 2 

⎪ 

x + x − 2 

c) f ( x) 

= khi x ≠ −2 

⎨ x + 2 

⎪ 

⎩a 

khi x = −2 

d) 

Bài 8. Chứng minh rằng phương trình: 

3 2 

a) x + 6x + 9x 

+ 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 

3 2 4 

x→−∞ 

⎧1 − cos x 

khi x ≠ 0 

⎪ 2 

f ( x) 

= ⎨ sin x 

⎪ 1 

khi x = 0 

⎪⎩ 4 

2 ⎧⎪ x khi x < 0 

f ( x) 

= ⎨ 

⎪ ⎩1 − x khi x ≥ 0 

⎧ 2 

⎪ 

x −1 

f ( x) 

= khi x ≠ 1 

⎨ x −1 

⎩ 

⎪ x + a khi x = 1 

tại x = 0 

⎧ 2 

⎪ 

x − 4x 

+ 3 

f ( x) 

= khi x < 1 

⎨ x −1 

⎩ 

⎪ ax + 2 khi x ≥ 1 

b) m( x −1) ( x − 4) + x − 3 = 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m. 

2 4 3 

c) ( m 1) x – x –1 0 

+ = luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng ( 1; 2 ) 

3 2 

d) x + mx − 1 = 0 luôn có 1 nghiệm dương. 

4 2 

tại x = 0 

− với mọi m. 

e) x − 3x + 5 x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2). 

a b c 

Bài 9. Cho m > 0 và a, b, c là 3 số thực thoả mãn: + + = 

m + 2 m + 1 m 0 . Chứng minh rằng 


a) 

2 

phương trình: f ( x) = ax + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1). 

HD: Xét 2 trường hợp c = 0; c ≠ 0. Với c ≠ 0 thì 

⎛ m + 1 ⎞ c 

f (0). f ⎜ ⎟ = − < 0 

⎝ m + 2 ⎠ m( m + 2) 

2 



CHƯƠNG V 

ĐẠO HÀM 

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x 0 ∈ (a; b): 

f ( x) − f ( x0) 

∆y 

f '( x0) = lim 

= lim (∆x = x – x 0 , ∆y = f(x 0 + ∆x) – f(x 0 )) 

x → x x − x ∆x→0 

∆x 

0 

0 

• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại điểm đó. 

2. Ý nghĩa của đạo hàm 

• Ý nghĩa hình học: 

M x 

+ f′ (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại ( 0 

f x0 

) 

+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M ( x ; y ) là: 

0 0 

; ( ) . 

y – y 0 = f′ (x 0 ).(x – x 0 ) 

• Ý nghĩa vật lí: 

+ Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm 

t 0 là v(t 0 ) = s′(t 0 ). 

+ Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t 0 là I(t 0 ) = Q′(t 0 ). 

3. Qui tắc tính đạo hàm 

• (C)′ = 0 (x)′ = 1 (x n )′ = n.x n–1 ⎛ n ∈ N ⎞ 

⎜ 

n > 1 

⎟ 

( )′ 1 

x = 

⎝ ⎠ 

2 x 

• ( u ± v )′ = u′ ± v′ 

( uv )′ = u′ v + v′ 

u 

⎛ u ⎞ ′ 

u′ v − v′ 

u 

⎜ ⎟ = 

⎝ v ⎠ v 2 

(v ≠ 0) 

( ku )′ = ku′ 

⎛ 1 ⎞ ′ v′ 

⎜ ⎟ = − 

⎝ v ⎠ v 2 

• Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u′ x và hàm số y = f(u) có đạo 

hàm tại u là y′ u thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là: y′ x 

= y′ u. 

u′ 

x 

4. Đạo hàm của hàm số lượng giác 

sin x 

sin u( x) 

• lim = 1; 

lim = 1 (với lim u( x) = 0 ) 

x→0 

x 

x→x 

u( x) 

x→x 

0 

• (sinx)′ = cosx (cosx)′ = – sinx ( x) 

1 

tan ′ = ( ) 

1 

cot x ′ = − 

2 

2 

cos x 

sin x 

5. Vi phân 

• dy = df ( x) = f ′( x).∆x 

• f ( x + ∆x) ≈ f ( x ) + f ′( x ). ∆x 

6. Đạo hàm cấp cao 

• f ''( x) = [ f '( x) ] 

′ ; f x [ f x ] 

'''( ) = ''( ) ′ ; 

0 

0 0 0 

f ( x) = ⎡ 

⎣ f ( x) 

⎤ 

⎦ (n ∈ N, n ≥ 4) 

( n) ( n − 1) ′ 

• Ý nghĩa cơ học: 

Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t 0 là a(t 0 ) = f′′(t 0 ). 




VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa 

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước: 

B1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x 0 . Tính ∆y = f(x 0 + ∆x) – f(x 0 ). 

∆y 

B2: Tính lim . 

∆x→0 

∆x 

Baøi 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: 

2 

a) y = f ( x) = 2x − x + 2 tại x 0 

= 1 b) y = f ( x) = 3 − 2x 

tại x 0 = –3 

c) 

y = f ( x) 

= 

2x 

+ 1 

x −1 

3 

π 

tại x 0 = 2 d) y = f ( x) = sin x tại x 0 = 6 

e) y = f ( x) 

= x tại x 0 = 1 f) y = f ( x) 

= 

Baøi 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau: 

2 

3 

x 

2 

+ x + 1 

x −1 

tại x 0 = 0 

a) f ( x) = x − 3x 

+ 1 b) f ( x) = x − 2x 

c) f ( x) = x + 1, ( x > − 1) 

d) f ( x) 

= 

1 

2x 

− 3 

e) f ( x) = sin x 

f) f ( x) 

1 

= 

cos x 

VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức 

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm. 

Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp. 

Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 

4 1 3 

3 2 

a) y = 2x − x + 2 x − 5 b) y = − x + x x. 

c) y = ( x 3 − 2)(1 − x 

2 ) 

3 

3 

2 2 2 

d) y = ( x −1)( x − 4)( x − 9) e) y ( x 3 x)(2 x) 

g) y = 

3 

2x 

+ 1 

2 

h) 

x 2 

⎛ 1 ⎞ 

y = x + 1 ⎜ −1⎟ 

⎝ x ⎠ 

2 

= + − f) ( ) 

2x 

+ 1 

y = i) 

1 − 3x 

2 

1+ x − x 

y = 

1 − x + x 

x − 3x 

+ 3 

2x 

− 4x 

+ 1 

2x 

k) y = 

l) y = 

m) y = 

x −1 

x − 3 

2 

x − 2x 

− 3 


2 4 

a) y = ( x + x + 1) 

b) y = (1 − 2 x 2 ) 

5 

c) y = ( x − 2 x + 1) 

d) 

g) 

2 5 

y = ( x − 2 x ) 

e) ( 2 ) 

( x + 1) 

y = 

( x −1) 

2 

3 


2 

h) 

2 

2 

2 


4 

1 

y = 3 − 2x 

f) y = 

( x − 2x 

+ 5) 

⎛ 2x 

+ 1⎞ 

y = ⎜ ⎟ 

⎝ x −1 

⎠ 

3 

i) 

⎛ 3 ⎞ 

y = ⎜ 2 − 

2 ⎟ 

⎝ x ⎠ 

a) y = 2x − 5x 

+ 2 b) y = x − x + 2 c) y = x + x 

d) y = ( x − 2) x 2 + 3 e) y ( x 2) 

3 

2 2 

3 

= − f) ( ) 

y = 1+ 1− 

2x 3 

3 



g) 

y = 

3 

x 

x −1 


a) 

⎛ sin x ⎞ 

y = ⎜ ⎟ 

⎝1+ 

cos x ⎠ 

2 

h) 

y = 

4x 

+ 1 

x 2 

+ 2 

i) 

y = 

4 + x 

x 

b) y = x.cos 

x 

c) y = sin (2x 

+ 1) 

d) y = cot 2x 

e) y = sin 2 + x 2 f) y = sin x + 2x 

2 3 

= + h) ( 2 2 ) 

g) y (2 sin 2 x) 

y = sin cos x tan x i) y = 2sin 4x − 3cos 5x 

⎛ 

2 x + 1⎞ 

2 

k) y = cos 

l) y x 3 1 

= tan 2 + tan 2x + tan 5 2x 

⎜ x −1 

⎟ 

⎝ ⎠ 

3 5 

Baøi 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 

a) 

c) 

n 

n−1 

2 

3 

2 3 

(sin x.cos nx)' = nsin x.cos( n + 1) x b) (sin x.sin nx)' = n.sin x.sin( n + 1) x 

n 

n−1 

(cos x.sin nx)' = n.cos x.cos( n + 1) x d) (cos x.cos nx)' = − n.cos x.sin( n + 1) x 

n 

n 

n−1 

n−1 

VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) 

1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x 0 , y 0 ) ∈ ( C) 

là: y − y = f '( x )( x − x ) (*) 

0 0 0 

2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: 

+ Gọi x 0 là hồnh độ của tiếp điểm. Ta có: f ′( x ) = k (ý nghĩa hình học của đạo hàm) 

+ Giải phương trình trên tìm x 0 , rồi tìm y = f ( x ). 

0 

0 0 

+ Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*) 

3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x 1 , y 1 ) cho trước: 

+ Gọi (x 0 , y 0 ) là tiếp điểm (với y 0 = f(x 0 )). 

+ Phương trình tiếp tuyến (d): y − y = f '( x )( x − x ) 

0 0 0 

(d) qua A ( x , y ) ⇔ y − y = f '( x ) ( x − x ) (1) 

1 1 1 0 0 1 0 

+ Giải phương trình (1) với ẩn là x 0 , rồi tìm y0 = f ( x0) 

và f '( x 0 

). 

+ Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*). 

4. Nhắc lại: Cho (∆): y = ax + b. Khi đó: 

1 

+ ( d) ⁄⁄ ( ∆) 

⇒ kd 

= a 

+ ( d) ⊥ ( ∆) 

⇒ kd 

= − 

a 

2 

Baøi 1: Cho hàm số (C): y = f ( x) = x − 2x 

+ 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 

a) Tại điểm thuộc (C) có hoành độ x 0 = 1. 

b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0. 

c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0. 

d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ. 

2 − x + x 

Baøi 2: Cho hàm số y = f ( x) 

= (C). 

x −1 

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4). 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1. 

2 




3x 

+ 1 

Baøi 3: Cho hàm số y = f ( x) 

= (C). 

1 − x 

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7). 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. 

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 

1 

d: y = x + 100 . 

2 

e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 

∆: 2x + 2y – 5 = 0. 

3 2 

Baøi 4: Cho hàm số (C): y = x − 3 x . 

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2). 

b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I. 

Baøi 5: Cho hàm số (C): y = 1 − x − x 2 . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): 

a) Tại điểm có hoành độ x 0 = 1 . 

2 

b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0. 

VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao 

( n) ( n−1) 

1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng công thức: y = ( y ) 

2. Để tính đạo hàm cấp n: 

• Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n. 

• Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng. 

/ 

Baøi 1: Cho hàm số f ( x) = 3( x + 1)cos x . 

⎛ π ⎞ 

a) Tính f '( x), f ''( x) b) Tính f ''( π ), f '' ⎜ ⎟, f ''(1) 

⎝ 2 ⎠ 

Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra: 

4 3 2 

x − 3 

a) y = cos x, 

y''' 

b) y = 5x − 2x + 5x − 4x + 7, y '' c) y = , y '' 

x + 4 

2 

d) y = 2 x − x , y'' 

e) y = x sin x, 

y '' 

f) y = x tan x, 

y '' 

2 3 

6 3 (4) 

1 

g) y = ( x + 1) , y '' h) y = x − 4x + 4, y 

i) y = , y 

1 − x 

Baøi 3: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 

( n) 

n 

⎛ 1 ⎞ ( −1) n! 

( n) ⎛ n. 

π ⎞ 

( n) ⎛ n. 

π ⎞ 

a) ⎜ ⎟ = 

b) (sin x) 

= sin x + 

1 + x 

n 1 

⎝ ⎠ (1 + x) + 

⎜ ⎟ c) (cos x) 

= cos⎜ 

x + ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

⎝ 2 ⎠ 

Baøi 4: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: 

1 

1 

x 

a) y = 

b) y = 

c) y = 

x + 2 

2 

x − 3x 

+ 2 

x 2 −1 

1− 

x 

2 

d) y = e) y = sin x 

f) y = sin 

4 x + cos 

4 x 

1 + x 


(5)


Baøi 5: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra: 

⎧ y = x sin x 

a) ⎨ 

b) 

⎧⎪ 2 

y 2x x 

⎨ 

= − 

⎩xy '' − 2( y ' − sin x) + xy = 0 

3 

⎪⎩ y y '' + 1 = 0 

⎧ y = x tan x 

c) ⎨ 2 2 2 

d) 

⎩x y '' − 2( x + y )(1 + y) = 0 

⎧ x − 3 

⎪y 

= 

⎨ x + 4 

⎪ 2 

⎩2 y′ = ( y −1) y '' 

sin u( x) 

VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng lim 

x → x 

0 

u( x) 

Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức 

sin u( x) 

lim = 1 (với lim u( x) = 0 ) 

x→x 

u( x) 

x→x 

0 

0 


sin3x 

1− 

cos x 

a) lim b) lim 

x → 0 sin 2 x 

x→ 

0 

e) lim 1+ sin x − cos x 

f) 

x → 0 1 − sin x − cos x 

π 

x→ 

2 

x 2 

1− 

sin x 

lim 

2 

⎛ π ⎞ 

⎜ − x ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

c) 

g) 

tan 2x 

lim d) 

x → 0 sin 5 x 

⎛ π ⎞ 

lim ⎜ − x ⎟ tan x 

⎝ 2 ⎠ 

π 

x→ 

2 

h) 


lim cos2 x 

π 

x→ 

4 

⎛ π ⎞ 

sin ⎜ x − ⎟ 

lim 

⎝ 6 ⎠ 

3 

− cos x 

2 

π 

x→ 

6 

Baøi 1: Giải phương trình f 

VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác 

'( x) = 0 với: 

a) f ( x) = 3cos x − 4sin x + 5x 

b) f ( x) = cos x + 3 sin x + 2x 

− 1 

2 

cos 4x 

cos6x 

c) f ( x) = sin x + 2 cos x 

d) f ( x) = sin x − − 

4 6 

3π 

+ x 

e) f ( x) = 1− sin( π + x) + 2 cos 

2 

f) f ( x) = sin 3x − 3 cos3x + 3(cos x − 3 sin x) 

Baøi 2: Giải phương trình f '( x) = g( x) 

với: 

a) 

c) 

⎧ 4 

f ( x) = sin 3x 

⎨ 

⎩g( x) = sin 6x 

⎧ 

2 2 x 

⎪ f ( x) = 2x 

cos 

⎨ 

2 

⎪ 2 

⎩g( x) = x − x sin x 

Baøi 3: Giải bất phương trình f '( x) g'( x) 

3 2 

b) 

⎧ 3 

f ( x) sin 2x 

⎨ 

= 

⎩g( x) = 4 cos2x − 5sin 4x 

⎧ 

2 x 

⎪ f ( x) = 4x 

cos 

d) ⎨ 

2 

⎪ 

x 

g( x) = 8cos − 3 − 2x sin x 

⎩ 2 

> với: 

a) f ( x) = x + x − 2, g( x) = 3x + x + 2 

b) 

c) 

2 

= − − = 

2 

f ( x) x 2x 8, g( x) 

x 

3 2 3 x 

2 

f ( x) = 2x − x + 3, g( x) = x + − 3 d) f ( x) = , g( x) 

= x − x 

2 

x 


3



Baøi 4: Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R: 

mx 2 

a) f '( x) > 0 vôùi f ( x) = − 3x + mx − 5 

3 

mx 

3 mx 

2 

b) f '( x) < 0 vôùi f ( x) = − + ( m + 1) x − 15 

3 2 

3 2 

Baøi 5: Cho hàm số y = x − 2x + mx − 3. Tìm m để: 

a) f '( x ) bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất. 

b) f '( x) ≥ 0 với mọi x. 

3 

3 2 

mx mx 

Baøi 6: Cho hàm số f ( x) = − + − (3 − m) x + 2. Tìm m để: 

3 2 

a) f '( x ) < 0 với mọi x. 

b) f '( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. 

c) Trong trường hợp f '( x ) = 0 có hai nghiệm, tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc 

vào m. 



Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 

3 2 

BÀI TẬP ÔN CHƯỜNG V 

a) y = x ( x − 4) 

b) y = ( x + 3)( x − 1) c) y = x − 2 x + 2 

d) y x(2x 2 

2 3 

= − 1) 

e) y = (2x + 1)(4 x − 2 x) 

f) 

2 

x − 3x 

+ 2 

g) y = 

h) y = 

2x 

− 3 

x 


2 

1 

− 2x 

i) 

6 

1+ 

9x 

y = 

x + 1 

2 2 

y = ( 3 − 2x 

) 

4 2 

a) y = x − 3x 

+ 7 

b) y = 1− x 2 

2 

c) y = x − 3x 

− 2 

1+ 

x 

d) y = 

e) y = 

1− 

x 


3 

x 

1− 

a) y = sin( x − x + 2) b) y = tan (cos x) 

c) 

d) 

sin x + cos x 

y = 

sin x − cos x 

x 2 

f) 

y = 

x − 3 

x 

sin x x 

y = + 

x sin x 

e) y x cot( x 2 

2 2 

= − 1) f) y = cos ( x + 2x 

+ 2) 

3 2 

2 2 

g) y = cos2x 

h) y = cot 1+ x i) y = tan (3x + 4 x) 

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của các hàm số, với: 

3 2 

a) ( C) : y = x − 3x 

+ 2 tại điểm M( −1, − 2). 

x 

b) ( C) : y = 

2 

+ 4x 

+ 5 

x + 2 

tại điểm có hoành độ x 0 

= 0. 

1 

c) ( C) : y = 2x 

+ 1 biết hệ số góc của tiếp tuyến là k = . 

3 

3 2 

Bài 5: Cho hàm số y = x − 5x 

+ 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) 

sao cho tiếp tuyến đó: 

a) Song song với đường thẳng y = − 3x 

+ 1. 

1 

b) Vuông góc với đường thẳng y = x − 4. 

7 

c) Đi qua điểm A(0;2) . 

cos x 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

Bài 6: a) Cho hàm số f ( x) = . Tính giá trị của f ' ⎜ ⎟ + f ' ⎜ ⎟. 

cos2x 

⎝ 6 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

4 4 

1 

b) Cho hai hàm số f ( x) = sin x + cos x và g( x) = cos4 x. 

So sánh f '( x) và g'( x) . 

4 

Bài 7: Tìm m để f ′( x) > 0, ∀x ∈ R , với: 

3 2 

a) f ( x) = x + ( m − 1) x + 2x 

+ 1. 

b) f ( x) = sin x − msin 2x − 1 sin3x + 2mx 

3 

Bài 8: Chứng minh rằng f ′( x) > 0, ∀x ∈ R , với: 

Bài 9: 

a) 

2 9 6 3 2 

a) f ( x) = 2x + sin x. 

b) f ( x) = x − x + 2x − 3x + 6x 

− 1. 

3 


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ I TOÁN 11 

A/ PHẦN ĐẠI SỐ : 

CHƯƠNG I : LƯỢNG GIÁC 

Bài 1:Tìm tập xác định của các hàm số sau : 

1 

x 

2x 

1) y = 

2) y = tan 3) y = sin 

2cos x −1 

2 x − 2 

1 

4) y = cot 2x 

5) y = cos 

2 

6) y = cos x + 1 

x −1 

Bài 2: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau 

1) y = sin 2x 

2) y = cos3x 

3) y = tan 2x 

4) y = x sin x 

5) y = 1− cos x 6) y = x − sin x 

sin x − tan x 

cos x + 1 

7) y = 8) y = 

sin x + cot x 

3 

sin x 

9) y = tan x 

Bài 3 Giải các phương trình sau : 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

1) 2 cos 2x − 1 = 0 2) sin x = cos3x 

3) cos ⎜ x + ⎟ + sin ⎜3x 

+ ⎟ = 0 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

2 ⎛ π ⎞ 

4) tan 2x 

= cot ⎜ x + ⎟ 5) sin x = 3 cos x 6) tan ⎜ − 2x⎟ 

− 3 = 0 

⎝ 4 ⎠ 

⎝ 3 ⎠ 

Bài 4: Giải các phương trình sau : 

1)sin 2x = cos x 

⎛ π ⎞ 

0 

2)sin ⎜2x + ⎟ + cos x= 0 3)cos ( x + 30 ) + sin 2x 

= 0 

⎝ 6 ⎠ 

0 0 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

4) cos ( 100 − 2x) 

+ sin( x + 30 ) = 0 5) tan ⎜2x − ⎟ = cot x 6)cot ⎜3x 

− ⎟ = tan 2x 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 

7) tan x.tan 2x = − 1 8)cot 2 x.cot3x = 1 9) tan3 x.cot x = 1 

Bài 5: Giải các phương trình sau: 

1) sin 2 x + 2sinx – 3 = 0 2) 2sin 2 x + sinx – 1 = 0 3) 2sin 2 2x + 5sin2x + 2 = 0 

4) 2cos 2 x – 3cosx – 2 = 0 5) 4cos 2 x + 4cosx – 3 = 0 6) 2cos 2 x – 5cosx – 3 = 0 

7) 3tan 2 x – tanx – 4 = 0 8) 5 + 3tanx – tan 2 x = 0 9) -5cot 2 x – 3tanx + 8 = 0 

⎛ π ⎞ 

Bài 6 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm : ( 4m + 1) 

sin ⎜ 2x + ⎟ = 3m 

⎝ 3 ⎠ 

Bài 7 Giải các phương trình sau : 1) cos xcos 2x = 1+ 

sin xsin 2x 

2) 4sin xcos xcos 2x = − 1 3) sin 7x − sin3x = cos5x 

4) 

2 2 

cos x − sin x = sin 3x + cos 4x 

2 3x 

5) cos 2x 

− cos x = 2sin 2 

1 

1 

6) sin x sin 2x sin 3x = sin 4x 

7) 4 4 2 

2 

sin x + cos x = − cos 2x 

8) 3cos x − 2sin x + 2 = 0 

4 

2 

6 6 2 

9) sin x + cos x = 4cos 2x 

10) 2 tan x −3cot x − 2 = 0 

11) cos3x + cos 2x + cos x = sin 3x + sin 2x + sin x 

Bài 8 Giải các phương trình sau : 1) 3sin x − 4cos x = 1 2) 2sin x − 2cos x = 2 

3) 3sin x + 4cos x = 5 4) 3 sin 3x 

+ cos3x 

= 2 

Bài 9: phương trình: Cho : 3msin x + ( 2m − 1) 

cos x = 3m 

+ 1 

1. Giải phương trình khi m = 1. 

2. Xác định m để phương trình có nghiệm. 

3 


CHƯƠNG II : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 

Baøi 1.Cho taäp hôïp A = ⎨ 1;2;3;4;5;6 ⎬ 

a/ Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau hình thaønh töø taäp A. 

b/ Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 3 chöõ soá khaùc nhau hình thaønh töø taäp A vaø soá ñoù 

chia heát cho 2. 

c/ Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 5 chöõ soá khaùc nhau hình thaønh töø taäp A vaø soá ñoù 

chia heát cho 5. 

Baøi 2: Cho caùc chöõ soá 0.1.2.3,4.5.6. Coù bao nhieâu soá töï nhieân : 

a/ Chaün coù 4 chöõ soá khaùc nhau? 

b/ Coù 4 chöõ soá khaùc nhau trong ñoù luoân coù maët chöõ soá 5. 

c/ Leû coù 5 chöõ soá khaùc nhau? 

Bài 3. Một cái khay tròn đựng bánh kẹo ngày Tết có 6 ngăn hình quạt mẫu khác nhau. Hỏi 

có bao nhiêu cách bày 6 loại bánh kẹo vào 6 ngăn đó? 

Bài 4.Có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự gồm 3 người: 1 lớp trưởng,1 lớp phó và 1 thủ 

quỹ trong một lớp có 30 học sinh ? 

Bài 5. Trong mặt phẳng có 10 điểm phân biệt, có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm 

đầu và điểm cuối đã cho? 

Baøi 6. Moät lôùp hoïc coù 40 hoïc sinh goàm 25 hoïc sinh nam vaø 15 hoïc sinh nöõ .Giaùo vieân chuû 

nhieäm muoán choïn ra 4 hoïc sinh vaøo ban traät töï .Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn neáu : 

a/ Soá nam hoaëc nöõ trong ban laø tuyø yù ? b/ Phaûi coù 1 nam vaø 3 nöõ . 

c/ Phaûi coù 2 nam vaø 2 nöõ d/ Ít nhaát phaûi coù 1 nam. 

Bài 7. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của chúng thuôc tập hợp gồm 10 điểm nằm trên 

đường tròn? 

Bài 8. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn: 

a/ ( 2a + b) 4 , b/ ( x - 3y) 5 , 

⎛ 3 ⎞ 

c/ ⎜ x + ⎟ 

⎝ x ⎠ 

Bài 9 

a/ Tìm hệ số của x 10 trong khai triển (2+x) 15 , b/ Tìm hệ số của x 9 trong khai triển (2-x) 19 , 

Bài 10. Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển 

Bài 11. Tìm hệ số của x 5 3 

trong khai triển của 3x − ( x ≠ 0) 

Bài 12.Trong khai triển 



6 

⎛ 2 ⎞ 

⎜ x + ⎟ , mà trong đó số hạng của x giảm dần. 

⎝ x ⎠ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 1 ⎞ 

⎜ x + ⎟ hãy tìm số hạng tự do. 

⎝ x ⎠ 

Bài 13. Hãy tìm hệ số của x 4 ⎛ x 3 ⎞ 

trong khai triển của ⎜ − ⎟ 

⎝ 3 x ⎠ 

Bài 14. Biết hệ số của x 2 trong khai triển của (1+3x) n bằng 90. Hãy tìm n. 

Bài 15. Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất một lần và quan sát số chấm xuất hiện 

a/ Hãy mô tả không gian mẫu. b/ Hãy xác định các biến cố sau: 

A: “ Xuất hiện mặt chẵn chấm”; B: “Xuất hiện mặt lẻ chấm”; 

C: “ Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3” 

c/ Trong các biến cố trên, hãy tìm các biến cố xung khắc. 

Bài 16: Gieo một đồng tiền hai lần . 


x 

2 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

5 

12

a/ Hãy mô tả không gian mẫu . b/ Hãy xác định các biến cố sau 

A : “ Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa” B : “ Kết quả hai lần khác nhau .” 

Bài 17. Gieo một đồng tiền ba lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N). 

a/Xây dựng không gian mẫu . 

b/ Hãy xác định các biến cố sau: 

A : “ Lần gieo đầu xuất hiện mặt sấp”; B : “Ba lần xuất hiện các mặt như nhau”; 

C: “ Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”; D: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”. 

Bài 17.Gieo một đồng tiền, sau đó gieo một con súc sắc. Quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), 

mặt ngửa (N) của đồng tiền và số chấm xuất hiện trên con súc sắc. 

a/ Hãy mô tả không gian mẫu . 

b/ Hãy xác định các biến cố sau 

A : “ Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm ” 

B : “ Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con súc sắc xuất hiện mặt lẻ chấm ” 

C: “ Mặt 6 chấm xuất hiện” 

Bài 18 : Từ một hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi. 

a/ Xây dựng không gian mẫu . 

b/ Xác định các biến cố sau: 

A : “ Hai bi cùng màu trắng”; B : “Hai bi cùng màu đỏ”; 

C: “Hai bi cùng màu ”; D: “ Hai bi khác màu ”. 

c/ Trong các biến cố trên , hãy tìm các biến cố xung khắc, các biến cố đối nhau. 

Bài 20. Từ một hộp chứa 4 quả cầu ghi chữ T, 3 quả cầu ghi chữ Đ và 1 quả cầu ghi chữ H. 

Tính xác suất của các biến cố sau 

a/ Lấy được quả cầu ghi chữ T b/ Lấy được quả cầu ghi chữ Đ 

c/ Lấy được quả cầu ghi chữ H 

Bài 21. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến 

cố sau 

A: “ Mặt lẻ xuất hiện” B: “Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3” 

C: “Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 2”. 

Bài 22. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc hai lần 

a/ Hãy mô tả không gian mẫu. 

b/ Hãy xác định các biến cố sau 

A: “ Lần đầu xuất hiện điểm 6” B:” Tổng điểm của hai lần là 4” 

c/ Tính P(A) và P(B). 

Bài 23. Gieo một đồng tiền ba lần 

a/ Hãy mô tả không gian mẫu 

b/ Hãy tính xác suất của các biến cố sau 

A: “ Lần đầu xuất hiện mặt sấp” B: “ Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa” 

Bài 24. Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất 

để thẻ được lấy ghi số 

a/ Chẵn; b/ Chia hết cho 3; c/ Lẻ và chia hết cho 3. 

Bài 25. Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Tìm xác suất sao cho trong 

hai người đó: 

a/ Cả hai đều là nữ; b/ Không có nữ nào; 

c/ Ít nhất một người là nữ; d/ Có đúng một người là nữ. 

Bài 26. Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 20 quả cầu xanh được đánh 

số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất sao cho quả được chọn: 

a/ Ghi số chẵn; b/ Màu đỏ; 

c/ Màu đỏ và ghi số chẵn; d/ Màu xanh hoặc ghi số lẻ. 


Bài 27.Trong một hộp có 20 quả cầu giống nhau gồm 12 quả trắng và 8 quả màu đen . 

1/ Tính xác suất để khi lấy bất kì 3 quả cầu có đúng 1 quả màu đen . 

2/ Tính xác suất để khi lấy bất kì 3 quả có ít nhất 1 quả màu đen . 

Bài 28.Một bình đựng 5 viên bi xanh , 3 viên bi vàng , 4 viên bi trắng chỉ khác nhau về màu 

.Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi .Tính xác suất các biến cố sau : 

1/ A : Lấy được 3 bi xanh . 2/ B : Lấy được ít nhất 1 bi vàng . 

3/ C : Lấy được 3 viên bi cùng màu . 

B.PHẦN HÌNH HỌC 

CHƯƠNG I 

Bài 1/ Cho điểm A (- 2; 3) và đường thẳng d: 2x- 3y+ 2= 0 

a. Xác định ảnh của A và d qua phép tịnh tiến theo vectơ → v = (-3; 1) 

b. Xác định ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O 

Bài 2/ Cho đường tròn ( C) : (x -1) 2 + (y + 2) 2 = 9 

a. Xác định ảnh của ( C) qua phép vị tự tâm O tỷ số k= - 2 

b. Xác định ảnh của ( C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện phép vị tự 

tâm O, tỷ số k = - 2 và phép đối xứng tâm O. 

Bài 3/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1; 2) và đường thẳng d có phương trình 

3x + y + 1= 0. Tìm ảnh của A và d 

a/ Qua phép tịnh tiến theo vectơ → v =(2 ; 1); b) Qua phép đối xứng qua trục Oy; 

c, Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ; d) Qua phép quay tâm O góc 90 0 . 

Bài 4/ Cho hai điểm A, B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng AB. 

Qua mỗi điểm M chạy trên đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN. Chứng minh rằng 

N thuộc đường tròn xác định. 

Bài 5/ Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α) có hai cạnh AB và CD không song song. 

Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) và M là trung điểm đoạn SC. 

a. Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB). 

b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM, BN 

đồng quy. 

Bài 6/ Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của 

hai đoạn thẳng AD và BC. 

a. Tìm giao tuyến của hai mp (IBC) và (KAD). 

b. Gọi M, N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC. Tìm giao tuyến 

của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN). 

Bài 7/ Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc 

miền trong của tam giác SCD. 

a. Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM). 

b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC). 

c. Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC). 


d. Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt 

phẳng(SCD) và (ABM). 

Bài 8/ Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm 

giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây: 

a. PR song song với AC. b/ PR cắt AC. 

Bài 9/ Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là 

trung điểm của đoạn MN. 

a. Tìm giao điểm A ’ của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD). 

b. Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA ’ và Mx cắt (BCD) tại M ’ . Chứng 

minh B, M ’ , A ’ thẳng hàng và BM ’ = M ’ A ’ = A ’ N. 

c. Chứng minh GA = 3 GA ’ . 

Bài 10/ Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho (α) là mặt phẳng qua M, 

song song với hai đường thẳng AC và BD. 

a. Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện. 

b. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) là gì? 

Bài 11/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai 

đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua O, 

song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì? 

ĐỀ 1 

1− cos x 

Câu 1/. a.Tìm tập xác định của hàm số y = 

sin 3x 

b.Xét tính chẳn ,lẻ của hàm số y = f(x) = 

cos x +1 

Câu 2/. Giải các phương trình lượng giác sau: 

a. 2 cos 3x – 1 = 0 b. sin 3x - 3 cos 3x = 2 

Câu 3/. Từ các số 0, 1, 2, 3 ,4 ,5 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau. 

1 

Câu 4/. Trong khai triển ( x 3 + 

x ) 10 2 

.Tìm hệ số của số hạng chứa x 15 . 

Câu 5/. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3,2) và đường thẳng d x - 2y + 4 = 0 

a/ Tìm ảnh A / của A qua phép đồng dạngcó được bằng cách thực hiện liên tiếp 

phép tịnh tiến theo → v =(3;-5) và phép vị tâm O tỉ số k = -3 

b/ Viết phương trình đường thẳng d / là ảnh của d qua phép quay tâm O góc 90 0 . 

Câu 6/. Cho hình chóp S.ABCD,ABCD là hình bình hành.Gọi M,N,P là trung điểm của 

BC,AD,SD. 

a. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD),(SAM) và (SBC) 

b. Chứng minh rằng : MN // (SAB) 

c. Tìm giap điểm của AM và (SBD).Xác định thiết diện của (MNP) với hình chóp 

S.ABCD 

ĐỀ 2 

sin x 


2cos x −1 


x

tan x 

b.Xét tính chẳn ,lẻ của hàm số y =f(x) = 

2 x 


a. cos(2x+ 2 

π ) = sinx b. tan ( x+ 4 

π ) - 3 

Câu 3 . Cho tập A = { 0 ;1;2;3;4;5;6 } 

a. Có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau 

b. Có bao nhiêu số chẵn có năm chữ số khác nhau 

Câu 4. Một bình chứa 7 bi trắng ,5 bi xanh , 3 bi vàng lấy ngẫu nhiên 3 bi 

a. Tính n (Ω ) b. Tính xác suất để lấy được 2 bi vàng. 

Câu 5/. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M (-3;6) và đường thẳng ( C ) có phương trình 

x 2 +y 2 - 4x - 2y - 2 = 0 

a. Tìm ảnh M / của điểm M qua phép tịnh tiến theo → v = (-5;-4) 

b. Viết phương trình đường tròn ( C / ) là ảnh của ( C ) qua phép vị tự tâm O tỉ số 

k = 4 

Câu 6/. Cho hình chóp S.ABCD ,ABCD là hình bình hành.Gọi H,K lần lượt là trung điểm 

của S A,SB 

a. Chứng minh : HK // (SCD) 

b. Gọi M là điểm tùy ý trên cạnh CD ,(α ) là mặt phẳng qua M và song song với 

SA,BC.Xác định thiết diện tạo bởi mp(α ) và hình chóp S.ABCD 

ĐỀ 3 

Câu 1/. a.Tìm tập xác định của hàm số y =tan ( 5x- 4 

π ) 

b.Xét tính chẳn ,lẻ của hàm số y = f(x) = 3 sin2x cosx – cot3x 


a. 2 sin 2 (x+ 3 

π )+3 sin(x+ 3 

π ) – 5 = 0 b. cos 6x – sin3x = 0 

Câu 3/. Một hộp có 7 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen.Lấy ngẫu nhiên 3 quả.Tính xác suất 

các biến số sau: 

a. A : “Ba quả lấy ra cùng màu” 

b. B : “Có ít nhất một quả màu đen” 

Câu 4 /.a.Tìm n biết 4C 3 n 

= C 2 n + 1 

x 5 12 

b.Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ( − ) .Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 

. 

Câu 5/. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x 2 +y 2 - 2x + 6y - 2 = 0 

Viết phương trình đường tròn ( C / ) là ảnh của ( C ) qua phép đồng dạng có được bằng 

cách thực hiện liên tiếp phép vi tự V( 0;-2) và phép quay Q (O;90 0 ) 

Câu 6/. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD.Trong tam giác SCD lấy điểm M 

a.Tìm giao tuyến của (SBM) và (SAC) 

b. Tìm giao điểm của đường thẳng BM với (SAC) 

ĐỀ 4 

cos x 


2 sin x −1 

b.Xét tính chẳn ,lẻ của hàm số y = f(x) = sin 3 2x + tanx 


5 

x 


a. sin(2x- 4 

π ) - 3 

2 = 0 b. cos3x+ 3 sin3x =2 cosx 

Câu 3/. Từ các số 0, 1, 2, 3 ,4 ,5 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau mà 

số đó chia hết cho 5. 

b. Tìm n biết 2 C 2 n 

+A 3 n 

= 12( n - 1) 

Câu 4/. Một hộp chứa 7 cây viết xanh ,3 cây viết đỏ, lấy ngẫu nhiên 3 cây 

Tính xác suất để lấy 2 cây bút xanh trong 3 cây bút đã lấy ra. 

Câu 5/. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (-3;4) và đường thẳng d có phương trình 

6x - 2y - 1 = 0 

a/ Tìm ảnh của A qua phép vị tự tâm I(6;-2) tỉ số k = 2 

1 

a/ Tìm ảnh của d qua phép vị tự tâm I(6;-2) tỉ số k = 2 

1 

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD,ABCD là hình thang đáy lớn là AB .Gọi M,N,P lần lượt là 

trung điểm của SA,AD,BC 

a. Tìm giao tuyến của (SAC) và ( SBD) 

b. Tìm giao điểm Q của đường thẳng SB với (MNP). 

ĐỀ 5 

Câu 1/. a.Tìm tập xác định của hàm số y =cot(3x+ 6 

π ) 

b.Xét tính chẳn ,lẻ của hàm số y = f(x) = x cos2x – sinx 


a. 6cos 2 x + 5cosx - 11 = 0 b. 2 cos2x - 2 sin2x = 1 

Câu 3/.a. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ( x 2 + x 

1 ) 


b.Tìm n biết 4 C 3 n 

= 5 C 2 n + 1 

Câu 4/. Một tổ có 8 hs nam ,2 hs nữ được xếp vào một dãy hàng ngang.Tính xác suất sao 

cho 

a. Hai hs nữ ngồi đầu bàn. 

b.Hai hs nữ ngồi cạnh nhau. 

Câu 5/. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có tâm I (3;2)và bán kính R=4 

a.Viết phương trình đường tròn ( C / ) là ảnh của ( C ) qua phép tịnh tiến theo vec tơ 

→ 

v = (-3;3) 

b.Viết phương trình đường tròn ( C / ) là ảnh của ( C ) qua qua phép vị tự tâm Itỉ số 

k = -2 

Câu 6/. Cho hình chóp S ABCD,các điểm M,N lần lượt thuộc các mặt bên SAB và SBC 

a. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC) 

b. Xác định giao điểm của MN với (SBD) 

ĐỀ 6 

sin x 


x cos 2x 

x 

b.Xét tính chẳn ,lẻ của hàm số y = f(x) = + sin 2x 

cos 3 x 



a. sinx+ cos 2 (x+ 3 

π ) = 0 b. 2 sin 2 x + 2sin2x + 4cos 2 x = 1 

1 

Câu 3/. a.Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x 3 + ) 

4 

b.Tìm n∈ Ν sao cho A 1 n 

+C 2 =P 

n 3 

Câu 4/. Một bình có 5 quả cầu đen và 6 quả cầu trắng .Lấy ngẫu nhiên 3 quả từ bình.Tính 

xác suất để được ít nhất một quả cầu trắng. 

Câu 5 /. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(4;3) ; → v =(2;-3) và đường thẳng d có phương 

trình 2x - 3y + 6 = 0 

a. Tìm ảnh A / của A qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép 

quay tâm O góc 90 0 và phép tịnh tiến theo → v 

b.Viết phương trình đường thẳng d / là ảnh của d qua phép vị tự tâm M tỉ số k = -2 

Câu 6. Cho tứ diện S.ABC .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của của SA và AB 

a. Xác định gioa tuyến của hai mặt phẳng (SCN) và (BCN) 

b. Chứng minh : SB // (MNC) 

ĐỀ 7 ( Đề kiểm tra Học kỳ I năm 2010) 

Câu 1 (1,5điểm): 

a. Tìm GTLN và GTNN của hàm số sau : y = 3 sinx + cosx + 3 

b. Tìm tập xác định của hàm số y = cot(2x – 3 

π ) 

Câu 2 (2 điểm): Giải các phương trình sau: 

a/ cos2x – 3sinx + 4 = 0 b/ 3 cosx + sinx = –1 

Câu 3 (1điểm): 

Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số chẳn gồm 4 chữ số 

khác nhau? 

Câu 4 (1điểm): 

Trong bình có 8 viên bi , trong đó có 5 viên bi trắng và 3 viên bi vàng . Lấy ngẫu 

nhiên 3 viên bi . Tính xác suất sao cho trong 3 viên bi lấy ra có 2 viên bi trắng 

4 1 14 

Câu 5 (1điểm): Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : ( x + ) 

3 

x 

Câu 6 (2 điểm): Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(–2;3) và đường thẳng d có phương 

trình : 2x – 3y + 4 = 0. Tìm ảnh của M và d: 

 

a/ Qua phép tịnh tiến theo vec tơ v = (1; −2) 

b/ Qua phép đối xứng trục Ox. 

Câu 7 (1,5điểm):Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O .Trên cạnh 

SB lấy điểm M sao cho SM = 2MB .Gọi N là trung điểm của SM 

a/ Tìm giao điểm của OM và mp(SAD) b/ Chứng minh rằng OM // (ADN). 

x 

7 


ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ I - MÔN TOÁN - KHỐI 11 (NC) 

NĂM HỌC 2009 - 2010. 

III. BÀI TẬP. 

sinx+2 

1 

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số. a/ y ; b/ y cot 4 

1- cosx 

x cos4x 

; c/ tan(4 

y x 

6 

) 

1 

Bài 2. Xét tính chẵn , lẻ của hàm số : a/ f ( x) 

sinx 

; b/ f ( x ) tan 2 x ; c/ f ( x) cos( x+ ) 

4 

x 

Bài 3. Cho hàm số y f ( x) sin 3 

a/ CMR, k 

luôn có: f ( x k6 ) f ( x) 

Bài 4. Tìm GTLN ; GTNN của các hàm số sau : a/ 

với mọi x ; b/ Lập bảng biến thiên, và vẽ đồ thị hàm số trên 3 ;3 

 

4 

y 5 3 2cos 

x 

; b/ 

 

c/ y t anx trên đoạn 

; 

3 6 ; d/ sin os 

y x c x 

trên đoạn 

; 

4 4 

 


2 2 

y 4sin x 2cos x 

; e/ 

2 2 

y 2sin x sin 2x 4cos 

x 

1/ 2cos3x 2 0 ; 2/ 2sinx+ 3 

1 

0 ; 3/ sin (2 x ) cos ( - x)=0 

; 4/ sin 2 x (3 3 cos 2 x) 

; 

2cosx+1 4 3 

3 

2 5 

2 

5/ cos5x sin x 3(sin 5x cos x) 

; 6/ 2sin x sin 2x 7cos x 2 ; 7/ 1 cosx sinx sin 2x cos2x 

0 

2 

2 

2sin x 3 2 sinx+2 1 3 

2 

8/ 

0 ; 9/ 8cos x ; 10/ (2sinx+1)(3c os4x+2sinx - 4) 4cos x 3 ; 

sin2x-1 

cosx 

sinx 

2 2 2 2 

4 6 

3 

11/ sin 3x sin 4x sin 5x sin 6x 

2 ; 12/ cos x sin x cos 2x 

; 13 / 3co t x 3 

2 

sin x ; 

(1 2sinx) cosx 

1 

14/ (1 t an x)(1 sin 2 x) 1 t anx 

; 15/ 

3 ; 16/ 2 tan x cot 2x 2sin 2x 

; 

(1 2sin x)(1 sinx) 

sin 2x 

. 

4 4 

sin x cos x 1 

17/ 

(t anx cot ) 

6 6 

x ; 18/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin x cos x cos4x 1 

2m 

sin 2x 

2 

Bài 6. Từ các chữ số 0;1;2;3;5;6;7;9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : 

a/ Biết số đó gồm năm chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 . 

b/ Biết số đó gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. 

c/ Biết số đó là số chẵn và có 5 chữ số khác nhau. 

Bài 7. Từ các chữ số 1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : 

a/ Biết số đó gồm năm chữ số khác nhau.Tính tổng tất cả các số đó . 

b/ Biết số đó gồm 5 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 45000. 

c/ Biết số đó gồm 5 chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi 21. 

Bài 8. Cho hai đường thẳng a và b song song . Trên đường thẳng a có 10 điểm phân biệt , trên đường thẳng b có 8 

điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là các điểm thuộc hai đường thẳng trên. 

Bài 9. Một tổ gồm 6 nam và 9 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm gồm 5 người trong đó có không quá 3 nam. 

Bài 10. Cho đa giác đều A1 A2 ... A2 

n 

( n 2, n ) nội tiếp trong đường tròn (O, R). Tính 

a/ Số đường chéo của đa giác trên. 

b/ Số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh trên. 

c/ số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n đỉnh trên . 


Bài 11. Trong một môn học , thầy giáo có 35 câu hỏi khác nhau gồm 10 câu hỏi khó, 15 câu hỏi trung bình , 10 câu 

hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau , sao cho trong mỗi 

đề nhất thiết phải đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 . 

Bài 12. Tìm hệ số của số hạng chứa 

14 

2 

x trong khai triển của nhị thức 2 3 12 

9 10 11 12 13 

Bài 13. Khai triển P( x) x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 

P( x) a a x a x ... a x 

Bài 14. Tìm hệ số của số hạng chứa 

x . 

và viết lại thành đa thứa 

a 

2 13 

 

0 

 

1 

 

2 

 

13 

. Tính 



n 

x trong khai triển nhị thức niutơn của 2 

x 

C C C C C 

n 0 n1 1 n2 2 n3 3 

n n 

3 

n 

3 

n 

3 

n 

3 

n 

... ( 1) 

n 

2048 

, biết rằng 

Bài 15. Một hộp có 10 viên bi trắng và 11 viên bi đỏ. 

a/ Lấy ngẫu nhiên hai viên bi . 

+ Tính xác suất để hai viên bi đó có màu đỏ; 

+ Tính xác suất để hai viên bi đó cùng màu. 

b/ Lấy ngẫu nhiên ba viên bi . 

+ Tính xác suất để 3 viên bi đó có một viên bi màu đỏ và 2 viên bi màu trắng . 

+ Tính xác suất để 3 viên bi đó cùng màu. 

c/ Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi .Gọi X là số viên bi đỏ trong 4 viên bi đó. 

Lập bảng phân bố xác suất của X , Tính kì vọng, phương sai , độ lệch chuẩn của X (làm tròn đến hàng phần nghìn). 

Bài 16. Hai xạ thủ cùng bắng mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau . Xác suất bắn trúng bia của 

họ lần lượt là 0,75 và 0,55 . Tính xác suất sao cho : 

a/ Cả hai đều bắn trúng ; b/ Cả hai đều bắn không trúng ; c/ Có ít nhất một người bắn trúng . 

Bài 17. Một bình có chứa 17 viên bi , với 8 viên bi trắng , 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ . 

a/ Lấy ngẫu nhiên ba viên bi . Tính xác suất để : 

i) Lấy được cả 3 viên bi đỏ ; ii) Lấy được cả 3 viên bi không đỏ ; iii) Lấy được 1 viên bi trắng,1 đen,1 đỏ. 

b/ Lấy ngẫu nhiên bốn viên bi . Tính xác suất để : 

i) Lấy được đúng một bi trắng ; ii) Lấy được đúng hai bi trắng. 

c/ Lấy ngẫu nhiên mười viên bi . Tính xác suất để : lấy được 4 bi trắng, 5 bi đen và 1 bi đỏ. 

Bài 18. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau : 

X 0 1 2 3 4 5 6 

P 0,1 0,3 0,2 0,1 0,1 0,1 ,01 

a/ Tính P(2 X 5) 

b/ Tính E(X); V(x) ; ( X ) . 

Bài 19. Cho đường tròn (O) có đường kính AB .Gọi C là điểm đôí xứng với A qua B và EF là là đường kính thay đổi 

của (O) khác với đường kính AB . Đường thẳng CF cắt EA và EB tại M và N. 

a/ Chứng minh F là trung điểm của CM, N là trung điểm của CF 

b/ Tìm quĩ tích các điểm M, N khi đường kính EF thay đổi. 

Bài 20. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M thay đôỉi trên (O) .Gọi M 

1 

là điểm đối xứng 

với M qua A . Gọi M 

2 

là điểm đối xứng của M 

1 

qua B , M 

3 

là điểm đối xứng với M 

2 

qua C. 

a/ Chứng tỏ phép biến hình F biến M thành M 

3 

là phép đối xứng tâm. 

b/ Tìm quĩ tích điểm M 

3 

. 

Bài 21. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, Trên cạnh BC lấy điểm M,N sao cho BM = MN =NC, Trên cạnh CA lấy 

điểm P ,Q sao cho CP = PQ = QA , trên cạnh AB lấy điểm R ,S sao cho AS = RS = SB . Tam giác GSQ biến thành 

tam giác nào qua các phép biến hình sau đây: 

a/ Phép đối xứng qua tâm G. 

b/ Phép tịnh tiến theo vec tơ 1 

3 BC 

c/ Phép vị tự tâm I , tỉ số k = 3, với I là trung điểm của AB. 

Bàì 22. Trên đường tròn (O) cho điểm A cố định và điểm M di động . Gọi I là trung điểm của AM . 


a./ Tìm tập hợp trung điểm E của đoạn AI. 

b/ Tìm tập hợp đỉnh F của hình bình hành AÒI. 

c/ Tìm tập hợp đỉnh K của tam giác đều AIK (A ,I,K theo chiều quay của kim đồng hồ) 

Bài 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M ( 2;3) ; đường thẳng d : x 2y 

3 0 , đường tròn (C): 

2 2 

( x 2) ( y 1) 4 . 

a/ Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm I(2;-5). 

 

b/ Tìm ảnh của đường thẳng d qua T với v ( 3;2) 

v 

c/ Tìm ảnh của đường tròn (C) qua Đ Oy 

. 

Bài 24. Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi M;N;P;Q;O;I;J;K lần lượt là trung điểm của AB;BC;CD;DA;MP;DP;OQ;ON . 

Hãy dùng phép biến hình chứng minh hai hình thang BMKN và QOID bằng nhau . 

Bài 25. Cho đường tròn (O;R) , một đường kính AB và một điểm M chuyển động trên đường tròn. Gọi A’ là điểm đối 

xứng của A qua điểm M , dựng về phía ngoài đường tròn hình chữ nhật BMA’C. 

a/ Tìm tập hợp tâm I của hình chữ nhật BMA’C. 

b/ Tìm tập hợp điểm C . nêu cách dựng tập hợp điểm C. 

Bài 26 . Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi có các cạnh đối không song song với nhau. Gọi M là điểm 

nằm trong tam giác SBC. 

a/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SDM) và (SAC). 

b/ Tìm giao điểm của mp(SAC) và DM. 

c/ Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(ADM). 

Bài 27. Cho tứ diện ABCD; Gọi I, J, K lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh AC; AD; BC sao cho IJ không song 

song với CD; IK không song song với AB. 

a/ Tìm giao điểm E của (IJK) và CD. 

b/ Gọi F là giao điểm của EK và BD . Chứng minh 3 đường thẳng AB; KI ; FJ đồng qui. 

Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SC; E là trọng tâm 

của tam giác ABC. 

a/ Tìm giao điểm N của SD và mặt phẳng (AME). 

b/ Chứng minh EN // SB. 

c/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (AME) và (SAD). 

d/ Gọi I;J lần lượt là trung điểm của SA và OB. Tìm thiết diện của hình chớp cắt bởi mặt phẳng (MIJ). 

Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi E;F lần lượt là trung điểm của SA và 

SD. 

a/ Chứng minh EF // (SBC) ; SC // (OEF) 

b/ Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (OEF). Thiết diện là hình gì ?. 

Bài 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB là đáy lớn). Gọi M;N lần lượt là trung điểm của AD 

và SB; G là trọng tâm của tam giác SAD. 

a/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). 

b/ Tìm giao điểm của đường thẳng CG và mặt phẳng (SBD). 

c/ Gọi (P) là mặt phẳng đi qua MN và song song AB. Tìm thiết diện của hình chớp cắt bởi mặt phẳng (P).Chứng minh 

thiết diện là hình thang. 

……………………… 


Đề số 1 

Bài 1 (2 điểm). Giải các phương trình sau: 

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 

Môn TOÁN Lớp 11 – Cơ bản 

Thời gian làm bài 90 phút 

⎛ x 0 ⎞ 2 

2 

a) cos⎜ 

− 10 ⎟ = 

b) sin x − 3 cos x = 1 c) 3tan x − 8tan x + 5 = 0 

⎝ 2 ⎠ 2 

Bài 2 (2 điểm). Trong một hộp đựng 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 

3 viên bi. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra: 

a) Có 2 viên bi màu xanh b) Có ít nhất một viên bi màu xanh. 

Bài 3 (2 điểm). 

a) Xét tính tăng giảm của dãy số ( u 

n ) 

b) Cho cấp số cộng ( u 

n ) có u 1 

= 8 và công sai d 20 

n + 1 

, biết un 

= 

2n 

+ 1 

= . Tính u 101 

và S 101 

. 

Bài 4 (3,5 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần 

lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và SB. 

a) Chứng minh rằng: BD//(MNP). 

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với BC. 

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD). 

d) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). 

⎛ 1 ⎞ 

Bài 5 (0,5 điểm). Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ⎜2x 

− 

4 

⎟ . 

⎝ x ⎠ 

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 

Đề số 1 



Bài Ý Nội dung Điểm 

1 2.0 

a) ⎡ x 0 0 0 

⎛ x 

k 

0 ⎞ 1 ⎢ + 10 = 60 + .360 

cos 10 2 

0,25 

⎜ + ⎟ = ⇔ ⎢ 

⎝ 2 ⎠ 2 ⎢ 

x 0 0 0 

+ 10 = − 60 + k.360 

⎢⎣ 2 

0 0 

x 100 k.720 

⇔ ⎢ 

⎡ = + ( k ∈Z 

0 0 

) 

⎢⎣ x = − 140 + k.720 

0 0 0 0 

Vậy nghiệm của pt là: x = 100 + k.720 ; x = − 140 + k.720 , k ∈Z 

0,25 

0,25 

b) 

⎛ π ⎞ 

3 sin x − cos x = 3 ⇔ 2sin⎜ 

x − ⎟ = 

⎝ 6 ⎠ 

3 

0,25 

⎡ π 

⎢x 

= + k.2π 

⇔ ⎢ 

2 

( k ∈Z 

) 

⎢ 

5π 

x = + k.2π 

⎢⎣ 6 

0,25 

π 

5π 

Vậy nghiệm của pt là: x = + k.2 π; x = + k.2 π , k ∈Z 

2 6 

0,25 

c) ⎡ tan x = 1 

2 

3tan x + 5tan x − 8 = 0 ⇔ ⎢ 8 

⎢tan 

x = − 

⎣ 3 

0,25 

⎡ π 

⎢x 

= + kπ 

⇔ ⎢ 

4 

⎢ ⎛ −8 

⎞ 

x = arctan ⎜ ⎟ + kπ 

, k ∈Z 

⎢ 

⎣ ⎝ 3 ⎠ 

Vậy nghiệm của pt là: 


15 

0,25

π 

⎛ −8 

⎞ 

x = + kπ; x = arctan ⎜ ⎟ + kπ 

, k ∈Z 

4 ⎝ 3 ⎠ 

2 2.0 

a) Vì lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong túi có 9 viên bi nên số ptử của 

0,25 

không gian mẫu là: n( Ω ) = C 3 9 

= 84 

Kí hiệu: A: “3 viên lấy ra có hai viên bi màu xanh” 

Ta có: n( A) 

2 1 

5 4 

= C . C = 40 

Vậy xác suất của biến cố A là: P( A) 

( ) 

( Ω ) 

n A 40 10 

= = = 

n 84 21 

b) Kí hiệu: B: “3 viên lấy ra có ít nhất 1 viên bi màu xanh” 

Ta có: B : “Cả 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ” 

n( B) 

C 3 n( A) 

1 

= 

4 

⇒ P( B) 

= = 

n Ω 21 

( ) 

1 20 

0,5 

= 1− = 1− = 21 21 

3 2.0 

a) 

( n + 1) 

−1 n −1 

Ta có: un+ 

1 

− un 

= − 

0,25 

2 n + 1 + 1 2n 

+ 1 

Vậy xác suất của biến cố B là: P( B) P ( B) 

3 

= > 0 

( 2n 

+ 3)( 2n 

+ 1) 

Vậy dãy số 

( ) 

( un 

) là dãy tăng. 

b) u100 = u1 + 99d 

= 2008 

( ) 

S = 50 u + u = 101800 

100 1 100 

4 1,5 

a) Hình vẽ 

0,5 

0,5 

0,25 

0,5 

0,5 

0,25 

0,5 

0,5 

R 

S 

Q 

P 

Do BD//MN (t/c đường 

trung bình) 

Mà: MN ⊂ (MNP) nên 

BD//(MNP) 

0,75 

N 

D 

C 

A 

M 

B 

I 

b) Gọi I = MN ∩ BC 

I BC 

Ta có: ⎨ ⎧ ∈ ⇒ I ∈( MNP) 

∩ BC 

⎩I 

∈ MN 

c) Vì P ∈( MNP) ∩ ( SBD) 

và MN//BD nên (MNP) ∩ (SBD) là 

đường thẳng d qua P và song song với BD. 

d) Gọi R = SD ∩ d . Nối IP cắt SC tại Q, nối RQ. 

Ta có: ( MNP) ∩ ( ABCD) 

= MN 

0,75 

0,5 


( ) ( ) 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

MNP ∩ SAB = MP 

MNP ∩ SBC = PQ 

MNP ∩ SCD = QR 

MNP ∩ SDA = RN 

Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp(MNP) là ngũ giác 

MPQRN 

5 0.5 

k 

k 12−k 

⎛ −1 

⎞ k 12−k k 12−4k 

k+ 

1 

= 

12 ( 2 ) . ⎜ ( 1 ) .2 . 

3 

⎟ = − 

12. 

T C x C x 

⎝ x ⎠ 

Số hạng không chứa x có: 12 − 4k = 0 ⇔ k = 3 

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển trên là: 

( ) C 

3 9 3 


− 1 .2 . = 112640 

Đề số 2 

Câu 1 (2.0đ) Giải các phương trình: 

2 




1. 2sin x − cos x + 1 = 0 2. sin x + 3 cos x = − 2 

Câu 2 (2.0đ) Một hộp có 20 viên bi, gồm 12 bi đỏ và 8 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ba bi. 

1. Tính số phần tử của không gian mẫu? 

2. Tính xác suất để: 

a) Cả ba bi đều đỏ b) Có ít nhất một bi xanh. 

Câu 3 (2.0đ) 

⎛ 1 3 ⎞ 

1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức ⎜ + 2 x ⎟ 

⎝ x ⎠ 

2. Tìm số tự nhiên n để ba số: 10 – 3n; 2n 2 + 3 và 7 – 4n là ba số hạng liên tiếp của một cấp 

số cộng. 

Câu 4 (1,5đ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 3x + y 

+ 1 = 0. Tìm ảnh của d qua : 

 

1. Phép tịnh tiến theo véctơ v = (2;1) . 

2. Phép quay tâm O góc quay 90 0 . 

Câu 5 (1,0đ) Cho ∆ ABC . G là trọng tâm. Xác định ảnh ∆ ABC qua phép vị tự tâm G, tỉ số 

1 

− . 

2 

Câu 6 (1,5đ) Cho hình chóp S.ABCD. M là trung điểm cạnh BC, N là điểm thuộc cạnh CD 

sao cho CN = 2ND . 

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SMN) 

2.Tìm giao điểm của đường thẳng BD với mặt phẳng (SMN) 


Đề số 2 



Câu Tóm tắt bài giải Điểm 

2 2 

1. 2sin x − cos x + 1 = 0 ⇔ −2 cos x − cos x + 3 = 0 

0.25 

⎡ cos x = 1 

⇔ ⎢ −3 

⎢cos x = ( VN) 

Câu1 ⎣ 2 

0.5 

⇔ x = k2 π; 

k ∈Z 

0.25 

π π 

2. sin x + 3 cos x = − 2 ⇔ ⇔ sin( x + ) = sin( − ) 

3 4 


16 

1,0 

0,25 

0,25 

0.5

Câu2 

⎡ π π 

⎢x 

+ = − + k2π 

⇔ ⎢ 

3 4 

⎢ 

π π 

x + = π + + k2π 

⎣ 3 4 

7π 

11π 

Kết luận : x = − + k2 π; x = + k2π 

, k ∈ Z 


1. n( Ω ) = C 3 20 


2. Gọi A là biến cố " Cả 3 bi đều đỏ" , ta có: n(A) = C 3 12 

= ... 

Vậy P(A) = C C 

3 


3 

20 


= 

57 

Gọi B là biến cố "có ít nhất một bi xanh " thì B = A 


⇒ P( B) = 1− = 57 57 

⎛ 1 3 ⎞ 

1. Số hạng thứ k +1 trong khai triển 2 

k k k 

⎜ + x ⎟ là C x 4 16 

16 

⎝ x 

2 − 

⎠ 

Số hạng không chứa x ứng với 4k – 16 = 0 hay k = 4. 

16 

0,25 

0.25 

0.5 

0.5 

0.25 

0.25 

0.5 

0.25 

0.5 

Vậy số hạng cần tìm là C 4 4 

16 2 = ... 

0.25 

Câu3 

2. Theo tính chất các số hạng của cấp số cộng, 

10 – 3n; 2n 2 + 3 và 7 – 4n là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì ta có: 

2(2n 2 + 3) = 7 – 4n + 10 –3n 

⎡ n = 1 

2 

⇔ 4n 

+ 7n 

− 11 = 0 ⇔ ⎢ −11 

⎢n 

= 

⎣ 4 

Vì n là số tự nhiên nên n = 1 thỏa ycbt. 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

Câu4 

1 

Gọi T ( d) = . Khi đó d ’ //d nên phương trình của nó có dạng 3x + y + C = 0 . 0.25 

v 

d ' 

Lấy B thuộc d B(1;–4), khi đó T 

( B) = B ' (3; −3) 

thuộc d ’ nên 

v 

3.(–3) + (–3) + C = 0. Từ đó suy ra C = 12 ⇒ d ’ : 3x + y + 12 = 0 

 

'' 

Gọi ( d) = d . Khi đó d ⊥ d'' nên d ’’ có một VTPT là u = ( −1;3) 

Q 0 

(0,90 ) 

0.5 

. 

0.25 

2 

Q 0 

Lấy B(1;–4) thuộc d, khi đó ( B ) = B (4;1) suy ra đương thẳng (0,90 ) d’’ đi qua 

 

B ’’ có một vectơ pháp tuyến u = ( −1;3) 

có phương trình là d ’’ : –(x–4)+3(y–1)=0 

hay x – 3y –1 = 0. 

A 

'' 

0.5 

Câu5 

C' 

B' 

G 

B 

A' 

C 

Vẽ hình 

Gọi A ’ ,B ’ ,C ’ lần lượt là trung điểm BC, AC, AB, vì G là trọng tâm tam giác ABC 0.5 

0.25 


nên ta có 

V 

1 

( G, − ) 

2 

( A) 

= A ; 

' 

V 

1 

( G, − ) 

2 

( B) 

= B ; 

' 

V 

1 

( G, − ) 

2 

Vậy ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm G tỉ số 

S 

( C) 

= C . 

' 

1 

− là tam giác A ’ B ’ C ’ 0.25 

2 

Câu6 

1 

B 

A 

M 

H 

C 

N 

D 

Vẽ hình 

Trong mặt phẳng (ABCD), MN ∩ AC = H 

0.25 

⎧H ∈ MN ⊂ ( SMN) 

⎨ 

⇒ H điểm chung của mp(SMN) và (SAC). 

⎩H ∈ AC ⊂ ( SAC) 

0.25 

Và S là điểm chung của mp(SMN) và (SAC). 

Vậy: ( SAC) ∩ ( SMN) 

= SH 

0.25 

Trong mp(BCD), CM 1 CN 2 

= ; = nên MN và BD cắt nhau. Gọi J là giao điểm 

CB 2 CD 3 

2 của MN và BD 

⎧J 

∈ BD 

Ta có ⎨ ⇒ BD ∩ ( SMN) 

= J 

⎩J ∈ MN ⊂ ( SMN) 


Đề số 3 



A. Đại số và Giải tích: 

Câu 1: (3 điểm) Giải phương trình sau: 

0 

= b) ( ) 2 ( ) 2 

a) sin 3x 

cos15 

3 + 1 sin x − 2sin x.cos x − 3 − 1 cos x = 1 

Câu 2: (2 điểm) Một giỏ đựng 20 quả cầu. Trong đó có 15 quả màu xanh và 5 quả màu đỏ. 

Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu trong giỏ. 

a) Có bao nhiêu cách chọn như thế ? b) Tính xác suất để chọn được 2 quả cầu cùng màu. 

B. Hình học: 

Câu 3: (3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A ( –1; 2) và đường thẳng d có 

phương trình 3x 

+ y − 1 = 0 . Tìm ảnh của A và d: 

a) Qua phép tịnh tiến v = ( 2 ; 1) b) Qua phép đối xứng trục Oy. 

Câu 4: (2 điểm) Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Gọi (α ) là mặt 

phẳng đi qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD. Gỉa sử (α ) cắt các cạnh AD, DC 

và CB lần lượt tại N, P và Q. 

a) Tứ giác MNPQ là hình gì? 

b) Nếu AC = BD và M là trung điểm AB thì MNPQ là hình gì? 


Đề số 3 



Câu 1: 

a) sin 3x = cos 15 0 ⇔ sin 3x = sin 75 0 ( 0,5 điểm) 

0 0 

0 0 

⎡ 3x 

= 75 + k360 

⎡ x = 25 + k120 

⎢ 

(0,5 điểm) ⇔ 

0 0 0 

⎢ 

(0,5 điểm) 

0 0 

⎣3x 

= 180 − 75 + k360 

⎣x 

= 35 + k120 

b) PT ⇔ 3 sin 2 x – 2sinxcosx – 3 cos 2 x = 0 (0,25 điểm) 


J 

0.25 

0.25 

0.25

Với các giá trị x mà cosx = 0 thì không nghiệm đúng phương trình. 

Vậy cosx ≠ 0. Chia 2 vế cho cos 2 x ≠ 0 ta có: 

3 tan 2 x – 2 tanx – 3 = 0 ( 1) ( 0,5 điểm) 

−1 

π −π 

⇔ tanx = 3 hay tanx = ( 0,5 điểm) ⇔ x = + kπ và x = 3 6 

3 

Câu 2: 

a) Số cách chọn 2 quả cầu : C 2 20 

= 190 ( 0,5 điểm). 

b) Gọi A là biến cố "Chọn được 2 quả cầu màu xanh" 

Gọi B là biến cố "Chọn được 2 quả cầu màu đỏ" 

Gọi H là biến cố "Chọn được 2 quả cầu cùng màu" 

⇒ A và B xung khắc và H = A ∪ B. 

⇒ P(H) = P(A) + P(B) = 

2 2 

C + 

15 

190 

C 

5 

115 = 

190 190 

Câu 3: 

a) Gọi A 1 và d 1 là ảnh của A và d qua T 

v 

. 

⎧x 

+ 1= 

2 

+ AA 

1 

= v ⇔ 

⎨ 

⎩y1 

− 2 = 1 

+ d 1 // d ⇒ PT d 1 

: 3x + y + C = 0. 

Lấy B(0; 1) ∈d . 

1 

v 

⇔ A 

1(1; 3) 

( 1 điểm). 

(0,5 điểm). 

+ kπ , k∈ Z. ( 0,5 điểm). 

B′ = T ( B) ⇒ B′ 

(2;2) ∈ d 1 ⇒ 3.2 + 2 + C = 0 ⇒ C = –8 

Vậy PT d 1 

: 3x + y – 8 = 0 

(1 điểm). 

b) Gọi A 2 và d 2 là ảnh của A và d qua phép đối xứng trục Oy. 

⎧x2 

= −xA 

⎧x 

= 1 

– D y 

: A → A 2 

( x 2 

.y 2 

) ⇒ ⎨ ⇔ ⎨ 

2 Vậy : A 

⎩y2 

= yA 

⎩y2 

= 2 

2 

(1;2) (0,5 

điểm). 

– Dy: d → d 2 

⇒ ∀M ( x; y) ∈ d → M ( x′ ; y′ 

) ∈ d 

2 

. 

⎧x 

' = −x 

Biểu thức tọa độ: ⎨ . 

⎩y 

' = y 

M(x; y) ∈ d ⇔ 3x + y – 1 = 0 ⇔ 3x′ + y′ – 1 = 0 ⇔ M′(x′; y′) ∈ d 2 . 

Vậy PT d 2 

: –3x + y – = 0 

(1 điểm) 

Câu 4: 

a) AC // (α ) nên MQ//AC và NP//AC ⇒ MQ//NP. 

Tương tự : MN//PQ ⇒ MNPQ là hình bình hành 

(1 điểm) 

b) MA = MB ⇒ MQ là đường trung bình của ∆ ABC. 

Nên MQ = AC 2 . Tương tự : MN = BD 

2 

Nếu AC = BD ⇒ MQ = MN. 

MNPQ là hình bình hành và MQ = MN ⇒ MNPQ là hình thoi (1 điểm) 

Đề số 4 

Bài 1: (1,5đ) Giải các phương trình sau: 

1) 3 tan ( x − 45° ) = 1 

2) 

Bài 2: (1đ) Khai triển nhị thức Newton ( x + 2 y) 5 


Môn TOÁN Lớp 11 Cơ bản 


2 

2sin x + 5cos x + 1 = 0 

Bài 3: (1,5đ) Một nhóm học sinh gồm 7 nam và 5 nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. 

1) Tìm số phần tử của không gian mẫu. 

2) Tính xác suất sao cho 4 học sinh được chọn là học sinh nam 


Bài 4: (3đ) Cho hình chóp S.BCDE có đáy BCDE là hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần 

lượt 

là 

trung điểm của SE và SD. 

1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: a) (SBD) và (SCE) b) (SBC) và 

(SDE) 

MN // SBC . 

2) Chứng minh: ( ) 

3) Tìm giao điểm K của SO và mặt phẳng (MNCB). 


Đề số 4 



Bài Nội Dung Điểm 

Bài 1 Điều kiện: x − 45° ≠ 90° + k180° 0,25 

3 

0,25 

1) ( 1) ⇔ tan ( x − 45° ) = = tan 30° 

3 

(0,75đ) 

⇔ x = 75° + k180 ° , k ∈ Z 0,25 

2 ⇔ − 2cos x + 5cos x + 3 = 0 

0,25 

2) 

(0,75đ) 

Bài 2 

(1đ) 

Bài 3 

1) 

(0,5đ) 

2) 

(1đ) 

Bài 4 

1) 

(1đ) 

2) 

(1đ) 

3) 

(1đ) 

( ) 

2 

⎡cos x = 3 (loaïi) 

⇔ ⎢ 

⎢ 

1 

cos x = − 

⎣ 2 

2π 

⇔ x = ± + k2 π; 

k ∈Z 

3 

0 5 1 4 2 3 

( x + 2 y) = C x + C x .2y + C x ( 2y) 

5 2 

5 5 5 

( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 

+ C x y + C x y + C y 

0,25 

0,25 

3 2 3 4 4 5 5 

5 5 5 

5 4 3 2 2 3 4 5 

= x + 10x y + 40x y + 80x y + 80xy + 32y 

0,5 

4 

Ω = C 12 

= 495 

0,5 

Gọi A là “biến cố 4 học sinh được chọn là học sinh nam” 

4 

A = C = 35 

7 

35 7 

0,5 

P ( A ) = = = 0,07 

495 99 

SBD ∩ SCE = SO 

0,5 

( ) ( ) 

( ) ( ) // // 

SBC ∩ SDE = S BC DE 

0,5 

x 

MN // ED (MN là đường trung bình của tam giác SED) 0,25 

ED // BC 0,25 

BC ⊂ SBC ⇒ ED // SBC 

0,25 

( ) ( ) 

Vậy MN // ( SBC ) 

0,25 

Ta có: SO ⊂ ( SEC ) 

0,25 

Mà ( MNCB) ∩ ( SEC ) = MC 

0,5 

Gọi giao điểm của MC và SO là K. Vậy K là giao điểm cần 

tìm 

0,5 

0,5 

0,25 

Đề số 5 





Câu 1: (1.5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(–2; 1) và đường thẳng d: 3x + 2y 

– 6 = 0. Tìm toạ độ điểm A’ và đường thẳng d’ là ảnh của điểm A và đường thẳng d qua phép 

đối xứng trục Ox. 

Câu 2: (2 điểm) Giải các phương trình sau: 

a) 2sin 2 x + cosx – 1 = 0 b) sin 3 x = sinx + cosx 

Câu 3: (1 điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa x 12 trong khai triển nhị thức Niutơn của 


⎛ 2 2 ⎞ 

⎜ x + ⎟ 

⎝ x ⎠ 

Câu 4: (1.5 điểm) Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Vật Lý và 5 quyển sách 

Hoá Học. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. 

a) Tính n(Ω). 

b) Tính xác suất sao cho ba quyển sách lấy ra thuộc ba môn khác nhau. 

Câu 5: (1.5 điểm) Tìm số hạng đầu, công sai và tổng 50 số hạng đầu của cấp số cộng sau, biết: 

⎧⎪ 

u1 − u4 + u6 

= 19 

⎨ 

⎪⎩ u3 − u5 + u6 

= 17 

Câu 6: (2.5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình thang có đáy lớn AB. Gọi M là 

trung điểm CD. (α) là mặt phẳng qua M song song với SA và BC. 

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) 

b) Xác định thiết diện tạo bởi mp(α) và hình chóp S.ABCD. 


Đề số 5 




1 Tìm toạ độ A’và d’là ảnh của A(–2;1) và d: 3x + 2y –6 = 0 qua phép 1,50 

đối xứng trục Ox. 

Gọi A’(x’; y’) là ảnh của A(x; y) qua phép đối xứng trục Ox. 

Khi đó x’ = x và y’ = –y. 

Ta có A’(–2; –1) 

Gọi M’(x’; y’) ∈ là ảnh của M(x; y)∈d qua phép đối xứng trục Ox. 

Khi đó x’ = x và y’ = –y. 

Khi đó d: 3x + 2y –6 = 0 ⇔ d’: 3x – 2y –6 = 0 

0,25 

0,50 

0,25 

0,50 

2 Giải phương trình lượng giác 2,00 

a 2sin 2 x + cosx – 1 = 0 (1,00 điểm) 

Phương trình đã cho tương đương với 

2( 1 – cos 2 x) + cosx – 1 = 0 ⇔ –2cosx + cosx + 1 = 0 

0,50 

cosx = 1 ⇔ x = k2π ( k ∈ Z) 

cosx = – 1 2 ⇔ ⎡ 2π 

⎢x = + k2π 

⎢ 

3 ( k ∈ Z) 

⎢ 2 π 

x = − + k2π 

⎣ 3 

0,50 

Nghiệm của p.trình là: 

2π 

2π 

x = k2π; x = + k2 π; x = − + k2π 

(k∈ Z) 

3 

b 

3 3 

sin 3 x = sinx + cosx (1,00 điểm) 

Phương trình đã cho tương đương với 

sinx(1– sin 2 x) + cosx = 0 ⇔ cosx(sinxcosx + 1) = 0 

cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ, ( k ∈ Z) 

sinxcosx + 1 = 0 ⇔ sin2x + 2 = 0 vô nghiệm (–1≤sin2x ≤1) 

Tìm hệ số của số hạng chứa x 12 ⎛ 

trong khai triển Niutơn của ⎜ x 

⎝ 

⎞ 

+ ⎟ 

x ⎠ 

2 2 



0,50 

0,25 

0,25 

1,00



2 k 2 12−k 

+ = ∑ 12( ) 

x k= 

1 


k k 24−3k 

= ∑ 2 C12 

x 

k= 

1 

⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 

⎜ x ⎟ C x ⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ x ⎠ 

Theo đề bài ta có : 24 – 3k = 12 ⇔ k = 4 

Vậy hệ số chứa x 12 là 2 4 .C 4 12 = 7920 

4 Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lí và 5 quyển sách Hoá. 

Lấy ngẫu nhiên 3 quyển. 

a Tính n(Ω)(0,50 điểm) 

Lấy ngẫu nhiên 3 quyển từ 12 quyển là tổ hợp chập 3 của 12 

Vậy n(Ω) = C 3 12 = 220 

k 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

1,50 

0,25 

0,25 

b Gọi biến cố A = “ ba quyển lấy ra thuộc ba môn khác nhau” 

Lấy ngẫu nhiên 1 quyển toán từ 4 quyển là C 1 4 

= 4 

1,00 

n( A) 

60 3 

Vậy P(A) = 

n( Ω ) 

220 0,25 


Lấy ngẫu nhiên 1 quyển lý từ 3 quyển là C 1 3 

= 3 

Lấy ngẫu nhiên 1 quyển hóa từ 5 quyển hóa là C 1 5 

= 5 

0,50 

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ……. 

n(A) = 4*3*5 = 60 

0,25 

5 

⎧⎪ 

u1 − u4 + u6 

= 19 1,50 

Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng sau biết: ⎨ 

⎪⎩ u3 − u5 + u6 

= 17 

⎧ ⎪u1 

+ 2d 

= 19 

0,50 

Hệ phương trình tương đương ⎨ 

⎪⎩ u1 

+ 3d 

= 17 

u 1 = 23; d = –2 

S 50 = 50*23 + 50.(50 – 1 )(–2)/2 = –1300 

0,50 

0.50 

6 Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình thang có đáy lớn AB. 

2,50 

Gọi M là trung điểm CD. (α) là mặt phẳng qua M song song với SA và BC 

a Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) 1,00 

S 

H0,25 

S ∈ (SAD) và S∈(SBC) vậy S là điểm chung 

0,25 

I∈ AD ⊂ (SAD) 

I ∈ BC ⊂ (SBC) 

0,5 

A 

O 

B 

I là điểm chung thứ 2 

D 

C 

b Xác định thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp. Thiết diện là hình gì? 1,50 


A 

S 

O 

Q 

N 

P 

B 

• (α) qua M và (α) // BC nên (α) ∩ (ABCD) theo 

giao tuyến qua M // BC cắt AB tại N. MN // BC 

• (α) qua N và (α) // SA nên (α) ∩ (SAB) theo 

giao tuyến qua N // SA cắt SB tại PN. NP // SA 

• (α) qua P và (α) // BC nên (α) ∩ (SBC) theo 

giao tuyến qua P // BC cắt SC tại Q. PQ // BC 

0,50 

0,50 

0,50 

D 

M 

C 

Vậy thiết diện là MNPQ 


Đề số 6 



Bài 1: (1,5đ) 

⎛ π ⎞ 

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1+ 2sin ⎜ 2x 

− ⎟ 

⎝ 6 ⎠ . 

b) Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f ( x) = − 2sin 2x 

. 

Bài 2: (2đ) Giải các phương trình sau: 

2 

a) 2cos 2x − 3cos 2x + 1 = 0 (1) 

b) 3 cos4 x + sin 4x − 2cos3 x = 0 (2) 

Bài 3: (1,5đ) 

Trong một lô hàng có 10 quạt bàn và 5 quạt trần, lấy ngẫu nhiên 5 quạt. Tính 

a) Số cách lấy ra sao cho có 3 quạt bàn . 

b) Tính xác suất để được 3 quạt trần. 

Bài 4: (2đ) 

a) Tìm hệ số của x 8 trong khai triển 

⎛ 1 ⎞ 

⎜2x 

− ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 4x – 5y + 9 = 0 và v = ( 1; −3) 

15 

. 

 

. Tìm ảnh của d 

qua phép tịnh tiến theo véctơ v . 

Bài 5: (3đ) 

Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh 

AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD. 

a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD. Tìm giao tuyến của hai mặt 

phẳng (PMN) và (BCD). 

b) Tìm thiết diện của mặt phẳng (PMN) với tứ diện ABCD. 


Đề số 6 



Bài 1 

(1,5đ) 

Câu a 

(0,75đ) 

Nội dung 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

−1 ≤ sin ⎜ 2x − ≤ ∀ ∈ ⇔ −2 ≤ 2 2 − ≤ 2 

6 

⎟ 1, x R sin ⎜ x 

6 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎛ π ⎞ 

⇔ −1 ≤ 1+ 2sin ⎜ 2x − ≤ 3 ⇔ −1 ≤ ≤ 3 

6 

⎟ 

y 

⎝ ⎠ 

Vậy: Maxy = 3 và miny = –1 

Điểm 

0,5 

0,25 


Câu b 

(0,75đ) 

Bài 2 

(2đ) 

Câu a 

(1đ) 

Câu b 

(1đ) 

Bài 3 

(1,5đ) 

Câu a 

(0,75đ) 

• Tập xác định D = R 

• ∀x ∈ D ⇒ −x∈ 

D 

f − x = −2sin − 2x = − − 2sin 2x = − f x 

• ( ) ( ) ( ) ( ) 

Vậy f(x) là hàm số lẻ 

( ) 

Nội dung 

⎡cos 2x 

= 1 ⎡cos 2x 

= 1 

1 ⇔ ⎢ 

1 ⇔ ⎢ 

π 

⎢ cos 2x 

= ⎢ cos 2x 

= cos 

⎣ 2 ⎣ 

3 

⎡2x = k2π 

⎡x = kπ 

⇔ ⎢ 

π ⇔ ⎢ 

π k ∈ Z 

⎢2x = ± + k2π 

⎢x = ± + kπ 

⎣ 3 ⎣ 6 

⎛ 3 1 ⎞ 

2 ⇔ 2 cos4 x + sin 4x = 2cos3 x 

⎜ 

⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ 

( ) 

⎛ π ⎞ 

⇔ cos ⎜4x 

− ⎟ = cos3 x 

⎝ 6 ⎠ 

⎡ π 

⎢4x − = 3x + k2π 

⇔ 

6 

⎢ 

⎢ π 

4x − = − 3x + k2π 

⎢⎣ 6 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

⇔ 

6 

⎢ 

k ∈ Z 

⎢ π k2π 

x = + 

⎢⎣ 42 7 

( ) 

Nội dung 

( ) 

• Lấy 5 quạt, có 3 quạt bàn nên có 2 quạt trần. 

• Lấy 3 quạt bàn từ 10 quạt, số cách lấy là C . 

Lấy 2 quạt bàn từ 5 quạt, số cách lấy là 

2 

5 

3 


C . 

3 2 

•Số cách lấy 5 quạt trong đó có 3 quạt bàn là C . C = 1200. 


0,25 

0,5 

Điểm 

0,5 

0,5 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

Điểm 

0,25 

0,25 

0,25 

Câu b 

(0,75đ) 

Bài 4 

(2đ) 

• Tổng số quạt là 10 + 5 = 15 

5 

• n ( Ω ) = C 

1 5 

= 3 0 0 3 . 

( ) 

3 2 

• Gäi A lµ biÕn cè:"LÊy ®- î c 3 qu¹ t trÇn", n A = C . C = . 

( ) 

( Ω) 

n A 450 150 

• P ( A) 

= = = . 

n 3003 1001 

Nội dung 


450 

0,25 

0,25 

0,25 

Điểm 


Câu a 

(1đ) 

Câu b 

(1đ) 

Bài 5 

(3đ) 

1 

• a = 2 x; b = − ; n = 15 

2 

k 

k 

k n−k k k 

( ) 15 −k 

⎛ 1 ⎞ k 15−k ⎛ 1 ⎞ 15−k 

15 15 

2 

152 

• C a b = C x ⎜ − ⎟ = C ⎜ − ⎟ x 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

8 

§ Ócã hÖsè cña x ta phi cã 15 - 8 7. 

• k = ⇔ k = 

8 

• Suy ra hÖsè cña x lµ 

7 

7 15−7 ⎛ 1 ⎞ 7 8 1 7 

15 15 7 15 

C 2 ⎜ − ⎟ = − C 2 . = − C 2 = −12870 

⎝ 2 ⎠ 2 

• Lấy bất kỳ M(x; y) ∈ d ⇔ 4x − 5y 

+ 9 = 0 (*) 

⎧x' = x + 1 ⎧x = x' −1 

• T 

( M ) = M '( x'; y' 

) ⇔ 

v 

⎨ ⇔ ⎨ 

⎩y' = y − 3 ⎩y = y' + 3 

• Thay vào (*) : 4(x’ – 1) - 5(y’ + 3) + 9 = 0 ⇔ 4 x' − 5 y' − 10 = 0 

• Vậy phương trình d’: 4x – 5y – 10 = 0 

Nội dung 

A 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

Điểm 

P 

M 

E 

B 

F 

N 

D 

0,5 

C 

Câu a 

(1, 5đ) 

Câu b 

(1đ) 

• E = MP ∩ BD, 

suy ra 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

⎧⎪ 

E ∈ MP ⊂ MNP ⇒ E ∈ MNP 

⎨ 

⎪⎩ E ∈ BD ⊂ BCD ⇒ E ∈ BCD 

• E lµ ®iÓm chung thø nhÊt 

⎧⎪ 

N ∈ ( MNP) 

• ⎨ 

⎪⎩ N ∈ CD ⊂ ( BCD) ⇒ N ∈ ( BCD) 

• N lµ ®iÓm chung thø hai. Suy ra MNP ∩ BCD = EN 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

( ) 

BC 

( ) ( ) ( ) ( ) 

• Trongmp BCD gäi F = EN ∩ 

DoEN ⊂ PMN ⇒ BC ∩ PMN = F ⇒ ABC ∩ PMN = MF 

MÆt kh¸ c: 

BCD ∩ PMN = FN 

ACD ∩ PMN = NP 

ABD ∩ PMN = PM 

Vậy thiết diện của mp(PMN) và tứ diện ABCD là tứ giác MFNP. 


0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,25 

0,25


Đề số 7 



Bài 1 (2 điểm): Giải các phương trình sau: 

a) 2sin 2 ⎛ π ⎞ 

x – 3sinx + 1 = 0 b) sin ⎜ 2x + ⎟ + 3 sin( π − 2 x) = 2 

⎝ 2 ⎠ 

Bài 2 (3 điểm): 

a) Xác định hệ số của x 4 trong khai triển (1 − 2 x) 

12 . 

b) Tìm số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng và 10 đường tròn. 

c) Thang máy của 1 tòa nhà 7 tầng xuất phát từ tầng 1 với 3 khách. Tính xác suất để 3 

người cùng ra 1 tầng. 

Bài 3 (2 điểm): 

a) Tìm x biết: 2 + 5 + 8 +........+ x = 805. 

b) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (U n ) biết u 3 = 3, u 5 = 27. 

2 2 

Bài 4 (1 điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): ( x + 1) + ( y − 2) = 3 . Xác định 

phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến T v 

, với v = (4; –2) 

Bài 5 (2 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là 

trung điểm của AB, AD, SC. 

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). 

b) Xác định giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP). 

c) Xác định thiết diện của mặt phẳng (MNP) và hình chóp S. ABCD. 

Bài 1: 

Đề số 7 




a) Đặt t = sinx, đk −1 ≤ t ≤ 1 

(0,25đ) 

⎡ t = 1 ( N) 

PTTT: 2t 2 – 3t + 1 = 0 ⇔ ⎢ 

t 

1 ⎢ = ( N ) ⎣ 2 

(0,25đ) 

π 

*) Với t = 1 ⇔ sin x = 1⇔ x = + k2 π , k ∈Z 

2 

(0,25đ) 

⎡ π 

1 1 ⎢x = + k2 π , k∈Z 

*) Với t = ⇔ sin x = ⇔ ⎢ 

6 

2 2 ⎢ 

5π 

x = + k2 π , k∈Z 

⎣ 6 

(0,25đ) 

π 

π 

5π 

Vậy, PT trên có 3 họ nghiệm : + k2 π , k ∈Z ; + k2 π , k∈Z và + k2 π , k∈Z . 

2 

6 

6 

b) PT ⇔ cos2x + 3 sin 2x = 

⎛ π ⎞ 2 

2 ⇔ sin ⎜2x 

+ ⎟ = 

⎝ 6 ⎠ 2 

(0,5đ) 

⎡ π π ⎡ π 

⎢2x + = + k2 π , k∈ Z x k , k 

6 4 

⎢ = + π ∈Z 

⇔ ⎢ 

⇔ ⎢ 

24 

⎢ 

π 3π 7π 

2x + = + k2 π , k∈ Z ⎢x = + kπ 

, k∈Z 

⎣ 6 4 ⎣ 24 

(0,5đ) 


π 

7π 

Vậy, PT trên có 2 họ nghiệm : + kπ 

, k ∈Z và + kπ 

, k∈Z . 

24 

24 

Bài 2: 

(0,25đ) 

k k k k k 


a) Số hạng tổng quát của khai triển là: C .( − 2 x) = ( − 2) C . x 

⇒ hệ số của x k tong khai triển trên là: 

( − 2) 

k k 

C 12 

(0,25đ) 

⇒ hệ số của x 4 tong khai triển trên là: ( − 2) 4 C 


= 7920 

(0,5đ) 

b) Giao điểm của 10 đường thẳng và 10 đường tròn có thể là 1 trong các trường hợp sau : 

(0,25đ) 

(0,25đ) 

*) 2 đường tròn có số giao điểm tối đa là : 2. C 2 10 

= 90 

*) 2 đường thẳng có số giao điểm tối đa là : C 2 10 

= 45 

1 1 


*) 1 đường thẳng và 1 đường tròn có số giao điểm tối đa là : 2. C . C = 200 

(0,25đ) 

Vậy, số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng và 10 đường tròn là : 200+45+90 = 335 

(0,25đ) 

c) n( Ω ) = 6.6.6 = 216 

(0,25đ) 

n(A) = 6 

(0,25đ) 

P(A) = n( A) 

= 6 = 

1 

n( Ω) 216 36 

(0, 5đ) 

Bài 3: 

a) Các số 2, 5, 8,....., x lập thành 1 cấp số cộng với u 1 = 2, d = 3. 

(0,25đ) 

n(2 u n d 

Giả sử x = u n . Khi đó, ta có: S n = 805 

1 

+ ( −1) ) 

⇔ = 805 

2 

(0,25đ) 

⎡ n = 23 ( N) 

⇔ 3n 2 + n – 1610 = 0 ⇔ ⎢ 

n 

70 ⎢ = − ( L ) 

⎣ 3 

(0,25đ) 

⇒ x = u 23 = u 1 + 22d = 2 + 22.3 = 68 

(0,25đ) 

u 

b) Vì (U n ) là cấp số nhân nên ta có: u 

2 ⎡ 

4 

u3 u5 

u 

4 = 9 

= . = 3.27 = 81 ⇔ ⎢ 

⎣ 4 

= −9 

(0,25đ) 

*) u = 9 ⇔ u . q = 9 ⇔ 3. q = 9 ⇔ q = 3 

4 3 

(0,25đ) 

*) u = − 9 ⇔ u . q = −9⇔ 3. q = −9 ⇔ q = − 3 

(0,25đ) 

4 3 

Mặt khác, 

(0,25đ) 

2 u 

u u q u 

3 3 1 

3 

= 

1. 

⇔ 

1 

= = = 

2 

q 9 3 


Bài 5: 

a) Ta có: 

5 đ) 

Vậy, có 2 CSN với u 1 = 1 3 ; q = 3 và u 1 = 1 3 ; q = –3 

Bài 4: (C): (x +1) 2 + ( y – 2) 2 = 3 có tâm I(–1; 2), bán kính R = 3 

(0,25đ) 

T v 

, (I) = I’(3; 0) 

(0,25đ) 

T v 

,(C)= (C’) có tâm I’(3; 0), bán kính R’= R = 3 

(0,25đ) 

⇒ phương trình đường tròn (C’): (x – 3) 2 + y 2 = 3 

(0,25đ) 

S ∈( SAB) ∩( 

SCD) ⎫ 

⎪ 

AB // CD 

⎬ 

AB ⊂ (SAB), CD ⊂ (SCD) ⎪ 

⎭ 

⇒ ( SAB) ∩( 

SCD)= Sx // AB 

(0, 

b) Trong (ABCD), gọi E = MN ∩ CD. Khi đó, 

P Q 

E ∈ MN ⊂ (MNP) ⎫ 

⎬ ⇒ E = CD ∩ (MNP) 

E 

E ∈CD 

⎭ 

R 

(0,5đ) 

A 

N D 

c) (MNP) ∩ (ABCD) = MN 

M 

(MNP) ∩ (SAD) = NQ 

(MNP) ∩ (SCD) = QP 

(MNP) ∩ (SBC) = PR 

(MNP) ∩ (SAB) = RM 

⇒ thiết diện cần tìm là ngũ giác MNQPR 

(0,5đ) 

F B 

C 

( hình 0,5 đ) 


Đề số 8 




2 

a) 2sin x + 5cos x + 1 = 0 b) 3 sin 2x + cos 2x + 1 = 0. 

Bài 2: 

a) Tìm hệ số chứa 

2 − 3x . 

4 

x trong khai triển nhị thức ( ) 15 

b) Trong một nhóm học sinh có 11 nam, 5 nữ. Tính xác suất để chọn ra 8 học sinh, trong đó 

có không quá 4 nữ. 

⎧u1 − u3 + u5 


Bài 3: Cho cấp số cộng( un 

) biết a ⎨ 

⎩u1 + u6 

= 17 

a) Tìm u , 1 

d của cấp số cộng. 

b) Tính u 

15 

. 

Bài 4: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, 

BC. Trên BD lấy P sao cho BP = 2PD. 

a) Tìm CD ∩ ( MNP) 

. 

b) Tìm ( MNP) ∩ ( ACD) 

. 

c) Chứng minh AB ( MNP) 

. 

Bài 5: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các 

cạnh BC, CA, AB. 

a) Tìm phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. 


S

) Chứng minh tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam gác ABC là trực tâm của tam giác 

A’B’C’. 


Đề số 8 




1 a) 

2 2 

2sin x + 5cos x + 1 = 0 ⇔ 2(1 − cos x) + 5cos x + 1 = 0 

⎡cos x = 3 

2 

⇔ − 2cos x + 5cos x + 3 = 0 ⇔ ⎢ 

⎢ 

1 

cos x = − 

⎣ 2 

2π 

2π 

⇔ cos x = cos ⇔ x = ± + k2 π , k ∈ z 

3 3 

b) 

3 1 1 

3 sin 2x + cos 2x + 1 = 0 ⇔ sin 2x + cos 2x 

= − 

2 2 2 

π π 1 

π π 

⇔ sin 2x cos + cos 2xsin = − ⇔ sin(2 x + ) = sin( − ) 

6 6 2 6 6 

⎡ π π ⎡ π 

⎢ 

2x + = − + k2π 

π 

6 6 ⎢ 

x = + k 

6 

⇔ ⎢ 

,( k ∈ Z) ⇔ ⎢ ,( k ∈ Z) 

⎢ π π π 

2x + = π + + k2π ⎢x = + kπ 

⎢⎣ 

6 6 ⎢⎣ 2 

15− 

15− 

2 a) Số hạng tổng quát của khai triển là C 2 ( − 3 x) = C 2 ( − 3) x 

3 

4 

4 

Để số hạng tổng quát chúa x thì k = 4 

Vậy hệ số cần tìm là C 4 2 11 ( − 3) 4 = 226437120 

15 

k k k k k k k 

15 15 

8 

b) Chọn 8 hs trong16 hs là: n( Ω ) = C16 


Gọi A: “Chọn ra 8 hs trong dó có không quá 4 hs nữ.” 

B: “Chọn ra 8 hs trong dó có 5 hs nữ.” 

Cách chọn 3hs nam và 5 hs nữ là: C C = 

3 5 


165 

n( B) 1 

⇒ n( B) = 165 ⇒ P( B) 

= = 

n( Ω) 78 

77 

Vì A,B là hai biến cố đối nên P( A) = 1 − P( B) 

= 

78 

⎧u1 − u3 + u5 = 10 ⎧u1 − ( u1 + 2 d) + ( u1 

+ 4 d) = 10 

Ta có ⎨ 

⇔ ⎨ 

⎩u1 + u6 = 17 ⎩u1 + ( u1 

+ 5 d) = 17 

⎧u1 + 2d = 10 ⎧u1 

= 16 

⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

⎩2u1 

+ 5d = 17 ⎩d 

= −3 

Khi đó u 

15 

= 16 + 14( − 3) = − 26 


I ∈CD 

⎫ 

a) Gọi CD ∩ NP = I . Ta thấy ⎬ ⇒ CD ∩ ( MNP) 

= I 

I ∈ NP ⊂ ( MNP) 

⎭ 

b) 

M ∈ AC ⊂ ( ACD) 

⎫ 

⎬ ⇒ M ∈ ( ACD) ∩ ( MNP) 

M ∈( MNP) 

⎭ 

I ∈CD ⊂ ( ACD) 

⎫ 

⎬ ⇒ I ∈ ( ACD) ∩ ( MNP) 

I ∈ NP ⊂ ( MNP) 

⎭ 

⇒ ( MNP) ∩ ( ACD) 

= MI 

5 

c) 

AB / / MN ⎫ 

⎬ ⇒ AB / /( MNP) 

MN ⊂ ( MNP) 

⎭ 

a) V 

1 

( A) = A' 

; V 

1 

( B) = B '; V 

1 

( C) = C ' 

( G; − ) 

2 

1 

( G; − ) 

2 

( G; − ) 

2 

⇒ V ( ∆ ABC) = ∆ A' B ' C ' 

( G; − ) 

2 

b) Ta có: CA / / A' C ', AB / / A' B ', BC / / B ' C ' 

mà OA' ⊥ C ' B ', OB ' ⊥ A' C ', OC ' ⊥ A' B ' 

Khi đó O là trực tâm của tam giác A’B’C’ 


Đề số 9 



Bài 1: Giải các phương trình sau 

2 

1) 5sin x + cos x − 1 = 0 

2) sin 2x + cos 2x + 3 = 0 . 

Bài 2: 

1) Tìm hệ số chứa 

2x − 3 . 

4 

x trong khai triển nhị thức ( ) 16 

2) Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 14 nam và 6 nữ. Cần chọn ra 4 học sinh.Tính xác 

suất: 

a) Để chọn đươc số học sinh nam, nữ bằng nhau. 

b) Có ít nhất 1 học sinh nữ. 

Bài 3: Cho cấp số cộng( un 

) 

1) Tìm u , 1 

d của cấp số cộng. 

⎧u7 − u3 

= 8 

biết ⎨ . 

⎩u2u7 

= 75 

2) Tính u 

15 

. 

Bài 4: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc BA, 

1 1 3 

BC, CD sao cho BM = BA, BN = BC, 

CP = CD . 

2 2 4 

1) Tìm ( MNP) ∩ ( ABD) 

. 2) Tìm ( MNP) ∩ ( ACD) 

. 

3) Tìm AD ∩ ( MNP) 

. 4) Chứng minh: AC ( MNP) 

. 


Bài 5: Cho tam giác ABC, dựng ở ngoài tam giác ấy 2 hình vuông ABDE, BCKF. Gọi P là 

trung điểm của cạnh AC, H là điểm đối xứng của D qua B, M là trung điểm của FH. 

 

1) Xác định ảnh của AB, 

BP qua phép quay tâm B góc 90 0 . 

2) Chứng minh rằng: DF = 2BP và DF vuông góc với BP. 


Đề số 9 




1 1) 

2 2 

5sin x + cos x − 1 = 0 ⇔ 5(1 − cos x) + cos x − 1 = 0 

⎡cos x = 1 

⎢ 

⎡x 

= k2π 

⇔ − + + = ⇔ 4 ⇔ ∈ 

⎢ ⎢ 

cos x = − ⎣x = ± arccos x + k2π 

⎣ 5 

2 

5cos x cos x 4 0 ,( k Z) 

b) sin 2x + cos 2x + 3 = 0 ⇔ sin 2x + cos 2x 

= − 3 

ta thấy 1 1 ( 3) 2 

a 2 + b 2 = 2 + 2 < − = c 2 nên phương trình vô nghiệm 

2 1) Số hạng tổng quát của khai triển là: C (2 x) ( − 3) = C ( −3) 2 x 

k 16−k k k k 16−k 16−k 

16 16 

4 

Để số hạng tổng quát chúa x thì 16 − k = 4 ⇒ k = 12 


Vậy hệ số cần tìm là C ( − 3) 2 

16 

4 

2) Chọn 4 hs ngẫu nhiên là n( Ω ) = C20 

= 4845 

Gọi A: “chọn đươc số hs nam, nữ bằng nhau” 

2 2 

Cách chọn 2nam 2 nữ là: C14C 6 

= 1365 

n( A) 9 

⇒ n( A) = 1365 ⇒ P( A) 

= = 

n( Ω) 323 

Gọi B: “chọn được ít nhất 1 hs nữ.” 

4 

Cách chọn không có nữ nào là: C 

14 


Cách chọn ít nhất một nữ là: 4845-1001=3844 

n( B) 3844 

⇒ n( B) = 3844 ⇒ P( B) 

= = 

n( Ω) 4845 

3 1) Ta có: 

⎧u7 − u3 = 8 ⎧u1 + 6 d − ( u 4 8 2 

1 

+ 2 d) = 8 ⎧ d = ⎧d 

= 

⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ 

2 2 ⎨ 2 

⎩u2u7 = 75 ⎩( u1 + d)( u1 + 6 d) = 75 ⎩u1 + 7u1d + 6d = 75 ⎩u1 + 14u1 

− 51 = 0 

⇔ 

⎡ ⎧d 

= 2 

⎢⎨ 

⎢⎩ u1 

= 3 

⎢ ⎧d 

= 2 

⎢ ⎨ 

⎢⎩ ⎣ u1 

= −17 

⎧u1 = 3 

2) Th1: ⎨ 

⎩d 

= 2 

⎧u1 = −17 

Th2: ⎨ 

⎩d 

= 2 

⇒ u 

15 

= 3 + 14.2 = 31 

⇒ u 

15 

= − 17 + 14.2 = 11 


4 

5 

1) Gọi BD ∩ NP = I 

M ∈ AC ⊂ ( ABD) 

⎫ 

Ta thấy 

⎬ ⇒ M ∈ ( ABD) ∩ ( MNP) 

M ∈( MNP) 

⎭ 

I ∈CD ⊂ ( ACD) 

⎫ 

⎬ ⇒ I ∈ ( ACD) ∩ ( MNP) 

⇒ ( MNP) ∩ ( ACD) 

= MI 

I ∈ NP ⊂ ( MNP) 

⎭ 

P ∈CD ⊂ ( BCD) 

⎫ 

2) 

⎬ ⇒ P ∈ ( BCD) ∩ ( MNP) 

P ∈( MNP) 

⎭ 

MN / / AC ⎫ 

⎪ 

MN ⊂ ( MNP) ⎬ ⇒ ( MNP) ∩ ( ACD) 

= d 

AC ⊂ ( ACD) 

⎪ 

⎭ 

d đi qua p và d //AC 

3) Gọi d ∩ AD = J 

J ∈ AD ⎫ 

⎬ ⇒ J = AD ∩ ( MNP) 

J ∈ d ⊂ ( MNP) 

⎭ 

AC / / MN ⎫ 

4) 

⎬ ⇒ AC / /( MNP) 

MN ⊂ ( MNP) 

⎭ 





Câu 1: (3,0 điểm) 

⎛ π ⎞ 

1) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3sin ⎜ x − ⎟ + 1 . 

⎝ 6 ⎠ 


⎛ π ⎞ 

2 2 1 

a) 2sin ⎜3x 

+ ⎟ − 1 = 0 

b) sin x + sin 2x − 2 cos x = 

⎝ 4 ⎠ 

2 

⎛ 3 1 ⎞ 

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ⎜ x + ⎟ 

⎝ x ⎠ . 

Câu 3: (1.5 điểm) Có 5 bông hoa hồng nhung, 7 bông hoa cúc vàng và 4 bông hoa hồng bạch. 

Chọn ngẫu nhiên 3 bông hoa. Tính xác suất để 3 bông hoa được chọn là: 

1) Cùng một loại 

2) Ít nhất có một bông hoa hồng nhung. 

⎧ u u 

Câu 4: (1.5 điểm) Cho cấp số cộng (u n ) có: 

4 

+ 

6 

= 26 

⎨ 

⎩u2 − u3 + u5 


1) Tính số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó. 

2) Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. 

Câu 5: (3.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I và J lần 

lượt là trung điểm của SB và SC. 

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 110/240. 

8

1) Xác định giao tuyến (SAD) và (SBC). 

2) Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ). 

3) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ). 






Câu 1 1 Ta có: 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

0.5 

−1 ≤ sin ⎜ x − ⎟ ≤ 1 ⇔ −3 ≤ 3sin ⎜ x − ⎟ ≤ 3 ⇔ −2 ≤ 3sin⎜ x − ⎟ + 1 ≤ 4 

⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 

⎛ π ⎞ 2π 

Vậy Max y = 4 khi sin ⎜ x − ⎟ = 1 ⇔ x = + k2 π , 

⎝ 6 ⎠ 3 

k ∈Z 

⎛ π ⎞ 

π 

Min y = –2 khi sin ⎜ x − ⎟ = −1 ⇔ x = − + k2 π , 

⎝ 6 ⎠ 

3 

k ∈Z 

0.5 

2a 

π 

a) 2sin(3 x + ) − 1 = 0 (1) 

4 

⎡ π π 

0.25 

π 1 ⎢3x 

+ = + k2π 

(1) ⇔ sin(3 x + ) = ⇔ ⎢ 

4 6 

( k ∈Z 

) 

4 2 ⎢ 

π π 

3x 

+ = π − + k2π 

⎣ 4 6 

⎡ π k2π 

⎢x 

= − + 

⇔ ⎢ 

36 3 ( k ∈Z 

) 

⎢ 

7π 

k2π 

x = + 

0.5 

⎣ 36 3 

⎡ π k2π 

⎢x 

= − + 

Vậy (1) có hai họ nghiệm: ⎢ 

36 3 

⎢ 

7π 

k2π 

x = + 

⎣ 36 3 

( k ∈Z 

) 

0.25 

2b 

2 2 1 

b) sin x + sin 2x − 2 cos x = 

2 

(2) 

π 

– Với cosx = 0 ⇔ x = + kπ 

, 

2 

k ∈Z 

Khi đó phương trình (2) có dạng: 1 = 1 (Vô lí) 

2 

π 

Vậy (2) không nhận x = + kπ 

, k ∈Z làm nghiệm. 

2 

π 

– Với cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ 

, k ∈Z 

2 

Chia cả hai vế của (2) cho cos 2 x , ta được: 

0.25 

tan 2 x + 2tanx – 2 = 1 2 (1 + tan2 x) ⇔ tan 2 x + 4tanx – 5 = 0 

t 

Đặt t = tanx, ta biến đổi phương trình về dạng: t 

2 ⎡ = 

+ 4t 

− 5 = 0 ⇔ 1 

⎢ 

⎣t 

= − 5 

π 

–Khi t = 1 thì tan x = 1 ⇔ x = + kπ 

, k ∈Z 

4 

–Khi t = –5 thì tan x = −5 ⇔ x = arctan( − 5) + kπ 

, k ∈ Z 


0.25 

0.25 

0.25

Câu 2 

Câu 3 

Câu 4 

Câu 5 

⎡ π 

Vậy (2) có hai họ nghiệm: ⎢x 

= + kπ 

⎢ 

4 

⎣x 

= arctan( − 5) + kπ 

Gọi số hạng tổng quát thứ k + 1 của khai triển là: 

K 

D 

( k ∈Z 

) 

k 

k 3 8−k ⎛ 1 ⎞ k 24−3k 1 k 24−4k 

k+ 

1 

= 

8 

( ) . ⎜ ⎟ = 

8 

. = 

k 8 

T C x x 

C x x 

C x 

⎝ ⎠ 

Để T k + 1 không chứa x thì 24 – 4k = 0 ⇔ k = 6 

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: T 7 = C 6 8 

= 28 

Chọn ngẫu nhiên ba bông hoa từ 5 bông hoa hồng nhung, 7 bông hoa cúc 

vàng và 4 bông hoa hồng bạch là một tổ hợp chập 3 của 16 bông hoa các loại. 

Khi đó không gian mẫu là: n( Ω ) = C 3 16 

= 560 

3.1 Gọi A là biến cố ba bông hoa cùng một loại. Khi đó số khả năng thuận lợi cho 

3 3 3 

5 7 4 

biến cố A là: n( A) = C + C + C = 49 

n( A) 49 7 

Vậy P( A) 

= = = 

n( Ω) 560 80 

3.2 Gọi B là biến cố có ít nhất một bông hoa hồng nhung. Khi đó số khả năng 

3 2 1 1 2 

5 5 11 5 11 

thuận lợi cho biến cố B là: n( B) = C + C C + C C = 395 

n( B) 395 79 

Vậy P( B) 

= = = 

n( Ω ) 560 112 

4.1 Tính số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó. 

⎧u u u d u 

Ta có: 

4 

+ 

6 

= 26 ⎧2 1 

+ 8 = 26 ⎧ 

1 

= 1 

⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ . 

⎩u2 − u3 + u5 = 10 ⎩u1 

+ 3d = 10 ⎩d 

= 3 

Vậy số hạng đầu tiên u 1 = 1 và d = 3. 

4.1 Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. 

10(2u d [ ] 

Ta có: S 

1 

+ 9 ) 10 2.1+ 

9.3 


= = = 145 

2 2 

Vậy S 10 = 145 

5.1 Xác định giao tuyến (SAD) và (SBC). 

Gọi E = AD ∩ BC . Khi đó: 

⎧E ∈ AD ⊂ ( SAD) 

⎨ 

⎩E ∈ BC ⊂ ( SBC) 

⇒ E ∈ (SAD) ∩ (SBC) (1) 

Mặt khác: 

A 

⎧S 

∈( SAD) 

⎨ ⇒ S ∈ (SAD) ∩ (SBC) (2) 

⎩S 

∈ ( SBC) 

Từ (1) và (2) suy ra: SE = (SAD) ∩ (SBC). 

S 

F 

J 

I 

C 

B 

0.5 

0.25 

0.25 

0.5 

0.5 

0.5 

0.5 

0.25 

0.5 

0.25 

0.5 

0.5 

5.2 Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ). 

⎧K ∈ AF ⊂ ( AIJ) 

0.5 

Gọi F = IJ ∩ SE và K = AF ∩ SD , khi đó: ⎨ 

⎩K 

∈ SD 

⇒ K = SD ∩ ( AIJ) 

0.5 

5.3 Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ). 

Thiết diện là tứ giác AKJI 1.0 

E 




Môn TOÁN Lớp 11 – Nâng cao 


Câu I: (3đ) Giải các phương trình sau : 

2 

1) (1đ) x ( ) 

2 ⎛ 3π 

⎞ 

3tan − 1+ 3 tan x + 1= 0 2) (1đ) 2cos ⎜ x − ⎟ + 3 cos2x 

= 0 

⎝ 4 ⎠ 

1− 

cos2x 

3) (1đ) 1+ cot 2x 

= 

2 

sin 2x 

Câu II: (2đ) 

1) (1đ) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của 

0 1 2 

n n n 

C − 2C + A = 109 . 

⎛ 

⎜ x 

⎝ 

2 

n 

1 ⎞ 

+ 

4 

⎟ , biết: 

x ⎠ 

2) (1đ) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ 

số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba 

chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị. 

Câu III: (2đ) Trên một giá sách có các quyển sách về ba môn học là toán, vật lý và hoá học, 

gồm 4 quyển sách toán, 5 quyển sách vật lý và 3 quyển sách hoá học. Lấy ngẫu nhiên ra 3 

quyển sách. Tính xác suất để: 

1) (1đ) Trong 3 quyển sách lấy ra, có ít nhất một quyển sách toán. 

2) (1đ) Trong 3 quyển sách lấy ra, chỉ có hai loại sách về hai môn học. 

2 2 

Câu IV: (1đ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn ( C) : ( x − 1) + ( y − 2) = 4 . Gọi f là 

⎛ 1 3 ⎞ 

phép biến hình có được bằng cách sau: thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v = ⎜ ; ⎟ , rồi đến 

⎝ 2 2 ⎠ 

⎛ 

phép vị tự tâm M 4 ; 

1 ⎞ 

⎜ ⎟ , tỉ số k = 2 . Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép biến 

⎝ 3 3 ⎠ 

hình f. 

Câu V: (2đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M và N lần lượt là 

trọng tâm của tam giác SAB và SAD. 

1) (1đ) Chứng minh: MN // (ABCD). 

2) (1đ) Gọi E là trung điểm của CB. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi 

mặt phẳng (MNE). 






I 

(3đ) 

1 

3 tan 2 x ( 1 3) 

tan x 1 0 tan x 1 hoaëc tan x 

0,50 

− + + = ⇔ = = 

3 

π 

0,25 

tan x = 1 ⇔ x = + kπ 

4 

tan x = 

1 π 

0,25 

⇔ x = + kπ 

3 6 

2 

⎛ 3π 

⎞ 

0,25 

PT ⇔ 1+ cos⎜ 

2x − ⎟ + 3 cos2x = 0 ⇔ 1− sin2x + 3 cos2x = 0 ⇔ sin2x − 3 cos2x 

= 1 

⎝ 2 ⎠ 

⎛ π ⎞ π 

0,25 

⇔ sin⎜2x 

− ⎟ = sin 

⎝ 3 ⎠ 6 


3 

II 

1 

⎡ π π ⎡ π 

0,25 

⎛ π ⎞ π ⎢2x − = + k2π 

⎢x = + kπ 

sin 2x 

sin 

3 6 4 

⎜ − ⎟ = ⇔ ⎢ 

⇔ ⎢ 

⎝ 3 ⎠ 6 ⎢ 

π 5π 7π 

2x k2π 

⎢ 

0,25 

− = + x = + kπ 

⎢⎣ 

3 6 ⎢⎣ 


π 

ĐK: sin2x ≠ 0 ⇔ x ≠ l 

2 

cos2x 

1− 

cos2x 

2 

PT ⇔ 1+ = ⇔ sin 2x + cos2x sin2x = 1− 

cos2x 

sin2x 

2 

0,50 

sin 2x 

⎡ sin2x 

= −1 

⇔ ( sin2x + 1)( sin2x + cos2x 

− 1) 

= 0 ⇔ ⎢ 

⎣sin2x 

+ cos2x 

= 1 

π 

π 

0,25 

sin2x = −1 ⇔ 2x = − + k2π 

⇔ x = − + kπ 

(thoả điều kiện) 

2 4 

⎛ π ⎞ 

⎡ 

π 

x = k π (loaïi) 

π 

sin 2x + cos2x = 1 ⇔ sin ⎜2x + ⎟ = sin ⇔ ⎢ π ⇔ x = + kπ 

(thoả đk) 0,25 

⎝ 4 ⎠ 4 ⎢x 

= + kπ 

4 

⎣ 4 

(2đ) 

0 1 2 

ĐK: n ≥ 2; n∈N ; Cn − 2Cn + An 

= 109 ⇔ 1− 2 n + n( n − 1) = 109 ⇔ n = 12 

0,25 


12 12 k 12 

2 1 − 

0,25 

⎛ ⎞ 

k 2 −4k k 24−6k 

⎜ x + C12 ( x ) x C12 

x 

4 

⎟ = ∑ = ∑ 

⎝ x ⎠ k= 0 k= 

0 

24 − 6k 

= 0 ⇔ k = 4 

0,25 

Vậy số hạng không chứa x là C 4 12 

= 495 

0,25 

2 Gọi số cần tìm là a1a2 a3a4 a5a6 . 

Theo đề ra, ta có: 

a + a + a = a + a + a + 1⇒ 2 a + a + a = a + a + a + a + a + a + 1 

( 

( 

) 

) 

+TH 1: { a1; a2; a3} = { 2;4;5} 

thì { a4; a5; a6} { 1;3;6 } 

+TH 2: { a1; a2; a3} = { 2;3;6} 

thì { a4; a5; a6} { 1;4;5 } 

+TH 1: { a ; a ; a } = { 1;4;6 } thì { a ; a ; a } { 2;3;5} 

1 2 3 4 5 6 1 2 3 1 2 3 4 5 6 

1 2 3 

⇒ 2 a + a + a = 21 + 1 ⇒ a + a + a = 11 

1 2 3 1 2 3 

4 5 6 

= nên có (1.2!).(3!) = 12 (số) 



Theo quy tắc cộng, ta có: 12 + 12 + 12 = 36 (số) 0,25 

III 

(2đ) 

1 A là biến cố “Trong 3 quyển sách lấy ra, có ít nhất một quyển sách toán”. 

A là biến cố “Trong 3 quyển sách lấy ra, không có quyển sách toán nào”. 

3 

0,50 

C8 

14 

P( A) 

= = 

3 

C 55 


14 41 

P( A) = 1 − P( A) = 1− = 55 55 

2 B là biến cố “Trong 3 quyển sách lấy ra, có đúng hai loại sách về hai môn học” 

1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 

Ω 

B 

= C4C5 + C4C5 + C4C3 + C4C3 + C5C3 + C5C3 = 145 

IV 

P( B) 

145 29 

= = 

44 

C 3 12 

Gọi I là tâm của (C) thì I(1; 2) và R là bán kính của (C) thì R = 2. 

⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 3 7 ⎞ 

Gọi A là ảnh của I qua phép tịnh tiến theo vectơ v = ⎜ ; ⎟ , suy ra A ⎜ ; ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 

⎛ 

Gọi B là tâm của (C’) thì B là ảnh của A qua phép vị tự tâm M 4 ; 

1 ⎞ 

⎜ ⎟ tỉ số k = 2 

⎝ 3 3 ⎠ 


0,25 

0,50 

0,50 

0,50 

0,50 

(1đ) 

0,25

V 

⎧ 

5 

0,25 

xB = 2xA − xM 

= 

⎪ 

nên : MB 2MA 

3 ⎛ 5 20 ⎞ 

= ⇒ ⎨ . Vậy B 

⎪ 

14 

⎜ ; ⎟ 

3 3 

yB = 2yA − yM 

= 

⎝ ⎠ 

⎪⎩ 

3 

Gọi R’ là bán kính của (C’) thì R’ = 2R = 4 0,25 

2 2 

⎛ 5 ⎞ ⎛ 20 ⎞ 

Vậy ( C ') : ⎜ x − ⎟ + ⎜ y − ⎟ = 16 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

S 

0,25 

(2đ) 

B 

P 

I 

M 

A 

E 

G 

O 

N 

J 

C 

1 Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và AD, ta có: 

SM 2 SN 

0,50 

= = ⇒ MN / / IJ 

SI 3 SJ 

Mà IJ ⊂ ( ABCD) 

nên suy ra MN // (ABCD). 0,50 

2 + Qua E vẽ đường thẳng song song với BD cắt CD tại F, cắt AD tại K. 

+ KN cắt SD tại Q, KN cắt SA tại G; GM cắt SB tại P. 

0,50 

Suy ra ngũ giác EFQGP là thiết diện cần dựng. 

F 

Q 

D 

K 

0,50 


Câu I: (3đ) Giải các phương trình sau : 




1) (1đ) sin3x − 3 cos3x 

= 1 

2) (1đ) 4 cos x + 3 2 sin2x = 8cos x 

2 ⎛ x π ⎞ 

( 2 − 3) 

cos x − 2sin ⎜ − ⎟ 

2 4 

3) (1đ) 

⎝ ⎠ = 1 

2cos x −1 

Câu II: (2đ) 

1) (1đ) Tìm hệ số của x 31 ⎛ 1 ⎞ 

n n−1 1 2 

trong khai triển của ⎜ x + 

x 2 ⎟ , biết rằng Cn + Cn + An 

= 821 . 

⎝ ⎠ 

2 

2) (1đ) Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên 

chẵn có năm chữ số khác nhau và trong năm chữ số đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ 

này không đứng cạnh nhau. 

Câu III: (2đ) Có hai cái hộp chứa các quả cầu, hộp thứ nhất gồm 3 quả cầu màu trắng và 2 quả 

cầu màu đỏ; hộp thứ hai gồm 3 quả cầu màu trắng và 4 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên từ 

mỗi hộp ra 2 quả cầu. Tính xác suất để : 

1) (1đ) Trong 4 quả cầu lấy ra, có ít nhất một quả cầu màu trắng. 

2) (1đ) Trong 4 quả cầu lấy ra, có đủ cả ba màu: trắng, đỏ và vàng. 

Câu IV: (1đ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn C ( x ) ( y ) 

n 

3 

2 2 

( ) : − 2 + − 1 = 9 . Gọi f là 

⎛ 

phép biến hình có được bằng cách sau: thực hiện phép đối xứng tâm M 4 ; 

1 ⎞ 

⎜ ⎟ , rồi đến phép vị 

⎝ 3 3 ⎠ 

⎛ 

tự tâm N 1 ; 

3 ⎞ 

⎜ ⎟ , tỉ số k = 2 . Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép biến hình f . 

⎝ 2 2 ⎠ 


Câu V: (2đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD // BC, AD > BC). Gọi M 

là một điểm bất kỳ trên cạnh AB ( M khác A và M khác B). Gọi (α ) là mặt phẳng qua M và 

song song với SB và AD. 

1) (1đ) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (α ). Thiết diện này là hình 

gì ? 

2) (1đ) Chứng minh SC // (α ). 






I 

(3đ) 

1 1 3 1 ⎛ 

sin3x cos3x sin 3x 

⎞ π 

0,50 

− = ⇔ ⎜ − ⎟ = sin 

2 2 2 ⎝ 3 ⎠ 6 

⎡ π π ⎡ π 2π 

0,25 

⎢3x − = + k2π 

⎢x = + k 

⇔ ⎢ 

3 6 ⇔ ⎢ 

6 3 

π 5π 7π 2π 

0,25 

⎢3x − = + k2π 

⎢x = + k 

⎢⎣ 

3 6 ⎢⎣ 

18 3 

2 3 2 

pt x x x x x ( x x ) 

⇔ 4cos + 6 2 sin cos = 8cos ⇔ cos 2 cos + 3 2 sin − 4 = 0 

0,25 

⎡ cos x = 0 

⇔ ⎢ 2 

⎣2sin x − 3 2 sin x + 2 = 0 (*) 

π 

0,25 

cos x = 0 ⇔ x = + kπ 

2 

⎡ π 

0,25 

⎡ 2 x k2 

sin x 

2 ⎢ = + π 

(*) ⇔ 

⎢ = 

sin x 

4 

2 ⇔ = ⇔ 

⎢ 

⎢ 

2 3π 

0,25 

⎢ sin x 2 (lo¹i) 

⎢ 

⎣ = 

x = + k2π 

⎢⎣ 4 

3 

1 π 

Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ ± + k2π 

2 3 

0,50 

⎛ π ⎞ 

pt ⇔ ( 2 − 3) 

cos x − 1+ cos⎜ 

x − ⎟ = 2 cos x −1 ⇔ sin x − 

⎝ 2 ⎠ 

3 cos x = 0 ⇔ tan x = 3 

tan x = 

π 

0,25 

3 ⇔ x = + kπ 

3 

4π 

0,25 

Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm của pt là: x = + kπ 

3 

II 

(2đ) 

1 ĐK: n ≥ 2; n∈N 

n 

n n 

( n 

1 1 

−1) 

0,25 

− 2 2 

Cn + Cn + An 

= 821 ⇔ 1+ n + = 821 ⇔ n + n − 1640 = 0 ⇔ n = 40 

2 2 

40 

40 40 

0,25 

⎛ 1 ⎞ 

k 40−k −2k k 40−3k 

⎜ x + C40x x C40x 

2 

⎟ = ∑ = ∑ 

⎝ x ⎠ k= 0 k= 

0 

40 − 3k 

= 31 ⇔ k = 3 

0,25 

Vậy hệ số của x 31 là C 3 40 

= 9880 

0,25 

3 + Số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau và có đúng hai chữ số lẻ có: 

2 2 2 1 

5C C 4! − 4C C 3! = 6480 (số) 0,25 

5 4 5 3 

+ Số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau và có đúng hai chữ số lẻ đứng cạnh 

nhau có 

2 2 2 

5 4 5 

5× A × 3× A − 4× A × 2 × 3 = 3120 (số) 


0,50

Suy ra có: 6480 – 3120 = 3360 (số) 0,25 

III 

(2đ) 

1 2 2 

Ω = C5 × C7 = 210 

0,25 

Gọi A là biến cố “Trong 4 quả cầu lấy ra, có ít nhất một quả cầu màu trắng”. 

A là biến cố “Trong 4 quả cầu lấy ra, không có quả cầu màu trắng”. 

2 2 

0,50 

C2C4 1 

P( A) 

= = 

210 35 

1 34 

0,25 

Suy ra: P( A) = 1− P( A) 

= 1− = 35 35 

2 Gọi B là biến cố “Trong 4 quả cầu lấy ra, có đủ cả ba màu: trắng, đỏ và vàng”. 

IV 

V 

1 1 2 

+Trường hợp 1: 1 trắng, 1 đỏ ở hộp một; 2 vàng ở hộp hai có ( C C ) C 

2 1 1 

+Trường hợp 2: 2 đỏ ở hộp một; 1 vàng, 1 trắng ở hộp hai có C ( C C ) 

+Trường hợp 3: 1 đỏ, 1 trắng ở hộp một; 1 vàng, 1 trắng ở hộp hai có 

1 1 1 1 

( C C )( C C ) 

3 2 4 3 (cách) 

Suy ra: 

B ( C 1 C 1 ) C 2 C 2 ( C 1 C 1 ) ( C 1 C 1 )( C 1 C 

1 

) 

Suy ra: P( B) 

Ω = + + = 

2 3 4 2 3 4 3 2 4 3 



= = 


2 3 4 (cách) 

2 3 4 (cách) 

Gọi I là tâm của (C) thì I(2 ; 1) và R là bán kính của (C) thì R = 3. 

1 

Gọi A là ảnh của I qua phép đối xứng tâm M ⎛ 4 

3 

; ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ 

⎜ ⎟ , suy ra A ⎜ ; − ⎟ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠ 

3 

Gọi B là tâm của (C’) thì B là ảnh của A qua phép vị tự tâm N ⎛ 1 

2 

; ⎞ 

⎜ ⎟ tỉ số k = 2 

⎝ 2 ⎠ 

0,25 

⎧ 

5 

xB = 2xA − xN 

= 

⎪ 

nên : NB 2NA 

6 ⎛ 5 13 ⎞ 

= ⇒ ⎨ . Vậy B 

⎪ 

13 

⎜ ; − ⎟ 

6 6 

yB = 2yA − yN 

= − ⎝ ⎠ 

⎪⎩ 

6 

Gọi R’ là bán kính của (C’) thì R’ = 2R = 6 0,25 

2 2 

⎛ 5 ⎞ ⎛ 13 ⎞ 

Vậy ( C ') : ⎜ x − ⎟ + ⎜ y + ⎟ = 36 

⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 

S 

0,75 

0,25 

(1đ) 

0,25 

0,25 

(2đ) 

A 

N 

P 

D 

0,50 

M 

Q 

1 

B 

C 

( α) / / SB ⎫ 

⎬ ⇒ ( α) ∩ ( SAB) = MN / / SB , N ∈ SA 

SB ⊂ ( SAB) 

⎭ 

( ) 

( α) / / AD ⎫ 

⎬ ⇒ ( α) ∩ ( SAD) = NP / / AD , ( P ∈ SD) 

AD ⊂ ( SAD) 

⎭ 

( α) / / AD ⎫ 

⎬ ⇒ ( α) ∩ ( ABCD) = MQ / / AD , Q ∈ CD 

AD ⊂ ( ABCD) 

⎭ 

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ (MQ // NP). 

( ) 


0,50

2 

Ta có: DP = AN ; AN = AM ; AM = DQ ⇒ DP = DQ ⇒ SC / / PQ 

DS AS AS AB AB DC DS DC 

PQ α 

SC / / α (đpcm). 

Mà ⊂ ( ) nên suy ra ( ) 

1,00 

Đề số 13 




Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình : 

1) 2sin( 2x + 15 0 ).cos( 2x + 15 0 ) = 1 2) cos2x – 3cosx + 2 = 0 

2 2 

sin x − 2sin 2x − 5cos x 

3) 

= 0 

2sin x + 2 

Bài 2 (0,75 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

y = 3sin⎜3x + ⎟ + 4 cos⎜3x 

+ ⎟ 

⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 

Bài 3 (1,5 điểm) 

1) Tìm hệ số của số hạng chứa x 31 trong khai triển biểu thức (3 x − x 3 ) 

15 . 

2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số khác 

nhau. 

Bài 4 (1,5 điểm) Một hộp chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ, các quả cầu chỉ khác nhau 

về màu. Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu. 

1) Có bao nhiêu cách lấy đúng 3 quả cầu đỏ. 

2) Tìm xác suất để lấy được ít nhất 3 quả cầu đỏ . 

Bài 5 (1,5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(– 2; 3) , B(1; – 4); đường thẳng 

2 2 

d: 3x − 5y 

+ 8 = 0 ; đường tròn (C ): ( x + 4) + ( y − 1) = 4 . Gọi B’, (C′) lần lượt là ảnh của B, 

 

(C) qua phép đối xứng tâm O. Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ AB . 

1) Tìm toạ độ của điểm B’, phương trình của d’ và (C′) . 

2) Tìm phương trình đường tròn (C′′) ảnh của (C) qua phép vị tâm O tỉ số k = –2. 

Bài 6 (2,25 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi M, N lần 

lượt là trung điểm của SA, SD và P là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AP = 2PB . 

1) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (ABCD). 

2) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD). 

3) Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng (MNP). Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp 

S.ABCD theo một thiết diện là hình gì ? . 

4) Gọi K là giao điểm của PQ và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng NK, PM và SB 

đồng qui tại một điểm. 

Đề số 13 




Bài Câu Hướng dẫn Điểm 

2sin( 2x + 15 0 ).cos( 2x + 15 0 ) = 1 ⇔ sin(4x +30 0 ) = 1 

1 

1 

2 

0 0 0 

⇔ 4x + 30 = 90 + k 360 , k ∈ Z 

0 0 

⇔ x = 15 + k .90 , k ∈ Z 

cos2x – 3cosx + 2 = 0 

⇔ 2cos 2 x – 1 – 3cosx + 2 = 0 ⇔ 2cos 2 x – 3cosx + 1 

= 0 

0,5 

1 


3 

⇔ 

⎡cos x = 1 ⎡ x = k2π 

⎢ 

1 ⇔ ⎢ π 

⎢ cos x = ⎢x 

= ± + k2π 

⎣ 2 ⎣ 3 

2 2 

, k ∈ Z 

sin x − 2sin 2x − 5cos x 

= 0 (1) 

2sin x + 2 

⎧ π 

2 ⎪x 

≠ − + m2π 

ĐK : sin x ≠ − ⇔ ⎨ 

4 

, m,n ∈ Z (*) 

2 ⎪ 

5π 

x ≠ + n2π 

⎩ 4 

Với điều kiện (*) ta có: (1) ⇔ sin 2 x – 4sinx.cosx – 

5cos 2 x = 0 

• cosx = 0 không thoả mãn phương trình (1) 

• cosx ≠ 0 , chia hai vế của (1) cho cos x ta được: 

(1) ⇔ tan 2 ⎡ tan x = −1 

x – 4tanx – 5 = 0 ⇔ 

⎢ 

⇔ 

⎣tan x = 5 

⎡ π 

⎢x 

= − + kπ 

⎢ 

4 

⎣x 

= arctan 5 + kπ 

Kết hợp với điều kiện (*), ta được nghiệm của phương 

trình đã cho là: 

π 

x = − + (2k + 1) π , x = arctan 5 + k π , k ∈ Z 

4 

π 

π ⎡⎛ 

π ⎞ ⎤ 

y = 3sin(3 x + ) + 4 cos(3 x + ) = 5sin ⎢⎜3x 

+ ⎟ + α ⎥ 

6 6 ⎣⎝ 

6 ⎠ ⎦ 

2 

1 

với cosα = 3 5 và sinα = 4 5 

2 

3 

1 

2 

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng – 5 khi 

⎡⎛ 

π ⎞ ⎤ 

sin ⎢⎜3x 

+ ⎟ + α ⎥ = −1 

⎣⎝ 

6 ⎠ ⎦ 

Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5 khi 

⎡⎛ 

π ⎞ ⎤ 

sin ⎢⎜3x 

+ ⎟ + α ⎥ = 1 

⎣⎝ 

6 ⎠ ⎦ 

Tìm hệ số chứa x 31 trong khai triển biểu thức ( 3x – x 3 ) 15 

. 

Số hạng tổng quát của khai trển trên là : 

k 15 −k 3 k k k 15 − k 15 + 2 k 

15.(3 ) .( ) 

15.( 1) .3 . 

T = C x − x = C − x với 0 ≤ 

0,75 

k ≤ 15 , k ∈Z 

0,75 

Số hạng cần tìm chứa x 31 nên 15 + 2k = 31 ⇔ k = 8 ( 

thoả mãn) 

Hệ số của số hạng cần tìm là : C 8 8 7 

15 

.( − 1) .3 = 

C 8 7 

15 

.3 = 14073345 

Số cần tìm có dạng 

∈{ 1,2,3,4,5,6,7 } 

và đôi một khác nhau . 

Vì số cần lập là số chẵn nên d ∈ { 2, 4, 6} 

abcd , trong đó a , b , c , d 


0,75

4 

5 

Do đó chữ số d có 3 cách chọn . 

Có A 3 6 

Vậy có 

cách chọn ba chữ số a, b, c . 

3 

3.A6 

= 360 số thoả yêu câu bài toán . 

3 2 


1 Số cách lấy đúng 3 quả cầu màu đỏ là C . C = 2520 

0,5 

2 

1 

2 

Không gian mẫu, (của phép thử ngẫu nhiên lấy 5 quả cầu 

từ 18 quả cầu khác màu ) có số phần tử là : C 5 18 =8568 

Gọi A là biến cố lấy được ít nhất 3 quả cầu màu đỏ . 

– Số cách lấy được đúng 3 quả cầu màu đỏ là : 2520 

4 1 


– Số cách lấy được 4 quả cầu đỏ là C . C = 700 

– Số cách lấy được 5 quả cầu đều màu đỏ là : C 5 8 

= 56 

Xác suất của biến cố lấy được ít nhất 3 quả caàu màu đỏ 

là : 

2520 + 700 + 56 

P( A) = ≈ 0,38 

8568 

Ta có : B’ = (–1; 4), d’: –3x + 5y + 8 = 0 

Đường tròn (C) có tâm I(–4 ; 1) và bán kính R = 2 

Đường tròn (C’) có tâm I’(4 ; – 1) và R’ = 2 ⇒ (C’) : (x – 

4) 2 + (y + 1) 2 = 4 

 

Gọi I’’ là tâm của đường tròn (C’’) , khi đó OI '' = −2OI 

 

mà OI = ( −4;1) 

 

Suy ra OI '' = (8; −2) 

⇒ I '' = (8; − 2) và R’’ = 2R = 4 

Vậy (C’’) : (x – 8) 2 + (y + 2) 2 = 16 

S 

1 

0,75 

0,75 

M 

N 

1 

B 

P 

K 

A 

C 

Q 

D 

0,75 

6 

I 

MN là đường trung bình của tam giác SAD . 

Vì MN nằm ngoài mặt phẳng (ABCD) và MN // AD nên 

MN // (ABCD). 

2 

Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) là đường 

thẳng đi qua S và song song với AD . 

0,25 

3/ Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng (MNP). Mặt 

phẳng (MNP) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện 

là hình gì ? . 

Ba mặt phẳng (MNP), (SAD) và (ABCD) cắt nhau theo ba 

3 giao tuyến MN, PQ, AD, đồng thời MN //AD nên ba 0,75 

đường thẳng PQ, MN, AD đôi một song song . 

Trong mặt phẳng (ABCD), qua điểm P kẻ đường thẳng 

song song với AD, cắt CD tại Q. Điểm Q là giao điểm cần 

tìm. 

4 Trong mặt phẳng (SAB), hai đường thẳng SB và PM 0,5 


không song song nên chúng cắt nhau tại I . 

Suy ra I là điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và 

(SBD) . 

Lại có (SBD) và (MNP) cắt nhau theo giao tuyến KN nên 

điểm I phải thuộc đường thẳng NK . 

Vậy ba đường thẳng SB, MP, NK đồng qui tại I . 

Đề số 14 


Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao 



1) sin 2x 

+ 3 cos 2x 

= 2 

2) 

2 2 

4sin x + 2sin 2x + 2cos x = 1 

3 

Bài 2: (1đ) Tìm hai số hạng đứng giữa trong khai triển nhị thức Newton ( x + xy) 31 

Bài 3: (1đ) Có 10 hoa hồng trong đó có 7 hoa hồng vàng và 3 hoa hồng trắng. Chọn ra 3 hoa 

hồng 

để bó thành một bó. Tính xác suất để có ít nhất một hoa hồng trắng. 

Bài 4: (1đ) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x − y + 3 = 0 . Hãy viết 

phương trình đường thẳng d ' là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm là gốc tọa độ O và 

tỉ số vị tự k = − 2 . 

Bài 5: (2đ) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với M và N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD. 

α là mặt phẳng qua MN song song với SA cắt SB tại P, cắt SC tại Q. 

Gọi ( ) 

1) Tìm các giao tuyến của hai mặt phẳng: a) ( SAB ) và ( SCD ) b) ( ) 

2) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( α ) . 

3) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang 

α và (SAB) 

Đề số 14 





Bài 1 

1) 

(1đ) 

1 3 

0,25 

( 1) 

⇔ sin 2x + cos 2x 

= 1 

2 2 

⇔ cos π sin 2x 

+ sin π cos 2x 

= 1 

0,25 

3 3 

⎛ π ⎞ 

0,25 

⇔ sin ⎜ 2x 

+ ⎟ = 1 

⎝ 3 ⎠ 

π 

0,25 

⇔ x = + kπ 

; k ∈Z 


2 ⇔ 3sin x + 4sin x cos x + cos x = 0 

0,25 

2) ( ) 

2 2 

π 

cos x = 0 ⇔ x = + m π không là nghiệm 

2 

π 

2 

cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + m π . PT ⇔ 3tan x + 4 tan x + 1 = 0 

2 

⎡ π 

⎡tan x = −1 

⎢ 

x = − + kπ 

4 

⇔ ⎢ 

1 ⇔ ⎢ 

; k ∈Z 

⎢tan 

x = − ⎢ ⎛ 1 ⎞ 

⎣ 3 x = arctan ⎜ − ⎟ + kπ 

⎢ 

⎣ ⎝ 3 ⎠ 


0,25 

0,25 

0,25

Bài 2 

3 

( x xy) 31 

(1đ) 

Bài 3 

(1đ) 

Bài 4 

(1đ) 

Bài 5 

1 a) 

(0,5đ) 

1 b) 

(0,5đ) 

2) 

(0,5đ) 

3) 

(0,5đ) 

17 

+ có 32 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là 16 và 

Số hạng thứ 16 là ( ) ( ) 

15 3 

16 15 15 63 15 

31 

= 

31 

C x xy C x y 

Số hạng thứ 17 là ( ) ( ) 

16 3 

15 16 16 61 16 

31 

= 

31 

C x xy C x y 

3 

Ω = C 10 


0,25 

Gọi A là biến cố “có 3 hoa hồng vàng được chọn”, B là biến cố 0,25 

đối của biến cố A 

3 

Ω 

A 

= C 

7 

= 35 

35 17 

0,5 

P ( B) = 1− P( A ) = 1− = 120 24 

d ': x − y + c = 0 

0,25 

Oy ⇒ A 0;3 

0,25 

A là giao điểm của d và ( ) 

A ' là ảnh của A qua phép vị tự tâm O nên '( 0;6) 

0,5 

0,5 

A ⇒ c = − 6 0,25 

Vậy d ': x − y − 6 = 0 

0,25 

S ∈ SAB ∩ SCD 0,25 

( ) ( ) 

Gọi K = AB ∩ CD → ∈( ) ∩( ) 

Vậy ( SAB) ∩ ( SCD) 

= SK 

M ∈( ) ∩( SCD) 

K SAB SCD . 0,25 

α 0,25 

( α ) // SA 

0,25 

Vậy ( α ) ∩ ( SAB) 

= MP (MP // SA, P∈ SB ) 

Các đoạn giao tuyến của mặt phẳng ( α ) với các mặt phẳng 

(SAB); (SBC); (SCD); và mặt phẳng (ABCD) là MP; PQ; QN; 

0,25 

NM 

Thiết diện cần tìm là MPQN 0,25 

Muốn tứ giác MPQN là hình thang thì MP // QN hoặc MN // PQ 0,25 

Nếu MN // PQ thì MN // BC vì 

Mà BC = ( ABCD) ∩ ( SBC ) 

S 

⎧⎪ MN ⊂ 

⎨ 

⎪⎩ PQ ⊂ 

( ABCD) 

( SBC ) 

0,25 

A 

P 

Q 

D 

M 

B 

O 

N 

C 

K 


Đề số 15 




Bài 1: (1,5đ) 

⎛ π ⎞ 

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1+ 2sin ⎜ 2x + ⎟ . 

⎝ 4 ⎠ 

π π 

b) Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f ( x) = sin( x − ) + sin( x + ) . 

4 4 


a) cos 2x − 3cos x + 2 = 0 

(1) 

b) 3 cos4 x + sin 4x − 2cos3 x = 0 (2) 

Bài 3: (1,5đ) 

Có 14 người gồm 8 nam và 6 nữ, chọn ngẫu nhiên một tổ 6 người. Tính: 

a) Số cách chọn để được một tổ có nhiều nhất là 2 nữ. 

b) Xác suất để được một tổ chỉ có 1 nữ. 

Bài 4: (2đ) 

k k 1 k 2 k 3 k 

a) Chứng mình rằng, với 3 ≤ k ≤ n , ta có: Cn + 3C − n 

+ 3C − n 

+ C − 

n 

= Cn+ 

3 

b) Cho đường tròn (C) tâm I(4; –5), bán kính R = 2. Tìm ảnh (C’) của đường tròn (C) qua 

 

v = 1; − 3 . 

phép tịnh tiến theo véc tơ ( ) 

Bài 5: (3đ) 

Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh 

AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD. 

a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD. Tìm giao tuyến của hai mặt 

phẳng (PMN) và (BCD). 

b) Tìm thiết diện của mặt phẳng (PMN) với tứ diện ABCD. 

Đề số 15 




Bài 1 

(1,5đ) 

Câu a 

(0,75đ) 

Câu b 

(0,75đ) 

Nội dung 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

−1 ≤ sin ⎜ 2x + ≤ ∀ ∈ ⇔ −2 ≤ 2 2 + ≤ 2 

4 

⎟ 1, x R sin ⎜ x 

4 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎛ π ⎞ 

⇔ −1 ≤ 1+ 2sin ⎜ 2x + ≤ 3 ⇔ −1 ≤ ≤ 3 

4 

⎟ 

y 

⎝ ⎠ 

Vậy: Maxy = 3 và miny = –1 

• Tập xác định D = R 

• ∀x ∈ D ⇒ −x∈ 

D 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎡ ⎛ π ⎞⎤ ⎡ ⎛ π ⎞⎤ 

• f ( − x) 

= sin ⎜ −x − ⎟ + sin ⎜ − x + ⎟ = sin − ⎜ + ⎟ + sin −⎜ − ⎟ 

4 4 

⎢ x 

4 

⎥ ⎢ x 

4 

⎥ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦ 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ 

= − sin ⎜ x + ⎟ − sin ⎜ x − ⎟ = − sin ⎜ + ⎟ + sin ⎜ − ⎟ = − 

4 4 

⎢ x x 

4 4 

⎥ f x 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ 

• Vậy f(x) là hàm số lẻ 

( ) 

Điểm 

0,5 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 


Bài 2 

(2đ) 

Câu a 

(1đ) 

Câu b 

(1đ) 

Bài 3 

(1,5đ) 

Câu a 

(0,75đ) 

⇔ − + = 

2 

(1) 2cos x 3cosx 

1 0 

⎡cosx 

= 1 ⎡cosx 

= 1 

⇔ ⎢ 

1 ⇔ ⎢ 

π 

⎢ cosx 

= ⎢ cosx 

= cos 

⎣ 2 ⎣ 3 

⎡x 

= k2π 

⇔ ⎢ 

π ( k ∈ Z ) 

⎢ x = ± + k2π 

⎣ 3 

Nội dung 

⎛ 3 1 ⎞ 

( 2) 

⇔ 2 cos4 x + sin 4x = 2cos3 x 

⎜ 

⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

⇔ cos ⎜4x 

− ⎟ = cos3 x 

⎝ 6 ⎠ 

⎡ π 

⎢4x − = 3x + k2π 

⇔ 

6 

⎢ 

⎢ π 

4x − = − 3x + k2π 

⎢⎣ 6 

⎡ π 

⎢x 

= + k2π 

⇔ 

6 

⎢ 

( k ∈ Z ) 

⎢ π k2π 

x = + 

⎢⎣ 42 7 

Nội dung 

0 6 

• TH1: 0 nữ + 6 nam, số cách chọn là C6 C 

8 

. 

1 5 

• TH2: 1 nữ + 5 nam, số cách chọn là C6 C 

8 

. 

• TH3: 2 nữ + 4 nam, số cách chọn là C C . 

•Cả 3 trường hợp, số cách chọn là 

2 4 

6 8 

C C C C C C 

0 6 1 5 2 4 

6 8 

+ 

6 8 

+ 

6 8 

= 1414 

Điểm 

0,25 

0,5 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

Điểm 

0,5 

0,25 

Câu b 

(0,75đ) 

Bài 4 

(2đ) 

Câu a 

(1đ) 

( ) 

6 

• n Ω = C 

1 4 

= 3 0 0 3 . 

• Gäi A lµ biÕn cè: "Chän ®- î c 6 ng- êi trong 

1 5 

( ) C C 

®ã chØcã 1 n÷", n A = 

6. 8 

= 336. 

( ) 

( Ω) 

n A 336 16 

• P ( A) 

= = = . 

n 3003 143 

Nội dung 

k k−1 k−1 k−2 k−2 k−3 

( n n ) 2( n n ) ( n n ) 

VT = C + C + C + C + C + C 

= C + 2C + C 

k k−1 k−2 

n+ 1 n+ 1 n+ 

1 

k k−1 k−1 k−2 

( Cn + 1 

Cn+ 1 ) ( Cn + 1 

C 

n+ 

1 ) 

= + + + 

= C + C = C 

k k−1 

k 

n+ 2 n+ 2 n+ 

3 

0,25 

0,25 

0,25 

Điểm 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 


Câu b 

(1đ) 

Bài 5 

(3đ) 

• Phương trình đường tròn (C): ( x ) ( y ) 

Lấy bất kỳ M(x; y) C ( x ) 2 ( y ) 

2 

2 2 

− 4 + + 5 = 4 

∈( ) ⇔ − 4 + + 5 = 4 (*) 

⎧x' = x + 1 ⎧x = x' −1 

• T 

( M ) = M '( x'; y' 

) ⇔ 

v 

⎨ ⇔ ⎨ 

⎩y' = y − 3 ⎩y = y' + 3 

Thay vµo (* ) : 

• 

2 2 2 2 

* ⇔ x' −1 − 4 + y' + 3 + 5 = 4 ⇔ x' − 5 + y' + 8 = 4 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 

2 2 

• Vậy phương trình (C’): ( x − 5) + ( y + 8) 

= 4 

Nội dung 

A 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

Điểm 

P 

M 

E 

B 

D 

F 

N 

0,5 

Câu a 

(1, 5đ) 

Câu b 

(1đ) 

• E = MP ∩ BD, 

suy ra 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

⎧⎪ 

E ∈ MP ⊂ MNP ⇒ E ∈ MNP 

⎨ 

⎪⎩ E ∈ BD ⊂ BCD ⇒ E ∈ BCD 

• E lµ ®iÓm chung thø nhÊt 

( MNP) 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

( ) 

BC 

( ) ( ) ( ) ( ) 

⎪⎧ 

N ∈ 

• ⎨ 

⎪⎩ N ∈ CD ⊂ BCD ⇒ N ∈ BCD 

• N lµ ®iÓm chung thø hai. Suy ra MNP ∩ BCD = EN 

• Trongmp BCD gäi F = EN ∩ 

DoEN ⊂ PMN ⇒ BC ∩ PMN = F ⇒ ABC ∩ PMN = MF 

MÆt kh¸ c: 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

BCD ∩ PMN = FN 

ACD ∩ PMN = NP 

ABD ∩ PMN = PM 

Vậy thiết diện của mp(PMN) và tứ diện ABCD là tứ giác MFNP. 

C 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,25 

0,25 

Đề số 16 



Thời gian làm bài 120 phút 

Câu 1: (4 điểm) 

1 

1) Tìm tập xác định của hàm số: y = tan x + . 

sin x 



⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

a) tan⎜ x + ⎟ + cot ⎜ − 3x 

⎟ = 0 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 

2 2 

b) 5sin x + 4sin 2x + 6 cos x = 2 . 

3 3 

. Từ đó tìm các nghiệm thuộc khoảng (0; π ) . 

c) cos x + sin x = cos2x 

. 


1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả: 

a) Có 3 chữ số khác nhau. 

b) Có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn số 235. 

2) Một túi đựng 11 viên bi chỉ khác nhau về màu, gồm 4 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 

2 viên bi. Tính xác suất để: 

a) Lấy được 2 viên bi cùng màu. b) Lấy được 2 viên bi khác màu. 

3) Một túi đựng 11 viên bi chỉ khác nhau về màu, gồm 4 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy lần lượt 2 

viên bi, lấy xong viên 1 thì bỏ lại vào túi. Tính xác suất để: 

a) Cả hai lần lấy cả 2 viên bi đều màu đỏ. b) Trong 2 lần lấy, có ít nhất 1 viên bi 

xanh. 

Câu 3: (1,5 điểm) 

2 2 

1) Cho đường tròn (C): x + y + 4x − 6y 

− 12 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C′) là ảnh 

 

của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2; −3) 

. 

2) Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh bằng 2 . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1. 

Tìm phép dời hình biến AO thành BE. 

Câu 4: (1,5 điểm) 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, O là giao điểm của 2 đường chéo 

AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. 

1) Tìm giao điểm của SO với mp(MNB). Suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi 

mp(MNB). 

2) Tìm các giao điểm E, F của AD, CD với mp(MNB). 

3) Chứng minh rằng E, F, B thẳng hàng. 

Đề số 16 




Câu 1: 

1 

1) Tập xác định của hàm số: y = tan x + 

sin x 

⎧x 

≠ mπ 

⎧sin x ≠ 0 ⎪ 

π 

ĐKXĐ: ⎨ ⇔ ⎨ π ⇔ x ≠ m ( m, n∈Z 

) 

⎩cos x ≠ 0 

⎪ 

x ≠ + nπ 

2 

⎩ 2 

⇒ Tập xác định của hàm số là: D = R ⎧ π ⎫ 

\ ⎨m ; m ∈ ⎬ 

⎩ 2 

Z ⎭ 

2) Giải phương trình: 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

a) PT ⇔ tan⎜ x + ⎟ + tan⎜3x 

+ ⎟ = 0 ⇔ tan⎜3x + ⎟ = tan⎜ −x 

− ⎟ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

π π 

π π 

⇔ 3x + = −x − + kπ 

⇔ x = − + k ( k ∈Z ) 

3 3 

6 4 

Để nghiệm của PT thoả 0 < x < π thì 

π π π π 7π 

2 14 

0 < − + k < π ⇔ < k < ⇔ < k < ⇔ k = 1; 2; 3; 4 

6 4 6 4 6 3 3 

7 5 

Vậy các nghiệm thuộc khoảng (0; π ) là: x = π ; x = π ; x = π ; x = π . 

12 3 12 6 


(1) 

2 2 

2 2 

b) 5sin x + 4sin 2x + 6 cos x = 2 ⇔ 3sin x + 8sin x.cos x + 4 cos x = 0 

+ Với cos x = 0 , ta thấy không thoả PT (1) 

+ Với cos x ≠ 0 , chia 2 vế của (*) cho cos x , ta được: 

⎡ tan x = −2 

⎡ x = arctan( − 2) + kπ 

2 

(1) ⇔ 3tan x + 8tan x + 4 = 0 ⇔ ⎢ 2 ⇔ ⎢ ⎛ 2 ⎞ 

⎢tan 

x = − ⎢ x = arctan ⎜ − ⎟ + kπ 

⎣ 3 ⎣ ⎝ 3 ⎠ 

⎛ 2 ⎞ 

Vậy PT có nghiệm: x = arctan( − 2) + kπ; x = arctan ⎜ − ⎟ + kπ 

⎝ 3 ⎠ 

3 3 2 2 

c) PT ⇔ cos x + sin x = cos x − sin x 

2 2 

2 

⇔ (cos x + sin x)(cos x − cos x sin x + sin x) = (cos x − sin x)(cos x + sin x) 

⇔ (cos x + sin x)(1 − sin x cos x + sin x − cos x) = 0 

⇔ (cos x + sin x)(1 − cos x)(sin x + 1) = 0 

⎡ π 

⎡ sin x + cos x = 0 ⎢x 

= − + kπ 

⇔ ⎢ ⎢ 

4 

1 − cos x = 0 ⇔ x k k 

⎢ 

⎢ 

= 2 π 

( ∈Z 

) 

⎣sin x + 1 = 0 ⎢ π 

x = − + k2π 

⎢⎣ 2 

Câu 2: 

1) a) Mỗi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là một chỉnh 

hợp chập 3 của 5 phần tử. 

⇒ Số các số cần tìm là: A 3 5 

= 60 (số) 

b) Gọi x = abc là số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. 

Nếu x ≥ 235 thì có các trường hợp như sau: 

+ Nếu a = 2, b = 3 thì c = 5 ⇒ có 1 số 

+ Nếu a = 2, b > 3 thì b có 2 cách chọn, c có 3 cách chọn ⇒ có 2.3 = 6 (số) 

+ Nếu a > 2 thì a có 3 cách chọn, b có 4 cách chọn, c có 3 cách chọn ⇒ có 3.4.3 = 

36 (số) 

⇒ Tất cả có: 1 + 6 + 36 = 43 số x ≥ 235 . 

⇒ Có 60 – 43 = 17 số x < 235 . 

2) Số phần tử của không gian mẫu là: n( Ω ) = C 2 11 

= 55 

a) Gọi A là biến cố "Lấy được 2 viên bi cùng màu" 

2 2 

⇒ n( A) = C4 + C7 

= 27 ⇒ P(A) = n ( A ) 27 

n( Ω ) = 55 

b) Gọi B là biến cố "Lấy được 2 viên bi khác màu" 

27 28 

⇒ B = A ⇒ P(B) = 1 – P(A) = 1− = . 55 55 

1 1 


3) Số phần tử của không gian mẫu là: n( Ω ) = C . C = 121 

Câu 3: 

a) Gọi A là biến cố "Cả 2 lần lấy đều được 2 viên bi đỏ" 

⇒ n( A) = C 1 C 

1 

7. 

7 

= 49 ⇒ P(A) = n ( A ) 49 

n( Ω ) = 121 

b) Gọi B là biến cố "Trong 2 lần lấy có ít nhất 1 viên bi xanh" 

⇒ B 

49 72 

= A ⇒ P(B) = 1 – P(A) = 1− = 121 121 


A 

D 

1) Biểu thức toạ độ của phép T 

u 

là: 

⎧ ⎪ x′ 

= x + 2 

⎨ ⇔ 

⎪⎩ y ′ = y − 3 

⎧ ⎪ x = x′ 

− 2 

⎨ 

⎪⎩ y = y′ 

+ 3 

2 2 

( x; y) ∈ ( C) 

⇔ x + y + 4x − 6y 


⇔ 

2 2 

( x′ − 2) + ( y′ + 3) + 4( x′ − 2) − 6( y′ 

+ 3) − 12 = 0 

⇒ PT của (C′): x 

2) 

H 

O 

B 

E 

⇔ x′ 2 2 

+ y′ 

= 25 ⇔ ( x′ ; y′ ) ∈ ( C′ 

) 

2 2 

+ y = 25 . 

• Vì hình vuông có cạnh bằng 2 nên AO = BE = 1 

Gọi H là trung điểm của AB. 

• Xét phép quay tâm H, góc 90 0 , ta có: Q 0 A O O B 

( H,90 ) : ↦ ; ↦ ⇒ AO → 

OB 

• Xét phép quay tâm B, góc 45 0 , ta có: Q 0 B B O E 

( B,45 ) : ↦ ; ↦ ⇒ BO → 

C 

BE 

Như vậy bằng cách thực hiện tiếp hai phép dời hình là: phép 

Q 0 

( B,45 ) 

sẽ biến AO thành BE. 

Q 0 

( H,90 ) và 

Câu 4: 

a) Trong mp(SAC), gọi I = SO ∩ MN 

⇒ I = SO ∩ (MNB) 

Vì MN là đường trung bình của ∆SAC nên I là 

trung điểm của SO. 

Trong mp(SBD), gọi P = BI ∩ SD ⇒ P = (MNB) ∩ 

SD 

Vậy, thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mp(MNB) 

là tứ giác MBNP. 

b) Trong mp(SAD), gọi E = PM ∩ DA 

⇒ E = (MNB) ∩ DA 

Trong mp(SDC), gọi F = PN ∩ DC ⇒ F = (MNB) 

∩ DC 

c) Từ câu b) ta suy ra được: B, E, F là các điểm chung của hai mặt phẳng (MNB) và (ABCD). 

Suy ra E, B, F thẳng hàng. 


Đề số 17 




1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức y = sin 2x − 3 cos2x 

− 1. 


2 3 

2 

a) 2sin x + 3 = 0 b) 4sin x − sin 2x − cos x = 0 c) 

2 

2 

cos x 

= 2(1 + sin x) 

sin x + cos(7 π + x) 


1) Trên một kệ sách có 12 quyển sách khác nhau, gồm 4 quyển tiểu thuyết, 6 quyển truyện 

tranh và 2 quyển truyện cổ tích. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển từ kệ sách. 

a) Tính xác suất để lấy được 3 quyển đôi một khác loại. 

b) Tính xác suất để lấy được 3 quyển trong đó có đúng 2 quyển cùng một loại. 


2) Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 3 2 

trong khai triển P( x) = ⎛ 

⎜3x 

− 

⎞ 

2 ⎟ 

⎝ x ⎠ . 

Câu 3: (1,5 điểm) Trên đường tròn (O; R) lấy điểm A cố định và điểm B di động. Gọi I là 

trung điểm của AB. Tìm tập hợp các điểm K sao cho ∆OIK đều. 

Câu 4: (1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt 

là trung điểm của AB và SC. 

1) Tìm giao tuyến của (SMN) và (SBD). 

2) Tìm giao điểm I của MN và (SBD). 

MI 

3) Tính tỉ số 

MN . 

5 

Đề số 17 




Câu 1: 

1) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 2x − 3 cos2x 

− 1 

⎛ 1 3 ⎞ ⎛ π ⎞ 

Ta có: y = sin 2x − 3 cos2x 

− 1 = 2⎜ 

sin 2x − cos2x 

⎟ −1 

= 2sin ⎜ 2x 

− ⎟ −1 

⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

⇒ −3 ≤ y ≤ 1 (vì −1 ≤ sin ⎜2x 

− ⎟ ≤ 1) 

⎝ 3 ⎠ 

π 

5π 

⇒ min y = − 3 khi x = − + kπ 

; max y = 1 khi x = + kπ 

. 




⎡ π 

3 ⎢x 

= − + k2π 

a) 2sin x + 3 = 0 ⇔ sin x = − ⇔ ⎢ 

3 

2 ⎢ 

4π 

x = + k2π 

⎣ 3 

2 3 

2 

2 2 

b) 4sin x − sin 2x − cos x = 0 ⇔ 4sin x − 3sin x.cos x − cos x = 0 (*) 

2 

+ Với cos x = 0 thì (*) ⇔ sin x = 0 (vô lí) ⇒ cos x = 0 không thoả (*) 

+ Với cos x ≠ 0 . Chia 2 vế của (*) cho cos x , ta được: 

⎡ π 

⎡ tan x = 1 ⎢x 

= + kπ 

2 

(*) ⇔ 4 tan x − 3tan x − 1 = 0 ⇔ ⎢ 1 ⇔ ⎢ 

4 

⎢tan 

x = − 

1 

⎣ 4 

⎢ 

⎛ ⎞ 

x = arctan ⎜ − ⎟ + kπ 

⎢⎣ 

⎝ 4 ⎠ 

π 

⎛ 1 ⎞ 

Vậy PT có nghiệm: x = + kπ 

; x = arctan ⎜ − ⎟ + kπ 

4 ⎝ 4 ⎠ 

2 

cos x 

c) 

= 2(1 + sin x) 

⇔ 

sin x + cos(7 π + x) 

2 

2 

1− 

sin x 

= 2(1 + sin x) 


π 

Điều kiện: sin x − cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + mπ 

(1) 

4 

Với điều kiện (1) thì (*) ⇔ (1 + sin x)(1 − 3sin x + 2 cos x) = 0 ⇔ 

⎡ sin x = −1 (2) 

⎢ 

⎣3sin x − 2 cos x = 1 (3) 

π 

• (2) ⇔ x = − + k2π 

(thoả (1)) 

2 


(*)

• (3) ⇔ 3 sin x − 2 cos x = 1 ⇔ ( ) 

1 

sin x − α = (với 

13 13 13 

13 

2 3 

sin α = ; cosα 

= ) 

13 13 

⎡ 1 

⎡ 

1 

⎢x 

− α = arcsin + k2π 

⎢x 

= α + arcsin + k2π 

⇔ ⎢ 

13 ⇔ ⎢ 

13 (thoả (1)) 

⎢ 1 

1 

x − α = π − arcsin + k2π 

⎢ 

x = α + π − arcsin + k2π 

⎢ 

⎣ 

13 

⎢ 

⎣ 

13 

π 

Vậy PT có nghiệm: x = − + k2π 

; 

2 

1 1 

x = α + arcsin + k2 π; x = α + π − arcsin + k2π 

13 13 

2 3 

(với sin α = ; cosα 

= ) 

13 13 

Câu 2: 

1) Số cách chọn 3 quyển sách tè kệ sách: C 3 12 

= 220 ⇒ n( Ω ) = 220 . 

a) Gọi A là biến cố "Lấy được 3 quyển sách đôi một khác loại" 

1 1 1 

4 6 2 

Số cách chọn 3 quyển sách đôi một khác loại: C . C . C = 48 ⇒ n( A) = 48 . 

⇒ Xác suất của biến cố A: P(A) = 

A 

D 

H 

O 

B 

E 

C 

. 

b) Gọi B là biến cố "Lấy được 3 quyển sách, trong đó có đúng 2 quyển cùng loại" 

2 1 

4 8 

+ Số cách chọn có đúng 2 quyển tiểu thuyết: C . C = 48 

2 1 

6 6 

+ Số cách chọn có đúng 2 quyển truyện tranh: C . C = 90 

2 1 


+ Số cách chọn có đúng 2 quyển cổ tích: C . C = 10 

⇒ Số cách chọn có đúng 2 quyển cùng loại: 48 + 90 + 10 = 148 ⇒ n( B) = 148 

⇒ Xác suất của biến cố B: P(B) = 

2) 

148 37 

= . 

220 55 

A 

A 

k 

15−3k 

k k k k k k x 

1 5 2 5 2k 

3 5− 

⎛ 2 ⎞ 

5− 

Số hạng tổng quát thứ k + 1 là: Tk 

+ 

= C (3 x ) ⎜ − ⎟ = ( −1) 3 .2 C 

⎝ x ⎠ 

Để số hạng chứa x 10 thì 15 − 3k − 2k 

= 10 ⇔ k = 1 

1 5−1 1 1 

5 

Vậy hệ số của số hạng chứa x 10 là: ( − 1) 3 .2 C = − 810 . 

Câu 3: 

I 

B 

+ Ta có AIO = 1v 

⇒ Tập hợp các điểm I là đường tròn (C) nhận AO làm 

đường kính. 

K S 

+ Vì ∆OIK đều nên phép quay Q 0 I K 

( O,60 ) : ↦ hoặc 

O 

N 

Q 0 I K 

( O, −60 ) : ↦ 

Vậy tập hợp các điểm K là hai đường tròn (C′) và (C′′) lần lượt 

D 

là ảnh của (C) qua các phép quay Q 0 

( O,60 ) và . 

( O, −60 0 ) 

I 

C 

F Câu 4: 

a) Giao tuyến của (SMN) và (SBD) 

Tài liệu Elưu hành nội bộ Trang 130/240. 

M B 

x

Ta có: S ∈ (SMN) ∩ (SBD) (1) 

Trong mp(ABCD), gọi E = MC ∩ BD ⇒ E ∈ (SMN) ∩ (SBD) (2) 

Từ (1) và (2) ⇒ (SMN) ∩ (SBD) = SE 

b) Giao điểm của MN và (SBD) 

Trong mp(SMN), gọi I = MN ∩ SE ⇒ I = MN ∩ (SBD) 

c) Xét hai tam giác BME và DCE, ta có MB // DC 

EB EM BM 1 

⇒ = = = 

ED EC DC 2 

Gọi F là trung điểm của EC ⇒ NF // SE và E là trung điểm của MF 

⇒ IE là đường trung bình của ∆MNF ⇒ I là trung điểm của MN 

⇒ MI 

MN 

1 

= . 

2 

Đề số 18 





⎛ π ⎞ 

1) a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = 2sin ⎜ x + ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

⎡ 4π 

2π 

⎤ 

⎢− 

; 

⎣ 3 3 

⎥ 

⎦ . 

⎛ π ⎞ 

b) Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: y = 2sin ⎜ x + ⎟ 

⎝ 3 ⎠ trên đoạn ⎡ 4π 

2π 

⎤ 

⎢− 

; 

⎣ 3 3 

⎥ 

⎦ . 


2 2 

2 2 

a) sin 2x + cos 3x 

= 1 

b) 3sin x + 2sin 2x − 7 cos x = 0 

2 cos2x 

sin 2x 

c) 3 cot x 3 ⎞ 

+ = ⎜ + ⎟ 

⎝ sin x cos x ⎠ 


n 

trên đoạn 

1) Trong khai triển (1 − x) 

với n là số nguyên dương. Tìm n biết hệ số của số hạng chứa x 

là –7. 

2) Trên một kệ sách có 8 quyển sách Anh và 5 quyển sách Toán. Lấy ngẫu nhiên 5 quyển. 

Tính xác suất để trong 5 quyển sách lấy ra có: 

a) Ít nhất 3 quyển sách Toán b) Ít nhất 1 quyển sách Anh. 

Câu 3: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(3; 0), B(0; 3), C(0; –3). Gọi d là 

đường thẳng đi qua 2 điểm A, B. 

1) Viết phương trình đường thẳng d′ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox. 

2) M là điểm di động trên đường tròn tâm O đường khính BC. Tìm quĩ tích trọng tâm G của 

∆MBC. 

Câu 4: (1,5 điểm) cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD // BC và AD = 

2BC. Gọi G là trọng tâm của ∆SCD. 

1) Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAC) và (SBD), (SAD) và (SBC), (SAB) và 

(SCD). 

2) Xác định giao điểm H của BG với mp(SAC). Từ đó tính tỉ số HB 

HG . 

Đề số 18 




Câu 1: 


⎛ π ⎞ 

1) a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = 2sin ⎜ x + ⎟ trên đoạn 

⎝ 3 ⎠ 

⎡ 4π 

2π 

⎤ 

⎢− 

; 

⎣ 3 3 

⎥ 

⎦ . 

π 

⎡ 4π 

2π 

⎤ 

Đặt u = x + ⇒ Với x ∈ ; 

3 

⎢ − 

⎣ 3 3 ⎥ 

⎦ thì u ∈[ − π; 

π ]. 

+ Hàm số y = sin u nghịch biến trên các khoảng ⎛ π π 

⎜ −π 

; − 

⎞ ⎟, ⎛ ⎜ ; π 

⎞ 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

⇒ Hàm số y = 2sin ⎜ x + ⎟ 

⎝ 3 ⎠ nghịch biến trên các khoảng ⎛ 4 π 5 2 

; π ⎞ ⎛ 

, π ; 

π ⎞ 

⎜ − − ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 3 6 ⎠ ⎝ 6 3 ⎠ 

⎛ π π ⎞ 

+ Hàm số y = sin u đồng biến trên khoảng ⎜ − ; ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

⇒ Hàm số y = 2sin ⎜ x + ⎟ 

⎝ 3 ⎠ đồng biến trên khoảng ⎛ 5 π π ⎞ 

⎜ − ; ⎟ 

⎝ 6 6 ⎠ 

Bảng biến thiên: 

y 

4π 

− 

3 

5π 

− 

6 

π 2π 

6 3 

2 

1 

4π 

− 

3 

π 

-p 5π 

-p/2 p/2 

− 

− O 

6 

3 6 

π 

2π 

3 

x 

-1 

-2 

⎛ π ⎞ 

b) Đồ thị của hàm số y = 2sin ⎜ x + ⎟ 

⎝ 3 ⎠ trên đoạn ⎡ 4π 

2π 

⎤ 

⎢− 

; 

⎣ 3 3 

⎥ 

⎦ . 

⎧ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

2sin x + khi 2sin x + ≥ 0 

⎛ π ⎞ ⎪ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

Ta có: y = 2sin x 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

⎜ + ⎟ = ⎨ 

⎝ 3 ⎠ ⎪ 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

− 2sin ⎜ x + ⎟ khi 2sin⎜ x + ⎟ < 0 

⎪⎩ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

Do đó đồ thị (C′) của hàm số y = 2sin ⎜ x + ⎟ có thể được suy từ đồ thị (C) của 

⎝ 3 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

hàm số y = 2sin ⎜ x + ⎟ như sau: 

⎝ 3 ⎠ 

⎡ π 2π 

⎤ 

+ Trên đoạn ⎢− 

; 

⎣ 3 3 

⎥ thì (C′) trùng với (C). 

⎦ 

+ Trên đoạn 


A 

D 

H 

O 

B 

E 

C 

thì lấy đối xứng phần đồ thị (C) qua trục hoành. 


⎡ 6x = 4x + k2π 

⎢ 

⎣6x = − 4x + k2π 

2 2 

a) sin 2x + cos 3x 

= 1 ⇔ 

⇔ 

2 2 

1− cos4x 

1+ 

cos6x 

+ = 1 ⇔ cos6x = cos4x 

⇔ 

2 2 

⎡ x = kπ 

⎢ π ⇔ 

⎢x = k 

⎣ 5 

2 2 

b) 3sin x + 2sin 2x − 7 cos x = 0 ⇔ 3sin x + 4sin x.cos x − 7 cos x = 0 

(*) 

+ Với cos x = 0 , ta thấy không thoả PT (*) 

+ Với cos x ≠ 0 , chia 2 vế của PT (*) cho cos x 

2 

(*) ⇔ 3tan x + 4 tan x − 7 = 0 ⇔ 

c) 

2 cos2x 

sin 2x 

3 cot x 3 ⎛ 

⎞ 

+ = ⎜ + ⎟ 

⎝ sin x cos x ⎠ 

Với ĐK (1) thì (*) ⇔ 

S 

2 

, ta được: 

B 

⎡ π 

I ⎢x 

= + kπ 

K 

A ⇔ ⎢ 

4 

O 

⎢ 

⎛ 7 ⎞ 

x = arctan ⎜ − ⎟ + kπ 

⎢⎣ 

⎝ 3 ⎠ 

⎧sin x ≠ 0 π 

(*). Điều kiện ⎨ ⇔ x ≠ m (1). 

⎩cos x ≠ 0 2 

2 

cos x cos2 x.cos x + sin 2 x.sin 

x 

3 + = 3. 

⇔ 

2 

sin x 

sin x.cos 

x 

N 

D 

I F 

C 

A 

M 

E 

B 

⎡ π 

⎢x = + k2 π ( loaïi) 

⎡ sin x = 1 ⎢ 

2 

2 

⇔ 2sin x − 3sin x + 1 = 0 ⇔ ⎢ 1 ⇔ ⎢ 

π 

x = + k2π 

⎢sin 

x = ⎢ 6 

⎣ 2 ⎢ 5π 

⎢x 

= + k2π 

⎣ 6 

π 

5π 

Vậy PT có nghiệm x = + k2 π; x = + k2π 

. 

6 6 

Câu 2: 

1) Khai triển 

n 

(1 − x) 

. 

Số hạng chứa x là: 

1 1 

n( ) 

C − x = − nx . Theo giả thiết ta suy ra được: − n = −7 ⇔ n = 7 . 

2) Số cách lấy ngẫu nhiên 5 quyển sách từ 13 quyển sách là: C 5 13 

= 1287 (cách) ⇒ 

n( Ω ) = 1287 . 

a) Gọi A là biến cố "Trong 5 quyển sách lấy ra có ít nhất 3 quyển sách Toán" 

3 2 

5 8 

+ Nếu lấy 3 quyển Toán và 2 quyển Anh thì số cách lấy là: C . C = 280 

4 8 

5 8 

+ Nếu lấy 4 quyển Toán và 1 quyển Anh thì số cách lấy là: C . C = 40 

+ Nếu lấy 5 quyển Toán thì số cách lấy là: C 5 5 

= 1 

⇒ n( A) = 280 + 40 + 1 = 321 ⇒ P(A) = n ( A ) 321 107 

n( Ω ) = 1287 = 429 

b) Gọi B là biến cố "Trong 5 quyển sách lấy ra có ít nhất 1 quyển sách Anh" 

Số cách lấy ra 5 quyển sách mà không có quyển sách Anh nào là: C 5 5 

= 1 

⇒ Số cách lấy ra 5 quyển sách trong đó có ít nhất 1 quyển sách Anh là: 1287 – 1 = 1286 

⇒ n( B) = 1286 ⇒ P(B) = 1286 

1287 . 


Câu 3: 

a) Xét phép đối xứng trục Ox. Gọi A′, B′ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục 

Ox. 

Vì A(3; 0), B(0; 3) nên A′(3; 0) ≡ A, B′(0; –3) ≡ C. Mặt khác A, B ∈ d ⇒ A′, B′ ∈ d′. 

k 

⇒ Phương trình đường thẳng d′: x + y = 1 

3 −3 

⇔ x − y − 3 = 0 . 

2 2 

b) PT đường tròn (C) có tâm O, đường kính BC: x + y = 9 . 

1 

G là trọng tâm của ∆MBC ⇒ OG = OM ⇒ V M ↦ G 

⎛ 1 ⎞ 

3 

: 

⎜O, ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

Vậy quĩ tích điểm G là đường tròn (C′) ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số 

1 

= . 

3 

PT đường tròn (C′) là: x 

Câu 4: 

A 

B 

E 

S 

O 

C 

x 

D 

2 2 

+ y = 1. 

a) Giao tuyến của các cặp mặt phẳng: 

• Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD ⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD) 

Mặt khác, S ∈ (SAC) ∩ (SBD) 

Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SO 

• Trong (ABCD), gọi E = AB ∩ CD ⇒ E ∈ (SAC) ∩ (SBD) 

Mặt khác, S ∈ (SAB) ∩ (SCD) 

Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SE 

• Ta có S ∈ (SAD) ∩ (SBC). Gọi Sx = (SAD) ∩ (SBC). 

Mà AD // BC nên Sx // AD // BC. 

Vậy giao tuyến của 2 mp (SAD) và (SBC) là đường thẳng 

Sx đi qua S và song song với AD, BC. 

b) Trong (ABCD), gọi I = BM ∩ AC ⇒ I ∈ (SBM) 

Trong (SBM), gọi H = BG ∩ SI ⇒ H = BG ∩ (SAC) 

Gọi N là trung điểm của AD ⇒ MN // AC (MN là đường trunh cình của ∆ACD) 

J là giao điểm của AC và BN ⇒ J là giao điểm của 2 đường chéo hình bình hành 

ABCN 

Từ IJ // MN ⇒ I là trung điểm của BM. 


Trong ∆SBM, vẽ GK // SI 

Trong ∆SIM ta có: GK // SI ⇒ MI MS 

MK = MG = 3 (vì G là trọng tâm của ∆SCD) ⇒ IM 

IK 

HB IB IM 3 

Trong ∆BHG, ta có: HI // GK ⇒ = = = . Vậy HB 3 

= . 

HG IK IK 2 

HG 2 

3 

= 

2 

Đề số 19 





1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số y = sin 2x − 3 cos2x 

+ 3. 

2) Xét tính chẵn, lẻ và vẽ đồ thị của hàm số y = sin x − 2 . 


cos2x 

+ 3cos x + 2 

a) 

= 

2 2 

0 

b) sin x + sin x cos x − 4 cos x + 1 = 0 

2sin x − 3 

c) cos2x + cos x(2 tan x − 1) = 0 


2 

1) Xác định hệ số của x 3 trong khai triển (2x 

− 3) . 

2) Một tổ có 9 học sinh, gồm 5 nam và 4 nữ. 

a) Có bao nhiêu cách xếp 9 học sinh đó vào một dãy bàn có 9 ghế sao cho các học 

sinh nữ luôn ngồi cạnh nhau. 

b) Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Tính xác suất để: 

i) Trong 2 học sinh được chọn có 1 nam và 1 nữ. 

ii) Một trong 2 học sinh được chọn là An hoặc Bình. 

Câu 3: (1,5 điểm) 

2 2 

1) Cho đường tròn (C): x + y − 8x 

+ 6 = 0 và điểm I(–3; 2). Viết phương trình đường tròn 

(C′) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I tỉ số k = − 2 . 

2) Cho tam giác đều ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Xác định tâm và 

 

 

góc của phép quay biến vectơ AM thành vectơ CN . 

Câu 4: (1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M 

là trung điểm của SC. 

1) Xác định giao tuyến của (ABM) và (SCD). 

2) Gọi N là trung điểm của BO. Hãy xác định giao điểm I của (AMN) với SD. Chứng minh 

rằng 

A 

D 

H 

O 

B 

E 

C 

. 

6 

Đề số 19 





1) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 2x − 3 cos2x 

+ 3 

⎛ 1 3 ⎞ 

Ta có: y = sin 2x − 3 cos2x 

+ 3 = 2⎜ 

sin 2x − cos2x 

⎟ + 3 

⎝ 2 2 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

⇒ 1 ≤ y ≤ 5 (vì −1 ≤ sin ⎜2x 

− ⎟ ≤ 1) 

⎝ 3 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

= 2sin⎜ 

2x 

− ⎟ + 3 

⎝ 3 ⎠ 


π 

5π 

⇒ min y = 1 khi x = − + kπ 

; max y = 5 khi x = + kπ 

. 



2) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f ( x) = sin x − 2 

Tập xác định: D = R 

B 

I 

⎛ 

K 

π ⎞ π 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

Với A , ta có: f sin 2 1 

O 

⎜ ⎟ = − = − , f ⎜ − ⎟ = sin ⎜ − ⎟ − 2 = −3 

⎝ 2 ⎠ 2 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

⇒ f ⎜ − ⎟ ≠ ± f ⎜ ⎟ ⇒ hàm số đã cho không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ. 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

3) Giải phương trình 

cos2x 

+ 3cos x + 2 

3 

a) 

= 

2 1 

0 . Điều kiện: sin x ≠ ⇔ cos x ≠ (*) 

2sin x − 3 

2 4 

Khi đó PT ⇔ 

S 

N 

D 

I F 

C 

A 

M 

E 

b) sin x + sin x cos x − 4 cos x + 1 = 0 ⇔ 2sin x + sin x cos x − 3cos x = 0 

+ Dễ thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình đã cho 

+ Với cosx ≠ 0, ta có: 

⎡ π 

⎡ tan x = 1 ⎢x 

= + kπ 

2 

PT ⇔ 2 tan x + tan x − 3 = 0 ⇔ ⎢ 3 ⇔ ⎢ 

4 

⎢tan 

x = − 

⎛ 3 ⎞ 

⎣ 2 

⎢ x = arctan ⎜ − ⎟ + kπ 

⎢⎣ 

⎝ 2 ⎠ 

B 

2 2 2 2 

2 

c) cos2x + cos x(2 tan x − 1) = 0 . Điều kiện cosx ≠ 0 (*) 

2 

2 (1 − cos x) 

3 2 

Khi đó: PT ⇔ 2 cos x + 2 − cos x − 1 = 0 ⇔ 2 cos x − 3cos x − cos x + 2 = 0 

cos x 

⎡ cos x = 1 

2 

⇔ (cos x −1)(2 cos x − cos x − 2) = 0 ⇔ ⎢ 

1− 

17 (thoả (*)) 

⎢ cos x = 

⎣ 4 

⎡ x = k2π 

⇔ ⎢ 

1− 

17 . Vậy PT có nghiệm: 

⎢ x = ± arccos + k2π 

⎣ 

4 

1− 

17 

x = k2 π; x = ± arccos + k2π 

4 

Câu 2: 

1) (2x 

− 3) 

6 

k k 6 −k k k 6 −k k k 6 −k 

1 6 6 

Số hạng thứ k + 1 là Tk 

+ = ( − 1) C (2 x) 3 = ( − 1) 2 3 C x 

Để số hạng chứa x 3 thì 6 − k = 3 ⇔ k = 3 . Vậy hệ số của x 3 là − C 3 .2 3 .3 3 = − 4320 

2) a) Gọi 5 học sinh nam là A, B, C, D, E. 

Vì 4 học sinh nữ luôn ngồi gần nhau nên ta có 4! = 24 cách sắp xếp 4 học sinh nữ. 

Mặt khác ta có thể xem nhóm 4 học sinh nữ này là F. 

Số cách sắp xếp A, B, C, D, E, F là 6! = 720 (cách) 

Vậy có tất cả: 24×720 = 17280 (cách) 

b) Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh trong 9 học sinh có C 2 9 

= 36 (cách) ⇒ Không gian mẫu có 

n( Ω ) = 36 

i) Gọi A là biến cố "trong 2 học sinh được chọn có 1 nam và 1 nữ". 

6 


A 

B 

E 

O 

S 

C 

x 

D 

1 1 

5 4 

⇒ Số cách chọn 2 học sinh trong đó có 1 nam và 1 nữ là: n( A) = C . C = 5.4 = 20 

n( A) 20 5 

Vậy P( A) 

= = = 

n( Ω) 36 9 

ii) Vẫn không gian mẫu trên nên n( Ω ) = 36 

Gọi B là biến cố một trong hai học sinh được chọn là An hoặc Bình. 

Giả sử học sinh thứ nhất được chọn là An hoặc Bình ⇒ có 2 cách chọn học sinh thứ nhất. 

Số cách chọn học sinh còn lại là: C 1 7 

= 7 (cách) 

⇒ n( B) = 2.7 = 14 ⇒ 

Câu 3: 

1) Xét phép vị tự V ( I ; − 2) 

. 

n( B) 14 7 

P( B) 

= = = 

n( Ω ) 36 18 

Mỗi điểm 

có ảnh là M '( x '; y') ∈ ( C′ 

) 

⎧ ⎪x′ 

= −2x − 9 ⎧2 x = −x 

' − 9 

⇒ IM ' = −2IM 

⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

⎪⎩ y′ = − 2y 

+ 6 ⎩2 y = − y' + 6 

2 2 

2 2 

Ta có: M( x; y) ∈( C) 

⇔ x + y − 8x 

+ 6 = 0 ⇔ (2 x) + (2 y) − 16(2 x) + 24 = 0 

2 2 

⇔ ( −x ' − 9) + ( − y' + 6) −16( −x 

' − 9) + 24 = 0 

2 2 

⇔ ( x ') + ( y') + 34 x ' − 12 y' + 285 = 0 ⇔ M '( x '; y') ∈ ( C′ 

) 

2 2 

Vậy phương trình đường tròn ( C′ ) : x + y + 34x − 12y 

+ 285 = 0 

2 2 

Cách 2: Đường tròn (C): x + y − 8x 

+ 6 = 0 có tâm K(4; 0) và bán kính R = 10 

Gọi K '( x; y) và R′ là tâm và bán kính của đường tròn ảnh (C′). 

⇒ 

K ′ = V I và R ′ = 2 R = 2 10 . 

Ta có: 

( I; −2) ( ) 

⎧x 

+ 3 = − 2(4 + 3) ⎧x 

= − 17 

⎨ 

⇔ ⎨ ⇔ K′ 

( −17;6) 

⎩y 

− 2 = −2(0 − 2) ⎩y 

= 6 

2 2 

Vậy phương trình của (C′) là ( x + 17) + ( y − 6) = 40 . 

2) 

A 

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. 

Ta có: OA = OC, ( OA, OC) = − 120 (hoặc ( OA, OC) = 120 ) 

0 

0 

B 

M 

0 


O 

N 

C 

và OM = ON, ( OM, ON) = − 120 (hoặc ( OM, ON) = 120 ) 

Do đó: phép quay Q 0 A C M N 

( O, 120 ) : ↦ 

− 

; 

 

↦ hay AM → CN . 

(hoặc phép quay Q 0 A C M N 

( O,120 ) : ↦ ; 

 

↦ hay AM → CN ). 

0 

0 

Câu 4: 


1) Giao tuyến của (ABM) và (SCD). 

Ta có: M ∈ (ABM) ∩ (SCD). Giả sử ( ABM) ∩ ( SCD) 

= Mx . 

Vì (ABM) // CD nên Mx // CD. Trong (SCD), gọi Q = Mx ∩ SD. Suy ra MQ // CD ⇒ Q là 

trung điểm của SD. 

Vậy: ( ABM) ∩ ( SCD) 

= MQ với Q là trung điểm của SD. 

2) Giao điểm của (AMN) với SD. 

Trong (SAC), gọi K = AM ∩ SO ⇒ K ∈ (AMN) và K là trọng tâm của ∆SAC. 

Trong (SBD), gọi I = NK ∩ SD ⇒ I = (AMN) ∩ SD. 

DI DN 

Trong ∆SBD, dựng OP//NI ⇒ DI PI 

PI = ON = 3⇒ = 3 (1) 

Trong ∆SOP, ta có SI SK SI PI 

PI = OK = 2⇒ = 2 

(2) 

Từ (1) và (2) ta suy ra SI 

DI 

Đề số 20 

2 

= (đpcm). 

3 




3 

Câu 1 (1.5đ): Giải phương trình: 3cot x 3 

2 

sin x = + . 

Câu 2 (2.0đ): Ba xạ thủ độc lập cùng bắn vào bia. Xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi xạ thủ 

là 0,6. 

1. Tính xác suất để trong 3 xạ thủ bắn có đúng một xạ thủ bắn trúng mục tiêu. 

2. Muốn mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn phải có ít nhất hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu. Tính 

xác suất để mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn. 

Câu 3 (1.5đ): Một nhóm có 7 người, trong đó gồm 4 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người. 

Gọi X là số nữ trong ba người được chọn. 

1. Lập bảng phân bố xác suất của X. 

2. Tính xác suất để có nhiều nhất một nữ được chọn. 

Câu 4 (1.5đ): Trong mặt phẳng cho đường thẳng d cố định và điểm O cố định không nằm trên 

d. f là phép biến hình biến mối điểm M trên mặt phẳng thành M′ được xác định như sau: Lấy 

M 1 

đối xứng M qua O, M′ đối xứng với M 1 

qua d. 

1. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép biến hình f. 

2. Gọi I là trung điểm MM′. Chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định khi M 

thay đổi trên d. 


A 

M 

D 

E 

B 

S 

N 

C 

A 

I 

K 

B 

Câu 5 (2.5đ): Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là 

trung điểm của SA, SB. Một mặt phẳng (α ) di động qua MN cắt cạnh SC và SD lần lượt tại 

P và Q ( P khác với S và C). 

1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). 

2. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( O ) là hình gì? 

3. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng MQ và NP. Tìm quĩ tích của I khi mặt phẳng (α ) 

di động? 

Câu 6 (1.0đ): Tính hệ số của số hạng chứa x 20 ⎛ 

trong khai triển của ⎜ x 

⎝ 

1 1 1 1 99 

+ + ... + + ... + = . 

2 2 2 2 

A A A A 100 

2 3 

k 

n 

2 2 

n 

⎞ 

− ⎟ , biết rằng: 

x ⎠ 

Đề số 20 




Câu Tóm tắt bài giải Điểm 

Đk: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ nπ 

; n ∈Z 0.25 

1 

2 

3 

⇔ 

I F 

0.5 

⎡cot x = 0 

⇔ ⎢ 

⎣cot x = 3 

cot x = 0 ⇔ x = π + k π 

2 

π 

cot x = 3 ⇔ x = + kπ 

( k ∈ Ζ ) 

6 

Gọi A i là biến cố “xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu” 

P(Ai) = 0.6, Ai độc lập, i =1,3 

1. Gọi A là biến cố “Trong ba xạ thủ bắn có đúng một xạ thủ bắn trúng mục 

tiêu” thì 

A = A1 A2 A3 ∪ A2 A1 A3 ∪ A3 A1 A2 

và A1 A2 A3 ; A2 A1 A3 ; A3 A1 A 

2 

đôi một xung 

khắc. 

P( A) = P( A A A ) + P( A A A ) + P( A A A ) 

( 

1 2 3 2 1 3 3 1 2 

P(A) = 3x 0.6 x 0.4 x 0.4 = 0.288 0.25 

2. Gọi B là biến cố “Mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn” và C là biến cố " Không 0.25 

xạ thủ nào bắn trúng mục tiêu" thì C = A1 A2 A 

3 

và P(C) = 0.4 x 0.4 x 0.4 = 

0.064 

Ta có: B = A∪ C và A, C là hai biến cố xung khắc nên : 

0.25 

P( B) = P( A) + P( C) = 0.288 + 0.064 = 0.352 

0.25 

P(B) = 1 – P( B ) = 0.648 

0.25 

1. Số trường hợp có thể là 

3 

C 

7 

= 35. 

3 

2 1 

C4 4 C4C3 

18 

Từ đó P(X=0) = = ; P( X = 1) = = 

35 35 35 35 

1 2 3 

C4C3 12 C3 

1 

P( X = 2) = = ; P( X = 3) = = 

35 35 35 35 

Bảng phân bố xác suất của X như sau: 

0.25 

0.25 

0.25 

0.5 

0.5 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0. 25 


4 

5 

6 

X 0 1 2 3 

P 4 

35 

18 

35 


35 

1 

35 

2. Dưạ vào bảng phân bố xác suất , ta có xác suất để nhiều nhất 1 nữ được 0. 5 

chọn là 4 

35 + 18 

35 = 22 

35 

Hình vẽ đúng 

0.25 

1. Lấy A, B bất kì trên d, xác định ảnh A', B' của A, B qua f. Đường thẳng 

A'B' là ảnh của d qua f 

0.5 

2. Chứng minh được OI//M 1 

M’ và OI vuông góc với d 

0.25 

 

Gọi K là giao điểm của d và OI thì K là trung điểm OI nên OI = 2OK 

0.25 

Suy ra I là ảnh của K qua phép vị tự tâm O tỉ số 2, mà K thuộc d nên I thuộc 0.25 

đường thẳng cố định là ảnh của d qua phép vị tự trên. 

Hình vẽ đúng 0.5 

1. a) S là một điểm chung của hai mp 

0.25 

Ta có: 

A 

B 

E 

O 

S 

C 

x 

D 

. 

Suy ra, giao tuyến là đường thẳng d qua S , song song với AD( hoặc BC) 

2. Ta có: thiết diện là tứ giác MNPQ. 

Ta có: 

⎧( α) ∩ ( SCD) 

= PQ 

⎪ 

⎨MN / / CD ⇒ MN / / PQ / / CD 

⎪ 

⎩MN ⊂ ( α); CD ⊂ ( SCD) 

Vậy MNPQ là hình thang. 

Đặc biệt: Nếu P; Q lần lượt là trung điểm của SC, SD thì thiết diện là hình 

bình hành. 

3. Chứng tỏ I thuộc d ( câu a) 

Lập luận để đến KL: quỹ tích là đường thẳng d, bỏ đi đoạn SJ với J là giao 

điểm của MD và CN. 

2 

1 1 1 

Ta có: Ak 

= k( k −1) ⇔ = − ( k ≥ 2) 

2 

Ak 

k −1 

k 

1 1 1 1 n −1 99 

Suy ra: + + ... + + ... + = = ⇒ n = 100 

2 2 2 2 

A2 A3 

Ak 

An 

n 100 


2 2 

k = 

100 k k 100−2k 

( x − ) = ∑ C100 

( − 1) x (0.25) 

x k = 0 

Số hạng chứa x 20 ứng với k = 40 có hệ số bằng 

40 

C 


0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 

0.5 

0.25 

0.25 

0.25 

0.25 


Taøi lieäu giaûng daïy phuï ñaïo toå Toaùn THPT Phan Chu Trinh Ñaêk Laêk Hình hoïc 11 

I. Pheùp tònh tieán 

CHÖÔNG I: 

PHEÙP DÔØI HÌNH VAØ PHEÙP ÑOÀNG DAÏNG TRONG MAËT PHAÚNG 

• T 

v 

: M ↦ M′ ⇔ 

 

MM ' = v 

 

= MN 

• T 

v 

(M) = M′, T 

v 

(N) = N′ ⇒ M ' N ' 

⎧ x ' = x + a 

• T 

v 

: M(x; y) ↦ M′(x′; y′). Khi ñoù: ⎨ 

⎩y ' = y + b 

II. Pheùp ñoái xöùng truïc 

 

• Ñ d : M ↦ M′ ⇔ M0M 

' = −M0M 

(M 0 laø hình chieáu cuûa M treân d) 

• Ñ d (M) = M′ ⇔ Ñ d (M′) = M 

• Ñ d (M) = M′, Ñ d (N) = N′ ⇒ M′N′ = MN 

⎧ x ' = x 

• Ñ Ox : M(x; y) ↦ M′(x′; y′). Khi ñoù: ⎨ 

⎩y 

' = −y 

⎧ x ' = −x 

Ñ Oy : M(x; y) ↦ M′(x′; y′). Khi ñoù: ⎨ 

⎩y 

' = y 

III. Pheùp ñoái xöùng taâm 

 

• Ñ I : M ↦ M′ ⇔ IM ' = −IM 

• Ñ I (M) = M′ ⇔ Ñ I (M′) = M 

 

• Ñ I (M) = M′, Ñ I (N) = N′ ⇒ M ' N ' = −MN 

⎧ x ' = 2a − x 

• Cho I(a; b). Ñ I : M(x; y) ↦ M′(x′; y′). Khi ñoù: ⎨ 

⎩y ' = 2b − y 

⎧ x ' = −x 

Ñaëc bieät: Ñ O : M(x; y) ↦ M′(x′; y′). Khi ñoù: ⎨ 

⎩y 

' = −y 

IV. Pheùp quay 

⎧ IM ' = IM 

• Q (I,α) : M ↦ M′ ⇔ ⎨ 

⎩( IM; IM ') = α 

• Q (I,α) (M) = M′, Q (I,α) (N) = N′ ⇒ M′N′ = MN 

⎧ 

π 

0 

• Q (I,α) (d) = d′. Khi ñoù: ( ⎪ neáu 

d, d ') 

α < α ≤ 

= ⎨ 

2 

π 

⎪π − α neáu ≤ α < π 

⎩ 2 

0 ⎧ x ' = −y 

• Q (O,90 ) : M(x; y) ↦ M′(x′; y′). Khi ñoù: ⎨ 

⎩y 

' = x 

0 ⎧ x ' = y 

Q (O,–90 ) : M(x; y) ↦ M′(x′; y′). Khi ñoù: ⎨ 

⎩y 

' = −x 

V. Pheùp vò töï 

 

• V (I,k) : M ↦ M′ ⇔ IM ' = k. 

IM (k ≠ 0) 

 

• V (I,k) (M) = M′, V (I,k) (N) = N′ ⇒ M ' N ' = k. 

MN 

⎧ x ' = kx + (1 − k) 

a 

• Cho I(a; b). V (I,k) : M(x; y) ↦ M′(x′; y′). Khi ñoù: ⎨ 

⎩y ' = ky + (1 − k) 

b 

Chuù yù: Neáu pheùp dôøi hình (pheùp ñoàng daïng) bieán ∆ABC thaønh ∆A′B′C′ thì noù cuõng bieán 

troïng taâm, tröïc taâm, taâm caùc ñöôøng troøn noäi tieáp, ngoaïi tieáp cuûa ∆ABC töông öùng thaønh 

troïng taâm, tröïc taâm, taâm caùc ñöôøng troøn noäi tieáp, ngoaïi tieáp cuûa ∆A′B′C′. 


Hình hoïc 11 


I. PHEÙP TÒNH TIEÁN 

1. Cho hai ñieåm coá ñònh B, C treân ñöôøng troøn (O) vaø moät ñieåm A thay ñoåi treân ñöôøng troøn 

ñoù. Tìm quó tích tröïc taâm H cuûa ∆ABC. 

 

HD: Veõ ñöôøng kính BB′. Xeùt pheùp tònh tieán theo v = B' 

C . Quó tích ñieåm H laø ñöôøng troøn 

(O′) aûnh cuûa (O) qua pheùp tònh tieán ñoù. 

2. Cho ñöôøng troøn (O; R), ñöôøng kính AB coá ñònh vaø ñöôøng kính CD thay ñoåi. Tieáp tuyeán 

vôùi ñöôøng troøn (O) taïi B caét AC taïi E, AD taïi F. Tìm taäp hôïp tröïc taâm caùc tam giaùc CEF 

vaø DEF. 

 

HD: Goïi H laø tröïc taâm ∆CEF, K laø tröïc taâm ∆DEF. Xeùt pheùp tònh tieán theo vectô v = BA . 

Taäp hôïp caùc ñieåm 

 

H vaøK 

 

laø ñöôøng troøn (O′) aûnh cuûa (O) qua pheùp tònh tieán ñoù (tröø hai 

ñieåm A vaø A' vôùi AA' 

= BA ). 

 

3. Cho töù giaùc loài ABCD vaø moät ñieåm M ñöôïc xaùc ñònh bôûi AB = DM vaø CBM 

= CDM 

. 

Chöùng minh: ACD 

= BCM 

. 

 

HD: Xeùt pheùp tònh tieán theo vectô AB . 

4. Cho töù giaùc ABCD coù A = 60 0 , B = 150 0 , D = 90 0 , AB = 6 3 , CD = 12. Tính ñoä daøi caùc 

caïnh AD vaø BC. 

 

HD: Xeùt pheùp tònh tieán theo vectô BA . BC = 6, AD = 6 3 . 

5. Cho ∆ABC. Döïng hình vuoâng BCDE veà phía ngoaøi tam giaùc. Töø D vaø E laàn löôït döïng 

caùc ñöôøng vuoâng goùc vôùi AB, AC. Chöùng minh raèng hai ñöôøng vuoâng goùc ñoù vôùi ñöôøng 

cao AH cuûa ∆ABC ñoàng qui. 

 

HD: Xeùt pheùp tònh tieán theo vectô BE , ∆ABC → ∆A′ED. 

6. Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua pheùp tònh tieán T 

v 

trong caùc tröôøng 

hôïp sau: 

a) v = (1; 1) b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) 

e) v = (0; 0) f) v = (–3; 2) 

7. Cho ñieåm A(1; 4). Tìm toaï ñoä ñieåm B sao cho A = T ( B) 

v 

trong caùc tröôøng hôïp sau: 

 

v = 2; −3 

b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) 

a) ( ) 

e) v = (0; 0) f) v = (–3; 2) 

T M = M trong caùc tröôøng hôïp sau: 

8. Tìm toaï ñoä vectô v sao cho ( ) 

/ 

v 

a) M(−10; 1), M’(3; 8) b) M(−5; 2), M′(4; −3) c) M(–1; 2), M′(4; 5) 

d) M(0; 0), M′(–3; 4) c) M(5; –2), M′(2; 6) f) M(2; 3), M′(4; –5) 

9. Trong mpOxy, cho ñöôøng thaúng (d) : 2x − y + 5 = 0. Tìm phöông trình cuûa ñöôøng thaúng 

(d’) laø aûnh cuûa (d) qua pheùp tònh tieán theo v trong caùc tröôøng hôïp sau: 

 

v = 4; −3 

b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) 

a) ( ) 

2 2 

10. Trong mpOxy, cho ñöôøng troøn (C): ( x ) ( y ) 

− 1 + + 2 = 4 . Tìm phöông trình cuûa ñöôøng 

troøn (C′) laø aûnh cuûa (C) qua pheùp tònh tieán theo v trong caùc tröôøng hôïp sau: 

 

v = 4; −3 

b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) 

a) ( ) 

2 2 

x y 

11. Trong mpOxy, cho Elip (E): + = 1. Tìm phöông trình cuûa elip (E′) laø aûnh cuûa (E) 

9 4 

qua pheùp tònh tieán theo v trong caùc tröôøng hôïp sau: 

 

v = 4; −3 

b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) 

a) ( ) 



2 2 

x y 

12. Trong mpOxy, cho Hypebol (H): − = 1. Tìm phöông trình cuûa Hypebol (H′) laø aûnh 

16 9 

cuûa (H) qua pheùp tònh tieán theo v trong caùc tröôøng hôïp sau: 

 

v = 4; −3 

b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) 

a) ( ) 

13. Trong mpOxy, cho Parabol (P): y 2 = 16x. Tìm phöông trình cuûa Parabol (P′) laø aûnh cuûa (P) 

qua pheùp tònh tieán theo v trong caùc tröôøng hôïp sau: 

 

v = 4; −3 

b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) 

a) ( ) 

14. Cho ñöôøng thaúng d: x + 2y – 1 = 0 vaø vectô v = (2; m). Tìm m ñeå pheùp tònh tieán T 

v 

bieán 

d thaønh chính noù. 

II. PHEÙP ÑOÁI XÖÙNG TRUÏC 

1. Cho hai ñieåm B, C coá ñònh treân ñöôøng troøn (O) vaø moät ñieåm A thay ñoåi treân ñöôøng troøn 

ñoù. Tìm quó tích tröïc taâm H cuûa ∆ABC. 

HD: Goïi H′ laø giao ñieåm thöù hai cuûa ñöôøng thaúng AH vôùi (O). Xeùt pheùp ñoái xöùng truïc BC. 

Quó tích ñieåm H laø ñöôøng troøn (O′) aûnh cuûa (O) qua pheùp Ñ BC . 

2. Cho ñöôøng thaúng d vaø hai ñieåm A, B naèm veà moät phía cuûa d. Tìm treân d moät ñieåm M sao 

cho toång AM + MB coù giaù trò nhoû nhaát. 

HD: Goïi A′ = Ñ d (A). M laø giao ñieåm cuûa A′B vaø d. 

3. Cho ∆ABC vôùi tröïc taâm H. 

a) Chöùng minh raèng caùc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp caùc tam giaùc HAB, HBC, HCA coù baùn 

kính baèng nhau. 

b) Goïi O 1 , O 2 , O 3 laø taâm cuûa caùc ñöôøng troøn noùi treân. Chöùng minh raèng ñöôøng troøn ñi qua 

3 ñieåm O 1 , O 2 , O 3 coù baùn kính baèng baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ∆ABC. 

4. Cho goùc nhoïn xOy vaø moät ñieåm A thuoäc mieàn trong goùc naøy. Tìm ñieåm B ∈ Ox, C ∈ Oy 

sao cho chu vi ∆ABC laø beù nhaát. 

HD: Xeùt caùc pheùp ñoái xöùng truïc: Ñ Ox (A) = A 1 ; Ñ Oy (A) = A 2 . B, C laø caùc giao ñieåm cuûa 

A 1 A 2 vôùi caùc caïnh Ox, Oy. 

5. Cho ∆ABC coù caùc goùc ñeàu nhoïn vaø ñieåm M chaïy treân caïnh BC. Giaû söû Ñ AB (M) = M 1 , 

Ñ AC (M) = M 2 . Tìm vò trí cuûa M treân caïnh BC ñeå ñoaïn thaúng M 1 M 2 coù ñoä daøi ngaén nhaát. 

HD: M laø chaân ñöôøng cao veõ töø A cuûa ∆ABC. 

6. Cho ∆ABC caân ñænh A. Ñieåm M chaïy treân BC. Keû MD ⊥ AB, ME ⊥ AC. Goïi D′ = 

Ñ BC (D). Tính BD ' M vaø chöùng toû MD + ME khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M. 

HD: BD ' M = 1v; MD + ME = BH. 

7. Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Ox: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3). 

8. Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Oy: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3). 

9. Tìm aûnh cuûa ñieåm A(3; 2) qua pheùp ñoái xöùng truïc d vôùi d: x – y = 0. 

10. Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Ox: 

a) x – 2 = 0 b) y – 3 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) x + y – 1 = 0 

11. Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Oy: 

a) x – 2 = 0 b) y – 3 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) x + y – 1 = 0 

12. Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng troøn sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Ox: 

a) (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 9 b) x 2 + (y – 2) 2 = 4 

c) x 2 + y 2 – 4x – 2y – 4 = 0 d) x 2 + y 2 + 2x – 4y – 11 = 0 




13. Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng troøn sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Oy: 

a) (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 9 b) x 2 + (y – 2) 2 = 4 


14. Tìm aûnh cuûa caùc elip sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Ox (Oy): 

2 2 

x y 

a) + = 1 

16 9 

b) x 2 + 4y 2 = 1 c) 9x 2 + 16y 2 = 144 

15. Tìm aûnh cuûa caùc hypebol sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Ox (Oy): 

2 2 

x y 

a) − = 1 

16 9 

b) x 2 – 4y 2 = 1 c) 9x 2 – 25y 2 = 225 

16. Tìm aûnh cuûa caùc parabol sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Ox: 

a) y 2 = 2x b) x 2 = 2y c) y = x 2 

17. Tìm aûnh cuûa caùc parabol sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Oy: 

a) y 2 = 2x b) x 2 = 2y c) y = x 2 

III. PHEÙP ÑOÁI XÖÙNG TAÂM 

1. Treân ñöôøng troøn (O) cho hai ñieåm B, C coá ñònh vaø moät ñieåm A thay ñoåi. Goïi H laø tröïc 

taâm cuûa ∆ABC vaø H′ laø ñieåm sao cho HBH′C laø hình bình haønh. Chöùng minh raèng H′ 

naèm treân ñöôøng troøn (O). Töø ñoù suy ra quó tích cuûa ñieåm H. 

HD: Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC. Ñ I (H′) = H ⇒ Quó tích ñieåm H laø ñöôøng troøn (O′) aûnh 

cuûa (O) qua pheùp Ñ I . 

2. Ñieåm M thuoäc mieàn trong töù giaùc loài ABCD. Goïi A′, B′, C′, D′ laàn löôït laø ñieåm ñoái xöùng 

cuûa M qua trung ñieåm caùc caïnh AB, BC, CD, DA. Chöùng minh töù giaùc A′B′C′D′ laø hình 

bình haønh. 

3. Cho ñöôøng troøn (O, R) vaø moät daây coá ñònh AB = R 2 . Ñieåm M chaïy treân cung lôùn AB 

thoaû maõn ∆MAB coù caùc goùc ñeàu nhoïn, coù H laø tröïc taâm. AH vaø BH caét (O) theo thöù töï 

taïi A′ vaø B′. A′B caét AB′ taïi N. 

a) Chöùng minh A′B′ cuõng laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn (O, R). 

b) Töù giaùc AMBN laø hình bình haønh. 

c) HN coù ñoä daøi khoâng ñoåi khi M chaïy nhö treân. 

d) HN caét A′B′ taïi I. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm I khi M chaïy nhö treân. 

HD: a) A ' BB ' = 1v b) AM //A′N, BM // AN c) HN = B′A′ = 2R 

d) Goïi J laø trung ñieåm AB. Ñ J (M) = N, Ñ J (O) = O′. OIO ' = 1v ⇒ Taäp hôïp caùc ñieåm I laø 

ñöôøng troøn ñöôøng kính OO′. 

4. Moät ñöôøng thaúng ñi qua taâm O cuûa hình bình haønh ABCD caét caùc caïnh DC, AB taïi P vaø 

Q. Chöùng minh raúng caùc giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng thaúng AP, BP, CQ, DQ vôùi caùc ñöôøng 

cheùo cuûa hình bình haønh laø caùc ñænh cuûa moät hình bình haønh môùi. 

HD: Xeùt pheùp Ñ O . 

5. Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua pheùp ñoái xöùng taâm vôùi: 

a) Taâm O(0; 0) b) Taâm I(1; –2) c) Taâm H(–2; 3) 

6. Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng sau qua pheùp ñoái xöùng taâm O(0; 0): 

a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1 

7. Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng sau qua pheùp ñoái xöùng taâm I(2; 1): 




8. Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng troøn sau qua pheùp ñoái xöùng taâm I(2; 1): 

a) (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 9 b) x 2 + (y – 2) 2 = 4 


9. Tìm aûnh cuûa caùc elip sau qua pheùp ñoái xöùng taâm I(1; –2): 

2 2 

x y 

a) + = 1 

16 9 

b) x 2 + 4y 2 = 1 c) 9x 2 + 16y 2 = 144 

10. Tìm aûnh cuûa caùc hypebol sau qua pheùp ñoái xöùng taâm I(–1; 2): 

2 2 

x y 

a) − = 1 

16 9 

b) x 2 – 4y 2 = 1 c) 9x 2 – 25y 2 = 225 

11. Tìm aûnh cuûa caùc parabol sau qua pheùp ñoái xöùng taâm O(0; 0): 

a) y 2 = 2x b) x 2 = 2y c) y = x 2 

IV. PHEÙP QUAY 

1. Cho ∆ABC. Döïng veà phía ngoaøi tam giaùc ñoù caùc tam giaùc BAE vaø CAF vuoâng caân taïi A. 

Goïi I, M, J theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa EB, BC, CF. Chöùng minh ∆IMJ vuoâng caân. 

HD: Xeùt pheùp quay Q (A,90 

0 

) . 

2. Cho ∆ABC. Döïng veà phía ngoaøi tam giaùc ñoù caùc hình vuoâng ABEF vaø ACIK. Goïi M laø 

trung ñieåm cuûa BC. Chöùng minh raèng AM vuoâng goùc vôi FK vaø AM = 1 2 FK. 

HD: Goïi D = Ñ (A) (B). Xeùt pheùp quay Q (A,90 

0 

) . 

3. Cho 3 ñieåm A, B, C thaúng haøng theo thöù töï. Laáy caùc ñoaïn thaúng AB, BC laøm caïnh, döïng 

caùc tam giaùc ñeàu ABE vaø BCF naèm cuøng veà moät phía so vôùi ñöôøng thaúng AB. Goïi M, N 

laàn löôït laø caùc trung ñieåm cuûa caùc ñoaïn thaúng AF, CE. Chöùng minh ∆BMN ñeàu. 

HD: Xeùt pheùp quay Q (B,60 

0 

) . 

4. Cho ∆ABC. Laáy caùc caïnh cuûa tam giaùc ñoù laøm caïnh, döïng ra phía ngoaøi tam giaùc caùc 

tam giaùc ñeàu ABC 1 , CAB 1 , CAB 1 . Chöùng minh raèng caùc ñoaïn thaúng AA 1 , BB 1 , CC 1 baèng 

nhau. 

HD: Xeùt caùc pheùp quay Q (A,60 

0 

) , Q (B,60 

0 

) . 

5. Cho ∆ABC ñeàu taâm O. Treân caùc caïnh AB, AC ñaët caùc ñoaïn thaúng AD, AE sao cho AD + 

AE = AB. Chöùng minh raèng OD = OE vaø DOE = 120 0 . 

0 

HD: Xeùt pheùp quay Q (O,120 ) . 

6. Cho hình vuoâng ABCD vaø ñieåm M treân caïnh AB. Ñöôøng thaúng qua C vuoâng goùc vôùi CM, 

caét AB vaø AD taïi E vaø F. CM caét AD taïi N. Chöùng minh raèng: 

1 1 1 

a) CM + CN = EF b) + = 

2 2 2 

CM CN AB 

0 

HD: Xeùt pheùp quay Q (C,90 ) . 

7. Cho ∆ABC. Döïng veà phía ngoaøi tam giaùc caùc hình vuoâng ABDE vaø ACIJ sao cho C vaø D 

naèm khaùc phía vôùi AB. Chöùng minh giao ñieåm cuûa BI vaø CD naèm treân ñöôøng cao AH 

cuûa ∆ABC. 

HD: Laáy treân tia ñoái cuûa AH moät ñoaïn AK = BC. Goïi O laø taâm hình vuoâng ACIJ. Xeùt pheùp 

0 

quay Q (O,90 ) ⇒ IB ⊥ CK. Töông töï CD ⊥ BK. 

8. Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua pheùp quay taâm O goùc α 

vôùi: 




a) α = 90 0 b) α = –90 0 c) α = 180 0 

9. Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng sau qua pheùp quay taâm O goùc 90 0 : 


10. Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng troøn sau qua pheùp quay taâm O goùc 90 0 : 

a) (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 9 b) x 2 + (y – 2) 2 = 4 


V. PHEÙP VÒ TÖÏ 

1. Cho ∆ABC vôùi troïng taâm G, 

 

tröïc taâm 

 

H vaø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp O. Chöùng minh ba 

ñieåm G, H, O thaúng haøng vaø GH = −2GO 

. 

HD: Xeùt pheùp vò töï V (G,–2) (O) = H. 

2. Tam giaùc ABC coù hai ñænh B, C coá ñònh, coøn ñænh A chaïy treân moät ñöôøng troøn (O). Tìm 

quó tích troïng taâm G cuûa ∆ABC. 

HD: Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC. Xeùt pheùp vò töï V 

1 

(A) = G. 

3. Cho ñöôøng troøn (O) coù ñöôøng kính AB. Goïi C laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua B, PQ laø moät 

ñöôøng kính thay ñoåi cuûa (O). Ñöôøng thaúng CQ caét PA vaø PB laàn löôït taïi M vaø N. 

a) Chöùng minh raèng Q laø trung ñieåm cuûa CM, N laø trung ñieåm cuûa CQ. 

b) Tìm quó tích cuûa M vaø N khi ñöôøng kính PQ thay ñoåi. 

HD: a) Söû duïng tính chaát ñöôøng trung bình. 

b) Xeùt caùc pheùp vò töï V (C,2) (Q) = M; V 

1 

(Q) = N. 

( C, ) 

2 

4. Cho ñöôøng troøn (O, R) vaø ñöôøng thaúng d khoâng coù ñieåm chung vôùi ñöôøng troøn. Töø moät 

ñieåm M baát kì treân d, keû caùc tieáp tuyeán MP, MQ vôùi ñöôøng troøn (O). 

a) Chöùng minh PQ luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh. 

b) Tìm taäp hôïp trung ñieåm K cuûa PQ, taâm O′ cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ∆MPQ, tröïc taâm 

H cuûa ∆MPQ. 

 

2 

HD: a) Keû OI ⊥ d, OI caét PQ taïi N. OI. 

ON = r ⇒ N coá ñònh. 

b) Taäp hôïp caùc ñieåm K laø ñöôøng troøn (O 1 ) ñöôøng kính NO. 

Taäp hôïp caùc ñieåm O′ ñöôøng trung tröïc ñoaïn OI. 

Taäp hôïp caùc ñieåm H laø ñöôøng troøn (O 2 ) = V (O,2) . 

5. Cho ñieåm A ôû ngoaøi ñöôøng troøn (O, R) vaø ñöôøng kính MN quay xung quanh taâm O. AM 

vaø AN caét ñöôøng troøn (O) taïi B vaø C. 

a) Chöùng minh ñöôøng troøn (AMN) luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh khaùc A. 

b) Chöùng minh BC luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh. 

c) Tìm taäp hôïp trung ñieåm I cuûa BC vaø troïng taâm G cuûa ∆ABC. 

 

2 

HD: a) AO caét (AMN) taïi D. OA. OD = OM. 

ON = −R 

⇒ D coá ñònh. 

 

2 2 

b) AO caét BC taïi E. AE. 

AD = AO − R ⇒ E coá ñònh. 

c) Taäp hôïp caùc ñieåm I laø ñöôøng troøn (O 1 ) ñöôøng kính EO. 

( I, ) 

3 

Taäp hôïp caùc ñieåm G laø ñöôøng troøn (O 2 ) = V 

2 

(O 1 ). 

( A, ) 

3 

6. Cho ñöôøng troøn (O, R), ñöôøng kính AB. Moät ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi AB taïi moät 

ñieåm C ôû ngoaøi ñöôøng troøn. Moät ñieåm M chaïy treân ñöôøng troøn. AM caét d taïi D, CM caét 



(O) taïi N, BD caét (O) taïi E. 

a) Chöùng minh AM.AD khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm M. 

b) Töù giaùc CDNE laø hình gì? 

c) Tìm taäp hôïp troïng taâm G cuûa ∆MAC. 

HD: a) AM.AD = AB.AC (khoâng ñoåi) b) NE // CD ⇒ CDNE laø hình thang. 

c) Goïi I laø trung ñieåm AC. Keû GK // MO. Taäp hôïp caùc ñieåm G laø ñöôøng troøn (K, 3 

R ) aûnh 

cuûa ñöôøng troøn (O, R) qua pheùp V 

1 

. 

( I, ) 

3 

7. Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau qua pheùp vò töï taâm I(2; 3), tæ soá k = –2: A(2; 3), B(–3; 4), C(0; 

5), D(3; 0), O(0; 0). 

8. Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau qua pheùp vò töï taâm I(2; 3), tæ soá k = 1 : A(2; 3), B(–3; 4), C(0; 

2 

5), D(3; 0), O(0; 0). 

9. 

1 

Pheùp vi töï taâm I tæ soá k = bieán ñieåm M thaønh M’. Tìm toaï ñoä cuûa ñieåm I trong caùc 

2 

tröôøng hôïp sau: 

a) M(4; 6) vaø M’(–3; 5). b) M(2; 3) vaø M′(6; 1) c) M(–1; 4) vaø M′(–3; –6) 

10. Pheùp vò töï taâm I tæ soá k bieán ñieåm M thaønh M’. Tìm k trong caùc tröôøng hôïp sau: 

a) I(–2; 1), M(1; 1), M’(–1; 1). b) I(1; 2), M(0; 4) vaø M′(2; 0) 

c) I(2; –1), M(–1; 2), M′(–2; 3) 

11. Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng sau qua pheùp vò töï taâm O(0; 0) tæ soá k = 2: 

a) x + 2y – 1 = 0 b) x – 2y + 3 = 0 c) y – 3 = 0 d) x + 4 = 0 

12. Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng d: x – 2y + 1 = 0 qua pheùp vò töï taâm I(2; 1) tæ soá k trong caùc 

tröôøng hôïp sau: 

a) k = 1 b) k = 2 c) k = – 1 d) k = – 2 e) k = 1 1 

f) k = − 

2 

2 

13. Trong maët phaúng Oxy, cho hai ñöôøng thaúng ∆ 1 : x – 2y + 1 = 0 vaø ∆ 2 : x – 2y + 4 = 0 vaø 

ñieåm I(2; 1). Tìm tæ soá k ñeå pheùp vò töï V (I,k) bieán ∆ 1 thaønh ∆ 2 . 

14. Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng troøn sau qua pheùp vò töï taâm O(0; 0) tæ soá k = 2: 

2 2 

a) ( x − 1) + ( y − 5) = 4 

2 2 

b) ( x + 2) + ( y + 1) = 9 c) x 2 + y 2 = 4 

15. Tìm aûnh cuûa ñöôøng troøn (C): (x + 1) 2 + (y – 3) 2 = 9 qua pheùp vò töï taâm I(2; 1) tæ soá k trong 

caùc tröôøng hôïp sau: 

a) k = 1 b) k = 2 c) k = – 1 d) k = – 2 e) k = 1 1 

f) k = − 

2 

2 

16. Xeùt pheùp vò töï taâm I(1; 0) tæ soá k = 3 bieán ñöôøng troøn (C) thaønh (C′). Tìm phöông trình 

cuûa ñöôøng troøn (C) neáu bieát phöông trình ñöôøng troøn (C′) laø: 

2 2 

2 2 

2 2 

a) ( x − 1) + ( y − 5) = 4 b) ( x + 2) + ( y + 1) = 9 c) x + y = 1 




OÂN TAÄP CHÖÔNG I 

1. Cho hình bình haønh ABCD coù CD coá ñònh, ñöôøng cheùo AC = a khoâng ñoåi. Chöùng minh 

raèng khi A di ñoäng thì ñieåm B di ñoäng treân moät ñöôøng troøn xaùc ñònh. 

2. Cho 2 ñieåm A, B coá ñònh thuoäc ñöôøng troøn (C) cho tröôùc. M laø moät ñieåm di ñoäng treân (C) 

nhöng khoâng truøng vôùi A vaø B. Döïng hình bình haønh AMBN. Chöùng minh raèng taäp hôïp 

caùc ñieåm N laø moät ñöôøng troøn. 

3. Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB. Moät ñieåm C chaïy treân nöûa ñöôøng troøn ñoù. 

Döïng veà phía ngoaøi tam giaùc ABC hình vuoâng CBEF. Chöùng minh ñieåm E chaïy treân moät 

nöûa ñöôøng troøn coá ñònh. 

4. Cho hình vuoâng ABCD coù taâm I. Treân tia BC laáy ñieåm E sao cho BE = AI. 

a) Xaùc ñònh moät pheùp dôøi hình bieán A thaønh B, I thaønh E. 

b) Döïng aûnh cuûa hình vuoâng ABCD qua pheùp dôøi hình aáy. 

5. Cho hai ñöôøng troøn (O; R) vaø (O′; R′). Xaùc ñònh caùc taâm vò töï cuûa hai ñöôøng troøn neáu R′ 

= 2R vaø OO′ = 3 2 R. 

6. Cho v = (–2; 1), caùc ñöôøng thaúng d: 2x – 3y + 3 = 0, d 1 : 2x – 3y – 5 = 0. 

a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d′ = T 

v 

(d). 

b) Tìm toaï ñoä vectô u vuoâng goùc vôùi phöông cuûa d sao cho d 1 = T 

u 

(d). 

7. Cho ñöôøng troøn (C): x 2 + y 2 – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm (C′) = T 

v 

(C) vôùi v = (–2; 5). 

8. Cho M(3; –5), ñöôøng thaúng d: 3x + 2y – 6 = 0 vaø ñöôøng troøn (C): x 2 + y 2 – 2x + 4y – 4 = 0. 

a) Tìm aûnh cuûa M, d, (C) qua pheùp ñoái xöùng truïc Ox. 

b) Tìm aûnh cuûa d vaø (C) qua pheùp ñoái xöùng taâm M. 

9. Tìm ñieåm M treân ñöôøng thaúng d: x – y + 1 = 0 sao cho MA + MB laø ngaén nhaát vôùi A(0; – 

2), B(1; –1). 

10. Vieát phöông trình ñöôøng troøn laø aûnh cuûa ñöôøng troøn taâm A(–2; 3) baùn kính 4 qua pheùp ñoái 

xöùng taâm, bieát: 

a) Taâm ñoái xöùng laø goác toaï ñoä O b) Taâm ñoái xöùng laø ñieåm I(–4; 2) 

11. Cho ñöôøng thaúng d: x + y – 2 = 0. Vieát phöông trình cuûa ñöôøng thaúng d′ laø aûnh cuûa ñöôøng 

thaúng d qua pheùp quay taâm O goùc quay α, vôùi: 

a) α = 90 0 b) α = 40 0 . 

12. Cho v = (3; 1) vaø ñöôøng thaúng d: y = 2x. Tìm aûnh cuûa d qua pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng 

caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp quay taâm O goùc 90 0 vaø pheùp tònh tieán theo vectô v . 

13. Cho ñöôøng thaúng d: y = 2 2 . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d′ laø aûnh cuûa d qua pheùp 

ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm O tæ soá k = 1 2 

vaø pheùp 

quay taâm O goùc 45 0 . 

14. Cho ñöôøng troøn (C): (x – 2) 2 + (y – 1) 2 = 4. Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C′) laø aûnh cuûa 

(C) qua pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm O tæ soá k = 

– 2 vaø pheùp ñoái xöùng qua truïc Oy. 

15. Xeùt pheùp bieán hình F bieán moãi ñieåm M(x; y) thaønh ñieåm M′(–2x + 3; 2y – 1). Chöùng 

minh F laø moät pheùp ñoàng daïng. 


ĐỀ 1 

 

Câu 1: (3,0 điểm) Trong mp Oxy cho 2 điểm A(0 ; −1); B(1 ; −3) và véc tơ v = (1;3) . 

a) Tìm tọa độ các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến T v 

. 

b) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm A, bán kính bằng 3 và viết phương trình đường tròn (C’) là 

ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến T v 

. 

c) Viết phương trình đường thẳng A’B’ là ảnh của đường thẳng AB qua phép tịnh tiến T v 

. 

Câu 2: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O và E, F lần lượt là trung điểm của AD, CD. Ở phía ngoài 

hình vuông ABCD vẽ hình vuông CFGH. 

 

a) Tìm ảnh của ∆AOE qua phép tịnh tiến theo EF . 

b) Tìm ảnh của ∆DOE qua phép vị tự tâm D, tỉ số 2. 

c) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BF, FG. Chứng minh ∆CIJ vuông cân. 

Câu 3: (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. 

a) Gọi M’, N’ lần lượt là các giao điểm của AM, AN với BD. Phép vị tự tâm A tỉ số k biến ∆AMN 

thành ∆AM’N’. Tìm k và tính tỉ số giữa diện tích ∆AM’N’ và diện tích ∆AMN. 

b) Ở phía ngoài hình bình hành ABCD vẽ các tam giác đều IAB và JAD. Chứng minh rằng tam giác CIJ 

là tam giác đều. 

Câu 4: (2,0 điểm) Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn 

thẳng AB’ và nằm ngoài đoạn thẳng A’B. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác OAA’ và OBB’. 

Chứng minh GOG’ là tam giác vuông cân. 

ĐỀ 2 

Câu 1: (2,5 điểm) Trong các chữ cái viết in hoa sau , chữ cái nào là hình có trục đối xứng , chữ cái nào là 

th 

hình có tâm đối xứng? 

17 A S E A N S UMMI T 

Câu 2: (3,5 điểm) Trong mpOxy cho điểm A (2 ; −3) ; đường thẳng (d) có phương trình 2x + y −1 = 0 

 

, v = ( 3; −1) 

và đường tròn (C): (x − 1) 2 + (y + 3) 2 = 4 

a) Tìm các ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O ; qua phép đối xứng trục Ox và qua phép 

b) Viết phương trình đ/thẳng (d’) là ảnh của đ/ thẳng (d) qua phép tịnh tiến theo v . 

c) Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O , góc quay −90 0 . 

Câu 3: (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm I . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , 

BC , CD , DA . Biết E là giao điểm của BQ với CM , F là giao điểm của DN với AP. 

a) Chứng minh hai tứ giác AMEQ và CPFN bằng nhau. 

b) Tìm ảnh của ∆ BEM bằng cách thực hiện liên tiếp phép Q(I; 90 0 ) và phép vị tự tâm A tỉ số 2 . 

Câu 4: (2,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Dựng về một phía của đường 

thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AF và EC. Chứng minh 

∆BMN đều. 

ĐỀ 3 

Câu 1 (3đ): Cho hình vuông ABCD. Hãy vẽ ảnh của hình vuông qua : 

a) Phép đối xứng tâm C b) Phép vị tự tâm A với tỉ số vị tự là k = – 3. Tính tỉ số diện tích của hình 

vuông ABCD và ảnh của nó qua phép vị tự này. 

Câu 2 (2đ): Xác định phương trình đường thẳng ∆’ là ảnh của ∆ : 2x + 3y – 5 = 0 qua : 

 

a) Phép đối xứng qua trục Ox b) Phép tịnh tiến theo v = (2; −1) 

. 

Câu 3 (2đ): Cho hai đ/tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A, lần lượt có bán kính là R = 2 và R’ = 5. 

Xác định tâm và tỉ số vị tự của các phép vị tự biến (O) thành (O’) 

Câu 4 (3đ): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình – x + 2y + 1 =0. 

a) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua trục Ox. 

b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho I(4; 3) và đường thẳng d có phương trình 2x −3y + 4 = 0. 

Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua Đ I 

ĐỀ 4 

Câu 1 (2đ): Cho đ/thẳng ∆ :2x 

− 7y 

+ 2 = 0 . Tìm ảnh 

Câu 2 (3đ): Cho đ/tròn 

C x + y − x + y − = . Tìm ảnh 

2 2 

( ) : 2 4 21 0 

T . 

v 

/ 

∆ của đthẳng ∆ qua phép tịnh tiến theo v = ( 2; − 5) 

/ 

( C ) của ( C ) qua phép đx tâm I(−1; 2). 


 

.

Câu 3 (3đ): Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Tìm 

ảnh của tam giác OAQ qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc 90 0 và phép 

đối xứng trục QN. 

Câu 4 (2đ): Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. M là điểm thay đổi trên đường tròn tâm O. 

a) Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác MAB khi M thay đổi trên đường tròn tâm O. 

b) Gọi K là trung điểm của MB. Vẽ hình bình hành OBHK. Tìm quỹ tích của điểm H khi M thay đổi trên 

đường tròn tâm O. 

ĐỀ 5 

 

Câu 1 (2đ): Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1; 3), đường thẳng d : x – y + 1 = 0 và vectơ u = (2; −5) 

. 

a) Tìm tọa độ điểm N là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo u . 

b) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm M. 

Câu 2 (2đ): Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,R’) cắt nhau tại hai điểm A và B (Hình 1). 

a) Chứng minh rằng A là điểm đối xứng với B qua đường thẳng OO’. 

b) Xác định tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài của hai đường tròn trên. 

D 

E 

Hình 1 Hình 2 Hình 3 

A 

B 

C 

Câu 3 (3đ): Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Gọi M, M’, N, N’, I, I’ lần lượt là trung điểm của các đoạn 

AB, CD, AD, BC, NO và N’O (Hình 2) 

a) Chứng minh hai tứ giác AMIN và CM’I’ N’ là hai hình bằng nhau. 

b) Chứng minh tứ giác AMIN đồng dạng với tứ giác CDMB. 

Câu 4 (3đ): Cho hai tam giác đều ABD và BCE (Hình 3). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh CD 

và AE. Chứng minh BIJ là tam giác đều. 

ĐỀ 6 

Câu 1 (2đ): Cho hình vuông ABCD có tâm O.Vẽ hình vuông BOCE.Hãy tìm ảnh của hình vuông BOCE 

 

bằng cách thực hiện liên tiếp một phép đối xứng trục AD và một phép tịnh tiến theo véctơ DO 

Câu 2 (2đ): Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình :3x – 2y + 3 = 0 

a) Viết phương trình đường thẳng ( d 1 

) ảnh của đường thẳng (d) qua phép đối xứng trục Oy 

 

b) Viết phương trình đường thẳng ( d 

2 

) ảnh của đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến vectơ v = ( −1;2) 

2 2 

Câu 3 (2đ): Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: x + y + 4x − 2y 

− 3 = 0 .Viết 

phương đường tròn ( C′ ) ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(2;−1) với tỉ số k = 2 

Câu 4 (2đ): Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và I,J,K,L,M,N lần lượt là 

trung điểm của AB,BC,CD,AD,BJ,BO. Chứng minh hai hình thang MNOJ và LOCD đồng dạng với nhau. 

Câu 5 (2đ): Trong mặt phẳng cho một đựờng tròn tâm O,bán kính R và một điểm cố định I không nằm trên 

đường tròn (O). Một điểm A di động trên đường tròn (O). Dựng hình bình hành ABCD sao cho I là tâm. Tìm 

quỹ tích của điểm C. 

ĐỀ 7 

A 3;4 ; B 1;2 ; C − 3;0 . 

Câu 1 (3đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm ( ) ( ) ( ) 

a) Viết phương trình tổng quát của đ/thẳng BC và phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác 

ABC. 

0 

b) Tìm tọa độ của điểm A' là ảnh của A qua phép quay Q(O;90 ) 

→ 

c) Tìm pt đ/thẳng B'C' là ảnh của đường thẳng BC qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( − 1; − 2) 

d) Tìm phương trình của đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A. 

Câu 2 (3đ): Cho ∆ABC. Gọi H, G, Q lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. 


1 

Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm G, tỉ số − . CM 3 điểm H, G, Q thẳng hàng và GH = 2GQ. 

2 

Câu 3 (2đ): Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C , điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Dựng về một phía của 

đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF. 

a) Chứng minh AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 60 0 . 

b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và EC. Chứng minh tam giác BMN đều. 

Câu 4 (1đ): Cho đường tròn (C) tâm O bán kính R. A là điểm cố định nằm ngoài (C) ( Với giả thiết : bất kỳ 

đường thẳng nào đi qua A cắt (C) theo dây cung MN thì đều có MN ≠ R ). B và C là hai điểm di động trên 

(C) sao cho 

0 

BOC = 60 . Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn MA + MB + MC = 0 

Câu 5 (1đ): C/minh rằng : Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng 

ĐỀ 8 

Câu 1 (2đ): Phát biểu định nghĩa các phép biến hình sau: 

a) Phép tịnh tiến theo vectơ v b) Phép vị tự tâm O, tỉ số k. 

Áp dụng: cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tìm ảnh của tam giác AMN 

qua phép vị tự tâm A tỉ số là 2. 

Câu 2 (3đ): Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, I lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, EF. 

a) Hãy tìm ảnh của tam giác AEI qua phép dời hình có được từ việc thực hiện liên tiếp phép phép đối 

 

xứng trục IH và phép tịnh tiến theo vectơ AE 

b) Từ kết quả trên, hãy suy ra tam giác AEI bằng tam giác FCH. 

Câu 3 (1đ): Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O sẽ được một phép vị tự tâm O. 

Câu 4 (2đ): Trong mpOxy cho điểm A(−5 ; 3), đường thẳng d có phương trình 3x 

− y − 3 = 0 . 

a) Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng trục Ox. 

b) Tìm ảnh của A phép vị tự tâm O, tỉ số k= −2 

Câu 5 (2đ): 

a) Trong mpOxy cho đường thẳng d có phương trình 3x 

+ 2y 

− 6 = 0. Hãy viết phương trình của d’ là 

ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k= −2. 

b) Trong mpOxy cho A(2 ; 1) và B(8 ; 4).Tìm tọa độ tâm vị tự của 2 đường tròn (A ; 2) và (B ; 4) 

ĐỀ 9 

Câu 1 (2đ): Trong mp(Oxy) cho đường thẳng (d): 3x−5y+3 = 0 và M(2;3) 

a) Xác định toạ độ của M ’ là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 90 0 

 

b) Viết phương trình đường thẳng (d’) là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v = (2; −1) 

2 2 

Câu 2 (3đ): Trong mpOxy cho điểm I(3;−1) và đường tròn (C) có phương trình: ( x ) ( y ) 

− 2 + − 1 = 4 

a) Xác định tâm E và bán kính R của đường tròn (C). 

b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k = −2. 

Câu 3 (2đ): Trong mp(Oxy)cho d: 3x−y +3 = 0 và I(2;0) ; v =(1;−1).Tìm pt d ’ là ảnh của d qua phép đồng 

dạng có được bằng thực hiện liên tiếp phépvị tự V(I;3)và phép T v 

Câu 4 (3đ): Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O;R) cố định 

không có điểm chung với đường thẳng BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC. 


Câu 1 (2đ): Tìm ảnh của điểm M(1;3) trong mặt phẳng Oxy 

a) Qua phép đối xứng trục Ox 

b) Qua phép vị tự tâm I (−2;1) tỉ số k = −2. 

Câu 2 (2đ): Tìm ảnh của đường thẳng d: 2x + 3y −1= 0. Qua phép tịnh tiến theo v (1;2) 

2 2 

Câu 3 (3đ): Tìm ảnh của đ/tròn (C) : ( x ) ( y ) 

− 2 + + 3 = 4 trong mpOxy qua phép quay tâm O, góc 

Câu 4 (3đ): Cho đường tròn (O;R) và một dây cung BC thay đổi, có độ dài không 

đổi BC=a, A là điểm cố định trên đường tròn, I là trung điểm của BC 

a) CMR nếu A’ đối xứng với A qua O và H là trực tâm của tam giác ABC thì I là trung điểm của HA’ 

b) Tìm quỹ tích điểm I suy ra quỹ tích điểm H 

0 

90 



CHÖÔNG II: 

ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN 

QUAN HEÄ SONG SONG 

I. ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN 

1. Xaùc ñònh moät maët phaúng 

• Ba ñieåm khoâng thaúng haøng thuoäc maët phaúng. (mp(ABC), (ABC)) 

• Moät ñieåm vaø moät ñöôøng thaúng khoâng ñi qua ñieåm ñoù thuoäc maët phaúng. (mp(A,d)) 

• Hai ñöôøng thaúng caét nhau thuoäc maët phaúng. (mp(a, b)) 

2. Moät soá qui taéc veõ hình bieåu dieãn cuûa hình khoâng gian 

• Hình bieåu dieãn cuûa ñöôøng thaúng laø ñöôøng thaúng, cuûa ñoaïn thaúng laø ñoaïn thaúng. 

• Hình bieåu dieãn cuûa hai ñöôøng thaúng song song laø hai ñöôøng thaúng song song, cuûa hai 

ñöôøng thaúng caét nhau laø hai ñöôøng thaúng caét nhau. 

• Hình bieåu dieãn phaûi giöõ nguyeân quan heä thuoäc giöõa ñieåm vaø ñöôøng thaúng. 

• Ñöôøng nhìn thaáy veõ neùt lieàn, ñöôøng bò che khuaát veõ neùt ñöùt. 

VAÁN ÑEÀ 1: Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng 

Muoán tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng ta coù theå tìm hai ñieåm chung phaân bieät cuûa hai 

maët phaúng. Khi ñoù giao tuyeán laø ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm chung ñoù. 

1. Cho hình choùp S.ABCD. Ñaùy ABCD coù AB caét CD taïi E, AC caét BD taïi F. 

a) Tìm giao tuyeán cuûa caùc caëp maët phaúng (SAB) vaø (SCD), (SAC) vaø (SBD). 

b) Tìm giao tuyeán cuûa (SEF) vôùi caùc maët phaúng (SAD), (SBC). 

2. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy ABCD laø hình bình haønh taâm O. M, N, P laàn löôït laø trung 

ñieåm cuûa BC, CD, SO. Tìm giao tuyeán cuûa mp(MNP) vôùi caùc maët phaúng (SAB), (SAD), 

(SBC) vaø (SCD). 

3. Cho töù dieän ABCD. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC vaø BC. K laø moät ñieåm treân 

caïnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyeán cuûa mp(IJK) vôùi (ACD) vaø (ABD). 

4. Cho töù dieän ABCD. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø BC. 

a) Tìm giao tuyeán cuûa 2 maët phaúng (IBC) vaø (JAD). 

b) M laø moät ñieåm treân caïnh AB, N laø moät ñieåm treân caïnh AC. Tìm giao tuyeán cuûa 2 maët 

phaúng (IBC) vaø (DMN). 

5. Cho töù dieän (ABCD). M laø moät ñieåm beân trong ∆ABD, N laø moät ñieåm beân trong ∆ACD. 

Tìm giao tuyeán cuûa caùc caëp maët phaúng (AMN) vaø (BCD), (DMN) vaø (ABC). 

VAÁN ÑEÀ 2: Tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng 

Muoán tìm giao ñieåm cuûa moät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng ta coù theå tìm giao ñieåm cuûa 

ñöôøng thaúng ñoù vôùi moät ñöôøng thaúng naèm trong maët phaúng ñaõ cho. 

1. Cho töù dieän ABCD. Treân AC vaø AD laàn löôït laáy caùc ñieåm M, N sao cho MN khoâng song 

song voùi CD. Goïi O laø moät ñieåm beân trong ∆BCD. 

a) Tìm giao tuyeán cuûa (OMN) vaø (BCD). 

b) Tìm giao ñieåm cuûa BC vaø BD vôùi maët phaúng (OMN). 

2. Cho hình choùp S.ABCD. M laø moät ñieåm treân caïnh SC. 

a) Tìm giao ñieåm cuûa AM vaø (SBD). 




b) Goïi N laø moät ñieåm treân caïnh BC. Tìm giao ñieåm cuûa SD vaø (AMN). 

3. Cho töù dieän ABCD. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC vaø BC. K laø moät ñieåm treân 

caïnh BD vaø khoâng truøng vôùi trung ñieåm cuûa BD. Tìm giao ñieåm cuûa CD vaø AD vôùi maët 

phaúng (MNK). 

4. Cho töù dieän ABCD. M, N laø hai ñieåm laàn löôït treân AC vaø AD. O laø moät ñieåm beân trong 

∆BCD. Tìm giao ñieåm cuûa: 

a) MN vaø (ABO). b) AO vaø (BMN). 

HD: a) Tìm giao tuyeán cuûa (ABO) vaø (ACD). 

b) Tìm giao tuyeán cuûa (BMN) vaø (ABO). 

5. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang, caïnh ñaùy lôùn AB. Goïi I, J, K laø ba ñieåm 

laàn löôït treân SA, AB, BC. 

a) Tìm giao ñieåm cuûa IK vôùi (SBD). 

b) Tìm caùc giao ñieåm cuûa maët phaúng (IJK) vôùi SD vaø SC. 

HD: a) Tìm giao tuyeán cuûa (SBD) vôùi (IJK). 

b) Tìm giao tuyeán cuûa (IJK) vôùi (SBD vaø (SCD). 

VAÁN ÑEÀ 3: Chöùng minh ba ñieåm thaúng haøng, ba ñöôøng thaúng ñoàng qui 

• Muoán chöùng minh ba ñieåm thaúng haøng ta coù theå chöùng minh chuùng cuøng thuoäc hai maët 

phaúng phaân bieät. 

• Muoán chöùng minh ba ñöôøng thaúng ñoàng qui ta coù theå chöùng minh giao ñieåm cuûa hai 

ñöôøng thaúng naøy laø ñieåm chung cuûa hai maët phaúng maø giao tuyeán laø ñöôøng thaúng thöù ba. 

1. Cho hình choùp S.ABCD. Goïi I, J laø hai ñieåm coá ñònh treân SA vaø SC vôùi SI > IA vaø SJ < 

JC. Moät maët phaúng (P) quay quanh IJ caét SB taïi M, SD taïi N. 

a) CMR: IJ, MN vaø SO ñoàng qui (O =AC∩BD). Suy ra caùch döïng ñieåm N khi bieát M. 

b) AD caét BC taïi E, IN caét MJ taïi F. CMR: S, E, F thaúng haøng. 

c) IN caét AD taïi P, MJ caét BC taïi Q. CMR PQ luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh khi (P) di ñoäng. 

2. Cho maët phaúng (P) vaø ba ñieåm A, B, C khoâng thaúng haøng ôû ngoaøi (P). Giaû söû caùc ñöôøng 

thaúng BC, CA, AB laàn löôït caét (P) taïi D, E, F. Chöùng minh D, E, F thaúng haøng. 

3. Cho töù dieän ABCD. Goïi E, F, G laàn löôït laø ba ñieåm treân ba caïnh AB, AC, BD sao cho EF 

caét BC taïi I, EG caét AD taïi H. Chöùng minh CD, IG, HF ñoàng qui. 

4. Cho hai ñieåm coá ñònh A, B ôû ngoaøi maët phaúng (P) sao cho AB khoâng song song vôùi (P). M 

laø moät ñieåm di ñoäng trong khoâng gian sao cho MA, MB caét (P) taïi A′, B′. Chöùng minh 

A′B′ luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh. 

5. Cho töù dieän SABC. Qua C döïng maët phaúng (P) caét AB, SB taïi B 1 , B′. Qua B döïng maët 

phaúng (Q) caét AC, SC taïi C 1 , C′. BB′, CC′ caét nhau taïi O′; BB 1 , CC 1 caét nhau taïi O 1 . Giaû 

söû O′O 1 keùo daøi caét SA taïi I. 

a) Chöùng minh: AO 1 , SO′, BC ñoàng qui. 

b) Chöùng minh: I, B 1 , B′ vaø I, C 1 , C′ thaúng haøng. 

VAÁN ÑEÀ 4: Xaùc ñònh thieát dieän cuûa moät hình choùp vôùi moät maët phaúng 

Muoán xaùc ñònh thieát dieän cuûa moät hình choùp vôùi maët phaúng (P) ta coù theå laøm nhö sau: 

• Töø ñieåm chung coù saün, xaùc ñònh giao tuyeán ñaàu tieân cuûa (P) vôùi moät maët cuûa hình choùp 

(coù theå laø maët phaúng trung gian). 

• Cho giao tuyeán naøy caét caùc caïnh cuûa maët ñoù cuûa hình choùp, ta seõ ñöôïc caùc ñieåm chung 

môùi cuûa (P) vôùi caùc maët khaùc. Töø ñoù xaùc ñònh ñöôïc caùc giao tuyeán môùi vôùi caùc maët naøy. 

• Tieáp tuïc nhö treân cho tôùi khi caùc giao tuyeán kheùp kín ta ñöôïc thieát dieän. 



1. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N, I laø ba ñieåm treân 

AD, CD, SO. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (MNI). 

2. Cho töù dieän ñeàu ABCD, caïnh baèng a. Keùo daøi BC moät ñoaïn CE=a. Keùo daøi BD moät ñoaïn 

DF=a. Goïi M laø trung ñieåm cuûa AB. 

a) Tìm thieát dieän cuûa töù dieän vôùi maët phaúng (MEF). 

a 

b) Tính dieän tích cuûa thieát dieän. HD: b) 

6 

3. Cho hình choùp S.ABC. M laø moät ñieåm treân caïnh SC, N vaø P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa 

AB vaø AD. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (MNP). 

HD: Thieát dieän laø 1 nguõ giaùc. 

4. Cho hình choùp S.ABCD. Trong ∆SBC, laáy moät ñieåm M. Trong ∆SCD, laáy moät ñieåm N. 

a) Tìm giao ñieåm cuûa MN vaø (SAC). 

b) Tìm giao ñieåm cuûa SC vôùi (AMN). 

c) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp S.ABCD vôùi maët phaúng (AMN). 

HD: a) Tìm (SMN)∩(SAC) b) Thieát dieän laø töù giaùc. 

5. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N, P laàn löôït laø trung 

ñieåm cuûa SB, SD vaø OC. 

a) Tìm giao tuyeán cuûa (MNP) vôùi (SAC), vaø giao ñieåm cuûa (MNP) vôùi SA. 

b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (MNP) vaø tính tæ soá maø (MNP) chia caùc caïnh 

SA, BC, CD. 

HD: b) Thieát dieän laø nguõ giaùc. Caùc tæ soá laø: 1/3; 1; 1. 

6. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi M laø trung ñieåm cuûa SB, G laø 

troïng taâm ∆SAD. 

a) Tìm giao ñieåm I cuûa GM vôùi (ABCD). Chöùng minh (CGM) chöùa CD. 

b) Chöùng minh (CGM) ñi qua trung ñieåm cuûa SA. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi 

(CGM). 

c) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (AGM). 

HD: b) Thieát dieän laø töù giaùc c) Tìm (AGM)∩(SAC). Thieát dieän laø töù giaùc. 

7. Cho hình choùp S.ABCD, M laø moät ñieåm treân caïnh BC, N laø moät ñieåm treân caïnh SD. 

a) Tìm giao ñieåm I cuûa BN vaø (SAC) vaø giao ñieåm J cuûa MN vaø (SAC). 

b) DM caét AC taïi K. Chöùng minh S, K, J thaúng haøng. 

c) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp S.ABCD vôùi maët phaúng (BCN). 

HD: a) Goïi O=AC∩BD thì I=SO∩BN, J=AI∩MN 

b) J laø ñieåm chung cuûa (SAC) vaø (SDM) 

c) Noái CI caét SA taïi P. Thieát dieän laø töù giaùc BCNP. 

8. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang ABCD vôùi AB//CD vaø AB > CD. Goïi I laø 

trung ñieåm cuûa SC. Maët phaúng (P) quay quanh AI caét caùc caïnh SB, SD laàn löôït taïi M, N. 

a) Chöùng minh MN luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh. 

b) IM keùo daøi caét BC taïi P, IN keùo daøi caét CD taïi Q. Chöùng minh PQ luoân ñi qua 1 ñieåm 

coá ñònh. 

c) Tìm taäp hôïp giao ñieåm cuûa IM vaø AN. 

HD: a) Qua giao ñieåm cuûa AI vaø SO=(SAC)∩(SBD). 

b) Ñieåm A. 

c) Moät ñoaïn thaúng. 

2 




II. HAI ÑÖÔØNG THAÚNG SONG SONG 

1. Ñònh nghóa 

a 

⎧a, b ⊂ ( P) 

b 

a / / b ⇔ ⎨ 

⎩a 

∩ b = ∅ 

P 

2. Tính chaát 

• Neáu ba maët phaúng phaân bieät caét nhau töøng ñoâi moät theo ba giao tuyeán phaân bieät thì ba 

giao tuyeán aáy hoaëc ñoàng qui hoaëc ñoâi moät song song. 

• Neáu hai maët phaúng caét nhau laàn löôït ñi qua hai ñöôøng thaúng song song thì giao tuyeán 

cuûa chuùng song song vôùi hai ñöôøng thaúng ñoù hoaëc truøng vôùi moät trong hai ñöôøng thaúng ñoù. 

• Hai ñöôøng thaúng phaân bieät cuøng song song vôùi ñöôøng thaúng thöù ba thì song song vôùi 

nhau. 

VAÁN ÑEÀ 1: Chöùng minh hai ñöôøng thaúng song song 

Phöông phaùp: Coù theå söû duïng 1 trong caùc caùch sau: 

1. Chöùng minh 2 ñöôøng thaúng ñoù ñoàng phaúng, roài aùp duïng phöông phaùp chöùng minh song 

song trong hình hoïc phaúng (nhö tính chaát ñöôøng trung bình, ñònh lí Taleùt ñaûo, …) 

2. Chöùng minh 2 ñöôøng thaúng ñoù cuøng song song vôùi ñöôøng thaúng thöù ba. 

3. AÙp duïng ñònh lí veà giao tuyeán song song. 

1. Cho töù dieän ABCD. Goïi I, J laàn löôït laø troïng taâm caùc tam giaùc ABC, ABD. Chöùng minh 

IJ//CD. 

2. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang vôùi ñaùy lôùn AB. Goïi M, N laàn löôït laø trung 

ñieåm cuûa SA vaø SB. 

a) Chöùng minh: MN // CD. 

b) Tìm giao ñieåm P cuûa SC vôùi (AND). Keùo daøi AN vaø DP caét nhau taïi I. Chöùng minh SI 

// AB // CD. Töù giaùc SABI laø hình gì? 

3. Cho töù dieän ABCD. Goïi M, N, P, Q, R, S laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, CD, BC, AD, 

AC, BD. 

a) Chöùng minh MNPQ laø hình bình haønh. 

b) Töø ñoù suy ra ba ñoaïn MN, PQ, RS caét nhau taïi trung ñieåm cuûa moãi ñoaïn. 

4. Cho tam giaùc ABC naèm trong maët phaúng (P). Goïi Bx, Cy laø hai nöûa ñöôøng thaúng song 

song vaø naèm veà cuøng moät phía ñoái vôùi (P). M, N laø hai ñieåm di ñoäng laàn löôït treân Bx, Cy 

sao cho CN = 2BM. 

a) Chöùng minh ñöôøng thaúng MN luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh I khi M, N di ñoäng. 

b) E thuoäc ñoaïn AM vaø EM = 1 EA. IE caét AN taïi F. Goïi Q laø giao ñieåm cuûa BE vaø CF. 

3 

CMR AQ song song vôùi Bx, Cy vaø (QMN) chöùa 1 ñöôøng thaúng coá ñònh khi M, N di ñoäng. 

5. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi M, N, P, Q laø caùc ñieåm laàn löôït 

naèm treân BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD. 

a) Chöùng minh: PQ // SA. 

b) Goïi K laø giao ñieåm cuûa MN vaø PQ. Chöùng minh: SK // AD // BC. 

c) Qua Q döïng caùc ñöôøng thaúng Qx // SC vaø Qy // SB. Tìm giao ñieåm cuûa Qx vôùi (SAB) 

vaø cuûa Qy vôùi (SCD). 




Phöông phaùp: 

• Tìm moät ñieåm chung cuûa hai maët phaúng. 

• AÙp duïng ñònh lí veà giao tuyeán ñeå tìm phöông cuûa giao tuyeán. 

Giao tuyeán seõ laø ñöôøng thaúng qua ñieåm chung vaø song song vôùi ñöôøng thaúng aáy. 

1. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang vôùi ñaùy lôùn AB. Goïi I, J laàn löôït laø trung 

ñieåm cuûa AD, BC vaø G laø troïng taâm cuûa ∆SAB. 

a) Tìm giao tuyeán cuûa (SAB) vaø (IJG). 

b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (IJG). Thieát dieän laø hình gì? Tìm ñieàu 

kieän ñoái vôùi AB vaø CD ñeå thieát dieän laø hình bình haønh. 

2. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi I, J laàn löôït laø troïng taâm cuûa caùc 

tam giaùc SAB, SAD. M laø trung ñieåm cuûa CD. Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët 

phaúng (IJM). 

3. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang vôùi caùc ñaùy AD = a, BC = b. Goïi I, J laàn 

löôït laø troïng taâm caùc tam giaùc SAD, SBC. 

a) Tìm ñoaïn giao tuyeán cuûa (ADJ) vôùi maët (SBC) vaø ñoaïn giao tuyeán cuûa (BCI) vôùi maët 

(SAD). 

b) Tìm ñoä daøi ñoaïn giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (ADJ) vaø (BCI) giôùi haïn bôûi hai maët 

phaúng (SAB) vaø (SCD). 

HD: 

b) 2 5 (a+b). 

4. Cho töù dieän ñeàu ABCD, caïnh a. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC, BC. Goïi K laø moät 

ñieåm treân caïnh BD vôùi KB = 2KD. 

a) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa töù dieän vôùi maët phaúng (IJK). Chöùng minh thieát dieän laø hình 

thang caân. 

b) Tính dieän tích thieát dieän ñoù. 

2 

5a 

51 

HD: b) 

288 

5. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, taâm O. Maët beân SAB laø tam giaùc 

ñeàu. Ngoaøi ra SAD = 90 0 . Goïi Dx laø ñöôøng thaúng qua D vaø song song vôùi SC. 

a) Tìm giao ñieåm I cuûa Dx vôùi mp(SAB). Chöùng minh: AI // SB. 

b) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp SABCD vôùi mp(AIC). Tính dieän tích thieát dieän. 

a 

2 14 

HD: b) Tam giaùc AMC vôùi M laø trung ñieåm cuûa SD. Dieän tích 

8 




III. ÑÖÔØNG THAÚNG vaø MAËT PHAÚNG SONG SONG 


d // (P) ⇔ d ∩ (P) = ∅ 


• Neáu ñöôøng thaúng d khoâng naèm treân maët phaúng (P) vaø d song song vôùi ñöôøng thaúng d′ 

naèm trong (P) thì d song song vôùi (P). 

• Neáu ñöôøng thaúng d song song vôùi maët phaúng (P) thì moïi maët phaúng (Q) chöùa d maø caét 

(P) thì caét theo giao tuyeán song song vôùi d. 

• Neáu hai maët phaúng caét nhau cuøng song song vôùi moät ñöôøng thaúng thì giao tuyeán cuûa 

chuùng cuõng song song vôùi ñöôøng thaúng ñoù. 

• Neáu hai ñöôøng thaúng a vaø b cheùo nhau thì coù duy nhaát moät maët phaúng chöùa a vaø song 

song vôùi b. 

VAÁN ÑEÀ 1: Chöùng minh ñöôøng thaúng song song vôùi maët phaúng 

Phöông phaùp: Ta chöùng minh d khoâng naèm trong (P) vaø song song vôùi moät ñöôøng thaúng d′ naøo 

ñoù naèm trong (P). 

1. Cho hai hình bình haønh ABCD vaø ABEF khoâng cuøng naèm trong moät maët phaúng. 

a) Goïi O, O′ laàn löôït laø taâm cuûa ABCD vaø ABEF. Chöùng minh OO′ song song vôùi caùc 

maët phaúng (ADF) vaø (BCE). 

b) M, N laø 2 ñieåm laàn löôït treân hai caïnh AE, BD sao cho AM = 1 3 AE, BN = 1 BD. Chöùng 

3 

minh MN // (CDFE). 

2. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy ABCD laø hình bình haønh. Goïi M, N laàn löôït laø trung 

ñieåm cuûa caùc caïnh AB, CD. 

a) Chöùng minh MN song song vôùi caùc maët phaúng (SBC), (SAD). 

b) Goïi P laø trung ñieåm cuûa SA. Chöùng minh SB, SC ñeàu song song vôùi (MNP). 

c) Goïi G 1 , G 2 laø troïng taâm cuûa caùc tam giaùc ABC, SBC. Chöùng minh G 1 G 2 // (SBC). 

3. Cho töù dieän ABCD. G laø troïng taâm cuûa ∆ABD. M laø 1 ñieåm treân caïnh BC sao cho MB = 

2MC. Chöùng minh MG // (ACD). 

HD: Chöùng minh MG song song vôùi giao tuyeán cuûa (BMG) vaø (ACD). 

4. Cho töù dieän ABCD. Goïi O, O′ laàn löôït laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp caùc tam giaùc ABC, 

ABD. Chöùng minh raèng: 

BC AB + AC 

a) Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå OO′ // (BCD) laø = 

BD AB + AD 

b) Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå OO′ song song vôùi 2 maët phaúng (BCD), (ACD) 

laø BC = BD vaø AC = AD. 

HD: Söû ñuïng tính chaát ñöôøng phaân giaùc trong tam giaùc. 

5. Cho töù dieän ABCD. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, CD vaø G laø trung 

ñieåm cuûa ñoaïn MN. 

a) Tìm giao ñieåm A′ cuûa ñöôøng thaúng AG vôùi mp(BCD). 

b) Qua M keû ñöôøng thaúng Mx song song vôùi AA′ vaø Mx caét (BCD) taïi M′. Chöùng minh B, 

M′, A′ thaúng haøng vaø BM′ = M′A′ = A′N. 

c) Chöùng minh GA = 3GA′. 




Phöông phaùp: Tìm phöông cuûa giao tuyeán. Töø ñoù xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp taïo bôûi maët 

phaúng song song vôùi moät hoaëc hai ñöôøng thaúng cho tröôùc. 

1. Cho hình choùp S.ABCD. M, N laø hai ñieåm treân AB, CD. Maët phaúng (P) qua MN vaø song 

song vôùi SA. 

a) Tìm caùc giao tuyeán cuûa (P) vôùi (SAB) vaø (SAC). 

b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (P). 

c) Tìm ñieàu kieän cuûa MN ñeå thieát dieän laø hình thang. 

HD: c) MN // BC 

2. Trong maët phaúng (P), cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, B = 60 0 , AB = a. Goïi O laø trung 

ñieåm cuûa BC. Laáy ñieåm S ôû ngoaøi (P) sao cho SB = a vaø SB ⊥ OA. Goïi M laø 1 ñieåm treân 

caïnh AB. Maët phaúng (Q) qua M vaø song song vôùi SB vaø OA, caét BC, SC, SA laàn löôït taïi 

N, P, Q. Ñaët x = BM (0 < x < a). 

a) Chöùng minh MNPQ laø hình thang vuoâng. 

b) Tính dieän tích hình thang ñoù. Tìm x ñeå dieän tích lôùn nhaát. 

x(4a − 3 x) 

HD: b) S MNPQ = . S MNPQ ñaït lôùn nhaát khi x = 2 a 

4 

3 

3. Cho hình choùp S.ABCD. M, N laø hai ñieåm baát kì treân SB, CD. Maët phaúng (P) qua MN vaø 

song song vôùi SC. 

a) Tìm caùc giao tuyeán cuûa (P) vôùi caùc maët phaúng (SBC), (SCD), (SAC). 

b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (P). 

4. Cho töù dieän ABCD coù AB = a, CD = b. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD. 

Maët phaúng (P) ñi qua moät ñieåm M treân ñoaïn IJ vaø song song vôùi AB vaø CD. 

a) Tìm giao tuyeán cuûa (P) vôùi (ICD). 

b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa töù dieän ABCD vôùi (P). 

5. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi C′ laø trung ñieåm cuûa SC, M laø 1 

ñieåm di ñoäng treân caïnh SA. Maët phaúng (P) di ñoäng luoân ñi qua C′M vaø song song vôùi BC. 

a) Chöùng minh (P) luoân chöùa moät ñöôøng thaúng coá ñònh. 

b) Xaùc ñònh thieát dieän maø (P) caét hình choùp SABCD. Xaùc ñònh vò trí ñieåm M ñeå thieát dieän 

laø hình bình haønh. 

c) Tìm taäp hôïp giao ñieåm cuûa 2 caïnh ñoái cuûa thieát dieän khi M di ñoäng treân caïnh SA. 

HD: a) Ñöôøng thaúng qua C′ vaø song song vôùi BC. 

b) Hình thang. Hình bình haønh khi M laø trung ñieåm cuûa SA. 

c) Hai nöûa ñöôøng thaúng. 




IV. HAI MAËT PHAÚNG SONG SONG 


(P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅ 


• Neáu maët phaúng (P) chöùa hai ñöôøng thaúng a, b caét nhau vaø cuøng song song vôùi maët phaúng 

(Q) thì (P) song song vôùi (Q). 

• Neáu ñöôøng thaúng d song song vôùi mp(P) thì coù duy nhaát moät mp(Q) chöùa d vaø song song 

vôùi (P). 

• Hai maët phaúng phaân bieät cuøng song song vôùi maët phaúng thöù ba thì song song vôùi nhau. 

• Cho moät ñieåm A ∉ (P). khi ñoù moïi ñöôøng thaúng ñi qua A vaø song song vôùi (P) ñeàu naèm 

trong moät mp(Q) ñi qua A vaø song song vôùi (P). 

• Neáu moät maët phaúng caét moät trong hai maët phaúng song song thì cuõng caét maët phaúng kia 

vaø caùc giao tuyeán cuûa chuùng song song vôùi nhau. 

• Hai maët phaúng song song chaén treân hai caùt tuyeán song song nhöõng ñoaïn thaúng baèng 

nhau. 

• Ñònh lí Thales: Ba maët phaúng ñoâi moät song song chaén treân hai caùt tuyeán baát kì nhöõng 

ñoaïn thaúng töông öùng tæ leä. 

• Ñònh lí Thales ñaûo: Giaû söû treân hai ñöôøng thaúng d vaø d′ laàn löôït laáy caùc ñieåm A, B, C vaø 

A′, B′, C′ sao cho: 

AB = BC = 

CA 

A' B' B' C ' C ' A' 

Khi ñoù, ba ñöôøng thaúng AA′, BB′, CC′ laàn löôït naèm treân ba maët phaúng song song, töùc laø 

chuùng cuøng song vôùi moät maët phaúng. 

VAÁN ÑEÀ 1: Chöùng minh hai maët phaúng song song 

Phöông phaùp: Chöùng minh maët phaúng naøy chöùa hai ñöôøng thaúng caét nhau laàn löôït song song 

vôùi hai ñöôøng thaúng trong maët phaúng kia. 

1. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm 

cuûa SA, SD. 

a) Chöùng minh (OMN) // (SBC). 

b) Goïi P, Q laø trung ñieåm cuûa AB, ON. Chöùng minh PQ // (SBC). 

2. Cho töù dieän ABCD. Goïi I, J laø hai ñieåm di ñoäng laàn löôït treân caùc caïnh AD, BC sao cho 

luoân coù: IA = JB . 

ID JC 

a) CMR: IJ luoân song song vôùi 1 maët phaúng coá ñònh. 

b) Tìm taäp hôïp ñieåm M chia ñoaïn IJ theo tæ soá k cho tröôùc. 

HD: a) IJ song song vôùi mp qua AB vaø song song CD. 

b) Taäp hôïp ñieåm M laø ñoaïn EF vôùi E, F laø caùc ñieåm chia AB, CD theo tæ soá k. 

3. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm 

cuûa SA vaø CD. 

a) CMR: (OMN) // (SBC). 

b) Goïi I laø trung ñieåm cuûa SD, J laø moät ñieåm treân (ABCD) vaø caùch ñeàu AB, CD. Chöùng 

minh IJ song song (SAB). 

c) Giaû söû hai tam giaùc SAD, ABC ñeàu caân taïi A. Goïi AE, AF laø caùc ñöôøng phaân giaùc 

trong cuûa caùc tam giaùc ACD vaø SAB. Chöùng minh EF // (SAD). 



ED FS 

HD: c) Chuù yù: = 

EC FB 

4. Cho hai hình vuoâng ABCD vaø ABEF ôû trong hai maët phaúng khaùc nhau. Treân caùc ñöôøng 

cheùo AC vaø BF laàn löôït laáy caùc ñieåm M, N sao cho: AM = BN. Caùc ñöôøng thaúng song 

song vôùi AB veõ töø M, N laàn löôït caét AD, AF taïi M′, N′. 

a) Chöùng minh: (CBE) // (ADF). 

b) Chöùng minh: (DEF) // (MNN′M′). 

c) Goïi I laø trung ñieåm cuûa MN, tìm taäp hôïp ñieåm I khi M, N di ñoäng. 

HD: c) Trung tuyeán tam giaùc ODE veõ töø O. 

5. Cho hai nöûa ñöôøng thaúng cheùo 

 

nhau 

 

Ax, By. M vaø N laø hai ñieåm di ñoäng laàn löôït treân Ax, 

By sao cho AM = BN. Veõ NP = BA . 

a) Chöùng minh MP coù phöông khoâng ñoåi vaø MN luoân song song vôùi 1 maët phaúng coá ñònh. 

b) Goïi I laø trung ñieåm cuûa MN. CMR I naèm treân 1 ñöôøng thaúng coá ñònh khi M, N di ñoäng. 

6. Cho töù dieän ABCD coù AB = AC = AD. CMR caùc ñöôøng phaân giaùc ngoaøi cuûa caùc goùc 

BAC 

 

, CAD 

 

, DAB 

 

ñoàng phaúng. 

HD: Cuøng naèm trong maët phaúng qua A vaø song song vôùi (BCD). 


Phöông phaùp: 

• Tìm phöông cuûa giao tuyeán baèng caùch söû duïng ñònh lí: Neáu 2 maët phaúng song song bò caét 

bôûi 1 maët phaúng thöù ba thì 2 giao tuyeán song song. 

• Söû duïng ñònh lí treân ñeå xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp bò caét bôûi 1 maët phaúng song song 

vôùi 1 maët phaúng cho tröôùc. 

1. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O vôùi AC = a, BD = b. Tam giaùc 

SBD ñeàu. Moät maët phaúng (P) di ñoäng luoân song song vôùi mp(SBD) vaø ñi qua ñieåm I treân 

ñoaïn AC. 

a) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (P). 

b) Tính dieän tích thieát dieän theo a, b vaø x = AI. 

HD: a) Xeùt 2 tröôøng hôïp: I ∈ OA, I ∈ OC . Thieát dieän laø tam giaùc ñeàu. 

⎧ 2 2 

b x 3 

a 

neáu 0 < x < 

⎪ 2 

2 

b) Sthieát dieän 

= ⎨ 

a 

2 2 

⎪ b ( a − x) 3 a 

neáu < x < a 

⎪ 2 

⎩ a 

2 

2. Cho hai maët phaúng song song (P) vaø (Q). Tam giaùc ABC naèm trong (P) vaø ñoaïn thaúng 

MN naèm trong (Q). 

a) Tìm giao tuyeán cuûa (MAB) vaø (Q); cuûa (NAC) vaø (Q). 

b) Tìm giao tuyeán cuûa (MAB) vaø (NAC). 

3. Töø boán ñænh cuûa hình bình haønh ABCD veõ boán nöûa ñöôøng thaúng song song cuøng chieàu 

Ax, By, Cz, Dt khoâng naèm trong (ABCD). Moät maët phaúng (P) caét boán nöûa ñöôøng thaúng 

taïi A′, B′, C′, D′. 

a) Chöùng minh (Ax,By) // (Cz,Dt). 

b) Chöùng minh A′B′C′D′ laø hình bình haønh. 

c) Chöùng minh: AA′ + CC′ = BB′ + DD′. 




4. Cho töù dieän ABCD. Goïi G 1 , G 2 , G 3 laàn löôït laø troïng taâm caùc tam giaùc ABC, ACD, ADB. 

a) Chöùng minh (G 1 G 2 G 3 ) // (BCD). 

b) Tìm thieát dieän cuûa töù dieän ABCD vôùi mp(G 1 G 2 G 3 ). Tính dieän tích thieát dieän khi bieát 

dieän tích tam giaùc BCD laø S. 

c) M laø ñieåm di ñoäng beân trong töù dieän sao cho G 1 M luoân song song vôùi mp(ACD). Tìm 

taäp hôïp nhöõng ñieåm M. 

HD: b) 4 S 

9 

5. Cho laêng truï ABC.A′B′C′. Goïi H laø trung ñieåm cuûa A′B′. 

a) Chöùng minh CB′ // (AHC′). 

b) Tìm giao ñieåm cuûa AC′ vôùi (BCH). 

c) Maët phaúng (P) qua trung ñieåm cuûa CC′ vaø song song vôùi AH vaø CB′. Xaùc ñònh thieát 

dieän vaø tæ soá maø caùc ñænh cuûa thieát dieän chia caïnh töông öùng cuûa laêng truï. 

HD: c) M, N, P, Q, R theo thöù töï chia caùc ñoaïn CC′, B′C′, A′B′, AB, AC theo caùc tæ soá 

1, 1, 3, 1 3 , 1. 

6. Cho hình hoäp ABCD.A′B′C′D′. 

a) Chöùng minh hai maët phaúng (BDA′) vaø (B′D′C) song song. 

b) Chöùng minh ñöôøng cheùo AC′ ñi qua caùc troïng taâm G 1 , G 2 cuûa 2 tam giaùc BDA′, B′D′C. 

Chöùng minh G 1 , G 2 chia ñoaïn AC′ laøm ba phaàn baèng nhau. 

c) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình hoäp caét bôûi mp(A′B′G 2 ). Thieát dieän laø hình gì? 

HD: c) Hình bình haønh. 

7. Cho hình laäp phöông ABCD.A′B′C′D′ caïnh a. Treân AB, CC′, C′D′, AA′ laàn löôït laáy caùc 

ñieåm M, N, P, Q sao cho AM = C′N = C′P = AQ = x (0 ≤ x ≤ a). 

a) Chöùng minh boán ñieåm M, N, P, Q ñoàng phaúng vaø MP, NQ caét nhau taïi 1 ñieåm coá ñònh. 

b) Chöùng minh mp(MNPQ) luoân chöùa 1 ñöôøng thaúng coá ñònh. 

Tìm x ñeå (MNPQ) // (A′BC′). 

c) Döïng thieát dieän cuûa hình laäp phöông caét bôûi (MNPQ). Thieát dieän coù ñaëc ñieåm gì? Tính 

giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa chu vi thieát dieän. 

HD: a) MP vaø NQ caét nhau taïi taâm O cuûa hình laäp phöông. 

b) (MNPQ) ñi qua trung ñieåm R, S cuûa BC vaø A′D′. x = 2 

a . 

c) Thieát dieän laø luïc giaùc MRNPSQ coù taâm ñoái xöùng laø O. 

Chu vi nhoû nhaát: 3a 2 ; chu vi lôùn nhaát: 2a( 2 + 1). 

8. Cho laêng truï ABC.A′B′C′. 

a) Tìm giao tuyeán cuûa (AB′C′) vaø (BA′C′). 

b) Goïi M, N laàn löôït laø 2 ñieåm baát kì treân AA′ vaø BC. Tìm giao ñieåm cuûa B′C′ vôùi maët 

phaúng (AA′N) vaø giao ñieåm cuûa MN vôùi mp(AB′C′). 

9. Cho laêng truï ABC.A′B′C′. Chöùng minh raèng caùc maët phaúng (ABC′), (BCA′) vaø (CAB′) coù 

moät ñieåm chung O ôû treân ñoaïn GG′ noái troïng taâm ∆ABC vaø troïng taâm ∆A′B′C′. Tính 

OG 

OG′ . HD: 1 

2 



BAØI TAÄP OÂN 

1. Cho töù dieän ABCD coù AB = 2a, tam giaùc BCD vuoâng taïi C coù BD = 2a, BC = a. Goïi E 

laø trung ñieåm cuûa BD. Cho bieát 

0 

( AB, CE ) = 60 . 

a) Tính 2AC 2 – AD 2 theo a. 

b) (P) laø 1 maët phaúng song song vôùi AB vaø CE, caét caùc caïnh BC, BD, AE, AC theo thöù 

töï taïi M, N, P, Q. Tính dieän tích töù giaùc MNPQ theo a vaø x = BM (0 < x < a). Xaùc ñònh x 

ñeå dieän tích aáy lôùn nhaát. 

c) Tìm x ñeå toång bình phöông caùc ñöôøng cheùo cuûa MNPQ laø nhoû nhaát. 

d) Goïi O laø giao ñieåm cuûa MP vaø NQ. Tìm (P) ñeå OA 2 + OB 2 + OC 2 + OD 2 nhoû nhaát. 

HD: a) Goïi F laø trung ñieåm cuûa AD. 

Xeùt CEF 

= 60 0 , CEF 


0 ⇒ 2AC 2 – AD 2 = 6a 2 hoaëc –2a 2 . 

3 a 

a 

b) S = x(a – x) ; x = c) x = 

2 2 

2 

d) OA 2 + OB 2 + OC 2 + OD 2 = 4OG 2 + GA 2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 . 

O di ñoäng treân ñoaïn IJ noái trung ñieåm cuûa AB vaø CE. Toång nhoû nhaát khi O laø hình chieáu 

cuûa G leân IJ ( G laø troïng taâm töù dieän ABCD). 

2. Cho töù dieän ñeàu ABCD caïnh a. Goïi I, J laø troïng taâm caùc tam giaùc ABC vaø DBC. Maët 

phaúng (P) qua IJ caét caùc caïnh AB, AC, DC, DB taïi M, N, P, Q. 

a) Chöùng minh MN, PQ, BC ñoàng qui hoaëc song song vaø MNPQ thöôøng laø hình thang 

caân. 

b) Ñaët AM = x, AN = y. CMR: a(x + y) = 3xy. Suy ra: 4 a 3 a 

≤ x + y ≤ . 

3 2 

c) Tính dieän tích töù giaùc MNPQ theo a vaø s = x + y. 

2 2 8 

HD: b) S ∆AMN = S AMI + S ANI c) 

a − s . s − as . 

4 3 

3. Cho hình choùp S.ABCD. Töù giaùc ñaùy coù AB vaø CD caét nhau taïi E, AD vaø BC caét nhau 

taïi F, AC vaø BD caét nhau taïi G. Maët phaúng (P) caét SA, SB, SC laàn löôït taïi A′, B′, C′. 

a) Tìm giao ñieåm D′ cuûa SD vôùi (P). 

b) Tìm ñieàu kieän cuûa (P) ñeå A′B′ // C′D′. 

c) Vôùi ñieàu kieän naøo cuûa (P) thì A′B′C′D′ laø hình bình haønh? CMR khi ñoù: 

SA′ SC′ SB′ SD′ 

+ = + 

SA SC SB SD 

d) Tính dieän tích töù giaùc A′B′C′D′. 

HD: b) (P) // SE. 

SA′ SC′ 2SG′ 

c) (P) // (SEF). Goïi G′ = A′C′∩B′D′. Chöùng minh: + = 

SA SC SG 

2 

a 3 

d) S A′B′C′D′ = . 

32 

4. Cho maët phaúng (P) vaø hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d 1 , d 2 caét (P) taïi A vaø B. Ñöôøng thaúng 

(∆) thay ñoåi luoân song song vôùi (P), caét d 1 taïi M, d 2 taïi N. Ñöôøng thaúng qua N vaø song 

song d1 caét (P) taïi N′. 

a) Töù giaùc AMNN′ laø hình gì? Tìm taäp hôïp ñieåm N′. 

b) Xaùc ñònh vò trí cuûa (∆) ñeå MN coù ñoä daøi nhoû nhaát. 

c) Goïi O laø trung ñieåm cuûa AB, I laø trung ñieåm cuûa MN. Chöùng minh OI laø ñöôøng thaúng 

coá ñònh khi M di ñoäng. 




d) Tam giaùc BMN vuoâng caân ñænh B vaø BM = a. Tính dieän tích thieát dieän cuûa hình choùp 

B.AMNN′ vôùi maët phaúng qua O vaø song song vôùi maët phaúng (BMN). 

HD: a) Hình bình haønh. Taäp hôïp caùc ñieåm N′ laø d 3 , giao tuyeán cuûa (P) vôùi maët 

phaúng qua d 2 vaø song song vôùi d 1. 

b) MN nhoû nhaát khi AN′ vuoâng goùc d 3 taïi N′. 

2 

3a 

d) 

8 

5. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. M vaø P laø hai ñieåm laàn löôït di ñoäng 

treân AD vaø SC sao cho: MA = PS = x (x > 0). 

MD PC 

a) CMR: MP luoân song song vôùi moät maët phaúng coá ñònh (P). 

b) Tìm giao ñieåm I cuûa (SBD) vôùi MP. 

c) Maët phaúng qua M vaø song song vôùi (P) caét hình choùp SABCD theo moät thieát dieän vaø 

caét BD taïi J. Chöùng minh IJ coù phöông khoâng ñoåi. Tìm x ñeå PJ song song vôùi (SAD). 

d) Tìm x ñeå dieän tích thieát dieän baèng k laàn dieän tích ∆SAB (k > 0 cho tröôùc). 

HD: a) Maët phaúng (SAB). c) Phöông cuûa SB; x = 1. 

d) x = 1 − k + 1 − k (0 < k < 1). 

k 

6. Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, taâm O. SA = SB = SC = 

SD = a. Goïi M laø moät ñieåm treân ñoaïn AO. (P) laø maët phaúng qua M vaø song song vôùi AD 

vaø SO. Ñaët AM = k (0 < k < 1). 

AO 

a) Chöùng minh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (P) laø hình thang caân. 

b) Tính caùc caïnh cuûa thieát dieän theo a vaø k. 

c) Tìm k ñeå thieát dieän treân ngoaïi tieáp ñöôïc 1 ñöôøng troøn. Khi ñoù haõy tính dieän tích thieát 

dieän theo a. 

ka 3 

a 6 

HD: b) a; (1 – k)a; c) k= 3 − 1; 

2 

9 

7. Cho laêng truï ABC.A′B′C′. Goïi M, N, P laø 3 ñieåm laàn löôït naèm treân 3 ñoaïn AB′, AC′, 

B′C sao cho AM C ′ 

= N = CP = x . 

AB′ AC′ CB′ 

a) Tìm x ñeå (MNP) // (A′BC′). Khi ñoù haõy tính dieän tích cuûa thieát dieän caét bôûi 

mp(MNP), bieát tam giaùc A′BC′ laø tam giaùc ñeàu caïnh a. 

b) Tìm taäp hôïp trung ñieåm cuûa NP khi x thay ñoåi. 

2 

1 2a 

3 

HD: a) x = ; 

b) Ñoaïn thaúng noái trung ñieåm cuûa CC′ vaø AB. 

3 9 

8. Cho laêng truï ABCD.A′B′C′D′, coù ñaùy laø hình thang vôùi AD = CD = BC = a, AB = 2a 

Maët phaúng (P) qua A caét caùc caïnh BB′, CC′, DD′ laàn löôït taïi M, N, P. 

a) Töù giaùc AMNP laø hình gì? So saùnh AM vaø NP. 

b) Tìm taäp hôïp giao ñieåm cuûa AN vaø MP khi (P) di ñoäng. 

c) CMR: BM + 2DP = 2CN. 

HD: a) Hình thang. AM = 2NP. b) Ñoaïn thaúng song song vôùi caïnh beân. 

c) DP = 5 a . 

4 

2 



CHÖÔNG III: 

VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN 

QUAN HEÄ VUOÂNG GOÙC TRONG KHOÂNG GIAN 

I. VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN 

1. Ñònh nghóa vaø caùc pheùp toaùn 

• Ñònh nghóa, tính chaát, caùc pheùp toaùn veà vectô trong khoâng gian ñöôïc xaây döïng hoaøn 

toaøn töông töï nhö trong maët phaúng. 

• Löu yù: 

 

+ Qui taéc ba ñieåm: Cho ba ñieåm A, B, C baát kyø, ta coù: AB + BC = AC 

 

+ Qui taéc hình bình haønh: Cho hình bình haønh ABCD, ta coù: AB + AD = AC 

 

+ Qui taéc hình hoäp: Cho hình hoäp ABCD.A′B′C′D′, ta coù: AB + AD + AA' = AC ' 

+ Heâï thöùc trung ñieåm ñoaïn 

 

thaúng: Cho I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB, O tuyø yù. 

 

Ta coù: IA + IB = 0 ; OA + OB = 2OI 

+ Heä thöùc troïng taâm tam 

 

giaùc: 

 

Cho 

 

G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC, O tuyø yù. Ta coù: 

 

GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG 

+ Heä thöùc troïng taâm töù 

 

dieän: 

 

Cho 

 

G laø 

 

troïng taâm cuûa töù dieän ABCD, O tuyø yù. Ta coù: 

 

GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG 

 

+ Ñieàu kieän hai vectô cuøng phöông: a vaø b cuøng phöông( a ≠ 0) ⇔ ∃! k ∈ R : b = ka 

+ Ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k (k ≠ 1), O tuyø yù. Ta coù: 

 

OA − kOB 

MA = kMB; 

OM = 

1− 

k 

2. Söï ñoàng phaúng cuûa ba vectô 

• Ba vectô ñöôïc goïi laø ñoàng phaúng neáu caùc giaù cuûa chuùng cuøng song song vôùi moät maët 

phaúng. 

 

• Ñieàu kieän ñeå ba vectô ñoàng phaúng: Cho ba vectô a, b, 

c , trong ñoù a vaø b khoâng cuøng 

phöông. Khi ñoù: a 

, b, 

c 

 

ñoàng phaúng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c = ma + nb 

 

• Cho ba vectô a, b, 

c khoâng ñoàng phaúng, x tuyø yù. 

 

Khi ñoù: ∃! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc 

3. Tích voâ höôùng cuûa hai vectô 

• Goùc giöõa hai vectô trong khoâng gian: 

0 0 

AB = u, AC = v ⇒ ( u, v) = BAC (0 ≤ BAC ≤ 180 ) 

• Tích voâ höôùng cuûa hai vectô trong khoâng gian: 

 

+ Cho u, v ≠ 0 

 

. Khi ñoù: u . v = u . v .cos( u , v 

) 

 

+ Vôùi u = 0 hoaëc v = 0 . Qui öôùc: u. v = 0 

+ u ⊥ v ⇔ u . v 

= 0 




VAÁN ÑEÀ 1: Chöùng minh moät ñaúng thöùc vectô. 

Döïa vaøo qui taéc caùc pheùp toaùn veà vectô vaø caùc heä thöùc vectô. 

1. Cho töù dieän ABCD. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD, I laø trung ñieåm cuûa 

EF. 

 

a) Chöùng minh: IA + IB + IC + ID = 0 . 

 

b) Chöùng minh: MA + MB + MC + MD = 4MI 

, vôùi M tuyø yù. 

 

c) Tìm ñieåm M thuoäc maët phaúng coá ñònh (P) sao cho: MA + MB + MC + MD nhoû nhaát. 

2. Chöùng minh raèng trong moät töù dieän baát kì, caùc ñoaïn thaúng noái trung ñieåm cuûa caùc caïnh 

ñoái ñoàng qui taïi trung ñieåm cuûa chuùng. (Ñieåm ñoàng qui ñoù ñöôïc goïi laø troïng taâm cuûa töù 

dieän) 

3. Cho töù dieän ABCD. Goïi A′, B′, C′, D′ laàn löôït laø caùc ñieåm chia caùc caïnh AB, BC, CD, 

DA theo tæ soá k (k ≠ 1). Chöùng minh raèng hai töù dieän ABCD vaø A′B′C′D′ coù cuøng troïng 

taâm. 

VAÁN ÑEÀ 2: Chöùng minh ba vectô ñoàng phaúng. 

Phaân tích moät vectô theo ba vectô khoâng ñoàng phaúng 

• Ñeå chöùng minh ba vectô ñoàng phaúng, ta coù theå chöùng minh baèng moät trong caùc caùch: 

+ Chöùng minh caùc giaù cuûa ba vectô cuøng song song vôùi moät maët phaúng. 

+ Döïa vaøo ñieàu kieän ñeå ba vectô ñoàng phaúng: 

 

Neáu coù m, n ∈ R: c = ma + nb 

 

thì a, b, 

c ñoàng phaúng 

• Ñeå phaân tích moät vectô x 

theo ba vectô a, b, 

c khoâng ñoàng phaúng, ta tìm caùc soá m, n, p 

 

sao cho: x = ma + nb + pc 

1. Cho tam giaùc ABC. Laáy ñieåm S naèm ngoaøi maët phaúng (ABC). Treân ñoaïn SA laáy ñieåm M 

 

1 

sao cho MS = −2MA 

vaø treân ñoaïn BC laáy ñieåm N sao cho NB = − NC . Chöùng minh 

 

2 

raèng ba vectô AB, MN, 

SC ñoàng phaúng. 

2 1 

HD: Chöùng minh MN = AB + SC . 

3 3 

2. Cho hình hoäp ABCD.EFGH. Goïi M, N, I, J, K, L laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AE, 

CG, AD, DH, GH, FG; P 

 

vaø Q 

 

laàn 

 

löôït laø trung ñieåm cuûa NG vaø JH. 

a) Chöùng minh ba vectô MN, FH, 

PQ ñoàng phaúng. 

 

b) Chöùng minh ba vectô IL, JK, 

AH ñoàng phaúng. 

 

HD: a) MN, FH, 

PQ coù giaù cuøng song song vôùi (ABCD). 

 

b) IL, JK, 

AH coù giaù cuøng song song vôùi (BDG). 

3. Cho hình laêng truï ABC.DEF. Goïi G, H, I, J, K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AE, EC, CD, 

BC, BE. 

 

a) Chöùng minh ba vectô AJ, GI, 

HK ñoàng phaúng. 

FM CN 1 

b) Goïi M, N laàn löôït laø hai ñieåm treân AF vaø CE sao cho = = . Caùc ñöôøng thaúng 

FA CE 3 

veõ 

 

töø 

 

M vaø 

 

N song song vôùi CF laàn löôït caét DF vaø EF taïi P vaø Q. Chöùng minh ba vectô 

MN, PQ, 

CF ñoàng phaúng. 



4. Cho hình hoäp ABCD.A′B′C′D′. Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa CD vaø DD′; G vaø 

G′ laàn löôït laø troïng taâm cuûa caùc töù dieän A′D′MN vaø BCC′D′. Chöùng minh raèng ñöôøng 

thaúng GG′ vaø maët phaúng (ABB′A′) song song vôùi nhau. 

1 

HD: Chöùng minh GG ' = ( 5 AB − AA' 

) ⇒ AB, AA', GG ' ñoàng phaúng. 

8 

5. Cho ba vectô a 

, b, 

c 

khoâng ñoàng phaúng vaø vectô d . 

 

a) Cho d = ma + nb vôùi m vaø n ≠ 0. Chöùng minh caùc boä ba vectô sau khoâng ñoàng phaúng: 

 

 

i) b, c, 

d 

ii) a, c, 

d 

 

b) Cho d = ma + nb + pc vôùi m, n vaø p ≠ 0. Chöùng minh caùc boä ba vectô sau khoâng ñoàng 

 

 

 

phaúng: i) a, b, 

d 

ii) b, c, 

d 

iii) a, c, 

d 

HD: Söû duïng phöông phaùp phaûn chöùng. 

 

6. Cho ba vectô a, b, 

c khaùc 0 vaø ba soá thöïc m, n, p ≠ 0. Chöùng minh raèng ba vectô 

 

x = ma − nb, y = pb − mc, 

z = nc − pa ñoàng phaúng. 

 

HD: Chöùng minh px + ny + mz = 0 

 

. 

 

7. Cho hình laêng truï tam giaùc ABC.A′B′C′ coù AA' = a, 

AB = b, 

 

AC = c . Haõy phaân tích caùc 

 

 

vectô B' C, BC ' theo caùc vectô a, b, 

c . 

 

 

HD: a) B' 

C = c − a − b 

b) BC ' = a + c − b . 

8. Cho töù dieän OABC. 

 

Goïi G laø troïng taâm 

 

cuûa 

 

tam giaùc ABC. 

a) Phaân tích vectô OG theo caùc ba OA, OB, 

OC . 

 

b) Goïi D laø troïng taâm cuûa töù dieän OABC. Phaân tích vectô OD theo ba vectô 

 

OA, OB, 

OC . 

 

HD: a) 1 

 

OG = ( OA + OB + OC) 

b) 1 

OD = ( OA + OB + OC) 

. 

3 

4 

9. Cho hình hoäp OABC.DEFG. 

 

Goïi 

 

I laø taâm cuûa hình 

 

hoäp. 

 

a) Phaân tích hai vectô OI vaø AG theo ba vectô OA, OC, 

OD . 

 

 

b) Phaân tích vectô BI theo ba vectô FE, FG, 

FI . 

 

HD: a) 1 

OI = ( OA + OC + OD) 

, AG = − OA + OC + OD . b) BI = FE + FG − FI . 

2 

10. Cho hình laäp phöông 

 

ABCD.EFGH. 

 

a) Phaân tích vectô AE theo ba vectô AC, AF, 

AH . 

 

 

b) Phaân tích vectô AG theo ba vectô AC, AF, 

AH . 

 

HD: a) 1 

 

AE = ( AF + AH − AC) 

b) 1 

AG = ( AF + AH + AC) 

. 

2 

2 

VAÁN ÑEÀ 3: Tích voâ höôùng cuûa hai vectô trong khoâng gian 

1. Cho hình laäp phöông ABCD.A′B′C′D′. 

 

a) Xaùc ñònh goùc giöõa caùc caëp vectô: AB vaø A' C ' , AB vaø A' D ' , AC ' vaø BD . 

 

b) Tính caùc tích voâ höôùng cuûa caùc caëp vectô: AB vaø A' C ' , AB vaø A' D ' , AC ' vaø BD . 

2. Cho hình töù dieän ABCD, trong ñoù 

 

AB ⊥ 

 

BD. 

 

Goïi 

 

P vaø Q laø caùc ñieåm laàn löôït 

 

thuoäc 

 

caùc 

ñöôøng thaúng AB vaø CD sao cho PA = kPB, 

QC = kQD (k ≠ 1). Chöùng minh AB ⊥ PQ . 




II. HAI ÑÖÔØNG THAÚNG VUOÂNG GOÙC 

 

1. Vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng: a ≠ 0 

 

laø VTCP cuûa d neáu giaù cuûa a song song hoaëc 

truøng vôùi d. 

2. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng: 

• a′//a, b′//b ⇒ ( a 

 

, b) = ( a 

 

', b' 

) 

• Giaû söû u laø VTCP cuûa a, v 

laø VTCP cuûa b, ( u, v ) = α . 

0 0 

Khi ñoù: ( ) 

⎧⎪ α neáu 0 ≤ α ≤ 180 

a, 

b = ⎨ 

⎪⎩ 180 − α neáu 90 < α ≤ 180 

• Neáu a//b hoaëc a ≡ b thì ( ) 

0 

a, b = 0 

0 

Chuù yù: ( ) 

0 

0 ≤ a, b ≤ 90 

0 0 0 

3. Hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc: 

• a ⊥ b ⇔ ( ) 

0 

a, b = 90 


laø VTCP cuûa b. Khi ñoù a ⊥ b ⇔ u. v = 0 . 

• Löu yù: Hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi nhau coù theå caét nhau hoaëc cheùo nhau. 

VAÁN ÑEÀ 1: Chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc 

Phöông phaùp: Coù theå söû duïng 1 trong caùc caùch sau: 

1. Chöùng minh goùc giöõa hai ñöôøng thaúng ñoù baèng 90 0 . 

2. Chöùng minh 2 vectô chæ phöông cuûa 2 ñöôøng thaúng ñoù vuoâng goùc vôùi nhau. 

3. Söû duïng caùc tính chaát cuûa hình hoïc phaúng (nhö ñònh lí Pi–ta–go, …). 

1. Cho hình choùp tam giaùc S.ABC coù SA = SB = SC vaø ASB = BSC = CSA 

. Chöùng minh 

raèng SA ⊥ BC, SB 

 

⊥ 

 

AC, SC ⊥ AB. 

HD: Chöùng minh SA. 

BC = 0 

2. Cho töù dieän ñeàu ABCD, caïnh baèng a. Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ∆BCD. 

a) Chöùng minh AO vuoâng goùc vôùi CD. 

b) Goïi M laø trung ñieåm cuûa CD. Tính goùc giöõa AC vaø BM. 

HD: b) 

3 

cos( AC, BM ) = . 

6 

3. Cho töù dieän ABCD coù AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. 

a) CMR ñoaïn noái trung ñieåm caùc caëp caïnh ñoái dieän thì vuoâng goùc vôùi 2 caïnh ñoù. 

b) Tính goùc hôïp bôûi caùc caïnh ñoái cuûa töù dieän. 

2 2 2 2 2 2 

a − c b − c a − b 

HD: b) arccos ; arccos ; arccos . 

2 2 2 

b a c 

4. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh vôùi AB = a, AD = 2a, SAB laø tam giaùc 

vuoâng caân taïi A, M laø ñieåm treân caïnh AD (M ≠ A vaø D). Maët phaúng (P) qua M song song 

vôùi mp(SAB) caét BC, SC, SD laàn löôït taïi N, P, Q. 

a) Chöùng minh MNPQ laø hình thang vuoâng. 

b) Ñaët AM = x. Tính dieän tích cuûa MNPQ theo a vaø x. 

5. Cho hình hoäp ABCD.A′B′C′D′ coù taát caû caùc caïnh ñeàu baèng nhau. Chöùng minh raèng AC ⊥ 

B′D′, AB′ ⊥ CD′, AD′ ⊥ CB′. 



III. ÑÖÔØNG THAÚNG VUOÂNG GOÙC VÔÙI MAËT PHAÚNG 


d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P) 

2. Ñieàu kieän ñeå ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng 

a, b ( P), 

a b O 

⎨ ⎧ ⊂ ∩ = ⇒ d ⊥ ( P ) 

⎩d ⊥ a, 

d ⊥ b 


• Maët phaúng trung tröïc cuûa moät ñoaïn thaúng laø maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñoaïn thaúng taïi 

trung ñieåm cuûa noù. 

Maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng laø taäp hôïp caùc ñieåm caùch ñeàu hai ñaàu muùt cuûa ñoaïn 

thaúng ñoù. 

⎧ a⁄⁄ 

b 

• ⎨ ⇒ ( P) 

⊥ b 

• 

⎧ a ≠ b 

⎨ ⇒ a⁄⁄ 

b 

⎩( P) 

⊥ a 

⎩a ⊥ ( P), b ⊥ ( P) 

⎧ ( P) ⁄⁄ ( Q) 

⎧( P) ≠ ( Q) 

• ⎨ ⇒ a ⊥ ( Q) 

• ⎨ 

⇒ ( P) ⁄⁄( Q) 

⎩a 

⊥ ( P) 

⎩( P) ⊥ a,( Q) 

⊥ a 

⎧ a⁄⁄ 

( P) 

a ( P) 

• ⎨ ⇒ b ⊥ a 

• ⎨ ⎧ ⊄ ⇒ a⁄⁄( 

P) 

⎩b 

⊥ ( P) 

⎩a ⊥ b,( P) 

⊥ b 

4. Ñònh lí ba ñöôøng vuoâng goùc 

Cho a ⊥ ( P), b ⊂ ( P) 

, a′ laø hình chieáu cuûa a treân (P). Khi ñoù b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′ 

5. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng 

• Neáu d ⊥ (P) thì d 

 

,( P ) = 90 0 . 

• Neáu d ⊥ ( P) 

thì d P = ( d 

 

, d ') 

vôùi d′ laø hình chieáu cuûa d treân (P). 

Chuù yù: 0 0 ≤ 

( ) 

( 

,( )) 

( 

,( )) 

d P ≤ 90 0 . 

VAÁN ÑEÀ 1: Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng 

Chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc 

* Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng 

Ñeå chöùng minh d ⊥ (P), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau: 

• Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi hai ñöôøng thaúng a, b caét nhau naèm trong (P). 

• Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi (Q) vaø (Q) // (P). 

• Chöùng minh d // a vaø a ⊥ (P). 

* Chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc 

Ñeå chöùng minh d ⊥ a, ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau: 

• Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi (P) vaø (P) chöùa a. 

• Söû duïng ñònh lí ba ñöôøng vuoâng goùc. 

• Söû duïng caùc caùch chöùng minh ñaõ bieát ôû phaàn tröôùc. 

1. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng taâm O. SA ⊥ (ABCD). Goïi H, I, K laàn löôït 

laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SB, SC, SD. 

a) CMR: BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC). 

b) CMR: AH, AK cuøng vuoâng goùc vôùi SC. Töø ñoù suy ra 3 ñöôøng thaúng AH, AI, AK cuøng 

naèm trong moät maët phaúng. 

c) CMR: HK ⊥ (SAC). Töø ñoù suy ra HK ⊥ AI. 




2. Cho töù dieän SABC coù tam giaùc ABC vuoâng taïi B; SA ⊥ (ABC). 

a) Chöùng minh: BC ⊥ (SAB). 

b) Goïi AH laø ñöôøng cao cuûa ∆SAB. Chöùng minh: AH ⊥ SC. 

3. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình thoi taâm O. Bieát: SA = SC, SB = SD. 

a) Chöùng minh: SO ⊥ (ABCD). 

b) Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh BA, BC. CMR: IJ ⊥ (SBD). 

4. Cho töù dieän ABCD coù ABC vaø DBC laø 2 tam giaùc ñeàu. Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC. 

a) Chöùng minh: BC ⊥ (AID). 

b) Veõ ñöôøng cao AH cuûa ∆AID. Chöùng minh: AH ⊥ (BCD). 

5. Cho töù dieän OABC coù OA, OB, OC ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau. Goïi H laø hình chieáu 

vuoâng goùc cuûa ñieåm O treân mp(ABC). Chöùng minh raèng: 

a) BC ⊥ (OAH). 

b) H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABC. 

1 1 1 1 

c) = + + . 

2 2 2 2 

OH OA OB OC 

d) Caùc goùc cuûa tam giaùc ABC ñeàu nhoïn. 

6. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a. Maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu; 

SAD laø tam giaùc vuoâng caân ñænh S. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD. 

a) Tính caùc caïnh cuûa ∆SIJ vaø chöùng minh raèng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB). 

b) Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa S treân IJ. CMR: SH ⊥ AC. 

c) Goïi M laø moät ñieåm thuoäc ñöôøng thaúng CD sao cho: BM ⊥ SA. Tính AM theo a. 

3 

HD: a) a, 

a , 

a 

a 5 

c) 

2 2 

2 

7. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu vaø SC 

= a 2 . Goïi H vaø K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AD. 

a) CMR: SH ⊥ (ABCD). 

b) Chöùng minh: AC ⊥ SK vaø CK ⊥ SD. 

8. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình chöõ nhaät coù AB = a, BC = a 3 , maët beân SBC 

vuoâng taïi B, maët beân SCD vuoâng taïi D coù SD = a 5 . 

a) Chöùng minh: SA ⊥ (ABCD) vaø tính SA. 

b) Ñöôøng thaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi AC, caét caùc ñöôøng thaúng CB, CD laàn löôït taïi I, J. 

Goïi H laø hình chieáu cuûa A treân SC. Haõy xaùc ñònh caùc giao ñieåm K, L cuûa SB, SD vôùi 

mp(HIJ). CMR: AK ⊥ (SBC), AL ⊥ (SCD). 

c) Tính dieän tích töù giaùc AKHL. 

8a HD: a) a 2 . c) . 

15 

9. Goïi I laø 1 ñieåm baát kì ôû trong ñöôøng troøn (O;R). CD laø daây cung cuûa (O) qua I. Treân 

ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng chöùa ñöôøng troøn (O) taïi I ta laáy ñieåm S vôùi OS = 

R. Goïi E laø ñieåm ñoái taâm cuûa D treân ñöôøng troøn (O). Chöùng minh raèng: 

a) Tam giaùc SDE vuoâng taïi S. 

b) SD ⊥ CE. 

c) Tam giaùc SCD vuoâng. 

10. Cho ∆MAB vuoâng taïi M ôû trong maët phaúng (P). Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi (P) taïi 

A ta laáy 2 ñieåm C, D ôû hai beân ñieåm A. Goïi C′ laø hình chieáu cuûa C treân MD, H laø giao 

ñieåm cuûa AM vaø CC′. 

a) Chöùng minh: CC′ ⊥ (MBD). 


2


b) Goïi K laø hình chieáu cuûa H treân AB. CMR: K laø tröïc taâm cuûa ∆BCD. 

11. Cho hình töù dieän ABCD. 

a) Chöùng minh raèng: AB ⊥ CD ⇔ AC 2 – AD 2 = BC 2 – BD 2 . 

b) Töø ñoù suy ra neáu moät töù dieän coù 2 caëp caïnh ñoái vuoâng goùc vôùi nhau thì caëp caïnh ñoái 

coøn laïi cuõng vuoâng goùc vôùi nhau. 

VAÁN ÑEÀ 2: Tìm thieát dieän qua moät ñieåm vaø vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng 

Phöông phaùp: Tìm 2 ñöôøng thaúng caét nhau cuøng vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ñaõ cho, khi ñoù maët 

phaúng caét seõ song song (hoaëc chöùa) vôùi 2 ñöôøng thaúng aáy. 

1. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình thang vuoâng taïi A vaø B vôùi AB = BC = a, AD = 

2a; SA ⊥ (ABCD) vaø SA = 2a. Goïi M laø 1 ñieåm treân caïnh AB. Maët phaúng (P) qua M vaø 

vuoâng goùc vôùi AB. Ñaët AM = x (0 < x < a). 

a) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (P). Thieát dieän laø hình gì? 

b) Tính dieän tích thieát dieän theo a vaø x. 

HD: a) Hình thang vuoâng b) S = 2a(a – x). 

2. Cho töù dieän SABC, coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a; SA ⊥ (ABC) vaø SA = 2a. Maët phaúng 

(P) qua B vaø vuoâng goùc vôùi SC. Tìm thieát dieän cuûa töù dieän vôùi (P) vaø tính dieän tích cuûa 

thieát dieän naøy. 

a 

2 15 

HD: S = . 

20 

3. Cho töù dieän SABC vôùi ABC laø tam giaùc vuoâng caân ñænh B, AB = a. SA ⊥ (ABC) vaø SA = 

a 3 . M laø 1 ñieåm tuyø yù treân caïnh AB, ñaët AM = x (0 < x < a). Goïi (P) laø maët phaúng qua 

M vaø vuoâng goùc vôùi AB. 

a) Tìm thieát dieän cuûa töù dieän vôùi (P). 

b) Tính dieän tích cuûa thieát dieän ñoù theo a vaø x. Tìm x ñeå dieän tích thieát dieän coù giaù trò lôùn 

nhaát. 

HD: b) S = 3 x(a – x); S lôùn nhaát khi x = 2 

a . 

4. Cho hình töù dieän SABC vôùi ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a, SA ⊥ (ABC) vaø SA = a. Tìm 

thieát dieän cuûa töù dieän vôùi maët phaúng (P) vaø tính dieän tích thieát dieän trong caùc tröôøng hôïp 

sau: 

a) (P) qua S vaø vuoâng goùc vôùi BC. 

b) (P) qua A vaø vuoâng goùc vôùi trung tuyeán SI cuûa tam giaùc SBC. 

c) (P) qua trung ñieåm M cuûa SC vaø vuoâng goùc vôùi AB. 

HD: a) 

2 

a 3 

. b) 

4 

2 

2a 

21 

49 

. c) 

2 

5a 

3 

32 

5. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, SA ⊥ (ABCD) vaø SA = a 2 . Veõ 

ñöôøng cao AH cuûa tam giaùc SAB. 

SH 2 

a) CMR: 

SB = 3 

b) Goïi (P) laø maët phaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi SB. (P) caét hình choùp theo thieát dieän laø 

hình gì? Tính dieän tích thieát dieän. HD: b) S = 

. 

2 

5a 

6 

18 




VAÁN ÑEÀ 3: Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng 

Phöông phaùp: Xaùc ñònh goùc giöõa ñöôøng thaúng a vaø maët phaúng (P). 

• Tìm giao ñieåm O cuûa a vôùi (P). 

• Chon ñieåm A ∈ a vaø döïng AH ⊥ (P). Khi ñoù AOH 

= ( a ,( P)) 

1. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, taâm O; SO ⊥ (ABCD). Goïi 

M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh SA vaø BC. Bieát 

0 

( MN,( ABCD )) = 60 . 

a) Tính MN vaø SO. 

b) Tính goùc giöõa MN vaø (SBD). 

a 10 a 30 

HD: a) MN = ; SO = 

b) sin 5 

( MN,( SBD )) = . 

2 

2 

5 

2. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a; SA ⊥ (ABCD) vaø SA = 

a 6 . Tính goùc giöõa: 

a) SC vaø (ABCD) b) SC vaø (SAB) c) SB vaø (SAC) d) AC vaø (SBC) 

HD: a) 60 0 b) arctan 1 c) arcsin 1 d) arcsin 21 

7 

14 

7 . 

3. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät; SA ⊥ (ABCD). Caïnh SC = a hôïp 

vôùi ñaùy goùc α vaø hôïp vôùi maët beân SAB goùc β. 

a) Tính SA. 

b) CMR: AB = a cos( α + β ).cos( α − β ) . 

HD: 

a) a.sinα 

4. Cho hình choùp SABC, coù ABC laø tam giaùc caân, AB = AC = a, BAC = α . Bieát SA, SB, SC 

ñeàu hôïp vôùi maët phaúng (ABC) goùc α. 

a) CMR: hình chieáu cuûa S treân mp(ABC) laø taâm cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ∆ABC. 

b) Tính khoaûng caùch töø S ñeán mp(ABC). 

α 

a.sin HD: b) 2 

cosα . 

5. Cho laêng truï ABC.A′B′C′, coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a, AA′ ⊥ (ABC). Ñöôøng cheùo BC′ 

cuûa maët beân BCC′B′ hôïp vôùi (ABB′A′) goùc 30 0 . 

a) Tính AA′. 

b) Tính khoaûng caùch töø trung ñieåm M cuûa AC ñeán (BA′C′). 

c) Goïi N laø trung ñieåm cuûa caïnh BB′. Tính goùc giöõa MN vaø (BA′C′). 

a 66 

HD: a) a 2 . b) . c) arcsin 54 


55 . 

6. Cho laêng truï ABC.A′B′C′, coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân taïi A; AA′ ⊥ (ABC). Ñoaïn 

noái trung ñieåm M cuûa AB vaø trung ñieåm N cuûa B′C′ coù ñoä daøi baèng a, MN hôïp vôùi ñaùy 

goùc α vaø maët beân BCC′B′ goùc β. 

a) Tính caùc caïnh ñaùy vaø caïnh beân cuûa laêng truï theo a vaø α. 

b) Chöùng minh raèng: cosα = 2 sinβ. 

HD: a) AB = AC = 2a.cosα; BC = 2a 2 cosα; AA′ = a.sinα. 



IV. HAI MAËT PHAÚNG VUOÂNG GOÙC 

1. Goùc giöõa hai maët phaúng 

⎧a 

⊥ ( P) 

• 

(( 

),( )) ( 

⎨ ⇒ P Q = a, 

b) 

⎩b 

⊥ ( Q) 

⎧a ⊂ ( P), 

a ⊥ c 

• Giaû söû (P) ∩ (Q) = c. Töø I ∈ c, döïng ⎨ ⇒ 

⎩b ⊂ ( Q), 

b ⊥ c 

Chuù yù: 0 0 ≤ ( 

 

P),( Q) ≤ 90 

0 

( ) 

(( 

P),( Q) ) = a 

 

, b 

( ) 

2. Dieän tích hình chieáu cuûa moät ña giaùc 

Goïi S laø dieän tích cuûa ña giaùc (H) trong (P), S′ laø dieän tích cuûa hình chieáu (H′) cuûa (H) 

treân (Q), ϕ = ( 

 

P),( Q ) . Khi ñoù: S′ = S.cosϕ 

( ) 

3. Hai maët phaúng vuoâng goùc 

• (P) ⊥ (Q) ⇔ ( 

 

P),( Q ) = 90 

( ) 

0 

• Ñieàu kieän ñeå hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi nhau: 


( P) ( Q),( P) ( Q) 

c 

• ⎨ ⎧ ⊥ ∩ = ⇒ a ⊥ ( Q) 

⎩a ⊂ ( P), 

a ⊥ c 

⎧( P) ∩ ( Q) 

= a 

⎪ 

• ⎨( P) ⊥ ( R) ⇒ a ⊥ ( R) 

⎪⎩ 

( Q) ⊥ ( R) 

⎧( P) 

⊃ a 

⎨ ⇒ ( P) ⊥ ( Q) 

⎩a 

⊥ ( Q) 

⎧( P) ⊥ ( Q) 

⎪ 

• ⎨A ∈ ( P) ⇒ a ⊂ ( P) 

⎪⎩ 

a ∋ A, a ⊥ ( Q) 

VAÁN ÑEÀ 1: Goùc giöõa hai maët phaúng 

Phöông phaùp: Muoán tìm goùc giöõa hai maët phaúng (P) vaø (Q) ta coù theå söû duïng moät trong caùc 

caùch sau: 

• Tìm hai ñöôøng thaúng a, b: a ⊥ (P), b ⊥ (Q). Khi ñoù: ( 

 

P),( Q) = ( a, 

b) 

. 

• Giaû söû (P) ∩ (Q) = c. Töø I ∈ c, döïng 

⎧a ⊂ ( P), 

a ⊥ c 

⎨ 

⎩b ⊂ ( Q), 

b ⊥ c 

( ) 

⇒ (( 

P),( Q) ) = ( a 

 

, b) 

1. Cho hình choùp SABC, coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân vôùi BA = BC = a; SA ⊥ (ABC) 

vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AC. 

a) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SAC) vaø (SBC). 

b) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SEF) vaø (SBC). 

HD: a) (( 

SAC),( SBC )) 

= 60 0 b) cos 3 

(( SEF),( SBC )) = . 


2. Cho hình vuoâng ABCD caïnh a, taâm O; SA ⊥ (ABCD). Tính SA theo a ñeå soá ño cuûa goùc 

giöõa hai maët phaúng (SCB) vaø (SCD) baèng 60 0 . 

HD: SA = a. 

3. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø nöûa luïc giaùc ñeàu noäi tieáp ñöôøng troøn ñöôøng 

kính AB = 2a; SA ⊥ (ABCD) vaø SA = a 3 . 

a) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SAD) vaø (SBC). 

b) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SBC) vaø (SCD). 




HD: 

a) tan(( SAD),( SBC )) = 7 b) cos 10 

(( SBC),( SCD )) = . 

5 

4. Cho hình vuoâng ABCD caïnh a, SA ⊥ (ABCD) vaø SA = a 3 . Tính goùc giöõa caùc caëp maët 

phaúng sau: 

a) (SBC) vaø (ABC) b) (SBD) vaø (ABD) c) (SAB) vaø (SCD) 

HD: a) 60 0 b) arctan 6 c) 30 0 . 

5. Cho hình thoi ABCD caïnh a, taâm O, OB = 

a 3 

3 

a) Chöùng minh ASC vuoâng. 

b) Chöùng minh hai maët phaúng (SAB) vaø (SAD) vuoâng goùc. 

c) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SBC) vaø (ABC). 

HD: c) 60 0 . 

; SA ⊥ (ABCD) vaø SO = 

6. Cho hình choùp SABCD coù SA ⊥ (ABCD) vaø SA = a 2 , ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng 

taïi A vaø D vôùi AB = 2a, AD = DC = a. Tính goùc giöõa caùc caëp maët phaúng: 

a) (SBC) vaø (ABC) b) (SAB) vaø (SBC) c) (SBC) vaø (SCD) 

HD: a) 45 0 b) 60 0 c) arccos 

6 

3 . 

a 6 

3 

. 

VAÁN ÑEÀ 2: Chöùng minh hai maët phaúng vuoâng goùc. 

Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng. 

* Chöùng minh hai maët phaúng vuoâng goùc 

Ñeå chöùng minh (P) ⊥ (Q), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau: 

• Chöùng minh trong (P) coù moät ñöôøng thaúng a maø a ⊥ (Q). 

• Chöùng minh ( 

 

P),( Q ) = 90 

( ) 

0 

* Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng 


• Chöùng minh d ⊂ (Q) vôùi (Q) ⊥ (P) vaø d vuoâng goùc vôùi giao tuyeán c cuûa (P) vaø (Q). 

• Chöùng minh d = (Q) ∩ (R) vôùi (Q) ⊥ (P) vaø (R) ⊥ (P). 

• Söû duïng caùc caùch chöùng minh ñaõ bieát ôû phaàn tröôùc. 

1. Cho tam giaùc ñeàu ABC, caïnh a. Goïi D laø ñieåm ñoái xöùng vôùi A qua BC. Treân ñöôøng thaúng 

vuoâng goùc vôi mp(ABC) taïi D laáy ñieåm S sao cho SD = a 6 . Chöùng minh hai maët phaúng 

(SAB) vaø (SAC) vuoâng goùc vôùi nhau. 

2. Cho hình töù dieän ABCD coù hai maët ABC vaø ABD cuøng vuoâng goùc vôùi ñaùy DBC. Veõ caùc 

ñöôøng cao BE, DF cuûa ∆BCD, ñöôøng cao DK cuûa ∆ACD. 

a) Chöùng minh: AB ⊥ (BCD). 

b) Chöùng minh 2 maët phaúng (ABE) vaø (DFK) cuøng vuoâng goùc vôùi mp(ADC). 

c) Goïi O vaø H laàn löôït laø tröïc taâm cuûa 2 tam giaùc BCD vaø ADC. CMR: OH ⊥ (ADC). 

3. Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng, SA ⊥ (ABCD). 

a) Chöùng minh (SAC) ⊥ (SBD). 

b) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SAD) vaø (SCD). 

c) Goïi BE, DF laø hai ñöôøng cao cuûa ∆SBD. CMR: (ACF) ⊥ (SBC), (AEF) ⊥ (SAC). 

HD: b) 90 0 . 



4. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA ⊥ (ABCD). Goïi M, N laø 

a 3a 2 ñieåm laàn löôït ôû treân 2 caïnh BC, DC sao cho BM = , DN = . Chöùng minh 2 maët 

2 4 

phaúng (SAM) vaø (SMN) vuoâng goùc vôùi nhau. 

5. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A. Veõ BB′ vaø CC′ cuøng vuoâng goùc vôùi mp(ABC). 

a) Chöùng minh (ABB′) ⊥ (ACC′). 

b) Goïi AH, AK laø caùc ñöôøng cao cuûa ∆ABC vaø ∆AB′C′. Chöùng minh 2 maët phaúng 

(BCC′B′) vaø (AB′C′) cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng (AHK). 

6. Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu 

vaø vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB. 

a) Chöùng minh raèng SI ⊥ (ABCD), AD ⊥ (SAB). 

b) Tính goùc giöõa BD vaø mp(SAD). 

c) Tính goùc giöõa SD vaø mp(SCI). 

HD: b) arcsin 6 c) arcsin 10 

4 

5 

7. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AB = c, AC = b. Goïi (P) laø maët phaúng qua BC vaø 

vuoâng goùc vôùi mp(ABC); S laø 1 ñieåm di ñoäng treân (P) sao cho SABC laø hình choùp coù 2 

π 

maët beân SAB, SAC hôïp vôùi ñaùy ABC hai goùc coù soá ño laàn löôït laø α vaø − α . Goïi H, I, J 

2 

laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa S treân BC, AB, AC.. 

a) Chöùng minh raèng: SH 2 = HI.HJ. 

b) Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa SH vaø khi ñoù haõy tìm giaù trò cuûa α. 

HD: b) SH max = 1 c 

bc; α = arctan 

2 

b 

8. Cho hình töù dieän ABCD coù AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìm heä thöùc lieân 

heä giöõa a, b, x, y ñeå: 

a) Maët phaúng (ABC) ⊥ (BCD). 

b) Maët phaúng (ABC) ⊥ (ACD). 

2 

HD: a) x 2 – y 2 b 

+ = 0 b) x 2 – y 2 + b 2 – 2a 2 = 0 

2 

9. Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA ⊥ (ABCD) ; M vaø N laø hai 

ñieåm naèm treân caùc caïnh BC, CD. Ñaët BM = x, DN = y. 

a) Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai maët phaúng (SAM) vaø (SMN) vuoâng goùc 

vôùi nhau laø MN ⊥ (SAM). Töø ñoù suy ra heä thöùc lieân heä giöõa x vaø y. 

b) Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå goùc giöõa hai maët phaúng (SAM) vaø (SAN) coù 

soá ño baèng 30 0 laø a(x + y) + 3 xy = a 2 3 . 

HD: a) a 2 – a(x + y) + x 2 = 0 

10. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi taâm I caïnh a vaø coù goùc A baèng 60 0 , 

a 6 

caïnh SC = vaø SC ⊥ (ABCD). 

2 

a) Chöùng minh (SBD) ⊥ (SAC). 

b) Trong tam giaùc SCA keû IK ⊥ SA taïi K. Tính ñoä daøi IK. 

c) Chöùng minh BKD = 90 

0 vaø töø ñoù suy ra (SAB) ⊥ (SAD). 

a 

HD: b) IK = . 

2 




VAÁN ÑEÀ 3: Tính dieän tích hình chieáu cuûa ña giaùc 

Phöông phaùp: Goïi S laø dieän tích cuûa ña giaùc (H) trong (P), S′ laø dieän tích cuûa hình chieáu (H′) 

cuûa (H) treân (Q), ϕ = ( 

 


( ) 

1. Cho hình thoi ABCD coù ñænh A ôû trong maët phaúng (P), caùc ñænh khaùc khoâng ôû trong (P), 

BD = a, AC = a 2 . Chieáu vuoâng goùc hình thoi leân maët phaúng (P) ta ñöôïc hình vuoâng 

AB′C′D′. 

a) Tính dieän tích cuûa ABCD vaø AB′C′D′. Suy ra goùc giöõa (ABCD) vaø (P). 

b) Goïi E vaø F laàn löôït laø giao ñieåm cuûa CB, CD vôùi (P). Tính dieän tích cuûa töù giaùc EFDB 

vaø EFD′B′. 

HD: a) 450 b) S EFDB = 

2 

3a 

2 

4 

; S EFD′B′ = 

2. Cho tam giaùc caân ABC coù ñöôøng cao AH = a 3 , ñaùy BC = 3a; BC ⊂ (P). Goïi A′ laø hình 

chieáu cuûa A treân (P). Khi ∆A′BC vuoâng taïi A′, tính goùc giöõa (P) vaø (ABC). 

HD: 30 0 

3. Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a, naèm trong maët phaúng (P). Treân caùc ñöôøng thaúng vuoâng 

a 2 

goùc vôùi (P) veõ töø B vaø C laáy caùc ñoaïn BD = , CE = a 2 naèm cuøng moät beân ñoái vôùi 

2 

(P). 

a) Chöùng minh tam giaùc ADE vuoâng. Tính dieän tích cuûa tam giaùc ADE. 

b) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (ADE) vaø (P). 

2 

3a 

3 

HD: a) 

b) arccos 

4 

3 

4. Cho hình choùp SABC coù caùc maët beân hôïp vôùi ñaùy moät goùc ϕ. 

a) Chöùng minh hình chieáu cuûa S treân mp(ABC) laø taâm cuûa ñöôøng troøn noäi tieáp ∆ABC. 

ABC 

b) Chöùng minh: S ∆SAB + S ∆SBC + S ∆SCA = cos ϕ 

S △ 

5. Cho töù dieän SABC coù SA, SB, SC ñoâi moät vuoâng goùc. Goïi H laø tröïc taâm cuûa ∆ABC. 

Chöùng minh raèng: 

a) SH ⊥ (ABC). 

b) (S SBC ) 2 = S ABC .S HBC . Töø ñoù suy ra: (S ABC ) 2 = (S SAB ) 2 + (S SBC ) 2 +(S SCA ) 2 . 

6. Trong maët phaúng (P) cho ∆OAB vuoâng taïi O, AB = 2a, OB = a. Treân caùc tia vuoâng goùc 

vôùi (P) veõ töø A vaø B vaø ôû veà cuøng moät beân ñoái vôùi (P), laáy AA′ = a, BB′ = x. 

a) Ñònh x ñeå tam giaùc OA′B′ vuoâng taïi O. 

b) Tính A′B′, OA′, OB′ theo a vaø x. Chöùng toû tam giaùc OA′B′ khoâng theå vuoâng taïi B′. 

Ñònh x ñeå tam giaùc naøy vuoâng taïi A′. 

c) Cho x = 4a. Veõ ñöôøng cao OC cuûa ∆OAB. Chöùng minh raèng CA′ ⊥ A′B′. Tính goùc giöõa 

hai maët phaúng (OA′B′) vaø (P). 

HD: a) x = 0 b) x = 4a c) arccos 

2 

3a 

4 

39 

26 

IV. KHOAÛNG CAÙCH 



1. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng, ñeán moät maët phaúng 

d( M, a) 

= MH 

trong ñoù H laø hình chieáu cuûa M treân a hoaëc (P). 

d( M,( P)) 

= MH 

2. Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song, giöõa hai maët phaúng song song 

d(a,(P)) = d(M,(P)) trong ñoù M laø ñieåm baát kì naèm treân a. 

d((P),(Q) = d(M,(Q)) trong ñoù M laø ñieåm baát kì naèm treân (P). 

3. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau 

• Ñöôøng thaúng ∆ caét caû a, b vaø cuøng vuoâng goùc vôùi a, b ñöôïc goïi laø ñöôøng vuoâng goùc 

chung cuûa a, b. 

• Neáu ∆ caét a, b taïi I, J thì IJ ñöôïc goïi laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa a, b. 

• Ñoä daøi ñoaïn IJ ñöôïc goïi laø khoaûng caùch giöõa a, b. 

• Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau baèng khoaûng caùch giöõa moät trong hai 

ñöôøng thaúng ñoù vôùi maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng kia vaø song song vôùi noù. 

• Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau baèng khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng 

song song laàn löôït chöùa hai ñöôøng thaúng ñoù. 

VAÁN ÑEÀ 1: Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau 

Phöông phaùp: Döïng ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau a vaø b. 

Caùch 1: Giaû söû a ⊥ b: 

• Döïng maët phaúng (P) chöùa b vaø vuoâng goùc vôùi a taïi A. 

• Döïng AB ⊥ b taïi B 

⇒ AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa a vaø b. 

Caùch 2: Söû duïng maët phaúng song song. 

• Döïng maët phaúng (P) chöùa b vaø song song vôùi a. 

• Choïn M ∈ a, döïng MH ⊥ (P) taïi H. 

• Töø H döïng ñöôøng thaúng a′ // a, caét b taïi B. 

• Töø B döïng ñöôøng thaúng song song MH, caét a taïi A. 


Chuù yù: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)). 

Caùch 3: Söû duïng maët phaúng vuoâng goùc. 

• Döïng maët phaúng (P) ⊥ a taïi O. 

• Döïng hình chieáu b′ cuûa b treân (P). 

• Döïng OH ⊥ b′ taïi H. 

• Töø H, döïng ñöôøng thaúng song song vôùi a, caét b taïi B. 

• Töø B, döïng ñöôøng thaúng song song vôùi OH, caét a taïi A. 


Chuù yù: d(a,b) = AB = OH. 

1. Cho hình töù dieän OABC, trong ñoù OA, OB, OC = a. Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC. Haõy 

döïng vaø tính ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa caùc caëp ñöôøng thaúng: 

a) OA vaø BC. b) AI vaø OC. 

HD: a) 

a 

2 

2 

b) 

a 

5 

5 

2. Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng taâm O, caïnh a, SA ⊥ (ABCD) vaø SA 

= a. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng: 




a) SC vaø BD. b) AC vaø SD. 

HD: a) 

a 

6 

6 

b) 

a 

3 

3 

3. Cho töù dieän SABC coù SA ⊥ (ABC). Goïi H, K laàn löôït laø tröïc taâm cuûa caùc tam giaùc ABC 

vaø SBC. 

a) Chöùng minh ba ñöôøng thaúng AH, SK, Bc ñoàng qui. 

b) Chöùng minh SC ⊥ (BHK), HK ⊥ (SBC). 

c) Xaùc ñònh ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa BC vaø SA. 

HD: c) Goïi E = AH ∩ BC. Ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa BC vaø SA laø AE. 

4. a) Cho töù dieän ABCD. Chöùng minh raèng neáu AC = BD, AD = BC thì döôøng vuoâng goùc 

chung cuûa AB vaø CD laø ñöôøng noái caùc trung ñieåm I, K cuûa hai caïnh AB vaø CD . 

b) Chöùng minh raèng neáu ñöôøng thaúng noái caùc trung ñieåm I, K cuûa hai caïnh AB vaø CD 

cuûa töù dieän ABCD laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa AB vaø CD thì AC = BD, AD = BC. 

HD: b) Giaû söû BC = a, AD = a′, AC = b, BD = b′. Chöùng minh a = a′, b = b′. 

5. Cho hình vuoâng ABCD caïnh baèng a, I laø trung ñieåm cuûa AB. Döïng IS ⊥ (ABCD) vaø IS 

a 3 

= . Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh BC, SD, SB. Haõy döïng vaø tính 

2 

ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa caùc caëp ñöôøng thaúng: 

a) NP vaø AC b) MN vaø AP. 

HD: a) 

a 3 

4 

b) 2 

a 

VAÁN ÑEÀ 2: Tính khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán ñöôøng thaúng, maët phaúng. 

Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song. 

Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song 

Ñeå tính khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán ñöôøng thaúng (maët phaúng) ta caàn xaùc ñònh ñoaïn 

vuoâng goùc veõ töø ñieåm ñoù ñeán ñöôøng thaúng (maët phaúng). 

1. Cho hình choùp SABCD, coù SA ⊥ (ABCD) vaø SA = a 6 , ñaùy ABCD laø nöûa luïc giaùc ñeàu 

noäi tieáp trong ñöôøng troøn ñöôøng kinh AD = 2a. 

a) Tính caùc khoaûng caùch töø A vaø B ñeán maët phaúng (SCD). 

b) Tính khoaûng caùch töø ñöôøng thaúng AD ñeán maët phaúng (SBC). 

c) Tính dieän tích cuûa thieát dieän cuûa hình choùp SABCD vôùi maët phaúng (P) song song vôùi 

mp(SAD) vaø caùch (SAD) moät khoaûng baèng 

a 2 

a 6 a 6 

HD: a) d(A,(SCD)) = a 2 ; d(B,(SCD)) = 

b) 

c) 

2 

3 

2 

2. Cho hình laêng truï ABC.A′B′C′ coù AA′ ⊥ (ABC) vaø AA′ = a, ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng 

a 3 

4 

taïi A coù BC = 2a, AB = a 3 . 

a) Tính khoaûng caùch töø AA′ ñeán maët phaúng (BCC′B′). 

b) Tính khoaûng caùch töø A ñeán (A′BC). 

c) Chöùng minh raèng AB ⊥ (ACC′A′) vaø tính khoaûng caùch töø A′ ñeán maët phaúng (ABC′). 

HD: a) 

a 3 

2 

b) 

a 21 

7 

c) 

a 2 

2 

. 

2 



3. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA ⊥ (ABCD) vaø SA = 2a. 

a) Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp(SBC), töø C ñeán mp(SBD). 

b) M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø AD. Chöùng minh raèng MN song song vôùi 

(SBD) vaø tính khoaûng caùch töø MN ñeán (SBD). 

c) Maët phaúng (P) qua BC caét caùc caïnh SA, SD theo thöù töï taïi E, F. Cho bieát AD caùch (P) 

moät khoaûng laø 

BCFE. 

a 2 

2 

, tính khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (P) vaø dieän tích töù giaùc 

a 2 

a 6 a 6 

HD: a) a 2 ; 

b) 

c) 

2 

3 

2 

4. Cho hai tia cheùo nhau Ax, By hôïp vôùi nhau goùc 60 0 , nhaän AB = a laøm ñoaïn vuoâng goùc 

chung. Treân By laáy ñieåm C vôùi BC = a. Goïi D laø hình chieáu cuûa C treân Ax. 

a) Tính AD vaø khoaûng caùch töø C ñeán mp(ABD). 

b) Tính khoaûng caùch giöõa AC vaø BD. 

a a 3 

HD: a) AD = ; d(C,(ABD)) = 2 2 

b) 

2 

a 93 

31 

5. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a vaø BAD = 60 

0 . Goïi O laø giao 

ñieåm cuûa AC vaø BD. Ñöôøng thaúng SO ⊥ (ABCD) vaø SO = 3 a . Goïi E laø trung ñieåm cuûa 

4 

BC, F laø trung ñieåm cuûa BE. 

a) Chöùng minh (SOF) ⊥ (SBC). 

b) Tính caùc khoaûng caùch töø O vaø A ñeán (SBC). 

HD: b) d(O,(SBC)) = 3 a 3a , d(A,(SBC)) = . 

8 

4 


ÔN TẬP HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN 

TOÁN - KHỐI 11 

I. CẤP SỐ CỘNG* 

9 

1 

Bài 1. Cho cấp số cộng (u n ) có u 1 = - , công sai d = . 

2 

2 

a) Tính số hạng thứ 12 của CSC. 

b) Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên. 

c) Số 0 có phải là một số hạng của CSC này hay không ? 

165 

d) Tìm n biết u 1 + u 2 + u 3 + … + u n = 

2 

Bài 2. Cho dãy số (u n ) có u n = 9 – 5n. 

a) Chứng minh dãy (u n ) là một CSC. Tìm u 1 và công sai d ? 

b) Tính tổng của 30 số hạng đầu tiên của CSC này. 

2 

2 

Bài 3. Tìm a biết ba số: 5 - a ; 3a 

- 7; 3a 

-19 

theo thứ tự đó lập thành một CSC. 

Bài 4. Cho ba số dương a, b, c lập thành một CSC. Chứng minh: 

2 1 1 

= + 

a + c a + b b + c 

Bài 5. Tìm u 1 và công sai d của CSC (u n ) biết: 

ìu 

1 

+ 2u5 

= 0 

ìu 

7 

- u3 

= 8 

ìu 

1 

+ u2 

+ u3 

= 27 

a) í 

b) í 

c) í 2 2 2 

î S4 

= 14 

î u2. 

u7 

= 75 

îu1 

+ u2 

+ u3 

= 275 

Bài 6. Cho CSC (u n ). Chứng minh: S 

3 n 

= 3 ( S2n 

- Sn) 

Bài 7: Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 21 và tổng bình phương của 

chúng bằng 155 . 

II. CẤP SỐ NHÂN* 

Bài 1. Cho dãy số (u n ) có u n = 2 2n+1 . 

a) Chứng minh (u n ) là một CSN, tìm u 1 và công bội q ? 

b) Tính tổng u 6 + u 7 . 

c) Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên. 

Bài 2. Cho dãy số (u n ) xác định như sau: 

ìu1 

= 4, u2 

= 5 

ï 

í 2un 

+ un- 

1 

ï un 

1 

= 

( n ³ 2 

î 3 

Xét dãy số (v n ) xác định như sau: v n = u n+1 – u n . 

a) Chứng minh (v n ) là một CSN. 

b) Tính u 8 . 

+ 

) 

Bài 3. Cho 4 số a, b, c, d theo thứ tự đó lập thành một CSN. Chứng minh: 

2 

2 

2 

2 

a) ( b - c) 

+ ( c - a) 

+ ( d - b) 

= ( a - d) 

. 

b) (a + b + c)(a – b + c) = a 2 + b 2 + c 2 

Bài 4. Tìm u 1 và q của CSN (u n ) biết: 


a) 

ìu 

í 

î u 

2 

3 

- u 

- u 

4 

5 

+ u 

+ u 

5 

6 


= 20 

b) 

ìu 

1 

+ u2 

+ u3 

+ u4 

= 15 

í 2 2 2 2 

îu1 

+ u2 

+ u3 

+ u4 

= 85 

Bài 5. Cho 4 số a, b, c, d theo thứ tự đó lập thành một CSC và bốn số a – 2, b – 6, c – 7, d – 2 theo thứ 

tự đó lập thành một CSN. Tìm a, b, c, d ? 

1 1 

Bài 6. Tính tổng: S = 2 - 2 + 1 - ... 

2 

+ 2 

+ 


Bài 7. (Không dùng máy tính) Chứng minh rằng: 2 ,13131313... = 

99 

Bài 8. Tìm số hạng tổng quát của một CSN lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 2/3. 

Bài 9: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 

1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó. 

Bai 10: Ba số khác nhau a, b, c có tổng là 30. Đọc theo thứ tự a, b, c ta được một cấp số cộng; đọc theo 

thứ tự b, a, c ta được một cấp số nhân. Tìm công sai của cấp số cộng và công bội của cấp số nhân đó. 

III. GIỚI HẠN DÃY SỐ 

Bài 1: Tính các giới hạn sau: 

a) 

d) 

2 

lim 2n 

- n + 3 

3 2 

n + 2 n + 1 

4 

n 

lim 

( 1)(2 )( 

2 

n + + n n + 1) 


a) 

1+ 

3 

lim 

4 + 

n 

3 

n 

n 

n+ 

1 

2 + 5 

d) lim 

1 5 

n 

+ 


b) 

e) 

lim 

n 

2n 

+ 1 

3 2 

+ 4n 

+ 3 

n 

2 

+ 1 

lim 

2 4 

n + n + 1 

n 

n+ 

1 

4.3 + 7 

b) lim 

2.5 

n 7 

n 

+ 

n 

1+ 2.3 - 7 

e) lim 

5 

n 2.7 

n 

+ 

n 

3 2 

3n + 2n + n 

c) lim 

3 

n + 4 

f) 

4 2 

2n 

+ n - 3 

lim 

3 3 2 2 

n - n + 1 

n+ 1 n+ 

2 

4 + 6 

c) lim 

5 

n 8 

n 

+ 

n n 

1 2.3 6 

f) lim - + 

2 n (3 n+ 1 

- 5) 

2 

a) lim( n + 5 n - 4) 

2 

b) lim( - 3 n + 5 n + 6) 

2 

c) lim( 3 n - n + 6 + 2 n) 

4 3 

d) lim( n + n + 8 - 2 n) 

2 

e) lim( n + 5 n - n) 

2 

f) lim( 2 n + n + 8 - n) 

2 

g) lim( 4 n + 5 n - 

2 

4 n - 4) 

3 3 2 

h) lim( n + 2 n - n) 

2 

i) lim( 4 n + 6 - 2 n) 


æ 1 1 1 ö æ 1 1 1 ö 

a) lim ç + + ... + 

÷ b) lim ç + + ... + ÷ 

è1.3 3.5 (2n 

- 1)(2n 

+ 1) ø è1.3 2.4 n( n + 2) ø 

æ 1 1 1 ö 

c) lim ç + + ... + ÷ e) 

è1.2 2.3 n( n + 1) ø 

IV. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. 

1+ 2 + ... + n 

lim 

f) 

2 

n + 3n 

2 n 

1+ 2 + 2 + ... + 2 

lim 

1 3 3 

2 ... 3 

n 

+ + + + 


a) lim 

x® 

6 

e) lim 

x® 

2 

2 

x + 3 - 3 

x - 4 x + 3 

b) lim 

x - 6 

x® 

3 x - 3 

2 

3 2 

4 - x 

x - x + x -1 

f) lim 

x + 7 - 3 

x® 

1 x -1 

2 

x - x - 2 

c) lim 

x®-1 

3 2 

x + x 

2 3 

x + x + x - 3 

g) lim 

x® 

1 x -1 

d) 

lim 

x® 

2 

4 x + 1 - 3 

x - 2 



3 2 

a) lim (-3x 

+ 2x 

+ 1) 

x ®+¥ 

2 

d) lim 

æ 

2x 1 4x 4x 

3 

ö 

ç - - - - ÷ 

x®+¥ 

è 

ø 

æ 

ö 

f) lim ç x + x + x - x ÷ 

x®+¥ 

è 

ø 

2 

x + 1 

i) 

xlim 

®+¥ 2 

2 

x - x + 1 


4x 

+ 9 

a) lim 

- 

x ® 2 x - 2 

d) 

lim 

+ 

x® 

2 

2 

x - 4 

x - 2 

2 

b) lim ( x + 2x 

- x + 3) 

x ®-¥ 

e) 

c) 

2 3 3 

lim 

æ 

x 1 x 1 

ö 

ç + - - ÷ 

®+¥ è 

ø 

x 

lim 

x®+¥ 

æ 2 

x + x - x 

ö 

ç ÷ 

è ø 

2 

2 

g) lim ( 4 x + x - 2 x) 

h) lim ( x + 9x 

+ 9 - x) 

j) 

x®-¥ 

lim 

x®±¥ 

b) 

e) 

2 

2x 

- x + 1 

x - 2 

4x 

lim 

2 

+ 

x ® 3 x - 

- 2x 

+ 3 

3 

2 - x 

+ 

xlim 

® 2 2 

2 5 2 

x 

- x + 

k) 

x ®+¥ 

lim 

x®+¥ 

x 

2 

2x 

+ 1 

3 2 

- 3x 

+ 2 

9x 

-10 

c) lim 

- 

æ 1 ö 2x 

-1 

x® ç ÷ 

è 2 ø 

2 - x 

f) 

- 

xlim 

® 2 2 

2 

x - 5 x + 2 


a) 

d) 

lim 

x® 

2 

x + 2 - 2 

x + 7 - 3 

1+ x -1 

lim 

x® 

0 3 1 + x - 1 

3 

1- 

2x 

+ 2 - x 

g) lim 

x ® 1 x -1 


sin 2x 

a) lim 

x 0 tan5x 

b) 

e) 

h) 

lim 

x® 

1 

lim 

x®-3 

lim 

2x 

+ 2 - 3x 

+ 1 

x -1 

x + 3 - 2x 

2 

x + 3x 

x + 2 - 

x ® 2 x - 

3x 

+ 2 

2 

b) 

® x® 

0 

2 

9x 

3 

2 - 2cos4x 

lim 

c) 

f) 

lim 

x 

x® 

0 2 

lim 

x® 

0 

x 

2 

+ 1 -1 

+ 16 - 4 

x + 9 + x + 16 - 7 

x 

2 

3 3 

i) lim ( x + 4x 

- x + 1) 

x ®+¥ 

c) 

sin 4x 

lim 

x ® 0 

x + 1 -1 

V. HÀM SỐ LIÊN TỤC. 


2 

ìx 

-2x 

-3 

ï 

khix ¹ 3 

f ( x) 

= í x -3 

ï 

î 4 khix = 3 

trên tập xác định của nó. 


ì x -1 

ï 

khi x < 1 

f ( x) 

= í 2 - x -1 

ï 

î - 2x 

khi x ³ 1 

tại x = 1. 

2 

ì x - 2 x - 3 

ï n u x >3 

Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số: f ( x) = í x - 3 

ï 

î4 x - 2 n u x £ 3 

trên tập xác định của nó. 

Bài 4. Cho hàm số 

ì 1 3 

ï - khi x ¹ 1 

3 

f ( x) 

= í x -1 

x -1 

ï 2 

î m + 2m 

- 2 khi x = 1 

Tìm m để hàm số liên tục trên tập xác định R. 

Bài 5. Chứng minh phương trình 2x 3 – 10x – 7 = 0 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng (– 2; 4 ) 


2 

3 2 

Bài 6. Chứng tỏ phương trình (1 - m )( x + 1) + x - x - 3 = 0 có ít nhất 1 nghiệm với mọi m. 

Bài 7: a)Chứng minh phương trình 2x 4 +4x 2 +x-3=0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1;1) 

b) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2x 3 – 10x – 7 = 0 

c) Chứng minh phương trình: 1- x – sinx = 0 lu«n cã nghiÖm. 

3 

d) Chứng minh phương trình: x - 3x 


e) Chứng minh rằng phương trình x 3 – 2x 2 + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm. 

f) Chứng minh rằng phương trình (m 2 + m +1)x 5 + x 3 – 27 = 0 có nghiệm dương với mọi giá trị 

của tham số m. 

g) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m: 

cosx + m.cos2x = 0 

VI. ĐẠO HÀM 

Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau: 

2 4 

5 

2 1 

a) y = ( x - 2) x + 1 b) y = x ( 1- 

2x) 

c) y = - 

x 2x 

-1 

x 4 

2 2 

d) y = 2sin4x – 3cos2x e) y = tan - cot g) y = 4cos x - sin x + 5 

4 x 

Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: 

2 

2 

2 

2 4 

a) y = ( x - 3x 

+ 3)( x + 2x 

-1) 

b) = - + 

x + 1 

1 

y 5 c) y = d) y = ( x + 1)( -1) 

e) 

2 2 

x x 

x + 2 

x 

3 

2 

y = ( 1- 

2x 

) 5 

3 2 

æ 2 x + 1ö 

3 3 

f) y = x - x + 5 g) y = ç ÷ h) y = sin (2x 

-1) 

i) y = sin 2 (cos 2x) 

è x -1 

ø 

2 

2 3 

2 2x 

j) y = sin 2 + x k) y = ( 2 + sin 2x) 

l) y = tan 3 

2æ 

x p ö 

1 

Bài 2. Cho các hàm số f ( x) 

= sin ç + ÷ + 3x; 

g( 

x) 

= 

è 4 4 ø 

2x 

+ 1 

Tính giá trị của biểu thức: P 1 // 3 

= . f (3p 

) - . g 

// (4) 

g 

2 2 

2 3 

Bài 3. Cho f ( x) 

= (2x 

-1) 

(3 - x) 

. Giải bất phương trình f’(x) > 0 

2 

Bài 4. Cho hai hàm số: f ( x) 

= sin 2x 

+ cos 2x; 

g( 

x) 

= sin 2x 

- 2x 

Giải phương trình: f ’(x) = g’(x) 

Bài 5. Cho hàm số y = x.cosx . Chứng minh đẳng thức: y’’ + y + 2sinx = 0 

Bài 6. Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + 2 có đồ thị là đường cong (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 

(C) biết: 

a) Hoành độ tiếp điểm bằng – 1. 

b) Tung độ tiếp điểm bằng 2. 

c) Tiếp tuyến đi qua điểm M(3; 2) 

2x - 5 

Bài 7. Cho hàm số y = . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết: 

2 x - 4 

a) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 8 . 

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = – 2x + 2011 

c) Tiếp tuyến đi qua điểm M(2;– 2). 

4 

3 2 

Bài 8. Cho hàm số y = x - ( m + 2) x - 9mx 

+ 3x 

- 2m 

Tìm m để phương trình y’’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa: 2x 1 + x 2 – 1 = 0 


HÌNH HỌC 

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA ^ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt 

là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD. 

a) Chứng minh rằng BC ^ ( SAB); CD ^ (SAD); BD ^ (SAC) 

b) Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AI, AK cùng 

chứa trong một mặt phẳng. 

c) Chứng minh rằng HK ^ (SAC). Từ đó suy ra HK ^ AI. 

d) Cho AB = a, SA = a 2 . Tính diện tích tam giác AHK và góc giữa hai đường thẳng SD và BC. 

Bài 2: Cho h×nh chã p S.ABC cã ®¸ y ABC lµ tam gi¸ c vu«ng c©n t¹ i B vµ AC=2a, SA=a vµ vu«ng gã c ví i 

mÆt ph¼ng ABC 

a) Chø ng minh r»ng (SAB) ^ (SBC) 

b) TÝnh khong c¸ ch tõ A ®Õ n (SBC) 

c) Gä i O lµ trung ®iÓm AC. TÝnh khong c¸ ch tõ O ®Õ n (SBC) 

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a; SA ^(ABCD); tan của góc hợp bởi 

cạnh bên SC và mặt phẳng chứa đáy bằng 3 2 

4 . 

a) Chứng minh tam giác SBC vuông 

b) Chứng minh BD ^ SC và (SCD)^(SAD) 

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCB) 

Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D 

qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. 

a) Chứng minh MN ^ BD. 

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC theo a. 

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, Hai góc ABC và BAD bằng 90 0 , BA = BC = a, 

AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. 

a) Chứng minh tam giác SCD vuông 

b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). 

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a và 

SA ^ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. 

a) Chứng minh (SAC) ^ (SMB). 

b) Tính diện tích tam giác NIB. 

Bài 7. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ^ (ABC). Gọi 

M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC, 

a) Tính diện tích tứ giác BCNM. 

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC). 

Bài 8. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a 5 và góc BAC = 120 0 . Gọi M là 

trung điểm của cạnh CC’. 

a) Chứng minh MB ^ MA’ . 

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BM). 

Bµi 9: Cho h×nh chã p S.ABCD cã ®¸ y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹ nh a. MÆt bªn SAB lµ tam gi¸ c ®Òu, 

SC = a 2 . Gä i H vµ K lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB vµ AD 

a) Chø ng minh r»ng SH ^ (ABCD) b) Chø ng minh AC ^ SK vµ CK ^ SD 

Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mp(SBC) và (ABC) bằng 60 0 , ABC và SBC là các tam 

giác đều cạnh a. Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC). 

Bài 11. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA’ = a 2 . Gọi 

M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA’ và BC’. 

a) Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của các đường thẳng AA’ và BC’. 

b) Tính diện tích tam giác A’BC’ và góc giữa hai đường thẳng AC’ và BB’ 


Đề số 1 

ĐỀ THI THỬ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2010 - 2011 

Thời gian làm bài : 90 phút 

Họ và tên : ....................................... 

Lớp : ................................................ 

A. PHẦN CHUNG (Dành cho tất cả các học sinh) 

Câu 1: (3 điểm) Tính các giới hạn sau: 

3 2 

2 

3 n - 4 n + 5 

2x - x -10 

a/ lim b/ lim 4 3 2 

3 

2 

+ n - n 

x ®-2 

x - 4 

c/ lim (3 x + 9 x 

2 

- 7 x + 1) 

x ®-¥ 

Câu 2: (1 điểm) Cho hàm số: 

2 

ì - + 

x 7 x 12 

ï 

f ( x ) = í x - 3 

ï 

î3 x - 2 

nếu x ¹ 3 

nếu x = 3 

Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định. 

Câu 3: (3 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi O là 

tâm của hình vuông. 

1. Chứng minh SO ^ ( ABCD ), BD ^ SA. 

2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Chứng minh ( SMN ) ^ ( SBC) 

3. Tính tan của góc giữa (SAB) và mặt đáy (ABCD). 

B. PHẦN TỰ CHỌN (Dành riêng cho học sinh từng ban) 

Học sinh học Ban nào chọn phần dành riêng cho Ban học đó 

I. Dành cho học sinh Ban nâng cao. 

Câu 4A (1 điểm) Ba số dương có tổng bằng 9, lập thành một cấp số cộng. Nếu giữ nguyên số thứ nhất 

và số thứ hai, cộng thêm 4 vào số thứ ba thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó. 

Câu 5A (1 điểm) 

a) Chứng minh đạo hàm của hàm số sau không phụ thuộc vào x: 

6 6 3 2 

y = sin x + cos x - cos 2x 

4 

2 x + 5 

b) Cho hàm số y = . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết ttiếp tuyến đó song 

x - 2 

song với đường thẳng (d) : y = - 9 x + 22 . 

II. Dành cho học sinh Ban cơ bản. 

Câu 4B (1 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 

2 x + 1 

3 

a) y = 

b) y = 3 sin 3 x - c os x + 5 x. 

x - 3 

3 2 

x x 

Câu 5B Cho hàm số y = + - 2 x + 1. 

3 2 

a) (1điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị với trục 

tung. 

b) (1điểm) Giải bất phương trình: y ' ³ 2 

********* Hết ********* 


Đề số 2 


Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: 

2n 

+ 3n 

+ 1 

a) lim 

3 2 

n + 2n 

+ 1 

3 

ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011 

Môn TOÁN Lớp 11 


x + 1 -1 

b) lim 

x® 0 x 

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1: 

ì 2 

ï 

x - x 

f ( x) 

= khi x ¹ 1 

í x -1 

ï 

îm 

khi x = 1 

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 

a) y = x 2 .cosx 

b) y = ( x - 2) x 2 + 1 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 

(ABC) tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. 

a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng AI ^ (MBC). 

b) (1,0 điểm) Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC). 

c) (1,0 điểm) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI). 

II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau: 


Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm: 

5 4 3 

5x - 3x + 4x 

- 5 = 0 

3 2 

Câu 6a: (2 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = x - 3x - 9x 

+ 5. 

a) Giải bất phương trình: y¢ ³ 0. 

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1. 


Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 3 nghiệm: 

x 

3 

-19x 

- 30 = 0 

3 2 

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = x + x + x - 5 . 

a) Giải bất phương trình: y¢ £ 6 . 

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 6. 

––––––––––––––––––––Hết––––––––––––––––––– 

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 


Đề số 3 



x - 3 

a) lim 

x ® 3 2 

x + 2x 

-15 




x + 3 - 2 

b) lim 

x ® 1 x -1 

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = –1: 

ì 2 

ï 

x - x - 2 

f ( x) 

= khi x ¹ -1 

í x + 1 

ï 

îa 

+ 1 khi x = 1 


2 2 

a) y = ( x + x)(5 - 3 x ) 

b) y = sin x + 2x 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ^ (ABCD). 

a) Chứng minh BD ^ SC. 

b) Chứng minh (SAB) ^ (SBC). 

c) Cho SA = a 6 . Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD). 

3 

II. Phần riêng 


Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: 

5 2 

x - x - 2x 

- 1 = 0 

3 2 

Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y= - 2x + x + 5x 

- 7 có đồ thị (C). 

a) Giải bất phương trình: 2y¢ + 6 > 0 . 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x 0 

= - 1. 


Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 

4 2 

4x + 2x - x - 3 = 0 

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 2 ( x + 1) có đồ thị (C). 

a) Giải bất phương trình: y¢ £ 0. 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 5x. 

--------------------Hết------------------- 



Đề số 1 



3 

2n 

+ 3n 

+ 1 

x + 1 −1 

a) lim 

b) lim 

3 2 

n + 2n 

+ 1 

x →0 

x 


⎧ 2 

⎪ 

x − x 

f ( x) 

= khi x ≠ 1 

⎨ x −1 

⎪ 

⎩m 

khi x = 1 


ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2012 – 2013 



a) y = x 2 .cos x 

b) y = ( x − 2) x 2 + 1 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt 

phẳng (ABC) tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. 

a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng AI ⊥ (MBC). 

b) (1,0 điểm) Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC). 

c) (1,0 điểm) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI). 



Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm: 

5 4 3 

5x − 3x + 4x 

− 5 = 0 

3 2 

Câu 6a: (2 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = x − 3x − 9x 

+ 5. 

a) Giải bất phương trình: y′ ≥ 0 . 

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1. 


Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 3 nghiệm: x 

3 2 

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = x + x + x − 5 . 

3 

−19x 

− 30 = 0 

a) Giải bất phương trình: y′ ≤ 6 . 

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 6. 

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2012 – 2013 

MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 1 

CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM 

1 a) 

3 1 

3 2 + + 

2n + 3n + 1 

2 3 

I = lim 

= lim n n 

3 2 

n + 2n 

+ 1 2 1 

1+ + 

n 3 

n 

0,50 

I = 2 0,50 

b) x + 1 − 1 

x 

lim = lim 

x→0 x x→0 

x x + 1 + 1 

0,50 

( ) 

1 1 

= lim = 

x→0 

x + 1 + 1 2 

0,50 

2 f(1) = m 0,25 

x( x −1) 

lim f ( x) = lim = lim x = 1 

x→1 x→1 x −1 

x→1 

0,50 


f(x) liên tục tại x = 1 ⇔ lim f ( x) = f (1) ⇔ m = 1 

x 

0,25 

→1 

3 a) 2 2 

y = x cos x ⇒ y ' = 2x cos x − x s inx 

1,00 

b) 

2 2 ( x − 2) x 

y = ( x − 2) x + 1 ⇒ y ' = x + 1 + 

0,50 

2 

x + 1 

4 a) 

y ' = 

2 

2x 

− 2x 

+ 1 

x 

2 

+ 1 

M 

0,50 

H 0,25 

B 

I 

C 

A 

Tam giác ABC đều cạnh a , IB = IC = a 2 

⇒ AI ⊥ BC (1) 0,25 

5a 

6a a) 

BM ⊥ (ABC) ⇒ BM ⊥AI (2) 0,25 

Từ (1) và (2) ta có AI ⊥ (MBC) 0,25 

b) BM ⊥ (ABC) ⇒ BI là hình chiếu của MI trên (ABC) 0,50 

 

⇒ ( ) 

MB 

MI,( ABC) = MIB, tan MIB = = 4 

IB 

0,50 

c) AI ⊥(MBC) (cmt) nên (MAI) ⊥ (MBC) 0,25 

MI = ( MAI) ∩ ( MBC) ⇒ BH ⊥ MI ⇒ BH ⊥ ( MAI) 

0,25 

⇒ d( B,( MAI)) 

= BH 

0,25 

b) 

1 1 1 1 4 17 2a 

17 

= + = + = ⇒ BH = 0,25 

2 2 2 2 2 2 

BH MB BI 4a a 4a 

17 

5 4 3 

5 4 3 

Với PT: 5x − 3x + 4x 

− 5 = 0 , đặt f ( x) = 5x − 3x + 4x 

− 5 0,25 

f(0) = –5, f(1) = 1 ⇒ f(0).f(1) < 0 0,50 

⇒ Phuơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1) 0,25 

3 2 

y = f ( x) = x − 3x − 9x 

+ 5 ⇒ y′ 2 

= 3x − 6x 

− 9 

0,50 

2 

y ' ≥ 0 ⇔ 3x − 6x − 9 ≥ 0 ⇔ x ∈( −∞;1) ∪ (3; +∞ ) 

0,50 

x 

= 1 ⇒ y = − 6 

0,25 

0 0 

( ) 

k = f ' 1 = − 12 

0,50 

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = –12x + 6 0,25 

5b Với PT: x 3 

19 x 

3 

− − 30 = 0 đặt f(x) = x −19x 

− 30 = 0 

0,25 

f(–2) = 0, f(–3) = 0 ⇒ phương trình có nghiệm x = –2 và x = –3 0,25 

f(5) = –30, f(6) = 72 ⇒ f(5).f(6) < 0 nên ∃c 0 

∈ (5;6) là nghiệm của PT 0,25 

6b a) 

Rõ ràng c ≠ −2, c ≠ − 3, PT đã cho bậc 3 nên PT có đúng ba nghiệm thực 

0 0 

0,25 

3 2 

2 

y = f ( x) = x + x + x − 5 ⇒ y ' = 3x + 4x 

+ 1 

0,25 


2 

y ' ≥ 6 ⇔ 3x + 2x 

+ 1 ≥ 6 

0,25 

2 

⇔ 3x 

+ 2x 

− 5 ≥ 0 

0,25 

⎛ 5 ⎞ 

⇔ x ∈⎜ 

−∞; − ⎟ ∪ ( 1; +∞) 

⎝ 3 ⎠ 

0,25 

b) Gọi ( x0; y0) là toạ độ của tiếp điểm ⇒ y '( x 0 

) = 6 

0,25 

⎡ x = 1 

0 

2 

2 

⇔ 3x 

+ 2x 

+ 1 = 6 ⇔ 3x 

+ 2x 

− 5 = 0 ⇔ ⎢ 

0 0 

0 0 ⎢ 5 

0,25 

x = − 

0 

⎢⎣ 3 

Với x = 1 ⇒ y = −2 ⇒ PTTT : y = 6x 

− 8 

0,25 

0 0 

5 230 175 

Với x = − ⇒ y = − ⇒ PTTT : y = 6x 

+ 0,25 

0 0 

3 27 27 


Đề số 2 





x − 3 

x + 3 − 2 

a) lim 

b) lim 

x →3 

2 

x + 2x 

−15 

x →1 

x −1 

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = –1: 

⎧ 2 

⎪ 

x − x − 2 

f ( x) 

= khi x ≠ −1 

⎨ x + 1 

⎪ 

⎩a 

+ 1 khi x = 1 


2 2 

a) y = ( x + x)(5 − 3 x ) 

b) y = sin x + 2x 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ 

(ABCD). 

a) Chứng minh BD ⊥ SC. 

b) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC). 


3 



5 2 

Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: x − x − 2x 

− 1 = 0 

3 2 

Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y = − 2x + x + 5x 

− 7 có đồ thị (C). 

a) Giải bất phương trình: 2y′ + 6 > 0 . 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x 0 

= − 1. 


Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 

4 2 

4x + 2x − x − 3 = 0 

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 2 ( x + 1) có đồ thị (C). 

y 

a) Giải bất phương trình: y′ ≤ 0 . 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 

= 5x 

. 





1 a) x − 3 x −3 

lim = lim 

x→3 2 

x + 2x 

−15 

x→3 

( x − 3)( x + 5) 

0,50 

1 1 

= lim = 

x→3 

x + 5 8 

0,50 

b) x + 3 − 2 x −1 

lim = lim 

x→1 x −1 x→1 

( x − 1) ( x + 1 + 1) 

0,50 

1 1 

= lim = 

x→1 

x + 3 + 2 4 

0,50 

2 f(1) = a +1 0,25 

( x + 1)( x − 2) 

lim f ( x) = lim = lim( x − 2) = −1 

x→1 x→1 x + 1 x→1 

0,50 

f(x) liên tục tại x = 1 ⇔ lim f ( x) = f (1) ⇔ a + 1 = −1 ⇔ a = − 2 

x 

0,25 

3 a) 

2 2 

→1 

4 3 2 

y = ( x + x)(5 − 3 x ) ⇒ y = −3x − 3x + 5x + 5x 

0,50 

3 2 

⇒ y ' = −12x − 9x + 10x 

+ 5 

0,50 

b) cos x + 2 

y = sin x + 2 x ⇒ y' 

= 

2 sin x + 2x 

0,50 

4 a) 

S 

A 

B 

0,25 

O 

5a 

D 

C 

ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD (1) 0,25 

SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD (2) 0,25 

Từ (1) và (2) ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC 0,25 

b) BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông) (3) 0,25 

SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC (4) 0,25 

Từ (3) và (4) ⇒ BC ⊥ (SAB) 0,25 

⇒ (SAB) ⊥ (SBC) 0,25 

c) SA ⊥ (ABCD) ⇒ hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC 0,25 

Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là SCA 0,25 

a 6 

( ) 

SA 

⇒ tan SC,( ABCD) = tan SCA = = 3 = 

AC a 2 

⇒ SCA = 30 

0 

0,25 

5 2 

3 

3 

0,25 

Đặt f ( x) = x − x − 2x 

− 1 ⇒ f ( x) liên tục trên R. 0,25 


6a a) 

5b 

b) 

f(0) = –1, f(2) = 23 ⇒ f(0).f(1) < 0 0,50 

⇒ f ( x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) 0,25 

3 2 

y = − 2x + x + 5x 

− 7 ⇒ y′ 2 

= − 6x + 2x 

+ 5 

0,25 

BPT 2y′ 2 2 

+ 6 > 0 ⇔ − 12x + 4x + 16 > 0 ⇔ 3x − x − 4 < 0 

0,25 

⎛ 4 ⎞ 

⇔ x ∈ ⎜ −1; ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

3 2 

y = − 2x + x + 5x 

− 7 

x = −1 

⇒ y 

0 0 

= − 9 

0,25 

⇒ PTTT: y 

0,50 

⇒ y ′( − 1) = − 3 

0,25 

= −3x 

− 12 

0,50 

4 2 

Đặt f ( x) = 4x + 2x − x − 3 ⇒ f ( x) liên tục trên R. 0,25 

f ( − 1) = 4, f (0) = −3 ⇒ f ( − 1). f (0) < 0 ⇒ PT có ít nhất 1 nghiệm c 1 

∈( − 1;0) 0,25 

f (0) = − 3, f (1) = 2 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT có ít nhất 1 nghiệm c 2 

∈ (0;1) 0,25 

c 

≠ c ⇒ PT có ít nhất 2 nghiệm trên khoảng (–1; 1) 0,25 

1 2 

6b a) 2 3 2 2 

y = x ( x + 1) ⇒ y = x + x ⇒ y ' = 3x + 2x 

0,25 

BPT 

2 

y ' ≤ 0 ⇔ 3x + 2x 

≤ 0 

0,25 

⎡ 2 ⎤ 

⇔ x ∈ ⎢ − ;0 

⎣ 3 ⎥ 

⎦ 

0,50 

b) Vì tiếp tuyến song song với d: y = 5x 

nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 5 0,25 

Gọi ( x ; y ) là toạ độ của tiếp điểm. 

0 0 

⎡ x = 1 

0 

2 

2 

y'( x ) = 5 ⇔ 3x + 2x 

= 5 3x 

2x 

5 0 ⎢ 

0,25 

⇔ + − = ⇔ 

0 0 0 

0 0 ⎢ 5 

x = − 

0 

⎢⎣ 3 

Với x = 1 ⇒ y = 2 ⇒ PTTT: y = 5x 

− 3 

0,25 

0 0 

5 50 

175 

Với x = − ⇒ y = − ⇒ PTTT: y = 5x 

+ 0,25 

0 0 

3 27 

27 


Đề số 3 





3 2 

2n 

+ n + 4 

2x 

− 3 

a) lim b) lim 

2 3 

3 

+ 

− n 

x→1 

x −1 

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 0: 

⎧ x + 2a khi x < 0 

f ( x) 

= ⎨ 2 

⎩x + x + 1 khi x ≥ 0 


2 5 

2 3 

a) y = (4x + 2 x)(3x − 7 x ) 

b) y = (2 + sin 2 x) 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA 

và SC. 

a) Chứng minh AC ⊥ SD. 

b) Chứng minh MN ⊥ (SBD). 


c) Cho AB = SA = a. Tính cosin của góc giữa (SBC) và (ABCD). 



Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m: 

3 

m( x − 1) ( x + 2) + 2x 

+ 3 = 0 

4 2 

Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3x 


a) Giải phương trình: y′ = 2 . 

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x 0 

= 1. 


Câu 5b: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m: 

2 4 

( m + m + 1) x + 2x 

− 2 = 0 

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = ( x − 1)( x + 1) có đồ thị (C). 

a) Giải bất phương trình: f ′( x) ≥ 0 . 

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. 




1 a) 

1 4 

3 2 2 + + 

2n + n + 4 n 3 

lim = lim n 

3 

2 − 3n 

2 

− 3 

0,50 

3 

n 

2 

= − 

3 

0,50 

b) 

⎧lim( x − 1) = 0 

+ 

x→1 

⎪ 

Nhận xét được: ⎨lim(2x 

− 3) = − 1 < 0 

+ 

x→1 

⎪ 

⎪ 

+ 

⎩x 

→ 1 ⇒ x − 1 > 0 

0,75 

2x 

− 3 

Kết luận: lim 

+ 

= −∞ 

0,25 

x→1 

x −1 

2 ⎧ x + 2a khi x < 0 

f ( x) 

= ⎨ 2 

⎩x + x + 1 khi x ≥ 0 

0,50 

• lim f ( x) = f (0) = 1 

+ 

x→0 

• lim f ( x ) = lim( x + 2 a ) = 2 a 

0,25 

3 a) 

b) 

− 

− 

x→0 x→0 

• f(x) liên tục tại x = 0 ⇔ 2a = 1 

2 5 

2 

1 

⇔ a = 0,25 

2 

7 6 3 2 

y = (4x + 2 x)(3x − 7 x ) ⇒ y = −28x − 14x + 12x + 6x 

0,50 

6 5 2 

⇒ y ' = −196x − 84x + 36x + 12x 

0,50 

2 3 

2 2 

y = (2 + sin 2 x) 

⇒ y ' = 3(2 + sin 2 x) .4sin 2 x.cos2x 

0,50 

⇒ y ' = 6(2 + sin 2 2 x).sin 4x 

0,50 


4 

0,25 

5a 

6a a) 

5b 

a) ABCD là hình vuông ⇒ AC⊥BD (1) 

S.ABCD là chóp đều nên SO⊥(ABCD) ⇒ SO ⊥ AC (2) 

0,50 

Từ (1) và (2) ⇒ AC ⊥ (SBD) ⇒ AC ⊥ SD 

0,25 

b) Từ giả thiết M, N là trung điểm các cạnh SA, SC nên MN // AC (3) 0,50 

AC ⊥ (SBD) (4). Từ (3) và (4) ⇒ MN ⊥ (SBD) 0,50 

c) Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều và AB = SA = a nên ∆SBC đều cạnh a. 

Gọi K là trung điểm BC ⇒ OK ⊥ BC và SK ⊥ BC 

0,25 

b) 

6b a) 

⇒ ( ) 

 

ϕ = ( SBC),( ABCD) 

= SKO 

0,25 

Tam giác vuông SOK có OK = a 2 , SK = a 3 

0,25 

2 

a 

⇒ 

OK 1 

cosϕ = cos SKO = = 2 = 0,25 

SK a 3 3 

2 

3 

Gọi f ( x) = m( x − 1) ( x + 2) + 2x 

+ 3 ⇒ f ( x) liên tục trên R 0,25 

f(1) = 5, f(–2) = –1 ⇒ f(–2).f(1) < 0 0,50 

⇒ PT f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm c ∈( −2;1), 

∀m ∈ R 

0,25 

4 2 

y = x − 3x 

− 4 ⇒ y′ 3 

= 4x − 6x 

0,25 

y′ 3 2 

= 2 ⇔ 4x − 6x = 2 ⇔ ( x + 1)(2 x − 2x 

− 1) = 0 

0,25 

⇔ x = − 1; 

1− 3 1+ 

3 

x = ; x = 

2 2 

0,50 

Tại x = 1 ⇒ y = − 6, k = y′ 

(1) = − 2 

0 0 

0,50 

Phương trình tiếp tuyến là y = −2x 

− 4 

0,50 

2 4 

Gọi f ( x) = ( m + m + 1) x + 2x 

− 2 ⇒ f ( x) liên tục trên R 0,25 

2 

2 1 3 

f(0) = –2, f(1) = m + m + 1 = ⎜ 

⎛ m + ⎞ 

⎟ + > 0 ⇒ f(0).f(1) < 0 

⎝ 2 ⎠ 4 

0,50 

Kết luận phương trình f ( x) = 0 đã cho có ít nhất một nghiệm c ∈(0;1), 

∀ m 0,25 

2 

3 2 

2 

y = f ( x) = ( x − 1)( x + 1) ⇒ f ( x) = x + x − x −1 

⇒ f ′( x) = 3x + 2x 

− 1 0,50 

BPT f ′ 

2 ⎛ 1 ⎞ 

( x) ≥ 0 ⇔ 3x + 2x −1 ≥ 0 ⇔ x ∈( −∞; −1) ∪ ⎜ ; +∞⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

0,50 

b) Tìm được giao điêm của ( C ) với Ox là A (–1; 0) và B(1; 0) 0,50 

Tại A (–1; 0): k1 = f ′( − 1) = 0 ⇒ PTTT: y = 0 (trục Ox) 0,25 


Tại B(1; 0): k2 = f ′(1) = 4 ⇒ PTTT: y = 4x 

− 4 

0,25 

Đề số 4 



2 

3x 

− 2x 

−1 

x + 3 

a) lim 

b) lim 

x→1 

3 

− 

x −1 

x→3 

x − 3 

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 0 

= 2 : 




⎧ 2 

2x 

− 3x 

− 2 

⎪ 

khi x ≠ 2 

f ( x) 

= ⎨ 2x 

− 4 

⎪ 3 

khi x = 2 

⎪⎩ 2 


2x 

− 3 

a) y = 

b) y = (1 + cot x) 

2 

x − 2 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là 

chân đường cao vẽ từ A của tam giác ACD. 

a) Chứng minh: CD ⊥ BH. 

b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABH. Chứng minh AK ⊥ (BCD). 

c) Cho AB = AC = AD = a. Tính cosin của góc giữa (BCD) và (ACD). 



Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm: cos x − x = 0 

3 2 

Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = −x − 3x + 9x 

+ 2011 có đồ thị (C). 

a) Giải bất phương trình: f ′( x) ≤ 0 . 

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. 


Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm nằm trong khoảng 

2 2 3 

( − 1; 2) : ( m + 1) x − x − 1 = 0 

2 

2x 

+ x + 1 

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y = 

có đồ thị (C). 

x −1 

a) Giải phương trình: y′ = 0 . 

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 




1 a) 

2 

3x − 2x −1 ( x − 1)(3 x + 1) 

lim 

= lim 

x→1 3 

x x 1 2 

−1 → ( x − 1)( x + x + 1) 

0,50 

3x 

+ 1 4 

= lim = 

x→1 

2 

x + x + 1 3 

2 

0,50 


) 

Viết được ba ý 

⎧lim( x − 3) = 0 

− 

x→3 

⎪ − 

⎨x 

→ 3 ⇔ x − 3 < 0 

⎪ lim( x + 3) = 6 > 0 

− ⎪⎩ 

x→3 

0,75 

2 

x + 3 

Kết luận được lim 

− 

= −∞ 

x→3 

x − 3 

⎧ 2 

2x 

− 3x 

− 2 

⎪ 

khi x ≠ 2 

f ( x) 

= ⎨ 2x 

− 4 

⎪ 3 

khi x = 2 

⎪⎩ 2 

0,25 

0,25 

Tập xác định D = R. Tính được f(2) = 3 2 

2 

2x 

− 3x 

− 2 ( x − 2)(2x 

+ 1) 2x 

+ 1 5 

lim f ( x) = lim = lim = lim = 

x→2 x→2 

2 x − 4 x→2 

2( x − 2) x→2 

2 2 

0,50 

Kết luận hàm số không liên tục tại x = 2. 0,25 

3 a) 2x 

− 3 −1 

y = ⇒ y ' = 

2 

x − 2 ( x − 2) 

0,50 

b) 

y = (1 + cot x) 

2 

⎛ −1 

⎞ 

2 

⇒ y′ 

= 2(1 + cot x) ⎜ 2(1 cot x)(1 cot x) 

2 ⎟ = − + + 

⎝ sin x ⎠ 

0,50 

4 a) 

0,25 

5a 

a) AB ⊥ AC, AB ⊥ AD ⇒AB ⊥ (ACD) ⇒ AB ⊥ CD (1) 0,25 

AH ⊥ CD (2). Từ (1) và (2) ⇒ CD ⊥ (AHB) ⇒ CD ⊥ BH 0,50 

b) AK⊥ BH, AK ⊥ CD (do CD ⊥ (AHB) (cmt) 0,50 

⇒ AK⊥ (BCD) 0,50 

c) 

Ta có AH ⊥ CD, BH ⊥ CD ⇒ (( BCD),( ACD) ) = AHB 

 

0,25 

Khi AB = AC = AD = a thì AH = 

BH = 

2 

CD a 2 

= 0,25 

2 2 

2 2 2 a a 6 

AB + AH = a + = 0,25 

2 2 

AH 1 

cos AHB = = BH 3 

0,25 

2 

⎡ π ⎤ 

Đặt f(x) = cos x − x ⇒ f(x) liên tục trên (0; +∞ ) ⇒ f(x) liên tục trên ⎢0; ⎣ 2 

⎥ 

⎦ 

0,25 


6a a) 

5b 

b) 

⎛ π ⎞ π ⎛ π ⎞ 

f (0) = 1, f ⎜ ⎟ = − ⇒ f (0). f ⎜ ⎟ < 0 

⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ 

0,50 

⎛ π ⎞ 

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên ⎜ 0; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

0,25 

3 2 

y = f ( x) = −x − 3x + 9x 

+ 2011 ⇒ f ′ 2 

( x) = −3x − 6x 

+ 9 

0,25 

BPT f ′ 

2 

( x) ≤ 0 ⇔ −3x − 6x 

+ 9 ≤ 0 

0,25 

⇔ 

⎡x 

≤ −3 

⎢ 

⎣x 

≥ 1 

x = 1 ⇒ y = 2016 , f ′(1) = 0 

0 0 

0,50 

Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 2016 0,50 

2 2 3 

Đặt f(x) = ( m + 1) x − x − 1 ⇒ f(x) liên tục trên R nên liên tục trên [ − 1; 2] 0,25 

2 

f ( − 1) = m + 1, f (0) = −1 ⇒ f ( − 1). f (0) < 0, ∀m ∈ R 

0,50 

⇒ phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc ( −1;0) ⊂ ( − 1; 2 ) (đpcm) 0,25 

6b a) 2 

2x 

+ x + 1 

y = , TXĐ : D = R\{1}, 

x −1 

2 

2x 

− 4x 

− 2 

y ' = 

2 

( x −1) 

⎡ 

2 2 x = 1− 

2 

Phương trình y’ = 0 ⇔ 2x − 4x − 2 = 0 ⇔ x − 2x 

− 1 = 0 ⇔ ⎢ 

⎢ ⎣x 

= 1 + 2 

0,50 

b) Giao của ( C) với Oy là A(0; –1) 0,25 

x = 0, y = − 1, k = f ′(0) = − 2 

0,20 

0 0 

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 

Đề số 5 



2 

0,50 

0,50 

= −2x 

− 1 

0,50 




x − 3x 

+ 2 

2 

a) lim 

lim x + 2x −1 

− x 

x→2 

3 

x − 2x 

− 4 

x→+∞ 


= 1: 

⎧ 2 

⎪ 

2x 

− 3x 

+ 1 

f ( x) 

= khi x ≠ 1 

⎨ 2x 

− 2 

⎪ 

⎩2 khi x = 1 


3 

b) ( ) 

a) y = ( x + 2)( x + 1) 

b) y = 3sin x.sin 3x 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc 

với đáy. 

a) Chứng minh tam giác SBC vuông. 

b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC) ⊥ (SBH). 

c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). 



Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m: 

5 2 4 

(9 − 5 m) x + ( m −1) x − 1 = 0 


2

2 4 

Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = 4x − x có đồ thị (C). 

a) Giải phương trình: f ′( x) = 0 . 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. 


Câu 5b: (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức 2a + 3b + 6c 

= 0 . Chứng minh rằng 

phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1): ax + bx + c = 0 

2 4 

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = 4x − x có đồ thị (C). 

a) Giải bất phương trình: f ′( x) < 0 . 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 




1 a) 2 

x − 3x + 2 ( x −1)( x − 2) 

lim = lim 

x→2 3 

x x x 2 2 

− 2 − 4 → ( x − 2)( x + 2x 

+ 2) 

0,50 

x −1 1 

= lim = 

x→2 

2 

x + 2x 

+ 2 10 

0,50 

b) 

lim ( 2 

x + 2x −1 − x) 

= lim 

2x 

−1 

x→+∞ 

x→+∞ 

2 

x + 2x − 1 + x 

0,50 

= 

1 

2 − 

x = 1 

2 1 

1+ − + 1 

2 

x x 

0,50 

2 f(1) = 2 0,25 

2 

2x 

− 3x 

+ 1 ( x −1)(2 x −1) 2x 

−1 

lim f ( x) = lim = lim 

= lim = 1 

x→1 x→1 

2( x − 1) x →1 2( x −1) x →1 

2 2 

0,50 

Kết luận hàm số liên tục tại x = 1 0,25 

3 a) 3 4 3 

y = ( x + 2)( x + 1) ⇒ y = x + x + 2x 

+ 2 

0,50 

4 

b) 

3 2 

⇒ y' = 4x + 3x 

+ 2 

0,50 

2 2 

y = 3sin x.sin3 x ⇒ y ' = 6sin x cos x.sin3x + 6sin x.cos3x 

0,50 

= 6sin x(cos x sin 3x + sin x cos3 x) = 5sin x sin 4x 

0,50 

2 

0,25 

a) SA ⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ SA, BC ⊥ AB (gt)⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB 0,50 

Vậy tam giác SBC vuông tại B 0,25 

b) SA ⊥ (ABC) ⇒ BH ⊥ SA, mặt khác BH ⊥ AC (gt) nên BH ⊥ (SAC) 0,50 


5a 

6a a) 

5b 

BH ⊂ (SBH) ⇒ (SBH) ⊥ (SAC) 0,50 

c) Từ câu b) ta có BH ⊥ (SAC) ⇒ d( B,( SAC)) = BH 

b) 

6b a) 

1 1 1 

= + 

BH AB BC 

BH 

2 

2 2 2 

2 2 

AB BC 2 10 

= = ⇒ BH = 

2 2 

AB + BC 5 5 

5 2 4 

Gọi f ( x) = (9 − 5 m) x + ( m −1) x − 1 ⇒ f ( x) liên tục trên R. 0,25 

2 

⎛ 5 ⎞ 3 

f (0) = − 1, f (1) = ⎜ m − ⎟ + ⇒ f (0). f (1) < 0 

⎝ 2 ⎠ 4 

0,50 

⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) với mọi m 0,25 

2 4 

y = f ( x) = 4x − x , f ′ 

3 2 

( x) = − 4x + 8 x ⇒ f ′( x) = −4 x( x − 2) 

0,50 

⎡ x 

Phương trình f ′ 

2 = ± 2 

( x) = 0 ⇔ −4 x( x − 2) = 0 ⇔ ⎢ 

0,50 

⎢⎣ x = 0 

x = 1 ⇒ y = 3, k = f ′(1) = 4 

0,50 

0 0 

Phương trình tiếp tuyến là y − 3 = 4( x −1) ⇔ y = 4x 

− 1 

0,50 

Đặt f(x)=ax 2 + bx + c ⇒ f ( x) liên tục trên R. 

• f (0) = c , 

• Nếu c = 0 thì f 

⎛ 2 ⎞ 4 2 1 c c 

f ⎜ ⎟ = a + b + c = (4 a + 6 b + 12 c ) − = − 

⎝ 3 ⎠ 9 3 9 3 3 

⎛ 2 ⎞ 

⎜ ⎟ = 0 

⎝ 3 ⎠ 

0,50 

0,50 

0,25 

⇒ PT đã cho có nghiệm 2 (0;1) 

3 ∈ 0,25 

2 

⎛ 2 ⎞ c 

• Nếu c ≠ 0 thì f (0). f ⎜ ⎟ = − < 0 ⇒ PT đã cho có nghiệm 

⎝ 3 ⎠ 3 

2 

α ∈ 

⎛ ⎜ 0; ⎟ ⊂ (0;1) 

⎝ 3 ⎠ 

0,25 

Kết luận PT đã cho luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) 0,25 

2 4 3 2 

y = f ( x) = 4 x − x ⇒ f ′( x) = − 4x + 8 x ⇔ f ′( x) = −4 x( x − 2) 

0,25 

Lập bảng xét dấu : 

f 

′( x) 

Kết luận: f ( x) 0 x ( 2;0) ( 2; ) 

−∞ − 2 

2 +∞ 

0,50 

′ < ⇔ ∈ − ∪ +∞ 0,25 

b) Giao của đồ thị với Oy là O(0; 0) 0,25 

Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại O là k = 0 0,25 

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 0 0,50 

Đề số 6 



3 

( x − 2) + 8 

a) lim 

lim x + 1 − x 

x →0 

x 

x→+∞ 


= 1: 




b) ( ) 


⎧3 x² − 2x 

−1 

⎪ 

f ( x) = 

khi x > 1 

⎨ x −1 

⎪ ⎩2x 

+ 3 khi x ≤ 1 


x −1 

x + x − 2 

a) y = 

b) y = 

2x 

+ 1 

2x 

+ 1 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA ⊥ 

(ABC), SA = a 3 . 

a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC ⊥ (SAM). 

b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC). 

c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 



Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình: 2x + 4x + x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm 

thuộc (–1; 1). 


x − 3 

a) Cho hàm số y = . Tính y′′ . 

x + 4 

3 2 

2 

4 2 

b) Cho hàm số y = x − 3x 

có đồ thị (C). Viết p/trình tiếp tuyến của (C) tại điểm I(1; –2). 


Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình: x 


3 

− 3x 


a) Cho hàm số y = x.cos 

x . Chứng minh rằng: 2(cos x − y′ ) + x( y′′ 

+ y) = 0 . 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f ( x) = 2x − 3x 

+ 1 tại giao 

điểm của (C) với trục tung. 



Câ Ý 

Nội dung 

Điểm 

u 

1 a) 3 3 2 

( x − 2) + 8 x − 6x + 12x 

lim = lim 

0,50 

x→0 x x→0 

x 

b) 

x→0 

2 

= lim ( x − 6x 

+ 12) = 12 

0,50 

( ) 

1 

lim x + 1 − x = lim 

x→+∞ 

x→+∞ 

x + 1 + x 

0,50 

= 0 0,50 

2 f (1) = 5 

(1) 0,25 

3 x² − 2x 

−1 

lim f ( x) = lim = lim(3x 

+ 1) = 4 

x −1 

(2) 0,25 

lim f x x (3) 0,25 

+ + + 

x→1 x→1 x→1 

− 

− 

x→1 x→1 

Từ (1), (2), (3) ⇒ hàm số không liên tục tại x = 1 0,25 

3 a) x −1 3 

y = ⇒ y' 

= 

2x 

+ 1 2 

(2x 


0,50 

b) 2 2 

x x 2 2x 2x 

5 

y = + − ⇒ y ' = 

+ + 

2x 

+ 1 2 

(2x 

+ 1) 

0,50 

3 


4 

0,25 

5a 

a) Tam giác ABC đều, M ∈ BC, 

MB = MC ⇒ AM ⊥ BC (1) 0,25 

( . . ) 

∆ SAC = ∆SAB c g c ⇒ ∆SBC 

cân tại S ⇒ SM ⊥ BC (2) 0,25 

Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (SAM) 0,25 

b) (SBC) ∩ (ABC) = BC, SM ⊥ BC ( cmt), 

AM ⊥ BC 

0,50 

⇒ (( SBC),( ABC)) 

= SMA 

 

0,25 

a 3 

AM = 

SA 

, SA = a 3 ( gt) ⇒ tan SMA = = 2 

2 

AM 

0,25 

c) Vì BC ⊥ (SAM) ⇒ (SBC) ⊥ (SAM) 0,25 

( SBC) ∩ ( SAM) = SM, AH ⊂ ( SAM), AH ⊥ SM ⇒ AH ⊥ ( SBC) 

0,25 

⇒ d( A,( SBC)) = AH, 

0,25 

2 

2 3a 

2 2 3 a . 

1 1 1 2 SA . AM 

a 3 

= + ⇒ AH = ⇒ AH = 4 = 

2 2 2 2 2 2 

AH SA AM SA + AM 2 3a 

5 

3a 

+ 

4 

4 2 

Gọi f ( x) = 2x + 4x + x − 3 ⇒ f ( x) liên tục trên R 0,25 

f(–1) = 2, f(0) = –3 ⇒ f(–1).f(0) < 0 ⇒ PT f ( x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm 

c 1 

∈( − 1; 0) 

f(0) = –3, f(1) = 4 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f ( x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c 2 

∈ (0;1) 0,25 

Mà c ≠ c 

1 2 

6a a) x − 3 7 

y = ⇒ y' 

= 

x + 4 ( x + 4) 

b) 

−14 

⇒ y" 

= 

( x + 4) 

0,25 

0,25 

⇒ PT f ( x) = 0 có ít nhát hai nghiệm thuộc khoảng ( − 1;1) . 0,25 

3 

2 

3 2 

2 

y = x − 3x 

⇒ y ' = 3x − 6 x ⇒ k = f ′(1) = − 3 

0,50 

x = 1, y = − 2, k = −3 ⇒ PTTT : y = − 3x 

+ 1 

0,50 

0 0 

5b 3 

3 

x − 3x 

+ 1 = 0 (*). Gọi f ( x) = x − 3x 

+ 1⇒ f ( x) liên tục trên R 

f(–2) = –1, f(0) = 1 ⇒ f ( − 2). f (0) < 0 ⇒ ∃c 1 

∈( − 2;0) là một nghiệm của (*) 0,25 

f(0) = 1, f(1) = –1 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ ∃c 2 

∈ (0;1) là một nghiệm của (*) 0,25 

f (1) = − 1, f (2) = 3 ⇒ f (1). f (2) < 0 ⇒ ∃c 3 

∈ (1;2) là một nghiệm của (*) 0,25 

Dễ thấy c , c , c phân biệt nên PT (*) có ba nghiệm phân biệt 

1 2 3 

0,25 

6b a) y = x.cos 

x ⇒ y ' = cos x − x sin x ⇒ y" = −s inx − s inx − x cos x ⇒ y" = − x cos x 0,50 

0,50 

0,50 


2(cos x − y′ ) + x( y′′ 

+ y) = 2(cos x − cos x + x sin x) + x( −2sin x − x cos x + x cos x) 

= 

0,25 

= 2x sin x − 2x sin x = 0 

0,25 

b) Giao điểm của ( C ) với Oy là A(0; 1) 0,25 

3 

y = f ( x) = 2x − 3x 

+ 1 ⇒ y ' = f ′( x) = 6x 2 − 3 

0,25 

k = f ′(0) = − 3 

0,25 

Vậy phương trình tiếp tuyến tại A(0; 1) là y = − 3x 

+ 1 

0,25 

Đề số 7 



3 2 




2x 

+ 3x 

−1 

2 

a) lim 

lim x + x + 1 − x 

x→−1 

x + 1 

x→+∞ 


= 2 : 

⎧ 2( x − 2) 

⎪ 

f ( x) = 

khi x ≠ 2 

⎨ x² − 3x 

+ 2 

⎪ ⎩2 khi x = 2 


2 

b) ( ) 

2x 

−1 

a) y = 

b) y = cos 1− 

2x 2 

x − 2 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO = 

a 3 . Gọi I là trung điểm của SO. 

a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD). 

b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD). 

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD. 



Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng p/trình : x 


5 

− 3x 

= 1 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2). 

a) Cho hàm số y = cot 2x 

. Chứng minh rằng: y′ + 2y 2 + 2 = 0 . 

3x 

+ 1 

b) Cho hàm số y = có đồ thị (C). Viết p/trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7). 

1 − x 



Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình: x = x + 1 có nghiệm. 


x − 3 

2 

a) Cho hàm số y = . Chứng minh rằng: 2 y′ = ( y − 1) y′′ 

. 

x + 4 

3x 

+ 1 

b) Cho hàm số y = có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến 

1 − x 

vuông góc với đường thẳng d: 2x 

+ 2y 

− 5 = 0 . 





1 

a) 

3 2 2 

2x + 3x − 1 ( x + 1)(2 x + x −1) 

lim 

= lim 

x + 1 x + 1 

0,50 

x→−1 x→−1 

b) 

( 2 ) 

= lim (2x 

+ x − 1) = 0 

0,50 

x→−1 

2 

lim x + x + 1 − x = lim 

x + 1 

x→+∞ 

x→+∞ 

2 

x + x + 1 + x 

0,50 

1 

1+ 

1 

= lim x = 

x→+∞ 

1 1 2 

1+ + + 1 

x 2 

x 

0,50 

2 

2( x − 2) 2 

lim f ( x) = lim = lim = 2 

x→2 x→2 ( x −1)( x − 2) x→2 

x −1 

(1) 0,50 

f(2) = 2 (2) 0,25 

Từ (1) và (2) ta suy ra f(x) liên tục tại x = 2 0,25 

3 a) 2 2 

2x 1 2x 8x 

1 

y = − ⇒ y ' = 

− + 

x − 2 2 

( x − 2) 

0,50 

b) 2 

2 2x 

sin 1− 

2x 

y = cos 1− 2 x ⇒ y ' = 

0,50 

2 

1− 

2x 

4 

0,25 

a) Gọi M, N lân lượt là trung điểm của CD và CB. 

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên có: OM ⊥ CD, SM ⊥ CD ⇒ CD ⊥ 

0,25 

(SOM) 

Vẽ OK ⊥ SM ⇒ OK ⊥ CD ⇒ OK ⊥(SCD) (*) 

I là trung điểm SO, H là trung điểm SK ⇒ IH // OK ⇒ IH ⊥ (SCD) (**) 

OK 0,25 

Từ (*) và (**) ta suy ra IH = 

2 

1 a 

a 

OK d I SCD IH 

OK 1 

2 2 2 2 

OM 1 4 3 3 

( ,( )) 

SO 3a 

2 4 

0,25 

b) ∆ SMC = ∆SNC ( c. c. c) 

⇒ MQ ⊥ SC ⇒ NQ ⊥ SC 

0,25 

( SCD) ∩ ( SCB) = SC ⇒ (( SCD),( SCB)) 

= MQN 

 

0,25 

2 2 2 2 2 2 

SM = OM + SO = a + 3a = 4a 

1 1 1 1 1 5 2 4a 

∆ SMC : = + = + = ⇒ MQ = 

2 2 2 2 2 2 

MQ MS MC 4a a 4a 

5 

2 

0,25 


2 2 2 

MQ + NQ − MN 1 

⇒ cos MQN = = 

0 

− ⇒ MQN = 120 

MQ. 

NQ 2 

0,25 

c) AC ⊥ BD, AC ⊥SO ⊂ (SBD) (do SO⊥(ABCD)) ⇒AC⊥(SBD). 

Trong ∆SOD hạ OP ⊥ SD thì cũng có OP⊥ AC 

0,50 

1 a 

d AC BD OP 

OP 1 

SO 1 

2 2 2 2 2 2 

OD 1 1 5 30 

( , ) 

3a 2a 6a 

5 

0,50 

5a 5 

Gọi f ( x) = x − 3x 

− 1 liên tục trên R 0,25 

f ( − 1) = 1, f (0) = −1 ⇒ f ( − 1). f (0) < 0 

0,50 

⇒ phương trình dã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 0) 0,25 

6a a) 

y = cot 2x 

⇒ y′ 2 

= − 

2 

sin 2x 

0,25 

y′ 2 2 

2 

+ 2y + 2 = − + 2 cot 2x 

+ 2 

2 

sin 2x 

0,25 

2 2 

= − 2(1 + cot 2 x) + 2 cot 2x 

+ 2 

0,25 

5b 

2 2 

= −2 − 2 cot 2x 

+ 2 cot 2x 

+ 2 = 0 

0,25 

b) 3x 

+ 1 

y = ⇒ y′ 4 

= 

1 − x ( x −1) 

2 

k = y ′(2) = 4 

0,25 

⇒ PTTT: y 

0,50 

= 4x 

− 15 

0,25 


Gọi f ( x) = x − x − 1 ⇒ f ( x) liên tục trên R 0,25 

17 11 11 6 

f(0) = –1, f (2) = 2 − 2 − 1 = 2 (2 −1) − 1 > 0 ⇒ f (0). f (2) < 0 

0,50 

⇒ phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm 0,25 

6b a) x − 3 7 −14 

y = ⇒ y ' = ⇒ y" 

= 

x + 

2 3 

4 ( x + 4) ( x + 4) 

0,25 

2 49 98 

2y′ = 2. = 

( x + 4) ( x + 4) 

4 4 

⎛ x − 3 ⎞ −14 −7 −14 98 

( y − 1) y′′ 

= ⎜ − 1 ⎟. = . = 

⎝ x + 4 ⎠ ( x + 4) x + 4 ( x + 4) ( x + 4) 

3 3 4 

(*) 0,25 

(**) 0,25 

2 

Tử (*) và (**) ta suy ra: 2 y′ = ( y − 1) y′′ 

0,25 

b) Vì tiếp tuyến vuông góc với d: 2x + 2y 

− 5 = 0 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 1 0,25 

Gọi ( x ; y ) là toạ độ tiếp điểm. 

0 0 

4 

⎡ x = −1 

2 

0 

0,25 

f ′( x ) = k ⇔ = 1 ⇔ ( x − 1) = 4 ⇔ 

0 2 

0 

⎢ 

( x − 1) x = 3 

0 ⎢⎣ 0 

Với x = −1 ⇒ y = −1 ⇒ PTTT : y = x 

0,25 

0 0 

Với x = 3 ⇒ y = −5 ⇒ PTTT : y = x − 8 

0,25 

0 0 

Đề số 8 







2 

x − 4x 

+ 3 

2 

a) lim 

lim x + 1 + x − 1 

x→3 

x −3 

x→−∞ 


= 1: 

⎧ x³ − x² + 2x 

− 2 

⎪ 

f ( x) = 

khi x ≠ 1 

⎨ x −1 

⎪ ⎩4 khi x = 1 


b) ( ) 

= − b) ( 2 ) 

a) y tan 4x cos x 

y = x + 1 + x 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD), 

SA = a 2 . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD. 

a) Chứng minh rằng MN // BD và SC ⊥ (AMN). 

b) Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo 

vuông góc. 

c) Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD). 



4 3 2 

Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình 3x − 2x + x − 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm 

thuộc khoảng (–1; 1). 


5 3 

a) Cho hàm số f ( x) = x + x − 2x 

− 3. Chứng minh rằng: f ′(1) + f ′( − 1) = − 6. f (0) 

2 

2 − x + x 

b) Cho hàm số y = có đồ thị (C). Viết p/ trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4). 

x −1 


Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng p/ trình x 


a) Cho hàm số 

2 − x + x 

b) Cho hàm số y = 

x −1 

tuyến có hệ số góc k = –1. 

2 

5 3 

x + 2x 

+ 2 

y = . Chứng minh rằng: 2 y. y′′ − 1 = y′ 

2 . 

2 

2 


− 10x 

+ 100 = 0 có ít nhất một nghiệm âm. 

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp 



Nội dung 

Điểm 

2 

x − 4x + 3 ( x −3)( x −1) 

lim = lim 

x −3 x − 3 

0,50 

= lim( x − 1) = 2 

0,50 

x→3 x→3 

x→−∞ 

x→3 

( 2 ) 

lim x + 1 + x − 1 = lim 

x→−∞ 

2x 

1 

0,50 

x . 1+ − x + 1 

2 

x 


( x − 1)( x + 2) 

lim f ( x) = lim 

x→1 x→1 

x −1 

x 2 

x→1 

2 

= lim −1 

x→−∞ 

1 1 

− 1+ − 1+ 

x 2 x 

2 

0,50 

0,25 

= lim( + 2) = 3 

0,25 

f(1) = 4 0,25 

⇒ hàm số không liên tục tại x = 1 0,25 

4 

y = tan 4x − cos x ⇒ y' = + sin x 

0.50 

2 

cos 4x 

10 9 ⎛ 

( 2 ) 2 

x 

⎞ 

y = x + 1 + x ⇒ y' = 10 

⎛ 

x 1 x 

⎞ 

⎜ + + ⎟ + 1 

⎝ ⎠ ⎜ 2 ⎟ 

⎝ x + 1 ⎠ 

2 


⎛ 

x 1 x 

⎞ 

⎜ + + ⎟ 

⇒ y ' = 

⎝ ⎠ 

2 

x + 1 


0,25 

0,25 

SN SM 

∆SAD 

= ∆SAB 

, AN ⊥ SD, 

AM ⊥ SB ⇒ = ⇒ MN BD 

0,25 

SD SB 

 

SC. AN = ( AC − AS) . AN = ( AD + AB − AS) 

. AN = AD. AN + AB. AN − AS. 

AN 

0,25 

 

= ( AD − AS) 

. AN = SD. AN = 0 ⇒ SC ⊥ AN 

 

SC. AM = ( AC − AS) . AM = ( AD + AB − AS) 

. AM = AD. AM + AB. AM − AS. 

AM 

0,25 

 

= ( AB − AS) 

. AM = SD. AM = 0 ⇒ SB ⊥ AM 

Vậy SC ⊥ ( AMN) 

0,25 

SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ BD, AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( SAC) ⇒ BD ⊥ AK ⊂ ( SAC) 

0,50 

AK ⊂ ( AMN) 

,MN // BD ⇒ MN ⊥ AK 

0,50 

SA ⊥ ( ABCD) 

⇒ AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) ⇒ 

( SC,( ABCD) ) = SCA 

 

SA a 2 

0 

tan SCA = = = 1 ⇒ ( SC,( ABCD) ) = 45 

0,50 

AC a 2 

4 3 2 

Gọi f ( x) = 3x − 2x + x − 1 ⇒ f ( x) liên tục trên R 0,25 

f(–1) = 5, f(0) = –1 ⇒ f(–1).f(0) < 0 ⇒ f ( x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm 0,25 

0,50 


c 1 

∈( − 1;0) 

f0) = –1, f(1) = 1 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ f ( x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm 

c 2 

∈ (0;1) 

c 

≠ c ⇒ phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng ( –1; 1) 0,25 

1 2 

5 3 

f ( x) = x + x − 2x 

− 3 ⇒ 

f ′ 4 2 

( x) = 5x + 3x − 2, f ′(1) = 6, f ′( − 1) = 6, f ′(0) = − 2 

Vậy: f ′(1) + f ′( − 1) = − 6. f (0) 

0,50 

2 2 

2 − x + x x − 2x 

−1 

y = ⇒ y ' = ⇒ k = f ′(2) = −1 

x −1 2 

( x −1) 

x = 2, y = 4, k = −1 ⇒ PTTT : y = − x + 2 

0,50 

0 0 

5 3 

Gọi f ( x) = x − 10x 

+ 100 ⇒ f ( x) liên tục trên R 0,25 

5 4 4 

f(0) = 100, f ( − 10) = − 10 + 10 + 100 = − 9.10 + 100 < 0 

⇒ f (0). f ( − 10) < 0 

⇒ phương trình có ít nhất một nghiệm âm c ∈( − 10;0) 

0,25 

y′ 2 2 2 

= x + 1 ⇒ y′′ = 1⇒ 2 y. y′′ 1 = ( x + 2x + 2).1− 1 = ( x + 1) = y′ 

(đpcm) 0,50 

2 2 

2 x x x 2x 

1 

y = − + ⇒ y ' = 

− − 

x −1 2 

( x −1) 

Gọi ( x ; y ) là toạ độ tiếp điểm. 

⇒ 

0 0 

2 

x x x 

y x 

0 

− 2 

0 

−1 ′ 2 

⎡ 

x x 

0 

= 0 

( 

0) = 1 ⇔ = −1 ⇔ 

2 

0 

− 2 

0 

= 0 ⇔ ⎢ 

( x −1) 

⎣x0 

= 2 

0 

Nếu x = 0 ⇒ y = −2 ⇒ PTTT : y = −x 

− 2 

0,25 

0 0 

Nếu x = 2 ⇒ y = 4 ⇒ PTTT : y = − x + 6 

0,25 

0 0 

Đề số 9 



2 




a) lim 2x 

+ x −1 

x + 2 − 2 

b) lim 

x→+∞ 

3 2 

x + 2 x 

x→2 

x 2 − 4 


= 1: 

⎧ x + 1 khi x ≤ 1 

⎪ 

f ( x) = ⎨ 1 

⎪ 

khi x > 1 

⎩ x² − 3x 


x − 2x 

+ 3 

a) y = sin(cos x) 

b) y = 

2x 

+ 1 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh 

SA = a và SA ⊥ (ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và 

SD. 

2 

0,25 

0,50 

0,50 

0,50 

0,25 

0,25 


a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD). 

b) Chứng minh (AEF) ⊥ (SAC). 

c) Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD). 



Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x 

biệt thuộc (–1; 2). 


a) Cho hàm số y = cos x . Tính y′′ . 

3 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số 

với trục hoành. 


Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x 


5 

− 3x 

− 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm phân 

3 2 

a) Cho hàm số y = 2x − x 2 . Chứng minh rằng: y 3 y′′ + 1 = 0 . 

3x 

+ 1 

y = tại giao điểm của (C) 

1 − x 

+ 4x 

− 2 = 0 có ít nhất hai nghiệm. 

2x 

−1 

b) Viết p/ trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = tại điểm có tung độ bằng 1. 

x − 2 




1 a) 

1 1 

2 2 + − 

2x + x − 1 x 2 

lim 

= lim x 

x→+∞ 

2 

3x 

+ 2x 

x→+∞ 

2 

3 + 

x 

0,50 

2 

= 

3 

0,50 

b) x + 2 − 2 x − 2 

lim = lim 

x→2 

2 

x − 4 x→+∞ 

x − 2 x + 2 x + 2 + 2 

0,50 

1 

= lim = 0 

x →+∞ ( x + 2) ( x + 2 + 2 ) 

2 ⎧ x + 1 khi x ≤ 1 

⎪ 

f ( x) = ⎨ 1 

⎪ 

khi x > 1 

⎩ x² − 3x 

( ) ( ) ( ) 

− 

− 

x→1 x→1 

( )( )( ) 

0,50 

lim f x = lim x + 1 = f 1 = 2 

0,50 

1 1 

lim f ( x) = lim = − 

x→ 1+ 2 

x→ 1 

x − 3x 

2 

0,25 

f ( x) không liên tục tại x =1 0,25 

3 a) y = sin(cos x) ⇒ y ' = − sin x.cos(cos x) 

0,50 

b) ( x − 2)( 2x 

+ 1) 

2 2 

x − 2x + 3 

y = ⇒ y ' = 

x − 2x 

+ 3 

2x 

+ 1 

( 2x 

+ 1) 

2 

2 

− 2 x − 2x 

+ 3 

0,25 


4 

= 

( ) 

2 

x − 8 

x + x − x + 

2 

2 1 2 3 

0,25 

a) Vì SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ BC, BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB) 

0,50 

SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ CD, CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD) 

0,50 

b) SA ⊥ ( ABCD), 

SA = a , các tam giác SAB, SAD vuông cân ⇒ FE là 

đường trung bình tam giác SBD ⇒ FE BD 

0,25 

BD ⊥ AC ⇒ FE ⊥ AC, SA ⊥ ( ABCD) 

⇒ BD ⊥ SA ⇒ FE ⊥ SA 

0,50 

FE ⊥ ( SAC), FE ⊂ ( AEF) ⇒ ( SAC) ⊥ ( AEF) 

0,25 

c) 


nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) ⇒ ϕ = SCA 

0,50 

SA a 1 

0 

⇒ tanϕ 

= = = ⇒ ϕ = 45 

AC a 2 2 

0,50 

5a 5 

Gọi f ( x) = x − 3x 


f(0) = –1, f(2) = 25 ⇒ f (0). f (2) < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm 

6a a) 

b) 

c ∈ 

1 ( 0;2) 

f(–1) = 1, f(0) = –1 ⇒ f(–1).f(0) < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm 

c 2 

∈( − 1;0) 

c 

1 2 

0,25 

0,25 

≠ c ⇒ PT có ít nhất hai nghiệm thực thuộc khoảng (–1; 2) 0,25 

3 2 3 

y = cos x ⇒ y ' = −3cos x.sin x ⇒ y' = − (sin 3x + sin x) 

4 

0.50 

3 

y" = − ( 3cos3x + cos x) 

4 

0.50 

1 

Giao của (C) với Ox là A ⎛ 

⎜ 0; − 

⎞ 

⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

0,25 

y ' = 

4 

⇒ k = f ' 

2 

( 0) 

= 4 

x −1 

0,50 

( ) 

5b 

1 

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là y = 4x 

− 0,25 

3 

3 2 

Gọi f ( x) = x + 4x 


f(0) = –2, f(1) = 3 ⇒ f(0).f(1) < 0 ⇒ PT có ít nhất một nghiệm c ∈ 

1 ( 0;1) 

0,25 

f(–1) = 1, f(0) = –2 ⇒ f ( − 1). f (0) < 0 

⇒ PT có ít nhất một nghiệm c ∈ 

2 ( − 1;0 ) 

0,25 


Dễ thấy c ≠ c ⇒ phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực. 

1 2 

0,25 

6b a) 

2 1− 

x 1− 

x 

y = 2 x − x ⇒ y ' = ⇒ y ' = 

2 

2x 

− x 

y 

0,25 

2 2 2 2 

y (1 x) y′ 

y x x x x x 

y′′ − − − − −(1 − ) − 2 + − 1+ 2 − −1 

= = = = 

2 3 3 3 

y y y y 

0,50 

1 

⇒ " + 1 = . + 1 = − 1+ 1 = 0 (đpcm) 0,25 

3 3 − 

y y y 

y 

3 

b) 2x 

−1 

y = 

x − 2 

( C ) 

2x 

−1 

y = 1 ⇔ = 1 ⇔ 2x − 1 = x −1 ⇔ x = 0 ⇒ A(0; 1) 

x −1 

−3 3 

y ' = ⇒ k = f 

2 

( 0) 

= − 

x − 2 

4 

( ) 

0,50 

0,25 

3 

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − x + 1 

0,25 

4 




2 

x − 4x 

+ 3 

2x 

+ 1 −1 

a) lim b) lim 

x→1 

2 

2 

x − 3 x + 2 

x→0 

2 

x + 3x 


= 2 : 

⎧ 

⎪ 

1− 

2x 

− 3 

f ( x) 

= khi x ≠ 2 

⎨ 2 − x 

⎪ 

⎩1 khi x = 2 


a) 

2 − 2x 

+ x 

y = 

2 

x −1 

2 




b) y = 1+ 

2 tan x 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 , 

SD= a 7 và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. 

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. 

b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD). 

c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND). 



Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình (1 − m ) x − 3x 

− 1 = 0 luôn có nghiệm với 

mọi m. 


a) Cho hàm số y = x sin x . Tính y ′′ 

⎛ π ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 

4 2 

b) Cho hàm số y = x − x + 3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có 

hoành độ bằng 1. 

2 5 



Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x 2 cos x + x sin x + 1 = 0 có ít nhất một 

nghiệm thuộc khoảng (0; π). 


a) Cho hàm số y = sin 

4 x + cos 

4 x . Tính y ′′ 

⎛ π ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 

4 2 

b) Cho hàm số y = x − x + 3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp 

tuyến vuông góc với đường thẳng d: x + 2y 

− 3 = 0 . 


ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2012 – 2013 



NỘI DUNG 



2 

x − 4x 

+ 3 

a) lim = 0 

x→1 

2 

2x 

− 3x 

+ 2 

b) 

2x 

+ 1 − 1 2x 

2 2 

lim = lim = lim 

= 

x + 3 x x( x + 3) ( 2x 

+ 1 + 1) 

( x + 3) 2x 

+ 1 3 

x → 0 2 

x → 0 x → 0 


= 2 : 

ĐIỂM 

1,0 

1,0 

⎧ 

⎪ 

1− 

2x 

− 3 

f ( x) 

= khi x ≠ 2 

⎨ 2 − x 

⎩ 

⎪ 1 khi x = 2 

2(2 − x) 2 

lim f ( x) = lim = lim = 1= f(2) 

x→ x x 

x ( x ) 

→ 2 → 

(2 − ) 1+ 2 − 3 

2 1+ 2x 

−3 

0,50 

Vậy hàm số liên tục tại x = 2 0,50 


a) 

b) 

2 2 

2 − 2x + x −2x − 6x 

+ 2 

y = ⇒ y′ 

= 

2 2 2 

x −1 ( x −1) 

y = 1+ 2 tan x ⇒ y′ 

= 

1+ 

tan 

2 

x 

1+ 

2 tan x 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD 

= a 3 , SD= a 7 và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. 

0,50 

0,50 

0,25 


a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. 

⎧SA 

⊥ AB 


⇒ ⎨ ⇒ các tam giác SAB, SAD vuông tại A 

⎩SA 

⊥ AD 

⎧BC 

⊥ AB 

⎨ ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC 

vuông tại B 0,25 

⎩BC 

⊥ SA 

⎧CD ⊥ AD 

⎨ ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆ SDC vuông tại D 0,25 

⎩CD 

⊥ SA 

b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD). 

( SCD) ∩ ( ABCD) 

= CD 

0,50 

AD ⊂ ( ABCD), 

AD ⊥ CD , SD ⊂ ( SCD), 

SD ⊥ CD 

( ) 

AD a 3 21 

( SCD),( ABCD) = SDA; cos SDA = = SD a 7 

= 7 

0,50 

c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND). 

⎧AB 

⊥ SA 

⎨ ⇒ AB ⊥ ( SAD), MN AB ⇒ MN ⊥ ( SAD) 

0,25 

⎩AB 

⊥ AD 

⇒ ( MND) ⊥ ( SAD), ( MND) ∩ ( SAD) = DM, SH ⊥ DM ⇒ SH ⊥ ( MND) 

0,25 

⇒ d( S,( MND)) 

= SH 

2 2 2 2 2 2 SA AD a 3 

SA = SD − AD = 7a − 3a = 4a ⇒ MA = = a ⇒ tan SMH = = = 3 

2 

AM a 

0 

⇒ AMH = 60 

0 a 3 

∆ SHM : SHM = 90 ⇒ SH = SM.sin 

SMH = 0,25 

2 

II- Phần riêng (3 điểm) 

1. Theo chương trình chuẩn 

Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình (1 − m ) x − 3x 

− 1 = 0 luôn có nghiệm với 

mọi m. 

2 5 

Gọi f(x) = (1 − m ) x − 3x 

− 1 ⇒ f(x) liên tục trên R 0,25 

2 

f(0) = –1, f(–1) = m + 1 ⇒ f ( − 1). f (0) < 0 

0,50 

⇒ phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 0) 0,25 


2 5 

0,25 

0,25 


a) Cho hàm số y = x sin x . Tính y ′′ 

⎛ π ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 

y ' = sin x + x cos x ⇒ y" = cos x + sin x − x sin x 

⎛ π ⎞ π 

⇒ y" ⎜ ⎟ = 1− 

⎝ 2 ⎠ 2 

4 2 

b) Cho hàm số y = x − x + 3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có 


x = 1 ⇒ y = 3 

0,25 

0 0 

y′ 3 

= 4x − 2 x ⇒ k = y′ 

(1) = 2 

0,50 

Phương trình tiếp tuyến là y = 2x + 1 0,25 


Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x 2 cos x + x sin x + 1 = 0 có ít nhất một 

nghiệm thuộc khoảng (0; π). 

2 

Gọi f ( x) = x cos x + x sin x + 1 ⇒ f ( x) liên tục trên R 0,25 

2 

f (0) = 1, f ( π ) = − π + 1 < 0 ⇒ f (0). f ( π ) < 0 

0,50 

⇒ phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc ( 0;π ) 

0,25 


a) Cho hàm số y = sin 

4 x + cos 

4 x . Tính y ′′ 

⎛ π ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 

1 3 1 1 1 

Viết lại y = 1− sin 2 2x ⇒ y = − cos 4 x ⇒ y ' = sin 4 x ⇒ y" = cos4x 

2 4 4 16 64 

0,75 

⎛ π ⎞ 1 1 

⇒ y" ⎜ ⎟ = cos2π 

= 

⎝ 2 ⎠ 64 64 

0,25 

4 2 

b) Cho hàm số y = x − x + 3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết 

tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x + 2y 

− 3 = 0 . 

1 3 

d : y = − x + ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = 2 

2 2 

0,25 

y′ 3 

= 4x − 2x 

3 

Gọi ( x ; y ) là toạ độ của tiếp điểm ⇒ 4x − 2x 3 

= 2 ⇔ 2x − x − 1 = 0 ⇒ x = 1 

0,50 

0 0 

0 0 0 0 0 

⇒ y 0 

= 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y = 2x + 1 0,25 




2 

0,50 

0,50 




2 − x − x 

7x 

−1 

a) lim 

b) lim 

x 

+ 

→1 

x −1 

x→3 

x − 3 


= 3: 

⎧ 2 

⎪ 

x − 5x 

+ 6 

f ( x) 

= khi x > 3 

⎨ x − 3 

⎪ 

⎩2x 

+ 1 khi x ≤3 



a) y x x 2 3 

= + 1 

b) y = 

2 

(2x 

+ 5) 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc 

với đáy, SA = a 2 . 

a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông. 

b) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD) . 

c) Tính góc giữa SC và mp (SAB) . 



⎛ 

Câu 5a: (1,0 điểm) Tính giới hạn: 

1 1 1 ⎞ 

lim ⎜ + + ... + ⎟ 

⎝1.2 2.3 n( n + 1) ⎠ . 


a) Cho hàm số f ( x) = x.tan 

x . Tính f ′′ 

⎛ π ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 4 ⎠ . 

x −1 

b) Cho hàm số y = có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có 

x + 1 

hoành độ x = – 2. 


⎧u 

u 

Câu 5b: (1,0 điểm) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết: 

4 

− 

2 

= 72 

⎨ 

. 

⎩u5 − u3 

= 144 


a) Cho hàm số f ( x) = 3( x + 1)cos x . Tính f ′′ 

⎛ π ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 

x −1 

b) Cho hàm số y = có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết 

x + 1 

x − 2 

tiếp tuyến song song với d: y = . 

2 






1 a) 

2 

2 − x − x −( x − 1)( x + 2) 

lim = lim 

x→1 x −1 x→1 

x −1 

0,50 

= lim( −x 

− 2) = − 3 

0,50 

2 

b) 

x→1 

Tính 

⎧lim( x − 3) = 0 

+ 

x 

7x 

−1 

→3 

lim 

+ 

x − 3 

. Viết được ⎪ 

⎨lim(7x 

− 1) = 20 > 0 

+ 

x→3 

⎪ 

⎪ 

+ 

⎩x → 3 ⇔ x > 3 ⇔ x − 3 > 0 

x→3 

7x 

−1 

⇒ lim = +∞ 

+ 

x→3 

x − 3 

⎧ 2 

⎪ 

x − 5x 

+ 6 

f ( x) 

= khi x > 3 

⎨ x − 3 

⎩ 

⎪ 2x 

+ 1 khi x ≤3 

0,75 

0,25 

0,50 


lim f ( x ) = lim(2 x + 1) = f (3) = 7 

− 

− 

x→3 x→3 

2 

x − 5x 

+ 6 

lim f ( x) = lim = lim( x − 2) = 1 

+ + + 

x→3 x→3 x − 3 x→3 

0,25 

⇒ hàm số không liên tục tại x = 3 0,25 

3 a) 2 

2 2 x 

y = x x + 1 ⇒ y ' = x + 1 + 

2 

x + 1 

0,50 

4 

2 

2x 

+ 1 

y' 

= 

2 

x + 1 

b) 3 − 12(2x 

+ 5) 

y = ⇒ y' 

= 

2 4 

(2x 

+ 5) (2x 

+ 5) 


⇒ y ' = − 

(2x 

+ 5) 

3 

0,50 

0,50 

0,50 

0,25 

a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông. 

⎧SA 

⊥ AB 

0,25 


⇒ ⎨ ⇒ các tam giác SAD và SAB đều vuông tại A 

⎩SA 

⊥ AD 

⎧CD ⊥ AD 

⎨ ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆ SDC vuông tại D 

⎩CD 

⊥ SA 

0,25 

⎧BC 

⊥ AB 

⎨ ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC 

vuông tại B 

⎩BC 

⊥ SA 

0,25 

b) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD) . 

⎧BD 

⊥ AC 

⇒ BD ⊥ ( SAC) 

0,50 

⎨ 

⎩BD 

⊥ SA 

BD ⊂ ( SBD), BD ⊥ ( SAC) ⇒ ( SAC) ⊥ ( SBD) 

0,50 

c) Tính góc giữa SC và mp (SAB) . 


⇒ hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC 

0,25 

⇒ ϕ = ( 

 

SC,( ABCD)) = ( 

 

SC, AC) 

= SCA 

 

0,25 

∆ SAC vuông tại A nên , AC = a 2, SA = a 

0 

2 ( gt) ⇒ ϕ = SCA = 45 0,50 

5a 1 1 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 

+ + + ... = ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... ⎜ − ⎟ = 1− 

1.2 2.3 3.4 n( n + 1) 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ n n + 1⎠ 

n + 1 

0,50 

⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

lim ⎜ + + ... + ⎟ = lim ⎜1− ⎟ = 1 

⎝1.2 2.3 n( n + 1) ⎠ ⎝ n + 1⎠ 

0,50 

6a a) f ( x) = x.tan 

x 

0,25 


5b 

b) 

6b a) 

x 

f ′ 

2 2 

( x) = tan x + ⇒ f ′( x) = tan x + x(1 + tan x) = tan x + x tan x + x 

2 

cos x 

2 2 2 

Tìm được f "( x) = 1+ tan x + tan x + 2x tan x(1 + tan x) + 1 

0,25 

2 

Rút gọn f "( x) = 2(1 + tan x)(1 + x tan x) 

0,25 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

Tình được f " ⎜ ⎟ = 2(1 + 1) ⎜1+ ⎟ = π + 4 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

0,25 

x −1 

Cho hàm số y = (C). Viết PTTT của (C) tại điểm có hoành độ x = – 

x + 1 

2. 

Tọa độ tiếp điểm x = −2 ⇒ y = 3 

0 0 

0,25 

2 

y ' = 

2 

( x + 1) 

⇒ hệ số góc tiếp tuyến là k = f ′(–2) = 2 0,50 

Phuơng trình tiếp tuyến là y = 2x +7 0,25 

3 

⎧u4 − u2 

= 72 ⎧⎪ 

u q − u q = 72 (1) 

1 1 

⎨ 

⇔ 

⎩u5 − u3 

= 144 

⎨ 

4 2 

⎪⎩ u q − u q = 144 (2) 

1 1 

0,25 

2 

⎧⎪ 

u q( q − 1) = 72 

1 

Dễ thấy u ≠ 0, q ≠ 0 ⇒ 

1 ⎨ 

2 2 

⎪⎩ u q ( q − 1) = 144 

1 

⇒ q = 2 

0,50 

⇒ u 1 


0,25 

f ( x) = 3( x + 1)cos x ⇒ f ′( x) = 3cos x − 3( x + 1)sinx 

0,25 

f ′′( x) = −3sin x − 3cos x − 3( x + 1) cos x = − 3(sin x + x.cos x + 2 cos x) 

0,50 

⎛ π ⎞ 

f " ⎜ ⎟ = − 3 

⎝ 2 ⎠ 

b) x −1 

y = ⇒ y′ 2 

= 

x + 1 ( x + 1) 

2 

x 2 

Vì TT song song với d: y = − 

2 

nên TT có hệ số góc là k = 1 2 

Gọi ( x0; y0) là toạ độ của tiếp điểm ⇒ 0,25 

2 1 

⎡ x = −3 

2 

0 

= ⇔ ( x + 1) = 4 ⇔ 

2 

0 

⎢ 

( x + 1) 2 

x = 1 

0 ⎢⎣ 0 

Với x = −3 ⇒ y = 2 ⇒ PTTT : y = 2x 

+ 8 

0,25 

0 0 

0,25 

0,25 

Với x = 1 ⇒ y = 0 ⇒ PTTT : y = 2x 

− 2 

0,25 

0 0 




a) 

8x 

−1 

lim 

6 

2 

x − 5 x + 1 

1 

x→ 

2 

3 




b) 

lim 

x→0 

x 

x 

3 

2 

+ 1 −1 

+ x 



⎧ 2 

⎪ 

x + x − 2 

f ( x) 

= khi x ≠ 1 

⎨ x −1 

⎪ 

⎩m 

khi x = 1 


2 

2 − 2x 

+ x 

a) y = 

b) y = 1+ 2 tan x . 

2 

x −1 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). 

a) Chứng minh: (SAB) ⊥ (SBC). 

b) Chứng minh: BD ⊥ (SAC). 


3 



⎛ 1 2 n −1 

⎞ 

Câu 5a: (1,0 điểm) Tính giới hạn: lim ⎜ + + ... + 

2 2 2 ⎟ 

⎝ n + 1 n + 1 n + 1⎠ . 


a) Cho hàm số f ( x) = sin 3x 

. Tính f ′′ 

⎛ π ⎞ 

⎜ − ⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 

4 2 

b) Cho hàm số y = x − x + 3 (C). Viết p/ trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 3 


Câu 5b: (1,0 điểm) Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân, biết: 

⎧u1 − u3 + u5 

= 65 

⎨ 

. 

⎩ u1 + u7 

= 325 


a) Cho hàm số f ( x) = sin 2x − cos2x 


⎛ π ⎞ 

⎜ − ⎟ 

⎝ 4 ⎠ . 

4 2 

b) Cho hàm số y = x − x + 3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến 

vuông góc với đường thẳng d: x + 2y 

− 3 = 0 . 






1 a) 

3 2 

8x −1 (2x − 1)(4 x + 2x 

+ 1) 

lim 

= lim 

1 2 

6x 

− 5x 

+ 1 1 (2x 

−1)(3x 

−1) 

0,50 

b) 

x→ 

x→ 

2 2 

4x 

+ 2x 

+ 1 

= lim = 6 

3x 

−1 

1 

x→ 

2 

lim 

2 

3 3 

x + 1 − 1 

x 

= lim 

x + x x( x + 1) x + 1 + 1 

x→0 2 x→0 3 

x 

= lim = 0 

x→0 x ( 3 

( + 1) x + 1 + 1) 

2 

( ) 

0,50 

0,50 

0,50 


2 

3 a) 

4 

⎧ 2 

⎪ 

x + x − 2 

f ( x) 

= khi x ≠ 1 

⎨ x −1 

⎩ 

⎪ m 

khi x = 1 

f (1) = m 

0,25 

2 

x + x − 2 

lim f ( x) = lim = lim( x + 2) = 3 

x→1 x→1 x −1 

x→1 

0,50 

f ( x) liên tục tại x = 1 ⇔ f (1) = lim f ( x) ⇔ m = 3 

0,25 

x→1 

2 2 2 

2 − 2 x + x (2 x − 2)( 

y 

y 

x −1) − 2 x ( x − 2 x + 2) 

= ⇒ ′ = 

2 2 

x −1 

( 2 

x −1) 

2 

x x 

⇒ y′ 2 − 6 + 2 

= 

2 2 

( x −1) 

b) 2 

1+ 

tan x 

y = 1+ 2 tan x ⇒ y′ 

= 

1+ 

2 tan x 

0,50 

0,50 

1,00 

0,25 

a) Chứng minh: (SAB) ⊥ (SBC). 

BC ⊥ AB, 

BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB) 

0,50 

BC ⊂ ( SBC) ⇒ ( SBC) ⊥ ( SAB) 

0,25 

b) Chứng minh: BD ⊥ (SAC) 

BD ⊥ AC, 

BD ⊥ SA 

0,50 

⇒ BD ⊥ ( SAC) 

0,50 

c) 

Cho SA = a 6 . Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) 

3 0,25 

Vì SA ⊥ ( ABCD) 

⇒ AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) 

( ,( )) 

( , ) 

SC ABCD = SC AC = SCA 

 

0,25 

SA a 6 1 

SCA ( SC ABCD ) SCA 

0 

tan = = = ⇒ ,( ) = = 30 

0,50 

AC 3a 

2 3 


5a 

6a a) 

Tính giới hạn: 

⎛ 1 2 n −1 

⎞ 

I = lim + + ... + 

⎜ 2 2 2 ⎟ 

⎝ n + 1 n + 1 n + 1⎠ . 

⎛ 1 2 n − 1 ⎞ 1+ 2 + ... + ( n −1) 

Tính được: ⎜ + + ... + 

2 2 2 ⎟ = 

2 

⎝ n + 1 n + 1 n + 1⎠ 

n + 1 

(1 + n −1)( n −1) n( n −1) 

= = 

2 2 

2( n + 1) 2( n + 1) 

1 

2 1− 

n − n 1 

⇒ I = lim = lim n = 

2 

2n 

+ 2 2 2 

2 + 

2 

n 

Cho hàm số f ( x) = sin 3x 


⎛ π ⎞ 

⎜ − ⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 

Tìm được f '( x) = 3cos3 x ⇒ f ′′( x) = − 9sin3x 

3 

Tính được f ′′ 

⎛ π ⎞ − π 

⎜ − ⎟ = − 9sin = −9 

⎝ 2 ⎠ 2 

b) Gọi ( x0; y0) là toạ độ của tiếp điểm. 

⎡ x = 0 

4 2 2 2 

0 

Giải phương trình x − x + 3 = 3 ⇔ x ( x − 1) = 0 ⇔ 

0 0 0 0 ⎢ 

⎢⎣ x = ± 1 

0 

0,50 

0,50 

0,50 

0,50 

0,25 

y ' = 4x 3 − 2x 

Với x = 0 ⇒ k = 0 ⇒ PTTT : y = 3 

0 

0,25 

Với x = −1 ⇒ k = −2 ⇒ PTTT : y = − 2x 

+ 5 

0 

0,25 

Với x = 1 ⇒ k = 2 ⇒ pttt : y = 2x 

+ 1 

0 

0,25 

5b ⎧u1 − u3 + u5 

= 65 

⎨ 

. 

⎩ u1 + u7 

= 325 

Gọi số hạng đầu là u và công bội là q ta có hệ phương trình: 

1 

⎧u − u q + u q = 65 

2 4 

⎪ 1 1 1 

⎨ 

6 

u u q 

1 + 

1 = 

⎪⎩ 

325 

. Dễ thấy cả u ≠ 0, q ≠ 0 

1 

0,25 

6b a) 

6 

1+ 

q 

6 4 2 

⇒ = 5 ⇔ q − 5q + 5q 

− 4 = 0 

2 4 

1− q + q 

Đặt t = q 2 3 2 2 4 2 

⇒ t − 5t + 5t − 4 = 0 ⇔ ( q − 4)( q − q + 1) = 0 

⎡ q = 2 

⇔ ⎢ 

⎣q 

= −2 

325 325 

Với q = ± 2 ⇒ u = = = 5 

1 6 

1+ 

q 65 

Cho hàm số f ( x) = sin 2x − cos2x 

. Tính f 

⎛ π ⎞ 

Viết được f ( x) = 2 sin⎜2x 

− ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

′′ 

⎛ π ⎞ 

⎜ − ⎟ 

⎝ 4 ⎠ . 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 


) 

f ′ 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

( x) = 2 2 cos⎜ 2 x − ⎟ ⇒ f ′′( x) = −4 2 sin⎜2x 

− ⎟ 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

⎛ −π ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

f " ⎜ ⎟ = −4 2 ⎜ − ⎟ = 4 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

4 2 

Cho hàm số y = x − x + 3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết 

tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x + 2y 

− 3 = 0 . 

1 3 

Vì tiếp tuyến vuông góc với d: y = − x + ⇒ nên tiếp tuyến có hê số góc 

2 2 

k = 2 

Gọi ( x ; y ) là toạ độ của tiếp điểm 

0 0 

y′ 3 3 

( x ) = k ⇔ 4x − 2x = 2 ⇔ 2x − x − 1 = 0 ⇔ x = 1 

0 0 0 0 0 0 

0,50 

0,25 

0,25 

0,50 

⇒ y = 3 ⇒ PTTT : y = 2x 

+ 1 

0 

0,25 

Đề số 13 






3 2 

2x + 3x 

−1 

x + 2x + 1 − x + 1 

a) lim 

b) lim 

. 

x →−1 

x + 1 

x →0 

x 

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 5 : 

⎧ x − 5 

⎪ 

khi x ≠ 5 

f ( x) = ⎨ 2x 

−1 − 3 

. 

⎪ 

⎩ 3 khi x = 5 


5x 

− 3 

2 

a) y = 

b) y = ( x + 1) x + x + 1 

2 

x + x + 1 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh bằng a, nằm trong hai mặt 

phẳng vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của AB. 

a) Chứng minh tam giác SAD vuông. 

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC. 

c) Gọi F là trung điểm của AD. Ch/ minh (SID) ⊥ (SFC). Tính khoảng cách từ I đến (SFC). 



⎛ 1 1 1 ⎞ 

Câu 5a: (1,0 điểm) Tính giới hạn: lim ⎜ + + ... + 

⎟ 

⎝1.3 3.5 (2n 

− 1)(2n 

+ 1) ⎠ . 


2 

a) Cho hàm số f ( x) = cos 2x 


⎛ π ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 

2 

2x 

+ x − 3 


(C). Viết ptrình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x o = 3. 

2x 

−1 


Câu 5b: (1,0 điểm) Giữa các số 160 và 5 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. 


2 


2 

a) Cho hàm số y = cos 2x 

. Tính giá trị của biểu thức: A = y′′′ + 16y′ 

+ 16y 

− 8 . 

2 

2x 

+ x − 3 


(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến song 

2x 

−1 

song với đường thẳng d: y = 5x 

+ 2011. 

Đề số 13 





1 a) 

3 2 2 

2x + 3x − 1 ( x + 1) (2x 

−1) 

lim 

= lim 

0,50 

x→−1 x + 1 x→−1 

x + 1 

= lim ( x + 1)(2 x − 1) = 0 

0,50 

b) 

x→−1 

lim 

2 2 

x + 2x + 1 − x + 1 

x + x 

= lim 

x 

x x + 2x + 1 + x + 1 

x→0 x→0 2 

x + 1 1 

= lim 

= 

x→0 2 

x + 2x + 1 + x + 1 

2 

2 ⎧ x − 5 

⎪ 

khi x ≠ 5 

f ( x) = ⎨ 2x 

−1 − 3 

⎪ 

⎩ 3 khi x = 5 

( ) 

( ) 

( x − 5) 2x − 1 + 3 2x 

− 1 + 3 

lim f ( x) = lim = lim = 3 

x→5 x→5 2( x − 5) x→5 

2 

x→5 

0,50 

0,50 

0,50 

f (5) = 3 ⇒ lim f ( x) = f (5) ⇒ hàm số liên tục tại x = 5 0,50 

3 a) 2 

5x − 3 − 5x + 6x 

+ 8 

y = ⇒ y ' = 

2 2 2 

x + x + 1 ( x + x + 1) 

1.00 

b) 

2 2 ( x + 1)(2 x + 1) 

y = ( x + 1) x + x + 1 ⇒ y ' = x + x + 1 + 

2 

2 x + x + 1 

0,50 

4 

4x 

+ 5x 

+ 3 

⇔ y' 

= 

2 

2 x + x + 1 

2 

0,50 

0,25 

a) Chứng minh tam giác SAD vuông. 

( SAB) ⊥ ( ABCD),( SAB) ∩ ( ABCD) = AB, SI ⊥ AB ⇒ SI ⊥ ( ABCD) 

0,25 


⎧AD 

⊥ AB 

⎨ 

⎩AD 

⊥ SI 

⇒ AD ⊥ ( SAB) 

⇒ AD ⊥ SA ⇒ ∆ SAD vuông tại A 0,5 

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC. 

*) BC AD ⇒ BC ( SAD) 

*) Gọi M,N,Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD, BC ⇒ 

⎧MN, 

BQ AD 

0,25 

⎪ 

⎨ 

1 

MN = BQ = AD 

⎪⎩ 

2 

⇒ MNQB là hình bình hành ⇒ NQ MB 

AD ⊥ ( SAB) 

⇒ AD ⊥ MB mà BC//AD, NQ//MB nên BC ⊥ NQ 

0,25 

AD ⊥ MB , MB ⊥ SA ⇒ MB ⊥ ( SAD) 

⇒ MB ⊥ SD ⇒ NQ ⊥ SD 

Vậy NQ là đoạn vuông góc chung của BC và SD 

0,25 

a 3 

a 3 

Tam giác SAB đều cạnh a (gt) nên MB = ⇒ d( BC, SD) 

= NQ = 0,25 

2 

2 

c) Gọi F là trung điểm của AD. Chứng minh (SID) ⊥ (SFC). Tính khoảng cách từ I 

đến (SFC). 

0,50 

a 3 

Tam giác SAB đều cạnh a nên SI = 

2 

∆ AID = ∆ DFC ( cgc) 

⇒ D 

 

= C 

 

, C + F = 90 0 ⇒ D + F = 90 

0 ⇒ ID ⊥ CF 

1 1 1 1 1 1 

mặt khác CF ⊥ SI ⇒ CF ⊥ ( SIK) ⇒ ( SID) ⊥ ( SFC) 

Hạ IH ⊥ SK ⇒ d( I,( SFC)) 

= IH 

AD. FD a 5 a 5 a 5 3a 

5 

∆ KFD ∼ ∆ AID ⇒ KD = = , IK = ID − KD = − = 

ID 5 2 5 10 

1 100 1 1 1 4 20 32 

⇒ = ⇒ = + = + = 

IK 2 45a 2 IH 2 SI 2 IK 2 3a 2 9a 2 9a 

2 

2 

2 9a 

3a 

32 

⇒ IH = ⇒ IH = 

32 32 

5a ⎛ 1 1 1 ⎞ 

I = lim ⎜ + + ... + 

⎟ 

⎝1.3 3.5 (2n 

− 1)(2n 

+ 1) ⎠ 

Viết được 

1 1 1 1 ⎛ 1 1 1 1 1 ⎞ 

+ + ... + = ⎜1 − + − + ... + − ⎟ 

1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) 2 ⎝ 3 3 5 2n − 1 2n 

+ 1⎠ 

1 ⎛ 1 ⎞ n 

= ⎜1− ⎟ = 

2 ⎝ 2n 

+ 1⎠ 

2n 

+ 1 

0,50 

0,50 


6a a) 

b) 

5b 

6b a) 

b) 

n 1 1 

I = lim = lim = 

2n 

+ 1 1 2 

2 + 

n 

2 

Cho hàm số f ( x) = cos 2x 


⎛ π ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 

Tính được 

f ′( x) = −4 cos2x sin 2 x ⇒ f ′( x) = −2sin 4 x ⇒ f ′′( x) = − 8cos4x 

⎛ π ⎞ 

⇒ f " ⎜ ⎟ = − 8cos2π 

= −8 

⎝ 2 ⎠ 

2 

2x 

+ x − 3 

Cho hàm số y = 

(C). Viết PTTT với (C) tại điểm có hoành độ x o = 3. 

2x 

−1 

18 

Tính được y = 

0 

5 

0,25 

2 

x x 

f ′ 

2 − 4 + 5 


( x) 

= ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = f ′(3) 

= 

2 

(2x 

−1) 

25 

0,50 


Vậy phương trình tiếp tuyến là y = x + 0,25 

25 25 

Giữa các số 160 và 5 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. 

Gọi q là công bội của CSN 

0,50 

5 5 1 1 

Ta có 160q = 5 ⇒ q = ⇒ q = 

32 2 

Vậy cấp số nhân đó là 160, 80, 40, 20, 10, 5 0,50 

2 

Cho hàm số y = cos 2x 

. Tính giá trị của biểu thức: A = y′′′ + 16y′ 

+ 16y 

− 8 

0,75 

Tính được y ' = − 4 cos2x sin 2x = −2sin 4 x ⇒ y" = − 8cos 4x 

⇒ y"' = 32sin 4x 

0,50 

0,50 

0,50 

A = y′′′ + 16y′ 

+ 16y − 8 = 32sin 4x − 32sin 4x 

− 8 = − 8 

0,25 

2 

2x 

+ x − 3 

Cho hàm số y = 

(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp 

2x 

−1 

tuyến song song với đường thẳng d: y = 5x 

+ 2011. 

*) Vì TT song song với d: y = 5x 

+ 2011 nên hệ số góc của TT là k = 5 

*) Gọi ( x0; y0) là toạ độ của tiếp điểm 

2 

4x 

− 4x 

+ 5 

⎡ x = 0 

0,25 

0 0 

2 

0 

y′ ( x ) = k ⇔ = 5 ⇔ 16x − 16x 

= 0 ⇔ 

0 2 

0 0 ⎢ 

(2x 

− 1) x = 1 

0 ⎢⎣ 0 

Nếu x = 0 ⇒ y = 3 ⇒ PTTT : y = 5x 

+ 3 

0,25 

0 0 

Nếu x = 1 ⇒ y = 0 ⇒ PTTT : y = 5x 

− 5 

0,25 

0 0 

0,25 


Đề số 14 





⎛ n n 

3 − 4 + 1⎞ 

a) lim b) ( 2 

lim x − x − x) 

⎜ 2.4 

n 2 

n 

+ ⎟ 

x 

⎝ ⎠ 

→+∞ 

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 3: 


⎧ x − 3 

khi x < 3 

⎪ 2 

f ( x) 

= x − 9 

⎨ 

⎪ 

1 

khi x ≥ 3 

⎪⎩ 12x 


a) 

2 

2x 

− 6x 

+ 5 

y = 

2x 

+ 4 

b) 

sin x + cos x 

y = 


Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có AB = BC = a, AC = a 2 . 

a) Chứng minh rằng: BC ⊥ AB′. 

b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC′M) ⊥ (ACC′A′). 

c) Tính khoảng cách giữa BB′ và AC′. 



1+ 2 + ... + n 

Câu 5a: (1,0 điểm) Tính giới hạn: lim 

. 

2 

n + 3n 


a) Cho hàm số y = 2010.cos x + 2011.sin x . Chứng minh: y ′′+ y = 0 . 

3 2 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − 3x 

+ 2 tại điểm M ( –1; –2). 


Câu 5b: (1,0 điểm) Tìm x để ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với: a = 10 − 3x 

, 

b = 2x 2 + 3 , c = 7 − 4x 

. 


a) Cho hàm số: 

2 

x + 2x 

+ 2 

y = . Chứng minh rằng: 2 y. y′′ − 1 = y′ 

2 . 

2 

3 2 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − 3x 

+ 2 , biết tiếp tuyến vuông góc 

1 

với đường thẳng d: y = − x + 2 . 

9 

Đề số 14 





1 a) 

n 

⎛ 3 ⎞ 1 

n n − 1 + 

⎛ 

⎜ 

3 4 1 4 

⎟ 

− + ⎞ 

n 

4 1 

lim 

= lim 

⎝ ⎠ 

= − 

1,00 

⎜ n n n 

2.4 2 ⎟ 

⎝ + ⎠ ⎛ 1 ⎞ 2 

2 + ⎜ 

2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

b) 

( 2 ) 

−x 

−1 1 

lim x − x − x = lim = lim = 

x→+∞ x→+∞ 2 

x→+∞ 

x − x + x 

1 2 

1− + 1 

x 

2 ⎧ x − 3 

khi x < 3 

⎪ 2 

f ( x) 

= x − 9 

⎨ 

⎪ 

1 

khi x ≥ 3 

⎪⎩ 12x 

1,00 

0,25 


x − 3 1 1 

lim f ( x) = lim = lim = 

− − 

x 3 x 3 x 2 

− 

→ → − 9 x→3 

x + 3 6 

1 1 

lim f ( x) = lim = = f (3) 

+ + 

x→3 x→3 

12x 

6 

0,50 

⇒ f ( x) liên tục tại x = 3 0,25 

3 a) 2 2 

2x 6x 5 4x 16x 

34 

y = − + ⇒ y ' = 

+ − 

2x 

+ 4 2 

(2x 

+ 4) 

1,00 

b) 2 

sin x cos x (cos x sin x) cos2x sin 2x cos2x 

1 

y = + ⇒ y ' = − − − ⇒ y ' = 

− − 

sin x − cos x 2 2 

(sin x − cos x) (sin x − cos x) 

1,00 

4 

0,25 

a) 

2 2 

Tam giác ABC có AB + BC 

2 

= 2 a = ( a 

2 

2) 

2 

= AC ⇒ ∆ABC vuông tại 

B 

0,25 

⇒ BC ⊥ AB, BC ⊥ BB '( gt) ⇒ BC ⊥ (AA ' B ' B) ⇒ BC ⊥ AB ' 

0,50 

b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC′M) ⊥ (ACC′A′). 

*) Tam giác ABC cân tại B, MA = MC 

0,50 

⇒ BM ⊥ AC, BM ⊥ CC '( CC ' ⊥ ( ABC)) ⇒ BM ⊥ (AA ' C ' C) 

BM ⊂ ( BC ' M) ⇒ ( BC ' M) ⊥ ( ACC ' A') 

0,50 

c) Tính khoảng cách giữa BB′ và AC′. 

BB′ // (AA′C′C) ⇒ d( BB′ , AC′ ) = d( BB′ ,( AA′ C′ C)) = d( B,( AA′ C′ 

C)) 

0,50 

AC a 2 

BM ⊥ ( AA′ C′ C) ⇒ d( B,( AA′ C′ 

C)) 

= BM = = 

2 2 

0,50 

5a 

1+ 2 + ... + n 

Tính giới hạn: I = lim 

. 

2 

n + 3n 

1+ 2 + 3 + ... + n n( n + 1) n + 1 

Viết lại 

= = 

2 

n + 3n 

2 n( n + 3) 2( n + 3) 

0,50 

1 

1+ 

n + 1 

I 

n 1 

= lim = lim = 

2n 

+ 6 6 2 

2 + 

n 

0,50 

6a a) 

Cho hàm số y = 2010.cos x + 2011.sin x . Chứng minh: y ′′+ y = 0 . 

y′ = − 2010sin x + 2011cos x , y" = −2010 cos x − 2011sin x 

0,50 

y" + y = −2010 cos x − 2011sin x + 2010 cos x + 2011sin x = 0 

0,50 


) 

3 2 

Viết PTTT của đồ thị hàm số y = x − 3x 

+ 2 tại điểm M ( –1; –2). 

y′ 2 

= 3x − 6 x ⇒ k = y′ 

( − 1) = 9 

0,50 

Phương trình tiếp tuyến là y = 9x 

+ 7 

0,50 

5b Tìm x để ba số a, b, c lập thành CSC, với: a = 10 − 3x 

, b = 2x 2 + 3 , 

c = 7 − 4x 

. 

0,50 

Có a + c = 2b ⇔ 17 − 7x = 4x 2 + 6 

⎡ x = 1 

2 

⇔ 4x 

+ 7x 

− 11 = 0 ⇔ ⎢ 

⎢ −11 

x = 

⎢⎣ 4 

0,50 

6b a) 

2 

x + 2x 

+ 2 

Cho hàm số: y = . Chứng minh rằng: 2 y. y′′ − 1 = y′ 

2 . 

2 

0,50 

y ' = x + 1 ⇒ y" = 1 

b) 

2 2 2 2 

2 y. y" − 1 = ( x + 2x + 2).1− 1 = x + 2x + 1 = ( x + 1) = y′ 

0,50 

3 2 

Viết PTTT của đồ thị hàm số y = x − 3x 

+ 2 , biết TT vuông góc với 

1 

đường thẳng d: y = − x + 2 . 

9 

1 

*) Vì TT vuông góc với d: y = − x + 2 nên hệ số góc của TT là k = 9 

9 

Gọi ( x ; y ) là toạ độ của tiếp điểm. 

0 0 

y′ 2 

( x ) = k ⇔ 3x − 6x − 9 = 0 ⇔ x = − 1, x = 3 

0 0 0 0 0 

Với x = −1 ⇒ y = −2 ⇒ PTTT : y = 9x 

+ 7 

0,25 

0 0 

x = 3 ⇒ y = 2 ⇒ PTTT : y = 9x 

− 25 

0,25 

0 0 

0,25 

0,25 

Đề số 15 






x + 3 

x + 5 − 3 

a) lim 

b) lim 

x →−3 

2 

x + 2x 

−3 

x →−2 

x + 2 

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2: 

⎧ 2 

⎪ 

x − 7x 


f ( x) 

= khi x ≠ 2 

⎨ x − 2 

. 

⎪ 

⎩4 − a khi x = 2 


⎛ 2 

2 3 

2x 

+ 1⎞ 

a) y = ( x − 1)( x + 2) 

b) y = ⎜ 2 

x − 3 ⎟ 

⎝ ⎠ 

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA 

= a, CB = b, mặt bên AA′B′B là hình vuông. Từ C kẻ CH ⊥ AB′, HK // A′B (H ∈ AB′, K ∈ 

AA′). 

a) Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK). 

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và (CHK). 

2 

4 


c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK). 



Câu 5a: (1,0 điểm) Tính giới hạn: 


a) Cho hàm số y = sin(sin x) 

. Tính: y ′′( π ) . 

3 2 

lim 1 3 3 2 ... 3 n 

+ + + + 

2 

1+ 2 + 2 + ... + 2 

b) Cho (C): y = x − 3x 

+ 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) 

với trục hoành. 


Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z 

2 

2 

cũng lập thành một cấp số cộng, với: x = a − bc , y = b − ca , z = c − ab . 


a) Cho hàm số y = x.sin 

x . Chứng minh rằng: xy − 2( y ′ − sin x) + xy ′′ = 0 . 

3 2 

b) Cho (C): y = x − 3x 

+ 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc 

1 

với đường thẳng d: y = − x + 1. 

3 


Đề số 15 




1 a) x + 3 x + 3 

lim = lim 

x→−3 2 

x + 2x 

−3 

x→−3 

( x + 3)( x − 1) 

0.50 

1 1 

= lim − 

x→−3 

x −1 4 

0.50 

b) 

2 

x + 5 − 3 ( x − 2)( x + 2) 

lim 

= lim 

x→−2 x + 2 x→−2 x + ( 2 

( 2) x + 5 + 3) 

0.50 

2 

x − 2 −4 2 

= lim 

= = − 

x→−2 2 

x + 5 + 36 

6 3 

⎧ 2 

⎪ 

x − 7x 


f ( x) 

= khi x ≠ 2 

⎨ x − 2 

⎩ 

⎪4 − a khi x = 2 

2 

x − 7x + 10 ( x − 2)( x − 5) 

lim f ( x) = lim = lim = lim( x − 5) = −3 

x → 2 x → 2 x − 2 x → 2 x − 2 x → 2 

f(2) = 4 – a 

f ( x ) liên tục tại x = 2 ⇔ lim f ( x) = f (2) ⇔ 4 − a = −3 ⇔ a = 7 

x→2 

Kết luận với a = 7 thì hàm số liên tục tại x = 2. 

3 a) 2 3 5 3 2 

y = ( x − 1)( x + 2) ⇒ y = x − x + 2x 

− 2 

0,50 

4 2 

⇒ y ' = 5x − 3x + 4x 

0,50 

b) 4 3 

2 2 

⎛ 2x + 1⎞ ⎛ 2x + 1⎞ 

−14x 

y = ⇒ y ' = 4 

⎜ x 3 ⎟ ⎜ x 3 ⎟ 

⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠ ( x − 3) 

2 2 2 2 

2 

n 

. 

0.50 

0,50 

0,50 

0,50 


4 

2 3 

− 56 x(2x 

+ 1) 

⇒ y ' = 

2 5 

( x − 3) 

0,50 

0,25 

a) Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK). 

BC ⊥ AC, BC ⊥ AA′ ⇒ BC ⊥ (AA′ C′ 

C) 

⇒ BC ⊥ CK 

AB′ ⊥ A′ 

B, KH A' B ⇒ KH ⊥ AB', CH ⊥ AB ' ⇒ AB' ⊥ ( CHK) 

0,50 

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và (CHK). 

Có AB ' ⊥ ( CHK), AB ' ⊂ ( AA ' B ' B) ⇒ ( AA' B ' B) ⊥ ( CHK) 

0,50 

(( ' ' ),( )) 90 

c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK). 

Ta đã có AB ' ⊥ ( CHK)( cmt) 

tại H nên d( A,( CHK)) 

= AH 

0,25 

AC ⊥ BC( gt), CC ' ⊥ AC( gt : lt) ⇒ AC ⊥ ( CC ' B ' B) ⇒ AC ⊥ CB ' 

0,25 

0 

AA B B CHK = 0,50 

0,25 

2 2 2 2 2 2 

AB = AC + BC = a + b , AB ' = AB 2 = 2a + 2b 0,25 

Trong ∆ACB’ vuông tại C: CH ⊥ AB′ ⇒ AC 2 = AH. 

AB ′ 

2 2 2 

AC a a 

⇒ AH = = = 

AB ' 2 2 

AB 2 2( a + b ) 

5a n+ 

1 

2 −1 

2 n 1. 

1+ 2 + 2 + ... + 2 

lim 

= lim 2 −1 

= 

2 n 

n+ 

1 

1+ 3 + 3 + ... + 3 3 −1 

1. 

3 −1 

6a a) 

b) 

n+ 

1 

⎛ 2 ⎞ 2 

n+ 1 

2. ⎜ ⎟ − 

2.2 − 2 3 n+ 

1 

lim = lim 

⎝ ⎠ 3 

= 0 

n+ 

1 

3 −1 1 

1− 

3 

n+ 

1 

Cho hàm số y = sin(sin x) 

. Tính: y ′′( π ) . 

y ' = cos x.cos(sin x) ⇒ y" = −sin x.cos(sin x) − cos x.cos x sin(sin x) 

0,25 

0,50 

0,50 

0,50 

⇒ y" = −sin x.cos(sin x) − cos 2 x.sin(sin x) ⇒ y"( π ) = 0 0,50 

3 2 

Cho (C): y = x − 3x 

+ 2 . 

′ 

2 

y = 3x − 6 x . Giao của ( C) với trục Ox là A(1; 0), B( 1− 3;0 ), C ( 1+ 

3;0 ) 

0,25 

Tiếp tuyến tại A(1; 0) có hệ số góc là k = –3 nên PTTT: y = − 3x 

+ 3 0,25 

Tiếp tuyến tại ( − ) 

Tiếp tuyến tại ( + ) 

B 1 3;0 có hệ số góc là k = 6 nên PTTT : y = 6x 

− 6 + 6 3 0,25 

C 1 3;0 có hệ số góc là k = 6 nên PTTT : y = 6x 

− 6 − 6 3 0,25 

5b CMR nếu ba số a, b, c lập thành CSC thì ba số x, y, z cũng lập thành CSC, 0,50 


6b a) 

b) 

2 

2 

với: x = a − bc , y = b − ca , z = c − ab . 

a, b, c là cấp số cộng nên a + c = 2 b 

2 2 2 

Ta có 2y = 2b − 2 ca, x + z = a + c − b( a + c) 

⇒ 

2 

2 2 2 2 2 

x z ( a c) 2ac 2b 4b 2ac 2b 2b 2ac 2y 

+ = + − − = − − = − = (đpcm) 0,50 

Cho hàm số y = x.sin 

x . Chứng minh rằng: xy − 2( y ′ − sin x) + xy ′′ = 0 . 

Ta có y ' = sin x + x cos x ⇒ y" = cos x + cos x − x sin x = 2 cos x − y 

0,50 

⇒ xy − 2( y′ − sin x) + xy′′ 

= xy − 2(sin x + x cos x − sin x) + x(2 cos x − y) 0,25 

= 0 0,25 

3 2 

1 

Cho (C): y = x − 3x 

+ 2 , d: y = − x + 1. 

3 

1 

Vì tiếp tuyến vuông góc với d: y = − x + 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3 

3 

0,25 

Gọi ( x0; y0) là toạ độ của tiếp điểm. 

⇒ y′ ( x ) = 3 ⇔ 3x 2 − 6x − 3 = 0 ⇔ x = 1− 2; x = 1+ 

2 

0,25 

0 0 0 0 0 

Với x = 1− 2 ⇒ y = 2 ⇒ PTTT : y = 3x 

+ 4 2 − 3 0,25 

0 0 

Với x = 1+ 2 ⇒ y = − 2 ⇒ PTTT : y = 3x 

− 4 2 − 3 0,25 

0 0 


BỘ ĐỀ THI HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 2012 – 2013 

Đề 1 

I .Phần chung cho cả hai ban 


2 

2 − x − x 

1. lim 

2. lim 2x 4 − 3x 


x→1 

x −1 

x →−∞ 

7x 

−1 

x + 1 − 2 

3. lim 

4. lim 

+ 

x→3 

x − 3 

x→3 

9 − x 

2 

Bài 2. 

1. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó. 

2 

⎧ x − 5x 

+ 6 

⎪ khi x > 3 

f ( x) = ⎨ x − 3 

⎪ 

⎩2x 

+ 1 khi x ≤3 

3 2 

2. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2x − 5x + x + 1 = 0 . 

Bài 3 . 

1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 

2 

3 

a . y = x x + 1 b . y = 

(2x 

+ 5) 

2 

x −1 

2 . Cho hàm số y = . 

x + 1 

a . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = - 2. 

x − 2 

b . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d : y = . 

2 

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy , SA = 

a 2 . 

1. Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông. 

2. CMR (SAC) ⊥ (SBD) . 

3. Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) . 

4. Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD ) . 

II . Phần tự chọn. 

1 . Theo chương trình chuẩn . 

3 

x + 8 

Bài 5a . Tính lim 

. 

x →− 2 

2 

x + 11x 

+ 18 

1 3 2 

Bài 6a . Cho y = x − 2x − 6x − 8 . Giải bất phương trình y / ≤0 

. 

3 

2. Theo chương trình nâng cao . 

x − 2x 

−1 

Bài 5b . Tính lim 

. 

x→1 

2 

x − 12x 


Bài 6b. Cho 

x 

y = 

2 

− 3x 

+ 3 

x −1 

I . Phần chung . 

Bài 1 : Tìm các giới hạn sau : 

2 

x − x − 1 + 3x 

1 . lim 

x →−∞ 2x 

+ 7 

. Giải bất phương trình y / > 0 . 

Đề2 

2 . lim ( −2x 3 − 5x 

+ 1) 

→+ ∞ 

x 

3 

2x 


x + 1 −1 

3 . 4. lim . 

+ 

xlim 

→5 

5 − x 

x →0 

2 

x + x 

Bài 2 . 

3 

⎧ x −1 

⎪ khi x ≠ 1 

1 . Cho hàm số f(x) = ⎨ x −1 

⎪ 

⎩2m 

+ 1 khi x = 1 


Xác định m để hàm số liên tục trên R.. 

2 5 

2 . Chứng minh rằng phương trình : (1 − m ) x − 3x − 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m. 

Bài 3 . 

1 . Tìm đạo hàm của các hàm số : 

2 

2 − 2x 

+ x 

a . y = 

b . y = 1+ 

2tan x . 

2 

x −1 

4 2 

2 . Cho hàm số y = x − x + 3 ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến 

của ( C ) . 

a . Tại điểm có tung độ bằng 3 . 

b . Vuông góc với d : x - 2y – 3 = 0 . 

Bài 4 . Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC , đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a , I là trung 

điểm BC . 

1 . CMR : ( OAI ) ⊥ ( ABC ) . 

2. CMR : BC ⊥ ( AOI ) . 

3 . Tính góc giữa AB và mp ( AOI ) . 

4 . Tính góc giữa đường thẳng AI và OB . 

II . Phần tự chọn . 

1 . Theo chương trình chuẩn . 

1 2 n −1 

Bài 5a .Tính lim( + + .... + ) . 

2 2 2 

n + 1 n + 1 n + 1 

/ 

Bài 6a . cho y = sin2x – 2cosx . Giải phương trình y = 0 . 

2 . Theo chương trình nâng cao . 

Bài 5b . Cho y = 2x − x 2 

3 // 

. CMR y . y + 1 = 0 . 

64 60 

Bài 6b . Cho f( x ) = − − + = 

3 3x 

16 0 . Giải phương trình f ‘(x) = 0 

x x 

ĐỀ 3: 

Bài 1. Tính các giới hạn sau: 

3 2 

3x 

+ 2 

1. lim ( − x + x − x + 1) 

2. lim 

x →−∞ − 

x→−1 

x + 1 

3 2 

x + 2 − 2 

2x − 5x − 2x 

− 3 

3. lim 

4. lim 

x→2 

x→3 

3 2 

x + 7 − 3 

4 x − 13 x + 4 x − 3 

n n 

4 − 5 

5. lim 

n n 

2 + 3.5 

⎧ 3 

3x 

+ 2 − 2 

khi x >2 

⎪ 

Bài 2. Cho hàm số : f(x) = x − 2 

⎨ 

. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2. 

⎪ 1 

ax + khi x ≤ 2 

⎪⎩ 4 

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình x 5 -3x 4 + 5x-2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng 

(-2 ;5 ) 

Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau: 

5x 

− 3 

2 

1. y = 

2. y = ( x + 1) x + x + 1 

2 

x + x + 1 

3. y = 1+ 

2 tan x 4. y = 

sin(sinx) 

Bài 5. Hình chóp S.ABC. ∆ABC vuông tại A, góc B = 60 0 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) 

vuông góc với đáy; SB = a. Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC). 

1. CM: SB ⊥ (ABC) 

2. CM: mp(BHK) ⊥ SC. 

3. CM: ∆BHK vuông . 

4. Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK) 


2 

x − 3x 

+ 2 

Bài 6. Cho hàm số f(x) = 

(1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp 

x + 1 

tuyến đó song song với đường thẳng y = −5x −2 

Bài 7. Cho hàm số y = cos 2 2x. 

1. Tính y”, y”’. 

2. Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8. 

ĐỀ 4: 

Bài 1. Tính các giới hạn sau: 

1. − 

3 

+ 

2 

3x 

+ 2 

lim ( 5x 

2x 

− 3) 2. lim+ 

x→−∞ 

x→−1 

x + 1 

2 − x 

+ 

3. lim 

4. 

3 

n n 

( x 3) − 27 

⎛ 3 − 4 + 1⎞ 

lim 

5. lim 

x→2 

→0 

x + 7 − 3 

x 

⎜ ⎟ 

x 

⎝ 2.4 

n 

+ 2 

n 

⎠ 

⎧ x −1 

⎪ khi x > 1 

Bài 2. Cho hàm số: f ( x) = ⎨ x −1 

. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1. 

⎪ 

⎩3 ax khi x ≤ 1 

Bài 3. CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x 3 + 1000x 

+ 0,1 = 0 

Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau: 

2 

2 

2x 

− 6x 

+ 5 

x − 2x 

+ 3 

1. y = 

2. y = 

2x 

+ 4 

2x 

+ 1 

sin x + cos x 

3. y = 

4. y = sin(cosx) 


Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) và SA = 2a. 

1. Chứng minh ( SAC) ⊥ ( SBD ) ; ( SCD) ⊥ ( SAD ) 

2. Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC); 

3. Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)) 

3 2 

Bài 6. Viết PTTT của đồ thị hàm số y = x − 3x + 2 . 

1. Biết tiếp tuyến tại điểm M ( -1; -2) 

1 

2. Biết tiếp tuyến vuông góc với đt y = − x + 2 . 

9 

2 

x + 2x 

+ 2 

Bài 7. Cho hàm số: y = . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’ 2 

2 

ĐỀ 5: 

A. PHẦN CHUNG: 

Bài 1: Tìm 

3 

2n 

− 2n 

+ 3 

x + 3 − 2 

a) lim b) lim 

1 

3 

− 4 n 

x→1 

2 

x −1 

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó 

2 

⎧ x + 3x 

+ 2 

⎪ , khi x ≠ − 2 

f ( x) 

= ⎨ x + 2 

⎪ 

⎩3 , khi x = -2 

Bài 3: : Tính đạo hàm 

a) y = 2sin x + cos x − tan x b) y = sin(3x + 1) c) y = cos(2x + 1) d) y = 1+ 

2 tan 4x 

Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc BAD = 60 0 và 

SA=SB = SD = a 

a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) 

b) Chứng minh tam giác SAC vuông 

c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) 

B. PHẦN TỰ CHỌN: 


I. BAN CƠ BẢN: 

Câu 5:Cho hàm số y = f(x) = 2x 3 – 6x +1 (1) 

a) Tính f '( −5) 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm M o (0; 1) 

c)Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (-1; 1) 

II. BAN NÂNG CAO 

sin3x 

cos3x 

Câu 5:Cho f ( x) = + cos x − 3(sin x + ) . Giải phương trình f '( x ) = 0 . 

3 3 

3 

Câu 6:Cho hàm số f ( x) = 2x − 2x + 3 (C) 

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song đường thẳng y = 24x + 2008 b) Viết 

phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y = − 1 x + 2008 

4 

ĐỀ 6: 

A. PHẦN CHUNG 

Câu 1: Tìm giới hạn 

3x 

2 

− 4x 

+ 1 

x 

2 

− 9 

a) lim 

b) lim 

x→1 

x −1 

x→−3 

x + 3 

− 

c) lim x 2 

x 

2 

+ 2 − 3 x 

d) lim 

x→ 2 x + 7 − 3 

x→−∞ 2x 

+ 1 

2 

⎧ x − x − 2 

⎪ 

khi x ≠ 2 

Câu 2: Cho hàm số f ( x) = ⎨ x − 2 

. 

⎪ 

⎩ m khi x = 2 

a, Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3 

b, Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ? 

c, Tìm m để hàm số liện tục trên tập xác định của nó? 

Câu 3: Chứng minh phương trình 

3x 

+ 2 

e) lim+ 

x→−1 

x + 1 

x 5 -3x 4 + 5x-2= 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (-2 ;5 ) 

Câu 4: Tính đạo hàm 

3 

x 2 

2 3 

a) y = + 3x − 2x + 1 b) y = ( x − 1)( x + 2) 

3 

y = x + 10 

1 

d) y = 

( x + 1) 

c) ( 3 6) 

2 

e) y = x + 2x f) 

B.PHẦN TỰ CHỌN: 

2 2 

2 

⎛ 2x 

+ 1⎞ 

y = ⎜ 2 ⎟ 

⎝ x − 3 ⎠ 

4 

3x 

+ 2 

f) lim− 

x→−1 

x + 1 

I. BAN CƠ BẢN 

Câu 5:Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. gọi O là tâm của đáy 

ABCD. 

a) CMR (SAC) ⊥(SBD), (SBD)⊥(ABCD). 

b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD),từ điểm O đến mp(SBC). 

c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SD. 

II. BAN NÂNG CAO 

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB=BC=a 2 , I là trung điểm cạnh AC, AM là đường 

cao tam giác SAB. Ix là đường thẳng vuông góc với mp (ABCtại I, trên Ix lấy S sao cho IS = a. 


a)Chứng minh AC SB, SB (AMC) 

b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC) 

c) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(AMC) 

Đề 7: 

I. PHẦN BẮT BUỘC: 

Câu 1 (1 điểm): Tính giới hạn sau: 

2 

a) lim ( + 5 − ) 

x + 3 

x x b) 

x 

lim 2 

→+∞ 

x →−3 

x − 9 

⎧ 2x 

+ 1 1 

khi x ≠ 

2 

⎪ 2x 

+ 3x 

+ 1 2 

Câu 2 (1 điểm): Cho hàm số f ( x) 

= ⎨ 

⎪ 1 

A khi x = 

⎪⎩ 

2 

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1 2 

Câu 3 (1 điểm): CMR phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0;1] 

X 3 + 5x – 3 = 0 

Câu 4 (1,5 điểm): Tính đạo hàm sau: 

2 x 

a) y = (x + 1)(2x – 3) b) 1+ 

cos 2 

Câu5 (2,5 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD=60 0 , đường 

cao SO= a 

a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC. CMR : BC ⊥ (SOK) 

b) Tính góc của SK và mp(ABCD) 

c) Tính khoảng cách giữa AD và SB 

II. PHẦN TỰ CHỌN 

1. BAN CƠ BẢN: 

Câu 6(1,5 điểm): Cho hàm số: y = 2x 3 - 7x + 1 

a) viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x = 2 

b) viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc k = -1 

Câu 7: (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác, dáy ABC đều, SA ⊥ (ABC), SA= a. M là điểm trên AB, 

góc ACM = ϕ , hạ SH ⊥ CM 

a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên AB 

b) Hạ AI ⊥ SC, AK ⊥ SH. 

Tính SK và AH theo a vàϕ 

2. BAN NÂNG CAO: 

Câu 8(1,5 điểm): 

Cho (p): y = 1 – x + x 2 

2 3 

, (C) : x x 

y = 1 − x + − 

2 

2 6 

a) CMR : (p) tiếp xúc với (C) 

b) viết phương trình tiếp tuyến chung của (p) và (C) tại tiếp điểm 

Câu 9(1,5 điểm): Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Lấy điểm M thuộc đoạn AD’, điểm 

N thuộc đoạn BD sao cho (0 < x < a 2 ). 

a) Tìm x để đoạn thẳng MN ngắn nhất 

b) Khi MN ngắn nhất, hãy chứng tỏ MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD, đồng thời 

MN // A’C 

Đề 8: 

Câu 1 (1 điểm): Tính giới hạn sau: 

2 

2 

2x 

− 3x 

+ 4 

x − 3x 

+ 2 

a) lim 

b) 

2 

2 

− 4x 

+ 2x 

+ 1 

lim 

x −1 

x→+∞ 

x→1 

⎧ + ≤ 

Câu 2 (1 điểm): Cho hàm số = ⎨ x 1 khi x 1 

f ( x) 

⎩ − 2 

4 ax khi x > 1 

Định a để hàm số liên tục tại x = 1 

Câu 3 (1 điểm): Cmr phương trình 2x 3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trên [-2 ; 2] 


Câu 4 (1,5 điểm): Tính đạo hàm sau: 

3x 

+ 5 

a) y = 

b) y = sinx cos3x 

2x 

+ 1 

a) 

Câu 5 ( 2,5điểm)) : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB) , (SBC) 

vuông góc với đáy, SB = a 

a) Gọi I là trung điểm SC. Cmr: (BID) ⊥ (SCD) 

b) CMR các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông 

c) Tính góc của mp(SAD) và mp(SCD) 

II. PHẦN TỰ CHỌN: 

1. 1.BAN CƠ BẢN: 

Câu 6(1,5 điểm): Cho Hyperbol: y = 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của(H) 

x 

a)Tại điểm có hoành độ x 0 = 1 

b)Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − 1 4 x 

Câu 7 (1,5 điểm) : Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’. Gọi I, J, K, là trọng tâm tam giác ABC, 

A’B’C’, ACC’. CMR: 

a) (IJK) // (BB’C’C) 

b)(A’JK) // (AIB’) 

2. BAN NÂNG CAO: 

Câu 8(1 điểm): Giải và biện luận phương trình f’(x) = 0, biết 

f(x) = sin2x + 2(1 – 2m)cosx – 2mx 

Câu 9 (2 điểm): Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang vuông , AB = a, BC = a, góc ADC 

bằng 45 0 . Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với đáy, SA = a 2 

a) Tính góc giữa BC và mp(SAB) 

b) Tính góc giữa mp(SBC) và mp(ABCD) 

c)Tính khoảng cách giữa AD và SC 

A.Bắt buộc 

Bài 1: 

1/Tính giới hạn: 

x 

a/ lim 

x→1 

− 3x 

+ 2 

x −1 

3 2 

2 

x + 5 − 3 

b/ lim 

x → 2 x − 2 

3 

⎧ x − 3x 

+ 2 

⎪ ; x > 1 

2/Cho f(x)= ⎨ x −1 

.Tìm a để hàm số liên tục tại x=1 

⎪ 

⎩ax 

+ 2; x ≤ 1 

3/Cho y=f(x)=x 3 -3x 2 +2 

a/Viết ptrình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) biết tiếp tuyến song 

b/CMR ptrình f(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt 

song (d):y=-3x+2008 

Bài 2:Cho hình chóp SABCD ,ABCD là hình vuông tâm O cạnh a;SA=SB=SC=SD= 

Gọi I và J là trung điểm BC và AD 

1/CMR: SO ⊥ (ABCD) 

2/CMR: (SIJ) ⊥ (ABCD).Xác định góc giữa (SIJ) và (SBC) 

3/Tính khoảng cách từ O đến (SBC) 

B.Tự chọn: 


a 5 

2 

.

Bài 3: Cho f(x)=(3-x 2 ) 10 .Tính f’’(x) 

2 2 

Bài 4: Cho f(x)= 1+ tan x + tan x .Tính f’’( π 4 

A. Bắt buộc: 

Bài 1: 

1/Tính giới hạn: 

) với sai số tuyệt đối không vượt quá 0,01. 

ĐỀ 9: 

a/ 

lim 

4 

n + 2n 

+ 2 

2 

n + 1 

3 

x − 8 

b/ lim 

x→2 

x − 2 

3x 

+ 2 

c/ lim . 

+ 

x→−1 

x + 1 

2/ cho y=f(x)= x 3 - 3x 2 +2. Chứng minh rằng f(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt. 

2 

⎧ x − x − 2 

⎪ ; x ≠ 2 

3/ Cho f(x)= ⎨ x − 2 . Tìm A để hàm số liên tục tại x=2. 

⎪ 

⎩5a 

− 3 x; x = 2 

Bài 2: Cho y 

2 

x −1 

. Giải bất phương trình y ’ .y

CÂU 3: Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB = a, AD = b, 

AE = c . Gọi I là trung điểm của đoạn BG. 

Hãy biểu thị vectơ 

AI qua ba vectơ a , b , c 

 

2.BAN NÂNG CAO: 

CÂU 1: a) Tính gần đúng giá trị 4,04 

2 

b) Tính vi phân của y = x.cot 

x 

x 

CÀU 2: Tính lim+ 

x→3 

2 

− 3x 

+ 1 

x − 3 

CÂU 3: Cho tứ diện đều cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện . 

ĐỀ 11: 

I. PHẦN BẮT BUỘC : 

CÂU 1: 

3 2 

1− 2x x + 3x − 9x 

− 2 

2 

a)Tính • lim • lim • lim ( x − x + 3 + x) 

x →∞ 

2 

+ − → 2 

3 

x 2x 3 x x − x − 6 x →−∞ 

b) Chứng minh phương trình x 3 - 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt . 

CÀU 2: a) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 

2 

⎛ 2 ⎞ 

x − 2x 

• y = ⎜ + 3x ⎟( x − 1) 

• y = x + sin x • y = 

⎝ x ⎠ 

x −1 

b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = tan x 

c) Tính vi phân của ham số y = sinx . cosx 

CÂU 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 6 

Chứng minh : BD ⊥ SC,( SBD) ⊥ ( SAC ) . 

a) Tính d(A,(SBD)) 

b) Tính góc giữa SC và (ABCD) 

II. PHẦN TỰ CHỌN: 

1.BAN CƠ BẢN: 

CÂU 1: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y = x − 1 tại giao điểm của nó với trục hoành . 

x 

60 64 

CÀU 2: Cho hàm số f ( x) = 3x 

+ − + 5, giải phương trình f’(x) = 0 

3 

x x 

 

CÂU 3: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a . Tính AB. 

EG 

2.BAN NÂNG CAO: 

CÂU 1: Tính vi phân và đạo hàm cấp hai của hàm số 

y = sin2x .cos2x 

3 2 

x x 

CÀU 2: Cho y = + − 2x . Với giá trị nào của x thì y’(x) = -2 

3 2 

CÂU 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a . Xác định đường vuông góc chung và 

tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD’ và B’C 

ĐỀ 12: 

Bài 1: Tính giới hạn: 

n+ 

1 n 

3 − 4 x+1 − 2 

a)lim b)lim 

n−1 2 

4 + 3 x − 9 

3 

Bài 2: Chứng minh phương trình x − 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm thuộc ( −2;2 ) . 

Bài 3: Chứng minh hàm số sau không có đạo hàm tại x = −3 

2 

⎧ x − 9 

⎪ khi x ≠ −3 

f ( x) = ⎨ x + 3 

⎪ 

⎩1 khi x = − 3 

Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số sau: 


a) y = (2x + 1) 2 x − x 2 b) y = x 2 .cos x 

x + 1 

Bài 5: Cho hàm số y = có đồ thị (H). 

x − 1 

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại A(2;3). 

1 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến với đường thẳng y = − x + 5 . 

8 

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a, SA vuông góc với (ABCD). Gọi I, 

K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. 

a) Chứng minh: Các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông. 

b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK). 

c) Tính góc giữa SC và (SAB). 

d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD). 

ĐỀ 13: 


2 3 

2 + 3 − 5 + + 1 

a)lim x x b)lim 

x x 

2 

x −1 

x −1 

3 2 

Bài 2: Chứng minh phương trình x − 2mx − x + m = 0 có nghiệm với mọi m. 

Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục tại x=1. 

3 2 

⎧ x − x + 2x 

− 2 

⎪ 

khi x ≠ 1 

f ( x) = ⎨ 3x + a 

⎪ 

⎩3 x + a 

khi x = 1 

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số: 

2 3 1 cos x x 

a) y = + 3x + 1 − + b) 

y = + 

2 4 

x x x 

x sin x 

3 2 

Bài 5: Cho đường cong (C) y = x − 3x + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 

a) Tại điểm có hoành độ bằng 2. 

1 

b) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y = − x + 1 . 

3 

a 3 

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, OB = , SO ⊥ ( ABCD ), SB = a . 

3 

a) Chứng minh: ∆SAC vuông và SC vuông góc SC vuông góc BD. 

b) Chứng minh: ( SAD) ⊥ ( SAB), ( SCB) ⊥ ( SCD ). 

c) Tính khoảng cách giữa SA và BD. 

ĐỀ 14: 


a) lim ( x 2 − x + 3 − 2 x) b) lim ( 4x 2 + x + 1 − 2 x ) 

x→−∞ 

x→+∞ 

3 

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình 2x −10x − 7 = 0 có ít nhất hai nghiệm. 

Bài 3: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = 2 

2 

⎧ x −1 

⎪ khi x < −1 

f ( x) = ⎨ x + 1 

⎪ 

⎩mx 

+ 2 khi x ≥ 1 


3x 

− 2 

2 

a) y = b) y = ( x − 3x + 1).sin x 

2x 

+ 5 

Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 1 

x 

a) Tại điểm có tung độ bằng 1 2 . 

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − 4x + 3. 


Bài 6: Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC đều cạnh a, SA ⊥ ( ABC), 

SA = 3 a . Gọi I là trung điểm BC. 

2 

a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI). 

b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC). 

c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC). 

ĐỀ 15: 


2 

2 x − 3 x + 5x 

− 3 

a) lim b) lim 

x→+∞ 

x→+∞ 

2 − 3 x 

x − 2 

4 3 2 

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x + x − 3x + x + 1 = 0 có nghiệm thuộc ( −1;1) . 

Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số: 

2 

⎧ x + 3x 

+ 2 

⎪ 

khi x ≠ −2 

f ( x) = ⎨ x + 2 

⎪ 

⎩3 khi x = −2 


sin x − x 

a) y = b) y = (2x − 3). cox(2x 

− 3) 

cos x + x 

2 

2x 

+ 2x 

+ 1 

Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 

x + 1 

c) Tại giao điểm của đồ thị và trục tung. 

d) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2009 . 

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, 

= 

0 a 13 

BAD 60 , SA = SB = SC = SD = . Gọi E lần lượt là trung điểm BC, F lần lượt là trung điểm BE. 

4 

a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC). 

b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC). 

c) Gọi (α ) là mặt phẳng qua AD và vuông góc (SBC). Xác định thiết diện hình chóp với (α ). 

d) Tính góc giữa (α ) và (ABCD). 

I/.phần chung( 7- điểm ) 

Bài 1(2đ) 

Câu 1: Tìm a) 

c) 

Câu 1: 

4 − x 

lim 

x→2 

2( 

2 

x − 5 x + 6) 

2 

1 5 3 

− x + 7x 


L im 3 

x→+∞ 

3 5 4 

x − x + 2 

4 

ĐỀ 16: 

b)lim 

x→5 

4 

x 5 3 

Câu 2: Cho hàm số : f ( x) = + x − 2x + 1 . Tính f ’(1) 

2 3 

Bài 2 ( 3đ) 

Cho hàm số 

2 

⎧ x + x khi x

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 1. 

Bài 3: (2 điểm ) 

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a ,AD vuông góc với BC , AD = a và 

khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH. 

a) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH bằng a. 

b) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC). 

c) Tính khoảng cách giữa AD và BC. 

II/. Phần tự chọn (3đ) 

A.Dành cho chương trình chuẩn 

2 

9x 

+ 1 − 4x 

Bài 4 : a/ Tìm lim 

x →−∞ 3 − 2x 

sin 3x 

b/Tìm lim 

x→0 

sin 5x 

Bài 5: a/ CMR phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt. 

6x 3 – 3x 2 - 6x + 2 = 0 

b/.Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a, Tính: 

Chiều cao hình chóp. 

B. Dành cho chương trình nâng cao 

1− 

2sin x 

Bài 4: Tìm lim 

π x → 2cos x − 3 

6 

Bài 5: 

a/ CMR phương trình sau luôn luôn có nghiệm 

( m 2 – 2m + 2) x 3 + 3x – 3 = 0 

b/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) 

và SA = a 3 . Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và hình 

chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó. 

ĐỀ 17 

I. Phân chung: ( 7đ) 

Bài 1: (2đ) 

2 

n+ 2 n+ 

1 

x − x − 2 

3 − 3.5 

a/. Tìm lim lim 

x →− 1 2 x + 2 

4.5 

n + 1 

+ 5.3 

n 

cos x + x 

b/ Tính đạo hàm của hàm số: y = 

sin x − x 

Bài 2: (2đ) 

3 2 

Câu 1: Cho hàm số: y = x + x + x − 5 (C). 

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết: tiếp tuyến song song với đường thẳng 

5x 

− y + 2008 = 0 . 

Câu 2: Tìm a, b để hàm số: 

2 

⎧⎪ 

5x − 6x + 7 ( x ≥ 2) 

f( x) 

= ⎨ 

2 

⎪⎩ ax + 3 a ( x < 2) 

liên tục tại x = 2. 

Bài 3: (3đ) Cho hình chóp S.ABC có (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC 

vuông cân tại C. AC = a; SA = x. 

a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC). 


) Chứng minh ( SAC) ⊥ ( SBC) 

. Tính khoảng cách từ A đến (SBC). 

c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB). 

d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC 

II/.Phần tự chọn ( 3đ): 

A.Dành cho ban cơ bản 

Bài 4 

a. Cho f(x) = x 2 sin (x – 2) . Tìm f ‘ (2) 

b. Viết thêm 3 số vào giữa hai số 1 và 8 để được câp số cộng có 5 số hạng, tính tổng các số hạng 

2 

của cấp số cộng đó 

Bài 5 

a. CMR phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2x 3 - 10x = 7 

b. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 30 0 . Tính chiều cao 

hình chóp. 

B. Dành cho ban nâng cao 

Bài 4: 

a. Cho f(x) = sin 2x – 2 sinx – 5, giải phương trình f ‘ (x) = 0 

b. Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. 

CMR: (a 2 + b 2 )( b 2 + c 2 ) = (ab+bc) 2 

Bài 5: 

a.CMR: Với mọi m phương trình sau luôn có ít nhất 2 nghiệm : 

(m 2 +1)x 4 – x 3 = 1 

b.Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ’ B ’ C ’ a 

, có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2 

Tính góc giữa 2 mặt phẳng (A ’ BC) và (ABC). Khoảng cách từ A đến (A ’ BC) 


Taøi lieäu giaûng daïy phuï ñaïo toå Toaùn THPT Phan Chu Trinh Ñaêk Laêk Giaûi tích 12 

CHÖÔNG I 

ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM ÑEÅ KHAÛO SAÙT 

VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ 

I. TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ 

1. Ñinh nghóa: 

Haøm soá f ñoàng bieán treân K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) 

Haøm soá f nghòch bieán treân K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ) 

2. Ñieàu kieän caàn: 

Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I. 

a) Neáu f ñoàng bieán treân khoaûng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I 

b) Neáu f nghòch bieán treân khoaûng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I 

3. Ñieàu kieän ñuû: 

Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I. 

a) Neáu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f ñoàng bieán treân I. 

b) Neáu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f nghòch bieán treân I. 

c) Neáu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f khoâng ñoåi treân I. 

Chuù yù: Neáu khoaûng I ñöôïc thay bôûi ñoaïn hoaëc nöûa khoaûng thì f phaûi lieân tuïc treân ñoù. 

VAÁN ÑEÀ 1: Xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá 

Ñeå xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá y = f(x), ta thöïc hieän caùc böôùc nhö sau: 

– Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá. 

– Tính y′. Tìm caùc ñieåm maø taïi ñoù y′ = 0 hoaëc y′ khoâng toàn taïi (goïi laø caùc ñieåm tôùi haïn) 

– Laäp baûng xeùt daáu y′ (baûng bieán thieân). Töø ñoù keát luaän caùc khoaûng ñoàng bieán, nghòch 

bieán cuûa haøm soá. 

Baøi 1. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: 

2 

2 

x 5 

2 

a) y = − 2x + 4x 

+ 5 b) y = + x − c) y = x − 4x 

+ 3 

4 4 

3 2 

2 

3 2 

d) y = x − 2x + x − 2 e) y = (4 − x)( x − 1) f) y = x − 3x + 4x 

− 1 

1 4 2 

4 2 

1 4 1 2 

g) y = x − 2x 

− 1 h) y = −x − 2x 

+ 3 i) y = x + x − 2 

4 


2x 

−1 

x −1 

1 

k) y = 

l) y = m) y = 1− x + 5 

2 − x 

1− 

x 

2 

2 

2x 

+ x + 26 

1 

4x 

− 15x 

+ 9 

n) y = 

o) y = − x + 3 − p) y = 

x + 2 

1− 

x 

3x 

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 1/232

Giaûi tích 12 


Baøi 2. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: 

4 3 2 

x 

a) y = − 6x + 8x − 3x 

− 1 b) y = 

x 

2x 

−1 

d) y = e) y = 

2 

x 

x 

g) y = 2x −1 − 3 − x h) 

⎛ π π ⎞ 

k) y = sin 2x ⎜ − < x < ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ 

2 

2 

2 

−1 

− 4 

x 

− 3x 

+ 2 

2 

c) 

y = x 2 − x 

i) 

⎛ π π ⎞ 

l) y = sin 2x − x ⎜ − < x < ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ 

x 

y = 

x 

2 

2 

− x + 1 

+ x + 1 

f) y = x + 3 + 2 2 − x 

y = 2x − x 

2 

VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán hoaëc nghòch bieán 

treân taäp xaùc ñònh (hoaëc treân töøng khoaûng xaùc ñònh) 

Cho haøm soá y = f ( x, m) 

, m laø tham soá, coù taäp xaùc ñònh D. 

Chuù yù: 

• Haøm soá f ñoàng bieán treân D ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D. 

• Haøm soá f nghòch bieán treân D ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ D. 

Töø ñoù suy ra ñieàu kieän cuûa m. 

1) y′ = 0 chæ xaûy ra taïi moät soá höõu haïn ñieåm. 

2 

2) Neáu y ' = ax + bx + c thì: 

⎡⎧ a = b = 0 

⎢⎨ 

c ≥ 0 

• y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⎢⎩ 

⎢ ⎧ a > 0 

⎢ ⎨ 

⎣⎩ 

∆ ≤ 0 

3) Ñònh lí veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai 

• Neáu ∆ < 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a. 

⎡⎧ a = b = 0 

⎢⎨ 

c ≤ 0 

• y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⎢⎩ 

⎢ ⎧ a < 0 

⎢ ⎨ 

⎣⎩ 

∆ ≤ 0 

2 

g( x) 

= ax + bx + c : 

• Neáu ∆ = 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a (tröø x = 

b 

− ) 

2a 

• Neáu ∆ > 0 thì g(x) coù hai nghieäm x 1 , x 2 vaø trong khoaûng hai nghieäm thì g(x) khaùc daáu 

vôùi a, ngoaøi khoaûng hai nghieäm thì g(x) cuøng daáu vôùi a. 

4) So saùnh caùc nghieäm x 1 , x 2 cuûa tam thöùc baäc hai 

⎧ ∆ > 0 

⎪ 

x < x < 0 ⇔ ⎨P 

> 0 

⎪ 

⎩S 

< 0 

• 

1 2 

5) Ñeå haøm soá 

⎧ ∆ > 0 

⎪ 

0 < x < x ⇔ ⎨P 

> 0 

⎪ 

⎩S 

> 0 

• 

1 2 

2 

g( x) 

= ax + bx + c vôùi soá 0: 

x < 0 < x ⇔ P < 0 

• 

1 2 

3 2 

y = ax + bx + cx + d coù ñoä daøi khoaûng ñoàng bieán (nghòch bieán) (x 1 ; x 2 ) baèng 

d thì ta thöïc hieän caùc böôùc sau: 

• Tính y′. 

• Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù khoaûng ñoàng bieán vaø nghòch bieán: 

⎧a 

≠ 

⎨ 

⎩∆ > 

0 

0 

(1) 



• Bieán ñoåi x1 − x2 

= d thaønh 

2 2 

1 2 1 2 

( x + x ) − 4x x = d (2) 

• Söû duïng ñònh lí Viet ñöa (2) thaønh phöông trình theo m. 

• Giaûi phöông trình, so vôùi ñieàu kieän (1) ñeå choïn nghieäm. 

Baøi 1. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc 

taäp xaùc ñònh) cuûa noù: 

a) 

d) 

3 

y = x + 5x 

+ 13 

b) 

x 

y = 

2 

+ 2x 

− 3 

x + 1 

3 

x 2 

y = − 3x + 9x 

+ 1 c) 

3 

e) y = 3x − sin(3x 

+ 1) f) 

2x 

−1 

y = 

x + 2 

x 

y = 

2 

− 2mx 

−1 

x − m 

Baøi 2. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc 

taäp xaùc ñònh) cuûa noù: 

a) y = − 5x + cot( x − 1) b) y = cos x − x 

c) y = sin x − cos x − 2 2x 

Baøi 3. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân taäp xaùc ñònh (hoaëc töøng khoaûng xaùc 

ñònh) cuûa noù: 

a) 

d) 

3 2 

y = x − 3 mx + ( m + 2) x − m b) 

mx + 4 

y = 

x + m 

Baøi 4. Tìm m ñeå haøm soá: 

a) 

b) 

c) 

3 2 

e) 

3 2 

x mx 

y = − − 2x 

+ 1 c) 

3 2 

x 

y = 

2 

− 2mx 

−1 

x − m 

f) 

x + m 

y = 

x − m 

y = x + 3x + mx + m nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 1. 

2 2 

x − 2mx + 3m 

y = 

x − 2m 

1 3 1 2 

y = x − mx + 2mx − 3m 

+ 1 nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 3. 

3 2 

1 3 2 

y = − x + ( m − 1) x + ( m + 3) x − 4 ñoàng bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 4. 

3 


a) 

b) 

3 

x 

2 

y = + ( m + 1) x − ( m + 1) x + 1 ñoàng bieán treân khoaûng (1; +∞). 

3 

3 2 

y = x − 3(2m + 1) x + (12m + 5) x + 2 ñoàng bieán treân khoaûng (2; +∞). 

mx 

c) y = + 4 ( m ≠ ± 2) ñoàng bieán treân khoaûng (1; +∞). 

x + m 

d) 

e) 

f) 

x + m 

y = ñoàng bieán trong khoaûng (–1; +∞). 

x − m 

2 2 

x − 2mx + 3m 

y = 

x − 2m 

2 

−2x − 3x + m 

y = 

2x 

+ 1 

ñoàng bieán treân khoaûng (1; +∞). 

⎛ 1 ⎞ 

nghòch bieán treân khoaûng ⎜ − ; +∞ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 




VAÁN ÑEÀ 3: ÖÙng duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc 

Ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc ta thöïc hieän caùc böôùc sau: 

• Chuyeån baát ñaúng thöùc veà daïng f(x) > 0 (hoaëc 0 b) 2 sin x + 1 tan x > x, vôùi 0 < x < π 

6 

3 3 2 

c) x < tan x, vôùi 0 < x < π d) sin x + tan x > 2 x, vôùi 0 < x < π 

2 

2 

Baøi 2. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau: 

a) tan a a 

< , vôùi 0 < a 

tan b b 

2 

2 

c) a − tan a 

2 


a) 

2x 

sin x > , vôùi 0 < x < π 

π 

2 

π 

c) x sin x + cos x > 1, vôùi 0 < x < 

2 


x 

b) 

3 3 5 

x x x 

x − < sin x < x − + , vôùi x > 0 


a) e > 1 + x, vôùi x > 0 

b) ln(1 + x) < x, vôùi x > 0 

c) 

1 

ln(1 + x) − ln x > , vôùi x > 0 

1+ 

x 


a) 

0 

tan 55 > 1,4 b) 

HD: a) 

0 0 0 

tan 55 = tan(45 + 10 ) . Xeùt haøm soá 

b) Xeùt haøm soá 

d) ( ) 

2 2 

1+ x ln x + 1+ x ≥ 1+ 

x 

1 0 7 

< sin 20 < c) log2 3 > log3 

4 

3 20 

3 

f ( x) = 3x − 4x 

. 

f(x) ñoàng bieán trong khoaûng 

c) Xeùt haøm soá f ( x) = log ( x + 1) vôùi x > 1. 

x 

1+ 

x 

f ( x) 

= . 

1 − x 

⎛ 1 1 ⎞ 

⎜ − ; ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ vaø 1 0 7 

,sin 20 , 

3 20 ∈ ⎛ 1 1 ⎞ 

⎜ − ; ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ . 



VAÁN ÑEÀ 4: Chöùng minh phöông trình coù nghieäm duy nhaát 

Ñeå chöùng minh phöông trình f(x) = g(x) (*) coù nghieäm duy nhaát, ta thöïc hieän caùc böôùc sau: 

• Choïn ñöôïc nghieäm x 0 cuûa phöông trình. 

• Xeùt caùc haøm soá y = f(x) (C 1 ) vaø y = g(x) (C 2 ). Ta caàn chöùng minh moät haøm soá ñoàng 

bieán vaø moät haøm soá nghòch bieán. Khi ñoù (C 1 ) vaø (C 2 ) giao nhau taïi moät ñieåm duy nhaát coù 

hoaønh ñoä x 0 . Ñoù chính laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình (*). 

Chuù yù: Neáu moät trong hai haøm soá laø haøm haèng y = C thì keát luaän treân vaãn ñuùng. 

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau: 

a) x + x − 5 = 5 

b) 

5 3 

x + x − 1− 3x 

+ 4 = 0 

c) x + x − 5 + x + 7 + x + 16 = 14 d) 


a) 5 5 5 

2 2 

x + 15 = 3x − 2 + x + 8 

x + 1 + x + 2 + x + 3 = 0 

b) ln( x − 4) = 5 − x 

x x x 

x x x 

c) 3 + 4 = 5 

d) 2 + 3 + 5 = 38 

Baøi 3. Giaûi caùc baát phöông trình sau: 

a) 

3 4 5 

x + 1 + 5x − 7 + 7x − 5 + 13x 

− 7 < 8 b) 2x + x + x + 7 + 2 x + 7x 

< 35 

Baøi 4. Giaûi caùc heä phöông trình sau: 

a) 

c) 

e) 

g) 

⎧ 3 2 

2 + 1 = + + 

⎪ 

3 2 

x y y y 

⎨ 2y + 1 = z + z + z 

⎪ 

3 2 

⎩2z + 1 = x + x + x 

⎧ 3 2 

y = x − x + 

⎪ 

3 2 


⎨ z = 6y − 12y 

+ 8 

⎪ 3 2 

⎩x = 6z − 12z 

+ 8 

⎧sin x − sin y = 3x − 3y 

⎪ π ⎨ x + y = 

⎪ 5 

⎪⎩ x, y > 0 

⎧cot 

x − cot y = x − y 

⎪ 

⎨5x 

+ 7y 

= 2π 

⎪ ⎩0 < x, 

y < π 

HD: a, b) Xeùt haøm soá 

d) Xeùt haøm soá f(t) = tant + t 

I. Khaùi nieäm cöïc trò cuûa haøm soá 

3 2 

b) 

⎧ 3 2 

x = y + y + y − 

⎪ 

3 2 

⎨ y = z + z + z − 

⎪ = 

3 + 

2 + − 

⎩z x x x 

2 

2 

2 

⎧tan 

x − tan y = y − x 

⎪ 5π 

d) ⎪ 2x 

+ 3y 

= 

⎨ 4 

⎪ π π 

⎪ − < x, 

y < 

⎩ 2 2 

f) 

h) 

f ( t) 

= t + t + t c) Xeùt haøm soá 

⎧sin 2x − 2y = sin 2y − 2x 

⎪ 2x 

+ 3y 

= π 

⎨ 

⎪ 

π 

0 < x, 

y < 

⎪⎩ 2 

II. CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ 

Giaû söû haøm soá f xaùc ñònh treân taäp D (D ⊂ R) vaø x 0 ∈ D. 

2 

f ( t) = 6t − 12t 

+ 8 

a) x 0 – ñieåm cöïc ñaïi cuûa f neáu toàn taïi khoaûng (a; b) ⊂ D vaø x 0 ∈ (a; b) sao cho 

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 5/232 

2



f(x) < f(x 0 ), vôùi ∀x ∈ (a; b) \ {x 0 }. 

Khi ñoù f(x 0 ) ñgl giaù trò cöïc ñaïi (cöïc ñaïi) cuûa f. 

b) x 0 – ñieåm cöïc tieåu cuûa f neáu toàn taïi khoaûng (a; b) ⊂ D vaø x 0 ∈ (a; b) sao cho 

f(x) > f(x 0 ), vôùi ∀x ∈ (a; b) \ {x 0 }. 

Khi ñoù f(x 0 ) ñgl giaù trò cöïc tieåu (cöïc tieåu) cuûa f. 

c) Neáu x 0 laø ñieåm cöïc trò cuûa f thì ñieåm (x 0 ; f(x 0 )) ñgl ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá f. 

II. Ñieàu kieän caàn ñeå haøm soá coù cöïc trò 

Neáu haøm soá f coù ñaïo haøm taïi x 0 vaø ñaït cöïc trò taïi ñieåm ñoù thì f′ (x 0 ) = 0. 

Chuù yù: Haøm soá f chæ coù theå ñaït cöïc trò taïi nhöõng ñieåm maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng 

coù ñaïo haøm. 

III. Ñieåu kieän ñuû ñeå haøm soá coù cöïc trò 

1. Ñònh lí 1: Giaû söû haøm soá f lieân tuïc treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x 0 vaø coù ñaïo haøm 

treân (a; b)\{x 0 } 

a) Neáu f′ (x) ñoåi daáu töø aâm sang döông khi x ñi qua x 0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x 0 . 

b) Neáu f′ (x) ñoåi daáu töø döông sang aâm khi x ñi qua x 0 thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x 0 . 

2. Ñònh lí 2: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x 0 , f′ (x 0 ) = 0 vaø 

coù ñaïo haøm caáp hai khaùc 0 taïi ñieåm x 0 . 

a) Neáu f′′ (x 0 ) < 0 thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x 0 . 

b) Neáu f′′ (x 0 ) > 0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x 0 . 

VAÁN ÑEÀ 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá 

Qui taéc 1: Duøng ñònh lí 1. 

• Tìm f′ (x). 

• Tìm caùc ñieåm x i (i = 1, 2, …) maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng coù ñaïo haøm. 

• Xeùt daáu f′ (x). Neáu f′ (x) ñoåi daáu khi x ñi qua x i thì haøm soá ñaït cöïc trò taïi x i . 

Qui taéc 2: Duøng ñònh lí 2. 

• Tính f′ (x). 

• Giaûi phöông trình f′ (x) = 0 tìm caùc nghieäm x i (i = 1, 2, …). 

• Tính f′′ (x) vaø f′′ (x i ) (i = 1, 2, …). 

Neáu f′′ (x i ) < 0 thì haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x i . 

Neáu f′′ (x i ) > 0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x i . 

Baøi 1. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau: 

a) 

d) 

2 3 

y = 3x − 2x 

b) 

4 

x 2 

y = − x + 3 

e) 

2 

3 2 

y = x − 2x + 2x 

− 1 c) 

4 2 

y = x − 4x 

+ 5 f) 

1 3 2 

y = − x + 4x − 15x 

3 

4 

x 2 3 

y = − + x + 

2 2 



g) 

2 

− x + 3x 

+ 6 

y = 

x + 2 

h) 


a) 

d) 

3 4 

y = ( x − 2) ( x + 1) b) 

2 

y = x x − 4 

e) 


3 2 

a) y = x + 1 

b) y = 

d) 

2 

y = x − 5x + 5 + 2 ln x e) 

2 

3x 

+ 4x 

+ 5 

y = 

x + 1 

2 

4x 

+ 2x 

−1 

y = 

2 

2x 

+ x − 3 

2 

i) 

c) 

y = x − 2x 

+ 5 f) 

3 2 

x 

2x 

+ 1 

2 

y = x − 4sin x f) 

x 

y = 

VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò 

2 

− 2x 

−15 

x − 3 

2 

3x 

+ 4x 

+ 4 

y = 

2 

x + x + 1 

y = x + 2x − x 

x 

c) y = e + 4e − 

x 

2 

2 

y = x − ln(1 + x ) 

1. Neáu haøm soá y = f(x) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x 0 thì f′ (x 0 ) = 0 hoaëc taïi x 0 khoâng coù ñaïo haøm. 

2. Ñeå haøm soá y = f(x) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x 0 thì f′ (x) ñoåi daáu khi x ñi qua x 0 . 


3 2 

• Haøm soá baäc ba y = ax + bx + cx + d coù cöïc trò ⇔ Phöông trình y′ = 0 coù hai nghieäm 

phaân bieät. 

Khi ñoù neáu x 0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y(x 0 ) baèng hai caùch: 

+ 

3 2 

0 0 0 0 

y( x ) = ax + bx + cx + d 

y( x ) = Ax + B , trong ñoù Ax + B laø phaàn dö trong pheùp chia y cho y′. 

+ 

0 0 

2 

• Haøm soá 

ax + bx + c 

y = 

= 

a' 

x + b' 

P( x) 

Q( x) 

(aa′≠ 0) coù cöïc trò ⇔ Phöông trình y′ = 0 coù hai 

b' 

nghieäm phaân bieät khaùc − . 

a' 

Khi ñoù neáu x 0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y(x 0 ) baèng hai caùch: 

P( x0) 

P '( x0) 

y( x0) 

= hoaëc y( x0) 

= 

Q( x ) 

Q'( x ) 

0 

• Khi söû duïng ñieàu kieän caàn ñeå xeùt haøm soá coù cöïc trò caàn phaûi kieåm tra laïi ñeå loaïi boû 

nghieäm ngoaïi lai. 

• Khi giaûi caùc baøi taäp loaïi naøy thöôøng ta coøn söû duïng caùc kieán thöùc khaùc nöõa, nhaát laø 

ñònh lí Vi–et. 

Baøi 1. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu: 

a) 

c) 

3 2 2 3 

y = x − 3mx + 3( m −1) 

x − m b) 

2 2 4 

x + m( m −1) x − m + 1 

y = 

x − m 


a) 

b) 

c) 

3 2 

y = ( m + 2) x + 3x + mx − 5 coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu. 

3 2 2 

d) 

0 

3 2 

y = 2x − 3(2m + 1) x + 6 m( m + 1) x + 1 

2 

x + mx − m + 2 

y = 

x − m + 1 

y = x − 3( m − 1) x + (2m − 3m + 2) x − m( m − 1) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu. 

3 2 2 

y = x − 3 mx + ( m − 1) x + 2 ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2. 




d) 

e) 

f) 

4 2 

y = − mx + 2( m − 2) x + m − 5 coù moät cöïc ñaïi 

x 

y = 

y = 

2 

− 2mx 

+ 2 

ñaït cöïc tieåu khi x = 2. 

x − m 

2 2 

x − ( m + 1) x − m + 4m 

− 2 

x −1 

2 

1 

x = . 

2 

coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu. 

x − x + m 

g) y = coù moät giaù trò cöïc ñaïi baèng 0. 

x −1 

Baøi 3. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau khoâng coù cöïc trò: 

a) 

c) 

3 2 

y = x − 3x + 3mx + 3m 

+ 4 b) 

2 

− x + mx + 5 

y = 

x − 3 

Baøi 4. Tìm a, b, c, d ñeå haøm soá: 

a) 

b) 

d) 

3 2 

y = mx + 3 mx − ( m −1) x − 1 

y = 

2 2 

x − ( m + 1) x − m + 4m 

− 2 

x −1 

3 2 

y = ax + bx + cx + d ñaït cöïc tieåu baèng 0 taïi x = 0 vaø ñaït cöïc ñaïi baèng 4 

27 taïi x = 1 3 

4 2 

y = ax + bx + c coù ñoà thò ñi qua goác toaï ñoä O vaø ñaït cöïc trò baèng –9 taïi x = 3 . 

2 

x + bx + c 

c) y = 

ñaït cöïc trò baèng –6 taïi x = –1. 

x −1 

2 

ax + bx + ab 

d) y = 

ñaït cöïc trò taïi x = 0 vaø x = 4. 

bx + a 

2 

ax + 2x + b 

e) y = 

ñaït cöïc ñaïi baèng 5 taïi x = 1. 

2 

x + 1 

Baøi 5. Tìm m ñeå haøm soá : 

a) 

3 2 2 2 

y = x + 2( m − 1) x + ( m − 4m + 1) x − 2( m + 1) ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x 1 , x 2 sao 

1 1 1 

cho: + = ( 

1 2 ) 

x x 2 x + x . 

1 2 

1 3 2 

b) y = x − mx + mx − 1 ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x 1 , x 2 sao cho: x1 − x2 ≥ 8 . 

3 

1 3 2 

1 

c) y = mx − ( m − 1) x + 3( m − 2) x + ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x 1 , x 2 sao cho: 

3 3 

x + 2x 

= 1. 

1 2 

Baøi 6. Tìm m ñeå haøm soá : 

a) 

y = 

2 

x + mx − m + 2 

coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø caùc giaù trò cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuøng daáu. 

x − m + 1 

2 2 

x − ( m + 1) x − m + 4m 

− 2 

b) y = 

x −1 

tieåu ñaït giaù trò nhoû nhaát. 

2 

coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø tích caùc giaù trò cöïc ñaïi, cöïc 

− x + 3x + m 

c) y = 

coù giaù trò cöïc ñaïi M vaø giaù trò cöïc tieåu m thoaû M − m = 4 . 

x − 4 



2 

2x + 3x + m − 2 

d) y = 

coù yCÑ 

− yCT 

< 12 . 

x + 2 

Baøi 7. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá : 

a) 

b) 

3 2 

y = − x + mx − 4 coù hai ñieåm cöïc trò laø A, B vaø 

4 2 

2 

2 900m 

AB = . 

729 

y = x − mx + 4x + m coù 3 ñieåm cöïc trò laø A, B, C vaø tam giaùc ABC nhaän goác toaï ñoä 

O laøm troïng taâm. 

2 

x + mx + m − 2 

c) y = 

coù hai ñieåm cöïc trò naèm hai phía ñoái vôùi truïc tung. Chöùng minh 

x − m 

hai ñieåm cöïc trò luoân luoân naèm cuøng moät phía ñoái vôùi truïc hoaønh. 

2 

x + mx 

d) y = 

1− 

x 

2 

coù khoaûng caùch giöõa hai ñieåm cöïc trò baèng 10. 

− x + 2mx 

+ 5 

e) y = 

coù hai ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu naèm veà hai phía ñoái vôùi ñöôøng 

x −1 

thaúng y = 2x. 

f) y = 

2 

x + 2x + m + 3 

coù hai ñieåm cöïc trò vaø khoaûng caùch giöõa chuùng nhoû nhaát. 

x − m 


a) 

b) 

3 2 

y = 2x + mx −12x 

− 13 coù hai ñieåm cöïc trò caùch ñeàu truïc tung. 

3 2 3 

y = x − 3mx + 4m 

coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu ñoái xöùng nhau qua ñöôøng phaân 

giaùc thöù nhaát. 

c) 

3 2 3 

y = x − 3mx + 4m 

coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu ôû veà moät phía ñoái vôùi ñöôøng 

thaúng (d): 3x 

− 2y 

+ 8 = 0 . 

2 2 

x + (2m + 1) x + m + 1 

d) y = 

coù hai ñieåm cöïc trò naèm ôû hai phía ñoái vôùi ñöôøng thaúng 

x + 1 

(d): 2x 

− 3y 

− 1 = 0 . 


2 

x − ( m + 1) x + 2m 

−1 

a) y = 

coù hai ñieåm cöïc trò ôû trong goùc phaàn tö thöù nhaát cuûa maët 

x − m 

phaúng toaï ñoä. 

2 2 2 

2 mx + (4m + 1) x + 32m + 2m 

b) y = 

coù moät ñieåm cöïc trò naèm trong goùc phaàn tö thöù 

x + 2m 

hai vaø ñieåm kia naèm trong goùc phaàn tö thöù tö cuûa maët phaúng toaï ñoä. 

2 2 2 

mx − ( m + 1) x + 4m + m 

c) y = 

coù moät ñieåm cöïc trò naèm trong goùc phaàn tö thöù nhaát 

x − m 

vaø ñieåm kia naèm trong goùc phaàn tö thöù ba cuûa maët phaúng toaï ñoä. 

2 2 

x + (2m + 1) x + m + 1 

d) y = 

coù hai ñieåm cöïc trò naèm ôû hai phía cuûa truïc hoaønh (tung). 

x + 1 

1) Haøm soá baäc ba 

VAÁN ÑEÀ 3: Ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò 

3 2 

y = f ( x) 

= ax + bx + cx + d . 


Giaûi tích 12 Taøi lieäu giaûng daïy phuï ñaïo toå Toaùn THPT Phan Chu Trinh Ñaêk Laêk 

• Chia f(x) cho f′ (x) ta ñöôïc: f(x) = Q(x).f′ (x) + Ax + B. 

• Khi ñoù, giaû söû (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) laø caùc ñieåm cöïc trò thì: 

⎧ y1 = f ( x1) 

= Ax1 

+ B 

⎨ 

⎩y2 = f ( x2) 

= Ax2 

+ B 

⇒ Caùc ñieåm (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) naèm treân ñöôøng thaúng y = Ax + B. 

P( x) 

ax + bx + c 

2) Haøm soá phaân thöùc y = f ( x) 

= = 

. 

Q( x) 

dx + e 

P '( x0) 

• Giaû söû (x 0 ; y 0 ) laø ñieåm cöïc trò thì y0 

= . 

Q'( x ) 

2 

• Giaû söû haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu thì phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm 

P '( x) 2ax + b 

cöïc trò aáy laø: y = = . 

Q'( x) 

d 

0 

Baøi 1. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá : 

a) 

d) 

3 2 

y = x − 2x − x + 1 b) 

2 

2x 

− x + 1 

y = 

x + 3 

e 

2 3 

y = 3x − 2x 

c) 

2 

x − x −1 

y = 

x − 2 

3 2 

y = x − 3x − 6x 

+ 8 

Baøi 2. Khi haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu, vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc 

trò cuûa ñoà thò haøm soá: 

a) 

c) 

3 2 2 3 

y = x − 3mx + 3( m −1) 

x − m 

b) 

3 2 2 

y = x − 3( m − 1) x + (2m − 3m + 2) x − m( m − 1) d) 


a) 

3 2 

x 

y = 

2 

2 

+ mx − 6 

x − m 

x + mx − m + 2 

y = 

x − m + 1 

y = 2x + 3( m − 1) x + 6( m − 2) x − 1 coù ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò song song 

vôùi ñöôøng thaúng y = –4x + 1. 

b) 

3 2 

y = 2x + 3( m − 1) x + 6 m(1 − 2 m) 

x coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa ñoà thò naèm treân 

ñöôøng thaúng y = –4x. 

c) 

3 2 

y = x + mx + 7x 

+ 3 coù ñöôøng thaúng ñi qua caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu vuoâng goùc 

vôùi ñöôøng thaúng y = 3x – 7. 

d) 

3 2 2 

y = x − 3x + m x + m coù caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñoái xöùng nhau qua ñöôøng 

thaúng (∆): 

1. Ñònh nghóa: 

1 5 

y = x − . 

2 2 

Giaû söû haøm soá f xaùc ñònh treân mieàn D (D ⊂ R). 

a) 

III. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT 

VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ 

⎧ f ( x) ≤ M, 

∀x ∈ D 

M = max f ( x) 

⇔ ⎨ 

D ⎩ ∃ x0 ∈ D : f ( x0) 

= M 

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 10/232


⎧ f ( x) ≥ m, 

∀x ∈ D 

b) m = min f ( x) 

⇔ ⎨ 

D ⎩ ∃ x0 ∈ D : f ( x0) 

= m 

2. Tính chaát: 

a) Neáu haøm soá f ñoàng bieán treân [a; b] thì max f ( x) = f ( b), min f ( x) = f ( a) 

. 

[ a ; b ] [ a ; b ] 

b) Neáu haøm soá f nghòch bieán treân [a; b] thì max f ( x) = f ( a), min f ( x) = f ( b) 

. 

[ a ; b ] [ a ; b ] 

VAÁN ÑEÀ 1: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch laäp baûng bieán thieân 

Caùch 1: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá treân moät khoaûng. 


• Xeùt daáu f′ (x) vaø laäp baûng bieán thieân. 

• Döïa vaøo baûng bieán thieân ñeå keát luaän. 

Caùch 2: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn [a; b]. 


• Giaûi phöông trình f′ (x) = 0 tìm ñöôïc caùc nghieäm x 1 , x 2 , …, x n treân [a; b] (neáu coù). 

• Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ). 

• So saùnh caùc giaù trò vöøa tính vaø keát luaän. 

M = max f ( x ) = max f ( a ), f ( b ), f ( x ), f ( x ),..., f ( x ) 

[ a; b] 

[ a; b] 

{ } 

1 2 

{ } 

m = min f ( x ) = min f ( a ), f ( b ), f ( x ), f ( x ),..., f ( x ) 

Baøi 1. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: 

a) 

2 

y = x + 4x 

+ 3 

b) 

2 

d) y = x + x − 2 

e) y = 

x 

3 4 

1 2 

y = 4x − 3x 

c) 

2 

2 

x −1 

− 2x 

+ 2 

2 1 x − x + 1 

g) y = x + ( x > 0) h) y = 

x 

2 

x + x + 1 


a) 

c) 

e) 

g) 

i) 

3 2 

y = 2x + 3x − 12x 

+ 1 treân [–1; 5] b) 

4 2 

y = x − 2x 

+ 3 treân [–3; 2] d) 

3x 

−1 

y = 

x − 3 

2 

4x 

+ 7x 

+ 7 

y = 

x + 2 

treân [0; 2] f) 

2 

treân [0; 2] h) 

3 

n 

n 

f) 

i) 

4 2 

y = x + 2x 

− 2 

2 

2x 

+ 4x 

+ 5 

y = 

2 

x + 1 

4 2 

y = 3x − x treân [–2; 3] 

4 2 

x + x + 1 

y = ( x > 0) 

3 

x + x 

y = x − 2x 

+ 5 treân [–2; 2] 

x −1 

y = treân [0; 4] 

x + 1 

2 

1− x + x 

y = treân [0; 1] 

2 

1 + x − x 

y = 100 − x treân [–6; 8] k) y = 2 + x + 4 − x 


2sin x −1 

1 

a) y = 

b) y = 

sin x + 2 

2 

cos x + cos x + 1 

d) y = cos2x − 2sin x − 1 e) 

3 3 

c) 

y = sin x + cos x f) y = 

x 

2 

y = 2sin x − cos x + 1 

x 

2 

−1 

4 2 

− x + 1 

g) 

2 2 

y = 4 x − 2x + 5 + x − 2x 

+ 3 h) 

2 2 

y = − x + 4x + x − 4x 

+ 3 




VAÁN ÑEÀ 2: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch duøng baát ñaúng thöùc 

Caùch naøy döïa tröïc tieáp vaøo ñònh nghóa GTLN, GTNN cuûa haøm soá. 

• Chöùng minh moät baát ñaúng thöùc. 

• Tìm moät ñieåm thuoäc D sao cho öùng vôùi giaù trò aáy, baát ñaúng thöùc vöøa tìm ñöôïc trôû thaønh 

ñaúng thöùc. 

Baøi 1. Giaû söû D {( x; y; z) / x 0, y 0, z 0, x y z 1} 

thöùc: 

= > > > + + = . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu 

x y z 

P = + + 

x + 1 y + 1 z + 1 

. 

⎛ 1 1 1 ⎞ 

HD: P = 3 − ⎜ + + ⎟ 

⎝ x + 1 y + 1 z + 1⎠ 

⎛ 1 1 1 ⎞ 

Söû duïng baát ñaúng thöùc Coâ–si: [( x + 1) + ( y + 1) + ( z = 1) ] ⎜ + + ⎟ ≥ 9 

⎝ x + 1 y + 1 z + 1⎠ 

⇒ P ≤ 3 4 . Daáu “=” xaûy ra ⇔ x = y = z = 1 3 . Vaäy 3 

min P = . 

D 4 

⎧ 

5⎫ 

Baøi 2. Cho D = ⎨( x; y) / x > 0, y > 0, x + y = ⎬ . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: 

⎩ 

4 ⎭ 

4 1 

S = x 

+ 4y 

. 

⎛ 1 1 1 1 1 ⎞ 

⎛ 4 1 ⎞ 

+ + + + 4 ⎜ + + + + ⎟ ≥ 25 ⇔ 4( x + y) ⎜ + ⎟ ≥ 25 

⎝ x x x x 4y 

⎠ 

⎝ x 4y 

⎠ 

HD: ( x x x x y) 

⇒ S ≥ 5. Daáu “=” xaûy ra ⇔ x = 1, y = 1 . Vaäy minS = 5. 

4 

( x; y) / x > 0, y > 0, x + y < 1 . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: 

Baøi 3. Cho D = { } 

HD: 

2 2 

x y 

1 

P = + + x + y + 

1− x 1− y x + y 

. 

2 2 

x 

y 1 

P = (1 + x) + + (1 + y) + + − 2 = 

1− x 1− y x + y 

Söû duïng baát ñaúng thöùc Coâ–si: [ x y x y ] 

1 1 1 9 

⇔ + + ≥ 

1− x 1− y x + y 2 

1 1 1 

+ + − 2 . 

1− x 1− y x + y 

⎛ 1 1 1 ⎞ 

(1 − ) + (1 − ) + ( + ) ⎜ + + ⎟ ≥ 9 

⎝1− x 1− y x + y ⎠ 

⇒ P ≥ 5 2 . Daáu “=” xaûy ra ⇔ x = y = 1 3 . Vaäy minP = 5 2 . 

Baøi 4. Cho D = {( x; y) / x 0, y 0, x y 4} 

HD: 

> > + ≥ . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: 

2 2 

3x 

+ 4 2 + y 

P = + . 

4x 

2 

y 

x 1 ⎛ 1 

2 

y y ⎞ x + 

P = + + ⎜ + + y 

4 x 2 ⎟ + 

⎝ y 8 8 

⎠ 

2 

(1) 



x 1 1 

Theo baát ñaúng thöùc Coâ–si: 2 . 1 

4 x 

x 

4 x 

(2) 

1 y y 1 y y 3 

+ + ≥ 33 

. . = 

2 8 8 2 

y 

y 8 8 4 

(3) 

⇒ P ≥ 9 2 . Daáu “=” xaûy ra ⇔ x = y = 2. Vaäy minP = 9 2 . 

VAÁN ÑEÀ 3: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch duøng mieàn giaù trò 

Xeùt baøi toaùn tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá f(x) treân moät mieàn D cho tröôùc. 

Goïi y 0 laø moät giaù trò tuyø yù cuûa f(x) treân D, thì heä phöông trình (aån x) sau coù nghieäm: 

⎧ f ( x) = y0 

(1) 

⎨ 

⎩x 

∈ D (2) 

Tuyø theo daïng cuûa heä treân maø ta coù caùc ñieàu kieän töông öùng. Thoâng thöôøng ñieàu kieän aáy 

(sau khi bieán ñoåi) coù daïng: m ≤ y 0 ≤ M (3) 

Vì y 0 laø moät giaù trò baát kì cuûa f(x) neân töø (3) ta suy ra ñöôïc: 

min f ( x) = m; max f ( x) 

= M 

D 

D 

Baøi 1. Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá sau: 

2 

2 

x + x + 1 

2x 

+ 7x 

+ 23 

2sin x + cos x + 1 

a) y = 

b) y = 

c) y = 

2 

2 

x − x + 1 

x + 2x 


sin x − 2 cos x + 3 

2sin x + cos x + 3 

d) y = 

2 cos x − sin x + 4 

VAÁN ÑEÀ 4: Söû duïng GTLN, GTNN cuûa haøm soá trong PT, HPT, BPT 

Giaû söû f(x) laø moät haøm soá lieân tuïc treân mieàn D vaø coù min f ( x) = m; max f ( x) 

= M . Khi ñoù: 

⎧ f ( x) 

= α 

1) Heä phöông trình ⎨ coù nghieäm ⇔ m ≤ α ≤ M. 

⎩x 

∈ D 

⎧ f ( x) 

≥ α 

2) Heä baát phöông trình ⎨ coù nghieäm ⇔ M ≥ α. 

⎩x 

∈ D 

⎧ f ( x) 

≤ β 

3) Heä baát phöông trình ⎨ coù nghieäm ⇔ m ≤ β. 

⎩x 

∈ D 

4) Baát phöông trình f(x) ≥ α ñuùng vôùi moïi x ⇔ m ≥ α. 

5) Baát phöông trình f(x) ≤ β ñuùng vôùi moïi x ⇔ M ≤ β. 

D 

D 


x − 2 + 4 − x = 2 b) 3 + 5 = 6x 

+ 2 c) x 

a) 4 4 

Baøi 2. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm: 

a) 

2 

x 

x 

5 5 1 

+ (1 − x) 

= 

16 

x + 2x + 1 = m 

b) 2 − x + 2 + x − (2 − x)(2 + x) 

= m 

c) 3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) 

= m d) 7 − x + 2 + x − (7 − x)(2 + x) 

= m 

Baøi 3. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi moïi x ∈ R: 




a) 

2 

x + 2x + 1 > m 

b) 

3 2 

2 

m 2x + 9 < x + m c) 

Baøi 4. Cho baát phöông trình: x − 2x + x − 1+ m < 0 . 

a) Tìm m ñeå baát phöông trình coù nghieäm thuoäc [0; 2]. 

b) Tìm m ñeå baát phöông trình thoaû moïi x thuoäc [0; 2]. 

Baøi 5. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau: 

4 

mx − 4x + m ≥ 0 

a) mx − x − 3 ≤ m + 1 coù nghieäm. b) ( m + 2) x − m ≥ x + 1 coù nghieäm x ∈ [0; 2]. 

c) 

2 2 

m( x − x + 1) ≤ x + x + 1 nghieäm ñuùng vôùi moïi x ∈ [0; 1]. 

IV. ÑIEÅM UOÁN CUÛA ÑOÀ THÒ 


Ñieåm ( ; ( )) 

U x f x ñgl ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) neáu toàn taïi moät khoaûng (a; 

0 0 

b) chöùa ñieåm x 0 sao cho treân moät trong hai khoaûng (a; x 0 ) vaø (x 0 ; b) tieáp tuyeán cuûa ñoà 

thò taïi ñieåm U naèm phía treân ñoà thò coøn treân khoaûng kia tieáp tuyeán naèm phía döôùi ñoà thò 

2. Tính chaát: 

• Neáu haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm caáp hai treân moät khoaûng chöùa ñieåm x 0 , f′′(x 0 ) = 0 vaø 

U x ; f ( x ) laø moät ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá. 

f′′(x) ñoåi daáu khi x ñi qua x 0 thì ( ) 

• Ñoà thò cuûa haøm soá baäc ba 

laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò. 

0 0 

Baøi 1. Tìm ñieåm uoán cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau: 

a) 

3 2 

y = x − 6x + 3x 

+ 2 b) 

4 

3 2 

y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) luoân coù moät ñieåm uoán vaø ñoù 

3 2 

y = x − 3x − 9x 

+ 9 c) 

4 2 

y = x − 6x 

+ 3 

x 2 

4 3 2 

5 4 

d) y = − 2x 

+ 3 

e) y = x − 12x + 48x 

+ 10 f) y = 3x − 5x + 3x 

− 2 

4 

Baøi 2. Tìm m, n ñeå ñoà thò cuûa haøm soá sau coù ñieåm uoán ñöôïc chæ ra: 

a) 

c) 

3 2 

y = x − 3x + 3mx + 3m 

+ 4 ; I(1; 2). b) 

3 2 

y = mx + nx + 1 ; I(1; 4) d) 

3 

3 

x 

2 8 

y = − + ( m − 1) x + ( m + 3) x − ; I(1; 3) 

3 3 

3 2 

2 

y = x − mx + nx − 2 ; I ⎛ 

⎜ ; − 

⎞ 3 ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

x 2 

3 2 

e) y = − + 3mx 

− 2 ; I(1; 0) f) y = mx + 3mx 

+ 4 ; I(–1; 2) 

m 

Baøi 3. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù 3 ñieåm uoán: 

5 

x 4 4 3 

x + mx −1 

a) y = − x + (4m + 3) x + 5x 

− 1 b) y = 

5 3 

2 

x + 1 

Baøi 4. Chöùng minh ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù 3 ñieåm uoán thaúng haøng: 

a) 

d) 

g) 

y = 

x 

2x 

+ 1 

2 

+ x + 1 

2x 

+ 1 

y = 

2 

x + 1 

2 

2x 

− 3x 

y = 

2 

x − 3x 

+ 3 

b) 

e) 

h) 

x + 1 

y = 

2 

x + 1 

y = 

x 

2 

2 

x 

y = 

x 

x 

+ 1 

+ 3x 

2 

+ 1 

2 

c) 

f) 

i) 

2 

2x 

− 3x 

y = 

2 

x + 1 

2 

x 

y = 

x 

y = 

x 

2 

+ 2x 

+ 5 

2 

− x + 1 

x 

3 

− 4x 

+ 5 



Baøi 5. Tìm m, n ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá: 

a) 

b) 

c) 

4 3 2 

y = x − 2x − 6x + mx + 2m 

− 1 coù hai ñieåm uoán thaúng haøng vôùi ñieåm A(1; –2). 

3 

x 2 2 

y = − − x + mx + coù ñieåm uoán ôû treân ñöôøng thaúng y = x + 2 . 

3 3 

1 4 2 

y = − x + mx + n coù ñieåm uoán ôû treân Ox. 

4 

V. ÑÖÔØNG TIEÄM CAÄN CUÛA ÑOÀ THÒ 


• Ñöôøng thaúng x = x0 

ñgl ñöôøng tieäm caän ñöùng cuûa ñoà thò haøm soá y = f ( x) 

neáu ít 

nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: 

lim f ( x) 

= +∞ ; 

x→x 

+ 

0 

lim f ( x) 

= −∞ ; 

x→x 

+ 

0 

lim f ( x) 

= +∞ ; 

x→x 

− 

0 

lim f ( x) 

= −∞ 

x→x 

• Ñöôøng thaúng y = y0 

ñgl ñöôøng tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá y = f ( x) 

neáu ít 

nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: 

lim f ( x) 

x→+∞ 

lim ( ) 

= y0 

; f x = y0 

x→−∞ 

• Ñöôøng thaúng y = ax + b, a ≠ 0 ñgl ñöôøng tieäm caän xieân cuûa ñoà thò haøm soá y = f ( x) 

neáu ít nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: 

2. Chuù yù: 

a) Neáu 

[ f x − ax + b ] = ; [ f x ax b ] 

lim ( ) ( ) 0 

x→+∞ 

lim ( ) − ( + ) = 0 

x→−∞ 

P( x) 

y = f ( x) 

= laø haøm soá phaân thöùc höõu tyû. 

Q( x) 

• Neáu Q(x) = 0 coù nghieäm x 0 thì ñoà thò coù tieäm caän ñöùng x = x0 

. 

• Neáu baäc(P(x)) ≤ baäc(Q(x)) thì ñoà thò coù tieäm caän ngang. 

• Neáu baäc(P(x)) = baäc(Q(x)) + 1 thì ñoà thò coù tieäm caän xieân. 

b) Ñeå xaùc ñònh caùc heä soá a, b trong phöông trình cuûa tieäm caän xieân, ta coù theå aùp duïng 

caùc coâng thöùc sau: 

f ( x) 

a = lim ; b = lim f ( x) 

− ax 

x→+∞ 

x 

x→+∞ 

f ( x) 

x 

[ ] 

hoaëc a = lim ; b = lim [ f ( x) 

− ax] 

x→−∞ 

x→−∞ 

Baøi 1. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau: 

2x 

− 5 


+ 3 

a) y = 

b) y = c) 

x −1 

1 − 2x 

2 

x − 4x 

+ 3 

( x − 2) 

d) y = 

e) y = 

x + 1 

1− 

x 


2 

f) 

− 

0 

2x 

+ 3 

y = 

2 − x 

2 

7x 

+ 4x 

+ 5 

y = 

2 − 3x 



a) 

y = 

x 

2 

x 

− 4x 

+ 5 

2 


2x 

+ 3x 

+ 3 

x + x + 1 

d) y = 

e) y = 

2 

2 

x + x + 1 

x + 1 


a) y = 

2 

x − 4x 

b) y = 

4x 

+ 2 

2 

x − 9 

b) 

2 + x 

y = c) 

2 

9 − x 

x −1 

3 2 3 

d) y = x e) y = 3x − x 

f) y = 

x + 1 


x 

3 

x 

y = 

2 

4 

+ 4x 

+ 5 

x 

2 

−1 

x − x + 4 

f) y = 

3 

x −1 

c) 

y = 

x 

2 

2 

1 

− 4x 

+ 3 

x − 3x 

+ 2 

x − 2 

2 + 1 

e − e 

2 

a) y = 

b) y = ln 

c) y = ln( x − 5x 

+ 6) 

x 

2 −1 

2 

Baøi 5. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù ñuùng hai tieäm caän ñöùng: 

2 

3 

a) y = 

2 2 

4x + 2(2m + 3) x + m −1 

b) 2 + x 

x + 3 

y = 

c) y = 

2 

2 

3x + 2( m + 1) x + 4 x + x + m − 2 

x − 3 

x −1 

d) y = 

e) y = 

2 2 

2 2 

x + 2( m + 2) x + m + 1 x + 2( m − 1) x + m − 2 

f) 3 

y = 

2 

2x + 2mx + m −1 

Baøi 6. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù tieäm caän xieân: 

2 

x + (3m + 2) x + 2m 

−1 

mx + (2m + 1) x + m + 3 

a) y = 

b) y = 

x + 5 

x + 2 

Baøi 7. Tính dieän tích cuûa tam giaùc taïo bôûi tieäm caän xieân cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau chaén 

treân hai truïc toaï ñoä: 

2 

3x 

+ x + 1 

− 3x 

+ x − 4 

x + x − 7 

a) y = 

b) y = 

c) y = 

x −1 

x + 2 

x − 3 

Baøi 8. Tìm m ñeå tieäm caän xieân cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau taïo vôùi caùc truïc toaï ñoä moät tam 

giaùc coù dieän tích S ñaõ chæ ra: 

a) 

x 

y = 

2 

x 

2 

−x 

+ mx −1 

; S = 8 b) 

x −1 

2 

2 

2 

x + (2m −1) x − 2m 

+ 3 

y = 

; S = 8 

x + 1 

2x + 2(2m + 1) x + 4m 

− 5 

2x 

+ mx − 2 

c) y = 

; S = 16 d) y = 

; S = 4 

x + 1 

x −1 

Baøi 9. Chöùng minh raèng tích caùc khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kì treân ñoà thò cuûa caùc haøm 

soá ñeán hai tieäm caän baèng moät haèng soá: 

a) 

2 

x − x + 1 

y = 

x −1 

b) 

2 

2x 

+ 5x 

− 4 

y = 

x + 3 

1. Caùc böôùc khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá 

• Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá. 

• Xeùt söï bieán thieân cuûa haøm soá: 

+ Tính y′. 

VI. KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN 

VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ 

+ Tìm caùc ñieåm taïi ñoù ñaïo haøm y′ baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh. 

2 

c) 

2 

2 

x + x − 7 

y = 

x − 3 



+ Tìm caùc giôùi haïn taïi voâ cöïc, giôùi haïn voâ cöïc vaø tìm tieäm caän (neáu coù). 

+ Laäp baûng bieán thieân ghi roõ daáu cuûa ñaïo haøm, chieàu bieán thieân, cöïc trò cuûa haøm soá. 

• Veõ ñoà thò cuûa haøm soá: 

+ Tìm ñieåm uoán cuûa ñoà thò (ñoái vôùi haøm soá baäc ba vaø haøm soá truøng phöông). 

– Tính y′′. 

– Tìm caùc ñieåm taïi ñoù y′′ = 0 vaø xeùt daáu y′′. 

+ Veõ caùc ñöôøng tieäm caän (neáu coù) cuûa ñoà thò. 

+ Xaùc ñònh moät soá ñieåm ñaëc bieät cuûa ñoà thò nhö giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi caùc truïc 

toaï ñoä (trong tröôøng hôïp ñoà thò khoâng caét caùc truïc toaï ñoä hoaëc vieäc tìm toaï ñoä giao 

ñieåm phöùc taïp thì coù theå boû qua). Coù theå tìm theâm moät soá ñieåm thuoäc ñoà thò ñeå coù theå 

veõ chính xaùc hôn. 

+ Nhaän xeùt veà ñoà thò: Chæ ra truïc ñoái xöùng, taâm ñoái xöùng (neáu coù) cuûa ñoà thò. 

2. Haøm soá baäc ba 

• Taäp xaùc ñònh D = R. 

3 2 

y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0) : 

• Ñoà thò luoân coù moät ñieåm uoán vaø nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng. 

• Caùc daïng ñoà thò: 

y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät 

⇔ ∆’ = b 2 – 3ac > 0 

0 

a > 0 a < 0 

y 

I 

x 

0 

y 

I 

x 

y’ = 0 coù nghieäm keùp 

⇔ ∆’ = b 2 – 3ac = 0 

y’ = 0 voâ nghieäm 

⇔ ∆’ = b 2 – 3ac < 0 

y 

I 

y 

I 

0 

x 

0 

x 

3. Haøm soá truøng phöông 

4 2 

y = ax + bx + c ( a ≠ 0) : 

• Taäp xaùc ñònh D = R. 

• Ñoà thò luoân nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng. 





y’ = 0 coù 3 nghieäm 

phaân bieät 

⇔ ab < 0 

a > 0 a < 0 

y 

y 

0 

x 

0 

x 

y 

y 

y’ = 0 chæ coù 

1 nghieäm 

⇔ ab > 0 

0 

x 

0 

x 

4. Haøm soá nhaát bieán ax + b 

y = ( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) : 

cx + d 

⎧ d ⎫ 

• Taäp xaùc ñònh D = R \ ⎨− 

⎬ 

⎩ c ⎭ . 

d 

• Ñoà thò coù moät tieäm caän ñöùng laø x = − vaø moät tieäm caän ngang laø 

c 

cuûa hai tieäm caän laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò haøm soá. 


y 

y 

a 

y = . Giao ñieåm 

c 

0 

x 

0 

x 

ad – bc > 0 

ad – bc < 0 

5. Haøm soá höõu tyû 

2 

ax + bx + c 

y = ( a. a' ≠ 0, töû khoâng chia heát cho maãu) 

: 

a' 

x + b' 

⎧ b' 

⎫ 

• Taäp xaùc ñònh D = R \ ⎨− 

⎬ 

⎩ a' 

⎭ . 

b' 

• Ñoà thò coù moät tieäm caän ñöùng laø x = − vaø moät tieäm caän xieân. Giao ñieåm cuûa hai 

a' 

tieäm caän laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò haøm soá. 


a.a′ > 0 a.a′ < 0 



y′ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät 

y 

y 

y′ = 0 voâ nghieäm 

0 x 

0 x 

Baøi 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá: 

3 2 

3 2 

3 2 

a) y = x − 3x − 9x 

+ 1 b) y = x + 3x + 3x 

+ 5 c) y = − x + 3x 

− 2 

3 

2 

x 2 1 

3 2 

d) y = ( x −1) (4 − x) 

e) y = − x + f) y = −x − 3x − 4x 

+ 2 

3 3 


a) 

d) 

4 2 

y = x − 2x 

− 1 

b) 

2 2 

y = ( x − 1) ( x + 1) 

e) 

4 2 

y = x − 4x 

+ 1 c) 

4 2 

y = − x + 2x 

+ 2 f) 

4 

x 2 5 

y = − 3x 

+ 

2 2 

4 2 

y = − 2x + 4x 

+ 8 


x + 1 

2x 

+ 1 

3 x 

a) y = b) y = 

c) y 

x + 2 

x −1 

= − 

x − 4 

1− 

2x 

3x 

−1 

x − 2 

d) y = e) y = 

f) y = 

1 + 2x 

x − 3 

2x 

+ 1 


x 

a) y = 

2 

+ x + 1 

x + 1 

x 

b) y = 

2 

+ x + 2 

x −1 

1 

x 

d) y = − x + 1+ e) y = f) 

x − 1 

1 − x 

Baøi 5. Veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá: 

a) 

d) 

3 

y = x − 3 x + 2 

b) 

x + 1 

x 

y = 

e) y = 

x −1 

2 

3 2 

y = − x + 3x 

− 2 c) 

2 

− x + 2 

x −1 

x 

c) y = 

2 

2 

+ x − 2 

x + 1 

x − 2x 

y = 

x + 1 

4 2 

y = x − 2x 

− 3 

x 

f) y = 

2 

+ 3x 

+ 3 

x + 2 



VII. MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN 

ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ 

1. SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA CAÙC ÑOÀ THÒ 

1. Cho hai ñoà thò (C 1 ): y = f(x) vaø (C 2 ): y = g(x). Ñeå tìm hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C 1 ) vaø 

(C 2 ) ta giaûi phöông trình: f(x) = g(x) (*) (goïi laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm). 

Soá nghieäm cuûa phöông trình (*) baèng soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò. 

2. Ñoà thò haøm soá baäc ba 

⇔ Phöông trình 

⇔ Haøm soá 

3 2 

y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät 

3 2 

ax + bx + cx + d = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät. 

3 2 

y = ax + bx + cx + d coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø y . y < 0 . 

Baøi 1. Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa caùc ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau: 

⎧ 2 

x 3 

y = − + 3x 

− 

⎧ 2x 

− 4 

⎪ 

a) ⎨ 2 2 

⎪y 

= 

b) 

⎪ ⎨ x −1 

c) 

x 1 

y = + 

⎪ 2 

⎩y = − x + 2x 

+ 4 

⎪⎩ 2 2 

CÑ 

CT 

⎧ = 

3 − 

y 4x 3x 

⎨ 

⎩y 

= − x + 2 

4 2 

3 2 

⎧ 2 

⎧⎪ y = x − x + 1 

y x 5x 10x 

5 

d) ⎨ e) 

2 ⎪ ⎩y 

= 4x 

− 

2 

5 

⎨ ⎧⎪ = − + − ⎪ 

x 

f) y = 

⎨ x −1 

⎪ ⎩y = x − x + 1 

⎪ 

⎩y 

= − 3x 

+ 1 

Baøi 2. Bieän luaän theo m soá giao ñieåm cuûa caùc ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau: 

⎧ 3 2 

x x 

⎧ 3 

⎪ y = + − 2x 

⎧ 3 

a) 

y = x − 3x 

− 2 

⎨ b) 3 2 

⎪ 

x 

⎨ 

c) y = − + 3x 

⎨ 

⎩y 

= m( x − 2) 

⎪ ⎛ 1 ⎞ 13 

3 

y = m⎜ 

x + ⎟ + 

y m( x 3) 

⎪ ⎪ ⎩ = − 

⎩ ⎝ 2 ⎠ 12 

d) 

⎧ 2x 

+ 1 

⎪ y = 

⎨ x + 2 

⎪ ⎩y = 2x + m 

e) 

⎧ 

1 

⎪ 

g) 

y = − x + 3 + 

⎨ 1 − x h) 

⎩⎪ y = mx + 3 

Baøi 3. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá: 

2 

⎧ x + 1 

⎪ y = 

⎨ x −1 

⎪ ⎩y = − 2x + m 

⎧ 2 

x − x + 

⎪ 

3 3 

y = 

⎨ x − 2 

⎪ 

⎩y = mx − 4m 

− 1 

( x + 2) −1 a) y = ; y = mx + 1 caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät. 

x + 2 

b) 

c) 

2 

2x − 3x + m 

y = ; y = 2x + m caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät. 

x −1 

2 

f) 

i) 

⎧ 2 

x − x + 

⎪ 

6 3 

y = 

⎨ x + 2 

⎪ 

⎩y = x − m 

3 ⎧⎪ y = 2x − x + 1 

⎨ 2 ⎪ ⎩y 

= m( x − 1) 

mx + x + m 

y = ; y = mx + 2 caét nhau taïi hai ñieåm coù hoaønh ñoä traùi daáu. 

x −1 

2 

x + 4x 

+ 5 

d) y = ; y = mx + 2 caét nhau taïi hai ñieåm coù hoaønh ñoä traùi daáu. 

x + 2 

e) 

2 

( x − 2) 

y = ; y = mx + 3 caét nhau taïi hai ñieåm thuoäc hai nhaùnh khaùc nhau. 

1− 

x 



2 


mx + x + m 

f) y = 

caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông. 

x −1 


a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

3 2 

y = x + 3x + mx + 2 m; y = − x + 2 caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. 

3 2 

y = mx + 3 mx − (1 − 2 m) x − 1 caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm phaân bieät. 

2 2 

y = ( x −1)( x − mx + m − 3) caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm phaân bieät. 

3 2 2 

y = x + 2x − 2x + 2m − 1; y = 2x − x + 2 caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. 

3 2 2 2 

y = x + 2x − m x + 3 m; y = 2x 

+ 1 caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. 


a) 

b) 

c) 

4 2 

y = x − 2x − 1; y = m caét nhau taïi boán ñieåm phaân bieät. 

4 2 3 

y = x − m( m + 1) x + m caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm phaân bieät. 

4 2 2 

y = x − (2m − 3) x + m − 3m 

caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm phaân bieät. 

Baøi 6. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá: 

3x 

+ 1 

a) y = ; y = x + 2 m caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tìm m ñeå ñoaïn 

x − 4 

AB ngaén nhaát. 

4x 

−1 b) y = ; y = − x + m caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tìm m ñeå ñoaïn 

2 − x 

AB ngaén nhaát. 

2 

x − 2x 

+ 4 

c) y = ; y = mx + 2 − 2 m caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tính 

x − 2 

AB theo m. 

Baøi 7. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá: 

a) 

3 2 

y = x − 3mx + 6mx 

− 8 caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm coù hoaønh ñoä laäp thaønh moät caáp 

soá coäng. 

b) 

3 2 

y = x − 3x − 9x + 1; y = 4x + m caét nhau taïi ba ñieåm A, B, C vôùi B laø trung ñieåm 

cuûa ñoaïn AC. 

c) 

4 2 2 

y = x − (2m + 4) x + m caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm coù hoaønh ñoä laäp thaønh moät caáp 

soá coäng. 

d) 

3 2 

y = x − ( m + 1) x − ( m − 1) x + 2m 

− 1 caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm coù hoaønh ñoä laäp 

thaønh moät caáp soá nhaân. 

e) 

3 2 

y = 3 x + (2m + 2) x + 9mx 

+ 192 caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm coù hoaønh ñoä laäp thaønh 

moät caáp soá nhaân. 

2. BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ 

• Cô sôû cuûa phöông phaùp: Xeùt phöông trình: f(x) = g(x) (1) 

Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) = Soá giao ñieåm cuûa (C 1 ): y = f(x) vaø (C 2 ): y = g(x) 

Nghieäm cuûa phöông trình (1) laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C 1 ): y = f(x) vaø (C 2 ): y = g(x) 

• Ñeå bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình F(x, m) = 0 (*) baèng ñoà thò ta bieán ñoåi (*) veà 

moät trong caùc daïng sau: 



Daïng 1: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m (1) 

Khi ñoù (1) coù theå xem laø phöông trình hoaønh ñoä 

giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: 

y CÑ 

(C): y = f(x) 

d: y = m 

• d laø ñöôøng thaúng cuøng phöông vôùi truïc hoaønh. 

• Döïa vaøo ñoà thò (C) ta bieän luaän soá giao ñieåm y CT 

cuûa (C) vaø d. Töø ñoù suy ra soá nghieäm cuûa (1) 

Daïng 2: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = g(m) (2) 

Thöïc hieän töông töï nhö treân, coù theå ñaët g(m) = k. 

Bieän luaän theo k, sau ñoù bieän luaän theo m. 

Daïng 3: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = kx + m (3) 

(k: khoâng ñoåi) 

Khi ñoù (3) coù theå xem laø phöông trình hoaønh ñoä 

giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: 

(C): y = f(x) 

d: y = kx + m 

• Vì d coù heä soá goùc k khoâng ñoåi neân d cuøng phöông 

vôùi ñöôøng thaúng y = kx vaø caét truïc tung taïi ñieåm A(0; m). 

• Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán d 1 , d 2 , … cuûa (C) 

coù heä soá goùc k. 

• Döïa vaøo caùc tung ñoä goác m, b 1 , b 2 , … cuûa d, d 1 , d 2 , … 

ñeå bieän luaän. 

Daïng 4: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m(x – x 0 ) + y 0 (4) 

Khi ñoù (4) coù theå xem laø phöông trình 

y 

hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: 

d 3 

(C): y = f(x) 

d: y = m(x – x 0 ) + y 0 

d 

y 0 M 1 

1 

• d quay quanh ñieåm coá ñònh M 0 (x 0 ; y 0 ). 

• Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán d 1 , d 2 , … 0 

cuûa (C) ñi qua M 0 . 

• Cho d quay quanh ñieåm M 0 ñeå bieän luaän. 

y 

m 

M 1 

(C) 

M 2 

y 

O 

m 

(C) 

c. 

b 1 

A 

b 2 

A 

d 1 

x A 

m = +∞ 

(+) 

M 

(–) 

x 0 

(C) 

c. (d) : y = m 

c. 

x 

y = kx 

d 

M 2 

m > 0 

IV 

c. 

d 

I 

m = 0 

m < 0 

d 2 

x 

x 


• Neáu F(x, m) = 0 coù nghieäm thoaû ñieàu kieän: α ≤ x ≤ β thì ta chæ veõ ñoà thò (C): y = f(x) 

vôùi α ≤ x ≤ β. 

• Neáu coù ñaët aån soá phuï thì ta tìm ñieàu kieän cuûa aån soá phuï, sau ñoù bieän luaän theo m. 

VAÁN ÑEÀ 1: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baèng ñoà thò 

Ñeå bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình F(x, m) = 0 (*) ta bieán ñoåi (*) veà moät trong caùc 

daïng nhö treân, trong ñoù löu yù y = f(x) laø haøm soá ñaõ khaûo saùt vaø veõ ñoà thò. 

Baøi 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo 

m soá nghieäm cuûa phöông trình: 

a) 

3 3 

y = x − 3x + 1; x − 3x + 1− m = 0 b) 

d 2 

3 3 

m = –∞ 

y = − x + 3x −1; x − 3x + m + 1 = 0 




c) 

3 3 2 

y = x − 3x + 1; x − 3x − m − 2m 

− 2 = 0 d) 

4 

3 3 

y = − x + 3x −1; x − 3x + m + 4 = 0 

x 2 4 2 

4 2 4 2 

e) y = − + 2x + 2; x − 4x − 4 + 2m 

= 0 f) y = x − 2x + 2; x − 2x − m + 2 = 0 

2 



a) 

b) 

c) 

2 

x − + 

y = x − m + x + m + = 

x − 3 

5x 

7 ; 

2 ( 5) 3 7 0 

2 

2x 

− 4x 

+ 2 ; 2 

2 2( 2) 3 2 0 

y = x − m + x − m + = 

2x 

+ 3 

2 

x + 

y = m − x + x − = 

x 

2 

1 ; ( 1) 

2 2 1 0 

x − 2x 

+ 4 2 

d) y = ; x − 2( m + 1) x + 4( m + 1) = 0 

2x 

− 4 



a) 

b) 

c) 

d) 

2 

2x 

2 

y = ; 2sin α + 2m cosα − m − 2 = 0 (0 ≤ α ≤ π ) 

2x 

−1 

2 

2x 

− 3 x 

y = ; cos2 α − ( m + 3)cos α + 2 m + 1 = 0 (0 ≤ α ≤ π ) 

x − 2 

2 

x + x + 

y = + − m + − m = ≤ ≤ 

x + 2 

3 3 ; cos 

2 

α (3 )cos α 3 2 0 (0 α π ) 

3 2 3 2 

y = x − 3x + 6; cos x − 3cos x + 6 − m = 0 



a) 

b) 

c) 

2 

x − 5x 

+ 7 ; 2 

t (3 7)2 

−t 

y = + m + = m + 5 

x − 3 

2 

x + x −1 ; 2 

t ( 1)2 

−t 

y = + m − = m − 1 

x −1 

2 

2x 

− 5x 

+ 4 ; 2 

2t 

(5 ) 

t 4 0 

y = e − + m e + + m = 

x −1 

2 

x − 5x 

+ 4 2 

d) 

; 

t (5 ) 

t 

y = e − + m e + 4 = 0 

x 

Baøi 5. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Töø ñoà thò (C) haõy suy ra ñoà thò 

(T). Duøng ñoà thò (T) bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: 

2 2 2 

x − 3x + 6 x − 3x + 6 x − 3x 

+ 6 

a) ( C) : y = ; ( T) : y = ; − 2m 

= 0 

x −1 x −1 x −1 

2 2 2 

x − 5x + 4 x − 5x + 4 x − 5x 

+ 4 

b) ( C) : y = ; ( T) : y = ; − m + 2 = 0 

x x x 

c) 

3 2 3 2 3 2 

( C) : y = x − 3x + 6; ( T) : y = x − 3x + 6 ; x − 3x + 6 − m + 3 = 0 

3 2 3 2 3 2 

d) ( C) : y = 2x − 9x + 12x − 4; ( T) : y = 2 x − 9x + 12 x − 4; 2 x − 9x + 12 x + m = 0 

2 2 2 2 

e) ( C) : y = ( x + 1) (2 − x); ( T) : y = ( x + 1) 2 − x ;( x + 1) 2 − x = ( m + 1) (2 − m) 



f) 

2 2 

1 1 

2 

( ) : x + x + 

C y = ; ( T) : y = ; ( m − 1) x + 2 x − 1 = 0 

x 

x 

x + 2 

Baøi 6. Cho haøm soá y = f ( x) 

= . 

x − 1 

a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. 

b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng x − 3y 

= 0 . 

c) Duøng ñoà thò (C), bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình: 

2 

3 x − ( m + 2) x + m + 2 = 0 

x + 1 


= . 

x − 1 


b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng x − 2y 

= 0 . 

c) Duøng ñoà thò (C), bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: 

2 

2 x − ( m + 1) x + m + 1 = 0 

2 

x 


= . 

x − 1 


b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua ñieåm A(0; 1). 

c) Duøng ñoà thò (C), bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: 

2 

(1 − m) x − (1 − m) x + 1 = 0 

VAÁN ÑEÀ 2: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baäc ba baèng ñoà thò 

Cô sôû cuûa phöông phaùp: Xeùt phöông trình baäc ba: 

Goïi (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá baäc ba: 

3 2 

ax + bx + cx + d = 0 (a ≠ 0) (1) 

3 2 

y = f ( x) 

= ax + bx + cx + d 

Soá nghieäm cuûa (1) = Soá giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh 

Daïng 1: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baäc 3 

• Tröôøng hôïp 1: (1) chæ coù 1 nghieäm ⇔ (C) vaø Ox coù 1 ñieåm chung 

⎡ f khoâng coù cöïc trò ( h.1 a) 

⇔ ⎢ ⎧ f coù 2 cöïc trò 

⎢⎨ 

( h.1 b) 

⎢⎩ ⎣ 

yCÑ 

. yCT 

> 0 

y 

(C) 

y 

(C) 

y CÑ 

A 

x 0 O (h.1a) x 

A 

x 0 

y CT 

x 1 o x 2 

(h.1b) 

x 

• Tröôøng hôïp 2: (1) coù ñuùng 2 nghieäm ⇔ (C) tieáp xuùc vôùi Ox 

⎧ f coù 2 cöïc trò 

⇔ ⎨ 

⎩yCÑ 

. yCT 

= 0 

( h.2) 




(C) 

y 

y 

(C) 

y CÑ 

(y CT = f(x 0) = 0) 

A 

x 0 

o x 1 

(H.2) 

B 

x' 0 x 

A B 

x 0 x' 0 

x 1 

y CÑ 

y CÑ 

x 2 

o 

C 

x" 0 

(H.3) 

x 

• Tröôøng hôïp 3: (1) coù 3 nghieäm phaân bieät ⇔ (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät 

⎧ f coù 2 cöïc trò 

⇔ ⎨ 

( h.3) 

⎩yCÑ 

. yCT 

< 0 

Daïng 2: Phöông trình baäc ba coù 3 nghieäm cuøng daáu 

• Tröôøng hôïp 1: (1) coù 3 nghieäm döông phaân bieät 

⇔ (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông 

⎧ 2 

. 0 

⇔ 

f coù cöïc trò 

⎪yCÑ 

yCT 

⎨ 

< 

⎪ 

xCÑ 

> 0, xCT 

> 0 

⎪⎩ a. f (0) < 0 ( hay ad < 0) 

y 

a > 0 

(C) 

y 

a < 0 

A B C 

o x A x B x C 

y CT 

f(0) 

x 1 

y CÑ 

x 2 

x 

f(0) 

y CÑ 

A x 1 B C 

o x A 

x B x 2 x C x 

y CT 

(C) 

• Tröôøng hôïp 2: (1) coù 3 nghieäm coù aâm phaân bieät 

⇔ (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä aâm 

⎧ 2 

. 0 

⇔ 

f coù cöïc trò 

⎪yCÑ 

yCT 

⎨ 

< 

⎪ 

xCÑ 

< 0, xCT 

< 0 

⎪⎩ a. f (0) > 0 ( hay ad > 0) 

A B x 2 C 

x A x B x C 

o 

x 1 

y 

a > 0 

(C) 

f(0) 

y CÑ 

x 

(C) 

x A 

A 

x 1 

a < 0 

B 

x B 

C 

x 2 x C 

y CÑ 

o 

y 

x 

y CT 

y CT 

f(0) 

Baøi 1. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau chæ coù 1 nghieäm: 

3 2 

a) 2x − 3( m + 1) x + 6mx 

− 2 = 0 

b) 

3 2 

c) 2x − 3mx + 6( m −1) x − 3m 

+ 12 = 0 d) 

3 2 

x − 3x + 3(1 − m) x + 1+ 3m 

= 0 

3 2 

x − 6x − 3( m − 4) x + 4m 

− 8 = 0 



e) 

3 2 

2x + 3( m − 1) x + 6( m − 2) x + 2 − m = 0 f) 

Baøi 2. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau chæ coù 2 nghieäm: 

a) 

c) 

3 2 2 

x − ( m + 1) x − (2m − 3m + 2) x + 2 m(2m 

− 1) = 0 b) 

3 2 

x − (2m + 1) x + (3m + 1) x − ( m + 1) = 0 d) 

3 

x − 3mx + 2m 

= 0 

3 2 

Baøi 3. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm phaân bieät: 

3 2 2 2 

3 

x − 3mx + 2m 

= 0 

x − 3x + 3(1 − m) x + 1+ 3m 

= 0 

3 2 

a) x − 3mx + 3( m −1) x − ( m − 1) = 0 b) x − 6x − 3( m − 4) x + 4m 

− 8 = 0 

3 2 

1 3 

c) 2x + 3( m − 1) x + 6( m − 2) x + 2 − m = 0 d) 

0 

3 x − x + m = 

Baøi 4. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm döông phaân bieät: 

3 2 2 2 

3 2 

a) x − 3mx + 3( m −1) x − ( m − 1) = 0 b) x − 6x − 3( m − 4) x + 4m 

− 8 = 0 

1 3 5 2 7 

3 2 

c) x − x + 4x + m + = 0 

d) x − mx + (2m + 1) x − m − 2 = 0 

3 2 6 

Baøi 5. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm aâm phaân bieät: 

3 2 

a) 2x + 3( m − 1) x + 6( m − 2) x + 2 − m = 0 b) 

3 2 

c) x + 3x − 9x + m = 0 

d) 

3 2 2 2 

x − 3mx + 3( m −1) x − ( m − 1) = 0 

3 2 

x − x + 18mx − 2m 

= 0 

3. SÖÏ TIEÁP XUÙC CUÛA HAI ÑÖÔØNG. TIEÁP TUYEÁN CUÛA ÑÖÔØNG CONG. 

1. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x 0 laø heä soá goùc 

M x ; f ( x ) . 

cuûa tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C) cuûa haøm soá taïi ñieåm 

0 ( 0 0 ) 

Khi ñoù phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm ( ; ( )) 

M x f x laø: 

0 0 0 

y – y 0 = f ′(x 0 ).(x – x 0 ) (y 0 = f(x 0 )) 

2. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng (C 1 ): y = f(x) vaø (C 2 ): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä 

phöông trình sau coù nghieäm: 

⎧ f ( x) = g( x) 

⎨ 

(*) 

⎩ f '( x) = g'( x) 

Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù. 

3. Neáu (C 1 ): y = px + q vaø (C 2 ): y = ax 2 + bx + c thì 

2 

(C 1 ) vaø (C 2 ) tieáp xuùc nhau ⇔ phöông trình ax + bx + c = px + q coù nghieäm keùp. 

VAÁN ÑEÀ 1: Laäp phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong (C): y = f(x) 

Baøi toaùn 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán ∆ cuûa (C): y =f(x) taïi ñieåm ( ; ) 

M x y : 

0 0 0 

• Neáu cho x 0 thì tìm y 0 = f(x 0 ). 

Neáu cho y 0 thì tìm x 0 laø nghieäm cuûa phöông trình f(x) = y 0 . 

• Tính y′ = f′ (x). Suy ra y′(x 0 ) = f′ (x 0 ). 

• Phöông trình tieáp tuyeán ∆ laø: y – y 0 = f′ (x 0 ).(x – x 0 ) 

Baøi toaùn 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán ∆ cuûa (C): y =f(x), bieát ∆ coù heä soá goùc k cho tröôùc. 

Caùch 1: Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm. 

• Goïi M(x 0 ; y 0 ) laø tieáp ñieåm. Tính f′ (x 0 ). 

• ∆ coù heä soá goùc k ⇒ f′ (x 0 ) = k (1) 

• Giaûi phöông trình (1), tìm ñöôïc x 0 vaø tính y 0 = f(x 0 ). Töø ñoù vieát phöông trình cuûa ∆. 

Caùch 2: Duøng ñieàu kieän tieáp xuùc. 

• Phöông trình ñöôøng thaúng ∆ coù daïng: y = kx + m. 




• ∆ tieáp xuùc vôùi (C) khi vaø chæ khi heä phöông trình sau coù nghieäm: 

⎧ f ( x) 

= kx + m 

⎨ 

⎩ f '( x) 

= k 

(*) 

• Giaûi heä (*), tìm ñöôïc m. Töø ñoù vieát phöông trình cuûa ∆. 

Chuù yù: Heä soá goùc k cuûa tieáp tuyeán ∆ coù theå ñöôïc cho giaùn tieáp nhö sau: 

+ ∆ taïo vôùi chieàu döông truïc hoaønh goùc α thì k = tanα 

+ ∆ song song vôùi ñöôøng thaúng d: y = ax + b thì k = a 

1 

+ ∆ vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d: y = ax + b (a ≠ 0) thì k = − 

a 

k − a 

+ ∆ taïo vôùi ñöôøng thaúng d: y = ax + b moät goùc α thì = tanα 

1+ 

ka 

Baøi toaùn 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán ∆ cuûa (C): y = f(x), bieát ∆ ñi qua ñieåm ( ; ) Caùch 1: Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm. 

• Goïi M(x 0 ; y 0 ) laø tieáp ñieåm. Khi ñoù: y 0 = f(x 0 ), y′ 0 = f′ (x 0 ). 

• Phöông trình tieáp tuyeán ∆ taïi M: y – y 0 = f′ (x 0 ).(x – x 0 ) 

• ∆ ñi qua A ( x ; y ) neân: y A – y 0 = f′ (x 0 ).(x A – x 0 ) (2) 

A 

A 

• Giaûi phöông trình (2), tìm ñöôïc x 0 . Töø ñoù vieát phöông trình cuûa ∆. 

Caùch 2: Duøng ñieàu kieän tieáp xuùc. 

• Phöông trình ñöôøng thaúng ∆ ñi qua A ( x ; y ) vaø coù heä soá goùc k: y – y A = k(x – x A ) 

• ∆ tieáp xuùc vôùi (C) khi vaø chæ khi heä phöông trình sau coù nghieäm: 

⎧ f ( x ) = k ( x − x A) 

+ y A 

⎨ 

(*) 

⎩ f '( x) 

= k 

• Giaûi heä (*), tìm ñöôïc x (suy ra k). Töø ñoù vieát phöông trình tieáp tuyeán ∆. 

Baøi 1. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm ñöôïc chæ ra: 

3 2 

a) (C): y = 3x − x − 7x 

+ 1 taïi A(0; 1) b) (C): y = x − 2x 

+ 1 taïi B(1; 0) 

A 

A 

4 2 

3x 

+ 4 

2 

c) (C): y = taïi C(1; –7) 

d) (C): y = x + 

2x 

− 3 

1 − 2 x − 1 

Baøi 2. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm ñöôïc chæ ra: 

2 

x − 3x 

+ 3 

a) (C): y = 

taïi ñieåm A coù x A = 4 

x − 2 

3( x − 2) 

b) (C): y = taïi ñieåm B coù y B = 4 

x −1 

x + 1 

c) (C): y = taïi caùc giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh, truïc tung. 

x − 2 

2 

A 

taïi D(0; 3) 

d) (C): y = 2x − 2x 

+ 1 taïi caùc giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh, truïc tung. 

e) (C): 

3 

y = x − 3x 

+ 1 taïi ñieåm uoán cuûa (C). 

1 4 2 9 

f) (C): y = x − 2x 

− taïi caùc giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh. 

4 4 

Baøi 3. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi caùc giao ñieåm cuûa (C) vôùi ñöôøng ñöôïc chæ 

ra: 

3 2 

a) (C): y = 2x − 3x + 9x 

− 4 vaø d: y = 7x 

+ 4 . 

3 2 

b) (C): y = 2x − 3x + 9x 

− 4 vaø (P): 

2 

y = − x + 8x 

− 3. 


A


3 2 

c) (C): y = 2x − 3x + 9x 

− 4 vaø (C’): 

3 2 

y = x − 4x + 6x 

− 7 . 

Baøi 4. Tính dieän tích tam giaùc chaén hai truïc toaï ñoä bôûi tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) taïi ñieåm 

ñöôïc chæ ra: 

5x 


a) (C): y = taïi ñieåm A coù x A = 2 . 

2x 

− 3 

2 

b) (C): y = x − 7x 

+ 26 taïi ñieåm B coù x B = 2. 

Baøi 5. Tìm m ñeå tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) taïi ñieåm ñöôïc chæ ra chaén hai truïc toaï ñoä moät 

tam giaùc coù dieän tích baèng S cho tröôùc: 

2x 

+ m 

a) (C): y = taïi ñieåm A coù x A = 2 vaø S = 1 x −1 

2 . 

x − 3m 

b) (C): y = taïi ñieåm B coù x B = –1 vaø S = 9 x + 2 

2 . 

3 

c) (C): y = x + 1 − m( x + 1) taïi ñieåm C coù x C = 0 vaø S = 8. 

Baøi 6. Vieát phöông trình tieáp tuyeán ∆ cuûa (C), bieát ∆ coù heä soá goùc k ñöôïc chæ ra: 

3 2 

2x 

−1 

a) (C): y = 2x − 3x 

+ 5; k = 12 b) (C): y = 

x − 2 

; k = –3 

2 

x − 3x 

+ 4 

2 

c) (C): y = ; k = –1 d) (C): y = x − 4x 

+ 3 ; k = 2 

x −1 

Baøi 7. Vieát phöông trình tieáp tuyeán ∆ cuûa (C), bieát ∆ song song vôùi ñöôøng thaúng d cho 

tröôùc: 

3 

x 2 

2x 

−1 

a) (C): y = − 2x + 3x 

+ 1; d: y = 3x + 2 b) (C): y = 

3 

x − 2 

; d: 3 

y = − x + 2 

4 

2 

x − 2x 

− 3 

1 4 2 3 

c) (C): y = ; d: 2x 

+ y − 5 = 0 d) (C): y = x − 3x 

+ ; d: y = –4x + 1 

4x 

+ 6 

2 2 

Baøi 8. Vieát phöông trình tieáp tuyeán ∆ cuûa (C), bieát ∆ vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d cho 

tröôùc: 

3 

x 2 

x 

2x 

−1 

a) (C): y = − 2x + 3x 

+ 1; d: y = − + 2 b) (C): y = 

3 

8 

x − 2 

; d: y = x 

2 

2 

x + 3 

c) (C): y = 

x + 1 

; d: y = –3x d) (C): x + x −1 

y = ; d: x – 2 

x + 2 

Baøi 9. Vieát phöông trình tieáp tuyeán ∆ cuûa (C), bieát ∆ taïo vôùi chieàu döông truïc Ox goùc α: 

3 

x 2 0 

x 2 0 

a) (C): y = − 2x + x − 4; α = 60 

b) (C): y = − 2x + x − 4; α = 75 

3 

3 

3x 

− 2 0 

c) ( C) : y = ; α = 45 

x −1 

Baøi 10. Vieát phöông trình tieáp tuyeán ∆ cuûa (C), bieát ∆ taïo vôùi ñöôøng thaúng d moät goùc α: 

3 

x 

a) (C): y = − 2x + x − 4; d : y = 3x 

+ 7; α = 45 

3 

3 

2 0 

x 

1 

b) (C): y = − 2x + x − 4; d : y = − x + 3; α = 30 

3 2 

4x 

− 3 

0 

c) ( C) : y = ; d : y = 3 x; α = 45 

x −1 

2 0 

3 




3x 

− 7 

d) ( C) : y = ; d : y = − x; α = 60 

− 2x 

+ 5 

2 

0 

x − x + 3 

0 

e) ( C) : y = ; d : y = − x + 1; α = 60 

x − 2 

Baøi 11. Tìm m ñeå tieáp tuyeán ∆ cuûa (C) taïi ñieåm ñöôïc chæ ra vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d 

cho tröôùc: 

2 

x + (2m + 1) x − 2 + m 

a) (C): y = 

taïi ñieåm A coù x A = 0 vaø d laø tieäm caän xieân cuûa (C). 

x + 1 

2 

2x 

+ mx −1 

b) (C): y = 

; taïi ñieåm B coù x B = 4 vaø d: x – 12y + 1 = 0 . 

x − 3 

Baøi 12. Tìm m ñeå tieáp tuyeán ∆ cuûa (C) taïi ñieåm ñöôïc chæ ra song song vôùi ñöôøng thaúng d 


2 

(3m + 1) x − m + m 

a) (C): y = ( m ≠ 0) taïi ñieåm A coù y A = 0 vaø d: y = x − 10 . 

x + m 

Baøi 13. Vieát phöông trình tieáp tuyeán ∆ cuûa (C), bieát ∆ ñi qua ñieåm ñöôïc chæ ra: 

3 

a) (C): y = − x + 3x 

− 2 ; A(2; –4) b) (C): y = x − 3x 

+ 1 ; B(1; –6) 

c) (C): ( 2 

y = 2 − x ) 2 

1 4 2 3 

; C(0; 4) d) (C): y = x − 3x 

+ ; 

2 2 

x + 2 

3x 

+ 4 

e) (C): y = ; E(–6; 5) f) (C): y = ; F(2; 3) 

x − 2 

x − 1 

x 

g) (C): y = 

2 

− 3x 

+ 3 

; G(1; 0) h) 

x − 2 

x 

y = 

2 

3 

− x + 2 

; H(2; 2) 

x −1 

3 

D ⎛ 

⎜ 0; ⎞ 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå hai ñöôøng tieáp xuùc 

1. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng (C 1 ): y = f(x) vaø (C 2 ): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä 

phöông trình sau coù nghieäm: 

⎧ f ( x) = g( x) 

⎨ 

(*) 

⎩ f '( x) = g'( x) 

Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù. 

2. Neáu (C 1 ): y = px + q vaø (C 2 ): y = ax 2 + bx + c thì 

2 

(C 1 ) vaø (C 2 ) tieáp xuùc nhau ⇔ phöông trình ax + bx + c = px + q coù nghieäm keùp. 

Baøi 1. Tìm m ñeå hai ñöôøng (C 1 ), (C 2 ) tieáp xuùc nhau: 

3 2 

1 2 

a) ( C ) : y = x + (3 + m) x + mx + 2; ( C ) : truïc hoaønh 

3 2 

1 2 

b) ( C ) : y = x − 2 x − ( m − 1) x + m; ( C ) : truïc hoaønh 

3 

c) ( C1) : y = x + m( x + 1) + 1; ( C2 

) : y = x + 1 

3 2 

d) ( C ) : y = x + 2x + 2x − 1; ( C ) : y = x + m 

1 2 

Baøi 2. Tìm m ñeå hai ñöôøng (C 1 ), (C 2 ) tieáp xuùc nhau: 

4 2 2 

1 2 

a) ( C ) : y = x + 2x + 1; ( C ) : y = 2mx + m 

4 2 2 

1 2 

b) ( C ) : y = − x + x − 1; ( C ) : y = − x + m 



c) 

1 4 2 9 

2 

( C1) : y = − x + 2 x + ; ( C2 

) : y = − x + m 

4 4 

2 2 2 

1 2 

2 

d) ( C ) : y = ( x + 1) ( x − 1) ; ( C ) : y = 2x + m 

(2m −1) 

x − m 

e) ( C1) : y = ; ( C2) : y = x 

x −1 

f) 

2 

x − x + 1 

2 

( C1) : y = ; ( C2 

) : y = x + m 

x −1 

VAÁN ÑEÀ 3: Laäp phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai ñoà thò 

(C 1 ): y = f(x) vaø C 2 ): y = g(x) 

1. Goïi ∆: y = ax + b laø tieáp tuyeán chung cuûa (C 1 ) vaø (C 2 ). 

u laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa ∆ vaø (C 1 ), v laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa ∆ vaø (C 2 ). 

• ∆ tieáp xuùc vôùi (C 1 ) vaø (C 2 ) khi vaø chæ khi heä sau coù nghieäm: 

⎧ f ( u) = au + b (1) 

⎪ f '( u) = a 

(2) 

⎨ 

⎪ 

g( v) = av + b (3) 

⎪⎩ g'( v) = a 

(4) 

• Töø (2) vaø (4) ⇒ f′ (u) = g′ (v) ⇒ u = h(v) (5) 

• Theá a töø (2) vaøo (1) ⇒ b = ϕ(u) (6) 

• Theá (2), (5), (6) vaøo (3) ⇒ v ⇒ a ⇒ u ⇒ b. Töø ñoù vieát phöông trình cuûa ∆. 

2. Neáu (C 1 ) vaø (C 2 ) tieáp xuùc nhau taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x 0 thì moät tieáp tuyeán chung cuûa (C 1 ) 

vaø (C 2 ) cuõng laø tieáp tuyeán cuûa (C 1 ) (vaø (C 2 )) taïi ñieåm ñoù. 

Baøi 1. Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai ñoà thò: 

2 2 

1 2 

a) ( C ) : y = x − 5x + 6; ( C ) : y = − x + 5x 


2 2 

1 2 

b) ( C ) : y = x − 5x + 6; ( C ) : y = −x − x − 14 

c) 

2 3 

1 2 

( C ) : y = x − 5x + 6; ( C ) : y = x + 3x 


VAÁN ÑEÀ 4: Tìm nhöõng ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) sao cho taïi ñoù 

tieáp tuyeán cuûa (C) song song hoaëc vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng d cho tröôùc 

• Goïi M(x 0 ; y 0 ) ∈ (C). ∆ laø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M. Tính f′ (x 0 ). 

• Vì ∆ // d neân f′ (x 0 ) = k d (1) 

hoaëc ∆ ⊥ d neân 

1 

f′ (x 0 ) = − (2) 

• Giaûi phöông trình (1) hoaëc (2) tìm ñöôïc x 0 . Töø ñoù tìm ñöôïc M(x 0 ; y 0 ) ∈ (C). 

Baøi 1. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø tieáp tuyeán taïi ñoù vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d cho 

tröôùc: 

x 

a) (C): y = 

x 

b) (C): y = 

2 

2 

+ 3x 

+ 6 

; d: y = 

x + 1 

1 

3 

x 

k d 

+ x + 1 

; d laø tieäm caän xieân cuûa (C) 

x + 1 



x 

c) (C): y = 

2 

2 


+ x −1 

; d laø ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa (C). 

x −1 

x − x + 1 

d) (C): y = ; d: y = x 

x 

Baøi 2. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø tieáp tuyeán taïi ñoù song song vôùi ñöôøng thaúng d cho 

tröôùc: 

3 2 

x − x + 1 

a) (C): y = x + x + x + 10 ; d: y = 2x 

b) (C): y = ; d: y = –x 

x 

VAÁN ÑEÀ 5: Tìm nhöõng ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù coù theå veõ ñöôïc 

1, 2, 3, … tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y = f(x) 

Giaû söû d: ax + by +c = 0. M(x M ; y M ) ∈ d. 

• Phöông trình ñöôøng thaúng ∆ qua M coù heä soá goùc k: y = k(x – x M ) + y M 

• ∆ tieáp xuùc vôùi (C) khi heä sau coù nghieäm: 

⎧ f ( x ) = k ( x − x M 

) + y M 

(1) 

⎨ 

⎩ f '( x) = k 

(2) 

• Theá k töø (2) vaøo (1) ta ñöôïc: f(x) = (x – x M ).f′ (x) + y M (3) 

• Soá tieáp tuyeán cuûa (C) veõ töø M = Soá nghieäm x cuûa (3) 

Baøi 1. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø töø ñoù veõ ñöôïc ñuùng moät tieáp tuyeán vôùi (C): 

3 2 

a) ( C) : y = − x + 3x 

− 2 

b) ( C) : y = x − 3x 

+ 1 

Baøi 2. Tìm caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù veõ ñöôïc ñuùng moät tieáp tuyeán vôùi (C): 

x + 1 

x 

a) ( C) : y = ; d laø truïc tung b) ( C) : y = 

x − 1 

2 

2 

3 

2 

+ x + 2 

; d laø truïc hoaønh 

x −1 

2x 

+ x 

x + 3x 

+ 3 

c) ( C) : y = ; d: y = 1 d) ( C) : y = ; d: x = 1 

x + 1 

x + 2 

x + 3 

e) ( C) : y = ; d: y = 2x + 1 

x − 1 

Baøi 3. Tìm caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù veõ ñöôïc ít nhaát moät tieáp tuyeán vôùi (C): 

2 

x − 6x 

+ 9 

x + 3x 

+ 3 

a) ( C) : y = ; d laø truïc tung b) ( C) : y = ; d laø truïc tung 

− x + 2 

x + 1 

2x 

+ 1 

3x 

+ 4 

c) ( C) : y = ; d: x = 3 d) ( C) : y = 

x − 2 

4x 

− 3 

; d: y = 2 

Baøi 4. Tìm caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù veõ ñöôïc hai tieáp tuyeán vôùi (C): 

x 

a) ( C) : y = 

2 

2 

+ x − 2 

x 

; d laø truïc hoaønh b) ( C) : y = 

x + 2 

2 

2 

2 

− x −1 

; d laø truïc tung 

x + 1 

x + 3x 

+ 3 

c) ( C) : y = ; d: y = –5 

x + 2 

Baøi 5. Tìm caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù veõ ñöôïc ba tieáp tuyeán vôùi (C): 

3 2 

a) ( C) : y = − x + 3x 

− 2 ; d: y = 2 b) ( C) : y = x − 3x 

; d: x = 2 

c) 

3 

( C) : y = − x + 3x 

+ 2 ; d laø truïc hoaønh d) ( C) : y = x − 12x 

+ 12 ; d: y = –4 

4 2 

e) ( C) : y = x − x − 2 ; d laø truïc tung e) ( C) : y = − x + 2x 

− 1; d laø truïc tung 

Baøi 6. Töø ñieåm A coù theå keû ñöôïc bao nhieâu tieáp tuyeán vôùi (C): 

3 

3 

4 2 



3 2 

3 2 

a) ( C) : y = x − 9x + 17x 

+ 2 ; A(–2; 5) b) ( C) : y = 1 x − 2x + 3x + 4; A ⎛ ⎜ 4 ; 

4 ⎞ 

⎟ 

3 ⎝ 9 3 ⎠ 

c) 

3 2 

( C) : y = 2x + 3x − 5; A(1; − 4) 

Baøi 7. Töø moät ñieåm baát kì treân ñöôøng thaúng d coù theå keû ñöôïc bao nhieâu tieáp tuyeán vôùi (C): 

3 2 

a) ( C) : y = x − 6x + 9x 

− 1 ; d: x = 2 b) ( C) : y = x − 3x 

; d: x = 2 

3 

VAÁN ÑEÀ 6: Tìm nhöõng ñieåm maø töø ñoù coù theå veõ ñöôïc 

2 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y = f(x) vaø 2 tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi nhau 

Goïi M(x M ; y M ). 

• Phöông trình ñöôøng thaúng ∆ qua M coù heä soá goùc k: y = k(x – x M ) + y M 

• ∆ tieáp xuùc vôùi (C) khi heä sau coù nghieäm: 

⎧ f ( x ) = k ( x − x M 

) + y M 

(1) 

⎨ 

⎩ f '( x) = k 

(2) 

• Theá k töø (2) vaøo (1) ta ñöôïc: f(x) = (x – x M ).f′ (x) + y M (3) 

• Qua M veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi (C) ⇔ (3) coù 2 nghieäm phaân bieät x 1 , x 2 . 

• Hai tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi nhau ⇔ f′ (x 1 ).f′ (x 2 ) = –1 

Töø ñoù tìm ñöôïc M. 

Chuù yù: Qua M veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi (C) sao cho 2 tieáp ñieåm naèm veà hai phía vôùi truïc 

⎧(3) coù 2 nghieäm phaân bieät 

hoaønh thì ⎨ 

⎩ f ( x1). f ( x2 

) < 0 

Baøi 1. Chöùng minh raèng töø ñieåm A luoân keû ñöôïc hai tieáp tuyeán vôùi (C) vuoâng goùc vôùi 

nhau. Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán ñoù: 

2 1 

a) ( C) : y = 2x − 3x + 1; A ⎛ ⎜ 0; − 

⎞ 

⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

2 

2 

x + x + 1 

b) ( C) : y = ; A(1; −1) 

x + 1 

x + 2x 

+ 2 

c) ( C) : y = ; A(1;0) 

d) 

x + 1 

Baøi 2. Tìm caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù coù theå veõ ñöôïc hai tieáp tuyeán vôùi (C) 

vuoâng goùc vôùi nhau: 

3 2 

3 2 

a) ( C) : y = x − 3x 

+ 2 ; d: y = –2 b) ( C) : y = x + 3x 


c) 

2 

2x 

+ x + 1 

x 

( C) : y = ; d laø truïc tung d) ( C) : y = 

x + 1 

2 

2 

− 2x 

+ 1 

; d laø truïc tung 

x −1 

x − 3x 

+ 2 

e) ( C) : y = ; d: x = 1 

x 

Baøi 3. Tìm m ñeå d caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät maø taïi ñoù hai tieáp tuyeán vôùi (C) vuoâng 

goùc vôùi nhau: 

2 

− x + x − m 

x 

a) ( C) : y = 

; d: y = –1 b) ( C) : y = 

2x 

+ m 

2 

2 

+ mx − 8 


x − m 

x − 2mx + m 

c) ( C) : y = 


x + m 

Baøi 4. Tìm m ñeå töø ñieåm A keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi (C) sao cho 2 tieáp ñieåm naèm veà hai 

phía vôùi truïc hoaønh; 

x + 2 

a) ( C) : y = ; A(0; m) 

b) 

x −1 




VAÁN ÑEÀ 7: Caùc baøi toaùn khaùc veà tieáp tuyeán 

Baøi 1. Cho hypebol (H) vaø ñieåm M baát kì thuoäc (H). Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai tieäm caän. 

Tieáp tuyeán taïi M caét 2 tieäm caän taïi A vaø B. 

1) Chöùng minh M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB. 

2) Chöùng minh dieän tích cuûa ∆IAB laø moät haèng soá. 

3) Tìm ñieåm M ñeå chu vi ∆IAB laø nhoû nhaát. 

2x 

−1 

x + 1 

4x 

5 

a) ( H) : y = 

b) ( H) : y = c) ( H) : y 

x −1 

x − 1 

= − 

− 2x 

+ 3 

Baøi 2. Cho hypebol (H) vaø ñieåm M baát kì thuoäc (H). Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai tieäm caän. 

Tieáp tuyeán taïi M caét 2 tieäm caän taïi A vaø B. 

1) Chöùng minh M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB. 

2) Chöùng minh tích caùc khoaûng caùch töø M ñeán 2 ñöôøng tieäm caän laø khoâng ñoåi. 

2) Chöùng minh dieän tích cuûa ∆IAB laø moät haèng soá. 

3) Tìm ñieåm M ñeå chu vi ∆IAB laø nhoû nhaát. 

2 

x − 3x 

+ 4 

x − 3x 

+ 3 

x + 2x 

+ 2 

a) ( H) : y = 

b) ( H) : y = 

c) ( H) : y = 

2x 

− 2 

x −1 

x + 1 

Baøi 3. Tìm m ñeå tieáp tuyeán taïi ñieåm M baát kì thuoäc hypebol (H) caét hai ñöôøng tieäm caän 

taïo thaønh moät tam giaùc coù dieän tích baèng S: 

2mx 

+ 3 

a) ( H) : y = ; S = 8 

x − m 

Baøi 4. Tìm ñieåm M thuoäc hypebol (H) taïi ñoù tieáp tuyeán caét caùc truïc toaï ñoä taïi caùc ñieåm A, 

B sao cho ∆OAB vuoâng caân: 

x 

a) ( H) : y = 

2 

+ x + 1 

x −1 

2 

2x 

+ 5x 

b) ( H) : y = 

x + 2 

2 

2 

c) 

x 

( H) : y = 

2 

2 

+ 3x 

+ 3 

x + 2 

2x 

− x + 1 

Baøi 5. Cho (C): y = . Chöùng minh raèng treân ñöôøng thaúng d: y = 7 coù 4 ñieåm sao 

x −1 

cho töø moãi ñieåm coù theå keû ñeán (C) hai tieáp tuyeán taïo vôùi nhau moät goùc 45 0 . 

Baøi 6. Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong (C) taïo vôùi caùc truïc toaï ñoä moät tam 

giaùc coù dieän tích S cho tröôùc: 

1 

x + 1 1 

a) ( C) : y = x + ; S = 4 b) ( C) : y = ; S = 

x 

x 2 

4. HOÏ ÑOÀ THÒ 

Cho hoï ñöôøng (C m ): y = f(x, m) (m laø tham soá). 

M(x 0 ; y 0 ) ∈ (C m ) ⇔ y 0 = f(x 0 , m) (1) 

Xem (1) laø phöông trình theo aån m. 

Tuyø theo soá nghieäm cuûa (1) ta suy ra soá ñoà thò cuûa hoï (C m ) ñi qua M. 

• Neáu (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi m thì moïi ñoà thò cuûa hoï (C m ) ñeàu ñi qua M. 

Khi ñoù, M ñöôïc goïi laø ñieåm coá ñònh cuûa hoï (C m ). 

• Neáu (1) coù n nghieäm phaân bieät thì coù n ñoà thò cuûa hoï (C m ) ñi qua M. 

• Neáu (1) voâ nghieäm thì khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï (C m ) ñi qua M. 

3 

Caùch 1: 

VAÁN ÑEÀ 1: Tìm ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñoà thò (C m ): y = f(x, m) 



• Goïi M(x 0 ; y 0 ) laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) cuûa hoï (C m ). 

M(x 0 ; y 0 ) ∈ (C m ), ∀m ⇔ y 0 = f(x 0 , m), ∀m (1) 

• Bieán ñoåi (1) veà moät trong caùc daïng sau: 

• Daïng 1: (1) ⇔ Am + B = 0, ∀m 

• Daïng 2: (1) ⇔ Am + Bm + C = 0 , ∀m 

⎧ 

⎧ A 0 

⇔ ⎨ = 

(2a) 

⇔ 

⎪ A = 0 

⎨B 

= 0 (2b) 

⎩B 

= 0 

⎪ ⎩C 

= 0 

• Giaûi heä (2a) hoaëc (2b) ta tìm ñöôïc toaï ñoä (x 0 ; y 0 ) cuûa ñieåm coá ñònh. 

Chuù yù: Caùc heä (2a), (2b) laø caùc heä phöông trình coù 2 aån x 0 , y 0 . 

Caùch 2: 

• Goïi M(x 0 ; y 0 ) laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) cuûa hoï (C m ). 

M(x 0 ; y 0 ) ∈ (C m ), ∀m ⇔ y 0 = f(x 0 , m), ∀m (1) 

• Ñaët F(m) = f(x 0 , m) thì F(m) = y 0 khoâng ñoåi. 

⇒ F′ (m) = 0 (3) 

• Giaûi (3) tìm ñöôïc x 0 . Thay x 0 vaøo (1) tìm ñöôïc y 0 . Töø ñoùsuy ra ñöôïc caùc ñieåm coá ñònh. 

Baøi 1. Tìm caùc ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñoà thò (C m ) coù phöông trình sau: 

a) y = ( m −1) x − 2m 

+ 1 

b) 

c) 

e) 

g) 

i) 

l) 

3 2 

y = ( m + 1) x − 2 mx − ( m − 2) x + 2m 

+ 1 d) 

3 2 

y = x + mx − 9x − 9m 

f) 

4 2 

y = 2mx − x − 4m 

+ 1 

h) 

( m −1) x − 2 

y = ( m ≠ − 1, m ≠ − 2) 

x − m 

2 

x − 5mx 

+ 7 ⎛ 2 ⎞ 

y = ⎜ m ≠ ± ⎟ 

mx − 2 ⎝ 3 ⎠ 

2 

k) 

m) 

2 

y = mx + 2( m − 2) x − 3m 

+ 1 

2 

y = (1 − 2 m) x − (3m − 1) x + 5m 

− 2 

y = ( m − 2) x − mx + 2 

3 

4 2 

y = x + mx − m − 5 

x + 3m 

−1 

y = 

( m + 2) x + 4m 

2 

− 2 x + ( m + 2) x + m 

y = ( m ≠ 0) 

2x 

− m 

x + ( m − 1) x + m 

2x + 6x + 4m 

n) y = 

o) y = 

2 

2 

x + 2mx + 2m 

+ 1 

2 x + (5m + 2) x + 6 

Baøi 2. Chöùng minh raèng hoï ñoà thò (C m ) coù 3 ñieåm coá ñònh thaúng haøng. Vieát phöông trình 

ñöôøng thaúng ñi qua 3 ñieåm coá ñònh ñoù: 

a) 

b) 

c) 

d) 

3 2 

y = ( m + 3) x − 3( m + 3) x − (6m + 1) x + m + 1 

3 2 

y = ( m + 2) x − 3( m + 2) x − 4x + 2m 

− 1 

3 2 

y = ( m − 4) x − (6m − 24) x − 12mx + 7m 

− 18 

3 

y = ( m + 1) x − (2m + 1) x − m + 1 

2 

2 

VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieåm maø khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï ñoà thò (C m ): y = f(x, m) ñi qua 

• Goïi M(x 0 ; y 0 ) laø ñieåm maø khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï (C m ) ñi qua. 

M(x 0 ; y 0 ) ∉ (C m ), ∀m ⇔ y 0 = f(x 0 , m) voâ nghieäm m (1) 


⎧ A = 0 

• Daïng 1: (1) ⇔ Am + B = 0 voâ nghieäm m ⇔ ⎨ 

(2a) 

⎩B 

≠ 0 




⎡⎧ A = B = 0 

⎢⎨ 

2 

C ≠ 0 

• Daïng 2: (1) ⇔ Am + Bm + C = 0 voâ nghieäm m ⇔ ⎢⎩ 

(2b) 

⎢ ⎧ A ≠ 0 

⎢ ⎨ 2 

⎣⎩B 

− 4AC 

< 0 

Chuù yù: • Keát quaû laø moät taäp hôïp ñieåm. 

• Nhöõng ñieåm naèm treân tieäm caän ñöùng coá ñònh cuûa haøm höõu tyû laø nhöõng ñieåm ñoà thò 

khoâng ñi qua. 

Baøi 1. Tìm caùc ñieåm trong maët phaúng maø khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï (C m ) ñi qua: 

a) 

c) 

e) 

g) 

i) 

2 

y = ( m + 2) x + m + 2m 

b) 

2 

y = mx + 2(1 − m) x + 1 + m ( m ≠ 0) d) 

3 2 3 2 

y = 2x + 3mx − m − 5m 

− 4 

f) 

( m − 2) x − m + 2m 

− 4 

y = 

x − m 

2 

x + mx + 8 − m 

y = 

x −1 

2 

2 

h) 

k) 

m + 1 m 

y = x + 

2 2 

m + m + 1 m + m + 1 

2 3 2 

y = x − m x + m − 2 

3 2 2 2 

y = mx − m x − 4mx + 4m 

− 6 

(3m + 1) x − m + m 

y = 

x + m 

2 

x − 2mx + m + 2 

y = 

x − m 

x + mx − 2m 

+ 4 

x + (3m −1) x −10 

l) y = 

m) y = 

2 

2 

x + 2x 

+ 5 

x − 3x 

+ 2 

Baøi 2. Tìm caùc ñieåm thuoäc (L) maø khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï (C m ) ñi qua: 

a) (C m ): 

b) (C m ): 

c) (C m ): 

d) (C m ): 

e) (C m ): 

3 2 2 2 

y = mx − m x − 4mx + 4m 

− 6 ; (L) laø truïc hoaønh. 

3 2 

y = 2x − 3( m + 3) x + 18mx 

+ 6 ; (L): 

2 2 

x − mx + m − m + 1 

y = 

; (L) laø truïc tung. 

2 

mx + m + m + 1 

2 2 

( m + 1) x + m x + 1 

y = 

; (L): x = 2. 

x + m 

2 2 

m x + 1 

y = ; (L): y = 1. 

x 

2 

2 

y = x + 14 . 

VAÁN ÑEÀ 3: Tìm ñieåm maø moät soá ñoà thò cuûa hoï ñoà thò (C m ): y = f(x, m) ñi qua 

• Ta coù: M(x 0 ; y 0 ) ∈ (C m ) ⇔ y 0 = f(x 0 , m) (1) 


Am + B = 0 (2a) hoaëc Am + Bm + C = 0 (2b) 

• Soá nghieäm cuûa (2a) hoaëc (2b) theo m = Soá (C m ) ñi qua M. 

Baøi 1. Tìm caùc ñieåm trong maët phaúng sao cho coù ñuùng k ñoà thò cuûa hoï (C m ) ñi qua: 

a) (C m ): 

c) (C m ): 

2 

2mx + m + 2m 

y = 

; k = 1. b) (C m ): 

2( x + m) 

xy − 2my − 2mx + m x − 4m 

= 0 ; k = 1. 

2 

2 

2 

2 2 

− x + mx − m 

y = 

x − m 

Baøi 2. Tìm caùc ñieåm thuoäc (L) sao cho coù ñuùng k ñoà thò cuûa hoï (C m ) ñi qua: 

a) (C m ): 

3 2 2 

y = x + ( m + 1) x − 4m 

; (L): x = 2; k = 1. 

2 

; k = 2. 



b) (C m ): 

c) (C m ): 

3 2 2 

y = x + ( m + 1) x − 4m 

; (L): x = 2; k = 2. 

3 2 2 

y = x + ( m + 1) x − 4m 

; (L): x = 2; k = 3. 

Baøi 3. Chöùng minh raèng caùc ñieåm thuoäc (L) coù ñuùng k ñoà thò cuûa hoï (C m ) ñi qua: 

2 2 2 

mx − ( m + m − 1) x + m − m + 2 

a) (C m ): y = 

; (L): x > 1; k = 2. 

x − m 

2 2 

( m + 1) x − m 

b) (C m ): y = 

x − m 

c) (C m ): 

d) (C m ): 

5. TAÄP HÔÏP ÑIEÅM 

4 2 2 

; (L): x > 0; k = 2. 

y = x − 2mx + m + 1; (L): y = 1; k = 1. 

3 2 3 

y = x − ( m + 1) x − (2m − 3m + 2) x + 2 m(2m 

− 1) ; (L): x = 1, y > –2; k = 2. 

Baøi toaùn: Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M(x; y) thoaû tính chaát α. 

• Nhaän xeùt: Tìm taäp hôïp ñieåm M trong maët phaúng toaï ñoä laø tìm phöông trình cuûa taäp 

hôïp ñieåm ñoù. 

Daïng 1: Tìm toaï ñoä cuûa ñieåm M. 

1) Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa tham soá m ñeå toàn taïi ñieåm M. 

2) Tính toaï ñoä ñieåm M theo tham soá m. 

Coù caùc tröôøng hôïp xaûy ra: 

⎧ ( ) 

Tröôøng hôïp 1: M ⎨ x = f m 

⎩y 

= g( m) 

Khöû tham soá m giöõa x vaø y, ta coù moät heä thöùc giöõa x, y ñoäc laäp vôùi m coù daïng: 

F(x, y) = 0 

(goïi laø phöông trình quó tích) 

⎧ ( ) 

Tröôøng hôïp 2: M ⎨ x = a haèng soá 

⎩y 

= g( m) 

Khi ñoù ñieåm M naèm treân ñöôøng thaúng x = a. 

⎧ x = f ( m) 

Tröôøng hôïp 3: M ⎨ 

⎩y = b ( haèng soá ) 

Khi ñoù ñieåm M naèm treân ñöôøng thaúng y = b. 

3) Giôùi haïn quó tích: Döïa vaøo ñieàu kieän (neáu coù) cuûa m (ôû böôùc 1), ta tìm ñöôïc ñieàu 

kieän cuûa x hoaëc y ñeå toàn taïi ñieåm M(x; y). Ñoù laø giôùi haïn cuûa quó tích. 

4) Keát luaän: Taäp hôïp caùc ñieåm M coù phöông trình F(x, y) = 0 (hoaëc x = a, hoaëc y = b) 

vôùi ñieàu kieän cuûa x hoaëc y (ôû böôùc 3). 

Daïng 2: Trong tröôøng hôïp ta khoâng theå tính ñöôïc toaï ñoä cuûa ñieåm M theo tham soá m maø 

chæ thieát laäp ñöôïc moät heä thöùc chöùa toaï ñoä cuûa M thì ta tìm caùch khöû tham soá m trong 

heä thöùc ñeå tìm ñöôïc heä thöùc daïng F(x, y) = 0. 

Chuù yù: Neáu baøi toaùn chæ hoûi : Ñieåm M chaïy treân ñöôøng naøo thì ta chæ tìm phöông trình 

F(x, y) = 0 maø khoâng caàn tìm giôùi haïn cuûa quó tích. 

Baøi 1. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm ñaëc bieät cuûa hoï ñoà thò ñaõ cho. 

a) (P m ): 

b) (C m ): 

c) (C m ): 

2 

y = 2 x − ( m − 2) x + 2m 

− 4 . Tìm taäp hôïp caùc ñænh cuûa (P m ). 

3 2 

y = x − 3mx + 2x − 3m 

− 1. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm uoán cuûa (C m ). 

3 2 

y = 2x − 3(2m + 1) x + 6 m( m + 1) x + 1. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm cöïc ñaïi cuûa (C m ). 



d) (H m ): 


( m − 1) x + 1 

y = . Tìm taäp hôïp caùc taâm ñoái xöùng cuûa (H m ). 

mx −1 

2 

2x − 3mx + 5m 

e) (H m ): y = 

. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm cöïc ñaïi cuûa (H m ). 

x − 2 

Baøi 2. Cho (C) vaø (C′). Tìm taäp hôïp trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng. 

1) Tìm m ñeå (C) vaø (C′) caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. 

2) Tìm taäp hôïp caùc trung ñieåm I cuûa ñoaïn thaúng AB. 

a) (C): 

b) (C): 

c) (C): 

d) (C): 

3 2 

y = x + 3x + mx + 1 vaø (C’): 

2 

y = x − mx + 3 vaø (C′): y = mx + 2 . 

x −1 

y = vaø (C′): 2x − y + m = 0 

x + 1 

( x − 2) 

y = 

1− 

x 

2 

2 

3 2 

y = x + 2x 

+ 7 . 

vaø (C′) laø ñöôøng thaúng ñi qua A(0; 3) vaø coù heä soá goùc m. 

x + 4x 

+ 3 

e) (C): y = 

vaø (C′): y = mx + 1. 

x + 2 

Baøi 3. Cho (C) vaø (C′).Tìm taäp hôïp caùc ñieåm. 

1) Tìm m ñeå (C) caét (C′) taïi 3 ñieåm phaân bieät A, B, C (trong ñoù x C khoâng ñoåi). 

2) Tìm taäp hôïp caùc trung ñieåm I cuûa ñoaïn thaúng AB. 

a) (C): 

b) (C): 

c) (C): 

d) (C): 

3 2 

y = x − 3x 

vaø (C′): y = mx . 

3 2 2 2 

y = x − 2( m + 1) x + ( m + 1) x − m vaø (C′): y = − 3mx + m . 

3 2 

y = x − 6x + 9x 

vaø (C′): y = mx . 

2 

y = ( x + 2)( x − 1) vaø (C′) laø ñöôøng thaúng ñi qua C(–2; 0) vaø coù heä soá goùc m. 

Baøi 4. Cho (C). Tìm taäp hôïp caùc ñieåm töø ñoù coù theå veõ ñöôïc hai tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng 

goùc vôùi nhau. 

1 

x + x + 1 

a) (C): y = x + b) (C): y = 

x 

x + 1 

Baøi 5. 

x − 2 

a) Cho (C): y = . Tìm taäp hôïp caùc ñieåm treân truïc tung maø töø ñoù coù theå keû ñöôïc 

x − 1 

tieáp tuyeán vôùi (C). 

b) Cho (C): 

3 2 

2 

y = − x + 3x 

− 2 . Tìm taäp hôïp caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng y = 2 maø töø ñoù 

coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán vôùi (C). 

6. HAØM SOÁ COÙ CHÖÙA DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI 

Baøi toaùn: Veõ ñoà thò cuûa haøm soá y = f(x) vôùi f(x) coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 

Caùch 1: Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò. 

• Xeùt daáu bieåu thöùc coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. 

• Chia mieàn xaùc ñònh thaønh nhieàu khoaûng, trong moãi khoaûng ta boû daáu giaù trò tuyeät ñoái. 

• Veõ ñoà thò haøm soá töông öùng trong caùc khoaûng cuûa mieàn xaùc ñònh. 

Caùch 2: Thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi ñoà thò. 

Daïng 1: Veõ ñoà thò haøm soá y = f ( x) 

. 



Ñoà thò (C′) cuûa haøm soá y = f ( x) 

coù theå ñöôïc suy töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) 

nhö sau: 

+ Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) ôû phía treân truïc hoaønh. 

+ Laáy ñoái xöùng phaàn ñoà thò cuûa (C) ôû phía döôùi truïc hoaønh qua truïc hoaønh. 

+ Ñoà thò (C′) laø hôïp cuûa hai phaàn treân. 

Daïng 2: Veõ ñoà thò cuûa haøm soá y = f ( x ) . 

Ñoà thò (C′) cuûa haøm soá y = f ( x ) coù theå ñöôïc suy töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) 

nhö sau: 

+ Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) ôû beân phaûi truïc tung, boû phaàn beân traùi truïc tung. 

+ Laáy ñoái xöùng phaàn beân phaûi truïc tung qua truïc tung. 

+ Ñoà thò (C′) laø hôïp cuûa hai phaàn treân. 

Baøi 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C). Töø ñoù suy ra ñoà thò C′). Duøng ñoà thò (C′) 

bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình (1): 

a) (C): 

b) (C): 

3 2 

y = x − 3x 

− 6 ; (C′): 

4 2 

y = x − 2x 

− 3 ; (C′): 

2 

2x 

+ 5x 

− 2 

c) (C): y = 

; (C′): y = 

x + 1 

2 

3 2 

y = x − 3x 

− 6 ; 

4 2 

y = x − 2x 

− 3 ; 

2 

2 

2x 

+ 5x 

− 2 

; 

x + 1 

3 2 

x − 3x − 6 = m (1) 

4 2 

x − 2x − 3 = m (1) 

2 

2x 

+ 5x 

− 2 

x + 1 

x − x −1 

x − x −1 

x − x − 1 

d) (C): y = ; (C′): y = ; = m (1) 

x − 2 

x − 2 x − 2 

2x 

− 2 2x 

− 2 

e) (C): y = ; (C′): y = ; 2 x − 2 = m 

(1) 

x − 2 

x − 2 x − 2 

Baøi 2. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C). Töø ñoù suy ra ñoà thò C′). Duøng ñoà thò (C′) 

bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình (1): 

a) (C): 

3 2 

y = 2x − 9x + 12x 

− 4 ; (C′): 

2x 

b) (C): y = ; (C′): y = 

x − 1 

2 

3 2 

= m 

(1) 

3 2 

y = 2 x − 9x + 12 x − 4 ; 2 x − 9x + 12 x = m 

2 x 

x − 1 

; ( m − 2). x − m = 0 (1) 



c) (C): 

x 

y = 

2 


+ 4x 

+ 5 

; (C′): 

x + 2 

x 

y = 

2 

+ 4 x + 5 x 

; 

x + 2 

2 

+ 4 x + 5 = m 

x + 2 

Baøi 3. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C). Töø ñoù suy ra ñoà thò C′). Duøng ñoà thò (C′), 

tìm m ñeå phöông trình (1) coù k nghieäm phaân bieät: 

a) (C): 

4 2 

y = x − 2x 

− 1 ; (C′): 

4 2 

y = x − 2x 

− 1 ; 

4 2 

(1) 

x − 2x − 1 = log 2 

m ; k = 6. 

b) (C): 

c) (C): 

d) (C): 

3 2 

y = x − 6x + 9x 

; (C′): 

2 

2x 

+ 5x 

− 2 

y = 

; (C′): y = 

x + 1 

4 

x 2 5 

y = − 3x 

+ ; (C′): 

2 2 

3 2 

y = x − 6x + 9 x ; 

2 

2x 

+ 5x 

− 2 

; 

x + 1 

4 

x 2 5 

y = − 3x 

+ ; 

2 2 

3 2 

x − 6x + 9 x − 3 + m = 0 ; k = 6. 

2 

2x 

+ 5x 

− 2 

x + 1 

4 

= m ; k = 4. 

x 2 5 2 

− 3x + = m − 2m 

; k = 8. 

2 2 

7. ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT TREÂN ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ 

VAÁN ÑEÀ 1: Tìm ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) coù toaï ñoä nguyeân 

Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò haøm soá höõu tæ 

• Phaân tích 

P( x) 

y = coù toaï ñoä laø nhöõng soá nguyeân: 

Q( x) 

P( x) 

a 

y = thaønh daïng y = A( x) 

+ , vôùi A(x) laø ña thöùc, a laø soá nguyeân. 

Q( x) 

Q( x) 

x 

• Khi ñoù ⎨ ⎧ ∈Z 

⇔ Q(x) laø öôùc soá cuûa a. Töø ñoù ta tìm caùc giaù trò x nguyeân ñeå Q(x) laø 

⎩y 

∈ Z 

öôùc soá cuûa a. 

• Thöû laïi caùc giaù trò tìm ñöôïc vaø keát luaän. 

Baøi 1. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá coù toaï ñoä nguyeân: 

x + 2 

x −10 

a) y = b) y = 

c) 

x + 1 

x + 2 

2 

x + x + 1 

x + 2x 

d) y = 

e) y = 

f) 

x + 2 

x + 1 

Baøi 2. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá coù toaï ñoä nguyeân: 

a) 

2 

y = x + y + 2( x + 1) y + 4x 

b) 

2 

2 

x + 2 

y = 

x − 2 

y = 2x + y + 4( x − 1) y + 6x 

4 

y = x + 1+ x − 1 

VAÁN ÑEÀ 2: Tìm caëp ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) 

ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng d: y = ax + b 

Cô sôû cuûa phöông phaùp: A, B ñoái xöùng nhau qua d ⇔ d laø trung tröïc cuûa ñoaïn AB 

• Phöông trình ñöôøng thaúng ∆ vuoâng goùc vôùi d: y = ax = b coù daïng: 

1 

∆: y = − x + m 

(C) 

(d) 

a 

• Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ∆ vaø (C): 

1 B 

f(x) = − x + m (1) 

a 

A I 

• Tìm ñieàu kieän cuûa m ñeå ∆ caét (C) taïi 2 ñieåm 

phaân bieät A, B. Khi ñoù x A , x B laø caùc nghieäm cuûa (1). 

• Tìm toaï ñoä trung ñieåm I cuûa AB. 

(∆) 



• Töø ñieàu kieän: A, B ñoái xöùng qua d ⇔ I ∈ d, ta tìm 

ñöôïc m ⇒ x A , x B ⇒ y A , y B ⇒ A, B. 

⎧ x 

Chuù yù: • A, B ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh ⇔ 

A 

= xB 

⎨ 

⎩yA 

= −yB 

⎧ x 

• A, B ñoái xöùng nhau qua truïc tung ⇔ 

A 

= −xB 

⎨ 

⎩yA 

= yB 

⎧ x 

• A, B ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng y = b ⇔ 

A 

= xB 

⎨ 

⎩yA 

+ yB 

= 2b 

⎧ x 2 

• A, B ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng x = a ⇔ 

A 

+ xB 

= a 

⎨ 

⎩yA 

= yB 

Baøi 1. Tìm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng d: 

3 

x + 4 

a) ( C) : y = x + x; d : x + 2y 

= 0 b) ( C) : y = ; d : x − 2y 

− 6 = 0 

x − 2 

2 

x 

x + x −1 

c) ( C) : y = ; d : y = x −1 

d) ( C) : y = ; d : y = x −1 

x −1 

x −1 

Baøi 2. Cho ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng d. Vieát phöông trình ñoà thò (C′) ñoái xöùng vôùi (C) qua 

ñöôøng thaúng d: 

3 2 

2x 

− 3x 

+ 7 

a) ( C) : y = 3x − 5x + 10x − 2; d : x = − 2 b) ( C) : y = ; d : x = 2 

x −1 

2 

x + x − 2 

2x 

+ 5x 

− 3 

c) ( C) : y = ; d : y = 2 

d) ( C) : y = ; d : y = −1 

x − 2 

x −1 

Baøi 3. Tìm m ñeå treân ñoà thò (C) coù moät caëp ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng d: 

3 2 2 

a) ( C) : y = mx + 3x + 2 x + m ; d : Ox 

2 

2 

2 

VAÁN ÑEÀ 3: Tìm caëp ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) ñoái xöùng qua ñieåm I(a; b) 

Cô sôû cuûa phöông phaùp: A, B ñoái xöùng nhau qua I ⇔ I laø trung ñieåm cuûa AB. 

• Phöông trình ñöôøng thaúng d qua I(a; b), 

coù heä soá goùc k coù daïng: y = k( x − a) 

+ b . 

• Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø d: 

f(x) = k( x − a) 

+ b (1) 

• Tìm ñieàu kieän ñeå d caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät 

A, B. khi ñoù x A , x B laø 2 nghieäm cuûa (1). 

• Töø ñieàu kieän: A, B ñoái xöùng qua I ⇔ I laø trung ñieåm cuûa AB, ta tìm ñöôïc k ⇒ x A , x B . 

⎧ x 

Chuù yù: A, B ñoái xöùng qua goác toaï ñoä O ⇔ 

A 

= −xB 

⎨ 

⎩yA 

= −yB 

Baøi 1. Tìm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñieåm I: 

3 2 

x + x + 2 ⎛ 5 ⎞ 

a) ( C) : y = x − 4x + x + 2; I(2;4) 

b) ( C) : y = ; I ⎜ 0; ⎟ 

x −1 ⎝ 2 ⎠ 

3 2 

x + 4 

c) ( C) : y = x − 3x − 2x + 1; I ≡ O(0;0) 

d) ( C) : y = ; I ≡ O(0;0) 

x + 1 

3x 

+ 4 

e) ( C) : y = ; I(1;1) 

2x 

−1 

2 

2 

2x 

− 5x 

+ 1 

x + 1 

e) ( C) : y = ; I ( −2; −5) 


A 

I 

B


Baøi 2. Cho ñoà thò (C) vaø ñieåm I. Vieát phöông trình ñoà thò (C′) ñoái xöùng vôùi (C) qua ñieåm I: 

3 2 

( x −1) 

a) ( C) : y = 2x + 3x + 5x + 1; I(1;2) 

b) ( C) : y = ; I(1;1) 

x − 2 

2 

x − x + 1 

x − 2x − 5x 

+ 1 

c) ( C) : y = ; I(2;1) 

d) ( C) : y = 

; I(2;1) 

x −1 

2x 

− 3 

Baøi 3. Tìm m ñeå treân ñoà thò (C) coù moät caëp ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñieåm: 

3 2 2 2 

a) ( C) : y = x − 3mx + 3( m − 1) x + 1 − m ; I ≡ O(0;0) 

3 2 

b) ( C) : y = x + mx + 7x + 3; I ≡ O(0;0) 

2 

3 2 

2 2 2 

3 2 

x + 2m x + m 

c) ( C) : y = x + mx + 9x + 4; I ≡ O(0;0) 

d) ( C) : y = ; I ≡ O(0;0) 

x + 1 

VAÁN ÑEÀ 4: Khoaûng caùch 

Kieán thöùc cô baûn: 

1) Khoaûng caùch giöõa hai ñieåm A, B: AB = 

2 2 

B 

− 

A 

+ 

B 

− 

A 

( x x ) ( y y ) 

2) Khoaûng caùch töø ñieåm M(x 0 ; y 0 ) ñeán ñöôøng thaúng ∆: ax + by + c = 0: 

ax0 + by0 

+ c 

d(M, ∆) = 

2 2 

a + b 

3) Dieän tích tam giaùc ABC: 

1 1 

 

2 2 

S = AB. AC.sin A = AB . AC − ( AB. 

AC) 2 

2 2 

Baøi 1. Cho ñoà thò (C) vaø ñieåm A. Tìm ñieåm M treân (C) sao cho AM nhoû nhaát. Chöùng minh 

raèng khi AM nhoû nhaát thì ñöôøng thaúng AM vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M. 

2 

a) ( C) : y = x −1; A ≡ O(0;0) 

b) ( C) : y = x ; A(3;0) 

c) 

2 

( C) : y = 2x + 1; A(9;1) 

Baøi 2. Cho ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng d. Tìm ñieåm M treân (C) sao cho khoaûng caùch töø M 

ñeán d laø nhoû nhaát. 

4 2 

x + 4x 

+ 5 

a) ( C) : y = 2x − 3x + 2x + 1; d : y = 2x 

− 1 b) ( C) : y = ; d : y = −3x 

− 6 

x + 2 

2 

x + 1 

c) ( C) : y = x − x ; d : y = 2( x + 1) d) ( C) : y = ; d : y = − 2x 

+ 3 

x −1 

Baøi 3. Tìm caùc ñieåm M thuoäc ñoà thò (C) sao cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) vôùi k cho tröôùc. 

x + 2 

x + x −1 

a) ( C) : y = ; k = 1 

b) ( C) : y = ; k = 1 

x − 2 

x −1 

2 

x + x −1 

x + 2x 

+ 2 

c) ( C) : y = ; k = 2 

d) ( C) : y = ; k = 2 

x −1 

x + 1 

Baøi 4. Tìm caùc ñieåm M thuoäc hypebol (H) sao cho toång caùc khoaûng caùch töø ñoù ñeán hai 

tieäm caän laø nhoû nhaát. 

x + 2 

2x 

−1 

4x 

− 9 

a) ( H) : y = b) ( H) : y = 

c) ( H) : y = 

x − 2 

x + 1 

x − 3 

2 

x + x − 2 

x − x + 1 

x + 3x 

+ 3 

d) ( H) : y = 

e) ( H) : y = 

f) ( H) : y = 

x − 3 

2 − x 

x + 2 

Baøi 5. Tìm caùc ñieåm M thuoäc hypebol (H) sao cho toång caùc khoaûng caùch töø ñoù ñeán hai truïc 


2 

2 

2 

2 

2 

2


toaï ñoä laø nhoû nhaát. 

x −1 

2x 

+ 1 

4x 

− 9 

a) ( H) : y = b) ( H) : y = 

c) ( H) : y = 

x + 1 

x − 2 

x − 3 

2 

x + x −11 

x − 3 

x + x − 6 

d) ( H) : y = 

e) ( H) : y = 

f) ( H) : y = 

x −1 

x − 2 

x − 3 

Baøi 6. Tìm caùc ñieåm M thuoäc hypebol (H) sao cho khoaûng caùch töø ñoù ñeán giao ñieåm cuûa 

hai tieäm caän laø nhoû nhaát. 

2 

x + 2x 

+ 2 

x − x + 1 

a) ( H) : y = 

b) ( H) : y = ; x > 1 

x −1 

x −1 

Baøi 7. Cho hypebol (H). Tìm hai ñieåm A, B thuoäc hai nhaùnh khaùc nhau cuûa (H) sao cho ñoä 

daøi AB laø nhoû nhaát. 

x −1 

2x 

+ 3 

4x 

− 9 

a) ( H) : y = b) ( H) : y = 

c) ( H) : y = 

x + 1 

2 − x 

x − 3 

1 

x − 3x 

+ 3 

x − 2x 

+ 5 

d) ( H) : y = 2x 

+ 1+ e) ( H) : y = 

f) ( H) : y = 

x 

x −1 

1− 

x 

Baøi 8. Cho (C) vaø ñöôøng thaúng d. Tìm m ñeå d caét (C) taïi 2 ñieåm A, B sao cho ñoä daøi AB laø 

nhoû nhaát. 

2 

x + 6x 

− 4 

a) ( H) : y = ; d : y = k 

x + 1 

2 

2 

2 

x + 1 

b) ( H) : y = ; d : 2x − y + m = 0 

x −1 

2 

2 

VIII. OÂN TAÄP KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ 

Baøi 1. Cho haøm soá: 

3 2 

y = x + ax − 4, a laø tham soá. 

a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò vôùi a = 3. 

b) Tìm caùc giaù trò cuûa tham soá a ñeå phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát: 

ÑS: b) a < 3. 

x 

3 2 

+ ax − 4 = 0 

Baøi 2. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: 

3 2 

y = x − 6x + 9x 

− 1. 

b) Töø moät ñieåm baát kyø treân ñöôøng thaúng x = 2 ta keû ñöôïc bao nhieâu tieáp tuyeán tôùi ñoà 

thò cuûa haøm soá? 

ÑS: 


b) moät tieáp tuyeán. 

3 

y = x − 3 x (1) 

a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1). 

b) Chöùng minh raèng m khi thay ñoåi, ñöôøng thaúng d cho bôûi phöông trình: 

y = m( x + 1) + 2 luoân caét ñoà thò haøm soá (1) taïi moät ñieåm A coá ñònh. Haõy xaùc ñònh caùc 

giaù trò cuûa m ñeå ñöôøng thaúng d caét ñoà thò haøm soá (1) taïi 3 ñieåm A, B, C khaùc nhau sao 

cho tieáp tuyeán vôùi ñoà thò taïi B vaø C vuoâng goùc vôùi nhau. 

2 

ÑS: b) A( − 1; 2); m = − 1+ 

2 

3 

Baøi 4. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: 

4 2 

y = x − 2x 

− 1 (1) 

b) Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù 6 nghieäm phaân bieät. 




ÑS: b) 4 < m < 16. 


4 2 

4 2 

x − 2x − 1 = log m (2) 

y = x − 5x 

+ 4 (1) 

a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. 

b) Tìm ñieàu kieän cuûa tham soá m ñeå ñöôøng thaúng y = m caét ñoà thò (C) cuûa haøm soá taïi 4 

ñieåm phaân bieät. 

c) Tìm m sao cho ñoà thò (C) cuûa haøm soá chaén treân ñöôøng thaúng y = m ba ñoaïn thaúng coù 

ñoä daøi baèng nhau. 

ÑS: b) 


9 

− < m < 4 c) 

4 

7 

m = 

4 

1 4 2 3 

y = x − mx + (1) 

2 2 

a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá khi m = 3. 

3 

b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán ñi qua A ⎛ 

⎜ 0; ⎞ 

⎟ tieáp xuùc vôùi (C). 

⎝ 2 ⎠ 

c) Xaùc ñònh m ñeå haøm soá (1) coù cöïc tieåu maø khoâng coù cöïc ñaïi. 

ÑS: b) 


3 3 

y = ; y = ± 2 2x 

+ c) m ≤ 0. 

2 2 

3x 

+ 4 

y = ( H ) 

x −1 

a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá. 

b) Vôùi giaù trò naøo cuûa a, ñöôøng thaúng y = ax + 3 khoâng caét ñoà thò (H)? 

c) Qua ñieåm M(2 ; 3) vieát phöông trình tieáp vôùi ñoà thò (H). 

ÑS: b) –28 < a ≤ 0 c) y = –28x + 59. 

x − 2 

Baøi 8. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò y = ( C ) . 

x −1 

b) Tìm taát caû nhöõng ñieåm treân ñoà thò (C) caùch ñeàu hai ñieåm A(0; 0) vaø B(2; 2). 

ÑS: b) (2 ; 0), (0 ; 2). 

1 

Baøi 9. Cho haøm soá: y = x − 2 + ( C) 

x 

a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C). 

b) Tìm treân (C) caùc ñieåm caùch ñeàu hai truïc toïa ñoä. 

c) Tìm k ñeå ñöôøng thaúng y = k caét (C) taïi hai ñieåm maø taïi ñoù hai tieáp tuyeán vôùi (C) 

vuoâng goùc vôùi nhau. 

1 1 

ÑS: b) M ⎛ 

⎜ ; 

⎞ 

⎟ c) k = − 2 ± 5. 

⎝ 2 2 ⎠ 

Baøi 10. Cho haøm soá: 

y = 

2 2 

x − ( m + 1) x + 4m − 4m 

− 2 

x − ( m −1) 

a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò vôùi m = 2. 

b) Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå haøm soá xaùc ñònh vaø ñoàng bieán treân khoaûng (0 ; +∞) 

ÑS: b) 

2 − 3 3 

≤ m ≤ 

7 2 

4 



x + 2x 

+ 2 

Baøi 11. a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá: y = 

. 

x + 1 

b) Goïi I laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò (C) vaø M laø moät ñieåm treân (C). Tieáp tuyeán taïi M 

vôùi (C) caét hai ñöôøng tieäm caän taïi A vaø B. Chöùng minh raèng M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn 

AB vaø dieän tích tam giaùc IAB khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M treân (C). 

ÑS: b) S 

IAB 

= 2 2. 

2 

x + 2x 

+ 2 1 

Baøi 12. Cho haøm soá: y = = x + 1 + ( C) 

x + 1 x + 1 

a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C). 

b) Tìm treân ñoà thò haøm soá ñaõ cho caùc ñieåm sao cho tieáp tuyeán taïi ñoù vuoâng goùc vôùi 

tieäm caän xieân cuûa noù. 

⎛ 2 3 2 ⎞ ⎛ 2 3 2 ⎞ 

ÑS: b) M1 ⎜ − 1 + ; ⎟; M2 

⎜ −1 − ; − ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 

2 

x + ( m + 1) x − mx + 1 

Baøi 13. Cho haøm soá: y = 

( Cm 

) 

x − m 

a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá öùng vôùi m = 2. 

b) Chöùng minh raèng tích caùc khoaûng caùch töø moät ñieåm tuøy yù thuoäc ñoà thò (C) (vôùi m = 2 ôû 

caâu treân) tôùi hai ñöôøng tieäm caän luoân baèng moät haèng soá. 

c) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì haøm soá ñaõ cho coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu, ñoàng thôøi giaù trò cöïc 

ñaïi vaø giaù trò cöïc tieåu cuøng daáu. 

ÑS: b) 9 2 

2 

c) m < − 3 − 2 3 hay m > − 3 + 2 3 

x + 4x 

+ 1 

Baøi 14. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: y = 

x + 2 

b) Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò coù khoaûng caùch ñeán ñöôøng thaúng (∆) : y + 3x + 6 = 0 laø 

nhoû nhaát. 

3 5 5 5 

ÑS: b) M 

⎛ 1 ⎜ − ; ⎞ ⎟; M 

⎛ 2 ⎜ − ; − 

⎞ 

⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ . 


y = 

2 

2x 

+ mx − 2 

vôùi m laø tham soá. 

x −1 

a) Xaùc ñònh m ñeå tam giaùc taïo bôûi hai truïc toïa ñoä vaø ñöôøng tieäm caän xieân cuûa ñoà thò 

cuûa haøm soá treân coù dieän tích baèng 4. 

b) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá treân khi m = –3. 

ÑS: a) m = –6 hay m = 2. 


2 

x + x + 1 

y = . 

x 

a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá treân. 

b) Xaùc ñònh m sao cho phöông trình sau coù nghieäm: 

ÑS: b) 


4 3 2 

3 7 

m ≤ − hay m ≥ . 

2 2 

t − ( m − 1) t + 3 t − ( m − 1) t + 1 = 0 

3 2 2 2 2 

2 

y = − x + 3mx + 3(1 − m ) + m − m (1) (m laø tham soá) 


2



a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1) khi m = 1. 

b) Tìm k ñeå phöông trình 

3 2 3 2 

− x + 3x + k − 3k 

= 0 coù 3 nghieäm phaân bieät. 

c) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá (1). 

ÑS: b) − 1 < k < 3; k ≠ 0; k ≠ 2; c) 


4 2 2 

2 

y = 2x − m + m 

y = mx + ( m − 9) x + 10 (1) (m laø tham soá) 

a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = 1. 

b) Tìm m ñeå haøm soá (1) coù ba ñieåm cöïc trò. 

ÑS: b) m < − 3 hay 0 < m < 3. 


(2m −1) 

x − m 

y = 

x −1 

2 

(1) 

(m laø tham soá) 

a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1) öùng vôùi m = –1. 

b) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C) vaø hai truïc toïa ñoä. 

c) Tìm m ñeå ñoà thò cuûa haøm soá (1) tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng y = x. 

ÑS: b) 


4 

S = 1+ 4 ln c) m ≠ 1. 

3 

y = 

2 

mx + x + m 

x −1 

(1) (m laø tham soá) 

a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1) khi m = –1. 

b) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm phaân bieät vaø hai ñieåm ñoù coù 

hoaønh ñoä döông. 

ÑS: b) 


1 

− < m < 0. 

2 

3 2 

y = x − 3x + m (1) (m laø tham soá) 

a) Tìm m ñeå haøm soá (1) coù hai ñieåm phaân bieät ñoái xöùng nhau qua goác toïa ñoä. 

b) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1) khi m = 2. 

ÑS: a) m > 0. 

Baøi 22. a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá 

y = 

x 

2 

− 2x 

+ 4 (1) 

x − 2 

b) Tìm m ñeå ñöôøng thaúng d m : y = mx + 2 – 2m caét ñoà thò cuûa haøm soá (1) taïi hai ñieåm 

phaân bieät. 

ÑS: b) m > 1. 


y = 

2 

− x + 3x 

− 3 

2( x −1) 

(1) 


b) Tìm m ñeå ñöôøng thaúng y = m caét ñoà thò taïi 2 ñieåm A, B sao cho AB = 1. 

ÑS: b) 


1± 

5 

m = . 

2 

1 3 2 

y = x − 2x + 3 x (1) coù ñoà thò (C) 

3 




b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán ∆ cuûa (C) taïi ñieåm uoán vaø chöùng minh raèng ∆ laø tieáp 

tuyeán cuûa (C) coù heä soá goùc nhoû nhaát. 

8 

ÑS: b) ∆ : y = − x + ; k = −1. 

3 


3 2 

y = x − 3mx + 9x 

+ 1 (1) (vôùi m laø tham soá) 

a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = 2. 

b) Tìm m ñeå ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá (1) thuoäc ñöôøng thaúng y = x + 1. 

ÑS: b) m = 0 hay m = 2 hay m = –2. 


Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12 

Phần 1: SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA 

HÀM SỐ 

Bài 1.1: Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số 

• Tìm TXĐ 

• Tính y’. Tìm các điểm tới hạn. 

• Lập bảng biến thiên 

• Kết luận. 

Bài 1.2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên 

R hoặc trên từng khoảng của tập xác định. 

• Tìm TXĐ 

• Tính y’ 

• Hàm số ĐB trên R y ' ≥ 0, ∀x ∈ R 

⇔ ⎧∆ ⎨ ≤ 0 

⎩a 

> 0 

( Hàm số nghịch biến trên R y ' ≤ 0, ∀x ∈ R 

⎧∆ ≤ 0 

⇔ ⎨ ) 

⎩a 

< 0 

Từ đó suy ra điều kiện của m. 

Bài 1.3: Tìm m để hàm bậc 3 đồng biến, nghịch biến 

trên khoảng (a,b) 

* Cách 1: 

y ' ≥ 0, ∀x ∈ a, 

b 

+ Hàm số ĐB trên (a,b) ( ) 

y ' 0, x [ a, 

b] 

g(x) ≥ h(m) , ∀x 

∈ [ a, 

b] 

min ( ) ≥ ( ) (*) 

≥ ∀ ∈ ( vì y’liên tục tại x = a và x =b) 

g x h m 

a , b⎤ 

⎡ 

⎢⎣ 

⎥⎦ 

+ Tính g’(x) . Cho g’(x) = 0 tìm nghiệm x 0 ∈ [ a, 

b] 

Tính g ( x0 ), g ( a) , g ( b ) => min ( ) 

CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 

g x 

a , b⎤ 

+ Từ (*) suy ra điều kiện của m. 

* Cách 2: (thường dùng khi tham số m có bậc 2) 

y ' ≥ 0, ∀x ∈ a, 

b 

+ Hàm số ĐB trên (a,b) ( ) 

Có 2 trường hợp : 

⎧∆ ≤ 0 

* TH1 : y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⎨ suy ra m 

⎩a 

> 0 

* TH2 : y’ = f(x) =0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa 

…….(điều kiện về x 1 , x 2 để hàm số ĐB trên (a,b) – xem 

phần so sánh các số với nghiệm của tam thức bậc hai ) 

Suy ra m 

Kết hợp hai trường hợp trên ta được đáp số m cần tìm. 

Bài 1.4: Tìm m để hàm số ĐB , NB trên đoạn có độ 

dài bằng d. 

+ Tìm TXĐ 

+ Tính y’ 

+ Hàm số có khoảng ĐB, NB y’ = 0 có 2 nghiệm 

⎧∆ > 0 

phân biệt x 1 , x 2 ⇔ ⎨ .suy ra m. (*) 

⎩a 

≠ 0 

+ Biến đổi x1 x2 

d x1 + x2 − 4x1x 2 

= d 

Dùng định lí Viet đưa pt trên về pt theo m. 

Giải pt tìm m , so với đk (*) để được m cần tìm. 

⎡ 

⎢⎣ 

− = thành ( ) 2 2 

⎥⎦ 

Bài 1. 5 : Chứng minh bất đẳng thức P(x) > Q(x), 

∀x 

∈ a, 

b bằng cách sử dụng tính đơn điệu 

( ) 

( Chuyển vế đưa BĐT về dạng : f(x) = P(x) – Q(x) >0 ) 

• Xét hàm số f(x) = P(x) – Q(x) liên tục trên [a,b). 

• Tính f '( x ) . Chứng tỏ f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b) 

Hàm số đồng biến trên [a,b). 

∀x ∈ a, b : f ( x) > f ( a) 

=… 

( ) 

Suy ra đpcm 

--------------------------------------------------------------- 

Phần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 

Bài 2.1: Tìm cực trị của hàm số 

• Quy tắc 1: 

+ Tìm TXĐ 

+ Tính y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có) 

+Lập bảng biến thiên 

+ Kết luận : Hàm số đạt cực đại tại x =… và y CĐ = … 

Hàm số đạt cực tiểu tại x =… và y CT = … 

• Quy tắc 2 ( thường dùng đối với hàm lượng 

giác): 

+ Tìm TXĐ 

+ Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm các nghiệm x i 

+ Tính y” 

Tính y”(x i ) 

+Kết luận : 

y”(x i ) >0 => hs đạt CT tại x i và y CT =… 

y”(x i ) hs đạt CĐ tại x i và y CĐ =… 

Bài 2.2: Tìm m để hàm số có ( ko có )cưc trị. 

(Lưu ý : hàm số có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm và y’ 

đổi dấu khi qua nghiệm đó) 

• Tìm TXĐ 


- Hàm bậc ba có cực trị ( hoặc có CĐ, CT hoặc có 

2 cực trị) pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt 

⎧∆ 

y ' 

> 0 

⎨ .suy ra m. 

⎩a 

≠ 0 

- Hàm b3 ko có cực trị y’=0 có n 0 kép hoặc vô n 0 . 

b2 

- Hàm có cực trị pt y’=0 có hai nghiệm 

b1 

phân biệt khác x 0 ( với x 0 là nghiệm ở mẫu) 

⎧ ∆ 

g 

> 0 

⇔ ⎨ ( với g(x) = tử số của y’ ) 

⎩g( x0) ≠ 0 

Giải hệ tìm m. 

Bài 2.3 : Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x 0 . 

• Tìm TXĐ 


Cách 1: 

• Hàm số đạt cực trị tại x = x 0 => y’(x 0 ) = 0 .tìm m 

• Với mỗi giá trị m tìm được, ta thay vào y’. lập 

bảng biến thiên. Dựa vào BBT kết luận m đó có 

thỏa ycbt không. 

⎧⎪ y '( x0 

) = 0 

Cách 2 : Hàm số đạt cực trị tại x = x 0 ⇔ ⎨ 

⎪⎩ y" ( x0 

) ≠ 0 

Giải hệ tìm m. 



Bài 2.4 : Tìm m để hàm số đạt cực đại ( CT ) tại x = x 0 

• Tìm TXĐ 

• Tính y’ , y” 

⎧⎪ y '( x0 

) = 0 

• Hàm số đạt cực đại tại x = x 0 ⎨ 

⎪⎩ y" ( x0 

) < 0 

( x0 

) 

( x ) 

⎧⎪ y ' = 0 

( Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 ⎨ 

) 

⎪⎩ y" 0 

> 0 

• Giải hệ tìm m. 

Bài 2.5 : Tìm m để hàm số bậc 3 có hai cực trị (hoặc 

có cực đại và cực tiểu) thỏa điều kiện K ( đk về x 1 , x 2 ) 

. 

+ Tìm TXĐ 

+ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. (*) 

+ Hoành độ cực đại và cực tiểu là nghiệm của pt y’ = 0 

( Ta có thể suy ra các hoành độ này hoặc tổng , tích của 

các hoành độ) 

+ Tìm m để cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K. 

So với điều kiện (*) để được m thỏa ycbt. 

Bài 2.6 : Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 có hai điểm cực 

trị thỏa đk K cho trước ( VD: đt qua 2 cực trị vuông 

góc hoặc song song với đt cho trước,….) 

+ Tìm TXĐ 

+ Tính y’ 

+ Tìm m để hàm số có 2 cực trị. (*) 

+ Lấy y chia y’ ta được : y = y’.g(x) + (ax + b) 

M x , y , M x , y là các điểm cực trị. 

Gọi 

1 ( 1 1) 2 ( 2 2 ) 

=> y '( x ) = 0 và y ( x ) = 

1 

' 0 

Suy ra : y1 = ax1 

+ b , 

y2 = ax2 

+ b 

Do đó : đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là d m : y = 

ax +b 

+ Tìm m thỏa điều kiện K. 

+ So với (*) kết luận m cần tìm . 

Bài 2. 7 : Cực trị của hàm trùng phương 

4 2 

y = ax + bx + c ( a≠ 

0) 

+ TXĐ : D = R 

+ Tính y’ = 4ax 3 +2bx 

⎡ x = 0 

y ' = 0 ⇔ ⎢ 2 

⎣4ax 

+ 2b 

= 0 (*) 

• Hàm số luôn đạt cực trị tại x = 0 

• Hàm số có 3 cực trị y’ = 0 có 3 nghiệm phân 

biệt 

pt (*) có 2 nghiệm phận biệt 

khác 0 

a.b 0 

⎧a 

< 0 

⎨ 

⎩b 

> 0 

2 

• Hàm số có đúng 1 cực trị 

pt (*) vô nghịêm hoặc có nghiệm kép bằng 0. 

⎡a. b > 0 

⎢ 

⎣ b = 0 

Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B ,C và A 

thuộc Oy thì tam giác ABC cân tại A. 

-------------------------------------------- 

Phần 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ 

Bài 3.1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên 

khoảng (a,b) 

• Xét hàm số trên (a,b) 


Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có ) 

• Lập bảng biến thiên 

max y, min y . 

a , b a , b 

• Dựa vào BBT kết luận 

( ) ( ) 


[a,b] 

• Xét hàm số trên [a,b] 


Cho y’ = 0 tìm các nghiệm x i ∈ [ a, b] 

• Tính y ( x ), y ( a) , y ( b ) 

i 

• Kết luận max , min 

[ a, b] y [ a, b] 

y . 


[a,b] hoặc trên R, với f(x) là hàm lượng giác phức tạp 

• Biến đổi f(x) về cùng một hàm số lượng giác 

của cùng một cung 

• Đặt t = HSLG đó . điều kiện của t 

t ∈ [ α, β ] 

( ) 

Ta được : g(t) = … 

Tính g’(t) . Cho g’(t) = 0 tìm các nghiệm t i 

∈ [ α, β ] 

Tính g( t i ) , g ( α ), 

g ( β ) 

• Suy ra : 

max y = max g ( t) 

= .... khi x = .... 

[ a, b] 

[ α, β ] 

( ) 

min y = min g t 

[ a, b] 

[ α, β ] 

= .... khi x = .... 

Bài 3.4 : tìm m để hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN ) 

bằng d trên [a,b] 

• Xét hàm số y = f(x) trên [a,b] 

• Tính y’ . cho y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có ) 

• Xét dấu y’ trên [a,b] ( thông thường ta cần 

chứng tỏ y’ >0 (hoặc y’ hàm số luôn ĐB (hoặc luôn NB) trên 

[a,b] ) 

• Suy ra max 

[ a, b] y ( hoặc min 

[ a, b] y ) 

• Cho max 

[ a, b] y = d (hoặc min 

[ a, b] y =d ) tìm m. 

Bài 3.5 : Ứng dụng của GTLN, GTNN vào giải toán 

VD : trong các hình chữ nhật có chu vi 12cm , tìm hình 

chữ nhật có diện tích lớn nhất. 



Phần 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ 

Bài 4.1 : Khảo sát hàm bậc 3 , bậc 4 trùng phương 

• B1 : Tập xác định : D = R 

• B2: Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm nghiệm . 

• B3 : Giới hạn : lim y và lim y 

x→+∞ 

x→−∞ 

• B4: Bảng biến thiên 

Kết luận : Đồng biến , nghịch biến , cực đại, cực 

tiểu 

• B5: Bảng giá trị : ( 5 điểm đặc biệt) 

• B6 : Vẽ đồ thị. 

( Nhận xét : Đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương 

nhận Oy làm trục đối xứng) 

b1 ax + b 

: y = ad − bc ≠ 0 

b1 

cx + d 

⎧−d 

⎫ 

• B1 : Tập xác định : D = R \ ⎨ ⎬ 

⎩ c ⎭ 

−d 

• B2: Tính y’.Nhận xét y’>0 hoặc y’ y '( x ) = k. 

0 

y = k x − x + y 

0 0 

Giải tìm x 0 . suy ra y 0 = y(x 0 ) 

• Suy ra Pt tiếp tuyến d. 

Cách 2: Dùng đk tiếp xúc 

+ Pt tiếp tuyến d có dạng : y = kx +b 

⎧⎪ f ( x) 

= kx + b 

+ d tiếp xúc với (C) ⎨ 

có nghiệm 

' 

⎪⎩ f ( x) 

= k 

+ Giải hệ tìm b . Viết pttt d. 

Lưu ý : Hệ số góc của tiếp tuyến có thể được cho gián 

tiếp như sau : 

∆ : y = k x + b => k = k 2 

+ d song song với ( ) 2 2 

+ d vuông góc với ( ∆ ) : y = k2x + b2 

=> 

−1 

k = 

k 

+ d tạo với ( ∆ ) : y = k2x + b2 

một góc α thì 

k − k2 

1+ 

k k 

1 2 

( α ( 0 0 

)) 

= tan α , ∈ 0 ,90 

+d tạo với chiều dương của trục hoành 1 gócα thì k = tanα 

Bài 4.6 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết 

tiếp tuyến đi qua điểm A (x A , y A ) 

• Gọi d là tiếp tuyến qua A (x A , y A ) và có hệ số 

y = k x − x + y 

góc k . Suy ra : d : ( ) 

• d tiếp xúc với (C) hệ pt sau có nghiệm : 

⎧⎪ f ( x) 

= k ( x − xA 

) + yA 

⎨ 

⎪⎩ f '( x) 

= k 

• Giải hệ tìm x ( pp thế). => k . Viết pttt. 

Cách 2: tìm tọa độ tiếp điểm : 

, 

y = f x 

• Gọi M ( x y ) là tiếp điểm.Khi đó ( ) 

0 0 0 

• Pt tiếp tuyến d tại M có dạng : 

y − y = y ' x . x − x 

( ) ( ) 

0 0 0 

• Vì d qua A(x A , y A ) nên : 

y − y = y ' x . x − x 

A 

A 

( ) ( ) 

0 0 A 0 

• Giải pt tìm x 0 . Từ đó viết pttt. 

A 

2 

0 0 



Bài 4.7: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường: 

Cho 2 hàm số y = f(x, m) và y = g(x, m) có đồ thị lần lượt là 

C , C . Biện luận theo m số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ): 

( ) ( ) 

1 2 

* B1 : Lập pt hoành độ giao điểm của ( C1 

) và ( C 

2 ) 

f(x,m) = g(x, m) (1) 

* B2: Biện luận theo m số giao điểm của ( C1 

) và ( 2 ) 

C . 

Chú ý : 

* Nếu (1) là pt bậc hai thì ở bước 2 ta làm như sau: 

- Tính ∆ . 

- Biện luận theo ∆ => số nghiệm pt (1) => Số giao điểm 

C . 

của ( ) 1 

C và ( ) 

2 

* Nếu (1) là pt bậc 3 thì ở bước 2 t a làm như sau : 

- Đoán 1 nghiệm của pt ( giả sử pt có nghiệm x = a) 

- Thực hiện phép chia đa thức ( Sơ đồ Hoocne). Ta có: 

(1) (x-a)(Ax 2 +Bx + C) = 0 

⎡ x = a 

⎢ 2 

⎣Ax + Bx + C = 0 (2) 

- Tính ∆ , Biện luận theo ∆ => Số nghiệm pt(2) => số 

nghiệm pt (1). 

Bài 4.8 : Nghiệm của pt bậc ba: 

Số n 0 của pt b3 bằng số giao điểm của (C) với trục Ox 

Pt bậc 3 Đồ thị của hàm Nếu 

Có 3 nghiệm 

tạo thành cấp 

số cộng 

Có 3 n 0 đơn 

phân biệt 

Có 1 n 0 kép, 

1 n 0 đơn 

Có duy nhất 

1 n 0 đơn 

số và trục hoành 

Cắt tại 3 điểm 

cách đều nhau 

(hay 3 điểm lập 

thành CSC) 

Cắt nhau tại 3 

điểm phân biệt 

Tiếp xúc nhau tại 

1 điểm và cắt 

nhau tại 1 điểm 

Cắt nhau tại 1 

điểm 

f ’(x) = 0 có 2 n 0 pb và 

điểm uốn nằm trên 

trục Ox 

f ’(x) = 0 có 2 n 0 pb và 

y CĐ .y CT 0 

Định lí Viet về pt bậc 3: 

⎧ −b 

⎪ 

x1 + x2 + x3 

= 

a 

⎪ 

c 

⎨x1x 2 

+ x2x3 + x1x 

3 

= 

⎪ 

a 

⎪ −d 

⎪x1x 2x3 

= 

⎩ a 

Bài 4.9 : Tìm những điểm trên đồ thị hàm hữu tỉ 

P( x) 

y = có tọa độ nguyên 

Q x 

( ) 

* Phân tích 

( ) 

( ) 

P x 

a 

y = A( x) 

Q x 

= + Q x 

, với A(x) là đa 

( ) 

thức , a ∈Z 

* Tọa đô điểm trên đồ thị nguyên x nguyên và a là 

bội của Q(x). 

* Thử lại các giá trị m tìm được => Kết luận. 

Bài 4.10 :Tìm điểm cố định của họ đồ thị 

(C m ): y = f(x,m) 

Cách 1: 

• Gọi M(x 0 , y 0 ) là điểm cố định của họ đồ thị (C m ) 

M ( x0. y0 ) ∈( Cm 

), ∀m ⇔ y0 = f ( x0, 

m) 

có n 0 ∀ m 

• Biến đổi pt theo ẩn m. 

• Áp dụng đk pt có n 0 ∀ m các hệ số đồng thời 

bằng 0. giải tìm x 0 , y 0 . => Kết luận. 

⎧a 

= 0 

Lưu ý :* ax + b = 0 , ∀ m ⎨ 

⎩b 

= 0 

⎧a 

= 0 

2 

⎪ 

* ax + bx + c = 0, ∀m ⇔ ⎨b 

= 0 

⎪ 

⎩c 

= 0 

Cách 2: 

• Gọi M(x 0 , y 0 ) là điểm cố định của họ đồ thị (C m ) 

M x . y ∈ C , ∀m ⇔ y = f x , m , ∀ m (*) 

( ) ( ) ( ) 

0 0 m 

0 0 

• Đặt F(m) = f(x 0 ,m) . 

F(m) = y 0 không đổi => F’(m) = 0 . Giải pt tìm x 0 . 

• Thay vào (*) tìm y 0 . Kết luận điểm cố định. 

Bài 4.11: Đồ thị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: 

Cho đồ thị (C) : y = f(x) . Dựa vào đồ thị (C) , vẽ đồ 

y = f x , b) y = f ( x) 

thị (C’) : a) ( ) 

Ta có: 

• Vẽ đồ thị (C) : y = f(x) 

a) Đồ thị hàm số y = f ( x) 

⎧ f ( x), f ( x) ≥ 0 

y = f ( x) 

= ⎨ 

⎩ − f ( x), f ( x) < 0 

+Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên trục hoành 

+Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành 

qua trục hoành 

Suy ra đồ thị hàm số y = f ( x) 

b) Đồ thị hàm số y = f ( x ) 

Ta có: y = f ( x ) là hàm số chẳn và 

⎧ f ( x), ∀x 

≥ 0 

y = f ( x ) = ⎨ 

⎩ f ( −x), ∀ x < 0 

+Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung 

+Bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái trục tung. 

Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung qua 

trục tung. 

Suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) 



LUYỆN THI ðẠI HỌC 

CHUYÊN ðỀ :KHẢO SÁT HÀM SỐ 

BA CÔNG THỨC TÍNH NHANH ðẠO HÀM 

ax + b 

+ y = ⇒ y' 

= 

cx + d 

CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ 

ad − bc 

( cx + d ) 2 

2 

ax + bx + c adx 

+ y = 

⇒ y' 

= 

dx + e 

+ 

a1x 

y = 

a x 

2 

2 

2 

( a1b 

⇒ y' 

= 

+ b x + c 

2 

1 

2 

2 

1 

+ b x + c 

2 

− a b ) x 

1 

2 

2 

2 

1 

2 

+ 2( a c 

( a x 

2 

2 

+ 

+ b x + 

2aex 

+ ( be − cd ) 

( dx + e) 2 

− a c ) x + b c 

2 1 

2 

c2 

) 

1 

2 

− b c 

CHUYÊN ðỀ: CÁC CÂU HỎI THỨ HAI TRONG 

ðỀ THI KHẢO SÁT HÀM SỐ LTðH 

Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. ðịnh m 

ñể hàm số ñồng biến trên R ? 

Phương pháp: 

TXð: D = R 

Ta có: y’ = ax 2 + bx + c 

2 

1 

ðể hàm số ñồng biến trên R 

⎧a > 0 

thì y ' ≥ 0 ∀x 

∈ R ⇔ ⎨ 

⎩ ∆ ≤ 0 


ñể hàm số nghịch biến trên R ? 


TXð: D = R 

Ta có: y’ = ax 2 + bx + c 

ðể hàm số ñồng biến trên R 

⎧a < 0 

thì y ' ≤ 0 ∀x 

∈ R ⇔ ⎨ 

⎩ ∆ ≤ 0 


ñể ñồ thị hàm số có cực trị? 


TXð: D = R 

Ta có: y’ = ax 2 + bx + c 

ðồ thị hàm số có cực trị khi phương trình y’ = 0 có 2 

nghiệm phân biệt và y’ ñổi dấu khi x ñi qua hai nghiệm ñó 

⎧a ≠ 0 

⇔ ⎨ 

⎩ ∆ > 0 


Dạng 4: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Chứng 

minh rằng với mọi m ñồ thị hàm số luôn luôn có cực trị? 


TXð: D = R 

Ta có: y’ = ax 2 + bx + c 

Xét phương trình y’ = 0, ta có: 

∆ =….>0, ∀m 

Vậy với mọi m ñồ thị hàm số ñã cho luôn luôn có cực trị. 


ñể ñồ thị hàm số không có cực trị? 


TXð: D = R 

Ta có: y’ = ax 2 + bx + c 

Hàm số không có cực trị khi y’ không ñổi dấu trên toàn 

⎧a ≠ 0 

tập xác ñịnh ⇔ ⎨ 

⎩ ∆ ≤ 0 


ñể ñồ thị hàm số ñạt cực ñại tại x 0 ? 


TXð: D = R 

Ta có: y’ = ax 2 + bx + c 

⎧ f '( x0 

) = 0 

ðể hàm số ñạt cực ñại tại x 0 thì ⎨ 

⎩ f ''( x0 

) < 0 


ñể ñồ thị hàm số ñạt cực tiểu tại x 0 ? 


TXð: D = R 

Ta có: y’ = ax 2 + bx + c 

⎧ f '( x0 

) = 0 

ðể hàm số ñạt cực tiểu tại x 0 thì ⎨ 

⎩ f ''( x0 

) > 0 


ñể ñồ thị hàm số ñạt cực trị bằng h tại x 0 ? 

Phương pháp: TXð: D = R 

Ta có: y’ = ax 2 + bx + c 


ðể hàm số ñạt cực trị bằng h tại x 0 thì 

⎧ f '( x0 

) = 0 

⎨ 

⎩ f ( x0 

) = h 


ñể ñồ thị hàm số ñi qua ñiểm cực trị M(x 0 ;y 0 )? 


TXð: D = R 

Ta có: y’ = ax 2 + bx + c 

⎧ f '( x0 

) = 0 

ðể hàm số ñi qua ñiểm cực trị M(x 0 ;y 0 ) thì ⎨ 

⎩ f ( x0 ) = y0 

Dạng 10: Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) và 

M(x 0 ;y 0 )∈(C). Viết PTTT tại ñiểm M(x 0 ;y 0 ) ? 


Ta có: y’ = f’(x) ⇒ f’(x 0 ) 

Phương trình tiếp tuyến tại ñiểm M(x 0 ;y 0 ) là 

y – y 0 = f’(x 0 ).( x – x 0 ) 

Các dạng thường gặp khác : 

1/ Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị (C) tại ñiểm có 

hòanh ñộ x 0 . 

Ta tìm: + y 0 = f(x 0 ) 

+ f’(x) ⇒ f’(x 0 ) 

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là 

y – y 0 = f’(x 0 ).( x – x 0 ) 

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị (C) tại ñiểm 

thỏa mãn phương trình f”(x)= 0. 

Ta tìm: + f’(x) 

+ f”(x) 

+Giải phương trình f”(x) = 0⇒ x 0 

+ y 0 và f’(x 0 ). Suy ra PTTT. 

Dạng 11: Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) Viết phương 

trình tiếp tuyến (d) của (C) 

a/ song song với ñường thẳng y = ax + b. 

b/ vuông góc với ñường thẳng y = ax + b. 


a/ Tính: y’ = f’(x) 

Vì tiếp tuyến (d) song song với ñường thẳng y = ax + b 

nên (d) có hệ số góc bằng a. 

Ta có: f’(x) = a (Nghiệm của phương trình này chính là 

hoành ñộ tiếp ñiểm) 

Tính y 0 tương ứng với mỗi x 0 tìm ñược. 

Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d): 

y – y 0 = a. ( x – x 0 ) 


Tính: y’ = f’(x) 

Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với ñường thẳng y = ax + b 

1 

nên (d) có hệ số góc bằng − . 

a 

1 

Ta có: f’(x) = − (Nghiệm của phương trình này chính 

a 

là hoành ñộ tiếp ñiểm) 

Tính y 0 tương ứng với mỗi x 0 tìm ñược. 

Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d): 

Chú ý: 

y – y 0 = 

1 

− . ( x – x 0 ) 

a 

+ ðường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x. 

+ ðường phân giác của góc phần tư thứ hai y = - x. 

Dạng 12: Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) Tìm GTLN, 

GTNN của hàm số trên [a;b] 


Ta có: y’ = f’(x) 

Giải phương trình f’(x) = 0, ta ñược các ñiểm cực trị: x 1 , 

x 2 , x 3 ,…∈ [a;b] 

Tính: f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),… 

Từ ñó suy ra: 

max y = ; min 

y = 

[ a; b] [ a; 

b] 

Phương pháp chung ta thường lập BBT 

Dạng 13: Cho họ ñường cong y = f(m,x) với m là tham 

số.Tìm ñiểm cố ñịnh mà họ ñường cong trên ñi qua với 

mọi giá trị của m. 


Ta có: y = f(m,x) 

⇔ Am + B = 0, ∀m (1) 

Hoặc Am 2 + Bm + C = 0, ∀m (2) 

ðồ thị hàm số (1) luôn luôn ñi qua ñiểm M(x;y) khi (x;y) 

là nghiệm của hệ phương trình: 

⎧A 

= 0 

⎨ 

⎩B 

= 0 

⎧A 

= 0 

⎪ 

Hoặc ⎨B 

= 0 

⎪ ⎩C 

= 0 


(a) (ñối với (1)) 

(b) (ñối với (2)) 

Giải (a) hoặc (b) ñể tìm x rồi→ y tương ứng. 

Từ ñó kết luận các ñiểm cố ñịnh cần tìm. 

Dạng 14: Giả sử (C 1 ) là ñồ thị của hàm số y = f(x) và 

(C 2 ) là ñồ thị của hàm số y = g(x). Biện luận số 

giao ñiểm của hai ñồ thị (C 1 ), (C 2 ). 


Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của 

y = g(x) là 

f(x) = g(x) 

⇔ f(x) – g(x) = 0 (*) 

y = f(x) và 

Số giao ñiểm của hai ñồ thị (C 1 ), (C 2 ) chính là số nghiệm 

của phương trình (*). 

Dạng 15: Dựa vào ñồ thị hàm số y = f(x), biện luận theo 

m số nghiệm của phương trình f(x) + g(m) = 0 


Ta có: f(x) + g(m) = 0 

⇔ f(x) = g(m) (*) 

Số nghiệm của (*) chính là số giao ñiểm của ñồ thị (C): y 

= f(x) và ñường g(m). 

Dựa vào ñồ thị (C), ta có:…v.v… 

Dạng 16: Cho hàm số y = f(x), có ñồ thị (C). CMR ñiểm 

I(x 0 ;y 0 ) là tâm ñối xứng của (C). 


Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo vectơ 

 

OI = x ; y . 

( ) 

0 0 

⎧x = X + x0 

Công thức ñổi trục: ⎨ 

⎩y = Y + y0 

Thế vào y = f(x) ta ñược Y = f(X) 

x 2 

y = + 

x − 3 

Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ. Suy ra 

I(x 0 ;y 0 ) là tâm ñối xứng của (C). 

Dạng 17: Cho hàm số y = f(x), có ñồ thị (C). CMR ñường 

thẳng x = x 0 là trục ñối xứng của (C). 


 

ðổi trục bằng tịnh tiến theo vectơ OI = ( x ;0 0 ) 

⎧x = X + x 0 

Công thức ñổi trục ⎨ 

⎩y 

= Y 

Thế vào y = f(x) ta ñược Y = f(X) 

Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn. Suy 

ra ñường thẳng x = x 0 là trục ñối xứng của (C). 


Dạng 18: Sự tiếp xúc của hai ñường cong có phương trình 

y = f(x) và y = g(x). 


Hai ñường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi 

và chỉ khi hệ phương trình 

⎧ f ( x) = g( x) 

⎨ 

⎩ f '( x) = g '( x) 

Có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành 

ñộ tiếp ñiểm của hai ñường cong ñó. 

Dạng 19: Tìm ñiểm A ,từ A kẻ ñc n tiếp tuyến tới ñồ 

thị y = f (x) 

(C) 

Phương pháp 

+Giả sử A ( x , y 0 0 

) 

+ Pt ñthẳng ñi qua ( ) 

( d ): y = k( x − x0 

) + y0 

A x , y 0 0 

có hệ số góc k có dạng : 

+ðthẳng (d) tiếp xúc vớI ñồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm 

⎧ f 

⎨ 

⎩ f 

( x) = k( x − x0 

) 

' 

( x) 

= k(2) 


+ y (1) 

0 

' 

f x f x x − x + 

= y (3) 

Thay (2) vào (1) ñược : ( ) ( )( 

0 

) 

0 

+Khi ñó số nghiệm phân biệt của (3) là số tiếp tuyến kẻ từ 

A tớI ñồ thị (C) 

Do ñó từ A kẻ ñược k tiếp tuyến tớI ñồ thị (C) 

⇔ có k nghiệm phân biệt ⇒ ñiểm A (nếu có) 

Dạng 21: ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm bậc 3 có Cð , CT 

nằm về cung 1 phía ñốI vớI (D). 

Phương pháp +ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có các 

ñiểm cực trị M ( x y )& 

M ( x , ) 

1 1, 1 2 2 

y2 

( x 1, x2 

là nghiệm của pt y' = 0) 

1)Nếu (D) là trục Oy thì 

ycbt ⇔ x 

1 

< x2 

< 0 ∨ 0 < x1 

< x2 

2)Nếu (D) là ñthẳng x = m thì 

ycbt ⇔ x 

1 

< x2 

< m ∨ 0 < x1 

< x2 

3)Nếu (D) là ñthẳng ax + by + c = 0 thì: 

ycbt ⇔ ( ax + by + c)( ax + by + c) 0 

1 1 

2 2 

> 

@ Nếu (D) là ñường tròn thì cũng giống trường hợp 3) 

Dạng 22: ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số (C) cắt ñthẳng 

(D) tạI 2 ñiểm phân biệt thoả 1 trong nhưng ñkiện sau: 

1)Thuộc cùng 1 nhánh ⇔ (I) có nghiệm phân biệt nằm 

cùng 1 phía ñốI vớI x = m ( (I) là PTHðGð của 

(C) và (D) ; x = m là t/cận ñứng của (C) ) 

2) Cùng 1 phía Oy ⇔ (I ) có 2 nghiệm phân biệt cùng 

dấu 

3)Khác phía Oy ⇔ (I ) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 

Dạng 20: ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có Cð , 

CT nằm về 2 phía (D) 

Phương pháp +ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có các 

ñiểm cực trị M ( x y )& 

M ( x , ) 

1 1, 1 2 2 

y2 

( x 1, x2 

là nghiệm của pt y' = 0) 

1)Nếu (D) là trục Oy thì ycbt ⇔ x 

1 

< 0 < x2 

2)Nếu (D) là ñthẳng x = m thì ycbt ⇔ x 

1 

< 0 < x2 

3)Nếu (D) là ñthẳng ax + by + c = 0 thì: 

ycbt ⇔ ( ax + by + c)( ax + by + c) 0 

1 1 

2 2 

< 

@ Nếu (D) là ñường tròn thì cũng giống trường hợp 3) 

Dạng 23: Tìm ñiểm trên ñồ thị hàm số (C) sao cho: 

Tổng các khoảng cách từ ñó ñến 2 t/cận là Min 


+Xét M ( x ) thuộc (C) ⇔ ( x 0 

, y ) 

0 0 

, y0 

thoã y = thương +dư /mẫu 

+Dùng BðT Côsi 2 số ⇒ kquả 

Dạng 24:Tìm ñiểm trên ñồ thị hàm số (C) sao 

cho:khoảng cách từ ñó ñến 2 trục toạ ñộ là Min 


+Xét ( x ) 

M thuộc (C) 

0 0 

, y0 

, 

0 


d M , Oy ⇒ P = x + y 

0 

Ox + d M , 

+ðặt P = ( ) ( 

0 

) 

0 0 

+Nháp :Cho x = ⇒ y = ; y ⇒ x = B 

GọI L = min ( A , B ) 

+Ta xét 2 trường hợp : 

TH1: 

TH2: 

0 

0 

0 

A 

x > L ⇒ P > L 

0 


0 

= 0 

0 

x0 ≤ L .Bằng ppháp ñạo hàm suy ra ñc kquả 

U U 

⇒ = y 

1 

(1) 

V 

' 

' 

x1 

y ' = 0 ⇔ U 

x1V 

x1 

= Vx 

1U 

x1 

⇔ = 

Vx 

1 

+ GọI B ( x 

2 

, y 2 

) là ñiểm cực trị của ( C 

m 

) 

' 

x1 

' 

x1 

U 

⇒ ........... ⇔ .................... ⇔ ....... y 

2 

= (2) 

V 

' 

x2 

' 

x2 

U 

Từ (1), (2) suy ra pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị là y = 

V 

' 

x 

' 

x 

Dạng 25:Tìm ñkiện cần và ñủ ñể 3 ñiểm M,N,P cung 

thuộc ñthị (C) thẳng hàng? 

Phương pháp 

M ,N,P thẳng hàng ⇔ vetơ MN cùng phương vớI vectơ 

− b 

MP ⇔ xM 

+ xN 

+ xP 

= 

a 

Dạng 26: Tìm trên ñồ thị (C) :y = f(x) tất cả các ñiểm 

cách ñều 2 trục toạ ñộ 


+Tập hợp những ñiểm cách ñều 2 trục toạ ñộ trong (Oxy) 

là ñường thẳng y = x và y = -x .Do ñó : 

+Toạ ñộ của ñiểm thuộc (C) :y = f(x) ñồng thờI cách ñều 

⎡⎧y 

= f ( x) 

⎢⎨ 

2 trục toạ ñộ là nghiệm của : 

⎢⎩y 

= x 

⇒ kquả 

⎢⎧y 

= f ( x) 

⎢⎨ 

⎢⎣ 

⎩y 

= −x 

Dạng 27:Lập pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị của hàm số hữu 

2 

ax + bx + c 

tỉ : y = ( C 

m 

) 

a' 

x + b' 

Phương pháp : 

ðặt 

+ có 

U 

y = 

V 

y' 

= 

( x) 

( x) 

' 

' 

( U 

( x) 

) V( 

x) 

− ( V( 

x) 

) 

( V ) 2 

( x) 

U 

( x) 

+GọI A ( x 1, y 1 

) là ñiểm cực trị của ( C 

m 

) 

Dạng 28:Lập pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị của hsố bậc 3 

C , khi ko tìm ñc 2 ñiểm cực trị 

( ) 

m 


+Chia 

chia) 

y cx d 

= ax + b + 

+ (cx+d :là phần dư của phép 

y' y' 

( ax + b) y + cx d 

⇒ y = ' + 

+Goi A( ( 

1 

, y1 

), 

B( x2 

, y2 

) 

( C 

m 

) ⇒ y ' 

x1 = y' 

x2 

= 0 

+Do A ∈ ( C m 

) nên y 

1 

= ( ax1 

+ b) y1' 

+ cx1 

+ d 

⇒ 

1 

x là 2 ñiểm cực trị của hàm số 

y 

1 

= cx + d (1) 

+Do B ∈ ( C m 

) nên y ( ax + b) y + cx + d 

⇒ 

2 

y 

2 

= cx + d (2) 

2 

= 

2 2 

' 

2 

Từ (1),(2) suy ra pt ñ/t ñi qua 2 ñiểm cực trị : y = cx + d 

Dạng 29:ðịnh ñkiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có ñiểm 

Cð và CT ñốI xứng nhau qua 1 ñ/t y = mx + n 

m ≠ 0 

( ) 


+ðịnh ñkiện ñể hàm số có Cð, CT (1) 

+Lập pt ñ/t (D) ñi qua 2 ñiểm cực trị 

+Gọi I là trung ñiểm ñoạn nốI 2 ñiểm cực trị 

⎧dk(1) 

⎪ 

+ycbt ⇔ ⎨y 

= mx + n ⊥ ( D) 

⇒ kq 

⎪ 

⎩I 

∈ y = mx + n 



Dạng 30:Tìm 2 ñiểm thuộc ñthị (C) y = f(x) ñốI xứng 

nhau qua ñiểm I ( x , y 0 0 

) 


+Giả sử M ( x , y ) ( C) y = f ( x ) 

+GọI N ( ) 

∈ (1) 

1 1 

: 

x 2, y 2 

ñốI xứng M qua I suy ra toạ ñộ ñiểm N 

theo x 1, y1 

+Do N thuộc (C): f ( ) 

2 

x 2 

1 

y = (2) 

(1),(2) :giảI hệ , Tìm x1 , y1 

⇒ x2 

, y2 

Dạng 31:Vẽ ñồ thị hàm số y = f ( x ) (C) 


+ Vẽ ñồ thị f ( x) 

y = (C ') 

⎧ f 

+Có y = f ( x ) = ⎨ 

⎩ f 

( x) 

, x 

( − x) 

, 

≥ 0( C ) 

1 

1 

x < 0( C ) 

⇒ ðồ thị (C) gồm ñồ thị ( ) 

1 

2 

C và ñồ thị ( C ) 

VớI : ( C1 ) ≡ ( C' ) lấy phần x ≥ 0 

( C 

2 

) là phần ñốI xứng của ( 

1 

) 

Dạng 32 :Vẽ ñồ thị hàm số f ( x) 



+Có f ( x) 

y = (C ') 

( ) ( ) 

C qua Oy 

y = (C) 

⎧ f x , f x ≥ 0( C1) 

y = = ⎨ 

⎩− 

f ( x) , f ( x) 

< 0( C2 

) 

⇒ ðồ thị (C) gồm ñồ thị ( ) 

1 

C và ñồ thị ( C ) 

VớI ( C1 ) ≡ ( C' ) lấy phần dương của (C') (nằm trên 

Ox) 

( C 

2 

) là phần ñốI xứng của phần âm (nằm dướI 

Ox ) của (C') qua Ox 

@:Chú ý :ðồ thi y = f ( x) 

sẽ nằm trên Ox 

2 

2 

Dạng 33 :Vẽ ñồ thị hàm số f ( x) 



y = (C ') 

+Vẽ ñồ thị hàm số y = f ( x ) (C1) 

y = (C) 

CHUYÊN ðỀ :CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ðẾN 

KHẢO SÁT HÀM SỐ LTðH 

Caâu 1.Tìm m ñể ñường thẳng y=x+4 cắt ñồ thị hàm số 

3 2 

y = x + 2 mx + ( m + 3) x + 4 tại 3 ñiểm phân biệt A, 

B,C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (ðiểm B, 

C có hoành ñộ khác 0, M(1;3) 

Caâu 2. Tìm m ñể hàm số 

3 2 

y = x − mx + (2m + 1) x − m − 2 cắt Ox tại 3 ñiểm phân 

biệt có hoành ñộ dương 

Caâu 3. Tìm hai ñiểm A, B thuộc ñồ thị hàm số 

3 2 

y = x − 3x 

+ 1 sao cho tiếp tuyến tại A, B song song 

với nhau và AB = 4 2 

x + m 

Caâu 4 Cho hs : y = Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị 

x −1 

tại giao ñiểm I của hai tiệm cận cắt trục Ox , Oy tại A, B 

và diện tích tam giác IAB bằng 1 

2x + 1 

Caâu 5.Cho hàm số y = viết phương trình tiếp 

x −1 

tuyến cuả HS biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa ñộ tam giác 

có diện tích bằng 8 

2x Caâu 6. Cho hàm số y = (H) .Tìm các giá trị của m ñể 

x −1 

ñường thẳng (d): y = mx – m + 2 cắt ñồ thị ( H ) tại hai 

ñiểm phân biệt A,B và ñoạn AB có ñộ dài nhỏ nhất. 

x −1 Caâu 7. Cho hàm số y = ( H ) . Tìm ñiểm M thuộc (H) 

x + 1 

ñể tổng khoảng cách từ M ñến 2 trục toạ ñộ là nhỏ nhất. 

3x 

+ 1 

Caâu 8. Cho hàm số y = ( H ) và ñường thẳng 

x −1 

y = ( m + 1) x + m − 2 (d) Tìm m ñể ñường thẳng (d) cắt 

(H) tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 2 

3 2 

Caâu 9. Cho hàm số y = x − 3x + 3(1 − m) x + 1+ 

3m 

(Cm). Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu ñồng thời các 

ñiểm cực trị cùng với gốc toạ ñộ tạo thành tam giác có 

diện tích bằng 4 


2x 

+ 1 

Caâu 10. Cho hàm số y = Tìm m ñể ñường thẳng 

x + 1 

y=-2x+m cắt ñồ thị tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho 

tam giác OAB có diện tích bằng 3 

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) 

• Viết phương trình ñường thẳng ñi qua M(1;3) cắt 

ñồ thị hàm số (1) tại hai ñiểm phân biệt A, B sao 

cho AB = 2 3 . 

3 2 

Caâu 11. Cho hàm số y = y = x − 2 x + (1 − m) 

x + m (1), 

m là tham số thực. 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi m 

= 1. 

2. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 

ñiểm phân biệt có hoành ñộ x1; x2; 

x3 

thoả mãn ñiều kiện 

x x x 

2 2 2 

1 

+ 

2 

+ 

3 

< 4 


x + 2 

Caâu 12. Cho hàm số y = (H) 

2x 

− 2 

1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (H). 

2) Tìm m ñể ñường thẳng (d): y=x+m cắt ñồ thị hàm số 

(H) tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho OA + OB = 

2 

4 2 

Caâu 13. Cho hàm số y = x − 2x 

(C) 

1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 

2) Lấy trên ñồ thị hai ñiểm A, B có hoành ñộ lần lươt là a, 

b.Tìm ñiều kiện a và b ñể tiếp tuyến tại A và B song song 

với nhau 

2m 

− x 

Caâu 14. Cho hàm số y = ( H ) và A(0;1) 

x + m 

1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 

2) Gọi I là giao ñiểm của 2 ñường tiệm cận . Tìm m ñể 

trên ñồ thị tồn tại ñiểm B sao cho tam giác IAB vuông cân 

tại A. 

4 2 

Caâu 15. Cho hàm số y = x + 2mx − m − 1 (1) , với m 

là tham số thực. 

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 

m = − 1. 

2)Xác ñịnh m ñể hàm số (1) có ba ñiểm cực trị, ñồng thời 

các ñiểm cực trị của ñồ thị tạo thành một tam giác có diện 

2 2 37 

tích bằng 4 2 . 

4 2 

Caâu 16 . Cho hàm số y = x − 2mx + m − 1 (1) , với m 

là tham số thực. 


m = 1. 

2)Xác ñịnh m ñể hàm số (1) có ba ñiểm cực trị, ñồng thời 

các ñiểm cực trị của ñồ thị 

tạo thành một tam giác có bán kính ñường tròn ngoại tiếp 

bằng 1. 

4 2 2 

Caâu 17. Cho hàm số y = x + 2mx + m + m (1) , với 

m là tham số thực. 


m = − 2 . 

2) Xác ñịnh m ñể hàm số (1) có ba ñiểm cực trị, ñồng 

thời các ñiểm cực trị của ñồ thị tạo thành một tam giác có 

góc bằng 120 . 

4 2 

Caâu 18 . Cho hàm số y = x − 2mx 

(1), với m là tham số 

thực. 

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi 

m = − 1. 

2)Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực tiểu và 

hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số và ñường thẳng ñi 

qua hai ñiểm cực tiểu ấy có diện tích bằng 1. 

Caâu 19. Cho hàm số 

4 2 2 

y = f ( x) = x + 2( m − 2) 

x + m − 5m 

+ 5 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C ) hàm số với m 

= 1 

2/ Tìm các giá trị của m ñể ®å thÞ hµm sè có các ñiểm cực 

ñại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân. 

1 3 2 

Caâu 20. Cho hàm số y = x − 2x + 3x 

(1) 

3 

1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) . 

2)Gọi A, 

B lần lượt là các ñiểm cực ñại, cực tiểu của ñồ 

thị hàm số (1). Tìm ñiểm M thuộc trục hoành sao cho 

tam giác MAB có diện tích bằng 2. 

3 2 

Caâu 21. Cho hàm số y = x − 6x + 9x 

− 4 (1) 

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) 

2)Xác ñịnh k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của ñồ thị 

hàm số (1) có cùng hệ số góc k . Gọi hai tiếp ñiểm là 

M1, 

M 

2 

. Viết phương trình ñường thẳng qua M 

1 

và M 

2 

theo k . 

3 2 

Caâu 22. Cho hàm số y = − x + 3x 

− 4 (1) 

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1) 

2. Giả sử A, B, 

C là ba ñiểm thẳng hàng thuộc ñồ thị (C), 

tiếp tuyến với (C) tại A, B, 

C tương ứng cắt lại (C) tại 

' ' ' 

A , B , C . Chứng minh rằng ba ñiểm 

' ' ' 

A , B , C thẳng 

hàng. 

3 


+ 1 (1) 

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1). 

2)ðường thẳng ( ∆ ): y = mx + 1 cắt (C) tại ba ñiểm. Gọi 

A và B là hai ñiểm có hoành ñộ khác 0 trong ba ñiểm nói 

ở trên; gọi D là ñiểm cực tiểu của (C). Tìm m ñể góc 

ADB là góc vuông. 

Caâu 24. Cho hàm số 

( ) 

y x x m x m 

3 2 2 2 

= − + 3 + 3 −1 − 3 − 1 (1), với m là 

tham số thực. 

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi 

m = 1. 


2. Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại và cực tiểu, ñồng thời 

các ñiểm cực trị của ñồ thị cùng với gốc toạ ñộ O tạo 

thành một tam giác vuông tại O . 

Caâu 25. Cho hàm số y ( x 2) 2 

( 2x 

1) 

= − − (1) 

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1). 

2.Tìm m ñể ñồ thị (C) có hai tiếp tuyến song song với 

ñường thẳng y = mx . Giả sử M , N là các tiếp ñiểm. Hãy 

chứng minh rằng trung ñiểm của ñoạn thẳng MN là một 

ñiểm cố ñịnh (khi m biến thiên) 

3 2 


+ 4 (1) 


2)Gọi 

A − 1;0 với hệ số 

d 

k 

là ñường thẳng ñi qua ñiểm ( ) 

góc k ( k R) 

∈ . Tìm k ñể ñường thẳng d 

k 

cắt ñồ 

thị (C) tại ba ñiểm phân biệt và hai giao ñiểm B, 

C ( B và 

C khác A ) cùng với gốc toạ ñộ O tạo thành một tam 

giác có diện tích bằng 1. 

3 2 


+ 4 (1) 


I − 1;0 . Xác ñịnh giá trị của tham số thực 

2)Cho ñiểm ( ) 


m ñể ñường thẳng d : y = mx + m cắt ñồ thị (C) tại ba 

ñiểm phân biệt I, A, 

B sao cho AB < 2 2 . 

Caâu 28. Cho hàm số y = 2x 3 + 9mx 2 + 12m 2 x + 1, trong ñó 

m là tham số. 

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho 

khi m = - 1. 

2)Tìm tất cả các giá trị của m ñể hàm số có cực ñại tại 

x Cð , cực tiểu tại x CT thỏa mãn: x 2 Cð= x CT . 

3 2 

Caâu 29. Cho hàm số y = (m + 2)x + 3x + mx − 5 , m là 

tham số 

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C ) của hàm số khi 

m = 0 

2)Tìm các giá trị của m ñể các ñiểm cực ñại, cực tiểu của 

ñồ thị hàm số ñã cho có hoành ñộ là các số dương. 

m − x 

Caâu 30. Cho hàm số y = (Hm). Tìm m ñể ñường 

x + 2 

thẳng d:2x+2y-1=0 cắt (Hm) tại 2 ñiểm phân biệt A, B sao 

x + 2 

Caâu 34. Cho hàm số: y = 

x − 1 

(C) 

1) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số 

2) Cho ñiểm A( 0; a) Tìm a ñể từ A kẻ ñược 2 tiếp tuyến 

tới ñồ thị (C) sao cho 2 tiếp ñiểm tương ứng nằm về 2 

phía của trục hoành 

3 


+ 2 (C) 

1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) 

2) Tìm ñiểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) 

ở N mà MN = 2 6 

Caâu 36. Tìm m ñể ñường thẳng y=x+4 cắt ñồ thị hàm số 

3 2 

y = x + 2 mx + ( m + 3) x + 4 tại 3 ñiểm phân biệt A, 

B,C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (ðiểm B, 

C có hoành ñộ khác 0, M(1;3) 

Caâu 37. Tìm m ñể hàm số 

3 2 

y = x − mx + (2m + 1) x − m − 2 cắt Ox tại 3 ñiểm phân 

biệt có hoành ñộ dương 

Caâu 38. Tìm hai ñiểm A, B thuộc ñồ thị hàm số 

3 2 

y = x − 3x 

+ 1 sao cho tiếp tuyến tại A, B song song 

với nhau và AB = 4 2 

x + m 

Caâu 39. Cho hs : y = Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ 

x −1 

thị tại giao ñiểm I của hai tiệm cận cắt trục Ox , Oy tại A, 

B và diện tích tam giác IAB bằng 1 

2x + 1 

Caâu 40. Cho hàm số y = viết phương trình tiếp 

x −1 

tuyến cuả HS biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa ñộ tam giác 


Phần một: CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ðIỂM CỰC 

ðẠI VÀ CỰC TIỂU HÀM SỐ 

1 2 

3 

Câu 1) Cho hàm số y = x − mx − x + m + 1 

3 

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 

b) Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu và khoảng 

cách giữa ñiểm cực ñại và cực tiểu là nhỏ nhất 

cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 8 

3 

Caâu 31. Tìm m ñể hàm số y = x − mx + 2 cắt Ox tại một 

ñiểm duy nhất 

2x 

+ 4 

Caâu 32. Cho hàm số y = (H). Gọi d là ñường 

1− 

x 

thẳng có hệ số góc k ñi qua M(1;1). Tìm 

k ñể d cắt (H) tại A, B mà AB = 3 10 

3 2 

Caâu 33. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x − mx + 2m 

cắt 

trục Ox tại một ñiểm duy nhất 

1 2 

3 

Câu 2) Cho hàm số y = x − mx + mx −1 

3 

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 1 

b) Tìm m ñể hàm số ñạt cực trị tại x ; x 1 2 

thoả mãn 

x − x 8 

1 2 

≥ 

3 2 

Câu 3) Cho hàm số y = x + mx + 7x 

+ 3 

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= -8 

b) Tìm m ñể hàm số có ñường thẳng ñi qua ñiểm cực 

ñại cực tiểu vuông góc với ñường thẳng y=3x-7 



3 2 2 

Câu 4) Cho hàm số y = x − 3 x + m x + m 


b) Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu ñối xứng 

1 5 

qua ñường thẳng y = x − 

2 2 

Câu 5) Cho hàm số 

3 2 2 

2 

y = −x 

+ 3x 

+ 3( m −1) 

x − 3m 

−1 


b) Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu cách ñều 

gốc toạ ñộ O. 

Phần hai: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN TIẾP 

TUYẾN VÀ ðƯỜNG TIỆM CẬN 

3 

Câu 1) Cho hàm số y = x − mx − m + 1 (Cm) 


b) Tìm m ñể tiếp tuyến tại giao ñiểm cuả (Cm) với 

trục Oy chắn trên hai trục toạ ñộ một tam giác có 

diện tích bằng 8 

Câu 2) Cho hàm số y = x 

3 + 3x 

2 + mx + 1 (Cm) 


b) Tìm m ñể ñường thẳng y=1 cắt (Cm) tại 3 ñiểm 

phân biệt C(0;1), D,E và các tiếp tuyến tại D và E 

của (Cm) vuông góc với nhau. 

x + m 

Câu 3) Cho hàm số y = ( ) 

x − 2 Hm 


b) Tìm m ñể từ A(1;2) kẻ ñược 2 tiếp tuyến AB,AC 

ñến (Hm) sao cho ABC là tam giác ñều (A,B là 

các tiếp ñiểm) 

2mx 

+ 3 

Câu 4) Cho hàm số y = ( Hm) 

* 

x − m 

1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 

2) Tìm m ñể tiếp tuyến bất kỳ của hàm số (Hm) cắt 2 

ñường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện 

tích bằng 8 

2x 

Câu 5) Cho hàm số y = ( H ) * 

x + 1 

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho 

b) Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M của (H) 

cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB 

1 


b) Gọi I là giao ñiểm 2 ñường tiệm cận của (H). Tìm 

M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại M 

vuông góc với ñường thẳng IM. 

2x 


x + 2 

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (H) 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết khoảng 

cách từ tâm ñối xứng của ñồ thị hàm số (H) ñến 

tiếp tuyến là lớn nhất. 

Câu 8) Viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ ñiểm 

⎛19 

⎞ 

3 2 

A ⎜ ;4⎟ 

ñến ñồ thị hàm số y = 2x 

− 3x 

+ 5 

⎝12 

⎠ 

Câu 9) Tìm ñiểm M thuộc ñồ thị hàm số 

y = −x 

3 + 3x 

2 − 2 mà qua ñó chỉ kẻ ñược một tiếp 

tuyến ñến ñồ thị 

Câu 10) Tìm những ñiểm thuộc ñường thẳng y=2 mà từ 

3 

ñó có thể kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hs y = x − 3x 

Câu 11) Tìm những ñiểm thuộc trục tung qua ñó có thể kẻ 

ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hs y = x 

4 − 2x 

2 + 1 

Câu 12) Tìm những ñiểm thuộc ñường thẳng x=2 từ ñó kẻ 

ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hs y = x 

3 − 3x 

Câu 113) Tìm những ñiểm thuộc trục Oy qua ñó chỉ kẻ 

x + 1 

ñược một tiếp tuyến ñến ñồ thị hs y = x −1 

x + m 

Câu 14) Cho hàm số y = x −1 


b) Với giá trị nào của m ñồ thị hàm số cắt ñường 

thẳng y=2x+1 tại 2 ñiểm phân biệt sao cho các 

tiếp tuyến với ñồ thị tại 2 ñiểm ñó song song với 

nhau. 

Phần ba: CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO 2 ðỒ THỊ 


y = 

− 

+ 

− 

3 2 2 2 

2mx 

(4m 

1) x 4m 


b) Tìm m ñể ñồ thị hs tiếp xúc với trục Ox 

2x 

−1 


x −1 

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 

Câu 2) Cho hàm số y = x 

4 

− 

+ 

− 

2 3 2 

2mx 

m m 



) Tìm m ñể ñồ thị hs tiếp xúc với trục Ox tại 2 ñiểm 

phân biệt 



4 

x 

y = − 3x 

2 


b) Tìm ñể phương trình sau có 8 nghiệm phân biệt 

4 2 

2 

x − 6x 

+ 5 = m − 2m 

2 

+ 

5 

2 

Câu 10) Cho hàm số 

3 2 

y x x x 

= + 3 − − 3 


b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình 

2 x + 3 

x −1( 

) = 2m 

+ 1 

3 

Phần bốn: CÁC CÂU TOÁN LIÊN QUAN ðẾN 

KHOẢNG CÁCH 

3 2 

Câu 4) Cho hàm số y = x − 3mx 

− 6mx 

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1/4 

2 

b) Biện luận số nghiệm 4 x − 3x 

− 6 x − 4a 

= 0 

Câu 5) Cho hàm số y = 4x 

3 − 3x 

(C ) 

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C ) 

3 

3 

b) Tìm m ñể phương trình 4 x − 3 x = 4m 

− 4m 

có 4 nghiệm phân biệt 

3 

3x 

− 5 

Câu 1) Tìm M thuộc (H) y = ñể tổng khoảng 

x − 2 

cách từ M ñến 2 ñường tiệm cận của H là nhỏ nhất 

x −1 

Câu 2) Tìm M thuộc (H) : y = ñể tổng khoảng cách 

x + 1 

từ M ñến 2 trục toạ ñộ là nhỏ nhất 

Câu 6) Tìm m ñể hàm số y=-x+m cắt ñồ thị hàm số 

2x 

+ 1 

y = tại 2 ñiểm A,B mà ñộ dài AB nhỏ nhất 

x + 2 


3 2 2 

y = x − 3mx 

+ 3( m −1) 

x − ( m 

2 

−1) 


b) Tìm m ñể hàm số cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt có 

hoành ñộ dương 


3 

2 

y = x + 2(1 − 2m) 

x + (5 − 7m) 

x + 2( m + 5) 

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m= 5/7 

b) Tìm m ñể ñồ thị hs cắt Ox tại 3 ñiểm có hoành ñộ 

nhỏ hơn 1. 

Câu 8) Tìm m ñể hàm số 

3 

2 

y = 2x 

− 3( m + 3) x + 18mx 

− 8 có ñồ thị tiếp xúc với 

trục Ox 


4 2 

y = x − 3x 

+ 2 

a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hs 

b) Biện luận số nghiệm phương trình 

2 2 

x − 2 ( x −1) 

= m 



CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN 

Xét hàm số y = f ( x) 

có đồ thị ( C ) . 

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M ( x ; y ) : y = f '( x )( x - x ) + y y = f ( x ) 

0 0 

( ) 

0 0 0 0 0 

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k 

- Hoành độ tiếp điểm x 0 là nghiệm của phương trình: f’(x 0 ) = 0 (*) 

- Giải PT (*) tìm được hoành độ tiếp điểm x 0 Þ tung độ tiếp điểm y 0 Þ bài toán trở về dạng 1 

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) 

Cách 1. (Phương pháp tiếp điểm) 

C đi qua điểm M ( a; 

b) 

- Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với (C) tại điểm ( 0; 

0 ) 

trình dạng y = f '( x0 )( x - x0 ) + f ( x0 

) () 

- Vì M ( a; 

b) 

Î D nên b = f '( x )( a - x ) + f ( x ) (**) 

0 0 0 

- Giải phương trình (**) tìm được x 0 Þ bài toán trở về dạng 1. 

M x y , suy ra tiếp tuyến D có phương 

Cách 2. (Phương pháp điều kiện tiếp xúc) 

M a; 

b , với hệ số góc k (chưa biết k ) có phương trình dạng 

- Đường thẳng D đi qua ( ) 

y = k ( x - a) 

+ b (***) 

( ) ( ) 

( ) = 

ì ï f x = k x - a + b (1) 

- Điều kiện cần và đủ để D tiếp xúc với ( C ) là hệ í 

có nghiệm. 

ïî f ' x k (2) 

- Thế (2) vào (1), giải phương trình tìm được x , sau đó thay x vào (2) tìm được k , rồi thay k vào 

phương trình (***) Þ phương trình tiếp tuyến cần lập. 

Chú ý : 

ì ï f ( x) = g ( x) 

a) Đ/k để hai đường cong y = f ( x) 

và y = g ( x) 

tiếp xúc nhau là hệ í 

có nghiệm. 

ïî f '( x) = g '( x) 

b) Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau, vuông góc có tích các hệ số góc bằng -1. 

c) Hệ số góc của tiếp tuyến k = f '( x0 

), k = tanj 

(j là góc hợp bởi giữa tiếp tuyến và trục hoành). 

k - a 

d) Tiếp tuyến có hệ số góc k (chưa biết k ) tạo với đường thẳng y = ax + b một góc j thì = tanj 

1+ 

ka 

ax0 - y0 

+ b 

e) Khoảng cách từ điểm M ( x0; 

y 

0 ) tới đường thẳng D : y = ax + b ( Û ax - y + b = 0 ) là : 

. 

2 

a + 1 

 

f) D ABC vuông tại A khi và chỉ khi AB. AC = 0 ; D ABC cân tại A khi và chỉ khi AB = AC . 

Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm 

ax + b 

Bài 1. Tìm a, 

b để đồ thị hàm số y = 

x -1 

cắt Oy tại A( 0; - 1) 

đồng thời tiếp tuyến tại A có hệ số góc 

bằng 3. Đáp số: a = - 4, b = 1 

Bài 2. Cho hàm số ( ) 

3 2 

y = f x = x + 3x + mx + 1 có đồ thị (C m ). 

a) Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C ( 0;1 ), D, 

E . 

b) Tìm m để các tiếp tuyến với (C m ) tại D và E vuông góc với nhau. 

Đáp số: 

9 9 ± 65 

a)0 ¹ m < b) 

m = 

4 8 



4 2 

Bài 3. (ĐH Huế khối D-1998) Chứng minh rằng hàm số y = - x + 2mx - 2m 

+ 1 luôn đi qua 2 điểm cố 

5 3 

định A và B . Tìm m để các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. Đáp số: m = ; m = 

4 4 

1 3 2 

Bài 4. (ĐH khối B-2004) Cho hàm số y = x - 2x + 3x 

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của 

3 

(C) tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 

Đáp số: y = - x + 8 / 3 

3 

Bài 5. (HV Quân Y 1997) Cho hàm số y = x + 1 - m( x + 1) có đồ thị (C m ). 

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C m ) tai các giao điểm của (C m ) với Oy. 

b) Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8. 

Đáp số: a) y = - mx + 1 - m b)m=9 ± 4 5; m = - 7 ± 4 3 

2x 

-1 

Bài 6. Cho hàm số y = có đồ thị (C). Cho M bất kì trên (C) có 

M 

x -1 

x = m . Tiếp tuyến của (C) tại M 

cắt hai tiệm cận tại A, B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và 

diện tích tam giác IAB không đổi. 

x + 1 

Bài 7. Cho hàm số y = có đồ thị (C). Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận 

x - 1 

của (C) một tam giác có diện tích không đổi. 

Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc 

1 3 1 2 4 

Bài 8. (DB1 ĐH khối B-2002) Cho hàm số y = f ( x) = x + x - 2x 

- có đồ thị (C). Viết phương tình 

3 2 3 

tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đương thẳng d : y = 4x 

+ 2 . 

1 3 m 2 1 

Bài 9. (ĐH khối D-2005) Gọi (C m ) là đồ thị hàm số y = x - x + . Gọi M là điểm thuộc (C m ) có 

3 3 3 

hoành độ x = -1. Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại điểm M song song với đường thẳng 5x 

- y = 0 . 

Đáp số: m = 6 

2 

( 3m + 1) x - m + m 

Bài 10. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = 

( m ¹ 0) 

tại giao điểm giao 

x + m 

điểm của (C) với trục Ox song song với đường thẳng d : y + 10 = x . Viết phương trình tiếp tuyến. 

1 3 

Đáp số: m = - ; y = x - 

5 5 

3x 

- 2 

Bài 11. Cho hàm số y = có đồ thị (C). Viết phương tình tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành một 

x -1 

góc 45 0 . Đáp số: y = - x + 2; y = - x + 6 

Dạng 3: Đ/k tiếp xúc của hai đường 

Bài 12. (DB1 ĐH khối D-2008) Gọi (C m ) là đồ thị hàm số ( ) 

(C m ) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx - m - 1. 

Bài 13. Cho hµm sè 

3 

y x 3x m 

3 2 

y x m x m 

= - - 2 + 1 - - 1. Tìm m để đồ thị 

= - + . T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi trôc Ox 

Đáp số: m = 0; m = 1/ 2 

Đáp số: m = ± 2 

Dạng 4: Tìm điểm sao cho tiếp tuyến thoả mãn tính chất nào đó 

2x 

-1 

Bài 14. (DB2 DDH khối B-2003) Cho hàm số y = có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường 

x -1 

tiệm cận của (C), Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM. 



2x 

Bài 15. (ĐH khối D-2007) Cho hàm số y = có đồ thị (C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp 

x + 1 

tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1 4 . 

Đáp số: M (-1/ 2; -2); M ( 1;1) 

x 

Bài 16. (DB2 ĐH khối D-2007) Cho hàm số y = có đồ thị (C). Viết phương trình d của (C) sao cho d 

x - 1 

và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân. 

x + 2 

Bài 17. (DB2 DDH khối B-2003) Cho hàm số y = có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của 

2x 

+ 3 

đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại 

gốc toạ độ O. Đáp số: y = -x 

- 2 

2 2 

Bài 18.. (ĐH Công Đoàn 2001) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y = 2x + 3x -12x 

- 1 sao cho 

tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc tọa độ. 

3 2 

Bài 19. Tìm trên đường thẳng y = - 2 các điểm kẻ đến đồ thị (C): y = x - 3x 

+ 2 hai tiếp tuyến vuông 

góc với nhau. ĐS: M ( 55 / 27; -2) 

Bài 20. (ĐHSP Hà Nội II, khối B, 1999) Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) 

3 

của hàm số y = - x + 3x 

+ 2. ĐS: a > 2; - 1 ¹ a < -2 / 3 

1 4 3 2 

Bài 21. Tìm m để đồ thị (C): y = x - x - 3x 

+ 7 luôn luôn có ít nhất hai tiếp tuyến song song với 

2 

đường thẳng y = mx . 

x + 2 

Bài 22. Tìm m để từ điểm A( 0; m ) kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = sao cho 2 tiếp điểm 

x - 1 

nằm về hai phía với trục hoành. 

3 2 

Bài 23. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C): y = x - 3x 

+ 1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song 

song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 . ĐS: A(3; 1) và B(–1; –3) 

3 2 

Bài 24. Cho hàm số y = x - 3x + 4 có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số 

góc là m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông 

góc với nhau. ĐS: 

CHUYÊN ĐỀCỰC TRỊ 

18 ± 3 35 

m = 

9 

Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị 

1. Hàm bậc ba: y=f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ¹ 0) 

Đạo hàm y’ = f’(x) = 3ax 2 + 2bx + c 

Hàm số có cực trị (có CĐ và CT) Û f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt. Û D 

y ' 

> 0 . 

Chú ý: 

+ Hai cực trị CĐ,CT đối xứng nhau qua điểm uốn. 

ìï D > y ' 

0 

+ Hai giá trị CĐ, CT trái dấu nhau í 

, trong đó x1, 

x 

2 

là các nghiệm của y ' = 0 . 

y( x1 ). y( 2 ) 

< 0 

ïî x 

3 2 

( Û PT ax + bx + cx + d = 0 ( a ¹ 0 ) có ba nghiệm phân biệt). 

2. Hàm trùng phương: y=f(x) = ax 4 + bx 2 + c (a ¹ 0) 

Đạo hàm y’ = f’(x) = 4ax 3 + 2bx = 2x(2ax 2 + b). 


é ìa 

¹ 0 

êí 

b 0 

Hàm số có đúng cực trị 

êî = 

ìa 

¹ 0 

Û ; Hàm số có đúng 3 cực trị Û ê í 

ìa 

¹ 0 

ê 

îa. b < 0 

í 

êî ë a. b > 0 

Chú ý: 

+ Nếu hàm số có 3 cực trị thì 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác cân. 

+ Để nhận biết tại điểm x 

0 

là hoành độ của CĐ hay CT, ta có hai dấu hiệu: 

1. Dấu hiệu 1 (Xét dấu đạo hàm y’): Lập bảng biến thiên. 

2. Dấu hiệu 2 (Xét dấu đạo hàm y”): Dựa vào điều kiện sau 

ì ïy 

'( x0 

) = 0 

ì ïy 

'( x0 

) = 0 

x 

0 

là điểm CĐ Û í 

x 

0 

là điểm CT Û í 

ïî y ''( x0 

) < 0 

ïî y ''( x0 

) > 0 

Bài 1. Tìm m để hàm số sau có cực đại và cực tiểu 

1 3 2 

1) y = x + mx + ( m + 6) x - ( 2m 

+ 1) 

3 

ém 

< -2 

ìm 

¹ -2 

2) y = ( m + 2) x 3 + 3x 2 + mx - 5 

Đáp số: 1) ê 2) í 

ëm 

> 3 î - 3 < m < 1 

3 2 

y = mx + 3mx - m -1 x - 1 không có cực trị. 

Bài 2. (ĐH Bách khoa HN-2000) Tìm m để hàm số ( ) 

y mx m x 

Bài 3. (ĐH Khối B 2002) Tìm m để hàm số ( ) 

Bài 4. (ĐH cảnh sát-2000) Tìm m để hàm số 

= 4 + 2 - 9 2 + 10 có 3 điểm cực trị. 

Bài 5. (ĐH kiến trúc-1999) Tìm m để hàm số ( ) ( ) 

Đáp số: m < - 3;0 < m < 3 

1 4 2 3 

y = x - mx + chỉ có cực đại mà không có cực tiểu. 

4 2 

y = mx 4 - m - 1 x 2 + 1- 2m 

có đúng một cực trị. 

Bài 6. (ĐH khối A DB1 - 2001) Tìm m để hàm số y = ( x - m) 3 - 3x 

đạt cực tiểu tại điểm có hoành 

độ x = 0 . 


y mx m x 

Bài 7. (ĐH khối B - 2002) Tìm m để hàm số ( ) 

= 4 - 2 - 9 2 + 10 có ba cực trị. 

Bài tập tự luyện 

Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại và cực tiểu 

3 2 

y = 2x - 3 2m + 1 x + 6m m + 1 x + 1. 

1) ( ) ( ) 

2 

x + mx - m + 2 

2) y = 

. 

x - m + 1 

Bài 2. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu 

x 3 3 m 1 x 2 2m 2 3m 2 x m m 1 

3 

- - + - + - - . 2) ( ) 

2 

2 

x + ( m + 2) 

x + 3m 

+ 2 

mx + ( m + 1) 

+ 1 

1) ( ) ( ) ( ) 

3) y = 

. 4) y = 

x + 1 

Bài 3. Tìm m để hàm số 

3 2 2 

y = x - 2mx + m - 1 x + 2 đạt cực đại tại x = 2 . 

1) ( ) 

4 

2) ( ) 

y = - mx + 2 m - 2 x + m - 5 có một cực đại tại 

Đáp số: m = -1 

Đáp số: m < 3 hoặc 0 < m < 3 

y = mx + 3mx - m -1 x - 1. 

1 

x = . 

2 

mx + 2 

2 

x - 2mx 

+ 2 

3) y = 

đạt cực tiểu khi x = 2 . 

x - m 

2 

x - x + m 

4) y = có một giá trị cực đại bằng 0 . 

x -1 

y = x -1 x 2 - 4mx - 3m 

+ 1 có hai giá trị cực trị trái dấu. 

Bài 4. Tìm m để hàm số ( )( ) 

3 2 

Bài 5. Cho hàm số ( ) ( ) 

y = x - 3 m + 1 x + 6 m + 1 x + 1. 

. 


1) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị dương. 

2) Tìm m để hàm số nhận x = 3 + 3 làm điểm cực tiểu. 

Dạng 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị 

1. Phương trình đường thẳng đi qua CĐ và CT của hàm bậc ba 

* Chia f(x) cho f’(x) ta được: f ( x) = Q( x). f '( x) + Ax + B 

3 2 

y = f ( x) = ax + bx + cx + d 

( ) 

( ) 

ì ïy1 = f x1 = Ax1 

+ B 

* Khi đó, giả sử ( x1; y1 ),( x2; 

y 

2 ) là các điểm cực trị thì: í 

ïî y2 = f x2 = Ax 

2 

+ B 

* Vậy PT đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: y = Ax + B . 

3 2 

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x - 3x - 6x 

+ 8. 

Đáp số: y = - 6x 

+ 6 . 

Bài 2. (ĐH khối A-2002) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 

3 2 2 3 2 

y = - x + 3mx + 3 1- m x + m - m . 

( ) 

2 

Đáp số: y = 2x - m + m . 

3 2 

Bài 3. Tìm m để hàm số y = 2x + 3( m - 1) x + 6( m - 2) 

x - 1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song 

song với đường thẳng y = - 4x 

+ 1. 

ĐS: m = 1; m = 5 . 

3 2 

Bài 4. Tìm m để hàm số y = 2x + 3( m - 1) x + 6m( 1- 2m) 

x có các điểm cực trị nằm trên đường thẳng 

y = - 4x 

. 

ĐS: m = 1. 

3 2 2 

Bài 5. Tìm m để hàm số y = x - 3x + m x + m có các điểm cực cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua 

1 5 

đường thẳng y = x - . ĐS: m = 0 . 

2 2 


m 

Bài 1. (ĐH – DB2 khối A 2007) Tìm m để đồ thị hàm số y = x + m + x - 2 

có cực trị tại các điểm A , B sao 

cho đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ O . 

ĐS: m = 2 . 

3 2 

Bài 2. Tìm m để hàm số y = x + mx + 7x 

+ 3 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với 

đường thẳng y = 3x 

- 7 . 



Bài 4. Tìm m để hàm số ( ) 

hai cực trị đi qua điểm M (- 1;4 ). 


ĐS: m = ± . 

2 

3 2 

y = x - 3x - mx + 2 có CĐ, CT cách đều đường thẳng D : y = x - 1. 

3 2 

y x m x m 

= - 3 + 1 + + 2 có hai giá trị cực trị trái dấu và đường thẳng đi qua 

Bài 5. Tìm tập hợp trung điểm của hai cực trị của hàm số 

1 2 

= - - + + . 

3 3 

3 2 

y x mx x m 

Dạng : Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị thỏa mãn một điều kiện nào đó 

Bài 1. Tìm m để hàm số y 2x 3 3( m 2) x 2 6( 5m 1) x ( 4m 

3 1) 

= - + + + - + có hai điểm cực trị nhỏ hơn 2. 

1 

Đáp số: - < m < 0. 

3 

3 2 

Bài 2. (ĐH khối B DB2 - 2006) Tìm m để hàm số y = x + ( 1- 2m) x + ( 2 - m) 

x + m + 2 có hai điểm cực 

đại, cực tiểu đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. 



5 7 

Đáp số: m < - 1; < m < . 4 5 

3 2 

Bài 3. (CĐ - 2009) Tìm m để hàm số y = x - ( 2m - 1) x + ( 2 - m) 

x + 2 có cực đại và cực tiểu đồng thời 

các điểm cực trị của hàm số có hoành độ dương. 

1 

Đáp số: - < m < 1, m ¹ 0 . 

3 

4 2 4 

Bài 4. (HV quan hệ quốc tế 1996) Tìm m để hàm số y = x - 2mx + 2m + m có các điểm cực trị lập 

thành một tam giác đều. 


3 . 

4 2 4 

Bài 5. Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 2mx + 2m + m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. 


3 . 

4 2 2 

Bài 6. (ĐH khối A BD1 - 2004) Tìm m để hàm số y = x - 2m x + 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của 

một tam giác vuông cân. 

Đáp số: m = ± 1. 

3 2 

Bài 7. Chứng minh rằng hàm số y = x - 3( m + 1) x + 3m( m + 2) 

x + 1 luôn có cực đại, cực tiểu. Xác định 

m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương . 

Đáp số: m > 0 . 

y = - x 3 + 3x 2 + 3 m 2 -1 x - 3m 

2 - 1 có cực đại và cực tiểu và các 

điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O. 

1 

Đáp số: m = ± . 

2 

4 2 2 

Bài 9. Tìm m để hàm số y = x + 2( m - 2) x + m - 5m 

+ 5 có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam 

giác vuông cân. 

Đáp số: m = 1. 

y = x 3 + 2 m - 1 x 2 + m 2 - 4m + 1 x - 2 m 

2 + 1 đạt cực trị tại x 1 , x 2 thỏa mãn 

Bài 8. (Khối B - 2007) Tìm m để hàm số ( ) 

Bài 10. Tìm m để hàm số ( ) ( ) ( ) 

1 1 1 

( 1 2 ) 

x 

+ 1 

x 

= 2 

2 x + x 

Đáp số: m = 1; m = 5 . 

1 

Bài 11. (ĐH Khối A 2005) Tìm m để hàm số y = mx + có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến 

x 

1 

tiệm cận xiên bằng 

2 . 



1 3 2 

1) y = x - mx + mx - 1 đạt cực đại tại hai điểm x1, 

x 

2 

sao cho x1 - x2 ³ 8 . 

3 

1 65 1 65 

ĐS: mÎ æ ; - ù é - ; 

ö 

ç -¥ ú È ê +¥ 

2 2 ÷ 

. 

è û ë ø 

1 1 

2) y = mx 3 - ( m - 1) x 2 + 3( m - 2) 

x + đạt cực trị tại hai điểm x1, 

x 

2 

sao cho x1 + 2x2 

= 1. 

3 3 

4 2 

3) y = x - mx + 4x + m có 3 cực trị là A, B, 

C và tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng 

tâm. 

2 

Bài 2. Cho hàm số y = x 3 + ( m + 1) x 2 + ( m 2 + 4m + 3) 

x Gọi x1, 

x2 

là các điểm cực trị của hàm số. 

3 

1) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1. 

A = x x - 2 x + x đạt giá trị lớn nhất. 

2) Tìm m sao cho ( ) 

1 2 1 2 

ĐS: 1) - 5 < m < - 3 + 2 ; 2) 

9 

m = - 4 max A = . 

2 



( ) 

2 

x + m + 1 + m + 1 

Bài 3. (ĐH Khối B 2005) CMR với mọi m, đồ thị hàm số y = 

luôn có cực trị và 

x + 1 

khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu bẳng 20 . 

2 2 

x + 2( m + 1) 

+ m + 4m 

Bài 4. (ĐH Khối A 2007) Tìm m để đồ thị hàm số y = 

có cực đại, cực tiểu, đồng 

x + 2 

thời các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O . 

ĐS: m = - 4 ± 2 6 . 

1 3 2 

Bài 5. Tìm m để hàm số y = x - mx - x + m + 1 có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất. 

3 

ĐS: m = 0 ; khoảng cách = 2 13 . 

3 

CHUYÊN ĐỀ TƯƠNG GIAO 

1. Phương pháp chung: 

· Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho: 

f x = g x 1 

( ) ( ) ( ) 

· Khảo sát nghiệm của phương trình (1). Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của 

(C1) và (C2). 

· Chú ý: * (1) vô nghiệm Û (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm chung 

* (1) Có n nghiệm Û (C 1 ) và (C 2 ) có n điểm chung 

* Nghiệm x 0 của (1) chính là hoành độ điểm chung của (C 1 ) và (C 2 ). Khi đó tung độ điểm 

y f x y = g x 

chung = ( ) hoặc ( ) 

0 0 

2. Xét phương trình ( ) 

3 2 

a) Đ/k để (1) có 1, 2, 3 nghiệm 

0 0 

f x = ax + bx + cx + d = 0 (1) 

ìï f ( x ) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu 

ïî y . y < 0 

CÑ CT 

· (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi í 

( 1) 

ìï f ( x ) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu 

ïî y . y = 0 

CÑ CT 

· (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi í 

( 2) 

éf ( x ) khoâng coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu 

ê 

ê ì ï 

ê í 

ëïî y . y > 0 

CÑ CT 

· (1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi f ( x ) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu ( 3) 

b. Đ/k để (1) có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng, cấp số nhân 

* Đ/k (1) có 3 nghiệm lập thành CSC: 

b 

Đ/k cần: G/s (1) có 3 nghiệm x , x , x lập thành CSC khi đó x = - thế vào (1) à giá trị của 

1 2 3 

2 

3a 

tham số 

Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành 

CSC hay không. 

* Đ/k (1) có 3 nghiệm lập thành CSN: 

d 

Đ/k cần: G/s (1) có 3 nghiệm x , x , x lập thành CSN khi đó x = 3 - thế vào (1) à giá trị của 

1 2 3 

2 

a 

tham số 



Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành 

CSN hay không. 

3 

3 3 

Chú ý: Nếu a = 1 Þ x = -d Þ f 

2 ( x2 ) = 0 Þ c = b d ( d ¹ 0) 

3. Xét phương trình ( ) 

4 2 

f x = ax + bx + c = 0 

(2) 

2 

2 

Đặt t = x đ/k t ³ 0 ta được phương g ( t ) = at + bt + c = 0 

(*) 

a) Đ/k để (2) vô nghiệm, có 1,2, 3,4 nghiệm 

* (2) vô nghiệm khi và chỉ khi (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm t 1 

£ t 2 

< 0 

ì ït 

= 0 

1 

* (2) có 1 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm í 

ïî t 0 

2 < 

* (2) có 2 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm t 1 

< 0 < t 2 

ì ït 

= 0 

1 

* (2) có 3 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm í 

ïî t 0 

2 > 

* (2) có 4 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 0 < t < t 

1 2 

b) Đ/k để (2) có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng 

(2) có 3 nghiệm lập thành CSC Û (*) có 2 nghiệm 

ì ï0 

< t < t 

ìD > 0 

ït 

= 9t 

Û 

1 2 2 1 

í 

í 

ïî t = 9t 

t . t 0 

2 1 ï > 

1 2 

ï t t 

1 + 

2 > 

î 0 

ax + b 

4. Xét phương trình = mx + n ( 3) 

cx + d 

2 

æ d ö 

- Đưa phương trình về dạng: f ( x ) = Ax + Bx + C = 0 ç x ¹ - ÷ (**) 

è c ø 

ìD > 0 

d ï 

(3) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (**) có 2 nghiệm phận biệt ¹ - Û í æ d ö 

c ïf 

ç - ÷ ¹ 0 

î è c ø 

Chú ý: Trên đây chỉ là điều kiện trong trường hợp tổng quát, khi giải bài toán cụ thể ta cố gắng nhầm 

nghiệm để phân tích phương trình về dạng tích khi đó điều kiện sẽ đơn giản hơn 

5. Bài tập: 

Dạng 1: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành tại k điểm phân biệt 

4 2 

Bài 1 (DB2 ĐH Khối D -2002) Tìm m để đồ thị hàm số y = x - mx + m - 1 cắt trục hoành tại 4 điểm 

phân biệt. 

Đáp số: 1< m ¹ 2 

Bài 2 (DB1 ĐH Khối B -2003) Tìm m để đồ thị hàm số y ( x 1)( x 2 mx m) 

điểm phân biệt. 

3 2 

Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số ( ) 

a) tại 1 điểm 

b) tại 2 điểm 

c) tại 3 điểm 


hoành độ âm 

= - + + cắt trục hoành tại 3 

y = x - 3x + 3 1- m x + 1+ 3m 

cắt trục hoành 

y x m x mx m 

Đáp số: 

1 

m > 4;0 < m ¹ - 

2 

Đáp số: a) m < 1 b)m=1 c)m>1 

= 3 + + 1 2 + 2 + 2 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có 



1 

Đáp số: 0 < m < 

4 

Bài 6:Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - 2mx 2 + ( 2m 2 - 1) x + m ( 1- m 

2 

) cắt trục hoành tại 3 điểm phân 

biệt có hoành độ dương 

2 

Đáp số: 1 < m < 

3 

Bài 7: Tìm m để đồ thị hàm số y = ( x -1)( x 2 - 2mx - m - 1) 

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có 

hoành độ lớn hơn -1 

Đáp số: 

3 2 

Bài 8: Tìm m để đồ thị hàm số y = x - x + 18mx - 2m 

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thỏa mãn 

x < 0 < x < x 

1 2 3 

Đáp số: m < 0 

3 2 

Bài 9. (ĐH khối A 2010). Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 2x + ( 1- m) 

x + m cắt trục hoành tại 3 điểm 

2 2 2 

phân biệt có hoành độ x1, x2, 

x 

3 

thỏa mãn điều kiện x1 + x2 + x3 < 4. 

1 

Đáp số: - < m < 1; m ¹ 0 

4 

Dạng 2: Tìm đ/k để đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại k điểm phân biệt 

x 

Bài 9 (CĐ -2008) Tìm m để đồ thị hàm số y = cắt đường thẳng : 

x -1 

d y = - x + m tại hai điểm phân 

biệt 

é m < 0 

Đáp số: ê 

ëm 

> 4 

2 3 2 8 

8 

Bài 10: Cho hàm số y = x - x - 4x 

+ . Tìm m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số tại 3 

3 3 

3 

điểm phân biệt 

35 

Đáp số: - < m ¹ -4 

8 

3 2 

Bài 11 (DB2 ĐH Khối D -2003) Cho hàm số y = 2x - 3x 

- 1 có đồ thị (C), gọi d là đường thẳng đi qua 

k 

điểm M ( 0; -1) 

và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. 

k 

9 

Đáp số: - < k ¹ 0 

8 

3 2 

Bài 12 (ĐH Khối D -2006) Cho hàm số y = x - 3x 

+ 2 có đồ thị (C), gọi d là đường thẳng đi qua điểm 

A ( 3;20) 

và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. 

Bài 13 (ĐH Khối D -2009) Tìm m để đường thẳng y = - 1 cắt đồ thị ( C 

m ) 

4 2 

y = x - ( 3m + 2) 

x + 3m 

tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. 

Bài 14: Tìm để đường thẳng d : y = x + 2m 

cắt đồ thị hàm số 

Tìm m để đoạn thẳng AB ngắn nhất. 

của hàm số 

1 

Đáp số: - < m < 1, m ¹ 0 

3 

3x 

+ 1 

y = tại hai điểm phân biệt A, B . 

x - 4 

Đáp số: 

x + 1 

Bài 15: Cho hàm số y = có đồ thị (C). 

x -1 

a) Chứng minh rằng đường thẳng d : 2x - y + m = 0 luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B trên 

hai nhánh của (C). 

b) Tìm m để độ dài AB ngắn nhất 



Dạng 3: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành tại các điểm lập thành cấp số cộng, cấp số nhân 

3 2 2 

y x 3mx 2m m 4 x 9m m 


thành cấp số cộng 

Bài 17: Tìm m để đồ thị hàm số ( ) ( ) 

cấp số cộng 


cộng 

= - + - + - cắt trục hoành tại 3 điểm lập 


3 

y = x - 

2 

3m + 1 x + 5m + 4 x - 8 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 


4 2 

y = x - 2 m + 1 x + 2m 

+ 1 cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành cấp số 

Bài 19: (ĐH Khối D -2008) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm ( 1;2 ) 

k ( k > - 3) 

đều cắt đồ thị hàm số 

của đoạn thẳng AB 

y x x 

4 

Đáp số: m = 4; m = - 

9 

I với hệ số góc 

3 2 

= - 3 + 4 tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm 

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 

1. Phương pháp chung: 

Để vẽ đồ thị của hàm số có mang dấu GTTĐ ta có thể thực hiện các bước sau: 

Bước 1: Phá dấu GTTĐ 

+ Xét dấu biểu thức chứa bên trong dấu GTTĐ. 

+ Sử dụng đ/n khử dấu GTTĐ (viết hàm số cho bởi nhiều biểu thức) 

Bước 2: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại (vẽ chung trên cùng một hệ trục toạ độ 

2. Các kiến thức sử dụng: 

· Đ/n GTTĐ: 

+ 

A 

ìA 

neáu A ³ 0 

= í 

î A neáu A < 0 

· Một số tính chất của đồ thị: 

1. Đồ thị hàm số y = f(x) và y= - f(x) đối xứng nhau qua trục hoành Ox. 

2. Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung Oy. 

3. Đồ thị hàm số y = f(x) và y = - f(-x) đối xứng nhau qua gốc toạ độ O. 

3. Bài toán tổng quát: 

Từ đồ thị (C): y = f(x), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 

( ) 

ïî ( 3 ) 

· Dạng 1: Từ đồ thị ( C) : y = f ( x) 

suy ra đồ thị ( C1 ) : y = f ( x) 

ì ïf ( x) neáu f ( x) 

³ 0 (1) 

B1: Ta có ( C1 

) : y f ( x) 

-f ( x) neáu f ( x) 

< 0 (2) 

ì C1 

ï 

: y = f ( x) 

í 

ï 

C : y = f ( x) 

( C2 

) : y = f ( x ) 

= = í 

ï î 

B2: Từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C 1 ) như sau: 

- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox (do 1) 



- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox (do 2) 

- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox. 

Minh hoạ 

· Dạng 2: Từ đồ thị ( C) : y f ( x) 

B1: Ta có ( C2 

) : y f ( x ) 

= suy ra đồ thị ( C2 ) : y = f ( x ) 

( x) 

(-x) 

ì ïf neáu x ³ 0 (1) 

= = í 

ïî f neáu x < 0 (2) 


- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía phải trục Oy (do 1) 

- Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục tung (do 2) 

- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có). 

Minh hoạ 

· Dạng 3: Từ đồ thị ( C) : y = f ( x) 

suy ra đồ thị ( C3 ) : y = f ( x) 

ì f ( x) 

³ 0 

ï 

C2 

: y = f x = íé f ( x) (1) 

ïê 

îë - f ( x) (2) 

B1: Ta có ( ) ( ) 


- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox (do 1) 

- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (do 2) 

- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox (nếu có). 

Minh hoạ 



3. Ví dụ: 

3 

VD1: Cho hàm số y = - x + 3x 

(1) 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 

2. Từ đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 

3 

3 

a) y = - x + 3x 

b) y = - x + 3 x 

c) 

x + 1 

VD2: Cho hàm số y = (1) 

x - 1 

3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 

4. Từ đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 

x + 1 

x + 1 

x + 1 

a) y = b) y = c) y = d) y = 

x -1 

x -1 

x - 1 

4. Bài tập: 

x + 1 

x -1 

3 

y = - x + 3x 

e) y = 

x + 1 

x -1 

3 2 

Bài tập 1: Cho hàm số y = 2x - 9x + 12x 

- 3 có đồ thị (C) 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 

3 2 

b) Tìm m để phương trình 2 x - 9x + 12 x + 1 = m có 6 nghiệm phân biệt 

c) Tìm m để phương trình 

Đáp số: b) 5 < m < 6 c) 4 £ m £ 5 

3 2 


x - x + x + = m có nhiều hơn 2 nghiệm 

4 2 

Bài tập 2 (Khối B - 2009) Cho hàm số y = 2x - 4x 

có đồ thị (C) 


2 2 

b) Tìm m để phương trình x x - 2 = m có đúng 6 nghiệm phân biệt 

Đáp số: 0 < m < 1 

5. Bài tập tự luyện 

3 2 

Bài tập 1 (Khối A - 2006) Cho hàm số y = 2x - 9x + 12x 

- 4 có đồ thị (C) 


3 2 

b) Tìm m để phương trình 2 x - 9x + 12 x - 4 = m có 6 nghiệm phân biệt 

Đáp số: 4 < m < 5 

4 2 

Bài tập 2: Cho hàm số y = - x + 8x 

- 10 có đồ thị (C) 

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 

4 2 

d) Tìm m để phương trình - x + 8x - 10 = m có 8 nghiệm phân biệt 

Đáp số: 0 < m < 6 



ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG I 

ĐỀ 1 

2 

x − 4x 

+ 1 

Câu I (5.0 điểm) Cho hàm số y = 

, có đồ thị (C) 

x − 4 

1) Xác định các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số. 

2) Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị (C). 

3 2 

y = x − mx + 2 m + 1 x − 1. Tìm m để h/số đạt cực đại tại x = -1. 

Câu II (2.0 điểm) Cho hàm số ( ) 

Câu III (2.0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 

y = 2sin x − cos2x 

+ 2. 

Câu IV (1.0 điểm) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x ≥ 0 . 

x + x + 1 > m 

ĐỀ 2 

Câu 1: (2 điểm) Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: y = x 3 - 6x 2 + 9x - 7 

Câu 2: (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x 2 - 6x trên đoạn [1; 4] 

4x 

+ 1 

Câu 3: (1 điểm) Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: y = 

4 − 2x 

−4 

Câu 4: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 

2 

x + 1 

Câu 5: (3 điểm) Cho hàm số y = 1 2 x4 + x 2 - 2 

5.1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 

5.2/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cực trị của đồ thị (C) 

Câu 6: (1 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = -2x 2 + mx - 7 đạt cực đại tại x = -1 

ĐỀ 3 

3 2 2 

Câu 1:( 1,5 điểm)Tìm m để hàm số y = x + mx + (2m − 1) x + 3m − 2m 

+ 5 đạt cực tiểu tại điểm có 

hoành độ x 0 = 2. 

6 6 

1+ sin x + cos 

x 

Câu 2:( 2,0 điểm)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = . 

4 4 

1 + sin x + cos 

x 

2 

mx − x + 2m 

−1 

Câu 3:(4,0điểm)Cho hàm số y = 

(C m ). 

x −1 

a/.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1. 

b/.Tìm m để (C m ) có tiệm cận xiên và tiệm cận xiên tạo với đường thẳng 2x+y-5=0 một góc 60 0 . 

Câu 4:(2,5điểm)Tìm m để phương trình: x+3= m x 2 + 1 có đúng một nghiệm. 

ĐỀ 4 

2x 

− 3 

Câu 1(7đ). Cho hàm số y = 

x + 2 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(0,3). 

c) Biện luận theo tham số m số điểm chung của đường thẳng (d): y = mx + 2m +2 với đồ thị (C). 

4 2 

Câu 2 (2đ) . Cho hàm số y = 3x − 6mx 

+ 18. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị A, B, C tạo 

thành một tam giác vuông. 

2011 2012 ⎡ π ⎤ 

Câu 3 (1đ). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x) = sin x.cos x , x ∈ ⎢ 

0; . 

⎣ 2 ⎥ 

⎦ 

ĐỀ 5 

4 2 

Câu 1. Cho hàm số y = f ( x) = x − 2x 


a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 

4 2 

b)Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x − 2x − m = 0 



Câu 2: 

3 2 

a) Xét chiều biến thiên hàm số: y= − 2x + 9x + 24x 

− 7 

x −1 

b) Tìm tiệm cận đồ thị hàm số: y= 

x + 2 

Câu 3: Tìm m để hàm số có 1 cực đại và 1 cực tiểu: y= x 3 – (m + 2)x 2 + (m +2)x + 2 

2 

Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số: y= sin x + cos x + 2 

ĐỀ 6 

1 4 2 

Câu 1 (6,5 điểm) Cho hàm số y = − x + 2x 

- 1 có đồ thị (C). 

4 


b) Vieát phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 

1 4 2 

c) Tìm m để phương trình 2 0 

4 x − x + m = có bốn nghiệm phân biệt. 

Câu 2 (3,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 

a) f(x) = x 3 + 5x 2 + 3x trên đoạn [- 4 , -1] 

π 

b) f(x) = 2 cos( x − ) 

4 

ĐỀ 7 

Câu 1. (5,0 điểm) 

1 3 2 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = − x − x + 3x 

+ 4 . 

3 

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình 

3 2 

x + 3x − 9x − 9 − 3m 

= 0 . 

2x 

+ 1 

Câu 2. (4,0 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị (H). 

x −1 

a) Tìm các tiệm cận của đồ thị (H). 

b) Viết pttt của (H), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x 

+ 4y 

− 8 = 0 . 

2 

Câu 3. (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ( x − 2) 12 − x . 

ĐỀ 8 

Câu 1 (5 điểm) 

2 3 2 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x − 2x 

+ 2 

3 

3 2 

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x − 6x − 3m 

= 0 

3x 

+ 1 

Câu 2 (4điểm) Cho hàm số y == có đồ thị là (G) 

x − 4 

a) Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị (G) 

b) Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (G) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 

d : y= -13x+ 2010 

sin x + 1 

Câu 3 (1 điểm ) Tìm GTLN và GTN của hàm số y = 

2 

sin x + sin x + 1 

ĐỀ 9 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm) 

1 1 

y = mx 3 - m -1 x 2 + 3 m -2 x + 

3 3 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2 . 

Câu I (4,5 điểm) Cho hàm số ( ) ( ) 



3 2 

2. Dựa vào đồ thị (C), giải bất phương trình: 2x 

− 3x 

+ 1< 0 . 

3. Tìm giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. 

Câu II (2,5 điểm) 

1. Chứng minh rằng đường thẳng y = -x + m luôn cắt đồ thị (C) của hàm số 

phân biệt A và B. 

2. Xác định m để độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. 

II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau 

Phần 1. Theo chương trình Chuẩn 

Câu III.a (3,0 điểm) 

1. Tìm GTNN và giá trị lớn nhất của hàm số: 

2 

x − m 

2. Xác định m để hàm số y 

x 2m 

Phần 2. Theo chương trình Nâng cao 

Câu III.b (3,0 điểm) 

3 2 

y x x x 

x − 2 

y = tại hai điểm 

x − 1 

= −3 − 9 + 35 trên đoạn ⎡⎣ 

− 4;4⎤⎦ 

. 

= nghịch biến trên khoảng ( ; 2) 

+ 

1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: 

( ) 

2 2 

mx + 3m − 2 x − 2 

2. Cho hàm số y = 

x + 3m 

0 

thị hàm số (1) bằng 45 . 

y = 

x + 2 

x2 + 1 

−∞ . 

trên đoạn ⎡⎣ 

− 1;3 ⎤⎦ 

. 

(1). Tìm m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ 


1 3 2 

Bài 1 (6,5 điểm) Cho hàm số y = x − 2x + 3x 

+ 1 có đồ thị (C). 

3 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; 

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đ/ thẳng d : y = 3x 

− 1; 

3/ Dùng đồ thị (C), tìm m để phương trình sau có ít nhất hai nghiệm dương: 

3 2 

x − 6x + 9x − 3m 

+ 6 = 0 . 

sin x + 2 

Bài 2 (1,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 

2 

sin x + sin x + 2 

. 

x − 2 

Bài 3 (2 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị (C). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường 

x − 1 

thẳng d : y = − x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Xác định m để đoạn AB có 

độ dài nhỏ nhất. 


3 

x 2 11 

Bài 1 (6,5 điểm) Cho hàm số y = − + x + 3x 

− có đồ thị (C). 

3 3 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; 

1 

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng t/tuyến đó vuông góc với đ/thẳng d : y = − x + 5 ; 

3 

3/ Dùng đồ thị (C), tìm m để phương trình sau có hai nghiệm âm và một nghiệm dương: 

3 2 

x − 3x − 9x + 14 + 3m 

= 0 . 

8sin x − 3 

Bài 2 (1,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 

2 

sin x − sin x + 1 

. 



2x 

+ 1 

Bài 3 (2 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị (C). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường 

x + 1 

thẳng d : y = − x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Xác định m để đoạn AB có 

độ dài nhỏ nhất. 


x − 2 

Bài 1: a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = . 

x + 1 

b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 

1− 

2x 

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên nửa khoảng [ 3; ) 

2 

x + 1 

− +∞ . 

3 2 

Bài 3: Cho hàm số y = x − mx + (2m + 1) x − m − 2 (m là tham số), có đồ thị là ( C 

m) 

. 

a) Tìm m để hàm số có một cực đại và một cực tiểu. 

b) Tìm m để đồ thị ( C 

m) 

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và các điểm đó đều có hoành độ dương. 

ĐỀ 13 

x + 2 

Bài 1: a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = . 

x − 1 

b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 

2x 

+ 1 

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên nửa khoảng ( ;3] 

2 

x + 1 

−∞ . 

3 2 

Bài 3: Cho hàm số y = x + (1 − 2 m) x + (2 − m) x + m + 2 (m là tham số), có đồ thị là ( C 

m) 

. 

a) Tìm m để hàm số có một cực đại và một cực tiểu. 

b) Tìm m để đồ thị ( C 

m) 

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và các điểm đó đều có hoành độ âm. 

ĐỀ 14 

4 2 

Bài 1: Cho hàm số y = − x + 2x 


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C )của hàm số. 

4 2 

b) Dựa vào đồ thị ( C ) biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x − 2x 

+ m = 0 . 

3 2 

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x - 8x +16x - 9 trên đoạn [1;3]. 

2x 

+ 3 

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = biết tiếp tuyến vuông góc với 

x + 4 

1 

đường thẳng d: y = − x + 3 . 

5 

Bài 4: Tìm giá trị của tham số m để khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị hàm số 

3 2 2 

y = x − 3mx + 2m x + 7 đến đường thẳng ∆ : y = x + 1 bằng 2 2 . 

ĐỀ 15 

x + 2 

Bài 1 (6đ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = . 

x − 1 

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) , biết rằng tiếp tuyến đó song song với 

đường thẳng y = -3x + 2009 

3 2 

Bài 2 (3đ). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2x − 3x − 12x 

+ 1 trên đoạn [- 

3 2 

2;1] . Từ đó suy ra điều kiện của tham số m để pt 2x − 3x −12x − 2m 

= 0 có nghiệm trên đoạn [-2;1] 



Bài 3 (1,00 điểm). Chứng minh rằng : 

3 

⎛ π ⎞ 

cot x > + cosx , ∀x ∈⎜0; 

⎟ 

2 ⎝ 6 ⎠ 

ĐỀ 16 

x − 3 

Bài 1 (6đ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = . 

x + 1 

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) , biết rằng tiếp tuyến đó song song với 

đường thẳng y = 4x + 2008. 

3 2 

Bài 2 (3đ). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + 3x − 9x 

− 7 trên đoạn [- 

3 2 

2;3] Từ đó suy ra điều kiện của tham số m để pt x + 3x − 9x + 3 − 2m 

= 0 có nghiệm trên đoạn [-2;3] 

Bài 3 (1đ). Chứng minh rằng : 

3 ⎛ π π ⎞ 

tan x > sinx + , ∀x ∈⎜ ; ⎟ 

2 ⎝ 3 2 ⎠ 

ĐỀ 17 


3 

Bài 1. (4.0 điểm) Cho hàm số y = x − 3x 


a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 

3 

b/ Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x − 3x = m . 

2x 

+ 3 

Bài 2. (3.0 điểm) Cho hàm số y = 

x −1 

a/ Viết phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. 

b/ Xác định toạ độ điểm A trên đồ thị hàm số cách giao điểm I của hai đường tiệm cận một 

đoạn bằng 26 

II. PHẦN RIÊNG (3.0 điểm) 

Phần 1. Theo chương trình Chuẩn. 

Bài 3.a. 

a/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) x 2 5 x − 4;5 . 

= + − trên đoạn [ ] 

4 2 

b/ Tìm m để hàm số y = x − 2mx 

nhận điểm x = 1 làm điểm cực tiểu. 

Phần 2. Theo chương trình Nâng cao. 

Bài 3.b. Cho hàm số f ( x) = x + 2 5 − x 

2 

x − x + 10 

a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với parabol y = g( x) 

= tại điểm A(1; 5) 

2 

b) Tìm m để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt 

ĐỀ 18 

1 4 1 2 3 

Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) 

= x − x − 

4 2 4 

3 2 

Bài 2: Cho hàm số y = f ( x) = x − mx + mx + 3− 

m 

a/ Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định. 

b/ Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu sao cho điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số nằm hai 

phía đối với trục tung. 

2x 

+ 1 

Bài 3: Tìm m để đường thẳng (d): y = - x + m cắt đồ thị (C): y = tại hai điểm A, B phân biệt 

x + 1 

sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất. 



ĐỀ 19 

2x 

+ 1 

Bài 1: Cho hàm số y = 

x + 1 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàn số. 

2/ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = mx – 2 cắt (C ) tại hai điểm phân biệt. 

Bài 2: 

1/ Chứng minh rằng parabol (P) có phương trình y = x 2 – 3x – 1 và đồ thị (C ) của hàm số 

2 

− x + 2x 

− 3 

y = 

tiếp xúc nhau. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C ) tại tiếp điểm của 

x −1 

chúng. 

3 

2/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = cos 2x − cos x − 2 

Bài 3: 

1 3 2 

1/ Tìm m để hàm số y = x − mx + (2m −1) x − m + 2 có hai cực trị có hoành độ dương. 

3 

3 

x 

⎛ π ⎞ 

2/ Chứng minh rằng: < tan x − x; ∀x 

∈ ⎜ 0; ⎟ 

3 ⎝ 2 ⎠ 

ĐỀ 20 

3 2 

y = x + 3mx − m + 1 x + 1 (C m ). 

Bài 1: Cho hàm số ( ) 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = -1 

3 2 

2/ Tìm các giá trị tham số k để phương trình x − 3x − k = 0 có ba nghiệm phân biệt. 

3/ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = 1 – 3x cắt đồ thị (C m ).tại ba điểm phân 

biệt A, B và C(0; 1) sao cho AB = 10 . 

Bài 2: 

4 2 

1/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f ( x) = x − 2x 

+ 3 trên đoạn [0; 2] 

2x 

−1 

2/ Cho hàm số y = có đồ thị (C). Tìm tiệm cận ngang, tiệm cận đứng và chứng minh giao 

x + 1 

điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của (C). 

ĐỀ 21 

4 2 

Câu 1: (6 điểm) Cho hàm số y = x − 2x 

+ 2 (C). 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 

4 2 

b) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: − 2x + 4x − m + 2 = 0 . 

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số tại điểm có tung độ bằng 1. 

Câu 2: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 

3 2 

y = f ( x) = − x + 3x − 3x 

− 2 trên đoạn [-1;2] 

Câu 3: (2 điểm ) Tìm a để hàm số 

y x a a x 

4 3 2 2 

= + ( − 2 ) − 1 có ba cực trị. 

ĐỀ 22 


1 1 

Câu I (4,5 điểm) Cho hàm số y = mx 3 -( m -1) x 2 + 3( m -2) 

x + 

3 3 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2 . 

3 2 

b) Dựa vào đồ thị (C), giải bất phương trình: 2x 

− 3x 

+ 1< 0 . 

c) Tìm giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. 


Câu II (2,5 điểm) 


a) Chứng minh rằng đường thẳng y = -x + m luôn cắt đồ thị (C) của hàm số 

điểm phân biệt A và B. 

b) Xác định m để độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. 

II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau 

Phần 1. Theo chương trình Chuẩn 

Câu III.a (3,0 điểm) 

a) Tìm GTNN và GTLN của hàm số: 

2 

x − m 

b) Xác định m để hàm số y 

x 2m 

Phần 2. Theo chương trình Nâng cao 

Câu III.b (3,0 điểm) 

3 2 

y x x x 

= −3 − 9 + 35 trên đoạn ⎡⎣ 

4;4⎤⎦ 

= nghịch biến trên khoảng ( ; 2) 

+ 

a) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: 

( ) 

2 2 

mx + 3m − 2 x − 2 


x + 3m 

0 

thị hàm số (1) bằng 45 . 

y = 

x + 2 

x2 + 1 

−∞ . 

− . 

trên đoạn ⎡⎣ 

− 1;3 ⎤⎦ 

. 

x − 2 

y = tại hai 

x − 1 

(1). Tìm m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ 

ĐỀ 23 


3 

Bài 1. (4.0 điểm) Cho hàm số y = x − 3x 



3 

b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x − 3x = m . 

2x 

+ 3 

Bài 2. (3.0 điểm) Cho hàm số y = 

x −1 

a) Viết phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. 

b) Xác định toạ độ điểm A trên đồ thị hs cách giao điểm I của hai đường tiệm cận một đoạn bằng 

26 

II. PHẦN RIÊNG (3.0 điểm) 

Phần 1. Theo chương trình Chuẩn. 

Bài 3.a. 

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) x 2 5 x 

− 4;5 . 


4 2 

b) Tìm m để hàm số y = x − 2mx 

nhận điểm x = 1 làm điểm cực tiểu. 

Phần 2. Theo chương trình Nâng cao. 

Bài 3.b. Cho hàm số f ( x) = x + 2 5 − x 

2 

x − x + 10 

a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với parabol y = g( x) 

= tại điểm A(1; 5) 

2 

b) Tìm m để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt 



CHÖÔNG II 

HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA – HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT 

I. LUYÕ THÖØA 

1. Ñònh nghóa luyõ thöøa 

Soá muõ α Cô soá a Luyõ thöøa a α 

* 

α = n ∈ N 

a ∈ R 

n 

a = a = a. a...... 

a (n thöøa soá a) 

α = 0 

a ≠ 0 a α = a 0 = 1 

* 

n 1 

α = −n ( n ∈ N ) 

a ≠ 0 a 

= a 

= 

n 

a 

m 

* 

α = ( m ∈ Z, 

n ∈ N ) 

> 0 

n 

m 

α n n m 

a = a = a 

n 

n 

( a = b ⇔ b = a ) 

* 

α = lim r ( r ∈ Q, 

n ∈ N ) 

a > 0 

α 

rn 

a = lim a 

n 

n 

2. Tính chaát cuûa luyõ thöøa 

• Vôùi moïi a > 0, b > 0 ta coù: 

α 

α 

α β α + β a α −β 

α β α. 

β 

α α α ⎛ a ⎞ 

a . a = a ; = a ; ( a ) = a ; ( ab) 

= a . b ; = 

β 

⎜ ⎟ 

• a > 1 : a 

α 

β 

• Vôùi 0 < a 

m 

m 

a 

> a ⇔ α > β ; 0 < a < 1 : a > a ⇔ α < β 

m 

m 

α 

β 

⎝ b ⎠ 

a 0 ; a > b ⇔ m < 0 

Chuù yù: + Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ 0 vaø soá muõ nguyeân aâm thì cô soá a phaûi khaùc 0. 

+ Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ khoâng nguyeân thì cô soá a phaûi döông. 

3. Ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa caên thöùc 

• Caên baäc n cuûa a laø soá b sao cho b = a . 

• Vôùi a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta coù: 

n 

n n n 

a a 

ab = a. 

b ; n 

n 

p 

( b 

p 

= > 0) ; ( 

n 

a = a ) ( a > 0) ; 

b n 

b 

p q n p m q 

n mn m 

Neáu = thì a = a ( a > 0) ; Ñaëc bieät a = a 

n m 

• Neáu n laø soá nguyeân döông leû vaø a 

Neáu n laø soá nguyeân döông chaün vaø 0 < a 


n 

+ Khi n leû, moãi soá thöïc a chæ coù moät caên baäc n. Kí hieäu n a . 

+ Khi n chaün, moãi soá thöïc döông a coù ñuùng hai caên baäc n laø hai soá ñoái nhau. 

4. Coâng thöùc laõi keùp 

Goïi A laø soá tieàn göûi, r laø laõi suaát moãi kì, N laø soá kì. 

Soá tieàn thu ñöôïc (caû voán laãn laõi) laø: C = A(1 + r) N 

m n 

a 

= 

a 

b 

α 

α 

mn 

a 



Baøi 1. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau:: 

a) A ( ) ( ) 

c) 

e) 


3 2 

3 ⎛ 7 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 7 ⎞ 

= −1 ⎜ − ⎟ . ⎜ − ⎟ . −7 . ⎜ − ⎟ 

⎝ 8 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 14 ⎠ 

b) 

B = 

( − ) ( − ) 

2 

9 .( −5 ) .( −6) 

− 

3 2 

C = 4 2 + 8 3 

d) 

( ) 2 

3 5 

D = 32 2 

7 4 3 

6 

E = 

( −18 ) .2 .( −50) 

( −25 ) .( −4 ) .( −27) 

4 5 2 

( ) 

3 −1 −3 4 −2 

−2 

2 .2 + 5 .5 − 0,01 .10 

g) G = 

−3 −2 −2 

10 :10 − 0,25 + 10 0,01 

( ) ( ) 

4 

0 −3 

f) 

2 6 4 

3 . 15 .8 

6 4 

( − ) ( − ) 

3 3 

125 . 16 . 2 

F = 

4 

3 2 

25 

⎡( 5 

⎤ 

⎢ 

− ) 

⎣ ⎥⎦ 

1 1 1 1 1 

h) 

( 3 3 3 )( 3 3 ) 

H = 4 − 10 + 25 2 + 5 

5 4 3 

4. 64. 

⎛ 

2 

⎞ 

⎜ ⎟ 

5 5 5 

i) I = 

⎝ ⎠ 

81. 3. 9. 12 

k) K = 

3 

2 

32 

⎛ 3 5 

3 

⎞ 

⎜ ⎟ . 18 27. 6 

⎝ ⎠ 

Baøi 2. Vieát caùc bieåu thöùc sau döôùi daïng luyõ thöøa vôùi soá muõ höõu tæ: 

4 2 3 

a) x x , ( x ≥ 0) 

b) 5 

b a 

3 , ( a, b ≠ 0) 

c) 5 2 3 2 2 

a b 

d) 3 2 3 3 2 

3 2 3 

Baøi 3. Ñôn giaûn caùc bieåu thöùc sau: 

1,5 1,5 

a + b 0,5 0,5 

− a b 

0,5 0,5 

0,5 

2b 

a) a + b 

+ 

a − b 0,5 0,5 

a + b 

⎛ 1 1 1 1 ⎞ 3 1 

⎜ x 2 − y2 x 2 + y 2 ⎟ x 2 y 2 2y 

c) ⎜ + ⎟. 

− 

1 1 1 1 

⎜ 

⎟ x + y x − y 

xy 2 x 2 y xy 2 x 2 

⎝ + − y ⎠ 

e) 4 3 8 a f) 

5 2 

3 

b 

b 

b b 

⎛ 0,5 0,5 0,5 

a + 2 a − 2 ⎞ a + 1 

b) 

⎜ 

− 

. 

0,5 1 0,5 

a 2a 1 a 

⎟ 

⎝ + + − ⎠ a 

⎛ 

⎞ 

⎜ 

d) 

x + 3 y x − 3 y ⎟ 

. 

x − 

⎜ 

+ ⎟ 

y 

2 

⎜ ⎛ 1 1 ⎞ x − y ⎟ 2 

⎜ ⎜ 

x 2 − y 2 ⎟ 

⎟ 

⎝ ⎝ ⎠ 

⎠ 

1 1 1 1 1 1 

2 2 2 2 2 2 

1 2 2 1 2 4 

1 1 1 1 1 1 

e) 

( 

a 

) ( ) 

3 − b 3 . a 3 + a 3 . b 3 + b 3 

f) 

( 

a 4 − b4 ).( a4 + b4 ).( a2 + b2 

) 

g) 

( ) 

( ) 

−1 −1 

2 2 2 

a + b + c ⎛ b + c − a ⎞ 

. 1 + . + + 

−1 

−1 

⎜ 

a b c 

2bc 

⎟ 

− + ⎝ ⎠ 

Baøi 4. Ñôn giaûn caùc bieåu thöùc sau: 

a) 

c) 

3 3 

a − 

6 6 

a − 

b 

b 

⎛ 2 4 

a x + x a 

⎞ 

2 

⎜ 

− a + x + 2a x 

4 

⎟ 

⎝ a x + ax 

⎠ 

( a b c) 

4 

−2 

⎛ 1 1 ⎞ 1 

⎜ a2 + 2 a2 − 2 ⎟ ( a2 

+ 1) 

h) ⎜ − ⎟. 

1 a 1 1 

− 

⎜ 

a + 2a2 + 1 ⎟ a2 

⎝ 

⎠ 

⎛ ab ⎞ ab − b 

b) ⎜ ab − ⎟ : 

⎝ a + ab ⎠ a − b 

d) 

4 

3 2 3 2 

a + x ax − a x 

+ 

a − x a − 2 ax + x 

3 2 3 2 3 2 3 3 2 

6 6 


a − 

x 

− 

6 

x


e) 

⎡ x x − x ⎤ 

⎢ 

⎥ 

⎢⎛ 4 3 4 3 

x − 1 

⎞⎛ 

x + 1 

⎞ ⎥ 

⎢ 

x ⎟⎜ x 

⎜ 

− 

4 ⎟⎜ 

− 

4 ⎟ ⎥ 

⎢⎣ 

⎝ x − 1 ⎠⎝ x + 1 ⎠ ⎥⎦ 

⎡ 3 2 3 2 

a b ab a b 

⎤ 

−1 

g) ⎢ 

− + 

( 6 6 ) 6 

− ⎥. 

a − b + a 

⎢ 3 2 3 3 2 3 2 3 2 

⎣ a − 2 ab + b a − b 

⎥ 

⎦ 

Baøi 5. So saùnh caùc caëp soá sau: 

− 2 

2 

b) 

a) ( ) ( ) 

d) 

0,01 vaø 10 − 

3 

f) 

⎡ 3 3 

⎢ 

a a − 2a b + a b a b − ab 

+ 

⎢ 3 2 3 

3 3 

⎣ a − ab a − b 

2 6 

⎛ π ⎞ vaø 

⎛ π 

⎜ ⎟ ⎜ ⎞ 

⎟ 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

300 200 

− 

5 vaø 8 e) ( ) 0,3 3 

− 

g) ( ) ( ) 

3 −5 

2 vaø 2 

1 2 

4 2 

0,001 vaø 100 

−4 5 

⎛ 4 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 

h) ⎜ ⎟ vaø ⎜ ⎟ 

⎝ 5 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

− 2 − 2 

⎛ 

k) ( 3 −1) vaø ( 3 − 1) 

3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 

l) ⎜ ⎟ vaø ⎜ ⎟ 

⎝ 5 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

Baøi 6. So saùnh hai soá m, n neáu: 

m n 

m n 

< b) ( 2 ) ( 2 ) 

a) 3,2 3,2 

m 

⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 

d) ⎜ ⎟ > ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

Baøi 7. Coù theå keát luaän gì veà soá a neáu: 

n 

2 1 

− 

− 

3 2 2 3 2 3 2 

c) 

−2 3 −3 2 

5 vaø 5 

2 

f) ( ) 

i) 

> c) 

4 vaø 0,125 − 

−10 11 

0,02 vaø 50 

m) 

⎛ π ⎞ vaø 

⎛ π 

⎜ ⎟ ⎜ ⎞ 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

m 

⎤ 

⎥ : 

⎥ 

⎦ 

2 

3 


2 3 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

⎜ ⎟ > ⎜ ⎟ 

⎝ 9 ⎠ ⎝ 9 ⎠ 

m 

n 

m 

e) ( 5 − 1) < ( 5 − 1) 

f) ( 2 − 1) < ( 2 − 1) 

−3 −1 

a) ( a − 1) 3 < ( a − 1) 

3 b) ( 2a 

+ 1) > ( 2a 

+ 1) 

c) 

1 1 

− 

− 

d) ( 1− a) 3 > ( 1− a) 

2 e) ( 2 − a) 4 > ( 2 − a) 

f) 

3 7 

g) a < a 

h) a 


a) 

5 

4 x = 1024 

b) 

d) ( 3 3) 

g) 

⎛ ⎞ 

= ⎜ ⎟ 

⎝ 9 ⎠ 

2x 

1 

x−2 

1 2x−8 

0,25 

.32 

0,125 = ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 8 ⎠ 

−x 

3 

1 1 

− − 

17 8 

2 

< a 

i) a 

x+ 1 

5 ⎛ 2 ⎞ 8 

⎜ ⎟ = 

2 ⎝ 5 ⎠ 125 

x 

−x 

⎛ 2 ⎞ ⎛ 8 ⎞ 27 

e) ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ = 

⎝ 9 ⎠ ⎝ 27 ⎠ 64 

c) 

f) 

h) 0,2 x = 0,008 i) 

x x = l) ( ) ( ) 

1 

k) 5 .2 0,001 


a) 0,1 x ⎛ 1 ⎞ 

> 100 

b) 

3 

⎜ ⎟ > 0,04 

⎝ 5 ⎠ 

⎛ 1 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ a ⎠ 

−0,2 

< a 

2 

n 

1 1 

− 

2 2 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

⎜ ⎟ > ⎜ ⎟ 

⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ 

−0,25 − 3 

8 

< a 

1 − 3x 

1 

⎛ 3 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

2 

= 

32 

x − 5x+ 

6 

= 1 

3x−7 7x−3 

⎛ 9 ⎞ ⎛ 7 ⎞ 

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 

⎝ 49 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

x x 

12 . 3 = m) 

1−x 

1 1 

7 .4 

− x 

= 

6 

28 

x 

c) 

0,3 

x > 


9 

n 

a 



d) 


x+ 2 

x+ 2 

⎛ 1 ⎞ 1 

7 . 49 ≥ 343 

e) ⎜ ⎟ < 9 

⎝ 3 ⎠ 27 

x 

g) ( ) 

1 

x 1 1 

3 .3 > h) 27 .3 

− x 

⎛ 1 ⎞ 

< i) ⎜ ⎟ 

27 

3 

⎝ 64 ⎠ 

Baøi 10. Giaûi caùc phöông trình sau: 

x x+ 2 

x x+ 1 

f) 

3 

x < 

1 

9 3 

x 

3 

. 2 > 1 

a) 2 + 2 = 20 

b) 3 + 3 = 12 

c) 5 + 5 = 30 

x− 1 x x+ 

1 

2x 

x 

x 

x−1 

x+ 1 2x+ 

1 

d) 4 + 4 + 4 = 84 e) 4 − 24.4 + 128 = 0 f) 4 + 2 = 48 

x 

−x 

x 

2 

x 

x x+ 1 

− 5 6 

g) 3.9 − 2.9 + 5 = 0 h) 3 + = 1 

i) 4 + 2 − 24 = 0 


• Vôùi a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta coù: log a 

b = α ⇔ a = b 

⎧ a 0, a 1 

Chuù yù: log a 

b coù nghóa khi ⎨ > ≠ 

⎩b 

> 0 

• Logarit thaäp phaân: lg b = log b = log10 

b 

• Logarit töï nhieân (logarit Nepe): ln b = log e 

b (vôùi 


• loga 1 = 0 ; loga a = 1 ; log b 

a a = b ; log 

a 

• Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi ñoù: 

+ Neáu a > 1 thì log b > log c ⇔ b > c 

a 

+ Neáu 0 < a < 1 thì log b > log c ⇔ b < c 

3. Caùc qui taéc tính logarit 

Vôùi a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta coù: 

• log 

a( bc) = loga b + loga 

c • log ⎛ b 

⎜ 

⎞ ⎟ = log b − log 

⎝ c ⎠ 

4. Ñoåi cô soá 

Vôùi a, b, c > 0 vaø a, b ≠ 1, ta coù: 

loga 

c 

• logb 

c = hay log 

a 

b.logb c = loga 

c 

log b 

• log 

a 

a 

1 

b = • 

log a 

b 

a) 

2 1 

4 

log 3 log 2 

II. LOGARIT 

a 

a 

a 

α 

a a a 

1 

log log 

a 

( 0) 

a c = c ≠ 

α 

α 

α 

Baøi 1. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau: 

1 

log 4.log 2 b) log 

5 

.log27 

9 

25 

⎛ 1 ⎞ 

e = lim ⎜1+ ⎟ ≈ 2,718281) 

⎝ n ⎠ 

c 

• log 

c) 

a 

log a 

b 

α 

3 

n 

a b 

= α log 

2 

3 

9 8 

d) 4 + 9 

e) log 8 f) 27 + 4 

2 2 

a 

= b ( b > 0) 

a 

log 2 log 27 

b 



g) 

log 

a 

a.log 

3 4 

log 

1 

a 

a 

a 

7 

a 

1/3 

log 5 log 36 4log 7 

3 

9 9 

k) 81 27 3 

6 8 

n) 9 4 

q) 

3 81 

log 6.log 9.log 2 i) 9 

h) 

3 8 6 

log 6 log 8 

2 log 2 + 4 log 5 

3 2 log 4 

5 − 

5 7 

5 

+ + l) 25 + 49 

m) 

1 1 

log 3 log 2 

1+ log 4 2−log 3 log 27 


+ o) 3 + 4 + 5 

p) log 3.log3 

36 

0 0 0 

lg(tan1 ) + lg(tan 2 ) + ... + lg(tan89 ) 

r) log ⎡ 

8 ⎣log 4(log2 16) ⎤ 

⎦.log ⎡ 

2 ⎣log 3(log4 

64) ⎤ 

⎦ 

Baøi 2. Cho a > 0, a ≠ 1. Chöùng minh: log a 

( a + 1) > log a+ 

1 

( a + 2) 

1 1 1 

HD: Xeùt A = log a + ( a + 2) log a 

a 

log log a 

( a 2) 

a 1 

a.log a 1( a 2) 

+ + + + 

= 

+ + 

+ ≤ 

= 

log ( a + 1) 2 

a 

log 

a+ 1 

a( a + 2) log 

a+ 

1( a + 1) 

= 

< = 1 

2 2 

Baøi 3. So saùnh caùc caëp soá sau: 

1 

3 

2 3 

a) log3 4 vaø log4 

b) log 3 

0,1 

2 vaø log0,2 

0,34 c) log 

3 

vaø log 

5 

5 4 

1 1 

80 15 + 2 

d) log1 vaø log1 

3 2 

g) 


2 

e) log13 150 vaø log17 

290 f) 

6 

4 2 

1 

log 

log6 

6 

3 2 

2 vaø 3 

log 10 vaø log 13 h) log2 3 vaø log3 

4 i) log9 10 vaø log10 


1 1 

HD: d) Chöùng minh: log1 < 4 < log1 

80 15 + 2 

3 2 

e) Chöùng minh: log13 150< 2 < log17 

290 

log7 10.log7 11− 

log7 

13 

g) Xeùt A = log7 10 − log1113 

= 

log 11 

1 ⎛ 10.11.7 10 11⎞ 

⎟ 

log 11⎝ 7.7.13 7 7 ⎠ > 0 

= ⎜ log7 + log 

7 

.log7 

7 

h, i) Söû duïng baøi 2. 

Baøi 4. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc logarit theo caùc bieåu thöùc ñaõ cho: 

a) Cho log2 

14 = a . Tính log49 

32 theo a. 

b) Cho log15 

3 = a . Tính log2515 theo a. 

c) Cho lg3 = 0,477 . Tính lg 9000 ; lg 0,000027 ; 

d) Cho log7 

2 

= a . Tính log1 

28 theo a. 

2 

7 

1 

log 100 . 

Baøi 5. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc logarit theo caùc bieåu thöùc ñaõ cho: 

49 

a) Cho log25 

7 = a ; log2 

5 = b . Tính log theo a, b. 

3 5 8 

b) Cho log30 

3 = a ; log30 

5 = b . Tính log30 

1350 theo a, b. 

c) Cho log14 

7 = a ; log14 

5 = b . Tính log35 

28 theo a, b. 


81



d) Cho log2 

3 = a ; log3 

5 = b ; log7 

2 = c . Tính log140 

63 theo a, b, c. 

Baøi 6. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau (vôùi giaû thieát caùc bieåu thöùc ñaõ cho coù nghóa): 

loga 

c loga 

b 

loga 

b + loga 

x 

a) b = c 

b) log 

ax 

( bx) 

= 

c) log a 

c 

1 log 

1+ 

log x 

log c = + 

a 1 

d) log + b = c 

(logc a + log 

c 

b) 

, vôùi a 2 + b 2 = 7ab 

. 

3 2 

1 

2 2 

e) log 

a( x + 2 y) − 2 loga 2 = (loga x + log 

a 

y) 

, vôùi x + 4y = 12xy 

. 

2 

2 2 2 

f) log a + log a = 2 log a.log 

a , vôùi a + b = c . 

g) 

h) 

i) 

k) 

l) 

b+ c c− b c+ b c−b 

1 1 1 1 1 k( k + 1) 

+ + + + ... + = . 

log x log x log x log x log x 2 log x 

a 

2 3 4 

a a a a 

log 

a 

N.log b 

N.logc 

N 

log 

a 

N.logb N + log 

b 

N.logc N + log 

c 

N.loga 

N = . 

log N 

1 

1−lg 

z 

x = 10 , neáu 

1 1 

1−lg x 

1−lg 

y 

y = 10 vaø z = 10 . 

1 1 1 1 

+ + ... + = . 

log N log N log N log N 

2 3 2009 2009! 

loga N − logb N loga 

N 

= , vôùi caùc soá a, b, c laäp thaønh moät caáp soá nhaân. 

log N − log N log N 

b c c 

k 

a 

a 

abc 

ab 

a 

b 

III. HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA 

HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT 

1. Khaùi nieäm 

a) Haøm soá luyõ thöøa y = x 

α (α laø haèng soá) 

Soá muõ α Haøm soá y = x 

α Taäp xaùc ñònh D 

α = n (n nguyeân döông) 

α = n (n nguyeân aâm hoaëc n = 0) 

n 

y = x 

D = R 

n 

y = x 

D = R \ {0} 

α laø soá thöïc khoâng nguyeân y = x 

α D = (0; +∞) 

Chuù yù: Haøm soá 

b) Haøm soá muõ 

1 

y = x n 

n 

khoâng ñoàng nhaát vôùi haøm soá y = x ( n∈ N*) 

. 

x 

y = a (a > 0, a ≠ 1). 

• Taäp xaùc ñònh: D = R. 

• Taäp giaù trò: T = (0; +∞). 

• Khi a > 1 haøm soá ñoàng bieán, khi 0 < a < 1 haøm soá nghòch bieán. 

• Nhaän truïc hoaønh laøm tieäm caän ngang. 

• Ñoà thò: 



y 

y 

y=a x 

y=a x 

1 

x 

1 

x 

a>1 

0 1 haøm soá ñoàng bieán, khi 0 < a < 1 haøm soá nghòch bieán. 

• Nhaän truïc tung laøm tieäm caän ñöùng. 

• Ñoà thò: 

y 

y 

y=log a x 

y=log a x 

O 

1 

x 

O 

1 x 

2. Giôùi haïn ñaëc bieät 

1 

x 

• 

⎛ 1 ⎞ 

lim (1 ) x 

ln(1 + x) 

+ x = lim ⎜1+ ⎟ = e • lim = 1 

x→0 

x→±∞ 

⎝ x ⎠ 

x→0 

x 

• 

3. Ñaïo haøm 

α ′ 

x = 

α − 

x x > 

α ′ α − 

u = α u u′ 

• ( ) α 1 ( 0) ; ( ) 1 . 

Chuù yù: ( 

n 

x ) 

a>1 

′ 1 ⎛ vôùi x > 0 neáu n chaün⎞ 

= ⎜ 

vôùi x ≠ 0 neáu n leû 

⎟ 

n n− 

n x 1 

0


d) 

g) 

x 

x 

⎛ 3x 

− 4 ⎞ 

lim ⎜ ⎟ 

→+∞ ⎝ 3 x + 2 ⎠ 

ln x −1 

lim 

x→e 

x − e 

x 

−x 


+ 1 

3 

e) 

h) 

x 

x 

⎛ x + 1 ⎞ 

lim ⎜ ⎟ 

→+∞ ⎝ 2 x − 1 ⎠ 

e 

lim 

x→0 

e − e 

e 

k) lim 

l) lim 

x→0 

sin x 

x→0 

Baøi 2. Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 

a) 

3 2 

y = x + x + 1 

b) y = 4 

d) y = 3 sin(2x 

+ 1) 

e) 

x + 3 

g) y = 3 sin h) 

4 

2x 

3 

−1 

x 

sin2x 

x + 1 

x −1 

− e 

x 

3 2 

sin x 

f) 

x 

⎛ 2x 

+ 1⎞ 

lim ⎜ ⎟ 

→+∞ ⎝ x −1 

⎠ 

x 

e − e 

i) lim 

x→1 

x −1 

1 

m) lim x 

( 

e x − 1) 

c) 

y = cot 1+ x 

f) 


x→+∞ 

y = 

y = 9 + 6 x 

i) y = 


2 

x 

2 x 

a) y = ( x − 2x + 2) e 

b) y = ( x + 2 x) e 

− c) 

d) 

2 

2x x 

y = e + 

e) 

x 

cos x 

g) y = 2 . e 

h) y = 

x 


2 

1 

x − x 

3 

y = x. 

e 

f) 

2 

3 

x 

− x + 1 

2 

i) 

5 

x 

2 

3 

2 

x 

+ x − 2 

x 

1− 

2x 

y = 

3 

1 + 2x 

4 

x 

x 

2 

2 

+ 1 

+ x + 1 

− x + 1 

− 2 x 

y = e .sin x 

e 

y = 

e 

y 

2x 

2x 

+ e 

− e 

x 

x 

= cos x. 

e cot 

a) y = ln(2x + x + 3) b) y = log (cos x) 

c) y = e .ln(cos x) 

2 

d) y = (2x − 1) ln(3 x + x) 

e) y = log ( x − cos x) 

f) y = log (cos x) 

ln(2x 

+ 1) 

ln(2x 

+ 1) 

g) y = 

h) y = 

2x 

+ 1 

x + 1 

Baøi 5. Chöùng minh haøm soá ñaõ cho thoaû maõn heä thöùc ñöôïc chæ ra: 

2 

x 

− 

2 

2 

1 

2 

3 

x 

3 

i) ( 2 

y = ln x + 1+ 

x ) 

a) y = x. e ; xy′ = (1 − x ) y 

b) y = ( x + 1) e ; y′ − y = e 

c) 

4x 

− x 

y = e + 2 e ; y′′′ 

− 13y′ − 12y 

= 0 d) 

− x 

g) y = e .sin x; y′′ + 2y′ 

+ 2y 

= 0 h) 

i) 

sin x 

y = e ; y′ cos x − y sin x − y′′ = 0 k) 

x 

−x 

− 2x 

′′ 

y = a. e + b. e ; y + 3y′ + 2y 

= 0 

−x 

( 4 

y = e .cos x; y 

) 

+ 4y 

= 0 

2 x 

y = e .sin 5 x; y′′ − 4y′ + 29y 

= 0 

1 2 x 

x 

4x 

− x 

l) y = x . e ; y′′ − 2y′ + y = e 

m) y = e + 2 e ; y′′′ 

− 13y′ − 12y 

= 0 

2 

2 x 

2xy 

x 2 

n) y = ( x + 1)( e + 2010); y′ = + e ( x + 1) 

2 

x + 1 

Baøi 6. Chöùng minh haøm soá ñaõ cho thoaû maõn heä thöùc ñöôïc chæ ra: 

⎛ 1 ⎞ 

y 

a) y = ln ⎜ ⎟; xy′ + 1 = e 

b) 

⎝ 1+ 

x 

y 1 

= ; ln 1 

⎠ 

1 ln 

xy ′ = 

x x 

y ⎡ 

⎣ y x − ⎤ 

+ + 

⎦ 

x 

x 



c) y = sin(ln x) + cos(ln x); y + xy′ + x y′′ = 0 d) 

2 

x 1 2 2 

e) y = + x x + 1 + ln x + x + 1; 2 y = xy′ + ln y′ 

2 2 

Baøi 7. Giaûi phöông trình, baát phöông trình sau vôùi haøm soá ñöôïc chæ ra: 

a) 

b) 

c) 

f '( x) = 2 f ( x); f ( x) = e ( x + 3x 

+ 1) 

1 

3 

f '( x) + f ( x) = 0; f ( x) = x ln x 

x 

x 

2 

2x−1 1−2 

x 

f '( x) = 0; f ( x) = e + 2. e + 7x 

− 5 

d) f '( x) > g'( x); f ( x) = x + ln( x − 5); g( x) = ln( x − 1) 

e) 

1 2x+ 

1 x 

f '( x) < g'( x); f ( x) = .5 ; g( x) = 5 + 4x 

ln 5 

2 

2 

1+ 

ln x 2 2 2 

y = ; 2 x y′ = ( x y + 1) 

x(1 − ln x) 



IV. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ 

1. Phöông trình muõ cô baûn: Vôùi a > 0, a ≠ 1: 

2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình muõ 

a) Ñöa veà cuøng cô soá: Vôùi a > 0, a ≠ 1: 

a 

x 

= b 0 

b ⇔ ⎧ ⎨ > 

⎩x 

= log 

f ( x) g( x) 

a = a ⇔ f ( x) = g( x) 

Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá coù chöùa aån soá thì: a = a ⇔ ( a −1)( M − N) = 0 

b) Logarit hoaù: f ( x) = g ( x) 

⇔ = ( ) 

c) Ñaët aån phuï: 

• Daïng 1: 

• Daïng 2: 

• Daïng 3: 

f ( x) 

P( a ) = 0 ⇔ 

a b f ( x) log b . g( x ) 

2 f ( x) f ( x) 2 f ( x) 

M 

⎧ f ( x 

t = a ) , t > 0 

⎨ 

, trong ñoù P(t) laø ña thöùc theo t. 

⎩P( t) = 0 

αa + β( ab) + γ b = 0 

Chia 2 veá cho 

f ( x) f ( x) 

2 f ( x) 

b , roài ñaët aån phuï 

a + b = m , vôùi ab = 1. Ñaët 

⎛ a ⎞ 

t = ⎜ ⎟ 

⎝ b ⎠ 

f ( x) 

a 

N 

f ( x) f ( x) 1 

t = a ⇒ b = 

t 

d) Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá 

Xeùt phöông trình: f(x) = g(x) (1) 

• Ñoaùn nhaän x 0 laø moät nghieäm cuûa (1). 

• Döïa vaøo tính ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa f(x) vaø g(x) ñeå keát luaän x 0 laø nghieäm duy 

nhaát: 

⎡ f ( x) ñoàng bieán vaø g( x) nghòch bieán (hoaëc ñoàng bieán nhöng nghieâm ngaët). 

⎢ 

⎣ f ( x) ñôn ñieäu vaø g( x) = c haèng soá 

• Neáu f(x) ñoàng bieán (hoaëc nghòch bieán) thì f ( u) = f ( v) 

⇔ u = v 

e) Ñöa veà phöông trình caùc phöông trình ñaëc bieät 

⎡ A 0 

• Phöông trình tích A.B = 0 ⇔ 

⎢ = 

2 2 ⎧ A = 0 

⎣B 

= • Phöông trình A + B = 0 ⇔ ⎨ 

0 

⎩B 

= 0 

f) Phöông phaùp ñoái laäp 

Xeùt phöông trình: f(x) = g(x) (1) 

⎧ f ( x) 

≥ M 

⎧ f ( x) 

= M 

Neáu ta chöùng minh ñöôïc: ⎨ 

thì (1) ⇔ ⎨ 

⎩g( x) 

≤ M 

⎩g( x) 

= M 

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc logarit hoaù): 

3x−1 8x−2 

a) 9 3 

= b) ( ) 2 

2 2 2 

x − 3x+ 2 x −6x− 5 2x + 3x+ 

7 

x 

3 − 2 2 = 3 + 2 2 

2x x 2x x 

c) 4 + 4 = 4 + 1 d) 5 − 7 − 5 .35 + 7 .35 = 0 

2 2 2 2 

x − 1 x + 2 x x −1 

2 

x− x + 4 

= 

e) 2 + 2 = 3 + 3 

f) 5 25 

2 

x −2 

x+ 7 1−2 

x 

⎛ 1 ⎞ 4−3x 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

g) ⎜ ⎟ = 2 

h) ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ = 2 

⎝ 2 ⎠ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

x 1 

i) 3 .2 x+ x+ 1 x x−1 

= 72 

k) 5 + 6. 5 – 3. 5 = 52 


a 

b


x+ 10 x+ 

5 

10 x−15 

l) 16 x− 

0,125.8 


x−1 

= m) ( 5 + 2) = ( 5 − 2) 

Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc logarit hoaù): 

4x+ 1 3x+ 

2 

2x−1 

3x 

⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

x x+ 1 

x x+ 2 

a) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 

b) 5 .2 = 50 

c) 3 .2 = 6 

⎝ 5 ⎠ ⎝ 7 ⎠ 

x 

2 

x x+ 2 

x− 1 2x+ 

1 

x 2 

d) 3 .8 = 6 

e) 4.9 = 3 2 

f) 2 − x x 

.3 = 1,5 

2 

x x 

3 2 

g) 5 .3 = 1 

h) 2 = 3 

i) 

Baøi 3. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï daïng 1): 

x x+ 1 

x 

x+ 1 x+ 

1 

x 

x x 2 

3 .2 1 = 

x−1 

x+ 

1 

4x+ 8 2x+ 

5 

a) 4 + 2 − 8 = 0 

b) 4 − 6.2 + 8 = 0 c) 3 − 4.3 + 27 = 0 

x 

x 

x x+ 1 

2 2 

x − x 2+ x−x 

d) 16 − 17.4 + 16 = 0 e) 49 + 7 − 8 = 0 f) 2 − 2 = 3. 

x 

g) ( ) ( ) 

x 

cos2x 

cos 

7 + 4 3 + 2 + 3 = 6 h) 4 + 4 = 3 i) 3 − 36.3 + 9 = 0 

2 2 

2x + 2x+ 1 x + x 

2 2 

2 

x 

x + 2 x + 2 

2x+ 5 x+ 

1 

2x−1 x−1 

k) 3 − 28.3 + 9 = 0 l) 4 − 9.2 + 8 = 0 m) 3.5 − 2.5 = 0,2 


x 

x 

x−2 x−2 

a) 25 − 2(3 − x).5 + 2x 

− 7 = 0 

b) 3.25 + (3x 

− 10).5 + 3 − x = 0 

x 

x 

x 

x 

c) 3.4 + (3x 

− 10).2 + 3 − x = 0 

d) 9 + 2( x − 2).3 + 2x 

− 5 = 0 

e) 

g) 

i) 

2 x 1+ 

x x 2 

4 x + x.3 + 3 = 2.3 . x + 2x 

+ 6 f) 

x 

x 

+ x − + − x = 

x−2 x−2 

3.25 (3 10).5 3 0 

4 +( x – 8)2 +12 – 2x 

= 0 

h) ( x + 4).9 − ( x + 5).3 + 1 = 0 

x 

2 

2 

2 

2 

x 

4 + ( x − 7).2 + 12 − 4x 

= 0 

k) 9 − ( x + 2).3 − 2( x + 4) = 0 


x x x 

x x x 

a) 64.9 − 84.12 + 27.16 = 0 b) 3.16 + 2.81 = 5.36 c) 

x x 2x+ 

1 

d) 25 + 10 = 2 

e) 27 = 

1 

1 

1 

−x 

x 

−x 

x 

− + = 

2x x 2x 

6.3 13.6 6.2 0 

x x x 

x x x 

+ 12 2.8 f) 3.16 + 2.81 = 5.36 

1 1 1 

− − − 

x x x 

x x x 

g) 6.9 −13.6 

+ 6.4 = 0 h) 4 + 6 = 9 

i) 

x x x 

7 + 5 2 + 2 − 5 3 + 2 2 + 3 1+ 2 + 1− 2 = 0. 

k) ( ) ( )( ) ( ) 


x 

a) ( ) ( ) 

2 3 2 3 14 

c) (2 3) (7 4 3)(2 3) 4(2 3) 

1 1 1 

x x x 

2.4 + 6 = 9 

x 

x 

x 

− + + = b) ( ) ( ) 

x 

x 

x 

x 

+ + + − = + d) ( ) ( ) 

x 

e) ( ) ( ) 

x 

5 + 24 + 5 − 24 = 10 

f) 

x 

x 

6 − 35 + 6 + 35 = 12 

g) ( ) ( ) 

x 

x 

3 + 5 + 16 3 − 5 = 2 + 

x 3 

i) ( ) ( ) 

x 

l) ( ) ( ) 

2 + 3 + 2 − 3 = 4 

x 3 

5 − 21 + 7 5 + 21 = 2 + 

x 

⎛ 7 + 3 5 ⎞ ⎛ 7 − 3 5 ⎞ 

⎜ + 7 = 8 

2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

2 2 

( x−1) x −2x−1 4 

+ + − = 

2 − 3 

h) ( 2 3) ( 2 3) 

x 

k) ( ) ( ) 

x 

3 + 5 + 3− 5 − 7.2 = 0 

x 

x 

x 

+ − − + = m) ( 

3 

) ( 

3 

) 

7 4 3 3 2 3 2 0 

Baøi 7. Giaûi caùc phöông trình sau (söû duïng tính ñôn ñieäu): 

3 + 8 + 3 − 8 = 6. 

x x x 

x 

x 

a)( ) ( ) 

x 

2 − 3 + 2 + 3 = 4 

b) ( ) ( ) ( ) 

x 

c) ( ) ( ) 

3+ 2 2 + 3 − 2 2 = 6 

x 

x 

3 − 2 + 3 + 2 = 5 

x 

d) ( ) ( ) 

x+ 3 

3 + 5 + 16. 3 − 5 = 2 

x 

x 

x 



x 

⎛ 3 ⎞ 7 

e) ⎜ ⎟ + = 2 

⎝ 5 ⎠ 5 

x 

x 

x 

2 + 3 + 2 − 3 = 2 

f) ( ) ( ) 

x x x x 

x x x 

g) 2 + 3 + 5 = 10 

h) 2 + 3 = 5 

i) 

x 

2 

x−1 x −x 

2 

2 − 2 = ( x − 1) 

x 

k) 3 = 5 − 2x 

x 

l) 2 = 3 − x 

x 1 

m) 2 x 

− 4 = x − 1 

x 

n) 2 32 

1 

o) x x 

4 + 7 = 9x 

+ 2 

2x+ 

1 3x 

p) 5 − 5 − x + 1 = 0 

x x 

q) 3 + 8 

x x 

= 4 + 7 

x x 

r) 6 + 2 

x x 

= 5 + 3 

x 

s) 9 

x 

+ 15 

x 


x 

+ 14 

Baøi 8. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà phöông trình tích): 

x x x 

a) 8.3 + 3.2 = 24 + 6 

x x x+ 1 

b) 12.3 + 3.15 − 5 = 20 

c) 

x 

3−x 

x x 

8 − x.2 + 2 − x = 0 

d) 2 + 3 = 1+ 

6 

2 

2 

x −3x+ 

2 x + 6x+ 

5 2. x + 3x+ 

7 

e) 4 + 4 = 4 + 1 

2 x x 

3 2 

2 

g) x .3 + 3 (12 − 7 x) = − x + 8x − 19x 

+ 12 h) x 

sin x 

1+ 

sin x 

y 

f) 

4 

2 

+ 2 

2 

x 

= 2 

( + 1) 

x + x 1− 

x x 

2 

+ 1 

2 x −1 x x x x −1 

.3 + x(3 − 2 ) = 2(2 − 3 ) 

2 2 2 2 

2( x + x ) 1− x 2( x + x ) 1− 

x 

i) 4 − 2 cos( xy) + 2 = 0 

k) 2 + 2 − 2 .2 − 1 = 0 

Baøi 9. Giaûi caùc phöông trình sau (phöông phaùp ñoái laäp): 

x 

4 

2 

x − 6x+ 


a) 2 = cos x , vôùi x ≥ 0 b) 3 = − x + 6x 

− 6 c) 3 = cos x 

d) 

⎛ 3 

2 x − x ⎞ 

x − 

2.cos ⎜ ⎟ = 3 + 3 

⎝ 2 ⎠ 

x 

g) 3 2 = cos 2x 

h) 5 = cos3x 

Baøi 10. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm: 

x 

x 

x 

sin 

x 

e) π = cos x 

f) 2 

x 

x 

2 

x 

sin 

x 

x 

= 

2 

2x−x 

1 

2 + 

x+ 

1 

a) 9 + 3 + m = 0 

b) 9 + m3 − 1 = 0 c) 4 − 2 = m 

2x x x 

x 

d) 3 + 2.3 − ( m + 3).2 = 0 e) 2 + ( m + 1).2 + m = 0 f) 25 − 2.5 − m − 2 = 0 

x 

2x 

x 

g) 16 − ( m − 1).2 + m − 1 = 0 h) 25 + m.5 + 1− 2m 

= 0 i) 81 + 81 = m 

2 2 

4−2x 

2−x 

x 

−x 

x 

x 

sin 

x 

x 

2 2 

x cos 

x 

x + 1 + 3 − x x + 1 + 3 − x 

k) 3 − 2.3 + 2m 

− 3 = 0 l) 4 − 14.2 + 8 = m 

2 2 

2 2 

1 

m) 9 

x+ 1− 

x x+ −x 

1+ 1− t 

1+ 1−t 

− 8.3 + 4 = m n) 9 − ( m + 2).3 + 2m 

+ 1 = 0 

Baøi 11. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát: 

x 

−x 

x x x 

a) m.2 + 2 − 5 = 0 

b) m .16 + 2.81 = 5.36 

x 

⎛ 

x 

7 + 3 5 ⎞ ⎛ 7 − 3 5 ⎞ 

5 + 1 + 5 − 1 = 2 d) ⎜ ⎟ + m⎜ ⎟ = 8 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

x 

c) ( ) m ( ) 

x 

x+ 

3 

e) 4 − 2 + 3 = m 

f) 9 + m3 + 1 = 0 

Baøi 12. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 2 nghieäm traùi daáu: 

+ 1 

a) ( + 1).4 x 

x 

x 

x 

2 

m + (3m − 2).2 − 3m + 1 = 0 b) 49 + ( m − 1).7 + m − 2m 

= 0 

x 

x 

x 

x 

c) 9 + 3( m −1).3 − 5m + 2 = 0 

d) ( m + 3).16 + (2m − 1).4 + m + 1 = 0 

x 

e) ( m ) 

x 

4 − 2 + 1 .2 +3m 

− 8 = 0 

f) 4 − 2 + 6 = m 

Baøi 13. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau: 

x x x 

a) m .16 + 2.81 = 5.36 coù 2 nghieäm döông phaân bieät. 

x x x x 

b) 16 − m.8 + (2m − 1).4 = m.2 

coù 3 nghieäm phaân bieät. 

x2 x 2 + 2 

c) 4 − 2 + 6 = m coù 3 nghieäm phaân bieät. 

d) 

2 2 

9 

x 

− 4.3 

x 

+ 8 = m 

coù 3 nghieäm phaân bieät. 

x 

x 

x 

x 

x 

x 




V. PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT 

1. Phöông trình logarit cô baûn 

Vôùi a > 0, a ≠ 1: loga x = b ⇔ x = a 

2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình logarit 

a) Ñöa veà cuøng cô soá 

⎧ f ( x) = g( x) 

Vôùi a > 0, a ≠ 1: log 

a 

f ( x) = log 

a 

g( x) 

⇔ ⎨ 

⎩ f ( x) > 0 ( hoaëc g( x) > 0) 

b) Muõ hoaù 

b 

log ( ) 

a 

Vôùi a > 0, a ≠ 1: log ( ) f x b 

a f x = b ⇔ a = a 

c) Ñaët aån phuï 

d) Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá 

e) Ñöa veà phöông trình ñaëc bieät 

f) Phöông phaùp ñoái laäp 


• Khi giaûi phöông trình logarit caàn chuù yù ñieàu kieän ñeå bieåu thöùc coù nghóa. 

• Vôùi a, b, c > 0 vaø a, b, c ≠ 1: 

a 

log 

b 

c 

= c 

log 

b 

a 

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc muõ hoaù): 

a) log ⎡ 

2 ⎣x( x − 1) ⎤ 

⎦ = 1 

b) log2 x + log 

2( x − 1) = 1 

log ( x − 2) − 6.log 3x 

− 5 = 2 d) log 

2( x − 3) + log 

2( x − 1) = 3 

log ( x + 3) − log ( x − 1) = 2 − log 8 f) lg( x − 2) + lg( x − 3) = 1− 

lg 5 

c) 

2 1/8 

e) 

4 4 4 

2 

2 log ( − 2) − log ( x − 3) = h) lg 5x 

− 4 + lg x + 1 = 2 + lg 0,18 

3 

g) 

8 

x 

8 

2 

3 

x 

3 

i) log ( − 6) = log ( x − 2) + 1 k) log 

2( x + 3) + log 

2( x − 1) = 1/ log5 

2 

l) log4 x + log 

4(10 − x) = 2 

m) log 

5( x −1) − log 

1/5( x + 2) = 0 

n) log 

2( x − 1) + log 

2( x + 3) = log2 

10 − 1 o) log 

9( x + 8) − log 

3( x + 26) + 2 = 0 


a) 

3 3 1/3 

2 2 

log x + log x + log x = 6 b) 1+ lg( x − 2x + 1) − lg( x + 1) = 2 lg(1 − x) 

c) 

4 1/16 8 

2 2 

log x + log x + log x = 5 d) 2 + lg(4x − 4x + 1) − lg( x + 19) = 2 lg(1 − 2 x) 

e) log2 x + log4 x + log8 

x = 11 f) log 

1/2 

( x − 1) + log 

1/2 

( x + 1) = 1+ log (7 − x) 

1/ 2 

g) log2 log2 x = log3 log3 

x 

h) log2 log3 x = log3 log2 

x 

i) log2 log3 x + log3 log2 x = log3 log3 

x k) log2 log3 log4 x = log4 log3 log2 

x 


x 

a) log 

2(9 − 2 ) = 3 − x 

b) log 

3(3 − 8) = 2 − x 

−x 

x 

x − 1 

− = x − 

c) log 

7(6 + 7 ) = 1+ x 

d) log 

3(4.3 1) 2 1 

x log (3 −x) 

5 

e) log 

2(9 − 2 ) = 5 

f) log 

2(3.2 −1) − 2x 

− 1 = 0 

x 



x 

g) log 

2(12 − 2 ) = 5 − x 

h) log 

5(26 − 3 ) = 2 

i) 

l) 

2 

x + 1 x 

− = k) 

log (5 25 ) 2 

1 

6 

x + 1 x 

− = − m) 

log (5 25 ) 2 

4 

x 

x+ 

1 

log (3.2 − 5) = x 

1 

5 

x + 1 x 

− = − 

log (6 36 ) 2 


5 

2 

x x 

a) log 

− 

( − 2 x + 65) = 2 

b) log 

x − 

( x − 4x 

+ 5) = 1 

2 

c) log 

x(5x − 8x 

+ 3) = 2 

d) log 

x+ 1(2x + 2x − 3x 

+ 1) = 3 

e) log 

x − 3( x − 1) = 2 

f) log 

x( x + 2) = 2 

g) 

2 

2x x 

1 

2 

3 2 

log ( − 5 x + 6) = 2 

h) 2 

log 

x+ ( x − x) = 1 

2 

i) log 

x(2x − 7x 

+ 12) = 2 

k) log 

x(2x − 3x 

− 4) = 2 

l) 

2 

log 

2x ( x − 5 x + 6) = 2 

m) 2 

log 

x( x − 2) = 1 

2 

n) log 

3 x + 5(9x + 8x 

+ 2) = 2 

o) log 

2 x + 4( x + 1) = 1 

15 

p) logx 

2 

1− 

2x = − 

q) log 2 (3 − 2 x) = 1 

x 

r) log 2 ( + 3) = 1 

s) log 

x(2x − 5x 

+ 4) = 2 

x + 3x x 

Baøi 5. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï): 

2 2 

3 

x 

3 

a) log + log x + 1 − 5 = 0 

b) log x + 3log x + log x = 2 

2 

2 

3 

2 

2 

2 

2 

1 2 

2 

2 1/2 

7 

x 

c) logx 

2 − log4 

x + = 0 

d) log 4x + log = 8 

6 

8 

e) 

2 

2 

log x 3log x log x 0 

log 16 + log 64 = 3 

+ 

2 

+ 

1/2 

= f) 2 

x 

2x 

1 

1 

g) log5 

x − logx 

= 2 

h) log7 

x − logx 

= 2 

5 

7 

1 

i) 2 log5 

x − 2 = logx 

k) 3 log 5 

2 

x − log2 

4x 

= 0 

l) 

3 

x 

3 

n) 

2 

3 3 

2 

x 

2 

3 log − log 3x 

− 1 = 0 

m) log + log x = 4 / 3 

3 3 

2 

x 

2 

log − log x = − 2 / 3 

o) 

2 

2 

x 

1/4 

2 1 

log2 x + 2 log4 

= 0 

x 

2 

5 

x 

25 

p) log (2 − ) − 8log (2 − x) = 5 

q) log + 4 log 5x 

− 5 = 0 

9 2 

r) logx 5 + logx 5x 

= + logx 

5 

s) log 2 3 + log9 

x = 1 

4 

x 

1 2 

1 3 

t) + = 1 

u) + = 1 

4 − lg x 2 + lg x 

5 − lg x 3 + lg x 

v) 

2 3 

2x 16x 4x 

log x − 14 log x + 40 log x = 0 


a) 

2 

3 

3 

2 

2 2 

log x + ( x − 12)log x + 11− x = 0 b) 

log2 x 2 log2 

6 

6.9 + 6. x = 13. x 

2 

c) x.log x − 2( x + 1).log x + 4 = 0 

d) log 

2 

x + ( x −1) log 

2 

x = 6 − 2x 

2 

e) ( x + 2)log ( x + 1) + 4( x + 1)log ( x + 1) − 16 = 0 f) log 2 (2 + x) + log x = 2 

3 3 


x 

2−x



g) 

i) 

2 

3 3 

log ( x + 1) + ( x − 5)log ( x + 1) − 2x 

+ 6 = 0 h) 4 log3 x −1 − log3 

x = 4 

2 2 

2 

x + x + + 

2 

x + x + = + 

2 

log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3 


log x = log ( x + 2) 

b) log 

2( x − 3) + log 

3( x − 2) = 2 

a) 

7 3 

+ + + = d) ( log x 

x 6 ) 

= f) ( + x ) = 

c) log 

3( x 1) log 

5(2x 

1) 2 

log 

e) 7( x+ 

3 

4 

) 

x 

log 9 log x log 3 

2 .3 

2 2 2 

g) x = x − x 

h) 

2 2 

3x+ 7 2x+ 

3 

log (9 + 12x + 4 x ) + log (6x + 23x 

+ 21) = 4 

i) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 

log x − x − 1 .log x + x − 1 = log x − x − 1 

2 3 6 

log + 3 = log 

2 6 

log 1 log 

2 3 

Baøi 8. Giaûi caùc phöông trình sau (söû duïng tính ñôn ñieäu): 

log 3 log 5 

2 2 

a) x + x = x ( x > 0) 

b) 

2 log x log 

2 2 

x + 3 = 5 

c) log 

5( x + 3) = 3 − x 

d) log 

2(3 − x) 

= x 

e) 

2 

2 2 

2 

log ( x − x − 6) + x = log ( x + 2) + 4 f) x + 2.3 = 3 

g) 4( x − 2) ⎡⎣ log 

2( x − 3) + log 

3( x − 2) ⎤⎦ 

= 15( x + 1) 

Baøi 9. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà phöông trình tích): 

a) log2 x + 2.log7 x = 2 + log 

2 

x.log7 

x b) log 

2 

x.log3 x + 3 = 3.log3 x + log2 

x 

2 

c) ( ) ( ) 

2 log x = log x.log 2x + 1 − 1 

9 3 3 

Baøi 10. Giaûi caùc phöông trình sau (phöông phaùp ñoái laäp): 

2 3 

a) ln(sin x) 1 sin x 0 

2x+ 1 3−2x 

8 

c) 2 + 2 = 

2 

log (4x 

− 4x 

+ 4) 

− + = b) ( ) 

3 

2 

log 

x 

x 

x 

x 

2 2 

log x + x − 1 = 1− 

x 

Baøi 11. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát: 

2 

a) log ⎡x − 

2 3 2( m + 1) x⎤ 

+ log 2 3 

(2 x + m − 2) = 0 

+ − 

2 

c) log ( 2 

x mx m ) 

5 2 1 log x 

5 2 

0 

lg mx 

+ + + + = d) 

+ − 

lg 1 

2 

⎣ ⎦ b) log ( x − 2) = log ( mx) 

e) log 

3( x + 4 mx) = log 

3(2x − 2m 

− 1) 

2 

f) log ( x − m + 1) + log ( mx − x ) = 0 

2 2+ 7 2 2− 

7 

Baøi 12. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau: 

a) log ( 4 

x 

− m) 

= x + 1 coù 2 nghieäm phaân bieät. 

2 

2 

3 x m 3 x m 

2 2 2 2 

4 

− + − = 

2 

+ − 

( ) 

( x + ) 

b) log − ( + 2).log + 3 − 1 = 0 coù 2 nghieäm x 1 , x 2 thoaû x 1 .x 2 = 27. 

c) 2log (2x x 2m 4 m ) log ( x mx 2 m ) coù 2 nghieäm x 1 , x 2 thoaû x 

log x + log x + 1 − 2m 

− 1 = 0 coù ít nhaát moät nghieäm thuoäc ñoaïn 

2 2 

d) 

3 3 

4 log x + log x + m = 0 coù nghieäm thuoäc khoaûng (0; 1). 

e) ( ) 2 

2 2 

= 2 

2 

⎡ 3 

1;3 

⎤ 

⎣ ⎦ . 

+ > . 

2 2 

1 

x2 1 



VI. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH 

MUÕ VAØ LOGARIT 

Khi giaûi heä phöông trình muõ vaø logarit, ta cuõng duøng caùc phöông phaùp giaûi heä phöông trình 

ñaõ hoïc nhö: 

• Phöông phaùp theá. 

• Phöông phaùp coäng ñaïi soá. 

• Phöông phaùp ñaët aån phuï. 

• ……. 


⎧⎪ x + 2 

y 

= 5 

a) ⎨ 

x 2 

y ⎪ ⎩ − = 1 

⎧⎪ x − 3 

y 

= 1 

c) ⎨ 

x 

2 

3 

y 

⎪⎩ + = 19 

x y 

⎧2 

+ 2 = 3 

e) ⎨ 

⎩x 

+ y = 1 

⎧⎪ 2 

x. 

5 

y 

= 20 

f) ⎨ 

5 

x 

.2 

y 

⎪⎩ = 50 

⎧⎪ 

2 

y − 7y+ 


x = 

1 

h) ⎨ 

⎪⎩ 

x + y = 8 ( x > 0) 


⎧⎪ 4 

x 

− 3 

y 

= 7 

a) ⎨ 

4 

x 

.3 

y 

⎪⎩ = 144 

x x + y 

⎧⎪ 2 + 2.3 = 56 

c) ⎨ x x + y + 1 

⎪⎩ 3.2 + 3 = 87 

x + 1 y ⎧⎪ 3 − 2 = −4 

e) ⎨ 

x + 1 y+ 

1 

⎪⎩ 3 − 2 = −1 

2 y ⎧⎪ cot x = 3 

g) ⎨ y 

⎪⎩ cos x = 2 

2x 

y ⎧⎪ 3 − 2 = 77 

i) ⎨ x y 

⎪⎩ 3 − 2 = 7 


⎧⎪ 3 

x 

= 2y 

+ 1 

a) ⎨ 

3 

y 

⎪⎩ = 2x 

+ 1 

⎧⎪ 2 

x 

− 2 

y 

= y − x 

c) ⎨ 2 2 

⎪⎩ x + xy + y = 3 

⎧⎪ 2 

x 

= 4y 

b) ⎨ 

4 

x 

⎪⎩ = 32y 

⎧⎪ x 

y−1 

= 8 

d) ⎨ 

x 

2y−6 

⎪⎩ = 4 

⎧⎪ 2 

x 

.9 

y 

= 36 

f) ⎨ 

3 

x 

.4 

y 

⎪⎩ = 36 

x y ⎧⎪ 2 .3 = 12 

g) ⎨ x y 

⎪⎩ 3 .2 = 18 

i) 

2 

⎧⎪ 

x −y 

2 −16 

x = 

1 

⎨ 

⎪⎩ 

x − y = 2 x > 0 

( ) 

⎧⎪ 2 

x 

+ 3 

y 

= 17 

b) ⎨ 

3.2 

x 

2.3 

y 

⎪⎩ − = 6 

2x+ 2 2y+ 

2 

⎧⎪ 3 + 2 = 17 

d) ⎨ x+ 

1 y 

⎪⎩ 2.3 + 3.2 = 8 

2 2 

2( x −1) x −1 y 2y 

⎧⎪ 4 − 4.4 .2 + 2 = 1 

f) ⎨ 

2 

2y x −1. 

y 

⎪⎩ 2 − 3.4 .2 = 4 

h) 

k) 

b) 

d) 

2 ⎧⎪ x + y 

2 

y−x 

= 

2 

( )2 1 

⎨ 

2 x −y 

⎪⎩ 9( x + y) = 6 

x y ⎧⎪ 2 − 2 = ( y − x)( xy + 2) 

⎨ 2 2 

⎪⎩ x + y = 2 

⎧⎪ 3 

x 

+ 2x 

= y + 11 

⎨ 

3 

y 

⎪⎩ + 2y 

= x + 11 

x−1 

⎧ = y − 

⎪7 6 5 

⎨ 

y−1 

⎪⎩ 7 = 6x 

− 5 




⎧ x + y = 6 

a) ⎨ 

⎩log2 x + log2 

y = 3 

⎧ x + log 

c) 

2 

y = 4 

⎨ 

⎩2x 

− log2 

y = 2 

⎧ xy = 32 

e) ⎨ logy 

x = 4 

⎩ 

⎧2(log 

y 

x + log 

x 

y) 

= 5 

g) ⎨ 

⎩xy 

= 8 

⎧1 2 

⎪ log 

3 

x − log 

3 

y = 0 

i) ⎨2 

3 

⎪ 2 

⎩ 

x + y − 2y 

= 0 


⎧ ⎪ ( ) 

a) 

log x 

3 x + 2 y = 

⎨ 

2 

⎪⎩ 

logy 

( 2x 

+ 3y) 

= 2 

⎧ ⎛ x ⎞ 

log2 1− = 2 − log2 

y 

⎪ 

⎜ ⎟ 

c) 

y 

⎨ 

⎝ ⎠ 

⎪log x + log y = 4 

3 3 

⎪⎩ 2 2 

2 2 

⎪ 

⎧ log 

e) 

2 ( x + y + 6) 

= 4 

⎨ 

⎪⎩ log3 x + log3 

y = 1 

log 3 y log 3 x 

⎧x 

+ 2. y = 27 

g) ⎨ 

⎩log3 

y − log3 

x = 1 

i) 

l) 

n) 

p) 

( x y ) 

( y x ) 

⎧ ⎪ log x 

2 + − 2 = 

⎨ 

2 

logy 

2 + − 2 = 2 

⎪⎩ 

2 2 2 

⎧⎪ lg x = lg y + lg ( xy) 

⎨ 2 

⎪⎩ lg ( x − y) + lg x.lg y = 0 


( x y) ( x y) 

⎧log2 − = 5 − log2 

+ 

⎪ 

⎨lg x − lg 4 

⎪ = −1 

⎩ lg y − lg3 

⎧ ⎪ log x 

y = 

⎨ 

1 ( 2 

⎪⎩ 

logx+ 

y + 23) 

= 3 


⎧ lg x + lg y = 4 

⎩x 


a) ⎨ lg y 

⎧ log log 2 

b) x y + 

y 

x = 

⎨ 

⎩x 

+ y = 6 

d) 

⎧⎪ 2 2 

x y 3 

⎨ 

− log3 ( = 

⎪⎩ 

x + y) − log5 

( x − y) 

= 1 

log2 

y 

⎧⎪ log 

f) 3 

x + 2 = 3 

⎨ 

x 

y 

⎪⎩ = 9 

⎧⎪ 

x − 1 + 2 − y = 1 

h) ⎨ 

2 3 

⎪⎩ 3log 

9(9 x ) − log3 

y = 3 

⎧y 

− log 

k) 

3 

x = 1 

⎨ y 12 

⎩x 

= 3 

b) 

d) 

f) 

⎪⎧ log 

x(6x 

+ 4 y) = 2 

⎨ 

log 

y(6y 

+ 4 x) = 2 

⎪⎩ 

⎧ 2 

⎪ 

y x − 

2 

y = 

log log 1 

⎨ 

⎪⎩ log4 x − log4 

y = 1 

log 

y 

log 

x 

⎧⎪ x 2 + y 2 = 

⎨ 

log2 x − log2 

y = 2 

⎪⎩ 

16 

log2 y log2 

x 

⎧⎪ 3. x + 2. y = 10 

h) ⎨ 2 

⎪⎩ log4 x + log2 

y = 2 

⎧ log2 

( xy) 

= 4 

⎪ 

k) ⎨ ⎛ x ⎞ 

⎪log2 

⎜ ⎟ = 2 

⎩ ⎝ y ⎠ 

⎧ 

5 

⎪log 

m) 

y 

x + logy 

x = 

⎨ 

2 

⎪ 2 2 

⎩log 6( x + y ) = 1 

⎧ lg + = 1+ 

lg8 

⎨ 

⎪⎩ 

lg( x + y) − lg( x − y) 

= lg3 

2 2 

⎪ ( x y ) 

o) 

q) 

b) 

⎧ y 2 

⎪logxy 

− logy 

x = 1 

⎨ x 

⎪ 

⎩ 

log2 

( y − x) 

= 1 

⎧⎪ x−2y 

x = 

36 

⎨ 

⎪⎩ 

4( x − 2y) 

+ log6 

x = 9 



⎧ y−x 

5 

lg x lg y 

⎪ ( x + y)3 

= 

⎧⎪ 3 = 4 

c) ⎨ 

27 

d) ⎨ lg4 lg3 

⎪ 

⎩3log 5( x + y) 

= x − y 

⎪⎩ (4 x) = (3 y) 

⎧2⎛ 

log1 

x − 2 log 2 y ⎞ + 5 = 0 

⎪ x 

e) 

⎜ 

⎟ 

⎨ ⎝ y 

⎠ 

⎪ 2 

⎩xy 

= 32 


⎧ log2 x + log4 y + log4 

z = 2 

⎧ 

⎪ 

log 2 3 log 2 log 3x 

⎪x + y = y + 

2 

a) ⎨log3 y + log9 z + log9 

x = 2 

b) ⎨ 

22 

⎪ 

⎩log4 z + log16 x + log16 

y = 2 

⎪ 

y 

x log312 + log3 x = y + log3 

⎩ 

3 

⎧ 2 2 

⎪log c) 

1+ x 

(1 − 2 y + y ) + log 

1−y 

(1 + 2 x + x ) = 4 ⎧ ⎪log ⎨ 

d) 

2 

1+ 3sin x = log 

3(3cos y) 

⎨ 

⎪⎩ 

log 

1+ x 

(1 + 2 x) + log 

1−y 

(1 + 2 x) = 2 

⎪⎩ log2 1+ 3cos y = log 

3(3sin x) 

⎧ ( 2 ) 2 

⎪log ( ) 

e) 

2 

1+ 3 1− x = log3 

1− y + 2 

⎨ 

2 

( ) ( 2 

⎪ log ) 

⎩ 2 

1+ 3 1− y = log3 

1− x + 2 

⎧ 2 

⎪2 log 

f) 

3−x(6 − 3y + xy − 2 x) + log 

2−y( x − 6x 

+ 9) = 6 

⎨ 

⎪⎩ 

log 

3−x 

(5 − y) − log 

2−y( x + 2) = 1 


⎧ 

x − 2y 

log x 

x − y 

⎧⎪ 2 4 

a) 2 = y 

⎪ 

⎛ 

( ) 

1 ⎞ 

⎨ 

b) 

3 = 

⎨ 

⎜ ⎟ 


y = 1 

⎝ 3 ⎠ 

⎩ 

⎪ log2 ( x + y) + log2 

( x − y) 

= 4 

log y log x 

⎧ x y 

⎧⎪ 8 8 

c) 

x + y = 4 

⎪ 

3 .2 = 18 

⎨ 

d) ⎨ log ( ) 


y = 1 

1 

x + y = −1 

⎪ 

⎩ 3 

⎧ 

⎪( 3) 

e) 

x−2 

y 

x− 

y ⎛ 1 ⎞ 

= ⎜ ⎟ 

⎨ ⎝ 3 ⎠ 

⎪ 

⎩log 

2 

( x + y) 

+ log 

⎧ x y 

⎪3 .2 = 972 

g) ⎨ 

log ( x − y) 

= 2 

⎪⎩ 3 

x ⎧⎪ 

i) ( x + y) = ( x − y) 

l) 

⎨ 


y = 1 

⎧⎪ 

log y log x 

3 3 

x + y = 

⎨ 

⎪⎩ 

2 27 

log y − log x = 1 

3 3 

2 

y 

( x − y) 

= 4 

f) 

h) 

k) 

⎧ x y 

+ 

⎪ y x 

⎨4 = 32 

⎪ 

⎩ 

log3 − = 1− log3 

+ 

( x y) ( x y) 

⎧ −x 

y 

⎪3 .2 = 1152 

⎨ 

log ( x + y) 

= 2 

⎪⎩ 5 

log xy 

log 2 

⎧⎪ 3 3 

4 = 2 + ( xy) 

⎨ 

2 2 

⎪⎩ x + y − 3x − 3y 


⎧ 

⎪logx 

xy = logy 

x 

m) ⎨ 

2log x 

y 

⎪⎩ y = 4y 

+ 3 

2 



VII. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ 

• Khi giaûi caùc baát phöông trình muõ ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá muõ. 

⎡⎧ a > 1 

⎢ ⎨ 

f ( x) g( x) 

f ( x) > g( x) 

a > a ⇔ ⎢⎩ 

⎢ ⎧ 0 < a < 1 ⎨ 

⎣⎩ ⎢ f ( x) < g( x) 

• Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp giaûi töông töï nhö ñoái vôùi phöông trình muõ: 

– Ñöa veà cuøng cô soá. 

– Ñaët aån phuï. 

– …. 

Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá a coù chöùa aån soá thì: 

M 

N 

a > a ⇔ ( a −1)( M − N) > 0 

Baøi 1. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá): 

a) 3 

c) 

x 

2 

x − 

− 2x 

⎛ 1 ⎞ 

≥ ⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

x − 1 

x + 2 x + 3 x + 4 x + 1 x + 2 

6 3 

x − 2x + 1 1 − x 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

b) ⎜ ⎟ < ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

x x − 1 x − 2 

2 − 2 − 2 > 5 − 5 

d) 3 + 3 − 3 < 11 

2 2 

x − 3x+ 2 x − 3x+ 

2 

e) 9 − 6 < 0 

f) 6 

g) 

2 2 2 

2 x + 1 x 2 x 

2 x 1+ 

x 

x 2 

4 x + x.2 + 3.2 > x .2 + 8x 

+ 12 h) 6. x + 3 . x + 3 < 2.3 . x + 3x 

+ 9 

x x+ 1 x+ 2 x x+ 1 x+ 

2 

2x+ 

3 

< 2 

x+ 

7 

.3 

3x−1 

x + 1 x + 3 x + 4 x + 2 

i) 9 + 9 + 9 < 4 + 4 + 4 

k) 7.3 + 5 ≤ 3 + 5 

x+ 2 x+ 1 x x+ 

2 

x− 1 x+ 

2 

l) 2 + 5 < 2 + 5 

m) 2 .3 > 36 

x− 3 x+ 

1 

x+ 

1 

n) ( 10 + 3) x− 1 

< ( 10 − 3) 

x+ 

3 

o) ( 2 + 1) ≥ ( 2 − 1) 

1 1 

2 − 1 3x+ 

1 

1 x−1 

p) ≤ 2 

q) 2 

x 

≥ 2 

2 

x −2x 

2 

Baøi 2. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñaët aån phuï): 

x x x 

a) 2.14 + 3.49 − 4 ≥ 0 

b) 

c) 

x 

2 ( x − 2) 

2( x − 1) 3 

1 1 

− 1 − 2 

x x 

4 − 2 − 3 ≤ 0 

4 4 

4 − 2 + 8 > 52 

d) 8.3 + 9 > 9 

x 

x−1 

x + x 1+ 

x x 

x x x 

2 + 1 + 1 

e) 25.2 − 10 + 5 > 25 

f) 5 + 6 > 30 + 5 .30 

x x x 

x x x 

g) 6 − 2.3 − 3.2 + 6 ≥ 0 

h) 27 + 12 > 2.8 

i) 

1 1 1 

x x x 

x x x x 

x 

x+ 1 2x+ 

1 2 

49 − 35 ≤ 25 

k) 3 − 2 − 12 < 0 

2 2 2 

2x− x + 1 2x− x + 1 2x−x 

2x 

x+ x+ 

4 x+ 

4 

l) 25 + 9 ≥ 34.25 

m) 3 − 8.3 − 9.9 > 0 

o) 4 

x + x − 1 

5.2 

x + x − 1 + 1 

x 

x 

− + 16 ≥ 0 p) ( 3 + 2 ) + ( 3 − 2 ) ≤ 2 

2 1 

1 

x x + 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

r) ⎜ ⎟ + 3⎜ ⎟ > 12 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

1 1 

+ 1 2 − 

t) 2 x 2 x 9 

3x 

x − 1 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

s) ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ −128 ≥ 0 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 8 ⎠ 

2 

2 x + 1 − 9.2 

x + 4 . + 2x 

− 3 ≥ 0 

+ < u) ( ) 2 

x 




Baøi 3. Giaûi caùc baát phöông trình sau (söû duïng tính ñôn ñieäu): 

x 

a) 2 x 32 

2 1 −x 

x 

− 2 + 1 

< + 1 

b) ≤ 0 

x 

2 −1 

x x 2 

2.3 − 2 

+ 

x+ 4 2x+ 

4 

c) ≤ 1 

d) 3 + 2 > 13 

x x 

3 − 2 

2 

3 − x 

+ 3 − 2x 

3 

x 

+ x − 4 

e) 

≥ 0 

f) > 0 

x 

2 

4 − 2 

x − x − 6 

x 

g) ( ) 2 

2 2 x 

−3x − 5x 

+ 2 + 2x > 3 .2x −3x − 5x 

+ 2 + 2x 3 

Baøi 4. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau coù nghieäm: 

x 

x 

a) 4 − m.2 + m + 3 ≤ 0 

b) 9 − m.3 + m + 3 ≤ 0 

2 

x 

x 

c) 2 

x 

+ 7 + 2 

x 

− 2 ≤ m 

d) ( ) ( ) 

2 −1 

2 + 1 + 2 − 1 + m = 0 

Baøi 5. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi: 

x x x 

a) (3m 

+ 1).12 + (2 − m).6 + 3 < 0 , ∀x > 0. b) ( m − 1)4 + 2 + m + 1 > 0 , ∀x. 

x 

c) .9 ( 2 1) 

x x 

x 

x+ 

2 

m − m + 6 + m.4 ≤ 0 , ∀x ∈ [0; 1]. d) m.9 + ( m − 1).3 + m − 1 > 0 , ∀x. 

cos x 

e) ( ) 

cos x 2 

x x+ 

1 

4 + 2 2m 

+ 1 2 + 4m 

− 3 < 0 , ∀x. f) 4 − 3.2 − m ≥ 0 , ∀x. 

x x 

g) 4 − 2 − m ≥ 0 , ∀x ∈ (0; 1) h) 3 

x 

+ 3 + 5 − 3 

x 

≤ m , ∀x. 

i) 2.25 x (2 1).10 x ( 2).4 x 

x 1 

− m + + m + ≥ 0 , ∀x ≥ 0. k) 4 − x 

− m.(2 + 1) > 0 , ∀x. 

Baøi 6. Tìm m ñeå moïi nghieäm cuûa (1) ñeàu laø nghieäm cuûa baát phöông trình (2): 

⎧ 2 1 

+ 1 

⎛ 1 ⎞ x ⎛ 1 ⎞ x 

⎧ 2 1 

⎪ 

a) ⎜ ⎟ + 3⎜ ⎟ > 12 (1) ⎪ 

+ 1 

⎨ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

b) 2 x 2 x 

⎨ − > 8 (1) 

⎪ 2 ⎪ 2 2 

( ) 

2 

4x − 2 mx − ( m − 1) < 0 (2) 

⎪⎩ m − 2 x − 3( m − 6) 

x − m − 1 < 0 (2) 

⎩ 

x 

x 

x 

x+ 

1 

c) 

2x+ 

1 x 

⎧⎪ − + ≤ 

2 9.2 4 0 (1) 

⎨ 2 

⎪⎩ ( m + 1) x + m( x + 3) + 1 > 0 (2) 

d) 

⎧ 2 1 

+ 2 

⎪ 1 x 1 x 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

+ 9. > 12 (1) 

⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

⎪ 

2 

⎪⎩ 

2x + ( m + 2) 

x + 2 − 3m 

< 0 (2) 

VIII. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT 

• Khi giaûi caùc baát phöông trình logarit ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá logarit. 

⎡⎧ a > 1 

⎢ ⎨ 

f ( x) > g( x) > 0 

log 

a 

f ( x) > log 

a 

g( x) 

⇔ ⎢⎩ 

⎢ ⎧ 0 < a < 1 ⎨ 

⎣⎩ ⎢ 0 < f ( x) < g( x) 

• Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp giaûi töông töï nhö ñoái vôùi phöông trình 

logarit: 

– Ñöa veà cuøng cô soá. 

– Ñaët aån phuï. 

– …. 

Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá a coù chöùa aån soá thì: 



loga B > 0 ⇔ ( a − 1)( B − 1) > 0 ; log 

log 

a 

a 

A 

0 ( A 1)( B 1) 0 

B > ⇔ − − > 

Baøi 1. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá): 

a) log5 (1 − 2x ) < 1+ 

log ( x + 1) 

b) log 

5 

2 ( 1− 2 log9 

x) 

< 1 

c) log 5 − x < log ( 3 − x) 

d) log2 log1 log5 

x > 0 

1 1 

3 3 

1+ 

2x 

e) log 

1 

(log2 

) > 0 

1+ 

x 

3 

g) ⎡ ( 2 ) 

3 

f) ( 2 

x ) 

3 

− 4 log x > 0 

2 

log1 log4 

x − 5 ⎤ 

log x log x 

6 6 

⎣ ⎦ > 0 

h) 6 + x ≤ 12 

i) log ( x 3) 1 log ( x 1) 

+ ≥ + − k) 

2 2 

1 

2 

( log x) 2 

2 + x 

log 

2 2 

2 

l) log ⎛ 

3 

log1 

x ⎞ ≥ 0 

m) 2 log 

8( x − 2) + log 

1 

( x − 3) > 

⎜ ⎟ 

3 

⎝ 2 ⎠ 

8 

⎡ 

n) ( 2 ) ⎤ ⎡ ( 2 ) ⎤ 

log1 ⎣log5 x + 1 + x ⎦ > log3 ⎢log1 

x + 1 − x ⎥ 

3 ⎢⎣ 

5 

⎥⎦ 


( 2 

2 3 

lg x −1) 

log ( ) ( ) 

a) < 1 

b) 

2 

x + 1 − log3 

x + 1 

> 0 

lg( 1− 

x) 

2 

x − 3x 

− 4 

c) 

( 2 ) 

lg x − 3x 

+ 2 

lg x + lg 2 

> 2 

log x 5log 2 − log x 

2 

x 2 

d) x + x − 18 < 0 

3x 

−1 

2 x 

e) log 

x 

> 0 

f) log 

2 3 

x.log2 x < log3 x + log2 

x + 1 

4 

x 

g) log 

x(log 4(2 − 4)) ≤ 1 

h) log 2 (3 − x) > 1 

3x−x 

i) ( 2 

− + ) ≥ k) ( 2 ) 

log 

x 

x 8x 

16 0 

5 

⎛ x −1 

⎞ 

log log ⎟ > 0 

x + 2 ⎠ 

l) 

x+ 

6 ⎜ 2 

⎝ 

3 

2 

log2x x − 5x 

+ 6 < 1 

m) log ( x + 1) > log 2 ( x + 1) 

x−1 x −1 

n) (4x − 16x + 7).log 

3( x − 3) > 0 

o) (4 − 12.2 + 32).log 

2(2x 

−1) ≤ 0 

Baøi 3. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñaët aån phuï): 

a) log2 

x + 2 logx 

4 − 3 ≤ 0 

b) log ( 1− 2x) < 1+ log ( x + 1) 

c) 

5 

x 

x 

5 5 

2 log x − log 125 < 1 

d) log 64 + log 2 16 ≥ 3 

x 

e) logx 2.log2x 2.log2 

4x > 1 

f) 

2 

log x log x 

x x x 

4 2 

g) + > 

2 

1− log2 1+ log 

2 

1− 

log 

2 

2 

i) log 

1 

x − 6log 

2 

x + 8 ≤ 0 

k) 

2 

2x 

x 

x 

2 2 

1 

x 

1 

x 

2 4 

log + log < 0 

1 2 

h) + ≤ 1 

4 + log x 2 − log x 

2 

2 

3 3 3 

log x − 4 log x + 9 ≥ 2 log x − 3 

2 

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 100/232



2 

2 

l) log (3x + 4x 

+ 2) + 1 > log (3x 

+ 4x 

2) 

m) 

n) 

p) 

9 3 

+ 

2 

1 

x 

1 

8 8 

1 2 

+ < 1 

5 − log x 1+ 

log x 

5 5 

1 

1− 9 log > 1− 4 log x 

o) logx 

100 − log100 

x > 0 

2 

1+ 

log 

1+ 

log 

2 

3 

3 

x 

> 1 

x 

Baøi 4. Giaûi caùc baát phöông trình sau (söû duïng tính ñôn ñieäu): 

2 

0,5 0,5 

q) 

1 

logx 

2.log 2 > 

log x − 6 

x 

x 

a) ( x + 1)log x + (2x + 5) log x + 6 ≥ 0 b) log 

2 

(2 + 1) + log3(4 

+ 2) ≤ 2 

5 + x 

lg 

3 2 

c) 

> 

d) 5 − x < 0 

log 

2 ( x + 1) log3 

( x + 1) 

x 

2 − 3x 

+ 1 

Baøi 5. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau coù nghieäm: 

a) ( 2 ) 

1 

log1/2 

x − 2x + m > − 3 

b) logx 

100 − logm 

100 > 0 

2 

c) 

1 2 

+ < 1 

5 − log x 1+ 

log x 

m 

m 

e) log2 log2 

d) 

1+ 

log 

1+ 

log 

2 

m 

m 

x 

16 

x 

> 1 

x 

2 2 

x−m 

x + m > x 

f) log ( x − 1) > log ( x + x − 2) 

x−m 

Baøi 6. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi: 

a) log ( 7x 2 7) log ( mx 2 4x m) 

+ ≥ + + , ∀x 

2 2 

2 

2 

b) log ( − 2x 

+ m ) + 4 log ( x − 2x 

+ m) 5 

x , ∀x ∈[0; 2] 

2 2 

≤ 

2 2 

5 5 

c) 1+ log ( x + 1) ≥ log ( mx + 4 x + m) 

, ∀x. 

2 

d) 

⎛ 2 − log m ⎞ 1 x − 2 ⎛ 1+ log m ⎞ 1 x − 2 ⎛ 1+ log m ⎞ 

1 

> 0 , ∀x 

⎜ 1+ m ⎟ ⎜ 1+ m ⎟ ⎜ 1+ 

m ⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

Baøi 7. Giaûi baát phöông trình, bieát x = a laø moät nghieäm cuûa baát phöông trình: 

a) ( 2 ) ( 2 ) 

b). 

log x − x − 2 > log − x + 2x + 3 ; a = 9 / 4 . 

m 

m 

2 2 

m 

log (2x + x + 3) ≤ log (3 x − x); a = 1 

m 

Baøi 8. Tìm m ñeå moïi nghieäm cuûa (1) ñeàu laø nghieäm cuûa baát phöông trình (2): 

⎧ 2 2 

log1 x + log1 

x < 0 (1) 

⎪ 

⎧ 2 

⎪ 

a) ⎨ 2 4 

b) 

log x (5 x − 8 x + 3) > 

⎨ 

2 (1) 

2 4 

⎪ 2 2 

x − 2x + 1− m > 0 (2) 

⎩x + mx + m + 6m 

< 0 (2) 

⎪⎩ 

Baøi 9. Giaûi caùc heä baát phöông trình sau: 

⎧ 2 

x + 4 

⎧ x+ 

1 

x 

⎪ 

> 0 

⎪( x − 1) lg 2 + lg( 2 + 1) < lg( 7.2 + 12) 

a) ⎨ 2 

x − 16x 

+ 64 

b) ⎨ 

⎪ 

log 

⎩lg x + 7 > lg( x − 5) − 2 lg 2 

⎪⎩ x ( x + 2) 

> 2 

⎧⎪ 

log2−x 

( 2 − y) 

> 0 

⎧ ⎪log x−1( y + 5) < 0 

c) ⎨ 

d) ⎨ 

log4−y 

( 2x 

− 2) 

> 0 

log 

⎪⎩ 

y+ 

2(4 − x) < 0 

⎪⎩ 

2 



IX. OÂN TAÄP HAØM SOÁ 

LUYÕ THÖØA – MUÕ – LOGARIT 


a) 

2x− 1 x+ 

1 

2 .4 

8 

x−1 

x+ 

0,5 

3x−1 8x−2 

= 64 

b) 9 = 3 

x 

2 

x+ 1 x + 2x−11 9 

0,2 (0,04) 

⎛ 5 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 

c) = d) ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 

5 25 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 25 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

2 1 

2 

x+ x+ 1 x−1 

x 

e) 7 − .7 − 14.7 + 2.7 = 48 f) ( x − 7,2x+ 

3,9 

3 − 9 3) 

lg(7 − x) = 0 

7 

2 

⎛ 

1 ⎞ x −1 

3 

g) 

⎜ x + 

2(2 ) 

2 x ⎟ 

x x 1 

⎝ ⎠ = 4 

h) 5 . 8 x− = 500 

1 

1 lg x 

3 

2 

1 

i) x − = k) x 

3 


l) 

x 

lg x+ 

5 

3 10 5 + lg x 

lg x 2 

= 1000x 

= m) ( ) 

3 


2 2 

x + 2 x + 2 

x 

log x− 1 

= 

3 

2 2 

x − x −5 x −1− x −5 

a) 4 − 9.2 + 8 = 0 

b) 4 − 12.2 + 8 = 0 

x x x 

c) 64.9 − 84.12 + 27.16 = 0 

d) 

2 2 

x −1 x −3 

1 3 

3+ 

x x 

64 − 2 + 12 = 0 

4x+ 8 2x+ 

5 

e) 9 − 36.3 + 3 = 0 

f) 3 − 4.3 + 28 = 2 log 2 

x 

= + − + h) ( ) ( ) 

2x+ 1 x+ 2 x 2( x+ 

1) 

g) 3 3 1 6.3 3 

1+ log x 1+ 

log x 

i) 

3 3 

5 + 24 + 5 − 24 = 10 

lg x + 1 lg x lg x + 2 

9 − 3 − 210 = 0 

k) 4 − 6 − 2.3 = 0 

sin 

2 2 

x 

cos 

x 

lg(tan x) lg(cot x ) + 1 

l) 2 + 4.2 = 6 

m) 3 − 2.3 = 1 


6−5x 

⎛ 2 ⎞2+ 

5x 

25 

a) ⎜ ⎟ < 

⎝ 5 ⎠ 4 

c) 

2 x 2+ 

x 

x .5 − 5 < 0 

d) x 

x 

e) 4 + 2 x − 4 ≤ 2 

x −1 

g) 

b) 

f) 

x−1 

x+ 2 x+ 3 x+ 4 x+ 1 x+ 

2 

⎛ 1 ⎞ 

2 − 2 − 2 > 5 − 5 

h) ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

⎛ 1 ⎞ 

i) ⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

x+ 

2 

2− 

x 

2x+ 

1 

> 9 

⎛ 1 ⎞ 1− 

x ⎛ 1 ⎞ 

l) ⎜ ⎟ > ⎜ ⎟ 

⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 

−3 

2 − 1 < 2 

x+ 

1 

2 + 1 

2 

lg x− 3lg x + 1 

> 

x−2 


3 ⎛ 2 ⎞ 

8. > 1+ ⎜ ⎟ 

x x 

3 − 2 ⎝ 3 ⎠ 

2 

2 

log ( x −1) 

1 2 

x+ − 

> 1 

⎛ 1 ⎞ 2 x 1 

k) ⎜ ⎟ > 

⎝ 3 ⎠ 27 

x 

72 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

m) 3 . ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ > 1 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

x 

x 

2 

2 

x 




x 2x x 

−x 

− x+ 

1 

a) 4 − 2.5 − 10 > 0 

b) 25 − 5 ≥ 50 

1 1 1 

− − − 

2 

c) 9.4 x + 5.6 x < 4.9 x 

lg x+ 2 lg x + 5 

d) 3 < 3 − 2 

2x+ 

3 

x 1 

e) 4 + x 

2x+ 1 ⎛ 1 ⎞ 

− 16 < 2 log4 

8 

f) 2 − 21. ⎜ ⎟ + 2 ≥ 0 

⎝ 2 ⎠ 

2( x−2) 

2−3x 

x 2( x−1) g) 4 − 2 + 8 3 

4−3x 

⎛ 1 ⎞ 

> 52 

h) 3 − 35. ⎜ ⎟ + 6 ≥ 0 

⎝ 3 ⎠ 

x x+ 

2 x 

x x x 

i) 9 − 3 > 3 − 9 

k) 9 + 3 − 2 ≥ 9 − 3 


x 

2 

5 x x 

a) log 

3(3 − 8) = 2 − x 

b) log 

− 

( − 2 x + 65) = 2 

x 

c) 

7 7 

x 

log (2 − 1) + log (2 − 7) = 1 

d) log 

3(1 + log 

3(2 − 7)) = 1 

log lg x 

2 

3 

3 

e) 3 − lg x + lg x − 3 = 0 

f) 9 = 5x 

− 5 

g) 

x 

1+ 

lg x 

x 

log (1−2 x) 2 

5 

= 10x 

h) ( x ) 

2 2 

lg x+ lg x −2 

⎛ lg x ⎞ 

i) ⎜ ⎟ = lg x 

⎝ 2 ⎠ 

⎛ 1 x ⎞ 

l) log3 ⎜ log9 

x + + 9 ⎟ = 2x 

⎝ 2 ⎠ 


a) ( ) 2 

c) 

k) x 

log x− 1 

= 

5 

lg x+ 

7 

4 10 lg x+ 

1 

= 

x − 3 x − 3 

x − 7 x −1 

m) 2 log3 + 1 = log3 

2 log 5 − 3log 5 + 1 = 0 

b) log1/3 x − 3 log1/3 

x + 2 = 0 

x 

x 

2 

2 

x 

2 

x+ 

2 2 

2 

x 

x 

3 

x = f) 

3 

( 

1/2 

x 

1/2 

x ) 

log + 2 log x − 2 = 0 

d) 3 + 2 log 

1 

3 = 2 log 

3( x + 1) 

e) ( ) 

g) 

log 9 .log 4 

2 2 2 

lg (100 x) − lg (10 x) + lg x = 6 

h) 

x 

i) 

3 

x 

3 

l) 

x 

log log − 3log + 5 = 2 

2 9 2 

log 

2(2 x ).log 

2(16 x) = log2 

x 

2 

x x x+ 1 

2 2 2 

log (9 + 9) = + log (28 − 2.3 ) 

k) log (4 + 4) = log 2 + log (2 − 3) 

x+ 3 x+ 

3 

2 2 

log (25 − 1) = 2 + log (5 + 1) m) lg(6.5 + 25.20 ) = x + lg25 


2 

2x 

− 6 

a) log 

0,5( x − 5x 

+ 6) > − 1 

b) log7 

> 0 

2x 

−1 

2 − 3x 

c) log3 x − log3 

x − 3 < 0 

d) log1/3 

≥ − 1 

x 

2 

2 

e) log 

1/4 

(2 − x) > log1/4 

f) log ⎡ 

1/3 

log 

4( x − 5) ⎤ > 0 

x + 1 

⎣ ⎦ 

2 

x − 4 

log 

g) 

< 0 

h) 

2( x + 1) 

> 0 

2 

log ( x −1) 

x −1 

1/2 

⎡ 

x 

x 

i) log log 

9(3 9) ⎤ 

2 

⎣ − ⎦ < 1 

k) log2x+ 3 

x < 1 

l) 

2 

log 

2− x 

( 8 15) 

2 x + x + 

1 

< m) (0,5) x + 3 > 1 

x 

log 

1/3 2 

x+ 

5 

x 




2 

⎧⎪ 

( x−y) −1 

a) 

4 = 1 

⎨ 

b) 

x+ 

y 

⎪⎩ 5 = 125 

x+ 

y ⎧⎪ 4 = 128 

⎨ 3x−2y−3 

⎪⎩ 5 = 1 

c) 

⎧ x y 

2 + 2 = 12 

⎨ 

⎩ x + y = 5 

x x 

x 

x y 

⎧⎪ 3.2 + 2.3 = 2,75 

⎧⎪ 7 − 16y 

= 0 

⎧⎪ 3 .2 = 972 

d) ⎨ 

e) 

x y 

⎨ 

f) 

x 

⎨ 

⎪⎩ 2 − 3 = −0,75 

⎪⎩ 4 − 49y 

= 0 

log ( x − y) = 2 

⎪⎩ 3 

⎧ x 5y−x 

2 

2x 

y 

⎪ y y 

⎧⎪ 

g) ⎨4 − 3.4 = 16 

3 − 2 = 77 

⎧ 2 y−x 

⎪( x + y) 

2 = 1 

h) ⎨ 

i) 

x y/2 

⎨ 

2 

⎪ 

⎩ x − 2y 

= 12 − 8 

⎪⎩ 3 − 2 = 7 

2 x −y 

⎪⎩ 9( x + y) 

= 6 


⎧log ( x − y) = 2 

⎧log a) 

4 

x − log2 

y = 0 

⎪ 3 

⎨ 

b) 

2 2 

⎨ 

7 c) 

⎧ lg y 

x 2 

⎨ 

= 

⎩ x − 5y 

+ 4 = 0 

⎪log4 

x − logx 

y = ⎩ xy = 20 

⎩ 

6 

⎧1 1 2 

⎧ log 

d) 

2 

x + 2 log2 

y = 3 

− = 

log 2 

⎪ 

x 

log y 

5 

⎧⎪ 3 = y 

⎨ 

e) 

2 4 

⎨ x y 15 

f) ⎨ log 3 

⎩ x + y = 16 

y log x 

7 

⎪ 

⎩log3 x + log3 y = 1+ 

log3 

5 ⎪⎩ 2 = x 

2 2 

g) 

⎧ ⎧ x y 9 

lg( x + y ) − 1 = lg13 ⎪ + = 

2 2 

⎧ 

⎨ 

h) 

8 

⎪ 

xy = 8 

⎨ y x 

i) 

⎩lg( x + y) − lg( x − y) = 3lg 2 ⎪ ⎨ 

( ) 

log2 x + log y = 

2 logy 

x + logx 

y = 5 

3 

⎪⎩ 

⎩ 

2 

⎧ y 

⎧ x y 

⎪2 log 

k) 

2 

x − 3 = 15 

+ 

x y 

⎪ y x 

⎧⎪ 3 .2 = 576 

⎨ 

l) 4 32 

y 

y+ 

1 ⎨ = 

m) ⎨ 

⎪⎩ 3 .log2 x = 2 log2 

x + 3 

log ( y − x) = 4 

⎪ 

⎩log 3( x − y) = 1− log 

3( x + y) 

⎪⎩ 2 



ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG II 

ĐỀ 1 

Câu 1: (3,0 điểm) Tìm tập xác định của các hàm số sau: 

1 

a) y = 

b) y log 

x 

7( x 3) 

5 − 25 

Câu 2: (3,0 điểm) 

a) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 

x 

2 

i) y = e − ln x + 3 

ii) y = x + log ( x + 1) 

= + c) y = ( 3 − x) −5 

⎞ 

b) Tính giá trị của biểu thức: A = 10 + ⎜ ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

Câu 3: (2,0 điểm) Giải các phương trình sau: 

x x 

⎛ 20 ⎞⎛ 11⎞ a) 5.25 − 26.5 + 5 = 0 

b) ⎜log 20 ⎟⎜ log11 

⎟ = 1 

⎝ x ⎠⎝ x ⎠ 

Câu 4: (2,0 điểm) 

log 2 ⎛ 1 

2x+ 2 x+ 

1 

a) Giải bất phương trình: ( ) 

b) Tìm các cặp số thực ( x ; y) 

sao cho: 

x 

2 

3 

− 

2 

2 5 − 2 + 5 ≤ 0 . 

2 2 

x 1 3 1 

16 + x − y y 

+ 16 + + = 0,0625 . 

ĐỀ 2 

1+ log9 4 2−log2 

3 

Câu 1 (2đ) Tính giá trị của biểu thức sau: A = (3 ) : (4 ) 

Câu 2 (2đ) Chứng minh rằng: 

log 

ab 

+ log 

log 

ax( bx) 

= 

1+ 

log x 

a 

a 

x 

Câu 3 (2đ) Giải phương trình và bất phương trình: 

a) log 2 x + log 2 (x-1) =1 

b) 

⎛ x−2 

⎞ 

log3 

⎜ ⎟ 

⎝ x ⎠ 

< 

5 1 

Câu 4 (2đ) Cho hàm số f(x) = ln 1+ . Tính f ’ (ln2) 

Câu 5 (2đ) Giải hệ phương trình: 

x 

e 

x 

⎧ ⎨ 2 = 200.5 

⎩x 

+ y = 1 

y 

ĐỀ 3 

Câu 1: a/(1đ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 

1 

y x − 3 

= 

2 

b/ (1đ)Cho hàm số y = ln( x + x + 1) . Giải phương trình y’=1 

Câu 2: (1,5đ) Giải các phương trình sau: 

log x + log x + log x = 7 

a/ 

2 4 16 



b/ 4.9 x +12 x -3.16 x =0 

Câu 3: (2,5đ)Giải các BPT 

log 3x-5 < log x + 1 

a/ ( ) ( ) 

0,2 1 

5 

( x ) ( ) 

b / log −1 − log 2x-1 ≥ log 2 

x x 

( ) 

c / log 4 + 3.2 < log 3 

2 3 

Câu 1: (3 điểm) Thực hiện phép tính 

a) 

b) 

1 

− 1 

3 

⎛ 

−2 

⎞ 

0,027 − ⎜ − ⎟ + 256 + 3 + 0,1 

⎝ 6 ⎠ 

log2 

3 

0,75 −1 0 

⎛ 1 ⎞ log16 − log4 

⎜ ⎟ + − log 

4 log 

4 2 

⎝ 8 ⎠ log64 

ĐỀ 4 

Câu 2: (2 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau 

a) y = xe −2x 

b) y = x ln x − x ( x > 0) 

Câu 3: (2 điểm) Giải các phương trình 

2x−3 3x−7 

⎛ 7 ⎞ ⎛11⎞ 

a) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 

⎝11⎠ ⎝ 7 ⎠ 

Câu 4: (2 điểm) Giải các bất phương trình: 

2x 

x 

a) 3 3 6 0 


b) 

2log x − 14log x + 3 = 0 

2 

2 4 

− − ≥ b) log ( x 2 + x − 2) > log ( x + 3) 

0,1 0,1 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x 2 − ln ( 1− 2x) 

trên đoạn [ − 2;0] 

ĐỀ 5 

1 1 4 

3 3 3 

− 

2 

2a − 3 

2 a (4a 5 a ) 

Câu 1 : Đơn giản và tính giá trị biểu thức : A = 

; với a = 1. 

Câu 2 : Giải các phương trình sau : 

a) 3. 9 x + 12 x = 2.16 x b) log 2 3x + log 9 x 4 – 2 = 0 . 

Câu 3: Tìm tập xác định : 

x x 

a) y = 25 − 5 − 2 

b) y = log ( 1 − x 

) . 

3 − 2x 

ĐỀ 6 

x 3 

Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số y = log ( 5 − 5) 

1 

2 



1 

1+ 

log 25 log 2 

Câu 2. Rút gọn biểu thức sau: M = 3 9 + 2 27 

x 

e + 2 

Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số y = ln 

x 

e + 1 

1 

Câu 4. Tính log 

3 5 

72 biết 1 

log 

1 

= a 

2 27 

Câu 5. Giải các phương trình sau 

x x 

A. 9 2.3 3 0 

log x + 1 + log 3x 

− 1 = 5 

+ − = B. ( ) ( ) 

x x x 

C. 10 + 6 = 2.5 + 3.2 D. 

E. 

3 3 

2 x + x + 2 x 2+ x + 2 x + 4 x −4 

4 + 2 = 4 + 2 

Câu 1 (3 đ). Rút gọn các biểu thức sau: 

a/ 

5 1 

−1 A 2 2 

a + a b + b 

= + a −1 

3 1 

−1 

b 2 b 2 

− 

b/ 

2 2 

log 9 

x .3 x = 27 

ĐỀ 7 

Câu 2 (1 đ). Cho log 7 = a. 

Tính log 2 

2 

28 

Câu 3 (6 đ). Giải các phương trình sau 

a/ 36x 

5.6x 

6 0 

c/ 

1 

3 

4 2 

log 3 log 1 

2 1211 

3+ 

log 

B = + 3 + 7 

2 

theo a. 

− − = b/ ( x ) ( x ) 

2 

2 2 

9x + − 3x = 5x + 2x 

+ 4 − 1 d/ 

Câu 1(3 đ). Rút gọn các biểu thức sau: 

a/ 

5 1 

−1 A 2 2 

a − a b − b 

= + a −1 

3 1 

+ 1 

b 2 b 2 

+ 

Câu 2( 1đ ). Cho log 7 = a. 

Tính log 3 

3 

21 

Câu 3 (6đ). Giải các phương trình sau 

a/ 49x 

6.7x 

7 0 

c/ 

ĐỀ 8 

b/ 

log − 2 + log + 6 = 2 

3 3 

log 81− log 9 = 1 

3x 

2 

x 

1 

2 

4 3 

log 2 log 1 

3 2012 

2+ 

log 

B = + 2 + 5 

3 

theo a. 

− − = b/ ( x ) ( x ) 

1 

2 2 

25x + − 5x = 5x + 2x 

+ 2 − 1 d/ 

ĐỀ 9 

log + 7 + log + 1 = 3 

3 3 

log 9 log 27 0 

x − = 

3 3 

x 



Câu 1 : (1đ) Cho a, 

b là những số thực dương. Rút gọn biểu thức : 

Câu 2 : (2đ) 

a) Tính đạo hàm của hàm số : 

y = x − x e 

2 

( 2 ) x 

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 

y = x 2 ln x trên đoạn 

1 9 1 3 

− 

4 4 2 2 

a 

A = 

− a b 

− 

− b 

a − a b + b 

1 5 1 1 

− 

4 4 2 2 

⎡1 ⎤ 

⎢ ;1 

⎣2 

⎥ 

⎦ 

Câu 3 : (6đ) Giải các phương trình và bất phương trình sau : 

x x 

x x x 

a) 4.4 − 12.2 + 8 = 0 b) 3.4 − 2.6 = 9 

c) 4log4 

x − 5log 

x 

4 + 1 ≤ 0 

Câu 4 : Học sinh chọn một trong hai câu a) hoặc b) 

m m m 

a) (1đ) Cho a + b = c , với a > 0, b > 0 . Chứng minh rằng : a + b < c , nếu m > 1. 

x+ 1 3−x 

8 

b) (1đ) Giải phương trình : 2 + 2 = 

2 

log ( x − 2x 

+ 3) 

2 


Câu 1: (3,0 điểm) Tìm tập xác định của các hàm số sau: 

1 

a) y = 

b) y = log ( x − 7) 

c) y = 

x 

( 2x 

+ 3) 

3 

3 −1 

Câu 2: (2,5 điểm) Giải các phương trình sau: 

x 

x 

1 

a) 4 − 10.2 + 16 = 0 b) log 

2 

7 ( x + 4 x − 8 ) = log 

7 10 x − log 

7 5 x 

2 

Câu 3: (2,0 điểm) 

a) Tính đạo hàm của hàm số: y = ( x + 1). e x − ln x + 1 

log7 

4 

b) Tính giá trị của biểu thức: 49 

Câu 4: (2,5 điểm) 

⎡ ⎛ x 15 ⎞⎤ 

a) Giải bất phương trình: log log 4 2 

2 ⎢ − ≥ 

0,5 ⎜ ⎟ 

16 

⎥ 

⎣ ⎝ ⎠⎦ 

b) Giải phương trình: log x + log ( x + 1) = log ( x + 2) + log ( x + 3) 

2 3 4 5 

π + 1 

Bài 1(2đ): Tính giá trị biểu thức: 


1 

−0,75 

3log 3+ 

log 5 1 

2 −4 

1 

8 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

A = 4 ; B = ⎜ ⎟ + (0,5) − ⎜ ⎟ 

⎝ 81⎠ ⎝ 32 ⎠ 

Bài 2(1đ): Tìm tập xác định của hàm số: 

Bài 3(3đ): Giải các phương trình sau: 

y = − x + x − 

3 

− 

5 

2 

log 

3( 5 6) 



log ( x + 1) + log ( x + 3) = 3; b. 

a. 2 2 

− x 1−x 

49 − 7 = 60 

Bài 4(3đ): Giải các bất phương trình sau: 

⎛ 1 ⎞ 

a. ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

2 

x − x+ 

6 

Bài 5(1đ): Cho hàm số 

< 1 ; 

y'. cosx − y '' − y.sinx = 0 

y 

2x 

− 3 

log ≤ 1 

x + 1 

b. 3 

sinx 

= e . Chứng minh hệ thức 


log2 6 2 log3 

2 

Câu 1: (2đ) Rút gọn biểu thức A = 4 + 3 + 

sin x x 

Câu 2: (1.5đ) Tính đạo hàm của hàm số sau tại x = π : y = ln(7 + e ) 

Câu 3: (6.5đ) Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau: 

a) 

b) 

c) 

2 

lg x+ 1 lg x lg x + 2 

4 − 6 − 2.3 = 0 

x 

x−2 

log (4 + 59) − 4.log 2 < 1+ log (2 + 1) 

3 3 3 

2 3 

⎧3.log 9(9 x ) − log3 

y = 3 

⎨ 2x 

y 

⎩ 2 + 3.2 = 4 



ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ I 

Chủ đề 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 

1. Các kiến thức cơ bản cần nhớ 

1. Ứng dụng đạo hàm cấp một để xét tính đơn điệu của hàm số. Mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch 

biến của một hàm số và dấu hàm cấp một của nó. 

2. Cực trị của hàm số. Điều kiện đủ để có cực trị. Điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm 

số. Các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số. 

3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một 

tập hợp số. 

4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang. 

5. Khảo sát hàm số. Sự tương giao của hai đồ thị. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Các 

bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập 

bảng biến thiên, vẽ đồ thị). 

2. Các dạng toán cần luyện tập 

1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm. 

2. Tìm điểm cực trị của hàm số. 

3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng. 

4. Tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 

5. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 

3 2 

y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0) 

4 2 

y = ax + bx + c ( a ≠ 0) 

ax + b 

y = ( ac ≠ 0, ad − bc ≠ 0) , trong đó a, b, c là các số cho trước. 

cx + d 

6. Dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của một phương trình. 

7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số. 

8. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước(như điểm cố định…). Tương giao giữa hai đồ thị 

(một trong hai đồ thị là đường thẳng); 

MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHỦ ĐỀ 1. 

I. Đơn điệu của hàm số. 

Cho hs y = f(x) xác định trên K (K ⊂ R) 

1) Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x∈K thì hs đồng biến trên K. 

2) Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x∈K thì hs nghịch biến trên K. 

Dấu “=” chỉ xảy ra (với cả 2 trường hợp trên) tại một số hữu hạn điểm x∈K. 

* Nhắc lại kiến thức lớp 10: 

Cho tam thức bậc hai g(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) và biệt thức ∆ = b 2 – 4ac 

⎧∆ ≤ 0 

1) g(x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⎨ 

⎩a > 0 

⎧∆ ≤ 0 

2) g(x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⎨ 

⎩a < 0 

II. Cực trị của hàm số. 

1) Điều kiện cần để hs có cực trị: 

Nếu hs y = f(x) có đạo hàm và đạt cực trị tại x 0 thì f’(x 0 ) = 0 (ngược lại không đúng) 

2) Điều kiện đủ (gọi là dấu hiệu) để hs có cực trị: (dùng để tìm cực trị của hs) 

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 110/232


a) Dấu hiệu I: “đạo hàm đổi dấu khi x đi qua x 0 thì x 0 là điểm cực trị” 

b) Dấu hiệu II: 

⎧f '(x 

0) = 0 

* Nếu ⎨ thì hs đạt cực tiểu tại x 0 

⎩f "(x 

0) > 0 

⎧f '(x 

0) = 0 

* Nếu ⎨ thì hs đạt cực đại tại x 0 

⎩f "(x 

0) < 0 

Chú ý: cả 2 điều kiện trên đều là điều kiện 1 chiều! 

III. Qui tắc tìm GTLN và GTNN của hs. 

1) Nếu bài toán yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hs trên khoảng, hoặc trên TXĐ thì ta lập BBT rồi 

KL. 

a;b thì ta thực hiện các bước sau: 

2) Nếu bài toán yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hs trên đoạn [ ] 

Bước 1: Khẳng định trên đoạn [ a;b ] , hs đã cho liên tục 

Bước 2: Tìm các điểm x ∈[ a;b] 

mà tại đó đạo hàm không xác định, hoặc là nghiệm của đạo hàm 

Bước 3: Tính giá trị của hs tại các điểm x nói trên bước 2, giá trị của hs tại 2 đầu mút a, b của [ a;b ] 

So sánh các giá trị ở bước 3 rồi KL. 

Lưu ý khi tìm GTLN và GTNN của hs trên đoạn [ ] 

IV. Tìm các đường tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hs. 

−∞,a ∪ b, +∞ . 

Tìm TXĐ của hs, giả sử hs y = f(x) có TXĐ: D = ( ) ( ) 

a;b thì ta có thể lập BBT rồi KL cũng được 

Ta tìm các giới hạn của hs khi x tiến tới các “biên” của TXĐ, ở đây ta có 4 “biên”: −∞ ; +∞ ; trái a; phải 

− + 

b. Vậy ta tìm cả thảy 4 giới hạn của hs khi x → −∞, x → +∞, x → a , x → b . (lưu ý phải tìm đủ tất cả 4 

giới hạn) 

Giả sử lim y = y 0 

thì KL đồ thị hs có 1 đường tiệm cận ngang y = y 0 ( x tiến tới vô cùng, y tiến tới số) 

x→+∞ 

Giả sử lim y = −∞ thì KL đồ thị hs có 1 đường tiệm cận đứng x = a (x tiến tới số, y tiến tới vô cùng) 

x→a 

− 

V. Bài toán PT, BPT chứa tham số có ràng buộc điều kiện nghiệm. 

Giả sử hs y = f(x) liên tục trên đoạn [ a;b ] và Min y = m , Max y = M . k là số thực. Khi đó: 

[ a;b] 

[ a;b] 

1) PT f(x) = k có nghiệm thuộc [ a;b] 

⇔ m ≤ k ≤ M 

2) BPT f(x) ≥ k có nghiệm thuộc [ a;b] 

⇔ k ≤ M 

∀ ∈ [ ] ⇔ ≤ 

3) BPT f(x) ≥ k nghiệm đúng x 

a;b k m 

4) BPT f(x) ≤ k có nghiệm thuộc [ a;b] 

⇔ k ≥ m 

5) BPT f(x) ≤ k nghiệm đúng ∀x 

∈ [ ] ⇔ ≥ 

BÀI TẬP 

I. ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN 

a;b k M 

1. Cho hàm số 

y 

3x 

+ 1 

1 x 

C . 

= − 

có đồ thị ( ) 

CMR hàm số đồng biến trên khoảng xác định. 

2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 

y x x 

2 

= 2 − . 

3. CMR hàm số 

y x x 

2 

= 2 − đồng biến trên khoảng ( ) 

0;1 và nghịch biến trên khoảng ( ) 

1;2 . 



4. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 

y x x 

2 

= 2 − . 

5. Cho hàm số y=x 3 -3(2m+1)x 2 +(12m+5)x+2. Tìm m để hàm số luôn đồng biến. 

6. Cho hàm số y=mx 3 -(2m-1)x 2 +(m-2)x-2. Tìm m để hàm số luôn đồng biến. 

3 

x 

7. Chứng minh rằng với x > 0, ta có: x − < sin x 

6 

8. Cho hàm số f ( x) = 2sin x + tan x − 3x 

⎡ π ⎞ 

a. CMR hàm số đồng biến trên 

⎢ 

0; ⎟ 

⎣ 2 ⎠ 

⎡ π ⎞ 

b. CMR 2sin x + tan x > 3 x, ∀x 

∈ 

⎢ 

0; ⎟ 

⎣ 2 ⎠ 

II. CỰC TRỊ 

3 2 

Câu 1: Chứng minh hàm số ( ) 

1 

y = x − mx − 2m + 3 x + 9 luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số m. 

3 

3 2 2 

y = x − 3mx + m − 1 x + 2 đạt cực đại tại điểm x = 2 . 

Câu 2: Xác định tham số m để hàm số ( ) 

4 2 

y mx m x m 

Câu 3: Tìm m để hàm số ( ) 

= − + 2 − 2 + − 5 có một cực đại tại 

1 

x = . 

2 

Câu 4: Tính giá trị cực trị của hàm số 

3 2 

y = x − 2x x − x + 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. 

Câu 5: Tìm m để hàm số ( ) 3 2 

y = m + 2 x + 3x + mx − 5 có cực đại, cực tiểu. 

III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 

2 

1. Tìm GTNN, GTLN của hàm số: y = ( x + 2) 4 − x 

2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 

y x x 

2 

= 3 + 10 − . 

3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x( 4 x) 

= − . 

4 2 

4. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x) = x − 2x 

+ 1 trên đoạn [ ] 

5. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x) x 2cosx 

0; 2 . 

⎡ π ⎤ 

= + trên đoạn 

⎢0; ⎣ 2 ⎥ 

⎦ . 

6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: f ( x) 

= x + trên đoạn [ 2;4 ] 

7. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x) 

= − x + 1− trên đoạn [ 1;2 ] 

+ 

9 

x 

4 

x 2 

− . 

3 2 

8. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x) = 2x − 6x 

+ 1 trên đoạn [ 1;1] 

− . 

9. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f ( x) 

2x 

−1 

= 

x − 3 

trên đoạn [ 0;2 ] . 



IV. TIỆM CẬN 

Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau: 

2 

2 

2x 

−1 

x − x − 2 

x + 3x 

a) y = 

b) y = 

c) y = 

2 

2 

x + 2 

x −1 

x − 4 

e) y = 

x + 1 

x 

2 

+ 3 

( ) 

x − 5 

x 

f) y = 

g) y = 

2 

x + 3 

2 

− 2x 

+ 4 

x − 3 

2 − x 

d) y = 

2 

x − 4x 

+ 3 

2 

x + 5 

h) y = 

x − 2 

IV. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ 

Câu 1: Cho hàm số 

3 

y = x − x − C 

3 2 ( ) 

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C). 

2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M ( −2; − 4) 

o 

3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 

y = 24x + 2008 ( d) 

. 

4. Viết phương trình tt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: 

1 

y = x − 2008 ( d ') 

3 

5. Viết phương trình tt với (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung. 

6. Biện luận số nghiệm của phương trình: 

7. Biện luận số nghiệm của phương trình: 

3 

x x m 

− 3 + 6 − 3 = 0 theo m 

x − x − = m theo m 

3 

| 3 2 | 


1 5 

2 ( ) 

2 2 

4 2 

y = x − x + C 

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C). 

2. Viết pt tt với đồ thị (C) tại điểm 

3. Biện luận số nghiệm của pt: 

M ⎛ 5 

⎜ 2; ⎞ 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

1 4 2 5 − m 

x − 2x 

+ = 0 

2 2 

Câu 3:1. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số 

y x x 

3 2 

= − + 3 . 

2. Dựa vào đồ thị ( C ) , biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 

3 2 

− x + x − m = 

3 0 


3 2 

= 2 + 3 − 1. 

y x x 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 

2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 

3 2 

2 3 1 

x + x − = m 




4 2 

= − + 2 + 3 có đồ thị ( C ) 

y x x 

1. Khảo sát hàm số 

2. Dựa vào ( C ) , tìm m để phương trình: 


− 2 + = 0 có 4 nghiệm phân biệt. 

4 2 

x x m 

4 2 

= − 2 + 1, gọi đồ thị của hàm số là ( ) 

y x x 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 

C . 

2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) tại điểm cực đại của ( C ). 

Câu 7: Cho hàm số: 

1. Khảo sát hàm số 

2. Cho điểm M ( C) 

tuyến của ( C ). 


Câu 9: 

1 

= − 3 có đồ thị ( C ) 

4 

3 

y x x 

∈ có hoành độ là x = 2 3 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và là tiếp 

3 2 3 

= − 3 + 4 có đồ thị ( C 

m ) 

y x mx m 

1. Khảo sát và vẽ đồ ( C 

1) 

của hàm số khi m=1. 

, m là tham số. 

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C 

1) 

tại điểm có hoành độ x = 1. 

1. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số 

= − 6 + 9 . 

3 2 

y x x x 

2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị ( C ). 

3. Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng 

nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị ( C ). 

Câu 11: (ĐH -KA –2002) ( C ) y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m − m 

a-khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( C ) khi m =1. 

3 2 3 

b- Tìm k để pt : − x + 3x + k = 0 Có 3 nghiệm phân biệt . 

3 

Câu 12: Cho hs : ( C ) y = − x + 3x 

− 2 

a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( C ) . 

b.Viết PTTT ( C) qua A ( -2;0) 

c. Biện luận SNPT : x 3 - 3x+3 + 2m=0 

Câu 13: Cho (C) : y = f(x) = x 4 - 2x 2 . 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C). 

b) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0. 

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 

1. Tại điểm có hoành độ bằng 2 . 

2. Tại điểm có tung độ bằng 3. 

3. Biết tiếp tuyến song song với d 1 : y = 24x+2007 

2 

y = x + m − m đi qua trung điểm của đoạn thẳng 

3 2 2 3 2 

1 

24 

4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d 2 : y = x 10 

− . 



2x 

+ 4 

Câu 14: Cho hs : ( C ) y = 

x + 1 

a-KS-( C ) . 

b-CMR: đthẳng y =2x+m cắt đồ thị ( C ) tại 2 điểm phân biệt A; B với mọi m . Xác định m để AB ngắn 

nhất. 

x 2 

Câu 15: - Cho hs : ( C ) y = + 

x + 1 

a-KSHS. 

b-Tìm m đth y= mx+m+3 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. 

c- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung. 

d- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành. 

e- Tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên 

Câu 16: Cho HS ( C ) y = x 3 - 6x 2 +9x-1 

a- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên. 

b- (d) qua A(2;1) có hệ số góc m. Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt . 

4 2 

Câu 17: Cho hàm số y = x − 2x 

+ 1, gọi đồ thị là (C). 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C). 

2x 

+ 1 

Câu 18: Cho hàm số y = ( C ) 

x + 1 

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 

b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt song song với đường thẳng y = 4x -2. 

c. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ 

nhất. 

3 

Câu 19: Cho hàm số y = x − 3 x ( C) 

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 

b. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2 + k tiếp xúc với (C). 

3 2 

Câu 20: (ĐH – KB – 2008) Cho hàm số y = 4x − 6x + 1 ( C) 

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 

b. Viết pttt biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-1; -9). 

Chủ đề 2 HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT 

MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHỦ ĐỀ 2. 

1. Luỹ thừa: 

n n m 

a = 1 (a ≠ 0); a = (a ≠ 0); a = a (a>0) 

a 

* Quy tắc tính: 

0 −n 

1 

n 

m 

= ; ( a ) n 

a . a a + 

m n m n 

m 

mn 

= a ; 

m 

a m−n 

= a ; 

n 

( ab) n = a n . b 

n 

a 

m n 

* Quy tắc so sánh: + Với a > 1 thì a > a ⇔ m > n 

m n 

+ Với 0 < a < 1 thì a > a ⇔ m < n 

2. Căn bậc n 

a. b = a. 

b ; 

n n n 

3. Hàm số lũy thừa 

n 

a 

b 

n 

n 

a 

b 

n 

⎛ a ⎞ a 

⎜ ⎟ = 

⎝ b ⎠ b 

n p n 

= a = ( a ) p 

n 

n 

; 

m n 

a 

= 

mn 

a 



Hàm số lũy thừa là hs dạng y = x α , với α là số thực tùy ý 

* Nếu α nguyên dương thì hàm số xác định với mọi x. 

* Nếu α nguyên âm thì hàm số xác định với mọi x ≠ 0 

* Nếu α không nguyên thì hàm số xác định với mọi x>0 

4. Lôgarit 

* log a 

b = α ⇔ a α = b 

log 

* log 1 0; log 1; log b 

a 

; b 

a 

= 

a 

a = 

a 

a = b a = b 

* Tính chất so sánh: 

+ Với a > 0 thì: log b > log c ⇔ b > c 

a 

+ Với 0 < a log c ⇔ b < c 

a 

a 

a 

+ loga 

b = loga 

c ⇔ b = c 

* Quy tắc tính: 

b 

log 

a ( b. c) 

= loga b + loga 

c loga loga b loga 

c 

c = − 

α 

1 

n 1 

loga 

b = α log 

a 

b 

log α b = log 

a a 

b 

loga 

b = log 

α 

n 

* Công thức đổi cơ số: 

loga 

c 

logb 

c = hay log 

a 

b.log b 

c = loga 

c 

log 

a 

b 

1 

logb 

c logb 

a 

loga 

b = hay log 

a 

b.log b 

a = 1; 

a = c 

logb 

a 

* Chú ý: Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx hoặc lgx 

Lôgarit cơ số e kí hiệu là: lnx 

5. Bảng đạo hàm cần nhớ: 

Đạo hàm của hàm số sơ cấp thường gặp 

Đạo hàm của hàm số hợp u = u(x) 

α 

α 

x ' = α. 

x 

− 

α 

α 1 

( u )' = α. u − . u ' 

( ) 

1 

, 

⎛ 1 ⎞ 1 

⎜ ⎟ = − 

2 

⎝ x ⎠ x 

' 

⎛ 1 ⎞ u ' 

⎜ ⎟ = − 

2 

⎝ u ⎠ u 

u 

u = 

2 u 

u ' 

u = 

n n 

n. 

( ) ' 1 

x = ( ) ' ' 

2 x 

1 

n 

( ) ' n 

x = ( ) ' n 1 

1 

n. 

n 

x − 

( sin x) ' 

= cos x 

( sin ) ' 

( cos x) ' 

= − sin x 

( cos ) ' 

1 

cos x 

1 

sin x 

u − 

u = u '.cos u 

u = − u '.sin u 

u ' 

cos u 

u ' 

= − 

sin u 

( tan x) ' = = 1 + tan 2 x ( tan u ) ' = 

2 

2 

( cot x) ' = − = - (1 + cot 2 x) ( cot u ) ' 2 

2 

x 

( ) ' x 

u 

e = e 

( ) ' u 

e = u '. e 

x 

( ) ' x 

u 

a = a .ln a 

( ) ' u 

= '. .ln 

a u a a 

( ln x) ' = 1 

( ) ' u 

ln u = 

' 

x 

u 

a 

b 



( log ) ' = 1 

( ) ' u 

log u = 

' 

x a 

x.ln 

a 

BÀI TẬP 

1. LUỸ THỪA 

Vấn đề 1: Tính Giá trị biểu thức 

Bài 1: Tính a) A = 

Bài 2: a) Cho a = 

1 

3 5 −7 1 1 1 2 

2 3 4 3 4 2 

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 

⎢3 5 : 2 ⎥ : ⎢16 : (5 .2 .3 ⎥ 

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 

(2 + 3) −1 và b = 

b) 

a 

u.ln 

a 

1 ⎡ 4 5 ⎤ 2 

(0,25) ( ) + 25 ( ) : ( ) : ( ) 

4 ⎢ 

⎣ 3 4 ⎥ 

⎦ 3 

(2 − 3) −1 . Tính A= (a +1) -1 + (b + 1) -1 

b) cho a = 4 + 10 + 2 5 và b = 4 − 10 + 2 5 . Tính A= a + b 

Bài 3: Tính 

a) A = 5 2 3 2 

2 3 2 2 b) B = 3 3 3 

2 3 

Vấn đề 2: Đơn giản một biểu thức 

Bài 4: Giản ước biểu thức sau 

a) A = 

4 

( a − 5) 

b) B = 

−2 

1 1 1 

⎛ 

⎞ 

2 2 2 

d) E = 

⎜ x + y ( x + y) 

x − y 

− 

⎟ 

− 

1 1 1 

⎜ 

2 2 2 

2 xy 

( x + y) 

x + y ⎟ 

⎝ 

⎠ 

e ) F = 

f) G = 

g) J = 

2 

2a 

x −1 

x 

x 

2 

+ − 

1 

a + x − a − x 

a + x + a − x 

⎡ 

⎢ 

4a − 9a a − 4 + 3a 

+ 

1 1 1 1 

⎢ 

− 

2 2 2 2 

⎣2a − 3a a − a 

a − b a + b 

h) 

3 3 

− 3 3 

a − b a + b 

với x = 1 ⎛ 

2 ⎜ 

⎝ 

2ab 

Với x = 

2 

b + 1 

−1 −1 

4 4 4 4 

( a + b ) + ( a − b ) 

2 2 

⎡ 

⎤ 

j) a . 

⎢ 

⎥ 

. 

⎢ a + ab ⎥ 

⎢⎣ 

⎥⎦ 

Vấn đề 3: Chứng minh một đẳng thức 

3 3 

2 

4 2 

81a b với b ≤ 0 c) C = 

với x > 0, y > 0 

a 

+ 

b 

b ⎞ 

a ⎟ 

⎠ 

⎤ 

⎥ với 0 < a ≠ 1, 3/2 

⎥ 

⎦ 

5 

a a 

và a > 0 , b > 0 

i) 

a 

−1 2 −2 3 −3 

c) C = 

( ) 

và a > 0 , b > 0 

4 1 

a − 1 a + a 

4 

3 1 . . a + 1 

4 2 

a + 1 

+ a 

3 3 2 

− 

2 2 

+ 

k) 

( ) 

3. 

3 

: x x − y 

2 

2 3 

− 

x y x x y y 

x 

− xy 

Bài 5 chứng minh : x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 với 1≤ x ≤ 2 

3 

3 9 27 3 

3 25 3 

a 5 (a > 0) 

Bài 6 chứng minh : 

Bài 7: chứng minh: 

a + a b + b − a b = ( a + b ) 

2 3 4 2 2 3 2 4 3 2 3 2 3 

3 3 1 1 

⎡ 

2 2 1 ⎤ ⎛ ⎞ 

2 2 

⎢ x − a x − a 

2 

+ ( ax) ⎥ ⎜ ⎟ 

= 1 với 0 < a < x 

⎢ 

1 1 

⎥ x − a 

2 2 

⎢ x − a ⎥ 

⎜ ⎟ 

⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 

2 



1 

4 3 3 4 2 2 

+ + + 3 ( − ) ⎞ 

2 

−1 

( x + y) + : ( x + y) = 1 

2 2 −1 

⎟ 

⎛ x x y xy y y x y 

Bài 8 chứng minh: ⎜ 

⎝ x + 2 xy + y x ( x − y) 

⎠ 

Với x > 0 , y > 0, x ≠ y , x ≠ - y 

Bài 9: Chứng minh rằng 3 9 + 80 + 3 9 − 80 = 3 

2. LOGARIT 

Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit 

Bài 10 Tính logarit của một số 

A = log 2 4 B= log 1/4 4 

1 

C = log5 

25 

D = log 27 9 

4 

E = log4 

8 F = 

I = 

3 

log 

16(2 2) J= 

3 

log 

1 

9 G = 

3 

Bài 11 : Tính luỹ thừa của logarit của một số 

log 

⎛ 

3 

4 ⎞ 

⎜ 

2 8 ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 5 

2 

2 

log 

0,5(4) K = log a 

3 a L = 

log 2 

log2 

3 

log9 

3 

3 

A = 4 B = 27 C = 9 D = 

1 log 2 10 

2 

⎛ 3 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

2log 3 5 

2 

1 log2 

70 

E = 8 F = 2 + 3 4log8 

3 

G = 2 − 3 + 3 

H = 9 

log 1 

a 

3 − 3 

I = (2 a ) J = 27 

Vấn đề 2: Rút gọn biểu thức 

Bài 12: Rút gọn biểu thức 

log 2 3log 5 

log 2 3log 5 

H= log 

1 ⎜ 3 

27 

⎛ 3 3 ⎞ 

3 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 5 

log 3 

1 

( a a ) 

3 

A = log 8log 

3 4 

81 B = log 

1 

25log 9 C = log 

5 

2 

log25 

2 

3 

5 

log2 

30 

D = log3 6log8 9log 

6 

2 E = log3 2.log4 3.log5 4.log6 5.log8 

7 F = 

log4 

30 

log5 

3 

log 

2 

24 log 

2 

192 

G = H = − I = log 

1 

7 + 2log9 49 − log 27 

3 

log 

625 

3 

log96 2 log12 

2 

3 

Vấn đề 3: Chứng minh đẳng thức logarit 

Bai 13: Chứng minh ( giả sử các biểu thức sau đã cho có nghĩa) 

log 

a 

b + log 

a 

x 

1 1 1 n( n + 1) 

a) log 

ax( bx) 

= 

b) + + ... + = 

1+ 

log x 

log x log x log x 2log x 

a 

c) cho x, y > 0 và x 2 + 4y 2 = 12xy 

Chứng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2 

d) cho 0 < a ≠ 1, x > 0 

1 2 . 

a a a n a 

1 

2 

Chứng minh: log ax . log 2 x = (log 

a 

x) 

a 

2 

Từ đó giải phương trình log 3 x.log 9 x = 2 

e) cho a, b > 0 và a 2 + b 2 a + b 1 

= 7ab chứng minh: log 

2 = (log 

2 

a + log 

2 

b) 

3 2 

3. HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT 

Vấn đề 1: tìm tập xác định của hàm số 

Bài 14: tìm tập xác định của các hàm số sau 

a 

1 



3 

a) y = log2 

b) y = log 3 (2 – x) 2 1− 

x 

c) y = log2 

10 − x 

1 + x 

2x 

− 3 

x 

d) y = log 3 |x – 2| e)y = 

f) y = log 

1 2 

log 

5( x − 2) 

2 x −1 

2 

1 

g) y = log 

1 

− x + 4x 

− 5 h) y = 

i) y= lg( x 2 +3x +2) 

2 

log 

2 

x −1 

Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số 

Bài 15: tính đạo hàm của các hàm số mũ 

a) y = x.e x b) y = x 7 .e x c) y = (x – 3)e x d) y = e x .sin3x 

e) y = (2x 2 -3x – 4)e x f) y = sin(e x 2 

x 2x1 

) g) y = cos( e + ) h) y = 4 4x – 1 

i) y = 3 2x + 5 . e -x + 1 3 x j) y= 2x e x -1 + 5 x .sin2x k) y = 

2 

x − 

4 x 

Bài 16 . Tìm đạo hàm của các hàm số logarit 

a) y = x.lnx b) y = x 2 2 

x 

2 

lnx - c) ln( x + 1+ x ) d) y = log 3 (x 2 - 1) 

2 

e) y = ln 2 (2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.log a (x 2 + 2x + 3) 

4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 

Vấn đề 1: Phương trình mũ 

Dạng 1. Đưa về cùng cơ số 

Bài 17 : Giải ác phương trình sau 

2 5 

x −6x− 

2 

2 

x−4 3 

2x− 3 x + 3x−5 

a) 2 = 4 b) 2 = 16 2 c) 3 = 9 

2 

x − x+ 

8 1−3x 

d) 2 = 4 e) 5 2x + 1 – 3. 5 2x -1 x 

x 

1 

x− 

x 

= 110 f) 32 = 128 

4 

1 

+ 5 + 17 

7 −3 

f) 2 x + 2 x -1 + 2 x – 2 = 3 x – 3 x – 1 + 3 x - 2 g) (1,25) 1 – x 2(1 + x ) 

= (0,64) 

Dạng 2. đặt ẩn phụ 

Bài 18 : Giải các phương trình 

a) 2 2x + 5 + 2 2x + 3 = 12 b) 9 2x +4 - 4.3 2x + 5 + 27 = 0 

x x+ 1 

c) 5 2x + 4 – 110.5 x + 1 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 8 

– 75 = 0 d) ⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟ + = 0 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 5 

x 

− = f) ( ) ( ) 

x 3− 

x 

e) 5 5 20 

x 

g) ( ) ( ) 

5 + 2 6 + 5 − 2 6 = 10 

x 1 x 

i) 7 + 2.7 − − 9 = 0 (TN – 2007) j) 

Dạng 3. Logarit hóạ 

Bài 19 Giải các phương trình 

x 

h 

4 − 15 + 4 + 15 = 2 

2x 

1 x 

)3 9.3 6 0 

+ − + = (TN – 2008) 

2x 

2 x 

2 9.2 2 0 

+ − + = (TN –2006) 

a) 2 x - 2 = 3 b) 3 x + 1 = 5 x – 2 c) 3 x – 3 = 

x−1 

x 

2 


5 x − x+ 

2 

x−2 x − 5x+ 

6 

d) 2 = 5 

x x 

e) 5 .8 = 500 

f) 5 2x + 1 - 7 x + 1 = 5 2x + 7 x 

Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu 

Bài 20: giải các phương trình 

a) 3 x + 4 x = 5 x b) 3 x – 12 x = 4 x c) 1 + 3 x/2 = 2 x 

Vấn đề 2: Phương trình logarit 

Dạng 1. Đưa về cùng cơ số 




a) log 4 (x + 2) – log 4 (x -2) = 2 log 4 6 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3) 

c) log 4 x + log 2 x + 2log 16 x = 5 d) log 4 (x +3) – log 4 (x 2 – 1) = 0 

e) log 3 x = log 9 (4x + 5) + ½ f) log 4 x.log 3 x = log 2 x + log 3 x – 2 

log x + 2 + log x − 2 = log 5 (TN L2 2008) 

g) log 2 (9 x – 2 +7) – 2 = log 2 ( 3 x – 2 + 1) h) ( ) ( ) 

3 3 3 

Dạng 2. đặt ẩn phụ 

Bài 22: giải phương trình 

1 2 

a) + = 1 

b) log x 2 + log 2 x = 5/2 

4 − ln x 2 + ln x 

c) log x + 1 7 + log 9x 7 = 0 d) log 2 x + 10log2 

x + 6 = 9 

e) log 1/3 x + 5/2 = log x 3 f) 3log x 16 – 4 log 16 x = 2log 2 x 

2 

g) log x + 3log x + log x = 2 h) lg 2 16 + lo 

g2 

64 = 3 

2 

2 1 

2 

Dạng 3 mũ hóa 


a) 2 – x + 3log 5 2 = log 5 (3 x – 5 2 - x ) b) log 3 (3 x – 8) = 2 – x 

5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 

Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ 

Bài 24: Giải các bất phương trình 

a) 16 x – 4 ⎛ 1 ⎞ 

≥ 8 b) ⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

d) 

2 

x − x + 6 

4 > 1 

e) 


2x+ 

5 

< 9 

2 

4x 

− 15x+ 

4 

⎛ 1 ⎞ 

2⎜ 

⎟ < 2 

⎝ 2 ⎠ 

x 

3x−4 

x 

c) 

6 

x x+ 2 

9 ≤ 3 

f) 5 2x + 2 > 3. 5 x 

1 1 

−1 −2 

a) 2 2x + 6 + 2 x + 7 > 17 b) 5 2x – 3 – 2.5 x -2 ≤ 3 

x 

c) 4 

x 

> 2 + 3 

d) 5.4 x +2.25 x ≤ 7.10 x e) 2. 16 x – 2 4x – 4 2x – 2 ≤ 15 f) 4 x +1 -16 x ≥ 2log 4 8 

g) 9.4 -1/x + 5.6 -1/x < 4.9 -1/x 


a) 3 x +1 > 5 b) (1/2) 2x - 3 ≤ 3 c) 5 x – 3 x+1 > 2(5 x -1 - 3 x – 2 ) 

Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit 


a) log 4 (x + 7) > log 4 (1 – x) b) log 2 ( x + 5) ≤ log 2 (3 – 2x) – 4 

c) log 2 ( x 2 – 4x – 5) < 4 d) log 1/2 (log 3 x) ≥ 0 

e) 2log 8 ( x- 2) – log 8 ( x- 3) > 2/3 f) log 2x (x 2 3x 

− 1 

-5x + 6) < 1 g) log 

1 > 1 

3 

x + 2 


a) log 2 2 + log 2 x ≤ 0 b) log 1/3 x > log x 3 – 5/2 

c) log 2 x + log 2x 8 ≤ 4 

1 1 

d) + > 1 

1− 

log x log x 

x 

1 

x 3 −1 3 

e) log 

x 

2.log 

x 16 

2 > 

f) log 

4(3 −1).log 1 

( ) ≤ 

log 

2 

x − 6 

4 16 4 

Bài 29. Giải các bất phương trình 

a) log 3 (x + 2) ≥ 2 – x b) log 5 (2 x + 1) < 5 – 2x 

c) log 2( 5 – x) > x + 1 d) log 2 (2 x + 1) + log 3 (4 x + 2) ≤ 2 



CHÖÔNG III 

NGUYEÂN HAØM, TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG 

1. Khaùi nieäm nguyeân haøm 

• Cho haøm soá f xaùc ñònh treân K. Haøm soá F ñgl nguyeân haøm cuûa f treân K neáu: 

F '( x) = f ( x) 

, ∀x ∈ K 

• Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân K thì hoï nguyeân haøm cuûa f(x) treân K laø: 

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , C ∈ R. 

• Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân K ñeàu coù nguyeân haøm treân K. 


• f '( x) dx = f ( x) 

+ C 

f ( x) ± g( x) dx = f ( x) dx ± g( x) 

dx 

∫ • ∫[ ] ∫ ∫ 

∫ kf x dx = k∫ 

f x dx k ≠ 

• ( ) ( ) ( 0) 

3. Nguyeân haøm cuûa moät soá haøm soá thöôøng gaëp 

∫ 

∫ 

• 0dx 

= C 

• dx = x + C 

α + 1 

α x 

• ∫ x dx = + C, ( α ≠ −1) 

α + 1 

1 

• ∫ dx = ln x + C 

x 

x x 

• e dx = e + C 

∫ 

4. Phöông phaùp tính nguyeân haøm 

a) Phöông phaùp ñoåi bieán soá 

Neáu ∫ f ( u) du = F( u) 

+ C vaø u = u( x) 

coù ñaïo haøm lieân tuïc thì: 

∫ f [ u( x) ]. u'( x) dx = F[ u( x) 

] + C 

b) Phöông phaùp tính nguyeân haøm töøng phaàn 

Neáu u, v laø hai haøm soá coù ñaïo haøm lieân tuïc treân K thì: 

udv = uv − vdu 

∫ ∫ 

VAÁN ÑEÀ 1: Tính nguyeân haøm baèng caùch söû duïng baûng nguyeân haøm 

Bieán ñoåi bieåu thöùc haøm soá ñeå söû duïng ñöôïc baûng caùc nguyeân haøm cô baûn. 

Chuù yù: Ñeå söû duïng phöông phaùp naøy caàn phaûi: 

– Naém vöõng baûng caùc nguyeân haøm. 

I. NGUYEÂN HAØM 

1 

• ∫ cos( ax + b) dx = sin( ax + b) + C ( a ≠ 0) 

a 

1 

• ∫ sin( ax + b) dx = − cos( ax + b) + C ( a ≠ 0) 

a 

x 

x a 

• ∫ a dx = + C (0 < a ≠ 1) 

ln a 

• cos xdx = sin x + C 

∫ 

∫ 

• sin xdx = − cos x + C 

1 

• ∫ dx = tan x + C 

2 

cos x 

1 

• ∫ dx = − cot x + C 

2 

sin x 

ax+ b 1 ax+ 

b 

• ∫ e dx = e + C, ( a ≠ 0) 

a 

1 1 

• ∫ dx = ln ax + b + C 

ax + b a 




– Naém vöõng pheùp tính vi phaân. 

Baøi 1. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 

a) 

2 1 

f ( x) = x – 3x 

+ b) 

x 

2 2 

4 

2x 

+ 3 

f ( x) 

= c) 

2 

x 

x −1 

f ( x) 

= 

2 

x 

( x −1) 

3 4 

1 2 

d) f ( x) 

= e) f ( x) 

= x + x + x f) f ( x) 

= − 

2 

3 

x 

x x 

2 x 

2 

2 

g) f ( x ) = 2sin h) f ( x) = tan x 

i) f ( x) = cos x 

2 

1 

cos2x 

k) f ( x) 

= l) f ( x) 

= 

2 2 

2 2 

sin x.cos 

x 

sin x.cos 

x 

m) f ( x) = 2sin3x cos2x 

⎛ −x 

x 

n) ( ) ( x 

f x = e e – 1) 

x e ⎞ 

o) f ( x) = e 

⎜ 2 + 

cos 

2 ⎟ 

⎝ x ⎠ 

3x 

1 

p) f ( x) 

= e + 

Baøi 2. Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) thoaû ñieàu kieän cho tröôùc: 

a) 

c) 

e) 

3 

f ( x) = x − 4x + 5; F(1) = 3 

b) f ( x) = 3 − 5cos x; F( π ) = 2 

2 

3 − 5x 

f ( x) = ; F( e) = 1 

d) 

x 

3 

x −1 

f ( x)= ; F( − 2) = 0 

f) 

2 

x 

g) f ( x) sin 2 x.cos x; F ' ⎛ π 

= ⎜ 

⎞ 

⎟ = 0 

⎝ 3 ⎠ 

i) 

3 3 

x + 3x + 3x 

− 7 

f ( x) = ; F(0) = 8 

2 

( x + 1) 

h) 

k) 

2 

x + 1 3 

f ( x) = ; F(1) 

= 

x 

2 

1 

f ( x) = x x + ; F(1) = − 2 

x 

4 3 

3x 

− 2x 

+ 5 

f ( x) = ; F(1) = 2 

2 

x 

2 x 

f ( x) sin ; F ⎛ π ⎞ 

π 

== ⎜ ⎟ = 

2 ⎝ 2 ⎠ 4 

Baøi 3. Cho haøm soá g(x). Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) thoaû ñieàu kieän cho tröôùc: 

2 

a) g( x) x cos x x ; f ( x) x sin x; F ⎛ π 

= + = ⎜ 

⎞ 

⎟ = 3 

⎝ 2 ⎠ 

b) 

c) 

2 

g( x) = x sin x + x ; f ( x) = x cos x; F( π ) = 0 

2 

g( x) = x ln x + x ; f ( x) = ln x; F(2) = − 2 

Baøi 4. Chöùng minh F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x): 

x 

⎧⎪ F( x) = (4x − 5) e 

a) ⎨ 

b) 

⎧⎪ 4 

F( x) tan x 3x 

5 

x 

⎨ 

= + − 

5 3 

⎪⎩ f ( x) = (4x −1) 

e 

⎪⎩ f ( x) = 4 tan x + 4 tan x + 3 

⎧ ⎛ 2 ⎞ 

x + 4 

F( x) = ln 

⎪ ⎜ 2 ⎟ 

c) ⎨ 

⎝ x + 3 ⎠ 

⎪ −2x 

f ( x) 

= 

⎪ 2 2 

⎩ ( x + 4)( x + 3) 

⎧ 2 

− + 

x x 2 1 

F( x) = ln 

⎪ 2 

d) x + x 2 + 1 

⎨ 

2 

⎪ 2 2( x −1) 

f ( x) 

= 

⎪ 

4 

⎩ x + 1 

Baøi 5. Tìm ñieàu kieän ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x): 

⎧ 2 

3 2 

⎧⎪ F( x) = mx + (3m + 2) x − 4x 

+ 3 ⎪ 

F( x) = ln x − mx + 5 

a) ⎨ 

2 

. Tìm m . b) ⎨ 2x 

+ 3 . Tìm m. 

⎪⎩ f ( x) = 3x + 10x 

− 4 

⎪ f ( x) 

= 

2 

⎩ x + 3x 

+ 5 



c) 

e) 

g) 

h) 

⎧ 

2 2 

2 

x 

⎪ F( x) = ( ax + bx + c) x − 4 x ⎧⎪ F( x) = ( ax + bx + c) 

e 

⎨ 

. Tìm a, b, c. 

d) ⎨ 


2 

x 

⎪⎩ f ( x) = ( x − 2) x − 4x 

⎪⎩ f ( x) = ( x − 3) e 

2 −2x 

2 

−x 

⎧⎪ F( x) = ( ax + bx + c) 

e 

⎧⎪ F( x) = ( ax + bx + c) 

e 

⎨ 


f) 

2 −2x 

⎨ 


2 

−x 

⎪⎩ f ( x) = −(2x − 8x + 7) e 

⎪⎩ f ( x) = ( x − 3x + 2) e 

⎧ 

b c 

⎪ F( x) = ( a + 1)sin x + sin 2x + sin3 x 

⎨ 

2 3 . Tìm a, b, c. 

⎪ ⎩ f ( x) = cos x 

⎧ 2 

F( x) = ( ax + bx + c) 2x 

− 3 

⎪ 

2 

⎨ 20x 

− 30x 

+ 7 . Tìm a, b, c. 

⎪ f ( x) 

= 

⎩ 2x 

− 3 

VAÁN ÑEÀ 2: Tính nguyeân haøm ∫ f ( x) 

dx baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá 

• Daïng 1: Neáu f(x) coù daïng: f(x) = [ ( )]. '( ) 

g u x u x thì ta ñaët t = u( x) ⇒ dt = u'( x) 

dx . 

Khi ñoù: ∫ f ( x) 

dx = ∫ g( t) 

dt , trong ñoù ∫ g( t) 

dt deã daøng tìm ñöôïc. 

Chuù yù: Sau khi tính ∫ g( t) 

dt theo t, ta phaûi thay laïi t = u(x). 

• Daïng 2: Thöôøng gaëp ôû caùc tröôøng hôïp sau: 

f(x) coù chöùa 

a 

a 

2 2 

− x 

2 2 

+ x 

Caùch ñoåi bieán 

x = a sin t, 

π π 

− ≤ t ≤ 

2 2 

hoaëc x = a cos t, 0 ≤ t ≤ π 

x = a tan t, 

π π 

− < t < 

2 2 

hoaëc x = a cot t, 0 < t < π 

Baøi 1. Tính caùc nguyeân haøm sau (ñoåi bieán soá daïng 1): 

a) ∫ (5x 

−1) 

dx 

b) ∫ dx 

5 

(3 − 2 x) 

c) ∫ 5 − 2xdx 

d) 

g) 

k) 

n) 

2 7 

∫ (2x 

+ 1) xdx 

e) 

2 

∫ x + 1. xdx 

h) 

4 

∫ sin x cos xdx 

l) 

x 

e dx 

∫ o) 

x 

e − 3 

3 

3 4 2 

∫ ( x + 5) x dx f) 

2 

3x 

∫ dx 

i) 

3 

5 + 2x 

sin x 

∫ dx 

m) 

5 

cos x 

. x2 + 1 

∫ x e dx 

p) 

ln x dx 

q) ∫ dx 

r) 

x 

∫ s) 

x 

e + 1 

Baøi 2. Tính caùc nguyeân haøm sau (ñoåi bieán soá daïng 2): 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

x 

dx 

2 

x + 5 

∫ 

dx 

x(1 + x ) 

tan xdx 

e 

e 

cos 

x 

x 

2 

tan x 

2 

cos 

dx 

x 

dx 

x 

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 123/232 

2


a) 

d) 

g) 


dx 

∫ b) 

2 3 

(1 − x ) 

dx 

∫ e) 

2 

4 − x 

2 

x dx 

∫ h) 

2 

1− x 

dx 

∫ c) 

2 3 

(1 + x ) 

2 2 

∫ x 1 − x . dx f) 

∫ 

dx 

2 

x + x + 1 

i) 

∫ 

∫ 

∫ 

2 

1 − x . dx 

dx 

1+ x 

2 

3 2 

x x + 1. dx 

VAÁN ÑEÀ 3: Tính nguyeân haøm baèng phöông phaùp tính nguyeân haøm töøng phaàn 

Vôùi P(x) laø ña thöùc cuûa x, ta thöôøng gaëp caùc daïng sau: 

∫ P( x). e x dx ∫ P( x).cos 

xdx ∫ P( x).sin 

xdx ∫ P( x).ln 

xdx 

u P(x) P(x) P(x) lnx 

dv 

x 

e dx cos xdx sin xdx P(x) 

Baøi 1. Tính caùc nguyeân haøm sau: 

a) ∫ x.sin 

xdx 

b) ∫ x cos xdx 

c) 

d) 

2 

∫ 

2 

( x + 5)sin xdx 

∫ ( x + 2 x + 3)cos xdx e) ∫ x sin 2xdx 

f) ∫ x cos2xdx 

g) ∫ x. e x dx 

h) 

k) ∫ x ln xdx 

l) 

n) 

q) 

2 

∫ x tan xdx 

o) 

3 x 

2 

∫ x ln(1 + x ) dx 

r) x.2 x 


a) 

x 

∫ e dx 

b) 

2 

∫ x e dx 

i) ∫ ln xdx 

2 

ln xdx ∫ m) 

2 2 

∫ x cos xdx 

p) 

∫ 

∫ 

2 

ln( x + 1) dx 

x 

2 cos2xdx 

∫ dx 

s) ∫ x lg xdx 

ln xdx 

∫ c) ∫ sin x dx 

x 

d) ∫ cos x dx 

e) ∫ x.sin 

x dx 

f) ∫ sin xdx 

ln(ln x) 

g) ∫ dx 

x 

h) ∫ sin(ln x) 

dx 

i) ∫ cos(ln x) 

dx 


x 

a) ∫ e .cos xdx 

b) 

d) 

g) 

ln(cos x) 

∫ dx 

e) 

2 

cos x 

( 2 ) 

x ln x + x + 1 

∫ dx h) 

2 

x + 1 

x 

2 

∫ e (1 + tan x + tan x) 

dx c) ∫ e .sin 2xdx 

ln(1 + x) 

x 

∫ dx 

f) 

2 

∫ dx 

2 

x 

cos x 

3 

x 

∫ dx 

i) 

2 

1+ x 

x 

3 

2 

⎛ ln x ⎞ 

⎜ ⎟ dx 

⎝ x ⎠ 

∫ 

VAÁN ÑEÀ 4: Tính nguyeân haøm baèng phöông phaùp duøng nguyeân haøm phuï 

Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x), ta caàn tìm moät haøm g(x) sao cho nguyeân haøm cuûa 

caùc haøm soá f(x) ± g(x) deã xaùc ñònh hôn so vôùi f(x). Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa f(x). 



Böôùc 1: Tìm haøm g(x). 

Böôùc 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x), töùc laø: 

⎧ F( x) + G( x) = A( x) 

+ C1 

⎨ 

(*) 

⎩F( x) − G( x) = B( x) 

+ C2 

1 

Böôùc 3: Töø heä (*), ta suy ra F( x) = [ A( x) + B( x) 

] + C laø nguyeân haøm cuûa f(x). 

2 


sin 

a) ∫ x 

dx 


b) 

d) 

g) 

k) 

∫ cos x 

dx 

sin x + cos x 

e) 

2 

∫ 2sin x .sin 2xdx 

h) 

−x 

e 

∫ dx 

l) 

x −x 

e − e 

1. f(x) laø haøm höõu tæ: 

∫ cos x 

dx 


c) 

4 

∫ sin x 

dx 

4 4 

sin x + cos x 

f) 

2 

∫ 2 cos x .sin 2xdx 

i) 

x 

∫ e 

dx 

x x 

e + e m) 

− 

∫ 

∫ 

∫ 

sin x 

dx 

sin x + cos x 

sin 

e 

∫ 

x 

e 

cos 

4 

x 

4 4 

e 

− 

x 

x + cos 

x 

e 

x 

e − 

−x 

+ e 

VAÁN ÑEÀ 5: Tính nguyeân haøm cuûa moät soá haøm soá thöôøng gaëp 

P( x) 

f ( x) 

= 

Q( x) 

– Neáu baäc cuûa P(x) ≥ baäc cuûa Q(x) thì ta thöïc hieän pheùp chia ña thöùc. 

– Neáu baäc cuûa P(x) < baäc cuûa Q(x) vaø Q(x) coù daïng tích nhieàu nhaân töû thì ta phaân 

tích f(x) thaønh toång cuûa nhieàu phaân thöùc (baèng phöông phaùp heä soá baát ñònh). 

Chaúng haïn: 

2. f(x) laø haøm voâ tæ 

1 A B 

= + 

( x − a)( x − b) 

x − a x − b 

dx 

−x 

dx 

dx 

x 

1 

A Bx + C 

2 

= + , vôùi ∆ = b − 4ac 

< 0 

2 2 

( x − m)( ax + bx + c) 

x − m ax + bx + c 

1 A B C D 

( x − a) ( x − b) = x − a + ( x − a) + x − b 

+ 

( x − b) 

⎛ 

+ f(x) = R x, m ax + b ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ cx + d ⎠ 

+ f(x) = 

⎛ 

R 

⎜ 

⎝ 

2 2 2 2 

1 ⎞ 

( x + a)( x + b) 

⎟ 

⎠ 

• f(x) laø haøm löôïng giaùc 

→ ñaët m ax + 

t = 

b 

cx + d 

→ ñaët t = x + a + x + b 

Ta söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc thích hôïp ñeå ñöa veà caùc nguyeân haøm cô baûn. 

Chaúng haïn: 

+ 

[ x + a − x + b ] 

1 1 sin ( ) ( ) 

= . 

, 

sin( x + a).sin( x + b) sin( a − b) sin( x + a).sin( x + b) 

⎛ 

sin( a − b) 

⎞ 

⎜ söû duïng 1 = ⎟ 

⎝ 

sin( a − b ) ⎠ 



+ 

+ 


[ x + a − x + b ] 

1 1 sin ( ) ( ) ⎛ 

sin( a − b) 

⎞ 

= . 

, ⎜ söû duïng 1 = ⎟ 

cos( x + a).cos( x + b) sin( a − b) cos( x + a).cos( x + b) 

⎝ 

sin( a − b ) ⎠ 

[ x + a − x + b ] 

1 1 cos ( ) ( ) 

= . 

, 

sin( x + a).cos( x + b) cos( a − b) sin( x + a).cos( x + b) 

+ Neáu R( − sin x,cos x) = − R(sin x,cos x) 

thì ñaët t = cosx 

+ Neáu R(sin x, − cos x) = − R(sin x,cos x) 

thì ñaët t = sinx 

⎛ 

cos( a − b) 

⎞ 

⎜ söû duïng 1 = ⎟ 

⎝ 

cos( a − b) 

⎠ 

+ Neáu R( −sin x, − cos x) = − R(sin x,cos x) 

thì ñaët t = tanx (hoaëc t = cotx) 


a) 

d) 

g) 

dx 

∫ b) 

x( x + 1) 

∫ 

dx 

2 

x − 7x 


e) 

∫ 

x 

dx 

( x + 1)(2 x + 1) 

h) 

dx 

k) ∫ l) 

2 

x( x + 1) 


1 

a) ∫ 1+ x + 1 dx 

b) 

d) 

g) 

k) 

∫ 1 

dx 

4 

x + x 

e) 

∫ dx 

( x + 1)(2 x − 3) 

c) 

∫ 

dx 

2 

x − 6x 

+ 9 

f) 

∫ 

x 

dx 

2 

2x 

− 3x 

− 2 

i) 

dx 

∫ 3 

1+ x 

m) 

x + 1 

∫ dx 

c) 

x x − 2 

∫ 

x 

dx 

3 

x − x 

f) 

∫ 

∫ 

∫ 

2 

x + 1 

dx 

2 

x −1 

dx 

2 

x − 4 

3 

x 

dx 

2 

x − 3x 

+ 2 

x 

∫ dx 

3 

x −1 

∫ 

1 

3 

1 x 1 dx 

+ + 

x 

∫ dx 

x( x + 1) 

∫ 

dx 

3 4 

x + x + 2 x 

h) 1− 

x dx 

∫ i) 3 1 − x dx 

1+ 

x x 

∫ 

1+ 

x x 

dx 

dx 

dx 

∫ l) ∫ m) ∫ 

3 (2 1) 2 

x + − 2 x + 1 

2 

2 

x − 5x 

+ 6 

x + 6x 

+ 8 


a) ∫ sin 2x 

sin 5xdx 

b) ∫ cos x sin3xdx 

c) 

d) 

g) 

∫ cos2x 

dx 

1+ 

sin x cos x 

e) 

1− 

sin x 

∫ dx 

h) 

cos x 

k) ∫ cos x cos2x cos3xdx 

l) 

dx 

∫ f) 

2sin x + 1 

3 

sin x 

∫ dx 

i) 

cos x 

3 

cos xdx ∫ m) 

∫ 

∫ 

∫ 

2 4 

(tan x + tan x) 

dx 

dx 

cos x 

dx 

⎛ π ⎞ 

cos x cos⎜ 

x + ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

4 

∫ sin xdx 



CHÖÔNG III 

NGUYEÂN HAØM, TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG 

1. Khaùi nieäm tích phaân 

• Cho haøm soá f lieân tuïc treân K vaø a, b ∈ K. Neáu F laø moät nguyeân haøm cuûa f treân K thì: 

b 

F(b) – F(a) ñgl tích phaân cuûa f töø a ñeán b vaø kí hieäu laø ∫ f ( x) 

dx . 

b 

∫ 

a 

f ( x) dx = F( b) − F( a) 

• Ñoái vôùi bieán soá laáy tích phaân, ta coù theå choïn baát kì moät chöõ khaùc thay cho x, töùc laø: 

b b b 

∫ ∫ ∫ 

f ( x) dx = f ( t) dt = f ( u) du = ... = F( b) − F( a) 

a a a 

• YÙ nghóa hình hoïc: Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc vaø khoâng aâm treân ñoaïn [a; b] thì 

dieän tích S cuûa hình thang cong giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa y = f(x), truïc Ox vaø hai ñöôøng 

thaúng x = a, x = b laø: S = ∫ f ( x) 

dx 

2. Tính chaát cuûa tích phaân 

0 

b 

a 

• ∫ f ( x) dx = 0 • f ( x) dx = − f ( x) 

dx 

0 

b b b 

a 

b 

b 

a 

b 

∫ ∫ • ∫ kf ( x) dx = k∫ f ( x) 

dx (k: const) 

• ∫[ f ( x) ± g( x) ] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g( x) 

dx 

• ∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ) 

a a a 

• Neáu f(x) ≥ 0 treân [a; b] thì f ( x) dx ≥ 0 

• Neáu f(x) ≥ g(x) treân [a; b] thì f ( x) dx ≥ g( x) 

dx 

3. Phöông phaùp tính tích phaân 

a) Phöông phaùp ñoåi bieán soá 

b 

b 

∫ 

a 

b 

a 

b 

∫ ∫ 

∫ [ ] = ∫ 

a 

a 

u( b) 

f u( x) . u'( x) dx f ( u) 

du 

u( a) 

a 

a 

b c b 

a a c 

b 

a 

f x dx f x dx f x dx 

trong ñoù: u = u(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc treân K, y = f(u) lieân tuïc vaø haøm hôïp f[u(x)] 

xaùc ñònh treân K, a, b ∈ K. 

b) Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn 

Neáu u, v laø hai haøm soá coù ñaïo haøm lieân tuïc treân K, a, b ∈ K thì: 

b 

a 

II. TÍCH PHAÂN 

b 

a 

b 

∫ ∫ 

udv = uv − vdu 

Chuù yù: – Caàn xem laïi caùc phöông phaùp tìm nguyeân haøm. 

a 




– Trong phöông phaùp tích phaân töøng phaàn, ta caàn choïn sao cho 

hôn 

b 

∫ udv . 

a 

b 

∫ vdu deã tính 

a 

VAÁN ÑEÀ 1: Tính tích phaân baèng caùch söû duïng baûng nguyeân haøm 

Bieán ñoåi bieåu thöùc haøm soá ñeå söû duïng ñöôïc baûng caùc nguyeân haøm cô baûn. Tìm nguyeân 

haøm F(x) cuûa f(x), roài söû duïng tröïc tieáp ñònh nghóa tích phaân: 

b 

∫ 

a 

f ( x) dx = F( b) − F( a) 

Chuù yù: Ñeå söû duïng phöông phaùp naøy caàn phaûi: 

– Naém vöõng baûng caùc nguyeân haøm. 

– Naém vöõng pheùp tính vi phaân. 

Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: 

2 

3 

2 3 3x+ 

1 

a) ∫ ( x + 2x 

+ 1) dx 

b) ∫ ( x + + e ) dx 

x 

1 

1 

2 

−1 

x 

d) ∫ ( 4 

) 

2 

dx 

e) x + 4 

∫ 2 dx 

x 

g) 

k) 

2 

− 1 x + 2 

2 

∫ ( x + 1)( x − x + 1) dx h) 

1 

2 2 

x − 2x ∫ dx 

l) 

3 

x 

1 


a) 

2 

∫ x + 1dx 

b) 

1 

2 xdx 

d) ∫ dx 

e) 

0 2 

1− x 


π 

π 

a) ∫ sin( 2x + ) dx 

b) 2 

6 

∫ 

0 

3 

2 

2 

x − 

c) ∫ 21 dx 

x 

f) 

1 

e 

∫ 

1 1 2 

( x + x ) dx 

x 

+ 2 

x 

+ 

−2 

1 

2 

4 

2 3 

∫ ( x + x x + x ) dx 

3 

i) ∫ ( x + x − 4 ) 

4 x 

1 

1 

e 

2 

2 x + 5 − 7x ∫ dx m) 

x 

1 

5 

∫ dx 

x + 2 + x − 2 

c) 

2 

2 

2 3x 

∫ dx 

f) 

0 3 3 

1+ x 

π 

π 

(2sin x + 3 cosx + x) 

dx 

2 

∫ 

1 

∫ 

8 

∫ 

1 

⎛ 

4x 

− 

⎜ 

⎝ 3 

2 dx 

1 

3 2 

x 

2 3 

⎞ 

dx 

⎟ 

⎠ 

( x + x x + x ) dx 

4 2 

0 

π 

6 

∫ 

x x + 9dx 

c) ( sin3x 

+ cos2 ) 

0 

x dx 

π 

∫ 

tan x. 

dx 

d) 4 2 

0 cos 

x 

π 

∫ 

e) 3 2 

π 

4 

3tan x dx 

π 

∫ 

f) 4 2 

π 

6 

(2 cot x + 5) dx 



π 

g) 2 dx 

∫ 

0 1 + sin x 

π 

∫ 

k) 3 2 

π 

− 

6 

(tan x − cot x) 

dx 


a) 

d) 

g) 

1 

0 

x 

−x 

π 

∫ 

h) 2 0 

π 

∫ 

l) 2 −π 

2 

e − e 

∫ dx 

b) 

x −x 

e + e 

x 

ln2 e 

∫ dx 

e) 

0 x 

e + 1 

π 

2 

0 

∫ 

e 

cos x 

sin xdx 

h) 

e ln x 

k) ∫ dx 

l) 

1 x 

2 

1 

1− 

cos x dx 

1+ 

cos x 

π 

sin( − x) 

4 dx 

π 

sin( + x) 

4 

( x + 1). dx 

∫ c) 

2 

x + x ln x 

−x 

2 x e 

∫ e (1 − ) dx f) 

1 x 

π 

∫ 

i) 2 2 2 

sin x.cos 

0 

π 

∫ 

m) 4 4 

∫ 

∫ 

0 

1 

0 

1 

cos x dx 

e 

e 

2x 

e 

x 

x 

0 x 

2 

− 4 

dx 

+ 2 

dx 

x 

∫ 4 e 

dx 

i) e 1 + ln 

1 

∫ 1 

1 

0 

x 

x 

2 

∫ xe dx 

m) 

1 

∫ 

0 

x 

1 

x 

1+ e 

dx 

VAÁN ÑEÀ 2: Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá 

b 

Daïng 1: Giaû söû ta caàn tính ∫ g( x) 

dx . 

Neáu vieát ñöôïc g(x) döôùi daïng: [ ] 

Daïng 2: Giaû söû ta caàn tính f ( x) 

dx . 

a 

β 

∫ 

α 

g( x) = f u( x) . u'( x) 

thì 

b 

a 

x dx 

u( b) 

∫ ∫ 

Ñaët x = x(t) (t ∈ K) vaø a, b ∈ K thoaû maõn α = x(a), β = x(b) 

β 

thì ∫ = ∫ [ ] = ∫ 

α 

b 

f ( x) dx f x( t) x '( t) dt g( t) 

dt 

Daïng 2 thöôøng gaëp ôû caùc tröôøng hôïp sau: 

f(x) coù chöùa 

a 

a 

x 

2 2 

− x 

2 2 

+ x 

2 2 

− a 

a 

b 

a 

Caùch ñoåi bieán 

x = a sin t, 

π π 

− ≤ t ≤ 

2 2 

hoaëc x = a cos t, 0 ≤ t ≤ π 

x = a tan t, 

π π 

− < t < 

2 2 

hoaëc x = a cot t, 0 < t < π 

a ⎡ π π ⎤ 

x = , t ∈ − ; \ { 0} 

sin t ⎢ 

⎣ 2 2 ⎥ 

⎦ 

a 

⎧π 

⎫ 

x = , t ∈ 0; π \ ⎨ ⎬ 

cos t 

⎩ 2 ⎭ 

hoaëc [ ] 

u( a) 

xdx 

g( x) dx = f ( u) 

du 

( g( t) = f [ x( t) ]. x '( t) 

) 




Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau (ñoåi bieán soá daïng 1): 

1 

1 3 

19 

x 

a) ∫ x ( 1− 

x) 

dx 

b) ∫ 2 3 

( 1+ 

x ) 

0 

1 

xdx 

d) ∫ 

2x + 

g) ∫ 

k) 

0 1 

2 

5 

3 

ln3 

0 

π 

2 

x 

dx 

x 

x 

2 

e dx 

+ 4 

x 

( e + 1) 

3 

e) 

∫ l) ∫ 

0 

1 

0 

2 

∫ x 1− 

x dx 

f) 

3 

5 

x + 2x 

h) ∫ 

2 

0 1+ 

x 

e 

3 

dx 

2 + ln xdx 

x 

1 

2 

2 

3 

sin 2x 

cos x.sin 

x 

n) ∫ 

dx o) 

2 

2 ∫ dx 

2 

0 cos x + 4sin x 

0 

1+ 

sin x 

Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau (ñoåi bieán soá daïng 2): 

1 

2 

a) ∫ 

0 

3 

dx 

1− 

x 

dx 

d) ∫ 2 

x + 3 

g) 

k) 

0 

0 

2 

− 1 x + 2x 

+ 2 

2 

dx 

π 

1 

b) ∫ 

∫ h) ∫ 

2 

3 

dx 

∫ l) 

2 

2 x x −1 

0 

1 

x 

2 

dx 

4 − x 

dx 

e) ∫ 2 2 

( x + 1)( x + 2) 

0 

1 

2 

2 

2 

2 

2 

x −1 3 dx 

x 

2 

1 

5 

x 

c) ∫ 2 

x + 1 dx 

i) 

0 

1 

3 2 

∫ 

0 

x 

ln2 

∫ 

m) ∫ 

0 1 

π 

e 

1 

1− 

x dx 

e 

x 

+ e 

x 

dx 

1+ 

3ln x ln x 

dx 

x 

6 

sin 2x 

p) ∫ 2 

2sin x + cos 

0 

2 

2 2 

c) ∫ x 4 − x dx 

1 

1 

xdx 

f) ∫ 4 2 

x + x + 1 

i) 

x 

∫ dx 

m) 

2 

0 1− x 

0 

1 

∫ 

0 

2 

∫ 

0 

dx 

2 

( 1+ 

x ) 

5 

2 

x 2x − x dx 

2 

dx 

x 

VAÁN ÑEÀ 3: Tính tích phaân baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn 

Vôùi P(x) laø ña thöùc cuûa x, ta thöôøng gaëp caùc daïng sau: 

b 

∫ P( x). 

e dx ∫ P( x).cos 

xdx ∫ P( x).sin 

xdx ∫ P( x). l n xdx 

a 

x 

b 

a 

u P(x) P(x) P(x) lnx 

dv 

x 

e dx cos xdx sin xdx P(x) 

b 

a 

b 

a 


a) ∫ 4 0 

π 

π 

2 

2 

x sin 2xdx 

b) ∫ ( x + sin x) cos xdx c) ∫ x 

2 cos xdx 

2 

π 

4 

d) ∫ x cos x dx e) 3 x 2 

tan xdx 

0 

0 

π 

∫ 

π 

4 

2π 

1 

0 

2x 

f) ∫ ( x − 2) e dx 


0


ln 2 

∫ 

0 

g) xe x dx 

π 

k) ∫ 2 0 

3 

e x sin 5xdx 

l) ∫ 2 0 

e 

∫ 

1 

2 

h) x ln xdx 

i) ∫ ln( x − x) 

dx 

π 

e 

cos x 

e 

o) ∫ x 

3 2 

ln xdx 

p) ∫ e ln x 

dx 

2 

1 

1 x 

e 

sin 2xdx 

3 

2 

e 

m) ∫ 

0 

∫ 

1 

ln 

3 

xdx 

2x 

3 

q) x( 

e + x + 1) dx 

−1 

VAÁN ÑEÀ 4: Tính tích phaân caùc haøm soá coù chöùa giaù trò tuyeät ñoái 

Ñeå tính tích phaân cuûa haøm soá f(x) coù chöùa daáu GTTÑ, ta caàn xeùt daáu f(x) roài söû duïng coâng 

thöùc phaân ñoaïn ñeå tính tích phaân treân töøng ñoaïn nhoû. 


2 

2 

2 

2 

2 

a) ∫ x − 2 dx 

b) ∫ x − x dx 

c) x + 2 x − 3dx 

d) 

g) 

0 

3 

−3 

2 

∫ x −1 

dx 

e) 

4 

1 

2 

0 

5 

∫ ( x + 2 − x − 2 ) dx f) 

∫ x − 6 x + 9 dx 

3 2 

h) ∫ x − 4x 

+ 4xdx 

i) 


2π 

a) ∫ 1− 

cos 2x dx 

b) 

0 

−2 

3 

0 

π 

∫ 

0 

3 

∫ 

0 

1 

∫ 

−1 

x 

2 − 4 dx 

4 − x dx 

∫ 1− 

sin 2 x. 

dx c) 2 ∫ sin x dx 

0 

π 

− 

2 

π 

π 

∫ 

−π 

d) 1− 

sin xdx 

π 

∫ 

g) 3 2 2 

π 

6 

tan x + cot x − 2dx 

e) 

2π 

∫ 

0 

π 

∫ 

1+ 

cos xdx 

h) 3 3 

π 

− 

2 

cos x cos x − cos xdx 

f) 

i) 

π 

∫ 

0 

2π 

∫ 

0 

1+ 

cos2xdx 

1+ 

sin xdx 

VAÁN ÑEÀ 5: Tính tích phaân caùc haøm soá höõu tæ 

Xem laïi caùch tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá höõu tæ. 


3 

dx 

a) ∫ 

x + 

d) 

1 

1 

3 

x 

x 

∫ 

+ 

0 

4 

( 1 2x) 

dx 

g) ∫ 

x(x −1 

2 

) 

3 

dx 

1 

dx 

b) ∫ 2 

x − 5x + 6 

0 

3 

2 

x dx 

e) ∫ 9 

2 ( 1− 

x) 

1 

( 4x 

+ 11) 

dx 

h) ∫ 2 

x + 5x 

+ 6 

0 

3 

3 

x dx 

c) ∫ 2 

x + 2x + 1 

0 

4 

dx 

f) ∫ 2 

x ( 1+ 

x) 

i) 

1 

1 3 

∫ 

0 

x + x + 1 

dx 

x + 1 




k) 

0 3 2 

2x − 6x + 9x 

+ 9 

∫ dx l) 

2 

x − 3x 

+ 2 

−1 


2 

dx 

a) ∫ 2 

x − 2x + 2 

d) 

g) 

k) 

0 

1 

1 

∫ dx e) 

2 2 

( x + 2) ( x + 3) 

0 

2 

1 

∫ 4 

x(1 + x ) dx 

h) 

1 

2 

1 

∫ dx 

l) 

2 

4 + x 

0 

3 2 

1 2 

3x 

+ 3x 

+ 3 

x 

∫ dx m) 

3 

∫ 

2 x − 3x 

+ 2 

0 (3x + 1) 

3 2 

( 3x 

+ 2) 

b) 

∫ 2 

x + 1 

0 

1 3 

0 

dx 

x + x + 1 

∫ dx 

f) 

2 

x + 1 

2 2008 

2 

3 

dx 

3 2 

x + 2x 

+ 4x 

+ 9 

c) ∫ dx 

2 

x + 4 

0 

1 

∫ 

0 1 

x 

+ x 

4 

3 4 

1− 

x 

x 

∫ dx i) 

2008 

∫ 

1 x(1 + x ) 

2 ( x −1) 

2 2 

1− 

x 

∫ dx 

m) 

4 

1+ 

x 

1 

VAÁN ÑEÀ 6: Tính tích phaân caùc haøm soá voâ tæ 

Xem laïi caùch tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá voâ tæ. 


2 

2 

2 

a) ∫ x x + 1dx 

b) ∫ 

0 

0 x + 

2 

x 

d) ∫ 

1+ 

x − 

g) 

1 1 


dx 

dx 

5 x − 2 x −1 

e) 

1 

6 

x 

3 

x 

2 

dx 

+ 1 dx 

∫ f) ∫ 

2 2x 

+ 1+ 4x 

+ 1 

∫ h) ∫ 

3 2 

x + 

7 

3 

x + 1 

k) ∫ 3 

dx 

3x 

+ 1 

n) 

0 

2 

2 

1+ 

x 

∫ dx 

o) 

1− 

x 

0 


a) 

d) 

1 

2 2 

∫ x 1+ 

x dx 

b) 

0 

2 

2 

∫ x + 2008dx 

e) 

1 

1 

l) 

1 

0 

2 3 

1 

dx 

2 2 

1 4 

∫ 

0 

2 − x 

1+ 

x 

2 

dx 

dx 

dx 

c) ∫ 

0 x + 1 + x 

2 

0 

x 

x 

5 

4 

+ 1 dx 

4x 

− 3 

x 1dx 

i) ∫ 

2 + 3x 

+ 

dx 

∫ m) 

2 

5 x x + 4 

2 

3 

dx 

∫ p) 

2 

2 x x −1 

3 2 

1 

0 1 

2 

∫ 

∫ 

3 5 3 

0 1 

2 

dx 

x + x dx 

dx 

+ x 

3 

1 1 

1 

x x + 

x + 1 

dx 

∫ dx c) ∫ 

2 2 

1 x x + 1 

0 (1 + x ) 

3 

3 2 

∫ x 10 − x dx f) 

dx 

dx 

g) ∫ h) ∫ i) 

2 

2 

− 11+ x + x + 1 

1 x + 2008 

k) 

2 

2 

dx 

∫ l) 

2 3 

0 (1 − x ) 

0 

2 

2 

2 

2 

x dx 

∫ m) 

2 

0 1− x 

1 

∫ 

0 

2 

2 3 

1+ 

x dx 

1 3 

∫ 

x dx 

2 

0 x x 1 

5 

4 

∫ 

1 

+ + 

2 

12x − 4x − 8dx 




π 

∫ 

a) 2 0 

π 

∫ 

cos xdx 

7 + cos2x 

d) 2 6 3 5 

1 cos sin cos 

0 

π 

∫ 

− 

cos xdx 

g) 2 2 

0 

1+ 

cos 

x x xdx 


a) 

d) 

g) 

ln3 

x 

0 1 

x 

π 

∫ 

b) 2 2 

sin cos cos 

0 

π 

∫ 

e) 2 0 

dx 

∫ b) 

e + 

ln3 2 

ln x 

∫ dx 

e) 

x ln x + 1 

ln2 

ln3 

x 

e 

∫ dx h) 

x x 

0 ( e + 1) e −1 

π 

x x − xdx 

sin 2x 

+ sin x dx 

1+ 

3cos x 

h) 3 2 

π cos x 1+ 

cos 

4 

π 

∫ 

cos xdx 

c) 2 2 

0 

π 

∫ 

f) 3 0 

2 + cos 

cos xdx 

x 

2 + cos2x 

tan x 

∫ dx i) 2 sin 2x 

+ sin x 

∫ 

dx 

x 

0 1+ 

3cos x 

ln2 2x 

e dx 

∫ c) 

x 

0 e + 1 

0 

−1 

2x 

3 

∫ x( e + x + 1) dx f) 

1 

x 

e 

∫ dx i) 

x x 

0 e + e − 

π 

e 

∫ 

1 

ln2 

∫ 

1+ 

3ln x ln x dx 

x 

x 

e dx 

x 

0 ( e + 1) 

ln2 

∫ 

0 

x 

e 

3 

−1dx 

VAÁN ÑEÀ 7: Tính tích phaân caùc haøm soá löôïng giaùc 

Xem laïi caùch tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá löôïng giaùc. 


π 

π 

a) ∫ 4 sin 2x .cos xdx 

b) ∫ 4 2 

sin x 

tan xdx c) ∫ dx 

1 

0 

0 

0 + 3cos 

x 

π 

d) ∫ 2 0 

π 

∫ 

3 

sin 

g) 2 2 4 

sin x cos 

0 

π 

∫ 

π 

∫ 

0 

2 

xdx e) sin xdx 

f) ∫ cos 

xdx 

k) 2 3 3 

x + 

0 

(sin cos x) 

dx 

n) 4 3 

q) 

π 

∫ 

0 

π 

2 

∫ 

0 

tan xdx 

3 

sin x 

dx 

2 

1+ 

cos x 

π 

h) ∫ 2 0 

l) 

π 

2 

0 

sin 

π 

π 

0 

2 3 

2 3 

x cos xdx i) 2 4 5 

sin x cos 

3 

cos x dx 

cos x + 1 

∫ m) ∫ + 

π 

∫ 

o) 3 4 

r) 

π 

4 

π 

2 

∫ 

0 

tan xdx 

3 

cos x dx 

1+ 

cos x 

π 

∫ 

0 

π 

2 

x 

xdx 

sin 2x 

cos x 

dx 

1 cos x 

0 

π 

∫ 

dx 

p) 3 3 

π sin x.cos 

4 

s) 

π /3 

π 

∫ 

4 

dx 

x 

/6 sin x.cos 

x 




π 

2 

a) ∫ 1− 

0 

π 

∫ 

cos 

d) 2 4 4 

+ 

0 

π 


π 

2 

3 

5 

1+ 

sin 2x 

x sin x cos xdx b) ∫ 

π sin x + 

6 

cos2 x(sin x cos x) 

dx 

g) 3 ∫ sin x.ln(cos x) 

dx h) 

0 


π 

∫ 

a) 2 π 

3 

1 

sin x 

dx 

π 

e) 

4 

∫ (tan x + e 

0 

π 

4 

0 

+ cos 2x 

dx 

cos x 

sin x 

3 

cos x) 

dx 

π 

3 

tan x 

c) ∫ 

dx 

2 

π cos x 1+ 

cos x 

4 

π 

2 

∫ + 

2 

f) ( 1 sin x) sin 2xdx 

∫ 

sin x 

dx 

2 2 5 

(tan x + 1) .cos x 

i) 3 1 

∫ 

dx 

sin 

2 x + 9 cos 

2 x 

π 

b) 2 dx 

∫ 

0 2 − cos x 

0 

π 

π 

− 

3 

π 

∫ 

c) 2 0 

3 

1 

2 + sin x 

dx 

π 

∫ 

d) 2 0 

π 

∫ 

g) 2 0 

π 

∫ 

cos x dx 

1+ 

cos x 

1 

sin x + cos x + 1 dx 

(1 − sin x)cos 

x 

dx 

(1 sin )(2 cos x) 

k) 2 2 

0 + x − 


π 

π 

∫ 

e) 2 0 

π 

∫ 

h) 2 π 

− 

2 

π 

∫ 

l) 3 π 

4 

cos x 

dx 

2 − cos x 

2 

4 

xdx 

a) ∫ (2x −1) cos xdx 

b) ∫ 

1 + cos 

0 

π 

∫ 

d) 2 3 

sin 

g) 

k) 

n) 

0 

2 

xdx 

∫ cos(ln x) 

dx 

h) 

1 

π 

2x 

2 

∫ e sin xdx 

0 

π 

2 sin 

2 

3 

∫ 

0 

x 

e sin x cos xdx 

π 

sin x − cos x + 1 

dx 

sin x + 2 cos x + 3 

dx 

π 

sin x cos( x + ) 

4 

0 

2 

π 

∫ 

e) 2 2 

x 

0 

π 

3 

∫ 

π 

6 

π 

∫ 

x 

cos xdx 

ln(sin ) 

cos 

l) 4 2 

x tan 

0 

π 

∫ 

o) 4 0 

2 

x dx 

x 

xdx 

ln(1 + tan x) 

dx 

π 

∫ 

f) 2 0 

π 

sin x 

dx 

2 + sin x 

i) 4 dx 

∫ 

π 

0 cos x cos( x + ) 

4 

π 

∫ 

m) 3 π 

6 

π 

c) ∫ 3 0 

π 

dx 

π 

sin x sin( x + ) 

6 

x 

2 

cos 

dx 

x 

f) 2 2x+ 

1 

sin 2 x. 

e 

∫ 

0 

π 

∫ 

i) 2 2 

(2x 

−1)cos 

m) 

0 

π 

∫ 

0 

π 

p) ∫ 4 0 

2 

dx 

xdx 

x sin x cos xdx 

dx 

4 

cos 

x 



VAÁN ÑEÀ 8: Tính tích phaân caùc haøm soá muõ vaø logarit 

Söû duïng caùc pheùp toaùn veà luyõ thöøa vaø logarit. Xem laïi caùc phöông phaùp tìm nguyeân haøm. 


1 

x 

e dx 

a) ∫ + e 

d) ∫ 

g) 

k) 

0 1 x 

ln 8 

ln 3 

2 

1 

e 

e 

x 

x 

+ 1 dx 

1 

∫ dx 

h) 

−x 

1− e 

e 

ln x 

∫ dx 

l) 

2 

x(ln x + 1) 

1 


π 

a) ∫ 2 0 

π 

2 

e x 

sin xdx 

d) ∫ ( + cos x)cos 

xdx 

g) 

k) 

0 

ln 2 

dx 

b) ∫ x 

e + 

0 

5 

ln 8 

x 2x 

e) ∫ e + 1. 

e dx 

ln 3 

2 2x 

x 

0 e + 1 

c) 

e 

∫ dx 

i) 

1 −2x 

e 

∫ dx 

m) 

x 

0 e 

− + 1 

2 

b) ∫ 

0 

xe 2x 

dx 

e x e) ln( 1 x) 

e 2 ln x + ln(ln x ) dx 

x 

e 

1 

∫ x + dx 

f) 

⎛ ln x 

2 ⎞ 

∫ h) ∫ ⎜ + ln x⎟ ⎠ 

0 

e 

1 

⎝ x 

π 

2 

ln x 

∫ dx 

l) 3 2 

∫ 2 

1 x 

π cos 

6 

ln x + 1 

ln(sin ) 

x dx 

x 

dx 

VAÁN ÑEÀ 9: Moät soá tích phaân ñaëc bieät 

Daïng 1. Tích phaân cuûa haøm soá chaün, haøm soá leû 

1 

∫ 

0 

1 

dx 

x 

e + 4 

ln 2 

1− 

e 

f) ∫ 1 0 

+ e 

1 

∫ 

e 

−x 

x 

x 

x 

0 e 

− + 1 

1 

ln3 

∫ 

0 

− 

c) ∫ xe x dx 

i) 

m) 

0 

e 

∫ 

1 

e 

e 

3 

∫ 

2 

1 

∫ 

0 

dx 

dx 

1 

dx 

x 

e + 1 

1+ 

ln 

x 

2 

x dx 

ln(ln x) 

dx 

x 

ln( x + 1) 

dx 

x + 1 

• Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá leû treân [-a; a] thì f ( x) dx = 0 

• Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá chaün treân [-a; a] thì 

a 

∫ 

−a 

a 

−a 

f ( x) dx = 2 f ( x) 

dx 

a 

∫ ∫ 

Vì caùc tính chaát naøy khoâng coù trong phaàn lyù thuyeát cuûa SGK neân khi tính caùc tích phaân 

coù daïng naøy ta coù theå chöùng minh nhö sau: 

a 

0 

a ⎛ 0 

a ⎞ 

Böôùc 1: Phaân tích I = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) 

dx 

J = f ( x) dx; K = f ( x) 

dx 

⎜ ∫ ∫ ⎟ 

−a 

−a 

0 ⎝ −a 

0 ⎠ 

Böôùc 2: Tính tích phaân 

0 

J = ∫ f ( x) 

dx baèng phöông phaùp ñoåi bieán. Ñaët t = – x. 

−a 

– Neáu f(x) laø haøm soá leû thì J = –K ⇒ I = J + K = 0 

– Neáu f(x) laø haøm soá chaün thì J = K ⇒ I = J + K = 2K 

0 




Daïng 2. Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm chaün treân R thì: 

α 

∫ 

−α 

f ( x) 

dx = 

x 

a + 1 

α 

∫ 

0 

f ( x ) dx 

(vôùi α ∈ R + vaø a > 0) 

Ñeå chöùng minh tính chaát naøy, ta cuõng laøm töông töï nhö treân. 

α 

0 

α 

f ( x) f ( x) f ( x) 

⎛ 0 

α 

f ( x) f ( x) 

⎞ 

I = ∫ dx = dx + dx 

x ∫ x ∫ 

J = dx; 

K = dx 

x 

x 

x 

−α 

a + 1 −α 

a + 1 0 a + 1 

⎜ ∫ ∫ 

− a + 1 0 a + 1 

⎟ 

⎝ α 

⎠ 

Ñeå tính J ta cuõng ñaët: t = –x. 

⎡ π ⎤ 

2 2 

Daïng 3. Neáu f(x) lieân tuïc treân ⎢0; ⎣ 2 

⎥ thì f (sin x) dx = f (cos x) 

dx 

⎦ 

∫ ∫ 

π 

π 

0 0 

π 

Ñeå chöùng minh tính chaát naøy ta ñaët: t = − x 

2 

Daïng 4. Neáu f(x) lieân tuïc vaø f ( a + b − x) = f ( x) 

hoaëc f ( a + b − x) = − f ( x) 

thì ñaët: t = a + b – x 

Ñaëc bieät, neáu a + b = π thì ñaët t = π – x 

neáu a + b = 2π thì ñaët t = 2π – x 

Daïng 5. Tính tích phaân baèng caùch söû duïng nguyeân haøm phuï 

Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) ta caàn tìm moät haøm g(x) sao cho nguyeân haøm 

cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x) deã xaùc ñònh hôn so vôùi f(x). Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa f(x). 

Ta thöïc hieän caùc böôùc nhö sau: 

Böôùc 1: Tìm haøm g(x). 

Böôùc 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x), töùc laø: 

⎧ F( x) + G( x) = A( x) 

+ C1 

⎨ 

⎩F( x) − G( x) = B( x) 

+ C2 

(*) 

1 

Böôùc 3: Töø heä (*), ta suy ra F( x) = [ A( x) + B( x) 

] + C laø nguyeân haøm cuûa f(x). 

2 

Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau (daïng 1): 

a) 

π 

4 

∫ 

π 

− 

4 

7 5 3 

x − x + x − x + 1 

dx 

4 

cos x 

1 

d) ( 2 ) 

g) 

∫ ln x + 1+ 

x dx e) 

−1 

π 

2 

∫ 

π 

− 

2 

5 

sin x 

dx 

1+ 

cos x 


a) 

1 4 

x 

∫ dx 

b) 

x 

1 2 1 

− + 

π 

∫ 

b) 2 2 

π 

− 

2 

cos x ln( x + 1 + x ) dx 

4 2 

1 x x 1 

c) 

1 

∫ x dx 

− − + 

f) 

π 

h) 2 2 

π 4 − sin 

− 

2 

1 

2 

∫ 

1 

− 

2 

⎛ 1− 

x ⎞ 

cos x.ln⎜ 

⎟dx 

⎝ 1 + x ⎠ 

1 4 

∫ 

−1 

x + sin x dx 

2 

x + 1 

xdx 

∫ i) 2 x + cos 

∫ 2 

x 

4 − sin 

1 2 

1− 

x 

∫ dx 

c) 

1+ 

2 x 

−1 

π 

π 

− 

2 

1 

∫ 

x 

dx 

x dx 

x 

2 

− 1 ( e + 1)( x + 1) 



d) 

π 

∫ 

− π + 

π 

∫ 

g) 2 π 

− 

2 

2 

sin x dx 

x 

3 1 

sin x sin 3x cos5x dx 

x 

1+ 

e 

3 

x 

e) ∫ 

1 

h) 


π 

∫ 

a) 2 0 

d) 

π 

2 

∫ 

0 

cos 

sin 

n 

cos 

n 

x 

x + sin 

sin 

n 

2009 

2009 2009 

x + cos 

dx (n ∈ N * ) b) 

x 

x 

dx 

x 

e) 


a) 

π 

∫ 

0 

π 

∫ 

d) 4 0 

g) 

π 

∫ 

x.sin 

x dx 

2 

4 − cos x 

ln(1 + tan x) 

dx 

x 

0 1 sin dx 

+ x 

π 

∫ 

k) 4 0 

sin 4x 

ln(1 + tan x) 

dx 

b) 

e) 

h) 


π 

∫ 

a) 2 0 

d) 2 0 

g) 

π 

∫ 

π 

2 

∫ 

0 

sin x 

sin x − cos 

dx 

x 

cos x 

dx 

sin x + cos x 

sin 

sin 

k) 2 2 

n) 

π 

∫ 

0 

1 

6 

x 

6 6 

x + cos 

dx 

x 

2 cos x.sin 2xdx 

x 

l) 

2 

− 3 

+ 

π 

4 

∫ 

π 

− 

4 

π 

2 

∫ 

0 

π 

2 

0 

sin 

sin 

+ 1 dx 

f) 

x 

2 

6 6 

x + cos 

x 

6 + 1 

sin 

7 

x 

7 7 

x + cos 

4 

x dx 

dx 

x 

i) 

∫ 

cos x 

dx 

4 4 

cos x + sin x 

f) 

π 

∫ 

0 

2π 

∫ 

0 

π 

∫ 

0 

π 

∫ 

0 

π 

∫ 

b) 2 0 

e) 

h) 

∫ 

e 

dx 

o) 

x x 

− 1 e + e − 

l) 

π 

2 

x + cos 

4 − sin 

x.cos 

2 

3 

x dx 

x 

xdx 

x sin x dx 

2 + cos x 

x sin x 

9 + 4 cos 

∫ 

0 

π 

2 

∫ 

0 

1 

−1 

2 

dx 

x 

cos x 

dx 


sin 

sin 

sin 

4 

x 

4 4 

x + cos 

cos 

6 

6 6 

x + cos 

x 

x 

dx 

x 

dx 

x 

1 

∫ 

x 

dx 

2 

− 1 (4 + 1)( x + 1) 

π 

2 

∫ 

π 

− 

2 

π 

∫ 

c) 2 0 

π 

2 

∫ 

0 

π 

∫ 

c) 2 0 

f) 

i) 

m) 

π 

∫ 

0 

π 

∫ 

0 

c) 2 0 

f) 

e 

∫ dx 

m) 

x x 

e − e − 

1 

∫ 

e 

−x 

x 

− 1 e + 

−x 

dx 

VAÁN ÑEÀ 10: Thieát laäp coâng thöùc truy hoài 

e 

2 2 

x sin x dx 

1+ 

2 x 

sin x 

dx 

sin x + cos x 

cos 

sin 

4 

x 

4 4 

x + sin 

dx 

x 

⎛ 1+ 

sin x ⎞ 

ln⎜ 

⎟ dx 

⎝ 1 + cos x ⎠ 

x.sin 

3 

xdx 

x sin x dx 

2 

1+ 

cos x 

π 

∫ 

0 

π 

∫ 

π 

2 

∫ 

0 

π 

∫ 

4 

x sin x cos xdx 

sin x 

sin x + cos 

sin 

i) 2 2 

0 

cos 

4 

x 

4 4 

x + cos 

dx 

x 

dx 

x 

2sin x.sin 2xdx 


1 

∫ 

−1 

e 

x 

e 

−x 

− e 

−x 

dx



b 

Giaû söû caàn tính tích phaân I = ∫ f ( x, n) 

dx (n ∈ N) phuï thuoäc vaøo soá nguyeân döông n. Ta 

n 

a 

thöôøng gaëp moät soá yeâu caàu sau: 

• Thieát laäp moät coâng thöùc truy hoài, töùc laø bieåu dieãn I n theo caùc I n-k (1 ≤ k ≤ n). 

• Chöùng minh moät coâng thöùc truy hoài cho tröôùc. 

• Tính moät giaù trò I cuï theå naøo ñoù. 

n 0 

Baøi 1. Laäp coâng thöùc truy hoài cho caùc tích phaân sau: 

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) 

g) 

h) 

i) 

k) 

In 

In 

In 

π 

2 

= ∫ sin n xdx 

0 

π 

2 

= ∫ cos n xdx 

0 

π 

4 

= ∫ tan n xdx 

0 

π 

2 

In 

= ∫ x cos x. 

dx 

0 

π 

2 

0 

n 

n 

Jn 

= ∫ x sin x. 

dx 

In 

In 

1 

0 

n x 

• Ñaët 

• Ñaët 

⎧ n 1 

u = 

− 

sin x 

⎨ 

⎩dv 

= sin x. 

dx 

⎧ n 1 

u = 

− 

cos x 

⎨ 

⎩dv 

= cos x. 

dx 

n n 2 2 n−2 

• Phaân tích: − ( ) 

• Ñaët 

• Ñaët 

∫ x e dx • Ñaët 

e 

n 

= ∫ ln x. 

dx • Ñaët 

1 

1 

0 

2 

tan x = tan x tan x + 1 − tan x 

⎧ n 

u = x 

⎨ 

⎩dv 

= cos x. 

dx 

⎧ n 

u = x 

⎨ 

⎩dv 

= sin x. 

dx 

n ⎧⎪ u = x 

⎨ x 

⎪⎩ dv = e . dx 

⎧ u = ln n x 

⎨ 

⎩dv 

= dx 

I (1 ) n 

n 

= ∫ − x dx • Ñaët x = cost 

→ Ñaët 

I 

n 

1 

dx 

= ∫ 2 n 

0 (1 + x ) 


1 

0 

n 

Tính 

In 

= ∫ x 1 − x. 

dx • Ñaët 

I 

n 

π 

4 

dx 

= ∫ n 

0 cos 

dx 

x 

J 

n 


⎧ 2n 

u = sin t 

⎨ 

⎩dv 

= sin t. 

dt 

2 2 

1 1+ 

x x 

= − 

(1 + x ) (1 + x ) (1 + x ) 

1 2 

2 n 2 n 2 n 

x 

= ∫ dx 

2 n 

0 (1 + x ) 

. Ñaët 

n ⎧⎪ u = x 

⎨ 

⎪⎩ dv = 1 − x. 

dx 

1 cos x 

= → Ñaët 

n n+ 

1 

cos x cos x 

⎧ u = x 

⎪ 

⎨ x 

dv 

⎪ = 

⎩ + 

2 

(1 x ) n 

1 

t = 

cos n 

+ 1 

x 

dx 



Câu 1. 

Câu 2. 

Câu 3. 

I = 

2 

2 2 

x 

∫ 

dx 

2 

1 x − 7x 


⎛ 16 9 ⎞ 

• I = ⎜1+ − ⎟dx 

⎝ x − 4 x − 3 ⎠ 

1 

TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ 

Dạng 1: Tách phân thức 

∫ = ( x 16 ln x 4 9 ln x 3 ) 

I = 

• Ta có: 

2 

∫ 

1 

x 

dx 

5 3 

+ x 

1 x 

= − 1 + 1 + 

3 2 

x x x 3 2 

( + 1) x x + 1 

+ − − − = 1+ 25ln 2 − 16 ln3 . 

⎡ 1 1 2 ⎤ 2 3 1 3 

⇒ I = ⎢− ln x − + ln( x + 1) ln 2 ln 5 

2 

2x 

2 

⎥ = − + + 

⎣ 

⎦ 1 2 2 8 

5 2 

3x 

+ 1 

2 4 13 7 14 

I = ∫ dx • I = − ln + ln + ln 2 

3 2 

x − 2x − 5x 

+ 6 

3 3 15 6 5 

4 

2 

1 

1 xdx 

Câu 4. I = ∫ 0 3 

( x + 1) 

x x + 1−1 • Ta có: 

( x 1) 

− 

= = + − ( x + 1) 

3 3 

( x + 1) ( x + 1) 

2 −3 

I 1 − 

x 2 − 

x 3 1 

⇒ = ⎡( 1) ( 1) ⎤ 

∫ + − + dx = 

0 

⎣ 

⎦ 

8 

Dạng 2: Đổi biến số 

Câu 5. 

I 

2 

( x −1) 

= ∫ dx • Ta có: 

4 

(2x 

+ 1) 

2 

1 ⎛ x 1 ⎞ ⎛ x 1 ⎞ ′ 

3 

− − 

f ( x) = . ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ 

3 ⎝ 2x 

+ 1⎠ ⎝ 2x 

+ 1⎠ ⇒ 1 ⎛ x −1 

⎞ 

I = ⎜ ⎟ + C 

9 ⎝ 2x 

+ 1⎠ 

Câu 6. 

Câu 7. 

I = 

1 

∫ 

0 

( 7x 

−1) 

( 2x 

+ 1) 

99 


dx 

1 99 1 99 

⎛ 7x −1⎞ dx 1 ⎛ 7x −1⎞ ⎛ 7x 

−1⎞ 

• I = ∫ ⎜ ⎟ = 

d 

2x 1 2 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ + ⎠ ( x ) 9 

∫ 

2x 1 2x 

1 

0 2 + 1 ⎝ + ⎠ ⎝ + ⎠ 

0 


1 1 ⎛ 7x 

−1⎞ 


= ⋅ ⎜ ⎟ = ⎣⎡ 2 −1⎦⎤ 

9 100 ⎝ 2x 

+ 1⎠ 

0 900 

1 

5x 

I = ∫ dx 

2 2 

( x + 4) 

• Đặt t = x 2 + 4 1 

⇒ I = 

8 

0 

Câu 8. 

1 7 

2 3 

x 

2 

1 ( t −1) 1 1 

I = ∫ dx • Đặt t = 1+ x ⇒ dt = 2xdx 

⇒ I = dt . 

2 5 

5 5 

0 (1 + x ) 

2 

∫ = 

1 t 4 2 




1 

5 3 6 

∫ 

Câu 9. I = x (1 − x ) dx 

0 

1 7 8 

3 2 −dt 1 6 1 ⎛ t t ⎞ 1 

• Đặt t = 1− x ⇒ dt = −3 x dx ⇒ dx = ⇒ I = t (1 t) 

dt 

2 

3x 

3 

∫ − = ⎜ − ⎟ = 

3 ⎝ 7 8 ⎠ 168 

0 

4 3 

1 

Câu 10. I = ∫ dx 

4 

x( x + 1) 

• Đặt t = x 2 

3 

1 ⎛1 t ⎞ 1 3 

⇒ I = dt ln 

2 

∫ ⎜ − 

t 2 ⎟ = 

⎝ t + 1⎠ 

4 2 

1 

1 

Câu 11. 

2 

2 4 

dx 

x . dx 

I = ∫ • I = ∫ 10 2 


1 x.( x + 1) 

1 x .( x + 1) 

. Đặt t = x 5 1 dt 

⇒ I = 

5 

∫ 

1 t( t + 1) 

32 

2 2 


2 7 

1− 

x 

(1 − x ). x 

I = ∫ dx • I = 

7 

∫ dx . Đặt t = x 7 ⇒ 

7 7 

x(1 + x ) 

x .(1 + x ) 

1 

2 7 6 

1 


1 1− 

t 

I = dt 

7 

∫ 

t(1 + t) 

1 

Câu 13. 

Câu 14. 

Câu 15. 

I = 

∫ 

3 

dx 

6 2 

1 x (1 + x ) 

3 

3 

6 

1 

t ⎛ 4 2 1 ⎞ 

• Đặt : x = ⇒ I = − dt = t t 1 dt 

t 

2 ⎜ − + − 

2 ⎟ 

t + 1 ⎝ t + 1⎠ 

I = 

2 2001 

∫ 

1 

x 

(1 + x ) 

2 1002 

. dx 

2 2004 

2 

1 

∫ ∫ = 

1 3 

3 

x 

1 

• I = . dx = 

. dx 

3 2 1002 1002 

1 x (1 + x ) 1 3 ⎛ 1 ⎞ 

x ⎜ + 1 

2 ⎟ 

⎝ x ⎠ 

117 − 41 3 π 

+ 


1 2 

= + ⇒ = − . 

2 3 

x 

x 

∫ ∫ . Đặt t 1 dt dx 

Cách 2: Ta có: 

1 2000 

1 x .2xdx 

I = 

2 

∫ . Đặt t = 1+ x 2 ⇒ dt = 2xdx 

2 2000 2 2 

(1 + x ) (1 + x ) 

2 1000 2 

0 


1 ( t −1) 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 

1 

⇒ I = dt 1 d 1 

2 

∫ = 

t t 2 

∫ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ = 

⎝ t ⎠ ⎝ t ⎠ 2002.2 

I = 

1000 2 1001 

1 1 

2 2 

∫ 

1 

1+ 

x 

1+ 

x 

4 

dx 

1 

2 1+ 

1+ 

x 

2 

• Ta có: = x 

4 

1+ x 2 1 

x + 

x 

3 3 

2 

1 ⎛ 1 ⎞ 

. Đặt t = x − ⇒ dt = ⎜1+ 

dx 

x x 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 2 

3 

dt 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 t − 2 1 ⎛ 2 −1⎞ 

⇒ I = ∫ = − dt 

2 ∫ ⎜ 

⎟ = .ln 2 = ln 

1 t − 2 2 2 1 ⎝ t − 2 t + 2 ⎠ 2 2 t + 2 

1 

2 2 ⎜ 2 + 1⎟ 

⎝ ⎠ 



Câu 16. 

I = 

2 2 

∫ 

1 

1− 

x 

1+ 

x 

4 

dx 

1 

5 

2 −1 

1− 

x 2 

• Ta có: x 

1 ⎛ 1 ⎞ 

2 

dt 

= . Đặt t = x + ⇒ dt = 1 dx 

4 

1+ x 2 1 

⎜ − 

x 

x + 

x 2 ⎟ ⇒ I = −∫ . 

2 

⎝ ⎠ 

2 t + 2 

2 

x 

du 

Đặt t = 2 tan u ⇒ dt = 2 

cos 

2 

u 

; u u u 5 

1 u 5 

tan = 2 ⇒ = arctan 2; tan = ⇒ 

2 

= arctan 

2 2 

Câu 17. 

Câu 18. 

Câu 19. 

Câu 20. 

Câu 21. 

u 

2 

2 2 2 ⎛ 5 ⎞ 

⇒ I = du ( u2 u1 

) arctan arctan 2 

2 

∫ = − = ⎜ − ⎟ 

2 2 ⎝ 2 ⎠ 

u 

1 

1 

2 2 

2 −1 

1− x 

2 

I = ∫ dx • Ta có: I x 

1 4 

= dx 

3 

∫ . Đặt t = x + ⇒ I = ln 

1 x + x 

1 

x 

1 

5 

+ x 

x 

I = 

1 4 

∫ 

0 

x 

x 

6 

+ 1 

dx 

+ 1 

4 4 2 2 4 2 2 2 

• Ta có: x + 1 ( x − x + 1) + x x − x + 1 x 1 

= = + = + 

x 

6 6 2 4 2 6 2 6 

x + 1 x + 1 ( x + 1)( x − x + 1) x + 1 x + 1 x + 1 

1 1 3 

1 1 d( x ) π 1 π π 

⇒ I = ∫ dx + dx . 

2 3 2 

x 1 3 

∫ 

= + = 

+ ( x ) + 1 4 3 4 3 

I = 

0 0 

3 

3 

2 

x 

∫ dx 

4 

0 x −1 

3 3 

3 2 

3 

x 

1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 π 

• I = ∫ dx = dx ln(2 3) 

2 2 2 2 

( x 1)( x 1) 2 

∫ ⎜ + ⎟ = − + 

− + ⎝ x − 1 x + 1⎠ 


0 0 

1 

1 1 

xdx 

I = ∫ . • Đặt t x 2 1 dt 1 dt π 

= ⇒ I = 

4 2 

2 2 

0 x + x + 1 

2 

∫ = 

t t 2 

∫ 

= 

2 

0 + + 1 0 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 6 3 

⎜t 

+ ⎟ + ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

I = 

• Ta có: 

⇒ I = 

1 

1+ 

5 

2 

∫ 

1 

2 

x + 1 

dx 

4 2 

x − x + 1 

1 

2 1+ 

x + 1 

2 

x 

1 ⎛ 1 ⎞ 

= . Đặt t = x − ⇒ dt = dx 

4 2 

x − x + 1 2 1 

⎜1+ 

x 

x + −1 

x 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 

x 

dt 

∫ . Đặt 

2 

0 t + 1 

π 

4 

du 

π 

t = tan u ⇒ dt = ⇒ I = du 

2 ∫ = 

cos u 

4 

0 



TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ 

Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 

x 

Câu 1. I = ∫ 

dx 

3x + 9x 2 −1 

x 

2 2 2 

• I = ∫ dx = ∫ x(3x − 9x − 1) dx = ∫3x dx − ∫ x 9x −1dx 

2 

3x 

+ 9x 

−1 

Câu 2. 

2 3 

+ I1 = ∫ 3x dx = x + C1 

+ I x x 2 1 2 2 1 2 

2 

= ∫ 9 −1dx 

= 9x 1 d(9x 1) (9x 1) 2 C 

18 

∫ − − = − + 

27 

1 2 3 

⇒ I = (9 x − 1) 2 + x + C 

27 

I = 

2 

∫ 

x + 

• ∫ 

1+ 

x 

+ I 

1 

x 

2 

+ 

1+ 

x 

x dx 

x 

2 

x 

x 

3 

dx 

2 

x 

x 

= dx + dx 

1+ x x 1+ 

x x 

∫ ∫ . 

x 

2 

3 2 2 

= ∫ dx . Đặt t= 1+ x x ⇔ t − 1 = x x ⇔ x = ( t − 1) x 2 4 

⇔ dx = t ( t 2 − 1) dt 

1+ 

x x 

3 

4 

⇒ t 2 4 

dt t 3 4 

( − 1) = − t + C 

3 9 3 

+ 

Câu 3. 

Câu 4. 

I 

∫ = ( ) 

2 

x 

= ∫ dx = 

1+ 

x x 

4 

Vậy: ( 1 ) 

I = + x x + C 

9 

4 

3 

3 

4 4 

1+ x x − 1+ x x + C 

9 3 

2 d(1 x x) 

3 ∫ + 

= 4 1 + x x + C 2 

1+ 

x x 3 

2x 

+ 1 

I = ∫ dx • Đặt t = 2x 

+ 1 . I = 

1+ 2x 

+ 1 

0 

6 

3 2 

t 

∫ dt = 2 + ln 2 . 

1+ 

t 

dx 

3 1 

I = ∫ • Đặt t = 4x 

+ 1 . I = ln − 

2 2x 

+ 1+ 4x 

+ 1 


1 

3 2 

Câu 5. I = ∫ x 1− 

x dx • Đặt: t 1 x 2 

Câu 6. 

Câu 7. 

I = 

0 

1 

∫ 

0 

1+ 

x 

dx 

1+ 

x 

• Đặt t = x ⇒ dx = 2 t. 

dt . I = 

I = 

3 

∫ 

0 

x − 3 

dx 

3 x + 1 + x + 3 

• Đặt t = x + 1 ⇒ 2tdu = dx ⇒ 

1 3 

= − ⇒ ( 2 4 ) 

1 

1 

1 

I = t − t dt = 

2 

∫ . 

15 

t + t 

2 dt 

2 2 

∫ = 2 t t dt 

t + 1 

∫ ⎛ 

⎞ 

⎜ − + 2 − ⎟ 

⎝ 1 + t ⎠ 

= 11 3 − 4 ln 2 . 

0 

1 

0 

2 3 

2 2 

2t 

− 8t 

1 

I = ∫ dt = (2t 6) dt 6 dt 

2 ∫ − + ∫ 

t + 3t 

+ 2 

t + 1 

1 1 1 

0 

3 

3 

= − 3 + 6 ln 2 

2 




Câu 8. I = x. x + 1dx 

Câu 9. 

• Đặt 

• Đặt 




Câu 13. 

0 

∫ 

−1 

3 

1 ⎛ 7 4 

t t ⎞ 

3 

3 2 3 

9 

t = x + 1 ⇒ t = x + 1 ⇒ dx = 3t dt ⇒ I = ∫ 3( t − 1) dt = 3⎜ 

− ⎟ = − 

⎝ 7 4 ⎠ 28 

I = 

5 2 

∫ 

1 

x + 1 

dx 

x 3x 

+ 1 

2tdt 

t = 3x + 1 ⇒ dx = ⇒ I = 

3 

4 4 

2 ⎛ 1 3 ⎞ t −1 100 9 

= ⎜ t − t ⎟ + ln = + ln . 

9 ⎝ 3 ⎠ 2 

t + 1 

2 

27 5 

I = 

3 2 

∫ 

0 

2x 

+ x −1 

dx 

x + 1 

• Đặt x + 1 = t ⇔ x = t 2 − 1 ⇒ dx = 2tdt 

4 

∫ 

2 

0 

2 

⎛ 2 

t −1⎞ 

+ 1 

⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ 2tdt 

. 

2 

t −1 3 

. t 

3 

1 

2 2 

dt 

= ( t 1) dt 2 

9 

∫ − + ∫ 2 

t −1 

0 

4 4 

2 2 

2 2 2 2 2 

5 

2( t − 1) + ( t −1) −1 ⎛ 

4 2 4t 

⎞ 

3 54 

⇒ I = ∫ 2tdt = 2 (2t 3 t ) dt 2t 

t 

∫ − = ⎜ − ⎟ = 

⎝ 5 ⎠ 5 

1 1 

1 2 

x dx 

I = 2 ∫ ( x + 1) x + 1 

0 

• Đặt t = x + 1 ⇒ t = x + 1 ⇒ 2tdt = dx 

2 

2 2 2 2 

3 

( t −1) ⎛ 1⎞ 

⎛ t 1⎞ 

16 −11 2 

⇒ I = ∫ .2tdt = 2 t dt 2 2t 

3 ∫ ⎜ − ⎟ = ⎜ − − ⎟ = 

t 

⎝ t ⎠ ⎝ 3 t ⎠ 3 

I = 

1 1 

4 

x + 1 

∫ 

0 ( ) 

1+ 1+ 

2x 

2 

dx 

dx 

• Đặt t = 1+ 1+ 2 x ⇒ dt = ⇒ dx = ( t −1) 

dt và 

1+ 

2x 

Ta có: I = 

I = 

∫ 

8 

3 

= 

2 

1 

2 

t 

x = 

4 2 4 3 2 

4 

2 

− 2 

2 

1 ( t − 2t + 2)( t −1) 1 t − 3t + 4t 

− 2 1 ⎛ 4 2 ⎞ 

dt dt t 3 dt 

2 

∫ = 

2 2 

t 2 

∫ = 

t 2 

∫ ⎜ − + − 

t 2 ⎟ 

⎝ t ⎠ 

2 2 2 

2 

1 ⎛ t 

2 ⎞ 

− 3t 

+ 4 ln t + 

= 

2 ⎜ 2 

t ⎟ 

⎝ 

⎠ 

x −1 

dx 

2 

x + 1 

⎛ x 1 ⎞ 

• I = − dx 

⎜ 

2 2 ⎟ 

3 ⎝ x + 1 x + 1 ⎠ 

1 

2 ln 2 − 4 

8 

⎡ 2 

∫ = x ( 2 

+ 1 − ln x + x + 1) 

8 

⎤ 

⎣ ⎦ = 1+ ln( 3 + 2) − ln ( 8 + 3) 


3 

t 

2 

1


1 

∫ 

3 2 

Câu 14. I = ( x −1) 2x − x dx 

Câu 15. 

Câu 16. 

Câu 17. 

0 

1 1 

3 2 2 2 

∫ ∫ . Đặt t 2x x 2 

• I = ( x −1) 2 x − x dx = ( x − 2x + 1) 2 x − x ( x −1) 

dx 

0 0 

I = 

2 3 2 

∫ 

0 

2 2 

2x − 3x + x 

dx 

2 

x − x + 1 

( x − x)(2x 

−1) 

2 

2 4 

• I = ∫ dx . Đặt t = x − x + 1 ⇒ I = 2 ∫ ( t − 1) dt = . 

2 

0 x − x + 1 

3 

1 

I = 

2 3 

∫ 

x dx 

3 2 

0 4 + x 

3 

= − ⇒ I 

3 2 2 3 2 3 4 3 ⎛ 8 3 ⎞ 

• Đặt t = 4 + x ⇒ x = t − 4 ⇒ 2xdx = 3t dt ⇒ I = ( t 4 t) dt 4 2 

2 

∫ − = − ⎜ + ⎟ 

3 

2 ⎝ 5 ⎠ 

• Ta có: 

1 

dx 

I = ∫ 

−11+ x + 1+ 

x 

2 

1 2 1 

2 

1+ x − 1+ x 1+ x − 1+ 

x 

I = ∫ dx = 

dx 

2 2 ∫ 

(1 + x) − (1 + x ) 

2x 

1 

−1 −1 

1 ⎛ 1 ⎞ 1 

1 

+ I1 = 1 dx ln x x | 

−1 

1 

2 

∫ ⎜ + ⎟ = ⎡ + ⎤ = 

x 2 ⎣ ⎦ 

⎝ ⎠ 

+ 

I 

2 

−1 

1 2 

2 

4 

1 1 2 

1 ⎛ 1 ⎞ 1+ 

x 

= 1 dx 

2 ∫ ⎜ + ⎟ − 

x 

∫ 

⎝ ⎠ 2x 

−1 −1 

1+ 

x 

2 2 2 

= ∫ dx . Đặt t = 1+ x ⇒ t = 1+ x ⇒ 2tdt = 2xdx 

⇒ I 2 = 

2x 

−1 

Vậy: I = 1. 

Cách 2: Đặt t = x + x 2 + 1 . 

1 

3 3 

1 

( x − x ) 

Câu 18. 

Câu 19. 

∫ 

2 2 

2 

2 

= − . 

15 

dx 

t dt 

2 

2( t −1) = 0 

⎛ 1 ⎞3 

1 

1 

I = ∫ dx • Ta có: I = dx 

4 

∫ ⎜ −1 . 

2 ⎟ . Đặt t = − 1 ⇒ I = 6 . 

3 

x 

⎝ x ⎠ x 

x 2 

1 

3 

I = ∫ 

• Ta có: 

⇒ I = 

Câu 20. 

I = 

2 2 

1 

4 − x 

x 

dx 

2 2 

4 − x 

I = ∫ xdx . Đặt t = 4 − x 2 ⇒ t 2 = 4 − x 2 ⇒ tdt = − xdx 

2 

x 

1 

0 0 2 0 

t( −tdt) t 4 ⎛ t − 2 ⎞ 

= dt = (1 + ) dt = t ln 

2 2 2 

⎜ + ⎟ 

4 − t t − 4 t − 4 ⎝ t + 2 ⎠ 

∫ ∫ ∫ = 

3 3 3 

2 5 

1 

1 

3 

1 

0 

3 

⎛ 2 − 3 ⎞ 

− 3 + ln ⎜ 2 + 3 ⎟ 

⎝ 

⎠ 

x 

∫ dx • Đặt t x 2 dt 1 15 

= + 5 ⇒ I = ∫ = ln . 

2 2 

2 

2 ( x + 1) x + 5 

3 t − 4 4 7 

5 




Câu 21. 

I = 

27 

∫ 

1 

x − 2 

dx 

3 2 

x + x 

3 3 

3 

6 

t − 2 ⎡ 2 2t 

1 ⎤ ⎛ 2 ⎞ 5π 

• Đặt t = x ⇒ I = 5 ∫ dt = 5 1 

dt 

2 ∫ ⎢ − + − 

t t t 2 2 ⎥ = 5⎜ 

3 − 1+ ln ⎟ − 

( + 1) ⎣ t + 1 t + 1⎦ 

⎝ 3 ⎠ 12 

Câu 22. I = 

Câu 23. 

Câu 24. 

Câu 25. 

Câu 26. 

1 

∫ 

0 

x 

2 

1 

dx 

+ x + 1 

1 1 

1+ 

3 

2 

2dt 

1+ 3 3 + 2 3 

• Đặt t = x + x + x + 1 ⇒ I = ∫ = ln(2t 

+ 1) = ln 

2t 

+ 1 1 3 

I = 

3 2 

∫ 

0 (1 + 1 + x ) (2 + 1 + x ) 

x 

2 2 

4 

⎛ 

• Đặt 2 + 1+ x = t ⇒ I 2 t 16 42 36 ⎞ 

4 

= ∫ ⎜ − + − dt 

t 2 ⎟ = − 

t 

12 + 

⎝ 

⎠ 

42 ln 3 

I = 

3 2 

3 

1 

dx 

x 

∫ 

dx 

0 2( x + 1) + 2 x + 1 + x x + 1 

2 2 2 2 

2 t( t −1) 

dt 

2 2 2 

3 2 

• Đặt t = x + 1 ⇒ I = ∫ = 2 ( t −1) 

dt 

2 ∫ = ( t − 1) = 

t( t + 1) 

3 1 3 

I = ∫ 

• Ta có: 

2 2 3 3 

1 

1 1 

x − x + 2011x 

dx 

4 

x 

1 

3 

2 2 −1 

2 2 2 

I 

x 


= ∫ dx + dx M N 

3 ∫ = + 

3 

x 

x 

1 1 

1 

3 

2 2 −1 

3 7 

− 

2 

M = 

x 

1 

2 

3 

3 

∫ dx . Đặt t = 3 

3 21 7 

− 1 ⇒ M = − t dt 

3 

2 

x 

x 

2 

∫ = − 


1 

2 2 2 2 

2 2 

2011 −3 

⎡ 2011⎤ 

14077 

N = ∫ dx = 2011x dx 

3 ∫ 

= ⎢− 2 ⎥ = 

x 

⎣ 2x 

⎦ 16 

1 1 1 

3 

14077 21 7 

⇒ I = − . 


I = 

1 

∫ 

dx 

3 3 3 

0 (1 + x ). 1+ 

x 

3 3 

2 2 

2 

3 3 

t 

• Đặt t = 1+ x ⇒ I = dt = 

∫ ∫ 

dt 

2 2 

1 4 3 1 

3 2 3 3 

t .( t −1) t .( t −1) 

0 



⎛ 1 ⎞ 

3 3 3 

2 2 2 ⎜1− 

dt dt 3 ⎟ 

= 

⎝ t ⎠ 

∫ = 

2 ∫ = 

2 ∫ 4 

1 1 1 t 

2 ⎡ 3 ⎛ 1 ⎞⎤ 3 4 ⎛ 1 ⎞3 

t . ⎢t 

⎜1− t 1− 

3 ⎟⎥ 

⎜ 3 ⎟ 

⎣ ⎝ t ⎠⎦ 

⎝ t ⎠ 

Đặt 

Câu 27. 

1 2 1 

1 2 

dt 

u = 1− 1 ⇒ du = 3 

− 

⎛ ⎞ 

2 2 1 

u 3 2 

2 

1 − u3 

⇒ I du u 3 

1 ⎜ ⎟ 

du u3 

1 

= 

3 4 ∫ = 

3 

t t 

3 3 

∫ = ⎜ ⎟ = = 

3 1 

0 0 

2 

⎜ ⎟ 0 

⎝ 3 ⎠ 

I = 

2 2 4 

∫ 

3 

• Đặt t = x 2 + 1 

3 2 2 

( t −1) 

⇒ I = ∫ dt = 

2 

t − 2 

2 

x 

dx 

⎛ 1 ⎞ 2 

⎜ x − x + 1 

x 

⎟ 

⎝ ⎠ 

Câu 28. = ⎜ − 2 ln( 1+ 

) 

t 

2 

− 

3 

− 2t 

+ 1 2 1 19 2 ⎛ 4 + 2 ⎞ 

dt = t dt + dt = + ln 

2 2 

t − 2 t − 2 3 4 ⎜ 4 − 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

3 4 2 3 3 

∫ ∫ ∫ 

2 2 2 

1⎛ 

1− 

x 

⎞ 

I ∫ 

x x ⎜ 

dx 

1+ 

x 

⎟ 

⎝ 

⎠ 

0 

1 

0 

dt 


1− 

x 

⎡ π ⎤ 

π 

• Tính H = ∫ dx . Đặt x = cos t; 

t ∈ ⎢ 0; 

1+ 

x 

2 ⎥ ⇒ H = 2 − 

⎣ ⎦ 

2 

1 

∫ 

• Tính K = 2x ln(1 + x) 

dx . Đặt 

2 

∫ 

0 

5 2 2 

Câu 29. I = ( x + x ) 4 − x dx 

Câu 30. 

2 

−2 

5 2 2 

⎧ u = ln(1 + x) 

⎨ 

⎩ dv = 2xdx 

⇒ K = 

1 2 

• I = ∫ ( x + x ) 4 − x dx = ∫ x 4 − x dx + ∫ x 4 − x dx = A + B. 

−2 

2 

5 2 

2 

−2 

5 2 

2 

−2 

2 2 

+ Tính A = ∫ x 4 − x dx . Đặt t = − x . Tính được: A = 0. 

−2 

2 

2 2 

+ Tính B = ∫ x 4 − x dx . Đặt x = 2sin t . Tính được: B = 2π . 

−2 

Vậy: I = 2π . 

I = ∫ 

• Ta có: 

( ) 

2 2 

1 

3 − 4 − x 

2x 

4 

dx 

2 2 2 

3 4 − x 

I = dx − dx 

4 4 

2x 

2x 

∫ ∫ . 

1 1 

1 

0 

1 




2 

3 3 −4 

7 

+ Tính I 1 

= ∫ dx = x dx 

4 

2x 

2 

∫ = . 

16 

+ Tính 

I 

1 

2 2 

2 

1 

4 − x 

= ∫ dx . Đặt x = 2sin t ⇒ dx = 2 costdt 

. 

2x 

2 4 

1 

π π π 

2 2 2 2 

1 cos tdt 1 2 ⎛ 1 ⎞ 1 2 

3 

⇒ I2 = cot t dt cot t. d(cot t) 

8 ∫ = 

4 2 

sin t 8 ∫ ⎜ ⎟ = − = 

⎝ sin t ⎠ 8 ∫ 

8 

π π π 

6 6 6 

1 

Vậy: I ( 7 2 3 ) 

Câu 31. I = 

= − . 

16 

1 2 

∫ 

0 4 

x dx 

− x 

6 

3 2 1 dt 

• Đặt t = x ⇒ dt = 3x dx ⇒ I = 

3 

∫ . 

2 

0 4 − t 

⎡ π ⎤ 

1 π 

Đặt t = 2sin u, u ∈ ⎢0; ⇒ dt = 2 cosudu 

⎣ 2 

⎥ 

⇒ I = dt 

⎦ 

3 

∫ = . 

18 

2 

1 

2 − x 

2 t 

Câu 32. I = ∫ dx • Đặt x = 2 cost ⇒ dx = − 2sin tdt ⇒ I = 4 sin dt π 2 

x + 2 

∫ = − . 

2 

0 

π 

6 

0 

π 

2 

0 

Câu 33. I = 

1 2 

∫ 

x dx 

0 3 + 2x 

− x 

1 2 

2 

x dx 

• Ta có: I = ∫ . Đặt x − 1 = 2 cost 

. 

2 2 

0 2 − ( x −1) 

⇒ I = − 

1 

2 

π 

2 

2π 

3 

(1 + 2 cos t) 2sin t 

dt 

2 

4 − (2 cos t) 

2 

2π 

3 

π 3 3 

∫ t dt = + − 4 

2 2 

∫ = ( 3 + 4 cost 

+ 2 cos2 ) 

π 

2 

2 

Câu 34. 1 − 

π 3 1 

∫ 2x 1− 

x dx • Đặt x = sin t ⇒ I = ∫ (cost − sin t)costdt 

= + − 


0 

Câu 35. I = x −1dx 

3 

∫ 

2 

⇒ I ( ) 

2 

π 

6 

5 2 1 

= − ln 2 + 1 + ln 2 

2 4 

0 



Câu 1. 

I = 

∫ 

2 

8cos x − sin 2x 

− 3 

dx 


2 

TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

Dạng 1: Biến đổi lượng giác 

(sin x − cos x) + 4 cos2x 

• I = ∫ dx = ⎡( sin x − cos x − 4(sin x + cos x) 

⎤dx 


∫ ⎣ 

⎦ 

= 3cos x − 5sin x + C . 

cot x − tan x − 2 tan 2x 

Câu 2. I = ∫ 

dx 

sin 4x 

2 cot 2x − 2 tan 2x 2 cot 4x cos4x 

1 

• Ta có: I = ∫ dx = dx 2 dx C 

sin 4x ∫ = 

sin 4x ∫ = − + 

2 

sin 4x 

2sin 4x 

2 ⎛ π ⎞ 

cos x + 

⎛ π ⎞ 

⎜ 

8 

⎟ 

1+ cos 2x 

Câu 3. I = 

⎝ ⎠ 

1 

⎜ + ⎟ 

∫ dx • Ta có: I = 

⎝ 4 ⎠ 

∫ 

dx 

sin 2x 

+ cos2x 

+ 2 

2 2 ⎛ π ⎞ 

1 + sin ⎜ 2 x + ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

Câu 4. 

⎛ 

⎞ 

⎜ ⎛ π ⎞ 

cos 2x 

+ 

⎟ 

1 ⎜ ⎜ ⎟ 

4 

dx 

⎟ 

= 

⎝ ⎠ 

⎜∫ dx + 

2 

2 2 ⎛ π ⎞ 

∫ 

⎟ 

⎜ 1+ sin⎜2x 

+ ⎟ 

⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ 

⎟ 

⎜ ⎝ 4 ⎠ ⎢sin⎜ x + ⎟ + cos⎜ x + ⎟⎥ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 8 ⎠ 

⎟ 

⎝ 

⎣ 

⎦ ⎠ 

⎛ ⎛ π ⎞ 

⎞ 

cos 2x 

1 

⎜ ⎜ + ⎟ 

4 1 dx ⎟ 

= ⎜ ⎝ ⎠ 

∫ 

dx + 

⎟ 

2 2 ⎛ π ⎞ 2 

∫ 

⎜ 

2 ⎛ 3π 

⎞ 

⎜ 1+ sin⎜2x 

+ ⎟ sin ⎜ x + ⎟ ⎟ 

⎝ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎠ 

1 ⎛ ⎛ π ⎞ ⎛ 3π 

⎞⎞ 

= ln 1+ sin 2x + − cot x + + C 

4 2 ⎜ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎟ 

⎝ 

⎠ 

I = 

π 

∫ 

π 

3 

π 

dx 

2 + 3 sin x − cos x 

1 dx 

• I = 

2 ∫ = I = 

⎛ 

π 

π ⎞ 

1 − cos ⎜ x + 

3 

3 ⎟ 

⎝ ⎠ 

π 

1 

4 

π 

dx 

∫ = 

2 ⎛ 

π 

x π ⎞ 

2sin ⎜ + ⎟ 

3 ⎝ 2 6 ⎠ 

1 

4 3 . 

1 

6 

1 

Câu 5. I = ∫ 6 6 

dx 

0 2sin x − 3 

• Ta có: I 1 1 

= dx 2 

2 ∫ = 

π 

∫ 

π 

dx 

0 sin x − sin 0 sin x − sin 

3 3 

π π π ⎛⎛ x π ⎞ ⎛ x π ⎞⎞ 

cos 

6 cos 

6 ⎜⎜ + 

3 

2 6 

⎟ − ⎜ − 

2 6 

⎟⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

= dx 

⎝ 

⎠ 

∫ = 

dx 

π 

∫ 

⎛ 

0 

x x 

sin x sin 0 

π ⎞ ⎛ π ⎞ 

− 2 cos .sin 

3 

⎜ + − 

2 6 

⎟ ⎜ 

2 6 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

π 

π 



π ⎛ x π ⎞ π ⎛ x π ⎞ 

cos 

sin 

6 ⎜ − 

2 6 

⎟ 6 ⎜ + 

1 1 2 6 

⎟ 

= 

⎝ ⎠ 

dx 

⎝ ⎠ 

dx 

2 

∫ 

+ 

⎛ 

0 

x π ⎞ 2 

∫ 

⎛ 

0 

x π ⎞ 

sin⎜ − cos + 

2 6 

⎟ ⎜ 

2 6 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

π 

2 

Câu 6. I = ∫ (sin x + cos x)(sin x + cos x) 

dx . 

0 


4 4 6 6 

π 

⎛ x π ⎞ ⎛ x π ⎞ 

= ln sin⎜ − ⎟ 

6 − ln cos 6 ..... 

2 6 0 ⎜ + ⎟ = 

2 6 0 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

4 4 6 6 33 7 3 

33 

• Ta có: (sin x + cos x)(sin x + cos x) 

= + cos4x + cos8x 

⇒ I 

64 16 64 

= 128 π . 

π 

2 

∫ 

4 4 

Câu 7. I = cos2 x(sin x + cos x) 

dx 

0 

π 

π 

2 2 

⎛ 1 2 ⎞ 1 ⎛ 1 2 ⎞ 

• I = ∫ cos2x ⎜1− sin 2x ⎟ dx = ⎜1− sin 2 x ⎟ d(sin 2 x) = 0 

⎝ 2 ⎠ 2 

∫ 

⎝ 2 ⎠ 

0 0 

π 

2 

∫ 

3 2 

Câu 8. I = (cos x −1)cos x. 

dx 

Câu 9. 


0 

π 

π 

2 2 2 

5 

• A = xdx ( 2 

∫ cos = ∫ 1− 

sin x) 

d(sin x) 

= 8 

0 0 

π 

π 

2 2 

2 1 

B = cos x. dx = (1 + cos2 x). 

dx 

2 

∫ ∫ = 4 

π 

0 0 

π 

2 

2 

I = ∫ cos x cos 2xdx 

0 

15 

π π π 

2 2 2 

Vậy I = 8 

15 – π . 

4 

2 

1 1 

• I = ∫ cos x cos2 xdx = (1 + cos2 x)cos2 xdx = (1 + 2 cos2x + cos4 x) 

dx 

2 

∫ 

4 

∫ 

0 0 0 

π 

1 1 

x x x 2 π 

= ( + sin 2 + sin 4 ) = 

4 4 0 8 

I = 

π 

2 

0 

∫ 

3 

4sin x 

dx 

1+ 

cos x 

3 3 

4sin x 4sin x(1 − cos x) 

• = = 4sin x − 4sin x cos x = 4sin x − 2sin 2x 

1+ 

cos x 

2 

sin x 

∫ 

π 

⇒ I = 2 (4sin x − 2sin 2 x) dx = 2 

0 

2 

π 

Câu 11. I = 1+ 

sin xdx 

∫ 

0 

π 




2π 

2 2π 

⎛ x x ⎞ 

x x 

⎛ x π ⎞ 

• I = ∫ ⎜sin + cos ⎟ dx = sin + cos dx 

⎝ 2 2 ⎠ 

∫ 

= 2 sin dx 

2 2 

∫ ⎜ + ⎟ 

⎝ 2 4 ⎠ 

0 0 

⎡3π 

⎤ 

⎢ 2 

2π 

⎛ x π ⎞ ⎛ x π ⎞ ⎥ 

= 2 ⎢ sin⎜ + ⎟dx 

− sin ⎜ + ⎟ dx⎥ 

= 

⎢ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝ 2 4 ⎠ 

0 

3π 

⎥ 

⎢⎣ 

2 

⎥⎦ 

π 

4 

∫ ∫ 4 2 

dx 

2 4 

28 

I = ∫ • Ta có: I = x x d x 

6 

∫ (1 + 2 tan + tan ) (tan ) = . 

0 cos x 

15 


sin 2xdx 

Câu 13. I = ∫ 

3 + 4sin x − cos2x 

2sin x cos x 

1 

• Ta có: I = ∫ dx . Đặt t = sin x ⇒ I = ln sin x + 1 + + C 

2 

2sin x + 4sin x + 2 

sin x + 1 

dx 

Câu 14. I = ∫ 3 5 

sin x.cos 

x 

• I dx 

dx 

= ∫ = 8 

3 3 2 

x x x 

∫ 3 

sin .cos .cos sin 2x.cos 

2 x 

⎛ 3 3 −3 ⎞ 1 4 3 2 

1 

Đặt t = tan x . I = ∫ ⎜t + 3t + + t ⎟ dt = tan x + tan x + 3ln tan x − + C 

⎝ t ⎠ 4 2 2 

2 tan x 

2t 

Chú ý: sin 2x 

= . 

1 + t 2 

dx 

Câu 15. I = ∫ 3 

sin x.cos 

x 

dx 

dx 

dx 

2t 

• I = ∫ = 2 

2 ∫ . Đặt t = tan x ⇒ dt = ; sin 2x 

= 

2 

sin x.cos x.cos 

x sin 2 x.cos 

x 

cos x 1 + t 

Câu 16. 

Câu 17. 

dt 

⇒ I = 2∫ 

= 

2t 

I = ∫ 

• Ta có: 

1+ 

t 

2 

∫ 

t 

2 

2011 2011 2009 

sin 

sin 

π 

4 

0 

2π 

+ 1 1 t 

tan x 

dt = ( t ) dt ln t C ln tan x C 

t 

∫ + = + + = + + 

t 2 2 

x − sin 

5 

x 

x 

cot xdx 

0 

2 2 

1 

20111− 

2 


x 

x 

I 

sin 

− cot 

= ∫ cot xdx = 

cot xdx 

4 ∫ 4 

sin x 

sin x 

2 4024 8046 

Đặt t = cot x ⇒ I 2011 2 2011 

t tdt t 2011 


= t (1 ) 

t 2011 

∫ + = + + C 

4024 8046 

4024 8046 




cot x + cot 2011 x + C 

4024 8046 

I = 

π 

2 

∫ 

0 

sin 2 x.cos 

x 

dx 

1+ 

cos x 

2 2 




• Ta có: 

π 

2 

2 

sin x.cos 

x 

( t −1) 

I = 2∫ dx . Đặt t = 1+ cos x ⇒ I = 2 dt 2 ln 2 1 

1+ 

cos x 

∫ = − 

t 

π 

3 

Câu 18. I = ∫ sin x tan xdx 

• Ta có: 

0 

2 

0 

π 

π 

3 3 

2 sin x (1 − cos x)sin 

x 

I = sin x. dx = 

dx 

cos x 

cos x 

1 

2 

0 0 

2 

2 2 

∫ ∫ . Đặt t = cos x 

1− 

u 

3 

⇒ I = − ∫ du = ln 2 − 

u 

8 

1 

π 

∫ 

2 

2 

Câu 19. I = sin x(2 − 1+ 

cos2 x ) dx 

π 

2 

π 

2 π 

2 

∫ ∫ 

• Ta có: I = 2sin xdx − sin x 1+ cos2xdx = H + K 

Câu 20. 

Câu 21. 

π 

π 

π 

2 2 

π 

+ H 2 

π π 

= ∫ 2sin xdx = ∫ (1 − cos2 x) 

dx = π − = 

2 2 

π 

π 

2 2 

π 

2 2 π 

2 

∫ ∫ ∫ xd x 

+ K = sin x 2 cos x = − 2 sin x cos xdx 

π 

π 

2 2 

π 2 

⇒ I = − 

2 3 

π 

3 

π 

π 

2 

1 

2 

= − 2 sin (sin ) = 

dx 

dx 

dx 

I = ∫ • I = 4. 

2 4 ∫ . Đặt t = tan x ⇒ dt = . 

2 2 

2 

sin x.cos 

x 

sin 2 x.cos 

x 

cos x 

π 

4 

3 2 2 3 

3 

(1 + t ) dt ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 1 t ⎞ 8 3 − 4 

I = ∫ = 2 t dt 2t 

2 ∫ ⎜ + + 

2 ⎟ = ⎜ − + + ⎟ = 

t ⎝ t ⎠ ⎝ t 3 ⎠ 3 

1 1 

π 

I = 

• Ta có: 

2 

∫ 

0 

sin 2x 

( 2 + sin x) 

2 

dx 

π 

π 

2 2 

π 

3 

π 

4 

sin 2x sin x cos x 

I = dx = 2 

dx 

2 2 

(2 + sin x) (2 + sin x) 

∫ ∫ . Đặt t 2 sin x 

0 0 

3 3 

t − 2 ⎛1 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 

⇒ I = 2∫ 

dt = 2 dt 2 ln t 

2 ∫ ⎜ − = + 

t t 2 ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ t ⎠ ⎝ t ⎠ 

2 2 2 

3 

1 

3 

3 2 

= 2 ln − 2 3 

= + . 

2 

3 



Câu 22. 

Câu 23. 

π 

6 

sin x 

sin x sin x 

I = ∫ dx • I = dx = 

dx 

cos2x 

cos2x 

2 

2 cos x −1 

0 

π 

π 

6 6 

∫ ∫ . Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx 

0 0 

π 3 

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 

6 2 

Ta được 

3 

2 

1 1 2t 

− 2 

I = − ∫ dt = ln 

2 

2t 

−1 

2 2 2t 

+ 2 

= 

3 

1 

π 

2 sin 2 

x 

3 

1 

2 

1 3 − 2 2 

ln 

2 2 5 − 2 6 

I = ∫ e .sin x.cos x . dx • Đặt t = sin x ⇒ I = 

0 

π 

2 1 

Câu 24. I = sin x sin 

2 

∫ ⋅ x + dx • Đặt t = cos x . I 

π 

2 

= 3 ( 2) 

16 π + 

6 

Câu 25. 

Câu 26. 

Câu 27. 

I = 

π 

4 

π 

4 

∫ 

0 

sin 

sin 4x 

6 6 

x + cos 

dx 

x 

2 

1 

1 t 1 

e (1 − t) 

dt 

2 

∫ = e 1 

2 − . 

sin 4x 

3 

• I = ∫ dx . Đặt t = 1− sin 2 2x 

⇒ I = 

0 3 2 

4 

∫ ⎛ 2 1 ⎞ 

⎜ − ⎟dt 

3 

1 t 

= 4 t 2 

= . 

⎝ ⎠ 3 1 3 

1− 

sin 2x 

4 

4 

π 

2 

sin x 

⎛ π ⎞ 

I = ∫ dx • Ta có: sin x + 3 cos x = 2 cos x 

3 

⎜ − ⎟ 

⎝ 6 ⎠ ; 

0 

( sin x + 3 cos x) 

⎛⎛ 

π ⎞ π ⎞ 3 ⎛ π ⎞ 1 ⎛ π ⎞ 

sin x = sin⎜⎜ 

x − ⎟ + ⎟ = sin⎜ x − ⎟ + cos⎜ x − ⎟ 

⎝⎝ 

6 ⎠ 6 ⎠ 2 ⎝ 6 ⎠ 2 ⎝ 6 ⎠ 

π ⎛ π ⎞ π 

sin x dx 

2 ⎜ − 

6 

⎟ 2 

3 1 dx 

⇒ I = 

⎝ ⎠ 

3 

16 

∫ + 

0 3 ⎛ π ⎞ 16 

∫ = 

2 ⎛ 

cos x 

0 

π ⎞ 6 

⎜ − cos x − 

6 

⎟ ⎜ 

6 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

π 

4 

I = ∫ 

π 

− 

3 

sin x 1− 

cos 

cos 

2 

x 

2 

x 

dx 

π 

π 

4 4 

sin x 

2 sin x 

• I = ∫ 1− cos x. dx = sin x dx 

2 ∫ 2 

cos x 

cos x 

π 

π 

− 

− 

3 3 

1 

4 

π 

0 4 

sin x 

= sin x dx + 

cos x 

∫ ∫ 

π 

− 

3 

0 

2 2 

−0 

1 

sin x 

sin x dx 

cos x 




= 

π 

0 2 4 2 

sin x 

− ∫ dx + 

cos x 

π 

− 

3 

Câu 28. I = 

π 

6 

π 

6 

∫ 

0 

∫ 

sin 

2 2 

0 cos 

x 

dx 

x 

1 

dx 

sin x + 3 cos x 

7π 

= − 3 − 1. 


1 

• I = ∫ dx 

0 sin x + 3 cos x 

= 1 1 

2 

∫ dx = 

⎛ 

0 

π ⎞ sin ⎜ x + ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

π 

6 

π ⎛ π ⎞ 

6 sin x 

1 

⎜ + ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

2 ∫ dx . 

0 1 cos 2 ⎛ π ⎞ 

− ⎜ x + 

3 ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 1 1 1 

Đặt t = cos⎜ x + ⎟ ⇒ dt = − sin⎜ x + ⎟ dx ⇒ I = dt ln3 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 

∫ = 

2 

1− 

t 4 

π 

2 

∫ 

Câu 29. I = 1− 3 sin 2x + 2 cos xdx 

Câu 30. 

Câu 31. 

π 

2 

0 

2 

• I = ∫ sin x − 3 cos x dx = I = sin x − 3 cos x dx + sin x − 3 cos x dx 

0 

I = 

π 

2 

∫ 

0 

sin xdx 


3 

1 

2 

π 

π 

3 2 

0 

0 

∫ ∫ = 3 − 3 

π 

π 

2 2 

π 

costdt 

cos xdx 

• Đặt x = − t ⇒ dx = −dt 

⇒ I = 

2 

∫ = ∫ 

(sin t + cos t) (sin x + cos x) 

π 

3 

3 3 

0 0 

π π π 

2 2 4 

dx 1 dx 1 π 

⇒ 2I = = = − cot( x + ) = 1 

2 

0 (sin x + cos x) 2 

0 2 π 2 4 

sin ( x + ) 

0 

4 

∫ ∫ ⇒ I 

π 

2 

7sin x − 5cos x 

I = ∫ dx • Xét: I 

3 


0 

π 

Đặt x = − t . Ta chứng minh được I 1 = I 2 

2 

Tính I 1 + I 2 = 

⇒ I 

1 2 

π 

π 

2 2 

( ) 

sin xdx 

= ; I = 

1 

= 

2 

π 

π 

2 2 

cos xdx 

∫ ∫ . 

1 3 2 

3 

0 0 

( sin x + cos x) ( sin x + cos x) 

dx 

dx 1 π 

π 

= = tan( x − ) 1 

2 

2 = 

sin x + cos x 2 π 2 4 

2 cos ( x − ) 

0 

4 

∫ ∫ 

0 0 

1 

= I = ⇒ I = 7 I1 – 5I2 

= 1. 

2 



Câu 32. 

Câu 33. 

I = 

π 

2 

∫ 

0 

3sin x − 2 cos x 

dx 

3 


π 

π 

2 2 

π 

3cost − 2sin t 3cos x − 2sin x 

• Đặt x = − t ⇒ dx = − dt ⇒ I = dt dx 

2 

∫ = 

3 ∫ 

3 

(cost + sin t) (cos x + sin x) 

0 0 

π π π 

2 2 2 

3sin x − 2 cos x 3cos x − 2sin x 

1 

⇒ 2I = I + I = dx + dx = dx = 1 

3 3 2 

(sin x + cos x) (cos x + sin x) (sin x + cos x) 

• Đặt 

Câu 34. 

I = 

π 

∫ 

0 

∫ ∫ ∫ ⇒ I 

0 0 0 

x sin x 

dx 

2 

1+ 

cos x 

π 

( π − t)sin t sin t 

x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ∫ dt = π dt I 

2 ∫ − 

2 

1+ cos t 1+ 

cos t 

π 

π 

π 

0 0 

sin t d(cos t) 

π π π 

⇒ 2I = π ∫ dt = − π I 

2 ∫ = π 

2 

⎜ 

⎛ + ⎞ ⎟ ⇒ = 

1+ cos t 1+ 

cos t ⎝ 4 4 ⎠ 8 

I = 

π 

2 

∫ 

0 

0 0 

4 

cos x sin x 

dx 

3 3 

cos x + sin x 

π 

0 4 2 4 

π 

sin t cost sin x cos x 

• Đặt x = − t ⇒ dx = −dt 

⇒ I = − dt dx 

2 

∫ = 

3 3 ∫ 3 3 

cos t + sin t cos x + sin x 

π 

2 

π π π 

2 4 4 2 3 3 

2 

cos x sin x + sin x cos x sin x cos x(sin x + cos x) 1 1 

⇒ 2I = ∫ dx = dx xdx 

3 3 ∫ = sin 2 = 

3 3 

sin x + cos x sin x + cos x 2 

∫ 

2 

1 

⇒ I = . 

4 

0 0 0 

π 

2 ⎡ 1 

2 

⎤ 

Câu 35. I = ∫ ⎢ − tan (cos x) 

dx 

2 

⎥ 

0 ⎢⎣ 

cos (sin x) 

⎥⎦ 

π 

• Đặt x = − t ⇒ dx = − dt 

2 

π 

2 ⎡ 1 

2 

⎤ 

⇒ I = ∫ 2 ⎡ 1 

2 

⎢ − tan (sin t) 

dt 

2 

⎥ 

0 ⎢⎣ 

cos (cos t) 

⎥ 

x ⎤ 

= ∫ ⎢ − tan (sin ) dx 

2 

⎥ 

⎦ 0 ⎢⎣ 

cos (cos x) 

⎥⎦ 

π 

π 

2 ⎡ 1 1 

2 2 

⎤ 

Do đó: 2I = ∫ ⎢ + − tan (cos x) − tan (sin x) 

dx 

2 2 

⎥ 

0 ⎢⎣ 

cos (sin x) cos (cos x) 

⎥ 

= 2 

2∫ 

dt = π 

⎦ 0 

π 

⇒ I = . 

2 

0 

2 

π 

1 

= . 

2 




Câu 36. 

Câu 37. 

I = 

π 

4 

∫ 

0 


dx 

3 − sin 2x 

• Đặt u = sin x + cos x 

I = 

π 

3 

∫ 

0 

sin x 

cos x 3 + sin 

⇒ I = 

2 

dx 

x 

2 

du 

∫ . Đặt u = 2sin t 

2 

1 4 − u 

2 2 

2 

2 

• Đặt t = 3 + sin x = 4 − cos x . Ta có: cos x = 4 − t và dt = 

I = 

π 

3 

sin x 

∫ . dx = 

2 

0 cos x 3 + sin x 

15 

2 

π 

3 

sin x.cos 

x 

∫ dx = 

2 2 

0 cos x 3 + sin x 

1 t + 2 

= ln = 1 ⎛ 15 + 4 3 + 2 ⎞ 

ln − ln 

4 t − 2 4 ⎜ 

3 

15 − 4 3 − 2 ⎟ 2 

⎝ 

⎠ 

2π 

x x x x 

Câu 38. I 

3 

+ ( + sin )sin 

= ∫ 

dx 

π 3 2 

sin x + sin x 

3 

2π 

2π 

x 

dx 

• I = 

3 

dx 

3 

∫ + 

π 2 ∫ . 

π 

sin x 1+ 

sin x 

3 3 

2π 

⎧ u = x 

x 

+ Tính I 

3 

⎪ ⎧ du = dx 

1 

= ∫ dx . Đặt dx 

π 2 

⎨ ⇒ 

sin x dv = 

⎨ 

v cot x 

3 

⎪ 2 ⎩ = − 

⎩ sin x 

Câu 39. 

2π 2π 2π 

3 3 3 

π π π 

3 3 3 

15 

2 

π 

π 

4 4 

2 costdt 

π 

⇒ I = = dt = 

2 

4 4sin t 


π − 

π 

∫ ∫ . 

6 6 

sin x cos x 

dx . 

2 

3 + sin x 

15 

2 

∫ dt 

2 

3 4 − t 

= 1 ⎛ 1 1 ⎞ 

4 

∫ ⎜ − ⎟ 

⎝ t + 2 t − 2 ⎠ 

dt 

1 

= ( ln ( 15 4 ) ln ( 3 2 )) 

3 

+ − + . 

π 

⇒ I 1 

= 

3 

dx dx dx 

+ Tính I 

2= 

∫ 4 2 3 

1+ sin x 

= ∫ 

⎛ π ⎞ = ∫ 

2 ⎛ π x ⎞ 

= − 

1+ cos⎜ − x ⎟ 2 cos ⎜ − ⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 2 ⎠ 

π 

Vậy: I = + 4 − 2 3 . 

3 

π 

2 

I = ∫ 

π 

2 

0 

cos 

sin 2x 

2 2 

x + 4sin 

dx 

x 

2sin x cos x 

• I 

dx 

2 

= ∫ . Đặt u = 3sin x + 1 ⇒ I 

2 

0 3sin x + 1 

Câu 40. 

π ⎛ π ⎞ 

6 tan ⎜ x − ⎟ 

I = 

⎝ 4 ⎠ 

∫ dx 

cos2x 

0 

2 

udu 

3 2 2 

= du = 

u 3 3 

2 2 

= ∫ ∫ 

1 1 



Câu 41. 

π ⎛ π ⎞ π 

6 tan ⎜ x − ⎟ 6 2 

tan x 1 

• I 

4 

+ 

= 

⎝ ⎠ 

dx = − 

dx 

cos2 x 

2 

(tan x + 1) 

∫ ∫ . Đặt t = tan x ⇒ dt = dx = (tan x + 1) dx 

0 0 

1 

1 

3 

dt 

3 

2 

t t 

0 ( + 1) + 0 

1 1− 

3 

⇒ I = − ∫ = = 

1 2 

. 

I = 

π 

3 

∫ 

π 

6 

π 

3 

cot x 

dx 

⎛ π ⎞ 

sin x.sin⎜ 

x + ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

x 

• I 2 cot 

1 

= ∫ dx . Đặt 1+ cot x = t ⇒ dx = − dt 

sin 2 

x (1 + cot x ) 

2 

sin x 

π 

6 

3+ 1 3+ 

1 

t −1 ⎛ 2 ⎞ 

= 2 ∫ = 2 − ln 3+ 

1 = 2 ⎜ − ln 3 ⎟ 

t 

⎝ 3 ⎠ 

⇒ I dt ( t t) 

3+ 

1 3 

3 

π 

3 

dx 

Câu 42. I = ∫ 2 4 

π sin x.cos 

x 

4 

π 

3 

dx 

dt 

• Ta có: I = 4. ∫ . Đặt t = tan x ⇒ dx = 

2 2 

π sin 2 x.cos 

x 

1+ 

4 

Câu 43. 

Câu 44. 

3 

3 (1 + t 

2 

) 

2 

dt 3 1 t 

3 

⇒ I t 

2 1 8 3 − 4 

= ∫ 

= ∫ ( + 2 + ) dt = ( − + 2 t + ) = 

t 

2 

t 

2 

1 1 

t 3 3 

1 

I = 

• Ta có: 

π 

4 

∫ 

0 

sin x 

dx 

2 

5sin x.cos 

x + 2 cos x 

π 

4 

tan x 1 

I = ∫ . dx 

2 2 

5tan x + 2(1 + tan x) cos x 

. Đặt t = tan x , 

0 

1 1 

t 1 ⎛ 2 1 ⎞ 1 2 

⇒ I = ∫ dt = dt ln3 ln 2 

2 

t t 3 

∫ ⎜ − ⎟ = − 

2 + 5 + 2 ⎝ t + 2 2t 

+ 1⎠ 

2 3 

• Đặt 

0 0 

π 

4 

I = ∫ 

π 

− 

4 

sin 

4 2 

2 

xdx 

cos x(tan x − 2 tan x + 5) 

dt 

t = tan x ⇒ dx = 

1+ 

t 2 

t 2 

1 2 

1 

1 

cos 

t dt 2 dt 

⇒ I = ∫ = 2 + ln − 3 

2 ∫ 2 

t − 2t + 5 3 t − 2t 

+ 5 

−1 −1 

2 

x 

2 




Tính 

Câu 45. 

Câu 46. 

I 

1 

dt 

= ∫ . Đặt t − 1 1 π 

= tan u ⇒ I du 

1 = ∫ = . Vậy I 

−1 t − 2t 

+ 5 2 2 8 

π 

1 2 

π 

2 

2 

sin x 

I = ∫ dx . 

sin3x 

π 

6 

π 

π 

2 2 

2 

sin x 

sin x 

• I = ∫ dx = 

dx 

3 ∫ 2 

3sin x − 4sin x 4 cos x −1 

π 

π 

6 6 

0 

− 

4 

3 

0 2 

2 3π 

= 2 + ln − . 3 8 

dt 1 dt 1 

Đặt t = cos x ⇒ dt = −sin 

xdx ⇒ I = − ∫ = ln(2 3) 

2 

t 4 

∫ = − 

4 −1 

0 2 1 4 

t − 

4 

I = 

π 

2 

π 

4 

∫ 


dx 

1+ 

sin 2x 

⎡π π ⎤ 

• Ta có: 1+ sin 2x = sin x + cos x = sin x + cos x (vì x ∈ ⎢ ; 

⎣ 4 2 ⎥ 

⎦ ) 

π 

x x 

⇒ I 2 

sin − cos 

= ∫ dx . Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x) 

dx 

π 

sin x + cos x 

4 

2 1 2 1 

⇒ I = ∫ dt = ln t 

1 

1 = ln 2 

t 

2 

2 6 3 5 

∫ 

Câu 47. I = 2 1− 

cos x.sin x.cos 

xdx 

• Đặt 

Câu 48. 

1 

3 

2 

6 3 6 3 5 2 

2t dt 

t = 1− cos x ⇔ t = 1− cos x ⇒ 6t dt = 3cos x sin xdx ⇒ dx = 

2 

cos x sin x 

1 ⎛ 7 13 

t t ⎞ 

6 6 


⇒ I = 2 ∫ t (1 − t ) dt = 2⎜ 

− ⎟ = 

⎝ 7 13 ⎠ 91 

I = 

• Ta có: 

⇒ I 

Câu 49. 

0 

π 

4 

∫ 

0 

tan xdx 

cos x 1+ 

cos 

I = 

π 

4 

∫ 

0 

3 3 

2 2 

2 

x 

tan xdx 

. Đặt 

2 2 

cos x tan x + 2 

tdt 

= ∫ = ∫ dt = 3 − 2 

t 

π 

2 

1 

0 

2 2 2 

t = 2 + tan x ⇒ t = 2 + tan x ⇒ tdt = dx 

2 

5 

tan x 

cos x 

cos2x 

t − 3 1 

I = ∫ dx • Đặt t = cos x − sin x + 3 ⇒ I = 

3 

∫ dt = − . 

3 

(cos x − sin x + 3) 

t 32 

0 

4 

2 



Câu 50. 

Câu 51. 

Câu 52. 

Câu 53. 

Câu 54. 

I = 

• Ta có: 

I = 

• Ta có: 

• Ta có: 

π 

4 

∫ 

0 

sin 4x 

dx 

2 4 

cos x. tan x + 1 

π 

4 

sin 4x 

I = ∫ dx . Đặt t = sin 

4 x + cos 

4 x ⇒ I = − 2 ∫ dt = 2 − 2 . 

4 4 

0 sin x + cos x 

1 

π 

4 

∫ 

0 

sin 4x 

dx 

2 

1+ 

cos x 

π 

4 

2 

2sin 2 x(2 cos x −1) 

2 

2(2t 

−1) 1 

I = ∫ dx . Đặt t = cos x ⇒ I = − dt 

2 

∫ = 2 − 6 ln . 

1+ 

cos x 

t + 1 3 

π 

0 

π 

6 tan( x − ) 

I = 4 

∫ dx 

cos2x 

0 

I = − 

π 

6 

0 

π 

6 

∫ 

3 

tan x 

I = ∫ dx 

cos 2x 

0 

2 

tan x + 1 

(tan x + 1) 

2 

dx 

. Đặt t = tan x ⇒ 

π 

π 

6 tan 

3 

x 6 tan 

3 

x 

• Ta có: I = ∫ 

dx = 

cos 

2 

sin 

2 

∫ 

dx . 

cos 

2 

(1 tan 

2 

0 x − x 0 x − x) 

3 

3 t 

3 

1 1 2 

Đặt t = tan x ⇒ I = ∫ dt = − − ln . 

1 

2 

0 − t 6 2 3 

π 

2 

1 

3 

1 

2 

1 

2 

( t + 1) 2 

0 

2 

2 

dt 1− 

3 

I = − = . 

cos x 

I = ∫ dx 

0 7 + cos2x 

• 1 cos x dx π 

I = ∫ 

= 

2 2 2 

0 2 − sin x 6 2 

π 

2 

∫ 

Câu 55. 

π 

3 

∫ 

• Ta có: 

dx 

4 3 5 

π sin x.cos 

4 

π 

3 

∫ 

3 

π sin 

4 

4 3 

x 

1 

x 

.cos 

cos x 

8 

dx 

x 

π 

3 

1 1 

= ∫ . dx . 

4 3 2 

π tan x cos x 

4 




Đặt t 

Câu 56. 

• Ta có: 

3 

− 

= tan x ⇒ I t 4dt 

( 8 

= = 4 3 −1) 

π 

3 

cos x + cos x + sin x 

I = ∫ x( ) dx 

2 

1+ 

cos x 

0 

∫ 

1 

3 

π ⎛ 

2 

π π 

cos x(1 + cos x) + sin x ⎞ 

x.sin 

x 

I = ∫ x dx = x.cos x. 

dx + dx = J + K 

⎜ 

2 2 

0 1 cos x ⎟ ∫ ∫ 

⎝ + ⎠ 0 0 1+ 

cos x 

π 

+ Tính J = ∫ x.cos x. 

dx . Đặt 

+ Tính 

0 

π 

⎧u = x ⎧du = dx 

⎨ 

⇒ 

dv cos xdx 

⎨ 

⎩ = ⎩v = sin x 

x.sin 

x 

K = ∫ dx . Đặt x = π − t ⇒ dx = − dt 

2 

1+ 

cos x 

0 

π π π 

⇒ J = − 2 

( π − t).sin( π − t) ( π − t).sin t ( π − x).sin 

x 

⇒ K = ∫ dt = dt dx 

2 ∫ = 

2 ∫ 2 

1+ cos ( π − t) 1+ cos t 1+ 

cos x 

0 0 0 

π π π 

( x + π − x).sin x sin x. dx π sin x. 

dx 

⇒ 2K = ∫ dx = π 

K 

2 ∫ ⇒ = 

2 2 

1 cos x 1 cos x 2 

∫ 

+ + 1+ 

cos x 

Đặt t 

Câu 57. 

0 0 0 

= cos x 

1 

π dt 

2 

⇒ K = 

2 ∫ 1 

, đặt t = tan u ⇒ dt = (1 + tan u) 

du 

2 

+ t 

−1 

π 

π 

4 2 4 

π 2 

π (1 + tan u) 

du π π 

K du . u 4 

π 

⇒ = 

2 

∫ = 

2 

1 tan u 2 

∫ = = 

2 

π 

+ 

− 4 

π 

Vậy I = − 2 

4 

I = 

• Ta có: 

π 

2 

∫ 

π 

6 

π 

π 

− 

− 

4 4 

2 

cos x 

sin x 3 + cos 

I = 

15 

2 

π 

2 

∫ 

π 

6 

2 

dx 

x 

sin x cos x 

sin x 3 + cos 

2 2 

dx . Đặt t = 3 + cos x 

x 

dt 

⇒ I = = 1 

( ln( 15 + 4) − ln( 3 + 2) ) 

∫ 

3 

4 − t 

2 

2 

4 

2 


π 

2 1 

Câu 58. I = sin x sin 

2 

∫ ⋅ x + . dx 

π 

2 

6 



3 ⎛ π ⎞ 

• Đặt cos x = sin t, ⎜ 0 ≤ t ≤ ⎟ 

2 ⎝ 2 ⎠ ⇒ I = 3 cos 

2 

2 

∫ tdt = 3 ⎛ π 1 ⎞ 

⎜ + ⎟ 

2 ⎝ 4 2 ⎠ . 

π 

2 


Câu 59. I = ∫ 

dx 

2 2 


0 

π π π 

2 2 2 

3sin x + 4cos x 3sin x 4cos x 

• I = ∫ dx = + 

2 2 2 

3 + cos 

∫ dx 

3 + cos 

∫ dx 

x x 3 + cos x 

+ Tính 

Đặt 

+ Tính 

Vậy: 

Câu 60. 

Câu 61. 

0 0 0 

π 

2 

I 

= 

∫ 

3sin x 

dx 

x 

1 2 

3 + cos 

0 

π 

4 

. Đặt = cos ⇒ = −sin 

2 

t = 3 tan u ⇒ dt = 3(1 + tan u) 

du ⇒ 

I 

= 

π 

2 

∫ 

2 2 

4 − sin 

0 

π 3 

I = + ln 3 

6 

I = 

• Ta có: 

π 

4 

∫ 

π 

6 

0 

t x dt xdx ⇒ I 

4cos x 

dx . Đặt t 1 

= sin x ⇒ dt 1 

= cos xdx I 

x 

tan x 

cos x 1+ 

cos 

2 

dx 

x 

π 

π 

4 4 

tan x 

tan x 

I = ∫ dx = ∫ 

dx 

2 2 

π 2 1 π 

cos x + 1 cos x tan x + 2 

6 2 

cos x 

6 

1 

Đặt u = tan x ⇒ du = dx ⇒ I = 

2 

cos x 

3 

3 7 3 − 7 

⇒ I = ∫ dt = t = 3 − = . 

7 

3 3 

I = 

• Ta có: 

7 

3 

π 

2 

∫ 

π 

4 

3 

⎛ π ⎞ 

sin⎜ 

x + 

4 

⎟ 

⎝ ⎠ 

dx 

2sin x cos x − 3 

I = − 

π 

2 

( x x) 

1 

∫ 

1 

3 

π 

π 

2 2 

3sin x 4cos x 

= ∫ dx + 

3 + cos 

∫ dx 

x 4 − sin x 

2 2 

0 0 

= 

1 

∫ 

3dt 

1 2 

3 + t 

0 

π 

6 

2 

3 3(1 + tan u) du π 3 

1 

= ∫ 

= 

2 

3(1 + tan u) 6 

0 

I 

u 

dx . Đặt 

2 

u + 2 

1 

4dt1 

2 ∫ dt 

2 1 

4 − t 

0 1 

= = ln 3 

2 

u 

t = u + 2 ⇒ dt = du . 

2 

u + 2 

1 sin x + cos x 

1 1 

∫ dx . Đặt t = sin x − cos x ⇒ I = − 

2 

∫ dt 

2 

2 π sin − cos + 2 

2 0 t + 2 

4 

arctan 

1 2(1 + tan u) 1 1 

Đặt t = 2 tan u ⇒ I = − ∫ 

du = − arctan 

2 

2 2 tan u + 2 2 2 

0 

1 

2 


2 

1



π 

3 

x sin x 

Câu 62. I = ∫ dx . 

2 

−π cos x 

3 

Dạng 4: Tích phân từng phần 

• Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có: 

π 

π π 

3 3 

⎛ 1 ⎞ x 3 dx 4π 

I = xd ⎜ ⎟ = − = − J, 

⎝ cos x ⎠ cos x π cos x 3 

∫ ∫ với 

π 

− π 

− 

3 − 

3 3 

π 

3 

J = ∫ 

π 

− 

3 

dx 

cos x 

Để tính J ta đặt t 

= sin x. 

Khi đó 

π 

3 3 

3 2 2 

dx dt 1 t −1 2 − 3 

J = ∫ = ln 

ln 

cos x 

∫ = − = − 

2 

1− 

t 2 t + 1 3 2 + 3 

π 

− 

3 

− 

3 2 

− 

2 

4π 

2 − 3 

Vậy I = − ln . 

3 2 + 3 

π 

2 

⎛ 1+ 

sin x ⎞ x 

Câu 63. I = ∫ ⎜ ⎟ . e dx 

⎝1+ 

cos x ⎠ 

0 

x x 

1+ 

sin x 

1+ 

2sin cos 

1 x 

• Ta có: = 2 2 = + tan 

1+ 

cos x 2 x 

2 x 2 

2 cos 2 cos 

2 2 

π 

π 

2 x 2 

e dx x x 

⇒ I = + e tan dx 

2 x 

0 0 2 

2 cos 2 

Câu 64. I = 

∫ ∫ = e 2 π 

π 

4 

∫ 

0 

x cos2x 

( 1+ 

sin 2x) 

2 

dx 

⎧ u = x ⎧ du = dx 

⎪ 

• Đặt cos2x 

⎪ 

⎨ 

⇒ 

dv = dx ⎨ 1 

⎪ 

v 

(1 sin 2 x) 

2 ⎪ 

= − 

⎩ + ⎩ 1+ 

sin 2x 

π 

π 

⎛ 

4 4 

1 1 ⎞ 1 1 π 1 1 1 

⇒ I = x. ⎜ − . ⎟ 4 + dx = − + . 

dx 

2 1+ sin 2x 

2 

∫ 

1+ sin 2x 

16 2 

∫ 

⎝ 

⎠ 0 0 2 2 ⎛ π ⎞ 

0 cos ⎜ x − 

4 

⎟ 

⎝ ⎠ 

π 

π 1 1 ⎛ π ⎞ π 1 2 2 π 

= − + . tan ⎜ x − ⎟ 4 = − + . ( 0 + 1) 

= − 

16 2 2 ⎝ 4 ⎠ 16 2 2 4 16 

0 

π 



Câu 1. 

Câu 2. 

• Đặt 

I = 

∫ 

e 

1+ 

2x 

e 

x 

dx 

TP4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT 

x x 2 x 

t = e ⇒ e = t ⇒ e dx = 2tdt 

. 

3 

Dạng 1: Đổi biến số 

t 2 3 2 

⇒ I = 2∫ dt = t − t + 2t − 2 ln t + 1 + C 

1 + t 3 

I = 

∫ 

2 

( x + x) 

e 

x + e 

−x 

x 

dx 

( x + x) 

e 

• I = ∫ dx = 

−x 

x + e 

dx 

Câu 3. I = ∫ 

x 

e 2 + 9 

2 

x 

∫ 

x 

x 

2 x x x x x 

= e e − e + 2 e − 2 ln e + 1 + C 

3 

xe .( x + 1) e dx 

x 

x 

x 

. Đặt t = x. e + 1 ⇒ I = xe + 1− ln xe + 1 + C . 

x 

xe + 1 

x 

• Đặt t e 2 dt 1 t − 3 

= + 9 ⇒ I = ∫ = ln + C 

t 2 − 9 6 t + 3 

2 

x 

2x 

1 e + 9 − 3 

= ln 

+ C 

6 2x 

e + 9 + 3 

ln(1 + x ) + 2011x 

Câu 4. I = ∫ 

dx 

2 x 

ex e 2 + 1 

ln ⎡( + ) ⎤ 

⎣ 

⎦ 

x ⎡ 2 

ln( x + 1) + 2011⎤ 

• Ta có: I = 

⎣ 

⎦ 

∫ dx . Đặt t = ln( x 2 + 1) + 1 

2 2 

( x + 1) ⎡ 

⎣ln( x + 1) + 1⎤ 

⎦ 

1 t + 2010 1 

1 

⇒ I = dt 

2 

∫ = t + 1005ln t + C = x 2 1 

ln( + 1) + + 1005ln(ln( x 2 + 1) + 1) + C 

t 2 

2 2 

Câu 5. 

Câu 6. 

e 

x 

xe + 1 

d( e + ln x) x 

e + 1 

J = ∫ dx 

• J = 

x 

∫ 

= ln e + ln x = ln 

x 

x( e + ln x) 

e + ln x 1 e 

I = 

1 

ln 2 3x 

2x 

∫ 

0 

2e 

+ e −1 

dx 

3x 2x x 

e + e − e + 1 

ln 2 3x 2x x 3x 2x x 

3e + 2 e − e − ( e + e − e + 1) 

• I = ∫ dx = 

3x 2x x 

e + e − e + 1 

= 

0 

3x 2x x ln 2 ln 2 

ln( e + e – e + 1) − x = ln11 – ln4 = 

0 0 

e x e e 

1 

⎛ 3e + 2e − e ⎞ 

−1 

dx 

⎜ 3x 2x x 

e + e − e + 1 ⎟ 

⎝ 

⎠ 

ln 2 3x 2x x 

∫ 

0 

14 

ln 4 

Câu 7. I = 

• I = 

3ln 2 

∫ 

0 

dx 

( 

3 x ) 

e 

x 

3ln 2 3 

∫ 

e 

e dx 

+ 2 

2 

( x ) 

x 

2 

0 

3 3 

2 

e 

+ 

. Đặt 

x 

x 

3 

1 

3 

3 ⎛ 3 1 ⎞ 

t = e ⇒ dt = e dx ⇒ I = ⎜ ln − ⎟ 

3 

4 ⎝ 2 6 ⎠ 




Câu 8. 

Câu 9. 

• Đặt 

Tính 

ln 2 3 

∫ 

I = e −1 dx 

I 

3 

0 

x 

e 

− 1 

1 

x 

2 

3t dt 

= t ⇒ dx = 

3 

t + 1 

⇒ I = 1 

3 ∫ ⎛ ⎞ 

⎜1− 

t 

dt 3 ⎟ 

⎝ + 1⎠ 

= 

dt 

= 3 ∫ t + 1 

= 

1 3 

0 

π 

Vậy: I = 3 − ln 2 − 

3 

• Đặt 

I = 

1 

∫ ⎛ 1 2 − t ⎞ 

⎜ + dt 

t 1 2 ⎟ 

⎝ + t − t + 1⎠ 

= π + 

3 

ln 2 

0 

ln15 2 

∫ 

3ln 2 

x 

( x x ) 

e − 24e dx 

x x x x 

e e + 1 + 5e − 3 e + 1 −15 

t = e + 1 ⇒ t − 1 = e 

2 

x 

x 

1 

0 

⇒ e dx = 2tdt 

. 

1 

dt 

3 − 3 ∫ 3 

t + 1 

. 

4 2 4 

4 

(2t 

−10 t) dt ⎛ 3 7 ⎞ 

I = ∫ = ∫ ⎜ 2 − − ⎟dt = 2t − 3ln t − 2 − 7ln t + 2 

t 

t 2 t 2 

3 − 4 

− + 

3⎝ ⎠ 

= 2 − 3ln 2 − 7ln 6 + 7ln 5 

ln3 2x 

e dx 

Câu 10. I = ∫ x 

x 

ln 2 e − 1+ 

e − 2 

• Đặt t = 

( ) 

2 3 

x 

e − 2 ⇒ 

1 2 

0 

2x 

e dx = 2tdt 

1 

( t + 2) tdt 

⇒ I = 2 ∫ = 2 ∫ ⎛ 2t 

+ 1 ⎞ 

t 

dt 

2 

⎜ − 1+ 

2 ⎟ 

t + t + 1 ⎝ t + t + 1⎠ 

= 2 ∫ ( t −1) 

dt + 2 


= ( t 2 − 2 t) 

1 

1 

2 

+ 2 ln( t + t + 1) = 2 ln3 − 1. 

• Đặt 

I = 

0 

ln3 3x 

2x 

∫ 

0 

0 

2e 

− e 

dx 

x x 

e 4e 

− 3 + 1 

0 

3 x 2 x 2 3 x 2 x 3 x 2 x 

1 

0 

0 

1 2 

t = 4e − 3e ⇒ t = 4e − 3e ⇒ 2 tdt = (12e − 6 e ) dx 

9 9 

1 tdt 1 1 

⇒ I = = (1 − ) dt 

3 t + 1 3 t + 1 

∫ ∫ t t 

1 1 

16 

ln 

3 

x 

Câu 12. I = ∫ 3e 

− 4dx 

• Đặt: 

8 

ln 

3 

2 

x x t 

t = 3e − 4 ⇒ e = 

+ 4 

3 

2 3 2 2 3 2 3 

2t 

dt 

⇒ I = dt = 2 dt − 8 

2 2 

t + 4 t + 4 

Tính 

I 

2 2 2 

1 9 8 − ln 5 

= ( − ln + 1) 

1 

= . 

3 3 

2tdt 

⇒ dx = 

t 2 + 4 

∫ ∫ ∫ 4( 3 1) 8I 1 

= 

2 3 

dt 

⎛ π π ⎞ 

∫ . Đặt: t = 2 tan u, u ∈ ⎜ − ; ⎟ 

t + 

⎝ 2 2 ⎠ 

1 2 

2 4 

= − − , với 

∫ 

0 

I 

d( t + t + 1) 

t 

= 

2 

+ t + 1 

3x 2x tdt 

⇒ (2 e − e ) dx = 

3 

2 3 

∫ 

1 2 

2 

⇒ dt = 2(1 + tan u) 

du 

dt 

2 t + 4 



π 

3 

1 1 ⎛ π π ⎞ π 

⇒ I1 

= ∫ du = ⎜ − ⎟ = 

2 2 ⎝ 3 4 ⎠ 24 

. Vậy: I = 4( 3 − 1) − 

π 

4 

π 

3 

Câu 13. 

I = 

ln3 

∫ 

e 

x 

x 

0 ( e + 1) 

3 

dx 

• Đặt 

Câu 14. 

• Đặt 

Câu 15. 

Câu 16. 

x 2 x x 2 

1 1 2 

x 

t = e + ⇔ t = e + ⇔ tdt = e dx ⇒ dx = 

I = 

ln 5 2x 

∫ 

e 

x 

ln 2 e −1 

dx 

tdt 

2 3 

2 x 

tdt 

2 t 

x ∫ ⎜ 

e 

⎝ 

1 

e 

2 

tdt 

⇒ I = 2 ∫ = 2 −1 

3 

t 

x 

2 ⎛ ⎞ 20 

t = e −1 ⇔ t = e −1 ⇒ dx = ⇒ I = 2 ( t + 1) d = 2 + t ⎟ = 3 ⎠ 3 

ln2 

∫ 

I = e −1dx 

0 

x 

x 2 x x 2td 

2td 

• Đặt t = e −1 ⇒ t = e −1 ⇒ 2tdt = e dx ⇒ dx = = 

x 2 

e t + 1 

1 2 1 

2t 

⎛ 1 ⎞ 4 −π 

⇒ I = ∫ dt = 2 1 dt 

2 ∫ ⎜ − 

2 ⎟ = 

t + 1 ⎝ t + 1⎠ 

2 

• Đặt 

Câu 17. 

I = 

0 0 

2 

∫ 

1 

x 

−x 

2 − 2 

dx 

x −x 

4 + 4 − 2 

x 

x 

t = 2 + 2 − x −x x −x 2 

⇒ 4 + 4 − 2 = (2 + 2 ) − 4 ⇒ I 

I = 

1 

∫ 

0 

x 

6 dx 

9 + 3.6 + 2.4 

x x x 

1 81 

= ln 

4ln 2 25 

2 

2 

1 

• Ta có: 

I = 

1 

∫ 

0 

x 

⎛ 3 ⎞ 

⎜ dx 

2 

⎟ 

⎝ ⎠ 

. Đăt 

2x 

x 

⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 

⎜ + 3 + 2 

2 

⎟ ⎜ 

2 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

x 

⎛ 3 ⎞ 

t = ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 1 dt 

I = 

ln3 − ln 2 

∫ 2 

t + 3t 

+ 2 

3 

2 

1 

ln15 − ln14 

= 

ln3 − ln 2 

Câu 18. 

e 

⎛ ln x 2 ⎞ 

I = ∫ ⎜ + 3x ln x ⎟ dx 

⎝ x 1+ 

ln x ⎠ 

1 

e 

e 

ln x 

2 

• I = dx + 3 x ln xdx 

x 1+ 

ln x 

∫ ∫ = 

1 1 

2(2 − 2) 

3 

+ 

2e 3 + 1 5 − 2 2 + 2e 3 

= 

3 

3 

Câu 19. 

I 

e 

3 2 

ln x 2 + ln 

= ∫ 

x 

1 

x 

dx 



Câu 20. 

Câu 21. 

Câu 22. 

Câu 23. 


2 2 ln x 1 

• Đặt t = 2 + ln x ⇒ dt = dx ⇒ I tdt 

x 

2 

e 

2 

I = ∫ 

e 

dx 

x ln x.ln 

ex 

e 

e 

dx d(ln x) 

• I = = 

x ln x(1 + ln x) ln x(1 + ln x) 

e 

2 2 

∫ ∫ = 

ln 6 2x 

e 

3 

= 3 3 

∫ ( 

3 4 3 4 

= 3 − 2 ) 

e 

2 

e 

2 

8 

∫ 

⎛ 1 1 ⎞ 

⎜ − ⎟d 

(ln x) 

⎝ ln x 1+ 

ln x 

= 2ln2 – ln3 

⎠ 

e 

x 

I = ∫ dx 

• Đặt t = e . I = 2 + 9 ln3 − 4 ln 2 

x x 

ln 4 e + 6e 

− − 5 

I = 

e 

∫ 

1 

x 

log 

3 

2 

x 

1+ 

3ln 

2 

dx 

x 

⎛ ln x ⎞ 

e 3 e e 

log x 

⎜ 

2 

x xdx 

• I 

2 

ln 2 

⎟ 

1 ln . ln 

= dx 

⎝ ⎠ 

∫ = ∫ dx = 

. 

2 2 3 ∫ 

2 

x x x x x 

x 

1 1+ 3ln 1 1+ 3ln ln 2 1 1+ 

3ln 

2 2 1 2 dx 1 

Đặt 1+ 3ln x = t ⇒ ln x = ( t −1) ⇒ ln x. 

= tdt . 

3 x 3 

1 ⎛ 1 3 ⎞ 4 

Suy ra I = t t 

3 ⎜ − ⎟ = . 

3 

3 

9 ln 2 ⎝ ⎠ 27ln 2 

e 

• 

Câu 24. 

Câu 25. 

e x + ( x − 2)ln x 

I = ∫ 

dx 

x(1 + ln x) 

1 

e 

ln x 

∫ dx − 2∫ dx = e −1− 

2 

x(1 + ln x) 

1 1 

Tính J = 

e 

2 

1 

e 

∫ 

1 

3 

ln x 

dx 

x(1 + ln x) 

∫ 

ln x 

dx 

x(1 + ln x) 

. Đặt t = 1+ ln x t −1 

⇒ J = ∫ dt = 1− 

ln 2 . 

t 

1 

Vậy: I = e − 3 + 2 ln 2 . 

I = 

e 

e 

3 

∫ 

2 

2 2 

2x ln x − x ln x + 3 

dx 

x(1 − ln x) 

e 

e 

1 

• I = 3 dx − 2 ln xdx 

x(1 − ln x) 

e 

3 3 

∫ ∫ 3ln 2 4e 2e 

2 2 

e 

2 

I = ∫ 

1 

2 2 

ln x − ln x + 1 

dx 

2 

x 

e 

2 

1 

3 2 

= − − + . 

2 

dx 

2 t − 2t + 1 2 t −1 1 t −1 2 t −1 

• Đặt : t = ln x ⇒ dt = ⇒ I = dt dt dt dt I I 

x 

∫ = 

0 t ∫ = − 

0 t ∫ + 

0 t ∫ = + 

1 t 

e e e e 

⎛ 1 t 

+ 

tdt 1 dt ⎞ ⎛ 1 

− 1 

I 

te 

dt 1 dt ⎞ 1 

1 

= −⎜∫ − 

0 t ∫0 t ⎟ = −⎜ 

− + ∫ − 

0 t ∫ = 

0 t 

⎟ 

⎝ e e ⎠ ⎝ 0 e e ⎠ e 

2 tdt 2 dt 2 

t dt dt 2 

− 2 2 −t 

1 2 

+ I2 = ∫ − te te 

1 t ∫ = − + 

1 t ∫ − 

1 t ∫ = − = − 

1 t 

e e 1 e e 1 e 2 

e 

1 2 



Vậy : 

Câu 26. 

2( e −1) 

I = 

I = 

5 

∫ 

2 

e 2 

ln( x − 1 + 1) 

dx 

x − 1+ 

x −1 

dx 

2 2 

t = ln x − 1 + 1 ⇒ 2dt 

= ⇒ I = 2 dt ln 3 ln 2 

x − 1 + x − 

∫ = − . 

1 

• Đặt ( ) 

3 

e 

3 

ln x 

Câu 27. I = ∫ dx 

1 x 1+ 

ln x 

2 dx 

• Đặt t = 1+ ln x ⇒ 1+ ln x = t ⇒ = 2tdt 

và ln x = ( t − 1) 

x 

Câu 28. 

2 2 3 2 6 4 2 2 

ln3 

ln 2 

3 2 3 

( t −1) t − 3t + 3t 

−1 5 3 1 

⇒ I = ∫ dt = dt ( t 3t 3 t ) dt 

t 

∫ = − + − 

t 

∫ 

t 

I = 

1 1 1 

e 

15 

= − ln 2 

4 

3 − 2 ln x 

∫ dx • Đặt t = 1+ 2 ln x ⇒ I = ∫ (2 − t 2 ) dt = 

x 1+ 

2 ln x 

1 

1 

e 

4 2 − 5 

3 

Câu 29. 

e 

3 2 

ln x 2 + ln x 

2 3 3 

I = ∫ dx • Đặt t = 2 + ln x ⇒ I = 

⎡ 

⎣ 3 − 2 

x 

8 

1 

3 4 4 

⎤ 

⎦ 

Câu 30. 

I 

= 

e 

∫ 

1 

x 

xe + 1 

dx 

x 

x( e + ln x) 

• Đặt 

x 

t = e + ln x ⇒ I 

= ln 

e 

e 

+ 1 

. 

e 

Dạng 2: Tích phân từng phần 

π 

2 s inx 

Câu 31. I = ∫ e .sin 2xdx 

0 

π 

2 

inx 

• I e s 

⎧u = sin x ⎧du = cos xdx 

= 2 ∫ .sin x cos xdx . Đặt ⎨ sin x 

⇒ ⎨ sin x 

⎩dv = e cos xdx ⎩v = e 

0 

π 

π 

2 

π 

sin x 2 sin x sin x 2 

0 ∫ 

0 

0 

⇒ I = 2sin xe − e .cos xdx = 2e − 2e 

= 2 

1 

∫ 

Câu 32. I = x ln( x + x + 1) dx 

0 

2 

⎧ 2x 

+ 1 

du = dx 

⎧ 2 • Đặt 

u = ln( x + x + 1) ⎪ 2 

x + x + 1 

⎨ 

⇒ ⎨ 

dv xdx 

2 

⎩ = 

⎪ x 

v = 

⎪⎩ 2 




Câu 33. 

1 

2 1 3 2 

x 2 1 2x + x 

I = ln( x + x + 1) − 

dx 

2 2 

∫ 2 

x + x + 1 

0 0 

1 1 1 

1 1 1 2x 

+ 1 3 dx 3 3π 

= ln3 − (2x 1) dx dx 

2 2 

∫ − + 

4 

∫ − 

2 2 

x + x + 1 4 

∫ = ln3 − 

x + x + 1 4 12 

• Đặt 

Câu 34. 

I = 

+ Tính 

8 

∫ 

3 

0 0 0 

ln x 

dx 

x + 1 

⎧u = ln x ⎧ dx 

du = 

8 8 

⎪ 

⎪ 

⎨ dx ⇒ 

dv 

⎨ x ( ) 

x + 1 

⇒ I = 2 x + 1.ln x 

= 

3 

− 2∫ 

dx = 6 ln8 − 4 ln3 − 2J 

⎩ 

⎪ 

x + 1 

⎪ x 

⎩v 

= 2 x + 1 

3 

8 

x +1 

J = ∫ dx . Đặt 

x 

3 

Từ đó I = 20 ln 2 − 6 ln3 − 4 . 

e 

2 

x + x ln x + 1 x 

I = ∫ 

e dx 

x 

1 

e e e x 

x x e 

• I = xe dx + ln xe dx + dx 

x 

+Tính 

Vậy: 

Câu 35. 

• Tính 

+ Tính 

∫ ∫ ∫ . + Tính 

1 1 1 

3 3 2 3 

t 

t ⎛ 1 1 ⎞ 

t = x + 1 ⇒ J = ∫ .2tdt = 2 dt 2 

dt 

2 ∫ = 

2 ∫ ⎜ + − ⎟ 

t −1 t −1 

⎝ t − 1 t + 1⎠ 

e e e x 

e 

x x e e 

2 2 2 

⎛ t −1 

⎞ 8 

= ⎜ 2t 

+ ln ⎟ 3 

= 2 + ln3 − ln 2 

⎝ t + 1 ⎠ 

e 

I2 

= e ln xdx = e ln x − dx = e − dx 

1 x x 

∫ ∫ ∫ . 

1 1 1 

e 

I = I1 + I2 

+ ∫ dx = 

x 

e 

⎛ ln x 

I = ∫ ⎜ + ln 

⎝ x 1+ 

ln x 

I 

1 

1 

I 

2 2 2 

Vậy I = e − − . 

3 3 

2 2 

ln( x + 1) 

Câu 36. I = ∫ dx 

3 

x 

• Đặt 

2 

1 

e 

e 

1 

x 

2 

e 

e + 1 . 

⎞ 

x ⎟ dx 

⎠ 

ln x 

= ∫ dx 

x 1+ 

ln x 

. Đặt t = 1+ ln x 4 2 2 

⇒ I 1 

= − . 

3 3 

1 

e 

2 

e 

e e 

x x x e 

∫ 1 ∫ 

1 1 

I = xe dx = xe − e dx = e ( e −1) 

= ∫ ln xdx . Lấy tích phân từng phần 2 lần được I = e − . 

1 

⎧ 

2 

2x 

⎧ u = ln( x + 1) du = 

⎪ ⎪ 2 

⎨ dx ⇒ ⎨ 

x + 1 . Do đó I = 

⎪ 

dv = 

1 

3 ⎪ 

⎩ x v = − 

2 ⎪⎩ 2x 

1 

x 

2 

2 

2 

ln( x + 1) 2 dx 

− + 

2 ∫ 2 

2 x 1 x( x + 1) 

2 

1 



Câu 37. 

2 

ln 2 ln 5 ⎛ 1 x ⎞ ln 2 ln 5 dx 1 d( x + 1) 

= − + ⎜ − dx 

2 8 

∫ 

x 2 ⎟ = − + 

⎝ x + 1⎠ 

2 8 

∫ − 

x 2 

∫ 2 

x + 1 

1 

ln 2 ln 5 ⎛ 1 

x x 2 ⎞ 2 

= − + ⎜ ln | | − ln | + 1| ⎟ = 

2 8 ⎝ 2 ⎠ 1 

• Đặt 

Câu 38. 

• Đặt 

I = 

2 

∫ 

1 

ln( x + 1) 

dx 

2 

x 

2 2 2 

1 1 

5 

2 ln 2 − ln 5 

8 

⎧ 

⎧ 

u = ln( x + 1) 

dx 

du = 

2 

⎪ ⎪ 

x 

1 2 dx 

3 

⎨ dx ⇔ + 1 ⇒ I = − ln( x + 1) + = 3ln 2 − ln3 

dv = 

⎨ 

1 

2 

x 1 ∫ 

⎪ 

( x 1) x 2 

x 

⎪ + 

v = − 

1 

⎩ 

⎩ x 

1 

2 

⎛1+ 

x ⎞ 

I = ∫ x ln⎜ ⎟ dx 

⎝ 1 − x ⎠ 

0 

⎧ 2 

⎧ 1+ x du = 

⎪ 

u = ln ⎪ (1 − x) 

⎨ 1− 

x ⇒ ⎨ 

2 

⎪dv xdx x 

⎩ = ⎪ 

v = 

⎪⎩ 2 

1 1 

2 2 

2 

2 

dx 

⎡ 

1 

⎤ 

1 2 

1 ⎢ 

2 ⎛ 1+ 

x ⎞ 2 ⎛ 2 ⎞ ⎥ 

⇒ I = ⎢x ln⎜ ⎟ 2 − x ⎜ dx⎥ 

2 1 x 

2 ⎟ 

− 

∫ 

⎢ ⎝ ⎠ 

0 0 ⎝ 1− 

x ⎠ ⎥ 

⎢⎣ 

⎥⎦ 

ln3 x ln3 ⎡ 1 ⎤ ln3 1 1 2 

= + dx 1 dx 

ln 

8 

∫ = + 

2 

x 8 

∫ ⎢ + 

1 

( x 1)( x 1) 

⎥ = + + 

− ⎣ − + ⎦ 8 2 2 3 

0 0 

2 

2 

1 

Câu 39. I = ∫ x .ln ⎛ 

⎜ x + 

⎞ 

⎟ dx 

⎝ x 

• Đặt 

⎠ 

1 

⎧ ⎛ 1 ⎞ 

⎪u 

= ln⎜ x + ⎟ 


⎨ ⎝ x ⎠ ⇒ I = 3ln3 − ln 2 + 

⎪ 2 

3 6 

⎩dv 

= x dx 

1 

Câu 40. I = x 2 

.ln(1 x 2 

∫ + ) dx • Đặt 

0 

2 

⎧⎪ u = ln(1 + x ) 

⎨ 

⇒ I 

2 

⎪⎩ dv = x dx 

1 4 π 

= .ln 2 + + 

3 9 6 

Câu 41. 

3 

ln x 

I = ∫ dx 

2 

( x + 1) 

• Đặt 

1 

⎧ u = ln x 

⎪ 

⎨ dx 

dv 

⎪ = 

⎩ ( x + 1) 

2 

⇒ 

I 

1 3 

= − ln3 + ln 

4 2 

Câu 42. 

I = 

• Ta có: 

+ 

+ 

e 

e 2 x x 2 

ln x + e ( e + ln x) ∫ 

x . 

1+ 

e 

1 

e e 2x 

2 e 

∫ ln . ∫ x 

1 1 e + 

dx 

I = x dx + dx = H + K 

1 

2 

H = ∫ ln x. 

dx . Đặt: 

K = 

Vậy: 

1 

e 

∫ 

e 

2x 

x 

1 e + 1 

dx . Đặt 

e e + 1 

I = e – 2 + ln 

e 

e + 1 

⎧ u = ln 2 

x 

⎨ ⇒ H = e − 2 ln x. dx = e − 2 

⎩dv 

= dx 

∫ 

x 

t = e + 1 ⇒ 

e 

e 

e 

1 

+ 1 

t − 1 e e + 1 

⇒ I2 

= ∫ dt = e − e + ln 

t 

e 

e + 1 

e+ 

1 



Câu 43. 

Câu 44. 

• Ta có: 

2 1 

1 x+ 

x 

∫ 

I = ( x + 1 − ) e dx 

x 

1 

2 


2 1 3 

1 

x+ ⎛ 1 ⎞ x+ 

x 

x 

∫ ∫ ⎝ ⎠ 

I = e dx + ⎜ x − ⎟e dx = H + K 

x 

1 1 

2 2 

+ Tính H theo phương pháp từng phần I 1 = 

5 

2 

3 

⇒ I = e . 

2 

4 

2 

ln( 9 ) 

∫ 

I = x + − x dx 

0 

1 

2 

2 

1 5 

x+ ⎛ 1 ⎞ x+ 

3 

x 

x 

2 

H = xe − ∫⎜ 

x − ⎟e dx = e − K 

⎝ x ⎠ 2 

1 1 

2 2 

4 4 

⎧⎪ 

• Đặt u = ( 2 

ln x + 9 − x) 

⇒ ( 2 ) 

x 

⎨ 

⎪⎩ dv = dx 

I = x ln x + 9 − x + dx = 2 

0 

2 

0 x + 9 

∫ 



TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ 

Câu 1. 

1⎛ 

4 

3 

x x ⎞ 

2 

I = ∫ 

⎜ 

x e + 

⎟ 

dx 

⎝ + x ⎠ 

0 1 

1 1 4 

3 

2 x x 

• I = x e dx + dx 

+ x 

+ Tính 

+ Tính 

∫ ∫ . 

0 0 1 

1 

2 

3 

x 

I1 

= ∫ x e dx . Đặt t = x 3 1 t 1 t 1 1 

⇒ I1 

= e dt e e 

3 

∫ = = − . 

3 0 3 3 

I 

2 

0 

1 4 

x 

4 

= ∫ dx . Đặt t = x ⇒ I 

+ x 

0 1 

1 

Vậy: I = e + π − 3 

3 

2 ⎛ 

2 

x 4 − x 

⎞ 

Câu 2. I = ∫ x ⎜e − ⎟ dx 

⎜ 3 

1 x ⎟ 

⎝ 

⎠ 

2 

• I = ∫ xe dx + 

+ Tính 

1 

x 

2 

1 

2 2 

4 − x 

∫ dx . 

2 

x 

1 

x 

2 

I1 

= ∫ xe dx = e + Tính I 

π 

2 

2 

cos t 

⇒ I dt t t 2 

2 

= ∫ = ( − cot − ) = 3 

2 

π 

sin t 

π 

6 

Vậy: I e 2 π 

= + 3 − . 

3 

1 

x 

Câu 3. ( 2x 

2 2 ) 

Câu 4. 

∫ 

I = e . 4 − x − x dx. 

2 

0 4 − x 

1 1 3 

2x 

x 

• I = ∫ x e dx − ∫ dx = I + I 

2 

0 0 4 − x 

+ Tính 

+ Tính 

1 2x 

e 

2 

I = x e dx = 

I 

1 

2 

∫ 

0 

1 3 

e 61 

⇒ I = + 3 3 − 


I = 

2 

1 2 

∫ 

0 

+ 1 

4 

π 

6 

1 2 

1 1 

0 

1 4 

t ⎛ 2 π ⎞ 

= 4∫ 

dt = 4⎜ 

− + ⎟ 

1+ 

t ⎝ 3 4 ⎠ 

2 2 

0 

2 2 

4 − x 

⎡ π ⎤ 

= ∫ dx . Đặt x = 2sin t , t ∈ ⎢ 0; 

x 

⎣ 2 ⎥ 

⎦ . 

2 2 

1 

π 

− 

3 

x 

= ∫ dx . Đặt t x 2 

16 

= 4 − ⇒ I 2 

= − 3 3 + 

2 

0 4 − x 

3 

x 

+ 1 

( x + 1) 

2 

x 

e dx 



Câu 5. 

• Đặt t = x + 1 ⇒ dx = dt 

I = 

3 3 x + 1 

∫ 

0 

x . e 

2 

1+ 

x 

2 

dx 


2 2 

2 

t − 2t 

+ 2 t−1 ⎛ 2 2 ⎞ t−1 

1 

2 ⎜ 2 ⎟ 

t 

t t 

1 1⎝ 

⎠ 

∫ ∫ = 

I = e dt = + − e dt 

2 

2 

2 t t t 2 

• Đặt t = 1+ x ⇒ dx = tdt ⇒ I = ∫( t −1) 

e dt = ∫ t e dt − e = J − ( e − e) 

1 

+ 

Câu 6. 

Câu 7. 

Câu 8. 

1 

2 2 2 

1 

2 

2 ⎛ e ⎞ 

e − 1+ − + e 

= 1 

e ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 2 2 

2 t 2 t 2 ⎛ 

t 2 t 2 ⎞ 

t 2 

t t 2 

J = ∫ t e dt = t e − ∫ 2te dt = 4e − e − 2⎜ 

te − e dt ⎟ = 4e − e − 2( te − e ) 

1 

1 ⎜ 

∫ 

1 

1 ⎟ 

1 

1 

⎝ 

⎠ 

Vậy: I = e 2 

I = 

∫ 

x ln( x + 1) + x 

x 

2 3 

2 

+ 1 

dx 

2 2 2 

x ln( x + 1) x( x + 1) − x x ln( x + 1) x 

• Ta có: f ( x) 

= + = + x − 

2 2 2 2 

x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 

1 2 2 1 2 

⇒ F( x) = ∫ f ( x) dx = ln( x + 1) d( x + 1) + xdx − d ln( x + 1) 

2 

∫ ∫ 

2 

∫ 

1 

= 2 x 2 1 

x 2 1 

ln ( + 1) + − ln( x 2 + 1) + C . 

4 2 2 

I = 

( ) 

4 2 3 

∫ 

0 

ln x + x + 9 − 3x 

dx 

2 

x + 9 

( ) ( ) 

4 2 3 4 2 4 3 

ln x + x + 9 − 3x ln x + x + 9 x 

• I = ∫ dx = ∫ dx − 3∫ 

dx = I − 3I 

2 2 2 

0 x + 9 0 x + 9 0 x + 9 

+ Tính 

⇒ I 

1 

+ Tính 

I 

1 

= 

4 ( 2 

ln x + x + 9 ) 

∫ dx . Đặt ( 2 

ln 9 ) 

0 

x 

2 

+ 9 

ln9 2 2 2 

u ln 9 ln 9 − ln 3 

= ∫ udu = = 

2 ln3 2 

ln3 

I 

2 

4 3 

1 2 

1 

x + x + = u ⇒ du = dx 

x 2 + 9 

x 

2 

x 

2 2 

= ∫ dx . Đặt x + 9 = v ⇒ dv = dx, x = v −9 

2 

2 

0 x + 9 

x + 9 

5 3 

2 u 5 44 

⇒ I2 

= ∫ ( u − 9) du = ( − 9 u) = 

3 3 3 

Vậy 

3 

( ) 

4 2 3 2 2 

ln x + x + 9 − 3x 

ln 9 − ln 3 

I = ∫ dx = I1 − 3I2 

= − 44 . 

2 

0 x + 9 

2 

e 3 2 

( x + 1)ln x + 2x 

+ 1 

I = ∫ 

dx 

2 + x ln x 

1 

e e 

2 1+ 

ln x 

• I = x dx + dx 

2 + x ln x 

∫ ∫ . + 

1 1 

e 

∫ 

1 

e 

3 3 

2 x e −1 

x dx = = 

3 3 

1 



+ 

Câu 9. 

e 

• Đặt 


e 

1+ ln x d(2 + x ln x) 

dx = = ln 2 + x ln x 

2 + x ln x 2 + x ln x 

∫ ∫ 

1 1 

I = 

e 

3 

∫ 

1 

x 

3 

ln x 

dx 

1+ 

ln x 

e 

1 

e + 2 

= ln . Vậy: 2 

2 dx 

t = 1+ ln x ⇒ 1+ ln x = t ⇒ = 2tdt 

và ln x = ( t − 1) 

x 

2 2 3 2 6 4 2 2 

3 2 3 

( t −1) t − 3t + 3t 

−1 5 3 1 

⇒ I = ∫ dt = dt ( t 3t 3 t ) dt 

t 

∫ = − + − 

t 

∫ 

t 

I 

• Đặt 

+ 

I 

Vậy: 


1 1 1 

π 

4 

sin 

= ∫ x x 

2 

cos x 

0 

dx 

3 

e 1 e 2 

I = − + ln 

+ . 

3 2 

15 

= − ln 2 

4 

⎧ u = x ⎧ du = dx 

⎪ 

⎪ 

x 4 4 4 

dx π 2 dx 

⎨ sin x ⇒ ⎨ 1 ⇒ I = − 

⎪dv = dx v = 

2 ⎪ cos x 

∫ = − 

cos x 4 

∫ 

cos x 

⎩ cos x ⎩ 

0 0 0 

cos x 

π π 

4 4 

dx cos xdx 

= = 

cos x 1− 

sin x 

∫ ∫ . Đặt t sin x 

1 2 

0 0 

• Ta có: 

+ 

2 1 2 2 

= π − ln 

+ 

4 2 2 − 2 

4 3 

ln(5 − x) + x . 5 − x 

I = ∫ 

dx 

2 

x 

4 

1 

4 4 

2 

1 1 

= ⇒ I 

ln(5 − x) 

I = ∫ dx + ∫ x 5 − x. 

dx = K + H . 

x 

ln(5 − x) 

K = ∫ dx . Đặt 

2 

x 

4 

1 

π 

2 

2 

π 

π 

dt 1 2 + 2 

= ∫ = ln 

1− 

t 2 2 − 2 

1 2 

0 

⎧ u = ln(5 − x) 

⎪ 

⎨ dx ⇒ K = 

3 ln 4 

dv = 

⎪ 

⎩ x 2 

5 

+ H= ∫ x 5 − x. 

dx . Đặt t = 5 − x ⇒ H = 

164 

15 

1 

3 164 

Vậy: I = ln 4 + 

5 15 

2 

2 

Câu 12. I = ⎡ x(2 x) ln(4 x ) ⎤ 

⎣ − + + ⎦ dx 

∫ 

0 

2 

• Ta có: I = ∫ x(2 − x) 

dx + ∫ ln(4 + x ) dx = I + I 

0 

2 2 

2 π 

+ I1 

= x(2 − x) dx = 1 − ( x − 1) dx = 

2 

+ 

0 0 

2 

0 

2 

1 2 

∫ ∫ (sử dụng đổi biến: x 1 sin t 

2 2 2 

2 

2 2 x 

I2 = ln(4 + x ) dx = x ln(4 + x ) 

0 

− 2 dx 

2 

0 0 4 + x 

= 6 ln 2 + π − 4 (đổi biến x = 2 tan t ) 

= + ) 

∫ ∫ (sử dụng tích phân từng phần) 



3π 

Vậy: I = I1 + I2 

= − 4 + 6 ln 2 

2 

8 ln x 

Câu 13. I = ∫ dx 

3 x + 1 

• Đặt 

Câu 14. 

Câu 15. 


⎧u = ln x ⎧ dx 

⎪ 

⎪du 

= 

8 8 

x + 1 

⎨ dx ⇒ 

dv 

⎨ x ⇒ I = 2 x + 1 ln x − 2 

= 

∫ dx 

⎩ 

⎪ 

x + 1 

⎪ 

3 x 

⎩v 

= 2 x + 1 

3 

8 

3 2 3 

x +1 

2t dt ⎛ 1 ⎞ 

+ Tính J = ∫ dx . Đặt t = x + 1 ⇒ J = dt 

x 

∫ = 2 

2 ∫ ⎜1+ 2 ln3 ln 2 

2 ⎟ = + − 

3 

2 t −1 2⎝ 

t −1⎠ 

⇒ I = 6 ln8 − 4 ln3 − 2(2 + ln3 − ln 2) = 20 ln 2 − 6 ln3 − 4 

2 

1 

I = ∫ + x 

3 

x 

1 

2 

2 

ln xdx 

⎛ 1 1 ⎞ 

• Ta có: I = ∫ ⎜ + ln xdx 

3 ⎟ . Đặt 

⎝ x x ⎠ 

1 

⎧ u = ln x 

⎪ 

⎨ 1 1 

dv = ( + ) dx 

⎪ 

⎩ x 3 x 

⎛ −1 ⎞ 2 ⎛ −1 1 ⎞ 

⇒ I = ⎜ + ln x ln x ln x dx 

4 ⎟ − 

1 ∫ ⎜ + 

5 ⎟ = 

⎝ 4x 

⎠ ⎝ 4x 

x ⎠ 

• Ta có: 

+ 

+ 

e 

2 

x + x ln x + 1 x 

I = ∫ 

e dx 

x 

1 

e e e x 

x x e 

∫ ∫ ∫ 

2 

1 

I = xe dx + e ln xdx + dx = H + K + J 

x 

1 1 1 

e 

e 

x x e x e 

∫ 1 ∫ 

1 1 

H = xe dx = xe − e dx = e ( e −1) 

e e e x 

e x 

x x e e e e 

∫ ∫ ∫ 

K = e ln xdx = e ln x − dx = e − dx = e − J 

1 x x 

Vậy: 

Câu 16. 

1 1 1 

e+ 1 e e e+ 

1 

I = H + K + J = e − e + e − J + J = e . 

π 

2 

x cos x 

I = ∫ dx 

3 

sin x 

π 

4 

⎛ 1 ⎞ ′ 

2 cos x 

• Ta có ⎜ 2 ⎟ = − . Đặt 

3 

⎝ sin x ⎠ sin x 

⇒ I = 

Câu 17. 

π 

1 1 2 

− x. 

+ 

2 2 

sin x π 

π 

4 

x sin x 

I = ∫ dx 

3 

cos x 

0 

4 

1 63 1 2 

− ln 2 + + ln 2 

64 4 2 

⎧ u = x 

⎧ du = dx 

⎪ 

⎪ 

⎨ cos x ⇒ 

dv = dx 

⎪ 

⎨ 1 

v = − 

3 

2 

⎩ sin x 

⎪ 

⎩ 2sin x 

π 

π 

2 2 

1 dx 1 π π 1 

( ) cot x 

2 

∫ = − − − = 1 2 

sin x 2 2 2 2 π 2 . 

π 

4 

4 



Câu 18. 

• Đặt: 

• Ta có: 

+ 

⎧u = x ⎧du = dx 

⎪ 

⎪ 

⎨ sin x ⇒ 1 

dv = dx 

⎨ 

v = 

⎪ 

⎩ cos x 

⎪ 

⎩ 2.cos 

π 

2 

2 

( x + sin x) 

I = ∫ dx 

1+ 

sin 2x 

0 

3 2 

π 

π 

2 2 

x sin x 

I = ∫ dx + dx = H + K 

1+ sin 2x 

∫ 

1+ 

sin 2x 

0 0 

π 

π 

2 2 

x 

x 

H = dx = 

dx 

1+ sin 2x 

0 0 2 ⎛ π ⎞ 

2 cos ⎜ x − 

4 

⎟ 

⎝ ⎠ 

∫ ∫ . Đặt: 

π 

x ⎛ π ⎞ 2 ⎛ 1 ⎛ π ⎞ ⎞ 2 

π 

⇒ H = tan ⎜ x − ⎟ + ln cos⎜ x − ⎟ 

= 

2 ⎝ 4 ⎠ 

⎜ 2 4 ⎟ 

⎝ ⎝ ⎠ ⎠ 4 

+ 

Câu 19. 

π 

2 

2 

2 

0 0 

π 

2 

sin x 

K = ∫ dx 

1+ 

sin 2x 

. Đặt t π 

= − 

2 

x ⇒ K = 

0 

π 

π 

2 2 

x 

π 

π 

4 

x 4 1 dx π 1 4 π 1 

⇒ I = − tan x 

2 2 

x 2 

∫ = − = − 

2 cos cos x 4 2 0 4 2 

π 

∫ 

0 

0 0 

⎧ u = x 

⎧ du = dx 

⎪ dx 

dv 

⎪ 

⎨ = ⇒ 1 π 

2 π 

⎨ ⎛ ⎞ 

v = tan x − 

⎪ ⎛ ⎞ 

2 cos x 

⎜ ⎟ 

⎜ − ⎪ 2 4 

4 

⎟ 

⎪ 

⎩ ⎝ ⎠ 

⎩ ⎝ ⎠ 

2 

cos x 

dx 

1+ 

sin 2x 

dx 1 ⎛ π ⎞ 

⇒ 2K 

= ∫ = tan⎜ 

x − ⎟ = 1 ⇒ K = 

1 

0 2 ⎛ π ⎞ 2 4 

2 cos x − 

⎝ ⎠ 

2 

⎜ ⎟ 

0 

⎝ 4 ⎠ 

π 1 

Vậy, I = H + K = + . 

4 2 

I = 

• Ta có: 

π 

∫ 

0 

3 

x(cos x + cos x + sin x) 

dx 

2 

1+ 

cos x 

π ⎛ 

2 

π π 

cos x(1 + cos x) + sin x ⎞ 

x.sin 

x 

I = ∫ x dx = x.cos x. 

dx + dx = J + K 

⎜ 

2 2 

0 1 cos x ⎟ ∫ ∫ 

⎝ + ⎠ 0 0 1+ 

cos x 

π 

+ Tính J = ∫ x.cos x. 

dx . Đặt 

+ Tính 

0 

π 

⎧ u = x 

π 

π 

⎨ 

⇒ J = ( x.sin x) − sin x. dx 0 cos x 2 

⎩dv 

= cos xdx 

0 ∫ = + = − 

0 

x.sin 

x 

K = ∫ dx . Đặt x = π − t ⇒ dx = − dt 

2 

1+ 

cos x 

0 

π π π 

( π − t).sin( π − t) ( π − t).sin t ( π − x).sin 

x 

⇒ K = ∫ dt = dt dx 

2 ∫ = 

2 ∫ 2 

1+ cos ( π − t) 1+ cos t 1+ 

cos x 

0 0 0 

π π π 

( x + π − x).sin x sin x. dx π sin x. 

dx 

⇒ 2K = ∫ dx = π 

K 

2 ∫ ⇒ = 

2 2 

1 cos x 1 cos x 2 

∫ 

+ + 1+ 

cos x 

0 0 0 

Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x. 

dx 

1 

π dt 

2 

⇒ K = 

2 

∫ , đặt t = tan u ⇒ dt = (1 + tan u) 

du 

2 

1+ 

t 

−1 

π 

0 

π 




π 

π 

4 2 4 

π 2 

π (1 + tan u) 

du π π 

K du . u 4 

π 

⇒ = 

2 

∫ = 

2 

1 tan u 2 

∫ = = 

2 

π 

+ 

− 4 

π 

Vậy I = − 2 

4 

Câu 20. I = 

• Ta có: 

π 

π 

− 

− 

4 4 

2 

2π 

3 

π 

3 

∫ 

x + ( x + sin x)sin 

x 

dx 

2 

(1 + sin x)sin 

x 

2π 2 2π 2π 

x x x x dx 

I 

3 

(1 + sin ) + sin 

= dx 

3 

dx 

3 

∫ = H K 

π 2 ∫ + 

π 2 ∫ = + 

π 

(1 + sin x)sin x sin x 1+ 

sin x 

2π 

x 

+ H = 

3 

∫ dx . Đặt 

π 2 

sin x 

3 

3 3 3 

4 

⎧ u = x 

⎪ ⎧ du = dx 

⎨ dx ⇒ 

dv 

⎨ ⇒ H = 

= 

⎪ 

v = − cot x 

2 ⎩ 

⎩ sin x 

2π 2π 2π 

dx dx dx 

+ K = 3 3 3 

∫ 3 2 

π 

1+ sin x 

= ∫π ⎛ π ⎞ = ∫ π 

2 ⎛ π x ⎞ 

= − 

3 3 1+ cos⎜ − x 3 2 cos − 

2 

⎟ ⎜ 

4 2 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

π 

Vậy I = + 3 − 2 

3 

Câu 21. I = 

π 

3 

0 

∫ 

2 

x + sin x 

dx 

1+ 

cos2x 

π 2 π π 2 

x x x x 

• Ta có: I 3 

+ sin 

dx 3 dx 3 

sin 

= ∫ = + dx = H + K 

0 1+ 

cos2x ∫0 2 ∫ 0 2 

2 cos x 2 cos x 

π 

x 

x 

+ H 3 dx 1 

π 

⎧ u = x 

3 

⎪ ⎧ du = dx 

= ∫ = dx 

0 2 0 2 

2 cos x 2 

∫ . Đặt ⎨ dx ⇒ 

cos x dv = 

⎨ 

⎪ 

v tan x 

2 ⎩ = 

⎩ cos x 

⎡ π π ⎤ 

π 

1 

H x x 3 3 

π 1 π 1 

⇒ = ⎢ tan − tan xdx⎥ 

= + ln cos x 3 = − ln 2 

2 ⎣ 0 ∫ 0 ⎦ 

2 3 2 0 

2 3 2 

+ 

π 

2 

x 

K 3 

sin 1 2 

= dx = 3 tan xdx 

0 2 0 

2 cos x 2 

Vậy: 

π 

∫ ∫ [ ] 

π 

π 

3 

1 1 ⎛ π ⎞ 

= tan x − x 3 = 3 

2 0 

⎜ − ⎟ 

2 ⎝ 3 ⎠ 

( ) 

π 1 1 ⎛ π ⎞ π 3 −1 1 

I = H + K = − ln 2 + ⎜ 3 − ⎟ = + ( 3 − ln 2) 

2 3 2 2 ⎝ 3 ⎠ 6 2 

3 

∫ 

Câu 22. I = x + 1sin x + 1. dx 

0 

2 2 2 

2 2 

∫ ∫ ∫ 

• Đặt t = x + 1 ⇒ I = t.sin t.2tdt = 2t sin tdt = 2x sin xdx 

Đặt 

Đặt 

1 1 1 

⎧ 2 

u 2x 

⎧ du = 4xdx 

2 

= 

2 

⎨ ⇒ ⎨ ⇒ I = − 2x cos x + 4x cos xdx 

⎩dv 

= sin xdx ⎩v 

= − cos x 

∫ 

1 

⎧u = 4x ⎧du = 4dx 

⎨ 

⇒ 

dv cos xdx 

⎨ . Từ đó suy ra kết quả. 

⎩ = ⎩v = sin x 


2 

1


Câu 23. I = 

π 

2 

∫ 

0 

1+ 

sin x . 

x 

e dx 

1+ 

cos x 

π 

π 

2 x 2 

1 e dx sin x x 

• I = e dx 

2 

∫ + 

2 x 

∫ 

1+ 

cos x 

0 cos 0 

2 

+ Tính 

π 

π 

2 

x x 

2 

x x 

sin 

2sin .cos 

2 

x 

I1 

e dx 2 2 

x x 

= ∫ 

= 

e dx 

1+ 

cos x 

∫ 

= 

2 x 

∫ tan e dx 

0 0 2 cos 0 2 

2 

π 

+ Tính 

I 

2 

π 

2 

x 

1 e dx 

= 

2 

∫ . Đặt 

2 x 

0 cos 2 

Do đó: I = I + I = e 2 . 

Câu 24. I = 

• I = 

π 

2 

0 

∫ 

1 2 

π 

cos x 

dx 

x 

e (1 + sin 2 x) 

π 

2 

cos x 

0 x 

2 

∫ 

e (sin x + cos x) 

⎧ x 

u = e 

π 

x 

⎧ du = e dx 

π 2 

⎪ dx ⎪ 

x x 

⎨dv 

= ⇒ ⎨ x ⇒ I e 2 

2 

= − ∫ tan e dx 

⎪ 

2 x ⎪ v = tan 

0 2 

2 cos ⎩ 2 

⎪⎩ 2 

dx . Đặt 

π π π 

x 

. sin cos x 

0 0 0 

x 

2 2 

cos x sin x 2 sin xdx sin xdx 

⇒ I = + = 

e x + x 

∫ ∫ 

e e 

Đặt 

Đặt 

⎧ cos x 

u 

⎧ − (sin x + cos x) 

dx 

= 

x 

du = 

⎪ e 

⎪ 

x 

⎨ 

⇒ 

e 

dx 

⎨ 

⎪dv 

= ⎪ sin x 

v 

(sin x cos x) 

2 = 

⎩⎪ + ⎩⎪ 

sin x + cos x 

⎧u1 = sin x ⎧du1 

= cos xdx 

⎪ 

⎪ 

−1 2 2 

cos xdx −1 2 

cos xdx 

⎨ dx ⇒ −1 

dv 

⎨ 

⇒ I = sin x. 

+ 

⎪ 1 

= v 

x ⎪ 1 

= 

x x x 

x 

e 

∫ = + 

0 0 e 

π ∫ 

0 e 

⎩ e ⎩ e 

e 2 

⎧u2 = cos x ⎧du2 

= −sin 

xdx 

⎪ 

⎪ 

⎨ dx ⇒ 1 

dv 

⎨ − 

⎪ 1 

= v 

x ⎪ 1 

= 

x 

⎩ e ⎩ e 

−1 −1 2 sin xdx −1 

⇒ I = + cos x. − = + 1− I ⇒ 2I = − e 2 + 1 

e 

Câu 25. I = 

π 

π 

2 

π 

x 

x π 

e 0 0 e 

2 2 

π 

4 

∫ 

π 

− 

4 

sin 

6 6 

x + cos 

x 

6 + 1 

∫ 

x 

dx 

e 

π 

π 

−π 

π 

−π 

−e 

2 1 

⇒ I = + 

2 2 




Câu 26. 

Câu 27. 

• Đặt t 

= − x ⇒ dt = − dx ⇒ 

π 

π 

4 6 6 4 

π 

π 

4 

t 

6 6 4 

sin + cos x sin 6 + cos 

6 

∫ 6 6 

t ∫ 

x 

π 6 + 1 π 6 + 1 

− 

− 

4 4 

t t x x 

I = dt = 

dx 

x sin x + cos x 

6 6 ⎛ 5 3 

⇒ 2 I = (6 + 1) dx = (sin x + cos x) 

dx = 

x 

∫ ⎜ + cos4 

6 + 1 

⎝ 8 8 

5π 

⇒ I = . 

32 

I = 

• Ta có: 

+ Tính 

∫ ∫ x ⎟dx 

π 

π 

− 

− 

4 4 

π 

6 

∫ 

π 

− 

6 

I 

sin 

4 

−x 

xdx 

2 + 1 

π 

π 

6 x 4 0 x 4 6 x 4 

x x x 

π 

π 

0 

− 

− 

6 6 

π 

4 

π 

− 

4 

2 sin xdx 2 sin xdx 2 sin xdx 

I = ∫ = ∫ + ∫ 

= I + I 

2 + 1 2 + 1 2 + 1 

= 

0 x 4 

1 2 

0 −t 

4 0 4 0 4 

⎞ 

⎠ 

5π 

= 

16 

2 sin xdx 

2 sin ( −t) sin t sin x 

∫ . Đặt x = −t 

⇒ I dt dt dx 

x 

1 

= − ∫ = 

−t ∫ = 

t ∫ x 

2 + 1 

2 + 1 2 + 1 2 + 1 

1 

π 

π π π 

− 

6 

6 6 6 

π π π π 

6 4 6 x 4 6 6 

sin xdx 2 sin xdx 4 1 

2 

∫ sin (1 cos2 ) 

x ∫ x ∫ 

4 

∫ 

0 2 + 1 0 2 + 1 0 0 

⇒ I = + = xdx = − x dx 

• Đặt 

Câu 28. 

π 

6 

1 

= (3 − 4 cos2 x + cos4 x ) dx 

8 

∫ 

0 

e 

π 

I = ∫ cos(ln x) 

dx 

1 

t = ln x ⇒ x = e ⇒ dx = e dt 

π 

t 

t 

= 

4π − 7 3 

64 

t 1 

⇒ I = ∫ e costdt 

= ( 

π 

− e + 1) (dùng pp tích phân từng phần). 

2 

0 

π 

2 sin 

2 

x 3 

I = ∫ e .sin x.cos 

xdx 

0 

1 

2 

1 t 1 

• Đặt t = sin x ⇒ I = e (1 t) 

dt e 

2 

∫ − = (dùng tích phân từng phần) 

2 

π 

4 

∫ 

Câu 29. I = ln(1 + tan x) 

dx 

0 

0 



π 

4 

π 

⎛ ⎛ π ⎞⎞ 

• Đặt t = − x ⇒ I = ln 1 tan t dt 

4 

∫ ⎜ + ⎜ − ⎟⎟ 

⎝ ⎝ 4 ⎠⎠ 

= 

π π 

4 4 

∫ ∫ = t.ln 2 4 0 − I 

= ln 2dt − ln(1 + tan t) 

dt 

0 0 

π 

π 

⇒ 2I 

= ln 2 ⇒ I = ln 2 . 

4 

8 

π 

2 

∫ 

Câu 30. I = sin x ln(1 + sin x) 

dx 

• Đặt 

Câu 31. 

0 

0 

⎧ 1+ 

cos x 

⎧ u = ln(1 + sin x) 

⎪du = dx 

⎨ ⇒ ⎨ 

dv sin xdx 

1+ 

sin x 

⎩ = 

⎪ ⎩v 

= − cos x 

π 

π 

4 

∫ ⎛ 1− 

tan t ⎞ 

ln⎜1+ 

⎟ dt 

⎝ 1 + tan t ⎠ 

= 2 

∫ ln 

t 

dt 1 + tan 

π 2 2 2 2 

cos x 1− 

sin x 

π 

⇒ I = − cos x.ln(1 + sin x) 2 + ∫ cos x. dx = 0 + dx = (1 − sin x) dx = −1 

1+ sin x 

∫ 

1+ 

sin x 

∫ 

2 

0 0 0 0 

π 

4 

tan x.ln(cos x) 

I = ∫ 

dx 

cos x 

0 

0 

π π π 

ln t ln t 

• Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ I = − dt = dt 

2 2 

t t 

Đặt 

⎧ u = ln t 

⎪ 

⎨ 1 

dv = dt 

⎪ 

⎩ t 2 

1 

1 

2 

∫ ∫ . 

⎧ 1 

⎪du 

= dt 

⇒ t 

2 

⎨ ⇒ I = 2 −1− 

ln 2 

⎪ 

1 

2 

v = − 

⎩ t 

1 

1 

2 

π 

4 

0 



TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT 

Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f ( x) + f ( − x) = cos x với mọi x∈R. 

π 

2 

Tính: I = ∫ f ( x) 

dx . 

−π 

2 

π π π π 

− 

2 2 2 2 

∫ ∫ ∫ ∫ 

• Đặt x = –t ⇒ f ( x) dx = f ( −t)( − dt) = f ( − t) dt = f ( −x) 

dx 

−π π π π 

− 

− 

2 2 2 2 

π π π 

2 2 2 

∫ ∫ ∫ ⇒ I 

⇒ 2 f ( x) dx = ⎡ 

⎣ f ( x) + f ( − x) ⎤ 

⎦ dx = cos xdx 

−π π −π 

− 

2 2 2 

4 3 1 1 

Chú ý: cos x = + cos2x + cos4x 

. 

8 2 8 

4 

4 

3π 

= 

16 

Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f ( x) + f ( − x) = 2 + 2 cos2x 

, với mọi x∈R. 

3π 

2 

Tính: I = ∫ f ( x) 

dx . 

−3π 

2 

π 

π 

3 3 

2 0 

2 

∫ ∫ ∫ (1) 

• Ta có : I = f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) 

dx 

π 

π 

−3 −3 

2 2 

0 

π 

π 

3 3 

0 

2 2 

+ Tính : I1 

= ∫ f ( x) 

dx . Đặt x = −t ⇒ dx = −dt 

⇒ I1 

= ∫ f ( − t) dt = ∫ f ( −x) 

dx 

π 

0 0 

−3 2 

π π π 

3 3 3 

2 2 2 

∫ ∫ ∫ 

Thay vào (1) ta được: ⎡ 

⎤ ( ) 

⎡π 

π 

3 ⎤ 

⎢ 2 2 ⎥ 

= 2 ⎢ cos xdx − cos xdx⎥ 

⎢ 0 

π ⎥ 

⎢⎣ 

2 ⎥⎦ 

Câu 3. I = 

I = ⎣ f ( − x) + f ( x) ⎦ dx = 2 1+ cos2x = 2 cos x dx 

∫ ∫ x 2 

⎢ 0 x 

π 

4 

∫ 

π 

− 

4 

sin x 

dx 

2 

1+ x + x 

0 0 0 

⎡ 

π 

3π 

⎤ 

⎢ 

⎥ 

= 2 sin − sin 2 

⎥ = 6 

⎢ 

π ⎥ 

⎢⎣ 

2 ⎥⎦ 




Câu 4. 

Câu 5. 

π 

π 

4 

2 

4 

∫ ∫ 

• I = 1+ x sin xdx − x sin xdx = I − I 

π 

π 

− 

− 

4 4 

π 

4 

2 

1 2 

+ Tính I1 

= ∫ 1+ 

x sin xdx . Sử dụng cách tính tích phân của hàm số lẻ, ta tính được I 1 

= 0 . 

π 

− 

4 

π 

4 

+ Tính I2 

= ∫ x sin xdx . Dùng pp tích phân từng phần, ta tính được: I = − 2 

2 

4 π + 

π 

− 

4 

2 

Suy ra: I = 2 

4 π − . 

I = 

5 

∫ 

2 

x 

e ( 3x − 2) 

+ x −1 

dx 

x 

e ( x − 1) 

+ x −1 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

x 

x 

e ( x − ) e ( x − ) 

5 x 5 x x 5 5 x 

e 3x − 2 + x −1 e x − 1 + x − 1 + e 2x −1 e 2x 

−1 

• I = ∫ dx = = + 

x 

− 1 + −1 ∫ dx 

x 

− 1 + −1 ∫ dx ∫ 

dx 

x 

e x x e x x e x − 1 + x −1 

2 2 2 2 

5 5 

5 2 1 2 1 

∫ 

= x + dx = 3 + 

dx 

x 

2 x −1( e x − 1 + 1) x −1( e x − 1 + 1) 

x 

2 2 

x 

( ) 

x 

e 2x 

−1 

Đặt t = e x − 1 + 1⇒ dt = dx 

2 x −1 

5 

2e 

+ 1 5 

5 

2 2e 

+ 1 2e 

+ 1 

⇒ I = 3 + ∫ dt ⇒ I = 3 + 2ln t = 3 + 2ln 

2 

2 

t 

e + 1 e + 1 

• I = 

π 

4 

2 

e + 1 

x 

I = ∫ dx . 

2 

0 ( x sin x + cos x) 

π 

4 

∫ 

0 

2 

x x cos x 

. 

dx . Đặt 

cos x 2 

( x sin x + cos x) 

x 

4 dx 

⇒ I = − + dx 

cos x( x sin x + cos x) ∫ = 4 −π 

. 

2 

cos x 4 + π 

π 

π 

4 

0 0 

∫ 

2 

( ) 

( ) 

⎧ x 

⎧ cos x + x sin x 

u = 

du = 

dx 

⎪ cos x ⎪ 

2 

⎨ x cos x 

⇒ ⎨ cos x 

⎪dv 

= 

dx ⎪ − 1 

⎪⎩ ( x sin x + cos x) 

2 v = 

⎪ ⎩ x sin x + cos x 


Câu 1: (3,0 điểm) Tính: 


ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG III 

ĐỀ 1 

a) 

∫ (4x 

− + 1) dx 

b) 

x 

Câu 2: (4,0 điểm) Tính 

a) 

3 1 

e 

5 

∫ x ln xdx 

b) 

1 

∫ 

π 

2 

∫ 

0 

1 x 

(2cos x + −4 e ) dx 

2 

sin x 

(sin 

3 

x − 2)cosxdx 

2 

Câu 3: (2,0 điểm) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = x và y = x + 2 

a) Tính diện tích hình phẳng (H). 

b) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục Ox. 

m 2 

x . e x 

Câu 4: (1,0 điểm) Tìm số m > 0 sao cho: ∫ dx = 1 

2 

(2 + x) 

ĐỀ 2 

Câu 1: (4,5 điểm) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 

2 x 

1 1 

a) f ( x) = 3x + e b) f ( x) = cos x − 2sin x 

c) f ( x) = 5 

2 

cos x 

− x 

+ 

Câu 2: (3,0 điểm) Tính các tích phân sau: 

a) 

e 

∫ 4xln x. 

dx 

b) 

1 

0 

π 

1 

∫ 2 

x 

. dx 

2 

0 1+ 

3x 

c) ∫ 

π 

3 

( x −1).sin 2x 4 dx 

sin x 

x 

Câu 3: (1,5 điểm) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = xe và y = ex 

a) Tính diện tích hình phẳng (H). 

b) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục Ox. 

2 

Câu 4: (1,0 điểm) Cho họ đường thẳng ∆ : y = mx và parabol (P): y = 4 − x . Tìm m để 

m 

diện tích tạo bởi họ đường thẳng ∆ và parabol (P) là nhỏ nhất. 

m 

ĐỀ 3 

3 

x −1 

Bài 1 ( 1,0 điểm ) . Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 

2 biết F(-1) = 2 . 

x 

Bài 2 ( 6,0 điểm) . Tính các tích phân sau : 

2 

5 

a. I = ∫ (1 + 2 x) 

dx ; c. J = ∫ 2 1+ 

4sin 3x cos3xdx 

; 

1 

0 

1 

2 

x 

b. K = ∫ ( x + 3) e x dx ; d. H = ∫ dx 

1 

1 1+ x −1 

; 

− 

π 

6 



Bài 3 ( 3,0 điểm). Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , trục hoành và đường 

thẳng x = 4. 

1. Tính diện tích của hình phẳng H . 

2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H xung quanh 

a. trục Ox . 

b. trục Oy 

ĐỀ 4 

Bài 1 ( 1,0 điểm ) . Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x 3 – 2x + 5 biết F(2) = 5 . 

Bài 2 ( 6,0 điểm) . Tính các tích phân sau : 

a. 

b. 

π 

2 

cos x 

I = ( e + 1)sin xdx 

∫ ; c. 

0 

3 

K = ∫ 4ln( x −1) 

dx ; d. 

2 

J = 

3 

x − 4 

∫ dx ; 

2 

x + x − 2 

2 

3 

dx 

H = ∫ ; 

( x + 1) 2x 

+ 3 

Bài 3 ( 3,0 điểm). Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , trục tung và đường thẳng 

y = 2. 

1. Tính diện tích của hình phẳng H . 

2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H xung quanh 

a. trục Oy . 

b. trục Ox. 

ĐỀ 5 

1 

2 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 

2 

2x 

Câu 1 (2 điểm). CMR hàm số F( x) = ln( x + 4) là nguyên hàm của hàm số f ( x) 

= 

2 

x + 4 

3 

8x 

Câu 2 (3 điểm). Cho hàm số f ( x) 

= 

2x 

−1 

a. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) . 

b. Tìm một nguyên hàm F( x ) của hàm số f ( x ) sao cho F (1) = 2011. 

Câu 3 (3 điểm). Tính các tích phân sau. 

a. 

π 

∫ 4 

⎛ 4x 

1 ⎞ 

⎜e + sin 2x − dx 

2 ⎟ 

cos x 

0 ⎝ 

⎠ 

b. 

II. PHẦN RIÊNG CHO TỪNG BAN 

A. Phần riêng cho ban KHTN 

x 

Câu 4A (2 điểm ). Tính tích phân sau. ∫ 

cos 2 

0 

B. Phần riêng cho ban cơ bản A + D 

Câu 4B (2 điểm ). Tính tích phân sau. 

π 

4 

π 

2 

∫ 

0 

xsin 

dx 

x 

2 

xdx 

1 

∫ 

0 

1 

dx 

3 

2 63x 

+ 1 + 63x 

+ 1 

trên R . 



ĐỀ 6 

Bài 1 (3.0 điểm) Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: 

π 

2 

⎛ π ⎞ 

a) I = ∫ cos⎜ 

2x + ⎟ dx 

2 

0 ⎝ ⎠ 

b) dx 

I = ∫ 2 

5 x x + 4 

Bài 2 (3.0 điểm) Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính: 

π 

2 

xdx 

a) I = ∫ ( x + 1) 

cos xdx 

b) I = ∫ 

cos 2 

x 

0 

0 

2 

Bài 3 (2.0 điểm) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: y = x − x, 

y = x 

Bài 4 (2.0 điểm)Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi 

x 

quay quanh trục Ox: y = xe , y = 0 và x = 1 

Câu1. Tính 

a. 

c. 

1 

5 3 

(3 − 4 + + 1) 

∫ x x x dx b. 

0 

e 

3 

ln x 

∫ dx 

d. 

x 

1 

ĐỀ 7 

π 

2 

3 

∫ 

∫ 

0 

2 3 

π 

3 

(2x 

+ 1)sin xdx 

x 

0 x + 1 

2 

Câu2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = − x và (d) : x + y + 2 = 0 

Câu3. Tính thể tích khối tròn xoay do hình sau tạo thành khi quay quanh trục Ox. 

y = lnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = 4. 

Câu1. Tính 

a. 

c. 

1 

3 2 

( − 3 + + 2) 

∫ x x x x dx b. 

0 

1 

3 

3 

2 x 

∫ x e dx 

d. ∫ 

0 

0 

ĐỀ 8 

e 

∫ 

1 

dx 

(2x 

+ 1) ln xdx 

3x 

− 4 

dx 

4 − x 

2 

2 

Câu2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = x + x − 5 va ( C ') : y = − x + 3x 

+ 7 

Câu3. Tính thể tích khối tròn xoay do hình sau tạo thành khi quay quanh trục Ox. 

4 y = ; y = 0; x = 1; x = 4 

x 

ĐỀ 9 

Bài 1 (2.5 điểm) 

a) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 5x 

− + 8 . 

x 

b) Gọi F(x) là họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos3 x. 

cosx . Tìm F( x ) , biết F ⎛π 

⎜ 

⎞ 

⎟ 2 

⎝ 4 

= ⎠ . 

Bài 2 (2.5 điểm) Tính các tích phân sau: 

5 3 


a) 


1 

x 

I = ∫ dx ; b) 

2 

0 x + 1 


Tính các tích phân sau: 

a) 

2 

2x 

(2 1) 

H = x − e dx 

1 

dx 

K = ∫ . 

1 

1 4 

( x + 1) 

6 

x + 

0 

∫ ; b) ( cos ).ln ( sin ) 


a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 

d : y = 5 x − 1 . 

( ) 

π 

2 

G = ∫ x x dx . 

π 

4 

2 

( P): y x 6x 

5 

= − + − và đường thẳng 

b) Tính thể tích vật thể tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox, biết (H) được giới 

4 4 3 

π 

hạn bởi các đường y = 0, y = sin x + cos x − , x = 0 và x = . 

4 


Bài 1(6đ):Tính các tích phân: 

π 

4 

2 2 

a) = ( cos − sin ) 

0 


2 

I ∫ x x dx b) I= ∫ x 1+ 

x dx c) I = 

1 

0 

π 

2 

∫ 

0 

(2x 

−1).cos 

xdx 

Bài 2(2đ): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y=x 3 -3x và y=x. 

Bài 3(2đ): Tìm một nguyên hàm F(x) của f(x)= sin3x.cosx+2cos 2 x , biết F(π )= -3. 

Bài 1: (2 điểm) Tính: sin 3x 

cos5xdx 

Bài 2: (6 điểm) Tính các tích phân sau : 

a) 

1 

1 


∫ (2x 

−1) 

dx ; b) ∫ 

0 

0 

∫ 


2 x 

x( 1 − x + e ) dx 

Bài 3: (2 điểm) Cho hình phẳng D giới hạn bỡi các đường sau : 

1 

y = 1 + x + 1 

, x = 0 , x = 1 , y = 0. Tính thể tích hình tròn xoay sinh bỡi D , khi D quay quanh 

trục Ox . 


Bài 1.Tính các tích phân sau : 

a) A = 

π 

2 

2 

sinx(2cos x −1) 

∫ dx b) B = 

π 

3 

2 

2x 

∫ (2x 

−1) 

e dx 

c) C = 

1 

1 4 

∫ 

0 

( x + 1) dx 

6 

x + 1 

Bài 2 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = xlnx, y = 2 

x và x =1 

Bài 3 . Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y = e x ; y = e -x ; x = 1 quay quanh trục Ox. Tính 

thể tích vật thể tròn xoay sinh ra 



Câu 1: Tính a) ( ) 10 

π 

ĐỀ 13 

∫ 1+ 

3x dx 

b) 

∫ 

2 

( 1− 2x)( 1+ 

2x) 

Câu 2: Tính a) 2 2 

sin x−1 

∫ .cos xdx 

b) ∫ ( x −1) 

sin 2xdx 

0 

0 

Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x 2 vaø y = 5x 

Câu 1: Tính a) ( + ) 

Câu 2: Tính a) 

ĐỀ 14 

2 

∫ 2 cos 2x dx 

b) x( 1+ 

x ) 9 

dx 

3 

1 

2 

2x 

∫ x − 2x dx 

b) ∫ ( 1 − x) 

. e dx 

0 

0 

Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = 2x 2 và y = 2x +4 

Câu 1: Tính: 

1 

a/ I= ∫ dx 

b)J= 

sin x.cos 

x 

Câu 2: Tính: 

π 

4 

∫ 

ĐỀ 15 

⎛ ⎛ π ⎞ 

⎜sin3x- cos⎜5x- ⎟ − 2e 

⎝ ⎝ 3 ⎠ 

3 

2 

⎛ π ⎞ 

a) I = ∫ ⎜ x + ⎟sin 

xdx 

4 

0 ⎝ ⎠ 

b) J= 

x 

∫ (2x 

+ 1).ln x. 

dx 

c) K= ∫ dx 

2 

1 

0 2x + 1 

2 

2 

Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x + 2x 

, y = −x − x 

ĐỀ 16 

Câu 1.( 4đ) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 

a) f ( x) = 3 − 2x 

+ b) f(x)=2cos3x-3sin2x 

x 

2 

c) f(x)=(1-x)cosx d) f ( x) 

= 

2 

x − 4 

Câu 2. ( 4đ) Tính 

3 

3 

a) ∫ ( x −1) 

dx 

b) ∫ π 

4 

⎛ 2 ⎞ 

π 3sin x dx 

−1 

⎜ + 

− 

2 ⎟ 

4 ⎝ cos ⎠ 

c) 2 

( 2 

∫ x ln 1+ 

x ) dx 

1 

Câu 3 (3 đ): Xét hình phẳng D giới hạn bởi y=x 2 -2 và y=-x 

a. Tính diện tích hình phẳng D. 

b. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra từ hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x 2 -2; 

y=0 quay xung quanh trục Ox 

3 3 

ĐỀ 17 

Câu 1.(2 đ) Tính nguyên hàm các hàm số sau 

2 

3x 

− 2x 

A. f ( x) 

( ) x x 

f x = e x. e − + 10) 

x 

= ( ) 

∫ 

π 

2x 

⎞ 

⎟dx 

⎠ 

dx 



Câu 2.(7 đ) Tính các tích phân sau 

A. 

C. 

1 

∫ x (3 x − 2) dx 

B. 

0 

3 

x 

∫ dx 

D. 

x + 

0 1 

π 

4 

4 

∫ 

3 

π 

2 

∫ 

0 

1 

e2 

x 

2 

1 

− 3x 

+ 2 dx 

sin 2x 

cos xdx 

E. x 

1 

∫ sin 2xdx 

F. ∫ dx 

2 

0 

1 x 1− 

ln x 

x 

Câu 3.(1 đ) Tính diện tích giới hạn bởi các đường sau: y = xe + 5 và y = ex + 5. 

ĐỀ 18 

Câu 1. (2 đ) Tính nguyên hàm các hàm số sau 

2 

2x 

− 3x 

A. f ( x) 

( ) x x 

f x = e x. e − − 12 

x 

Câu 2. (7 đ) Tính các tích phân sau 

1 

5 

1 

A. ∫ x(2 − 3 x) 

dx 

B. ∫ 2 

x − 4x 

+ 3 dx 

C. 

0 

5 

2 1 

= B. ( ) 

x 

∫ dx 

D. 

x − 

π 

2 

3 

e 2 

4 

π 

4 

∫ 

0 

sin 2x 

cos xdx 

E. x 

1 

∫ sin 2xdx 

F. ∫ 

dx 

2 

0 

1 x 1− 

ln x 

x 

Câu 3. (2 đ) Tính diện tích giới hạn bởi các đường sau: y = xe + 4 và 



III. ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN 

1. Dieän tích hình phaúng 

• Dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 

– Ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b]. 

– Truïc hoaønh. 

– Hai ñöôøng thaúng x = a, x = b. 

b 

laø: S = ∫ f ( x) 

dx 

(1) 

a 


– Ñoà thò cuûa caùc haøm soá y = f(x), y = g(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b]. 

– Hai ñöôøng thaúng x = a, x = b. 

b 

laø: S = ∫ f ( x) − g( x) 

dx (2) 


a 

• Neáu treân ñoaïn [a; b], haøm soá f(x) khoâng ñoåi daáu thì: f ( x) dx = f ( x) 

dx 

b 

a 

b 

∫ ∫ 

• Trong caùc coâng thöùc tính dieän tích ôû treân, caàn khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái cuûa haøm soá 

döôùi daáu tích phaân. Ta coù theå laøm nhö sau: 

Böôùc 1: Giaûi phöông trình: f(x) = 0 hoaëc f(x) – g(x) = 0 treân ñoaïn [a; b]. Giaû söû tìm 

ñöôïc 2 nghieäm c, d (c < d). 

Böôùc 2: Söû duïng coâng thöùc phaân ñoaïn: 

b c d b 

∫ ∫ ∫ ∫ 

f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx + f ( x) 

dx 

a a c d 

c d b 

∫ ∫ ∫ 

= f ( x) dx + f ( x) dx + f ( x) 

dx 

a c d 

(vì treân caùc ñoaïn [a; c], [c; d], [d; b] haøm soá f(x) khoâng ñoåi daáu) 


– Ñoà thò cuûa x = g(y), x = h(y) (g vaø h laø hai haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn [c; d]) 

– Hai ñöôøng thaúng x = c, x = d. 

d 

∫ 

S = g( y) − h( y) 

dy 

c 

2. Theå tích vaät theå 

• Goïi B laø phaàn vaät theå giôùi haïn bôûi hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc Ox taïi caùc ñieåm 

caùc ñieåm a vaø b. 

S(x) laø dieän tích thieát dieän cuûa vaät theå bò caét bôûi maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc Ox taïi 

ñieåm coù hoaønh ñoä x (a ≤ x ≤ b). Giaû söû S(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b]. 

Theå tích cuûa B laø: V = ∫ S( x) 

dx 

• Theå tích cuûa khoái troøn xoay: 

Theå tích cuûa khoái troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 

b 

a 


a



(C): y = f(x), truïc hoaønh, x = a, x = b (a < b) 

sinh ra khi quay quanh truïc Ox: 

b 

V = π ∫ f 2 ( x) 

dx 

a 

Chuù yù: Theå tích cuûa khoái troøn xoay sinh ra do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau 

quay xung quanh truïc Oy: 

(C): x = g(y), truïc tung, y = c, y = d 

laø: 

d 

V = π ∫ g 2 ( y) 

dy 

c 

VAÁN ÑEÀ 1: Tính dieän tích hình phaúng 

Baøi 1. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau: 

2 

ln x 1 

a) y = x − 4x − 6, y = 0, x = − 2, x = 4 b) y = , y = 0, x = , x = e 

x 

e 

1+ 

ln x 

ln x 

c) y = , y = 0, x = 1, x = e d) y = , y = 0, x = e, x = 1 

x 

2 x 

1 

e) y = ln x, y = 0, x = , x = e f) y = x 3 , y = 0, x = − 2, x = 1 

e 

x 

1 

1 

g) y = , y = 0, x = 0, x = h) y = lg x , y = 0, x = , x = 10 

4 

1− 

x 

2 



−3x 

−1 a) y = , y = 0, x = 0 

b) y = x, y = 2 − x, y = 0 

x −1 

x 

c) y = e , y = 2, x = 1 

d) y = x, x + y − 2 = 0, y = 0 

e) 

g) 

i) 

2 2 

y = 2 x , y = x − 2x − 1, y = 2 f) 

2 

2 x 27 

y = x , y = , y = h) 

27 x 

2 

y = 2 x, 2x + 2y + 1 = 0, y = 0 k) 

2 

y = x − 4x + 5, y = − 2x + 4, y = 4x 


2 2 

y = 2 x , y = x − 4x − 4, y = 8 

2 2 

y = − x + 6x − 5, y = − x + 4x − 3, y = 3x 

− 15 


1 

a) y = x, y = , y = 0, x = e 

b) y = sin x − 2 cos x, y = 3, x = 0, x = π 

x 

c) 

x−2 

y = 5 , y = 0, y = 3 − x, x = 0 d) 

e) y = x, y = 0, y = 4 − x 

f) 

2 2 

y = 2x − 2 x, y = x + 3x − 6, x = 0, x = 4 

2 2 

y = x − 2x + 2, y = x + 4x + 5, y = 1 

1 

g) y = x, y = 2 − x, y = 0 

h) , 

−x 

y = y = e , x = 1 

−2x 

e 


a) 

c) 

2 2 

y = 4 − x , y = x − 2x 

b) 

1 2 1 2 

y = x , y = − x + 3 

d) 

4 2 

2 

y = x − 4x + 3 , y = x + 3 

2 

1 x 

y = , y = 

2 

1+ 

x 2 



e) 

g) 

i) 

2 

y = x , y = 2 − x 

f) 

2 

x 1 

y = , y = h) 

2 2 

1 + x 

2 

y = x + 2 x, y = x + 2 

k) 

2 2 

y = x − 2 x, y = − x + 4x 

2 

y = x + 3 + , y = 0 

x 

2 

y = x + 2, y = 4 − x 


2 2 

a) y = x , x = − y 

b) y + x − 5 = 0, x + y − 3 = 0 

2 

c) y − 2y + x = 0, x + y = 0 

2 

d) y = 2x + 1, y = x − 1 

2 

e) y = 2 x, y = x, y = 0, y = 3 

2 

f) y = ( x + 1) , x = sin π y 

2 2 2 

g) y = 6 x, x + y = 16 

h) 

3 

i) x − y + 1 = 0, x + y − 1 = 0 

k) 

2 

2 3 2 

y = (4 − x) , y = 4x 

2 2 2 

x + y = 8, y = 2x 


x 

a) y = x. e ; y = 0; x = − 1; x = 2. b) 

x 

−x 

c) y = e ; y = e ; x = 1. 

d) 

e) 

g) 

5 

x 

y = ( x + 1) ; y = e ; x = 1. f) 

2 

2 

y = x.ln x; y = 0; x = 1; x = e. 

x−2 

y = 5 ; y = 0; x = 0; y = 3 − x. 

1 

y = ln x , y = 0, x = , x = e 

e 

y = sin x + cos x, y = 0, x = 0, x = π h) y = x + sin x; y = x; x = 0; x = 2 π . 

2 

2 

π 

i) y = x + sin x; y = π ; x = 0; x = π . k) y = sin x + sin x + 1, y = 0, x = 0, x = 

2 


1 

a) ( C) : y = x + , tieäm caän xieân cuûa (C), x = 1 vaø x = 3. 

2 

2x 

2 

x + 2x 

+ 1 

b) ( C) : y = , y = 0 , tieäm caän xieân cuûa (C), x = –1 vaø x = 2 

x + 2 

3 2 

c) ( C) : y = x − 2x + 4x − 3, y = 0 vaø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 2. 

3 

d) ( C) : y = x − 3x + 2, x = − 1 vaø tieáp tuyeán côùi (C) taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = –2. 

2 

e) ( C) : y = x − 2x 

vaø caùc tieáp tuyeán vôùi (C) taïi O(0 ; 0) vaø A(3; 3) treân (C). 

VAÁN ÑEÀ 2: Tính theå tích vaät theå 

Baøi 1. Tính theå tích vaät theå troøn xoay sinh ra bôûi hình (H) giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau quay 

quanh truïc Ox: 

π 

1 3 2 

a) y = sin x, y = 0, x = 0, x = b) y = x − x , y = 0, x = 0, x = 3 

4 

3 

6 6 

π 

c) y = sin x + cos x, y = 0, x = 0, x = d) y = x, x = 4 

2 

3 

e) y = x − 1, y = 0, x = − 1, x = 1 

f) y = x 2 , y = x 

2 3 

x x 

2 

g) y = , y = h) y = − x + 4 x, y = x + 2 

4 8 

π π 

2 2 

i) y = sin x, y = cos x, x = , x = 

k) ( x − 2) + y = 9, y = 0 

4 2 

l) 

2 2 

y = x − 4x + 6, y = −x − 2x 

+ 6 

m) y = ln x, y = 0, x = 2 





quanh truïc Oy: 

2 

a) x = , y = 1, y = 4 

b) y = x 2 , y = 4 

y 

x 

c) y = e , x = 0, y = e 

d) 

y = x 2 , y = 1, y = 2 


quanh: i) truïc Ox ii) truïc Oy 

a) 

c) 

2 

y = ( x − 2) , y = 4 

b) 

1 

y = , y = 0, x = 0, x = 1 

2 

x + 1 

e) y = x.ln x, y = 0, x = 1, x = e 

f) 

g) 

d) 

2 2 

y = x , y = 4 x , y = 4 

2 

y = 2 x − x , y = 0 

y = x 2 ( x > 0), y = − 3x + 10, y = 1 

y = x 2 , y = x 

h) ( ) 2 2 

x – 4 + y = 1 

i) x 2 2 

+ y = 1 

9 4 

k) y = x − 1, y = 2, y = 0, x = 0 

2 

2 

l) x − y = 0, y = 2, x = 0 

m) y = x 3 , y = 0, x = 1 

IV. OÂN TAÄP TÍCH PHAÂN 


2 

2 

a) ∫ x − x dx 

b) 

d) 

g) 

k) 

0 

2 

−1 

2 

∫ ⎛ x −1 

⎞ 

⎜ ⎟ dx 

⎝ x + 2 

e) 

⎠ 

1 

xdx 

∫ h) 

2 

0 ( x + 1) 

1 3 

x 

∫ dx 

l) 

2 

0 x + 1 


2 

x 

a) ∫1+ 

x − 

d) 

g) 

k) 

1 1 

3 5 3 

dx 

b) 

x + 2x ∫ dx 

e) 

2 

0 x + 1 

2 

2 2 

∫ x 4 − x dx 

h) 

0 

3 

2 3 

∫ 1 + x . x dx 

l) 

0 

3 7 

x 

∫ dx c) 

8 4 

2 1+ x − 2x 

5 

∫ ( x + 2 − x − 2 ) dx f) 

−3 

0 

∫ dx 

2 

− 1 x + 2x 

+ 4 

i) 

1 

3 

∫ 

1 

1 

∫ 

2 

x − 2x + 1 dx 

2 

dx 

0 2x 

+ 5x 

+ 2 

2 3 2 

xdx 

xdx 

∫ m) 

2 

∫ 

0 1+ x 

0 ( x + 1) 

0 

3 

3 2 

∫ x 1+ 

x dx c) 

4 

∫ 2dx 

5 4 

f) 

− 1 x + + 

2 

∫ xdx 

1 2 + x + 2 − x 

i) 

1 

3 2 

∫ x x + 3 dx 

m) 

0 

∫ 

0 

9 

∫ 

1 

x + 2x + 4x 

+ 9 

dx 

2 

x + 4 

1 

x 

3 

2 4 

∫ 

3 

1− 

x dx 

x 

5 

0 x + 1 

0 

∫ 

−1 

dx 

x 1+ 

x dx 

3 

∫ 

−1 

x − 3 

dx 

3 x + 1 + x + 3 



1 

5 2 

3 

3 3 

o) ∫ x 1− 

x dx 

p) ∫ x + 1 x . dx q) 

0 

0 

1 2 


x + x 

r) ∫ dx 

s) dx 

3 2 

0 ( x + 1) 

5 x − 2 x −1 

t) 


a) 

d) 

g) 

k) 

o) 

r) 

π / 4 2 

1− 

2sin x 

∫ dx 

b) 

1+ 

sin 2x 

0 

π/2 

sin 2x 

∫ dx e) 

2 2 


π/2 

0 

4 4 

∫ cos2 x(sin x + cos x) 

dx h) 

π/4 

0 

2 

∫ x tan x dx 

l) 

π/2 2004 

sin x 

∫ dx p) 

2004 2004 

sin x + cos x 

0 

π/2 

cos3x ∫ dx 

s) 

sin x + 1 

0 


3 

2 

π/2 

sin 2x 

+ sin x 

∫ dx c) 

1+ 

3cos x 

0 

π/2 

∫ sin x sin 2 x sin3 x dx f) 

0 

π/3 

tan x 

∫ dx i) 

2 

cos 1 cos x 

π /4 x + 

π/2 

sin 2x ∫ dx 

m) 

cos x + 1 

0 

π/2 3 

4sin x 

∫ dx 

q) 

1+ 

cos x 

0 

π/2 

sin xdx 

∫ t) 

0 2 2 x 

sin x + 2 cos x cos 2 

a) ln( 5) 2 

∫ + 

b) ∫ln( 

x − x) 

dx 

c) 

0 

2 

π/2 

ln5 

sin x 

dx 

d) ∫ ( e + cos x)cos 

x dx e) ∫ x x 

0 

ln3 e + 2e − 3 

f) 

e 3 

1 

x + 1 

g) ln 

2 

∫ xdx 

h) 

x 

∫ ( x + 1) e x dx 

1 

0 

i) 

2 2 x 

1 

x e 

2 2x 

k) ∫ dx 

l) 

2 

∫ (4x 2x 1) e dx 

0 ( x + 2) 

− 

0 

m) 

π/2 e 

o) 3 x 

ln x 

∫ e sin 5x dx 

p) ∫ dx 

2 

0 

1 x 

q) 

e 

e 

3 − 2 ln x 

1+ 

3ln x.ln 

x 

r) ∫ dx 

s) ∫ 

dx 

x 1+ 

2 ln x 

x 

t) 

1 

3 

1 

7/3 

∫ 

0 

3 

x + 1 

dx 

3x 

+ 1 

1 

3 2 

∫ 

0 

x 1− 

x dx 

π/2 

∫ 

0 

π/2 

π 

∫ 

0 

∫ 

0 

sin 2x 

cos x dx 

1+ 

cos x 

5 

cos xdx 

x sin x dx 

2 

1+ 

cos x 

π/2 

∫ 

0 

sin x 

dx 

1+ 

3cos x 

π/4 2 

∫ 

0 

1− 

2sin x dx 

1+ 

sin 2x 

π/3 2 

∫ 

0 

1 

∫ 

0 

e 

∫ 

1 

1 

∫ 

x sin 

xdx 

sin 2x 

cos 

2x 

2 

( x − 2) e dx 

x 

0 1 

e 

1 

∫ 

0 

3 

∫ 

1 

2 

∫ 

1 

2 2 

ln 

dx 

+ e 

x 

x dx 

ln(1 + x) 

dx 

2 

x 

2 

x 

x ln(1 + x ) dx 

2 

ln x 

dx 

x ln x + 1 

Baøi 5. Tính dieän tích caùc hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau: 

3 

4 

a) y = x − 3x + 1, y = 0, x = 0, x = − 1 b) y = , y = 0, x = − 2, x = 1 

2 − x 

1 4 2 9 

c) y = − x + 2 x + , y = 0 

d) y = e x , y = 2, x = 1 

4 4 

1 1 

2 2 

e) y = x − 1 + , y = 0, x = 2, x = 4 f) y = x − 2 x, y = − x + 4x 

2 x −1 



g) 

m) 

n) 

o) 

2x 

+ 1 

y = , y = 0, x = 0 

x + 1 

2 


x + 3x 

− 2 

y = , tieäm caän xieân , x = 0, x = 1 

x + 1 

2 

x + x − 2 

y = , y = 0, tieáp tuyeán veõ töø goác toaï ñoä 

x + 1 

3 2 

h) 

2 

− x + x 

y = , y = 0 

x + 1 

y = x + 3x + 3x 

+ 1 , tieáp tuyeán taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc tung. 

1 3 

p) y = x − 3x 

, tieáp tuyeán taïi ñieåm M thuoäc ñoà thò coù hoaønh ñoä x = 2 3 . 

4 

Baøi 6. Tính theå tích caùc vaät theå troøn xoay sinh ra khi quay hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc 

ñöôøng sau quanh truïc: 

a) y = x, y = 0, x = 3; Ox 

b) y = x ln x, y = 0, x = 1, x = e; 

Ox 

x 

c) y = xe , y = 0, x = 1; Ox 

d) 

2 

2 2 

y = 4 − x , y = x + 2; Ox 

e) y = 4 − x, x = 0; Oy 

f) x = ye , x = 0, y = 1; Oy 

y 


ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 

BÀI TOÁN 1: Cho hàm số y = f ( x) 

liên tục trên [ ; ] 

hạn bởi: 


- Đồ thị hàm số y = f ( x) 

- Trục Ox : ( y = 0 ) 

- Hai đường thẳng x = a; 

x = b 

b 

Được xác định bởi công thức : ( ) 

S = ∫ D 

f x dx 

a 

a b . Khi đó diện tích hình phẳng (D) giới 

2 

1) ĐHTMại 99: Tính S 

D 

= ? , biết D giới hạn bởi đồ thị: y = x − 2x 

, x = − 1, x = 2 và trục 

Ox . 

2) HVCNBCVT 2001: Tính 

D 

? D = y = xe x , y = 0, x = − 1, x = 2 

3) CĐTCKToán 2003: Tính ? 

D 

S = , biết { } 

S = với D = { y = −x 2 − 4 x, x = − 1, x = − 3} 

⎧ 

π ⎫ 

4) ĐHNN1 -97: Tính S 

D 

= ? , với D = ⎨ y = tgx, x = 0, x = , y = 0⎬ 

⎩ 

3 ⎭ 

⎧ 

5) ĐHNN1 – 98: Tính S 

D 

= ? , ln x 

⎫ 

D = ⎨ y = , y = 0, x = 1, x = 2 

2 

⎬ 

⎩ x 

⎭ 

⎧ 

ln x ⎫ 

6) ĐHHuế – 99B: Tính S 

D 

= ? , D = ⎨x = 1, x = e, y = 0, y = ⎬ 

⎩ 

2 x ⎭ 

2 

⎧ x + 3x 

+ 1 ⎫ 

7) Tính S 

D 

= ? D = ⎨ y = , x = 0, x = 1, y = 0 ⎬ 

⎩ x + 1 

⎭ 

⎧ 2 3 

π ⎫ 

8) ĐHBKN – 2000: Tính S 

D 

= ? , D = ⎨ y = sin x cos x, y = 0, x = 0, x = ⎬ 

⎩ 

2 ⎭ 

BÀI TOÁN 2 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 

C y f x C y = g x 

+ ( ) = ( ) , ( ) ( ) 

1 

: 

2 

: 

+ đường thẳng x = a, 

x = b 

b 

Được xác định bởi công thức: = ( ) − ( ) 

∫ 

S f x g x dx 

a 

PP giải: B1: Giải phương trình : f ( x) = g ( x) 

tìm nghiệm x1, x2,..., xn 

∈ ( a; 

b) 

( x < x < < x ) 

1 2 

... 

n 

B2: Tính 

1) ĐHHuế 99A: Tính ? 

D 

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 

x1 x2 

b 

∫ ∫ ∫ 

S = f x − g x dx + f x − g x dx + + f x − g x dx 

a x1 

xn 

∫ 

x1 

a 

b 

( ( ) ( )) ,..., ( ( ) ( )) 

= f x − g x dx + + f x − g x dx 

S = , ( ) 

∫ 

xn 

{ 1 5 

, x 

, 0, 1 } 

D = y = x + y = e x = x = 

2) Tính S 

D 

= ? , D ⎧ 

y 1 1 

, , , 

2 2 

sin y cos x π 

x x 6 x π ⎫ 

= ⎨ = = = = ⎬ 

⎩ 

3 ⎭ 

2 

3) ĐHTCKToán 2001: Tính S 

D 

= ? , D = y = 2 + sin x, y = 1+ cos x, x ∈ [ 0; π ] 

4) HVBCVT 2000: Tính S 

D 

= ? , 

{ } 

⎧ 

2 3x 


π ⎫ 

D = ⎨ y = 1− 2sin , y = 1 + , x = 0, x = ⎬ 

⎩ 

2 π 

2 ⎭ 


5) Tìm b sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) 

π 

y = 1, x = 0, x = b bằng 4 

BÀI TOÁN 3: Hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị: ( ) ( ) 

x 0 

( ) 

∫ với 

a 

0 

Khi đó diện tích = ( ) − ( ) 

f ( x) = g ( x) 

. 


S f x g x dx 

1) ĐHTCKToán 2000: Tính ? 

H 

2) HVNHàng –HCM _ 99: Tính ? 

H 

2 

x 

: y = và các đường thẳng 

2 

x + 1 

y = f x , y = g x , x = a . 

x là nghiệm duy nhất của phương trình 

S = , với { x − x 

H = y = e , y = e , x = 1} 

S = , H = { y = x 1 + x } 

2 , Ox, x = 1 

⎧ −3x 

−1 ⎫ 

3) ĐH-CĐ_ 2002KD: Tính S 

D 

= ? D = ⎨ y = , Ox , Oy⎬ 

⎩ x −1 

⎭ 

4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y = 2 x ; y = 3 − x; x = 0 

5) ĐHCĐoàn 2000: Tính ? 

H 

S = , H = { x = y, x + y − 2 = 0, y = 0} 

BÀI TOÁN 4: Tính diện tích hình phẳng ( D ) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số: 

y = f ( x) ; y = g ( x) 

PP giải: B1: Giải phương trình f ( x) g ( x) 0 

− = có nghiệm x1 < x2 < ... < xn 

x n 

B2: Ta có diện tích hình ( D ) : = ( ) − ( ) 

1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 


S f x g x dx 

D 

∫ 

x1 

2 

y x 2x 

= − ; 

2 

y x 2x 

2 

y = − x + 4x 

= − + và y = − 3x 

2 

3) ĐHBKHN -2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = − 4 − x và x 


2 

y y x 

− 2 + = 0 và x + y = 0 

5) ĐHKTQD – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y 

2 

2 

+ 3y 

= 0 

+ x − 5 = 0 và x + y − 3 = 0 

2 

6) ĐH – CĐ : KA 2002:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x − 4x 

+ 3 và y = x + 3 

2 

2 

x x 

7) ĐH – CĐ : KB 2002: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 4 − và y = 

4 4 2 

2 3 3 

8) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x + x − và y = x 

2 2 

2 

9) ĐHSPHN – 2000 A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x − 1 và y = x + 5 

BÀI TOÁN 5: Tính diện tích hình phẳng ( D ) giới hạn bởi ba đồ thị hàm số: 

y = f ( x) ; y = g ( x) ; y = h( x) 

PP giải: B1: Giải các phương trình : f ( x) − g ( x) = 0 ; f ( x) − h( x) = 0 ; g ( x) − h( x) = 0 

B2: Thiết lập công thức diện tích. ( Có thể vẽ ba đồ thị trên cùng hệ trục toạ độ ) 

1) ĐHCĐ - 99: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: 

BÀI TẬP: 

y 

2 

= x ; 

2 

y = − x + x ; 

2 

x 8 

y = ; y = 

8 x 

2 

2 

y = x ; y = x + x − 2 


2 

1) ĐHQGHN – 97A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y = x + x + 2 và 

y = 2x 

+ 4 . 

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y 

2 

= 4x 

và x 

2 

= 4y 

2 

3) ĐHKTế – 97: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y = 2x 

; x − 2y 

+ 2 = 0 và 

trục hoành Ox . 

ln x 

4) ĐHNN1 HN – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y = , các đường 

2 

x 

thẳng : x = 1; x = 2 và trục hoành Ox . 

3 2 

5) ĐHNN1 HN – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y = x − 4x + x + 6 và 

trục hoành. 

π 

6) ĐHNN1 HN – 97: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y = tgx , đường thẳng x = 

3 

và các trục toạ độ. 

1 2 1 2 

7) ĐHTLợi – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y = x và y = − x + 3x 

. 

4 

2 

2 

2 

8) ĐHTMại – 96: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y = x và x = − y 

2 

9) ĐHTCKToán – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y = − x và y = −x 

− 2 . 

x 

10) ĐHTCKToán – 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y = e ; y = e − x và 

x = 1. 

2 3 

11) ĐHBKHN - 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y = sin x cos x , 

π 

x = 0; x = và trục hoành. 

2 

2 

12) ĐHTMại – 99: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y = x − 2x 

, x = − 1, x = 2 

và trục hoành Ox . 

y = x + , y 

13) ĐHHuế 99A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: ( 1) 5 

đường thẳng x = 0; x = 1. 

e 

x 

= và các 

2 

1 

14) ĐHNN1 – 99A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y = 2 

1 + x 

và x 

y = 

2 

2 3 3 

15) ĐHTLợi – 99: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y = x + x − và y = x . 

2 2 

2 

16) ĐHSPHN – 2000B: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y = x − 4x 

+ 3 và 

y = 3 . 

17) HVBCVT – 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: 

2 3x 

y = 1− 2sin , 2 


π 

y = 1+ và đường thẳng x = . 

π 

2 

18) ĐHTCKToán – 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y = 2 + sin x , 

y 


2 

= 1+ sin x với x [ 0; π ] 

∈ . 

x 

19) HVBCVT – 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y = xe , x = − 1, x = 2 

và trục hoành . 

2 

20) ĐHY TB- 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y 5 x − 

= , y = 3− x và các 

trục toạ độ. 

2 

2 2 

21) ĐHKTQD HN -2000: Parabon y = 2x 

chia hình tròn x + y = 8 thành hai phần, tính diện 

tích mỗi phần. 



2 

22) ĐHKTQD HN – 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabon y = 4x − x và các 

5 

đường tiếp tuyến đi qua M ⎛ 

⎜ 

⎞ ;6 ⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 

2 

x − x + 4 

C : y = 

x −1 

C và x = 2; x = 4 

23) Cho đồ thị ( ) 

của ( ) 

24) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabon 

điểm A( 0; − 3) 

; B ( 3;0) 

25) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: 

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) , tiệm cận xiên 

2 

y x x 

= − + 4 − 3 và hai tiếp tuyến tại các 

2 

y = − x + x ; 

y 

x 

2 

= ; 

2 

y x x 

= + − 2 

26) ĐHMĐC HN – 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y = sin x , 

y = x − π . 

2 

27) ĐH – CĐ : KA 2002:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x − 4x 

+ 3 và y = x + 3 

28) CĐSPPThọ KA – 2003: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị 

2 2 

y = 4 − x ; y = x − 2x 

2 

2 

x x 

29) ĐH – CĐ : KB 2002: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 4 − và y = 

4 4 2 

1 3 2 

1 

5 

30) ĐH – CĐ Dự bị 3 – 2002: Cho ( C ) : y = x + mx − 2x − 2m 

− . Tìm 0; 

3 3 

m ∈ ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ sao cho 

⎝ 6 ⎠ 

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C); x = 0; x = 2; y = 0 có diện tích bằng 4 

H giới hạn bởi Parabol (P), y = 0, x = − 1, x = 2 . Lập phương trình Parabol (P) , biết 

31) Hình ( ) 

(P) có đỉnh S ( 1;2 ) và diện tích ( ) 

H bằng 15. 



CHÖÔNG IV 

SOÁ PHÖÙC 

I. SOÁ PHÖÙC 

1. Khaùi nieäm soá phöùc 

• Taäp hôïp soá phöùc: C 

• Soá phöùc (daïng ñaïi soá) : z = a + bi 

(a, b∈ R , a laø phaàn thöïc, b laø phaàn aûo, i laø ñôn vò aûo, i 2 = –1) 

• z laø soá thöïc ⇔ phaàn aûo cuûa z baèng 0 (b = 0) 

z laø thuaàn aûo ⇔ phaàn thöïc cuûa z baèng 0 (a = 0) 

Soá 0 vöøa laø soá thöïc vöøa laø soá aûo. 

• Hai soá phöùc baèng nhau: 

⎧ a = a' 

a + bi = a’ + b’ i ⇔ ⎨ 

⎩b 

= b' 

( a, b, a', b' ∈ R) 

2. Bieåu dieãn hình hoïc: Soá phöùc z = a + bi (a, b ∈ R) 

ñöôïc bieåu dieãn bôûi ñieåm M(a; b) hay 

 

bôûi u = ( a; b) 

trong mp(Oxy) (mp phöùc) 

3. Coäng vaø tröø soá phöùc: 

• ( a + bi) + ( a’ + b’ i) = ( a + a’ ) + ( b + b’ 

) i • ( a + bi) − ( a’ + b’ i) = ( a − a’ ) + ( b − b’ 

) i 

• Soá ñoái cuûa z = a + bi laø –z = –a – bi 

• u bieåu dieãn z, u ' bieåu dieãn z' thì u 

+ u 

' 

bieåu dieãn z + z’ vaø u − u ' bieåu dieãn z – z’. 

4. Nhaân hai soá phöùc : 

• ( a + bi)( a' + b' i) = ( aa’– bb’ ) + ( ab’ + ba’ 

) i 

• k( a + bi) = ka + kbi ( k ∈ R) 

5. Soá phöùc lieân hôïp cuûa soá phöùc z = a + bi laø z = a − bi 

⎛ z ⎞ 

• ; ' ' ; . ' . '; 

1 

z 

z = z z ± z = z ± z z z = z z 

1 

⎜ ⎟ = ; 

⎝ z2 ⎠ z2 

• z laø soá thöïc ⇔ z = z ; z laø soá aûo ⇔ z = − z 

6. Moâñun cuûa soá phöùc : z = a + bi 

 

2 2 

• z = a + b = zz = OM 

• z ≥ 0, ∀z ∈ C , z = 0 ⇔ z = 0 

• z. z' = z . z' 

• 

z 

z' 

7. Chia hai soá phöùc: 

1 1 

• z 

− = z (z ≠ 0) • 

2 

z 

2 2 

z. 

z = a + b 

z 

= • z − z' ≤ z ± z' ≤ z + z' 

z' 

z ' −1 

'. '. 

= z' 

z = z z = z z • 

z 

2 

z 

z. 

z 

z' 

w z' 

wz 

z = ⇔ = 




8. Caên baäc hai cuûa soá phöùc: 

• z = x + yi laø caên baäc hai cuûa soá phöùc w = a + bi ⇔ 

• w = 0 coù ñuùng 1 caên baäc hai laø z = 0 

• w ≠ 0 coù ñuùng hai caên baäc hai ñoái nhau 

• Hai caên baäc hai cuûa a > 0 laø 

± 

a 

2 

z 

= w ⇔ 

⎧ 2 2 

− = 

x y a 

⎨ 

⎩ 2xy 

= b 

• Hai caên baäc hai cuûa a < 0 laø ± − a. 

i 

9. Phöông trình baäc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C laø caùc soá phöùc cho tröôùc, A ≠ 0 ). 

2 

∆ = B − 4AC 

− B ± δ 

• ∆ ≠ 0 : (*) coù hai nghieäm phaân bieät z 1,2 

= , ( δ laø 1 caên baäc hai cuûa ∆) 

2A 

B 

• ∆ = 0 : (*) coù 1 nghieäm keùp: z 1 

= z 2 

= − 

2A 

Chuù yù: Neáu z 0 ∈ C laø moät nghieäm cuûa (*) thì z 

0 

cuõng laø moät nghieäm cuûa (*). 

10. Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc: 

• z = r(cosϕ + isin ϕ ) (r > 0) laø daïng löông giaùc cuûa z = a + bi (z ≠ 0) 

⎧ 

2 2 

⎪ r = a + b 

⎪ a 

⇔ ⎨cosϕ = 

⎪ r 

⎪ b 

sin 

⎪⎩ 

ϕ = r 

• ϕ laø moät acgumen cuûa z, ϕ = ( Ox, OM) 

• z = 1 ⇔ z = cosϕ + isin ϕ ( ϕ ∈ R) 

11. Nhaân, chia soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc 

Cho z = r(cos ϕ + isin ϕ ) , z' = r '(cos ϕ ' + isin ϕ ') : 

• z. z' = rr '.[ cos( ϕ + ϕ ') + isin( ϕ + ϕ ')] 

• = [ cos( ϕ − ϕ ') + isin( ϕ − ϕ ')] 

12. Coâng thöùc Moa–vrô: 

• [ ] 

n 

n 

r(cos ϕ + isin ϕ ) = r (cos nϕ + isin nϕ ), ( n ∈ N ) 

• ( ) 

n 

cosϕ + isin ϕ = cos nϕ + isin 

nϕ 

13. Caên baäc hai cuûa soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc: 

• Soá phöùc z = r(cos ϕ + isin ϕ ) (r > 0) coù hai caên baäc hai laø: 

⎛ ϕ ϕ ⎞ 

r ⎜ cos + isin 

⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ 

vaø − 

⎛ ϕ ϕ ⎞ ⎡ ⎛ ϕ ⎞ ⎛ ϕ ⎞⎤ 

r ⎜ cos + isin ⎟ = r ⎢cos⎜ + π ⎟ + isin 

⎜ + π⎟⎥ 

⎝ 2 2 ⎠ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ 

• Môû roäng: Soá phöùc z = r(cos ϕ + isin ϕ ) (r > 0) coù n caên baäc n laø: 

z 

z' 

r 

r ' 

n ⎛ ϕ + k2π ϕ + k2π 

⎞ 

r ⎜ cos + isin ⎟, k = 0,1,..., n −1 

⎝ n 

n ⎠ 

* 



VAÁN ÑEÀ 1: Thöïc hieän caùc pheùp toaùn coäng – tröø – nhaân – chia 

AÙp duïng caùc quy taéc coäng, tröø, nhaân, chia hai soá phöùc, caên baäc hai cuûa soá phöùc. 

Chuù yù caùc tính chaát giao hoaùn, keát hôïp ñoái vôùi caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân. 

Baøi 1. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc sau: 

⎛ 1 ⎞ 

a) (4 – i) + (2 + 3 i) – (5 + i) 

b) 2 − i + ⎜ − 2i⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

1 3 1 

d) 

⎛ ⎜3 − i ⎞ ⎟ + ⎛ ⎜ − + 2i ⎞ 

⎟ − i e) 

⎛ 3 1 5 3 

⎜ + i 

⎞ ⎟ − ⎜ ⎛ − + i 

⎞ 

⎟ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 4 5 ⎠ ⎝ 4 5 ⎠ 

3 i 

g) 

− i − 

− 

2 

3 

h) 

1+ 

i i 

1+ 

2i 

m 

a + i a 

k) 

l) 

i m 

a − i a 

c) ( 2 3i) 

⎛ 2 5 ⎞ 

− − ⎜ − i⎟ 

⎝ 3 4 ⎠ 

f) (2 − 3 i)(3 + i) 

1+ 

i 

i) 

1− 

i 

3 + i 

m) 

(1 − 2i)(1 

+ i) 

o) 1 + i 

a + i b 

p) 

q) 2 − 3 i 

2 − i 

i a 

4 + 5i 

Baøi 2. Thöïc hieän caùc pheùp toaùn sau: 

2 2 

3 3 

a) (1 + i) − (1– i) 

b) (2 + i) − (3 − i) 

c) (3 + 4 i) 

2 

⎛ 1 ⎞ 

d) ⎜ − 3 i⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

g) 

3 

( 1 i) (2 i) 

3 3 

− + − h) 

2 

2 

(1 + 2i) 

− (1 − i) 

e) 

2 

2 

(3 + 2i) 

− (2 + i) 

(1 − i) 100 

i) 

f) (2 − i) 

6 

(3 + 3 i) 

Baøi 3. Cho soá phöùc z = x + yi . Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc sau: 

2 

a) z − 2z + 4i 

b) z + i 

iz −1 

Baøi 4. Phaân tích thaønh nhaân töû, vôùi a, b, c ∈ R: 

2 

2 

4 2 

a) a + 1 

b) 2a + 3 c) 4a 

+ 9b 

d) 3a 

+ 5b 

4 

e) a + 16 

f) a − 27 

g) 

Baøi 5. Tìm caên baäc hai cuûa soá phöùc: 

3 

3 

a + 8 

h) a 

5 

2 2 

4 2 

+ a + 1 

a) − 1+ 4 3i 

b) 4 + 6 5i c) −1− 2 6i d) − 5 + 12i 

4 5 

e) − − 

3 2 i 

f) 7 − 24i 

g) 40 42i h) 11 4 3. i 

i) 1 + 2 

4 2 i 

k) − 5 + 12i l) 8 + 6i 

m) 33 − 56i 

VAÁN ÑEÀ 2: Giaûi phöông trình treân taäp soá phöùc 

Giaû söû z = x + yi. Giaûi caùc phöông trình aån z laø tìm x, y thoaû maõn phöông trình. 

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau (aån z): 

2 

2 

a) z + z = 0 

b) z + z = 0 

c) z + 2z 

= 2 − 4i 

2 

d) z − z = 0 

e) z − 2z = −1− 8i 

f) (4 − 5 i) z = 2 + i 

2 




⎛ z + i ⎞ 

g) ⎜ ⎟ = 1 

⎝ z − i ⎠ 

4 

h) 

2 + i −1+ 

3i 

z = 

1− 

i 2 + i 

i) 2 z − 3z = 1− 12i 

k) (3 − 2 i) ( z + i) = 3i 

⎛ 1 ⎞ 

⎛ 1 ⎞ 1 

l) [(2 − i) z + 3 + i] 

⎜iz 

+ ⎟ = 0 m) z⎜3 − i⎟ 

= 3 + i 

⎝ 2i 

⎠ 

⎝ 2 ⎠ 2 

o) 3 + 5 i 

2 

= 2 − 4i 

p) ( z + 3 i)( z − 2z 

+ 5) = 0 

z 

2 2 

2 

3 2 

q) ( z + 9)( z − z + 1) = 0 

r) 2z − 3z + 5z + 3i 

− 3 = 0 

Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau (aån x): 

2 

2 

a) x − 3. x + 1 = 0 

b) 3 2. x − 2 3. x + 2 = 0 

2 

c) x − (3 − i) x + 4 − 3i 

= 0 

d) 3 i. x − 2x − 4 + i = 0 

2 

e) 3x 

− x + 2 = 0 

2 

f) i. x + 2 i. x − 4 = 0 

3 

g) 3x − 24 = 0 

4 

h) 2x + 16 = 0 

i) 

5 

( x + 2) + 1 = 0 

k) 

2 

2 

2 

x + 7 = 0 

l) x + 2(1 + i) x + 4 + 2i 

= 0 

m) x − 2(2 − i) x + 18 + 4i 

= 0 

2 

o) ix + 4x + 4 − i = 0 

p) x + (2 − 3 i) x = 0 

Baøi 3. Tìm hai soá bieát toång vaø tích cuûa chuùng laàn löôït laø: 

a) 2 + 3i vaø − 1+ 3i 

b) 2i vaø − 4 + 4i 

Baøi 4. Tìm phöông trình baäc hai vôùi heä soá thöïc nhaän α laøm nghieäm: 

a) α = 3 + 4i 

b) α = 7 − i 3 

c) α = 2 − 5i 

d) α = −2 − i 3 

e) α = 3 − i 2 

f) α = −i 

51 80 45 38 5 + i 

g) α = (2 + i)(3 − i) 

h) α = i + 2i + 3i + 4i 

i) α = 

2 − i 

Baøi 5. Tìm tham soá m ñeå moãi phöông trình sau ñaây coù hai nghieäm z 1 , z 2 thoaû maõn ñieàu kieän 

ñaõ chæ ra: 

a) z 2 mz m ñk z 2 2 

1 

z2 z1z 

2 

c) 

− + + 1 = 0, : + = + 1 b) 

2 2 2 

1 2 

x + mx + 3i = 0, ñk : z + z = 8 

Baøi 6. Cho 

1, 

2 

trò cuûa caùc bieåu thöùc sau: 

z z laø hai nghieäm cuûa phöông trình ( ) 

2 

2 

2 3 3 

1 2 

z − 3mz + 5i = 0, ñk : z + z = 18 

2 

1+ i 2 z − (3 + 2 i) z + 1− i = 0 . Tính giaù 

2 2 

2 2 

z1 z2 

a) A = z1 + z2 

b) B = z1 z2 + z1z 

2 

c) C = + z z 


⎧z1 

+ z2 

= 4 + i 

⎧z1. 

z2 

= −5 

− 5. i 

a) ⎨ 

b) 

2 2 

⎨ 2 2 

⎩z1 

+ z2 

= 5 − 2i 

⎩z1 

+ z2 

= −5 

+ 2. i 

d) 

⎧ ⎪ z1 + z2 + z3 

= 1 

⎨z + 1 

z + 2 

z = 3 

1 

⎩ 

⎪ z1. z2. z = 3 

1 

e) 

⎧ z −12 5 

= 

⎪ z − 8i 

3 

⎨ 

⎪ z − 4 

= 1 

⎪⎩ 

z − 8 

c) 

f) 

2 1 

3 5 

⎧ ⎪z1 + z2 

= 0 

⎨ 

2 4 

⎪⎩ z1 .( z2) = 1 

⎧ z − 1 

= 1 

⎪ z − i 

⎨ 

⎪ z − 3i 

= 1 

⎪ ⎩ z + i 



2 2 ⎧⎪ z 

g) 1 

+ z2 

= 5 + 2i 

⎧⎪ 

z − 2i = z 

⎨ h) ⎨ 

⎪⎩ z1 + z2 

= 4 − i 

⎪⎩ 

z − i = z − 1 


⎧ x + 2y = 1− 

2i 

⎧ x + y = 5 − i 

a) ⎨ b) ⎨ 

⎩x + y = 3 − i 

2 2 

⎩x + y = 8 − 8i 

⎧ 1 1 1 1 

⎪ + = − i 

d) ⎨ x y 2 2 

e) 

⎪ 2 2 

⎩x + y = 1− 

2i 

⎧ x + y = 5 − i 

⎩x + y = 1+ 

2i 

g) ⎨ 2 2 

⎧ 2 2 

+ = − 

x y 

⎪ 

⎨ 1 1 2 

⎪ + = 

⎩ x y 5 

h) ⎨ 3 3 

6 

⎧ x + y = 1 

⎩x + y = −2 − 3i 

2 2 

i) 

⎧⎪ z1 z2 4z1z2 

0 

⎨ + + = 

⎪⎩ z1 + z2 

= 2i 

⎧ x + y = 4 

c) ⎨ 

⎩xy 

= 7 + 4i 

⎧ x + y = 3 + 2i 

⎪ 

f) ⎨ 1 1 17 1 

+ = + i 

⎪ 

⎩ x y 26 26 

VAÁN ÑEÀ 3: Taäp hôïp ñieåm 

Giaû söû soá phöùc z = x + yi ñöôïc bieåu dieån ñieåm M(x; y). Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M laø tìm 

heä thöùc giöõa x vaø y. 

Baøi 1. Xaùc ñònh taäp hôïp caùc ñieåm M trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn caùc soá z thoûa maõn 

moãi ñieàu kieän sau: 

a) z + z + 3 = 4 

b) z − z + 1− i = 2 c) z − z + 2i = 2 z − i 

d) 2 i. z − 1 = 2 z + 3 

e) 2i − 2z = 2z 

− 1 f) z + 3 = 1 

g) z + i = z − 2 − 3i 

h) 

z − 3i 

z + i 

= 1 

i) z − 1+ i = 2 

k) 2 + z = i − z 

l) z + 1 < 1 

m) 1 < z − i < 2 

Baøi 2. Xaùc ñònh taäp hôïp caùc ñieåm M trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn caùc soá z thoûa maõn 

moãi ñieàu kieän sau: 

a) z + 2i 

laø soá thöïc b) z − 2 + i laø soá thuaàn aûo c) z. z = 9 

VAÁN ÑEÀ 4: Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc 

Söû duïng caùc pheùp toaùn soá phöùc ôû daïng löôïng giaùc. 

Baøi 1. Tìm moät acgumen cuûa moãi soá phöùc sau: 

a) − 2 + 2 3. i 

b) 4 – 4i c) 1− 

3.i 

π π 

π π 

d) cos − i.sin 

e) − sin − i.cos 

4 4 

8 8 

f) ( 1− 

i . 3)(1 + i) 


a) ( o o 

3 cos20 sin 20 )( o o 

+ i cos25 + isin 25 ) b) 5 π π 

cos i.sin .3 π π 

⎜ + ⎟ ⎜ cos + i.sin 

⎟ 

⎝ 6 6 ⎠ ⎝ 4 4 ⎠ 

o o o o 

c) 3( cos120 + isin120 )( cos 45 + i sin 45 ) d) 5 π π 

cos sin 3 π π 

⎜ + i ⎟ ⎜ cos + i sin 

⎟ 

⎝ 6 6 ⎠ ⎝ 4 4 ⎠ 

e) 

 

 

o o o o 

2 ( cos18 + isin18 )( cos 72 + i sin 72 ) 

cos85 + i sin85 

f) 

 

 

cos40 + i sin 40 



g) 

2(cos 45 

3(cos15 

0 

0 


+ i.sin 45 

+ i.sin15 

0 

0 

) 

) 

h) 

 

 

2(cos45 + i sin 45 ) 

 

3(cos15 + isin15 ) 

2π 

2π 

⎛ 2π 

2π 

⎞ 

2(cos + i.sin 

) 

2 ⎜cos + i sin ⎟ 

i) 

3 3 

k) 

⎝ 3 3 ⎠ 

π π 

⎛ π π ⎞ 

2(cos + i.sin 

) 

2⎜ 

cos + i sin ⎟ 

2 2 

⎝ 2 2 ⎠ 

Baøi 3. Vieát döôùi daïng löôïng giaùc caùc soá phöùc sau: 

a) 1− i 3 

b) 1+ i 

c) ( 1− i 3)(1 + i) 

d) 2. 

i.( 

3 − i) 

e) 

1− 

i 3 

1+ 

i 

f) 

1 

2 + 2i 

g) sinϕ 

+ i. cosϕ 

h) 2 + i 2 

i) 1+ i 3 

k) 3 − i 

l) 3 + 0i 

m) 

Baøi 4. Vieát döôùi daïng ñaïi soá caùc soá phöùc sau: 

o 

o 

⎛ π π ⎞ 

a) cos45 + i sin 45 

b) 2⎜ 

cos + sin ⎟ 

⎝ 6 6 ⎠ 

6 

3 + i 

d) (2 + i) 

e) 

(1 + i)(1 − 2 i) 

g) 1 + i 

2i 

+ 1 

k) 

Baøi 5. Tính: 

1 ⎛ 3π 

3π 

⎞ 

⎜ cos + isin 

⎟ 

2 ⎝ 4 4 ⎠ 

a) ( cos12 o 

o 

isin12 

) 5 

h) ( ) 60 

5π tan + i 8 

o 

o 

i c) 3( cos120 i sin120 ) 

f) 1 i 

⎛ 

7 1+ 

i 3 ⎞ 

− 1+ i 3 

i) (2 − 2 i) . ⎜ ⎟ 

⎝ 1− 

i ⎠ 


⎛ 1+ 

i ⎞ ⎛ π π ⎞ 

l) ⎜ ⎟ ⎜ cos + isin 

⎟ 

⎝ 1− i ⎠ ⎝ 4 4 ⎠ 

+ b) ( 1 + i) 16 

c) 

d) ⎡ ( 0 0 ) ⎤ 

7 

⎣ 2 cos30 + isin30 

⎦ e) (cos15 sin15 ) 

21 

o 

o 5 

+ i 

f) 

1 

m) 

17 

( 3 − i ) 

( 3 − i) 

⎛ 5 + 3i 

3 ⎞ 

⎛ 1 3 ⎞ 

g) ⎜ ⎟ 

1 2 3 

h) ⎜ ⎟ 

⎛ i + 1⎞ 

⎝ − i 

+ i 

⎠ 

2 2 

i) ⎜ ⎟⎠ 

⎝ ⎠ 

⎝ i 

π π 5 7 2008 1 1 

k) (cos − i sin ) i .(1 + 3 i) 

l) z , 1 

3 3 

+ bieát z 

2008 

z 

+ z 

= 

Baøi 6. Chöùng minh: 

5 3 


5 3 

6 

+ 

40 

2008 2008 

(1 + i) + (1 − i) 

a) sin 5t = 16sin t − 20sin t + 5sin t b) cos5t = 16 cos t − 20 cos t + 5cos t 

2 3 

c) sin 3t = 3cos t − sin t 

d) cos3t = 4 cos t − 3cos t 

3 

2008 

II. OÂN TAÄP SOÁ PHÖÙC 


a) (2 − i)( − 3 + 2 i)(5 − 4 i) 

b) 

c) 

16 8 

⎛ 1+ i ⎞ ⎛ 1− 

i ⎞ 

⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 

⎝ 1− i ⎠ ⎝ 1+ 

i ⎠ 

6 6 

⎛ − 1+ 

i 3 ⎞ ⎛1− 

i 7 ⎞ 

⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

d) 3 + 7 i 5 − 8 i 

+ 

2 + 3i 

2 − 3i 



e) (2 − 4 i)(5 + 2 i) + (3 + 4 i)( −6 − i) 

f) 

g) 

i) 

2000 1999 201 82 47 

i + i + i + i + i h) 

2 3 2000 

i. i . i ... i k) 

1 + i + i + i + ... + i 

2 3 2009 

2 

1 + i + i + ... + i , ( n ≥ 1) 

n 

−5 −7 13 −100 94 

i ( − i) + ( − i) + i + ( − i) 

Baøi 2. Cho caùc soá phöùc z 1 

= 1+ 2 i, z 2 

= − 2 + 3 i, z 3 

= 1− i . Tính: 

a) z 1 

+ z 2 

+ z 3 

b) z 1 

z 2 

+ z 2 

z 3 

+ z 3 

z 1 

c) z 1 

z 2 

z 3 

2 2 2 

z1 z2 z3 

z 

d) z1 + z2 + z3 

e) + + f) 

z z z 

z 

Baøi 3. Ruùt goïn caùc bieåu thöùc sau: 

a) 

4 3 2 

2 3 1 

A = z + iz − (1 + 2 i) z + 3z + 1+ 3 i, vôùi z = 2 + 3i 

b) B = ( z − z 2 + 2 z 3 )(2 − z + z 2 ), vôùi z = 1 ( 3 − i) 

2 2 

1 

+ z2 

2 2 

2 

+ z3 

2 

Baøi 4. Tìm caùc soá thöïc x, y sao cho: 

x − 3 y − 3 

a) (1 − 2 i) x + (1 + 2 y) i = 1+ i 

b) + = i 

3 + i 3 − i 

2 2 1 2 2 

c) (4 − 3 i) x + (3 + 2 i) xy = 4 y − x + (3xy − 2 y ) i 

2 

Baøi 5. Tìm caùc caên baäc hai cuûa caùc soá phöùc sau: 

a) 8 + 6i b) 3 + 4i 

c) 1+ i 

d) 7 − 24i 

⎛1+ 

i ⎞ 

e) ⎜ ⎟ 

⎝ 1− 

i ⎠ 

2 

f) 

⎛1− 

i 3 ⎞ 

⎜ 3 − i ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 

g) 1 − 2 

2 2 i h) i, –i 

3 − i 

1 1 

i) 

k) 

1+ 

i 3 

2 2 i 

1 1 

− 2 1+ i 3 m) + 

1+ i 1− 

i 

Baøi 6. Tìm caùc caên baäc ba cuûa caùc soá phöùc sau: 

a) − i 

b) –27 c) 2 + 2i 

d) 18 + 6i 

Baøi 7. Tìm caùc caên baäc boán cuûa caùc soá phöùc sau: 

+ l) ( ) 

a) 2 − i 12 b) 3 + i 

c) − 2i 

d) − 7 + 24i 


a) 

e) 

3 

z − 125 = 0 b) 

7 4 3 

z − 2iz − iz − 2 = 0 f) 

4 

z + 16 = 0 c) z 

6 3 

z + iz + i − 1 = 0 g) 

3 

+ 64i 

= 0 d) z 


z + ( − 2 + i) z − 2i 

= 0 

3 

− 27i 

= 0 

Baøi 9. Goïi u1; 

u2 

laø hai caên baäc hai cuûa z1 = 3 + 4i 

vaø v1; 

v 

2 

laø hai caên baäc hai cuûa 

z2 = 3 − 4i 

. Tính u1 + u2 

+ v1 + v2 

? 

Baøi 10. Giaûi caùc phöông trình sau treân taäp soá phöùc: 

2 

a) z + 5 = 0 

b) z 

2 + 2 z + 2 = 0 c) z 

d) 

z 

2 

− 5 z + 9 = 0 e) 

g) ( z + z )( z − z ) = 0 

h) 

k) 2z 3z 2 3i 

n) 

2 

2 

+ 4 z + 10 = 0 

− 2 z + 3 z − 1 = 0 f) 3 z − 2 z + 3 = 0 

z 

2 

+ z + 2 = 0 

i) z 

+ = + l) ( z i) ( z i) 

2 

2 

4z 

+ 8 z = 8 

o) iz 


2 

+ 2 +2 + 2 − 3 = 0 m) 

2 

2 

2 

3 

z 

= z + 2 

= z 

+ (1 + 2 i) z + 1 = 0 p) (1 + i) z + 2 + 11i 

= 0 

2 




2 

⎛ 4z + i ⎞ 4z + i 

a) ⎜ ⎟ − 5 + 6 = 0 

+ 5 − 3 + + 3 = 0 

⎝ z − i ⎠ z − i 

3 

+ 2 − 6 + 2 − 16 = 0 d) ( ) 2 

z − 1+ i z + ( 3 + i) 

z − 3i 

= 0 

c) ( z 2 z) ( z 2 z) 

e) ( z i)( z 2 z ) 

2 

+ − 2 + 2 = 0 f) 

g) z − (5 −14 i) z − 2(12 + 5 i) = 0 h) 

2 

2 

b) ( z i)( z )( z 2 z ) 

2 

z − 2iz + 2i 

− 1 = 0 

z − 80z + 4099 − 100i 

= 0 

i) ( z + 3 − i) − 6( z + 3 − i) + 13 = 0 k) z − (cos ϕ + isin ϕ ) z + i cos ϕsin ϕ = 0 


2 

2 

a) x − (3 + 4 i) x + 5i 

− 1 = 0 b) x + (1 + i) x − 2 − i = 0 c) 3x 

+ x + 2 = 0 

d) 

x 

2 

+ x + 1 = 0 

e) 

3 

2 

x − 1 = 0 

Baøi 13. Giaûi caùc phöông trình sau bieát chuùng coù moät nghieäm thuaàn aûo: 

3 2 

a) z 3 − iz 2 − 2iz 

− 2 = 0 

b) z + ( i − 3) z + (4 − 4 i) z − 4 + 4i 

= 0 

Baøi 14. Tìm m ñeå phöông trình sau: ( )( 2 2 ) 

z + i z − 2mz + m − 2m 

= 0 

a) Chæ coù ñuùng 1 nghieäm phöùc b) Chæ coù ñuùng 1 nghieäm thöïc 

c) Coù ba nghieäm phöùc 

Baøi 15. Tìm m ñeå phöông trình sau: 

3 2 

z + (3 + i) z − 3 z − ( m + i) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm thöïc 

Baøi 16. Tìm taát caû caùc soá phöùc z sao cho ( z − 2)( z + i) 

laø soá thöïc. 

Baøi 17. Giaûi caùc phöông trình truøng phöông: 

4 2 

4 2 

a) z − 8(1 − i) z + 63 − 16i 

= 0 b) z − 24(1 − i) z + 308 − 144i 

= 0 

c) 

4 2 

z + 6(1 + i) z + 5 + 6i 

= 0 

2 

z z laø hai nghieäm cuûa phöông trình: ( ) 

Baøi 18. Cho 

1, 

2 

cuûa caùc bieåu thöùc sau: 

a) 

2 2 

1 

z2 

z 

+ b) 

⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

d) z1 + + z2 

+ 

z2 z1 z1 z2 

e) 

2 2 

1 2 

z1z 

2 

z z 

2 

z − 1+ i 2 z + 2 − 3i 

= 0 . Tính giaù trò 

+ c) 

3 3 

2 1 

z1z 

2 

z z 

Baøi 19. Cho z1 , z 

2 

laø hai nghieäm cuûa phöông trình: x 

thöùc sau: 

a) 

x 

2000 2000 

1 

x2 

+ b) 

x 

3 3 

1 

+ z2 

z1 z2 

+ f) + 

z z 

1999 1999 

1 

x2 

2 

z 

2 1 

− x + 1 = 0 . Tính giaù trò cuûa caùc bieåu 

+ c) x1 + x2 , n∈ 

N 

Baøi 20. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn caùc soá phöùc thoaû maõn heä 

thöùc sau: 

z 

a) 3 

z −i = 

2 2 

1 

b) z + z = 1 

c) z = 

z 

2 3 1 

Baøi 21. Haõy tính toång S = 1 + z + z + z + ... z n− 

2π 

2π 

bieát raèng z = cos + isin 

. 

n n 

Baøi 22. Vieát döôùi daïng löôïng giaùc caùc soá phöùc sau: 

a) i 4 + i 3 + i 2 + i + 1 

b) (1 − i)(2 + i) 

c) 2 + i 

1− 

i 

d) 1− sin + i cos , 0 < < π ⎛ π π ⎞ 

α α α e) − 3⎜ 

cos + isin 

⎟ f) cot α + i, 

π < α < π 

2 ⎝ 6 6 ⎠ 

2 

n 

n 



g) sin α + i(1 − cos α), 0 < α < π 

2 

Baøi 23. Tìm moâñun vaø moät acgumen cuûa caùc soá phöùc sau: 

8 

2 3 + 2 i 

+ 

(1 + i) 

2 3 − 2i 

( ) a) 

(1 − i) 

( ) 

6 

6 8 

4 

( − 1 + i) + 

1 

3 − i 2 3 + 2i 

b) 

( ) ( ) 


π π 

π π 

d) − sin + i cos 

e) cos − isin 

8 8 

4 4 

g) 1− sinα + i cos α, 0 < α < π h) 1 + cosα + i sin α , 0 < α < 

π 

2 1+ cosα 

− isinα 

2 

Baøi 24. Tìm moâñun vaø moät acgumen cuûa caùc soá phöùc sau: 

8 

6 

( 2 3 + 2 i ) (1 + i) 

( − 1 + i) 1 

a) + 

+ 

6 8 

(1 − i) 

( 2 3 − 2i) 

3 − i 2 3 + 2i 

Baøi 25. Chöùng minh caùc bieåu thöùc sau coù giaù trò thöïc: 

a)( ) ( ) 

c) 

4 

b) 

( ) ( ) 


7 7 

19 7 20 5 

2 + i 5 + 2 − i 5 

b) 

⎛ + i ⎞ ⎛ + i 

⎜ ⎟ + ⎜ ⎞ 

⎟ 

⎝ 9 − i ⎠ ⎝ 7 + 6i 

⎠ 

6 6 

⎛ − 1+ 

i 3 ⎞ ⎛ −1− 

i 3 

⎜ ⎟ + ⎜ ⎞ 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

6 6 

n 

n 

c) ( 1+ i 3) + ( 1− 

i 3) 

f) − 2 + 2 3i 

1 3 1 3 

d) 

⎛ − + i ⎞ ⎛ − − i 

⎜ ⎟ + ⎜ ⎞ 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

i) 4 − 3i 

n 

c) ( 1+ i 3) + ( 1− 

i 3) 

n 

5 5 

3 3 

e) 

⎛ i + ⎞ ⎛ i − 

⎜ ⎟ + ⎜ ⎞ 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

3 

Baøi 26. Trong caùc soá phöùc z thoaû maõn ñieàu kieän z − 2 + 3i 

= . Tìm soá phöùc z coù moâñun 

2 

nhoû nhaát. 

Baøi 27. Xeùt caùc ñieåm A, B, C trong maët phaúng phöùc theo thöù töï bieåu dieãn caùc soá phöùc sau: 

4i 

2 + 6i 

; (1 − i)(1 + 2 i); 

i −1 3 − i 

a) Chöùng minh ABC laø tam giaùc vuoâng caân. 

b) Tìm soá phöùc bieåu dieãn bôûi ñieåm D sao cho töù giaùc ABCD laø hình vuoâng. 

Baøi 28. Giaûi caùc phöông trình sau, bieát chuùng coù moät nghieäm thuaàn aûo: 

a) 

c) 

3 2 

z + (2 − 2 i) z + (5 − 4 i) z − 10i 

= 0 b) 

3 2 

z + (4 − 5 i) z + (8 − 20 i) z − 40i 

= 0 

Baøi 29. Cho ña thöùc 

3 2 

3 2 

P( z) = z + (3i − 6) z + (10 − 18 i) z + 30i 

. 

a) Tính P( − 3 i) 

b) Giaûi phöông trình P( z ) = 0 . 

2 

z + (1 + i) z + ( i −1) z − i = 0 

⎛ z + 1 ⎞ 

Baøi 30. Giaûi phöông trình z = ⎜ 2 − ⎟ 

⎝ z − 7 ⎠ , bieát z = 3 + 4i 

laø moät nghieäm cuûa phöông trình. 


a) 

4 3 2 

z + 2z − z + 2z 

+ 1 = 0 

b) 

4 

c) ( ) 3 ( ) 2 ( ) 

z − 1+ 2 z + 2 + 2 z − 1+ 2 z + 1 = 0 d) 

6 5 4 3 2 

e) z + z −13z −14z − 13z + z + 1 = 0 


4 3 2 

z − 2z − z − 2z 

+ 1 = 0 

4 3 2 

z − 4z + 6z − 4z 

− 15 = 0 

n 

n 




2 2 2 2 

⎛ z + i ⎞ 

a) ( z + 3z + 6) + 2 z( z + 3z + 6) − 3z 

= 0 b) ⎜ ⎟ 

⎝ z − i ⎠ 

2 4 2 2 2 4 

⎛ z − i ⎞ ⎛ z − i ⎞ ⎛ z − i ⎞ 

c) ( z − z + 1) − 6 z ( z − z + 1) + 5z 

= 0 d) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + 1 = 0 

⎝ z + i ⎠ ⎝ z + i ⎠ ⎝ z + i ⎠ 

Baøi 33. Chöùng minh raèng: neáu z ≤ 1 thì 2 z − i ≤ 1 . 

2 + iz 

Baøi 34. Cho caùc soá phöùc z 1 

, z 2 

, z 3 

. Chöùng minh: 

a) 

3 

= 8 

3 2 

2 2 2 2 2 2 2 

1 

+ 

2 

+ 

2 

+ 

3 

+ 

3 

+ 

1 

= 

1 

+ 

2 

+ 

3 

+ 

1 

+ 

2 

+ 

3 

z z z z z z z z z z z z 

b) 1+ z 2 2 ( 2 )( 2 

1z2 + z1 − z2 = 1+ z1 1+ 

z2 

) 

c) 1− z z 2 − z − z 2 = ( 1− z 2 )( 1− 

z 

2 

) 

1 2 1 2 1 2 

d) Neáu z1 = z1 

= c thì 

2 2 2 

1 2 1 2 

4 

z + z + z − z = c . 


BÀI TẬP SỐ PHỨC 

Ậ 


I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 

Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức 

3 

Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn z = 18 + 26i 

Giải: 

3 2 

⎧ 

3 

⎪x 

− 3xy 

= 18 

z 18 26i 

⇔ x + yi = 18 + 26i ⇔ ⎨ 

⇔ 18 3x y − y = 26 x − 3xy 

2 3 

⎪⎩ 3x y − y = 26 

1 

Giải phương trình bằng cách ñặt y=tx ta ñược t = ⇒ x = 3, y = 1. Vậy z=3+i 

3 

Ví dụ 2) Cho hai số phức z1; 

z 

2 

thoả mãn z1 = z2 ; z1 + z2 

= 3 Tính z1 − z2 

Giải: 

3 2 3 3 2 

= + ( ) ( ) ( ) 

Đặt 

1 1 1 

; 

2 2 2 

z = a + b i z = a + b i . Từ giả thiết ta có 

2 2 2 2 

⎧ ⎪a1 + b1 = a2 + b2 

= 1 

⎨ 

2 2 

⎪⎩ ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 

) = 3 

2 2 

⇒ 2( a1b 1 

+ a2b2 ) = 1⇒ ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) = 1⇒ z1 − z2 

= 1 

Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức 

Ví dụ 1) Giải phương trình sau: z 2 − 8(1 − i) z + 63 − 16i 

= 0 

Giải: Ta có ' 16(1 i) 2 (63 16 i) 63 16i ( 1 8i) 2 

z = 5 − 12 i, z = 3 + 4i 

1 2 

∆ = − − − = − − = − Từ ñó tìm ra 2 nghiệm là 

2 

Ví dụ 2) Giải phương trình sau: 2(1 + i) z − 4(2 − i) z − 5 − 3i 

= 0 

Giải: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i) 2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là: 

2(2 − i) 

+ 4 4 − i (4 − i)(1 

− i) 

3 5 

z 1 = 

= = 

= − i 

2(1 + i) 

1+ 

i 2 2 2 

2(2 − i) 

− 4 − i ( −i)(1 

− i) 

1 1 

z 2 = 

= = = − − i 

2(1 + i) 

1+ 

i 2 2 2 

Ví dụ 3) Giải phương trình 

− 9 + 14 − 5 = 0 

2z −1 z 2 − 4z 

+ 5 = 0 . Từ ñó ta suy ra 

3 2 

z z z 

Giải: Ta có phương trình tương ñương với ( )( ) 

1 

phương trình có 3 nghiệm là z1 = ; z2 = 2 − i ; z3 

= 2 + i 

2 

3 2 

Ví dụ 4) Giải phương trình: 2z − 5z + 3z + 3 + (2z + 1) i = 0 biết phương trình có 

nghiệm thực 

3 2 

⎧2z − 5z + 3z 

+ 3 = 0 −1 

Giải: Vì phương trình có nghiệm thực nên ⎨ 

⇒ z = thoả mãn cả 

⎩2z 

+ 1 = 0 

2 

hai phương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với 

1 

( 2z + 1)( z 2 − 3z + 3 + i) 

= 0. Giải phương trình ta tìm ñược z = − ; z = 2 − i ; z = 1 + i 

2 



3 2 

Ví dụ 5) Giải phương trình: z + (1 − 2 i) z + (1 − i) z − 2i 

= 0 biết phương trình có 

nghiệm thuần ảo: 

Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có 

( ) ( ) 

3 2 2 3 2 

bi + (1 − 2 i) bi + (1 − i)( bi) − 2i = 0 ⇔ ( b − b ) + ( − b + 2b + b − 2) i = 0 

2 

⎧⎪ 

b − b = 0 

⎨ − 

3 2 

b + b + b − = 

⇔ ⇒ b = 1⇒ z = i là nghiệm, từ ñó ta có phương trình tương 

⎪ ⎩ 2 2 0 

ñương với ( z i)( z 2 i z ) 

− + (1 − ) + 2 = 0 . Giải pt này ta sẽ tìm ñược các nghiệm 

Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau: z 

2 

= z . 

Giải: Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có ( a + bi) 2 

= a + bi 

⎧ − = 

⇔ ⎨ 

⎩2ab 

= −b 

2 2 

a b a 

trình có 4 nghiệm là 

Giải hệ trên ta tìm ñược 

1 3 

z = 0; z = 1; z = − ± i 

2 2 

1 3 

( a, b ) = (0;0),(1;0),( − ; ± ) . Vậy phương 

2 2 

Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun của số phức: 

Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau: 

z + 1− 2i = z − 2 + i và z − i = 5 

Giải: 

Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) .Từ giả thiết ta có 

( ) 

⎧ ⎪ x + 1 + ( y − 2) i = x − 2 + (1 − y) 

i 

⎨ 

⎪⎩ x + ( y − 1) i | = 5 

2 

⎧ 

2 2 2 

⎪ x + 1 + ( y − 2) = ( x − 2) + (1 − y) 

⎧y 

= 3x 

⇔ ⎨ 

⇔ 

2 

2 

⎨ 

⇔ x = 1, y = 3 hoặc 

2 

⎪⎩ x + ( y − 1) 

= 5 

⎩10 x − 6x 

− 4 = 0 

2 6 

x = − , y = − . Vậy có 2 số phức thoả mãn ñiều kiện. 

5 5 

i − m 

Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn z = ; m∈ 

R 

1 − m( m − 2 i) 

1 

a) Tìm m ñể z. 

z = 

2 

1 

b)Tìm m ñể z − i ≤ 

4 

c) Tìm số phức z có modun lớn nhất. 

Giải: 

a) Ta có 

2 2 2 2 

i − m ( i − m)( 1− m − 2 mi) 

−m(1 − m ) + 2 m + (1 − m + 2 m ) 

z = = = 

2 2 2 2 

2 

1− m + 2mi 1− m + 2mi 1− m − 2mi 2 

1− m + 4m 

( )( ) ( ) 



2 2 

m(1 + m ) + i(1 + m ) m 1 m 1 

= = + i ⇒ z = − i 

2 2 2 2 2 

1+ m 1+ m 1+ m 1+ 

m 

2 

( 1+ 

m ) 

m 

⇒ z z = ⇔ = ⇔ m + = ⇔ m = ± 

2 2 

2 

1 + 1 1 2 

. 1 2 1 

2 

b) Ta có 

2 

( m + 1) 

2 

1 m ⎛ 1 ⎞ 1 m m 1 

1 

2 ⎜ 2 ⎟ 

2 2 

4 1 1 4 1 1 4 

z − i ≤ ⇔ + − i ≤ ⇔ − i ≤ 

+ m ⎝ + m ⎠ + m + m 

m m 1 m 1 1 1 

(1 + m ) (1 + m ) 16 1+ 

m 6 15 15 

2 4 2 

2 2 

⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ 16m ≤ 1+ m ⇔ − ≤ m ≤ 

2 2 2 2 2 

c) Ta có 

2 

m + 1 1 

z = = ≤1 ⇒ | z | 

2 2 

max 

= 1 ⇔ m = 0 

m + 1 

2 

( m + 1) 

Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn ñiều kiện z − 2 − 4i 

= 5 Tìm số phức z có 

modun lớn nhất, nhỏ nhất. 

2 2 

Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra ( x ) ( y ) 

⇔ 

− 2 + − 4 = 5 Suy ra tập hợp 

ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính R = 5 

Dễ dàng có ñược M (2 + 5 sin α;4 + 5 cos α) 

. Modun số phức z chính là ñộ dài véc tơ 

OM. 

Ta có |z| 2 2 

= OM = (2 + 

2 

5 sin α) + (4 + 

2 

5 cos α) = 25 + 4 5(sinα + 2cos α) 

Theo BDT Bunhiacopxki ta có α α 2 ( 2 α 2 α ) 

⇒ − 5 ≤ sinα 

+ 2cosα 

≤ 5 ⇒ 5 ≤ z ≤ 3 5 . Vậy 

(sin + 2cos ) ≤ (1 + 4) sin + cos = 5 

−1 −2 

| z | 

min 

= 5 ⇒ sinα + 2cosα = − 5 ⇔ sin α = ;cosα 

= ⇔ x = 1, y = 2 ⇒ z = 1+ 

2i 

5 5 

1 2 

| z | 

max 

= 3 5 ⇔ sinα + 2cosα = 5 ⇔ sin α = ;cosα 

= ⇔ x = 3, y = 6 ⇒ z = 3+ 

6i 

5 5 

Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện z − 2 − 4i = z − 2i 

.Tìm số phức z có 

moodun nhỏ nhất. 

Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra 

2 

( ) ( ) ( ) 

2 2 2 

x − 2 + y − 4 = x + y − 2 ⇔ x + y − 4 = 0 Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn 

số phức z là ñường thẳng y=-x+4 

Ta có 

z x y x (4 x) 2x 8x 16 2( x 2) 8 2 2 

2 2 2 2 2 2 

= + = + − = − + = − + ≥ . Từ ñó suy 

z = 2 2 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2 ⇒ z = 2 + 2i 

min 

Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức 

Ví dụ 1) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết: 

z 

a) 3 

z − i = b) z = z − 3 + 4i 

c) z − i + z + i = 4 



Giải: 

Gọi z=x+yi 

a) Từ giả thiết ta có 

Vậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm 

b) Từ giả thiết ta có ( ) 2 

M là ñường thẳng 6x+8y-25=0 

c) Giả sử z =x+yi thì z i z i 4 

( y ) 

z z i x y x y x y 

9 9 

8 64 

2 2 2 2 2 2 

= 3 − ⇔ + = 9( + ( −1) ) ⇔ + ( − ) = 

9 3 

I(0; ), R = 

8 8 

+ = − 3 + (4 − ) ⇔ 6 + 8 = 25 . Vậy tập hợp các ñiểm 

2 2 2 

x y x y x y 

2 2 

2 2 

− + + = x ( y ) x ( y ) 

⇔ + − 1 + + + 1 = 4 ⇔ 

⎧ 2 

2 2 

2 

⎧ + + ≤ 

( y ) 

⎪ x + + 1 ≤ 4 

⎪ 

x 1 16 

⎨ 

⇔ ⎨ 

⇔ 

2 2 2 2 

2 

2 2 2 

⎪x + ( y − 1) = 16 − 8 x + ( y + 1) + x + ( y + 1) 

⎪ 

⎩ 

2 x + ( y − 1) 

= y + 4 

⎩ 

2 

( ) 

( ) 2 

2 

2 

⎧ 

⎧ 

x + y + 1 ≤16(1) 

x + y + 1 ≤16 

⎪ 

2 2 

⎪ 2 2 2 

⎪ x y 

⇔ ⎨4x + 4y + 8y + 4 = y + 8y 

+ 16 ⇔ ⎨ + = 1(2) 

⎪ 

3 4 

y ≥ −4 

⎪ 

⎪⎩ 

⎪y 

≥ −4(3) 

⎩ 

Ta thấy các ñiểm nằm trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñộ các ñiểm nằm trên (Elip) 

2 2 

x y 

luôn thoả mãn ñiều kiện y >-4. Vậy tập hợp ñiểm M là Elip có pt + = 1. 

3 4 

Ví dụ 2) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số 

ω = 1+ 3 z + 2 biết rằng số phức z thoả mãn: z −1 

≤ 2. 

phức ( i ) 

Giải: Đặt z = a + bi( a, 

b ∈ R) 

Ta có 1 

⇔ − 1 + ≤ 4 (1) 

z − ≤ 2 ( ) 2 2 

a b 

Từ 

ω = ( 1+ i 3) z + 2 ⇒ x + yi = ( 1+ i 

⎧⎪ 

x = a − b 3 + 2 ⎧⎪ 

x − 3 = a − 1+ 

b 3 

3)( a + bi) 

+ 2 ⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

⎪⎩ 

y = 3a + b ⎪⎩ 

y − 3 = 3( a − 1) + b 

2 

2 

2 2 

Từ ñó ( ) ( ) ⎡( ) 

x − 3 + y − 3 ≤ 4 a − 1 + b ⎤ ≤ 16 

⎣ ⎦ 

do (1) 

2 

Vậy tập hợp các ñiểm cần tìm là hình tròn ( x − 3) + ( y − 3) 2 

≤ 16 ; tâm I ( 3; 3) 

kính R=4. 

Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số 

z − 2 

π 

phức z sao cho số có acgumen bằng . 

z + 2 

3 

Giải: 

, bán 



( ) ( ) ( ) 

( ) 

( ) 2 2 

( ) 

2 2 2 2 2 2 

( x + 2) + y ( x − 2) + y ( x − 2) 

+ y 

z − 2 x − 2 + yi ⎡ x − 2 + yi⎤ ⎡ x + 2 + yi⎤ 

Giả sử z=x+yi, thì = = 

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 

z + 2 x + 2 + yi x + 2 + y 

2 2 2 2 

x y yi x x x y y 

− 4 + + + 2 − + 2 + − 4 4 

= = + 

z − 2 

π 

Vì số phức có acgumen bằng , nên ta có: 

z + 2 

3 

2 2 

x + y − 4 4y 

⎛ π π ⎞ 

+ i = τ cos isin 

2 2 2 2 ⎜ + ⎟ 

x − 2 + y x − 2 + y ⎝ 3 3 ⎠ 

( ) ( ) 

2 2 

⎧ + − 

x y 4 τ 

⎪ 

= 

2 2 

⎪( x − 2) 

+ y 2 

⇒ ⎨ 

⎪ 4y 

τ 3 

= 

⎪ 2 2 

⎩( x − 2) 

+ y 2 

Từ ñó suy ra y>0 (1) và 

với τ > 0 

i 

(1) 

2 2 

2 2 y 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

3 4 (2) 

4y 

4 2 4 

= ⇔ x + y − = ⇔ x + y 

2 2 

x y 4 

⎜ − ⎟ = ⎜ ⎟ .Từ (1) và (2) suy ra 

+ − 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

tập hợp các ñiểm M là ñường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox). 

Dạng 5) Chứng minh bất ñẳng thức: 

Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu z ≤ 1 thì 2 z − 1 ≤ 1 

2 + iz 

Giải: 

Giả sử z =a+bi (a, b ∈R) thì 

2 2 2 2 

= + ≤1 ⇔ + ≤ 1. Ta có 

z a b a b 

2 2 

2z − 1 2 a + (2b −1) 

i 4 a + (2b 

−1) 

= = 

2 + iz (2 − b) + ai 

2 2 

(2 − b) 

+ a 

.Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương 

với 

4 a + (2b 

−1) 

2 2 

(2 − b) 

+ a 

2 2 

2 2 2 2 2 2 

≤ 1 ⇔ 4 a + (2b −1) ≤ (2 − b) + a ⇔ a + b ≤1⇒ 

dpcm 

Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn ñiều kiện 

rằng: 

1 

z + ≤ 2 

z 

z 

3 

1 

+ ≤ 2 . Chứng minh 

3 

z 

Giải: Dễ dàng chứng minh ñược với 2 số phức z1, 

z 

2 

bất kỳ ta có z1 + z2 ≤ z1 + z2 

3 3 

3 3 

3 3 

1 1 1 1 1 1 1 

Ta có 

⎛ ⎜ z + ⎞ ⎟ = z + + 3 ⎛ ⎜ z + ⎞ 

⎟ ⇒ z + ≤ z + + 3 z + ≤ 2 + 3 z + 

⎝ z ⎠ z ⎝ z ⎠ z z z z 

1 

3 

Đặt z + =a ta có a − 3a − 2 ≤ 0 ⇔ ( a − 2)( a + 1) 2 

≤ 0 ⇒ dpcm 

z 



II) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 

Dạng 1: VIẾT DẠNG LƯỢNG GIÁC 

Ví dụ 1) Viết dưới dạng lượng giác của các số phức: 

1− ( cosϕ 

+ i sinϕ 

) 

a) 

b) ⎡1 − ( cosϕ + i sinϕ ) ⎤ ( 1+ cosϕ + i sinϕ 

) 

1+ cosϕ 

+ i sinϕ 

⎣ ⎦ 

Giải: 

1− ( cosϕ + i sinϕ ) ( 1− cosϕ ) − i sinϕ 

a) 

= 

1+ cosϕ + i sinϕ 1+ cosϕ + isinϕ 

( ) 

2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 

2sin − 2i 

sin cos sin − i cos 

2 2 2 ϕ 

tan 2 2 ϕ 

= = = −i 

tan 

2 ϕ ϕ ϕ 

2cos 2i 

sin cos 

2 ϕ ϕ 

+ cos + i sin 

2 

2 2 2 2 2 

- Khi tan ϕ ϕ ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ 

> 0 dạng lượng giác là: tan cos i sin 

2 

2 

⎢ ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ 

2 2 

⎥ 

⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ 

- Khi tan ϕ ϕ ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ 

< 0 dạng lượng giác là: − tan cos i sin 

2 

2 

⎢ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 

2 2 

⎥ 

⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ 

ϕ 

- Khi tan = 0 thì không có dạng lượng giác. 

2 

b) ⎡⎣ 

1− ( cosϕ + isinϕ ) ⎤⎦ 

( 1+ cosϕ + i sinϕ 

) 

ϕ ⎛ ϕ ϕ ⎞ ϕ ⎛ ϕ ϕ ⎞ 

= 2sin ⎜sin − i cos ⎟.cos ⎜cos + i sin ⎟ 

2 ⎝ 2 2 ⎠ 2 ⎝ 2 2 ⎠ 

⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ 

= 2sinϕ ⎢cos⎜ϕ − ⎟ + isin ⎜ϕ 

− ⎟ 

2 2 

⎥ 

⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ 

- Khi sinϕ = 0 thì dạng lượng giác không xác ñịnh. 

⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ 

- Khi sinϕ > 0 thì dạng lượng giác là: 2sinϕ ⎢cos⎜ϕ − ⎟ + i sin ⎜ϕ 

− ⎟ 

2 2 

⎥ 

⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ 

⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ 

- Khi sinϕ < 0 thì dạng lượng giác là: ( − 2sin ϕ) ⎢cos⎜ϕ + ⎟ + i sin ⎜ϕ 

+ ⎟ 

2 2 

⎥ 

⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ 

Ví dụ 2): Viết dưới dạng lượng giác của các số phức: 

1− ( cosϕ 

+ i sinϕ 

) 

a) 

b) [ 1 − (cosϕ + isin ϕ) ][ 1+ cosϕ + i sinϕ] 

1+ cosϕ 

+ i sinϕ 

Giải: 

ϕ ϕ 

1− ( cosϕ + isinϕ ) 

sin − i cos 

1− cosϕ − i sinϕ ϕ 

a) 

tan 2 2 ϕ 

= = = −i 

tan 

1+ cosϕ 

+ i sinϕ 

2 ϕ ϕ ϕ 

2cos 2i 

sin .cos 

2 ϕ ϕ 

+ cos − isin 

2 

2 2 2 2 2 

ϕ ϕ ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ 

Khi tan >0 thì dạng lượng giác là tan cos i sin 

2 2 

⎢ ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ 

2 2 

⎥ 

⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ 



ϕ ϕ ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ 

Khi tan 0 thì dạng lượng giác là: 2sinϕ ⎢cos⎜ϕ − ⎟ + i sin ⎜ϕ 

− ⎟ 

2 2 

⎥ 

⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ 

⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎤ 

- Khi sinϕ < 0 thì dạng lượng giác là: ( − 2sinϕ ) ⎢cos ⎜ϕ + ⎟ + isin 

⎜ϕ 

+ ⎟ 

2 2 

⎥ 

⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ 

Dạng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN 

2 

Ví dụ 1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết z = − 2 + 2 3i 

Giải: Ta có: 2 2 ⎛ 2π 

2π 

⎞ 

z = − 2 + 2 3i ⇔ z = 4 ⎜ co s + i sin 

⎝ 3 3 

2 2 ⎛ 2π 

2π 

⎞ 

Do ñó: z = − 2 + 2 3i ⇔ z = 4⎜ 

cos + isin 

⎟ 

⎝ 3 3 ⎠ 

⎡ ⎛ 2π 

2π 

⎞ 

⎢z 

= 2⎜cos + isin 

⎟ 

⎝ 3 3 ⎠ ⎡ z = 1+ 

i 3 

⇔ ⎢ 

⇔ ⎢ 

⎢ ⎛ π π ⎞ 

z 2 cos isin 

⎢⎣ z = −1− 

i 3 

⎢ = − ⎜ + ⎟ 

⎣ ⎝ 3 3 ⎠ 

Từ ñó suy ra phần thực và phần ảo của z tương ứng là 1 và 3 hoặc -1 và − 3 

Ví dụ 2) Tìm một acgumen của số phức: z ( 1 i 3) 

bằng 3 

π 

π 1 3 

Giải: z có một acgumen bằng nên z z ⎛ ⎞ 

= i 

3 ⎜ 

+ 

2 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛ 1 3 ⎞ 

− + = ( z − 2) 

⎜ 

+ i 

2 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

Do ñó: z ( 1 i 3) 

- Khi 2 

z > , một aacgumen của z ( 1 i 3) 

- Khi 0 z 2 

− + là 3 

π 

< < , một acgumen của z ( 1 i 3) 

⎟ 

⎠ 

− + biết một acgumen của z 

− + là 4 π 

3 



- Khi 2 

z = thì z ( 1 i 3) 

− + =0 nên acgumen không xác ñịnh. 

Ví dụ 3) Cho số phức z có môñun bằng 1. Biết một acgumen của z là ϕ , tìm một 

acgumen của: 

2 

1 

2 

a) 2z b) − c) z + z 

d) z + z 

2z 

Giải: 

z = 1, z có một acgumen là ϕ . Do ñó z = cosϕ 

+ i sinϕ 

a) z 2 = cos 2ϕ + i sin 2ϕ ⇒ 2z 2 = 2( cos 2ϕ + i sin 2ϕ ) ⇒ 2z = 2( cosϕ − i sinϕ 

) 

Vậy 2z 2 có một acgumen là 2ϕ 

b) z = cosϕ + i sinϕ ⇒ z = cosϕ − i sinϕ ⇒ 2z = 2( cosϕ − i sinϕ 

) 

1 1 1 

⇒ = ( cos ( −ϕ ) − isin ( − ϕ )) = ( cosϕ + i sinϕ 

) 

2z 

2 2 

1 1 1 

⇒ − = − − = 

2z 

2 2 

+ + + 

1 

Vậy − có một acgumen là ϕ + π 

2z 

c) Ta có: z + z = 2cosϕ 

Nếu cosϕ > 0 thì có một acgumen là 0 

Nếu cosϕ < 0 thì có một acgumen làπ 

Nếu cosϕ = 0 thì acgumen không xác ñịnh. 

( cosϕ i sinϕ ) ( cos ( ϕ π ) i sinϕ ( ϕ π )) 

2 

d) z + z = cos 2ϕ + isin 2 ϕ, z = cosϕ − isinϕ 

2 3ϕ ϕ 3ϕ ϕ 

⇒ z + z = cos 2ϕ + cosϕ + i( sin 2ϕ − sinϕ 

) = 2cos cos + i.2cos sin 

2 2 2 2 

3ϕ ⎛ ϕ ϕ ⎞ 

= 2cos ⎜cos + i sin ⎟ 

2 ⎝ 2 2 ⎠ 

2 ϕ 3ϕ ϕ 3ϕ Vậy acgumen z + z là nếu cos > 0 , là + π nếu cos < 0 và không xác ñịnh 

2 2 2 2 

3ϕ nếu cos = 0 

2 

π π 

Ví dụ 4) Cho số phức z = 1− cos − isin 

. Tính môñun, acgumen và viết z dưới 

7 7 

dạng lượng giác. 

Giải: 

Ta có: 

2 

⎛ π ⎞ 2 π ⎛ π ⎞ ⎛ 8π ⎞ 4π 

z = ⎜1− cos ⎟ + sin = 2⎜1− cos ⎟ = 2⎜1+ cos ⎟ = 2cos 

⎝ 7 ⎠ 7 ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ 7 

π 8π 

−sin 

sin 

7 7 4π 

⎛ π ⎞ 

tanϕ 

= = = cot = tan 

π 

2 4π 

⎜ − ⎟ 

1− 

cos 2sin 

7 ⎝ 14 ⎠ 

7 7 

Đặt ϕ = arg ( z) 

thì 



π 

Suy ra: ϕ = − + , 

14 k π k ∈ z 

π 

π 

π 

Vì phần thực 1− cos > 0 , phần ảo − sin < 0 nên chọn một acgumen là − 

7 

7 

14 

4π ⎛ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎞ 

Vậy z = 2cos cos isin 

7 

⎜ ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ 

14 14 

⎟ 

⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ 

1 

Ví dụ 5) Viết dưới dạng lượng giác của một số phức z sao cho z = và một 

3 

z 

acgumen của 1 + i 

là π 

− 

34 

Giải: 

1 

Theo giả thiết z = 3 

thì 1 

z = ( cos ϕ + i sin ϕ ) 

3 

⇒ z = 1 ( cosϕ − isinϕ ) = 1 ( cos ( − ϕ ) + i sin ( − ϕ )) 

3 3 

⎛ 1 2 ⎞ ⎛ π π ⎞ 

Vì 1+ i = 2 ⎜ 

+ i = 2 cos + i sin 

2 2 ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ 4 4 ⎠ 

z 1 ⎛ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎞ 

Nên = cos⎜ −ϕ 

− ⎟ + i sin ⎜ −ϕ 

− ⎟ 

1+ i 

⎜ 

3 2 4 4 

⎟ 

⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ 

π 3π π 

1 ⎛ π π ⎞ 

Do ñó: −ϕ − = − + 2kπ ⇔ ϕ = + 2 kπ 

, k ∈ Ζ. 

vậy z = ⎜cos + isin ⎟. 

4 4 2 

3 ⎝ 2 2 ⎠ 

z + 3i 

π 

Ví dụ 6) Tìm số phức z sao cho: = 1 và z+1 có một ácgumen là − 

z + i 

6 

Giải: Từ giả thiết 

z + 3i 

z + i 

( ) ( ) 

2 2 

2 2 

⇒ z + 3 i = z + i ⇔ x + ( y + 3) i = x + ( y + 1) i ⇔ x + y + 3 = x + y + 1 

= 1 

⇒ y = −2 

z+1 có 1 acgumen bằng 

− tức là ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ τ 

z + 1 = τ[ cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟] = ( 3 − i ) 

π 

6 

⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 2 

⎧ τ 3 

x + 1 = 

⎪ 

4 

Ta có z+1=x+1-2i suy ra 2 ⎪⎧ 

τ = 

⎨ ⇔ ⎨ ⇒ z = 

2 3 1 

2 3 − 1 − 2 i 

⎪ τ ⎪ x = − 

− 2 = − ⎩ 

⎪⎩ 2 

Dạng 3) ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG BÀI TOÁN TỔ HỢP 

Ví dụ 1) Tính các tổng sau khi n=4k+1 

0 2 4 2n 

2 2n 

a) S = C − C + C − ....... + C − − C 

2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 

1 

b) S = C − C + C 

n 

− ....... + C − C 

Giải: 

1 3 5 2 − 1 2n 

+ 1 

2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 

1 

với r>0. 



Xét 

( ) 2 n+ 1 0 1 2 2 2n+ 1 2n+ 1 0 2 2n 1 3 2n+ 

1 

+ i = C + iC + i C + + i C = C − C + − C + i C − C + − C 

1 ..... ... ( .. ) 

2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 

1 

Mặt khác ta lại có: 

⎛ π π ⎞ 2n+ 1 2n+ 

1 ⎡ (2n + 1) π (2n 

+ 1) π ⎤ 

1+ i = 2 ⎜cos + i sin ⎟ ⇒ ( 1+ i) 

= 2 cos + isin 

⎝ 4 4 ⎠ 

⎢ 

⎣ 4 4 ⎥ 

⎦ 

n ⎡ (2n + 1) (2 1) (8 3) (8 3) 

= 2 2 cos π n + n k k 

i sin π ⎤ ⎡ + 

2 2 cos π + 

isin 

π ⎤ 

⎢ + = + 

⎣ 4 4 ⎥ 

⎦ 

⎢ 

⎣ 4 4 ⎥ 

⎦ 

n ⎡ 3π 

3π 

⎤ n n 

= 2 2 

⎢ 

cos + i sin = − 2 + i2 

⎣ 4 4 ⎥ 

⎦ 

Từ ñó ta có 

a) S=-2 n 

b) S=2 n 

Ví dụ 2) Tính các tổng hữu hạn sau: 

2 4 6 

a) S = 1 − C + C − C + .......... 

n n n 

1 3 5 7 

b) S = Cn − Cn + Cn − Cn 

+ .......... 

Giải: 

n n n 

0 1 2 2 2 4 1 3 5 7 

Xét ( i) C iC i C i C C C i C C C C 

1 + = 

n 

+ 

n 

+ 

n 

+ ..... + 

n 

= 1 − 

n 

+ 

n 

− ... + ( 

n 

− 

n 

+ 

n 

− 

n 

+ ....) 

⎛ π π ⎞ n n ⎡ nπ nπ 

⎤ 

1+ i = 2 ⎜cos + i sin ⎟ ⇒ ( 1+ i) 

= 2 cos + isin 

⎝ 4 4 ⎠ ⎣ 

⎢ 4 4 ⎦ 

⎥ 

Từ ñó ta có kết quả 

n nπ 

n nπ 

a) S = 2 cos b) S = 2 sin 4 

4 

3 6 1 ⎛ n nπ 

⎞ 

Ví dụ 3) Chứng minh rằng: 1 + Cn 

+ Cn 

+ ... = ⎜ 2 + 2cos ⎟ 

3 ⎝ 3 ⎠ 

n 0 1 2 3 n 

Giải: Ta có 2 = C + C + C + C + .... C (1) 

n n n n n 

2π 

2π 

3 

Xét ε = cos + isin ⇒ ε = 1 

3 3 

Ta có 

n 0 1 2 2 n n 0 1 2 2 3 4 

( ε ) C εC ε C ε C C εC ε C C εC 

1 + = + + + ...... = + + + + + ..... (2) 

( ) 

n n n n n n n n n 

2 

n 

0 2 1 4 2 2n 

n 0 2 1 2 3 2 4 

1 + ε = Cn + ε Cn + ε Cn + ...... ε Cn = Cn + ε Cn + εCn + Cn + ε Cn 

+ .....(3) 

2 2 π π π π 

Ta có 1+ ε + ε = 0;1+ ε = cos − isin ;1+ ε = cos + i sin 

3 3 3 3 

Cộng (1) (2) (3) theo vế ta có 

n 

n 

2 

n 

0 3 6 n nπ 

0 3 6 

2 + 1+ ε + 1+ ε = 3 Cn + Cn + Cn + ... ⇔ 2 + 2cos = 3 Cn + Cn + Cn 

+ ... 

3 

3 6 1 ⎛ n nπ 

⎞ 

⇔ 1 + Cn 

+ Cn 

+ ... = ⎜ 2 + 2cos ⎟ 

3 ⎝ 3 ⎠ 

( ) ( ) ( ) ( ) 



MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

1) Giải phương trình sau trên tập số phức: 

a) 

z 

3 

= z b) z z 3 4i 

c) z − z = 4i 

3 

2 

+ = + ( ) 2 

d z z i 

2 

) + 2 + 1− = 0 

2 

2 

2 

e) z + 4z 

+ 5 = 0 f )(1 + i) z + 2 + 11i 

= 0 g) z − 2( z + z ) + 4 = 0 

2) Tìm số thực x thoả mãn bất phương trình: 

−x 

1+ 

i 7 

⎛ x + 1+ 2i 

− 2 ⎞ 

a) 1+ 4i 

− 2 ≤ 5 b) − log2 

x ≤ 1 c)1 − log2 

⎜ 

⎟ ≥ 0 

4 

⎝ 2 −1 

⎠ 

3) Tìm số phức z sao cho A = ( z − 2)( z + i) 

là số thực 

z + 7i 

4) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện z = 5; là số thực 

z + 1 

5) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn 

ñiều kiện 

2 

) ( ) 2 z − 2i 

a z − z = 9 b) = 4 c)3 z + i = z + z − 3i 

d) z + 3i 

− 4 = 2 e) z + 1 ≥ z + i 

z + 2 i 

z − 2i 

z − 2 + 2 

f ) z = z + 4 − 3i 

g) > 1 h)2 z − i = z − z + 2i 

k)log 1 

( ) > 1 

z + 2 i 

3 

4 z − 2 −1 

3 

6) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện z − 2 + 3i 

= . Tìm số phức z có modun lớn 

2 

nhất,nhỏ nhất. 

z − 1 z + 2i 

là số thực và z nhỏ nhất. 

7) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện ( )( ) 

8) Tìm một acgumen của số phức z khác 0 biết z + z i = z 

9) Tìm số phức z thoả mãn 

10) Giải hệ pt sau trong tập số phức: 

⎪⎧ 2 z − i = z − z + 2i 

a) 

⎨ 2 2 

⎪⎩ 

z − z = 4 

z 

2 

+ z = 2 và z = 2 

⎧z1 + z2 

= 3− 

i 

⎪ 

b) ⎨ 1 1 3+ 

i 

⎪ 

+ = 

⎩ z1 z2 

5 

2 

⎧⎪ 

z1 − z2 

+ 1 = 0 

c) 

⎨ 

2 

⎪⎩ z2 − z1 

+ 1 = 0 

3 2 

⎧ ⎪z + 2z + 2z 

+ 1 = 0 

e) 

⎨ 

2010 2011 

⎪⎩ z + z + 1 = 0 

3 2 

11) Cho phương trình 2 z − (2i + 1) z + (9i − 1) z + 5i 

= 0 có nghiệm 

thực. Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình. 


12) Tìm phần thực phần ảo của z = + w biết 1 w 1 


w 

w + = 

13) Tìm n nguyên dương ñể các số phức sau là số thực, số ảo: 

⎛ − 2 + i 6 ⎞ 

a) 

z = ⎜ 

3 + 3i 

⎟ 

⎝ ⎠ 

n 

⎛ 4 + 6i 

⎞ 

b) 

z = ⎜ ⎟ 

⎝ − 1+ 

5i 

⎠ 

n 

⎛ 7 + 4i 

⎞ 

c) 

z = ⎜ ⎟ 

⎝ 4 − 3i 

⎠ 

n 

⎧ z −12 5 

= 

⎪ z − 8i 

3 

d) 

⎨ 

⎪ z − 4 

= 1 

⎪⎩ 

z −8 

⎛ 3− 

3i 

⎞ 

d) 

z = ⎜ 

3 − 3i 

⎟ 

⎝ ⎠ 



14) Cho n nguyên dương, chứng minh rằng 

0 2 4 6 n 2n 2n 

2nπ 

C2n − 3C2 n 

+ 9C2n − 27 C2n + ..... + ( − 3) 

C2n 

= 2 cos 

3 

15) Tìm số phức z sao cho z = z − 2 và một acgumen của z-2 bằng một acgumen 

π 

của z+2 cộng với 2 

16) Giải phương trình 

2z 

2 2 0 

a) = z + tan 10 + 4i 

− 2 b) 

0 

cos10 

2z 

sin12 

ễ 

0 

2 2 0 

= z + + i − 

cot 12 6 7 



ĐỀ 1 

3 − 5i 

Bài 1: ( 2 điểm )Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: z = + ( 5 − 2i)( −3 

− i) 

1+ 

4i 

Bài 2: ( 2 điểm ) Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn hệ thức 

2 z − 1 = z − z + 2 

Bài 3: ( 2 điểm ) Tìm tập hợp các số phức z thỏa điều kiện 

z 

2 

+ z = 0 

2 

Bài 4: ( 2 điểm) Giải phương trình 2z 

− 4z 

+ 3 = 0 trên tập số phức 

Bài 5: ( 2 điểm) Chứng minh rằng với mọi số phức z 1 , z 2 ta có: 

z z 

1 1 

a) = , z1z2 = z1 z2 

b) z1 + z2 = z1 + z2 

z z 

2 2 

Áp dụng chứng minh: Nếu 3 số phức x, y, z cùng có môđun bằng 1 thì x + y + z = xy + yz + xz 

Câu1:(4 đ) Thực hiện các phép tính sau: 

2 3 i (4 i) 

ĐỀ 2 

a/ ( − ) + − b/ ( i) 

1+ 2 − (3 + 2 i) 

(3− 

4 i) 

c/ ( 2 + 3 i) 

.(1 − 4 i) 

d/ 

(1 − 4 i).(2 + 3 i) 

Câu2 : (3 đ) Giải phương trình : (1 + i) z + (2 − i).(1 + 3 i) = 2 + 3i 

Câu 3: (3 đ) Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3 

ĐỀ 3 

Câu 1(3,0đ): Tìm phần thực phần ảo của các số phức: 

1/. ( ) 3 

z = 1+ i − 3i 

2/. z = (1 + i)(2 – 3i) 2 

( ) ( ) ( ) 

Câu 2(2,0đ): Thực hiện phép tính: 3 − 2 i ⎡⎣ 

4 + 3 i − 1 + 2 i 

Câu 3(3,5đ): 

5 − 4i 

⎤⎦ 

1/. Giải phương trình: 

2/. Tìm số phức z, biết ( ) 

z 

2 

− 4z 

+ 40 = 0 . Tính 

2 − i z − 4 = 0 

2 2 

A = z + z ; z 1 , z 2 là hai nghiệm của pt đã cho. 

1 2 

Câu 4(1,5đ):Tìm tập hợp biểu diễn số phức z sao cho: z − 1+ i = z + 2 

ĐỀ 4 

Câu 1:(4,0đ) Cho số phức Z = (2 + 3 i)(1 − i) + 3i 

− 4 

a) Tìm phần thực, phần ảo của số phức Z ; 

b) Tìm số phức liên hợp của Z ; 

c) Tìm môđun của số phức Z . 

Câu 2:(4,0đ) Giải các phương trình sau trên tập số phức 

a) (2 − 3 i) z + (1 − 5 i) = 4 − 3i 

; 

2 

b) z + 3z 

+ 5 = 0 . 

Câu 3:(1điểm) Tìm các số thực x, y sao cho x+3y+3i=5+(2x+y)i 

Câu 4: (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: z + 2z = 2 − 4i 


Câu 1.( 3 điểm) 


ĐỀ 5 

a. Xác định phần thực và phần ảo của số phức sau: 

z = 2i – ( 2 – 3i ) – ( 2 + 4i ) 

b. Tìm số phức z biết z = 3 5 và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nó 

Câu 2.( 3 điểm) 

a. Tìm x, y biết ( ) ( ) 

1− 2i x − 7 − 24i y = − 4 + 18i 

⎡ 1+ 

i ⎤ 

b. Thực hiện phép tính: B = 

⎢( 1− 2i) + ( 3 − i) 

⎣ 2 + i ⎥ 

⎦ 

7 

c. Thực hiện phép tính C = (1 − i) 

Câu 3. ( 3 điểm) Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: 

2 

a. z + 8z 

+ 17 = 0 

4 2 

b. 3x 

−8x 

− 3 = 0 

Câu 4. ( 1 điểm) Cho phương trình z 2 +kz+1=0 với k∈[-2,2] 

Chứng minh rằng tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các nghiệm của phương trình 

trên khi k thay đổi là đường tròn đơn vị tâm O bán kính bằng 1. 

ĐỀ 6 

Bài 1:(4đ) Tính: 

a. (2-5i)+(-3+12i)–(-4-2i). c) (3+2i)( − 3 + 5i ). 

7 -5i 

b. 

2 + 3i . d) 3 

( 3 - 2 i) . 


a. (1+3i)z+(2+6i)=5z+3- 4i . 

2 

b. 5z - 2z +1 = 0 . 

Bài 3 : (1đ) Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 5+12i . 

Bài 4: (1đ) Tìm số phức biết Z = 10 và phần ảo bằng -3 lần phần thực. 

Bài 5: (2đ) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng oxy biểu diễn số phức Z thỏa mãn: 

Z − 2 = Z + 3i 

. 

Câu I : ( 5,0 điểm ) 

ĐỀ 7 

1) Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: 

a) z 1 = i – ( 2 – 3i ) – ( 2 + 4i ) 

b) z 2 = 

z − i 

. Trong đó z = x+yi ( x, y là các số thực) và z ≠ -i cho trước. 

z + i 

2) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi , 

x, y là các số thực và z ≠ -i cho trước, thoả điều kiện 

Câu II : ( 3,0 điểm) Cho số phức: z = -2 + 2 3 i . 

1. Tìm các căn bậc hai dưới dạng đại số của số phức z. 

z − i 

là số thực âm. 

z + i 

2. Viết dạng lượng giác của số phức z và tìm các căn bậc hai dưới dạng lượng giác của nó. 



Câu III : ( 2.0 điểm) Cho phương trình ẩn z : z 2 + kz + 1 = 0 , trong đó k là số thực thoả : -2 ≤ k ≤ 

2 . Chứng minh rằng , khi k thay đổi, tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các nghiệm z 

của phương trình trên là đường tròn tâm O, bán kính R = 1. 

Câu 1: 

a) Tính 

B = (2 + i)(3 − 2 i)(1 − i) 

2 

ĐỀ 8 

3 2 

b)Tìm phần thực phần ảo của số phức z = (1 − i) − (2 + i) 

− 7 + 2i 

c) Tìm môdun của số phức z = 

1− 

i 

d) Tìm hai số thực x và y thỏa: x + 2 y + (2 x − y) i = 2 x + y + ( x + 2 y) 

i 

Câu 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 

2 

3 

a) (1 + 2 i) z + 1 + i = (2 i − z) 

i b) 2z 

− z + 1 = 0 c) z − 1 = 0 

4 

4 2 

d) z − 1 = 0 e) z − z − 6 = 0 

Câu 3: Tìm các tập điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện: a) | z − z − i | = 2 

b) 

| z − 2 + 3 i | = 2 


⎛1+ 

i ⎞ 

Câu 4: Tính : a) ⎜ ⎟ 

b) ( 1+ 

i) 2011 

⎝1− 

i ⎠ 

ĐỀ 9 

1) Tìm số phức liên hợp của z = (1 + i)(2 + 3i) 

2) Tìm mođun của số phức z = 3 + 4 i 

2 − i 

3) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = ( 1+ 

i) 2010 

4) Tìm tập hợp điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn | z – i + 3| = 1 

2 

5) Tìm số phức z, biết z = 1 + i 3 

6) Giải các phương trình: 

2 

a) 2z + z = 3+ 4i 

b) z + z + 5 = 0 

c) ( z 2 + 1) 2 

+ 4 z( z 2 + 1) − 5z 

2 = 0 


Bài 1: (2 điểm). Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: (2+i) 3 - (3-i) 3 . 

Bài 2: (4 điểm). Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: 

1. 2 + i − 1 + 3 i 

z = ; 2. x 

1− i 2 + i 

2 

− 6x 

+ 10 = 0 ; 

3. z 3 + 2z – 3 = 0; 4. z 4 + 3z 2 - 4 = 0. 

Bài 3: (2 điểm). Cho số phức z = (2-i)(i+1), tính môđun của z , 1 z + 2z + z . 

Bài 4: (1 điểm). Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 4 tích của chúng bằng 5. 

Bài 5: (1 điểm). Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp biểu diễn số phức z mà: |z – 2 + 3i| = 5. 


Câu 1 : (2 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường sau 

2 

y = x + 3x 

− 2 và y = x + 1 

Câu 2 : (3 điểm) Tính môđun số phức sau 



2 + 3i 

a) z = 

1 − 2i 

2 2 

(2 − i) − (3 + 2 i) 

b) z = 

4 + 3i 

Câu 3 : (2 điểm) Trong mặt phẳng phức tìm tập hợp hợp các điểm biễu diễn số phức thỏa điều kiện sau 

z − 2i 

= 4 

Câu 4 : (3 điểm) Giải phương trình phức sau : 

2 

2 

a) z + z + 2 = 0 

b) x + (2 + i) x + i + 3 = 0 

Câu 1 : (2 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường sau 

2 

y = x − 2x 

+ 3 và y = x + 1 

2 2 

4 + i 

(1 + 2 i) + (3 − i) 

Câu 2 : (3 điểm) Tính môđun số phức sau a) z = b) z = 

2 − 3i 

2 − 3i 

Câu 3 : (2 điểm) Trong mặt phẳng phức tìm tập hợp hợp các điểm biễu diễn số phức thỏa điều kiện sau 

z + 3i 

= 2 

Câu 4 : (3 điểm) Giải phương trình phức sau : 

2 

2 

a) z + 2z 

+ 5 = 0 b) x + (2 − i) x − i + 7 = 0 


Bài 1 Thực hiện các phép tính sau : 

1 

a) 5 + 2i 

− 3( − 7 + 6 i) 

b) (2 − 3 i)( + 3 i) 

c) (1 2 ) 

2 

Bài 2 Giải các phương trình sau trên tập số phức : 

a) 

x 

2 

+ x + 1 = 0 

b) z 

+ 7z 

− 18 = 0 

4 2 

2 − i 1+ 

i 

Bài 3 Xác định phần thực và phần ảo của số phức : z = − 

1+ 

2i 

3i 

1− 

i 

Bài 4 Cho z = .Tính A = z 2010 + 

1 + 

( z) 2010 

i 

2 

+ i d) 2 − 15 

i 

3 + 2i 

ĐỀ 13 

Câu 1 (6 điểm). Thực hiện các phép tính sau: 

( ) ( ) ( ) 

a) 3 − 2 i ⎡⎣ 

4 + 3 i − 1 + 2 i ⎤⎦ 

1+ 

i 2 

b) ( 2 − 5i 

) + 

5 − 4i 

2 + i 3 

2 3 2010 

c) 1 + i + i + i + ... + i 

4 2 

Câu 2 (2 điểm). Giải phương trình z + z − 3 = 0 trên tập số phức 

2 

Câu 3 (2 điểm). Gọi x1, 

x 

2 

là hai nghiệm phức của phương trình x − x + 1 = 0 . Tính 

Câu 1 (6 điểm). Thực hiện các phép tính sau: 

4 − i 

a) ( 2 3i 

)( 1 2i) 

3 2i 

ĐỀ 14 

3 − 4i 

− + + b) + ( 1− 4i 

)( 2 + 3i 

) 

2 3 2010 

c) i. i . i ... i 

2 

Câu 2 (2 điểm). Giải phương trình: z − 4z 

+ 20 = 0 trên tập số phức 

2 

Câu 3 (2 điểm). Gọi x1, 

x 

2 

là hai nghiệm phức của phương trình x − x + 1 = 0 .Tính 

x 

x 

+ x 

4 4 

1 2 

+ x 

3 3 

1 2 



ĐỀ 15 

Bài 1: 1. Cho 2 số phức z = 2 − 3 i; z = 2i + 1; z = 2i 

− 4 

1 2 3 

a. Tính modun của các số phức: 2 z + z ; z − 3 z ; z + 2 z ; z − 4z 

1 2 1 2 2 3 3 2 

3z 

z 

3 1 

b. Tìm phần thực và ảo của các số phức: z . z ; 2 z . z ; ; .. 

1 2 3 2 

z 2z 

2. Giải phương trình ( ẩn z): ( ) 

2 − i z − 1 = 1− 

3i 

2 2 

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện: 

a. z = 3 ; b. z − 1 < 2 . 

Bài 3: Giải các phương trình sau: a. 

Bài 4: Tìm số phức z thỏa: 

z 

2 

= 2 + 2i 

a x x b z z 

2 4 2 

. − 2 + 5 = 0; . − − 6 = 0 

ĐỀ 16 

Bài 1: 1. Cho 2 số phức z = 1− i 3; z = 3 − 2 i; z = i 2 − 4 

1 2 3 

a. Tìm số phức liên hợp của số phức: z + 2 z ; z − 3 z ;2 z + z ;3z − z 

1 2 1 2 2 3 3 2 

z 3z 

3 1 

b. Tính modun của số phức: 2 z . z ; z .3 z ; ; .. 

1 2 3 2 

2z 

z 

2 2 

z 

2. Giải phương trình ( ẩn z): + 2i 

= 1− 

3i 

i − 2 


a. z − 2i 

= 3 ; b. z − 1+ i > 2 . 



z 

2 

= 5 − 4i 

a x x b z z 

2 4 2 

. 2 − 2 + 5 = 0; . 2 + − 6 = 0 

ĐỀ 17 

Bài 1: 1. Cho 2 số phức z = 1+ 2 i; z = 3 − i 2; z = i 3 

1 2 3 

a. Tính modun của số phức: z 1 

+ 2 z 2 

; z 1 

− 3 z 2 

;3 z 2 

+ z 3 

; z 3 

− 2z 

2 

2z 

z 

3 1 

b. Tìm số phức liên hợp của số phức: 2 z . z ; z . z ; ; .. 

1 2 3 2 

z 3z 

2 2 

2. Giải phương trình ( ẩn z): 3 + 2 i 

− i − 1 = 1− 

3i 

z 


a. z + 2 = i − z ; b. 2z 

− i ≤ 3 . 



z = z 

2 

a x x b z 

2 4 

. 3 − 4 + 3 = 0; . 4 + 1 = 0 

ĐỀ 18 

Bài 1: 1. Cho 2 số phức z = 1− 2 i; z = 3 − i 2; z = − 3i 

1 2 3 

a. Tìm phần thực và phần ảo của số phức: z + 2 z ; z − 3 z ;2 z + z ;3z − z 

1 2 1 2 2 3 3 2 

z 3z 

3 1 

b. Tìm số phức liên hợp của số phức: z . z ; ; .. 

1 2 

2z 

z 

2 2 



z 

2. Giải phương trình ( ẩn z): i 1 1 3i 

1− i + + = − 


a. z ( i) 

− 3 − 4 = 2 ; b. z − 2 + i ≤ 3 . 

2 4 2 

Bài 3: Giải các phương trình sau: a. x − 4x + 10 = 0; b. 3z + 4z 

− 4 = 0 

Bài 4: Tìm số phức z thỏa: iz + 5z = 11− 

17i 

ĐỀ 19 

Bài 1: 1. Cho 2 số phức z = 1− 2 i; z = 3 + i; z = − i 2 

1 2 3 

a. Tính modun của số phức: z 1 

+ 3 z 2 

; z 1 

− 2 z 2 

;2z 2 

+ 2. z 3 

;2 2. z 3 

− z 2 

2 2. z z 

3 1 

b. Tìm phần thực và phần ảo của số phức: z . z ; 2. z . z ; ; . . 

1 2 3 2 

z z 

2 2 

2. Giải phương trình ( ẩn z): 1 − 5 i 

− i − 3 = 2 − 3i 

z 


a. ( 1 2 ) 

z − + i = z ; b. 1 ≤ z − 2 ≤ 3 . 


a x x b z z 

2 4 2 

. 3 − 4 + 8 = 0; . − 4 − 15 = 0 

Bài 4: Tìm số phức z thỏa: z + i = 2 và phần thực lớn hơn phần ảo 1 đơn vị 

ĐỀ 20 

Bài 1: 1. Cho 2 số phức z = − 2 i; z = 2 + i; z = 2 − i 2 

1 2 3 

a. Tính modun của số phức: 2. z + z ; z − 2 z ; z + 3 z ; z − 2z 

1 2 1 2 2 3 3 2 

z 3z 

3 1 

b. Tìm số phức liên hợp của số phức: 2. z . z ; z . z ; ; .. 

1 2 3 2 

2z 

z 

2 2 

z 

2. Giải phương trình ( ẩn z): i 1 1 2i 

1− 

3i − + = + 


z − i = + i z ; b. z + z + 3 ≤ 4 . 

a. ( 1 ) 


a x x b z z 

2 4 2 

. 2 − 2 + 3 = 0; . − + 2 + 8 = 0 

Bài 4: Tìm số phức z thỏa: z = z − 3 + 4i 

và phần thực gấp 2 lần phần ảo 



ÔN THI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2011 – 2012 

I. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 

3 2 

Bài 1: Cho hàm số y x 3x 

4 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho 

3 2 

2/ Sử dụng đồ thị (C), Tìm m để phương trình : x 3x m 3 0 có 3 nghiệm phân biệt. 

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường y = x 2 + 4 

Bài 2:Cho hàm số y = x 3 – 3x + 2(C) 

1/ Khảo sát và vẽ (C) 

2/ Viết phương trình tiếp tuyến (d 1 ) với (C) tại A (C) có hòanh độ là 2. 

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), (d 1 ), x = 1 

4 2x 

Bài 3: Cho hàm số: y 

x 1 

. 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 

ờng thẳng x = 3, x = 5. 

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số trên tại điểm có hoành độ x 0 = 1. 

x 2 

Bài 4: Cho hàm số y f( x) 

 

x 2 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( H ) của hàm số . 

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) tại điểm A(1;-3). 

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (H), trục hoành và hai đư 

3 

Bài 5: Cho hàm số y x 3x có đồ thị (C) 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 

2.Tìm m để phương trình x 3 -3x+m-1=0 có 3 nghiệm thực phân biệt. 

3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bời đồ thị (C) , trục hoành; trục tung và đường thẳng x=1 

Bài 6: Cho hàm số y = 2x 3 – 3x 2 -1 

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 

2/ Viết PTTT với đồ thị (C) tại điểm có hoàn độ x = -1 

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và đường y = -1 

Bài 7: Cho hàm số y = x 4 – 2x 2 

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 

2/ Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x 4 – 2x 2 – m = 0 có 4 nghiệm phân bệt. 

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ). trục Ox và các đường x = -2, x = 2 



II. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 

2 

1 

x 

Bài 1: 1/ Cho hàm số y 

x 

.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số biết F(1) = 5 2 

2/ Cho hàm số y f ( x) ( x 1 ) 

. Tìm một nguyên hàm F( x) 

của hàm số f ( x) 

thõa điều kiện 

F( 1) 

0. 

2 

3/ Tìm nguyên hàm F x 

của hàm số 4 cos 

Bài 2: Tính các t ch phân sau: 

 

1/ 2 0 

 

sin 

 

2 

 

8/ I x(2 sin x) 

dx 

0 

3 

4/ 2 3 

 

0 

cos xdx 

x.cos 

x. 

dx 2/ 

e 

3x 

x 

9/ 3 

x 

1 

 

4 

tanx 

I dx 

cos x 

 

0 

5/ 2 3 

 

0 

sin xdx 

2 

dx 

 

f x x biết rằng F 0 . 

2 

2 

 

10/ 3x 

4 dx 

1 3 2 

Bài 3: Cho hàm số y= 

3 x x có đồ thị là (C) . Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới 

hạn bởi (C) và các đường thẳng y=0, x=0, x=3 quay quanh 0x. 

III. SỐ PHƯC: 

Bài 1: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức : 

2 

1/ z 3z 

4 0 

2 

2/ x x 3 1 0 

2 

3/ z z 1 0 

4/ Z 2 + 4Z + 5 = 0 

5/ z 2 + 3z + 4 = 0 

2 

6/ z 9 0 

2 

7/ z 4z 

5 0 

2 

8/ 2z 

6z 

29 0 

2 

9/ 5z 

2z 

1 0 

4 2 

10/ z 5z 

4 0 

4 2 

11/ z 5z 

36 0 

3 2 

12/ z 2z 10z 

0 

B ài 2: Tìm mô đun của số phức z biết 

(2 3 i)(3 2 i) 4i 

1/ z = 1 i 31 i 

. 2/ Z 

3/ Z = 2 1 2 i 

3 

2i 

 

4 3i 

2 i 

B3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 

1/ z = (2+i) 3 - (3-i) 3 2/ 1 i 3 

2 i 

3/ Z = 3 2i 

 

1 

i 

1 i 

4/ ( 3 +2i) + ( 2 - 3i ) 2 

3 3 

5/ z ( 1 

i) (2i) 

6/ (3-2i)(5-4i) 

7) 8 5 i 

4 2i 

8/ z 3 i 

2 3i 

i 

9/ z 7 2i 3 2i 2 

7 i 

7 3i 

1 

5i 

10/ z 5 

4i 

11/ z 

2 i 

1 

i 3 

2i 

3/ 

I 

1 

 

 

 

2 

sin 2x 

dx 

2 

0 4 cos x 

3/ 2 

 

 

0 

x 

6/ x(x e )dx 

1 

0 

4 

7/ 

I 1 2sin x cos xdx 

e 

 

1 

x 

2 

ln xdx 



2 

B4: 1/ Cho số phức Z = 2 – 3i . Hãy tính 2 

Z 

2 2 

2/ Cho số phức z 1 i 3 .Tính z ( z) 

B 5 : a). Cho hai số phức Z 1 = 3x – y + xi và Z 2 = 2y + 1 – (2 – 3x)i Tìm x và y để Z 1 = 2Z 2 

b) Tìm x và y sao cho : ( x + 2i) 2 = – 3x + yi 

c) Tìm số phức liên hợp của số phức Z = 7 3 i 

(1 3 i)(2 i) 

5 i 

d/ Tìm x, y (2x + y + 1) + (x + y)i = (x - y - 1) + (4x - y + 3)i 

Bài 6 : Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau đây : z 3 4i 

z 4 i 2 3i 

. 

2 

Bài 7 : Cho z 2 3 i, z 

1 i . Tìm z. 

z và z z . 

 

Z 

; 

IV. HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 

x 1 y z 3 

Bài 1 : Cho đường thẳng (d) có phương trình : và điểm M(-1 ; -1 ; 1) 

1 2 2 

1.Viết phương trình đường thẳng ( ) qua M và ( ) song song với (d) 

2.Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên (d) 

B ài 2: Cho D(-3;1;2) và mặt phẳng ( ) qua ba điểm A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8). 

1. Viết phương trình tham số của đường thẳng AC 

2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) 

3. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D bán kính R=5. Chứng minh (S) cắt ( ). 

x 

1 

3t 

Bài 3: Trong KG Oxyz cho điểm A(1;2;-1) và đường thẳng (d): 

y 2 2 t , t R 

z 

2 2t 

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và đi qua A. 

2. Gọi B là điểm đối xứng của A qua (d).Tính độ dài AB. 

B ài 4: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm I(0;1;2), A(1;2;3), B(0;1;3). 

1. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và đi qua A. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B và 

vuông góc với đường thẳng AB. 

2. Chứng minh (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C). Định tâm và tính bán kính của (C). 

B5: Trong không gian với hệ toạ độ Oyxz. Cho điểm A=(1; 2; 3) và điểm B=(2; -3; 4). 

1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng AB. 

2/Trong mặt phẳng (P) cho điểm C= (2; 0 ; -8). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi 

qua điểm B và song song với đường thẳng AC. 



B6: Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2; -3) và mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 9 = 0. 

1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mp (P). 

2. Tìm toạ điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P). 

3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A’ và tiếp xúc với mặt phẳng (P). 

B7: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A( 1;-2;-1) và B(-2;1;3) và mặt phẳng (P): 3x - 2y + z -1 = 0. 

a). Viết phương trình đường thẳng AB 

b). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A đi qua B 

c). Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua hai điểm A, B đồng thời vuông góc mp (P) 

x 

2 

t 

 

B8: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d y 1 2t 

và mp (P) : x – 2y + 2z + 4 = 0 

 

z 

1 3t 

a). Tìm toạ độ giao điểm M của đường thẳng d và mp (P) 

b). Viết phương trình đường thẳng nằm trong mp (P) , cắt và vuông góc với d. 

x 

3 

2t 

 

B9: Trong KG Oxyz cho đường thẳng d : y 1 t và mặt phẳng ( ) : x -3y + 2z + 6 = 0 

 

z 

t 

a). Tìm giao điểm M của đương thẳng d và mp ( ) 

b). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(1;-1;2) tiếp xúc với mp( ) 

c). Viết phương trình mp (P) chứa đường thẳng d và vuông góc mp ( ) 

B10: Trong KGxyz cho mặt cầu (S) x 2 + y 2 + x 2 – 4x +2y + 4z – 7 = 0 và mp ) : x – 2y + 2z – 3 = 0. 

a). Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S). Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và 

vuông góc mp ( ). 

b). Viết phưong trình mặt phẳng (P) vuông góc với d vá tiếp xúc với mặt cầu (S). 

B11: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(6;1;3); B(0,2,6); C(2;0;7) 

a/. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 

b/. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc đường thẳng AB. 

c/. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là C và bán kính R bằng độ dài đọan BC. 

B12: Cho điểm M(1; 1 ; 0) và mặt phẳng (P): x + y – 2z + 3 = 0. 

a).Viết phương trình (α) đi qua điểm M và song song mặt phẳng (P). 

b). Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mp(P). 

c). Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (P). 

B13: Trong KG với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P): x+y-4z + 3=0. 

1.Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với ( P ). 

2.Viết phương trình tham số của đường thẳng ( d ) qua A và vuông góc với ( P ). 

3.Tìm tọa độ hình chiếu của A lên mặt phẳng (P). 

B14 : Trong KG Oxyz cho PT mặt cầu (C): x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y - 2z - 4 = 0 

1. Xác định tọa độ tâm và bán kính mặt cầu (C) 

2. CMR mp (P) có Pt x = 5 không cắt mặt cầu (C). 

3. Viết PTTS của đường thẳng d đi qua tâm mặt cầu (C) và vuông góc với mp(P) 

B15 : Trong KG Oxyz cho 2 điểm M(3; 1; -1), N(2; -1; 4) và mp (Q) : 2x - y + 3z - 1 = 0 

1. Viết PTMP (P) đi qua 2 điểm M, N và vuông góc với mp (Q). 

2. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng MN với mp (Q). 



ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II 

I. ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 

2 

x + 4x 

+ 5 

Bài 1: Cho hàm số y = 

(C) 

x + 2 

a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên. 

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 0. 

Bài 2: Cho hàm số: y = x 3 - 3x 2 + 3mx + 4 (Cm) 

a. Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành. 

b. Tìm điểm cố định của C(m) khi m thay đổi. 

c. Từ M(0, 4) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với C 0 , viết các phương trình tiếp tuyến đó. 

Bài 3: Tính các tích phân sau: 

1 

dx 

1. a) I 

1 

= ∫ b) I 2 = ∫ 

25 − 3x 

0 

3 

2 

1 

2 

x . dx 

x 

3 

+ 2 

2 

8 

c) I 3 = ∫ 4 − x . dx 

d) I 4 = ∫ x 2 1− 

x. 

dx 

− 

5 

1+ 

x 

2. a) J 1 = . dx 

1 x 

3 

∫ b) J 2 = ∫ 2 

x − 3x + 

2 

− 

dx 

c) J 3 = ∫ 

4 + x 

1 

0 

2 

∫ 

2 

1 

0 

1 

0 

dx 

2 

1 

(4x 

+ 11). dx 

d) J 4 = ∫ 2 

x + 5x 

+ 6 

2 

3. a. K 1 = x −1 dx 

b. K 

2 

= ∫ 

c. K 3 = 

4. a. L 1 = 

d. L 4 = 

0 

1 

1 

2009 

∫ x( x −1) . dx 

d. K 4 = ∫ x 3 − 

0 

0 

π 

4 

π 

∫ tan x . dx b. L 2 = ∫ 2 cos 

π 

− 

4 

π 

2 

( x + 

2 

). . 

∫ sin x cosx dc e. L 5 = 

1 

∫ 

0 

5. a. I 1 = ( x + 3). e 

x . dx 

c. I 3 = 

−1 

π 

2 

0 

2 

0 

−1 

−5 

1− 

2x 

+ x 

1− 

x 

2 

.( 2x) 10 . dx 

4x . dx c. L 3 = 

2 

0 

π 

6 

∫ 

0 

. dx 

( sin6 x. sin2x 

− 6). dx 

∫ 2. 1+ 

4sin 3 x . cos 3 x . dx f. L 6 = 

2 

x 

e 

b. I 2 = ∫ 

2 e 

− 1 

+ 

x 

. dx 

ln 5 x x 

sin 2x 

( e + 1). e 

∫ 2 dx 

d. I 4 = dx 

4 + cos x 

∫ x 

0 

ln 2 e −1 

dx 

e. I 5 = ∫ 

x.ln 

x 

6. a. 

1 

π 

2 

0 

e 

2 

e 

J = sinx.ln(1 + cosx). 

dx 

e 

c. J 3 = ∫ 

f. I 6 = 

a 

∫ 

0 

x 

e . cos2 x. 

dx 

2 

∫ b. J 2 = ∫ x ln( x − 

1 

ln x. 

dx 

d. J 4 = ∫ 

1 x. 

5 

2 

e 

. 1). dx 

ln 

dx 

3 2 

x + 2 

π 

2 

∫ 

0 

sin2 x. 

cosx dx 

1+ 

cosx 


1 

e. J 5 = ∫ x 

Bài 4: Cho I = 

0 


2 − x 

. e . dx 

π 

2 

( x . sinx ) . 

∫ dx và J = 

0 

Tìm I + J và I - J từ đó suy ra I và J. 

Bài 5: Tính: 

2 

a. I 1 = ∫ 

e 

5 

3 

x. x 

dx 

2 

+ 4 

ln x. 

f. J 6 = ∫ 

c. I 3 = ∫ x.ln 

x. 

dx 

d. I 4 = 

1 

e 

1 

π 

2 

( x. cosx) . 

∫ 

0 

2 

2 + ln 

x 

3 2 

dx 

x. 

dx 

b. I 2 = ∫ 

1+ 

x − 

1 1 

π 

2 

∫ 

0 

x 

. dx 

eInx 

( e + cosx). cosx. 

dx 

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 

1. x 3 - y = 0; x + y - 2 = 0; trục OX. 

2. x 2 + y - 2x = 0 và x + y = 0 

2 2 

x y 

3. + = 1 

2 b 

2 

a 

4. Tính diện tích giới hạn bởi đồ thị đường cong: y = x 3 - 5x 2 + 8x - 4 và trục hoành. 

5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong: y = x 4 - 2x 2 ; y = 0 quay quanh Ox. 

Bài 7: Tính thể tích khối tròn xoay: 

1. Tính thể tích khối tròn xoay do hình (H) giới hạn bởi y = 2x - x 2 ; y = 0 quay quanh Ox? Oy? 

2. Một hình (H) do y = x.e x và x = 2 và y = 0. Tính thể tích khối do (H) quay quanh Ox. 

3. Một hình (H) giới hạn 

Bài 8: Tính các tích phân của hàm số sau: 

2 

dx 

1. I 1 = ∫ 2 

4 + x dx 

3. I 3 = 

5. I 6 = 

0 

x 

y = ; x = 2; x = 4 và y = 0. Tìm S (H) và V K (K do (H) quay quanh Ox). 

1 − x 

π 

π 

2 

3 

sin 5 

∫ x . dx 

4. I 4 = ∫ 

0 

0 

1 

dx 

2. I 

2 

= ∫ 2 

x + 5x + 6 

0 

x. 

cosx 

(1 + sinx) 

π 

2 

ln 5 

∫ sin 2 x. 

dx 

2 2 


6. I 7 = ∫ dx 

− 

+ − 

ln 3e x 2e 

x 3 

Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 

1. y 2 = 2x + 1 và y = x - 1 

2. x - y = 0; y = x + sin 2 x với 0 ≤ x ≤ π 

3. Parabol: y 2 = 2x chia diện tích hình: x 2 + y 2 = 8 theo tỷ số nào? 

2 

4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x − 4x 

+ 3 và y = x + 3. 

II. HÌNH HỌC 

Bài 1: Cho A = (1; 0; 0), B (0; 2; -2), C (0; -1; -3) 

a. Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành. 

b. Lập phương trình mặt phẳng qua M(0; 1; 5), N (1; 0; 3) và vuông góc với mp (ABC). 

Bài 2: Lập phương trình mặt phẳng qua M(2; 1; 3) và song song với trục Oz, đồng thời vuông góc 

với mặ phẳng x - 2y + 3z -7 = 0. 

Bài 3: Cho hai mặt phẳng có phương trình: x - my + 2z + m = 0 và (m - 1)x - 2y - (3m - 1)z - 8 = 0 

Với giá trị nào của m thì: 

a. Hai mặt phẳng song song. 

b. Hai mặt phẳng cắt nhau. 

c. Hai mặt phẳng trùng nhau. 


2 

dx


Bài 4: Cho 4 điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2), D(-2; 1; -1) 

a. Viết phương trình mặt phẳng (BCD). 

b. Tính đường cao BH của ∆BCD. 

c. Tính V ABCD suy ra đường cao AH của tứ diện. 

Bài 5: Cho A(4; 3; ;5), B(1; -2; 1), C(0; -3; 2), D (3; 1; 0) 

a. Viết phương trình mặt phẳng (BCD) rồi suy ra bốn điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện. 

Tính thể tích tứ diện đó. 

b. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB. 

 

c. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua C có vectơ pháp tuyến n = −i 

+ 2 j 

Bài 6: Cho (P): 2x + 3y + 6z - 11 = 0; (Q): 6x + 2y - 3z - 5 = 0 

a. Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A(3; 4; 7) và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). 

b. Chứng minh rằng: (P) và (Q) cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng (S) qua giao tuyến của 

(P) và (Q) đồng thời vuông góc với trục Oz. 

x + 1 y −1 

z − 2 

Bài 7: Cho d: = = và mặt phẳng (P): x - y - z - 1 = 0. 

2 1 3 

a. Xác định cosin của góc tạo bởi d và (P). 

b. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1; -2), song song với (P) 

và vuông góc với d. 

c. Tìm điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (P). 

x − 3 y − 3 z − 4 x −1 y − 6 z + 1 

Bài 8: Cho d 1 : = = và d 2 : = = 

2 2 3 −1 

2 0 

a. Xác định vị trí tương đối của d 1 và d 2 . 

b. Tìm phương trình đường thẳng vuông góc chung của d 1 và d 2 . Tính khoảng cách giữa d 1 và 

d 2 . 

Bài 9: Cho S(-3; 1; -4), A(-3; 1; 0), B(1; 3; 0), D(-1; -3; 0). 

a. Chứng minh hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và đường cao SA. 

b. Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 

c. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ và cắt mặt cầu theo thiết diện có diện tích 

lớn nhất và song song với (ABCD). 

Bài 10: Cho hai mặt cầu (S 1 ): x 2 + y 2 + z 2 = 64 

(S 2 ): x 2 + y 2 + z 2 - 6x - 12y + 12z + 72 = 0 

a. Chứng minh (S 1 ) cắt (S 2 ) theo một đường tròn, tính diện tích đường tròn đó. 

b. Tìm phương trình những mặt phẳng song song với (P): x + 2z + 2z + 5 = 0 và tiếp xúc với (S 2 ). 

c. Viết phương trình mặt cầu tâm O(0;0;0) tiếp xúc với (S 2 ). 

Bài 11: Cho A(3; -1; 0), B(0; -7; 3), C(-2; 1; -1), D(3; 2; 6). 

Tính góc giữa AB và CD Tính khoảng cách AB và CD. 

x −12 y −12 

z −1 

Bài 12: Cho M(1; 2; -1) và đường thẳng ∆: = = . Tìm M' đối xứng với M qua ∆. 

4 3 1 

Bài 13: Trong không gian A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0). Lập phương trình mặt cầu 

ngoại tiếp tứ diện ABCD, Tìm tâm, bán kính mặt cầu. 

Bài 14: Cho 4 điểm A(1; -1; 0), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2). 

a. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D. 

b. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu tại A. 

Bài 15: Cho: A(1; -1; 0), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2). 

a. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D. 

b. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu biết tứ diện song song với mặt phẳng (BCD). 

c. Tìm tâm, bán kính của đường tròn (C) là giao của (S) và (BCD). 

Bài 16: CMR các cặp đường thẳng sau chéo nhau, hãy lập phương trình đường vuông góc chung. 

⎧x=1-2t 

⎪ 

1. (d 

1) ⎨y=3+t 

⎪ 

⎩z=-2-3t 

⎧x=2t 

⎪ 

và (d 

2) ⎨y=1+t 

⎪ 

⎩z=3-2t 



⎧x=1+t 

⎪ 

⎧x + y - z + 5 = 0 

2. (d 

1) ⎨y=-2+t 

và (d 

2) ⎨ 

⎪ 

2x - y + 1=0 

⎩z=3-t 

⎩ 

x − 2 y + 2 z −1 

Bài 17: Cho (d): = = và (P): x + 2y + 4z + 4 = 0 

3 4 1 

1. Tìm giao điểm của (d) và (P) 

2. Viết phương trình hình chiếu của (d) lên (P) 

3. Tính khoảng cách từ A (-3; 1; 1; 0) đến (d), (P) 

Bài 18: Cho A (1;1;2), B (2;1; -3) và (P): 2x+y-3z-5=0 

1. Tìm toạ độ hình chiếu của A trên (P). 

2. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng A qua (P). 

3. Tìm điểm M trên (P) sao cho MA+MB nhỏ nhất. 

4. Tìm điểm N trên (P) sao cho NA+NC nhỏ nhất với C (0;-1;1). 

⎧2x-y+3z-5=0 

Bài 19: Cho (d) ⎨ 

và (P): x - y - z = 0 

⎩x-2y+z-1=0 

1. Tính sin của góc giữa (d) và (P). 

2. Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và: 

⎧x-y-3z-2=0 

a/ Qua A (2;1;3) b/ Song song với (d 1 ) ⎨ 

⎩2x-y+z-1=0 

Bài 20: Cho (P): 2x=y=2z+10=0; (Q): 3y-z-1=0; (R): 2y+mz=0. 

1. Tính góc giữa (Q) và (R) khi m=1 

2. Tính góc giữa (Q) và (P) 

3. Tìm m để góc giữa (Q) và (R) bằng 45 0 

Bài 21: Cho điểm A (1;0;-2); B (2;1;2), C(3;-1;1) và D (2;-3,0) 

1. Chứng minh ABCD là một tứ diện. 

2. Lập phương trình mặt cầu biết. 

a. Tâm I (2;-1;0) và A thuộc mặt cầu. 

b. Mặt cầu qua A, B, C, D. 

Bài 22: Cho mặt cầu có PT: x 2 +y 2 +z 2 -2x-4y-6z=0 (S) 

1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu trên . 

2. Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của (S) với các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng 

(ABC). 

3. Xác định tâm và bán kính của đường tròn: 

a. Ngoại tiếp tam giác ABC 

b. Là giao điểm của mặt cầu và mặt phẳng (oxy). 

Bài 23: Cho tứ diện có 4 đỉnh là A (6;-2;3); B (0,1,6); C (2;0;-1) và D (4;1;0) 

1. Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. 

2. Tâm của mặt cầu có trùng với trọng tâm của tứ diện không? 

3. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu tại A 

x −1 

y −1 

z − 3 

4. Tìm tọa độ giao điểm của mặt cầu và đường thẳng: = = 

3 4 −1 

Bài 24: Cho hai mặt cầu: 

(S 1 ): x 2 + y 2 + z 2 -6x + 4y - 2z - 86=0 

(S 2 ): x 2 + y 2 + z 2 + 6x + 4y - 2z - 4z - 2 = 0 và (P) = 2x - 2y - z + 9 

1. Xác định tâm của đường tròn là giao tuyến của (P) và (S 1 ) 

2. Chứng minh rằng: (S 1 ), (S 2 ) cắt nhau theo một đường tròn. Xác định tâm và bán kính đường tròn 

đó. 

3. Gọi I 1 , I 2 lần lượt là tâm của (S 1 ) và (S 2 ). 

a. Lập phương trình mặt cầu tâm I 1 và tiếp xúc với (P). 

b. Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng I 1 , I 2 với (P) và với (S 2 ). 



OÂN TAÄP HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN 11 

I. QUAN HEÄ SONG SONG 

1. Hai ñöôøng thaúng song song 

⎧a, b ⊂ ( P) 

a) Ñònh nghóa: 

a b ⇔ ⎨ 

⎩a 

∩ b = ∅ 

b) Tính chaát 

⎧( P) ≠ ( Q) ≠ ( R) 

⎧( P) ∩ ( Q) 

= d 

⎪( P) ∩ ( Q) = a ⎡a, b, 

c ñoàng qui ⎪ 

⎡d a b 

• ⎨ 

⇒ 

( P) ∩ ( R) 

= b ⎢ 

• ⎨( P) ⊃ a,( Q) 

⊃ b ⇒ 

⎪ 

⎣a b c 

⎢d a( d b) 

a b 

⎣ ≡ ≡ 

⎪⎩ ( Q) ∩ ( R) 

= c 

⎪⎩ 

⎧a 

≠ b 

• ⎨ ⇒ a b 

⎩a c, 

b c 

2. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song 

a) Ñònh nghóa: d // (P) ⇔ d ∩ (P) = ∅ 


⎧d ⊄ ( P), d ' ⊂ ( P) 

⎧d 

( P) 

• ⎨ 

⇒ d ( P) 

• ⎨ 

⇒ d a 

⎩d 

d ' 

⎩( Q) ⊃ d,( Q) ∩ ( P) 

= a 

⎧( P) ∩ ( Q) 

= d 

• ⎨ 

⇒ d a 

⎩( P) a,( Q) 

a 

3. Hai maët phaúng song song 

a) Ñònh nghóa: (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅ 


⎧( P) ⊃ a, 

b 

⎧( P) ≠ ( Q) 

⎪ ⎪ 

• ⎨a ∩ b = M ⇒ ( P) ( Q) 

• ⎨( P) ( R) ⇒ ( P) ( Q) 

⎪⎩ a ( Q), b ( Q) 

⎪⎩ ( Q) ( R) 

4. Chöùng minh quan heä song song 

a) Chöùng minh hai ñöôøng thaúng song song 

⎧( Q) ( R) 

⎪ 

• ⎨( P) ∩ ( Q) 

= a ⇒ a b 

⎪⎩ 

( P) ∩ ( R) 

= b 

Coù theå söû duïng 1 trong caùc caùch sau: 

• Chöùng minh 2 ñöôøng thaúng ñoù ñoàng phaúng, roài aùp duïng phöông phaùp chöùng minh 

song song trong hình hoïc phaúng (nhö tính chaát ñöôøng trung bình, ñònh lí Taleùt ñaûo, …) 

• Chöùng minh 2 ñöôøng thaúng ñoù cuøng song song vôùi ñöôøng thaúng thöù ba. 

• AÙp duïng caùc ñònh lí veà giao tuyeán song song. 

b) Chöùng minh ñöôøng thaúng song song vôùi maët phaúng 

Ñeå chöùng minh d ( P) 

, ta chöùng minh d khoâng naèm trong (P) vaø song song vôùi moät 

ñöôøng thaúng d′ naøo ñoù naèm trong (P). 

c) Chöùng minh hai maët phaúng song song 

Chöùng minh maët phaúng naøy chöùa hai ñöôøng thaúng caét nhau laàn löôït song song vôùi hai 

ñöôøng thaúng trong maët phaúng kia. 




II. QUAN HEÄ VUOÂNG GOÙC 

1. Hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc 

a) Ñònh nghóa: a ⊥ b ⇔ a 

 

, b = 90 

( ) 

0 



laø VTCP cuûa b. Khi ñoù a ⊥ b ⇔ u. v = 0 . 

⎧ b ⁄⁄ c 

• ⎨ ⇒ a ⊥ b 

⎩a 

⊥ c 

2. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng vuoâng goùc 

a) Ñònh nghóa: d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P) 


⎧a, b ⊂ ( P), 

a ∩ b = O 

• Ñieàu kieän ñeå ñöôøng thaúng ⊥ maët phaúng: ⎨ ⇒ d ⊥ ( P) 

⎩d ⊥ a, 

d ⊥ b 

⎧a 

b 

⎧a 

≠ b 

• ⎨ ⇒ ( P) 

⊥ b 

• ⎨ ⇒ a b 

⎩( P) 

⊥ a 

⎩a ⊥ ( P), b ⊥ ( P) 

⎧( P) ( Q) 

⎧( P) ≠ ( Q) 

• ⎨ ⇒ a ⊥ ( Q) 

• 

P Q 

⎩a 

⊥ 

⎨ 

⇒ ( ) ( ) 

( P) 

⎩( P) ⊥ a,( Q) 

⊥ a 

⎧a 

( P) 

⎧a 

⊄ ( P) 

• ⎨ ⇒ b ⊥ a 

• 

a P 

⎩b 

⊥ 

⎨ ⇒ ( ) 

( P) 

⎩a ⊥ b,( P) 

⊥ b 

• Maët phaúng trung tröïc cuûa moät ñoaïn thaúng laø maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñoaïn thaúng 

taïi trung ñieåm cuûa noù. 

Maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng laø taäp hôïp caùc ñieåm caùch ñeàu hai ñaàu muùt cuûa 

ñoaïn thaúng ñoù. 

• Ñònh lí ba ñöôøng vuoâng goùc 

Cho a ⊥ ( P), b ⊂ ( P) 

, a′ laø hình chieáu cuûa a treân (P). Khi ñoù b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′ 

3. Hai maët phaúng vuoâng goùc 

( P),( Q) = 90 

a) Ñònh nghóa: (P) ⊥ (Q) ⇔ ( ) 

0 


⎧( P) 

⊃ a 

• Ñieàu kieän ñeå hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi nhau: ⎨ ⇒ ( P) ⊥ ( Q) 

⎩a 

⊥ ( Q) 

( ) ( ),( ) ( ) 

• 

⎧ P ⊥ Q P ∩ Q = ⎧( P) ⊥ ( Q) 

⎨ c 

⎪ ⇒ a ⊥ ( Q) 

• ⎨A ∈ ( P) ⇒ a ⊂ ( P) 

⎩a ⊂ ( P), 

a ⊥ c 

⎪⎩ 

a ∋ A, a ⊥ ( Q) 

⎧( P) ∩ ( Q) 

= a 

⎪ 

• ⎨( P) ⊥ ( R) ⇒ a ⊥ ( R) 

⎪⎩ 

( Q) ⊥ ( R) 

4. Chöùng minh quan heä vuoâng goùc 

a) Chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc 

Ñeå chöùng minh d ⊥ a , ta coù theå söû duïng 1 trong caùc caùch sau: 

• Chöùng minh goùc giöõa a vaø d baèng 90 0 . 

• Chöùng minh 2 vectô chæ phöông cuûa a vaø d vuoâng goùc vôùi nhau. 

• Chöùng minh d ⊥ b maø b a . 



• Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi (P) vaø (P) chöùa a. 

• Söû duïng ñònh lí ba ñöôøng vuoâng goùc. 

• Söû duïng caùc tính chaát cuûa hình hoïc phaúng (nhö ñònh lí Pi–ta–go, …). 

b) Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng 


• Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi hai ñöôøng thaúng a, b caét nhau naèm trong (P). 

• Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi (Q) vaø (Q) // (P). 

• Chöùng minh d // a vaø a ⊥ (P). 

• Chöùng minh d ⊂ (Q) vôùi (Q) ⊥ (P) vaø d vuoâng goùc vôùi giao tuyeán c cuûa (P) vaø (Q). 

• Chöùng minh d = (Q) ∩ (R) vôùi (Q) ⊥ (P) vaø (R) ⊥ (P). 

c) Chöùng minh hai maët phaúng vuoâng goùc 

Ñeå chöùng minh (P) ⊥ (Q), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau: 

• Chöùng minh trong (P) coù moät ñöôøng thaúng a maø a ⊥ (Q). 

• Chöùng minh ( 

 

P),( Q ) = 90 

( ) 

0 

III. GOÙC – KHOAÛNG CAÙCH 

1. Goùc 

a) Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng: a//a', b//b' ⇒ 

Chuù yù: 0 0 ≤ ( a 

 

, b) 

≤ 90 0 

( ) 

( 

,( )) 

( 

,( )) 

( a 

 

, b) = a 

 

', b' 

( ) 

b) Goùc giöõa ñöôøng thaúng vôùi maët phaúng: 

• Neáu d ⊥ (P) thì d 

 

,( P ) = 90 0 . 

• Neáu d ⊥ ( P) 

thì d P = ( d 

 

, d ') 

vôùi d′ laø hình chieáu cuûa d treân (P). 

Chuù yù: 0 0 ≤ d P ≤ 90 0 

⎧a 

⊥ ( P) 

c) Goùc giöõa hai maët phaúng 

(( 

),( )) ( 

⎨ ⇒ P Q = a, 

b) 

⎩b 

⊥ ( Q) 

⎧a ⊂ ( P), 

a ⊥ c 

• Giaû söû (P) ∩ (Q) = c. Töø I ∈ c, döïng ⎨ ⇒ 

⎩b ⊂ ( Q), 

b ⊥ 

(( 

P),( Q) ) = a 

 

, b 

c 

Chuù yù: 0 0 ≤ ( 

 

P),( Q) ≤ 90 

0 

( ) 

( ) 

d) Dieän tích hình chieáu cuûa moät ña giaùc 

Goïi S laø dieän tích cuûa ña giaùc (H) trong (P), S′ laø dieän tích cuûa hình chieáu (H′) cuûa (H) 

treân (Q), ϕ = ( 

 


( ) 

2. Khoaûng caùch 

a) Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán ñöôøng thaúng (maët phaúng) baèng ñoä daøi ñoaïn vuoâng 

goùc veõ töø ñieåm ñoù ñeán ñöôøng thaúng (maët phaúng). 

b) Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song baèng khoaûng caùch töø 

moät ñieåm baát kì treân ñöôøng thaúng ñeán maët phaúng. 

c) Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song baèng khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kì 

treân maët phaúng naøy ñeán maët phaúng kia. 




d) Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau baèng: 

• Ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa hai ñöôøng thaúng ñoù. 

• Khoaûng caùch giöõa moät trong hai ñöôøng thaúng vôùi maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng kia 

vaø song song vôùi ñöôøng thaúng thöù nhaát. 

• Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng, maø moãi maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng naøy vaø 

song song vôùi ñöôøng thaúng kia. 

IV. Nhaéc laïi moät soá coâng thöùc 

trong Hình hoïc phaúng 

1. Heä thöùc löôïng trong tam giaùc 

a) Cho ∆ABC vuoâng taïi A, coù ñöôøng cao AH. 

2 2 2 2 2 

• AB + AC = BC • AB = BC. BH, AC = BC. 

CH • 1 = 1 + 

1 

2 2 2 

AH AB AC 

• AB = BC.sin C = BC.cos B = AC.tan C = AC.cot 

B 

b) Cho ∆ABC coù ñoä daøi ba caïnh laø: a, b, c; ñoä daøi caùc trung tuyeán laø m a , m b , m c ; baùn 

kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp R; baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp r; nöûa chu vi p. 

• Ñònh lí haøm soá cosin: 

2 2 2 

2 2 2 2 2 2 

a =b + c – 2bc. cosA; b = c + a − 2ca.cos B; c = a + b − 2ab.cosC 

a b c 

• Ñònh lí haøm soá sin: 

= = = 2R 

sin A sin B sin C 

• Coâng thöùc ñoä daøi trung tuyeán: 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 

2 b + c a 2 c + a b 2 a + b c 

a 

= − ; 

b 

= − ; 

c 

= − 

m m m 

2 4 2 4 2 4 

2. Caùc coâng thöùc tính dieän tích 

a) Tam giaùc: 

1 1 1 

1 1 1 

• S = a. 

ha 

= b. 

hb 

= c. 

hc 

• S = bc sin A = ca.sin 

B = absin 

C 

2 2 2 

2 2 2 

abc 

• S = • S = pr 

• S = p( p − a)( p − b)( p − c) 

4R 

• ∆ABC vuoâng taïi A: 2S = AB. AC = BC. 

AH 

• ∆ABC ñeàu, caïnh a: 

a 3 

S = 

4 

b) Hình vuoâng: S = a 2 (a: caïnh hình vuoâng) 

c) Hình chöõ nhaät: S = a.b (a, b: hai kích thöôùc) 

d) Hình bình haønh: S = ñaùy × cao = AB. AD. 

sinBAD 

 

e) Hình thoi: 

1 

S = AB. AD. sinBAD = AC. 

BD 

2 

f) Hình thang: 

1 

S = ( a + b)h 

. 

2 

(a, b: hai ñaùy, h: chieàu cao) 

g) Töù giaùc coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc: 

1 

S = AC. 

BD 

2 

2 



CHÖÔNG I 

KHOÁI ÑA DIEÄN VAØ THEÅ TÍCH CUÛA CHUÙNG 

1. Theå tích cuûa khoái hoäp chöõ nhaät: 

V = abc vôùi a, b, c laø ba kích thöôùc cuûa khoái hoäp chöõ nhaät. 

2. Theå tích cuûa khoái choùp: 

1 

V = S . h vôùi S ñaùy laø dieän tích ñaùy, h laø chieàu cao cuûa khoái choùp 

3 ñaùy 

3. Theå tích cuûa khoái laêng truï: 

V = S . h vôùi S ñaùy laø dieän tích ñaùy, h laø chieàu cao cuûa khoái laêng truï 

ñaùy 

4. Moät soá phöông phaùp tính theå tích khoái ña dieän 

a) Tính theå tích baèng coâng thöùc 

• Tính caùc yeáu toá caàn thieát: ñoä daøi caïnh, dieän tích ñaùy, chieàu cao, … 

• Söû duïng coâng thöùc ñeå tính theå tích. 

b) Tính theå tích baèng caùch chia nhoû 

Ta chia khoái ña dieän thaønh nhieàu khoái ña dieän nhoû maø coù theå deã daøng tính ñöôïc theå 

tích cuûa chuùng. Sau ñoù, coäng caùc keát quaû ta ñöôïc theå tích cuûa khoái ña dieän caàn tính. 

c) Tính theå tích baèng caùch boå sung 

Ta coù theå gheùp theâm vaøo khoái ña dieän moät khoái ña dieän khaùc sao cho khoái ña dieän 

theâm vaøo vaø khoái ña dieän môùi taïo thaønh coù theå deã tính ñöôïc theå tích. 

d) Tính theå tích baèng coâng thöùc tæ soá theå tích 

Ta coù theå vaän duïng tính chaát sau: 

Cho ba tia Ox, Oy, Oz khoâng ñoàng phaúng. Vôùi baát kì caùc ñieåm A, A’ treân Ox; B, B' 

treân Oy; C, C' treân Oz, ta ñeàu coù: 

VOABC 

OA OB OC 

= . . 

V OA' OB ' OC ' 

OA' B' C ' 

* Boå sung 

• Dieän tích xung quanh cuûa hình laêng truï (hình choùp) baèng toång dieän tích caùc maët beân 

• Dieän tích toaøn phaàn cuûa hình laêng truï (hình choùp) baèng toång dieän tích xung quanh 

vôùi dieän tích caùc ñaùy. 

Baøi 1. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a. Goùc giöõa 

maët beân vaø maët ñaùy baèng α (45 0 < α < 90 0 ). Tính theå tích hình choùp. 

HD: Tính h = 1 2 a tanα ⇒ V 1 

= a3 tan α 

6 

Baøi 2. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh 2a, caïnh 

beân SA = a 5 . Moät maët phaúng (P) ñi qua AB vaø vuoâng goùc vôùi mp(SCD) laàn löôït caét 

SC vaø SD taïi C′ vaø D′. Tính theå tích cuûa khoái ña dieän ADD′.BCC′. 

HD: Gheùp theâm khoái S.ABC'D' vaøo khoái ADD'.BCC' thì ñöôïc khoái SABCD 

3 

5a 

3 

⇒ V = 

6 




Baøi 3. Cho hình choùp tam giaùc S.ABC coù SA = x, BC = y, caùc caïnh coøn laïi ñeàu baèng 1. 

Tính theå tích hình choùp theo x vaø y. 

HD: Chia khoái SABC thaønh hai khoái SIBC vaø AIBC (I laø trung ñieåm SA) 

xy 

⇒ V = 4 − x 2 − y 

2 


Baøi 4. Cho töù dieän ABCD coù caùc caïnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tính 

theå tích töù dieän theo a, b, c. 

HD: Trong mp(BCD) laáy caùc ñieåm P, Q, R sao cho B, C, D laàn löôït laø trung ñieåm cuûa 

PQ, QR, RP. Chuù yù: V APQR = 4V ABCD = 1 6 

AP . AQ . AR 

2 

⇒ V = ( a 2 + b 2 − c 2 )( b 2 + c 2 − a 2 )( c 2 + a 2 − b 

2 ) 


Baøi 5. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a, SA = 2a vaø SA ⊥ 

(ABC).Goïi M vaø N laàn löôït laø hình chieáu cuûa A treân caùc ñöôøng thaúng SB vaø SC. Tính 

theå tích khoái choùp A.BCNM. 

HD: 

V 

2 

SAMN SA SM SN ⎛ SA ⎞ 

= . . = V SA SB SC 

⎜ 

= 

2 ⎟ 

⎝ SB ⎠ 

SABC 

2 

16 

25 

3 

3a 

3 

⇒ V = 

50 

Baøi 6. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh 7cm, SA ⊥ (ABCD), SB 

= 7 3 cm. Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD. 

Baøi 7. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A vôùi AB = 3 cm, AC = 

4cm. Hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy vaø SA = 5cm. 

Tính theå tích khoái choùp S.ABC. 

Baøi 8. Cho hình töù dieän ABCD coù AD ⊥ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 

5cm. 

a) Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp(BCD). 

b) Tính theå tích töù dieän ABCD. 

Baøi 9. Cho laêng truï tam giaùc ñeàu ABC.A′B′C′ coù mp(ABC′) taïo vôùi ñaùy moät goùc 45 0 vaø 

dieän tích ∆ABC′ baèng 49 

6 cm 2 . Tính theå tích laêng truï. 

Baøi 10. Cho hình vuoâng ABCD caïnh a, caùc nöûa ñöôøng thaúng Bx, Dy vuoâng goùc vôùi 

mp(ABCD) vaø ôû veà cuøng moät phía ñoái vôùi maët phaúng aáy. Treân Bx vaø Dy laàn löôït laáy 

caùc ñieåm M, N vaø goïi BM = x, DN = y. Tính theå tích töù dieän ACMN theo a, x, y. 

Baøi 11. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät vôùi AB =a, AD = a 2 , SA 

⊥ (ABCD). Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø SC, I laø giao ñieåm cuûa BM vaø 

AC. 

a) Chöùng minh mp(SAC) ⊥ BM. 

b) Tính theå tích cuûa khoái töù dieän ANIB. 

Baøi 12. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a, SA = 2a vaø SA ⊥ 

(ABC). Goïi M vaø N laàn löôït laø hình chieáu cuûa A treân caùc ñöôøng thaúng SB, SC. Tính theå 

tích khoái choùp A.BCNM. 

Baøi 13. (A–08) Cho laêng truï ABC. A’B’C’ coù ñoä daøi caïnh beân baèng 2a, ñaùy ABC laø tam 

giaùc vuoâng taïi A, AB = a, AC = a 3 vaø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A’ treân (ABC) laø 

trung ñieåm cuûa BC. Tính theo a theå tích cuûa khoái choùp A’.ABC vaø cosin cuûa goùc giöõa 2 

ñöôøng thaúng AA’ vaø B’C’. 



HD: 

3 

a 

1 

V = ; cosϕ = 

2 4 

Baøi 14. (B–08): Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh 2a, SA = a, SB 

= a 3 vaø (SAB) vuoâng goùc maët ñaùy. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm AB, BC. Tính 

theo a theå tích cuûa khoái choùp S.BMDN vaø cosin cuûa goùc giöõa hai ñöôøng thaúng SM vaø 

DN. 

HD: 

a 

3 3 5 

V = ; cosϕ = 

3 5 

Baøi 15. (D–08): Cho laêng truï ñöùng ABC. A’B’C’ coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng, AB = BC 

= a, caïnh beân AA’ = a 2 . Goïi M laø trung ñieàm cuûa BC. Tính theo a theå tích cuûa laêng 

truï ABC.A’B’C’ vaø khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng AM, B′C. 

HD: 

3 

2a 

a 7 

V = ; d = 

2 7 

Baøi 16. (A–07): Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, maët beân 

SAD laø tam giaùc ñeàu vaø naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi M, N, P laàn löôït 

laø trung ñieåm SB, BC, CD. Chöùng minh AM ⊥ BP vaø tính theå tích khoái CMNP. 

HD: 

V = 

3 

3a 

96 

Baøi 17. (B–07): Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a. 

Goïi E laø ñieåm ñoái xöùng cuûa D qua trung ñieåm cuûa SA; M laø trung ñieåm cuûa AE, N laø 

trung ñieåm cuûa BC. Chöùng minh MN ⊥ BD vaø tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng 

MN vaø AC. 

HD: 

a 2 

d = 

4 

Baøi 18. (D–07): Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thang vôùi 

0 

ABC = BAD = 90 , BC = BA = a, AD = 2a. SA⊥(ABCD), SA = a 2 . Goïi H laø hình 

chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SB. Chöùng minh tam giaùc SCD vuoâng vaø tính khoaûng caùch 

töø H ñeán (SCD). 

HD: 

a 

d = 

3 

Baøi 19. (A–06): Cho hình truï coù caùc ñaùy laø hai hình troøn taâm O vaø O′, baùn kính ñaùy baèng 

chieàu cao vaø baèng a. Treân ñöôøng troøn ñaùy taâm O laáy ñieåm A, treân ñöôøng troøn ñaùy taâm 

O′ laáy ñieåm B sao cho AB = 2a. Tính theå tích cuûa khoái töù dieän OO′AB. 

HD: 

V = 

3 

3a 


Baøi 20. (B–06): Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät vôùi AB = a, 

AD = a 2 , SA = a vaø SA ⊥ (ABCD). Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD, SC; I laø 

giao ñieåm cuûa BM vaø AC. Chöùng minh raèng (SAC) ⊥ (SMB). Tính theå tích cuûa khoái töù 

dieän ANIB. 

HD: 

V = 

3 

a 2 

36 

Baøi 21. (D–06): Cho hình choùp tam giaùc S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a, SA = 




2a vaø SA ⊥ (ABC). Goïi M, N laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SB, SC. Tính 

theå tích cuûa hình choùp A.BCMN. 

HD: 

V = 

3 3a 

50 

3 

Baøi 22. (Döï bò 1 A–07): Cho laêng truï ñöùng ABC.A 1 B 1 C 1 coù AB = a, AC = 2a, AA 1 = 

2a 5 vaø BAC = 120 

0 . Goïi M laø trung ñieåm CC 1 . Chöùng minh MB ⊥ MA 1 vaø tính 

khoaûng caùch d töø A ñeán (A 1 BM). 

HD: 

a 5 

d = 

3 

( SBC),( ABC) = 60 , ABC vaø SBC 

Baøi 23. (Döï bò 2 A–07): Cho hình choùp SABC coù goùc ( ) 

0 

laø caùc tam giaùc ñeàu caïnh a. Tính theo a khoaûng caùch töø B ñeán (SAC). 

HD: 

d = 

3a 

13 

Baøi 24. (Döï bò 1 B–07): Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng taâm O, SA ⊥ 

(ABCD). AB = a, SA = a 2 . Goïi H, K laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SB, 

SD. Chöùng minh SC⊥(AHK) vaø tính theå tích cuûa töù dieän OAHK. 

HD: 

V = 

3 

2a 

27 

Baøi 25. (Döï bò 2 B–07): Trong maët phaúng (P), cho nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB = 2R vaø 

ñieåm C thuoäc nöûa ñöôøng troøn ñoù sao cho AC = R. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi (P) 

taïi A laáy ñieåm S sao cho ( ) 

0 

(SAB),( SBC) = 60 . Goïi H, K laàn löôït laø hình chieáu cuûa A 

treân SB, SC. Chöùng minh tam giaùc AHK vuoâng vaø tính theå tích töù dieän SABC. 

HD: 

V = 

3 

R 6 


Baøi 26. (Döï bò 1 D–07): Cho laêng truï ñöùng ABC.A 1 B 1 C 1 coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng, 

AB = AC = a, AA 1 = a 2 . Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm ñoaïn AA 1 vaø BC 1 . Chöùng 

minh MN laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa AA 1 vaø BC 1 . Tính theå tích cuûa töù dieän 

MA 1 BC 1 . 

HD: 

V = 

3 

a 2 


Baøi 27. (Döï bò 2 D–07): Cho laêng truï ñöùng ABC.A 1 B 1 C 1 coù taát caû caùc caïnh ñeàu baèng a. M 

laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AA 1 . Chöùng minh BM ⊥ B 1 C vaø tính khoaûng caùch giöõa hai 

ñöôøng thaúng BM vaø B 1 C. 

HD: 

a 30 

d = 


Baøi 28. (Döï bò 1 A–06): Cho hình hoäp ñöùng ABCD.A'B'C'D' coù caùc caïnh AB = AD = a, 

a 3 

AA' = vaø BAD = 60 

0 . Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh A'D' vaø A'B'. 

2 

Chöùng minh AC' ⊥ (BDMN). Tính theå tích khoái choùp A.BDMN. 



HD: 

V = 

3 

3a 

16 

Baøi 29. (Döï bò 2 A–06): Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät vôùi AB = 

a, AD = 2a, caïnh SA vuoâng goùc vôùi ñaùy, caïnh SB taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 60 0 . 

Treân caïnh SA laáy ñieåm M sao cho AM = 

Tính theå tích khoái choùp S.BCNM. 

HD: 

V = 


27 

a 

3 

a 3 

3 

. Maët phaúng (BCM) caét caïnh SD taïi N. 

Baøi 30. (Döï bò 1 B–06): Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a, 

0 

BAD = 60 , SA ⊥ (ABCD), SA = a. Goïi C' laø trung ñieåm cuûa SC. Maët phaúng (P) ñi qua 

AC' vaø song song vôùi BD, caét caùc caïnh SB, SD laàn löôït taïi B', D'. Tính theå tích khoái 

choùp S.AB'C'D'. 

HD: 

3 3 

a 

V = 

18 

Baøi 31. (Döï bò 2 B–06): Cho hình laêng truï ABC.A'B'C' coù A'ABC laø hình choùp tam giaùc 

ñeàu, caïnh ñaùy AB = a, caïnh beân AA' = b. Goïi α laø goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø 

(A'BC). Tính tanα vaø theå tích khoái choùp A'.BB'C'C. 

HD: tanα = 

2 2 

2 3b − a 

a 

; 

V = 

2 2 2 

a 3b − a 

6 

Baøi 32. (Döï bò 1 D–06): Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy baèng a. Goïi SH 

laø ñöôøng cao cuûa hình choùp. Khoaûng caùch töø trung ñieåm I cuûa SH ñeán maët phaúng 

(SBC) baèng b. Tính theå tích khoái choùp S.ABCD. 

HD: 

2 

V = . 

3 

a 

3 

a b 

2 2 

−16b 

Baøi 33. (Döï bò 2 D–06): Cho hình laäp phöông ABCD.A′B′C′D′ coù caïnh baèng a vaø ñieåm K 

thuoäc caïnh CC′ sao cho CK = 2 a . Maët phaúng (α) ñi qua A, K vaø song song vôùi BD, 

3 

chia khoái laäp phöông thaønh hai khoái ña dieän. Tính theå tích cuûa hai khoái ña dieän ñoù. 

HD: 

3 3 

a 

2a 

V1 = ; V2 

= 

3 3 

Baøi 34. (Döï bò 04): Cho hình choùp S.ABC coù SA = 3a vaø SB ⊥ (ABC). Tam giaùc ABC coù 

BA = BC = a, goùc ABC baèng 120 0 . Tính khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán maët phaúng (SBC). 

Baøi 35. (Döï bò 03): Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B, AB = a, 

BC = 2a, caïnh SA vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø SA = 2a. Goïi M laø trung ñieåm cuûa SC. Chöùng 

minh raèng tam giaùc AMB caân taïi M vaø tính dieän tích tam giaùc AMB theo a. 

HD: 

S 

∆ AMB 

= 

2 

2 

a 

2 




OÂN TAÄP KHOÁI ÑA DIEÄN 

Baøi 1. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu SABCD, coù caïnh ñaùy baèng a vaø ASB 

a) Tính dieän tích xung quanh hình choùp. 

b) Chöùng minh chieàu cao cuûa hình choùp baèng 

c) Tính theå tích khoái choùp. 

a 2 α cot − 1 

2 2 

2 

HD: a) S xq = a cot α 1 3 2 α 

c) V = a cot − 1 

2 

6 2 

= α . 

Baøi 2. Cho hình choùp SABC coù 2 maët beân (SAB) vaø (SAC) vuoâng goùc vôùi ñaùy. Ñaùy ABC 

laø tam giaùc caân ñænh A. Trung tuyeán AD = a. Caïnh beân SB taïo vôùi ñaùy goùc α vaø taïo 

vôùi mp(SAD) goùc β. 

a) Xaùc ñònh caùc goùc α, β. 

b) Chöùng minh: SB 2 = SA 2 + AD 2 + BD 2 . 

c) Tính dieän tích toaøn phaàn vaø theå tích khoái choùp. 

HD: a) SBA 

= α; 

BSD 

= β 

c) S tp = 

V = 

2 2 

1 a 

a sin β 

(sin 2α 

+ sin 2β 

) + 

2 2 2 

cos α − sin β 2 2 

cos α − sin β 

3 

a sin α.sin 

β 

2 2 

3(cos α − sin β ) 

Baøi 3. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a. Maët beân SAB laø tam 

giaùc ñeàu vaø vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB vaø M laø moät ñieåm di ñoäng 

treân ñöôøng thaúng BC. 

a) Chöùng minh raèng SH ⊥ (ABCD). Tính theå tích khoái choùp SABCD. 

b) Tìm taäp hôïp caùc hình chieáu cuûa S leân DM. 

c) Tìm khoaûng caùch töø S ñeán DM theo a vaø x = CM. 

HD: b) K thuoäc ñöôøng troøn ñöôøng kính HD c) SK = 

2 2 

a 7a − 4ax + 4x 

2 2 2 

a + x 

Baøi 4. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc taïi A vôùi maët phaúng cuûa hình vuoâng ABCD caïnh a ta 

laáy ñieåm S vôùi SA = 2a. Goïi B′, D′ laø hình chieáu cuûa A leân SB vaø SD. Maët phaúng 

(AB′D′) caét SC taïi C′. Tính theå tích khoái choùp SAB′C′D′. 

HD: 

V 

V 

SAB C 

SABC 

′ ′ 8 

= ⇒ V SAB′C′D′ = 

15 

3 

16a 

45 

Baøi 5. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình bình haønh. Moät maët phaúng (P) caét 

SA, SB, SC, SD laàn löôït taïi A′, B′, C′, D′. Chöùng minh: 

SA SC SB SD 

+ = + 

SA′ SC′ SB′ SD′ 

HD: Söû duïng tính chaát tæ soá theå tích hình choùp 

Baøi 6. Cho töù dieän ñeàu SABC coù caïnh laø a. Döïng ñöôøng cao SH. 

a) Chöùng minh SA ⊥ BC. 

b) Tính theå tích vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình choùp SABC. 



c) Goïi O laø trung ñieåm cuûa SH. Chöùng minh raèng OA, OB, OC ñoâi moät vuoâng goùc vôùi 

nhau. 

3 

a 2 2 

HD: b) V = ; S tp = a 3 . 


Baøi 7. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu SABCD coù caïnh beân taïo vôùi ñaùy moät goùc 60 0 vaø caïnh 

ñaùy baèng a. 

a) Tính theå tích khoái choùp. 

b) Qua A döïng maët phaúng (P) vuoâng goùc vôùi SC. Tính dieän tích thieát dieän taïo bôûi (P) 

vaø hình choùp. 

3 

2 

a 6 

a 3 

HD: a) V = 

b) S = 

6 

3 

Baøi 8. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu SABCD coù chieàu cao SH = h vaø goùc ôû ñaùy cuûa maët beân 

laø α. 

a) Tính dieän tích xung quanh vaø theå tích khoái choùp theo α vaø h. 

b) Cho ñieåm M di ñoäng treân caïnh SC. Tìm taäp hôïp hình chieáu cuûa S xuoáng mp(MAB). 

2 

3 

4h tanα 

HD: a) S xq = 

2 

tan α − 1 

; V = 4h 

2 

3(tan α −1) 

Baøi 9. Treân caïnh AD cuûa hình vuoâng ABCD caïnh a, ngöôøi ta laáy ñieåm M vôùi AM = x (0 

≤ x ≤ a) vaø treân nöûa ñöôøng thaúng Ax vuoâng goùc taïi A vôùi maët phaúng cuûa hình vuoâng, 

ngöôøi ta laáy ñieåm S vôùi SA = y (y > 0). 

a) Chöùng minh hai maët phaúng (SBA) vaø (SBC) vuoâng goùc. 

b) Tính khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán mp(SAC). 

c) Tính theå tích khoái choùp SABCM. 

d) Vôùi giaû thieát x 2 + y 2 = a 2 . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa theå tích vôùi SABCM. 

e) I laø trung ñieåm cuûa SC. Tìm quó tích hình chieáu cuûa I xuoáng MC khi M di ñoäng treân 

ñoaïn AD. 

HD: b) d = 

x 2 

2 

c) V = 1 6 ay( x + a) 

d) V max = 

1 

24 a 

Baøi 10. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät coù caïnh AB = a, caïnh beân 

SA vuoâng goùc vôùi ñaùy, caïnh beân SC hôïp vôùi ñaùy goùc α vaø hôïp vôùi maët beân SAB moät 

goùc β. 

a) Chöùng minh: SC 2 = 

cos 

b) Tính theå tích khoái choùp. 

HD: b) V = 

3 

a 

2 

2 2 

α − sin 

a sin α.sin 

β 

2 2 

3(cos α − sin β ) 

. 

β 

Baøi 11. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a .Caïnh beân SA =2a vaø 

vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy. 

a) Tính dieän tích toaøn phaàn cuûa hình choùp. 

b) Haï AE ⊥ SB, AF ⊥ SD. Chöùng minh SC ⊥ (AEF). 

Baøi 12. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh baèng a vaø 

SA = SB = SC = SD = a. Tính dieän tích toaøn phaàn vaø theå tích khoái choùp S.ABCD. 

Baøi 13. Cho hình choùp töù giaùc S.ABCD coù ñaùy laø ABCD hình thang vuoâng taïi A vaø D, AB 

= AD = a, CD = 2a. Caïnh beân SD ⊥ (ABCD) vaø SD = a . 

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 11/236 

3 

3



a) Chöùng minh ∆SBC vuoâng. Tính dieän tích ∆SBC. 

b) Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SBC). 

Baøi 14. Cho hình choùp töù giaùc S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng taïi A vaø D, AB 

= AD = a, CD = 2a. Caïnh beân SD ⊥ (ABCD), SD = a 3 . Töø trung ñieåm E cuûa DC 

döïng EK ⊥ SC (K ∈ SC). Tính theå tích khoái choùp S.ABCD theo a vaø chöùng minh SC ⊥ 

(EBK). 

Baøi 15. Cho hình choùp töù giaùc S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng taïi A vaø D. 

Bieát raèng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0). Caïnh beân SA = 3a vaø vuoâng goùc vôùi ñaùy. 

a) Tính dieän tích tam giaùc SBD. 

b) Tính theå tích cuûa töù dieän SBCD theo a. 

Baøi 16. Cho hình choùp tam giaùc S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng ôû B. Caïnh SA 

vuoâng goùc vôùi ñaùy. Töø A keû caùc ñoaïn thaúng AD ⊥ SB vaø AE ⊥ SC. Bieát AB = a, BC = 

b, SA = c. 

a) Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ADE. 

b) Tính khoaûng caùch töø ñieåm E ñeán maët phaúng (SAB). 

Baøi 17. Cho laêng truï tam giaùc ñeàu ABC.A′B′C′, caïnh ñaùy baèng a, ñöôøng cheùo cuûa maët beân 

BCC′B′ hôïp vôùi maët beân ABB′A′ moät goùc α. 

a) Xaùc ñònh goùc α. 

b) Chöùng minh theå tích laêng truï laø: 

HD: 

3 

a 

8 

3sin 

3α 

3 

sin α . 

a) C ′ BI′ vôùi I′ laø trung ñieåm cuûa A′B′ 

Baøi 18. Cho laêng truï töù giaùc ñeàu ABCD.A′B′C′D′, chieàu cao h. Maët phaúng (A′BD) hôïp vôùi 

maët beân ABB′A′ moät goùc α. Tính theå tích vaø dieän tích xung quanh cuûa laêng truï. 

HD: V = 

3 2 

h tan α − 1 , S xq = 4h 2 tan 2 α − 1 . 

Baøi 19. Cho laêng truï ñöùng ABC.A′B′C′, ñaùy ABC vuoâng taïi A. Khoaûng caùch töø AA′ ñeán 

maët beân BCC′B′ baèng a, mp(ABC′) caùch C moät khoaûng baèng b vaø hôïp vôùi ñaùy goùc α. 

a) Döïng AH ⊥ BC, CK ⊥ AC′. Chöùng minh: AH = a, CAC′ = α, CK = b. 

b) Tính theå tích laêng truï. 

c) Cho a = b khoâng ñoåi, coøn α thay ñoåi. Ñònh α ñeå theå tích laêng truï nhoû nhaát. 

ab 

HD: b) V = 

sin 2α 

b − a 

3 

2 2 2 

sin 

α 

c) α = arctan 2 

2 

Baøi 20. Cho laêng truï ñeàu ABCD.A′B′C′D′ caïnh ñaùy baèng a. Goùc giöõa ñöôøng cheùo AC′ vaø 

ñaùy laø 60 0 . Tính theå tích vaø dieän tích xung quanh hình laêng truï. 

HD: V = a 3 6 ; S xq = 4a 2 6 

Baøi 21. Cho laêng truï töù giaùc ñeàu, coù caïnh beân laø h. Töø moät ñænh veõ 2 ñöôøng cheùo cuûa 2 

maët beân keà nhau. Goùc giöõa 2 ñöôøng cheùo aáy laø α. Tính dieän tích xung quanh hình laêng 

truï. 

HD: S xq = 4h 2 1− 

cosα 

. 

cosα 

Baøi 22. Cho laêng truï tam giaùc ñeàu ABc.A′B′C′, caïnh ñaùy baèng a. Maët phaúng (ABC′) hôïp 

vôùi mp(BCC′B′) moät goùc α. Goïi I, J laø hình chieáu cuûa A leân BC vaø BC′. 

a) Chöùng minh AJI = α. 



b) Tính theå tích vaø dieän tích xung quanh hình laêng truï. 

HD: b) V = 

3a 

2 

3 

4 tan α − 3 

; S xq = 3a 2 3 

2 

tan α − 3 

. 

Baøi 23. Cho laêng truï xieân ABC.A′B′C′, ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a, AA′ = A′B = A′C = b. 

a) Xaùc ñònh ñöôøng cao cuûa laêng truï veõ töø A′. Chöùng minh maët beân BCC′B′ laø hình chöõ 

nhaät. 

b) Ñònh b theo a ñeå maët beân ABB′A′ hôïp vôùi ñaùy goùc 60 0 . 

c) Tính theå tích vaø dieän tích toaøn phaàn theo a vôùi giaù trò b tìm ñöôïc. 

HD: 

b) b = a 

7 

12 c) S tp = 

2 

a ( 7 3 + 21 ) 

6 

Baøi 24. Cho hình laêng truï xieân ABC.A′B′C′, ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân ñænh A. Maët 

beân ABB′A′ laø hình thoi caïnh a, naèm treân maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy. Maët beân 

ACC′A′ hôïp vôùi ñaùy goùc nhò dieän coù soá ño α (0 < α < 90 0 ). 

a) Chöùng minh: A ′ AB = α. 


c) Xaùc ñònh thieát dieän thaúng qua A. Tính dieän tích xung quanh laêng truï. 

d) Goïi β laø goùc nhoïn maø mp(BCC′B′) hôïp vôùi maët phaúng ñaùy. 

Chöùng minh: tanβ = 

2 tanα. 

HD: b) V = 1 2 a3 sinα c) S xq = a 2 (1 + sinα + 

2 

1+ sin α ) 

Baøi 25. Cho laêng truï xieân ABC.A′B′C′ ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a. Hình chieáu cuûa A′ leân 

mp(ABC) truøng vôùi taâm ñöôøng troøn (ABC). Cho BAA′ = 45 0 . 

a) Tính theå tích laêng truï. b) Tính dieän tích xung quanh laêng truï. 

HD: a) V = 

2 

a 2 

8 

b) S xq = a 2 (1 + 

2 

2 ). 

Baøi 26. Cho laêng truï xieân ABC.A′B′C′, ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu noäi tieáp trong ñöôøng troøn 

taâm O. Hình chieáu cuûa C′ leân mp(ABC) laø O. Khoaûng caùch giöõa AB vaø CC′ laø d vaø soá 

ño nhò dieän caïnh CC′ laø 2ϕ. 

a) Tính theå tích laêng truï. 

b) Goïi α laø goùc giöõa 2 mp(ABB′A′) vaø (ABC) (0 < α < 90 0 ). 

Tính ϕ bieát α + ϕ = 90 0 . 

HD: a) V = 

3 3 

2d tan ϕ 

2 

3tan 

ϕ −1 

b) tanα = 

1 

2 

3tan ϕ −1 

; ϕ = arctan 2 

2 

Baøi 27. Cho laêng truï xieân ABC.A′B′C′ coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng taïi A, AB = a, BC = 2a. 

Maët beân ABBA′ laø hình thoi, maët beân BCC′B′ naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi 

ñaùy, hai maët naøy hôïp vôùi nhau moät goùc α. 

a) Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp(BCC′B′). Xaùc ñònh goùc α. 


HD: a) 

a 3 

2 

. Goïi AK laø ñöôøng cao cuûa ∆ABC; veõ KH ⊥ BB′. AHK = α. 

3 

3a b) V = cotα . 

2 

Baøi 28. Cho hình hoäp ñöùng ABCD.A′B′C′D′, ñaùy laø hình thoi. Bieát dieän tích 2 maët cheùo 



ACC′A′, BDD′B′ laø S 1 , S 2 . 


a) Tính dieän tích xung quanh hình hoäp. 

b) Bieát BA ′ D = 1v. Tính theå tích hình hoäp. 

HD: a) S xq = 2 

2 2 

1 

S2 

S 

2 S1S 

2 

+ b) V = . 

2 

S − S 

4 2 2 

2 1 

Baøi 29. Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A′B′C′D′, ñöôøng cheùo AC′ = d hôïp vôùi ñaùy ABCD 

moät goùc α vaø hôïp vôùi maët beân BCC′B′ moät goùc β. 

a) Chöùng minh: CAC 

′ = α vaø AC ′ B = β . 

b) Chöùng minh theå tích hình hoäp laø: V = d 3 sinα.sinβ cos( α + β ).cos( α − β ) 

c) Tìm heä thöùc giöõa α, β ñeå A′D′CB laø hình vuoâng. Cho d khoâng ñoåi, α vaø β thay ñoåi 

maø A′D′CB luoân laø hình vuoâng, ñònh α, β ñeå V lôùn nhaát. 

HD: c) 2(cos 2 α – sin 2 β) = 1 ; V max = 

3 

d 2 

32 

khi α = β = 30 0 (duøng Coâsi). 

Baøi 30. Cho hình hoäp ABCD.A′B′C′D’ coù ñaùy laø hình thoi ABCD caïnh a, A = 60 0 . Chaân 

ñöôøng vuoâng goùc haø töø B′ xuoáng ñaùy ABCD truøng vôùi giao ñieåm 2 ñöôøng cheùo cuûa 

ñaùy. Cho BB′ = a. 

a) Tính goùc giöõa caïnh beân vaø ñaùy. 

b) Tính theå tích vaø dieän tích xung quanh hình hoäp. 

HD: a) 60 0 b) V = 

3 

3a ; Sxq = a 2 15 . 

4 

Baøi 31. Cho hình hoäp xieân ABCD.A′B′C′D′, ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a vaø BAD = 60 0 ; 

A′A = A′B = A′D vaø caïnh beân hôïp vôùi ñaùy goùc α. 

a) Xaùc ñònh chaân ñöôøng cao cuûa hình hoäp veõ töø A′ vaø goùc α. Tính theå tích hình hoäp. 

b) Tính dieän tích caùc töù giaùc ACC′A′, BDD′B′. 

π 

ABB′ A′ , ABCD . Tính α bieát α + β = . 4 

c) Ñaët β = ( ) 

HD: 

a) Chaân ñöôøng cao laø taâm cuûa tam giaùc ñeàu ABD. 

b) S BDD′B′ = 

2 

3 

3 

asinα ; S ACC′A′ = a 2 tanα c) α = arctan 17 − 3 

4 



THEÅ TÍCH KHOÁI ÑA DIEÄN 

1 Tính theå tích cuûa hình hoäp chöõ nhaät coù chieàu roäng baèng 1 , chieàu daøi baèng 3 vaø ñöôøng cheùo 

o 

cuûa hình hoäp hôïp vôùi maët ñaùy moät goùc 30 . 

o 

2 Cho hình hoäp vôùi saùu maët ñeàu laø hình thoi caïnh a , goùc nhoïn baèng 60 . Tính theå tích cuûa hình hoäp. 

o 

3 Ñaùy cuûa moät hình hoäp laø moät hình thoi coù caïnh baèng 6cm vaø goùc nhoïn baèng 45 , caïnh beân cuûa hình 

o 

hoäp daøi 10cm vaø taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 45 .Tính theå tích cuûa khoái hoäp . 

· = 

o 

4 Cho hình hoäp ñöùng ABCD.A'B'C'D' coù ABCD laø hình thoi caïnh a vaø BAD 60 , AB' hôïp vôùi ñaùy 

(ABCD) moät goùc a . Tính theå tích cuûa hình hoäp . 

5 Cho khoái choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a , SA ^ (ABC) . Maët beân (SBC) taïo vôùi 

maët phaúng ñaùy moät goùc a . Tính theå tích khoái choùp . 

6 Cho khoái choùp tam giaùc ñeàu coù caïnh beân baèng a vaø caùc caïnh beân taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc a. 

Tính theå tích cuûa khoái choùp . 

a 3 

7 Khoái choùp tam giaùc S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A , BC = a ; SA = SB = SC = vaø 

2 

o 

maët beân SAB hôïp vôùi ñaùy moät goùc 60 

a) Tính khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (ABC) . 

b) Tính goùc giöõa ñöôøng thaúng SA vaø maët phaúng (ABC) . 

c) Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABC 

c) Goïi M laø trung ñieåm AB 

8 Cho khoái choùp S.ABC coù ñöôøng cao SA = a, ñaùy laø tam giaùc vuoâng caân AB = BC = a . Goïi B' laø 

trung ñieåm cuûa SB , C' laø chaân ñöôøng cao haï töø A cuûa DSAC . 

a) Tính theå tích khoái choùp S.ABC . 

b) Chöùng minh raèng SC vuoâng goùc vôùi mp(AB'C') . 

c) Tính theå tích khoái choùp S.AB'C' . 

9 Tính theå tích cuûa khoái choùp töù giaùc ñeàu , maët ñaùy coù caïnh baèng 2 , caïnh beân baèng 11 . 

10 Cho hình choùp töù giaùc ñeàu coù dieän tích ñaùy baèng 4 vaø dieän tích 

cuûa moät maët beân baèng 2 . Tính theå tích cuûa hình choùp ñoù . 

11 Cho hình choùp S .A BCD coù ñaùy A BCD laø hình vuoâng vaø ñöôøng cheùo A C = 2 . Bieát S A ^ (A BCD) vaø 

o 

caïnh beân S C taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 30 . Tính theå tích cuûa khoái choùp S .A BCD . 

12 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh , 

caïnh SA vuoâng goùc vôùi maët ñaùy vaø SA = AB = a . 

a) Tính dieän tích DSBD theo a . 

b) Chöùng minh raèng : BD ^ SC . 

c) Tính goùc taïo bôûi SC vaø maët phaúng (SBD) . 

d) Tính theå tích khoái choùp S.ABCD . 

12 (ÑHSPTpHCM-D2000) Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù 

ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a vaø SA = SB = SC = SD = a . 

Tính dieän tích toaøn phaàn vaø theå tích hình choùp S.ABCD theo a . 

13 Cho hình choùp töù giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy baèng a vaø caùc caïnh beân hôïp vôùi ñaùy moät goùc a . Tính theå 

tích cuûa khoái choùp töù giaùc ñeàu . 

14 Cho hình choùp töù giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy baèng a vaø caùc maët beân hôïp vôùi ñaùy moät goùc a . Tính theå 

tích cuûa khoái choùp töù giaùc ñeàu . 



15 (YHN-2000) Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù ñoä daøi caïnh 

ñaùy AB = a vaø SAB 

· = a . Tính theå tích khoái choùp S.ABCD theo a vaø a 

16 Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù ñöôøng cao baèng a vaø caùc maët beân laø tam giaùc caân coù goùc ôû 

ñænh baèng a . 

17 Tính theå tích cuûa khoái taùm maët ñeàu coù caïnh baèng a . 

18 Cho hình laäp phöông coù caïnh baèng a . Tính theå tích cuûa khoái taùm maët ñeàu maø caùc ñænh laø taâm cuûa 

caùc maët hình laäp phöông 

19 Cho khoái töù dieän ñeàu coù caïnh baèng a . Tính theå tích cuûa khoái taùm maët ñeàu maø caùc ñænh laø trung 

ñieåm cuûa caùc caïnh cuûa khoái töù dieän ñeàu 

· = 

o a 5 

20 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a , BAD 60 , SA = SC = , SB = SD. 

2 

a) Tính theå tích cuûa khoái choùp . 

b) Chöùng minh raèng : (SAC) ^ (SBD) . 

c) Tính S tp cuûa hình choùp . 

THEÅ TÍCH KHOÁI LAÊNG TRUÏ 

1 Moät hình laêng truï tam giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy baèng a , chieàu cao baèng 2a . Tính theå tích cuûa laêng 

truï . 

2 Moät laêng truï ñöùng coù chieàu cao 20cm . Maët ñaùy cuûa laêng truï laø moät tam 

2 

giaùc vuoâng coù caïnh huyeàn 13cm , dieän tích laø 30cm . Tính dieän tích xung 

quanh vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình laêng truï . 

3 Moät khoái laêng truï ñöùng tam giaùc coù caùc caïnh ñaùy baèng 37,13,30 vaø dieän 

tích xung quanh baèng 480 . Tính theå tích cuûa khoái laêng truï . 

o 

4 Moät khoái laêng truï tam giaùc coù caùc caïnh ñaùy baèng 13,14,15, caïnh beân taïo vôùi ñaùy moät goùc 30 vaø 

coù chieàu cao baèng 8 . Tính theå tích cuûa khoái laêng truï . 

5 Moät khoái laêng truï tam giaùc coù caùc caïnh ñaùy baèng 19,20,37, chieàu cao cuûa khoái laêng truï baèng trung 

bình coäng cuûa caùc caïnh ñaùy . Tính theå tích cuûa khoái laêng truï . 

6 Cho khoái laêng truï ñöùng ABC.A¢ B¢ C ¢ coù ñaùy ABC vuoâng taïi A , AC = a , ACB 

· o 

D 

= 60 .Ñöôøng thaúng 

BC ¢ , taïo vôùi mp(AA¢ C¢ 

o 

C) moät goùc 30 . 

a) Tính ñoä daøi ñoaïn thaúng AC ¢ . 

b) Tính theå tích khoái laêng truï ñaõ cho . 

7 Cho laêng truï tam giaùc ñeàu ABC.A'B'C' coù caùc caïnh ñeàu baèng a , 

AA' ^ (ABC) . Tính theå tích cuûa khoái ABCC'B' . 

8 Cho laêng truï xieân ABC.A¢ B¢ C¢ 

coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a .Hình chieáu vuoâng goùc cuûa A leân mp 

o 

(ABC) truøng vôùi trung ñieåm I cuûa BC , caïnh beân taïo vôùi ñaùy moät goùc 60 . Tính theå tích cuûa khoái laêng 

truï naøy . 

9 (BT20-P28sgk) Cho khoái laêng truï tam giaùc ABC.A'B'C' coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a, ñieåm A' 

o 

caùch ñeàu ba ñieåm A,B,C , caïnh beân AA' taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 60 . 

a) Tính theå tích cuûa khoái laêng truï ñoù . 

b) Chöùng minh raèng maët beân BCC'B' laø moät hình chöõ nhaät . 

c) Tính dieän tích xung quanh cuûa hình laêng truï . 



10 Cho laêng truï ñöùng ABC.A'B'C' coù ñaùy laø tam giaùc ABC vuoâng taïi B vaø AB = a , BC = 2a , AA' = 3a. 

Moät maët phaúng (P) qua A vaø vuoâng goùc vôùi CA' laàn löôït caét caùc ñoaïn thaúng CC' vaø BB' taïi M vaø N . 

a) Tính theå tích khoái choùp C.A'AB . 

b) Chöùng minh raèng : AN ^ A'B . 

c) Tính theå tích khoái töù dieän A'.AMN . 

d) Tính dieän tích DAMN . 

11 Cho laêng truï tam giaùc ñeàu ABC.A'B'C' caïnh ñaùy a , goùc giöõa ñöôøng thaúng AB' vaø maët phaúng 

(BB'C'C) baèng j . 

a 3 

a) Chöùng minh raèng : AB' = . 

2sinj 

b) Tính dieän tích xung quanh cuûa laêng truï . 

c) Tính theå tích cuûa laêng truï . 

12 (QGHN-D2000) Cho hình laêng truï ñöùng ABC.A¢ B¢ C ¢ coù ñaùy laø tam giaùc ABC caân taïi A , ABC 

· 

= a ; 

BC ¢ hôïp vôùi maët ñaùy (ABC) moät goùc b . Goïi I laø trung ñieåm caïnh AA ¢ . 

Bieát BIC 

· o 

= 90 . 

a) Chöùng toû raèng BIC laø tam giaùc vuoâng caân . 

2 2 

b) Chöùng minh : tan a + tan b = 1 

1 Cho hình choùp S.ABC coù hai maët ABC vaø SBC laø tam giaùc ñeàu naèm trong hai maët phaúng vuoâng goùc 

3 

a 

nhau . Bieát BC = a , tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABC . 

ÑS : V = 8 

2 Cho hình choùp S.ABC coù SA ^ AB, SA ^ BC , BC ^ AB . Bieát AB = BC = a 3, SA = a .Tính theå 

3 

a 

tích cuûa khoái choùp S.ABC . 

ÑS : V = 2 

3 Moät khoái choùp tam giaùc coù caùc caïnh ñaùy baèng 6,8,10 . Moät caïnh beân coù ñoä daøi baèng 4 vaø taïo vôùi 

o 

ñaùy goùc 60 . Tính theå tích khoái choùp ñoù . ÑS : V = 16 3 

µ o 

a 3 

4 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a , A = 60 , SA = SB = SD = . 

2 

3 

a) Tính theå tích cuûa khoái choùp . 

V S.ABCD = a 5 


b) Chöùng minh raèng : (SAC) ^ (SBD) . 

2 

a 

c) Tính S tp cuûa hình choùp . S tp = ( 2 + 2 3) 

2 

5 Cho S.ABC laø hình choùp tam giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy AB = a vaø caïnh beân SB = b . Tính theå tích hình 

choùp aáy . 

HD : Keû SH ^ (ABC) thì H laø taâm cuûa tam giaùc ñeàu ABC vaø M laø trung ñieåm BC , ta ñöôïc : 

2 

a 3 1 2 2 a 3 2 2 

AM = ,SH = 9b - 3a Þ V = 9b - 3a 

3 3 36 



6 Cho khoái choùp S.ABC coù ñöôøng cao SA=2a , tam giaùc ABC vuoâng ôû C coù caïnh huyeàn AB = 2a . Goïi 

H vaø K laàn löôït laø hình chieáu cuûa A treân SC vaø SB . 

a) Tính theå tích cuûa khoái choùp H.ABC . 

b) Chöùng minh raèng : AH ^ SB vaø SB ^ (AHK) . 

V 

H.ABC 

3 

a 3 

= 

7 

2a 3 

c) Tính theå tích khoái choùp S.AHK . 

VH.ABC 

= 

21 

7 Tính theå tích cuûa khoái hoäp ABCD.A ¢ B¢ C¢ D ¢ . Bieát khoái choùp C.C¢ B¢ D ¢ laø moät töù dieän ñeàu caïnh a . 

3 

a 2 

V = 

2 

8 Cho khoái laêng truï ñöùng tam giaùc ABC.A¢ B¢ C ¢ . Tính tæ soá theå tích cuûa khoái choùp A.BB¢ C¢ 

C vaø khoái 

laêng truï ABC.A¢ B¢ C¢ 

VA.BB'C'C 

2 

Ñaùp soá : = 

V 

ABC.A'B ¢ C¢ 

3 

9 Cho hình chöõ nhaät ABCD coù dieän tích laø 2 . Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët ñaùy taïi A , ta laáy 

o 

o 

ñieåm S , maët beân (SBC) taïo vôùi maët ñaùy moät goùc 30 ,maët beân (SDC) taïo vôùi maët ñaùy moät goùc 60 . 

a) Tính theå tích cuûa khoái choùp . b) Tính dieän tích xung quanh cuûa hình choùp . 

c) Tính goùc giöõa caïnh beân SC vaø maët ñaùy . 

2 2 

· 30 

Ñaùp soá : a) V = b) Sxq 

= 2(1 + 3) c) SCA = arctan 


10 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng, caïnh beân SA vuoâng goùc maët ñaùy, SA= AB= a. 

a) Tính dieän tích DSBD theo a . 

b) Chöùng minh raèng : BD ^ SC . 

c) Tính (SC,(SBD)). 

· 

d) Tính theå tích hình choùp . 

2 

3 

a 3 

Ñaùp soá : a) S SBD = c) HS 

· 

C = arccos 2 2 d) V 

a 

S.ABCD = 

2 

3 3 

11 Cho hình laêng truï ñeàu ABC.A¢ B¢ C ¢ coù chieàu cao h vaø hai ñöôøng thaúng B¢ C,BC ¢ vuoâng goùc vôùi nhau . 

3 

h 3 

Tính theå tích laêng truï ñoù. V= 4 

1 

12 Treân caïnh CD cuûa töù dieän ABCD laáy ñieåm M sao cho CM = CD . Tính tæ soá theå tích cuûa hai töù 

3 

V 

dieän ABMD vaø ABMC . Ñaùp soá : ABDM = 2 

V 

ABCM 

3 


Bài 01: 

xuaát tö ømoät ñænh laø . 

Bài 02: 

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN THỂ TÍCH HÌNH KHÔNG GIAN 

Cho laêng truïtö ù giaùc ñeàu ABCD.A / B / C / D / coù chieàu cao baèng a vaøgoùc cuûa hai maët beân keànhau phaùt 

a) Tính dieän tích xung quanh vaøtheåtích laêng truï. 

b) Goïi M, N laøtrung ñieåm cuûa BB / vaøDD / , tính goùc cuûa mp(AMN) vaømaët ñaùy cuûa laêng truï. 

Cho laêng truïxieân ABC.A / B / C / coù ñaùy ABC laøtam giaùc ñeàu taâm O vaøhình chieáu cuûa C / treân ñaùy 

(ABC) truøng vôùi O. Cho khoaûng caùch tö øO ñeán CC / laøa vaøsoáño nhò dieän caïnh CC / laø120 0 . 

Bài 03: 

a) Chö ùng minh maët beân ABB / A / laøhình chữ nhaät. 

b) Tính theåtích laêng truï. 

c) Tính goùc cuûa maët beân BCC / B / vaømaët ñaùy ABC. 

Cho hình hoäp ABCDA / B / C / D / coù caùc maët ñeàu laøhình thoi caïnh a. Ba caïnh xuaát phaùt tö øñænh A taïo 

vôùi nhau caùc goùc nhoïn baèng nhau vaøbaèng . 

Bài 04: 

Bài 05: 

Bài 06: 

a) Chö ùng minh hình chieáu H cuûa A / treân (ABCD) naèm treân ñö ôøng cheùo AC. 

b) Tính theåtích hình hoäp . 

c) Tính goùc cuûa ñö ôøng cheùo CA / vaømaët ñaùy cuûa hình hoäp . 

Cho hình laäp phö ông ABCD.A / B / C / D / a 2 

coù ñoaïn noái hai taâm cuûa hai maët beân keànhau laø 

2 

a) Tính theåtích hình laäp phö ông . 

b) Laáy ñieåm M treân BC. Maët phaúng MB / D caét A / D / taïi N. Chö ùng minh MN C / D. 

c) Tính goùc cuûa hai maët phaúng (A / BD) vôùi maët phẳng (ABCD). 

Cho hình laäp phö ông ABCD.A / B / C / D / coù ñö ôøng cheùo baèng a 

a) Dö ïng vaøtính ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa hai ñö ôøng thaúng AC vaøDC / . 

b) Goïi G laøtroïng taâm cuûa tam giác A / C / D / . Maët phaúng (GCA) caét hình laäp phö ông theo hình gì. Tính dieän 

tích cuûa hình naøy. 

c) Ñieåm M lö u ñoäng treân BC. Tìm quỹ tích hình chieáu cuûa A / leân DM. 

Cho laäp phö ông ABCD.A / B / C / D / caïnh a. Goïi N laøñieåm giữa cuûa BC. 

a) Tính goùc vaøñoaïn vuoâng goùc chung giö õa hai ñö ôøng thaúng AN vaøBC / . 

b) Ñieåm M lö u ñoäng treân AA / . Xaùc ñònh giaù trò nhoû nhaát cuûa dieän tích thieát dieän giö õa maët phaúng MBD / vaø 

hình laäp phö ông . 

Bài 07: Cho hình choùp tö ù giaùc ñeàu S.ABCD coù chieàu cao SH = a vaøgoùc ôû ñaùy cuûa maët beân laø . 

a) Tính dieân tích xung quanh vaøtheåtích hình choùp naøy theo a vaø . 

b) Xaùc ñònh taâm vaøbaùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp S.ABCD. 

c) Ñieåm M lö u ñoäng treân SC. Tìm quỹ tích hình chieáu cuûa S xuoáng maët phaúng MAB. 

Bài 08: Cho hình choùp tam giaùc ñeàu SABC caïnh ñaùy a vaøgoùc giö õa hai caïnh beân keànhau laø . 

Bài 09: 


a) Tính theåtích hình choùp . 

b) Tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn noäi tieáp trong hình choùp . 

c) Tính dieän tích cuûa thieát dieän giö õa hình choùp vaømaët phaúng qua AB vaøvuoâng goùc vôùi SC. 

Ñaùy cuûa hình choùp laømoät tam giaùc vuoâng coù caïnh huyeàn laøa vaømoät goùc nhoïn 60 0 . Maët beân qua 

caïnh huyeàn vuoâng goùc vôùi ñaùy, moãi maët coøn laïi hôïp vôùi ñaùy goùc . 


a) Tính theåtích hình choùp naøy . 


b) Moät maët phaúng qua caïnh ñaùy vaøcaét caïnh beân ñoái dieän thaønh hai ñoaïn tæ leä vôùi 2 vaø3 . Tìm tæ soátheåtích 

cuûa hai phaàn cuûa hình choùp do maët phaúng aáy taïo ra . 

Cho hình choùp SABC coù ñaùy laøtam giaùc ABC caân taïi A coù trung tuyeán AD = a vaøhai maët beân SAB 

vaøSAC vuoâng goùc vôùi ñaùy. Caïnh beân SB hôïp vôùi ñaùy moät goùc vaøhôïp vôùi maët phaúng SAD goùc . 


a) Tính theåtích hình choùp . 

b) Tính khoaûng caùch tö øA ñeán maët (SBC). 

Cho hình choùp SABC coù ñaùy laøtam giaùc ABCvuoâng taïi A vaøgoùc C = 60 0 , baùn kính ñö ôøng troøn noäi 

tieáp laøa. Ba maët beân cuûa hình choùp ñeàu hôïp vôùi ñaùy goùc . 


a) Tính theåtích vaødieän tích xung quanh cuûa hình choùp . 

b) Tính dieän tích thieát dieän qua caïnh beân SA vaøñö ôøng cao cuûa hình choùp . 

Cho hình choùp SABCD coù ñaùy laøhình thoi coù goùc nhoïn A = . Hai maët beân (SAB) vaø(SAD) vuoâng 

goùc vôùi ñaùy, hai maët beân coøn laïi hôïp vôùi ñaùy goùc . Cho SA = a. 

Bài 13: 

a) Tính theåtích vaødieän tích xung quanh hình choùp . 

b) Tính goùc cuûa SB vaømaët phaúng (SAC). 

Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a treân ñö ôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng cuûa tam giaùc taïi B vaøC 

laàn lö ôït laáy ñieåm D lö u ñoäng vaøE coáñònh sao cho CE = a 2 . Ñaët BD = x. 

Bài 14: 

a) Tính x ñeåtam giaùc DAE vuoâng taïi D. Trong trö ôøng hôïp naøy tính goùc cuûa hai maët phaúng (DAE) vaø 

(ABC). 

b) Giaû sö û x = 

a 2 

2 

. Tính theåtích hình choùp ABCED. 

c) Keû CH vuoâng goùc vôùi AD . Tìm quyõtích cuûa H khi x bieán thieân. 

hôïp vôùi ñaùy moät goùc . 

Bài 15: 

Cho hình choùp tö ù giaùc ñeàu SABCD coù caïnh ñaùy laøa. Maët phaúng qua AB vaøtrung ñieåm M cuûa SC 

a) Tính theåtích cuûa hình choùp. 

b) Goïi I vaøJ laøñieåm giö õa cuûa AB vaøBC. Maët phaúng qua IJ vaøvuoâng goùc vôùi ñaùy chia hình choùp thaønh hai 

phaàn. Tính theåtích cuûa hai phaàn naøy . 

Laáy ñieåm C lö u ñoäng treân nö ûa ñö ôøng troøn ñö ôøng kính AB = 2R vaøH laøhình chieáu cuûa C leân AB. 

Goïi I laøtrung ñieåm cuûa CH. Treân nö ûa ñö ôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng cuûa nö ûa ñö ôøng troøn taïi I ta laáy 

ñieåm D sao cho goùc ADB baèng 90 0 . Ñaët AH = x. 

Bài 16: 


a) Tính theåtích cuûa tö ù dieän DABC theo R vaøx . Tính x ñeåtheåtích naøy lôùn nhaát . 

b) Xaùc ñònh taâm I vaøtính hình caàu ngoaïi tieáp tö ù dieän AIBD. 

c) Chö ùng minh khi C lö u ñoäng treân nö ûa ñö ôøng troøn thì taâm hình caàu ôû caâu b chaïy treân ñö ôøng thaúng coáñònh. 

Ñaùy cuûa hình choùp laømoät tam giaùc vuoâng caân coù caïnh goùc vuoâng baèng a. Maët beân qua caïnh huyeàn 

vuoâng goùc vôùi ñaùy, moãi maët beân coøn laïi taïo vôùi ñaùy goùc 45 0 . 

a) Chö ùng minh raèng chaân ñö ôøng cao hình choùp truøng vôùi trung ñieåm caïnh huyeàn. 

b) Tính theåtích vaødieän tích toaøn phaàn hình choùp. 

Bài 17: Cho hình laäp phö ông ABCD.A / B / C / D / . Goïi O laøgiao ñieåm caùc ñö ôøng cheùo cuûa ABCD. Bieát OA / = a. 

a) Tính theåtích hình choùp A / .ABD, tö øñoù suy ra khoaûng caùch tö øñænh A ñeán maët phaúng A / BD. 


) Chö ùng minh raèng AC / vuoâng goùc vôùi maët phaúng A / BD. 

Bài 18: Moät hình choùp tö ù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy baèng a vaøgoùc ASB = . 

a) Tính dieän tích xung quanh hình choùp . 

b) Chö ùng minh raèng ñö ôøng cao hình choùp baèng 

a 2 

cot 1 . 

2 2 

c) Goïi O laøgiao ñieåm caùc ñö ôøng cheùo cuûa ñaùy ABCD. Xaùc ñònh goùc ñeåmaët caàu taâm O ñi qua naêm ñieåm 

S, A, B, C, D. 

Bài 19: Cho hình choùp tö ù giaùc ñeàu coù caïnh beân taïo vôùi ñaùy goùc 60 0 vaøcaïnh ñaùy baèng a. 

Bài 20: 

a) Tính theåtích hình choùp. 

b) Tính goùc do maët beân taïo vôùi ñaùy. 

c) Xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp vaøtính baùn kính maët caàu ñoù . 

Moät laêng truïABC.A / B / C / coù ñaùy laøtam giaùc ñeàu caïnh a, caïnh beân BB / = a, chaân ñö ôøng vuoâng goùc 

haïtö øB / xuoáng ñaùy ABC truøng vôùi trung ñieåm I cuûa caïnh AC . 

Bài 21: 

a) Tính goùc giö õa caïnh beân vaøñaùy vaøtính theåtích cuûa laêng truï. 

b) Chö ùng minh raèng maët beân AA / C / C laøhình chö õnhaät. 

Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng ( α) đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt đáy hình nón 

một góc 60 0 , đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón theo dây cung AB, cung AB 

có số đo bằng 60 0 . Tính diện tích thiết diện SAB. 

Bài 22: 

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = 2a và SA vuông góc với mặt 

phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của 

khối chóp A.BCNM. 

Bài 22: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật với, , AB = a, AD = a 2 , SA = a và SA vuông góc 

với mặt đáy (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh 

rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. 

Bài 23: 

Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên 

đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ 

diện OO'AB. 

Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang, ABC = BAD, BA = BC = a, AD = 2a, SA = a 2 , SA 

(ABCD). H là hình chiếu của A lên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt 

phẳng (SCD). 

Bài 25: 

Cho hình cóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung 

điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt 

phẳng (SBC). 

Bài 26: 

Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; 

BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (ACD). 

Bài 27: 

S.ABCD theo a và α. 

Bài 28: 

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a, góc SAB = α. Tính thể tích hình chóp 

Hình chóp S.ABCcó SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Cho BSC = 45 0 , gọi 

ASB = α; tìm α để góc nhị diện (SC) bằng 60 0 . 

Bài 29: 


Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 cạnh a. Gọi O 1 là tâm của hình vuông A 1 B 1 C 1 D 1 . Tính thể tích 

khối tứ diện A 1 B 1 OD. 


Bài 30: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên AA ' = a 3 . Gọi D, E lần 

lượt là trung điểm của AB và A'B'. 

a. Tính thể tích khối đa diện ABA'B'C'. 

b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (CEB'). 

Bài 31: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b, góc C = 60 0 . 

Đường chéo BC’của mặt bên BB’C’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 30 0 . 

a. Tính độ dài đoạn AC’. 

b. Tính thể tích của khối lăng trụ . 

Bài 32: Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB = 60 0 , 

BC = a, SA = a 3 

Tính thể tích khối tứ diện MABC. 

Bài 33: 

. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). 

Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông tại A , góc ABC = 60 0 , BC = a, SB vuông góc với 

mặt phẳng (ABC), SA tạo với đáy (ABC) một góc 45 0 . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B trên SA, SC. 

Bài 34: 

a. Tính thể tích của hình chóp S.ABC 

b. Chứng minh rằng A, B, C, E, F cùng thuộc một mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. 

Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng ( α ) song song với AD và BC cắt các cạnh AB, AC, CD, DB tương 

ứng tại các điểm M, N, P, Q. 

a. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. 

b. Xác định vị trí của để cho diện tích của tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn nhất. 

Bài 35: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SD = a. 

Bài 36: 

a. Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a. 

b. Tính cosin của góc nhị diện (SAB,SAD) 

SM SN 

cho: 2 . 

BM DN 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các SB, SD sao 

a. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số SP 

CP . 

b. Tính thể tích hình chóp S.AMNP theo thể tích V của hình chóp S.ABCD. 

Bài 37: Cho hình chóp tam giác S.ABC, SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1. 

Bài 38: 

a. Tính thể tích hình chóp theo x, y. 

b. Với x,y là giá trị nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất? 

Cho 2 nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận AB = a, (a > 0) là đoạn vuông góc 

chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho AM = BN = 2a. Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của 

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BI. 

Bài 39: 

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B 

kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với (BHK) và tính diện tích tam giác 

BHK biết rằng AC = a, BC = a 3 và SB a 2 . 

Bài 40: 

Cho tứ diện ABCD. Lấy M bất kỳ nằm trong mặt phẳng (ABD). Các mặt phẳng qua M lần lượt song 

song với các mặt phẳng (BCD); (CDA); (ABC) lần lượt cắt các cạnh CA, CB, CD tại A', B', C'. Xác định vị trí điểm 

M để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: 

Bài 41: 


1 1 1 

P 

V V V 

CMAB CMBD CMAD 

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có các cạnh bằng 2 6 . Điểm 

M, N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng. Tính thể tích và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp S.AMN. 


Bài 42: 

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình 

chóp bằng nhau và bằng a 2 . 

a) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD. 

b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông góc với 

mặt phẳng (MEF). 

Bài 43: 

c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). 

Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Kí hiệu 

K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của 

CE với mặt phẳng (OMN). 

Bài 44: 

a) Chứng minh rằng: CE vuông góc với mặt phẳng (OMN). 

b) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a. 

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc 

với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 6 

Bài 45: 

đạt giá trị nhỏ nhất. 

Bài 46: 

. Chứng minh mp(SAB) vuông góc với mp(SAC). 

Cho tứ diện ABCD với tâm diện vuông đỉnh A. Xác định vị trí điểm M để: P = MA + MB + MC + MD 

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA 1 = a. Tính cosin của góc 

giữa 2 mặt phẳng (ABC 1 ) và (BCA 1 ). 

Bài 47: 

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a và vuông góc với 

đáy. Gọi M, N là trung điểm AB và AC. 

Bài 48: 

a) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC). 

b) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SMN) và (SBC). 

Cho hình thoi ABCD có tâm O, cạnh a và AC = a . Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông góc 

với mặt phẳng (ABCD) với SH = a. 

Bài 49: 

a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD). 

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D', có chiều cao a và cạnh đấy 2a. Với M là một điểm trên 

cạnh AB. Tìm giá trị lớn nhất của góc A'MC' 

Bài 50: 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a; AD = 2a. Tam giác SAB vuông 

cân tại A . M điểm trên cạnh AD (M khác A và B). Mặt phẳng (α) qua M và song song với mặt phẳng (SAB) cắt 

BC; SC; SD lần lượt tại N; P; Q. 

a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông . 

b) Đặt AM = x . Tính diện tích hình thang MNPQ theo a ; x 

Bài 51: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD . 

a) Chứng minh rằng AO vuông góc với CD. 

b) Gọi M là trung điểm CD. Tính cosin góc giữa AC và BM. 

Bài 52: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 , đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh AA 1 = a 2 . Gọi M, N lần lượt 

là trung điểm AB và A 1 C 1 . 

Bài 53: 

a) Xác định thiết diện của lăng trụ với mp (P) qua MN và vuông góc với mp(BCC 1 B 1 ). Thiết diện là hình gì. 

b) Tính diện tích thiết diện. 

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M; N lần lượt là trung điểm SA và 

BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là 60 0 . 

a) Tính độ dài đoạn MN. 


b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD). 


Bài 54: 

Trong mặt phẳng (P), cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất kì nằm trên đường 

thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a. 

Bài 55: Cho tứ diện ABCD có AC = 2, AB = BC = CD = DA = DB = 1 . 

a. Chứng minh rằng các tam giác ABC và ADC là tam giác vuông . 

b. Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD. 

Bài 56: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD); SC = 2a. 

SM SN 

Hai điểm M, N lần lượt thuộc SB và SD sao cho = = 2 . Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P .Tính thể tích 

SB SD 

hình chóp S.MANP theo a 

Bài 57: Cho lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [ B, A’C, D] 

Bài 58: 

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc BAD = 60 0 . Gọi M 

là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC'. Chứng minh rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt 

phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông . 

Bài 59: 

Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABC), tam giác ABC vuông tại B, SA = SB = a, BC = 2a. Gọi M và 

N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính diện tích của tam giác AMN theo a. 

Bài 60: Cho hình chóp S.ABC.Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB = 60 0 , 

BC = a, SA = a 

3 . Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC. 

Bài 61: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với AB = a, BC = b, AA' = c. 

Bài 62: 

a. Tính diện tích của tam giác ACD' theo a, b, c. 

b. Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Hãy tính thể tích của tứ diện D'DMN theo a, b, c. 

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của 

các cạnh A'D', D'C', C'C, AA'. 

a. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a. 

b. Tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a. 

Bài 63: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. 

Bài 64: 

a. Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BD'. 

b. Chứng minh rằng đường chéo BD' vuông góc với mặt phẳng (DA'C'). 

ACB'D' theo a, b, c. 

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'; với AA' = a, AB = b, AC = c. Tính thể tích của tứ diện 

Bài 65: Cho tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C. 

a. Tính diện tích tam giác ABC theo OA = a, OB = b, OC = c. 

b. Giả sử A, B, C thay đổi nhưng luôn có : OA + OB + OC + AB + BC + CA = k không đổi. 

Bài 66: 

Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC. 

Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B nằm 

trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng 

hình vuông tạo với đáy của hình trụ một góc 45 0 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó. 

Bài 67: 

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a và một điểm M trên cạnh AB, AM = x, 0 < x < a. Xét mặt 

phẳng (P) đi qua điểm M và chứa đường chéo A'C' của hình vuông A'B'C'D'. 

a. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (P) . 

b. Mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành hai khối đa diện hãy tìm x để thể tích của một trong hai khối đa 

diện đó gấp đôi diện tích của khối đa diện kia. 

Bài 68: 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình 

chóp bằng nhau và bằng a 2 . 




a. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD 

b. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông góc với 

mặt phẳng (MEF). 

c. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). 

Bài 69: Cho lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 có đáy ABC là tam giác vuông AB AC a , AA 1 = a 2 . Gọi M, N 

lần lượt là trung điểm của đoạn AA 1 và BC 1 . Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA 1 

và BC 1 . Tính 

V MA BC . 

1 1 

Bài 70: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc nhọn BAD = 60 0 . Biết 

 

AB ' BD ' . Tính thể tích lăng trụ trên theo a. 

Bài 71: Trong mặt phẳng (P) , cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất kì nằm trên đường 

thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB , CD ( M 

CB, N CD ), và đặt CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) 

tạo với nhau một góc 45 0 . 

Bài 72: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a : 

Bài 73: 

a. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD' và B'C'. 

b. Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM:MD = 3. Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mp (AB'C). 

c. Tính thể tích tứ diện A.B'D'C'. 

Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn C bán kính a, chiều cao 

là một đa giác lồi ngoại tiếp C. 

3 

h = a ; và cho hình chóp đỉnh S, đáy 

4 

a. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp (mặt cầu ở bên trong hình chóp, tiếp xúc với đáy và với các mặt bên 

của hình chóp). 

Bài 74: 

cho 

b. Biết thể tích khối chóp bằng 4 lần thể tích khối nón, hãy tính diện tích toàn phần của hình chóp. 

 

 

Bài 75: 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các cạnh SB, SD sao 

 

. 

 

a. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số SP 

CP . 

b. Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thể tích V của hình chóp S.ABCD. 

Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và góc AOB = góc AOC = 60 0 , góc BOC = 90 0 . Tính độ dài 

các cạnh còn lại của tứ diện và chứng minh rằng tam giác ABC vuông. 

Bài 76: Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB = 60 0 , 

BC = a, SA = a 3 


Bài 77: 

. Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). 

Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy là tam giác cân với AB = AC = a, góc BAC = α và ba cạnh 

bên nghiêng đều trên đáy một góc nhọn β. Hãy tính thể tích hình chóp đã cho theo a , α, β. 

Bài 78: 

diện BDD'C'. 

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông ABCD cạnh bên AA' = h. Tính thể tích tứ 

Bài 79: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) , tam giác ABC vuông tại B, SA = AB = a , BC = 2a. Gọi M , 

N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính diện tích của tam giác AMN theo a. 

Bài 80: 

Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a ; AC = BD = b và AD = BC =c ( a, b , c > 0). Xác định tâm và tính 

bán kính mặt cầu ngoại tiếp theo a, b, c. 


Bài 81: 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Biết rằng góc nhọn tạo bởi hai đường chéo 

AC và BD là 60 0 , các tam giác SAC và SBD đều có cạnh bằng a. Tính thể tích hình chóp theo a. 

Bài 82: Tính thể tích của khối nón xoay biết khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng 3 và thiết diện 

qua trục là một tam giác đều. 

Bài 83: 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Biết rằng góc nhọn tạo bởi hai đường chéo 

AC và BD là 60 0 , các tam giác SAC và SBD đều có cạnh bằng a. Tính thể tích hình chóp theo a. 

Bài 84: 

Bài 85: 

Cho khối chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và đường cao bằng a/2. 

a/. Tính sin của góc hợp bởi cạnh bên SC và mặt bên (SAB ). 

b/. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối chóp đã cho . 

của hình chóp bằng 

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng 60 0 . Chiều cao SO 

a 3 

2 

, trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là trung điểm của AD, 

( ) là mặt phẳng đi qua BM, song song với SA, cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp K.BCDM. 

Bài 86: 

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a . Cho M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA 

và SC và mặt phẳng (BMN) vuông góc với mặt phẳng (SAC). 

a/. Tính thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC. 

b/. Tính thể tích hình chóp SBMN. 

Bài 87: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = a, SA = a 2 , AS 

mp(ABC). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lầ lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích 

của khối chóp S.AB’C’D’. 

Bài 88: 

Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) vuông góc với đáy, hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng lập với 

đáy một góc 45 0 ; đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có AB = a. 

Bài 89: 

a/. Chứng minh rằng hình chiếu của S trên mặt (ABC) là trung điểm của BC. 

b/. Tính thể tích của hình chóp S.ABC theo a ? 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là hình chữ nhật có AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy; 

cạnh bên SC hợp với đáy góc và hợp với mặt bên (SAB) một góc . 

Bài 90: 

a/. Chứng minh 

SC 

2 

 

os 

2 

a 

sin 

2 2 

c 

b/. Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a, và . 

. 

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy là . Gọi M là 

trung điểm của cạnh SC, mặt phẳng (MAB) cắt SD tại N. Tính theo a và thể tích hình chóp S.ABMN. 

Bài 91: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh SA mp(ABCD). Mặt phẳng ( ) 

qua AB cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M, N và chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số 

SM 

SC . 

Bài 92: 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a; AD = b; SA = b là chiều cao của hình 

chóp. M là điểm trên cạnh SA với SA = x ( 0 < x < b); mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa 

diện ABCDMN theo a, b và x? 

Bài 93: 

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác AB vuông cân có AB = AC = a. Gọi E là trung 

điểm của AB, F là hình chiếu vuông góc của E trên BC. Mặt phẳng (C’EF) chia lăng trụ thành hai phần.Tính tỉ số 

thể tích của hai phần đó? 



Bài 94: 

Cho hình chóp S.ABC. M là điểm trên SA, N là điểm trên SB sao cho 

SM 1 

MA 2 

và SN 

NB 2 . Mặt 

phẳng (P) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai phần. Tìm tỉ số thể tích của hai phần đó. 

Bài 95: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi B', D’ lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt 

phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tìm tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB'C'D' và S.ABCD. 

Bài 96: 

Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trưng điểm của AB, AD và SC. 

Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. 

Bài 97: 

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng (P) đi qua A, B và trung điểm M của cạnh SC. 

Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó. 

Bài 98: 

Bài 99: 

Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của C’B’ và C'D'. 

a/. Dựng thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mp(AEF). 

b/.Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng (AEF). 

Trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R, lấy một điểm C tuỳ ý (C khác A, B). Kẻ CH AB (H 

AB). gọi I là trung điểm của CH. Trên nửa đường thẳng It vuông góc với mp(ABC), lấy điểm S sao cho 0 

ASB 90 . 

a/. Chứng minh rằng khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho thì : 

+ Mặt phẳng (SAB) cố định. + Điểm cách đều các điểm S, A, B, I chạy trên một đường thẳng cố định. 

b/. Cho AH = x. Tính thế tích khối chóp S.ABC theo R và x. Tìm vị trí của C để thể tích đó lớn nhất. 

Bài 100: 

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và góc SAB = . Tính thể tích hình 

chóp S.ABCD theo a và . 


Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng a hai đường thẳng AB’ và BC’ vuông góc với nhau. 

Tính thể tích hình lăng trụ đó theo a. 


Cho hình chóp đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng (SAB) và (SBC) là . Tính thể tích 

khối chóp S.ABCD theo a và . 


Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc với mp(ABC), 

biết AB = a, BC = a 3 và SA = 3a. 

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 

b) Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn BI theo a. 


Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của BC. 

a) Chứng minh SA vuông góc với BC. 

b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a. 


Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB 

= BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 


SA bằng a 3 . 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên 

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 

b) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 

Bài 107: Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a, AB = BC = 

a 

3 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC. 


Cho khối chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là hai tam giác đều nằm trong hai mặt phẳng vuông góc 

nhau. Biết BC =1, tính thể tích của khối chóp S.ABC. 


Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và hình chiếu vuông góc của S lên 

(ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Biết SA hợp với đáy góc 

S.ABC. 


0 

60 . Tính thể tích của khối chóp 


Bài 110: 

Cho khối chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi , ABC và SAC là hai tam giác đều cạnh a, SB =SD. 

Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 

Bài 111: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cho SA (ABCD). Biết SA = 2a, AB = a, 

BC = 3a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. 


Cho khối chóp S. ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B. Cho SA vuông góc với mặt đáy 

(ABCD), SA = AD = 2a và AB = BC = a . Tính thể tích của khối chóp S. ABCD. 


Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), góc giữa 

SC và đáy (ABCD) là 45 0 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 


Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB = a, AC = 2a. Đỉnh S cách đều A, B, C mặt 

bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 

Bài 115: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a 3 và hình chiếu 

(vuông góc) của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ ,từ đó suy ra thể tích của 

khối chóp A’.ABC 


Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 

60 0 , A’ cách đều A, B, C. Chứng minh BB’C’C là hình chữ nhật và tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. 

Bài 117: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại A, AC = b, 

Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 30 0 . 

a) Chứng minh tam giác ABC ' vuông tại A 

b) Tính độ dài đoạn AC’. 

c) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ đó suy ra thể tích của khối chóp C’.ABC 


 

. 

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA’ 

và BB’. Mặt phẳng (C’MN) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần . 

a). Tính thể tích của khối chóp C’.ABC theo V. 

b). Tính thể tích của khối chóp C’. ABB’A’ theo V. 

c) Tính thể tích khối chóp C’. MNB’A’ theo V. 

d) Tính tỉ lệ thể tích của hai khối chóp C’. MNB’A’ và ABC.MNC’. 

Bài 119: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông tại A, AB = a, góc B bằng 60 0 , AA’ = a 3 . 

a/ Tính thể tích khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. 

b/ Tính thể tích tứ diện ABA’C’. 

Bài 120: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa B’C và mặt đáy bằng 45 0 . 

a/ Tính khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. 

b/ M là trung điểm A’A. mp(B’CM) chia khối lăng trụ đã cho thành 2 khối chóp. Hãy nêu tên 2 khối chóp đó 

và tính tỉ số thể tích của chúng? 

Bài 121: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a , AD = a 3 . Góc A’C và mặt đáy bằng 60 0 . 

a/ Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. 

b/ Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’. 

Bài 122: Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a. 

a/ Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’. 

b/ Gọi I là trung điểm A’C . Tính thể tích khối chóp I.ABCD. 



Cho khối lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh bằng a , góc A bằng 60 0 , góc 

giữa đường thẳng AC’ và mặt đáy bằng 60 0 . 

a/ Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. 

b/ Tính thể tích khối chóp A.BCC’B’. 



Bài 124: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , hình chiếu vuông góc của 

đỉnh A’ trên mặt đáy ABC là trung điểm của BC, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 0 . 

a/ Tính thể tích khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. 

b/ M là hình chiếu vuông góc của B trên A’A. Mặt phẳng (BCM) chia khối lăng trụ đã cho thành 2 khối đa diện, 

hãy tính tỉ số thể tích của chúng 

Bài 125: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , đỉnh A’ cách đều các 

điểm A, B, C. Cạnh A’A tạo với mặt đáy một góc 60 0 . 

a/ Tính thể tích khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ 

b/ Chứng minh mặt bên BCC’B’ là hình chữ nhật . Từ đó tính khoảng cách từ điểm A’ đến mặt bên BCC’B’ 

Bài 126: Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC vuông tại B, AB = a, BC = 2a, SC = 3a và cạnh bên SA 

vuông góc với mặt đáy. 

a/ Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC . 

b/ M là trung điểm SB và H là hình chiếu vuông góc A trên SC.Tính thể tích tứ diện SAMH. 

Bài 127: Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC vuông tại A, AB = a, góc C bằng 30 0 , cạnh bên SB 

vuông góc với mặt đáy và SC tạo với mặt đáy một góc 45 0 . 

a/ Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC. 

b/ Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của B trên SA và C’ thuộc SC sao cho SC = 3SC’. Tính thể tích tứ diện 

SBA’C’ và khoảng cách từ điểm C’ đến mp(SAB). 

Bài 128: Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC đều cạnh bằng a, chân đường cao của khối chóp là trung 

điểm của cạnh BC còn các mặt bên SAB, SAC cùng tạo với đáy một góc 60 0 . 


b/ Gọi O là tâm ABC và G là trọng tâm SBC. Tính thể tích tứ diện OGBC. 

Bài 129: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc 

a/ Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC. 

b/ Mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA tại D. Tính thể tích khối chóp S.BCD. 

Bài 130: Cho khối tứ diện đều cạnh bằng a. 

a/ Tính thể tích khối tứ diện đều trên. 

b/ M là điểm tùy ý thuộc miền trong của khối tứ diện. Chứng minh tổng các khoảng cách từ điểm M đến các 

mặt của tứ diện không phụ thuộc vị trí của điểm M. 

Bài 131: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD đáy hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA (ABCD) và SA 

= 2a. 

a/ Tính thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD. 

b/ Gọi B’,D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB , SD. Chứng minh mp(AB’D’) vuông góc với SC. 

c/ Gọi C’ là giao điểm của SC với mp(AB’D’). Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’. 

Bài 132: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD đáy hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA (ABCD), góc giữa cạnh 

bên SC và mặt đáy bằng 45 0 . 


b/ Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp 

S.AB’C’D’. 

Bài 133: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. 


b/ Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Tính 

thể tích khối chóp S.AEMF. 


Bài 134: Tính thể tích khối bát diện đều cạnh bằng a . 

Bài 135: 

Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Đỉnh S cách đều các 

điểm A, B, C và cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0 . 


b/ Gọi G là trọng tâm SBC. Mặt phẳng đi qua AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Tính thể 

tích khối chóp S.AMN. 

Bài 136: 

2 6 

 

Bài 137: 

SA h 

 

a. SB KHA 

 

b. 

c. h 2R 

30 o 

Bài 138: 

 

 

a. 

b. 

c. 

Bài 139: 

 

a. 

b. 

Bài 140: 

 

a. 

b. 

Bài 141: 

 

 

 

a. 

b. 

Bài 142: 0 x a 

 

a. 

b. 

Bài 143: 

 

 

 

Bài 144: AB a AD a 2 SA a 

 

SAC 

SMB 


 


Bài 145: AB AC a AA1 a 2 

 

 

Bài 146: 

Khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có khoảng cách hai đường thẳng AB và A 1 D bằng 2 và độ 

dài đường chéo của mặt bên bằng 5. 

a) Hạ AK A 1 D (K A 1 D ).CMR: AK = 2. 

b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . 

Bài 147: 

 

 

Bài 148: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 với AB = a; BC = b; AA 1 = c. 

a) Tính diện tích tam giác ACD 1 theo a, b, c. 

b) Giả sử M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích của tứ diện D 1 DMN theo a, b, c. 

Bài 149: 

Cho hình chóp SABC đỉnh S, đáy là tam giác cân AB = AC = 3a, BC = 2a. biết rằng các mặt bên 

(SAB), (SBC), (SCA) đều hợp với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 60 o . Kẻ đường cao SH của hình chóp. 

a) Chứng tỏ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và SA BC. 

b) Tính thể tích của khối chóp. 

Bài 150: Cho hình chóp đều SABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a. Cạnh bên SA = a 5 . Một mặt 

phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với mp(SCD), (P) lần lượt cắtt SC, SD tại C 1 và D 1 . 

a) Tính diện tích của tứ giác ABC 1 D 1 . 

b) Tính thể tích của khối đa diện ABCDD 1 C 1 . 

Bài 151: 

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB = a và góc SAB = 60 o . Tính thể tích 

hình chóp SABCD theo a. 

Bài 152: 

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với mf(ABC) tại Alấy điểm M. Gọi H là 

trực tâm của tam giấcBC,K là trực tâm của tam giác BCM. 

a) CMR: MC (BHK); HK (BMC). 

b)Khi M thay đổi trên d, tìm GTLN của thể tích tứ diện KABC. 

Bài 153: 

 

 

 

 

Bài 154: 

 

 

 

 

 

Bài 155: 

 

 

 

 

Bài 156: 

 

 

 

Bài 157: 


 

 



Bài 158: 

1 2 

 

 

Bài 159: 

 

Bài 160: 

 

 

Bài 161: 

 

 

Bài 162: 

 

 

Bài 163: α 

 

 

Bài 164: 

 

Bài 165: 

 

 

 

 

Bài 166: a 2 a 

3 

a 

 

 

Bài 167: a 

 

a 

a 

a 

4 

Bài 168: 

 

 

Bài 169: 

Bài 170: 

Bài 171: 

 

 



Bài 172: 

 

 

 

Bài 173: 

 

 

 

Bài 174: 

 

Bài 175: 3 

 

 

Bài 176: 

 

Bài 177: 

 

Bài 178: 

 

Bài 179: 

 

 

 

Bài 180: 2 

 

 

Bài 181: Cho lăng trụ tam giác ABCA 1 B 1 C 1 có đáy ABC là một tam giác đê 

 

 

 

Bài 182: 

 

 

 

 

 

Bài 184: 

 

 

Bài 185: Trong không gian cho đoạn OO 1 = H và hai nửa đường thẳng Od, O 1 d 1 cùng vuông góc với OO 1 và 

vuông góc với nhau. Điểm M chạy trên Od, điểm N chạy trên O 1 d 1 sao cho ta luôn có OM 2 +O 1 N 2 =k 2 (k cho trước) 

a) Chứng minh đoạn MN có độ dài không đổi. 

b) Xác định vị trí M trên Od và N trên O 1 d 1 sao cho tứ diện OO 1 MN có thể tích lớn nhất 


Bài 186: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A , AC = b, 

Đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 

Bài 187: 

0 

30 . 

a. Tính độ dài đoạn AC’ b. Tính thể tích của khối lăng trụ 

C ˆ 

0 

60 . 

 

 

Bài 188: 

 

Bài 189: 

 

 

 

Bài 190: Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB =60 0 , 

BC = a, 


Bài 191: 

. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). 

 

 

Bài 192: 3 

 

1 

Bài 193: AD 

2 

 

Bài 194: 

= a 

chóp OAHK 

Bài 195: 

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với hình chóp. Cho 

2 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC (AHK) và tính thể tích hình 

 

 

 

Bài 196: 3 

 

 

Bài 197: 

 

 

3 

 

Bài 198: 2 

 

 

 

Bài 199: 2 

 

 

Bài 200: 


 

 

 

 



ĐỀ SỐ 1 

Câu 1: (6,0 điểm)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh bằng a ; SA = h và 

vuông góc với đáy gọi H là trực tâm tam giác ABC . 

1). Xác định chân đường vuông góc I hạ từ H đến mặt phẳng ( SBC ). 

2). Chứng minh I là trực tâm tam giác SBC. 

3). Tính thể tích hình chóp H.SBC theo a và h . 

Câu 2: (4,0 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AA’ = a. Lấy điểm M 

trên cạnh AD sao cho AM = 3MD 

1). Mặt phẳng (B’AC) chia khối hộp thành hai khối đa diện nào? 

2). Tính thể tích khối chóp M. AB’C. 

………………………………..Hết…………………………………… 

ĐỀ SỐ 2 

Bài 1: (5đ) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a , mặt phẳng 

0 

(A'BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30 , M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng 

0 

A 'MA = 30 và tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' theo a. 

Bài 2: (5đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với 

0 

đáy, cạnh bên SC tạo với đáy một góc 60 . 

1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. (3đ) 

2) Gọi M là trung điểm của SA, mpMBC) cắt SD tại N. Tứ giác MBCN là hình gì ? (1đ) 

3) Mặt phẳng (MBCN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó (1đ) 

………………………………..Hết…………………………………… 

ĐỀ SỐ 3 

Bài 1 Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC), tam giác SBC đều cạnh a và nằm trong mặt 

phẳng hợp với mặt đáy một góc 60 0 . 

a) Tính thể tích S.ABC. 

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách từ G đến (SBC). 

Bài 2 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC= 2AB. 

Biết A’A = A’B = A’C = a và A’A hợp với đáy một góc 60 0 . 

a) Chứng minh (A’BC) vuông góc với (ABC). 

b) Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’. 

c) Gọi M bất kỳ trên AA’. Chứng minh rằng thể tích chóp M.BCC’B’ không đổi. 

Tính thể tích đó. 

………………………………..Hết…………………………………… 

ĐỀ SỐ 4 

Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC. A' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = AA' 

= a . 

a) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. A' B ' C '. 

b) Mặt phẳng ( AB ' C ') chia khối lăng trụ ABC. A' B ' C ' thành hai khối đa diện. Tính thể tích của 

khối đa diện không chứa đỉnh A '. 

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt 

phẳng đáy và góc giữa cạnh bên SB với mặt phẳng đáy bằng 60 0 . Gọi M là trung điểm của SD. 

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 

b) Tính thể tích của khối tứ diện MACD. Từ đó suy ra khoảng cách từ D đến mặt phẳng (MAC). 

………………………………..Hết…………………………………… 

ĐỀ SỐ 5 

Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC. A' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = AA' 

= a . 

a) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. A' B ' C '. 

b) Mặt phẳng ( BA' C ') chia khối lăng trụ ABC. A' B ' C ' thành hai khối đa diện. Tính thể tích của 

khối đa diện không chứa đỉnh B '. 

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt 

phẳng đáy và góc giữa cạnh bên SD với mặt phẳng đáy bằng 60 0 . Gọi E là trung điểm của SB. 

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 

b) Tính thể tích của khối tứ diện EABC. Từ đó suy ra khoảng cách từ B đến mặt phẳng (EAC). 

………………………………..Hết…………………………………… 



ĐỀ SỐ 6 

Câu 1 (3,0 điểm): Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 4cm 

Câu 2 (3,5 điểm): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Góc 

giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng 60 0 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. 

Câu 3 (3,5 điểm): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, cạnh SA vuông góc với 

đáy, BC = a; AC = a 2 và SC = a 3 . 

a) Tính thể tích của khối chóp. 

2 

b) Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BC . Tìm tỷ số thể tích của khối chóp S.ADC và 

3 

S.ADB 

………………………………..Hết…………………………………… 

ĐỀ SỐ 7 

Câu 1:(4 điểm) Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=3cm; BC=4cm; DD'=5cm 

1.1/ Tính thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' 

1.2/ Tính thể tích khối chóp A'.ABD 

Câu 2: (3 điểm) Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2cm 

Câu 3: (3 điểm)Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA;SB;SC lần lượt lấy các điểm M;N;P sao cho 

1 

1 1 

S M = S A ; S N = S B ; S P = S C 

2 

3 4 

3.1/ Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ABC và S.MNP 

3.2/ Lấy Q trên cạnh BC sao cho CQ = 4BQ. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ABQ và 

S.ACQ 

………………………………..Hết…………………………………… 

ĐỀ SỐ 8 

Câu 1: Cho khối chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD) 

có SA=2a. Đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a 2 

và AD=a. 

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 

b. Tính thể tích khối chóp S.ABD theo a. 

c. Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Tính thể tích của khối tứ diện M.ABC theo a. 

Câu 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh AB’=a 3 . 

a. Tính thể tích của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a. 

b. Gọi D là điểm là thuộc cạnh AA’ sao cho 

lăng trụ ABC.A’B’C’ 

A' D 2 

AD = . Tính tỉ số thể tích của chóp D.ABC và hình 

3 

………………………………..Hết…………………………………… 

ĐỀ SỐ 9 

Câu 1: Cho khối chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD) 

có SA=a. Đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a 3 

và BC=a. 

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 

b. Tính thể tích khối chóp S.ABD theo a. 

c. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Tính thể tích của khối tứ diện M.ADC theo a. 

Câu 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a, cạnh A’B=a 3 . 

a. Tính thể tích của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a. 

b. Gọi D là điểm là thuộc cạnh AA’ sao cho 

lăng trụ ABC.A’B’C’ 

A' D 1 

AD = . Tính tỉ số thể tích của chóp D.ABC và hình 

3 



ĐỀ SỐ 10 

Câu I (4 điểm). Cho chóp đều S.ABCD cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích 

khối chóp S.ABCD. 

Câu II ( 6điểm). Cho tứ diện SABC có SAC và ABC là hai tam giác vuông cân, chung đáy AC 

và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, biết AC = a 2 . 

1. Tính thể tích khối tứ diện SABC. 

2. Gọi M là trung điểm của SB. Tính thể tích khối tứ MABC. 

3. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên SC. Tính thể tích khối đa diện AHMBC. 

………………………………..Hết…………………………………… 


Câu 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA ⊥ (ABC) 

, SA = 3a 

. Tam giác ABC vuông tại C, 

AB = a 2 , BC = a. 

a. (3 điểm) Tính thể tích khối chóp S.ABC. 

b. (2 điểm) Gọi I là trung điểm của SC. Tính thể tích khối chóp I.ABC. 

Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, cạnh đáy bằng 2a, góc hợp bởi cạnh bên và đáy bằng 

60 0 . 

a. (3 điểm) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 

b. (2 điểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm B lên đường thẳng SD. Tính thể tích khối đa 

diện SABCH. 


I. PHẦN BẮT BUỘC (7.0 điểm) 

Câu 1 (1.0 điểm) 

Cho ba đường thẳng song song nhưng không đồng phẳng a, b, c. Trên a, b, c lần lượt lấy các đoạn AA’, 

BB’, CC’ thoả mãn AA’ < BB’ < CC’. Hãy chia khối đa diện ABC.A’B’C’ thành một khối chóp và một 

khối lăng trụ . 

Câu 2 (2.5 điểm) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ 

1/ Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện BA’B’C’ và ABCC’A’. 

2/ Cho tam giác A’B’C’ vuông cân tại B’ có A’C’ = 2, mặt phẳng (BA’C’) tạo với đáy (A’B’C’) một góc 

60 0 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. 


Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ AB đến mặt phẳng (SCD) bằng a, góc giữa 

mặt bên và mặt đáy bằng α 

1/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và α . 

2/ Tìm α để thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất . 

II. PHẦN TỰ CHỌN (3.0 điểm) 

(Học sinh được phép chọn một trong hai phần sau: phần 1 hoặc phần 2) 

Phần 1. Dành cho chương trình Chuẩn 

Câu 4.a (3.0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng: 

1/ Hình chóp A.A’B’C’D’ và hình chóp C’.CDAB bằng nhau. 

2/ Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và ADA’.BCB’ bằng nhau. 

Phần 2. Dành cho chương trình Nâng cao 

Câu 4.b (3.0 điểm) 

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các cạnh B’C’, CC’, 

C’D’. Chứng minh rằng hai tứ diện C’EFG và B’C’BA’ đồng dạng với nhau. 



CHÖÔNG II 

KHOÁI TROØN XOAY 

I. Maët caàu – Khoái caàu: 


• Maët caàu: S( O; R) = { M OM = R} 

• Khoái caàu: V( O; R) = { M OM ≤ R} 

2. Vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø maët phaúng 

Cho maët caàu S(O; R) vaø maët phaúng (P). Goïi d = d(O; (P)). 

• Neáu d < R thì (P) caét (S) theo giao tuyeán laø ñöôøng troøn naèm treân (P), coù taâm H vaø 

2 2 

baùn kính r = R − d . 

• Neáu d = R thì (P) tieáp xuùc vôùi (S) taïi tieáp ñieåm H. ((P) ñgl tieáp dieän cuûa (S)) 

• Neáu d > R thì (P) vaø (S) khoâng coù ñieåm chung. 

Khi d = 0 thì (P) ñi qua taâm O vaø ñgl maët phaúng kính, ñöôøng troøn giao tuyeán coù baùn 

kính baèng R ñgl ñöôøng troøn lôùn. 

3. Vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø ñöôøng thaúng 

Cho maët caàu S(O; R) vaø ñöôøng thaúng ∆. Goïi d = d(O; ∆). 

• Neáu d < R thì ∆ caét (S) taïi hai ñieåm phaân bieät. 

• Neáu d = R thì ∆ tieáp xuùc vôùi (S). (∆ ñgl tieáp tuyeán cuûa (S)). 

• Neáu d > R thì ∆ vaø (S) khoâng coù ñieåm chung. 

4. Maët caàu ngoaïi tieáp – noäi tieáp 

Hình ña dieän 

Hình truï 

Hình noùn 

Maët caàu ngoaïi tieáp 

Taát caû caùc ñænh cuûa hình ña dieän 

ñeàu naèm treân maët caàu 

Hai ñöôøng troøn ñaùy cuûa hình truï 

naèm treân maët caàu 

Maët caàu ñi qua ñænh vaø ñöôøng troøn 

ñaùy cuûa hình noùn 

Maët caàu noäi tieáp 

Taát caû caùc maët cuûa hình ña dieän 

ñeàu tieáp xuùc vôùi maët caàu 

Maët caàu tieáp xuùc vôùi caùc maët ñaùy 

vaø moïi ñöôøng sinh cuûa hình truï 

Maët caàu tieáp xuùc vôùi maët ñaùy vaø 

moïi ñöôøng sinh cuûa hình noùn 

5. Xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi tieáp khoái ña dieän 

• Caùch 1: Neáu (n – 2) ñænh cuûa ña dieän nhìn hai ñænh coøn laïi döôùi moät goùc vuoâng thì 

taâm cuûa maët caàu laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng noái hai ñænh ñoù. 

• Caùch 2: Ñeå xaùc ñònh taâm cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. 

– Xaùc ñònh truïc ∆ cuûa ñaùy (∆ laø ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy taïi taâm 

ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñaùy). 

– Xaùc ñònh maët phaúng trung tröïc (P) cuûa moät caïnh beân. 

– Giao ñieåm cuûa (P) vaø ∆ laø taâm cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. 

II. Dieän tích – Theå tích 

Caàu Truï Noùn 

Sxq 

= 2π 

Rh 

Sxq 

= π Rl 

Dieän tích 

2 

S = 4π 

R 

Stp = Sxq + 2Sñaùy 

Stp = Sxq + Sñaùy 

Theå tích 

V 

4 

3 

3 

= π 

2 

R 

V = π R h 

1 2 

V = π R h 

3 




VAÁN ÑEÀ 1: Maët caàu – Khoái caàu 

Baøi 1. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B vaø SA ⊥ (ABC) 

. 

a) Goïi O laø trung ñieåm cuûa SC. Chöùng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra boán ñieåm A, 

SC 

B, C, S cuøng naèm treân maët caàu taâm O baùn kính R = . 

2 

b) Cho SA = BC = a vaø AB = a 2 

. Tính baùn kính maët caàu noùi treân. 

Baøi 2. Trong maët phaúng (P), cho ñöôøng thaúng d vaø moät ñieåm A ngoaøi d. Moät goùc xAy di 

ñoäng quanh A, caét d taïi B vaø C. Treân ñöôøng thaúng qua A vuoâng goùc vôùi (P) laáy ñieåm S. 

Goïi H vaø K laø caùc hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SB vaø SC. 

a) Chöùng minh A, B, C, H, K thuoäc cuøng moät maët caàu. 

b) Tính baùn kính maët caàu treân, bieát AB = 2, AC = 3, BAC = 60 

0 . 

Baøi 3. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA ⊥ (ABCD) 

vaø 

SA = a 

3 . Goïi O laø taâm hình vuoâng ABCD vaø K laø hình chieáu cuûa B treân SC. 

a) Chuùng minh ba ñieåm O, A, K cuøng nhìn ñoaïn SB döôùi moät goùc vuoâng. Suy ra naêm 

ñieåm S, D, A, K B cuøng naèm treân maët caàu ñöôøng kính SB. 

b) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu noùi treân. 

Baøi 4. Cho maët caàu S(O; a) vaø moät ñieåm A, bieát OA = 2a. Qua A keû moät tieáp tuyeán tieáp 

xuùc vôùi (S) taïi B vaø cuõng qua A keû moät caùt tuyeán caét (S) taïi C vaø D, bieát CD = a 3 . 

a) Tính AB. 

b) Tính khoaûng caùch töø O ñeán ñöôøng thaúng CD. 

Baøi 5. Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S.ABC, coù caïnh ñaùy baèng a vaø goùc hôïp bôûi maët beân 

vaø ñaùy baèng 60 0 . Goïi O laø taâm cuûa tam giaùc ABC. Trong tam giaùc SAO döïng ñöôøng 

trung tröïc cuûa caïnh SA, caét SO taïi K. 

a) Tính SO, SA. 

b) Chöùng minh ∆SMK ∼ ∆SOA 

( vôùi M laø trung ñieåm cuûa SA). Suy ra KS. 

c) Chöùng minh hình choùp K.ABC laø hình choùp ñeàu. suy ra: KA = KB +KC. 

d) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp S.ABC. 

Baøi 6. Cho hình choùp S.ABC. bieát raèng coù moät maët caàu baùn kính R tieáp xuùc vôùi caùc caïnh 

cuûa hình choùp vaø taâm I cuûa maët caàu naèm treân ñöôøng cao SH cuûa hình choùp. 

a) Chöùng minh raèng S.ABC laø hình choùp ñeàu. 

b) Tính chieàu cao cuûa hình choùp, bieát raèng IS = R 3 

Baøi 7. Cho töù dieän ñeàu ABCD coù caïnh laø a. 

a) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän. 

b) Tính dieän tích maët caàu vaø theå tích khoái caàu ñoù. 

Baøi 8. Cho moät hình choùp töù giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy laø a, caïnh beân hôïp vôùi maët ñaùy moät 

goùc 60 0 . 

a) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. 

b) Tính dieän tích maët caàu vaø theå tích khoái caàu ñoù. 

Baøi 9. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù taát caû caùc caïnh ñeàu baèng a. Xaùc ñònh taâm 

vaø baùn kính cuûa maët caàu ñi qua naêm ñieåm S, A, B, C, D. 



Baøi 10. Cho tam giaùc ABC coù ñoä daøi ba caïnh laø 13, 14, 15. Moät maët caàu taâm O, baùn kính R 

= 5 tieáp xuùc vôùi ba caïnh cuûa tam giaùc ABC taïi caùc tieáp ñieåm naèm treân ba caïnh ñoù. 

Tính khoaûng caùch töø taâm maët caàu tôùi maët phaúng chöùa tam giaùc. 

Baøi 11. Hình choùp S.ABC coù ñöôøng cao SA = a, ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a. Tính 

baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. 

Baøi 12. Cho hình choùp töø giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy baèng a vaø goùc hôïp bôûi maët beân 

vaø ñaùy baèng 60 0 . Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. 

Baøi 13. Hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy a vaø ñöôøng cao h. Goïi O laø taâm cuûa 

ABCD vaø H laø trung ñieåm cuûa BC. Ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc SHO caét SO taïi I. 

Chöùng minh raèng I laø taâm maët caàu noäi tieáp hình choùp. Tính baùn kính maët caàu naøy. 

Baøi 14. Cho hình choùp S.ABC coù SA ⊥ (ABC) vaø tam giaùc ABC vuoâng taïi B. Goïi AH, AK 

laàn löôït laø caùc ñöôøng cao cuûa caùc tam giaùc SAB vaø SAC. 

a) Chöùng minh raèng naêm ñieåm A, B, C, H, K cuøng ôû treân moät maët caàu. 

b) Cho AB = 10, BC = 24. Xaùc ñònh taâm vaø tính baùn kính maët caàu ñoù. 

Baøi 15. Cho hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình vuoâng caïnh baèng a, SA = a 7 vaø SA ⊥ 

(ABCD). Moät maët phaúng (P) qua A vaø vuoâng goùc vôùi SC, caét SB, SC, SD laàn löôït taïi 

H, M, K. 

a) Chöùng minh raèng baûy ñieåm A, B, C, D, H, M, K cuøng ôû treân moät maët caàu. 

b) Xaùc ñònh taâm vaø tính baùn kính maët caàu ñoù. 

VAÁN ÑEÀ 2: Maët truï – Hình truï – Khoái truï 

Baøi 1. Cho hình truï coù caùc ñaùy laø hai hình troøn taâm O vaø O′, baùn kính ñaùy baèng 2 cm. Treân 

ñöôøng troøn ñaùy taâm O laáy hai ñieåm A, B sao cho AB = 2 cm. Bieát raèng theå tích töù dieän 

OO′AB baèng 8 cm 3 . Tính chieàu cao hình truï vaø theå tích khoái truï. 

Baøi 2. Cho hình truï coù caùc ñaùy laø hai hình troøn taâm O vaø O′, baùn kính ñaùy baèng 2 cm. Treân 

0 

ñöôøng troøn ñaùy taâm O laáy ñieåm A sao cho AO′ hôïp vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 60 . 

Tính chieàu cao hình truï vaø theå tích khoái truï. 

Baøi 3. Cho hình truï coù caùc ñaùy laø hai hình troøn taâm O vaø O′, baùn kính ñaùy baèng chieàu cao 

vaø baèng a. Treân ñöôøng troøn ñaùy taâm O laáy ñieåm A, treân ñöôøng troøn ñaùy taâm O′ laáy 

ñieåm B sao cho AB = 2a. Tính theå tích cuûa khoái töù dieän OO′AB. 

Baøi 4. Moät khoái truï coù chieàu cao baèng 20 cm vaø coù baùn kính ñaùy baèng 10 cm. Ngöôøi ta keû 

hai baùn kính OA vaø O’B’ laàn löôït treân hai ñaùy sao cho chuùng hôïp vôùi nhau moät goùc 

30 0 . Caét khoái truï bôûi moät maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng AB’ vaø song song vôùi truïc OO’ 

cuûa khoái truï ñoù. Haõy tính dieän tích cuûa thieát dieän. 

Baøi 5. Moät hình truï coù baùn kính ñaùy R = 53 cm, khoaûng caùch giöõa hai ñaùy h = 56 cm. Moät 

thieát dieän song song vôùi truïc laø hình vuoâng. Tính khoaûng caùch töø truïc ñeán maët phaúng 

thieát dieän. 

Baøi 6. Cho hình truï baùn kính ñaùy R, chieàu cao OO′ = h, A vaø B laø hai ñieåm thay ñoåi treân 

hai ñöôøng troøn ñaùy sao cho ñoä daøi AB = a khoâng ñoåi ( h a h 2 4R 

2 ) 

a) Chöùng minh goùc giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø OO’ khoâng ñoåi. 

> < + . 

b) Chöùng minh khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø OO’ khoâng ñoåi. 




Baøi 7. Trong khoâng gian cho hình vuoâng ABCD caïnh a. Goïi I vaø H laàn löôït laø trung ñieåm 

cuûa caùc caïnh AB vaø CD. Khi quay hình vuoâng ñoù xung quanh truïc IH ta ñöôïc moät hình 

truï troøn xoay. 

a) Tính dieän tích xung quanh cuûa hình truï troøn xoay ñöôïc taïo neân. 

b) Tính theå tích cuûa khoái truï troøn xoay ñöôïc taïo neân bôûi hình truï troøn xoay ñoù. 

Baøi 8. Moät hình truï coù baùn kính ñaùy R vaø coù thieát dieän qua truïc laø moät hình vuoâng. 

a) Tính dieän tích xung quanh vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình truï. 

b) Tính theå tích cuûa khoái laêng truï töù giaùc ñeàu noäi tieáp trong khoái truï ñaõ cho. 

Baøi 9. Moät hình truï coù baùn kính ñaùy R vaø ñöôøng cao baèng R 3 ; A vaø B laø hai ñieåm treân 

hai ñöôøng troøn ñaùy sao cho goùc hôïp bôûi AB vaø truïc cuûa hình truï laø 30 0 . 

a) Tính dieän tích xung quanh vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình truï. 

b) Tính khoaûng caùch giöõa AB vaø truïc cuûa hình truï. 

Baøi 10. Cho hình truï baùn kính ñaùy R, chieàu cao h. Goïi A vaø B laø hai ñieåm laàn löôït naèm 

treân hai ñöôøng troøn ñaùy (O, R) vaø (O′, R) sao cho OA vaø O′B hôïp vôùi nhau moät goùc 

baèng x vaø vaø hai ñöôøng thaúng AB, O′O hôïp vôùi nhau moät goùc baèng y. 

a) Tính baùn kính R theo h, x, y. 

b) Tính S xq , S tp vaø theå tích V cuûa hình truï theo h, x, y. 

Baøi 11. Cho hình truï baùn kính ñaùy baèng a vaø truïc OO’ = 2a. OA vaø OB’ laø hai baùn kính 

cuûa hai ñöôøng troøn ñaùy (O), (O’) sao cho goùc cuûa OA vaø OB’ baèng 30 0 . 

a) Tính ñoä daøi ñoaïn thaúng AB’. 

b) Tính tang cuûa goùc giöõa AB’ vaø OO’. 

c) Tính khoaûng caùch giöõa AB’ vaø OO’. 

Baøi 12. Moät khoái truï coù caùc ñaùy laø hai hình troøn taâm O vaø O’, baùn kính R vaø coù ñöôøng cao 

h = R 2 . Goïi A laø moät ñieåm treân ñöôøng troøn taâm O vaø B laø moät ñieåm treân ñöôøng troøn 

taâm O’ sao cho OA vuoâng goùc vôùi O’B. 

a) Chöùng minh raèng caùc maët beân cuûa töù dieän OABO’ laø nhöõng tam giaùc vuoâng. Tính tæ 

soá theå tích cuûa khoái töù dieän OABO’ vaø khoái truï. 

b) Goïi ( α ) laø maët phaúng qua AB vaø song song vôùi OO’. Tính khoaûng caùch giöõa truïc 

OO’ vaø maët phaúng( α ) . 

c) Chöùng minh raèng ( α ) laø tieáp dieän cuûa maët truï coù truïc OO’ vaø coù baùn kính ñaùy baèng 

R 2 

2 

. 

VAÁN ÑEÀ 1: Maët noùn – Hình noùn – Khoái noùn 

Baøi 1. Cho hình laêng truï töù giaùc ñeàu ABCD.A′B′C′D′ coù caïnh ñaùy baèng a, chieàu cao 2a. 

Bieát raèng O′ laø taâm cuûa A′B′C′D′ vaø (C) laø ñöôøng troøn noäi tieáp ñaùy ABCD. Tính theå 

tích khoái noùn coù ñænh O′ vaø ñaùy (C). 

Baøi 2. Cho hình laêng truï tam giaùc ñeàu ABC.A′B′C′ coù caïnh ñaùy baèng a vaø chieàu cao 2a. 

Bieát raèng O′ laø taâm cuûa A′B′C′ vaø (C) laø ñöôøng troøn noäi tieáp ñaùy ABC. Tính theå tích 

khoái noùn coù ñænh O′ vaø ñaùy (C). 



Baøi 3. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy baèng a, caïnh beân hôïp vôùi ñaùy 

0 

moät goùc 60 . Goïi (C) laø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ñaùy ABCD. Tính theå tích khoái noùn coù 

ñænh S vaø ñaùy (C). 

Baøi 4. Trong khoâng gian cho tam giaùc OIM vuoâng taïi I, goùc IOM baèng 30 0 vaø caïnh IM = 

a. Khi quay tam giaùc OIM quanh caïnh goùc vuoâng OI thì ñöôøng gaáp khuùc OMI taïo 

thaønh moät hình noùn troøn xoay. 

a) Tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn troøn xoay taïo thaønh. 

b) Tính theå tích cuûa khoái noùn troøn xoay taïo thaønh. 

Baøi 5. Thieát dieän qua truïc cuûa moät hình noùn laø moät tam giaùc vuoâng caân coù caïnh goùc 

vuoâng baèng a. 

a) Tính dieän tích xung quanh vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình noùn. 

b) Tính theå tích cuûa khoái noùn töông öùng. 

c) Moät thieát dieän qua ñænh vaø taïo vôùi ñaùy moät goùc 60 0 . Tính dieän tích cuûa thieát dieän 

naøy. 

Baøi 6. Cho hình noùn ñænh S, ñöôøng cao SO, A vaø B laø hai ñieåm thuoäc ñöôøng troøn ñaùy sao 

cho khoaûng caùch töø ñieåm O ñeán AB baèng a vaø SAO = 30 

0 , 

0 

SAB=6 0 . Tính ñoä daøi 

ñöôøng sinh cuûa hình noùn theo a. 

Baøi 7. Thieát dieän qua truïc cuûa moät khoái noùn laø moät tam giaùc vuoâng caân coù caïnh huyeàn 

baèng a. Tính theå tích khoái noùn vaø dieän tích xung quanh cuûa hình noùn ñaõ cho. 

Baøi 8. Cho hình laäp phöông ABCD. A’B’C’D’ caïnh a. Tính dieän tích xung quanh cuûa hình 

noùn coù ñænh laø taâm O cuûa hình vuoâng ABCD vaø ñaùy laø hình troøn noäi tieáp hình vuoâng 

A’B’C’D’. 

Baøi 9. Caét moät hình noùn baèng moät maët phaúng ñi qua truïc cuûa noù, ta ñöôïc thieát dieän laø moät 

tam giaùc ñeàu caïnh 2a. Tính dieän tích xung quanh, dieän tích toaøn phaàn cuûa hình vaø theå 

tích cuûa khoái noùn. 

Baøi 10. Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S. ABC coù caïnh beân baèng a vaø goùc giöõa caùc maët beân 

vaø maët ñaùy laø α . Moät hình noùn ñænh S coù ñöôøng troøn ñaùy noäi tieáp tam giaùc ñeàu ABC, 

Haõy tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn naøy theo a vaø α . 

Baøi 11. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù chieàu cao SO = h vaø SAB 

= α (α > 45 0 ). 

Tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn ñænh S vaø coù ñöôøng troøn ñaùy ngoaïi tieáp hình 

vuoâng ABCD. 

Baøi 12. Moät hình noùn coù ñoä daøi ñöôøng sinh baèng 1 vaø goùc giöõa ñöôøng sinh vaø ñaùy laø α . 

a) Tình dieän tích xung quanh vaø theå tích cuûa khoái noùn. 

b) Goïi I laø ñieåm treân ñöôøng cao SO cuûa hình noùn sao cho = k ( 0 < k < 1) 

tích cuûa thieát dieän qua I vaø vuoâng goùc vôùi truïc. 

SI 

SO 

. Tính dieän 




OÂN TAÄP KHOÁI TROØN XOAY 

Baøi 1. Cho moät töù dieän ñeàu coù caïnh laø a. 

a) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän. 

b) Tính dieän tích maët caàu vaø theå tích khoái caàu töông öùng. 

Baøi 2. Cho moät hình choùp töù giaùc ñeàu coù caïnh ñaùy laø a, caïnh beân hôïp vôùi maët ñaùy moät 

0 

goùc 60 . 

a) Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. 

b) Tính dieän tích maët caàu vaø theå tích khoái caàu töông öùng. 

Baøi 3. Hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy a, goùc giöõa maët beân vaø ñaùy laø α. 

a) Tính baùn kính caùc maët caàu ngoaïi tieáp vaø noäi tieáp hình choùp. 

b) Tính giaù trò cuûa tanα ñeå caùc maët caàu naøy coù taâm truøng nhau. 

Baøi 4. Cho töù dieän ABCD, bieát AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai maët phaúng (ACD) 

vaø (BCD) vuoâng goùc vôùi nhau. 

a) Chöùng minh tam giaùc ACD vuoâng. 

b) Tính dieän tích maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD. 

Baøi 5. Cho hình caàu taâm O baùn kính R vaø ñöôøng kính SS′. Moät maët phaúng vuoâng goùc vôùi 

SS′ caét hình caàu theo moät ñöôøng troøn taâm H. Goïi ABC laø tam giaùc ñeàu noäi tieáp trong 

ñöôøng troøn naøy. Ñaët SH = x (0 < x < 2R). 

a) Tính caùc caïnh cuûa töù dieän SABC theo R, x. 

b) Xaùc ñònh x ñeå SABC laø töù dieän ñeàu, khi ñoù tính theå tích cuûa töù dieän vaø chöùng minh 

raèng caùc ñöôøng thaúng S′A, S′B, S′C ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau. 

Baøi 6. Trong maët phaúng (P), cho hình thang caân ABCD vôùi AB = 2a, BC = CD = DA = a. 

Treân nöûa ñöôøng thaúng Ax vuoâng goùc vôùi (P) ta laáy moät ñieâm di ñoäng S. Moät maët phaúng 

qua A vuoâng goùc vôùi SB, caét SB, SC, SD laàn löôït taïi P, Q, R. 

a) Chöùng minh raèng baûy ñieåm A, B, C, D, P, Q, R luoân thuoäc moät maët caàu coá ñònh. tính 

dieän tích cuûa maët caàu ñoù. 

b) Co SA = a 3 . Tính dieän tích cuûa töù giaùc APQR. 

Baøi 7. Cho moät ñoaïn thaúng IJ coù chieàu daøi c. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi IJ taïi I ta 

laáy hai ñieåm A, A′ ñoái xöùng qua I vaø IA = IA′ = a. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi IJ 

taïi J vaø khoâng song song vôùi AA′ ta laáy hai ñieåm B, B′ ñoái xöùng qua J vaø JB = JB′ = b. 

a) Chöùng minh raèng taâm O cuûa maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän AA′B′B naèm treân ñöôøng 

thaúng IJ. 

b) Xaùc ñònh taâm vaø tính baùn kính cuûa maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän AA′B′B theo a, b, c. 

Baøi 8. Cho töù dieän ABCD vôùi AB = AC = a, BC = b. Hai maët phaúng (BCD) vaø (ABC) 

vuoâng goùc vôùi nhau vaø BDC = 90 

0 . Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù 

dieän ABCD. 

Baøi 9. Cho hình caàu baùn kính R. Töø moät ñieåm S baát kyø treân maët caàu, döïng ba caùt tuyeán 

baèng nhau, caét maët caàu taïi A, B, C sao cho: ASB = ASC =BSC = α . Tính theå tích V 

cuûa töù dieän SABC theo R vaø α . 

Baøi 10. Cho töù dieän SABC coù SA ⊥ (ABC), SA = a, AB = b, AC = c. Xaùc ñònh taâm vaø tính 

baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän trong caùc tröôøng hôïp sau: 



a) BAC = 90 

0 b) BAC = 60 

0 , b = c c) BAC = 120 

0 , b = c. 

Baøi 11. Cho hình laêng truï tam giaùc ñeàu ABC.A’B’C’ coù taát caû caùc caïnh ñeàu baèng a. Xaùc 

ñònh taâm, baùn kính vaø tính dieän tích maët caàu ngoaïi tieáp hình laêng truï ñaõ cho. 

Baøi 12. Moät hình truï coù baùn kính ñaùy R vaø coù thieát dieän qua truïc laø moät hình vuoâng. 

a) Tính S xq vaø S tp cuûa hình truï. 

b) Tính V khoái laêng truï töù giaùc ñeàu noäi tieáp trong khoái truï ñaõ cho. 

Baøi 13. Moät hình truï coù baùn kính ñaùy R vaø ñöôøng cao R 3 . A vaø B laø 2 ñieåm treân 2 ñöôøng 

troøn ñaùy sao cho goùc hôïp bôûi AB vaø truïc cuûa hình truï laø 

0 

30 . 

a) Tính dieän tích cuûa thieát dieän qua AB vaø song song vôùi truïc cuûa hình truï. 

b) Tính S xq vaø S tp cuûa hình truï. 

c) Tính theå tích khoái truï töông öùng. 

Baøi 14. Beân trong hình truï troøn xoay coù moät hình vuoâng ABCD caïnh a noäi tieáp maø 2 ñænh 

lieân tieáp A, B naèm treân ñöôøng troøn ñaùy thöù 1 cuûa hình truï, 2 ñænh coøn laïi naèm treân 

ñöôøng troøn ñaùy thöù 2 cuûa hình truï. Maët phaúng chöùa hình vuoâng taïo vôùi ñaùy hình truï 

0 

moät goùc 45 . Tính dieän tích xung quanh vaø theå tích cuûa hình truï ñoù. 

Baøi 15. Thieát dieän qua truïc cuûa moät hình noùn laø moät tam giaùc vuoâng caân coù caïnh goùc 

vuoâng baèng a. 

a) Tính dieän tích xung quanh vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình noùn. 

b) Tính theå tích khoái noùn töông öùng. 

Baøi 16. Cho hình noùn coù ñöôøng cao SO = h vaø baùn kính ñaùy R. Goïi M laø ñieåm treân ñoaïn 

OS, ñaët OM = x (0 < x < h). 

a) Tính dieän tích thieát dieän (C) vuoâng goùc vôùi truïc taïi M. 

b) Tính theå tích V cuûa khoái noùn ñænh O vaø ñaùy (C) theo R, h vaø x. Xaùc ñònh x sao cho V 

ñaït giaù trò lôùn nhaát. 

Baøi 17. Moät hình noùn ñænh S coù chieàu cao SH = h vaø ñöôøng sinh baèng ñöôøng kính ñaùy. 

Moät hình caàu coù taâm laø trung ñieåm O cuûa ñöôøng cao SH vaø tieáp xuùc vôùi ñaùy hình noùn. 

a) Xaùc ñònh giao tuyeán cuûa maët noùn vaø maët caàu. 

b) Tính dieän tích cuûa phaàn maët noùn naèm trong maët caàu. 

c) Tính S maët caàu vaø so saùnh vôùi dieän tích toaøn phaàn cuûa maët noùn. 

Baøi 18. Cho hình noùn troøn xoay ñænh S. Trong ñaùy cuûa hình noùn ñoù coù hình vuoâng ABCD 

noäi tieáp, caïnh baèng a. Bieát raèng ASB = 2α 

, ( 0 0 < α < 45 

0 ) . Tính theå tích khoái noùn vaø 

dieän tích xung quanh cuûa hình noùn. 

Baøi 19. Cho hình noùn coù baùn kính ñaùy baèng R vaø goùc ôû ñænh laø 2α . Trong hình noùn coù moät 

hình truï noäi tieáp. Tính baùn kính ñaùy vaø chieàu cao cuûa hình truï, bieát raèng thieát dieän qua 

truïc cuûa hình truï laø moät hình vuoâng. 

Baøi 20. Cho hình noùn coù baùn kính ñaùy R, goùc giöõa ñöôøng sinh vaø ñaùy cuûa hình noùn laø α . 

Moät maët phaúng (P) song song vôùi ñaùy cuûa hình noùn, caùch ñaùy hình noùn moät khoaûng h, 

caét hình noùn theo ñöôøng troøn (C). Tính baùn kính ñöôøng troøn (C) theo R, h vaø α . 




OÂN TAÄP TOÅNG HÔÏP 

HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN 

Baøi 1. Cho hình choùp tam giaùc SABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a, SA ⊥ (ABC) 

vaø SA = a. M laø moät ñieåm thay ñoåi treân caïnh AB. Ñaët ACM = α, haï SH vuoâng goùc 

vôùi ñöôøng thaúng CM. 

a) Tìm quyõ tích ñieåm H. Suy ra giaù trò lôùn nhaát cuûa theå tích töù dieän SAHC. 

b) Haï AI ⊥ SC, AK ⊥ SH. Tính ñoä daøi SK, AK vaø theå tích töù dieän SAKI. 

a 

HD: a) Quó tích ñieåm H laø moät cung troøn. MaxV SAHC = 


b) AK = 

asinα 

, SK = 

2 

1+ 

sin α 

a 

a sin 2α 

, V = 

2 

2 

1+ sin α 24( 1+ 

sin α) 

Baøi 2. Cho ∆ABC caân taïi A coù AB = AC = a vaø goùc BAC = 2α. Treân ñöôøng thaúng d qua 

A vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC), laáy ñieåm S sao cho SA = 2a. Goïi I laø trung 

ñieåm cuûa BC. Haï AH ⊥ SI. 

a) Chöùng minh AH ⊥ (SBC). Tính ñoä daøi AH theo a, α. 

b) K laø moät ñieåm thay ñoåi treân ñoaïn AI, ñaët AK = x. Maët phaúng (R) qua K vaø vuoâng 

AI 

goùc vôùi AI caét caùc caïnh AB, AC, SC, SB laàn löôït taïi M, N, P, Q. Töù giaùc MNPQ laø hình 

gì? Tính dieän tích töù giaùc naøy. 

2a.cosα 

2 

HD: a) AH = 

b) S MNPQ = 4a x ( 1– x) 

sin a 

2 

cos α + 4 

Baøi 3. Cho töù dieän ABCD coù AB = CD = 2x ⎛ 2 

0 < x < 

⎞ 

⎜ 

vaø AC = AD = BC = BD = 1. 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

Goïi I vaø J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø CD. 

a) Chöùng minh AB ⊥ CD vaø IJ laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa hai ñöôøng thaúng AB vaø 

CD. 

b) Tính theå tích töù dieän ABCD theo x. Tìm x ñeå theå tích naøy lôùn nhaát vaø tính giaù trò lôùn 

nhaát ñoù. 

HD: b) V = 

2 2 

2x 

1− 

2x 

3 

; MaxV = 

2 

9 3 khi x = 3 

3 

Baøi 4. Trong maët phaúng (P), cho hình vuoâng ABCD caïnh a, coù taâm laø O. Treân caùc nöûa 

ñöôøng thaúng Ax, Cy vuoâng goùc vôùi (P) vaø ôû veà cuøng moät phía ñoái vôùi (P) laáy laàn löôït 

hai ñieåm M, N. Ñaët AM = x, CN = y. 

a) Tính ñoä daøi MN. Töø ñoù chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ∆OMN vuoâng taïi O 

laø: 

2 

2xy = a . 

b) Giaû söû M, N thay ñoåi sao cho ∆OMN vuoâng taïi O. Tính theå tích töù dieän BDMN. Xaùc 

3 

a 

ñònh x, y ñeå theå tích töù dieän naøy baèng 

4 . 

HD: a) MN = 

2 2 

2a + ( x − y) 

b) V = 

3 

a 

6 

3 

3 

⎛ a ⎞ 

( x + y) 

, (x, y) = ⎜ a; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ hoaëc ⎛ a ⎞ 

⎜ ; a ⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 



Baøi 5. Trong maët phaúng (P), cho hình vuoâng ABCD caïnh a. Goïi O laø giao ñieåm cuûa 2 

ñöôøng cheùo cuûa hình vuoâng ABCD. Treân ñöôøng thaúng Ox vuoâng goùc (P) laáy ñieåm S. 

Goïi α laø goùc nhoïn taïo bôûi maët beân vaø maët ñaùy cuûa hình choùp SABCD. 

a) Tính theå tích vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình choùp SABCD theo a vaø α. 

b) Xaùc ñònh ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa SA vaø CD. Tính ñoä daøi ñöôøng vuoâng goùc 

chung ñoù theo a vaø α. 

a 

HD: a) V = tanα , Stp = a 

6 

3 

⎛ ⎞ 

⎜1+ 

⎟ 

⎝ cosα ⎠ 

2 1 

b) d = a tan α 

cosα 

Baøi 6. Treân nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB = 2R laáy moät ñieåm C tuøy yù. Döïng CH vuoâng 

goùc vôùi AB (H thuoäc ñoaïn AB) vaø goïi I laø trung ñieåm cuûa CH. Treân nöûa ñöôøng thaúng It 

vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) taïi I laáy ñieåm S sao cho goùc ASB = 90 o . 

a) Chöùng minh tam giaùc SHC laø tam giaùc ñeàu. 

b) Ñaët AH = h. Tính theå tích V cuûa töù dieän SABC theo h vaø R. 

3 

2 

HD: b) V = Rh( 2R – h) 

Baøi 7. Cho hình vuoâng ABCD caïnh 2a. Treân ñöôøng thaúng d qua trung ñieåm I cuûa caïnh 

AB vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD) laáy ñieåm E sao cho IE = a. M laø ñieåm thay 

ñoåi treân caïnh AB, haï EH ⊥ CM. Ñaët BM = x. 

a) Chöùng minh ñieåm H di ñoäng treân moät ñöôøng troøn. Tính ñoä daøi IH. 

b) Goïi J laø trung ñieåm cuûa ñoaïn CE. Tính ñoä daøi JM vaø tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa JM. 

HD: a) IH = 

2a x − a 

4a 

2 2 

+ x 

b) JM = 

2 2 

⎛ a ⎞ 5a 

⎜ x − ⎟ + 

⎝ 2 ⎠ 4 

, MinJM = 

a 5 

2 

khi x = 2 

a 

Baøi 8. Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCDA'B'C'D' vaø ñieåm M treân caïnh AD. Maët phaúng 

(A'BM) caét ñöôøng cheùo AC' cuûa hình hoäp taïi ñieåm H. 

a) Chöùng minh raèng khi M thay ñoåi treân caïnh AD thì ñöôøng thaúng MH caét ñöôøng thaúng 

A'B taïi moät ñieåm coá ñònh. 

b) Tính tyû soá theå tích cuûa hai khoái ña dieän taïo bôûi maët phaúng A'BM caét hình hoäp trong 

tröôøng hôïp M laø trung ñieåm cuûa caïnh AD. 

c) Giaû söû AA' = AB vaø MB vuoâng goùc vôùi AC. Chöùng minh raèng maët phaúng A'BM 

vuoâng goùc vôùi AC' vaø ñieåm H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc A'BM. 

V1 

1 

HD: a) MH caét A′B taïi trung ñieåm I cuûa A′B. b) 

V = 11 

Baøi 9. Cho hình vuoâng ABCD caïnh baèng a. I laø trung ñieåm AB. Qua I döïng ñöôøng vuoâng 

goùc vôùi maët phaúng (ABCD) vaø treân ñoù laáy ñieåm S sao cho 2IS = a 3 . 

a) Chöùng minh raèng tam giaùc SAD laø tam giaùc vuoâng. 

b) Tính theå tích khoái choùp S.ACD roài suy ra khoaûng caùch töø C ñeán maët phaúng (SAD). 

3 

a 

3 

HD: b) V = 3 , d = 

12 2 a 

Baøi 10. Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù AB = a, AD = 2a, AA’ = a. 

a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AD’ vaø B’C. 

AM 

b) Goïi M laø ñieåm chia trong ñoaïn AD theo tyû soá 3 

MD = . Haõy tính khoaûng caùch töø 

ñieåm M ñeán maët phaúng (AB’C). 

2 




c) Tính theå tích töù dieän AB’D’C. 

a 

2a 

HD: a) d(AD′, B′C) = a b) d(M, (AB′C)) = c) V = 

2 3 

Baøi 11. Trong maët phaúng (P), cho moät hình vuoâng ABCD coù caïnh baèng a. S laø moät ñieåm 

baát kyø naèm treân ñöôøng thaúng At vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) taïi A. 

a) Tính theo a theå tích khoái caàu ngoaïi tieáp choùp S.ABCD khi SA = 2a. 

b) M, N laàn löôït laø hai ñieåm di ñoäng treân caùc caïnh CB, CD (M ∈ CB, N ∈ CD) vaø ñaët 

CM = m, CN = n. Tìm moät bieåu thöùc lieân heä giöõa m vaø n ñeå caùc maët phaúng (SMA) vaø 

(SAN) taïo vôùi nhau moät goùc 45°. 

3 

2 

HD: a) V = π a 6 b) 2a – 2( m + n) a + mn = 0 

Baøi 12. Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA ⊥ ( ABCD) 

vaø 

SA = a 2 .Treân caïnh AD laáy ñieåm M thay ñoåi. Ñaët goùc ACM = α . Haï SN ⊥ CM . 

a) Chöùng minh N luoân thuoäc moät ñöôøng troøn coá ñònh vaø tính theå tích töù dieän SACN 

theo a vaø α . 

b) Haï AH ⊥ SC , AK ⊥ SN . Chöùng minh raèng SC ⊥ ( AHK) 

vaø tính ñoä daøi ñoaïn HK. 

HD: a) N thuoäc ñöôøng troøn ñöôøng kính AC coá ñònh, V = 

b) HK = 

a cosα 

1+ 

sin 

2 

α 

3 

a 

3 2 

sin 2α 

6 

Baøi 13. Cho hình choùp S.ABC coù caùc caïnh beân SA, SB, SC ñoâi moät vuoâng goùc. Ñaët SA = 

a, SB = b, SC = c. Goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC. 

a) Tính ñoä daøi ñoaïn SG theo a, b, c. 

b) Moät maët phaúng (P) tuyø yù ñi qua S vaø G caét ñoaïn AB taïi M vaø caét ñoaïn AC taïi N. 

AB AC 

i) Chöùng minh raèng + = 3. 

AM AN 

ii) Chöùng minh raèng maët caàu ñi qua caùc ñieåm S, A, B, C coù taâm O thuoäc maët phaúng 

(P). Tính theå tích khoái ña dieän ASMON theo a, b, c khi maët phaúng (P) song song vôùi BC 

HD: a) SG = 1 a 

2 

+ b 

2 

+ c 

2 

b) V = 1 3 

9 abc 

Baøi 14. Cho hình vuoâng ABCD caïnh a. Goïi O laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo. Treân nöûa 

ñöôøng thaúng Ox vuoâng goùc vôùi maët phaúng chöùa hình vuoâng, ta laáy ñieåm S sao cho goùc 

SCB = 60 ° . 

a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng BC vaø SD. 

b) Goïi (α ) laø maët phaúng chöùa BC vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (SAD). Tính dieän tích 

thieát dieän taïo bôûi (α ) vaø hình choùp S.ABCD. 

a 6 

a 

2 6 

HD: a) d(BC, SD) = 

b) S = 

3 

4 

Baøi 15. Cho hình vuoâng ABCD coù caïnh baèng a. Treân caïnh AD laáy ñieåm M sao cho AM = x 

(0 ≤ x ≤ a). Treân nöûa ñöôøng thaúng Ax vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD) taïi ñieåm A, 

laáy ñieåm S sao cho SA = y (y > 0). 

a) Chöùng minh raèng (SAB) ⊥ (SBC). 

b) Tính khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán maët phaúng (SAC). 

c) Tính theå tích khoái choùp S.ABCM theo a, y vaø x. 



d) Bieát raèng x 2 + y 2 = a 2 . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa theå tích khoái choùp S.ABCM. 

HD: b) d(M, (SAC)) = 

d) MaxV = 

3 

a 3 

8 

2x 

2 

khi x = 2 

a 

c) V = 1 ( ) 

6 ya a + x 

Baøi 16. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A; ABC = 30 

0 ; SBC laø 

tam giaùc ñeàu caïnh a. Maët beân SAB vuoâng goùc vôùi ñaùy ABC. M laø trung ñieåm SB. 

a) Chöùng minh AM laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa SB vaø AC. Tính cosin goùc giöõa 2 maët 

phaúng (SAC) vaø (ABC). 

b) Tính theå tích cuûa hình choùp S.ABC. 

HD: a) 

1 

cos SAB = b) V = 

3 

3 

a 2 

24 

Baøi 17. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi, goùc A = 120 

0 , BD = a > 0. 

Caïnh beân SA vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goùc giöõa maët phaúng (SBC) vaø ñaùy baèng 60 0 . Moät 

maët phaúng (P) ñi qua BD vaø vuoâng goùc vôùi caïnh SC. Tính tæ soá theå tích giöõa hai phaàn 

cuûa hình choùp do maët phaúng (P) taïo ra khi caét hình choùp. 

V1 

1 

HD: 

V = 12 

2 

a 3 

Baøi 18. Cho hình hoäp ñöùng ABCD.A’B’C’D’ coù caùc caïnh AB = AD = a, AA’ = vaø 

2 

goùc BAD = 60 

0 . Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh A’D’ vaø A’B’. Chöùng 

minh raèng AC′ vuoâng goùc vôùi maët phaúng (BDMN). Tính theå tích khoái choùp A.BDMN. 

3 

3a 

HD: V = 

16 

Baøi 19. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät vôùi AB = a, AD = 2a, caïnh 

SA vuoâng goùc vôùi ñaùy, caïnh SB taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 60 o . Treân caïnh SA laáy 

a 3 

ñieåm M sao cho AM = . Maët phaúng (BCM) caét caïnh SD taïi ñieåm N. Tính theå tích 

3 

khoái choùp S.BCNM . 

HD: V = 

10 3a 

27 

3 

Baøi 20. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a, goùc BAD = 60 

0 , SA 

vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD), SA = a. Goïi C’ laø trung ñieåm cuûa SC. Maët phaúng 

(P) ñi qua AC’ vaø song song vôùi BD, caét caùc caïnh SB, SD cuûa hình choùp laàn löôït taïi B’, 

D’. Tính theå tích cuûa khoái choùp S.AB’C’D’. 

HD: V = 

3 

a 3 

18 



ĐỀ 1 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm) 

2 x 

Câu 1 (3.0 điểm) Cho hàm số y = ( x) 

= − 

( C) 

x + 2 

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 

2) Đường thẳng ( ∆ ) : y = 7x 

+ 10 cắt (C) tại 2 điểm A, B phân biệt. Tính độ dài AB. 


3−log2 

3 

1) Tính giá trị biểu thức P = 2 + 3log 27 

1 

3 

2 

⎡1 ⎤ 

2) Tìm GTLN, GTNN của các hàm số y = f ( x) = 2x − ln x trên đoạn 

⎢ ;e 

⎣e 

⎥ 

⎦ 

Câu 3.(2.0 điểm) Cho khối chóp S.ABC biết SA vuông góc với mp(ABC), góc giữa SC và mặt đáy 

0 

bằng 30 ; ∆ ABC vuông tại A có AC = a 3 , 0 

ACB = 60 

1) Tính thể tích khối chóp S.ABC 

2) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC 

II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3.0 điểm) 

Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) 

Phần 1: Theo chương trình chuẩn 

1 3 2 

Câu 5.a (1.0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của y = f ( x) = x − 2x + 3 x ( C) 

tại điểm có hoành 

3 

độ x 

0 

biết f "( x 

0 ) = 0 

Câu 6.a (2.0 điểm) Giải phương trình, bất phương trình: 

x 1 

1) 4 + x 

− 33.2 + 8 = 0 

2 log ( x − 1) > 1+ 

log x 

2) 

4 1 

2 

Phần 2: Theo chương trình nâng cao 

Câu 5.b (1.0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) 

và trục Ox. 

Câu 6.b (2.0 điểm) 

2 

x − 3x 

+ 2 

y = f x = ( C ) tại giao điểm của (C) 

x + 2 

1 

1) Cho hàm số y = ln 

x + 1 

. Chứng minh 2y 

e = 1+ 

2 xy ' 

2 

2) Tìm m để đồ thị hàm số y = ( x −1)( x − 2mx − m + 6) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt 

ĐỀ 2 

I. PHẦN CHUNG (7,0 điểm) 

Câu I ( 3 điểm) 

4 4 2 + 

Cho hàm số y = x − x 3 , gọi đồ thị của hàm số là (C) . 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho . 

2. Dựa vào đồ thị (C) , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ( x − ) + 2m 

= 0 

có 4 nghiệm 

phân biệt. 

Câu II ( 3 điểm) 

log3 

405 − log3 

75 

1. Tính giá trị của biểu thức Q = 

. 

log2 

14 − log2 

98 

2x x 

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = e − 4e + 3 trên [0;ln4] 

Câu III ( 1 điểm) 

Cho hình trụ có đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a . Diện tích của thiết diện qua trục 

2 

hình trụ là 2a . Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ đã cho . 


2 

2 2


II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) 

(Học sinh chọn IVa và Va hay IVb và Vb ) 

A. Thí sinh ban nâng cao 

Câu IVa ( 1 điểm) 

2 

x + mx −1 

Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = 

(m ≠0) đi qua gốc toạ độ . 

x −1 

Câu Va ( 2 điểm) 

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên của lăng trụ 

hợp với đáy góc 60 0 . Đỉnh A’ cách đều A,B,C . 

1. Chứng minh tứ giác BB’C’C là hình chữ nhật . 

2. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ . 

B. Thí sinh ban cơ bản 

Câu IVb ( 1 điểm) 

x 2 −x . 

Giải bất phương trình : 3 − 3 + 8 > 0 

Câu Vb ( 2 điểm) 

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a . Tam giác SAC là tam giác đều . 

1) Tính độ dài đường cao của chóp SABCD . 

2) Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 

ĐỀ 3 

A. Phần chung: (7.0đ) 

3 2 

Câu I: (3.0đ) Cho hs y = −x 

+ 3x (C ) 

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( C). 

3 

x 2 

b/ Tìm m để phương trình : − + x − 2m 

= 0 có 3 nghiệm phân biệt. 

3 

Câu II: (2.0đ) 

1 

log 

1 

ln 2 

3 

a/ Tính giá trị biểu thức A = log 2 


2012 + e + + (125) 

log8 

2 

4−x 

b/ Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số y = e 

Câu III: (2.0đ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA ⊥ (ABC); góc giữa SC 

và đáy bằng 30 0 , AC=5a, BC=3a 

a/ Tính V S.ABC ? 

b/ Chứng minh trung điểm của SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . Tính diện tích mặt cầu 

đó. 

B. Phần riêng: (3.0đ) 

( Dành cho chương trình cơ bản) 

1− 

2x 

Câu IV a/(1.0đ) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = tại điểm có hoành độ bằng 

3 + 4x 

2. 

Câu Va/ (2.0đ) 1/ Giải phương trình 9 

x+ 1 2 

+ 3 

x+ 

−18 

= 0 

2 

2 

2/ Giải bất phương trình : 9log (1 − x ) − 4log (1 − x ) 5 

( Dành cho chương trình nâng cao) 

Câu IV b/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 

Câu Vb: 

2 

1/ Cho hs y = ln x . Chứng minh x 

2 . y' 

' + x. 

y' 

−2 

= 0 

2/Cho hs y = x 

3 + 3x 

2 + mx + m − 2 (C m ) 

8 1 

≥ 

4 

2 2 2 

Tìm m để (C m ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt x 1 , x 2 ,x 3 và x + x + x 15 

1− 

2x 

y = tại điểm có hoành độ bằng 2. 

3 + 4x 

1 2 3 

< 



ĐỀ 4 


Câu I (3,0 điểm). Cho hàm số I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm) 

Câu 1. (3,0 điểm) 

Cho hàm số 

3 2 

y = 2x − 3x + 1 có đồ thị (C). 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 

2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm phương trình 

Câu II (2,0 điểm). 

1) Tính giá trị biểu thức A = 

1−log2 

10 + log 

2 

3.log3 4 + log5 


3 2 

2x − 3x + k =0 

2x 

x 

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = e − 4e 

+ 3 trên [ 0;ln 4 ] . 

Câu III (2,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, Cạnh bên SA 

vuông góc với mặt đáy,SA = 2a. 

a) Tính thể tích khối chóp S.BCD. 

b) Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.Tính diện tích mặt cầu đó. 

II. PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) 

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) 


Câu IV.a (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) của hàm số y = 2 x − 1 

tuyến song song với đường thẳng d: y = − x + 2012 . 

x x x 

Câu V.a (2,0 điểm). 1) Giải phương trình: 6.9 − 13.6 + 6.4 = 0 . 

2 

2) Giải bất phương trình: x x ( x) 

1 3 

3 

x −1 

log ( − 6 + 5) + 2log 2 − ≥ 0 . 

biết tiếp 

2. Theo chương trình Nâng Cao 

Câu IV.b (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) của hàm số y = 2 x − 1 biết tiếp 

x −1 

tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = 4x + 2012 . 

Câu V.b (2,0 điểm). 

cos x 

1) Cho hàm số y = e , chứng minh rằng 

2) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C): 

cho độ dài của đoạn thẳng AB nhỏ nhất. 

, ,, 

y .sin x + y.cos x + y = 0 

3 

y = − x + 3 + tại hai điểm phân biệt A, B sao 

x − 1 

ĐỀ 5 


Câu 1: (3,0 điểm) Cho hàm số y = -x 3 + 3x 2 - 1. 


b) Với giá trị nào của m thì phương trình -x 3 + 3x 2 - m = 0 có ít hơn 3 nghiệm. 

Câu 2: (2,0 điểm) 

a) Rút gọn biểu thức M = 

(log 

a 

1− 

log 

b + log 

b 

3 

a 

b 

a + 1) log 

a 

a 

b 

(0 < a ≠ 1, 0 

x x 

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = e trên [0; 3]. 

Câu 3: (2,0 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa cạnh bên và mặt 

đáy bằng 60 0 . 


2 −2


a) Tính thể tích khối chóp S.ABC. 

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón ngoại tiếp khối chóp S.ABC. 

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) (Học sinh chọn 4a hay 4b ) 


2x −1 

4a.1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại điểm có hoành độ x 0 = -2. 

x 

4a.2) Giải các phương trình: log 4 x 2 - log 2 (6x - 10) + 1 = 0; 

4a.3) Giải bất phương trình: 3 x - 3 -x + 2 + 8 > 0. 


x 

4b.1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số = 

2 

− 3x 

+ 3 

y tại điểm có hoành độ x 0 = 4. 

x − 2 

4b.2) Cho hàm số y = e -x .sinx, chứng minh rằng y'' + 2y' + 2y = 0. 

4b.3) Cho hàm số y = (x + 1)(x 2 + 2mx + m + 2). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục 

hoành tại ba điểm phân biệt 

ĐỀ 6 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH : (7,0 điểm) 

Câu I : (3,0 điểm) 

4 2 

Cho hàm số ( C ): 

y = −x 

+ 2x 

+ 3 

1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 

2/ Tìm m để phương trình : x 4 − 2x 

2 + m −1 

= 0 có 4 nghiệm phân biệt . 

Câu II : (2,0 điểm) 

1/ Tính giá trị của các biểu thức sau : 

4 

A = log1 16 − 2log3 

27 + 5log2( ln e ) 

8 

2/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 

y = x 

2 − 2ln 

x trên [ e ;e] 

−1 

Câu III : (2,0 điểm) 

Cho hình chóp đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng 2a 

1/ Tính thể tích của khối chóp theo a. 

2/ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 

II. PHẦN RIÊNG : (3,0 điểm) 

Học sinh tự chọn một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2) 

A. Phần 1 

Câu IVa : (1,0 điểm) 

2x −1 

Cho ( C ): 

y = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm thuộc (C) có tung độ 

x + 2 

bằng 3 . 

Câu Va : (2,0 điểm) 

x x−1 

1/ Giải phương trình : 4 −10.2 

− 24 = 0 

⎛ 1 ⎞ 

2/ Giải bất phương trình : log 

1 ⎜ x + ⎟ − log2 

x ≥ 1 

2 

2 ⎝ ⎠ 

B. Phần 2 

Câu IVb : (1,0 điểm) 

3 2 

Cho ( C ): 

y = −x 

+ 3x 

− 4 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó 

song song đường thẳng ( d ): y = −9x 

+ 5 

Câu Vb : (2,0 điểm) 

1/ Cho hàm số : y e 

x / // 

= 2 sin x . Chứng minh rằng : 2y 

− 2y 

+ y = 0 

+ 1 



2/ Cho hàm số (C) : y = 2x 3 -3x 2 -1. Gọi d là đường thẳng qua M(0;-1) và có hệ số góc k . Tìm 

k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt. 

ĐỀ 7 

II. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH : (7,0 điểm) 

Câu I : (3,0 điểm) 

4 2 

Cho hàm số ( C ): 

y = −x 

+ 2x 

+ 3 

1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 

2/ Tìm m để phương trình : x 4 − 2x 

2 + m −1 

= 0 có 4 nghiệm phân biệt . 

Câu II : (2,0 điểm) 

1/ Tính giá trị của các biểu thức sau : 

4 

A = log1 16 − 2log3 

27 + 5log2( ln e ) 

8 

2/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 

y = x 

2 − 2ln 

x trên [ e ;e] 

−1 

Câu III : (2,0 điểm) 

Cho hình chóp đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng 2a 

1/ Tính thể tích của khối chóp theo a. 

2/ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 

II. PHẦN RIÊNG : (3,0 điểm) 

Học sinh tự chọn một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2) 

A. Phần 1 

Câu IVa : (1,0 điểm) 

2x −1 

Cho ( C ): 

y = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm thuộc (C) có tung độ 

x + 2 

bằng 3 . 

Câu Va : (2,0 điểm) 

x x−1 

1/ Giải phương trình : 4 −10.2 

− 24 = 0 

⎛ 1 ⎞ 

2/ Giải bất phương trình : log 

1 ⎜ x + ⎟ − log2 

x ≥ 1 

2 

2 ⎝ ⎠ 

B. Phần 2 

Câu IVb : (1,0 điểm) 

3 2 

Cho ( C ): 

y = −x 

+ 3x 

− 4 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó 

song song đường thẳng ( d ): y = −9x 

+ 5 

Câu Vb : (2,0 điểm) 

1/ Cho hàm số : y e 

x / // 

= 2 sin x . Chứng minh rằng : 2y 

− 2y 

+ y = 0 

2/ Cho hàm số (C) : y = 2x 3 -3x 2 -1. Gọi d là đường thẳng qua M(0;-1) và có hệ số góc k . Tìm 

k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt. 

ĐỀ 8 


1 4 2 

Câu I (3,0 điểm). Cho hàm số y = − x + x + 2 (1) 

2 

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 

1 4 2 

2) Với giá trị nào của m thì phương trình − 0 

2 x + x − m = có 4 nghiệm. 

Câu II (2,0 điểm). 



1) Tính giá trị biểu thức 

⎛ 1 ⎞ 

A = + + ⎜ ⎟ 

⎝ 25 ⎠ 

−1,5 

log3 

2 

log 8 9 . 

1 

2 

f x = x − e − x trên đoạn ⎡ 

⎣−2;1 

⎤ 

⎦ 

Câu III (2,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 

2 

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( 3) 

a 2 . Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 . 

1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 

2) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 

II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) 

Học sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) 


Câu IV.a (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số 


Câu V.a (2,0 điểm). 


2 

2x 

x 1 

− ⎛ ⎞ 

9 = 3. ⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

log x + 1 < log 5x 

− 1 + 1 

2 

2x 

+ x 

2) Giải bất phương trình: ( ) ( ) 


3 1 

3 

Câu IV.b (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số 

tung độ bằng 7. 

Câu V.b (2,0 điểm). 

1) Cho hàm số y = xe − x . Chứng minh y '' + 2 y' + y = 0 . 

2) Tìm m để đường thẳng ( d ) : y = m − x cắt đồ thị (C) của hàm số 

biệt A và B sao cho AB ngắn nhất. 

ĐỀ 9 

2x−3 

y = tại điểm có 

x − 1 

2x−3 

y = tại điểm có 

x + 1 

2x 

−1 

y = tại hai điểm phân 

x + 1 

A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7 Đ) 

3 2 

Câu I (3đ)Cho hàm số y = x − 3x 

− 2 

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 

2)Xác định tất cả các giá trị của tham số m để đ/ thẳng y = mx − 2 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. 

Câu II (2đ) 

log x 

2 + log 

x ( 0,1) 

1)Tính giá trị của biểu thức P = 

, khi x = 0,1. 

log 99,9 + x 

x 

f x = 4 + x − 4 − x trên đoạn [0;2]. 

2)Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 

2 2 

Câu III (2đ) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết AC = 3 , 

0 

0 

góc ∠ ACB = 30 , góc giữa AB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60 . 

1)Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. 

2)Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp A’.ABC. 

II.PHẦN RIÊNG-PHẦN TỰ CHỌN (3Đ) 

Học sinh chỉ được chọn phần A hoặc B. 

A.Theo chương trình chuẩn. 



1 

Câu IVa(1đ) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số y = x + 2 

tại giao điểm của đồ thị (C) 

và trục tung. 

Câu Va (2đ) 

x 1 x 

1)Giải phương trình: 3 + 3 − = 4 . 

⎛ x + 1⎞ 2)Giải bất phương trình: log0,5 

⎜ ⎟ ≥ − 2 . 

⎝ x ⎠ 

B.Theo chương trình nâng cao. 

x 

Câu IVb(1đ)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số y = tại điểm có tung độ bằng 1 x + 2 

2 . 

Câu Vb(2đ) 

2 

f x = ln 1+ x . 

1)Giải bất phương trình: '( ) 1 

f x ≥ , với ( ) ( ) 

x + m 

2)Cho hàm số y = . Tìm các giá trị m < 0 để đồ thị của hàm số cắt các trục tọa độ tại hai điểm 

x + 1 

A và B mà diện tích tam giác AOB bằng 2 (O là gốc tọa độ). 


Câu I: (3 điểm) 

Cho hàm số 

1 3 

y x x 

2 2 

4 2 

= − 3 + (C) 


1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 

4 2 

2) Tìm m để phương trình 2x − 12x + m = 0 có 4 nghiệm thực phân biệt. 

Câu II: (2 điểm) 

1) Tính 

1 2 

4 + 

log 5 

log3 

1 

3 

2+ 

3log2 

3 

⎛ 1 ⎞ 

A = ⎜ ⎟ − 2 + 5 

⎝ 9 ⎠ 

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 

3 

2 1 

y ( x 2x 2) e −x 


1;3 . 

Câu III: (2 điểm) 

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp trong một hình trụ cho trước, góc giữa đường 

thẳng B’D và mp (ABB’A’) bằng 30 0 . Khoảng cách từ trục hình trụ đến mp (ABB’A’) bằng 3 a . Tính 

2 

thể tích khối hộp đã cho và thể tích khối cầu ngoại tiếp khối hộp biết đường kính của đáy hình trụ bằng 

5a. 

II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) 

A. Theo chương trình chuẩn 

Câu IVa: (1 điểm) 

3 2 

Cho hàm số y = x − mx + (2m + 1) x − m − 2 (Cm). Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) cắt trục 

hoành tại ba điểm phân biệt. 

Câu Va: (2 điểm) 

x 2+ 

x 

1) Giải phương trình: 9 − 3 + 8 = 0 

2) Giải bất phương trình: 1 

2 

B. Theo chương trình nâng cao 

Câu IVb: (1 điểm) 

x + 1 

log ≥ 0 

3 − x 


Cho hàm số 


2x 

+ 1 

y = 

x + 1 

với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. 

Câu Vb: (2 điểm) 

1) Cho hàm số 

(C). Lập phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó song song 

2 

2 2 y 

y = ln x + x + 1 . Chứng minh rằng: 2( x + 1) y' 

+ x = e 

3 2 

y = x − mx + (2m + 1) x − m − 2 (Cm). Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) cắt 


trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương. 


I. Phần chung (7,0 điểm) 

Câu I:(3 điểm) Cho hàm số y = x 

3 − 3x 

2 + 1 ( 1) 

có đồ thị (C). 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 

2. Xác định m để phương trình sau : − x 

3 + 3x 

2 + m = 0 có hai nghiệm. 

Câu II:(2 điểm). 

1 

1. Tính giá trị của biểu thức: ( ) 0, 75 

A = 

9 

4 

log 

+ log 2 

− 625 

4 3 2 

2 

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y ( x 3) e x trên 

[ 0;2] 

3 

= − trên 

đoạn [ − 4;1] 

. 

Câu III:(2 điểm). 

Cho tứ diện OABC, có OA, OB, OC đôi một vuông góc, tam giác OBC vuông cân tại O, BC = 

a 2 . Góc giữa AB và (OBC) bằng 30 0 . 

1. Tính theo a thể tích khối tứ diện OABC. 

2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. 


A. Theo chương trình chuẩn 

Câu IVa (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 

song đường thẳng y = 5x + 2013. 

Câu Va. (2,0 điểm) 

log x + 2log x − 1 = 1. 

1. Giải phương trình: ( ) 

2 4 

x−1 

x 

x + 2 

y = , biết tiếp tuyến song 

3 − x 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

8 

2. Giải bất phương trình: ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ > 2log 

4 

. 

⎝ 4 ⎠ ⎝16 

⎠ 

B. Theo chương trình nâng cao 

x + 2 

Câu IVb (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết tiếp tuyến vuông 

3 − x 

góc đường thẳng: x + 5y - 2013 = 0. 

Câu Vb. (2,0 điểm) 

− 

1. Cho y = y = e 

x sin x . Chứng minh rằng: y '' 

+ 2y' 

+ 2y 

= 0 

2. Chứng minh rằng: Với mọi m thì đồ thị hàm số 

3 

2 

3 2 

y = x + 3( m + 1) x + 3m( m + 2) x + m + 3m 

luôn có hai cực trị và khoảng cách giữa hai 

điểm cực trị không đổi. 



I. PHẦN CHUNG ( 7,0 điểm ) 


1 3 1 2 1 

Câu I (3,0 điểm ): Cho hàm số y = x + x − 2 x + (C) 

3 2 6 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 

3 2 

2. Tìm m để phương trình 2x + 3x − 12x + m = 0 có 2 nghiệm thực phân biệt. 

Câu II ( 2,0 điểm ): 

2+ 2 1+ 2 −1− 

2 

1. Không dùng máy tính, hãy tính giá trị biểu thức: A = 5 .25 125 . 

2 

2. Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số y f ( x) ( x 2x 2) e 

x 

= = − + trên đoạn [ − 1;2 ] 

Câu III (2,0 điểm ): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a, SB vuông 

góc với đáy ABC và SB = a 2 . Góc giữa mặt phẳng (SAC) và (ABC) bằng 60 0 . 

1. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC. 

2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC. 

II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN: ( 3,0 điểm ) 

Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2) 

A . Theo chương trình CHUẨN. 

Câu IVa ( 1,0 điểm ): 

2x 

−1 

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 5. 

x + 2 

Câu Va ( 2,0 điểm ): 

1. Giải phương trình log 

2 

2x + 2log 

x 

2 = 4 . 

x 1 

2. Giải bất phương trình 4 + x 

− 3.2 −1 ≥ 0 . 

B . Theo chương trình NÂNG CAO. 

Câu IVb ( 1,0 điểm ): 

x + 3 

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết tiếp tuyến vuông góc với đường 

x + 1 

1 

thẳng ∆ có phương trình y = x + 7 . 

2 

Câu Vb ( 2,0 điểm ): 

2013 

1. Cho hàm số y = ( x + 2012) e x+ 

x 2013 

. Chứng minh rằng y ' − y − e + = 0 . 

2 

2. Tìm các tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = ( x − 1)( x + mx + m) 

tiếp xúc với trục 

hoành. Xác định tọa độ tiếp điểm trong mỗi trường hợp tìm được. 

ĐỀ 13 

I.PHẦN CHUNG (7,0 điểm) 

2x 

+ 1 

Câu I. (3,0 điểm): Cho hàm số y = 

x −1 


2.Tìm m để đường thẳng d: y = − x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. 

Câu II ( 2,0 điểm) 

⎛ 5 3 ⎞ 1−log 2 3 

1.Tính giá trị biểu thức A = log 

a ⎜ a. a. a. a ⎟ + 8 ( 0 < a ≠ 1) 

⎝ 

⎠ 

2 

2.Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = cos x − cos x + 2 

Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với 

mặt đáy và SA=2a. 

1.Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a. 



2.Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) (Học sinh chọn IVa và Va hay IVb và Vb ) 

A. Theo chương trình chuẩn. 


2x 

+ 1 

Cho hàm số y = (C) .Viết pttt của đths(C) tại điểm có hoành độ bằng -2 

x −1 


x x 

1.Giải phương trình : 49 − 10.7 + 21 = 0 

2 2 

2.Giải bất phương trình: log 

2 

x + 5 ≤ 3log2 

x . 

B. Theo chương trình nâng cao. 

3 

x 2 

Câu IVb ( 1 điểm)Cho hàm số y = − 2x + 3x 

+ 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) 

3 

biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 3 


1.Cho hàm số 

x 

2 1 '' 

y = e .sin x .Tính y + ( y ) 2 

theo x 

4 

2 

x − 3x 

2.Cho hàm số y = (C). Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ. 

x + 1 

ĐỀ 14 


Câu I: ( 3 điểm) 

3x 

− 2 

Cho hàm số y = ( C) 

x + 1 

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 

2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. 

Câu II: ( 2 điểm) 

1) Thực hiện phép tính: A = log 1 

3 

27 + log5 − log 




2) Tìm GTLN – GTNN của hàm số: ( ) 

1 4 5 

f x = x − 2x 

2 + trên đoạn [0 ; 3]. 

4 4 

Câu III: ( 2 điểm) 

Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bên 2a. Góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 45 0 . 

1)Thể tích khối chóp theo a. 

2) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 




3 

Cho hàm số f ( x) = x − 3x 

+ 1 có đồ thị ( C ) .Viết pttt của đồ thị ( C) 

tại điểm có hoành độ x 

0 

, biết 

( ) 

f " x = 0 . 

0 


x x 

1) Giải phương trình: 25 − 5 − 6 = 0 

log 2x 

+ 7 < log x − 2 

2) Giải bất phương trình: ( ) ( ) 


Câu IVb: ( 1 điểm) 

3 

Cho hàm số f ( x) x 3 

song với đường thẳng ( d ) : y = − 3x 

+ 2012 . 

Câu Vb: ( 2 điểm) 

1 1 

2 2 

= − + có đồ thị ( C ) .Viết pttt của đồ thị ( ) 

C , biết rằng tiếp tuyến đó song 



1 

1) Cho hàm số: y = ln 

x + 1 

. Chứng minh rằng: ' 1 y 

xy + = e 

2x 

+ 1 

2) Cho hàm số: y = 

x −1 

C tại hai điểm phân biệt. 

thẳng ( d ) cắt đồ thị ( ) 



có đồ thị ( C ) và đường thẳng ( d ) : y = − x + m . Tìm m đề đường 

ĐỀ 15 

1 3 2 

3 

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = f ( x) = x − 2x + 3x −1 

( C ) 

2.Tìm m để đường thẳng ( d ) y = 2mx −1 

cắt ( ) 

C tại 3 điểm phân biệt. 


4 

3. Tính : A = log 16 − 2 log 27 + 5 log (ln e ) 

1 3 2 

8 

y = − x 

3 

+ 3 m + 1 x 

2 

− 2 . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2 . 

2. Cho hàm số ( ) 


Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính là 

góc giữa mặt bên và đáy là 60 0 . 

a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC). 

b) Tính thể tích khối chóp S.ABC. 




Cho hàm số : y= 2 x − 1 

x + 2 

của đồ thị (1) với trục tung. 

(1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại giao điểm 


1) Giải phương trình: 16 x – 17.4 x + 16 = 0 

2) Giải phương trình : log 

2 

( 4x) − log ( 2x 

) = 5 

2 2 


Câu IVb ( 1 điểm) 

2 

x − 3x + 2 

Cho hàm số f(x) = 

(1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) 

x + 1 

biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y =−5x −2 


1) Cho hàm số y = e −sinx 

. Chứng minh rằng: y′ .cos x − y.sin x + y ′′ = 0 . 

x + 3 

2) Cho hàm số y = có đồ thị (H). Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x + m cắt đồ thị (H) tại 

x + 1 

hai điểm phân biệt A, B sao cho đoạn AB ngắn nhất. 

a 3 

3 

, 


ĐỀ 16 




3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x 

3 − 3x 

2 1 (2đ) 

1 3 2 

4. Tìm m để trình 

0 

3 x − x − m = có ba nghiệm thực phân biệt (1đ) 


1. Tính gía trị biểu thức . A = log 

4 log8 

3 

5. 5 + 4 + 2log 5 (1đ) 

1 16 

25 

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x(ln x - 2) trên 

đoạn [l; e 2 ] (1đ) 


Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và SA ⊥(ABC). Tam giác ABC vuông 

cân tại B, AB = a 2 

1. Tính thể tích khối chóp S.ABC (1đ) 

2. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (1đ) 




3 2 

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) y = x − 3x + 2 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 

9. 


x 3 x 

2) Phương trình mũ 2 − 2 − − 2 = 0 

(1đ) 

3) Bất phương trình lôgarit 2log 3 (4x-3) + ( ) 

log 2x + 3 ≤ 2 (1đ) 


2x 

+ 3 

Câu IVb ( 1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến với (c) y = 

2x 

−1 

1 

đường thẳng y = x (1đ) 

2 


x 

1.Cho hàm số y = ( x +1) 

e . Chứng minh rằng y = 


3 2 

y x ( m 1) x (2m 1) x 1 3m 

1 

3 

x 

' −y 

e (1đ) 

biết tiếp tuyến vuông góc với 

= + − − + − + .Tìm m để hàm số có cưc trị (1đ) 

ĐỀ 17 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢC HỌC SINH (7,0 điểm) 

Câu I (3.0 điểm) 

1 3 2 

Cho hàm số y = f ( x) = − x + 2x − 3x 

( C ) 

3 


3 2 

2. Xác định m để phương trình − x + 6x − 9x − 3m 

= 0 có 3 nghiệm phân biệt. 

Câu II (2.0 điểm) 

1. Tính 

−0.75 

5 

⎛ 1 ⎞ 

− 

A = ⎜ ⎟ + 0.25 

2 

− 9 

⎝ 16 ⎠ 

. ( ) 

log3 

2 

9 

x 


Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng 2a 

a) Tính thể tích của khối chóp theo a. 

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f ( x) 

= x + trên đoạn [ 2;4 ] 



II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) 

Học sinh chọn (câu IV.a; V.a hoặc IV.b; V.b) 

Câu IV.a (2,0 điểm) 

x 

Cho hàm số: y = 

x + 1 

Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại các giao điểm của ( C ) với ∆ : y = x 

Câu V.a (1,0 điểm) 

1) Giải phương trình : log 

2 

( x − 3) + log 

2 

( x − 1) = 3 

2) Giải bất phương trình sau: 

2 

2 

2 x −3x 

1 

≤ 

2 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) = . − 

x 

f x x e trên đoạn [ 0;2 ] 

Câu IV.b (2,0 điểm) 

x + 1 

Cho hàm số y = (C) x −1 

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị và Ox 

Câu V. b (1,0 điểm) 

1) Cho hàm số y = ( x + 1) e 

x 

x 

. Chứng tỏ rằng: y ' − y = e 

x 

2) Cho hàm số: y = 

x + 1 

Tìm các giá trị của tham số k để đường thẳng d: y 

ĐỀ 18 


3 2 

Câu I ( 3 điểm) Cho hàm số y = x − 3x + 2 có đồ thị (C). 

5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 

6. Tìm m để phương trình 

3 

x 

2 

3x m 0 


4. Tính giá trị biểu thức: A = 

log 3 log 4 

4 2 + 49 7 

2 log 16 − log 27 

2 

3 

y f x x 2 ln 1 2x 

= kx cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt. 

− + + = có 3 nghiệm phân biệt. 

5. Tìm GTLN - GTNN của hàm số = ( ) = − ( − ) trên đoạn [ − 1;0 ] 

Câu III ( 2 điểm) Cho hình chóp M. 

NPQ có MN vuông góc với ( NPQ ) . 

P . Cho NQ = a 2 , góc giữa MP và ( NPQ ) bằng 60 ° . 

1. Tính thể tích khối chóp M.NPQ theo a . 

2. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp M.NPQ 

∆ NPQ vuông cân tại 



2x 

Câu IVa ( 1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = biết rằng hệ số góc của 

x − 1 

tiếp tuyến bằng − 2 . 


1. Giải phương trình: 

x 

1− 

x 

6 − 6 − 5 = 0 



2. Giải bất phương trình: ( x ) ( x ) 

log 2 − 1 > log + 2 − 1 

1 1 

3 3 


3x 

− 2 

Câu IVb ( 1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = biết rằng tiếp tuyến 

x −1 

vuông góc với đường thẳng ∆ : y = 4x 

− 1. 



y 

sin x 

= e . Chứng minh rằng: y' 

cos x y si n x y 

' 0 

2. Tìm tham số m để hai đồ thị hàm số (C): 

điểm phân biệt. 

y = 

ĐỀ 19 

− − = . 

− − 

x − 3 

2 

2x 

2x 

3 

PHẦN CHUNG (7,0 điểm) 

3 2 2 

Câu I: (3,0 điểm) Cho hàm số: y = − x + (2m + 1) x − ( m − 3m + 2) x − 1 ( C m 

) 

a) khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1 

b) Tìm m để ( Cm) 

có các cực trị nằm về hai phía của trục tung. 

Câu II: (2,0 điểm) 

a) Tính 

A = + 

3 2−1 − 2+ 

2 

2 .8 log2 4.log 

1 

2 

4 

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y x − ln x 

và (d): y = x + m cắt nhau tại hai 

= trên đoạn [ 1;e ] 

Câu III: (2,0 điểm) 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SB vuông góc với đáy, cạnh bên 

0 

SC hợp với mặt phẳng đáy bằng 30 . 

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) (Học sinh chọn IVa và Va hay IVb và Vb ) 

A. Theo chương trình Chuẩn. 

Câu IVa: (1,0 điểm) 

x −1 

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại điểm có tung độ bằng 3. 

2x − 1 

Câu Va: (2,0 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau 

2x x+ 

1 

a) 5 − 5 + 6 = 0 

b) log (x − 3 ) −log 1 

(x − 2 ) ≤ 

2 

1 

B. Theo chương trình Nâng cao. 

Câu IVb: (1,0 điểm) 

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 

2 

4 2 

y = − x + 2x − 2 tại điểm có hoành độ bằng 3. 

Câu Vb: (2,0 điểm) 

a) Cho hàm số y = x. 

e − x . Chứng minh rằng: y + 2y’ + y’’ = 0 

1 3 2 2 

b) Tìm m để hàm số y = x − mx − x + m + cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có tổng bình 

3 3 

phương các hoành độ lớn hơn 15. 

ĐỀ 20 




Câu 1 (3 điểm). Cho hàm số 

1 3 1 3 15 

y = − x + x 

2 + x − (C) 

6 2 2 6 

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 

3 

2) Tìm tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt ( x − 1) −12( 

x −1) 

+ 4 = 6log m . 


1 

8 

1) Tính giá trị 

2 

A = 

log 

(sin x+ 

cos x) 2 

3 

.2 

⎛ π ⎞ 

⎜sin 

⎟ − log 

⎝ 3 ⎠ 

(sin x−cos 

x) 2 

3 

⎛ π ⎞ 

⎜cos 

⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 

y x x 

2 

= 8ln − trên đoạn [1;e] 

Câu 3 (2 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác 

đều và vuông góc với mặt đáy ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SD. 

1) Tính thể tích của khối chóp N.MBCD theo a. 

2) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MBC. 

II. PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) 

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần sau (phần 1 hoặc phần 2). 

1. Theo chương trình Chuẩn. 

Câu 4.a (1 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) 

Câu 5.a (2 điểm). . 

x −1 

y = tại giao điểm của đồ thị với Oy. 

x + 1 

x x 

x 

1) Giải phương trình 4 .9 + 12 − 3.16 = 0 

2) Giải bất phương trình ( x + 7) > log ( x 1) 

log 

2 

4 

+ 


Câu 4.b (1 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) 

1 

đường thẳng y = x + 10 . 

5 

Câu 5.b (2 điểm). 

3 2 

y x 6x 4x 

= − + , biết tiếp tuyến vuông góc 


// / 

( xy − y ) x 

= + . Chứng minh 

= 2 . 

2 

x −1 

x + 1 

: y = mx + 

C y = tại hai điểm phân biệt. 

x −1 

2 

y ( x 1)ln x 

2) Tìm m để ( d ) 1 cắt đồ thị ( ) 

ĐỀ 21 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) 

CÂU I :( 3,0 điểm ) Cho hàm số y = −x 

3 − 3x 

2 + 2 (1) 

1) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số (1) 

2) Với giá trị nào của m thì phương trình x 3 + 3x 

2 − 2m 

= 0 có 3 nghiệm phân biệt 

CÂU II: (2,0 điểm) 



1 

1) Tính giá trị của biểu thức: log5 3 + log5 

50 − log5 


2 

2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:y= trên đoạn [1;3] 

CÂU III(2,0 điểm):Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng 2a. M là trung 

điểm của SC. 

1) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 

2) Tính thể tích khối tứ diện MABD 



1. Theo chương trình chuẩn: 

x − 3 

Câu IV.a (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của ( H) : y = tại giao điểm của (H) và và trục 

x − 2 

hoành 


2 3 

1. Giải phương trình: log4 x − log2 

x −1 

= 0 

4 

2. Giải bất phương trình: 2 

x+ 2 1 

+ 2 

− x − 6 > 0 

2. Theo chương trình nâng cao: 

x − 3 

Câu IV.b (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của ( H) : y = biết tiếp tuyến vuông góc với 

x − 2 

đường thẳng x+y=0 


1. Cho hàm số y = ( x + 1) e 

x 

x 


2. Tìm các giá trị của k sao cho đường thẳng (d): y = kx tiếp xúc với đường cong (C): 

3 2 

= + + 

y x 3x 

1 

e 

ĐỀ 22 

3 

2x 

−6x 

2 

I − PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7,0 điểm) 

3 2 

Câu I: (3 điểm) Cho hàm số y = − x + 3x 

− 1 có đồ thị (C) 

1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. 

2). Dựa vào đồ thị (C ) biện luân số nghiệm của phương trình 

3 2 

x − 3x + m = 0 

Câu II: (2 điểm ) 

−1 

⎡ −1 

y ⎛ y ⎞ ⎤ 

1.(1,0 đ ) Rút gọn biểu thức sau: A= (2x+ ) 

-1 ⎢( 2x) 

+ ⎜ ⎟ ⎥ 

2 ⎢⎣ 

⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ 

2.( 1,0 đ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

− 2;0 

Câu III: (2 đ) 

y= f(x)= x 2 – ln(1-2x) trên đoạn [ ] 

; x ≠ 0; y ≠ 0 

1.(1,0 đ ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có tâm là O. Cạnh bên SA vuông 

góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết AB=2a và góc giữa cạnh SO với mặt đáy (ABCD) một góc 

60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 

0 

2. (1,0 đ) Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là 30 . 

Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 60 0 và cắt hình nón theo hai đường sinh SA và SB. Tính diện 

tích tam giác SAB . 

II − PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm),( Học sinh được chọn một trong hai phần) 




Câu IVa: (1,0 đ) Cho hàm số 

đồ thị (C ) với trục tung. 

Câu Va: (2,0 điểm) 

2x 

+ 3 

y = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại giao điểm của 

2x 

− 1 

2 

− 2x 

+ 3x 

− 7 

(0,5) = 16 

1. Giải phương trình sau: 

2 1 3 

2. Giải bất phương trình sau: log 

4 

log2 

x 1 0 

x − 4 

− > 

2.Theo chương trình nâng cao: 

3 

Câu IVb: (1,0 đ) Cho hàm số y = x − 3x 

+ 2 (C ). Viết phương trình tiếp tuyến của ( C), Biết 

phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9. 


12 2009x 

1. Cho hàm số y= x . e . Chứng minh rằng : x. y ' − y(12 + 2009 x) = 0 

2x 

−1 

2. Cho hàm số y = có đồ thị (C ) . Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C ) tại hai 

x + 1 

điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2 2 


3 

y x x 

ĐỀ 23 

= − 3 + 2 (C) 

Câu I ( 3.0 điểm) Cho hàm số 

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 

2. Tìm tham số m để đường thẳng (d): y = - mx + 2 cắt đồ thị ( C ) tại ba điểm phân 

biệt . 

Câu II ( 2.0 điểm) 

1 

ln2 1 log10 

1.Tính giá trị biểu thức 814 

− 

A= + e + 10 

2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

2 

y = f ( x) = x − 4ln(1 − x) 

trên [-2,0]. 

Câu III ( 2.0 điểm) 

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C ’ có mặt đáy tam giác ABC đều cạnh 2a.Gọi I là trung điểm BC, 

góc giữa A’I và mặt phẳng (ABC) bằng 30 0 . 

1. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho . 

' 

2. Chứng minh tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A . AIC là trung điểm M của A ’ C . Tính 

bán kính của mặt cầu đó . 



4 2 

Câu IVa ( 1.0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x + x + 1 tại điểm có 

hoành độ là nghiệm phương trình lnx = 0 . 

Câu Va ( 2.0 điểm) 

2 x 

4) Giải phương trình log 3 x + 2log 9 3x 

+ log 3 − 3 = 0 

3 

− x 

2 

+ 2x − 3 2x 

− 5 

⎛ e ⎞ ⎛ e ⎞ 

5) Giải bất phương trình 


⎜ ⎟ ≥ ⎜ ⎟ 

⎝ π ⎠ ⎝ π ⎠ 


Câu IVb ( 1.0 điểm) 


Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm hàm số 

y 

tung độ y 0 thỏa đẳng thức 3 0 − 9 = 0 . 

Câu Vb ( 2.0 điểm) 

4x 

x 

1. Cho hàm số y = e + 2e − . Chứng minh rằng 

''' ' 

y 13y 12y 

− = 

2. Chứng minh đường thẳng y = -x+7 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 

ĐỀ 24 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: (7,0 điểm) 

x −1 

Câu I: (3,0 điểm). Cho hàm số y = có đồ thị (C). 

x − 2 

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 

2) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng ( ) 

Câu II: (2,0 điểm). 

1) Thực hiện phép tính : 

2012 2012 

x − 2 

y = 

x −1 1 

d : y = − 4x 

+ . 

2 

⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ log2 

3 

A = log 

2012 ⎜ ⎟ + log2012 

⎜ ⎟ − 2 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) = 

2 x 

− 4. + 3 

y = 

tại điểm có 

2 

x + 1 

x − 1 

. 

f x e e trên đoạn [ 0;ln 4 ] 

Câu III: (2,0 điểm). Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh đáy bằng a, cạnh 

3 

bên bằng a . 

2 

1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. 

2) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a. 

II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHON: (3,0 điểm) 

Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần (phần 1 hoặc phần 2) 


1 4 1 2 

Câu IV.a (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) = x − x + 2 (C) tại 

4 2 

điểm M ( xo, 

y 

o ) , biết rằng f // ( x 

o) = 2 và x < 0 


x+ 1 x+ 

2 

1) Giải phương trình: 4 − 5.2 + 16 = 0 

2) Giải bất phương trình: ( ) 

o 

2 

2x 

−3x 

12 − 11 ≥ 12 + 11 

2. Theo chương trình nâng cao: 

Câu IV.b (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x.ln x trên [1 ; e 2 ] 


1) Cho 

b 

1 

1 

1−log 

a 



1−log 

b 

và c = 


1 

1−log 

c 

a = 2012 


Chứng minh rằng : 

2012 với 3 số dương a,b,c và khác 2012. 

2) Chứng minh rằng đường thẳng (d): y = 2x + m luôn cắt đồ thị (C): y = 

biệt A và B. Tìm m để đoạn AB ngắn nhất . 

2 

x 

tại 2 điểm phân 

x −1 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 66/236


ĐỀ 25 

A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7,0 điểm) 

Câu I: (3,0 điểm) 

3 2 

Cho hàm số y = − x + 3x 

− 4 (C) 

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 

2/ Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình 

Câu II (2.0 điểm) 

3 2 

x x m 

− 3 + = 0 . 

1 ⎛ 1 ⎞ 

1. Tính giá trị của biểu thức M = log 

2 

8 + log5 

− ⎜ ⎟ 

125 ⎝ 32 ⎠ 

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) 

= x. 

ln x trên đoạn [1 ; e 2 ] 

Câu III: (2,0 điểm) 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mp (ABCD), cạnh 

bên SC = 2a. 

1/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 

2/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 


Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau để làm 

1. Phần 1 

2x 

−1 

Câu IVa. (1,0 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết 

x −1 

tiếp tuyến song sog với đường thẳng (d): y = 2013 − x 

Câu Va: (2,0 điểm) 

x 1 

1/ Giải phương trình: 4 + x 

− 16 = 3 

⎛ 3x 

−1 

⎞ 

2/ Giải bất phương trình: log 

1 ⎜ ⎟ ≤ − 1 

− x + 2 

2 ⎝ ⎠ 

2. Phần 2 

2x 

−1 

Câu IVb. (1,0 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết 

x −1 

1 

tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = x + 2013 . 

4 


1. Cho hàm số y = ( x + 1) e 

x 

x 


2. Tìm các giá trị của k sao cho đường thẳng (d): y = kx tiếp xúc với đường cong (C): 

3 2 

= + 3 + 1. 

y x x 

ĐỀ 26 

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7 điểm) 

Câu 1.(3,0 điểm). Cho hàm số y = - x 3 + 3x 2 có đồ thị (C). 

1/. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 

2/. Tìm tất cả các số thực m để đường thẳng y = mx cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. 

Câu 2.(2,0 điểm). 

1/. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

2 

3 

− 

5 

f ( x) = log x − 2log x trên đoạn 

2 

2 2 

⎡1 ⎤ 

⎢ ;4 

⎣4 

⎥ 

⎦ . 

2x 

+ 3x 

2/. Giải phương trình 4 = 16 . 

Câu 3.(2,0 điểm). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt đáy 

một góc α (0 < α < 90 0 ). 



1/. Tính thể tích khối chóp S.ABC 

2/. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a và α. Khi α thay đổi, 

tính giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu theo a. 

II.PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) 


Câu 4a.(2,0 điểm). 

∫ 

1/. Tính sinxcos3xdx 

2/. Tìm tất cả các số thực m để bất phương trình log 

2( x −1) ≤ log 

4( mx + m − 5) vô nghiệm. 

Câu 5a.(1,0 điểm). Cho hình nón có chiều cao h = 3 cm và bán kính đáy r = 4 cm. Tính thể tích của 

khối nón tương ứng với hình nón đã cho và diện tích toàn phần của hình nón đó. 

2. Theo chương trình nâng cao 

Câu 4b.(2,0 điểm). 

1/. Cho hàm số 

f x 

= x − . Tìm số thực k sao cho 

3 2 

( ) 9 

' 

k. f (1) = − 1. 

⎧ x 

⎪log3 

= 3y 

− 3x 

2/. Tìm tất cả các số thực m để hệ bất phương trình ⎨ y 

có nghiệm duy 

⎪ 

⎩log 2( y − 1) = log 

4( mx − 3) 

nhất. 

Câu 5b.(1,0 điểm). Cho hình nón có chiều cao h = 4 cm và độ dài đường sinh bằng 5 cm. Tính diện tích 

toàn phần của hình nón và thể tích khối nón tương ứng của hình nón đó. 

ĐỀ 27 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7 điểm) 

Câu 1.(3,0 điểm). Cho hàm số y = 4x 3 – 3x 2 + 1 có đồ thị (C). 

1/. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 

2/. Tìm tất cả các số thực k để đường thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị (C) tại ba điểm I(0; 1) , A, B 

phân biệt. Xác định k sao cho AB = 2 2 . 

Câu 2.(2,0 điểm). 

1/. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = ( x − 2) e 

x trên đoạn [0; 3]. 

2/. Giải phương trình 

log ( x − 9) + log ( x + 3) = 5 . 

4 

16 2 

Câu 3.(2,0 điểm). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ’ B ’ C ’ có AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a, AA ’ = 6a. Gọi I, 

J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B ’ C ’ , CC ’ . 

1/. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khối tứ diện AA ’ IK. 

2/. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B.AA ’ C ’ C. 

II.PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) 


Câu 4a.(2,0 điểm). 

x x 

1/. Giải bất phương trình: 9 − 5.3 + 6 ≥ 0 

x x 

ln(3 + 4 ) 

2/. Chứng minh rằng hàm số y = f ( x) 

= nghịch biến trong khoảng (0; +∞). 

x 

Câu 5a.(1,0 điểm). Cho hình nón có bán kính đáy r và thiết diện của hình nón với một mặt phẳng qua 

trục của hình nón là một tam giác đều. Tính thể tích của khối nón tương ứng với hình nón đã cho và diện 

tích toàn phần của hình nón đó. 

2. Theo chương trình nâng cao 

Câu 4b.(2,0 điểm). 



1/. Giải hệ phương trình 

⎧x 

+ y = 4 

⎨ x y 

⎩3 − 3 = 24 

2/. Không dùng máy tính cầm tay, hãy so sánh hai số 2010 2011 và 2009 2010 . 

Câu 5b.(1,0 điểm). Cho hình thang ABCD vuông tại B và C có AB = 7 (cm), BC = CD = 4(cm) (kể cả 

các điểm trong) quay quanh đường thẳng AB. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành. 

ĐỀ 28 

I.PHẦN BẮT BUỘC CHO TẤT CẢ HỌC SINH 

4 

x 2 

Bài 1: (3 điểm) Cho hàm số y = − x + m có đồ thị (c m ) với m là tham số. 

2 

3 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = − 

2 

b) Tìm tất cả các số thực m để đồ thị (c m ) và trục hoành có đúng hai điểm chung A, B. Xác định m 

để độ dài đoạn thẳng AB bằng 2 3 


x 2 x 

a) Giải phương trình: 2 + 2 − = 5 

x 

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: f ( x) 

= trên đoạn [2; 8] 

ln x 

Bài 3: (2điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a, góc 0 

ABC = 60 . 

Gọi I là trung điểm của cạnh BC, biết SI vuông góc với mp(ABC) và SB = a 2 

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC. 

b) Chứng minh rằng I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và tính khoảng cách từ B đến 

mp(SAC). 

II. PHẦN TỰ CHỌN: Học sinh được chọn một trong hai phần sau: 

Phần 1: Theo chương trình Chuẩn. 

Bài 4a. (2 điểm) 

a) Giải bất phương trình: log 

2( x + 1) ≥ log 

4(5 − x) 

b) Chứng minh rằng với mọi số thực m dương thì phương trình sau luôn có đúng một nghiêm thưc 

x x+ 

m 

2 − 2 + log 

3(1 + x + m) = log 

3(1 + x) + 2012 

Bài 5a : (1 điểm)Cho hình trụ tròn xoay có bán kính đáy r và có diện tích toàn phần gấp hai lần diện tích 

xung quanh. Tính thể tích khối trụ tương ứng với hình trụ tròn xoay đó theo r 

Phần 2 : Theo chương trình nâng cao 

Bài 4b: (2 điểm) 

2 

⎧ log 

4 

x + log4 

y = 3 

a) Giải hệ phương trình: ⎨ 

⎩log 4 

x.log 2 

y = 2 

1 

b) Chứng minh rằng hàm số f ( x) (2x 

1)ln x + 

= + nghịch biến trên khoảng ( 0;+∞ ) 

x 

Bài 5b: (1điểm) 

Cho hình nón tròn xoay có bán kính đáy r và diện tích toán phần gấp 1,5 lần diện tich xung quanh. Tính 

thể tích khối nón tương ứng với hình nón tròn xoay đó theo r 

ĐỀ 29 


3 2 

Câu 1 (3,0 điểm). Cho hàm số y = − x + 3x 

− 2 , gọi ( C ) là đồ thị của hàm số. 

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 

3 2 

2) Dùng vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: − x + 3x − m = 0 . 

Câu 2 (2,0 điểm). 



1) Tính giá trị của biểu thức: 

A = 

1 

log 7 

+ 25 

1 ⎛ 81⎞4 

+ ⎜ ⎟ 

9 

3 

log 

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 

2 

125 ⎝16 

⎠ 

x 

2 

y = e ( x − 2) trên đoạn [1;3]. 

Câu 3 (2,0 điểm). 

Cho khối chóp S. 

ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B . Cạnh bên SA vuông góc với 

mặt phẳng ( ABC ) và SA = 2a 

. Mặt bên ( SBC) 

hợp với mặt đáy một góc 

0 

30 . 

a) Tính thể tích của khối chóp S. 

ABC . 

b) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đi qua bốn đỉnh của hình chóp S. 

ABC . 

II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) 


1. Theo chương trình Chuẩn: 

Câu 4a (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số 

có hoành độ bằng − 1. 

Câu 5a (2,0 điểm) 


x 

1− 

x 

6 − 6 − 5 = 0 . 

2) Giải bất phương trình: 2log 8( x − 2) + log 1 ( x − 3) > . 

3 

8 

Câu 4b (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số 

1 

có hệ số góc bằng − . 

5 

Câu 5b (2,0 điểm). 

2 

x 

1) Cho hàm số y = x. 

e − 2 

2 

. Chứng minh rằng, xy (1 x ) y 

2x 

−1 

2) Cho hàm số y = 

x −1 

hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O. 

2 

′ = − . 

4 

x 2 3 

y = − x − tại điểm 

2 2 

2x 

+ 1 

y = biết tiếp tuyến 

x − 2 

có đồ thị ( C ) . Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị ( C ) tại 



CHÖÔNG III 

PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN 

I. VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN 

1. Ñònh nghóa vaø caùc pheùp toaùn 

• Ñònh nghóa, tính chaát, caùc pheùp toaùn veà vectô trong khoâng gian ñöôïc xaây döïng hoaøn toaøn 

töông töï nhö trong maët phaúng. 

• Löu yù: 

 

+ Qui taéc ba ñieåm: Cho ba ñieåm A, B, C baát kyø, ta coù: AB + BC = AC 

 

+ Qui taéc hình bình haønh: Cho hình bình haønh ABCD, ta coù: AB + AD = AC 

 

+ Qui taéc hình hoäp: Cho hình hoäp ABCD.A′B′C′D′, ta coù: AB + AD + AA' 

= AC ' 

+ Heâï thöùc trung ñieåm ñoaïn 

 

thaúng: 

 

Cho I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB, O tuyø yù. 

 

Ta coù: IA + IB = 0 ; OA + OB = 2OI 

+ Heä thöùc troïng taâm tam 

 

giaùc: 

 

Cho 

 

G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC, O tuyø yù. 

 

Ta coù: GA + GB + GC = 0; 

OA + OB + OC = 3OG 

+ Heä thöùc troïng taâm töù 

 

dieän: 

 

Cho 

 

G laø troïng 

 

taâm cuûa töù dieän ABCD, O tuyø yù. 

 

Ta coù: GA + GB + GC + GD = 0; 

OA + OB + OC + OD = 4OG 

 

 

 

+ Ñieàu kieän hai vectô cuøng phöông: a vaø b cuøng phöông( a ≠ 0) ⇔ ∃! k ∈ R : b = ka 

+ Ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k (k ≠ 1), O tuyø yù. 

 

OA − kOB 

Ta coù: MA = kMB; 

OM = 

1− 

k 

2. Söï ñoàng phaúng cuûa ba vectô 

• Ba vectô ñöôïc goïi laø ñoàng phaúng neáu caùc giaù cuûa chuùng cuøng song song vôùi moät maët 

phaúng. 

 

• Ñieàu kieän ñeå ba vectô ñoàng phaúng: Cho ba vectô a, b, 

c , trong ñoù a vaø b khoâng cuøng 

phöông. Khi ñoù: a 

, b, 

c 

 

ñoàng phaúng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c = ma + nb 

 

• Cho ba vectô a, b, 

c khoâng ñoàng phaúng, x tuyø yù. 

 

Khi ñoù: ∃! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc 

3. Tích voâ höôùng cuûa hai vectô 

• Goùc giöõa hai vectô trong khoâng gian: 

0 0 

AB = u, AC = v ⇒ ( u, v) = BAC ( 0 ≤ BAC ≤180 

) 

• Tích voâ höôùng cuûa hai vectô trong khoâng gian: 

+ Cho u , v 

≠ 0 

 

. Khi ñoù: u . v = u . v .cos( u , v 

) 

 

+ Vôùi u = 0 hoaëc v = 0 . Qui öôùc: u . v 

= 0 

+ u ⊥ v ⇔ u . v 

= 0 

2 

+ u 

 

= u 




II. HEÄ TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN 

1. Heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc trong khoâng gian: 

Cho 

 

ba 

 

truïc Ox, Oy, Oz vuoâng goùc vôùi nhau töøng ñoâi moät vaø chung moät ñieåm goác O. Goïi 

i, j, 

k laø caùc vectô ñôn vò, töông öùng treân caùc truïc Ox, Oy, Oz. Heä ba truïc nhö vaäy goïi laø heä 

toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz hoaëc ñôn giaûn laø heä toïa ñoä Oxyz. 

2 2 2 

Chuù yù: i = j = k = 1 vaø i. j = i. k = k. 

j = 0 . 

2. Toïa ñoä cuûa vectô: 

 

a) Ñònh nghóa: u = ( x; y; 

z) 

⇔ u = xi + y j + zk 

 

 

b) Tính chaát: Cho a = ( a1; a2; a3), b = ( b1; b2; b3 

), k ∈ R 

 

• a ± b = ( a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3 

) 

 

ka = ( ka ; ka ; ka ) 

• 

1 2 3 

⎧ a1 = b1 

⎪ 

• a = b ⇔ ⎨a2 = b2 

⎪ 

⎩a3 = b3 

 

• 0 = ( 0; 0; 0), i = ( 1; 0; 0), j = ( 0; 1; 0), k = ( 0; 0; 1) 

 

 

• a cuøng phöông b( b ≠ 0) 

⇔ a = kb ( k ∈ R) 

 

• a. b = a1. b1 + a2. b2 + a3. 

b3 

⎧ a1 = kb1 

⎪ 

a1 a2 

a3 

⇔ ⎨a2 = kb2 ⇔ = = , ( b1 , b2 , b3 

≠ 0) 

⎪ b1 b2 b 

a 

3 

⎩ 3 

= kb3 

 

• a ⊥ b ⇔ a1b 1 

+ a2b2 + a3b3 = 0 

2 2 2 2 

2 2 2 

• a = a1 + a2 + a3 

• a = a1 + a2 + a2 

 

a. 

b a1b 1 

+ a2b2 + a3b3 

 

• cos( a, b) 

= = 

(vôùi a, b 

≠ 0 

 

) 

a . b 2 2 2 2 2 2 

a + a + a . b + b + b 

1 2 3 1 2 3 

3. Toïa ñoä cuûa ñieåm: 

 

a) Ñònh nghóa: M( x; y; z) ⇔ OM = ( x; y; z) 

(x : hoaønh ñoä, y : tung ñoä, z : cao ñoä) 

Chuù yù: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0 

• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 

b) Tính chaát: Cho A( xA; yA; zA), B( xB; yB; zB 

) 

 

AB = ( x − x ; y − y ; z − z ) • AB = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) 

• 

B A B A B A 

• Toaï ñoä ñieåm M chia ñoaïn AB theo tæ soá k (k≠1): 

2 2 2 

B A B A B A 

⎛ x −kx y −ky z −kz 

M⎜ 

; ; 

⎝ 1−k 1−k 1−k 

A B A B A B 

⎛ x + x y + y z + z 

• Toaï ñoä trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng AB: M ⎜ ; ; 

⎝ 2 2 2 

• Toaï ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC: 

⎛ xA + xB + xC yA + yB + yC zA + zB + zC 

⎞ 

G ⎜ 

; ; 

⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ 

A B A B A B 


⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠


• Toaï ñoä troïng taâm G cuûa töù dieän ABCD: 

⎛ x + x + x + x y + y + y + y z + z + z + z 

G ⎜ 

; ; 

⎝ 4 4 4 

4. Tích coù höôùng cuûa hai 

 

vectô: (Chöông 

 

trình naâng cao) 

a) Ñònh nghóa: Cho a = ( a1 , a2, a3 

) , b = ( b1 , b2 , b3 

) . 

A B C D A B C D A B C C 

⎛ a2 a3 a3 a1 a1 a ⎞ 

2 

[ a, b] = a ∧ b = ; ; = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b 3; 

a1b 2 

− a2b1 

) 

⎜ b2 b3 b3 b1 b1 b ⎟ 

⎝ 

2 ⎠ 

Chuù yù: Tích coù höôùng cuûa hai vectô laø moät vectô, tích voâ höôùng cuûa hai vectô laø moät soá. 

b) Tính chaát: 

 

 

• ⎣⎡ i , j ⎦⎤ = k; ⎡⎣ j, k ⎤⎦ 

= i ; [ k, 

i ] 

= j • [ a, b] ⊥ a; [ a, b] 

⊥ b 

 

• [ a, b] = a . b 

.sin( a, 

b 

 

 

 

) 

• a, 

b cuøng phöông ⇔ [ a, b] 

= 0 

c) ÖÙng duïng cuûa tích coù höôùng: 

 

 

• Ñieàu kieän ñoàng phaúng cuûa ba vectô: a, 

b vaø c ñoàng phaúng ⇔ [ a, b]. c = 0 

 

• Dieän tích hình bình haønh ABCD: S 

ABCD 

= ⎡⎣ AB, 

AD⎤ 

▱ 

⎦ 

1 

• Dieän tích tam giaùc ABC: 

S∆ABC 

= ⎡ 

⎣AB, 

AC⎤ 

⎦ 

2 

 

• Theå tích khoái hoäp ABCD.A′B′C′D′: VABCD. A' B' C' D' = [ AB, AD]. AA' 

• Theå tích töù dieän ABCD: 

1 

VABCD 

= [ AB, AC]. 

AD 

6 

⎞ 

⎟ 

⎠ 


– Tích voâ höôùng cuûa hai vectô thöôøng söû duïng ñeå chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc, 

tính goùc giöõa hai ñöôøng thaúng. 

– Tích coù höôùng cuûa hai vectô thöôøng söû duïng ñeå tính dieän tích tam giaùc; tính theå tích khoái 

töù dieän, theå tích hình hoäp; chöùng minh caùc vectô ñoàng phaúng – khoâng ñoàng phaúng, chöùng minh 

caùc vectô cuøng phöông. 

 

a ⊥ b ⇔ a. 

b = 0 

 

 

a vaø b cuøng phöông ⇔ = 0 

 

a, b, c ñoàng phaúng ⇔ a, b . c = 0 

[ a, 

b] 

 

[ ] 

5. Phöông trình maët caàu: 

• Phöông trình maët caàu (S) taâm I(a; b; c), baùn kính R: 

• Phöông trình 

2 2 2 2 

( x − a) + ( y − b) + ( z − c) 

= R 

2 2 2 

x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 vôùi 

maët caàu taâm I(–a; –b; –c) vaø baùn kính R = 

2 2 2 

a + b + c − d . 

2 2 2 

a + b + c − d > 0 laø phöông trình 




VAÁN ÑEÀ 1: Caùc pheùp toaùn veà toaï ñoä cuûa vectô vaø cuûa ñieåm 

– Söû duïng caùc coâng thöùc veà toaï ñoä cuûa vectô vaø cuûa ñieåm trong khoâng gian. 

– Söû duïng caùc pheùp toaùn veà vectô trong khoâng gian. 

Baøi 1. Vieát toïa ñoä cuûa caùc vectô sau ñaây: 

 

a = − 2i + j ; b = 7i − 8k 

; c = −9k 

 

 

; d = 3i − 4 j + 5k 

Baøi 2. Vieát döôùi daïng xi + yj + zk 

moãi vectô sau ñaây: 

⎛ 1 ⎞ 

⎛ 4 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 

a = ⎜ 0; ; 2 ⎟ ; b = ( 4; −5; 0) 

; c = ⎜ ; 0; 

⎟ ; d = ⎜ π; ; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 5 ⎠ 

 

 

 

Baøi 3. Cho: a = ( 2; −5; 3) , b = ( 0; 2; −1) , c = ( 1; 7; 

2) 

. Tìm toaï ñoä cuûa caùc vectô u vôùi: 

1 

 

2 

a) u = 4a − b + 3c 

b) u = a − 4b − 2c 

c) u = − 4b + c 

2 

3 

 

1 4 3 2 

d) u = 3a − b + 5c 

e) u = a − b − 2c 

f) u = a − b − c 

2 3 

4 3 

Baøi 4. Tìm toïa ñoä cuûa vectô x , bieát raèng: 

 

a) a + x = 0 

 

vôùi a = ( 1; −2; 

1) 

b) a + x = 4a 

vôùi a = ( 0; −2; 

1 ) 

c) a 

+ 2x = b 

 

vôùi a 

 

= ( 5; 4; 

−1) 

, b = ( 2; −5; 

3) 

 

Baøi 5. Cho a = ( 1; −3; 4) 

. 

 

a) Tìm y vaø z ñeå b = ( 2; y; z) 

cuøng phöông vôùi a . 

b) Tìm toaï ñoä cuûa vectô c , bieát raèng a vaø c 

ngöôïc höôùng vaø c = 2 a . 

 

 

 

Baøi 6. Cho ba vectô a = ( 1; − 1; 1) , b = ( 4; 0; − 1) , c = ( 3; 2; 

−1) 

. Tìm: 

a) ( 

a. b ) 

 

2 

c 

b) a ( 

b. 

c ) 

 

2 2 2 

 

c) a b + b c + c a 

 

d) ( 

) 

2 

2 2 

3a − 2 a. 

b b + c b e) 4a. c + b − 5c 

Baøi 7. Tính goùc giöõa hai vectô a vaø b : 

 

 

a) a = ( 4; 3; 1) , b = ( −1; 2; 

3) 

 

 

c) a = ( 2; 1; − 2), b = ( 0; − 2; 2) 

 

 

e) a = ( − 4; 2; 4), b = ( 2 2; −2 2; 0) 

 

b) a = ( 2; 5; 4) , b = ( 6; 0; 

−3) 

 

 

d) a = ( 3; 2; 2 3), b = ( 3; 2 3; −1) 

 

 

f) a = ( 3; − 2; 1), b = ( 2; 1; −1) 

Baøi 8. Tìm vectô u , bieát raèng: 

 

 

⎧ a = ( 2; − 1; 3), b = ( 1; − 3; 2), c = ( 3; 2; −4) 

a) ⎨ 

 

⎧ a 2 3 1 b 1 2 3 c 2 1 1 

b) 

⎩a. u = − 5, u. b = − 11, u. 

c = 20 

⎨ = ( ; ; − ), = ( ; − ; ), = ( ; − ; ) 

 

⎩u ⊥ a, u ⊥ b, u. 

c = − 6 

 

 

 

⎧ a = ( 2; 3; 1), b = ( 1; −2; − 1), c = ( −2; 4; 3) 

c) ⎨ 

 

⎧ a = ( 5; − 3; 2), b = ( 1; 4; − 3), c = ( −3; 2; 4) 

d) ⎨ 

⎩a. u = 3, b. u = 4, c. 

u = 2 ⎩a. u = 16, b. u = 9, c. 

u = −4 

 

⎧ a = ( 7; 2; 3), b = ( 4; 3; − 5), c = ( 1; 1; −1) 

e) ⎨ 

⎩a. u = − 5, b. u = −7, 

c ⊥ u 

 

Baøi 9. Cho hai vectô a , b 

. Tìm m ñeå: 

⎧ 

 

a) 

a = ( 2; 1; − 2), b = ( 0; − 2; 2) 

⎧ 

⎨ 

 

a = ( 3; − 2; 1), b = ( 2; 1; −1) 

b) ⎨ 

⎩u = 2a + 3mb vaø v = ma − b vuoâng goùc ⎩u = ma − 3b vaø v = 3a + 2mb vuoâng goùc 

 

⎧ a = ( 3; − 2; 1), b = ( 2; 1; −1) 

c) ⎨ 

⎩u = ma − 3b vaø v = 3a + 2mb cuøng phöông 

 



 

Baøi 10. Cho hai vectô a , b 

. Tính X, Y khi bieát: 

⎧ 

 

a = 4, 

b = 6 

⎧ 

 

 

a) ⎨ 

a = ( 2; −1; − 2), b = 6, 

a − b = 4 

b) ⎨ 

⎩X = a − b 

⎩Y = a + b 

0 

( ) 

c) 

⎧ 

a = 

4, b = 

6, a, 

b = 120 

⎧ 

 

0 

⎨ 

d) 

a = ( 2; − 1; − 2), b = 6, ( a, 

b ) = 60 

⎨ 

⎩X = a − b , Y = a + b 

⎩X = a − b , Y = a + b 

Baøi 11. Cho ba vectô a 

, b, 

c 

 

. Tìm m, n ñeå c [ 

= a, 

b ] : 

 

 

a) a = ( 3; −1; − 2) , b = ( 1; 2; m) , c = ( 5; 1; 

7) 

 

 

 

b) a = ( 6; − 2; m) , b = ( 5; n; − 3) , c = ( 6; 33; 

10) 

 

c) a = ( 2; 3; 1) , b = ( 5; 6; 4) , c = ( m; n; 

1) 

 

Baøi 12. Xeùt söï ñoàng phaúng cuûa ba vectô a, b, 

c trong moãi tröôøng hôïp sau ñaây: 

 

 

 

a) a = ( 1; − 1; 1) , b = ( 0; 1; 2) , c = ( 4; 2; 

3) 

b) a = ( 4; 3; 4) , b = ( 2; − 1; 2) , c = ( 1; 2; 

1) 

 

 

 

c) a = ( −3; 1; − 2) , b = ( 1; 1; 1) , c = ( −2; 2; 

1) 

d) a = ( 4; 2; 5) , b = ( 3; 1; 3) , c = ( 2; 0; 

1) 

 

 

e) a = ( 2; 3; 1), b = ( 1; − 2; 0), c = ( 3; −2; 4) 

f) a = ( 5; 4; − 8), b = ( − 2; 3; 0), c = ( 1; 7; −7) 

 

 

 

g) a = ( 2; − 4; 3), b = ( 1; 2; − 2), c = ( 3; −2; 1) 

h) a = ( 2; − 4; 3), b = ( −1; 3; − 2), c = ( 3; −2; 1) 

 

Baøi 13. Tìm m ñeå 3 vectô a, b, 

c ñoàng phaúng: 

 

 

a) a = ( 1; m; 2) , b = ( m + 1; 2; 1) , c = ( 0; m − 2; 

2) 

 

 

 

b) a = ( 2m + 1; 1; 2m − 1); b = ( m + 1; 2; m + 2), c = ( 2m; m + 1; 2) 

 

 

 

c) a = ( m + 1; m; m − 2) , b = ( m − 1; m + 2; m) , c = ( 1; 2; 

2) 

 

 

 

d) a = ( 1; − 3; 2) , b = ( m + 1; m − 2; 1− m) , c = ( 0; m − 2; 

2) 

 

Baøi 14. Cho caùc vectô a, b, c, 

u . Chöùng minh ba vectô a, b, 

c khoâng ñoàng phaúng. Bieåu dieãn 

vectô u theo caùc vectô a 

, b, 

c 

: 

 

 

 

 

 

⎧ ( ) ( ) ( ) 

a) ⎨ a = 2; 1; 0 , b = 1; − 1; 2 , c = 2; 2; 

−1 

⎧ 

b) 

a ( 1; 7; 9) , b ( 3; 6; 1) , c ( 2; 1; 

7) 

⎩u 

= ( 3; 7; − 7) 

⎨ = − = − = − 

 

⎩u 

= ( − 4; 13; − 6) 

 

 

 

⎧ ( ) ( ) ( ) 

c) ⎨ a = 1; 0; 1 , b = 0; − 1; 1 , c = 1; 1; 

0 ⎧ 

d) 

a ( 1; 0; 2) , b ( 2; 3; 0) , c ( 0; 3; 

4) 

⎩u 

= ( 8; 9; − 1) 

⎨ = = − = − 

 

⎩u 

= ( − 1; − 6; 22) 

 

 

 

 

 

 

⎧ ( ) ( ) ( ) 

e) 

a = 2; − 3; 1 , b = − 1; 2; 5 , c = 2; −2; 

6 ⎧ 

⎨ f) 

a ( 2; 1; 1) , b ( 1; 3; 2) , c ( 3; 2; 

2) 

⎩u 

= ( 3; 1; 2) 

⎨ = − = − = − − 

 

⎩u 

= ( 4; 3; − 5) 

 

Baøi 15. Chöùng toû boán vectô a, b, c, 

d ñoàng phaúng: 

 

 

 

 

a) a = ( −2; − 6; 1) , b = ( 4; −3; − 2) , c = ( −4; − 2; 2) 

, d = ( −2; −11; 1) 

 

 

 

 

b) a = ( 2; 6; − 1) , b = ( 2; 1; − 1) , c = ( − 4; 3; 2) 

, d = ( 2; 11; −1) 

 

Baøi 16. Cho ba vectô a, b, 

c khoâng ñoàng phaúng vaø vectô d . Chöùng minh boä ba vectô sau khoâng 

ñoàng phaúng: 

 

 

a) b, c, d = ma + nb (vôùi m, n ≠ 0) b) a, c, d = ma + nb (vôùi m, n ≠ 0) 

 

c) a, b, d = ma + nb + pc 

, (vôùi m, n, p ≠ 0) d) b, c, d = ma + nb + pc , (vôùi m, n, p ≠ 0) 

 

e) a, c, d = ma + nb + pc , (vôùi m, n, p ≠ 0) 




VAÁN ÑEÀ 2: Xaùc ñònh ñieåm trong khoâng gian. Chöùng minh tính chaát hình hoïc. 

Dieän tích – Theå tích. 

– Söû duïng caùc coâng thöùc veà toaï ñoä cuûa vectô vaø cuûa ñieåm trong khoâng gian. 

– Söû duïng caùc pheùp toaùn veà vectô trong khoâng gian. 

– Coâng thöùc xaùc ñònh toaï ñoä cuûa caùc ñieåm ñaëc bieät. 

– Tính chaát hình hoïc cuûa caùc ñieåm ñaëc bieät: 

 

 

• A, B, C thaúng haøng ⇔ AB, 

AC cuøng phöông ⇔ AB = k AC ⇔ ⎡⎣ 

AB, 

AC ⎤ ⎦ = 0 

 

• ABCD laø hình bình haønh ⇔ AB = DC 

• Cho ∆ABC coù caùc chaân E, F cuûa caùc ñöôøng phaân giaùc trong vaø ngoaøi cuûa goùc A cuûa ∆ABC 

treân BC. Ta coù: 

• A, B, C, D khoâng ñoàng phaúng ⇔ AB, AC, 

AD 

AB 

EB = − EC 

AC . 

AB 

, FB = FC 

AC . 

 

 

khoâng ñoàng phaúng ⇔ ⎡⎣ 

AB, AC⎤⎦ 

. AD ≠ 0 

Baøi 1. Cho ñieåm M. Tìm toïa ñoä hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm M: 

• Treân caùc maët phaúng toïa ñoä: Oxy, Oxz, Oyz • Treân caùc truïc toïa ñoä: Ox, Oy, Oz 

a) M( 1; 2; 3) b) M( 3; − 1; 2) 

c) M( −1; 1; − 3) 

d) M( 1; 2; − 1) 

e) M( 2; − 5; 7) 

f) M( 22; − 15; 7) 

g) M( 11; − 9; 10) 

h) M( 3; 6; 7) 

Baøi 2. Cho ñieåm M. Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm M′ ñoái xöùng vôùi ñieåm M: 

• Qua goác toaï ñoä • Qua mp(Oxy) • Qua truïc Oy 

a) M( 1; 2; 3) b) M( 3; − 1; 2) 

c) M( −1; 1; − 3) 

d) M( 1; 2; − 1) 

e) M( 2; − 5; 7) 

f) M( 22; − 15; 7) 

g) M( 11; − 9; 10) 

h) M( 3; 6; 7) 

Baøi 3. Xeùt tính thaúng haøng cuûa caùc boä ba ñieåm sau: 

a) A( 1; 3; 1), B( 0; 1; 2), C( 0; 0; 1) b) A( 1; 1; 1), B( −4; 3; 1), C( − 9; 5; 1) 

c) A( 10; 9; 12), B( −20; 3; 4), C( −50; −3; − 4) 

d) A( −1; 5; −10), B( 5; −7; 8), C( 2; 2; − 7) 

Baøi 4. Cho ba ñieåm A, B, C. 

• Chöùng toû ba ñieåm A, B, C taïo thaønh moät tam giaùc. 

• Tìm toaï ñoä troïng taâm G cuûa ∆ABC. 

• Xaùc ñònh ñieåm D sao cho ABCD laø hình bình haønh. 

• Xaùc ñònh toaï ñoä caùc chaân E, F cuûa caùc ñöôøng phaân giaùc trong vaø ngoaøi cuûa goùc A cuûa 

∆ABC treân BC. Tính ñoä daøi caùc ñoaïn phaân giaùc ñoù. 

• Tính soá ño caùc goùc trong ∆ABC. 

• Tính dieän tích ∆ABC. Töø ñoù suy ra ñoä daøi ñöôøng cao AH cuûa ∆ABC. 

a) A( 1; 2; − 3), B( 0; 3; 7), C( 12; 5; 0) 

b) A( 0; 13; 21), B( 11; − 23; 17), C( 1; 0; 19) 

c) A( 3; −4; 7), B( −5; 3; −2), C( 1; 2; − 3) 

d) A( 4; 2; 3), B( −2; 1; − 1), C( 3; 8; 7) 

e) A( 3; −1; 2), B( 1; 2; −1), C( −1; 1; − 3) 

f) A( 4; 1; 4), B( 0; 7; −4), C( 3; 1; − 2) 

g) A ( 1 0 0) B ( 0 0 1) C ( 2 1 1) 

; ; , ; ; , ; ; h) A( 1; −2; 6), B( 2; 5; 1), C( − 1; 8; 4) 

Baøi 5. Treân truïc Oy (Ox), tìm ñieåm caùch ñeàu hai ñieåm: 

a) A( 3; 1; 0) , B( − 2; 4; 1) 

b) A( 1; − 2; 1), B( 11; 0; 7) 

c) A( 4; 1; 4), B( 0; 7; − 4) 

d) A( 3; −1; 2), B( 1; 2; − 1) 

e) A( 3; −4; 7), B( −5; 3; − 2) 

f) A( 4; 2; 3), B( −2; 1; − 1) 

Baøi 6. Treân maët phaúng Oxy (Oxz, Oyz), tìm ñieåm caùch ñeàu ba ñieåm: 

a) A( 1; 1; 1), B( −1; 1; 0), C( 3; 1; − 1) 

b) A( −3; 2; 4), B( 0; 0; 7), C( − 5; 3; 3) 

c) A( 3; −1; 2), B( 1; 2; −1), C( −1; 1; − 3) 

d) A( 0; 13; 21), B( 11; − 23; 17), C( 1; 0; 19) 

e) A( 1; 0; 2), B( −2; 1; 1), C( 1; −3; − 2) 

f) A( 1; −2; 6), B( 2; 5; 1), C( − 1; 8; 4) 



Baøi 7. Cho hai ñieåm A, B. Ñöôøng thaúng AB caét maët phaúng Oyz (Oxz, Oxy) taïi ñieåm M. 

• Ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá naøo ? • Tìm toïa ñoä ñieåm M. 

A 2; −1; 7 , B 4; 5; 

− 2 b) A( 4; 3; −2), B( 2; − 1; 1) 

c) A( 10; 9; 12), B( − 20; 3; 4) 

a) ( ) ( ) 

d) A( 3; −1; 2), B( 1; 2; − 1) 

e) A( 3; −4; 7), B( −5; 3; − 2) 

f) A( 4; 2; 3), B( −2; 1; − 1) 

Baøi 8. Cho boán ñieåm A, B, C, D. 

• Chöùng minh A, B, C, D laø boán ñænh cuûa moät töù dieän. 

• Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa töù dieän ABCD. 

• Tính goùc taïo bôûi caùc caïnh ñoái dieän cuûa töù dieän ABCD. 

• Tính theå tích cuûa khoái töù dieän ABCD. 

• Tính dieän tích tam giaùc BCD, töø ñoù suy ra ñoä daøi ñöôøng cao cuûa töù dieän veõ töø A. 

a) A( 2; 5; 3), B( 1; 0; 0), C( 3; 0; 2), D( 3; 1; 2) 

A 1; 0; 0 , B 0; 1; 0 , C 0; 0; 1 , D −2; 1; 

− 1 

− − − − b) ( ) ( ) ( ) ( ) 

c) A ( 1; 1; 0) , B ( 0; 2; 1) , C ( 1; 0; 2) , D ( 1; 1; 1) 

d) A ( 2; 0; 0) , B ( 0; 4; 0) , C ( 0; 0; 6) , D ( 2; 4; 

6) 

e) A( 2; 3; 1), B( 4; 1; −2), C( 6; 3; 7), D( −5; − 4; 8) 

f) A( 5; 7; −2), B( 3; 1; −1), C( 9; 4; − 4), D( 1; 5; 0) 

g) A( 2; 4; 1), B( −1; 0; 1), C( −1; 4; 2), D( 1; − 2; 1) 

h) A( −3; 2; 4), B( 2; 5; −2), C( 1; − 2; 2), D( 4; 2; 3) 

i) A( 3; 4; 8), B( −1; 2; 1), C( 5; 2; 6), D( − 7; 4; 3) 

k) A( −3; −2; 6), B( −2; 4; 4), C( 9; 9; − 1), D( 0; 0; 1) 

Baøi 9. Cho hình hoäp ABCD.A'B'C'D'. 

• Tìm toaï ñoä caùc ñænh coøn laïi. 

• Tính theå tích khoái hoäp. 

A 1; 0; 1 , B 2; 1; 2 , D 1; −1; 1 , C ' 4; 5; 

− 5 b) A( 2; 5; −3), B( 1; 0; 0), C( 3; 0; −2), A'( −3; −1; 2) 

a) ( ) ( ) ( ) ( ) 

c) A( 0; 2; 1), B( 1; −1; 1), D( 0; 0; 0;), A'( − 1; 1; 0) 

d) A( 0; 2; 2), B( 0; 1; 2), C( −1; 1; 1), C '( 1; −2; − 1) 

Baøi 10. Cho boán ñieåm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0). 

a) Chöùng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB). 

b) Chöùng minh S.ABC laø moät hình choùp ñeàu. 

c) Xaùc ñònh toaï ñoä chaân ñöôøng cao H cuûa hình choùp. Suy ra ñoä daøi ñöôøng cao SH. 

Baøi 11. Cho boán ñieåm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4). 

a) Chöùng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB). 

b) Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC, CA, AB. Chöùng minh SMNP laø töù dieän ñeàu. 

c) Veõ SH ⊥ (ABC). Goïi S′ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua S. Chöùng minh S′ABC laø töù dieän ñeàu. 

Baøi 12. Cho hình hoäp chöõ nhaät 

 

OABC.DEFG. 

 

Goïi I 

 

laø taâm 

 

cuûa 

 

hình hoäp. 

a) Phaân tích caùc vectô OI, 

AG theo caùc vectô OA, OC, 

OD . 

 

 

b) Phaân tích vectô BI theo caùc vectô FE, FG, 

FI . 

Baøi 13. Cho hình laäp phöông 

 

ABCD.EFGH. 

 

a) Phaân tích vectô AE theo caùc vectô AC, AF, 

AH . 

 

 

b) Phaân tích vectô AG theo caùc vectô AC, AF, 

AH . 

Baøi 14. Cho hình hoäp ABCD.A'B'C'D'. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø BB′. Chöùng 

minh raèng MN ⊥ A′C. 

Baøi 15. Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D' vôùi caïnh baèng 1. Treân caùc caïnh BB′, CD, A′D′ laàn 

löôït laáy caùc ñieåm M, N, P sao cho B′M = CN = D′P = x (0 < x < 1). Chöùng minh AC′ vuoâng 

goùc vôùi maët phaúng (MNP). 




VAÁN ÑEÀ 3: Phöông trình maët caàu 

Ñeå vieát phöông trình maët caàu (S), ta caàn xaùc ñònh taâm I vaø baùn kính R cuûa maët caàu. 

Daïng 1: (S) coù taâm I(a; b; c) vaø baùn kính R: 

2 2 2 2 

(S): ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) 

= R 

Daïng 2: (S) coù taâm I(a; b; c) vaø ñi qua ñieåm A: 

Khi ñoù baùn kính R = IA. 

Daïng 3: (S) nhaän ñoaïn thaúng AB cho tröôùc laøm ñöôøng kính: 

– Taâm I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB: 

x A 

+ x B y A 

+ y B z A 

+ 

x 

B 

I 

= ; y z 

I 

= ; zI 

= . 

2 2 2 

AB 

– Baùn kính R = IA = . 

2 

Daïng 4: (S) ñi qua boán ñieåm A, B, C, D (maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD): 

– Giaû söû phöông trình maët caàu (S) coù daïng: 

2 2 2 

x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (*). 

– Thay laàn löôït toaï ñoä cuûa caùc ñieåm A, B, C, D vaøo (*), ta ñöôïc 4 phöông trình. 

– Giaûi heä phöông trình ñoù, ta tìm ñöôïc a, b, c, d ⇒ Phöông trình maët caàu (S). 

Daïng 5: (S) ñi qua ba ñieåm A, B, C vaø coù taâm I naèm treân maët phaúng (P) cho tröôùc: 

Giaûi töông töï nhö daïng 4. 

Daïng 6: (S) coù taâm I vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu (T) cho tröôùc: 

– Xaùc ñònh taâm J vaø baùn kính R′ cuûa maët caàu (T). 

– Söû duïng ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa hai maët caàu ñeå tính baùn kính R cuûa maët caàu (S). 

(Xeùt hai tröôøng hôïp tieáp xuùc trong vaø tieáp xuùc ngoaøi) 

Chuù yù: Vôùi phöông trình maët caàu (S): 

2 2 2 

x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 vôùi 

thì (S) coù taâm I(–a; –b; –c) vaø baùn kính R = 

2 2 2 

a + b + c − d > 0 

2 2 2 

a + b + c − d . 

Baøi 1. Tìm taâm vaø baùn kính cuûa caùc maët caàu sau: 

a) 

c) 

e) 

g) 

2 2 2 

x + y + z − 8x + 2y 

+ 1 = 0 

b) 

2 2 2 

x + y + z − 2x − 4y + 4z 

= 0 

d) 

2 2 2 

x + y + z − 12x + 4y − 6z 

+ 24 = 0 f) 

2 2 2 

x + y + z − 8x + 4y + 2z 

− 4 = 0 h) 

2 2 2 

i) 3x + 3y + 3z + 6x − 3y + 15z 

− 2 = 0 k) 

2 2 2 

x + y + z + 4x + 8y − 2z 

− 4 = 0 

2 2 2 

x + y + z − 6x + 4y − 2z 

− 86 = 0 

2 2 2 

x + y + z − 6x − 12y + 12z 

+ 72 = 0 

2 2 2 

x + y + z − 3x + 4y 

= 0 

2 2 2 

x + y + z − 6x + 2y − 2z 


Baøi 2. Xaùc ñònh m, t, α, … ñeå phöông trình sau xaùc ñònh moät maët caàu, tìm taâm vaø baùn kính cuûa 

caùc maët caàu ñoù: 

2 2 2 2 

a) x + y + z − 2( m + 2) 

x + 4my − 2mz + 5m 

+ 9 = 0 

2 2 2 2 

b) x + y + z − 2( 3 − m) x − 2( m + 1) 

y − 2mz + 2m 

+ 7 = 0 

2 2 2 

c) x + y + z + 2(cos α + 1) x − 4y − 2 cos α. z + cos 2α 

+ 7 = 0 

2 2 2 2 2 

d) x + y + z + 2( 3 − 2 cos α) x + 4(sin α − 1) y + 2z 

+ cos 4α 

+ 8 = 0 

2 2 2 

e) x + y + z − 2 ln t. 

x + 2y − 6z + 3ln 

t + 8 = 0 

2 2 2 2 

f) x + y + z + 2( 2 − ln t) x + 4ln t. y + 2(ln t + 1) z + 5ln 

t + 8 = 0 



Baøi 3. Vieát phöông trình maët caàu coù taâm I vaø baùn kính R: 

a) I( 1; − 3; 5), 

R = 3 b) I( 5; − 3; 7), 

R = 2 c) I( 1; − 3; 2), 

R = 5 d) I( 2; 4; − 3), 

R = 3 

Baøi 4. Vieát phöông trình maët caàu coù taâm I vaø ñi qua ñieåm A: 

a) I( 2; 4; − 1), A( 5; 2; 3) 

b) I( 0; 3; − 2), A( 0; 0; 0) 

c) I( 3; −2; 1), A( 2; 1; − 3) 

d) I( 4; −4; − 2), A( 0; 0; 0) 

e) I( 4; −1; 2), A( 1; −2; − 4) 

Baøi 5. Vieát phöông trình maët caàu coù ñöôøng kính AB, vôùi: 

a) A( 2; 4; − 1), B( 5; 2; 3) 

b) A( 0; 3; −2), B( 2; 4; − 1) 

c) A( 3; −2; 1), B( 2; 1; − 3) 

d) A( 4; −3; − 3), B( 2; 1; 5) 

e) A( 2; −3; 5), B( 4; 1; − 3) 

f) A( 6; 2; −5), B( − 4; 0; 7) 

Baøi 6. Vieát phöông trình maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD, vôùi: 

A 1 1 0 B 0 2 1 C 1 0 2 D 1 1 1 A 2; 0; 0 , B 0; 4; 0 , C 0; 0; 6 , D 2; 4; 

6 

a) ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) 

c) A( 2; 3; 1), B( 4; 1; −2), C( 6; 3; 7), D( −5; − 4; 8) 

d) A( 5; 7; −2), B( 3; 1; −1), C( 9; 4; − 4), D( 1; 5; 0) 

e) A( 6; −2; 3), B( 0; 1; 6), C( 2; 0; − 1), D( 4; 1; 0) 

f) A( 0; 1; 0), B( 2; 3; 1), C( −2; 2; 2), D( 1; − 1; 2) 

Baøi 7. Vieát phöông trình maët caàu ñi qua ba ñieåm A, B, C vaø coù taâm naèm trong maët phaúng (P) 

cho tröôùc, vôùi: 

⎧A( 1; 2; 0), B( −1; 1; 3), C( 2; 0; −1) 

⎧A( 2; 0; 1), B( 1; 3; 2), C( 3; 2; 0) 

a) ⎨ 

b) ⎨ 

⎩( P) ≡ ( Oxz) 

⎩( P) ≡ ( Oxy) 

Baøi 8. Vieát phöông trình maët caàu (S) coù taâm I vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu (T), vôùi: 

⎧I( −5; 1; 1) 

⎧I( −3; 2; 2) 

a) ⎨ 2 2 2 

b) ⎨ 2 2 2 

⎩( T) : x + y + z − 2x + 4y − 6z 

+ 5 = 0 ⎩( T) : x + y + z − 2x + 4y − 8z 

+ 5 = 0 

VAÁN ÑEÀ 4: Vò trí töông ñoái giöõa hai maët caàu maët caàu 

Cho hai maët caàu S 1 (I 1 , R 1 ) vaø S 2 (I 2 , R 2 ). 

I I < R − R ⇔ (S 1 ), (S 2 ) trong nhau • I 1 

I 2 

> R 1 

+ R 2 

⇔ (S 1 ), (S 2 ) ngoaøi nhau 

• 1 2 1 2 

• I 1 

I 2 

= R 1 

− R 2 

⇔ (S 1 ), (S 2 ) tieáp xuùc trong • I 1 

I 2 

= R 1 

+ R 2 

⇔ (S 1 ), (S 2 ) tieáp xuùc ngoaøi 

• R1 − R2 < I1I2 < R1 + R2 

⇔ (S 1 ), (S 2 ) caét nhau theo moät ñöôøng troøn. 

Baøi 1. Xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai maët caàu: 

2 2 2 

⎧⎪ x + y + z − 8x + 4y − 2z 

− 4 = 0 

a) ⎨ 

b) 

⎧⎪ 2 2 2 

( x 1) ( y 2) ( z 3) 

9 

2 2 2 

⎨ 

+ + − + − = 

2 2 2 

⎪⎩ x + y + z + 4x − 2y − 4z 

+ 5 = 0 

⎪⎩ x + y + z − 6x −10y − 6z 

− 21 = 0 

2 2 2 

2 2 2 

⎧⎪ x + y + z − 2x + 4y − 10z 

+ 5 = 0 ⎧⎪ x + y + z − 8x + 4y − 2z 

− 15 = 0 

c) ⎨ 

d) 

2 2 2 

⎨ 2 2 2 

⎪⎩ x + y + z − 4x − 6y + 2z 

− 2 = 0 

⎪⎩ x + y + z + 4x −12y − 2z 

+ 25 = 0 

2 2 2 

2 2 2 

⎧⎪ x + y + z − 2x − 6y + 4z 

+ 5 = 0 

⎧⎪ x + y + z + 4x − 2y + 2z 

− 3 = 0 

e) ⎨ 

f) 

2 2 2 

⎨ 2 2 2 

⎪⎩ x + y + z − 6x + 2y − 4z 

− 2 = 0 

⎪⎩ x + y + z − 6x + 4y − 2z 

− 2 = 0 

Baøi 2. Bieän luaän theo m vò trí töông ñoái cuûa hai maët caàu: 

2 2 2 

a) 

⎧⎪ ( x 2) ( y 1) ( z 3) 

64 

⎨ 

− + − + + = 

b) 

⎧⎪ 2 2 2 

( x 3) ( y 2) ( z 1) 

81 

2 2 2 2 ⎨ 

− + + + + = 

⎪⎩ ( x − 4) + ( y + 2) + ( z − 3) = ( m + 2) 

⎪⎩ ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = ( m − 3) 

c) 

⎧⎪ 2 2 2 

( x 2) ( y 2) ( z 1) 

25 

⎨ 

+ + − + − = 

2 2 2 2 

⎪⎩ ( x + 1) + ( y + 2) + ( z + 3) = ( m −1) 

d) 

2 2 2 2 

⎧⎪ 2 2 2 

( x 3) ( y 2) ( z 1) 

16 

⎨ 

+ + + + + = 

2 2 2 2 

⎪⎩ ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = ( m + 3) 




VAÁN ÑEÀ 5: Taäp hôïp ñieåm laø maët caàu – Taäp hôïp taâm maët caàu 

1. Taäp hôïp ñieåm laø maët caàu 

Giaû söû tìm taäp hôïp ñieåm M thoaû tính chaát (P) naøo ñoù. 

– Tìm heä thöùc giöõa caùc toaï ñoä x, y, z cuûa ñieåm M. Chaúng haïn coù daïng: 

hoaëc: 

2 2 2 2 

( x − a) + ( y − b) + ( z − c) 

= R 

2 2 2 

x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 

– Tìm giôùi haïn quó tích (neáu coù). 

2. Tìm taäp hôïp taâm maët caàu 

⎧ x = f ( t) 

– Tìm toaï ñoä cuûa taâm I, chaúng haïn: ⎨ 

⎪ y = g( t) 

(*) 

⎪ ⎩z 

= h( t) 

– Khöû t trong (*) ta coù phöông trình taäp hôïp ñieåm. 

– Tìm giôùi haïn quó tích (neáu coù). 

Baøi 1. Cho hai ñieåm A(1; 2; 1), B(3; 1; –2). Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M(x; y; z) sao cho: 

2 2 

MA 

a) MA + MB = 30 

b) 2 

MB = c) 2 2 2 

MA + MB = k ( k > 0) 

Baøi 2. Cho hai ñieåm A(2; –3; –1), B(–4; 5; –3). Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M(x; y; z) sao cho: 

a) 

MA 

2 2 

+ MB = 124 b) 

d) MA = MB e) 

MA 3 

MB = 2 

c) AMB = 90 

0 

2 2 2 

MA + MB = 2( k + 1) ( k > 0) 

Baøi 3. Tìm taäp hôïp caùc taâm I cuûa maët caàu sau khi m thay ñoåi: 

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

2 2 2 

x + y + z − 4x − 6y + 2( m − 3) 

z + 19 − 2m 

= 0 

2 2 2 

x + y + z + 2( m − 2) 

x + 4y − 2z + 2m 

+ 4 = 0 

2 2 2 2 

x + y + z + 2x − 4y + 2( m + 1) 

z + 2m 

+ 6 = 0 

2 2 2 

x + y + z − 4( 2 + cos m) x − 2( 5 + 2sin m) y − 6z + cos 2m 

+ 1 = 0 

2 2 2 2 

x + y + z + 2( 3 − 4 cos m) x − 2( 4sin m + 1) y − 4z − 5 − 2sin 

m = 0 



III. PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG 

1. Vectô phaùp tuyeán – Caëp vectô chæ phöông cuûa maët phaúng 

 

• Vectô n ≠ 0 

 

laø VTPT cuûa (α) neáu giaù cuûa n vuoâng goùc vôùi (α). 

 

• Hai vectô a , b 

 

khoâng cuøng phöông laø caëp VTCP cuûa (α) neáu caùc giaù cuûa chuùng song song 

hoaëc naèm treân (α). 

Chuù yù: • Neáu n laø moät VTPT cuûa (α) thì kn (k ≠ 0) cuõng laø VTPT cuûa (α). 

 

• Neáu a , b 

 

 

n = a, 

b laø moät VTPT cuûa (α). 

laø moät caëp VTCP cuûa (α) thì [ ] 

2. Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng 

2 2 2 

Ax + By + Cz + D = 0 vôùi A + B + C > 0 

 

• Neáu (α) coù phöông trình Ax + By + Cz + D = 0 thì n = ( A; B; C) 

laø moät VTPT cuûa (α). 

 

• Phöông trình maët phaúng ñi qua M0( x0; y0; z0 

) vaø coù moät VTPT n = ( A; B; C) 

laø: 

3. Caùc tröôøng hôïp rieâng 

A( x − x ) + B( y − y ) + C( z − z ) = 

0 0 0 

0 

Caùc heä soá Phöông trình maët phaúng (α) Tính chaát maët phaúng (α) 

D = 0 Ax + By + Cz = 0 

(α) ñi qua goác toaï ñoä O 

A = 0 By + Cz + D = 0 

(α) // Ox hoaëc (α) ⊃ Ox 

B = 0 Ax + Cz + D = 0 

(α) // Oy hoaëc (α) ⊃ Oy 

C = 0 Ax + By + D = 0 

(α) // Oz hoaëc (α) ⊃ Oz 

A = B = 0 Cz + D = 0 

(α) // (Oxy) hoaëc (α) ≡ (Oxy) 

A = C = 0 By + D = 0 

(α) // (Oxz) hoaëc (α) ≡ (Oxz) 

B = C = 0 Ax + D = 0 

(α) // (Oyz) hoaëc (α) ≡ (Oyz) 


• Neáu trong phöông trình cuûa (α) khoâng chöùa aån naøo thì (α) song song hoaëc chöùa 

truïc töông öùng. 

• Phöông trình maët phaúng theo ñoaïn chaén: x + y + z = 1 

a b c 

(α) caét caùc truïc toaï ñoä taïi caùc ñieåm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) 

4. Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng 

Cho hai maët phaúng (α), (β) coù phöông trình: (α): A1 x + B1 y + C1z + D1 = 0 

(β): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 

• (α), (β) caét nhau ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 

A1 B1 C1 D1 

A1 B1 C1 D1 

• (α) // (β) ⇔ = = ≠ • (α) ≡ (β) ⇔ = = = 

A B C D 

A B C D 

2 2 2 2 

• (α) ⊥ (β) ⇔ A1 A2 + B1B 2 

+ C1C 

2 

= 0 

2 2 2 2 

5. Khoaûng caùch töø ñieåm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ñeán maët phaúng (α): Ax + By + Cz + D = 0 

0 0 0 

( ,( α) 

) = 

d M 

0 

Ax + By + Cz + D 

2 2 2 

A + B + C 




VAÁN ÑEÀ 1: Vieát phöông trình maët phaúng 

Ñeå laäp phöông trình maët phaúng (α) ta caàn xaùc ñònh moät ñieåm thuoäc (α) vaø moät VTPT cuûa noù. 

 

n = A;B;C : 

Daïng 1: (α) ñi qua ñieåm ( ) 

0 0 0 

M x ; y ; z coù VTPT ( ) 

(α): A( x − x ) + B( y − y ) + C ( z − z ) = 

0 0 0 

0 

Daïng 2: (α) ñi qua ñieåm M ( x 

0; y 

0; z 

0 ) coù caëp VTCP a b : 

 

Khi ñoù moät VTPT cuûa (α) laø n = [ a, 

b] 

. 

Daïng 3: (α) ñi qua ñieåm M ( x 

0; y 

0; z 

0 ) vaø song song vôùi maët phaúng (β): Ax + By + Cz + D = 0: 

(α): A( x − x ) + B( y − y ) + C ( z − z ) = 

, 

0 0 0 

0 

Daïng 4: (α) ñi qua 3 ñieåm khoâng thaúng haøng A, B, C: 

 

Khi ñoù ta coù theå xaùc ñònh moät VTPT cuûa (α) laø: n = ⎡⎣ AB, 

AC⎤⎦ 

Daïng 5: (α) ñi qua moät ñieåm M vaø moät ñöôøng thaúng (d) khoâng chöùa M: 

– Treân (d) laáy ñieåm A vaø VTCP u . 

 

– Moät VTPT cuûa (α) laø: n ⎡ 

= ⎣AM, 

u⎤⎦ 

Daïng 6: (α) ñi qua moät ñieåm M vaø vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng (d): 

VTCP u cuûa ñöôøng thaúng (d) laø moät VTPT cuûa (α). 

Daïng 7: (α) ñi qua 2 ñöôøng thaúng caét nhau d 1 , d 2 : 

 

– Xaùc ñònh caùc VTCP a , b 

 

cuûa caùc ñöôøng thaúng d 1 , d 2 . 

 

n = a, 

b . 

– Moät VTPT cuûa (α) laø: [ ] 

– Laáy moät ñieåm M thuoäc d 1 hoaëc d 2 ⇒ M ∈ (α). 

Daïng 8: (α) chöùa ñöôøng thaúng d 1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng d 2 (d 1 , d 2 cheùo nhau): 

 


 


 

n = a, 

b . 


– Laáy moät ñieåm M thuoäc d 1 ⇒ M ∈ (α). 

Daïng 9: (α) ñi qua ñieåm M vaø song song vôùi hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d 1 , d 2 : 

 


 


 

n = a, 

b . 


Daïng 10: (α) ñi qua moät ñöôøng thaúng (d) vaø vuoâng goùc vôùi moät maët phaúng (β): 

– Xaùc ñònh VTCP u 

cuûa (d) vaø VTPT n β 

cuûa (β). 

 

– Moät VTPT cuûa (α) laø: n = ⎡u, nβ 

⎤ ⎣ ⎦ 

. 

– Laáy moät ñieåm M thuoäc d ⇒ M ∈ (α). 

Daïng 11: (α) ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng caét nhau (β), (γ): 

 

– Xaùc ñònh caùc VTPT nβ 

, nγ 

cuûa (β) vaø (γ). 

 

– Moät VTPT cuûa (α) laø: n = ⎡uβ 

, nγ 

⎤ ⎣ ⎦ 

. 

Daïng 12: (α) ñi qua ñöôøng thaúng (d) cho tröôùc vaø caùch ñieåm M cho tröôùc moät khoaûng k cho 

tröôùc: 

– Giaû söû (α) coù phöông trình: Ax By Cz+D 0 A 2 + B 2 + C 

2 ≠ 0 . 

+ + = ( ) 

– Laáy 2 ñieåm A, B ∈ (d) ⇒ A, B ∈ (α) (ta ñöôïc hai phöông trình (1), (2)). 

– Töø ñieàu kieän khoaûng caùch d( M,( α )) = k , ta ñöôïc phöông trình (3). 

– Giaûi heä phöông trình (1), (2), (3) (baèng caùch cho giaù trò moät aån, tìm caùc aån coøn laïi). 

Daïng 13: (α) laø tieáp xuùc vôùi maët caàu (S) taïi ñieåm H: 

– Giaû söû maët caåu (S) coù taâm I vaø baùn kính R. 



 

– Moät VTPT cuûa (α) laø: n = IH 

Chuù yù: Ñeå vieát phöông trình maët phaúng caàn naém vöõng caùc caùch xaùc ñònh maët phaúng ñaõ hoïc ôû 

lôùp 11. 

Baøi 1. Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua ñieåm M vaø coù VTPT n cho tröôùc: 

 

a) M( 3;1;1 ), n = ( −1;1;2 

) b) M( − 2;7;0 ), n = ( 3;0;1) 

c) M( 4; −1; − 2 ), n = ( 0;1;3 ) 

M 2;1; − 2 , n 

 

 

= 1;0;0 M 3;4;5 , n = 1; −3; −7 

M 10;1;9 , n = −7;10;1 

d) ( ) ( ) 

e) ( ) ( ) 

f) ( ) ( ) 

Baøi 2. Vieát phöông trình maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB cho tröôùc, vôùi: 

a) A( 2; 1; 1), B( 2; −1; − 1) 

b) A( 1; −1; − 4), B( 2; 0; 5) 

c) A( 2; 3; −4), B( 4; − 1; 0) 

1 1 

d) A ⎛ ; 1;0 ⎞ , B ⎛ 1; ;5 

⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ e) A ⎜1; ; ⎟, B ⎜ −3; ;1⎟ 

f) A( 2; −5; 6), B( −1; − 3; 2) 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

 

Baøi 3. Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua ñieåm M vaø coù caëp VTCP a , b 

 


 

 

 

a) M( 1; 2; − 3), a = ( 2; 1; 2), b = ( 3; 2; −1) 

b) M( 1; − 2; 3), a = 3; −1; − 2), b = ( 0; 3; 4) 

 

 

 

c) M( − 1; 3; 4), a = ( 2; 7; 2), b = ( 3; 2; 4) 

d) M( − 4; 0; 5), a = ( 6; − 1; 3); b = ( 3; 2; 1) 

Baøi 4. Vieát phöông trình maët phaúng (α) ñi qua ñieåm M vaø song song vôùi maët phaúng ( β ) cho 

tröôùc, vôùi: 

M 2 1 5 

M 1 −2 1 2x − y + 3 = 0 

a) ( ; ; ), ( β ) = ( Oxy) 

b) ( ; ; ), ( β ) : 

c) M ( −1; 1; 0) , ( β ) : x − 2y + z − 10 = 0 d) ( ) ( β ) 

M 3; 6; −5 , : − x + z − 1 = 0 

e) M( 2; − 3; 5), ( β ) : x + 2y − z + 5 = 0 f) M( 1; 1; 1), ( β ) : 10x − 10y + 20z 

− 40 = 0 

Baøi 5. Vieát phöông trình maët phaúng (α) ñi qua ñieåm M vaø laàn löôït song song vôùi caùc maët phaúng 

toaï ñoä, vôùi: 

2 1 5 

M 1; 2; 

1 

M 1; 1; 

0 

M 3; 6;− 

5 

a) M ( ; ; ) 

b) ( − ) c) ( − ) d) ( ) 

e) M( 2; − 3; 5) 

f) M( 1; 1; 1) g) M( − 1; 1; 0) 

h) M( 3; 6; − 5) 

Baøi 6. Vieát phöông trình maët phaúng (α) ñi qua ba ñieåm A, B, C khoâng thaúng haøng cho tröôùc, 

vôùi: 

a) A( 1; −2; 4), B( 3; 2; −1), C( −2; 1; − 3) 

b) A( 0; 0; 0), B( −2; −1; 3), C( 4; − 2; 1) 

c) A( −1; 2; 3), B( 2; − 4; 3), C( 4; 5; 6) 

d) A( 3; −5; 2), B( 1; −2; 0), C( 0; − 3; 7) 

e) A( 2; −4; 0), B( 5; 1; 7), C( −1; −1; − 1) 

f) A( 3; 0; 0), B( 0; −5; 0), C( 0; 0; − 7) 

Baøi 7. Vieát phöông trình maët phaúng (α) ñi qua ñieåm A vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ñi qua hai 

ñieåm B, C cho tröôùc, vôùi: 

a) A( 1; −2; 4), B( 3; 2; −1), C( −2; 1; − 3) 

b) A( 0; 0; 0), B( −2; −1; 3), C( 4; − 2; 1) 

c) A( −1; 2; 3), B( 2; − 4; 3), C( 4; 5; 6) 

d) A( 3; −5; 2), B( 1; −2; 0), C( 0; − 3; 7) 

e) A( 2; −4; 0), B( 5; 1; 7), C( −1; −1; − 1) 

f) A( 3; 0; 0), B( 0; −5; 0), C( 0; 0; − 7) 

Baøi 8. Vieát phöông trình maët phaúng (α) ñi qua hai ñieåm A, B vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (β) 


⎧A( a) 

( 3 ; 

) 1 ; − 1 ), B( 2 ; − 1 ; 4 ) ⎧A( − 

⎨ 

b) 

⎩ β : 2x − y + 3z 

− 1 = 0 ( ) 2 ; − 1 ; 3 ), B( 4 ; − 2 ; 1 ) ⎧A( ⎨ 

c) 

⎩ β : 2x + 3y − 2z 

+ 5 = 0 ( 2 ; − 

) 1 ; 3 ), B( − 4 ; 7 ; − 9 ) 

⎨ 

⎩ β : 3x + 4y −8z 

− 5 = 0 

⎧A( d) 

( 3 ; − 

) 1 ; − 2 ), B( − 3 ; 1 ; 2 ) 

⎨ 

⎩ β : 2x − 2y − 2z 

+ 5 = 0 

Baøi 9. Vieát phöông trình maët phaúng (α) ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng (β), (γ) 


M( −1; − 2; 5), β : x + 2y − 3z + 1 = 0, γ : 2x − 3y + z + 1 = 0 

a) ( ) ( ) 




M 1 0 − 2 2x + y − z − 2 = 0 x − y − z − 3 = 0 

b) ( ; ; ), ( β ) : , ( γ ) : 

c) ( β ) ( γ ) 

d) ( ; ; ), ( β ) : , ( γ ) : 

M( 2; − 4; 0), : 2x + 3y − 2z + 5 = 0, : 3x + 4y − 8z 

− 5 = 0 

M 5 1 7 3x − 4y + 3z + 6 = 0 3x − 2y + 5z 

− 3 = 0 

Baøi 10. Vieát phöông trình maët phaúng (α) ñi qua ñieåm M vaø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), 

(Q) cho tröôùc, vôùi: 

M 1; 2; −3 , P : 2x − 3y + z − 5 = 0, 

Q : 3x − 2y + 5z 

− 1 = 0 

a) ( ) ( ) ( ) 

b) ( ; ; ), ( ) : , ( ) 

c) ( ; ; ), ( ) : , ( ) 

d) ( ; ; ), ( ) : , ( ) : 

M 2 1 −1 P x − y + z − 4 = 0 Q : 3x − y + z − 1 = 0 

M 3 4 1 P 19x − 6y − 4z + 27 = 0 Q : 42x − 8y + 3z 


M 0 0 1 P 5x − 3y + 2z − 5 = 0 Q 2x − y − z − 1 = 0 

Baøi 11. Vieát phöông trình maët phaúng (α) qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q), ñoàng thôøi 

song song vôùi maët phaúng (R) cho tröôùc, vôùi: 

a) ( P) : y + 2z − 4 = 0, ( Q) : x + y − z − 3 = 0, ( R) : x + y + z − 2 = 0 

b) ( P) : x − 4y + 2z − 5 = 0, ( Q) : y + 4z − 5 = 0, ( R) : 2x − y + 19 = 0 

c) ( P) : 3x − y + z − 2 = 0, ( Q) : x + 4y − 5 = 0, ( R) : 2x − z + 7 = 0 

Baøi 12. Vieát phöông trình maët phaúng (α) qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q), ñoàng thôøi 

vuoâng goùc vôùi maët phaúng (R) cho tröôùc, vôùi: 

a) ( P) : 2x + 3y − 4 = 0, ( Q) : 2y − 3z − 5 = 0, ( R) : 2x + y − 3z 

− 2 = 0 

b) ( P) : y + 2z − 4 = 0, ( Q) : x + y − z + 3 = 0, ( R) : x + y + z − 2 = 0 

c) ( P) : x + 2y − z − 4 = 0, ( Q) : 2x + y + z + 5 = 0, ( R) : x − 2y − 3z 

+ 6 = 0 

d) ( P) : 3x − y + z − 2 = 0, ( Q) : x + 4y − 5 = 0, ( R) : 2x − z + 7 = 0 

Baøi 13. Vieát phöông trình maët phaúng (α) qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q), ñoàng thôøi 

caùch ñieåm M cho tröôùc moät khoaûng baèng k, vôùi: 

a) ( P): x − y − 2 = 0, ( Q) : 5x − 13y + 2z = 0, M( 1; 2; 3), 

k = 2 

VAÁN ÑEÀ 2: Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng 

Baøi 1. Xeùt vò trí töông ñoái cuûa caùc caëp maët phaúng sau: 

⎧ 2x + 3y − 2z 

+ 5 = 0 

⎧3x − 4y + 3z 

+ 6 = 0 ⎧ 5x + 5y − 5z 

− 1 = 0 

a) ⎨ 

b) ⎨ 

c) ⎨ 

⎩3x + 4y −8z 

− 5 = 0 

⎩3x − 2y + 5z 

− 3 = 0 ⎩3x + 3y − 3z 

+ 7 = 0 

⎧2x − 2y − 4z 

+ 5 = 0 

⎧ 6x − 4y − 6z 

+ 5 = 0 ⎪ 

⎧3x − 2y − 6z 

− 23 = 0 

d) ⎨ 

e) ⎨ 

25 f) ⎨ 

⎩12 x −8y −12z 

− 5 = 0 5x − 5y − 10z 

+ = 0 ⎩3x − 2y − 6z 

+ 33 = 0 

⎪⎩ 

2 

Baøi 2. Xaùc ñònh m, n ñeå caùc caëp maët phaúng sau: • song song • caét nhau • truøng nhau 

⎧ 3x + my − 2z 

− 7 = 0 ⎧5x − 2y + mz − 11 = 0 ⎧ 2x + my + 3z 

− 5 = 0 

a) ⎨ 

b) ⎨ 

c) ⎨ 

⎩ nx + 7y − 6z 

+ 4 = 0 ⎩ 3x + ny + z − 5 = 0 ⎩nx − 6y − 6z 

+ 2 = 0 

⎧3x − y + mz − 9 = 0 

⎧ 2x + y + 3z 

− 5 = 0 ⎧3x − 5y + mz − 3 = 0 

d) ⎨ 

e) ⎨ 

f) ⎨ 

⎩2x + ny + 2z 

− 3 = 0 

⎩mx − 6y − 6z 

− 2 = 0 ⎩ 2x + y − 3z 

+ 1 = 0 

⎧ x + my − z + 2 = 0 

⎧2x − ny + 2z 

− 1 = 0 ⎧3x − ( m − 3) 

y + 2z 

− 5 = 0 

g) ⎨ 

h) ⎨ 

i) ⎨ 

⎩2x + y + 4nz 

− 3 = 0 

⎩3x − y + mz − 2 = 0 ⎩( m + 2) 

x − 2y + mz − 10 = 0 

Baøi 3. Xaùc ñònh m ñeå caùc caëp maët phaúng sau vuoâng goùc vôùi nhau 

⎧2x − 7y + mz + 2 = 0 

⎧( 2m −1) 

x − 3my + 2z 

+ 3 = 0 

a) ⎨ 

b) ⎨ 

⎩ 3x + y − 2z 

+ 15 = 0 

⎩ mx + ( m − 1) 

y + 4z 

− 5 = 0 



c) 

e) 

⎧ mx + 2y + mz − 12 = 0 

⎨ 

⎩ x + my + z + 7 = 0 

⎧ 4x − 3y − 3z 

= 0 

⎨ 

⎩mx + 2y − 7z 

− 1 = 0 

⎧3x − ( m − 3) 

y + 2z 

− 5 = 0 

d) ⎨ 

⎩( m + 2) 

x − 2y + mz − 10 = 0 

⎧3x − 5y + mz − 3 = 0 

f) ⎨ 

⎩ x + 3y + 2z 

+ 5 = 0 

VAÁN ÑEÀ 3: Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät maët phaúng. 

Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song. 

Hình chieáu cuûa moät ñieåm treân maët phaúng . Ñieåm ñoái xöùng cuûa moät ñieåm qua maët phaúng. 

• Khoaûng caùch töø ñieåm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ñeán maët phaúng (α): Ax + By + Cz + D = 0 

0 0 0 

( ,( α) 

) = 

d M 

0 

Ax + By + Cz + D 

2 2 2 

A + B + C 

• Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song baèng khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kì treân maët 

phaúng naøy ñeán maët phaúng kia. 

Chuù yù: Neáu hai maët phaúng khoâng song song thì khoaûng caùch giöõa chuùng baèng 0. 

 

⎧ 

• Ñieåm H laø hình chieáu cuûa ñieåm M treân (P) ⇔ MH, 

n cuøng phöông 

⎨ 

⎩H 

∈ ( P) 

 

• Ñieåm M′ ñoái xöùng vôùi ñieåm M qua (P) ⇔ MM′ = 2MH 

Baøi 1. Cho maët phaúng (P) vaø ñieåm M. 

• Tính khoaûng caùch töø M ñeán (P). • Tìm toaï ñoä hình chieáu H cuûa M treân (P). 

• Tìm toaï ñoä ñieåm M′ ñoái xöùng vôùi M qua (P). 

a) ( P) : 2x − y + 2z − 6 = 0, M( 2; − 3; 5) 

b) ( P) : x + y + 5z − 14 = 0, M( 1; −4; − 2) 

c) ( P) : 6x − 2y + 3z + 12 = 0, M( 3; 1; − 2) 

d) ( P) : 2x − 4y + 4z + 3 = 0, M( 2; − 3; 4) 

e) ( P) : x − y + z − 4 = 0, M( 2; 1; − 1) 

f) ( P) : 3x − y + z − 2 = 0, M( 1; 2; 4) 

Baøi 2. Tìm khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng: 

⎧x − 2y + 3z 

+ 1 = 0 

⎧6x − 2y + z + 1 = 0 ⎧2x − y + 4z 

+ 5 = 0 

a) ⎨ 

b) ⎨ 

c) ⎨ 

⎩2x − y + 3z 

+ 5 = 0 

⎩6x − 2y + z − 3 = 0 ⎩3x + 5y − z − 1 = 0 

⎧4x − y + 8z 

+ 1 = 0 

⎧2x − y + 4z 

+ 5 = 0 ⎧ 3x + 6y − 3z 

+ 7 = 0 

d) ⎨ 

e) ⎨ 

f) ⎨ 

⎩4x − y + 8z 

+ 5 = 0 

⎩3x + 5y − z − 1 = 0 ⎩ x + 2y − z + 1 = 0 

Baøi 3. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm caùch maët phaúng moät khoaûng baèng k cho tröôùc: 

a) 6x − 3y + 2z − 7 = 0, 

k = 3 

b) 3x − 2y − 6z + 5 = 0, 

k = 4 

c) 6x − 2y + 3z + 12 = 0, 

k = 2 

d) 2x − 4y + 4z − 14 = 0, 

k = 3 

Baøi 4. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm caùch ñeàu hai maët phaúng: 

⎧x − 2y + 3z 

+ 1 = 0 

⎧6x − 2y + z + 1 = 0 ⎧2x − y + 4z 

+ 5 = 0 

a) ⎨ 

b) ⎨ 

c) ⎨ 

⎩2x − y + 3z 

+ 5 = 0 

⎩6x − 2y + z − 3 = 0 ⎩3x + 5y − z − 1 = 0 

⎧4x − y + 8z 

+ 1 = 0 

⎧2x − y + 4z 

+ 5 = 0 ⎧ 3x + 6y − 3z 

+ 7 = 0 

d) ⎨ 

e) ⎨ 

f) ⎨ 

⎩4x − y + 8z 

+ 5 = 0 

⎩3x + 5y − z − 1 = 0 ⎩ x + 2y − z + 1 = 0 

Baøi 5. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm coù tyû soá caùc khoaûng caùch ñeán hai maët phaúng baèng k cho tröôùc: 

⎧ x + 2y − 2z 


⎧6x − 2y + z + 1 = 0 ⎧ 6x + 3y − 2z 

− 1 = 0 

a) ⎪ 2x + 4y − 4z 

+ 3 = 0 b) ⎪6x − 2y + z − 3 = 0 c) ⎪ 2x + 2y − z + 6 = 0 

⎨ 

⎨ 

⎨ 

⎪ 

2 

1 

k = 

⎪ 

4 

k = 

⎪ k = 

⎪⎩ 3 

⎪⎩ 2 

⎪⎩ 7 

Baøi 6. Tìm ñieåm M treân truïc Ox (Oy, Oz) caùch ñeàu ñieåm N vaø maët phaúng (P): 


Hình hoïc 12 Taøi lieäu giaûng daïy phuï ñaïo toå Toaùn THPT Phan Chu Trinh Ñaêk Laêk 

a) ( P) : 2x + 2y + z − 5 = 0, N( 1; 2; − 2) 

b) ( P) : x + y + 5z − 14 = 0, N( 1; −4; − 2) 

c) ( P) : 6x − 2y + 3z + 12 = 0, N( 3; 1; − 2) 

d) ( P) : 2x − 4y + 4z + 3 = 0, N( 2; − 3; 4) 

e) ( P) : x − y + z − 4 = 0, N( 2; 1; − 1) 

f) ( P) : 3x − y + z − 2 = 0, N( 1; 2; 4) 

Baøi 7. Tìm ñieåm M treân truïc Ox (Oy, Oz) caùch ñeàu hai maët phaúng: 

⎧ x + y − z + 1 = 0 

⎧ x + 2y − 2z 

+ 1 = 0 ⎧2x − y + 4z 

+ 5 = 0 

a) ⎨ b) ⎨ 

c) ⎨ 

⎩x − y + z − 5 = 0 

⎩2x + 2y + z − 5 = 0 ⎩4x + 2y − z − 1 = 0 

⎧4x − y + 8z 

+ 1 = 0 

⎧2x − y + 4z 

+ 5 = 0 ⎧ 3x + 6y − 3z 

+ 7 = 0 

d) ⎨ 

e) ⎨ 

f) ⎨ 

⎩4x − y + 8z 

+ 5 = 0 

⎩3x + 5y − z − 1 = 0 ⎩ x + 2y − z + 1 = 0 

Baøi 8. Tìm phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (P) ñi qua ñieåm A vaø song song vôùi maët phaúng 

(Q) cho tröôùc. Tính khoaûng caùch giöõa (P) vaø (Q): 

A 1 2 3 Q 2x 4y z 4 0 

A 3; 1;– 2 , ( Q) : 6x − 2y + 3z 

+ 12 = 0 . 

a) ( ; ; – ), ( ) : − − + = . b) ( ) 

Baøi 9. Tìm phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (P) song song vôùi maët phaúng (Q) vaø caùch ñieåm 

A moät khoaûng k cho tröôùc: 

a) ( Q) : x + 2y − 2z + 5 = 0, A( 2; − 1; 4), 

k = 4 b) ( Q) : 2x − 4y + 4z + 3 = 0, A( 2; − 3; 4), 

k = 3 

Baøi 10. Tìm phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (P) caùch maët phaúng (Q) moät khoaûng k: 

a) ( Q) : 3x − y + 2z − 3 = 0, 

k = 14 

b) ( Q) : 4x + 3y − 2z + 5 = 0, 

k = 29 

VAÁN ÑEÀ 4: Goùc giöõa hai maët phaúng 

Cho hai maët phaúng (α), (β) coù phöông trình: (α): A1 x + B1 y + C1z + D1 = 0 

(β): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 

Goùc giöõa (α), (β) baèng hoaëc buø vôùi goùc giöõa hai VTPT n 1, 

n 

. 2 

 

n1. 

n2 A1 A2 + B1B 2 

+ C1C 

2 

cos (( α),( β )) = = 

n 2 2 2 2 2 2 

1 

. n2 

A + B + C . A + B + C 

0 0 

Chuù yù: • 

( ( α),( β )) 

1 1 1 2 2 2 

0 ≤ ≤ 90 . • ( α) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1B 2 

+ C1C 

2 

= 0 

Baøi 1. Tính goùc giöõa hai maët phaúng: 

⎧ x + y − z + 1 = 0 

⎧ x + 2y − 2z 

+ 1 = 0 ⎧2x − y + 4z 

+ 5 = 0 

a) ⎨ b) ⎨ 

c) ⎨ 

⎩x − y + z − 5 = 0 

⎩2x + 2y + z − 5 = 0 ⎩4x + 2y − z − 1 = 0 

⎧ 4x + 4y − 2z 

+ 7 = 0 

⎧2x − y − 2z 

+ 3 = 0 

d) ⎨ 

e) ⎨ 

f) 

⎧ 3x 3y 3z 

2 0 

⎨ 

− + + = 

⎩2x 

+ 4z 

− 5 = 0 

⎩ 2y 

+ 2z 

+ 12 = 0 ⎩4x + 2y + 4z 

− 9 = 0 

Baøi 2. Tìm m ñeå goùc giöõa hai maët phaúng sau baèng α cho tröôùc: 

⎧( 2m −1) 

x − 3my + 2z 

+ 3 = 0 ⎧ mx + 2y + mz − 12 = 0 ⎧ ( m + 2) 

x + 2my − mz + 5 = 0 

⎪ 

⎪ ⎪ 

a) ⎨mx + ( m − 1) 

y + 4z 

− 5 = 0 b) ⎨x + my + z + 7 = 0 c) mx ( m 3) 

y 2z 

3 0 

⎪ 0 

⎩α 

= 

0 

90 

⎪ ⎨ + − + − = 

⎩α 

= 

0 

45 

⎪ 

⎩α 

= 90 

⎧mx − y + mz + 3 = 0 

⎪ 

d) ⎨( 2m + 1) x + ( m − 1) y + ( m −1) 

z − 6 = 0 

⎪ 0 

⎩α 

= 30 

Baøi 3. Cho töù dieän OABC coù caùc caïnh OA, OB, OC vuoâng goùc vôùi nhau töøng ñoâi moät. Goïi 

α , β, 

γ laàn löôït laø caùc goùc hôïp bôûi caùc maët phaúng (OAB), (OBC), (OCA) vôùi maët phaúng 

(ABC). Baèng phöông phaùp toaï ñoä, chöùng minh raèng: 

2 

2 

2 

a) Tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn b) cos α + cos β + cos γ = 1 



VAÁN ÑEÀ 5: Vò trí töông ñoái giöõa maët phaúng vaø maët caàu. 

Phöông trình maët phaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu 

Cho maët phaúng (α): Ax + By + Cz + D = 0 vaø maët caàu (S): 

• (α) vaø (S) khoâng coù ñieåm chung ⇔ d( I,( α )) > R 

2 2 2 2 

( x − a) + ( y − b) + ( z − c) 

= R 

• (α) tieáp xuùc vôùi (S) ⇔ d( I,( α )) = R (α) laø tieáp dieän 

Ñeå tìm toaï ñoä tieáp ñieåm ta coù theå thöïc hieän nhö sau: 

– Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua taâm I cuûa (S) vaø vuoâng goùc vôùi (α). 

– Tìm toaï ñoä giao ñieåm H cuûa d vaø (α). 

H laø tieáp ñieåm cuûa (S) vôùi (α). 

• (α) caét (S) theo moät ñöôøng troøn ⇔ d( I,( α )) < R 

Ñeå xaùc ñònh taâm H vaø baùn kính r cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán ta coù theå thöïc hieän nhö sau: 

– Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua taâm I cuûa (S) vaø vuoâng goùc vôùi (α). 

– Tìm toaï ñoä giao ñieåm H cuûa d vaø (α). 

H laø taâm cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán cuûa (S) vôùi (α). 

Baùn kính r cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán: 

2 2 

r = R − IH 

Baøi 1. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S): 

⎧ ( P) : 2x + 2y + z − 1 = 0 

⎧( P) : 2x − 3y + 6z 

− 9 = 0 

a) ⎨ 2 2 2 

b) ⎨ 

2 2 2 

⎩( S) : x + y + z − 6x − 2y + 4z 

+ 5 = 0 ⎩( S) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + 2) 

= 16 

⎧ ( P) : x + y − 2z 


⎩( S) : x + y + z + 2x − 4y − 2z 

+ 2 = 0 

c) ⎨ 2 2 2 

⎧( P) : x − 2y + 2z 

+ 5 = 0 

⎩( S) : x + y + z − 6x − 4y − 8z 

+ 13 = 0 

d) ⎨ 2 2 2 

⎧ ( P) : x + 2y + 2z 

= 0 

⎧( P) : z − 3 = 0 

e) ⎨ 2 2 2 

f) ⎨ 2 2 2 

⎩( S) : x + y + z − 6x + 2y − 2z 

+ 10 = 0 ⎩( S) : x + y + z − 6x + 2y − 16z 

+ 22 = 0 

Baøi 2. Bieän luaän theo m, vò trí töông ñoái giöõa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S): 

2 2 2 

a) ( P) : 2x − 2y − z − 4 = 0; ( S) : x + y + z − 2( m − 1) 

x + 4my + 4z + 8m 

= 0 

b) 

c) 

2 2 2 2 

( P) : 4x − 2y + 4z − 5 = 0; ( S) : ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 3) = ( m − 1) 

2 2 2 2 

( P) : 3x + 2y − 6z + 7 = 0; ( S) : ( x − 2) + ( y − 1) + ( z + 1) = ( m + 2) 

2 2 2 2 

d) ( P) : 2x − 3y + 6z − 10 = 0; ( S) : x + y + z + 4mx − 2( m + 1) 

y − 2z + + 3m + 5m 

− 4 = 0 

Baøi 3. Vieát phöông trình maët caàu (S) coù taâm I vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng (P) cho tröôùc: 

a) I( 3; −5; −2), ( P) : 2x − y − 3z 

+ 1 = 0 b) I( 1; 4; 7), ( P) : 6x + 6y − 7z 

+ 42 = 0 

c) I( 1; 1; 2), ( P) : x + 2y + 2z 

+ 3 = 0 

d) I( − 2; 1; 1), ( P) : x + 2y − 2z 

+ 5 = 0 

Baøi 4. Vieát phöông trình maët phaúng (P) tieáp xuùc vôùi maët caàu (S) cho tröôùc: 

2 2 2 

a) ( S) : ( x − 3) + ( y − 1) + ( z + 2) = 24 taïi M( − 1; 3; 0) 

2 2 2 

b) ( S) : x + y + z − 6x − 2y + 4z 

+ 5 = 0 taïi M( 4; 3; 0) 

c) 

2 2 2 

( S) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2) 

= 49 taïi M( 7; − 1; 5) 

2 2 2 

d) ( S) : x + y + z − 2x − 2y − 2z 

− 22 = 0 vaø song song vôùi maët phaúng 3x − 2y + 6z 

+ 14 = 0 . 

2 2 2 

e) ( S) : x + y + z − 6x + 4y + 2z 

− 11 = 0 vaø song song vôùi maët phaúng 4x 

+ 3z 

− 17 = 0 . 

f) 

2 2 2 

( S) : x + y + z − 2x − 4y + 4z 

= 0 vaø song song vôùi maët phaúng x + 2y + 2z 

+ 5 = 0 . 

2 2 2 

g) ( S) : x + y + z − 2x + 6y + 2z 

+ 8 = 0 vaø chöùa ñöôøng thaúng d : x = 4t + 4, y = 3t + 1, 

z = t + 1 




h) Tieáp xuùc vôùi maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD taïi A vôùi A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; – 

1), D(4; 1; 0). 

2 2 2 

i) Tieáp xuùc vôùi maët caàu: x + y + z −10x 

+ 2y 

+ 26z 

−113 

= 0 vaø song song vôùi 2 ñöôøng 

x + 5 y − 1 z + 13 

thaúng: d 

1 

: = = 

2 −3 2 

x + 7 y + 1 z −8 

d : = = . 

3 −2 0 

, 

1 

Baøi taäp oân: Phöông trình maët phaúng 

Baøi 1. Cho töù dieän ABCD. 

• Vieát phöông trình caùc maët cuûa töù dieän. 

• Vieát phöông trình maët phaúng chöùa moät caïnh vaø song song vôùi caïnh ñoái dieän. 

• Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua moät ñænh vaø song song vôùi maët ñoái dieän. 

• Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua caïnh AB vaø vuoâng goùc vôùi (BCD). 

• Vieát phöông trình maët phaúng trung tröïc cuûa caùc caïnh töù dieän. 

• Tìm toaï ñoä caùc ñieåm A′, B′, C′, D′ laàn löôït laø caùc ñieåm ñoái xöùng vôùi caùc ñieåm A, B, C, 

D qua caùc maët ñoái dieän. 

• Tính khoaûng caùch töø moät ñænh cuûa töù dieän ñeán maët ñoái dieän. 

• Vieát phöông trình maët caàu (S) ngoaïi tieáp töù dieän ABCD. Xaùc ñònh taâm I vaø baùn kính R 

cuûa (S). 

• Vieát phöông trình caùc tieáp dieän cuûa (S) taïi caùc ñænh A, B, C, D cuûa töù dieän. 

• Vieát phöông trình caùc tieáp dieän cuûa (S) song song vôùi caùc maët cuûa töù dieän. 

A 5 1 3 B 1 6 2 C 5 0 4 D 4 0 6 A 1; 1; 0 , B 0; 2; 1 , C 1; 0; 2 , D 1; 1; 

1 

a) ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) 

c) A ( 2; 0; 0) , B ( 0; 4; 0) , C ( 0; 0; 6) , D ( 2; 4; 6) 

d) A 2 3 1 B 4 1 −2 C 6 3 7 D −5 − 4 8 

( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) 

e) A( 5; 7; −2), B( 3; 1; −1), C( 9; 4; − 4), D( 1; 5; 0) 

f) A( 0; 1; 0), B( 2; 3; 1), C( −2; 2; 2), D( 1; − 1; 2) 

Baøi 2. Cho hai maët phaúng (P), (Q) laàn löôït caét ba truïc toaï ñoä taïi caùc ñieåm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), 

C(0; 0; –3) vaø E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1). 

a) Tìm phöông trình toång quaùt cuûa (P) vaø (Q). 

b) Tính ñoä daøi ñöôøng cao cuûa hình choùp O.ABC. 

c) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (P), (Q). 

Baøi 3. Cho boán ñieåm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) vaø D(1; 3; 3). 

a) Chöùng minh ABCD laø moät töù dieän ñeàu. 

b) Chöùng minh töù dieän ABCD coù caùc caëp caïnh ñoái ñoâi moät vuoâng goùc. 

c) Tìm phöông trình toång quaùt cuûa caùc maët phaúng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD). 

d) Tính goùc giöõa caùc caëp maët phaúng: (ABC) vaø (ABD), (BCD) vaø (ACD). 



IV. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG 

1. Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng 

• Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm M0( x0; y0; z0 

) vaø coù VTCP 

a = ( a ; a ; a ) : 

1 2 3 

• Neáu a1a 2a3 ≠ 0 thì 

⎧ x = xo 

+ a1t 

⎪ 

( d) : ⎨y = yo 

+ a2t ( t ∈ R) 

⎪ 

⎩z = zo 

+ a3t 

x − x0 y − y0 z − z0 

( d) : = = ñgl phöông trình chính taéc cuûa d. 

a a a 

1 2 3 

2. Vò trí töông ñoái giöõa hai ñöôøng thaúng 

Cho hai ñöôøng thaúng d, d′ coù phöông trình tham soá laàn löôït laø: 

⎧ x = x0 + ta1 

⎧ x = x′ 0 

+ t′ a′ 

1 

⎪ ⎪ 

d : ⎨y = y0 + ta2 

vaø d′ : ⎨y = y′ 0 

+ t′ a′ 

2 

⎪ 

⎩z = z0 + ta 

⎪ 

3 

⎩z = z′ 0 

+ t′ a′ 

3 

 

⎧a, 

a′ 

cuøng phöông 

⎪ ⎧ x 

• d // d′ ⇔ 

0 

+ ta1 = x′ 0 

+ t′ a′ 

1 

⎨ ⎪ 

heä y0 + ta2 = y′ 0 

+ t′ a′ 2 

( aån t, t′ 

) voâ nghieäm 

⎪ ⎨ 

⎪ ⎪ 

⎩ ⎩z0 + ta3 = z′ 0 

+ t′ a′ 

3 

 

 

⎧a, 

a′ 

cuøng phöông ⎧a, 

a′ 


⎧ 

⇔ ⎨ ⇔ 

⎩M0( x0; y0; z0 

) ∉ d′ 

⎨ 

⎪[ a, 

a′ ] = 0 

⇔ 

⎩a, 

M0M′ 

⎨ 

0 

khoâng cuøng phöông ⎡ 

a, 

M0M′ ⎤ 

⎪⎣ ⎩ 0 ⎦ ≠ 0 

⎧ x0 + ta1 = x′ 0 

+ t′ a′ 

1 

⎪ 

• d ≡ d′ ⇔ heä ⎨y0 + ta2 = y′ 0 

+ t′ a′ 2 


) coù voâ soá nghieäm 

⎪ 

⎩z0 + ta3 = z′ 0 

+ t′ a′ 

3 

 

⎧a, 

a′ 

cuøng phöông 

⇔ ⎨ ⇔ a, a′ , M 

⎩M0( x0; y0; z0 

) ∈ d′ 

0M′ 

0 

ñoâi moät cuøng phöông 

 

⇔ [ a, a ] ⎡ 

′ = a, 

M0M′ 

⎤ 

⎣ 0 ⎦ = 0 

⎧ x0 + ta1 = x′ 0 

+ t′ a′ 

1 

⎪ 

• d, d′ caét nhau ⇔ heä ⎨y0 + ta2 = y′ 0 

+ t′ a′ 

2 

(aån t, t′) coù ñuùng moät nghieäm 

⎪ 

⎩z0 + ta3 = z′ 0 

+ t′ a′ 

3 

 

⎧a, 

a′ 

khoâng cuøng phöông 

⇔ ⎨ 

⎧ 

 

⎪[ a, 

a′ ] ≠ 0 

⇔ 

⎩a, a′ , M0M′ 

⎨ 

0 

ñoàng phaúng ⎪⎩ 

[ a, a′ ]. 

M0M′ 0 

= 0 

 

⎧a, 

a′ 

khoâng cuøng phöông 

⎪ ⎧ x 

• d, d′ cheùo nhau ⇔ 

0 

+ ta1 = x′ 0 

+ t′ a′ 

1 

⎨ ⎪ 

heä y0 + ta2 = y′ 0 

+ t′ a′ 2 


) voâ nghieäm 

⎪ ⎨ 

⎪ ⎪ 

⎩ ⎩z0 + ta3 = z′ 0 

+ t′ a′ 

3 

 

 

⇔ a, a′ , M0M′ 

0 

khoâng ñoàng phaúng ⇔ [ a, a′ ]. 

M0M′ 0 

≠ 0 

 

• d ⊥ d′ ⇔ a ⊥ a′ ⇔ a . a 

′ = 0 




3. Vò trí töông ñoái giöõa moät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng 

⎧ x = x0 + ta1 

⎪ 

Cho maët phaúng (α): Ax + By + Cz + D = 0 vaø ñöôøng thaúng d: ⎨y = y0 + ta2 

⎪ 

⎩z = z0 + ta3 

Xeùt phöông trình: A( x0 + ta1 ) + B( y0 + ta2 ) + C( z0 + ta3 ) + D = 0 (aån t) (*) 

• d // (α) ⇔ (*) voâ nghieäm 

• d caét (α) ⇔ (*) coù ñuùng moät nghieäm 

• d ⊂ (α) ⇔ (*) coù voâ soá nghieäm 

4. Vò trí töông ñoái giöõa moät ñöôøng thaúng vaø moät maët caàu 

⎧ x = x0 + ta1 

⎪ 

Cho ñöôøng thaúng d: y = y0 + 

2 2 2 2 

⎨ ta2 

(1) vaø maët caàu (S): ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) 

= R (2) 

⎪ 

⎩z = z0 + ta3 

Ñeå xeùt VTTÑ cuûa d vaø (S) ta thay (1) vaøo (2), ñöôïc moät phöông trình (*). 

• d vaø (S) khoâng coù ñieåm chung ⇔ (*) voâ nghieäm 

⇔ d(I, d) > R 

• d tieáp xuùc vôùi (S) ⇔ (*) coù ñuùng moät nghieäm 

⇔ d(I, d) = R 

• d caét (S) taïi hai ñieåm phaân bieät ⇔ (*) coù hai nghieäm phaân bieät ⇔ d(I, d) < R 

5. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng (chöông trình naâng cao) 

Cho ñöôøng thaúng d ñi qua M 0 vaø coù VTCP a vaø ñieåm M. 

 

⎡ 

M0M, 

a⎤ 

⎣ ⎦ 

d( M, d) 

= 

a 

6. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau (chöông trình naâng cao) 

Cho hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d 1 vaø d 2 . 

d 1 ñi qua ñieåm M 1 vaø coù VTCP a 1, d 2 ñi qua ñieåm M 2 vaø coù VTCP a 

2 

 

⎡⎣ 

a1 , a ⎤ 

2 ⎦. 

M1M2 

d( d1, d2) 

= 

⎡⎣ 

a1 , a ⎤ 

2 ⎦ 

Chuù yù: Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d 1 , d 2 baèng khoaûng caùch giöõa d 1 vôùi maët 

phaúng (α) chöùa d 2 vaø song song vôùi d 1 . 

7. Khoaûng caùch giöõa moät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng song song 

Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng d vôùi maët phaúng (α) song song vôùi noù baèng khoaûng caùch töø 

moät ñieåm M baát kì treân d ñeán maët phaúng (α). 

8. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng 

Cho hai ñöôøng thaúng d 1 , d 2 laàn löôït coù caùc VTCP a 1, 

a 

. 2 

Goùc giöõa d 1 , d 2 baèng hoaëc buø vôùi goùc giöõa a 1, 

a 

. 2 

 

a1. 

a2 

cos ( a1 , a2 

) = 

a . a 

1 2 

9. Goùc giöõa moät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng 

Cho ñöôøng thaúng d coù VTCP a 

 

= ( a1; a2; a3 

) vaø maët phaúng (α) coù VTPT n = ( A; B; C) 

. 

Goùc giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (α) baèng goùc giöõa ñöôøng thaúng d vôùi hình chieáu d′ cuûa 

noù treân (α). 

Aa1 + Ba2 + Ca3 

( ) = 

sin d 

 

,( α) 

2 2 2 2 2 2 

+ + . 

1 

+ 

2 

+ 

3 

A B C a a a 



VAÁN ÑEÀ 1: Laäp phöông trình ñöôøng thaúng 

Ñeå laäp phöông trình ñöôøng thaúng d ta caàn xaùc ñònh moät ñieåm thuoäc d vaø moät VTCP cuûa noù. 

Daïng 1: d ñi qua ñieåm M0( x0; y0; z0 

) vaø coù VTCP a = ( a1; a2; a3 

) : 

⎧ x = xo 

+ a1t 

⎪ 

( d) : ⎨y = yo 

+ a2t ( t ∈ R) 

⎪ 

⎩z = zo 

+ a3t 

Daïng 2: d ñi qua hai ñieåm 

 

A, B: 

Moät VTCP cuûa d laø AB . 


) vaø song song vôùi ñöôøng thaúng ∆ cho tröôùc: 

Vì d // ∆ neân VTCP cuûa ∆ cuõng laø VTCP cuûa d. 


) vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) cho tröôùc: 

Vì d ⊥ (P) neân VTPT cuûa (P) cuõng laø VTCP cuûa d. 

Daïng 5: d laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q): 

• Caùch 1: Tìm moät ñieåm vaø moät VTCP. 

⎧( P) 

– Tìm toaï ñoä moät ñieåm A ∈ d: baèng caùch giaûi heä phöông trình ⎨ (vôùi vieäc choïn giaù trò 

⎩( Q) 

cho moät aån) 

 

– Tìm moät VTCP cuûa d: a = ⎡nP , nQ 

⎤ ⎣ ⎦ 

• Caùch 2: Tìm hai ñieåm A, B thuoäc d, roài vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm ñoù. 


) vaø vuoâng goùc vôùi hai ñöôøng thaúng d 1 , d 2 : 

Vì d ⊥ d 1 , d ⊥ d 2 neân moät VTCP cuûa d laø: a a 

d 

a 

= ⎡ , ⎤ ⎣ d 

1 2 ⎦ 


) , vuoâng goùc vaø caét ñöôøng thaúng ∆. 

• Caùch 1: Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M 0 treân ñöôøng thaúng ∆. 

⎧H 

∈ ∆ 

⎨ 

 

⎩M0H 

⊥ u△ 

Khi ñoù ñöôøng thaúng d laø ñöôøng thaúng ñi qua M 0 , H. 

• Caùch 2: Goïi (P) laø maët phaúng ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d; (Q) laø maët phaúng ñi qua A vaø 

chöùa d. Khi ñoù d = (P) ∩ (Q) 


) vaø caét hai ñöôøng thaúng d 1 , d 2 : 

• Caùch 1: Goïi M 1 ∈ d 1 , M 2 ∈ d 2 . Töø ñieàu kieän M, M 1 , M 2 thaúng haøng ta tìm ñöôïc M 1 , M 2 . Töø ñoù 

suy ra phöông trình ñöôøng thaúng d. 

• Caùch 2: Goïi (P) = ( M0, d1) , (Q) = ( M0, d2) . Khi ñoù d = (P) ∩ (Q). Do ñoù, moät VTCP cuûa d 

 

coù theå choïn laø a = ⎡nP , nQ 

⎤ ⎣ ⎦ 

. 

Daïng 9: d naèm trong maët phaúng (P) vaø caét caû hai ñöôøng thaúng d 1 , d 2 : 

Tìm caùc giao ñieåm A = d 1 ∩ (P), B = d 2 ∩ (P). Khi ñoù d chính laø ñöôøng thaúng AB. 

Daïng 10: d song song vôùi ∆ vaø caét caû hai ñöôøng thaúng d 1 , d 2 : 

Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ∆ vaø d 1 , maët phaúng (Q) chöùa ∆ vaø d 2 . 

Khi ñoù d = (P) ∩ (Q). 

Daïng 11: d laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa hai ñöôøng thaúng d 1 , d 2 cheùo nhau: 

⎧MN 

⊥ d 

• Caùch 1: Goïi M ∈ d 1 , N ∈ d 2 . Töø ñieàu kieän 

1 

⎨ , ta tìm ñöôïc M, N. 

⎩MN 

⊥ d2 

Khi ñoù, d laø ñöôøng thaúng MN. 




• Caùch 2: 

– Vì d ⊥ d 1 vaø d ⊥ d 2 neân moät VTCP cuûa d coù theå laø: 

a 

⎡ a a 

⎤ . 

= 

d 

, ⎣ d 

1 2 ⎦ 

– Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa d vaø d 1 , baèng caùch: 

+ Laáy moät ñieåm A treân d 1 . 

 

+ Moät VTPT cuûa (P) coù theå laø: nP = ⎡a, 

a ⎤ ⎣ d 

. 

1 ⎦ 

– Töông töï laäp phöông trình maët phaúng (Q) chöùa d vaø d 2 . 

Khi ñoù d = (P) ∩ (Q). 

Daïng 12: d laø hình chieáu cuûa ñöôøng thaúng ∆ leân maët phaúng (P): 

• Laäp phöông trình maët phaúng (Q) chöùa ∆ vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) baèng caùch: 

– Laáy M ∈ ∆. 

– Vì (Q) chöùa ∆ vaø vuoâng goùc vôùi (P) neân 

n Q ⎡a∆ , 

= ⎣ n 

P ⎤ ⎦ . 

Khi ñoù d = (P) ∩ (Q). 

Daïng 13: d ñi qua ñieåm M, vuoâng goùc vôùi d 1 vaø caét d 2 : 

• Caùch 1: Goïi N laø giao ñieåm cuûa d vaø d 2 . Töø ñieàu kieän MN ⊥ d 1 , ta tìm ñöôïc N. 

Khi ñoù, d laø ñöôøng thaúng MN. 

• Caùch 2: 

– Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua M vaø vuoâng goùc vôùi d 1 . 

– Vieát phöông trình maët phaúng (Q) chöùa M vaø d 2 . 

Khi ñoù d = (P) ∩ (Q). 

Baøi 1. Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm M vaø coù VTCP a cho tröôùc: 

 

 

 

a) M(1;2; − 3), a = ( −1;3;5) 

b) M(0; − 2;5), a = (0;1;4) c) M(1;3; − 1), a = (1;2; −1) 

 

 

 

d) M(3; −1; − 3), a = (1; −2;0) 

e) M(3; − 2;5), a = ( −2;0;4) 

f) M(4;3; − 2), a = ( −3;0;0) 

Baøi 2. Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A, B cho tröôùc: 

A 2; 3; 1 , B 1; 2; 

4 

A 1; 1; 0 , B 0; 1; 

2 A 3; 1; −5 , B 2; 1; 

− 1 

a) ( − ) ( ) b) ( − ) ( ) c) ( ) ( ) 

d) A ( 2; 1; 0) , B( 0; 1; 2) 

e) A ( 1; 2; − 7) , B( 1; 2; 

4) 

f) A ( −2; 1; 3) , B( 4; 2; 

− 2) 

Baøi 3. Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm A vaø song song vôùi ñöôøng thaúng 

∆ cho tröôùc: 

A 3; 2; 4 , ∆ Ox 

A 2; −5; 3 , ∆ ñi qua M( 5; 3; 2), N( 2; 1; − 2) 

a) ( − ) ≡ b) ( ) 

⎧ x = 2 − 3t 

⎪ 

x + 2 y − 5 z − 2 

c) A( 2; − 5; 3), ∆ : ⎨y = 3 + 4t 

d) A( 4; − 2; 2), ∆ : = = 

⎪ ⎩z 

= 5 − 2t 

4 2 3 

⎧ x = 3+ 

4t 

⎪ 

x + 3 y − 1 z + 2 

e) A( 1; − 3; 2), ∆ : ⎨y = 2 − 2t 

f) A( 5; 2; − 3), ∆ : = = 

⎪ ⎩z 

= 3t 

−1 

2 3 4 

Baøi 4. Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm A vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng 

(P) cho tröôùc: 

A 2; 4; 3 , (P) : 2x 3y 6z 

19 0 A 1; − 1; 0 , ( P) : caùc mp toaï ñoä 

a) ( − ) − + + = b) ( ) 

c) A( 3 2 1) 

P 2x 5y 

4 0 

; ; , ( ) : − + = d) A( 2; −3; 6), ( P) : 2x − 3y + 6z 

+ 19 = 0 

Baøi 5. Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q) 


⎧ ( P) : 6x + 2y + 2z 

+ 3 = 0 ⎧( P) : 2x − 3y + 3z 

− 4 = 0 ⎧ ( P) : 3x + 3y − 4z 

+ 7 = 0 

a) ⎨ 

b) ⎨ 

c) ⎨ 

⎩( Q) : 3x − 5y − 2z 

− 1 = 0 ⎩( Q) : x + 2y − z + 3 = 0 ⎩( Q) : x + 6y + 2z 

− 6 = 0 



⎧ ( P) : 2x + y − z + 3 = 0 ⎧ ( P) : x + z − 1 = 0 ⎧ ( P) : 2x + y + z − 1 = 0 

d) ⎨ 

e) ⎨ 

f) ⎨ 

⎩( Q) : x + y + z − 1 = 0 ⎩( Q) : y − 2 = 0 

⎩( Q) : x + z − 1 = 0 

Baøi 6. Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm A vaø vuoâng goùc vôùi hai ñöôøng 

thaúng d 1 , d 2 cho tröôùc: 

⎧x = 1+ 2t ⎧x = 1− 

t 

⎧x = 1+ t ⎧x = 1+ 

3t 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

a) A( 1; 0; 5), d1 : ⎨y = 3 − 2t , d2 

: ⎨y = 2 + t b) A( 2; − 1; 1), d1 : ⎨y = − 2 + t , d2 

: ⎨y = − 2 + t 

⎪⎩ 

z = 1+ t ⎪⎩ 

z = 1− 

3t 

⎪⎩ 

z = 3 ⎪⎩ 

z = 3+ 

t 

⎧x = 1− t ⎧x 

= 1 

⎧x = − 7 + 3t ⎧x = 1+ 

t 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

c) A( 1; − 2; 3), d1 : ⎨y = −2 − 2t , d2 

: ⎨y = − 2 + t d) A( 4; 1; 4), d1 : ⎨y = 4 − 2t , d2 

: ⎨y = − 9 + 2t 

⎪⎩ 

z = 3− 3t ⎪⎩ 

z = 3 + t 

⎪⎩ 

z = 4 + 3t ⎪⎩ 

z = −12 

− t 

⎧x = 1+ 3t ⎧x = 2t 

⎧x = t ⎧x = t 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

e) A( 2; −1; − 3), d1 : ⎨y = 1+ t , d2 

: ⎨y = − 3 + 4t 

f) A( 3; 1; − 4), d1 : ⎨y = 1− t , d2 

: ⎨y = 1− 

2t 

⎪⎩ 

z = − 2 + 2t ⎪⎩ 

z = 2 − t 

⎪⎩ 

z = − 2t ⎪⎩ 

z = 0 

Baøi 7. Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm A, vuoâng goùc vaø caét ñöôøng 

thaúng ∆ cho tröôùc: 

⎧ x = t 

⎧ x = − 3+ 

2t 

⎪ 

⎪ 

a) A( 1; 2; − 2), ∆ : ⎨y = 1− 

t 

b) A( −4; − 2; 4), d : ⎨y = 1− 

t 

⎪ ⎩z 

= 2t 

⎪ ⎩z 

= − 1+ 

4t 

⎧ x = 1+ 

3t 

⎧ x = t 

⎪ 

⎪ 

c) A( 2; −1; − 3), ∆ : ⎨y = 1+ 

t 

d) A( 3; 1; − 4), ∆ : ⎨y = 1− 

t 

⎪ ⎩z 

= − 2 + 2t 

⎪ ⎩z 

= −2t 

⎧ x = 1− 

t 

⎧ x = 1+ 

t 

⎪ 

⎪ 

e) A( 1; − 2; 3), ∆ : ⎨y = −2 − 2t 

f) A( 2; − 1; 1), ∆ : ⎨y = − 2 + t 

⎪ ⎩z 

= 3− 

3t 

⎪ ⎩z 

= 3 

Baøi 8. Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm A vaø caét caû hai ñöôøng thaúng d 1 , 

d 2 cho tröôùc: 

⎧x = 1+ 2t ⎧x = 1− 

t 

⎧x = 1+ t ⎧x = 1+ 

3t 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

a) A( 1; 0; 5), d1 : ⎨y = 3 − 2t , d2 

: ⎨y = 2 + t b) A( 2; − 1; 1), d1 : ⎨y = − 2 + t , d2 

: ⎨y = − 2 + t 

⎪⎩ 

z = 1+ t ⎪⎩ 

z = 1− 

3t 

⎪⎩ 

z = 3 ⎪⎩ 

z = 3+ 

t 

⎧x = − 1+ 3t ⎧x = 2 + 2t 

⎧x = 1+ 3t ⎧x = −t 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

c) A( −4; − 5; 3), d1 : ⎨y = −3 − 2t , d2 

: ⎨y = − 1+ 

3t 

d) A( 2; 1; − 1), d1 : ⎨y = − 2 + 4t , d2 

: ⎨y = t 

⎪⎩ 

z = 2 − t ⎪⎩ 

z = 1− 

5t 

⎪⎩ 

z = − 3+ 5t ⎪⎩ 

z = 2t 

⎧x = 2 + t ⎧x = − 4 + 3t 

⎧x = − 3 + 3t ⎧x = 3+ 

2t 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

e) A( 2; 3; − 1), d1 : ⎨y = 1− 2t , d2 

: ⎨y = 1+ 

t f) A( 3; − 2; 5), d1 : ⎨y = 1+ 4t , d2 

: ⎨y = 1− 

t 

⎪⎩ 

z = 1+ 3t ⎪⎩ 

z = − 2 + 3t 

⎪⎩ 

z = 2 + 2t ⎪⎩ 

z = 2 − 3t 

Baøi 9. Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng naèm trong maët phaúng (P) vaø caét caû hai 

ñöôøng thaúng d 1 , d 2 cho tröôùc: 

⎧ ( P) : y + 2z 

= 0 

⎧ ( P) : 6x + 2y + 2z 

+ 3 = 0 

⎪ ⎧ x = 2 − t 

⎪ ⎧x = 1+ 2t ⎧x = 1− 

t 

a) ⎨ x −1 

y z ⎪ 

b) ⎨ ⎪ 

⎪ 

⎪ 

d1 : = = , d2 

: ⎨y = 4 + 2t 

d1 : y 3 2t , d2 

: y 2 t 

−1 1 4 

⎪ ⎨ = − ⎨ = + 

⎩⎪ 

⎩⎪ z = 1 

⎪⎩ 

⎪⎩ z = 1+ t ⎪⎩ 

z = 1− 

3t 

⎧( P) : 2x − 3y + 3z 

− 4 = 0 

⎧ ( P) : 3x + 3y − 4z 

+ 7 = 0 

⎪ ⎧x = − 7 + 3t ⎧x = 1+ 

t 

⎪ ⎧x = 1− t ⎧x 

= 1 

c) ⎨ ⎪ 

⎪ 

d) ⎨ ⎪ 

⎪ 

⎪ 

d1 : ⎨y = 4 − 2t , d2 

: ⎨y = − 9 + 2t 

⎪ 

d1 : ⎨y = −2 − 2t , d2 

: ⎨y = − 2 + t 

⎪⎩ 

⎪⎩ z = 4 + 3t ⎪⎩ 

z = −12 

− t 

⎪⎩ 

⎪⎩ z = 3 − 3t ⎪⎩ 

z = 3+ 

t 



Baøi 10. Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng thaúng ∆ vaø caét caû hai 

ñöôøng thaúng d 1 , d 2 cho tröôùc: 

⎧ x y −1 z −1 

⎧ x y −1 z − 5 

⎪∆ 

: = = 

2 −1 2 

⎪∆ 

: = = 

⎪ 3 −1 1 

x + 1 y z −1 

⎪ x − 1 y + 2 z − 2 

a) ⎨d1 

: = = 

b) ⎨d1 

: = = 

⎪ 1 2 −1 

⎪ 1 4 3 

⎪ x − 2 y + 1 z + 3 

x 4 y 7 z 

d2 

: = = 

⎪ + + 

d2 

: = = 

⎪⎩ 3 2 1 

⎪⎩ 5 9 1 

⎧ x − 1 y + 2 z − 2 

∆ : = = 

⎧ x + 1 y + 3 z − 2 

⎪ 1 4 3 

⎪∆ 

: = = 

3 −2 −1 

⎪ x − 1 y + 2 z − 2 

⎪ x − 2 y + 2 z −1 

c) ⎨d1 

: = = 

d) ⎨d1 

: = = 

⎪ 1 4 3 

⎪ 3 4 1 

⎪ x + 4 y + 7 z 

⎪ x − 7 y − 3 z − 9 

⎪d2 

: = = 

d2 

: = = 

⎩ 5 9 1 

⎪⎩ 1 2 −1 

Baøi 11. Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng vuoâng goùc chung cuûa hai ñöôøng thaúng cheùo 

nhau d 1 , d 2 cho tröôùc: 

⎧x = 3− 2t ⎧x = 2 + 3t 

⎧x = 1+ 2t ⎧x = − 2 + 3t 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

a) d1 : ⎨y = 1+ 4t , d2 

: ⎨y = 4 − t 

b) d1 : ⎨y = − 3 + t , d2 

: ⎨y = 1+ 

2t 

⎪⎩ 

z = − 2 + 4t ⎪⎩ 

z = 1− 

2t 

⎪⎩ 

z = 2 + 3t ⎪⎩ 

z = − 4 + 4t 

⎧x = 2 + 2t ⎧x = 1+ 

t 

⎧x = 2 + 3t ⎧x = − 1+ 

2t 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

c) d1 : ⎨y = 1+ t , d2 

: ⎨y = 3 + t 

d) d1 : ⎨y = −3 − t , d2 

: ⎨y = 1− 

2t 

⎪⎩ 

z = 3 − t ⎪⎩ 

z = 1+ 

2t 

⎪⎩ 

z = 1+ 2t ⎪⎩ 

z = 2 + t 

Baøi 12. Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng d laø hình chieáu cuûa ñöôøng thaúng ∆ treân maët 

phaúng (P) cho tröôùc: 

⎧ x + 2 y − 3 z −1 

⎧ x − 3 y − 2 z + 2 

⎪ 

a) 

∆ : = = 

⎪ 

⎨ 2 −1 3 

b) 

∆ : = = 

⎨ −1 2 3 

⎪⎩ 

( P) : 2x − y + 2z 

+ 3 = 0 

⎪ ⎩( P) : 3x + 4y − 2z 

+ 3 = 0 

⎧ x + 1 y −1 z − 3 

⎧ x y z −1 

⎪ 

c) 

∆ : = = 

⎪ 

⎨ 1 2 −2 

d) 

∆ : = = 

⎨ −2 1 1 

⎪⎩ 

( P) : 2x − 2y + z − 3 = 0 

⎪ ⎩( P) : x + y − z + 1 = 0 

⎧ x − 2 y + 2 z −1 

⎧ x −1 y − 2 z 

⎪ 

e) 

∆ : = = 

⎪ 

⎨ 3 4 1 

f) 

∆ : = = 

⎨ 1 −2 −1 

⎪ ⎩( P) : x + 2y + 3z 

+ 4 = 0 

⎪⎩ 

( P) : 2x − y − 3z 

+ 5 = 0 

⎧ ⎧5x − 4y − 2z 

− 5 = 0 

⎧ ⎧x − y − z − 1 = 0 

⎪∆ 

: 

g) 

⎨ ⎪∆ 

: 

⎨ ⎩x 

+ 2z 

− 2 = 0 

h) 

⎨ 

⎨ ⎩x 

+ 2z 

− 2 = 0 

⎪ 

⎩( P) : 2x − y + z − 1 = 0 

⎪ 

⎩( P) : x + 2y − z − 1 = 0 

Baøi 13. Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm A, vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng 

d 1 vaø caét ñöôøng thaúng d 2 cho tröôùc: 

x 1 

x 1 y 2 z 

⎧ = − 

− − ⎪ 

a) A( 0; 1; 1), d1 : = = , d2 

: ⎨y = t 

3 1 1 ⎪ ⎩z 

= 1+ 

t 

⎧ x = 2 

x − 1 y + 1 z ⎪ 

b) A( 1; 1; 1), d1 : = = , d2 

: ⎨y = 1+ 

2t 

2 −1 1 ⎪ ⎩z 

= −1− 

t 

x + 1 y − 4 z x − 1 y + 1 z − 3 

c) A( −1; 2; − 3), d1 : = = , d2 

: = = 

6 −2 −3 3 2 −5 



Baøi 14. Cho töù dieän ABCD coù A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1). Vieát phöông trình tham 

soá cuûa caùc ñöôøng thaúng sau: 

a) Chöùa caùc caïnh cuûa töù dieän töù dieän ABCD. 

b) Ñöôøng thaúng qua C vaø vuoâng goùc vôùi mp(ABD). 

c) Ñöôøng thaúng qua A vaø qua troïng taâm cuûa tam giaùc BCD. 

x − 3 y − 6 z − 3 

Baøi 15. Cho tam giaùc ABC coù A(1; 2; 5) vaø hai trung tuyeán: ( d 1 

) : = = , 

− 2 2 1 

x − 4 y − 2 z − 2 

( d 2 

) : = = . Vieát phöông trình tham soá cuûa caùc ñöôøng thaúng sau: 

1 − 4 1 

a) Chöùa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC. 

b) Ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc A. 

Baøi 16. Cho tam giaùc ABC coù A( 3; −1; −1), B( 1; 2; −7), C( −5; 14; − 3) 

. Vieát phöông trình tham soá cuûa 

caùc ñöôøng thaúng sau: 

a) Trung tuyeán AM. b) Ñöôøng cao BH. 

c) Ñöôøng phaân giaùc trong BK. d) Ñöôøng trung tröïc cuûa BC trong ∆ABC. 

Baøi 17. Cho boán ñieåm S( 1; 2; −1), A( 3; 4; − 1), B( 1; 4; 1), C( 3; 2; 1) 

. 

a) Chöùng minh S.ABC laø moät hình choùp. 

b) Vieát phöông trình tham soá cuûa caùc ñöôøng thaúng chöùa caùc caïnh cuûa hình choùp. 

c) Vieát phöông trình ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa SA vaø BC. 

Baøi 18. Cho boán ñieåm S( 1; −2; 3), A( 2; −2; 3), B( 1; −1; 3), C( 1; − 2; 5) 

. 

a) Chöùng minh S.ABC laø moät töù dieän. 

b) Vieát phöông trình caùc hình chieáu cuûa SA, SB treân maët phaúng (ABC). 



VAÁN ÑEÀ 2: Vò trí töông ñoái giöõa hai ñöôøng thaúng 

Ñeå xeùt VTTÑ giöõa hai ñöôøng thaúng, ta coù theå söû duïng moät trong caùc phöông phaùp sau: 

• Phöông phaùp hình hoïc: Döïa vaøo moái quan heä giöõa caùc VTCP vaø caùc ñieåm thuoäc caùc ñöôøng 

thaúng. 

• Phöông phaùp ñaïi soá: Döïa vaøo soá nghieäm cuûa heä phöông trình caùc ñöôøng thaúng. 

Baøi 1. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa hai ñöôøng thaúng d 1 , d 2 cho tröôùc: 

x − 1 y + 2 z − 4 

a) d1 : = = ; d2 

:{ 

x = − 1+ t; y = − t; 

z = − 2 + 3t 

−2 1 3 

d : x = 5 + 2t; y = 1− t; z = 5 − t; d : x = 3+ 2t '; y = −3− t '; z = 1− 

t ' 

b) 

1 

{ 

2 

{ 

c) { { 

d : x = 2 + 2t ; y = − 1+ t ; z = 1; d : x = 1; y = 1+ t ; z = 3− 

t 

1 2 

1 2 3 7 6 5 

d) d1 : x − = y − = z − ; d 

x y z 

2 

: 

− = − = 

− 

9 6 3 6 4 2 

1 5 3 6 1 3 

e) d1 : x − = y + = z − ; d 

x y z 

2 

: 

− = + = 

+ 

2 1 4 3 2 1 

2 1 7 2 

f) d1 : x − = y = z + ; d 

x y z 

2 

: 

− = − = 

4 −6 −8 −6 9 12 

⎧ 

g) x − 2 y + 2 z − 2 = 0 ⎧2 x + y − z + 2 = 0 

d1 : ⎨ 

; d 

2x y 2z 4 0 

2 

: ⎨ 

⎩ + − + = ⎩x − y + 2z 

− 1 = 0 

2x 3y 3z 

9 0 

h) d1 :{ 

x = 9t; y = 5t; z = t − 3; d2 

: ⎨ ⎧ − − − = 

⎩x − 2y + z + 3 = 0 

Baøi 2. Chöùng toû raèng caùc caëp ñöôøng thaúng sau ñaây cheùo nhau. Vieát phöông trình ñöôøng vuoâng 

goùc chung cuûa chuùng: 

d : x = 1− 2t; y = 3+ t; z = −2 − 3t ; d : x = 2t '; y = 1+ t '; z = 3 − 2t 

' 

a) 

1 

{ 

2 

{ 

b) 

1 

{ 

2 

{ 

c) { { 

d : x = 1+ 2t; y = 2 − 2t; z = − t; d : x = 2t '; y = 5 − 3t '; z = 4 

d : x = 3 − 2t; y = 1+ 4t; z = 4t − 2; d : x = 2 + 3t '; y = 4 − t '; z = 1− 

2t 

' 

1 2 

2 1 1 1 

d) d1 : x − = y + = z ; d 

x y z 

2 

: = − = 

+ 

3 −2 2 1 2 4 

7 3 9 3 1 1 

e) d1 : x − = y − = z − ; d 

x y z 

2 

: 

− = − = 

− 

1 2 −1 −7 2 3 

2 1 3 3 1 1 

f) d1 : x − = y − = z − ; d 

x y z 

2 

: 

− = + = 

− 

2 1 −2 2 −2 1 

⎧ 

g) x − 2 y + 2 z − 2 = 0 ⎧2 x + y − z + 2 = 0 

d1 : ⎨ 

; d 

2x y 2z 4 0 

2 

: ⎨ 

⎩ + − + = ⎩x − y + 2z 

− 1 = 0 

Baøi 3. Tìm giao ñieåm cuûa hai ñöôøng thaúng d 1 vaø d 2 : 

d : x = 3t; y = 1− 2t; z = 3+ t; d : x = 1+ t '; y = 2t '; z = 4 + t ' 

a) { { 

1 2 

⎧ x + y + z + 3 = 0 

b) d1 : ⎨ 

; d2 

:{ 

x = 1+ t; y = − 2 + t; 

z = 3 − t 

⎩2x 

− y + 1 = 0 

⎧ 

c) x − 2 y − z − 4 = 0 ⎧ x − z − 2 = 0 

d1 : ⎨ 

; d 

2x y z 6 0 

2 

: ⎨ 

⎩ + + + = ⎩y + 2z 

+ 7 = 0 

⎧2 d) x + y + 1 = 0 ⎧3 x + y − z + 3 = 0 

d1 : ⎨ 

; d 

x y z 1 0 

2 

: ⎨ 

⎩ − + − = ⎩2x − y + 1 = 0 



Baøi 4. Tìm m ñeå hai ñöôøng thaúng d 1 vaø d 2 caét nhau. Khi ñoù tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa chuùng: 

a) d1 :{ x = 1+ mt; y = t; z = − 1+ 2t; d2 

:{ 

x = 1− t '; y = 2 + 2t '; z = 3− 

t ' 

b) d :{ x = 1− t; y = 3 + 2t; z = m + t; d :{ 

x = 2 + t '; y = 1+ t '; z = 2 − 3t 

' 

1 2 

⎧2 x + y − z − 4 = 0 ⎧ x + 2 y + mz − 3 = 0 

: ; : ⎨ 

⎩x + y − 3 = 0 ⎩2x + y + z − 6 = 0 

c) d1 ⎨ 

d2 

VAÁN ÑEÀ 3: Vò trí töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng 

Ñeå xeùt VTTÑ giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng, ta coù theå söû duïng moät trong caùc phöông phaùp sau: 

• Phöông phaùp hình hoïc: Döïa vaøo moái quan heä giöõa VTCP cuûa ñöôøng thaúng vaø VTPT cuûa maët 

phaúng. 

• Phöông phaùp ñaïi soá: Döïa vaøo soá nghieäm cuûa heä phöông trình ñöôøng thaúng vaø maët phaúng. 

Baøi 1. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P). Tìm giao ñieåm (neáu coù) cuûa 

chuùng: 

a) d :{ x = 2t; y = 1− t; z = 3 + t; ( P) : x + y + z − 10 = 0 

b) d :{ x = 3t − 2; y = 1− 4t; z = 4t − 5; ( P) : 4x − 3y − 6z 

− 5 = 0 

x −12 y − 9 z −1 

c) d : = = ; 

4 3 1 

( P) : 3x + 5y − z − 2 = 0 

x + 11 y − 3 z 

d) d : = = ; 

2 4 3 

( P) : 3x − 3y + 2z 

− 5 = 0 

x −13 y −1 z − 4 

e) d : = = ; 

8 2 3 

( P) : x + 2y − 4z 

+ 1 = 0 

⎧ 3x + 5y + 7z 

+ 16 = 0 

f) d : ⎨ 

; 

⎩2x − y + z − 6 = 0 

( P) : 5x − z − 4 = 0 

⎧ 2x + 3y + 6z 


g) d : ⎨ ; 

⎩x + y + z + 5 = 0 

( P) : y + 4z 

+ 17 = 0 

Baøi 2. Cho ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P). Tìm m, n ñeå: 

i) d caét (P). ii) d // (P). iii) d ⊥ (P). iv) d ⊂ (P). 

x − 1 y + 2 z + 3 

a) d : = = ; 

m 2m 

−1 2 

( P) : x + 3y − 2z 

− 5 = 0 

x + 1 y − 3 z −1 

b) d : = = ; 

2 m m − 2 

( P) : x + 3y + 2z 

− 5 = 0 

⎧3x − 2y + z + 3 = 0 

c) d : ⎨ 

; 

⎩4x − 3y + 4z 

+ 2 = 0 

( P) : 2x − y + ( m + 3) 

z − 2 = 0 

d) d :{ x = 3 + 4t; y = 1− 4t; z = − 3 + t; ( P) : ( m − 1) 

x + 2y − 4z + n − 9 = 0 

e) d :{ x = 3 + 2t; y = 5 − 3t; z = 2 − 2t; ( P) : ( m + 2) x + ( n + 3) 

y + 3z 

− 5 = 0 

Baøi 3. Cho ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P). Tìm m, n ñeå: 

a) d :{ x = m + t; y = 2 − t; 

z = 3t 

cắt ( P) : 2x − y + z − 5 = 0 taïi ñieåm coù tung ñoä baèng 3. 

x 2y 

3 0 

b) d : ⎧ ⎨ − − = 

⎩y 

+ 2z 

+ 5 = 0 

x 2y 

3 0 

c) d : ⎧ ⎨ 

+ − = 

⎩3x 

− 2z 

− 7 = 0 

caét ( P) : 2x + y + 2z − 2m 

= 0 taïi ñieåm coù cao ñoä baèng –1. 

cắt ( P) : x + y + z + m = 0 



VAÁN ÑEÀ 4: Vò trí töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng vaø maët caàu 

Ñeå xeùt VTTÑ giöõa ñöôøng thaúng vaø maët caàu ta coù theå söû duïng caùc phöông phaùp sau: 

• Phöông phaùp hình hoïc: Döïa vaøo khoaûng caùch töø taâm maët caàu ñeán ñöôøng thaúng vaø baùn kính. 

• Phöông phaùp ñaïi soá: Döïa vaøo soá nghieäm cuûa heä phöông trình ñöôøng thaúng vaø maët caàu. 

Baøi 1. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët caàu (S). Tìm giao ñieåm (neáu coù) cuûa 

chuùng: 

x y −1 z − 2 

2 2 2 

a) d : = = ; ( S) : x + y + z − 2x + 4z 

+ 1 = 0 

2 1 −1 

⎧ 2x + y − z − 1 = 0 

2 2 2 

b) d : ⎨ ; ( S) : ( x − 1) + ( y − 2) 

+ z = 16 

⎩x 

− 2z 

− 3 = 0 

⎧x − 2y − z − 1 = 0 

2 2 2 

c) d : ⎨ ; ( S) : x + y + z − 2x + 2y 

− 14 = 0 

⎩x 

+ y + 2 = 0 

⎧x − 2y − z − 1 = 0 

2 2 2 

d) d : ⎨ ; ( S) : x + y + z + 4x − 2y −10z 

− 8 = 0 

⎩x 

+ y + 2 = 0 

2 2 2 

e) d :{ x = −2 − t; y = t; z = 3 − t; ( S) : x + y + z − 2x − 4y + 2z 

− 2 = 0 

2 2 2 

f) d :{ x = 1− 2t; y = 2 + t; z = 3 + t; ( S) : x + y + z − 2x − 4y + 6z 

− 2 = 0 

2 2 2 

g) d :{ x = 1− t; y = 2 − t; z = 4; ( S) : x + y + z − 2x − 4y + 6z 

− 2 = 0 

Baøi 2. Bieän luaän theo m, vò trí töông ñoái giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët caàu (S): 

x 2y z m 0 

2 2 2 

a) d : ⎧ − − + = 

⎨ S x 1 y 2 z 1 8 

x y 2 0 

; ( ) : ( − ) + ( − ) + ( + ) = 

⎩ + + = 

2 2 2 

b) d :{ x = 1− t ; y = m + t ; z = 2 + t; ( S) : x + y + z − 2x + 4z 

+ 1 = 0 

⎧x 

− 2y 

− 3 = 0 

2 2 2 

c) d : ⎨ 

; ( S) : x + y + z + 2x − 2y + 4z + m = 0 

⎩2x 

+ z − 1 = 0 

Baøi 3. Vieát phöông trình maët caàu (S) coù taâm I vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng d: 

a) I( 1; − 2; 1); d :{ 

x = 1+ 4t; y = 3− 2t; 

z = 4t 

− 2 

b) I( 1; 2; − 1); d :{ 

x = 1− t; y = 2; 

z = 2t 

x − 2 y + 1 z −1 

c) I( 4; 2; − 1); d : = = 

2 1 2 

x −1 y z − 2 

d) I( 1; 2; − 1); d : = = 

2 −1 3 

x 2y 

1 0 

e) I( 1; 2; − 1); d : ⎧ ⎨ − − = 

⎩z 

− 1 = 0 

Baøi 4. Cho maët caàu (S) coù taâm I(2; 1; 3) vaø baùn kính R = 3. Vieát phöông trình tieáp tuyeán d cuûa 

(S), bieát: 

 

a) d ñi qua A(0; 0; 5) ∈ (S) vaø coù VTCP a = ( 1; 2; 2) 

. 

b) d ñi qua A(0; 0; 5) ∈ (S) vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng: ( α) : 3x − 2y + 2z 

+ 3 = 0. 

Baøi 5. Cho töù dieän ABCD. Vieát phöông trình maët caàu tieáp xuùc vôùi caùc caïnh cuûa töù dieän, vôùi: 

a) A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3), D(1; 3; 3). 

b) A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0). 

c) A(3; 2; 1), B(1; –2; 1), C(–2; 2; –2), D(1; 1; –1). 

d) A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8), D(–3; 1; 2). 




VAÁN ÑEÀ 5: Khoaûng caùch 

1. Khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán ñöôøng thaúng d 

• Caùch 1: Cho ñöôøng thaúng d ñi qua M 0 vaø coù VTCP a . 

 

⎡ 

M0M, 

a⎤ 

⎣ ⎦ 

d( M, d) 

= 

a 

• Caùch 2: – Tìm hình chieáu vuoâng goùc H cuûa M treân ñöôøng thaúng d. 

– d(M,d) = MH. 

• Caùch 3: – Goïi N(x; y; z) ∈ d. Tính MN 2 theo t (t tham soá trong phöông trình ñöôøng thaúng d). 

– Tìm t ñeå MN 2 nhoû nhaát. 

– Khi ñoù N ≡ H. Do ñoù d(M,d) = MH. 

2. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau 

Cho hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d 1 vaø d 2 . 

d 1 ñi qua ñieåm M 1 vaø coù VTCP a 1, d 2 ñi qua ñieåm M 2 vaø coù VTCP a 

2 

 

⎡⎣ 

a1 , a ⎤ 

2 ⎦. 

M1M2 

d( d1, d2) 

= 

⎡⎣ 

a1 , a ⎤ 

2 ⎦ 

Chuù yù: Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d 1 , d 2 baèng khoaûng caùch giöõa d 1 vôùi maët 

phaúng (α) chöùa d 2 vaø song song vôùi d 1 . 

3. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng song song baèng khoaûng caùch töø moät ñieåm thuoäc ñöôøng 

thaúng naøy ñeán ñöôøng thaúng kia. 

4. Khoaûng caùch giöõa moät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng song song 

Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng d vôùi maët phaúng (α) song song vôùi noù baèng khoaûng caùch töø 

moät ñieåm M baát kì treân d ñeán maët phaúng (α). 

Baøi 1. Tính khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán ñöôøng thaúng d: 

⎧ x = 1− 

4t 

⎧ x = 2 + 2t 

⎪ ⎪ 

a) A( 2; 3; 1), d : ⎨y = 2 + 2t 

b) A( 1; 2; − 6), d : ⎨y = 1− 

t 

⎪ ⎩z 

= 4t 

−1 

⎪ ⎩z 

= t − 3 

x − 2 y −1 

z 

x + 2 y − 1 z + 1 

c) A( 1; 0; 0), d : = = d) A( 2; 3; 1), d : = = 

1 2 1 

1 2 − 2 

x + 2 y − 1 z + 1 

x y 2z 

1 0 

e) A( 1; − 1; 1), d : = = f) A( 2; 3; 1 

1 2 − 2 

− ), d : ⎧ ⎨ + − − = 

⎩x + 3y + 2z 

+ 2 = 0 

Baøi 2. Chöùng minh hai ñöôøng thaúng d 1 , d 2 cheùo nhau. Tính khoaûng caùch giöõa chuùng: 

d : x = 1− 2t; y = 3+ t; z = −2 − 3t ; d : x = 2t '; y = 1+ t '; z = 3− 

2t 

' 

a) 

1 

{ 

2 

{ 

b) 

1 

{ 

2 

{ 

c) { { 



2t 

' 

1 2 

2 1 1 1 

d : x − = y + = z ; d : 

x = y − = 

z + 

3 −2 2 1 2 4 

7 3 9 3 1 1 

d : x − = y − = z − ; d : 

x − = y − = 

z − 

1 2 −1 −7 2 3 

2 1 3 3 1 1 

d : x − = y − = z − ; d : 

x − = y + = 

z − 

2 1 −2 2 −2 1 

⎧ x − 2 y + 2 z − 2 = 0 ⎧2 x + y − z + 2 = 0 

d : ⎨ 

; d : ⎨ 

⎩2x + y − 2z + 4 = 0 ⎩x − y + 2z 

− 1 = 0 

d) 

1 2 

e) 

1 2 

f) 

1 2 

g) 

1 2 



Baøi 3. Chöùng minh hai ñöôøng thaúng d 1 , d 2 song song vôùi nhau. Tính khoaûng caùch giöõa chuùng: 

d : x = 3 + 2t , y = 4 + 3t , z = 2 + t ; d : x = 4 + 4t , y = 5 + 6t , z = 3 + 2t 

a) { { 

1 2 

1 2 3 2 3 1 

b) d1 : x − = y + = z − ; d 

x y z 

2 

: 

+ = − = 

+ 

2 −6 8 −3 9 −12 

3 1 2 1 5 1 

c) d1 : x − = y − = z + ; d 

x y z 

1 

: 

+ = + = 

− 

2 1 3 4 2 6 

⎧ 2x + 2y − z − 10 = 0 

x + 7 y − 5 z − 9 

d) d1 : ⎨ ; d 

x y z 22 0 

2 

: = = 

⎩ − − − = 3 −1 4 

Baøi 4. Chöùng minh ñöôøng thaúng d song song vôùi maët phaúng (P). Tính khoaûng caùch giöõa chuùng: 

a) d :{ x = 3t − 2; y = 1− 4t; z = 4t − 5; ( P) : 4x − 3y − 6z 

− 5 = 0 

b) d :{ x = 1− 2t; y = t; z = 2 + 2t; ( P) : x + z + 8 = 0 

⎧x − y + 2z 

+ 1 = 0 

c) d : ⎨ 

; ( P) : 2x − 2y + 4z 

+ 5 = 0 

⎩2x + y − z − 3 = 0 

⎧3x − 2y + z + 3 = 0 

d) d : ⎨ 

; ( P) : 2x − y − 2z 

− 2 = 0 

⎩4x − 3y + 4z 

+ 2 = 0 

VAÁN ÑEÀ 6: Goùc 

1. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng 

Cho hai ñöôøng thaúng d 1 , d 2 laàn löôït coù caùc VTCP a 1, 

a 

. 2 

Goùc giöõa d 1 , d 2 baèng hoaëc buø vôùi goùc giöõa a 1, 

a 

. 2 

 

a1. 

a2 

cos ( a1 , a2 

) = 

a . a 

1 2 

2. Goùc giöõa moät ñöôøng thaúng vaø moät maët phaúng 

Cho ñöôøng thaúng d coù VTCP a 

 

= ( a1; a2; a3 

) vaø maët phaúng (α) coù VTPT n = ( A; B; C) 

. 

Goùc giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (α) baèng goùc giöõa ñöôøng thaúng d vôùi hình chieáu d′ cuûa 

noù treân (α). 

( Aa1 + Ba2 + Ca3 

sin d,( α) 

) = 

2 2 2 2 2 2 

A + B + C . a + a + a 

1 2 3 

Baøi 1. Tính goùc giöõa hai ñöôøng thaúng: 

d : x = 1+ 2t , y = – 1+ t , z = 3 + 4t; d : x = 2 – t , y = – 1+ 3t , z = 4 + 2t 

a) { { 

1 2 

1 2 4 2 3 4 

b) d1 : x − = y + = z − ; d 

x y z 

2 

: 

+ = − = 

+ 

2 −1 2 3 6 −2 

⎧2x − 3y − 3z 

− 9 = 0 

c) d1 : ⎨ ; d2 

:{ 

x = 9t ; y = 5t ; z = – 3 + t 

⎩x − 2y + z + 3 = 0 

⎧2x 

− z + 2 = 0 

d) d1 : ⎨ ; d2 

:{ 

x = 2 + 3t ; y = – 1; z = 4 – t 

⎩x − 7y + 3z 

− 17 = 0 

e) x − 1 y + 2 z + 2 ⎧ x + 2 y − z − 1 = 0 

d1 : = = ; d2 

: ⎨ 

3 1 4 

⎩2x 

+ 3z 

− 2 = 0 

x + 3 y −1 z − 2 

f) d 

1 

: = = vaø d 2 laø caùc truïc toaï ñoä. 

2 1 1 




⎧ 

g) x − y + z − 4 = 0 ⎧2 x − y + 3 z − 1 = 0 

d1 : ⎨ 

; d 

2x y z 1 0 

2 

: ⎨ 

⎩ − + + = ⎩x + y + z = 0 

⎧2 h) x − y + 3 z − 4 = 0 ⎧ x + y − 2 z + 3 = 0 

d1 : ⎨ 

; d 

3x 2y z 7 0 

2 

: ⎨ 

⎩ + − + = ⎩4x − y + 3z 

+ 7 = 0 

Baøi 2. Chöùng minh hai ñöôøng thaúng sau vuoâng goùc vôùi nhau: 

⎧7 a) x − 2 z − 15 = 0 ⎧ x − y − z − 7 = 0 

d1 : ⎨ 

; d 

7y 5z 34 0 

2 

: ⎨ 

⎩ + + = ⎩3x − 4y 


b) 

Baøi 3. Tìm m ñeå goùc giöõa hai ñöôøng thaúng sau baèng α: 

0 

a) d { x 1 t y t 2 z 2 t d { x 2 t y 1 t 2 z 2 mt 60 

b) 

: = − + ; = − ; = + ; : = + ; = + ; = + ; α = . 

1 2 

Baøi 4. Tính goùc giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P):: 

x −1 y − 1 z + 3 

a) d : = = ; ( P) : 2x – y – 2z 

– 10 = 0 . 

1 −2 3 

4 4 

b) d :{ x = 1; y = 2 + t 5; z = 3 + t; ( P) : x 5 + z + 4 = 0 

⎧ x + 4y − 2z 

+ 7 = 0 

c) d : ⎨ 

; ( P) : 3x + y – z + 1 = 0 

⎩3x + 7y − 2z 

= 0 

⎧ x + 2y − z + 3 = 0 

d) d : ⎨ 

; ( P) : 3x – 4y + 2z 

– 5 = 0 

⎩2x − y + 3z 

+ 5 = 0 

Baøi 5. Cho töù dieän ABCD coù A(3; 2; 6), B(3; –1; 0), C(0; –7; 3), D(–2; 1; –1). 

a) Chöùng minh caùc caëp caïnh ñoái cuûa töù dieän ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau. 

b) Tính goùc giöõa AD vaø maët phaúng (ABC). 

c) Tính goùc giöõa AB vaø trung tuyeán AM cuûa tam giaùc ACD. 

d) Chöùng minh AB vuoâng goùc vôùi maët phaúng (BCD). Tính theå tích cuûa töù dieän ABCD. 

Baøi 6. Cho töù dieän SABC coù S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; –2; 5). 

a) Vieát phöông trình cuûa caùc maët phaúng (ABC), (SAB), (SAC). 

b) Tính goùc taïo bôûi SC vaø (ABC) vaø goùc taïo bôûi SC vaø AB. 

c) Tính caùc khoaûng caùch töø C ñeán (SAB) vaø töø B ñeán (SAC). 

d) Tính khoaûng caùch töø C ñeán AB vaø khoaûng caùch giöõa SA vaø BC. 

Baøi 7. Cho töù dieän SABC coù S(1; –2; 3), A(2; –2; 3), B(1; –1; 3), C(1; –2; 5). 

a) Tìm phöông trình caùc hình chieáu cuûa SA, SB treân maët phaúng (ABC). 

b) Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC, CA, AB. Tính goùc taïo bôûi SM vaø NP vaø goùc 

taïo bôûi SM vaø (ABC). 

c) Tính caùc khoaûng caùch giöõa SM vaø NP, SP vaø MN. 



VAÁN ÑEÀ 7: Moät soá vaán ñeà khaùc 

1. Vieát phöông trình maët phaúng 

• Daïng 1: Maët phaúng (P) ñi qua ñieåm A vaø ñöôøng thaúng d: 

– Treân ñöôøng thaúng d laáy hai ñieåm B, C. 

 

– Moät VTPT cuûa (P) laø: n = ⎡⎣ AB, 

AC⎤⎦ 

. 

• Daïng 2: Maët phaúng (P) chöùa hai ñöôøng thaúng song song d 1 , d 2 : 

– Xaùc ñònh VTCP a cuûa d 1 (hoaëc d 2 ). 

– Treân d 1 laáy ñieåm A, treân d 2 laáy ñieåm B. Suy ra A, B ∈ (P). 

 

– Moät VTPT cuûa (P) laø: n ⎡ 

= ⎣a, 

AB⎤⎦ 

. 

• Daïng 3: Maët phaúng (P) chöùa hai ñöôøng thaúng caét nhau d 1 , d 2 : 

– Laáy ñieåm A ∈ d 1 (hoaëc A ∈ d 2 ) ⇒ A ∈ (P). 

– Xaùc ñònh VTCP a cuûa d 1 , b cuûa d 2 . 

 

n = a, 

b . 

– Moät VTPT cuûa (P) laø: [ ] 

• Daïng 4: Maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng d 1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng d 2 (d 1 , d 2 cheùo 

nhau): 

 


 


 

n = a, 

b . 


– Laáy moät ñieåm M thuoäc d 1 ⇒ M ∈ (P). 

• Daïng 5: Maët phaúng (P) ñi qua ñieåm M vaø song song vôùi hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d 1 , d 2 : 

 


 


 

n = a, 

b . 


2. Xaùc ñònh hình chieáu H cuûa moät ñieåm M leân ñöôøng thaúng d 

• Caùch 1: – Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua M vaø vuoâng goùc vôùi d. 

– Khi ñoù: H = d ∩ (P) 

⎧H 

∈ d 

• Caùch 2: Ñieåm H ñöôïc xaùc ñònh bôûi: ⎨ 

 

⎩MH 

⊥ ad 

3. Ñieåm ñoái xöùng M' cuûa moät ñieåm M qua ñöôøng thaúng d 

• Caùch 1: – Tìm ñieåm H laø hình chieáu cuûa M treân d. 

– Xaùc ñònh ñieåm M′ sao cho H laø trung ñieåm cuûa ñoaïn MM′. 

• Caùch 2: – Goïi H laø trung ñieåm cuûa ñoaïn MM′. Tính toaï ñoä ñieåm H theo toaï ñoä cuûa M, M′. 

 

⎧ 

– Khi ñoù toaï ñoä cuûa ñieåm M′ ñöôïc xaùc ñònh bôûi: 

MM ' ⊥ a 

⎨ 

d . 

⎩H 

∈ d 

4. Xác định hình chieáu H cuûa moät ñieåm M leân maët phaúng (P) 

• Caùch 1: – Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d qua M vaø vuoâng goùc vôùi (P). 

– Khi ñoù: H = d ∩ (P) 

⎧H 

∈( P) 

• Caùch 2: Ñieåm H ñöôïc xaùc ñònh bôûi: ⎨ 

MH 

⎩ , nP 


5. Ñieåm ñoái xöùng M' cuûa moät ñieåm M qua maët phaúng (P) 

• Caùch 1: – Tìm ñieåm H laø hình chieáu cuûa M treân (P). 

– Xaùc ñònh ñieåm M′ sao cho H laø trung ñieåm cuûa ñoaïn MM′. 

• Caùch 2: – Goïi H laø trung ñieåm cuûa ñoaïn MM′. Tính toaï ñoä ñieåm H theo toaï ñoä cuûa M, M′. 

⎧H 

∈( P) 

– Khi ñoù toaï ñoä cuûa ñieåm M′ ñöôïc xaùc ñònh bôûi: ⎨ 

MH ⎩ , nP 


. 




Baøi 1. Vieát phöông trình cuûa maët phaúng (P) ñi qua ñieåm A vaø ñöôøng thaúng d: 

a) A( 2; − 3; 1), ⎧ x = 4 + 2t 

⎧ x = 2 − t 

⎪ 

⎪ 

d : ⎨y = 2 − 3t 

b) A( 1; 4; − 3), d : ⎨y = − 1+ 

2t 

⎪ ⎩z 

= 3+ 

t 

⎪ ⎩z 

= 1− 

3t 

c) A( 4; − 2; 3), x − 1 y + 2 z − 5 

x + 3 y + 2 z −1 

d : = = d) A( 2; − 1; 5), d : = = 

3 4 2 

2 1 3 

e) A( 2; 1; 4), x y 2z 

1 0 

d : ⎧ − + − = 

x 3y 2z 

1 0 

f) A( 3; −2; 4), d : ⎧ ⎨ 

+ − + = 

⎩x + 2y 2z 

5 0 

⎩2x − y + z − 3 = 0 

Baøi 2. Vieát phöông trình cuûa maët phaúng (P) ñi qua hai ñöôøng thaúng song song d 1 , d 2 : 

x + 2 y − 1 z + 3 

a) d1 :{ 

x = 2 + 3t; y = 4 + 2t; z = t − 1; d2 

: = = 

3 2 1 

1 3 2 2 1 4 

b) d1 : x − = y + = z − , d 

x y z 

2 

: 

+ = − = 

− 

2 3 4 2 3 4 

1 2 3 2 3 1 

c) d1 : x − = y + = z − ; d 

x y z 

2 

: 

+ = − = 

+ 

2 −6 8 −3 9 −12 

3 1 2 1 5 1 

d) d1 : x − = y − = z + ; d 

x y z 

2 

: 

+ = + = 

− 

2 1 3 4 2 6 

Baøi 3. Vieát phöông trình cuûa maët phaúng (P) ñi qua hai ñöôøng thaúng caét nhau d 1 , d 2 : 

d : x = 3t; y = 1− 2t; z = 3+ t; d : x = 1+ t '; y = 2t '; z = 4 + t ' 

a) { { 

1 2 

⎧ x + y + z + 3 = 0 

b) d1 : ⎨ 

; d2 

:{ 

x = 1+ t; y = − 2 + t; 

z = 3 − t 

⎩2x 

− y + 1 = 0 

⎧ 

c) x − 2 y − z − 4 = 0 ⎧ x − z − 2 = 0 

d1 : ⎨ 

; d 

2x y z 6 0 

2 

: ⎨ 

⎩ + + + = ⎩y + 2z 

+ 7 = 0 

⎧2 d) x + y + 1 = 0 ⎧3 x + y − z + 3 = 0 

d1 : ⎨ 

; d 

x y z 1 0 

2 

: ⎨ 

⎩ − + − = ⎩2x − y + 1 = 0 

Baøi 4. Cho hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d 1 , d 2 . Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa d 1 vaø song 

song vôùi d 2 : 

d : x = 1− 2t; y = 3+ t; z = −2 − 3t ; d : x = 2t '; y = 1+ t '; z = 3 − 2t 

' 

a) 

1 

{ 

2 

{ 

b) 

1 

{ 

2 

{ 

c) { { 



2t 

' 

1 2 

2 1 1 1 

d) d1 : x − = y + = z ; d 

x y z 

2 

: = − = 

+ 

3 −2 2 1 2 4 

7 3 9 3 1 1 

e) d1 : x − = y − = z − ; d 

x y z 

2 

: 

− = − = 

− 

1 2 −1 −7 2 3 

2 1 3 3 1 1 

f) d1 : x − = y − = z − ; d 

x y z 

2 

: 

− = + = 

− 

2 1 −2 2 −2 1 

⎧ 

g) x − 2 y + 2 z − 2 = 0 ⎧2 x + y − z + 2 = 0 

d1 : ⎨ 

; d 

2x y 2z 4 0 

2 

: ⎨ 

⎩ + − + = ⎩x − y + 2z 

− 1 = 0 

Baøi 5. Tìm toaï ñoä hình chieáu H cuûa ñieåm M treân ñöôøng thaúng d vaø ñieåm M′ ñoái xöùng vôùi M qua 

ñöôøng thaúng d: 

⎧ x = 2 + 2t 

⎧ x = 1− 

4t 

⎪ 

⎪ 

a) M( 1; 2; − 6), d : ⎨y = 1− 

t 

b) M( 2; 3; 1), d : ⎨y = 2 + 2t 

⎪ ⎩z 

= t − 3 

⎪ ⎩z 

= 4t 

−1 



c) M( 2; 1; − 3), ⎧ x = 2t 

⎧ x = 2 − t 

⎪ 

⎪ 

d : ⎨y = 1− 

t 

d) M( 1; 2; − 1), d : ⎨y = 1+ 

2t 

⎪ ⎩z 

= − 1+ 

2t 

⎪ ⎩z 

= 3t 

e) M( 1; 2; − 1), x − 1 y + 2 z − 2 

x + 1 y + 2 z − 3 

d : = = f) M( 2; 5; 2), d : = = 

2 1 2 

2 −2 1 

g) M( 2; 1; −3), x 2y z 0 

d : ⎧ − − = 

y z 4 0 

⎨ 

h) M( 2; 1; −3), d : ⎧ ⎨ 

+ − = 

⎩2x + y − z − 5 = 0 

⎩2x − y − z + 2 = 0 

Baøi 6. Tìm toaï ñoä hình chieáu H cuûa ñieåm M treân maët phaúng (P) vaø ñieåm M′ ñoái xöùng vôùi M qua 

maët phaúng (P): 

a) ( P) : 2x − y + 2z − 6 = 0, M( 2; − 3; 5) 

b) ( P) : x + y + 5z − 14 = 0, M( 1; −4; − 2) 

c) ( P) : 6x − 2y + 3z + 12 = 0, M( 3; 1; − 2) 

d) ( P) : 2x − 4y + 4z + 3 = 0, M( 2; − 3; 4) 

e) ( P) : x − y + z − 4 = 0, M( 2; 1; − 1) 

f) ( P) : 3x − y + z − 2 = 0, M( 1; 2; 4) 

BAØI TAÄP OÂN PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG 

x −1 y z + 2 

Baøi 1. Tìm treân truïc Ox ñieåm M caùch ñeàu ñöôøng thaúng ∆ : = = 

1 2 2 

( α) : 2x − y − 2z 

= 0 . 

vaø maët phaúng 

Baøi 2. Cho 2 ñieåm A(1; 0; 0) vaø B(0; 2; 0). Vieát phöông trình cuûa mp (α ) qua AB vaø taïo vôùi 

mp(Oxy) moät goùc 60 0 . 

Baøi 3. Vieát phöông trình cuûa ñöôøng thaúng (d) qua A(3; –1; 1) naèm trong mp (α ) : x – y + z – 5 = 0 

x y − 2 z 

0 

vaø hôïp vôùi ñöôøng thaúng ∆ : = = moät goùc 45 . 

1 2 2 

Baøi 4. Goïi (α ) laø maët phaúng qua A(2; 0; 1) vaø B(–2; 0; 5) vaø hôïp vôùi mp(Oxz) moät goùc 45 0 . 

Tính khoaûng caùch töø O ñeán mp (α ) . 

⎧x 

= 7 + 3t 

x −1 y + 2 z − 5 ⎪ 

Baøi 5. Chöùng minh raèng 2 ñöôøng thaúng ∆ 

1 

: = = vaø ∆ 

2 

: ⎨y 

= 2 + 2t 

cuøng naèm 

2 − 3 4 ⎪ 

⎩z 

= −1− 

3t 

trong moät maët phaúng. Vieát phöông trình maët phaúng aáy. 

x + 1 y − 2 z − 2 

Baøi 6. Cho hai ñieåm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) vaø ñöôøng thaúng d : = = 

3 −2 2 

a) Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng d vaø ñöôøng thaúng AB cuøng thuoäc moät maët phaúng. 

b) Tìm ñieåm I thuoäc d sao cho IA + IB nhoû nhaát. 

Baøi 7. Trong khoâng gian Oxyz cho 4 ñieåm A(1; 2; 3), B(–2; 1; 0), C(–1; 0; 2), D(0; 2; 3). 

1) Chöùng minh ABCD laø moät 

 

töù dieän. 

 

Tính 

 

theå 

 

tích töù dieän ñoù. 

 

2) Tìm ñieåm M sao cho : MA + 2MB − 2MC + 3MD 

= 0 . 

3) Xaùc ñònh toaï ñoä troïng taâm töù dieän ABCD. 

4) Vieát phöông trình maët phaúng trung tröïc cuûa caùc ñoaïn thaúng AB, AC, BC. 

5) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi truïc Oz. 

6) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vaø B vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng 2x + 3y – z= 0 . 

7) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng 2x + 3y – z = 0, 

x + 2y – 3z = 0. 

8) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vaø chaén caùc nöûa truïc döông Ox, Oy, Oz laàn löôït taïi 




caùc ñieåm I , J, K sao cho theå tích töù dieän OIJK nhoû nhaát. 

9) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vaø chaén caùc nöûa truïc döông Ox, Oy, Oz laàn löôït taïi 

caùc ñieåm I , J, K sao cho OI + OJ + OK nhoû nhaát. 

10) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua C, song song vôùi truïc Oy vaø vuoâng goùc vôùi maët 

phaúng x + 2y – 3z = 0. 

11) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vaø qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng : 

(P): x + y + z – 4 =0, (Q):3x – y + z – 1 = 0. 

x −1 y − 3 z + 1 

12) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua A vaø chöùa ñöôøng thaúng : = = . 

3 4 − 2 

x + 2 y + 1 z −1 

13) Tìøm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua ñöôøng thaúng d: = = vaø tính khoaûng 

3 2 1 

⎧ x + y − 3z 

+ 3 = 0 

caùch töø A ñeán ñöôøng thaúng d: ⎨ 

⎩2x − y − 3z 

+ 1 = 0 

14) Tìm treân truïc Oz ñieåm M caùch ñeàu ñieåm A vaø maët phaúng (P): x + 3y + 2 = 0. 

15) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua A, song song vôùi maët phaúng (P): x – y – z – 4 = 0 vaø 

x + 1 y − 3 z −1 

vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ∆: = = . 

2 1 3 

x y 

16) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua A vuoâng goùc vaø caét ñöôøng thaúng: = = z + 3. 

2 4 

17) Tìm ñieåm P thuoäc maët phaúng (P): 2x – 3y – z +2 = 0 sao cho PA+PB nhoû nhaát. 

x y − 3 z −1 

18) Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng AB vaø ñöôøng thaúng d : = = cuøng thuoäc moät 

3 1 3 

maët phaúng. Tìm ñieåm N thuoäc d sao cho NA + NB nhoû nhaát. 

x − 3 y −1 

z 

19) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua A, vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng: = = vaø 

1 2 1 

⎧ x + y − z + 2 = 0 

caét ñöôøng thaúng: ⎨ 

. 

⎩2x − y + z − 1 = 0 

20) Vieát phöông trình hình chieáu cuûa ñöôøng thaúng AB leân maët phaúng (P): x + 3y – z = 0. 

21) Tính goùc taïo bôõi ñöôøng thaúng AB vôùi maët phaúng (BCD). 

22) G laø troïng taâm ∆ABC, G’ laø moät ñieåm baát kyø thuoäc maët phaúng (P): 2x – 3y + z +3 = 0. 

2 2 2 

Chöùng minh raèng: G ' A + G ' B + G ' C nhoû nhaát khi vaø chæ khi G' laø hình chieáu cuûa G leân 

(P). Tìm toaï ñoä ñieåm G’. 

23) Laäp phöông trình maët caàu ñi qua A, B, C vaø coù taâm thuoäc mp(Oxy) 

2 2 2 

24) Laäp phöông trình tieáp dieän cuûa maët caàu (S): x + y + z − 6x − 2y + 4z 

+ 5 = 0 taïi B. 

25) Laäp phöông trình maët phaúng qua A vaø tieáp xuùc vôùi maët caàu (S) coù phöông trình: 

2 2 2 

x + y + z − 4x + 2y − 6z 

+ 5 = 0 . 

26) Laäp phöông trình maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD. 



V. GIAÛI TOAÙN HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN 

BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ 

Ñeå giaûi caùc baøi toaùn hình khoâng gian baèng phöông phaùp toïa ñoä ta thöïc hieän caùc böôùc sau: 

Böôùc 1: Choïn heä truïc toïa ñoä Oxyz thích hôïp. 

Böôùc 2: Döïa vaøo giaû thieát baøi toaùn xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñieåm coù lieân quan. 

Böôùc 3: Söû duïng caùc kieán thöùc veà toïa ñoä ñeå giaûi quyeát baøi toaùn. 

Chuù yù: Thoâng thöôøng ta döïa vaøo caùc yeáu toá ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñeå choïn heä 

truïc Oxyz sao cho deã xaùc ñònh toaï ñoä caùc ñieåm lieân quan. 

MOÄT SOÁ VÍ DUÏ 

Ví duï 1: 

Cho töù dieän OABC coù caùc caïnh OA, OB, OC ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau. H laø hình chieáu 

cuûa O treân (ABC). 

1. Chöùng minh ∆ABC coù ba goùc nhoïn. 

2. Chöùng minh H laø tröïc taâm ∆ABC. 

3. Chöùng minh 

1 1 1 1 

= + + . 

2 2 2 2 

OH OA OB OC 

4. Goïi α 

( ( OAB),( ABC) ), β 

( ( OBC),( BCA) ), γ 

( ( OAC),( ACB) 

) 

Chöùng minh 

= = = . 

2 2 2 

cos α + cos β + cos γ = 1. 

Giaûi: 

Choïn heä truïc Oxyz sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c > 0) 

1. Chöùng minh ∆ABC coù ba goùc nhoïn: 

 

2 

Ta coù: AB . AC = ( −a; b; 0)( − a; 0; c) 

= a > 0 

⇒ BAC 

nhoïn 

Töông töï: ABC , ACB 

nhoïn. 

Vaäy ∆ABC coù ba goùc nhoïn. 

2. Chöùng minh H laø tröïc taâm ∆ABC: 

Ta coù phöông trình mp (ABC): 

x y z 

+ + = 1 ⇔ bcx + acy + abz − abc = 0 

a b c 

 

OH ⊥ ( ABC) ⇒ u = n = ( bc; ac; ab) 

OH 

( ABC) 

⇒ Phöông trình ñöôøng thaúng OH: 

Thay x, y, z vaøo phöông trình mp(ABC): 

⎧ x = bct 

⎪ 

⎨y = act ( t ∈ R) 

⎪ 

⎩z 

= abt 

2 2 2 2 2 2 

( b c + a c + a b ) t = abc 

x 

A 

O 

z 

C 

H 

B 

y 




abc 

⇒ t = 

a b + b c + c a 

2 2 2 2 2 2 

⎛ 

2 2 2 2 2 2 

ab c a bc a b c ⎞ 

⇒ H ; ; 

⎜ a 

2 b 

2 b 

2 c 

2 c 

2 a 

2 a 

2 b 

2 b 

2 c 

2 c 

2 a 

2 a 

2 b 

2 b 

2 c 

2 c 

2 a 

2 

+ + + + + + ⎟ 

⎝ 

⎠ 

⎧ 

AH ( ab ac ; bc ; b c) 

2 

a 

2 2 2 2 

= − − 

⇒ ⎪ ⎨ 2 2 2 2 2 2 

a b + b c + c a 

⎪ 2 

= b 

2 − 2 − 2 2 

2 2 2 2 2 2 

BH ( ac ; a b bc ; a c) 

⎪ 

⎩ a b + b c + c a 

⎧ 

2 

a 

2 2 2 2 

AH . BC = ( −ab − ac ; bc ; b c)( ; − b; c) 

= 

⇒ ⎨ ⎪ 2 2 2 2 2 2 

a b + b c + c a 

⎪ 2 

b 

2 2 2 2 

BH . AC = ( ac ; − a b − bc ; a c)( − a; ; c) 

= 

2 2 2 2 2 2 

⎪ 

⎩ 

⎧AH 

⇒ ⎨ 

⎩BH 

 

3. Chöùng minh 

a b + b c + c a 

⊥ BC 

⇒ H laø tröïc taâm ∆ABC. 

⊥ AC 

OH = d( O, ( ABC)) 

= 

1 1 1 1 

= + + 

OH OA OB OC 

2 2 2 2 

−abc 

2 2 2 2 2 2 

a b + b c + c a 

0 0 

0 0 

2 2 2 2 2 2 

1 a b + b c + c a 

⇒ = 

2 2 2 2 

OH a b c 

2 2 2 2 2 2 

1 1 1 1 1 1 a b + b c + c a 

+ + = + + = 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 

OA OB OC a b c a b c 

1 1 1 1 

⇒ = + + . 

2 2 2 2 

OH OA OB OC 

4. Chöùng minh cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 

Nhaän xeùt: 

( 

cosα = cos ( OAB), ( ABC) ) = cos ( n( OAB) , n( ABC) 

) 

 

Goïi n = n( ABC) = ( bc; ac; ab) 

 

n = n = k = ( 0, 0, 1); n = n = i = ( 1, 0, 0); n = n = j = ( 0, 1, 0) 

1 ( OAB) 2 ( OBC) 3 ( OAC) 

 

⇒ cos + cos + cos = cos ( n , n) + cos ( n , n) + cos ( n , n) 

Vaäy: 

2 2 2 2 2 2 

α β γ 

1 2 3 

2 2 2 2 2 2 

a b b c a c 

= + + 

a b + b c + c a a b + b c + c a a b + b c + c a 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 

2 2 2 

cos α + cos β + cos γ = 1. 



Ví duï 2: 

Cho tam giaùc ñeàu ABC coù ñöôøng cao AH = 2a. Goïi O laø trung ñieåm AH. Treân ñöôøng thaúng 

vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) taïi O, laáy ñieåm S sao cho OS = 2a. 

1. Tính cosin cuûa goùc ϕ taïo bôûi hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC). 

2. Treân ñoaïn OH laáy ñieåm I. Ñaët OI = m (0 < m < a). Maët phaúng (α) qua I, vuoâng goùc vôùi 

AH caét caùc caïnh AB, AC, SC, SB laàn löôït taïi M, N, P, Q. 

a. Tính dieän tích thieát dieän MNPQ theo a vaø x. 

b. Tìm m ñeå dieän tích MNPQ lôùn nhaát. 

Goïi D laø trung ñieåm AB 

⇒ OD ⊥ OH 

BC 3 4a 

AH = ⇒ BC = 

2 3 

1 a 

⇒ OD = BC = 

4 3 

Choïn heä truïc toïa ñoä Oxyz sao cho: 

⎛ a ⎞ 

O( 0; 0; 0), D ⎜ ; 0; 0⎟, H( 0; a 0), S( 0; 0; 2a) 

⎝ 3 ⎠ 

⎛ 2a 

⎞ ⎛ 2a 

⎞ 

⇒ A( 0; − a; 0), B ⎜ ; a; 0⎟, C ⎜ − ; a; 

0⎟ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

Giaûi: 

1. Tính cosϕ: 

Veõ BE ⊥ SA taïi E ⇒ CE ⊥ SA (vì SA ⊥ ( BCE)) ⇒ ϕ = BEC 

 

 

SA = ( 0; a; 2a) = a( 0; 1; 2) 

Phöông trình ñöôøng thaúng SA: 

⎧ x = 0 

⎪ 

⎨y = − a + t ( t ∈ R) 

⎪ 

⎩z 

= 2t 

Phöông trình mp(BCE): ( y – a ) + 2z = 0 

2a 

Thay x, y, z vaøo phöông trình (BCE), ta ñöôïc: − 2a + t + 4t = 0 ⇒ t = 

5 

⎧ 

⎛ 2a 8a −4a ⎞ 2a 

EB = ⎜ ; ; ⎟ = ( 5; 4 3; − 2 3) 

⎛ 3a 

4a 

⎞ ⎪ 5 5 

⇒ E ⎜ 0; − ; 

3 5 3 

⎟ ⇒ ⎝ ⎠ 

⎨ 

⎝ 5 5 

⎠ ⎪ 

⎛ 2a 8a 4a ⎞ 2a 

EC = − ; ; − = − ( 5; − 4 3; 2 3) 

⎪ 

⎜ 

⎟ 

⎩ ⎝ 3 5 5 ⎠ 5 3 

2a 

2a 

− . ( 5; 4 3; − 2 3)( 5; − 4 3; 2 3) 

3 3 

35 7 

⇒ cosϕ 

= cos( EB, EC) 

= = = 

2 

⎛ 2a 

⎞ 

85 17 

⎜ ⎟ 85 85 

⎝ 3 ⎠ 

7 

Vaäy cosϕ = . 

17 

A 

E 

x 

a 

ϕ 

D 

S 

2a 

O 

z 

Q 

m 

M 

B 

I 

P 

N 

H 

y 

C 




 

2. Ta coù: I(0; m; 0), OH = a( 0; 1; 0) 

⇒ phöông trình mp(MNPQ): y – m = 0 

a. Tính S MNPQ : 

Ta coù: 

⎛ 2a 

⎞ 2a 

⎛ 2a 

⎞ 2a 

AB = ⎜ ; 2a; 0⎟ 

= ( 1; 3; 0) 

; AC = ⎜ − ; 2a; 0⎟ 

= − ( 1; − 3; 0) 

⎝ 3 ⎠ 3 

⎝ 3 ⎠ 3 

⎛ 2a 

⎞ a 

⎛ 2a 

⎞ a 

SB = ⎜ ; a; − 2a⎟ 

= ( 2; 3; − 2 3) 

; SC = ⎜ − ; a; − 2a⎟ 

= − ( 2; − 3; 2 3) 

⎝ 3 ⎠ 3 

⎝ 3 ⎠ 3 

⎧ x = t 

⎪ 

Phöông trình ñöôøng thaúng AB: ⎨y = − a + 3t ( t ∈ R) 

⎪ z = 0 

⎩ 

⎛ a + m ⎞ 

M = AB ∩( MNPQ) ⇒ M ⎜ ; m; 

0⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

⎧ x = t 

⎪ 

Phöông trình ñöôøng thaúng AC: ⎨y = − a − 3t ( t ∈ R) 

⎪ z = 0 

⎩ 

⎛ −a 

− m ⎞ 

N = AC ∩( MNPQ) ⇒ N ⎜ ; m; 

0⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

⎧ x = 2t 

⎪ 

Phöông trình ñöôøng thaúng SB: ⎨y = 3t ( t ∈ R) 

⎪ 

⎩z = 2a − 2 3t 

⎛ 2m 

⎞ 

Q = SB ∩( MNPQ) ⇒ Q⎜ 

; m; 

2a − 2m⎟ 

⎝ 3 

⎠ 

⎧ x = 2t 

⎪ 

Phöông trình ñöôøng thaúng SC: ⎨y = − 3t ( t ∈ R) 

⎪ 

⎩z = 2a + 2 3t 

⎛ 2m 

⎞ 

P = SC ∩( MNPQ) ⇒ P ⎜ − ; m; 

2a − 2m⎟ 

⎝ 3 

⎠ 

⎛ m − a ⎞ ⎛ −a − 3m ⎞ ⎛ −2a − 2m 

⎞ 

⇒ MQ = ⎜ ; 0; 2a − 2m⎟; MP = ⎜ ; 0; 2a − 2m⎟; MN = ⎜ ; 0; 

0⎟ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

1 

SMNPQ 

= ( [ MQ, MP] + [ MP, MN] 

) 

2 

2 2 

1 

⎛ ⎛ 8m( m − a) 

⎞ ⎛ 4m − 4a 

⎞ ⎞ 

= ⎜ ⎜ 0; ; 0⎟ 

+ 0; ; 0 

⎟ 

2 ⎜ 3 ⎜ 3 ⎟ ⎟ 

⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ 

2 2 2 

1 ⎛ 8m( a − m) 

4a − 4m ⎞ 6 2 4a 2a 

= + = − m + m + 

2 ⎜ 3 3 ⎟ 

⎝ 

⎠ 3 3 3 

2 2 2 

⇒ SMNPQ 

= ( − 3m + 2am + a ) 

3 

b/ Tìm m ñeå (S MNPQ ) max : 



Baûng xeùt daáu: 

m –∞ 

2 2 

− 3m + 2am + a –∞ 

2 2 

2 4a 

8a 

⇒ S 

MNPQ 

≤ . = 

3 3 3 3 

8a 

a 

Vaäy ( SMNPQ 

) 

max 

= khi m = . 

3 3 3 

Caùch khaùc: 

2 

a 

3 

2 

4a 

3 

⎡ 

2 

⎛ a ⎞ 

⎤ 

⎢( a − m) 

+ ⎜ m + 

2 

a 

3 

⎟ 

⎥ 

⎛ ⎞ ⎢ ⎥ 8a 

SMNPQ 

= 2 3( a − m) 

m 2 3 

⎝ ⎠ 

⎜ + ⎟ ≤ 

3 

⎢ = 

( coâsi) 

2 

⎥ 

⎝ ⎠ ⎣ 

⎦ 3 3 

2 

8a a a 

⇒ ( SMNPQ 

) 

max 

= ⇔ a − m = m + ⇔ m = . 

3 3 

3 3 

+∞ 

–∞ 

Ví duï 3: 

Cho töù dieän OABC coù OA, OB, OC ñoâi moät vuoâng goùc. OA= a, OB = b, OC = c. 

1. Goïi I laø taâm maët caàu noäi tieáp (S) cuûa OABC. Tính baùn kính r cuûa (S). 

2. Goïi M, N, P laø trung ñieåm BC, CA, AB. Chöùng minh raèng hai maët phaúng (OMN) vaø 

1 1 1 

(OMP) vuoâng goùc ⇔ = + . 

2 2 2 

a b c 

Giaûi: 

Choïn heä truïc Oxyz sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) 

1. Tính r: 

Ta coù: V I . AOB + V I . OBC + V I . OCA + V I . ABC = V 

OABC 

r 

abc 

⇒ ( S∆ OAB 

+ S∆ OBC 

+ S∆ OCA 

+ S∆ABC 

) = . 

3 6 

1 

S∆ ABC 

= [ AB, AC] 

2 

1 

= [( −a; b; 0), ( −a; 0; c)] 

2 

1 2 2 2 2 2 2 

= a b + b c + c a 

2 

r 

2 2 2 2 2 2 abc 

( 1) ⇒ ( ab + bc + ca + a b + b c + c a ) = 

6 6 

abc 

Vaäy r = 

2 2 2 2 2 2 

ab + bc + ca + a b + b c + c a 

1 1 1 

2. Chöùng minh (OMN) ⊥ (OMP) ⇔ = + 

2 2 2 

a b c 

z 

C 

c M 

N 

O 

b B y 

a 

P 

x A 




⎛ b c ⎞ ⎛ a c ⎞ ⎛ a b ⎞ 

Ta coù: M ⎜0; ; ⎟, N ⎜ ; 0; ⎟, P ⎜ ; ; 0⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 

⎛ bc ac ab ⎞ 

n( OMN ) 

= [ OM, ON] = ⎜ ; ; − ⎟ 

⎝ 4 4 4 ⎠ 

⎛ bc ac ab ⎞ 

n( OMP) = [ OM, OP] = ⎜ − ; ; − ⎟ 

⎝ 4 4 4 ⎠ 

⇒ ( OMN) ⊥ ( OMP) ⇔ n 

. n = 0 

2 2 2 2 2 2 

( OMN ) ( OMP) 

b c a c a b 

2 2 2 2 2 1 1 1 

⇔ − + + = 0 ⇔ a ( c + b ) = b c ⇔ = + . 

16 16 16 

2 2 2 

a b c 

Ví duï 4: 

Cho hình chöõ nhaät ABCD coù AB= a, AD = 2a. Treân tia Az 

phaúng (α) qua CD caét SA, SB laàn löôït taïi K vaø L. 

1. Cho SA = 2a, AK = k ( 0≤ k ≤ 2a) 

⊥ ( ABCD) 

laáy ñieåm S. Maët 

a. Tính dieän tích töù giaùc CDKL . Tính k theo a ñeå S CDKL lôùn nhaát, nhoû nhaát. 

b. Chöùng toû khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng KD vaø BC khoâng ñoåi. 

c. Tính k theo a ñeå (α) chia hình choùp S.ABCD thaønh hai phaàn coù theå tích baèng nhau. 

2. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm SC, SD. Tìm quyõ tích giao ñieåm I cuûa AN, BM khi S di 

ñoäng treân tia Az. 

Giaûi: 

1. Choïn heä truïc toïa ñoä Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), D(0; 2a; 0), S(0; 0; 2a) 

AK = k ⇒ K( 0; 0; k), 

0 ≤ k ≤ 2a 

 

n = [ KC, KD] = a( 0; k; 2a) 

α 

Phöông trình ( α) : k( y − 2a) 

+ 2az = 0 ⇔ ky + 2az − 2ak 

= 0 

 

SB = a( 1; 0; − 2) 

⎧ x = a + t 

K 

⎪ 

Phöông trình ñöôøng thaúng SB: ⎨y = 0 ( t ∈ R) 

k 

⎪ ⎩z 

= −2t 

L 

A 

⎛ k ⎞ 

( α) ∩ SB = L ⇒ L ⎜ a − ; 0; 

k ⎟ 

a 

⎝ 2 ⎠ 

B 

a/ S CDKL = S ∆CKL + S ∆CKD : 

1 

x 

= ( [ CK, CL] + [ CK, CD] 

) 

2 

1 ⎛ 

k 

⎞ 

= ⎜ [( −a; − 2a; k, − ; − 2a; k] + [( −a; − 2a; k,( −a; 0; 0)] 

⎟ 

2 ⎝ 

2 

⎠ 

1 ⎛ 2a − k 2 2 2 2 ⎞ 4a − k 2 2 

= ⎜ 4a + k + a 4a + k ⎟ = 4a + k 

2 ⎝ 2 ⎠ 4 

Xeùt 

2 2 

4a − k 2 2 / − 2k + 4ak − 4a 

f ( k) = 4a + k ⇒ f ( k) 

= < 0 

4 

2 2 

4 k + 4a 


S 

z 

N 

M 

2a 

C 

I 

D 

y


Baûng bieán thieân: 

k –∞ 0 2a +∞ 

f / (k) – 

Vaäy: 

f(k) 2a 2 2 

a 

2 

Smax = 2a ⇔ k = 0 

2 

min 

= 2 ⇔ = 2 . 

S a k a 

 

[ KD, BC] DC [ 0; 2a; − k), ( 0; 2a; 0)]( a; 0; 0) 

b/ d(KD, BC) = = 

= a (khoâng ñoåi) 

[ KD, BC] 

[ 0; 2a; − k), ( 0; 2a; 0] 

* Chuù yù: CD laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa KD vaø BC. 

c/ Tính k ñeå V 

Ta coù: 

1 

= V 

2 

S. CDKL S. 

ABCD 

d( S, ( α)) 

= 

2 

4a 

− 2ak 

k 

2 2 

+ 4a 

1 a( 2a − k) 

4a − k 

⇒ VS . CDKL 

= d( S, ( α)). 

SCDKL 

= 

3 6 

3 

1 4a 

VS . ABCD 

= SA. 

SABCD 

= 

3 3 

3 

a( 2a − k)( 4a − k) 

4a 

⇒ = 

6 6 

⇔ k = ( 3− 5) a ( do k ≤ 2a) 

2. Quyõ tích I: 

⎛ a s ⎞ ⎛ s ⎞ 

S∈ Az ⇒ S( 0; 0; s), s > 0 ⇒ M ⎜ ; a; ⎟, N ⎜0; a; 

⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

1 1 

BM = − ( a; − 2a; − s); AN = ( 0; 2a; s) 

2 2 

⇒ Phöông trình ñöôøng thaúng BM: 

2 

⎧ x = a + at1 

⎪ 

⎨y = − 2at1 ( t1 

∈ R) 

⎪ 

⎩z 

= −st1 

⎧ x = 0 

⎪ 

Phöông trình ñöôøng thaúng AN: ⎨y = 2at2 ( t2 

∈ R) 

⎩ 

⎪ z = st2 

I = ( AN) ∩ ( BM) ⇒ I( 0; 2a; s) 

 

Ta coù: ID = ( 0; 0; − s) ⇒ ID / / AS. 

Vaäy quyõ tích I laø nöûa ñöôøng thaúng Dt ⊥ ( ABCD) 

(tröø ñieåm D, do s > 0). 

Ví duï 5: 

Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy 

a 

2; ASB 

 

= α. 




1. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp. 

2. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu noäi tieáp hình choùp. 

3. Tìm α ñeå taâm maët caàu ngoaïi tieáp vaø noäi tieáp truøng nhau. 

Giaûi: 

Ta coù: AC = BD = 2a. Goïi SO laø ñöôøng cao vaø SO= h. 

Choïn heä truïc toïa ñoä Oxyz sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0),S(0; 0; h) 

⇒ C( −a; 0; 0), D( 0; − a; 0) 

1. Taâm I vaø R cuûa (S) ngoaïi tieáp choùp S.ABCD 

Do S.ABCD laø hình choùp töù giaùc ñeàu neân I ∈ OS ⇒ I( 0; 0; z0 

) 

S 

α 

z 

Phöông trình maët caàu (S): 

A, S ∈ ( S) 

⎧ 2 

⎪a 

+ d = 

⎪⎩ 

2 

0 

2 

2 2 2 

0 

⇒ ⎨ 

h − 2z h + d = 0 

x + y + z − 2z z + d = 0 

⎧ d = − a 

⎪ 

⇒ ⎨ 

2 2 

h − a 

⎪z0 

= 

⎩ 2h 

⎛ h − a ⎞ ⎛ h − a ⎞ h + a 

⇒ I ⎜0; 0; ⎟, 

R = ⎜ ⎟ + a = 

⎝ 2h ⎠ ⎝ 2h ⎠ 2h 

 

2 

SA. SB ( a; 0; − h)( 0; a; − h) 

h 

Maët khaùc: cosα 

= = = 

SA. 

SB 2 2 2 2 

a + h a + h 

2 

0 

2 2 2 2 2 2 

a cosα 

⇒ h = 

(α nhoïn do ∆SAB caân taïi S). 

1− 

cosα 

a 

Vaäy: R = 

2 cos α( 1− 

cos α) 

a( 2cos α −1) 

OI = 

2 cos α( 1− 

cos α) 

2. Taâm J vaø r cuûa (S / ) noäi tieáp choùp S.ABCD: 

Ta coù: J ∈ OS ⇒ J( 0; 0; r), 

OJ = r 

r 

1 2 2a h 

VS . ABCD 

= . Stp; VS . ABCD 

= . h( a 2) 

= 

3 3 3 

1 

2 2 

Sxp 

= 4S∆SAB 

= 4. SA. SB sin α = 2( a + h )sinα 

2 

2 2 2 

⇒ S = S + S = 2( a + h )sinα 

+ 2a 

tp xp ABCD 

2 

a h 

⇒ r = = 

2 2 2 

a + ( a + h )sinα 

a cos α( 1− 

cos α) 

Vaäy: OJ = = r. 

1+ sinα 

− cosα 

3. Tìm α ñeå I ≡ J 


cos α) 

1+ sinα 

− cosα 

2 

h 

D 

O 

a 

x A 2 3 B y 

C 



a( 2 cos α −1) 


cos α) 

I ≡ J ⇔ OI = OJ ⇔ = 

2 cos α( 1− 

cos α) 

1+ sinα 

− cosα 

⇔ ( 2cos α − 1)( 1+ sinα − cos α) = 2 cos α( 1− 

cos α) 

⇔ ( 1− 2cos αsinα ) + (sinα − cos α) = 0 ⇔ (sinα − cos α)(sinα − cos α + 1) 

= 0 

⇔ sinα = cos α ( dosinα + 1− cos α > 0) 

⇔ α = 45 o ( doα 

nhoïn) 

Vaäy I ≡ J ⇔ α = 45 o . 

Ví duï 6: 

Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø ñaùy hình chöõ nhaät vôùi AB = a, AD = b, SA = 2a 

vuoâng goùc vôùi ñaùy. Treân caïnh SA laáy ñieåm M, AM = m ( 0 ≤ m ≤ 2a) 

1. Maët phaúng (MBC) caét hình choùp theo thieát dieän laø hình gì. Tính dieän tích thieát dieän? 

2. Tìm vò trí M ñeå dieän tích thieát dieän lôùn nhaát. 

3. Tìm vò trí M ñeå maët phaúng (MBC) chia hình choùp thaønh hai phaàn coù theå tích baèng nhau. 

Giaûi: 

Choïn heä truïc toïa ñoä Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), S(0; 0; 2a) 

⇒ C( a; b; 0), M( 0; 0; m) ( 0 ≤ m ≤ 2a) 

. 

 

Ta coù: n( MBC) = [ MB, MC] = b( m; 0; a) 

 

SD = ( 0; b; − 2a) 

z 

S 

⇒ Phöông trình maët phaúng (MBC): mx + az − ma = 0 

Phöông trình ñöôøng thaúng SD: 

⎧ x = 0 

⎪ 

⎨y = b + bt ( t ∈ R) 

⎩⎪ z = −2at 

M 

a 

2a 

m A 

N 

b 

D 

y 

Goïi 

⎛ 2ab 

− mb ⎞ 

N = SD ∩ ( MBC) ⇒ N ⎜0; ; m ⎟ 

⎝ 2a 

⎠ 

1. Hình tính vaø dieän tích BCMN 

Ta coù: 

⎛ 2ab 

− mb ⎞ 

MN = ⎜0; ; 0⎟; BC = ( 0; b; 0); MB = ( a; 0; − m) 

⎝ 2a 

⎠ 

x 

B 

C 

⎧MN 

BC 

⇒ ⎨ 

⎩BC 

⊥ MB 

⇒ 

BCMN 

laø hình thang vuoâng. 

2 2 

MB a + m ⎛ 2ab − mb ⎞ 4ab − mb 

SBCMN 

= ( MN + BC) 

= ⎜ + b⎟ 

= a + m 

2 2 ⎝ 2a 

⎠ 4a 

2. Tìm vò trí M ñeå S BCNM lôùn nhaát: 

Ta coù: 

b 

S( m) = ( 4a − m) 

m + a 

4a 

2 2 

2 2 




2 2 

/ b ⎡ 2 2 ( 4a − m) 

m ⎤ b − 2m + 4am − a 

⇒ S( m) 

= m a 

4a 

⎢− + + ⎥ = . 

⎢ 

2 2 4a 

2 2 

⎣ 

m + a ⎥⎦ 

m + a 

S 

/ 

( m) 

a( 2 ± 2) 

= 0 ⇔ m = 

2 

m –∞ 0 

a( 2 − 2) 

a( 2 + 2) 

2 

2 

S / – 0 + 0 – 

( m) 2a +∞ 

S ( m ) ab 

ab 71+ 

8 2 

8 

ab 71−8 2 

ab 5 

8 

2 

ab 71+ 8 2 a( 2 + 2) 

⇒ Smax 

= ⇔ m = 

8 2 

S 

min 

3. Tìm vò trí M ñeå V 

ab 71−8 2 a( 2 − 2) 

= ⇔ m = 

8 2 

Ta coù: d( S, ( MBC)) 

= 

1 

= V 

2 

S. BCNM S. 

ABCD 

2a 

2 

m 

− ma 

2 2 

+ a 

2 

2 2 

. . 

3 2 2 4a 


1 2a − ma 4ab − mb b( 4a − m)( 2a − m) 

⇒ VS . BCNM 

= m + a = 

m + a 

2 

1 2a b 

VS. 

ABCD 

= . 2a. ab = . 

3 3 

( 4a − m)( 2a − m) 

Yeâu caàu baøi toaùn ⇔ = a 

4 

2 2 

⇔ m − 6am + 4a = 0 ⇔ m = ( 3 − 5) 

a (vì m ≤ 2a) 

Vaäy AM = ( 3 − 5) a. 

2 

Ví duï 7: 

Cho hình laäp phöông ABCD.A′B′C′D′ caïnh a. 

/ / / 

1. Chöùng minh A C ⊥ ( AB D ) . Tính goùc ϕ giöõa (DA′C) vaø (ABB′A′). 

2. Treân caïnh AD / , DB laáy ñieåm M, N thoûa AM = DN = k ( 0 < k < a 2) 

. 

a. Chöùng minh MN // (A / D / BC) 

b. Tìm k ñeå MN min . Chöùng toû khi ñoù MN laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa AD′, DB. 



Giaûi: 

Choïn heä truïc toïa ñoä Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) 

k k k k 

AM = DN = k ⇒ M ⎛ ⎜ 0; ; ⎞ ⎟, N ⎛ ⎜ ; a − ; 0 

⎞ 

⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 

/ / / 

1. Chöùng minh A C ⊥ ( AB D ) : 

 

⎧ / 

A C = ( a; a; − a) 

⎪ 

/ 

Ta coù: ⎨ AB = ( a; 0; a) 

⎪ 

 

/ 

⎪⎩ AD = ( 0; a; a) 

 

 

/ / 2 2 2 

⇒ n / / = AB , AD = ( −a ; − a ; a ) 

( AB D ) 

 

⎡ / 

2 2 2 

A C, n 

⎤ 

⎡ 

/ / ( a; a; a), ( a ; a ; a ) ⎤ 

⎢ 

= − − − = 0 

⎣ ( AB D ) ⎥⎦ 

⎣ 

⎦ 

 

/ 

⇒ A C n 

/ / 

( AB D ) 

/ / / 

A / (0; 0; a), B / (a; 0; a), C / (a; a; a), D / (0; a; a) 

Vaäy A C ⊥ ( AB D ) 

 

⎧ / / / / 

⎪A C . AB = 0 ⎪⎧ 

A C ⊥ AB / / / 

Caùch khaùc: ⎨ ⇒ ⎨ 

⇒ A C ⊥ ( AB D ) 

/ / 

/ / 

⎪⎩ A C . AD = 0 ⎪⎩ 

A C ⊥ AD 

 

/ 

2 2 

Tính ϕ: n1 = [ DA , DC] = ( 0; a ; a ) 

 

n2 = n 

/ / 

( ABB A ) = j = ( 0; 1; 0) 

 

2 

n1. 

n2 

a 2 

⇒ cosϕ = = = . 

2 

n n a 2 2 

Vaäy ϕ = 45 o . 

1 2 

2. a. Chöùng minh MN // (A / D / BC): 

1 

MN = ( k; a 2 − 2k; − k) 

2 

 

 

/ 

2 

n = n = [ BA , BC] = − a ( 1; 0; 1) 

Ta coù: 

/ / 

( A D BC) 

2 

−a 

MN . n = ( k − k) 

= 0 

2 

/ / / / 

⇒ MN ( A D BC) ( do M ∉( A D BC) 

) 

b/ Tìm k ñeå MN min : 

z 

A / D / 

B / C / 

B 

z 

A 

M 

k 

a 

N 

C 

k 

D 

y 

Ta coù: 

2 1 6 

2 4 2 2 

2 

MN = ( k − ak + a ) 

2 

k –∞ 0 

a 2 

3 

a 2 +∞ 

MN 2 2 

a 

3 




a a 2 

⇒ MNmin 

= ⇔ k = 

3 3 

a 2 a 

Khi k = thì MN = ( 1; 1; −1) 

3 

3 

⎧ 

 

/ a 

MN. AD = ( 1; 1; − 1)( 0; a; a) 

= 0 

⎪ 3 

⎧ 

⇒ 

MN ⊥ AD 

⎨ 

⇒ ⎨ 

⎪ 

a MN ⊥ BD 

MN . BD = ( 1; 1; −1)( − a; a; 0) 

= 0 ⎩ 

⎪⎩ 3 

Vaäy MN laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa AD / vaø BD. 

/ 

Ví duï 8: 

Cho hình laäp phöông ABCD.A / B / C / D / caïnh a. Goïi M laø trung ñieåm AB, N laø taâm cuûa hình 

vuoâng ADD / A / . 

1. Tính baùn kính R cuûa maët caàu (S) ñi qua 4 ñieåm C, D / , M, N. 

2. Tính baùn kính r cuûa ñöôøng troøn (C) laø giao cuûa (S) vaø maët caàu (S / ) ñi qua A / , B / , C, D. 

3. Tính dieän tích S cuûa thieát dieän taïo bôûi maët phaúng (CMN) vaø hình laäp phöông. 

Giaûi: 

Choïn heä truïc toïa ñoä Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) 

⇒ M 

⎛ ⎜ a ; 0; 0 ⎞ ⎟, N 

⎛ ⎜ 0; a ; 

a ⎞ 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 

1. Tính R: 

Phöông trình maët caàu (S): 

/ 

C, D , M, N ∈ ( S) 

, suy ra: 

2 2 2 

A / (0; 0; a), B / (a; 0; a), C / (a; a; a), D / (0; a; a) 

x + y + z − 2α x − 2β y − 2γ 

z + d = 0 

⎧ 2 

a − αa − βa + d = 

⎪ 2 

2 2 2 0 ( 1) 

⎪2a − 2βa − 2γ 

a + d = 0 ( 2) 

⎪ 2 

⎨ 

a 

− αa 

+ d 

( 3) 

⎪ 4 

⎪ 2 

a 

⎪ − β a − γ a + d = 0 ( 4) 

⎩ 2 

(1) – (2) suy ra: α = γ 

(2) – (4) suy ra: d = a 2 

5a 

( 3) 

⇒ α = γ = 

4 

a 

( 4) 

⇒ β = 

4 

⇒ Phöông trình maët caàu (S): 

2 2 2 5a a 5a 

2 

x + y + z − x − y − z + a = 0 

2 2 2 

B / 

B 

x 

A / D/ 

K 

a 

M 

z 

A 

N 

C / 

C 

L 

D 

y 



R 

2 2 2 

2 

2 ⎛ 5 a ⎞ ⎛ 5 a ⎞ ⎛ a ⎞ 2 35 a 

= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − a = 

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 16 

a 

Vaäy R = 35. 

4 

2. Tính r: 

Phöông trình maët caàu (S′): 

/ / / / 

A , B , C , D ∈ ( S ), suy ra: 

⎧ 2 / / 

a − γ a + d = 

⎪ 2 / / 

2 0 

⎪a − 2α 

a + d = 0 

⎨ 2 / / / / 

⎪3a − 2α a − 2β a − 2γ 

a + d = 0 

⎪ 2 / / 

⎩a − 2β 

a + d = 0 

/ / / a d / 

⇒ α = β = γ = , = 0 

2 

/ 

2 2 2 

2 2 2 / 2 / / / 

x + y + z − 2α x − 2β y − 2γ 

z + d = 0 

⇒ ( S ) : x + y + z − ax − ay − az = 0 vaø baùn kính 

Deã thaáy C(a; a; 0) ∈ ( S ) ⇒ C ∈ ( C) 

/ 

Goïi I, I , J laø taâm cuûa (S), (S / ) vaø (C) 

⎛ 5 a a 5 a ⎞ 

I I / ⎛ a a a ⎞ 

⇒ ⎜ ; ; ⎟, ⎜ ; ; ⎟ 

⎝ 4 4 4 ⎠ ⎝ 2 2 2 ⎠ 

/ 

a 3 

R / = 

2 

Ta coù: JC ⊥ II / 

 

/ 

/ [ II , CI ] 

⇒ r = d( C, II ) = 

/ 

II 

 

/ 3 3 3 5 

II 

⎛ a a − 

; a ⎞ 

; CI 

⎛ a ; a ; 

a ⎞ 

− 

2 

/ a 

= ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒ [ II , CI] = ( −1; 3; 2) 

⎝ 4 4 4 ⎠ ⎝ 4 4 4 ⎠ 

4 

⇒ r = a 

14 

19 

3. Tính S: 

2 

a 

n( CMN) = [ CM, CN] = − ( 2; −1; 3) 

4 

⇒ Phöông trình maët phaúng (CMN): 2x − y + 3z − a = 0 

Phöông trình ñöôøng thaúng AA′: 

Phöông trình ñöôøng thaúng DD′: 

⎧ x = 0 

⎪ 

⎨y = 0 ( t ∈ R) 

⎪ ⎩z 

= t 

⎧ x = 0 

⎪ 

⎨y = a ( t ∈ R) 

⎪ ⎩z 

= t 

/ / 

Goïi K = ( CMN) ∩ AA , L = ( CMN) 

∩ DD 

(C) 

J 

(S) 

I 

R 

r C 

R / 

I / 




⎛ a ⎞ ⎛ 2a 

⎞ 

⇒ K ⎜0; 0; ⎟, L ⎜ 0; a; 

⎟ 

⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

1 

⇒ S = SCMKL 

= ( [ CM, CK] + [ CK, CL] 

) 

2 

1 ⎛ ⎡⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞⎤ ⎡⎛ a ⎞ ⎛ 2a 

⎞⎤ 

⎞ 

= ⎢⎜ − ; − a; 0⎟, ⎜ −a; − a; ⎟⎥ + ⎢⎜ −a; − a; ⎟, ⎜ −a; 0; 

⎟⎥ 

2 ⎜ 

⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎣⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ 

⎟ 

⎝ 

⎠ 

a 

2 14 

⇒ S = . 

4 

BAØI TAÄP 

Baøi 1. Cho töù dieän OABC coù ñaùy OBC laø tam giaùc vuoâng taïi O, OB=a, OC= a 3 , (a>0) vaø ñöôøng 

cao OA= a 3 . Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh BC. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AB 

vaø OM. 

HD: Choïn heä truïc toïa ñoä sao cho: O( 0; 0; 0), A( 0; 0; a 3), B( a; 0; 0), C( 0; a 3; 0) . 

a 15 

⇒ d( AB; OM) = 

5 

Baøi 2. Cho hình choùp O.ABC coù caùc caïnh OA = a, OB = b, OC = c ñoâi moät vuoâng goùc. Ñieåm M 

coá ñònh thuoäc tam giaùc ABC coù khoaûng caùch laàn löôït ñeán caùc mp(OBC), mp(OCA), 

mp(OAB) laø 1, 2, 3. Tính a, b, c ñeå theå tích O.ABC nhoû nhaát. 

HD: Choïn heä truïc toïa ñoä sao cho: O( 0; 0; 0), A( a; 0; 0), B( 0; b; 0), C( 0; 0; c). 

1 2 3 1 

⇒ Vmin = 27 ⇔ a = b = c 

= 3 

Baøi 3. Töù dieän S.ABC coù caïnh SA vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø ∆ ABC vuoâng taïi C. Ñoä daøi cuûa caùc 

caïnh laø SA = 4, AC = 3, BC = 1. Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh AB, H laø ñieåm ñoái xöùng cuûa C 

qua M. Tính cosin goùc hôïp bôûi hai maët phaúng (SHB) vaø (SBC). 

HD: Choïn heä truïc toaï ñoä sao cho: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) vaø H(1;0;0). 

Baøi 4. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy laø tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A, AB = AC = a (a > 0), hình 

chieáu cuûa S treân ñaùy truøng vôùi troïng taâm G cuûa ∆ABC. Ñaët SG = x (x > 0). Xaùc ñònh giaù trò 

cuûa x ñeå goùc giöõa hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) baèng 60 o . 

⎛ a a ⎞ ⎛ a a ⎞ 

HD: Choïn heä truïc toaï ñoä sao cho: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0), G ⎜ ; ; 0⎟, S ⎜ ; ; x ⎟ . 

⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 

a 

⇒ x = . 3 

Baøi 5. Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S.ABC coù ñoä daøi caïnh ñaùy laø a. Goïi M, N laø trung ñieåm SB, 

SC. Tính theo a dieän tích ∆AMN, bieát (AMN) vuoâng goùc vôùi (SBC). 

⎛ a 3 ⎞ 

HD: Choïn heä truïc toaï ñoä sao cho: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A ; 0; 0 

(SO = h). 

⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 2 

2 5a 

1 a 10 

⇒ ( AMN) ⊥ ( SBC) ⇒ n( AMN) . n( SBC) 

= 0 ⇒ h = ⇒ S ⎡ 

∆AMN 

= AM , AN ⎤ = 

12 2 ⎣ ⎦ 16 



Baøi 6. Cho laêng truï ABC.A'B'C' caùc caùc maët beân ñeàu laø hình vuoâng caïnh a. Goïi D, F laàn löôït laø 

trung ñieåm cuûa caùc caïnh BC, C'B'. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A'B vaø B'C'. 

HD: Choïn heä truïc toaï ñoä sao cho: 

⎛ a a 3 ⎞ ⎛ a a 3 ⎞ ⎛ a a 3 ⎞ ⎛ a a 3 ⎞ 

A( 0; 0; 0), B⎜ ; ; 0⎟, C ⎜ − ; ; 0⎟, A'( 0; 0; a), B' ⎜ ; ; a⎟, C ' ⎜ − ; ; a⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 

a 21 

⇒ d ( A' B; B ' C ') 

= . 

7 

Baøi 7. Töù dieän ABCD coù AB, AC, AD ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau, AB = 3, AC = AD = 4. Tính 

khoaûng caùch töø A tôùi maët phaúng (BCD). 

HD: Choïn heä truïc toaï ñoä sao cho: A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0). 

Baøi 8. Cho hình choùp SABC coù ñoä daøi caùc caïnh ñeàu baèng 1, O laø troïng taâm cuûa tam giaùc ∆ABC. I 

laø trung ñieåm cuûa SO. 

a) Maët phaúng (BIC) caét SA taïi M. Tìm tæ soá theå tích cuûa töù dieän SBCM vaø töù dieän SABC. 

b) H laø chaân ñöôøng vuoâng goùc haï töø I xuoáng caïnh SB. Chöùng minh raèng IH qua troïng taâm G cuûa 

∆SAC. 

⎛ 3 ⎞ 

HD: Choïn heä truïc toaï ñoä sao cho: O(0; 0; 0), A ; 0 ; 0 

; 

⎜ 3 ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛ 6 ⎞ ⎛ 6 ⎞ 

S 0; 

0 ; I 0; 0; 

. 

⎜ 3 ⎟ ⎜ 

⎝ ⎠ 6 ⎟ 

⎝ ⎠ 

V( SBCM ) 1 

⇒ = 

V( ) 4 

SABC 

⎛ 3 1 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ 

B − ; − ; 0 

; C − ; ; 0 

; 

⎜ 6 2 ⎟ ⎜ 

⎝ 

⎠ 

6 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

Baøi 9. Cho hình laêng truï ABCD. A 1 B 1 C 1 coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a. AA 1 = 2a vaø vuoâng goùc 

vôùi maët phaúng (ABC). Goïi D laø trung ñieåm cuûa BB 1 ; M di ñoäng treân caïnh AA 1 . Tìm giaù trò 

lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa dieän tích tam giaùc MC 1 D. 

⎛ a 3 a ⎞ 

HD: Choïn heä truïc toaï ñoä sao cho: A(0;0;0), B(0;a;0), A 1 (0;0;2a), C1 

; ; 2a 

, D(0;a;a) 

⎜ 2 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

a 

2 15 

⇒ Giaù trò lôùn nhaát S 

DC1M 

= khi M ≡ A 

4 

Baøi 10. Cho töù dieän SABC coù ñaùy laø ∆ABC vuoâng caân taïi B, AB = a, SA ⊥ ( ABC) 

vaø SA = a. 

AH ⊥ SB taïi H, AK ⊥ SC taïi K. 

a. Chöùng minh HK ⊥ SC. 

b. Goïi I = HK ∩ BC. Chöùng minh B laø trung ñieåm CI. 

c. Tính sin goùc ϕ giöõa SB vaø (AHK). 

d. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp SABC. 

 

ÑS: a/ HK. SC = 0; 

c/ 

26 ; d/ a 3 

SJ = JC, 

R = 

2 

Baøi 11. Cho töù dieän SABC coù ñaùy laø ∆ABC vuoâng caân taïi B, AB = a, SA ⊥ ( ABC) 

vaø SA = a 2 . 

Goïi D laø trung ñieåm cuûa AC. 

a. Chöùng minh khoaûng caùch töø A ñeán (SBC) gaáp ñoâi khoaûng caùch töø D ñeán (SBC). 

b. Maët phaúng (α) qua A vaø vuoâng goùc SC, (α) caét SC vaø SB taïi M vaø N. Tính theå tích hình 



choùp SAMN. 


c. Tính cosin cuûa goùc taïo bôûi hai maët phaúng (SAC) vaø (SBC). 

a 6 a 6 

ÑS: a/ dA 

= ; dB 

= b/ 

3 6 

Baøi 12. Cho ∆ABC ñeàu caïnh a. Treân ñöôøng thaúng d 

a. Tính d(A, (SBC)) theo a vaø h. 

3 

a 2 

18 

d/ 

3 

3 

⊥ ( ABC) 

taïi A laáy ñieåm S, SA = h. 

b. Ñöôøng thaúng ∆ ⊥ ( SBC) 

taïi tröïc taâm H cuûa ∆SBC, chöùng toû ∆ luoân qua ñieåm coá ñònh khi 

S di ñoäng treân d. 

c. ∆ caét d taïi S / . Tính h theo a ñeå SS / nhoû nhaát. 

ÑS: a/ 

ah 

3 

2 2 

3a 

+ 4h 

; 

b/ Troïng taâm ∆ABC d/ 

a 

a 2 

2; h = . 

2 

Baøi 13. Cho hình choùp S.ABCD ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, SA ⊥ ( ABCD) 

vaø SA = a 2 . Maët 

phaúng (P) qua A vaø ( α) 

⊥ SC ; (P) caét caùc caïnh SB, SC, SD laàn löôït taïi H, M, K. 

a. Chöùng minh AH ⊥ SB, AK ⊥ SD. 

b. Chöùng minh BD // (α) vaø BD // HK. 

c. Chöùng minh HK ñi qua troïng taâm G cuûa ∆SAC. 

d. Tính V S.AHMK . 

 

ÑS: a/ AH. SB = AK. 

SD = 0 

b/ 

c/ HG / / GK; d/ 

Baøi 14. Cho hình choùp töù giaùc S.ABCD, SA 

AD = b, SA = 2a. N laø trung ñieåm SD. 

a. Tính d(A, (BCN)), d(SB, CN). 

3 

BD. nα = 0; 

BD = HK ; 

2 

3 

a 2 

18 

b. Tính cosin goùc giöõa hai maët phaúng (SCD) vaø (SBC). 

c. Goïi M laø trung ñieåm SA. Tìm ñieàu kieän a vaø b ñeå 

Trong tröôøng hôïp ñoù tính V S.BCNM . 

ÑS: a/ 

a 2 2ab 

; ; 

2 2 2 

4a 

+ 5b 

b/ 

. 

⊥ ( ABCD) 

vaø ABCD laø hình chöõ nhaät coù AB = a, 

b 

2 2 

20a 

+ 5b 

1 

cos CMN = . 

3 

; 

c/ 

3 

a 

a = b; V = . 

4 

Baøi 15. Trong mp(P) cho hình vuoâng ABCD. Treân tia Az ⊥ ( α) 

laáy ñieåm S. Ñöôøng thaúng 

( ∆1 ) ⊥ ( SBC) 

taïi S caét (P) taïi M, ( ∆2 ) ⊥ ( SCD) 

taïi S caét (P) taïi N. Goïi I laø trung ñieåm MN. 

a. Chöùng minh A, B, M thaúng haøng; A, D, N thaúng haøng. 

b. Khi S di ñoäng treân Az, chöùng toû I thuoäc ñöôøng thaúng coá ñònh. 

c. Veõ AH ⊥ SI taïi H. Chöùng minh AH laø ñöôøng cao töù dieän ASMN vaø H laø tröïc taâm 

∆SMN. 

d. Cho OS = 2, AB = 1. Tính V ASMN . 

 

2 2 

ÑS: a/ MA = h AB, NA = h AD; 

b/ 

⎛ 2 2 

h h ⎞ 

I ⎜ − ; − ; 0⎟ 

∈ AC; 

⎝ 2 2 ⎠ 



c/ AH ⊥ ( SMN); MN ⊥ SH; SM ⊥ AH; 

d/ 16 3 . 

Baøi 16. Cho hình choùp S.ABCD coù SA ⊥ ( ABCD) 

, ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a. Treân caùc 

caïnh BC, CD laáy laàn löôït caùc ñieåm M, N. Ñaët CM = x, CN= y (0 < x, y < a). 

a. Tìm heä thöùc giöõa x vaø y ñeå goùc giöõa hai maët phaúng (SAM) vaø (SAN) baèng 45 o . 

b. Tìm heä thöùc giöõa x vaø y ñeå ( SAM) ⊥ ( SMN) 

ÑS: a/ 

4 3 2 2 

4a − 4a ( x + y) + 2axy( x + y) 

− x y = 0 b/ 

Baøi 17. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD, caïnh ñaùy baèng a 2 

a 5 . 

2 

x − ax + ay = 0 

, ñöôøng cao SO, caïnh beân baèng 

a. Tính theå tích hình choùp. Xaùc ñònh taâm Ivaø baùn kính R cuûa hình caàu (S) noäi tieáp hình choùp. 

b. Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm AB, AD, SC. Maët phaúng (MNP) caét SB, SD taïi Q vaø R. 

Tính dieän tích thieát dieän. 

c. Chöùng toû raèng maët phaúng (MNP) chia hình choùp ra hai phaàn coù theå tích baèng nhau. 

3 

4a 

a 

2 

2a ÑS: a/ V = ; OI = R = b/ a 2 

c/ . 

3 2 

3 

Baøi 18. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD, ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, ñöôøng cao SO. Maët beân 

0 

0 

taïo vôùi ñaùy goùc 60 . Maët phaúng (P) chöùa caïnh AB vaø taïo vôùi ñaùy goùc 30 caét caùc caïnh SC, 

SD laàn löôït taïi M, N. 

a. Tính goùc giöõa AN vôùi (ABCD) vaø BD. 

b. Tính khoaûng caùch giöõa AN vaø BD. 

c. Tính theå tích hình khoái ABCDMN. 

ÑS: a/ 

3 

sinϕ = b/ 

13 

3 

a c/ 

22 

3 

5a 

3 

48 

Baøi 19. Cho hình vuoâng ABCD caïnh a 2 taâm O. Treân tia Oz ⊥ ( ABCD) 

laáy ñieåm S, maët phaúng 

(SAD) taïo vôùi ñaùy goùc α. 

a. Xaùc ñònh vaø tính ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa SA vaø CD. 

b. Maët phaúng (β) qua AC vaø vuoâng goùc (SAD) chia hình choùp thaønh hai phaàn. Tính tæ soá theå 

tích hai phaàn ñoù. 

ÑS: a/ a 2.sinα b/ 

2 

cos . α 

Baøi 20. Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A′B′C′D′ coù AB= 2, AD = 4, AA′ = 6. Goïi I, J laø trung 

 

ñieåm AB, CD′. Goïi M, N thoûa AM = mAD, 

BN = mBB / ( 0 ≤ m ≤ 1) 

a. Tính khoaûng caùch töø A ñeán (BDA′). 

b. Chöùng minh I, M, J, N ñoàng phaúng. 

c. Xaùc ñònh taâm K vaø baùn kính R cuûa maët caàu (S) ngoaïi tieáp ABDA′. 

d. Tính baùn kính r cuûa ñöôøng troøn giao cuûa (S) vaø (BDA′). 

ÑS: a/ 12 

b/ [ IN, IJ]. IM = 0 c/ K( 1; 2; 3), R = 14; 

d/ 5 26 . 

7 

7 

Baøi 21. Cho hình laäp phöông ABCD.A′B′C′D′ coù caùc caïnh baèng 2. Goïi M, N laø trung ñieåm AB 

vaø DD′. 

a. Chöùng minh MN // (BDC′). Tính MN vaø d(MN, (BDC′)). 

b. Goïi P laø trung ñieåm C′D′ . Tính V C.MNP vaø goùc giöõa MN vaø BD. 


. 

3



c. Tính baùn kính R cuûa ñöôøng troøn (A / BD). 

 

3 

ÑS: a/ MN. n = 0; MN = 6; d = ; b/ V = 1; ϕ = 30 o ; c/ 2 6 

3 

3 . 

Baøi 22. Cho laêng truï OAB.O′A′D ñaùy ∆OAB vuoâng taïi O, OA= a, OB = b, OO/ = h. Maët phaúng 

(P) qua O vuoâng goùc AB′. 

a. Tìm ñieàu kieän a, b, h ñeå (α) caét caïnh AB, AA / taïi I, J (I, J khoâng truøng A, B, A / ). 

b. Vôùi ñieàu kieän treân haõy tính: S ∆OIJ vaø tæ soá theå tích 2 phaàn do thieát dieän chia laêng truï. 

ÑS: a/ a < h b/ 

3 2 2 2 4 

+ + V1 

; 

2 2 2 2 2 2 4 

2h( a + b ) V2 

3a h + 3b h − a 

a b a b h a 

S = = 

Baøi 23. Cho töù dieän SABC coù ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A, SC 

⊥ ( ABC) 

vaø SC = AB = AC = 

a 2 . Caùc ñieåm M thuoäc SA vaø N thuoäc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a) 

a. Tính ñoä daøi ñoaïn MN, tìm t ñeå ñoaïn MN ngaén nhaát. 

b. Khi MN ngaén nhaát, chöùng minh raèng MN laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa BC vaø SA. 

2 2 a 6 2a 

ÑS: a/ MN = 3t − 4at + 2a ; min = , t = b/ MN ⊥ AM, MN ⊥ CN. 

3 3 

Baøi 24. Cho hình choùp SABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B, coù AB= 3, BC = 4. Caïnh beân 

SA ⊥ ( ABC) 

vaø SA = 4. 

a. Tìm taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp SABC. 

b. Treân AB laáy 1 ñieåm E vôùi AE = x. Maët phaúng (P) qua E song song vôùi SA vaø BC caét hình 

choùp theo thieát dieän laø hình gì? Tính dieän tích thieát dieän. Tìm x ñeå dieän tích naøy lôùn nhaát. 

41 

3 

ÑS: a/ SI = IC; 

R = b/ max S = 4, x = . 

2 

2 

Baøi 25. Cho tam giaùc ñeàu SAD vaø hình vuoâng ABCD caïnh a naèm trong 2 maët phaúng vuoâng goùc 

nhau. Goïi I laø trung ñieåm cuûa AD, M laø trung ñieåm cuûa AB, F laø trung ñieåm cuûa SB. 

a. Chöùng minh raèng maët phaúng ( CMF) ⊥ ( SIB) 

. 

b. Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng AB vaø SD giöõa CM vaø SA. 

a 3 a 3 

ÑS: b/ ; . 

2 4 

Baøi 26. Cho hình laêng truï ñöùng ABCD.A′B′C′D′ coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a, goùc 

60 

o 

BAD = . Goïi M laø trung ñieåm caïnh AA′ vaø N laø trung ñieåm caïnh CC′. 

a. Chöùng minh raèng 4 ñieåm B′, M, D, N cuøng thuoäc moät maët phaúng. 

b. Tính caïnh AA′ theo a ñeå töù giaùc B′MDN laø hình vuoâng. 

ÑS: b/ a 2. 

ÑEÀ THI CHUNG CUÛA BOÄ GD-ÑT 

Baøi 1: (A–2002) Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S.ABC ñænh S, coù ñoä daøi caïnh ñaùy baèng a. Goïi M 

vaø N laàn löôït laø caùc trung ñieåm cuûa caùc caïnh SB vaø SC. Tính theo a dieän tích tam giaùc AMN, bieát 

raèng maët phaúng (AMN) vuoâng goùc vôùi maët phaúng (SBC). 



ÑS: 

a 


S = 

16 

Baøi 2: (A–2002) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz, cho hai ñöôøng thaúng: 

x 2y z 4 0 

Α1 

: 

⎧ ⎨ − + − = 

⎩x + 2y − 2z 

+ 4 = 0 

vaø ∆2 

: 

⎧ x = 1+ 

t 

⎪ 

⎨y 

= 2 + t 

⎪ ⎩z 

= 1+ 

2t. 

a. Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng ∆ 1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng ∆ 2 . 

b. Cho ñieåm M(2; 1; 4). Tìm toïa ñoä ñieåm H thuoäc ñöôøng thaúng∆ 2 sao cho ñoaïn thaúng MH coù 

ñoä daøi nhoû nhaát. 

ÑS: a/ ( P) : 2x − z = 0 

b/ H( 2; 3; 3). 

Baøi 3: (B–2002) Cho hình laäp phöông ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 coù caïnh baèng a. 

a. Tính theo a khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A 1 B vaø B 1 D. 

b. Goïi M, N, P laàn löôït laø caùc trung ñieåm cuûa caùc caïnh BB 1 , CD, A 1 D 1 . Tính goùc giöõa hai 

ñöôøng thaúng MP vaø C 1 N. 

ÑS: a/ 

a 6 

6 

; b/ MP ⊥ C1N. 

Baøi 4: (D–2002) Cho hình töù dieän ABCD coù caïnh AD vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC); 

AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoaûng caùch töø ñieåm A tôùi maët phaúng (BCD). 

ÑS: 

6 34 

17 . 

Baøi 5: (D–2002) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz, cho maët phaúng 

(P): 2x – y + 2 = 0 vaø ñöôøng thaúng d m : 

⎧ ( 2m + 1) x + ( 1− m) 

y + m − 1 = 0 

⎨ 

⎩mx + ( 2m + 1) 

z + 4m 

+ 2 = 0 

Xaùc ñònh m ñeå ñöôøng thaúng d m song song vôùi maët phaúng (P). 

ÑS: 

1 

m = − . 

2 

(m laø tham soá). 

Baøi 6: (A–2003) Cho hình laäp phöông ABCD.A / B / C / D / . Tính soá ño cuûa goùc phaúng nhò dieän [B, 

A / C, D]. 

ÑS: 

120 o 

Baøi 7: (A–2003) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz, cho hình hoäp chöõ nhaät 

ABCD.A / B / C / D / coù A truøng vôùi goác cuûa heä toïa ñoä, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A / (0; 0; b) (a >0, b > 

0). Goïi M laø trung ñieåm caïnh CC / . 

a. Tính theå tích khoái töù dieän BDA / M theo a vaø b. 

b. Xaùc ñònh tyû soá a b ñeå hai maët phaúng (A/ BD) vaø (MBD) vuoâng goùc vôùi nhau. 

ÑS: a/ 

2 

a b a 

; b/ = 1 . 

4 

b 

Baøi 8: (B–2003) Cho hình laêng truï ñöùng ABCD.A / B / C / D / coù ñaùy ABCD laø moät hình thoi caïnh a, 

goùc BAD = 60 o . Goïi M laø trung ñieåm caïnh AA / vaø Nlaø trung ñieåm caïnh CC / . Chöùng minh 

raèng boán ñieåm B / , M, D, N cuøng thuoäc moät maët phaúng. Haõy tính ñoä daøi caïnh AA / theo a ñeå 

töù giaùc B / MDN laø hình vuoâng. 




ÑS: a 2. 

Baøi 9: (B–2003) Trong khoâng gian vôùi heä 

 

toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz, cho hai ñieåm 

A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) vaø ñieåm C sao cho AC = ( 0; 6; 0) 

. Tính khoaûng caùch töø trung ñieåm I cuûa 

BC ñeán ñöôøng thaúng OA. 

ÑS: 5. 

Baøi 10: (D–2003) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz, cho ñöôøng thaúng: 

( x 3ky z 2 0 

dk 

) : ⎧ ⎨ 

+ − + = 

⎩kx − y + z + 1 = 0 

Tìm k ñeå ñöôøng thaúng (d k ) vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P): x – y – 2z + 5 = 0. 

ÑS: k = 1. 

Baøi 11: (D–2003) Cho hai maët phaúng (P) vaø (Q) vuoâng goùc vôùi nhau, coù giao tuyeán laø ñöôøng 

thaúng ∆. Treân ∆ laáy hai ñieåm A, B vôùi AB= a. Trong maët phaúng (P) laáy ñieåm C, trong maët 

phaúng (Q) laáy ñieåm D sao cho AC, BD cuøng vuoâng goùc vôùi ∆ vaø AC = BD = AB. Tính baùn 

kính maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD vaø tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (BCD) theo 

a. 

ÑS: 

a 3 a 2 

R = ; AH = . 

2 2 

Baøi 12: (A–2004) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD 

laø hình thoi, AC caét BD taïi goác toïa ñoä O. Bieát A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S( 0; 0; 2 2) . Goïi M laø 

trung ñieåm cuûa caïnh SC. 

a. Tính goùc vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SA, BM. 

b. Giaû söû maët phaúng (ABM) caét ñöôøng thaúng SD taïi ñieåm N. Tính theå tích khoái choùp 

S.ABMN. 

ÑS: a/ 

2 6 

30 

o ; . 

3 

Baøi 13: (B–2004) Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy baèng a, goùc giöõa caïnh beân vaø 

o 

o 

maët ñaùy baèng ϕ( ( 0 < ϕ < 90 ) . Tính tang cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (SAB) vaø (ABCD) 

theo ϕ. Tính theå tích khoái choùp S.ABCD theo a vaø ϕ. 

ÑS: 

2.tan ϕ; 

2 

a 2 

.tanϕ 

6 

Baøi 14: (B–2004) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(-4; -2; 4) vaø ñöôøng thaúng 

d: 

⎧ x = − 3+ 

2t 

⎪ 

⎨y 

= 1 − t 

⎪ ⎩z = − 1+ 

4t. 

Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ∆ ñi qua ñieåm A, caét vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d. 

ÑS: 

( ∆) : 

x + 4 y + 2 z − 4 

= = . 

3 2 − 1 

Baøi 15: (D–2004) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hình laêng truï ñöùng ABC.A 1 B 1 C 1 . 

Bieát A(a; 0; 0), B(-a; 0; 0), C(0; 1; 0), B 1 (-a; 0; b), a > 0, b > 0. 

a. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng B 1 C vaø AC 1 theo a, b. 

b. Cho a, b thay ñoåi, nhöng luoân thoûa maõn a + b = 4. Tìm a, b ñeå khoaûng caùch giöõa hai 

ñöôøng thaúng B 1 C vaø AC 1 lôùn nhaát. 



ÑS: a/ 

a 

ab 

2 2 

+ b 

; 

b/ 2; a = b = 2. 

Baøi 16: (D–2004) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ba ñieåm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 

1; 1) vaø maët phaúng (P): x + y + z – 2 = 0. Vieát phöông trình maët caàu ñi qua ba ñieåm A, B, C 

vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P). 

ÑS: 

2 2 2 

( x − 1) + y + ( z − 1) = 1. 

Baøi 17: (A–2005) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho ñöôøng thaúng d: 

vaø maët phaúng (P): 2x + y − 2z 

+ 9 = 0 . 

a) Tìm toaï ñoä ñieåm I thuoäc d sao cho khoaûng caùch töø I ñeán maët phaúng (P) baèng 2. 

x − 1 y + 3 z − 3 

= = 

−1 2 1 

b) Tìm toaï ñoä giao ñieåm A cuûa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P). Vieát phöông trình tham soá 

cuûa ñöôøng thaúng ∆ naèm trong maët phaúng (P), bieát ∆ ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d. 

⎧ x = t 

⎪ 

ÑS: a) I 1 

( −3; 5; 7), I 2 

( 3; − 7; 1) 

b) A(0; –1; 4); ∆: ⎨y 

= − 1 

⎪ ⎩z 

= 4 + t 

Baøi 18: (B–2005) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho hình laêng truï ñöùng ABC.A′B′C′ vôùi 

A(0; –3; 0), B(3; 0; 0), C(0; 3; 0), B′(4; 0; 4). 

a) Tìm toaï ñoä caùc ñænh A′, C′. Vieát phöông trình maët caàu coù taâm laø A vaø tieáp xuùc vôùi maët 

phaúng (BCC′B′). 

b) Goïi M laø trung ñieåm cuûa A′B′. Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua hai ñieåm A, M vaø 

song song vôùi BC′. Maët phaúng (P) caét ñöôøng thaúng A′C′ taïi ñieåm N. Tính ñoä daøi ñoaïn MN. 

ÑS: 

a) A′ (0; –3; 4), C′ (0; 3; 4); (S): 

b) (P): x + 4y − 2z 

+ 12 = 0 ; MN = 

2 2 2 576 

x + ( y + 3) 

+ z = 

Baøi 19: (D–2005) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho hai ñöôøng thaúng 

x − 1 y + 2 z + 1 ⎧ x + y − z − 2 = 0 

d1 : = = vaø d2 

: ⎨ 

3 −1 2 

⎩x 

+ 3y 


a) Chöùng minh raèng d 1 vaø d 2 song song vôùi nhau. Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa caû 

hai ñöôøng thaúng d 1 vaø d 2 . 

b) Maët phaúng toaï ñoä Oxz caét hai ñöôøng thaúng d 1 , d 2 laàn löôït taïi caùc ñieåm A, B. Tính dieän tích 

tam giaùc OAB (O laø goác toaï ñoä). 

ÑS: a) (P): 15x + 11y −17z 

− 10 = 0 b) S ∆OAB = 5 

Baøi 20: (A–2006) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho hình laäp phöông ABCD.A′B′C′D′ 

vôùi A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A′(0; 0; 1). Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, CD. 

17 

2 

a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A′C vaø MN. 

b) Vieát phöông trình maët phaúng chöùa A′C vaø taïo vôùi maët phaúng Oxy moät goùc α, bieát 

1 

cosα = . 

6 

ÑS: a) d(A′C, MN) = 

1 

2 2 

25 

b) (Q 1 ): 2x − y + z − 1 = 0 , (Q 2 ): x − 2y − z + 1 = 0 




Baøi 21: (A–2006) Cho hình truï coù caùc ñaùy laø hai hình troøn taâm O vaø O′, baùn kính ñaùy baèng chieàu 

cao vaø baèng a. Treân ñöôøng troøn ñaùy taâm O laáy ñieåm A, treân ñöôøng troøn ñaùy taâm O′ laáy ñieåm 

B sao cho AB = 2a. Tính theå tích cuûa khoái töù dieän OO′AB. 

ÑS: V = 

3 

3a . 


Baøi 22: (B–2006) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho ñieåm A(0; 1; 2) vaø hai ñöôøng thaúng: 

⎧ x = 1+ 

t 

x y − 1 z + 1 

⎪ 

d1 : = = vaø d2 

: ⎨y = −1− 

2t 

2 1 −1 

⎪ ⎩z 

= 2 + t 

a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua A, ñoàng thôøi song song vôùi d 1 vaø d 2 . 

b) Tìm toaï ñoä caùc ñieåm M thuoäc d 1 , N thuoäc d 2 sao cho ba ñieåm A, M, N thaúng haøng. 

ÑS: a) (P): x + 3y + 5z 

− 3 = 0 b) M(0; 1; –1), N(0; 1; 1). 

Baøi 23: (B–2006) Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät vôùi AB = a, AD = 

a 2 , SA = a vaø SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD). Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa 

AD vaø SC; I laø giao ñieåm cuûa BM vaø AC. Chöùng minh raèng maët phaúng (SAC) vuoâng goùc vôùi 

maët phaúng (SMB). Tính theå tích cuûa khoái töù dieän ANIB. 

ÑS: V AINB = 

3 

a 2 

36 

. 

Baøi 24: (D–2006) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho ñieåm A(1; 2; 3) vaø hai ñöôøng thaúng: 

x − 2 y + 2 z −1 x −1 y − 1 z + 1 

d1 : = = vaø d2 

: = = 

2 −1 1 −1 2 1 

a) Tìm toaï ñoä ñieåm A′ ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua ñöôøng thaúng d 1 . 

b) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ∆ ñi qua A, vuoâng goùc vôùi d 1 vaø caét d 2 . 

ÑS: a) A′ (–1; –4; 1) b) ∆: 

x −1 y − 2 z − 3 

= = 

1 −3 −5 

Baøi 25: (D–2006) Cho hình choùp tam giaùc S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a, SA = 2a 

vaø SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC). Goïi M vaø N laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A 

treân caùc ñöôøng thaúng SB vaø SC. Tính theå tích cuûa khoái choùp A.BCNM. 

ÑS: V = 

3 

3 3a . 

50 

Baøi 26: (A–2007) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho hai ñöôøng thaúng: 

⎧ x = − 1+ 

2t 

x y − 1 z + 2 

⎪ 

d1 : = = vaø d2 

: ⎨y = 1+ 

t 

2 −1 1 

⎪ ⎩z 

= 3 

a) Chöùng minh raèng d 1 vaø d 2 cheùo nhau. 

b) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P): 7x + y − 4z 

= 0 vaø caét hai 

ñöôøng thaúng d 1 , d 2 . 

ÑS: b) d: 

x − 2 y z + 1 

= = . 

7 1 − 4 

Baøi 27: (A–2007) Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, maët beân SAD laø tam 

giaùc ñeàu vaø naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa 

caùc caïnh SB, BC, CD. Chöùng minh AM vuoâng goùc vôùi BP vaø tính theå tích cuûa khoái töù dieän 

CMNP. 



3 

3a ÑS: V CMNP = . 

96 

Baøi 28: (B–2007) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho maët caàu (S) vaø maët phaúng (P) coù 

phöông trình: (S): 

2 2 2 

x + y + z − 2x + 4y + 2z 

− 3 = 0 , (P): 2x − y + 2z 

− 14 = 0 . 

a) Vieát phöông trình maët phaúng (Q) chöùa truïc Ox vaø caét (S) theo moät ñöôøng troøn coù baùn kính 

baèng 3. 

b) Tìm toaï ñoä ñieåm M thuoäc maët caàu (S) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán maët phaúng (P) lôùn 

nhaát. 

ÑS: a) (Q): y − 2z 

= 0 b) M( −1; −1; − 3) 

. 

Baøi 29: (B–2007) Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a. Goïi E laø 

ñieåm ñoái xöùng cuûa D qua trung ñieåm cuûa SA, M laø trung ñieåm cuûa AE, N laø trung ñieåm cuûa 

BC. Chöùng minh MN vuoâng goùc vôùi BD vaø tính (theo a) khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng 

MN vaø AC. 

a 2 

ÑS: d(MN, AC) = . 

4 

Baøi 30: (D–2007) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho hai ñieåm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4) vaø 

1 2 

ñöôøng thaúng ∆: 

x − y + 

= = 

z . 

−1 1 2 

a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua troïng taâm G cuûa tam giaùc OAB vaø vuoâng goùc vôùi 

maët phaúng (OAB). 

b) Tìm toaï ñoä ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng ∆ sao cho 

ÑS: a) d: 

x y − 2 z − 2 

= = 

2 −1 1 

b) M(–1; 0; 4). 

MA 

2 2 

+ MB nhoû nhaát. 

Baøi 31: (D–2007) Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình thang, ABC 

= BAD 

= 90 

0 , BA = BC = 

a, AD = 2a. Caïnh beân SA vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø SA = a 2 . Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc 

cuûa A treân SB. Chöùng minh ∆SCD vuoâng vaø tính (theo a) khoaûng caùch töø H ñeán maët phaúng 

(SCD). 

ÑS: d(H, (SCD)) = 3 

a . 

Baøi 32: (A–2008) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho ñieåm A(2; 5; 3) vaø ñöôøng thaúng 

x −1 y z − 2 

d : = = 

2 1 2 

a) Tìm toaï ñoä hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm A treân ñöôøng thaúng d. 

b) Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa d sao cho khoaûng caùch töø A ñeán (P) lôùn nhaát. 

ÑS: a) H(3; 1; 4) b) (P): x − 4y + z − 3 = 0 

Baøi 33: (A–2008) Cho laêng truï ABC.A′B′C′ coù ñoä daøi caïnh beân baèng 2a, ñaùy ABC laø tam giaùc 

vuoâng taïi A, AB = a, AC = a 3 vaø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñænh A′ treân maët phaúng (ABC) 

laø trung ñieåm cuûa caïnh BC. Tính theo a theå tích khoái choùp A′.ABC vaø tính cosin cuûa goùc 

giöõa hai ñöôøng thaúng AA′, B′C′. 

ÑS: V = 

3 

a cosϕ = 

1 

2 

4 

Baøi 34: (B–2008) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho ba ñieåm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(– 

2; 0; 1). 




a) Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua ba ñieåm A, B, C. 

b) Tìm toaï ñoä cuûa ñieåm M thuoäc maët phaúng 2x + 2y + z − 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. 

ÑS: a) x + 2y − 4z 

+ 6 = 0 b) M(2; 3; –7). 

Baøi 35: (B–2008) Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh 2a, SA = a, SB = 

a 3 vaø maët phaúng (SAB) vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm 

cuûa caùc caïnh AB, BC. Tính theo a theå tích cuûa khoái choùp S.BMDN vaø tính cosin cuûa goùc 

giöõa hai ñöôøng thaúng SM, DN. 

ÑS: V = 

3 3 

a 

3 

; 

5 

cosϕ = . 

5 

Baøi 36: (D–2008) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho boán ñieåm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), 

C(0; 3; 3), D(3; 3; 3). 

a) Vieát phöông trình maët caàu ñi qua boán ñieåm A, B, C, D. 

b) Tìm toaï ñoä taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC. 

ÑS: a) 

2 2 2 

x + y + z − 3x − 3y − 3z 

= 0 b) H(2; 2; 2). 

Baøi 37: (D–2008) Cho laêng truï ñöùng ABC.A′B′C′ coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng, AB = BC = a, 

caïnh beân AA′ = a 2 . Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh BC. Tính theo a theå tích cuûa khoái laêng 

truï ABC.A′B′C′ vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AM, B′C. 

ÑS: V = 

2 3 

2 a ; d = a 7 

7 

. 

Baøi 38: (A–2009) Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng taïi A vaø D; AB = 

0 

AD = 2a, CD = a; goùc giöõa hai maët phaúng (SBC) vaø (ABCD) baèng 60 . Goïi I laø trung ñieåm 

cuûa caïnh AD. Bieát hai maët phaúng (SBI) vaø (SCI) cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD), 

tính theå tích khoái choùp S.ABCD theo a. 

ÑS: V = 

3 

3 15a . 

5 

Baøi 39: (A–2009) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho maët phaúng (P): 2x − 2y − z − 4 = 0 

vaø maët caàu (S): 

2 2 2 

x + y + z − 2x − 4y − 6z 

− 11 = 0 . Chöùng minh raèng maët phaúng (P) caét maët 

caàu (S) theo moät ñöôøng troøn. Xaùc ñònh toaï ñoä taâm vaø tính baùn kính cuûa ñöôøng troøn ñoù. 

ÑS: H(3; 0; 2), r = 4. 

Baøi 40: (A–2009) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho maët phaúng (P): x − 2y + 2z 

− 1 = 0 va 

hai ñöôøng thaúng x + 1 y z + 9 x −1 y − 3 z + 1 

∆1 : = = , ∆2 

: = = . Xaùc ñònh toaï ñoä ñieåm M thuoäc 

1 1 6 2 1 − 2 

ñöôøng thaúng ∆ 1 sao cho khoaûng caùch töø M ñeán ñöôøng thaúng ∆ 2 vaø khoaûng caùch töø M ñeán maët 

phaúng (P) baèng nhau. 

ÑS: 

⎛ 18 53 3 ⎞ 

M ⎜ ; ; ⎟ 

⎝ 35 35 35 ⎠ . 

Baøi 41: (B–2009) Cho hình laêng truï tam giaùc ABC.A′B′C′ coù BB′ = a, goùc giöõa ñöôøng thaúng BB′ 

0 

vaø maët phaúng (ABC) baèng 60 ; tam giaùc ABC vuoâng taïi C vaø BAC = 60 

0 . Hình chieáu vuoâng 

goùc cuûa ñieåm B′ leân maët phaúng (ABC) truøng vôùi troïng taâm cuûa tam giaùc ABC. Tính theå tích 

khoái töù dieän A′.ABC theo a. 



ÑS: V = 

3 

9a . 

208 

Baøi 42: (B–2009) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho töù dieän ABCD coù caùc ñænh A(1; 2; 

1), B(–2; 1; 3), C(2; –1; 1) vaø D(0; 3; 1). Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua A, B sao cho 

khoaûng caùch töø C ñeán (P) baèng khoaûng caùch töø D ñeán (P). 

ÑS: (P): 4x + 2y + 7z 

− 15 = 0 hoaëc (P): 2x 

+ 3z 

− 5 = 0. 

Baøi 43: (B–2009) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho maët phaúng (P): x − 2y + 2z 

− 5 = 0 

vaø hai ñieåm A(–3; 0; 1), B(1; –1; 3). Trong caùc ñöôøng thaúng ñi qua A vaø song song vôùi (P), 

haõy vieát phöông trình ñöôøng thaúng maø khoaûng caùch töø B ñeán ñöôøng thaúng ñoù laø nhoû nhaát. 

ÑS: ∆: 

x + 3 y z −1 

= = . 

26 11 − 2 

Baøi 44: (D–2009) Cho hình laêng truï ñöùng ABC. A′B′C′ coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B, AB 

= a, AA′ = 2a, A′C = 3a. Goïi M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng A′C′, I laø giao ñieåm cuûa AM 

vaø A′C. Tính theo a theå tích khoái töù dieän IABC vaø khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán maët phaúng 

(IBC). 

ÑS: V = 

3 

4a 2a 

5 

, d = 

9 

5 

. 

Baøi 45: (D–2009) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho caùc ñieåm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 

1; 0) vaø maët phaúng (P): x + y + z − 20 = 0 . Xaùc ñònh toaï ñoä ñieåm D thuoäc ñöôøng thaúng AB sao 

cho ñöôøng thaúng CD song song vôùi maët phaúng (P). 

ÑS: 

⎛ 5 1 ⎞ 

D ⎜ ; ; −1⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ . 

x + 2 y − 2 z 

Baøi 46: (D–2009) Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho ñöôøng thaúng ∆ : = = 

1 1 − 1 

vaø maët phaúng (P): x + 2y − 3z 

+ 4 = 0 . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d naèm trong (P) sao cho 

d caét vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ∆. 

ÑS: d: 

⎧ x = − 3 + t 

⎪ 

⎨y 

= 1 − 2t 

. 

⎪ ⎩z 

= 1− 

t 



ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG III 

ĐỀ 1 

x −1 

y z 

Câu 1(4 điểm). Trong kg Oxyz , cho điểm A(1; 4; 2 ) và đường thẳng ∆ : = = 

1 −2 1 

a) Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A lên đường thẳng ∆ . 

b) Tìm tọa độ điểm M có cao độ nhỏ hơn –3 . Biết M thuộc đường thẳng ∆ sao cho khoảng cách 

từ M đến A bằng 5 lần khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxy). 

Câu 2( 6 điểm). Trong kg Oxyz , cho ba điểm A( 3; 3; 0), B(–1; 4; –3), C(2; 0; 0). 

a) Chứng minh bốn điểm O, A, B, C lập thành một tứ diện và tính V 

OABC 

b) Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Viết phương trình mặt phẳng (P), biết mặt phẳng 

(P) đi qua O, A và cắt (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích bằng 5π . 

ĐỀ 2 

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm: A(2;-1;1) , B(3;2;3) , C(1;-2;2). 

a) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB. 

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 

c) Tìm toạ độ điểm C' đối xứng với C qua đường thẳng AB. 

2 1 3 

Câu 2: Trong kg Oxyz , cho đường thẳng d : 

x − y + z + 

= = và mp(P): x+2y + z + 9 = 0. 

1 −3 2 

a) Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng d và mp(P). 

b) Viết pt mặt cầu tiếp xúc với mp(P) có tâm thuộc đường thẳng d và có bán kính R = 3 2 

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc và SA = a, SB = b, SC = c. Chứng 

minh rằng trong tam giác ABC ta có : a 2 tanA = b 2 tanB = c 2 tanC 

ĐỀ 3 

Câu 1 : Trong kg Oxyz cho ∆ABC có A(1, 1, 2), B(-1, 3, 4) và trọng tâm G(2, 0, 4). 

a) Xác định toạ độ đỉnh C của tam giác 

b) Viết phương trình mp (ABC). 

c) Viết p/trình tham số và pt chính tắc của đường trung tuyến hạ từ đỉnh A của tam giác ABC. 

d) Tính thể tích khối chóp OABG 

x −1 y − 2 z + 1 

Câu 2: Trong kg Oxyz cho 2 đt (D): = = và (D’): 

x − 1 y + 1 

= = z 

3 1 2 

1 2 − 2 

a) Chứng tỏ hai đường thẳng (D) và (D’) chéo nhau. 

b) Viết phương trình mp chứa đường thẳng (D) và song song với đường thẳng (D’). 

ĐỀ 4 

Câu 1: Cho ∆ABC có A(2; 1; 4), B(-2; 2; -6), C(6; 0; -1). Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC. 

Câu 2: Cho A(4; -3; 2), B(-2; 1; -4) 

a) Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB 

b) Viết PT mặt phẳng qua A, B và song song với Ox. 

⎧x 

= 1− 

t 

⎪ 

Câu 3: Cho A: ⎨y 

= − 1 + t 

⎪ ⎩z 

= 1 + 2t 

và (P): x + 2y + z - 5 = 0 

Viết phương trình hình chiếu vuông góc d của A lên (P). 



ĐỀ 5 

A 1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1 , D −2;1, − 1 

Câu 1: (3.5 điểm) Cho 4 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 

a) Viết phương trình mp (BCD) 

b) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện 

c) Viết pt mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp (BCD) 

' 

⎧x 

= − 1+ 

2t 

⎧ x = 2 + t 

⎪ ⎪ 

Câu 2: (3.5 điểm) Cho 2 đường thẳng d ⎨y = + t d ⎨y = − + t 

⎪ 

' 

z 2 t ⎪ 

⎩ = + 

⎩z = −2t 

α chứa d ’ và song song với d 

a) Viết phương trình mặt phẳng ( ) 

b) Tính khoảng cách giữa d và ( α ) 

⎧x 

= t 

⎪ 

Câu 3: (3 điểm) Cho đường thẳng d : ⎨y = 1 + t 

⎩ 

⎪ z = − 3 + 2t 

a) Tìm giao điểm I của d và mp (xOz) 

b) Tìm điểm M trên d sao cho IM=2 

' 

' 

: 1 3 : 2 5 

ĐỀ 6 

Câu 1 (5điểm) Cho mặt phẳng(α) 2x + 2y + z − 9 = 0 và các điểm E(-1;0;2). 

a) Viết phương trình mặt cầu tâm E và tiếp xúc với mặt phẳng (α). 

b) Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt cầu trên với mặt phẳng (α). 

c) Tìm tọa độ điểm E’ đối xứng với E qua mặt phẳng (α) 

Câu 2 (5 điểm) Cho bốn điểm A(1; −1;9), B(2; −2;9), C(3;3; −3), D( −1;0; − 1) . 

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) 

b) Tìm thể tích khối chóp D.ABC 

c) Viết phương trình mặt phẳng (β) qua D và song song với mặt phẳng (ABC). 

ĐỀ 7 

Câu 1 : Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1, 1, 2), B(-1, 3, 4) và trọng tâm của tam 

giác là: G(2, 0, 4). 

1/ Xác định toạ độ đỉnh C của tam giác 

2/ Viết phương trình mp (ABC). 

3/ Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường trung tuyến hạ từ đỉnh A của tam 

giác ABC. 

4/ Tính thể tích khối chóp OABG 

x −1 y − 2 z + 1 

Câu 2: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng (D): = = và 

3 1 2 

1 1 

(D’): 

x − y + 

= = z 

1 2 − 2 

1/ Chứng tỏ hai đường thẳng (D) và (D’) chéo nhau. 

2/ Viết phương trình mp chứa đường thẳng (D) và song song với đường thẳng (D’). 


Câu 1 (4 điểm): 


ĐỀ 8 

a) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết A( 3; −1; −2 ); B( 1;1; − 2) 

b) Viết phương trình mặt cầu tâm C( 3; −5; − 2) 

và tiếp xúc mặt phẳng 2x − y − 3z + 11 = 0 

Câu 2 (3 điểm): Cho bốn điểm M( 5;1;3 ); N( 1;6;2 ); P( 2;0;4 ); Q( 4;0;6 ) 

a) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua 3 điểm M;N;P . 

b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng PQ. 

Câu 3 (3 điểm): 

M 3;1; 2 

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm ( ) 

chỉ phương. 

 

− và nhận vectơ n = (3; −1; −1) 

làm vectơ 

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A( 1; −1; −2 ); B( 3;1; − 2) 



TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến 

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng 

(P): x – 3y + 2 z – 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông 

góc với mặt phẳng (P). 

 

• (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ⇒ (Q) có VTPT n ⎡ 

 

= nP, AB⎤ 

⎣ ⎦ = (0; −8; −12) ≠ 0 

⇒ ( Q) : 2y + 3z 

− 11 = 0 . 

Câu hỏi tương tự: 

a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ( P) : x + 2y + 3z 

+ 3 = 0 . ĐS: ( Q) : x − 2y + z − 2 = 0 

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm 

⎧ x = − 1+ 

t 

⎪ 

A(2;1;3), B(1; − 2;1) và song song với đường thẳng d : ⎨y = 2t 

. 

⎪ ⎩z 

= −3 − 2t 

 

 

• Ta có BA = (1;3;2) , d có VTCP u = (1;2; −2) 

. 

Gọi n ⎧ 

 

là VTPT của (P) ⇒ 

n ⊥ BA 

⎨ ⇒ chọn n ⎡ 

= ⎣BA, u⎤⎦ 

= ( −10;4; −1) 

⎩n 

⊥ u 

⇒ Phương trình của (P): 10x − 4y + z − 19 = 0 . 

Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng ( d 1 

) và ( d 2 

) có phương trình: 

x − 1 y + 1 z − 2 x − 4 y −1 z − 3 

( d 1 

); = = , ( d 

2) : = = . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa 

2 3 1 

6 9 3 

(d 1 

) và ( d 2 

) . 

• Chứng tỏ (d 1 ) // (d 2 ). (P): x + y – 5z +10 = 0 

Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: 

2 2 2 

x + y + z − 2x + 6y − 4z 

− 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của 

 

véc tơ v = (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng( α ) : x + 4y + z − 11 = 0 và tiếp xúc với (S). 

 

• (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ( α ) là n = (1;4;1) . 

 

n = n, v = (2; −1;2) 

⇒ PT của (P) có dạng: 2x − y + 2z + m = 0 . 

⇒ VTPT của (P) là: [ ] 

P 

⎡ m = −21 

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d( I,( P)) = 4 ⇔ ⎢ 

. 

⎣m 

= 3 

Vậy: (P): 2x − y + 2z 

+ 3 = 0 hoặc (P): 2x − y + 2z 

− 21 = 0 . 

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng 

x y + 1 z 

x y −1 z − 4 

( d 1 

) : = = và ( d 1 − 2 − 3 

2 

) : = = . Chứng minh rằng điểm M, d d 

1 2 5 

1, 2 

cùng 

nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. 

 

 

• d 1 

qua M 1 

(0; − 1;0) và có u 1 

= (1; −2; −3) 

, d 2 

qua M 2 

(0;1;4) và có u 2 

= (1;2;5) . 

 

 

 

⎡ 

⎣u1; u ⎤ 

2 ⎦ = ( −4; −8;4) ≠ 0 , M 1 

M 2 

= (0;2;4) ⇒ ⎡⎣ 

u1; u ⎤ 

2 ⎦. M1M2 

= 0 ⇒ d1, d2 

đồng phẳng. 

 

Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1, d2 

⇒ (P) có VTPT n = (1;2; −1) 

và đi qua M 1 nên có 

phương trình x + 2y − z + 2 = 0 . Kiểm tra thấy điểm M(1;–1;1) ∈ ( P) 

. 




Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu 

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x − 3 y − 

= 3 = z và mặt cầu 

2 2 1 

2 2 2 

(S): x + y + z − 2x − 2y − 4z 

+ 2 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và 

trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S). 

 

• (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u = (2;2;1) . 

 

n = u, i = (0;1; −2) 

⇒ PT của (P) có dạng: y − 2z + D = 0 . 

(P) // d, Ox ⇒ (P) có VTPT [ ] 

1− 4 + D 

(P) tiếp xúc với (S) ⇔ d( I,( P)) = R ⇔ 

2 2 

1 + 2 

⇒ (P): y − 2z 

+ 3 + 2 5 = 0 hoặc (P): y − 2z 

+ 3 − 2 5 = 0 . 

⎡ D = 3 + 2 5 

= 2 ⇔ D − 3 = 2 5 ⇔ ⎢ 

⎣D 

= 3 − 2 5 

2 2 2 

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z + 2x − 4y 

− 4 = 0 và 

mặt phẳng (P): x + z − 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; − 1) 

vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). 

 

• (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT n 

P 

= (1;0;1) . 

2 2 2 

PT (Q) đi qua M có dạng: A( x − 3) + B( y − 1) + C( z + 1) = 0, A + B + C ≠ 0 

2 2 2 

(Q) tiếp xúc với (S) ⇔ d( I,( Q)) = R ⇔ − 4A + B + C = 3 A + B + C (*) 

Q P n 

n 

( ) ⊥ ( ) ⇔ . = 0 ⇔ A + C = 0 ⇔ C = − A (**) 

Q 

P 

2 2 2 2 

Từ (*), (**) ⇒ B − 5A = 3 2A + B ⇔ 8B − 7A + 10AB 

= 0 ⇔ A = 2B ∨ 7A = − 4B 

• Với A = 2B 

. Chọn B = 1, A = 2, C = –2 ⇒ PT (Q): 2x + y − 2z 

− 9 = 0 

• Với 7A 

= − 4B 

. Chọn B = –7, A = 4, C = –4 ⇒ PT (Q): 4x − 7y − 4z 

− 9 = 0 


2 2 2 

a) Với ( S) : x + y + z − 2x + 4y − 4z 

+ 5 = 0 , ( P) : 2x + y − 6z + 5 = 0, M(1;1;2) 

. 

ĐS: ( Q) : 2x + 2y + z − 6 = 0 hoặc ( Q) :11x − 10y + 2z 

− 5 = 0 . 

2 2 

Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z 2 – 2x + 4y + 2 z – 3 = 0 . 

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có 

bán kính r = 3. 

• (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox ⇒ (P): ay + bz = 0. 

Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I. 

Suy ra: –2a – b = 0 ⇔ b = –2a (a ≠ 0) ⇒ (P): y – 2z = 0. 

2 2 2 

Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z + 2x − 2y + 2 z – 1 = 0 

⎧x 

− y − 2 = 0 

và đường thẳng d : ⎨ 

. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu 

⎩2x 

− z − 6 = 0 

(S) theo một đường tròn có bán kính r = 1. 

• (S) có tâm I( −1;1; − 1) , bán kính R = 2. 

2 2 2 

PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 ( a + b + c ≠ 0) . 

Chọn M(2;0; −2), N(3;1;0) 

∈ d . 



⎧M 

∈( P) 

Ta có: 

⎪ 

⎡ a = b,2 c = − ( a + b), d = −3 a − b (1) 

⎨N 

∈ ( P) 

⇔ ⎢ a b c a b d a b 

⎪ 2 2 ⎣17 = − 7 ,2 = − ( + ), = −3 − (2) 

⎩d( I,( P)) 

= R − r 

+ Với (1) ⇒ (P): x + y − z − 4 = 0 + Với (2) ⇒ (P): 7x − 17y + 5z 

− 4 = 0 

x y −1 

z 

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 

: = = , 

2 − 1 1 

x − 1 y z 

∆2 

: = = 

2 2 

và mặt cầu (S): x + y + z 2 – 2x + 2y + 4 z – 3 = 0 . Viết phương trình 

−1 1 −1 

tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 1 . 

• (P): y + z + 3 + 3 2 = 0 hoặc (P): y + z + 3 − 3 2 = 0 

Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình 

2 2 2 

x + y + z − 2x + 4y − 6z 

− 11 = 0 và mặt phẳng (α) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. 

Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với (α) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn 

có chu vi bằng p = 6π . 

• Do (β) // (α) nên (β) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ≠ 17) 

(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6π nên có bán kính r = 3. 

2 2 2 2 

Khoảng cách từ I tới (β) là h = R − r = 5 − 3 = 4 

Do đó 

2.1+ 2( −2) − 3 + D 

⎡ D = −7 

= 4 ⇔ − 5 + D = 12 ⇔ 

2 2 2 

⎢ D = 17 (loaïi) 

2 + 2 + ( −1) 

⎣ 

Vậy (β) có phương trình 2x + 2 y – z – 7 = 0 . 


a) ( S) : x 

2 

+ y 

2 

+ z 

2 

+ 2x + 4y − 6z 

− 11 = 0 , ( a ) : 2x + y − 2z 

+ 19 = 0 , p = 8π . 

ĐS: ( b ) : 2x + y − 2z 

+ 1 = 0 

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách 

Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông 

góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 . 

2 2 2 

• PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = 0 (với A + B + C ≠ 0 ). 

• Vì (P) ⊥ (Q) nên: 1. A + 1. B + 1. C = 0 ⇔ C = −A − B (1) 

• d( M,( P)) = 2 ⇔ 

A + 2B − C 

2 2 2 2 

= 2 ⇔ ( A + 2 B − C) = 2( A + B + C ) 

2 2 2 

A + B + C 

(2) 

Từ (1) và (2) ta được: 8AB 5B 2 ⎡ B = 0 (3) 

+ = 0 ⇔ ⎢ 

⎣8A 

+ 5B 

= 0 (4) 

• Từ (3): B = 0 ⇒ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 ⇒ (P): x − z = 0 

• Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 ⇒ C = 3 ⇒ (P): 5x − 8y + 3z 

= 0 . 

Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x − 1 y − 

= 3 = z và 

1 1 4 

điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường 

thẳng ∆, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 4. 




2 2 2 

• Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ax + by + cz + 2b 

= 0 ( a + b + c ≠ 0 ) 

 

∆ đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u = (1;1;4) 

⎧ a + b + 4c 

= 0 

⎧∆ ( P) 

⎪ 

Ta có: 

a + 5b 

⎧ a = 4c 

⎨ ⇔ 

d( A;( P)) 

d 

⎨ ⇔ 

⎩ = 

= 4 ⎨ . 

⎪ 2 2 2 

⎩a 

= − 2c 

⎩ a + b + c 

• Với a = 4c 

. Chọn a = 4, c = 1 ⇒ b = −8⇒ Phương trình (P): 4x − 8y + z − 16 = 0 . 

• Với a = − 2c 

. Chọn a = 2, c = −1 ⇒ b = 2 ⇒ Phương trình (P): 2x + 2y − z + 4 = 0 . 


x y z −1 

a) Với ∆ : = = ; M(0;3; − 2), d = 3. 

1 1 4 

ĐS: ( P) : 2x + 2y − z − 8 = 0 hoặc ( P) : 4x − 8y + z + 26 = 0 . 

⎧ x = t 

⎪ 

Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ( d) : ⎨y = − 1 + 2t 

và điểm 

⎪ 

⎩z 

= 1 

A( − 1;2;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ 

điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3. 

 

 

2 2 2 

• (d) đi qua điểm M(0; − 1;1) và có VTCT u = (1;2;0) . Gọi n = ( a; b; c) 

với a + b + c ≠ 0 

là VTPT của (P) . 

PT mặt phẳng (P): a( x − 0) + b( y + 1) + c( z − 1) = 0 ⇔ ax + by + cz + b − c = 0 (1). 

 

Do (P) chứa (d) nên: u. n = 0 ⇔ a + 2b = 0 ⇔ a = −2b 

(2) 

− a + 3b + 2c 5b + 2c 

d ( A,( P) ) = 3 ⇔ = 3 ⇔ = 3 ⇔ 5b + 2c = 3 5b + c 

2 2 2 2 2 

a + b + c 5b + c 

2 2 

( ) 

⇔ 4b − 4bc + c = 0 ⇔ 2b − c = 0 ⇔ c = 2b 

(3) 

2 

2 2 

Từ (2) và (3), chọn b = − 1 ⇒ a = 2, c = − 2 ⇒ PT mặt phẳng (P): 2x − y − 2z 

+ 1 = 0 . 

Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M( −1;1;0), N(0;0; − 2), I(1;1;1) 

. Viết 

phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 . 

2 2 2 

• PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 ( a + b + c ≠ 0) . 

⎧M 

∈( P) 

⎪ 

⎡ a = − b,2 c = a − b, d = a − b (1) 

Ta có: ⎨N 

∈ ( P) 

⇔ ⎢ . 

5a 7 b,2 c a b, d a b (2) 

⎪ ⎣ = = − = − 

⎩d( I,( P)) = 3 

+ Với (1) ⇒ PT mặt phẳng (P): x − y + z + 2 = 0 

+ Với (2) ⇒ PT mặt phẳng (P): 7x + 5y + z + 2 = 0 . 

Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; − 1;2) , B(1;3;0), 

C( − 3;4;1) , D(1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C 

đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). 

2 2 2 




⎧A 

∈( P) 

⎧ 

⎪ 

Ta có: ⎨B 

∈ ( P) 

⇔ 

a − b + 2c + d = 0 

⎪a + 3b + d = 0 

⎩⎪ d( C,( P)) = d( D,( P)) 

⎨ − 3a + 4b + c + d a + 2b + c + d 

⎪ 

= 

⎪ 2 2 2 2 2 2 

⎩ a + b + c a + b + c 

⎡ b a c a d a 

⇔ ⎢ = 2 , = 4 , = −7 

⎣c = 2 a, b = a, d = − 4a 

+ Với b = 2 a, c = 4 a, d = − 7a 

⇒ (P): x + 2y + 4z 

− 7 = 0 . 

+ Với c = 2 a, b = a, d = − 4a 

⇒ (P): x + y + 2z 

− 4 = 0 . 


a) Với A(1;2;1), B( −2;1;3), C(2; − 1;1), D(0;3;1) 

. 

ĐS: ( P) : 4x + 2y + 7z 

− 15 = 0 hoặc ( P) : 2x + 3z 

− 5 = 0 . 

Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;3) , B(0; − 1;2) , 

C(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách 

từ B đến ( P) bằng khoảng cách từ C đến ( P) . 

2 2 2 

• Vì O ∈ (P) nên ( P) : ax + by + cz = 0 , với a + b + c ≠ 0 . 

Do A ∈ (P) ⇒ a + 2b + 3c 

= 0 (1) và d( B,( P)) = d( C,( P)) ⇔ − b + 2c = a + b + c (2) 

Từ (1) và (2) ⇒ b = 0 hoặc c = 0 . 

• Với b = 0 thì a = − 3c 

⇒ ( P) : 3x − z = 0 • Với c = 0 thì a = − 2b 

⇒ ( P) : 2x − y = 0 


a) Với A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3) . ĐS: − 6x + 3y + 4z 

= 0 hoặc 6x − 3y + 4z 

= 0 . 

Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1; − 1) , B(1;1;2) , 

C( −1;2; − 2) và mặt phẳng (P): x − 2y + 2z 

+ 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua 

A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB = 2IC 

. 

2 2 2 

• PT ( α) 

có dạng: ax + by + cz + d = 0 , với a + b + c ≠ 0 

Do A(1;1; −1) ∈( α) 

nên: a + b − c + d = 0 (1); ( α) ⊥ ( P) 

nên a − 2b + 2c 

= 0 (2) 

IB = 2IC 

⇒ d( B,( α)) = 2 d( C;( α)) 

⇒ a + b + 2 c + d − a + 2 b − 2 c + 

= 2 

d 

2 2 2 2 2 2 

a + b + c a + b + c 

⎡3a − 3b + 6c − d = 0 

⇔ ⎢− (3) 

⎣ a + 5b − 2c + 3d 

= 0 

Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau : 

⎧ a + b − c + d = 0 

⎪ −1 −3 

TH1 : ⎨a − 2b + 2c = 0 ⇔ b = a; c = − a; 

d = a . 

⎪3a − 3b + 6c − d = 0 

2 2 

⎩ 

Chọn a = 2 ⇒ b = − 1; c = − 2; d = − 3 ⇒ ( α ) : 2x − y − 2z 

− 3 = 0 

⎧ a + b − c + d = 0 

⎪ 3 −3 

TH2 : ⎨a − 2b + 2c = 0 ⇔ b = a; c = a; 

d = a . 

⎪− a + 5b − 2c + 3d 

= 0 

2 2 

⎩ 

Chọn a = 2 ⇒ b = 3; c = 2; d = −3 

⇒ ( α ) : 2x + 3y + 2z 

− 3 = 0 

Vậy: ( α ) : 2x − y − 2z 

− 3 = 0 hoặc ( α ) : 2x + 3y + 2z 

− 3 = 0 




Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 

lần lượt có phương 

x − 2 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z −1 

trình d 1 

: = = , d 

2 1 3 2 

: = = . Viết phương trình mặt phẳng cách 

2 −1 4 

đều hai đường thẳng d1, d2 

. 

 

 

• Ta có d 1 

đi qua A(2;2;3) , có ud 

1 

= (2;1;3) , d 2 

đi qua B(1;2;1) và có ud 

2 

= (2; −1;4) 

. 

 

Do (P) cách đều d1, d2 

nên (P) song song với d1, d2 

⇒ nP = ⎡ 

⎣ud1, u ⎤ 

d2 

⎦ = (7; −2; −4) 

⇒ PT mặt phẳng (P) có dạng: 7x − 2y − 4z + d = 0 

Do (P) cách đều d1, d2 

suy ra d( A,( P)) = d( B,( P)) 

7.2 − 2.2 − 4.3 + d 7.1− 2.2 − 4.1+ 

d 

3 

⇔ 

= ⇔ d − 2 = d −1 

⇔ d = 

69 69 

2 

⇒ Phương trình mặt phẳng (P): 14x − 4y − 8z 

+ 3 = 0 

Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 

lần lượt có phương 

⎧ x = 1+ 

t 

⎪ x − 2 y − 1 z + 1 

trình d1 

: ⎨y = 2 − t , d 2 

: = = . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song 

⎪ 

⎩z 

= 1 

1 −2 2 

với d 1 

và d 2 

, sao cho khoảng cách từ d 1 

đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d 2 

đến (P). 

 

• Ta có : d 1 

đi qua A(1;2;1) và có VTCP u 1 

= (1; −1;0) 

 

d 2 

đi qua B(2;1; − 1) và có VTCP là u 2 

= (1; −2;2) 

Gọi n 

là VTPT của (P), vì (P) song song với d 1 

và d 2 

nên n = ⎡⎣ 

u1, u ⎤ 

2 ⎦ = ( −2; −2; −1) 

⇒ Phương trìnht (P): 2x + 2y + z + m = 0 . 

7 + m 

5 + m 

d( d1,( P)) = d( A;( P)) 

= ; d( d2,( P)) = d( B,( P)) 

= 

3 

3 

d( d1,( P)) = 2 d( d2,( P)) 

⇔ 7 + m = 2. 5 + m 

⎡ 7 + m = 2(5 + m) 

17 

⇔ ⎢ 

⇔ m = − 3; m = − 

⎣7 + m = − 2(5 + m) 

3 

+ Với m = −3 

⇒ ( P) : 2x + 2 y + z – 3 = 0 

17 

17 

+ Với m = − ⇒ ( P) : 2x + 2 y + z − = 0 

3 

3 

Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm 

2 2 2 

A(0; − 1;2) , B(1;0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + 1) = 2 . 

• (S) có tâm I(1;2; − 1) , bán kính R = 2 . 

2 2 2 

PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 ( a + b + c ≠ 0) 

⎧A 

∈( P) 

⎪ 

⎡ a = − b, c = −a − b, d = 2a + 3 b (1) 

Ta có: ⎨B 

∈ ( P) 

⇔ ⎢ 

⎩⎪ 3a = − 8 b, c = −a − b, d = 2a + 3 b (2) 

d( I,( P)) 

= R ⎣ 

+ Với (1) ⇒ Phương trình của (P): x − y − 1 = 0 

+ Với (2) ⇒ Phương trình của (P): 8x − 3y − 5z 

+ 7 = 0 

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; − 1;1) . Viết phương trình mặt 

phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. 

• Ta có d( O,( P)) ≤ OA . Do đó d( O,( P)) = OA xảy ra ⇔ OA ⊥ ( P) 

nên mặt phẳng (P) 

max 



 

cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có OA = (2; −1;1) 

Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x − y + z − 6 = 0 .. 

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có 

phương trình: x − 1 y z − 

= = 1 . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d 

2 1 3 

và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. 

• Gọi H là hình chiếu của A trên d ⇒ d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của 

H lên (P), ta có AH ≥ HI ⇒ HI lớn nhất khi A ≡ I . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A 

và nhận AH 

làm VTPT ⇒ (P): 7x + y − 5z 

− 77 = 0 . 

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số 

{x = − 2 + t; y = − 2 t; z = 2 + 2t 

. Gọi ∆ là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) 

và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa 

∆ và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất. 

• Gọi (P) là mặt phẳng chứa ∆, thì ( P) ( d) 

hoặc ( P) ⊃ ( d) 

. Gọi H là hình chiếu vuông 

góc của I trên (P). Ta luôn có IH ≤ IA và IH ⊥ AH . 

⎧ d( d,( P)) = d( I,( P)) 

= IH 

Mặt khác ⎨ 

⎩H 

∈( P) 

Trong (P), IH ≤ IA ; do đó maxIH = IA ⇔ H ≡ A . Lúc này (P) ở vị trí (P 0 ) ⊥ IA tại A. 

 

 

n = IA = 6;0; −3 

v = 2;0; −1 

. 

Vectơ pháp tuyến của (P 0 ) là ( ), cùng phương với ( ) 

Phương trình của mặt phẳng (P 0 ) là: 2( x − 4) − 1.( z + 1) = 2x − z − 9 = 0 . 

x −1 y z − 2 

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và điểm 

2 1 2 

A(2;5;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn 

nhất. 

2 2 2 


 

 

(P) có VTPT n = ( a; b; c) 

, d đi qua điểm M(1;0;2) và có VTCP u = (2;1;2) . 

⎧M 

∈( P) 

Vì (P) ⊃ d nên ⎨ 

⎩n . u 

= 0 

⇒ ⎧ a + 2c + d = 0 ⎧ 2 c = − (2 a + b) 

⎨ 

⇒ 

⎩2a + b + 2c 

= 0 

⎨ . Xét 2 trường hợp: 

⎩d = a + b 

TH1: Nếu b = 0 thì (P): x − z + 1 = 0 . Khi đó: d( A,( P)) = 0 . 

TH2: Nếu b ≠ 0. Chọn b = 1 ta được (P): 2ax + 2 y − (2a + 1) z + 2a 

+ 2 = 0 . 

9 9 

Khi đó: d( A,( P)) = = ≤ 3 2 

8a 

2 + 4a 

+ 5 ⎛ 1 ⎞ 

2 

3 

2⎜2a 

+ ⎟ + 

⎝ 2 ⎠ 2 

1 1 

Vậy max d( A,( P)) = 3 2 ⇔ 2a + = 0 ⇔ a = − . Khi đó: (P): x − 4y + z − 3 = 0 . 

2 4 


x − 1 y + 1 z − 2 

a) d : = = , A(5;1;6) 

. ĐS: ( P) : 2x + y − z + 1 = 0 

2 1 5 

b) 

x − 1 y + 2 z 

d : = = , A(1;4;2) 

−1 1 2 

. ĐS: ( P) : 5x + 13y − 4z 

+ 21 = 0 




Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; − 1;2) và N( − 1;1;3) . Viết phương 

trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P) 


• PT (P) có dạng: Ax + B( y + 1) + C( z − 2) = 0 ⇔ Ax + By + Cz + B − 2C 

= 0 

N( −1;1;3) ∈( P) ⇔ − A + B + 3C + B − 2C = 0 ⇔ A = 2B + C 

2 2 2 

( A + B + C ≠ 0) 

⇒ ( P) : (2 B + C) x + By + Cz + B − 2C 

= 0 ; d( K,( P)) 

= 

B 

2 2 

4B + 2C + 4BC 

• Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại) 

B 

1 1 

• Nếu B ≠ 0 thì d( K,( P)) 

= = ≤ 

2 2 2 

4B + 2C + 4BC ⎛ C ⎞ 

2 

2⎜ 

+ 1⎟ 

+ 2 

⎝ B ⎠ 

Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): x + y – z + 3 = 0 . 

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc 

Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) chứa đường thẳng (∆): 

x − 1 y z = = và tạo với mặt phẳng (P) : x y z 

1 −1 −2 

2 − 2 − + 1 = 0 một góc 600 . Tìm tọa độ giao 

điểm M của mặt phẳng (α) với trục Oz. 

 

 

• (∆) qua điểm A(1;0;0) và có VTCP u = (1; −1; −2) 

. (P) có VTPT n ′ = (2; −2; −1) 

. 

 

 

Giao điểm M(0;0; m) cho AM = ( −1;0; m) 

. (α) có VTPT n = ⎡ 

⎣AM, u ⎤ 

⎦ = ( m; m − 2;1) 

(α) và (P): 2x − 2y − z + 1 = 0 tạo thành góc 60 0 nên : 

( 

 

) 

1 1 1 2 

cos n, n′ = ⇔ = ⇔ 2m − 4m 

+ 1 = 0 

2 2 

2m 

− 4m 

+ 5 2 

Kết luận : M(0;0;2 − 2) hay M(0;0;2 + 2) 

⇔ m = 2 − 2 hay m = 2 + 2 

Câu 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao 

tuyến d của hai mặt phẳng ( a ) : 2 x – y – 1 = 0 , ( β ) : 2 x – z = 0 và tạo với mặt phẳng 

2 2 

( Q) : x – 2y + 2 z – 1 = 0 một góc ϕ mà cosϕ = 

9 

• Lấy A(0;1;0), B(1;3;2)∈ d . (P) qua A ⇒ PT (P) có dạng: Ax + By + Cz – B = 0 . 

(P) qua B nên: A + 3B + 2 C – B = 0 ⇒ A = − (2B + 2 C) 

⇒ ( P) : − (2B + 2 C) x + By + Cz – B = 0 

−2B − 2C − 2B + 2C 

2 2 2 2 

cosϕ 

= = ⇔ 13B + 8 BC – 5C 

= 0 . 

2 2 2 

3 (2B + 2 C) 

+ B + C 9 

5 

Chọn C = 1 ⇒ B = 1; B = . 

13 

+ Với B = C = 1 ⇒ ( P) : − 4 x + y + z –1 = 0 

5 

+ Với B = , C = 1 ⇒ ( P) : − 23x + 5y + 13 z – 5 = 0 . 

13 



Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( −1;2; −3), B(2; −1; − 6) và mặt 

phẳng ( P) : x + 2y + z − 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt 

3 

phẳng (P) một góc α thoả mãn cosα = . 

6 

2 2 2 

• PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax + by + cz + d = 0 ( a + b + c ≠ 0) . 

⎧A 

∈( Q) 

⎧− a + 2b − 3c + d = 0 

Ta có: 

⎪ B ∈ ( Q) 

⇔ 

⎡ 

⎪2a − b − 6c + d = 0 ⇔ 

⎨ 

⎪ 3 

cosα 

⎪⎩ 

= 

⎨ ⎢ a = − 4 b, c = − 3 b, d = −15b 

⎣a a + 2b + c 3 

= − b, c = 0, d = − b 

⎪ = 

6 ⎪ 2 2 2 

⎩ a + b + c 1 + 4 + 1 

6 

⇒ Phương trình mp(Q): 4x − y + 3z 

+ 15 = 0 hoặc (Q): x − y − 3 = 0 . 


1 

a) A(0;0;1), B(1;1;0) , ( P) ≡ ( Oxy),cosα 

= . 

6 

ĐS: (Q): 2x − y + z − 1 = 0 hoặc (Q): x − 2y − z + 1 = 0 . 

⎧ x + y + z − 3 = 0 

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : ⎨ 

. Viết 

⎩2x + y + z − 4 = 0 

phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 

0 

α = 60 . 

• ĐS: ( P) : 2x + y + z − 2 − 2 = 0 hoặc ( P) : 2x − y − z − 2 + 2 = 0 

Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P) : 5x − 2y + 5z 

− 1 = 0 và 

( Q) : x − 4y − 8z 

+ 12 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng ( R) đi qua điểm M trùng với gốc tọa 

độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc 

2 2 2 

• Giả sử PT mặt phẳng (R): ax + by + cz + d = 0 ( a + b + c ≠ 0) . 

Ta có: ( R) ⊥ ( P) ⇔ 5a − 2b + 5c 

= 0 (1); 

0 

a = 45 . 

0 a − 4b − 8c 

2 

cos(( R),( Q)) 

= cos45 ⇔ = (2) 

2 2 2 

9 a + b + c 2 

2 2 ⎡ a = −c 

Từ (1) và (2) ⇒ 7a + 6ac − c = 0 ⇔ ⎢ 

⎣c 

= 7a 

• Với a = − c : chọn a = 1, b = 0, c = − 1 ⇒ PT mặt phẳng ( R) : x − z = 0 

• Với c = 7a 

: chọn a = 1, b = 20, c = 7 ⇒ PT mặt phẳng ( R) : x + 20y + 7z 

= 0 


a) Với ( P) : x − y − 2z = 0,( Q) ≡ ( Oyz), M(2; − 3;1), a = 45 . 

ĐS: ( R) : x + y + 1 = 0 hoặc ( R) : 5x − 3y + 4z 

− 23 = 0 

Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: 

x − 1 y + 1 z −1 

x y z 

∆1 

: = = và ∆ 

1 −1 3 

2 : 1 = 2 = 

− 1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ 

1 

và 

0 

tạo với ∆ 

2 

một góc a = 30 . 

• Đáp số: (P): 5x + 11y + 2z 

+ 4 = 0 hoặc (P): 2x − y − z − 2 = 0 . 


0 




x y − 2 z x − 2 y − 3 z + 5 0 

a) Với ∆1 

: = = , ∆ 

1 − 1 1 

2 

: = = , a = 30 . 

2 1 − 1 

ĐS: (P): x − 2y − 2z 

+ 2 = 0 hoặc (P): x + 2y + z − 4 = 0 

x − 1 y z + 1 x y − 2 z + 1 0 

b) ∆1 

: = = , ∆2 

: = = , a = 30 . 

−2 1 1 1 − 1 1 

ĐS: (P): (18 + 114) x + 21 y + (15 + 2 114) z − (3 − 114) = 0 

hoặc (P): (18 − 114) x + 21 y + (15 − 2 114) z − (3 + 114) = 0 

Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm 

0 0 

M(1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 45 , 30 . 

 

 

• Gọi n = ( a; b; c) 

là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là i = (1;0;0), j = (0;1;0) . 

⎧ 

2 

⎪sin( Ox,( P)) 

= ⎧ 

Ta có: ⎨ 

2 ⇔ 

a = 2 b 

⎪ ⎨ 

1 

sin( Oy,( P)) 

⎪⎩ 

= ⎩ c = b 

2 

PT mặt phẳng (P): 2( x − 1) + ( y − 2) ± ( z − 3) = 0 hoặc − 2( x − 1) + ( y − 2) ± ( z − 3) = 0 

Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + 2y − z + 5 = 0 và đường 

x + 1 y + 1 z − 3 

thẳng d : = = . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo 

2 1 1 

với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất. 

2 2 2 

• PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 ( a + b + c ≠ 0) . Gọi a = (( P 

),( Q)) 

. 

⎧M ∈ ( P) 

⎧c = −a − b 

⎨ ⇒ 

N ( P) ⎨ 

⎩ ∈ ⎩d = 7a + 4b 

3 a + b 

+ + − − + + = ⇒ cos α = . 

6 2 2 

5a + 4ab + 2b 

Chọn hai điểm M( −1; −1;3), N(1;0;4) 

∈ d . Ta có: 

⇒ (P): ax by ( 2 a b) z 7a 4b 

0 

TH1: Nếu a = 0 thì 

TH2: Nếu a ≠ 0 thì 

Xét hàm số 

3 b 3 

cos α = . 

6 = 2 2 

⇒ 0 

a = 30 . 

3 

cos α = . 

6 

9 x + 2x 

+ 1 

f ( x) = . 

. 

6 2 

5 + 4x 

+ 2x 

2 

b 2 

1+ 

b 

a 

b ⎛ b ⎞ 

5 + 4 + 2⎜ ⎟ 

a ⎝ a ⎠ 

2 

. Đặt 

b 

2 

x = và f ( x) = cos α 

a 

0 0 

Dựa vào BBT, ta thấy min f ( x) = 0 ⇔ cosα 

= 0 ⇔ a = 90 > 30 

Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn b = 1, c = 1, d = 4 . 

Vậy: (P): y − z + 4 = 0 . 


x − 1 y + 2 z 

a) Với (Q): x + 2y + 2 z – 3 = 0 , d : = = . 

1 2 − 1 

ĐS: ( P) : x + 2y + 5 z+ 3 = 0 . 

x − 1 y + 2 z 

b) Với ( Q) ≡ ( Oxy), d : = = . 

−1 1 2 

ĐS: ( P) : x − y + z − 3 = 0 . 



c) Với ( Q) : 2x − y − z − 2 = 0 , 

⎧ x = −t 

⎪ 

d : ⎨y = − 1 + 2t 

⎪ ⎩z 

= 2 + t 

. ĐS: ( P) : x + y + z − 3 = 0 . 

Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M( −1; − 1;3), N(1;0;4) 

và mặt phẳng 

(Q): x + 2y − z + 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc 

nhỏ nhất. 

• ĐS: ( P) : y − z + 4 = 0 . 


a) M(1;2; −1), N( −1;1;2),( Q) ≡ ( Oxy) 

. ĐS: ( P) : 6x + 3y + 5z 

− 7 = 0 . 

⎧ x = 1− 

t 

⎪ 

Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : ⎨y = − 2 + t . Viết phương 

⎪ ⎩z 

= 2t 

trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất. 

2 2 2 

• PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 ( a + b + c ≠ 0) . Gọi a = (( P ), Oy) 

. 

Chọn hai điểm M(1; −2;0), N(0; −1;2) 

∈ d . Ta có: 

⇒ (P): 

a − b 

ax + by + z − a + 2b 

= 0 ⇒ sinα = 

2 

⎧M ∈ ( P) ⎧2c = a − b 

⎨ ⇒ 

N ( P) ⎨ 

⎩ ∈ ⎩d = − a + 2b 

2 b 

. 

2 2 

5a + 5b − 2ab 

0 

TH1: Nếu b = 0 thì a = 0 . 

2 

a 

2 

TH2: Nếu b ≠ 0 thì sinα = 

. Đặt x = và f ( x) = sin a . 

2 

b 

⎛ a ⎞ a 

5⎜ 

⎟ + 5 − 2 

⎝ b ⎠ b 

4 

5 1 

0 

Xét hàm số f ( x) 

= 

. Dựa vào BBT, ta được max f ( x) 

= ⇔ x = ⇒ a > 0 . 

2 

5x 

− 2x 

+ 5 

6 5 

Vậy α lớn nhất khi a 1 

= . Chọn a = 1, b = 5, c = − 2, d = 9 ⇒ (P): x + 5y − 2z 

+ 9 = 0 . 

b 5 

x − 1 y + 2 z 

Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 

: = = và 

1 2 − 1 

x + 2 y −1 

z 

d 2 

: = = . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d 

2 −1 2 

1 

sao cho góc giữa mặt phẳng 

(P) và đường thẳng d 2 


 

• d 1 

đi qua M(1; − 2;0) và có VTCP u = (1;2; −1) 

.Vì d1 ⊂ ( P) 

nên M ∈ ( P) 

. 

2 2 2 

PT mặt phẳng (P) có dạng: A( x − 1) + B( y + 2) + Cz = 0 ( A + B + C ≠ 0) 

 

Ta có: d ⊂ ( P) ⇔ u. n = 0 ⇔ C = A + 2B 

. 

Gọi 

4A + 3B 1 (4A + 3 B) 

a = (( P ), d2 ) ⇒ sin a = = . 

2 2 

3. 2A + 4AB + 5B 

3 2A + 4AB + 5B 

TH1: Với B = 0 thì sina 

= 

2 2 

3 

2 

2 2 




A 

TH2: Với B ≠ 0. Đặt t = , ta được: sina 

B 


2 

2 

1 (4t 

+ 3) 

= . 

3 2 

2t 

+ 4t 

+ 5 

(4t 

+ 3) 

f ( t) 

= 

2 

2t 

+ 4t 

+ 5 

. Dựa vào BBT ta có: f t 25 

max ( ) = khi t = − 7 ⇔ A = − 7 

7 

B 

5 3 

Khi đó sin a = f ( − 7) = . 

9 

5 3 

So sánh TH1 và TH2 ⇒ α lớn nhất với sina = khi A = − 7 . 

9 B 

⇒ Phương trình mặt phẳng (P) : 7x − y + 5 z− 9 = 0 . 

x + 1 y − 2 z + 1 


1 1 − 1 

A(2; − 1;0) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng 

(Oxy) một góc nhỏ nhất. 

• ĐS: ( P) : x + y + 2z 

− 1 = 0 . 

Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x − y + z + 2 = 0 và điểm 

A(1;1; − 1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và 

tạo với trục Oy một góc lớn nhất. 

• ĐS: ( P) : y + z = 0 hoặc ( P) : 2x + 5y + z − 6 = 0 . 

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác 

Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt 

phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK. 

x y z 

• Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ⇒ ( P) : + + = 1 

a b c 

⎧ 4 5 6 

 

 

+ + = 1 

⎪ 

IA = (4 − a;5;6), JA = (4;5 − b;6) 

⇒ 

⎨ 

a b c 

5b 

6c 

0 

JK = (0; − b; c), IK = ( −a;0; c) 

⎪ − + = ⇒ a = 77 ; b = 77 ; c = 

77 

⎪ ⎩ − 4a 

+ 6c 

= 0 

4 5 6 

Vậy phương trình mặt phẳng (P): 4x + 5y + 6z 

− 77 = 0 . 


a) Với A(–1; 1; 1). ĐS: (P): x − y − z + 3 = 0 

Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi 

qua AM cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0). Chứng minh 

bc 

rằng: b + c = . Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. 

2 

• PT mp (P) có dạng: x y z 1. 

2 + b 

+ c 

= Vì M ∈ ( P) 

nên 1 1 1 1 

2 + b + c 

= ⇔ bc 

b + c = . 

2 

 

2 2 2 

Ta có AB( −2; b;0) 

, AC( −2;0; c). 

Khi đó S = b + c + ( b + c) 

. 

2 2 2 

Vì b + c ≥ 2 bc; ( b + c) ≥ 4bc 

nên S ≥ 6bc 

. 

Mà bc = 2( b + c) ≥ 4 bc ⇒ bc ≥ 16 . Do đó S ≥ 96 . Dấu "=" xảy ra ⇔ b = c = 4 . 



Vậy: 

min S = 96 khi b = c = 4 . 

Câu 42. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;4) và mặt phẳng ( P) : x + y + z + 4 = 0 . 

Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia Ox, Oy tại 2 điểm B, 

C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6. 

• Vì (Q) // (P) nên (Q): x + y + z + d = 0 ( d ≠ 4) . Giả sử B = ( Q) ∩ Ox, C = ( Q) 

∩ Oy 

1 

⇒ B( −d;0;0), C(0; − d;0) ( d < 0) . SABC 

= ⎡⎣ 

AB, AC⎤⎦ 

= 6 ⇔ d = − 2 

2 

⇒ ( Q) : x + y + z − 2 = 0 . 

Câu 43. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(3;0;0), B(1;2;1). Viết phương trình mặt 

phẳng (P) qua A, B và cắt trục Oz tại M sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 9 2 . 

• ĐS: ( P) : x + 2y 

− 2z − 3 = 0 . 

Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng 

Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm 

M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ 

nhất. 

• Giá sử A( a;0;0) ∈Ox, B(0; b;0) ∈Oy, C(0;0; c) 

∈ Oz ( a, b, c > 0) . 

Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng: x + y + z = 1. 

a b c 

9 1 1 1 

Ta có: M(9;1;1) ∈ ( P) 

⇒ + + = 1 (1); V 

a b c 

OABC 

= abc (2) 

6 

(1) ⇔ abc = 9bc + ac + ab ≥ 3 3 9( abc) 2 

3 2 

⇔ ( abc) ≥ 27.9( abc) ⇔ abc ≥ 243 

⎧ 9bc = ac = ab ⎧ a = 27 

⎪ 

⎪ 

Dấu "=" xảy ra ⇔ ⎨ 9 1 1 ⇔ ⎨b 

= 3 ⇒ (P): 

⎪ + + = 1 

⎩a b c 

⎪⎩ 

c = 3 


x y z 

a) Với M(1;2;4) . ĐS: ( P) : + + = 1 


x y z 

+ + = 1. 

27 3 3 


1 1 1 

M(1;2;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức + + có giá trị 

OA 

2 OB 

2 OC 

2 

nhỏ nhất. 

• ĐS: ( P) : x + 2y + 3z 

− 14 = 0 . 


M(2;5;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA + OB + OC có giá trị nhỏ 

nhất. 

x y z 

• ĐS: ( P) : + + = 1. 

2 + 6 + 10 5 + 10 + 15 3 + 6 + 15 



TĐKG 02: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương 

x + 1 y −1 z − 2 

Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và mặt 

2 1 3 

phẳng P : x − y − z − 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1;1; − 2) , song song 

với mặt phẳng ( P) và vuông góc với đường thẳng d . 

 

• u = ⎡ud; n ⎤ 

⎣ P ⎦ = (2;5; −3) 

. ∆ nhận u x −1 y − 1 z + 2 

làm VTCP ⇒ ∆ : = = 

2 5 − 3 

Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: 

{ x = − t ; y = − 1+ 2t 

; z = 2 + t ( t ∈ R ) và mặt phẳng (P): 2x − y − 2z 

− 3 = 0 .Viết phương 

trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trên (P), cắt và vuông góc với (d). 

• Gọi A = d ∩ (P) ⇒ A(1; − 3;1) . 

Phương trình mp(Q) qua A và vuông góc với d: − x + 2y + z + 6 = 0 

∆ là giao tuyến của (P) và (Q) ⇒ ∆: {x = 1 + t; y = − 3; z = 1+ 

t 

Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng ∆: 

x − 1 y + 1 z 

= = . Lập phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc 

2 1 − 1 

với ∆. 

 

• u 

∆ = (2;1; − 

 

1) . Gọi H = d ∩ ∆. Giả sử H(1 + 2 t; − 1 + t; − t) 

⇒ MH = (2t −1; t − 2; −t) 

. 

 

2 

MH ⊥ u ∆ 

⇔ 2(2t − 1) + ( t − 2) − ( − t) = 0 ⇔ t = ⇒ ud 

= 3 MH = (1; −4; −2) 

3 

⎧ x = 2 + t 

⎪ 

⇒ d: ⎨y 

= 1 − 4t 

. 

⎪ ⎩z 

= 2t 

Câu 4. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai 

điểm A(1;7; –1), B(4;2;0). Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của 

đường thẳng AB trên (P). 

• Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P) ⇒ (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0. 

(D) = (P) ∩ (Q) suy ra phương trình (D). 

Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của 

⎧x 

− 2z 

= 0 

đường thẳng d : ⎨ 

trên mặt phẳng P : x − 2y + z + 5 = 0 . 

⎩3x − 2y + z − 3 = 0 

⎧ x = 4t 

⎪ 3 

 

• PTTS của d: ⎨ y = − + 7t 

. Mặt phẳng (P) có VTPT n = (1; −2;1) 

. 

⎪ 2 

⎩z 

= 2t 

⎛ 11 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 

Gọi A = d ∩ ( P) 

⇒ A⎜ 

4; ;2⎟ 

. Ta có B⎜ 0; − ;0 ⎟∈ d, B⎜ 0; − ;0 ⎟ ∉( P) 

. 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

⎛ 4 7 4 ⎞ 

Gọi H( x; y; z) là hình chiếu vuông góc của B trên (P). Ta tìm được H ⎜ − ; ; − ⎟ 

⎝ 3 6 3 ⎠ . 




Gọi ∆ là hình chiếu vuông góc của d trên (P) ⇒ ∆ đi qua A và H 

⎧ x = 4 + 16t 

 

⎪ 11 

⇒ ∆ có VTCP u = 3 HA = (16;13;10) ⇒ Phương trình của ∆: ⎨ y = + 13 t . 

⎪ 2 

⎩z 

= 2 + 10t 


⎧ x = 1+ 

23m 

x + 1 y −1 z − 2 

⎪ 

a) Với d : = = , ( P) : x − 3y + 2z 

− 5 = 0 . ĐS: ∆ : ⎨y 

= 2 + 29m 

2 1 3 

⎪ 

⎩ z = 5 + 32m 

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng 

P x + y + z − = với Ox, Oy, Oz. Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm 

( ) : 6 2 3 6 0 

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P). 

• Ta có: ( P) ∩ Ox = A(1;0;0); ( P) ∩ Oy = B(0;3;0); ( P) ∩ Oz = C(0;0;2) 

Gọi ∆ là đường thẳng vuông góc (OAB) tại trung điểm M của AB; (α) là mặt phẳng trung 

⎛ 1 3 ⎞ 

trực cạnh OC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Ta có: I = ∆ ∩ ( a ) ⇒ I ⎜ ; ;1 ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ . 

Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC thì IJ ⊥ (ABC) , nên d chính là đường thẳng IJ . 

⇒ Phương trình đường thẳng d: 

⎧ 1 x = + 6 t 

⎪ 2 

⎨ 3 

⎪ 

y = + 2 t . 

2 

⎪ 

⎩z 

= 1 + 3t 

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; − 1), B(2;1;1); C(0;1;2) 

và 

x − 1 y + 1 z + 2 

đường thẳng d : = = . Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua trực tâm của 

2 −1 2 

tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d. 

 

• Ta có AB = (1; − 1;2), AC = ( −1; −1;3) ⇒ ⎡⎣ 

AB, AC⎤⎦ 

= ( −1; −5; −2) 

⇒ phương trình mặt phẳng (ABC): x + 5y + 2z 

− 9 = 0 

Gọi trực tâm của tam giác ABC là H( a; b; c) , khi đó ta có hệ: 

 

⎧ BH. AC = 0 ⎧a − b + 2c = 3 ⎧a 

= 2 

⎪ ⎪ ⎪ 

⎨CH. AB = 0 ⇔ ⎨a + b − 3c = 0 ⇔ ⎨b = 1 ⇒ H(2;1;1) 

⎪H 

∈( ABC) 

⎪ 

⎩a + 5b + 2c = 9 ⎪ 

⎩c 

= 1 

⎩ 

Do đường thẳng ∆ nằm trong (ABC) và vuông góc với (d) nên: 

 

⎧u∆ 

⊥ nABC 

 

⎨ ⇒ u ⎡nABC, u ⎤ 

u u 

∆ 

= ⎣ d ⎦ = (12;2; −11) 

. 

⎩ ∆ 

⊥ 

d 

x − 2 y −1 z −1 

Vậy phương trình đường thẳng ∆ : = = 

12 2 − 11 

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác 

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có phương 

x − 1 y + 1 z 

trình d : = = . Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm M, cắt và 

2 1 − 1 

vuông góc với đường thẳng d và tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua d. 



⎧ x t 

• PTTS của d: 

⎪ = 1+ 

2 

 

⎨y 

= − 1 + t . d có VTCP u = (2;1; −1) 

. 

⎪ 

⎩z 

= −t 

 

Gọi H là hình chiếu của M trên d ⇒ H(1 + 2 t; − 1 + t; − t) 

⇒ MH = (2t −1; − 2 + t; −t) 

2 

Ta có MH ⊥ d ⇔ MH. u = 0 ⇔ t = 3 

⇒ H ⎛ 7 ; 1 ; 

2 ⎞ 

⎜ − − ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ , 

MH ⎛ 1 4 2 ⎞ 

= ⎜ ; − ; − ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ 

Phương trình đường thẳng ∆: x − 2 y − 

= 1 = 

z 

1 −4 − 2 

. 

⎛ 

Gọi M′ là điểm đối xứng của M qua d ⇒ H là trung điểm của MM′ ⇒ M 8 ; 5 ; 

4 ⎞ 

′ ⎜ − − ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ . 


x + 3 y − 1 z + 1 

x + 1 y z − 3 

a) M( −4; − 2;4); d : = = . ĐS: ∆ : = = 

2 −1 4 

3 2 − 1 

x y − 1 z + 1 

Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : = = và hai điểm A(1;1; − 2) , 

1 2 −1 

B( − 1;0;2) . Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách 

từ B tới ∆ là nhỏ nhất. 

 

• d có VTCP u 

d 

= (1;2; −1) 

. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Gọi H là 

hình chiếu vuông góc của B lên (P) khi đó đường thẳng ∆ đi qua A và H thỏa YCBT. 

Ta có: (P): x + 2y − z − 5 = 0 . Giả sử H( x; y; z) . 

Ta có: 

 

⇒ u 

∆ = 

⎧H 

∈( P) 

⎨ 

BH ⎩ , ud 


⇒ H ⎛ 1 ; 8 ; 

2 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ 

 

3 AH = ( − 2;5;8) ⇒ Phương trình ∆: x − 1 y − 1 z + 

= = 

2 . 

−2 5 8 

x + 1 y z + 1 

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = và hai điểm 

2 3 − 1 

A(1;2; − 1), B(3; −1; − 5) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng 

∆ sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. 

 

 

• Giả sử d cắt ∆ tại M ⇒ M( − 1+ 2 t;3 t; −1 − t) 

, AM = ( − 2 + 2 t;3t − 2; − t), AB = (2; −3; −4) 

Gọi H là hình chiếu của B trên d. Khi đó d( B, d) = BH ≤ BA . Vậy d( B, d) lớn nhất bằng BA 

 

⇔ H ≡ A ⇔ AM ⊥ AB ⇔ AM. AB = 0 ⇔ 2( − 2 + 2 t) − 3(3t − 2) + 4t = 0 ⇔ t = 2 

⇒ M(3;6; − 3) ⇒ PT đường thẳng 

x −1 y − 2 z + 1 

d : = = . 

1 2 − 1 

Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường 

thẳng ∆: x + 1 y − 

= 1 = 

z . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường 

2 −1 2 

thẳng ∆ tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất. 

• Phương trình tham số của ∆: 

⎧ x = − 1+ 

2t 

⎪ 

⎨y 

= 1 − t 

⎪ ⎩z 

= 2t 

. Điểm C ∈ ∆ nên C( − 1+ 2 t;1 − t;2 t) 

. 



 

 

 

AC = ( − 2 + 2 t; −4 − t;2 t); AB = (2; −2;6) 

; ⎡⎣ 

AC, AB⎤ ⎦ = ( −24 − 2 t;12 − 8 t;12 − 2 t) 

 

⎡ 

2 

AC, AB⎤ 

1 

⇒ ⎣ ⎦ = 2 18t − 36t 

+ 216 ⇒ S = ⎡⎣ AC, 

AB⎤ 

2 

⎦ = 18( t − 1) + 198 ≥ 198 

2 

Vậy Min S = 198 khi t = 1 hay C(1; 0; 2) ⇒ Phương trình BC: x − 3 y − 3 z − 

= = 

6 . 

−2 −3 −4 

x + 1 y − 2 z − 2 

Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và mặt 

3 −2 2 

phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng 

(P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d). 

⎧ x = − 1+ 

3t 

⎪ 

• Đường thẳng (d) có PTTS: ⎨y 

= 2 − 2t 

. Mặt phẳng (P) có VTPT n = (1; 3; 2) 

⎪ 

⎩z 

= 2 + 2t 

 

Giả sử N(−1 + 3t ; 2 − 2t ; 2 + 2t) ∈ d ⇒ MN = (3t − 3; −2 t;2t 

− 2) 

 

Để MN // (P) thì MN. n = 0 ⇔ t = 7 ⇒ N(20; −12; 16) 

Phương trình đường thẳng ∆: x − 2 y − 2 z − 

= = 

4 

9 −7 6 


x y −1 z − 2 

x −1 y − 3 z − 3 

a) d : = = , ( P) : x + 3y + 2z 

+ 2 = 0 , M(2;2;4). ĐS: ∆ : = = 

1 2 1 

1 −1 1 

x − 2 y z + 2 

x −1 y − 2 z + 1 

b) d : = = , ( P) : 2x + y − z + 1 = 0 , M(1;2;–1) . ĐS: ∆ : = = 

1 3 2 

2 −9 −5 

c) x − 2 y + 4 z − 1 

x − 3 y + 2 z + 4 

= = ,( P) : 3x − 2y − 3z 

− 2 = 0 , M(3; −2; − 4) . ĐS: ∆ : = = 

3 −2 2 

5 −6 9 

Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( α) : 3x − 2y + z − 29 = 0 và hai 

điểm A(4;4;6) , B(2;9;3) . Gọi E, F là hình chiếu của A và B trên ( α ) . Tính độ dài đoạn 

EF . Tìm phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( α ) đồng thời ∆ đi qua giao 

điểm của AB với ( α ) và ∆ vuông góc với AB. 

 

 

 

• AB = ( −2;5; − 3), na = (3; −2;1) 

, sin( AB,( α )) = cos( AB, na 

) = 

19 

532 

2 361 171 

EF = AB.cos( AB,( α)) = AB 1− sin ( AB,( α)) = 38 1− = 532 14 

 

AB cắt ( α ) tại K(6; − 1;9) ; u∆ 

= ⎡AB, n ⎤ 

α 

= (1;7;11) . Vậy 

⎣ ⎦ 

⎧ x = 6 + t 

⎪ 

∆ : ⎨y 

= − 1 + 7t 

⎪ 

⎩z 

= 9 + 11t 

Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần 

x −1 y z −1 

lượt có phương trình: ( P) : x − 2y + z = 0, ( Q) : x − 3y + 3z + 1 = 0, ( d) : = = . Lập 

2 1 1 

phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng 

(d). 

 

• (P), (Q) lần lượt có VTPT là nP (1; 2;1), nQ (1; 3;3) ⎡ 

 

= − = − ⇒ nP, n ⎤ 

⎣ Q ⎦ 

= ( −3; −2; −1) 



PTTS của (d): x = 1+ 2 t, y = t, z = 1+ t . Gọi A = (d) ∩ (∆) ⇒ A(1 + 2 t; t;1 + t) 

. 

. Do A ⊂ (P) nên: 1+ 2t − 2t + 1+ t = 0 ⇔ t = −2 

⇒ A( −3; −2; − 1) 

 

⎧u 

Theo giả thiết ta có: 

∆ 

⊥ nP 

 

u ⎡ 

 

⎨ ⇒ nP, n ⎤ 

u n ∆ 

= 

⎣ Q ⎦ 

= ( −3; −2; −1) 

⎩ ∆ 

⊥ 

Q 

x + 3 y + 2 z + 1 

Vậy phương trình đường thẳng ( ∆) : = = . 

3 2 1 

Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; − 1), B(2;1;1), C(0;1;2) 

và 

x − 1 y + 1 z + 2 

đường thẳng ( d) : = = . Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua trực tâm của 

2 −1 2 

tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d). 

 

• Ta có AB = (1; − 1;2), AC = ( −1; −1;3) ⇒ ⎡⎣ 

AB, AC⎤⎦ 

= ( −1; −5; −2) 

⇒ phương trình (ABC): x + 5y + 2z 

− 9 = 0 

 

⎧ BH. AC = 0 ⎧a − b + 2c = 3 ⎧a 

= 2 

⎪ ⎪ ⎪ 

Gọi trực tâm của ∆ABC là H( a; b; c) 

⎨CH. AB = 0 ⇔ ⎨a + b − 3c = 0 ⇔ ⎨b = 1 ⇒ H(2;1;1) 

⎪H ∈ ( ABC) ⎪ 

⎩a + 5b + 2c = 9 ⎪ 

⎩c 

= 1 

⎩ 

 

⎧u 

Do (∆) ⊂ (ABC) và vuông góc với (d) nên: ∆ 

⊥ nABC 

 

⎨ ⇒ u ⎡nABC, n ⎤ 

u u 

∆ 

= ⎣ d ⎦ = (12;2; −11) 

⎩ ∆ 

⊥ 

d 

x − 2 y −1 z −1 

⇒ PT đường thẳng ∆ : = = . 

12 2 − 11 

Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y − z + 5 = 0 , đường 

x + 3 y + 1 z − 3 

thẳng d : = = và điểm A( − 2;3;4) . Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm 

2 1 1 

trên (P), đi qua giao điểm của d và (P), đồng thời vuông góc với d. Tìm điểm M trên ∆ sao 

cho khoảng cách AM ngắn nhất. 

 

⎧∆ 

⊂ ( P) 

⎧u 

• Gọi B = d ∩ (P) ⇒ B( − 1;0;4) . Vì ⎨ nên ∆ 

⊥ nP 

⎩∆ 

⊥ 

⎨ . 

d ⎩u∆ 

⊥ ud 

⎧ x = − 1+ 

t 

1 

⎪ 

Do đó ta có thể chọn u ⎡ 

∆ 

= nP, u ⎤ 

d 

= (1; −1; −1) 

3 

⎣ ⎦ 

⇒ PT của ∆: ⎨y 

= − t . 

⎪ ⎩z 

= 4 − t 

2 ⎛ 4 ⎞ 14 14 

Giả sử M( − 1 + t; −t;4 − t) ∈ ∆ ⇒ AM = 3t + 8t + 10 = 3⎜t 

+ ⎟ + ≥ 

⎝ 3 ⎠ 3 3 

4 

Dấu "=" xảy ra ⇔ t = − 3 

⇔ M ⎛ 7 ; 4 ; 

16 ⎞ 

⎜ − ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ . Vậy AM đạt GTNN khi M ⎛ 7 ; 4 ; 

16 ⎞ 

⎜ − ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ . 


⎧ x = 1− 

t 

⎧x 

= t 

⎪ ⎪ 

a) ( P) : 2x + y − 2z 

+ 9 = 0 , d : ⎨y = − 3 + 2t 

. ĐS: ∆ : ⎨y 

= −1 

⎪ 

⎩z 

= 3 + t 

⎪ 

⎩z 

= 4 + t 

Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; − 1;1) , đường thẳng 

2 



x y − 2 z 

∆ : = = , mặt phẳng ( P) : x – y + z− 5 = 0 . Viết phương trình của đường thẳng d đi 

1 2 2 

0 

qua điểm A , nằm trong ( P) và hợp với đường thẳng ∆ một góc 45 . 

 

• Gọi ud 

, u∆ 

lần lươt là các VTCP của d và ∆ ; n P 

là VTPT của ( P). 

 

2 2 2 

 

Đặt ud 

= ( a; b; c), ( a + b + c ≠ 0) . Vì d nằm trong ( P) nên ta có : nP ⊥ ud 

⇒ a – b + c = 0 ⇔ b = a + c ( 1 ). 

Theo gt: ( d, ∆ ) = 45 ⇔ 

0 

a + 2b + 2c 

2 

2 2 2 2 

= ⇔ 2( a + 2 b + c) = 9( a + b + c ) 

2 2 2 

a + b + c .3 

2 

2 15a 

Thay (1) vào ( 2) ta có : 14c + 30ac = 0 ⇔ c = 0; c = − 

7 

⎧ x = 3 + t 

⎪ 

+ Với c = 0 : chọn a = b = 1 ⇒ PTTS của d là : ⎨y 

= − 1– t 

⎪ ⎩z 

= 1 

+ Với 

15a 

c = − : chọn a = 7, c = − 15, b = − 8 ⇒.PTTS của d là: 

7 

⎧ x = 3 + 7t 

⎪ 

⎨y 

= − 1 – 8t 

. 

⎪ ⎩z 

= 1 –15t 

(2) 

Câu 18. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x − 3 y + 2 z + 

= = 1 và mặt phẳng 

2 1 − 1 

(P): x + y + z + 2 = 0 . Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng ∆ 

nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới ∆ bằng 42 . 

⎧ x = 3 + 2t 

⎪ 

 

• PTTS d: ⎨y 

= − 2 + t ⇒ M(1; − 3;0) . (P) có VTPT n 

P 

= (1;1;1) , d có VTCP u 

d 

= (2;1; −1) 

⎪ 

⎩z 

= −1− 

t 

 

Vì ∆ nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP u∆ = ⎡ 

⎣ud , n ⎤ 

P ⎦ = (2; −3;1) 

 

Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ , khi đó MN = ( x − 1; y + 3; z) 

. 

 

⎧ 

MN ⊥ u∆ 

⎧ x + y + z + 2 = 0 

⎪ 

⎪ 

Ta có ⎨ N ∈ ( P) 

⇔ ⎨2x − 3y + z − 11 = 0 ⇒ N(5; –2; –5) hoặc N(–3; – 4; 5) 

⎪ 

2 2 2 

⎩MN 

= 42 ⎪ 

⎩( x − 1) + ( y + 3) + z = 42 

x − 5 y + 2 z + 5 

• Với N(5; –2; –5) ⇒ Phương trình của ∆ : = = 

2 −3 1 

x + 3 y + 4 z − 5 

• Với N(–3; – 4; 5) ⇒ Phương trình của ∆ : = = . 

2 −3 1 

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ): x + y − z − 1 = 0 , hai đường 

thẳng (∆): x − 1 y z x y z + 1 

= = , (∆′): = = . Viết phương trình đường thẳng (d) nằm 

−1 −1 1 1 1 3 

trong mặt phẳng (α ) và cắt (∆′); (d) và (∆) chéo nhau mà khoảng cách giữa chúng bằng 

6 

2 . 

 

 

• (α) có VTPT n = (1;1; −1) 

, (∆) có VTCP u 

∆ = ( − 1; − 1;1) ⇒ (∆) ⊥ (α). 

 

Gọi A = ( ∆′ ) ∩ ( a ) ⇒ A(0;0; − 1) ; B = ( ∆) ∩ ( a ) ⇒ B(1;0;0) ⇒ AB = (1;0;1) 



Vì (d) ⊂ (α) và (d) cắt (∆′) nên (d) đi qua A và (∆) ⊥ (α) nên mọi đường thẳng nằm trong 

(α) và không đi qua B đều chéo với (∆). 

 

 

Gọi ud 

= ( a; b; c) 

là VTCP của (d) ⇒ ud 

. n = a + b − c = 0 (1) 

và u 

 

d 

không cùng phương với AB (2) 

 

⎡ 

AB, u ⎤ 

2 2 

⎣ d ⎦ 6 2 b + ( a − c) 6 

Ta có: d( d, ∆ ) = d( B, d) 

⇒ = ⇔ 

= (3) 

ud 

2 

2 2 2 

a + b + c 2 

⎡ a 0 

Từ (1) và (3) ⇒ ac = 0 ⇔ ⎢ = 

. 

⎣c 

= 0 

⎧ x = 0 

 

⎪ 

• Với a = 0 . Chọn b = c = 1 ⇒ u 

d 

= (0;1;1) ⇒ d : ⎨y = t 

⎪ ⎩z 

= − 1+ 

t 

⎧ x = t 

 

⎪ 

• Với c = 0 . Chọn a = − b = 1 ⇒ u 

d 

= (1; −1;0) 

⇒ d : ⎨y = − t . 

⎪ ⎩z 

= −1 

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác 

Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai 

⎧ x = 3 + 7t 

x − 7 y − 3 z − 9 ⎪ 

đường thẳng: ∆1 

: = = và ∆ 

1 2 − 

2 

: ⎨y 

= 1 − 2t 

. 

1 ⎪ 

⎩z 

= 1− 

3t 

⎧ x = 7 + t' 

⎪ 

• Phương trình tham số của ∆ 

1 

: ⎨y 

= 3 + 2 t' 

⎪ 

⎩z 

= 9 − t ' 

Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường vuông góc chung với ∆ 1 và ∆ 2 

⇒ M(7 + t′;3 + 2t′;9 – t′) và N(3 

 

–7t;1 + 2t;1 + 3t) 

 

VTCP lần lượt của ∆ 1 và ∆ 2 là a = (1; 2; –1) và b = (–7;2;3) 

 

⎧⎪ 

MN ⊥ a ⎧⎪ 

MN. a = 0 

Ta có: ⎨ ⇔ ⎨ . Từ đây tìm được t và t′ ⇒ Toạ độ của M, N. 

⎪⎩ 

MN ⊥ b ⎪⎩ 

MN. b = 0 

Đường vuông góc chung ∆ chính là đường thẳng MN. 


⎧ x = 3 + t ⎧ x = − 2 + 2 t' 

⎪ ⎪ 2 x – y 10 z – 47 0 

a) Với ( ∆1 

) : ⎨y 

= − 1 + 2t 

, ( ∆2 

) : ⎨y = 2 t ' . ĐS: ∆ : 

⎧ 

⎪ 

⎩z 

= 4 

⎪ ⎨ + = 

x + 3 y – 2z 

+ 6 = 0 

⎩z = 2 + 4 t ' 

⎩ 

Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm 

⎧ 2x 

3y 


M ( −4; − 5;3) 

và cắt cả hai đường thẳng: d1 

: ⎨ + + = x − 2 y + 1 z −1 

và d 

⎩y 

− 2z 

+ 7 = 0 

2 

: = = . 

2 3 − 5 

⎧ x = 5 − 3t 

⎧ 

1 

x = 2 + 2t 

⎪ ⎪ 

2 

• Viết lại phương trình các đường thẳng: d1 : ⎨y = − 7 + 2t1 

, d2 : ⎨y = − 1 + 3t2 

. 

⎪ 

⎩z 

= t 

⎪ 

1 

⎩z 

= 1− 

5t2 

Gọi A = d ∩ d1, 

B = d ∩ d2 

⇒ A(5 − 3 t1; − 7 + 2 t1; t1) 

, B(2 + 2 t2; − 1+ 3 t2;1 − 5 t2) 

. 

 

 

MA = ( − 3t1 + 9;2t1 − 2; t1 

− 3) , MB = (2t2 + 6;3t2 + 4; −5t2 

− 2) 

 

⎡⎣ 

MA, MB⎤ ⎦ = ( −13t t − 8t + 13t + 16; − 13t t + 39 t ; −13t t − 24t + 31t 

+ 48) 

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 




 

M, A, B thẳng hàng ⇔ MA, 

MB cùng phương ⇔ ⎡⎣ 

MA, MB ⎤ 

t 

⎦ = 0 ⇔ 

⎩ 

 

⇒ A( −1; −3;2), B(2; − 1;1) ⇒ AB = (3;2; −1) 

⎧ = 

⎨ = 

 

⎧ x = − 4 + 3t 

⎪ 

Đường thẳng d qua M(–4; –5; 3) và có VTCP AB = (3;2; −1) 

⇒ d : ⎨y = − 5 + 2t 

⎪ ⎩z 

= 3 − t 


⎧ x = t 

x y − 2 z 

a) M(1;5;0), d 1 

: = = 1 − 3 − , d y t 

3 

2 : ⎪ 

⎨ = 4 − . ĐS: 

⎪ 

⎩z 

= − 1+ 

2t 

⎧ x = 3 + 2t 

x − 2 y + 1 z + 3 x − 3 y − 7 z −1 

⎪ 

b) M(3; 10; 1) , d 1 

: = = , d 

3 1 2 2 

: = = ĐS: d : ⎨y = 10 − 10t 

1 −2 −1 

⎪ 

⎩z 

= 1− 

2t 

Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 , ∆2 

và mặt phẳng (α ) có 

⎧ x = 2 + t 

⎪ x − 1 y + 1 z + 2 

phương trình là ∆1 : ⎨y = 5 + 3 t, ∆2 

: = = , ( α) : x − y + z + 2 = 0 . Viết phương 

⎪ z = t 

1 1 2 

⎩ 

trình đường thẳng d đi qua giao điểm của ∆1 

với (α ) đồng thời cắt ∆ 

2 

và vuông góc với trục 

Oy. 

⎧x = 2 + t ⎧t 

= −1 

⎪y = 5 + 3t ⎪x 

= 1 

• Toạ độ giao điểm A của (α ) và ∆ 

1 

thoả mãn hệ ⎨ 

⇔ A(1;2; 1) 

z t 

⎨ ⇒ − 

⎪ 

= 

⎪ 

y = 2 

⎪⎩ x − y + z + 2 = 0 ⎪⎩ 

z = −1 

 

Trục Oy có VTCP là j = (0;1;0) . Gọi d là đường thẳng qua A cắt ∆ 

2 

tại 

 

B(1 + t; − 1 + t; − 2 + 2 t) 

. AB = ( t; t − 3;2t −1); d ⊥ Oy ⇔ AB j = 0 ⇔ t = 3 ⇒ AB = (3;0;5) 

 

Đường thẳng d đi qua A nhận AB = (3;0;5) 

t 1 2 

làm VTCP có phương trình là 

2 

0 

⎧ x = 1+ 

3u 

⎪ 

⎨y 

= 2 . 

⎪ 

⎩z 

= − 1+ 

5u 

⎧ x = 1+ 

t 

⎪ 

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d1 

: ⎨y = 1 + 2t 

, đường thẳng d 

2 

⎪ 

⎩z 

= 1 + 2t 

là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2 x – y –1 = 0 và (Q): 2x + y + 2 z – 5 = 0 . Gọi I là giao 

điểm của d1, d2 

. Viết phương trình đường thẳng d 3 

qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai 

đường thẳng d1, d2 

lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I. 

• PTTS của d :{ 

x = t '; y = − 1 + 2 t '; z = 3 − 2 t ' . I = d ∩ d ⇒ I(1;1;1) . 

2 

1 2 

Giả sử: B(1 + t;1+ 2 t;1+ 2 t) ∈ d , C( t'; − 1+ 2 t ';3 − 2 t ') ∈ d ( t ≠ 0, t' ≠ 1) 

1 2 

⎧ IB = IC 

∆BIC cân đỉnh I ⇔ ⎨ ⎧ t = 1 

⇔ ⎨ ⇒ Phương trình d 

⎩[ AB , AC ] = 0 ⎩t 

' = 

{ x y z t 

2 

3 

: = 2; = 3; = 1 + 2 

Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4 x – 3y + 11z 

= 0 và hai 



x 

đường thẳng d 1 : 

− 1 

= y − 3 = z + 1 x − 4 , = y 2 3 1 1 = z − 3 . Chứng minh rằng d1 và d 2 chéo 

2 

nhau. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P), đồng thời ∆ cắt cả d 1 và d 2 . 

• Toạ độ giao điểm của d 1 và (P): A(–2;7;5). Toạ độ giao điểm của d 2 và (P): B(3;–1;1) 

Phương trình đường thẳng ∆: x + 2 y − 7 z − 

= = 

5 . 

5 −8 −4 

Câu 25. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương 

trình (P): 3x + 12y − 3z 

− 5 = 0 và (Q): 3x − 4y + 9z 

+ 7 = 0 , (d 1 ): x + 5 y − 3 z + 

= = 

1 , (d 2 ): 

2 −4 3 

x − 3 y + 1 z − 2 

= = . Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với hai mặt phẳng (P), 

−2 3 4 

(Q) và cắt (d 1 ), (d 2 ). 

 

 

• (P) có VTPT n 

P 

= (1; 4; −1) 

, (Q) có pháp vectơ n 

Q 

= (3; − 4; 9) 

 

 

(d 1 ) có VTCP u 1 

= (2; − 4; 3) , (d 2 ) có VTCP u 2 

= ( −2; 3; 4) 

⎧ ( ∆1 

) = ( P) ∩ ( Q) 

⎪( P1 ) ⊃ ( d1),( P1 

) ( P) 

Gọi: ⎨ 

⇒ (∆) = (P 

( Q1 ) ⊃ ( d2),( Q1 

) ( Q) 

1 ) ∩ (Q 1 ) và (∆) // (∆ 1 ) 

⎪ 

u = u ⎪⎩ ∆1 

 

(∆) có vectơ chỉ phương u 1 

= [ n ; P 

n ] (8; 3; 4) 

Q 

= − − 

4 

 

(P 1 ) có cặp VTCP u 1 và u nên có VTPT: nP 

1 

= [ u1; u] = (25; 32; 26) 

Phương trình mp (P 1 ): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 ⇔ 25x + 32y + 26z 

+ 55 = 0 

 

(Q 1 ) có cặp VTCP u 2 và u nên có VTPT: n 

Q1 u 

[ 

2; u 

= ] = (0; 24; −18) 

Phương trình mp (Q 1 ): 0( x − 3) + 24( y + 1) −18( z − 2) = 0 ⇔ 4y − 3x 


Ta có: ( ∆ ) = ( P ) ∩ ( Q ) ⇒ phương trình đường thẳng (∆) : 

1 1 

⎧ 25x + 32y + 26z 

+ 55 = 0 

⎨ 

⎩4y 

− 3z 


Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x – y + 2 z – 3 = 0 và hai 

đường thẳng (d 1 ), (d 2 ) lần lượt có phương trình x − 4 y − 

= 1 = z và x + 3 y + 5 z − 

= = 7 . 

2 2 − 1 2 3 − 2 

Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) song song với mặt phẳng (P), cắt ( d 1 

) và ( d 2 

) tại A và 

B sao cho AB = 3. 

• A ∈ ( d 1 

) ⇒ A (4 + 2 t;1+ 2 t; − t) 

; B ∈( d2) ⇒ B( − 3 + 2 t′ ; − 5 + 3 t′ ;7 − 2 t′ 

) 

 

 

AB = ( − 7 + 2t′ − 2 t; − 6 + 3t′ − 2 t;7 − 2 t′ 

+ t) 

, n 

P 

= (2; −1;2) 

. 

 

⎧ 

Từ giả thiết ta có: 

AB. nP 

= 0 ⎧ t′ 

= 2 

 

⎨ ⇔ ⎨ ⇒ A(2; − 1;1), AB = ( −1;2;2) 

. 

⎩AB 

= 3 ⎩t 

= − 1 

⇒ Phương trình đường thẳng (∆): x − 2 y + 1 z − 

= = 

1 . 

−1 2 2 

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y + z + 1 = 0 và hai 

đường thẳng 

x − 1 y + 2 z − 3 

d 1 

: = = , 

2 1 3 

x + 1 y −1 z − 2 

d 2 

: = = . Viết phương trình đường 

2 3 2 




thẳng ∆ song song với (P), vuông góc với d 1 

và cắt d 2 

tại điểm E có hoành độ bằng 3. 

 

 

 

• d 1 

có VTCP u 1 

= (2;1;3) , d 2 

có VTCP u 2 

= (2;3;2) , (P) có VTPT n = (2; −1;1) 

. 

 

Giả sử ∆ có VTCP u = ( a; b; c) 

, E ∈ d 2 

có xE 

= 3 ⇒ E(3; − 1;6) . 

 

⎧∆ 

( P) ⎧ u. n = 0 ⎧2a − b + c = 0 ⎧ a = −c 

 

Ta có: ⎨ ⇔ 

∆ ⊥ d 

⎨ ⇔ 

⎩ 1 ⎩u. u1 

= 0 

⎨ 

⇔ 

⎩2a + b + 3c 

= 0 

⎨ ⇒ Chọn u = (1;1; −1) 

⎩b 

= − c 

⇒ PT đường thẳng ∆: {x = 3 + t; y = − 1 + t; z = 6 − t . 

Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ( d ),( d ) và mặt phẳng (P) có phương 

1 2 

x + 1 y + 2 z x − 2 y −1 z −1 

trình: ( d 1 

) : = = , ( d 

1 2 1 2 

) : = = ; ( P) : x + y − 2z 

+ 5 = 0 . Lập phương 

2 1 1 

trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt ( d ),( d ) lần lượt tại A, B sao cho 

1 2 

độ dài đoạn AB nhỏ nhất. 

 

• Đặt A( − 1 + a; − 2 + 2 a; a), B(2 + 2 b;1 + b;1 + b) 

⇒ AB = ( − a + 2b + 3; − 2a + b + 3; − a + b + 1) 

 

 

Do AB // (P) nên: AB ⊥ n = (1;1; −2) ⇔ b = a − 4 . Suy ra: AB = ( a − 5; −a 

−1; −3) 

P 

2 2 2 2 2 

AB = ( a − 5) + ( −a − 1) + ( − 3) = 2a − 8a + 35 = 2( a − 2) + 27 ≥ 3 3 

⎧ a = 2 

 

Suy ra: min AB = 3 3 ⇔ ⎨ , A(1;2;2) , AB = ( −3; −3; −3) 

. 

⎩b 

= − 2 

x −1 y − 2 z − 2 

Vậy d : = = . 

1 1 1 

x + 8 y − 6 z −10 

Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ( d 1 

) : = = 

2 1 − 1 

⎧ x = t 

⎪ 

và ( d2) : ⎨y = 2 − t . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d 1 ) 

⎪ ⎩z 

= − 4 + 2t 

tại A, cắt (d 2 ) tại B. Tính AB. 

• Giả sử: A( − 8 + 2 t1;6 + t1;10 − t1) 

∈ d 1 , B( t2;2 − t2; − 4 + 2 t2) 

∈ d 2 . 

 

⇒ AB = ( t2 − 2t1 + 8; −t2 − t1 − 4);2t2 + t1 

−14) 

. 

 

⎧−t 

t 

AB, i = (1;0;0) cùng phương ⇔ 2 

− 

1 

− 4 = 0 ⎧ t 

⎨ 

⇔ 

⎩2t2 + t1 

− 14 = 0 t 1 = −22 

⎨ 

⎩ 2 = 18 

⇒ A( −52; −16;32), B(18; − 16;32) . 

⇒ Phương trình đường thẳng d: {x = − 52 + t; y = − 16; z = 32 . 

⎧ x = − 23 + 8t 

⎪ 

Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d 1 ): ⎨y 

= − 10 + 4t 

và (d 2 ): 

⎪ ⎩z 

= t 

x − 3 y + 2 z 

= = . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai 

2 −2 1 

đường thẳng (d 1 ), (d 2 ). 

• Giả sử A( − 23 + 8 t1; − 10 + 4 t1; t1) 

∈ d 1 , B(3 + 2 t2; −2 − 2 t2; t2) 

∈ d 2 . 

 

⇒ AB = (2t − 8t + 26; −2t − 4t + 8; t − t ) 

2 1 2 1 2 1 



⎧ 17 

 

⎧2t 

t 

AB // Oz ⇔ AB, 

k cuøng phöông ⇔ 2 

− 8 

1 

+ 26 = 0 ⎪t1 

= 

⎨ ⇔ 6 ⎛ 1 4 17 ⎞ 

⎩ − 2t2 − 4t1 

+ 8 = 0 

⎨ ⇒ A⎜ 

− ; ; ⎟ 

⎪ 5 ⎝ 3 3 6 ⎠ 

t2 

= − 

⎩ 3 

⎧ 1 4 17 

⇒ Phương trình đường thẳng AB: ⎨ x = − ; y = ; z = + t 

⎩ 3 3 6 

Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và 

⎧6x − 3y + 2z 

= 0 

đường thẳng (d): ⎨ 

. Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) và cắt các 

⎩6x + 3y + 2z 

− 24 = 0 

đường thẳng AB, OC. 

• Phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và song song d: (α): 6x + 3y + 2z – 12 = 0 

Phương trình mặt phẳng (β) chứa OC và song song d: (β): 3x – 3y + z = 0 

⎧ 6x + 3y + 2z 


∆ là giao tuyến của (α) và (β) ⇒ ∆: ⎨ 

⎩3x − 3y + z = 0 

Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); 

D(3;0;0). Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. Viết phương trình đường 

thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD. 

• Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P) ⊥ (Oxy) ⇒ (P): 5x – 4y = 0 

(Q) là mặt phẳng qua CD và (Q) ⊥ (Oxy) ⇒ (Q): 2x + 3y – 6 = 0 

Ta có (D) = (P)∩(Q) ⇒ Phương trình của (D) 

Câu 33. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: 

⎧ x = −1− 

2t 

⎪ x y z 

d 

1 

: ⎨y = t và d 

2 : = = . Xét vị trí tương đối của d 1 và d 2 . Viết phương trình 

⎪ 

⎩z 

= 1+ 

t 

1 1 2 

đường thẳng d qua M trùng với gốc toạ độ O, cắt d 1 và vuông góc với d 2 . 

 

• Đường thẳng 

 

∆ cần tìm cắt d 1 tại A(–1–2t; t; 1+t) ⇒ OA = (–1–2t; t; 1+t) 

 

d ⊥ d2 ⇔ OA. u2 

= 0 ⇔ t = −1 ⇒ A(1; −1;0) 

⇒ PTTS của d :{ 

x = t; y = − t; z = 0 


⎧ x = − 2 + 2t 

x + 2 y z −1 

⎪ 

x −1 y −1 z −1 

a) Với M(1;1;1) , ( d 1 

) : = = , ( d y t 

3 1 − 

2) : ⎨ = − 5 . ĐS: d : = = 

2 ⎪ ⎩z 

= 2 + t 

3 1 − 1 

Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình: 

⎧ x t 

(d 1 ) : 

⎪ = 

⎧ x = t ' 

⎪ 

⎨y 

= 4 + t và (d 2 ) : ⎨y 

= 3 t ' − 6 

⎪ 

⎩z 

= 6 + 2t 

⎪ 

⎩z 

= t ' − 1 

Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; –1; 1) trên (d 2 ). Tìm phương trình tham số của 

đường thẳng đi qua K vuông góc với (d 1 ) và cắt (d 1 ). 

 

 

• (d 1 ) có VTCP u 1 

= (1; 1; 2) ; (d 2 ) có VTCP u 2 

= (1; 3; 1) 

 

K∈( d2) ⇒ K( t′ ; 3t′ − 6; t′ −1) ⇒ IK = ( t′ −1; 3t′ − 5; t′ 

− 2) 

 

18 ⎛18 12 7 ⎞ 

IK ⊥ u2 

⇔ t′ − 1+ 9t′ − 15 + t′ − 2 = 0 ⇔ t′ 

= ⇒ K ⎜ ; − ; ⎟ 

11 ⎝ 11 11 11⎠ 




⎛18 56 59 ⎞ 

Giả sử (d ) cắt (d 1 ) tại H( t; 4 + t; 6 + 2 t), ( H ∈ ( d 1 

)) . HK = ⎜ − t; − − t; − − 2t 

⎟ 

⎝ 11 11 11 ⎠ 

18 56 118 26 1 

HK ⊥ u1 

⇔ − t − − t − − 4t = 0 ⇔ t = − ⇒ HK = (44; − 30; − 7). 

11 11 11 11 11 

Vậy, PTTS của đường thẳng (d ): ⎧ 18 12 7 

⎨x = + 44 λ; y = − − 30 λ; z = − 7λ 

⎩ 11 11 11 

Câu 35. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) và 2 đường thẳng (d 1 ), (d 2 ) 

với: (d 1 ): x − 1 y + 

= 2 = z ; (d 2 ) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x + 1 = 0 và (Q): 

3 2 1 

x + y − z + 2 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc (d 1 ) và cắt (d 2 ). 

• Phương trình mặt phẳng (α) đi qua M(0;1;1) vuông góc với (d 1 ): 3x + 2y + z − 3 = 0 . 

⎧ 3x + 2y + z − 3 = 0 

⎪ ⎛ 5 8 ⎞ 

A = (d 2 ) ∩ (α) ⇔ ⎨x 

+ 1 = 0 ⇔ A⎜ 

− 1; ; ⎟ 

⎪ x + y − z + 2 = 0 

⎝ 3 3 ⎠ 

⎩ 

x y 1 z 1 

⇒ Phương trình AM: 

− − 

= = . 

−3 2 5 

Câu 36. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : 2x − y + 2z 

= 0 và 2 đường 

x −1 y −1 z −1 

x −1 y − 2 z 

thẳng ( d) : = = , ( d ') 

: = = . Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) 

1 3 2 −2 1 1 

nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d'). 

 

 

• Ta có nP 

= (2; − 1;2), ud 

= (1;3;2) và PTTS của (d'): 

⎧ ⎪ x = 1− 

2t 

⎨y 

= 2 + t 

⎪ 

⎩z 

= t 

Gọi A = (d') ∩ (P) ⇒ A(1 − 2 t;2 + t; t) 

. 

Do A ∈ (P) nên: 2(1 − 2 t) − 2 − t + 2t = 0 ⇔ t = 0 ⇒ A(1;2;0) 

 

 

Mặt khác (∆) nằm trong (P), vuông góc với (d) nên u ∆ 

vuông góc với nP, 

ud 

⇒ ta có thể 

 

x −1 y − 2 z 

chọn u ⎡ 

∆ 

= ⎣nP, u ⎤ 

d ⎦ = ( −8; −2;7) 

⇒ Phương trình ∆ : = = 

−8 −2 7 

Câu 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y + z − 1 = 0 và hai 

đường thẳng (d 1 ): x − 1 y + 2 z − 

= = 3 , (d 2 ): x + 1 y − 1 z − 

= = 2 . Viết phương trình đường 

2 1 3 2 3 2 

thẳng (∆) song song với mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d 1 ) và cắt đường thẳng 

(d 2 ) tại điểm E có hoành độ bằng 3. 

 

⎧ 

⎧a 

n 

• E ∈ (d 2 ) ⇒ E(3; 7; 6). △ 

⊥ 

P 

 

⎨ ⇒ a = ⎡nP, a ⎤ 

a a ⎣ d1⎦ 

= −4(1;1; −1) 

⎩ ⊥ 

△ 

⇒ (∆): 

⎪ x = 3 + t 

⎨y 

= 7 + t . 

△ d1 

⎪ ⎩z 

= 6 − t 

Câu 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) và mặt 

phẳng (P) có phương trình: 3x − 8y + 7z 

+ 1 = 0 . Viết phương trình chính tắc đường thẳng d 

nằm trên mặt phẳng (P) và d vuông góc với AB tại giao điểm của đường thẳng AB với (P). 

• Giao điểm của đường thẳng AB và (P) là: C(2;0;–1) 



Đường thẳng d đi qua C và có VTCP là ⎡ 

AB, 

n ⎤ 

⎣ P ⎦ ⇒ d: x − 2 y z − 

= = 

1 

2 −1 −2 

Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 : x + 1 y − 1 z − 

= = 

1 ; 

2 −1 1 

d 2 : x − 1 y − 2 z + 

= = 1 và mặt phẳng (P): x − y − 2z 

+ 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng 

1 1 2 

∆ nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 . 

• Gọi A = d 1 ∩ ∆, B = d 2 ∩ ∆. Vì ∆ ⊂ (P) nên A = d 1 ∩ (P), B = d 2 ∩ (P) 

⇒ A(1; 0; 2), B(2; 3; 1) 

⇒ ∆ chính là đường thẳng AB ⇒ Phương trình ∆: x − 1 y z − 

= = 2 . 

1 3 − 1 

Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với 

x − 1 y + 1 z 

mặt phẳng (P): x + y + z − 1 = 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng ( d 1 

) : = = và 

2 −1 1 

⎧ x = − 1+ 

t 

⎪ 

( d2) : ⎨y 

= − 1 , với t ∈ R . 

⎪ ⎩z 

= −t 

• Lấy M ∈ ( d 1 ) ⇒ M ( 1+ 2 t t t ) 

1; −1 − 

1; 

1 

; N ∈ ( d 2 ) ⇒ N ( − 1 + t; −1; 

− t) 

 

Suy ra MN = ( t − 2t − 2; t ; −t − t ) 

1 1 1 

⎧ 4 

 

t = 

* 

⎪ 

( d) ⊥ ( P) ⇔ MN = k. n; k ∈ R ⇔ t − 2t1 − 2 = t1 = −t − t1 

⇔ 

5 ⎛ 

⎨ ⇒ M 1 3 2 ⎞ 

= ⎜ ; − ; − ⎟ 

⎪ −2 

5 5 5 

t 1 = 

⎝ ⎠ 

⎪⎩ 5 

⇒ d: x − 1 = y + 3 = z + 

2 

5 5 5 


x − 1 y + 1 z x − 2 y z −1 

a) Với (P): 2x + y + 5z 

+ 3 = 0 , ( d 1 

) : = = , ( d 

2 1 2 2 

) : = = 

1 1 − 2 

x + 1 y + 2 z + 2 

ĐS: d : = = 

2 1 5 

x + 1 y −1 z − 2 x − 2 y + 2 z 

b) Với ( P) : 2 x – y – 5z 

+ 1 = 0 , d 1 

: = = , d 

2 3 1 2 

: = = 

1 5 − 2 

ĐS: x − 1 y − 4 z − 

= = 

3 

2 −1 −5 

Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2 x – y + z + 1 = 0 , (Q): 

x – y + 2z 

+ 3 = 0 , (R): x + 2 y – 3z 

+ 1 = 0 và đường thẳng ∆ 

1 

: x − 2 y + 

= 1 = 

z 

−2 1 3 

. Gọi ∆ 

2 

là 

giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả 

hai đường thẳng ∆ 

1 

, ∆ 

2 

. 

∆ có PTTS: {x = 2 − 2 t; y = − 1 + t; z = 3t 

; ∆ 

2 

có PTTS: {x = 2 + s; y = 5 + 3 s; 

z = s . 

• 

1 

Giả sử d ∩ ∆ = A; 

d ∩ ∆ = B ⇒ A(2 − 2 t; − 1 + t;3 t), B(2 + s;5 + 3 s; s) 

1 2 



 

 

AB = ( s + 2 t;3s − t + 6; s − 3 t) 

, (R) có VTPT n = (1;2; −3) 

. 

d ⊥ ( R) ⇔ AB s + 2t 3s − t + 6 s − 3t 

23 

, n cùng phương ⇔ = = t 

1 2 − 3 

⇒ = 24 

⇒ A ⎛ 1 ; 1 ; 

23 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝12 12 8 ⎠ 

1 1 23 

x − y − z − 

Vậy phương trình của d: 12 = 12 = 8 . 

1 2 − 3 

Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng có phương trình 

⎧ x = t 

d1 : ⎪ 

y 4 x y − 2 z 

⎨ = − t , d 2 

: = = 

⎪ 

⎩z 

= − 1+ 

2t 

1 − 3 − , d x + 1 y − 1 z + 

: = = 1 . Viết phương trình đường 

3 3 5 2 1 

thẳng ∆, biết ∆ cắt ba đường thẳng d 

1, d 

2, d3 

lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho 

AB = BC . 

• Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d 

1, d 

2, d3 

. 

Giả sử A( t;4 – t; − 1+ 2 t ), B( u;2 – 3 u; −3 u ), C( − 1+ 5 v;1 + 2 v; − 1 + v) 

. 

Ta có: A, B, C thẳng hàng và AB = BC ⇔ B là trung điểm của AC 

⎧ t + ( − 1+ 5 v) = 2u 

⎧ t = 1 

⎪ 

⎪ 

⇔ ⎨4 − t + (1 + 2 v) = 2.(2 − 3 u) 

⇔ ⎨u 

= 0 ⇒ A (1;3;1), B (0;2;0), C( −1;1; − 1) . 

⎪− ⎩ 1+ 2 t + ( − 1 + v) = 2( −3 u) 

⎪ ⎩v 

= 0 

Đường thẳng ∆ đi qua A, B, C có phương trình: x y − 

= 2 = 

z 

1 1 1 

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách 

⎧ x = 2 + 4t 

⎪ 

Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d): ⎨y 

= 3 + 2t 


⎪ 

⎩z 

= − 3 + t 

(P): − x + y + 2z 

+ 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (∆) nằm trong (P), song song với 

(d) và cách (d) một khoảng là 14 . 

• Chọn A(2;3; − 3), B(6;5; − 2)∈(d), mà A, B ∈ (P) nên (d) ⊂ (P) . 

Gọi u 

⎧u 

⊥ u 

là VTCP của ( d 1 

) ⊂ (P), qua A và vuông góc với (d) thì d 

⎨ 

⎩u 

⊥ uP 

 

nên ta chọn u = [ ud , uP 

] = (3; −9;6) 

. 

⎧ x = 2 + 3t 

⎪ 

Phương trình của đường thẳng ( d 1 

) : ⎨y = 3 − 9 t ( t ∈ R) 

⎪ 

⎩z 

= − 3 + 6t 

Lấy M(2+3t; 3 − 9t; − 3+6t) ∈( d 1 

) . (∆) là đường thẳng qua M và song song với (d). 

2 2 2 2 1 1 

Theo đề : AM = 14 ⇔ 9t + 81t + 36t = 14 ⇔ t = ⇔ t = ± 

9 3 

1 

x −1 y − 6 z + 5 

• t = − ⇒ M(1;6; − 5) ⇒ ( ∆1 

) : = = 

3 

4 2 1 

• t = 1 3 ⇒ M(3;0; − 1) x − 3 y z + 1 

⇒ ( ∆2 

) : = = 

4 2 1 



Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y − z + 1 = 0 và đường 

thẳng: d: x − 2 y − 1 z − 

= = 

1 . Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường 

1 −1 − 3 

thẳng ∆ nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến ∆ bằng h = 3 2 . 

 

 

• (P) có VTPT n 

P 

= (1;1; −1) 

và d có VTCP u = (1; −1; −3) 

. I = d ∩ ( P) ⇒ I(1;2;4) 

 

Vì ∆ ⊂ ( P); 

∆ ⊥ d ⇒ ∆ có véc tơ chỉ phương u∆ = ⎡⎣ 

nP, u⎤⎦ 

= ( −4;2; −2) 

Gọi H là hình chiếu của I trên ∆ ⇒ H ∈ mp( Q) 

qua I và vuông góc ∆ 

⇒ Phương trình (Q): −2( x − 1) + ( y − 2) − ( z − 4) = 0 ⇔ − 2x + y − z + 4 = 0 

⎧ x = 1 

Gọi d1 = ( P) ∩ ( Q) 

⇒ d1 

có VTCP ⎡ 

 

nP; n ⎤ 

⎪ 

⎣ Q ⎦ 

= (0;3;3) = 3(0;1;1) và d 1 

qua I ⇒ d1 

: ⎨y = 2 + t 

⎪ 

⎩z 

= 4 + t 

 

Giả sử H ∈ d1 ⇒ H(1;2 + t;4 + t) ⇒ IH = (0; t; t) 

. Ta có: 

2 ⎡ t = 3 

IH = 3 2 ⇔ 2t 

= 3 2 ⇔ ⎢ 

⎣t 

= − 3 

x −1 y − 5 z − 7 

• Với t = 3 ⇒ H(1;5;7) 

⇒ Phương trình ∆ : = = 

−2 1 −1 

x − 1 y + 1 z −1 

• Với t = −3 ⇒ H(1; − 1;1) ⇒ Phương trình ∆ : = = 

−2 1 − 1 

. 


x − 3 y + 2 z + 1 

a) ( P) : x + y + z + 2 = 0 , d : = = , h = 42 . 

2 1 − 1 

x − 5 y + 2 z + 5 x + 3 y + 4 z − 5 

ĐS: ∆ : = = ; ∆ : = = 

2 −3 1 2 −3 1 

Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y − 2z 

+ 9 = 0 và đường 

x + 1 y −1 z − 3 

thẳng d : = = . Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với (P) và cắt d 

1 7 − 1 

tại một điểm M cách (P) một khoảng bằng 2. 

 

• Vì ∆ ⊥ (P) nên ∆ nhận n 

P 

= (2;1; −2) 

làm VTCP. 

⎡ 8 

⎢t 

= − 

Giả sử M( t − 1;7t + 1;3 − t) 

∈ d . Ta có: d( M,( P)) = 2 ⇔ 11t 

+ 2 = 6 ⇔ ⎢ 


⎢ 

4 

t = 

⎣ 11 

8 ⎛ 19 45 41⎞ 

+ Với t = − ⇒ M ⎜ − ; − ; ⎟ 

11 ⎝ 11 11 11 ⎠ ⇒ ∆: ⎧ x 19 t y 45 t z 41 

⎨ = − + 2 ; = − + ; = − 2 


t 

4 ⎛ 7 39 29 ⎞ 

+ Với t = ⇒ M ⎜ − ; ; ⎟ 

11 ⎝ 11 11 11 ⎠ ⇒ ∆: ⎧ x 7 t y 39 t z 29 

⎨ = − + 2 ; = + ; = − 2 


t 

Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + 3y − z − 1 = 0 và các 

điểm A(1;0;0); B(0; − 2;3) . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách 

B một khoảng lớn nhất (nhỏ nhất). 

 

2 2 2 

• Ta có: A(1;0;0) ∈ ( P) 

. Gọi VTCP của đường thẳng d là: u = ( a; b; c), a + b + c ≠ 0 

 

Ta có: d ⊂ ( P) ⇔ u. n = 0 ⇔ c = a + 2b 

P 



 

 

AB = ( −1;2; −3) 

; ⎡ud 

, AB⎤ ⎣ ⎦ = ( −2a − 7 b;2a − 2 b;2 a + b) 

⎡ 

 

2 2 

⎣u, AB⎤ ⎦ 12a + 24ab + 54b 

⇒ d( B, d) 

= = 

u 2 2 

2a + 4ab + 5b 

+ TH1: Nếu b = 0 thì d( B, d) = 6 

+ TH2: Nếu b ≠ 0 . Đặt 


2 

12t 

+ 24t 

+ 54 

f ( t) 

= 

2 

2t 

+ 4t 

+ 5 

So sánh TH1 và TH2 ⇒ 

Do đó: 

a 


+ 24t 

+ 54 

t = ⇒ d( B, d) = = f ( t) 

b 

2 

2t 

+ 4t 

+ 5 

2 

ta suy ra được 6 ≤ d( B, d) = f ( t) ≤ 14 

6 ≤ d( B, d) ≤ 14 

a) min( d( B, d)) = 6 ⇔ b = 0 . Chọn a =1 ⇒ c= 1 


⎧ x = 1+ 

t 

⎪ 

⎨y 

= 0 

⎪ 

⎩z 

= t 

b) max( d( B, d)) = 14 ⇔ a = − b . Chọn b = –1 ⇒ a =1 , c = –1 


⎧ x = 1+ 

t 

⎪ 

⎨y 

= − t 

⎪ 

⎩z 

= −t 

Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x − 2y + 2z 

− 5 = 0 và các 

điểm A( − 3;0;1) ; B(1; − 1;3) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) và 

cách B một khoảng nhỏ nhất. 

x + 3 y z −1 

• ĐS: d : = = . 

26 11 − 2 

x + 1 y z − 2 

Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = , hai điểm 

2 1 − 1 

A(0; − 1;2) , B(2;1;1) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng ∆ sao 

cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất (nhỏ nhất). 

 

• Gọi M = d ∩ ∆ . Giả sử M( − 1+ 2 t; t;2 − t) 

. VTCP của d: ud 

= AM = (2t − 1; t + 1; −t) 

 

AB(2;2; −1) 

; ⎡ 

AB; u ⎤ 

⎣ d ⎦ = (1 − t;1;4 − 2 t) 

 

⎡ 

AB, u ⎤ 2 

⎣ d ⎦ 12t − 18t 

+ 18 

⇒ d( B, d) = = = f ( t) 

u 

2 

6t − 2t 

+ 2 


⇒ 

d 

2 


+ 24t 

+ 54 

1 

f ( t) 

= 

. Ta có max f ( t) = f (0) = 18; min f ( t) = f (2) = 

2 

2t 

+ 4t 

+ 5 


1 

d( B, d) 18 

11 ≤ ≤ 

1 

a) min( d( B, d)) = ⇔ t = 2 ⇒ Phương trình đường thẳng d: 


⎧ x = 3t 

⎪ 

⎨y 

= − 1 + 3t 

⎪ 

⎩z 

= 2 − 2t 



⎧ x = −t 

⎪ 

b) max( d( B, d)) = 18 ⇔ t = 0 ⇒ Phương trình đường thẳng d: ⎨y 

= − 1 + t 

⎪ 

⎩z 

= 2 − t 


x y z 1 0 

a) ∆ : ⎧ ⎨ + + − = , A(2;1; −1), B( −1;2;0) 

. 

⎩x − y + z − 1 = 0 

⎧x + 1 = 0 ⎧x + 2y 

− 3 = 0 

ĐS: dmax 

: ⎨ ; d 

y z 

min 

: 

2 0 

⎨ 

⎩ + − = ⎩y − z − 2 = 0 

x − 1 y + 2 z −1 

b) ∆ : = = , A(3; −2;1), B(2;1; −1) 

. 

1 2 −1 

x − 3 y + 2 z −1 

x − 3 y + 20 z −1 

ĐS: dmax 

: = = ; d 

19 −3 5 min 

: = = 

−5 20 − 7 

. 

x − 1 y + 2 z 

c) ∆ : = = , A (1;4;2), B ( −1;2;4) 

. 

−1 1 2 

x −1 y − 4 z − 2 

ĐS: dmax 

: = = 

1 −4 − 3 

; d x − 1 y − 4 z − 

: = = 

2 

min 15 18 19 

x −1 y − 2 z 

Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = , hai điểm 

2 1 1 

A(1;1;0), B(2;1;1) . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với d, sao cho 

khoảng cách từ B đến ∆ là lớn nhất. 

 

 

• Ta có VTCP của d là: u 

d 

= (2;1;1) và AB = (1;0;1) . 

Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta có: d( B, ∆ ) = BH ≤ AB . Do đó khoảng cách từ B đến ∆ 

lớn nhất khi H ≡ A . Khi đó ∆ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB. 

⎧∆ 

⊥ d 

 

Ta có ⎨ ⇒ Có thể chọn VTCP của ∆ là u ⎡ 

 

u 

⎩∆ 

⊥ AB 

∆ 

= 

d, AB⎤ 

⎣ ⎦ = (1; −1; −1) 

⎧ x = 1+ 

t 

⎪ 

⇒ PT của ∆ là: ⎨y 

= 1 − t 

⎪ 

⎩z 

= −t 

Câu 50. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua 

x + 1 y z − 2 

A(0; − 1;2) , cắt đường thẳng ∆1 

: = = sao cho khoảng cách giữa d và đường 

2 1 − 1 

x − 5 y z 

thẳng ∆2 

: = = là lớn nhất. 

2 −2 1 

 

• Gọi M = d ∩ ∆1 

. Giả sử M( − 1+ 2 t; t;2 − t) 

.VTCP của d : ud 

= AM = (2t − 1; t + 1; −t) 

 

∆ 

2 

đi qua N(5;0;0) và có VTCP v 

∆ = (2; − 

 

 

2;1) ; AN = (5;1; −2) 

; ⎡ 

⎣v∆ ; u ⎤ 

d ⎦ = ( t −1;4t −1;6 t) 

 

⎡v ud 

AN 2 

⎣ ∆, ⎤⎦ . (2 + t) 

⇒ d( ∆2 , d) = = 3. = 3. f ( t) 

⎡v , u 

2 

⎣ 

⎤ 

∆ d ⎦ 53t − 10t 

+ 2 


2 

(2 + t) 

f ( t) 

= 

2 

53t 

− 10t 

+ 2 

. Ta suy ra được f t f 4 26 

max ( ) = ( ) = 

37 9 

⇒ max( d( ∆ , d)) = 26 ⇒ Phương trình đường thẳng d: {x = 29 t; y = −1− 41 t; z = 2 + 4t 




a) 


x − 1 y + 1 z −1 ⎧ x + 2y − z + 1 = 0 

A(2; − 1;2), ∆1 : = = , ∆2 

: ⎨ . ĐS: 

2 1 1 ⎩x − y + z + 1 = 0 

x − 2 y + 1 z − 2 

d : = = . 

41 68 − 27 


A(1; − 1;2) , song song với mặt phẳng ( P) : x + y − z + 1 = 0 sao cho khoảng cách giữa d và 

x y z 

đường thẳng ∆ 3 0 

: 

⎧ ⎨ 

+ + − = là lớn nhất. 

⎩2x − y + z − 2 = 0 

• ĐS: 

⎧ ⎪ x = 1 

⎨y 

= − 1 + t . 

⎪ ⎩z 

= 2 + t 

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc 

Câu 52. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng ∆: 

x y − 2 z 

= = và mặt phẳng (P): x − y + z − 5 = 0 . Viết phương trình tham số của đường 

1 2 2 

0 

thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng ∆ một góc 45 . 

• Gọi u d 

, u ∆, 

n 

 

P 

lần lượt là các VTCP của d, ∆ và VTPT của (P). 

 

2 2 2 

Giả sử ud 

= ( a; b; c) ( a + b + c ≠ 0) . 

 

+ Vì d ⊂ (P) nên ud ⊥ nP 

⇒ a − b + c = 0 ⇔ b = a + c (1) 

( ) 

+ d 

0 a + 2b + 2c 

2 

2 2 2 2 

, ∆ = 45 ⇔ 

= ⇔ 2( a + 2 b + c) = 9( a + b + c ) (2) 

2 2 2 

3 a + b + c 2 

2 

⎡ c = 0 

Từ (1) và (2) ta được: 14c + 30ac 

= 0 ⇔ ⎢ 

⎣15a 

+ 7c 

= 0 

+ Với c = 0: chọn a = b = 1 ⇒ PTTS của d: {x = 3 + t; y = −1 − t; z = 1 

+ Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8 

⇒ PTTS của d: {x = 3 + 7 t; y = −1− 8 t; z = 1− 15t 

. 

Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt 

⎧x = 1+ t ⎧x = 3 − t 

⎪ 

⎪ 

phẳng ( P) : x + y – z + 1 = 0 , cắt các đường thẳng d1 : ⎨y = t ; d2 

: ⎨y = 1+ 

t và tạo với 

⎪ 

⎩z = 2 + 2t ⎪ 

⎩z = 1− 

2t 

d 1 

một góc 30 0 . 

 

• Ta có d1 ⊂ ( P) 

. Gọi A = d2 ∩ ( P) 

⇒ A(5; − 1;5) . d 1 

có VTCP u 1 

= (1;1;2) . 

 

Lấy B(1 + t; t;2 + 2 t) 

∈ d 1 

⇒ AB = ( t − 4; t + 1;2 t − 3) là VTCP của ∆ 

Ta có 

cos( ∆ , d ) = cos30 ⇔ 

1 

 

+ Với t = − 1 thì AB = ( −5;0; −5) 

⇒ d: 

0 

6t 

− 9 3 

= 

2 2 2 

6 ( t − 4) + ( t + 1) + (2t 

− 3) 

2 

⎧ x = 5 + t 

⎪ 

⎨y 

= − 1 

⎪ 

⎩z 

= 5 + t 

⎡ t = −1 

⇔ ⎢ 

⎣t 

= 4 



 

+ Với t = 4 thì AB = (0;5;5) 

⇒ d: 

⎧ ⎪ x = 5 

⎨y 

= − 1 + t 

⎪ 

⎩z 

= 5 + t 

Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1; 2; 4), B 

thuộc trục Ox và có hoành độ dương, C thuộc Oy và có tung độ dương. Mặt phẳng (ABC) 

vuông góc với mặt phẳng (OBC), tan OBC = 2 . Viết phương trình tham số của đường thẳng 

BC. 

• BC: {x = 2 + t; y = − 2 t; z = 0 . 

Câu 55. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; −1;1), B(0;1; − 2) và đường 

x y − 3 z + 1 

thẳng d : = = . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của đường 

1 − 1 2 

thẳng d với mặt phẳng (OAB), nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng d một 

5 

góc α sao cho cosα = . 

6 

• PT mặt phẳng (OAB): x + 4y + 2z 

= 0 . Gọi M = d ∩ (OAB) ⇒ M( −10;13; − 21) . 

 

Giả sử ∆ có VTCP u = ( a; b; c) 

+ Vì ∆ ⊂ (OAB) nên a + 4b + 2c 

= 0 (1) 

5 a − b + 2c 

5 

+ cosα = ⇔ 

= (2) 

6 

6 a 2 + b 2 + c 

2 6 

⎡ 5 2 

Từ (1) và (2) ⇒ ⎢b = c, 

a = − c 

⎢ 


⎣b = c, a = −6c 

5 2 

+ Với b = c, 

a = − c ⇒ u = (2; −5; −11) 

⇒ PT của ∆: x + 10 y − 13 z + 21 

= = 


2 −5 −11 

 

+ Với b = c, a = − 6c 

⇒ u = (6; −1; −1) 

⇒ PT của ∆: x + 10 y − 13 z + 21 

= = 

6 −1 −1 

Câu 56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm 

x + 3 y − 2 z 

A(0;1; − 2) , vuông góc với đường thẳng d : = = và tạo với mặt phẳng (P): 

1 −1 1 

0 

2x + y − z + 5 = 0 một góc a = 30 . 

 

• Giả sử ∆ có VTCP u = ( a; b; c) 

. 

 

⎧a 

⊥ d ⎧a − b + c = 0 

⎪ 

⎪ 

⎡ 

Ta có: ⎨ 3 ⇔ 2a + b − c 3 

c = 0, a = b 

⎨ 

⇔ 

⎪cosα 

= 

= ⎢ 

⎩ 2 

⎪ 

c 2 a, 

b a 

2 2 2 

6 a + b + c 

2 

⎣ = − = − 

⎩ 

 

+ Với c = 0, a = b ⇒ u = (1;1;0) ⇒ ∆: {x = t; y = 1 + t; z = − 2 

 

+ Với c = − 2 a, 

b = − a ⇒ u = (1; −1; −2) 

⇒ ∆: {x = t; y = 1 − t; z = −2 − 2t 

. 

Câu 57. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua 

A(1; − 1;2) , song song với mặt phẳng ( P) : 2x − y − z + 3 = 0 , đồng thời tạo với đường thẳng 

x + 1 y −1 

z 

∆ : = = một góc lớn nhất (nhỏ nhất). 

1 −2 2 



 

• ∆ có VTCP u 

∆ = (1; − 

 

2;2) . Gọi VTCP của đường thẳng d là u = ( a; b; c) 

. 

 

d ( P) ⇔ u. n = 0 ⇔ c = 2a − b . Gọi góc giữa hai mặt phẳng là α. 

P 

5a − 4b 1 (5a − 4 b) 

⇒ cos α = = . 

2 2 

3 5a − 4ab + 2b 

3 5a − 4ab + 2b 

1 

+ TH1: Nếu b = 0 thì cos α = . 5 

3 

+ TH2: Nếu b ≠ 0 . Đặt 


2 

2 2 

a 

1 (5t 

− 4) 1 

t = ⇒ cos α = . = . f ( t) 

b 

3 2 

5t 

− 4t 

+ 2 3 

2 

(5t 

− 4) 

f ( t) 

= 

2 

5t 

− 4t 

+ 2 

. Ta suy ra được: f t 5 3 

0 ≤ cos α = ( ) ≤ 

9 

So sánh TH1 và TH2, ta suy ra: 

Do đó: 

a) min(cos α ) = 0 ⇔ a b 

b) 

5 3 

0 ≤ cosα 

≤ 

9 

4 

= ⇒ Phương trình đường thẳng d : x − 1 y + 1 z − 

= = 

2 

5 

4 5 3 

5 3 

max(cos α ) = ⇔ a 1 

= − ⇒ Phương trình đường thẳng d: x − 1 y + 1 z − 

= = 

2 

9 b 5 

1 −5 7 


x −1 y − 2 z + 2 

A( −1;0; − 1) , cắt đường thẳng ∆1 

: = = sao cho góc giữa d và đường thẳng 

2 1 − 1 

x − 3 y − 2 z + 3 

∆2 

: = = là lớn nhất (nhỏ nhất). 

−1 2 2 

• Gọi M = d ∩ ∆1 

. Giả sử M(1 + 2 t;2 + t; −2 − t) 

. 

 

VTCP của d : ud 

= AM = (2t + 2; t + 2; −1 − t) 

. Gọi a = ( d 

 

, ∆ 2 

). 

2 t 2 

⇒ cos α = . . f ( t) 

3 2 

6t 

+ 14t 

+ 9 3 

2 

2 

t 

Xét hàm số f ( t) 

= 

2 

6t 

+ 14t 

+ 9 

. Ta suy ra được f t f 9 9 

max ( ) = ( − ) = ; min f ( t) = f (0) = 0 

7 5 

a) min(cos α ) = 0 ⇔ t = 0 ⇒ Phương trình đường thẳng d : x + 1 y z + 

= = 1 

2 2 − 1 

b) 

2 5 

max(cos α ) = 

5 

9 

⇔ t = − ⇒ Phương trình đường thẳng d : x + 1 y z + 

= = 

1 

7 

4 5 2 

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác 

Câu 59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ∆ABC với tọa độ đỉnh C(3; 2; 3) và phương 

trình đường cao AH, phương trình đường phân giác trong BD lần lượt là: 

x − 2 y − 3 z − 3 x −1 y − 4 z − 3 

d 1 

: = = , d 

1 1 − 2 2 

: = = . Lập phương trình đường thẳng chứa 

1 −2 1 

cạnh BC của ∆ ABC và tính diện tích của ∆ ABC . 

• Gọi mp(P) qua C và vuông góc với AH ⇒ ( P) ⊥ d ⇒ ( P) : x + y − 2z 

+ 1 = 0 

1 

2 



B = ( P) ∩ d2 

⇒ B(1;4;3) 

⇒ phương trình BC :{ 

x = 1+ 2 t; y = 4 − 2 t; z = 3 

Gọi mp(Q) qua C, vuông góc với d 2 , (Q) cắt d 2 và AB tại K và M. Ta có: 

( Q) : x − 2y + z − 2 = 0 ⇒ K(2;2;4) ⇒ M(1;2;5) 

(K là trung điểm của CM). 

⎧ x = 1 

⎪ 

1 

⇒ AB : ⎨y = 4 + 2t 

, do A = AB ∩ d1 

⇒ A(1;2;5) ⇒ S∆ABC 

= ⎡⎣ 

AB, AC⎤⎦ 

= 2 3 . 

⎪ ⎩z 

= 3 − 2t 

2 

Câu 60. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ∆ABC với A(1; − 1;1) và hai đường trung 

tuyến lần lượt có phương trình là 

đường phân giác trong của góc A. 

x y 1 z 2 

d 1 

: − − 

= = , d 

2 − 3 − 2 

• Ta có A ∉ d , A∉ d . Gọi M ∈ d , N ∈ d lần lượt là trung điểm AC, AB. 

1 2 

1 2 

2 

⎧ x = 1− 

t 

⎪ 

: ⎨y 

= 0 . Viết phương trình 

⎪ ⎩z 

= 1+ 

t 

N(1 – t;0;1 + t) 

⇒ B(1 – 2 t;1;1 + 2 t) 

. B ∈ 1 

d1 

⇒ t = 2 

⇒ B(0;1;2) 

1 

M(2 t;1− 3 t;2 − 2 t) 

⇒ C(4 t – 1;3 – 6 t;3 – 4 t) . C ∈ d2 

⇒ t = ⇒ C(1;0;1) 

2 

 

Ta có: AB = 6, AC = 1. Gọi AD là đường phân giác trong của góc A thì DB = − 6DC 

⎛ 6 1 2 + 6 ⎞ ⎛ − 1 2 + 6 1 ⎞ 

⇒ D 

⎜ 

; ; 

1+ 6; 1+ 6 1+ 

6 

⎟ 

⇒ AD = ⎜ 

; ; 

⎟ 

⎝ 

⎠ ⎝ 1+ 6 1+ 6 1+ 

6 ⎠ 

Vậy phương trình đường thẳng AD là: x − 1 y + 1 z − 

= = 

1 . 

− 1 2 + 6 1 



TĐKG 03: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính 

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; − 2;3) . Viết phương trình mặt cầu 

tâm I và tiếp xúc với trục Oy. 

• Gọi M là hình chiếu của I(1; − 2;3) lên Oy, ta có: M(0; − 2;0) . 

 

IM = ( −1;0; −3) ⇒ R = IM = 10 là bán kính mặt cầu cần tìm. 

2 2 2 

Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 3) = 10 . 

Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d 1 ) : {x = 2 t; y = t; z = 4 và 

(d 2 ) : { x = 3 − t; y = t; z = 0 . Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu 

(S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ). 

• Gọi MN là đường vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ) ⇒ M(2; 1; 4); N(2; 1; 0) 

2 2 2 

⇒ Phương trình mặt cầu (S): ( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 2) = 4. 


x − 2 y −1 

z 

x = 2 − 2t 

2 2 2 

⎪ ⎛ 11⎞ ⎛ 13 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 5 

a) d 1 

: = = , d2 

: ⎨y 

= 3 . ĐS: ( S) : ⎜ x − ⎟ + ⎜ y − ⎟ + ⎜ z + ⎟ = 

1 −1 2 ⎪ 

6 6 3 6 

z = t′ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎩ 

x − y z x y z 

b) d 

− 1 − 

( 

1) : ,( d 

+ 4 − 

= = 2 

2) : = = 

−1 2 2 1 6 2 

2 ⎛ 5 ⎞ 

2 9 

ĐS: ( S) : ( x − 2) + ⎜ y − ⎟ + ( z − 3) = 

⎝ 2 ⎠ 

4 

x − 4 y − 1 z + 5 

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d 1 

: = = và 

3 −1 −2 

⎧x 

= 2 + t 

⎪ 

d2 

: ⎨y = − 3 + 3t 

. Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường 

⎪ 

⎩z 

= t 

thẳng d 1 

và d 2 

. 

• Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là đường kính. 


⎧ x = 2t 

⎧ x = 3 − t 

⎪ ⎪ 

a) d1 

: ⎨y = t , d2 

: y = 

2 2 2 

⎨ t . ĐS: ( S) : ( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 2) = 4 

⎪ 

⎩z 

= 4 ⎪ 

⎩z= 

0 

Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ( ∆ 

1) 

có phương trình 

{x = 2 t; y = t; z = 4 ; ( ∆ 

2) 

là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( α ) : x + y − 3 = 0 và 

( β ) : 4x + 4y + 3z 

− 12 = 0 . Chứng tỏ hai đường thẳng ∆1 , ∆ 

2 

chéo nhau và viết phương trình 

mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của ∆1 , ∆ 

2 

làm đường kính. 

• Gọi AB là đường vuông góc chung của ∆ 

1 

, ∆ 

2 

: A(2 t; t;4) ∈ ∆1 

, B(3 + s; −s;0) ∈ ∆2 

AB ⊥ ∆ 1 , AB ⊥ ∆ 2 ⇒ A(2;1;4), B(2;1;0) 


2



2 2 2 

⇒ Phương trình mặt cầu là: ( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 2) = 4 

Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có 

A ≡ O, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1). Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’. 

• Kẻ CH ⊥ AB’, CK ⊥ DC’ ⇒ CK ⊥ (ADC’B’) nên ∆CKH vuông tại K. 

2 2 2 49 

2 2 2 49 

⇒ CH = CK + HK = . Vậy phương trình mặt cầu: ( x − 3) + ( y − 2) + z = 



Câu 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 

2), D( 4; –1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z − 2 = 0 . Gọi A’ là hình chiếu của 

A lên mặt phẳng Oxy. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A′, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và 

bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S). 

2 2 2 

• Dễ thấy A′( 1; –1; 0). Phương trình mặt cầu ( S): x + y + z − 5x 

− 2y 

− 2z 

+ 1 = 0 

⎛ 5 ⎞ 

29 

⇒ (S) có tâm I ⎜ ;1;1 ⎟ , bán kính R = 

⎝ 2 ⎠ 

2 

+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đường tròn ( C) 

⎧ x = 5 / 2 + t 

⎪ ⎛ 

+) PT đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (P): d: ⎨y 

= 1 + t H 5 1 1 ⎞ 

⇒ ⎜ ; ; ⎟ 

⎪ 

⎩z 

= 1+ 

t ⎝ 3 6 6 ⎠ 

75 5 3 

IH = = , (C) có bán kính r = R 2 − IH 

2 = 29 − 75 = 31 = 

186 

36 6 

4 36 6 6 

Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có 

phương trình x + 1 y − 2 z + 

= = 3 . Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết 

2 1 − 1 

phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d. 

 

⎡⎣ BA, a⎤ ⎦ 4 + 196 + 100 

• d(A, (d)) = = = 5 2 

a 4 + 1+ 

1 

2 2 2 

PT mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 5 2 : ( x – 1) + ( y + 2) + ( z – 3) = 50 

x + 5 y − 7 z 


2 −2 1 

M(4;1;6) . Đường thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 . 

Viết phương trình của mặt cầu (S). 

 

 

• d đi qua N( − 5;7;0) và có VTCP u = (2; −1;1) 

; MN = ( −9;6; −6) 

. 

Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ M đên đường thẳng d ⇒ MH = d( M, d) = 3 . 

Bán kính mặt cầu (S): 

R 

⎛ AB ⎞ 

= MH + ⎜ ⎟ = 18 . 

⎝ 2 ⎠ 

2 2 

2 2 2 

⇒ PT mặt cầu (S): ( x − 4) + ( y − 1) + ( z − 6) = 18. 

2 

Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( α ) : 2x − y + 2z 

− 3 = 0 và mặt 

cầu ( S) 

2 2 2 

: x + y + z − 2x + 4y − 8z 

− 4 = 0 . Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt 

phẳng ( α ) . Viết phương trình mặt cầu (S′) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng ( α ) . 



2 2 

• ( ) ( ) ( ) 

2 

− + + + − = có tâm I ( 1; 2;4) 

( S) : x 1 y 2 z 4 25 

Khoảng cách từ I đến (α) là: d ( I ) 

− và R = 5. 

,( α ) = 3 < R ⇒ (α) và mặt cầu (S) cắt nhau. 

⎧ x = 1+ 

2t 

⎪ 

Gọi J là điểm đối xứng của I qua (α). Phương trình đường thẳng IJ : ⎨y 

= − 2 − t 

⎪ 

⎩z 

= 4 + 2t 

⎧x = 1+ 2t ⎧t 

= −1 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

z = 4 + 2t ⎪ 

y = −1 

⎪⎩ 

2x − y + 2z − 3 = 0 ⎪⎩ 

z = 2 

y = −2 − t x = −1 

Toạ độ giao điểm H của IJ và (α) thoả ⎨ 

⇔ ⎨ ⇒ H ( −1; −1;2 

) 

Vì H là trung điểm của IJ nên J ( − 3;0;0 ) . Mặt cầu (S′) có tâm J bán kính R′ = R = 5 nên có 

2 2 2 

phương trình: ( S′ ) : ( x + 3) 

+ y + z = 25 . 

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng mặt phẳng 

Oxy và mặt phẳng (P): z = 2 lần lượt cắt (S) theo hai đường tròn có bán kính bằng 2 và 8. 

• Từ giả thiết ta có vô số mặt cầu (S) thoả YCBT. Gọi (S 0 ) là mặt cầu có tâm I0 (0;0; m ) 

thuộc trục Oz. Khi đó mp(Oxy) và mp(P) cắt (S 0 ) theo 2 đường tròn tâm O1 ≡ O(0;0;0) 

, bán 

kính R 1 

= 2 và tâm O 2 

(0;0;2) , bán kính R 2 

= 8 . 

⎧ 2 2 2 

⎪ R = 2 + m 

2 2 

Gọi R là bán kính mặt cầu thì ⎨ 

⇒ 4 + m = 64 + ( m − 2) ⇒ m = 16 

2 2 2 

⎪⎩ R = 8 + m − 2 

⇒ R = 2 65 và I 0 

(0;0;16) . Suy ra mặt cầu (S) có tâm I( a; b;16) (a, b ∈ R), bán kính 

R = 2 65 . 

2 2 2 

Vậy phương trình mặt cầu (S): ( x − a) + ( y − b) + ( z − 16) = 260 (a, b ∈ R). 

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y − 2z 

− 2 = 0 và đường 

x y + 1 z − 2 

thẳng d: = = . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) một 

−1 2 1 

khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 3. 

• Giả sử I( −t;2t − 1; t + 2) ∈ d , R là bán kính của (S), r là bán kính của (C). 

⎡ 1 

⎢t 

= 

Ta có: d( I,( P)) = 2 ⇔ −6t 

− 5 = 6 ⇔ ⎢ 

6 

⎢ 11 

t = − 

⎣ 6 

2 2 2 

R = d( I,( P) + r = 13 

. ( ) 

2 2 2 

1 ⎛ 1 2 13 ⎞ 

+ Với t = ⇒ I ⎜ − ; − ; ⎟ 

6 ⎝ 6 3 6 ⎠ ⇒ (S): ⎛ x 1 ⎞ ⎛ y 2 ⎞ ⎛ z 13 ⎞ 

⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ = 13 

⎝ 6 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 

2 2 2 

11 ⎛11 14 1 ⎞ 

+ Với t = − ⇒ I ⎜ ; − ; ⎟ 

6 ⎝ 6 3 6 ⎠ ⇒ (S): ⎛ x 11⎞ ⎛ y 14 ⎞ ⎛ z 1 ⎞ 

⎜ − ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ = 13 

⎝ 6 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 

Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng 

(P): 2x + y − z + 5 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ 

tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng 


5 

6 .



2 2 2 

• Giả sử (S): x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 . 

+ Từ O, A, B ∈ (S) suy ra: 

⎧ a = 1 

⎪ 

⎨c 

= 2 ⇒ I(1; b;2) . 

⎪ ⎩d 

= 0 

5 

+ d( I,( P)) 

= ⇔ b + 5 5 ⎡ b = 0 

= ⇔ ⎢ 

6 6 6 ⎣b 

= −10 

2 2 2 

2 2 2 

Vậy (S): x + y + z − 2x − 4z 

= 0 hoặc (S): x + y + z − 2x + 20y − 4z 

= 0 

Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;3;4), B(1;2; −3), C(6; − 1;1) và 

mặt phẳng ( α ) : x + 2y + 2z 

− 1 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt 

phẳng ( α ) và đi qua ba điểm A, B, C . Tính diện tích hình chiếu của tam giác ABC trên mặt 

phẳng ( α ) . 

• Goi I( a; b; c) là tâm mật cầu ta có : 

⎧ IA = IB 

⎧(1 − a) + (3 − b) + (4 − c) = (1 − a) + (2 − b) + ( − 3 − c) 

⎪ ⎪ 

⎨IA = IC ⇔ ⎨(1 − a) + (3 − b) + (4 − c) = (6 − a) + ( −1 − b) + (1 − c) 

⎪I ( ⎪ 

⎩ ∈ a) ⎩a + 2b + 2c 

− 1 = 0 

⎧b + 7c = 6 ⎧a 

= 1 

⎪ 

⎪ 

2 2 

⇔ ⎨5a − 4b − 3c = 6 ⇔ ⎨b = −1 ⇒ I(1; −1;1) 

⇒ R = IA = 25 

⎪ 

⎩a + 2b + 2c − 1 = 0 ⎪ 

⎩c 

= 1 

2 2 2 2 2 2 

2 2 2 2 2 2 

2 2 2 

⇒ Phương trình ( S) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) = 25 

25 3 

Tam giác ABC đều cạnh bằng 5 2 nên SABC 

= 

2 

 

AB = (0; −1; − 7), AC = (5; −4; −3) ⇒ p = ⎡⎣ 

AB, AC⎤⎦ 

= ( −25; −35;5) 

17 

cos(( α ),( ABC)) = cos ( na 

, p) 

= 

15 3 

Gọi S ' là diện tích hình chiếu của tam giác ABC lên mặt phẳng ( α ) 

Ta có 

50 3 17 85 

S ' = SABC.cos(( α),( ABC)) 

= = (đvdt) 

4 15 3 6 

Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x − 1 y + 

= 1 = z và mặt 

3 1 1 

phẳng (P): 2x + y − 2z 

+ 2 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng 

d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1). 

• Gọi I là tâm của (S). I ∈ d ⇒ I(1 + 3 t; − 1 + t; t) 

. Bán kính R = IA = 11t − 2t 

+ 1 . 

5t 

+ 3 

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: d( I,( P)) 

= = R 

3 

⎡ t = 0 ⇒ R = 1 

2 

⇔ 37t − 24t 

= 0 ⇔ ⎢ 24 77 . 

⎢ t = ⇒ R = 

⎣ 37 37 

Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; –1; 0). 

2 2 2 

Vậy phương trình mặt cầu (S): ( x − 1) + ( y + 1) + z = 1. 

2 



x − 1 y + 2 z 

Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: = = và mặt phẳng (P): 

1 1 1 

2 x + y – 2z 

+ 2 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mặt phẳng 

(P) và đi qua điểm A(2; –1; 0). 

7 

• Gọi I là tâm của (S) ⇒ I ( 1 + t; t – 2; t) 

. Ta có d(I, (P)) = AI ⇔ t = 1; t = . 

13 

2 2 2 

Vậy: ( S ) : ( x – 2) + ( y + 1) + ( z –1) = 1 

2 2 2 

⎛ 20 ⎞ ⎛ 19 ⎞ ⎛ 7 ⎞ 121 

hoặc ( S ) : ⎜ x – ⎟ + ⎜ y + ⎟ + ⎜ z – ⎟ = . 

⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ 169 

Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1;2; − 2) , đường thẳng ∆: 

2x − 2 = y + 3 = z và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 5 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có 

tâm I sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có chu vi bằng 8π . Từ 

đó lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ và tiếp xúc với (S). 

• Ta có: d = d( I,( P)) = 3 . Gọi r là bán kính hình tròn thiết diện. Ta có: 2π 

r = 8π 

⇒ r = 4 

2 2 2 

2 2 2 

Suy ra bán kính mặt cầu: R = r + d = 25 ⇒ ( S) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + 2) = 25 

⎛ 

Nhận thấy mặt cầu (S) tiếp xúc với ( ∆ ) tại điểm M 5 ; 5 ; 

4 ⎞ 

⎜ − ⎟ . 

⎝ 3 3 3 ⎠ 

⎛ 

Do đó: (Q) chứa ( ∆ ) và tiếp xúc với (S) đi qua M 5 ; 5 ; 

4 ⎞ 

⎛ 2 11 10 ⎞ 

⎜ − ⎟ và có VTPT MI ⎜ ; − ; ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ 

⎝ 3 3 3 ⎠ 

⇒ PT mặt phẳng (Q): 6x − 33y + 30z 

− 105 = 0 . 

Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :{ 

x = t; y = − 1; z = − t và 2 

mặt phẳng (P): x + 2y + 2z 

+ 3 = 0 và (Q): x + 2y + 2z 

+ 7 = 0 . Viết phương trình mặt cầu 

(S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q). 

• Giả sử: I( t; −1; −t) 

∈ d . Vì (S) tiếp xúc với (P) và (Q) nên d( I,( P)) = d( I,( Q)) 

= R 

1− 

t 5 − t 

2 

⇔ = ⇔ t = 3 . Suy ra: R = , I (3; − 1; − 3) . 

3 3 

3 

2 2 2 4 

Vậy phương trình mặt cầu (S): ( x 3) ( y 1) ( z 3) 

− + + + + = . 

9 


a) d :{ 

x = 2 + t; y = 1+ 2 t; z = 1− t , ( P) : x + 2y − 2z 

+ 5 = 0 , ( Q) : x + 2y − 2z 

− 13 = 0 . 

2 2 2 

⎛ 16 ⎞ ⎛ 11⎞ ⎛ 5 ⎞ 

ĐS: ( S) : ⎜ x − ⎟ + ⎜ y − ⎟ + ⎜ z − ⎟ = 9 

⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ 

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2y − 2z 

+ 10 = 0 , hai 

đường thẳng (∆ 1 ): x − 2 y z − 1 x − 2 y z + 3 

= = , (∆ 2 ): = = . Viết phương trình mặt cầu (S) 

1 1 − 1 1 1 4 

có tâm thuộc (∆ 1 ), tiếp xúc với (∆ 2 ) và mặt phẳng (P). 

⎧ x = 2 + t 

⎪ 

• ∆1 

: ⎨y 

= t 

⎪ ⎩z 

= 1− 

t 

; ∆ 

2 

đi qua điểm A(2;0; 3) 

 

− và có VTCP u 2 

= (1;1;4) . 

Giả sử I(2 + t; t;1 − t) ∈ ∆1 

là tâm và R là bán kính của mặt cẩu (S). 



 

 

 

Ta có: AI = ( t; t;4 − t) 

⇒ ⎡ 

⎡ 

AI, u ⎤ 

AI, u ⎤ ⎣ 2 ⎦ 5t 

− 4 

⎣ 2 ⎦ = (5t − 4;4 − 5 t;0) 

⇒ d( I, ∆2 

) = = 

u 3 

2 + t − 2t − 2(1 − t) + 10 t + 10 

d( I,( P)) 

= = 

1+ 4 + 4 3 

⎡ 7 

(S) tiếp xúc với ∆ 

2 

và (P) ⇔ d( I, ∆ 

2) = d( I,( P)) 

⇔ 5t − 4 = t + 10 ⇔ ⎢t 

= 

2 . 

⎢ 

⎣t 

= −1 

7 ⎛11 7 5 ⎞ 

• Với t = ⇒ I ⎜ ; ; − ⎟ 

2 ⎝ 2 2 2 ⎠ , R = 9 ⇒ 

2 

2 2 2 

⎛ 11⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 81 

PT mặt cầu (S): ⎜ x − ⎟ + ⎜ y − ⎟ + ⎜ z + ⎟ = . 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4 

2 2 2 

• Với t = − 1 ⇒ I(1; − 1;2), R = 3 ⇒ PT mặt cầu (S): ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2) = 9 . 

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định các hệ số của phương trình 

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1). Lập 

phương trình của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z + 

4 = 0. 

• PT mặt cầu (S) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 

(S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0 

(S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = 0 

(S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0 

Tâm I ∈ (P): a + b – 2c + 4 = 0 

Giải ra ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3. Vậy (S): x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0 

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác 

ABC vuông tại A, đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 2; 0) và tam giác ABC có diện tích 

bằng 5. Gọi M là trung điểm của CC’. Biết rằng điểm A′(0; 0; 2) và điểm C có tung độ 

dương. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB′C′M. 

• Ta có: AB = 5 và S∆ ABC 

= 5 nên AC = 2 5 . 

Vì AA’ ⊥ (ABC) và A, B ∈ (Oxy) nên C ∈ (Oxy). 

 

Gọi C( x; y;0) . AB = (1;2;0), AC = ( x; y;0) 

. 

⎧ AB ⊥ AC ⎧x 

+ 2y 

= 0 ⎧x = − 4 ⎧x 

= 4 

Ta có: ⎨ ⇔ ⎨ 2 2 

⇔ ⎨ ∨ 

AC 2 5 x y 20 y 2 

⎨ . Vì 

⎩ = ⎩ + = ⎩ = ⎩y 

= −2 

y C 

> 0 nên C(–4; 2; 0) . 

 

Do CC ' = AA' 

⇒ C′(–4; 2; 2), BB' 

= AA' 

⇒ B′(1; 2; 2) và M là trung điểm CC′ 

nên M(–4; 2; 1). 

2 2 2 

2 

PT mặt cầu (S) đi qua A, B’, C’ và M có dạng: ( S) : x + y + z + 2x + 2by + 2cz + d = 0 

⎧A(0;0;0) ∈( S) 

⎪B'(1;2;2) ∈( S) 

3 3 3 

⎨ 

⇔ a = ; b = − ; c = − ; d = 0 

⎪ 

C '( −4;2;2) ∈( S) 2 2 2 

⎪⎩ M( −4;2;1) ∈( S) 

2 2 2 

2 2 2 

(thoả a + b + c − d > 0 ) 

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ( S) : x + y + z + 3x − 3y − 3z 

= 0 . 

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), 

C(2;–1; 3), D(1;–1; 0). Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 



• Ta tính được AB = CD = 10, AC = BD = 13, AD = BC = 5 . Vậy tứ diện ABCD có các 

cặp cạnh đối đôi một bằng nhau. Từ đó ABCD là một tứ diện gần đều. Do đó tâm của mặt 

cầu ngoại tiếp của tứ diện là trọng tâm G của tứ diện này. 

⎛ 

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là G 3 ;0; 

3 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ , bán kính là R GA 14 

= = . 

2 

Cách khác: Ta có thể xác định toạ độ tâm I của mặt cầu thoả điều kiện: IA = IB = IC = ID 

. 

Câu 22. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y + 2z 

− 6 = 0 , gọi A, 

B, C lần lượt là giao điểm của (P) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt cầu 

(S) ngoại tiếp tứ diện OABC, tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến 

của (P) và (S). 

• Ta có: A(6;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). 

2 2 2 

2 2 2 

PT mặt cầu (S) có dạng: x + y + z + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 ( A + B + C − D > 0) . 

⎧ D = 0 

⎪ 36 + 12A 

= 0 ⎧ 

3 3 

A, B, C, O ∈ (S) ⇔ ⎨ 

⇔ A 3; B ; C ; D 0 

9 6B 

0 

⎨ = − = − = − = . 

⎪ 

+ = ⎩ 

2 2 

⎪⎩ 9 + 6C 

= 0 

2 2 2 

⎛ 3 3 ⎞ 

3 6 

Vậy (S): x + y + z − 6x − 3y − 3z 

= 0 có tâm I ⎜3; ; ⎟ , bán kính R = . 

⎝ 2 2 ⎠ 2 

⎛ 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P) ⇒ H là tâm của (C). Tìm được H 8 ; 5 ; 

5 ⎞ 

⎜ ⎟ . 

⎝ 3 6 6 ⎠ 

2 2 27 5 2 

⇒ Bán kính của (C): r = R − IH = − 1 = . 

2 2 

Câu 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm của đoạn 

AD, N là tâm hình vuông CC’D’D. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm B, C’, M, N. 

• Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: D ≡ O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), D′(0; 2; 0), C(0; 0; 2). 

Suy ra: M(1; 0; 0), N(0; 1; 1), B(2; 0; 2), C′(0; 2; 2). 

2 2 2 

PT mặt cầu (S) đi qua 4 điểm M, N, B, C′ có dạng: x + y + z + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 . 

⎧ 1+ 2A 

+ D = 0 

⎪ 2 + 2B + 2C + D = 0 ⎧ 5 5 1 

M, N, B, C′ ∈ (S) ⇔ ⎨ 

⇔ A ; B ; C ; D 4 

8 4A 4C D 0 

⎨ = − = − = − = 

⎪ 

+ + + = ⎩ 2 2 2 

⎪⎩ 8 + 4B + 4C + D = 0 

2 2 2 

Vậy bán kính R = A + B + C − D = 15 . 

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến mặt cầu 

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu 

(S): x 2 + y 2 + z 2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) 

theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó. 

• I (1; 2; 3); R = 1+ 4 + 9 + 11 = 5 ; d (I; (P)) = 2(1) − 2(2) − 3 − 4 = 3 < R = 5. 

4 + 4 + 1 

Vậy (P) cắt (S) theo đường tròn (C) 

⎧ x = 1+ 

2t 

⎪ 

Phương trình d qua I, vuông góc với (P) : ⎨y 

= 2 − 2t 

⎪ 

⎩z 

= 3 − t 




Gọi J là tâm, r là bán kính đường tròn (C). J ∈ d ⇒ J (1 + 2t; 2 – 2t; 3 – t) 

J ∈ (P) ⇒ 2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0 ⇒ t = 1 

2 2 

Vậy tâm đường tròn là J (3; 0; 2) , bán kính r = R − IJ = 4 

Câu 25. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2). Tính bán 

kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. 

• Gọi I , r là tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. 

1 1 1 1 1 

VOABC = V 

IOAB+V IOBC+V OCA+VABC 

= . r. SOAB + . r. SOBC + . r. SOCA + . r. 

SABC 

= . r . STP 

3 3 3 3 3 

Mặt khác: VOABC 

1 8 4 

= . OA. OB. 

OC = = (đvtt); SOAB = SOBC = SOCA 

= 1 . OA . OB = 2 

6 6 3 

2 

3 

SABC 

AB 2 3 

= = .8 = 2 3 (đvdt) ⇒ STP 

= 6 + 2 3 (đvdt) 

4 4 

3V 

Do đó: r 

OABC 4 

= = (đv độ dài) 

S 6 + 2 3 

TP 

Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai điểm M(m; 

0; 0), N(0; n; 0) thay đổi sao cho m + n = 1và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt 

phẳng (SMN). Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với một mặt cầu cố định. 

 

 

 

• Ta có: SM = ( m;0; − 1), SN = (0; n; −1) 

⇒ VTPT của (SMN) là n = ( n; m; mn) 

Phương trình mặt phẳng (SMN): nx + my + mnz − mn = 0 

n + m − mn 1 − m. n 1− 

mn 

Ta có: d(A,(SMN)) = 

= = = 1 

n 

2 

+ m 

2 

+ m 

2 

n 

2 

1 mn 

1 2mn 

m 

2 

n 

2 − 

− + 

Suy ra (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố định. 

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình 

⎧ x = t ⎧ x = 0 

d1 : ⎪ 

⎨y 

= 0 ⎪ 

, d2 

: ⎨y = t . Viết phương trình mặt cầu (S) bán kính R = 6 , có tâm nằm 

⎩⎪ z = 2 − t ⎪ ⎩z 

= 2 − t 

trên đường phân giác của góc nhỏ tạo bởi d , d và tiếp xúc với d , d . 

1 2 

• Phương trình mp(P) chứa d , d là ( P) : x + y + z − 2 = 0 

1 2 

1 2 

Phương trình mp(Q) chứa d 1 

và vuông góc với (P là ( Q) : x − 2y + z − 2 = 0 

Phương trình mp(R) chứa d 2 và vuông góc với (P) là ( R) : 2x − y − z + 2 = 0 

Phương trình hai mặt phân giác của hai mặt (Q) và (R): 

PG : x − y = 0, PG : x + y − 2z 

+ 4 = 0 

( ) ( ) 

1 2 

⎧x = t ⎧x = −t 

⎪ 

⎪ 

Phương trình hai đường phân giác của d 1 , d 2 : a : ⎨y = t b : ⎨y = t 

⎪ 

⎩z = 2 − 2t ⎪ 

⎩z 

= 2 

Vì cos( a, d ) > cos( b, d ) nên đường thẳng a là phân giác của d 1 , d 2 thỏa mãn điều kiện. 

1 1 

Do đó có hai tâm mặt cầu thỏa mãn I 1 

(2;2; −2), I 2 

( −2; − 2;6) 

2 2 2 

Suy ra ( S ) : ( x − 2) + ( y − 2) + ( z + 2) = 6 hoặc ( S ) : ( x + 2) + ( y + 2) + ( z − 6) = 6 

1 

2 

2 2 2 



TĐKG 04: TÌM ĐIỂM THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 

Dạng 1: Xác định điểm thuộc mặt phẳng 

Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1). Tìm toạ độ 

điểm M thuộc mặt phẳng (P): x − y + z − 1 = 0 để ∆MAB là tam giác đều. 

• Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB ⇒ (Q): x + y − z − 3 = 0 

d là giao tuyến của (P) và (Q) ⇒ d: {x = 2; y = t + 1; z = t 

2 

M ∈ d ⇒ M(2; t + 1; t) 

⇒ AM = 2t − 8t 

+ 11 . 

Vì AB = 12 nên ∆ MAB đều khi MA = MB = AB 

2 4 ± 18 ⎛ 6 ± 18 4 ± 18 ⎞ 

⇔ 2t − 8t − 1 = 0 ⇔ t = ⇒ M ⎜2; ; ⎟ 

2 ⎝ 2 2 ⎠ . 


a) Với A(4;0;0) , B (0;0;4) , (P): 2x − y + 2z − 4 = 0 . ĐS: 

Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3) và B(2; 0;–1). Tìm toạ 

độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): 3x − y − z + 1 = 0 để ∆MAB là tam giác đều. 

• Giả sử M( x; y; z) ∈ ( P) 

⇒ 3x − y − z + 1 = 0 (1). 

⎧ 2 

⎧ 2 2 

⎪x 

= 

MA = MB 

⎪ 

⎧ 4x 

+ 8z 

= −4 

2 2 ⎪ 

3 

⎪ 

∆ MAB đều ⇔ ⎨ 

10 ⎛ 

MA = AB ⇔ ⎨6z 

= −1 

⇔ ⎨ y = ⇒ M 2 10 1 ⎞ 

⎜ ; ; − ⎟ 

⎪ 

⎩M 

∈( P) 

⎪⎩ 

3x − y − z = −1 

⎪ 3 ⎝ 3 3 6 ⎠ 

⎪ 1 

z = − 

⎪⎩ 6 


a) Với A(1;1; −3), B(3;1; −1),( P) : 3x − 8y + 7z 

+ 4 = 0 . 

⎛ 2 6 6 2 6 ⎞ 

ĐS: C ⎜2 + ;1 − ; −2 

− ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ hoặc C ⎛ 2 6 6 2 6 ⎞ 

⎜2 − ;1 + ; − 2 + ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ 

b) Với A(1;2;3), B( −1;4;2),( P) : x − y + z + 1 = 0 . 

⎛ 

ĐS: C 1 − 3 5 11 − 

; 3 5 ; 

3 ⎞ ⎛1+ 3 5 11+ 

3 5 3 ⎞ 

⎜ 

⎟ hoặc C ⎜ ; ; ⎟ 

⎝ 4 4 2 ⎠ ⎝ 4 4 2 ⎠ 

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;5;4) , B(3;1;4) . Tìm tọa độ 

điểm C thuộc mặt phẳng( P) : x − y − z − 1 = 0 sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích 

bằng 2 17 . 

• Giả sử: C( x; y; x − y −1) ∈ ( P) 

. AB = 4 . 

2 2 2 2 2 2 

AC = BC ⇒ ( x − 3) + ( y − 5) + ( x − y − 5) = ( x − 3) + ( y − 1) + ( x − y − 5) ⇒ y = 3 

Gọi I là trung điểm AB ⇒ I(3;3;4) . 

x 

SIAB 

= 2 17 ⇒ CI. AB = 4 17 ⇒ CI = 17 ⇔ x 

2 x 

2 ⎡ = 

(3 − ) + (8 − ) = 17 ⇔ 4 

⎢ 

⎣x 

= 7 

+ Với x = 4 ⇒ C(4;3;0) 

+ x = 7 ⇒ C(7;3;3) 

. 

Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1). 

Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2 y + z – 3 = 0 

sao cho MA = MB = MC . 

 

• Ta có AB = (2; −3; − 1), AC = ( −2; −1; −1) ⇒ n = ⎡⎣ 

AB, AC⎤⎦ 

= (2;4; −8) 

là 1 VTPT của (ABC) 




Suy ra phương trình (ABC): x + 2y − 4z 

+ 6 = 0 . Giả sử M(x; y; z). 

Ta có: 

⎧ MA = MB = MC 

⎨ 

⇔ 

⎩M 

∈( P) 

⎧ x = 2 

⎪ 

⎨y 

= 3 ⇒ M(2;3; − 7) 

⎪ ⎩z 

= −7 

Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; −2;1), B (2;0;3) và mặt phẳng 

( P) : 2x − y − z + 4 = 0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA =MB và ( ABM ) ⊥ ( P) 

. 

1 

• Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của AB⇒ nQ 

= AB = (1;1;1) là một VTPT của (Q). 

2 

I(1; − 1;2) là trung điểm của AB ⇒ Phương trình ( Q) : x + y + z − 2 = 0 

 

Gọi (R) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P). n = ⎡ 

⎣n ; n ⎤ 

⎦ = (0;3; −3) 

là VTPT của 

R P Q 

(R) ⇒ Phương trình của ( R) : y − z + 3 = 0 

⎧2x − y − z + 4 = 0 

⎪ ⎛ 2 1 17 ⎞ 

Toạ độ của M là nghịêm cuả hệ: ⎨x + y + z − 2 = 0 ⇒ M ⎜ − ; − ; ⎟ 

⎪y 

− z + 3 = 0 

⎝ 3 6 6 ⎠ 

⎩ 

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm 

tọa độ điểm B trong mp(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình 

mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S. 

• OABC là hình chữ nhật ⇒ B(2; 4; 0) ⇒ Tọa độ trung điểm H của OB là H(1; 2; 0), H 

chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OCB. 

+ Đường thẳng vuông góc với mp(OCB) tại H cắt mặt phẳng trung trực của đoạn OS (mp 

có phương trình z = 2 ) tại I ⇒ I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, S. 

+ Tâm I(1; 2; 2) và R = OI = 

2 2 

2 2 2 

1+ 2 + 2 = 3 ⇒ (S): ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 2) = 9 

Câu 7. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (–1;3;–2), B(–3;7;–18) và mặt phẳng (P): 

2 x – y + z + 1 = 0 . Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. 

• A, B nằm cùng phía đối với (P). Gọi A′ là điểm đối xứng với A qua (P) ⇒ A'(3;1;0) 

Để M ∈ (P) có MA + MB nhỏ nhất thì M là giao điểm của (P) với A′B ⇒ M(2;2; − 3) . 


⎛ 

a) Với A(0; −1;2), B( − 1;1;3) , ( P) ≡ ( Oxy) 

. ĐS: M 2 ; 1 ⎞ 

⎜ − − ;0⎟ 

⎝ 5 5 ⎠ 

b) Với A(1;0;0), B(1;2;0) , ( P) : x + y + z − 4 = 0 ĐS: 

⎛ 

c) Với A(1;2; −1), B(3;1; −2),( P) : x − y + 2z 

= 0 . ĐS: M 13 ;1; 

4 ⎞ 

⎜ − ⎟ 

⎝ 5 5 ⎠ . 

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng 

∆ có phương trình tham số {x = − 1+ 2 t; y = 1 − t; z = 2t 

. Một điểm M thay đổi trên đường 

thẳng ∆ , xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. 

• Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM. 

Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất. 

Điểm M ∈ ∆ nên M ( − 1+ 2 t;1 − t;2t) 

. AM + BM = (3 t) + (2 5) + (3t 

− 6) + (2 5) 

 

 

u = 3 t;2 5 v = − 3t 

+ 6;2 5 . 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ ( ) 

 

Ta có u t 2 2 

= (3 ) + (2 5) ; v = (3t 

− 6) 2 + (2 5) 

2 

 

⇒ AM + BM = | u | + | v | và u + v = (6;4 5) ⇒ | u + v | = 2 29 

2 2 2 2 

và ( ) 



 

Mặt khác, ta luôn có | u | + | v | ≥ | u + v | Như vậy AM + BM ≥ 2 29 

 

3t 

2 5 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u, 

v cùng hướng ⇔ = ⇔ t = 1 

− 3t 

+ 6 2 5 

⇒ M(1;0;2) và min( AM + BM) = 2 29 . Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2( 11 + 29) 

Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x − 3y + 3z 

− 11 = 0 và 

hai điểm A(3; − 4;5) , B(3;3; − 3) . Tìm điểm M ∈ ( P) 

sao cho MA − MB lớn nhất. 

• Xét tương tự như câu 6). 

+ Nếu A, B ở cùng phía so với (P) thì MA − MB ≤ AB 

+ Nếu A, B ở khác phía so với (P), ta lấy điểm A′ đối xứng với A qua (P). 

Khi đó MA′ = MA ⇒ MA − MB = MA′ − MB ≤ A′ 

B 

⎛ 31 5 31⎞ 

ĐS: M ⎜ − ; − ; ⎟ 

⎝ 7 7 7 ⎠ . 


a) ( P) : x + y + z − 4 = 0 , A(1;2;1) , B(0;1;2) . ĐS: 

⎛ 

b) ( P) : x − y + 2z = 0, A(1;2; −1), C(1; − 2;1) . ĐS: M 7 ; 11 ⎞ 

⎜ ;1⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ 

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2 y + 2z 

+ 8 = 0 và các 

điểm A (–1;2;3), B(3;0;–1) . Tìm điểm M∈ (P) sao cho 

• Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I(1; 1; 1) . Ta có: 

Do đó: MA 

2 2 

2 2 

MA + MB nhỏ nhất. 

2 2 2 AB 

MA + MB = 2MI 

+ . 

2 

+ MB nhỏ nhất ⇔ IM 2 nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu vuông góc của I trên (P) 

⎧x = 1+ t ⎧t 

= −1 

⎧ 

⇔ 

IM, 

nP 


⎪y = 1− 2t ⎪x 

= 0 

⎨ 

⇔ ⇔ ⎨ 

⇔ 

⎩M 

∈( P) 

z 1 2t ⎨ . Vậy M(0; 3; –1). 

⎪ 

= + 

⎪ 

y = 3 

⎪⎩ 

x − 2y + 2z + 8 = 0 ⎪⎩ 

z = −1 


a) Với (P): x + y + z = 0 , A(–3; 5;–5); B(5;–3; 7). ĐS: M ≡ O(0; 0; 0). 

⎛ 50 192 75 ⎞ 

b) Với (P): x + 5y − 7z 

− 5 = 0 , A(4;9; −9), B( − 10;13;1) . ĐS: M ⎜ − ; − ; ⎟ 

⎝ 17 17 17 ⎠ . 

Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 4 = 0 và các 

2 2 

điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) . Tìm điểm M ∈ ( P) 

sao cho MA + 2MB 

nhỏ nhất. 

• Giả sử I là điểm thoả ⎛ 

mãn: IA + 2IB = 0 ⇔ IA = −2IB 

1 4 5 ⎞ 

⇒ I ⎜ ; ; ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ 

2 2 2 2 2 

2 2 

Ta có: MA + 2MB = 3MI + IA + 2IB 

. Do I cố định nên IA , IB không đổi. 

2 2 

Vậy MA + 2MB 

nhỏ nhất ⇔ MI 2 nhỏ nhất ⇔ MI nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của I 

⎛ 5 14 17 ⎞ 

trên (P) ⇔ M ⎜ ; ; ⎟ . 

⎝ 9 9 9 ⎠ 

Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), 

C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – 3 = 0 . Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng 

2 2 2 

(P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = MA + MB + MC . Khi đó tìm toạ độ của M. 

2 




⎛ 

• Gọi G là trọng tâm của ∆ABC ⇒ G 7 ; 8 ⎞ 

⎜ ;3⎟ 

; GA 2 + GB 2 + GC 

2 = 56 + 32 + 104 = 

64 

⎝ 3 3 ⎠ 

9 9 9 3 

2 2 2 

2 2 2 

Ta có F = MA + MB + MC = ( MG + GA) + ( MG + GB) + ( MG + GC ) 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 

= 3MG + GA + GB + GC + 2 MG( GA + GB + GC) = 3MG + GA + GB + GC 

F nhỏ nhất ⇔ MG 2 nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của G lên (P) 

7 8 

− − 3 − 3 

3 3 19 

⇔ MG = d( G,( P)) 

= = 

1+ 1+ 

1 3 3 

2 

⎛ 19 ⎞ 64 553 

Vậy F nhỏ nhất bằng 3. ⎜ ⎟ + = khi M là hình chiếu của G lên (P). 

⎝ 3 3 ⎠ 3 9 


a) A(1; –3; 5), B(1; 4; 3), C(4; 2; 1), (P): x − y − z − 3 = 0 . 

⎛ 

ĐS: min F = 65 , M 11 − 

; 2 ; 

4 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ 

b) A(1; 1; 0), B(0; 1; 1) và C(2; 2; 1), (P): x + 3 y – z + 2 = 0 . 

⎛ 22 61 17 ⎞ 

ĐS: M ⎜ ; ; − ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ 

c) A(–1; 2; 3), B(3; 0; –1), C(1; 4; 7), (P): x − 2 y + 2z 

+ 6 = 0 . ĐS: M (0; 4; 1) . 

Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A( − 1;0;1) , B(2; − 1;0) , 

C(2;4;2) và mặt phẳng (P): x + y + 2z 

+ 2 = 0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu 

2 2 2 

thức T = MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. 

• Giả sử M( x; y; z) ∈ ( P) 

⇒ x + y + 2z 

+ 2 = 0 ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) + 2( z − 1) + 6 = 0 (1) 

2 2 2 2 2 2 

Ta có: T = 3( x + y + z − 2x − 2y − 2 z) + 31 = 3 ⎡ 

⎣( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ⎤ 

⎦ + 22 (2) 

Từ (1), áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho các bộ số: (1;1;2) và ( x −1; y −1; z − 1) , ta được: 

2 

2 2 2 2 

( − 6) = ⎡⎣ 1( x − 1) + 1( y − 1) + 2( z −1) ⎤⎦ 

≤ (1 + 1+ 4) ⎡ 

⎣( x − 1) + ( y − 1) + ( z −1) 

⎤ 

⎦ 

2 

⎧ 

6 

x −1 y −1 z −1 

⎧ x = 0 

⎪ 

⇒ T ≥ 3. + 22 = 40 . Dấu "=" xảy ra ⇔ 

= = ⎪ 

⎨ 

y 0 

6 

1 1 2 ⇔ ⎨ = ⇒ M(0;0; − 1) . 

⎪ ⎩x + y + 2z 

+ 2 = 0 ⎪⎩ 

z = −1 

Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 4 = 0 và các 

2 2 2 

điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) , C(0;0;3) . Tìm điểm M ∈ ( P) 

sao cho MA + 3MB + 2MC 

nhỏ 

nhất. 

• Giải tương tự như Câu 10. 

Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x − y + z − 1 = 0 và các 

2 2 2 

điểm A(1;2; − 1) , B(1;0; − 1) , C(2;1; − 2) . Tìm điểm M ∈ ( P) 

sao cho MA + MB − MC 

nhỏ nhất. 

⎛ 

• Giải tương tự như Câu 10. ĐS: M 2 ; 1 ; 

2 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ . 

Câu 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x − y + 2z 

= 0 và các 

2 2 2 

điểm A(1;2; − 1) , B(3;1; − 2) , C(1; − 2;1) . Tìm điểm M ∈ ( P) 

sao cho MA − MB − MC 



nhỏ nhất. 

• Giải tương tự như Câu 10. ĐS: M ( 2; −2; − 2) 

. 

Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và 

mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z − 3 = 0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho 

 

MA + 2MB + 3MC 

nhỏ nhất. 

 

• Gọi I là điểm thoả: IA + 2IB + 3IC 

= 0 

⎛ 23 13 25 ⎞ 

⇒ I ⎜ ; ; ⎟ 

⎝ 6 6 6 ⎠ 

 

Ta có: T = MA + 2MB + 3MC = ( MI + IA) + 2( MI + IB) + 3( MI + IC) 

= 6MI = 6 MI 

 

Do đó: T nhỏ nhất ⇔ MI nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của I trên (P). Ta tìm được: 

⎛13 2 16 ⎞ 

M ⎜ ; − ; ⎟ 

⎝ 9 9 9 ⎠ . Khi đó T 43 3 

min = . 

3 

Cách 2: Giả sử M( x; y; z) ∈ ( P) 

⇒ x + y + z − 3 = 0 (1) 

2 2 2 

2 ⎛ 23 ⎞ ⎛ 13 ⎞ ⎛ 25 ⎞ 

Khi đó: MI = ⎜ x − ⎟ + ⎜ y − ⎟ + ⎜ z − ⎟ 

⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 

Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1), ta được: 

2 2 

2 2 2 

⎛ 43 ⎞ ⎡ ⎛ 23 ⎞ ⎛ 13 ⎞ ⎛ 25 ⎞⎤ 

⎡ 

⎛ 23 ⎞ ⎛ 13 ⎞ ⎛ 25 ⎞ 

⎤ 

⎜ − ⎟ = ⎢1. ⎜ x − ⎟ + 1. ⎜ y − ⎟ + 1. ⎜ z − ⎟⎥ 

≤ 3⎢⎜ x − ⎟ + ⎜ y − ⎟ + ⎜ z − ⎟ ⎥ 

⎝ 6 ⎠ ⎣ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠⎦ ⎢⎣ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎥⎦ 

2 

2 ⎛ 43 ⎞ 43 3 

⇒ MI ≥ 3⎜ ⎟ ⇔ MI ≥ . 

⎝ 18 ⎠ 

18 

⎧ 13 

⎧ 23 13 25 ⎪x 

= 

⎪ x − y − z − 

9 

Dấu "=" xảy ra ⇔ 6 6 6 ⎪ 2 ⎛13 2 16 ⎞ 

⎨ = = ⇔ ⎨ y = − ⇔ M ⎜ ; − ; ⎟ 

⎪ 1 1 1 ⎪ 9 ⎝ 9 9 9 ⎠ 

⎩x + y + z − 3 = 0 

⎪ 16 

z = ⎪⎩ 9 

43 3 ⎛13 2 16 ⎞ 

Vậy minT 

= khi M ⎜ ; − ; ⎟ 

3 ⎝ 9 9 9 ⎠ . 

Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 4 = 0 và các 

 

điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) , C(0;0;3) . Tìm điểm M ∈ ( P) 

sao cho MA + 3MB + 4MC 

nhỏ 

nhất. 

• Giải tương tự như Câu 16. 

Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 1 = 0 và ba 

điểm A(2;1;3), B(0; −6;2), C(1; − 1;4) . Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng ( P) sao cho 

 

MA + MB + MC đạt giá trị bé nhất. 

• Dễ thấy A, B, C không thẳng hàng. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , thì G(1; − 2;3) . 

 

Khi đó với mọi M ∈ ( P) 

ta có MA + MB + MC = 3MG 

, do đó MA + MB + MC đạt giá trị 

 

bé nhất ⇔ MG đạt giá trị bé nhất ⇔ M là hình chiếu vuông góc của G trên ( P) . 

 

(P) có VTPT n = (1;1;1) . Giả sử M( x0; y0; z0) ∈( P) ⇒ x0 + y0 + z0 

− 1 = 0 (1). 

 

M là hình chiếu của G trên P ⇔ GM = x − 1; y + 2; z − 3 cùng phương với n 

( ) ( ) 

0 0 0 




x0 − 1 y0 + 2 z0 − 3 ( x0 − 1) + ( y0 + 2) + ( z0 

− 3) 

⇔ = = = 

1 1 1 1+ 1+ 

1 

2 −7 8 ⎛ 

⇔ x0 = , y0 = , z0 

= . Vậy M 2 − 7 8 ⎞ 

⎜ ; ; ⎟ . 

3 3 3 ⎝ 3 3 3 ⎠ 


( x0 + y0 + z0 

−1) −1 −1 

= = 

3 3 

⎛ 

a) ( P) : x − y + 2z = 0, A(1;2; −1), B(3;1; −2), C(1; − 2;1) . ĐS: M 5 ; 1 ; 

2 ⎞ 

⎜ − ⎟ 

⎝ 2 3 3 ⎠ . 

Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x − 3y + 2z 

+ 37 = 0 và 

các điểm A(4;1;5), B(3;0;1), C( − 1;2;0) . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức sau 

 

đạt giá trị nhỏ nhất: S = MA. MB + MB. MC + MC. 

MA 

• Giả sử M( x; y; z) ∈( P) 

⇒ 3x − 3y + 2z 

+ 37 = 0 (1) 

2 2 2 

Khi đó S = 3 ⎡ 

⎣( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 2) − 5⎤ 

⎦ . 

Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1) ta được: 

2 2 

2 2 2 

( − 44) = ⎡⎣ 3( x − 2) − 3( y − 1) + 2( z − 2) ⎤⎦ 

≤ (9 + 9 + 4) ⎡ 

⎣( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 2) ⎤ 

⎦ 

2 

2 2 2 44 

⇒ ( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 2) ≥ = 88 . 

22 

Dấu "=" xảy ra ⇔ x 2 y 1 z 2 ⎧ x = −4 

− − − ⎪ 

= = ⇔ ⎨y 

= 7 

3 −3 2 ⎪ ⎩z 

= −2 

Vậy min S = 3.88 − 5 = 259 khi M(4;7; − 2) . 

⇔ M(4;7; − 2) . 

Câu 21. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2), B( − 1;1;0) và mặt 

phẳng (P): x − y + z = 0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho ∆MAB vuông cân tại B. 

 

• Giả sử M( x; y; z) ∈ ( P) 

. BA = (1;0;2), MB = ( x + 1; y −1; z) 

. 

Ta có: 

⎧ −1− 10 ⎧ − 4 + 10 

⎪x 

= ⎪x 

= 

⎧M 

∈( P) 

⎪ ⎧ x + 1+ 2z 

= 0 

3 3 

⎪ ⎪ − 4 + 10 ⎪ − 2 + 10 

⎨ BA. BM = 0 ⇔ ⎨x − y + z = 0 

⇔ ⎨y 

= ∨ ⎨y 

= 

⎪ 

⎩BA 

= BM ⎪ 2 2 2 ⎪ 6 ⎪ 6 

⎩( x + 1) + ( y − 1) + z = 5 

⎪ −2 − 10 ⎪ − 2 + 10 

⎪z 

= ⎪z 

= 

⎩ 6 ⎩ 6 

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm B( − 1; 3; 0) , C(1; 3; 0) , 

M(0; 0; a) với a > 0. Trên trục Oz lấy điểm N sao cho mặt phẳng (NBC) vuông góc với mặt 

phẳng (MBC). Tìm a để thể tích của khối chóp BCMN nhỏ nhất 

V V V 3 ⎛ 

a 3 ⎞ 

= + = ⎜ + ⎟ 

3 ⎝ a ⎠ đạt nhỏ nhất ⇔ a 3 

= ⇔ a = 3 . 

a 

• 

BCMN MOBC NOBC 

Dạng 2: Xác định điểm thuộc đường thẳng 

⎧ x = −2t 

⎪ 

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : ⎨y = t và mặt phẳng 

⎪ ⎩z 

= −1− 

2t 

(P): x + y − z + 1 = 0 . Gọi d ′ là hình chiếu của d trên mặt phẳng (P). Tìm toạ độ điểm H 



thuộc d ′ sao cho H cách điểm K(1;1;4) một khoảng bằng 5. 

• Gọi A = d ∩ (P) ⇒ A(4; − 2;3) . PT hình chiếu d′ của d trên (P): 

Giả sử H(4 + 7 t; −2 − 2 t;3 + 5 t) ∈ d′ 

. KH 2 = 25 ⇔ t 

⎧ x = 4 + 7t 

⎪ 

⎨y 

= − 2 − 2t 

. 

⎪ ⎩z 

= 3 + 5t 

− 11± 

238 

= ⇒ H. 

39 

Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2),B(–1; 2; 4) và đường 

thẳng ∆ : x − 1 y + 2 z 

2 2 

= = . Tìm toạ độ điểm M trên ∆ sao cho: MA + MB = 28 . 

−1 1 2 

• PTTS của 

⎧ x = 1− 

t 

⎪ 

∆ : ⎨y 

= − 2 + t . M ∈ ∆ ⇒ M(1 − t; − 2 + t;2 t) 

⎪ 

⎩z 

= 2t 

2 2 2 

Ta có: MA + MB = 28 ⇔ 12t − 48t + 48 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ M( − 1;0;4) 

Câu 25. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;0), B(2;2;2), C( − 2;3;1) và đường 

thẳng 

x − 1 y + 2 z − 3 

d : = = . Tìm điểm M trên d để thể tích tứ diện MABC bằng 3. 

2 −1 2 

⎧ x = 1+ 

2t 

⎪ 

1 

• d : ⎨y = − 2 − t . Giả sử M(1 + 2 t; − 2 − t; 3 + 2 t) 

∈ d . n = − ⎡ 

⎣AB; AC⎤ 

⎦ = (1; 2; − 2) 

⎪ 

⎩z 

= 3 + 2t 

3 

9 

−4t 


⇒ SABC 

= . PT mặt phẳng (ABC): x + 2y − 2z 

− 2 = 0 . h = d( M,( ABC) 

= 

2 

3 

1 9 4t 


VMABC 

. . + 

17 

= = 3 ⇔ t = − hoặc t = − 

3 2 3 4 

4 

⎛ 

⇒ M 3 ; 3 ; 

1 ⎞ ⎛ 15 9 11⎞ 

⎜ − − ⎟ hoặc M ⎜ − ; ; − ⎟ 

⎝ 2 4 2 ⎠ ⎝ 2 4 2 ⎠ . 

Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) và đường thẳng d: 

x −1 y z − 3 

= = . Tìm trên d hai điểm A, B sao cho tam giác ABM đều. 

1 1 1 

• Gọi H là hình chiếu của M trên d. Ta có: MH = d( M, d) = 2 . 

2MH 

2 6 

Tam giác ABM đều, nhận MH làm đường cao nên: MA = MB = AB = 

3 = 3 

⎧ x − 2 y z − 3 

⎪ = = 

Do đó, toạ độ của A, B là nghiệm của hệ: ⎨ 

1 1 1 

. 

⎪ 2 2 2 8 

( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 2) = 

⎩ 

3 

⎛ 2 2 2 ⎞ ⎛ 2 2 2 ⎞ 

Giải hệ này ta tìm được: A⎜2 + ; ;3 + ⎟, B⎜2 − ; − ;3 − ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ ⎝ 3 3 3 ⎠ . 


⎧ x = t 

⎪ ⎛ 5 + 76 10 + 2 76 ⎞ ⎛1− 76 2 − 2 76 ⎞ 

a) Với M(1;0; − 1) , d : ⎨y = 2t 

. ĐS: A⎜ ; ;1 ⎟, B⎜ ; ;1⎟ 

⎪ ⎩z 

= 1 

⎝ 15 15 ⎠ ⎝ 15 15 ⎠ 




⎛ 5 − 76 10 − 2 76 ⎞ ⎛1+ 76 2 + 2 76 ⎞ 

hoặc A⎜ ; ;1 ⎟, B⎜ ; ;1⎟ 

⎝ 15 15 ⎠ ⎝ 15 15 ⎠ 

Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d: 

⎧ x = 1− 

t 

⎪ 

⎨y 

= 2 + 2t 

. Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều. 

⎪ 

⎩z 

= 3 

 

• d có VTCP u 

d 

= ( −1;2;0) 

. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. 

 

Giả sử H ( 1 t ; 2 2 t;3) 

AH = 1 − t;1+ 

2 t;0 

Mà AH ⊥ d nên 

− + ⇒ ( ) 

⇒ ( ) ( ) 

AH ⊥ u 

d 

1 

− 1 1− t + 2 1+ 

2t 

= 0 ⇔ t = − 5 

⇒ H ⎛ 6 ; 8 ⎞ 

⎜ ;3⎟ 

⎝ 5 5 ⎠ 

⇒ AH = 3 5 

5 . Mà ∆ABC đều nên BC = 2AH 

2 15 

3 = 5 

hay BH = 15 

5 . 

2 2 

Giả sử B(1 − s;2 + 2 s;3) 

thì ⎛ 1 2 15 

⎜ − − s ⎞ ⎟ + ⎛ ⎜ + 2s 

⎞ 

⎟ = 

⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 25 

2 

− 1± 

3 

⇔ 25s + 10s 

− 2 = 0 ⇔ s = 

5 

⎛ 

Vậy: B 6 − 3 ; 8 + 2 3 ⎞ 

⎜ 

;3⎟ 

⎝ 5 5 ⎠ và C ⎛ 6 + 3 ; 8 − 2 3 ⎞ 

⎜ 

;3⎟ 

⎝ 5 5 ⎠ 

⎛ 

hoặc B 6 + 3 ; 8 − 2 3 ⎞ 

⎜ 

;3⎟ 

⎝ 5 5 ⎠ và C ⎛ 6 − 3 ; 8 + 2 3 ⎞ 

⎜ 

;3⎟ 

⎝ 5 5 ⎠ 

Câu 28. Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng (d) : 

x − 1 y z + 2 

= = và mặt phẳng (P) : 2 x – y – 2z 

= 0 . 

1 2 2 

2a 

2a 

• Gọi A(a; 0; 0) ∈ Ox ⇒ d( A; ( P)) 

= = ; 

2 2 2 

2 + 1 + 2 

3 

d(A; (P)) = d(A; d) 

2 

d( A; d) 

= 

2a 2 

8a − 24a 

+ 36 2 

⇔ = ⇔ 4a 

− 24a 

+ 36 = 0 

3 3 

⇔ 4( a − 3) = 0 ⇔ a = 3. Vậy có một điểm A(3; 0; 0). 

2 

8a 

− 24a 

+ 36 

3 

Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2 z – 1 = 0 và hai 

đường thẳng ∆ 1 : x + 1 y z + 

= = 9 ; ∆ 2 : x − 1 y − 3 z + 

= = 1 . Xác định tọa độ điểm M 

1 1 6 

2 1 − 2 

thuộc đường thẳng ∆ 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ 2 và khoảng cách từ M 

đến mặt phẳng (P) bằng nhau. 

• M (–1 + t; t; –9 + 6t) ∈∆ 1 ; ∆ 2 qua A (1; 3; –1) có véctơ chỉ phương a = (2; 1; –2) 

AM 

 

= (t – 2; t – 3; 6t – 8) ⇒ ⎡⎣ 

AM ; a ⎤⎦ 

= (14 – 8t; 14t – 20; 4 – t) 

Ta có : d (M, ∆ 2 ) = d (M, (P)) ⇔ 261t − 792t + 612 = 11t 

− 20 

2 

⇔ 35t 2 – 88t + 53 = 0 ⇔ t = 1 hay t = 53 

35 . Vậy M (0; 1; –3) hay M ⎛ 18 53 3 ⎞ 

⎜ ; ; ⎟ . 

⎝ 35 35 35 ⎠ 




a) Với (P): 2x + y + 2z 

− 1 = 0 , ∆ : 

1 

x − 3 y − 5 z x −1 2 − y z − 3 

= = , ∆ 

1 1 − 

2 

: = = 

1 4 1 1 

ĐS: M(2;4;1) , M( − 1;1;4) 

x − 1 y z + 2 

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 

: = = và 

2 −1 1 

x + 1 y −1 z − 3 

∆2 

: = = . Đường vuông góc chung của ∆ 

1 7 − 

1 

và ∆ 

2 

cắt ∆ 

1 

tại A, cắt ∆ 

2 

tại B. 

1 

Tình diện tích ∆OAB. 

 

 

∆ có VTCP u 1 

= (2; −1;1) 

∆ có VTCP u 2 

= (1;7; −1) 

• 

1 

, 

2 

Giả sử A(1 + 2 t1; −t1; − 2 + t1) ∈ ∆1 

, B( − 1 + t2;1 + 7 t2;3 − t2) ∈ ∆2 

. 

 

⎧ 

⎪AB. u t A 

Ta có: 1 

= 0 ⎧ 

1 

= 0 ⇒ (1;0; −2) 

⎨ 1 

⇔ ⎨ ⇒ S 

AB. u t2 

0 B( 1;1;3) 

2 

= 0 ⎩ = ⇒ − 

OAB 

= ⎡⎣ OA, 

OB⎤⎦ 

= 

⎪⎩ 

2 

Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2y + 2z 

− 1 = 0 và các 

x − y z x y z 

đường thẳng d 

1 − 3 − 

: ; d : 

5 + 

= = = = 

5 . Tìm các điểm M ∈ d , N ∈ d 

1 2 

1 2 

sao 

2 −3 2 6 4 −5 

cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2. 

6 

2 . 

⎧ x = 1+ 

2t 

⎪ 

• PTTS của d 1 là: ⎨y 

= 3 − 3t 

. M ∈ d 1 nên tọa độ của M ( 1+ 2 t;3 − 3 t;2t) 

. 

⎪ 

⎩z 

= 2t 

1+ 2t − 2(3 − 3 t) + 4t −1 12t − 6 ⎡ t = 1 

Theo đề: d( M;( P)) = = 2 ⇔ = 2 ⇔ 

2 2 2 

3 ⎢ t = 0 

1 + ( − 2) + 2 

⎣ 

+ Với t = 1 ta được M 1 ( 3;0;2 ) ; + Với t = 0 ta được M 2 ( 1;3;0 ) 

• Ứng với M 1 , điểm N 1 ∈ d2 

cần tìm phải là giao của d 2 với mp qua M 1 và // (P), gọi mp này 

là (Q 1 ). PT (Q 1 ) là: ( x − 3) − 2y + 2( z − 2) = 0 ⇔ x − 2y + 2z 

− 7 = 0 (1) . 

⎧ x = 5 + 6t 

⎪ 

PTTS của d 2 là: ⎨y 

= 4t 

(2) 

⎪ 

⎩z 

= −5 − 5t 

Thay (2) vào (1), ta được: t = –1. Điểm N 1 cần tìm là N 1 (–1;–4;0). 

• Ứng với M 2 , tương tự tìm được N 2 (5;0;–5). 

Câu 32. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y + 2z 

− 1 = 0 và các 

x −1 y − 3 z x − 5 y z + 5 

đường thẳng d 1 : = = , d 

2 1 − 2 2 : = = . Tìm các điểm A ∈ d , B ∈ d 

1 2 

sao 

3 4 2 

cho AB // (P) và AB cách (P) một khoảng bằng 1. 

• Giả sử: A(2t1 + 1, t1 + 3, −2 t1) 

∈ d1 

, B(3t2 + 5,4 t2,2t2 − 5) ∈ d2 

 

AB = (3t2 − 2t1 + 4,4t2 − t1 − 3,2t2 + 2t1 

− 5) 

 

AB. n = 0 ⇔ 2(3t − 2t + 4) − 4t + t + 3 + 2(2t + 2t 

− 5) = 0 ⇔ 6t + t + 1 = 0 

P 

2 1 2 1 2 1 

2 1 

4t1 + 2 − t1 − 3 − 4t1 − 1 t1 

+ 2 ⎡ t1 

= −5 

AB ( P) ⇒ d( AB,( P)) = d( A,( P)) = = = 1 ⇔ ⎢ 

3 3 ⎣ t1 

= 1 




2 ⎛ 8 −11⎞ 

• Với t1 = −5 ⇒ t2 

= ⇒ A( −9; −2;10), B⎜ 7; ; ⎟ 

3 ⎝ 3 3 ⎠ 

−1 ⎛ −4 −17 

⎞ 

• Với t1 = 1 ⇒ t2 

= ⇒ A(3;4; −2), B⎜ 4; ; ⎟ 

3 ⎝ 3 3 ⎠ 

Câu 33. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1). Tìm 

tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất. 

 

⎧ x = 1− 

t 

⎪ 

• Ta có AB = ( −1; −4; −3) 

. Phương trình đường thẳng AB: ⎨y 

= 5 − 4t 

. 

⎪ 

⎩z 

= 4 − 3t 

 

Gọi D(1 − a;5 − 4 a;4 − 3 a) 

∈ AB ⇒ DC = ( a;4a − 3;3a 

− 3) . 

 

Độ dài đoạn CD ngắn nhất ⇔ D là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh AB ⇔ AB ⊥ DC 

21 ⎛ 5 46 41 ⎞ 

⇔ −a − 16a + 12 − 9a 

+ 9 = 0 ⇔ a = . Vậy: D ⎜ ; ; ⎟ . 

26 ⎝ 26 26 26 ⎠ 

x + 1 y z −1 

Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 

: = = và 

−2 1 1 

x y z 

d 2 

: = = . Tìm các điểm M thuộc d 1 1 2 

1 

, N thuộc d 2 

sao cho đường thẳng MN song song 

với mặt phẳng (P): x − y + z + 2012 = 0 và độ dài đoạn MN bằng 2 . 

 

MN ( P) ⎧ 

⎧ ⎪MN. n 

• Lấy M ∈ d1, 

N ∈ d2 

. Ta có P 

= 0 

⎛ 3 2 5 ⎞ 

⎨ ⇔ ⎨ ⇔ M(0;0;0), N ⎜ − ; − ; ⎟ 

⎩MN 

= 2 ⎪⎩ MN = 2 

⎝ 7 7 7 ⎠ . 

x y + 2 z −1 

Câu 35. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và các 

1 − 1 1 

điểm A(1;0;0), B(0;1;1), C(0;0;2) . Tìm điểm M thuộc d sao cho góc giữa hai mặt phẳng 

0 

(MAB) và (CAB) bằng a = 30 . 

• ĐS: M(0; − 2;1) . 

Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: 

⎧ x = 1+ 

t 

⎪ 

x − 3 y −1 

z 

( ∆ 

1) : ⎨y 

= −1− 

t và ( ∆2 

) : = = . Xác định điểm A trên ∆ 1 và điểm B trên ∆ 2 sao 

⎪ 

⎩z 

= 2 

−1 2 1 

cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. 

 

• Giả sử A(t+1; –t –1; 2)∈ ∆ 1 , B( t'+3; 2t' +1; t')∈ ∆ 2 ⇒ AB = ( −t ' − t + 2;2 t' + t + 2; t' − 2) 

Vì đoạn AB có độ dài nhỏ nhất ⇔ AB là đoạn vuông góc chung của (∆ 1 ) và (∆ 2 ) 

 

⎧⎪ AB ⊥ u1 ⎧⎪ AB. u1 

= 0 ⎧2t + 3 t ' = 0 

⇒ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ t = t ' = 0 ⇒ A( 1; –1; 2), B(3; 1; 0). 

⎪⎩ 

AB ⊥ u2 ⎪⎩ 

AB. u2 

= 0 ⎩3t 

+ 6 t ' = 0 

Câu 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2) và đường 

⎧ x = 2 + 4t 

⎪ 

thẳng d : ⎨y = − 6t 

. Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất. 

⎪ ⎩z 

= −1− 

8t 

 

• AB = (2; −3; −4) 

⇒ AB // d. Gọi A 1 là điểm đối xứng của A qua d . 



Ta có: IA + IB = IA 1 + IB ≥ A 1 B . Do đó IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A 1 B. Khi đó A 1 , 

I, B thẳng hàng ⇒ I là giao điểm của A 1 B và d. Vì AB // d nên I là trung điểm của A 1 B. 

⎛ 36 33 15 ⎞ 

Gọi H là hình chiếu của A lên d. Tìm được H ⎜ ; ; ⎟ . A’ đối xứng với A qua H nên 

⎝ 29 29 29 ⎠ 

⎛ 43 95 28 ⎞ 

⎛ 65 −21 −43 

⎞ 

A’ ⎜ ; ; − ⎟ . I là trung điểm của A’B suy ra I ⎜ ; ; ⎟ . 

⎝ 29 29 29 ⎠ 

⎝ 29 58 29 ⎠ 


x − 2 y z + 1 

a) Với A(1; −1;2), B(3; −4; − 2) , d : = = 

4 −6 − 8 

. ĐS: I ⎛ 64 9 45 ⎞ 

⎜ ; − ; − ⎟ 

⎝ 29 29 29 ⎠ . 

x − 2 y z − 4 

b) Với A (1;2;–1), B(7;–2;3) , d : = = . ĐS: I(2;0;4) . 

3 −2 2 

Câu 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường 

thẳng ∆: x + 1 y − 

= 1 = 

z . Tìm toạ độ điểm M trên ∆ sao cho ∆MAB có diện tích nhỏ nhất. 

2 −1 2 

⎧ x = − 1+ 

2t 

⎪ 

• PTTS của ∆: ⎨y 

= 1 − t . Gọi M( − 1+ 2 t;1 − t;2 t) 

∈ ∆. 

⎪ ⎩z 

= 2t 

1 

Diện tích ∆MAB là S ⎡ 

2 

AM, AB⎤ 

2 

= ⎣ ⎦ = 18t − 36t 

+ 216 = 18( t − 1) + 198 ≥ 198 

2 

Vậy Min S = 198 khi t = 1 hay M(1; 0; 2). 


a) Với A(0;1;0), B(2;2;2) , ∆ : 

x − 1 y + 2 z − 3 

3 2 

= = . ĐS: M( −3;0; − 1) , min S = 

2 −1 2 

2 

x y − 3 z + 1 

34 

b) Với A(2; −1;1), B(0;1; − 2), ∆ : = = . ĐS: M( −5;8; − 11),min S = 

1 − 1 2 

2 

x −1 y − 2 z −1 

c) Với A(0;1; −2), B(2; − 1;1), ∆ : = = . ĐS: M( −2;5; − 5),min S = 22 

1 −1 2 

x y z 1 0 

d) Với A(2; 1;1), B(1; 1;0), ∆ : 

⎧ + − − = 

⎛ 

− − ⎨ 

. ĐS: M 1 2 3 ⎞ 

⎜ ; − ; − ⎟ 

⎩2x 

− y − 1 = 0 

⎝ 6 3 2 ⎠ . 

x −1 y − 2 z 

⎛ 12 5 38 ⎞ 

e) Với A(1;4;2), B( − 1;2;4), ∆ : = = . ĐS: M ⎜ − ; ; ⎟ 

−1 1 2 

⎝ 7 7 7 ⎠ . 

Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5;8; − 11) , B(3;5; − 4) , C(2;1; − 6) 

x −1 y − 2 z −1 

và đường thẳng d : = = . Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d sao 

2 1 1 

 

cho MA − MB − MC đạt giá trị nhỏ nhất. 

 

• Giả sử M(2t + 1;2t + 2; t + 1) ∈ d ⇒ MA − MB − MC = ( −2t −1; −2t − 4; −t) 

 

2 

2 2 2 ⎛ 10 ⎞ 53 53 

MA − MB − MC = (2t + 1) + (2t + 4) + t = 9⎜t 

+ ⎟ + ≥ 

⎝ 9 ⎠ 9 3 


Dấu "=" xảy ra ⇔ t = − 9 

⇒ M ⎛ 11 ; 2 ; 

1 ⎞ 

⎜ − − − ⎟ 

⎝ 9 9 9 ⎠ 

Câu 40. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ( P) : x + 2y − z + 5 = 0 điểm A( –2; 3; 4) 




x + 3 

và đường thẳng ( d) : = y + 1 = z − 3 . Gọi ∆ là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao 

2 

điểm của (d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên ∆ điểm M sao cho khoảng cách AM 

ngắn nhất. 

⎧ x = 2t 

− 3 

⎪ 

⎨y 

= t − 1 

⎪ 

⎩z 

= t + 3 

 

(d) có VTCP là a = (2;1;1) 

• PTTS của d: 

. Gọi I là giao điểm của (d) và (P) ⇒ I( − 1;0;4) 

 

, (P) có VTPT là n = (1;2; −1) 

⇒ 

 

, = ( −3;3;3) 

. 

[ a n] 

Gọi u ⎧ x = 1− 

u 

 

⎪ 

là vectơ chỉ phương của ∆ ⇒ u = ( −1;1;1) 

⇒ ∆ : ⎨y 

= u . 

⎪ 

⎩z 

= 4 + u 

 

Vì M ∈ ∆ ⇒ M( −1 − u; u;4 + u) 

, ⇒ AM = (1 − u; u − 3; u) 

 

4 

AM ngắn nhất ⇔ AM ⊥ ∆ ⇔ AM. u = 0 ⇔ −1(1 − u) + 1( u − 3) + 1. u = 0 ⇔ u = . 

3 

⎛ − 

Vậy M 7 ; 4 ; 

16 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ 

Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(–1; –1; 2), B(–2; –2; 1) và mặt phẳng (P) có 

phương trình x + 3y − z + 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực 

của đoạn AB. Gọi ∆ là giao tuyến của (P) và (Q). Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho độ dài đoạn 

thẳng OM là nhỏ nhất. 

⎛ −3 −3 3 ⎞ 

• Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I ⎜ ; ; ⎟; AB = ( −1; −1; −1) 

⎝ 2 2 2 ⎠ 

3 

⇒ PT (Q): x + y + z + = 0 

2 

⎧ 7 1 

∆ là giao tuyến của (P) và (Q) ⇒ PTTS của ∆: ⎨x = − + 2 t; y = − t; 

z = − t . 

⎩ 4 4 

⎛ 7 1 ⎞ 

2 15 25 

Giả sử M ⎜ − + 2 t; −t; − t ⎟∈ ∆ ; OM = 6t − t + . 

⎝ 4 4 ⎠ 

2 8 

5 ⎛ 1 5 3 ⎞ 

OM nhỏ nhất khi t = ⇒ M ⎜ − ; − ; − ⎟ 

8 ⎝ 2 8 8 ⎠ . 

Câu 42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1 ): x − 3 y z + 

= = 1 , (d 2 ): 

1 1 − 2 

x − 2 y + 2 z 

= = . Một đường thẳng (∆) đi qua điểm A(1; 2; 3), cắt đường thẳng (d 1 ) tại 

−1 2 1 

điểm B và cắt đường thẳng (d 2 ) tại điểm C. Chứng minh rằng điểm B là trung điểm của đoạn 

thẳng AC. 

1 

• Lấy B ∈ (d 1 ), C ∈ (d 2 ). Từ : AB = k AC ⇒ k = ⇒ B là trung điểm của đoạn thẳng AC. 

2 

Ta có thể tính được B(2; –1; 1), C(3; –4; –1). 

Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E (2;1;5), F( 4; 3; 9) . Gọi ∆ là giao 

tuyến của hai mặt phẳng ( P ): 2x + y − z + 1 = 0 và ( Q ) : x − y + 2z 

− 7 = 0 . Tìm điểm I 

thuộc ∆ sao cho: IE 

− IF lớn nhất . 



⎧ x = 1+ 

t 

⎧ x = 2 + t′ 

⎪ 

⎪ 

• PTTS của ∆: ⎨y 

= − 5t 

. PTTS của EF: ⎨y 

= 1+ 

t′ 

. 

⎪ 

⎩z 

= 3 − 3t 

⎪ 

⎩z 

= 5 + 2t′ 

⎧ 1+ t = 2 + t′ 

⎪ ⎧ t = 0 

Xét hệ: ⎨− 5t 

= 1+ t′ 

⇔ ⎨ ⇒ EF cắt ∆ tại A(1;0;3). 

t ′ 

⎪ = − 1 

3 − 3t 

= 5 + 2t′ 

⎩ 

⎩ 

Trong mp( ∆ ,EF) mọi điểm I ∈ ∆ ta có IE − IF ≤ EF (hiệu 2 cạnh trong 1 tam giác nhỏ hơn 

cạnh thứ 3). Dấu "=" xảy ra ⇔ I, E, F thẳng hàng, từ đó suy ra I trùng A. 

Vậy điểm I(1;0;3). 

Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 

x y z 

d : = = và hai điểm 

1 1 1 

A(0;0;3) , B(0;3;3) . Tìm điểm M ∈ d sao cho: 

 

2 2 

a) MA + MB nhỏ nhất. b) MA + 2MB 

nhỏ nhất. c) MA − 3MB 

nhỏ nhất. 

• a) PTTS của d: 

⎧ x = t 

⎪ 

⎨y 

= t . Gọi M t t t d 

⎪ 

⎩z 

= t 

Xét hàm số f ( t) = ( t − 1) + 2 + ( t − 2) + 2 ⇒ 

2 2 

( ; ; )∈ . Ta có: P = 3 ( ( t − 1) + 2 + ( t − 2) + 2 ) 

2 2 

t −1 t − 2 

f ′( t) = 0 ⇔ = − 

2 2 

( t 1) 2 ( t 2) 2 

t −1 t − 2 

f ′( t) 

= + 

2 2 

( t − 1) + 2 ( t − 2) + 2 

t −1 −( t − 2) 

⇔ = 

2 2 

( − 1) + 2 −( − 2) + 2 

− + − + t 

[ t ] 

u 

⎛ 

u ⎞ 

2 

1 2 

Xét hàm số g( u) 

= . Ta có g′ ( u) = u + 2 − u. . = > 0 

u 2 

⎜ 2 ⎟ 2 

+ 2 

u u 2 2 3 

⎝ 

+ 2 ⎠ + ( u + 2) 

nên hàm số g đồng biến trên R . 

3 

Do đó từ (*), ta có g( t − 1) = g[ −( t − 2) ] ⇔ t − 1 = − t + 2 ⇔ t = 

2 

⎛ 3 ⎞ 

Dựa vào BBT của hàm số f ta suy ra min f ( t) = f ⎜ ⎟ = 3 . 

⎝ 2 ⎠ 

Vậy min( MA + MB) = 3 3 đạt được tại t 

= 3 

2 

, tức là M ⎛ 

⎜ 

3 ; 3 ; 

3 

⎝ 2 2 2 

b) Tương tự câu 1), ta tính được Q = MA + 2MB = 9t − 30t + 45 = (3t 

− 5) + 20 . 

⎞ 

⎟ . 

⎠ 

2 2 2 2 

5 

⇒ minQ 

= 20 khi t = 3 

, tức M ⎛ 5 ; 5 ; 

5 ⎞ 

⎜ ⎟ . 

⎝ 2 2 2 ⎠ 

 

 

c) Theo câu 1) , ta có MA = ( −t; −t;3 − t) 

, MB = ( −t;3 − t;3 − t) 

. 

 

 

2 2 

Suy ra MA − 2 MB = ( t; t − 6; t − 3) ⇒ MA − 2MB = 3t − 18t + 45 = 3( t − 3) + 18 ≥ 3 2 

 

Vậy min MA − 2MB 

= 3 2 khi t = 3 , tức M(3;3;3) . 

Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu 

2 2 2 

Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z + 4 x – 6y + m = 0 

và đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): 2 x – 2 y – z + 1 = 0 , (Q): 


(*)



x + 2 y – 2 z – 4 = 0 và . Tìm m để (S) cắt (d) tại 2 điểm M, N sao cho độ dài MN = 8. 

• (S) tâm I(–2;3;0), bán kính R= 13 − m = IM ( m < 13) . Gọi H là trung điểm của MN 

⇒ MH= 4 ⇒ IH = d(I; d) = −m − 3 

 

(d) qua A(0;1;-1), VTCP u = (2;1;2) ⇒ d(I; d) = 

Vậy : −m − 3 =3 ⇔ m = –12. 

 

⎡⎣ u; 

AI ⎤⎦ = 3 . 

u 

Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y − z + 3 = 0 và mặt cầu 

2 2 2 

(S): x + y + z − 6x − 8y − 2z 

+ 23 = 0 . Tìm trên (S) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến 

mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó hãy viết phương trình mặt cầu (T) có tâm M và cắt (P) 

theo một đường tròn có bán kính bằng 4. 

• Mặt cầu (S) có tâm I(3;4;1) , bán kính R = 3 

x t 

Gọi d là đường thẳng qua I vuông góc với (P) ⇒ PTTS của d: 

⎪ ⎧ = 3 + 

⎨y 

= 4 + t 

⎪ 

⎩z 

= 1− 

t 

Khi đó M là giao điểm của d với (S) ⇒ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 

⎧ x = 3 + t ⎧t = 1 ⎧t 

= −1 

⎪y = 4 + t ⎪ x = 4 ⎪ 

x = 2 

⎨ ⇔ 

z 1 t ⎨ ∪ ⎨ ⇒ M 

= − y = 5 y = 3 

1(4;5;0), M2(2;3;2) 

⎪ ⎪ ⎪ 

2 2 2 

⎪⎩ 

x + y + z − 6x − 8y − 2z 

+ 23 = 0 ⎪⎩ z = 0 ⎪⎩ 

z = 2 

Ta thấy d( M ,( P)) = 4 3 > d( M ,( P)) = 2 3 . Vậy M(4;5;0) là điểm cần tìm. 

1 

2 

2 2 2 2 

2 2 2 

Mặt cầu (T) có R' = MH + HE = (4 3) + 4 = 8 ⇒ ( T) :( x − 4) + ( y − 5) + z = 64 

Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương 

2 2 2 

trình là ( S) : x + y + z − 4x + 2y − 6z + 5 = 0, ( P) : 2x + 2y − z + 16 = 0 . Điểm M di động 

trên (S) và điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN. Xác định vị 

trí của M, N tương ứng. 

• Mặt cầu (S) tâm I(2;–1;3) và có bán kính R = 3. 

2.2 + 2.( −1) − 3 + 16 

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): d = d ( I, ( P) 

) = = 5 ⇒ d > R . 

3 

Do đó (P) và (S) không có điểm chung. Do vậy, min MN = d –R = 5 –3 = 2. 

Trong trường hợp này, M ở vị trí M 0 và N ở vị trí N 0 . Dễ thấy N 0 là hình chiếu vuông góc 

của I trên mặt phẳng (P) và M 0 là giao điểm của đoạn thẳng IN 0 với mặt cầu (S). 

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P), thì N 0 là giao điểm của ∆ và (P). 

 

⎧ x = 2 + 2t 

⎪ 

Đường thẳng ∆ có VTCP là nP 

= ( 2;2; −1) 

và qua I nên có phương trình là ⎨y 

= − 1 + 2t 

. 

⎪ 

⎩z 

= 3 − t 

Tọa độ của N 0 ứng với t nghiệm đúng phương trình: 

15 5 

2(2 + 2 t) + 2( − 1+ 2 t) − (3 − t) + 16 = 0 ⇔ 9t + 15 = 0 ⇔ t = − = − 

9 3 

⎛ 4 13 14 ⎞ 3 

Suy ra N 0 ⎜ − ; − ; ⎟ . Ta có IM0 = IN0. 

Suy ra M0 (0;–3;4) 

⎝ 3 3 3 ⎠ 5 




2 2 2 

a) ( S) : x + y + z − 4x − 4y + 2z 

= 0 ; ( P) : 2x + y − 2z 

+ 4 = 0 . 

⎛ − 

ĐS: M(2 − 2 2;2 − 2; − 1+ 2 2) , N 2 − 

; 1 ; 

5 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ 

Câu 48. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1;1), B(1;0; −3), C( −1; −2; − 3) và mặt cầu (S) có 

2 2 2 

phương trình: x + y + z − 2x + 2z 

− 2 = 0 . Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện 

ABCD có thể tích lớn nhất. 

• (S) có tâm I(1; 0; –1), bán kính R = 2 . PT mp(ABC): 2x − 2y + z + 1 = 0 

1 

Ta có VABCD 

= d ( D ;( ABC )). SABC 

nên VABCD 

lớn nhất ⇔ d( D;( ABC)) lớn nhất . 

3 

Gọi D 1 

D 2 

là đường kính của (S) vuông góc với mp(ABC). Ta thấy với D là 1 điểm bất kỳ 

thuộc (S) thì d( D;( ABC)) max { d( D ;( ABC)); d( D ;( ABC)) 

} 

≤ . 

1 2 

Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D 1 hoặc D . 2 . 

 

D 1 

D 2 

đi qua I(1;0;–1), và có VTCP là n 

ABC 

= (2; −2;1) 

⇒ D 1 

D 2 

: {x = 1+ 2 t; y = − 2 t; z = − 1+ 

t 

⎧ x = 1+ 

2t 

⎡ 2 

y 2t 

t = 

⎪ = − 

⎢ 

Tọa độ D 1 và D 2 thỏa: 

3 

⎨ ⇒ ⎢ 

⎪ 

z = − 1 + t 

⎢ −2 

t = 

⎪ 2 2 2 ⎢ 

⎩( x − 1) + y + ( z + 1) = 4 ⎣ 3 

D 

⎛ 7 − 4 − 1 

1 

; ; ⎞ ; D 

⎛ − 1 4 − 

⇒ 5 

2 

; ; 

⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 3 3 3 ⎠ ⎝ 3 3 3 ⎠ 

⎛ 

Ta thấy: d( D1;( ABC)) > d( D2;( ABC)) 

. Vậy điểm D 7 ; 4 ; 

1 ⎞ 

⎜ − − ⎟ là điểm cần tìm. 

⎝ 3 3 3 ⎠ 

Dạng 4: Xác định điểm trong không gian 

Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): 3x + 2 y – z + 4 = 0 và hai 

điểm A(4;0;0) , B(0;4;0) .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Xác định tọa độ điểm K 

sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (α), đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và (α). 

• I(2;2;0). PT đường thẳng KI: x − 2 y − 

= 2 = z . 

3 2 − 1 

Gọi H là hình chiếu của I trên (α): H(–1;0;1). Giả sử K(x o ;y o ;z o ). 

⎧ x0 − 2 y0 − 2 z0 

⎪ 

= = 

⎛ 

Ta có: KH = KO ⇔ 

3 2 −1 

1 1 3 ⎞ 

⎨ 

⇒ K ⎜ − ; ; ⎟ 

⎪ 2 2 2 2 2 2 

⎝ 4 2 4 ⎠ . 

⎩ 

( x0 + 1) + y0 + ( z0 − 1) = x0 + y0 + z0 

Câu 50. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), 

2 2 2 2 

D(2;2;–1). Tìm tọa độ điểm M để MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất. 

⎛ 

• Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G 7 ; 14 ⎞ 

⎜ ;0⎟ 

⎝ 3 3 ⎠ . 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 

Ta có: MA + MB + MC + MD = 4MG + GA + GB + GC + GD 

2 2 2 2 

⎛ 

≥ GA + GB + GC + GD . Dấu bằng xảy ra khi M ≡ G 7 ; 14 ⎞ 

⎜ ;0⎟ 

⎝ 3 3 ⎠ . 




Câu 51. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z + 3 = 0 và điểm A(0; 

1; 2). Tìm toạ độ điểm A′ đối xứng với A qua mặt phẳng (P). 

 

• (P) có VTPT n = (1;1;1) . Giả sử A′(x; y; z). 

⎛ x y + 1 z + 2 ⎞ 

Gọi I là trung điểm của AA′ ⇒ I ⎜ ; ; ⎟ 

⎝ 2 2 2 ⎠ . 

⎧ x y −1 z − 2 

⎧⎪ 

A′ đối xứng với A qua (P) ⇔ ⎨ 

AA′, 

n cuøng phöông 

⎪ = = 

⎧ x = −4 

⇔ 1 1 1 

⎪ 

⎨ 

⇔ ⎨y 

= − 3 

⎪⎩ I ∈ (P) 

⎪ 

x y + 1 z + 2 

+ + + 3 = 0 ⎪ ⎩z 

= −2 

⎩2 2 2 

Vậy: A′(–4; –3; –2). 

Câu 52. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) và 

mặt phẳng ( α ) : x + 2y 

+ 2 = 0. Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm 

A, B, C và mặt phẳng ( α ). 

• Giả sử M( x0; y0; z0 

) . 

⎧ 2 2 2 2 2 2 

⎧ MA = MB ( x0 − 1) + y0 + z0 = x0 + ( y0 − 1) + z0 

(1) 

⎪ 

2 2 2 2 2 2 

Ta có: ⎨MB 

= MC ⇔ ⎪x0 + ( y0 − 1) + z0 = x0 + ( y0 − 3) + ( z0 

− 2) (2) 

⎪ 

⎨ 

⎩MA 

= d( M,( a )) 

2 

⎪ 2 2 2 ( x y 

x y z 

0 

+ 2 

0 

+ 2) 

⎪( 0 

− 1) + 

0 

+ 

0 

= 

(3) 

⎩ 

5 

⎡ x0 = 1, y0 = 1, z0 

= 2 

⇔ ⎢ 

⎛ 23 23 14 ⎞ 

23 23 14 ⇒ M(1; 1; 2) hoặc M ⎜ ; ; − ⎟ 

⎢ x0 = , y = , z0 

= − 

⎝ 3 3 3 ⎠ . 

⎣ 3 3 3 

Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tam giác đều S.ABC, biết 

A B C 

(3;0;0), (0;3;0), (0;0;3). Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 36. 

• Phương trình ( ABC) : x + y + z − 3 = 0 . 

9 3 

∆ABC có trọng tâm G(1;1;1) và AB= BC= CA= 3 2 ⇒ SABC 

= . 

2 

Do hình chóp S.ABC đều nên đường thẳng SG qua G và vuông góc với (ABC) 

⎧ x = 1+ 

t 

⎪ 

Phương trình SG : ⎨y = 1 + t . Giả sử S(1 + t;1 + t;1 + t) 

⎪ 

⎩z 

= 1+ 

t 

1 

Ta có : V S.ABC =36= SG. 

S ABC ⇔ t = 8, t = − 8 . Vậy: S(9;9;9) hoặc S( −7; −7; − 7) . 

3 

Dạng 5: Xác định điểm trong đa giác 

Câu 54. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). 

Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC. 

• Lập phương trình mp(ABC); (P) qua A và (P) ⊥ BC; (Q) qua B và (Q) ⊥ AC 

⎛ 36 18 12 ⎞ 

Giải hệ gồm ba phương trình ba mặt phẳng trên ta được trực tâm H⎜ 

; ; ⎟ 

⎝ 49 49 49 ⎠ 


a) Với A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2). ĐS: 



Câu 55. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A( − 1;3;5) , B( − 4;3;2) , C(0;2;1). 

Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 

• Ta có: AB = BC = CA = 3 2 ⇒ ∆ ABC đều. Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp 

⎛ 5 8 8 ⎞ 

∆ABC 

cũng là trọng tâm của nó. Kết luận: I ⎜ − ; ; ⎟ . 

⎝ 3 3 3 ⎠ 

Câu 56. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3). 

Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 

 

 

• Ta có: AB = (2; 2; − 2), AC = (0; 2;2). Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB, 

AC là: x + y − z − 1 = 0, y + z − 3 = 0. 

 

VTPT của mp(ABC) là n = ⎡⎣ 

AB, AC⎤⎦ 

= (8; −4;4). 

Suy ra (ABC): 2x − y + z + 1 = 0 . 

⎧ x + y − z − 1 = 0 ⎧x 

= 0 

⎪ 

⎪ 

Giải hệ: ⎨ y + z − 3 = 0 ⇒ ⎨y 

= 2 . Suy ra tâm đường tròn là I(0; 2;1). 

⎪2x − y + z + 1 = 0 ⎪ 

⎩ 

⎩ z = 1 

2 2 2 

Bán kính là R = IA = ( −1− 0) + (0 − 2) + (1 − 1) = 5. 

Câu 57. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1) , B( − 1;2;0) ,C(1;1; − 2) . 

Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 

• H( x; y; z) là trực tâm của ∆ABC ⇔ BH ⊥ AC, CH ⊥ AB, H ∈ ( ABC) 

 

⎧ BH. AC = 0 

⎪ 

⎧ 2 29 1 ⎛ 

⇔ ⎨CH 

. AB 

 

= 0 

 

⇔ ⎨x = ; y = ; z = − ⇒ H 2 29 1 ⎞ 

⎜ ; ; − ⎟ 

⎪⎡ 

15 15 3 

AB, AC⎤ . AH = 0 ⎩ 

⎩ ⎣ ⎦ 

⎝15 15 3 ⎠ 

I( x; y; z) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇔ AI = BI = CI, I ∈ ( ABC) 

⎧ 2 2 

AI = BI 

⎪ 2 2 

⇔ ⎨CI 

 

= 

 

BI 

 

⎪⎡ ⎣AB, AC⎦⎤ AI = 0 

⎩ 

⎧ 14 61 1 ⎛14 61 1 ⎞ 

⇔ ⎨x = ; y = ; z = − ⇒ I ⎜ ; ; − ⎟ 

⎩ 15 30 3 ⎝ 15 30 3 ⎠ 

Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( −1;0;1), B(1;2; −1), C( − 1;2;3) và 

I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp 

xúc với mặt phẳng (Oxz). 

• Phương trình ( ABC) : 2x − y + z + 1 = 0 . Gọi I( x; y; z) . 

IA = IB = IC ⇒ x + y − z − 1 = 0, y + z − 3 = 0 (1) ; I ∈( ABC) ⇒ 2x − y + z + 1 = 0 (2) 

Từ (1) (2) ⇒ I(0; 2;1) . Bán kính mặt cầu là R = d( I,( Oxz)) = 2 

2 2 2 

⇒ (S): x + ( y − 2) + ( z − 1) = 4 

Câu 59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt 

phẳng (Oxy) và C nằm trên trục Oz. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho điểm H(2;1;1) là trực 

tâm của tam giác ABC. 

• Giả sử B( x; y;0) ∈( Oxy), C(0;0; z) 

∈ Oz . 

 

 

⎧AH 

⊥ BC 

⎧ 

⎪ 

 

AH. BC = 0 

⎪ 

H là trực tâm của ∆ABC ⇔ ⎨CH 

⊥ AB ⇔ ⎨CH AB 

⎪ 

 

. 

 

= 0 

 

⎩AB, AC, 

AH ñoàng phaúng ⎪ 

⎩⎣ ⎡ AB, AH ⎤ ⎦. AC = 0 




⎡ 

⎧ x + z = 0 

−3 − 177 17 + 177 3 + 177 

⎪ 

⎢x = ; y = ; z = 

⇔ ⎨2x 

+ y − 7 = 0 ⇔ ⎢ 4 2 4 

⎩⎪ 3x − 3y + yz − z = 0 ⎢ − 3 + 177 17 − 177 3 − 177 

⎢x = ; y = ; z = 

⎣ 4 2 4 

⎛ −3 − 177 17 + 177 ⎞ ⎛ 3 + 177 ⎞ 

⇒ B⎜ ; ;0 ⎟, C ⎜ 0;0; ⎟ 

⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

⎛ − 3 + 177 17 − 177 ⎞ ⎛ 3 − 177 ⎞ 

hoặc B⎜ ; ;0 ⎟, C ⎜ 0;0; ⎟ 

⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 

Câu 60. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 3) và hai đường thẳng có phương trình 

x − 2 y − 3 z − 3 x −1 y − 4 z − 3 

d 1 

: = = và d 

1 1 − 2 2 

: = = . Chứng minh đường thẳng d 1 , d 2 và 

1 −2 1 

điểm A cùng nằm trong một mặt phẳng. Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC 

biết d 1 chứa đường cao BH và d 2 chứa đường trung tuyến CM của tam giác ABC. 

 

 

• d 1 qua M 1 (2; 3; 3), có VTCP a = (1;1; −2) 

; d 2 qua M 2 (1; 4; 3) có VTCP b = (1; −2;1) 

 

Ta có ⎡⎣ a, b⎤⎦ ≠ 0 , ⎡⎣ a, b⎤⎦ 

. M 1 

M 2 

= 0 ⇒ d1, d2 

cắt nhau. 

Phương trình mặt phẳng chứa d1, d2 

: x + y + z – 8 = 0 A ∈ mp( d1, d2) 

. 

⎛ t + 5 t + 5 ⎞ 

Giả sử B(2 + t;3 + t;3 − 2 t) 

∈ d 1 

⇒ trung điểm của AB là M ⎜ ; ;3 − t ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ 

M ∈ d 2 

⇒ t = −1 ⇒ M(2;2;4) 

⇒ B(1;2;5). 

 

Giả sử C(1 + t;4 − 2 t;3 + t) 

∈ d 2 

. AC ⊥ a ⇒ t = 0 ⇒ C(1;4;2) 

Câu 61. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho tam giác ABC có A(3;2;3), đường cao 

CH, đường phân giác trong BM của góc B lần lượt có phương trình là 

x − 2 y − 3 z − 3 x −1 y − 4 z − 3 

d 1 

: = = , d 

1 1 − 2 2 

: = = . Tính độ dài các cạnh của tam giác của 

1 −2 1 

tam giác ABC. 

• Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d 1 

⇒ (P): x + y – 2z 

+ 1 = 0 . B là giao 

điểm của d 2 

với (P) ⇒ B(1;4;3). 

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d 2 

⇒ (Q): x − 2y + z − 2 = 0 . Gọi K là 

giao điểm của d 2 

với (Q) ⇒ K(2;2;4) . Gọi E là điểm đối xứng của A qua K ⇒ E(1;2;5) . 

Phương trình đường thẳng BE là 

Ta có AB = AC = BC = 2 2 ⇒ Tam giác ABC đều. 

⎧ x = 1 

⎨ 

⎪ y = 4 − t . C là giao điểm của BE và CH ⇒ C(1;2;5) . 

⎪ ⎩z 

= 3 + t 

Câu 62. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A( 3; −1; − 2) 

, 

B( 1;5;1 ) , C ( 2;3;3 ) , trong đó AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ. Tìm toạ độ điểm D. 

• Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 3. 

Gọi ∆ là đường thẳng qua C và song song với AB, (S) là mặt cầu tâm A bán kính R = 3. 

Điểm D cần tìm là giao điểm của ∆ và (S). 



 

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương AB = ( −2;6;3) 

2 2 2 

nên có phương trình: 

Phương trình mặt cầu ( S) : ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 2) = 9 

Toạ độ điểm D thoả Hệ PT: 

⎧ x = 2 − 2t 

y 3 6t 

⎡t 

= −1 

⎪ = + 

2 

⎨ z t 49t 

82t 

33 0 ⎢ 

= 3 + 3 

⇒ + + = ⇔ 33 

⎪ 

⎢t 

= − 

2 2 2 

49 

( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 2) 

= 9 

⎣ 

⎪⎩ 

⎧ x = 2 − 2t 

⎪ 

⎨y 

= 3 + 6t 

⎪ 

⎩z 

= 3 + 3t 

• Với t = – 1, thì D(4; – 3; 0) : không thoả vì AB = CD = 7 

33 ⎛ 164 51 48 ⎞ 

• Với t = − ⇒ D ⎜ ; − ; ⎟ (nhận) 

49 ⎝ 49 49 49 ⎠ 

Câu 63. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thoi ABCD với A( − 1;2;1) , B(2;3;2) . 

Tìm tọa độ các đỉnh C, D và viết phương trình mặt phẳng chứa hình thoi đó biết rằng tâm I 

x + 1 y z − 2 

của hình thoi thuộc đường thẳng d : = = và điểm D có hoành độ âm. 

−1 −1 1 

 

 

• Gọi I( −1 − t; − t;2 + t) 

∈ d . Ta có IA = ( t;2 + t; −1 − t), IB = (3 + t;3 + t; −t) 

. 

 

2 

Do ABCD là hình thoi nên IA. IB = 0 ⇔ 3t + 9t + 6 = 0 ⇔ t = − 1, t = −2 

. 

Vì C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên: 

+ Với t = −1 ⇒ I(0;1;1) ⇒ C(1;0;1), D( −2; − 1;0) . 

+ Với t = −2 ⇒ I(1;2;0) ⇒ C(3;2; −1), D(0;1; − 2) 

Do D có hoành độ âm nên ta chọn được nghiệm C(1;0;1), D( −2; − 1;0) 

+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa hình thoi ABCD, giả sử (P) có VTPT n 

 

⎧⎪ n ⊥ IA = ( −1;1;0) 

Ta có ⎨ 

 

⇒ có thể chọn n = ⎡⎣ 

IA, IB⎤⎦ 

= (1;1; −4) 

⎪⎩ n ⊥ IB = (2;2;1) 

Suy ra phương trình mặt phẳng ( P) : x + y – 4z 

+ 3 = 0 .. 

Câu 64. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình 

vuông, A(1;0;0), C( − 1;2;0) , D( − 1;0;0) , S(0;0; 3) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 

đoạn SB và CD. Chứng minh rằng hai đường thẳng AM và BN vuông góc với nhau và xác 

định tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB. 

 

• AB = DC ⇒ B(1; 2; 0). M là trung điểm SB, N là trung điểm CD 

⎛ 

⇒ M 1 ;1; 

3 ⎞ 

, N(–1; 1; 0) ⇒ AM ⊥ BN. Vì ∆ONB nằm trong mp(Oxy) nên tâm I của 

⎜ 2 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

đường tròn ngoại tiếp ∆ONB thuộc mp(Oxy). 

⎧ IO = IN ⎛ 1 7 ⎞ 

Gọi I( x; y;0). Ta có: ⎨ ⇒ I ; ;0 

⎩IO 

= IB 

⎜ ⎟ . 

⎝ 6 6 ⎠ 

Câu 65. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M(5;3; − 1) , 

P(2;3; − 4) . Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng 

( R) : x + y − z − 6 = 0. 



⎛ 7 5 ⎞ 

 

• Gọi I là tâm hình vuông ⇒ I ⎜ ;3; − ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ . Gọi N( a; b; c) ∈ ( R) 

. MP = ( − 3;0; − 3) . 

⎛ 7 5 ⎞ 

IN = ⎜ a − ; b − 3; c + ⎟ ; MP = 3 2 ⇒ IN = 3 2 . 

⎝ 2 2 ⎠ 

2 

⎧ 

⎧ 

a + b − c − 6 = 0 

N ∈( R ) 

⎪ 

Ta có: 

⎛ 7 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 

⎪ 

⎡ a = 2, b = 3, c = −1 

IN ⊥ MP ⇔ ⎪−3⎜ a − ⎟ − 3⎜c 

+ ⎟ = 0 ⇔ 

⎨ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

⎢ 

⎨ 

⎣a = 3, b = 1, c = −2 

⎪ 3 2 

2 2 

IN = ⎪ ⎛ 7 ⎞ ⎪⎩ 2 

2 ⎛ 5 ⎞ 9 

⎪⎜ a − ⎟ + ( b − 3) + ⎜c 

+ ⎟ = 

⎩⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 

• Nếu N(2;3 − 1) thì Q(5;3; − 4). • Nếu N(3;1; − 2) thì Q(4;5; − 3). 

Câu 66. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết B(3;0;8) , 

D( 5; 4;0) − − và đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy). Tìm tọa độ điểm C. 

• Ta có trung điểm BD là I(–1;–2; 4), BD = 12 và điểm A thuộc mp(Oxy) nên A(a; b; 0). 

⎧ 2 2 

AB = AD 

2 2 2 2 2 

⎪ 

ABCD là hình vuông ⇒ 

2 

⎧⎪ ( a − 3) + b + 8 = ( a + 5) + ( b + 4) 

⎨ 

2 ⎛ 1 ⎞ ⇔ ⎨ 2 2 2 

⎪AI 

= ⎜ BD ⎟ ⎪⎩ ( a + 1) + ( b + 2) + 4 = 36 

⎩ ⎝ 2 ⎠ 

⎧ 17 

⎧ b = 4 − 2a 

⎧ a = 1 ⎪a 

= 

⇔ ⎨ 2 2 

⇔ ⎨ hoặc 5 ⎛17 −14 

⎞ 

⎩( a + 1) + (6 − 2 a) = 20 ⎩b 

= 

⎨ ⇒ A(1; 2; 0) hoặc A 

2 

⎪ 

− 14 

⎜ ; ;0⎟ 

5 5 

b = 

⎝ ⎠ 

⎩ 5 

⎛17 −14 

⎞ ⎛ − 

• Với A(1; 2; 0) ⇒ C(–3;–6; 8) • Với A⎜ 

; ;0⎟ 

⇒ C 27 − 6 ⎞ 

⎜ ; ;8⎟ 

. 

⎝ 5 5 ⎠ ⎝ 5 5 ⎠ 

Câu 67. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết A(1;2;0), C(2;3; − 4) . 

và đỉnh B nằm trên mặt phẳng (Q): x + 2y + z − 3 = 0 . Tìm toạ độ của đỉnh D, biết toạ độ của 

B là những số nguyên. 

• AC = 3 2 ⇒ AB = 3 . Gọi B( x; y; z) . 

⎧B 

∈( Q) 

⎧ x + 2y + z = 3 (1) 

⎪ 

⎪ 2 2 2 2 2 2 

Ta có: ⎨AB 

= CB ⇔ ⎨( x − 1) + ( y − 2) + z = ( x − 2) + ( y − 3) + ( x + 4) (2) 

⎪ ⎩AB 

= 3 ⎪ 2 2 2 

⎩( x − 1) + ( y − 2) + z = 9 (3) 

⇔ x = − 1; y = 1; z = 2 ⇒ B( − 1;1;2) . Vậy D(4;4; − 6) . 



tuyển chọn bài tập trong không gian Oxyz 

A.MặT PHẳNG. 

{ Bài 1.Trong không gian Oxyz chứng minh rằng điểm A(2; 0; 3), đường thẳng (d) 

x − y +1=0 

và mặt phẳng (P) 3y − z − 3=0đồng phẳng.Từ đó qua A lập phương 

3x − z =0 

trình đường thẳng ∆ vuông góc và cắt đường thẳng (d). 

Bài 2.Trong không gian Oxyz cho hai điểm I(0;0;1) ; K(3;0;0). Viết phương trình mặt 

phẳng đi qua hai điểm I,K và tạo vói mặt phẳng (xOy) một góc bằng 30 0 . 

Bài 3.Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (I ;R) có phương trình : 

x 2 +y 2 +z 2 −2x+4y −6z −11=0và mặt phẳng (P) có phương trình 2x+2y −z +17=0. 

Lập phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu theo giao 

tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3. 

Bài 4.Trong không gian Oxyz cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật 

,AC cắt BD tại gốc tọa độ O. biếtA(− √ 2; −1; 0); B( √ 2; −1; 0); S(0; 0; 3). 

1.Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB,song song với hai đường 

thẳng AD và SC . 

2. Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của 

hình chóp SABCD với mặt phẳng (P). 

Bài 5.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,cho điểm A(1;2;1) và đường thẳng (d) 

có phương trình : x 3 = x − 1 = z +3 

4 1 . 

1.Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa (d). 

2.Tìm tọa độ các điểm B,C,D sao cho tứ giác ABCD theo thứ tự đó là một hình 

vuông,biết rằng hai điểm B,D thuộc đường thẳng (d). 

Bài 6.Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;1;0) ,B(0;2;0),C(0;0;2). 

1. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông .Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp 

tứ diện OABC. 

2. Xác định tọa độ điểm M sao cho MA 2 + MB 2 + MC 2 + MO 2 là nhỏ nhất 

Bài 7.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng (P) có phương trình : 

x +y + z + 3 = 0 và các điểm A(3;1;1);B(7;3;9);C(2;2;2). 

1. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng (ABC). 

2. Tìm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho∣ −−→ MA+2 −−→ MB +3 −−→ 

MC∣ nhỏ nhất. 

Bài 8.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho hai mặt phẳng 

(P) :x -y + z + 5 = 0 và (Q) :2x + y + 2z + 1 = 0. 

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc mặt phẳng (Q) tại 

M(1;-1;-1) 



Bài 9.Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) x − 2y +2z +2 = 0 và hai điểm 

A(4;1;3);B(2;-3;-1).Hãy tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA 2 + MB 2 có giá trị nhỏ nhất. 

Bài 10.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có 

A(1;2;2); B(-1;2;-1);C(1;6;-1);D(-1;6;2). 

1.Tính số đo góc giữa mặt (DBC) và mặt (ABC). 

2.Giả sử V T ,V C lần lượt là thể tích tứ diện ABCD và thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ 

diện ABCD .Tính tỉ số K = V C 

V T 

Bài 11.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng (P) :2x + y − z +1=0 

và hai điểm A(1;1;3), B(0;2;1) 

Tìm M(1;y;z) thuộc (P) sao cho MA = MB. 

Bài 12.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) 3x−8y+7z−1 =0 

và hai điểm A(0;0;-3),B(2;0;-1). 

Tìm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác AMB đều. 

Bài 13.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng 

(d): x − 1 

−1 = y +2 = z và hai điểm A(1; 4;2), B(-1;2;4).Tìm điểm M thuộc (d) sao cho: 

1 2 

1.MA 2 + MB 2 là nhỏ nhất. 

2. Diện tích tam giác AMB là nhỏ nhất. 

Bài 14.Trong không gian Oxyz ,cho hai điểm H(3; 5; 4) và G(1; 2; 3). Lập phương trình 

mặt phẳng đáy ABC của tứ diện OABC trong các trường hợp , biết. 

1. H là trực tâm của tam giác ABC. 

2. G là trọng tâm của tam giác ABC. 

B. ĐƯờNG THẳNG. 

Bài 15.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,viết phương trình đường thẳng (∆) 

đi qua{ M(1; 2; 3) và vuông góc với hai { đường thẳng 

x + y − z − 3=0 

2x + y +1=0 

(d 1 ) 

2x − y +6z − 2=0 , (d 2) 

z =0 

Bài 16.Trong không gian hệ trục Đềcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : 

d 1 : x 1 = y +1 = z { 3x − z +1=0 

2 1 và d 2 : 

2x + y − 1=0 

1. Chứng minh rằng d 1 và d 2 chéo nhau và vuông góc nhau. 

2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d 1 và d 2 và 

song song với đường thẳng∆ : x − 4 

1 

= y − 7 

4 

= z − 3 

−2 



Bài 17.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,lập phương trình đường thẳng đi qua 

M(1; 4; -2) và song song với hai mặt phẳng : 

(P) 6x + 6y +2z + 3 = 0; (Q) :3x − 5y − 2z − 1=0. 

Bài 18.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,lập phương trình đường thẳng nằm 

trong mặt phẳng (P) y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng 

⎧ 

⎨ 

(d 1 ): 

⎩ 

⎧ 

⎨ 

(d 2 ): 

⎩ 

x =1− t 

x =2− t 

y = t 

y =4+2t 

x =4t 

z =1 

Bài 19.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,lập phương trình đường thẳng qua 

M(0; 1; 1) vuông góc với đường thẳng (d 1 ): x − 1 = y +2 = z và cắt đường thẳng 

{ 3 1 1 

x + y − z +2=0 

(d 2 ): 

x +1=0 

Bài 20.Trong không gian với hệ ⎧ trục toạ độ Oxyz,lập phương trình đường thẳng lần 

⎨ x =1+t 

{ 

x − 2y +3=0 

lượt cắt hai đường thẳng (d) : y = −2+3t và (d ′ ): 

và vuông góc 

⎩ 

4y − z − 9=0 

z = t 

với mặt phẳng (P) x+ y + z = 0. 

Bài 21.Trong { không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng qua 

2x − y − z =0 

O cắt (d): 

và song song với mặt phẳng (P) 3x − y +5z +4=0 

x +3z − 5=0 

Bài 22.Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : x − 1 = x +3 = z − 3 và mặt 

−1 2 1 

phẳng (P) :2x + y − 2z +9=0 

1.Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2 . 

2.Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình 

tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P),biết di qua A và vuông góc với d. 

Bài 23. Trong không gian ⎧ Oxyz cho hai đường thẳng 

d 1 : x 1 = y 1 = z ⎨ x = −1 − 2t 

2 và d 2 : y = t 

⎩ 

z =1+t 

1.Xét vị trí tương đối của d 1 và d 2 . 

2.Tim tọa độ các điểm M và N lần lượt nằm trên hai đường thẳng d 1 và d 2 sao cho 

đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P): x − y + z =0và MN = √ 2. 

Bài 24.Trong không gian Oxyz cho⎧hai đường thẳng 

{ ⎨ x = t 

2x + y +1=0 

(d 1 ): 

;(d 

x − y + z − 1=0 2 ): y =1+2t 

⎩ 

z =4+5t 

1.Hai đường thẳng trên có cắt nhau không? 

2. Gọi B và C là các điểm đối xứng của điểm A(1;0;0) qua d 1 và d 2 .Tính diện tích tam 

giác ABC. 

Bài 25. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,viết phương trình đường thẳng (d) 

vuông góc mặt phẳng (P):x + y + z − 1=0và cắt cả hai đường thẳng 

(d 1 ): x − 1 = y +1 

2 −1 = z { x − 2y + z − 4=0 

;(d 2 ): 

1 

2x − y +2z +1=0 



Bài 26.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng 

(d 1 ): x 1 = y − 1 

−2 = z { 

3x + y − 5z +1=0 

a và (d 2): 

2x +3y − 8z +3=0 

1. Định a để hai đường thẳng vuông góc nhau. 

2. Lập phương trình mp (P) qua d 1 và song song d 2 

Bài 27. Trong không gian với hệ tục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng 

(d 1 ): x − 2 = y − 3 = z +4 

2 3 −5 và (d 2): x +1 = y − 4 

3 −2 = z − 4 

−1 . 

a. Chứng minh hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau từ đó lập phương trình đường 

vuông góc chung của chúng. 

b. Tìm giao điểm của hai hình chiếu vuông góc của hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) xuống 

mặt phẳng Oxy. 

Bài 28.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxy ,cho hai điểm A(1;-1;2).,B(3;1;0) và 

mặt phẳng (P) có phương trình x − 2y − 4z +8=0 

1.Lập phương trình đường thẳng (d) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:(d) nằm 

trong mặt phẳng (P),(d) vuông góc với AB và (d) đi qua giao điểm của đường thẳng 

AB với mặt phẳng (P). 

2.Tìm toạ độ điểm C trong mặt phẳng (P) sao cho CA = CB và mặt phẳng (ABC) 

vuông góc với mặt phẳng (P). 

Bài 29. { Trong không gian với hệ trục { toạ độ Oxyz,cho hai đường thẳng 

2x + y +1=0 

3x + y − z +3=0 

(d 1 ): 

x − y + z − 1=0 và (d 2): 

2x − y +1=0 

Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau,từ đó lập phương trình các đường phân giác của 

góc tạo bỡi hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) 

Bài 30.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt { phẳng (P) có phương trình 

x + y − 3=0 

x +2y − 3z − 5=0và đường thẳng (d) có phương trình 

2y + z − 2=0 

1.Lập phương trình mặt cầu có bán kính bằng √ 14, tâm thuộc đường thẳng (d) và tiếp 

xúc mặt phẳng (P). 

2.Lập phương trình hình chiếu (d ′ ) của (d) trên (P). 

Bài 31. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện SABC có các đỉnh 

S(-2;2;4); A(-2;2;0); B(-5;2;0); C(-2;1;1). 

1. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện SA ,BC . 

2. Tính số đo góc của cạnh bên SA với đáy (ABC). 

Bài 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng : 

(d 1 ): x 0 = y − 1 

−1 = z − 2 { 

2x − y − 1=0 

và (d 2 ): 

1 

y + z +1=0 

a. Chứng minh rằng hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. 

b. Lập phương trình mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ). 

Bài 33. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 

(∆) : x − 2 = y − 1 = z +1 và điểm A(2; 3; 1). 

2 1 −2 

1. Tìm tọa độ hình chiếu A ′ của A trên ∆. 

2. Tìm M thuộc ∆ sao cho MA = 4. 



Bài⎧34. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 

⎨ x =2+3t 

(d) y = −2t và hai điểm A(1; 2; -1), B(7; -2; 3 ). 

⎩ 

z =4+2t 

Tìm trên đường thẳng (d) những điểm sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến A và B 

là nhỏ nhất. 

Bài 35. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu 

(S) :x 2 + y 2 + z 2 − 6x +2y − 2z +2=0. Viết phương trình tiếp tuyến với (S) đi qua điểm 

A(1; 1; -2) và song song với mặt phẳng (P) x +2y − 2z +1=0. ⎧ 

⎨ x =1+t 

Bài 36. Trong không gian hệ trục Oxyz, cho đường thẳng (d 1 ) y =1+2t 

⎩ 

z =1+2t 

Đường thẳng d 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng 

(P):2x − y − 1=0và (Q):2x + y +2z − 5=0. 

1.Chứng minh d 1 và d 2 cắt nhau.Viết phương trình mặt phẳng α chứa d 1 và d 2 

2. Gọi I là giao điểm của d 1 và d 2 viết phương trình đường thẳng d 3 đi qua A(2; 3; 1) và 

tạo với hai đường thẳng d 1 , d 2 một tam giác cân đỉnh I. 

C. BàI TậP KHó, HAY. 

Bài 37. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(- 1 ; - 3 ; -2 );đường cao BK 

và trung tuyến CM lần lượt nằm trên các đường thẳng 

(d 1 ) x +1 = y − 1 = z − 4 ; (d 2 ) x − 1 = y +2 

2 3 4 

2 −3 = z − 5 

1 

Lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB , AC của tam giác ABC. 

Bài 38. { Trong không gian Oxyz { cho hai đường thẳng 

x +2y − 4=0 

y + z =0 

(d 1 ): 

và (d 

z − 3=0 

2 ): 

x − 1=0 

Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng trên. 

Bài 39. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2;3 ) nằm trong miền 

góc { 

̂t ′ It tạo bỡi hai tia { It’ và It lần lượt nằm trên hai đường thẳng có phương trình 

x − y − 2=0 2x + y − 1=0 

2x − z − 4=0 và 3x + z − 1=0 

Qua M(1; 2; 3) lập phương trình đường thẳng (d) cắt hai tia It’ và It lần lượt tại A và 

B (khác điểm I )sao cho diện tích tam giac IAB nhỏ nhất. 

Bài 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm 

A(3; 3; 1), B(-1; -1; 1),C(1; 3; 3). Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất đồng 

tiếp xúc với ba đoạn thẳng AB, BC, CA. 

Bài 41. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): (x − 2) 2 +(y − 3) 2 +(z +1) 2 =5 

Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng Oxy và qua M(1; 2; 0) cắt mặt cầu (S) tai 

hai điểm A, B.Lập phương trình ∆ trong các trường hợp. 

1. AB dài nhất. 

2. AB ngắn nhất. 



Đề số 1 


2 




Câu 1: (1,0 điểm) Cho hàm số f ( x) = ( x + 1) . Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) biết F( − 1) = 0 . 


2π 

a) ∫ 1− 

cos2 x. 

dx 

b) 

0 

8 

dx 

dx 

2 

3 x. x + 1 

∫ 

Câu 3: (1,0 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức: z = 5 − 4 i + (2 − i) 

2 . 

Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(2; 0; –1), B(1; –2; 3), C(0; 1; 2). 

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C. 

b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O trên mặt phẳng (ABC). 

II. Phần riêng: (3,0 điểm) 


3 2 

Câu 5a: (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = x − 4x + x + 6 và 


100 98 96 

Câu 6a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng: 3( 1 i) 4i( 1 i) 4( 1 i) 

+ = + − + . 

Câu 7a: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2y + 2z 

+ 1 = 0 , đường 

x −1 y − 3 z 

thẳng d : = = và điểm A(–1; –4; 0). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, song 

2 −3 2 

song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d. 


Câu 5b: (1,0 điểm) Giải bất phương trình: log ( x 3) 1 log ( x 1) 

+ ≥ + − . 

2 2 

Câu 6b: (1,0 điểm) Tìm môđun và acgumen của số phức: 

1+ cosα 

+ isinα 

z = , (0 < α < π ) 

1+ cosα 

− isinα 

Câu 7b: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2) 

D(2; 2; 1). Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. 

--------------------Hết------------------- 




Đề số 2 





Câu 1: (1,0 điểm) Cho hàm số 

F(0) = − 1. 

−x 

x e 

( ) = e 

⎜ 2 + 

cos 

2 

f x 

⎛ 

⎝ 

⎞ 

⎟ 

x ⎠ 

. Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) biết 


2 

2 

a) ∫ x + 2x − 3dx 

b) 

0 

2e 

∫ 

e 

x.ln 

xdx 

Câu 3: (1,0 điểm) Tính môđun của số phức z = (1 − 2 i)(2 + i) 

2 . 

Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(3; –2; –2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), 

D(–1; 1; 2). 

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Từ đó suy ra ABCD là một tứ diện. 

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). 



Câu 5a: (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 


x 

y = e , y = 2 và đường 

Câu 6a: (1,0 điểm) Tìm nghiệm phức z của phương trình sau: ( iz − 1)( z + 3 i)( z − 2 + 3 i) = 0 . 

Câu 7a: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; –1) và đường thẳng (d) có 

⎧ x = − 1+ 

3t 

⎪ 

phương trình ⎨y = 2 − 2 t , ( t ∈ R) 

. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và đi qua A. 

⎪ 

⎩z 

= 2 + 2t 


Câu 5b: (1,0 điểm) Giải phương trình: log x log ( x 6) log ( x 2) 

⎛ 1 3 ⎞ 

Câu 6b: (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: B = − i 

⎜ 2 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

= + − + . 

5 5 5 

Câu 7b: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; –1) và đường thẳng (d) có 

phương trình: x + 1 y − 2 z − 

= = 

2 . Gọi B là điểm đối xứng của A qua (d). Tính độ dài AB. 

3 −2 2 

--------------------Hết------------------- 



. 



Đề số 3 





Câu 1: (1,0 điểm) Cho hàm số f ( x) = sin x + cos2x 


⎛ π ⎞ π 

F ⎜ ⎟ = . 

⎝ 2 ⎠ 2 


a) 

1 3 

x + x + 1 

∫ dx 

b) 

x + 1 

0 

e 

∫ 

1 

1+ 

ln x dx 

x 

17 

Câu 3: (1,0 điểm) Tìm môđun của số phức z = 2 + . 1+ 4 i 

Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(–2; 1; 4), B(0; 4; 1), C(5; 1; –5) 

và đường thẳng d có phương trình: x + 5 y + 11 z − 

= = 9 . 

3 5 − 4 


b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (ABC). 



Câu 5a: (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x, y = 2 − x và trục 

hoành. 

Câu 6a: (1,0 điểm) Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3. 

Câu 7a: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; − 1; 1) và đường thẳng (d) có 

phương trình: x − 1 y z = = . Tìm tọa độ điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường 

−1 1 4 

thẳng (d). 


Câu 5b: (1,0 điểm) Giải bất phương trình: 

x 

−x 

3 + 9.3 − 10 < 0 . 

Câu 6b: (1,0 điểm) Viết số phức z = 1+ i dưới dạng lượng giác. Sau đó tính giá trị của biểu thức: 

( 1+ i) 

15 

. 

⎧ x = −t 

⎪ 

Câu 7b: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d): ⎨y 

= 2t 

− 1 (t ∈ R) và 

⎪ 

⎩z 

= t + 2 

mặt phẳng (P): 2x − y − 2z 

− 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc với 

(P). 

--------------------Hết------------------- 




Đề số 4 






2 

3 − 5x 

f ( x) 

= . Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) biết F( e) = 1. 

x 


a) 

3 3 

x 

∫ dx 

b) 

2 

0 x + 2x 

+ 1 

π 

4 

∫ 

x 

0 cos 

2 

dx 

x 

Câu 3: (1,0 điểm) Tìm môđun của số phức 

z = 1+ 2i 

+ 

i 

3 + i 

. 

Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 3; –2), B(–1; 1; 2), C(1; 1; – 

3), D(2; 1; 2). 

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và song song với đường thẳng BC. 

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua D và song song với mặt phẳng (ABC). 



Câu 5a: (1,0 điểm) Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x − x 2 và trục hoành. Tính thể tích 

vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox. 

Câu 6a: (1,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức: z 

2 

+ 2z 

+ 5 = 0 . 

Câu 7a: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: 

⎧ x = 2 − t 

x − 1 y z ⎪ 

( ∆1 

) : = = , ( ∆2 

) : ⎨y 

= 4 + 2t 

và mặt phẳng (P): y + 2z 

= 0 . Viết phương trình đường thẳng 

−1 1 4 ⎪ 

⎩z = 1 

d cắt cả hai đường thẳng ( ∆1 ) ,( ∆ 

2) 

và nằm trong mặt phẳng (P). 


Câu 5b: (1,0 điểm) Giải phương trình: 

4x+ 8 2x+ 

5 

3 − 4.3 + 27 = 0 . 

Câu 6b: (1,0 điểm) Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: 

2 (1 − i ) . 

2 

Câu 7b: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình: 

(d 1 

) : x − 1 = y + 2 = z 4 ⎧ x = − 1+ 

t 

− ⎪ ; (d 

−2 

1 3 2 

): ⎨y 

= − t , (t∈ R ). 

⎪ 

⎩z 

= − 2 + 3t 

Chứng tỏ (d 1 

) và (d 2 

) cắt nhau. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 

) và (d 2 ). 

--------------------Hết------------------- 




Đề số 5 





Câu 1: (1,0 điểm) Cho hàm số f ( x) = 3 − 5cos x . Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) biết 

F( π ) = 2 . 


a) 

1 

dx 

∫ b) 

2 

0 x − 5x 

+ 6 

1 

∫ 

0 

2x 

( x −1) 

e dx 

2 2 

Câu 3: (1,0 điểm) Cho số phức z = (1 − 2 i) (2 + i) 

. Tính giá trị của biểu thức A = z. 

z . 

Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 3; –2), B(–1; 1; 2), C(1; 1; – 

3), D(2; 1; 2). 


b) Viết phương trình mặt cầu có tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC). 



2 3 

Câu 5a: (1,0 điểm) Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 x , y = x . Tính thể tích của 

vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng đó xung quanh trục Ox. 

Câu 6a: (1,0 điểm) Tìm số phức z biết: iz + 5z = 11− 17i 

. 

Câu 7a: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình: 

(d 1 

) : x − 1 = y + 2 = z 4 ⎧ x = − 1+ 

t 

− ⎪ . (d 

−2 

1 3 2 

): ⎨y 

= − t , (t∈ R ). 

⎪ 

⎩z 

= − 2 + 3t 


) và (d 2 

) cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng. 


x 

Câu 5b: (1,0 điểm) Giải phương trình: ( ) ( ) 

7 + 4 3 − 3 2 + 3 + 2 = 0 

Câu 6b: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng có phương trình (P): 

x + y + 2z 

= 0 và (Q): x − y + z − 1 = 0 . Chứng tỏ 2 mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. Viết phương 

trình đường thẳng giao tuyến của 2 mặt phẳng đó. 

Câu 7b: (1,0 điểm) Tìm số phức z biết: ( z ) 

2 

+ 4z 

+ 5 = 0 . 

--------------------Hết------------------- 


x 



Đề số 6 






F (1) = 10 . 

2 

2 + 1 

f ( x) 

= x 

x 

. Tìm nguyên hàm F( x ) của hàm số f ( x ) , biết 


π 

2 

a) ∫ ( x + 1)sin x. 

dx 

b) 

0 

0 

∫ 

−1 

16x 

− 2 

dx 

2 

4x 

− x + 4 

Câu 3: (1,0 điểm) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x − 4x + 4, y = 0, x = 0, x = 3 . Tính thể 

tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng đó quanh trục hoành. 

Câu 4: (2,0 điểm) 

2 + i − 1+ 

3i 

a) Tìm số phức z thoả mãn: z = . 

1− i 2 + i 

b) Xác định tập hợp các điểm biểu diển số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện: 

z + z + 3 = 4 



Câu 5a: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(7; 4; 3), B(1; 1; 1), C(2; –1; 2), 

D(–1; 3; 1). 

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng tỏ rằng 4 diểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện. 

b) Viết phương trình mặt cẩu (S) có tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC). 

c) Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (ABC). 


Câu 5b: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(7; 4; 3), B(1; 1; 1), C(2; –1; 2), 

D(–1; 3; 1). 

a) Chứng tỏ rằng 4 diểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện. Tính thể tích của tứ diện ABCD. 

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD. 

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB và song song với đường thẳng CD. 

2 

--------------------Hết------------------- 




Đề số 7 






2 

x + 1 

3 

f ( x) 

= . Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) , biết F(1) 

= . 

x 

2 


a) 

3 

x 

2 

∫ dx 

b) ∫ x tan xdx 

2 

0 x + 1 

π 

Câu 3: (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x3 − x2 − 2x 

, x = − 1, x = 2 và 


Câu 4: (2,0 điểm) 

a) Tìm môđun của số phức z = 1+ 4 i + (1 − i) 

3 . 

b) Giải phương trình sau trên tập số phức: x − 2x 

+ 2011 = 0 . 



Câu 5a: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) và đường thẳng d có 

x y z −1 

phương trình: = = . 

1 −1 2 

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d. Tìm toạ độ giao điểm của d và 

(P). 

b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d. 

c) Tìm toạ độ điểm M thuộc d sao cho tam giác MOA cân tại O. 



x − 2 y + 1 z + 3 x −1 y − 1 z + 1 

d 

1 

: = = và d 

2 

: = = 

1 2 2 

1 2 2 

a) Chứng minh d 1 và d 2 song song với nhau. 

b) Viết phương trình mp chứa cả 2 đường thẳng d 1 và d 2 . 

c) Tính khoảng cánh giữa 2 đường thẳng d 1 và d 2 . 

2 

π 

3 

4 

--------------------Hết------------------- 




Đề số 8 






3 

x −1 

f ( x) 

= . Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) , biết F( − 2) = 0 . 

2 

x 


a) 

1 

2x 

I = ∫ ( x − 2) e dx 

b) 

0 

I = 

1 2 

∫ 

0 2 

x 

+ x 

3 

dx 

Câu 3: (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 

hoành. 

2 

y = 4 − x , = 1, = 3 

x x và trục 

Câu 4: (2,0 điểm) 

2 2 

a) Cho số phức: z ( 1 i) .( 2 i) 

= − + . Tính giá trị biểu thức A = z . z . 

4 2 

b) Giải phương trình sau trên tập số phức: 4z + 5z 

− 9 = 0 . 



Câu 5a: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(4; 2; 2), B(0; 0; 7) và đường 

3 6 1 

thẳng d có phương trình 

x − y − z − 

= = . 

−2 2 1 

a) Chứng minh hai đường thẳng d và AB cùng nằm một mặt phẳng. 

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d và AB. 

c) Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân tại A. 


Câu 5b: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A (1; 2; 1), B (3; –1; 2) và mặt 

phẳng (P): 2x − y + z + 1 = 0 . 

a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P). 

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). 

c) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho tổng khoảng cách MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. 

--------------------Hết------------------- 




Đề số 9 





Câu 1: (1,0 điểm) Cho hàm số f ( x) = x x + 

1 

. Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) , biết 

x 

F(1) = − 2 . 


a) 

1 

x 

∫ x( x + e ) dx 

b) ∫ sin xdx 

0 

2 

Câu 3: (1,0 điểm) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = 4x − x , x = 0, x = 2 và trục hoành. Tính 

thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục hoành. 

Câu 4: (2,0 điểm) 

a) Tính giá trị của biểu thức: P = (1 − i 2) + (1 + i 2) . 

4 2 

π 

3 

0 

3 

2 2 

b) Giải phương sau trên tập số phức: z + 3z 

− 4 = 0 . 



Câu 5a: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2). 

a) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. Chứng tỏ G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. 

b) Tính thể tích tứ diện OABC. 

c) Chứng minh rằng đường thẳng OG vuông góc với mặt phẳng (ABC). 


Câu 5b: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2). 

a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O trên mặt phẳng (ABC). 

b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. 

c) Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 

--------------------Hết------------------- 









Câu 1: (1,0 điểm) Cho hàm số f ( x) = sin 2 x.cos 

x . Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) , biết 

⎛ π ⎞ 

F ⎜ ⎟ = 0 . 

⎝ 3 ⎠ 


a) 

1 

2x 

+ 1 

∫ dx 

b) ∫ x sinx dx 

2 

1 x + x + 1 

0 

− 

Câu 3: (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): y = − x + 3x 

− 4 và đường thẳng 

∆: y = −x − 1. 

Câu 4: (2,0 điểm) 

a) Tìm phần thực và phần ảo của số phức: z = 5 − 4 i + (2 − i) 

3 . 

b) Giải phương trình sau trên tập số phức: z + 4 3z 

+ 16 = 0 . 

2 

π 

2 

3 2 



Câu 5a: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(3; –2; –2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 

1), D(–1; 1; 2). 


b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). 

c) Tìm toạ độ tiếp điểm của mặt cầu (S) với mặt phẳng (BCD). 


Câu 5b: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(3; –2; –2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 

1), D(–1; 1; 2). 

a) Chứng tỏ ABCD là một tứ diện. Tính thể tích của tứ diện ABCD. 

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD. Tính khoảng cách giữa hai 

đường thẳng AB và CD. 

c) Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) cách đều các điểm A, B, C. 

--------------------Hết------------------- 




ĐỀ SỐ 1 

I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) 

3 2 

Câu I ( 2,0 điểm ) Cho hàm số y = − x + 3x 

−1 


a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 

3 2 

b.Dùng đồ thị (C) , xác định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt x − 3x 

+ k = 0 . 

Câu II ( 2,0 điểm ) Giải phương trình và bất phương trình sau 

2 

x + 3x−4 2x−2 

a. 3 > 9 

Câu III ( 2,0 điểm ) 

1 

a/ Cho hàm số y = 

2 

sin 

2 1 

b. 3 x+ 

x 

− 9.3 + 6 = 0 

x . Tìm nguyên hàm F(x ) biết rằng đths của F(x) đi qua điểm M( π ; 0) . 

6 

1 3 

x 

b/ Tính I= ∫ dx 

2 

0 ( 1+ x) 

Câu IV ( 1,0 điểm ) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bằng 6 và đường cao h = 1 . Hãy tính 

diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . 

II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) 

Câu V.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 

2 3 

(d) : 

x + + 

= y = 

z và mặt phẳng (P) : 2x + y − z − 5 = 0 

1 −2 2 

a. Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A . Tìm tọa độ điểm A . 

b. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với (d) . 

Câu VI.a ( 1,0 điểm ) : 

Cho số phức z=2+3i tính mô đun của số phức Z 3 - Z 

Câu V.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 

⎧x 

= 2 + 4t 

⎪ 

(d ) : ⎨ y = 3 + 2t 

và mặt phẳng (P) : − x + y + 2z 

+ 5 = 0 

⎪ ⎩z 

= − 3 + t 

a. Chứng minh rằng (d) nằm trên mặt phẳng (P) . 

b. Viết phương trình đ/thẳng ( ∆ ) nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng 14 

Câu VI.b ( 1,0 điểm ) : 

Tìm căn bậc hai của số phức z = − 4i 

ĐỀ SỐ 2 


2 + 1 

Câu I ( 2,0 điểm ) Cho hàm số y = x có đồ thị (C) 

x −1 

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 

b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M(1;8) . . 

Câu II ( 2,0 điểm ) Giải bất phương trình và bất phương trình sau: 

2 

x − 5x+ 

4 

x x+ 1 

⎛ 1 ⎞ 

⎛ 5 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 8 

a. : ⎜ > 4 

2 

⎟ 

b/ ⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟ + = 0 

⎝ ⎠ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 5 

Câu III ( 1,0 điểm ) Tính các tích phân sau: 

π 

a. J = ∫ 2 (2x −1).cos 

xdx b. I = 

0 

Câu IV ( 1,0 điểm ) 

π 

2 

∫ 

0 

e 

sin x 

.cos xdx 



Một hình trụ có bán kính đáy R = 2 , chiều cao h = 2 . Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai 

đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục của hình 

trụ . Tính cạnh của hình vuông đó . 


Câu V.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) và hai mặt 

phẳng 

(P) : 2x − y + 3z + 1 = 0 và (Q) : x + y − z + 5 = 0 . 

a. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) . 

b. Viết phương trình mặt phẳng ( R ) đi qua giao tuyến (d) của (P) và (Q) đồng thời vuông góc với 

mặt phẳng (T) : 3x − y + 1 = 0 . 

2 

Câu VI.a ( 1,0 điểm ) : Giải phương trình x − x + 1 = 0 trên tập số phức 

x + 3 y + 1 z − 3 

Câu V.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đ/hẳng (d ) : = = 

2 1 1 

và 

mặt phẳng (P) : x + 2y − z + 5 = 0 . 

a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) . 

b. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) . 

c. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) là hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P). 

Câu VI.b ( 1,0 điểm ) : 

⎧ 

− y 

⎪4 .log2 

x = 4 

Giải hệ phương trình sau : ⎨ 

−2 

y 

⎪⎩ log2 

x + 2 = 4 

ĐỀ SỐ 3 


4 2 

Câu I (2,0 điểm ) Cho hàm số y = x − 2x 

−1 



b.Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 4 2 

Câu II ( 2,0 điểm ) Giải phương trình và bất phương trình sau: 

log ( x + 2) − log x = 1 

b. 5 2x – 3 – 2.5 x -2 ≤ 3 

a. 

3 1 

3 

Câu III ( 2,0 điểm ) Tích các nguyên hàm và tích phân sau: 

=∫ 

3 2 

a/ I cos x.sin 

xdx b/ 

1 

2 

2x 

+ 3 

I xe dx 

=∫ 

0 

x − 2x − m = 0 

Câu IV ( 1,0 điểm ) Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi một 

với SA = 1cm,SB = SC = 2cm .Xác định tân và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính 

diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó . 


Câu V.a ( 2,0 điểm ) : Trong kg Oxyz , cho 4 điểm A( − 2;1; − 1) ,B(0;2; − 1) ,C(0;3;0) D(1;0;1) . 

a. Viết phương trình đường thẳng BC . 

b. Chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng . 

c. Tính thể tích tứ diện ABCD . 

2 

(1 − 3 i) (2 + i) 

Câu VI.a ( 1,0 điểm ) : Tìm môđun của số phức: z = 

3− 

2i 

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; − 1;1) , hai đường 

thẳng 

⎧x 

= 2 − t 

x −1 

y z 

( ∆ 

1) : = = , 

⎪ 

( ∆ 

2) : ⎨ y = 4 + 2t 

và mặt phẳng (P) : y + 2z 

= 0 

−1 1 4 ⎪ 

⎩z 

= 1 



a. Tìm điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng ( ∆ 

2 

) . 

b. Viết phương trình đường thẳng cắt cả hai đường thẳng ( ∆1) ,( ∆ 

2 

) và nằm trong mặt phẳng (P) . 

2 

x − x + m 

Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Tìm m để đồ thị của hàm số ( Cm 

) : y = 

x −1 

hai điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại hai điểm A,B vuông góc nhau . 

ĐỀ SỐ 4. 


3 

Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y = x − 3x 

+ 1 có đồ thị (C) 


b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M( 14 9 ; − 1 ) . . 

Câu II ( 2,0 điểm ) Giải phương trình và bất phương trình sau: 

x+ 

1 

⎛ 1 ⎞ 

2x 

a. ⎜ ⎟ < 125 

⎝ 25 ⎠ 

Câu III ( 2,0 điểm ) Tính tìch phân 

a/ 

1 

∫ 

0 

x 

2 

1 

− 5x 

+ 6 dx 

b/ 9 2x +4 - 4.3 2x + 5 + 27 = 0 

b. 

I = 

π 

2 

∫ 

0 

1 

dx 

x 

e + 1 

với m ≠ 0 cắt trục hoành tại 

Câu IV ( 1,0 điểm ) 

Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O của đáy đến dây cung AB của đáy bằng a , 

= 30 

SAO , 

SAB = 60 . Tính độ dài đường sinh theo a . 


Câu V.a ( 2,0 điểm ) : 

x −1 y − 2 z 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ( ∆ 

1) : = = , 

2 −2 −1 

⎧x 

= − 2t 

⎪ 

( ∆ 

2 

) : ⎨ y = − 5 + 3t 

⎪ 

⎩z 

= 4 

a. Chứng minh rằng đường thẳng ( ∆ 

1) 

và đường thẳng ( ∆ 

2 

) chéo nhau . 

b. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ( ∆ 

1) 

và song song với đường thẳng ( ∆ 

2 

) 

. 

Câu VI.a ( 1,0 điểm ) : 

3 2 

Giải phương trình x + x − 2 = 0 trên tập số phức . 

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) : 

2 2 2 

x + y + 2z + 1 = 0 và mặt cầu (S) : x + y + z − 2x + 4y − 6z + 8 = 0 . 

a. Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) . 

b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) . 

Câu V.b ( 1,0 điểm ) : 

Biểu diễn số phức z = − 1 + i dưới dạng lượng giác . 

ĐỀ SỐ 5. 


Câu I ( 3,0 điểm ) 

Cho hàm số 

− 3 

= x x − 2 

y có đồ thị (C) 


b.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm số đã 

cho tại hai điểm phân biệt . 



Câu II ( 2,0 điểm ) Giải bất phương trình va bat phuong trinh sau: 

2 2 3 

4x+ 8 2x+ 

5 

a. log 

2 

( x − 1) + log 

2 

( x − 1) = 7 b/ 3 − 4.3 + 27 < 0 

Câu III ( 1,0 điểm ) Tính tìch phân 

a/.: I = 

π 

2 

∫ (1 + sin x) cosxdx 

b/ ∫ + 

0 

2π 

0 

1 cos x dx 


Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a .Tính thể tích của hình 

lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a . 


Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : 

⎧x 

= 2 − 2t 

⎪ − 2 −1 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ( d1) : ⎨y 

= 3 và ( d 

2) : 

x = y = 

z . 

⎪ 1 −1 2 

⎩z 

= t 

a. Chứng minh rằng hai đường thẳng ( d1),( d2 

) vuông góc nhau nhưng không cắt nhau . 

b. Viết phương trình đường vuông góc chung của ( d1),( d 

2 

) . 

Câu V.a ( 1,0 điểm ) : 

3 

Tìm môđun của số phức z = 1+ 4 i + (1 − i ) . 

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : 

2x − y + 2z − 3 = 0 và hai đường thẳng ( d 1 

) : 

x − 4 y −1 

z 

= = 

2 2 − 1 

, ( d 2 

) : 

x + 3 y + 5 z − 7 

= = 

2 3 − 2 

a. Chứng tỏ đường thẳng ( d 1 

) song song mặt phẳng (α ) và ( d 2 

) cắt mặt phẳng (α ) . 

b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng ( d 1 

) và ( d 2 

). 

c. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) song song với mặt phẳng (α ) , cắt đường thẳng ( 1 

( d 2 

) lần lượt tại M và N sao cho MN = 3 . 

Câu V.b ( 1,0 điểm ) : 

2 

Tìm nghiệm của phương trình z = z , trong đó z là số phức liên hợp của số phức z . 

ĐỀ SỐ 6. 


3 2 

Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y = x + mx − 3x 

+ 1 

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m = 0 

b.Tìm m để hàm số đồng biến trên R. 

Câu II ( 3,0 điểm ) 

2 

a. Giải phương trình: log ( x − 3) − log (6x 

− 10) + 1 = 0 

b.Tính tích phân : 

2 2 

2 

2 

I = x x + 3dx 

∫ 

1 

. 

d ) và 

Câu III ( 1,0 điểm ) Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O của đáy đến dây cung AB của 

đáy bằng a , 

SAO = 30 , 

SAB = 60 . Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón. 


Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 

⎧x 

= − 2t 

x −1 y − 2 z 

( ∆ 

1) : = = , 

⎪ 

( ∆ 

2 

) : ⎨ y = − 5 + 3t 

2 −2 −1 

⎪ 

⎩z 

= 4 


1) 


2 


b. Viết phương trình than số đường vuông góc chung của 2 đường thẳng trên 

2 

3 3 

Câu V.a ( 1,0 điểm ): Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm phức của phương trình 2x 

− x + 1 = 0 . Tính x1 + x2 

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng 



2 2 2 

(P ) : x + y + 2z + 1 = 0 và mặt cầu (S) : x + y + z − 2x + 4y − 6z + 8 = 0 . 



Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Biểu diễn số phức z = − 1 + i dưới dạng lượng giác . 

ĐỀ SỐ 7. 


Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số : y = – x 3 + 3mx – m có đồ thị là ( C m ) . 

1.Khảo sát hàm số ( C 1 ) ứng với m = – 1 . 

2. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1 

3.Viết phương trình tiếp tuyến với ( C 1 ) biết tiếp tuyến vuông góc với 

x 

đường thẳng có phương trình y = + 2 . 

6 


2 

1.Giải bất phương trình: log x − log x − 6 ≤ 0 

π 

4 

0,2 0,2 

t anx 

2.Tính tích phân I = ∫ dx 

cos x 

0 

Câu III ( 1,0 điểm ) Cho hình vuông ABCD cạnh a.SA vuông góc với mặt phẳng ABCD,SA= 2a. 

a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 

b.Vẽ AH vuông góc SC.Chứng minh năm điểm H,A,B,C,D nằm trên một mặt cầu. 


Câu IV.a ( 2,0 điểm ) Cho D(-3;1;2) và mặt phẳng (α ) qua ba điểm A(1;0;11), B(0;1;10), 

C(1;1;8). 

1.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α ) 

2.Viết phương trình mặt cầu tâm D bán kính R= 5.Chứng minh mặt cầu này cắt (α ) 

Câu V.a ( 1,0 điểm ) Xác định tập hợp các điểm biểu diển số phức Z trên mặt phẳng tọa độ thỏa 

mãn điều kiện : Z + Z + 3 = 4 

Câu IVb/.Cho A(1,1,1) ,B(1,2,1);C(1,1,2);D(2,2,1) 

a.Tính thể tích tứ diện ABCD 

b.Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của AB và CB 

c.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. 

Câu Vb/. 

2 2 

⎧⎪ 

4x 

− y = 2 

a/.Giải hệ phương trình sau: ⎨ 

⎪⎩ log 

2 

(2 x + y) − log 

3(2 x − y) = 1 

x −1 

b/.Miền (B) giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = và hai trục tọa độ.1).Tính diện tích của 

x + 1 

miền (B).2). Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (B) quanh trục Ox, trục Oy. 

ĐỀ SỐ 8. 


Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m – 2 . m là tham số 

1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 

2.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu 


1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = e x ,y = 2 và đường thẳng x = 1. 

2.Tính tích phân 

π 

2 

∫ 

I = (2x −1) cosxdx 

0 

3.Giải bất phương trình log(x 2 – x -2 ) < 2log(3-x) 



Câu III ( 1,0 điểm )Cho hình nón có b/kính đáy là R,đỉnh S .Góc tạo bởi đ/cao và đường sinh là 

60 0 . 

1.Hãy tính diện tích thiết diện cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc nhau. 

2.Tính diện tích xung quanh của mặt nón và thể tích của khối nón. 


Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm :A(1;0;-1); B(1;2;1); 

C(0;2;0). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC 

1.Viết phương trình đường thẳng OG 

2.Viết phương trình mặt cầu ( S) đi qua bốn điểm O,A,B,C. 

3.Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu ( S). 

Câu V.a ( 1,0 điểm )Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3 

Câu IVb/.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho bốn điểm A, B, C, D với A(1;2;2), B(- 

−−−−> −> −> −> −−−−> −> −> −> 

1;2;-1), OC = i + 6 j − k ; OD = − i + 6 j + 2 k . 

1.Chứng minh rằng ABCD là hình tứ diện và có các cặp cạnh đối bằng nhau. 

2.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD. 

3.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình tứ diện ABCD. 

4 

= x + 

1 + 

Câu Vb/. Cho hàm số: y 

x (C) 

1.Khảo sát hàm số 

2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 

1 

y = x + 2008 

3 

ĐỀ SỐ 9. 



Cho hàm số số y = - x 3 + 3x 2 – 2, gọi đồ thị hàm số là ( C) 

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 

2.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) tại điểm có hoành độ là nghiệm 

của phương trình y // = 0. 


a. Tính tích phân sau: 


x 

I = ∫ 

(1 ) 

0 

+ x 


dx 

4x+ 8 2x+ 

5 

b Giaûi phương trình : 3 − 4.3 + 27 = 0 

Câu III ( 1,0 điểm )Một hình trụ có diện tích xung quanh là S,diện tích đáy bằng diện tích một mặt 

cầu bán kính bằng a. Hãy tính 

a). Thể tích của khối trụ 

b). Diện tích thiết diện qua trục hình trụ 


Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu 

⎧x + 2y − 2 = 0 x −1 

y z 

∆1 : ⎨ ; ∆ 

2 

: = = 

⎩x 

− 2z 

= 0 − 1 1 − 1 

( S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đường thẳng ( ) ( ) 

1.Chứng minh ( ∆ 

1 ) và ( ∆ 

2 ) chéo nhau 

2.Viết p/trình tiếp diện của mặt cầu ( S) biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng ( ∆ 

1 ) và 

( ∆ 

2 ) 

1 

3 

3 2 

Câu V.a ( 1,0 điểm ). Cho hàm số y= x − x có đồ thị là ( C ) .Tính thể tích vật thể tròn xoay 

do hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và các đường thẳng y=0,x=0,x=3 quay quanh 0x. 

Câu IVb/. 



Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) ( P) : x + y + z − 3 = 0 và đường thẳng (d) 

có phương trình là giao tuyến của hai mặt phẳng: x + z − 3 = 0 và 2y-3z=0 

1.Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M (1;0;-2) và qua (d). 

2.Viết phương trình chính tắc đường thẳng (d’) là hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P). 

Câu Vb/. 

Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:(2+i) 3 - (3-i) 3 . 



Câu I: Cho hàm số y = (2 – x 2 ) 2 có đồ thị (C). 

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 

2) Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 

x x + 1 

Câu II: 1. Giải phương trình: 4 − 2.2 + 3 = 0 

2. Tính tích phân : 

I = 

0 

3 

∫ 

1 

dx 

2 

x + 3 

4 2 

x – 4 x – 2 m + 4 = 0 . 

Câu III: Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các 

cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông ABCD xung quanh trục MN ta được hình trụ tròn xoay . Hãy 

tính thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên. 

II. PHẦN RIÊNG 

Câu IV.a Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(5;-6;1) và B(1;0;-5) 

1. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ( ∆ ) qua B có véctơ chỉ phương u (3;1;2). Tính 

cosin góc giữa hai đường thẳng AB và ( ∆ ) 

2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa ( ∆ ) 

2 2 

Câu V.a Cho số phức z = 1+ 

i 3 .Tính z + ( z ) 

Câu IV.b Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3;-2;-2), B(3;-2;0), C(0;2;1), D(-;1;2) 

1) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Từ đó suy ra ABCD là một tứ diện 

2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) . 

Câu Vb: Tính theå tìch caùc hình troøn xoay do caùc hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau 

ñaây quay quanh truïc Ox : y = cosx , y = 0, x = 0, x = π 2 


I – PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 

Câu I (3, 0 điểm) 

Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2m + m 4 ; (l) 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m =1 . 

2. Tìm m để đồ thị hàm số (l) có 3 điểm cực trị. 

Câu II. (3 điểm) 

2 

1 Giải phương trình : ( ) 2 

2. Tính tích phân: 

I = 

2 log x + 2 + log 4 = 5 

∫ 

2 

2 x + 2 

dx 

x x + 

1 3 

( 1) 

3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: 

Câu III. (1,0 điểm). 

y = 

x 

x + 1 

2 

− x + 1 

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Cạnh bên bằng a, góc giữa cạch bên và mặt đáy bằng α . 



Xác định và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a và α . 

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). 


Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d 1 : 

Mặt phẳng Oxz cắt đường thẳng d 1 , d 2 tại các điểm A, B. 

1. Tìm tọa độ 2 điểm A, B. 

2. Tính diện tích ∆ AOB với O là gốc tọa độ. 

Câu V.a (1,0 điểm): 

Tìm phần thực và phần ảo của số phức : x = 

3 − i 2 + i 

− 

1+ 

i i 

x − 1 y + 2 z + 1 

= = , d 2 : 

3 −1 2 

Câu IV.b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : 

x − 5 y + 3 z −1 

= = và mặt phẳng (α ) : 2x + y – z – 2 = 0. 

−1 2 3 

1 Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng (α ). 

2. Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua I và vuông góc với đường thẳng d. 

Câu V.b (1,0 điểm). Giải phương trình bậc 2 sau trong tập hợp các số phức 

x 2 + (l – 3i)x - 2(1 + i) = 0 . 

⎧x 

= 12 + 3t 

⎪ 

⎨ y = −t 

, 

⎪ 

⎩z 

= 10 + 2t 


I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH :(7 điểm) 


4 

x 2 3 

Cho hàm số y = + x − có đồ thị (C) 

2 2 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 

b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cực tiểu. 


2 

a) Giải phương trình: ln x − 3ln x + 2 = 0 

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

2 

y x x 

2 

= (3 − ) + 1 trên đoạn [0;2]. 

2xdx 

c) Tính tích phân: I = ∫ 2 

1 x + 1 


Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a; góc giữa cạnh bên và đáy là 

tích khối chóp theo a ? 

I. PHẦN RIÊNG: (3điểm) 

Câu IVa: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm B(-1;2;-3) và mặt phẳng 

α x + y − z + = 

( ) : 2 2 5 0 

0 

60 . Tính thể 

1. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( α ) . 

2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua B, và vuông góc với mặt phẳng ( α ) . 

CâuVb: Giải phương trình trên tập số phức 

2 

2x 

− 3x 

+ 4 = 0 



Câu IVa: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 3 = 0 và đường 

⎧x 

= t 

9 3 

thẳng d: 

⎪ ⎨y 

= − t 

⎪ 2 2 

⎪ ⎩z 

= 3 − t 

1. Viếtphương trình mặt phẳng (Q) chứa điểm M và qua đường thẳng d. 

2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d') là hình chiếu ⊥ của (d) lên mặt phẳng (P). 

3 3 

Câu Vb: Tìm phần thực và phần ảo của số phức ( 2 + i) − ( 3 − i) 

ĐỀ SỐ 13 

I – PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 

Câu I (3,0 điểm) 

1 3 2 

Cho hàm số y = x − 2x + 3x 

3 

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 

2. Lập phương trình đường thẳng đi qua điềm cực đại của đồ thị (C) và vuông góc với tiếp tuyến 

của đồ thị (C) tại gốc tọa độ. 

Câu II (3, 0 điểm) 

1 Giải phương trình: 

log ( x − 2x − 8) = 1− log ( x + 2) 

2 

2 1 

2 

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 

3. Tính: 

∫ 

1 

( 2) x 

I = x + e dx . 

0 


y x x 

2 

= 4 − trên đoạn 

1 

[ ;3] 

2 

Cho khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy. Mặt bên (SBC) tạo 

với đáy góc 60 0 Biết SB = SC = BC = a. Tính thể tích khối chóp đó theo a. 

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). 


Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) 

2 2 2 

mặt phẳng ( α ) : x − 2y + 2z 

+ 3 = 0 

1. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (α). 

S : x + y + z − 4x + 2y + 4 z − 7 = 0 và 

2. Viết phương trinh mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) và tiếp xúc với mặt cầu (S). 


Giải phương trình sau trên tập số phức: 3x 2 - 4x + 6 = 0. 

Câu IV.b (2,0 điểm) 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 

(S): x 2 + y 2 + z 2 - 4x + 2y + 4z - 7 = 0 , đường thẳng d : 

x y −1 z − 2 

= = 

1 2 − 1 

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S). 

2. Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của mặt cầu (S), cắt và vuông góc với đường thẳng d. 

Câu V.b (1,0 điểm) 

Viết dạng lượng giác của số phức z 2 , biết z = 1 + 3 i. 

. 



ĐỀ SỐ 14 



3 

Cho hàm số y = x − 3x 

+ 1 có đồ thị (C) 


b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M( 14 9 ; − 1 ) . . 


2 

− x + x 

a.Cho hàm số y = e . Giải phương trình y′′ + y′ 

+ 2y 

= 0 

π 

2 

sin 2x 

b.Tính tích phân : I = ∫ dx 

2 

0 

(2 + sin x) 

3 2 

c. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin x + cos x − 4sin x + 1 . 


Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O của đáy đến dây cung AB của đáy bằng a , 

= 30 

SAO , 

SAB = 60 . Tính độ dài đường sinh theo a . 



x −1 y − 2 z 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ( ∆ 

1) : = = , 

2 −2 −1 

⎧x 

= − 2t 

⎪ 

( ∆ 

2 

) : ⎨ y = − 5 + 3t 

⎪ 

⎩z 

= 4 


1) 


2 


b. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ( ∆ 

1) 

và song song với đường thẳng ( ∆ 

2 

) 

. 

Câu V.a ( 1,0 điểm ) : 

3 

Giải phương trình x + 8 = 0 trên tập số phức .. 

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng 

2 2 2 

(P ) : x + y + 2z + 1 = 0 và mặt cầu (S) : x + y + z − 2x + 4y − 6z + 8 = 0 . 



Câu V.b ( 1,0 điểm ) : 

Biểu diễn số phức z = − 1 + i dưới dạng lượng giác . 

ĐỀ SỐ 15 


Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số : y = – x 3 + 3mx – m có đồ thị là ( C m ) . 

1.Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1. 

2.Khảo sát hàm số ( C 1 ) ứng với m = – 1 . 

3.Viết phương trình tiếp tuyến với ( C 1 ) biết tiếp tuyến vuông góc với 

x 

đường thẳng có phương trình y = + 2 . 

6 


2 

1.Giải bất phương trình: log x − log x − 6 ≤ 0 

2.Tính tích phân 

π 

4 

t anx 

I = ∫ dx 

cos x 

0 

0,2 0,2 



1 3 2 

3.Cho hàm số y= x − x có đồ thị là ( C ) .Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn 

3 

bởi ( C ) và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh 0x. 


Cho hình vuông ABCD cạnh a.SA vuông góc với mặt phẳng ABCD,SA= 2a. 

a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 

b.Vẽ AH vuông góc SC.Chứng minh năm điểm H,A,B,C,D nằm trên một mặt cầu. 


Câu IV.a ( 2,0 điểm ) 

Cho D(-3;1;2) và mặt phẳng (α ) qua ba điểm A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8). 

1.Viết phương trình tham số của đường thẳng AC 

2.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α ) 

3.Viết phương trình mặt cầu tâm D bán kính R= 5.Chứng minh mặt cầu này cắt (α ) 

Câu V.a ( 1,0 điểm ) 

Xác định tập hợp các điểm biểu diển số phức Z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện 

: Z + Z + 3 = 4 

Câu IVb/. Cho A(1,1,1) ,B(1,2,1);C(1,1,2);D(2,2,1) 

a.Tính thể tích tứ diện ABCD 

b.Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của AB và CB 

c.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. 

Câu Vb/. 

2 2 

⎧⎪ 

4x 

− y = 2 

a/.Giải hệ phương trình sau: ⎨ 

⎪⎩ log 

2 

(2 x + y) − log 

3(2 x − y) = 1 

x −1 

b/.Miền (B) giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = và hai trục tọa độ. 

x + 1 

b1).Tính diện tích của miền (B). 

b2). Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (B) quanh trục Ox, trục Oy. 

ĐỀ SỐ 16 



Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m – 2 . m là tham số 

1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu 

2.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 


1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = e x , y = 2 và đường thẳng x = 1. 

π 

2 

sin 2x 

2.Tính tích phân I = ∫ dx 

2 

4 − cos x 

0 

3.Giải bất phương trình log(x 2 – x -2 ) < 2log(3-x) 


Cho hình nón có bán kính đáy là R,đỉnh S .Góc tạo bởi đường cao và đường sinh là 60 0 . 

1.Hãy tính diện tích thiết diện cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc nhau. 

2.Tính diện tích xung quanh của mặt nón và thể tích của khối nón. 



Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm :A(1;0;-1); B(1;2;1); C(0;2;0). Gọi G là trọng 

tâm của tam giác ABC 

1.Viết phương trình đường thẳng OG 

2.Viết phương trình mặt cầu ( S) đi qua bốn điểm O,A,B,C. 



3.Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu ( S). 

Câu V.a ( 1,0 điểm ) 

Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3 

Câu IVb/. 

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho bốn điểm A, B, C, D với A(1;2;2), B(-1;2;-1), 

−−−−> −> −> −> −−−−> −> −> −> 

OC = i + 6 j − k ; OD = − i + 6 j + 2 k . 

1.Chứng minh rằng ABCD là hình tứ diện và có các cặp cạnh đối bằng nhau. 

2.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD. 

3.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình tứ diện ABCD. 

4 

= x + 

1 + 

Câu Vb/. Cho hàm số: y 

x (C) 

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua M(4;0) 


ĐỀ SỐ 17 

2 

Câu 1: (1,0 điểm) Cho hàm số f ( x) = ( x + 1) . Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) biết 

F( − 1) = 0 . 


2π 

a) ∫ 1− 

cos2 x. 

dx 

b) 

0 

8 

dx 

dx 

2 

3 x. x + 1 

∫ 

Câu 3: (1,0 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức: z = 5 − 4 i + (2 − i) 

2 . 

Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(2; 0; –1), B(1; –2; 3), C(0; 

1; 2). 


b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O trên mặt phẳng (ABC). 


Câu 5a: (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số 

3 2 

y = x − 4x + x + 6 và trục hoành. 


Câu 6a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng: 3( 1 i) 4i( 1 i) 4( 1 i) 

+ = + − + . 

Câu 7a: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2y + 2z 

+ 1 = 0 , 

x −1 y − 3 z 

đường thẳng d : = = 

2 −3 2 

A, song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d. 

và điểm A (–1; – 4; 0 ) . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua 

Câu 5b: (1,0 điểm) Giải bất phương trình: log ( x 3) 1 log ( x 1) 

+ ≥ + − . 

2 2 

Câu 6b: (1,0 điểm) Tìm môđun và acgumen của số phức: 

1+ cosα 

+ isinα 

z = , (0 < α < π ) 

1+ cosα 

− isinα 

Câu 7b: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 

2) D(2; 2; 1). Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. 




⎛ 

Câu 1: (1,0 điểm) Cho hàm số f x 

⎝ 

f ( x) biết F(0) = − 1. 


2 

2 

ĐỀ SỐ 18 

−x 

x e 

( ) = e 

⎜ 2 + 

cos 

2 

a) ∫ x + 2x − 3dx 

b) 

0 

2e 

∫ 

e 

⎞ 

⎟ 

x ⎠ 

x.ln 

xdx 

. Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số 

Câu 3: (1,0 điểm) Tính môđun của số phức z = (1 − 2 i)(2 + i) 

2 . 

Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(3; –2; –2), B(3; 2; 

0), C(0; 2; 1), D(–1; 1; 2). 


b) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). 


Câu 5a: (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = e , y = 2 và đường 


Câu 6a: (1,0 điểm) Tìm nghiệm phức z của phương trình sau: ( iz − 1)( z + 3 i)( z − 2 + 3 i) = 0 . 

Câu 7a: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; –1) và đường 

⎧ x = − 1+ 

3t 

⎪ 

thẳng (d) có phương trình ⎨y = 2 − 2 t , ( t ∈ R) 

. 

⎪ 

⎩z 

= 2 + 2t 

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và đi qua A. 

log x = log x + 6 − log x + 2 . 


5 5 5 

⎛ 1 3 ⎞ 

Câu 6b: (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: B = − i 

. 

⎜ 2 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

Câu 7b: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; –1) và đường 

thẳng (d) có phương trình: x + 1 y − 2 z − 

= = 

2 . Gọi B là điểm đối xứng của A qua (d). Tính độ dài 

3 −2 2 

AB. 

ĐỀ SỐ 19 


Câu 1: (1,0 điểm) Cho hàm số f ( x) = sin x + cos2x 


⎛ π ⎞ π 

F ⎜ ⎟ = . 

⎝ 2 ⎠ 2 


a) 

1 3 

x + x + 1 

∫ dx 

b) 

x + 1 

0 

e 

∫ 

1 


1+ 

ln x dx 

x 

17 

Câu 3: (1,0 điểm) Tìm môđun của số phức z = 2 + . 1+ 4 i 

x 



Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(–2; 1; 4), B(0; 4; 1), 

C(5; 1; –5) và đường thẳng d có phương trình: x + 5 y + 11 z − 

= = 9 . 

3 5 − 4 


b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (ABC). 


Câu 5a: (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x, y = 2 − x và 


Câu 6a: (1,0 điểm) Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3. 

Câu 7a: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; − 1; 1) và đường 

thẳng (d) có phương trình: x − 1 y z = = . Tìm tọa độ điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M 

−1 1 4 

trên đường thẳng (d). 

Câu 5b: (1,0 điểm) Giải bất phương trình: 

x 

−x 

3 + 9.3 − 10 < 0 . 

Câu 6b: (1,0 điểm) Viết số phức z = 1+ i dưới dạng lượng giác. Sau đó tính giá trị của biểu thức: 

( 1+ i) 

15 

. 

⎧ x = −t 

⎪ 

Câu 7b: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d): ⎨y 

= 2t 

− 1 (t ∈ R) 

⎪ 

⎩z 

= t + 2 

và mặt phẳng (P): 2x − y − 2z 

− 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc với 

(P). 


ĐỀ SỐ 20 

2 

3 − 5x 

Câu 1: (1,0 điểm) Cho hàm số f ( x) 

= . Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) biết 

x 

F( e) = 1. 


3 3 

x 

x 

a) ∫ dx 

b) 

2 

∫ 

0 x + 2x 

+ 1 

0 cos 

π 

4 

i 

Câu 3: (1,0 điểm) Tìm môđun của số phức z = 1+ 2i 

+ 

3 + i 

. 

Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 3; –2), B(–1; 1; 2), 

C(1; 1; –3), D(2; 1; 2). 

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và song song với đường thẳng BC. 

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua D và song song với mặt phẳng (ABC). 


Câu 5a: (1,0 điểm) Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x − x 2 và trục hoành. Tính thể 

tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox. 

2 

dx 

x 

Câu 6a: (1,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức: z 

2 

+ 2z 

+ 5 = 0 . 



Câu 7a: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: 

⎧ x = 2 − t 

x − 1 y z ⎪ 

( ∆1 

) : = = , ( ∆2 

) : ⎨y 

= 4 + 2t 


= 0 . Viết phương trình đường thẳng 

−1 1 4 ⎪ 

⎩z = 1 

d cắt cả hai đường thẳng ( ∆1 ) ,( ∆ 

2) 

và nằm trong mặt phẳng (P). 

Câu 5b: (1,0 điểm) Giải phương trình: 

4x+ 8 2x+ 

5 

3 − 4.3 + 27 = 0 . 

2 

Câu 6b: (1,0 điểm) Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: (1 − i ) . 

2 


(d 1 

) : x − 1 = y + 2 = z 4 ⎧ x = − 1+ 

t 

− ⎪ ; (d 

−2 

1 3 2 

): ⎨y 

= − t , (t∈ R ). 

⎪ 

⎩z 

= − 2 + 3t 


) và (d 2 

) cắt nhau. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 

) và (d 2 ). 

ĐỀ SỐ 21 


Câu 1: (1,0 điểm) Cho hàm số f ( x) = 3 − 5cos x . Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) biết 

F( π ) = 2 . 


a) 

1 

dx 

∫ b) 

2 

0 x − 5x 

+ 6 

1 

∫ 

0 

2 2 

2x 

( x −1) 

e dx 

Câu 3: (1,0 điểm) Cho số phức z = (1 − 2 i) (2 + i) 

. Tính giá trị của biểu thức A = z. 

z . 

Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 3; –2), B(–1; 1; 2), C(1; 

1; –3), D(2; 1; 2). 


b) Viết phương trình mặt cầu có tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC). 


2 3 

Câu 5a: (1,0 điểm) Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 x , y = x . Tính thể tích 

của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng đó xung quanh trục Ox. 

Câu 6a: (1,0 điểm) Tìm số phức z biết: iz + 5z = 11− 17i 

. 

Câu 7a: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình: 

(d 1 

) : x − 1 = y + 2 = z 4 ⎧ x = − 1+ 

t 

− ⎪ . (d 

−2 

1 3 2 

): ⎨y 

= − t , (t∈ R ). 

⎪ 

⎩z 

= − 2 + 3t 


) và (d 2 

) cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng. 

x 


7 + 4 3 − 3 2 + 3 + 2 = 0 

Câu 6b: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng có phương trình (P): 

x + y + 2z 

= 0 và (Q): x − y + z − 1 = 0 . Chứng tỏ 2 mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. Viết phương 

trình đường thẳng giao tuyến của 2 mặt phẳng đó. 

Câu 7b: (1,0 điểm) Tìm số phức z biết: ( z ) 

2 

+ 4z 

+ 5 = 0 . 

x 




2 

2 + 1 


= x 

x 

F (1) = 10 . 


π 

2 

a) ∫ ( x + 1)sin x. 

dx b) 

0 

0 

∫ 

−1 

ĐỀ SỐ 22 

16x 

− 2 

dx 

2 

4x 

− x + 4 

. Tìm nguyên hàm F( x ) của hàm số f ( x ) , biết 

Câu 3: (1,0 điểm) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x − 4x + 4, y = 0, x = 0, x = 3 . 

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng đó quanh trục hoành. 

Câu 4: (2,0 điểm) 

2 + i − 1+ 

3i 

a) Tìm số phức z thoả mãn: z = . 

1− i 2 + i 

b) Xác định tập hợp các điểm biểu diển số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện: 

z + z + 3 = 4 


Câu 5a: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(7; 4; 3), B(1; 1; 1), 

C(2; –1; 2), D(–1; 3; 1). 

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng tỏ rằng 4 diểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện. 

b) Viết phương trình mặt cẩu (S) có tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC). 

c) Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (ABC). 

Câu 5b: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(7; 4; 3), B(1; 1; 1), 

C(2; –1; 2), D(–1; 3; 1). 

a) Chứng tỏ rằng 4 diểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện. Tính thể tích của tứ diện ABCD. 

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD. 

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB và song song với đường thẳng CD. 


2 

ĐỀ SỐ 23 

x + 1 


= . Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) , biết 

x 

3 

F(1) 

= . 

2 


a) 

3 

x 

2 

∫ dx 

b) ∫ x tan xdx 

2 

0 x + 1 

π 

π 

3 

4 

Câu 3: (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x3 − x2 − 2x 

, x = − 1, x = 2 

và trục hoành. 

Câu 4: (2,0 điểm) 

a) Tìm môđun của số phức z = 1+ 4 i + (1 − i) 

3 . 

b) Giải phương trình sau trên tập số phức: x − 2x 

+ 2011 = 0 . 

2 

2 




Câu 5a: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) và đường 

x y z −1 

thẳng d có phương trình: = = . 

1 −1 2 

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d. Tìm toạ độ giao điểm của d và 

(P). 

b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d. 

c) Tìm toạ độ điểm M thuộc d sao cho tam giác MOA cân tại O. 


x − 2 y + 1 z + 3 x −1 y − 1 z + 1 

d 

1 

: = = và d 

2 

: = = 

1 2 2 

1 2 2 

a) Chứng minh d 1 và d 2 song song với nhau. 

b) Viết phương trình mp chứa cả 2 đường thẳng d 1 và d 2 . 

c) Tính khoảng cánh giữa 2 đường thẳng d 1 và d 2 . 


3 

ĐỀ SỐ 24 

x −1 


= . Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) , biết 

2 

x 

F( − 2) = 0 . 


1 

0 

2x 

a) I = ∫ ( x − 2) e dx 

b) I = 

1 2 

∫ 

0 2 

x 

+ x 

Câu 3: (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 


Câu 4: (2,0 điểm) 

2 2 

a) Cho số phức: z ( 1 i) .( 2 i) 

= − + . Tính giá trị biểu thức A = z . z . 

b) Giải phương trình sau trên tập số phức: 4z + 5z 

− 9 = 0 . 

3 

4 2 

dx 

2 

y = 4 − x , = 1, = 3 

x x và 


Câu 5a: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(4; 2; 2), B(0; 0; 7) và 

3 6 1 

đường thẳng d có phương trình 

x − y − z − 

= = . 

−2 2 1 

a) Chứng minh hai đường thẳng d và AB cùng nằm một mặt phẳng. 

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d và AB. 

c) Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân tại A. 

Câu 5b: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A (1; 2; 1), B (3; –1; 2) 

và mặt phẳng (P): 2x − y + z + 1 = 0 . 

a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P). 

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). 

c) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho tổng khoảng cách MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. 



ĐỀ SỐ 25 


Câu 1: (1,0 điểm) Cho hàm số f ( x) = x x + 

1 

. Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) , biết 

x 

F(1) = − 2 . 


a) 

1 

x 

∫ x( x + e ) dx 

b) ∫ sin xdx 

0 

π 

3 

0 

2 

Câu 3: (1,0 điểm) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = 4x − x , x = 0, x = 2 và trục hoành. 

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục hoành. 

Câu 4: (2,0 điểm) 

a) Tính giá trị của biểu thức: P = (1 − i 2) + (1 + i 2) . 

4 2 

3 

2 2 

b) Giải phương sau trên tập số phức: z + 3z 

− 4 = 0 . 


Câu 5a: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), 

C(0; 0; 2). 

a) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. Chứng tỏ G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. 

b) Tính thể tích tứ diện OABC. 

c) Chứng minh rằng đường thẳng OG vuông góc với mặt phẳng (ABC). 

Câu 5b: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), 

C(0; 0; 2). 

a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O trên mặt phẳng (ABC). 

b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. 

c) Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 

ĐỀ SỐ 26 


Câu 1: (1,0 điểm) Cho hàm số f ( x) = sin 2 x.cos 

x . Tìm nguyên hàm F( x) của hàm số f ( x) , biết 

⎛ π ⎞ 

F ⎜ ⎟ = 0 . 

⎝ 3 ⎠ 


a) 

1 

2x 

+ 1 

∫ dx 

b) ∫ x sinx dx 

2 

1 x + x + 1 

0 

− 

π 

2 

3 2 

Câu 3: (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): y = − x + 3x 

− 4 và đường 

thẳng ∆: y = −x − 1. 

Câu 4: (2,0 điểm) 

a) Tìm phần thực và phần ảo của số phức: z = 5 − 4 i + (2 − i) 

3 . 

b) Giải phương trình sau trên tập số phức: z + 4 3z 

+ 16 = 0 . 

2 


Câu 5a: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(3; –2; –2), B(3; 2; 0), 

C(0; 2; 1), D(–1; 1; 2). 




b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). 

c) Tìm toạ độ tiếp điểm của mặt cầu (S) với mặt phẳng (BCD). 

Câu 5b: (3,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(3; –2; –2), B(3; 2; 0), 

C(0; 2; 1), D(–1; 1; 2). 

a) Chứng tỏ ABCD là một tứ diện. Tính thể tích của tứ diện ABCD. 

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD. Tính khoảng cách giữa hai 

đường thẳng AB và CD. 

c) Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) cách đều các điểm A, B, C. 

ĐỀ SỐ 27 

I. PHẦN CHUNG (7.0 ĐIỂM) Dành cho tất cả các thí sinh 

3x 

− 2 

Câu I: Cho hàm số y = , gọi đồ thị của hàm số là (C). 

x + 1 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng −2. 

3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox, Oy 

Câu II: Giải các bất phương trình: 

2 

1. log x − log x − 6 ≤ 0 2. 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x ≤ 0 

0,2 0,2 

Câu III: Tính các tích phân: 

π 

4 

t anx 

1. I = ∫ dx 

cos x 

0 

∏ 

4 

2 

2. I= ( 2cos −1) 

∫ x x dx . 

0 

Câu IV: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao R 3 .A và B là 2 điểm trên 2 đường tròn 

0 

đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30 . 

1/ Tính Sxq va S 

tp 

của hình trụ . 

2/ Tính V khối trụ tương ứng. 

3) Tính d(O ’ ,A ’ B) với A ’ là hình chiếu của A trên mp đáy. 

II . PHẦN RIÊNG (3.0 ĐIỂM) 

Câu IV.a Cho D(-3;1;2) avà mặt phẳng (α ) qua ba điểm A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8). 

1. Viết phương trình tham số của đường thẳng AC 

2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α ) 

3. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D bán kính R=5. Chứng minh (S) cắt (α ). 

Câu V.a 

1.Xác định tập hợp các điểm biểu diển số phức Z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện: 

Z + Z + 3 = 4 

2. Tìm mô đun của số phức z biết z là nghiệm của PT: 

2 

x − x 3 + 1 = 0. 

Câu IV.b Cho A(1,1,1); B(1,2,1); C(1,1,2); D(2,2,1) 

1.Tính thể tích tứ diện ABCD 

2.Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của AB và CD 

3.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. 

Câu V.b: Gii ph-¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: 

z 3 - (1 + i)z 2 + (3 + i)z - 3i = 0 



ĐỀ SỐ 28 


x 1 

Câu I: Cho (C): y = + 

x − 1 

1.Khảo sát và vẽ (C). 

2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến qua M(3;1). 

3. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox, Oy. Tính thể tích khối tròn xoay khi D quay quanh 

trục Ox. 


1. log(x 2 x − x 

– x -2 ) < 2log(3-x) 2. 3 + 9.3 − 10 < 0 


− 

2 2 

x + 1 

1. I = ∫ dx 

2. J = (3 2) − x 

2 

∫ x + e dx 

−2 

x x + 1 

0 

Câu IV: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 

a . 

1.Tính Sxq 

va S 

tp 

của hình nón. 

2.Tính V khối nón tương ứng. 


Câu IV.a Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 3 = 0 và 

đường thẳng (d) có phương trình là giao tuyến của hai mặt phẳng: x + z − 3 = 0 và 2y - 3z = 0 

1.Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M (1;0;-2) và qua (d). 

2.Viết phương trình chính tắc đường thẳng (d’) là hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng 

(P). 

Câu V.a 

1. Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3 

2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:(2+i) 3 - (3-i) 3 . 

x + 1 y − 2 z − 2 

Câu IV.b Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;-1) và đường thẳng (d): = = . 

3 −2 

2 

1. Viết phương trình của 2 mặt phẳng lần lượt song song trục Ox và Oy , nhận (d) làm giao 

tuyến. 

2. Gọi B là điểm đối xứng của A qua (d). Tính độ dài AB. 

Câu V.b Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm phức của phương trình: 

x 2 1 1 

– 2x + 1 = 0. Tính các giá trị của số phức ; x 

2 2 

1 x 

2 

ĐỀ SỐ 29 


− 4x 

+ 3 

Câu I: Cho (C): y = 

2x 

−1 

1.Khảo sát và vẽ (C). 

2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0;1). 

3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiệm cận ngang , 

x = 1 và x = 3 


2 

x x 

log x − 4x + 3 ≤ 1 

2. 9 -2.3 < 3 

1. 

8 ( ) 


1 


∏ 

6 


1. I = ∫ 2 1+ 

4cos3x sin 3xdx 2 . 

0 

π 

3 

I = ∫ sin x.ln(cos x) 

dx 

0 

Câu IV: Cho một tứ diện đều có cạnh là a . 

1.Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. 

2.Tính S mặt cầu. 

3.Tính V khối cầu tương ứng. 


Câu IV.a Trong không gian Oxyz cho A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1) và D(-1;1;2). 

1. Chứng minh ABCD là 1 tứ diện. 

2. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (BCD). 

3. Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d) của đường thẳng AC trên mặt phẳng Oxy. 

Câu V.a 

1. Tìm nghiệm phức của phương trình: (iz-1)(z+3i)( z -2+3i) = 0 


2. Chứng minh rằng: 3( 1+ i) = 4i ( 1+ i) − 4( 1+ 

i ) 

Câu IV.b Trong không gian Oxyz cho điểm M(1; − 1;1), hai đường thẳng có phương trình: 

⎧x 

= 2 − t 

x −1 

y z ⎪ 

( ∆ 

1) : = = , ( ∆ 

2) : ⎨ y = 4 + 2t 

−1 1 4 ⎪ 

⎩z 

= 1 

(P). 


= 0 

1. Tìm tọa độ điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M xuống đường thẳng ( ∆ 

2 

). 

2. Viết phương trình đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng ( ∆1) ,( ∆ 

2) 

và nằm trong mặt phẳng 

2 

Câu V.b Giải phương trình: ( z 2 z) ( z 2 z ) 

+ + 4 + − 12 = 0 

ĐỀ SỐ 30 


−2x 

− 4 

Câu I: Cho (C): y = 

x + 1 

1. Khảo sát và vẽ (C). 

2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(1;-2) 

3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và d: 2x –y + 5 = 0. 


x−1 

x− 1 + 1 

x 

1. ( 2 + 1) ≥ ( 2 −1) 


1. I = 

π 

2 

∫ 

π 

6 

1− sin 2x 

+ cos 2x dx 


2. log 4 (x + 3)– log 2 (x + 7)+2 > 0 

2. J = 

4 

∫ x 2 x + 1 dx 

0 

Câu IV: Trên hai đáy hình trụ có đường cao gấp đôi bán kính đáy, người ta lấy hai bán kính chéo 

nhau, tạo với nhau một góc 30 0 . Biết rằng đoạn thẳng nối hai đầu mút thuộc các đường tròn đáy của 

hai bán kính đó có độ dài là a (cm). Tính thể tích của khối trụ. 


Câu IV.a Cho mặt cầu (S) x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 6y + 2z + 8 = 0 và mặt phẳng (P) x – y – z – 4 = 0 

1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu . 

2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu , biết tiếp diện song song với mp (P). 

Câu V.a 



1− 

i 

1.Cho số phức z = 

1 + i . Tính giá trị của 2010 

z . 

2.Cho số phức z = 4 – 3i + (1 – i) 3 . Tính môđun của z. 

⎧x 

= 1+ 

2t 

⎪ 

Câu IV.b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) : ⎨ y = 2t 


⎪ 

⎩z 

= − 1 

(P) : 2x + y − 2z − 1 = 0 . 

1.Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên (d) , bán kính bằng 3 và tiếp xúc với (P) . 

2.Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua M(0;1;0) , nằm trong (P) và vuông góc với đường 

thẳng (d) . 

Câu V.b 

1. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn bất đẵng thức: z −1− i < 1 

2. Trên tập số phức , tìm B để phương trình bậc hai 

nghiệm bằng −4i . 

ĐỀ SỐ 31 

2 

z + Bz + i = 0 có tổng bình phương hai 


2x 

− 4 

Câu I: Cho hàm số : y = . 

x + 1 

1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 

2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến ấy song song với đường thẳng y = 

6x +1. 

3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiệm cận ngang của (C) , x = 2, x = m với m > 2. 

Tìm m để diện tích bằng 6ln3 


2 

2x 

+ 3 

x+ 1 x+ 

1 

1. log 

1 < 0 2. ( 5 − 2) + ( 5 + 2) 

≥18 

x − 7 

2 


1 

3 2 

= + 

π 

4 

x 

1. I ∫ x . x 3dx 2. J = ∫ 

1 + cos 2 dx 

x 

0 

0 

Câu IV: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAB bằng 30 0 . Tính S xq và V 

khối nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD. 


Câu IV.a Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y − 2z − 3 = 0 ; đường 

⎧x 

= 1 + t. 

⎪ 

thẳng (d) : ⎨ y = 5 − t và điểm M(2;-1;3). 

⎪ 

⎩z 

= 3 − 2t 

1.Tìm điểm A thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ A mặt phẳng (P) bằng 1 

2.Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và (d). 

3.Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên (P). 

4.Viết phương trình mặt cầu (S), biết rằng mặt cầu (S) có tâm M và mặt phẳng (P) cắt mặt cầu 

(S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 4. 

Câu V.a 

1) Tìm cặp số thực x và y thỏa mãn : 

2 

( ) 

2x − xi − y + x − 4 i = y − 2i 

+ 2 



2) Tính z = (4 − 3 i )(2 + i ) + 1 + 2i 

1− 

4i 

Câu IV.b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm : A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , 

D(2;3;-1). 

1/Chứng minh ABCD là một tứ diện và tính chiều cao tứ diện vẽ từ D. 

2/Tính góc giữa hai đường thẳng BD và AC. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 

ABCD. 

Câu V.b 

1/Tính (3 − 4 i )(1 + 2 i ) + 4 + 3i 

1− 

3i 

2/Tìm nghiệm phức của phương trình z + 2z = 2 − 4i . 

3/.Tìm cặp số thực x và y thỏa mãn : 

2 

( ) 

x − 3y + x − 1 i = y + i − 2 + ( i −1) 

x 

ĐỀ SỐ 32 

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH. (7 diểm) 

Câu I. Cho hàm số y = 2 x + 1 có đồ thị (C). 

x −1 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục hoành và hai đường thẳng x=2, x=3. 

Câu II. 

2 2 

a/ log2 + 5 ≤ 3log2 

Câu III. Tính: 

π 

4 

x x b/ 

2 

2x 

−3x 

⎛ 3 ⎞ 4 

⎜ ⎟ ≤ 

⎝ 4 ⎠ 3 

π 

tan x 

2 

e 

2 

I = ∫ 

cos dx 

J = 

2 

x 

∫ cos 4 x. 

dx 

0 0 

Câu IV. Cho một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng 2a và một hình cầu 

có đường kính bằng chiều cao của hình nón. 

1. So sánh diện tích toàn phần của hình nón và diện tích của mặt cầu. 

2. So sánh thể tích của khối nón và thể tích của khối cầu tương ứng. 

II. PHẦN RIÊNG 

Câu Va. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M(1; 1 ; 0) và mặt phẳng (P): x + y – 2z + 3 = 

0. 

1/ Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mp(P). 

2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm. 

Câu VIa. 

1/ Giải phương trình sau trên tập số phức : z 4 – 1 = 0. 

2/ Tính A=(1+i) 2009 

Câu Vb: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(-1 ; 2 ; 1) và đường thẳng (d): 

x − 1 y z + 2 

= = . 

2 1 − 1 

1/ Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với (d). 

2/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với (d). Tìm tọa độ giao điểm. 

Câu VIb. 

1/ Biểu diễn số phức z = 1 – i. 3 dưới dạng lượng giác. 

⎛1+ 

i ⎞ 

2/ Tính A= ⎜ ⎟ 

⎝1− 

i ⎠ 

2009 



ĐỀ SỐ 33 

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH. (7 điểm) 

Câu I: Cho hàm số = x + 1 

y ( 1) 

có đồ thị là (C) 

x − 1 

1.Khảo sát hàm số (1) 

2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1). 

Câu II: Giải bất phương trình: 

x x 

2 2 

a/ 2.9 + 4.3 + 2 > 1 

b/ log x + 5 ≤ 3log x 

Câu III: Tính tích phân: 

2 2 

1 

5 3 

I = x 1− 

x dx J = 

∫ 

0 

2 

ln 

1 ∫ e 

x xdx . 

Câu IV. Một khối trụ có bán kính r=5cm, khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. Cắt khối trụ bởi một 

mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. 

1. Tính diện tích toàn phần và thể tích khối trụ. 

2. Tính diện tích thiết diện được tạo nên. 

II. PHẦN RIÊNG. (3 điểm) 

Câu IV a.(2 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0 và 

điểm M(1, -2 ; 3). 

1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mp(P).Tính khỏang cách từ M 

đến mp(P). 

2/ Tìm tọa độ hinh chiếu của điểm M lên mp(P). 

Câu Va. 

1/ Giải phương trình: x 2 – 2x + 5 = 0 trong tập số phức C. 

3 

(1 + 2 i) 

2/ Tính môđun của số phức z = . 

3 − i 

Câu IV b.(2 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z – 5 

= 0, (Q): 4x + 5y – z + 1 = 0. 

1/ Tính góc giữa hai mặt phẳng và viết phương tình tham số của giao tuyến của hai mặt phẳng 

(P) và (Q). 

2/ Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua gốc tọa độ O vuông góc với (P) và (Q). 

Câu Vb. 

1/ Cho số phức z = x + yi (x, y ∈ R ) . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z 2 – 2z + 4i . 

2/ Tìm căn bậc hai của số phức z = − 4i 

ĐỀ SỐ 34 

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH. (7 điểm) 

2x 

Câu I. . Cho hàm số y = có đồ thị (C). 

x +1 

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 

2/ Viết phương trình tiếp tuyến d của(C) tại điểm có hòanh độ x= 2 

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, (C) và x=3. 

Câu II. Giải : 

2 

a/ log x − 5logx+4 0 

Câu III . Tính: 

2 

= ∫ e 

π 

2 ⎛ π ⎞ 

I x ln xdx 

J = ∫ sin ⎜ x + ⎟ dx 

2 

1 

0 ⎝ ⎠ 

Câu IV.Cho khối trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O,O’ và bán kính r. Chiều cao của khối trụ 

là 2r. 

1. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ. 



2. Một khối nón có đỉnh O’ và đáy là đường tròn tâm O. Tính thể tích phần không gian giới hạn 

bởi khối trụ và khối nón. 

II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN ( 3,0 điểm ) 

Câu Va. Cho ba điểm A(1;0;-1), B(1;2;1), C(0;2;0). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. 

1.Viết phương trình đường thẳng OG. 

2.Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C. 

3. Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu (S). 

2 

Câu Va. Giải phương trình x − 3x + 9 = 0 trên tập số phức. Tính A= x 

2 + x 

2 

1 2 

x − 2 y + 1 z −1 

Câu Vb. Cho đường thẳng ( d ) : = = và mặt phẳng ( α) : x − y + 3z + 2 = 0 . 

1 2 3 

1.Tìm toạ độ giao điểm M của đường thẳng (d) và mặt phẳng ( α ) . 

2.Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và vuông góc với mặt phẳng ( α ) . 

Câu 5a. Giải phương trình 

2 

x + x + 5 = 0 trên tập số phức. A= x 

3 3 

1 

+ x 

2 

ĐỀ SỐ 35 

I.PHẦN CHUNG (7,0 điểm ) 

− x + 2 

Câu I. Cho hàm số y = có đồ thị (C) 

2x 

+ 1 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 

2. 

3.Chứng minh không có tiếp tuyến của (C) qua giao điểm của hai tiệm cận. 

x x−1 

log2 

x −1 Câu II. Giải :a/ 4 −10.2 − 24 > 0 b/ ≤1 

log x + 1 

3 

4x 

2 

Câu III. Tính I = ∫ dx 

= 

2 

∫ e 

J x ln xdx 

0 x + 1 

1 

Câu IV. Cho hình chóp tứ giác đều nội tiếp một hình nón . Hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng a 

. Tính diện tích hình nón và thể tích khối nón trên . 


Câu Va. Cho ba điểm A(2;-1;-1), B(-1;3;-1), M(-2;0;1). 

1.Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và B. 

2.Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa M và vuông góc với đường thẳng AB. 

3.Tìm toạ độ giao điểm của (d) và mặt phẳng ( α ) 

Câu VIa. 

2 2 

1 2 

x1 + x2 

1.Giải phương trình x + x + 3 = 0 trên tập số phức. Tính A= 

2 

x . x 


⎛ i ⎞ 

2.Tính giá trị của biểu thức ⎜ ⎟ 

⎝1+ 

i ⎠ 

⎧x 

= − 1+ 

3t 

⎪ 

Câu Vb. Cho A(1;2;-1), B(7;-2;3) và đường thẳng ( d) : ⎨ y = 2 − 2t 

⎪ 

⎩ z = 2 + 2t 

1.Lập phương trình đường thẳng AB. Tính khoảng cách từ O đến AB. 

2.Chứng minh đường thẳng AB và đường thẳng (d) cùng nằm trong một mặt phẳng. 

Câu VIb. 

2 

1 2 



⎛ 5 + 3i 

3 ⎞ 

1. Tính giá trị của biểu thức P = ⎜ 

1− 

2 3 ⎟ 

⎝ i ⎠ 

3 2 

2. Giải phương trình: z + 2z + 2z − 5 = 0 trên tập số phức. 

2 

ĐỀ SỐ 36 

I.PHẦN CHUNG (7,0 điểm ) 

−3 

Câu I. Cho hàm số y = có đồ thị (C) 

2 + x 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 

2. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm với trục tung. 

3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến và hai trục tọa độ. 

Câu II. Giải 

a/ 3 2 + x + 3 2 – x < 30 b/ log 

2 

x + log 

x 

2 − 2 > 0 

3 

π 

2 

4x 

2 

Câu III. Tính I = ∫ dx J = 

2 ∫ ( x + sin x)cos 

xdx 

0 x + 1 

0 

Câu IV. Cho hình chóp S.ABC với SA ⊥(ABC) , ∆ABC vuông tại A. Cho biết SA = 4cm, AB = 

4cm, BC = 5cm. 

a). Tính thể tích của khối chóp 

b). Cho khối chóp quay quanh SA ta được hình nón tròn xoay. Tính diện tích xung quanh hình nón. 


Câu Va. Cho điểm M(1;4;2) và mặt phẳng ( α ) : x + y + z − 1 = 0 

1.Lập phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc với mặt phẳng ( α ) . 

2.Tìm toạ độ giao điểm H của (d) và mặt phẳng ( α ) . 

3. Tìm E nằm trên trục hoành sao cho EM=5. 

Câu VIa. 

2 2 

1.Tính giá trị của biểu thức P = ( 3 + i) + ( 3 − i ) 

3 2 

2. Giải phương trình: z − 3z + iz + 2 − i = 0 trên tập số phức. 

Câu Vb. Cho ba điểm A(3;0;4), B(1;2;3), C(9;6;4) 

1.Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. 

2.Lập phương trình mặt phẳng (BCD). 

3.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp O.ABC. Xét vị trí điểm D đối với (S). 

Câu VIb. 

1/ Tính giá trị của biểu thức 

P = 

2 

( 3 + i) 

( 1− 

i 3) 

2/ Giải phương trình sau trên C: z 2 +8z+17=0

Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Lớp 10-11-12 TRỌN BỘ (Tài liệu lưu hành nội bộ) (GoodRead)

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?