PHÂN DẠNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM BÀI TẬP ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH TOÁN 11 CHƯƠNG 1-5 CÓ LỜI GIẢI THAM KHẢO
30.10.2021 • Views
Share Embed Flag

PHÂN DẠNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM BÀI TẬP ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH TOÁN 11 CHƯƠNG 1-5 CÓ LỜI GIẢI THAM KHẢO

https://app.box.com/s/owbyzvursock8k08cbmtin5xexm2p32d

https://app.box.com/s/owbyzvursock8k08cbmtin5xexm2p32d

SHOW MORE
SHOW LESS
ePAPER READ
DOWNLOAD ePAPER
daykemquynhon

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

START NOW

C Á C D Ạ N G B À I T Ậ P Đ Ạ I S Ố

V À G I Ả I T Í C H L Ớ P 1 1

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú

eBook Collection

PHÂN DẠNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM BÀI

TẬP ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH TOÁN 11

CHƯƠNG 1-5 CÓ LỜI GIẢI THAM KHẢO

WORD VERSION | 2022 EDITION

ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL

TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo

Phát triển kênh bởi

Ths Nguyễn Thanh Tú

Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật :

Nguyen Thanh Tu Group

Hỗ trợ trực tuyến

Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon

Mobi/Zalo 0905779594

TOÁN 11

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

BÀI 1

Mục lục

Phần A. CÂU HỎI .......................................................................................................................................................... 1

Dạng 1. Tập xác định của hàm số lượng giác ............................................................................................................... 1

Dạng 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác ........................................................................................................... 7

Dạng 3. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác ............................................................................................................... 7

Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác ............................................................................................................. 9

Dạng 5. Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác ........................................................................................... 12

Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos ............................................................ 12

Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ ................................................................................................................................................... 13

Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số ..................................................................................................................... 14

Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác ........................................................................................................................ 14

Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ............................................................................................................................. 17

Dạng 1. Tập xác định của hàm số lượng giác ............................................................................................................. 17

Dạng 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác ......................................................................................................... 21

Dạng 3. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác ............................................................................................................. 22

Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác ........................................................................................................... 24

Dạng 5. Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác ........................................................................................... 28

Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos ............................................................ 28

Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ ................................................................................................................................................... 29

Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số ..................................................................................................................... 31

Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác ........................................................................................................................ 31

Phần A. CÂU HỎI

Dạng 1. Tập xác định của hàm số lượng giác

Câu 1. (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tập xác định của hàm số y = tan x là:

Câu 2.

π

R B. \ + π , ∈

2

A. \{ 0}

R k k Z C. R D. R\ { kπ

, k ∈ Z }

2sin x + 1

(THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Hàm số y = xác định khi

1 − cos x

π

π

A. x ≠ + k2π

B. x ≠ kπ

C. x ≠ k 2π

D. x ≠ + kπ

2

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 3. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm tập xác định D của hàm

số y = cot x + sin 5x + cos x

1

π

A. D = R\ + kπ

, k ∈ Z

2

π

B. D = R\ + k2 π , k ∈ Z

2

C. D = R\ { kπ

, k ∈ Z}

D. D = R\ { k2 π , k ∈ Z}

Câu 4. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm điều kiện xác định của

1−3cos

x

hàm số y =

sin x

A. x ≠ k2π

.

kπ

π

B. x ≠ . C. x ≠ + kπ

.

2

2

D. x ≠ kπ .

Câu 5.

Câu 6.

(THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Chọn khẳng định sai?

A. Tập xác định của hàm số y = cot x là

π

R \ + kπ

, k ∈ Z .

2

B. Tập xác định của hàm số y = sin x là R .

C. Tập xác định của hàm số y = cos x là R .

D. Tập xác định của hàm số y = tan x là

π

R \ + kπ

, k ∈Z .

2

sinx + 1

(KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Tập xác định của hàm số y = là

sinx

− 2

2;

R \ 2 . D. R .

A. ( − + ∞ )

B. ( 2;+ ∞ )

C. { }

Câu 7. (GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Tập xác định của hàm số

cot x

y =

cos x −1

là

π π

A. R \ k

, k ∈Z . B. R \ + kπ

, k ∈ Z .C. R \{ kπ,

k ∈Z } . D. R \{ k2 π , k ∈Z } .

2 2

Câu 8. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tập xác định của hàm số y = cot x là:

π

R Z . B. \ + kπ

, k ∈

2

A. \{ k2 π , k ∈ }

R Z .C. \{ kπ,

k ∈ }

π

R Z . D. R \ + k2 π , k ∈ Z .

2

Câu 9. (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Hàm số

nào có tập xác định là R:

2

cos x + 2

A. y =

2

cot x + 1

B. y = 2 + 2cos x C. y = cot 3x − tan x D. y = sin x + 2

Câu 10. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Điều kiện xác định của hàm

1

số y =

sin x − cos x

là

A. x ≠ k2 π ( k ∈Z)

.

π

π

B. x ≠ + kπ ( k ∈Z).

C. x ≠ kπ ( k ∈Z).

D. x ≠ + kπ

( k ∈Z).

2

4

Câu 11. (THPT NGÔ GIA TỰ VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập xác định của hàm số

y = tan 2x là

π

π

π

A. D = R \ + kπ , k ∈ Z

. B. D = R \ + k , k ∈ Z.

4

4 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2

π

π

C. D = R \ + kπ , k ∈ Z

. D. D = R \ k , k ∈Z

.

2

2

Câu 12. (THPT YÊN MỸ HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập xác định của hàm số

1−cos

x

y = là:

sin x−1

A. B. C. . D.

Câu 13. (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Tập xác

định của hàm số y = cot 2x − tan x là:

π

A. \ + ,

2 k π k ∈

R Z B. \ { kπ,

k ∈ }

π

π π

R Z . C. R\ + k , k ∈ Z D. R\ k

, k ∈ Z

4 2 2

Câu 14. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập xác định của hàm số y = 2sin x là

A. [ 0;2 ] . B. [ − 1;1 ] . C. R . D. [ 2;2]

− .

1

Câu 15. (THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Tìm tập xác định D của hàm số y =

.

sin x − cos x

π

A. D = R \{ kπ

| k ∈Z } . B. D = R \ + kπ

| k ∈Z .

2

π

C. D = \ + kπ

| k ∈

4

R Z . D. D = \{ k2 π | k ∈ }

R Z .

tan 2x

Câu 16. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Tập xác định của hàm số y = là tập nào sau

cos x

đây?

π

A. D = R . B. D = R \ + kπ

,k ∈Z .

2

π

π

π

π π

C. D = R \ + k π ,

k ∈Z . D. D = R \ + k ; + kπ

,

k ∈Z .

4 2

4 2 2

Câu 17. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Xét bốn mệnh đề sau:

(1) Hàm số y = sin x có tập xác định là R .

(2) Hàm số y = cos x có tập xác định là R .

π

(3) Hàm số y = tan x có tập xác định là D = R \ + kπ

k ∈Z .

2

π

(4) Hàm số y = cot x có tập xác định là D = R \ k k ∈Z .

2

Số mệnh đề đúng là

A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .

Câu 18. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Tập xác định của hàm số y = − tan x

là:

π

A. D = R \ + kπ

, k ∈Z . B. D = R \{ kπ

, k ∈ Z }.

2

3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 19.

π

R Z . D. D = R \ + k2 π,

k ∈Z .

2

C. D = \ { k2 π , k ∈ }

(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Điều kiện xác định của hàm số

5π

A. x ≠ + kπ

, k ∈ Z .

12

B.

π π

C. x ≠ + k , k ∈ Z .

6 2

D.

5π

π

x ≠ + k , k ∈ Z .

12 2

π

x ≠ + kπ

, k ∈ Z .

2

1−

sin x

y = là

cos x

Câu 20. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm tập xác định D của hàm số

.

π π

A. D = \ − + k2 π; + k2 π;

k ∈

2 2

R Z . B. D = \ { −kπ

; k ∈ }

R Z .

π

π

C. D = R \ − + k2 π;

k ∈Z . D. D = R \ + k2 π;

k ∈Z .

2

2

1−

sin x

1+

sin x

Câu 21. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Tập xác định của hàm số y = tan x + cot x là

kπ

A. D = \

4

R . B. D \{ kπ}

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

y =

kπ

kπ

= R . C. D = R \ + π . D. D = R \ .

4

2

Câu 22.

kπ

(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Tập D = R \ k ∈Z là tập xác định của hàm số

2

nào sau đây?

A. y = cot x . B. y = cot 2x

. C. y = tan x . D. y = tan 2x

Câu 23.

Câu 24.

5

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tập xác định của hàm số y =

cos x + 1

.

π

D = R \ k2 π , k ∈ Z . B. D = R \ + k2 π,

k ∈Z .

2

A. { }

C. D = R \ { π + k2 π , k ∈ Z }. D. D = \ { π + kπ

, k ∈ }

R Z .

1−

2x

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tập xác định của hàm số y = .

sin 2x

π

D = R \ kπ

, k ∈ Z . B. D = R \ + kπ

, k ∈Z .

2

A. { }

π

π

C. D = R \ + k2 π , k2 π , k ∈Z . D. D = R \ k , k ∈Z .

2

2

π

Câu 25. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Tìm tập xác định D của hàm số y = tan

2x

−

4

.

3π

kπ

3

A. D = R \ + , k ∈Z . B. D \ π

= R + kπ

, k ∈Z .

8 2

4

4

3π

kπ

π

C. D = R \ + , k ∈Z . D. D = R \ + kπ

, k ∈Z .

4 2

2

Câu 26. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tìm tập xác định của hàm số

π

= R . B. D = R \ + k2π

.

2

A. D \ { k2π

}

tan x

y =

cos x − 1

.

π

π

C. D = R \ + kπ; k2π

. D. D = R \ + k2 π;

x ≠ kπ

.

2

2

Câu 27.

π

(THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Tập xác định của hàm số y = tan cos x

2 là:

A. R \{ 0}

. B. R \{ 0;π } . C. R \

k π . 2

D. R \{ kπ}

.

Câu 28.

π

(THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Tìm tập xác định của hàm số y = tan 2x

+

3

.

π π

π

A. D = R \ + k k ∈ Z . B. D = R \ + kπ

k ∈ Z .

12 2

6

π

π π

C. D = R \ + kπ

k ∈ Z . D. D = R \ − + k k ∈ Z .

12

6 2

Câu 29. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Tìm tập xác định D của

tan x −1 π

hàm số y = + cos x +

sin x 3 .

A. D = R \{ kπ

, k ∈ Z }. kπ

B. D = R \ , k ∈Z .

2

π

C. D = R \ + kπ

, k ∈Z .

2

D. D = R .

Câu 30.

Câu 31.

(SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Tìm tập xác định D của hàm số

π

π

A. D = R \ mπ

; + nπ

; m, n∈Z.

B. D = R \ + k2 π; k ∈Z

.

4

4

π

π

π

C. D = R \ + mπ

; + nπ

; m, n∈Z .

D. D = R \ + kπ; k ∈Z.

2 4

4

sin x

y =

tan x − 1

.

2 tan x −1

(THPT HÒA VANG - ĐÀ NẴNG - 2018) Tập xác định D của hàm số y = là:

3sin x

π

D = R \ kπ

| k ∈Z . B. D = R \ + kπ

| k ∈ Z .

2

A. { }

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

kπ

C. D = \ | k ∈

2

R Z . D. \{ 0}

D = R .

5

cos3x

Câu 32. Tập xác định của hàm số y =

là:

π π

cos x.cos

x − .cos

+ x

3 3

π kπ 5π π

A. R \ + ; + k π; + k π , k ∈ Z

6 3 6 6

. B. 5

R \ π π

+ kπ; + kπ,

k ∈ Z

6 6 .

C.

5

R \ π k ; π k ; π

+ π + π + kπ

, k ∈ Z

2 6 6 . D. π 5π kπ

R \ + kπ; + , k ∈ Z

2 6 2 .

2

5sin 2x

+ 3 cos x + 5

Câu 33. Tập xác định của hàm số f ( x)

= + là:

12sinx cos x

k

A. D = R \ { k2 π | k ∈ Z}

. B. D R \ π

= | k ∈ Z

2 .

π

= ∈ . D. D = R \ − + kπ

| k ∈ Z

2 .

C. D R \ { k π | k Z}

Câu 34. Tập xác định của hàm số 1 − cos x

2sin x + 1

là:

7

A. D R \ π π

= − + k2 π; + k 2 π | k ∈ Z

6 6

. B. 7

D R \ π

= + kπ

| k ∈ Z

6

.

π

C. D = R \ − + k π | k ∈ Z

6

. D. 7

D R \ π π

= − + kπ; + kπ

| k ∈ Z

6 6

.

Câu 35. Tập xác định của hàm số

A. D R \ { kπ

| k Z}

5 − 3cos 2x

π

1+ sin 2x

−

2

= ∈ . B. D = R .

k

C. D R \ π

= | k ∈ Z

2

. D. D R \ { k2 π | k Z}

là:

= ∈ .

π 1+

cos x

Câu 36. Tập xác định của hàm số y = cot x + + là:

6 1−

cos x

π

A. D = R \ − + k2 π | k ∈ Z

6

. B. 7

D R \ π

= + kπ, k 2 π | k ∈ Z

6

.

π

= ∈ . D. D = R \ − + kπ

| k ∈ Z

6

.

C. D R \ { k 2 π | k Z}

1

Câu 37. Tập xác định của hàm số y = 2 + sin x −

2

tan x −1

là:

π π

A. D = R \ ± + kπ; + k π | k ∈ Z

4 2

. B. \ k

D R π

2

|

= k ∈ Z

.

π

C. D = R \ + k π | k ∈ Z

4

. D. \ π

D R k

4

|

= ± + π k ∈ Z

.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

6

π

1+ tan + 2x

3

Câu 38. Hàm số y =

có tập xác định là:

2

cot x + 1

π

π

π π

A. D = R \ + k ,k π | k ∈ Z . B. D = R \ + kπ

,k | k ∈ Z

6 2 12 2 .

π

π π

C. D = R \ + k π;k π | k ∈ Z . D. D = R \ + k ;k π | k ∈ Z

12

12 2 .

Dạng 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Câu 39. (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho các hàm số: y = sin 2x

,

y = cos x , y = tan x , y = cot x . Có bao nhiêu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = π .

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

x

Câu 40. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Chu kỳ của hàm số y = 3sin là số nào sau đây?

2

A. 0 . B. 2π . C. 4π . D. π .

Câu 41. (THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Chu kỳ của hàm số y = sinx là

π

A. k2π . B. π . C. 2π . D. . 2

Câu 42. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Trong các hàm số y = tan x ; y = sin 2x ; y = sin x ; y = cot x , có

bao nhiêu hàm số thỏa mãn tính chất ( + π ) = ( )

f x k f x , ∀x ∈ R , k ∈ Z .

A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .

Câu 43. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong bốn hàm số: (1) y = cos2x

, (2) y = sin x

; (3) y = tan 2x

; (4) y = cot 4x

có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ π ?

A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3.

Câu 44. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong bốn hàm số: (1) y = cos2x

, (2) y = sin x ;

(3) y = tan 2x

; (4) y = cot 4x

có mấy hàm số tuần hoàn với chu kỳ π ?

A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3.

Câu 45. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm chu kì của hàm số ( )

A. 5π . B. 2

π . C. 4π . D. 2π

x 3x

f x = sin + 2cos .

2 2

Câu 46. (THPT YÊN MỸ HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong các hàm số sau, hàm số nào là

hàm chẵn?

π

A. y = cos

x +

3

B. y = sin x C. y = 1− sin x D. y = sin x + cos x

Dạng 3. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác

Câu 47.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Chọn phát biểu đúng:

A. Các hàm số y = sin x , y = cos x , y = cot x đều là hàm số chẵn.

B. Các hàm số y = sin x , y = cos x , y = cot x đều là hàm số lẻ.

7

Câu 48.

sai?

Câu 49.

Câu 50.

Câu 51.

Câu 52.

C. Các hàm số y = sin x , y = cot x , y = tan x đều là hàm số chẵn

D. Các hàm số y = sin x , y = cot x , y = tan x đều là hàm số lẻ.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Khẳng định nào dưới đây là

A. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ. B. Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.

C. Hàm số y = sin x là hàm số lẻ. D. Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. y = cot 4x

. B. y = tan 6x

. C. y = sin 2x

. D. y = cos x .

(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. Hàm số y = sin x là hàm số lẻ. B. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ.

C. Hàm số y = tan x là hàm số lẻ. D. Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.

(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y = sin 2016x + cos 2017x

. B. y = 2016cos x + 2017sin x .

C. y = cot 2015x − 2016sin x . D. y = tan 2016x + cot 2017x

.

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Đồ thị hàm số nào sau đây không có trục đối xứng?

1 khi x ≤ 0

2

y = f x =

. B. y = f ( x) = tan 3x

.

cos x khi x > 0

A. ( )

2

C. y = f ( x) = cos3x

. D. ( )

Câu 53. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. y = − 2cos x . B. y 2sin x

y = f x = x + 5x

− 2 .

= − . C. y 2sin ( x)

sin 2x

Câu 54. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y =

2cos x − 3

A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.

C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.

y = f x =

π π

x + + x −

4 4

A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.

C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.

Câu 55. Xét tính chẵn lẻ của hàm số ( ) cos 2 sin 2

1

2

Câu 56. Cho hai hàm số f ( x) = + 3sin x g x

x −3

chẵn lẻ của hai hàm số này?

f x ; g x là hai hàm số lẻ.

A. Hai hàm số ( ) ( )

B. Hàm số f ( x ) là hàm số chẵn; hàm số f ( )

C. Hàm số f ( x ) là hàm số lẻ; hàm số ( )

D. Cả hai hàm số ( );

( )

và ( ) sin 1

= − . D. y = sin x − cos x .

, ta được y f ( x )

= là:

= − x . Kết luận nào sau đây đúng về tính

x là hàm số lẻ.

g x là hàm số không chẵn không lẻ.

f x g x đều là hàm số không chẵn không lẻ.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2007

Câu 57. Xét tính chẵn lẻ của hàm số f ( x) = sin x + cos nx , với n∈Z . Hàm số y f ( x)

A. Hàm số chẵn. B. Hàm số lẻ.

= là:

8

C. Không chẵn không lẻ. D. Vừa chẵn vừa lẻ.

2004 n x

sin + 2004

Câu 58. Cho hàm số f ( x)

= , với n∈Z . Xét các biểu thức sau:

cos x

1, Hàm số đã cho xác định trên D = R .

2, Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng.

3, Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

4, Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.

5, Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

6, Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ.

Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Câu 59. Cho hàm số ( ) = sin .

f x x x Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho?

A. Hàm số đã cho có tập xác định D = R { 0}

B. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.

C. Đồ thị hàm số đã cho có trục xứng.

D. Hàm số có tập giá trị là

−1; 1

.

\ .

Câu 60. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f ( x) 3msin4x cos 2x

= = + là hàm chẵn.

A. m > 0.

B. m < − 1.

C. m = 0.

D. m = 2.

Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Câu 61. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Hàm số y = sin x đồng biến

trên mỗi khoảng nào dưới đây.

π π

A. − + 2 π ; + 2π

2 k 2

k

, k ∈ Z . B. π 3π

+ 2 π ; + 2π

2 k 2

k

, k ∈ Z .

Câu 62.

Câu 63.

C. ( − π + k2 π ; k 2π

), k ∈ Z . D. ( 2 π ; π + 2π

)

k k , k ∈ Z .

(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Khẳng định nào sau đây sai?

π

A. y = tan x nghịch biến trong 0; . B. cos

2 y = x

π

đồng biến trong − ; 0

2 .

π

C. y = sin x đồng biến trong − ; 0

. D. cot

2 y = x nghịch biến trong

0; π

2 .

(SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kỳ T = π .

π

B. Hàm số y = sin x đồng biến trên 0;

2 .

C. Hàm số y = sin x là hàm số chẵn.

D. Đồ thị hàm số y = sin x có tiệm cận ngang.

Câu 64. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng nào

sau đây?

9

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 65.

Câu 66.

Câu 67.

5π

7π

A. ;

4 4 . B. 9π

11π

;

4 4 . C. 7 π

;3π

4 . D. 7π

9π

;

4 4 .

(SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = π .

π

B. Hàm số y = sin x đồng biến trên 0;

2 .

C. Hàm số y = sin x là hàm chẵn.

D. Đồ thị hàm số y = sin x có tiệm cận ngang.

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. Hàm số y cot x

0; π .

B. Hàm số y sin

= đồng biến trên khoảng ( )

= x nghịch biến trên khoảng ( ; 2 )

π π .

π π

C. Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng − ;

2 2 .

3π

5π

D. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng ;

2 2 .

(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2π .

B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì π .

π

C. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng 0;

2 .

D. Hàm số y = cot x nghịch biến trên R .

Câu 68. Xét hàm số y = sin x trên đoạn

−π; 0

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

π π

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng −π;− và 0

2 2 ;

− .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

π π

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng −π;− và 0

2 2 ;

− .

Câu 69. Xét hàm số

π

π

−π;− ; nghịch biến trên khoảng 0

2

2 ;

− .

π

π

−π;− ; đồng biến trên khoảng 0

2

2 ;

− .

y = cos x trên đoạn

−π; π

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −π; 0)

và ( 0; π ).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −π; 0)

và nghịch biến trên khoảng ( π )

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −π; 0)

và đồng biến trên khoảng ( π )

D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng ( −π; 0)

và ( 0; π ).

0; .

0; .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

10

Câu 70. Xét sự biến thiên của hàm số y = tan 2x trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận sau, kết luận

nào đúng?

π π π

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; và

; .

4 4 2

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

π

C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng 0; .

2

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

π

π π

0; và nghịch biến trên khoảng ; .

4 4 2

π

π π

0; và đồng biến trên khoảng ; .

4 4 2

Câu 71. Xét sự biến thiên của hàm số y = 1−

sin x trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau,

kết luận nào sai?

π

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0

2 ;

− .

π

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; .

2

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

π

2 ;

π .

π 3π

;

2 2 .

Câu 72. Xét sự biến thiên của hàm số y = sin x − cos x . Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

C. Hàm số đã cho có tập giá trị là

−1; 1

.

π 3π

− ; .

4 4

3π 7π

; .

4 4

D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng

π 7π

− ; .

4 4

Câu 73. Chọn câu đúng?

A. Hàm số y = tan x luôn luôn tăng.

B. Hàm số y = tan x luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số y tan x

D. Hàm số y tan

Câu 74. Xét hai mệnh đề sau:

3π

(I) ∀x

∈ π;

2 : Hàm số 1

y = giảm.

s inx

= tăng trong các khoảng ( )

= x tăng trong các khoảng ( k k ) k

π + k2π;2π + k2 π , k ∈ Z .

2π; π + 2 π , ∈ Z .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

11

3π

(II) ∀x

∈ π;

2 : Hàm số 1

y = giảm.

cos x

Mệnh đề đúng trong hai mệnh đề trên là:

A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả 2 sai. D. Cả 2 đúng.

Câu 75.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

π π

A. y = tan x đồng biến trong −

;

2 2

.

π

B. y = tanx là hàm số chẵn trên D = R \ + k π | k ∈ Z

2

.

C. y = tanx có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

π π

D. y = tanx luôn nghịch biến trong −

;

2 2 .

Dạng 5. Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác

Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos

Câu 76. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2sin x + 1 là

1

A. − 1. B. 1. C. − . D. 3 .

2

Câu 77. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tập giá trị của hàm số y = sin2x

là:

2;2

1;1

A. [ − ]. B. [ 0;2 ]. C. [ − ] . D. [ ]

Câu 78. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Tập giá trị của hàm số y = cos x

là?

;0

− 1;1 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

0;1 .

A. R . B. ( −∞ ] . C. [ 0;+∞ ) . D. [ ]

Câu 79. (SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

hàm số y = 2 − sin x . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. M = 1; m = − 1. B. M = 2 ; m = 1. C. M = 3 ; m = 0 . D. M = 3 ; m = 1.

Câu 80. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = 3sin 2x

− 5 lần lượt là:

A. 3 ; − 5 . B. − 2 ; − 8 . C. 2 ; − 5 . D. 8 ; 2 .

Câu 81.

5π

7π

(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Khi x thay đổi trong khoảng ; thì sin

4 4 lấy mọi giá trị thuộc

2

2

2

A. −1;

−

2

. B. −

;0 C. [ − 1;1]

. D. ;1 .

2

2

Câu 82. (THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Tìm tập giá trị của hàm số y = 3 sin x − cos x − 2 .

A. −2; 3

. B. − 3 − 3; 3 −1

. C. [ − 4;0]

. D. [ − 2;0]

12

3

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 2 + sin x .

Câu 83.

A. m = 0 . B. m = 1. C. m = − 1. D. m = 2 .

Câu 84. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

( 3 5sin x) 2018

y = − là M , m . Khi đó giá trị M + m là

2018 4036

A. 2 ( 1 2 )

+ . B.

2018

2 . C.

4036

2 . D.

6054

2 .

Câu 85. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số

2 π

y = 3sin x + + 4 bằng.

12

A. 7 . B. 1. C. 3 . D. 4 .

Câu 86. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Xét bốn mệnh đề sau:

1 : Hàm số y = sin x có tập xác định là R .

( )

( )

( )

( )

2 : Hàm số y = cos x có tập xác định là R .

3 : Hàm số y = tan x có tập giá trị là R .

4 : Hàm số y = cot x có tập xác định là R .

Tìm số phát biểu đúng.

A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1.

Câu 87. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Tập giá trị của hàm số

y sin 2x 3 cos 2x

1 a; b . Tính tổng T = a + b.

= + + là đoạn [ ]

A. T = 1.

B. T = 2.

C. T = 0.

D. T = − 1.

Câu 88. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

y = 2cos x − sin 2x

+ 5

A. 2 . B. − 2 . C. 6 − 2 . D. 6 + 2 .

Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ

Câu 89. (THPT THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN - 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số y = x + x +

bằng

2

cos sin 1

A. 2 . B. 11 4 . C. 1. D. 9 4 .

Câu 90. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số y = cos 2x + cos x.

Khi đó M + m bằng bao nhiêu?

7

8

9

9

A. M + m = . B. M + m = . C. M + m = . D. M + m = .

8

7

8

7

2

Câu 91. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = sin x − sin x + 2 .

7

7

A. min y = ;max y = 4. B. min y = ;max y = 2.

4

4

1

C. min y = − 1;max y = 1. D. min y = ;max y = 2.

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

13

Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số

π

Câu 92. Hàm số y = 2cos x + sin x + đạt giá trị lớn nhất là

4

A. 5 + 2 2 . B. 5 − 2 2 . C. 5 − 2 2 . D. 5 + 2 2 .

Câu 93. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

5

A. 1+ . B.

2

1 1

2 2

2 2

y = 1+ cos x + 5 + 2sin x

22

2 . C. 11

2 . D. 1+ 5 .

1 1 π

Câu 94. Cho hàm số y = + với x ∈ 0; . Kết luận nào sau đây là đúng?

2 − cos x 1+

cos x 2

π

π

A. min y = khi x = + kπ,

k ∈Z T B. min y = khi x =

π 3 3

π 3 3

C.

4

0; 2

min

2

y

π 3

0; 2

Câu 95. Giá trị lớn nhất của hàm số

π

= khi x = + k2 π , k ∈Z D. min

3

2

0; 2

4

y

π 3

0; 2

= khi

2 2 2 2

y cos x 7 sin x sin x 7 cos x

π

x = .

3

= + + + là

A. 1+ 7

B. − 1+ 7

C. 4 D. 14

Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác

Câu 96. (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Đường cong trong hình dưới

đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A , B , C , D . Hỏi hàm số đó là

hàm số nào?

A. y = 1− sin x B. y = cos x C. y = sin x D. y = 1+

sin x

Câu 97. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Cho hàm số f ( x) = sin x + cos x có đồ thị ( )

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị không thể thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị ( C ) ?

Câu 98.

π

A. y = sin x − cos x . B. y = 2 sin x + 2 . C. y = −sin x − cos x . D. y = sin x +

4 .

(SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho các mệnh đề sau

sin x

f x = là hàm số chẵn.

x + 1

( I ) Hàm số ( )

2

( II ) Hàm số ( ) 3sin 4 cos

( III ) Hàm số f ( x) tan x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

f x = x + x có giá trị lớn nhất là 5 .

= tuần hoàn với chu kì 2π .

C .

14

( IV ) Hàm số f ( x) = cos x đồng biến trên khoảng ( )

0; π .

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .

Câu 99. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Đường cong trong hình vẽ bên dưới

là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm

số nào?

A. y = cos x + 1. B. y = 2 − sin x . C. y = 2cos x .D. y

Câu 100. Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số y = f ( x) = 2sin 2 x?

A. B.

C. D.

Lời giải

x

Câu 101. Hình vẽ nào sau đây biểu diễn đồ thị hàm số y = cos ?

2

A. B.

C. D.

2

= cos x + 1.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Lời giải

15

Câu 102. Cho đồ thị hàm số

y = cos x như hình vẽ :

Hình vẽ nào sau đây là đồ thị hàm số y = cos x + 2?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 103. Cho đồ thị hàm số

y = sin x như hình vẽ:

Hình nào sau đây là đồ thị hàm số y = sin x ?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 104. Hình nào sau đây là đồ thị hàm số y = sin x ?

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

16

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

A. . B. .

C. . D. .

Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Dạng 1. Tập xác định của hàm số lượng giác

Chọn B

π

Điều kiện xác định: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + k π

2

π

Vậy tập xác định: D = R\ + kπ

, k ∈ Z .

2

Chọn C

Hàm số xác định khi và chỉ khi 1− cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k 2π

với k ∈ Z .

Chọn C

Hàm số xác định khi: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ .

Vậy D = R\ { kπ

, k ∈ Z}

Câu 4. sin x 0 x kπ

( k )

≠ ⇔ ≠ ∈ Ζ .

Câu 5. Hàm số y = cot x xác định khi sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ k , k ∈

Câu 6.

Hàm số

Hàm số

y = sin x xác định với mọi x nên tập xác định là R .

y = cos x xác định với mọi x nên tập xác định là R .

π Z nên có tập xác định là \{ kπ

, k ∈ }

π

Hàm số y = tan x xác định khi cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ

, k ∈ Z nên tập xác định là

2

π

R \ + kπ

, k ∈Z .

2

Chọn D

Ta có −1 ≤ sinx ≤1, ∀x

∈R . Do đó sinx − 2 ≠ 0, ∀x

∈R . Vậy tập xác định D = R

Câu 7. Chọn C

sin x ≠ 0

Điều kiện xác định của hàm số là

cos x ≠ 1

cot x

Vậy, tập xác định của hàm số y =

cos x 1

Câu 8. Chọn C.

x

≠ kπ

⇔

x

≠ l2π

− là \{ kπ,

k ∈ }

R Z .

( k,

l ∈ )

Z x ≠ kπ

, k ∈Z .

R Z .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

17

Câu 9.

+)Điều kiện: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ

, k ∈ Z , suy ra tập xác định của hàm số y = cot x là

{ π }

D = R \ k , k ∈Z .

Chọn B

y = 2 + 2cos x được xác định ⇔ 2 + 2cos x ≥ 0 ⇔ cos x ≥ − 1(luôn đúng với ∀x

∈ R).

Vậy tập xác định của hàm số y = 2 + 2cos x là R.

Câu 10. Điều kiện sin x − cos x ≠ 0 ⇔ tan x ≠1

⇔ x ≠ π + kπ

4

Câu 11. Chọn B

π π π

Điều kiện xác định của hàm số: cos 2x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠ + kπ ⇔ x ≠ + k , k ∈Z .

2 4 2

Câu 12.

Câu 13.

π

π

Vậy tập xác định của hàm số là D = R \ + k , k ∈ Z.

4 2

Chọn D

1−cos

x

Điều kiện xác định của hàm số y = là

sin x−1

sin x −1 ≠ 0 ⇔ sin x ≠ 1 ⇔ x ≠ π + k2π ( k ∈Z ) .

2

π

Vậy tập xác định của hàm số là R \ + k2π

.

2

Chọn D

π

x ≠ k

sin 2x

≠ 0 2

π

cos x ≠ 0 π

2

x ≠ + k π

2

Câu 14. Hàm số y = 2sin x có tập xác định là R .

Câu 15.

Câu 16.

Câu 17.

Hàm số xác định khi ⇔ ⇔ x ≠ k ( k ∈ Z )

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi

π π

4 4

sin x − cos x ≠ 0 ⇔ sin x − ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ

,( k ∈ )

π π π

2x

k

cos 2x

0 ≠ + π x ≠ + k

≠ 2 4 2

Hàm số xác định khi ⇔

⇔ , k ∈Z

cos x ≠ 0 π

π

x ≠ + kπ

x

≠ + kπ

2 2

π

π π

Vậy tập xác định là: D = R \ + k ; + kπ

,

k ∈Z .

4 2 2

Các mệnh đề đúng là:

(1) Hàm số y = sin x có tập xác định là R .

(2) Hàm số y = cos x có tập xác định là R .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

π

(3) Hàm số y = tan x có tập xác định là D = R \ + kπ

k ∈Z .

2

Z .

18

π

Câu 18. Hàm số y = − tan x xác định khi: x ≠ + kπ

, k ∈ Z .

2

π

Vậy tập xác định của hàm số là: D = R \ + kπ

, k ∈Z .

2

π

Câu 19. Hàm số xác định khi cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ

, k ∈ Z .

2

1 − sin x ≥ 0

Câu 20. Ta có: −1 ≤ sin x ≤ 1 .

1 + sin x ≥ 0

π

Hàm số xác định khi 1+ sin x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ −1

⇔ x ≠ − + k2π

, k ∈ Z .

2

π

Vậy tập xác định của hàm số là: D = R \ − + k2 π;

k ∈Z .

2

Câu 21.

sin x ≠ 0 π

Điều kiện: ⇔ x ≠ k , k ∈ Z .

cos x ≠ 0 2

Câu 22.

kπ

Hàm số y = cot 2x

xác định khi 2x ≠ kπ ⇔ x ≠ .

2

Câu 23. Đk: cos x + 1 ≠ 0 cos x 1 x ≠ π + k2 π , k ∈ Z

TXĐ: D = R \ { π + k2 π , k ∈ Z }

≠ − ( )

Câu 24. Hàm số đã cho xác định sin 2x 0 2x kπ

x k π

2

⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ( )

k ∈ Z .

π

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = R \ k , k ∈Z .

2

Câu 25. Hàm số y tan 2x π

π π π

= − xác định khi và chỉ khi cos

2x − ≠ 0 ⇔ 2x − ≠ + kπ

.

4 4 4 2

3π

kπ

Suy ra x ≠ + .

8 2

3π

kπ

Vậy tập xác định của hàm số là D = R \ + , k ∈Z .

8 2

Câu 26.

Câu 27.

π

tan x

Hàm số y =

cos x −1

xác định khi: cos x ≠ 0 x ≠ + kπ

⇔ 2 , k ∈ Z .

cos x −1 ≠ 0

x

≠ k2π

π

Vậy tập xác định là: D = R \ + kπ; k2 π , k ∈Z .

2

Hàm số xác định:

π π π

⇔ cos cos x

≠ 0 ⇔ cos x ≠ + kπ

⇔ cos x ≠ 1+ 2k

⇔ cos x ≠ ± 1 ⇔ sin x ≠ 0

2 2 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

⇔ x kπ

( k )

≠ ∈ Z .

19

π

Câu 28. Hàm số y = tan 2x

+ xác định khi và chỉ khi

3

π π π

π π

cos 2x

+ ≠ 0 ⇔ 2x

+ ≠ + kπ

⇔ x ≠ + k ( k ∈Z ) .

3

3 2

12 2

Câu 29.

Câu 30.

tan x −1 π

Hàm số y = + cos x + xác định khi:

sin x 3

sin x ≠ 0

kπ

⇔ sin 2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ

⇔ x ≠ , ( k ∈Z ) .

cos x ≠ 0 2

Điều kiện

π

x ≠ + mπ

cos x ≠ 0 2

⇔ , m,

n∈Z .

tan x −1 ≠ 0 π

x ≠ + nπ

4

π

π

Vậy Tập xác định D = R \ + mπ

; + nπ

; m, n ∈ Z .

2 4

cos x ≠ 0

π

Câu 31. Điều kiện xác định: ⇔ sin 2x ≠ 0 ⇔ x ≠ k ( k ∈Z ).

sin x ≠ 0 2

Câu 32. Đáp án A.

π π

Hàm số đã cho xác định khi cos3 x.cos x − .cos x + ≠ 0

3 3

π kπ k

cos3x 0 x

π π

≠ ⇔ ≠ +

6 3

x ≠ +

6 3

π π π 5π

⇔ cos x 0 x k

− ≠ ⇔ − ≠ + π ⇔ x ≠ + kπ,

k ∈ Z

3 3 2

6

π π π

π

cos x 0 x k

x ≠ + kπ

+ ≠ ⇔ + ≠ + π

3 3 2 6

Câu 33. Đáp án B.

Hàm số f ( x)

2

5sin 2x

+ 3 cos x + 5

= + xác định khi

12sin x cos x

π

sin x ≠ 0 x ≠ + kπ

kπ

⇔ 2 ; k ∈ Z ⇔ x ≠ , k ∈ Z .

cos x ≠ 0 2

x

≠ kπ

Câu 34. Đáp án A.

ĐK:

π

x ≠ − + k2

π

1 6

2sin x + 1 = 0 ⇔ sin x ≠ − ≠

.

2 7π

x ≠ + k2

π

6

7

Tập xác định D \ π π

= R − + k2 π ; + k2 π | k ∈ Z .

6 6

Câu 35. Đáp án A.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

20

Ta có −1 ≤ cos2x

≤ 1 nên 5 − 3cos 2x

> 0, ∀x

∈ R .

π

Mặt khác 1+ sin 2x

− ≥ 0.

2

π

Hàm số đã cho xác định ⇔ 1+ sin

2x

− ≠ 0

2

π

π π

A. ⇔ sin

2x − ≠ −1 ⇔ 2x − ≠ − + k2 π ⇔ x ≠ kπ, k ∈ Z.

2

2 2

Tập xác định D = R \ { kπ,

k ∈ Z}

.

Câu 36. Đáp án B.

1+

cos x

Vì −1 ≤ cos x ≤ 1 nên 1+ cos x ≥ 0 và 1− cos x ≥ 0 ≥ 0.

1−

cos x

π π

sin x + ≠ 0 x + ≠ kπ

Hàm số xác định ⇔

6 ⇔ 6 , k ∈ Z .

1 cos x 0

− ≠ x

≠ k2π

π

Tập xác định của hàm số là R \ − + kπ, k2 π | k ∈ Z .

6

Câu 37. Đáp án A.

Vì −1 ≤ sin x ≤ 1 neen 2 + sin x ≥ 0, ∀x

∈ R .

2 + sin x ≥ 0

π

x ≠ ± + kπ

2

tan x ≠ ± 1

4

Hàm số xác định ⇔ tan x −1 ≠ 0 ⇔ ⇔

, k ∈ Z .

cos x ≠ 0 π

cos x 0

≠

x ≠ + k π

2

π π

Vậy D = R \ ± + kπ , + kπ,

k ∈ Z .

4 2

Câu 38. Đáp án D.

Câu 39.

Hàm số xác định khi

2

cot x + 1 ≠ 0

π

cos + 2x

≠ 0

3

sin x ≠ 0

π π π π

+ 2x ≠ + kπ x ≠ + k

⇔ 3 2 ⇔ 12 2 , k ∈ Z .

x

≠ kπ

x

≠ kπ

π π

Vậy tập xác định của hàm số là D = R \ + k , kπ,

k ∈ Z .

12 2

Dạng 2. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Chọn C

Hàm số y = tan x , y = cot x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = π .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2π

Hàm số y = sin 2x

là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = = π .

2

21

Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2π

.

2π

Câu 40. Chu kì của hàm số T = = 4π

.

1

2

Câu 41. Hàm số y = sinx tuần hoàn có chu kỳ là 2π .

π

Câu 42. Ta có hàm số y = tan x có tập xác định là R \ + kπ

, k ∈Z

và hàm số y = cot x có tập xác

2

định là R \{ π , ∈ Z}

Xét hàm số = sin 2

Hàm số

k k nên cả hai hàm số này đều không thỏa yêu cầu.

y x : Ta có ( π ) ( π )

sin 2 x + k = sin 2x + k2 = sin 2x , ∀x ∈ R , k ∈ Z .

y = sin x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π nên không thỏa yêu cầu.

Câu 43. Do hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kỳ 2π nên hàm số (1) y = cos2x

tuần hoàn chu kỳ π .

Hàm số (2)

Do hàm số

Do hàm số

y = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2π .

π

y = tan x tuần hoàn với chu kỳπ nên hàm số (3) y = tan 2x

tuần hoàn chu kỳ . 2

π

y = cot x tuần hoàn với chu kỳ π nên hàm số (4) y = cot 4x

tuần hoàn chu kỳ . 4

Câu 44. Do hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kỳ 2π nên hàm số (1) y = cos2x

tuần hoàn chu kỳ π .

Hàm số (2)

Do hàm số

Do hàm số

y = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2π .

π

y = tan x tuần hoàn với chu kỳπ nên hàm số (3) y = tan 2x

tuần hoàn chu kỳ . 2

π

y = cot x tuần hoàn với chu kỳ π nên hàm số (4) y = cot 4x

tuần hoàn chu kỳ . 4

x 2π

Câu 45. Chu kỳ của sin là T1

= = 4π

và Chu kỳ của

2 1

2

Câu 46.

3x 2π

4π

cos là T2

= =

2 3 3

2

Chu kì của hàm ban đầu là bội chung nhỏ nhất của hai chu kì T1

và T

2

vừa tìm được ở trên.

Chu kì của hàm ban đầu T = 4π

Dạng 3. Tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác

Chọn B

TXĐ: D = R , ∀x ∈R

−x

∈R

Và y(−x) = sin −x

( ) = −sin x = sin x = y( x)

Vậy hàm số trên là hàm số chẵn

Câu 47. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn, hàm số y = sin x , y = cot x , y = tan x là các hàm số lẻ.

Câu 48.

Ta có các kết quả sau:

+ Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.

+ Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.

+ Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

+ Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.

Câu 49. Xét hàm y = cos x .

TXĐ: D = R .

22

Khi đó ∀x ∈ D −x ∈ D .

Ta có f ( x) cos( x) cos x f ( x)

Vậy

− = − = = .

y = cos x là hàm số chẵn.

Câu 50. B sai vì hàm số y = cos x là hàm số chẵn.

Câu 51. Xét hàm số ( ) sin 2016 cos 2017

y = f x = x + x . Tập xác định. D = R .

Với mọi x ∈ D , ta có −x ∈ D .

Ta có f ( x) sin 2016x cos ( 2017x) sin 2016x cos 2017x f ( x)

Vậy f ( )

− = − + − = + = .

x là hàm số chẵn.

2

Câu 52. Các hàm số y = f ( x) = tan 3x

; y = f ( x) = cos 3x

thỏa mãn điều kiện ( ) ( ),

f − x = f x ∀x

∈ R

nên nó là các hàm số chẵn trên các tập số thực. Do đó, đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

2

5

Hàm số y = f ( x) = x + 5x

− 2 có trục đối xứng là x = − .

2

1 khi x ≤ 0

Vậy đồ thị hàm số y = f ( x)

=

không có trục đối xứng.

cos x khi x > 0

Câu 53. Chọn A.

Với các kiến thức về tính chẵn lẻ của hsố lượng giác cơ bản ta có thể chọn luôn A.

Xét A: Do tập xác định D = R nên ∀x ∈R −x

∈R .

Ta có f ( x) 2cos ( x) 2cos x f ( x)

Câu 54. Chọn B.

Tập xác định D = R .

Ta có ∀x ∈ D −x ∈ D

− = − − = − = . Vậy hàm số y = − 2cos x là hàm số chẵn.

( − x)

( x)

sin 2 −sin 2x

f ( − x)

= = = − f x

2cos − − 3 2cos x − 3

( )

. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Câu 55. Chọn D.

π π

Ta có y = cos 2x + + sin 2x − = 1 ( cos 2x − sin 2x) + 1 ( sin 2x − cos 2x)

= 0 .

4 4 2 2

Ta có tập xác định D = R .

Hàm số y = 0 vừa thỏa mãn tính chất của hàm số chẵn, vừa thỏa mãn tính chất của hàm số lẻ, nên

đây là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.

Câu 56. Chọn D.

1

2

a, Xét hàm số f ( x) = + 3sin x có tập xác định là D = R \{ 3}

.

x −3

Ta có x = −3∈ D nhưng − x = 3∉ D nên D không có tính đối xứng. Do đó ta có kết luận hàm số

f

( )

x không chẵn không lẻ.

b, Xét hàm số g ( x) = sin 1− x có tập xác định là [ )

đối xứng nên ta kết luận hàm số ( )

g x không chẵn không lẻ.

D 2 = 1; +∞ . Dễ thấy D

2

không phải là tập

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Vậy chọn D.

Câu 57. Chọn C.

Hàm số có tập xác định D = R .

23

Ta có f ( x) sin 2007 ( x) cos( nx) sin 2007 x cos nx f ( x)

− = − + − = − + ≠ ± .

Vậy hàm số đã cho không chẵn không lẻ.

Câu 58. Chọn B.

π

Hàm số đã xác định khi cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ, k ∈Z . Vậy phát biểu 1 sai.

2

Ở đây ta cần chú ý : các phát biểu 2; 3; 4; 5; 6 để xác định tính đúng sai ta chỉ cần đi xét tính chẵn

lẻ của hàm số đã cho.

Ta có tập xác định của hàm số trên là

( x)

( −x)

2004n

2004n

sin − + 2004 sin x + 2004

f ( − x)

= = = f x

cos

cos x

π

D = R \ + kπ | k ∈Z là tập đối xứng.

2

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Suy ra đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy. Vậy chỉ có phát

biểu 2 và 3 là phát biểu đúng. Từ đây ta chọn B.

Câu 59.

Chọn B.

Hàm số đã cho xác định trên tập D = R nên ta loại A.

Tiếp theo để xét tính đối xứng của đồ thị hàm số ta xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho.

( − ) = − ( − ) = − = − ( )

f x x sin x x sin x f x . Vậy đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O. Vậy ta

chọn đáp án B.

Câu 60. Chọn C.

Cách 1:

TXĐ: D = R . Suy ra ∀x ∈ D −x ∈ D.

Câu 61.

Ta có ( ) sin4( ) ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( )

f − x = 3m − x + cos2 − x = − 3msin4x + cos2 x.

Để hàm số đã cho là hàm chẵn thì

( ) ( ), 3 sin4 cos2 3 sin4 cos2 ,

f − x = f x ∀x ∈ D ⇔ − m x + x = m x + x ∀x ∈ D

⇔ 4msin 4x = 0, ∀x ∈ D ⇔ m = 0.

Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác

π 3π

+ 2 π ; + 2π

2 k 2

k

, k ∈ Z .

Câu 62.

π

Trên khoảng 0; thì hàm số tan

2 = x đồng biến.

Câu 63. Mệnh đề A sai vì hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π

.

Mệnh đề C sai vì hàm số

Mệnh đề D sai vì hàm số

y = sin x là hàm số lẻ.

y = sin x không có tiệm cận ngang.

−π

π

Mệnh đề B đúng vì hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng + k2 π; + k2π

2 2 .

Câu 64. Dựa vào định nghĩa đường tròn lượng giác ta thấy hàm số lượng giác cơ bản y = sin x đồng biến

ở góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ tư.

.

24

7π

9π

Dễ thấy khoảng ; là phần thuộc góc phần tư thứ tư và thứ nhất nên hàm số đồng biến.

4 4

π

Câu 65. Đáp án B đúng: Hàm số y = sin x đồng biến trên 0;

2 .

Đáp án A sai do

Đáp án C sai do

Đáp án D sai do hàm số

y = sin x tuần hoàn chu kì là T = 2π

.

y = sin x là hàm số lẻ.

Câu 66.

y = sin x không có tiệm cận ngang.

Quan sát đường tròn lượng giác, ta thấy hàm số

Câu 67. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π đáp án A sai.

y = sin x đồng biến trên khoảng

Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π đáp án B sai.

Hàm số y = cot x nghịch biến trên mỗi khoảng ( kπ ; π + kπ

) , k ∈ Z đáp án D sai.

Câu 68. Chọn A.

Cách 1: Từ lý thuyết về các hàm số lượng giác cơ bản ở trên ta có hàm số

3π

5π

;

2 2 .

y = sin x nghịch biến

π

π

trên khoảng −π;− và đồng biến trên khoảng 0

2

2 ;

− .

Câu 69. Chọn B.

Theo lý thuyết ta có hàm số y = cos x đồng biến trên mỗi khoảng ( −π + k2π; k2π)

, k ∈Z và

π π + π ∈Z Từ đây ta có với k = 0 hàm số y = cos x đồng

nghịch biến trên khoảng ( k2 ; k2

), k .

biến trên khoảng ( −π; 0)

và nghịch biến trên khoảng ( π)

Tiếp theo ta đến với hàm số y tan nx; ( n ),...

Câu 70. Chọn A.

0; .

= ∈Z Ta có ví dụ 3.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Tập xác định của hàm số đã cho là

π

π

D = R \ + k | k ∈Z.

4 2

25

π

Hàm số y = tan 2x tuần hoàn với chu kì , 2

π π

đơn điệu của hàm số trên 0; \ .

2 4

Dựa theo kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số

dựa vào các phương án A; B; C; D thì ta sẽ xét tính

y = tan x ở phần lý thuyết ta có thể suy ra với

π π π

hàm số y = tan 2x đồng biến trên khoảng 0; và ; .

4 4 2

Câu 71. Chọn D.

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2π và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ xét sự biến

π 3π

thiên của hàm số trên −

; .

2 2

Ta có hàm số y = sin x :

* Đồng biến trên khoảng

π π

− ; .

2 2

π 3π

* Nghịch biến trên khoảng ; .

2 2

Từ đây suy ra hàm số y = 1−

sin x :

π π

* Nghịch biến trên khoảng − ; .

2 2

π 3π

* Đồng biến trên khoảng ; .

Từ đây ta chọn D.

2 2

Dưới đây là đồ thị của hàm số y = 1−

sin x và hàm số y = sin x trên R .

Câu 72. Chọn B.

π

Ta có y = sin x − cos x = 2 sin x − .

4

Từ đây ta có thể loại đáp án C, do tập giá trị của hàm số là −

2; 2 .

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2π do vậy ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn

π 7π

−

; .

4 4

Ta có:

π 3π

* Hàm số đồng biến trên khoảng − ; .

4 4

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

26

3π 7π

* Hàm số nghịch biến trên khoảng ; .

Từ đây ta chọn A.

4 4

Câu 73. Chọn B.

Với A ta thấy hàm số y = tan x không xác định tại mọi điểm x ∈ R nên tồn tại các điểm làm

cho hàm số bị gián đoạn nên hàm số không thể luôn tăng.

π π

Với B ta thấy B đúng vì hàm số y = tan x đồng biến trên mỗi khoảng − + kπ; + kπ, k ∈Z

.

2 2

Từ đây loại C và D.

Câu 74. Chọn B.

3

Như bài toán xét xem hàm số tăng hay giảm. Ta lấy x1 x π

<

2

∈ π;

2

1 1 sinx1 − sinx

2

Lúc này ta có f ( x2 ) − f ( x1

) = −

sinx sinx sinx sinx

2 `

3

Ta thấy x1 x π

<

2

∈ π;

2 thì sinx

1

sinx

2

0> sinx > sinx

1 2

sinx

− sinx

1 2

>

1 2

sinx − sinx > 0

1 2

> 0 f ( x1 ) f ( x2

)

sinx

1.sinx

2

< . Vậy

1

Tương tự ta có y = là hàm giảm. Vậy I sai, II đúng.

cos x

Câu 75. Chọn B.

1

y = là hàm tăng.

s inx

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

27

π

Ta được đồ thị như hình vẽ trên. Ta thấy hàm số y = tanx nghịch biến trên −

;0

và đồng

2

π

biến trên 0; . Nên ta loại A và D.

2

− = − = = hàm số y = tan x là hàm số chẵn.

Với B ta có f ( x) tan ( x) tan x f ( x)

Với C ta thấy đồ thị hàm số đã cho không đối xứng qua gốc tọa độ, từ đây ta chọn B.

Dạng 5. Tập giá trị, MIN_MAX của hàm số lượng giác

Dạng 5.1 Biến đổi thông thường, sử dụng bất đẳng thức cơ bản của sin, cos

Câu 76. Chọn D.

Vì sin x ≤ 1,

∀x

∈ R nên y = 2sin x + 1 ≤ 3 , ∀x

∈ R .

π

y = 3 khi sin x = 1 ⇔ x = + k2π

, ( k ∈Z ) .

2

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = 2sin x + 1 là 3 .

Câu 77. Ta có −1 ≤ sin 2x

≤ 1, ∀x

∈ R .

Câu 78. Với x

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là [ 1;1]

∀ ∈ R , ta có cos x ∈[ − 1;1]

.

Tập giá trị của hàm số y = cos x là [ − 1;1]

.

− .

Câu 79. Ta có: −1 ≤ sin x ≤1,

∀x

∈R

Suy ra: 1≤ 2 −sin x ≤ 3, ∀x

∈R hay 1≤ y ≤ 3, ∀x

∈R .

Vậy M = 3 và m = 1.

Câu 80. Ta có −1 ≤ sin 2x

≤ 1 −8 ≤ 3sin 2x

− 5 ≤ −2

−8 ≤ y ≤ − 2.

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là −2; − 8.

Câu 81.

̌ Trong nửa khoảng

5π

3π

;

4 2

:

3π

5π

2

Hàm số y = sin x giảm nên sin ≤ sin x < sin −1 ≤ sin x < − .

2 4 2

3π

7π

̌ Trong nửa khoảng

;

2 4 :

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

28

Hàm số y = sin x tăng nên

3π

7π

2

sin ≤ sin x < sin −1 ≤ sin x < − .

2 4 2

5π

7π

̌ Vậy khi x thay đổi trong khoảng ; thì sin

4 4 y = x lấy mọi giá trị thuộc 2

−1;

−

2

.

π π π

Câu 82. Xét y = 3 sin x − cos x − 2 = 2sin x.cos − cos x.sin − 2 = 2sin x − − 2

6 6 6

Câu 83.

π

π

Ta có −1 ≤ sin x − ≤ 1 −4 ≤ 2sin x − − 2 ≤ 0 −4 ≤ y ≤ 0 với mọi x ∈ R

6

6

Vậy tập giá trị của hàm số là [ 4;0]

Ta có

− .

3

−1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ 1 ≤ 2 + sin x ≤ 3 .

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là: m = 1.

π

Dấu “ = ” xảy ra khi sin x = − 1 hay x = − + k2π

, k ∈ Z .

2

Câu 84. Vì 2 3 5sin x 8

Câu 85.

0 ≤ 3−5sin x ≤ 8 = 2 .

− ≤ − ≤ nên suy ra ( ) 2018 2018 6054

Do đó m = 0 và

Vậy

M

6054

+ m = 2 .

6054

M = 2 .

π π π

Ta có x x x

12 12 12

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 7 .

2 2 2

sin + ≤1 3sin + ≤ 3 3sin + + 4 ≤ 7

Câu 86. Dễ thấy các phát biểu ( 1 ) ;( 2 ) ; ( )

3 đúng.

cos x

Xét ( 4 ) : y = cot x = ĐKXĐ: s inx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ

D = R \{ kπ

; k ∈ Z }.

sin x

π

Câu 87. y = sin 2x + 3 cos 2x + 1 = 2sin 2x

+ + 1

3

Câu 88.

π

3

π

3

Do sin 2x

+ ∈[ −1;1

] nên 2sin 2x

+ + 1∈[ −1;3

]

π

π

Vậy −1≤ y ≤ 3.( Ta thấy y = − 1 khi sin 2x

+ = −1, y = 3 khi sin 2x

+ = 1).sss

3

3

Ta có

y x x

2

= 2cos − sin 2 + 5 cos 2x

sin 2x

6

π

= − + = 2 cos 2x

+ + 6 .

4

π

π

Do − 2 ≤ 2 cos 2x

+ ≤ 2 nên − 2 + 6 ≤ 2 cos

2x

+ + 6 ≤ 2 + 6 .

4

4

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số

Dạng 5.2 Đặt ẩn phụ

2 2

Câu 89. y = cos x + sin x + 1 = − sin x + sin x + 2 .

Đặt t = sin x, −1≤ t ≤ 1.

y x x

2

= 2cos − sin 2 + 5 là 6 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

.

− .

.

29

Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số

2

y t t

= − + + 2 trên đoạn [ − 1;1]

.

2

1 1 9

Tung độ đỉnh của parabol y = − + + 2 = là giá trị lớn nhất của hàm số đã cho đạt được

2 2 4

1

tại t = .

2

y ≤ 5 + 2 2 y = 5 + 2 2 .

max

Câu 90. y = cos 2x + cos x.

TXĐ: D = R .

y x x x

Đặt: t = cos x , t ∈[ − 1;1]

.

2

= cos 2 + cos = 2cos + cos − 1.

( )

2

f t = 2t + t − 1.

Đồ thị của hàm số f là parabol có đỉnh

BBT:

Dựa vào BBT ta có:

7

Vậy M + m = .

8

Câu 91. Chọn A.

Đặt sin x = u; u ∈[ − 1;1]

Xét hàm số:

2

y u u

Ta có: [ 1;1]

[ −1;1

]

( )

M = max f t = 2 ,

= − + 2 trên [ − 1;1]

.

1 9

I

− ; −

4 8 .

− b 1 = ∈ − . Từ đây có bảng biến thiên

2a

2

Ta kết luận: min f [ ]

( u)

Hay

9

m = min f ( t)

= − .

[ −1;1

] 8

7

= và max y = 4 ⇔ u = − 1.

−1;1

4 [ −1;1

]

7 1

min y = ⇔ sin x = và max y = 4 ⇔ sin x = − 1.

4 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

30

Dạng 5.3 Áp dụng bất đẳng thức đại số

Câu 92. Chọn D

Ta có y 2cos x sin x π

= + + = 2cos x + 2 ( sin x + cos x) = ( 2 + 2)

cos x + 2 sin x .

4

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

y = 2 + 2 cos x + 2 sin x ≤ 2 + 2 + 2

.

cos x + sin x

= 5 + 2 2

Câu 93.

Đáp án B Chọn B.

Ta có

1 1 1 5 1

2 2 2 4 2

2 2 2 2

y = 1+ cos x + 5 + 2sin x ⇔ y = 1+ cos x + + sin x

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho 4 số: 1; 1;

1 2

1 + os

2 c x ; 5 1

+ sin

2 x ta có:

4 2

1 5 1 1 5 1 9 1 22

+ + + ≤ + + + + = + =

2 4 2 2 4 2 4 2.1 2

2 2 2 2 2 2

1. 1 cos x 1. sin x 1 1 . 1 cos x sin x 2.

22

Hay y ≤

2

1 2 5 1 2 π

Dấu bằng xảy ra khi 1+ cos x = + sin x ⇔ x = ± + kπ

, k ∈Z

2 4 2 6

Câu 94. Chọn D.

π

Cách 1: Ta thấy 2 − cos x > 0, ∀x ∈ R và 1+ cos x > 0, ∀x

∈ 0;

2 . Suy ra 1 1

và

2 − cos x 1+

cos x

là hai số dương. Áp dụng vất đẳng thức AM- GM cho hai số dương ta có

1 1 2

+ ≥

2 − cos x 1+ cos x 2 − cos x 1+

cos x

( )( )

Mặt khác tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

2 − cos x + 1+

cos x 3

( 2 − cos x)( 1+ cos x)

≤ =

2 2

2 4

y ≥ ≥

2 − cos x 1+

cos x 3

Câu 95. Đáp án C.

Câu 96.

Ta có

( )( )

π kπ

xảy ra khi x = + , k ∈Z.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4.

4 2

Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác

Chọn B

. Dấu bằng

+ Chọn x = π nhìn vào đồ thị ta được y = − 1. Thay x = π vào lần lượt các phương án ta loại C và

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

D

( 1 1 )( cos 7sin sin 7 cos )

2

≤ + + + + y ( )

2 2 2 2 2 2 2

y x x x x

⇔ ≤ 2 1+ 7 = 16 y ≤ 4

31

3π

3π

+ Chọn x = nhìn vào đồ thị ta được y = 0 . Thay x = vào phương án A ta nhận được y = 2

2

2

loại A nên đáp án là B.

Câu 97. Ta có ( )

max sin x + cos x = 2 = M

x∈R

, ( )

min sin x + cos x = − 2 = m , M − m = 2 2 . Vì phép tịnh

x∈R

tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên chọn đáp án D

(chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng 2 ).

sin x

f x =

x + 1

.

Tập xác định: D = R .

sin ( −x)

−sin

x

∀x

∈ D , ta có: −x ∈ D và f ( − x)

= = = − f

2

( x)

.

− x + 1 x + 1

Câu 98. * Xét hàm số ( )

2

Vậy hàm số ( )

2

Do đó ( )

f

I sai.

x

( ) 2

sin x

= là hàm số lẻ.

x + 1

* Xét hàm số ( ) 3sin 4 cos

f x = x + x .

Tập xác định: D = R .

3 4

Ta có: f ( x) = 3sin x + 4 cos x = 5

sin x + cos x

5 5

3 4

Đặt sinα = , cosα = . Ta có f ( x) = 5sin ( x + α ) ≤ 5

5 5

π

max f ( x ) = 5 khi sin ( x + α ) = 1 ⇔ x = − α + k2

π , ( k ∈ Z ) .

2

Vậy hàm số f ( x) = 3sin x + 4 cos x có giá trị lớn nhất là 5 .

Do đó ( )

II đúng.

* Xét hàm số f ( x) = tan x . Ta có hàm số ( )

Do đó ( )

III sai.

f x tuần hoàn với chu kì π .

* Xét hàm số f ( x) = cos x . Ta có f ( x ) nghịch biến trên mỗi khoảng ( k2 π ; π k2π

)

Do đó ( )

IV sai.

Vậy trong bốn mệnh đề đã cho có một mệnh đề đúng.

Câu 99. Do đồ thị đi qua ba điểm ( − π ;0)

, ( 0;2 ) , ( ;0)

π nên chọn phương án A

Câu 100.

Chọn C.

Ta thấy −2 ≤ 2sin 2x

≤ 2 nên ta có loại A và B.

Tiếp theo với C và D ta có:

Từ phần lý thuyết ở trên ta có hàm số tuần hoàn với chu kì 2 π

= π.

2

+ với k ∈ Z .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Ta thấy với x = 0 thì y = 0 nên đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. Từ đây ta chọn đáp án C.

Câu 101.

32

Chọn D

x

Ta thấy −1 ≤ cos ≤ 1 nên ta loại B.

2

x

2π

Tiếp theo ta có hàm số y = cos có chu kì tuần hoàn là T = = 4 π.

2 1

2

x

Ta thấy với x = 0 thì y = cos = cos0 = 1 nên ta chọn D.

2

Câu 102. Chọn A

Ta thực hiện phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = cos x trên trục Oy lên trên 2 đơn vị (xem lại sơ đồ

biến đổi đồ thị cơ bản ở bên trên).

Câu 103. Chọn C

Suy diễn đồ thị hàm số y = sin | x | từ đồ thị hàm số y = sin x :

Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số

y = sin x nằm bên phải trục Oy .

Lấy đối xứng phần đồ thị trên qua trục Oy .

Dưới đây là đồ thị ta thu được sau khi thực hiện các bước suy diễn ở trên. Phần đồ thị nét đứt là

phần bỏ đi của đồ thị hàm số y = sin x.

Câu 104. Chọn B.

Cách 1: Suy diễn đồ thị hàm số y = | sin x | từ đồ thị hàm số y = sin x :

Giữ nguyên phần tử từ trục hoành trở lên của đồ thị y = sin x.

Lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số

y = sin x phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Cách 2: Ta thấy | sin x | ≥ 0, ∀ x nên đồ thị hàm số y = | sin x | hoàn toàn nằm trên trục Ox .

Từ đây ta chọn B.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

33

TOÁN 11

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

BÀI 2

Mục lục

Dạng 1. Phương trình sinx=a ............................................................................................................................................ 1

Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm .......................................................................................................................... 1

Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm ..................................................................................................................................... 3

Dạng 2. Phương trình cosx=a ........................................................................................................................................... 6

Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm .......................................................................................................................... 6

Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ..................................................................................................................................... 8

Dạng 3. Phương trình tanx=a ......................................................................................................................................... 10

Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 10

Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 11

Dạng 4. Phương trình cotx=a ......................................................................................................................................... 12

Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 12

Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 12

Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp .................................................................................................................................. 12

Dạng 1. Phương trình sinx=a .......................................................................................................................................... 15

Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 15

Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 15

Dạng 2. Phương trình cosx=a ......................................................................................................................................... 21

Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 21

Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 22

Dạng 3. Phương trình tanx=a ......................................................................................................................................... 24

Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 24

Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 25

Dạng 4. Phương trình cotx=a ......................................................................................................................................... 26

Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm ........................................................................................................................ 26

Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 27

Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp .................................................................................................................................. 27

Dạng 1. Phương trình sinx=a

Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

1

x

Câu 1. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình sin = 1 là

2

π

A. x = π + k4 π , k ∈ Z . B. x = k2 π , k ∈ Z . C. x = π + k2 π , k ∈ Z . D. x = + k2 π , k ∈Z .

2

π

Câu 2. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Phương trình sin x − = 1 có nghiệm là

3

π

5π

5π

π

A. x = + k2π

. B. x = + kπ

. C. x = + k2π

. D. x = + 2π

.

3

6

6

3

Câu 3. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình sin 2x = 1.

π

π

π

kπ

A. x = + k2π

. B. x = + kπ

. C. x = + k2π

. D. x = .

2

4

4

2

Câu 4. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình 2sin x − 3 = 0

.

3

x

= arcsin + k2π

2

A. x∈∅ . B.

( k ∈Z ) .

3

x

= π − arcsin + k2π

2

3

x

= arcsin + k2π

2

3

x

= − arcsin + k2π

2

C.

( k ∈ )

Z . D. x ∈R .

Câu 5. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Phương trình sin x = 1 có một nghiệm là

π

π

π

A. x = π. B. x = − . C. x = . D. x = .

2

2

3

Câu 6.

Câu 7.

3

(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin x = có nghiệm là:

2

x =

π

+ kπ

x =

π

+ k2π

π

π

6

A. x = ± + k2π

. B. x = + kπ

. C.

. D. 3

.

3

3

x =

5π

+ kπ

x =

2π

+ k2π

6

3

(THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Tập nghiệm của phương trình

sin x = sin 30° là

S 30 k2 π | k 150° + k2 π | k ∈Z .

A. = { ° + ∈Z}

∪ { }

B. S = { ± 30° + k2 π | k ∈Z }.

C. S = { ± 30° + k360 ° | k ∈Z } .

D. S = { 30° + 360 ° | k ∈Z}

∪ { 150 360 | k }

° + ° ∈Z .

Câu 8. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Nghiệm của phương trình sin x = 1 là

π

π

π

π

A. − + kπ

, k ∈Z . B. + kπ

, k ∈Z . C. − + k2π

, k ∈Z . D. + k2π

, k ∈Z .

2

2 2

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

π

Câu 9. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin x + = 1.

6

2

π

π

A. x = + kπ

( k ∈Z ) . B. x = − + k2π

( k ∈Z ) .

3

6

π

5π

C. x = + k2π

( k ∈Z ) . D. x = + k2π

( k ∈Z ) .

3

6

Câu 10. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình

2sin x − 1 = 0 có tập nghiệm là:

π

5π

π

2π

A. S = + k2 π ; + k2 π , k ∈ Z . B. S = + k2 π ; − + k2 π , k ∈Z .

6 6

3 3

π

π

1

C. S = + k2 π ; − + k2 π , k ∈Z . D. S = + k2 π , k ∈ Z .

6 6

2

Câu 11.

(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Phương

trình 2sin x + 1 = 0 có nghiệm là:

π

π

x = − + k2π

6

x = − + k2π

6

A.

B.

7π

7

x = − + k2π

π

x = + k2π

6

6

π

π

x = + k2π

6

x = + kπ

6

C.

D.

5π

7

x = + k2π

π

x = − + kπ

6

6

Câu 12. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Phương trình

2sin x − 3 = 0 có tập nghiệm là:

π

π

A. ± + k2 π , k ∈ Z . B. ± + k2 π , k ∈ Z .

6

3

π

5π

π

2π

C. + k2 π , + k2 π , k ∈ Z . D. + k2 π , + k2 π , k ∈ Z .

6 6

3 3

Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm

Câu 13.

(THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm

biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm

M,

N ?

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

A. 2sin2x = 1. B. 2cos2 x = 1. C. 2sin x = 1. D. 2cos x = 1.

3

π 3π

Câu 14. Cho phương trình sin 2x

− = sin x +

4 4

phương trình trên.

A. 7 π 3π π . B. π . C. . D. .

2

2

4

Câu 15.

. Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng ( 0;π ) của

2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3sin 2x

− m + 5 = 0 có nghiệm?

A. 6. B. 2. C. 1. D. 7.

Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: 3sin x + m− 1= 0 có nghiệm?

A. 7 B. 6 C. 3 D. 5

Câu 17.

Câu 18.

Câu 19.

(CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm số nghiệm của phương trình

sin cos 2 0 0;2 π .

( x ) = trên [ ]

A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3.

⎛ π⎞ 3

Phương trình sin 3x

⎛

π⎞ ⎜ + = −

⎜⎝ 3⎠⎟

có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ⎜0; 2

⎜⎝ 2 ⎠ ⎟

?

A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 2 .

(GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Số nghiệm của phương trình

2sin 3 0

0;2π .

x − = trên đoạn đoạn [ ]

A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.

Câu 20. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Số nghiệm thực của phương trình 2sin x + 1 = 0

3 π

trên đoạn

− ;10 π

2

là:

A. 12 . B. 11. C. 20 . D. 21.

Câu 21.

Câu 22.

π 3π

(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin 2x

− = sin x + có tổng các

4 4

0;π bằng

nghiệm thuộc khoảng ( )

A. 7 π 3π π . B. π . C. . D. .

2

2

4

(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S của các nghiệm của phương trình

1 π π

sin x = trên đoạn ;

2

−

2 2

.

5π

π

π

π

A. S = . B. S = . C. S = . D. S = .

6

3

2

6

Câu 23. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Phương trình

π 3

π

sin 3x

+ = − có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 0;

3 2

2 ?

A. 3. B. 4 . C. 1. D. 2 .

Câu 24. (THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình 2sin x − 3 = 0 .

0;π của phương trình là:

Tổng các nghiệm thuộc [ ]

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

π 2π 4π A. π . B. . C. . D. .

3 3

3

4

3

Câu 25. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin 2x = − có hai

2

π π

công thức nghiệm dạng α + kπ

, β + kπ

( k ∈Z ) với α , β thuộc khoảng − ; . Khi đó,

2 2

α + β bằng

π π

π

A. . B. − . C. π . D. − .

2 2

3

Câu 26.

Câu 27.

1

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S của các nghiệm của phương trình sin x =

2

π π

trên đoạn

− ;

2 2

.

5π

π

π

π

A. S = . B. S = . C. S = . D. S = .

6

3

2

6

(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình

2sin x + 1 = 0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?

A. Điểm D , điểm C . B. Điểm E , điểm F .

C. Điểm C , điểm F . D. Điểm E , điểm D .

π

Câu 28. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình sin x + = 1

4

π;2π là:

thuộc đoạn [ ]

A. 3. B. 2 . C. 0 . D. 1.

Câu 29. (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Phương trình 2sin x − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm

x ∈ 0;2π

?

( )

A. 2 nghiệm. B. 1 nghiệm. C. 4 nghiệm. D. Vô số nghiệm.

Câu 30. (SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Phương trình sin 5x

− sin x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc

− 2018 π;2018π

?

Câu 31.

đoạn [ ]

A. 20179 . B. 20181. C. 16144. D. 16145.

(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thuộc đoạn

của phương trình 2sin x− 1= 0 là:

A. 3. B. 1. C. 4 . D. 2 .

⎡ 5π

⎤

0; ⎢⎣

2 ⎥⎦

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 32. (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho phương trình 2sin x − 3 = 0 .

0;π của phương trình là:

Tổng các nghiệm thuộc [ ]

5

A. 4 π π 2π . B. π . C. . D. .

3

3 3

Câu 33. (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Tính tổng S của các nghiệm của phương

1 π π

trình sin x = trên đoạn ;

2

−

2 2

.

π

π

π

5π

A. S = . B. S = . C. S = . D. S = .

6

3

2

6

Câu 34. (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thực của phương trình 2sin x + 1 = 0

3 π

trên đoạn

− ;10 π

2

là:

A. 12 . B. 11. C. 20 . D. 21.

Câu 35.

π

(THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Phương trình: 2sin 2x

− −

3

3 = 0

0;3π .

Câu 36.

Câu 37.

có mấy nghiệm thuộc khoảng ( )

A. 8 . B. 6 . C. 2 . D. 4 .

Dạng 2. Phương trình cosx=a

Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm

(THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình

π 2

cos x + = là:

4 2

x

= k2π

x

= kπ

A.

π ( k ∈ Z ) B.

π ( k ∈ Z)

x = − + kπ

x = − + kπ

2

2

x

= kπ

x

= k2π

C.

π ( k ∈ Z)

D.

π ( k ∈ Z)

x = − + k2π

x = − + k2π

2

2

(THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Nghiệm của phương trình

là

A.

2π

x = ± + k2π

B.

3

π

π

π

x = ± + kπ

C. x = ± + k2π

D. x = ± + k2π

6

3

6

1

cos x = −

2

Câu 38. (THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Giải phương trình cos x = 1 .

kπ

A. x = , k ∈ Z . B. x = kπ , k ∈ Z .

2

π

C. x = + k2π, k ∈ Z . D. x = k2π, k ∈ Z .

2

π

Câu 39. (CỤM 1 SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình cos x = cos có tất 3

cả các nghiệm là:

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

6

2 π

3

x

π

3

k2π

k

π

3

A. x = + k2π

( k ∈ Z ) B. x = ± + kπ

( k ∈Z )

C. = ± + ( ∈ Z )

D. x = + k2π

( k ∈ Z )

Câu 40. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Phương trình cos x = 0 có

nghiệm là:

π

A. x = + kπ

( k ∈ Z ) .

2

B. x = k 2 π ( k ∈ Z ) .

π

C. x = + k2

π ( k ∈ Z ) .

2

D. x = kπ

( k ∈ Z ) .

Câu 41. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình

π 2

cos x + =

4 2

là

x

= k2π

x

= kπ

A.

π ( k ∈Z ) . B.

π ( k ∈Z ) .

x = − + kπ

x = − + kπ

2

2

x

= kπ

x

= k2π

C.

π ( k ∈Z ) . D.

π ( k ∈Z ) .

x = − + k2π

x = − + k2π

2

2

Câu 42.

x

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos = 0.

3

A. x = kπ

, k ∈ Z .

π

B. x = + kπ

, k ∈ Z .

2

3π

3π

C. x = + k6 π , k ∈ Z . D. x = + k3 π , k ∈Z .

2

2

Câu 43. (XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình 2cos x − 1= 0 có nghiệm là:

π

π

A. x = ± + k2π

, k ∈Z . B. x = ± + k2π

, k ∈Z .

6

3

π

π

C. x = ± + 2π

, k ∈Z . D. x = ± + kπ

, k ∈Z .

6

3

Câu 44. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Phương trình 2cos x − 2 = 0 có tất cả các nghiệm

là

3π

π

x = + k2π

4

x = + k2π

4

A.

, k ∈Z . B.

, k ∈Z .

3π

π

x = − + k2π

x = − + k2π

4

4

π

7π

x = + k2π

4

x = + k2π

4

C.

, k ∈Z . D.

, k ∈Z .

3π

7π

x = + k2π

x = − + k2π

4

4

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 45. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Giải phương trình 2cos x − 1=

0

π

3

7

A.

C.

π

π

x = + k2π

3

x = ± + kπ,

k ∈ Z . B.

,

3

2π

x = + k2π

3

k ∈Z .

π

π

x = + kπ

3

x = ± + k2π,

k ∈ Z . D. ,

3

2

x π

k

3

π

k ∈Z .

Câu 46. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình cos x = − 1 là:

π

A. x = + kπ

, k ∈Z . B. x = k2π

, k ∈Z .

2

C. x = π + k2π

, k ∈Z . D. x = kπ , k ∈Z .

Câu 47.

Câu 48.

Câu 49.

2

(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Phương trình cos x = − có tập nghiệm là

2

π

π

A. x = ± + k2 π ; k ∈ Z . B. x = ± + kπ

; k ∈ Z .

3

4

3π

π

C. x = ± + k2 π ; k ∈ Z . D. x = ± + kπ

; k ∈ Z .

4

3

(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Khẳng định nào sau đây

là khẳng định sai?

π

A. cos x = −1 ⇔ x = π + k2π

. B. cos x = 0 ⇔ x = + kπ

.

2

π

C. cos x = 1 ⇔ x = k2π

. D. cos x = 0 ⇔ x = + k2π

.

2

(THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Phương trình lượng giác:

2cos x + 2 = 0 có nghiệm là

π

3π

π

7π

x = + k2π

4

x = + k2π

4

x = + k2π

4

x = + k2π

4

A.

. B.

. C.

. D.

.

π

3π

x = − + k2π

3π

x = − + k2π

7

x = + k2π

π

x = − + k2π

4

4

4

4

Câu 50. (THPT NGÔ QUYỀN - HẢI PHÒNG - 2018) Tìm công thức nghiệm của phương trình

2cos x + α = 1 (với α ∈ R ).

( )

π

x = − α + + k2π

3

2π

x = − α + + k2π

3

π

x = − α + + k2π

3

C.

( k ∈ )

π

x = α − + k2π

3

Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm

π

x = − α + + k2π

x

= − α + k2π

A.

( k ∈Z ) . B. 3 ( k ∈ )

π

x = − α + + k2π

3

π

x = −α

− + k2π

3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Z .

Z D.

( k ∈ )

Z .

8

Câu 51. (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số m để phương trình cos x − m = 0 vô nghiệm.

m ∈ −∞; −1 ∪ 1; +∞ B. m ∈ ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ )

Câu 52.

Câu 53.

Câu 54.

A. ( ) ( )

C. ( 1; )

m ∈ +∞ D. m ∈ ( −∞; − 1)

(THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Tổng các nghiệm thuộc khoảng

π ;

π

−

2 2 của phương trình 2

4sin 2x − 1 = 0 bằng:

π

π

A. π .

B. .

C. 0. D. .

3

6

(CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình

π

2cos x + = 1 có số nghiệm thuộc đoạn [ 0;2π ] là

3

A. 1 B. 2 C. 0 D. 3

1

(KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Biết các nghiệm của phương trình cos 2x = − có

2

π

π

dạng x = + kπ

và x = − + kπ

, k ∈ Z ; với m,

n là các số nguyên dương. Khi đó m + n

m

n

bằng

A. 4. B. 3. C. 5. D. 6.

π

Câu 55. Phương trình 2cos x + = 1 có số nghiệm thuộc đoạn [ 0;2π ] là

3

A. 1 B. 2 C. 0 D. 3

π

Câu 56. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình cot x + = 3

3

π kπ

*

có dạng x = − + , k ∈Z , m , n ∈ N và k là phân số tối giản. Khi đó m

m n

n − n bằng

A. 5. B. − 3. C. − 5. D. 3.

Câu 57. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2x − 1 = 0 trong đoạn

0;π là:

[ ]

A. x = π . B.

11π

x = . C.

12

2π

x = . D.

3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

5π

x = .

6

1

Câu 58. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hai phương trình cos3x − 1 = 0 (1); cos 2x = − (2). Tập các

2

nghiệm của phương trình (1) đồng thời là nghiệm của phương trình (2) là

π

A. x = + k2π

, k ∈Z . B. x = k2π

, k ∈Z .

3

π

2π

C. x = ± + k2π

, k ∈Z D. x = ± + k2π

, k ∈Z .

3

3

Câu 59.

(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một

1

góc là nghiệm của phương trình cos 2x = − .

2

2 π π π

A. , ,

3 6 6 . B. π 3 , π

3 , π

3 ; 2 π π π

, ,

3 6 6 .

9

Câu 60.

Câu 61.

π π π

C. , ,

3 3 3 ; π 4 , π

4 , π

2 . D. π 3 , π

3 , π

3 .

(THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình

2cos x =

5π

3 trên đoạn

0;

2

là

A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3.

1

(CTN - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình cos x = thuộc đoạn [ − 2 π;2π

] là?

2

A. 4 . B. 2 . C. 3. D. 1.

Câu 62. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Phương trình cos 2x

+ cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc

− π;

π ?

khoảng ( )

A. 2 . B. 3. C. 1. D. 4 .

Câu 63. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 2x

− cos x = 0

0;2π bằng T . Khi đó T có giá trị là:

Câu 64.

Câu 65.

trên khoảng ( )

7π

4π

A. T = . B. T = 2π

. C. T = . D. T = π .

6

3

(THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của phương trình

2cos x =

5π

3 trên đoạn

0;

2

là

A. 2 . B. 1. C. 4. D. 3.

Dạng 3. Phương trình tanx=a

Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm

(THPT KIẾN AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình

tan x m m∈R .

= , ( )

A. x = arctan m + kπ hoặc x π arctan m kπ

k ∈Z .

= − + , ( )

= ± + , ( k ∈Z ) .

= + , ( k ∈Z ) .

= + , ( k ∈Z ) .

B. x arctan m kπ

C. x arctan m k2π

D. x arctan m kπ

Câu 66. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Phương trình tan x = 3 có tập nghiệm là

π

π

π

A. + k2 π , k ∈ Z . B. ∅ . C. + kπ

, k ∈Z . D. + kπ

, k ∈Z .

3

3 6

Câu 67.

(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình

tan 3x

= tan x là

kπ

kπ

A. x = , k ∈Z . B. x = kπ

, k ∈ Z . C. x = k2 π , k ∈ Z . D. x = , k ∈Z .

2

6

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 68. Phương trình

( )

tan 3x − 15° = 3

có các nghiệm là:

A. x = 60° + k180° . B. x = 75° + k180° . C. x = 75° + k60° . D. x = 25° + k60°

.

10

Câu 69. Phương trình lượng giác: 3.tan x + 3 = 0 có nghiệm là:

π

π

π

π

A. x = + kπ

. B. x = − + k2π

. C. x = + kπ

. D. x = − + kπ

.

3

3

6

3

2

Câu 70. Giải phương trình: tan x = 3 có nghiệm là:

π

π

π

A. x = + kπ

. B. x = − + kπ

. C. x = ± + kπ

. D. vô nghiệm.

3

3

3

Câu 71. Nghiệm của phương trình 3 + 3tan x = 0 là:

π

π

π

π

A. x = − + kπ

. B. x = + kπ

. C. x = + kπ

. D. x = + k2π

.

6

2

3

2

Câu 72. (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Giải phương trình 3 tan 2x − 3 = 0.

π

π π

A. x = + kπ

( k ∈ Z ) . B. x = + k ( k ∈ Z ) .

6

3 2

π

π π

C. x = + kπ

( k ∈ Z ) . D. x = + k ( k ∈ Z ) .

3

6 2

Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm

Câu 73. Tính tổng các nghiệm trong đoạn [ ]

A. 55 π.

B. 171 π

.

2

0;30 của phương trình: tan x = tan3x

(1)

C. 45 π.

D. 190 π

.

2

Câu 74. Trong các nghiệm dương bé nhất của các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm dương nhỏ

nhất?

π

A. tan 2x = 1 . B. tan x − = 3 . C. cot x = 0 . D. cot x = − 3 .

4

Câu 75.

(THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình

− 3

tan x = được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?

3

A'

D

E

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

A. Điểm F , điểm D . B. Điểm C , điểm F .

y

O

B

B'

C

F

A

x

11

C. Điểm C , điểm D , điểm E , điểm F . D. Điểm E , điểm F .

3π

π

Câu 76. Số nghiệm của phương trình tan x = tan trên khoảng ;2π

11

4 là?

A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 77. Tổng các nghiệm của phương trình tan5x

tan x 0

− = trên nửa khoảng [ )

0;π bằng:

A. 5 π 3π . B. π . C. . D. 2π .

2

2

0

0 0

Câu 78. Tính tổng các nghiệm của phương trình tan ( 2x − 15 ) = 1 trên khoảng ( 90 ;90 )

A.

0

0 . B.

0

− 30 .

C.

0

30 . D.

− bằng.

Dạng 4. Phương trình cotx=a

Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm

Câu 79. Phương trình lượng giác 3cot x − 3 = 0 có nghiệm là:

π

π

π

A. x = + k2π

. B. Vô nghiệm. C. x = + kπ

. D. x = + kπ

.

3

6

3

Câu 80. (Sở GD Kiên Giang-2018-BTN) Phương trình 2cot x − 3 = 0 cónghiệmlà

π

x = + k2π

6

A.

( k ∈ Z ) . B. x = π + k2π

( k ∈ Z )

π

3

x = − + k2π

6

3

2

π

= + ∈ .

6

C. x = arccot + kπ

( k ∈ Z ) . D. x kπ

( k Z )

Câu 81. Giải phương trình ( )

cot 3x − 1 = − 3.

1 5 π π

3 18 3

C. x 5 π π

k ( k

18 3

Z ).

Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm

1 π π

3 18 3

x = 1 − π + kπ

k ∈ Z

3 6

A. x = + + k ( k ∈ Z ).

B. x = + + k ( k ∈ Z )

= + ∈ D. ( )

Câu 82. (THPT Hồng Quang - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Nghiệm của phương trình

π

π kπ

*

cot x + = 3 có dạng x = − + , k ∈Z , m , n ∈ N và k là phân số tối giản. Khi đó m

3

m n

n − n

bằng

A. 3. B. 5. C. − 3. D. − 5.

Câu 83. Hỏi trên đoạn [ ]

0;2018π , phương trình 3 cot x − 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

.

−

.

0

60 .

A. 2018. B. 6340. C. 2017. D. 6339.

Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp

12

Câu 84. (GKI THPT NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Trong các phương trình sau,

phương trình nào vô nghiệm?

⎛ π⎞ 2

A. tan x = 99 . B. cos π

2x

3

⎜ − =

⎜⎝ 2⎟

. C. cot 2018x = 2017 . D. sin 2x = − .

⎠ 3

4

π 2π

Câu 85. Trong các phương trình sau, phương trình nào nhận x k

6 3

π

A. sin 3x

= sin − 2 x.

B. cos x = sin 2 x.

4

π

C. cos 4x

= −cos6 x.

D. tan 2x

= − tan .

4

làm nghiệm

Câu 86. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình sin x = cos x có số nghiệm

−π;

π là:

thuộc đoạn [ ]

A. 3 B. 5 C. 2 D. 4

Câu 87. (TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ 2 NĂM 2018-2019) Giải phương trình

x x

2 cos − 1sin + 2

= 0

2 2

A. 2 π

π

x = ± + k2 π ,( k ∈Z )

B. x = ± + k2 π ,( k ∈Z )

3

3

π

C. x = ± + k4 π ,( k ∈Z )

D. 2 π

x = ± + k4 π ,( k ∈Z )

3

3

Câu 88.

Câu 89.

Câu 90.

(THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình

8.cos 2 x.sin 2 x.cos 4x = − 2 có nghiệm là

−π

π

π π

x = + k

32 4

x = + k

16 8

A.

( k ∈Z ) . B.

( k ∈Z ) .

5π

π

3π

π

x = + k

x = + k

32 4

16 8

π π

π π

x = + k

8 8

x = + k

32 4

C.

( k ∈Z ) . D.

( k ∈Z ) .

3π

π

3π

π

x = + k

x = + k

8 8

32 4

(CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tìm số nghiệm của phương trình

sin cos 2 0 0;2 π .

( x ) = trên [ ]

A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3.

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. tan x = 3 . B. sin x + 3 = 0 .

C. 3sin x − 2 = 0 .

2

D. 2cos x − cos x − 1 = 0 .

Câu 91. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong khoảng ( )

= + ( k ∈Z)

tập nghiệm là S . Hãy xác định S .

π 2π 3π 7π

A. S = ; ; ;

3 3 10 10 . B. π

3π

S = ;

6 10 .

0;π , phương trình cos 4x

+ sin x = 0 có

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

13

π π 7π

C. S = ; ;

6 10 10 . D. π 5π 3π 7π

S = ; ; ;

6 6 10 10 .

Câu 92. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Phương trình cos3 x .tan5x = sin 7x nhận những giá trị sau của x

làm nghiệm

π

π

π

π

A. x = . B. x = 10 π ; x = . C. x = 5π

; x = . D. x = 5π

; x =

2

10

10

20

Câu 93. (THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin 2x

= cos x có nghiệm là

π kπ

π kπ

x = +

6 3

x = +

6 3

A.

( k ∈Z ) . B.

( k ∈Z ) .

π

π

x = + k2π

x = + k2π

2

3

π

π k2π

x = + k2π

6

x = +

6 3

C.

( k ∈Z ) . D.

( k ∈Z ) .

π

π

x = + k2π

x = + k2π

2

2

Câu 94.

Câu 95.

2

(THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Số nghiệm của phương trình 4 − x sin 2x

= 0 là

A. 2 . B. 5 . C. 4 . D. 3 .

(THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018) Phương trình

sin x cos x

x ∈ 0;5π

?

= có bao nhiêu nghiệm ( )

A. 3. B. 4 . C. 5. D. 6 .

Câu 96. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Nghiệm của phương trình sin 3x

= cos x là

A. x = kπ ; x k π

π π π

= . B. x = + k ; x = + kπ

.

2

8 2 4

π

π

C. x = k2π

; x = + k2π

. D. x = kπ ; x = + kπ

.

2

4

Câu 97. (THPT HÒA VANG - ĐÀ NẴNG - 2018) Phương trình sin 2x

+ cos x = 0 có tổng các nghiệm

0;2π bằng

Câu 98.

trong khoảng ( )

A. 2π . B. 3π . C. 5π . D. 6π .

(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Số nghiệm chung của hai phương trình

π 3π

2sin x + 1 = 0 trên khoảng − ;

2 2 bằng

A. 2 . B. 4 . C. 3. D. 1.

2

4cos 3 0

Câu 99. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Giải phương trình sin xsin 7x = sin 3xsin5x

.

kπ

kπ

kπ

A. x = kπ

, k ∈ Z . B. x = , k ∈ Z . C. x = , k ∈ Z . D. x = , k ∈ Z .

6

4

2

x − = và

Câu 100. (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Tìm số nghiệm của phương trình sin x = cos 2x

thuộc

0;20π .

đoạn[ ]

A. 20 . B. 40 . C. 30 . D. 60 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

14

Dạng 1. Phương trình sinx=a

Dạng 1.1 Không có điều kiện nghiệm

Câu 1.

x x π

Phương trình tương đương sin = 1 ⇔ = + k2π ⇔ x = π + k4 π , k ∈ Z

2 2 2

Câu 2.

π π π

5π

sin x − = 1 ⇔ x − = + k2π

⇔ x = + k2π

( k ∈Z ) .

3 3 2

6

Câu 3.

π

π

Ta có: sin 2x = 1 ⇔ 2x = + k2π

⇔ x = + kπ

.

2 4

Câu 4.

3

Ta có: 2sin x − 3 = 0 ⇔ sin x = > 1 nên phương trình vô nghiệm.

2

Câu 5.

π

Ta có sin x = 1 ⇔ x = + k2π ( k ∈Z ) .

2

π

Do đó x = là một nghiệm của phương trình sin x = 1.

2

Câu 6. Ta có sin x =

x =

π

+ k2π

3 3

⇔

, với k ∈Z

2 x =

2π

.

+ k2π

3

Câu 7.

x

= 30° + k360°

x

= 30° + k360°

Ta có sin x = sin 30° ⇔

⇔

x

= 180° − 30° + k360°

( k ∈Z ) .

x

= 150° + k360°

Câu 8.

π

Ta có sin x = 1 ⇔ x = + k2π

, k ∈Z .

2

Câu 9.

π π π

π

Ta có sin x + = 1 ⇔ x + = + k2π

⇔ x = + k2π

( k ∈Z ) .

6 6 2

3

Câu 10.

π

x k2π

1 π

= +

6

Ta có: 2sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = ⇔ sin x = sin ⇔

k ∈Z .

2 6 5π

x = + k2π

6

Câu 11. Chọn B

1 π

Ta có: 2sin x + 1 = 0 ⇔ sin x = − = sin −

2 6

π

x = − + k2

π

6

⇔

( k ∈ Z )

7π

x = + k2

π

6

π

2

3

x = + k π

3

2sin 3 0 sin .

2 2π

x = + k2π

3

π

2π

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = + k2 π , + k2 π , k ∈ Z

3 3

Câu 12. x − = ⇔ x = ⇔

( k ∈Z

)

Câu 13.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Dạng 1.2 Có điều kiện nghiệm

Chọn C

15

Câu 14.

Ta thấy 2 điểm M và N là các giao điểm của đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm 1 2 với

đường tròn lượng giác ⇒ M và N là các điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình lượng giác

1

cơ bản: sin x = ⇔ 2sin x = 1 ⇒ Đáp án. C.

2

Chọn B

π 3π

2x − = x + + k2π

x

= π + k2π

π 3π

4 4

Ta có: sin 2x

sin x

− = + ⇔

⇔ π 2π

( k ∈Z ) .

4 4 π 3π

x = + k

2x − = π − x − + k2π

6 3

4 4

+ Xét x π k2π

k ∈Z .

= + ( )

1

Do 0 < x < π ⇔ 0 < π + k2π < π ⇔ − < k < 0 . Vì k ∈Z nên không có giá trị k .

2

π 2π

+ Xét x = + k ( k ∈Z ) .

6 3

π 2π

1 5

Do 0 < x < π ⇔ 0 < + k < π ⇔ − < k < . Vì k ∈Z nên có hai giá trị k là: k = 0; k = 1.

6 3 4 4

π

• Với k = 0 x = .

6

5π

• Với k = 1 x = .

6

π 5π

Do đó trên khoảng ( 0;π ) phương trình đã cho có hai nghiệm x = và x = .

6 6

π 5π

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng ( 0;π ) là: + = π .

6 6

Câu 15. Chọn B

2

m − 5

Phương trình đã cho tương đương với phương trình sin 2x

=

3

2

m

Vì sin 2x ∈[ − 1;1]

nên − 5

2

−2 2 ≤ m ≤ − 2

∈ [ − 1;1] ⇔ m ∈ [ 2;8]

⇔ 3

2 ≤ m ≤ 2 2

Vậy có 2 giá trị.

1−m

1−m

Câu 16. 3sin x + m− 1=

0 ⇔ sin x = , để có nghiệm ta có −1≤ ≤1

⇔ −2 ≤ m ≤ 4

3

3

Nên có 7 giá trị nguyên từ − 2; đến 4 .

Câu 17. Ta có sin ( cos2x)

= 0 ⇔ cos2x = kπ ( k ∈Z )

π π π

2 1;1 0 2 0 2

1 1 1

.

2 4 2

x ∈ 0;2π

k ∈ 0;1;2;3 .

Vì cos x ∈[ − ] k = cos x = ⇔ x = + k π ⇔ x = + k ( k ∈Z )

[ ] 1 { }

Vậy phương trình có 4 nghiệm trên [ π ]

0;2 .

⎡ π π

3x

+ = − + k2π

⎛ π⎞ 3 ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 3 3

⎜ ⎝ 3⎠⎟ 2 ⎝ ⎜ 3⎠⎟ ⎜⎝ 3⎠⎟

π π

⎢3x

+ = π + + k2π

⎣ 3 3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 18. Ta có sin 3x + = − ⇔ sin 3x + = sin − ⇔ ( k ∈ Z )

16

Câu 19.

Câu 20.

2π

2π

x = − + k

9 3

⇔

( k ∈ Z)

.

π 2π

x = + k

3 3

2π 2π π 2π 2π π 1 13

+) TH1: x = − + k ∈

0; ⇔ 0 < − + k < ⇔ < k < . Do k ∈ Z ⇒ k = 1. Suy

9 3 2 9 3 2 3 12

4

ra trường hợp này có nghiệm x = π thỏa mãn.

9

π 2π π π 2π π 1 1

+) TH2: x = + k ∈0; ⇔ 0 < + k < ⇔ − < k < . Do k ∈ Z ⇒ k = 0 . Suy ra

3 3 2 3 3 2 2 4

trường hợp này có nghiệm x = π thỏa mãn.

3

⎛ π⎞ Vậy phương trình chỉ có 2 nghiệm thuộc khoảng ⎜0; ⎜⎝ 2 ⎟⎠ .

Chọn D

Tự luận

π

π

x = + k2π

x = + k2π

3 π 3 3

2sin x − 3 = 0 ⇔ sin x = ⇔ sin x = sin ⇔

⇔

, k ∈ Z

2 3 π

2π

x = π − + k2π x = + k2π

3

3

π

- Xét x = + k2π

3

π π 5π

1 5

0 ≤ x ≤ 2π ⇔ 0 ≤ + k2π ≤ 2π ⇔ − ≤ k2π

≤ ⇔ − ≤ k ≤ k = 0

3 3 3 6 6

π

Chỉ có một nghiệm x = ∈ [ 0;2π

]

3

2π

- Xét x = + k2π

3

2π 2π 4π

1 2

0 ≤ x ≤ 2π ⇔ 0 ≤ + k2π ≤ 2π ⇔ − ≤ k2π

≤ ⇔ − ≤ k ≤ k = 0

3 3 3 3 3

2π

Chỉ có một nghiệm x = ∈ [ 0;2π

]

3

0;2π .

Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn [ ]

−π

1

x = + k2π

6

Phương trình tương đương: sin x = − ⇔ , ( k ∈Z )

2 7π

x = + k2π

6

π

3π

π

−2 61

+ Với x = − + k2π

, k ∈Z ta có − ≤ − + k2π

≤ 10π

, k ∈Z ⇔ ≤ k ≤ , k ∈Z

6

2 6

3 12

0 ≤ k ≤ 5, k ∈Z . Do đó phương trình có 6 nghiệm.

7π

3π

7π

−4 53

+ Với x = + k2π

, k ∈Z ta có − ≤ + k2π

≤ 10π

, k ∈Z ⇔ ≤ k ≤ , k ∈Z

6

2 6

3 12

−1≤ k ≤ 4 , k ∈Z . Do đó, phương trình có 6 nghiệm.

+ Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đôi một, vì nếu

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

17

Câu 21.

π 7π

2

− + k2π

= + k′ 2π

⇔ k − k′

= (vô lí, do k , k′∈Z ).

6 6 3

3 π

Vậy phương trình có 12 nghiệm trên đoạn

− ;10 π

2

.

π 3π

π 3π

2x − = x + + k2π

x

= π + k2π

4 4

Ta có sin 2x

− = sin x + ⇔ ⇔

4 4 π π

π 2π

x = + l

2x − = − x + l2π

6 3

4 4

Họ nghiệm x π k2π

0; π .

π 2π

x = + l ∈

6 3

= + không có nghiệm nào thuộc khoảng ( )

π 2π

⇔ ∈ .

6 3

π

0; π là x = và

6

0; π của phương trình này bằng π .

( 0; π ) 0 < + l < π l { 0; 1}

Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng ( )

nghiệm thuộc khoảng ( )

( k,

l ∈ )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Z .

5π

x = . Từ đó suy ra tổng các

6

π

2

1

x = + kπ

6

Câu 22. Ta có: sin x = ⇔ ( k ∈Z ) .

2 5π

x = + 2kπ

6

π π

Vì x ∈

− ;

2 2

nên π π

x = S = .

6 6

π π

π 3

3x

+ = − + k2π

3 3

Câu 23. Ta có: sin 3x

+ = − ⇔ ( k ∈Z )

3 2 π 4π

3x

+ = + k2π

3 3

2π

2π

2π

3x

= − + k2π

x = − + k

⇔

9 3

3

( k ∈Z)

⇔ ( k ∈Z ) .

π 2π

3x

= π + k2π

x = + k

3 3

π

Vì x ∈ 0;

2 nên π 4π

x = , x = .

3 9

π

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng 0;

2 .

π

3 π

x = + k2π

3

Câu 24. 2sin x − 3 = 0 ⇔ sin x = = sin ⇔

.

2 3 2π

x = + k2π

3

π 2π π 2π

Các nghiệm của phương trình trong đoạn [ 0;π ] là ; nên có tổng là + = π .

3 3

3 3

π π π

3 π

2x

= − + k2π

3

x = − + kπ

6

x = − + kπ

6

Câu 25. Ta có: sin 2x

= − = sin − ⇔ ⇔ ⇔ .

2 3 4π

2π

2x

= + k2π

π

x = + kπ

x = − + kπ

3

3 3

18

π π

π

Vậy α = − và β = − . Khi đó α + β = − .

6 3

2

π

2

1

x = + kπ

6

Câu 26. Ta có: sin x = ⇔ ( k ∈Z ) .

2 5π

x = + 2kπ

6

π π

Vì x ∈

− ;

2 2

nên π π

x = S = .

6 6

π

2

1

x = − + k π

6

Câu 27. Ta có 2sin x + 1 = 0 ⇔ sin x = − ⇔ ( k ∈Z )

2 7π

x = + k2π

6

π 7π

Với k = 0 x = − hoặc x = .

6 6

π

7π

Điểm biểu diễn của x = − là F , điểm biểu diễn x = là E .

6

6

π π π π

Câu 28. Ta có sin x + = 1 ⇔ x + = + k2π

⇔ x = + k2π

, k ∈Z .

4 4 2 4

π;2π của phương trình là 1.

Suy ra số nghiệm thuộc [ ]

π

1

x = + k2π

6

Câu 29. Ta có: 2sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = ⇔ ( k ∈Z ) .

2 5π

x = + k2π

6

π 5π

Do x ∈ ( 0;2π

) nên ta có x = ; x = .

6 6

Câu 30. Ta có

π

5x = x + k2π

x = k

2

sin 5x

− sin x = 0 ⇔ sin 5x

= sin x ⇔ ⇔

5x = π − x + k2π

π π (*)

x = + k

6 3

π

x = k ( k ∈Z)

2

5π

⇔ x = + mπ

( m∈Z)

.

6

π

x = + nπ

( n∈Z)

6

π

− 2018π

≤ k ≤ 2018π

2

−4036 ≤ k ≤ 4036

5π

12113 12103

Vì x ∈[ − 2018 π;2018π

] nên − 2018π ≤ + mπ ≤ 2018π

⇔ − ≤ m ≤ .

6

6 6

π

12109 12107

− 2018π ≤ + nπ ≤ 2018π

− ≤ n ≤

6

6 6

Do đó có 8073 giá trị k , 4036 giá trị m , 4036 giá trị n , suy ra số nghiêm cần tìm là 16145.

nghiệm.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

19

Câu 31.

Câu 32.

Câu 33.

Câu 34.

Chọn A

⎡ π

x = + k2π

1

π

6

+ Phương trình tương đương sin x = ⇔ sin x = sin ⇔ ⎢ , ( k ∈ Z ).

2

6

5π

⎢x

= + k2π

⎢⎣ 6

π

+ Với x = + k2π

, ( k ∈ Z ).

6

⎡ 5π

⎤ π 5π

1 7

Vì x ∈ 0; nên 0 ≤ + k2π

≤ , k ∈ Z ⇔ − ≤ k ≤ , k ∈ Z ⇒ k ∈ { 0;1}

.

⎢ ⎣ 2 ⎥ ⎦ 6 2

12 6

⎧

π 13π⎫

Suy ra: x ∈⎨

⎪ ; ⎪

⎬

⎪⎩ 6 6

⎪⎭ .

5π

+ Với x = + k2π

, ( k ∈ Z ).

6

⎡ 5π

⎤ 5π

5π

5 5

Vì x ∈ 0; nên 0 ≤ + k2π

≤ , k ∈ Z ⇔ − ≤ k ≤ , k ∈ Z ⇒ k = 0 .

⎢ ⎣ 2 ⎥ ⎦ 6 2

12 6

5π

Suy ra: x = .

6

⎧

π 5π 13π

⎫

Do đó x ∈⎨

⎪ ; ; ⎪

⎬

⎪⎩ 6 6 6

⎪⎭ .

Vậy số nghiệm của phương trình là 3.

Chọn B

π

3 π

x = + k2π

3

2sin x − 3 = 0 ⇔ sin x = = sin ⇔

.

2 3 2π

x = + k2π

3

π 2π π 2π

Các nghiệm của phương trình trong đoạn [ 0;π ] là ; nên có tổng là + = π .

3 3

3 3

Chọn A

π

2

1

x = + kπ

6

Ta có: sin x = ⇔ ( k ∈Z ) .

2 5π

x = + 2kπ

6

π π

Vì x ∈

− ;

2 2

nên π π

x = S = .

6 6

Chọn A

−π

1

x = + k2π

6

Phương trình tương đương: sin x = − ⇔ , ( k ∈Z )

2 7π

x = + k2π

6

π

3π

π

−2 61

+ Với x = − + k2π

, k ∈Z ta có − ≤ − + k2π

≤ 10π

, k ∈Z ⇔ ≤ k ≤ , k ∈Z

6

2 6

3 12

0 ≤ k ≤ 5, k ∈Z . Do đó phương trình có 6 nghiệm.

7π

3π

7π

−4 53

+ Với x = + k2π

, k ∈Z ta có − ≤ + k2π

≤ 10π

, k ∈Z ⇔ ≤ k ≤ , k ∈Z

6

2 6

3 12

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

20

Câu 35.

−1≤ k ≤ 4 , k ∈Z . Do đó, phương trình có 6 nghiệm.

+ Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đôi một, vì nếu

π 7π

2

− + k2π

= + k′ 2π

⇔ k − k′

= (vô lí, do k , k′∈Z ).

6 6 3

3 π

Vậy phương trình có 12 nghiệm trên đoạn

− ;10 π

2

.

Chọn B

π π

π

π 3

2x

− = + k2π

3 3

Ta có 2sin 2x

− − 3 = 0 ⇔ 2sin 2x

− = ⇔

3

3 2 π π

2x

− = π − + k2π

3 3

π

x = + kπ

3

π 4π 7π π 3π 5π

⇔ , k ∈Z . Vì x ∈ ( 0;3π

) nên x ∈ ; ; ; ; ;

π

3 3 3 2 2 2 .

x = + kπ

2

Dạng 2. Phương trình cosx=a

Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm

Câu 36. Chọn D

x

= k2π

π 2 π π

Phương trình cos cos cos

x + = ⇔ x + = ⇔ π ( k ∈ Z ) .

4 2 4 4 x = − + k2π

2

Câu 37. Chọn A

1 2 2

Ta có: cos ⎛ π⎞ π

=− ⇔ cos cos 2 π

2 = ⎜

⇔ = ± +

⎜⎝ 3 ⎟⎠

3

( ∈ Ζ)

Câu 38. Chọn D.

Ta có cos x = 1 ⇔ x = k2π , k ∈ Z .

Câu 39. Chọn C

π π

Phương trình cos x = cos ⇔ x = ± + k2π

( k ∈ Z )

3 3

Câu 40. Chọn A

π

Theo công thức nghiệm đặc biệt thì cos x = 0 ⇔ x = + kπ

( k ∈Z ) . Do đó Chọn

2

A.

Câu 41.

x

= k2π

π 2 π π

Phương trình cos x cos x cos

+ = ⇔ + = π ( k ∈Z ) .

4 2 4 4 x = − + k2π

2

Câu 42.

x x π

3π

cos = 0 ⇔ = + kπ

⇔ x = + 3kπ

, k ∈Z .

3 3 2

2

Câu 43.

1 π

Phương trình 2cos x − 1=

0 ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k2π

, k ∈Z .

2 3

Câu 44. 2cos x − 2 = 0

⇔ cos x =

π

2

2

x = + k π

4

⇔

, k ∈Z .

2 π

x = − + k2π

4

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

21

Câu 45.

1 π

TXĐ: D = R . Ta có 2cos x − 1=

0 ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k2π

, k ∈Z .

2 3

Câu 46. Phương trình cos x = − 1 ⇔ x = π + k2π

, k ∈Z .

2

3π

3π

Câu 47. cos x = − ⇔ cos x = cos ⇔ x = ± + k2 π , k ∈ Z .

2

4 4

3π

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = x = ± + k2 π ; k ∈ Z .

4

Câu 48. Ta có: cos x 1 x π k2π

k ∈Z .

Câu 49.

= − ⇔ = + ( )

π

cos x = 0 ⇔ x = + kπ

( k ∈Z ) .

2

cos x 1 x k2π

k ∈Z .

= ⇔ = ( )

2 3 3

Phương trình tương đương với cos x cos π π

= − = x = ± + k2π

2 4 4

π

1

π

x = − α + + k2π

3

2cos x + α = 1 ⇔ cos x + α = x α k2π

⇔

2

3 π

x = −α

− + k2π

3

Câu 50. ( ) ( )

Câu 51.

⇔ + = ± + ( k ∈ )

Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm

Chọn A

Do cos x ≤ 1,

∀x

∈R nên phương trình: cos x − m = 0 ⇔ cos x = m

có nghiệm khi m ≤ 1 và vô nghiệm khi m > 1.

π π

Câu 52. Ta có: 4sin 2x − 1 = 0 ⇔ 2( 1− cos 4x) − 1 = 0 ⇔ cos 4 x = ⇔ x = ± + k ( k ∈ Z ) .

2 12 2

π

x1

=

12

π

x2

= −

π π π π

Do x = ± + k ∈ − ;

12

12 2 2 2 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 .

5π

x3

= −

12

5π

x4

=

12

Câu 53. Phương trình:

π π 2

2cos x + = 1 ⇔ cos x + =

3 3 2

π π

π

x + = + k 2π

3 2

x = + k 2π

6

⇔

( k ∈ Z ) ⇔

( k ∈ Z )

π π

5π

x + = − + k 2π

x = − + k 2π

3 2

6

π

7π

Vì x ∈ [ 0;2π

] nên x ∈ , . Vậy số nghiệm phương trình là 2

6 6

Câu 54. Chọn D.

2 1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Z .

22

2π

π

2x k2π

x kπ

1

2π

= +

3

= +

3

cos 2x = − ⇔ cos 2x

= cos ⇔

⇔

( k ∈Z

)

2

3 2π

π

2x = − + k2π

x = − + kπ

3

3

m + n = 3 + 3 = 6 .

Câu 55. Chọn B

Phương trình:

π π 2

2cos x + = 1 ⇔ cos x + =

3 3 2

π π

π

x + = + k 2π

3 2

x = + k 2π

6

⇔

( k ∈ Z ) ⇔

( k ∈ Z )

π π

5π

x + = − + k 2π

x = − + k 2π

3 2

6

π

7π

Vì x ∈ [ 0;2π

] nên x ∈ , . Vậy số nghiệm phương trình là 2

6 6

π

π π π π

π

Câu 56. Ta có cot x + = 3 ⇔ cot x + = cot ⇔ x + = + kπ

⇔ x = − + kπ

,( k ∈Z ) .

3

3 6 3 6

6

m

= 6

Vậy m − n = 5 .

n

= 1

π

π

1

2x

= + k2π

3

x = + kπ

6

Câu 57. Phương trình 2cos 2x − 1 = 0 ⇔ cos 2x

= ⇔ ⇔ .

2 π

π

2x

= − + k2π

x = − + kπ

3 6

π

−1 5

π

0 ≤ + kπ

≤ π

6

Xét x ∈ [ 0; π ] ⇔

≤ k ≤

6 6

k

= 0

x =

6

⇔ mà k ∈Z suy ra

π

1 7

⇔ .

0 ≤ − + kπ

≤ π k = 1

≤ k ≤

5π

x =

6

6 6

6

5π

Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2x − 1 = 0 trong đoạn [ 0;π ] là x = .

6

2

Câu 58. Ta có cos3x − 1 = 0 ⇔ cos3x

= 1 ⇔ x = k π , k ∈Z .

3

1 2π

π

cos 2x = − ⇔ 2x

= ± + k2π

⇔ x = ± + kπ

, k ∈Z .

2 3

3

Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác ta có tập các nghiệm của phương trình (1) đồng

2π

thời là nghiệm của phương trình (2) là x = ± + kπ

, k ∈Z .

3

1 2π

π

Câu 59. Ta có: cos 2x = − ⇔ 2x = ± + k2π

⇔ x = ± + kπ

, ( k ∈Z ) .

2 3 3

π 2π

Do số đo một góc là nghiệm nên x = hoặc x = thỏa mãn.

3 3

π π π

Vậy tam giác có số đo ba góc là: , ,

3 3 3 hoặc 2 π π π

, ,

3 6 6 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

3 π

Câu 60. 2cos x = 3 ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k2 π , k ∈ Z .

2 6

23

Câu 61.

5π

Mà x∈

0;

2

và k ∈Z nên π 11π 13π

x ∈ ; ;

6 6 6 .

1

Ta có cos x = ⇔

2

π

Xét x k2π

3

π

x = + k2π

3

, k ∈Z .

π

x = − + k2π

3

= + , do x [ 2 π;2π

]

π

Xét x k2π

3

= − + , do x [ 2 π;2π

]

π

∈ − và k ∈Z nên −2π ≤ + k2π ≤ 2π

k = − 1; k = 0 .

3

π

∈ − và k ∈Z nên −2π ≤ − + k2π ≤ 2π

k = 1; k = 0 .

3

Vậy phương trình có 4 nghiệm trên đoạn [ 2 π;2π

]

− .

x

= π + k2π

cos 2 cos 0 cos 2 cos π

π 2π

x = − + k

3 3

π

x = −

3

Vì − π < x < π .

π

x =

3

Câu 63. Ta có: cos 2x

− cos x = 0 ⇔ cos 2x

= cos x

x

= k2π

2x = x + k2π

⇔

k2 π

⇔ k2π

⇔ x = ;( k ∈Z

2x = − x + k2π

) .

x =

3

3

k2π

Vì x∈ ( 0;2π

) nên 0 < < 2π

⇔ 0 < k < 3.

3

2π

4π

Do k ∈Z nên k ∈ { 1;2}

x = ; x = .

3 3

2π

4π

Vậy T = + = 2π

.

3 3

Câu 64. Chọn D

3 π

2cos x = 3 ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k2 π , k ∈ Z .

2 6

5π

Mà x∈

0;

2

và k ∈Z nên π 11π 13π

x ∈ ; ;

6 6 6 .

Câu 62. Ta có x + x = ⇔ x = ( + x) ⇔

( k ∈Z

)

Dạng 3. Phương trình tanx=a

Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm

Câu 65. Ta có: tan x m x arctan m kπ

k ∈Z .

= ⇔ = + , ( )

π π

Câu 66. Ta có tan x = 3 ⇔ tan x = tan ⇔ x = + kπ

, k ∈Z .

3 3

kπ

Câu 67. Ta có tan 3x = tan x ⇔ 3 x = x + kπ

⇔ x = , k ∈Z .

2

Trình bày lại

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

24

ĐK:

π kπ

x ≠ +

cos3x ≠ 0 6 3

⇔⇔

cosx ≠ 0 π

x ≠ + kπ

2

(*)

kπ

Ta có tan 3x = tan x ⇔ 3 x = x + kπ

⇔ x = , k ∈Z.

Kết hợp điều kiện (*)

suy ra x = kπ

, k ∈ Z

2

Câu 68. Chọn D

Ta có: tan 3x − 15° = 3 ⇔ tan 3x − 15° = tan 60° ⇔ 3x − 15° = 60° + k180°

Câu 69.

Câu 70.

Câu 71.

Câu 72.

Câu 73.

Câu 74.

( ) ( )

( ).

⇔ x = 25° + k60° k ∈Z

Chọn D

3.tan x + 3 = 0 ⇔ tanx = − 3 ⇔ x = − π + kπ.

3

Chọn C

2

tan x = 3 ⇔ tanx = ± 3 ⇔ x = ± π + kπ

, k ∈ Z .

3

Chọn A

3 π

3 + 3tan x = 0 ⇔ tan x = − ⇔ x = − + kπ

( k ∈ Z ) .

3 6

Chọn D

π

π π

3 tan 2x

− 3 = 0 ⇔ tan 2x

= 3 ⇔ 2x

= + kπ

⇔ x = + k ( k ∈ Z ) .

3

6 2

Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm

Chọn C

π

x ≠ + kπ

cos x ≠ 0 2

Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa ⇔ (*)

cos3x

≠ 0 π kπ

x ≠ +

6 3

kπ

Khi đó, phương trình (1) 3x = x + kπ

⇔ x = so sánh với đk (*)

2

x

= k2π

, x =∈[ 0;30] k = { 0;...;4} x ∈{ 0; π;2 π;....;9π

}

x

= π + k2π

0;30 của phương trình (1) là: 45π .

Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn [ ]

Chọn A

π π π π

A. tan 2x = 1 ⇔ tan 2x = tan ⇔ 2x = + kπ

⇔ x = + k ( k ∈Z)

.

4 4 8 2

π

(Với k = 0 nên nghiệm dương bé nhất là x = )

8

π

π π 7π

B. tan x − = 3 ⇔ x − = + kπ

⇔ x = + kπ

( k ∈Z)

.

4

4 3 12

7π

Nghiệm dương bé nhất là x = .

12

π

π

C. cot x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = + kπ

( k ∈Z)

Nghiệm dương bé nhất là x = .

2

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

25

Câu 75.

Câu 76.

Câu 77.

Câu 78.

Câu 79.

Câu 80.

Câu 81.

π π

D. cot x = − 3 ⇔ cot x = cot − ⇔ x = − + kπ

( k ∈Z)

.

6 6

5π

Chọn k = 1

Nghiệm dương bé nhất là x = .

6

π

Vậy giá trị nhỏ nhất là x = nên ta chọn đáp án A.

8

− 3 π

tan x = ⇔ x = − + kπ

, k ∈Z .

3 3

π 2π

Với 0 < x < 2π

x = − hoặc x = .

3 3

Lời Giải.

Chọn C

Ta có 3 π 3 π

tan x = tan ⇔ x = + kπ

( k ∈ Z ).

11 11

π π 3π

CASIO

k∈Z

Do x ∈

; 2π → < + kπ < 2π

⎯⎯⎯→ −0,027 ⎯⎯⎯→ k ∈{ 0;1 }.

xapxi

4 4 11

Chọn C

kπ

Ta có: tan5x

− tan x = 0 tan 5x

tan x ⇔ 5x = x + kπ

⇔ x = k ∈ Z

4

kπ

k∈Z

Vì x∈ [ 0; π ) , suy ra 0 ≤ < π ⇔ 0 ≤ k < 4 ⎯⎯⎯→ k = { 0;1;2;3 }

4

π π 3π

Suy ra các nghiệm của phương trình trên [ 0;π ) là 0; ; ;

4 2 4

π π 3π 3π

Suy ra 0 + + + =

4 2 4 2

⇔ = ( )

Lời Giải.

Chọn A

tan 2x − 15 0 = 1⇔ 2x − 15 0 = 45 0 + k180 0 ⇔ x = 30 0 + k90 0 k ∈ Z .

Ta có ( ) ( )

Do ( )

0 0 0 0 0 0 4 2

x ∈ −90 ;90 → − 90 < 30 + k90 < 90 ⇔ − < k <

3 3

0

k∈Z k = 1 → x = −60

0 0 0

⎯⎯⎯→

→ − 60 + 30 = 30 .

0

k = 0 → x = 30

Dạng 4. Phương trình cotx=a

Dạng 2.1 Không có điều kiện nghiệm

Chọn D

Ta có 3cot x − 3 = 0 ⇔ cot x =

3

π π

⇔ cot x = cot ⇔ x = + kπ

, ( k ∈Z ).

3 3 3

Chọn C

Ta có 2cot x − 3 = 0 ⇔ cot x =

3

3

⇔ x = arccot + kπ

( k ∈ Z )

2

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Lời Giải.

26

Câu 82.

Câu 83.

Câu 84.

Câu 85.

Chọn A

π

Ta có cot ( 3x

− 1) = − 3 ⇔ cot ( 3x

− 1)

= cot −

6 .

−π 1 π π k = 1 1 π

⇔ 3x − 1 = + kπ

⇔ x = − + k ⎯⎯→ x = + .

6 3 18 3 3 18

Dạng 2.2 Có điều kiện nghiệm

Chọn B

π

π π π π

Ta có cot x + = 3 ⇔ cot x + = cot ⇔ x + = + kπ

3

3 6 3 6

m

= 6

Vậy m − n = 5 .

n

= 1

Ta có x = ⇔ x = ⇔ x = + kπ

( k ∈ Z )

π

⇔ x = − + kπ

,( k ∈Z ) .

6

Chọn A

cot 3 cot

π π

cot

6 6

.

π

xap xi 1

Theo giả thiết, ta có 0 ≤ + kπ

≤ 2018π

⎯⎯⎯→ − ≤ k ≤ 2017,833 .

6 6

k∈Z

3 ⎯⎯⎯→ k ∈ 0;1;...;2017 . Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2018

{ }

nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dạng 5. Một số bài toán tổng hợp

Chọn B

Vì 2π > 1

3

là nên phương trình ⎛ π⎞ cos 2x

2 π

⎜ − =

2⎟

vô nghiệm.

⎜⎝ ⎠ 3

Chọn B

π

π 2π

3x = − 2x + k2π

x = + k

π 4

20 5

A. sin 3x

= sin − 2x

⇔

⇔

4 π

3π

3 x = π − ( − 2 x) + k2π x = + k2π

4

4

π

x = − 2x + k2π

π

2

B. cos x = sin 2x ⇔ cos x = cos

− 2 x ⇔

( k ∈Z)

2 π

x = − − 2x + k2π

2

π 2π

x = + k

6 3

⇔

( k ∈Z

)

π

x = − k2π

2

π π

4x π 6x k2π

x = + k

= − +

C. cos 4x = −cos6x ⇔ cos 4x = cos ( π − 6x

10 5

) ⇔

⇔

∈

4x = −( π − 6x)

+ k2π π

x = − kπ

2

π π π π

D. tan 2x = − tan ⇔ tan 2x = tan( − ) ⇔ x = − + k ( k ∈Z).

4 4 8 2

So sánh ta được đáp án là B.

Câu 86. Chọn C.

( k Z)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

27

Câu 87.

Câu 88.

π π π

4 4 4

−π;

π phương trình có hai nghiệm

Ta có sin x = cos x ⇔ 2 sin x − = 0 ⇔ x − = kπ ⇔ x = + kπ( k ∈ Z )

Trong [ ]

Chọn D

x

x

Vì −1≤ sin ≤1, ∀x

∈R

sin + 2 > 0

2 2

Vậy phương trình tương đương

x x 1 x π

2cos − 1 = 0 ⇔ cos = ⇔ = ± + k2π

2 2 2 2 3

2π

⇔ x = ± + k4 π ,( k ∈Z)

3

Ta có:

8.cos 2 x.sin 2 x.cos 4x = − 2 ⇔ 4.sin 4 x.cos 4x

= − 2 ⇔ 2.sin8x

= − 2

π π

π

x = − + k

32 4

⇔ sin 8x

= sin − ⇔

( k ∈Z ).

4 5π

π

x = + k

32 4

−π

π

x = + k

32 4

Vậy phương trình có nghiệm

( k ∈Z ) .

5π

π

x = + k

32 4

sin cos2x 0 cos2x kπ k ∈Z

Câu 89. Ta có ( ) = ⇔ = ( )

π π π

2 1;1 0 2 0 2

1 1 1

.

2 4 2

x ∈ 0;2π

k ∈ 0;1;2;3 .

Vì cos x ∈[ − ] k = cos x = ⇔ x = + k π ⇔ x = + k ( k ∈Z )

[ ] 1 { }

Vậy phương trình có 4 nghiệm trên [ π ]

0;2 .

⇔ sin 8x

= −

Câu 90. Ta có: −1 ≤ sin x ≤ 1 nên phương trình sin x + 3 = 0 ⇔ sin x = − 3 vô nghiệm.

Câu 91. Ta có cos 4x sin x 0 cos4x sin x cos4x sin ( x)

cos4x cos

π

+ = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = + x

2

π

π 2π

4x = + x + k2π

x k

2

= +

6 3

⇔

⇔

, k ∈Z .

π π 2π

4x = − − x + k2π

x = − + k

2

10 5

π 5π 3π 7π

Vì x ∈ ( 0; π ) nên S = ; ; ;

6 6 10 10 .

kπ

Câu 92. Điều kiện 5x

≠ , k ∈Z (*)

2

kπ

Phương trình tương đương cos3x.sin5x-sin7xcos5x=0 ⇔ sin2x=0 ⇔ x= . 2

π π

Ta thấy x = , x = không thỏa mãn điều kiện (*) nên loại đáp án A, B,.C

2 10

Vậy đáp án đúng là D

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2

2

28

Câu 93.

π kπ

x = +

π 6 3

sin 2x = cos x ⇔ sin 2x = sin − x

⇔

( k ∈Z ) .

2 π

x = + k2π

2

Câu 94.

−2 ≤ x ≤ 2

−2 ≤ x ≤ 2 x

= 2

x 2

2

=

x 2

4 − x sin 2x

= 0 ⇔

x = −2

⇔

⇔ x = 0 .

x = −2

x

= −2

sin 2x

= 0

π

kπ

x = ±

x

= 2

2

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm.

Câu 95.

π

Ta có sin x = cos x ⇔ tan x = 1 ⇔ x = + kπ

, k ∈Z .

4

π

1 19

Vì x ∈ ( 0;5π

) nên ta có 0 < + kπ

< 5 π , k ∈Z ⇔ − < k < , k ∈Z .

4

4 4

k ∈ 0, 1, 2, 3, 4 .

Do đó, { }

π 5π 9π 13π 17π Suy ra phương trình có 5 nghiệm thuộc ( 0;5π ) là , , , , .

4 4 4 4 4

π

π π

π

3x = − x + k2π

2

x = + k

8 2

Câu 96. sin 3x

= cos x ⇔ sin 3x

= sin − x ⇔ ⇔ .

2 π

π

3x = π − + x + k2π

x = + kπ

2

4

π

x = + kπ

2

cos x = 0

π

Câu 97. sin 2x + cos x = 0 ⇔ 2sin x cos x + cos x = 0 ⇔

⇔ x = − + k2 π ,( k ∈Z

)

2sin x + 1 = 0 6

7π

x = + k2π

6

π 3π 11π 7π

x ∈( 0;2 π ) x = ; ; ;

2 2 6 6

S = 5π

.

π 3π

Câu 98. Trên khoảng − ;

2 2 phương trình 1

2sin x + 1 = 0 ⇔ sin x = − có hai nghiệm là

2

− π

6

và 7 π

6

.

2

Cả hai nghiệm này đều thỏa phương trình 4cos x − 3 = 0 .

Vậy hai phương trình có 2 nghiệm chung.

Câu 99. Ta có: sin xsin 7x = sin 3xsin5x

⇔ cos6x − cos8x = cos 2x − cos8x

.

kπ

6x = 2x + k2π

x =

2 kπ

⇔ cos6x

= cos 2x

⇔ ⇔ ⇔ x = , k ∈Z .

6x = − 2x + k2π

kπ

4

x =

4

Câu 100. Chọn C

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

29

Ta có sin x = cos2x

⇔ sin x = 1−

2sin

π

1

x = + k2π

6

sin x = ⇔ ( k ∈Z ) .

2 5π

x = + k2π

6

π

sin x = −1

⇔ x = − + k2π

( k ∈Z )

2

x ∈ 0;20π

:

Xét [ ]

2

1

sin x =

x ⇔ 2 .

sin x = −1

π

π

1 119

Với x = + k2π

, ta có 0 ≤ + k2π

≤ 20π

⇔ − ≤ k ≤ , do k ∈Z nên.

6

6

12 12

5π

5π

5 115

Với x = + k2π

, ta có 0 ≤ + k2π

≤ 20π

⇔ − ≤ k ≤ , do k ∈Z nên.

6

6

12 12

π

π

1 41

Với x = − + k2π

, ta có 0 ≤ − + k2π

≤ 20π

⇔ ≤ k ≤ , do k ∈Z nên.

2

2

4 4

0;20π .

Vậy phương trình đã cho có 30 nghiệm thuộc đoạn [ ]

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

30

TOÁN 11

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP

BÀI 3

MỤC LỤC

PHẦN A. CÂU HỎI ....................................................................................................................................................... 2

Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ..................................................... 2

Dạng 1.1 Không cần biết đổi ........................................................................................................................................ 2

Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai ........................................................................................................... 3

Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm .............................................................................................................................. 4

Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos ......................................................................... 6

Dạng 2.1 Không cần biến đổi ....................................................................................................................................... 6

Dạng 2.2 Cần biến đổi .................................................................................................................................................. 7

Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm .............................................................................................................................. 8

Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm ................................................................................................................................... 8

Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm ....................................................................................................... 9

Dạng 2.3.3 Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm Min-Max ................................................................................... 11

Dạng 3. Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp .................................................................................................... 11

Dạng 3.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 11

Dạng 3.3 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 13

Dạng 3.3 Định m để phương trình có nghiệm ............................................................................................................ 14

Dạng 4. Giải và biện luận Phương trình đối xứng ..................................................................................................... 14

Dạng 4.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 14

Dạng 4.2 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 15

Dạng 5. Biến đổi đưa về phương trình tích ................................................................................................................ 16

Dạng 5.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 16

Dạng 5.2 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 17

Dạng 6. Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu ........................................................................ 18

Dạng 7. Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác ......................................................... 20

Dạng 8. Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số .......................................................................... 20

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ........................................................................................................................... 23

Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ................................................... 23

Dạng 1.1 Không cần biết đổi ...................................................................................................................................... 23

Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai ......................................................................................................... 24

Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 25

Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos ....................................................................... 29

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Dạng 2.1 Không cần biến đổi ..................................................................................................................................... 29

Dạng 2.2 Cần biến đổi ................................................................................................................................................ 30

1

Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 31

Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm ................................................................................................................................. 31

Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm ..................................................................................................... 34

Dạng 2.3.3 Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm Min-Max ................................................................................... 37

Dạng 3. Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp .................................................................................................... 38

Dạng 3.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 38

Dạng 3.3 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 40

Dạng 3.3 Định m để phương trình có nghiệm ............................................................................................................ 42

Dạng 4. Giải và biện luận Phương trình đối xứng ..................................................................................................... 42

Dạng 4.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 42

Dạng 4.2 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 44

Dạng 5. Biến đổi đưa về phương trình tích ................................................................................................................ 48

Dạng 5.1 Không có điều kiện của nghiệm ................................................................................................................. 48

Dạng 5.2 Có điều kiện của nghiệm ............................................................................................................................ 48

Dạng 6. Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu ........................................................................ 53

Dạng 7. Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác ......................................................... 57

Dạng 8. Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số .......................................................................... 61

Câu 1.

Câu 2.

PHẦN A. CÂU HỎI

Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng 1.1 Không cần biết đổi

(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương

2

trình 4cos x − 4cos x − 3 = 0 trên đường tròn lượng giác là?

A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 4 .

Phương trình cos 2x

+ cos 2x

− = 0 có nghiệm là:

4

π

π

2π

A. x = ± + kπ

. B. x = ± + k2π

. C. x = ± + kπ

. D.

6

6

3

2 3

2

Câu 3. Nghiệm của phương trình 2 sin x – 5sin x – 3 = 0 là:

π

π 5π

A. x = + kπ ; x = π + k2π

. B. x = + k2 π ; x = + k2π

.

2

4 4

π 7π

π 5π

C. x = − + k2 π ; x = + k2π

. D. x = + k2 π ; x = + k2π

.

6 6

3 6

Câu 4.

π

x = ± + kπ

.

3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2

Nghiêm của phương trình sin

x = –sin

x + 2 là:

2

Câu 5.

A. x = k π . B.

Nghiệm của phương trình

π

x = + k 2π . C.

2

2

2cos x 3cos x 1 0

− + = là:

π

x = + k π . D.

2

π

2π

A. x = k2 π ; x = ± + k2π

. B. x = − π + k2 π ; x = ± + k2π

.

6

3

π π

π

C. x = + k2 π ; x = + k2π

. D. x = k2 π ; x = ± + k2π

.

2 6

3

−π

x = + k 2π

.

2

2

Câu 6. Nghiệm của phương trình 3cos x = – 8 cos x – 5 là:

π

A. x = π + k2π

. B. x = k2π

. C. x = ± + k2π

. D. x = kπ .

2

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

Câu 10.

Câu 11.

Câu 12.

[Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Nghiệm của phương trình

2

sin x − 4sin x + 3 = 0 là

π

A. x = k2 π , k ∈ Z B. x = − + k2 π , k ∈ Z .

2

π

C. x = π + k2 π , k ∈ Z . D. x = + k2 π , k ∈ Z .

2

2

Nghiệm của phương trình lượng giác sin x − 2sin x = 0 có nghiệm là:

π

π

A. x = k2π

. B. x = kπ . C. x = + kπ

. D. x = + k2π

.

2

2

Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai

(THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Nghiệm của phương trình

4 4 π π 3

sin x + cos x + cos x − ⋅sin 3x

− − = 0 là

4 4 2

π

π

A. x = + kπ,

k ∈Z . B. x = + k2 π , k ∈Z .

3

3

π

π

C. x = + k2 π , k ∈Z . D. x = + kπ,

k ∈Z

4

4

(LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Cho phương trình

2 cos 2x

− cos x + 1 = 0 . Khi đặt t = cos x , ta được phương trình nào dưới đây?

2

2

2

A. 2t

+ t + 1 = 0 B. t + 1 = 0

C. −4t

− t + 3 = 0 D. 4t

−t

− 1 = 0

(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Phương

trình cos 2x

+ 5sin x − 4 = 0 có nghiệm là

π

A. + 2

2 k

π π

π . B. + k π . C. kπ. D. ± + 2

2 4 k π

(THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nghiệm của phương trình

cos2x

− 2sin x = − 3 ?

π

π

A. x = + kπ,

k ∈Z . B. x = ± + kπ,

k ∈Z .

2

2

π

π

C. x = + k2 π,

k ∈Z . D. x = − + k2 π,

k ∈Z .

2

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

3

Câu 13. (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình cos 2x

+ sin x + 2 = 0 . Khi đặt t = sin x

, ta được phương trình nào dưới đây.

2

2

2

A. 2t

+ t + 1= 0. B. t + 1 = 0 . C. − 2t

+ t + 3 = 0 . D. − 2t

+ t + 2 = 0.

Câu 14.

Câu 15.

(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình 3sin x − 2cos x + 2 = 0 .

π

π

A. x = + kπ,

k ∈Z . B. x = kπ

, k ∈Z . C. x = k2 π,

k ∈Z . D. x = + k2 π , k ∈Z .

2

2

(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình

tan x + 3 cot x − 3 − 1 = 0 là:

π

π

x = + kπ

4

x = − + kπ

4

A. , k ∈Z . B.

, k ∈Z .

π

π

x = + kπ

x = + kπ

3

6

π

π

x = + k2π

4

x = + kπ

4

C.

, k ∈Z . D. , k ∈Z .

π

π

x = + k2π

x = + kπ

6

6

Câu 16. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho phương trình

π π 5

π

cos 2 x + + 4cos − x

= . Khi đặt t = cos

− x

, phương trình đã cho trở thành phương

3 6 2

6

trình nào dưới đây?

2

2

2

2

A. 4t

+ 8t

− 5 = 0. B. 4t

−8t

− 3 = 0 . C. 4t

− 8t

+ 3 = 0 . D. 4t

− 8t

+ 5 = 0.

Câu 17. (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Cho phương trình: cos 2x

sin x 1 0

cách đặt t = sin x ( −1 ≤ t ≤ 1)

thì phương trình (*)

trở thành phương trình nào sau đây?

A.

2

− 2t

+ t = 0. B. t

2 t 2 0

+ − = . C.

2

− 2t

+ t − 2 = 0. D.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2

+ − = ( )

2

− t + t = 0 .

Câu 18. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKI I - 2018) Giải phương trình cos2x

+ 5sin x − 4 = 0 .

π

π

π

A. x = + kπ . B. x = − + kπ . C. x = k2π . D. x = + k2π .

2

2

2

Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm

2

π

Câu 19. Nghiệm của phương trình 2 sin x – 3sin x + 1 = 0 thỏa điều kiện: 0 ≤ x < .

2

π

π

π

π

A. x = − . B. x = . C. x = . D. x = .

2

6

4

2

Câu 20.

* . Bằng

(THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình lượng giác

2

cos x − cos x = 0 thỏa mãn điều kiện 0 < x < π .

π

π

A. x = π . B. x = . C. x = . D. x = 0 .

4

2

2

Câu 21. Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin x + 5sin x − 3 = 0 là:

π

π

3π

A. x = . B. x = . C. x = . D.

6

2

2

5π

x = .

6

4

Câu 22.

(THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - 2018 - BTN) Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn

2

0;10π của phương trình sin 2x

+ 3sin 2x

+ 2 = 0 .

[ ]

A. 105 π 105π 297π 299π . B. . C. . D. .

2

4

4

4

Câu 23. (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Phương trình cos 2x

+ 4sin x + 5 = 0 có

0;10π ?

bao nhiêu nghiệm trên khoảng ( )

A. 5 B. 4 C. 2 D. 3

Câu 24. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Phương trình cos2x

+ 2cos x − 3 = 0 có bao nhiêu

0;2019 ?

nghiệm trong khoảng ( )

A. 320. B. 1009. C. 1010. D. 321.

Câu 25. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Phương trình cos 2x

+ 4sin x + 5 = 0

0;10π ?

Câu 26.

có bao nhiêu nghiệm trên khoảng ( )

A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 .

(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Tính tổng S các nghiệm của phương trình

2cos 2x 5 sin 4 x cos 4 x 3 0

0; 2π .

( )( )

A.

+ − + = trong khoảng ( )

11π

S = . B. S = 4π

. C. S = 5π

. D.

6

Câu 27. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Số nghiệm thuộc khoảng ( )

Câu 28.

cos x + cos x + 1= 0 là

2

A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 .

2 5

7π

S = .

6

0;3π của phương trình

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình lượng giác

2

cos x − cos x = 0 thỏa mãn điều kiện 0 < x < π .

π

π

A. x = . B. x = 0 . C. x = π . D. x = .

2

4

Câu 29. (SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Phương trình cos 2x

+ cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc

− π ; π ?

Câu 30.

Câu 31.

khoảng ( )

A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 .

(THPT CAN LỘC - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình

9π

15π

sin 2x + − 3cos x − = 1+

2sin x với x ∈[ 0;2π ] là:

2 2

A. 6 . B. 5. C. 3. D. 4 .

2

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Phương trình 4 tan x − 5tan x + 1 = 0 có m nghiệm trong

2017π

2017π

khoảng − ;

2 2 ?

A. m = 2017 . B. 4032 . C. m = 4034 . D. m = 2018 .

Câu 32. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong khoảng ( )

0; 2π , phương trình

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

cos 2x

+ 3cos x + 2 = 0 có tất cả m nghiệm. Tìm m .

A. m = 1. B. m = 3 . C. m = 4 . D. m = 2 .

5

Câu 33.

(QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn

2

0;10π của phương trình sin 2x

+ 3sin 2x

+ 2 = 0 .

[ ]

A. 105 π 105π 297π 299π . B. . C. . D. .

2

4

4

4

Câu 34. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Tính tổng tất cả T các nghiệm thuộc đoạn [ ]

Câu 35.

Câu 36.

Câu 37.

0;200π của phương

2

trình 2cos x + 3sin x + 3 = 0

10403π

20301π

A. T = 10150π

. B. T = 10050π

. C. T = . D. T = .

2

2

(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình

π π

cos 2x

+ 3 cos x − 1 = 0 trong đoạn

− ;

2 2

là:

A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1.

(THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính tổng S các nghiệm của

4 x 4 x

phương trình (2cos x + 5)(sin − cos ) + 3 = 0trong khoảng ( 0; 2π )

2 2

11π

5π

7π

A. S = . B. S = . C. S = 2π

. D. S = .

12

2

12

Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

Dạng 2.1 Không cần biến đổi

(PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Tập xác định của hàm số sau

tan 2x

y =

.

3 sin 2x − cos2x

π π π π

π π π π

A. D = R \ + k ; + k ; k ∈Z . B. D = R \ + k ; + k ; k ∈Z .

4 2 12 2

6 2 5 2

π π π

π π π π

C. D = R \ + k ; k ; k ∈Z . D. D = R \ + k ; + k ; k ∈Z .

4 2 2

3 2 12 2

Câu 38. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Phương trình 3 sin 2x

− cos 2x

= 2 có tập nghiệm là

π

kπ

2π

A. S = + | k ∈ Z . B. S = + k2 π | k ∈ Z .

3 2

3

π

5π

C. S = + kπ

| k ∈ Z . D. S = + kπ

| k ∈ Z .

3 12

Câu 39.

(XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Tất cả các nghiệm của phương trình

sin x + 3 cos x = 1 là:

π

π

x = − + k2π

A. x = + k2π

6

, k ∈ Z . B.

, k ∈ Z .

6

π

x = + k2π

2

5π

5π

C. x = + kπ

, k ∈ Z . D. x = + k2π

, k ∈ Z .

6

6

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

6

Câu 40. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Tất cả các họ nghiệm của phương trình sin x + cos x = 1

là

x

= k2π

A.

π , k ∈ Z . B. x = k2π

, k ∈ Z .

x = + k2π

2

π

π

x = + k2π

C. x = + k2π

4

, k ∈ Z . D.

, k ∈ Z .

4

π

x = − + k2π

4

Câu 41. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin x + 3 cos x = 1 có tập nghiệm là:

π π

π π

A. − + kπ;

− + kπ

, với k ∈ Z . B. − + k2 π; + k2π

6 2 6 2 , với k ∈ Z .

π π

C. − + k2 π; − + k2π

6 2 , với k ∈ Z . D. 7π

π

+ k2 π; + k2π

6 2 , với k ∈ Z .

Câu 42. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Giải phương trình sin 3x

+ cos3x

= 2 .

π

π π

A. x = + kπ

, k ∈Z . B. x = + k , k ∈Z .

3

6 3

π 2 π

π 2 π

C. x = + k , k ∈Z . D. x = + k , k ∈Z .

9 3

12 3

Dạng 2.2 Cần biến đổi

Câu 43.

2

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Giải phương trình 2sin x + 3 sin 2x

= 3

π

π

2π

5π

A. x = − + kπ

. B. x = + kπ

. C. x = + kπ

. D. x = + kπ

.

3

3

3

3

π π

Câu 44. Giải phương trình 3 cos x + + sin x − = 2sin 2 x.

2 2

π 2π

5π

x = + k

18 3

x = + k2π

6

A.

, k ∈Z .

B.

, k ∈Z

.

π 2π

π 2π

x = − + k

x = + k

18 3

18 3

7π

5π

x = + k2π

6

x = + k2π

6

C.

, k ∈Z .

D.

, k ∈Z

.

π 2π

7π

x = − + k

x = + k2π

18 3

6

Câu 45.

2

Nghiệm của phương trình sin x + 3 sin x cos x = 1 là:

π 5π

π π

A. x = + k2 π ; x = + k2π

. B. x = + k2 π ; x = + k2π

.

6 6

2 6

π

5π

π π

C. x = − + k2 π ; x = − + k2π

. D. x = + kπ

; x = + kπ

.

6 6

2 6

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 46. Phương trình sin x + cos x = 2 sin5x

có nghiệm là:.

7

π π

x = + k

A.

4 2

. B.

π π

x = + k

6 3

π π

x = + k

12 2

. C.

π π

x = + k

24 3

π π

x = + k

16 2

. D.

π π

x = + k

8 3

3

Câu 47. Phương trình: 3sin 3x + 3sin 9x = 1+

4sin 3x có các nghiệm là:

π 2π

π 2π

π 2π

x = − + k

54 9

x = − + k

9 9

x = − + k

12 9

A.

. B.

. C.

= π 2π

x

18 +

7π

2π

k

. D.

x

9

= 9 +

7π

2π

k x

9

= 12 + k

9

Câu 48.

Câu 49.

Câu 50.

π π

x = + k

18 2

.

π π

x = + k

9 3

π 2π

x = − + k

6 9

.

= 7π

2π

x

6 + k

9

(THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Nghiệm của phương trình

sin x − 3 cos x = 2sin 3x

là

π π

π

2π

A. x = + k , k ∈Z . B. x = + k2π

hoặc x = + k2π

, k ∈Z .

3 2

3

3

π

4π

π

π 2π

C. x = − + k2π

hoặc x = + k2π

, k ∈Z . D. x = + kπ

hoặc x = + k , k ∈Z .

3

3

6

6 3

Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm

Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm

(THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm của phương trình

2 2

cos x sin 2x 2 cos

π

− = + + x trên khoảng ( 0;3π ) là

2

A. 4. B. 1. C. 2 . D. 3.

(THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tính tổng tất cả các nghiệm

0;π của phương trình:

thuộc khoảng ( )

2 cos3x = sin x + cos x .

A. 3π . B. 3 π π . C. π . D. .

2

2

Câu 51. Tính tổng T các nghiệm của phương trình

− = + trên khoảng ( π )

2 2

cos x sin 2x 2 sin x

3 π

7 π

21 π

11 π

A. T = .

B. T = . C. T = . D. T = .

4

8

8

4

0;2 .

Câu 52. Biến đổi phương trình cos3x − sin x = 3 ( cos x − sin 3x)

về dạng sin ( ax b) sin ( cx d )

+ = + với b

π π

, d thuộc khoảng −

;

2 2 . Tính b+ d .

π

π

π

π

A. b + d = . B. b + d = . C. b + d = − . D. b + d = .

2

4

3

12

π

Câu 53. Số nghiệm của phương trình sin5x + 3 cos5x = 2sin 7x

trên khoảng 0;

2 là?

A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 54. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Phương trình 3 cos x + sin x = − 2 có bao nhiêu nghiệm trên

0;4035π ?

đoạn [ ]

A. 2016 . B. 2017 . C. 2011. D. 2018 .

8

π π π π

Câu 55. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Tìm góc α ∈

; ; ;

6 4 3 2 để

phương trình cos 2x 3 sin 2x 2cos x 0

cos 2x

− α = cos x .

+ − = tương đương với phương trình ( )

π

π

π

π

A. α = . B. α = . C. α = . D. α = .

6

4

2

3

Câu 56. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho phương trình sin x + cos x = 1 có hai họ nghiệm có

dạng x = a + k2π

và x b k2π

0 ≤ a,

b < π . Khi đó a + b bằng bao nhiêu?

A.

2π

a + b = . B.

3

= + ( )

3π

a + b = . C.

5

π

a + b = . D. a + b = π .

2

Câu 57. (THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình sin x − 3 cos x = 0 có

− 2 π ;2π

.

Câu 58.

bao nhiêu nghiệm thuộc [ ]

A. 5 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .

(LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Tổng các nghiệm của phương trình

2

5π

2cos x + 3 sin 2x

= 3 trên 0; 2

là:

A. 7 π 7π 7π . B. . C. . D. 2π .

6

3

2

Câu 59. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tính tổng T các nghiệm của phương trình

2 2

cos x sin 2x 2 cos

− = + + x

trên khoảng ( 0; 2π ) .

2

7π

21π

11π

3π

A. T = . B. T = . C. T = . D. T = .

8

8

4

4

Câu 60. Gọi x

0

là nghiệm âm lớn nhất của sin 9x + 3 cos7x = sin 7x + 3 cos9x

. Mệnh đề nào sau đây là

đúng?

π π

π

π π π π

A. x0 ∈

− ; − . B. x0 ∈ − ;0 . C. x0 ∈ − ; − .

2 3

12

6 12

D. x0 ∈ ; .

− −

3 6

Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm

Câu 61.

Câu 62.

Câu 63.

(CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c để

phương trình a sinx+ bcosx = c có nghiệm?

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

A. a + b > c B. a + b ≤ c C. a + b = c D. a + b ≥ c

(THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm m để phương trình

3sin x − 4cos x = 2m

có nghiệm?

5 5

5

5

5 5

A. − < m ≤ B. m ≤ − C. m ≥ D. − ≤ m ≤

2 2

2

2

2 2

(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có bao nhiêu giá trị nguyên của

− 2018; 2018 để phương trình

tham số m thuộc đoạn [ ]

( )

m x x x

2

+ 1 sin − sin 2 + cos 2 = 0 có nghiệm?

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

A. 4036 B. 2020 C. 4037 D. 2019

9

Câu 64.

Câu 65.

Câu 66.

Câu 67.

Câu 68.

(CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm số các giá trị nguyên của

m cos x − m + 2 sin x + 2m

+ 1 = 0 có nghiệm.

m để phương trình ( )

A. 0 B. 3 C. vô số D. 1

(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Để phương

trình msin 2x + cos2x

= 2 có nghiệm thì m thỏa mãn:

m

≥ 3 m

≥ 2

A. m ≤ 1.

B. . C. . D. m ≥ 1.

m ≤ − 3

m ≤ − 2

(THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tổng tất cả các giá trị nguyên của m

4 sin x + m − 4 cos x − 2m

+ 5 = 0 có nghiệm là:

để phương trình ( )

A. 5 B. 6 C. 10 D. 3

(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của

2

− 2018; 2018 để phương trình ( m + 1) sin x − sin 2x + cos 2x

= 0 có

tham số m thuộc đoạn [ ]

nghiệm?

A. 4036 . B. 2020 . C. 4037 . D. 2019 .

(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Số các giá trị

nguyên m để phương trình

4m − 4.sinx.cosx+ m − 2.cos 2x = 3m − 9 có nghiệm là

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

Câu 69. Tìm điều kiện của m để phương trình ( )

Câu 70.

Câu 71.

Câu 72.

Câu 73.

Câu 74.

A. m∈∅ . B. m ( ]

C.

1

0 ≤ m ≤ . D.

2

2m − 1 cos 2x + 2msin x cos x = m − 1 vô nghiệm?

1

∈ −∞;0 ∪

; +∞

2 .

1

0 < m < .

2

(THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Cho phương trình

2

2msin x cos x 4cos x m 5

E = −3; − 2; − 1;0;1;2 . Có bao

+ = + , với m là một phần tử của tập hợp { }

nhiêu giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 3. B. 2 . C. 6 . D. 4 .

(THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

cos x + 2sin x + 3

m =

2cos x − sin x + 4

:

A. −2 ≤ m ≤ 0 . B. −2 ≤ m ≤ − 1. C. 0 ≤ m ≤ 1 . D. 2 2

11 ≤ m ≤ .

(THPT CAN LỘC - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương

4sin x + m − 4 cos x − 2m

+ 5 = 0 có nghiệm là:

trình ( )

A. 5 . B. 6 . C. 10. D. 3 .

(THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Tìm giá trị nguyên lớn

2 2

nhất của a để phương trình asin x + 2sin 2x + 3a cos x = 2 có nghiệm

A. a = 3. B. a = 2 . C. a = 1. D. a = − 1 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

(CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả giá trị nguyên của m để phương trình

2

8sin x + m − 1 sin 2x + 2m

− 6 = 0 có nghiệm.

( )

10

Câu 75.

Câu 76.

Câu 77.

Câu 78.

Câu 79.

Câu 80.

Câu 81.

A. 3. B. 5. C. 6 . D. 2 .

(THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Số giá trị nguyên của tham số m

− 2018; 2018 để phương trình

thuộc đoạn [ ]

2

( )

m + 1 sin x − sin 2x + cos 2x

= 0

A. 4037 . B. 4036 . C. 2019 . D. 2020 .

(THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tìm m để phương trình

cos x + 2sin x + 3

m =

có nghiệm.

2cos x − sin x + 4

A. −2 ≤ m ≤ 0 B. 0 ≤ m ≤ 1 C. 2 ≤ m ≤ 2 D. −2 ≤ m ≤ − 1

11

Dạng 2.3.3 Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm Min-Max

(SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hàm số

sin x + 2cos x + 1

y =

có M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của y . Đẳng thức nào

sin x + cos x + 2

sau đây đúng?

2 2

2 2 −3

2 2

2 2

A. M − m = − 3 . B. M − m = . C. M − m = 3 . D. M − m = 2.

4

(ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Số giá trị

cos x + 2sin x + 3

nguyên trong tập giá trị của hàm số y =

là:

2cos x − sin x + 4

A. 0 B. 2 C. 1 D. 3

(THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất

sin x + 2 cosx

+ 1

M của hàm số y =

sin x + cos x + 2

là

1

A. m = − ; M = 1 B. m = 1; M = 2 C. m = − 2; M = 1 D. m = − 1; M = 2

2

(THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Giá trị lớn nhất của

sinx − 2cos x − 3

biểu thức P =

2sin x + cos x − 4

là?

A. 2

B. 2

C. 3 D. 2

11

11

(LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m sin x + 1

tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = nhỏ hơn 3 .

cos x + 2

A. 5 B. 4 C. 3 D. 7

Dạng 3. Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp

Dạng 3.1 Không có điều kiện của nghiệm

Câu 82. (TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI SỐ 2 NĂM 2018-2019) Khi đặt t = tan x thì phương trình

2 2

2sin x + 3sin xcos x − 2cos x = 1 trở thành phương trình nào sau đây?

2

2

2

A. 2t

− 3t

− 1 = 0 B. 3t

− 3t

− 1= 0 C. 2t

+ 3t

− 3 = 0 D. t

2 + 3t

− 3 = 0

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

11

2

Câu 83. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình 2sin x + 3 sin 2x

= 3.

2π

π

4π

5π

A. x = + kπ

. B. x = + kπ

. C. x = + kπ

. D. x = + kπ

.

3

3

3

3

2 2

Câu 84. Phương trình: 3cos 4x + 5sin 4x = 2 − 2 3 sin 4x cos 4x

có nghiệm là:

π π

π π

A. x = − + k . B. x = − + k .

18 3

24 4

π

π π

C. x = − + kπ

. D. x = − + k .

6

12 2

2

Câu 85. Cho phương trình cos x − 3sin x cos x + 1 = 0 . Mệnh đề nào sau đây là sai?

2

2

A. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos x thì ta được phương trình tan x − 3 tan x + 2 = 0 .

2

2

B. Nếu chia 2 vế của phương trình cho sin x thì ta được phương trình 2 cot x + 3cot x + 1 = 0 .

C. Phương trình đã cho tương đương với cos2x

− 3sin 2x

+ 3 = 0 .

D. x = kπ không là nghiệm của phương trình.

Câu 86. Phương trình: ( ) ( )

2 2

3 1 sin x 2 3 sin x cos x 3 1 cos x 0

+ − + − = có các nghiệm là:

π

x = + kπ

π

A.

4 (Với tanα = 2− 3). B.

x = − + kπ

8 (Với tanα = − 1+

x

= α kπ

x

= α + kπ

3).

π

π

x kπ

C.

= +

8 (Với tanα = 1− 3). D.

x = − + kπ

4

x

= α + kπ

(Với tanα = − 2+ x

= α kπ

3).

Câu 87. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình

( )

2 2

sin x 3 1 sin xcos x 3 cos x 3

− + + = .

π

A. sin x + = 1

2

. B. ( x )

2

C. ( x )( x )

3 + 1

cos −1

tan x − = 0

1−

3

.

tan + 2 + 3 cos − 1 = 0 . D. sin x = 0.

2 2

Câu 88. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2sin x + 3 3sin xcos x − cos x = 2. Khẳng định nào sau

đây là đúng?

π

5π

π

5π

π π π

A. ; ⊂ S.

B. ; ⊂ S.

C. ; π ⊂ S.

D. ; ⊂ S.

4 12

2 6

3

6 2

Câu 89. Cho phương trình ( ) ( )

Câu 90.

2 2

2 1 sin x sin 2x 2 1 cos x 2 0

− + + + − = . Trong các mệnh đề sau, mệnh

đề nào sai?

2

2

A. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos x thì ta được phương trình tan x − 2 tan x − 1 = 0 .

2

2

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho sin x thì ta được phương trình cot x + 2cot x − 1 = 0 .

C. Phương trình đã cho tương đương với cos 2x

− sin 2x

= 1.

7π

D. x = là một nghiệm của phương trình.

8

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2

(Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Giải phương trình 2sin x + 3 sin 2x

= 3.

π

4π

5π

2π

A. x = + kπ

. B. x = + kπ

. C. x = + kπ

. D. x = + kπ

.

3

3

3

3

12

2 2

Câu 91. Phương trình 6sin x+ 7 3sin2x − 8cos x = 6 có các nghiệm là:.

3π

π

π

x = + kπ

4

x = + kπ

2

x = + kπ

4

A.

. B. . C. . D.

2π

π

x = + kπ

π

x = + kπ

x = + kπ

3

6

3

Câu 92. Giải phương trình ( )

Câu 93.

Câu 94.

π

x = + kπ

3

π

x = + kπ

4

π

x = + k2π

3

π

x = + k2π

4

A.

( k ∈ )

2 2

sin x − 3 + 1 sin xcos x + 3 cos x = 0.

π

Z .

B. x = + kπ

( k ∈Z ).

4

C. ( k ∈Z ).

D. x = + k π ( k ∈ Z )

2 .

π

x = + kπ

8

.

π

x = + kπ

12

2

(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình 2sin x + 3 sin 2x

= 3.

2π

π

4π

5π

A. x = + kπ

. B. x = + kπ

. C. x = + kπ

. D. x = + kπ

.

3

3

3

3

Dạng 3.3 Có điều kiện của nghiệm

2 2

(Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Phương trình 4sin 2x −3sin 2xcos2x − cos 2x

= 0 có bao

0;π ?

nhiêu nghiệm trong khoảng ( )

A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1.

Câu 95. Số nghiệm của phương trình

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

π

3

− + = trên ( 2 π;2π

)

2 2

cos x 3sin x cos x 2sin x 0

− ?

A. 4 . B. 6 . C. 8 . D. 2 .

Câu 96. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình ( ) ( )

Câu 97.

A.

2π

− . B.

3

Nghiệm dương nhỏ nhất của pt

A.

π

x = . B.

2

2 2

2sin x 1 3 sin x cos x 1 3 cos x 1

π

− . C.

12

+ − + − = là:

π

− . D.

6

2 2

4sin x 3 3 sin 2x 2cos x 4

+ − = là:

π

x = . C.

6

π

x = . D.

4

π

− .

4

π

x = .

3

Câu 98. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Gọi x 0 là nghiệm dương nhỏ nhất

Câu 99.

2 2

của phương trình 3sin x + 2sin xcos x − cos x = 0 . Chọn khẳng định đúng?

3π

π

π

3 π

A. x0

∈ π ; B. x0 ∈ ; π C. x0 ∈ 0; D. x0

∈ ;2 π

2

2

2

2

(THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Phương trình

0;π ?.

có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ( )

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

2 2

4sin 2x −3sin 2xcos 2x − cos 2x

= 0

13

Dạng 3.3 Định m để phương trình có nghiệm

Câu 100. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình

2 2

asin x + 2sin 2x + 3a cos x = 2 có nghiệm?

A. 2 . B. 11 3 . C. 4 . D. 8 3 .

Câu 101. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

2 2

3sin x + msin 2x − 4cos x = 0 có nghiệm.

A. m ∈ ∅ . B. m ∈ R . C. m ≥ 4 . D. m = 4 .

Dạng 4. Giải và biện luận Phương trình đối xứng

Dạng 4.1 Không có điều kiện của nghiệm

1

Câu 102. Phương trình sin x + cos x = 1− sin 2x

có nghiệm là:.

2

π

π

π π

x = + kπ

A.

x = + k2π

x = + k

4 . B. 2 . C.

6 2

. D.

π

x

= kπ

x

= k2π

x = k

4

Câu 103. Giải phương trình x x ( x x)

sin cos + 2 sin + cos = 2 .

π

π

x k2 A. = + π

2 , k ∈Z . B.

x = − + k2 π

2 , k ∈Z

.

x

= k2π

x

= k2π

π

π

x k

C. = − + π

2 , k ∈Z . D.

x = + kπ

2 , k ∈Z

.

x

= kπ

x

= kπ

Câu 104. Cho phương trình ( )

nào dưới đây?

2

A. 2t

+ 3 2 t + 2 = 0. B.

C.

2

2t

3 2 t 2 0.

+ − = D.

π

x = + kπ

8

.

π

x = k

2

3 2 sin x + cos x + 2sin 2x

+ 4 = 0 . Đặt t = sin x + cos x , ta được phương trình

2

4t

+ 3 2 t + 4 = 0.

2

4t

+ 3 2 t − 4 = 0.

Câu 105. Cho phương trình 5sin 2x + sin x + cos x + 6 = 0 . Trong các phương trình sau, phương trình nào

tương đương với phương trình đã cho?

2

π 3

A. 1+ tan x = 0. B. cos x − = .

4 2

π 2

C. tan x = 1.

D. sin x + = .

4 2

Câu 106. Phương trình 2sin 2x − 3 6 | sin x + cos x | + 8 = 0 có nghiệm là:

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

A.

π

x = + kπ

6

. B.

5π

x = + kπ

4

π

x = + kπ

12

. C.

5π

x = + kπ

12

π

x = + kπ

π

3

. D.

x = + kπ

4 .

5π

x = + kπ

x

= 5π

+ kπ

3

14

Câu 107. Từ phương trình ( )( )

1+ 3 cos x + sin x − 2sin x cos x − 3 − 1 = 0, nếu ta đặt t = cos x + sin x thì giá

trị của t nhận được là:

A. t = 3 . B. t = 1 hoặc t = 2 .

C. t = 1 hoặc t = 3 . D. t = 1.

Câu 108. Phương trình sin x + cos x = 1− sin 2x

có các nghiệm là:.

2

A.

3 3 1

3π

x = + k2π

π

2 . B.

x = + kπ

4

x = ( 2k

+ 1)

π

. C.

x

= kπ

Dạng 4.2 Có điều kiện của nghiệm

π

x = + k2π

2 . D.

x

= k2π

3π

x = + kπ

4

.

π

x = k

2

Câu 109. (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho x

0

là nghiệm của phương trình

π

sin x cos x + 2( sin x + cos x)

= 2 thì giá trị của P = sin x0

+

4 là

A.

1

P = . B.

2

Câu 110. Nếu ( )( )

A.

2

P = − . C.

2

π

1+ sin x 1+ cos x = 2 thì cos

x − bằng bao nhiêu?

4

2 .

2

B.

Câu 111. Cho x thỏa mãn ( )

2

P = . D. P = 1.

2

2

− .

C. − 1.

D. 1.

2

π

6 sin x − cos x + sin x cos x + 6 = 0 . Tính cos x + .

4

π

π

A. cos x + = −1.

B. cos

x + = 1.

4

4

π 1

π 1

C. cos x + = . D. cos x + = − .

4 2 4 2

Câu 112. (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Từ phương trình

π

( 1+ 5 )( sin x − cos x)

+ sin 2x

−1− 5 = 0 ta tìm được sin x − có giá trị bằng:

4

A.

3

− . B.

2

Câu 113. Từ phương trình ( )

A. 1. B.

Câu 114. Nếu ( )( )

3

2 . C. 2

− . D.

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2

2 .

2 sin x + cos x = tan x + cot x , ta tìm được cos x có giá trị bằng:

2

− .

C.

2

2 .

2

1+ 5 sin x − cos x + sin 2x −1− 5 = 0 thì sin x bằng bao nhiêu?

D. − 1.

2

2

2

A. sin x = . B. sin x = hoặc sin x = − .

2

2

2

C. sin x = −1

hoặc sin x = 0 . D. sin x = 0 hoặc sin x = 1.

15

π

Câu 115. Cho x thỏa mãn phương trình sin 2x + sin x − cos x = 1. Tính sin x − .

4

π

π

A. sin x − = 0 hoặc sin x − = 1.

4

4

π

π 2

B. sin x − = 0 hoặc sin x − = .

4

4 2

π 2

C. sin x − = − .

4 2

π

D. sin x − = 0 hoặc

4

π 2

sin x − = − .

4 2

1

Câu 116. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin x + cos x = 1−

sin 2x là:

2

3 π

π

A. − π.

B. − .

C. − 2 π.

D. − .

2

2

Câu 117. (THPT Phan Chu Trinh - ĐăkLăk - 2017 - 2018 - BTN) Tổng các nghiệm của phương trình

sin xcos x + sin x + cos x = 1 trên khoảng ( 0;2π ) là:

A. 4π. B. 3π . C. π. D. 2π.

Câu 118. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho x

0

là nghiệm của phương trình

( )

sin x cos x + 2 sin x + cos x = 2 thì giá trị của P = 3 + sin 2x0

là

A. P = 3 . B. P = 2 . C. P = 0 . D.

2

P = 3+ .

2

Câu 119. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Phương trình 1+ sin x + 1+ cos x = m có

nghiệm khi và chỉ khi

A. 2 ≤ m ≤ 2 . B. 1 ≤ m ≤ 4 + 2 2 . C. 1 ≤ m ≤ 2 . D. 0 ≤ m ≤ 1 .

Câu 120. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tổng các nghiệm của phương trình

sin xcos x sin x cos x 1

0;2π là:

+ + = trên khoảng ( )

A. 2π . B. 4π . C. 3π . D. π .

π

Câu 121. Từ phương trình 1+ sin x + cos x = sin 2x , ta tìm được cos

x + có giá trị bằng:

2

4

A.

2

± .

B.

2

3 3 3

2

− .

C.

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2 .

2

Câu 122. Cho x thỏa mãn 2sin 2x − 3 6 sin x + cos x + 8 = 0 . Tính sin 2 x .

D. 1.

1

2

1

2

A. sin 2 x = − . B. sin 2 x = − . C. sin 2 x = . D. sin 2 x = .

2

2

2

2

Dạng 5. Biến đổi đưa về phương trình tích

Dạng 5.1 Không có điều kiện của nghiệm

Câu 123. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình sin 3x − 4sin x cos 2x

= 0.

16

A.

k2π

x =

3

2π

x = ± +

3

kπ

B.

kπ

x =

2

π

x = ± + kπ

4

C.

x

= k2π

π

x = ± + kπ

3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

D.

x

= kπ

π

x = ± + kπ

6

Câu 124. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tập tất cả các nghiệm của phương trình

2

sin 2x + 2sin x − 6sin x − 2cos x + 4 = 0 là

π

π

A. x = ± + k2π

, k ∈ Z . B. x = − + k2π

, k ∈ Z .

3

2

π

π

C. x = + k2π

, k ∈ Z . D. x = + kπ

, k ∈ Z .

2

2

Dạng 5.2 Có điều kiện của nghiệm

Câu 125. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018)Biểu diễn tập nghiệm của phương trình

cos x + cos 2x + cos 3x

= 0 trên đường tròn lượng giác ta được số điểm cuối là

A. 6 . B. 5. C. 4 . D. 2 .

Câu 126. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

sin 5x cos 7x cos 4x sin 8x

0; 2π bằng

= trên ( )

A. 19 π 9π . B. . C. 5π . D. 7π .

3

2

Câu 127. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phương trình

sin 2x

3cos x 0

0;π

+ = có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ( )

A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .

0;13π của

Câu 128. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn [ ]

phương trình

A. 380 π

3

3 2

2cos x cos x cos2x

0

+ + = . Tính tổng các phần tử của S .

B. 420 π

C. 120π D. 400 π

3

3

Câu 129. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương

trình cos3x cos 2x 9sin x 4 0

0;3π là

− + − = trên khoảng ( )

A. 5π . B. 11 π 25π . C. . D. 6π .

3

6

Câu 130. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho phương trình

2

( 2sin − 1)( 3 tan + 2sin ) = 3−

4cos

0;20π của

x x x x . Gọi T là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn [ ]

phương trình trên. Tính tổng các phần tử của T .

A. 570

875

880

1150

π . B. π . C. π . D.

3 3 3 3 π .

Câu 131. (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Số nghiệm của phương trình

2

2sin 2x

cos 2x

1 0 0; 2018π là

+ + = trong [ ]

A. 1008 . B. 2018 . C. 2017 . D. 1009 .

Câu 132. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Số nghiệm của phương trình

sin x 4cos x 2 sin 2x

0;5π là:

+ = + trong khoảng ( )

A. 5. B. 4 . C. 3. D. 6 .

17

Câu 133. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình

( )

8cot 2x sin x + cos x = sin 4x

trên đường tròn lượng giác là :

2

A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 0 .

6 6 1

3 π

Câu 134. (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Số nghiệm thuộc

− ; −π

2 của phương trình

3π

3 sin x = cos − 2x

2 là:

A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 .

Câu 135. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Số nghiệm thuộc khoảng

4 π π

− ;

3 2

của phương trình

π

cos ( π + x)

+ 3 sin x = sin 3x

−

2 là

A. 4 . B. 3 . C. 6 . D. 2 .

Câu 136. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN - 2018) Với − π < x < π số nghiệm của phương trình

cos x + cos 2x + cos3x + cos 4x

= 0 là

A. 3. B. 6 . C. 8 . D. 0 .

Câu 137. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Phương trình ( )

2

các nghiệm trong đoạn [ ]

0;π là:

1+ cos 4x sin 2x = 3cos 2x

có tổng

π 3π 2π A. . B. . C. π . D. .

3 2

3

Câu 138. (THPT YÊN MỸ HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm số nghiệm của phương trình

2

3sin 2x + cos 2x − 1 = 0, x ∈ 0;4π .

[ )

A. 8 B. 2 C. 4 D. 12

Câu 139. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Phương trình sin 3x + 2 cos 2x − 2sin x − 1 = 0 có

7 π

bao nhiêu nghiệm thuộc − ;0

8 .

A. 3. B. 1. C. 2 . D. 0 .

Dạng 6. Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu

Câu 140. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Nghiệm của phương trình

cos 2x

+ 3sin x − 2 = 0 là:

cos x

A.

π

x = + k2π

2

π

x = + kπ

6

5π

x = + kπ

6

π

x = + kπ

6

k ∈ Z . B.

( k ∈ Z ) .

5π

x = + kπ

6

( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

18

π

x = + k2π

2

π

π

x = + k2π

C. 6

x = + k2π

( k ∈ Z ) . D.

( k ∈ Z ) .

6

5π

x = + k2π

5π

6

x = + k2π

6

Câu 141. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm nghiệm của phương trình

cos x − 3 sin x

= 0 .

2sin x −1

π

7π

A. x = + kπ

; k ∈ Z . B. x = + k2π

; k ∈ Z .

6

6

7π

π

C. x = + kπ

; k ∈ Z . D. x = + k2π

; k ∈ Z .

6

6

Câu 142. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của

phương trình sin 2 x + 2cos x − sin x − 1 = 0 trên đường tròn lượng giác là:

tan x + 3

A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 .

Câu 143. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương

trình ( 2cos x − 1)( sin 2 x − cos x ) π

= 0 trên 0;

sin x −1

2 ta được kết quả là:

2π

π

π

A. T = . B. T = . C. T = π . D. T = .

3

2

3

Câu 144. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Tính tổng các nghiệm thuộc [ ]

0;100π của

phương trình 3 − cos 2 x + sin 2 x − 5sin x − cos x

= 0 .

2cos x − 3

A. 7475

7375

7573

π . B. π . C. 4950π . D.

3 3 3 π .

2

cos 4x − cos 2x + 2sin x

Câu 145. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho phương trình

= 0.

cos x + sin x

Tính diện tích đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường

tròn lượng giác.

2 2

A. 2. B. 2 2. C. .

D. .

2

4

Câu 146. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình

2

sin xsin 2x + 2sin x cos x + sin x + cos x

= 3 cos 2x

trong khoảng ( − π ; π ) là:

sin x + cos x

A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 5 .

Câu 147. (THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Tính tổng tất cả các nghiệm của

2 3

2 cos x − cos x −1

phương trình cos 2x

− tan x = trên đoạn [1;70]

2

cos x

A. 188π B. 263π C. 363π D. 365π

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

19

Câu 148. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Số nghiệm của phương trình

π

sin 3x + cos3x − 2 2 cos

x + + 1

4

π

= 0 trong khoảng 0;

sin x

2 là

A. 2 . B. 1. C. 0 . C. 3 .

Câu 149. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Để phương trình

tham số a phải thỏa mãn điều kiện:

A. a ≠ ± 3 . B.

2 2 2

a sin x + a − 2

=

có nghiệm,

−

x

2

1 tan x cos2

a > 1

. C. a ≥ 4 . D. a ≥ 1 .

a ≠ 3

2 sin x −1

+ + =

được

sin x + cos x

biểu diễn bởi bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác?

A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1.

Câu 150. (CTN - LẦN 1 - 2018) Các nghiệm của phương trình 2( 1 cos x)( 1 cot x)

Dạng 7. Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác

Câu 151. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho phương trình

sin 2018 x + cos 2018 x = 2 sin 2020 x + cos

2020 x . Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng

( 0;2018 )

1285

A. π

4

2

( )

. B. ( 643) 2

π . C. ( ) 2

1285

642 π . D. π .

2

Câu 152. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ

x

nhất của phương trình 1+ tan x tan sin x + cot x = 4 là

2

A. − π

6

. B. π π π

. C. . D. − 2 6 2 .

x

Câu 153. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Phương trình sin x = có bao nhiêu nghiệm

2019

thực?

A. 1290. B. 1287 . C. 1289. D. 1288.

Câu 154. (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Phương trình cos 2 x.sin 5x + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm

π

thuộc đoạn

− ;2π

2

?

A. 4 . B. 3. C. 2 . D. 1.

Câu 155. (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Số nghiệm của phương trình:

2015 2016 2017 2018

sin x cos x 2 sin x cos x cos 2x

− 10;30 là:

( )

− = − + trên [ ]

A. 46 . B. 51. C. 50 . D. 44 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Dạng 8. Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số

2

20

Câu 156. (THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương

6 6

m

trình sin x + cos x + 3sin x cos x − + 2 = 0 có nghiệm thực?

4

A. 13 . B. 15 . C. 7 . D. 9 .

Câu 157. (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên

dương của tham số m để phương trình cos2x + m sin x − m = 0 có nghiệm?

A. 0 . B. 1. C. 2 . D. vô số.

Câu 158. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Tìm m để phương trình

π 3π

cos 2x − ( 2m + 1)

cos x + m + 1 = 0 có nghiệm x ∈ ;

2 2 .

A. 0 ≤ m < 1 . B. − 1 < m < 0 . C. 0 < m ≤ 1 . D. −1 ≤ m ≤ 0 .

Câu 159. (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

6 6

m

số m để phương trình sin x + cos x + 3sin x cos x − + 2 = 0 có nghiệm thực?

4

A. 13 . B. 15 . C. 7 . D. 9.

Câu 160. (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN 1 NĂM 2018 - 2019) Có bao

π

nhiêu số nguyên m để phương trình: 2sin x + ( m − 1)

cos x = − m có nghiệm x ∈

0;

2

.

A. 3. B. 1. C. 2 . D. Vô số.

Câu 161. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị

3

4 cos x − cos 2x + m − 3 cos x − 1 = 0 có đúng bốn nghiệm

nguyên của tham số m để phương trình ( )

π π

khác nhau thuộc khoảng −

;

2 2 .

A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

Câu 162. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

3 2 2

π

phương trình cos 2x − cos 2x = msin

x có nghiệm thuộc khoảng 0;

6 ?

A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.

Câu 163. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Cho phương trình

1+ cos x cos 4x − m cos x = m sin x . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 3

( )( )

2

nghiệm phân biệt thuộc

A.

m 1 1

∈

− ;

2 2

C. ( 1;1)

2π

0;

3

.

. B. ( ; 1] [ 1; )

m ∈ − . D.

m ∈ −∞ − ∪ + ∞ .

m 1

∈

−

;1

2 .

Câu 164. (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

để phương trình cos 3x − cos 2x + m cos x = 1 có đúng bảy nghiệm khác nhau thuộc khoảng

π

− ;2π

2 ?

A. 3 . B. 5 . C. 7 . D. 1.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

21

Câu 165. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Số các giá trị thực của tham số m để phương

2

sin x 1 2cos x 2m 1 cos x m 0

0;2π là:

( )

trình ( − ) − ( + ) + = có đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn [ ]

A. 1. B. 2 . C. 3 . D. vô số.

Câu 166. (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Có bao nhiêu giá trị

3

nguyên của tham số m để pt 2cos3x = m − 2cos x + m + 6cos x có nghiệm?

A. 5 . B. 4 . C. 6. D. 3.

Câu 167. (THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm m để phương trình

π π

2sin x + mcos x = 1− m có nghiệm x ∈

− ;

2 2

3

3

A. −1 ≤ m ≤ 3. B. − ≤ m . C. 1≤ m ≤ 3. D. m ≤ .

2

2

Câu 168. (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Có tất cả bao nhiêu giá

trị của tham số để phương trình sau vô nghiệm với ẩn , x ∈ R :

3

( )

4cos x − 3sin x = m − 4m + 3 x + m − 4.

A. Vô số B. 2 C. 3 D. 1

x ( )

Câu 169. (LỚP 11 THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019) Cho phương trình

cos3x − cos 2x + mcos x− 1= 0 . Có bao nhiêu giá trị m để phương trình có đúng 7 nghiệm

⎛ π ⎤

x ∈ − ;2 π

⎜⎝

2 ⎥⎦

A. 2 B. 4 C. 1 D. 8

Câu 170. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Cho phương trình

cos 2x − 2m − 3 cos x + m − 1 = 0 ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

( )

π 3π

phương trình có nghiệm thuộc khoảng ;

2 2 .

A. 1 ≤ m < 2 . B. m < 2 . C. m ≥ 1. D. m ≤ 1.

Câu 171. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

π

cos 2x − 5sin x + m = 0 có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng −π

; .

2

A. −1 ≤ m < 6 . B. 4 m 6

m ∈ −4 ∪ − 1;6 . D. −4 ≤ m ≤ − 1.

− ≤ < . C. { } [ )

Câu 172. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Tất cả các giá trị của m để phương trình

π π

cos 2x − ( 2m −1)

cos x − m + 1 = 0 có đúng 2 nghiệm x ∈ −

; là 2 2

A. −1 ≤ m ≤ 1. B. −1 ≤ m ≤ 0 . C. 0 ≤ m < 1. D. 0 ≤ m ≤ 1.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

22

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Dạng 1. Giải và biện luận Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng 1.1 Không cần biết đổi

3

cos x = ( L)

2

Ta có 4cos x − 4cos x − 3 = 0

2

⇔ .

1

cos x = − ( N )

2

1

2π

2π

Với cos x = − ⇔ cos x = cos ⇔ x = ± + k2π

( k ∈ Z ) .

2

3 3

Vậy số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là 2 .

Chọn A

Ta có cos 2x

+ cos 2x

− = 0. Đặt cos 2x = t với điều kiện −1 ≤ t ≤ 1, ta được phương trình bậc

4

hai theo t là

2 3

t + t − = 0. (*)

4

1 −3

1

Phương trình (*)

có hai nghiệm t 1

= và t 2

= nhưng chỉ có t 1

= thỏa mãn điều kiện.

2 2

2

Vậy ta có

1

π π π

cos 2x = ⇔ cos 2x = cos

⇔ 2x = ± + k2 π ⇔ x = ± + kπ

, ( k ∈Z ).

2 3 3 6

Chọn C

π

sin x = 3 > 1

x = − + k2π

2

6

2 sin x – 5sin x – 3 = 0 ⇔

1 ⇔

( k ∈Z ) .

sin x = − 7π

2 x = + k2π

6

Chọn B

Đặt t = sin x . Điều kiện t ≤ 1

2 3

2 2

t 1 ( TM)

Phương trình trở thành: t = − t + 2 ⇔ t + =

t − 2 = 0 ⇔ t

= − 2 (L)

π

Với t = 1 sin x = 1 ⇔ x = + k2 π (k ∈ Z). .

2

Chọn D

cos x = 1 x

= k2

π

2

Ta có 2cos x − 3cos x + 1 = 0 ⇔

1 ⇔

π ( k ∈Z ).

cos

x = x = ± + k2π

2 3

Chọn A

cos x = −1

2

3cos x = – 8 cos x – 5 ⇔ 3cos 2 x + 8cos x + 5 = 0 ⇔

5 ⇔ x = π + k2π

( k ∈Z ) .

cos x = − < −1

3

Chọn D

2

sin x = 1

sin x − 4sin x + 3 = 0 ⇔ .

sin x = 3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

23

π

Với sin x = 1 ⇔ x = + k2 π , k ∈ Z .

2

Với sin x = 3 phương trình vô nghiệm.

Câu 8. Chọn B

2 sin x = 0

Ta có sin x − 2sin x = 0 ⇔ sin x ( sin x − 2)

= 0 ⇔ .

sin x = 2

Vì −1 ≤ sin x ≤ 1 nên chỉ có sin x = 0 thỏa mãn. Vậy ta có

sin x = 0 ⇔ x = kπ,

( k ∈Z ).

Câu 9.

Câu 10.

Dạng 1.2 Biến đổi quy về phương trình bậc hai

Chọn D

Phương trình đã cho tương đương với

1 2 1 1 2 3 1 2 1

1− sin 2x + sin 2x − + sin 2x

− = 0 ⇔ sin 2x

+ sin 2x

− 1 = 0

2 2 2 2 2 2

sin 2x

= 1

⇔

sin 2x

= −2( VN)

π

π

Với sin 2x = 1 ⇔ 2x = + k2π

⇔ x = + kπ

, k ∈Z .

2

4

Chọn D

2 2

2cos 2x − cos x + 1 = 0 ⇔ 2 2cos x −1 − cos x + 1 = 0 ⇔ 4cos x − cos x − 1 = 0

( )

2

4t

−t

− 1 = 0

Đặt t = cos x , phương trình trở thành

Câu 11. Chọn A

sin x = 1( 1)

2

Ta có: cos 2x + 5sin x − 4 = 0 ⇔ − 2sin x + 5sin x − 3 = 0 ⇔

3

sin x = ( 2)

2

π

Phương trình (1) có nghiệm x = + k2π

2

Phương trình (2) vô nghiệm.

Câu 12. Chọn A

2

+) Ta có cos2x − 2sin x = −3 ⇔ 1− 2sin x − 2sin x = −3

2 sinx = 1

⇔ sin x + sin x − 2 = 0 ⇔

sinx = − 2 < −1 (VN)

π

+) sinx = 1 ⇔ x = + k2 π,

k ∈Z

2

2

2

Câu 13. Ta có: cos 2x

+ sin x + 2 = 0 ⇔1− 2sin x + sin x + 2 = 0 ⇔ − 2sin x + sin x + 3 = 0 .

2

Đặt t = sin x ta được phương trình: − 2t

+ t + 3 = 0 .

Câu 14.

Câu 15.

Ta có

2

2

3sin x − 2cos x + 2 = 0 ⇔ 3cos x + 2cos x − 5 = 0 cos x = 1 ⇔ x = k2 π,

k ∈Z .

sin x ≠ 0

kπ

ĐK ⇔ sin 2x ≠ 0 ⇔ x ≠ , k ∈Z .

cos x ≠ 0 2

π

tan x 1

x = + kπ

=

2 4

tan x − 3 + 1 tan x + 3 = 0 ⇔ ⇔ , k ∈Z .

tan x = 3 π

x = + kπ

3

Phương trình tương đương ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

24

π π 5

2 π π 5

Câu 16. Ta có: cos 2 x + + 4cos − x

= ⇔ 1− 2sin x + + 4cos − x

=

3 6 2

3 6 2

2 π π 5

⇔ 1− 2cos − x + 4cos − x

= .

6 6 2

π

Đặt t = cos

− x

6 , t ≤ 1 ta được phương trình: 1 2 5

2 2

− t + 4t

= ⇔ 4t

− 8t

+ 3 = 0 .

2

2 2 2

Câu 17. cos 2x + sin x − 1= 0 ⇔1− 2sin x + sin x − 1= 0 ⇔ − 2sin x + sin x = 0 − 2t + t = 0.

2

Câu 18. Ta có cos2x + 5sin x − 4 = 0 ⇔1− 2sin x + 5sin x − 4 = 0

sin x = 1

2

⇔ − 2sin x + 5sin x − 3 = 0 ⇔

3

sin x =

2

π

Với sin x = 1 ⇔ x = + k2 π,

k ∈Z .

2

3

Với sin x = > 1 (vô nghiệm).

2

Dạng 1.3 Có điều kiện của nghiệm

Câu 19. Chọn B

π

x = + k2π

2

sin x = 1

2

π

2 sin x – 3sin x + 1 = 0 ⇔

1 ⇔ x = + k2π

( k ∈Z

)

sin x = 6

2

5π

x = + k2π

6

π

π

Vì 0 ≤ x < nên nghiệm của phương trình là x = .

2

6

Câu 20. Chọn C.

π

2 cos x = 0 x = + kπ

Ta có cos x − cos x = 0 ⇔

⇔ 2 ( k ∈Z ) .

cos x = 1

x

= k2π

π

π

Với x = + kπ

, do 0 < x < π nên ta được x = .

2

2

Với x = k2π

, do 0 < x < π nên không có x nào thỏa mãn.

Câu 21. Chọn A

sin x = −3

2

2sin x + 5sin x − 3 = 0 ⇔

1

sin x =

2

π

2

1

x = + k π

6

⇔ sin x = ⇔ .

2 5π

x = + k2π

6

Câu 22. Chọn A

2

sin 2x

= −1

π

Ta có: sin 2x

+ 3sin 2x

+ 2 = 0 ⇔

⇔ sin 2x

= −1

⇔ x = − + kπ

, k ∈ Z .

sin 2x

= −2

(loaïi)

4

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

25

π

1 41

Theo đề bài: 0 ≤ − + kπ

≤ 10π

⇔ ≤ k ≤ k = 1, 2,...,10 .

4

4 4

3π 3 3

Vậy tổng các nghiệm là: S

π π

π

... 9π

105π

= + + + + + = .

4 4 4 2

Câu 23. Chọn A

sin x = −1

2

PT đã cho ⇔ − 2sin x + 4sin x + 6 = 0 ⇔

⇔ x = − π + k2 π ,( k ∈ Z)

.

sin

x = 3( ptvn)

2

π

1 21

Theo đề: x ∈( 0;10π ) 0 < − + k2π

< 10π

⇔ < k < .

2

4 4

1;2;3;4;5

0;10π .

Vì k ∈Z nên k ∈ { } . Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng ( )

2

Câu 24. cos 2x

+ 2 cos x − 3 = 0 ⇔ 2cos x + 2cos x − 4 = 0 ⇔ cos x = 1 hay cos x = − 2 (loại)

Với cos x = 1⇔ x = k2 π;

k ∈Z .

Với 0 < x < 2019 ⇔ 0 < k 2π

< 2019 ⇔ 0 < k < 321.49 . Vậy có tổng cộng 321 nghiệm.

sin x = −1

2

π

Câu 25. PT đã cho ⇔ − 2sin x + 4sin x + 6 = 0 ⇔

⇔ x = − + k2 π , ( k ∈Z ) .

sin x = 3 ( VN ) 2

π

1 21

Theo đề: x ∈( 0;10π

) 0 < − + k2π

< 10π

⇔ < k < .

2

4 4

1;2;3;4;5

0;10π .

Vì k ∈ Z nên k ∈ { } . Vậy PT đã cho có 5 nghiệm trên khoảng ( )

Câu 26. Ta có: ( x )( 4 x 4 x) ( x )( 2 x 2 x)

Câu 27.

2cos 2 + 5 sin − cos + 3 = 0 ⇔ 2cos 2 + 5 sin − cos + 3 = 0

2 1

( 2cos 2x 5) cos 2x 3 0 2cos (2 x) 5cos 2x 3 0 cos 2x

⇔ − + + = ⇔ − − + = ⇔ = .

2

1 π π 5π 7π 11π

cos 2 x = ⇔ x = ± + kπ

( k ∈Z ) x ∈ ; ; ; .

2 6 6 6 6 6

π 5π 7π 11π

Do đó: S = + + + = 4 π.

6 6 6 6

⎡ 1

( )

2 5

cos x = − n

+ Ta có: cos x + cos x + 1= 0 ⇔ ⎢ 2 .

2

⎢⎢

⎣

cos x = − 2 ( l)

⎡ 2π

x = + k2π

1 ⎛2π⎞ 3

Suy ra: cos x = − ⇔ cos x = cos

⎜

( k )

2 3 ⎟

⇔ ∈ Z

⎜⎝ ⎠ 2π

⎢x

= − + k2π

⎢⎣ 3

2π

2π

+ Với x = + k2π

, k ∈ Z . Vì x ∈ ( 0;3π)

nên 0 < + k2π

< 3π

, k ∈ Z

3

3

1 7

⎧

2π

8π⎫

⇔ − < k < , k ∈ Z . Suy ra: k ∈{ 0;1}

⇒ x ∈⎨

⎪ ; ⎪

⎬

3 6

⎪⎩ 3 3

⎪⎭ .

2π

2π

+ Với x = − + k2π

, k ∈ Z . Vì x ∈ ( 0;3π)

nên 0 <− + k2π

< 3π

, k ∈ Z

3

3

1 11

4π

⇔ < k < , k ∈ Z . Suy ra: k = 1 ⇒ x = .

3 6

3

⎧

2π 4π 8π⎫

Do đó x ∈⎨

⎪ ; ; ⎪

⎬

⎪⎩ 3 3 3

⎪⎭ .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

26

Vậy số nghiệm của phương trình là 3.

π

2 cos x = 0 x = + kπ

Câu 28. Ta có cos x − cos x = 0 ⇔

⇔ 2 ( k ∈ Z ) .

cos x = 1

x

= k2π

π

π

Với x = + kπ

, do 0 < x < π nên ta được x = .

2

2

Với x = k2π

, do 0 < x < π nên không có x nào thỏa mãn.

cos x = −1

x

= π + k2π

2

Câu 29. Ta có: cos 2x

+ cos x = 0 ⇔ 2cos x + cos x − 1=

0 ⇔

1 ⇔

cos x =

π

x = ± + k2π

2 3

( k ∈Z

)

π

Do x ∈( − π ; π ) nên x = ± .

3

9π

15π

Câu 30. sin 2x + − 3cos x − = 1+

2sin x

2 2

π π

⇔ sin 2x + − 3cos x + = 1+

2sin x ⇔ cos 2x + 3sin x = 1+

2sin x

2 2

x = kπ

sin x = 0

2

π

⇔ − 2sin x + sin x = 0 ⇔

1 ⇔ x = + k2π ( k ∈Z

)

sin

x = 6

2

5π

x = + k2π

6

π 5π

Do x ∈[ 0;2π ] nên x = 0; π; ; . Vậy có 4 nghiệm.

6 6

π

tan x = 1

x = + kπ

2

4

Câu 31. Ta có 4 tan x − 5tan x + 1 = 0 ⇔

1 ⇔

( k ∈ Z ) .

tan x = 1

4 x = arctan + kπ

4

π

2017π

2017π

Với x = + kπ

( k ∈ Z ) do x ∈ − ; nên có. −1008 ≤ 1008

4

2 2 k ≤ . nên có 2017

nghiệm.

1

2017π

2017π

Với x = arctan + kπ ( k ∈ Z ) do x ∈ − ; nên có −1008 ≤ 1008

4

2 2 k ≤ nên có

2017 nghiệm và hai họ nghiệm không có nghiệm nào trùng nhau. Vậy ta có m = 4034 .

cos x = −1

2

Câu 32. Phương trình ⇔ 2cos x − 1+ 3cos x + 2 = 0 ⇔

1 2π

cos x = − = cos

2 3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

27

x = π + k2π ∈( 0; 2π ) k = 0 x = π

2π

2π

⇔ x = + k2π

∈( 0; 2π

) k = 0 x =

3 3

2π

4π

x = − + k2π

∈( 0; 2π

) k = 1 x =

3 3

2π

4π

Vậy trên khoảng ( 0; 2π ) , phương trình đã cho có 3 nghiệm là x = π , x = , x = .

3 3

2

sin 2x

= −1

π

Câu 33. Ta có: sin 2x

+ 3sin 2x

+ 2 = 0 ⇔

⇔ sin 2x

= −1

⇔ x = − + kπ

, k ∈ Z .

sin 2x

= −2

(loaïi)

4

π

1 41

Theo đề bài: 0 ≤ − + kπ

≤10π

⇔ ≤ k ≤ k = 1,2,...,10 .

4

4 4

3π 3 3

Vậy tổng các nghiệm là: S

π π

π

... 9π

105π

= + + + + + = .

4 4 4 2

Câu 34. Đặt t sin x t ∈ − 1;1 .

= , điều kiện [ ]

2

Khi đó phương trình đã cho trở thành: − 2t

+ 3t

+ 5 = 0 . Phương trình có hai nghiệm t = − 1

5

(nhận), t = (loại).

2

π

Với t = − 1, suy ra sin x = −1 ⇔ x = − + k2 π ( k ∈Z ).

2

π

1 401

Ta có 0 ≤ x ≤ 200π ⇔ 0 ≤ − + k2π ≤ 200π

⇔ ≤ k ≤ . Vì k ∈Z nên k ∈ { 1, 2,...,100}

.

2 4 4

100 100

π π

Khi đó T = − + k 2π = 100 − + 2π k = − 50π + 10100π = 10050π

.

1 2 2 1

2

Câu 35. Ta có: cos 2x

+ 3 cos x − 1 = 0 ⇔ 2 cos x + 3 cos x − 2 = 0 .

Đặt t = cos x , 0 ≤ t ≤ 1, ta được phương trình:

t

= −2

2

2t

+ 3t

− 2 = 0

1

⇔ 1 ⇔ t = . (vì 0 ≤ t ≤ 1)

t = 2

2

1 π

1

1

cos x =

Với t = , ta có: cos x =

2

x = ± + k2π

3

⇔ ⇔

2

2 1 2π

cos x = − x = ± + k2π

2 3

π π

Trên đoạn

− ;

2 2

phương trình có nghiệm là π

x = ± .

3

π

⇔ x = ± + kπ

( k ∈ Z ) .

3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

28

Câu 36.

Câu 37.

x x

2 2

cos x = −3( VN )

2

⇔ −2cos x − 5cos x + 3 = 0 ⇔

1 cos x =

2

π

x = + k2π

3

⇔

, k ∈Z

π

x = − + k2π

3

π 5π

0;2 π : x = , x = .

3 3

( )

4 4

(2cos x + 5)(sin − cos ) + 3 = 0 ⇔ (2cos x + 5) − cos x + 3 = 0

Trong khoảng ( )

Dạng 2. Giải và biện luận Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

Dạng 2.1 Không cần biến đổi

Chọn A

π π

π

2x kπ

x ≠ + k

≠ +

4 2

Điều kiện 2 ⇔

.

π π

3 sin 2x cos 2x 0

− ≠ x ≠ + k

12 2

π π π π

Vậy, tập xác định của hàm số là D = R \ + k ; + k ; k ∈Z .

4 2 12 2

3 1

π

Câu 38. Ta có: 3 sin 2x

− cos 2x

= 2 ⇔ sin 2x

− cos 2x

= 1 ⇔ sin 2x

− = 1

2 2

6

π π

π

⇔ 2x

− = + k2π

⇔ x = + kπ

( k ∈ Z ) .

6 2

3

π

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = + kπ

| k ∈ Z .

3

π

π 1

x = − + k2π

Câu 39. Ta có sin x + 3 cos x = 1 ⇔ sin x + =

6

⇔ , k ∈ Z .

3 2 π

x = + k2π

2

π

x = − + k2π

6

Vậy tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là

, k ∈ Z .

π

x = + k2π

2

1

Câu 40. Ta có: sin x cos x 1 2 sin x π

1 sin x π

sin x

π

+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = sin

π

4 4 2 4 4

π π

x + = + k2π

x

= k2π

4 4

⇔

⇔ π ( k ∈Z ) .

π 3π x = + k2π

x + = + k2π

2

4 4

1 3 1 π π

Câu 41. Ta có sin x + 3 cos x = 1 ⇔ sin x + cos x = ⇔ sin x + = sin

2 2 2 3 6

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

29

π π

π

x + = + k2π

⇔

3 6

x = − + k2π

6

⇔

( k ∈Z ) .

π π

π

x + = π − + k2π

x = + k2π

3 6 2

π π

π 2 π

Câu 42. sin 3x

+ cos3x

= 2 ⇔ cos3x

− = 1 ⇔ 3x

− = k2π

⇔ x = + k , k ∈Z .

4 4

12 3

Dạng 2.2 Cần biến đổi

2

Câu 43. Ta có 2sin x + 3 sin 2x

= 3 ⇔ 1− cos 2x

+ 3 sin 2x

= 3

Câu 44.

Câu 45.

Câu 46.

3 1

⇔ 3 sin 2x

− cos 2x

= 2 ⇔ sin 2x

− cos 2x

= 1

2 2

π π π π

⇔ sin 2x

− = 1 ⇔ 2x − = + k2π

⇔ x = + kπ

.

6 6 2 3

Chọn C

π

π

Ta có cos x + = −sin

x và sin x − = −cos

x .

2

2

Do đó phương trình ⇔ − 3sin x − cos x = 2sin 2x ⇔ 3sin x + cos x = − 2sin 2x

.

3 1

π π

⇔ sin x + cos x = −sin 2x ⇔ sin x + = −sin 2x ⇔ sin x + = sin ( −2x)

.

2 2 6 6

π π 2π

x + = − 2x + k2π

x k

6

= − +

18 3

⇔

⇔

( k ∈Z

).

π

5π

x + = π + 2x + k2π x = − − k2π

6

6

5π

k =−1 −k

' 7π

Xét nghiệm x = − − k2 π ⎯⎯⎯⎯→ x = + k '2π

.

k∈Z , k ' ∈Z 6 6

π

Vậy phương trình có nghiệm 2 π

, 7 π

x = − + k x = + k '2 π ( k, k ' ∈ Z ).

18 3 6

Chọn D

Ta có

2 1−

cos 2x

3

sin x + 3 sin x cos x = 1 ⇔ + sin 2x

= 1

2 2

3 1 1 π 1

⇔ sin 2 x− cos 2 x = ⇔ sin 2x

− =

2 2 2 6 2

π π π

2x − = + k2π

x k

6 6

= + π

6

⇔

⇔ .

π 5π π

2x − = + k2π

x = + kπ

6 6 2

Chọn C

Phương trình tương đương sin x + cos x = 2 sin5x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

30

Câu 47.

Câu 48.

Câu 49.

Câu 50.

π π

⇔ 2 sin x + = 2 sin5x ⇔ sin x + = sin5x

4 4

π

π π

x + = 5x + k2π

x k

4

= −

16 2

⇔

⇔

π π π

x + = π − 5x + k2π

x = + k

4

8 3

Chọn A

3 3

3sin 3x + 3 cos9x = 1+ 4sin 3x ⇔ 3sin 3x − 4sin 3x + 3 cos 9x

= 1

Ta có ( )

π π π k2π

9x + = + k2π

x = − +

π 1 3 6 54 9

⇔ sin 9x + 3 cos9x = 1 ⇔ sin 9x

+ = ⇔

⇔

.

3 2 π 5π π k2π

9x + = + k2π

x

= +

3 6

18 9

Chọn A

Ta có sin x − 3 cos x = 2sin 3x

1 3

⇔ sin x − cos x = sin 3x

2 2

π π

⇔ cos sin x − sin cos x = sin 3x

3 3

π

⇔ sin x − = sin 3x

3

π

x − = 3x + k2π

3

⇔

π

x − = π − 3x + k2π

3

π

x = − − kπ

6

π π

⇔ ⇔ x = + k , k ∈ Z .

π π 3 2

x = + k

3 2

Dạng 2.3 Có điều kiện của nghiệm

Dạng 2.3.1 Điều kiện nghiệm

Hướng dẫn giải

Chọn D

2 2

cos x sin 2x 2 cos

π

2 2

− = + + x ⇔ cos x − sin 2x = 2 + sin x ⇔ cos 2x

− sin 2x

= 2

2

π

π π

π

⇔ 2 cos

2x

+ = 2 ⇔ cos

2x

+ = 1 ⇔ 2x

+ = k2π

⇔ x = − + kπ

( k ∈Z )

4

4

4

8

7π

15π

23π

Trên ( 0;3π ) x = , x = , x = .

8 8 8

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Chọn B

Hướng dẫn giải

31

π

π

x = − + kπ

8

Ta có: 2 cos3x = sin x + cos x ⇔ cos3x

= cos x − ⇔

( k ∈Z ) .

4 π π

x = + k

16 2

7π

π 9π

Vì x ∈ ( 0; π ) nên nhận x = , x = , x = .

8 16 16

Câu 51. Chọn D

2 2

Phương trình ⇔ cos x − sin x − sin 2x = 2 ⇔ cos 2x − sin 2x

= 2 .

π π π

⇔ cos

2x + = 1 ⇔ 2x + = k2 π ⇔ x = − + kπ

( k ∈Z

).

4 4 8

7π

k 1 x

π

1 17

= → =

k∈Z

8

Do 0 < x < 2π ⎯⎯→ 0 < − + kπ < 2π

⇔ < k < ⎯⎯⎯→ .

8 8 8 15π

k = 2 → x =

8

7π

15π

11

⎯⎯→ T = + = π .

8 8 4

Câu 52. Chọn A

Phương trình ⇔ 3sin3x + cos3x = sin x + 3 cos x .

3 1 1 3

π π

⇔ sin 3x + cos3x = sin x + cos x ⇔ sin 3x + = sin x + .

2 2 2 2 6 3

π π π

Suy ra b + d = + = ..

6 3 2

Câu 53. Chọn C

1 3

π

Phương trình ⇔ sin 5x + cos5x = sin 7x ⇔ sin 5x + = sin 7x

.

2 2 3

π

π

7x = 5x + + k2π

x = + kπ

π

3 6

⇔ sin 7x = sin 5 x + ⇔

⇔

( k ∈Z

).

3 π

π kπ

7x = π − 5x k2π

+ + x = +

3 18 6

π π 1 1 k∈Z

π

0 < + kπ

< ⇔ − < k < ⎯⎯⎯→ k = 0 → x = .

6 2 6 3 6

π

k = 0 → x =

18

π π π 1 8 k∈Z

2π

0 < + k < ⇔ − < k < ⎯⎯⎯→ k = 1 → x = .

18 6 2 3 3

9

7π

k = 2 → x =

18

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn.

3 1

π

Câu 54. Ta có 3 cos x + sin x = −2

⇔ cos x + sin x = −1

⇔ sin x + = −1

2 2

3

π 3π

7π

⇔ x + = + k2π

( k ∈ Z)

⇔ x = + k2π

( k ∈ Z ) .

3 2

6

0;1; 2; …;2016

.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Trên đoạn [ 0;4035π ], các giá trị k ∈ Z thỏa bài toán thuộc tập { }

32

Do đó có 2017 nghiệm của phương trình thuộc đoạn [ 0;4035π ].

α k2π

2x − α = x + k2π

x = +

cos 2 − = cos x ⇔

⇔ 3 3

2x − α = − x + k2π

x

= α + k2π

Câu 55. ( x α )

1 3

cos 2x + 3 sin 2x − 2cos x = 0 ⇔ cos 2x + sin 2x = cos x

2 2

π

π

x = + k2π

3

⇔ cos

2x

− = cos x ⇔

3 π k2π

x = +

9 3

α

π

=

3 9 π

Để hai phương trình tương đương cần có α = .

π 3

α = 3

2 2 π 2

Câu 56. Ta có: sin x + cos x = 1 ⇔ 2

sin x + cos x = 1 ⇔ sin x + =

2 2

4 2

π π

x + = + k2π

x

= k2π

π π 4 4

⇔ sin x sin

+ = ⇔

⇔ π ( k ∈ Z ) .

4 4 π 3π x = + k2π

x + = + k2π

2

4 4

π

π

Suy ra: a = 0 và b = nên a + b = .

2

2

π π

Câu 57. Ta có sin x − 3 cos x = 0 ⇔ sin x − = 0 ⇔ x = + kπ

, k ∈ Z

3 3

7 5

Vì x ∈[ − 2 π ;2π

] nên −2π

≤ x ≤ 2π

⇔ − ≤ k ≤ . Do đó có 4 giá trị k , tương ứng có bốn

3 3

nghiệm x .

Câu 58.

Câu 59.

π

+ = ⇔ cos 2x

+ 3 sin 2x

= 2 ⇔ cos 2x

− = 1

3

2

2cos x 3 sin 2x

3

π

π

⇔ 2x

= + k2π

⇔ x = + kπ

( k ∈ Z ) .

3

6

Xét

5π

π 5π

0 < x ≤ ⇔ 0 < + kπ

≤ k = 0 , k = 1, k = 2 .

2 6 2

π

Với k = 0 x = ;

6

7π

k = 1 x = ;

6

13π

k = 2 x = .

6

Vậy tổng các nghiệm bằng 7 π .

2

2 2

Ta có cos x sin 2x 2 cos

π

− = + + x

2 ⇔ 2 2

cos x − sin 2x = 2 + sin x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

33

⇔ cos 2x

− sin 2x

=

π

π

2 ⇔ cos 2x

+ = 1 ⇔ 2x

+ = k2π

, k ∈ Z

4

4

π

⇔ x = − + kπ

, k ∈ Z

8

π

Vì 0 < x < 2π

⇔ 0 < − + kπ

< 2π

⇔ 1 < k <

17

8

8 8

7π

15π

Vì k ∈ Z nên k ∈ { 1;2}

x1 = ; x2

=

8 8

11π

Vậy x1 + x2

= .

4

Câu 60. Chọn B

Phương trình ⇔ sin 9x − 3 cos9x = sin 7x − 3 cos7x

.

π π

9x − = 7x − + k2π

x = kπ

π π

3 3

⇔ sin 9x sin 7x

− = − ⇔

⇔ 5π

kπ

.

3 3 π π x

= +

9x − = π − 7x − + k2π

48 8

3 3

k∈Z

kπ

< 0 ⇔ k < 0 ⎯⎯⎯→ kmax

= −1→ x = −π

Cho<

0

5π kπ 5

.

k∈

π

0 k kmax

1 x

48 8 6 So sánh hai nghiệm ta được

Z

48

π π

nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x = − ∈ − ;0 .

48 12

Dạng 2.3.2 Định m để phương trình có nghiệm

Câu 61.

2 2

Điều kiện cần và đủ của a, b, c để phương trình a sinx+ bcosx = c có nghiệm là: a + b

2

≥ c .

Câu 62. Chọn D

2

Phương trình có nghiệm ⇔ 3 + ( −4) 2 ≥ ( 2m)

2

2 5 5

⇔ 4m

≤ 25 ⇔ − ≤ m ≤ .

2 2

2 1−cos 2x

Câu 63. Ta có: ( m + 1) sin x − sin 2x + cos 2x = 0 ⇔ ( m + 1 ). − sin 2x + cos 2x

= 0

2

⇔ 2sin 2 x + ( m− 1)cos2 x = m+

1

Câu 64.

Câu 65.

2 2 2

Để phương trình có nghiệm thì điều kiện là: 2 + ( m−1) ≥ ( m+ 1) ⇔ m ≤ 1 kết hợp với điều kiện

của đề bài ta có: −2018 ≤ m ≤ 1. Suy ra có 2020 số giá trị nguyên để phương trình có nghiệm.

Chọn D

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

2

m + ( m + 2) 2 ≥ ( 2m

+ 1)

2 2

3 3

⇔ 2m

−3 ≤ 0 ⇔ − ≤ m ≤

2 2

Vậy có 1 giá trị nguyên.

Chọn B

msin 2x + cos2x

= 2

m

1 2

⇔ sin 2x + cos 2x

=

2 2 2

m + 1 m + 1 m + 1

2

⇔ sin ( 2x

+ α ) =

2

m + 1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

34

Câu 66.

Câu 67.

Câu 68.

có nghiệm khi

2 m

≥ 3

≤ 1 ⇔ .

2

m + 1 m ≤ − 3

Chọn A

4 sin x m 4 cos x 2m

5 0 ⇔ 4 sin x + m − 4 cos x = 2m

− 5 .

+ ( − ) − + = ( )

2 2

2

Phương trình có nghiệm khi ( m ) ( m )

6 − 57 6 + 57

⇔ ≤ m ≤

3 3

Vì m ∈ Z nên { 0,1,2,3, 4}

m ∈ .

2

4 + − 4 − 2 − 5 ≥ 0 ⇔ − 3m

+ 12m

+ 7 ≥ 0

Vây tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm là 10 .

Chọn B

2

m + 1 sin x − sin 2x + cos 2x

= 0

( )

( m + ) ( )

⇔

1 1 − cos 2 x

2

− sin 2 x + cos 2 x = 0

⇔ m + 1 1− cos2x − 2sin 2x + 2cos2x

= 0

( )( )

( )

⇔ − 2sin 2x + 1− m cos2x = m + 1

Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

( m) ( m )

2 2

4 + 1− ≥ + 1

⇔ 4m

≤ 4 m ≤ 1

Vậy có tất cả 2020 giá trị của tham số thỏa mãn đề bài.

Chọn D

4m

− 4 ≥ 0 m

≥ 1

Điều kiện xác định: m − 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ 2 ⇔ m ≥ 3.

3 − 9 ≥ 0

m m

≥ 3

4m − 4.sinx.cosx+ m − 2.cos 2x = 3m

− 9

( )

⇔ m − 1. 2sinx.cosx + m − 2.cos 2x = 3m

− 9

⇔ m − 1.sin 2x + m − 2.cos 2x = 3m

− 9

Phương trình có a = m −1,

b = m − 2, c = 3m

− 9.

Điều kiện để phương trình có nghiệm:

Ta có:

( m − 1) + ( m − 2 ) ≥ ( 3m

− 9 )

2 2 2

⇔ m − 1+ m − 2 ≥ 3m

− 9

⇔ m ≤ 6.

Kết hợp điều kiện ta được 3 ≤ m ≤ 6.

Mà ∈Z m ∈ 3;4;5;6 .

m nên { }

2 2 2

a + b ≥ c .

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

2m − 1 cos 2x + 2msin x cos x = m −1 ⇔ 2m − 1 cos 2x + msin 2x = m − 1.

Câu 69. ( ) ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( )

2 2 2 2 1

2m − 1 + m < m −1 ⇔ 2m − m < 0 ⇔ 0 < m < .

2

35

Câu 70. Ta có

2

2msin x cos x + 4cos x = m + 5

⇔ msin 2x + 2cos 2x = m + 3.

1+

cos 2x

⇔ msin 2x + 4 = m + 5

2

2

Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi ( ) 2 5

m + 4 ≥ m + 3 ⇔ m ≤ − .

9

Vậy có ba giá trị của m∈ E để phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 71. Có 2cos x − sin x + 4 > 0, ∀x

∈R .

( )

( ) ( )

PT ⇔ m 2 cos x − sin x + 4 = cos x + 2sin x + 3

⇔ 2m −1 cos x − m + 2 sin x + 4m

− 3 = 0 .

2 2 2

Phương trình trên có nghiệm khi ( 2m − 1) + ( m + 2) ≥ ( 4m

− 3)

2

2

⇔ − 11m

+ 24m

− 4 ≥ 0 ⇔ 2

11 ≤ m ≤ .

4sin x m 4 cos x 2m

5 0 ⇔ 4sin x + m − 4 cos x = 2m

− 5 .

Câu 72. + ( − ) − + = ( )

2

2 2

Phương trình có nghiệm khi ( m ) ( m )

6 − 57 6 + 57

⇔ ≤ m ≤

3 3

m ∈ 0,1, 2,3, 4 .

Vì m ∈ Z nên { }

2

4 + − 4 − 2 −5 ≥ 0 ⇔ − 3m

+ 12m

+ 7 ≥ 0

Vây tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm là 10.

2 2

1− cos 2x

1+

cos 2x

Câu 73. asin x + 2sin 2x + 3a cos x = 2 ⇔ a + 2sin 2x + 3a

= 2

2 2

⇔ a − a cos 2x + 4sin 2x + 3a + 3a cos 2x

= 4 4sin 2x 2a cos 2x 4 4a

⇔ + = − (*)

(*)

có nghiệm khi 4 2 + 4a

2 ≥ ( 4 − 4a) 2

2

2

8

⇔ 12a

−32a

≤ 0 ⇔ 12a

−32a

≤ 0 ⇔ 0 ≤ a ≤ .

3

Do a ∈ Z và là số lớn nhất nên a = 2 .

2

2

8sin x m 1 sin 2x 2m

6 0 ⇔ 8sin x − 4 + m − 1 sin 2x + 2m

− 2 = 0

Câu 74. + ( − ) + − = ( )

⇔ − 4 cos 2x + ( m − 1)

sin 2x = 2 − 2m

.

Phương trình có nghiệm khi: ( − 4) + ( m −1) ≥ ( 2 − 2m)

Câu 75.

Câu 76.

2

3− 4 3 3+

4 3

⇔ 3m

− 6m

−13 ≤ 0 ⇔ ≤ m ≤ .

3 3

m = − 1;0;1;2;3 .

Vì m∈Z { }

2

( )

m + 1 sin x − sin 2x + cos 2x

= 0

1−

cos 2x

⇔ ( m + 1)

− sin 2x + cos 2x

= 0

2

1− m

m + 1

⇔ cos 2x

− sin 2x

= −

2

2

2 2 2

2 2

2

1− m m + 1

Điều kiện có nghiệm của phương trình + ( −1)

≥ − ⇔ m ≤1

2 2

Suy ra −2018 ≤ m ≤ 1

Suy ra có 2020 giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm.

Chọn C

⇔ 16 + m − 2m + 1 ≥ 4 − 8m + 4m

2 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

36

Ta có 2 cos x − sinx + 4 > 0, ∀x

∈ R nên

cos x + 2sin x + 3

m = ⇔ cos x + 2sin x + 3 = m( 2cos x − sin x + 4)

2cos x − sin x + 4

⇔ 2m − 1 cosx- m + 2 s inx + 4m

− 3 = 0 (1)

( ) ( )

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

2m − 1 + m + 2 ≥ 4m − 3 ⇔ − 11m + 24m − 4 ≥ 0 ⇔ ≤ m ≤ 2

11

Dạng 2.3.3 Sử dụng điều kiện có nghiệm để tìm Min-Max

Câu 77. Ta có sin x + cos x + 2 > 0, ∀ x nên hàm số có tập xác định là D = R .

sin x + 2cos x + 1

Xét phương trình ẩn x : y =

⇔ ( y − 1) sin x + ( y − 2)

cos x = 1− 2y

.

sin x + cos x + 2

Câu 78.

Câu 79.

Câu 80.

Câu 81.

2 2 2

Phương trình này có nghiệm ⇔ ( y − 1) + ( y − 2) ≥ ( 1−

2y)

2

⇔ 2y + 2y − 4 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ y ≤ 1.

min y = − 2 = m

x∈R

2 2

Vì phương trình luôn có nghiệm, suy ra

M − m = 1− 4 = − 3 .

max y = 1 = M

x∈R

Chọn B

cos x + 2sin x + 3

y =

(1)

2cos x − sin x + 4

Điều kiện: 2cos x − sin x + 4 ≠ 0 (luôn đúng)

Gọi y

o

là một giá trị của hàm số (1).

cos x + 2sin x + 3

Khi đó: yo

=

2cos x − sin x + 4

⇔ y 2 cos x − sin x + 4 = cos x + 2sin x + 3

o ( )

( ) ( )

⇔ y + 2 sin x + 1− 2 y cos x = 4 y − 3 (2)

o o o

2 2 2

Do phương trình (2) luôn có nghiệm x nên: ( 4y − 3) ≤ ( y + 2) + ( 1−

2y

)

⇔ − + ≤

2

11yo

24yo

4 0

o o o

2

⇔ ≤ yo

≤ 2

11

2

Tập giá trị của hàm số (1) là ; 2

11

. Các giá trị nguyên là: 1; 2 . Vậy có hai giá trị nguyên.

Chọn C

sin x + 2 cosx

+ 1

Ta có y = ⇔ ( y − 1) sin x + ( y − 2)

cos x = 1 − 2y

(*)

sin x + cos x + 2

Phương trình ( )

* có nghiệm

( ) ( ) ( )

2 2 2

2

1 2 1 2 2 0 2 1

⇔ y − + y − ≥ − y ⇔ y + y − ≤ ⇔ − ≤ y ≤ .

Vậy m = − 2; M = 1.

Chọn D

sinx − 2cos x − 3

P =

⇔ ( 2P − 1) sinx + ( 2 + P)

cos x + 3− 4P

= 0

2sin x + cos x − 4

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2 2 2

Áp dụng điều kiện có nghiệm ta có: ( 2P − 1) + ( 2 + P) ≥ ( 3−

4P)

Chọn D

2

⇔ ≤ P ≤ 2 .

11

37

Ta có

msin x + 1

y = ⇔ msin x − y cos x + 1− 2y

= 0 .

cos x + 2

Điều kiện phương trình ( 1 ) có nghiệm là y 2 + m 2 ≥ ( 1−

2y) 2

2

2 + 1+

3m

y ≤ .

3

2

2 + 1+

3m

Do đó, suy ra

m

3

m ∈ Z m ∈ −3; −2; −1;0;1;2;3

.

Mà { }

2

< 3 ⇔ < 16 ⇔ − 4 < < 4 .

⇔ − + − ≤

2 2

3y 4y 1 m 0

Dạng 3. Giải và biện luận Phương trình đẳng cấp

Dạng 3.1 Không có điều kiện của nghiệm

Câu 82. Chọn D

Do cos x = 0 không thỏa mãn phương trình nên chia hai vế của phương trình cho

2 2 2

2tan x + 3tan x − 2 = 1+ tan x ⇔ tan x + 3tan x − 3 = 0

Đặt t = tan x thì ta có phương trình t

2 + 3t

− 3 = 0 .

Câu 83. Cách 1: Xét cos 0 :

2 = 3 ktm

x = Phương trình tương đương ( )

2

Xét cos x ≠ 0 , chia cả hai vế cho cos x ta có:

2 2 2

2 tan x + 2 3 tan x = 3 tan x + 1 ⇔ tan x − 2 3 tan x + 3 = 0

( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

m

2

cos x ≠ 0

π

⇔ tan x = 3 ⇔ x = + kπ

, k ∈Z

3

2

π π

Cách 2: pt ⇔ − ( 1− 2 sin x)

+ 3 sin 2x

= 2 ⇔ 2sin 2x

− = 2 ⇔ x = + kπ

.

6 3

Câu 84. Chọn B

2 2 1+ cos8x

1−

cos8x

3cos 4x + 5sin 4x = 2 − 2 3 sin 4x cos 4x ⇔ 3 + 5 = 2 − 3 sin8x

2 2

3 1

⇔ 3sin8x − cos8x = −2 ⇔ sin8x − cos8x

= − 1

2 2

π π

⇔ sin8xcos − cos8xsin = − 1

6 6

π π π π π

⇔ sin 8x − = −1 ⇔8x − = − + k2 π ( k ∈Z) ⇔ x = − + k ( k ∈Z

).

6

6 2 24 4

Câu 85. Chọn B

sin x = 0 sin x = 0

Với x = kπ

→ ⇔ . Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng.

2

cos x = ± 1 cos x = 1

2 2 2

Phương trình ⇔ cos x − 3sin x cos x + sin x + cos x = 0 .

2 2 2

⇔ sin x − 3sin x cos x + 2 cos x = 0 ⇔ tan x − 3 tan x + 2 = 0 . Vậy B đúng.

2 2 2

Phương trình ⇔ cos x − 3sin x cos x + sin x + cos x = 0 .

2 2 2

⇔ 2 cos x − 3sin x cos x + sin x = 0 ⇔ 2 cot x − 3cot x + 1 = 0 . Vậy C sai.

1+

cos 2x

sin 2x

Phương trình ⇔ − 3 + 1 = 0 ⇔ cos 2x

− 3sin 2x

+ 3 = 0. Vậy D đúng.

2 2

Câu 86. Chọn A

cos x = 0 không thỏa mãn phương trình, nên ta có:

ta có

38

Câu 87.

Câu 88.

Câu 89.

Câu 90.

( ) ( )

2

⇔ ( + ) x − x + − =

2 2

3 + 1 sin x − 2 3sin xcos x + 3 − 1 cos x = 0

3 1 tan 2 3 tan 3 1 0

tan x = 1

π

x = + kπ

⇔

3 1

− ⇔ 4 (Với tanα = 2− 3).

tan x = = 2 − 3

3 + 1

x

= α + kπ

Chọn C

Phương trình sin ( ) 2 x 3 1 sin xcos x 3 cos 2 x 3 ( sin 2 x cos

2 x)

2

( ) ( )

( ) ( )

⇔ − + + = + .

⇔ 1− 3 sin x − 3 + 1 sin x cos x = 0 ⇔ sin x 1− 3 sin x − 3 + 1 cos x

= 0.

2 2

sin x = 0 ⇔ cos x = 1 ⇔ cos x − 1 = 0.

1− 3 sin x − 3 + 1 cos x = 0 ⇔ 1− 3 sin x = 3 + 1 cos x .

( ) ( ) ( ) ( )

3 + 1

⇔ tan x = ⇔ tan x = −2 − 3 ⇔ tan x + 2 + 3 = 0.

1−

3

2

Vậy phương trình đã cho tương đương với ( x )( x )

Chọn D

tan + 2 + 3 cos − 1 = 0 .

Phương trình 2sin 2 x 3 3 sin x cos x cos 2 x 2( sin 2 x cos

2 x)

⇔ + − = + .

( )

⇔ − = ⇔ − =

2

3 3sin xcos x 3cos x 0 3cos x 3sin x cos x 0.

π

k = 0 π

cos x = 0 ⇔ x = + kπ

( k ∈ Z ) ⎯⎯→ x = .

2 2

3sin x − cos x = 0 ⇔ 3sin x = cos x .

1

π π k = 0 π

⇔ tan x = ⇔ tan x = tan ⇔ x = + kπ

( k ∈ Z ) ⎯⎯→ x = .

3

6 6 6

Vậy tập nghiệm của phương trình chứa các nghiệm 6

π và 2

π . Chọn D

Chọn C

2 2

Ta có ( − ) x + x + ( + ) x − =

1− cos 2x

1+

cos 2x

( ) x ( )

2 2

( )( x) x ( )( x)

2 1 sin sin 2 2 1 cos 2 0

⇔ 2 − 1 + sin 2 + 2 + 1 − 2 = 0

⇔ 2 −1 1− cos 2 + sin 2 + 2 + 1 1− cos 2 − 2 2 = 0

⇔ − 2 2 cos 2x

+ sin 2x

= 0

Như vậy, mệnh đề: “Phương trình đã cho tương đương với cos 2x

− sin 2x

= 1” sai.

Chọn A

Cách 1: Xét cos 0:

2 = 3 ktm

x = Phương trình tương đương ( )

2

Xét cos x ≠ 0 , chia cả hai vế cho cos x ta có:

2 2 2

2 tan x + 2 3 tan x = 3 tan x + 1 ⇔ tan x − 2 3 tan x + 3 = 0

( )

π

⇔ tan x = 3 ⇔ x = + kπ

, k ∈ Z

3

2

π π

Cách 2: pt ⇔ − ( 1− 2 sin x)

+ 3 sin 2x

= 2 ⇔ 2sin 2x

− = 2 ⇔ x = + kπ

.

6 3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

39

Câu 91. Chọn B.

π

TH1: cos x = 0 ⇔ x = + kπ

2

thỏa mãn phương trình.

TH2: cos x ≠ 0.

2 2

6sin x+ 7 3sin2x − 8cos x = 6

2

1

⇔ 6tan x + 14 3 tan x − 8 = 6 cos

2

x

⇔ 6 tan 2 x + 14 3 tan x − 8 = 6 tan 2 x + 1

Câu 92.

⇔14 3tan x− 14 = 0

( )

1

π π

⇔ tan x = ⇔ tan x = tan ⇔ x = + kπ

( k ∈ Z ).

3

6 6

Chọn A

tan x = 1

2

Phương trình ⇔ tan x − ( 3 + 1)

tan

x + 3 = 0 ⇔ .

tan x = 3

π

x = + kπ

4

⇔ ( k ∈Z

).

π

x = + kπ

3

Câu 93. Cách 1: Xét cos 0 :

x = Phương trình tương đương 2 = 3( ktm)

2

Xét cos x ≠ 0 , chia cả hai vế cho cos x ta có:

2 2 2

2 tan x + 2 3 tan x = 3 tan x + 1 ⇔ tan x − 2 3 tan x + 3 = 0

( )

π

⇔ tan x = 3 ⇔ x = + kπ

, k ∈Z

3

2

π π

Cách 2: pt ⇔ − ( 1− 2 sin x)

+ 3 sin 2x

= 2 ⇔ 2sin 2x

− = 2 ⇔ x = + kπ

.

6 3

Dạng 3.3 Có điều kiện của nghiệm

Câu 94. Chọn A

Dễ thấy cos 2x = 0 không thỏa mãn phương trình. Dó đó, phương trình đã cho tương đương với:

π π

tan 2x

= 1

x = + k

( 1)

2

4 tan 2x

−3tan 2x

− 1=

0 ⇔

8 2

1 ⇔

tan 2x

= − 1 1 π

4 x = arctan − + k ( 2

)

2 4 2

π π

Xét ( 1 ) , vì x ∈ ( 0; π ) 0 < + k < π k ∈ { 1}

(do k ∈ Z ).

8 2

1 1

Xét ( 2 ) , vì x ∈ ( 0; π ) 0 < arctan − + k π < π k ∈ { 1;2}

(do k ∈ Z ).

2 4 2

0;π thì phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Câu 95.

Do đó, trong khoảng ( )

Chọn C

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Phương trình

π

tan x = 1

x = + kπ

4

⇔ − x + x = ⇔

1 ⇔

tan x = 1

2 x = arctan + kπ

2

2

1 3tan 2 tan 0 .

40

Câu 96.

Câu 97.

Câu 98.

Câu 99.

π

9 7

4 4 4

1

Vì x ∈( −2 π ;2π ) → − 2π < arctan + kπ < 2π

.

2

CASIO

k∈Z

⎯⎯⎯→ − 28,565 < k < −24,565 ⎯⎯⎯→ k ∈ −28; −27; −26; −25

xapxi

Vậy có tất cả 8 nghiệm.

Chọn D

k∈Z

Vì x ∈( −2 π ; 2π ) → − 2π < + kπ < 2π

→ − < k < ⎯⎯⎯→ k ∈{ −2; −1;0;1

}

Phương trình ( ) ( )

2

⇔ sin x + ( 1− 3)

sin x cos x −

2

3 cos x = 0 .

{ }

2 2 2 2

⇔ 2sin x + 1− 3 sin x cos x + 1− 3 cos x = sin x + cos x .

π

tan x 1

x = − + kπ

= −

2 4

⇔ tan x + ( 1− 3)

tan

x − 3 = 0 ⇔ ⇔

.

tan x = 3 π

x = + kπ

3

π

1 k

π

− + kπ

< 0 ⇔ k < ⎯⎯⎯→

∈Z

kmax

= 0 → x = −

Cho<

0 4 4 4

⎯⎯⎯→ .

π

1 k∈Z

2π

+ kπ

< 0 ⇔ k < − ⎯⎯⎯→ kmax

= −1

→ x = −

3 3 3

π

So sánh hai nghiệm ta được x = − là nghiệm âm lớn nhất.

4

Chọn B

4sin 2 x + 3 3 sin 2x − 2cos 2 x = 4 ⇔ 2 1− cos 2x + 3 3 sin 2x

− 1+ cos 2 x = 4

Ta có ( ) ( )

3 1 1 π 1

⇔ 3 sin 2x − cos 2x = 1 ⇔ sin 2x − cos 2x = ⇔ sin 2x

− =

2 2 2 6 2

π π π

2x − = + k2π

x k

6 6

= + π

6

π

⇔

⇔ nghiệm dương nhỏ nhất là x = .

π 5π π

2x − = + k2π

6

x = + kπ

6 6 2

2 2

2 2

3sin x + 2sin xcos x − cos x = 0 ⇔ 3sin x + 3sin x cos x − sin x cos x − cos x = 0

3sin

x

3sin x − cos x = 0

= 1 1

cos x tan x =

⇔ (3sin x − cos x)(sin x + cos x) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ 3

sin x + cos x = 0 sin x

= −1

tan x = −1

cos x

1

x = arctan + kπ

3

⇔ ( k ∈ Z ) .

π

x = − + kπ

4

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

.

2 2

Do x 0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin x + 2sin xcos x − cos x = 0 nên

1

x 0 = arctan . 3

2 2

Ta có: 4sin 2x −3sin 2xcos 2x − cos 2x

= 0

2

⇔ 4tan 2x

−3tan 2x

− 1=

0

.

41

tan 2x

= 1

⇔

1

tan 2x

=

4

x ∈ 0; π ⇔ 2x

∈ 0;2π

( ) ( )

Quan sát hình vẽ ta có: Phương trình có 4 nghiệm thuộc ( )

0;π .

Dạng 3.3 Định m để phương trình có nghiệm

Câu 100. Ta có:

2 2 1− cos 2 x 1+

cos 2 x

asin x + 2sin 2x + 3a cos x = 2 ⇔ a + 2sin 2x + 3a

= 2

2 2

⇔ 4sin 2x + 2a cos 2x = 4 − 4 a * .

Câu 101. Phương trình

Với cos x = 0 thì

( )

2 2

⇔ 3sin x + 2msin x.cos x − 4cos x = 0 ( 1 )

2

sin x = 1, thay vào ( ) m

Do đó cos x = 0 không thỏa mãn.

Với cos 0

x ≠ , chia cả hai vế của ( 1 ) cho

2

Đặt t = tan x , ta có 3t

+ 2mt

− 4 = 0 ( 2 )

Phương trình bài ra có nghiệm khi ( )

1 ta có 3.1 + .0 − 4.0 = 0 ⇔ 3 = 0 (vô lý).

2

cos x ta được

2 có nghiệm

2

m + 12 ≥ 12 > 0 ∀m

∈ R .

Vậy với mọi m ∈ R thì phương trình bài ra có nghiệm.

Dạng 4. Giải và biện luận Phương trình đối xứng

Dạng 4.1 Không có điều kiện của nghiệm

Câu 102. Chọn B

2

1 − t

Đặt t = sin x + cos x ( t ≤ 2 ) sin 2x

=

2

2

1 1−

t

1

2 t

=

t = 1 − . ⇔ t − 4t

+ 3 = 0 ⇔

2 2

t

= 3 ( loai)

2

3tan x 2m tan x 4 0

+ − = .

2

⇔ ∆ = m + 12 ≥ 0 luôn đúng với ∀m

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

′

∈ R vì

42

sin x + cos x = 1 ⇔

π π π

2 sin x + = 1 ⇔ sin x + = sin

4 4 4

x

= k2π

⇔

π x = + k2π

2

Câu 103. Chọn A

Đặt t = sin x + cos x =

π

2 sin x +

4 . Vì π

sin x + ∈[ −1;1]

t ∈ −

4

2; 2

.

2

2 2 2 2 t −1

Ta có t = ( sin x + cos x)

= sin x + cos x + 2sin x cos x sin x cos x = .

2

2

t − 1 t

= 1

2

Khi đó, phương trình đã cho trở thành + 2 t = 2 ⇔ t + 4 t − 5 = 0 ⇔ .

2

t

= − 5( loaïi)

1

Với t = 1, ta được sin x cos x 1 sin x

sin x

+ = ⇔ + = ⇔ + = sin

.

4 2 4 4

π π

x + = + k2π

x

= k2π

⇔ 4 4

⇔

π , k ∈Z .

π π x = + k2π

x π k2π

2

4 4

Câu 104. Chọn A

2

Đặt t = sin x + cos x sin 2x = t − 1.

3 2 t + 2

2

t − 1

2

+ 4 = 0 ⇔ 2t + 3 2 t + 2 = 0.

Phương trình đã cho trở thành ( )

Câu 105. Chọn A

Đặt t = sin x + cos x =

π

2 sin x + . Điều kiện

4 2 2.

Ta có ( ) 2

2 2 2 2

t = sin x + cos x = sin x + cos x + 2.sin x.cos x sin 2x = t − 1.

Khi đó, phương trình đã cho trở thành ( )

2 2

5 t 1 t 6 0 5t t 1 0

− + + = ⇔ + + = : vô nghiệm.

Nhận thấy trong các đáp án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vô nghiệm.

2

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình 1+ tan x = 0.

Câu 106. Chọn B

2

Đặt | sin x + cos x | = t ( t ∈ 2; 2

−

) sin 2x = t −1

. Khi đó phương trình trở thành:

t = 6 (L)

2

6 π 6

2t − 3 6t + 6 = 0 ⇔

6

sin x + cos x = ⇔ 2 sin x + = ±

t (TM)

2 4 2

=

2

π π

x

+ = + k2π

4 3

π 2π

x + = + k2π

π 3 π π 4 3

⇔ sin x + = ± ⇔ sin x + = sin ± ⇔

( k ∈ Z )

4 2 4 3

π π

x + = − + k2π

4 3

π 4π

x + = + k2π

4 3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

43

π

π

x = + k2π

2

12

x = + k π

12

5π 5π π

x = + k2π x = + k2π x = + kπ

12 12

⇔

12

∈ ⇔

7π

∈ ⇔ ∈

7π 5π

x = − + k2π x = − + k2π x = + kπ

12 12 12

13π

13π

x = + k2π

x = + k2π

12 12

Câu 107. Chọn D

2

1−

t

Đặt t = sin x − cos x ( − 2 ≤ t ≤ 2 ) sin x cos x = .

2

( k Z) ( k Z)

( k Z )

2

Phương trình trở thành ( ) ( )

1+ 3 t − t −1 − 3 − 1 = 0 .

t

= 1

2

⇔ t − ( 1+ 3) t + 3 = 0 ⇔ ⇔ t = 1.

t = 3 ( loaïi)

Câu 108. Chọn C

3 3 1

3

( ) ( )

sin x + cos x = 1− sin 2x ⇔ sin x + cos x − 3sin x cos x sin x + cos x = 1−

sin x cos x

2

2

t −1

Đặt sin x + cos x = t ( t ≤ 2 ) sin x cos x = . Khi đó ta có phương trình

2

2 2

3 t −1 t −1

3 2 2

t − 3 t = 1− ⇔ t − t − 3t + 3 = 0 ⇔ ( t −1)( t − 3)

= 0 ⇔ t = 1

2 2

π π π

sin x + cos x = 1⇔ 2sin x + = 1⇔ sin x + = sin

4 4 4

π π

x + = + k2π

x

= k2π

⇔

4 4

( k ∈Z) ⇔

π ( k ∈Z

).

π 3π x = + k2π

x + = + k2π

2

4 4

Dạng 4.2 Có điều kiện của nghiệm

Câu 109. Chọn C

π

Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x +

4 , t ∈ −

2; 2

.

2

2 2 2

t −1

Ta có t = sin x + cos x + 2sin x.cos

x = 1+ 2sin x.cos

x , suy ra sin x.cos

x = .

2

Phương trình đã cho trở thành

2

t −1 t

= 1

2 2

2

+ t = ⇔ t + 4 t − 5 = 0 ⇔

.

2

t

= −5∉ −

2; 2

π π 2

Từ đó ta có 2 sin x + = 1 ⇔ sin x + = .

4 4 2

π 2

Như vậy P = sin x0

+ = .

4 2

Câu 110. Chọn A

1+ sin x 1+ cos x = 2 ⇔ 1+ sin x + cos x + sin x.cos x = 2 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Ta có ( )( )

.

44

x x x x ( x x)

x x ( )

⇔ sin + cos + sin .cos = 1 ⇔ 2 sin + cos + 2.sin .cos = 2.

2

−1

t = sin x + cos x − 2 ≤ t ≤ 2 sin x cos x = t .

2

t

= 1

2 2

Khi đó ( ∗ ) trở thành 2t + t − 1 = 2 ⇔ t + 2t

− 3 = 0 ⇔

t

= − 3 loaïi

sin x + cos x = 1.

Đặt ( )

( )

π π π 2 2

Ta có cos x − = cos x cos + sin xsin = ( cos x + sin x ) = .

4 4 4 2 2

Câu 111. Chọn C

π

Đặt t = sin x − cos x = 2 sin x − . Điều kiện − 2 ≤ t ≤ 2. .

4

2

2 2 2 2 1−

t

Ta có t = ( sin x − cos x)

= sin x + cos x − 2sin x cos x sin x cos x = .

2

2

1−

t t

= −1

Phương trình đã cho trở thành 6t

+ + 6 = 0 ⇔ .

2 t

= 13( loaïi)

π π 1 π 1

2 sin − = −1 ⇔ sin − = − ⇔ sin − =

x 4 x 4 2 4

x 2

.

π π

1 π 1

cos − − x = ⇔ cos + = .

2 4

x

2 4 2

Câu 112. Chọn D

Ta có ( )( )

1+ 5 sin x − cos x + sin 2x

−1− 5 = 0

( ) 2

sin x − cos x = 1 tm

⇔ − sin x − cos x + ( 1+ 5)( sin x − cos x)

− 5 = 0 ⇔

sin x − cos x = 5 l

π

Do đó sin x − = 1 ( sin x − cos x)

=

2 .

4 2

2

Câu 113. Chọn C

sin x ≠ 0

Điều kiện ⇔ sin 2x

≠ 0 .

cos x ≠ 0

sin x cos x

Ta có 2 ( sin x + cos x) = tan x + cot x ⇔ 2 ( sin x + cos x)

= +

cos x sin x .

2 2

sin x + cos x

⇔ 2 ( sin x + cos x) = ⇔ 2sin x cos x. 2 ( sin x + cos x)

= 2.

sin x cos x

2

−1

Đặt t = sin x + cos x ( − 2 ≤ t ≤ 2 ) sin x cos x = t .

2

2 3

⇔ 2 t t − 1 = 2 ⇔ t − t − 2 = 0 ⇔ t = 2 .

Phương trình trở thành ( )

sin x + cos x = 2 ⇔ sin x = 2 − cos x .

Mà ( ) 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

∗ .

.

( )

( )

2 2 2 2

sin + cos = 1 cos + 2 − cos = 1 ⇔ 2 cos − 2 2 cos + 1 = 0

x x x x x x .

( ) 2 1

2 cos 1 0 cos

⇔ x − = ⇔ x = .

2

Câu 114. Chọn D

.

45

2

1−

t

t = sin x − cos x − 2 ≤ t ≤ 2 sin x cos x = .

2

Đặt ( )

Phương trình trở thành ( )

2

1+ 5 t + 1− t −1− 5 = 0 .

t

= 1

2

⇔ t − ( 1+ 5) t + 5 = 0 ⇔ .

t = 5 ( loaïi)

sin x − cos x = 1 ⇔ cos x = sin x −1.

2 2 2

Mặt khác ( ) 2 sin x = 0

sin x + cos x = 1 sin x + sin x − 1 = 1 ⇔ .

sin x = 1

Câu 115. Chọn B

π

Đặt t = sin x − cos x = 2 sin x − . Điều kiện − 2 ≤ t ≤ 2.

4

Ta có ( ) 2

2 2 2 2

t = sin x − cos x = sin x + cos x − 2sin x cos x sin 2x = 1 − t .

2 2 t

= 0

Phương trình đã cho trở thành 1− t + t = 1 ⇔ t − t = 0 ⇔ .

t

= 1

Với t = 1, ta được

π π 1

2 sin x − = 1 ⇔ sin x − = .

4 4 2

Với t = 0 , ta được

π π

2 sin x − = 0 ⇔ sin x − = 0.

4 4

Câu 116. Chọn B

Đặt t = sin x + cos x =

π

2 sin x + . Điều kiện −

4

2 ≤ t ≤ 2.

Ta có ( ) 2

2 2 2 2

t = sin x + cos x = sin x + cos x + 2sin x cos x sin 2x = t −1.

2

t −1

t

= 1

2

Phương trình đã cho trở thành t = 1− ⇔ t + 2t

− 3 = 0 ⇔ .

2 t

= − 3( loaïi)

π π 1 π π

Với t = 1, ta được 2 sin + = 1 ⇔ sin + = ⇔ sin + = sin

x 4 x 4 2 x 4 4

.

π π

x + = + k2π

x

= k2π

4 4

⇔

⇔

π , k ∈Z .

π π x = + k2π

x + = π − + k2π

2

4 4

TH1. Với x = k2π

< 0 ⇔ k < 0 k = −1→ x = −2 π.

.

π

1 3π

TH2. Với x = + k2π

< 0 ⇔ k < − kmax

= −1 → x = − .

2 4 2

3π

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x = − .

2

Câu 117. Chọn B

Đặt t = sin x + cos x , ( 0 ≤ t ≤ 2 )

2

2

t −1

t = 1+

2sin x.cos

x sin x.cos

x = . Phương trình đã cho trở thành:

2

2

t + 2t

− 3 = 0 ⇔ t = 1 (thỏa mãn) hoặc t = − 3 (loại).

max

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

46

Với t = 1 sin 2x

= 0

Trong khoảng ( )

kπ

x = .

2

0;2π các nghiệm của phương trình là:

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng ( )

π

3π

; π;

2 2 .

0;2π là 3π .

2

t −1

Câu 118. Đặt t = sin x + cos x, t ≤ 2 sin xcos

x = , ta có phương trình

2

2

t − 1 t

= 1

+ 2 2

2

t = ⇔ t + 4 t − 5 = 0 ⇔

2

t

= − 5 ( loai)

2

t −1

Với t = 1, ta có sin x0.cos x0 = = 0 sin 2x0 = 0 P = 3+ sin 2x0

= 3

2

Câu 119. TXĐ: D = R .

2

Đặt P = 1+ sin x + 1+

cos x P = 2 + sin x + cos x + 2 1+ sin x + cos x + sin x cos x .

π

Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + t ∈ −

2 ; 2

4

.

2

Khi đó 2 t −1

t = 1+

2sin xcos

x sin x cos x = .

2

Vậy

2

2 t −1

P = 2 + t + 2 1+ t + = 2 + t + 2 t + 1 .

2

TH1: 2 t 1

2

− ≤ ≤ − thì P ( )

2

− ≤ t ≤ thì P ( ) t

TH2: 1 2

2

= 1− 2 t + 2 − 2 . Khi đó 1 ≤ P ≤ 4 − 2 2 .

2

= 1+ 2 + 2 + 2 . Khi đó 1 ≤ P ≤ 4 + 2 2 .

2

2

Vậy 1 ≤ P ≤ 4 + 2 2 mà P ≥ 0 nên 1 ≤ P ≤ 4 + 2 2 1 ≤ P ≤ 4 + 2 2 .

Phương trình có nghiệm khi 1 ≤ m ≤ 4 + 2 2 .

Câu 120. Đặt t = sin x + cos x , ( 0 ≤ t ≤ 2 )

2

2

t −1

t = 1+

2sin x.cos

x sin x.cos

x = . Phương trình đã cho trở thành:

2

2

t + 2t

− 3 = 0 ⇔ t = 1 (thỏa mãn) hoặc t = − 3 (loại).

kπ

Với t = 1 sin 2x

= 0 x = .

2

π

3π

Trong khoảng ( 0; 2π ) các nghiệm của phương trình là: ; π;

2 2 .

0; 2π là 3π .

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng ( )

Câu 121. Chọn A

3

Phương trình ⇔ 1+ ( sin x + cos x)( 1−

sin x cos x)

= sin 2x .

2

⇔ 2 + sin x + cos x 2 − sin 2x = 3sin 2 x .

( )( )

2

−1

t = sin x + cos x − 2 ≤ t ≤ 2 sin x cos x = t .

2

2 + t 2 − t 2 + 1 = 3 t 2 −1

.

Đặt ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Phương trình trở thành ( ) ( )

47

t

= −1

3 2

⇔ t + 3t − 3t

− 5 = 0 ⇔ .

t = − 1 ± 6 ( loaïi)

π 1

Với t = −1, ta được sin x + cos x = −1 ⇔ sin x + = − .

4 2

2 π 2 π 2 π 1 π 2

Mà sin x + + cos x + = 1 cos x + = ⇔ cos x + = ± .

4 4 4 2 4 2

Câu 122. Chọn C

Đặt t π

= sin x + cos x = 2 sin +

x 4

. Vì π

sin x + ∈ [ −1;1 ] t ∈ 0; 2

4

.

Ta có ( ) 2

2 2 2 2

t = sin x + cos x = sin x + cos x + 2sin x cos x sin 2x = t −1.

.

2

Phương trình đã cho trở thành ( t )

sin 2x = t − 1 = .

2

2 1

6

t

=

2 −1 − 3 6 t + 8 = 0 ⇔ 2

t

= 6 loaïi

Dạng 5. Biến đổi đưa về phương trình tích

Dạng 5.1 Không có điều kiện của nghiệm

Câu 123. Cách 1: ĐK: x ∈R (*)

2

⇔ sin x 3 − 4sin x − 4 sin x cos 2x

= 0

Phương trình ( )

( )

1−

cos 2x

⇔ sin x3− 4. − 4cos 2x

= 0 ⇔ sin x( 1− 2cos 2x)

= 0

2

sin x = 0

x = kπ

x = kπ

⇔

1 π ⇔

π ⇔

π ( k ∈Z ) thỏa mãn (*).

cos 2x = = cos 2x = ± + k2π

x = ± + kπ

2 3 3 6

Cách 2: Phương trình ⇔ sin 3x − 2( sin 3x − sin x)

= 0

2

⇔ − sin 3x

+ 2sin x = 0 ⇔ sin x ( 4sin x − 1)

= 0

x

= kπ

⇔ sin x ( 1− 2 cos 2x)

= 0 ⇔

π

x = ± + kπ

6

Câu 124. Cách 1:

2

Ta có: sin 2x + 2sin x − 6sin x − 2cos x + 4 = 0

⇔ 2sin xcos x − 2cos x + 2sin 2 x − 6sin x + 4 = 0

( ) ( )

⇔ 2 cos x ( sin x − 1) + 2( sin x − 2)( sin x − 1)

= 0 ( x )( x x )

⇔ sin − 1 sin + cos − 2 = 0

π

sin x = 1

x = + k2π

2

π

⇔ ⇔

⇔ x = + k2π

, k ∈ Z .

sin x + cos x = 2 π

2

sin x + = 2 ( VN

)

4

Dạng 5.2 Có điều kiện của nghiệm

cos x + cos 2x + cos3x = 0 ⇔ cos3x + cos x + cos 2x

= 0

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 125. Ta có ( )

.

48

( )

⇔ 2 cos 2 x.cos x + cos 2x = 0 ⇔ cos 2x 2cos x + 1 = 0

π π π

2x = + kπ 2

x = + k

4 2

cos 2x

= 0

2π

2π

⇔

1 ⇔ x = + k2π ⇔ x = + k2 π ,( k ∈Z

)

cos x = − 3 3

2

2π

2π

x = − + k2π x = − + k2π

3

3

Vậy biểu diễn tập nghiệm của phương trình cos x + cos 2x + cos 3x

= 0 trên đường tròn lượng giác

ta được số điểm cuối là 6 .

Câu 126. Ta có phương trình sin 5x cos 7x = cos 4x sin 8x

⇔ 1 ( sin12x − sin 2x) = 1 ( sin12x + sin 4x)

2 2

kπ

sin 3x

= 0

x =

3

⇔ sin 4x

+ sin 2x

= 0 ⇔ 2sin 3x

cos x = 0 ⇔ ⇔ ( I ) .

cos x = 0 π

x = + kπ

2

π 2π 4π 5π π 3π

Vì x ∈ ( 0;2π

) nên từ ( I ) suy ra x∈ , , π , , , ,

3 3 3 3 2 2 .

π 2π 4π 5π π 3π

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là + + π + + + + = 7π

.

3 3 3 3 2 2

Câu 127. sin 2x

+ 3cos x = 0 2sin x.cos x 3cos x 0 ⇔ cos x. 2sin x + 3 = 0

⇔ + = ( )

π

cos x = 0 ⇔ x = + kπ

( k ∈Z)

2

⇔

3

sin x = − ( loai vì sin x ∈[ −1;1]

)

2

π

Theo đề: x∈( 0; π ) k = 0 x = .

2

3 2

3 2 2

Câu 128. 2cos x + cos x + cos2x

= 0 ⇔ 2cos x + cos x + 2cos x − 1=

0

1 π π

3 2

cos x cos

⇔ 2cos x + 3cos x − 1=

0

= = x = ± + k2 π

⇔ 2 3 ⇔ 3 , k ∈Z .

cos x = −1

x

= π + k2π

x ∈ 0;13π

nên

Vì [ ]

π 7π 13π 19π 25π 31π 37π 5π 11π 17π 23π 29π 35π

S = , , , , , , , , , , , , , π ,3 π ,5 π ,7 π ,9 π ,11 π ,13 π

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Vậy tổng các phần tử của S là: 400 3

π .

cos3x − cos2x + 9sin x − 4 = 0 ⇔ 4cos x −3cos x − 1− 2sin x + 9sin x − 4 = 0.

3 2

Câu 129. Ta có: ( )

⇔ cos x( 4( 1− sin 2 x)

− 3)

+ 2sin 2 x + 9sin x − 5 = 0 .

x( x )( x ) ( x )( x )

( 2sin x 1)( 2sin x.cos x cos x sin x 5)

0 (*)

⇔ −cos 2sin − 1 2sin + 1 + 2sin − 1 sin + 5 = 0 .

⇔ − − − + + = .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

π

Do sin x − cos x = 2 sin x − ≥ − 2

4

; − 2sin x.cos x = −sin 2x

≥ − 1.

49

nên: −2sin x.cos x − cos x + sin x + 5 = sin x −cos x − sin 2x

+ 5 ≥ 4− 2 > 0 .

π

2

1

x = + k π

6

(*) ⇔ 2sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = ⇔ ( k ∈Z ) .

2 5π

x = + k2π

6

π

1 17

Với x = + k2π

, x ( 0;3 ) 0 π

−

∈ π < + k2π < 3π

⇔ < k < .

6

6 12 12

π

13π

k ∈ Z k ∈{ 0;1 } x ∈ ; .

6 6

5π

5 5 13

Với x = + k2π

, x ( 0;3 ) 0 π

−

∈ π < + k 2π < 3π

⇔ < k < .

6

6 12 12

5π

17π

k ∈ Z k ∈{ 0;1 } x ∈ ; .

6 6

π 5π 13π 17π

Tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = ; ; ;

6 6 6 6 .

Tổng tất cả các nghiệm là 6π .

π

Câu 130. Điều kiện: x ≠ + kπ

, k ∈ Z .

2

2

Phương trình đã cho tương đương với ( )( )

⇔ ( 2sin x −1)( 3 tan x − 1)

= 0 .

2sin x − 1 3 tan x + 2sin x = 4sin x −1.

π

1 x

= + k2π

6

sin x =

5π

2 5π

x = + k2π

⇔

6

⇔ x = + k2π

⇔ , ( k ∈Z)

(thỏa mãn điều kiện).

1 6

π

tan x =

x = + kπ

3

π 6

x = + kπ

6

5π

*Trường hợp 1: Với x = + k 2π

, ( k ∈Z)

. ( 1 )

6

5π

−5 115

x ∈[ 0;20π ] ⇔ 0 ≤ + k2π ≤ 20π

⇔ ≤ k ≤ . Mà k ∈Z nên k ∈{ 0; 1; 2....; 9}

.

6

12 12

1 là:

Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn [ 0;20π ] của họ nghiệm ( )

9

5π

295π

S1

=

+ k2π

= .

k = 0

6 3

π

*Trường hợp 2: Với x = + k π , ( k ∈Z)

. ( 2 )

6

π

−1 119

x ∈[ 0;20π ] ⇔ 0 ≤ + kπ ≤ 20π

⇔ ≤ k ≤ . Mà ∈Z

6

6 6

Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn [ 0;20π ] của họ nghiệm ( )

19

π 580π

S2

=

+ k π = .

k = 0

6 3

Vậy tổng các phần tử của T là S + S = 875

1 2

3 π .

k nên ∈{ 0;1; 2....;19}

k .

2 là:

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

50

2

2 2 2

Câu 131. Ta có 2sin 2x

+ cos 2x

+ 1 = 0 ⇔ 8sin xcos x + 2cos x = 0

2 2 2

π

⇔ 2cos x( 4sin x + 1)

= 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z ) .

2

Bài ra x ∈[ 0;2018π ] nên π + [ 0;2018 ] { 0; 1; 2; 3;...; 2017}

2 k π∈ π k ∈ .

2

Do đó số nghiệm của phương trình 2sin 2x

cos 2x

1 0 0; 2018π là 2018 .

Câu 132. sin x + 4cos x = 2 + sin 2x

⇔ sin x − 2 = 2sin x cos x − 4cos x

⇔ sin x − 2 = 2cos x sin x − 2

( )

( sin x 2)( 1 2cos x)

0

sin x = 2( l)

⇔ − − =

π

⇔

1 ⇔ x = ± + k2π

( k ∈Z ) .

cos x =

3

2

π 5π 7π 11π 13π

x ∈( 0;5 π ) x ∈ ; ; ; ; .

3 3 3 3 3

Vậy phương trình có 5 nghiệm trong khoảng ( )

+ + = trong [ ]

0;5π .

Câu 133. Điều kiện sin 2x ≠ 0 .

6 6 1 cos 2x

5 3 1

8cot 2x( sin x + cos x)

= sin 4x

⇔ 8. . − cos 4 x

= .2sin 2 x.cos 2x

2

sin 2x

8 8 2

π π

⇔ cos 2x

( 9 + 7 cos 4x)

= 0 ⇔ cos 2x

= 0 ⇔ x = + k , k ∈Z .

4 2

y

Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là 4 .

3π

Câu 134. Ta có 3 sin x = cos − 2x

⇔ 3 sin x = sin ( 2x − π )

2

⇔ 3 sin x = −sin 2x ⇔ 3 sin x = − 2sin x cos x

sin x = 0

x = kπ

⇔

3 5π

⇔

5π

( k ∈ Z ) .

cos x = − = cos x = ± + k2π

2 6 6

3 π

Bài ra x ∈

− ; −π

2

nên 3 π

kπ ∈

− ; −π k = − 1 x = −π

2

.

5 π 3 7

k2 π

+ π ∈ ; π k 1 x

π

6

− − = − = −

2

.

6

5π

3π

− + k2 π ∈ ; π k x

6

− − ∈∅ ∈∅

2

.

3π

4

O

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

π

4

5π 7π

4

4

x

51

3 π

Do đó số nghiệm thuộc

− ; −π

2 của phương trình đã cho là 2 .

Câu 135. Ta có:

π

cos ( π + x)

+ 3 sin x = sin 3x

− ⇔ − cos x + 3 sin x = − cos3x

2

⇔ − 2sin 2x sin x + 3 sin x = 0 ⇔ sin x( − 2sin 2x

+ 3)

= 0

x = kπ

sin x = 0

⇔

π

3 ⇔ x

= + kπ

, k ∈ Z .

sin 2x

= 6

2 π

x = + kπ

3

4 π π

• Với x = kπ , trên nửa khoảng − ;

3 2 ta có: π π

− ≤ kπ

<

43 2

k ∈ − 1;0 . Suy ra các nghiệm là x = − π , x = 0 .

{ }

4 1

⇔ − ≤ k <

3 2

π

4 π π

• Với x = + kπ

, trên nửa khoảng ;

6

−

3 2 ta có: π π π 3 1

− ≤ + kπ

< ⇔ − ≤ k <

43 6 2 2 3

5π

π

k ∈{ − 1;0}

. Suy ra các nghiệm là x = − , x = .

6 6

π

4 π π

• Với x = + kπ

, trên nửa khoảng ;

3

−

3 2 ta có: π π π 5 1

− ≤ + kπ

< ⇔ − ≤ k <

43 3 2 3 6

2π

π

k ∈{ − 1;0}

. Suy ra các nghiệm là x = − , x = .

3 3

4 π π

Suy ra số nghiệm trên nửa khoảng − ; của phương trình là 6 .

3 2

⇔ cos 4x + cos 2x + cos3x + cos x = 0 ⇔ 2cos3x cos x + 2cos 2x cos x = 0 .

Câu 136. Phương trình ( ) ( )

π

x = + kπ

cos x = 0 2

5x x 5x π 2kπ

⇔ 4cos x cos cos = 0 ⇔ cos = 0 ⇔ x

= +

2 2 2 5 5

x

x = π + 2kπ

cos = 0

2

Do − π < x < π nên:

π

x

π

= −

2

x = + kπ

∈( −π ; π ) ⇔ .

2

π

x =

2

3π

x

π 2kπ

= ±

5

x = + ∈( −π ; π ) ⇔ .

5 5

π

x = ±

5

, ( k ∈ Z )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

52

2 2

1+ cos 4x sin 2x = 3cos 2x

⇔ 2cos 2 x.sin 2x − 3cos 2x

= 0

Câu 137. ( )

2

2

π π π

⇔ cos 2x ( 2sin 2x − 3)

= 0 ⇔ cos 2x

= 0 ⇔ 2x = + kπ

⇔ x = + k ( k ∈Z ).

2 4 2

π π 1 3

Xét 0 ≤ + k ≤ π ⇔ − ≤ k ≤ k = 0;1.

4 2 2 2

π 3π

Vậy tổng các nghiệm bằng + = π .

4 4

Câu 138. Chọn D

[ π )

x + x − x∈ ⇔ x x − x =

2 2 2 2

3sin 2 cos 2 1=0, 0;4 12sin .cos 2sin 0

sin x = 0

sin x = 0

6

⇔

1 ⇔

cos x

co

=

6

x = −

6

(1)

(2)

2

s x= 6

6

cos ( 3)

Họ nghiệm x = kπ có 4 nghiệm trong [ 0;4π )

Trong mỗi nửa khoảng [ k2 π; k2π 2π

)

cos

6

6

x = có 4 nghiệm trong [ )

+ phương trình

0;4π .

Tương tự, trong mỗi nửa khoảng [ k2 π; k2π 2π

)

cos

6

6

0;4π .

x = − có 4 nghiệm trong [ )

6

cos x = có 2 nghiệm phân biệt. Do đó

6

6

+ phương trình cos x = − có 2 nghiệm. Do đó

6

Trong các họ nghiệm của,, không có hai họ nào có phần tử chung nên chọn đáp án D.

sin 3x + 2 cos 2x − 2sin x − 1 = 0

⇔ x − x + − x − x − =

3 2

3sin 4sin 2 4sin 2sin 1 0

⇔ x + x − x − =

3 2

4sin 4sin sin 1 0

1 π

Câu 139. Ta có:

sin x =

2

x = + kπ

6

1 π

⇔ sin

x = − ⇔ x = − + kπ

2 6

sin x 1

= −

π

x = − + k2π

2

7 π

Do x ∈ − ;0

8 nên phương trình có các nghiệm là: 5

x π ; x π −

= − = − ; x =

π

6 2 6

Dạng 6. Giải và biện luận phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu

π

Câu 140. Cách 1: Điều kiện xác định: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + lπ

với l ∈ Z .

2

Khi đó phương trình trở thành

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

53

sin x = 1 (1)

2

cos 2x

+ 3sin x − 2 = 0 ⇔ − 2sin x + 3sin x − 1 = 0 ⇔

1

sin x = (2)

2

π

x = + k2π

6

Đối chiếu điều kiện ta loại phương trình (1) . Giải phương trình (2) được

5π

x = + k2π

6

với k ∈ Z .

5

Câu 141. TXĐ: D \ π π

= R + k2 π , + k2 π , k ∈ Z .

6 6

Phương trình trở thành:

π π

3 sin x − cos x = 0 ⇔ 2sin x − = 0 ⇔ x = + k2π

( k ∈ Z ) .

6

6

7π

Vậy nghiệm của phương trình là x = + k2π

( k ∈ Z ) .

6

Câu 142. Điều kiện xác định: tan x ≠ − 3 .

Phương trình tương đương: 2sin x cos x 2 cos x sin x 1 0 ⇔ 2 cos x − 1 sin x + 1 = 0

+ − − = ( )( )

π

x = + k2π

3

1

cos x =

⇔ 2

π

π

⇔ x = − + k2π

. Do tan x ≠ − 3 nên x = − + k2π

loại.

3

3

sin x = −1

π

x = − + k2π

2

π

x = + k2π

biểu diễn trên đường tròn lượng giác có 1 điểm.

3

π

x = − + k2π

biểu diễn trên đường tròn lượng giác có 1 điểm.

2

Vậy có 2 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.

Câu 143. Điều kiện xác định sin x ≠ 1 .

1

cos x =

2

Phương trình tương đương ( 2 cos x −1) cos x. ( 2sin x − 1)

= 0 ⇔ cos x = 0 .

1

sin

x =

2

π

x

π

Vì x ∈

0;

2 và sin 1

x ≠ nên

=

3

π

. Do đó T = .

π

2

x =

6

Câu 144. Chọn A

Điều kiện xác định: 3 π

2cos x − 3 ≠ 0 ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ ± + l2π

( l ∈ Z ) .

2 6

π

Với ∀x ≠ ± + l2π

( l ∈Z ) phương trình 3 − cos 2 x + sin 2 x − 5sin x − cos x

= 0

6

2cos x − 3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

54

⇔ 3 − cos 2x + sin 2x − 5sin x − cos x = 0

2

⇔ 3 − 1+ 2sin x + 2sin x cos x − 5sin x − cos x = 0

2

⇔ (2sin x cos x − cos x) + 2sin x − 5sin x + 2 = 0

⇔ − + − − − =

⇔ (2sin x − 1)(cos x + sin x − 2) = 0

2

cos x(2sin x 1) (2sin x sin x) (4sin x 2) 0

⇔ 2sin x − 1 = 0 (vì cos x + sin x − 2 =

π

2 sin x + − 2 ≤

4

2 − 2 < 0 )

π

2

1

x = + k π

⇔ sin x = ⇔ 6

( k ∈ Z )

2 5π

x = + k2π

6

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm π

x = + k2π

( k ∈Z ) .

6

5 5 595

Mà x ∈[ 0;100π ] 0 ≤ π + k2π ≤100π

⇔ − ≤ k ≤

6 12 12

k ∈Z

k = 0;1;2;3;...;49.

Vậy tổng các nghiệm thuộc [ 0;100π ] của phương trình bằng 49 5π

7475π

+ k2 π = .

k = 0 6 3

π

Câu 145. Điều kiện: sin x + cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ − + kπ, k ∈Z .

4

2

Phương trình tương đương: cos4x − cos2x + 2sin x = 0

2

⇔ 2cos 2x −1− cos2x + 1− cos2x

= 0

2

⇔ cos 2x

− cos2x

= 0

x

= kπ

cos 2x

= 1

⇔

⇔ π π .

cos 2x = 0 x = + k

4 2

x

= kπ

Kết hợp với điều kiện thì phương trình có nghiệm là

π .

x = + kπ

4

Biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác ta được các điểm cuối của các

cung nghiệm tạo thành một hình chữ nhật. Đó là hình chữ nhật ACA’ C ’ như hình vẽ, trong đó

AOC =

π .

4

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

55

Từ đó ta có, diện tích đa giác cần tính là

1

π

= 4S = 4. .OA.OC.sin = 2.

2 4

S ACA 'C' OAC

π π

π

Câu 146. Điều kiện sin x + cos x ≠ 0 ⇔ sin x + ≠ 0 ⇔ x + ≠ kπ

⇔ x ≠ − + kπ,

( k ∈Z ).

4 4

4

Ta có:

2

sin sin 2 + 2sin cos + sin + cos

x x x x x x

=

sin x + cos x

( )

sin 2x sin x + cos x + sin x + cos x

⇔ =

sin x + cos x

( sin 2x + 1)( sin x + cos x)

⇔ =

sin x + cos x

3 cos 2x

3 cos 2x

π π

⇔ sin 2x

− 3 cos 2x

= −1

⇔ sin 2x

− = sin −

3 6

π π

π

2x

− = − + k2π

3 6

x = + kπ

12

⇔ ⇔

( k ∈Z ) .

π π

3π

2x

− = π + + k2π

x = + kπ

3 6 4

3 cos 2x

π

= + ∈Z .

12

Thử lại điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là: x kπ

( k )

Trên ( π ; π )

Câu 147. Chọn C

ĐK: cos x ≠ 0

− phương trình đã cho có các nghiệm là:

Khi đó, phương trình ( ) ( )

4 3 2

⇔ 2cos x + cos x − cos x = 0

2

⇔ 2cos x + cos x − 1= 0 (vì cos x ≠ 0 )

π 11π

; − .

12 12

⇔ − ⋅ − − = − −

2 2 2 2 3

2cos x 1 cos x 1 cos x cos x cos x 1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

56

x = π + k1

2π

cos x = −1

π

⇔

1 ⇔ x

= + k2

2π

cos

x = 3

2 π x = − + k32π

3

Vì x∈ [1;70] nên 0 ≤ k1; k2 ≤ 10;1 ≤ k3

≤ 11

Áp dụng công thức tính tổng 11 số hạng đầu tiên của một cấp số cộng, ta có

11

11 π

π

11

π π

S = ( π + 10.2π

) +

10.2π

2π

11.2π

= 363π

2

2

+ +

3 3

+

2

− + + −

+

3

3

.

2

sin x ≠ 1

cosx

≠ 0

Câu 148. * ĐKXĐ: ⇔

2 1

cos2x

≠ 0 sin

x ≠

2

* Ta có:

2 2 2

a sin x + a − 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

=

⇔ a cos x = sin x + a − 2 ⇔ − a sin x = sin x − 2 sin

2

1−

tan x cos2x

⇔ x = 1 + a

Để phương trình đã cho có nghiệm điều kiện là:

2

∈

2

[ 0;1]

1 + a 2

∈( 0;1

2

)

2

2

1+

a

1 + a > 2 a > 1

≠ 1 ⇔

2 ⇔ ⇔

1

+

2

a 2 1

≠

1 + a ≠ 4 a ≠ 3

2

2 1 1+

a 2

≠

2

1 + a 2

Câu 150. Điều kiện

sin x ≠ 0

sin x + cos x ≠ 0

Ta có 2( 1+ cos x)( sin x + cos x) = sin 2 x. ( sin x − 1)

( x)( x x) ( 2 x) ( x )

⇔ 2 1+ cos sin + cos = 1− cos . sin − 1

( x)( x x x x )

⇔ 1+ cos sin + cos + sin cos + 1 = 0

2

cos x = −1

⇔ ( 1+ cos x) ( 1+ sin x)

= 0 ⇔

sin x = −1

Chỉ có sin x = − 1 là thỏa điều kiện ban đầu.

Vậy các nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi 1 điểm trên đường tròn lượng giác.

Dạng 7. Giải và biện luận Một số bài toán về phương trình lượng giác khác

sin 2018 x cos 2018 x 2 sin 2020 x cos

2020 x ⇔ sin 2018 x 1− 2sin 2 x + cos 2018 x 1− 2cos 2 x = 0

Câu 151. + = ( + ) ( ) ( )

cos 2x

= 0

2018 2018

⇔ sin x.cos 2x − cos xcos 2x

= 0 ⇔ 2018 2018

sin

x = cos

π

π kπ

+ cos 2x = 0 ⇔ 2x

= + kπ

⇔ x = + ( k ∈Z ) ( 1 )

2

4 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

.

x

2

57

2018 2018

2018 π

+ sin x = cos x ⇔ tan x = 1 ( x = + kπ

không là nghiệm) ⇔ tan x = ± 1

2

π

π kπ

⇔ x = ± + kπ

( k ∈Z ) ( 2 ) . Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có x = + ( k ∈Z)

là nghiệm của pt.

4

4 2

π kπ

Do x ∈ ( 0;2018)

0 < + < 2018 0 ≤ k ≤1284,

k ∈Z .

4 2

0;2018 bằng

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng ( )

π

π π 1284.1285 1285

.1285 + ( 1+ 2 + ... + 1284)

= .1285 + π = π .

4 2 4 4 2

Câu 152. Chọn D.

cos x ≠ 0

π

Điều kiện ⇔ sin 2x ≠ 0 ⇔ x ≠ k , k ∈Z

sin x ≠ 0 2

x x

sin x sin + cos x cos

x

1 tan tan sin cot 4 2 2

+ x x + x = ⇔ sin x + cot x = 4

2

x

cos x cos 2

x

cos ⇔ 2 sin x cot x 4

x

+ = tan cot 4

2

⇔ x + x = ⇔ tan x − 4 tan x + 1 = 0

cos x cos 2

tan x = 2 + 3

5π

x = + kπ

⇔

12

1 ⇔ .

tan x = 2 − 3 =

π

2 + 3 x = + lπ

12

π

Với hai họ nghiệm trên dễ thấy nghiệm dương nhỏ nhất là ; để được nghiệm âm lớn nhất ta đều

12

−7π

−11π

−7π

cho k = l = − 1 được nghiệm âm ; khi đó nghiệm âm lớn nhất là .

12 12

12

−7π π π

Ta có + = − .

12 12 2

Câu 153. Cách 1:

Đk: −2019 ≤ x ≤ 2019

Nhận xét x = 0 là nghiệm của phương trình.

Nếu x = x0

là nghiệm của phương trình thì x = − x0

cũng là nghiệm của phương trình

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Ta xét nghiệm của phương trình trên đoạn [ ]

. Ta thấy:

8

6

4

2

5π 4π 3π 2π π π 2π 3π 4π 5π

2

4

6

8

2

0;2019 . Vẽ đồ thị của hàm số y = sin x và y =

x

2019

58

Trên đoạn [ 0;2π ] phương trình có hai nghiệm phân biệt

Trên nửa khoảng ( 2 π ;4 ]

Trên nửa khoảng ( 4 π ;6 ]

…

Trên nửa khoảng ( 640 π;642

]

Trên nửa khoảng ( 642 ;2019]

Như vậy trên đoạn [ ]

π phương trình có hai nghiệm phân biệt

π phương trình có hai nghiệm phân biệt

π phương trình có hai nghiệm phân biệt

π phương trình có hai nghiệm phân biệt.

0;2019 phương trình có một nghiệm x = 0 và 321 x 2 +1 = 643 nghiệm

dương phân biệt. Mà do x = x0

là nghiệm của phương trình thì x = − x0

cũng là nghiệm của

− 2019;0 phương trình cũng có 643 nghiệm âm phân biệt.

phương trình nên trên nửa khoảng [ )

Do đó trên đoạn [ 2019;2019]

− phương trình có số nghiệm thực là 643 x 2 +1 = 1287 nghiệm

Vậy số nghiệm thực của phương trình đã cho là 1287 nghiệm.

Cách 2:

Đk: −2019 ≤ x ≤ 2019

x

1

Xét hàm số f ( x) = sin x − ,ta có f ( x ) là hàm số lẻ, liên tục trên R và f ′( x)

= cosx − ,

2019

2019

1

1

π

f ′( x) = 0 ⇔ cosx − = 0 ⇔ x = ± α + k2π

với cosα = và α ∈ 0;

2019

2019

0;2019

2

thành hợp các nửa khoảng ( k2 π;2π k2π

]

2019 ≈ 642,67π )

Xét trên mỗi nửa khoảng ( k2 π;2π k2π

]

x

= α + π và x2 = − α + 2π + k2π

1

k2

+ ( với 0;320

. Chia ( ]

k = ) và ( 642 π ;2019]

(vì

+ ( với k = 1;320 ), ta có f ′( x) = 0 có hainghiệm là

k2π

Ta có f ( k2 π ) = − < 0

2019

α + k2π

2020.2018 −α

− k2π

π

f ( x1

) = sinα

− =

> 0 doα ∈ 0;

và

2019

2019

k 2 π ≤ 642 π

2

α 2π k2π

f ( x2) = −sinα − − + + < 0

2019

−k2π

− 2π

f (2π

+ k2 π ) = < 0

2019

Bảng biến thiên

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Trên ( k2

π;2π k2π

]

x

f'(x)

f(x)

k2π

f(k2π)

+

x 1

+ phương trình f ( x ) = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt (với k = 1;320 )

0

f(x 1 )

-

x 2

0

f(x 2 )

+

2π+k2π

y = 0

f(2π+k2π)

59

Tương tự xét trên nửa khoảng ( 0;2π ] phương trình có một nghiệm và trên nửa khoảng

( 642 π ;2019]

phương trình có hai nghiệm.

Từ đó số nghiệm của phương trình đã cho là 2. [ 320.2 + 1+ 2]

+ 1=

1287

Nhận xét: đề hoàn toàn không phù hợp trong đề thi

cos 2 x.sin 5x + 1 = 0 ⇔ 1 sin 3x + sin 7x

= −1

⇔ sin 3x

+ sin 7x

= − 2

2

π π 2π

7x

= − + k2π

x = − + k

sin 7x

= −1 2

14 7

⇔ ⇔ ⇔

( k,

l ∈Z )

sin 3x

= −1 π π 2π

3x = − + l2π

x = − + l

2

6 3

1 2k

1 2l

− + = − +

14 7 6 3

− 3+ 12k

= − 7 + 28l

− 4 + 28l

− 1+

7l

k = = .

12 3

π

Vì x ∈

− ; π

2

nên π π 2π

− < − + l < π , giải ra ta được l = 0,1.

2 6 3

4

l = 0 k = − (loại)

12

l = 1 k = 2

π π

Vậy phương trình có một nghiệm x = ∈ ; π

2

−

2

.

2015 2016 2017 2018

sin x − cos x = 2 sin x − cos x + cos 2x

Câu 154. ( )

Câu 155. Ta có: ( )

2015 2 2016 2

⇔ ( − ) + ( − ) =

sin x 1 2sin x cos x 2cos x 1 cos 2x

2015 2016

cos 2x

= 0

⇔ sin x.cos 2x + cos x.cos 2x = cos 2x

⇔

.

2015 2016

sin x + cos x = 1

π π

Với cos 2x = 0 ⇔ x = + k , k ∈Z

4 2

π π 20 1 60 1

Vì x ∈[ −10;30]

−10 ≤ + k ≤ 30

4 2

⇔ − k

π

− 2 ≤ ≤ π

− −

2

6 ≤ k ≤ 18 .

2015 2016

2015 2 2016 2

Với sin x + cos x = 1. Ta có sin x ≤ sin x;cos x ≤ cos x .

2015 2016 2 2

sin x = 0,cos x = ± 1

Do đó 1= sin x + cos x ≤ sin x + cos x = 1 suy ra

.

sin x = 1,cos x = 0

Nếu sin x = 0 ⇔ x = kπ

, k ∈Z .

−10 30

Vì x ∈[ −10;30]

−10 ≤ kπ ≤ 30 ⇔ ≤ π ≤ −3 ≤ k ≤ 9 .

π π

π

Nếu sin x = 1 ⇔ x = + k2 π , k ∈Z .

2

π

5 1 15 1

Vì x ∈[ −10;30]

−10 ≤ + k2π

≤ 30

2

⇔ − k

π

− 4 ≤ ≤ π

− −

4

1 ≤ k ≤ 4 .

Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là: 13 + 6 + 25 = 44 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

60

Dạng 8. Giải và biện luận Phương trình lượng giác chứa tham số

6 6

m

2 2

m

Câu 156. Ta có sin x + cos x + 3sin x cos x − + 2 = 0 ⇔ 1− 3sin x cos x + 3sin xcos x − + 2 = 0

4

4

Đặt t = sin 2x

, −1 ≤ t ≤ 1.

2

PT trở thành − 3t + 6t + 12 = m .

2

Xét hàm số f ( t ) = − 3t + 6t

+ 12 , −1 ≤ t ≤ 1

6 6

m

Phương trình sin x + cos x + 3sin x cos x − + 2 = 0 có nghiệm thực khi 3 ≤ m ≤ 15 .

4

Vậy có 13 giá trị nguyên của tham số m .

2

Câu 157. Ta xét phương trình cos2x + m sin x − m = 0 ⇔ − 2sin x + m sin x + 1− m = 0 (1)

Đặt sin x t ( 0 t 1)

= ≤ ≤ khi đó

2

(1) ⇔ − 2t + mt + 1− m = 0

Để phương trình cos2x + m sin x − m = 0 có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm t thỏa 0 ≤ t ≤1

2

2 2 2t

−1

− 2t + mt + 1− m = 0 ⇔ m( t − 1) = 2t −1 ⇔ m = (*)

(Vì t = 1không phải là nghiệm của

t −1

phương trình)

2

2x

−1

1

x = 2 + 1

Xét hàm số y = trên [ 0;1 ) . Ta có y ' = 2 − ; y ' = 0 ⇔

x −1

( x −1) 2

x

= 2 − 1

2 3 2

Để phương trình (*) có nghiệm ⇔ m ≤ − + . Do m nguyên dương nên m = 1.

2

Câu 158. Ta có

2

cos 2x − 2m + 1 cos x + m + 1 = 0 ⇔ 2 cos x − 2m + 1 cos x + m = 0

( ) ( )

cos

x = m

⇔ 2cos −1 cos − = 0 ⇔

1 . cos x =

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

⇔ cos x ( 2 cos x −1) − m ( 2 cos x − 1)

= 0 ( x )( x m)

61

π 3π

Do x ∈ ;

2 2 nên cos x ∈( − 1;0 ) nên phương trình 1

π 3π

cos x = không có nghiệm x ∈ ;

2

2 2 .

π 3π

Vậy nên để phương trình cos 2x − ( 2m + 1)

cos x + m + 1 = 0 có nghiệm x ∈ ; khi phương

2 2

π 3π

trình cos x = m có nghiệm x ∈ ; nghĩa là 1 0

2 2 − < m < .

Câu 159. Phương trình đã cho tương đương với:

3

m

( sin 2 x + cos 2 x) − 3sin 2 x.cos 2 x. ( sin 2 x + cos 2 x)

+ 3sin x cos x − + 2 = 0

4

3 2 3 m

⇔ − sin 2x

+ sin 2x

− + 3 = 0

4 2 4

3 ( sin 2 1) 2 15 m

⇔ − x − + = .

4 4 4

3 15

Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi

m ∈ ;

4

4 4

⇔ m∈

[ 3;15]

Vậy có 13 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm thực.

Câu 160. Chọn A

Ta có

2sin x + m − 1 cos x = −m

( )

cos x − 2sin x

⇔ m =

cos x + 1

cos x − 2sin x

Đặt f ( x)

=

cos x + 1

π

để phương trình có nghiệm x ∈

0;

2

x 2t 1−

t

đặt t = tan sin x = ,cos x =

2 1+ t 1+

t

khi đó hàm số f ( x)

khi và chỉ khi min f ( x) ≤ m ≤ max f ( x)

2

2 2

cos x − 2sin x

=

cos x + 1

( ) = − − ( ) = ⇔ = − ∉ [ ]

g ' t t 2; g ' t 0 t 2 0;1

g

1

0 = ; 1 = − 2

2

1

= − =

2

( ) g ( )

Suy ra min f ( x) 2; max f ( x)

Vậy

π π

0; 0;

2

2

trở thành g ( t)

π π

0; 0;

2

2

2

1−

t 2t

− 2.

2 2

1+ t 1+

t

2

−t

− t +

2

1−

t

+ 1

2

2

= =

4 1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

1+

t

1

2 m

−2; − 1;0

2

3 3 2

4 cos x − cos 2x + m − 3 cos x − 1 = 0 ⇔ 4 cos x − 2 cos x + m − 3 cos x = 0

− ≤ ≤ . Các giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán là { }

Câu 161. Ta có: ( ) ( )

cos x = 0

⇔

x − x + m − =

( )

2

4cos 2cos 3 0 1

với t ∈ [ 0;1]

62

π

π π

• cos x = 0 ⇔ x = + kπ

, k ∈ Z không có nghiệm thuộc khoảng −

;

2

2 2 .

• Đặt t = cos x π π

, vì x ∈ − ;

2 2

t ∈ 0;1 .

nên ( ]

Khi đó phương trình ( 1) 4t 2 2t m 3 0 ( 2)

Ycbt ⇔ phương trình ( )

,

Cách 1:

2

Đặt f ( t ) 4t 2t m 3

⇔ − + − = .

= − + − , với ( 0;1]

Khi đó, phương trình ( )

2 có 2 nghiệm phân biệt t 1

t 2 thỏa mãn 0 < t1, t2

< 1.

t ∈ .

2 có 2 nghiệm phân biệt t 1

, t 2 thỏa mãn 0 < t1, t2

< 1

∆ ′ > 0 13

m <

4

f ( 0)

> 0

m

> 3 13

⇔ f ( 1)

> 0 ⇔ ⇔ 3 < m < . Vì m nguyên nên không có giá trị nào.

m

> 1 4

−b

0 < < 1 1

2a

0 < < 1

4

Cách 2:

2 ⇔ m = − 4t 2 + 2t + 3 = g t

( ) ( )

Ta có bảng biến thiên của g ( t ) trên ( 0;1]

0 < t , t < 1

1 2

t ∈ .

Từ bảng biến thiên trên phương trình ( )

2 có 2 nghiệm phân biệt t1,

t2

thỏa mãn

13

thì 3 < m < . Vì m nguyên nên không có giá trị nào.

4

Câu 162. Ta có:

3

cos 2x 2

cos 2x 2

msin

x

2

cos 2x cos 2x 1

2

m sin x ⇔ sin 2 x 2cos 2 2x + m = 0

− = ( )

2

⇔ 2cos 2x

+ m = 0 cos 4x

m 1

⇔ − = ( )

⇔ = − − .

π 2π

1

Có x∈ 0; 4x

∈ 0; − < cos 4x

< 1

6 3 2

π

Để phương trình có nghiệm x∈ 0;

6 thì 1

1

− < −m

− 1<

1 ⇔ − 2 < m < − .

2

2

Do m ∈ Z nên m = − 1.

1+ cos x cos 4x − mcos x = msin 2 x ⇔ 1+ cos x cos 4x − mcos x − m 1− cos 2 x = 0

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 163. Ta có: ( )( ) ( )( ) ( )

63

cos x = −1

⇔ ( 1+ cos x)

cos 4x − mcos x − m( 1− cos x)

= 0 ⇔ .

cos 4x

= m

Xét phương trình cos x 1 x π k 2π

k ∈ Z .

= − ⇔ = + ( )

2π

Phương trình cos x = − 1 không có nghiệm trong đoạn

0;

3

.

2π

8π

Xét cos 4x = m . Ta có x ∈

0; ⇔ 4x

∈ 0;

3

3

.

4x 0; 2 π \ π m ∈ − 1;1 phương trình cos 4x = m có 2 nghiệm.

Với ∈ [ ] { } và ( ]

8π

Với 4x

∈ 2 π ;

3

và m 1

∈

−

;1 phương trình cos 4x = m có 1 nghiệm.

2

2π

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt thuộc

0;

3

khi m 1

∈

−

;1

2 .

Câu 164. cos 3x − cos 2x + m cos x = 1

3 2

⇔ 4cos x −3cos x − 2cos x − 1 + mcos x = 1

( )

( )

= t với t ∈[ − 1;1]

3 2

4 cos x 2cos x m 3 cos x 0

⇔ − + − =

Đặt cos x

. Ta có

t

= 0

⇔ 2

4t − 2t + ( m − 3) = 0 (*)

π

Với t = 0 thì cos x = 0 ⇔ x = + kπ

, có 2 nghiệm là

π 3

;

π π

thuộc − ;2 π

2

2 2 2 .

π

Với mỗi giá trị t ∈ ( 0; 1)

thì phương trình cos x = t có 3 nghiệm của thuộc − ;2π

2 .

π

Với mỗi giá trị t ∈ ( − 1;0 ] thì phương trình cos x = t có 2 nghiệm của thuộc − ;2π

2 .

π

Với t = − 1 thì phương trình cos x = t có 1 nghiệm của thuộc − ;2π

2 .

Để pt có đúng 7 nghiệm thỏa mãn thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm t 1

; t 2

thỏa mãn điều kiện:

− 1< t < 0 < t < 1.

1 2

( )

2

* ⇔ m = − 4t + 2t

+ 3

Từ bảng biến thiên trên ta có m ∈ ( 1;3 ) . Vậy { 2}

m = .

sin x = 1

Câu 165. Ta có phương trình tương đương 2

2cos

x − ( 2m + 1)

cos x + m = 0

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

64

sin x = 1

sin x = 1

1

⇔

⇔ cos

x =

( 2cos x −1)( cos x − m)

= 0 2

cos

x = m

Với x ∈ [ 0;2π

]

. Ta có:

π

sin x = 1 ⇔ x = vì x ∈ [ 0;2π

] nên

2

π

x = (thỏa mãn).

2

π

x

1 π

=

3

cos x = ⇔ cos x = cos ⇔

2 3 π 5π

x = − + 2π

=

3 3

Với −1 ≤ m ≤ 1 , đặt m cosα

Nhận xét: Với x [ 0;2π

]

= , α [ 0; π ]

∈ .

∈ thì phương trình

vì x [ 0;2π

]

∈ nên

x

= α

cos x = m ⇔ cos x = cosα

⇔ (*)

.

x

= − α + 2π

π

x =

3

(thỏa mãn).

5π

x

= 3

Do đó, phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( )

đúng một nghiệm hoặc có 2 nghiệm phân biệt và một nghiệm bằng 2

π .

* có

π π 5

Trường hợp 1: α = − α + 2π ⇔ α = π (thỏa vì khác π , , ). Suy ra m = cos π = − 1 .

2 3 3

π

3π

π

Trường hợp 3: α = − α + 2π

= (thỏa). Suy ra m = cos = 0 .

2 2

2

Vậy { 0; 1}

m ∈ − nên có 2 giá trị m .

3

Câu 166. Ta có 2cos3x = m − 2cos x + m + 6cos x

( )

3 3

⇔ 2 4cos x − 3cos x − m + 2cos x = m + 6cos x

3 3

⇔ 8cos x + 2cos x = m + 6cos x + m + 6cos x

3

Đặt t = m + 6cos x, u = 2cos x , phương trình viết lại

( )( )

3 3 2 2

u u t t u t u ut t 1 0 u t

+ = + ⇔ − + + + = ⇔ = hay

3 6cos 2cos 8cos 3

m + x = x ⇔ m = x − 6cos x ⇔ m = 2cos3 x

Do đó để phương trình đã cho có nghiệm thì −2 ≤ m ≤ 2 , có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

x π π

Câu 167. Đặt t = tan , do x ∈ ;

2

−

2 2

suy ra [ ]

t ∈ − 1;1 .

2

4t

1−

t

Phương trình trở thành tìm m để phương trình + m

2 . =

2 1 − m

−1;1

1+ t 1+

t

.

2

4t

1−

t

1

Ta có m

2 .

2 1

2 1

+ = − m ⇔ m = t − 2t + = f ( t) .

1+ t 1+

t

2 2

có nghiệm thuộc đoạn [ ]

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

65

Câu 168. Chọn D

Hoành độ đỉnh là t 0

= 2 loại. Ta có f ( − 1)

= 3 và ( )

Suy ra −1≤ f ( t)

≤ 3. Vậy ta chọn đáp án A.

Ta có

( x − x) 2

4cos 3sin ≤ 5

⇔ −5 ≤ 4cos x − 3sin x ≤ 5

Để phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi

Giải ( )

1 ta có

3

( )

3

( )

m − 4m + 3 x + m − 4 > 5

⇔ m − 4m + 3 x + m − 9 > 0 ∀x

∈ R

m

= 1

3

m

− 4m

+ 3 = 0

⇔

1 13

⇔ m = − ±

m

− 9 > 0 2 2

m

> 9

Giải ( )

2 ta có

3

( )

3

( )

m − 4m + 3 x + m − 4 < −5

⇔ m − 4m + 3 x + m + 1< 0 ∀x

∈ R

3

m

− 4m

+ 3 = 0

⇔

m

+ 1 < 0

m

= 1 ( L)

1 13

m = − +

⇔ 2 2

1 13

m = − −

2 2

m

< − 1

VN

( L)

( t / m)

f 1 = − 1.

3

( m 4m 3) x m 4 5 ( 1)

3

( m 4m 3) x m 4 5 ( 2)

− + + − >

− + + − < −

1 13

Vậy có duy nhất một giá trị của tham số m = − − để phương trình đã cho vô nghiệm.

2 2

Câu 169. Chọn C

3 2

cos3x − cos2x + mcos x− 1= 0 ⇔ 4cos x−3cos x− 2cos x + 1+ mcos x− 1=

0

⎡ cos x = 0 (1)

2

⇔ cos x(4cos x− 2cos x + m− 3) = 0 ⇔ ⎢ 2

⎣4cos x− 2cos x + m− 3 = 0 (2)

⎡ π

x =

π

⎛ π ⎤

Giải (1) ⇔ x = + kπ

. Do x ∈ 2

− ;2 π

nên

2

⎜

⎝ 2 ⎥⎦

3π

⎢x

=

⎢⎣ 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

66

⎛ 3

Bài toán quy về tìm m để phương trình có 5 nghiệm thuộc

π ⎤ ⎧

;2 π \ π ;

π ⎫

− ⎪ ⎪

⎜

⎨ ⎬

⎝ 2 ⎥⎦ ⎪⎩ 2 2

⎪⎭ .

2

Phương trình (2) đặt t = cos x ( t ≤ 1) phương trình trở thành 4t − 2t = 3− m (3) . Từ đường

⎛ 3

tròn lượng lượng giác để phương trình (2) có 5 nghiệm thuộc

π ⎤ ⎧

;2 π \ π ;

π ⎫

− ⎪

⎨

⎪

⎬ thì phương

⎜⎝ 2 ⎥⎦ ⎪⎩

2 2

⎪⎭ trình (3) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn − 1< t1 < 0 < t2

< 1

⎧ 0 < 3−m

⇔ ⎪

⎨ ⇔ 1< m < 3 . Do m ∈ Z ⇒ m = 2 .

⎪⎩

3− m < 2

2

Câu 170. cos 2x − ( 2m − 3)

cos x + m − 1 = 0

( )

( x )( x m)

⇔ 2 cos x − 2m − 3 cos x + m − 2 = 0

⇔ 2 cos − 1 cos + 2 − = 0 ⇔ cos x + 2 − m = 0 , vì

⇔ cos x = m − 2

Ycbt ⇔ −1 ≤ m − 2 < 0 ⇔ 1 ≤ m < 2

2

Câu 171. cos 2x 5sin x m 0 2sin x 5sin x 1 m

− + = ⇔ − − + = − ( )

π

Đặt t = sin x , x∈

−π

; t ∈[ −1;1

) .

2

1 2t 5t 1 m * .

2

( ) ⇔ − − + = − ( )

π

2

t ∈ −1 ∪ 0;1 .

π 3π

x ∈ ;

2 2

Phương trình ( 1 ) có đúng 1 nghiệm x ∈ −π

; ⇔ t ∈{ −1} ∪[ 0;1)

2

Xét hàm số: f ( t ) = −2t − 5t

+ 1 , { } [ )

Đồ thị của hàm số f là parabol có đỉnh

BBT:

5 33

I

− ;

4 8 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

1

1 .

t 1

0

1

f( t)

6

− m = 4 m

= −4

Dựa vào BBT, yêu cầu bài toán ⇔ ⇔

6 m 1

.

− < − ≤ −1 ≤ m < 6

Câu 172. Ta có

4

.

67

2

− ( − ) − + = ( )

cos 2x 2m 1 cos x m 1 0 ⇔ 2cos x − 2m −1 cos x − m = 0

1

cos x = −

⇔ ( 2cos x + 1)( cos x − m)

= 0 ⇔ 2 .

cos

x = m

π π

Phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x ∈ −

;

khi và chỉ khi 0 ≤ cos x < 1 nên loại

2 2

1

cos x = −

2

π π

Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x ∈ −

;

khi và chỉ khi 0 ≤ m < 1.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2 2

68

TOÁN 11

PHÉP ĐẾM – QUY TẮC CỘNG, QUY TẮC NHÂN

1D2-1

Mục lục

Phần A. Câu hỏi ............................................................................................................................................................... 1

Dạng 1. Quy tắc cộng ....................................................................................................................................................... 1

Dạng 2. Quy tắc nhân ....................................................................................................................................................... 1

Dạng 3. Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân ................................................................................................................ 3

Phần B. Lời giải tham khảo .............................................................................................................................................. 4

Dạng 1. Quy tắc cộng ....................................................................................................................................................... 4

Dạng 2. Quy tắc nhân ....................................................................................................................................................... 4

Dạng 3. Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân ................................................................................................................ 7

Phần A. Câu hỏi

Dạng 1. Quy tắc cộng

Câu 1. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học

sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật.

A. 20 . B. 11. C. 30 . D. 10.

Câu 2. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Có 3 cây bút đỏ, 4 cây bút xanh trong một

hộp bút. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một cây bút từ hộp bút?

A. 7 . B. 12 . C. 3. D. 4 .

Câu 3. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Thầy giáo chủ nhiệm có 10 quyển sách khác nhau và 8

quyển vở khác nhau. Thầy chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi. Hỏi có bao

nhiêu cách chọn khác nhau?

A. 10. B. 8. C. 80. D. 18.

Câu 4. Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một học

sinh đi dự trại hè của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

A. 45 B. 500 C. 25 D. 5.

Dạng 2. Quy tắc nhân

Câu 5. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Có 10 cái bút khác nhau và 8 quyển sách giáo khoa khác nhau.

Một bạn học sinh cần chọn 1 cái bút và 1 quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn?

A. 80 . B. 60 . C. 90 . D. 70 .

Câu 6. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Một hộp đựng 5 bi đỏ và 4 bi

xanh. Có bao nhiêu cách lấy 2 bi có đủ cả 2 màu?

A. 20 . B. 16. C. 9 . D. 36 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

1

Câu 7. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn

thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món ăn, 1 loại quả tráng miệng trong 4 loại quả tráng miệng và 1 loại nước

uống trong 3 loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn?

A. 75 . B. 12. C. 60 . D. 3 .

Câu 8. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu

múa và 6 bài hát. Tại hội diễn văn nghệ, mỗi đội chỉ được trình diễn một vở kịch, một điệu múa và một bài

hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, điệu múa,

bài hát là như nhau?

A. 11. B. 36. C. 25. D. 18.

Câu 9. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà

Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con

đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn

đường đi đến nhà Cường cùng Bình (như hình vẽ dưới đây và không có con đường nào khác)?

A. 24 . B. 10 . C. 16 . D. 36.

Câu 10. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Bạn Công muốn mua một chiếc áo mới và một chiếc quần

mới để đi dự sinh nhật bạn mình. Ở cửa hàng có 12 chiếc áo khác nhau, quần có 15 chiếc khác nhau. Hỏi có

bao nhiêu cách chọn một bộ quần và áo?

A. 27 . B. 180. C. 12 . D. 15 .

Câu 11. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Một người vào một cửa hàng ăn, người đó

chọn thực đơn 1 món ăn trong 5 món khác nhau, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác

nhau, 1 loại đồ uống trong 3 loại đồ uống khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn một thực đơn?

A. 100. B. 13. C. 75. D. 25.

Câu 12. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A, B, C, D,

E vào 1 chiếc ghế dài sao cho bạn A ngồi chính giữa?

A. 120 . B. 256 . C. 24 . D. 32 .

Câu 13.

lẻ?

(SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều

A. 25 . B. 20 . C. 50 . D. 10.

Câu 14. Bạn Anh muốn qua nhà bạn Bình để rủ Bình đến nhà bạn Châu chơi. Từ nhà Anh đến nhà Bình có

3con đường. Từ nhà Bình đến nhà Châu có 5con đường. Hỏi bạn Anh có bao nhiêu cách chọn đường đi từ

nhà mình đến nhà bạn Châu.

A. 8. . B. 4.. C. 15. D. 6.

Câu 15. (Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Một lớp học có 15 bạn nam và 10 bạn nữ. Số cách chọn

hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ là

A. 300. B. 25 . C. 150. D. 50.

Câu 16. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Để giải một bài tập ta cần phải giải hai bài

tập nhỏ. Bài tập 1 có 9 cách giải, bài tập 2 có 5 cách giải. Số các cách để giải hoàn thành bài tập trên là:

A. 3 . B. 45 . C. 5. D. 12 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 17. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho các số 1,2,4,5,7 . Có bao nhiêu cách

chọn ra một số chẵn gồm ba chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho?

A. 120. B. 24 . C. 36. D. 256 .

2

Câu 18. Một tổ gồm n học sinh, biết rằng có 210 cách chọn 3 học sinh trong tổ để làm ba việc khác nhau.

Số n thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?

A. n( n −1)( n − 2) = 420 . B. n( n + 1)( n + 2) = 420 .

C. n( n + 1)( n + 2) = 210 . D. n( n −1)( n − 2) = 210 .

Câu 19. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số các số tự nhiên có 2 chữ số

mà hai chữ số đó là số chẵn là

A. 18. B. 16. C. 15. D. 20.

Câu 20. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Có bao nhiêu số có 3 chữ số được lập từ 6 chữ số đó?

A. 216 . B. 36 . C. 256 . D. 18.

Câu 21. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Một bài trắc nghiệm khách quan có 10 câu

hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời. Có bao nhiêu phương án trả lời?

10

4

A. 4 . B. 40. C. 10 . D. 4.

Câu 22. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Có sáu quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, năm

quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và bảy quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 7. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra ba quả

cầu vừa khác màu vừa khác số?

A. 64 . B. 210 . C. 120 . D. 125 .

Câu 23. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn,

elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt

và một dây?

A. 16. B. 4 . C. 7 . D. 12.

Câu 24. Một đoàn tàu có bốn toa đỗ ở ga. Có bốn hành khách bước lên tàu. Số trường hợp có thể xảy ra về

cách chọn toa của bốn khách là:

A. 232 . B. 256 . C. 1. D. 24 .

Câu 25. Có 7 bông hồng đỏ, 8 bông hồng vàng và 10 bông hồng trắng, các bông hồng khác nhau từng đôi

một. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 bông hồng có đủ ba màu.

A. 319. B. 3014. C. 310. D. 560

Câu 26. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số?

A. 210 . B. 105 . C. 168 . D. 145 .

Câu 27. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho tập { 0;1;2;3;4;5;6 }

A = từ tập A

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chia hết cho 2 ?

A. 8232 . B. 1230 . C. 1260 . D. 2880 .

Câu 28. (SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU - 2018) Số các số tự nhiên chẵn, gồm bốn chữ số khác nhau đôi một và

không tận cùng bằng 0 là :

A. 504 . B. 1792 . C. 953088 . D. 2296 .

Câu 29. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu sỗ chẵn gồm 6

chữ số khác nhau, trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? Câu trả lời nào đúng?

A. 40000 số. B. 38000 số. C. 44000 số. D. 42000 số.

Dạng 3. Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 30. Một người có 7 chiếc áo trong đó có 3 chiếc áo trắng và 5 chiếc cà vạt trong đó có 2 chiếc cà vạt

màu vàng. Tìm số cách chọn một chiếc áo và một chiếc cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt

màu vàng.

3

A. 29 . B. 36 . C. 18. D. 35 .

Câu 31. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Từ tập X = { 0;1;2;3;4;5 } có thể lập được

bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau mà số đó chia hết cho 5?

A. 4 . B. 16. C. 20 . D. 36 .

Câu 32. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Đội tuyển học sinh giỏi Toán

gồm 10 em: 5 nam và 5 nữ. Muốn chọn ra 1 tổ trưởng, 1 tổ phó và 1 thư ký, trong đó tổ trưởng tổ phó phải là

hai người khác giới. Số cách chọn là:

A. 400 . B. 380 . C. 360 . D. 420 .

Câu 33. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018)Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác

nhau?

A. 500. B. 328. C. 360. D. 405.

Câu 34. Một người có 7 cái áo trong đó có 3 cái áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có 2 cà vạt vàng. Tìm số

cách chọn một áo và một cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt vàng.

A. 29 . B. 36. C. 18. D. 35.

Câu 35. (Phát triển đề minh hoạ 2019-Đề 8) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau sao cho tổng

2 chữ số cách đều chữ số đứng giữa là bằng nhau và bằng 5?

A. 120 . B. 20 . C. 144. D. 24 .

Câu 36. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Một hộp chứa 16 quả cầu gồm sáu quả cầu xanh đánh số

từ 1 đến 6 , năm quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và năm quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 5 . Hỏi có bao nhiêu

cách lấy ra từ hộp đó 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số.

A. 72 . B. 150 . C. 60 . D. 80 .

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Phần B. Lời giải tham khảo

Dạng 1. Quy tắc cộng

Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ 11 học sinh, ta có 11 cách chọn.

Chọn A

Số cách lấy ra 1 cây bút là màu đỏ có 3 cách.

Số cách lấy ra 1 cây bút là màu xanh có 4 cách.

Theo quy tắc cộng, số cách lấy ra 1 cây bút từ hộp bút là: 3+ 4 = 7 cách.

Vậy có 7 cách lấy 1 cây bút từ hộp bút. Chọn đáp án A.

Chọn D

Chọn một quyển sách có 10 cách chọn.

Chọn một quyển vở có 8 cách chọn.

Áp dụng quy tắc cộng có 18 cách chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học

sinh giỏi.

Chọn A

Bước 1: Với bài toán a thì ta thấy cô giáo có thể có hai phương án để chọn học sinh đi thi:

Bước 2: Đếm số cách chọn.

∗ Phương án 1: chọn 1 học sinh đi dự trại hè của trường thì có 25 cách chọn.

∗ Phương án 2: chọn học sinh nữ đi dự trại hè của trường thì có 20 cách chọn.

Bước 3: Áp dụng quy tắc cộng.

Vậy có 20 + 25 = 45 cách chọn.

Dạng 2. Quy tắc nhân

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Số cách chọn 1 cái bút có 10 cách, số cách chọn 1 quyển sách có 8 cách.

Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn 1 cái bút và 1 quyển sách là: 10.8 = 80 cách.

4

Câu 6. Lấy 1 bi đỏ có 5 cách.

Lấy 1 bi xanh có 4 cách.

Theo quy tắc nhân, số cách lấy 2 bi có đủ cả 2 màu là 5.4 = 20 cách.

Câu 7. Có 5 cách chọn 1 món ăn trong 5 món ăn, 4 cách chọn 1 loại quả tráng miệng trong 4 loại quả

tráng miệng và 3 cách chọn 1 loại nước uống trong 3 loại nước uống.

Theo quy tắc nhân có 5.4.3 = 60 cách chọn thực đơn.

Câu 8. Chọn B

Đội văn nghệ trên có 2 cách chọn trình diễn một vở kịch, có 3 cách chọn trình diễn một điệu múa,

có 6 cách chọn trình diễn một bài hát. Theo quy tắc nhân, đội văn nghệ trên có 2.3.6 = 36 cách chọn

chương trình diễn.

Câu 9. Chọn A

Chọn đường đi từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách chọn.

Chọn đường đi từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có 4.6 = 24 cách cho An chọn đường đi đến nhà Cường cùng Bình.

Câu 10. Chọn B

Số cách bạn Công chọn một chiếc áo mới là: 12 cách.

Số cách bạn Công chọn một chiếc quần mới là: 15 cách.

Theo quy tắc nhân, bạn Công có 12.15 = 180 cách để chọn một bộ quần và áo.

Câu 11. Chọn C

Người đó chọn 1 món ăn trong 5 món khác nhau có 5 cách.

Người đó chọn 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác nhau có 5 cách.

Người đó chọn 1 loại đồ uống trong 3 loại đồ uống khác nhau có 3 cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có 5.5.3 = 75 cách.

Câu 12. Chọn C

Xếp bạn A ngồi chính giữa: có 1 cách.

Khi đó xếp 4 bạn B, C, D,

E vào 4 vị trí còn lại, có 4! = 24 cách.

Vậy có tất cả 24 cách xếp.

Câu 13. Gọi số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ là ab .

Số cách hữ số a là 5 cách.

Số cách hữ số b là 5 cách.

Vậy có 5.5 = 25 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 14.

Chọn C

Từ nhà Anh đến nhà Bình có 3 cách chọn 1 con đường.

Từ nhà bạn Bình đến nhà Châu có 5 cách chọn 1 con đường.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn đường đi từ nhà Anh đến nhà Châu là 5.3 = 15.

Câu 15. Chọn C

Số cách chọn một bạn nam là 15 cách.

Số cách chọn một bạn nữ là 10 cách.

Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ là 15.10 = 150

cách.

Câu 16. Chọn B

Sô cách giải bài toán 1: 9 cách

Số cách giải bài toán 2:5 cách

Áp dụng quy tắc nhân: 9× 5 = 45 cách

Câu 17. Chọn B

Gọi số cần tìm là abc .

+ Chọn c : có 2 cách.

+ Chọn a : có 4 cách.

+ Chọn b : có 3 cách.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

5

Câu 18.

Câu 19.

Câu 20.

Câu 21.

Câu 22.

Câu 23.

Câu 24.

Câu 25.

Áp dụng quy tắc nhân ta có 2.4.3 = 24 số.

Chọn D

Chọn một học sinh để làm việc thứ nhất, có n cách chọn.

Chọn một học sinh để làm việc thứ hai có n −1

cách chọn.

Chọn một học sinh để làm việc thứ ba có n − 2 cách chọn.

Do đó có n( n −1)( n − 2) = 210 cách chọn.

Vậy chọn D.

Chọn D

Giả sử số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: ab .

a ∈ 2;4;6;8 .

- Chọn a có 4 cách: { }

- Chọn b có 5 cách: { 0;2;4;6;8 }

b∈ .

Vậy có tất cả: 4.5 = 20 số tự nhiên có 2 chữ số mà hai chữ số đó là số chẵn.

Chọn A

Trong 6 chữ số đã cho không có chữ số 0, số có 3 chữ số không yêu cầu khác nhau nên mỗi chữ

3

số đều có 6 cách chọn, do đó số các số thỏa mãn 6 = 216 .

Chọn A

Mỗi câu hỏi có 4 cách chọn phương án trả lời.

10

Mười câu hỏi sẽ có số cách chọn phương án trả lời là 4 .

Chọn D

+) Chọn 1 quả màu đỏ có 5 cách.

+) Chọn 1 quả màu xanh khác số với quả màu đỏ có 5 cách.

+) Chọn 1 quả màu vàng khác số với quả màu đỏ và quả màu xanh có 5 cách.

Vậy số cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu, vừa khác số là: 5.5.5 = 125 .

Chọn D

Chọn 1 kiểu mặt từ 3 kiểu mặt có 3 cách.

Chọn 1 kiểu dây từ 4 kiểu dây có 4 cách

Vậy theo quy tắc nhân có 12 cách chọn 1 chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây.

Chọn B

Mỗi hành khách có 4 cách chọn toa.

4

Số trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa của bốn khách là: 4.4.4.4 = 4 = 256 .

Chọn D

- Có 3 loại hoa khác nhau, chọn 3 bông đủ ba mầu nên dùng quy tắc nhân.

- Chọn một bông hồng đỏ có 7 cách.

- Chọn một bông hồng vàng có 8 cách.

- Chọn một bông hồng trắng có 10 cách.

- Theo quy tắc nhân có 560 cách

Câu 26. • Gọi số có ba chữ số cần tìm là n = abc , với a ≠ 0 và c là số chẵn chọn từ các số đã cho.

• a ≠ 0 nên có 6 cách chọn, c chẵn nên có 4 cách chọn và b tùy ý nên có 7 cách chọn.

• Vậy số các số cần tìm là 6.4.7 = 168 .

Câu 27. Gọi số có 5 chữ số cần tìm là x a a a a a ; a , a , a , a , a A; a 0; a { 0;2;4;6}

Công việc thành lập số x được chia thành các bước:

- Chọn chữ số a

1

có 6 lựa chọn vì khác 0 .

= ∈ ≠ ∈ .

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 5

- Chọn các chữ số a2, a3,

a

4

, mỗi chữ số có 7 lựa chọn.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

- Chọn chữ số a

5

có 4 lựa chọn vì số tạo thành chia hết cho 2 .

Số số thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

3

6.7 .4 = 8232 (số).

6

Câu 28. Gọi số ần tìm là abcd

Có 4 cách chọn d , 8 cách chọn a , 8 cách chọn b và 7 cách chọn c . Vậy có tất cả :

4.8.8.7 = 1792 (số)

Câu 29. Gọi số có 6 chữ số đó là abcdef . Vì a lẻ nên a ∈ { 1;3;5;7;9 }, vậy a có 5 lựa chọn. Vì f chẵn

nên f ∈ { 0;2;4;6;8}

, vậy f có 5 lựa chọn. Tiếp theo b có 8 lựa chọn, c có 7 lựa chọn, d có 6

lựa chọn, e có 5 lựa chọn. Vậy có tất cả 5.5.8.7.6.5 = 42000 số thỏa mãn.

Câu 30.

Câu 31.

Dạng 3. Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân

Chọn A

Số cách chọn một chiếc áo và một chiếc cà vạt sao cho áo màu trắng và cà vạt không phải màu vàng

là 3.3 = 9

Số cách chọn một chiếc áo và một chiếc cà vạt sao cho áo không phải màu trắng và cà vạt bất kì

trong 5 cà vạt là 4.5 = 20

Số cách chọn một chiếc áo và một chiếc cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu

vàng là 9 + 20 = 29

Chọn D

2

* Th1: Số cần tìm có dạng ab 0 : có A

5

= 20 số.

* Th2: Số cần tìm có dạng ab 5 : có 4.4 = 16 số.

Vậy có: 20 + 16 = 36 số thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 32. TH1: Chọn 1 tổ trưởng là nam, 1 tổ phó là nữ và 1 thư ký có 5 .5.8 = 200 cách.

TH2: Chọn 1 tổ trưởng là nữ, 1 tổ phó là nam và 1 thư ký có 5 .5.8 = 200 cách.

có 200 + 200 = 400 cách.

Câu 33. Gọi số cần lập có dạng: a1a2a 3

a

i

∈{ 0; 1; 2;...;

9}

;

ai

≠ a

i

; ∀i ≠ j,a1 ≠ 0 .

Xảy ra 2 trường hợp

a3

= 0

+) Trường hợp 1: a

2

≠ a3

có 1. 9. 8 = 72 số.

a1 ≠ a

2;a1 ≠ a3

a3

∈{ 2;4;6;8}

+) Trường hợp 2: a1 ≠ a

3;a1

≠ 0 có 4. 8. 8 = 256 số.

a

2

≠ a

3;a 2

≠ a1

Kết quả: Có 72 + 256 = 328 số thỏa mãn yêu cầu.

Câu 34. Chọn A

Cách 1:

Trường hợp 1:

Chọn 1 áo trắng có 3 cách.

Chọn 1 cà vạt không phải màu vàng có 3 cách.

Do đó có 3.3 = 9 cách chọn 1 áo trắng và 1 cà vạt không phải màu vàng.

Trường hợp 2:

Chọn 1 áo không phải màu trắng có 4 cách.

Chọn 1 cà vạt bất kỳ có 5 cách.

Do đó có 4.5 = 20 cách chọn 1 áo không phải màu trắng và 1 cà vạt bất kỳ.

Theo quy tắc cộng, ta có 9+ 20 = 29 cách chọn 1 áo và 1 cà vạt thỏa yêu cầu đề.

Cách 2:

Số cách chọn ra 1 áo và 1 cà vạt bất kỳ là: 7.5 = 35 cách.

Số cách chọn ra 1 áo trắng và 1 cà vạt vàng là: 3.2 = 6 cách.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

7

Vậy ta có 35− 6 = 29 cách chọn 1 áo và 1 cà vạt thỏa yêu cầu đề.

Câu 35. Chọn A.

0;5 , 1;4 , 2;3 .

Câu 36.

Có 3 cặp số tổng bằng 5 : ( ) ( ) ( )

Gọi số có 5 chữ số là abcde , ( a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ e; a + e = b + d = 5)

.

TH1: ( a bất kỳ) Có 3 cách chọn cặp số cho ( a;

e ) , 2 cách chọn cặp số cho ( ; )

hoán vị với nhau nên có 3.2.2.2 cách xếp.

Có 6 cách chọn số cho c .

Nên có 3.2.2.2.6 = 144 cách xếp.

a = 0 nên 5

TH2: ( )

Có 6 cách chọn số cho c

Nên có 2.2.6 =24 cách.

Vậy có 144 – 24 = 120 số.

Kí hiệu các quả cầu như hình vẽ.

e = . Có 2 cách chọn cặp số cho ( ; )

b d và hoán vị b,

d .

TH1: Có quả xanh X6.

Bước 1: Lấy quả X6 có 1 cách.

Bước 2: Lấy 1 quả đỏ có 5 cách.

Bước 3: Lấy 1 quả vàng có 4 cách. (vì khác số với quả đỏ).

Vậy có 1.5.4 = 20 (cách).

TH2: Không có quả xanh X6.

Bước 1: Lấy quả xanh có 5 cách.

Bước 2: Lấy 1 quả đỏ có 4 cách. (vì khác số với quả xanh).

Bước 3: Lấy 1 quả vàng có 3 cách. (vì khác số với quả xanh, đỏ).

Vậy có 5.4.3 = 60 (cách).

Vậy có 80 (cách).

b d , mỗi cặp số

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

8

TOÁN 11

HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

1D2-2

Contents

Phần A. Câu hỏi .............................................................................................................................................................. 2

Dạng 1. Bài toán chỉ sử dụng P hoặc C hoặc A ............................................................................................................... 2

Dạng 1.1 Chỉ sử dụng P ................................................................................................................................................ 2

Dạng 1.1.1 Bài toán đếm số ..................................................................................................................................... 2

Dạng 1.1.2 Bài toán chọn người (vật) ...................................................................................................................... 3

Dạng 1.2 Chỉ sử dụng C ............................................................................................................................................... 4

Dạng 1.2.1 Bài toán đếm số (tập số, tập hợp) .......................................................................................................... 4

Dạng 1.2.2 Bài toán chọn người (vật) ...................................................................................................................... 5

Dạng 1.2.3 Bài toán liên quan đến hình học ............................................................................................................. 9

Dạng 1.3 Chỉ sử dụng A ............................................................................................................................................. 12

Dạng 1.3.1 Bài toán đếm số (tập số, tập hợp) ........................................................................................................ 12

Dạng 1.3.2 Bài toán chọn người (vật) .................................................................................................................... 14

Dạng 1.3.3 Bài toán liên quan đến hình học ........................................................................................................... 15

Dạng 2. Bài toán kết hợp hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp ..................................................................................................... 15

Dạng 2.1 Bài toán đếm số (tập số) ............................................................................................................................. 15

Dạng 2.2 Bài toán chọn người (vật) ........................................................................................................................... 16

Dạng 2.3 Bài toán liên quan đến hình học.................................................................................................................. 17

Dạng 3. Giải phương trình, bất phương trình, hệ liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp .......................................... 18

Phần B. Lời giải tham khảo ......................................................................................................................................... 21

Dạng 1. Bài toán chỉ sử dụng P hoặc C hoặc A ............................................................................................................. 21

Dạng 1.1 Chỉ sử dụng P .............................................................................................................................................. 21

Dạng 1.1.1 Bài toán đếm số ................................................................................................................................... 21

Dạng 1.1.2 Bài toán chọn người (vật) .................................................................................................................... 22

Dạng 1.2 Chỉ sử dụng C ............................................................................................................................................. 24

Dạng 1.2.1 Bài toán đếm số (tập số, tập hợp) ........................................................................................................ 24

Dạng 1.2.2 Bài toán chọn người (vật) .................................................................................................................... 25

Dạng 1.2.3 Bài toán liên quan đến hình học ........................................................................................................... 30

Dạng 1.3 Chỉ sử dụng A ............................................................................................................................................. 34

Dạng 1.3.1 Bài toán đếm số (tập số, tập hợp) ........................................................................................................ 34

Dạng 1.3.2 Bài toán chọn người (vật) .................................................................................................................... 38

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Dạng 1.3.3 Bài toán liên quan đến hình học ........................................................................................................... 38

Dạng 2. Bài toán kết hợp hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp ..................................................................................................... 38

Dạng 2.1 Bài toán đếm số (tập số) ............................................................................................................................. 38

1

Dạng 2.2 Bài toán chọn người (vật) ........................................................................................................................ 40

Dạng 2.3 Bài toán liên quan đến hình học.................................................................................................................. 42

Dạng 3. Giải phương trình, bất phương trình, hệ liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp .......................................... 43

Câu 1.

Câu 2.

Phần A. Câu hỏi

Dạng 1. Bài toán chỉ sử dụng P hoặc C hoặc A

Dạng 1.1 Chỉ sử dụng P

Dạng 1.1.1 Bài toán đếm số

(THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Từ các chữ số 2,3, 4,5,6,7 có thể lập được bao

nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau?

A. 256 . B. 720 . C. 120 . D. 24 .

(SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Cho các số 1, 5 , 6 , 7 . Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với

các số khác nhau lập từ các số đã cho.

A. 64 . B. 24 . C. 256 . D. 12.

A = 1,2,3,4 . Từ A lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4

Câu 3. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho { }

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

chữ số đôi một khác nhau?

A. 32 . B. 24 . C. 256 . D. 18.

(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Từ các chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 5 có thể lập

được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau:

A. 120 . B. 720 . C. 16. D. 24 .

(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Từ các số 1, 2 , 3 , 4 , 5 có thể lập được bao

nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một?

A. 60 . B. 120 . C. 24 . D. 48 .

(THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) Cho tập hợp X gồm 10 phần tử. Số các hoán vị của

10 phần tử của tập hợp X là

2

10

10

A. 10!. B. 10 . C. 2 . D. 10 .

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số các số có 6 chữ số khác

nhau không bắt đầu bởi 12 được lập từ 1; 2; 3; 4; 5; 6 là

A. 720 . B. 966 . C. 696 . D. 669 .

(ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Từ các chữ số 0 , 2 , 3 , 5 , 6 , 8 có thể lập

được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó hai chữ số 0 và 5 không

đứng cạnh nhau.

A. 384 . B. 120 . C. 216 . D. 600 .

Câu 9. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Cho các chữ số 0 , 1, 2

, 3 , 4 , 5 . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số và các chữ số

đôi một bất kỳ khác nhau.

A. 160 . B. 156 . C. 752 . D. 240 .

Câu 10.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Xếp 6 chữ số 1, 1, 2 , 2 , 3 , 4 thành hàng ngang

sao cho hai chữ số giống nhau thì không xếp cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách

A. 120 cách. B. 96 cách. C. 180 cách. D. 84 cách.

2

Câu 11. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3

chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ?

A. 320 . B. 144. C. 180 . D. 60 .

Câu 12. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Từ các chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 có thể lập được

bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn

tổng của ba chữ số cuối một đơn vị

A. 32 . B. 72 . C. 36 . D. 24 .

Câu 13. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ

số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 5,6,7,8,9. Tính tổng tất cả các số thuộc tâp S .

A. 9333420. B. 46666200. C. 9333240. D. 46666240.

Dạng 1.1.2 Bài toán chọn người (vật)

Câu 14.

(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành

một hàng dọc?

5

A. 5 . B. 5!. C. 4!. D. 5 .

Câu 15. (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - 2018) Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một bàn dài là

A. 120. B. 24 . C. 5 . D. 1.

Câu 16. Có bao nhiêu các sắp xếp 10 bạn học sinh thành một hàng ngang ?

1

1

10

P . B. C . C. A . D. C .

Câu 17.

Câu 18.

Câu 19.

Câu 20.

A.

10

10

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Ban chấp hành chi đoàn lớp 11D có bạn An, Bình, Công.

Hỏi có bao nhiêu cách phân công các bạn này vào các chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà

không bạn nào kiêm nhiệm?

A. 2 . B. 3 . C. 6 . D. 9 .

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Có tất cả bao nhiêu cách xếp 6 quyển sách khác

nhau vào một hàng ngang trên giá sách?

5

6

A. 5! B. 6 C. 6! D. 6

(HKI-Chu Văn An-2017) Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 tại một điểm thi có 5 sinh viên

tình nguyện được phân công trục hướng dẫn thí sinh ở 5 vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có

đúng 1 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho 5 người đó?

A. 120 . B. 625 . C. 3125 D. 80 .

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2017 tại một Điểm thi

có 5 sinh viên tình nguyện được phân công trực hướng dẫn thi sinh ở 5 vị trí khác nhau. Yêu cầu

mỗi vị trí có đúng 1 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho 5 người đó?

A. 625 . B. 3125 . C. 120 . D. 80 .

Câu 21. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Có một con mèo vàng, 1 con mèo đen, 1 con mèo nâu, 1

con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím. Xếp 6 con mèo thành hàng ngang vào 6 cái ghế,

mỗi ghế một con. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ sao cho mèo vàng và mèo đen ở cạnh nhau.

A. 720 . B. 120 . C. 144. D. 240.

Câu 22.

Câu 23.

Câu 24.

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Tính số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ

sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau.

A. 10!. B. 7! × 4!.

C. 6! × 4!.

D. 6! × 5!.

(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng

ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?

A. 30240 cách. B. 720 cách. C. 362880 cách. D. 1440 cách.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hai dãy ghế được xếp như sau:

10

10

3

Câu 25.

Xếp 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào hai dãy ghế trên. Hai người được gọi là ngồi đối diện nhau nếu

ngồi ở hai dãy và có cùng vị trí ghế (số ở ghế). Số cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một

bạn nữ bằng

4

A. 4!.4!.2 . B. 4!.4!. C. 4!.2 . D. 4!.4!.2 .

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi,

Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và

bạn Dũng không ngồi cạnh nhau?

A. 24 . B. 72 . C. 12. D. 48 .

Câu 26. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Một nhóm học sinh gồm 4 học sinh nam và

5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9 học sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho nam nữ

đứng xen kẽ?

A. 5760 . B. 2880 . C. 120 . D. 362880 .

Câu 27. Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu

cách xếp các viên bi trên thành dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?

A. 345600. B. 518400. C. 725760 . D. 103680.

Câu 28.

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Có bao nhiêu cách xếp 5 sách

Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

A. 5!.8!. B. 5!.7!. C. 2.5!.7!. D. 12!.

Câu 29. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Có bao nhiêu cách sắp xếp 3

nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ?

A. 6 . B. 144. C. 720 . D. 72 .

Dạng 1.2 Chỉ sử dụng C

Dạng 1.2.1 Bài toán đếm số (tập số, tập hợp)

Câu 30.

Câu 31.

Câu 32.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm hai phần

từ của M là

2

2

8

2

A. C B. 10 C. A D. A

10

(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần

tử của M là

4

5

5

5

A. A . B. 30 . C. 30 . D. C .

30

(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là

3

A. C

7

. B. 7!

3! . C. 3

A

7

. D. 21.

Câu 33. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho tập hợp M = { 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 }

Câu 34.

Câu 35.

. Số tập con

gồm 3 phần tử của M không có số 0 là:

3

3

3

3

A. A

10

. B. A

9

. C. C

10

. D. C

9

.

(LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm

5 phần tử của M là

5

5

5

4

A. C . B. A . C. 30 . D. A .

30

30

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử được

A = a; b; c; d; e;

f ?

lấy ra từ tập { }

A. 10 . B. 80 . C. 40 . D. 20 .

4

10

10

30

30

Câu 36. (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Cho tập M gồm 10 phần tử. Số tập con gồm 4

phần tử của M là

A. 40 .

4

B. A .

4

C. C .

4

D. 10 .

Câu 37.

Câu 38.

Câu 39.

Câu 40.

Câu 41.

Câu 42.

10

(HKI-Chu Văn An-2017) Cho tập hợp E có 10 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có 8 phần tử

của tập hợp E ?

A. 100 . B. 80 . C. 45 . D. 90 .

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho tập A gồm 12 phần tử.

Số tập con có 4 phần tử của tập A là

8

4

4

A. A . B. C . C. 4!. D. A .

12

12

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho tập hợp E có 10 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con

có 8 phần tử của tập hợp E ?

A. 100 . B. 90 . C. 45 . D. 80 .

(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên

∈ 0;1;2;3;4;5;6 sao cho a < b < c .

có ba chữ số dạng abc với a , b , c { }

A. 120 . B. 30 . C. 40 . D. 20 .

(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Từ các chữ số 2 , 3 , 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ

số, trong đó chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 4 lần?

A. 1260 . B. 40320 . C. 120 . D. 1728 .

(CTN - LẦN 1 - 2018) Từ các chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục?

A. 48 . B. 72 . C. 54 . D. 36 .

Câu 43. (ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 - 2018) Từ các chữ số 0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ,

hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 4 chữ số khác nhau mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ

số đằng trước?

A. 4536 . B. 2513. C. 126. D. 3913 .

Dạng 1.2.2 Bài toán chọn người (vật)

Câu 44.

Câu 45.

Câu 46.

Câu 47.

Câu 48.

(Mã 102 - BGD - 2019) Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là

5

2

2

2

A. 2 . B. C

5

. C. A

5

. D. 5 .

(Mã 103 - BGD - 2019) Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là

2

2

6

2

A. A

6

. B. C

6

. C. 2 . D. 6 .

(Mã đề 101 - BGD - 2019) Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là

7

2

2

2

A. 2 . B. A . C. C . D. 7 .

7

(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm 38 học

sinh?

38

2

2

2

A. 2 B. C

38

C. 38 D. A

38

(Mã đề 101-THPTQG 2018) Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh?

34

2

2

2

A. 2 . B. A . C. 34 . D. C .

34

Câu 49. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm 38

học sinh?

2

A. A .

38

B. 2 .

2

C. C .

2

D. 38 .

Câu 50.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

38

(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm hai phần

từ của M là

10

7

38

12

34

5

Câu 51.

Câu 52.

Câu 53.

A.

2

C

10

B.

2

10 C.

8

A

10

D.

(THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Một lớp có 48 học sinh. Số cách chọn 2 học sinh trực nhật

là

A. 2256 . B. 2304 . C. 1128 . D. 96 .

(THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Cần phân công ba bạn từ một tổ có 10 bạn để

làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau?

3

A. 720 . B. 10 . C. 120 . D. 210 .

(SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Một hộp đựng hai viên bi màu vàng và ba viên bi màu đỏ. Có

bao nhiêu cách lấy ra hai viên bi trong hộp?

A. 10. B. 20 . C. 5 . D. 6 .

Câu 54. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15

nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như

trên?

A. 2300. B. 59280. C. 455 D. 9880.

Câu 55.

(HKI-Chu Văn An-2017) Một hộp đựng 50 viên bi gồm 10 viên bi màu trắng, 25 viên bi màu đỏ

và 15 viên bi màu xanh. Có bao nhiêu cách chọn 8 viên bi trong hộp đó mà không có viên bi nào

màu xanh?

8

8 8

8

8 8

A. C . B. C + C . C. C . D. C − C .

50

10 25

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

35

2

A

10

50 15

Câu 56. (THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Số cách phân 3 học sinh trong 12 học sinh đi lao

động là

3

3

A. P

12

. B. 36. C. A

12

. D. C

12

.

Câu 57. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Có tất cả bao nhiêu cách chia 10 người thành hai

nhóm, một nhóm có 6 người và một nhóm có 4 người?

A. 210 . B. 120. C. 100. D. 140.

Câu 58. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Số cách chia 12 phần quà cho 3

bạn sao cho ai cũng có ít nhất hai phần quà là

A. 28 . B. 36 . C. 56 . D. 72 .

Câu 59. Từ một nhóm có 10 học sinh nam và 8 học sinh nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó

có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ?

3 2

3 2

3 2

3 2

A. C C . B. A A . C. A + A . D. C + C .

Câu 60.

Câu 61.

Câu 62.

Câu 63.

10 8

10 8

10 8

10 8

(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Một nhóm có 6 học sinh gồm 4 nam và 2 nữ. Hỏi có bao

nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó có cả nam và nữ.

A. 6 . B. 16 . C. 20 . D. 32.

(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Từ một tập gồm 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lí thuyết và 6 câu

bài tập, người ta tạo thành các đề thi. Biết rằng một đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất

một câu lí thuyết và 1 câu bài tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề khác nhau.

A. 100 . B. 36 . C. 96 . D. 60 .

(Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân. Có bao nhiêu

cách lập từ đó một tổ công tác 5 người gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3

công nhân làm tổ viên:

A. 420 cách. B. 120 cách. C. 252 cách. D. 360 cách.

(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả

chuối cho 9 cháu (mỗi cháu 1 quả). Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau?

A. 120 . B. 1260 . C. 9 . D. 24 .

6

Câu 64.

(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Tại một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham

dự, mỗi ông bắt tay với một người trừ vợ mình, các bà không ai bắt tay nhau. Hỏi có bao nhiêu cái

bắt tay.

A. 234 . B. 312 . C. 78 . D. 185 .

Câu 65. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3

người trong đó có ít nhất 1 nữ. Số cách chọn là

A. 48 . B. 46 . C. 15. D. 64 .

Câu 66. (HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Một lớp học có 30 học sinh gồm 20 nam, 10

nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 3 học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 1 học sinh là nữ.

A. 1140 . B. 2920 . C. 1900 . D. 900 .

Câu 67.

Câu 68.

Câu 69.

Câu 70.

Câu 71.

Câu 72.

Câu 73.

Câu 74.

Câu 75.

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Một hộp chứa 20 quả cầu

khác nhau trong đó có 12 quả đỏ, 8 quả xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được 3 quả trong đó có

ít nhất 1 quả xanh?

A. Đáp án khác. B. 220 . C. 900 . D. 920 .

(THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Từ một tập gồm 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu

lý thuyết và 6 câu bài tập, người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong một đề thi phải gồm

3 câu hỏi trong đó có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 câu hỏi bài tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu

đề như trên?

A. 60 . B. 96 . C. 36 . D. 100 .

(THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Ngân hàng đề thi gồm 15 câu hỏi trắc

nghiệm khác nhau và 8 câu hỏi tự luận khác nhau. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề thi sao cho

mỗi đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và 4 câu hỏi tự luận khác nhau.

10 4

10 4

10 4

10 4

A. C . C . B. C + C . C. A . A . D. A + A .

15 8

15 8

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

15 8

15 8

(HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ.

Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 4 em trực cờ đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu ít nhất phải có

một nam?

4 4

4

1 3

4 4

A. C − C (cách). B. C (cách). C. C C (cách). D. C + C (cách).

40 15

25

25 15

40 15

(THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Trong một buổi khiêu vũ có 20 nam và 18 nữ. Hỏi có bao

nhiêu cách chọn ra một đôi nam nữ để khiêu vũ?

2

2

2 1

1 1

A. C . B. A . C. C C . D. C C .

38

38

(THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Một nhóm gồm 6 học sinh nam và

7 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ đó ra 3 học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có

ít nhất một học sinh nam.

A. 245 . B. 3480 . C. 336 . D. 251.

(THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Có 10 quyển sách toán giống nhau, 11 quyển sách lý giống

nhau và 9 quyển sách hóa giống nhau. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng cho 15 học sinh có kết

quả thi cao nhất của khối A trong kì thi thử lần hai của trường THPT Lục Ngạn số 1, biết mỗi phần

thưởng là hai quyển sách khác loại?

7 3

6 4

3 4

2

A. C C . B. C C . C. C C . D. C .

15 9

15 9

(THPT THUẬN THÀNH 1) Có 6 học sinh lớp 12, 5 học sinh lớp 11 và 4 học sinh lớp 10. Số

cách chọn ra ra 4 học sinh có đủ cả ba khối là

A. 1365. B. 720. C. 280. D. 120.

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Đội ca khúc chính trị của trường THPT Yên lạc

2 gồm có 4 học sinh khối 12, có 3 học sinh khối 11 và 2 học sinh khối 10 . Chọn ngẫu nhiên 5

20 18

15 9

20 18

30

7

học sinh để biểu diễn tiết mục văn nghệ chào mừng ngày 20 /11. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao

cho khối nào cũng có học sinh được chọn.

A. 102. B. 126. C. 100. D. 98.

Câu 76. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4

viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu. Số cách chọn là:

A. 840 B. 3843 C. 2170 D. 3003

Câu 77. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Từ 20 câu trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7

câu trung bình và 4 câu khó.người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ 3 loại

dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra?

A. 176451. B. 176465. C. 176415. D. 6415.

Câu 78.

Câu 79.

Câu 80.

Câu 81.

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Đội thanh niên xung kích của một trường trung học phổ thông

có 10 người, gồm 4 học sinh lớp A , 3 học sinh lớp B , 3 học sinh lớp C . Hỏi có bao nhiêu cách

chọn ra 5 học sinh đi làm nhiệm vụ mà số học sinh lớp B bằng số học sinh lớp C ?

A. 36. B. 72. C. 144. D. 108.

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học

sinh nữ. Có bao nhiêu cách lập ra một đội văn nghệ gồm 6 người, trong đó có ít nhất 4 nam?

A. 412.803. B. 2.783.638. C. 5.608.890. D. 763.806.

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Một bó hoa có 14 bông hoa gồm: 3 bông màu

hồng, 5 bông màu xanh còn lại là màu vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 7 bông trong đó phải có

đủ ba màu?

A. 3058 . B. 3060 . C. 3432 . D. 129 .

(ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Một hộp đựng 26 tấm

thẻ được đánh số từ 1 đến 26 . Bạn Hải rút ngẫu nhiên cùng lúc 3 tấm thẻ. Hỏi có bao nhiêu cách

rút sao cho bất kì hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn hơn

kém nhau ít nhất hai đơn vị.

A. 1771. B. 1350. C. 1768. D. 2024 .

Câu 82. (HKI-Chu Văn An-2017) Một hộp chứa 16 quả cầu gồm sáu quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6 ,

năm quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và năm quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 5 . Hỏi có bao nhiêu

cách lấy ra từ hộp đó ba quả cầu vừa khác màu vừa khác số?

A. 60 . B. 72 . C. 150. D. 80 .

Câu 83.

Câu 84.

(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Trong hộp có 5 quả cầu đỏ và 7 quả cầu xanh kích

thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp. Hỏi có bao nhiêu khả năng lấy được số quả

cầu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh.

A. 245 . B. 3480 . C. 246 . D. 3360 .

(SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - 2018) Một trường cấp 3 của tỉnh Đồng Tháp có 8 giáo viên Toán

gồm có 3 nữ và 5 nam, giáo viên Vật lý thì có 4 giáo viên nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra

một đoàn thanh tra công tác ôn thi THPTQG gồm 3 người có đủ 2 môn Toán và Vật lý và phải có

giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn?

A. 60 (cách). B. 120 (cách). C. 12960 (cách). D. 90 (cách).

Câu 85. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4

học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội

văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học

sinh được chọn?

A. 120 . B. 98 . C. 150 . D. 360 .

Câu 86.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Trong kho đèn trang trí đang

còn 5 bóng đèn loại I, 7 bóng đèn loại II, các bóng đèn đều khác nhau về màu sắc và hình dáng.

8

Câu 87.

Câu 88.

Lấy ra 5 bóng đèn bất kỳ. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng

đèn loại II?

A. 246 . B. 3480 . C. 245 . D. 3360 .

(THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật khác nhau cho 3 người sao

cho có một người được 2 đồ vật và hai người còn lại mỗi người được ba đồ vật?

2 3

2 3

2 3

2 3

A. 3!C C . B. C C . C. A A . D. 3C C .

8 6

8 6

(THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học

sinh nam. Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ

là?

A. 545 . B. 462 . C. 455 . D. 456 .

Câu 89. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Có 15 học sinh giỏi gồm 6 học sinh khối 12,

4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi

khối có ít nhất 1 học sinh?

A. 4249 . B. 4250 . C. 5005 . D. 805 .

Câu 90. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Bình A chứa 3 quả cầu xanh, 4

quả cầu đỏ và 5 quả cầu trắng. Bình B chứa 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ và 6 quả cầu trắng.

Bình C chứa 5 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng. Từ mỗi bình lấy ra một quả cầu.

Có bao nhiêu cách lấy để cuối cùng được 3 quả có màu giống nhau.

A. 180 . B. 150 . C. 120 . D. 60 .

Câu 91.

(THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tổ 1 lớp 11A có 6 học sinh nam và 5 học

sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 4 học sinh của tổ 1 để lao động vệ sinh cùng cả trường.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam?

A. 600 . B. 25 . C. 325 . D. 30 .

Câu 92. (CỤM CHUYÊN MÔN 4 - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Một tổ có 5 bạn học sinh nam và 6

bạn học sinh nữ.Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 em đi trực nhật.Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh

để có cả nam và nữ?

A. 325 . B. 415 . C. 810 . D. 135 .

Dạng 1.2.3 Bài toán liên quan đến hình học

Câu 93.

(HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Trong một đa giác lồi n cạnh, số đường chéo

của đa giác là.

2

2

2

2

A. C . B. A . C. A − n . D. C − n .

n

n

Câu 94. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho một đa giác đều có 10 cạnh. Có bao nhiêu tam giác có 3

đỉnh thuộc các đỉnh của đa giác đã cho.

A. 720 . B. 35. C. 120. D. 240 .

Câu 95.

Câu 96.

Câu 97.

Câu 98.

(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho 8 điểm, trong đó không

có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 8 điểm trên ?

A. 336 . B. 56. C. 168. D. 84 .

(SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số đường chéo của đa giác đều có 20 cạnh là bao nhiêu?

A. 170. B. 190. C. 360. D. 380.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Lục giác đều ABCDEF có

bao nhiêu đường chéo

A. 15 . B. 5 . C. 9 . D. 24 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

(QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng

phân biệt là

8 6

n

n

8 6

9

A. 50. B. 100. C. 120. D. 45 .

Câu 99. (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 10

điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số tam giác có 3 điểm đều thuộc P là

3

3

3

7

A. 10 . B. A

10

. C. C

10

. D. A

10

.

Câu 100. (THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018) Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Số tam giác được tạo nên từ

các đỉnh này là

3

3

3

3

A. A . B. 3!C . C. 10 . D. C .

20

20

Câu 101. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho 20 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn. Hỏi

có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các điểm này?

A. 8000. B. 6480. C. 1140. D. 600.

Câu 102. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Trong không gian cho 20

điểm trong đó không có 4 điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu cách tạo

mặt phẳng từ 3 điểm trong 20 điểm trên?

A. 190 . B. 6840 . C. 380 . D. 1140 .

Câu 103. (NGÔ GIA TỰ_VĨNH PHÚC_LẦN 1_1819) Trên đường tròn tâm O cho 12 điểm phân biệt. Từ

các điểm đã cho có thể tạo được bao nhiêu tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O?

4

4

A. C . B. 3. C. 4!. D. A .

12

Câu 104. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2018-2019) Cho đa giác đều có 2018 đỉnh. Hỏi có bao

nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho?

4

4

2

2

A. C

2018

. B. C

1009

. C. C

2018

. D. C

1009

.

Câu 105. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba

điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm

đã cho?

3

4

3

3

A. 6 . B. 3 . C. A . D. C .

Câu 106. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Có hai đường thẳng song song

d′ lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi số tam giác có

( d ) và ( d′ ) . Trên ( d ) lấy 15 điểm phân biệt, trên ( )

3 đỉnh là 3 trong 24 điểm trên là bao nhiêu?

A. 1485 . B. 540 . C. 1548 . D. 950 .

Câu 107. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Cho đa giác đều 36 đỉnh. Hỏi

có bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 36 đỉnh của đa giác đều?

A. 306. B. 153. C. 9 . D. 58905.

Câu 108. (NGÔ GIA TỰ LẦN 1_2018-2019) Trên đường tròn tâm O cho 12 điểm phân biệt. Từ các điểm

đã cho có thể tạo được bao nhiêu tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O ?

4

4

A. C . B. 3 . C. 4!. D. A .

12

Câu 109. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Cho hai đường thẳng d

1

và d

2

song song với nhau.

Trên d

1

lấy 5 điểm phân biệt, trên d

2

lấy 7 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các

đỉnh của nó được lấy từ các điểm trên hai đường thẳng d

1

và d

2

.

A. 220 . B. 175 . C. 1320 . D. 7350 .

Câu 110. (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh AB , BC ,

CD , DA lần lượt lấy 1, 2 , 3 và n điểm phân biệt 3 n∈N khác A , B , C , D . Tìm n biết

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

6

n ≥ ( )

số tam giác lấy từ n + 6 điểm trên là 439 .

A. n = 20.

B. n = 12.

C. n = 8.

D. n = 10.

20

12

6

12

10

Câu 111. (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho một đa giác lồi (H) có

10 cạnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó là ba đỉnh của (H), nhưng ba cạnh không

phải ba cạnh của (H)?

A. 40. B. 100. C. 60. D. 50.

Câu 112. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho hai đường thẳng song song. Trên đường

thẳng thứ nhất ta lấy 20 điểm phân biệt. Trên đường thẳng thứ hai ta lấy 18 điểm phân biệt. Hỏi có

bao nhiêu tam giác được tạo thành từ ba điểm trong các điểm nói trên?

2 2

3 3

3

3 3

A. 18C

+ 20C

. B. 20C

+ 18C

. C. C . D. C . C .

20 18

18 20

Câu 113. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho một đa giác đều 40 đỉnh A1 A2 ... A

40

nội

O . Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 40 đỉnh trên gấp bao nhiêu lần số hình chữ

tiếp đường tròn ( )

nhật có các đỉnh là 4 trong 40 đỉnh trên?

A. 20. B. 4 . C. 52 . D. 40 .

37

Câu 114. Có hai đường thẳng song song ( d ) và ( d′ ) . Trên ( )

( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

38

20 18

d lấy 15 điểm phân biệt, trên

d′ lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 24 điểm trên là bao nhiêu?

A. 1485 . B. 540 . C. 1548 . D. 950 .

Câu 115. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Cho một tam giác, trên ba cạnh của nó lấy 9 điểm

như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu tam giác có ba đỉnh thuộc 9 điểm đã cho?

A. 79 . B. 48 . C. 55 . D. 24 .

Câu 116. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN 2 - 2018) Cho một đa giác đều n

n ≥ 2, n∈N . Tìm n biết số hình chữ nhật được tạo ra từ bốn đỉnh trong số 2n đỉnh của đa

đỉnh ( )

giác đó là 45 .

A. n = 12 . B. n = 10 . C. n = 9 . D. n = 45 .

Câu 117. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Có 10 đội bóng thi đấu theo thể

thức vòng tròn một lượt, thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm. Kết thúc giải đấu, tổng

cộng số điểm của tất cả 10 đội là 130 . Hỏi có bao nhiêu trận hòa?

A. 7 . B. 8 . C. 5 . D. 6 .

Câu 118. (XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho đa giác đều A1 A2 A3 ….

A30

nội tiếp trong

đường tròn ( )

C 2

O . Tính số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 30 đỉnh của đa giác đó.

A. 105. B. 27405 . C. 27406 . D. 106.

Câu 119. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Cho đa giác đều 100 nội tiếp một đường tròn.

Số tam giác từ được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là:

A. 44100 . B. 78400 . C. 117600 . D. 58800 .

C 3

C 1

B 2

A 1

A 2

A 3

A 4

B 1

11

Câu 120. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Một đa giác lồi có 10 cạnh, xét các tam giác mà 3 đỉnh

là đỉnh của đa giác. Hỏi trong số các tam giác này có bao nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh đều không

phải là cạnh của đa giác?

A. 60 . B. 70 . C. 120 . D. 50 .

Câu 121. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Trên mặt phẳng có 2017 đường

thẳng song song với nhau và 2018 đường thẳng song song khác cùng cắt nhóm 2017 đường thẳng

đó. Đếm số hình bình hành nhiều nhất được tạo thành có đỉnh là các giao điểm nói trên.

4 4

A. 2017.2018. B. C + C C. 2 2

C . C . D. 2017 + 2018.

2017 2018 .

2017 2018

Câu 122. (THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho đa giác lồi có 40 cạnh.

Mỗi đoạn thẳng đi qua hai đỉnh bất kì của nó mà không phải là cạnh được gọi là một đường chéo

của nó. Số giao điểm nằm bên trong đa giác (không trùng với đỉnh) được tạo ra do các đường chéo

của nó cắt nhau nhiều nhất là bao nhiêu?

A. 91390 . B. 273430 . C. 740 . D. 1520 .

Dạng 1.3 Chỉ sử dụng A

Dạng 1.3.1 Bài toán đếm số (tập số, tập hợp)

Câu 123. (THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Cho tập M = { 1;2;3;4;5;6;7;8;9 }

gồm 4 chữ số phân biệt lập từ M là.

4

A. 4!. B. A . C.

9

9

4 . D.

. Số các số tự nhiên

Câu 124. Từ các chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?

2

A. C B. 2

2

7 . C. A D. 7

2 .

7 .

Câu 125. (THPTQG 2018 - MÃ ĐỀ 104) Từ các chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 lập được bao nhiêu số tự

nhiên gồm hai chữ số khác nhau?.

8

2

2

2

A. 2 . B. C . C. A . D. 8 .

8

Câu 126. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số có bốn chữ số

khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,3, 4,5?

A.

4

A

5

. B.

5

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

7 .

8

C .

4

P . C. C

5

. D. P

4

.

Câu 127. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Tính số chỉnh hợp chập 4 của

7 phần tử?

A. 24 . B. 720 . C. 840 . D. 35 .

Câu 128. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác 0 và đôi một

khác nhau?

5

5

5

A. 5!. B. 9 . C. C . D. A .

Câu 129. (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Cho tập hợp S = { 1;2;3;4;5;6 }

9

4

9

9

. Có thể lập được bao

nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau lấy từ tập hợp S ?

A. 360 . B. 120 . C. 15. D. 20 .

Câu 130. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số, các chữ số

khác nhau và đều khác 0 ?

2

2

2

A. 90 . B. 9 . C. C . D. A .

Câu 131. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Từ tập { 2,3,4,5,6 }

nhiêu số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau?

A. 60 . B. 125 . C. 10. D. 6 .

9

9

X = có thể lập được bao

12

Câu 132. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho tập A = { 1,2,3,5,7,9 } . Từ tập A có thể lập được

bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau?

A. 720 . B. 360 . C. 120 . D. 24 .

Câu 133. (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số chỉnh hợp chập 2 của 10

phần tử của M là

2

10

2

10

A. A

10

. B. C

2

. C. C

10

. D. A

2

.

Câu 134. Tính số các chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử.

A. 21. B. 2520 . C. 5040 . D. 120 .

Câu 135. (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6 .

Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?

A. 216 . B. 120 . C. 504 . D. 6 .

Câu 136. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Tính số các chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử.

A. 35 . B. 24 . C. 720 . D. 840 .

Câu 137. (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 có thể lập được tất

cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau

3

A. C B. A 3

C. 9!. D. A 3 − A 2

9 .

9 .

9 8 .

Câu 138. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số các số gồm 5 chữ số khác

nhau chia hết cho 10 là

A. 5436 . B. 3024 . C. 3260 . D. 12070 .

Câu 139. (KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Từ các chữ số

1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau?

3

9

3

9

A. C . B. A . C. 9!. D.

3 2

A9 − A8

.

Câu 140. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 1 - 2018) Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5,6 có thể lập được bao

nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

A. 15 . B. 4096 . C. 360. D. 720 .

Câu 141. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên không chia hết cho 5, gồm 4 chữ số khác nhau?

A. 120. B. 72. C. 69. D. 54.

Câu 142. (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác

nhau.

A. 500. B. 405. C. 360. D. 328.

Câu 143. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Từ các số 0;1;2;3;5có thể lập thành bao nhiêu số

tự nhiên không chia hết cho 5 gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

A. 120. B. 54. C. 72 . D. 69 .

Câu 144. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho tập hợp A = { 0;1;2;3;4;5}

. Có thể lập

được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và lớn hơn 350?

A. 32 . B. 40 . C. 43. D. 56 .

Câu 145. (Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau,

sao cho trong mỗi số đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0?

A. 7056 . B. 120 . C. 5040 . D. 15120 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 146. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số có

4 chữ số đôi một khác nhau?

A. 2520 . B. 50000 . C. 4500 . D. 2296 .

13

Câu 147. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 5 có thể lập được bao

nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 ?

A. 72 . B. 120 . C. 54 . D. 69 .

Câu 148. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Từ các chữ số của tập hợp { }

0; 1; 2; 3; 4; 5 , có thể lập được

bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0

?

A. 504 . B. 480 . C. 720 . D. 120 .

Câu 149. (THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 . Từ các

chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và các chữ số phải khác nhau.

A. 160. B. 156. C. 752 . D. 240 .

Câu 150. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKI I - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác

nhau.

A. 648 B. 1000 C. 729 D. 720

Câu 151. (THPT HÒA VANG - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho tập hợp A = { 0;1;2;3;4;5;6;7}

. Hỏi từ tập A

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho một trong 3 chữ

số đầu tiên phải bằng 1.

A. 2802 . B. 2280 . C. 65. D. 2520 .

Câu 152. (SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?

A. 500 . B. 328 . C. 360 . D. 405 .

Câu 153. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho 5 chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 6 . Lập các số tự

nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số đã cho. Tính tổng của các số lập được.

A. 12321. B. 21312 . C. 12312 . D. 21321.

Câu 154. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có bẩy chữ số khác

nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 .

A. 3204 số. B. 249 số. C. 2942 số. D. 7440 số.

Câu 155. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao

nhiêu số có ba chữ số khác nhau nằm trong

300;500

khoảng ( )

A. 24 . B. 25 . C. 23. D. 22 .

Câu 156. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5,6 có thể lập được bao

nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho có 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau.

A. 360. B. 144. C. 252 . D. 108.

Dạng 1.3.2 Bài toán chọn người (vật)

Câu 157. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra

2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó.

2

2

8

2

A. A

10

. B. C

10

. C. A

10

. D. 10 .

Câu 158. [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua

bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp

thứ tự 5 cầu thủ trong 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hỏi huấn luyện viên của mỗi đội

sẽ có bao nhiêu cách chọn?

A. 55440 . B. 120 . C. 462 . D. 39916800 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 159. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Một câu lạc bộ có 25 thành viên. Số cách chọn

một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch và 1 thư kí là:

14

A. 13800 . B. 5600 . C. Một kết quả khác. D. 6900 .

Câu 160. (THPT THÁI PHIÊN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Trong một lớp có 30 bạn học sinh, hỏi

có bao nhiêu cách chọn ra một bạn để làm lớp trưởng và một bạn khác làm lớp phó?

2

28

2

2

A. 30 B. A C. A D. C

30

Câu 161. (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Một câu lạc bộ có 25 thành viên. Số cách chọn một ban

quản lí gồm 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch và 1 thư ký là

A. 5600 . B. 13800. C. 6900 . D. Kết quả khác.

Câu 162. (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Một nhóm học sinh có 10 người. Cần chọn 3 học

sinh trong nhóm để làm 3 công việc là tưới cây, lau bàn và nhặt rác, mỗi người làm một công việc.

Số cách chọn là

3

3

3

A. 10 . B. 3× 10 . C. C . D. A .

Câu 163. (CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Số cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào 6 trong 10 ghế trên một

hàng ngang là

10

6

6

A. 6 . B. 6!. C. A . D. C .

Câu 164. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Lớp 11A có 38 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra

3 bạn học sinh để sắp xếp làm Lớp trưởng, Lớp phó và Thư kí. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra như

vậy?

A. 50616. B. 8436 . C. 114 . D. 41.

Câu 165. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ từ 11 trong

một đội bóng để thực hiện đá 5 quả luân lưu 11 m , theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm.

5

5

2

A. A

11

. B. C

11. C. A .5!.

D. 5

11

C

10

.

Dạng 1.3.3 Bài toán liên quan đến hình học

Câu 166. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho tứ diện ABCD . Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 mà mỗi

vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD

A. 12 . B. 4 . C. 10 . D. 8.

Câu 167. (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Cho lục giác ABCDEF.

Có bao nhiêu vectơ khác

vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác trên.

2

6

2

2

A. 6 . B. 2 . C. C . D. A .

Dạng 2. Bài toán kết hợp hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp

Dạng 2.1 Bài toán đếm số (tập số)

Câu 168. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập

được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt trong đó có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn?

A. 144. B. 432. C. 696. D. 840.

Câu 169. (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5,6 lập được bao nhiêu

số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó luôn có mặt hai chữ số 1 và 6.

A. 408. B. 720. C. 480. D. 120.

Câu 170. (HKI-Chu Văn An-2017) Từ các chữ số của tập hợp { }

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

30

10

10

6

30

10

0;1;2;3;4;5 , có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 ?

A. 120. B. 504. C. 720 . D. 480 .

Câu 171. (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số sao cho

trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5 ?

15

10

6

1 2 2 3 4

A. 1+ 4C + 2017C + 2 A + C + C .

2017 2017 2017 2017 2017

2 3 4 5

B. 1+ 2C + 2C + C + C .

2018 2018 2018 2018

2 3 4 5

C. 1+ 2A + 2 A + A + C .

2018 2018 2018 2017

D. 1 2 2( ) ( )

+ A + C + A + C + A + C .

2 2 2 3 3 4

2018 2017 2017 2017 2017 2017

Câu 172. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0 ,

không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần.

A. 786240 . B. 846000 . C. 907200 . D. 151200 .

Câu 173. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Từ các chữ số của tập { 0;1;2;3;4;5;6;7}

A = lập

được bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần, các chữ số còn

lại đôi một khác nhau?

A. 31203. B. 12600. C. 181440. D. 27000

Câu 174. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Một nhóm 6 bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các

bạn mua 6 vé gồm 3 vé mang số ghế chẵn, 3 vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số.

Trong sáu bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại

không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó?

A. 36 . B. 180 . C. 72 . D. 18.

Câu 175. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0 ,

không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần.

A. 786240 . B. 846000 . C. 907200 . D. 151200 .

Câu 176. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Từ tập { 1;2;3;4;5 }

A = có thể lập được bao nhiêu số

có 8 chữ số sao cho chữ số 2 xuất hiện 4 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần.

A. 120. B. 840 . C. 576. D. 1680.

Câu 177. (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018

chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5 ?

1+ 4C 1 + 2 C 2 + A 2 + C 3 + A 2 + C 2 + C

4 .

A. ( ) ( )

2017 2017 2017 2017 2016 2016 2017

2 3 4 5

B. 1+ 2C + 2C + C + C .

2018 2018 2018 2018

2 3 4 5

C. 1+ 2A + 2 A + A + C .

2018 2018 2018 2017

D. 1 2 2( ) ( )

+ A + C + A + C + A + C .

2 2 2 3 3 4

2018 2017 2017 2017 2017 2017

Dạng 2.2 Bài toán chọn người (vật)

Câu 178. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác

nhau. Người ta muốn chọn từ đó 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư đó ấy lên 3 bì thư đã chọn,

mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?

A. 1200. B. 1800. C. 1000. D. 200.

Câu 179. (THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018) Có bao nhiêu cách

cắm 3 bông hoa có khác nhau vào 5 lọ khác nhau sao cho mỗi lọ cắm không quá một bông?

3

3

2

A. A . B. 3!. C. C . D. A .

5

Câu 180. (THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A , B , C .

Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ 9 người đó ngồi trên một hàng ngang có 9 chỗ sao cho mỗi thầy

giáo ngồi giữa hai học sinh.

A. 4320 . B. 90 . C. 43200 . D. 720 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

5

5

16

Câu 181. (HKI-Chu Văn An-2017) Một nhóm 6 bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua 6

vé gồm 3 vé mang số ghế chẵn, 3 vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong 6

bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có

yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó?

A. 72 . B. 36 . C. 18 . D. 180 .

Câu 182. (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Có bao nhiêu cách chia hết 4 đồ vật

khác nhau cho 3 người, biết rằng mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật.

A. 36 B. 18 C. 12 D. 72

Câu 183. Một Thầy giáo có 10 cuốn sách Toán đôi một khác nhau, trong đó có 3 cuốn Đại số, 4 cuốn Giải

tích và 3 cuốn Hình học. Ông muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh sao cho sau khi tặng mỗi

loại sách còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng.

A. 24412 B. 23314. C. 32512. D. 24480.

Câu 184. (Sở GD&ĐT Hà Nội - Lần 1 - 2018 - BTN) Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có

ba chữ số 0 , không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều

nhất một lần.

A. 786240 . B. 846000 . C. 907200. D. 151200.

Câu 185. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người,gồm 12 nam và 3 nữ.Hỏi có bao nhiêu cách phân công

đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ?

A. 12141421. B. 5234234. C. 4989600. D. 4144880

Câu 186. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Có hai học sinh lớp A , ba học sinh lớp B và bốn học

sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp

B . Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy ?

A. 80640 . B. 108864 . C. 145152 . D. 217728 .

Câu 187. (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Có bao nhiêu cách chia hết 4 đồ vật khác nhau cho 3

người, biết rằng mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật?

A. 72 . B. 12 . C. 36 . D. 18 .

Câu 188. Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một

đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu

cách lập đội cờ đỏ.

A. 141666. B. 241561. C. 111300. D. 131444.

Câu 189. Ông và bà An cùng có 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp

hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng:

A. 720 . B. 1440. C. 18720. D. 40320 .

Dạng 2.3 Bài toán liên quan đến hình học

Câu 190. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Bé Minh có một bảng hình chữ nhật gồm 6 hình

vuông đơn vị, cố định không xoay như hình vẽ. Bé muốn dùng 3 màu để tô tất cả các cạnh của các

hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi đúng 2 màu,

trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Hỏi bé Minh có tất cả bao nhiêu cách tô màu bảng?

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

A. 4374 . B. 139968 . C. 576 . D. 15552 .

17

Câu 191. (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI - 2018) Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi

có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn 100° ?

3

3

3

3

A. 2018.C . B. C . C. 2018.C . D. 2018.C .

897

1009

Dạng 3. Giải phương trình, bất phương trình, hệ liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Câu 192. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa

mãn k ≤ n , mệnh đề nào dưới đây đúng?

k n!

k

k! ( n − k )!

k n!

k n!

A. Cn

=

B. Cn

= C. Cn

=

D. Cn

=

n − k !

n!

k! n − k !

k !

( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

895

( )

Câu 193. (Chuyên Phan Bội Châu-lần 1-2018-2019) Với n là số nguyên dương tùy ý lớn hơn 1, mệnh đề

nào dưới đây đúng?

2

2

n( n−2)

2

2

A. An

= n( n− 1)

. B. An

= . C. An

= 2n

. D. An

= n!. ( n− 2 )!.

2

Câu 194. (Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n

, mệnh đề nào dưới đây đúng?

k n!

k n!

k

k n!

A. An

= . B. An

= . C. An

= n!

. D. An

= .

n − k !

k!

k! n + k !

( )

Câu 195. Cho n,

k là những số nguyên thỏa mãn 0 ≤ k ≤ n và n ≥1. Tìm khẳng định sai.

A. = n

k n−k

k n!

Pn

A

n

. B. Cn

= C

n

. C. An

=

k !

. D. . k

= k

Pk Cn A

n

.

896

( )

Câu 196. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

k n!

k n!

k n!

k

k! ( n − k )!

A. Cn

= . B. Cn

= . C. Cn

= . D. Cn

= .

k! n − k !

k !

n − k !

n!

( )

( )

Câu 197. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n , mệnh đề nào dưới đây đúng?

k

k n!

k n!

k An

−

A. Cn

= . B. An

= . C. Cn

= . D. C = C 1 + C

( n − k)!

k!( n − k)!

k !

Câu 198. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Nghiệm của phương trình A

A. x = − 1 . B. x = 3 . C. x = −1

và x = 3 . D. x = 1 .

k k k

.

n−1 n−1 n−1 − A = 3 là

2 1

x x

3 2

Câu 199. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Nghiệm của phương trình 2x + Cx = A

x + 1

là

A. x = 9 . B. x = 8 . C. x = 11. D. x = 10 .

2 3 *

Câu 200. (HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Biết An

Cn

50( n )

là

A. 4. B. 5. C. 6. D. 7

+ = ∈ N , khi đó giá trị của n

Câu 201. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Tính tổng tất cả các số nguyên

2 2

dương n thỏa mãn A − 3C = 15 − 5n

.

n

n

A. 13. B. 10. C. 12. D. 11.

Câu 202. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Số các số nguyên dương n thỏa mãn

3 3

6n − 6 + Cn = C

n + 1

là

A. 0 . B. 1. C. 2 . D. Vô số.

18

Câu 203. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 1 - 2018) Cho tập A gồm n điểm phân biệt trên mặt

phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Tìm n sao cho số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3

điểm thuộc A gấp đôi số đoạn thẳng được nối từ 2 điểm thuộc A .

A. n = 6.

B. n = 12.

C. n = 8.

D. n = 15.

3 x−2

Câu 204. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Giải phương trình Ax

+ Cx

= 14x

.

A. Một số khác. B. x = 6 . C. x = 5. D. x = 4 .

3 2

Câu 205. (THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn A + 5A = 2( n + 15)

?

A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.

Câu 206. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Tính giá trị

2 3

4 2

k

M = A + 3A

, biết rằng C = 20C

(với n là số nguyên dương, A là số chỉnh hợp chập k

n−15 n−14

n

n

k

của n phần tử và C

n

là số tổ hợp chập k của n phần tử).

A. M = 78 . B. M = 18 . C. M = 96 . D. M = 84 .

Câu 207. (THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho số tự nhiên n thỏa mãn

3 2

3C − 3A = 52 n − 1 . Hỏi n gần với giá trị nào nhất:

n+ 1

n

( )

A. 11. B. 12 . C. 10 . D. 9 .

Câu 208. (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tập hợp tất cả nghiệm thực của phương trình

2 1

A − A = 3 là

x

x

A. { − 1}

. B. { 3 } . C. { − 1;3}

. D. { }

Câu 209. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Cho số tự nhiên n thỏa mãn

2 2

Cn

+ An

= 9n

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. n chia hết cho 7 . B. n chia hết cho 5 . C. n chia hết cho 2 . D. n chia hết cho 3 .

n ≥ 4 . Tìm n để

Câu 210. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Cho đa giác đều có n cạnh ( )

đa giác có số đường chéo bằng số cạnh ?

A. n = 5 . B. n = 16 . C. n = 6 . D. n = 8 .

Câu 211. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Tổng của tất cả các số tự nhiên n thỏa

1 1 7

mãn − =

1 2 1

Cn Cn+ 1

6Cn+

4

là:

A. 13 . B. 11. C. 10 . D. 12 .

Câu 212. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C

A. n = 14 . B. n = 17 . C. n = 20 . D. n = 15.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

n

1 .

n

= 5A

.

n 3

n+ 5 n+

3

Câu 213. (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho các số tự nhiên m , n thỏa mãn đồng

2

n n 2

thời các điều kiện C

m

= 153 và Cm

= C +

m

. Khi đó m + n bằng

A. 25 . B. 24 . C. 26 . D. 23.

1 1 1

Câu 214. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Tính tổng S = + + ⋯ + .

2 2 2

A2 A3 A2019

2018

2017

A. S = 2018 . B. S = . C. S = 2017 . D. S = .

2019

2018

Câu 215. (THPT YÊN KHÁNH A - LẦN 2 - 2018) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C

A. 13. B. 14 C. 15. D. 16.

= C .

7 8

n n

19

Câu 216. Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) ( ) 3 n n n

2 3

n! C . C . C ≤ 720 .

n n n

A. n = 0,1,2 . B. n = 0,2,3 . C. n = 2,3,4 . D. n = 1,2,3 .

4

Câu 217. Tìm số nguyên dương n sao cho: P . A < 15P .

n− 1 n+ 4 n+

2

A. 6,8,2. B. 7,8,9 . C. 3, 4,5 . D. 5,6,7 .

Px

+ 5

k + 2

Câu 218. Giải bất phương trình sau: ≤ 60Ax

+ 3

.

( x − k)!

A. ( x; k ) = (1;0),(1;1),(2;2),(3;3) . B. ( x; k ) = (1;0),(1;1),(2;2),(3;3) .

C. ( x; k ) = (0;0),(1;1),(3;3) . D. ( x; k ) = (0;0),(1;0),(2;2) .

2

Cn+ 1

3

Câu 219. Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) ≥ n .

2

Cn

10

A. 0 ≤ n ≤ 2 . B. 1≤

n ≤ 5 . C. 2 ≤ n ≤ 5 . D. 2 ≤ n < 4 .

y+

1 y

Cx+ 1

= Cx+

1

Câu 220. Giải hệ phương trình sau:

y+ 1 y−1

3C x+ 1

= 5C .

x+

1

A. x = 6; y = 3. B. x = 2; y = 1. C. x = 2; y = 5 . D. x = 1; y = 3.

3 n−1

Câu 221. Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) + < ( + )

An

+ 1

Cn+

1

14 n 1 .

A. 2 ≤ n ≤ 5 . B. 0 ≤ n ≤ 2 . C. 1≤

n ≤ 5 . D. 2 ≤ n < 4 .

n−1 n 5 2

Câu 222. Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) Cn+ 2

+ Cn+

2

> A

n

.

2

A. n ≥ 2 . B. n ≥ 3 . C. n ≥ 5 . D. n ≥ 4 .

1 2 2 6 3

Câu 223. Giải bất phương trình sau: A2

x

− Ax ≤ Cx

+ 10 .

2 x

A. 3 ≤ x ≤ 4 . B. 3 ≤ x . C. x ≤ 4 . D. x > 4, x < 3.

x x

2Ay

+ 5C

y

= 90

Câu 224. Giải hệ phương trình sau:

.

x x

5Ay

− 2Cy

= 80

A. x = 1; y = 3. B. x = 1; y = 5. C. x = 2; y = 1. D. x = 2; y = 5 .

Câu 225. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Trên đường thẳng d

1

cho 5 điểm

phân biệt, trên đường thẳng d

2

song song với đường thẳng d

1

cho n điểm phân biệt. Biết có tất cả

175 tam giác được tạo thành mà 3 đỉnh lấy từ ( 5)

n + điểm trên. Giá trị của n là

A. n = 10 . B. n = 7 . C. n = 8 . D. n = 9 .

Câu 226. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Một đa giác có số đường chéo

gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

A. 5 . B. 7 . C. 8 . D. 6 .

Câu 227. Trong một lớp có ( 2 3)

học sinh này vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến ( 2n + 3)

n + học sinh gồm An, Bình, Chi cùng 2n học sinh khác. Khi xếp tùy ý các

, mỗi học sinh ngồi một ghế thì xác

17

suất để số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là . Số học sinh của

1155

lớp là

A. 27 . B. 25 . C. 45 . D. 35.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

20

Phần B. Lời giải tham khảo

Dạng 1. Bài toán chỉ sử dụng P hoặc C hoặc A

Dạng 1.1 Chỉ sử dụng P

Dạng 1.1.1 Bài toán đếm số

Câu 1. Số cách lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là số hoán vị của 6 phần tử,

do đó có 6! = 720

Câu 2. Số các số tự nhiên có 4 chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã cho là: 4! = 24 số.

Câu 3.

Mỗi số tự nhiên tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập A là hoán vị của 4 phần tử.

Vậy có 4! = 24 số cần tìm.

Câu 4. Mỗi số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2 , 3 , 4 , 5 là một hoán vị của 5

phần tử đó. Nên số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là P

5

= 5! = 120 (số).

Câu 5. Mỗi cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một hoán vị của 5 phần tử.

Vậy có 5! = 120 số cần tìm.

Câu 6. Số các hoán vị của 10 phần tử: 10!.

Câu 7. Chọn C

Lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, ta tìm được: 6! số.

Lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau nhưng bắt đầu bằng 12, ta tìm được: 4! số.

Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau không bắt đầu bởi 12 là 6! − 4! = 696 số.

Câu 8. Số các số có 6 chữ số được lập từ các chữ số 0 , 2 , 3 , 5 , 6 , 8 là 6! − 5! .

Số các số có chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau: 2.5! − 4! .

6! −5! − 2.5! − 4! = 384 .

Số các số có chữ số 0 và 5 không đúng cạnh nhau là: ( )

Câu 9. Gọi số cần tìm là: abcd (với b, c, d∈ { 0;1;2;3;4;5 } , a∈ { 1;2;3;4;5 } ).

Trường hợp 1:

Chọn d = 0 , nên có 1 cách chọn.

Chọn a ∈ {1,2,3,4,5 } nên có 5 cách chọn.

Chọn b có 4 cách chọn.

Chọn c có 3 cách chọn.

Suy ra, có 1.5.4.3 = 60 số.

Trường hợp 2:

d ∈ 2,4 , nên có 2 cách chọn.

Chọn { }

Chọn a ≠ 0 nên có 4 cách chọn.

Chọn b có 4 cách chọn.

Chọn c có 3 cách chọn.

Suy ra, có 2.4.4.3 = 96 số.

Vậy có tất cả: 60 + 96 = 156 số.

Câu 10.

Lời giải

Chọn D

6!

Số cách xếp sáu chữ số thành hàng một cách tùy ý là 180

2!.2! = .

*) Tìm số cách xếp sáu chữ số sao cho có hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau

4!

+) TH1: Số cách xếp sao cho có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau 5. 60

2! = .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

21

4!

+) TH2: Số cách xếp sao cho có hai chữ số 2 đứng cạnh nhau 5. 60

2! = .

+) TH3: Số cách xếp sao cho có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau và hai chữ số 2 đứng cạnh nhau

-) Nếu hai chữ số 1 ở vị trí (1; 2) và (5;6) ta có số cách xếp là 2.3.2 = 12 .

-) Nếu hai chữ số 1 ở ba vị trí còn lại thì số các xếp là 3.2.2 = 12 .

Vậy số cách xếp hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau là 60 + 60 −12 − 12 = 96 .

Số cách xếp không có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau là 180 − 96 = 84 .

Câu 11. Chọn A

3

Trường hợp 1: 3 chữ số đều lẻ. Có A

5

= 60 số thỏa mãn.

Trường hợp 2: số đó gồm 2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ

2

- Chọn 2 chữ số chẵn khác nhau có C

5

= 10 cách.

- Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách.

- Từ 3 số đã chọn đó lập được 3! = 6 số.

Do đó có 10.5.6 = 300 dãy gồm 3 chữ số phân biệt, trong đó có 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ kể cả

chữ số 0 đứng đầu.

Xét dãy số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng 0

- Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách.

- Chọn 1 chữ số chẵn khác chữ số 0 có 4 cách.

Vậy có 4.5.2! = 40 số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng

0.

Do đó có 60 + 300 − 40 = 320 số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ.

Câu 12. Gọi a1a2 a3a4a5a 6

là số cần tìm

Ta có a ∈ { } và ( a a a ) ( a a a )

6

1;3;5

Với

6

1

Với

6

3

Với

6

5

1

+

2

+

3

−

4

+

5

+

6

= 1

a = thì ( a a a ) ( a a )

1

+

2

+

3

−

4

+

5

= 2

a = thì ( a a a ) ( a a )

1

+

2

+

3

−

4

+

5

= 4

a = thì ( a a a ) ( a a )

1

+

2

+

3

−

4

+

5

= 6

Mỗi trường hợp có 3!.2! = 12 số thỏa mãn yêu cầu

∈{ }

{ }

a1, a2, a3

2,3,6

a4, a5

∈ 4,5

∈{ }

{ }

a1 , a2, a3

2;4;5

a4, a5

∈ 1,6

∈{ }

{ }

a1, a2, a3

2,3,6

a4, a5

∈ 1, 4

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

hoặc

hoặc

hoặc

∈{ }

{ }

a1, a2, a3

2,4,5

a4, a5

∈ 3,6

∈{ }

{ }

a1 , a2, a3

1,4,6

a4, a5

∈ 2,5

∈{ }

{ }

a1 , a2, a3

1,4,6

a4, a5

∈ 2,3

Vậy có tất cả 6.12 = 72 số cần tìm.

Câu 13. Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 5,6,7,8,9 là 5! = 120 số.

Vì vai trò các chữ số như nhau nên mỗi chữ số 5,6,7,8,9 xuất hiện ở hàng đơn vị là 4! = 24 lần.

24 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 840 .

Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là ( )

Tương tự thì mỗi lần xuất hiện ở các hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn của mỗi chữ số là 24 lần.

2 3 4

840 1+ 10 + 10 + 10 + 10 = 9333240 .

Vậy tổng các số thuộc tập S là ( )

Dạng 1.1.2 Bài toán chọn người (vật)

Câu 14. Số cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là 5!.

Câu 15. Ta có số cách xếp 5 học sinh vào một bàn dài là số các hoán vị của 5 học sinh đó. Vậy kết quả là:

P

5

= 5! = 120 .

Câu 16. Chọn A

22

Câu 17.

Câu 18.

Câu 19.

Mỗi cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của tập hợp có 10 phần tử.

Suy ra số cách sắp xếp là P

10

.

Chọn C

Mỗi cách phân công 3 bạn An, Bình, Công vào 3 chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà

không bạn nào kiêm nhiệm là một hoán vị của 3 phần tử. Vậy có 3! = 6 cách.

Chọn C

Mỗi cách sắp xếp 6 quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách là một hoán vị của

6 phần tử. Vậy số cách sáp xếp là 6!.

Chọn A

Mỗi cách xếp 5 sinh viên vào 5 vị trí thỏa đề là một hoán vị của 5 phần tử.

Suy ra số cách xếp là 5! = 120 cách.

Câu 20. Số cách phân công 5 vị trí trực khác nhau cho 5 người là: 5! = 120 .

Câu 21. Chọn D

Số cách xếp con mèo vàng và con mèo đen ở cạnh nhau là: 2 .

Xem nhóm con mèo vàng và đen này là một phần tử, cùng với 1 con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1

con mèo xanh, 1 con mèo tím, ta được 5 phần tử. Xếp 5 phần tử này là: 5!.

Vậy có: 2.5! = 240 .

Câu 22. Chọn B

Sắp xếp 4 nữ sinh vào 4 ghế: 4! cách.

Xem 4 nữ sinh lập thành nhóm X, sắp xếp nhóm X cùng với 6 nam sinh: có 7! cách

vậy có 7! × 4! cách sắp xếp.

Câu 23. Chọn A

Xếp 8 người thành hàng ngang có P

8

cách.

Xếp 8 người thành hàng ngang sao cho 2 thầy giáo đứng cạnh nhau có 7.2!.6! cách.

Vậy số cách xếp cần tìm là: P8 − 7.2!.6! = 30240 cách.

Câu 24. Chọn A

Xếp 4 bạn nam vào một dãy có 4! (cách xếp).

Xếp 4 bạn nữ vào một dãy có 4! (cách xếp).

Với mỗi một số ghế có 2 cách đổi vị trí cho bạn nam và bạn nữ ngồi đối diện nhau.

4

Số cách xếp theo yêu cầu là: 4!.4!.2 (cách xếp).

Câu 25. Chọn B

+) Xếp 5 bạn vào 5 chỗ ngồi có 5! cách.

+) Xếp An và Dũng ngồi cạnh nhau có 2 cách. Xem An và Dũng là 1 phần tử cùng với 3 bạn còn

lại là 4 phần tử xếp vào 4 chỗ. Suy ra số cách xếp 5 bạn sao cho An và Dũng luôn ngồi cạnh nhau

là: 2.4! cách.

Vậy số cách xếp 5 bạn vào 5 ghế sao cho An và Dũng không ngồi cạnh nhau là:

5!– 2.4! = 72 .

Câu 26. Xếp 4 học sinh nam thành hàng dọc có 4! cách xếp.

Giữa 4 học sinh nam có 5 khoảng trống ta xếp các bạn nữ vào vị trí đó nên có 5! cách xếp.

Theo quy tắc nhân có 4!5! = 2880 cách xếp thoả mãn bài ra.

Câu 27. Số cách xếp 3 viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng: 3!.

Số cách xếp 4 viên bi đỏ khác nhau thành một dãy bằng: 4!.

Số cách xếp 5 viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng: 5!.

Số cách xếp 3 nhóm bi thành một dãy bằng: 3!.

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề bài bằng 3!.4!.5!.3! = 103680 cách.

Câu 28. Chọn A

Vì các sách Văn phải xếp kề nhau nên ta xem 5 cuốn sách Văn là một phần tử.

Xếp 7 cuốn sách toán lên kệ có 7! cách.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

23

Câu 29.

Câu 30.

Câu 31.

Câu 32.

Câu 33.

Câu 34.

Câu 35.

Câu 36.

Câu 37.

Câu 38.

Giữa 7 cuốn sách Toán có 8 khoảng trống, ta xếp phần tử chứa 5 cuốn sách Văn vào 8 vị trí đó

có 8 cách.

5 cuốn sách Văn có thể hoán đổi vị trí cho nhau ta được 5! cách.

Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 8.7!.5! = 8!.5! .

Chọn D

Đánh số thứ tự các vị trí theo hàng dọc từ 1 đến 6 .

Trường hợp 1: Nam đứng trước, nữ đứng sau.

Xếp nam (vào các vị trí đánh số 1,3,5 ): Có 3! = 6 cách.

Xếp nữ (vào các vị trí đánh số 2,4,6 ): Có 3! = 6 cách.

Vậy trường hợp này có: 6.6 = 36 cách.

Trường hợp 2: Nữ đứng trước, nam đứng sau.

Xếp nữ (vào các vị trí đánh số 1,3,5 ): Có 3! = 6 cách.

Xếp nam (vào các vị trí đánh số 2,4,6 ): Có 3! = 6 cách.

Vậy trường hợp này có: 6.6 = 36 cách.

Theo quy tắc cộng ta có: 36 + 36 = 72 cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao

cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ.

Dạng 1.2 Chỉ sử dụng C

Dạng 1.2.1 Bài toán đếm số (tập số, tập hợp)

Chọn A

Mỗi cách lấy ra 2 phần tử trong 10 phần tử của M để tạo thành tập con gồm 2 phần tử là một tổ

2

hợp chập 2 của 10phần tử Số tập con của M gồm 2 phần tử là C

10

Chọn D

5

Số tập con gồm 5 phần tử của M chính là số tổ hợp chập 5 của 30 phần tử, nghĩa là bằng C

30

.

Chọn A

Số tập hợp con cần tìm là số tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.

3

Vậy có C

7

tập con cần tìm.

Mỗi tập con gồm 3 phần tử của M không có số 0 là tổ hợp chập 3 của 9 phần tử.

3

Số tập con gồm 3 phần tử của M không có số 0 là: C .

5

Số tập con gồm 5 phần tử của M là C

30

.

Chọn D

Mỗi tập con tập gồm 3 phần tử được lấy ra từ tập A có 6 phần tử là một tổ hợp chập 3 của 6

phần tử.

3

Vậy số tập con gồm 3 phần tử của A là C

6

= 20 tập con.

Lời giải

Chọn C

Số tập con gồm 4 phần tử của M là số cách chọn 4 phần tử bất kì trong 10 phần tử của M .

4

Do đó số tập con gồm 4 phần tử của M là C

10

.

Chọn C

Mỗi tập con có 8 phần tử của tập hợp E là một tổ hợp chập 8 của 10. Vậy số tập con có 8 phần tử

8

của tập hợp E là: C

10

= 45 .

Chọn B

n ≥ 1 . Mỗi tập con gồm k phần tử của A

Theo định nghĩa tổ hợp: “ Giả sử tập A có n phần tử ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho”.

Do đó theo yêu cầu bài toán số tập con có 4 phần tử của tập A là

Vậy chọn ý B

9

4

C

12

.

24

Câu 39.

Mỗi tập con có 8 phần tử của tập hợp E là một tổ hợp chập 8 của 10 phần tử nên số tập con

cần tìm là C = .

8

10

45

Câu 40. Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng abc với a , b , c { 0;1;2;3;4;5;6 }

3

c ∈ { 1;2;3;4;5;6 } . Suy ra số các số có dạng abc là C = .

Câu 41.

Câu 42.

2

Chọn vị trí cho 2 chữ số 2 có C cách.

3

Chọn vị trí cho 3 chữ số 3 có C cách.

4

Chọn vị trí cho 4 chữ số 4 có C cách.

Vậy số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là

7

4

9

2 3

C 9

C 7

∈ sao cho a < b < c nên a , b ,

6

20

C = 1260 số.

Cứ hai số được chọn từ trong chín chữ số đã cho chỉ lập được duy nhất một số theo yêu cầu, nghĩa

là ta được một tổ hợp chập 2 của 9 phần tử.

2

Vậy số các số cần lập là C

9

= 36 .

Câu 43. Vì chữ số cần lập mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đằng trước nên không có chữ số 0 .

4

Chọn 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 có C

9

= 126 cách chọn.

Ứng với mỗi cách chọn đó chỉ có duy nhất 1 cách xếp mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đằng

trước. Do đó có 126 số thỏa mãn đề bài.

Dạng 1.2.2 Bài toán chọn người (vật)

Câu 44. Chọn B

2

Mỗi cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. vậy có C

5

cách.

Câu 45. Chọn B

2

Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là: C

6

.

Câu 46. Chọn C

Mỗi cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 7 phần tử. Số cách chọn 2

2

học sinh từ 7 học sinh là: C .

Câu 47.

Câu 48.

7

Chọn B

Mỗi cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 34 phần tử

2

nên số cách chọn là C .

34

2

Câu 49. C

38

Câu 50. Chọn A

Mỗi cách lấy ra 2 phần tử trong 10 phần tử của M để tạo thành tập con gồm 2 phần tử là một tổ

2

hợp chập 2 của 10phần tử Số tập con của M gồm 2 phần tử là C

10

Câu 51. Mỗi cách chọn 2 học sinh trong 48 là một tổ hợp chập 2 của 48 phần tử.

2

Suy ra số cách chọn là C

48

= 1128 .

3

Câu 52. Số cách phân công là: C

10

= 120 .

2

Câu 53. Số cách lấy ra hai viên bi là C

5

= 10 .

Câu 54. Chọn D

3

Chọn 3 học sinh trong 40 học sinh nên ta có C

40

= 9880 cách chọn.

Câu 55. Chọn C

8

Số cách chọn 8 viên bi từ 35 viên bi trắng + đỏ là: C

35

.

Câu 56. Chọn D

Mỗi cách phân 3 học sinh trong 12 học sinh đi lao động là tổ hợp chập 3 của 12.

Vậy số cách phân học sinh lao động là C

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

3

. 12

4

4

25

Câu 57.

Câu 58.

Câu 59.

Câu 60.

Câu 61.

Câu 62.

Câu 63.

Câu 64.

Câu 65.

Câu 66.

6

Số cách phân nhóm 6 người trong 10 người là C

10

. Sau khi phân nhóm 6 người còn lại 4 người

6

được phân nhóm vào nhóm còn lại. Vậy có C

10

= 210 cách.

+ Chia trước cho mỗi học sinh một phần quà thì số phần quà còn lại là 9 phần quà.

+ Chia 9 phần quà cho 3 học sinh sao cho học sinh nào cũng có ít nhất một phần quà:

Đặt 9 phần quà theo một hàng ngang, giữa các phần quà sẽ có 8 khoảng trống, chọn 2 khoảng

trống trong 8 khoảng trống đó để chia 9 phần quà còn lại thành 3 phần quà mà mỗi phần có ít

2

2

nhất một phần quà, có C

8

. Vậy tất cả có C8

= 28 cách chia.

Chọn A

3

Số cách chọn ra 3 học sinh nam từ 10 học sinh nam là: C .

2

Số cách chọn ra 2 học sinh nữ từ 8 học sinh nữ là: C .

3 2

Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu là: C10C 8

.

Chọn B

3

Chọn 3 học sinh tùy ý từ nhóm 6 học sinh có: C cách.

3

Chọn 3 học sinh nam từ 4 học sinh nam có: C cách.

Do đó, số cách chọn ra 3 học sinh trong đó có cả nam và nữ là: C

Chọn C

Trường hợp 1: 2 câu lí thuyết, 1 câu bài tập. Suy ra số đề tạo ra là

4

6

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

8

10

3 3

6

C4 16

− = cách.

C . C = 36 (đề)

2 1

4 6

1 2

Trường hợp 2: 1 câu lí thuyết, 2 câu bài tập. Suy ra số đề tạo ra là C4. C

6

= 60 (đề)

Vậy có thể tạo được số đề khác nhau là: 36 + 60 = 96 (đề)

Chọn A

Chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng có 3 cách, 1 công nhân làm tổ phó có 7 cách và 3 công nhân làm tổ

3

viên có C cách.

6

3

Vậy số cách lập tổ công tác theo yêu cầu là: 3× 7× C6

= 420 cách

Chọn B

4

Chọn nhóm 4 cháu để được chia táo thì có C

9

(cách). Khi đó có một cách chia táo để mỗi cháu

trong nhóm này được một quả táo.

3

Chọn nhóm 3 cháu để được chia cam trong các cháu còn lại thì có C

5

(cách). Khi đó có một cách

chia cam để mỗi cháu trong nhóm này được một quả cam.

Còn lại hai cháu và tương ứng có một cách chia cho mỗi cháu một quả chuối.

4 3

Số cách chia thỏa mãn bài toán là : C9 . C

5

.1 = 1260 (cách).

Chọn A

2

Số cái bắt tay của 13 cặp vợ chồng không có điều kiện gì là C

26

= 325 .

2

Số cái bắt tay của 13 bà vợ với nhau là C

13

= 78.

Số cái bắt tay của 13 cặp vợ chồng với nhau (chồng bắt tay với vợ) là 13.

Số cái bắt tay thỏa mãn yêu cầu bài toán là 325 − 78 − 13 = 234 .

Chọn B

3

Số cách chọn ra 3 người từ 8 người là: C

8

= 56

3

Số cách chọn ra 3 người không có nữ là C

5

= 10

Số cách chọn ra 3 người trong đó có ít nhất 1 nữ là: 56 − 10 = 46 .

Chọn B

3

Số cách chọn ra 3 học sinh từ 30 học sinh: C

30

= 4060 (cách).

3

Số cách chọn ra 3 học sinh nam là: C

20

= 1140 (cách).

26

Câu 67.

Câu 68.

Số cách chọn một nhóm 3 học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 1 học sinh là nữ:

4060 − 1140 = 2920 (cách).

Chọn D

3

Số cách lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ 20 quả là C .

Số cách lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu mà không có quả cầu màu xanh là

Vậy số cách lấy ra 3 quả cầu trong đó có ít nhất 1 quả màu xanh là

TH1: chọn 2 câu lý thuyết và 1 câu bài tập có:

TH1: chọn 1 câu lý thuyết và 2 câu bài tập có:

Vậy số cách lập đề thỏa điều kiện bài toán là: 96 cách.

Câu 69.

Câu 70.

Câu 71.

Câu 72.

Câu 73.

Câu 74.

20

C . C cách.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2 1

4 6

C . C cách.

1 2

4 6

C

C .

3

12

3 3

20

C12 920

− = (cách).

Để lập được được một đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và 4 câu hỏi tự luận khác

nhau ta thực hiện qua 2 giai đoạn.

Giai đoạn 1: Chọn 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau từ 15 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau có C

cách chọn.

4

Giai đoạn 2: Chọn 4 câu hỏi tự luận khác nhau từ 8 câu hỏi tự luận khác nhau có C cách chọn.

Theo quy tắc nhân có

C

. C cách lập đề thi.

10 4

15 8

4

Số cách chọn 4 em tùy ý trong lớp: C .

4

Số cách chọn 4 em nữ trong lớp: C .

Số cách chọn 4 em trong đó ít nhất phải có một nam: C

1

Chọn một nam trong 20 nam có C cách.

1

Chọn một nữ trong 18 nữ có C cách.

18

15

20

40

− C .

4 4

40 15

1 1

Theo quy tắc nhân, số cách chọn một đôi nam nữ là C C .

20 18

3

Chọn ra 3 học sinh tham gia văn nghệ trong 13 học sinh tùy ý có C cách.

3

Chọn ra 3 học sinh tham gia văn nghệ trong 7 học sinh nữ có C

7

cách.

Vậy chọn ra 3 học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam có

3 3

C13 − C7 = 251.

Có duy nhất một cách chia 30 quyển sách thành 15 bộ, mỗi bộ gồm hai quyển sách khác loại,

trong đó có:

+ 4 bộ giống nhau gồm 1 toán và 1 hóa.

+ 5 bộ giống nhau gồm 1 hóa và 1 lí.

+ 6 bộ giống nhau gồm 1 lí và toán.

Số cách trao phần thưởng cho 15 học sinh được tính như sau:

4

+ Chọn ra 4 người (trong 15người) để trao bộ sách toán và hóa có C cách.

5

+ Chọn ra 5 người (trong 11 người còn lại) để trao bộ sách hóa và lí có C

11

cách.

+ Còn lại 6 người trao bộ sách toán và lí có 1 cách.

4 5 6 4

Vậy số cách trao phần thưởng là C15. C11 = C15. C9

= 630630 (cách).

Chọn B

2 1 1

Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối 12, 1 học sinh khối 11, 1 học sinh khối 10 ta có C6 C5C

4

cách.

1 2 1

Trường hợp 2: Chọn 1 học sinh khối 12, 2 học sinh khối 11, 1 học sinh khối 10 ta có C6C5 C

4

cách.

13

15

8

10

15

27

Câu 75.

Câu 76.

Câu 77.

Câu 78.

Câu 79.

Câu 80.

Trường hợp 3: Chọn 1 học sinh khối 12, 1 học sinh khối 11, 2 học sinh khối 10 ta có

cách.

Vậy ta có số cách chọn thoả mãn là

C C C + C C C + C C C = (cách).

2 1 1 1 2 1 1 1 2

6 5 4 6 5 4 6 5 4

720

Lời giải

Chọn D

5

Số cách chọn 5 học sinh tùy ý là C

9

= 126.

5

Số cách chọn 5 học sinh gồm học sinh khối 10 hoặc khối 11 là C

5

= 1.

5

Số cách chọn 5 học sinh gồm học sinh khối 11 hoặc khối 12 là C

7

= 21.

5

Số cách chọn 5 học sinh gồm học sinh khối 10 hoặc khối 12 là C

6

= 6.

Vậy số cách chọn 5 học sinh đủ ba khối là 126 −1− 21− 6 = 98.

Chọn C

Tổng số có 15 viên bi.

5

Số cách chọn 5 viên bi tùy ý: C

15

= 3003 .

5 5

Số cách chọn 5 viên bi chỉ có một màu: C6 + C7 = 7

Số cách chọn 5 viên bi chỉ có một hoặc hai màu(xanh+ đỏ; xanh + vàng; đỏ + vàng):

(Trong số cách chọn này có lặp lại số cách chọn bi một màu)

5 5 5 5 5

C + C + C − C + C = .

( )

11 10 9 6 5

833

Vậy số cách chọn 5 viên bi có đủ cả ba màu là: 3003 − 840 = 2170

Chọn A

10

Số cách chọn ra 10 câu bất kỳ trong số 20 câu C

Số cách chọn ra 10 câu mà không có câu dễ: C

Số cách chọn ra 10 câu mà không có câu khó:

10

11

C

20

10

16

1 1 2

C6C5C

4

10

Số cách chọn ra 10 câu mà không có câu trung bình: C

13

Như vậy: Số cách chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ 3 loại dễ, trung bình và

khó là:

10 10 10 10

C20 − C11 − C16 − C13 = 176451

Chọn B

Trường hợp 1: Lớp B và lớp C có 1 học sinh, lớp A có 3 học sinh. Khi đó, số cách chọn là

1 1 3

C ⋅C ⋅ C = .

3 3 4

36

Trường hợp 2: Lớp B và lớp C có 2 học sinh, lớp A có1 học sinh. Khi đó, số cách chọn là

2 2 1

C ⋅C ⋅ C = .

3 3 4

36

Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách chọn 5 học sinh đi làm nhiệm vụ mà số học sinh lớp B bằng

số học sinh lớp C là 36 + 36 = 72cách.

Chọn C

4 2

Trường hợp 1: Đội văn nghệ gồm 4 nam, 2 nữ có C . C (cách chọn).

Trường hợp 2: Đội văn nghệ gồm 5 nam, 1 nữ có

Trường hợp 3: Đội văn nghệ gồm 6 nam, 0 nữ có

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

30 15

C . C (cách chọn).

C

5 1

30 15

6

30

(cách chọn).

4 2 5 1 6

Vậy có tổng cộng: C30. C15 + C30. C15 + C30

= 5.608.809 cách lập thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

7

Chọn 7 bông bất kì từ 14 bông có: C

14

= 3432 cách.

3 4 2 5

Chọn hai màu hồng, xanh có C . C + C . C = 8 cách.

3 5 3 5

28

Câu 81.

Câu 82.

Câu 83.

Câu 84.

Câu 85.

Câu 86.

3 4 2 5 1 6

Chọn hai màu hồng, vàng có C . C + C . C + C . C = 36 cách.

3 6 3 6 3 6

5 2 4 3 3 4 2 5 1 6

Chọn hai màu xanh, vàng có C . C + C . C + C . C + C . C + C . C = 330 cách.

3432 − 8 + 36 + 330 = 3058 cách

Vậy có ( )

5 6 5 6 5 6 5 6 5 6

Chọn D

3

Chọn ra 3 tấm thẻ bất kì từ 26 tấm thẻ có C

26

cách.

Chọn ra 3 tấm thẻ ghi số liên tiếp có 24 cách.

Chọn ra 3 tấm thẻ trong đó có đúng 2 tấm thẻ ghi số liên tiếp: 2.23+ 23.22 = 552 cách.

3

Số cách chọn ra 3 tấm thẻ thỏa yêu cầu bài toán là C26 − 24 − 552 = 2024 .

Giải thích: Nếu chọn được 2 số liên tiếp là 1, 2 hoặc 25, 26 thì có 23 cách chọn 1 số thứ ba.

Nếu chọn được hai số liên tiếp khác cặp số trên thì có 22 cách chọn 1 số thứ ba.

Chọn D

1 1 1

Số cách chọn ba quả cầu khác màu là C6. C5. C

5

= 150 .

Số cách chọn ba quả cầu khác màu cùng một số là: 5 cách chọn.

Số cách chọn ba quả cầu khác màu nhưng có 2 quả cầu cùng số là: 5.5 + 5.4 + 5.4 = 65.

150 − 5 + 65 = 80

Vậy có ( )

Chọn C

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp 12 quả cầu, để số quả cẩu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh, những

trường hợp có thể xảy ra là

Trường hợp 1: 5 cầu đỏ

5

Số khả năng: C

5

= 1khả năng.

Trường hợp 1: 4 cầu đỏ, 1 cầu xanh

4 1

Số khả năng: C

5

.C7

= 35 khả năng.

Trường hợp 2: 3 cầu đỏ, 2 cầu xanh

3 2

Số khả năng: C

5

.C7

= 210 khả năng.

Áp dụng quy tắc cộng: có tất cả: 35 + 210 + 1 = 246 khả năng.

Vì chọn ra 3 người mà yêu cầu phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn nên số giáo

viên nữ được chọn chỉ có thể bằng 1 hoặc 2 . Ta xét hai trường hợp:

1

* Trường hợp 1: Chọn 1 giáo viên nữ: Có C cách. Khi đó:

- Chọn 1 giáo viên nam môn Toán và 1 nam môn Vật lý: Có C

2

- Chọn 2 giáo viên nam môn Vật lý: Có C cách.

Trường hợp này có C 1 ( 1 1 2

3

C5 C4 C4

)

× + cách chọn.

4

3

× C cách.

1 1

5 4

2

* Trường hợp 2: Chọn 2 giáo viên nữ: Có C cách chọn. Khi đó chọn thêm 1 giáo viên nam môn

1

Vật lý: Có C cách. Trường hợp này có C

4

Vậy tất cả có ( )

1 1 1 2 2 1

3 5 4 4 3 4

3

× C cách chọn.

2 1

3 4

C C × C + C + C × C = 90 cách chọn.

5

Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh C cách.

Số cách chọn 5 học sinh chỉ có 2 lớp: C + C + C

9

5 5 5

7 6 5

Vậy số cách chọn 5 học sinh có cả 3 lớp là C 5 ( C 5 C 5 C

5

)

− + + = .

9 7 6 5

98

Có 3 trường hợp xảy ra:

TH1: Lấy được 5 bóng đèn loại I: có 1 cách

4 1

TH2: Lấy được 4 bóng đèn loại I, 1 bóng đèn loại II: có C . C cách

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

5 7

3 2

TH3: Lấy được 3 bóng đèn loại I, 2 bóng đèn loại II: có C . C cách

5 7

29

4 1 3 2

Theo quy tắc cộng, có 1 + C5 . C7 + C5 . C7

= 246 cách

Câu 87. Việc chia đồ vật trong bài toán được tiến hành theo các bước sau

- Bước 1: Chia 8 đồ vật thành 3 nhóm đồ vật nhỏ ( một nhóm có 2 vật, hai nhóm còn lại mỗi nhóm có

2 3 3 2 3

3 đồ vật ), có C8 C6C3 = C8 C6

cách

- Bước 2 : Chia 3 nhóm đồ ở bước 1 cho 3 người,có 3! cách

2 3

Vậy có 3!C C cách.

Câu 88.

Câu 89.

Câu 90.

Câu 91.

Câu 92.

Câu 93.

Câu 94.

Câu 95.

Câu 96.

8 6

5

Chọn 5 học sinh bất kỳ từ tổ 11 học sinh có số cách chọn là C .

5 5

Số cách chọn 5 học sinh mà chỉ toàn nữ hoặc toàn nam là C5 + C6

.

Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là

5 5 5

C − C + C = .

( )

11 5 6

455

Số cách chọn 6 học sinh bất kỳ trong 15 học sinh là

15

5005

6

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 12 là C = cách.

6

1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

11

6

C = .

6

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 10 và 11 là C

9

= 84 cách.

6 6

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 10 và 12 là C − C = cách.

11 6

461

6 6

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và 12 là C10 − C6 = 209 cách.

Do đó số cách chọn 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là

5005 −1− 84 − 461− 209 = 4250 cách.

1 1 1

Trường hợp 1: Lấy được 3 quả cầu xanh từ 3 bình: Số cách lấy: C C C = (cách)

Trường hợp 2: Lấy được 3 quả cầu đỏ từ 3 bình: Số cách lấy:

3 4 5

60

C C C = (cách)

1 1 1

4 3 5

60

1 1 1

Trường hợp 3: Lấy được 3 quả cầu trắng từ 3 bình: Số cách lấy: C5C6C 2

= 60 (cách)

Vậy có 60.3 = 180 cách lấy được 3 quả cùng màu từ 3 bình.

Trường hợp 1: Chọn 1 nam và 3 nữ.

Trường hợp 2: Chọn 2 nam và 2 nữ.

Trường hợp 3: Chọn 3 nam và 1 nữ.

Trường hợp 4: Chọn 4 nam.

1 3 2 2 3 1 4

Số cách chọn cần tìm là C C + C C + C C + C = cách chọn.

6 5 6 5 6 5 6

325

3

Từ 5 bạn học sinh nam và 6 bạn học sinh nữ chọn ngẫu nhiên 3 em có C cách chọn.

3

Trong số C cách chọn trên xảy ra trường họp sau:

11

3

Chỉ có nam có C hoặc chỉ có nữ có C hoặc có cả nam và nữ.

5

3 3 3

Vậy số cách chọn 3 học sinh để có cả nam và nữ là: C − C − C = .

Dạng 1.2.3 Bài toán liên quan đến hình học

2

Số đường chéo của đa giác là C − n .

n

3

6

11 5 6

135

Ta có đa giác đều có 10 cạnh nên đa giác đều có 10 đỉnh.

Mỗi tam giác là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử.

3

Vậy có C

10

= 120 tam giác.

Ta có số tam giác tạo thành từ 8 điểm trên là số tổ hợp chập 3 điểm của 8 điểm. Suy ra kết quả

3

là: C

8

= 56 .

2

Số đường chéo của đa giác đều n cạnh là C − n .

2

Với n = 20 thì C − 20 = 170 .

Câu 97. Số đường chéo của lục giác đều (6 cạnh là) :

Câu 98.

20

n

2

C6 − 6 = 9

Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là

2

C

10

= 45 .

11

30

Câu 99.

Với 3 điểm phân biệt không thằng hàng, tạo thành duy nhất 1 tam giác.

Vậy, với 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, số tam giác tạo thành là

3

C .

10

3

Câu 100. Số tam giác bằng với số cách chọn 3 phần tử trong 20 phần tử. Do đó có C

20

tam giác.

Câu 101. Chọn C

Chọn 3 điểm từ 20 điểm ta có một tam giác nên số tam giác tạo thành từ 20 điểm đã cho là

3

C

20

= 1140. .

Câu 102. Chọn D

3

Số cách tạo mặt phẳng là C

20

= 1140 .

Câu 103. Chọn A

Ta có: Số cách lấy 4 điểm phân biệt bất kì từ 12 điểm phân biệt trên đường tròn tâm O sẽ là số tứ

4

giác nội tiếp đường tròn tâm O được tạo thành. Vậy có C

12

tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O

được tạo thành.

Câu 104. Chọn D

Số đường chéo qua tâm là 1009.

Số hình chữ nhật có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho bằng số cách lấy hai đường chéo qua

2

tâm, do đó số hình chữ nhật là C

1009

.

Câu 105. Chọn D

3

Lấy 3 điểm trong 6 điểm lập thành tam giác có C

6

cách.

Câu 106. Chọn A

1 2

Có . 540

d′ .

Có

C15 C

9

= tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 1 điểm thuộc ( d ) và 2 điểm thuộc ( )

2 1

C . C = 945 tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 2 điểm thuộc ( d ) và 1 điểm thuộc ( )

15 9

Vậy có tất cả 1485 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 107. Chọn B

Do đa giác đều 36 đỉnh có 18 đường chéo qua tâm.

Mặt khác cứ 2 đường chéo qua tâm ứng với một hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác.

2

Vậy số hình chữ nhật là C

18

= 153 .

Bài toán tổng quát:

2 n n∈N , n ≥ 2 đỉnh có n đường chéo qua tâm.

Do đa giác đều ( )

Mặt khác cứ 2 đường chéo qua tâm ứng với một hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác.

2

Vậy số hình chữ nhật là C

n

.

Câu 108. Chọn A

Chọn đỉnh thứ nhất: có 12 cách chọn.

Chọn đỉnh thứ hai: có 11 cách chọn.

Chọn đỉnh thứ ba: có 11 cách chọn.

Chọn đỉnh thứ tư: có 9 cách chọn.

Vì một tứ giác không kể đến thứ tự của các đỉnh nên số tứ giác được tạo nên:

12× 11× 10× 9 12× 11× 10× 9×

8! 12!

4

= = = C12

4! 4!8! 4! 12 − 4 !

( )

2 1

Câu 109. TH1: Hai đỉnh thuộc d

1

và một đỉnh thuộc d

2

: Có C5C 7

tam giác.

2 1

TH2: Hai đỉnh thuộc d

2

và một đỉnh thuộc d

1

: Có C7 . C

5

tam giác.

2 1 2 1

Vậy số tam giác được tạo thành là C5 C7 + C7 . C5

= 175 .

Câu 110.

Lời giải

Chọn D

31

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

d′ .

Cách 1: Do mỗi tam giác được tạo thành từ 3 điểm không thẳng hàng.

Trên cạnh CD chọn ra được C bộ 3 điểm thẳng hàng. Trên cạnh DA chọn ra được

3

3

3

C

n

bộ 3

3 3 3

điểm thẳng hàng. Do đó số tam giác tạo thành là C − n 6

C − + n

C . 3

n 3 3

Theo giả thiết ta có Cn+ 6

− Cn

− C3 = 439 . Sử dụng máy tính kiểm tra thấy n = 10 thỏa mãn điều

kiện đề bài.

Cách 2:

1 2

Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên AB và BC là C .C = 1.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

1 2

1 2

Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên AB và CD là C .C = 3.

1 3

1 2 2

Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên AB và AD là C .C 1 n

= Cn

.

1 2 2 1

Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên BC và DC là C .C + C .C = 9 .

2 3 2 3

1 2 2 1 2 1

Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên BC và AD là C .C + C .C = 2C + 1C .

2 n 2 n n n

1 2 2 1 2 1

Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên BC và AD là C .C + C .C = 3C + 3C .

3 n 3 n n n

1 2 2 1 2 1

Số tam giác tạo thành có đỉnh nằm trên BC và AD là C .C + C .C = 3C + 3C .

3 n 3 n n n

1 1 1

1 2 3

6

Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh nằm trên ba cạnh AB , BC và CD là

Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh nằm trên ba cạnh AB , BC và DA là

Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh nằm trên ba cạnh AB , CD và DA là

C C C = .

C C C

1 1 1 1

1 2 n

2Cn

1 1 1 1

1 3 n

3Cn

1 1 1 1

2 3 n

6Cn

C C C

= .

= .

Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh nằm trên ba cạnh BC , CD và DA là C C C = .

Vậy số tam giác tạo thành là:

2 2 1 2 1 1 1 1 2 1

1+ 3 + C + 9 + 2C + C + 3C + 3C + 6 + 2C + 3C + 6C = 19 + 6C + 15C

= 439

n n n n n n n n n n

( −1)

n n

2

n

= 10

⇔ 6 + 15n

= 420 ⇔ 3n

+ 12n

− 420 = 0 ⇔

2

⇔ n = 10 .

n

= −14( l)

Câu 111. Chọn D

3

Số tam giác được tạo thành từ 10 đỉnh của đa giác lồi (H) là: C

10

.

Xét trường hợp số tam giác chỉ chứa hai cạnh của đa giác, là số tam giác có 3 đỉnh liên tiếp của đa

giác. Có 10 tam giác như vậy.

Xét trường hợp số tam giác chứa đúng một cạnh của đa giác, là số tam giác có 2 đỉnh là 2 đỉnh

liên tiếp của đa giác và đỉnh còn lại không kề với hai đỉnh kia. Khi đó, xét một cạnh bất kỳ ta có

1

C −

cách chọn đỉnh còn lại của tam giác (trừ hai đỉnh đã chọn và hai đỉnh kề nó). Trường hợp

10 4

1

này có 10.C tam giác.

6

3 1

Vậy số tam giác không chứa cạnh của đa giác (H) là: C10 −10 − 10. C6

= 50 tam giác.

Câu 112. Chọn A

Chọn 2 điểm trên đường thẳng thứ 2 và 1 điểm trên đường thẳng thứ nhất. Số tam giác được tạo

2

thành từ ba điểm trên là: 20C

18

(tam giác).

Chọn 2 điểm trên đường thẳng thứ 1 và 1 điểm trên đường thẳng thứ hai. Số tam giác được tạo

2

thành từ ba điểm trên là: 18C (tam giác).

20

2 2

Vậy số tam giác được tạo thành theo ycbt là: 20C18 + 18C20

.

Câu 113. Chọn C

3

Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 40 đỉnh trên là: C

40

.

Đa giác đều đã cho có 40 đỉnh nên nó có 20 đường chéo đi qua tâm O. Mỗi hình chữ nhật thỏa đề

bài tương ứng với một tổ hợp chập 2 của 20 đường chéo này và ngược lại.

32

Vậy số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 trong 40 đỉnh của đa giác là:

hình chữ nhật là:

Câu 114. Chọn A

1 2

Có . 540

Có

C : C = 52.

3 2

40 20

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

C

2

20

. Suy ra số tam giác gấp số

C15 C

9

= tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 1 điểm thuộc ( d ) và 2 điểm thuộc ( )

2 1

C . C = 945 tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 2 điểm thuộc ( d ) và 1 điểm thuộc ( )

15 9

Vậy có tất cả 1485 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3

Câu 115. Bộ 3 điểm bất kỳ được chọn từ 9 điểm đã cho có C bộ.

Bộ 3 điểm không tạo thành tam giác có

C

+ C bộ.

3 3

3 4

Vậy số tam giác tạo thành từ 9 điểm đã cho có: C 3 ( C 3 C

3

)

9

− + = .

9 3 4

79

Câu 116. Do đa giác đều nên đa giác đó nội tiếp trong một đường tròn và có n đường chéo đi qua tâm O

của đường tròn. Chọn 2 đường chéo khác nhau đi qua tâm thì 4 đỉnh của đường chéo cho ta một

2

hình chữ nhật. Vậy có C hình chữ nhật.

n

2

n n 1

n

( − )

Theo đề bài ta có: C = 45 ⇔ = 45 ⇔ n = 10 .

2

2

Câu 117. Vì 10 đội bóng thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt nên số trận đấu là C

10

= 45 (trận).

Gọi số trận hòa là x , số không hòa là 45 − x (trận).

3 45 − x .

Tổng số điểm mỗi trận hòa là 2 , tổng số điểm của trận không hòa là ( )

Theo đề bài ta có phương trình 2x

+ 3( 45 − x)

= 130 ⇔ x = 5 .

Vậy có 5 trận hòa.

Câu 118. Trong đa giác đều A1 A2 A3 . A30

… nội tiếp trong đường tròn ( )

A qua O ( A A )

d′ .

d′ .

O cứ mỗi điểm A

1

có một điểm A

i

đối xứng với

1

1

≠

i

ta được một đường kính, tương tự với A , A ,..,

2 3

A

30

. Có tất cả

15 đường kính mà các điểm là đỉnh của đa giác đều A1 A2 A3 ….

A30

. Cứ hai đường kính đó ta được

2

một hình chữ nhật mà bốn điểm là các đỉnh của đa giác đều: có C

15

= 105 hình chữ nhật tất cả.

2

Câu 119. Xét đường kính A1 A

51

của đường tròn ngoại tiếp đa giác. Với điểm A

1

có 2.C

49

cách chọn hai đỉnh

thuộc cùng nửa đường tròn đường kính A1 A

51

để tạo thành tam giác tù có góc A

1. Như vậy có

100.2.C tam giác, trong đó mỗi tam giác bị đếm hai lần.

2

49

2

Vậy số tam giác tù là 100. C = 117600 .

49

3

Câu 120. * Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác là C

10

.

* Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác:

Chọn 2 đỉnh kề nhau: có 10 cách chọn.

Chọn đỉnh còn lại không kề với 1 trong 2 đỉnh đã chọn: có 6 cách.

Vậy có 10.6 = 60 tam giác.

* Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác

Chọn 2 cạnh kề nhau: có 10 cách.

3

Vậy số tam giác cần tìm là C10 − 60 − 10 = 50 tam giác.

Câu 121.

d 1

d i

1

j

33

Với hai đường thẳng bất kì từ 2017 đường thẳng d

i

song song đã cho và với hai đường thẳng bất

kì từ 2018 đường thẳng ∆

j

song song đã cho, xác định cho ta một hình bình hành.

2 2

Vậy số hình bình hành nhiều nhất thỏa đề bài là C2017. C

2018.

Câu 122. Đa giác lồi có 40 cạnh sẽ có 40 đỉnh.

2

Số đường chéo của đa giác là: C40 − 40 = 740 đường chéo.

Số giao điểm nằm bên trong đa giác (không trùng với đỉnh) được tạo ra do các đường chéo của nó

2

cắt nhau nhiều nhất là C

740

= 273430 .

Dạng 1.3 Chỉ sử dụng A

Dạng 1.3.1 Bài toán đếm số (tập số, tập hợp)

4

Câu 123. Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt lập từ M là: A

9

.

Câu 124. Mỗi số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau thành lập được từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là

một chỉnh hợp chập 2 của 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . Vậy số các số tự nhiên thành lập được là

A

Câu 125. Số số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 là số

cách chọn 2 chữ số khác nhau từ 8 số khác nhau có thứ tự.

2

Vậy có A

8

số.

Câu 126. Số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,3, 4,5 là một chỉnh hợp

chập 4 của 5 phần tử

4

Vậy có A số cần tìm.

2

. 7

5

4 7!

Câu 127. Ta có: A

7

= = 840 .

3!

Câu 128. Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác 0 và đôi một khác nhau là một chỉnh hợp chập 5

của 9 phần tử.

5

Vậy số các số tự nhiên thỏa đề bài là A số.

9

4

A = số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau.

Câu 129. Từ tập S lập được

6

360

2

Câu 130. Số tự nhiên cần lập có 2 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số từ 1 đến 9 nên có A

9

số như

vậy.

Câu 131. Số các số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập X là số chỉnh

3

hợp chập 3 của 5 phần tử số các số cần lập là A

5

= 60 (số).

Câu 132. Tập A gồm có 6 phần tử là những số tự nhiên khác 0 .

4

Từ tập A có thể lập được A

6

= 360 số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau.

Câu 133. Chọn A

2

Số chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử của M là: A

10

.

Câu 134. Chọn B

5 7!

Theo lý thuyết công thức tính số các chỉnh hợp chập 5 của 7 : A

7

= = 2520 .

7 − 5 !

Câu 135. Chọn B

Mỗi cách lập số là một chỉnh hợp chập 3 của 6.

3

Vậy có A

6

= 120 số.

Câu 136. Chọn D

4 7!

Ta có A

7

= = 840.

3!

Câu 137. Chọn B

( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

34

Mỗi số tự nhiên lập được có 3 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 là một

chỉnh hợp chập 3 của 9.

3

Vậy lập được A

9

số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 138. Chọn B

X = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 , X = 9 .

Xét { }

Gọi x = abcd 0 là số cần lập ( a, b, c,

d ∈ X và đôi một khác nhau).

Mỗi số cần lập là một chỉnh hợp chập 4 của 9 phần tử nên số các số thỏa yêu cầu bài toán là

4

A

9

= 3024 .

Câu 139. Chọn B

Gọi x = abc , trong đó a, b , c đôi một khác nhau.

X = và xếp vào 3 vị trí. Có

Lấy 3 phần tử từ tập hợp { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Suy ra có

3

9

A số thỏa yêu cầu bài.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

3

9

A cách.

Câu 140. Để được một số có 4 chữ số theo yêu cầu đề bài, ta chọn 4 chữ số trong 6 chữ số đã cho và xếp

theo một thứ tự nào đó, nghĩa là ta được một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.

4

Vậy số các số cần thành lập là A

6

= 360 .

Câu 141. Chọn D

Gọi số tự nhiên cần tìm là abcd , từ yêu cầu bài toán ta có:

d ∈ 1;2;3 : có 3 cách chọn

{ }

a: có 3 cách chọn ( a ≠ 0, a ≠ d )

Trong 3 số còn lại chọn ra 2 số lần lượt đặt vào các vị trí b,c có

2

Số các số thỏa yêu cầu bài toán là S = 3.3. A3

= 54 số.

Câu 142.

Lời giải

Chọn D

Xét hai trường hợp.

TH1: Chữ số tận cùng là 0 có 1 cách chọn chữ số tận cùng.

2

Có A cách chọn hai chữ số đầu.

9

A cách.

Do đó có 1* A 2 9

= 72 số.

TH2: Chữ số tận cùng là 2, 4, 6, 8 có 4 cách chọn chữ số tận cùng.

Có 8 cách chọn chữ số đầu tiên.

Có 8 cách chọn chữ số ở giữa.

Do đó có 4*8*8 = 256 số.

Vậy có 72 + 256 = 328 số thỏa mãn bài toán. Chon D .

Câu 143. Chọn B

Giả sử số tự nhiên có 4 chữ số có dạng abcd

+ Do số tự nhiên đó không chia hết cho 5 nên d có 3 cách chọn (1; 2; 3)

+ Có 3 cách chọn a (khác d; 0)

2

+ Số cách chọn 2 chữ số còn lại là số chỉnh hợp chập 2 của 3 A 3

2

Vậy có 3.3. A

3

= 54 số.

Câu 144. Chọn C

Gọi số có ba chữ số khác nhau thỏa mãn yêu cầu bài toán là abc .

Vì abc > 350 nên ta xét 2 trường hợp sau:

TH 1: Chọn a { 4;5}

∈ a có 2 cách chọn.

2

3

35

Chọn b và c trong số 5 chữ số còn lại có

Suy ra TH 1 có

2. A = 40 số được lập.

TH 2: Chọn a 3, b 5 c { 1;2;4 }

2

5

2

A

5

cách.

= = ∈ nên có 3 số được lập.

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 40 + 3 = 43 số.

Câu 145. Chọn A

a, b, c, d, e∈ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 , a ≠ 0 ).

Gọi số đó có dạng abcde ( { }

TH1: e = 0

4

Số các số tự nhiên thỏa mãn bài toán là: A

9

( số).

TH2: e ≠ 0 .

Khi đó e có 4 cách chọn ( vì e được lấy từ các số 2, 4, 6, 8).

Có 3 cách để xếp chữ số 0 vào 3 vị trí b, c, d.

3

Số cách lấy 3 số trong 8 số còn lại và sắp xếp là A .

3

Số các số tự nhiên thỏa mãn bài toán là: 4.3.A

8

( số).

Vậy số các số tự nhiên chẳn có 5 chữ số đôi một khác nhau, sao cho trong mỗi số đó nhất thiết

4 3

phải có mặt chữ số 0 là: A + 4.3. A = 7056 ( số)

9 8

3

Câu 146. Số có 4 chữ số khác nhau đôi một: 9.A .

2

Số có 4 chữ số lẻ khác nhau đôi một: 5.8.A .

3 2

Vậy số có 4 chữ số chẵn khác nhau đôi một: 9. A − 5.8. A = 2296 .

a ≠ .

Câu 147. Gọi số cần tìm dạng: abcd , ( 0)

• Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau:

9

3

4

8

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

8

9 8

4.A = 96 số.

• Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5:

A + 3. A = 42 .

3 2

4 3

• Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau không chia hết cho 5 là: 96 − 42 = 54 số.

Câu 148. • Cách 1: Gọi số cần tìm là n = abcde .

Có 4 vị trí xếp số 0 vì a ≠ 0 .

4

- a, b, c,

d được chọn trong 5 số còn lại và sắp, có A

5

= 120 cách.

Vậy số các số cần tìm là 4.120 = 480 .

• Cách 2: Gọi số cần tìm là n = abcde .

Có 5 vị trí xếp số 0 (kể cả vị trí đầu tiên), 4 vị trí còn lại chọn 4 trong 5 số và sắp, nên có

4

5. A = 600 số.

5

4

Các số có dạng 0bcde là A

5

= 120 số.

Vậy số các số cần tìm là 600 − 120 = 480 .

( )

Câu 149. Gọi số có bốn chữ số khác nhau là abcd a, b, c, d ∈{ 0,1,2,3,4,5 }, a ≠ 0 .

+ TH1: d = 0 Số cách ộ số abc là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử { }

3

A = (số).

5

60

+ TH2: d ∈ { 2,4}

d có 2 cách chọn

a có 4 cách chọn

b có 4 cách chọn

c có 3 cách chọn

Suy ra có 2.4.4.3 = 96 (số)

Áp dụng quy tắc cộng ta có tất cả 60 + 96 = 156 (số)

Câu 150. Gọi số cần tìm có dạng: abc ( a ≠ 0 ; a;b;c đôi một khác nhau)

1,2,3,4,5 . Suy ra có

36

số có ba chữ số là:

A

3 2

10

A9 648

− = .

Câu 151. Gọi số cần lập là abcde với a, b, c, d,

e ∈ A và a > 0 , các chữ số khác nhau.

TH1: a = 1. Số cách ác chữ số còn lại là

TH2: a ≠ 1.

Để chọn vị trí cho chữ số 1 có 2 cách.

Để hữ số a có 6 cách.

3

Để ác chữ số còn lại có A .

Do đó có

Vậy có

A

2.6.A số lập được.

3

6

4 3

7 6

6

4

A = .

7

840

+ 2.6. A = 2280 số thỏa mãn đề bài.

c ∈ .

Câu 152. Gọi số tự nhiên chẵn cần tìm có dạng abc , { 0;2;4;6;8 }

Xét các số có dạng ab 0 có tất cả

Xét các số dạng abc , { 2;4;6;8 }

2

A = số thỏa yêu cầu bài toán.

9

72

c∈ có tất cả: 4.8.8 = 256 số thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy số các số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau là: 72 + 256 = 328 số.

Câu 153. Mỗi số số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 6 là một chỉnh hợp

3

chập 3 của các chữ số này. Do đó, ta lập được A

5

= 60 số.

Do vai trò các số 1, 2 , 3 , 4 , 6 như nhau, nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số trong các chữ số

này ở mỗi hàng (hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm) là như nhau và bằng 60 : 5 = 12 lần.

Vậy, tổng các số lập được là:

S = 12. 1+ 2 + 3+ 4 + 6 100 + 10 + 1 = 21312 .

( )( )

Câu 154. Vì chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 nên số cần lập có bộ ba số 123 hoặc 321.

TH1: Số cần lập có bộ ba số 123 .

Nếu bộ ba số 123 đứng đầu thì số có dạng 123abcd .

4

4

Có A

7

= 840 cách ốn số a , b , c , d nên có A

7

= 840 số.

Nếu bộ ba số 123 không đứng đầu thì số có 4 vị trí đặt bộ ba số 123 .

3

Có 6 cách chọn số đứng đầu và có A

6

= 120 cách a số b , c , d .

3

Theo quy tắc nhân có 6.4. A

6

= 2880 số

Theo quy tắc cộng có 840 + 2880 = 3720 số.

TH2: Số cần lập có bộ ba số 321.

2 840 + 2880 = 7440

Câu 155.

Do vai trò của bộ ba số 123 và321 như nhau nên có ( )

Bài làm

a, b, c ∈ 1;2;3;4;5 .

Gọi số cần tìm là abc với { }

Để abc ∈ ( 300;500)

thì a = 3 hoặc a = 4 .

2

Với a = 3, số cách chọn b,

c là A

4

= 12 .

2

Với a = 4 , số cách chọn b,

c là A

4

= 12 .

Vây số các số lập được là 24 . Chọn đáp án A.

a, b, c, d, e∈ 0;1; 2; 3; 4; 5; 6 .

Câu 156. Giả sử số cần lập có dạng abcde , với { }

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

+ Trường hợp 1: a, b là hai chữ số lẻ: Có

3

Với mỗi ab , có A

4

= 24 cách chọn cde

có 6.24 = 144 số thỏa mãn.

A = cách chọn ab

2

3

6

37

+ Trường hợp 2: d , e là hai chữ số lẻ: Có

2

A

3

= 6 cách chọn de

2

Với mỗi de , có 3 cách chọn a, A

3

= 6 cách chọn bc

có 6.3.6 = 108 số thỏa mãn.

Vậy có 144 + 108 = 252 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dạng 1.3.2 Bài toán chọn người (vật)

Câu 157. Chọn ra 2 học sinh từ một tổ có 10 học sinh và phân công giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là một

2

chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử. Số cách chọn là A cách.

5

Câu 158. Số cách ủa huấn luyện viên của mỗi đội là A

11

= 55440 .

Câu 159. Mỗi cách chọn 3 người ở 3 vị trí là một chỉnh hợp chập 3 của 25 thành viên.

3

Số cách chọn là: A

25

= 13800 .

Câu 160. Mỗi cách chọn một bạn làm lớp trưởng và một bạn làm lớp phó là chỉnh hợp chập 2 của 30 phần

2

tử nên số cách chọn là A . 30

Câu 161. Chọn B

3

Số cách chọn ban quản lí là A

25

= 13800 cách.

Câu 162. Số cách chọn 3 em học sinh là số cách chọn 3 phần tử khác nhau trong 10 phần tử có phân biệt

3

thứ tự nên số cách chọn thỏa yêu cầu là A

10

.

Câu 163. Mỗi cách chọn 6 ghế từ 10 ghế sắp xếp 6 người là một chỉnh hợp chập 6 của 10 phần tử.

6

Vậy có A

10

cách chọn.

Câu 164. Chọn A

Chọn 3 học sinh trong 38 học sinh và sắp xếp ba học sinh vào ba chức vụ khác nhau: Lớp trưởng,

Lớp phó, Bí thư. Mỗi cách chọn ra 3 học sinh như vậy là một chỉnh hợp chập 3 của 38 phần tử.

3

Vậy số cách chọn là: A

38

= 50616. .

Câu 165. Số cách chọn 5 cầu thủ từ 11 trong một đội bóng để thực hiện đá 5 quả luân lưu 11 m , theo thứ

5

tự quả thứ nhất đến quả thứ năm là số chỉnh hợp chập 5 của 11 phần tử nên số cách chọn là A .

Dạng 1.3.3 Bài toán liên quan đến hình học

Câu 166. Số vectơ khác vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD là số

2

các chỉnh hợp chập 2 của phần tử số vectơ là A

4

= 12 .

Câu 167.

Lời giải

Chọn D

Mỗi vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác ABCDEF là

2

một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử. Vậy số vectơ thỏa yêu cầu bài toán là A vectơ.

Dạng 2. Bài toán kết hợp hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp

Dạng 2.1 Bài toán đếm số (tập số)

Câu 168. Chọn B

2

+ Chọn 2 chữ số lẻ từ 7 chữ số đã cho có C cách.

2

+ Chọn 2 chữ số chẵn từ 7 chữ số đã cho có C3

cách.

+ Với 4 chữ số đã chọn ta xếp vào 4 vị trí có 4! cách.

2 2

Do đó có C4 . C

3

.4! = 432 số.

Câu 169.

Lời giải

Chọn C

2;3;4;5 : có

4

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Chọn 3 chữ số khác nhau từ các số trong tập hợp { }

10

3

C

4

cách;

6

11

38

Câu 170. Chọn D

Sau đó, sắp xếp 5 chữ số đã chọn: có 5! cách;

3

Vậy có C .5! = 480 số có 5 chữ số khác nhau và luôn có mặt số 1 và số 6.

4

Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau có dạng: a1a2 a3a4a 5

.

Chọn một số cho a

1

ta có 5 cách chọn.

Tiếp theo ta bỏ số a

1

và số 0 thì từ tập hợp đã cho chúng ta còn lại 4 số. Ta chọn 3 số từ 4 số đó

ta có

C cách chọn.

3

4

Chúng ta xếp số 0 và 3 số vừa mới chọn vào 4 vị trí a2, a3, a4,

a

5

ta được 4! cách xếp.

Chọn cho các số cho a2, a3, a4,

a

5

có mặt chữ số 0 ta có

3

C cách chọn.

3

Số số tự nhiên thỏa yêu cầu đề bài có thể lập được là: 5.4!. C

4

= 480 .

Câu 171. Chọn A.

Gọi a là số thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Như vậy các chữ số của a thỏa mãn các trường hợp sau:

4

a chứa năm chữ số 1 và 2013 chữ số 0 : C

2017

a chứa ba chữ số 1 , một chữ số 2 và 2014 chữ số 0 : C

a chứa hai chữ số 1 , một chữ số 3 và 2015 chữ số 0 : C

a chứa một chữ số1 , một chữ số 4 và 2016 chữ số 0 : 2C

a chứa một chữ số 5 và 2017 chữ số 0 : 1

a chứa một chữ số 1 , hai chữ số 2 và 2015 chữ số 0 : C

a chứa một chữ số 2 , một chữ số 3 và 2016 chữ số 0 :

Vậy có 1+ 4C + 2017C + C + C + 2A

1 2 3 4 2

2017 2017 2017 2017 2017

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

5 .4!

+ 2015C

3 2

2017 2017

+ A

2 2

2017 2017

1

2017

+ A

2 2

2017 2017

5

Câu 172. Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9 ) và sắp xếp chúng theo thứ tự có A

9

cách.

Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị

trí).

Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0 .

3

Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có C cách.

5 3

Vậy có A9 C

5

= 151200 số cần tìm.

Câu 173. Chọn D

5

*Ý tưởng: Đầu tiên, ta chọn 7 chữ số gồm 3 chữ số 2 và 4 chữ số bất kì từ tập { }

xếp vào 7 vị trí. Sau đó, ta trừ đi những trường hợp mà chữ số 0 đứng đầu.

3

Bước 1: Ta xếp 3 chữ số 2 vào 3 trong 7 vị trí Có C cách.

Chọn 4 chữ số còn lại từ tập { }

7

2C

1

2017

0;1;3;4;5;6;7 và xếp vào 4 vị trí còn lại Có

6

4

7

0;1;3;4;5;6;7 rồi

A cách.

Bước 2: Chọn chữ số đầu tiên bên trái là 0.

3

Ta xếp 3 chữ số 2 vào 3 trong 6 vị trí còn lại Có C cách 3 chữ số còn lại có A cách chọn.

3 4 3 3

Kết luận: tổng cộng có C7 × A7 − C6 × A6 = 27000 số tự nhiên thỏa mãn đề bài.

2

Câu 174. Xếp hai bạn vào ghế mang số chẵn có A cách.

3

2

Xếp hai bạn vào ghế mang số lẻ có A

3

cách.

Số cách xếp hai bạn còn lại vào hai vị trí còn lại là 2! cách.

2 2

Vậy số cách xếp chỗ để thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó là A . A .2! = 72 (cách).

3 3

3

6

39

5

Câu 175. Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9 ) và sắp xếp chúng theo thứ tự có A

9

cách.

Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị

trí).

Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0 .

3

Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có C cách.

5 3

Vậy có A9 C

5

= 151200 số cần tìm.

4

Câu 176. Chọn 4 trong 8 vị trí để xếp số 2 : có C cách chọn.

Xếp các chữ số 1;3;4;5 vào 4 vị trí còn lại: có 4! cách chọn.

5

8

4

Vậy có C 8

.4! = 1680 (số).

Câu 177. Chọn A

Vì 5 = 4 + 1 = 3+ 2 = 2 + 2 + 1 = 3+ 1+ 1 = 2 + 1+ 1+ 1 = 1+ 1+ 1+ 1+ 1 nên ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số 5 đứng đầu và 2017 số 0 đứng sau: Có 1 số.

Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số 4 , một chữ số 1 và 2016 số 0 .

- Khả năng 1: Nếu số 4 đứng đầu thì số 1 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có

1

C

2017

số.

- Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu thì số 4 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có

1

C

2017

số.

Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số 3 , một chữ số 2 và 2016 số 0

- Khả năng 1: Nếu số 3 đứng đầu thì số 2 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có

1

C

2017

số.

- Khả năng 2: Nếu số 2 đứng đầu thì số 3 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có

1

C

2017

số.

Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số 2 , một chữ số 1 và 2015 số 0

- Khả năng 1: Nếu số 2 đứng đầu thì số 1 và số 2 còn lại đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại

2

nên ta có A

2017

số.

- Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu thì hai chữ số 2 đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có

2

C2017

số.

Trường hợp 5: Số tự nhiên có 2 chữ số 1, một chữ số 3 thì tương tự như trường hợp 4 ta có

2 2

A2017 + C2017

số.

Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số 2 , ba chữ số 1 và 2014 số 0 .

- Khả năng 1: Nếu số 2 đứng đầu thì ba chữ số 1 đứng ở ba trong 2017 vị trí còn lại nên ta có

3

C2017

số.

- Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu và số 2 đứng ở vị trí mà không có số 1 nào khác đứng trước nó

2

thì hai số 1 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có C

2016

số.

- Khả năng 3: Nếu số 1 đứng đầu và số 2 đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai số 1 thì hai số 1

2

và 2 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có A

2016

số.

Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số 1 và 2013 số 0 , vì chữ số 1 đứng đầu nên bốn chữ số

4

1 còn lại đứng ở bốn trong 2017 vị trí còn lại nên ta có C số.

Áp dụng quy tắc cộng ta có 1 4 2( ) ( )

Dạng 2.2 Bài toán chọn người (vật)

Câu 178. Chọn A

3

Chọn 3 bì thư có C .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

6

Chọn 3 tem thư và dán nó vào 3 bì thư có

2017

+ C + C + A + C + A + C + C số cần tìm.

1 2 2 3 2 2 4

2017 2017 2017 2017 2016 2016 2017

3

A

5

.

40

Số cách chọn cần tìm là

C . A = 1200 .

3 3

6 5

3

Câu 179. Chọn ra 3 lọ trong 5 lọ để cắm hoa. Số cách chọn lọ là: C

5

Số cách cắm 3 bông hoa vào 3 lọ được chọn là: 3!

3 3

Số cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ là: C

5

.3! = A5

.

Câu 180. Sắp 6 học sinh thành một hàng ngang, giữa 6 học sinh có 5 khoảng trống, ta chọn 3 khoảng

trống và đưa 3 giáo viên vào được cách sắp thỏa yêu cầu bài toán.

3

Vậy tất cả có : 6!. A

5

= 43200 cách.

Câu 181. Chọn A

2

Số cách chọn 2 vé cho hai bạn muốn ngồi ghế bên chẵn là A .

2

Số cách chọn 2 vé cho hai bạn muốn ngồi ghế bên lẻ là A

3

.

Còn lại 2 vé cho hai bạn còn lại có 2! cách.

2 2

Vậy số cách chọn là: A3 . A

3

.2! = 72 cách.

Câu 182. Chọn A

Có hai người mà mỗi người nhận một đồ vật và một người nhận hai đồ vật.

2

Chọn hai người để mỗi người nhận một đồ vật: có C cách chọn.

2

Chọn hai đồ vật trao cho hai người: có A

4

cách chọn.

Hai đồ vật còn lại trao cho người cuối cùng.

2 2

Vậy số cách chia là : C

3

. A4

= 36 cách.

Câu 183. Chọn D

5

Số cách lấy 5 cuốn sách và đem tặng cho 5 học sinh: S = A

10

= 30240 cách.

2

Số cách chọn sao cho không còn sách Đại số: S = C .5! = 2520 cách

1 7

1

Số cách chọn sao cho không còn sách Giải tích: S = C .5! = 720 cách

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

3

2 6

2

Số cách chọn sao cho không còn sách Hình học: S = C .5! = 2520 cách.

3 7

Vậy số cách tặng thỏa yêu cầu bài toán:: S − S1 − S2 − S

3

= 24480 cách tặng.

Câu 184. Chọn D

5

Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9 ) và sắp xếp chúng theo thứ tự có A

9

cách.

Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị

trí).

Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0 .

3

Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có C cách.

5 3

Vậy có A9 C

5

= 151200 số cần tìm.

Câu 185. Chọn C

4

Có C cách phân công 4 nam về tỉnh thứ nhất

12

5

4

4

Với mỗi cách phân công trên thì có C

8

cách phân công 4 nam về tỉnh thứ hai và có C

4

cách phân

công 4 nam còn lại về tỉnh thứ ba.

Khi phân công nam xong thì có 3! cách phân công ba nữ về ba tỉnh đó.

4 4 4

Vậy có tất cả C . C . C .3! = 4989600 cách phân công.

12 8 4

Câu 186. Xét các trường hợp sau :

TH1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có 2!.8! cách.

TH2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C có

TH3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có

3

2!. A .7! cách.

1

4

2!. A .6! cách.

2

4

41

TH4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có

2!. A .5! cách.

3

4

TH5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có

1 2 3 4

Vậy theo quy tắc cộng có ( A4 A4 A4 A4

)

2!. A .4! cách.

2! 8! + 7! + 6! + 5! + 4! = 145152 cách.

Câu 187. Vì chia hết 4 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật nên

có 2 người mỗi người nhận 1 đồ vật và 1 người còn lại nhận 2 đồ vật.

3

Chọn 3 đồ vật có C

4

= 4 cách, chia 3 đồ vật đó cho 3 người có 3! = 6 cách.

Chọn 1 người trong 3 người để nhận đồ vật còn lại có 3 cách.

Vậy có 4.6.3 = 72 cách thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 188. Chọn C

Vì trong 5 người được chọn phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất phải có 2 nam nên số học sinh nữ gồm 1

hoặc 2 hoặc 3 nên ta có các trường hợp sau:

• chọn 1 nữ và 4 nam.

+) Số cách chọn 1 nữa: 5 cách

2

+) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: A

+) Số cách chọn 2 nam còn lại: C

2 2

Suy ra có 5 A15 . C

13

cách chọn cho trường hợp này.

• chọn 2 nữ và 3 nam.

2

+) Số cách chọn 2 nữ: C cách.

5

2

+) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: A15

cách.

+) Số cách chọn 1 còn lại: 13 cách.

2 2

Suy ra có 13 A15 . C

5

cách chọn cho trường hợp này.

• Chọn 3 nữ và 2 nam.

3

+) Số cách chọn 3 nữ: C cách.

+) Số cách chọn 2 làm đội trưởng và đội phó:

Suy ra có

2 3

15 5

5

2

13

A . C cách chọn cho trường hợp 3.

2

15

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

15

A cách.

2 2 2 2 2 3

Vậy có 5 A15 . C13 + 13 A15 . C5 + A15 . C

5

= 111300 cách.

Câu 189. Chọn C

Ta dùng phần bù.

Sắp 8 người vào 8 vị trí theo hàng dọc có 8! cách sắp xếp.

2

Sắp ông và bà An vào 2 trong 6 vị trí (trừ vị trí đầu và cuối hàng) có A

6

cách.

Sắp 6 người con vào 6 vị trí còn lại có 6! cách.

2

Vậy có 8! − A .6! = 18720 cách sắp xếp.

6

Dạng 2.3 Bài toán liên quan đến hình học

Câu 190. Tô màu theo nguyên tắc:

Tô 1 ô vuông 4 cạnh: chọn 2 trong 3 màu, ứng với 2 màu được chọn có 6 cách tô. Do đó, có

2

6.C

3

cách tô.

Tô 3 ô vuông 3 cạnh (có một cạnh đã được tô trước đó): ứng với 1 ô vuông có 3 cách tô màu 1

trong 3 cạnh theo màu của cạnh đã tô trước đó, chọn 1 trong 2 màu còn lại tô 2 cạnh còn lại, có

1

3

3. C

2

= 6 cách tô. Do đó có 6 cách tô.

Tô 2 ô vuông 2 cạnh (có 2 cạnh đã được tô trước đó): ứng với 1 ô vuông có 2 cách tô màu 2 cạnh

2

(2 cạnh tô trước cùng màu hay khác nhau không ảnh hưởng số cách tô). Do đó có 2 cách tô.

2 3

Vậy có: 6. C .6 .4 = 15552 cách tô.

3

Câu 191. Gọi A

1, A

2

,…, A

2018

là các đỉnh của đa giác đều 2018 đỉnh.

4

4

42

Gọi ( )

O là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều A1 A2 ... A

2018

.

Các đỉnh của đa giác đều chia ( O ) thành 2018 cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng

360° .

2018

Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của

O .

( )

Suy ra góc lớn hơn 100° sẽ chắn cung có số đo lớn hơn 200° .

Cố định một đỉnh A

i

. Có 2018 cách chọn A

i

.

Gọi A

i

, A

j

, A

k

là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho Ai

A

k

< 160° thì Ai Aj A

k

> 100°

và tam giác Ai Aj A

k

là tam giác cần đếm.

Khi đó 160

Ai

A

k

là hợp liên tiếp của nhiều nhất = 896

360

cung tròn nói trên.

2018

2

896 cung tròn này có 897 đỉnh. Trừ đi đỉnh A

i

thì còn 896 đỉnh. Do đó có C

896

cách chọn hai

đỉnh A , A .

Vậy có tất cả

j

k

2018.C tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2

896

Dạng 3. Giải phương trình, bất phương trình, hệ liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Câu 192. Chọn C

Câu 193. Chọn A

2 n!

( n−2)!. ( n−1)

n

Ta có: An

= = = ( n−1)

n .

( n−2)! ( n−2)!

Câu 194. Chọn A

k n!

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được tính theo công thức: An

= .

n − k !

Câu 195. Chọn C

Vì

A

k

n

=

Câu 196. Chọn A

n!

( n − k )

!

Theo lý thuyết công thức tính số các tổ hợp chập k của n: C

Câu 197. Chọn C

k

k n! k n!

k An

Vì Cn

= ; An

= Cn

= .

k!( n − k)! ( n − k)!

k !

( )

n!

= .

k! n k !

( − )

k k k

(Ở D chú ý: Cn = C −1

n−

+ C (với 1 n−

1 ≤ k ≤ n ), Chứng minh bằng phản ví dụ cho n, k các giá trị cụ

1

thể ta dễ dàng loại A, B, D)

Câu 198. Chọn B

x

∈Z

Điều kiện :

x

≥ 2

x

= −

2 1

1( l)

Ax

− Ax

= 3 ⇔ x( x −1)

− x = 3 ⇔

x

= 3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

k

n

43

Vậy x = 3 .

Câu 199. Chọn B

Điều kiện: x ≥ 3, x ∈ N .

x( x −1)( x − 2)

2x C A 2 x x( x 1) x 9x

8 0

6

Câu 200. Chọn C

2 3 n! n! 1

An

+ Cn

= + = n( n − 1) + n( n −1)( n − 2)

= 50

n − 2 ! 3! n − 3 ! 6

3 2 2

+

x

=

x+

1

⇔ + = + ⇔ − + = ⇔

x =

( ) ( )

3 2

⇔ n + 3n − 4n − 300 = 0 ⇔ n = 6

Câu 201. Chọn D

Điều kiện: n ∈ N , n ≥ 2 .

x

= 1 ( l)

.

8

2 2 n( n −1)

2 n

= 5

n

3

n

15 5 ( 1) 3. 5 15 0 11 30 0

Ta có: A − C = − n ⇔ n n − − + n − = ⇔ n − n + = ⇔

2

.

n

= 6

Hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, chúng có tổng bằng 11

Câu 202. Điều kiện:

n

≥ 3

n

∈ N .

6n − 6 + Cn = C

n +

3 3

1

( n − )

( n + 1 )!

( n − )

( )( ) ( ) ( )

n!

n n −1 n − 2 n + 1 n n −1

⇔ 6n

− 6 + = ⇔ 6n

− 6 + =

3! 3 ! 3! 2 !

6 6

3 2

n n

( )

( )

n

= 1 L

⇔ ( n − 1)

36 + n( n − 2) − ( n + 1)

n

= 0 ⇔

n = 12 TM

Câu 203. Theo đề bài: C = 2C

(1) (với n ≥ 3 , n∈N )

n! n! 1 1

⇔ = 2 ⇔ = ⇔ n = 8 .

3! n − 3 ! 2! n − 2 ! 6 n − 2

( ) ( )

Câu 204. Cách 1: ĐK: x∈Z ; x ≥ 3.

Có

A C 14x

+ = ( )( )

3 x−2

x x

( −1)

x x

⇔ x x −1 x − 2 + = 14x ⇔ 2( x −1)( x − 2) + ( x − 1)

= 28

2

⇔ 2x − 5x − 25 = 0 ⇔ x = 5; x = − .

2

Kết hợp điều kiện thì x = 5.

Cách 2: Lần lượt thay các đáp án vào đề bài ta được x = 5.

n

∈N Câu 205. Điều kiện (*).

n

≥ 3

! !

Với điều kiện (*) phương trình đã cho ⇔ n n

5. 2 n 15

n − 3 ! + n − 2 !

= + .

2 5

( )

( ) ( )

3 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

⇔ n. n −1 . n − 2 + 5. n. n − 1 = 2 n + 15 ⇔ n − 3n + 2n + 5n − 5n = 2n

+ 30 .

3 2

⇔ n + 2n − 5n − 30 = 0 ⇔ n = 3 ( thỏa mãn điều kiện (*) ). Vậy 3

Câu 206. Điều kiện n ≥ 4 , n ∈ N , ta có C

= 20C

4 2

n

n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

= 18

⇔ ( n − 2)( n − 3)

= 240 n = 18 . Vậy

n

= −13

.

n = .

n! n!

⇔ = 20

4! n − 4 ! 2! n − 2 !

( ) ( )

M = A + 3A

= 78 .

2 3

3 4

44

n

≥ 2

Câu 207. Điều kiện

n

∈ N .

Ta có 3C 3 − 2

n 1

3A = + n

52( n − ( n + 1 )! n!

1)

( n − ) ( n − )

( n )

⇔ 3 − 3 = 52 −1

3! 2 ! 2 !

( n + 1) n( n −1)

⇔ − 3n ( n − 1) = 52( n − 1)

( )

2

⇔

2

n + 1 n − 6n

= 104 ⇔ n −5n

− 104 = 0

n

= 13 ( t / m)

⇔

. Vậy n = 13.

n = −8( loai)

x

∈N Câu 208. Điều kiện: .

x

≥ 2

2 1

Ax

− Ax

= 3 x! x!

3

( x − 2 )! ( x −1 )!

2

x

= −1

⇔ x( x −1)

− x = 3 ⇔ x − 2x

− 3 = 0 ⇔ .

x

= 3

3 .

Kết hợp với điều kiện ta có tập hợp tất cả nghiệm thực của phương trình là { }

Câu 209. Điều kiện: n ∈ N , n ≥ 2 .

2 2

! !

Cn

+ An

= 9n

⇔ n n

9n

2! n − 2 ! + n − 2 !

=

Vậy n chia hết cho 7 .

( ) ( )

( n −1)

n

⇔ + ( n − 1)

n = 9n

( n )

2

⇔ 3 − 1 = 18 ⇔ n = 7 .

2

Câu 210. Tổng số đường chéo và cạnh của đa giác là : C Số đường chéo của đa giác là C 2 − n .

Ta có : Số đường chéo bằng số cạnh

n!

C n n ⇔ = 2n

⇔ n ( n − 1)

= 4n ⇔ n − 1 = 4 ⇔ n = 5 .

2! n − 2 !

2

⇔

n

− =

( )

Câu 211. Điều kiện: n ≥ 1, n ∈ N .

1 1 7 1 1 7 1 2 7

− = ⇔ − = ⇔ − =

1 2 1

Cn Cn+ 1

6C

n! n+

4

( n + 1 )! 6. ( n + 4 )!

n n n + 1 6. n + 4

( n −1 )!.1! n − 1 !.2! n + 3 !.1!

( )

n

( )

( ) ( )

2

n

= 3

⇔ n − 11n

+ 24 = 0 ⇔ .

n

= 8

1 1 7

Vậy Tổng của tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn − = là: 3 + 8 = 11.

1 2 1

Cn Cn+ 1

6Cn+

4

Câu 212. Điều kiện: n ≥ 0 , n ∈ N .

n 3 ( n + 5 )! ( n + 3 )!

Cn+ 5

= 5An

+ 3

⇔ = 5. ⇔ ( n + 5)( n + 4)

= 600 .

n!5! n!

2

n

= 20

⇔ n + 9n

− 580 = 0 ⇔ n = 20 .

n

= − 29

n m n

Câu 213. Theo tính chất C = C −

n n 2

nên từ C = C + suy ra 2n

+ 2 = m .

m

( )

m

m m −1

2

C

m

= 153 ⇔ = 153 m = 18 . Do đó n = 8 .

2

Vậy m + n = 26 .

m

m

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

45

Câu 214. Ta có

2

n

( n − )

1 2 ! 1 1 1

= = = −

A n! n 1 n n −1

n

( − )

. Cho n ∈ N và n chạy từ 2 đến 2019 ta được:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2018

S = + + ⋯+ = 1− + − + ⋯ + − = 1− = .

2 2 2

A2 A3 A2019

2 2 3 2018 2019 2019 2019

Câu 215. Điều kiện n ≥ 8, n ∈ N

7 8 n! n!

1 1

Cn

= Cn

⇔ = ⇔ = ⇔ n − 7 = 8 ⇔ n = 15 ( TM ) .

7! n − 7 ! 8! n − 8 ! n − 7 8

( ) ( )

Câu 216. Chọn A

Điều kiện n∈Z, n ≥ 0 .

Với điều kiện đó bất phương trình tương đương:

( ) ( ) ( )

3 2 n ! 3 n !

n! 720 ( 3 )! 720

! ! 2 ! ! ≤ ⇔ n

n n n n

≤ .

( )

Ta thấy ( 3 n )!

tăng theo n và mặt khác = ≥ ( n )

6! 720 3 !

Suy ra bất phương trình có nghiệm n = 0,1,2 .

Câu 217. Chọn C

n

∈N

Điều kiện: .

n

≥ 1

4

( n + 4)!

Ta có: Pn − 1. An + 4

< 15 Pn

+ 2

⇔ ( n − 1)! < 15( n + 2)!

n!

( n + 4)( n + 3)

2

⇔ < 15 ⇔ n − 8n + 12 < 0 ⇔ 2 < n < 6 n = 3,4,5 .

n

Câu 218. Chọn B

k, x ∈N

Điều kiện: .

k

≤ x

Bpt ⇔ ( x + 4)( x + 5)( x + 1 − k ) ≤ 60 .

• x ≥ 4 bất phương trình vô nghiệm.

• 0 ≤ x ≤ 4 ta có các cặp nghiệm: ( x; k ) = (1;0),(1;1),(2;2),(3;3) .

Câu 219. Chọn C

n

∈N

Điều kiện: .

n

≥ 2

( n + 1) n 10 n( n −1)

Bpt ⇔ > n ⇔ 2 ≤ n ≤ 5 .

2 3 2

Câu 220. Chọn A

Điều kiện x, y ∈N;

x ≥ y .

( x + 1)! ( x + 1)!

=

y+

1 y

Cx+ 1

= Cx+

1 ( y + 1)!( x − y)! y!( x − y + 1)!

Ta có:

⇔

y+ 1 y−1

3C

( 1)! ( 1)!

+ 1

= 5

+ +

x

C

+ 1 x

x

x

3 = 5

( y + 1)!( x − y)! ( y −1)!( x − y + 2)!

1 1

=

y + 1 x − y + 1

x

= 2y

⇔

⇔

3 5 3( y + 1)( y + 2) = 5 y( y + 1)

=

y( y + 1) ( x − y + 1)( x − y + 2)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

46

x = 2y x

= 6

⇔ ⇔ .

3y + 6 = 5y y

= 3

Câu 221. Chọn D

n∈N

Điều kiện: .

n

≥ 2

( n + 1)

n

2

7

Bpt ⇔ ( n + 1) n( n − 1)

+ < 14( n + 1) ⇔ 2n − n − 28 < 0 ⇔ − < n < 4 .

2 2

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: 2 ≤ n < 4 .

Câu 222. Chọn A

Với n ≥ 2, n ∈N ta có:

( n + )

n−1 n 5 2 n 5 2

3 ! 5 n!

2

Cn+ 2

+ Cn+ 2

> An ⇔ Cn+

3

> An

⇔ > ⇔ n( n − 9n + 26)

+ 6 > 0 luôn đúng

2 2 n!3! 2 2 !

( n − )

với mọi n ≥ 2 .

Vậy nghiệm của bất phương trình n ≥ 2, n ∈N .

Câu 223. Chọn A

x

∈N

Điều kiện: .

x

≥ 3

1 2 2 6 3

A2

x

− Ax ≤ Cx

+ 10 ⇔ x( 2x −1) − x( x −1) ≤ ( x −1)( x − 2)

+ 10

2 x

3x ≤12 ⇔ x ≤ 4 .

Kết hợp đk ta đc 3 ≤ x ≤ 4

Câu 224. Chọn D

Điều kiện x, y ∈N;

x ≤ y .

x x x

2A 5 90

y

+ Cy = Ay

= 20

Ta có:

⇔ .

x x x

5Ay − 2C y

= 80

Cy

= 10

x x

20

Từ Ay

= x!

C

y

suy ra x! = = 2 ⇔ x = 2

10

2 2 y = −4 (loai)

Từ Ay

= 20 ⇔ y ( y − 1)

= 20 ⇔ y − y − 20 = 0 ⇔

y = 5

Vậy x = 2; y = 5 .

Câu 225. Để tạo thành một tam giác cần 3 điểm phân biệt

Trường hợp 1: chọn 1 điểm trên đường thẳng d

1

và 2 điểm trên đường thẳng d

2

có C C

Trường hợp 2: chọn 2 điểm trên đường thẳng d

1

và 1 điểm trên đường thẳng d

2

có C C

1 2 2 1

5. ! 10. !

Số tam giác được tạo thành là C5. Cn

+ C5

. Cn

= 175 ⇔ n n

175

2! n − 2 ! + 1! n −1 !

=

( n − )

( ) ( )

5 1 n

n

= 7

2

⇔ + 10n

= 175 ⇔ 5n

+ 15n

− 350 = 0 ⇔ .

2

n

= − 10( l)

Câu 226. Chọn B

Gọi số đỉnh của đa giác là n, n ∈ N và n > 3 . Vậy số cạnh của đa giác cũng là n.

Ta có: Cứ chọn hai điểm bất kì của đa giác ta sẽ được một đoạn thẳng (hoặc là cạnh hoặc là

đường chéo).

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

1 . 2

5 n

2 . 1

5 n

47

Vậy ta có:

C

( n − )

( − )

2 n!

n n 1

n

= =

2! 2 ! 2

đoạn thẳng.

( −1) n( n − 3)

n n

Suy ra số đường chéo là: − n = đường chéo.

2 2

Theo giả thiết, số đường chéo gấp đôi số cạnh nên ta có:

n( n − 3) n

= 0( L)

2

= 2n ⇔ n − 7n

= 0 ⇔ .

2 n = 7 ( TM )

Kết luận: Số cạnh đa giác thỏa mãn yêu cầu bài toán là 7 .

Câu 227. Chọn D

Số cách các xếp học sinh vào ghế là ( 2n + 3 )!.

Nhận xét rằng nếu ba số tự nhiên a, b,

c lập thành một cấp số cộng thì a + c = 2b

nên a + c là

một số chẵn. Như vậy a,

c phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Từ 1 đến 2n + 3 có n + 1 số chẵn và n + 2 số lẻ.

Muốn có một cách xếp học sinh thỏa số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số

cộng ta sẽ tiến hành như sau:

Bước 1: chọn hai ghế có số thứ tự cùng chẵn hoặc cùng lẻ rồi xếp An và Chi vào, sau đó xếp

2 2

Bình vào ghế chính giữa. Bước này có A + A cách.

n+ 1 n+

2

Bước 2: xếp chỗ cho 2n học sinh còn lại. Bước này có ( )

2 2

Như vậy số cách xếp thỏa yêu cầu này là ( A A ) ( n)

1

+ . 2 !

n 2 .

n+ +

2 n ! cách.

Ta có phương trình

2 2

( An

+ 1

+ An

+ 2 ).( 2 n)

! 17 n( n + 1) + ( n + 1)( n + 2)

17

= ⇔ =

2n + 3 ! 1155 2n + 1 2n + 2 2n

+ 3 1155

( )

( )( )( )

⇔ − − =

2

68n

1019n

1104 0

n

= 16

⇔

69

n = − ( loaïi )

68

Vậy số học sinh của lớp là 35 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

48

TOÁN 11

NHỊ THỨC NEWTON VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1D2-3

Mục lục

Phần A. CÂU HỎI .......................................................................................................................................................... 2

Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton ............................................................................................................. 2

Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton .......................................................................................... 3

Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức ............................................................................................................................. 3

Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng ............................................................................................... 3

Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k ...................................................................................................... 4

Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n ............................ 5

Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập) ................................................................................ 8

Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức .................................................................................................................... 11

Dạng 2.2.1 Dạng ( )

n

a1 + a2 + ... a k

........................................................................................................... 11

n m h

1 1 2 2

...

k k

Dạng 2.2.2 Tổng ( a b ) ( a b ) ( a b )

+ + + + + + ......................................................................... 12

Dạng 2.2.3 Tích ( .. ) m

l

a a .( b ... b )

+ + + + ........................................................................................... 12

1 n 1

n

Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng ..................................................................................................... 13

Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán ............................................................................................................ 13

Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................. 14

Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton ........................................................................................................... 14

Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton ........................................................................................ 16

Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức ........................................................................................................................... 16

Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng ............................................................................................. 16

Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k .................................................................................................... 18

Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n .......................... 20

Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập) .............................................................................. 27

Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức .................................................................................................................... 31

Dạng 2.2.1 Dạng ( )

n

a1 + a2 + ... a k

........................................................................................................... 31

n m h

1 1 2 2

...

k k

Dạng 2.2.2 Tổng ( a b ) ( a b ) ( a b )

+ + + + + + ......................................................................... 33

Dạng 2.2.3 Tích ( .. ) m

l

a a .( b ... b )

+ + + + ........................................................................................... 35

1 n 1

n

Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng ..................................................................................................... 35

Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán ............................................................................................................ 36

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

1

Câu 1.

Câu 2.

Phần A. CÂU HỎI

Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton

(THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Số số hạng trong khai triển

( 2) 50

x + là

A. 49 . B. 50. C. 52. D. 51.

(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức

( 2x − 3) 2018

A. 2019 . B. 2017 . C. 2018 . D. 2020 .

Câu 3. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn ( x y) 5

Câu 4.

A.

C.

5 4 3 2 2 3 4 5

x − 5x y + 10x y − 10x y + 5xy − y . B.

5 4 3 2 2 3 4 5

x + 5x y + 10x y + 10x y + 5xy + y . D.

5 4 3 2 2 3 4 5

x − 5x y −10x y −10x y − 5xy + y .

5 4 3 2 2 3 4 5

x + 5x y − 10x y + 10x y − 5xy + y .

− .

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

2019

(3− 2 x)

có bao nhiêu số hạng?

A. 2019 . B. 2018 . C. 2020 . D. 2021.

Câu 5. Từ khai triển biểu thức ( 1) 10

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

x + thành đa thức. Tổng các hệ số của đa

thức là

A. 1023. B. 512. C. 1024. D. 2048 .

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Từ khai triển biểu thức

( 1) 10

x + thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là

A. 1023. B. 512. C. 1024 . D. 2048 .

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Tính tổng các hệ số trong khai

triển ( 1 2x) 2018

− .

A. − 1. B. 1. C. − 2018 . D. 2018 .

4

(THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Khai triển ( 5 − 7)

hạng hữu tỉ trong khai triển trên?

A. 30. B. 31. C. 32. D. 33.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

124

. Có bao nhiêu số

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Trong khai triển nhị thức newton của

3

2018

P( x) = ( 2x

+ 3) thành đa thức,có tất cả có bao nhiêu số hạng có hệ số nguyên dương?

A. 673. B. 675. C. 674. D. 672.

Câu 10. (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Trong khai triển ( ) 20 2 20

− x = a + a x + a x + + a x

Câu 11.

1 2 ... .

Giá trị của a0 − a1 + a2

bằng

A. 801. B. 800. C. 1. D. 721.

0 1 2 20

(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai

3 5

triển của biểu thức ( 3 5) 2019

+ ?

A. 136 . B. 403. C. 135 . D. 134 .

2

Câu 12.

1 1 1 1

15 3 3 5

(Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Trong khai triển của x y + x y

, số hạng mà lũy thừa

của x và y bằng nhau là số hạng thứ bao nhiêu của khai triển?

A. 1348 . B. 1346 . C. 1345 . D. 1347 .

Câu 13. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho khai triển ( ) 20 2

a + a + a + ⋯ + a bằng:

0 1 2 20

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2019

1− 2x = a + a x + a x + ⋯ + a x

0 1 2 20 20

20

A. 1. B. 3 . C. 0 . D. − 1.

Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton

Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức

Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng

Câu 14.

Câu 15.

Câu 16.

Câu 17.

Câu 18.

Câu 19.

Câu 20.

(Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Hệ số của số hạng chứa

12

2

x −

x x

(với x > 0 ) là:

A. 376 . B. − 264 . C. 264 . D. 260 .

(HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Tìm hệ số của số hạng chứa

13

1

triển nhị thức x +

x , (với x ≠ 0 ).

A. 1716. B. 68. C. − 176.

D. 286.

(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Hệ số của

40

1

x + , x ≠ 0

2 là.

x

4

2

3

5

A. C . B. C . C. C . D. C .

40

40

40

. Giá trị của

7

x trong khai triển nhị thức

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Hệ số lớn nhất trong khai triển

A. 27

128 . B. 9 27

27

. C. . D.

32 32 64 .

(HKI-Chu Văn An-2017) Cho biết hệ số của

2

x trong khai triển ( x)

x

31

40

7

x trong khai

trong khai triển

1 3

4 4 x

+

1+ 2 n

bằng 180 .Tìm n .

A. n = 8 . B. n = 12 . C. n = 14 . D. n = 10 .

(HKI-Chu Văn An-2017) Tìm hệ số của

+ .

7

x trong khai triển ( 1 x) 10

A. 90. B. 720 . C. 120 . D. 45 .

(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Tìm hệ số h của số hạng chứa

2 2

7

x +

x .

A. h = 84 . B. h = 672 . C. h = 560 . D. h = 280 .

5

x trong khai triển

4

3

Câu 21.

Câu 22.

Câu 23.

Câu 24.

Câu 25.

(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Hệ số của số hạng chứa

15

2

Newton x −

2

x là

A. − 3640 . B. 3640 . C. 455. D. − 1863680

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Tìm hệ số của

3

khai triển ( x + xy) 15

.

A. 58690. B. 4004. C. 3003. D. 5005.

6

x trong khai triển

25 10

x y trong

2

(CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho khai triển x +

x với x > 0 . Tìm hệ số của

3

số hạng chứa x trong khai triển trên

A. 80. B. 160 . C. 240 . D. 60 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

6

2

(CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho khai triển x +

x với x > 0 . Tìm hệ số của

3

số hạng chứa x trong khai triển trên

A. 80. B. 160 . C. 240 . D. 60 .

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Biết hệ số của

1− 3x

n

là 90. Tìm n.

triển của ( )

A. n = 7 . B. n = 6 . C. n = 8 . D. n = 5.

Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k

6

2

x trong khai

Câu 26. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Số hạng thứ 13 trong khai triển ( 2 − x) 15

bằng?

13

A. 3640x . B.

12

3640x . C.

12

− 420x . D. 3640.

3

1

Câu 27. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng chứa x trong khai triển x −

2x

.

1 3 3

A. − 9

8 C x . B. 1 3 3

9

8 C ⋅ x . C. 3 3

3 3

−C9

⋅ x . D. C9

x .

Câu 28.

Câu 29.

Câu 30.

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Tìm số hạng chứa

13

1

x −

x .

3

A. − . B.

C 13

− C x . C.

3 7

13

− C x . D. − .

4 7

13

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Tìm số hạng chứa

40

1

x +

2 ?

x

4 31

37 31

37 31

3 31

A. C x . B. − C x . C. C x . D. C x .

40

40

(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số hạng chứa

1

triển x +

x

40

là

40

9

7

x trong khai triển

4

C 13

31

x trong khai triển

40

34

x trong khai

4

Câu 31.

A.

− C x . B.

37 34

40

3 34

C40x . C.

2 34

C40x . D.

4 34

C40x .

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Biết hệ số của số hạng chứa

1+ 4x

n

là 3040 . Số tự nhiên n bằng bao nhiêu?

triển ( )

A. 28 . B. 26 . C. 24 . D. 20 .

Câu 32. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Biết hệ số của

1− 3x

n

là 90. Tìm n .

Câu 33.

triển của ( )

A. n = 5. B. n = 8 . C. n = 6 . D. n = 7 .

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho biết hệ số của

2

x trong khai triển ( x)

. Tìm n .

A. n = 12 . B. n = 14 . C. n = 8 . D. n = 10 .

Câu 34. (THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa

biểu thức

5

3 2

3x

−

2

x .

A. − 810 . B. 826 . C. 810 . D. 421.

Câu 35. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa

40

1

x +

2

x .

A.

31

4

2

C . B. C . C. C . D. C .

37

40

40

2

3

Câu 36. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Trong khai triển x + , hệ số của x ( x > 0)

là:

x

A. 80. B. 160 . C. 240 . D. 60 .

Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n

Câu 37.

Câu 38.

Câu 39.

2

x trong khai

2

x trong khai

1+ 2 n

bằng 180

10

x trong khai triển của

31

x trong khai triển

(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn

C + 2. C + 2 . C + ... + 2 . C = 59049 . Biết số hạng thứ 3 trong khai triển Newton của

0 1 2 2

n n

n n n n

có giá trị bằng 81 n . Khi đó giá trị của x bằng

2

A. 1 B. 2. C. ± 1

D. ± 2 .

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho nhị thức 2x

3

5

thỏa mãn A = 72n

. Tìm số hạng chứa x trong khai triển.

A.

6 4 5

10

n

2 C x . B.

2 C x . C.

5 5 5

10

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

40

2

7 3 5

10

6

n

40

x

2 3

n

−

x

1

+

3 , trong đó số nguyên dương n

x

2 C x . D.

2 C x .

6 7 5

10

(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức

1 2 3

n

k

Newton của 2x

− ( x ≠ 0)

, biết rằng 1. Cn + 2. Cn + 3. Cn + ... + n. Cn

= 256n

( C

n

là số tổ hợp

x

chập k của n phần tử).

A. 489888 B. 49888 . C. 48988 . D. 4889888 .

2 3

n

5

Câu 40. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho khai triển ( )

Câu 41.

Câu 42.

Câu 43.

Câu 44.

n

1

1 3

0 1

...

+ x = a + a x + + a x

a1

an

trong đó n∈N * và các hệ số thỏa mãn hệ thức a

0

+ + ... + = 4096 . Tìm hệ số a

n

i

lớn nhất.

3 3

A. 1732104. B. 3897234. C. 4330260. D. 3247695 .

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Tìm hệ số của

6

x trong khai triển

2 2

với x ≠ 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3C + n 1

nP =

+ 2

4 An

.

6

6

A. 210 x .

B. 210. C. 120 x .

D. 120.

(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Tìm hệ số của số hạng chứa

6

x trong khai triển

2 14 1 k

( x ≠ 0)

, biết rằng + =

2 3 ( C

n

là số tổ hợp chập k của n phần tử).

Cn

3Cn

n

A. 326592 . B. 3265922 C. 3265592 D. 32692 .

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Tìm số hạng chứa

n

1 3

+ x

x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2x

n

2 3

n

3n+

1

−

x

26

x trong khai triển

1 7

1 2 20

+ x

4 biết n là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức C2 + 1

+

2 + 1

+ ... + n

n

C

n

C

2n+

1

= 2 −1.

x

A. 325 . B. 210 . C. 200 . D. 152 .

n−6 2

(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Với n là số tự nhiên thỏa mãn Cn− 4

+ nAn

= 454

4

2 3

, hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của − x

x

( với x ≠ 0 ) bằng

A. 1972 . B. 786 . C. 1692 . D. − 1792 .

1 3

Câu 45. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn C + C = 13n

, hệ

Câu 46.

5

2

số của số hạng chứa x trong khai triển của biểu thức x +

3

x bằng.

A. 120 . B. 252 . C. 45 . D. 210 .

(THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn

1 n

9

2 3

x của khai triển biểu thức ( ) n

P x = x +

2 2 1

An = Cn + Cn

+ 4n

+ 6. Hệ số của số hạng chứa

x bằng:

A. 18564 . B. 64152 . C. 192456 . D. 194265 .

Câu 47. (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Biết n là số nguyên dương thỏa mãn C

Câu 48.

3 2

n

n

n

n

n−1 n−2

n n

n

+ C = 78

8

, số hạng chứa x trong khai triển x −

x là

8

8

A. − 101376x . B. − 101376 . C. − 112640 . D. 101376x .

(THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn

− = + 1 n ( − ) . Trong khai triển biểu thức 3 2

( x 2 y )

3 2

3Cn

3A 52 n 1

n

+ , gọi T

k

là số hạng mà tổng số mũ

của x và y của số hạng đó bằng 34 . Hệ số của T

k

là

A. 54912 . B. 1287 . C. 2574 . D. 41184 .

6

1 2

Câu 49. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C

− C = 5. Tìm hệ

4

1

số a của x trong khai triển của biểu thức 2x

+

2

x .

A. a = 11520 . B. a = 256 . C. a = 45 . D. a = 3360 .

Câu 50. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn

Câu 51.

Câu 52.

Câu 53.

n 2 3

3A

− 6

1

n

+ Cn

= 40 . Hệ số của x trong khai triển 2x

− là

x

A. 1024 . B. − 1024 . C. − 1042 . D. 1042 .

(THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018) Với n là số nguyên

dương thoả mãn

A

2 1

n n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

+ 3C

= 120 , số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức

bằng

A. 295245 . B. 245295 . C. 292545 . D. 259254 .

(THPT PHÚ LƯƠNG - THÁI NGUYÊN - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa

2n

nhị thức Niutơn của + ( x ≠ )

2n

n

n

x

4 3

n

−

x

8

x trong khai triển

n x

3 2

, 0 , biết số nguyên dương n thỏa mãn Cn

+ An

= 50.

2x

2

A. 97

29

297

279

. B. . C. . D.

12 51 512 215 .

(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton

1 2 3

n

k

của 2x

− ( x ≠ 0)

, biết rằng 1. Cn + 2. Cn + 3. Cn + ... + nCn

= 256n

( C

n

là số tổ hợp chập k

x

của n phần tử).

A. 489888 . B. 49888 . C. 48988 . D. 4889888 .

2 3

n

Câu 54. (THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018) Giả sử có khai triển ( )

Câu 55.

Câu 56.

n

2

1 2

0 1 2

...

− x = a + a x + a x + + a x

. Tìm a

5

biết a0 + a1 + a2 = 71.

A. − 672 . B. 672 . C. 627 . D. − 627 .

(CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện

2 3

5

2

An

− Cn

= 10 , tìm hệ số a

5

của số hạng chứa x trong khai triển x −

3 với x ≠ 0 .

x

5

5

A. a

5

= 10 . B. a5 = − 10x

. C. a5 = 10x

. D. a

5

= − 10 .

(HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của

A + 2A

= 100

3 2

n n

2 n

5

x trong khai triển ( 1 3 ) 2 n

x

A. 61236 . B. 63216 . C. 61326 . D. 66321.

n

n

+ biết

Câu 57. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn

( )

n 0 n−1 1 n−2 2

3 3 3 ..... 1 n n

Cn Cn Cn Cn

2048

− + − + − = . Hệ số của

10

x trong khai triển ( 2)

n

A. 11264 . B. 22 . C. 220 . D. 24 .

x + là:

7

Câu 58.

Câu 59.

Câu 60.

Câu 61.

Câu 62.

Câu 63.

Câu 64.

Câu 65.

Câu 66.

(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Trong khai triển 3x

+

x biết hệ số của 3

x là

. Giá trị n có thể nhận là

A. 9. B. 12. C. 15 . D. 16 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2 1

(THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Hệ số của số hạng chứa

n

5

+ x >

3

1

n+

1 n

;( x 0)

biết Cn+ 4

− Cn+

3

= 7( n + 3)

là

x

A. 1303 . B. 313 . C. 495 . D. 13129 .

(CTN - LẦN 1 - 2018) Tìm hệ số của

4

x trong khai triển nhị thức Newton

5 4

, biết n là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn An

≤ 18An

− 2

.

A. 8064 . B. 3360 . C. 13440 . D. 15360 .

n

4 5

3 Cn

8

x trong khai triển

n

1

2x

+

5

x với x > 0

(THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

x −

x biết 2 2

An

− Cn

= 105.

A. − 3003 . B. − 5005 . C. 5005 . D. 3003 .

2 1

n

5

(THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của

n

0 2 4 2n

2 − 3x

, biết n là số nguyên dương thỏa mãn: C + C + C + ... + C = 1024 .

( ) 2

2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2n+

1

A. 2099529 . B. − 2099520 . C. − 1959552 . D. 1959552 .

[HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018] Biết n là số nguyên dương thỏa mãn C

8

, số hạng chứa x trong khai triển x −

x là

8

8

A. − 101376x . B. − 101376 . C. − 112640 . D. 101376x .

3 2

n

(ĐỀ THI GIỮA KỲ II YÊN PHONG 1 - 2018) Tìm số hạng chứa

5

x trong khai triển

3 4

2

biết n là số tự nhiên thỏa mãn Cn

= n + 2Cn

3

A. 134 B. 144 C. 115 D. 141

(THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển

n−1 n−2

, biết n là sô nguyên dương thỏa mãn Cn

+ Cn

= 78 .

A. 112640 . B. 112643 . C. − 112640 . D. − 112643 .

Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập)

9

+ C = 78

n−1 n−2

n n

n

2

x − ,

x

x

3 2

n

−

x

8

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Trong khai triển x +

2 , số hạng không

x

chứa x là

A. 40096. B. 43008. C. 512. D. 84.

8

Câu 67. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số hạng độc lập với x trong

Câu 68.

Câu 69.

Câu 70.

Câu 71.

8

khai triển x −

x là

A. 1792 . B. 792 . C. 972 . D. 1972 .

3 2

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

12

3 1

x − .

x

A. − 220 . B. 220 . C. 924 . D. − 924 .

(KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho x là số thực dương, số

2

hạng không chứa x trong khai triển nhị thức x + là

x

20

20 10

10 20

20

A. 2 . B. 2 C . C. 2 C . D. C .

30

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Số hạng không chứa x trong

45

45

khai triển 1

x −

2

là

x

5

15

A. C . B. − . C. C . D. − .

5

C 45

(THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Số hạng không chứa x trong khai triển

là

5

A. C . B.

10

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

45

30

− C 5 .2 5

. C. 5

10

C 10

30

− . D.

30

15

C 45

C .

5 .2 5

10

2

x +

x

7

Câu 72. (Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Số hạng không chứa x trong khai triển 3

1

x +

4 là:

x

A. 5. B. 35. C. 45. D. 7.

Câu 73.

Câu 74.

Câu 75.

Câu 76.

(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

6

1

2x −

2

x , 0

x ≠ .

A. 240 . B. 15 . C. − 240 . D. − 15 .

(Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Số hạng không chứa x trong khai triển biểu thức

12

1 2

A = − x là

x

A. − 924 . B. 495 . C. − 495 . D. 924 .

1

(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển x −

2

x

15

30

5

15

A. C . B. C . C. − . D. − .

45

45

2 1

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x +

3

x .

A. 10 . B. 20 . C. 5. D. 1.

C 45

C 45

5

45

là

10

9

7

Câu 77. (Kim Liên - Hà Nội - Lần 1 - 2019) Số hạng không chứa x trong khai triển 3

1

x +

4 là

x

A. 5. B. 35. C. 45. D. 7.

Câu 78.

(Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho x là số thực dương, số hạng không chứa x

30

⎛ 2 ⎞

trong khai triển nhị thức

⎜x

+

là

⎜⎝ x ⎟⎠

A.

20

2 . B.

2 .C . C.

20 10

30

2 .C . D.

10 20

30

x + 1 x −1

Câu 79. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho biểu thức P =

− với x > 0 , x ≠ 1. Tìm

3 2 3

x − x + 1 x − x

số hạng không chứa x trong khai triển Niu-tơn của P .

A. 200 . B. 160 . C. 210 . D. 100 .

Câu 80.

Câu 81.

Câu 82.

(THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI - 2018) Số hạng không chứa x trong khai

9

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

10

C .

2

triển f ( x)

= x − ,

2 x ≠ 0 bằng

x

A. 5376 . B. − 5376 . C. 672 . D. − 672 .

(CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển

14

14

3 2

của x −

4

x

với x > 0 là:

6 8

A. 2 C .

6 6

B. 2 C . C. 2 C . D. − .

14

8 8

14

20

30

8 8

2 C 14

(THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tìm số hạng không chứa x

11

11 1

trong khai triển của x x +

5 với x > 0 .

x

A. 485 . B. 238 . C. 165. D. 525 .

Câu 83. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Với n là số nguyên dương thỏa mãn C

Câu 84.

Câu 85.

2 n

+ C = 55 , số hạng

1 2

n n

3

không chứa x trong khai triển của biểu thức x +

2 bằng

x

A. 13440 B. 3360 C. 80640 D. 322560

(ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Tìm số hạng không chứa

⎛ 1 ⎞ n

x trong khai triển của x x

⎜

+

4

⎜⎝ x ⎠⎟

vớix > 0 , nếu biết rằngn là số nguyên dương thỏa mãn

C

− C = 44 .

2 1

n n

A. 485. B. 525. C. 165. D. 238

(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của

1

n

x x +

4

x , với 0

x > , nếu biết rằng 2 1

C − C = 44.

A. 165 . B. 238 . C. 485 . D. 525 .

n

n

10

Câu 86. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển

Câu 87.

2n

3

3 2

2x

−

3 với x ≠ 0 , biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cn

+ 2n = A

n + 1

là:

x

12 4 12

A. − .2 .3 . B. C 0 16

. C. C 12 4 12

.2 .3 . D. C 16 0

.

C 16

16 .2

(SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Với số nguyên dương n thỏa mãn C

2 n

x +

2

x

số hạng không chứa x là

A. 84. B. 672 . C. 8 . D. 5376 .

Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức

Dạng 2.2.1 Dạng ( + + )

a1 a2 ... a k

n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

16

2

n

16 .2

− n = 27 , trong khai triển

Câu 88. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho khai triển

( ) 2017

1 3 2 ...

− x + x 2 = a 2 4034

0

+ a1 x + a2x + + a4034x

. Tìm

2

A. 9136578 B. 16269122 . C. 8132544 . D. 18302258.

Câu 89. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Tìm hệ số của

a .

f x = 1− 3x + 2x

thành

7

3

x trong khai triển ( ) ( ) 10

đa thức.

A. 204120 . B. − 262440 . C. − 4320 . D. − 62640 .

Câu 90. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Cho khai triển ( ) 9

Câu 91.

Câu 92.

3 − 2 x + x = a x + a x + a x + ... + a .

2 18 17 16

0 1 2 18

Giá trị a

15

bằng

A. 218700 . B. 489888 . C. − 804816 . D. − 174960 .

(THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Tìm hệ số của

đơn thức đồng dạng của

9

1

2

− x + 2x

x , 0

x ≠ .

3

x sau khi khai triển và rút gọn các

A. − 2940 . B. 3210 . C. 2940 . D. − 3210 .

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Hệ số của số hạng chứa

2

trong khai triển ( x 3x

2) 6

− + bằng

A. − 6432 . B. − 4032 . C. − 1632 . D. − 5418 .

Câu 93. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa

1+ x + x + x .

5

2 3

x trong khai triển ( ) 10

A. 582 . B. 1902 . C. 7752 . D. 252 .

Câu 94. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn

0 1 2

n

3C + 4C + 5 C + ... + ( n + 3) C = 3840 .Tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển

n n n n

2 3

(1 + x − x + x ) n là

10

A. 4 . B.

9

4 . C.

10

2 . D.

Câu 95. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Giả sử

( ) 11

1 ... ...

+ x + x 2 + x 3 + + x 10 = a 2 3 110

0

+ a1x + a2x + a3x + + a110

x với

0

0 1 2 3 10 11

Giá trị của tổng T = C11a 11

− C11a 10

+ C11a 9

− C11a 8

+ ... + C11 a1 − C11 a0

bằng

A. T = − 11. B. T = 11. C. T = 0 . D. T = 1.

9

2 .

a , a

1, a

2

,…, a

110

là các hệ số.

x

7

11

n m h

1 1 2 2

...

k k

Dạng 2.2.2 Tổng ( a + b ) + ( a + b ) + + ( a + b )

Câu 96.

(CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Sau khi khai triển và rút gọn thì

12 2 1

18

P( x) = (1 + x)

+ x + có tất cả bao nhiêu số hạng

x

A. 27 . B. 28 . C. 30. D. 25

2017 2018

Câu 97. (PTNK CƠ SỞ 2-TPHCM-LẦN1- 2018) Cho đa thức P ( x) = ( x − 2) + ( 3 − 2x)

S = a + a + ... + a + a bằng

2018 2017

= a2018x + a2017x + ... + a1 x + a0

. Khi đó

2018 2017 1 0

A. 0 . B. 1. C. 2018 . D. 2017 .

Câu 98. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức

Câu 99.

12 21

2 3 3 1

2

2

f ( x)

= x + + x + thì f ( x ) có bao nhiêu số hạng?

x x

A. 30. B. 32. C. 29 . D. 35.

(THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Tìm hệ số của

( ) ( 1) ( 1 ) ... ( 1)

6 7 12

P x = x + + x + + + x + .

A. 1716 . B. 1715 . C. 1287 . D. 1711.

5

x trong khai triển

Câu 100. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Cho đa thức:

( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

2 12

( ) ...

a .

8 9 10 11 12

P x = + x + + x + + x + + x + + x . Khai triển và rút gọn ta được đa thức:

P x a a x a x a x

=

0

+

1

+

2

+ +

12

. Tìm hệ số

8

A. 720 . B. 700 . C. 715 . D. 730 .

Câu 101. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Cho đa thức

( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

( ) ...

12

8 9 10 11 12

P x = + x + + x + + x + + x + + x . Khai triển và rút gọn ta được đa thức

P x a a x a x

=

0

+

1

+ +

12

. Tính tổng các hệ số

i

a , i = 0; 1; 2; ...; 12.

A. 5. B. 7936 . C. 0 . D. 7920 .

Dạng 2.2.3 Tích ( .. ) m

l

a + + a .( b + ... + b )

1 n 1

n

Câu 102. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Tìm hệ số của số hạng chứa

nhị thức Newton ( 1 2x)( 3 x) 11

+ + .

A. 4620 . B. 1380 . C. 9405 . D. 2890 .

9

x trong khai triển

Câu 103. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Cho khai triển

( 1 2 ) ( 3 4 4 ) 2

10 2 2 14

0 1 2 14

+ x + x + x = a x + a x + a x + … + a x . Tìm giá trị của a

6

.

A. 482496 . B. 529536 . C. 278016 . D. 453504 .

Câu 104. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Hệ số của

6 2 1

4

( 2x + 1)

x + x + thành đa thức là

4

1 6

A. 14

2 C . B. 1 6

14

4 C . C. 6

C

14

. D.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

6

x trong khai triển

8

4C

14

.

12

Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng

Câu 105. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Hệ số của

( 2 1) ( 3)

6 8

x x − + x − bằng

5

x trong khai triển biểu thức

A. 1752 B. − 1272

C. 1272 D. − 1752

Câu 106. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của

x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

5

6 8

trong khai triển x( 3x 1) ( 2x

1)

A. − 3007

B. − 577

C. 3007 D. 577

− + − bằng

5

Câu 107. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của x trong khai triển biểu thức x( x − 2) + (3x

− 1)

bằng

A. − 13548

B. 13668 C. − 13668

D. 13548

Câu 108. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số của

6 8

5

x trong khai triển biểu thức x( 2x − 1) 6 + ( 3x

− 1)

8

bằng

A. 13848 B. 13368 C. − 13848

D. − 13368

Câu 109. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Hệ số của

5

6 8

x trong khai triển x ( x − 2) + ( 3x

− 1)

bằng

A. − 13548 . B. 13548 . C. − 13668 . D. 13668 .

5

Câu 110. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức

2

( ) = ( − ) + ( + )

5 10

f x x 1 x x 1 2 x .

A. 965. B. 263. C. 632. D. 956.

Câu 111. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Tìm hệ số của

2

( ) ( 1 2 ) ( 1 3 )

5 10

P x = x − x + x + x .

A. 3240 . B. 3320 . C. 80. D. 259200 .

Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán

5

x trong khai triển

Câu 112. (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho biểu thức

19 0 18 1 17 2 1 20

S = 3 C + 3 C + 3 C + ... + C . Giá trị 3S là

20 20 20 20

3

19

18

21

20

4

A. 4 . B.

3 . C. 4

3 . D. 4

3 .

1 2 3 2017

Câu 113. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Tổng C + C + C + ... + C bằng.

A.

2017

2 1

− . B.

2017

2 1

+ . C.

2017 2017 2017 2017

2017

2017

2 . D. 4 .

Câu 114. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Tổng C + C + ... + C

bằng

2018

A. 2 .

2018

B. 2 + 1 .

2018

C. 2 − 1. 2016

D. 4 .

1 2 2018

2018 2018 2018

1 3 5 2017

Câu 115. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 1 - 2018) Tổng T = C + C + C + ... + C bằng:

A.

2017

2 1

− . B.

2016

2 . C.

2017 2017 2017 2017

2017

2016

2 . D. 2 − 1.

0 1 2 2 5 5

Câu 116. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Tổng S = C5 + 2C5 + 2 C5 + ... + 2 C5

bằng:

A. 324 . B. 435 . C. 243. D. 342.

13

0 1 2 2 10 10

Câu 117. (HKI-Chu Văn An-2017) Tính tổng S = C10 + 2C10 + 2 C10 + ⋯ + 2 C10

.

A. S = 59050 . B. S = 59049 . C. S = 1025 . D. S = 1024 .

0 1 2 2 3 3 10 10

Câu 118. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tính tổng S = C10 + 2C10 + 2 C10 + 2 C10 + ⋯ + 2 C10

.

A. S = 59050. B. S = 1024. C. S = 59049. D. S = 1025.

Câu 119. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - 2018) Tổng

A.

2016

2 . B.

C + C + C + ... + C bằng

1 2 3 2016

2016 2016 2016 2016

2016

4 .

2016

C. 2 1

+ . D.

2016

2 1

Câu 120. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn

0 1 2 2

n n

Cn + 4Cn + 4 Cn + ... + 4 Cn

= 15625 . Tìm n.

A. n = 3. B. n = 5. C. n = 6 . D. n = 4 .

1 2 2018 2019

Câu 121. (THPT THUẬN THÀNH 1) Tổng S = 2C2019 + 3 C2019 + ... + 2019C2019 + 2020C2019

tương ứng

bằng:

2019

2018

2018

2019

A. 2020.2 . B. 2019.2 . C. 2021.2 − 1. D. 2020.2 − 1.

Câu 122. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Tính tổng

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

− .

S = C + C + .... + C + C + C .

12 13 20 21 22

22 22 22 22 22

11

11

21 11

21 C22

21 C22

21 11

A. S = 2 + C22

. B. S = 2 + . C. S = 2 − . D. S = 2 − C22

.

2

2

k

Câu 123. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Kí hiệu C là số tổ hợp chập k của n phần tử

( 0 k n; k,

n )

≤ ≤ ∈Z tính tổng sau:

S = C + 2C + 3 C + ... + 2018C + 2019C

0 1 2 2017 2018

2018 2018 2018 2018 2018

2016

2018

2018

2018

A. 1009.2 . B. 1006.2 . C. 1010.2 . D. 1007. 2 14 .

Câu 124. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Biểu thức

( 1− x) ( 1− x) ( 1−

x)

2 10

10 9 8

x x x

+ . + . + ... + bằng

10! 9! 1! 8! 2! 10!

1

A. 10!. B. 20!. C.

10! . D. 1

100! .

Câu 125. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Có bao nhiêu số dương n sao cho

0 0 0 1 1 1 n−1 n−1

n

S = 2 + C + C + ... + C + C + C + ... + C + ... + C + C + C là một số có 1000 chữ số?

( 1 2 ) ( 1 2 ) ( −1

)

n n n n n

A. 2 . B. 3. C. 0 . D. 1.

Câu 126. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Gọi n là số nguyên dương thỏa mãn:

1 1 1 1 1024

+ + + ..... + =

1! n −1 ! 3! n − 3 ! 5! n − 5 ! n −1 !1! n!

( ) ( ) ( ) ( )

Tìm mệnh đề đúng.

A. n là số chia hết cho 10 . B. n là số nguyên tố.

C. n là số chia hết cho 3 . D. n là số chia hết cho 4 .

Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức newton

Câu 1. Số số hạng trong khai triển là: n + 1 = 50 + 1 = 51.

n

14

Câu 2. Trong khai triển nhị thức ( a b) n

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

2019 số hạng.

Ta có:

+ thì số các số hạng là 1

n + nên trong khai triển ( 2 3) 2018

x − có

5

0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5

( x − y) = x + ( − y) = C x + C x ( − y) + C x ( − y) + C x ( − y) + C x ( − y) + C ( − y)

5 1 2 3 4 5

5 5 5 5 5 5

Hay ( ) 5 5 4 3 2 2 3 4 5

x y x 5x y 10x y 10x y 5xy y

− = − + − + − .

Chọn C

Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn ( a + b) n có n + 1 số hạng.

Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (3 2 )

Chọn C

Xét khai triển ( )

10

10

k

f ( x) = x + 1 = C . x .

k = 0

k

10

2019

− x có 2020 số hạng.

Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có ( ) 10 10

S f

Chọn C

Xét khai triển ( )

10

10

k

f ( x) = x + 1 = C . x .

k = 0

k

10

= (1) = 1+ 1 = 2 = 1024 .

Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có ( ) 10 10

S f

Xét khai triển

= (1) = 1+ 1 = 2 = 1024 .

(1 − 2x) = C − 2 x. C + ( − 2 x) . C + ( − 2 x) . C + ... + ( − 2 x) . C

Tổng các hệ số trong khai triển là:

Cho x = 1 ta có:

( ) 2018

⇔ − 1 = S ⇔ S = 1

124

k

Câu 8. Ta có − = C ( − )

Câu 9.

Câu 10.

2018 0 1 2 2 3 3 2018 2018

2018 2018 2018 2018 2018

S = C − 2. C + ( − 2) . C + ( − 2) . C + ... + ( − 2) . C

0 1 2 2 3 3 2018 2018

2018 2018 2018 2018 2018

(1 − 2.1) = C − 2.1. C + ( − 2.1) . C + ( − 2.1) .C + ... + ( −2.1) .C

2018 0 1 2 2 3 3 2018 2018

2018 2018 2018 2018 2018

124

124−k

k

4 k

2 4

124

k = 0

( 5 7) . 1 .5 .7

Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với

Vậy số các giá trị k là: 124 − 0 + 1 = 32 .

4

Chọn A

( )

2018 2018 2018−k

2018−k

3 2018 3 k 3 k 2018−k

P( x) = ( 2x + 3) = 2x 3 = 2 .3 x

k= 0 k=

0

Để hệ số nguyên dương thì ( )

124

− k

∈Z

2

⇔ k ∈ { 0;4;8;12;...;124 }.

k

∈ Z

4

2018 − k ⋮ 3 ⇔ 2018 − k = 3t ⇔ k = 2018 −3t

,do 0 ≤ k ≤ 2018 nên ta

2018

có 0 ≤ 2018 − 3t

≤ 2018 ⇔ 0 ≤ t ≤ ≈ 672,6 vậy t=0,1,2….672 nên có 673 giá trị

3

Chọn A

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

20

20

k k k

Ta có ( 1− 2x) = C20

( −2 ) x , ( k ∈ Z )

k = 0

a = C

1

a 2. C ,

0

,

0 20

= − ( ) 2 2 2

1 20

a = − 2 C = 4 C .

2 20 20

15

Vậy

Câu 11. Chọn C

Câu 12.

a − a + a = C + 2C + 4C

= 801.

0 1 2

0 1 2 20 20 20

2019 2019 2019−k

k

k

3 5 3 5 k 3 5

3 + 5 =

2019. 3 . 5 = C2019.3 .5

k = 0 k = 0

.

2019 2019−k

k

Ta có ( ) C ( ) ( )

k

∈ N k

∈ N

0 k 2019

≤ ≤

0 ≤ k ≤ 2019

Để trong khai triển có số hạng là số nguyên thì 2019 − k k

∈ N ⇔ 673

− ∈ N

3 3

k

k

∈ N ∈ N

5 5

k

∈N

⇔ 0 ≤ k ≤ 2019 .

k⋮15

Ta có k⋮ 15 k = 15m

mà 0 ≤ k ≤ 2019 ⇔ 0 ≤ 15m ≤ 2019 ⇔ 0 ≤ m ≤ 134, 6 . Suy ra có 135 số

hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức.

Chọn D

2019−k

1 1 1 1

k

k

15 3 3 5 k

Ta có số hạng thứ k + 1 là : C2019

x y x y = C2019x y

2019 4 2019 2

Theo đề bài ta có; + k = − k ⇔ k = 1346

15 15 3 15

Vậy số hạng thỏa yêu cầu bài toán là số hạng thứ 1347 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

k

2019 4 2019 2

+ − k

15 15 3 15

Câu15. (THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho khai triển

20 2 20

(2x − 1) = a0 + a1x + a2x + .... + a20x

. Tìm a

1

A. 20. B. 40. C. -40. D. -760. Chọn C

Ta có: a1

là hệ số của x

Hạng tử chứa x trong khai triển là:

−C 2x a = − 40

19

20 1

Câu 13. ( ) 20 2

1− 2x = a0 + a1x + a2x + ⋯ + a20x20

( 1 ) .

Thay x = 1 vào ( 1 ) ta có: a a a a ( ) 20

0

+

1

+

2

+ ⋯ +

20

= − 1 = 1.

Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức newton

Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức

Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng

Câu 14.

Chọn C

2

Số hạng tổng quát của khai triển x −

x x

k 12−k

2

Tk

+ 1

= C12

. x . −

x x

k

12

3k

(với x > 0 ) là

k k 12−k

2

= ( − 2 ) . C . x . x −

( )

12

k

5k

12

k 2

12

x −

= − 2 . C . .

16

Câu 15.

Câu 16.

Câu 17.

Câu 18.

Câu 19.

Câu 20.

Câu 21.

Số hạng trên chứa

7

x suy ra

Vậy hệ số của số hạng chứa

Chọn D

5k

12 − = 7 ⇔ k = 2 .

2

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức

13 1 k

k −k k 13−2k

k + 1

=

13

=

13

T C x C x .

x

7

T +

chứa x ⇔ 13 − 2k = 7 ⇔ k = 3.

k

1

Vậy hệ số của số hạng chứa

Chọn C

7

x trong khai triển trên là ( ) 2 2

C12

= − 2 . = 264 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

13

1

x +

x .

7

x trong khai triển nhị thức

40 40 40

k 40−k −2k k 40−3k

40

. 40

k= 0 k=

0

1

x + = C x x = C x

2

x

Theo giả thiết: 40 − 3k

= 31 k = 3.

31 3

Vậy hệ số của x là C

40

= 9880 .

Chọn D

4 4

4−k

k

1 3 k 1 3

Ta có + x = C4

. .

4 4 k = 0 4 4

1 3 27 2 27 3 81 4

= + x + x + x + x

256 64 128 64 256

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là 27

64 .

Chọn D

k k k

Ta có: T = k + 1

Cn

.2 x . .

2

Hệ số của x trong khai triển bằng 180

1

x +

x

13

3

bằng: C

13

= 286 .

2 2 n!

n

= 10

2 2

n

.2 180 .2 180 ( 1)

90 90 0

C = ⇔ = ⇔ n n − = ⇔ n − n − = ⇔

( n − 2 ).2

n = −9

Chọn D

k

Số hạng tổng quát là: . k

T = + 1

C10 x .

Số hạng chứa

Chọn D

k

7

x trong khai triển ( 1 x) 10

7 7

k

Ta có: + = ( ) =

8 7

+ là: T = C x nên hệ số là 45.

8 10 .

7 7−k

2 2 k 2 2

k 7−k 3k

−7

7 7

x k = 0 x k = 0

x C x C .2 . x .

Cần tìm k sao cho 3k − 7 = 5, suy ra k = 4.

Vậy hệ số h của số hạng chứa

Chọn A

5

x trong khai triển

2 2

7

x +

x là h = C 4 3

7

.2 = 280.

15 15 k 15 15

k 15−k k 15−k k −2 k

k k 15−3k

2 15 2 15 ( 2) ( ) 15 ( 2)

k = 0 x k = 0 k = 0

2 2

x − = C x − = C x − x = C − x

x

( l)

17

Câu 22.

Câu 23.

Câu 24.

Câu 25.

k

Số hạng tổng quát của khái triển ( )

Số của số hạng chứa

C

k 3

( ) C ( ) 3

− 2 = − 2 = − 3640

k

15 15

Chọn C

T = k

C − x −

+

1 15

2 k

6

x : 15 3 6 3

15 3k

− k = ⇔ k = . Hệ số của số hạng chứa

15−

Số hạng tổng quát của khai triển đã cho là ( ) k

( )

với 0 ≤ k ≤ 15 , k ∈N . Số hạng này chứa

Vậy hệ số của

Chọn D

25 10

3

x y trong khai triển ( x xy) 15

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

6

x

k 3 k k 45−2k k

15

=

15

C . x . xy C . x . y ,

25 10

x y khi và chỉ khi 10

10

+ là C

15

= 3003.

6

6

k

6

3k

6−

k 6−k k k 2

6

2

6

k= 0 x k = 0

k = (thỏa mãn).

2 2

Ta có: x + = C x = C x .

x

3

3k

Số hạng chứa x ứng với 6 − = 3 k = 2 . Vậy hệ số của số hạng chứa

2

Chọn D

6

6

k

6

3k

6−

k 6−k k k 2

6

2

6

k= 0 x k = 0

2 2

Ta có: x + = C x = C x .

x

3

3k

Số hạng chứa x ứng với 6 − = 3 k = 2 . Vậy hệ số của số hạng chứa

2

Chọn D

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển của ( 1− 3x)

n

k

là:

1 ( 3)

k k

T = k

C − + n

x .

Số hạng chứa

2

Ta có: ( ) 2

2

x ứng với 2

k = .

2

C − 3 = 90 ⇔ = 10 (với n ≥ 2 ; n∈N )

n

n!

n

= 5

⇔ = 10 ⇔ n( n − 1)

= 20 ⇔

2! ( n − 2 )!

n

= −4

C n

Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k

Câu 26. Chọn B

Câu 27.

Câu 28.

15 k 15−k

Ta có ( 2 − x) = C .2 .( −x)

15

k = 0

15

k

( L)

Số hạng thứ 13 trong khai triển tương ứng với 12

Chọn A

. Vậy n = 5.

k = . −

( ) 12

3

x bằng

3

x bằng

C .2 . − x = 3640 x .

12 15 12 12

15

k

k

9 9−2

k −k 1 k 1

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: Tk

+ 1

= C9 x ⋅ − = C9

⋅ − x

2x

2

3

Số hạng chứa x có giá trị k thỏa mãn: 9 − 2k

= 3 ⇔ k = 3.

3

3 3

Vậy số hạng chứa x trong khai triển là: − 1

9

8 C x .

Chọn B

Ta có công thức của số hạng tổng quát:

k

k 13−k 1 k 13−k k −k k k 13−2k

k+

1

=

13

. − =

13 ( − 1 ) =

13. ( −1)

T C x C x x C x

x

7

Số hạng chứa x khi và chỉ khi 13− 2k

= 7 ⇔ k = 3 .

.

2 . C = 60.

2 2

6

2 . C = 60.

2 2

6

18

Câu 29.

Câu 30.

Câu 31.

Vậy số hạng chứa

Chọn D

7

x trong khai triển là

− C x .

3 7

13

40 40 40

1 k

k 40−k −2 k 40−3k

C40 C

40

x k = 0 k = 0

Ta có khai triển: 2 ( )

x + = x x = x

k

Số hạng tổng quát trong khai triển: C x

Số hạng chứa

Vậy số hạng chứa

Chọn B

40

40−3k

− k = ⇔ k =

31

x ứng với: 40 3 31 3

31

x là:

C x

3 31

40

1

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển x +

x

k

k 40−k 1 k 40−k −k k 40−2k

k + 1

=

40

. =

40

=

40

a C x C x x C x

x

Số hạng chứa

Vậy số hạng chứa

Chọn D

34

x trong khai triển

1

x +

x

34

x trong khai triển

n

Ta có: ( ) ( )

1+ 4x = C 4x = C 4 x

Hệ số của số hạng chứa

Giả thiết suy ra

Câu 32. Số hạng tổng quát thứ 1

40

40

là:

.

1

x +

x

n

k k

n

k k k

n

n

k = 0 k = 0

2 2 2

x là: C

n

4 .

.

tương ứng với: 40 − 2k

= 34 ⇔ k = 3.

40

3 34

là: C x .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

40

( −1) n

= ( )

2 n = −19( loai)

n n

C 20 t/m

2 4 2 3040 2 190 190 2 n

= ⇔ Cn

= ⇔ = ⇔ n − n − 380 = 0 ⇔

k

k + là ( ) ( )

k k k

T = k 1

C − n

3x = +

C − n

3 x .

2

Vì hệ số của x nên cho k = 2 .

2

Khi đó ta có ( 3) 2

2

n n −1

n

= 5

Cn

− = 90 ⇔ Cn

= 10 ⇔ = 10 ⇔

2 n = −4

Vậy n = 5.

n 0 1 2

Câu 33. Ta có ( ) ( ) 2

n

1 2 x C C .2 x C . 2 x ... C ( 2x)

Hệ số của

+ = + + + + .

2

x bằng

n n n n

2

180 ⇔ 4. C n

= 180

n

= −

2

⇔ n − n − 90 = 0 ⇔

n

= 10

Vậy n = 10 .

9( l)

.

( ) ( n)

( l )

( n − )

5 5 k 5

2 2

x x

10

Số hạng chứa x ứng với 15 − 5k

= 10 ⇔ k = 1.

n

n!

⇔ 4 = 180 ⇔ n( n − 1)

= 90

2! 2 !

3 k k 3

5−k

k k 5−k k 15−5k

Câu 34. Ta có 3x −

2 = ( − 1 ) . C5 .( 3 x ) . 2 = ( −1 ) . C5

.3 .2 x .

Hệ số của số hạng chứa

k= 0 k=

0

10

x là ( ) 1 1 4 1

C5

− 1 .3 .2 = − 810 .

k

.

.

19

Câu 35. Ta có:

40 40 k 40

k 40−k k 40−3k

2 40. .

2

40.

k= 0 x k=

0

1 1

x + = C x = C x

x

.

k 40 3

Số hạng tổng quát của khai triển là: . k

T = k 1

C40 x − .

+

Số hạng chứa

Vậy hệ số cần tìm là: C

Câu 36. Ta có:

6

= C

k = 0

k

6

.2

3

6 k

k

x − 2

− k = ⇔ k = .

31

x trong khai triển tương ứng với 40 3 31 3

= C (theo tính chất của tổ hợp: C

3 37

40 40

6 1

−

2

2

x + = x + 2x

x

3

6−

2 3

Theo đề bài, x

k 3

= x ⇔ 6 − 3

2 k = ⇔ k = 2

3

2 2

x x > 0 là: C .2 = 60 .

Hệ số của ( )

6

6

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

k

n

= ).

n k

C −

n

6

1

=

k = 0

k 6−k

2

C6

( x)

2x −

k k

( )

6

Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n

Câu 37. Chọn C

Câu 38.

Câu 39.

0 1 2 2 n n n

n 10

n n n n

Ta có: ( )

k

6

1

k

6−k

2

C .2 x 2x −

=

k = 0

C + 2. C + 2 . C + ... + 2 . C = 59049 2 + 1 = 59049 ⇔ 3 = 3 ⇔ n = 10 .

Ta được nhị thức

2 3

10

x −

x .

Số hạng thứ ba của khai triển là

3 10 ( )

Theo giả thiết ta có:

Chọn C

Ta có:

405x

3 n!

n

( n − )

14 81

2

2 2

8 3

14

T = C . x . − = 405x

x

= n ⇔

2

14

405 405

x = ⇔

( )( )

A = 72n ⇔ = 72n ⇔ n n −1 n − 2 = 72n

3 !

Xét khai triển:

.

x = ± .

14

x = 1 ⇔ 1

⇔ n = 10 .

10 10 k 10 10

2 1 2 1

10 20 2 3 10 20 5

+ = = =

3 3

x k = 0 x k = 0 k = 0

k

10−k

k −k − k − k k −k − k

10 ( ) 10 10

.

2x C 2 x C .2 x . x C .2 x

5

Số hạng chứa x trong khai triển tương đương với: 20 − 5k

= 5 ⇔ k = 3.

5

7 3 5

Suy ra số hạng chứa x trong khai triển là: 2 C10

x .

Chọn A

Tìm n .

k k k 1

Trước hết ta chứng minh công thức C

n C

−

=

n−1

với 1 ≤ k ≤ n và n ≥ 2.

n

k k k n! ( n −1)!

k −1

Thật vậy, Cn

= . = = Cn−

1

. (đpcm)

n n k !( n − k)! ( k −1)!( n − k)!

Áp dụng công thức trên ta có

1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n

1. Cn + 2. Cn + 3. Cn + ... + n. Cn = n

. Cn + . Cn + . Cn + ... + . Cn

n n n n

20

Câu 40.

Câu 41.

Câu 42.

n−

( n−1 n−1 n−1 n−1

)

= n C + C + C + ... + C = n2

0 1 2 1 n−

1

1 2 3 1 1

Theo đề 1. 2. 3. ... . n 256 2 n −

256 2 n −

Cn + Cn + Cn + + n Cn

= n ⇔ n = n ⇔ = 256 ⇔ n = 9.

Chọn A.

Chọn C

Xét khai triển ( )

Cho

n

1

n

1+ 3 x = a0 + a1x + ... + anx

.

n

1 1 a1

an

n

x = ta được 1+ 3. = a0 + + ... + 2 = 4096 ⇔ n = 12.

1

n

3 3 3 3

Khi đó ( )

Ta có hệ số

12

12

1+ 3 x = C .3 . x .

a

k

k = 0

k k k

12

k k k 12!

= 3 C12

= 3 .

k!. 12 !

( − k )

k 12! k −1

12!

3 . 3 .

a

!.( 12 )! ( 1

1

)!.( 12 1 )!

k

a

≥

≥ k k k k

k − − − − +

Hệ số a

k

lớn nhất nên ⇔

ak

≥ ak

+ 1 k 12! k + 1 12!

3 . ≥ 3 .

k!. ( 12 − k )! ( k + 1 )!.( 12 − k −1 )!

3 1 39

≥

k ≤

k 13 − k 39 − 3k

≥ k

4

⇔ ⇔ ⇔

1 3 k + 1 ≥ 36 − 3k

35

≥

k

12 − k k + 1

≥ 4

Vì k ∈N nên nhận k = 9.

9 9

Vậy hệ số lớn nhất a9 = 3 . C12

= 4330260.

Chọn B

Đk: n ≥ 2, n∈N

.

2 2

3C + n 1

nP =

+ 2

4An

( n + 1 )! n!

⇔ 3 + 2! n = 4

n −1 !2! n − 2 !

( ) ( )

⇔ 3

2 n n + + n = n n −

5 0

2 15 n

=

⇔ n − n = 0 ⇔

2 2 n

= 3

( 1) 2 4 ( 1)

( L)

1 3

Với n = 3, nhị thức trở thành + x

x

Số hạng tổng quát là ( )

10

10−k

k 1

3

k

k 4k

−10

10. . =

10.

C x C x

x

Từ yêu cầu bài toán ta cần có: 4k

− 10 = 6 ⇔ k = 4.

6 4

Vậy hệ số của số hạng chứa x là C

10

= 210.

Chọn A

2 14 1

Xét phương trình + =

2 3

( 1 )

C 3C n

.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ N

n

n

21

Câu 43.

( 1)

( n − ) ( n − )

2. 2 !.2! 14 3 !.3! 1 4 28 1

⇔ + = ⇔ + =

n! 3. n! n n n 1 n n 1 n 2 n

( − ) ( − )( − )

4 28

n

= 9

2

⇔ + = 1 ⇔ 4( n − 2) + 28 = ( n −1)( n − 2)

⇔ n − 7n

− 18 = 0 ⇔

n − 1 ( n − 1)( n − 2)

n

= − 2

9−k

−

n = ta có: − = 9 ( ) − = 9 ( − )

Với 9

9 9 k 9

2 3 k 2 3

k 9 k k 18−3k

2 x C . 2 x . C .2 . 3 . x

x k= 0 x k=

0

k 9 k k 18−3k

−

Số hạng tổng quát của khai triển là C ( − )

.2 . 3 .

9

x

Cho 18 − 3k

= 6 k = 4 hệ số của số hạng chứa

Chọn B

Từ giả thiết ta suy ra

Mặt khác:

C + C + C + ... + C = 2 .

0 1 2 n 20

2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2n+

1

k 2n 1 k

2n+ 1

=

2n+

1

, ∀ ∈N,0 ≤ ≤ 2 + 1

C C k k n nên ta có:

6

4 5

x trong khai triển là ( ) 4

9

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( l)

C .2 . − 3 = 326592 .

0 1 2 n 1 0 1 2 2n+

1 1

( ) ( ) 2 n+

1 2n

C2n+ 1

+ C2n+ 1

+ C2n+ 1

+ ... + C2n+ 1

= C2n+ 1

+ C2n+ 1

+ C2n+ 1

+ ... + C

2n+

1

= 1+ 1 = 2 .

2 2

2n

20

Suy ra: 2 = 2 ⇔ n = 10 .

10

10−k

k 7 k 11k

−40

1 7

1

k

Số hạng tổng quát trong khai triển + x

4 là: Tk

+ 1

= C10 4 ( x ) = C10

x .

x

x

26 k

Hệ số của x là C

10

với k thỏa mãn: 11k − 40 = 26 ⇔ k = 6 .

26 6

Vậy hệ số của x là C

10

= 210 .

Câu 44. Điều kiện n ≥ 6 và n∈N .

n−6 2 ( n − 4 )! n!

( n − 5)( n − 4)

2

Cn− 4

+ nAn

= 454 ⇔ + n⋅ = 454 ⇔ + n ( n −1)

= 454

n − 6 !2! n − 2 !

2

Câu 45.

( ) ( )

3 2

⇔ 2n − n − 9n

− 888 = 0 8

Khi đó ta có khai triển:

⇔ n = (Vì n∈N ).

8

2 x

3

−

x .

8−k

k 2 3 k k 8−k 4k−8

8 8

1 2

k

Số hạng tổng quát của khai triển là ( − ) = ( − )

C x C x

x

4

Hệ số của số hạng chứa x ứng với k thỏa mãn: 4k

− 8 = 4 ⇔ k = 3 .

Vậy hệ số của số hạng chứa C8 − 1 2 = − 1792 .

1 3 n!

n( n −1)( n − 2)

2

Cn

+ Cn

= 13n ⇔ n + = 13n ⇔ n + = 13n ⇔ 6 + n − 3n

+ 2 = 78.

3! 3 ! 6

( n − )

2 n

= −7

4 3

x là: ( ) 3 5

⇔ n − 3n

− 70 = 0 ⇔ . Vì n là số nguyên dương nên n = 10 .

n

= 10

Ta có khai triển:

10

2 1

x +

3

x .

k 2( 10−k

) 1 k 20−5k

Số hạng tổng quát của khai triển: Tk

+ 1

= C10 x . C

3 =

10x

.

x

5

Số hạng chứa x ứng với 20 − 5k

= 5 ⇔ k = 3. Vậy hệ số của số hạng chứa

k

.

3

C

10

= 120 .

22

Câu 46.

Câu 47.

2 2 1

n! n! n!

An = Cn + Cn

+ 4n

+ 6 ⇔ = + + 4n

+ 6

n − 2 ! n − 2 !.2! n −1 !.1!

( −1)

( ) ( ) ( )

n n

n

= −1

2

⇔ n( n − 1)

= + n + 4n

+ 6 ⇔ n −11n

− 12 = 0 ⇔

2

n = 12

Khi đó P( x)

2 3

12

= x +

x .

k 2

Công thức số hạng tổng quát: T C ( x ) 12

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( l )

( n)

−k

3

24 3

k+

1

=

12. . = C

k 12

x

.3 k . x − k .

9

Số hạng chứa x 24 − 3k

= 9 ⇔ k = 5 .

9

5 5

Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển là C .3 = 192456 .

Ta có:

C

! !

+ C = 78 ⇔ n n

78

n −1 !.1! + n − 2 !.2!

= n −1

n

⇔ n + = 78

2

n−1 n−2

n n

2

⇔ n + n − =

( ) ( )

k

12

( )

n

= 12

156 0 ⇔ ⇔ n = 12 (vì n là số nguyên dương).

n

= −13

Số hạng tổng quát trong khai triển x −

x

Cho 36 − 4k

= 8 ⇔ k = 7 .

Vậy số hạng chứa

Câu 48. Điều kiện: n ≥ 2 ,

8

x trong khai triển

*

n ∈ N .

3 2

x

12

−

x

3 2

k

k

−k

2

−1

C12

x

k 3

là: ( ) ( )12

Ta có 3C 3 − 2

n 1

3A = + n

52( n − ( n + 1 )! n!

1)

( n − ) ( n − )

( n − 1) n( n + 1)

2

⇔ − 3n( n − 1) = 52( n − 1)

n n n

2

⇔ n − n − =

12

là

.

x

−C

7 7 x 8

8

12 .2 .

( )

= − 101376x .

( n )

⇔ 3. − 3 = 52 −1

3! 2 ! 2 !

⇔ + − 6 = 104

2

n

= 13

5 104 0 ⇔ ⇔ n = 13 .

n

= −8

3 2

( x + 2 y ) 13 13

k

= ( 3 13−k

C ) ( 2

13

x 2 y )

0

k

13

= C 2 x y .

0

k k 39−3k 2k

13

5 5

Ta có: 39 − 3k

+ 2k

= 34 ⇔ k = 5 . Vậy hệ số C 2 = 41184 .

13

Câu 49. Điều kiện n∈N , n ≥ 2 .

1 2

n( n −1)

2 n

= 1

Có 5Cn

− Cn

= 5 5n

− = 5 ⇔ n − 11n

+ 10 = 0 ⇔

2

n

= 10

Do n ≥ 2 n = 10.

10 10 k

k 10−k

10

k 10−k 10−3k

2 10 2 10

k= 0 x k=

0

1 1

Xét khai triển: 2x + = C ( 2 x)

. = C 2 x

x

4

Hệ số a của x trong khai triển tương ứng với 10 − 3k

= 4 ⇔ k = 2 .

2 8

Vậy hệ số cần tìm là a = C 10

.2 = 11520 .

Câu 50. Điều kiện n ≥ 3, n ∈ N .

k 36 4

C

k k k

12

x −

= − 1 .2 . .

23

Câu 51.

n 2 3 n! n! 3 1

−

Ta có 3An

+ Cn

= 40 ⇔ 3 + = 40 ⇔ n! + = 40 .

2! 3! ( n − 3 )! 2 6( n − 3 )!

3 1

Vì + > 1 nên n ! < 40 . Lần lượt thử các giá trị n = 3, 4 ta có n = 4 thỏa mãn.

2 6 n − 3 !

( )

Với n = 4 , số hạng tổng quát trong khai triển

Số hạng chứa

Giải phương trình:

1

2x −

x

6

x tương ứng với 8 2 6 1

A

2 1

n n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

8

k

k 8− 1 k 8−k k 8−2k

là ( ) k

( )

8

2 − =

8

2 −1

x

1 8 1

− k = ⇔ k = . Do đó hệ số cần tìm là ( ) 1

+ 3C

= 120 , Đk: n ≥ 2, n ∈ N .

2 1

n

= 10

An

+ 3Cn

= 120 ⇔ n( n − 1)

+ 3n

= 120 ⇔

n

= −12

10

k

40 5

Có x −

10 ( 3)

k k

= C − x − .

x k = 0

Số hạng không chứa x khi 40 − 5k

= 0 ⇔ k = 8 .

4 3 n

( l)

8

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là ( ) 8

Câu 52. điều kiện n ∈ N, n ≥ 3.

3 2 n! n!

C + n

A = n

50 ⇔ 50

3! n − 3 ! + n − 2 !

=

( ) ( )

( )( ) ( )

⇔ n n −1 n − 2 + 6n n −1 − 300 = 0

3 2

⇔ n + 3n − 4n − 300 = 0 ⇔ n = 6 .

12

Ta có nhị thức

3 x

+

x 2 .

12−k k k 12−k

x C12

.3

k

k 3

Số hạng tổng quát C12

. = . x

x 2 2

Cho 2k

− 12 = 8 k = 10.

10 2

C12

Hệ số cần tìm là

.3 =

297 .

10

2 512

C . − 3 = 295245 .

10

2k

−12

C x C x

0 1 2 2 3 3

Câu 53. Xét khai triển ( 1 + x)

n = C ...

n n

n

+ Cnx + Cn x + Cn x + + Cn

x ( 1 )

n−

Đạo hàm hai vế của ( 1 ) ta được: ( ) 1 1 2 3 2 n n−1

n 1+ x = Cn + 2Cn x + 3 Cn x + ... + nCn

x ( 2 )

Trong công thức ( 2 ) ta cho x = 1 ta được:

n C C C nC

n 1 1 2 3

2 − n

=

n

+ 2.

n

+ 3.

n

+ ... +

n

Khi đó, 2x

−

x

2 3

n

= 2x −

x

2 3

9

⇔ n =

9

n−1

.2 256

n

k k 9−k 18−3k

C9

( 3)

2 . x .

= −

n=

0

Do đó số hạng không chứa x trong khai triển 2x −

x

Suy ra số hạng cần tìm là ( ) 6

n

k

Câu 54. Ta có ( 1− 2x) = C ( −2x)

6 3

C − = .

9

3 2 489888

n

n

k

. Vậy

0

1

k = 0

Theo bài ra a0 + a1 + a2 = 71 nên ta có:

a = ;

⇔ n = .

n−1

⇔ 2 = 256 9

2 3

1

1

2 n

9

a = − C ; a

nếu 18 − 3 k = 0 hay k = 6 .

= C .

2

2

4 n

C 2 − 1 1024

8

− = − .

.

24

Câu 55.

Câu 56.

1 2

1− 2Cn

+ 4Cn

= 71

⇔ − − =

2

2n

4n

70 0

5

Từ đó ta có a C ( ) 5

⇔ ! !

1 − n

2 4 71

1! 1 ! + n

2! 2 !

= ⇔1− 2n

+ 2n( n − 1)

= 71

( n − ) ( n − )

2

⇔ n − 2n

− 35 = 0 7

5

=

7

− 2 = − 672 .

Ta có

2 3

! !

An

− Cn

= 10 ⇔ n n

10

n − 2 ! − 3! n − 3 !

=

( ) ( )

⇔ n = (thỏa mãn) hoặc n = − 5 (loại).

, ( n ∈ N , n ≥ 3)

n

= −2

1

1 3 3 2 4

⇔ n( n −1) − n( n −1)( n − 2)

= 10 ⇔ − n + n − n − 10 = 0 ⇔

n 6

6

6 2 3

= .

n

= 5

So điều kiện nhận n = 6 hay n = 5 .

6 6

2 2 2( 6 ) 2 k 6

k −k

−

k

12 5

Khi n = 6, ta có x − C

3 = 6

x 3

6 ( 2)

k k

= C − x − .

x k=

0 x k = 0

5

7

Để có x thì 12 − 5k

= 5 ⇔ k = (loại).

5

5 5

2 2 2( 5 ) 2 k 5

k −k

−

k

10 5

Khi n = 5 , ta có x − C

3 = 5

x 3

5 ( 2)

k k

= C − x − .

x k=

0 x k = 0

5

Để có x thì 10 − 5k

= 5 ⇔ k = 1.

1

Vậy a5 = C5 ( − 2)

= − 10 .

Ta có:

3 2

! !

An

+ 2An

= 100 ⇔ n n

2 100

n − 3 ! + n − 2 !

= ⇔ n( n −1)( n − 2) + 2n( n − 1)

= 100

⇔ n = .

3 2

⇔ n − n − 100 = 0 5

( ) ( )

Ta có: ( 1 3 ) 2 n

+ x = ( 1+ 3x) 10

k

C ( x)

Hệ số

5

x sẽ là

C 5 5

= .

10 3 61236

10

= .

k = 0

10

3 k

n 0 −1 1 −2 2

Câu 57. Ta có ( 3 − 1) = 3 − 3 + 3 − ..... + ( − 1)

n n n n n

Cn Cn Cn Cn

n

n 11

⇔ 2 = 2048 ⇔ 2 = 2 ⇔ n = 11.

Xét khai triển ( x )

Tìm hệ số của

Vậy hệ số của

11

11 11

+ 2 = C k k 11x − .2

k

k = 0

10

x ⇔ tìm k ∈ ( k ≤11)

10

x trong khai triển ( 2) 11

n

1 1

x x

N thỏa mãn 11− k = 10 ⇔ k = 1.

1

x + là C .2 = 22 .

n

n

2 k 2

n−k

k n−k 2n−3k

Câu 58. Ta có 3x + = Cn

( 3x ) = Cn

3 x .

Câu 59.

Biết hệ số của

k = 0 k = 0

3 4 5

x là 3

n

k

C nên

11

2n

− 3k

= 3

n − k = 4 k

= 5

⇔ .

k = 5 n

= 9

0 ≤ k ≤ n, ( k,

n∈

N )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Vậy n = 9 .

Điều kiện: n∈N

25

Câu 60.

Câu 61.

Ta có

1 n

( n + 4 )! ( n + 3 )!

4 n 3 ( )

( n + 1 )!3! n!3!

( n + 4)( n + 3)( n + 2) ( n + 3)( n + 2)( n + 1)

( )

n+

C − C = 7 n + 3 ⇔ − = 7 n + 3

n+ +

( n )

⇔ − = 7 + 3

6 6

⇔ 3n

= 36 ⇔ n = 12 .

Xét khai triển

( )

12 12 12−

5 k

5

+ x = C

3 12

x

3

k=

0 x

1 1 k k

x

12

k = 0

k

12

60−11k

2

= C x .

Để số hạng chứa

Vậy hệ số chứa

Điều kiện:

Khi đó

A

n

≥ 6

n

∈ Z

5 4

n

≤18An

− 2

( 0 ≤ k ≤12,

k ∈N )

−

2

k

= ⇔ k = .

8

x thì 60 11 8 4

8

x trong khai triển trên là

⇔

( n − )

( n − )

( n − )

n!

2 !

≤18.

5 ! 6 !

4

C = .

12

495

( 1)( 2)( 3)( 4) 18( 2)( 3)( 4)( 5)

⇔ n n − n − n − n − ≤ n − n − n − n −

( 1) 18( n 5)

⇔ n n − ≤ −

Số hạng tổng quát trong khai triển 2x +

k

= C .2 . . 10

x x −

k 10−k 10−k

5

⇔ ≤ n ≤

2

⇔ n − 19n

+ 90 ≤ 0 9 10

50−6k

k

.2 10−k

. 5

10

x

= C

.

Tìm k sao cho 50 − 6 k

= 4 ⇔ k = 5.

5

Vậy hệ số của số hạng chứa

Ta có:

n

= 15

⇔

n

= −14

4

x là

1

x

5

5 10 5

10

10

C .2 − = 8064.

2 2

! !

An

− Cn

= 105 ⇔ n n

105

n − 2 ! − 2! n − 2 !

=

( L)

.

( ) ( )

k

là T C ( x) 10

k 2

Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển: T C ( x ) 15

Tìm 30 − 3k

= 0 ⇔ k = 10 .

k+

1 15

n→max

⎯⎯⎯→ n = 10 .

1

=

x

−k

k + 1 10. 2 .

5

⇔ 1

( 1)

105

2 n n − = 2

⇔ n − n − 210 = 0

−k

1

= . . −

x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

10

Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: ( ) 10

Câu 62. Ta có ( ) 2 n+ 1 0 2n+ 1 1 2n 2n 2n+

1

x + 1 = C . x + C . x + ... + C . x + C ( 1 )

2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2n+

1

k

k

( )

k k 30 3k

= C − x − .

15 . 1 .

C . − 1 = 3003.

15

26

Câu 63.

2 1 0 1 2 2 1

Thay x = 1 vào ( 1 ) : 2 n +

2 1 2 1

...

n n +

= C

n+ + C

n+ + + C2n+ 1

+ C2n+

1 ( 2 )

0 1 2n

2n

1

Thay x = − 1 vào ( 1 ) : 0 = − C2n 1

C2n 1

... C2n 1

C +

+

+

+

− −

+

+

2n+

1 ( 3 )

n+

Phương trình ( 2 ) trừ ( ) 2 = 2 + + ... +

Theo đề ta có

3 theo vế: 2 1 ( 0 2 2 n

C2n+ 1

C2n+ 1

C2n+

1 )

2n

1

2 + = 2.1024 ⇔ n = 5

Số hạng tổng quát của khai triển ( 2 3x) 10

( ) k

−

( )

− :

= k 10−k 10

1 10.2 . − k

3 = k k k

k + 10.2 . − 3 .

T C x C x

Theo giả thiết ta có k = 5 .

5 5

Vậy hệ số cần tìm ( ) 5

Ta có:

C

n−1 n−2

n n

2

⇔ n + n − =

C .2 . − 3 = − 1959552 .

10

! !

+ C = 78 ⇔ n n

78

n −1 !.1! + n − 2 !.2!

= n −1

n

⇔ n + = 78

2

( ) ( )

( )

n

= 12

156 0 ⇔ ⇔ n = 12 (vì n là số nguyên dương).

n

= −13

Số hạng tổng quát trong khai triển x −

x

Cho 36 − 4k

= 8 ⇔ k = 7 .

3 2

12

3 2

k

k

−k

2

−1

C12

x

k 3

là: ( ) ( )12

12

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

x

( )

k 36 4

C

k k k

12

x −

= − 1 .2 . .

8

7 7 8

Vậy số hạng chứa x trong khai triển x − là

12

x

−C

.2 . x

8

= − 101376x .

Câu 64. Điều kiện : n ≥ 3, n ∈ Z .

3 4 2 n! 4 n!

Ta có C = n

n 2 1 2 8 6 1

3 + C ⇔ n

n n n n n n n

3! n − 3 ! = 3 + n − 2 !

⇔ − − = + −

Câu 65.

Câu 66.

Câu 67.

( ) ( )

2 2 n

= 0

( )( ) ( )

⇔ n − 3n + 2 = 8 + 6n − 6 ⇔ n − 9n

= 0 ⇔ . Đối chiếu điều kiện ta được n = 9 .

n

= 9

2

Số hạng tổng quát của khai triển x − , là : C x

x

5

Số hạng này chứa x ứng với 9 − 2k

= 5 ⇔ k = 2.

2

Vậy hệ số của số hạng đó là 4. C = 144 .

C

n n −1

n

= 12

+ C = 78 ⇔ n + = 78 ⇔

2

n

= −13

n−1 n−2

n n

n

3 3

2 2

x − = x −

x x

12

( )

9

9

( −2)

k

k 9−k k k 9−2k

9

. = ( − 2

k

) C9

x

( l)

12

k

k 3

12−k

12

k 1

k

C12

( x ) ( 2)

k = 0

x

( )

36 4

12

2 k k

C − x −

k = 0

= − = .

Số hạng không chứa x ứng với 36 4k

0 k 9 C12 − 2 = − 112640 .

Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập)

Chọn B

k k 9 3k

Số hạng tổng quát T = −

k 1

C9 .8 . x ,0 ≤ +

k ≤ 9 .

Số hạng không chứa x ứng với 9 − 3k

= 0 ⇔ k = 3.

3 3

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là T = C 4 9

.8 = 43008 .

Chọn A

Ta có số hạng thứ 1

9

− = ⇔ = là ( ) 9

k

k + trong khai triển là ( 3 8−k

k

) . 24 − 4 k

T = C x − = C x .( −2)

.

x

2

x

k + 1 8 8

k

k

.

27

Câu 68.

Câu 69.

Câu 70.

Câu 71.

Câu 72.

Câu 73.

Do tìm số hạng độc lập với x suy ra 24 4k

0 k 6 7 . − 2 8 = 1792 Chọn A

12

Công thức số hạng thứ ( k + 1

3 1

) của khai triển x − là:

x

k k 3

12−k

1 k k 36−4k

Tk

= C12 ( − 1 ) ( x ) . = C12

( −1 ) x ,0 ≤ k ≤ 12, k ∈ N .

k

x

Số hạng không chứa x ứng với 36 − 4k

= 0 ⇔ k = 9 (thỏa mãn).

9

Suy ra T C ( ) 9

7

=

12

− 1 = − 220 .

Chọn B

Ta có

− = ⇔ = T C 6

( ) 6

30 1

30

30 −1 k

30

3

− 30−

k

2 k 30−k

2 k k 2

2 30 2 30

2

k = 0 k = 0

2

x + = x + x = C x x = C x

x

3

2 30 k 2

1 30

k k

Số hạng tổng quát thứ k + 1 trong khai triển là T = k

C x −

.

+

3k

Số hạng này không chứa x tương ứng với trường hợp 30 − = 0 ⇔ k = 20 .

2

20 20 20 10

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là T21 = C30 2 = 2 C30

.

Chọn D

k

k 45 k 1 k k 45−3k

k + 1 45 2 45

−

Số hạng tổng quát trong khai triển là = . . − = .( −1)

T C x C x

x

Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 45 − 3k

= 0 ⇔ k = 15 .

Vậy số hạng cần tìm là C .( 1) 15

Chọn D

− = − C .

15 15

45 45

2

Số hạng tổng quát trong khai triển x +

x

k

k 10−k 2 k k 10−2k

k + 1

=

10

. =

10.2

T C x C x

x

10

là:

(với k ∈N ; k ≤10

)

Số hạng không chứa x trong khai triển tương ứng với 10 − 2k

= 0 ⇔ k = 5(thỏa mãn).

5 5

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: C .2 . 10

Chọn B

7

k 3

C

( x )

x

k

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

7 7

− k

3 12

7

3 1

7−k

7

1

k

Ta có: x +

4 =

7 4 = C7

x .

k = 0 x k=

0

7 7

− k = 0

Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 3 12

0 ≤ k ≤ 7, k ∈ N

Số hạng không chứa x trong khai triển

Chọn A

3

x +

4

7

1

x

4

là: C

7

= 35.

k = 4.

6 6 6−k

k 6

k k 6 k k 6−3k

2 6 2 6

k = 0 x k = 0

1 k 1

−

Ta có: 2 x − = C .( 2 x) .( − 1 ) = C .2 .( −1 ) . x

x

Số hạng không chứa x xảy ra khi: 6 − 3k

= 0 ⇔ k = 2

28

2 4

Số hạng đó là ( ) 2

C .2 . − 1 = 240

6

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển trên là 240

Câu 74. Chọn B

Câu 75.

Câu 76.

1

x

k

2

Số hạng tổng quát trong khai triển là Tk

+ 1

= C12

( −x

)

Chọn D

Theo đề bài ta có 3k

− 12 = 0 ⇔ k = 4 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

12−k

4

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là ( ) 4

45 45

45

1 k 45−k

1

45 3

Có x − C

2 = 45

. x . −

2 = ( −1 )

k C

k 45

. x − k .

x k = 0 x

k = 0

Tìm số hạng không chứa x thì 45 − 3k

= 0 ⇔ k = 15 .

15

Vậy số hạng không không chứa x là − .

Chọn A Số hạng tổng quát trong khai trển

Câu 77.

Câu 78.

Câu 79.

k

C 45

k

( )

= C − .

k

3 12

12

1 k k

x −

C12 − 1 = 495 .

5

2 1

x +

3

x là: 2

( ) 5

k

k

−k

1 k 10−5k

Tk

= C5 x C

3 =

5

x

x

Số hạng cần tìm không chứa x nên ta có: 10 − 5k

= 0 ⇔ k = 2.

2

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là T2 = C5 = 10.

Chọn B

7

k 3

C

( x )

x

k

7 7

− k

3 12

7

3 1

7−k

7

1

k

Ta có: x +

4 =

7 4 = C7

x .

k = 0 x k=

0

7 7

− k = 0

Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 3 12

0 ≤ k ≤ 7, k ∈ N

3 1 4

Số hạng không chứa x trong khai triển x +

4 là: C

7

= 35.

x

Chọn B

30

30

k

⎛

30 60 3

2 ⎞ − k

k 30−k

⎛ 2 ⎞

k

Ta có k

x C ( ) ( ) ( ) 2

+ =

30

x = C30

2 x

⎜ x

⎟ ∑ ⎜

k= 0 x

⎟ ∑ .

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ k=

0

Số hạng không chứa x tương ứng 60 − 3 k = 0 ⇔ k = 20 .

2

20 20 20 10

Vậy số hạng không chứa xlà: 2 . C = 2 . C .

Ta có

Nên

P

3 2 3

30 30

x + 1 x − 1 3 x + 1 3 1

− = x + 1− = x − .

x − x + 1 x − x x x

10 10

x + 1 x −1 3 1

= − = x −

3 2 3

x

− x + 1

x − x x

k

Số hạng tổng quát của khai triển là: C x . ( 1)

k = thì số hạng không chứa x là ( ) 4 4

C

Khi 4

7

.

10−k

k

20−5k

−1

3

k k 6

10 = − C10

x

x

− 1 = 210 .

10

. .

k = 4.

.

29

− 9 9

2 k − 2 9 − k k k − 2 × k 9 − k

9

k

Câu 80. Ta có ( ) = ( − 2 ) = 9 ( − 2 ) = 9 ( −2)

f x x x C x x C x x

k = 0 k = 0

9 9

k k − 2k + 9−k k k 9−3k

C9 ( 2) x C9

( 2)

x

k = 0 k = 0

= − = −

Số hạng không chứa x của khai triển ( )

3

Vậy hệ số không chứa x là ( ) 3

C . − 2 = − 672 .

9

f x ứng với9 − 3k

= 0 ⇔ k = 3

k

14−k

56−7k

k 3 2

k k k 12

14 4

14

k

Câu 81. Số hạng tổng quát trong khai triển là: ( − ) ( ) = ( − )

1 C . x . 1 C .2 . x

x

Cho 56 − 7 k

= 0 ⇔ k = 8 .

12

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: 2 C .

Câu 82.

Câu 83.

Câu 84.

Câu 85.

11

8 8

14

11 11−k

11 33−11k

11 1 11 k 2 −5k

k 2

Ta có x x +

5 = x C11. x . x = C11.

x .

x k=

0

k = 0

Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 33 − 11k

= 0 ⇔ k = 3.

3

Số hạng cần tìm là C

11

= 165 .

Chọn A

1 2

Ta có: C + C = 55

n

n

( −1) 2 n

= 10

n! n!

n n

⇔ + = 55 ⇔ n + = 55 ⇔ n + n − 110 = 0 ⇔ n = 10

1! ( n −1 )! 2! ( n − 2 )! 2

n

= −11

Với n = 10 thì ta có:

3 2 n

10 10

x +

2

x = 10 −k

10 10

3 2 k 3k 2

k 3k 10−k 2k −20 k 10−k 5k

−20

x +

2 = C10. x . C

2 = 10. x .2 . x = C10.2 . x

x k = 0 x k = 0 k = 0

Để có số hạng không chứa x thì 5k

− 20 = 0 ⇔ k = 4 .

4 6

Do đó hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: C 10

.2 = 13440 .

Chọn C

Điều kiện: n ∈ N , n ≥ 2

( )

n n − 1 ⎡n = 11 ( tm)

2 1

C − C = 44 ⇔ − n = 44 ⇔ n n

2

⎢ n = −8

⎢⎣

11

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

k

Ta có x x + ⎟ = C ( x x ) = C x

⎜⎝ x ⎠ ⎝ ⎠

11 11 −k

11 33 11

1 1 k − k

k 2

4 11 ⎟

∑ 4

11

⎜

k= 0 x ⎟

∑

k=

0

Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 33 − 11 k

= 0 ⇔ k = 3

2

3

Vậy số hạng không chứa x trong khai triểnlà C = 165 .

11

n

≥ 2

ĐK:

n

* . ∈

Ta có

N ( )

( − )

2 1

n n 1

n n

C − C = 44 ⇔ − n = 44 ⇔ n = 11 hoặc n = − 8 (loại).

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Với n = 11, số hạng thứ k + 1 trong khai triển nhị thức

x

1

x +

4

x

11

là

30

( )

11−k

1 k

k k

11 4 =

11

33 11

− k

2 2

C x x C x .

x

Theo giả thiết, ta có 33 11 k

− = 0 hay k = 3.

2 2

3

Vậy, số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là C

11

= 165 .

Câu 86. Với điều kiện n ≥ 3,

n∈N , ta có

3 2 n ( n −1)( n − 2)

Cn

+ 2n = A

n + 1

2n ( n 1)

n ⇔ n −1 n − 2 + 12 = 6 n + 1

3!

2 n

= 1( loaïi)

⇔ n − 9n

+ 8 = 0 ⇔

n

= 8( thoûa )

.

Câu 87.

⇔ + = + ( )( ) ( )

Với n = 8, ta có số hạng thứ k + 1 trong khai triển 2x −

k

( ) 16

4

k −k

3

16

16 3

C16 2x

−

3 16 ( )

x

2 3 k k

k −k

= C − x −

.

4

Theo đề bài ta cần tìm k sao cho 16 − 0

3 k = ⇔ k = 12 .

12 4 12

Do đó số hạng không chứa x trong khai triển là C .2 .3 .

( n − )

( − )

2 n!

n n 1

n

C − n = 27 ⇔ − n = 27 ⇔ − n = 27

2! 2 ! 2

n

= 9

2

⇔ n − 3n

− 54 = 0 ⇔

n = − 6

Xét khai triển

2

x +

2

x

9

( TM )

( L)

k

k 9−k 2 k k 9−3k

k + 1

=

9

. =

2 9

.2

có số hạng tổng quát

T C x C x

x

Số hạng không chứa x nên 9 − 3k

= 0 ⇔ k = 3 .

3 3

Vậy số hạng không chứa x là: T = C 4 9

.2 = 672

.

Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức

Dạng 2.2.1 Dạng ( + + )

Câu 88.

a1 a2 ... a k

Chọn D

Ta có ( ) ( )

n

2

2017

2

2017

A = 1− 3x + 2x = 1− 3x + 2x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

16

3

16

3

x là

2017 2016 2015

( 1 3 ) ( 1 3 ) ( 2 ) ( 1 3 ) ( 2 ) ... ( 2 )

C 0

1− 3x

, C 1 ( 1 3x) 2016

( 2x

2

)

2017 2017

0 1 2 2 2

2

2017 2

2017

2017 2017 2017 2017

A = C − x + C − x x + C − x x + + C x .

Trong khai triển trên chỉ có hai số hạng ( ) 2017

chứa

x

2

− xuất hiện biểu thức

( 1− 3 ) = − ( 3 ) + ( 3 ) − ( 3 ) + ... − ( 3 )

0 2017 0 0 1 2 2 3 3 2017 2017

2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017

i C x C C C x C x C x C x

Hệ số chứa

2

x trong số hạng C 0

( x ) 2017

1 3

2017

− là: C 0 2

2017C

2017 ( 3)2

( 1− 3 ) ( 2 ) = ( 2 ) − ( 3 ) + ( 3 ) + ... + ( 3 )

1 2016 2 1 2 0 1 2 2 2016 2016

2017 2017 2016 2016 2016 2016

i C x x C x C C x C x C x

31

Hệ số chứa

Vậy hệ số ( ) 2

2

x trong số hạng C 1 ( 1 3x 2016

) ( 2x

2

2017 )

a = C C 3 + 2C C = 18302258

0 2 1 0

2 2017 2017 2017 2016

− là: 1 0

2C C .

2017 2016

10 10 10

3

Câu 89. ( ) ( ) 10 ( ) 10 3

k

−k

k −k

k i

i 3

k

f x = 1− 3x + 2x = C10 1− 3 x .( 2x ) = C10C10

−k

( −3 x) .( 2x

) .

10 10−k

k = 0 k = 0 i=

0

k i i k i+

3k

C10C10

−k

( 3 ) .2 . x ( i , k ∈ ,0 ≤ k ≤10,0 ≤ i ≤10

− k )

= −

k = 0 i=

0

Số hạng chứa

Vậy hệ số của

7

x ứng với i 3k

7

+ = .

N .

7 2 1 2 1 4 4 0 7 7

x là: C10 C8 ( ) C10 C9 ( ) C10 C10

( )

. . − 3 .2 + . . − 3 .2 + . . − 3 = − 62640 .

9 9

2

9

k 18−2k k

k 18−2k i k −i

i

Câu 90. Ta có: ( 3 − 2 x + x ) = C9 . x .( 3 − 2 x) = C9

. x Ck.3 ( −2x)

( 0 ≤ i ≤ k ≤ 9)

Câu 91.

k = 0 k = 0 i=

0

i

= 1 i

= 3

Giá trị a

15

ứng với: 18 − 2k

+ i = 3 ∨ .

k

= 8 k

= 9

1 3

8 1 7 9 3 6

Vậy: a C C ( ) C C ( )

Ta có

= . .3 . − 2 + . .3 . − 2 = − 804816.

15 9 8 9 9

9 9

2

2 2 1

9

1 1

k 1 k

k

− x + x = + x( x − )

x

x

= 9 k

C9

. x .( 2x

−1)

k = 0 x

( )

k − i

= CkC9

−1 2 . x

k = 0 i=

0

Theo yêu cầu bài toán ta có 2k

+ i − 9 = 3 ⇔ 2k

+ i = 12 ; 0 ≤ i ≤ k ≤ 9 ; i,

k ∈ N

9−k

Ta có các cặp ( i;

k ) thỏa mãn là: ( ) ( ) ( )

Từ đó hệ số của

2

Câu 92. ( x − 3x + 2) = ( x −1) ( x − 2)

0;6 , 2;5 , 4;4 .

3 0 6 6−0 0 2 5 5−2 2 4 4 4−4

4

x là : C6C9 ( 1 ) .2 C5 C9 ( 1 ) .2 C4C9

( 1 ) .2

6 6 6

Số hạng tổng quát trong khai triển ( x − 1) 6 k k

là C x ( ) 6

Số hạng tổng quát trong khai triển ( x − 2) 6 i i

là C x ( ) 6

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

k

i k i 2k + i−9

.

− + − + − = − 2940 .

. 1

−k

6

− với k = 0;1;2...;6 .

. 2

−i

6

− với i = 0;1;2...;6 .

2

Số hạng tổng quát trong khai triển ( x 3x 2) ( x 1) ( x 2)

−i−k

( ) ( )

12 6−i

k i i+

k

= C6 C6x

− 1 . 2

6 6 6 k k

− + = − − là ( ) 6 −k

i i

( )

6 −i

C6 x −1 . C6x

− 2

7

Số hạng chứa x ứng với i + k = 7 . Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm

6 1 5 5

i = 1 k = 6 hệ số là = C6C6 ( − 1 ) .( 2)

= − 192

5 2 5 4

i = 2 k = 5 hệ số là = C6C6 ( − 1 ) .( 2)

= − 1440

4 3 5 3

i = 3 k = 4 hệ số là = C6C6 ( − 1 ) .( 2)

= − 2400

3 4 5 2

i = 4 k = 3 hệ số là = C6C6 ( − 1 ) .( 2)

= − 1200

2 5 5 1

i = 5 k = 2 hệ số là = C6C6 ( − 1 ) .( 2)

= − 180

1 6 5 0

i = 6 k = 1 hệ số là = C6C6 ( − 1 ) .( 2)

= − 6

32

Vậy hệ số của số hạng chứa

Cách 2.

2 2

( x − 3x + 2) = ( x + ( − 3x

+ 2)

)

6 6

7

2

x trong khai triển ( ) 6

k 2

6−k

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là C ( x ) ( x )

Số hạng tổng quát trong khai triển ( − 3x

+ 2)

k i k −i

là C ( x)

x

− 3x

+ 2 bằng − 5418

. 3 2

6

− + với k = 0;1;2...;6 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

k

k

.2 − 3 i

với 0 ≤ i ≤ k .

2

Số hạng tổng quát trong khai triển ( x − 3x

+ 2) 6 k

là . 2

6

6 ( ) k i .2 k i

C x − −

C ( 3

k

− x)

k i k −i i 12− 2k + i

= C6 Ck.2 ( − 3 ) .( x )

7

Số hạng chứa x ứng với 12 − 2k

+ i = 7 ⇔ 2k

− i = 5 . Kết hợp với điều kiện ta được các nghiệm

k = 3 i = 1 hệ số là = C 3 C 1 2 2

( − 3 ) 1

= − 720

6 3

4 3 3 1

k = 4 i = 3 hệ số là = C6C4 ( − 3 ) .( 2)

= − 3240

5 5 0 5

k = 5 i = 5 hệ số là = C6C5 ( 2 ) .( − 3)

= − 1458

Vậy hệ số của số hạng chứa

2 3

Câu 93. Ta có: ( 1+ x + x + x ) 10

2

= ( 1+ x ) ( 1+

x)

Câu 94.

7

2

x trong khai triển ( ) 6

10 10

5

Hệ số của số hạng chứa x nên 2k

+ i = 5 .

Trường hợp 1: k = 0 , i = 5 nên hệ số chứa

Trường hợp 2: k = 1, i = 3 nên hệ số chứa

Trường hợp 3: k = 2 , i = 1 nên hệ số chứa

Vậy hệ số của số hạng chứa

x

− 3x

+ 2 bằng − 5418 .

10 10

k 2k i i

C10 . x . C10

. x

k = 0 i=

0

=

5

x là

5

x là

5

x là

C . C .

0 5

10 10

C . C .

1 3

10 10

C . C .

2 1

10 10

C . C + C . C + C . C = 1902 .

5 0 5 1 3 2 1

x là

10 10 10 10 10 10

0 1 2

n

3C n

+ 4Cn + 5 Cn + ... + ( n + 3) Cn

= 3840

0 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

n

⇔ 0 + 3 C + 1+ 3 C + 2 + 3 C + ... + n + 3 C = 3840

n n n n

1 2 n

0 1 2

n

( Cn Cn nCn ) ( Cn Cn Cn Cn

)

⇔ + 2 + ... + + 3 + + + ... + = 3840

n−1

n

⇔ n.2 + 3.2 = 3840 ⇔ n = 9

x = x x x ( ) 9

Cho 1

(1 ) 1 1 1 1 2

+ − 2 + 3 9 = + − 2 + 3 = 9 .

11 11

2 3 10 11

11

Câu 95. Ta có: A = ( 1 + x + x + x + ... + x ) ⇔ ( 1− x) A = ( 1−

x )

110 11

k k

i m 11

C11 ( x) . ai

x C11

( x )

⇔ − = − .

k = 0 i= 0

m=

0

Hệ số của

Hệ số của

P

11

x trong P là:

11

x trong Q là:

1

Vậy T = − C 11

= − 11.

Dạng 2.2.2 Tổng ( a + b ) + ( a + b ) + + ( a + b )

Câu 96.

Chọn A

Đặt A ( 1 x) 12

Q

m

10 10

=

k = 0 i=

0

C a − C a + C a − C a + ... + C a − C a = T

−

n m h

1 1 2 2

...

k k

= + ;

2 1

0 1 2 3 10 11

11 11 11 10 11 9 11 8 11 1 11 0

1

C 11

18

B = x +

x

i

C . C . x +

k i 2k i

10 10

33

Ta có khai triển ( 1 )

= +

12

12

k

= 12

k

có 13 số hạng.

k =

A x C x

18 18

2 1

l 36−3l

18

x l=

0

Và khai triển B = x + = C x có 19 số hạng.

Ta đi tìm các số hạng có cùng lũy thừa, mà giản ước được trong khai triển P( x ) , ta phải có :

36 − 3l = k ⇔ k + 3l

= 36 (1)

Phương trình (1) cho ta ta 5 cặp nghiệm thỏa mãn (k;l) = {(0;12),(3;11),(6;10),(9;9),(12;8)} tương

ứng với 5 số hạng.

Vậy sau khi khai triển và rút gọn P( x ) ta có 13+ 19 − 5 = 27 số hạng.

P x = a x + a x + ... + a x + a

Câu 97. Ta có ( )

2018 2017

Câu 98.

Cho 1

x

2018 2017 1 0

2018 2017 1 0

2017 2018

x = P( 1)

= a + a + ... + a + a ( ) ( )

+

x

2 3

12 12

2

12 3

12 ( )

k

k

−k

= C

x

k=

0

x

21

12

= C

k = 0

k k 24 3k

123

x −

= 1− 2 + 3 − 2.1 = 0 .

3 1

k 3

21−k

21

1

k 21−k 63−5k

2x +

2 = C21 ( 2x

) 2 = C212

x

x k = 0

x k = 0

Ta cho k chạy từ 0 đến 12 thì các số mũ của x không bằng nhau.

Với khai triển x

số hạng là: 35.

+

x

2 3

Câu 99. Xét nhị thức ( x 1) n

( 1 x)

Hệ số của

Hệ số của

Hệ số của

Vậy hệ số của

12

k

ta có 13 số hạng; Với khai triển 2x

n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

3

1

+

2

x

k k

+ = + có số hạng tổng quát là C x . Ta có:

5

x trong ( 1 x) 6

+ là

5

x trong ( 1 x) 7

+ là

C .

C

5

6

5

7

5

x trong ( 1+ x) 12 5

là C

12

.

5

x trong khai triển ( )

Câu 100. Ta có ( ) 8 0 1 8 8

1 x C C x ... C x

8 8 8

5 5 5

P x là C + C + ... + C = 1715 .

6 7 12

+ = + + + suy ra hệ số chứa

Lại có ( ) 9 0 1 8 8 9 9

1 x C C x ... C x C x

9 9 9 9

n

8

x là

+ = + + + + suy ra hệ số của

Tương tự trong khai triển ( 1 x) 10

( 1 x) 11

( 1 x) 12

Câu 101. Ta có

+ có hệ số của

+ có hệ số của

Suy ra hệ số của

8

x là

+ có hệ số của

C .

8

11

C .

8 8

x là

12

8

x trong ( )

P x là

8

x là

( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

C .

8

10

C .

8

8

8

x là

21

C .

a = C + C + C + C + C = .

8

9

8 8 8 8 8

8 8 9 10 11 12

715

8 9 10 11 12

P x = + x + + x + + x + + x + + x .

Áp dụng khai triển

( )

0 1 2 2

1 x n C ...

n n

n

Cnx Cn x Cn

x

+ = + + + + .

0 1 2

n n

Cho x = 1, ta có C + C + C + ... + C = 2 .

n n n n

Do đó ta có tổng hệ số của P ( x ) là:

( )

8 9 10 11 12 8 8

S = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 1+ 2 + 4 + 8 + 16 = 31.2 = 7936 .

ta có 22 số hạng. Vậy tổng

34

Dạng 2.2.3 Tích ( .. ) m

l

a + + a .( b + ... + b )

1 n 1

Câu 102. ( 1+ 2x)( 3 + x) 11

= ( 3 + x) + 2x( 3 + x)

Suy ra hệ số của

n

11 11

11 11

k 11−k k k 11−k k

C11.3 . x 2 x

C11.3 . x

k = 0 k = 0

= +

11 11

k 11−k k k 11− k k + 1

C11.3 . x C11.2.3 . x

k = 0 k = 0

9

x khi triển khai nhị thức trên là:

= +

C .3 + C .2.3 = 9045 .

9 2 8 3

11 11

10 2

2

Câu 103. Ta có: ( ) ( ) 10

4 3 2

1+ 2x 3+ 4x + 4 x =

C k 10.2 k . x k

. ( 16x + 32x + 40x + 24x

+ 9)

k = 0

2 2 3 3 4 4 5 5 6 6

Do đó a = C .2 .16 + C .2 .32 + C .2 .40 + C .2 .24 + C .2 .9 = 482496 .

6 10 10 10 10 10

n

n

k k k k k k

2x + 1 = 1+ 2x = C6 1 2x = C6

2 x

k= 0 k=

0

4 8 8 8 8−

j

2 1 1 1 8 1 j

+ + = + = + = j

6 6 6

Câu 104. Xét khai triển ( ) ( ) − ( )

x x x x C x

4 2 2 2

Vậy ( )

j=

0

4 n

8 8 j n

8

8 j

k k k J −

−

j k k J j+

k

6 8 6 8

6 2 1 1 1

2x + 1 x + x + = C 2 x . C x = C 2 . C x

4 2 2

Số hạng của khai triển chứa x khi j + k = 6

Xét bảng:

Vậy hệ số

Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng

Câu 105. Chọn B

Hệ số của

Hệ số của

Suy ra hệ số của

Câu 106. Chọn B

k= 0 j= 0 k= 0 j=

0

6

6

6 2 1

x trong khai triển ( 2x + 1)

x + x +

5

x trong khai triển biểu thức ( ) 6

5

x trong khai triển biểu thức ( ) 8

4

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

4

thành đa thức là

x 2x − 1 là C 4 2 4

( − 1 ) 2

= 240 .

6

5

x − 3 là C ( ) 3

8

− 3 = − 1512 .

5

x trong khai triển biểu thức x ( 2x 1) 6 ( x 3)

8

6 8

k

−

m

( 3 − 1) + ( 2 − 1)

= x C6 .( 3x) ( − 1 ) + C8

.( 2x) ( −1)

x x x

6 8

k 6 k m 8−k

k = 0 m=

0

3003 1 6

14

4 = 4 C .

− + − là 240 − 1512 = − 1272 .

35

6 8

k k 6−k

k + 1

m m 8−k

m

C6 .3 ( 1 ) x C8

.2 ( 1)

x .

= − + −

k = 0 m=

0

5

x ứng với k = 4 ; m = 5 .

4 4 2 5 5 3

C6 C8

Hệ số

Hệ số cần tìm là ( ) ( )

.3 − 1 + .2 − 1 = − 577 .

Câu 107. Chọn A

4

6 4 2

Hệ số của x trong khai triển nhị thức ( x − 2) là C 2 = 60 .

6

5

8 5 5

Hệ số của x trong khai triển nhị thức (3x −1)

là C ( − 3) = − 13608 .

Vậy hệ số của

Câu 108. Chọn D

5

x trong khai triển biểu thức

8

−

6

+ x −

8

bằng − 13608 + 60 = − 13548.

x( x 2) (3 1)

6 8

k k m m

6 8 k 6−

m 8−

Ta có x ( 2x − 1) + ( 3x − 1 ) = x. C ( 2x) ( − 1) + C ( 3x) ( −1)

= − + −

Để có số hạng của

Do đó hệ số của

6 8

k = 0 m=

0

6 8

k 6−k k 7−k m 8−m m 8−m

C6 ( 2) ( 1 ) . x C8

( 3) ( 1 ) . x

k = 0 m=

0

5

x trong khai triển thì k = 2; m = 3

5

2 4 3 5 3

x trong khai triển bằng: C6 C8

( ) ( )

Câu 109. Chọn A

Số hạng tổng quát trong khai triển trên có dạng:

.2 + . 3 − 1 = − 13368.

+ 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k k 6− m m 8− k k 6− m m 8−

m

6 8 6 8

x. C . x − 2 + C . 3 x . − 1 = C . x − 2 + C .3 . − 1 . x .

Để tìm hệ số của

Hệ số của

Câu 110. Chọn A

5

Hệ số của x là

( )

5

x ta cần tìm ,

k m sao cho

5

4 2 5 5 3

x cần tìm bằng: C6 ( ) C8

( )

4

4 1 3 7 3

C .1 . − 1 + C .1 .2 = 965.

5 10

k

+ 1 = 5 k

= 4

⇔ .

m

= 5 m

= 5

. − 2 + .3 . − 1 = − 13548 .

k

2 m

1

Câu 111. Khải triển P ( x ) có số hạng tổng quát xC ( − x)

+ x C ( x)

( 2) k k k

= − C x +

5

2 k

k ∈ N , k ≤ 5, m∈N , m ≤ 10 )

5

k

+ 1 = 5 k

= 4

Hệ số của x ứng với k , m thỏa hệ ⇔ .

m

+ 2 = 5 m

= 3

Vậy hệ số cần tìm là ( ) 4 4

− 2 C 5

+ 3 3 C 3 10

= 3320 .

Dạng 3. Ứng dụng nhị thức newton để giải toán

Câu 112. Chọn A.

19 0 18 1 17 2 1 20

Ta có: S = 3 C + 3 C + 3 C + ... + C

20 20 20 20

3

20 0 19 1 18 2 20

3S = 3 C + 3 C + 3 C + ... + C

20 20 20 20

10

3 m

3 1 C 3 1 C 3 1 C 3 1 ... C 3 1

Xét khai triển: ( ) 20 0 20 0 1 19 1 2 18 2 20 0 20

+ = + + + +

20 20 20 20

3 1 C 3 C 3 C 3 ... C

( ) 20 0 20 1 19 2 18 20

+ = + + + +

20 20 20 20

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 113. Chọn A

⇔ 3S

= 4

20

5

2

+ 3 m C m m

10x + (

36

Ta có ( )

2017

2017 k k 2017−k

0 1 2 3 2017

1+ 1 = C20171 1 = C2017 + C2017 + C2017 + C2017 + ... + C2017

k = 0

1 2 3 2017 2017

2017

+

2017

+

2017

+ ... +

2017

= 2 − 1.

Vậy C C C C

Câu 114. Chọn C

Ta có ( )

.

2018

2018 i 0 1 2 2018

C2018 C2018 C2018 C2018 C2018

i=

0

1+ 1 = = + + + ... +

1 2 2018 2018

Suy ra C + C + ... + C = 2 − 1.

Câu 115. Xét hai khai triển:

2018 2018 2018

+ 2 2017 ( 1 1 ) 2017

C 0 C 1 C 2 C 3 ... C

2017

( 1)

= + = + + + + + .

2017 2017 2017 2017 2017

+ 0 = ( 1− 1 ) 2017 = C 0 − C 1 + C 2 − C 3 + ... − C

2017

( 2)

Lấy ( 1) ( 2)

Câu 116. Chọn C

2017 2017 2017 2017 2017

− theo vế ta được: ( 2017 2017 2017 2017 )

Xét tổng ( ) 5 0 1 2 2 5 5

1 + x = C + xC + x C + ... + x C

Thay 2

Câu 117. Chọn B

2 2017 = 2 C 1 + C 3 + C 5 + ... + C 2017 T = 2

2016 .

5 5 5 5

x = ta được: S C C C C ( ) 5

Ta có ( )

Chọn 2

10

10

+ =

k = 0

x 1 C . x

k

10

x = ta có ( )

= + 2 + 2 + ... + 2 = 1+ 2 = 3 = 243

k

10

10

+ =

k = 0

0 1 2 2 5 5 5

5 5 5 5

2 1 C .2

k

10

k

10

⇔ S = 3 = 49049 .

Câu 118. Xét khai triển ( ) 10 0 1 2 2 3 3 10 10

1 + x = C + C . x + C . x + C . x + + C . x

Với 2

Vậy

⋯ .

10 10 10 10 10

x = ta có ( ) 10 0 1 2 2 3 3 10 10

+ = C + C + C + C + ⋯ + C

= .

10

S = 3 59049

1 2 2 2 2 2 .

10 10 10 10 10

Câu 119. Ta có: ( ) 2016 0 1 2 2 2016 2016

1 x C C x C x ... C x

+ = + + + + .

2016 2016 2016 2016

2016 0 1 2 2016

1 2 2016 2016

Chọn x = 1 , ta có: 2 = C2016 + C2016 + C2016 + ... + C2016

hay C2016 + C2016 + ... + C2016

= 2 − 1.

Câu 120. Chọn C

Xét khai triển ( )

0 1 2 2

1 x n C ...

n n

n

Cnx Cn x Cn

x

+ = + + + + .

0 1 2 2

Cho x = 4 ta có: 5 n = C 4 4 ... 4

n n

n

+ Cn + Cn + + Cn

. Suy ra: 15625 = 5 n 6

⇔ 5 = 5 n ⇔ n = 6 .

Câu 121. Chọn C

2019

Ta có: .( 1 + ) 2019 = . k

( 0 1 2018 2018 2019 2019

2019

= .

2019

+

2019

+ ... +

2019

+

2019 )

k

k = 0

x x x C x x C C x C x C x .

0 1 2 2018 2019 2019 2020

= C2019x + C2019x + ... + C2019 x + C2019

x .

Đạo hàm 2 vế theo biến x ta được.

2019 2018 0 1 2018 2018 2019 2019

(1 + x) + 2019 x(1 + x) = C + C .2 x + ... + C .2019 x + C .2020x

.

2019 2019 2019 2019

Cho x = 1 suy ra 2 + 2019.2 = C + 2 C + ... + 2019C + 2020C

.

2019 2018 0 1 2018 2019

2019 2019 2019 2019

(2

2018

2019).2 1 S S

2018

2021.2 1

⇔ + = + ⇔ = − .

2018

Vậy S = 2021.2 − 1.

Câu 122. Chọn C

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Ta có : ( ) 22

2 = 1+ 1 = C + C + C + .... + C + C + C .

22 0 1 2 20 21 22

22 22 22 22 22 22

Áp dụng tính chất : C

k

n

= , suy ra:

n k

C −

n

37

C

= C , C

0 22

22 22

= C , C

1 21

22 22

= C ,……, C

2 20

22 22

= C .

10 12

22 22

Do đó: .... 2 ( ....

)

C + C + C + + C + C + C = C + C + + C + C + C + C .

0 1 2 20 21 22 12 13 20 21 22 11

22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22

C + C + C + .... + C + C + C C

⇔ C + C + + C + C + C = −

2 2

22 11

12 13 20 21 22 2 C22

⇔ C22 + C22 + .... + C22 + C22 + C22

= −

2 2

11

12 13 20 21 22 21 C22

⇔ C22 + C22 + .... + C22 + C22 + C22

= 2 − .

2

11

21 C22

Vậy S = 2 − .

2

0 1 2 20 21 22 11

12 13 20 21 22

22 22

....

22 22 22

22 22 22 22 22 22 22

Câu 123. ( 1+ x) 2018 0 1 2 2 3 3 2018 2018

= C + xC + x C + x C + ... + x C

2018 2018 2018 2018 2018 ( 1 )

Đạo hàm 2 vế của đẳng thức ( 1)

ta được:

Câu 124. Ta có

( ) 2017

1 2 2 3 2017 2018

2018 1+ x = C + 2xC + 3x C + ... + 2018x C . Cho x = 1 ta được:

2018 2018 2018 2018

2017

2018. 2 = C 1 + 2C 2 + 3C 3 + ... + 2018C

2018 .

2018 2018 2018 2018 ( 2 )

Đồng thời, thay x = 1 vào ( 1 ) ta cũng có:

2018

2 = C 0 + C 1 + C 2 + C 3 + ... + C

2018 .

2018 2018 2018 2018 2018 ( 3 )

Lấy ( 2) + ( 3)

ta được:

2017 2018 0 1 2 2017 2018

S = 2018. 2 + 2 = C + 2C + 3C + ... + 2018C + 2019C .

2018 2018 2018

Vậy S = 1009. 2 + 2 = 1010. 2 .

2018 2018 2018 2018 2018

10 k

x k −

( 1−

x)

.

1 10! k

( ) 10 −k

1

= . . x . 1−

x .

k

( ) 10

10 .

k

−k

C x . 1 x

k

k! ( 10 − k )!

10! k! ( 10 − k )!

10!

( 1− x) ( 1− x) 2 ( 1−

x)

10

10

1 k k

10−k

+ . + . + ... + = C10. x .( 1−

x)

1 ( 1 ) 10

10

x

9

x

8

x

10! 9! 1! 8! 2! 10!

10!

k = 0

= − với 0 ≤ ≤ 10 .

Câu 125. ( 0 0 0 ) ( 1 1 1 n−

) ( 1 n−

1 n

S = 2 + C1 + C2 + ... + Cn + C1 + C2 + ... + Cn + ... + Cn−

1

+ Cn ) + Cn

0 1 0 1 2 0 1 n−1 0 1

n

= 2 + ( C1 + C1 ) + ( C2 + C2 + C2 ) + ... + ( Cn− 1

+ Cn− 1

+ ... + Cn−

1 ) + ( Cn + Cn + ... + Cn

)

2 n−1

( ) ( ) ( )

= 2 + 2 + 1+ 1 + ... + 1+ 1 + 1+

1

1 2

= 2 + 2 + 2 + ... + 2 n 2 n −1

1

= 2 + 2. 2 n +

S = .

2 − 1

S là một số có 1000 chữ số 10 ≤ S < 10

⇔ 999log 10 −1 ≤ n < 1000log 10 − 1

2 2

n∈ .

Do n∈N nên { 3318;3319;3320}

n

999 1000

Vậy có 3 số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

⇔ 10 ≤ 2 < 10

Câu 126. Chọn B

n! n! n! n!

⇔ + + + .... + = 1024

1! n −1 ! 3! n − 3 ! 5! n − 5 ! n −1 !1!

( ) ( ) ( ) ( )

999 n+ 1 1000

= 10! x + − x 1

= .

10!

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

⇔ C + C + C + ..... + C = 1024 (1).

1 3 5

n

n n n n

1 3 5 n n−1

Ta chứng minh đẳng thức C + C + C + ..... + C = 2 (2).

n n n n

38

n n n

n n n n

1 + x = C + C x + C x + .... + C x .

Thật vậy, xét ( )

0 1 2 2

Với n là số nguyên dương

n 0 1 2

n

Thay x = 1 thì 2 = C + C + C + ..... + C .

n n n n

Thay x = −1thì

0 = C − C + C − C + ...... − C + C

0 1 2 3 n−1

n

n n n n n n

0 2 4 n 1 3 n 1

Cn + Cn + Cn + ...... + Cn = Cn + Cn + ..... + C −

n

.

A

A

= B

n

n−1

Từ đó ta có: ⇔ 2B

= 2 ⇔ B = 2 .

n

A

+ B = 2

Do đó đẳng thức (2) được chứng minh.

Thay vào (1) n−1 10

2 = 1024 = 2 nên n = 11, chọn đáp án B

B

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

39

TOÁN 11

BIẾN CỐ, XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1D2-4

Mục lục

Phần A. Câu hỏi .............................................................................................................................................................. 2

Dạng 1. Mô tả không gian mẫu và mối liên hệ giữa các biến cố ..................................................................................... 2

Dạng 2. Các dạng toán về xác suất ................................................................................................................................... 3

Dạng 2.1 SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC XUẤT - QUY VỀ BÀI TOÁN ĐẾM. ..................................... 3

Dạng 2.1.1 Bài toán tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng cách tính trực tiếp số phần tử thuận lợi cho

biến cố. ..................................................................................................................................................................... 3

A. Một số bài toán chọn vật, chọn người .......................................................................................................... 3

B. Một số bài toán liên quan đến chữ số ........................................................................................................... 8

C. Một số bài toán liên quan đến yếu tố sắp xếp ............................................................................................. 11

D. Một số bài toán liên quan đến xúc sắc ........................................................................................................ 12

E. Một số bài toán liên quan đến hình học .......................................................................................................... 13

F. Một số bài toán đề thi ..................................................................................................................................... 15

Dạng 2.1.2 Tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng phương pháp gián tiếp. ............................................. 15

DẠNG 2.2 SỬ DỤNG QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT .................................................................................................. 18

Dạng 2.2.1 Sử dụng quy tắc cộng........................................................................................................................... 18

Dạng 2.2.2 Sử dụng quy tắc nhân .......................................................................................................................... 19

Dạng 2.2.3 Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân ................................................................................................ 20

Phần B. Lời giải tham khảo ......................................................................................................................................... 23

Dạng 1. Mô tả không gian mẫu và mối liên hệ giữa các biến cố ................................................................................... 23

Dạng 2. Các dạng toán về xác suất ................................................................................................................................. 23

Dạng 2.1 SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC XUẤT - QUY VỀ BÀI TOÁN ĐẾM. ................................... 23

Dạng 2.1.1 Bài toán tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng cách tính trực tiếp số phần tử thuận lợi cho

biến cố. ................................................................................................................................................................... 23

A. Một số bài toán chọn vật, chọn người ........................................................................................................ 23

B. Một số bài toán liên quan đến chữ số ......................................................................................................... 30

C. Một số bài toán liên quan đến yếu tố sắp xếp ............................................................................................. 36

D. Một số bài toán liên quan đến xúc sắc ........................................................................................................ 38

E. Một số bài toán liên quan đến hình học .......................................................................................................... 40

F. Một số bài toán đề thi ..................................................................................................................................... 43

Dạng 2.1.2 Tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng phương pháp gián tiếp. ............................................. 44

DẠNG 2.2 SỬ DỤNG QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT .................................................................................................. 49

Dạng 2.2.1 Sử dụng quy tắc cộng........................................................................................................................... 49

Dạng 2.2.2 Sử dụng quy tắc nhân .......................................................................................................................... 51

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

1

Dạng 2.2.3 Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân ................................................................................................ 53

Phần A. Câu hỏi

Dạng 1. Mô tả không gian mẫu và mối liên hệ giữa các biến cố

Câu 1. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Xét phép thử gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 6

mặt hai lần. Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”. Khẳng định nào sau

đây đúng?

n A = . B. n( A ) = 12 . C. n( A ) = 16 . D. n( A ) = 36 .

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

A. ( ) 6

(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba

lần. Gọi A là biến cố “Có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp” và B là biến cố “Kết quả ba lần

gieo là như nhau”. Xác định biến cố A∪

B.

A B SSS, SSN, NSS, SNS,

NNN

A∪ B = SSS,

NNN .

A. ∪ = { }. B. { }

C. A∪ B = { SSS, SSN, NSS,

NNN}

. D. A ∪ B = Ω .

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và

đồng chất 5 lần. Tính số phần tử không gian mẫu.

A. 64 . B. 10. C. 32 . D. 16.

(HKI-Chu Văn An-2017) Xét phép thử gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần liên

tiếp. Gọi A là biến cố “Lần đầu xuất hiện mặt 6 chấm” và B là biến cố “Lần thứ hai xuất hiện mặt

6 chấm”.

Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

A. A và B là hai biến cố xung khắc.

B. A ∪ B là biến cố “Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm”.

C. A ∩ B là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai lần gieo bằng 12.

D. A và B là hai biến cố độc lập.

P A = ,

Câu 5. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. ( ) 0,4

P ( B ) = 0,3 . Khi đó P( AB ) bằng

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

A. 0,58. B. 0,7 . C. 0,1. D. 0,12 .

(TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Rút ngẫu nhiên cùng lúc ba con bài từ cỗ bài tú lơ khơ

n Ω bằng bao nhiêu?

52 con thì ( )

A. 140608 . B. 156 . C. 132600 . D. 22100 .

(CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho A , B là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau

đây đúng?

P A B P A P B

P A∪ B = P A . P B .

A. ( ∪ ) = ( ) + ( ) . B. ( ) ( ) ( )

C. P( A∪ B) = P( A) − P( B)

. D. P( A B) P( A) P( B)

∩ = + .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

(QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho A , B là hai biến cố xung khắc. Biết

1 1

∪ .

3 4

P( A ) = , P( B ) = . Tính P( A B)

2

Câu 9.

Câu 10.

Câu 11.

A. 7

12 . B. 1

12 . C. 1 7 . D. 1 2 .

(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Xét một phép thử có không gian mẫu Ω và A là một

biến cố của phép thử đó. Phát biểu nào dưới đây là sai?

P A = khi và chỉ khi A là chắc chắn. B. P ( A) 1 P ( A)

A. ( ) 0

C. Xác suất của biến cố A là P ( A)

n A

=

n

( )

( Ω )

. D. P( A)

= − .

0 ≤ ≤ 1.

(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Xét phép thử gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần

liên tiếp. Gọi A là biến cố “Lần đầu xuất hiện mặt 6 chấm” và B là biến cố “Lần hai xuất hiện

mặt 6 chấm”.

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. A và B là hai biến cố độc lập.

B. A∩ B là biến cố: Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai lần gieo bằng 12.

C. A∪ B là biến cố: Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm.

D. A và B là hai biến cố xung khắc.

(SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho A và B là hai biến cố xung khắc. Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

A. P( A) + P( B) = 1.

B. Hai biến cố A và B không đồng thời xảy ra.

C. Hai biến cố A và B đồng thời xảy ra.

D. P( A) + P( B) < 1.

Câu 12. Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất của biến cố P( A∪

B)

A. 1− P( A) − P( B)

. B. P( A) . P( B ) .

C. P( A) . P( B) − P( A) − P( B)

. D. P( A) + P( B)

.

Dạng 2. Các dạng toán về xác suất

Dạng 2.1 SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC XUẤT - QUY VỀ BÀI TOÁN ĐẾM.

Dạng 2.1.1 Bài toán tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng cách tính trực tiếp số

phần tử thuận lợi cho biến cố.

A. Một số bài toán chọn vật, chọn người

Câu 13. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả màu xanh và 6 quả

cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng

màu bằng

5

A.

B. 6

C. 5

D. 8

22

11

11

11

Câu 14.

Câu 15.

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Từ một hộp chứa 11 quả cầu màu đỏ và 4 quả cầu màu xanh,

lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh

A. 33

B. 24

4

4

C.

D.

91

455

165

455

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Từ một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh,

lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng

bằng

3

Câu 16.

Câu 17.

A. 1 22

B. 2 7

C. 5

12

D. 7 44

(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Từ một hộp chứa 9 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh, lấy

ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng?

A. 24

B. 4 C. 12

D. 5 91

91

65

21

(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Từ một hộp chứa 10 quả cầu màu đỏ và 5quả cầu màu xanh,

lấy ngẫu nhiên đồng thời3quả cầu. Xác suất để lấy được 3quả cầu màu xanh bằng

A. 2 B. 12

C. 1

D. 24

91

91

12

91

Câu 18. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Một lớp có 40 học sinh, trong đó có 4 học sinh tên Anh. Trong một

lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên hai học sinh trong lớp lên bảng. Xác suất để hai học

sinh tên Anh lên bảng bằng

A. 1

10 . B. 1 20 . C. 1

130 . D. 1 75 .

Câu 19.

Câu 20.

Câu 21.

Câu 22.

(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Hộp A có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi

xanh. Hộp B có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên

bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu.

A. 91

44

88

45

. B. . C. . D.

135 135 135 88 .

(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu

nhiên 4 học sinh. Xác suất để trong 4 học sinh được chọn luôn có học sinh nữ là

A. 1

14 . B. 1

13

209

. C. . D.

210 14 210 .

(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Một hộp đèn có 12 bóng, trong đó có 4 bóng

hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để trong 3 bóng có 1 bóng hỏng.

A. 11

13

28

. B. . C.

50 112 55 . D. 5 6 .

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Trong một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu

nhiên 3 bạn trong tổ tham gia đội tình nguyện của trường. Tính xác suất để 3 bạn được chọn toàn

là nam.

A. 1 6 . B. 4 5 . C. 1 5 . D. 2 3 .

Câu 23. (HKI-Chu Văn An-2017) Trong một đợt kiểm tra định kỳ, giáo viên chuẩn bị một hộp đựng 15

câu hỏi gồm 5 câu hỏi Hình học và 10 câu hỏi Đại số khác nhau. Mỗi học sinh bốc ngẫu nhiên từ

hộp đó 3 câu hỏi để làm đề thi cho mình. Tính xác suất để một học sinh bốc được đúng một câu

hình học.

45

A. 91 .

3

B. 4 .

200

C. 273 .

2

D. 3 .

Câu 24.

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Một người chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 5 đôi giày cỡ

khác nhau. Tính xác suất để 2 chiếc giày được chọn tạo thành một đôi.

A. 1 2 . B. 1

10 . C. 7 9 . D. 1 9 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

4

Câu 25.

Câu 26.

Câu 27.

Câu 28.

Câu 29.

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Giải bóng chuyền VTV Cúp có 16 đội tham gia trong đó

có 12 đội nước ngoài và 4 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành

4 bảng đấu A, B, C,

D mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 4 đội của Việt Nam nằm ở 4 bảng đấu khác

nhau.

A. 391

455 . B. 8

1365 . C. 32

64

. D.

1365 455 .

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Trong một hộp có 12 bóng đèn, trong đó có

4 bóng đèn hỏng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 bóng đèn. Tính xác suất để lấy được 3 bóng tốt.

A. 28

14

. B.

55 55 . C. 1 28

. D.

55 55 .

(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi

hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, một

toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai.

A. 5

16 . B. 7

16 . C. 1 8 . D. 3

16 .

(HKI-Chu Văn An-2017) Một hộp chứa 35 quả cầu gồm 20 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến

20 và 15 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 15 . Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó một quả cầu. Tính

xác suất để lấy được quả màu đỏ hoặc ghi số lẻ.

A. 5 28

. B.

7 35 . C. 4 27

. D.

7 35 .

(HKI-Chu Văn An-2017) Có hai hộp, mỗi hộp chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu

nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ. Tính xác suất để 2 thẻ rút ra đều ghi số chẵn.

A. 2 21

. B.

5 25 . C. 4 9 . D. 4

25 .

Câu 30. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Bình có bốn đôi giầy khác nhau

gồm bốn màu: đen, trắng, xanh và đỏ. Một buổi sáng đi học, vì vội vàng, Bình đã lấy ngẫu nhiên

hai chiếc giầy từ bốn đôi giầy đó. Tính xác suất để Bình lấy được hai chiếc giầy cùng màu?

A. 1 7 . B. 1 4 . C. 1

14 . D. 2 7 .

Câu 31.

Câu 32.

(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Có 5 học sinh không quen biết nhau cùng đến một

cửa hàng kem có 6 quầy phục vụ. Xác suất để có 3 học sinh cùng vào một quầy và 2 học sinh còn

lại vào một quầy khác là

3 1

3 1 1

3 1

3 1 1

C5 . C6.5!

C5 . C6.

C

5

C

A. . B.

5

5 . C.

5

. C6.5!

C5 . C6.

C

5

. D.

6

6 .

6

6

5

5

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Một hộp có 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ và

2 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để chọn được 2 quả cầu khác màu.

A. 17

18 . B. 1

18 . C. 5

13

. D.

18 18 .

Câu 33. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong một đợt kiểm tra định kì, giáo viên chuẩn bị một

chiếc hộp đựng 15 câu hỏi gồm 5 câu hỏi Hình học và 10 câu hỏi Đại số khác nhau. Mỗi học sinh

bốc ngẫu nhiên từ hộp đó 3 câu hỏi để làm đề thi cho mình. Tính xác suất để một học sinh bốc

được đúng 1 câu hỏi Hình học.

A. 3 45

. B.

4 91 . C. 2 200

. D.

3 273 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

5

Câu 34. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Một người làm vườn có 12 cây giống gồm 6 cây xoài, 4 cây mít

và 2 cây ổi. Người đó muốn chọn ra 6 cây giống để trồng. Tính xác suất để 6 cây được chọn, mỗi

loại có đúng 2 cây.

A. 1 8 . B. 1

15

25

. C. . D.

10 154 154 .

Câu 35. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Một hộp đựng 7 quả cầu màu trắng và 3 quả cầu màu đỏ. Lấy ngẫu

nhiên từ hộp ra 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả cầu lấy được có đúng 2 quả cầu đỏ.

A. 21

20

62

21

. B. . C. . D.

71 71 211 70 .

Câu 36. (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Một hộp đựng 9 viên bi trong đó có 4

viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3 viên bi. Tìm xác suất để 3 viên bi lấy ra có

ít nhất 2 viên bi màu xanh.

A. 10

21 . B. 5

25

. C.

14 42 . D. 5 42 .

Câu 37.

(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Trong một hộp đựng 7 bi màu đỏ, 5 bi màu

xanh và 3 bi vàng, lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để 3 viên bi lấy được đều có màu đỏ.

A. 1

13 . B. 3 7 . C. 1 5 . D. 7

15 .

Câu 38. (KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Một lớp có 35 đoàn viên trong đó có 15nam và 20 nữ.

Chọn ngẫu nhiên 3 đoàn viên trong lớp để tham dự hội trại 26 tháng 3 . Tính xác suất để trong 3

đoàn viên được ó cả nam và nữ.

A. 90

30

125

. B. . C.

119 119 7854 . D. 6

119 .

Câu 39. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Lớp 11B có 25 đoàn viên, trong đó có 10 nam và 15

nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 đoàn viên trong lớp để tham dự hội trại ngày 26 tháng 3 . Tính xác suất để

3 đoàn viên được chọn có 2 nam và 1 nữ.

7

27

A. . B.

920 92 . C. 3

115 . D. 9

92 .

Câu 40. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Một tổ học sinh có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu

nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho hai người được chọn đều là nữ.

A. 2

15 . B. 7

15 . C. 8

15 . D. 1 3 .

Câu 41. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó 4 phế

phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không

quá 1 phế phẩm.

A. 91

637

. B.

323 969 . C. 7 9 . D. 91

285 .

Câu 42.

(LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 5 quyển

sách lý, 6 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển sách đươc lấy

ra có ít nhất một quyển sách toán.

A. 24

58

24

33

. B. . C. . D.

91 91 455 91 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

6

Câu 43.

(THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Có 8 cái bút khác nhau và 9 quyển

vở khác nhau được gói trong 17 hộp. Một học sinh được chọ bất kỳ hai hộp. Xác suất để học sinh

đó chọn được một cặp bút và vở là

A. 1

17 . B. 9

17 . C. 1 8 . D. 9

34 .

Câu 44. (THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Lớp 12A 2 có 10 học sinh giỏi, trong đó có 6 nam và 4

nữ. Cần chọn ra 3 học sinh đi dự hội nghị “Đổi mới phương pháp dạy và học” của nhà trường. Tính

xác suất để có đúng hai học sinh nam và một học sinh nữ được chọn. Giả sử tất cả các học sinh đó

đều xứng đáng được đi dự đại hội như nhau.

A. 2 5 . B. 1 3 . C. 2 3 . D. 1 2 .

Câu 45. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập

một nhóm gồm 4 người hát tốp ca. Tính xác suất để trong bốn người được chọn có ít nhất ba nữ.

A. 70

73

56

87

. B. . C. . D.

143 143 143 143 .

Câu 46.

(THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ.

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Xác suất để có được ít nhất hai viên bi xanh là bao nhiêu?

A. 41

14

28

42

. B. . C. . D.

55 55 55 55 .

Câu 47. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Một túi đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy

ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất để cả hai bi đều đỏ là.

A. 7

15 . B. 7 45 . C. 8

15 . D. 2

15 .

Câu 48.

(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Một đoàn tình nguyện, đến một trường tiểu học miền

núi để trao tặng 20 suất quà cho 10 em học sinh nghèo học giỏi. Trong 20 suất quà đó gồm 7

chiếc áo mùa đông, 9 thùng sữa tươi và 4 chiếc cặp sách. Tất cả các suất quà đều có giá trị tương

đương nhau. Biết rằng mỗi em được nhận 2 suất quà khác loại (ví dụ: 1 chiếc áo và 1 thùng sữa

tươi). Trong số các em được nhận quà có hai em Việt và Nam. Tính xác suất để hai em Việt và

Nam đó nhận được suất quà giống nhau?

A. 1 3 . B. 2 5 . C. 1

15 . D. 3 5 .

Câu 49. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Một tổ chuyên môn tiếng Anh của trường đại học X gồm 7

thầy giáo và 5 cô giáo, trong đó thầy Xuân và cô Hạ là vợ chồng. Tổ chọn ngẫu nhiên 5 người để

lập hội đồng chấm thi vấn đáp tiếng Anh B1 khung châu Âu. Xác suất sao cho hội đồng có 3 thầy,

2 cô và nhất thiết phải có thầy Xuân hoặc cô Hạ nhưng không có cả hai là

A. 5 44 . B. 5 85

85

. C. . D.

88 792 396 .

Câu 50.

Câu 51.

(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 trường THPT

Yên Dũng số 3 gồm 8 học sinh, trong đó có 5 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh đi thi

học sinh giỏi cấp Huyện. Tính xác suất để 5 học sinh được chọn đi thi có cả nam và nữ và học sinh

nam nhiều hơn học sinh nữ

11

45

46

55

A. p = . B. p = . C. p = . D. p = .

56

56

56

56

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

(TRIỆU QUANG PHỤC HƯNG YÊN-2018-2019) Một đoàn tình nguyện đến một trường tiểu

học miền núi để trao tặng 20 suất quà cho 10 em học sinh nghèo học giỏi. Trong 20 suất quà đó

7

Câu 52.

gồm 7 chiếc áo mùa đông, 9 thùng sữa tươi và 4 chiếc cặp sách. Tất cả các suất quà đều có giá

trị tương đương nhau. Biết rằng mỗi em nhận hai suất quà khác loại (ví dụ một chiếc áo và một

thùng sữa tươi). Trong số các em được nhận quà có hai em Việt và Nam. Tính xác suất để hai em

Việt và Nam đó nhận được suất quà giống nhau?

A. 1 3 . B. 2 5 . C. 1

15 . D. 3 5 .

(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Một cái hộp chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi

xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộp đó. Tính xác suất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh.

A. 2 5 . B. 7 11

. C.

24 12 . D. 7 9 .

Câu 53. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Một cái hộp chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy

lần lượt 2 viên bi từ cái hộp đó. Tính xác suất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh.

A. 2 5 . B. 7 11

. C.

24 12 . D. 7 9 .

Câu 54. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Một tổ gồm 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ và 5 học sinh

nam. Chọn ngẫu nhiên từ tổ đó ra 3 học sinh. Xác suất để trong 3 học sinh chọn ra có số học sinh

nam nhiều hơn số học sinh nữ bằng:

A. 17

42 . B. 5 25

10

. C. . D.

42 42 21 .

Câu 55.

(THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Đội thanh niên xung kích của trường THPT

Chuyên Biên Hòa có 12 học sinh gồm 5 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 3 học sinh khối

10. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để làm nhiệm vụ mỗi buổi sáng. Tính xác suất sao cho 4 học sinh

được chọn thuộc không quá hai khối.

5 6 21 15

A. . B. . C. . D. .

11

11

22

22

B. Một số bài toán liên quan đến chữ số

Câu 56.

Câu 57.

(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Chọn ngẫu nhiên một số có 2 chữ số từ các

số 00 đến 99. Xác suất để có một con số tận cùng là 0 là

A. 0, 2 . B. 0,1. C. 0,3 . D. 0, 4 .

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số khác

E = 1;2;3;4;5 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S . Tính xác suất để số được

nhau được tạo từ tập { }

chọn là một số chẵn.

A. 3 4 . B. 2 5 . C. BD 3 5 . D. 1 2 .

Câu 58. (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho tập hợp A = { 1;2;3;4;5;6 }

Câu 59.

. Gọi B là tập hợp

các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ A . Chọn thứ tự 2 số thuộc tập B . Tính xác

suất để 2 số được chọn có đúng một số có mặt chữ số 3 .

A. 156

160

80

161

. B. . C. . D.

360 359 359 360 .

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Một hộp đựng tám thẻ được ghi số từ 1 đến

8. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ba thẻ, tính xác suất để tổng các số ghi trên ba thẻ đó bằng 11.

A. 5 56 . B. 4

56 . C. 3

56 . D. 1 28 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

8

Câu 60. (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG - LẦN 1 - 2018) Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm

thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ

lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết

cho 10.

A. 99

667 . B. 8 11 . C. 3

99

. D.

11 167 .

Câu 61. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Chọn ngẫu nhiên một số tự

nhiên A có bốn chữ số. Gọi N là số thỏa mãn 3 N = A. Xác suất để N là số tự nhiên bằng:

1

A.

4500 . B. 0. C. 1

2500 . D. 1

3000 .

Câu 62. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Có hai hộp, mỗi hộp chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5 .

Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 tấm thẻ. Tính xác suất để 2 thẻ rút ra đều ghi số chẵn.

A. 2 21

. B.

5 25 . C. 4 25 . D. 4 9 .

Câu 63. (THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018) Một người gọi điện thoại, quên hai chữ số cuối và chỉ nhớ

rằng hai chữ số đó phân biệt. Tính xác suất để người đó gọi một lần đúng số cần gọi.

A. 83

90 . B. 1 13

89

. C. . D.

90 90 90 .

Câu 64. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Trong một hòm phiếu có 9 lá phiếu ghi các số

tự nhiên từ 1 đến 9 (mỗi lá ghi một số, không có hai lá phiếu nào được ghi cùng một số). Rút ngẫu

nhiên cùng lúc hai lá phiếu. Tính xác suất để tổng hai số ghi trên hai lá phiếu rút được là một số lẻ

lớn hơn hoặc bằng 15.

A. 5

18 . B. 1 6 . C. 1

12 . D. 1 9 .

Câu 65. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1,2,3,4...,9 . Rút ngẫu

nhiên đồng thời 2 thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được

là số chẵn.

A. 1 6 . B. 5

18 . C. 8 13

. D.

9 18 .

Câu 66.

(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm

A = 1;2;3;4;5;6 . Chọn ngẫu nhiên một

4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số của tập hợp { }

số từ tập hợp S . Tính xác suất để số được chọn có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.

A. 2 5 . B. 3 5 . C. 1 40 . D. 1

10 .

Câu 67. (Mã 103 - BGD - 2019) Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác

suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A. 11

221

10

. B. . C.

21 441 21 . D. 1 2 .

Câu 68. (Mã 102 - BGD - 2019) Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên. Xác

suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

A. 365

14

. B.

729 27 . C. 1 13

. D.

2 27 .

Câu 69.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

(Mã đề 104 - BGD - 2019) Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên.

Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

9

Câu 70.

Câu 71.

A. 265

12

11

. B. . C.

529 23 23 . D. 1 2 .

(Mã đề 101 - BGD - 2019) Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên.

Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là

A. 1 13

12

313

. B. . C. . D.

2 25 25 625 .

(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự

1;16 . Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng.

nhiên thuộc đoạn [ ]

A. 683

2048

B. 1457

4096

C. 19

56

D. 77

512

Câu 72. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự

1;17 . Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng

Câu 73.

nhiên thuộc đoạn [ ]

A. 1637

4913

B. 1079

4913

C. 23

68

D. 1728

4913

(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số

1;19 . Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng

tự nhiên thuộc đoạn [ ]

A. 109

323

B. 1027

6859

C. 2539

6859

D. 2287

6859

Câu 74. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Ba bạn A, B,

C viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên

Câu 75.

Câu 76.

thuộc đoạn [ ]

A. 31

91

1;14 . Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng

B. 307

1372

C. 207

1372

D. 457

1372

(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Có 100 tấm thẻ được đánh số từ 801 đến 900 (mỗi tấm

thẻ được đánh một số khác nhau). Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để lấy được

3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là số chia hết cho 3.

A. 817

248

2203

2179

. B. . C. . D.

2450 3675 7350 7350 .

(KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho tập hợp

A = 1;2;3;4;5;6 . Gọi B là tập tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau từ tập A .

{ }

Chọn thứ tự 2 số thuộc tập B . Tính xác suất để trong 2 số vừa chọn có đúng một số có mặt chữ

số 3.

A. 159

160

80

161

. B. . C. . D.

360 359 359 360 .

Câu 77. (Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho tập { 1;2;3;.......;8 }

Câu 78.

X = . Lập từ X số tự nhiên có 8

chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để lập được số chia hết cho 1111 là

2 2 2

2 2 2

A8 A6 A 4!4!

4

A. . B.

8!

8! . C. C8 C6C 384

4 . D.

8!

8! .

(NGÔ GIA TỰ LẦN 1_2018-2019) Cho tập hợp X gồm các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một

khác nhau có dạng abcdef . Từ X lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số lấy ra là số lẻ và thỏa

mãn a < b < c < d < e < f ?

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

10

A.

33

68040 . B. 1

2430 . C. 31

68040 . D. 29

68040 .

Câu 79. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác

nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc tập A . Tính xác suất để chọn được một số thuộc A

và số đó chia hết cho 5 .

11

53

2

17

A. P = . B. P = . C. P = . D. P = .

27

243

9

81

C. Một số bài toán liên quan đến yếu tố sắp xếp

Câu 80.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Có hai dãy ghế đối diện nhau,mỗi dãy có ba

ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh,gồm 3 nam và 3 nữ,ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có

đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng.

A. 1

10 . B. 2 5 . C. 1 20 . D. 3 5 .

Câu 81. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3

học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để 10 học sinh trên không

có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng

A. 11

1

1

B.

C.

D. 1 630

126

105

42

Câu 82. (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Hai bạn lớp A và hai bạn lớp B được xếp vào

4 ghế sắp thành hàng ngang. Xác suất sao cho các bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau bằng

Câu 83.

Câu 84.

Câu 85.

A. 1 2 . B. 2 3 . C. 1 4 . D. 1 3 .

(TRIỆU QUANG PHỤC HƯNG YÊN-2018-2019) Có 13 tấm thẻ phân biệt trong đó có một tấm

thẻ ghi chữ ĐỖ, một tấm thẻ ghi chữ ĐẠI, một tấm thẻ ghi chữ HỌC và mười tấm thẻ đánh số từ 0

đến 9. Lấy ngẫu nhiên từ đó ra 7 tấm thẻ. Tính xác suất để rút được 7 tấm thẻ theo thứ tự: ĐỖ, ĐẠI,

HỌC, 2, 0,1,9 .

1

1715

1

1

A. . B. . C. . D. .

7

1260

1716

A

1716

(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Xếp ngẫu nhiên 3 người đàn ông, hai người đàn bà và

một đứa bé ngồi và 6 cái ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất sao cho đứa bé ngồi giữa và cạnh

hai người đàn bà này là:

A. 1 30 . B. 1 5 . C. 1

15 . D. 1 6 .

(Đề minh họa thi THPT Quốc gia năm 2019 – Đề số 6) Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy

có bốn ghế. Xếp ngẫu nhiên 8 , gồm 4 nam và 4 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có

đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng

A. 8 35 . B. 1 70 . C. 1 35 . D. 1

840 .

Câu 86. (DỰ ÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA THI THPT QUỐC GIA 2019-Đề 07) Kỳ thi có 10

học sinh, xếp ngồi hai dãy ghế trên và dưới, mỗi dãy có 5 ghế. Thầy giáo có 2 loại đề, gồm 5 đề

chẵn và 5 đề lẻ. Tính xác suất để mỗi học sinh đều nhận 1 đề và 2 bạn ngồi kề trên, dưới là khác

loại đề.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

13

11

Câu 87.

A. 8 63 . B. 1

126 . C. 1

252 . D. 1

15120 .

(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Có 5 học sinh lớp A , 5 học sinh lớp B được xếp ngẫu

nhiên vào hai dãy ghế đối diện nhau mỗi dãy 5 ghế (xếp mỗi học sinh một ghế). Tính xác suất để

2 học sinh bất kì ngồi đối diện nhau khác lớp

A. ( 5! )2

5!

. B.

10!

10! . C. 2( 5! ) 2

10!

. D.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( ) 2

5

2 . 5!

Câu 88. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12

được xếp ngẫu nhiên vào 9 ghế thành một dãy. Tính xác suất để xếp được 3 học sinh lớp 12 xen kẽ

6 học sinh lớp 11.

A. 1

15

. B.

84 32 . C. 5

12 . D. 5

72 .

D. Một số bài toán liên quan đến xúc sắc

Câu 89. Gieo ngẫu nhiên hai con xúc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất của biến cố “ Có ít nhất một con

xúc sắc xuất hiện mặt một chấm” là

A. 11

36 . B. 1 25

15

. C. . D.

6 36 36 .

Câu 90.

(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác

suất để cả hai lần xuất hiện mặt sáu chấm là

A. 1

11

. B.

36 36 . C. 6

36 . D. 8

36 .

Câu 91. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt 6

chấm xuất hiện.

Câu 92.

Câu 93.

Câu 94.

A. 1 6 . B. 5 6 . C. 1 2 . D. 1 3 .

(HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần.

Tính xác suất để tích số chấm xuất hiện trên hai mặt là số lẻ.

A. 1 6 . B. 1 4 . C. 1 2 . D. 3 4 .

(Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Gieo con xúc xắc được chế tạo cân đối đồng chất hai lần.

Gọi a là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, b là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai.

2

Xác suất để phương trình x + ax + b = 0 có nghiệm bằng

A. 17

19

. B.

36 36 . C. 1 2 . D. 4 9 .

(HKI-Chu Văn An-2017) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất xảy

ra của biến cố “tích hai số nhận được sau hai lần gieo là một số chẵn”.

A. 0, 25 . B. 0,75. C. 0,5. D. 0,85.

Câu 95. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 2

lần. Tính xác suất để tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 6.

A. 2 11

. B.

9 36 . C. 1 6 . D. 5

18 .

Câu 96. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - 2018) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất, xác suất để mặt có

số chấm chẵn xuất hiện là

10!

.

12

A. 1. B. 1 2 . C. 1 3 . D. 2 3 .

Câu 97. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng

chất. Tìm xác suất của biến cố: “ Hiệu số chấm xuất hiện trên 2 con xúc sắc bằng 1”.

A. 2 9 . B. 1 9 . C. 5

18 . D. 5 6 .

Câu 98. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất của

biến cố nào sau đây bằng 1 6 ?

A. Xuất hiện mặt có số chấm lẻ.

B. Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.

C. Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 2 và 3 .

D. Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 3 .

Câu 99. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối đồng

chất 2 lần. Tính xác suất để số chấm của hai lần gieo là bằng nhau

A. 1 8 . B. 1 6 . C. 1 7 . D. 1 5 .

Câu 100. (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối và đồng

chất. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc đó không vượt quá 5 bằng

A. 5

12 . B. 1 4 . C. 2 9 . D. 5

18 .

Câu 101. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Kết quả ( ; )

b c của việc gieo một con súc sắc cân đối hai lần liên

tiếp, trong đó b là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai

2

được thay vào phương trình bậc hai x + bx + c = 0 . Tính xác suất để phương trình bậc hai đó vô

nghiệm?

A. 7

23

17

. B. . C.

12 36 36 . D. 5

36 .

E. Một số bài toán liên quan đến hình học

Câu 102. (ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Cho hai đường thẳng song song d

1

, d

2

. Trên d

1

có 6 điểm phân biệt được tô màu đỏ, trên d

2

có 4 điểm phân biệt được tô màu xanh. Xét tất cả các

tam giác được tạo thành khi nối các điểm đó với nhau. Chọn ngẫu nhiên một tam giác, khi đó xác

suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu đỏ là.

A. 3 8 . B. 5 8 . C. 5 9 . D. 2 9 .

Câu 103. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho năm đoạn thẳng có độ dài: 1cm , 3cm ,

5cm , 7cm , 9cm . Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng đó. Xác suất để ba đoạn

thẳng lấy ra là ba cạnh của một tam giác là

A. 3 5 . B. 2 5 . C. 3

10 . D. 7

10 .

Câu 104. (Chuyên Phan Bội Châu-lần 1-2018-2019) Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn

tâm O . Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Xác suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình

chữ nhật bằng

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

13

A.

7

216 . B. 2

969 . C. 3

323 . D. 4 9 .

Câu 105. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Cho đa giác đều có 14 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong số

14 đỉnh của đa giác. Tìm xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông.

A. 3

13 . B. 5

13 . C. 4

13 . D. 2

13 .

Câu 106. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Một bảng vuông gồm 100× 100 ô vuông đơn vị.

Chọn ngẫu nhiên một ô hình chữ nhật. Tính xác suất để ô được chọn là hình vuông (trong kết quả

lấy 4 chữ số ở phần thập phân).

A. 0,0134. B. 0,0133. C. 0,0136. D. 0,0132.

Câu 107. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Cho một đa giác ( )

đường tròn ( O ) . Người ta lập một tứ giác tùy ý có bốn đỉnh là các đỉnh của ( )

được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của ( )

H có 60 đỉnh nội tiếp một

H . Xác suất để lập

H gần với số nào nhất trong các số sau?

A. 85, 40% . B. 13, 45% . C. 40,35% . D. 80,70% .

Câu 108. (CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước

di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng

(xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất sau 3 bước

quân vua trở về ô xuất phát.

A. 1

16 . B. 1

32 . C. 3

32 . D. 3

64 .

Câu 109. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho tam giác đều H có cạnh bằng 8 . Chia tam giác này đều

thành 64 tam giác đều có cạnh bằng 1 bởi các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác

đều đã cho. Gọi S là tập hợp các đỉnh của 64 tam giác đều có cạnh bằng 1. Chọn Ngẫu nhiên 4

đỉnh của tập S . Tính xác suất để 4 đỉnh chọn được là bốn đỉnh của một hình bình hành nằm trong

miền trong tam giác đều H .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

A.

2

473 . B. 6

935 . C. 2

1419 . D. 2

935 .

14

F. Một số bài toán đề thi

Câu 110. (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Một đề trắc nghiệm gồm 20 câu, mỗi câu có 4 đáp

án và chỉ có một đáp án đúng. Bạn Anh làm đúng 12 câu, còn 8 câu bạn Anh đánh hú họa vào đáp

án mà Anh cho là đúng. Mỗi câu đúng được 0,5 điểm. Tính xác suất để Anh được 9 điểm.

A. 9 20 . B. 9

10 . C. 63

16384 . D. 9

65536 .

Câu 111. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, mỗi câu có

bốn phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0, 2 điểm.

Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án ở mỗi câu. Tính xác suất để

thí sinh đó được 6 điểm.

30 20

20 30

30 20 20

20 30

A. 0, 25 .0,75 . B. 0, 25 .0,75 . C. 0, 25 .0, 75 .C . D. 1− 0,25 .0,75 .

Câu 112. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Một bộ đề thi Olympic Toán lớp 11 của

Trường THPT Kim Liên mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu mức dễ, 10 câu mức trung bình

và 5 câu mức khó. Một đề thi được gọi là “Tốt” nếu trong đề thi phải có cả mức dễ, mức trung bình

và khó, đồng thời số câu mức khó không ít hơn 2. Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tìm

xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi “Tốt”.

A. 1000

3125

. B.

5481 23751 . C. 1

150 . D. 10

71253 .

Dạng 2.1.2 Tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng phương pháp gián tiếp.

Câu 113. Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 7 biên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi

(không kể thứ tự) ra khỏi hộp. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất 1 viên màu đỏ.

A. 1 418

. B.

2 455 . C. 1

12

. D.

13 13 .

Câu 114. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2018-2019) Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9

. Rút ngẫu nhiên hai thẻ và nhân hai số trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được

là một số chẵn.

5

1

8

13

A. 18 . B. 6 . C. 9 . D. 18 .

Câu 115. (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Gieo 5 đồng xu cân đối, đồng chất. Xác suất để được ít nhất

1 đồng xu lật sấp bằng

A. 5

11 . B. 8

31

. C.

11 32 . D. 1

32 .

Câu 116. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Bạn A có 7 cái kẹo vị hoa quả và 6 cái kẹo vị socola. A

lấy ngẫu nhiên 5 cái kẹo cho vào hộp để tặng cho em gái. Tính xác suất để 5 cái kẹo có cả vị hoa

quả và vị socola.

140

79

103

14

A. P = . B. P = . C. P = . D. P = .

143

156

117

117

Câu 117. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Một hộp đèn có 12 bóng, trong đó có 4 bóng

hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để trong 3 bóng có ít nhất 1 bóng hỏng.

A. 40

55

41

. B. . C.

51 112 55 . D. 3 7 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

50

15

Câu 118. (ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Trên giá sách có 4 quyển

sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3

quyển được lấy ra có ít nhất một quyển là toán.

A. 3 37

10

. B. . C.

4 42 21 . D. 2 7 .

Câu 119. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển

sách Vật Lí và 2 quyển sách Hóa học. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất sao cho ba

quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán.

A. 1 37

. B.

3 42 . C. 5 19

. D.

6 21 .

Câu 120. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Trên giá sách có 4 quyển sách toán,

3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để trong ba quyển

sách lấy ra có ít nhất một quyển là toán.

A. 2 .

7

B. 3 .

4

C. 37 .

42

D. 10 .

21

Câu 121. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 1 - 2018) Một lớp có 20 nam sinh và 15 nữ sinh. Giáo

viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả

nam và nữ.

A. 4615 .

5236

B. 4651 .

5236

C. 4615 .

5263

D. 4610 .

5236

Câu 122. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Một hộp chứa 35 quả cầu gồm 20 quả màu đỏ được đánh

số từ 1 đến 20 và 15 quả màu xanh được đánh số từ 1 đến 15. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó một quả

cầu. Tính xác suất để lấy được quả màu đỏ hoặc ghi số lẻ.

A. 28

35 . B. 4 7 . C. 5 27

. D.

7 35 .

Câu 123. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính

xác suất xảy ra của biến cố “Tích hai số nhận được sau hai lần gieo là một số chẵn”.

A. 0,75. B. 0,5. C. 0, 25 . D. 0,85 .

Câu 124. (THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ

1 đến 9 . Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác suất “có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 ”

phải lớn hơn 5 6 .

A. 7 . B. 6 . C. 5 . D. 4 .

Câu 125. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Một nhóm gồm 6 học sinh

nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 học sinh trong nhóm đó. Xác suất để trong 3

học sinh được chọn luôn có học sinh nữ bằng

A. 5 6 . B. 2 3 . C. 1 6 . D. 1 3 .

Câu 126. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Một lô hàng gồm 30 sản phẩm trong đó có 20 sản

phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm trong lô hàng. Tính xác suất để 3 sản

phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt.

6

197

153

57

A. . B. . C. . D.

203 203 203 203 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 127. (THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 học sinh

nam và 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ nhóm 10 học sinh đi lao động. Tính xác suất

16

để 3 học sinh được ó ít nhất một học sinh nữ?

A. 2 3

17

17

. B. . C.

48 24 . D. 4 9 .

Câu 128. (XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn

ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được ó ít nhất một người nữ là:

A. 2

15 . B. 7

15 . C. 8

15 . D. 1

15 .

Câu 129. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho tập hợp A = { 1,2,3,...,10 }

. Chọn ngẫu nhiên ba số từ A

. Tìm xác suất để trong ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp.

7

7

7

7

A. P = . B. P = . C. P = . D. P = .

90

24

10

15

Câu 130. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Một hộp chứa 20 viên bi xanh và 15 viên bi đỏ.

Lấy ngẫu nhiên 4 bi. Tính xác suất để 4 bi lấy được có đủ hai màu.

A. 4610

4615

4651

4615

. B. . C. . D.

5236 5236 5236 5236 .

Câu 131. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia

một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là 1 2 và 1 . Tính xác suất

3

của biến cố có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia.

A. 1 3 . B. 5 6 . C. 1 2 . D. 2 3 .

Câu 132. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thư vào ba chiếc

phong bì đã ghi địa chỉ. Xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là

A. 1 2 . B. 2 3 . C. 1 3 . D. 5 6 .

Câu 133. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9 . Chọn

ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ. Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn.

A. 13

55

. B.

18 56 . C. 5 28 . D. 1

56 .

Câu 134. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Chi đoàn lớp 12A có 20 đoàn viên trong đó

có 12 đoàn viên nam và 8 đoàn viên nữ. Tính xác suất khi chọn 3 đoàn viên có ít nhất 1 đoàn viên

nữ.

A. 11

110

46

251

. B. . C. . D. .

7 570 57 285

Câu 135. (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp học gồm

25 nam và 20 nữ. Gọi A là biến cố “Trong 5 học sinh được ó ít nhất 1 học sinh nữ”. Xác suất

của biến cố A là

5

C20

A. P ( A)

5

C

25

44

= . B. P ( A)

= . C. P ( A)

= . D. P ( A)

45

20C

C

4

5

45

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

20C

C

4

5

45

5

25

5

45

= 1− C .

C

Câu 136. [HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018] Một hộp đựng 10 viên bi có kích thước khá nhau,

trong đó có 7 viên bi màu đỏ và 3 viên bi màu xanh. Chọn ngẫu nhiên 2 viên. Xác suất để 2 viên

bi được ó ít nhất một viên bi màu xanh bằng

17

A. 1

15 . B. 2

15 . C. 7

15 . D. 8

15 .

Câu 137. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Một hộp đựng 9 quả cầu xanh và 5 quả cầu

trắng (các quả cầu khác nhau về kích thước). Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu. Xác suất để được 3 quả

cầu có đủ hai loại cầu xanh và cầu trắng là

A. 135

14

47

113

. B. . C. . D.

182 182 182 182 .

Câu 138. (THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Một hộp đựng 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Phải

rút ra ít nhất k thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 lớn hơn 13 . Giá trị của k

15

bằng:

A. 9 . B. 8 . C. 7 . D. 6 .

Câu 139. (Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Chọn ngẫu nhiên 3 số tự nhiên từ tập hợp

M = 1;2;3;...;2019 . Tính xác suất P để trong 3 số tự nhiên được chọn không có 2 số tự nhiên

{ }

liên tiếp.

677040

A. P = . B.

679057

2017

P = . C.

679057

2016

P = . D.

679057

Câu 140. (Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho một bảng ô vuông 3× 3 .

1

P = .

679057

Điền ngẫu nhiên các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào bảng trên (mỗi ô chỉ điền một số). Gọi A là

biến cố “mỗi hàng, mỗi cột bất kì đều có ít nhất một số lẻ”. Xác suất của biến cố A bằng

10

1

5

1

A. P( A ) = . B. P( A ) = . C. P( A ) = . D. P( A ) = .

21

3

7

56

Câu 141. (HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Gọi X là tập các số tự nhiên có 5 chữ số. Lấy

ngẫu nhiên hai số từ tập X . Xác suất để nhận được ít nhất một số chia hết cho 4 gần nhất với số

nào dưới đây?

A. 0,63 . B. 0,23. C. 0,44 . D. 0,12 .

DẠNG 2.2 SỬ DỤNG QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

Dạng 2.2.1 Sử dụng quy tắc cộng

Câu 142. Một chiếc ôtô với hai động cơ độc lập đang gặp trục trặc kĩ thuật. Xác suất để động cơ 1 gặp trục

trặc là 0,5. Xác suất để động cơ 2 gặp trục trặc là 0,4. Biết rằng xe chỉ không thể chạy được khi cả

hai động cơ bị hỏng. Tính xác suất để xe đi được.

A. 0, 2 . B. 0,8 . C. 0,9. D. 0,1.

Câu 143. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên biên. Xác

suất để chọn được hai viên bi cùng màu là

A. 5

18 . B. 1 6 . C. 1

36 . D. 1

12 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

18

Câu 144. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô

địch của một cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được năm ván cờ.

tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và ngưởi chới thứ hai mới thắng 2 ván, tính xác

suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng.

A. 4 5 . B. 7 8 . C. 1 2 . D. 3 4 .

Câu 145. (CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Đầu tiết học, cô giáo kiểm tra bài cũ bằng cách gọi lần lượt

từng người từ đầu danh sách lớp lên bảng trả lời câu hỏi. Biết rằng học sinh đâu tiên trong danh

sách lớp là An, Bình, Cường với xác suất thuộc bài lần lượt là 0,9; 0,7 và 0,8. Cô giáo sẽ dừng

kiểm tra sau khi đã có 2 học sinh thuộc bài. Tính xác suất cô giáo chỉ kiểm tra bài cũ đúng 3 bạn

trên.

A. 0,504 . B. 0, 216 . C. 0,056 . D. 0, 272 .

Câu 146. (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Một chiếc hộp có chín thẻ đánh số thứ tự từ

1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ rồi nhân hai số ghi trên thẻ lại với nhau. Tính xác suất để kết quả

nhân được là một số chẵn.

A. 5

54 . B. 8 9 . C. 4 13

. D.

9 18 .

Câu 147. (THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Hai người ngang tài ngang sức

tranh chức vô địch của cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được 5

ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai mới thắng 2 ván,

tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng?

A. 4 5 . B. 3 4 . C. 7 8 . D. 1 2 .

Câu 148. (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Một thí sinh tham gia kì thi THPT Quốc

gia. Trong bài thi môn Toán bạn đó làm được chắc chắn đúng 40 câu. Trong 10 câu còn lại chỉ có

3 câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai. Do không còn đủ thời gian nên bạn bắt

buộc phải khoanh bừa các câu còn lại. Hỏi xác suất bạn đó được 9 điểm là bao nhiêu?

A. 0,079 . B. 0,179 . C. 0,097 . D. 0,068.

Câu 149. (Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Cho tập E = {1, 2,3, 4,5} . Viết ngẫu nhiên lên bảng hai

số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau từ tập E . Tính xác suất để trong hai số đó có

đúng một số có chữ số 5.

A. 6 B. 144

72

12

. C. . D.

25

295 295 25 .

Dạng 2.2.2 Sử dụng quy tắc nhân

Câu 150. Gieo hai con súc sắc I và II cân đối, đồng chất một cách độc lập. Ta có biến cố A : “Có ít nhất một

P A là

con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”. Lúc này giá trị của ( )

A. 25

11

. B.

36 36 . C. 1

15

. D.

36 36 .

Câu 151. Ba xạ thủ A, B,

C độc lập với nhau cùng nổ súng vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu

của A, B,

C tương ứng là 0, 4;0,5 và 0,7 . Tính xác suất để có ít nhất một người bắn trúng mục

tiêu.

A. 0,09 . B. 0,91. C. 0,36. D. 0,06 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 152. (CỤM CHUYÊN MÔN 4 - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Hai bạn Nam và Tuấn cùng tham gia

một kỳ thi thử trong đó có hai môn thi trắc nghiệm là Toán và Tiếng Anh. Đề thi của mỗi môn gồm

19

6 mã đề khác nhau và các môn khác nhau thì mã đề cũng khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát

cho học sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để trong hai môn Toán và Tiếng Anh thì hai bạn

Nam và Tuấn có chung đúng một mã đề.

A. 5 9 . B. 5

36 . C. 5

18 . D. 5 72 .

Câu 153. (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Hai chuồng nhốt thỏ, mỗi con thỏ có lông chỉ mang màu

trắng hoặc màu đen. Bắt ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng một con thỏ. Biết tổng số thỏ trong hai

chuồng là 35 và xác suất để bắt được hai con thỏ lông màu đen là 247 . Tính xác suất để bắt được

300

hai con thỏ lông màu trắng.

7

A.

150 . B. 1

150 . C. 1 75 . D. 7 75 .

Câu 154. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Một chiếc máy có 2 động cơ I và II hoạt

động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I chạy tốt và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7.

Tính xác suất để có ít nhất 1 động cơ chạy tốt là.

A. 0,56. B. 0,06. C. 0,83. D. 0,94

Câu 155. (HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Một đề trắc nghiệm có 50 câu hỏi gồm 20 câu

mức độ nhận biết, 20 câu mức độ vận dụng và 10 câu mức độ vận dụng cao. Xác suất để bạn An

làm hết 20 câu mức độ nhận biết là 0,9; 20 câu mức độ vận dụng là 0,8 ; và 10 câu mức độ vận

dụng cao là 0,6 . Xác suất để bạn An làm trọn vẹn 50 câu là

A. 0, 432 . B. 0,008. C. 0, 228 . D. 1.

Câu 156. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2016 có

môn thi bắt buộc là môn Tiếng Anh. Môn thi này thi dưới hình thức trắc nghiệm với bốn phương

án trả lời A, B, C, D. Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,2 điểm; mỗi câu trả lời sai bị trừ 0,1 điểm.

Bạn Hoa vì học rất kém môn Tiếng Anh nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Tính xác suất để

bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Tiếng Anh trong kì thi trên.

5

A. 1,8.10 − 7

. B. 1,3.10 − 7

. C. 2, 2.10 − 6

. D. 2,5.10 − .

Câu 157. (Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Có hai cái giỏ đựng trứng gồm giỏ A và giỏ B, các

quả trứng trong mỗi đều có hai loại là trứng lành và trứng hỏng. Tổng số trứng trong hai giỏ là 20 quả và số

trứng trong giỏ A nhiều hơn số trứng trong giỏ B. Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, biết xác suất để lấy

được hai quả trứng lành là 55 . Tìm số trứng lành trong giỏ A.

84

A. 6. B. 14. C. 11. D. 10.

Câu 158. (THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Ba xạ thủ A

1, A

2

, A

3

độc lập với nhau cùng nổ súng bắn

vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn trúng mục tiêu của A

1, A

2

, A

3

tương ứng là 0,7 ; 0,6 và 0,5

. Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.

A. 0, 45 . B. 0, 21. C. 0, 75 . D. 0,94 .

Dạng 2.2.3 Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân

Câu 159. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,3. Người đó bắn hai

viên một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng và một viên trượt mục tiêu là

A. 0, 21. B. 0,09 . C. 0,18. D. 0, 42 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 160. Túi I chứa 3 bi trắng, 7 bi đỏ, 15 bi xanh. Túi II chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ, 9 bi xanh. Từ mỗi túi lấy

ngẫu nhiên 1 viên bi. Tính xác suất để lấy được hai viên cùng màu.

20

A. 207

72

418

553

. B. . C. . D.

625 625 625 625 .

Câu 161. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Một con súc sắc không cân đối,

có đặc điểm mặt sáu chấm xuất hiện nhiều gấp hai lần các mặt còn lại. Gieo con súc sắc đó hai lần.

Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện trong hai lần gieo lớn hơn hoặc bằng 11 bằng:

A. 8 49 . B. 4 9 . C. 1

12 . D. 3 49 .

Câu 162. Xác suất sút bóng thành công tại chấm 11 mét của hai cầu thủ Quang Hải và Văn Đức lần lượt là

0,8 và 0,7 . Biết mỗi cầu thủ sút một quả tại chấm 11 mét và hai người sút độc lập. Tính xác suất

để ít nhất một người sút bóng thành công.

A. 0, 44 . B. 0,94 . C. 0,38 . D. 0,56 .

Câu 163. Trong một trò chơi, người chơi cần gieo cùng lúc ba con súc sắc cân đối đồng chất; nếu được ít

nhất hai con súc sắc xuất hiện mặt có số chấm lơn hơn 4 thì người chơi đó thắng. Tính xác suất để

trong 3 lần chơi, người đó thắng ít nhất 1 lần.

A. 386

729 . B. 7 11683

. C.

27 19683 . D. 2 9 .

Câu 164. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế

tạo cân đối. Đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất

xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để khi gieo hai đồng xu cùng lúc được kết quả 1 sấp và 1 ngửa.

A. 25%. B. 50%. C. 75%. D. 60%.

Câu 165. (HKI-Chu Văn An-2017) Có hai hộp. Hộp I đựng 4 gói quà màu đỏ và 6 gói quà màu xanh, hộp

II đựng 2 gói quà màu đỏ và 8 gói quà màu xanh. Gieo một con súc sắc, nếu được mặt 6 chấm thì

lấy một gói quà từ hộp I, nếu được mặt khác thì lấy một gói quà từ hộp II. Tính xác suất để lấy được

gói quà màu đỏ.

A. 7

23

. B.

30 30 . C. 1 3 . D. 2 3 .

Câu 166. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Đầu tiết học, cô giáo kiểm tra bài cũ bằng cách gọi

lần lượt từng người từ đầu danh sách lớp lên bảng trả lời câu hỏi. Biết rằng các học sinh đầu tiên

trong danh sách lớp là An, Bình, Cường với xác suất thuộc bài lần lượt là 0,9; 0,7 và 0,8. Cô giáo

sẽ dừng kiểm tra sau khi đã có 2 học sinh thuộc bài. Tính xác suất cô giáo chỉ kiểm tra bài cũ đúng

3 bạn trên.

A. 0,504. B. 0,216. C. 0,056. D. 0,272.

Câu 167. Một chiếc ôtô với hai động cơ độc lập đang gặp trục trặc kĩ thuật. Xác suất để động cơ 1 gặp trục

trặc là 0,5. Xác suất để động cơ 2 gặp trục trặc là 0,4. Biết rằng xe chỉ không thể chạy được khi cả

hai động cơ bị hỏng. Tính xác suất để xe đi được.

A. 0, 2 . B. 0,8 . C. 0,9. D. 0,1.

Câu 168. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6 . Người đó bắn

hai viên một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng và một viên trượt mục tiêu là

A. 0,48. B. 0,4. C. 0,24. D. 0,45.

Câu 169. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Có hai hộp: Hộp I đựng 4 gói quà màu đỏ và 6 gói quà màu

xanh, hộp II đựng 2 gói quà màu đỏ và 8 gói quà màu xanh. Gieo một con súc sắc, nếu được mặt 6

chấm thì lấy một gói quà từ hộp I, nếu được mặt khác thì lấy một gói quà từ hộp II. Tính xác suất

để lấy được gói quà màu đỏ.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

A. 23 .

30

B. 2 .

3

C. 7 .

30

D. 1 .

3

21

Câu 170. Một xạ thủ bắn bia. Biết rằng xác suất bắn trúng vòng tròn 10 là 0, 2 ; vòng 9 là 0, 25 và vòng 8

là 0,15 . Nếu trúng vòng k thì được k điểm. Giả sử xạ thủ đó bắn ba phát súng một cách độc lập.

Xả thủ đạt loại giỏi nếu anh ta đạt ít nhấ 28 điểm. Xác suất để xả thủ này đạt loại giỏi

A. 0,0935. B. 0,0755. C. 0,0365. D. 0,0855.

Câu 171. (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử

mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không

có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn 3 nút liên tiếp khác nhau sao cho 3 số

trên 3 nút theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B chỉ nhớ

được chi tiết 3 nút tạo thành dãy số tăng. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó biết rằng

để nếu bấm sai 3 lần liên tiếp cửa sẽ tự động khóa lại.

A. 631

189

. B.

3375 1003 . C. 1 5 . D. 1

15 .

Câu 172. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Hai người ngang tài ngang

sức tranh chức vô địch của một cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng

được năm ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai mới

thắng 2 ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng.

A. 3 4 . B. 4 5 . C. 7 8 . D. 1 2 .

Câu 173. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Một người gọi điện thoại nhưng

quên mất chữ số cuối. Tính xác suất để người đó gọi đúng số điện thoại mà không phải thử quá hai

lần.

A. 1 5 . B. 1

19

. C.

10 90 . D. 2 9 .

Câu 174. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Ba xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia

một cách độc lập, xác suất bắn trúng đích lần lượt là 0,5; 0,6 và 0,7 . Xác suất để có đúng hai

người bắn trúng bia là:

A. 0,21. B. 0,29 . C. 0,44 . D. 0,79 .

Câu 175. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Trong trận đấu bóng đá giữa 2 đội

Real madrid và Barcelona, trọng tài cho đội Barcelona được hưởng một quả Penalty. Cầu thủ sút

phạt ngẫu nhiên vào 1 trong bốn vị trí 1, 2 , 3 , 4 và thủ môn bay người cản phá ngẫu nhiên đến 1

trong 4 vị trí 1, 2 , 3 , 4 với xác suất như nhau (thủ môn và cầu thủ sút phạt đều không đoán được

ý định của đối phương). Biết nếu cầu thủ sút và thủ môn bay cùng vào vị trí 1 (hoặc 2 ) thì thủ môn

cản phá được cú sút đó, nếu cùng vào vị trí 3 (hoặc 4 ) thì xác suất cản phá thành công là 50% .

Tính xác suất của biến cố “cú sút đó không vào lưới”?

A. 5

16 . B. 3

16 . C. 1 8 . D. 1 4 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

22

Phần B. Lời giải tham khảo

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Dạng 1. Mô tả không gian mẫu và mối liên hệ giữa các biến cố

Chọn A

x;

y là số chấm xuất hiện ở hai lần gieo.

Gọi cặp số ( )

Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”.

1;1 ; 2;2 ; 3;3 ; 4;4 ; 5;5 ; 6;6 .

{ }

Các kết quả của biến cố A là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n A = .

Suy ra ( ) 6

Chọn C

A SSS, SSN,

NSS

= { } , B = { SSS,

NNN}

. Suy ra A B { SSS, SSN, NSS,

NNN}

∪ = .

Chọn C

Mỗi lần gieo có hai khả năng nên gieo 5 lần theo quy tắc nhân ta có

n Ω = .

Số phần tử không gian mẫu là ( ) 32

Chọn A

Hai biến cố A và B có thể cùng xảy ra.

Lời giải

Câu 5. Do A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên P( AB) P( A) P( B)

Câu 6. Ta có ( )

3

n Ω = C 52

= 22100 .

Câu 7. Ta có P( A B) P( A) P( B) P( A B)

∪ = + − ∩ .

5

2 32

= .

= . = 0,4.0,3 = 0,12 .

Vì A , B là hai biến cố xung khắc nên A∩ B = ∅ . Từ đó suy ra P( A∪ B) = P( A) + P( B)

.

7

∪ = + = .

12

Câu 8. P( A B) P( A) P( B)

P A = .

Câu 9. Khẳng định A sai vì A là biến cố chắc chắn thì ( ) 1

Câu 10. Ta có A = { 61;62;63;64;65;66 },

{ 16;26;36;46;56;66 }

Khi đó A B { 66}

Câu 11.

Câu 12.

B = .

∩ = ≠ ∅ . Vậy A , B là hai biến cố không xung khắc.

Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên hai biến cố này không đồng thời xảy ra.

Chọn D

Vì hai biến cố A và B xung khắc nên A∩

B = ∅ . Theo công thức cộng xác suất ta có

P A∪ B = P A + P B

( ) ( ) ( )

Dạng 2. Các dạng toán về xác suất

Dạng 2.1 SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC XUẤT - QUY VỀ BÀI TOÁN ĐẾM.

Dạng 2.1.1 Bài toán tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng cách tính trực tiếp số

phần tử thuận lợi cho biến cố.

A. Một số bài toán chọn vật, chọn người

Câu 13. Chọn C

2

2

Số cách lấy ra 2 quả cầu trong 11 quả là C , Suy ra n( Ω ) = C 11

Câu 14.

Gọi A là biến cố lấy được 2 quả cùng màu. Suy ra ( )

2 2

11

n A = C + C

5 6

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Xác suất của biến cố A là P ( A)

Chọn D

C + C 5

= =

11

2 2

5 6

2

C11

23

Câu 15.

Câu 16.

Câu 17.

3

Số phần tử của không gian mẫu n( Ω ) = C 15 = 455 .

3

Gọi A là biến cố " 3 quả cầu lấy được đều là màu xanh". Suy ra n( A) = C 4 = 4 .

4

Vậy xác suất cần tìm là P ( A ) = .

455

Chọn A

Gọi A là biến cố: “lấy được 3 quả cầu màu xanh”

3

C5

1

Ta có P ( A)

= = .

3

C12

22

Chọn B

Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ 15 quả cầu đã cho có

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

3

15

3

6

C cách.

Lấy được 3 quả cầu màu xanh từ 6 quả cầu xanh đã cho có C cách.

Vậy xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh là

Chọn A

Số phần tử không gian mẫu: ( )

3

C 4

P = = . C 91

3

6

3

15

n Ω = C 15

= 455 (phần tử).

Gọi A là biến cố: “ lấy được 3 quả cầu màu xanh”.

n A = C 5

= 10 (phần tử ).

Khi đó, ( )

3

Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh: P ( A)

3

( )

5

3

( Ω)

15

2

Câu 18. Số phần tử của không gian mẫu n( Ω ) = C 40

= 780 .

Gọi A là biến cố gọi hai học sinh tên Anh lên bảng, ta có ( )

Câu 19.

Câu 20.

Câu 21.

= n A C 2

n

= C

= .

91

2

n A C 4

6

= = .

6 1

Vậy xác suất cần tìm là P( A ) = = .

780 130

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu: 15.18 = 270 .

Số cách chọn từ mỗi hộp 1 viên bi sau cho 2 viên bi cùng màu là: 4.7 + 5.6 + 6.5 = 88 .

88 44

Vậy xác suất cần tìm là = .

270 135

Chọn C

n Ω = C 10

= 210 .

( )

4

n A = C − C =

Gọi A là biến cố:” trong 4 học sinh được chọn luôn có học sinh nữ” ( )

4 4

Vậy xác suất của biến cố A là P ( A)

Chọn C

Trong 3 bóng có 1 bóng hỏng

3

Ta có n( Ω ) = C 12

= 220 .

( )

( Ω)

n A

=

n

195

=

210

Gọi biến cố A : “Trong 3 bóng lấy ra có 1 bóng hỏng”.

n Ω = C . C = 112

Tính được ( )

1 2

Vậy

A

112 28

P( A ) = =

220 55

4 8

13

= .

14

10 6

195

Câu 22.

Chọn A

24

Câu 23.

Câu 24.

Câu 25.

Câu 26.

Câu 27.

3

Xét phép thử: Chọn ngẫu nhiên 3 trong 10 bạn trong tổ, ta có n( Ω ) = C 10

.

3

Gọi A là biến cố: “ 3 bạn được chọn toàn nam”, ta có n( A) = C 6

.

3

n( A)

C6

1

Xác suất của biến cố A:

P ( A)

= 3

n( )

= C

= .

Ω 6

Chọn A

Xét phép thử: “ Chọn 3 câu hỏi từ 15 câu hỏi” ( )

3

10

n Ω = C 15

= 455.

1 2

45

Gọi A là biến cố: “ Chọn được đúng 1 câu hình” n( Ω

A ) = C5. C10

= 225 PA

= .

91

Chọn D

Phép thử “Chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 5 đôi giày cỡ khác nhau” có không gian mẫu là Ω

n Ω = C = 45 .

( )

2

10

A là biến cố “Chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 5 đôi giày cỡ khác nhau sao cho 2 chiếc giày tạo

thành một đôi giày”.

Chọn đồng thời 2 chiếc giày để tạo thành một đôi Có 5 khả năng.

n A = 5

Số khả năng thuận lợi cho biến cố A là: ( )

Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 5 đôi giày cỡ khác nhau sao cho 2 chiếc giày tạo

n ( A)

5 1

thành một đôi giày là P ( A)

= = = .

n Ω 45 9

( )

Chọn D

4 4 4

Số phần tử không gian mẫu: n( Ω ) = C16. C12 . C8

.1 = 63063000.

Gọi A : “Mỗi đội Việt Nam ở 4 bảng khác nhau”.

3 3 3

Ta có: n( A) = 4. C .3. C .2. C .1 = 8870400.

12 9 6

n( A) 8870400 64

Xác suất cần tìm là: p( A) = = = .

n( Ω) 63063000 455

Chọn B

Không gian mẫu của phép thử lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 bóng đèn từ hộp có 12 bóng đèn là

n Ω = C 12

= 220.

( )

3

Gọi A là biến cố: “ 3 bóng đèn lấy ra là 3 bóng tốt”.

n A = C 8

= 56.

Ta có: ( )

3

Xác suất để lấy được 3 bóng tốt là: P( A)

Chọn D

Không gian mẫu: n( Ω ) = 4.4.4.4 = 256

( )

( Ω)

n A 56 14

= = = .

n 220 55

Lời giải

Chọn 1 toa để xếp 3 người có 4 cách chọn

3

Xếp 3 người vào toa đó có: C

4

= 4 cách

Chọn 1 toa để xếp 1 người có 3 cách chọn

n A = 4.4.3 = 48 cách

Tổng số cách chọn thỏa mãn là: ( )

n( Ω)

Vậy xác suất là: P ( A)

n( A)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

48 3

= = = .

256 16

25

Câu 28.

Câu 29.

Chọn B

Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó một quả cầu có 35 cách.

Lấy được một quả cầu màu đỏ có 20 cách, lấy được một quả cầu màu xanh ghi số lẻ có 8 cách.

Do đó để lấy được quả màu đỏ hoặc ghi số lẻ có 28 cách.

Do đó xác suất cần tìm là: 28

35 .

Chọn D

n Ω = = .

Số phần tử không gian mẫu ( ) 5.5 25

Gọi A : “ 2 lấy ra đều ghi số chẵn”

n A = = .

( ) 2.2 4

4

P A = .

25

Vậy ( )

n Ω = C 8

= 28 .

Câu 30. Ta có số phần tử của không gian mẫu là ( )

2

Câu 31.

Câu 32.

Câu 33.

n A = .

Gọi A :“ Bình lấy được hai chiếc giầy cùng màu” suy ra ( ) 4

n( A)

1

Suy ra P ( A)

= = .

n( Ω)

7

Vậy xác suất để Bình lấy được hai chiếc giầy cùng màu là 1 7 .

Chọn B

n Ω = 6 .

Ta có mỗi học sinh có 6 cách chọn quầy phục vụ nên ( )

5

Gọi A là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3

Chọn 3 học sinh trong 5 học sinh để vào cùng một quầy C .

Sau đó chọn 1 quầy trong 6 quầy để các em vào là

Còn 2 học sinh còn lại có

n A

= C . C . C .

Nên ( )

3 1 1

5 6 5

1

5

3 1 1

C5 . C6.

C5

Vậy P ( A ) = .

5

6

Chọn D

Số phần tử không gian mẫu là

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

C .

1

6

C cách chọn quầy để vào cùng.

Ω = .

2

C 9

Gọi A là biến cố chọn được hai quả cầu khác màu.

Khi đó A là biến cố chọn được hai quả cầu cùng màu.

Ta có:

2 2 2

A C C C A A

=

4

+

3

+

2

= 10 = Ω − = 26 .

Vậy xác suất cần tìm là ( )

A 26 13

P A = = = .

Ω 36 18

Xác suất để một học sinh bốc được đúng 1 câu hỏi Hình học là

n Ω = C 12

= 924 .

Câu 34. Số phần tử của không gian mẫu là: ( )

6

Gọi A là biến cố: “ 6 cây được chọn, mỗi loại có đúng 2 cây”.

2 2 2

Ta có: n( A) = C . C . C = 15.6.1 = 90 .

6 4 2

5

C . C 45

P = = .

91

1 2

5 10

3

C15

26

Câu 35.

Vậy: P ( A)

( )

( Ω)

n A 90 15

= = = .

n 924 154

Lời giải

Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 quả cầu nên số phần tử của không gian mẫu là: ( )

4

Gọi A là biến cố “ 4 quả cầu lấy được có đúng 2 quả cầu đỏ”.

2 2

n A 63 21

Số kết quả thuận lợi của A là: n( A) = C3 . C7

= 63 nên: P ( A)

= = = .

n 210 70

n Ω = C 9

.

Câu 36. Số phần tử không gian mẫu: ( )

3

n Ω = C 10

= 210 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( )

( Ω)

n A = C . C + C .

Gọi biến cố A : “ lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh”. Suy ra ( )

2 1 3

25

Vậy P( A ) = .

42

Câu 37. Tổng số có 7 + 5 + 3 = 15 viên bi.

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ 15 viên có

15

455

n Ω = .

Câu 38.

Số phần tử của không gian mẫu là ( ) 455

Gọi A : 3 viên bi lấy được đều có màu đỏ".

Lấy 3 viên bi màu đỏ từ 7 viên bi màu đỏ có

3

C = (cách lấy).

3

C = n( A) 35

7

35 = .

Vậy xác suất để 3 viên bi lấy được đều có màu đỏ là P ( A)

Số kết quả có thể xảy ra

Ω = .

3

C 35

Gọi A là biến cố “trong 3 đoàn viên được ó cả nam và nữ”.

2 1 1 2

Ta có:

.

Ω

A 90

Ω

A

= C15C20 + C15C20 Vậy: P ( A)

= = .

Ω 119

Câu 39. Số phần tử của không gian mẫu ( )

3

Câu 40.

( )

( Ω)

n A

=

n

n Ω = C 25

.

Gọi A là biến cố “ 3 đoàn viên được chọn có 2 nam và 1 nữ”.

n A = C . C .

Số phần tử của A là ( )

2 1

10 15

Vậy xác xuất của biến cố A là: P ( A)

( )

( Ω)

= n A C . C 27

n

= = .

92

2 1

10 15

3

C25

2

Chọn ngẫu nhiên 2 người trong 10 người có C cách chọn.

Hai người được chọn đều là nữ có

C cách.

Xác suất để hai người được chọn đều là nữ là:

Câu 41. Số phần tử không gian mẫu là ( ) 38760

2

4

n Ω = .

10

C 2

C = 15

.

2

4

2

10

45

=

455

5 4 5

1

= .

13

n A = C . C + C = 25480 .

Kết quả trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm là ( )

5 1 6

25480 637

Xác suất cần tìm là: P = = .

38760 969

n Ω = C 15

.

Gọi A là biến cố “ quyển sách đươc lấy ra có ít nhất một quyển sách toán”.

3 3

Ta có n( A) = C − C .

Câu 42. Số phần tử của không gian mẫu ( )

3

15 11

16 4 16

27

Vậy xác suất cần tìm là P ( A)

( )

( Ω)

n A

=

n

C

=

Câu 43. Số phần tử của không gian mẫu: ( )

2

Câu 44.

− C

3 3

15 11

3

C15

n Ω = C 17

= 136 .

n A

58

= .

91

= C . C = 72 .

Số cách chọn được một cặp bút và vở là: ( )

1 1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

8 9

Xác suất để học sinh đó chọn được một cặp bút và vở là: P ( A)

( )

( Ω)

n A

=

n

72

=

136

9

= .

17

3

Số cách chọn ba học sinh tùy ý từ 10 học sinh giỏi là C

10

= 120 cách.

2 1

Số cách chọn để có đúng hai học sinh nam và một học sinh nữ là C . C = 60 cách.

Vậy xác suất cần tìm là 60 = 1 .

120 2

n Ω = C 13

= 715 (cách chọn).

Câu 45. Không gian mẫu ( )

4

Gọi A là biến cố “Bốn người được chọn có ít nhất ba nữ”.

n A = C C + C = (cách chọn).

Ta có ( )

3 1 4

Suy ra ( )

8 5 8

350

350 70

P A = = .

715 143

Câu 46. Số phần tử của không gian mẫu ( )

3

n Ω = C 12

= 220 (cách chọn).

Gọi A là biến cố “ Lấy được ít nhất hai viên bi xanh ”.

2 1 3 0

Ta có n( A) = C C + C C = (cách chọn).

Vậy xác suất ( )

8 4 8 4

168

168 42

P A = = .

220 55

n Ω = C 10

= 45 .

Câu 47. Ta có số phần từ của không gian mẫu là ( )

2

Câu 48.

Câu 49.

Gọi A : "Hai bi lấy ra đều là bi đỏ".

2

Khi đó n( A) = C 4

= 6 .

Vậy xác suất cần tính là P ( A)

( )

( Ω)

n A 2

= = .

n 15

Chọn B

Ta chia các suất quà như sau: 6 áo và 6 thùng sữa, 3 thùng sữa và 3 cặp, 1 cặp và 1 áo.

n Ω = C 10

= 45 .

Số phần tử của không gian mẫu: ( )

2

TH1: Nam và Việt nhận một thùng sữa và một chiếc áo:

C .

2

6

6 4

2

TH2: Nam và Việt nhận một thùng sữa và một chiếc cặp: C

3

.

Gọi A là biến cố để hai em Việt và Nam nhận được suất quà giống nhau.

n A = C + C = .

( )

2 2

Vậy: p ( A)

6 3

18

( )

( Ω)

n A 18 2

= = = .

n 45 5

Chọn D

5

Số cách chọn ngẫu nhiên 5 người từ 12 người là n( Ω ) = C 12

.

Trường hợp 1. Trong hội đồng gồm thầy Xuân, 2 thầy giáo trong số 6 thầy giáo còn lại, và 2 cô

2 2

giáo trong số 4 cô giáo (cô Hạ không được chọn). Có C . C cách chọn.

6 4

28

Câu 50.

Câu 51.

Trường hợp 2. Trong hội đồng gồm cô Hạ, 1 cô giáo trong số 4 cô giáo còn lại, và 3 thầy giáo

1 3

trong số 6 thầy giáo (thầy Xuân không được chọn). Có C . C cách chọn.

Vậy xác suất cần tìm là

Chọn B

C . C + C . C 85

P = = .

396

2 2 1 3

6 4 4 6

5

C12

n Ω = C 8

= 56

Số phần tử của không gian mẫu là: ( )

5

Gọi A là biến cố: “5 học sinh được chọn đi thi có cả nam và nữ và học sinh nam nhiều hơn học

sinh nữ”.

Xét các khả năng xảy ra của A

4 1

Trường hợp 1: 5 học sinh được chọn gồm 4 nam và 1 nữ. Số cách chọn là C . C = 15

Trường hợp 2: 5 học sinh được chọn gồm 3 nam và 2 nữ. Số cách chọn là

Số phần tử của biến cố A là n( A ) = 45

n( A)

Xác suất của biến cố A là p ( A)

n ( Ω)

45

= =

56

Chọn B

Gọi x là số bạn học sinh nhận quà là 1 chiếc áo mùa đông và 1 thùng sữa tươi.

Gọi y là số bạn học sinh nhận quà là 1 chiếc áo mùa đông và 1 chiếc cặp sách.

Gọi z là số bạn học sinh nhận quà là 1 thùng sữa và 1 chiếc cặp sách.

x + y = 7 x

= 6

Ta có hệ phương trình: x + z = 9 ⇔ y

= 1 .

y z 4

+ = z

= 3

2

Không gian mẫu Ω là: “ Chọn 2 suất quà trong 10 suất quà ” n( Ω ) = C 10

.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

4 6

5 3

C . C = 30

3 2

5 3

n A = C + C .

Biến cố A là: “Bạn Việt và Nam nhận được phần quà giống nhau” ( )

2 2

Xác suất xảy ra biến cố A là: P ( A)

( )

( Ω)

n A 2

= = .

n 5

n Ω = C . C .

Câu 52. Ta có: Số phần tử của không gian mẫu ( )

1 1

10 9

Gọi A là biến cố: “ Viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh”.

1 1

- Trường hợp 1: Lần 1 lấy viên đỏ, lần 2 lấy viên xanh: Có C . C cách chọn

1 1

- Trường hợp 2: Lần 1 lấy viên xanh, lần 2 lấy viên xanh: Có C . C cách chọn

1 1 1 1

n( A) C6. C4 C4.

C3

n( A)

Vậy P( A)

n( Ω)

= + .

24 + 12 2

= = = .

10.9 5

n Ω = C . C .

Câu 53. Ta có: Số phần tử của không gian mẫu ( )

1 1

Câu 54.

10 9

Gọi A là biến cố: “ Viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh”.

1 1

- Trường hợp 1: Lần 1 lấy viên đỏ, lần 2 lấy viên xanh: Có C . C cách chọn

1 1

- Trường hợp 2: Lần 1 lấy viên xanh, lần 2 lấy viên xanh: Có C . C cách chọn

1 1 1 1

n( A) C6. C4 C4.

C3

n( A)

Vậy P( A)

n( Ω)

Có

= + .

24 + 12 2

= = = .

10.9 5

3

C

9

= 84 cách chọn 3 học sinh bất kì.

6 4

6 4

4 3

4 3

6 3

29

Chọn 3 học sinh mà số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ có các trường hợp

+ Có 3 học sinh nam: Có C = cách chọn

3

5

10

2 1

+ Có 2 học sinh nam, 1 học sinh nữ: Có C5 . C

4

= 40 cách chọn

10 + 40 25

Xác suất cần tìm là P = = .

84 42

n Ω = C 12

= 495 .

Câu 55. Số phần tử không gian mẫu là ( )

4

Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc cả ba khối là:

C . C . C + C . C . C + C . C . C = 270

2 1 1 1 2 1 1 1 2

5 4 3 5 4 3 5 4 3

4

Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc không quá hai khối là C12 − 270 = 225

225 5

Xác suất để chọn ra 4 học sinh thuộc không quá hai khối là P = = .

495 11

B. Một số bài toán liên quan đến chữ số

Câu 56. Chọn B

Không gian mẫu Ω = 100

Gọi A là biến cố số được chọn có con số tận cùng là 0

n( A) 10

n( A) = 10 P ( A)

= = = 0,1

Ω 100

Câu 57. Chọn B

Gọi A là biến cố chọn ngẫu nhiên một số từ tập S sao cho số đó là số chẵn.

4

Số phần tử không gian mẫu n( Ω ) = A 5

Câu 58.

Câu 59.

Gọi số có 4 chữ số khác nhau là số chẵn có dạng abcd

d = 2;4 có 2 cách. Chọn ba số xếp vào ba vị trí a, b,

c có A

Chọn { }

3

n( A) 48 2

Vậy có 2. A

4

= 48 số chẵn có 4 chữ số khác nhau n( A) = 48 P( A)

= = = .

n( Ω) 120 5

Chọn B

4

Chọn 4 số khác nhau và xếp có thứ tự từ tập hợp có 6 chữ số, có A

6

= 360 số.

n Ω = = .

Vì vậy số phần tử của không gian mẫu ( ) 360.359 129240

3

Trong các số thuộc tập B có 4!C5

= 240 số luôn có mặt chữ số 3 . Và trong tập B có 120 số

không có mặt chữ số 3.

Chọn 2 số thuộc tập B có thứ tự, trong đó có đúng một số có mặt chữ số 3 có

1 1

2! C

240.C120

= 57600 cách.

57600 160

Do đó: P = = .

129240 359

Chọn A

n Ω = C 8

= 56 .

Số phần tử của không gian mẫu là số cách lấy 3 thẻ từ 8 thẻ, do đó ta có ( )

3

Gọi A là biến cố ba thẻ lấy ra có tổng bằng 11.

Ta có 11 = 1+ 2 + 8 = 1+ 3 + 7 = 1+ 4 + 6 = 2 + 3 + 6 = 2 + 4 + 5 .

n A = .

Như vậy có 5 kết quả thuận lợi xảy ra biến cố A, tức là: ( ) 5

Vậy xác suất cần để tổng các số ghi trên ba thẻ lấy ra bằng 11 là: ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n Ω = C 30

.

Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán.

- Lấy 5 tấm thẻ mang số lẻ: có C cách.

Câu 60. Số phần tử của không gian mẫu ( )

10

5

15

3

4

5

P A = .

56

30

Câu 61.

Câu 62.

1

- Lấy 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10: có C

3

cách.

- Lấy 4 tấm thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10: có

Vậy P ( A)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

4

C

12

.

5 1 4

C15. C3. C12

99

= = .

10

C30

667

Ký hiệu B là biến cố lấy được số tự nhiên A thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: 3 N = A ⇔ N = log3

A .

m

Để N là số tự nhiên thì A = 3 (m ∈ N ) .

Những số A dạng có 4 chữ số gồm

n Ω = 9000; n B = 2

( ) ( )

7

3 2187

8

= và 3 = 6561

1

Suy ra: P( B ) = .

4500

Thẻ thứ nhất có 5 cách rút, thẻ thứ hai có 5 cách rút do đó số phần tử của không gian mẫu là

n Ω = ⋅ = .

( ) 5 5 25

Gọi A là biến cố “Hai thẻ rút ra đều mang số chẵn”.

Rút được thẻ thứ nhất mang số chẵn có 2 cách (rút được 2 hoặc 4), tương tự với thẻ thứ hai. Vậy

n A = = .

( ) 2.2 4

Vậy xác suất cần tìm là ( )

Câu 63. Gọi { 0;1;2;...;9 }

A = .

4

P A = .

25

≠ .

Gọi ab là hai chữ số cuối của số điện thoại ( a b)

n Ω = A 10

= 90 .

Số phần tử không gian mẫu là: ( )

2

Gọi A là biến cố “Người đó gọi một lần đúng số cần gọi” n( A) = 1.

n( A)

Vậy xác suất để người đó gọi một lần đúng số cần gọi là: P ( A)

n( Ω)

n Ω = C 9

= 36 .

Câu 64. Số phần tử của không gian mẫu là ( )

2

1

= = .

90

Gọi A = " tổng hai số ghi trên hai lá phiếu rút được là một số lẻ lớn hơn hoặc bằng 15"

6;9 ; 7;8 ; 9;7 n( A) = 3.

Ta có các cặp số có tổng là số lẻ và lớn hơn hoặc bằng 15.là ( ) ( ) ( )

Vậy xác suất của biến cố A là ( )

3 1

P A = = .

36 12

1;3;5;7;9 .

Câu 65. Có bốn thẻ chẵn { 2;4;6;8 } và 5 thẻ lẻ { }

Câu 66.

n Ω = C 9

= 36

Rút ngẫu nhiên hai thẻ, số phần tử của không gian mẫu là ( )

2

Gọi A là biến cố “tích nhận được là số chẵn”, số phần tử của biến cố A là

n A = C + C . C = 26

( )

2 1 1

4 4 5

Xác suất của biến cố A là P( A)

Chọn B

( )

( Ω)

n A 26 13

= = = .

n 36 18

n Ω = A 6

= 360 .

Số phần tử của không gian mẫu: ( )

4

Gọi A là biến cố: “Số được chọn có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ”.

Chọn hai chữ số chẵn: C cách.

Chọn hai chữ số lẻ:

2

3

2

C

3

cách.

31

Câu 67.

Câu 68.

Câu 69.

Câu 70.

Câu 71.

Sắp xếp 4 chữ số được chọn thành một số tự nhiên có 4 chữ số phân biêt: 4! cách.

n A = C . C .4! = 216 .

Suy ra ( )

2 2

3 3

Xác suất của biến cố A là: P( A)

Chọn C

( )

( Ω)

n A 216 3

= = = .

n 360 5

n Ω = C 21

= 210 .

* Số phần tử của không gian mẫu là ( )

2

* Gọi biến cố A=“Chọn được hai số có tổng là một số chẵn”, trong 21 số nguyên dương đầu tiên

có 11 số lẻ và 10 số chẵn, để hai số chọn được có tổng là một số chẵn điều kiện là cả hai số cùng

2 2

chẵn hoặc cùng lẻ Số phần tử của biến cố A là: n( A) = C + C = .

* Xác suất của biến cố A là: P ( A)

( )

( Ω)

n A 10

= = .

n 21

Chọn D

Gọi A là tập tất cả các số nguyên dương đầu tiên.

A = 1;2;3;...........;26;27

{ }

2

Chọn hai số khác nhau từ A có: n( Ω ) = C27

= 351.

Tổng hai số là số chẵn khi cả hai số đó đều chẵn hoặc đều lẻ,

Do đó:

2

Chọn hai số chẵn khác nhau từ tập A có: C

13

= 78.

2

Chọn hai số lẻ khác nhau từ tập A có: C

14

= 91.

Số cách chọn là: 78 + 91 = 169.

169 13

Xác suất cần tìm là: P = = .

351 27

Chọn C

Trong 23 số nguyên dương đầu tiên, có 12 số lẻ và 11 số chẵn.

2

Chọn 2 số khác nhau từ 23 số, có

23

10 11

100

n Ω = C 23 .

C cách chọn nên số phần tử không gian mẫu là ( )

2

Gọi A là biến cố: “Chọn được hai số có tổng là một số chẵn”.

Để hai số được chọn có tổng là một số chẵn thì hai số đó phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

2

+ Trường hợp 1: Chọn hai số chẵn khác nhau từ 11 số chẵn, có C cách chọn.

+ Trường hợp 2: Chọn hai số lẻ khác nhau từ 12 số lẻ, có

n A = C + C .

Do đó ( )

2 2

11 12

Xác suất cần tính là p ( A)

( )

( Ω)

n A C + C 11

= = = .

n

23

2 2

11 12

2

C23

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2

12

11

C cách chọn.

Chọn C

2

Số cách chọn hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên là C25 = 300 n ( Ω ) = 300 .

Gọi A là biến cố “Tổng hai số được chọn là một số chẵn”. Ta có hai trường hợp:

2

+ TH 1: Chọn 2 số chẵn từ 12 số chẵn có C = cách.

+ TH 2: Chọn 2 số lẻ từ 13 số lẻ có

Do đó ( ) = 66 + 78 = 144

n A .

12

66

2

13

= 78

C cách.

144 12

Vậy xác suất cần tìm là P( A ) = = .

300 25

Chọn A

3

Gọi 3 số cần viết ra là a, b,

c . Ta có n( Ω ) = 16 .

32

Câu 72.

Câu 73.

Câu 74.

Phân đoạn [ 1;16 ] ra thành 3 tập:

X = { 3,6,9,12,15 } là những số chia hết cho 3 dư 0 , có 5 số.

Y = { 1,4,7,10,13,16 }

Z = { 2,5,8,11,14 } là những số chia hết cho 3 dư 2 , có 5 số.

là những số chia hết cho 3 dư 1, có 6 số.

Ta thấy 3 số a, b,

c do A, B, C viết ra có tổng chia hết cho 3 ứng với 2 trường hợp sau:

3 3 3

TH1: cả 3 số a, b,

c cùng thuộc một tập, số cách chọn là 6 + 5 + 6 = 466 .

TH2: cả 3 số a, b,

c thuộc ba tập khác nhau, số cách chọn là 3!.5.5.6 = 900 .

466 + 900 683

Xác suất cần tìm P ( A) = = .

3

16 2048

Chọn A

3

Ta có n ( Ω ) =17 .

Hướng dẫn giải

Trong các số tự nhiên thuộc đoạn [ 1;17 ] có 5 số chia hết cho 3 là { }

3 dư 1 là { 1;4;7;10;13;16 }, có 6 số chia cho 3 dư 2 là { 2;5;8;11;14;17 } .

3;6;9;12;15 , có 6 số chia cho

Để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 cần phải xảy ra các trường hợp sau:

3

TH1. Cả ba số viết ra đều chia hết cho 3. Trong trường hợp này có: 5 cách viết.

3

TH2. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 1. Trong trường hợp này có: 6 cách viết.

3

TH3. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 2 . Trong trường hợp này có: 6 cách viết.

TH4. Trong ba số được viết ra có 1 số chia hết cho 3, có một số chia cho 3 dư 1, có một số chia

cho 3 dư 2 . Trong trường hợp này có: 5.6.6.3! cách viết.

3 3 3

5 + 6 + 6 + 5.6.6.3! 1637

Vậy xác suất cần tìm là: p ( A)

=

= .

3

17

4913

Chọn D

3

Ta có n ( Ω ) =19 .

Trong các số tự nhiên thuộc đoạn [ 1;19 ] có 6 số chia hết cho 3 là { }

cho 3 dư 1 là { 1;4;7;10;13;16;19 }, có 6 số chia cho 3 dư 2 là { 2;5;8;11;14;17 } .

3;6;9;12;15;18 , có 7 số chia

Để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 cần phải xảy ra các trường hợp sau:

3

TH1. Cả ba số viết ra đều chia hết cho 3. Trong trường hợp này có: 6 cách viết.

3

TH2. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 1. Trong trường hợp này có: 7 cách viết.

3

TH3. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 2 . Trong trường hợp này có: 6 cách viết.

TH4. Trong ba số được viết ra có 1 số chia hết cho 3, có một số chia cho 3 dư 1, có một số chia

cho 3 dư 2. Trong trường hợp này có: 6.7.6.3! cách viết.

3 3 3

6 + 7 + 6 + 6.7.6.3! 2287

Vậy xác suất cần tìm là: p ( A)

=

= .

3

19

6859

Chọn D

3

Số phần tử không gian mẫu: n( Ω ) = 14 .

Vì trong 14 số tự nhiên thuộc đoạn [ ]

hết cho 3.Để tổng 3 số chia hết cho 3 ta có các trường hợp sau:

3

TH1: Cả 3 chữ số đều chia hết cho 3 có: 4 (cách)

3

TH2: Cả 3 số chia cho 3 dư 1 có: 5 (cách)

3

TH3: Cả 3 số chia cho 3 dư 2 có: 5 (cách)

1;14 có: 5 số chia cho 3 dư 1; 5 số chia cho 3 dư 2; 4 số chia

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

33

Câu 75.

Câu 76.

Câu 77.

TH4: Trong 3 số có một số chia hết cho 3; một số chia cho 3 dư 1; một số chia 3 dư 2 được ba

người viết lên bảng nên có: 4.5.5.3!(cách)

Gọi biến cố E:” Tổng 3 số chia hết cho 3”

3 3 3

Ta có: n( E ) = 4 + 5 + 5 + 4.5.5.3! = 914 .

914 457

Vậy xác suất cần tính: P( E ) = = .

3

14 1372

Chọn A

3

Số cách lấy ra 3 tấm thẻ trong 100 tấm thẻ là C

100

= 161700 n ( Ω ) = 161700 .

Trong 100 tấm thẻ từ 801 đến 900, số các tấm thẻ chia hết cho 3, chia 3 dư 1, chia 3 dư 2 lần

lượt là 34 tấm, 33 tấm, 33 tấm.

Gọi A là biến cố “Lấy được ba tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3”.

Trường hợp 1: Cả ba tấm thẻ lấy ra đều chia hết cho 3.

3

Số cách lấy là: C

34

= 5984 (cách).

Trường hợp 2: Cả ba tấm thẻ lấy ra đều chia 3 dư 1.

3

Số cách lấy là: C

33

= 5456 (cách).

Trường hợp 3: Cả ba tấm thẻ lấy ra đều chia 3 dư 2.

3

Số cách lấy là: C

33

= 5456 (cách).

Trường hợp 4: Ba tấm thẻ lấy ra có 1 tấm chia hết cho 3; 1 tấm chia 3 dư 1 và 1 tấm chia 3 dư 2.

Số cách lấy là: 34.33.33 = 37026 (cách).

n A = + + + =

Vậy số các trường hợp thuận lợi của biến cố A là: ( ) 5984 5456 5456 37026 53922

(cách).

Xác suất của biến cố A là: P ( A)

( )

( Ω)

n A 53922 817

= = = .

n 161700 2450

Chọn B

Có tất cả

6

360

Tập hợp B có 360 số.

Ta xét phép thử “chọn thứ tự 2 số thuộc tập B ”.

2

Khi đó n( Ω ) = A 360

Trong tập hợp B ta thấy

3

*/ có tất cả 4. A = 240 số có mặt chữ số 3.

4

A = số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau từ tập A .

5

4

A = số không có mặt chữ số 3.

*/ có

5

120

Gọi A là biến cố “trong 2 số vừa chọn có đúng một số có mặt chữ số 3”

n A = C .C .2!

Khi đó ( )

1 1

240 120

1 1

C240.C 120

.2! 160

Vậy xác suất cần tìm là

=

2 .

A360

359

Chọn D

Không gian mẫu : Ω = 8!

Gọi số cần lập có dạng A = a1a2a , ,

3a4a5a6a7a8 a ∈ X a ≠ a với i ≠ j .

i i j

Nhận xét X có 8 phần tử và tổng các phần tử là 36 nên A chia hết cho 9, do ( 9,11)

= 1 nên A

chia hết cho 9999.

4

A = a a a a .10 + a a a a = a a a a .( 9999 + 1)

+ a a a a

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

1 2 3 4 5 6 7 8

= a a a a .9999 + a a a a + a a a a

1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

Do A chia hết cho 9999 nên a1a2a 3a4 + a5a6a7a8

chia hết cho 9999.

34

Câu 78.

ai

∈ X nên a1a2a 3a4 + a5a6a7a8 < 2.9999 , từ đó a1a2a 3a4 + a5a6a7a8 = 9999

Với mỗi cách chọn a

i

sẽ có duy nhất cách chọn a

i + 4

sao cho ai

+ a

i + 4

= 9 với i ∈ {1,2,3,4} .

Chọn a

1

có 8 cách, chọn a

2

có 6 cách, chọn a

3

có 4 cách, chọn a

4

có 2 cách.

8.6.4.2 384

Vậy xác suất để lập được số chia hết cho 1111 là: = .

8! 8!

Chọn C

+) Chọn a có 9 cách.

5

+) Chọn các chữ số còn lại có A cách.

5

Suy ra có A n( X ) n( )

9

9

9. = 136080 = 136080 Ω = 136080 .

Gọi A là biến cố số lấy ra từ X là số lẻ và thỏa mãn a < b < c < d < e < f .

Ta thấy { 7;9}

f ∈ .

Trường hợp 1: f = 7 .

Xét dãy gồm 6 ký tự abcde7

thỏa mãn a < b < c < d < e < 7 (*).

5

Chọn 5 chữ số từ X và nhỏ hơn 7 có C . Khi đó mỗi cách chọn có duy nhất 1 cách xếp thỏa (*).

7

5

Suy ra có C

7

dãy thỏa mãn (*).

Xét dãy gồm 6 ký tự 0bcde7

thỏa mãn 0 < b < c < d < e < 7 (**).

4

Chọn 4 chữ số từ X lớn hơn 0 và nhỏ hơn 7 có C

6

. Khi đó mỗi cách chọn có duy nhất 1 cách xếp

thỏa (**).

4

Suy ra có C dãy thỏa mãn (**).

6

5 4

Do đó có C7 − C6 = 6 dãy gồm 6 ký tự abcde7

thỏa mãn a < b < c < d < e < 7; a ≠ 0 .

Hay có 6 số.

Trường hợp 2: f = 9 .

Xét dãy gồm 6 ký tự abcde9

thỏa mãn a < b < c < d < e < 9 (1).

5

Chọn 5 chữ số từ X và nhỏ hơn 9 có C . Khi đó mỗi cách chọn có duy nhất 1 cách xếp thỏa (1).

9

5

Suy ra có C

9

dãy thỏa mãn (1).

Xét dãy gồm 6 ký tự 0bcde9

thỏa mãn 0 < b < c < d < e < 9 (2).

4

Chọn 4 chữ số từ X lớn hơn 0 và nhỏ hơn 9 có C

8

. Khi đó mỗi cách chọn có duy nhất 1 cách xếp

thỏa (**).

4

Suy ra có C dãy thỏa mãn (2).

8

5 4

Do đó có C9 − C8 = 56 dãy gồm 6 ký tự abcde9

thỏa mãn a < b < c < d < e < 9; a ≠ 0 .

Hay có 56 số.

Suy ra n( A ) = 6 + 56 = 62 .

Vậy P ( A)

( )

( Ω)

n A 62 31

= = = .

n 136080 68040

n A = 9. A = 27216

Câu 79. A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau ( )

4

Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập A có 27216 cách chọn n( Ω ) = 27216

Gọi B là biến cố “Chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 5 ”

Gọi số chia hết cho 5 thuộc tập A là a1a2 a3a4a

5

Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là 0

4

Có A

9

cách chọn 4 chữ số còn lại.

Trường hợp 2: Chữ số tận cùng là 5

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

9

35

Chọn chữ số a

1

có 8 cách

Chọn 3 chữ số còn lại có

( )

4 3

9 8

3

A

8

n B = A + 8. A = 5712 .

Vậy

( )

( Ω)

n B 17

P = = . n 81

C. Một số bài toán liên quan đến yếu tố sắp xếp

Câu 80.

Câu 81.

Câu 82.

Chọn B

Số phần tử không gian mẫu là n( Ω ) = 6!

Gọi A là biến cố xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào hai dãy ghế sao cho nam nữ ngồi đối

diện nhau.

Xếp một học sinh vào ghế số 1 có 6 cách

Xếp một học sinh vào ghế số 4 có 3 cách

Xếp một học sinh vào ghế số 2 có 4 cách

Xếp một học sinh vào ghế số 5 có 2 cách

Xếp một học sinh vào ghế số 3 có 2 cách

Xếp một học sinh vào ghế số 6 có 1 cách

n A = =

Vậy số phần tử biến cố A là ( ) 6.3.4.2.2.1 288

n( A)

288 2

Xác suất cần tính là P( A)

= = =

n( Ω)

6! 5

Chọn A

n Ω =

( ) 10!

. Chọn B

Gọi H là biến cố “không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau”

+ Đầu tiên xếp 5 học sinh lớp 12C thì có 5! cách xếp

+ Giữa 5 học sinh lớp C và ở hai đầu có 6 khoảng trống

TH1: Xếp 5 học sinh của hai lớp A và B vào 4 khoảng trống ở giữa và 1 khoảng trống ở 1 đầu thì

có 2.5! cách xếp

TH2: Xếp 5 học sinh vào 4 khoảng trống giữa 5 học sinh lớp C sao cho có đúng một khoảng trống

có 2 học sinh thuộc 2 lớp A, B thì có 2!.2.3.4! cách xếp.

11

Suy ra, n( H ) = 5! ( 2.5! + 2!.2.3.4 !) p( H ) = .

630

Chọn D

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Có 4! cách xếp bất kỳ 4 bạn thành hàng ngang.

Có 2.2!2! cách xếp 4 bạn sao cho các bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau.

36

Câu 83.

Câu 84.

Câu 85.

Xác suất cần tìm là

Chọn D

2.2!2! 1

P = = .

4! 3

Lấy ngẫu nhiên 7 tấm thẻ từ 13 tấm thẻ ( )

7

n Ω = C 13

= 1716

Gọi biến cố A “rút được 7 tấm thẻ theo thứ tự: ĐỖ, ĐẠI, HỌC, 2, 0,1,9 .”

Để rút được 7 tấm thẻ theo thứ tự: ĐỖ, ĐẠI, HỌC, 2, 0,1,9 ta rút 7 tấm thẻ từ 7 tấm thẻ ĐỖ,

ĐẠI, HỌC, 2,0,1,9 nên có 1 cách.

1

Do đó P( A ) =

1716

Chọn C

Số phần tử của không gian mẫu: Ω = P6 = 6! = 720

Gọi α là một nhóm gồm 3 người trong đó đứa bé được xếp ở giữa 2 người đàn bà: Có 2 phần tử

α

Có 4 phần tử gồm α và 3 người đàn ông. Xếp 4 người vào 4 vị trí, số cách xếp là:

Ω A

= 4!.2 = 48.

Xác suất xếp thỏa yêu cầu bài: P = Ω A

Ω = 48

720 = 1

15 .

Chọn A

Số phần tử của không gian mẫu là Ω = 8! = 40320 .

Gọi A là biến cố mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ.

Ta có:

Xếp 4 học sinh nữ vào cùng 1 dãy ghế có 4! cách.

Xếp 4 học sinh nam vào cùng 1 dãy ghế có 4! cách.

Ở các cặp ghế đối diện nhau hai bạn nam và nữ có thể đổi chỗ cho nhau nên có

4

Suy ra A = 4!.4!.2 = 9216 .

A 9216 8

P A = = = .

Ω 40320 35

Vậy ( )

Câu 86. Chọn A.

Số phần tử của không gian mẫu là Ω = 10! .

Câu 87.

Câu 88.

4

2 cách.

Gọi A là biến cố mỗi học sinh đều nhận 1 đề và 2 bạn ngồi kề trên, dưới là khác loại đề.

Ta có:

Xếp 5 đề lẻ vào cùng 1 dãy ghế có 5! cách.

Xếp 5 đề chẵn vào cùng 1 dãy ghế có 5! cách.

5

Ở các cặp đề trên, dưới có thể đổi đề cho nhau nên có 2 cách.

5

Suy ra A = 5!.5!.2 .

5

A 5!.5!.2 8

P A = = = .

Ω 10! 63

Vậy ( )

Chọn D

Xếp 10 học sinh vào 10 ghế có 10! cách

Xếp 2 học sinh bất kì ngồi đối diện nhau khác lớp ta thực hiện như sau.

Cách 1: Ghép 5 cặp gồm 1 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B có 5! Cách, xếp 5 cặp này vào 5

5

cặp ghế đối diện, mỗi cặp có 2 hoán vị nên có 2 .5!

Do đó xếp 2 học sinh bất kì ngồi đối diện nhau khác lớp có 2 5 .5!.5! cách

Chọn C

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

37

Xếp ngẫu nhiên 9 học sinh thành một dãy nên số cách xếp là 9! . Số phần tử của không gian mẫu

là n( Ω ) = 9! .

Gọi A là biến cố xếp 9 học sinh sao cho 3 học sinh lớp 12 xen kẽ 6 học sinh lớp 11.

Xếp 6 học sinh lớp 11 thành một hàng ngang có 6! cách xếp.

Với mỗi cách xếp 6 học sinh lớp 11 nói trên: cứ giữa mỗi hai học sinh có một khoảng trống, tính

cả khoảng trống hai đầu hàng ta có được 7 khoảng trống. Chọn 3 khoảng trống trong số 7 khoảng

3

trống để mỗi khoảng trống xếp một học sinh lớp 12 có A cách xếp.

n A

Vậy có ( )

3

Xác suất là ( )

= 6!. A cách xếp.

7

3

6!. A7

5

P A = = .

9! 12

D. Một số bài toán liên quan đến xúc sắc

Câu 89. Đáp án A.

Gọi A là biến cố: “Có ít nhất một con xúc sắc xuất hiện mặt một chấm”.

Bước 1: Tìm số phần tử không gian mẫu.

Do mỗi xúc sắc có thể xảy ra 6 trường hợp nên số kết quả có thể xảy ra là Ω = 6.6 = 36 .

Câu 90.

Câu 91.

Câu 92.

Bước 2: Tìm số kết quả thuận lợi cho A .

Ta có các trường hợp sau:

{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

1;1 ; 1;2 ; 1;3 ; 1;4 ; 1;5 ; 1;6 ; 2;1 ; 3;1 ; 4;1 ; 5;1 ; 6;1 Ω = 11

Bước 3: Xác suất của biến cố A là P ( A)

Chọn A

ΩA

11

= = .

Ω 36

n Ω = C . C = 36 .

* Số phần tử của không gian mẫu là: ( )

1 1

* Gọi A = ”Cả hai lần xuất hiện mặt sáu chấm”. Số phần tử của biến cố A là ( ) 1

n( A)

1

* Xác suất của biến cố A là P ( A)

= = .

n( Ω)

36

Chọn A

6 6

Gieo một con súc sắc có không gian mẫu { } n( )

Xét biến cố A : “mặt 6 chấm xuất hiện”. A = { 6} n( A)

= 1.

1

P A = .

6

Chọn B

Do đó ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

7

Ω = 1;2;3;4;5;6 Ω = 6

{ }

Không gian mẫu của phép thử Ω = ( i, j)

1 ≤ i, j ≤ 6 , ở đó ( , )

i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm”.

n Ω =

Ta có ( ) 36.

A

n A = .

i j là kết quả “Lần đầu xuất hiện mặt

Gọi A : “ Tích số chấm xuất hiện trên hai mặt là số lẻ”.

Để tích các số trong hai lần gieo là lẻ thì cả 2 lần gieo đều xuất hiện số chấm là lẻ, khi đó có: 3.3 = 9

kết quả.

n A =

( ) 9.

Vậy xác suất của biến cố A P ( A)

( )

( Ω)

n A 9 1

: = = = .

n 36 4

38

Câu 93.

Câu 94.

Câu 95.

Chọn B

a, b∈ 1;2;3;4;5;6

Có { }

. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là

2

Ω = 6 = 36 .

2

2

2

x + ax + b = 0 có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ a − 4b

≥ 0 ⇔ a ≥ 4b

( 1)

, có a, b∈ { 1;2;3;4;5;6 } .

Suy ra ( 1)

có các nghiệm ( a;

b ) là: ( 2;1 ),( 3;1 ),( 3;2 ), ( 4;1 ),( 4;2)( 4;3 ),( 4;4 ), ( ) ( )

( 5,3 ),( 5;4 ),( 5;5 ), ( 5;6 ) ( 6;1 ),( 6;2 ),( 6;3 ),( 6;4 ),( 6;5 ),( 6;6 )

Suy ra số phần tử của biến cố Ω = 19

Vậy xác suất cần tìm là:

A

ΩA

19

P = = .

Ω 36

Chọn B

2

Gieo một con súc sắc hai lần được 6 = 36 kết quả.

Để tích hai số nhận được sau hai lần gieo là lẻ thì cả hai lần gieo đều được mặt lẻ.

2

Do đó để tích hai số nhận được sau hai lần gieo là một số lẻ thì có 3 = 9 kết quả.

Để tích hai số nhận được sau hai lần gieo là một số chẵn thì có 36 − 9 = 27 kết quả.

Xác suất cần tìm là: 27 = 3 = 0,75.

36 4

Chọn D

n Ω = 6 = 36 .

Số phần tử của không gian mẫu là: ( )

2

Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 6”.

Tập hợp các quả của biến cố A là:

A = 1;1 ; 1;2 ; 1;3 ; 1;4 ; 2;1 ; 2;2 ; 2;3 ; 3;1 ; 3;2 ; 4;1 .

{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

n A = .

Số phần tử của biến cố A là: ( ) 10

Xác suất của biến cố A là: ( )

10 5

P A = = .

36 18

1,2,3,4,5,6

5;1 , 5;2 ,

Câu 96. Ta có: Không gian mẫu Ω = { } suy ra n( Ω ) = 6

Gọi biến cố A : “Con súc sắc có số chấm chẵn xuất hiện” hay A = { 2;4;6}

suy ra n( A ) = 3

n( A)

3 1

Từ đó suy ra p( A)

= = =

n( Ω)

6 2

Vậy xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là 1 2 .

n Ω = = .

Câu 97. Số phần tử của không gian mẫu: ( ) 6.6 36

Gọi A là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán:

A = 1; 2 , 2; 1 , 3; 2 , 2; 3 , 3; 4 , 4; 3 , 4; 5 , 5; 4 , 5; 6 , 6; 5 nên

{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

( ) 10

n A = .

10 5

P A = = .

36 18

Vậy ( )

n Ω = .

Câu 98. Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử, ta có ( ) 6

Câu 99.

n A = .

Gọi A : “Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 2 và 3 ”. Khi đó ( ) 1

n( A)

1

Vậy xác suất của biến cố A là P ( A)

= = .

n( Ω)

6

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Gọi A là biến cố “Số chấm trong hai lần gieo là bằng nhau”

39

n ( Ω)

= 36 .

A = {( 1,1 );( 2,2 );...;( 6,6)

}, ( ) 6

6 1

P A = = .

36 6

Vậy ( )

n A = .

n Ω = = .

Câu 100. Số phần tử của không gian mẫu ( ) 6.6 36

Gọi A là biến cố: ‘‘Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc không vượt quá 5 ”.

4;1 .

Các phần tử của A là: ( 1;1 ) , ( 1;2 ) , ( 1;3 ) , ( 1;4 ) , ( 2;1 ) , ( 2;2 ) , ( 2;3 ) , ( 3;1 ) , ( 3;2 ) , ( )

n A = .

Như vậy số phần tử của A là: ( ) 10

n( A)

Vậy xác suất cần tìm là: P ( A)

= =

n ( Ω)

2

2

Câu 101. Để phương trình x + bx + c = 0 vô nghiệm thì: ∆ = b − 4c

< 0 .

Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử gieo hai lần liên tiếp một con súc sắc cân đối.

Ω = 6.6 = 36

5

.

18

Gọi A là biến cố của phép thử để kết quả ( b;

c)

nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai thỏa mãn b

Trường hợp 1: = 1 c = 1;2;3;4;5;6

Trường hợp 2: 2

Trường hợp 3: 3

Trường hợp 4: 4

Ω = 17

A

b { }

b = c = { 2;3;4;5;6 }

b = c = { 3;4;5;6 }

b = c = { 5;6}

Vậy xác suất để phương trình bậc hai vô nghiệm là

trong đó b là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2

− 4c

< 0

Ω

A 17

P

A

= = .

Ω 36

E. Một số bài toán liên quan đến hình học

Câu 102. Chọn B

Mỗi tam giác được tạo thành khi lấy 2 điểm trên d

1

và 1 điểm trên d

2

, hoặc 2 điểm trên d2

và 1

2 2

điểm trên d

1

. Số tam giác được tạo thành là: C6 .4 + C4

.6 = 96 .

2

Số tam giác có hai đỉnh màu đỏ là C

6

.4 = 60 . Vậy xác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu

đỏ là: 60 = 5 .

96 8

Câu 103. Chọn C

3

* Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng đã cho có C = 10 cách.

5

n Ω = .

Suy ra ( ) 10

* Gọi A là biến cố "lấy được ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác".

Các trường hợp ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác là:

{ 3 5 7} { 3 7 9} { 5 7 9}

; ; , ; ; , ; ; (thỏa mãn: hiệu hai cạnh bé hơn cạnh còn lại, tổng hai cạnh lớn hơn

cạnh còn lại).

Do đó n ( A ) = 3. Vậy sác xuất cần tìm là P ( A)

( )

( Ω)

n A

= =

n

3

.

10

40

Câu 104. Chọn C

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O ”

4

⇒ n Ω = C 20

= 4845 .

( )

Gọi A là biến cố:” 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật”

Đa giác có 20 đỉnh sẽ có 10 đường chéo đi qua tâm mà cứ 2 đường chéo qua tâm sẽ có 1 hình chữ

2

n A = C 10

= 45.

nhật nên số HCN là: ( )

45 3

P( A ) = =

4845 323

Câu 105. Số phần tử không gian mẫu là

Ω = .

3

C 14

Giả sử tam giác cần lập là ABC vuông tại A .

Chọn đỉnh A của tam giác có 14 cách.

Để tam giác vuông tại A thì cung BC có số đo là π , hay BC là đường kính của đường tròn ngoại

tiếp đa giác, do đó có 6 cách chọn BC .

Gọi E là biến cố " 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông"

Số phần tử của E là 14.6 = 84 .

84 3

Xác suất cần tìm là P ( E ) = 3

C

= 14

13

.

Câu 106. Chọn B

chọn 2 dọc, 2 ngang cho 1 HCN

Để có một ô hình chữ nhật ta cần chọn 2 đường dọc trong tổng số 101 đường dọc, và hai đường

2 2

ngang trong tổng số 101 đường ngang. Vậy có tất cả: C101 × C101 = 25502500 ô hình chữ nhật.

Ta gọi phần mặt phẳng nằm giữa hai đường dọc hoặc hai đường ngang là một dải.

Một hình vuông bất kì chính là giao của hai dải có cùng độ rộng (một dải dọc, một dải ngang)

Số dải có độ rộng k( k ∈ Z,1≤ k ≤ 100) là: 101−

k

100

2 2 2 2 100(100 + 1)(2.100 + 1)

Vậy có tất cả: (101 − k) = 100 + 99 + ... + 1 = = 338350 hình vuông.

k = 1

6

338350

Xác suất cần tìm là:

0,013267... 0,0133

25502500 = ≈

Chọn đáp án B.

n Ω = C 60

.

Câu 107. Số phần tử của không gian mẫu là: ( )

4

Gọi E là biến cố “lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của ( )

Để chọn ra một tứ giác thỏa mãn đề bài ta làm như sau:

Bước 1: Chọn đỉnh đầu tiên của tứ giác, có 60 cách.

chọn 2 dọc, 2 ngang có cùng bề rộng cho 1 HV

H ”.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

41

Bước 2: Chọn 3 đỉnh còn lại sao cho hai đỉnh bất kỳ của tứ giác cách nhau ít nhất 1 đỉnh. Điều

này tương đương với việc ta phải chia m = 60 chiếc kẹo cho n = 4 đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ có

n−1 3

ít nhất k = 2 cái, có C = C cách, nhưng làm như thế mỗi tứ giác lặp lại 4 lần.

m−n( k −1) − 1 55

Số phần tử của biến cố E là: ( )

Xác suất của biến cố E là: P ( E )

3

60. C55

n E = .

4

3

= n( E ) 60. C55

80,7%

4

n Ω

= 4. C

≈ .

Câu 108. Tại mọi ô đang đứng, ông vua có 8 khả năng lựa chọn để bước sang ô bên cạnh.

n Ω = 8 .

Do đó không gian mẫu ( )

3

( )

60

Gọi A là biến cố “sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát”. Sau ba bước quân vua muốn quay lại ô

ban đầu khi ông vua đi theo đường khép kín tam giác. Chia hai trường hợp:

+ Từ ô ban đầu đi đến ô đen, đến đây có 4 cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu.

+ Từ ô ban đầu đi đến ô trắng, đến đây có 2 cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu.

Do số phần tử của biến cố A là n( A ) = 4.4 + 2.4 = 24 .

24 3

Vậy xác suất P( A ) = = .

3

8 64

Câu 109. Cách 1:

Ta thấy có 3 loại hình bình hành dựa vào cách chọn phương của hai cạnh của hình bình hành. Số

hình bình hành của mỗi loại là bằng nhau nên chỉ cần tính một loại rồi nhân với 3 .

Dựng thêm một đường thẳng song song với cạnh đáy và cách cạnh đáy một khoảng bằng khoảng

cách giữa hai đường thẳng song song kề nhau, tạo thành một tam giác đều mở rộng như hình vẽ.

Ta chia cạnh mới thành 9 phần bằng nhau bởi 8 , cộng thêm 2 đầu mút nữa thành 10 điểm. Các

điểm được đánh số từ trái sang phải từ 1 đến 10.

Khi đó, với 1 hình bình hành có hai cạnh song song với hai cạnh bên tương ứng với bốn số

1 ≤ a < b < c < d ≤ 10 theo quy tắc sau: Nối dài các cạnh của hình bình hành, cắt các cạnh mới tại

2,5,7,9 .

4 điểm có số thứ tự là a , b , c , d . Ví dụ với hình bình hành màu đỏ trên ta có bộ ( )

Ngược lại nếu có một bộ số 1 ≤ a < b < c < d ≤ 10 ta sẽ kẻ các đường thẳng từ điểm a , b song

song với cạnh bên trái và từ c , d song song với cạnh bên phải giao nhau ra một hình bình hành.

a; b; c;

d từ 10 số tự nhiên

Vậy số hình bình hành loại này là số cách lấy ra bốn số phân biệt ( )

4

{ 1,2,3,...,10 } và ta được C = .

10

210

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

4

Vậy kết quả là 3. C

10

= 630 hình bình hành.

Ta thấy có 1+ 2 + 3 + ... + 9 = 45 giao điểm giữa các đường thẳng nên số phần tử của không gian

4

mẫu là n( Ω ) = C 45

.

42

Vậy xác suất cần tính là P ( A)

3C

2

= = .

C 473

4

10

4

45

Cách 2: Để chọn được một hình bình hành mà 4 đỉnh chọn được là bốn đỉnh của một hình bình

hành nằm trong miền trong tam giác đều H ta làm như sau:

Chọn 2 trong 7 điểm trên một cạnh ( trừ hai điểm đầu mút của cạnh), cùng với hai điểm trong 5

điểm nằm tương ứng trên một cạnh trong hai cạnh còn lại của tam giác ( trừ mỗi đầu cạnh đi 2

điểm). Qua 4 điểm này có 4 đường thẳng tương ứng của đầu bài sẽ cắt nhau tạo thành một hình

bình hành thỏa mãn bài toán.

2 2

Vì vài trò các cạnh như nhau nên số hình bình hành thu được là: C7 . C

5

.3 = 630 (hình).

Ta thấy có 1+ 2 + 3 + ... + 9 = 45 giao điểm giữa các đường thẳng nên số phần tử của không gian

4

mẫu là n( Ω ) = C 45

.

Vậy xác suất cần tính là P ( A)

F. Một số bài toán đề thi

Câu 110. Chọn C

3C

2

= = .

C 473

4

10

4

45

Bạn Anh đã làm đúng 12 câu nên đã có 6 điểm. Để Anh được 9 điểm thì bạn cần làm đúng 6 câu

trong 8 câu còn lại.

Số phần tử của không gian mẫu là

8

4 .

Chọn 6 câu đúng trong 8 câu còn lại có

Hai câu còn lại chọn đáp án sai có

C cách chọn.

6

8

2

3 cách.

2 6

3 . C

8

63

Vậy xác suất để được 9 điểm là

8 = .

4 16384

Câu 111. Chọn C

50

Không gian mẫu của phép thử trên có số phần tử là Ω = 4 .

Gọi A là biến cố: “ Thí sinh đó được 6 điểm”

Tìm Ω : Để được 6 điểm, thí sinh đó phải làm đúng 30 câu và làm sai 20 câu.

A

Công đoạn 1: Chọn 30 câu từ 50 câu để làm câu đúng. Có

C cách.

Công đoạn 2: Chọn phương án đúng của mỗi câu từ 30 câu đã chọn. Có 1 30 cách.

Công đoạn 3: Chọn một phương án sai trong ba phương án sai của mỗi câu từ 20 còn lại. Có 3

cách.

30 30 20

Theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là Ω = C .1 .3 .

Vậy xác suất để học sinh đó được 6 điểm là:

30 30 20

Ω C

50.1 .3

P( A) = = = C

50

50

.0, 25 .0,75 = C50

.0, 25 .0,75

Ω 4

A 30 30 20 20 30 20

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

30

50

A 50

Câu 112. Chọn B

5

Chọn 5 câu trong tổng số 30 câu nên ta có không gian mẫu n( Ω ) = C 30 .

Gọi A là biến cố “Lấy ra được một đề thi “Tốt””.

2 1 2

TH1: 5 câu lấy ra có 2 câu khó, 1 câu dễ, 2 câu trung bình C . C . C (cách).

.

5 15 10

2 2 1

TH2: 5 câu lấy ra có 2 câu khó, 2 câu dễ, 1 câu trung bình C . C . C (cách).

5 15 10

20

43

3 1 1

TH3: 5 câu lấy ra có 3 câu khó, 1 câu dễ, 1 câu trung bình C . C . C (cách).

5 15 10

n A = C . C . C + C . C . C + C . C . C .

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: ( )

2 1 2 2 2 1 3 1 1

Xác suất của biến cố A là: P ( A)

( )

( Ω)

n A 3125

= = .

n 23751

5 15 10 5 15 10 5 15 10

Dạng 2.1.2 Tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển bằng phương pháp gián tiếp.

3

Câu 113. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ 15 viên bi thì số cách chọn là C

15

= 445 .

Câu 114. Chọn D

Câu 115. Chọn C

Câu 116. Chọn A

Gọi A là biến cố “trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất một viên màu đỏ” thì là biến cố A “ cả ba viên

bi lấy ra đều không có màu đỏ” ( tức là lấy ra cả ba viên bi đều màu xanh”

3

Số cách chọn ra 3 viên bi mà 3 viên bi đó đều màu xanh là C n( A)

7

= 35 = 35

Số cách chọn ra 3 viên bi mà trong đó có ít nhất một viên bi màu đỏ là 455 − 35 = 420 cách

n A =

( ) 420

( )

n( A)

n( Ω)

420 12

P A = = =

455 13

n Ω = C 9

= 36 .

Số phần tử của không gian mẫu là ( )

2

Gọi A là biến cố “tích hai số ghi trên thẻ là số chẵn”, suy ra A là biến cố “tích hai số ghi trên thẻ

2

là số lẻ” n ( A) = C 5

= 10 .

Vậy xác suất cần tìm là P( A) P( A)

( )

n A 13

= 1− = 1− = .

n 18

( Ω)

Gọi A là biến cố: “Trong 5 đồng xu có ít nhất 1 đồng xu lật sấp”

Khi đó A là biến cố: “ 5 đồng xu đều lật ngữa”

Vậy P ( A) = 1−

P ( A)

1 31

= 1− = .

2 32

n Ω = C 13 .

Đặt A là biến cố “chọn được 5 cái kẹo có đủ hai vị”.

Chọn 5 cái kẹo trong 13 cái kẹo nên ( )

5

5 5

Suy ra A là biến cố “chọn 5 cái kẹo chỉ có một vị” n( A) C C

Vậy P( A)

5 5

7 + C6

5

C13

C 140

= 1− =

143

5

= + .

Câu 117. Chọn C

Gọi B là biến cố “Trong 3 bóng lấy ra đều là bóng tốt”.

3 8!

Ta có: n( Ω

B ) = C8

= = 56

3!.5!

Gọi C là biến cố “Trong 3 bóng lấy ra có ít nhất 1 bóng hỏng”

khi đó C = B .

56 41

P( C) = P( B) = 1− P( B)

= 1− = 220 55

7 6

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 118. Chọn B

44

Trên giá có tất cả: 4 + 3+ 2 = 9 (quyển sách) bao gồm cả 3 môn: toán, lý và hóa.

3

Lấy 3 quyển sách từ 9 quyển sách, số cách lấy ra là C9 = 84 n( Ω ) = 84

Gọi A là biến cố: “3 quyển lấy ra có ít nhất 1 quyển toán”.

Suy ra A : “3 quyển lấy ra không có quyển toán nào” ( )

3

n A = C 5

= 10 .

Vậy xác suất để 3 quyển được lấy ra có ít nhất một quyển sách toán là:

10 37

P ( A) = 1− P ( A)

= 1− = . 84 42

n Ω = C 9

= 84 .

Câu 119. Số phần tử của không gian mẫu ( )

3

Gọi A là biến cố sao cho ba quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán

3

A là biến cố sao cho ba quyển lấy ra không có sách Toán n( A) = C 5

= 10 .

10 37

P( A)

= 1−

P( A)

= 1−

= . 84 42

Câu 120. Số kết quả có thể khi chọn bất kì 3 quyển sách trong 9 quyển sách là

Gọi A là biến cố ‘ Lấy được ít nhất 1 sách toán trong 3 quyển sách.’

A là biến cố ‘ Không lấy được sách toán trong 3 quyển sách.’

3

C5 37

Ta có xác sút để xảy ra A là P ( A) = 1− P ( A)

= 1 − = .

84 42

n Ω = C 35

.

Câu 121. Số cách chọn 4 học sinh lên bảng: ( )

4

Số cách chọn 4 học sinh chỉ có nam hoặc chỉ có nữ: C

+ C .

4 4

20 15

4 4

C20 + C15

4615

Xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ: 1− =

4

C 5236

Câu 122. Chọn ngẫu nhiên 1 quả cầu có

C = cách. Suy ra ( ) 35

1

35

35

3

C =

9

84.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

35

n Ω = .

Gọi E là biến cố “Chọn được một quả cầu đỏ hoặc ghi số lẻ” thì E là biến cố “Chọn được một

quả cầu xanh ghi số chẵn”.

Do đó ( ) 7

n E = .

7 28

= 1− = 1− = . 35 35

Câu 123. Lần gieo thứ nhất có 6 kết quả, lần gieo thứ hai có 6 kết quả.

Do đó không gian mẫu n( Ω ) = 36 .

Suy ra p( E) p( E)

Gọi A là biến cố “tích hai số nhận được sau hai lần gieo là một số chẵn” thì A là biến cố “tích hai

số nhận được sau hai lần gieo là một số lẻ”. Ta có ( ) 3.3 9

Xác suất cần tìm p( A) p( A)

9 3

= 1− = 1− = . 36 4

n A = = .

C n Ω = C .

x

Câu 124. Giả sử rút x ( 1≤ x ≤ 9; x∈N ) thẻ, số cách chọn x thẻ từ 9 thẻ trong hộp là ( )

Gọi A là biến cố: “Trong số x thẻ rút ra, có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 ”

x

x

x

C

C

n( A) = C7

. Ta có P ( A) = 7 P ( A)

1

7

x

x

C

= − C

.

9 9

x

5 C7

5 2

Do đó P ( A) > ⇔ 1− > ⇔ x − 17x

+ 60 < 0 5 < x < 12 6 ≤ x ≤ 7 .

x

6 C9

6

Vậy số thẻ ít nhất phải rút là 6 .

x

9 9

45

3

Câu 125. Số phần từ của không gian mẫu n( Ω ) = C 10

= 120 .

Gọi A là biến cố sao cho 3 học sinh được chọn có học sinh nữ,

A

là biến cố sao cho 3 học sinh được chọn không có học sinh nữ ( )

3

Vậy xác suất cần tìm ( )

n Ω = C 30

= 4060

Câu 126. Ta có ( )

3

P A = 1 P ( A)

( )

− = 1−

n A

n Ω

( )

5

= .

6

n A = C 6

= 20 .

Gọi A là biến cố 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt.

Ta có A là biến cố 3 sản phẩm lấy ra không có sản phẩm tốt, hay 3 sản phẩm lấy ra đều là sản

phẩm xấu.

( )

3

n A = C 10

= 120 .

Suy ra P ( A)

( )

n A 120 6

= = = .

n 4060 203

( Ω)

6 197

= 1− = 1− = . 203 203

3

n Ω = C 10

.

Gọi A là biến cố: “ 3 học sinh được ó ít nhất một học sinh nữ”.

Suy ra: A là biến cố: “ 3 học sinh được chọn không có học sinh nữ”.

3

3 C7

7

17

Khi đó n( A) = C 7

P ( A)

= = . Vậy P

3

( A) = 1− P( A)

= .

C 24

24

Vậy P( A) P( A)

Câu 127. Số phần tử của không gian mẫu: ( )

2

n Ω = C 10

.

Gọi biến cố A : “Hai người được ó ít nhất một người nữ”.

Câu 128. Số phần tử của không gian mẫu là: ( )

A

: “Hai người được chọn không có nữ” ( )

2

Vậy xác suất cần tìm là: P ( A) P ( A )

Câu 129. Số phần tử không gian mẫu là ( )

10

n A = C 7

.

( Ω)

n C 8

= 1− = 1− = 1− = .

n C 15

( A )

3

n Ω = C 10

= 120 .

Gọi B là biến cố “Ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp”.

B là biến cố “Ba số được chọn có ít nhất hai số là các số tự nhiên liên tiếp”.

+ Bộ ba số dạng ( 1,2,a

1)

, với a1 ∈ A \{ 1,2}

: có 8 bộ ba số.

+ Bộ ba số có dạng ( 2,3,a

2 ) , với a2 ∈ A \{ 1,2,3}

: có 7 bộ ba số.

+ Tương tự mỗi bộ ba số dạng ( 3,4,a

3 ) , ( 4,5,a

4 ) , ( 5,6,a

5 ) , ( 6,7,a

6 ) , ( 7,8,a

7 ) , ( 8 )

( 9,10,a ) đều có 7 bộ.

9

( ) 8 8.7

n B = + = 64 .

64 7

P B

= 1−

= . 120 15

4

Câu 130. Số phần tử không gian mẫu là Ω = C 35

= 5236 .

( ) = 1−

P ( B)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

4

Số phần phần tử của biến cố lấy được 4 bi màu xanh là C .

Số phần phần tử của biến cố lấy được 4 bi màu đỏ là

4

C

15

.

20

2

7

2

10

8,9,a ,

46

4 4

C20 + C15 4615

Suy ra xác suất của biến cố 4 bi lấy được có đủ hai màu là p = 1− = .

5236 5236

Câu 131. Gọi A là biến cố: ‘‘ có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia ’’.

Khi đó A là biến cố: ‘‘ cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia ’’.

1 1 1

1 5

P( A ) = . = P( A)

= 1− = .

2 3 6

6 6

Câu 132. Số phần tử không gian mẫu là: n( Ω ) = 3! = 6 .

Gọi A là biến cố “Có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì”.

Ta xét các trường hợp sau:

Nếu lá thứ nhất bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách.

Nếu lá thứ hai bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách.

Nếu lá thứ ba bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách.

Không thể có trường hợp hai lá thư bỏ đúng và một lá thư bỏ sai.

Cả ba lá thư đều được bỏ đúng có duy nhất 1 cách.

n A = .

( ) 4

Vậy xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là: P ( A)

Cách 2:

Gọi B là biến cố “Không có lá thư nào được bỏ đúng phong bì”.

( )

n( B) = 2 P( A) = 1−

P( B)

1 n B 2 2

= − = 1−

= .

n Ω 6 3

( )

.

Gọi A là biến cố: “Tích hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn”, khi đó ta có:

n( A

2

) 10 5

A : “Tích hai số trên hai tấm thẻ là một số lẻ”, n( A) = C5

= 10 P( A)

= = = .

n( Ω)

36 18

5 13

Xác suất cần tìm là: P( A) = 1− P( A)

= 1− = . 18 18

3

Câu 134. Số phần tử của không gian mẫu: C

20

= 1140 .

3

Gọi A là biến cố chọn được 3 đoàn viên là nam: C

12

= 220 .

220 11

Xác suất của biến cố A là: P( A ) = = .

1140 57

11 46

Vậy xác suất cần tìm là: 1−

= . 57 57

5

n( Ω ) = C

Câu 135. Số phần tử của không gian mẫu 45

.

A là biến cố “Trong 5 học sinh được ó ít nhất 1 học sinh nữ”

A là biến cố “Trong 5 học sinh được chọn không học sinh nữ”

5

n( A) = C ( ) ( )

( )

1 n A

5

25

= − = 1−

C

25

P A = 1−

P A

5

n( Ω)

C 45 .

2

Câu 136. Số phần tử của không gian mẫu là n( Ω ) = C 10

= 45 .

Gọi A :" 2 viên bi được ó ít nhất một viên bi màu xanh".

A :" 2 viên bi được ó màu đỏ".

47

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( )

( Ω)

n A

=

n

4

=

6

2

= .

3

n Ω = C 9

= 36

Câu 133. Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ từ 9 tấm thẻ nên số phần tử của không gian mẫu là: ( )

2

2

Ta có n( A ) = C 7

= 21 P ( A )

=

21

45

7

= .

15

Vậy xác suất để 2 viên bi được ó ít nhất một viên bi màu xanh là P ( A) = 1 − P ( A )

n Ω = C 14

.

Gọi A là biến cố lấy được 3 quả cầu có đủ hai loại cầu xanh và cầu trắng.

3 3

C5 + C9

Xác suất lấy được 3 quả cầu chỉ có màu xanh hoặc màu trắng là .

3

C

Câu 137. Số phần tử của không gian mẫu là ( )

3

3 3

C5 + C9

135

Do đó xác suất cần tìm P ( A)

= 1− = .

3

C14

182

Câu 138. Gọi biến cố A : Lấy k tấm thẻ có ít nhất một tấm thẻ chia hết cho 4 . Với 1 ≤ k ≤ 10 .

Suy ra A : Lấy k tấm thẻ không có tấm thẻ nào chia hết cho 4 .

k

k

C8

C ( 10 − k )( 9 − k

8

)

Ta có: P ( A) = P

k

( A)

= 1− = 1− .

k

C

C

90

10

( )( )

10 − k 9 − k 13 2

Theo đề: 1− > ⇔ k − 19k

+ 78 < 0 ⇔ 6 < k < 13.

90 15

Vậy k = 7 là giá trị cần tìm.

Câu 139. Chọn A

Có tất cả

Suy ra ( )

3

2019

10

C cách chọn 3 số tự nhiên từ tập hợp { 1;2;3;...;2019 }

3

n C 2019

Ω = .

7

= 1−

15

8

= .

15

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

14

M = .

Xét biến cố A : “Chọn 3 số tự nhiên sao cho không có 2 số tự nhiên liên tiếp”.

Ta có A : “Chọn 3 số tự nhiên sao luôn có 2 số tự nhiên liên tiếp”.

Xét các trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: Trong ba số chọn được chỉ có 2 số liên tiếp:

- Nếu 2 số liên tiếp là { 1;2 } hoặc { }

2018;2019 thì số thứ ba có 2019 − 3 = 2016 cách chọn (do

không tính số liên tiếp sau và trước mỗi cặp số đó).

- Nếu 2 số liên tiếp là { 2;3 } , { 3;4 } ,.,{ 2017;2018 } thì số thứ ba có 2019 − 4 = 2015 cách chọn (do

không tính 2 số liền trước và sau mỗi cặp số đó).

Trường hợp này có 2.2016 + 2016.2015 = 4066272 cách chọn.

+ Trường hợp 2: Chọn được 3 số liên tiếp.

Tức là chọn các bộ { 1;2;3 } , { 2;3;4 },.,{ 2017,2018,2019 } : có tất cả 2017 cách.

Suy ra ( ) 4066272 2017 4068289

n A = + = .

4068289 1365589680 677040

Vậy P = P( A) = 1− P( A) = 1− = =

3

.

C2019

1369657969 679057

Câu 140. Chọn C

Ta có số phần tử của không gian mẫu là n( Ω ) = 9! = 362880 .

Xét biến cố đối A “tồn tại một hàng hoặc một cột chứa toàn số chẵn”. Để biến cố A xảy ra ta lần

lượt thực hiện các bước sau.

Bước 1: chọn một hàng hoặc một cột chứa toàn số chẵn. Bước này có 6 cách.

48

Bước 2: chọn ba số chẵn trong các số 2, 4, 6, 8 và xếp vào hàng hoặc cột này. Bước này có

cách.

Bước 3: xếp 6 số còn lại vào 6 ô còn lại. Bước này có 6! cách.

Câu 141. Chọn C

3

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n( A) A4

n( A)

Vậy xác suất của biến cố A là P ( A) 1 P ( A)

1

Ta có số phần tử của tập X là

= 6. .6! = 103680 .

5

= − = − = .

n 7

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( Ω)

4

X = 9.10 = 90000 , trong đó có 99996 10000 1 22500

chia hết cho 4 và 90000 − 22500 = 67500 số không chia hết cho 4.

Gọi A là biến cố nhận được ít nhất một số chia hết cho 4.

2

Số phần tử của không gian mẫu là Ω = .

C 90000

−

4

3

A

4

+ = số

Số phần tử của không gian thuận lợi cho biến cố A (cả hai đều không chia hết cho 4) là

2

Ω = .

A

C 67500

Vậy xác suất của biến cố A là P( A) P( A)

C

= 1− = 1− ≈ 0,44 .

C

DẠNG 2.2 SỬ DỤNG QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

Dạng 2.2.1 Sử dụng quy tắc cộng

Câu 142. Gọi A là biến cố “động cơ 1 bị hỏng”, gọi B là biến cố “động cơ 2 bị hỏng”.

Suy ra AB là biến cố “cả hai động cơ bị hỏng” ⇔ “ xe không chạy được nữa”.

Lại thấy hai động cơ hoạt động độc lập nên A và B là hai biến cố độc lập.

Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta được xác suất để xe phải dừng lại giữa đường là

P AB = = .

( ) 0,5.0,4 0,2

Vậy xác suất để xe đi được là 1− 0,2 = 0,8.

Câu 143. Đáp án A.

Gọi A là biến cố : “Chọn được hai viên bi xanh”.

B là biến cố : “Chọn được hai viên bi đỏ”.

C là biến cố : “Chọn được hai viên bi vàng”.

Khi đó biến cố: “Chọn được hai viên bi cùng màu” là biến cố A∪ B ∪ C . Do A, B,

C đôi một

xung khắc với nhau nên theo quy tắc cộng ta có

Câu 144. Chọn B

2

67500

2

90000

( ∪ ∪ ) = ( ) + ( ) + ( )

P A B C P A P B P C

C 6 C 3 C 1

= = = = = = .

C 36 C 36 C 36

2 2

2

4 2

2 2 2

9 9 9

3

Ta có P( A) ; P( B) ; P( C )

6 3 1 5

∪ ∪ = + + =

36 36 36 18

Vậy P ( A B C )

Cách 1: Hai người ngang sức nên xác suất người thứ nhất thắng 1 trận là 1 2 ; thua 1 trận là 1 2 .

A là biến cố: “Người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc”

49

Vậy A = “Người thứ nhất thắng ngay trận đầu” hoặc “người thứ nhất thắng sau 2 trận” hoặc

“người thứ nhất thắng sau 3 trận”

1 1 1 1 1 1 7

P ( A)

= + . + . . = .

2 2 2 2 2 2 8

Cách 2: Hai người ngang sức nên xác suất người thứ hai thắng 1 trận là 1 2 ; thua 1 trận là 1 2 .

A là biến cố: “Người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc”

A = “người thứ hai thắng chung cuộc”

1 1 1 1

7

P ( A ) = . . = P ( A) = 1− P ( A)

= .

2 2 2 8

8

Câu 145. Trường hợp 1. An thuộc bài, Bình không thuộc bài, Cường thuộc bài ta có xác suất:

0,9× 1− 0,7 × 0,8 = 0,216.

( )

Trường hợp 2. An không thuộc bài, Bình thuộc bài, Cường thuộc bài ta có xác suất:

1− 0,9 × 0,7× 0,8 = 0,056.

( )

Vậy xác suất cần tìm là 0,216 + 0,056 = 0, 272.

Câu 146. Trường hợp 1: hai số rút ra đều là số chẵn:

C 1

p = =

6

2

4

1 2

C9

1 1

C4. C5

5

Trường hợp 2: hai số rút ra có một số lẻ, một số chẵn: p2 = =

2

C9

9

1 5 13

Vậy xác suất để kết quả nhân được là một số chẵn là p = p1 + p2

= + = .

6 9 18

Câu 147. Cách 1. Hai người ngang sức nên xác suất người thứ nhất thắng 1 trận là 1 2 ; thua 1 trận là 1 2 .

A là biến cố: “Người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc”

Vậy A = “Người thứ nhất thắng ngay trận đầu” ∪ “Người thứ nhất thắng sau 2 trận” ∪ “Người thứ

nhất thắng sau 3 trận”

1 1 1 1 1 1 7

P( A)

= + . + . . = .

2 2 2 2 2 2 8

Cách 2. Hai người ngang sức nên xác suất người thứ hai thắng 1 trận là 1 2 ; thua 1 trận là 1 2 .

A là biến cố: “Người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc”

A = “người thứ hai thắng chung cuộc” (tức là người thứ hai thắng liên tiếp 3 ván)

1 1 1 1

7

P( A ) = . . = P( A) = 1− P( A)

= .

2 2 2 8

8

Câu 148. Bài thi có 50 câu nên mỗi câu đúng được 1 điểm. Như vây để được 9 điểm, thí sinh này phải

5

trả lời đúng thêm 5 câu nữa.

Trong 10 câu còn lại chia làm 2 nhóm:

+ Nhóm A là 3 câu đã loại trừ được một đáp án chắc chắn sai. Nên xác suất chọn được phương án

trả lời đúng là 1 3 , xác suất chọn được phương án trả lời sai là 2 3 .

+ Nhóm B là 7 câu còn lại, xác suất chọn được phương án trả lời đúng là 1 , xác suất chọn được

4

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

phương án trả lời sai là 3 4 .

50

Ta có các trường hợp sau:

- TH1 : có 3 câu trả lời đúng thuộc nhóm A và 2 câu trả lời đúng thuộc nhóm B.

3 2 5

2

1

. C7

. .

1 1 3 189

- Xác suất là P = = .

3 4 4 16384

- TH2 : có 2 câu trả lời đúng thuộc nhóm A và 3 câu trả lời đúng thuộc nhóm B.

2 3 4

2 3

2 3

. .

7

. .

1 2 1 3 315

- Xác suất là P = C C = .

3 3 4 4 8192

- TH3 : có 1 câu trả lời đúng thuộc nhóm A và 4 câu trả lời đúng thuộc nhóm B.

2 4 3

1 4

3 3. . .

7

. .

1 2 1 3 105

- Xác suất là P = C C = .

3 3 4 4 4096

- TH4 : không có câu trả lời đúng nào thuộc nhóm A và 5 câu trả lời đúng thuộc nhóm B.

3 5 2

5

4

. C7

. .

2 1 3 7

- Xác suất là P = = .

3 4 4 2048

1295

Vậy xác suất cần tìm là : P = P1 + P2 + P3 + P4

= = 0.079 .

16384

Câu 149. Chọn D

+ Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt lập từ tập E thì số phần tử của S là

3

A

5

= 60.

+ Gọi F là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt lập từ tập E sao cho trong số đó có

đúng một chữ số 5.

*) Tìm F : Mỗi cách lập ra số abc gồm 3 chữ số phân biệt từ tập E sao cho trong đó có đúng

một chữ số 5 được thực hiện qua 2 công đoạn

- Công đoạn 1: Chọn một hàng từ ba hàng cho chữ số 5. Có 3 cách.

- Công đoạn 2: Chọn 2 số từ tập E \{5} cho hai hàng còn lại, có phân biệt thứ tự. Có A 2 4

cách.

Theo quy tắc nhân ta có

F = 3. A = 36.

2

4

+ Không gian mẫu Ω của phép thử trên có số phần tử là Ω = 60.60 = 3600

Gọi A là biến cố: "Số viết trước có chữ số 5 và số viết sau không có chữ số 5 "

còn B là biến cố: "Số viết trước không có chữ số 5 và số viết sau có chữ số 5 " thì A ∪ B là biến

cố: " Trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5 ".

Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên P( A ∪ B) = P( A) + P(B)

*) Tìm Ω , P(A): :

A

- Công đoạn 1: Chọn một số từ tập F . Có 36 cách.

- Công đoạn 2: Chọn một số từ tập S \ F . Có 24 cách.

Theo quy tắc nhân suy ra Ω = 24.36 = 864 .

Do đó

ΩA

864

P(A)

= =

Ω 3600

A

ΩB

864

*) Tương tự, ta được Ω

B

= 36.24 = 864 P( B)

= =

Ω 3600

Vậy

864 864 12

P( A ∪ B ) = + =

3600 3600 25

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Dạng 2.2.2 Sử dụng quy tắc nhân

Câu 150. Đáp án B.

51

A i = là biến cố : “Con súc sắc thứ i ra mặt 6 chấm”

Gọi ( 1;2 )

A 1

và

2

i

Thay vì tính ( )

A là hai biến cố độc lập và ta có

P A ta đi tính ( )

1

P ( A1

) =

6

1

P ( A2

) =

6

P A . Ta có A = A1 . A2

.

( ) ( ) ( ) ( )

5 5 25

P A = P A1 . P A2 = ( 1 − P A1 ).( 1 − P ( A2

))

= . =

6 6 36

25 11

Vậy P ( A) = 1 − P ( A)

= 1− = 36 36

Câu 151. Gọi A, B,

C tương ứng là các biến cố “ A bắn trúng”; “ B bắn trúng”; “ B bắn trúng”.

A, B,

C là ba biến cố độc lập. Do A, B,

C là các biến cố đôi một nên:

Xác suấy để cả ba người đều bắn trượt là

( ) P( A) . P( B) . P( C )

P ABC

= ( 1 0,4)( 1 0,5)( 1 0,7)

= − − − = 0,09

Vậy xác suất để có ít nhất một trong ba người bắn trùng là 1− 0,09 = 0,91.

Câu 152. Ta có chọn môn chung mã đề có 2 cách. Vì môn đó có 6 mã đề khác nhau nên xác suất chung

mã đề ở mỗi môn là 1 6 và khác mã đề ở môn còn lại là 5 6 .

Vậy xác suất cần tìm là:

1 5

P = 2. .

6 6

5

= .

18

Câu 153. Chọn B

Gọi số thỏ chuồng 1, 2 lần lượt là x,

y (con), số thỏ đen ở chuồng 1, 2 lần lượt là a,

b (con)

*

( x, y, a, b ∈ ; a ≤ x;

b ≤ y)

N và x + y = 35

Vì xác suất bắt được hai con thỏ lông màu đen bằng 247

300 nên ta có: a b 247 13.19

.

x y = 300 = 300

*

Từ điều kiện x, y, a, b ∈ N ; a ≤ x;

b ≤ y a = 13, b = 19 (Vì 13 và 19 là 2 số nguyên tố)

Khi đó, x,

y tương ứng là 15 và 20

Vậy xác suất bắt được hai con thỏ lông màu trắng là: 2 .

1 =

1

15 20 150

Câu 154. Chọn D

Gọi A là động cơ thứ i chạy tốt

i

Gọi A là biến cố “ có ít nhất một động cơ chạy tốt”

A là biến cố “ không động cơ nào chạy tốt”

Ta có: A = A1 A2

P ( A) = P ( A1 ) P ( A2 ) = ( 1− 0.8)( 1− 0.7)

= 0.06

Vậy P ( A) P ( A)

= 1− = 0.94 .

Câu 155.

Lờigiải

Chọn A

Gọi A là biến cố “bạn An làm trọn vẹn 50 câu”

A là biến cố “ bạn An làm hết 20 câu nhận biết”

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

1

52

A

2

là biến cố “ bạn An làm hết 20 câu vận dụng”

A là biến cố “ bạn An làm hết 10 câu vận dụng cao”

3

Khi đó: A = A1 A2 A3

. Vì các biến cố A1 ; A2 ; A

3

là độc lập nhau nên theo quy tắc nhân xác suất ta

có: P( A) = P( A1 ). P( A2 ). P( A3

) = 0,9.0,8.0,6 = 0,432

Câu 156. Chọn B

50

Ta có Ω = 4

Gọi x là số câu đúng Hoa chọn được. Hoa được 4 điểm nên ( )

Vậy xác suất Hoa đạt 4 điểm môn Tiếng Anh trong kì thi trên là

30 20

30 1 3

−7

50

. 1,3.10

p = C =

4 4

Câu 157. Chọn C

Gọi a là số trứng lành, b là số trứng hỏng trong giỏ A

Gọi x là số trứng lành, y là số trứng hỏng trong giỏ B

Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, xác suất để lấy được hai quả trứng lành:

( a. x)

⋮55

( a + b)( x + y)

⋮84

a + b = 14

a

= 11

Do đó: a + b + x + y = 20

x

+ y = 6 .

x 5

2

=

a + b + x + y ( a. x)

⋮55

( a + b)( x + y)

≤

= 100

2

Suy ra: Giỏ A có 11 quả trứng lành.

Câu 158. Gọi A

i

: “Xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu” với i = 1,3 .

Khi đó

A : “Xạ thủ thứ i bắn không trúng mục tiêu”.

i

0,2. x − 50 − x .0,1 = 4 ⇔ x = 30

a x 55

. .

a + b x + y = 84

Ta có P ( A1 ) = 0,7 P( A1

) = 0,3; P ( A2 ) = 0,6 P( A2

) = 0, 4 ; P ( A3 ) P( A3

)

Gọi B : “Cả ba xạ thủ bắn không trúng mục tiêu”.

Và B : “có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu”.

Ta có P ( B) P( A1 ) P( A2 ) P( A3

)

Khi đó P ( B) P( B)

= . . = 0,3.0, 4.0,5 = 0,06 .

= 1− = 1− 0,06 = 0,94 .

Dạng 2.2.3 Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân

Câu 159. Chọn D

Xác suất để một viên trúng và một viên trượt mục tiêu là: 0,3.0.7 + 0,7.0,3 = 0, 42 .

Câu 160.

Gọi A , A , A lần lượt là biến cố bi rút được từ túi I là trắng, đỏ, xanh.

t d x

Gọi B , B , B lần lượt là biến cố bi rút được từ túi II là trắng, đỏ, xanh.

t d x

Các biến cố A , A , A độc lập với B , B , B .

t d x

t d x

Vậy xác suất để lấy được hai bi cùng màu là

P A B A B A B = P A B + P A B + P A B

( ∪ ∪ ) ( ) ( ) ( )

t t d d x x

t t d d x x

= 0,5 = 0,5 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= P A P B + P A P B + P A P B

t t d d x x

3 10 7 6 15 9 207

= . + . + . = .

25 25 25 25 25 25 625

53

Câu 161. Xác suất xuất hiện mặt 6 chấm là 2 7 , mỗi mặt còn lại là 1 7 .

Có các khả năng:

+ Hai lần gieo được mặt 6 chấm.

+ Lần thứ nhất được mặt 6 chấm, lần thứ hai được mặt 5 chấm.

+ Lần thứ nhất được mặt 5 chấm, lần thứ hai được mặt 6 chấm.

Xác suất cần tính là 2 . 2 + 2 . 1 + 1 .

2 = 8 .

7 7 7 7 7 7 49

Câu 162. Chọn B

Xác suất sút không thành công tại chấm 11 của cầu thủ Quang Hải là 1− 0,8 = 0,2

Xác suất sút không thành công tại chấm 11 của cầu thủ Văn Đức là 1− 0,7 = 0,3

Xác suất cả hai cầu thủ sút không thành công tại chấm 11 là 0, 2.0,3 = 0,06

Suy ra: Xác suất để ít nhất một người sút bóng thành công là: 1− 0,06 = 0,94 .

Câu 163. Chọn C

Gọi A là biến cố trong 3 lần chơi, người đó thắng ít nhất 1 lần.

Khi đó: A là biến cố trong 3 lần chơi, người đó toàn thua.

Tính xác suất để một lần chơi người đó thua:

Để chơi thua, thì ít nhất 2 trong ba con súc sắc người đó gieo xuất hiện số chấm bé hơn hoặc bằng

4 4 2 4 4 4 20

4. Suy ra xác suất để người đó chơi thua một lần là: . . .3 + . . = .

6 6 6 6 6 6 27

3

( )

P ( A)

20 8000 8000 11683

P A = = = 1− = .

27 19683 19683 19683

Câu 164. Chọn B

Gọi A là biến cố “đồng xu A xuất hiện mặt sấp”, B là biến cố “đồng xu B xuất hiện mặt sấp”;

C là biến cố “có một sấp và một ngửa khi gieo cả hai đồng xu một lần”.

C = AB ∪ AB , mà AB,

AB xung khắc và A, B; A,

B độc lập.

1 3 1 1 1

P( C) = P( AB) + P( AB) = P( A) P( B) + P( A) P( B)

= . + . = = 50% .

2 4 2 4 2

Câu 165. Chọn A

1

Ta có xác suất để gieo con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm là P( A ) = và xác suất để gieo con súc

6

5

sắc không xuất hiện mặt 6 chấm là P( A ) = .

6

4 2

Xác suất lấy từ hộp I được gói quà màu đỏ là P( B

1)

= = .

10 5

2 1

Xác suất lấy từ hộp II được gói quà màu đỏ là P( B

2 ) = = .

10 5

1 2 5 1 7

Vậy xác suất để lấy được gói quà màu đỏ là P( A) . P( B1 ) + P( A) . P( B2

) = . + . = .

6 5 6 5 30

Câu 166. Chọn D

P A là xác suất bạn An học thuộc bài.

Gọi ( )

P( B ) là xác suất bạn Bình học thuộc bài.

P( C ) là xác suất bạn Cường học thuộc bài.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

54

P( α ) là xác suất cô chỉ kiểm tra đúng 3 bạn trên.

Do cô giáo chỉ kiểm tra đúng 3 bạn và chỉ dừng lại khi có 2 bạn thuộc bài nên có bạn An hoặc Bình

không thuộc bài và 2 bạn còn lại thuộc bài.

α = + = .

Vì vậy, ta có P ( ) P( A) P ( B) P( C) P( A) P( B) P( C) 0, 272

Câu 167. Gọi A là biến cố “động cơ 1 bị hỏng”, gọi B là biến cố “động cơ 2 bị hỏng”.

Suy ra AB là biến cố “cả hai động cơ bị hỏng” ⇔ “ xe không chạy được nữa”.

Lại thấy hai động cơ hoạt động độc lập nên A và B là hai biến cố độc lập.

Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta được xác suất để xe phải dừng lại giữa đường là

P AB = = .

( ) 0,5.0,4 0,2

Vậy xác suất để xe đi được là 1− 0,2 = 0,8.

Câu 168. Chọn A

Gọi A1 , A

2

là lần lượt là các biến cố vận động viên bắn trúng mục tiêu ở viên thứ nhất và thứ hai.

Ta có P( A1 ) = P( A2 ) = 0,6.

Gọi A là biến cố vận động viên bắn một viên trúng và một viên trượt mục tiêu. Khi đó

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P A = P A1 P A2 + P A1 P A2 = 0,6.0,4 + 0,4.0,6 = 0,48 .

4 2

Câu 169. Xác suất lấy được gói quà màu đỏ trong hộp 1 là: P( A

1)

= = .

10 5

2 1

Xác suất lấy được gói quà màu đỏ trong hộp 2 : là P( A

2 ) = = .

10 5

1

5

Xác suất gieo được mặt sáu chấm là: P( C ) = , còn gieo được các mặt còn lại là: P( C ) = .

6

6

2 1 1 5 7

Vậy P( C) . P( A1 ) + P( C) . P( A2

) = . + . = .

5 6 5 6 30

Câu 170. Chọn A

Gọi H là biến cố: “Xạ thủ bắn đạt loại giỏi”. A; B; C;

D là các biến cố sau:

A : “Ba viên trúng vòng 10”

B : “Hai viên trúng vòng 10 và một viên trúng vòng 9 ”

C : “Một viên trúng vòng 10 và hai viên trúng vòng 9 ”

D : “Hai viên trúng vòng 10 và một viên trúng vòng 8 ”

Các biến cố A; B; C;

D là các biến cố xung khắc từng đôi một và H = A ∪ B ∪ C ∪ D

Suy ra theo quy tắc cộng mở rộng ta có P( H ) = P( A) + P( B) + P( C) + P( D)

Mặt khác P( A ) = ( 0,2 ).( 0,2 ).( 0,2)

= 0,008

P( B ) = ( 0,2 ).( 0,2 ).( 0,25) + ( 0,2)( 0,25)( 0,2) + ( 0,25)( 0,2)( 0,2)

= 0,03

P( C ) = ( ) ( ) ( ) + ( )( )( ) + ( )( )( ) =

P( D ) = ( 0,2 ).( 0,2 ).( 0,15) + ( 0,2)( 0,15)( 0,2) + ( 0,15)( 0,2)( 0,2)

= 0,018

0,2 . 0,25 . 0,25 0,25 0,2 0,25 0,25 0,25 0,2 0,0375

P H = + + + =

Do đó ( ) 0,008 0,03 0,0375 0,018 0,0935

n Ω = A 10

= 720 .

Câu 171. Số phần tử của không gian mẫu: ( )

3

Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Khi đó: các bộ số có tổng bằng 10 và khác nhau là:

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

0;1;9 ; 0;2;8 ; 0;3;7 ; 0;4;6 ; 1;2;7 ; 1;3;6 ; 1;4;5 ; 2;3;5 .

55

8 8

TH1: Bấm lần thứ nhất là đúng luôn thì xác suất là

3

C = 120

.

8 8

TH2: Bấm đến lần thứ hai là đúng thì xác suất là: 1 − .

( vì trừ đi lần đâu bị sai nên

120 119

không gian mẫu chỉ còn là 120 − 1 = 119 ).

8 8 8

TH3: Bấm đến lần thứ ba mới đúng thì xác suất là:

1−

1−

.

120 119 118

8 8 8 8 8 8 189

Vậy xác suất cần tìm là: + 1 − . + 1− 1− = .

120 120 119 120 119 118 1003

Câu 172. Theo giả thiết hai người ngang tài ngang sức nên xác suất thắng thua trong một ván đấu là 0,5;0,5

.

Xét tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai thắng 2 ván.

Để người thứ nhất chiến thắng thì người thứ nhất cần thắng 1 ván và người thứ hai thắng không quá

hai ván.

Có ba khả năng:

TH1: Đánh 1 ván. Người thứ nhất thắng xác suất là 0,5.

TH2: Đánh 2 ván. Người thứ nhất thắng ở ván thứ hai xác suất là ( ) 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

10

0,5 .

0,5 .

TH3: Đánh 3 ván. Người thứ nhất thắng ở ván thứ ba xác suất là ( ) 3

2 3 7

P = 0,5 + 0,5 + 0,5 = ..

8

n Ω = = .

Vậy ( ) ( )

Câu 173. Số phần tử của không gian mẫu là ( ) 10 10

Để người đó gọi đúng số điện thoại mà không phải thử quá hai lần ta có 2 trường hợp:

TH1: Người đó gọi đúng ở lần thứ nhất.

TH2: Người đó gọi đúng ở lần thứ hai.

Gọi :"

1

A

1

người đó gọi đúng ở lần thứ nhất" xác suất người đó gọi đúng là P ( A

1)

= và xác

10

9

suất người đó gọi không đúng là P ( A

1 ) = .

10

Gọi :"

1

A

2

người đó gọi đúng ở lần thứ hai" xác suất người đó gọi đúng là P( A

2 ) = .

9

Gọi A :" người đó gọi đúng số điện thoại mà không phải thử quá hai lần" ta có A = A1 ∪ A1 A2

1 9 1 1

P( A) = P( A1 ) + P( A1 ). P( A2

) = + . = .

10 10 9 5

Câu 174. Gọi Ak

là biến cố người thứ k bắn trúng bia với xác suất tương ứng là P

k ( k = 1, 2, 3)

.

Biến cố có đúng hai người bắn trúng bia là: ( A1 . A2 . A3 ) ( A1 . A2 . A3 ) ( A1 . A2 A3

)

Xác suất của biến cố này là:

1 − P . P . P + P. 1 − P . P + P. P . 1−

P

( 1 ) 2 3 1 ( 2 ) 3 1 2 ( 3 )

= ( 1− 0,5 ).0,6.0,7 + 0,5( 1− 0,6 ).0,7 + 0,5.0,6. ( 1−

0,7)

= 0,44 .

Vậy xác suất để có đúng hai người bắn trúng bia là 0,44 .

Câu 175. Cách 1:

∩ ∩ .

56

Số phần tử của không gian mẫu là n( Ω ) = 4.4 = 16

Gọi biến cố A = “Cú sút đó không vào lưới”

Khi đó biến cố A = “Cú sút đó vào lưới”

Số phần tử của ( )

n A là

Trường hợp 1: Cầu thủ sút vào vị trí 1 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại

Cầu thủ có 1 cách sút

Thủ môn có 3 cách bay

Do đó, có 3 khả năng xảy ra

Trường hợp 2: Cầu thủ sút vào vị trí 2 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại

Cầu thủ có 1 cách sút

Thủ môn có 3 cách bay

Do đó, có 3 khả năng xảy ra

Trường hợp 3: Cầu thủ sút vào vị trí 3 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại

Cầu thủ có 1 cách sút

Thủ môn có 3 cách bay

Do đó, có 3 khả năng xảy ra

Trường hợp 4: Cầu thủ sút vào vị trí 4 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại

Cầu thủ có 1 cách sút

Thủ môn có 3 cách bay

Do đó, có 3 khả năng xảy ra

Trường hợp 5: Cầu thủ sút vào vị trí 3 thủ môn bay vào vị trí 3

Cầu thủ có 1 cách sút

Thủ môn có 1 cách bay

Do đó, có 1 khả năng xảy ra

Trường hợp 6: Cầu thủ sút vào vị trí 4 thủ môn bay vào vị trí 4

Cầu thủ có 1 cách sút

Thủ môn có 1 cách bay

Do đó, có 1 khả năng xảy ra

Khi đó ( ) 4.3 2.1 14

n A = + = .

4.3 2.1 1 13

p A = + . = (Do 2 trường hợp 5, 6 thì xác suất xảy ra

16 16 2 16

chỉ là 50%).

13 3

= 1− = 1− = . 16 16

Xác suất xảy ra biến cố A là ( )

Vậy p( A) p( A)

Cách 2:

Gọi A là biến cố “cầu thủ sút phạt vào vị trí i ”

i

B

i

là biến cố “thủ môn bay người cản phá vào vị trí thứ i ”

Và C là biến cố “Cú sút phạt không vào lưới”

1

Dễ thấy P( Ai

) = P( Bi

) = .

4

1 1

P C = P A P B + P A P B + P A P B + P A P B

2 2

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2 3 3 4 4

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 3

= + + + = .

4 4 2 4 2 4 16

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

57

TOÁN 11

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

1D3-1

PHẦN A. CÂU HỎI

Câu 1. Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến ( )

nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:

A n đúng với n = p.

• Bước 1, kiểm tra mệnh đề ( )

• Bước 2, giả thiết mệnh đề ( )

A n đúng với mọi số tự

A n đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ p và phải chứng minh rằng

nó cũng đúng với n = k + 1.

Trogn hai bước trên:

A. Chỉ có bước 1 đúng. B. Chỉ có bước 2 đúng.

C. Cả hai bước đều đúng. D. Cả hai bước đều sai.

Câu 2. Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8 n + 1 chia hết cho

Câu 3.

Câu 4.

• Giả sử ( )

* đúng với n = k , tức là 8 k + 1 chia hết cho 7.

k 1

k

• Ta có: ( )

*

7, n ''

∀ ∈ N ( )

* như sau:

8 + + 1 = 8 8 + 1 − 7 , kết hợp với giả thiết 8 k k 1

+ 1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8 + + 1

chia hết cho 7. Vậy đẳng thức ( )

* đúng với mọi

n∈N

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Học sinh trên chứng minh đúng.

B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.

C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.

D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.

Cho

S n

1 1 1 1

= + + + ... + với

1⋅ 2 2⋅3 3⋅ 4 n. n + 1

( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

* .

n∈N * . Mệnh đề nào sau đây đúng?

1 1 2 1

A. S

3

= .

B. S

2

= .

C. S

2

= .

D. S

3

= .

12

6

3

4

Cho

A.

S

n

S n

1 1 1 1

= + + + ... + với

1⋅ 2 2⋅3 3⋅ 4 n. n + 1

( )

n −1 n

= . B. Sn

= . C. S

n

n + 1

n∈N * . Mệnh đề nào sau đây đúng?

n

n + 1

= . D. S

n + 2

n

= n + 2 .

n + 3

1 1 1

Câu 5. Cho P n

= 1− 1 ... 1

2 −

2 −

2

2 3 n với n ≥ 2 và n ∈ N . Mệnh đề nào sau đây đúng?

n + 1 n −1 n + 1 n + 1

A. P = . B. P = . C. P = . D. P = .

n + 2

2n

n

2n

Câu 6.

Với mọi n∈N

*

, hệ thức nào sau đây là sai?

n( n + 1)

A. 1+ 2 + ... + n =

2

2

B. 1+ 3 + 5 + ... + ( 2n

− 1) = n .

( )( )

2 2 2

n n + 1 2n

+ 1

C. 1 + 2 + ... + n =

6

1

Câu 7.

D. 2 4 6 ( 2n)

( + )( n + )

2 2 2 2 2n n 1 2 1

+ + + ⋯ + =

.

6

2 2 2

Với mối số nguyên dương n , đặt S = 1 + 2 + ... + n . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

n( n + 1)( n + 2) n( n + 1)(2n

+ 1)

A. S = . B. S = .

6

3

n( n + 1)(2n

+ 1) n( n + 1)(2n

+ 1)

C. S = . D. S = .

6

2

Câu 8. Đặt T = 2 + 2 + 2 + ... + 2 (có n dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

Câu 9.

n

π

π

A. T

n

= 3 . B. T n

= 2cos 2 n

. C. T cos

+ 1

n

= 2 n

. D. T 5

+ 1

n

= .

1 1 1

Đặt S n

= + + ... +

1.3 3.5 (2n

− 1)(2n

+ 1)

,với *

n∈N .Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

S

n

n + 1

=

2(2n

+ 1)

. B. 3n

−1

Sn

=

4n

+ 2

. C. n

Sn

=

2n

+ 1

. D. n + 2

Sn

=

6n

+ 3

.

n 1 2

Câu 10. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2 > n + 3 n.

A. n ≥ 3 . B. n ≥ 5 . C. n ≥ 6 . D. n ≥ 4 .

Câu 11. Tổng S các góc trong của một đa giác lồi n cạnh, n ≥ 3, là:

A. S = n.180°. B. S = ( n − 2 ).180°.

C. S = ( n − 1 ).180° . D. S = ( n − 3 ).180° .

*

Câu 12. Với n ∈ N , hãy rút gọn biểu thức S = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n( 3n

+ 1)

.

A. S = n( n + 1) 2

. B. S = n( n + 2) 2

. C. S = n( n + 1)

. D. S = 2n( n + 1)

.

*

*

Câu 13. Kí hiệu k! = k ( k −1 )...2.1,

∀k

∈ N . Với n ∈ N , đặt Sn

= 1.1! + 2.2! + ... + n. n!

. Mệnh đề nào dưới

đây là đúng?

A. S = 2. n!

. B. S = ( n + 1 )! − 1. C. S = ( n + 1 )!. D. S = ( n + 1 )! + 1.

n

n

*

2 2 2

Câu 14. Với n ∈ N , đặt 1 2 3 ... ( 2 ) 2

2 2 2

Tn

= + + + + n và M 2 4 6 ... ( 2 ) 2

n

= + + + + n . Mệnh đề nào dưới

đây là đúng?

Tn

4n

+ 1

A. =

M 2n

+ 2

. B. Tn

4n

+ 1

=

M 2n

+ 1

. C. Tn

8n

+ 1

=

M n + 1

. D. Tn

2n

+ 1

=

M n + 1

.

n

n

n

Câu 15. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để 2 > 2n

+ 1 với mọi số nguyên n ≥ p .

A. p = 5 . B. p = 3 . C. p = 4 . D. p = 2 .

*

2

Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của n ∈ N sao cho 2 n > n .

A. n ≥ 5. B. n = 1 hoặc n ≥ 6 . C n ≥ 7 . D. n = 1 hoặc n ≥ 5.

1 1 1 an + b

Câu 17. Với mọi số nguyên dương n , ta có: + + ... + = , trong đó a, b,

c là các

2.5 5.8 ( 3n − 1)( 3n + 2)

cn + 4

2 2 2

số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T = ab + bc + ca .

A. T = 3. B. T = 6 . C. T = 43 . D. T = 42 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

n

n

n

1 1 1 an + 2

Câu 18. Với mọi số nguyên dương n ≥ 2 , ta có: 1− 1 − ... 1− 2 = , trong đó a,

b là các số

4 9 n bn + 4

2 2

nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T = a + b .

A. P = 5. B. P = 9. C. P = 20 . D. P = 36 .

2

Câu 19. Biết rằng

3 3 3 4 3 2 *

1 + 2 + ... + n = an + bn + cn + dn + e, ∀n

∈ N . Tính giá trị biểu thức

M = a + b + c + d + e .

A. M = 4 . B. M = 1. 1

1

C. M = . D. M = .

4

2

3 2

Câu 20. Biết rằng mọi số nguyên dương n , ta có 1.2 + 2.3 + ... + n( n + 1) = a1n + b1n + c1n + d1

và

3 2

1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n( 3n − 1) = a n + b n + c n + d . Tính giá trị biểu thức

T = a a + b b + c c + d d .

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2

A. T = 2 . B. T = 1. C.

4

2

M = . D. T = .

3

3

k k k

Câu 21. Biết rằng 1 + 2 + ... + n , trong đó n,

k là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau:

2

n( n + 1)

n( n + 1)( 2n

+ 1)

( ) 2

2

n n −1

n( n + 1)( 2n + 1)( 3n + 3n

−1)

S1

= , S2

= , S3

= và S4

= .

2

6

4

30

Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:

A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3.

Câu 22. Với

*

n

n∈N , ta xét các mệnh đề :"7 5

n

P + chia hết cho 2" ; Q :"7 + 5 chia hết cho 3" và

n

Q :"7 + 5 chia hết cho 6" . Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là :

A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2 .

Câu 23. Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n ≥

bày lời giải bài toán này bằng các bước như sau:

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

1

2 n −

”. Một học sinh đã trình

n−1 1−1 0

Bước 1: Với n = 1, ta có: n ! = 1! = 1 và 2 = 2 = 2

1

= 1. Vậy n! ≥ 2 n− đúng.

1

Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có k ! ≥ 2 k − .

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh ( k + 1 )! ≥ 2 k .

k −1

k

1

Bước 3 : Ta có ( k + 1 )! = ( k + 1 ). k! ≥ 2.2 = 2 . Vậy n! ≥ 2 n− với mọi số nguyên dương n .

Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?

A. Đúng. B. Sai từ bước 2. C. Sai từ bước 1. D. Sai từ bước 3.

2

1 1 1 an + bn

Câu 24. Biết rằng + + ... + =

, trong đó a, b, c,

d và n là các số

2

1.2.3 2.3.4 n( n + 1)( n + 2)

cn + dn + 16

nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T = ( a + c)( b + d ) .

là :

A. T = 75 . B. T = 364 . C. T = 300 . D. T = 256 .

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 1. Chọn C.

Câu 2.

1

Chọn D. Thiếu bước 1 là kiểm tra với n = 1, khi đó ta có 8 + 1 = 9 không chi hết cho 7.

Câu 3.

1

Nhìn vào đuôi của S

n

là ⎯⎯→ cho n = 2 , ta được

=

1 .

n. n + 1

2. 2 + 1 2⋅3

( )

( )

Do đó với n = 2 , ta có S = 1 1 2

2

.

1 2 + 2 3 = Chọn C.

⋅ ⋅ 3

Câu 4. Cách trắc nghiệm: Ta tính được S1 = 1 , S 2 3

2

= , S3

= . Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ hơn

2 3 4

mẫu đúng 1 đơn vị. Chọn B.

3

Cách tự luận. Ta có 1 2 3

n

S1 = , S2 = , S3

= ⎯⎯→ dự đoán Sn

= .

2 3 4

n + 1

1 1

• Với n = 1, ta được S

1

= = : đúng.

1.2 1 + 1

1 1 1 k

• Giả sử mệnh đề đúng khi n = k ( k ≥ 1)

, tức là + + ... + =

1.2 2.3 k k + 1 k + 1

.

• Ta có

1 1 1 k

+ + ... + =

1.2 2.3 k k + 1 k + 1

( )

1 1 1 1 k 1

⇔ + + ... + + = +

1.2 2.3 k k 1 k 1 k 2 k 1 k 1 k 2

( + ) ( + )( + ) + ( + )( + )

2

1 1 1 1 k + 2k

+ 1

⇔ + + ... + + =

1.2 2.3 k k 1 k 1 k 2 k 1 k 2

( + ) ( + )( + ) ( + )( + )

( ) ( )( )

( )

1 1 1 1 k + 1

⇔ + + ... + + = . Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .

1.2 2.3 k k + 1 k + 1 k + 2 k + 2

Câu 5.

1 3

n = 2 ⎯⎯→ P2 = 1− 2

2 =

4

Vì n ≥ 2 nên ta cho

.

1 1 2

n = 3 ⎯⎯→ P3 = 1 − . 1

2 −

2 =

2 3 3

Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa. Chọn D.

Câu 6. Bẳng cách thử với n = 1, n = 2 , n = 3 là ta kết luận được. Chọn D.

Câu 7.

Đáp án

*

C. Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng mọi n∈N , ta có đẳng

thức 2 2 2 2 n( n + 1)(2n

+ 1)

1 + 2 + 3 + ... + n =

.

6

- Bước 1: Với n = 1 thì vế trái bằng 1 2 = 1, vế phải bằng 1(1 + 1)(2.1 + 1) = 1.

6

Vậy đẳng thức đúng với n = 1 .

-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là chứng minh

2 2 2 2 2 ( k + 1) [( k + 1) + 1][ 2( k + 1) + 1 ] ( k + 1)( k + 2)(2k

+ 3)

1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1) = =

.

6 6

Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1 , tức là chứng minh

2 2 2 2 2 ( k + 1) [( k + 1) + 1][ 2( k + 1) + 1 ] ( k + 1)( k + 2)(2k

+ 3)

1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1) = =

.

6 6

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có

2 2 2 2 2 ( k + 1)( k + 1)(2k

+ 1) 2

1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1) = + ( k + 1) .

6

2

( k + 1)( k + 1)(2k + 1) 2 k( k + 1)(2k + 1) + 6( k + 1) ( k + 1)( k + 2)(2k

+ 3)

Mà

+ ( k + 1) = =

.

6 6 6

Suy ra 2 2 2 2 2 ( k + 1)( k + 2)(2k

+ 3)

1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1) =

.

6

Do đó đẳng thức đúng với n = k + 1 . Suy ra có điều phải chứng minh.

Vậy phương án đúng là C.

Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua

một số giá trị cụ thể của n.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

4

2

+ Với n = 1 thì S = 1 = 1 (loại được các phương án B và D);

2 2

+ Với n = 2 thì S = 1 + 2 = 5 (loại được phương án A).

Vậy phương án đúng là C.

Câu 8.

Đáp án

π

B. Ta chứng minh T n

= 2cos 2 n + 1

bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:

Bước 1: Với n = 1 thì vế trái bằng

π

2 , còn vế phải bằng 2cos 2cos

1 1

2 π

+

4

2 Vậy đẳng thức đúng với n = 1.

π

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là T k

= 2cos 2 k

.

+ 1

π

Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là chứng minh T k + 1

= 2 cos 2 k + 2

.

π

Thật vậy, vì Tk

+ 1

= 2 + Tk

nên theo giả thiết quy nạp ta có Tk + 1

= 2 + Tk = 2 + 2cos 2

k + 1

.

π π

2 π

2 π π

Mặt khác, 1+ cos = 1+ cos 2. 2 cos

k + 1 k + 2 = nên T

k + 2

k + 1

= 2.2cos 2cos

2 2

2 2 2

2 k

=

+

2 k

.

+

Vậy phương án đúng là B.

Câu 9.

Đáp án C. Cách 1: Rút gọn biểu thức S

n

dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.

Với mọi số nguyên dương k , ta có

1 1 1 1

= −

(2k − 1)(2k + 1) 2 2k − 1 2k

+ 1 .

1 1 1 1 1 1 1 1 n

Do đó: S n

= 1 − + − + ... + − = 1− = .

2 3 3 5 2n

− 1 2n

+ 1

2 2n

+ 1

2n

+ 1

Vậy phương án đúng là phương án C.

Cách 2: Kiểm tra tính đúng – sai của phương án dựa vào một số giá trị cụ thể của n.

1 1

Với n = 1thì S

1

= = (chưa loại được phương án nào);

1.3 3

1 1 2

Với n = 2 thì S

2

= + = (loại ngay được các phương án A,B và D.

1.3 3.5 5

Vậy phương án đúng là phương án C.

Câu 10.

Đáp án D. Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp n = 1,2,3,4, ta dự đoán được

n 1 2

2 + > n + 3 n,

với n ≥ 4. Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học.

Thật vây:

4 1 5

-Bước 1: Với n = 4 thì vế trái bằng 2 + 2

= 2 = 32, còn vế phải bằng 4 + 3.4 = 28.

Do 32 > 28 nên bất đẳng thức đúng với n = 4.

k 1 2

-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 4, nghĩa là 2 + > k + 3 k.

Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh

( k )

2

( k ) ( k )

1 1

2 1 3 1

+ + > + + + hay

k

k

k+

2 2

2 > + 5 + 4.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

k 1 2

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2 + > k + 3 k.

k 1 2

2.2 + > 2 k + 3k

hay k+

2 2

2 > 2k

+ 6k

Suy ra ( )

5

Mặt khác ( )

k + 2 2 2

Do đó ( k k ) k k

2k 2 6k k 2 5k 4 k 2 k 4 4 2 4 4 16

+ − + + = + − ≥ + − = với mọi k ≥ 4.

2 > 2 + 3 > + 5 + 4 hay bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.

Vậy phương án đúng là D.

Câu 11. Đáp án B.

Cách 1: Từ tổng các góc trong tam giác bằng 180° và tổng các góc trong từ giác bằng 360° ,

chúng ta dự đoán được S = ( n − 2 ).180°.

Cách 2: Thử với những trường hợp đã biết để kiểm nghiệm tính đúng –sai từ các công thức. Cụ

thể là với n = 3 thì S = 180° (loại luôn được các phương án A, C và D); với n = 4 thì S = 360°

(kiểm nghiệm phương án B lần nữa).

Câu 12. Đáp án A.

Để chọn được S đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:

Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của n .

Với n = 1 thì S = 1.4 = 4 (loại ngay được phương án B và C); với n = 2 thì S = 1.4 + 2.7 = 18

(loại được phương án D).

Cách 2: Bằng cách tính S trong các trường hợp n = 1, S = 4; n = 2, S = 18; n = 3, S = 48 ta dự

đoán được công thức S = n( n + 1) 2

.

n( n + 1)

Cách 3: Ta tính S dựa vào các tổng đã biết kết quả như 1+ 2 + ... + n = và

2

( )( )

2 2 2 n n + 1 2n

+ 1

2 2 2

1 + 2 + ... + n = . Ta có: S = 3( 1 + 2 + ... + n ) + ( 1+ 2 + ... + n) = n( n + 1) 2

.

6

Câu 13. Đáp án B.

Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:

Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n .

Với n = 1 thì S

1

= 1.1! = 1 (Loại ngay được các phương án A, C, D).

Cách 2: Rút gọn S

n

dựa vào việc phân tích phần tử đại diện

k. k! = ( k + 1− 1 ). k! = ( k + 1 ). k! − k! = ( k + 1 )! − k!

. Suy ra:

S = ( 2! − 1! ) + ( 3! − 2! ) + ... + (( n + 1 )! − n! ) = ( n + 1 )! − 1.

n

Câu 14. Đáp án A.

Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:

Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n .

2 2 2 T1

5

Với n = 1 thì T1 = 1 + 2 = 5; M1

= 2 = 4 nên = (loại ngay được các phương án B, C, D).

M 4

Cách 2: Chúng ta tính Tn

, M

n

dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào ví dụ 1:

2 n ( 2 n + 1)( 4 n + 1) 2 ( 1)( 2 1)

n

;

n n +

T

M

n + Tn

4n

+ 1

=

n

= . Suy ra =

6 3

M 2n

+ 2

.

Câu 15. Đáp án B.

p

Dễ thấy p = 2 thì bất đẳng thức 2 > 2 p + 1 là sai nên loại ngay phương án D.

p

Xét với p = 3 ta thấy 2 > 2 p + 1 là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học

1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

chúng ta chứng minh được rằng 2 > 2n

+ 1 với mọi n ≥ 3. Vậy p = 3 là số nguyên dương nhỏ

nhất cần tìm.

Câu 16. Đáp án D.

n

6

Kiểm tra với n = 1 ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và C.

Kiểm tra với n = 1 ta thấy bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta

n 2

chứng minh được rằng 2 > n , ∀n

≥ 5 .

Câu 17. Đáp án B.

1 1

Cách 1: Với chú ý 1 1

= ( 3 1 )( 3 2 )

− , chúng ta có:

k − k + 3 3k − 1 3k

+ 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

+ + ... + = ...

2.5 5.8 ( 3 1)( 3 2)

− + − + + −

n − n + 3 2 5 5 8 3n − 1 3n

+ 2

1 3n

n

= . =

3 2( 3n

+ 2)

6n

+ 4

.

Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có: a = 1, b = 0, c = 6 .

2 2 2

Suy ra T = ab + bc + ca = 6 .

Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = 3 ta được:

a + b 1 2 1 3 3

; a + b ;

x +

= = b = .

c = 4 10 2c + 4 8 3c

+ 4 22

2 2 2

Giải hệ phương trình trên ta được a = 1, b = 0, c = 6 . Suy ra T = ab + bc + ca = 6

Câu 18. Đáp án C.

1 k − 1 k + 1

Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: 1 − = . . Suy ra

2

k k k

1 1 1

1 1 ... 1

1 3 2 4 n − 1 n + 1 n + 1 2n

+ 2

− − −

2 = . . . ... . = = .

4 9 n 2 2 3 3 n 2n 2n 4n

2 2

Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: a = 2, b = 4 . Suy ra P = a + b = 20 .

a + 1 3 3a

+ 2 2

Cách 2: Cho n = 2, n = 3 ta được = ; = . Giải hệ phương trình trren ta được

b 4 3b

3

2 2

a = 2; b = 4 . Suy ra P = a + b = 20 .

Câu 19. Đáp án B.

2

( ) 2 4 3 2

3 3 3 n n + 1 n + 2n + n

Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết: 1 + 2 + ... + n = = . So sánh cách hệ số,

4 4

1 1 1

ta được a = ; b = ; c = ; d = e = 0 .

4 2 4

Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5, ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn a, b, c, d,

e . Giải hệ

1 1 1

phương trình đó, ta tìm được a = ; b = ; c = ; d = e = 0 . Suy ra M = a + b + c + d + e = 1.

4 2 4

Câu 20. Đáp án C.

Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có:

2 2 2

+) ( ) ( )

1 3 2 2

1.2 + 2.3 + ... + n n + 1 = 1 + 2 + ... + n + ( 1+ 2 + ... + n)

= n + n + n .

3 3

Suy ra a1 = 1 ; b 2

1

= 1; c1 = ; d1

= 0 .

3 3

+) 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n( 3n − 1) = 3( 1 2 + 2 2 + ... + n 2 ) − ( 1+ 2 + ... + n)

= n 3 + n

2 .

Suy ra a2 = b2 = 1; c2 = d2

= 0 .

4

Do đó T = a1a2 + b1b 2

+ c1c 2

+ d1d2

= .

3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

7

Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = 3, n = 4 và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được

1 2

a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1

= 0 ; a2 = b2 = 1; c2 = d2

= 0 .

3 3

4

Do đó T = a1a2 + b1b 2

+ c1c 2

+ d1d2

= .

3

Câu 21. Đáp án D.

2

n ( n −1) 2

chúng ta thấy ngay được chỉ có S3

= là sai.

4

Câu 22. Đáp án A.

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng 7 n + 5 chia hết cho 6.

1

Thật vậy: Với n = 1 thì 7 + 5 = 12⋮ 6 .

Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là 7 k + 5 chia hết ccho 6.

k 1

Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, nghĩa là phỉa chứng minh 7 + + 5 chia hết cho 6.

k 1

Ta có: 7 + k

+ 5 = 7( 7 + 5)

− 30 .

Theo giả thiết quy nạp thì 7 5

k 1

7 k

+ 5 = 7 7 + 5 − 30 cũng chia hết cho 6.

Vậy 7 + 5 chia hết cho 6 với mọi n ≥ 1. Do đó các mệnh đề P và Q cũng đúng.

Câu 23. Đáp án A.

Câu 24. Đáp án C.

1 1

Phân tích phần tử đại diện, ta có:

1 1

= −

k ( k + 1)( k + 2) 2

k ( k + 1) ( k + 1)( k + 2)

.

Suy ra:

+ 1 + ... +

1

1.2.3 2.3.4 n( n + 1)( n + 2)

1 1 1 1 1 1 1

= . ...

2

− + − + + −

1.2 2.3 2.3 3.4 n( n + 1) ( n + 1)( n + 2)

2 2

1 1 1

=

2

−

2 ( n + 1)( n + 2)

= n + 3n 2n + 6n

=

.

2 2

4n + 12n + 8 8n + 24n

+ 16

Đối chiếu với hệ số, ta được: a = 2; b = 6; c = 8; d = 24 .

Suy ra: T = ( a + c)( b + d ) = 300 .

k + chia hết cho 6 nên ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

8

TOÁN 11

DÃY SỐ

1D3-2

MỤC LỤC

PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1

DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT ............................................................................ 1

DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ ................................................................................................................. 4

DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM .................................................................................................................. 5

DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI ................................................................................................ 6

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 8

DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT ............................................................................ 8

DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ ............................................................................................................... 13

DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM ................................................................................................................ 15

DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI .............................................................................................. 17

Câu 1.

PHẦN A. CÂU HỎI

DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT

(THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số

1 3 2 5

, , , ,... . Công thức tổng quát u

n nào là của dãy số đã cho?

2 5 3 7

n

*

n

*

n + 1

* 2n

*

A. un

= ∀n

∈ N . B. un

= ∀n

∈ N . C. u

n

n

= ∀n

∈ N . D. un

= ∀n

∈ N .

n + 1

2

n + 3

2n

+ 1

Câu 2. Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: − 1, 3,19, 53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số

hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.

A. u

10

= 97

B. u

10

= 71 C. u

10

= 1414 D. u

10

= 971

Câu 3.

Câu 4.

Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. u = 5( n− 1) . B. u = 5n

. C. u = 5+ n. D. u = 5. n+ 1.

n

n

Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29, 36,....Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. u = 7n

+ 7 . B. u = 7. n

n

C. un

= 7. n+ 1. D. n

n

.

u : Không viết được dưới dạng công thức.

1 2 3 4

Câu 5. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0 ; ; ; ; ;....Số hạng tổng quát của dãy số này là:

2 3 4 5

2

n + 1

n

A. un

= . B. un

=

n

n + 1

. C. n − 1

n − n

un

= . D. un

=

n

n + 1

.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

n

1

Câu 6. Cho dãy số có các số hạng đầu là: −1;1; −1;1; − 1;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng

n

A. u = 1. B. u = −1. C. u = (−1)

. D. ( 1) n +

= − 1

.

n

n

Câu 7. Cho dãy số có các số hạng đầu là: − 2; 0; 2; 4; 6;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

A. u n

= −2n

. B. u n

= ( −2 ) + n. C. = ( −2 )(

n+

1)

u = − 2 + 2 n− 1 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

u n . D. ( ) ( )

1 1 1 1 1

Câu 8. Cho dãy số có các số hạng đầu là: ; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là?

2 3 4 5

3 3 3 3 3

1 1

1

1

1

A. u

n

= . B. u

n+ 1

n

=

1

3 3

3 n +

. C. u n

= . D. u

n

n

=

1

3

3 n −

.

u

=

u

n với

.Số hạng tổng quát u

n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

u

n+ 1

= u

n

+ n

( n − 1) n

( n − 1) n

A. u n

= . B. u n

= 5 + .

2

2

( n + 1) n

( n + 1)( n + 2)

C. u n

= 5 + . D. u n

= 5 +

.

2

2

Câu 9. Cho dãy số ( )

Câu 10. Cho dãy số ( )

đây?

A. u 1

Câu 11. Cho dãy số ( )

n

đây?

A. u 2

n

C. u 1

Câu 12. Cho dãy số ( )

A. u

n

n

C. u

Câu 13. Cho dãy số ( )

đây?

n

u với

n

1

5

u1

= 1

un+

1

= un

+ −

( )

2

1 n

= + n. B. u = 1− n . C. ( ) 2

u với

n

n

u1

= 1

un+

1

= un

+ −

( )

2 1

1 n +

= − n. B. u

n không xác định.

= − n . D. un

= −n

với mọi n.

. Số hạng tổng quát u

n của dãy số là số hạng nào dưới

u n

u = 1+ − 1 n

. D. un

= n .

n

. Số hạng tổng quát u

n của dãy số là số hạng nào dưới

u1

= 1

u

n với

. Số hạng tổng quát u

2

n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

un+

1

= un

+ n

n( n+ 1)( 2n

+ 1)

n( n− 1)( 2n

+ 2)

= 1+ . B. un

= 1+ .

6

6

n( n−1)( 2n

−1)

n( n+ 1)( 2n

−2)

= 1+ . D. un

= 1+ .

6

6

u với

A. ( ) 2

Câu 14. Cho dãy số ( u )

u

n

n

= 2 + n − 1 . B. u

n

với

u1

= 2

un+

1

− un

= 2n

−1. Số hạng tổng quát u

n của dãy số là số hạng nào dưới

2

n

= 2+ n . C. u 2 ( 1) 2

n

n

= + + . D. u 2 ( n 1) 2

n

n

= − − .

u1

= −2

1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

un+

1

= −2

−

un

2

A. u

Câu 15. Cho dãy số ( )

n

n −1

= − . B. u

n

n

n + 1

= . C. u

n

n + 1

= − . D. u

n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

n

n

= − .

n + 1

1

u1

=

u

n

với 2 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

un+

1

= un

− 2

1 1 1 1 2 n 1 un

= − 2 n − 1 . C. un

= − 2 n . D. un

= + 2 n .

2

2

2

2

A. u = + ( − ) . B. ( )

Câu 16. Cho dãy số ( )

n

u với

n

u1

= −1

u . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

n

u n + 1

=

2

n

1

A. u n

= ( −1 ).

2 . B. ( ) n+

1

1

u n

= −1 .

2

Câu 17. Cho dãy số ( )

A. u

Câu 18. Cho dãy số ( )

A.

n

. C.

u n

1

=

2

n−1

1

= −1 .

2

. D. ( )

u1

= 2

u

n

với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:

un+

1

= 2un

n 1

= n − . B. u = 2 n

1

. C. 2 n +

= . D. u = 2 .

1

u 2 n −

n

= − . B.

n n−1

n

1

u1

=

u

n

với 2 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:

un+

1

= 2un

−1

−1

2

u = . C. u n

=

2

2 n

. D. u 2 n −

n

= .

Câu 19. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018) Cho dãy số ( u ) xác định bởi

u1

= 1

. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho u 2039190

3

*

un+

1

= un

+ n , ∀n

∈ N 1 n

− ≥ .

A. n = 2017 . B. n = 2019 . C. n = 2020 . D. n = 2018 .

u1

= 1

u

n

xác định bởi

un+

1

= un

+ 2n + 1, n ≥ 1

. Giá trị của n để − un

+ 2017n

+ 2018 = 0 là

A. Không có n . B. 1009 . C. 2018 . D. 2017 .

Câu 20. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho dãy số ( )

Câu 21. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Cho dãy số { }

u n

n

n

u n

u xác định bởi

1

u n

=

4 3 4 3 2 4 3 2 4 3 2

n + n + n + n + 2n + n + n + 3n + 3n

+ 1

, n ≥ 1.

Tính tổng S = u1 + u2 + ... + u 4

2018 −1

.

A. 2016 . B. 2017 . C. 2018 . D. 2019 .

Câu 22. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho dãy số ( )

u

n 1

un

2 2 1 u 1

= + + + , ( *

n∈N )

( n )

n

2

u

n

được xác định bởi u

1

= và

3

. Tính tổng 2018 số hạng đầu tiên của dãy số đó?

A. 4036

4035

4038

4036

. B. . C. . D.

4035 4034 4037 4037 .

n

n−1

.

3

Câu 23. Cho hai cấp số cộng ( u

n):1;6;11;...

và ( v

n ): 4;7;10;... Mỗi cấp số có 2018 số. Hỏi có bao nhiêu

số có mặt trong cả hai dãy số trên.

A. 403. B. 401. C. 402 . D. 504 .

DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ

n

n

, biết u

n

= . Ba số hạng đầu tiên của dãy số là

n

2 − 1

A. 1 ; 2 ;

3

2 3 4 . B. 1 1

1 1

1; ;

C. 1; ;

2 16

4 8

Câu 24. Cho dãy số ( u )

Câu 25. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho dãy số ( )

Số hạng đầu tiên của dãy là:

2 3

D. 1; ;

3 7 .

un

có số hạng tổng quát un

= 1−

2

A. 2 . B. 3 5 . C. 0 . D. 1 2 .

Câu 26. Cho dãy số ( )

2

u có u = − n + n + 1. Số − 19 là số hạng thứ mấy của dãy?

n

n

A. 5. B. 7 . C. 6 . D. 4 .

Câu 27. (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho dãy số ( )

n

n + 1

(với *

n∈N ).

u

n

với u 3 n

n

= . Khi đó số hạng u2n

− 1

bằng

n 1

A. 3 .3

n− 2 1

. B. 3 n− 2

− 1. C. 3 n 2

− 1. D. 3 .3 n − 1.

Câu 28. (Chuyên Phan Bội Châu-lần 1-2018-2019) Cho dãy số ( u ) xác định bởi u ( 1) n

cos( nπ )

Giá trị u

99

bằng

A. 99 . B. − 1. C. 1. D. − 99 .

Câu 29. Cho dãy số( )

A. u

n+

1

u với u

n

( + ) 2

a. n 1

=

n + 2

n

2

an

= (a: hằng số). u

n + 1

là số hạng nào sau đây?

n + 1

. B. u

n+

1

( + ) 2

a. n 1

=

n + 1

. C. u

Câu 30. (Phát triển đề minh hoạ 2019-Đề 8) Cho dãy số ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n+

1

n

n

a n

=

n + 1

2

. + 1

n

= − .

2

an

. D. u = n+ 1

n + 2

.

u với u = 2n

+ 1 số hạng thứ 2019 của dãy

là

A. 4039 . B. 4390 . C. 4930 . D. 4093.

Câu 31. Cho dãy số ( )

A.

n

un

với u

n

= 1+ 2 . Khi đó số hạng u

2018

bằng

2018

2 . B.

Câu 32. Cho dãy số ( )

Câu 33.

2017 2

2017

+ . C.

1 2

n

2018

+ . D.

2018 2

2018

+ .

n − 2

u

n

với un

= , n ≥ 1. Tìm khẳng định sai.

3n

+ 1

1 8 19 47

A. u

3

= .

B. u

10

= . C. u

21

= . D. u

50

= .

10

31

64

150

2

n + 2n

−1

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho dãy số un

= . Tính u

11.

n + 1

182

1142

1422

71

A. u

11

= . B. u

11

= . C. u

11

= . D. u

11

= .

12

12

12

6

4

Câu 34. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho dãy số ( u

n ) xác định bởi

nπ

nπ

un

= 2017sin + 2018cos . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2 3

*

*

A. un+ 9

= un,

∀n

∈ N . B. un+ 15

= un,

∀n

∈ N .

*

*

C. un+ 12

= un,

∀n

∈ N . D. un+ 6

= un,

∀n

∈ N .

2n

+ 1 39

u

n

có số hạng tổng quát là un

= . Khi đó là số hạng thứ mấy của dãy

2

n + 1 362

số?

A. 20 . B. 19. C. 22 . D. 21.

Câu 35. Cho dãy số ( )

Câu 36. Cho dãy số ( )

u

u

có

1

= u2 = 1 u và

n+ 2

= un+

1

+ un, ∀n

∈ N * u . Tính

4 .

n

A. 5. B. 3. C. 2 . D. 4 .

u1

= 5

n

:

. Số 20 là số hạng thứ mấy trong dãy?

un+

1

= un

+ n

A. 5 . B. 6 . C. 9 . D. 10 .

Câu 37. Cho dãy số ( u )

Câu 38. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số ( )

Câu 39.

n 1

2 − + 1

u

n

thỏa mãn u n

= . Tìm

n

số hạng thứ 10 của dãy số đã cho.

A. 51, 2 . B. 51,3. C. 51,1. D. 102,3.

u1

= 4

(THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số . Tìm số

un+

1

= un

+ n

hạng thứ 5 của dãy số.

A. 16. B. 12. C. 15. D. 14.

Câu 40. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số ( u )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

bởi công thức truy hồi sau

u1

= 0

; u

218

nhận giá trị nào sau đây?

un+

1

= un

+ n; n ≥ 1

A. 23653. B. 46872 . C. 23871. D. 23436 .

DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

Câu 41. Cho dãy số ( )

u với u = a.3 n ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?

n

n

1

A. Dãy số có u = 1

.3 n +

n+ a . B. Hiệu số u − n 1

u = + n

3. a .

C. Với a > 0 thì dãy số tăng D. Với a < 0 thì dãy số giảm.

Câu 42. Cho dãy số ( )

A. un+

1

=

2

u

n

với un

2

a −1

( n + 1)

C. Hiệu un+

− un

= ( a −1 ).

( n + 1 )

a −1

= ( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?

n

2n

−1

un+

− un

= 1 − a .

n + 1 n

. B. Hiệu ( ) ( )

2n

−1

1 2 2

n

1 2 2

. D. Dãy số tăng khi a < 1.

.

5

Câu 43. Cho dãy số ( u

n ) với

k

u

n

= ( k : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?

n

3

k k

A. Số hạng thứ 5 của dãy số là

3

5

. B. Số hạng thứ n của dãy số là

1 .

3 n+

C. Là dãy số giảm khi k > 0 . D. Là dãy số tăng khi k > 0 .

a −1

u

n

với un

= . Khẳng định nào sau đây là đúng?

2

n

a −1

A. Dãy số có un+

1

=

u

2

n+

n 1

Câu 44. Cho dãy số ( )

a −1

1 2

+ . B. Dãy số có : ( n + 1)

C. Là dãy số tăng. D. Là dãy số giảm.

2

an

u

n

với un

= ( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai?

n + 1

( ) 2

2

a. n + 1

a. ( n + 3n

+ 1)

A. un+

1

= . B. un+

1

− un

=

.

n + 2

( n + 2)( n + 1)

C. Là dãy số luôn tăng với mọi a . D. Là dãy số tăng với a > 0 .

Câu 45. Cho dãy số( )

Câu 46. Dãy số ( U ) có số hạng tổng quát nào sau đây là dãy giảm?

n

A. U = 1+ 2n

. B. U = n + 2 − n + 1 .

n

C. U = 1. D. U = 6 n .

Câu 47. Cho dãy số ( )

n

n

n

n

2

u có u = − n + n + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

n

A. 5 số hạng đầu của dãy là: −1;1;5; −5; −11; − 19 .

2

B. u n

= −n

+ 2 .

+ 1

n +

C. u

n−1 − un

= 1 .

D. Là một dãy số giảm.

Câu 48. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số ( )

Câu 49.

Câu 50.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

=

n

.

u cho bởi số hạng tổng

quát u

n

sau, dãy số nào là dãy số giảm?

1

3n

−1

A. u

n

= . B. u

n

n

=

2

n + 1

. C. 2

un

= n . D. un

= n + 2 .

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm

A. u

n

n − 3

n

2

= . B. u

n

= . C. u n

= . D.

n +

2

1

2

n

( −1)

u n n

n

= .

3

(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?

5 − 3 n

n − 5

un

= , n∈N * . B. un

= , ( n∈

N * ) .

2n

+ 3

4n

+ 1

3

u 2n 3, n *

u = cos 2n + 1 , n ∈ N * .

A. ( )

C. = + ( ∈ N ) . D. ( ) ( )

n

Câu 51. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?

2n

+ 1

A. un

=

n − 1

. B. 3

2

un

= n − 1. C. un

= n . D. un

= 2n

.

DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI

n

6

Câu 52. Cho dãy số ( u

n ) với

n−

( −1) 1

u n

= . Khẳng định nào sau đây là sai?

n + 1

A. Số hạng thứ 9 của dãy số là 1 . B. Dãy số ( u

n ) bị chặn.

10

C. Dãy số ( )

Câu 53. Cho dãy số ( )

A.

u là một dãy số giảm. D. Số hạng thứ 10 của dãy số là

n

u n + 1

=

2

−1

u

n với u n

= . Khẳng định nào sau đây là sai?

2

n + 1

−1

+ 1 + 1

. B. un

> u

n + 1

.

( n )

C. Đây là một dãy số tăng. D. Bị chặn dưới.

π

u

n

với u n

= sin . Khẳng định nào sau đây là sai?

n + 1

A. Số hạng thứ n + 1 của dãy: u π

n + 1

sin

n + 2

B. Dãy số bị chặn.

C. Đây là một dãy số tăng. D. Dãy số không tăng không giảm.

Câu 54. Cho dãy số ( )

n−1

( −1)

u

n

với u n

= . Khẳng định nào sau đây là sai?

n + 1

1 − 1

A. Số hạng thứ 9 của dãy số là . B. Số hạng thứ 10 của dãy số là .

10 11

Câu 55. Cho dãy số ( )

C. Đây là một dãy số giảm. D. Bị chặn trên bởi số M = 1.

Câu 56. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Dãy số ( )

Câu 57.

u có

A. tăng. B. không tăng, không giảm.

C. giảm. D. không bị chặn.

Xét các câu sau

1 Dãy 1,2,3,..., n ,... là dãy bị chặn.

( )

( )

n

n

= là dãy số

n + 1

1 1 1 1

2 Dãy 1, , , ,..., ,... là dãy bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.

3 5 7 2n −1

1 đúng.

A. Chỉ có ( 2 ) đúng. B. Chỉ có ( )

C. Cả hai câu đều đúng. D. Cả hai câu đều sai.

1

u

n

với u n

= .Khẳng định nào sau đây là sai?

2

n + n

1 1 1 1 1

A. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; ;

2 6 12 20 30

B. Là dãy số tăng.

1

C. Bị chặn trên bởi số M = .

2

D. Không bị chặn.

Câu 58. Cho dãy số ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 59. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Cho dãy số ( )

A. Là dãy số không bị chặn.

n

u

n

u với u

n

− 1 .

11

−n

= . Khẳng định nào sau đây đúng?

n + 1

7

B. Năm số hạng đầu của dãy là:

C. Là dãy số tăng.

D. Năm số hạng đầu của dãy là:

Câu 60. Cho dãy số ( )

− 1 − 2 − 3 − 5 − 5

; ; ; ; .

2 3 4 5 6

− 1 − 2 − 3 − 4 − 5

; ; ; ; .

2 3 4 5 6

−1

u

n

với u n

= .Khẳng định nào sau đây là sai?

n

−1

−1

−1

−1

A. Năm số hạng đầu của dãy là: −1;

; ; ;

2 3 4 5 .

B. Bị chặn trên bởi số M = − 1 .

C. Bị chặn trên bởi số M = 0 .

D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m M = − 1 .

Câu 61. Cho dãy ( )

A. Dãy ( n )

B. Dãy ( n )

C. Dãy ( n )

D. Dãy ( )

n + 2018

u

n

với un

= . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

2018n

+ 1

u bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên

u bị chặn.

Câu 62. Trong các dãy số ( )

u không bị chặn trên, không bị chặn dưới.

u bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới

n

2

A. u = n + 2 . B. u

Câu 63. Cho dãy số ( )

Câu 64.

n

u với

n

u

n có số hạng tổng quát

n

n

u dưới đây, dãy số nào là dãy bị chặn?

n

=

2n

+ 1

. C. 3 n

u 1

n

= − . D. u

1−

u 2 5 n

n

= + . Kết luận nào sau đây là đúng?

2

= n + .

n

A. Dãy số không đơn điệu. B. Dãy số giảm và không bị chặn.

C. Dãy số tăng. D. Dãy số giảm và bị chặn.

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số bị chặn?

2n

+ 1

A. un

=

n + 1

. B. 2 sin ( )

2

3

un

= n + n . C. un

= n . D. un

= n − 1.

Câu 65. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Chọn kết luận sai:

⎛ 1 ⎞

A. Dãy số ( 2n − 1)

tăng và bị chặn trên. B. Dãy số

⎜

⎜⎝ n + 1⎠⎟

giảm và bị chặn dưới.

⎛ 1⎞ C. Dãy số

⎜− ⎜⎝ n⎟⎠ tăng và bị chặn trên. D. Dãy số ⎛ 1 ⎞ ⎜

⎜⎝ 3.2 n ⎟

giảm và bị chặn dưới.

⎠

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT

Câu 1. Viết lại dãy số: 2 , 3 , 4 , 5 ,...

4 5 6 7

n + 1

∗

un

= ∀n

∈ N .

n + 3

Câu 2.

Hướng dẫn giải:

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

8

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Chọn A.

3 2

Xét dãy ( u

n)

có dạng: un

= an + bn + cn + d

a + b + c + d = −1

8a + 4b + 2c + d = 3

Ta có hệ:

27a + 9b + 3c + d = 19

64a + 16b + 4c + d = 53

Giải hệ trên ta tìm được: a = 1, b = 0, c = − 3, d = 1

u n 3n 1 là một quy luật.

3

n

= − +

Số hạng thứ 10: u

10

= 971.

Chọn B.

Ta có:

5 = 5.1

10 = 5.2

15 = 5.3

20 = 5.4

25 = 5.5

Suy ra số hạng tổng quát u = 5n

.

Chọn C.

Ta có:

8 = 7.1+

1

15 = 7.2 + 1

22 = 7.3+

1

29 = 7.4 + 1

36 = 7.5 + 1

Suy ra số hạng tổng quát u = 7n

+ 1.

Chọn B.

Ta có:

0

0 =

0 + 1

1 1

=

2 1 + 1

2 2

=

3 2 + 1

3 3

=

4 3 + 1

4 4

=

5 4 + 1

n

Suy ra un

= .

n + 1

n

n

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

9

Câu 7.

Chọn C.

Ta có:

Hướng dẫn giải

1 2 3 4 5

Các số hạng đầu của dãy là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Chọn D.

−1 ; −1 ; −1 ; −1 ; −1 ;... = − 1 n

.

Hướng dẫn giải

Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là ( − 2)

nên u = ( − 2) + 2. ( n −1)

.

Câu 8.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

1 1 1 1 1

1

5 số hạng đầu là ; ; ; ; ;... nên u

2 3 4 5

n

= .

n

31

3 3 3 3

3

Câu 9.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

n( n −1)

Ta có un

= 5 + 1+ 2 + 3 + ... + n − 1 = 5 + .

2

Câu 10. Chọn D.

u = n 1

u + − 1 = n

u + n

1 u = + 2

2; u = 3

3; u = 4

4;...

u

Dễ dàng dự đoán được

n

= n .

Thật vậy, ta chứng minh được un

= n (*)

bằng phương pháp quy nạp như sau:

Ta có:

( ) 2

+ Với n = 1 u1

= 1 . Vậy ( )

+ Giả sử ( )

n

* đúng với n = 1

*

* đúng với mọi n k ( k )

n = k + 1 , tức là: u = + 1

k + 1

k

= ∈ N , ta có: uk

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

u n

= k . Ta đi chứng minh (*)

cũng đúng với

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số ( u

n ) ta có: ( ) 2 k

u = +

u + − = k + . Vậy ( )

*

n∈N .

k

1 k

1 1

Câu 11. Chọn A.

Ta có: u2 = 0; u3 = − 1; u4

= − 2 ,. Dễ dàng dự đoán được un

= 2 − n .

Câu 12. Chọn C.

u1

= 1

2

u2 = u1

+ 1

2

Ta có: u3 = u2

+ 2 .

...

2

un

= un−

1

+ ( n −1)

2 2 2 n n −1 2n

−1

Cộng hai vế ta được un

= 1+ 1 + 2 + ... + ( n − 1)

= 1+

6

Câu 13. Chọn A.

( )( )

n

* đúng với mọi

10

u1

= 2

u2 = u1

+ 1

Ta có: u3 = u2

+ 3

un

= 2 + 1+ 3 + 5 + ... + 2n − 3 = 2 + n − 1

...

un

= un−

1

+ 2n

− 3

Câu 14. Chọn C.

Ta có: 3 4 5

n + 1

u1 = − ; u2 = − ; u3

= − ;... Dễ dàng dự đoán được un

= − .

2 3 4

n

Câu 15. Chọn B.

1

u1

=

2

u2 = u1

− 2

1 1

Ta có: u3 = u2

− 2 . Cộng hai vế ta được un

= − 2 − 2... − 2 = − 2( n − 1)

.

2 2

...

un

= un

− 1

− 2

Câu 16. Chọn D.

u1

= −1

u1

u2

=

2

u2

Ta có: u3

= .

2

...

un−

1

un

=

2

. Cộng hai vế ta được ( ) ( ) 2

u . u . u ... u

1 1

. . ... = −1 . ⇔ = − 1 . = −1 .

2.2.2...2

2 2

1 2 3 n−1

Nhân hai vế ta được u u u u ( ) u ( ) ( )

Câu 17. Chọn B.

u1

= 2

u = 2u

Ta có: u

= 2u

...

un

= 2

Câu 18. Chọn D.

1

u1

=

2

u = 2u

Ta có: u

= 2u

...

un

= 2

2 1

3 2

un

− 1

2 1

3 2

1 2 3 n n n−1

n−1 lan

n−1

. Nhân hai vế ta được u . u . u ... u = 2.2 . u . u ... u ⇔ u = 2

1 2 3 n 1 2 n−1

n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

un

− 1

1 n−

. Nhân hai vế ta được u1. u2. u3... un = .2 . u1. u2... un−

1

⇔ un

= 2

2

1 n−2

n

n−1

11

Câu 19.

Theo hệ thức đã cho ta có:

3 3 3 3 3 3

u = u + ( n − 1) = u + ( n − 2) + ( n − 1) = ... = u + 1 + 2 + ... + ( n − 1) .

n n−1 n−2 1

2 2

3 3 3 2 ( n −1)

n

Lại có 1 + 2 + ... + ( n − 1) = (1 + 2 + ... + ( n − 1)) = .

4

2 2

( 1) ( 1)

Suy ra: 1 n n −

n

n

1

n n −

u = + u − = .

4 2

Sử dụng mode 7 cho n chạy từ 2017 đến 2020 , ta được kết quả n = 2020 .

2

Câu 20. Với n = 1 ta có: u2 = u1 + 3 = 4 = 2 .

2

Với n = 2 ta có: u3 = u2 + 2.2 + 1 = 9 = 3 .

2

Với n = 3 ta có: u4 = u3 + 2.3 + 1 = 16 = 4 .

2

Từ đó ta có: u = n .

Câu 21.

Câu 22.

n

n

= −1

L

2

Suy ra − un

+ 2017n

+ 2018 = 0 ⇔ − n + 2017n

+ 2018 = 0 ⇔

n = 2018

1

Ta có: u n

=

4 3 4 4 4

n + n. n + 1 + n. n + 1 + n + 1

=

=

=

=

1

( ) ( )

4 + 4 + 1 + + 1. 4 + 4 + 1

n n n n n n

1

4 4

( n + n + 1)( n + n + 1)

n + 1 −

n + n + 1

4 4

n

( n + 1 − n ) . ( )

4 n + 1 −

4 n

4 4

= n + 1 − n .

Do đó

n + 1 −

n

( ) 3

S = − + − + + − + − −

4 4 4 4

4 4 4 4

2 1 3 2 ... 2018 1 1 2018 1

4 4

= − 1+ 2018 1 2018

( )

( N )

= − + = 2017 .

1 2( 2n

+ 1)

un

+ 1 1 1

- Ta có: =

= + 4n

+ 2 = + 4( n − 1)

+ 2

+ 4n

+ 2

un+

1

un

un

un

− 1

Tương tự ta đươc:

1 1

= + ( 4.1+ 2) + ( 4.2 + 2 ) + ... + ( 4n

+ 2)

3 2

4n

+ 8n

+ 3

= + 2 n + 2 n( n + 1 ) =

un+

1

u1

2

2

2

2

u n + 1

=

=

2

4n

8n

3 2n

+ 1 2n

+ 3

=

u n

+ + ( )( )

2

( 2n

− 1)( 2n

+ 1)

1 1

= −

2n

− 1 2n

+ 1

n

2018

1 1 2n

4036

uk

= − = u

2 1

k

= .

k=

1 n + 2n

+ 1 k=

1 4037

Câu 23. Đáp án. A.

u = 1+ 5 n− 1 = 5n−4, 1≤ n ≤ 2018 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Dãy ( ) n

u có số hạng tổng quát là ( ) ( )

n

.

12

Dãy ( v

m ) có số hạng tổng quát là vm

4 3( m 1) 3m 1, ( 1 m 2018)

= + − = + ≤ ≤ .

⎧

Một số có mặt trong cả hai dãy số trên nếu tồn ại m,

n ∈ N thỏa mãn điều kiện: ⎪ 1 ≤ m , n ≤

⎨

2018 .

⎪

⎪⎩ um

= un

(*)

* ⇔ 5n− 4 = 3m + 1⇔ 5 n− 1 = 3 m **

Ta có ( ) ( ) ( )

Từ ( )

** suy ra m⋮ 5 , mặt khác 1 m 2018

≤ ≤ nên ta được tập các giá trị của m là { 5;10;...;2015 }

.

3.2015

Xét với m = 2015 thì n = + 1= 1210 < 2018 , thỏa điều kiện 1≤ n ≤ 2018 .

5

5;10;...;2015 có 403 số nên có tất cả 403 số có mặt trong cả hai dãy đã cho.

Do tập { }

DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ

Câu 24. Chọn D.

2 3

u1 = 1, u2 = , u3

= .

3 7

Câu 25. Chọn D

1 1

Ta có u 1 1

= − = . 1 2

+ 1 2

Câu 26.

Câu 27.

Câu 28.

Câu 29.

Chọn A

Giả sử 19

*

u

n

= − , ( )

n ∈ N .

2

Suy ra − n + n + 1 = − 19

2

⇔ − n + n + 20 = 0

n

= 5

⇔ .

n

= −4

( l )

Vậy số − 19 là số hạng thứ 5 của dãy.

Chọn A

n 2n−1 n n−1

un

= 3 u2n−

1

= 3 = 3 .3

Chọn C

Ta có: u ( ) 99

99

= − 1 cos( 99π ) = − cos( 98π + π ) = − cos( π ) = 1.

Chọn A.

Ta có

u

a ( n )

( n )

( )

( n )

2 2

. + 1 a n + 1

= =

+ 1 + 1 + 2

n+

1 2

Câu 30. Chọn A.

Ta có: u

2019

= 2.2019 + 1 = 4039 .

Câu 31. Chọn C

2018

Ta có u

2018

= 1+

2 .

Câu 32. Chọn D

50 − 2 48

Ta có: u50

= = .

3.50 + 1 151

Câu 33. Chọn D

.

Hướng dẫn giải

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

13

Câu 34.

Câu 35.

Câu 36.

Câu 37.

Câu 38.

2

11 2.11 1 71

+ −

Ta có: u11

= = .

11+

1 6

Chọn C

( n + 12) π ( n + 12)

π

Ta có: un+

12

= 2017sin + 2018cos

2 3

nπ

nπ

= 2017sin + 6π

+ 2018cos + 4π

2 3

nπ

nπ

*

= 2017sin + 2018cos = un 2 3

, ∀n

∈ N .

Chọn B

2n

+ 1 39

Ta có

2 =

n + 1 362

Chọn B

Ta có u3 = u2 + u1 = 2 .

⇔ n − n − =

2

39 724 323 0

u4 = u3 + u2 = 3 .

Chọn B

Cách 1:

u = 5, u = 6, u = 8, u = 11, u = 15, u = 20

1 2 3 4 5 6

Vậy số 20 là số hạng thứ 6 .

Cách 2:

Dựa vào công thức truy hồi ta có

u = 5

u

u

u

1

2

3

4

.....

= 5 + 1

= 5 + 1+

2

= 5 + 1+ 2 + 3

( −1)

Lời giải

n

= 19

⇔

17 , do

n = −

39

n n

un

= 5 + 1+ 2 + ... + n − 1 = 5 +

2

n( n −1) 20 5 ( n * )

2 n

= 6

= + ∈ N ⇔ n − n − 30 = 0 ⇔

2

n

= −5(lo¹i)

Vậy 20 là số hạng thứ 6 .

Cách 3: Sử dụng máy tính CASIO fx – 570VN PLUS

1 SHIFT STO A

5 SHIFT STO B

Ghi vào màn hình C = B + A: A = A + 1: B = C

Ấn CALC và lặp lại phím =

Ta tìm được số 20 là số hạng thứ 6

10 1

2 − + 1

Ta có: u10

= = 51,3 .

10

*

n∈N nên 19

n = .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

14

Câu 39. Ta có u2 = u1 + 1 = 5 ; u3 = u2 + 2 = 7 ; u4 = u3 + 3 = 10 . Do đó số hạng thứ 5 của dãy số là

u5 = u4 + 4 = 14 .

Câu 40. Đặt vn = un+

1

− un

= n , suy ra ( v

n ) là một câp số cộng với số hạng đầu v1 = u2 − u1 = 1 và công sai

d = 1 .

Xét tổng S217 = v1 + v2 + ... + v217

.

217. ( v1 + v217

) 217. ( 1+

217)

Ta có S217 = v1 + v2 + ... + v217

=

= = 23653.

2

2

Mà vn = un+

1

− un

suy ra S217 = v1 + v2 + ... + v217 = ( u2 − u1 ) + ( u3 − u2 ) + ... + ( u218 − u217

) = u218 − u1

u = S + u = .

Câu 41.

Câu 42.

Câu 43.

Câu 44.

Câu 45.

218 217 1

23653

DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

Hướng dẫn giải

Chọn B.

n 1 n n n

Ta có u − n 1

u = +

n

a.3 − a.3 = a.3 ( 3 − +

1)

= 2 a.3

.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

1 1 −2n

− 1 2n

+ 1

Ta có u − u = ( a −1 ). − = ( a − 1 ). = ( 1 − a)

.

( n 1)

n

+ n ( n + 1)

n n + 1

Chọn B.

( )

n+

1 n

2 2 2 2 2 2

Số hạng thứ n của dãy là

Chọn B.

a −1

Ta có un+

=

n + 1

( )

1 2

Chọn C.

Chọn a = 0 thì 0

n

.

k

u

n

= .

n

3

u = ,dãy ( )

n

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

u không tăng, không giảm.

Câu 46. Chọn B

Ta có

U = 1+ 2n U = 1+ 2( n + 1) U − U = 2 > 0 suy ra là dãy tăng.

n n+ 1 n+

1 n

U = 1 là dãy số không đổi.

U

n

U 6.6

= = = = > suy ra là dãy tăng.

n

n n+ 1 n+

1

n

6 U

n+

1

6 6 1

n

U

n

6

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

.

15

n

( n 2 n 1)

( + 2 + + 3)

U − + + +

U = n + − n + U = n + − n + = <

n+

1

2 1

n+

1

3 2 0

U

n n n

suy ra là dãy giảm.

Câu 47.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có :

( ) 2 2 2 2

un+

1

− un

= − n + 1 + n + 1+ 1 −

− n + n + 1

= −n − 2n − 1+ n + 2 + n − n − 1 = − 2n < 0 ∀n

≥ 1

u là một dãy giảm.

Do đó ( )

n

Câu 48.

1 1

*

Ta có u

n

= < u

n n 1 n + 1

2 2 +

= ∀n

∈N .

Câu 49. Xét A:

n − 3 n − 2

Ta có un

= ; un+

1

= . Khi đó: u

n + 1 n + 2

Vậy ( )

u là dãy số tăng.

n

n+

1

n − 2 n − 3 4

− un

= − = > 0

n + 2 n + 1 n + 1 n + 2

( )( )

Xét B:

n n + 1

n + 1 n 1

Ta có u

n

= ; u

n + 1

= . Khi đó: un+

1

− un

= − = > 0 ∀n

∈N

2 2

2 2 2

u là dãy số tăng.

Vậy ( )

n

Xét C:

2

Ta có u n

= ,

2

n

n

( n + 1)

2

u n 1 2

( n 1)

+ = +

2 2

un+ 1

n n

= < = 1, ∀n

∈

2 2

u

n

Xét D:

−1 1 −1

Ta có u1

= ; u

2

= ; u3

3 9 27

5 − 3 n

un

= , n∈N

* , ta có u

2n

+ 3

∗

N . Vậy ( n )

= . Vậy ( u )

u là dãy giảm.

n

là dãy số không tăng không giảm.

5 − 3( n + 1)

5 − 3n

Câu 50. Xét ( )

n+

1

− un

= −

2( n + 1)

+ 3 2n

+ 3

( 2 − 3n)( 2n + 3) − ( 2n + 5)( 5 − 3n)

=

=

( 2n

+ 5)( 2n

+ 3)

( 2n

+ 5)( 2n

+ 3)

−19

= < 0, ∀n

∈ N * .

( 2n

+ 5)( 2n

+ 3)

5 − 3 n

Vậy un

= , ( n∈N * ) là dãy giảm.

2n

+ 3

Câu 51. Với mọi n ∈ N , n > 1. Ta có

2( n + 1)

+ 1 2n + 1 2n + 3 2n

+ 1

un+

1

− un

= − = −

n + 1 −1 n −1 n n −1

( )

( )( ) ( )

( )

2 − 3n

5 − 3n

= −

2n

+ 5 2n

+ 3

2 2

4 − 6 + 6 −9 − 10 + 6 − 25 + 15

n n n n n n

( )( ) ( )

( ) ( )

∀n

∈N

2n + 3 n −1 − n 2n + 1 2n + 3 n −1 − n 2n

+ 1 −3

= = = < 0 , với mọi n ∈ N , n > 1.

n n −1 n n −1 n n −1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Suy ra dãy số giảm.

16

Câu 52.

DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI

Chọn C

Dễ thấy

u

n

n−

( −1) 1 1

*

1, n N nên ( u )

= = < ∀ ∈

n + 1 n + 1

Lại có 1 − 1 1 −

u 1

9

; u10 ; u11 ; u12

;...

10 11 12 13

không phải là dãy số giảm.

Do đó đáp án C sai.

= = = = suy ra dãy ( )

Câu 53. Chọn B.

Câu 54. Chọn D.

Dãy số không tăng không giảm.

Câu 55.

Chọn C.

Dãy u

n

là một dãy đan dấu.

Hướng dẫn giải

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

n

là dãy số bị chặn.

u không phải là dãy số tăng cũng

Câu 56. Chọn A

2

n + 1 n ( n + 1) − n( n + 2) 1

Ta có un+

1

− un

= − = = > 0, ∀n∈

N .

n + 2 n + 1 ( n + 2)( n + 1) ( n + 2)( n + 1)

Suy ra dãy số đã cho là dãy tăng.

Câu 57. Chọn D.

Dãy 1,2,3,..., n ,... là dãy bị chặn dưới, không bị chặn trên nên không phải dãy số bị chặn.

1 1 1 1

Dãy 1, , , ,..., ,... là dãy bị chặn trên tại 1 và bị chặn dưới tại 0 .

3 5 7 2n −1

Do đó cả hai câu trên đều sai.

Câu 58.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

1 1 1 1 −2

Ta có un+

1

− un

= − = − = < 0 với

2 2

( n + 1) + ( n + 1) n + n ( n + 1)( n + 2) n( n + 1) n( n + 1)( n + 2)

n ≥ 1.

Do đó ( u

n ) là dãy giảm.

− 1 − 2 − 3 − 4 − 5

Câu 59. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; .

2 3 4 5 6

Câu 60.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

−1 −1

Nhận xét : u n

= ≥ = − 1.

n 1

Dãy số ( u

n ) bị chặn dưới bởi M = − 1 .

Câu 61. Chọn B

n + 2018 1 2017.2019

Ta có: un

= = +

2018n

+ 1 2018 2018( 2018n

+ 1)

.

17

Câu 62.

Do đó ( u

n ) là dãy giảm, mà u

1

= 1, dễ thấy

Suy ra: Dãy ( u

n ) bị chặn.

Chọn B

2

lim 2

2

n + = +∞ dãy số u = n + 2 không bị chặn.

n

∀n∈ N * , u n

> 0 0 < ≤ 1.

n 1 1 1

u = n

2n

1 = 2 − 2n

1 < 1

u

n

< .

+ + 2 2

n

1

n

Mặt khác ta thấy ngay un

= > 0 ∀n

∈ N * 0 < u n

< dãy số un

= bị chặn.

2n

+ 1

2

2n

+ 1

Câu 63. Chọn D.

n

1 n

Xét u − n 1

u = ( 2 + −

n

5 ) − −

+ ( 2 + −n

1−n

1 1 1 5 4

*

5 ) = 5 − 5 = − = − = − < 0, ∀n

∈N .

n n−1

n n

5 5 5 5 5 n

là dãy số giảm.

Câu 64.

Câu 65.

( )

u n

Ta có:

( )

u n

u

1 −n

*

n

= 2 + 5 > 2, ∀n

∈N ;

là dãy số bị chặn.

u

5

2 3,

5

*

n

= + ≤ ∀ ∈N .

n

2n

+ 1

Xét dãy số un

= ta có:

n + 1

2n

+ 1 *

* un

= > 0; ∀n

∈N dãy ( u

n ) bị chặn dưới bởi giá trị 0 .

n + 1

2n

+ 1 1

*

* un

= = 2 − < 2; ∀n

∈N dãy ( u

n ) bị chặn trên bởi giá trị 2 .

n + 1 n + 1

u là dãy bị chặn.

dãy ( )

n

⎛ 1 ⎞

Đáp án B đúng vì dãy số

⎜

⎜⎝ n 1⎟

giảm và bị chặn dưới bởi 0.

+ ⎠

⎛ 1⎞ Đáp án C đúng vì dãy số

⎜− ⎜⎝ n⎟

tăng và bị chặn trên bởi 0.

⎠

⎛ 1 ⎞

Đáp án D đúng vì dãy số

⎜

⎜⎝ 3.2 n ⎟

giảm và bị chặn dưới bởi 0.

⎠

Đáp án A sai vì dãy số ( 2 1)

n − tăng nhưng không bị chặn trên.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

u n

18

TOÁN 11

CẤP SỐ CỘNG

1D3-3

MỤC LỤC

PHẦN A. CÂU HỎI ....................................................................................................................................................... 1

DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG ........................................................................................................................ 1

DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG ............................................................................................................... 2

DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG ..................................................................................................... 3

DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN................................................................................... 5

DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC .............................................................................. 8

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ........................................................................................................................... 10

DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG ...................................................................................................................... 10

DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG ............................................................................................................. 12

DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG ................................................................................................... 13

DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN................................................................................. 15

DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ............................................................................ 19

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

PHẦN A. CÂU HỎI

DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG

(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. 1; −2; −4; −6; − 8 . B. 1; −3; −6; −9; − 12. C. 1; −3; −7; −11; − 15. D. 1; −3; −5; −7; − 9 .

(ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Trong các dãy số sau,

dãy số nào không phải cấp số cộng?

A. 1 ; 3 ; 5 ; 7 ;

9 . B. 1;1;1;1;1. C. −8; −6; −4; − 2;0 . D. 3;1; 1; 2; 4

2 2 2 2 2 − − − .

2

Xác định a để 3 số 1+ 2 a; 2a −1; − 2a

theo thứ tự thành lập một cấp số cộng?

A. Không có giá trị nào của a . B. a = ±

3

.

4

C. a = ± 3 . D. a = ±

3

.

2

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

2

A. u = 3n + 2017 . B. u = 3n + 2018 . C. 3

n

Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?

1

un

: un

n

A. ( )

n

u . D. = ( −3 ) n+

1

= n

n

= . B. ( n ) n n−1

u : u = u − 2, ∀n

≥ 2 .

u .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

C. ( un

) : u

n

= 2 − 1. D. ( n ) n n−1

u : u = 2 u , ∀n

≥ 2 .

n

1

Câu 6. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng?

2

n

A. u = n + 1, n ≥ 1 B. .

u = 2 , n ≥ 1 C. u = n + 1, n ≥ 1 D. u = 2n −3, n ≥ 1

. .

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

n

Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng:

1

A. u 3 n +

2

n

= . B. u = n

n + 1

. C. u

n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

2

n

= n + 1 . D.

u

n

n

5n

− 2

= .

3

Các dãy số có số hạng tổng quát u

n

. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số

cộng?

A. u = 2n

+ 5 . B. 49 , 43,37 , 31, 25 .C. 1 3 n

n

Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng?

n

*

u n 2 , n .

u = + . D. ( ) 2 2

*

A.

n

= + ( ∈N )

B. un

= 3n + 1, ( n∈N

).

n

*

n +

*

C. un

= 3 ,( n∈N ).

D. un

= ( n∈N

)

n

3 1 , .

n + 2

u = n + 3 − n .

Câu 10. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tam giác ABC có ba cạnh a , b ,

2 2 2

c thỏa mãn a , b , c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chọn khẳng định đúng trong

các khẳng định sau

2

2

2

A. tan A , tan B , tan C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

2 2

2

B. cot A, cot B , cot C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

C. cos A , cos B , cos C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

2 2 2

D. sin A , sin B , sin C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG

Câu 11. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng ( )

u với u

1

= 2 và u

2

= 6 . Công sai của cấp số cộng

đã cho bằng

A. 4. B. − 4 . C. 8 . D. 3.

Câu 12. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng ( )

n

u với u

1

= 1 và u

2

= 4. Công sai của cấp số cộng

đã cho bằng

A. 4 . B. − 3. C. 3. D. 5.

Câu 13. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng (un) với u

1

= 3 và u

2

= 9 . Công sai của cấp số cộng

đã cho bằng

A. − 6 . B. 3. C. 12. D. 6 .

Câu 14. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng ( )

n

n

u với u

1

= 2 và u

2

= 8 . Công sai của cấp số cộng

đã cho bằng

A. 10 . B. 6 . C. 4 . D. − 6 .

Câu 15. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho cấp số cộng ( )

n

n

u có u

1

= − 3, u

6

= 27 . Tính công sai d .

A. d = 7 . B. d = 5 . C. d = 8 . D. d = 6 .

Câu 16. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( )

là un

= 3n

− 2 . Tìm công sai d của cấp số cộng.

A. d = 3 . B. d = 2 . C. d = − 2 . D. d = − 3.

u có số hạng tổng quát

n

2

Câu 17. Cho cấp số cộng ( u

n ) với u

17

= 33 và u

33

= 65 thì công sai bằng

A. 1. B. 3. C. − 2 . D. 2 .

Câu 18.

Câu 19.

Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng 20 . Tìm công sai d của

cấp số cộng đã cho

A. d = − 5. B. d = 4 . C. d = − 4 . D. d = 5 .

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho cấp số cộng u

n

có các số hạng đầu lần

lượt là 5;9;13;17;.... Tìm số hạng tổng quát u

n

của cấp số cộng?

A. u = 4n

+ 1. B. u = 5n

− 1. C. u = 5n

+ 1. D. u = 4n

− 1.

n

n

Câu 20. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Xác định số hàng đầu u

1

và công sai d của cấp số

cộng ( u

n ) có u9 = 5u2

và u13 = 2u6

+ 5 .

A. u

1

= 3 và d = 4 . B. u

1

= 3 và d = 5 . C. u

1

= 4 và d = 5 . D. u

1

= 4 và d = 3 .

Câu 21. (Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Cho ( )

n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

u là một cấp số cộng thỏa mãn u1 + u3 = 8 và

u

4

= 10 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. 3. B. 6 . C. 2 . D. 4 .

u2 − u3 + u5

= 7

n

thỏa mãn:

u1 + u6

= 12

A. u = 2n

+ 3 . B. u = 2n

− 1. C. u = 2n

+ 1. D. u = 2n

− 3 .

Câu 22. Tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ( u )

n

DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG

Câu 23. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Cấp số cộng ( )

n

n

u có số hạng đầu u

1

= 3, công sai d = − 2

thì số hạng thứ 5 là

A. u

5

= 8 . B. u

5

= 1. C. u

5

= − 5. D. u

5

= − 7 .

Câu 24. (THPT CAN LỘC - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng có u

1

= − 3 , d = 4 . Chọn

khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. u

5

= 15 . B. u

4

= 8 . C. u

3

= 5 . D. u

2

= 2 .

Câu 25. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( )

sai d = 4 . Hãy tính u

99

.

A. 401. B. 403. C. 402 . D. 404 .

Câu 26. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( )

u = − . Chọn đáp án đúng.

2

1

n

n

n

n

u có u

1

= 11 và công

u

n

, biết: u

1

= 3 ,

A. u

3

= 4 . B. u

3

= 7 . C. u

3

= 2 . D. u

3

= − 5.

Câu 27. (THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Một cấp số cộng ( n )

d = − 3. Tìm số hạng thứ ba của cấp số cộng ( u ) .

A. 50 . B. 28 . C. 38 . D. 44

Câu 28. (Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Cho cấp số cộng ( )

d = 2 . Giá trị của u

7

bằng:

n

n

u có u

13

= 8 và

u có số hạng đầu u

1

= 3 và công sai

3

A. 15. B. 17 . C. 19. D. 13.

Câu 29. (Đề minh họa thi THPT Quốc gia năm 2019 – Đề số 6) Cho cấp số cộng ( u

n ) có số hạng đầu

u

1

= 2 và công sai d = 4 . Giá trị u

2019

bằng

A. 8074. B. 4074 . C. 8078. D. 4078 .

Câu 30. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng thứ 11 của cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3

và công sai d = − 2 .

A. − 21. B. 23. C. − 19 . D. − 17 .

Câu 31. (Phát triển đề minh họa 2019_Số 1) Cho cấp số cộng ( )

u có số hạng đầu u

1

= − 2 và công sai

d = − 7. Giá trị u

6

bằng

A. 37 . B. − 37 . C. − 33 . D. 33 .

u

n

có số hạng đầu u

1

= 2 và công sai d = 5. Giá trị u

4

bằng

A. 22. B. 17. C. 12. D. 250.

Câu 32. Cho cấp số cộng ( )

Câu 33. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho cấp số cộng ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

u với số hạng đầu tiên

u

1

= 2 và công sai d = 2. Tìm u

2018

?

2018

2017

A. u = . B. u = . C. u

2018

= 4036 . D. u

2018

= 4038.

2018

2

2018

2

Câu 34. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho cấp số cộng ( n )

Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của ( )

Câu 35.

n

n

u có u

1

= 3 và công sai d = 7 .

u đều lớn hơn 2018 ?

A. 287 . B. 289 . C. 288 . D. 286 .

(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Viết ba số xen giữa 2 và 22 để ta được một

cấp số cộng có 5 số hạng?

A. 6 , 12, 18. B. 8 , 13, 18. C. 7 , 12, 17 . D. 6 , 10, 14.

Câu 36. Cho cấp số cộng có u

1

= −2

và d = 4 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

A. u

4

= 8 . B. u

5

= 15 . C. u

2

= 3 . D. u

3

= 6 .

Câu 37. Cho cấp số cộng ( )

Câu 38.

u với u

1

= 2 ; d = 9 . Khi đó số 2018 là số hạng thứ mấy trong dãy?

n

A. 226 . B. 225 . C. 223 . D. 224 .

Cho cấp số cộng 1, 4, 7,.... Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là

A. 297 . B. 301. C. 295 . D. 298 .

Câu 39. Cho cấp số cộng ( )

u

u biết

1

= 3 u ,

8

= 24 u

thì

11 bằng

n

A. 30 . B. 33 . C. 32 . D. 28 .

Câu 40. Cho cấp số cộng có số hạng thứ 3 và số hạng thứ 7 lần lượt là 6 và −2. Tìm số hạng thứ 5.

A. u

5

= 2.

B. u

5

= − 2. C. u

5

= 0.

D. u

5

= 4.

Câu 41. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( )

u

n

, biết u

2

= 3 và u

4

= 7 . Giá trị của u

15

bằng

A. 27 . B. 31. C. 35 . D. 29 .

Câu 42. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN - 2018) Cho cấp số cộng ( )

u bằng

1001

u có u

2

= 2001 và u

5

= 1995 . Khi đó

A. 4005 . B. 1. C. 3. D. 4003.

n

4

Câu 43. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Một cấp số cộng có số hạng đầu

u

1

= 2018 công sai d = − 5. Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị

âm.

A. u

406

. B. u

403

. C. u

405

. D. u

404

.

u1 − 2u5 + u6

= −15

u

n

có

. Số hạng đầu u

1

là

u3 + u7

= 46

A. u

1

= − 5 . B. u

1

= 5. C. u

1

= 3. D. u

1

= − 3 .

Câu 44. Cho cấp số cộng ( )

u1

= 2

U

n

xác định bởi

Tính u

*

10

?

un+

1

= un

+ 5, n ∈ N

A. 57 . B. 62 . C. 47 . D. 52 .

Câu 45. Cho dãy số ( )

Câu 46. (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Cho cấp số cộng ( )

Câu 47.

u thỏa mãn

u5 + 3u3 − u2

= −21

. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.

3u7 − 2u4

= −34

A. u

100

= − 243 . B. u

100

= − 295 . C. u

100

= − 231. D. u

100

= − 294 .

2 2 2

Cho cấp số cộng u

n

có công sai d = 2 và biểu thức u2 + u3 + u4

đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2018 là

số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng u

n

?

A. 1011. B. 1014 . C. 1013 . D. 1012 .

Câu 48. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( )

là số hạng thứ bao nhiêu?

A. 100 . B. 50 . C. 75 . D. 44 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

n

u , biết u

1

= − 5 , d = 2 . Số 81

Câu 49. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Một cấp số cộng ( u )

u

9

= 47 , công sai d = 5. Số 10092 là số hạng thứ mấy trong cấp số cộng đó?

A. 2018 . B. 2017 . C. 2016 . D. 2019 .

Câu 50. (THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hai cấp số cộng ( x

n ) : 4

và ( y )

n

n

có

, 7 , 10,…

: 1, 6 , 11,…. Hỏi trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng

chung?

A. 404 . B. 673. C. 403. D. 672 .

DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 51. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( )

u có u

1

= 1 và công sai

d = 2 . Tổng S10 = u1 + u2 + u3.....

+ u10

bằng:

A. S

10

= 110 . B. S

10

= 100 . C. S

10

= 21. D. S

10

= 19 .

Câu 52. [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho dãy số ( n )

sai d = 4 . Biết tổng n số hạng đầu của dãy số ( )

n

n

u là một cấp số cộng có u

1

= 3 và công

u là S = 253 . Tìm n .

A. 9 . B. 11. C. 12. D. 10.

n

5

Câu 53. (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Cho cấp số cộng ( u

n ) ,

*

n∈N có số hạng tổng quát

un

= 1− 3n

. Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng.

A. − 59049 . B. − 59048 . C. − 155 . D. − 310 .

Câu 54. (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Cho dãy số vô hạn { }

công sai d , số hạng đầu u

1

. Hãy chọn khẳng định sai?

u1 + u9

A. u5

= . B. un

= un−

1

+ d , n ≥ 2 .

2

n

*

C. S12 = ( 2u1

+ 11d

) . D. un

= u1 + ( n − 1). d , ∀n

∈N .

2

u là cấp số cộng có

Câu 55. (PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA THI THPT QUỐC GIA 2019Cho cấp số cộng ( )

hạng đầu u

1

= 3 và công sai d = 2 . Tổng của 2019 số hạng đầu bằng

A. 4 080 399 . B. 4 800 399 . C. 4 399 080 . D. 8 154 741.

Câu 56. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho ( )

n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

u có số

u là cấp số cộng biết u3 + u13 = 80 . Tổng 15 số hạng đầu

của cấp số cộng đó bằng

A. 800 . B. 600 . C. 570 . D. 630

Câu 57. Cho cấp số cộng ( )

u với số hạng đầu u

1

= −6

và công sai d = 4. Tính tổng S của 14 số hạng

n

đầu tiên của cấp số cộng đó.

A. S = 46 . B. S = 308. C. S = 644 . D. S = 280 .

Câu 58. (Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho cấp số cộng ( )

u có u

5

= − 15; u

20

= 60 . Tổng 20

số hạng đầu tiên của cấp số cộng là

A. S

20

= 250 . B. S

20

= 200 . C. S

20

= − 200 . D. S

20

= − 25 .

Câu 59. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cho cấp số cộng ( )

n

u

u

n

biết

3 8

n

= 6, u = 16.

Tính công sai d và tổng của 10 số hạng đầu tiên.

A. d = 2; S10

= 100 . B. d = 1; S10

= 80 . C. d = 2; S10

= 120 . D. d = 2; S10

= 110 .

Câu 60. Cho cấp số cộng có công sai d = 6 và S

3

= 9 . Khi đó tổng 20 số hạng đầu tiên S

20

là

A. S

20

= 1200 . B. S

20

= 1080 . C. S

20

= − 250 . D. S

20

= − 1080 .

Câu 61. Cho cấp số cộng ( )

u

n

với un

= 3 − 2n

thì S

60

bằng

A. − 6960 . B. − 117 . C. Đáp án khác. D. − 116 .

Câu 62. Dãy số ( n )

n 1

A.

100 1

u +∞ là cấp số cộng, công sai d . Tổng S

= 100

= u1 + u2 + ... + u100 , u1

≠ 0 là

S = 2u + 99d

. B. S100 50u100

= . C. S = 50( u + u ) . D. S 100( u u )

100 1 100

Câu 63. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số cộng ( )

= + .

100 1 100

u có

u2013 + u6 = 1000 . Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là:

A. 1009000. B. 100800. C. 1008000. D. 100900.

Câu 64. (THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho cấp số cộng (u

n

) thỏa mãn

Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng trên.

A. 100 . B. 110 . C. 10 . D. 90.

n

u1 + u4

= 8

.

u3 − u2

= 2

6

Câu 65. (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho cấp số cộng { u n } có u 4 = − 12 ; u 14 = 18 .

Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

A. S = 24 . B. S = − 25. C. S = − 24 . D. S = 26 .

Câu 66. (THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho cấp số cộng ( )

Tính S = u1 + u4 + u7 + ... + u2011

u thỏa

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

u2 − u3 + u5

= 10

.

u4 + u6

= 26

A. S = 2023736 . B. S = 2023563. C. S = 6730444 . D. S = 6734134 .

Câu 67. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Cho một cấp số cộng ( )

Câu 68.

u có u

1

= 5 và tổng

của 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm công thức của số hạng tổng quát u

n

.

A. u = 1+ 4n

. B. u = 5n

. C. u = 3 + 2n

. D. u = 2 + 3n

.

n

n

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Một cấp số cộng có tổng của n

2 *

số hạng đầu S

n

tính theo công thức Sn

= 5n + 3 n,

( n ∈ N ). Tìm số hạng đầu u

1

và công sai d

của cấp số cộng đó.

A. u1 = − 8; d = 10 . B. u1 = − 8; d = − 10. C. u1 = 8; d = 10 . D. u1 = 8; d = − 10.

Câu 69. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( )

Câu 70.

n

n

n

n

u biết u

5

= 18 và

4S

n

= S2

n

. Giá trị u

1

và d là

A. u

1

= 2 , d = 3 . B. u

1

= 3, d = 2 . C. u

1

= 2 , d = 2 . D. u

1

= 2 , d = 4 .

Gọi S

n

là tổng n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng ( a

n ). Biết S = S , tỉ số a3

6 9

a

A. 9 5 . B. 5 9 . C. 5 3 . D. 3 5 .

Câu 71. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( )

u

n

và gọi

n

5

bằng:

S là tổng n số hạng

đầu tiên của nó. Biết S

7

= 77 và S

12

= 192 . Tìm số hạng tổng quát u

n

của cấp số cộng đó

A. u = 5 + 4n

. B. u = 3 + 2n

. C. u = 2 + 3n

. D. u = 4 + 5n

.

n

n

Câu 72. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy số ( )

2

Sn

2n 3n

= + . Khi đó

A. ( n )

B. ( n )

C. ( n )

D. ( )

a là một cấp số cộng với công sai bằng 4 .

a là một cấp số nhân với công bội bằng 4 .

a là một cấp số cộng với công sai bằng 1.

a là một cấp số nhân với công bội bằng 1.

n

n

n

a , n ≥ 1 là

Câu 73. (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Giải phương trình 1+ 8 + 15 + 22 +…+ x = 7944

A. x = 330 . B. x = 220 . C. x = 351 . D. x = 407 .

Câu 74. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN - 2018) Cho cấp số cộng ( )

n

n

u có số hạng đầu bằng 1 và

1 1 1

tổng 100 số hạng đầu bằng 14950. Giá trị của tổng + + ... + bằng.

u1u 2

u2u3 u49u50

A. 49

49

. B. 148. C. . D. 74 .

74 148

7

Câu 75. Cho một cấp số cộng ( u

n ) có u

1

= 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 10000 . Tính tổng

1 1 1

S = + + ... + .

u1u 2

u2u3 u99u100

100

A. S = . B.

201

200

S = . C.

201

198

S = . D.

199

99

S = .

199

Câu 76. Cho tam giác đều A1 B1C 1

có độ dài cạnh bằng 4 . Trung điểm của các cạnh tam giác A1 B1C 1

tạo

thành tam giác A2 B2C 2

, trung điểm của các cạnh tam giác A2 B2C 2

tạo thành tam giác A3 B3C 3

…

Gọi P1 , P2 , P

3,...

lần lượt là chu vi của tam giác A1 B1C 1

, A2 B2C 2

, A3 B3C 3

,…Tính tổng chu vi

P = P1 + P2 + P3 + ...

A. P = 8 . B. P = 24 . C. P = 6 . D. P = 18 .

DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

Câu 77. (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Hùng đang tiết kiệm để mua một cây

guitar. Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành 42 đô la, và trong mỗi tuần tiếp theo, anh ta đã thêm 8

đô la vào tài khoản tiết kiệm của mình. Cây guitar Hùng cần mua có giá 400 đô la. Hỏi vào tuần

thứ bao nhiêu thì anh ấy có đủ tiền để mua cây guitar đó?

A. 47 . B. 45 . C. 44 . D. 46 .

Câu 78.

Câu 79.

Câu 80.

(THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Trong hội chợ tết Mậu Tuất 2018 , một công ty sữa

muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng 1,3,5,... từ trên xuống dưới (số hộp sữa trên mỗi hàng xếp

từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp - mô hình như hình bên). Hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp

sữa?

A. 59. B. 30. C. 61. D. 57.

(ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Một công ti trách nhiệm hữu hạn thực hiện

việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công

ti là 4,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu

đồng mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ti.

A. 83,7 (triệu đồng). B. 78,3 (triệu đồng). C. 73,8 (triệu đồng). D. 87,3 (triệu đồng).

(PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình

tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….Số

hàng cây trong khu vườn là

A. 31. B. 30 . C. 29 . D. 28 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

8

Câu 81.

(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu

tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước 4 ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao

nhiêu ghế?

A. 2250 . B. 1740. C. 4380 . D. 2190 .

Câu 82. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho 4 số thực a, b, c,

d là 4 số hạng liên tiếp của một

cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 4 và tổng các bình phương của chúng bằng 24 . Tính

3 3 3 3

P = a + b + c + d .

A. P = 64 . B. P = 80 . C. P = 16. D. P = 79 .

Câu 83. (THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( )

Câu 84.

Câu 85.

Câu 86.

Câu 87.

Câu 88.

nhỏ nhất của u1u 2

+ u2u3 + u3u1

?

A. − 20 . B. − 6 . C. − 8 . D. − 24 .

u có u

1

= 4 . Tìm giá trị

(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh

lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là:

A. 1 ;1;

5

3 3 . B. 1 ;1;

7

4 4 . C. 3 ;1;

5

4 4 . D. 1 ;1;

3

2 2 .

Trong hội chợ, một công ty sơn muốn xếp 1089 hộp sơn theo số lượng 1,3,5,... từ trên xuống

dưới (số hộp sơn trên mỗi hàng xếp từ trên xuống dưới là các số lẻ liên tiếp – mô hình như hình

bên dưới). Hàng cuối cùng có bao nhiêu hộp sơn?

A. 63. B. 65. C. 67 . D. 69 .

(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Người ta trồng 1275 cây theo hình tam

giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 2 có 2 cây, hàng thứ 3 có 3 cây,.hàng thứ k có

k ≥ 1 . Hỏi có bao nhiêu hàng ?

k cây ( )

A. 51. B. 52 . C. 53 . D. 50 .

(THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như

sau: Hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,….Hỏi có bao

nhiêu hàng cây.

A. 78 . B. 243. C. 77 . D. 244 .

(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Bà chủ quán trà sữa X muốn trang trí quán cho đẹp nên quyết

định thuê nhân công xây một bức tường bằng gạch với xi măng (như hình vẽ bên dưới), biết hàng

dưới cùng có 500 viên, mỗi hàng tiếp theo đều có ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1

viên. Hỏi số gạch cần dùng để hoàn thành bức tường trên là bao nhiêu viên?

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

A. 25250. B. 250500. C. 12550. D. 125250.

n

9

Câu 89.

Câu 90.

Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng

thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao

nhiêu hàng cây?

A. 81. B. 82 . C. 80 . D. 79 .

Cho hai cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số cộng có 100 số hạng là 4, 7, 10, 13, 16,... và

1, 6, 11, 16, 21,.... Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả hai cấp số cộng trên?

A. 20 . B. 18. C. 21. D. 19.

Câu 91. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Sinh nhật bạn của An vào ngày

01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo 100

đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016 , sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước 100 đồng.

Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền? (thời gian bỏ ống heo tính từ

ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016 ).

A. 738.100 đồng. B. 726.000 đồng. C. 714.000 đồng. D. 750.300 đồng.

Câu 92.

Câu 93.

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho

k k 1

C

14

, C + k 2

14

, C + 14

theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của S .

A. 12 . B. 8 . C. 10 . D. 6 .

2 1 2

(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho x ; ; y theo thứ tự lập thành một cấp số

2

2

cộng. Gọi M,

m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3xy + y . Tính

S = M + m

A. 1. B. 2 . C. 3 . D.

Câu 94. Cho dãy số ( )

un

u thỏa mãn u = 2018 và u = n

1 n+ 1

1+ u

3 1

− .

2 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2

n

với mọi n ≥ 1 . Giá trị nhỏ nhất của n

1

để u < bằng

n

2018

A. 4072325 B. 4072324 C. 4072326 D. 4072327

Câu 95. (THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho cấp số cộng ( n )

và công sai d = 2 , và cấp số cộng ( v ) có v

1

= 2 và công sai d′ = 3 . Gọi ,

Câu 1.

Câu 2.

n

u có u

1

= 3

X Y là tập hợp chứa

1000 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng. Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử bất kỳ trong tập hợp

X ∪ Y . Xác suất để chọn được 2 phần tử bằng nhau gần với số nào nhất trong các số dưới đây?

4

A. 0,83.10 − 4

. B. 1,52.10 − 4

. C. 1,66.10 − 4

. D. 0,75.10 − .

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG

Chọn C

Dãy số ( u

n ) có tính chất un+ 1

= un

+ d thì được gọi là một cấp số cộng.

Ta thấy dãy số: 1; −3; −7; −11; − 15 là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai bằng − 4.

Chọn D

Định nghĩa:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng

đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi.

10

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

1

Đáp án A: Là cấp số cộng với u1

= ; d = 1 .

2

Đáp án B: Là cấp số cộng với u1 = 1; d = 0 .

Đáp án C: Là cấp số cộng với u1 = − 8; d = 2 .

Đáp án D: Không là cấp số cộng vì u u ( 2 ); u u ( 1)

Chọn D

Theo công thức cấp số cộng ta có:

= + − = + − .

2 1 4 3

2 2 3 3

2(2a − 1) = (1 + 2 a) + ( −2 a)

⇔ a = ⇔ a = ± .

4 2

Chọn B

Ta có un+ 1

− un = 3( n + 1) + 2018 − (3n + 2018) = 3 ⇔ un+

1

= u

n

+ 3 .

Vậy dãy số trên là cấp số cộng có công sai d = 3.

Chọn B

u : u = u − 2, ∀n

≥ 2

Xét dãy số ( n ) n n−1

Ta có un

− un−

1

= −2, ∀n

≥ 2

Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d = − 2

Chọn D

Theo định nghĩa cấp số cộng ta có: u 1 = u + d ⇔ u 1 − u = d, ∀n ≥ 1, d = const

n+ n n+

n

Thử các đáp án ta thấy với dãy số: u = 2n −3, n ≥ 1 thì:

n

un

= 2n

− 3

un+

1 − un

= 2 = const

un+

1 = 2( n + 1)

− 3 = 2n

−1

Câu 7. Chọn D

*

Ta có dãy u

n

là cấp số cộng khi un

+ 1

− u

n

= d , ∀n

∈ N với d là hằng số.

Bằng cách tính 3 số hạng đầu của các dãy số ta dự đoán đáp án D.

5( n + 1) − 2 5n

− 2 5 *

Xét hiệu un+

1

− un

= − = , ∀ n ∈ N .

3 3 3

5n

− 2

Vậy dãy un

= là cấp số cộng.

3

Câu 8. Chọn C.

Xét dãy số 1 3 n

1

u

n

= + , suy ra u = 1

1 + 3 n +

. Ta có n

*

n +

un+ 1

− un

= 2.3 , ∀n∈N . Do đó u

n

= 1+

3n

không phải là cấp số cộng.

Câu 9. Chọn B

*

2 n

n+

1 n n

*

un

n , n

un+ 1

− un

= n + 1+ 2 − n − 2 = 2 + 1, n∈N thay đổi

Với dãy số = + ( ∈N ) , xét hiệu: ( )

*

theo n nên u 2 n

= n + ,( n∈N ) không là cấp số cộng. (A loại)26

*

Với dãy số un

= 3n + 1, ( n∈N ) , xét hiệu: un+ 1

un

3( n 1) 1 3n 1 3, ( n

*)

*

nên un

= 3n + 1, ( n∈N ) là cấp số cộng. (B đúng)

*

Với dãy số u 3 n

= ,( n∈N ) , xét hiệu: un+ 1

un

n+

1

3

n

3

n

2.3 ,( n

*)

un

n

*

= 3 ,( n∈N ) không là cấp số cộng. (C loại)

− = + + − − = ∈N là hằng số

− = − = ∈N thay đổi theo n nên

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

11

Câu 10.

Câu 11.

Câu 12.

Câu 13.

Câu 14.

3n

+ 1 , , xét hiệu:

n + 2

3( n + 1)

+ 1 3n

+ 1 5

un+

1

− un

= − = , n ∈

n + 1+ 2 n + 2 n + 2 n + 3

*

Với dãy số un

= ( n∈

N )

không là cấp số cộng. (D loại)

3n

+ 1 ,

( )( ) ( *

N ) thay đổi theo n nên *

un

= ( n∈

N )

n + 2

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có

a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C

2 2 2

Theo giả thiết a , b , c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên

2 2 2 2 2 2

2 2 2

⇔ 4 R .sin A+ 4 R .sin C = 2.4 R .sin B ⇔ sin A+ sin C = 2.sin B .

2 2 2

Vậy sin A , sin B , sin C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG

Chọn A

Ta có u

2

= 6 ⇔ 6 = u1

+ d ⇔ d = 4 .

Chọn C

u là cấp số cộng nên u2 = u1 + d ⇔ d = u2 − u1 = 4 − 1 = 3.

Vì ( )

n

Chọn D

Ta có: d = u2 − u1 = 6 .

Chọn B

u là cấp số cộng nên ta có u2 = u1 + d ⇔ d = u2 − u1 = 8− 2 = 6 .

Vì ( )

n

Câu 15. Ta có u6 = u1 + 5d = 27 d = 6 .

Câu 16. Ta có ( )

Câu 17.

Câu 18.

Câu 19.

u − n 1

u = n

3 n + 1 − +

2 − 3n

+ 2 = 3

Suy ra d = 3 là công sai của cấp số cộng.

Chọn D

Gọi

1

Khi đó, ta có: u17 = u1 + 16d

, u33 = u1 + 32d

u , d lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng ( )

Suy ra: u33 − u17 = 65 − 33 ⇔ 16d = 32 ⇔ d = 2

Vậy công sai bằng: 2 .

Chọn C

Gọi năm số hạng của cấp số cộng đã cho là: u1 ; u2; u3 ; u4; u

5.

Theo đề bài ta có: u1 − u5 = 20 ⇔ u1 − ( u1

+ 4 d) = 20 ⇔ d = −5

Chọn A

u = u + n − d

n 1 ( 1)

▪ ( )

▪ ( )

u3 = u1 + 3 − 1 d = 13 ⇔ 5 + 2d = 13 ⇔ d = 4

u = 5 + n − 1 .4 = 4n

+ 1

n

Câu 20. Ta có: ( )

Câu 21.

u = u + n − d . Theo đầu bài ta có hpt:

n

1

1

4u1 − 3d = 0 u1

= 3

⇔

⇔ .

u1

− 2d = − 5 d

= 4

Chọn A

a + c = 2b

2 2 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

u .

n

( )

( )

u1 + 8d = 5 u1

+ d

u1 + 12d = 2 u1

+ 5d

+ 5

12

u1 + u3 = 8 u1 + u1 + 2d = 8 2u1 + 2d = 8 u1

= 1

Ta có ⇔ ⇔ ⇔ .

u4

= 10 u1 + 3d = 10 u1

+ 3d

= 10 d

= 3

Vậy công sai của cấp số cộng là d = 3.

Câu 22. Chọn B

u2 − u3 + u5

= 7

Giả sử dãy cấp số cộng ( un

) có công sai là d . Khi đó, trở thành:

u1 + u6

= 12

( + ) − ( + ) + ( + ) =

⇔

u1 ( u1

5d

) 12

1

Số hạng tổng quát của cấp số cộng ( u ) : ( ) ( )

Vậy u = 2n

− 1.

n

u1 d u1 2d u1 4d 7 u1 + 3d = 7 u1

= 1

⇔

+ + = 2u + 5d = 12 d

= 2

DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG

Câu 23. Ta có: u5 = u1 + 4d

= 3 + 4. ( − 2)

= − 5 .

Câu 24. Ta có u3 = u1 + 2d

= − 3 + 2.4 = 5 .

Câu 25. Ta có : u99 = u1 + 98d

= 11+ 98.4 = 403 .

Câu 26. Ta có ( )

u

n

là cấp số cộng nên

2 1 3

= + 8 u 12. ( 3)

1

n

u = u1 + n − 1 d = 1+ n − 1 .2 = 2n

− 1

n

2u = u + u suy ra u3 = 2u2 − u1

= − 5 .

Câu 27. Ta có: u13 u1 12d

⇔ = + − u1 = 44 u3 = u1 + 2d

= 44 − 6 = 38.

Câu 28.

Câu 29.

Câu 30.

Câu 31.

Câu 32.

Câu 33.

Chọn A

Ta có u7 = u1 + 6. d = 3 + 6.2 = 15.

Chọn A

Áp dụng công thức của số hạng tổng quát ( )

Chọn D

u = u + n − d = 2+ 2018.4 = 8074 .

n

1

1

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có u u d ( )

Chọn B

Ta có u6 = u1 + 5d

= −2 − 35 = − 37 .

Chọn B

Ta có: u4 = u1 + 3d

= 2 + 15 = 17 .

Chọn C

u = u + n −1 d u = 2 + 2018 − 1 .2 = 4036 .

Ta có: ( ) ( )

n

1 2018

Câu 34. Ta có: u = u + ( n − ) d 3 7( n 1)

Vậy n = 289 .

n

1

1

Câu 35. Xem cấp số cộng cần tìm là ( )

Câu 36.

Câu 37.

Vậy cấp số cộng cần tìm là ( )

11

=

1

+ 10 = 3+ 10. − 2 = − 17 .

2022

= + − = 7n

− 4 ; u

n

> 2018 ⇔ 7n

− 4 > 2018 ⇔ n > .

7

u có:

n

n

u1

= 2

. Suy ra:

u5

= 22

u : 2 , 7 , 12, 17 , 22 .

Chọn D

Ta có: u

1

= −2

và d = 4 suy ra u2 = u1 + d = − 2 + 4 = 2

u1 = 2

.

d

= 5

u3 = u1 + 2d

= − 2 + 2.4 = 6 ; u4 = u1 + 3d

= − 2 + 3.4 = 10 ; u5 = u1 + 4d

= − 2 + 4.4 = 14

Nên đáp án D đúng.

Chọn B

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

13

Câu 38.

n

= + ( − )

( n )

u u n d

1

1

⇔ 2018 = 2 + −1 .9 ⇔ n = 225 .

Chọn D

Cấp số cộng 1, 4, 7,.... có số hạng đầu u

1

= 1 và công sai d = 3.

Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là: u100 = u1 + 99. d = 1+ 99.3 = 298 .

Câu 39. Chọn B.

Ta có:

u8 − u1

24 − 3

u8 = u1

+ 7d d = = = 3 .

7 7

u11 = u1 + 10d

= 33 .

Câu 40.

Chọn A

⎧ ⎪u3 = 6 ⎧ u1

+ 2d = 6 ⎧

d =−2

Theo giả thiết ta có

⎨ ⇔ ⎪

⎨ ⇔ ⎪

⎨

⎪⎩

u7 =− 2 ⎪⎩

u1

+ 6d

=−2

⎪⎩

u1

= 10

Vậy u

5

= 2 .

Câu 41. Từ giả thiết u

2

= 3 và u

4

= 7 suy ra ta có hệ phương trình:

Vậy u15 = u1 + 14d

= 29 .

Câu 42. Gọi u

1

và d lần lượt là số hạng đầu tiên và công sai của cấp số công.

u2 = 2001 u1 + d = 2001 u1

= 2003

Ta có: ⇔ ⇔ .

u5 = 1995 u1

+ 4d = 1995 d

= −2

Vậy u1001 = u1 + 1000d

= 3 .

Câu 43. Ta có u = u + ( n − ) d = − ( n − )

u1

+ d = 3 u1 = 1

.

u1

+ 3d

= 7 d

= 2

n 1

1 2018 5 1

2023

Có un

< 0 ⇔ 2018 − 5( n − 1)

< 0 ⇔ 5n > 2023 ⇔ n > , n ∈Z n ≥ 405 .

5

Vậy từ u

405

thì số hạng của cấp số cộng đó nhận giá trị âm.

Câu 44. Chọn C.

u = u + n − d .

Câu 45.

Câu 46.

Gọi d là công sai của CSC. Ta có

n 1 ( 1)

1 5 6

u1 ( u1 d ) ( u1

d )

u u 46 ( u 2d ) ( u 6d

) 46

u − 2u + u = − 15 − 2 + 4 + + 5 = −15

d

= 5

⇔ ⇔

u1

= 3.

3

+

7

=

2u

1

+ +

1

+ = 1

+ 8d

= 46

Chọn C

Cách 1 : Dùng casio 570VN

B1 : Nhập vào máy tính “2”=>SHIFT=>STO=>A

B2: Nhập B = A + 5 : A = B

B3: Ấn CALC rồi bấm liên tiếp dấu “=” cho kết quả u

10

= 47 .

u1

= 2

Cách 2 : Từ

un+

1

= un

+ 5, n ∈ N

Ta có u

1

u 5

n+ − = nên dãy ( )

u10 = u1 + 9d

= 2 + 45 = 47 .

n

*

.

U là một cấp số cộng với công sai d = 5 nên

n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( )

u5 + 3u3 − u2

= −21

u1 + 4d + 3 u1 + 2d − u1

− d = −21

u1

+ 3d

= −7

u1 = 2

⇔

⇔ ⇔ .

3u7 − 2u4

= −34

3( u1 + 6d ) − 2( u1

+ 3d

) = −34

u1

+ 12d

= − 34 d

= − 3

14

Số hạng thứ 100 là ( )

u

100

= 2 + 99 − 3 = − 295 .

Câu 47. Chọn D

Ta có:

u2 = u1

+ 2

2 2 2 2 2 2 2

2

u3 = u1 + 4 u2 + u3 + u4 = ( u1 + 2) + ( u1 + 4) + ( u1 + 6) = 3u1 + 24u1 + 56 = 3( u1

+ 4)

+ 8 ≥ 8

u4 = u1

+ 6

2 2 2

Vậy u + u + u đạt giá trị nhỏ nhất khi u

1

= − 4 .

2 3 4

2018 = u + n −1 d ⇔ 2018 = − 4 + n −1 2 ⇔ n = 1012.

Từ đó suy ra 1 ( ) ( )

Câu 48. Ta có u = u + ( n − ) d ⇔ 81 = − 5 + ( n −1)

2 n 44

n

1

1

⇔ = .

Vậy 81 là số hạng thứ 44 .

Câu 49. Ta có u9 = u1 + 8d u1

= 7 .

Gọi 10092 là số hạng thứ n trong khai triển, ta có:

10092 − 7

10092 = u1

+ ( n −1)

d n = + 1 = 2018 .

5

Câu 50. Số hạng tổng quát của cấp số cộng ( xn

) là: xn

( n )

Số hạng tổng quát của cấp số cộng ( y ) là: y ( m )

n

m

= 4 + −1 .3 = 3n

+ 1.

= 1+ −1 .5 = 5m

− 4 .

Giả sử k là 1 số hạng chung của hai cấp số cộng trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số.

*

x nên k = 3i

+ 1 với 1 ≤ i ≤ 2018 và i ∈N .

Vì k là 1 số hạng của cấp số cộng ( n )

Vì k là 1 số hạng của cấp số cộng ( )

Do đó 3i

+ 1= 5 j − 4 3i

= 5 j − 5 i 5 i ∈

y nên k = 5 j − 4 với 1≤ j ≤ 2018 và

n

⋮ { 5;10;15;...;2015}

DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 51.

n( u ) 2

1 ( 1

n

+ u n u + n −

1

) d

* Áp dụng công thức Sn

= =

ta được:

2 2

10 2 + ( 10 −1)

2

S10

=

= 100 .

2

n( 2u1

+ ( n − 1)

d ) n( 2.3 + ( n −1 ).4)

Câu 52. Ta có Sn

= ⇔ = 253

2 2

n

= 11

2

⇔ 4n

+ 2n

− 506 = 0 ⇔

23 .

n = − ( L)

2

Câu 53.

( u1 + u10

) 10

Ta có: u

1

= − 2; u

10

= − 29 ; S10

= = − 155 .

2

Câu 54.

n n

Ta có công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: Sn

= nu1

+

2

12.11. d

n

Suy ra S12 = 12u1

+ = 6( 2u1

+ 11d

) ≠ ( 2u1

+ 11d

) .

2

2

Câu 55. Chọn A.

Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng ta có:

n( u1

+ un

) n( n −1)

Sn

= = nu1

+ d = 2019.3 + 2019.2018 = 4 080 399 .

2 2

*

j ∈ N .

có 403 số hạng chung.

( −1)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

d

15

Câu 56. ... ( ) ( ) ( ) ... ( )

S = u + u + u + + u = u + u + u + u + u + u + + u + u + u

15 1 2 3 15 1 15 2 14 3 13 7 9 8

Vì u1 + u15 = u2 + u14 = u3 + u13 = ... = u7 + u9 = 2u8

và u3 u13 80 S

+ = = 7.80 + 40 = 600 .

Câu 57. Chọn D

2u1

+ ( n −1)

d n

Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là Sn

=

.

2

2( − 6) + ( 14 −1)

414

Vậy S =

= 280 .

2

Câu 58. Chọn A

u5 = − 15 u1 + 4d = − 15 u1 = − 35 ( u1 + u20

) 20

Ta có ⇔ ⇔ S20

= = 250 .

u20 = 60 u1

+ 19d = 60 d

= 5 2

Câu 59. Chọn D

u3 = 6 u1 + 2d = 6 u1

= 2

⇔ ⇔ .

u8 = 16 u1

+ 7d = 16 d

= 2

10( 10 −1) 10( 10 −1)

S10 = 10. u1

+ . d = 10.2 + .2 = 110 .

2 2

Câu 60. Chọn B.

3

Ta có: S3 = ( 2u1 + 2d ) = 3u1 + 3d = 3u1

+ 18 .

2

3u

+ 18 = 9 ⇔ u = − 3.

1 1

20

S20 = ( 2u1

+ 19d

) = ( 2. ( − 3)

+ 19.6 ).10 = 1080 .

2

Câu 61. Chọn C.

Ta có u = n 1

1 − +

2n

, Ta có *

un+ 1

− un

= −2,

∀n

∈N , suy ra ( u

n ) là cấp số cộng có u

1

= 1 và công sai

60

d = − 2 . Vậy S60 = ( 2 u1

+ 59 d ) = − 3840 .

2

Câu 62. Chọn C

u +∞ là cấp số cộng có u

= 1

≠ 0 và công sai d thì

Câu 63.

Câu 64.

Câu 65.

Nếu ( n )

n 1

n

Sn = u1 + u2 + ... + un = ( u1

+ un

) .

2

Áp dụng với n = 100 , ta chọn C .

Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó:

u2013 + u6 = 1000 ⇔ u1 + 2012d + u1

+ 5d

= 1000 ⇔ 2u1

+ 2017d

= 1000 .

2017.2018

Ta có: S2018 = 2018u1

+ d = 1009. ( 2u1

+ 2017d

) = 1009000 .

2

Chọn A

Gọi cấp cố cộng có công sai là d ta có u2 = u1 + d; u3 = u1 + 2 d; u4 = u1

+ 3d

u1 + u4 = 8 2u1 + 3d = 8 u1

= 1

Khi đó ⇔ ⇔

u3 − u2

= 2 d = 2 d

= 2

n( n −1)

Áp dụng công thức S = nu1

+ d

2

10.9

Vậy tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng là S

10

= 10.1 + .2 = 100

2

Chọn A

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

16

u4 = − 12 u1 + 3d = − 12 u1

= −21

Ta có: ⇔ ⇔ .

u14 = 18 u1

+ 13d = 18 d

= 3

16.15

S 16 = 16. − 21 + .3 = 24 .

2

Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: ( )

Câu 66.

u2 − u3 + u5

= 10 u1 + d − u1 − 2d + u1

+ 4d

= 10 u1

+ 3d

= 10 u1 = 1

⇔

⇔

⇔ .

u4 + u6

= 26 u1 + 3d + u1

+ 5d

= 26

2u1

+ 8d

= 26 d

= 3

u

4

= 10 , u

7

= 19 , u

10

= 28 …

Ta có u

1

, u

4

, u

7

, u

10

, …, u

2011

là cấp số cộng có

671

S = ( 2.1 + 670.9 ) = 2023736 .

2

Câu 67. Ta có: S ( u d )

50

= 2 + 49 = 5150 d = 4 .

2

50 1

u1 = 1

d

= 9

n

= 671

Số hạng tổng quát của cấp số cộng bằng ( )

Câu 68. Ta có: u1 = S

1

= 8 .

u = S − S = 18 d = u − u = 18 − 8 = 10 .

2 2 1 2 1

Câu 69. Ta có u

5

= 18 ⇔ u 1

+ 4d

= 18 .

Câu 70.

u = u1 + n − 1 d = 1+ 4n

.

5.4 10.9

Lại có 4S5 = S10

⇔ 45u1 + d = 10u1

+ d ⇔ 2u

1

− d = 0 .

2 2

u1

+ 4d

= 18 u

= 2

Khi đó ta có hệ phương trình

⇔ 1 .

2u1

− d = 0 d

= 4

Chọn C

6( 2a1 + 5d ) 9( 2a1

+ 8d

)

Ta có S6 = S9 ⇔ = ⇔ a1

= − 7 d.

2 2

a3 a1

+ 2d − 7d + 2d

5

= = = .

a a + 4d − 7d + 4d

3

5 1

Câu 71. Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u

1

và công sai d .

7.6. d

7u1

+ = 77

S7 = 77 2

7u1 + 21d = 77 u1

= 5

Ta có: ⇔ ⇔ ⇔ .

S12

= 192 12.11. d 12u1

+ 66d

= 192 d = 2

12u1

+ = 192

2

Khi đó: u = u1 + ( n − 1) d = 5 + 2( n − 1)

= 3 + 2n

.

Câu 72.

Ta có

n

2

Sn

2n 3n

n

= + u1 = S1 = 5 , u1 + u2 = S2 = 14 u2 = 9 , u1 + u2 + u3 = S3 = 27 u3 = 13 …

Dựa vào nội dung các đáp án ta chọn được đáp án ( )

a là một cấp số cộng với công sai bằng 4 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 73. Ta có cấp số cộng với u

1

= 1, d = 7

Áp dụng công thức

, un

= x , S = 7944 .

n

n

17

( ) ( )

2u1 n 1 d n 2.1 n 1 7 n

2

S + −

n

7944 + −

=

⇔ =

⇔ 7n − 5n

− 15888 = 0

2 2

n

= 48 ( t / m)

⇔

331 .

n = − ( loai)

7

Vậy x = u48 = 1+ 47.7 = 330 .

Câu 74. Gọi d là công sai của cấp số cộng. Ta có S ( u d )

Câu 75.

Câu 76.

= 50 2 + 99 = 14950 với u1 = 1 d = 3

100 1

1 1 1

Đặt S = + + ... + .

u1u 2

u2u3 u49u50

d d d u2 − u1

u3 − u2 u50 − u49

Ta có S. d = + + ... + = + + ... +

u1u 2

u2u3 u49u50

u1u 2

u2u3 u49u50

1 147

= 1− = .

1 + 49.3 148

49

Với d = 3 nên S = .

148

Chọn D

Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho.

200 − 2u1

Ta có: S100 = 50( 2u1

+ 99d ) = 10000 d = = 2 .

99

2 2 2

2 S = + + ... +

u1u 2

u2u3 u99u100

u2 − u1

u3 − u2 u99 − u100

= + + ... +

u1u 2

u2u3 u99u100

1 1 1 1 1 1 1 1

= − + − + ... + − + −

u1 u2 u2 u3 u98 u99 u99 u100

1 1 1 1 198

= − = − =

u1 u100 u1 u1

+ 99d

199

99

S = .

199

A 1

C 2

A 3 B 3

A 2

B 2

C 1

B 1

C 3

Chọn B

Ta có:

1

P2 = P1

; P3 = 1 P 1

2

= P1

; 1 1 1

P4 = P3 = P1

…; Pn

= P

n−1

1

2 2 4 2 8 2

…

1 1

= −

u u

1 50

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

18

1 1 1 P1

Vậy P = P1 + P2 + P3 + ... = P1 + P1 + P1 + P1 + ... = = 2P1

= 24.

2 4 8 1

1−

2

DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

Câu 77. Sau tuần đầu, Hùng cần thêm 358 đô la. Như vậy Hùng cần thêm 358:8 = 44,75 tuần.

Vậy đến tuần thứ 46 Hùng đủ tiền.

Câu 78.

Câu 79.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng liên tiếp của CSC:

n

Sn

= 2u1

+ ( n −1)

d

2

n

⇔ 900 = 2.1+ ( n −1 ).2

2

2

⇔ n = 900

n = 30.

Vậy u

30

= 1+ 29*2 = 59.

Cách 2:

2

Áp dụng công thức 1+ 3 + 5 + ..... + (2n

− 1) = n .

Suy ra n = 30.

Vậy 2n − 1 = 59.

Ta có 3 năm bằng 12 quý.

Gọi u

1

, u

2

, …, u

12

là tiền lương kĩ sư đó trong các quý (từ quý 1 đến quý 12).

Suy ra ( )

u là cấp số cộng với công sai 4,5.

n

Vậy số tiền lương kĩ sư nhận được là

2u1

+ ( n −1)

d 2× 4,5 + 11×

0,3

S12

= n

= 12 = 73,8 (triệu đồng).

2

2

Câu 80. Cách trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như trên lập thành một cấp số cộng ( u )

với số u

n

là số cây ở hàng thứ n và u

1

= 1 và công sai d = 1.

n( n + 1)

n

= 30

2

Tổng số cây trồng được là: S

n

= 465 ⇔ = 465 ⇔ n + n − 930 = 0 ⇔ .

2

n

= −31( l)

Như vậy số hàng cây trong khu vườn là 30 .

Câu 81. Gọi u1, u2,...

u

30

lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,… và dãy ghế số ba

mươi. Ta có công thức truy hồi ta có un

= un−

1

+ 4 ( n = 2,3,...,30)

.

Ký hiệu: S30 = u1 + u2 + ... + u30

, theo công thức tổng các số hạng của một cấp số cộng, ta được:

30

S30 = ( 2 u1

+ ( 30 − 1 ) 4 ) = 15 ( 2.15 + 29.4 ) = 2190 .

2

a + d = b + c

Câu 82. Theo giả thiết ta có: a + d = b + c = 2 .

a + b + c + d = 4

2 2

( ) ( ) 2( )

2 2

( ) ( )

2 2 2 2

a + b + c + d = a + d + b + c − ad + bc

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2 2 2 2

ad + bc = a + b + c + d − a + d − b + c = −8

.

P a b c d

3 3 3 3

= + + + = ( a + d )( a 2 − ad + d 2 ) + ( b + c)( b 2 − bc + c

2

)

n

19

Câu 83.

2 2 2 2

= 2 a + b + c + d − ad − bc = 64 .

Ta gọi d là công sai của cấp số cộng.

u1u 2

+ u2u3 + u3u1 = 4 4 + d + 4 + d 4 + 2d + 4 4 + 2d

= + + = + − ≥ −

( ) ( )( ) ( )

( ) 2

2

2d 24d 48 2 d 6 24 24

Dấu " = " xảy ra khi d = − 6 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của u1u 2

+ u2u3 + u3u1

là − 24 .

Câu 84. Gọi d là công sai của cấp số cộng và các cạnh có độ dài lần lượt là a − d , a , a d

Câu 85.

Câu 86.

Câu 87.

Câu 88.

Câu 89.

+ ( 0 d a)

< < .

Vì tam giác có chu vi bằng 3 nên 3a = 3 ⇔ a = 1.

2 2 2

1

Vì tam giác vuông nên theo định lý Pytago ta có ( 1+ d ) = ( 1− d ) + 1 ⇔ 4d

= 1 ⇔ d = .

4

Suy ra ba cạnh của tam giác có độ dài là 3 ;1;

5

4 4 .

Chọn B

Giả sử 1089 được xếp thành n hàng. Từ giả thiết ta có số hộp sơn trên mỗi hàng là số hạng của

u với số hạng đầu u

1

= 1 công sai d = 2 . Do đó

một cấp số cộng ( n)

( )

S = 1089 ⇔ n + n n − 1 = 1089 ⇔ n = 33.

n

( )

Vậy số hộp sơn ở hàng cuối cùng là: u

33

= 1+ 32.2 = 65 (hộp sơn).

Chọn D

Đặt u

k

là hàng thứ k

k ( k + 1)

Ta có : S = u1 + u2

+ ... + uk

= 1+ 2 + 3 + ... + k =

2

k ( k + 1) k

= 50

Theo giả thiết ta có : = 1275 ⇔

2

k

= − 51 < 0

Vậy k = 50 nên có 50 hàng.

Chọn C

Giả sử có n hàng cây.

Theo đề bài ta có:

n.( n + 1)

2 n

= 77 ( TM )

1+ 2 + 3 + .... + n = 3003 ⇔ = 3003 ⇔ n + n − 6006 = 0 ⇔

2

.

n

= −78 ( L)

Chọn D

Ta có số gạch ở mỗi hàng là các số hạng của 1 cấp số cộng: 500 , 499 , 498 ,., 2 , 1.

⇒ Tổng số gạch cần dùng là tổng của cấp số cộng trên, bằng

500(500 + 1)

S500

= = 250.501 = 125250 (viên)

2

Chọn C

n ≥1,

n∈N .

Giả sử trồng được n hàng cây ( )

Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có u

1

= 1 và công sai d = 1.

Theo giả thiết:

n

2

n

= 80

S

n

= 3240 ⇔ 2u1

+ ( n − 1)

d = 3240

2

⇔ n ( n + 1)

= 6480 ⇔ n + n − 6480 = 0 ⇔

n

= −81

So với điều kiện, suy ra: n = 80 .

Vậy có tất cả 80 hàng cây.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

20

Câu 90.

Câu 91.

Câu 92.

Câu 93.

Chọn A

*

Cấp số cộng đầu tiên có số hạng tổng quát là un

= 4 + ( n − 1 ).3 = 3n + 1 ( n ∈ N ).

*

Cấp số cộng thứ hai có số hạng tổng quát là um

= + ( m − ) = m − ( m ∈ N )

Ta cần có n + = m − ⇔ n = ( m − )

3 1 5 4 3 5 1 .

1 1 .5 5 4 .

Ta thấy để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì 3n

⋮ 5 ⇔ n ⋮ 5. Vì cấp số cộng có 100 số hạng nên từ

đó suy ra có 20 số hạng chung.

Số ngày bạn An để dành tiền (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến

ngày 30 tháng 4 năm 2016 ) là 31+ 29 + 31+ 30 = 121 ngày.

Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là: u

1

= 100 .

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: u

2

= 100 + 1.100 .

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: u

3

= 100 + 2.100 .

…

u u n d = 100 + n −1 100 = 100n .

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ n là: = + ( − ) ( )

n

1

1

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ 121 là: u

121

= 100.121 = 12100 .

Sau 121 ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của 121 số hạng đầu của cấp số cộng có số

hạng đầu u

1

= 100 , công sai d = 100 .

121

2

Vậy số tiền An tích lũy được là S = ( u + u ) ( )

Chọn A

Điều kiện: k ∈ N , k ≤ 12

k 1

C , C + ,

k

14

14

k 2

C +

14

C + C = 2C

k k + 2 k + 1

14 14 14

121 1 121

theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ta có

121

= 100 + 12100 = 738100 đồng.

2

14! 14! 14!

⇔ + = 2

k! 14 k ! k 2 ! 12 k ! k 1 ! 13 k !

⇔ 1 + 1 = 2

( − ) ( + ) ( − ) ( + ) ( − )

( 14 − k )( 13 − k ) ( k + 1)( k + 2) ( k + 1)( 13 − k )

( 14 k )( 13 k ) ( k 1)( k 2) 2( 14 k )( k 2)

⇔ − − + + + = − +

2 k

= 4 (tm)

⇔ k − 12k

+ 32 = 0 ⇔ .

k

= 8 (tm)

Có 4 + 8 = 12.

Chọn A

2 1 2

Ta có: x ; ; y theo thứ tự lập thành một cấp số cộng x

2

Đặt x = sinα

, y = cosα

.

+ y = 1.

2 2

2 2 3 1+

cos 2α

P = 3xy + y = 3 sin α.cosα + cos α = sin2α

+ ⇔ 2P − 1= 3sin2α + cos2α

.

2 2

Giả sử P là giá trị của biểu thức 2P − 1= 3sin2α + cos 2α

có nghiệm.

2

( ) ( ) 2 2 1 3

⇔ 2P

−1 ≤ 3 + 1 ⇔ − ≤ P ≤ .

2 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

21

3 1

Vậy M = ; m = − S = 1.

2 2

Câu 94. Chọn A

Từ giả thiết suy ra u > 0, ∀n

≥ 1

un

Ta có u = n+ 1

1+ u

n

n

2

n

, ∀n

≥ 1 ⇔

u 1 1

u =

+

⇔ = 1+

+

2 2

u u

2

2 n

n 1 2

1 un

1

1

Đặt v = , khi đó v = và

n 2

1

v 1 v

2 n+ 1 n

u

2018

= + nên ( v

n ) là cấp số cộng có công sai là 1 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n+

1

1

1 1

v = v +

1 ( n − 1)

= + n − 1 suy ra n 1

n

2

2 2

2018

u = 2018

+ − .

Để

1

u < ⇔

n

2018

1

2018

2

2

u > ⇔ 2

2

2018

n

n

1

( n − 1) + > 2018

1

2

1

⇔ n > 1− + 2018 ⇔ n > 4072325 −

2

2

2018

2018

Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn điều kiện là 4072325 .

2

Câu 95. Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử bất kỳ trong tập hợp X ∪Y

ta có C

2000

cách chọn.

Gọi 2 phần tử bằng nhau trong X , Y là u

k

và v

l

.

3l

Do uk

= vl

⇒ 3+ 2( k − 1) = 2 + 3( l − 1)

⇒ k = − 1

2

Do 1≤ k ≤ 1000 ⇒ 1≤ l ≤ 667 . Mặt khác l = 2x

⇒ 1 ≤ x ≤ 333,5 ⇒ có 333 số

2

333

−4

Vậy xác suất để chọn được 2 phần tử bằng nhau là: ≈ 1,665832916.10 .

2

C

2000

n

22

TOÁN 11

CẤP SỐ NHÂN

1D3-4

MỤC LỤC

PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1

DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN ........................................................................................................................ 1

DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN ..................................................................................................... 2

DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN ..................................................................................................... 3

DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN................................................................................... 6

DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG ........................................................................................... 8

DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC .............................................................................. 8

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 12

DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN ...................................................................................................................... 12

DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN ................................................................................................... 13

DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN ................................................................................................... 14

DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN................................................................................. 18

DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG ......................................................................................... 21

DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ............................................................................ 22

PHẦN A. CÂU HỎI

DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN

Câu 1. Trong các dãy số ( u )

Câu 2.

Câu 3.

n

A. u = 3 n . B. u = 2 .

n

n

n

n

sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?

C. u = 1 n

. D. u = 2 + 1.

n

n

n

u được cho bởi công thức nào dưới đây là số hạng tổng quát của một cấp số nhân?

1

A. u

n

= . B. u

n+

1

2

n

2 1

1

= n − . C. u

n

= − 1. D. u

n

2

2

= n + .

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

2 1

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?

1 n

2

n

un

= − n . B. un

= n . C. u 2 n

n

= . D. u

n

= .

n

3

A. ( )

1 *

Câu 4. Cho dãy số ( un

) có số hạng tổng quát là 3.2

n +

un

( n )

A. Dãy số là cấp số nhân có số hạng đầu u

1

= 12 .

B. Dãy số là cấp số cộng có công sai d = 2 .

C. Dãy số là cấp số cộng có số hạng đầu u

1

= 6 .

= ∀ ∈ N . Chọn kết luận đúng:

1

D. Dãy số là cấp số nhân có công bội q = 3.

Câu 5.

Câu 6.

Dãy nào sau đây là một cấp số nhân?

A. 1, 2,3, 4,... . B. 1,3,5,7,.... C. 2, 4,8,16,... . D. 2, 4,6,8,...

1 1 1 1

Cho dãy số: −1; ; − ; ; − . Khẳng định nào sau đây là sai?

3 9 27 81

A. Dãy số không phải là một cấp số nhân.

1

B. Dãy số này là cấp số nhân có u

1

= −1; q= − . 3

1

= −1 n

. 3

−

C. Số hạng tổng quát.

n ( )

1

D. Là dãy số không tăng, không giảm.

u

n

Câu 7. Tập hợp các giá trị x thỏa mãn x, 2 x, x + 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân là

A. { 0;1 } . B. ∅ . C. { 1 } . D. { 0 }

Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x để ba số 1; x; x + 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số

nhân?

A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0 .

Câu 9.

Câu 10.

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Tìm tất cả các giá trị của x để ba số

2x − 1, x,2x

+ 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

1

1

A. x = ± B. x = ± C. x = ± 3 D. x = ± 3

3

3

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Trong các phát biểu sau, phát

biểu nào là sai?

A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.

B. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.

C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng.

D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.

Câu 11. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Xác định x dương để 2x − 3 ; x ; 2x + 3 lập thành

cấp số nhân.

A. x = 3. B. x = 3 .

C. x = ± 3 . D. không có giá trị nào của x .

Câu 12. (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Giả sử sin 6α , cosα , tanα theo thứ tự đó là

một cấp số nhân. Tính cos 2α .

A.

3

2 . B. 3

− . C. 1 2

2 . D. 1

− .

2

DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN

Câu 13. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm công bội 9 của một cấp số nhân ( )

u

n

có

1

1

u = và

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

u

6

= 16 .

A.

1

q = . B. q = − 2 . C. q = 2 . D.

2

1

q = − .

2

2

Câu 14. Cho cấp số nhân ( u

n ) có số hạng đầu

1

2

A. q = 3. B. q = 5 . C.

Câu 15. Cho cấp số nhân ( )

A.

u = và u

6

= 486 . Công bội q bằng

3

q = . D.

2

2

q = .

3

u

n

với u 1 ; u 1

= −

7

2

= − 32 . Tìm q ?

1

q = ± .

2

B. q = ± 2 . C. q = ± 4 . D. q = ± 1.

Câu 16. Cho ba số thực x, y,

z trong đó x ≠ 0 . Biết rằng x, 2 y,3z lập thành cấp số cộng và x, y,

z lập

thành cấp số nhân; tìm công bội q của cấp số nhân đó.

A.

q

= 1

1

q =

3

B.

1

q =

3

2

q

= 3

DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN

C. q = 2

D. q = 1

Câu 17. (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số nhân ( )

u có u

1

= − 2 và công bội q = 3

. Số hạng u

2

là:

A. u

2

= − 6 . B. u

2

= 6 . C. u

2

= 1. D. u

2

= − 18 .

Câu 18. (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Cho cấp số nhân ( )

u

n

có u

5

= 2 và u

9

= 6 . Tính u21

.

A. 18. B. 54 . C. 162 . D. 486 .

Câu 19. Cho cấp số nhân ( )

Câu 20. Cho cấp số nhân ( )

un

có số hạng đầu u

1

= 2 và công bội q = 5 . Giá trị của u6u 8

bằng

6

7

8

A. 2.5 . B. 2.5 . C. 2.5 . D.

u

n

có u

1

= 3, công bội q = 2 . Ta có u

5

bằng

A. 24 . B. 11. C. 48 . D. 9.

Câu 21. (Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho cấp số nhân ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

5

2.5 .

1

u

n

có công bội dương và u

2

= , u

4

= 4.

4

Giá trị của u1

là

1

1

1

1

A. u

1

= . B. u

1

= . C. u

1

= − . D. u

1

= .

6

16

16

2

u

n

có số hạng đầu u

1

= 2 và công bội q = 3. Giá trị u

2019

bằng

Câu 22. Cho cấp số nhân ( )

A.

2018

2.3 . B.

2018

3.2 . C.

2019

2.3 . D.

Câu 23. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số nhân ( n ) 1

2019

3.2 .

là số hạng thứ mấy?

A. 11. B. 9. C. 8 . D. 10 .

Câu 24. (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho cấp số nhân ( n )

q = − 2 . Số hạng thứ sáu của ( u ) là

n

u ; u = 1, q = 2 . Hỏi số 1024

u có số hạng đầu u

1

= 5 và công bội

A. u

6

= 320 . B. u

6

= − 160 . C. u

6

= − 320 . D. u

6

= 160 .

3

Câu 25. Tìm số hạng đầu

1

u

n biết rằng u1 + u2 + u3 = 168 và u4 + u5 + u6 = 21

1334

217

A. u

1

= 24 . B. u

1

= . C. u

1

= 96 . D. u

1

= .

11

3

u của cấp số nhân ( )

u1

= 1

u

n

xác định bởi

. Tính số

un+

1

= 2un

+ 5

hạng thứ 2018 của dãy số trên

2017

2018

2017

2018

A. u

2018

= 6.2 − 5 . B. u

2018

= 6.2 − 5 . C. u

2018

= 6.2 + 1. D. u

2018

= 6.2 + 5 .

Câu 26. (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho dãy số ( )

Câu 27. Cho ( )

u

n

là cấp số nhân, công bội q > 0. Biết u1 = 1, u3

= 4. Tìm u

4

.

A. 11 . B. 2. C. 16. D. 8.

2

Câu 28. Cho cấp số nhân ( u ), n ≥1

với công bội q = 2 và có số hạng thứ hai u

2

= 5. Số hạng thứ 7 của

Câu 29.

n

cấp số nhân là

A. u

7

= 320 . B. u

7

= 640 . C. u

7

= 160 . D. u

7

= 80 .

(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho một cấp số nhân có số hạng thứ 4 gấp 4096 lần số hạng đầu

tiên. Tổng hai số hạng đầu tiên là 34. Số hạng thứ 3 của dãy số có giá trị bằng:

A. 1. B. 512. C. 1024. D. 32.

Câu 30. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Cho cấp số nhân ( )

u3

biết u

1

= 12 , 243

u = . Tìm u

9

.

8

2

4

4

A. u

9

= . B. u

9

= . C. u

9

= 78732 . D. u

9

= .

2187

6563

2187

Câu 31. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số nhân ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

u ,

n

u có tổng

n

n số hạng đầu tiên là S

n

= 5 − 1 với n = 1,2,... . Tìm số hạng đầu u

1

và công bội q của cấp số

nhân đó?

A. u

1

= 5, q = 4 . B. u

1

= 5, q = 6 . C. u

1

= 4 , q = 5 . D. u

1

= 6 , q = 5 .

u4 − u2

= 54

u

n

biết

. Tìm số hạng

u5 − u3

= 108

đầu u

1

và công bội q của cấp số nhân trên.

A. u

1

= 9 ; q = 2 . B. u

1

= 9 ; q = − 2 . C. u

1

= − 9 ; q = − 2 . D. u

1

= − 9 ; q = 2 .

(PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Xen giữa số 3 và số 768 là 7 số để được một cấp

số nhân có u

1

= 3. Khi đó u

5

là:

A. 72 . B. − 48 . C. ± 48 . D. 48 .

Câu 32. (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số nhân ( )

Câu 33.

Câu 34. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cấp số nhân ( )

, biết rằng u1 ≤ 100 .

u có

A. u

1

= 16.

B. u

1

= 2.

C. u

1

= − 16. D. u

1

= − 2.

n

u20 = 8u17

. Tìm u1

u1 + u5

= 272

Câu 35. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số nhân u

1

= − 1, u

6

= 0,00001. Khi đó q và số

hạng tổng quát là?

4

Câu 36.

A.

C.

q = 1

10

, −1

un

= . B.

n−

10

1

−1

q = , u

10

n

( −1)

n

= . D.

n−1

10

−1

q = ,

10

1

u 10 n −

n

= − .

q = 1

10

, 1

un

= .

n−

10

1

1

(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Cho cấp số nhân u

n

có u

2

= , u

5

= 16 . Tìm

4

công bội q và số hạng đầu u

1

.

1 1

1 1

1

1

A. q = , u

1

= . B. q = − , u

1

= − . C. q = − 4 , u

1

= − . D. q = 4 , u

1

= .

2 2

2 2

16

16

Câu 37. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN - 2018) Cho cấp số nhân có số hạng đầu u

1

= − 2, công bội

Câu 38.

3 81

q = . Số − là số hạng thứ mấy của cấp số này?

4 128

A. 5 . B. 4 . C. 6 . D. 3 .

(THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Cho dãy số 4,12,36,108,324,.... Số

hạng thứ 10 của dãy số đó là?

A. 73872 . B. 77832 . C. 72873. D. 78732 .

Câu 39. Cho tứ giác ABCD có bốn góc tạo tành cấp số nhân có công bội q = 2 , góc có số đo nhỏ nhất

trong bốn góc đó là:

A. 1 0

0

B. 30

0

C. 12

0

D. 24

u1 − u3 + u5

= 65

u

n

thỏa mãn . Tính

u1 + u7

=

3

325

u .

A. u

3

= 15. B. u

3

= 25 . C. u

3

= 10 . D. u

3

= 20 .

Câu 40. Cho cấp số nhân ( )

Câu 41. Cho cấp số nhân ( )

n

u có tổng n số hạng đầu tiên là S = 6 − 1. Tìm số hạng thứ năm của cấp số

n

nhân đã cho.

A. 120005. B. 6840. C. 7775. D. 6480.

u1

= 1

u

n

xác định bởi

. Tìm số

un+

1

= 2un

+ 5

hạng thứ 2020 của dãy.

2020

2019

2019

2020

A. u

2020

= 3.2 − 5. B. u

2020

= 3.2 + 5. C. u

2020

= 3.2 − 5. D. u

2020

= 3.2 + 5.

Câu 42. (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho dãy số ( )

Câu 43. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Số hạng đầu và công bội q của CSN với

u = − 5, u = 135 là:

7 10

5 5 5 5

A. u1

= , q = − 3 . B. u1

= − , q = 3 . C. u1

= , q = 3 . D. u1

= − , q = − 3 .

729

729

729

729

Câu 44. Cho dãy số ( )

u được xác định bởi u = 2 ; u = 2u + 3n

− 1. Tìm số hạng thứ 2019 của dãy

n

1 n n−1

số.

2019

2019

A. u = 5.2 − 6062. B. u = 5.2 + 6062.

2019 2019

2020

2020

C. u = 5.2 − 6062. D. u = 5.2 + 6062.

2019 2019

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

5

u

3⎛

4 ⎞

xác định bởi 1

1; n+ u = u n+

1

= ⎜un

− , ≥1

2

2⎜⎝

+ 3 + 2⎟

n . Giá trị của u

50 gần nhất

n n ⎠

với số nào dưới đây?

A. − 312540600 . B. − 312540500 . C. − 212540500 . D. − 212540600 .

Câu 45. Cho dãy số ( ) n

DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 46. Cho cấp số nhân ( )

Câu 47.

u có u

1

= − 3 và q = − 2 . Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

n

A. S

10

= − 511 . B. S

10

= 1023 . C. S

10

= 1025 . D. S

10

= − 1025 .

(LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không

âm thỏa mãn u

2

= 6 , u

4

= 24 . Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

12

A. 3.2 − 3. B.

12

12

− . C. 3.2 − 1. D. 3.2 .

12

2 1

1

*

u

n với u n

= + 1,

∀n

∈N . Tính

2

S2019 = u1 + u2 + u3 + ... + u2019

, ta được kết quả

1

2020 − . B. 4039

1

. C. 2019 + . D. 6057 .

2

2019

2

2

2

u có u

3

= 12 , u

5

= 48 , có công bội âm. Tổng 7 số hạng đầu của cấn số nhân

Câu 48. (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho dãy ( )

A.

2019

Câu 49. Cho cấp số nhân ( )

n

đã cho bằng

A. 129 . B. − 129 . C. 128 . D. − 128 .

Câu 50. (KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho ( )

Câu 51.

Sn

= u1 + u2 + ... + un

. Biết S2 = 4; S3

= 13 và u

2

< 0 , giá trị S

5

bằng

A. 2 . B. 181

35

. C. . D. 121.

16 16

2 2018

Giá trị của tổng S = 1+ 3 + 3 + ... + 3 bằng

2019

2018

3 −1

3 −1

A. S = . B. S = . C.

2

2

Câu 52. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,1555... 3,1( 5)

Câu 53.

Câu 54.

2020

3 −1

S = . D.

2

= viết dưới dạng số hữu tỉ là:

A. 63

142

. B.

20 45 . C. 1

18 . D. 7 2 .

1 1 n−

( ) 1 1

S = − 1 + − + ... + − 1 + ...

2

n

Tính tổng 6 6 6

7

6

A. S = B. S = − C.

6

7

6

S = D.

7

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,121212... được biểu diễn bởi phân số

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

u là cấp số nhân, đặt

n

2018

3 −1

S = − .

2

7

S = −

6

A. 3 12

. B.

25 99 . C. 1 11 . D. 3 22 .

Câu 55. (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được

một cấp số nhân. Tổng các số hạng của cấp số nhân đó là

A. 215 . B. 315 . C. 415 . D. 515 .

6

Câu 56. (LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số nhân ( u

n ) thỏa mãn

. Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân ( )

u là

n

A. S

8

= 1093 . B. S

8

= 3820 . C. S

8

= 9841. D. S

8

= 3280 .

u1 + u2 + u3

= 13

u4 − u1

= 26

1 1 1

Câu 57. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Tổng S = + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅ có giá trị là:

2

3 3 3 n

A. 1 9 . B. 1 4 . C. 1 3 . D. 1 2 .

Câu 58. (THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số ( )

Câu 59.

a

1

= 2 , a = − n+ 1

2a

, 1

n

n ≥ , n ∈ N . Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số.

A. 2050 . B. 2046 . C. − 682 . D. − 2046 .

3

a xác định bởi

(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số

nhân có số hạng đầu là 1 , số hạng thứ tư là 32 và số hạng cuối là 2048 ?

2

A. 1365

5416

5461

21845

. B. . C. . D. .

2 2 2 2

Câu 60. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Một cấp số nhân ( n )

u =

, công bội q = 2 . Số hạng thứ n bằng 1792 . Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân ( )

Câu 61.

u có n số hạng, số hạng đầu

1

7

A. 5377 . B. 5737 . C. 3577 . D. 3775 .

(THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Tính tổng cấ số nhân lùi vô hạn

( −1) 2

1 1 1

− , , − ,..., ,... là.

2 4 8 2 n

A. − 1. B. 1 2 . C. 1

− . D.

4

Câu 62. Giá trị của tổng 7 + 77 + 777 + ... + 77...7 (tổng có 2018 số hạng) bằng

2018

70 2018

7 æ10 10 ö

A. ( 10 - 1 ) + 2018 . B.

- 2018

9

9 ç -

9 ÷

.

è

ø

2019

7 æ10 -10 ö

7

C.

- 2018

9 ç 9 ÷

. D. ( 10

2018

- 1 ).

è

ø

9

Câu 63. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Giá trị của tổng 4 + 44 + 444 + ... + 44...4 (tổng đó có 2018 số hạng)

bằng

2019

40 2018

4 10 −10

A. ( 10 − 1 ) + 2018 . B. − 2018 .

9

9 9

C.

9 9

2019

4 10 −10

+ 2018

4 10 − 1 .

9

2018

. D. ( )

1

− .

3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 64. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho dãy số xác định bởi u

1

= 1,

1 n −1

un+

1

= 2 un

+ ; n

2 ∈

3 n + 3n

+ 2

*

N . Khi đó

2018

u bằng:

n

u ?

n

7

2016

2018

2 1

2 1

A. u

2018

= + . B. u

2017

2018

= + .

2017

3 2019

3 2019

2017

2017

2 1

2 1

C. u

2018

= + . D. u

2018

2018

= + .

2018

3 2019

3 2019

1

U

n

xác định bởi: U

1

=

3

n + 1 U

và Un

1 .

2

U3 U10

+

= Un

. Tổng S = U1 + + + ... + bằng:

3n

2 3 10

A. 3280

29524

25942

. B. . C.

6561 59049 59049 . D. 1

243 .

Câu 65. (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho dãy số ( )

u1

= 1

Câu 66. (THPT THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN - 2018) Cho dãy số ( u

n

) thỏa mãn

un

= 2un−

1

+ 1; n ≥ 2

. Tổng S = u1 + u2 + ... + u20

bằng

20

21

20

21

A. 2 − 20.

B. 2 − 22. C. 2 . D. 2 − 20.

DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG

Câu 67.

Câu 68.

(NGÔ GIA TỰ_VĨNH PHÚC_LẦN 1_1819) Cho ba số a, b , c là ba số liên tiếp của một cấp

số cộng có công sai là 2 . Nếu tăng số thứ nhất thêm 1, tăng số thứ hai thêm 1 và tăng số thứ ba

a + b + c .

thêm 3 thì được ba số mới là ba số liên tiếp của một cấp số nhân. Tính ( )

A. 12 . B. 18. C. 3 . D. 9 .

Cho ba số x ; 5 ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số x ; 4 ; 2y theo thứ tự lập thành cấp

số nhân thì x − 2 y bằng

A. x − 2 y = 10 . B. x − 2 y = 9 . C. x − 2 y = 6 . D. x − 2 y = 8 .

Câu 69. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( u

n

) biết u

1

= 1 và u1, u3,

u

4

theo thứ tự là ba số hạng liên

tiếp trong một cấp số cộng.

5 + 1

5 − 1

1

A. . B. . C.

2

2

5 − 1

. D. 2 .

Câu 70.

Câu 71.

(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên

tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2 , thứ 9 , thứ 44 của một cấp số cộng.

Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820 ?

A. 20 . B. 42 . C. 21. D. 17 .

DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Người ta thiết kế một cái tháp 11 tầng. Diện

tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích

2

mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288 m ). Tính diện tích mặt

trên cùng.

2

2

2

2

A. 8 m .

B. 6 m .

C. 10 m .

D. 12 m .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 72. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Một hình vuông ABCD có cạnh AB = a , diện tích

S

1

. Nối 4 trung điểm A

1, B

1, C

1

, D

1

theo thứ tự của 4 cạnh AB , BC , CD , DA ta được hình vuông

8

Câu 73.

thứ hai là A1 B1C 1D 1

có diện tích S

2

. Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba A2 B2C2D2

có diện

tích S3

và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích S4, S

5,...

Tính S = S1 + S2 + S3 + ... + S100

.

A.

100

2 −1 99 2 .

S = B.

2 a

100

( − )

a 2 1

S =

99 . C.

2

( − )

2 100

a 2 1

S =

99 . D.

2

a

S =

( − )

2 1

99 .

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2 99

Dân số tỉnh Bình Phước theo điều tra vào ngày 1/1/ 2011 là 905300 người (làm tròn đến hàng

nghìn). Nếu duy trì tốc độ tăng trưởng dân số không đổi là 10% một năm thì đến 1/1/ 2020 dân

số của tỉnh Bình Phước là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị)

A. 22582927 . B. 02348115 . C. 2134650 . D. 11940591.

Câu 74. (THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao 10

m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao

bằng 3 độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.

4

A. 40 m. B. 70 m. C. 50m. D. 80 m.

Câu 75. (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng

tăng gấp đôi biết rằng sau 5 phút người ta đếm được có 64000 con hỏi sau bao nhiêu phút thì có

được 2048000 con.

A. 10. B. 11. C. 26 . D. 50 .

Câu 76.

Câu 77.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Trên một bàn cờ vua kích thước

8x8 người ta đặt số hạt thóc theo cách như sau. Ô thứ nhất đặt một hạt thóc, ô thứ hai đặt hai hạt

thóc, các ô tiếp theo đặt số hạt thóc gấp đôi ô đứng liền kề trước nó. Hỏi phải tối thiểu từ ô thứ bao

nhiêu để tổng số hạt thóc từ ô đầu tiên đến ô đó lớn hơn 20172018 hạt thóc.

A. 26 B. 23 C. 24 D. 25

(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , biết độ dài

cạnh đáy BC , đường cao AH và cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q .

Giá trị của

2

q bằng

A. 2 + 2 . B. 2 − 2 . C.

2

2

2 + 1

2 −1

. D.

2

2

Câu 78. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số ( )

1 n+

1

a xác định bởi

a = 5, a = q. a + 3 với mọi n ≥ 1, trong đó q là hằng số, q ≠ 0 , q ≠ 1. Biết công thức số hạng

n

n−1

n−1 1−

q

tổng quát của dãy số viết được dưới dạng an

= α.

q + β . Tính α + 2β

?

1−

q

A. 13. B. 9 . C. 11. D. 16.

Câu 79. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho bốn số a,

b , c,

d theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân

với công bội khác 1. Biết tổng ba số hạng đầu bằng 148 , đồng thời theo thứ tự đó chúng lần lượt

9

là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức T = a − b + c − d

.

101

100

100

101

A. T = . B. T = . C. T = − . D. T = − .

27

27

27

27

Câu 80.

(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Từ độ cao 55,8mcủa tháp nghiêng Pisa nước Italia người

ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao

n

9

Câu 81.

Câu 82.

bằng 1 độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc

10

ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. ( 67 m;69m ) . B. ( 60 m;63m ). C. ( 64 m;66m ) . D. ( 69 ;72 )

m m .

Để trang trí cho quán trà sữa sắp mở cửa của mình, bạn Việt quyết định tô màu một mảng tường

hình vuông cạnh bằng 1m . Phần tô màu dự kiến là các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là

1, 2,3...n,.. (các hình vuông được tô màu chấm bi), trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một

nửa cạnh hình vuông trước đó (hình vẽ). Giả sử quá trình tô màu của Việt có thể diễn ra nhiều giờ.

Hỏi bạn Việt tô màu đến hình vuông thứ mấy thì diện tích của hình vuông được tô bắt đầu nhỏ hơn

1 2

( )

1000 m ?

A. 6 . B. 3. C. 5. D. 4 .

(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để

x −1 x −3 x − m = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân tăng?

phương trình ( )( )( )

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

3 2 2

Câu 83. Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình ( )

x − 7x + 2 m + 6m x − 8 = 0

có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Tính tổng lập phương của hai giá trị đó.

A. − 342 . B. − 216 . C. 344 . D. 216 .

Câu 84. Cho dãy số ( )

u là một cấp số nhân có số hạng đầu u

1

= 1, công bội q = 2 . Tính tổng

n

1 1 1 1

T = + + + ... +

u −u u − u u − u u − u

1−

2

A.

15.2

1 5 2 6 3 7 20 24

19

.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

18

1−

2

. B.

15.2

20

19

19

20

2 − 1

2 −1

. C.

18 . D.

19

15.2

15.2

10

Câu 85. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Với hình vuông A1 B1C 1D 1

như hình vẽ bên, cách

tô màu như phần gạch sọc được gọi là cách tô màu “đẹp”. Một nhà thiết kế tiến hành tô màu cho

một hình vuông như hình bên, theo quy trình sau:

Bước 1: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A1 B1C 1D 1.

Bước 2: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A2 B2C2D 2

là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông

A B C D thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ.

1 1 1 1

Bước 3: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A3 B3C3D 3

là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông

A B C D thành 9 phần bằng nhau. Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để tổng

2 2 2 2

diện tích phần được tô màu chiếm 49,99% .

A. 9 bước. B. 4 bước. C. 8 bước. D. 7 bước.

Câu 86. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho hình vuông ( )

Câu 87.

C có cạnh bằng a . Người ta chia mỗi cạnh

của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình

C (Hình vẽ).

vuông ( )

2

Từ hình vuông ( )

Gọi

i

C

2

lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông

1

( )

S là diện tích của hình vuông { 1,2,3,..... }

32

T = , tính a ?

3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

1

C , C

2

, C

3

,., C .

Ci

i ∈ . Đặt T = S1 + S2 + S3 + ... S n

+ .... Biết

A. 2 . B. 5 . C. 2 . D. 2 2 .

2

(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Cho năm số a , b , c , d , e tạo thành một cấp số nhân theo thứ

tự đó và các số đều khác 0 , biết 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 và tổng của chúng bằng 40 . Tính giá trị

a b c d e

S với S = abcde .

A. S = 42 . B. S = 62 . C. S = 32 . D. S = 52 .

n

11

5u1 + 5u1 − u2 = u2

+ 6

.

*

un+

1

= 3 un

∀n

∈ N

2018

Giá trị nhỏ nhất của n để un

≥ 2.3 bằng:

A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2010

Câu 88. (THPT YÊN KHÁNH A - LẦN 2 - 2018) Cho dãy số ( un

) thỏa mãn

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN

Chọn B

Ta thấy, với n 2, n

công bội q = 2, u = 2 .

1

Chọn A

∀ ≥ ∈ N dãy số ( ) 2 n

n−1

n

n

u = có tính chất:

n

n−1

un−1

2

2

= = 2 nên là cấp số nhân với

1 1 1

1 1

u n

= .

1

2 n

=

+ là số hạng tổng quát của một cấp số nhân có u

1

= và q = .

4 2

4 2

2 1

un

= n − có u1 = 1 ; u 7 1 17 7

2

= = .7; u3

= ≠ .7 nên không phải số hạng tổng quát của một cấp

2 2 2 2 2 2

số nhân.

1

u

n

= −1có u

n

1

= − 1 ; u 3 1 3 7 3 3

2

= − = − . ; u3

= − ≠ − . nên không phải số hạng tổng quát của

2

2 4 2 2 8 4 2

một cấp số nhân.

2 1

un

= n + có u1 = 3 ; u 9 3 19 9

2

= = .3; u3

= ≠ .3 nên không phải số hạng tổng quát của một cấp

2 2 2 2 2 2

số nhân.

un+

1

Lập tỉ số

u

A:

B:

n

(

n+

1

) ( n )

n

( −1 ) . n

( n

=

1) 2

( )

u − 1 . + 1

n+ 1

n + 1

= = − ( u n ) không phải cấp số nhân.

u

n

u

u

n

+

n+ 1

2

n

n

không phải là cấp số nhân.

u n

n+

1

un+

1

2

C: = = 2 un

1

2u

n

+

=

n ( u n ) là cấp số nhân có công bội bằng 2 .

un

2

un+ 1

n + 1

D: = ( u n ) không phải là cấp số nhân.

un

3n

Chọn A

n

Dãy số ( un

) có số hạng tổng quát là

n ( )

Xét thương

u

n+

1

u

n

n+

2

3.2

*

= = 2 = const với n

n+

1

3.2

u = 3.2 ∀n ∈ N ⇒ u = 3.2 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

bội q = 2 và có số hạng đầu là

1+

1

u 1

3.2 12

= = .

u

+ 1 * n + 2

n+

1

∀ ∈ N nên dãy số ( u )

Chọn C

Ta có: 2, 4,8,16,... là cấp số nhân có số hạng đầu u

1

= 2 và công bội q = 2 .

n

là một cấp số nhân có công

12

Câu 6.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: 1 1 1 1

1. ; . 1

; 1 1

. 1

= − − − = − − = − − ;.......

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với

3 3 9 3 3 27 9 3

1

u

1

= −1; q=- . 3

Câu 7.

Câu 8.

n−1

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có = = − − = ( − )

Chọn C

Gọi q là công bội của cấp số nhân.

Ta có

2 x = x. q 2 x = x. q q

= 2

⇔

x + 3 = 2 x. q x + 3 = 2.2x x

= 1

Tập hợp các giá trị x thỏa mãn , 2 , 3

Chọn A

Lờigiải

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n−1

1

n 1

un

u1q 1

1 . .

n−1

3 3

x x x + theo thứ tự lập thành một cấp số nhân là { }

2 x

= −1

Để 1; x; x + 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì: x = x + 2 ⇔ .

x

= 2

Vậy có đúng 1 số nguyên dương x = 2 .

Câu 9. Chọn B

Để ba số đó lập thành một cấp số nhân thì:

2 2 2 2 1 1

x = ( 2x − 1)( 2x + 1)

⇔ x = 4x −1

⇔ x = ⇔ x = ±

3 3

Câu 10. A. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 1.

B. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d = 0 .

C. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng có công sai dương nên: u − n 1

u = + n

d > 0 un+

1

> un

.

D. Sai. Ví dụ dãy − 5 ; − 2 ; 1; 3 ; … là dãy số có d = 3 > 0 nhưng không phải là dãy số dương.

Câu 11. 2x − 3 ; x ; 2 + 3

2

2 2

2

⇔ x = 2x − 3 2x

+ 3 ⇔ x = 4x

− 9 ⇔ x = 3

x lập thành cấp số nhân ( )( )

⇔ x = ± 3 .

Vì x dương nên x = 3 .

π

Câu 12. Điều kiện: cosα ≠ 0 ⇔ α ≠ + kπ

( k ∈ Z ) .

2

2

2 sinα

2 sin α

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: cos α = .tanα

⇔ 6cos α = .

6

cosα

3 2

3 2

1

⇔ 6cos α − sin α = 0 ⇔ 6cos α + cos α − 1=

0 ⇔ cosα

= .

2

Câu 13.

Ta có:

2 1 1

cos 2α

= 2cos α − 1 = 2. − 1 = − .

2 2

DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN

Chọn C

2

1 .

13

Ta có

u u q q

u

16

1

2

5 5 6

6

=

1

⋅ = = = 32 q 2

u1

= .

Câu 14. Chọn A

u1

= 2 u1

= 2

5 5

Theo đề ra ta có: ⇔ q = 243 = 3 q = 3 .

5

u6

= 486 486 = u1.

q

Câu 15.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

n− 1 6 6 q

= 2

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có un

= u1q u7 = u1. q q = 64

q

= −2

Câu 16. Chọn A

2

x, y,

z lập thành cấp số nhân công bội q nên y = qx;

z = q x

x 2

3 z x 3 q x

+ +

x, 2 y,3z lập thành cấp số cộng nên 2y

= 2qx

=

2 2

2

q

= 1

x + 3q x

2

Vì x ≠ 0 nên 2qx = 4q = 1+ 3q

1

2

q =

3

DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN

Câu 17. Số hạng u

2

là: . 2 1

Câu 18.

4 2

u5

= 2 u1q

= 2 u1

=

Ta có ⇔ ⇔

8

3 .

u9

= 6 u1q

= 6 4

q

= 3

20 4

Suy ra ( ) 5 2 5

u21 = u1q = u1

q = .3 = 162 .

3

Câu 19. Chọn A

2

Vì ( u

n ) là cấp số nhân nên u6u8 = u7

, suy ra 6 8 7 = u . q 6

1 = 2.5 6

Câu 20. Chọn C

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: u

1

= u q − .

Câu 21.

Câu 22.

4

Do đó u

5

= 3.2 = 48 .

Chọn B

2

Theo tính chất của cấp số nhân với k ≥ 2 thì u = u . u ta suy ra

u

2

3 2 4

Vì ( )

n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

1 . n

k k − 1 k + 1

1 u3

= 1

= u . u = .4 = 1 ⇔

4 u3

= −1

u4

4

un

là cấp số nhân có công bội dương nên u

3

= 1. Gọi q là công bội ta được q = = = 4

u 1

1

u2

1

Từ đó ta có u 4

1

= = = .

q 4 16

Chọn A

Áp dụng công thức của số hạng tổng quát

un

u . 2.3

1

q −

n 1 2018

= = .

3

14

Câu 23.

Ta có

u = u q ⇔ = ⇔ = ⇔ n − = ⇔ n = .

n

n−1 n−1 n−1 10

1

. 1.2 1024 2 2 1 10 11

Câu 24.

Câu 25.

Câu 26.

Câu 27.

Câu 28.

Câu 29.

Chọn B

Ta có: u u q 5

( ) 5

= . = 5. − 2 = − 160 .

6 1

Chọn C

2

u1 + u2 + u3 = 168

u1 + u1. q + u1. q = 168

Ta có :

⇔

3 4 5

u4 + u5 + u6 = 21

u1. q + u1. q + u1. q = 21

2

u1

( 1+ q + q ) = 168

⇔

3 2

u1q ( 1+ q + q ) = 21

168

u =

1+ q + q

⇔

3

q =

1 2

1

8

u1 = 96

⇔ 1 .

q

=

2

Vậy u

1

= 96 ,

Chọn A

Ta có u = v − 5 , u

1

2u

5 ⇔ vn+

1

− 5 = 2 vn

− 5 + 5 ⇔ v

1

= 2v

.

n

n

= + ( )

n+ n

1

Do đó v

n

là cấp số nhân với v

1

= 6 , q = 2 , v 6. n

n

= q −

2017

2017

, v

2018

= 6.2 u 2018

= 6.2 − 5.

Chọn D

u1

= 1

u1 = 1 2 u1

= 1

3

Ta có: ⇔ u1. q = 4 ⇔ u4 = u1. q = 8.

u3

= 4 q

= 2

q

> 0

Chọn C

1

Ta có ( u ), n ≥1

là cấp số nhân có công bội q = 2 nên có số hạng tổng quát u = q n− . u .

n

5 5 6

Vì u

2

= 5 = u1.2 u1 = u7

= .2 = 160.

2 2

Vậy số hạng thứ 7 của cấp số là 160. Đáp án C.

Chọn B

3

u4 = 4096. u1

q = 4096 q = 16 q

= 16

Theo bài ra ta có: ⇔ ⇔ ⇔ .

u1 + u2 = 34 u 17.

1.(1 + q) = 34 u1 = 34 u1

= 2

2 2

Vậy u = u . q = 2.16 = 512 . Chọn B.

3 1

Câu 30. Gọi q là công bội của cấp số nhân ( )

Câu 31.

Ta có

u

2

3

= u1q

,

u

= u q

8 1

u

1

u .

7

3

5

u

= 8

q

=

8

n

243

1

q = .

3

8 1

Do đó u9 = u1q

4

= 12. = .

3 2187

u1 = S1 = 5 − 1 = 4 u1

= 4

Ta có:

2

u1 + u2 = S2

= 5 − 1 = 24 u2 = 24 − u1

= 20

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n+

u 1

= 4 ,

q

n

u

u

2

= = 5 .

1

n

1

15

Câu 32.

Ta có:

( )

3

2

u4 − u2

= 54

u1q

− u1q

= 54

u1q q − 1 = 54 u1 = 9

⇔

⇔

4 2

⇔ .

u5 − u3

= 108

2 2

u1q

− u1q

= 108

u1q

( q − 1)

= 108 q

= 2

Vậy u

1

= 9 ; q = 2 .

Câu 33. Ta có u

1

= 3 và u

9

= 768 nên 768 = 3.q

Câu 34.

Câu 35.

Câu 36.

Câu 37.

Do đó u

u 4 4

5 1

. q 3.2 48

= = = .

8

8

q = 256 q 2

= ± .

Ta có:

19 16

16 3

u ( ) ( )

20

= 8 u

17

u1. q 8u1q

= u1q

q − 8 = 0 1

⇔ ⇔

4

.

u

4

1

+ u5 = 272

u1 + u1. q = 272

u1

( 1+ q ) = 272( 2)

q

= 0

Từ ( 2 ) suy ra u1 ≠ 0 do đó: ( 1)

⇔ .

q

= 2

Nếu 0 2 ⇔ u = 272 không thõa điều kiện u1 ≤ 100 .

q = thì ( ) 1

q = thì ( ) u1

Nếu 2

Ta có:

n

u

u = u q −

2 ⇔ = 16 thõa điều kiện u1 ≤ 100 .

= = 5 −1

⇔ q =

5

10

u . q 5

0,00001

6 1

. n 1

1

−1

= −1.

10

n−1

( −1)

n

= .

n−1

10

Vậy đáp án đúng là: C.

1 1

u2

= u1. q = 1

Ta có 4 ⇔ 4

4

u5

= 16

u1. q = 16 2

Chia hai vế của ( 2 ) cho ( )

1 ta được

( )

( )

.

−1

⇔ q = .

10

1

⇔ = u1

= .

16

3

q = 64 q 4

n−1 4 n−1

n−1

81 3 3 3

Áp dụng công thức cấp số nhân un

= u1q − = −2. ⇔ = ⇔ n = 5 .

128 4 4 4

Câu 38. Xét dãy số 4,12,36,108,324,... là cấp số nhân có u

1

= 4 , q = 3.

Câu 39.

Câu 40.

Số hạng thứ 10 của dãy số là u10

= u . q 9 9

1

= 4.3 = 78732 .

Chọn D

Giả sử: Bốn góc A, B, C,

D theo thứ tự lập thành cấp số nhân và A nhỏ nhất.

Khi đó B = 2 A, C = 4 A, D = 8A

0 0

Nên A + 2A + 4A + 8A = 360 A = 24

Chọn D

2 4

2 4

u ( )

1

− u3 + u5 = 65 u1 u1. q u1. q 65

− + = u1

1− q + q = 65 (1)

Ta có: ⇔ ⇔

6

u

6

1

+ u7 = 325

u1 + u1. q = 325

u1

( 1+ q ) = 325 (2)

2 ta được phương trình :

Chia từng vế của ( 1 ) cho ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2 4

1− q + q 1 6 4 2

= ⇔ q − q + q − =

6

Đặt

1+

q 5

t = q 2 , t ≥ 0 .

( )

5 5 4 0 *

16

Câu 41.

Câu 42.

3 2 2

t

= 4

Phương trình (*)

trở thành : t − 5t + 5t − 4 = 0 ⇔ ( t − 4)( t − t + 1)

= 0 ⇔

2

Với t = 4 q = 4 ⇔ q = ± 2 .

Với 2 2 ta được u

1

= 5.

q = ± thay vào ( )

2

Vậy u = u 3 1

. q = 5.4 = 20.

Chọn D

Cấp số nhân ( u

n ) có số hạng đầu u

1

và công bội q .

n

( − q )

u

n

1

1

n

Do S

n

= 6 −1nên q ≠ 1. Khi đó Sn

= = 6 −1.

1−

q

u1

( 1−

q)

Ta có: S1 = = 6 −1⇔ u1

= 5 .

1−

q

S

2

2

( 1−

q )

u1 2

= = 6 −1⇔ q = 6 .

1−

q

4 4

Vậy u = u 5 1

. q = 5.6 = 6480.

Chọn A

Đặt un = vn − 5 vn+ 1

− 5 = 2.( vn − 5) + 5 vn+

1

= 2vn

n−1 n−1

Có u = 1 v = 6 u + 5 = 6.2 u = 6.2 − 5

Vậy

Câu 43. Vì ( )

Câu 44.

Câu 45.

u

1 1

n

2019 2020

u

2020

= 6.2 − 5 = 3.2 − 5

6

u là CSN nên: u = u . q = − 5,

9

7 1

u

10

= u1. q = 135

n

135

u q

9

10 1

q

6

u

= 7

−5

⇔ u1q

= − = −

27 3

n

u7

5

u1 = = − .

6

q 729

2

t − t + = vn

1 0( )

Chọn C

Ta có u = 2u + 3n

− 1 ⇔ u + 3n + 5 = 2 u 3

n n−1

1 ( n 1)

5

n

+ − +

n−

, với n ≥ 2 ; n∈N .

Đặt v = u + 3n

+ 5 , ta có v = 2v n n

n n −

với n ≥ 2 ; n∈N .

1

n−1

n

v là cấp số nhân với công bội q = 2 và v = 10 , do đó = 10.2 = 5.2 .

1

Như vậy, ( )

n

Do đó u + 3n

+ 5 = 5.2 n

n

, hay u = 5.2 − 3n

− 5 với n ≥ 2 ; n∈N .

n

n

2019

Nên u = 5.2 − 6062.

2019

Chọn C

Ta có

3⎛ 4 ⎞ 3⎛ 3 2 ⎞ 3 3⎛ 3 ⎞

n+ u n+ 1

= u − ⇔

2

+ 1

= − + ⇔

+ 1

− = −

2⎜ n 3 2⎟ un u

⎝ ⎠ 2⎜ n

+ + ⎝ + 1 + 2⎠⎟ un u

+ 2 2⎜

n

n n n n n ⎝ n+

1⎠⎟

3 3 1

Đặt vn

= un

− , n ≥ 1 , ta có v1 = u

1

− = − và từ ( 1

3

) thu được v

+ 1

n + 1

2 2

= n

v .

n

2

Suy ra dãy số ( )

v là một cấp số nhân với công bội

n

3

q = , ta có

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Từ đó ta được

u

n

n−1

⎛ 1⎞ ⎛3⎞

3

= − . + ⇒

50

≈ −212540500

2⎟

2⎟

u

⎜⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎠ n + 1

v n

( 1)

n−1 n−1

⎛3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛3⎞

v

1. .

n

= v

= −

⎜ ⎝2⎠⎟ ⎝⎜ 2⎠⎟ ⎝⎜

2⎠⎟

17

Câu 46.

Câu 47.

Câu 48.

Câu 49.

Câu 50.

Câu 51.

Câu 52.

Câu 53.

DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chọn B

Ta có:

S

10 1

( )

( )

n

1−

q 1− −2

= u . = − 3. = 1023 .

1−

q 1− −2

Gọi công bội của CSN bằng q . Suy ra u

nên q = 2 .

12

1−

q

Ta có S12 = u1. 1 − q

Chọn A

S

1−

2

= 3. 1 − 2

12

10

12

( )

= 3 2 − 1 .

= u . q 2

q 2

4 2

= ± . Do CSN có các số hạng không âm

1

1 2 2019

1− 1 1 1 1

2

1

= 2019 + ... 2019 .

+ + + = + = 2020 −

2 2 2 2 1

1−

2

2

2019 2019

Chọn A

Ta có: u

= u . u = 576 .

2

4 3 5

Vì u3 0, u5

0

> > và công bội âm nên: u4 = −24 q = − 2 .

2 u3

12

Lại có: u3 = u1q u1 = = = 3.

2

q 4

Áp dụng công thức ta có:

S

7 1

7

( )

( )

7

1−

q 1− −2

= u = 3. = 129 .

1−

q 1− −2

Chọn B

Gọi u , 1

q lần lượt là số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân cần tìm.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2019

( q)

u 1+ = 4

1

S

1 ( 1 ) 4

2

4 u q

=

+ =

q = 3

Từ giả thiết ta có

⇔ ⇔

2

S3 = 13 u1

( 1 q q ) 13

+ + = −3

q =

4

u2 < 0

u3

Vì

q = < 0 nên cấp số nhân cần tìm có

u3 = S3 − S2 = 9 > 0 u2

.

u1 = 16

3 .

q

= −

4

5

1−

q 181

Do đó S5 = u1

= .

1−

q 16

Chọn A

Ta thấy S là tổng của 2019 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là u

1

= 1, công bội

q = 3 .

2019 2019

1−

3 3 −1

Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân ta có S = 1. = .

1−

3 2

Chọn B

3,1555... = 3,1 + 0,05 + 0,005 + 0,0005 + ...

Dãy số 0,05;0,005; 0,0005; 0,00005;... là một cấp số nhân lùi vô hạn có u

1

= 0,05 ; q = 0,1.

0,05 142

Vậy 3,1555... = 3,1 + = .

1− 0,1 45

Chọn B

.

18

Câu 54.

Câu 55.

Câu 56.

u2

u3

1

Ta có: q = ... ( q 1)

u

= 1

u

= = − 2

6

< . Do đó: u1 −1 −6

S = = =

1−

q 1

1+

7

6

Chọn B

12 12 12 12 1 1 1

Ta có 0,121212... = + + + ... + + ... = 12 ... ...

2 4 6 2

10 10 10 10 n + + + +

2 4 2

10 10 10 n

1

12 100 4 12

=

1

= = .

1−

33 99

100

u1 = 160 u6

1

Từ giả thiết ta có q = 5 = .

u6 = 5 u1

2

6

1

160

6

1−

u1

( 1− q ) 2

Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S = =

= 315 .

1−

q 1

2

2

2

u1 + u2 + u3

= 13 u1 + u1. q + u1. q = 13

u1

( 1+ q + q ) = 13

Ta có

⇔

⇔

3

u4 − u1

= 26

2

u1. q − u1

= 26

u1. ( q − 1)( 1+ q + q ) = 26

2

( )

u 1 13

1

+ q + q = u1 = 1

⇔ ⇔ .

q = 3

q

= 3

8

( 1−

q )

( )

8

u1

1 1−

3

Vậy tổng S8

= = = 3280 .

1−

q 1−

3

1 1 1

Câu 57. Ta có

2

3 3 3 n

1

1

u

1

= , công sai q = .

3

3

1

u1

1

Do đó S = = 3 = .

1−

q 1

1−

2

3

Câu 58.

Vì

a

a

S = + + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( )

+ = − suy ra ( a )

n 1

2

n

10

( 1−

q )

n

là một cấp số nhân với

a1

Suy ra S10

= = −682

.

1−

q

1

Câu 59. Theo bài ra ta có u

1

= , u

4

= 32 và u

n

= 2048 .

2

u = u . q 3

1 3

4 1

32 = .

2 q q = 4

1

u = 2048 . n

u 2048

1

q −

n−1 6

= 4 = 4 n = 7

a1 = 2

.

q

= − 2

1

u

n

với u

n

= có số hạng đầu

n

3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

19

Câu 60.

Khi đó tổng của cấp số nhân này là

Ta có

u

= u q −

. n 1

n 1

n−1

7.2 1792 n 9 S8

3577

= ⇔ = =

S

7

1 7

7

u ( ) ( 1 4 )

1

1−

q −

2 5461

= = = .

1−

q 1−

4 2

1

1

Câu 61. Cấp số nhân có u

1

= − công bội q = − nên tổng của cấp số nhân lùi vô hạng là.

2

2

n

u1 ( 1−

q ) u1

1

lim Sn

= lim = = −

1 − q 1 − q 3

Câu 62. Chọn C

Ta có 7 + 77 + 777 + ... + 77...7

7 9 99 999 ... 99...9

9

7 10 1 10 1 10 1 ... 10 1

9

= ( + + + + ) = ( - + 2 - + 3 - + + 2018 - )

7

= 10 + 10 + 10 + ... + 10 - 2018

9

2 3 2018

( )

2 3 2018

Mặt khác,ta có 10 + 10 + 10 + ... + 10 là tổng của một cấp số nhân với u

1

= 10 và công bội q = 10

Þ 10 + 10 + 10 + ... + 10

2 3 2018

2018 2019

10 -1 10 -10

= 10 = .

9 9

7 10 10 10 ... 10 2018

9

Do đó ( + 2 + 3 + + 2018 - )

2019

7 æ10 -10 ö

= 2018

9 ç -

9 ÷

.

è

ø

Câu 63. Đặt S = 4 + 44 + 444 + ... + 44...4 (tổng đó có 2018 số hạng). Ta có:

9

9 99 999 ... 99...9 = 10 − 1 + 10 2 − 1 + 10 3 − 1 + ... 10 2018 − 1

4 S = + + + + ( ) ( ) ( ) ( )

10 + 10 + 10 + ... + 10 − 2018 = A − 2018 .

Suy ra: 9 4 S = 2 3 2018

( )

Với

2 3 2018

A = 10 + 10 + 10 + ... + 10 là tổng 2018 số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu

2018

2018 2019

u

1

= 10 , công bội q = 10 nên ta có A = u

Do đó

9 10 2019

−

S = 10 − 2018

4 9

1

1−

q

1−

q

⇔ S = −

9 9

1−10

= 10

−9

2019

4 10 −10 2018

10 −10

= .

9

Câu 64. Ta có: 1 n −

u

1 1 3 2 2 1 2 1

n+

1

= 2u

n

+

2 = 2u n

+ − = u n

+ − .

3 n + 3n

+ 2 3

n + 2 n + 1

3 n + 2 3 n + 1

.

1 2 1

⇔ un+

1

− = un

−

n + 2 3 n + 1

Đặt

v

n

( )

1

1

2

= un

− , từ ( 1)

ta suy ra: vn

1 n

n + 1

= +

v

3

.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Do đó ( )

1 1

v

n

là cấp số nhân với v1 = u1

− = , công bội

2 2

.

2

q = .

3

20

Suy ra:

vn

n−1

n−1

1 2

= v1. q = .

2017

2 3

1 1 2

⇔ u n

− = .

n + 1 2 3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n−1

n−1

1 2 1

⇔ u n

= . + .

2 3 n + 1

2016

1 2 1 2 1

Vậy u2018

= . + = + .

2017

2 3 2019 3 2019

n + 1 U

Câu 65. Theo đề ta có: Un

1 .

n+

1

1 Un

1 U

1

1

+

= Un

⇔ = mà U

1

= hay =

3n

n + 1 3 n 3 1 3

2

2

1 1 1

Nên ta có

U .

2 3

= =

2 3 3 3 ; U 3

1 1 1

.

10

= =

3 3 3 3 ; … ; U10 1

=

10 3 .

U Hay dãy n

n là một cấp số nhân có số hạng đầu 1

1

U

1

= , công bội q = .

3

3

10

U2

U3 U10

1

Khi đó S = U1 + + + ... + .2

2 . 3

2 3 10

= 3 π 3 −1

59048 29524

= = =

10

10 .

2.3 2.3 59049

u = 2u + 1 ⇔ u + 1 = 2 u + 1

Câu 66. ( )

Câu 67.

Câu 68.

Câu 69.

n n−1 n n−1

vn

un

vn

2vn

−

Đặt = + 1, ta có =

1

trong đó v

1

= 2

Vậy ( v ) là cấp số nhân có số hạng đầu v

1

= 2 và công bội bằng 2, nên số hạng tổng quát

n

2 n

n

v

n

= un

= vn

− 1 = 2 − 1

1 2 20

S = u1 + u2 + ... + u20

( 2 1) ( 2 1 ) ... ( 2 1)

( )

S = − − = −

20 21

2. 2 1 20 2 22.

1 2 20

= − + − + + − ( )

DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG

Chọn D

= 2 + 2 + ... + 2 − 20

+) a, b , c là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng có công sai bằng d = 2

+) Ba số a + 1, a + 3 , a + 7 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân

( a 3) 2

( a 1 ).( a 7)

⇔ + = + +

T = a + b + c = 3a

+ 6 = 9 .

Chọn C

2 2

⇔ a + 6a + 9 = a + 8a

+ 7 2a

2 a 1

⇔ = ⇔ = .

Do ba số x ; 5 ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ta có: S = x + 2 y = 10 ( 1)

Ta lại có ba số x ; 4 ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: P = x.2 y = 16 ( 2)

2

Từ ( 1 ),( 2 ) suy ra hai số x ; 2y là nghiệm của phương trình X − S. X + P = 0 hay

2

X = 2

X − 10 X + 16 = 0

X = 8

Theo yêu cầu bài toán x − 2y

= 2 − 8 = 6

Chọn B

( u ) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q , suy ra q < 1và

n

b

= a + 2

.

c

= a + 4

u = u . q = q , u = u . q = q .

2 2 3 3

3 1 4 1

Mà và u1, u3,

u

4

theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng nên u1 + u4 = 2. u3

.

3 2 3 2 2 2

Từ đó ta có 1+ q = 2.q ⇔ q − 2. q + 1 = 0 ⇔ ( q −1)( q − q − 1) = 0 ⇔ q − q − 1 = 0

21

1+

5

q

=

2 1−

5

u

1

1 2 5 −1

⇔ q = ( vì q < 1).Vậy S = = = = .

1−

5 2

1− q 1− 5 1+

5 2

q

=

1−

2

2

Câu 70.

Câu 71.

Câu 72.

Câu 73.

Gọi ba số đó là x , y , z . Do ba số là các số hạng thứ 2 , thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng

nên ta có: x ; y = x + 7d

; z = x + 42d

(với d là công sai của cấp số cộng).

Theo giả thiết, ta có: x + y + z = x + x + 7d + x + 42d

= 3x

+ 49d

= 217 .

Mặt khác, do x , y , z là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên:

y

2

= xz ( ) 2

d

= 0

⇔ x + 7d = x( x + 42d

) ⇔ d ( − 4x + 7d

) = 0 ⇔ −

4x

+ 7d

= 0

Với d = 0 , ta có:

Với − 4x

+ 7d

= 0 , ta có:

217

x = y = z = . Suy ra

3

217 2460

n = 820 : = ∉N .

3 217

− 4x

+ 7d

= 0 x

= 7

⇔ . Suy ra u

1

= 7 − 4 = 3 .

3x

+ 49d

= 217 d

= 4

2 ( )

1

1

Do đó, S

n

= 820

u + n − d

n

( )

n

= 20

[ 2.3 + 4 n −1

] n

⇔ = 820 ⇔ = 820 ⇔

41

2

2

n = −

2

Vậy n = 20 .

DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

Chọn B

a , a ,a ,...,a lần lượt là diện tích mặt trên của đế tháp, tầng 1, tầng 2,., tầng 11.

Gọi

0 1 2 11

Khi đó ta có: a 1 1

12288; a a , 1,2,...,11

0 n n 1 0

2 a ⎛ ⎞

= = 2

n

− = ⎜ = .

⎜⎝ ⎠⎟

1 1

Diện tích mặt trên tầng trên cùng là: a = a 12288 6

11 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =

⎜2 ⎟

2

⎝ ⎠ ⎝⎜

⎠⎟

n

11 11

2 2 2

2 a a a

Dễ thấy: S1 = a ; S2 = ; S3 = ;...; S100 = .

99

2 4 2

1

Như vậy S1, S2, S3,...,

S

100

là cấp số nhân với công bội q = .

2

2

( 100

2 1 1 1 a 2 −1)

S = S1 + S2 + ... + S100 = a 1 + + + ... + .

2 99 =

99

2 2 2 2

( m 2)

Chọn C

9

Sau 9 năm thì số dân của tỉnh Bình Phước là: 905300.1,1 ≈ 2134650 người.

Câu 74. Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có u

1

= 10 và

3

q = .

4

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

u1

10

Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là S = =

1 − q 3

1−

4

= 40 .

22

Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn 2S − 10 = 70 (m).

u với công bội q = 2 .

Câu 75. Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân ( ) n

Câu 76.

Ta có:

5

u

6

= 64000 u . q = 64000

1

u1 = 2000 .

Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là u

n + 1.

u

n + 1

= 2048000 . n

2048000

n

u1 q = 2000.2 = 2048000 n = 10 .

Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con.

Số thóc ở ô sau gấp đôi ở ô trước, đặt u

n

là số thóc ở ô thứ n thì số thóc ở mỗi ô sẽ lập thành

0

u1

= 1 = 2

một cấp số nhân:

.

u

1

2 2 n

n+

= un

=

1 1

Khi đó tổng số thóc từ ô đầu tới ô thứ k là

1 2

1 2 2 k −

Sk

= u + u +…+ uk

= + +…+

k

2 −1 Vậy

2

k

S k

= = − 1

2 −1

k

k

Theo đề ta có: 2 − 1> 20172018 ⇔ 2 > 20172019 ⇔ k > log2

20172019

Vậy phải lấy tối thiểu từ ô thứ 25

Câu 77. Đặt BC = a; AB = AC = b;

AH = h . Theo giả thiết ta có a, h,

b lập cấp số nhân, suy ra

2

h ab.

= Mặt khác tam giác ABC cân tại đỉnh A nên

2 2 2

b + b a

= m = −

2 4

2 2

a

2 2 2

b + b a

2 2

Do đó 4 4 0 ( 2 2 2)

− = ab ⇔ a + ab − b = ⇔ a = − b (vì a, b > 0 )

2 4

2

2 b 1 2 2 + 2 2 + 1

Lại có b = q a nên suy ra q = = = = .

a 2 2 − 2 4 2

a − n 1

k = +

q a − n

k ⇔ k − kq = 3 ⇔ 3

k = 1 − q

Câu 78. Cách 1. Ta có: ( )

2

Đặt vn

= an

− k v

1

. .

1

... n

n+ = q vn = q vn−

= = q . v1

n 1 n 1 n 1 3

Khi đó vn

= q − . v1 = q − .( a1

− k ) = q

− . 5 −

1 − q

n−1

n−1 3 n−1 3 3 n−1

1−

q

Vậy an

= vn

+ k = q . 5 − + k = q . 5 − + = 5. q + 3. .

1− q 1− q 1− q 1−

q

Do đó: α = 5; β = 3 α + 2β

= 5+ 2.3 = 11.

Cách 2. Theo giả thiết ta có a1 = 5, a2

= 5q

+ 3 . Áp dụng công thức tổng quát, ta được

1−1

1−1

1−

q

a1

= α.

q + β = α

1−

q

, suy ra

2−1

2−1

1−

q

a2

= α.

q + β = αq

+ β

1−

q

α + 2β

= 5+ 2.3 = 11

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

h

5

= α

, hay

5q

+ 3 = αq

+ β

α

= 5

β

= 3

23

Câu 79.

Câu 80.

Câu 81.

Câu 82.

2

ac

= b ( 1)

2

Ta có bd

= c ( 2)

.

148

a + b + c = ( 3)

9

Và cấp số cộng có u1

= a , u4

= b , u8

= c . Gọi x là công sai của cấp số cộng. Vì cấp số nhân có

công bội khác 1 nên x ≠ 0 .

b = a + 3x

Ta có : ( 4 ) .

c = a + 7x

4 ta được : a ( a + 7x) = ( a + 3x) 2

2

⇔ ax − 9x

= 0 .

Từ ( 1 ) và ( )

Do x ≠ 0 nên a = 9x

.

148

Từ ( 3 ) và ( 4 ) , suy ra 3a

+ 10x

= .

9

16

b =

3

a

= 4

Do đó : 64

4 c

= .

x

= 9

9

256

d

=

27

−100

Vậy T = a − b + c − d = .

27

Chọn A

Gọi

n

Gọi n

*

h là độ dài đường đi của quả bóng ở lần rơi xuống thứ ( )

*

l là độ dài đường đi của quả bóng ở lần nảy lên thứ n ( n ∈ N ) .

n n ∈ N .

l = = và các dãy số ( h ) , ( )

1

Theo bài ra ta có h

1

= 55,8 , 1 .55,8 5,58

n

l

n

là các cấp số nhân lùi vô

10

1

hạn với công bội q = .

10

Từ đó ta suy ra tổng độ dài đường đi của quả bóng là:

h1 l1

10

S = + = ( h1 + l1

) = 68,2 ( m)

.

1 1

1−

1−

9

10 10

Chọn C

1 1

Diện tích của hình vuông lập thành cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u1

= , q = .

4 4

n−1

1 1 1

Do đó số hạng tổng quát là un

= . = ( n ≥ 1

n

) . Để diện tích của hình vuông tô màu nhỏ

4 4 4

1 1 1 n

hơn ⇔ < ⇔ 4 > 1000 n ≥ 5 . Vậy tô màu từ hình vuông thứ 5 thỏa mãn yêu cầu

n

1000 4 1000

bài toán.

Chọn B

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

24

Câu 83.

Câu 84.

⎡ x = 1

x −1 x −3 x − m = 0 ⇔ x = 3

.

⎢

⎣x

= m

m∉ 1;3 .

Ta có: ( )( )( )

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì: { }

Trường hợp 1: m < 1< 3.

2 1

Để 3 số m ;1; 3 lập thành cấp số nhân tăng thì: m.3 = 1 ⇔ m =

3

Cấp số nhân tăng đó là: 1 ;1;3

3

Trường hợp 2: 1< m < 3.

m =

Để 3 số 1; m ; 3 lập thành cấp số nhân tăng thì: 1.3 = m ⇔

m = −

m= .

Đối chiếu điều kiện 1< m < 3 ta chọn 3

Cấp số nhân tăng đó là: 1; 3;3

Trường hợp 3: 1< 3 < m.

Để 3 số 1; 3 ; m lập thành cấp số nhân tăng thì:

Cấp số nhân tăng đó là: 1;3;9

2

3

2

1. m= 3 ⇔ m=

9

1

Vậy m∈

; 3;9 thì phương trình ( )( )( )

3

x − 1 x − 3 x − m = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành

cấp số nhân tăng.

Chọn A

Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x1 , x2,

x

3

.

d

Theo định lí Viet, tích 3 nghiệm: x1x2 x3 = − = 8 .

a

2

3

Vì ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân nên x = x x . Do đó ta có: x = 8 ⇔ x = 2 .

x = vào phương trình ta được: ( m m)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

3

2 1 3

2 m

= 1

Thay 2

4 + 6 = 28 ⇔ .

m

= −7

Theo giả thiết hai giá trị này của m đều nhận.

3

Tổng lập phương của hai giá trị m là: ( ) 3

Chọn B

1 + − 7 = − 342 .

2 2

25

Câu 85.

1 1 1 1

T = + + + ... +

u − u u − u u − u u − u

1 5 2 6 3 7 20 24

1 1 1 1

= + + + ... +

u q u q u q u q

4 4 4 4

( 1− ) ( 1− ) ( 1− ) ( 1−

)

1 2 3 20

1 1 1 1 1

= + + + ... +

1

4

− q u1 u2 u3 u20

1 1 1 1 1

= + + + ... +

1

4 2 19

− q u1 u1q u1q u1q

1 1 1 1 1

= . 1 + + + ... +

1

4 2 19

− q u1

q q q

1 1

1

q

20

= . .

4

1 − q u 1

1 −

q

−1

20

1 1 1−

( q)

1−

2

= . . =

1

1−

q u1

( 1−

q)

q 15.2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

20

4 19 19

*

Gọi diện tích được tô màu ở mỗi bước là u

n

, n∈N . Dễ thấy dãy các giá trị u

n

là một cấp số

4

1

nhân với số hạng đầu u

1

= và công bội q = .

9

9

k

u1 ( q −1)

Gọi S

k

là tổng của k số hạng đầu trong cấp số nhân đang xét thì Sk

= .

q −1

Để tổng diện tích phần được tô màu chiếm 49,99% thì

Vậy cần ít nhất 4 bước.

Câu 86. Cạnh của hình vuông ( )

Cạnh của hình vuông ( )

2

5 2 5

3

= =

2

2 2

u

k

( q − )

1

1

q −1

≥ 0, 4999 ⇔ k ≥ 3,8 .

3 1 a 10

C

2

là: a2

= a + a

= . Do đó diện tích S

4 4 4

C là:

3

2 2

2

3 1 a2

10 10

a3 = a2 + a2

= = a

5

8

= 5

8 S .

2

2

= a

1

. Do đó diện tích

4 4 4 4

S a S . Lý luận tương tự ta có các S

1

, S

2

, S3 ,... S

n...

. tạo thành một dãy cấp số nhân

8 8

5

lùi vô hạn có u1 = S1

và công bội q = .

8

S1

T = 8a

2 32

2

= . Với T = ta có a = 4 ⇔ a = 2 .

1 − q 3

3

Câu 87. Gọi q ( 0)

q ≠ là công bội của cấp số nhân a , b , c , d , e . Khi đó 1 a , 1 b , 1 c , 1 d , 1 e

nhân có công bội 1 q .

Theo đề bài ta có

là cấp số

26

Câu 88.

5

1−

q

a. = 40

5

a + b + c + d + e = 40

1−

q

1−

q

5

a. = 40

1 1 1 1 1

1 1−

q

2 4

⇔

+ + + + = 10

1− ⇔

a b c d e

1 q

⇔ a q = 4.

5

.

1 q −1

= 10 . = 10

4

a 1 a q ( q −1)

1−

q

2 3 4 5 10

Ta có S = abcde = a. aq. aq . aq . aq = a q .

Nên S

2 = ( a 5 q

10

) 2

( a q ) 5

Suy ra

5

S = 4 = 32 .

= 2 4 = 4

5 .

( )

( )

5u1 + 5u1 − u2 = u2

+ 6 1

.

*

un+

1

= 3 un

∀n

∈ N 2

Từ ( )

5u + 5u − u = u + 6 ⇔ 5u − u + 5u − u − 6 = 0

1 có ( ) 2

1 1 2 2 1 2 1 2

⇔ 5u − u = 2 ⇔ 5u − u = 4 .

1 2 1 2

Từ ( 2 ) có u = n 1

3u n

u = + 2

3u

. Giải hệ 5u1 − u2

= 4

1

được u

1

= 2 .

u2 = 3u1

u1 = 2

1

Dãy ( u

n ) là cấp số nhân với có SHTQ: 2.3 n −

u n

= với n ∈ N *

q

= 3

2018 n−1 2018

u ≥ 2.3 ⇔ 2.3 ≥ 2.3 ⇔ n −1≥ 2018 ⇔ n ≥ 2019 .

n

Vậy giá trị nhỏ nhất thỏa mãn là 2019 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

27

TOÁN 11

GIỚI HẠN DÃY SỐ

1D4-1

Contents

PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1

DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 1

DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC ...................................................................................................................... 2

Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu ................................................................................................................. 2

Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu .................................................................................................................... 4

Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu ................................................................................................................ 8

Dạng 1.4 Phân thức chứa căn ....................................................................................................................................... 9

DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC ......................................................................................................................... 9

DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA ....................................................................................................................... 11

DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG ...................................................................................................... 13

DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ........................................................................................................................ 14

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 17

DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT ................................................................................................................................ 17

DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC .................................................................................................................... 17

Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu ............................................................................................................... 17

Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu .................................................................................................................. 20

Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu .............................................................................................................. 25

Dạng 1.4 Phân thức chứa căn ..................................................................................................................................... 26

DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC ....................................................................................................................... 27

DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA ....................................................................................................................... 31

DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG ...................................................................................................... 33

DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ........................................................................................................................ 34

Câu 1.

PHẦN A. CÂU HỎI

DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?.

A. Nếu limu n

= +∞ và limvn

= a > 0 thì lim ( u n

v n ) = +∞ .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

u

n

B. Nếu limun

= a ≠ 0 và limv n

= ±∞ thì lim = 0 .

vn

1

C. Nếu limun

= a > 0 và limv = 0 thì lim u n

n = +∞ .

v

n

D. Nếu limun

= a < 0 và limv = n

0 và v > 0 với mọi n thì lim u n

n

= −∞ .

v

n

Câu 2. Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn P = 2,13131313... ,

Câu 3.

212

213

211

211

A. P = B. P = . C. P = . D. P = .

99

100

100

99

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Ta nói dãy số ( u

n ) có giới hạn là số a (hay

n

B. Ta nói dãy số ( )

u

n

có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu

n

tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

C. Ta nói dãy số ( )

từ một số hạng nào đó trở đi.

D. Ta nói dãy số ( )

từ một số hạng nào đó trở đi.

Câu 4. Cho các dãy số ( ),

( )

Câu 5.

u

n

có giới hạn +∞ khi n → +∞ nếu

n

u

n

có giới hạn −∞ khi n → +∞ nếu

n

u dần tới a ) khi n → +∞ , nếu ( u a)

lim − = 0 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n→+∞

u có thể lớn hơn một số dương

u có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể

u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể

un

v

n

và lim u = n

a, lim v = +∞ thì lim u

n

n

bằng

v

n

A. 1. B. 0 . C. −∞ . D. +∞ .

Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?

(I) lim n k = +∞ với k nguyên dương.

(II) lim q n = +∞ nếu q < 1 .

(III) lim q n = +∞ nếu q > 1

A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 .

1

u

n

thỏa u n

− 2 < với mọi n ∈ N * . Khi đó

3

n

A. lim u n

không tồn tại. B. lim u

n

= 1. C. limu n

= 0 . D. limu n

= 2 .

Câu 6. Cho dãy số ( )

Câu 7.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phát biểu nào sau đây là sai?

n

A. lim u n

= c ( u n

= c là hằng số ). B. lim 0

C.

1

lim 0

n = . D. 1

lim 0

k

n = ( 1)

DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC

Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu

k > .

q = ( 1)

q > .

n

2

n −1

Câu 8. (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tính L = lim

3

n + 3

.

A. L = 1.

B. L = 0.

C. L = 3.

D. L = 2.

Câu 9. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)

1

lim bằng 5n + 3

A. 0 . B. 1 3 . C. +∞ . D. 1 5 .

1

Câu 10. (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) lim bằng

2n + 7

A. 1 7 . B. +∞. C. 1 2 . D. 0 .

1

Câu 11. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) lim bằng 2n + 5

A. 1 2 . B. 0 . C. +∞ . D. 1 5 .

1

Câu 12. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) lim bằng 5n + 2

A. 1 5 . B. 0 . C. 1 . D. +∞ .

2

Câu 13.

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm

A. 7 3 . B. 2

− . C. 0 . D. 1.

3

2

2n

− 3

Câu 14. (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) lim bằng:

6 5

n + 5n

− 3

A. 2 . B. 0 . C. . D. − 3 .

5

Câu 15.

2018

lim n bằng

A. −∞ . B. 0 . C. 1. D. +∞ .

2 3

7n

− 2n

+ 1

3 2

3n

+ 2n

+ 1

I = lim .

2n

+ 1

Câu 16. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn L = lim ? 2

2

+ n − n

A. L = −∞. B. L = − 2 . C. L = 1. D. L = 0 .

Câu 17. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?

2

2

2

n − 2

n − 2n

1−

2n

1−

2n

A. un

= . B. u

2

n

= . C. u

2

n

= . D. u

2

n

= .

2

5n

+ 3n

5n

+ 3n

5n

+ 3n

5n

+ 3n

Câu 18. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính lim 2n

− 3

I = 2 2

n + 3 n + 1

A. I = −∞ . B. I = 0 . C. I = +∞ . D. I = 1.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

3

1 1 1

Câu 19. Tìm lim u n

biết u n

= + + ... +

2 2 2

2 −1 3 −1 n − 1

.

A. 3 4 . B. 3 5 . C. 2 D. 4 3

3 .

Câu 20.

1 1 1 1

(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim + + + ... + .

1.2 2.3 3.4 n( n + 1)

A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3 2 .

Câu 21. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Tìm

1 1 1

L = lim + + ... +

1 1+ 2 1+ 2 + ... + n

5

3

A. L = . B. L = +∞. C. L = 2 . D. L = .

2

2

Câu 22. Với n là số nguyên dương, đặt

lim S n

bằng

1

A.

2 + 1

B.

S n

1 1 1

= + + ... +

. Khi đó

1 2 + 2 1 2 3 + 3 2 n n + 1 + n + 1 n

( )

1

2 − 1

. C. 1. D. 1

2 + 2

.

cos n + sin n

Câu 23. (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị của lim .

2

n + 1

A. 1. B. 0. C. +∞ .

D. −∞ .

Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu

Câu 24.

Câu 25.

Câu 26.

Câu 27.

2 − n

(THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Giá trị của lim bằng

n + 1

A. 1. B. 2 . C. − 1. D. 0 .

2

(THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết quả của lim n −

3 n + bằng: 1

A. 1 3 . B. 1

− . C. − 2 . D. 1.

3

3n

− 2

(THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn I = lim

n + 3

.

2

A. I = − . B. I = 1. C. I = 3 . D. k ∈ Z .

3

(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Giới hạn

lim 1−

2n

3 n + bằng? 1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

A. 2 3 . B. 1 3 . C. 1. D. 2

− .

3

4

2 2017

Câu 28. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn lim n +

I =

. 3 n + 2018

2

3

2017

A. I = . B. I = . C. I = . D. I = 1.

3

2

2018

1 19

Câu 29. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019)

lim + n

18 n + 19 bằng

A. 19

18 . B. 1

1

. C. +∞ . D.

18 19 .

Câu 30. (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?

A. 1 n . B. 1

n . C. n + 1

sin n

. D.

n

n .

Câu 31. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018)

Câu 32.

Câu 33.

Câu 34.

2

1−

n

+ bằng

lim 2 2

n 1

A. 0 . B. 1 2 . C. 1 3 . D. 1

− .

2

(SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn

lim 4n

+ 2018

. 2 n + 1

A. 1 . B. 4 . C. 2 . D. 2018 .

2

5 3

8n

− 2n

+ 1

lim 4

5 2

2

n n 1

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Tìm

+ + .

A. 2 . B. 8 . C. 1. D. 4 .

2n

+ 1

(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Tính lim được kết quả là

1 + n

A. 2 . B. 0 . C. 1 . D. 1.

2

Câu 35. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018)

Câu 36.

4

2n

− 2n

+ 2

lim 4

4

n + 2 n + 5

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

bằng

A. 2

11 . B. 1 . C. +∞ . D. 0 .

2

2

2n

− 3

(Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Giá trị của lim bằng

1 2

2

− n

A. − 3 . B. 2 . C. − 1. D. 0 .

2

n + n

A = lim

2

Câu 37. Giá trị 12 n + 1 bằng

A. 1

12 . B. 0 . C. 1 6 . D. 1 24 .

Câu 38. Tính

lim 5n

+ 3

2 n + 1 .

5

Câu 39.

A. 1. B. +∞ . C. 2. D. 5 2 .

n

+ 4n

− 5

+ + bằng

3

lim 3

3

n

2

n 7

A. 1. B. 1 3 . C. 1 4 . D. 1 2 .

Câu 40. Tính giới hạn

2 3

n − 3n

+ − .

lim 2

3

n 5 n 2

A. 1 5 . B. 0 . C. 3

− . D. 1 2

2 .

Câu 41. Giới hạn của dãy số ( )

u với u

n

n

2n

−1 = , n∈

3−

n

*

N là:

A. − 2 . B. 2 3 . C. 1. D. 1

− .

3

10 3

Câu 42. Tính giới hạn lim n +

I = ta được kết quả:

3 n − 15

10

10

A. I = − . B. I = . C.

3

3

Câu 43.

Câu 44.

3

I = . D.

10

2

I = − .

5

2n

+ 1

lim

n + 1 bằng

A. 1. B. 2 . C. − 2 . D. +∞ .

lim

n

Câu 45. Tính

2

3n

+ 1

2

− 2 bằng:

A. 3 . B. 0 . C. 1 2 . D. 1

- .

2

2

8n

+ 3n

−1

2

+ n + n .

lim 4 5 2

A. 2 . B.

Câu 46. Cho hai dãy số ( u ) và ( )

n

n

1

− . C. 4 . D.

2

v có

u n

1

= ;

n + 1

v n

= 3

n + 3

. Tính lim u

n v .

n

1

− .

4

A. 0 . B. 3 . C. 1 . D. +∞ .

3

5 3

8n

− 2n

+ 1

lim

2 5

Câu 47. Giới hạn 2 n − 4 n + 2019 bằng

A. − 2 . B. 4 . C. +∞ . D. 0 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

6

2

4n

+ 3n

+ 1

Câu 48. Giá trị của B = lim bằng:

2

3 n − 1

Câu 49.

Câu 50.

Câu 51.

( )

A. 4 9 . B. 4 . C. 0 . D. 4

3

3 2

n + n + 1

(THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Tính L = lim ⋅ 2018 3

3

− n

1

A.

2018 . B. − 3 . C. +∞ . D. 1

− .

3

(Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa

3n

+ 2 2

mãn lim

+ a − 4a

= 0 . Tổng các phần tử của S bằng

n + 2

A. 4 . B. 3. C. 5. D. 2 .

(Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho a ∈ R sao cho giới hạn

+ a n + 1 = − +

2 2

2

lim a a 1

2

( n + 1)

.Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

1

A. 0 < a < 2 . B. 0 < a < . C. − 1< a < 0 . D. 1< a < 3 .

2

Câu 52. Dãy số ( )

u với u

n

n

=

( 3n

−1)( 3−

n)

3

( 4n

− 5)

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

an

có giới hạn bằng phân số tối giản a b . Tính a.

b

A. 192 B. 68 C. 32 D. 128

3 2

2n

+ n − 4 1

Câu 53. Biết lim

3 =

2

với a là tham số. Khi đó a − a bằng

an + 2 2

A. − 12 . B. − 2 . C. 0 . D. − 6.

Câu 54. Cho dãy số ( )

Câu 55.

Câu 56.

A. limu = 0 .

B.

n

1

limu n

= .

2

C. Dãy số ( )

D. limu = 1.

n

u

u

n

với

n

2

n

1+ 2 + 3 + ... + n

=

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

n + 1

u không có giới hạn khi n → +∞ .

(THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn

trị bằng?

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n

lim

3

n + 2n

+ 7

A. 2 3 . B. 1 6 . C. 0 . D. 1 3 .

1+ 3+ 5 + ... + 2n

+ 1

lim

2

3n

+ 4 bằng

2 2 2 2 2

có giá

7

Câu 57.

A. 2 3 . B. 0 . C. 1 . D. +∞ .

3

1 2 3 n

Lim

+ + + ... +

n

2 n

2 n

2 n

2

bằng

A. 1. B. 0 . C. 1 3 . D. 1 2 .

1 3 2n

−1

*

u

n xác định bởi: un

= + +…+ với n ∈ N Giá trị của limu 2 2 2

n

bằng:

n n n

A. 0`. B. +∞ . C. −∞ . D. 1

Câu 58. Cho dãy số ( )

1 2 n

Câu 59. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Tìm lim + + ... +

2 2 2

n n n .

A. +∞ . B. 1 2 . C. 1 n . D. 0 .

Câu 60. (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Tính giới hạn:

1 1 1

lim 1− 1 ... 1

2 −

2 −

2

2 3 n

.

A. 1. B. 1 2 . C. 1 4 . D. 3 2 .

Câu 61. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số ( )

u n

1 1 1

= + + ... +

. Tính lim u .

n

1.3 3.5 2 1 . 2 1

A. 1 .

2

( n− ) ( n + )

B. 0. C. 1. D. 1 .

4

2019 2018

Câu 62. Tính

lim( − 2n

+ 3n

+ 4)

?

A. −∞ . B. +∞ . C. − 2. D. 2019 .

Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu

4 3

lim

Câu 63.

( 2 − 3n) ( n + 1)

là:

A. −∞ B. +∞ C. 81 D. 2

Câu 64. Tính giới hạn

L =

n

3

− 2n

lim 3

2

n + n − 2

A. L = +∞. B. L = 0 . C.

1

L = . D. L = −∞.

3

3

− 2 + 3n

− 2n

Câu 65. Tính giới hạn của dãy số un

=

3n

− 2

− 2

A. . B. −∞ . C. 1. D. +∞ .

3

u với

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

8

lim

Câu 66. Giới hạn

( n )

1+ 5 + ... + 4 − 3

2n

− 1 bằng

A. 1. B. +∞ . C.

Dạng 1.4 Phân thức chứa căn

Câu 67. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018)

Câu 68.

lim

2

2 . D. 0 .

2

4n

+ 1 − n + 2

2n

− 3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

bằng

A. 3 . B. 2. C. 1. D. +∞ .

2

(THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho

A. I = 1. B.

I =

2

lim 4n

+ 5 + n

4 2

n − n + 1

5

I = . C. I = − 1. D.

3

. Khi đó giá trị của I là:

3

I = .

4

Câu 69. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn

2 2

4x + x + 1 − x − x + 3

lim

x→−∞

3x

+ 2

1

A. − . B. 2 3

3 . C. 1 3 . D. 2

− .

3

Câu 70. Tìm lim u n

biết u

Câu 71.

n

n

=

2

2n

+ 1

( n )

1+ 3 + 5 + ... + 2 −1

A. 1 . B. +∞. C. 1. D. −∞ .

2

(HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tính

1 + 2 + 3 + ... + n

lim 2 n n 7 6 5

2 2 3 2

( + )( n + )

A. 1 6 . B. 1

2 6 . C. 1 . D. +∞ .

2

DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC

lim ( n )

2 − 3n + 1 − n

Câu 72.

bằng

A. − 3. B. +∞ . C. 0. D.

Câu 73. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng 1?

n 1

3 + 2

+ 2n

3

A. lim . B.

5 3

n

2

+

lim n + n

4 n − . 5

3

− .

2

9

C. lim( n )

2 2n n

2 1

+ − + . D.

lim ( 4 3)

Câu 74. Giới hạn n n + − n +

bằng

3

2n

+ 3

lim .

2

1+

2n

A. 0 . B. +∞ . C. 7 2 . D. 1 2 .

Câu 75. Tính giới hạn lim ( n n )

2 4n

Câu 76.

− − .

A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 .

Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để ( n )

2 n a n

lim − 4 + 7 + − = 0 ?

A. 3. B. 1. C. 2. D. 0 .

Câu 77. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tính I = lim n( n )

2 + 2 − n

2 −1

A. I = +∞ . B.

.

3

I = . C. I = 1, 499 . D. I = 0 .

2

Câu 78. (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tính lim ( 4 )

2 + 3 − 3 8

3 +

n n n n .

A. +∞ . B. 1. C. −∞ . D. 2 3 .

L = lim ( 9n )

2 + 2n −1 − 4n

2 + 1

Câu 79. Tính giới hạn

A. +∞ . B. 1. C. −∞ . D. 9 4 .

L = lim ( 4n )

2 + n + 1 − 9n

Câu 80. Tính giới hạn

A. +∞ . B. − 7 . C. −∞ . D. 9 4 .

Câu 81. Tính giới hạn L lim ( 4n )

2 n 4n

2 2

= + − + . ĐS: 1 4 .

A. +∞ . B. − 7 . C. −∞ . D. 1 4 .

L = lim ( n )

2 + 3n + 5 − n + 25

Câu 82. Tính giới hạn

A. +∞ . B. − 7 . C. 53 2 . D. 9 4 .

2n

+ 1 − n + 3

L = lim

Câu 83. Tính giới hạn

4n

− 5

.

.

.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

.

10

A. +∞ . B. − 7 . C. 53 2 . D. 2 − 1 .

2

Câu 84. Tính giới hạn sau L lim ( )

3 n 4 3 n 1

= + − + .

A. +∞ . B. − 7 . C. 53 2 . D. 0 .

Câu 85. Tính giới hạn L lim ( )

3 8n 3 3n 2 2 3 5 n 2 8n

3

= + − + − .

A. +∞ . B. − 7 . C. 53 2 . D. 2 3 .

Câu 86. Tính giới hạn L lim( )

3 8n 3 3n 2 4 2n

6

= + + − + .

A. +∞ . B. 25

4 . C. 53 2 . D. 1 2 .

Câu 87. Tính giới hạn L lim ( )

3 2 n n 3 n 1

= − + − .

A. +∞ . B. − 1. C. 53 2 . D. 1 2 .

Câu 88. Tính giới hạn L lim ( )

3 n n 3 n 2

= − + + .

A. +∞ . B. 2 . C. 1. D. 1 2 .

Câu 89. Tính giới hạn L lim ( )

3 n 3 2 n 2 n 1

= − − − .

A. +∞ . B. 5 4 . C. 53 2 . D. 5

− .

3

Câu 90. Tính giới hạn L lim ( n )

4 n 2 3 n

6 1

= + − + .

A. +∞ . B. 5 4 . C. 1 2 . D. 5

− .

3

Câu 91. Tính giới hạn L lim( n )

2 n 1

3 n 3 n

2

= + + − + .

A. +∞ . B. 5 4 . C. 53 2 . D. 1 6 .

DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA

Câu 92. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?

n

n

4

A.

e . B. 1

3 . C. 5

3 . D. −5

3 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

n

11

Câu 93.

(THPT THÁI PHIÊN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) lim 2 n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n→+∞

bằng.

A. 2 . B. +∞ . C. −∞ . D. 0 .

Câu 94. Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0

Câu 95.

A.

n

n

2

lim

3 . B. 5

lim

3 . C. 4

lim

n

2018

lim

2019 bằng.

3

n

lim 2 n .

. D. ( )

A. 0 . B. +∞ . C. 1 2 . D. 2 .

Câu 96. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?

Câu 97.

A. ( 0,999)

n . B. ( − 1)

n

. C. ( − 1,0001 )

n

. D. ( )

n+

1 n

100 + 3.99

lim 10

2n

2.98

n+

1

− là

A. +∞ . B. 100 .

1

C.

100 . D. 0 .

n n

lim( 3 − 4 )

Câu 98.

là

A. +∞ . B. −∞ . C. 4 . D. 1.

3

Câu 99. Tính giới hạn

3.2 − 2.3

lim

n

4 + 3

n+ 1 n+

1

.

A. 3 2 . B. 0 . C. 6 5 . D. − 6 .

Câu 100. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ?

A.

C.

Câu 101. Tính

n

1+

2.2017

lim 2016

n

+ 2018

n

1+

2.2018

lim 2017

n

+ 2018

n

2 + 1

lim 2.2

n

+ 3 .

n

n

n

1+

2.2018

. B. lim .

2016

n 2017

n+ 1

+

. D.

n 1

2.2018 + − 2018

lim 2016

n

+ 2018

A. 2. B. 0. C. 1. D. 1 2 .

n

.

1,2345 n .

Câu 102. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc

khoảng ( )

n n+

1

9 + 3 1

0; 2019 để lim ≤ ?

5

n 9

n+

a

+ 2187

A. 2018 . B. 2012 . C. 2019 . D. 2011.

12

Câu 103. (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn

n+ 1 n n+

1 n

( )

T = lim 16 + 4 − 16 + 3 .

1

1

1

A. T = 0 . B. T = . C. T = . D. T = .

4

8

16

DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG

Câu 104. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u

1

= 1

và công bội

1

q = − .

2

A. S = 2 . B.

3

S = . C. S = 1. D.

2

2 2 2

Câu 105. Tổng vô hạn sau đây S = 2 + + + ... + + ... có giá trị bằng

2

3 3 3 n

A. 8 . B. 3. C. 4 . D. 2 .

3

Câu 106. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,15555... 3,1( 5)

= viết dưới dạng hữu tỉ là

2

S = .

3

A. 63

142

. B.

20 45 . C. 1

18 . D. 7 2 .

1 1 1

1 + + + + ...

Câu 107. Tổng 2 4 2 n

bằng

A. 1 . B. 2. C. 1. D. +∞ .

2

u1

= 3

*

Câu 108. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho dãy số ( un

), n ∈ N , thỏa mãn điều kiện u .

n

u n + 1

= −

5

Gọi S = u1 + u2 + u3 + ... + un

là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Khi đó lim S n

bằng

A. 1 2 . B. 3 5 . C. 0 . D. 5 2 .

u1

= 1

u

n

thoả mãn 2

*

un+

1

= un

+ 4, ∀n

∈N . Tìm lim u

n

.

3

A. limu = 1. B. limu = 4 . C. limu = 12 . D. limu = 3.

Câu 109. Cho dãy số ( )

Câu 110. Cho cấp số cộng ( )

n

n

n

un

có số hạng đầu u

1

= 2 và công sai d = 3 . Tìm lim

u .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

A.

1

L = . B.

3

1

L = . C. L = 3 . D. L = 2

2

n

n

n

13

DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

Câu 111. (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Cho dãy số ( )

u n n n

*

n

= + 2018 − + 2017, ∀ ∈ N . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Dãy số ( )

C.

u là dãy tăng. B. lim u = 0 .

1

0 ,

2 2018

n

*

< un

< ∀n

∈ N . D.

u thỏa mãn

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n→+∞

u

n

= .

n+

1

lim 1

n→+∞

un

Câu 112. (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Đặt f ( n) ( n 2 n ) 2

cho u

A.

n

( 1 ). ( 3 ). ( 5 )... ( 2 −1)

f ( 2 ). f ( 4 ).f ( 6 )... f ( 2n)

f f f f n

= . Tìm lim n u

n

.

1

lim n u

n

= . B. lim n u

n

= 3 . C.

3

Câu 113. (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho dãy số ( )

∀n

≥ 1 . Biết

lim

n 2n 2 2018

2 n 2 n

= + + 1 + 1, xét dãy số ( u ) sao

1

lim n u

n

= . D. lim n u

n

= 2 .

2

u 2019

n

+ u4n + u 2 + ... + u 2018

4 n 4 n a + b

u + u + u + ... + u

u

n

xác định bởi u

1

= 0 và u = n 1

u + + n

4n

+ 3 ,

với a , b , c là các số nguyên dương và b < 2019 . Tính giá trị S = a + b − c .

A. S = − 1. B. S = 0 . C. S = 2017 . D. S = 2018 .

Câu 114. (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Dãy số ( )

khi n dần đến vô cùng?

A. u

C.

n

=

n

( 2017 − n)

( 2018 − n)

2018

2017

2 2

. B. un

n( n 2018 n 2016 )

= + − + .

u1

= 2017

1

. D.

un+

1

= ( un

+ 1 ), n = 1,2,3...

2

u n

n

=

c

u nào sau đây có giới hạn khác số 1

1 1 1 1

= + + + ... +

1.2 2.3 3.4 n n 1

Câu 115. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Cho dãy số ( n )

2

u = u = n ( u − u ) , với mọi n ∈ N * , n ≥ 2 , tìm giới hạn của dãy số ( )

2016;

n n n

1 −1 −1

n

( + )

u được xác định như sau

A. 1011. B. 1010 . C. 1008. D. 1009 .

n

u

n

như sau: u = n 2 4

1 + n + n

, ∀ n = 1 , 2 ,... Tính giới hạn lim ( u1 + u2

+ ... + un

) .

x→+∞

Câu 116. Cho dãy số ( )

A. 1 4 . B. 1. C. 1 2 . D. 1 3 .

u .

n

.

n

14

Câu 117. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho dãy số ( u

n ) thỏa mãn

u1

= 2

3 4un+

1

+ 1 = 4un

+ 1 + 4, n∈

*

( N )

. Tính lim u

n

.

A. 1 3 . B. 3 4 . C. 1 2 . D. 2 3 .

Câu 118. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho dãy số ( )

un

L = lim 3

n

A. Không xác định. B. L = +∞ . C.

u biết

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

5

L = − . D. L = 0 .

6

u1

= −2

, khi đó

un

= 3un

−1

−1, ∀n

≥ 2

Câu 119. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam

giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC .

Ta xây dựng dãy các tam giác A1 B1C 1, A2 B2C2 , A3 B3C 3,...

sao cho A1 B1C 1

là một tam giác đều

cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n ≥ 2 , tam giác An BnC n

là tam giác trung bình của tam

giác An 1Bn 1C

. Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu − − n− 1

S

n

tương ứng là diện tích hình tròn ngoại

tiếp tam giác An BnC n

. Tính tổng S = S1 + S2 + ... + S n

+ ...?

A.

15 π

S = .

B. S = 4 π.

C.

4

Câu 120. (CTN - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số ( )

A. u

C.

n

u n

( − 2018)

( n − 2017)

n n

=

2017

2018

2 2

. B. un

n( n 2020 4n

2017 )

n

9 π

S = . D. S = 5 π.

2

u cho dưới đây, dãy số nào có giới hạn khác 1?

= + − + .

2 2 2

= + + … +

. D.

1.3 3.5 2 1 2 3

( n + )( n + )

u1

= 2018

1

.

un+

1

= ( un

+ 1 ), n ≥1

2

2 2 *

Câu 121. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Cho dãy số ( un)

thỏa mãn: u

1

= 1; u = n+ 1

un

a,

n

3

+ ∀ ∈ N . Biết rằng

2 2 2

( 1 2

n )

lim u + u + ... + u − 2n = b . Giá trị của biểu thức T = ab là

A. − 2 . B. − 1. C. 1. D. 2 .

Câu 122. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Với n là số tự nhiên lớn hơn 2 , đặt

1 1 1 1

Sn

= + + + ... + . Tính lim S

3 3 4 3

n

C C C C

3 4 5

n

A. 1. B. 3 2 . C. 3. D. 1 3 .

15

Câu 123. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số a thuộc khoảng ( 0;2018 ) để có

n n+

1

9 + 3 1

lim ≤ ?

5

n 9

n+

a

+ 2187

A. 2011. B. 2016 . C. 2019 . D. 2009 .

Câu 124. Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống

1

đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng độ cao mà quả bóng đạt trước

10

đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt

đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. ( 67 m ; 69m ) . B. ( 60 m ; 63m ) . C. ( 64 m ; 66m ) . D. ( 69 ; 72 )

Câu 125. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hai dãy số ( ),

( )

m m .

u v đều tồn tại giới hạn hữu hạn. Biết rằng

+

hai dãy số đồng thời thỏa mãn các hệ thức un 1

= 4vn − 2, vn 1

= un

+ 1 với mọi ∀n

∈ Z . Giá trị

của giới hạn lim ( u 2v

)

n→+∞

n

+ bằng

n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

+ +

A. 0. B. 3 2 . C. − 1 . D. 1 2 .

Câu 126. Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi

khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là 50 cm.

Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Chiều cao mô hình không quá 1,5 mét B. Chiều cao mô hình tối đa là 2 mét

C. Chiều cao mô hình dưới 2 mét. D. Mô hình có thể đạt được chiều cao tùy ý.

Câu 127. Trong một lần Đoàn trường Lê Văn Hưu tổ chức chơi bóng chuyền hơi, bạn Nam thả một quả bóng

chuyền hơi từ tầng ba, độ cao 8m so với mặt đất và thấy rằng mỗi lần chạm đất thì quả bóng lại

nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng chuyển động vuông góc với

mặt đất. Khi đó tổng quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng đến khi quả bóng không máy

nữa gần bằng số nào dưới đây nhất?

A. 57m . B. 54m . C. 56m . D. 58m .

Câu 128. Với mỗi số nguyên dương n , gọi

n

thì hai cặp số ( a;

b ) và ( ; )

s là số cặp số nguyên ( ; )

n

x y thỏa mãn

b a khác nhau). Khẳng định nào sau đây là đúng?

sn

sn

s

A. lim = 2π

. B. lim = 2 . C. lim n

n→+∞

n

n→+∞

n

n→+∞

n

2 2 2

x + y ≤ n . (nếu a ≠ b

sn

= π . D. lim = 4 .

n→+∞

n

16

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Chọn C

Nếu limun

= a > 0 và limv = 0 thì lim u n

n = +∞ là mệnh đề sai vì chưa rõ dấu của v

n

là

v

n

dương hay âm.

Chọn D

Lấy máy tính bấm từng phương án thì phần D ra kết quả đề bài

Chọn A

Chọn B

Dùng tính chất giới hạn: cho dãy số ( ),( )

un

lim 0

v = .

n

Chọn D

(I) lim k

n = +∞ với k nguyên dương ( I )

u v và lim u = a, lim v = +∞ trong đó a hữu hạn thì

n

n

là khẳng định đúng.

(II) lim q n

n

= +∞ nếu 1 II là khẳng định sai vì lim q = 0 nếu q < 1 .

q < ( )

q > ( )

(III) lim q n = +∞ nếu 1 III là khẳng định đúng.

Vậy số khẳng định đúng là 2 .

Chọn D

1

Ta có: u n

2

3

n

1

lim − = lim = 0 lim un

− 2 = 0 limun

= 2.

n

− < ( u n

2) 3

n

Câu 7. Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì lim 0

Câu 8.

Câu 9.

DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC

Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu

Chọn B

Ta có

Chọn A

1 1

−

n − 1 2 3 0

lim lim 0

3 = n n = = .

n + 3 3

1+

1

3

n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

n

q = ( 1)

q < .

1

1

Ta có lim = lim n = 0 .

5n

+ 3 3

5 +

n

17

Câu 10.

Chọn D

Câu 11.

Câu 12.

Câu 13.

Câu 14.

Câu 15.

Câu 16.

Câu 17.

1

1

Ta có: lim = lim n = 0 .

2n + 7 7

2 +

n

Chọn B

1 1 1

Ta có: lim = lim . = 0 .

2n + 5 n 5

2 +

n

Chọn B

1 1 1 1

lim = lim 0. 0

5n

2 n 2

= = .

+ 5 + 5

n

Chọn B

Ta có

Ta có

Chọn B

Chọn D

Ta có:

Chọn C

Hướng dẫn giải

7 1

− 2 +

I = lim = lim = − .

lim

n

2 3

7n − 2n + 1 3

n n 2

3 2

3n

+ 2n

+ 1 2 1

3 + +

3

3

2

2n

− 3

+ 5n

6 5

2 3

−

4 6

= lim n n

5

1+

n

n

= 0 .

2 1

+

2n + 1

2

L = lim = lim n n = 0 .

2

2 + n − n 2 1

+ −1

2

n n

Xét đáp án

2

2 1−

n − 2 2 1

A. lim = lim n = .

2

5n

+ 3n

5

+ 3

3

n

Xét đáp án

2

2 1−

n − 2n 1

B. lim = lim n =

2

5n

+ 3n

5

+ 3

3

n

n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

18

Xét đáp án

1 2

−

1−

2n 2

C. lim = lim n n = 0 .

2

5n

+ 3n

5

+ 3

n

Xét đáp án

1

2 − 2

1−

2n

2 2

D. lim = lim n = − .

2

5n

+ 3n

5

+ 3

3

n

Câu 18.

2 2 3

n −

2 3

2

−

lim 2n

− 3

n n

2

I =

= lim

= lim n n

2 2

n + 3 n + 1

2 3 1 3 1

n 2 + +

2 2 + +

2

n n n n

= 0 .

Câu 19.

Câu 20.

Chọn A

Ta có:

u n

1 1 1 1 1 1 1

= + + ... + = + + + ... +

− − n − n − n +

( )( )

2 2 2

2 1 3 1 1 1.3 2.4 3.5 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1

= − + − + − + ... + − = + − = −

2 1 3 2 4 3 5 n − 1 n + 1 2 1 2 n + 1

4 2 n + 1

( )

3 1 3

Suy ra: limu n

= lim − = .

4 2 ( n + 1 ) 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Ta có: + + + ... + = − + − + ⋯+ − + − 1

1.2 2.3 3.4 n n + 1 1 2 2 3 n − 1 n n n + 1

= − n + 1

.

( )

1 1 1 1

Vậy lim + + + ... +

1.2 2.3 3.4 n( n + 1)

1

= lim1− = 1.

n + 1

Câu 21. Ta có 1+ 2 + 3 + ... + k là tổng của cấp số cộng có u

1

= 1, d = 1 nên 1+ 2 + 3 + ... + k =

Câu 22.

1 2

=

1+ 2 + ... + k k k + 1

( )

= 2 2

k

− k + 1

,

*

∀k

∈N .

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

L = lim − + − + − + ... + − = lim − = 2.

1 2 2 3 3 4 n n + 1

1 n + 1

Chọn C

Ta có

1

Hướng dẫn giải

+ 1 + ( + 1)

n n + 1( n + 1 + n )

n n n n

=

1

n + 1 − n 1 1

= = −

n n + 1 n n + 1

.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Suy ra

.

( 1+

)

2

k k

19

S n

1 1 1

= + + ... +

.

1 2 + 2 1 2 3 + 3 2 n n + 1 + n + 1 n

( )

1 1 1 1 1 1 1

= − + − + .... − = 1−

1 2 2 3 n n + 1 n + 1

.

Suy ra lim S = 1

n

cos n + sin n cos n + sin n 2

Câu 23. Ta có 0 <

≤

<

2 2 2

n + 1 n + 1 n + 1

và 2

lim = 0 .

2

n + 1

Câu 24.

Câu 25.

Câu 26.

Câu 27.

Câu 28.

Câu 29.

Câu 30.

cos n + sin n

Suy ra lim = 0.

2

n + 1

Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu

2

−

2 − n 1

Ta có: lim = lim n 0 −1

= = − 1.

n + 1 1

1+

1 + 0

n

Ta có

Ta có

2

n 1−

2

1−

n − 2

n 1

lim = lim

= lim n = .

3n

+ 1 1 1

3

3

n3

+ +

n n

2

3 −

3n

− 2

I = lim = lim n = 3.

n + 3 3

1+

n

1

− 2

1−

2n

2

Ta có lim = lim n = − .

3n

+ 1 1

3 +

3

n

Ta có

Chọn A

Ta có

lim 2n

+ 2017

I = 3 n + 2018

2017

2 +

= lim n

2018

3 +

n

1

+ 19

1+

19n

19

lim = lim n = .

18n

+ 19 19

18 +

18

n

Chọn C

n + 1 1

Có lim = lim1 + lim = 1 .

n

n

2

= .

3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

20

Câu 31.

Câu 32.

Câu 33.

Câu 34.

Câu 35.

Câu 36.

Câu 37.

Câu 38.

Câu 39.

Ta có

Ta có

Chọn A

Ta có

Ta có

Ta có

1−

n

2

lim 2 2

n + 1

1

−1

2

= lim n

1

2 +

2

n

1

= − .

2

2018

4 +

4n

+ 2018

lim = lim n = 2 .

2n

+ 1

1

2 +

n

5 3

8n

− 2n

+ 1

lim 4

5 2

2

n + n + 1

n

= lim

n

5

5

2 1

8 − +

2 1

2 5 8 − +

n n

2 5

8

= lim n n = = 2 .

2 1 2 1 4

4 + +

3 5 4 + +

3 5

n n n n

1

n 2 +

1

2 +

2n + 1

n 2 0

lim lim lim n +

=

= = = 2 .

1+ n 1 1

1

0 + 1

n

+ 1

+

n n

lim

2 2

2 − +

4

2n − 2n + 2 3 4 1

lim

4 = n n =

4n

+ 2n

+ 5 2 5

4 + +

2

3 4

Chọn C

3

2 2 −

2n

− 3

2

lim lim 1

2 = n = − .

1−

2n

1

− 2

2

n

Chọn A

1

2 1+

n + n 1

A = lim = lim n = .

2

12n

+ 1 1

12 +

12

2

n

1

Vậy A = .

12

Chọn D

Ta có

3

5+

5n

+ 3 5

lim = lim n = .

2n

+ 1 1

2 +

2

n

n

n

.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Chọn B

21

Câu 40.

Câu 41.

Câu 42.

Câu 43.

Câu 44.

Câu 45.

Câu 46.

Câu 47.

Ta có:

Chọn C

Ta có:

n

3

+ 4n

− 5

lim 3

3 2

n + n + 7

n

− 3n

2 3

lim 2

3

n + 5 n − 2

4 5

1+ −

2 3 1

= lim n n = .

1 7

3 + +

3

3

n n

= lim

n

3

3 1

n − 3

n

5 2

2 + −

2 3

n n

Chọn D

1

2 −

2n

−1 1

Ta có lim un

= lim = lim n = − .

3 − n 3

−1

3

n

Chọn B

Ta có

3

10 +

10n

+ 3 10

I = lim = lim n = .

3n

−15 15

3 −

3

n

Chọn B

1

2 +

2n

+ 1

Ta có lim = lim n = 2 .

n + 1 1

1+

n

Chọn A

1

2 3 +

3n

+ 1

2

lim lim 3

2 = n =

n − 2 2

1−

2

n

Chọn C

3 1

2 8 + −

8n + 3n − 1

2

Ta có lim lim 4

2 =

n n = .

4 + 5n

+ 2n

4 5

+ + 2

2

n n

Chọn C

Ta có

u

I = lim n vn

1

= lim n + 1

3

n + 3

n + 3

= lim 3 1

( n + )

1

− 3

3

= lim n = − .

5 2

2 + −

2

2 3

n n

3

1+

lim n 1

=

= .

1 3

31+

n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Chọn A

22

Ta có:

Câu 48. Chọn A.

Câu 49.

Câu 50.

Câu 51.

Câu 52.

Câu 53.

Ta có:

5 3

8n

− 2n

+ 1

lim 2

2 4

5

n − n + 2019

2 1

8 − +

2 5

lim n n

= 2 2019

− 4 +

3 5

n n

= − 2 .

2 3 1 3 1

2

n 4 + + 4 + +

2 2

4n + 3n + 1

n n n n 4 + 0 + 0 4

B = lim = lim

= lim

= =

2 2 2 2

( 3n

−1) 2 1 1 ( 3 − 0)

9

n 3−

3

−

n n

1 1

3 2 1+ +

n + n + 1 3 1

L = lim = lim n n = − ⋅

3

2018 − 3n

2018

− 3

3

3

n

Chọn A

3n

+ 2 2

Ta có: lim

+ a − 4a

n + 2

= lim

( )

2 2

a − 4a + 3 n + 2 + 2a −8a

n + 2

2

2 2 + 2a

− 8a

a − 4a

+ 3+

2

= lim

n

= a − 4a

+ 3.

2

1+

n

3n

+ 2 2

2

Theo giả thiết: lim

+ a − 4a

= 0 ⇔ a − 4a + 3 = 0 ⇔ a = 3∨ a = 1.

n + 2

Vậy { }

Chọn A

Ta có

S = 1;3 1+ 3 = 4 .

2

a 1

a + +

lim lim lim

( n + 1)

n + 2n

+ 1 2 1

1+ +

2

n n

2

a − a + 1 = a

Chọn A

Ta có: lim

Chọn A

2 2 2 2

an + a n + 1 an + a n + 1

2

= = n n = a

2 2

= .

2

a − 2a

+ 1 = 0 a 1

1 3

2 3−

−1

3n −1 3 − n

n n 3 a

= lim

= = . Do đó:

3 3

a. b = 192

4 − 5 5 64 b

4 −

n

( )( )

( n )

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Ta có

3 1 4

3 2 n 2 + −

3

2n + n − 4

2 1

lim

= lim

n n

= = .

3

an + 2 3 2 a 2

n a +

3

n

.

23

Câu 54.

Câu 55.

2 2

Suy ra a = 4 . Khi đó a − a = 4 − 4 = − 12 .

Chọn B

1+ 2 + 3 + ... + n ( 1)

Ta có: limun

= lim

2

2

n + 1

lim n n +

=

2 n + 1

( )

1

= .

2

Chọn D

n( n + 1)( 2n

+ 1)

Ta có kết quả quen thuộc 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n

2 = .

6

Do đó

Câu 56. Chọn C.

Câu 57.

Câu 58.

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n

lim

3

n + 2n

+ 7

2 2 2 2 2

Ta có ( n )

( + 1)( 2n

+ 1)

lim n n

=

6 2 7

( 1+ 2n

+ 1)( n + 1)

3

( n + n + )

( n ) 2

1+ 3+ 5 + ... + 2 + 1 = = + 1 .

2

2 1

1+ 3+ 5 + ... + ( 2n + 1) ( n + 1) 2 1+ +

2 1

lim = lim = lim n n = .

2 2

3n

+ 4 3n

+ 4 4

3 +

3

2

n

Chọn D

1 1

1+ 2 +

n n 1.2 1

= lim

= = .

2 7 6 3

61+ +

2 3

n n

1 2 3 n 1+ 2 + 3 + ... + n n( n + 1) 1 1 1

Lim + + + ... + lim lim lim

2 2 2 2 = 2 = 2 = + =

n n n n n 2n 2 2n

2

Chọn D

Ta có ( n )

2

( n ) n

1 3 2n

−1

1+ 3 + ... + 2 −1

n n n n n

2

1+ 3 + ... + 2 − 1 = n ⎯⎯→ + + ... + = = = 1

2 2 2 2 2

Suy ra limu = 1.

n

1

1 2 n 1+ 2 + ... + n n( n + 1)

1+

1

Câu 59. lim + + ... +

2 2 2 = lim 2 lim

lim n

= 2 = = .

n n n n 2n

2 2

Câu 60.

Chọn B

Xét dãy số ( )

Ta có:

u

2 2

1 1 1

2 3 n , n ≥ 2, n ∈ N .

u

n

, với u n

= 1− 1 − ... 1−

2 2 2

1 3 2 + 1

= 1− = = ;

2 4 2.2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

u

1 1 3 8 4 3+

1

= 1 − . 1 − = . = = ;

2 3 4 9 6 2.3

3 2 2

24

u

1 1 1 3 8 15 5 4 + 1

= 1 − . 1− 1 − = . . = =

2 3 4 4 9 16 8 2.4

4 2 2 2

⋯⋯

u

n

n + 1

= .

2n

Câu 61. Ta có :

Câu 62.

Câu 63.

Câu 64.

Câu 65.

Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định

1 1 1 n + 1 1

Khi đó lim 1− 1 ... 1 lim

2 −

2 −

2 = =

2 3 n

.

2n

2

u n

( ) ( )

n + 1

= , ∀n

≥ 2

2n

1 1 1 1 ⎛1 1 1 1 1 1 ⎞

= + + ... + = ⎜ − + − + ... + − 1.3 3.5 2n− 1 . 2n + 1 2 ⎜⎝ 1 3 3 5 2n− 1 2n

+ 1⎟⎠

1 ⎛1 1 ⎞ n

= ⎜ − =

2 ⎜⎝ 1 2n

+ 1⎠⎟

2n

+ 1

Suy ra :

n 1

limu

= lim = .

n

2n

+ 1 2

Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu

Chọn A

3 4

− + + = − + + = −∞

2019

n n

.

2019 2018 2019

lim 2n 3n 4 lim n . 2

Ta có ( )

Chọn B

4 3

4 3

7 2 1

lim ( 2 − 3n) ( n + 1)

= lim n

− 3 1+

n n

Ta có

7

lim n = +∞

4

2

lim − 3

= ( − 3)

= 3

n

1

lim 1+ = 1

n

3

4 4

( n) ( n )

4 3

lim 2 − 3 + 1 = +∞

Chọn A

2

1−

Ta có: L = lim = lim = +∞.

Chọn B

3

n − 2n 2

n

2

3n

+ n − 2 3 1 2

+ −

2 3

n n n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

u

n

25

Câu 66.

Câu 67.

Câu 68.

Câu 69.

Câu 70.

Câu 71.

− 2

2

3 + n − 2n

− 2 + 3n − 2n lim

= lim n = −∞ do

3n

− 2

2

3 −

n

2

và lim3 − = 3 > 0 .

n

Chọn B

Ta có:

lim

( n )

1+ 5 + ... + 4 − 3

2n

−1

Dạng 1.4 Phân thức chứa căn

Ta có:

Ta có

lim

x→−∞

lim

I =

2

4n

+ 1 − n + 2

2n

− 3

2

lim 4n

+ 5 + n

4 2

n − n + 1

.

2 2

4x + x + 1 − x − x + 3

3x

+ 2

n

1−

4

1.

= lim 1 − 4

2 n 1

= lim

1 1 1 3

− 4 + + + 1− +

2 2

= lim

x x x x

x→−∞

2

3 +

x

Chọn A

− 2 1 2

+ − =

n

− + − = −∞

n n

2 2

lim n 2n lim n 2

3

Lời giải

n

4 −1

= lim = +∞ .

3 2 1

− ( n − )

1 1 2

4 + − +

2 2

n n n

3

2 −

n

5

4 + + 1

2

= lim

n

= 1

1

4 − 1+

2

n

2 − 0

= = 1.

2

1 1 1 3

− x 4 + + + x 1− +

2 2

= lim

x x x x

x→−∞

3x

+ 2

1

= − .

3

( )

2 2

n 1+ 3 + 5 + ... + 2n −1 n n n 1 1

lim un

= lim = lim = lim = lim = .

2 2 2

2n + 1 2n + 1 2n

+ 1 1

2 +

2

2

n

2 2 2 2

n( n + 1)( 2n

+ 1)

Ta có: 1 + 2 + 3 + ... + n = .

6

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Khi đó:

lim

( )( )

( + )( n + )

( )( )

2 2 3 2

1 + 2 + 3 + ... + n n n 1 2 1

= lim

2n n + 7 6n + 5 12n n + 7 6n

+ 5

= lim

1 1

1+ 2 +

n n

7 5

121+ 6

+

n n

1

= .

6

26

DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC

Câu 72. Chọn D

Câu 73.

Câu 74.

Câu 75.

Câu 76.

Ta có

− 3n

+ 1

− 3 + 1 − = =

2

n − 3n + 1 + n

2

n n n

Nên lim ( n 3n 1 n)

Chọn C

− + − = −

2

2 3

Ta có: lim( n )

2 + 2n − n

2 + 1

= lim

1

− 3+

n

3 1

1− + + 1

2

n n

( n )( )

2 + 2n − n 2 + 1 n 2 + 2n + n

2 + 1

2 2

n + 2n + n + 1

1

1

2n−1

2−

2−

= lim

= lim n = = lim n = 1.

2 2

2 2

n + 2n + n + 1 n + 2n n + 1

2 1

+

1+ + 1+

2 2

n n

n n

Chọn D

1 1 1

lim n ( n + 4 − n + 3)

= lim n = lim

= .

n + 4 + n + 3 4 3 2

1+ + 1+

n n

Chọn C

2

Ta có ( n n n )

= lim

Chọn C

lim − − 4 = lim

4n

2

n + n − 4n

( n − n )( )

2 − 4n n + n 2 − 4n

4

= lim = 2 .

4

1+ 1−

n

2

n + n − 4n

2

7 − a

2 2a

− 4 +

2

− 4n + 7 + 2an − a

lim ( n − 4n + 7 + a − n) = lim = lim n = a − 2

2

n − 4n + 7 − ( a − n)

4 7 a

1− + − + 1

lim − 4 + 7 + − = 0 thì a − 2 = 0 ⇔ a = 2 .

Để ( n )

2 n a n

Câu 77. Ta có: I = lim n( n )

2 + 2 − n

2 −1

3n

= lim

2 2

n + 2 + n −1

2

n n n

3 3

= lim

=

2 1 2

1+ + 1−

2 2

n n

Câu 78. Ta có: lim n( 4n )

2 + 3 − 3 8n 3 + n = lim n ( 4n ) ( )

2 + 3 − 2n + 2n − 3 8n 3 + n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

3

( ) ( )

2 3

= lim n 4n + 3 − 2n + n 2n − 8n + n

.

27

Ta có: lim n( 4n )

2 + 3 − 2n

Ta có: lim n( 2n − )

3 8n 3 + n

= lim

3n

( 4n

)

2 + 3 + 2n

−1 1

= lim

= − .

2

1 1

12

4 + 2 3 8 + + 3 8 +

2 2

n n

Vậy lim n( 4n 3 )

3 8n n

2

−n

= lim

4 2 8 8

2 3 3 1 2

+ − + = − = .

4 12 3

Câu 79. L = lim ( 9n )

2 + 2n −1 − 4n

2 + 1

Câu 80.

=

2

lim 5n

+ 2n

− 2

9 2 2 1 4 2

n + n − + n + 1

= +∞.

2

( )

L = lim 4n + n + 1 − 9n

=

= lim

3 3

= lim

= .

3 4

4 + + 2

2

n

( )

2 3 3 3 3

n + n n + n + n + n

=

n

4n + n + 1−81n

2 2

lim

4 2

+ + 1 + 9

1 1

− 77 + +

2

= lim n ⋅

n n = −∞

1 1

4 + + + 9

2

n n

Vì : lim n = +∞ và

Câu 81.

n n n

( 9n 2 + 2n −1) − ( 4n

2 + 1)

lim

9 2 2 1 4 2

n + n − + n + 1

2 2 2

n 5

+ −

2

n n

2 1 1

9 + − + 4 +

2 2

n n n

1 1

− 77 + +

2

lim n n = − 7 < 0 .

1 1

4 + + + 9

2

n n

=

2

lim − 77n

+ n + 1

4 2

+ + 1 + 9

n n n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2

2 2

5 + −

2

= lim n ⋅

n n

2 1 1

9 + − + 4 +

2 2

n n n

2 1 1

n − 77 + +

2

n n

= lim

1 1

n

4 + + + 9

2

n n

28

Câu 82.

L =

= lim

( 4n 2 + n) − ( 4n

2 + 2)

lim

4 2 4 2

n + n + n + 2

2

1−

n

1 2

4 + + 4 +

2

n n

2

( )

L = lim 25 + lim n + 3n + 5 − n

Câu 83.

Câu 84.

= 25 + lim

n

5

n3+

n

3 5

1+ + 1

2

n n

=

n − 2

lim

4 2 4 2

n + n + n + 2

1−

0 1

= = .

4 + 0 + 4 + 0 4

= 25 + lim

( 2n

+ 1) − ( n + 3)

( 3 5)

= 25 + lim

L = lim

4 n 5 2 n 1 n 3

= lim

n

n + n + − n

2 2

2

n + 3n + 5 + n

+

2

= lim

2

n1−

n

1 2

4 + + 4 +

2

n n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

= 25 + lim

3n

+ 5

+ 3 5

2

n n + + n

5

3 +

n

3 + 0 53

= 25 + = .

3 5

1+ 0 + 0 + 1 2

1+ + + 1

n n

n − 2

= lim

4 5 2 1 3

− ( + + + ) n − ( n + + n + )

2

n1−

n

5 1 3

4 − 2 + + 1+

n n n

( )

= lim

1−

0 2 −1

= = .

4 − 0 2 + 0 + 1+

0 2

3 3

( )

L = lim n + 4 − n + 1

= lim

= lim

2

1−

n

5 1 3

4 − 2 + + 1+

n n n

3

( n + 4 ) + 3

( n + 4 ).( n + 1 ) + ( n + 1)

3 2 3

2

3

2 2

2 4

3

2 4 1

3

2 1

3

n . 1 + + n . 1 + . 1 + − n . 1

+

n n n n

3

= lim = 0 .

2 2

3 2 4 4 1 1

n

3 1 3 1 . 1 3

+ + + + + 1

+

n n n n

Câu 85.

29

3 3 2 3 2 3

( )

L = lim 8n + 3n − 2 + 5 n −8n

= lim

= lim

2

8n

− 2

3 2 3 2 2 3 2 3

( 8n + 3n − 2 3

) − ( 8n + 3n − 2 ).( 5 n − 8n ) + ( 5 n −8n

)

2 2

3 3

2

8 − 8 n

2

2 2

3 2 3 2 5 5

8 + − − 8 + − . − 8 + −8

n n n n n n

3 3

3

3 3

Câu 86.

L = lim ( 3 8n 3 + 3n 2 + 4 − 2n

+ 6 ) = 6 + lim ( )

3 8n 3 + 3n 2 + 4 − 2n

Câu 87.

= 6 + lim

1 25

= 6 + = . 4 4

3

( )

2

3n

+ 4

3 2

2

3 3 2 2

8n + 3n + 4 + 2 n. 8n + 3n + 4 + 4n

3 3

= lim ( 2 − + − 1

= − 1 + lim

) ( )

3 2 n − n 3 + n

L n n n

Câu 88.

Câu 89.

= − 1+

lim

3 3

2 2

= − 1+

lim

2

n

= − 1+ 0 = − 1 .

2

2 2

−1 − − 1 + 1

n n

3 3

= lim ( − + + 2)

= 2 + lim ( )

3 n − n 3 + n

L n n n

= 2 + lim

2

= .

3

= 6 + lim

4

3 +

2

n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

3

= 2 + lim

3 3

2 2

3 3 2

= lim ( − 2 − − 1)

= − 1 + lim( )

3 n 3 − 2 n 2 − n

L n n n

= − 1+

lim

Câu 90.

−2

2

2 2

1 − + 1 − + 1

n n

3 3

2

3 4 3 4

8 + + + 2. 8 + + + 4

n n n n

3 3

3 3

2 n

( ) 2 3

2 n − n − n 2n − 2n + n

3

3 3 2

n

( ) 2 3

.

1

n

= 2 + 0 = 2 .

2

1 1

−1 − − 1 + 1

n n

2 5

= −1− = − . 3 3

= − 1+

lim

3

n − n − n n − n + n

( )

3 3 2

−2n

2

3 2

2

3 3 2 2

n − 2 n + n. 2 n − 2n + n

30

3

= lim( )

4 + 2 − 6 + 1 = lim ( n ) ( )

4 + n 2 − n 2 − 3 n 6 + 1 − n

2

L n n n

Câu 91.

3

( n ) ( )

4 n 2 n 2 n 6 n

2

= lim + − − lim + 1 −

2

n

1

= lim

− lim

n + n + n n + 1 + n n + 1 + n

( )

4 2 2 2

3 6 2 3 6 4

3 3

( ) ( ) ( )

2 3 2 2 3 2

L = lim n + n + 1 − n + n = lim n + n + 1 − n + n − n + n

2 2

n + n + 1−

n

= lim

+

( )

n − n + n

3 3 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( ) ( 1)

lim

4 2 2 2

3

( )

4 2 4 6 6

n + n − n n + − n

= lim

−

n + n + n n + 1 + n n + 1 + n

( )

2

n + n + 1 + n 2 3 3 2 3 3 2

n + n n + n + n + n

2

n + 1

n

= lim

−

+ + + + + + +

( )

2

n n 1 n 2 3 3 2 3 3 2

n n n n n n

1

n1+

2

n

n

= lim

−

n

1 n n 1 n 1 + 1 + +

n 1 +

n

2

1 1

2 1 1

+ + +

2 3 3

1

1+

1

= lim n

−

1 1

1+ + + 1 1 1

2 1 3 1 3

n n

+ + + 1 +

n n

DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA

n

Câu 92. Ta có lim q = 0 nếu q < 1 .

2

2

2

1 1

= lim + 0 =

1 2

1+ + 1

2

n

1 1 1

= − =

2 3 6

Mặt khác 4 1

e > ; 5 −

= 5 > 1; 1 1

3 3 3 < . Vậy 1

lim

= 0 .

3

Câu 93. ChỌn B.

Câu 94.

Câu 95.

Chọn A

n

lim q = 0 ( q < 1) .

Chọn A

n

Áp dụng lim q = 0 , q < 1

n

6 2 3 6 4

Câu 96.

Chọn A

31

Câu 97.

Câu 98.

Câu 99.

Do 0,999 1

Chọn B

lim 0,999 = 0 .

< nên ( )

99

n+

1 n

100 + 3.

100 + 3.99

100

lim = lim

= 100

2n

n+

1

n

10 − 2.98 98

1− 2.

100

Chọn B

Ta có: lim( 3 n n

4 )

Chọn D

Ta có

Câu 100. Chọn A

Ta có

Câu 101. Chọn D

Ta có:

Câu 102. Chọn B

Ta có

Câu 103. Chọn C

− lim 4

3 n

n

= 1

= −∞

4

−

.

2

n+ 1 n+

1

6. − 6

3.2 − 2.3

3

lim = lim

= −6

.

n

n

4 + 3 1

4. + 1

3

n

1+

2.2017

lim 2016

n

+ 2018

n

n

n

n

n

1 2017

+ 2.

2018 2018

= lim

n

= 0 .

2016

+ 1

2018

1

n

1+ 2 + 1

2 1+

0 1

lim = lim

= =

n

n

2.2 + 3 1 2 + 0 2

2 + 3.

2

n

n

1

n n+

1

1+ 3

9 + 3

3 1 1 1 1

lim = lim

= ≤ ⇔ ≤ ⇔ a ≥ 7.

n n+

a n

a a 7

5 + 9 5 3 2187 3 3

a

+ 9

9

Do a nguyên thuộc khoảng ( 0; 2019)

nên { 7;8;...;2018}

n+ 1 n n+

1

Ta có T = lim( 16 + 4 − 16 + 3)

=

a ∈ .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

n

4 − 3

lim

16 n+ 1 4 n 16 n+

1 3 n

+ + +

n

32

n n

4 − 3

= lim

16.16 + 4 + 16.16 + 3

n n n n

= lim

DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG

u1 1 2

Câu 104. S = = = .

1−

q 1

1+

3

2

Câu 105. Chọn B

3

1−

4

1 3

16 + + 16 +

4 4

2 2 2

Ta có 2; ; ;...; ;... là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội

2

3 3 3 n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

n

n

1 1

= = .

4 + 4 8

1

q = < 1.

3

2 2 2 1

S = 2 + + + ... + + ... = 2. = 3.

2

n

3 3 3

1

1−

3

Câu 106. Chọn B

1

1 1

2 142

3,15555... = 3,1( 5)

= 3,1 + 5 ... 3,1 5. 10

+ +

2 3 = + =

10 10 1

1−

45

10

Câu 107. Chọn B

1 1 1

1

Ta có 1 + + + + ... là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u

2 4 2 n

1

= 1, q = .

2

u1

1 1 1

Áp dụng công thức được S = kết quả 1 + + + + ... = 2 .

1 − q

2 4 2 n

Câu 108. Chọn D

un

−

un+

1

1

Ta có = 5 = − do đó dãy ( ),

u u 5

Câu 109. Chọn C

n

n

u1 3 5

Suy ra lim Sn

= = = .

1−

q 1

1+

2

5

Đặt

Khi đó

v u n

*

n

=

n

−12,

∀ ∈N .

u = ,

*

un

n ∈ N là một cấp số nhân lùi vô hạn có

1

3

2 2 2

*

vn 1

un 1

12 un 4 12 ( un 12) vn 3 3 3

,

+

=

+

− = + − = − = ∀n

∈ N .

2

v

n

là cấp số nhân với công bội q = và số hạng đầu v

1

= − 11.

3

Suy ra dãy số ( )

Suy ra

v

n

n−1

2

= −11 , ∀n∈

3

*

N . Từ đó

u

n

n−1

2

= − 11

+ 12, ∀n∈

3

*

N .

1

d = − .

5

33

Vậy limu n

= 12 .

DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

Câu 110. Chọn A

un

= u1 + n − 1 d = 2 + n − 1 3 = 3n

− 1.

Ta có ( ) ( )

n n 1 1

lim = lim = lim = .

u 3 1 1

n

n −

3−

3

n

Câu 111. Chọn A

Ta có:

Suy ra:

u = n + 2018 − n + 2017 =

n

un+ 1

n + 2018 + n + 2017

= < 1 với mọi

u n + 2019 + n + 2018

Do đó, dãy số ( )

n

Vậy Chọn A

Chú ý:

+

+

+

Câu 112. Chọn C

u giảm.

n

1

lim un

= lim = 0 .

n→+∞

n→+∞

n + 2018 + n + 2017

un+

1

n + 2018 + n + 2017

lim = lim = 1.

n→+∞

u n→+∞

n + 2019 + n + 2018

n

1

.

n + 2018 + n + 2017

*

n∈N .

1 1 1

0 < u n

= < ≤ .

n + 2018 + n + 2017 2 n + 2017 2 2018

2 2

2 2

Ta có f ( n) ( n n ) ( n ) ( n )

Do đó u

u n

=

n

=

= + + 1 + 1 = + 1 + 1 + 1

.

2

( )( )( )( ) ( n ) n

2 2 2 2 2

( )( )( )( ) n ( n )

2 2 2 2 2

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 ... 2 − 1 + 1 4 + 1

2

2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 ... 4 + 1 2 + 1 + 1

2

( n ) 2

2 + 1 + 1

( )

lim n u n

=

( )

n u n =

2n

lim

2

2 + 1 + 1

2

( n )

2n

2

( n )

2

+ + .

2 1 1

2 1

= lim

= .

2

1 1 2

2 + + n n

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 113. Chọn B

34

Ta có

u

u

...

= u + 4.1+

3

2 1

= u + 4.2 + 3

3 2

n−1

( )

u = u + 4. n − 1 + 3

n

Cộng vế theo vế và rút gọn ta được

( ) ( )

un

= u1 + 4. 1+ 2 + ... + n − 1 + 3 n −1

Suy ra

2n

2

2 n

2018

2 n

( )

u = 2 2n + 2n

− 3

2

( )

2

2

2

u = 2 2 n + 2 n − 3

...

( )

2018

2

2018

u = 2 2 n + 2 n − 3

Và

4n

2

4 n

2018

4 n

( )

u = 2 4n + 4n

− 3

2

( )

2

2

2

u = 2 4 n + 4 n − 3

...

( )

2018

2

2018

u = 2 4 n + 4 n − 3

Do đó

= lim

=

Vì

lim

u + u + u + ... + u

n 4n 2 2018

4 n 4 n

u + u + u + ... + u

n 2n 2 2018

2 n 2 n

( −1)

n n

= 4 + 3 −1

2

( )

( )

( n )

1 3

2018

2 4 3 2018

2 4 3

2 2 2

2 + − + 2.4 + − + ... + 2 4 + −

n n n n n n

1 3

2018

2 2 3 2018

2 2 3

2 2 2

2 + − + 2.2 + − + ... + 2 2 + −

n n n n n n

( + +

2

+ +

2018

)

( + +

2

+ +

2018

)

2 1 4 4 ... 4

2 1 2 2 ... 2

2019

2 2019

1−

4

1

= 1 − 4

1−

2

1−

2

2019

2019

=

2019

1 4 −1

2019

3 2 −1

2019

2 + 1

= .

3

> cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên

2

2n

n 3

= + − , với mọi n ≥ 1.

a

= 2

b

= 1

c

= 3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Vậy S = a + b − c = 0 .

35

Câu 114. Chọn A

Ta tính giới hạn của các dãy số trong từng đáp án:

+) Đáp án A:

( )

( 2018 n)

2018 2017

2017 − n 2017 − n 2017 − n

lim un

= lim = lim .

2017

n −

n 2018 − n

2017

2017

− 1

2017

lim 1 n

= − = −1

n 2018

.

− 1

n

2 2

+) Đáp án B: un

n( n n )

( 2 + 2018 − n

2 − 2016)

n n

lim = lim + 2018 − + 2016 = lim

2 2

n + 2018 + n + 2016

2n

2

= lim = lim = 1.

2 2

n + 2018 + n + 2016 2018 2016

1+ + 1+

2 2

n n

+) Đáp án C:

Cách 1: Ta có u − 1 = + ( u − 1)

u − 1 = ( u 1 ) ... ( u 1 )

−

− = = −

n 1

1

2

2016 1

un

= + 1 ⇔ u 4032. 1

n−1

n

= +

2 2

Cách 2:

Bước 1: Ta chứng minh ( )

n

n

n

1 1

2 2

n n 1 n−1

1

lim = 1.

u n

u giảm và bị chặn dưới bởi 1.

Thật vậy bằng quy nạp ta có u

1

= 2017 > 1.

1 1

> 1 = + 1 > 1+ 1 = 1

2 2

Giả sử u u ( u ) ( )

Vậy

u

n n+

1 n

*

n

> 1∀n

∈ N .

Hơn nữa u − n

u = n ( − +

un

) < nên ( ) n

Suy ra ( )

1

1 1 0

2

u

n

có giới hạn lim u n

= a

u là dãy giảm

1 1 1 1 1

a = lim un = lim un+

1

= lim un + 1 = lim un

+ = a +

2 2 2 2 2

Bước 2: Ta có ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

a = 1.

+) Đáp án D:

36

Ta có

u

n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n

= + + + ... + = 1 − + − + ... + − = 1− =

1.2 2.3 3.4 n n + 1 2 2 3 n n + 1 n + 1 n + 1

n

lim un

= lim = 1.

n + 1

2

Câu 115. Ta có u n ( u u )

u

u

…

u

Câu 116. Ta có

1 3

= . . u

2 2

2 1

2 4

= . . u

3 3

3 2

n

n−1 n−1

n

n − 1 n + 1

= . . u

n n

( )

= −

n−1 ( 1)

n−1

2 2 n − 1 n + 1

⇔ u n − = n un

⇔ un

= . . un−

1. Khi đó ta có:

n n

n + 1 n + 1

Nhân theo vế các đẳng thức trên ta có un

= . u1

= .1008 . Vậy lim u

n

= 1008.

2n

n

u

n

n

n

1 1 1

= = = 2 −

2 n 2 n 1 n 2

+ + − + − + + n + 1

2 2 2 2

( 1+ n ) − n ( n n 1)( n n 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Ta có u1 + u2 + ... + u n

= 1 − + − + − + − + ... + −

2 2

2 3 3 7 7 13 13 21 n − n + 1 n + n + 1

1 1 1

= 1− =

2 2

2 n + n + 1 2 n + n + 1

Suy ra ( u u u )

Câu 117. • Chứng minh ( )

n

2

+ n

1

1+

1 1

+ + + = n = .

2

1+ +

2

2

n n

lim

1 2

...

n

lim 1 1

*

u là dãy giảm, tức là chứng minh: u ≤ n+ 1

un,

∀ n ∈N .

n

- Với n = 1, ta có: 3 4u 10

2

+ 1 = 4u1 + 1 + 4 ⇔ u2 = ≤ u1

.

9

*

- Giả sử mệnh đề đúng với n = k , tức là: u ≤ k+ 1

uk

, ∀ n ∈N .

- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 , tức là chứng minh: uk

+ 2

≤ uk

+ 1

. Ta có:

3 4uk + 2

+ 1 = 4uk + 1

+ 1 + 4 ≤ 4uk + 1 + 4 = 33 4uk

+ 1

+ 1 ⇔ uk

+ 2

≤ uk

+ 1

.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

- Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ra

u u n

*

n+ 1

≤

n,

∀ ∈N , tức ( n )

u là dãy giảm.

37

• Tương tự, dùng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được 3 u n

2

4

suy ra dãy số có giới hạn.

• Đặt

x = lim u n

. Khi n → +∞ thì u → n+ 1

x và

< ≤ , tức dãy ( )

3

3 4x

+ 1 = 4x

+ 1 + 4 ⇔ 36x + 9 = 4x + 1+ 16 + 8 4x

+ 1 ⇔ 4x

+ 1 = 4x

−1

⇔ x = .

4

Vậy

3

limu n

= .

4

u bị chặn. Từ đó

Câu 118. Chọn C

1

1 1

Đặt un

= vn

+ , thay vào biểu thức truy hồi ta có vn + = 3vn−

1

+ −1 ⇔ vn = 3 vn−

1, ∀n

≥ 2 .

2

2 2

Dễ thấy ( )

1 1 5

v

n

là cấp số nhân với v1 = u1

− = −2

− = − , công bội q = 3, suy ra

2 2 2

1 5 1

=

n

+ = − + ≥ .

2 2 2

n−

Do đó u v .3 1

( n 1)

Vậy

n

un

5 1 5

L = lim = lim

n − +

n = − .

3 6 2.3 6

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

5 .3

2

n−1

v n

= − .

Câu 119. Vì dãy các tam giác A1 B1C 1, A2 B2C2 , A3 B3C 3,...

là các tam giác đều nên bán kính đường tròn

3

ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh× .

3

Với n = 1 thì tam giác đều A1 B1C 1

có cạnh bằng 3 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 B1C 1

có

3

bán kính R

1

= 3. 3

3

S 1

= π 3.

3

.

2

Với n = 2 thì tam giác đều A2 B2C 2

có cạnh bằng 3 2 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 B2C

2

1 3

có bán kính R

2

= 3. .

2 3

1 3

S 2

= π 3. .

2 3

.

2

Với n = 3 thì tam giác đều A3 B3C 3

có cạnh bằng 3 4 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 B2C

2

1 3

có bán kính R

3

= 3. .

4 3

.

1 3

S 3

= π 3. .

4 3

.

2

38

Như vậy tam giác đều An BnC n

có cạnh bằng

có bán kính

R n

n−1

1 3

= 3. .

2 3

1

3.

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n−1

n−1

1 3

Sn

= π

3. .

.

2 3

nên đường tròn ngoại tiếp tam giác An BnC

n

Khi đó ta được dãy S

1

, S

2

, ... S

n...

là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = S1 = 3π

và

công bội

1

q = .

4

u1 Do đó tổng S = S1 + S2 + ... + S n

+ ... = = 4π

.

1−

q

Câu 120. + Với phương án A:

+ Với phương án B:

+ Với phương án C:

n

u

n

( − )

( n − 2017)

2017

2017

n n 2018 n.

n

= → →1.

2018 2018

n

2

( 2020 4 2 2017 2 2

) ( 4 ) . ( )

u = n n + − n + → n n − n → n −n

→ −∞ .

u n

+ Với phương án D:

Đặt v = u − 1, ta có

n

Suy ra dãy ( )

Suy ra

Chú ý:

u n

n

n

1 1 1 1 1 1 1

= 1− + − + … + − = 1 − → .

3 3 5 2n + 1 2n + 3 2n

+ 3 2

1 1

un+ 1

= ( un + 1) ⇔ un+

1

− 1 = ( un

− 1)

.

2 2

v1

= 2017

1 .

vn+

1

= . vn

, n ≥ 1

2

v là một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2017 , công bội bằng 1 2 nên

n−1

1

= 2017. + 1

2

( 1)

v n

1

= 2017.

2

n−1

n ≥ , do đó lim u = 1.

n

2

( 1)

n ≥ .

Ở phương án D, ta có thể chứng minh u > 1 với mọi 1

giới hạn. Gọi limu

n

= a .

n

n ≥ và ( u ) là dãy giảm nên ( )

n

u sẽ có

n

39

1

1

Khi đó từ un+ 1

= ( un

+ 1 ), n ≥ 1 suy ra a = ( a + 1)

⇔ a = 1, do đó lim u

n

= 1.

2

2

Câu 121. Ta có ∀n

∈ N

* ,

2 2 2 2 2

un+ 1

= un + a un+

1

− 3a = ( un

− 3a)

.

3 3

Đặt

Câu 122. Ta có

v u 3a

n

= − thì ( )

2

n

v là cấp số nhân với v1 = 1− 3a

và công bội

n

n −1

n−

1

2 2

vn = 1− 3a un = vn

+ 3a = 1− 3a + 3a

.

3 3

2

Do đó ( ) ( )

2

q = .

3

Suy ra

2 2 2

u + u + ... + u − 2n = ( 1− 3a) − 2n + 3na = 3( 1− 3a) 1− − n( 3a

− 2)

1 2

Vì lim ( 2 2 2

1 2

...

n

2 )

n

u + u + + u − n = b nên

n

2

1− n

3

2

2

1

3

−

3

n

2

2

3a

2 0

− = a

=

lim 3( 1− 3a) 1− − n( 3a − 2)

= b ⇔ ⇔

3

3

,

b = 3( 1−3a

)

b

= −3

suy ra T = ab = − 2 .

Vậy ta có

Nhận xét

n!

( n − ) ( n − )( n − ) n n( n − )( n − ) 1 6

=

3

( n − ) ( n − ) × C n( n −1)( n − 2)

3

3 ! 2 1 1 2

Cn

= = =

3! 3 ! 3 ! 6 6

S n

6 6 6 6

= + + + ... +

1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 2

2 1 1

= − ;

1.2.3 1.2 2.3

2 1 1

2.3.4 2.3 3.4

( − )( n − )

1 1 1 1 1 1 1 1

S n

= 3 − + − + ... + − + −

1.2 2.3 2.3 3.4 n − 2 n −1 n −1

n

Vậy

Câu 123. Do

6

3−

3n

− 6 3

lim Sn

lim lim n

= = = .

2n

2 2

= − ;…; ( − 2 )( −1 ) ( − 2 )( −1 ) ( −1

)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

9 + 3

n

5 + 9

n+

1

n+

a

> 0 với ∀ n nên lim

9 + 3 9 + 3

= lim

5 + 9 5 + 9

n n+ 1 n n+

1

n n+ a n n+

a

n

2 = 1 −

1

n n n n n n n

1 1 n − 2 3n

− 6

= 3

− = 3 =

2 n 2n

2n

=

1

1+ 3.

3

lim

n

5

+ 9

9

n

a

=

1

9 a

.

1

= .

3 a

40

Theo đề bài ta có

n n+

1

9 + 3 1 1 1

lim ≤ ⇔ ≤

5

n 9

n+

a

a ⇔ a ≥ 7 . Do a là số nguyên thuộc khoảng

+ 2187 3 2187

( 0;2018)

nên có { 7;8;9;...;2017 }

a ∈ có 2011 giá trị của a .

Câu 124. Chọn A

1

Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng độ cao mà quả bóng đạt trước đó

10

và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban

đầu cho đến:

Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là d = 55,8m .

1

55,8

Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là d = 55,8 + 2. .

2

10

55,8 55,8

Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là d = 55,8 + 2. + 2. .

3 2

10 10

55,8 55,8 55,8

Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là d = 55,8 + 2. + 2. + 2. .

4 2 3

10 10 10

…………………………………….

Thời điểm chạm đất lần thứ , ( > 1)

55,8 55,8 55,8

n n là d = 55,8 + 2. + 2. + ... + 2. .

n

2 n−1

10 10 10

Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất

là

55,8 55,8 55,8

d = 55,8 + 2. + 2. + ... + 2. + ... (mét).

2 −1

10 10 10 n

Vì

ta có

Vậy

Câu 125. Chọn A

55,8

2.

10 , 55,8 55,8 55,8

2. , 2. , …, 2. ,…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q = 1 , nên

10

2 10

3 10

n −1

10

Giả sử

55,8

2.

55,8 + 55,8 + + 55,8

2. 2. ... 2. + ... = 10 = 12,4

10 10 10

1

1 − 10

.

2 n −1

55,8 55,8 55,8

d = 55,8 + 2. + 2. + ... + 2. + ... = 55,8 + 12,4 = 68,2 .

2 −1

10 10 10 n

lim

u

lim

v

n

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

= a

, ta có

= b

( vn

)

( u )

lim un+

1

= lim 4 − 2

lim vn+

1

= lim

n

+ 1

2

a = −

a

= 4b

− 2

3

.

b

= a + 1 1

b =

3

41

2 1

lim un

+ 2vn

= a + 2b

= − + 2. = 0 .

n→+∞

3 3

Vậy ( )

Câu 126. Chọn C

Gọi bán kính khối cầu dưới cùng là R

1

= 50 cm.

Gọi R

2

, R

3

,…, R

n

lần lượt là bán kính của các khối cầu R2 , R3

,..., R

n

nằm nằm ngay trên khối cầu

dưới cùng.

R1

R2 R1

Rn−

1

R1

Ta có R

2

= , R

3

= = ,…., Rn

= =

n−1

2 2 4

2 2

Gọi h

n

là chiều cao của mô hình gồm có n khối cầu chồng lên nhau.

Ta có

1 1 1 1 1 1

hn = 2R1 + 2R2 + 2 R3 + ... + 2Rn = 2 R1 + R1 + R1 + ... + R

1 1

2R1

1 ...

n−

= + + + +

n−1

2 4 2 2 4 2

1 1 1

Suy ra chiều cao mô hình là h = lim hn

= lim 2R1 1 ...

n→+∞

n→+∞

+ + + +

n−1

2 4 2

1 1 1 1

1

Xét dãy số 1; ; ;...; ; ;... là một cấp số nhân có u

n− 1 n

1

= 1 và công bội q = nên là dãy cấp

2 4 2 2

2

1 1 1 1 1

số nhân lùi vô hạn. Do đó 1 + ... ... 2

1

2 + 4 + + n−

n

2 + 2

+ = 1

=

1−

2

Suy ra h = 2 R1.2 = 200 cm. Vậy chiều cao mô hình nhỏ hơn 200 cm.

Câu 127. Chọn C

Lần đầu rơi xuống, quảng đường quả bóng đã bay đến lúc chạm đất là 8m .

Sau đó quả bóng nảy lên và rơi xuống chạm đất lần thứ 2 thì quảng đường quả bóng đã bay là

3

8 + 2.8. . 4

Tương tự, khi quả bóng nảy lên và rơi xuống chạm đất lần thứ n thì quảng đường quả bóng đã bay

3 n

1 − ( )

3 3 n−1 3 1

là 8 2.8. ....... 2.8.( ) 8 4

n−

+ + + = + = 8 + 48(1 − ( ) ) .

4 4 3

1−

4

4

Quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả đến lúc không máy nữa bằng:

3 n−1

lim[8 + 48(1 − ( ) )] = 8 + 48 = 56 .

4

Câu 128. Chọn C

Cách 1:

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

42

Xét điểm M ( x;

y ) bất kì nằm trong (tính cả biên) của hình tròn ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

C :

Mỗi điểm M tương ứng với một và chỉ một hình vuông đơn vị ( )

phía dưới, có các cạnh lần lượt song song hoặc nằm trên các trục tọa độ.

Ta được

n

n

2 2 2

x + y ≤ n .

S M nhận M là đỉnh ở góc trái,

s bằng số các hình vuông S ( M ) và bằng tổng diện tích của S ( M ) , với ( )

Nhận xét: các hình vuông S ( M ) , ( )

Do đó s ( n 2 ) 2

n

≤ π + . ( 1 )

Mặt khác, các hình vuông ( )

≥ π n − 2 . ( 2 )

Vì thế ( ) 2

s

Từ ( 1 ) và ( )

n

M ∈ C n

.

S M đều nằm trong hình tròn ( C +

) : x ( ) 2 y 2 n 2

2

S M phủ kín hình tròn ( C −

) : x ( ) 2 y 2 n 2

2

2 , suy ra π ( n 2 ) sn

π ( n 2 )

2 s 2

1 n

⇔ π

− ≤ ≤ π 1+

n n n

Mà

n

2

n

+ ≤ − .

*

− ≤ ≤ + , ∀n

∈N , n ≥ 2 .

2 2

lim π

1 lim 1

n

π

−

=

+ =

n

π

s

, theo nguyên lí kẹp, ta được lim n

n

Cách 2: Gọi

nguyên ( ; )

k ≤

2

2

D là số cặp số nguyên ( ; )

n

x x thỏa mãn

n , ta có n ∈ Z và

x y thỏa mãn

2

+ ≤ + .

= π .

2 2 2

x + y ≤ n với x ≠ y và E

n

là số cặp số

2 2 2

x + y ≤ n . Ta có E

n

là số các số nguyên k sao cho

n

2 n

2

− ≤ k ≤ . Cho nên E

2 2

n

n

2

= 2 + 1.

2

2k

≤ n , từ

2 2

43

Tiếp theo, ta đánh giá

D

n

.

Tổng số cặp số nguyên ( ; )

nhiên ( ; )

x y thỏa mãn

0 ≤ x ≤ n , 0 ≤ y ≤ n − x

Nên ta có đánh giá với

2 2 2

x y thỏa mãn x + y ≤ n với x ≠ y là 4N n

với N

n

là số các cặp số tự

2 2 2

x + y ≤ n và x y

2 2

.

D là

n

≠ . Giả sử ( )

2

x;

y ∈ N thỏa mãn

2 2 2 2

4 n n x 4Nn

Dn

4 n x

− +

−

≤ ≤ ≤ −

0≤x≤n

0≤x≤n

.

2 2 2

x + y ≤ n , khi đó

Vì thế cho nên từ sn = En + Dn

, có − 4n + 1+ Tn ≤ sn ≤ 1+ Tn

, trong đó

n

2

Tn

= 2 + 4 n − x

2

Suy ra

2 2

.

1≤ x≤n

s 1

n

n 2

lim = lim 2 4 n x

n

2

n

2

+ −

→+∞ n →+∞ n

2

1≤ x≤n

2 2

n

2 n 2

2 + 4 − ≤ 2 + 4 −

2 2

2 2 2 2

n x

n x

,

1≤x≤n

1≤ x≤n

n

2 n 2

2 2

. Do đánh giá về phần nguyên

( )

2 2 2 2

2 + 4 n − x ≥ 2 + 4 n − x −1

Nên ta được

1≤ x≤n

1≤ x≤n

s 4 4 x

= − = −

n n n n

n

2 2

lim lim n x lim 1

n→+∞ 2

n→+∞ 2

n→+∞

1≤ x≤n

1≤ x≤n

Về bản chất, kết quả giới hạn này là giá trị của tích phân xác định

Vậy lim

n→+∞

s

n

n

= π .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2

1

2

4 1 dx

I = − x = π .

0

44

TOÁN 11

1D4-2

Contents

GIỚI HẠN HÀM SỐ

PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1

DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN .................................................................................................................................... 1

DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN .................................................................................................................................... 3

DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC ............................................................................................................................... 6

DẠNG 4. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH .................................................................................................................................... 13

DẠNG 4.1 DẠNG 00 ................................................................................................................................................ 13

Dạng 4.1.1 Không chứa căn ................................................................................................................................... 13

Dạng 4.1.2 Chứa căn .............................................................................................................................................. 15

DẠNG 4.2 DẠNG ∞ − ∞ ......................................................................................................................................... 19

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 21

DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN .................................................................................................................................. 21

DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN .................................................................................................................................. 23

DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC ............................................................................................................................. 26

DẠNG 4. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH .................................................................................................................................... 35

DẠNG 4.1 DẠNG 00 ................................................................................................................................................ 35

Dạng 4.1.1 Không chứa căn ................................................................................................................................... 35

Dạng 4.1.2 Chứa căn .............................................................................................................................................. 38

DẠNG 4.2 DẠNG ∞ − ∞ ......................................................................................................................................... 45

PHẦN A. CÂU HỎI

DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN

Câu 1. (THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho các giới hạn: f ( x)

x→x0

( ) = , hỏi lim 3 f ( x) − 4g ( x)

lim g x 3

x→x0

bằng

A. 5 . B. 2 . C. − 6. D. 3 .

Câu 2. (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Giá trị của lim ( 2x

2 3x

1)

Câu 3.

A. 2 . B. 1. C. +∞ . D. 0 .

lim = 2 ;

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

x→1

x→x0

− + bằng

x − 3

(THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn L = lim

x→3

x + 3

A. L = −∞. B. L = 0 . C. L = +∞. D. L = 1.

1

Câu 4. (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị của lim ( 3x

2 2x

1)

A. +∞ . B. 2 . C. 1. D. 3 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

x→1

− + bằng:

Câu 5. (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Giới hạn lim ( x

2 x 7)

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

Câu 10.

Câu 11.

x→−1

A. 5 . B. 9 . C. 0 . D. 7 .

2

x − 2x + 3

(THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Giới hạn lim bằng?

x→1

x + 1

A. 1. B. 0 . C. 3. D. 2 .

x + 2

Tính giới hạn lim ta được kết quả

x→2

x −1

A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3.

2

lim x 4

x→

3

− bằng

A. − 5 . B. 1. C. 5. D. − 1.

x + 1

lim bằng

x→1

x + 2

A. +∞ . B. 1 2 . C. 2 . D. −∞ .

3

3 2

x − 2x

+ 2020

Tính lim

.

x→1

2x

−1

A. 0 . B. −∞ . C. +∞ D. 2019 .

lim

x→−2

2

2 x + 1 − 5 x − 3

2x

+ 3

bằng.

A. 1 3 . B. 1 . C. 7 . D. 3 .

7

x + 1

Câu 12. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Tìm giới hạn A = lim

x→−2

2

x + x + 4

.

1

A. − . B. −∞ . C. +∞ . D. 1.

6

Câu 13. Giới hạn nào sau đây có kết quả bằng +∞ ?

x − 3

x − 2

A. lim

B. lim

x→1

x→1

x −1

x −1

( ) 2

( ) 2

Câu 14. Cho lim f ( x)

= − 2 . Tính ( )

Câu 15.

x→3

lim f x + 4x

−1 .

x→3

C.

−x

−1

lim

x→1

( x −1) 2

A. 5 . B. 6 . C. 11. D. 9 .

sin x

Biểu thức lim bằng

x

π

x→

2

A. 0 . B. 2 π . C. π . D. 1.

2

D.

lim

x→1

− + bằng?

x + 1

( x −1) 2

2

( )

Câu 16.

2 3x

+ 1 −1

(THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho I = lim

x→0

x

và

. Tính I − J .

A. 6. B. 3. C. − 6 . D. 0.

Câu 17.

x

J = lim

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

x→−1

2

− x − 2

x + 1

(THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Gọi A là giới hạn của hàm số

2 3 50

x + x + x + ... + x − 50

f ( x)

=

khi x tiến đến 1. Tính giá trị của A .

x −1

A. A không tồn tại. B. A = 1725 . C. A = 1527 . D. A = 1275 .

DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN

Câu 18. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y f ( x)

tục trên khoảng ( a;

b ) . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên đoạn [ a;

b ] là?

A. lim f ( x) = f ( a)

và lim f ( x) = f ( b)

. B. lim f ( x) = f ( a)

và lim f ( x) = f ( b)

.

+

x→a

−

x→b

C. lim f ( x) = f ( a)

và lim f ( x) = f ( b)

. D. lim f ( x) = f ( a)

và lim f ( x) f ( b)

+

x→a

+

x→b

−

x→a

−

x→a

+

x→b

−

x→b

= liên

= .

Câu 19. (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề

nào sai?

1

1

1

1

A. lim = +∞ . B. lim = −∞ . C. lim = +∞ . D. lim = +∞ .

+

+

+ 5

+

x→0

x

x→0

x

x→0

x

x→0

x

Câu 20.

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Trong bốn giới hạn sau đây,

giới hạn nào bằng −∞ ?

− 3x

+ 4

− 3x

+ 4

− 3x

+ 4

− 3x

+ 4

A. lim . B. lim . C. lim . D. lim .

x→+∞

−

+

x − 2

x→2

x − 2

x→2

x − 2

x→−∞

x − 2

Câu 21. Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là +¥ ?

2x

-1

3

A. lim . B. lim

-

x®

4 4 - x

(- x + 2x

+ 3

x®+¥

) . C. lim

x

Câu 22.

Câu 23.

Câu 24.

Câu 25.

®-¥

2

x + x + 1

2x

-1

. D. lim .

+

x -1

x®

4 4 - x

− 2x

+ 1

(THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm học 2018 - 2019) Giới hạn lim bằng

+

x→1

x −1

A. +∞ .

B. −∞ .

C. 2 .

D. 1 .

3

3

x + 2

lim−

x→1

x −1

bằng:

A. +∞ . B. 1 2 . C. −∞ D. 1

− .

2

2

3x

+ 1 − x

lim

bằng?

+

x→( −1)

x −1

A. 1 2 . B. 1

− . C. 3 2

2

Tính

1

lim

x 3

−

x→3

− .

D.

3

− .

2

3

Câu 26.

Câu 27.

A.

1

− . B. −∞ . C. 0 . D. +∞ .

6

x + 1

Tính lim−

x→1

x − . 1

A. 0 . B. +∞ . C. 1. D. −∞ .

1

Giới hạn lim−

x→a x − a

bằng:

1

A. − .

2a

B. 0 . C. +∞ . D. −∞ .

lim x − 2

Câu 28. Giới hạn ( )

2

Câu 29.

+

x→2

x

bằng:

x − 4

A. +∞ . B. 0 . C. 1 . D. Kết quả khác.

2

− 2x

+ 1

Tính lim bằng

+

x→1

x −1

A. +∞ . B. −∞ . C. 2 3 . D. 1 3 .

x

Câu 30. Cho lim ( x − 2) . Tính giới hạn đó.

+

2

x→2

x − 4

A. +∞ . B. 1 C. 0. D. −∞

Câu 31.

Câu 32.

Câu 33.

Câu 34.

Câu 35.

Câu 36.

x + 1

bằng

lim+

x→1

x − 1

A. +∞ . B. −∞. C. 1. D. 0

1−

2x

Tìm lim+

x→1

x − 1

A. −∞. B. − 2. C. 0 . D. +∞ .

(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên lần 3 - 2019) Tính giới hạn

2

x + 1

lim−

x − 1

.

A. 0. B. +∞. C. − ∞ . D. 1.

(LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai

2 3

3x

+ 2

lim x − x + 1 + x − 2 = − . B. lim

x→−∞

−

= −∞ .

2

x→−1

x + 1

3x

+ 2

lim x 2 − x + 1 + x − 2 = +∞ . D. lim

x→+∞

+

= −∞ .

x→−1

x + 1

A. ( )

C. ( )

4x

−3

(THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Tìm giới hạn lim+

x→1

x −1

A. +∞ . B. 2 . C. −∞ . D. − 2 .

(THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Tính giới hạn

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

x→1

3 + 2x

lim .

−

→−2 x + 2

A. −∞ . B. 2 . C. +∞ . D. 3 2 .

x

4

Câu 37. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ( −∞; − 2)

, ( −2;1)

, ( 1;+∞ ) , f ( x ) không xác định tại x = − 2 và x = 1, f ( )

đúng.

x có đồ thị như hình vẽ. Chọn khẳng định

A. lim f ( x)

= −∞ , lim f ( x)

= +∞ . B. lim f ( x)

= +∞ , lim f ( x)

−

x→1

+

x→−2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

−

x→1

+

x→−2

C. lim f ( x)

= +∞ , lim f ( x)

= −∞ . D. lim f ( x)

= −∞ , lim f ( x)

−

x→1

+

x→−2

−

x→1

+

x→−2

2

x − 2x

− 3

Câu 38. (THPT THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN - 2018) lim

bằng

x→−1

x + 1

A. 0 . B. − 4 . C. − 3 . D. 1.

Câu 39. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Tính giới hạn bên phải của hàm số f ( x)

A. −∞ . B. 3 . C. 7 . D. −∞ .

2

Câu 40. (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y f ( x)

Câu 41.

. Tính lim f ( x)

−

x→1

.

-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4

A. 1 8 . B. +∞ . C. 0 . D. 1

− .

8

(THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Biết lim f ( x) = 4 . Khi đó lim

x→−1

= +∞ .

= −∞ .

3x

− 7

= khi x → 2 .

x − 2

2 − x + 3

khi x ≠ 1

2

= =

x −1

1

khi x = 1

8

f ( x)

( x 1) 4

x→− 1

+

A. −∞ . B. 4 . C. +∞ . D. 0 .

bằng:

5

Câu 42. Cho hàm số f ( x)

1 1

− khi x > 2

− −

. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số có giới

3

x 2 x 8

= 2

m

x + − m x ≤

2 khi 2

2

hạn tại x = 2 .

A. m = 3 hoặc m = − 2 . B. m = 1 hoặc m = 3 .

C. m = 0 hoặc m = 1. D. m = 2 hoặc m = 1.

Câu 43.

2

x + ax + b

,

2 x < −2

Gọi a,

b là các giá trị để hàm số f ( x)

= x − 4 có giới hạn hữu hạn khi x dần tới

x

+ 1, x ≥ − 2

− 2 . Tính 3a − b ?

A. 8. B. 4. C. 24. D. 12.

Câu 44.

(THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm học 2018 - 2019) Tìm a để hàm số

2

x + ax + 1 khi x > 2

f ( x)

=

có giới hạn tại x = 2.

2

2x − x + 1 khi x ≤ 2

A. − 1. B. − 2 . C. 2 . D. 1.

x + 4 − 2

khi x > 0

=

x

, m

1

mx + m + khi x ≤ 0

4

là tham số. Tìm giá trị của m để hàm số có giới hạn tại x = 0 .

1

1

A. m = . B. m = 1. C. m = 0 . D. m = − .

2

2

Câu 45. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x)

DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC

Câu 46. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Giả sử ta có lim f ( x)

= a và lim g ( x)

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

lim f x . g x = a.

b

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

x→+∞

A. ( ) ( )

x→+∞

. B. lim

x→+∞

( ) ( )

f ( x)

a

C. lim = . D. lim f ( x) + g ( x)

= a + b

x→+∞

g ( x)

b

x→+∞

.

f x − g x = a − b .

Câu 47. (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Chọn kết quả đúng của

( x 5 x 3 x )

lim −4 − 3 + + 1 .

x→−∞

A. 0. B. +∞ . C. −∞ . D. 4

3 2

Câu 48. (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn lim ( 2x

− x + 1)

A. + ∞ . B. −∞ . C. 2 . D. 0 .

Câu 49. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Giới hạn lim ( 3x )

3 5x 2 9 2x

2017

x→−∞

A. −∞ . B. 3 . C. − 3 . D. +∞ .

− .

x→−∞

x→+∞

= b

+ − − bằng

6

2x

−1

Câu 50. (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - 2018) Tính giới hạn lim

x→+∞

4 x + . 2

A. 1 2 . B. 1. C. − 1

−1

. D.

4

2

Câu 51.

3 − x

(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Cho bảng biến thiên hàm số: y = , phát biểu nào

x − 2

sau đây là đúng:

A. a là lim y . B. b là lim y . C. b là lim y . D. a là lim y .

x→+∞

x→−∞

−1

Câu 52. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) lim bằng:

x→−∞

2 x + 5

A. 0 . B. +∞ . C. −∞ . D.

1−

x

Câu 53. (THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018) lim bằng:

x→−∞

3 x + 2

A. 1 3 . B. 1 2 . C. 1

− . D.

3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

+

x→1

1

− .

2

1

− .

2

3x

−1

Câu 54. (THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) lim bằng:

x→−∞

x + 5

1

A. 3 . B. − 3 . C. − . D. 5 .

5

3 4

Câu 55. (HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) lim − x

bằng

x→−∞

5 x + 2

A. 5 4 . B. 5

4

− . C. − . D. 4 4

5

5 .

2x

+ 8

Câu 56. (SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) lim bằng

x→+∞

x − 2

A. − 2 . B. 4 . C. − 4 . D. 2 .

2x

+ 1

Câu 57. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Tính L = lim .

x→−∞

x + 1

1

A. L = −2

. B. L = −1. C. L = − . D. L = 2 .

2

2x

−1

Câu 58. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) lim bằng.

x→−∞

3 − x

A. − 2 . B. 2 . C. 1. D. 2 .

3

x→−∞

7

Câu 59. (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Tính giới hạn

Câu 60.

2

lim

x→+∞

2

2

x + 2018

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

x

− 2018x

+ 3

được.

x

A. 2018. B. 1 2 . C. 2. D. 1 .

2018

(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Giới hạn

x

2

− 3x

+ 2

có kết quả là

xlim

→+∞ 2

2

x + 1

A. +∞ B. −∞ C. 2 D. 1 2

5 3

2x

− 3x

+ 1

Câu 61. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Giới hạn

xlim

→+∞ 4

3 2

4 5

x − x − x − bằng 3

A. − 2 . B. 1 2 . C. − 3 . D. 3 2 .

( x − 1)( x + 2)

Câu 62. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) lim

bằng

x→−∞

2

x + 9

A. 2 . B. 1. C. 1

9 − . D. 1

− .

9

Câu 63.

Tính

x + sinx

lim ?

x→+∞

x

A. 1 . B. +∞ . C. 1. D. 0 .

2

2

Câu 64. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Tính lim ( 2x x x)

x→−∞

+ + ?

A. +∞ . B. − 1. C. −∞ . D. 0 .

2

x + 3x

+ 5

Câu 65. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm lim

.

x→−∞

4x

−1

1

A. − . B. 1. C. 0 . D. 1 4

4 .

Câu 66.

2x

−1

(THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Giá trị của lim

x→−∞

2

x + 1 −1

bằng

A. 0 . B. − 2. C. −∞. D. 2 .

x − 2

Câu 67. (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) lim bằng

x→+∞

x + 3

2

A. − . B. 1. C. 2 . D. − 3 .

3

3x

− 2

Câu 68. (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Tính giới hạn I = lim

x→−∞

2 x + . 1

3

3

A. I = − 2 . B. I = − . C. I = 2 . D. I = .

2

2

x

Câu 69. (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018) lim

x→−∞ 2

x + 1

bằng.

A. −∞ . B. 1. C. +∞ . D. 0 .

8

Câu 70. (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Chọn kết quả đúng của

A.

3 2

− . B.

2

2

− . C. 3 2

2

2 . D. 2

2 .

1+

3x

+ .

lim x→+∞

2 2

x 3

1

Câu 71. (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018) lim − x

bằng

x→−∞

3 x + 2

A. 1 3 . B. 1 2 . C. 1

1

− . D. − .

3

2

3x

−1

Câu 72. (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) lim bằng

x→−∞

x + 5

1

A. 3 . B. − 3 . C. − . D. 5 .

5

Câu 73.

2

cx + a

(THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Giới hạn lim bằng?

x→+∞

2

x + b

A. a . B. b . C. c . D. a + b .

c

4x

+ 1

Câu 74. (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) lim

x→−∞

− x + 1

bằng

A. 2 . B. 4 . C. − 1. D. − 4 .

1

Câu 75. (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) lim x +

bằng

x →−∞ 6 x − 2

A. 1 2 . B. 1 6 . C. 1 . D. 1.

3

1

Câu 76. (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) lim x +

bằng

x →+∞ 4 x + 3

A. 1 3 . B. 1 . C. 3. D. 1.

4

Câu 77.

Câu 78.

Câu 79.

2

x + 2 − 2

Giới hạn lim

bằng

x→+∞

x − 2

A. −∞ . B. 1. C. +∞ . D. -1

2

x − 3

(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Giá trị của lim bằng

x→−∞

x + 3

A. −∞ . B. − 1. C. +∞ . D. 1.

(ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Giá trị của lim

A. −∞ .

B. − 1.

C. +∞ .

D. 1

2

x −3

là.

x + 3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

x→−∞

9

Câu 80. Giới hạn

lim

x→+∞

x

+ x + 2

4 2

3

( x + 1)( 3x

−1)

A. − 3

B.

Câu 81. Cho hàm số f ( x)

Câu 82.

Câu 83.

Câu 84.

Câu 85.

Câu 86.

=

3

3

( 4x

+ 1) ( 2x

+ 1)

7

( 3 + 2x)

có kết quả là

3

C. 3 D. −

3

3 4

. Tính lim f ( x)

x→−∞

A. 2 . B. 8 . C. 4 . D. 0 .

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m thỏa mãn

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

.

2

m x − 7x

+ 5

lim = − 4.

x →−∞

2

2x

+ 8x

−1

A. m = − 4 . B. m = − 8 . C. m = 2 . D. m = − 3 .

2

4x

3x

1

Cho hai số thực a và b thỏa mãn lim

− + − ax − b

= 0 . Khi đó a + b bằng

x→+∞

x + 2

A. − 4 . B. 4 . C. 7 . D. − 7.

2

x + 2018

lim

bằng

x→+∞

x + 1

A. − 1.

B. 1. C. −∞ .

D. − 2018.

2

x + 1

Giới hạn lim bằng

x→−∞

x + 1

A. 0 . B. +∞ . C. −∞ . D. 1.

2

ax + x − 3x

+ 5

Biết lim = 2 . Khi đó

x→+∞

2x

− 7

A. −1 ≤ a ≤ 2 . B. a < − 1 . C. a ≥ 5 . D. 2 < a < 5 .

lim

x

Câu 87. (ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019)

3

A. − 2 . B. − . C. 1. D. 0 .

2

Câu 88.

Câu 89.

Câu 90.

→−∞

x − 3

2

x + 2 bằng

sin x

Tính giới hạn lim

x→+∞ x ?

A. 0 . B. Giới hạn không tồn tại. C. 1. D. +∞ .

−x

−3

lim bằng

x→−∞

x + 2

− 3

A. .

2

B. − 3.

C. − 1.

D. 1.

Tìm giới hạn:

lim

x→+∞

2018 2

x 4x + 1

( 2x + 1)

2019

1

A. 0. B.

2018 .

2

1 .

2

C.

2019

1 .

2

D.

2017

10

Câu 91.

Câu 92.

Câu 93.

Câu 94.

2

x + 3x

+ 1

Cho lim +ax

+ b = 1.Khi đó giá trị của biểu thức T = a + b bằng

x→+∞

x + 1

A. − 2. B. 0 . C. 1. D. 2 .

2

x 1

Biết rằng lim

+ + ax − b

= − 5 . Tính tổng a + b .

x→+∞

x − 2

A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 5.

2

x + 3x

+ 5

(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần 2 năm 2018-2019) Tính giới hạn lim .

x→+∞

2 3

2

− x

A. 1 2 . B. +∞ . C. 1

2

− . D. − .

3

3

5 3

(Trường THPT Chuyên Lam Sơn_2018-2019) Giới hạn lim x −

bằng số nào sau đây?

x→+∞

1 − 2 x

−5 −2 A. .

B. .

C. 5. D. 3 .

2

3

2

x−2

Câu 95. (Tham khảo 2018) lim

x→+∞ x + 3

bằng.

2

A. − . B. 1. C. 2 . D. − 3 .

3

Câu 96.

Câu 97.

Câu 98.

Câu 99.

2x

− 5

lim bằng

x→+∞

− x + 3

−5 A. .

3

B. − 1.

C. 3. D. − 2.

3x

−1

Tìm giới hạn L = lim

x→+∞

1 − 2 x

1

A. L = 3. B. L = − . C.

2

3

L = − . D.

2

2

x − 3

Giá trị của lim

x→−∞

x + 3

bằng:

A. −∞ . B. − 1. C. +∞ . D. 1.

2x

−3

(THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Tính lim

x→−∞

2

x + 1 − x

?

A. 0. B. −∞ . C. − 1.

D. 1.

2

5x

+ 2x

+ 3

Câu 100. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - 2018) Tính giới hạn lim

.

x→−∞

2

x + 1

A. 5. B. 4 . C. 3. D. 2 .

3

L = .

2

Câu 101. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

4

4

4

A. lim x − x

x − x

= +∞ . B. lim = 1. C.

x→−∞

1 − 2 x

x→−∞

1−

2x

lim x − x = −∞ . D.

x→−∞

1 − 2 x

4

x − x

lim = 0 .

x→−∞

1−

2x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 102. (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Tìm giới hạn

lim 2x

− 3

:

x→+∞

1 − 3 x

11

A. 2 3 . B. 2

− . C.

3

3

− . D. 2 .

2

Câu 103. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Tính giới hạn

2

4x

+ 1

K = lim .

x→−∞

x + 1

A. K = 0 . B. K = 1. C. K = − 2 . D. K = 4.

x + 1

Câu 104. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Tính lim

x→+∞

2018

x − 1

.

A. − 1. B. 1. C. 2 . D. 0 .

1+ x − x

Câu 105. (CỤM CHUYÊN MÔN 4 - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim

x→−∞

x

A. 0 . B. +∞ . C. 1. D. −∞ .

2

x − x + x

Câu 106. (THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) lim

bằng

x→−∞

x + 1

A. − 2 . B. 2 . C. 0 . D. −∞ .

2

2x

+ x

Câu 107. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) lim bằng

x→+∞

2

x −1

A. − 2. B. 1. C. 2 . D. − 1.

sin x + 1

Câu 108. (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Giới hạn lim bằng

x→+∞

x

A. +∞ . B. 1. C. −∞ . D. 0 .

2

x − x + 1

Câu 109. (THPT PHÚ LƯƠNG - THÁI NGUYÊN - 2018) Tính giới hạn lim

.

x→ −∞ 2x

A. 1 2 . B. +∞ . C. −∞ . D. 1

− .

2

Câu 110. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho a , b , c là các số thực khác 0 . Để giới hạn

2

x − 3x + ax

lim = 3 thì

x→−∞

bx −1

a − 1 a + 1 −a

− 1 a − 1

A. = 3.

B. = 3 . C. = 3.

D. = 3 .

b

b

b

−b

Câu 111. (XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho số thực a thỏa mãn

2

a 2x

+ 3 + 2017 1

lim

= . Khi đó giá trị của a là

x→+∞

2x

+ 2018 2

2

− 2

A. a = . B. a = . C.

2

2

Câu 112. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Để

tập hợp nào sau đây?

1

a = . D.

2

2

4x

x 1 4 1

1

a = − .

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

lim

x→−∞

+ + + = . Giá trị của m thuộc

mx − 2 2

A. [ 3;6 ] . B. [ − 3;0]

. C. [ −6; − 3]

. D. [ ]

1;3 .

2

12

( )

2 − a x − 3

Câu 113. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Biết lim

= +∞ (với a là tham số).

x→+∞

2

x − x + 1

2

Giá trị nhỏ nhất của P = a − 2a

+ 4 là.

A. 4 . B. 3. C. 5. D. 1.

Câu 114. (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Tính giới hạn lim

.

A.

2 2

4x + x + 1 − x − x + 3

3x

+ 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

x→−∞

1

− . B. 2 3

3 . C. 1 3 . D. 2

− .

3

Câu 115. (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Tính

lim

x→+∞

x + 3

2

4x

+ 1 − 2

A. 1 4 . B. 1 2 . C. 3

− . D. 0 .

2

DẠNG 4. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH

DẠNG 4.1 DẠNG

Dạng 4.1.1 Không chứa căn

Câu 116. (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Giới hạn

lim

x→−2

x + 1

( x + 2) 2

A. −∞ . B. 3 . C. 0 . D. +∞ .

16

3

x −1

Câu 117. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Tính giới hạn A = lim .

x→1

x −1

A. A = −∞.

B. A = 0.

C. A = 3.

D. A = +∞.

2

x − 12x

+ 35

Câu 118. (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Tính lim .

x→5

25 − 5 x

2

A. − . B. +∞ . C. 2 . D. −∞ .

5

5

2

x − 4

Câu 119. (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Kết quả của giới hạn lim bằng

x→2

x − 2

A. 0 . B. 4 . C. − 4 . D. 2 .

2

x − 9

Câu 120. (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Tính lim bằng:

x→3

x − 3

A. 3 . B. 6 . C. +∞ . D. − 3 .

2

x − 5x

+ 6

Câu 121. (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Tính giới hạn I = lim .

x→2

x − 2

A. I = − 1. B. I = 0 . C. I = 1. D. I = 5 .

2

x − 3x

+ 2

Câu 122. (NGÔ GIA TỰ LẦN 1_2018-2019) Tính giới hạn lim

x→1

x −1

A. 1. B. − 1. C. 2 . D. − 2 .

13

bằng

2

x − 3x + 2 a

Câu 123. Cho giới hạn lim

x 2

2 = trong đó a

→ x − 4 b b là phân số tối giản. Tính 2

S = a + b

2 .

A. S = 20 . B. S = 17 . C. S = 10 . D. S = 25 .

x − 4

Câu 124. Tính lim2018

x→2

x − 2

2019

A. 2 .

2018

B. 2 .

C. 2.

D. +∞ .

2 2018

2018

.

2018

x + x − 2

Câu 125. Giá trị của lim

bằng a

x→1

2017

x + x − 2 b , với a b là phân số tối giản. Tính giá trị của 2 2

a − b .

A. 4037 . B. 4035 . C. − 4035 . D. 4033.

10 − 2x

Câu 126. lim là

+ 2

x→5

x − 6x

+ 5

Câu 127. Tìm

A. +∞ . B. 0 . C.

A.

lim

x→a

2a

( 1 )

x 3 − + a 2 x + a

x

− a

3 3

2

2

2

a + 3

. B. 2

3a

4 2

x − 3x

+ 2

Câu 128. Tìm lim

x→1

3

x + 2x

− 3

.

5

A. − . B.

2

.

1

− . D. 1 2

2 .

2

2a

− 1

2

. C.

3 . D. 2a − 1 .

3

2

− . C. 1 . D. +∞ .

5

5

3

x − 1 a

Câu 129. Cho lim

x 1

2 =

→ x −1

b

với a,

b là các số nguyên dương và a là phân số tối giản. Tính tổng S a b

b .

A. 5. B. 10. C. 3. D. 4 .

2

x + bx + c

Câu 130. Biết lim = 8. ( b, c ∈ R ). Tính P = b + c.

x→3

x−3

A. P = − 13. B. P = − 11. C. P = 5.

D. P = − 12.

Câu 131. (Chuyên Quốc Học Huế lần 2 - 2018-2019) Tính giới hạn

A.

3

L = − . B.

2

2

x − x − 2 + 1

L = lim .

x→−1

2

3x

+ 8x

+ 5

1

L = . C. L = −∞ . D. L = 0 .

2

Câu 132. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Cặp ( , )

A. a = − 3 , b = 0 . B. a = 3, b = 0 .

C. a = 0 , 9

2

x + ax + b

a b thỏa mãn lim = 3 là

x→3

x − 3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

b = − . D. không tồn tại cặp ( , )

a b thỏa mãn như vậy.

14

x − 2

Câu 133. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Giới hạn lim bằng

x→2

2

x − 4

A. 2 . B. 4 . C. 1 4 . D. 0 .

2

x + 3x

− 4

Câu 134. [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Tính L = lim .

x→1

x −1

A. L = − 5. B. L = 0 . C. L = − 3. D. L = 5 .

2

ax + bx − 5

Câu 135. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Cho a,

b là số nguyên và lim = 7 .

x→1

x −1

2 2

Tính a + b + a + b .

A. 18 . B. 1. C. 15 . D. 5.

Câu 136. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Hãy xác định xem kết quả nào

sai

x + 1

x + 2

A. lim = 2 . B. lim = 1.

x→1

x

x→+∞

x − 4

2

2

x − 3x

+ 2

x −16 9

C. lim = − 1. D. lim = .

x→1

2

x −1

x→4

x + x − 20 8

1−

cos3x cos5x cos7x

y = f x =

sin 7x

Câu 137. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số ( )

2

. Tính lim ( )

→0

x

f x

.

A. 83 .

49

105

B. .

49

15

C. .

49

83

D.

98 .

3

x − ax + a − 1

Câu 138. (THPT YÊN KHÁNH A - LẦN 2 - 2018) Biết lim =

2

2. Tính M = a + 2a

.

x→1

x −1

A. M = 3. B. M = 1. C. M = − 1. D. M = 8 .

cos x

Câu 139. (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Tìm giới hạn L = lim

x 2 x

.

−

2

A. L = 1. B. L = − 1. C. L = 0 . D. L = π .

2

2

x + ax + b −1

Câu 140. (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho lim =

x→1

2

x −1 2

( a, b ∈ R ).

2 2

Tổng S = a + b bằng

A. S = 13.

B. S = 9.

C. S = 4.

D. S = 1.

Dạng 4.1.2 Chứa căn

Câu 141. (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Số nào trong các số sau là bằng

2

x + x − 2 3

lim

?

x→3

x − 3

3

A.

12 . B. 3

− . C. 7 3

12

12 . D. 7 3

− .

12

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

15

=

3

2 1+ x − 8 − x

= .

x

Tính lim f ( x

x

) .

→0

A. 1 .

12

13

B. .

12

C. +∞ .

10

D.

11 .

Câu 142. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Cho hàm số y f ( x)

2

− − x =

5 5 a

Câu 143. (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Biết lim ,

x→0

2

x + 16 −4

b

nguyên, b là số nguyên tố. Ta có tổng a + 2b

bằng :

A. 13. B. 3 . C. 14. D. 8 .

2

x − 3x

+ 4 − 2

Câu 144. (THPT THUẬN THÀNH 1) Giới hạn lim

bằng

x →0

x

1

A. − . B. 1 2

2 . C. 3

− . D.

4

Câu 145. Tính

Câu 146. Tính

x

2

− 3x

+ 2

lim+

x→1

6 x + 8 − x − 17

.

A. −∞ . B. 0 . C. +∞ . D. 1 6 .

lim

x→0

8 + x − 2

2 .

x

3 2

A. 1

12 . B. 1 4 . C. 1 3 . D. 1 6 .

Câu 147. Giá trị của

lim

x→0

x

+ x + 1 −1

2 bằng

x

3 2

2

− .

3

trong đó a là số

A. 1. B. 1 2 . C. − 1.

D. 0 .

Câu 148. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Giới hạn

x + 1− 5x + 1 a

lim

= , với a, b ∈ Z, b > 0 và a là phân số tối giản. Giá trị của a b

x→3

x − 4x

− 3 b

b − là

A. 1. B. − 1. C. 8 9 . D. 1 9 .

Câu 149. Tìm

A. 3 .

2

x

2

− 5x

+ 6

lim

x→2

4 x + 1 − 3

là

B.

2

− . C.

3

3

− . D. 1 2

2 .

x − 2x

−1

Câu 150. Tìm lim .

x→1

2

x + x − 2

A. − 5 . B. −∞ . C. 0 . D. 1.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

x + 1 − 2 a

Câu 151. Biết lim =

x→3

2

x − 3 b

( a là phân số tối giản). Tình 2018

b a + b + .

16

A. 2021. B. 2023. C. 2024 . D. 2022 .

Câu 152. Cho a,

b là hai số nguyên thỏa mãn 2a

− 5b

= − 8 và

đây sai?

A. a ≤ 5.

B. a − b > 1. C. a

( x)

f − 2018

Câu 153. Cho lim = 2019. Tính

x→4

x − 4

3

ax + 1 − 1−

bx

lim = 4 . Mệnh đề nào dưới

x→0

x

+ b > 50. D. a + b > 9.

2 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( x)

1009 2018

lim

f −

.

x→4

− 2 2019 + 2019 + 2019

( )

( x ) f ( x)

A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2018

x + 1− 5x

+ 1

Câu 154. Giới hạn lim

bằng a (phân số tối giản). Giá trị của a

x→3

x − 4x

− 3 b − b là

A. 1 9 . B. 9 8

Câu 155. Cho biết lim ( a,

b ∈ )

a

2 2

x→1

+ b bằng?

ax

x

2

3

+ 1−bx

−2

− 3x

+ 2

. C. 1. D. − 1 .

R có kết quả là một số thực. Giá trị của biểu thức

A. 6 + 5 3 . B. 45

C. 9 . D. 87 48 3

16 4 −

x + 1− 5x + 1 a

Câu 156. Cho giới hạn lim

=

x→3

x − 4x

− 3 b

(phân số tối giản). Giá trị của T = 2a − b là

A. 1 9 . B. − 1.

C. 10 . D. 9 8 .

2

x − 2x

−8

Câu 157. (Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên, năm 2019) Tính lim .

x→−2

2x

+ 5 −1

1

A. − 3. B.

2 . C. − 6 . D. 8.

Câu 158. Cho hàm số f ( x ) xác định trên R thỏa mãn

lim

x→2

3

5 f ( x) −16 − 4

x

2

+ 2x

−8

A. 5 24 . B. 1 5 . C. 5

12 . D. 1 4 .

Câu 159. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018)

lim

x→1

x + 3 − 2

bằng

x −1

A. 1 4 . B. +∞ . C. 1 . D. 1.

2

f ( x) −16

lim = 12 . Tính giới hạn

x→2

x − 2

4x

+ 1 −1

Câu 160. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Tính giới hạn K = lim .

x→0

2

x − 3x

2

2

4

A. K = − . B. K = . C. K = . D. K = 0 .

3

3

3

17

Câu 161. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Giới hạn

lim

x→2

x + 2 − 2

x − 2

bằng

A. 1 2 . B. 1 . C. 0 . D. 1.

4

1−

x

Câu 162. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Tính gới hạn L = lim

x→1

2 − x − .

1

A. L = − 6 . B. L = − 4. C. L = 2 . D. L = − 2.

2

2x

6

−

Câu 163. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tính lim = a b

x→

3

x − 3

Khi đó giá trị của P = a + b bằng

A. 7 . B. 10. C. 5 . D. 6 .

Câu 164. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Biết lim

( a , b nguyên).

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

x→0

nguyên dương và phân số a b tối giản. Tính giá trị biểu thức 2 2

P = a + b .

3x

+ 1 − 1 a = , trong đó a , b là các số

x b

A. P = 13 . B. P = 0 . C. P = 5 . D. P = 40 .

Câu 165. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn

A. 2 . B. − 1. C. − 2 . D. 0 .

Câu 166. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Biết

lim

x→1

2

4x − 2x + 1 − 1−

2x

lim

x →0

2 3

x x x a

+ + 2 − 7 + 1 2 = + c với a ,

2 1 b

( x − )

b , c ∈Z và a là phân số tối giản. Giá trị của a b c

b + + bằng:

A. 5 . B. 37 . C. 13. D. 51.

x + 2

Câu 167. (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị của I = lim bằng

2

x→−

2 x − 2

− 1

A. 2 . B. . C. 1. D. 2 .

2 2

2x

− x + 3

Câu 168. (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Tính I = lim ?

x→1

2

x −1

7 3 3 3

A. I = .

B. I = .

C. I = .

D. I = .

8

2

8

4

2 2

x − x − 4x

+ 1

Câu 169. (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị giới hạn lim

bằng:

x→−∞

2x

+ 3

1

A. − . B. +∞ . C. −∞ . D. 1 2

2 .

Câu 170. (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho f ( )

( x)

f − 20

lim = 10 . Tính T = lim

x→2

x − 2

x→2

3

( x)

6 f + 5 − 5

x

2

+ x − 6

x

x là đa thức thỏa mãn

.

18

12

4

4

6

A. T = . B. T = . C. T = . D. T = .

25

25

15

25

Câu 171. (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn:

A.

3x

+ 1 − 4

có giá trị bằng:

lim

x→5

3 − x + 4

9

− . B. − 3 . C. − 18 . D.

4

Câu 172. (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho f ( )

f ( x)

−16

f ( x)

−16

lim = 24 . Tính I = lim

x→1

x −1

x→1

( x − 1) 2 f ( x)

+ 4 + 6

( )

3

− .

8

A. 24. B. I = +∞ . C. I = 2 . D. I = 0 .

x là một đa thức thỏa mãn

x a

Câu 173. (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho lim

x→0

7

=

x + 1. x + 4 − 2 b

số tối giản). Tính tổng L = a + b .

A. L = 43 . B. L = 23 . C. L = 13. D. L = 53 .

Câu 174. (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Giới hạn

3

1 x 5

( a là phân

b

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

lim

x→3

x + − +

x − 3

A. 0 . B. 1 2 . C. 1 3 . D. 1 6 .

DẠNG 4.2 DẠNG ∞ − ∞

Câu 175. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có kết quả là 0 ?

x −1

A. lim

x→1

3

x − 1

. B. 2x

+ 5

lim . C. lim

x→−2

x + 10

x→1

x

Câu 176. Cho ( x )

2 ax x

lim 9 + + 3 = − 2 . Tính giá trị của a .

x→−∞

.

2

x −1

2

− 3x

+ 2

. D. 2

lim ( x 1 x)

x→+∞

A. − 6 . B. 12. C. 6 . D. −12

Câu 177. Tìm giới hạn ( x )

2 x x 2 x

A.

M = lim − 4 − − . Ta được M bằng

x→−∞

3

− .

B. 1 .

2

2

2

Câu 178. Biết ( )

C. 3 .

2

lim 5x + 2x + x 5 = a 5 + b với a,

b∈Q . Tính S = 5a + b .

x→−∞

D.

1

− .

2

A. S = − 5. B. S = − 1. C. S = 1. D. S = 5 .

Câu 179. Tìm lim ( x )

2 + x + 2x

x→−∞

A. 2 . B. −∞ . C. 1. D. +∞ .

Câu 180. Tìm lim ( x )

2 x 2 x 2

x→−∞

+ + + + .

A. 3 . B. 0 . C. −∞ . D. 2

2 − .

+ − .

19

2

Câu 181. Giới hạn lim ( 3x

9x

1)

x→−∞

− − bằng:

A. +∞ . B. 0 . C. −∞ . D. − 1.

Câu 182. Biết ( x )

2 ax bx

lim 4 + + 1 + = − 1. Tính giá của biểu thức P a b

x→−∞

2 3

= − 2 .

A. P = 32 . B. P = 0 . C. P = 16 . D. P = 8 .

Câu 183. lim ( 4x )

2 8x 1 2x

x→−∞

+ + + bằng

A. −∞ . B. 0 . C. − 2 . D. +∞

3 3

Câu 184. Tìm lim ( x 1 x 2 )

x→+∞

+ − + .

A. − 1 . B. −∞ . C. +∞ . D. 1.

a

lim 2 − 3 + 1 + 2 = 2 , ( a; b∈Z , a tối giản). Tổng a + b có giá trị là

x→−∞

b

b

A. 1. B. 5. C. 4 . D. 7 .

Câu 185. Biết rằng ( x )

2 x x

2 20

+ + − + = và đường thẳng ∆ : y = ax + 6b

đi qua điểm

x→+∞

3

M 3;42

2 2

với a,

b∈R . Giá trị của biểu thức T = a + b là:

Câu 186. Cho giới hạn lim ( 36x 5ax 1 6x b)

( )

A. 104 . B. 100 . C. 41. D. 169.

Câu 187. Cho ( x )

2 ax x

lim + + 5 + = 5 . Khi đó giá trị a là

x→−∞

A. 10 . B. − 6 . C. 6 . D. − 10 .

Câu 188. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn I lim ( x )

2 4x 1 x

= + + + .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

x→−∞

A. I = − 2 . B. I = − 4 . C. I = 1. D. I = − 1.

Câu 189. (THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Tính lim ( x )

2 4x 2 x

x→+∞

− + − .

A. − 4 . B. − 2 . C. 4 . D. 2 .

Câu 190. (QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) lim ( x 1 x 3)

x→+∞

+ − − bằng

A. 0 . B. 2 . C. −∞ . D. +∞ .

Câu 191. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) lim ( x )

2 5x 6 x

x→+∞

A. 3 . B. 5 2 . C. 5

− . D. − 3 .

2

Câu 192. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho ( x )

2 ax x

− + − bằng:

lim + + 5 + = 5 thì giá trị của a là một

x→−∞

nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?

2

2

2

A. x − 11x

+ 10 = 0 . B. x − 5x

+ 6 = 0 . C. x − 8x

+ 15 = 0 . D. x

2

+ 9x

− 10 = 0 .

( )

Câu 193. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Biết x 2 x ( ax b)

lim 4 − 3 + 1 − + = 0 . Tính

x→+∞

a − 4b

ta được

A. 3 . B. 5 . C. − 1. D. 2 .

20

Câu 194. (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018)

2 2

( + 5 x + x + − )

lim x x 4 − 5x

2 bằng

x→+∞

A. 3 . B. 1. C. 0 . D. +∞ .

Câu 195. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Giới hạn nào dưới đây có kết quả là

1

2 ?

x 2

A. lim ( x + 1 − x)

. B. lim x( x )

2 + 1 + x .

x→−∞

2

x→+∞

x 2

C. lim ( x + 1 + x)

. D. lim x( x )

2 + 1 − x .

x→−∞

2

x→+∞

Câu 196. (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho

( x )

2 bx x

lim + + 1 − = 2 . Tính P = 4a + b .

x→+∞

2

x + 1 + 2017 1

= ;

x + 2018 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

lim

x→−∞

A. P = 3 . B. P = − 1. C. P = 2 . D. P = 1.

Câu 197. (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Tính lim ( x )

2 − 4x + 2 − x

x→+∞

A. − 4 . B. − 2 . C. 4 . D. 2 .

Câu 198. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Tìm giới hạn

2

( )

I = lim x + 1− x − x + 2 .

x→+∞

A. I = 1 2 . B. I = 46 31. C. I = 17 11. D. I = 3 2 .

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN

lim 3 f x − 4g x lim 3 f x lim 4g x

Câu 1. Ta có ( ) ( ) = ( ) − ( ) 3 lim f ( x) 4 lim g ( x)

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

x→x0

Chọn D

2

lim 2x

− 3x

+ 1 = 0 .

Ta có: ( )

x→1

Chọn B

x − 3 3−

3

Ta có L = lim = = 0 .

x→3

x + 3 3+

3

Chọn B

2 2

lim 3x

− 2x

+ 1 = 3.1 − 2.1+ 1 = 2.

x→1

( )

Chọn B

Ta có lim ( x

2 x 7)

x→−1

Chọn A

2

− + ( ) ( )

x→x0 x→x0

= −1 − − 1 + 7 = 9 .

2 2

x − 2x + 3 1 − 2.1+

3

Ta có: lim = = 1.

x→1

x + 1 1+

1

Chọn A

= − = − 6 .

x→x0 x→x0

a

21

x + 2 2 + 2

Dễ thấy lim = = 4

x→2

x −1 2 −1

Câu 8. Chọn B

2

lim x − 4 = 3− 4 = 1

Câu 9.

Câu 10.

Câu 11.

Câu 12.

Câu 13.

Câu 14.

Câu 15.

Câu 16.

x→

3

Chọn C

x + 1 2

lim =

x→1

x + 2 3

Chọn D

3 2

x − 2x

+ 2020

lim

x→1

2x

−1

Chọn D

3 2

1 − 2.1 + 2020

= = 2019 .

2.1−1

2

2 x + 1 − 5 x − 3 2 − 5

Ta có lim

x→−2

2x

+ 3

=

−1

= 3 .

Chọn A

2

Ta có: Với x = − 2;

x + x + 4 ≠ 0

x + 1 ( − 2)

+ 1 1

Nên A = lim = = − .

x→−2

2

2

x + x + 4 − 2 + − 2 + 4 6

Chọn D

Ta có ( x ) 2

−1 ≥ 0, ∀x

≠ 1

( ) ( )

Do đó để giới hạn bằng +∞ thì giới hạn của tử phải dương

x + 1

Vậy lim = +∞.

x→1

x −1

( ) 2

Chọn D

Ta có lim f ( x)

+ 4x

− 1

= 9

x→3

.

Chọn B

Vì sin π sin x 2

= 1 nên lim = .

2

x→ π x π

2

Ta có

( x + − )

2 3 1 1 6x

6

I = lim = lim = lim = 3 .

x → 0 x

x → 0 x 0

x

→ 3x

+ 1 + 1

( 3x

+ 1 + 1)

( x + 1)( x − 2)

2

x − x − 2

J = lim = lim = lim ( x − 2)

= −3

.

x→− 1 x + 1 x→− 1 x + 1 x→−

1

Khi đó I − J = 6 .

2 3 50

x + x + x + ... + x − 50

lim f x = lim

x→1 x→1

x −1

2 49 48

= lim 1 + ( x + 1) + ( x + x + 1 ) + .... + ( x + x + ... + 1)

x→1

= 1+ 2 + 3 + ..... + 50 = 25 1+ 50 = 1275.

Câu 17. Có: ( )

( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Vậy f ( x)

lim = 1275 .

x→1

22

DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN

Câu 18. Hàm số f xác định trên đoạn [ a;

b ] được gọi là liên tục trên đoạn [ ; ]

khoảng ( a; b ),

đồng thời lim f ( x) = f ( a)

và lim f ( x) = f ( b)

.

Câu 19.

Câu 20.

Câu 21.

Câu 22.

Câu 23.

Câu 24.

Câu 25.

Câu 26.

Câu 27.

+

x→a

−

x→b

Chọn B

1

Ta có: lim = +∞ do lim x = 0 và x > 0 . Vậy đáp án A đúng.

+

+

x→0

x

x→0

Suy ra đáp án B sai.

Các đáp án C và D đúng. Giải thích tương tự đáp án A.

Chọn C

− 3x

+ 4 − 3x

+ 4

Dễ thấy lim = − 3 ; lim = − 3 (loại).

x→+∞

x − 2

x→−∞

x − 2

− 3x

+ 4

Vì lim ( − 3x + 4) = −2; lim ( x − 2)

= 0; x − 2 > 0, ∀ x > 2 nên lim

+ +

+

= −∞

x→2 x→2

x→2

x − 2

Chọn A

Xét

2x

-1

- x

lim 2x

1 7 0

lim-

x®

4 4

Ta có ( -

- ) = > , ( x

- )

Do đó

x®

4

Chọn B

lim-

x®

4 4

2x

- 1 = +¥ .

- x

lim 4 - = 0 và 4 - x > 0 với mọi x < 4

x®

4

Ta có lim ( − 2x

+ 1)

= − 1< 0, ( x )

Suy ra

+

x→1

Chọn C

− 2x

+ 1

lim = −∞ .

x −1

+

x→1

x + 2

lim−

= −∞ vì

x→1

x −1

Chọn D

( x )

+

lim − 1 = 0 , x − 1 > 0 khi x → 1 .

+

x→1

lim + 2 = 3 > 0

x→1

lim( x − 1)

= 0 .

x→1

x − 1 < 0, ∀ x < 1

2

3x

+ 1 − x 4 + 1 3

Ta có: lim

+

x→( −1)

x −1 = = − .

−1−1 2

Chọn B

lim x − 3 = 0, x − 3 < 0, ∀ x < 3 .

Ta có ( )

−

x→3

Chọn D

x + 1

lim−

= −∞ do lim ( x

x→1

x − 1

−

x→1

1)

2 0

Chọn D

lim 1 = 1 > 0

−

x→a

lim 1− a = 0

−

x→a

−

x − a < 0 khi x → a

Ta có: ( )

+ = > , ( x ) ( x )

lim − 1 = 0 và − 1 < 0 với x < 1.

−

x→1

a b nếu nó liên tục trên

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

23

1

Vậy lim = −∞ .

−

x→a x − a

Câu 28. Chọn B

x x x − 2

Ta có lim ( x − 2) = lim = 0 .

+ 2

+

x→2 x − 4 x→2

x + 2

Câu 29.

Lời giải

Chọn B

lim ( − 2x

+ 1)

= −1

+

x→1

− 2x

+ 1

lim ( x − 1)

= 0 lim = −∞

+ +

x→1 x→1

x −1

+

x

→ 1 x − 1 > 0

Câu 30. Chọn C

Câu 31.

Câu 32.

Câu 33.

lim ( x − 2)

+

x→2

2

x x( x − 2) ( x − 2) x

= lim = lim = 0

2

+ 2

+

x − 4 x→2 x − 4 x→2

x + 2

Chọn A

f x x 1; g x x 1

Đặt ( ) = + ( ) = − . Ta có ( ) ( ) ( )

Vậy

Chọn A

x + 1 = +∞ .

lim+

x→1

x − 1

Ta có lim ( 1− 2x)

= − 1; ( x )

+

x→1

+

x→1

lim f x = 2; lim g x = 0; g x > 0khix

→ 1

+ +

x→1 x→1

lim − 1 = 0 và x − 1 > 0, ∀ x > 1

1−

2x

lim = −∞ .

+

x→1

x −1

Chọn C

2

lim x + 1 = 2 > 0; lim x − 1 = 0 và x − 1 < 0, ∀ x < 1

−

(do x → 1 )

Ta có: ( ) ( )

−

−

x→1 x→1

2

x + 1

lim = −∞ .

−

x→1

x −1

Câu 34. Ta có: lim ( x )

2 − x + 1 + x − 2

x→−∞

2

x x x

=

lim

x→−∞

2

x x x

2

( )

( )

− + 1− − 2

2

x x x

− + 1 − − 2

3

3 −

lim x 3

=

= − đáp án A đúng.

x→−∞

1 1 2 2

− 1− + − 1+

2

( )

3x

− 3

2

x x x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

=

lim

x→−∞

− + 1 − + 2

1 1 2

lim x − x + 1 + x − 2 = lim x

1 1

x→+∞

x→+∞

− + + −

2

x x x

.

1 1 2

1 1 2

Do lim x = +∞ và lim 1 1 2 0

x

− + + − = >

→+∞

x→+∞

2

x x x

nên lim x

1 1

x→+∞

− + + −

2

= +∞

x x x

đáp án C đúng.

3x

+ 2

Do lim ( 3x

+ 2)

= − 1 < 0 và x + 1 < 0 với ∀ x < − 1 nên lim

−

−

= +∞ đáp án B sai.

x→−1

x→−1

x + 1

+

24

Câu 35.

Câu 36.

Do ( x )

lim 3 + 2 = − 1 < 0 và x + 1 > 0 với ∀ x > − 1 nên

+

x→−1

4x

− 3

Ta có lim+

= +∞

x→1

x −1

3 + 2x

Xét lim−

x→−2 x + 2

3+

2x

lim = +∞ .

−

x→−2

x + 2

lim f x

vì lim ( 4x

− 3)

= 1, ( x )

+

x→1

+

x→1

thấy: lim ( 3 + 2x)

= − 1, ( x )

−

x→−2

Câu 37. Ta thấy ( ) = +∞ và lim f ( x)

−

+

x→1

x→−2

2

x 2x

3 ( x + 1)( x − 3)

Câu 38.

Câu 39.

Câu 40.

Câu 41.

Câu 42.

Câu 43.

= +∞ .

3x

+ 2

lim = −∞ đáp án D đúng.

x + 1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

−

x→−1

+

lim − 1 = 0 , x − 1 > 0 khi x → 1 .

lim + 2 = 0 và x + 2 < 0 với mọi x < − 2 nên

−

x→−2

− −

Ta có lim = lim = lim ( x − 3)

= − 4 .

x→− 1 x + 1 x→− 1 x + 1 x→−

1

lim ( 3x

− 7)

= − 1 < 0

+

x→2

3x

− 7

lim ( x − 2)

= 0 lim = −∞ .

+ +

x→2 x→2

x − 2

+

x

→ 2 x − 2 > 0

Chọn B

2 − x + 3 4 − x − 3 −1

lim = lim = lim = lim

= +∞ .

− − 2

− −

x→1 x→1 x −1 x→1 x→1

x − 1 x + 1 2 + x + 3 x + 1 2 + x + 3

Ta có f ( x)

Chọn C

Ta có: + lim f ( x) = 4 > 0 .

x→−1

+ ( x ) 4

lim + 1 = 0 và với x 1

x→−1

Suy ra

Chọn B

lim

x→−1

lim

f ( x)

( x + 1) 4

f

x

= +∞ .

∀ ≠ − thì ( ) 4

Ta có : ( )

3

+ +

x→2 x→2

( )( )( ) ( )( )

Hướng dẫn giải

x + 1 > 0.

2

1 12 x + 2x

− 8

x − 2 x + 4

= lim − = lim

= lim

2 2

x − 2 x − 8 x→2 + x − 2 x + 2x + 4 x→2

+

x − 2 x + 2x

+ 4

( )( )

x + 4 1

= lim =

+ 2

x→2

x + 2x

+ 4 2

2 2

m m

lim f ( x)

= lim x 2m 2m

2

−

− + − = − +

x→2 x→2

2

2

Hàm só có giới hạn tại 2

2

m 3

⇔ − 2m

+ = 0

2 2

Chọn D

x = khi chỉ khi lim f ( x) = lim f ( x)

m

= 3

⇔ .

m

= 1

− +

x→2 x→2

2

m

1

⇔ − 2m

+ 2 =

2 2

( )( )

( )( )

25

Câu 44.

Câu 45.

Do hàm số f ( x ) có giới hạn hữu hạn khi x dần tới − 2 nên x = − 2 là nghiệm của phương trình

2

x + ax + b = 0 , do đó ta 4 − 2a

+ b = 0 .

x − 2 + a

, x < −2

Ta viết lại hàm số f ( x)

= x − 2

x

+ 1, x ≥ −2

Mặt khác hàm số tồn tại giới hạn

−2 − 2 + a

⇔ lim f ( x) = lim f ( 2)

⇔ = −1 ⇔ a = 8 b = 12

− +

x→−2 x→−2

−2 − 2

Do đó 3a

− b = 12 .

Chọn D

D = R .

2 2

lim f x = lim x + ax + 1 = 2a + 5; lim f x = lim 2x − x + 1 = 7.

Xét: ( ) ( ) ( ) ( )

+ + − −

x→2 x→2 x→2 x→2

Hàm số y f ( x)

( ) ( )

+ −

x→2 x→2

= có giới hạn tại x = 2 khi và chỉ khi

lim f x = lim f x ⇔ 2x + 5 = 7 ⇔ a = 1. .

Ta có:

lim

f

( x)

= lim

+ +

x→0 x→0

x + 4 − 2

= lim+

x

x→0

x

1 1

lim f ( x

) lim mx m

=

x 0 x 0 4 m

−

− + + = +

→

→

4

Hàm số đã cho có giới hạn tại 0

1 1

⇔ = m + ⇔ m = 0.

4 4

DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC

Câu 46. Vì có thể b = 0 .

Câu 47. Chọn B

Câu 48.

Ta có lim ( −4x 5 − 3x 3 + x + 1)

Vì

x→−∞

( x )

+ 4 − 2

2

= lim

+

x→0

( x + 4 + 2)

x( x 4 2)

x = khi và chỉ khi lim f ( x) = lim f ( x)

+ −

x→0 x→0

3 1 1

= − − + +

x

1 1

lim

0

+ + = +

x→

x 4 2

= .

+ + 4

5

lim x 4

x

2 4 5

→−∞

x x x = +∞ .

3 1 1

lim −4 − + + 4 0

x→−∞

2 4 5 = − <

x x x .

5

lim x = −∞

x→−∞

Chọn B

3 2 3 1 1

lim 2x − x + 1 = lim x 2 − +

x→−∞

x→−∞

2 3 = −∞ .

x x

lim 3 3 5 2

3 1 1 1

x + x − 9 2x

− 2017 = lim x 3+ 5 − 9 2 − 2017

x→−∞

x→−∞

2 3

x x x = −∞.

Ta có ( )

Câu 49. ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

26

Câu 50.

Câu 51.

Câu 52.

Câu 53.

Câu 54.

Câu 55.

Câu 56.

Câu 57.

Câu 58.

Câu 59.

Câu 60.

1

2 −

2x

− 1 1

lim = lim x = .

x→+∞

4x

+ 2 x→+∞

2

4 +

2

x

Chọn D

Ta có a = lim y .

x →−∞

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn, ta có:

1

− 1

1−

x

1

Ta có lim = lim x = − .

x→−∞

3x

+ 2 x→−∞

2

3 +

3

x

1

3 −

3x

−1

Ta có lim = lim x = 3 .

x→−∞

x + 5 x→−∞

5

1+

x

3 3

x 4

lim 3−

4x

− − 4

x

lim

x

=

= lim

x→−∞

5 x + 2 x→−∞

2 x→−∞

2

x 5

+ 5

+

x x

−1 −1

lim = lim = 0 .

x→−∞

2x

+ 5 x→−∞

5

x

2 +

x

−4

= .

5

8

x 2 +

8

2x

+ 8

2 +

x

lim = lim

= lim x = 2 .

x→+∞

x − 2 x→+∞

2 x→+∞

2

x1−

1−

x x

1

x 2 +

1

2 1

2 +

x +

Ta có lim lim

x

= =

2 + 0

L

= lim x = = 2.

x→−∞

x + 1 x→−∞

1 x→−∞

1 1 0

x1+

1+

+

x x

1

2 −

2 1

Ta có: lim x −

= lim x = − 2 .

x→−∞

3 − x x→−∞

3

− 1

x

Chọn B

2018 3

2

1− +

x − 2018x

+ 3

2

lim lim x x 1

=

=

x→+∞

2

2

x + 2018 x x→+∞

2018

2 +

2

x

Chọn D

3 2

2

1− +

x − 3x + 2 2 1

Ta có lim

lim

x

2 = x x =

→+∞ 2x

+ 1 x→+∞

1

2 +

2

2

x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

27

Câu 61.

Câu 62.

Câu 63.

Câu 64.

Câu 65.

Câu 66.

Câu 67.

Câu 68.

Câu 69.

3 1

5 3

2 − +

2x

− 3x

+ 1

2 5

= lim x x = − 2 .

xlim

→+∞ 4

3 2

4 5

x − x − x − 3 x→+∞

4 2 3

− −1−

2 5

x x x

1 2

( x − 1)( x + 2)

1− 1+

x x

lim

= lim

= 1.

x→−∞

2

x + 9 x→−∞

9

1+

2

x

ChọnC

x + sinx x sin x sin x

Ta có lim = lim + lim = 1+ lim = 1+ 0 = 1.

x→+∞ x x→+∞ x x→+∞ x x→+∞

x

( Do sin x 1

≤

x x khi x → ∞ , mà 1 sin x

lim = 0 lim = 0 ).

x→+∞

x

x→+∞

x

Chọn A

2

2 1

Ta có lim ( 2x + x + x)

= lim x 2 + + x

x→−∞

x→−∞

x

1 1

= lim − x 2 + + x

= lim x 2 1 .

x→−∞

x

x→−∞

− + +

x

Vì lim x = −∞ và

x →−∞

Ta có

Ta có:

Chọn B

lim

x→−∞

lim

x→−∞

1

= lim − 2 + + 1 = 1− 2 < 0

x→−∞

x

2

nên ( x x)

lim 2x + + = +∞ .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

x→−∞

3 5

2

− 1+ +

2

x + 3x

+ 5

1

= lim

x x

= − .

4x

−1

x→−∞

1

4 −

4

x

1

2 −

2x

−1

2x

−1

= lim

= lim x

2

x→−∞

x + 1 −1

1

x→−∞

1 1

− x 1+ −1

− 1+ −

2

2

x

x x

Chia cả tử và mẫu cho x , ta có

Chọn D

Ta có

Chọn D

x − 2

lim =

x→+∞

x + 3

2

3 −

3x

− 2 3

I = lim = lim x = .

x→−∞

2x

+ 1 x→−∞

1

2 +

2

x

2

1−

lim x

x→+∞

3

1+

x

Hướng dẫn giải

1

= = 1.

1

= − 2 .

28

1

x

Ta có: lim = lim x = 0 .

x→−∞ 2

x + 1 x→−∞

1

1+

2

x

Câu 70. Chọn C

1

x + 3

1

+ 3

1+ 3x

x

Ta có: lim = lim

= lim x

x→+∞ 2 x→+∞ 2 3

3

x→+∞

x

3

= 3 3 2

+

2

= 2

.

x 2 + 2 +

2 2

x

x

Câu 71. Chọn C

1

− 1

1−

x

1

Ta có lim = lim x = − .

x→−∞

3x

+ 2 x→−∞

2

3+

3

x

Câu 72. Chọn A

1

3−

3x

−1

Ta có lim = lim x = 3 .

x→−∞

x + 5 x→−∞

5

1+

x

Chọn C

Câu 73.

a

2 c +

cx + a 2 0

Ta có lim lim x c +

= = = c .

x→+∞

2

x + b x→+∞

b

1+

1+

0

2

x

Câu 74. Chọn D

1

4 +

4x

+ 1

lim = lim x = − 4 .

x→−∞

− x + 1 x→−∞

1

− 1+

x

Câu 75. Chọn B

1

1+

1

• Ta có lim x +

= lim x 1

=

x →−∞ 6 x − 2 x→−∞

2

6 −

6 .

x

Câu 76. Chọn B

1

1+

x + 1 1

Ta có lim = lim x = .

x→+∞

4x

+ 3 x→+∞

3

4 +

4

x

Câu 77. Chọn D

2 2 2

2 x 1+ − 2 1+ −

2 2

x + 2 − 2

x

x x

lim = lim = lim = 1

x→+∞ x − 2 x→+∞ x − 2 x→+∞

2

1−

x

Câu 78.

Lời giải

Chọn B

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

29

Câu 79.

Câu 80.

Câu 81.

Câu 82.

Câu 83.

Câu 84.

2 3

x 1

3 3

2 −

2 x 1− − 1−

2 2

x − 3 x

lim = lim = lim

x

= lim

x

= −1.

x→−∞ x + 3 x→−∞ x + 3 x→−∞ x + 3 x→−∞

3

1+

x

Lờigiải

Chọn B

3 3

2 x 1− − 1−

x − 3

Ta có: lim = lim

x = lim

x = − 1

x→−∞ x + 3 x→−∞ 3 x→−∞

3

x(1 + ) (1 + )

x

x .

Chọn B

4 1 2 1 2

4 2

x 1+ + 1+ +

2 4 2 4

x + x + 2

x x x x 3

Ta có: lim = lim

= lim

= .

x→+∞ 3

( x + 1)( 3x

−1

x→+∞ )

4 1 1 x→+∞

1 1 3

x 1+ 3 1 3

3 − + −

3

x x x x

Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính Casio

+ Bước 1: Nhập biểu thức vào màn hình máy tính:

+ Bước 2: Nhấn phím

+ Bước 3: Nhập giá trị của X: và nhấn phím

+ Bước 4: Kết quả . Vậy chọn đáp án B

Chọn B

( 4 1) ( 2 1)

( x)

3 4

1 1

4 + 2 +

3 4

x + x + x x 3

lim f ( x)

= lim = lim

= 2 = 8

x→−∞ x→−∞ 7

x→−∞

7

3 + 2 3

+ 2

x

Chọn B

7 5

m − +

− 4 = lim = lim x x = m = −8

2

m x − 7x + 5

2 m

x→−∞

2

2x

+ 8x

−1 x→−∞

8 1

2 + −

2

2

x x

Chọn D

2

4x

− 3x

+ 1

23 4 − a = 0 a

= 4

lim − ax − b

= 0 ⇔ lim ( 4 − a)

x − b − 11+ = 0

x→+∞

x + 2

⇔ ⇔

x→+∞

x + 2 − 11 − b = 0 b

= − 11

a + b = − 7 .

Chọn B

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

.

30

2018 2018

2 x 1+ 1+

2 2

x + 2018

Ta có lim = lim

x

= lim

x

= 1.

x→+∞ x + 1 x→+∞ 1 x→+∞

1

x1+ 1+

x x

Câu 85. Chọn C

1

2

x + 1

1+

2

lim lim x

= x

x→−∞

x + 1 x→−∞

1

= −∞ .

1+

x

Câu 86.

Lờigiải

Chọn D

3 5

2

a + 1− +

ax + x − 3x

+ 5

2

Ta có lim = 2 lim

x x a + 1 a + 1

⇔ = 2 ⇔ = 2 ⇔ = 3 .

x→+∞

2x

− 7

x→+∞

7

2 −

2 2

x

⇔ a + 1 = 6 ⇔ a = 5

Câu 87. Chọn D

1 3

−

x − 3

2 0

Ta có lim = lim x x = = 0 .

x→−∞

2

x + 2 x→−∞

2

1+

1

2

x

Câu 88. Chọn B

1

Xét mọi dãy số ( x

n ) sao cho lim xn

= +∞ lim = 0

x

sin x sin x

n

Ta có lim = lim

x→+∞ x xn

Ta có sin x 1

n

1

≤ mà lim = 0 nên sin xn

nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ số hạng

xn

xn

x n xn

nào đó trở đi

sin x

n

Theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có lim = 0

xn

sin x

Vậy lim = 0

x→+∞

x

Câu 89. Chọn C.

3

−1−

−x

− 3

lim = lim x = − 1.

x→−∞

x + 2 x→−∞

2

1+

x

Câu 90. Chọn B

Ta có:

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

31

Câu 91.

Câu 92.

Câu 93.

Câu 94.

Câu 95.

Câu 96.

2018 1

2018 2 2018 2 x .x. 4 +

x 4x + 1 x 4x + 1

2

lim = lim = lim

x

( )

x→+∞ 2019 x→+∞ 2019 x→+∞

2019

2x + 1 1 2019 1

x

2 +

x 2

+

x

x

1

4 +

2

4 + 0 2 1

= lim

x

= = =

x→+∞

2019 2019 2019 2018

1 ( 2 + 0

+

) 2 2

2

x

Chọn A

2

2

x + 3x

+ 1 ( a + 1) x + ( a + b + 3)

x + b + 1

lim +ax

+ b = 1 ⇔ lim

= 1

x→+∞

x + 1

x→+∞

x + 1

b + 1

( a + 1) x + ( a + b + 3)

+

lim x

⇔

1

x→+∞

1

=

1+

x

a

+ 1 = 0

a

= −1

⇔ a

+ b + 3 = 1 ⇔ T = a + b = − 2 .

b = − 1

b + 1 ≠ 0

Chọn A

2 2

x + 1 ( a + 1) x − ( 2a + b)

x + 2b

+ 1

lim + ax − b

= lim

= − 5

x→+∞

x 2 x→+∞

− x − 2

a

+ 1 = 0 a

= −1

⇔ ⇔

2a + b = 5 b

= 7

Vậy a + b = 6

Chọn C

3 5

2

1+ +

x + 3x + 5 2 1

lim lim

x

2 = x x = − .

→+∞ 2 − 3x

x→+∞

2

− 3

3

2

x

Chọn A

Ta có:

3

5 −

5x

− 3 5

lim = lim x = .

x→+∞

1−

2x

x→+∞

1

− 2

−2

x

Chọn B

2

1−

x− 2

lim = lim x = 1.

x→+∞

x + 3 x→+∞

3

1+

x

Chọn D

Lời giải

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

32

5

2 −

2x

− 5 2

lim = lim x = = − 2.

x→+∞

− x + 3 x→+∞

3

− 1+

−1

x

Câu 97. Chọn C

1

3−

3x

−1 3 0 3

Ta có: lim lim x −

L = = = = − .

x→+∞1−

2x

x→+∞

1

− 2

0 − 2 2

x

Câu 98.

Lời giải

Chọn B

2 3

x 1

3 3

2 −

2 x 1− − 1−

2 2

x − 3 x

lim = lim = lim

x

= lim

x

= −1.

x→−∞ x + 3 x→−∞ x + 3 x→−∞ x + 3 x→−∞

3

1+

x

Câu 99. Chọn C

2x − 3 2x − 3 2x

− 3

Ta có: lim = lim = lim

x→−∞ 2

x→−∞ 1

2 1

x→−∞

x + − x

1

x (1 + ) − x − x 1+ − x

2 2

x

x

3

2 −

= lim x = −1.

x→−∞

1

− 1+ −1

2

x

2 3

2

5 + +

5x

+ 2x

+ 3

2

Câu 100. Ta có: lim

= lim x x = 5 .

x→−∞

2

x + 1 x→−∞

1

1+

2

x

2 1 2 1

4 −x.

x − x −

x − x

Câu 101. Vì lim = lim

x = lim

x = +∞ . Vậy A đúng.

x→−∞ 1 − 2 x x→−∞ 1 x→−∞

1

x

− 2x

− 2x

x x

3

2 −

2x

− 3

2

Câu 102. Ta có: lim = lim x = − .

x→+∞

1 − 3 x x→+∞

1

− 3

3

x

1 1

2 − x 4 + − 4 +

2 2

4x + 1

Câu 103. Ta có: K = lim = lim

x

= lim

x

= −2.

x→−∞ x + 1 x→−∞ x + 1 x→−∞

1

1+

x

1 1

+

x + 1 1

2

Câu 104. lim = lim .

x x

= 0 .

x→+∞

2018 2017

x −1

x→+∞

x 1

1−

2017

x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

33

Câu 105.

2 1 1

2 x ( + −1)

1+ x − x 2

1 1

lim lim x x

= = lim x( + − 1)

x→−∞ x x

2 = +∞

x →−∞ x →−∞

x x

1 1

2 x + x 1+ 1+ 1+

x − x + x

Câu 106. Ta có: lim = lim

x = lim

x = 2 .

x→−∞ x + 1 x→−∞ x + 1 x→−∞

1

1+

x

Câu 107.

2

2x

+ x

lim 2

x

2 = .

→+∞ x −1

Câu 108.

sin x + 1 sin x 1

lim = lim + lim = 0 + 0 = 0 .

x→+∞

x x→+∞

x x→+∞

x

Câu 109.

1 1 1 1

2 −x

1− + − 1− +

x − x + 1

2 2

1

lim = lim

x x = lim

x x = −

x→−∞ 2x

2x

2 2

1 1 1 1

2 −x

1− + − 1− +

x − x + 1

2 2

1

lim = lim

x x = lim

x x = −

Sửa

2x

2x

2 2

Câu 110. Ta có

lim

x→−∞

2

x − 3x + ax

bx −1

( 1−

a )

2 3

=

lim

x→−∞

( )

2

x − 3x − ax

2

( bx −1)( x − 3x − ax)

2

( − a )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2

=

lim

x→−∞

− 1

lim

x

a −1 =

= = = 3 .

x→−∞

1 3 b( −1−

a)

b

b

− − 1− − a

x x

3 2017

2

a 2 + +

2

a 2x

+ 3 + 2017 1

1

Câu 111. Ta có: lim

= ⇔ lim

x x

=

x→+∞

2x

+ 2018 2 x→+∞

2018

2 +

2

x

1 1 4

2

− 4 + + +

2

4x

+ x + 1 + 4

Câu 112. Ta có lim

lim

x x x 2

=

= − .

x→−∞

mx − 2

x→−∞

2

m −

m

x

2 1

Theo bài ra ta có: − m

= ⇔ m = −4 ∈

2

[ −6; − 3 ] .

( 2 − a)

x − 3

2

Câu 113. Ta có lim = lim −( ( 2 − a)

x − 3

2

)( x + x + 1

)

x→+∞

x→+∞

x − x + 1

Với 2 a a 2 0 P = a a − 2 + 4 ≥ 4 .

Câu 114. Chọn A

a ≥ ( − ) ≥ suy ra ( )

2

( − )

x 1 a x − 3

2

( bx −1)( x − 3x − ax)

a 2 1

⇔ =

2 2

= +∞ ( a)

2

⇔ a = .

2

− 2 − ≥ 0 ⇔ a ≥ 2.

34

1 1 1 3

2 2

− x 4 + + + x 1− +

2 2

4x + x + 1 − x − x + 3

lim

= lim

x x x x

x→−∞

3x

+ 2

x→−∞

3x

+ 2

1 1 1 3

− 4 + + + 1− +

2 2

lim

x x x x 1

=

= − .

x→−∞

2

3 +

3

x

Câu 115. Chọn B

3

1+

x + 3

x + 3

Ta có: lim

= lim

lim

x 1

=

= .

x→+∞

2

x→+∞

x→+∞

4x

+ 1 − 2

1

1 2 2

x 4 + − 2 4 + −

2

2

x

x x

DẠNG 4. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH

DẠNG 4.1 DẠNG

Dạng 4.1.1 Không chứa căn

Câu 116. Chọn A

x + 1 1

Ta có: lim = lim .

2 2

( x + 1)

= −∞ .

x→−2 x→−2

x + 2 x + 2

Do

lim

x→−2

Câu 117. Chọn C

( ) ( )

1

( x + 2) 2

= +∞

3

x −1

A = lim = lim

x→1

x −1

x→1

và ( x )

lim + 1 = − 1 < 0 .

x→−2

( x − 1)( x 2 + x + 1)

x −1

x→1

( x − 7)( x − 5)

( x )

2

( )

= lim x + x + 1 = 3 .

Câu 118. Chọn C

2

x − 12x + 35 x − 7 2

Ta có lim = lim = lim = .

x → 5 25 − 5x

x → 5 −5 −5 x → 5 −5 5

Câu 119. Chọn B

2

x − 4 ( x − 2)( x + 2)

Ta có: lim = lim = lim ( x + 2)

= 4 .

x→ 2 x − 2 x→ 2 x − 2

x→

2

Câu 120. Chọn B

2

x − 9

Ta có: lim = lim ( x + 3)

= 6 .

x→3

x − 3 x→3

Câu 121. Chọn A

2

x − 5x

+ 6 ( x − 2)( x − 3)

I = lim = lim

= lim ( x − 3)

= − 1.

x→2

x − 2 x→2

x − 2

x→2

Câu 122. Chọn B

2

x − 3x + 2 ( x −1)( x − 2)

Ta có: lim = lim = lim( x − 2) = −1

x→ 1 x −1 x→ 1 x −1

x→

1

Câu 123. Chọn B

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

35

2

x − 3x + 2 ( x −1)( x − 2) x −1 1

lim = lim = lim = .

x→2 2

x − 4 x→2 ( x + 2)( x − 2) x→2

x + 2 4

2 2

Do đó a = 1; b = 4 suy ra S = 1 + 4 = 17.

Câu 124. Chọn A

2 2018

2018 2018

x − 4 ( x − 2 )( x + 2 )

2018 2019

lim = lim = lim ( x + 2 ) = 2 .

2018 2018

2018 2018

2018

x→2

x − 2 x→2 ( x − 2 )

x→2

Câu 125. Chọn A

2018

2018

x + x − 2 x − 1+

x −1

Ta có lim

= lim

x→1

2017

2017

x + x − 2 x→1

x − 1+

x −1

2017 2016

( x − 1 )( x + x ... + x + 1)

+ x −1

2017 2016

x + x ... + x + 2

= lim

= lim

x→1

2016 2015

2016 2015

x − 1 x + x + ... + x + 1 + x −1

x→1

x + x + ... + x + 2

( )( )

1+ 1 + .... + 1+

2 2019

= =

1+ 1 + ... + 1+

2 2018

2 2

Vậy a − b = 4037 .

Câu 126. Chọn D

10 − 2x

2x

−10 2 1

lim = lim = lim =

+ 2 + 2

+

x→5 x − 6x + 5 x→5 x − 6x + 5 x→5

x −1 2

Câu 127. Chọn B

x 3 − ( 1+ a 2 ) x + a x 3 − a 2 x − x + a

lim

= lim

x→a 3 3

x a

2 2

x − a →

( x − a)( x + ax + a )

Câu 128. Chọn B

x

lim

x→1

x

4 2

3

− 3x

+ 2

= lim

+ 2x

− 3 x→1

2

( x − 1)( x + 1)( x − 2)

2

( x − 1)( x + x + 3)

( )

2

x x + a −1 2a

−1

= lim

= .

x→a

2 2 2

x + ax + a 3a

2

( x + )( x − )

1 2 2

= lim

= − .

x→1

2

x + x + 3 5

Câu 129. Chọn A

3 2

x − 1 x + x + 1 3 a

= 3

Ta có: lim = lim = S 5

x 1

2

= .

→ x − 1 x→1

x + 1 2 b

= 2

Câu 130. Chọn A

2

x + bx + c

Vì lim =

2

8 là hữu hạn nên tam thức x + bx + c có nghiệm x = 3

x→3

x−3

⇔ 3b + c + 9 = 0 ⇔ c = −9−

3b

Khi đó

2 2

x + bx + c x + bx−9−3b

( x− 3)( x + 3+

b)

lim = lim = lim

x→3 x−3 x→3 x−3 x→3

x−3

= lim x + 3+ b = 8 ⇔ 6 + b = 8 ⇔ b = 2 ⇒ c = −15

x→3

Vậy P = b + c = − 13 .

Câu 131. Chọn A

( )

( x + 1)( x − 2)

( )( )

2

x − x − 2 x − 2 3

L = lim = lim = lim = − .

x →− 1 2

3x

+ 8x

+ 5 x →− 1 x + 1 3x + 5 x →− 1 3x

+ 5 2

Câu 132. Cách 1:

2

x + ax + b

Để lim = 3

x→3

x − 3

Khi đó 3 m 3 m 0

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

thì ta phải có x 2 ax b ( x 3)( x m)

+ + = − − .

2

x ax b x x = x − 3x

.

2

− = ⇔ = . Vậy + + = ( − 3)

36

Suy ra a = − 3 và b = 0 .

Cách 2:

2

3 9

Ta có

x + ax + b 3

a +

x a

b +

= + + + .

x − 3 x − 3

2

x + ax + b

3a + b + 9 = 0 a

= −3

Vậy để có lim = 3 thì ta phải có

⇔ .

x→3

x − 3

a

+ 6 = 3 b

= 0

x − 2 x − 2 1 1

Câu 133. lim = lim = lim = .

x →2 2

x − 4 x →2 x − 2 x + 2 x →2

x + 2 4

( )( )

( x − 1)( x + 4)

2

x + 3x

− 4

Câu 134. Ta có: L = lim = lim = lim ( x + 4)

= 5 .

x→ 1 x −1 x→ 1 x −1

x→

1

2

ax + bx − 5

Câu 135. Vì lim =

2

7 hữu hạn nên x = 1 phải là nghiệm của phương trình ax + bx − 5 = 0 suy ra

x→1

x −1

a + b − 5 = 0 b = 5 − a .

2

ax + ( 5 − a) x − 5 ( x − 1)( ax + 5)

Khi đó lim = lim

x→1 x −1 x→1

x −1

= a + 5 = 7 a = 2 nên b = 3

2 2

Suy ra: a + b + a + b = 18 .

2

x − 16 ( x − 4)( x + 4)

x + 4 8

Câu 136. lim = lim = lim = .

x→4 2

x + x − 20 x→4 x − 4 x + 5 x→4

x + 5 9

( )( )

1−

cos3x cos5x cos7x

Câu 137. Ta có lim f ( x) = lim

x→0 x→0

2

sin 7x

1− cos3x + cos3x − cos3x cos5x + cos3x cos5x − cos3x cos5x cos7x

= lim

x→0

2

sin 7x

1−

cos3x

cos3x ( 1−

cos5x) cos3x cos5x( 1−

cos7x)

= lim + lim + lim

x→0 2

0

2

0

2

sin 7x x→ sin 7x x→

sin 7x

2 3x 2 5x 2 7x

2sin 2sin 2sin

= lim 2 + lim 2 + lim 2

x→0 2

0

2

0

2

sin 7x x→ sin 7x x→

sin 7x

9 25 49

2

+ +

4 4 4 83

=

= .

49 98

3

x − ax + a − 1 ( x − 1)( x 2 + x + 1) − a( x −1)

Câu 138. lim

=

2

lim

= lim( x + x + 1− a)

= 3− a a = 1.

x→1 x −1 x→1

x −1

x→1

2

Vậy M = a + 2a

= 3 .

Câu 139. Chọn B

π

Đặt: t = x − .

2

π

cos

π

t

+

2 −sin

t

Khi x → thì t → 0 . Vậy L = lim

= lim = − 1.

2

t→0 t

t→0

t

Câu 140. Chọn D

Vì hàm số có giới hạn hữu hạn tại x = 1 nên biểu thức tử nhận x = 1 làm nghiệm, hay 1+ a + b = 0

.

2

x + ax −1− a −1 ( x − 1)( x + 1+

a)

1

Áp dụng vào giả thiết, được lim

= ⇔ lim

= − .

x→1 2

x −1 2 x→1

x − 1 x + 1 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( )( )

37

x + 1+ a 1 2 + a 1

⇔ lim = − ⇔ = − ⇔ a = −3. Suy ra b = 2 .

x→1

x + 1 2 2 2

2 2

Vậy a + b = 13.

Dạng 4.1.2 Chứa căn

Câu 141. Chọn C

Ta có

lim

lim

x→3

x

2

+ x − 2 3

x 3

( x − 3)( x + 4)

( x − 3)( x + x + 2 3)

x→3 2

= lim

− x→3 2

( x − 3)( x + x + 2 3)

= lim

x→3

x

2

x

2

+ x −12

x + 4

=

+ x + 2 3

Câu 142. Chọn B

3

3

2 1+ x − 8 − x ( 2 1+ x − 2) + ( 2 − 8 − x )

Ta có:

=

x

x

2 1

= +

. Do vậy:

1+ x + 1 4 2

3 8

3

+ − x + 8 − x

lim f x

x →0

( ) 2

2 1

( ) = lim +

x→

0 1 + x + 1 4 2

3 8

3

+ − x + 8 − x

2 1

= lim + lim

x→

0 1+ x + 1

x→

0 3 3

4 + 2 8 − x + 8 − x

1

= 1+

12

Câu 143. Chọn C

Ta có

5 5

x

13

= .

12

2

− − x =

2

+ 16 −4

( ) 2

2 2

( 5 − 5− x )( x + 16 + 4)

( )( )

( )

x

2

( ) 2

3+

4

2

3 + 3 + 2 3

7

=

4 3

7 3

= .

12

( x )

3

2 1+ −1 2 − 8 − x

= +

x

x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( )

( )

( )

( )

x x x x x

= = =

x 5 + 5− x x 5 + 5− x 5 + 5−

x

2 2 2 2 2

5 − 5− 5 + 5− + 16 + 4 + 16 + 4

Khi đó ta có

Câu 144. Chọn C

2 2 2 2 2

2

( x + 16 + 4)

( x )

2

5 5 x

4

− −

lim = lim = ⇒ a + 2b

= 14

x→0 2

x→0 2

x + 16 − 4 5 + 5−

5

2

x x

lim

x →0

2

− 3 + 4 − 2 x − 3x

+ 4 − 4

= lim

x

x→0 2

x x − 3x

+ 4 + 2

( )

x − 3 3

= lim = − .

x→0

2

x − 3x

+ 4 + 2 4

38

Câu 145. Chọn C

( )( )( )

( )

x + 2

1 x +

1 x +

→ → →1

( )( )

2

x − 3x

+ 2 x −1 x − 2 6 x + 8 + x + 17 x − 2 6 x + 8 + x + 17

lim = lim = lim

6 x + 8 − x −17 − x −1

−

Ta có ( x )( x x

+

)

+

x→1

lim − 2 6 + 8 + + 17 = − 36

x→1

( x )

lim − + 1 = 0 và − x + 1<

0

2

x − 3x

+ 2

lim = +∞ .

+

x→1

6 x + 8 − x − 17

Câu 146. Chọn A

Câu 147. Chọn B

3 2

2

8 + x − 2

8 + x − 8

Ta có: lim

= lim

.

x→0

2

x

x→0 2

2

2

3

3 2

x ( 8 + x ) + 2 8 + x + 4

1 1

= lim

= .

x→

0 3 2 3 2

8 + x + 2 8 + x + 4

12

lim

x→0

x

( ) 2

3 2

+ x + 1 −1

x + x + 1−1

= lim

2

x

x→0 2 3 2

x x x 1 1

3 2

x + 1 1

= lim

= .

2

x→0 3 2

( + + + ) ( x + x + 1 + 1)

( x −1)

Câu 148. Chọn A

x + 1− 5x

+ 1 x 4x

3 ( x 1) 2

( 5x

1)

2

+ − + − + x + 4x − 3 x − 3x

lim

= lim .

x→3

2

= lim .

x − 4x

− 3

x→3

2

x + 1+ 5x

+ 1 x − 4x

+ 3

x→3

x + 1+ 5x

+ 1 x − 4x

+ 3

x + 4x − 3 x 6 3 9

= lim . = . = a = 9 , b = 8 a − b = 1.

x→3

x + 1+ 5x

+ 1 x −1

8 2 8

Câu 149. Chọn C

( )( )( )

( )( )

2

x − 5x

+ 6 x − 2 x − 3 4x + 1 + 3 x − 3 4x

+ 1 + 3 3

lim = lim = lim

= − .

x→2 4x

+ 1 − 3

x→2 4( x − 2)

x→2

4 2

Câu 150. Chọn C

2

x − 2x −1 x − 2x + 1 x −1

Ta có lim = lim = lim = 0.

x→1 2

x + x − 2 x→1 x→1

x − 1 x + 2 x + 2x − 1 x + 2 x + 2x

−1

Câu 151. Chọn D

x + 1 − 2

lim = lim

x→3

x 3 x→3

− ( x 3)( x 1 2)

Suy ra a = 1; b = 2 .

( )( )( ) ( )( )

x − 3

= lim

x→3

− + +

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

1

x + 1 + 2

1

= .

2

2

a + b + 2018 = 1+ 2 + 2018 = 2021.

Câu 152. Chọn A

3 3 3

ax + 1 − 1− bx ax + 1 − 1+ 1− 1− bx ax + 1 −1 1− 1−

bx

+ lim = lim = lim

x→0 x x→0 x x→0

+

x x

39

ax + 1−1

1−

( 1−

bx)

= lim

+

x 0

2

→

3 3

x

( ax 1)

ax 1 1

+ + + + x( 1+ 1−

bx )

a b a b

= lim

+

= +

x→0 3

( ) 2 3

ax 1 ax 1 1 1 1 bx

+ + + + + − 3 2

3

ax + 1 − 1−

bx a b

Theo giả thiết lim = 4 + = 4 ⇔ 2a

+ 3b

= 24

x→0

x

3 2

2a − 5b = − 8 a

= 6

+ Ta có hệ

⇔ nên a ≤ 5 là sai.

2a + 3b = 24 b

= 4

Câu 153. Chọn D

f 4 = 2018

Theo giả thiết ta có ( )

Ta có

lim

x→4

Câu 154. Chọn C

( x)

1009

f − 2018

( )

( x − ) f ( x)

+ +

f ( x) −

( x + )

4 ( 2019 2019 2019)

( x ) f ( x)

2 2019 2019 2019

1009 2018 2 1009.4.2019

= lim = = 2018

x→4

− + + 2019.2018 + 2019 + 2019

x + 1− 5x

+ 1

Ta có: lim

= lim

x→3

x→3

x − 4x

− 3

3.6 9

= = . Vậy

2.8 8

Câu 155. Chọn B

a

= 9

a − b = 1.

b

= 8

2

( x − 3x)( x + 4x

−3)

2

( x − 4x + 3)( x + 1+ 5x

+ 1)

2

( ) ( )

= lim

x( x + 4x

−3)

( x − 1)( x + 1+ 5x

+ 1)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

x→3

2 2

ax + 1−bx− 2 ax + 1−bx−2

Ta có lim = lim = L,

với L ∈ R (*)

x→1 3

x − 3x + 2 x→1

x− 1 x + 2

⎧

b ≥−2 ⎧

b ≥−2

Khi đó a + 1−b− 2 = 0 ⇔ a + 1 = b + 2 ⇔ ⎪

⎨

⇔ ⎪

2

⎨

2

⎪⎩

a + 1= b + 4b + 4 ⎪⎩

a = b + 4b

+ 3

2

Thay a = b + 4b

+ 3 vào (*):

lim

x→1

ax

2

( )

2 2

+ 1−bx

− 2 b + 4b + 3 x + 1−bx

−2

= lim

− 3 + 2 − 1 + 2

2

( ) ( )

3

x x x x

x→1

2 2

( b + 4b + 3) x + 1− ( bx + 2)

= lim

x→1 2 ⎡ 2 2

⎤

( x− 1) ( x + 2) ⎢ ( b + 4b + 3)

x + 1 + bx + 2⎥

⎣

⎦

2

( 4b + 3)

x −4bx

−3

= lim

x→1 2 ⎡ 2 2

⎤

( x− 1) ( x + 2) ⎢ ( b + 4b + 3)

x + 1 + bx + 2⎥

⎣

⎦

( 4b

+ 3)

x + 3

= lim = L, L ∈ R .

x→1 ⎡ 2 2

⎤

( x − 1)( x + 2) ⎢ ( b + 4b + 3)

x + 1 + bx + 2⎥

⎣

⎦

2

40

Khi đó: ( b )

Vậy a + b =

16

Câu 156. Chọn C

x

lim

3 3

4 + 3 + 3 = 0 ⇔ b = − ⇒ a = − .

2 4

2 2 45

2

+ 1− 5x

+ 1 ( x − 3x)( x + 4x

− 3

=

)

lim

2

x − 4x − 3

x→

( x − 4x + 3)( x + 1+ 5x

+ 1)

x( x + 4x

− 3)

3. ( 3 + 3)

9

( x − 1)( x + 1+ 5x

+ 1)

2. ( 4 + 4)

8

x→3 3

= lim = = .

x→3

Vậy T = 2a − b = 10 .

Câu 157. Chọn C

2

x − 2x − 8 ( x + 2)( x − 4)( 2x + 5 + 1) ( x + 2)( x − 4)( 2x

+ 5 + 1)

Ta có: lim = lim = lim

x→−2 2x + 5 − 1

x→−2 ( 2x + 5 − 1)( 2x

+ 5 + 1)

x→−2

2( x + 2)

( x − 4)( 2x

+ 5 + 1)

= lim = − 6

x→−2

2

Câu 158. Chọn A

f ( x) −16

Do lim = 12 nên ta có f (2) − 16 = 0 hay f (2) = 16 .

x→2

x − 2

3

5 f ( x) −16 − 4 5( f ( x) −16)

lim

= lim

x→2 2

x + 2x − 8 x→2 3 2

( x − 2)( x + 4)( (5 f ( x) − 16) + 4

3

5 f ( x) − 16 + 16)

f ( x) −16 5

= lim .

x→2 x− 2 3 2

( x + 4)( (5 f ( x) − 16) + 4

3

5 f ( x) − 16 + 16)

5 5

= 12. = . 6.48 24

Câu 159. Ta có:

x + 3 − 2 x + 3−

4 1 1

lim = lim = lim = .

x → 1 x − 1 x → 1 x → 1

x + 3 + 2 4

Câu 160. Chọn A

4x

+ 1 −1

Ta có K = lim

= lim

x→0

2

x 3x

x→0

x x

Câu 161.

lim

x→2

x + 2 − 2

= lim

x 2 x→2

( x − 1)( x + 3 + 2)

4x

= lim

− 0

( − 3)( 4x

+ 1 + 1)

( 3)( 4 1 1)

x →

x − x + +

x − 2

1 1

= lim = .

x→2

− + + x + 2 + 2 4

− ( x 2)( x 2 2)

( 1− x)( 2 − x + 1)

( x )

1−

x

Câu 162. L = lim = lim = lim 2 − + 1 = 2 .

x→1 x→1 1

x 1

2 x 1

− x +

→

− −

2

2

2x

− 6 2( x − 3)

Câu 163. Ta có lim = lim = lim 2( x + 3)

= 4 3 .

x → 3

x − 3

x → 3

x − 3

x → 3

Suy ra a = 4 , b = 3 . Vậy P = a + b = 7 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

4

2

= − .

3

41

Câu 164. Ta có:

Câu 165. Ta có:

Câu 166. Ta có

3x

+ 1 − 1 3x

+ 1−1 3 3

lim = lim = lim = .

x → 0 x

x → 0 x 0

x

→ 3x

+ 1 + 1 2

2

4x − 2x + 1 − 1−

2x

lim

x →0

x

( 4x − 2x + 1 + 1−

2x

)

x→0 2

( 3x

+ 1 + 1)

4x

= lim = 0 .

lim

= lim

2

4x

x→0 x

2

x x x

( 4 − 2 + 1 + 1−

2 )

2 3 2

3

x x x x x x

+ + 2 − 7 + 1 + + 2 − 2 + 2 − 7 + 1

= lim

2 1 2 1

( x −

x→

) ( x − )

x→1 1

2 3

x + x + 2 − 2 2 − 7x

+ 1

= lim

+ lim = I + J .

x→1 2 1

1

2 1

Tính

( x −

x→

) ( x − )

2 2

x + x + 2 − 2 x + x + 2 − 4

I = lim

= lim

x→1 2 1

1 2

2 1 2 2

( x −

x→

) ( x − )( x + x + + )

( )( )

x − 1 x + 2 x + 2 3

= lim

= lim

= .

x→1 1

2 1 2 2 2 2 2 4 2

2 x→

2

( x − )( x + x + + ) ( x + x + + )

3

2 − 7x

+ 1 8 − 7x

−1

và J = lim = lim

x→1 2 1

1

2 1 4 2 7 1 7 1

−7 −7

= lim

= .

x→1

3 3

2

4 + 2 7x

+ 1 + ( 7x

+ 1) 2 12 2

Do đó

lim

x→1

( x −

x→

) 3 3

( x −

) + x + + ( x + )

2 3

x x x

+ + 2 − 7 + 1 2 = I + J =

2 1

12

( x − )

Suy ra a = 1, b = 12 , c = 0 . Vậy a + b + c = 13 .

Câu 167. Chọn B

x + 2 x + 2 1 −1

I = lim = lim = lim = .

x →− 2

2

x − 2 x →− 2 x 2

x + 2 x − 2

→− x − 2 2 2

Câu 168. Chọn A

Câu 169. Chọn D

Ta có

( )( )

( 2x − x + 3)( 2x + x + 3

2

)

( )( )( ) ( )( )( )

2x − x + 3 4x − x − 3

I = lim = lim = lim

x→1 2

x −1 x→1 x→1

x − 1 x + 1 2x + x + 3 x − 1 x + 1 2x + x + 3

( )( )

x − 1 4x + 3 4x

+ 3 7

= lim

= lim

=

x→1 1

8

x→

( x − 1)( x + 1)( 2x + x + 3) ( x + 1)( 2x + x + 3)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2

42

1 1 1 1

x 1− − x 4 + −x 1− + x 4 +

x − x − 4x + 1

lim = lim

x x = lim

x x

x→−∞ 2x

+ 3

x→−∞ 3 x→−∞

3

x 2 + x 2 +

x x

2 2

2 2

1 1

− 1− + 4 +

2

1 0 4 0 1

lim

x x − − + +

= = =

x→−∞

3

2 +

2 + 0 2

x

Câu 170. Chọn B

Cách 1:

f ( x) − 20 10x

− 20 10( x − 2)

Chọn f ( x) = 10x , ta có lim = lim = lim = 10 .

x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2

x − 2

( )

3

6 f x + 5 − 5

3 3

60x + 5 − 5 60x

+ 5 − 5

Lúc đó T = lim = lim = lim

x→2 2

2

2

x + x − 6 x→ x + x − 6 x→2

x − 2 x + 3

= lim

60x

+ 5 −5

2

( x − 2)( x + 3)( 60x + 5 + 5 60x

+ 5 + 25)

x→2 3 3

= lim

( x − )

60 2

2

( x − 2)( x + 3)( 60x + 5 + 5 60x

+ 5 + 25)

x→2 3 3

60 4

= lim

=

x→2 3 3

25

Cách 2:

2

( x + 3)( 60x + 5 + 5 60x

+ 5 + 25)

Theo giả thiết có lim ( f ( x)

− 20)

= 0 hay lim f ( x)

= 20 (*)

x→2

3

x→2

( ) ( )

( )( )

3

6 f x + 5 − 5 6 f x + 5 −125

Khi đó T = lim

= lim

x→2 2

2

2

x + x − 6 x→

2

3 3

( x + x − 6) ( 6 f ( x)

+ 5) + 5( 6 f ( x)

+ 5 ) + 25

6 f ( x)

− 20

T = lim

x→2

2

3 3

( x − 2)( x + 3) ( 6 f ( x)

+ 5) + 5( 6 f ( x)

+ 5)

+ 25

10.6 4

T = = .

5.75 25

Câu 171. Chọn A

( 3x

+ 1) − 16

( 3 + x + 4 )

( ) ( )

( )

3x

+ 1 − 4

− 3 3 + x + 4 −18 9

Ta có lim = lim

= lim

= = − .

x→5 3 − x + 4

x→5

x→5

9 − x + 4 3x

+ 1 + 4 3x

+ 1 + 4 8 4

Câu 172.

Hướng dẫn giải

Chọn C

f ( x)

−16

f ( x)

−16

Vì lim = 24 f ( 1)

= 16 vì nếu f ( 1)

≠ 16 thì lim = ∞ .

x→1

x −1

x→1

x −1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

43

Ta có

I = lim

x→1

f ( x)

−

( x ) f ( x)

16

( )

− 1 2 + 4 + 6

Câu 173. Chọn C

x

lim

x→0

7

= lim

x + 1. x + 4 − 2

x→0

= lim

x→0

= lim

x→0

x

7

x + 4. ( x + 1 − 1)

+ x + 4 − 2

7

=

1 lim

( x)

−

( x − )

12 x→1

1

f

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

16

= 2 .

x

x + 1. x + 4 − x + 4 + x + 4 − 2

6 5 4 3 2

( + 4 + 2)( + + + + + + 1)

x x x x x x x x

6 5 4 3 2 2

( )( ) ( )( )

x + 4. x + 1− 1 x + 4 + 2 + x + x + x + x + x + x + 1 x + 4 − 2

6 5 4 3 2

( x + + )( x + x + x + x + x + x + )

4 2 1

4

= lim

= .

x→0

6 5 4 3 2

x + 4 ( x + 4 + 2)

+ x + x + x + x + x + x + 1

9

Suy ra a = 4 , b = 9 , L = a + b = 13.

Trình bày lại:

Chọn A

7

x a 1 1. 4 2

Đặt L = lim

x→0

=

7

thì lim x + x + −

= b

x + 1. x + 4 − 2 b L

=

x

.

a

Ta có

7 7

b x + 1. x + 4 − x + 4 + x + 4 − 2 x + 1. x + 4 − x + 4 x + 4 − 2

= lim lim lim

a x→0 x

= +

x→0 x x→0

x

7

( x )

. x + 4 + 1 −1

Xét L1

= lim

.Đặt t

x→0

x

( )

7

7

x = t −

= x + 1 .Khi đó:

7 7

t + 3 t − 1 t + 3 2

L1 = lim

= lim

=

t→1 7

1 6 5 4 3 2

t − 1 t→

t + t + t + t + t + t + 7

Xét

L

2

( 1)

( x + 4 − 2)( x + 4 + 2)

x( x + 4 + 2)

1

x

→ 0 t → 1

x + 4 − 2

1 1

= lim lim lim

x → 0 x

= = =

x → 0 x → 0

x + 4 + 2 4

b 2 1 15

Vậy = + = 28, 15 43

a 7 4 28

a = b = a + b = a + b = 43.

Câu 174. Ta có

3 3

x + 1 − x + 5 x + 1 − 2 x + 5 − 2

lim

= lim

−

x→3 x − 3 x→3

x − 3 x − 3

.

x + 1− 4 x + 5 − 8

= lim

−

x→

( )( ) ( )( ( )

)

3 x 3 x 1 2 3

− + + x − 3 x + 5 2 + 2 3 x + 5 + 4

1 1 1 1 1

= lim − = − =

x→

3 x + 1 + 2 3

( ) 2 3

x + 5 + 2 x + 5 + 4

4 12 6

44

DẠNG 4.2 DẠNG ∞ − ∞

Câu 175. Chọn D

2 2

x + 1−

x

1

= lim = lim = 0 .

x→+∞

x→+∞

2 x→+∞

2

x + 1 + x x + 1 + x

Câu 176. Chọn B

2

ax

a a

lim ( 9x + ax + 3x)

= lim

= lim

= −

x→−∞ x→−∞ 2

x→−∞

9x + ax − 3x

a 6

− 9 + − 3

x

a

− = −2 ⇔ a = 12

6

Câu 177. Chọn C

2 2

−3x

Ta có: M = lim ( x − 4x − x − x ) = lim

x→−∞

x→−∞

2 2

x − 4x + x − x

−3x

3 3

= lim = lim = .

x→−∞

4 1 x→−∞

4 1 2

x . 1− + 1−

1− + 1−

x x

x x

Câu 178. Chọn C

2

2x

2 1

lim ( 5x + 2x + x 5)

= lim = lim

= − 5 .

x→−∞ x→−∞ 2

x→−∞

5x + 2x − x 5

2 5

− 5 + − 5

x

1

Suy ra: a = − , b = 0 . Vậy S = − 1.

5

Câu 179. Chọn B

Ta có: lim ( )

1 1

x 2 + x + 2x

= lim x 1+ + 2x

= lim − x 1+ + 2x

x→−∞

x→−∞

x

x→−∞

x

2

Xét lim ( x + 1 − x)

1

= lim x

2 − 1+

= −∞

x→−∞

x

vì lim x = −∞ và

x →−∞

Câu 180. Chọn A

( x )

2 + x + + x +

lim 2 2

x→−∞

=

2

x x x

lim

x→−∞

2

−3

−

3

= lim

x = .

x→−∞

1 2 2 2

− 1+ + −1−

2

x x x

( ) 2

+ + 2 − + 2

2

x x x

+ + 2 − − 2

1

lim 2 − 1+ = 1

x→−∞

x

.

−3x

− 2

+ + 2 − − 2

.

2

x x x

Câu 181. Chọn C

2

1 1

lim ( 3x − 9x − 1)

= lim 3x x 9 lim x 3 9

x→−∞ x→−∞

+ −

2 = + − = −∞

x

2

x →−∞ x

Câu 182. Chọn D

1

a +

2

ax + 1

a

TH1: b = 2 lim ( 4x + ax + 1 + 2x)

= lim = lim x = − .

x→−∞ x→−∞ 2

x→−∞

4x + ax + 1 − 2x

a 1 4

− 4 + + − 2

2

x x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

=

lim

x→−∞

45

2

( )

a

lim 4x + ax + 1 + bx = −1 ⇔ − = −1 a = 4 .

x→−∞

4

2

a 1

−∞

neáu b > 2

TH2: b ≠ 2 lim ( 4x + ax + 1 + bx)

= lim x 4 b

x→−∞

x→−∞

− + + +

2

=

x x

+∞

neáu b < 2

2 3

Vậy a = 4, b = 2 P = a − 2b

= 0 .

Câu 183. Chọn C

1

8 +

2

8x

+ 1

- lim ( 4x + 8x + 1+ 2 x) = lim = lim x = −2

------------------------

x→−∞ x→−∞ 2

x→−∞

4x + 8x + 1 − 2x

8 1

− 4 + + − 2

2

x x

----------------------.

Câu 184. Chọn D

3 3

−2

Ta có: lim ( 1+ x − x + 2)

= lim 1

x→+∞

x→+∞

+

2

2 3 3 3 3

x + x x + 2 + ( x + 2)

−2

−2

2

= lim 1 lim 1 x

+ = 1

2

2

x→+∞

x→+∞

+ =

2 2 2 2 2

x 1 3 1 3 1

1 3 1 3 1

+ + +

3 + + + + +

3 3 3

x x x x

3 3

Vậy ( x x )

lim + 1− + 2 = 1

x→+∞

Câu 185. Chọn D

2

( x x x )

2x − 3x + 1−

2x

2 2

lim 2 − 3 + 1 + 2 = lim

x→−∞

x→−∞

2 2

x − 3 x + 1 − x 2

1

x 3

1

− +

− 3+

lim

x

lim x 3 2

= =

=

x→−∞

x→−∞

3 1

3 1 4

x

− 2 − + − 2 − 2 − + − 2

2

2

x x

x x

Vậy a = 3 ; b = 4 a + b = 7 .

Câu 186. Chọn C

Đường thẳng : y ax 6b

M 3;42 nên 3a + 6b = 42 a + 2b

= 14 .

∆ = + đi qua điểm ( )

2

( )

5ax

+ 1

lim 36x + 5ax + 1 − 6x + b = lim

+ b

x→+∞

x→+∞

2

36x

+ 5ax

+ 1 + 6

1

5a

+

5a

= lim x + b = + b .

x→+∞

5a

1 12

36 + + + 6

2

x x

Do đó 5 a 20 5a + 12b = 80 a

= 4

+ b = 5 a + 12 b = 80 . Ta có hệ:

⇔ .

12 3

a + 2b = 14 b

= 5

2 2

Vậy T = a + b = 41.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

46

Câu 187. Chọn D

2

Ta có: ( x ax x)

( x )( )

2 + ax + 5 + x x 2 + ax + 5 − x

lim + + 5 + = lim

x→−∞

x→−∞

5

5

a +

ax + 5

a

= lim

= lim x = .

x→−∞

2

x→−∞

x + ax + 5 − x

a 5 − 2

− 1+ + −1

2

x x

2

a

Do đó: lim ( x + ax + 5 + x)

= 5 ⇔ = 5 ⇔ a = −10

.

x→−∞

−2

2

x + ax + − x

Câu 188. Cách 1: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị biểu thức

= + + + = − 2 . Chọn đáp án A.

Vậy I lim ( x )

2 4x 1 x

x→−∞

2

x 4x 1 x

+ + + tại

10

x = − 10 :

1

4 +

4x

+ 1

Cách 2: Ta có I = lim ( x )

2 + 4x + 1 + x = lim

= lim x

x→−∞

x→−∞

2

x→−∞

x + 4x + 1 − x

4 1

− 1+ + −1

2

x x

4

= = − 2 . − 2

2

2 2

− 4 +

Câu 189. lim ( x )

2

x − 4x + 2 − x

− 4x

+ 2

− 4x + 2 − x = lim

= lim

= lim x

x→+∞

x→+∞

2

x→+∞

2

x→+∞

x − 4x + 2 + x x − 4x + 2 + x

4 2

1− + + 1

2

x x

= − 2 .

x + 1− x + 3

4

Câu 190. lim ( x + 1 − x − 3)

= lim

= lim

x→+∞

x→+∞

x + 1 + x − 3

x →+∞

x 1 x

= 0 .

+ + − 3

6

− 5 +

2

− 5x

+ 6 5

Câu 191. Ta có lim ( x − 5x + 6 − x)

= lim = lim x = − .

x→+∞ x→+∞ 2

x→+∞

x − 5x + 6 + x 5 6 2

1− + + 1

2

x x

Câu 192. Ta có: lim ( )

2

2 2

x + ax + 5 − x ax + 5

x + ax + 5 + x = 5 ⇔ lim

= 5

x→−∞

x→−∞

2

⇔ lim

2

= 5

x→−∞

x + ax + 5 − x x + ax + 5 − x

5

a +

lim x

a

⇔

= 5 ⇔ = 5 ⇔ a = − 10 .

x→−∞

a 5

−2

− 1+ + −1

2

x x

2

Vì vậy giá trị của a là một nghiệm của phương trình x + 9x

− 10 = 0 .

Câu 193. Ta có

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

47

( x ( ))

2 x ax b

lim 4 3 1 0 ⇔ lim 4x 2 − 3x + 1 − ax − b = 0

x→+∞

( )

− + − + = ( )

x→+∞

( )

2 2 2

2 2

4x − 3x + 1−

a x 4 − a x − 3x

+ 1

⇔ lim

− b

= 0 ⇔ lim − b

= 0

x→+∞

2

x→+∞

2

4x − 3x + 1 + ax 4x − 3x + 1 + ax

2

4 − a = 0 a

= 2

⇔ a

> 0 ⇔ 3 .

− 3

b

= −

4

− b = 0

2

+ a

Vậy a − 4b

= 5 .

2 2

6x

Câu 194. lim x( x + 5x

+ 4 − x + 5x

− 2 ) = lim

x→+∞

x→+∞

2 2

x + 5x

+ 4 + x + 5x

− 2

6x

= lim = 3 .

x→+∞

5 4 5 2

x

1+ + + 1+

−

2 2

x x x x

Câu 195. Chọn D

2

x x x

Xét: lim x( x + 1 − x)

= lim = lim = lim

.

x→+∞ x→+∞ 2

x→+∞ 1

1

x→+∞

x + + x

1

x 1+ + x x 1+ + x

2 2

x

x

1 1

= lim = .

x→+∞

1 2

1+ + 1

2

x

Câu 196. Chọn C

1 2017

x

− a 1+ +

2

2

1 2017

a x + 1 + 2017

x x

− a 1+ +

2

Ta có: lim

= lim

= lim

x x

x→−∞

x + 2018 x→−∞

2018

x→−∞

2018

x1+

1+

x

x

1 1

Nên − a = ⇔ a = − .

2 2

Ta có: ( )

( x )( )

2 + bx + 1 − x x 2 + bx + 1 + x

lim x 2 + bx + 1 − x = lim

2

x→+∞

bx + 1

= lim

=

x→+∞

b 1

x

1+ + + 1

2

x x

b

Nên = 2 ⇔ b = 4 .

2

1

Vậy P = 4

− + 4 = 2 .

2

Câu 197. Chọn B

lim

x→+∞

x→+∞

x

x + bx + 1 + x

1

x b +

1

b +

x

lim x b

=

= .

b 1

x→+∞

b 1 2

1+ + + 1

2 1+ + + 1

2

x x

x x

= − a .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

48

( x )

2 − x + − x

lim 4 2

x→+∞

=

lim

x→+∞

x − 4x + 2 − x

2 2

4 2

2

x − x + + x

= lim

x→+∞

− 4x

+ 2

4 2

2

x − x + + x

.

Câu 198. Chọn D

2 2

Ta có: I lim ( x 1 x )

2

x − x + x − 2

= + − − x + 2 ⇔ I = lim

+ 1

x→+∞

x→+∞

2

x + x − x + 2

2

1−

lim x

3

⇔ I =

+ 1

⇔ I = .

x→+∞

1 2 2

1+ 1− +

2

x x

2

− 4 +

x = −2

4 2

1− + + 1

2

x x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

=

lim

x→+∞

x − 2

⇔ I = lim

+ 1

x→+∞

2

x + x − x + 2

49

TOÁN 11

HÀM SỐ LIÊN TỤC

1D4-3

Contents

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 1

DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM ........................................................................................................................... 3

Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số............................................................................................................ 3

Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số .......................................................................................................................... 4

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số ................................................................................................................................... 4

DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG ........................................................................................................................ 11

Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số .................................................................................................... 11

Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số ................................................................................................................................. 12

DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ....................................................................................... 14

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT ................................................................................................................................ 15

DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM ......................................................................................................................... 15

Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số.......................................................................................................... 15

Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số ........................................................................................................................ 16

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số ................................................................................................................................. 17

DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG ........................................................................................................................ 24

Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số .................................................................................................... 24

Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số ................................................................................................................................. 26

DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ....................................................................................... 29

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 1. (THPT THẠCH THANH 2 - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y f ( x)

( a;

b ) . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên [ a;

b ] là

A. lim f ( x) = f ( a)

và lim f ( x) = f ( b)

. B. lim f ( x) = f ( a)

và lim f ( x) f ( b)

+

x→a

+

x→b

= liên tục trên

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

−

x→a

−

x→b

= .

C. lim f ( x) = f ( a)

và lim f ( x) = f ( b)

. D. lim f ( x) = f ( a)

và lim f ( x) f ( b)

+

x→a

−

x→b

−

x→a

+

x→b

= .

Câu 2. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x ) xác định trên [ ; ]

mệnh đề đúng.

a b . Tìm

A. Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên [ a;

b ] và f ( a) f ( b ) > 0 thì phương trình ( ) 0

nghiệm trong khoảng ( a;

b ) .

B. Nếu f ( a) f ( b ) < 0 thì phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( ; )

f x = không có

a b .

1

C. Nếu hàm số f ( x ) liên tục, tăng trên [ a;

b ] và f ( a) f ( b ) > 0 thì phương trình ( ) 0

có nghiệm trong khoảng ( a;

b ) .

D. Nếu phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm trong khoảng ( a;

b ) thì hàm số f ( )

( a;

b ) .

Câu 3. Cho hàm số y f ( x)

A. Nếu f ( a). f ( b ) > 0 thì phương trình ( ) 0

f x = không

x phải liên tục trên

= liên tục trên đoạn [ a;

b ] . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

f x = không có nghiệm nằm trong ( a;

b ) .

f x = có ít nhất một nghiệm nằm trong ( ; )

f x = có ít nhất một nghiệm nằm trong ( ; )

f x = có ít nhất một nghiệm nằm trong ( a;

b ) thì ( ). ( ) 0

B. Nếu f ( a). f ( b ) < 0 thì phương trình ( ) 0

C. Nếu f ( a). f ( b ) > 0 thì phương trình ( ) 0

D. Nếu phương trình ( ) 0

Câu 4. Cho đồ thị của hàm số y f ( x)

7

6

5

4

3

2

1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

-2

y

= như hình vẽ sau:

x

a b .

a b .

f a f b < .

Chọn mệnh đề đúng.

y = f x có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng không liên tục tại điểm x = 0 .

A. Hàm số ( )

B. Hàm số y f ( x)

C. Hàm số y f ( x)

D. Hàm số y f ( x)

= liên tục tại điểm x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm x = 0 .

= liên tục và có đạo hàm tại điểm x = 0 .

= không liên tục và không có đạo hàm tại điểm x = 0 .

Câu 5. Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x = 1?

A. . B. .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2

Câu 6.

C. . D. .

(Thi thử SGD Hưng Yên) Cho các mệnh đề:

y f x

;

1. Nếu hàm số = ( ) liên tục trên ( a b ) và f ( a) . f ( b ) < 0 thì tồn tại x0 ( a;

b)

f ( x

0 ) = 0 .

2. Nếu hàm số y = f ( x)

liên tục trên [ a;

b ] và f ( a) . f ( b ) < 0 thì phương trình ( ) 0

nghiệm.

3. Nếu hàm số y = f ( x)

liên tục, đơn điệu trên [ a;

b ] và ( ) ( )

f ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất.

∈ sao cho

f x = có

f a . f b < 0 thì phương trình

A. Có đúng hai mệnh đề sai. B. Cả ba mệnh đề đều đúng.

C. Cả ba mệnh đề đều sai. D. Có đúng một mệnh đề sai.

DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số

Câu 7.

Câu 8.

3

1−

x

, khi x < 1

Cho hàm số y = 1−

x . Hãy chọn kết luận đúng

1 ,khi x ≥ 1

A. y liên tục phải tại x = 1 . B. y liên tục tại x = 1 .

C. y liên tục trái tại x = 1 . D. y liên tục trên R .

2

x − x +

7 12

khi x ≠ 3

Cho hàm số y = x − 3

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

− 1 khi x = 3

A. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x

0

= 3.

B. Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại x

0

= 3.

C. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại x

0

= 3.

D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x

0

= 3.

x − 2

khi x ≠ 2

f x = x + 2 − 2 . Chọn mệnh đề đúng?

4 khi x = 2

A. Hàm số liên tục tại x = 2 . B. Hàm số gián đoạn tại x = 2 .

4 2

lim f x = 2 .

Câu 9. Cho hàm số ( )

C. f ( ) = . D. ( )

x→2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2x

−1

f x = . Kết luận nào sau đây đúng?

x − x

A. Hàm số liên tục tại x = − 1 . B. Hàm số liên tục tại x = 0 .

Câu 10. Cho hàm số ( )

3

3

C. Hàm số liên tục tại x = 1. D. Hàm số liên tục tại

1

x = .

2

Câu 11. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Hàm số nào sau đây liên tục tại x = 1:

2

2

x + x + 1

x − x−2

A. f ( x)

= . B. f ( x)

=

2

x−1

x − 1

. C. ( ) 2

x + x + 1

x + 1

f x = . D. f ( x)

= .

x

x −1

Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số

Câu 12. (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm x

0

= −1

.

2

2x

−1

A. y = ( x + 1)( x + 2)

. B. y =

x + 1

. C. x

x + 1

y = . D. y =

x −

2

1

x + 1

.

Câu 13. Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x = 2 ?

3x

− 4

A. y = . B. y = sin x . C. y x x

x − 2

Câu 14.

4 2

= − 2 + 1 D. y tan

= x .

Hàm số y = x gián đoạn tại điểm x

x + 0

bằng?

1

A. x

0

= 2018 . B. x

0

= 1. C. x

0

= 0

D. x

0

= −1.

x − 3

Câu 15. Cho hàm số y = . Mệnh đề nào sau đây đúng?

2

x − 1

A. Hàm số không liên tục tại các điểm x = ± 1 . B. Hàm số liên tục tại mọi x ∈ R .

C. Hàm số liên tục tại các điểm x = − 1 . D. Hàm số liên tục tại các điểm x = 1.

1−

cos x

khi x ≠ 0

f x = x

1 khi x = 0

Câu 16. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số ( )

2

Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

f x có đạo hàm tại 0

A. ( )

C. ( )

f x liên tục tại 0

x = . B. ( )

x = . D. ( )

f 2 < 0 .

Câu 17. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hàm số ( )

sau đây đúng?

f x liên tục tại mọi điểm x thuộc R .

A. Hàm số ( )

B. Hàm số ( )

C. Hàm số ( )

D. Hàm số ( )

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số

f x bị gián đoạn tại điểm x = 0 .

f x bị gián đoạn tại điểm x = 1.

f x bị gián đoạn tại điểm x = 0 và x = 1.

f x gián đoạn tại x = 0 .

− x cos x, x < 0

2

x

f x = ,0 ≤ x < 1. Khẳng định nào

1

+ x

3

x

, x ≥ 1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

.

4

Câu 18.

Câu 19.

Câu 20.

2

x − 4

khi x ≠ −2

Tìm m để hàm số f ( x) = x + 2

liên tục tại x = − 2

m khi x = −2

A. m = − 4 . B. m = 2 . C. m = 4 . D. m = 0 .

là:

A.

Cho hàm số

3

x −1 khi x ≠ 1

y = f ( x) = x −1

. Giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại điểm x

0

= 1

2m

+ 1 khi x = 1

1

m = − . B. m = 2 . C. m = 1. D. m = 0 .

2

2

x + x + x ≤ −

3 2 khi 1

Để hàm số y =

liên tục tại điểm x = − 1 thì giá trị của a là

4x + a khi x > −1

A. − 4 . B. 4. C. 1. D. − 1.

Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( )

3 2

x − x + x −

2 2

khi x ≠ 1

f x = x −1

liên tục tại x = 1.

3x + m khi x = 1

A. m = 0. B. m = 6. C. m= 4 . D. m= 2 .

Câu 22. Cho hàm số ( )

.

A. k = 2 2019 . B.

Câu 23. Cho hàm số ( )

2016

x + x −

2

khi x ≠ 1

f x = 2018x + 1 − x + 2018

k

khi x = 1

. Tìm k để hàm số ( )

2017. 2018

k = . C. k = 1. D.

2

x −1

khi x ≠ 1

f x = x −1

. Tìm a để hàm số liên tục tại x 0

= 1.

a

khi x = 1

1

1

A. a = 0 . B. a = − . C. a = . D. a = 1.

2

2

Câu 24. Biết hàm số f ( x)

f x liên tục tại x = 1

20016

k = 2019 .

2017

⎧⎪ 3x

+ b khi x ≤ −1

=

⎪

⎨ liên tục tại x = − 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

⎪ x + a khi x > − 1

⎪⎩

A. a = b − 2. B. a = −2

− b . C. a = 2 − b . D. a = b + 2 .

3 − x

khi x ≠ 3

f x = x + 1 − 2 . Hàm số đã cho liên tục tại x = 3 khi m = ?

m

khi x=3

A. − 1. B. 1. C. 4 . D. − 4 .

Câu 25. Cho hàm số ( )

Câu 26. Biết hàm số f ( x)

2

ax + bx − x ≤

5 khi 1

=

2ax − 3b khi x > 1

liên tục tại x = 1 Tính giá trị của biểu thức

P = a − 4b

.

A. P = − 4 . B. P = − 5 . C. P = 5 . D. P = 4 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

5

Câu 27.

2

x − x

khi x ≠ 1

Tìm m để hàm số f ( x) = x −1

liên tục tại x = 1

m − 1 khi x = 1

A. m = 0 . B. m = − 1. C. m = 1

D. m = 2 .

Câu 28. Có bao nhiêu số tự nhiên m để hàm số ( )

2

x − x +

3 2

khi x ≠ 1

f x = x −1

liên tục tại điểm x = 1?

2

m + m − 1 khi x = 1

A. 0. B. 3. C. 2 . D. 1.

x + 2 − 2

khi x ≠ 2

f x = x − 2

liên tục tại x = 2 ?

2x + a khi x = 2

A. 15 4 . B. 15

− . C. 1 . D. 1.

4

4

Câu 29. Tìm a để hàm số ( )

Câu 30. Cho hàm số f ( x)

2 ⎧⎪ x − x +

3 2

khi x > 2

= ⎪

⎨ x + 2 −2

, m là tham số. Có bao nhiêu giá trị của m để hàm

2

⎪⎩

m x− 4m + 6 khi x ≤ 2

số đã cho liên tục tại x = 2 ?

A. 3. B. 0 . C. 2 . D. 1

2

3x

+ 2x

−1 − 2

2 , x ≠ 1

f x = x −1

. Hàm số f ( x ) liên tục tại x

0

= 1 khi

4 − m

x = 1

A. m = 3 . B. m = − 3 . C. m = 7 . D. m = − 7 .

Câu 31. Cho hàm số ( )

Câu 32.

Câu 33.

(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Tìm giá trị của tham số m để hàm số

2

x + x + 2

( )

23 khi x < − 1

f x = x −1

liên tục tại x = − 1 .

mx

+ 2 khi x ≥ −1

3

A. m

−

5

= . B. m

−

3

5

= . C. m = . D. m = .

2

2

2

2

2

x + −

4 2

khi x ≠ 0

2

Cho hàm số f ( x)

= x

. Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f ( x )

5

2a

− khi x = 0

4

liên tục tại x = 0 .

3

4

4

3

A. a = − . B. a = . C. a = − . D. a = .

4

3

3

4

Câu 34. Cho hàm số f ( x)

2

x − x + x ≠

2 3 khi 1

=

. Tìm m để hàm số liên tục tại x

0

= 1.

3x + m − 1 khi x = 1

A. m = 1. B. m = 3 . C. m = 0 . D. m = 2 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

6

Câu 35.

2

− +

x 3x

2

khi x ≠ 2

Cho hàm số f ( x) = x − 2

. Hàm số liên tục tại x = 2 khi a bằng

a

khi x = 2

A. 1. B. 0 . C. 2 . D. − 1.

3−

x

khi x ≠ 3

f x = x + 1 − 2

. Hàm số liên tục tại điểm x = 3 khi m bằng:

mx

+ 2 khi x = 3

A. − 2 . B. 4 . C. − 4 . D. 2 .

Câu 36. Cho hàm số ( )

Câu 37. Tìm m để hàm số ( )

Câu 38.

A.

2

x −16

khi x > 4

f x = x − 4

liên tục tại điểm x = 4 .

mx

+ 1 khi x ≤ 4

7

7

m = . B. m = 8 . C. m = − . D. m = −8

.

4

4

(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

liên tục tại x = 2 .

A. m = 3 . B. m = 2 . C. m = − 2 . D. Không tồn tại m .

Câu 39. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hàm số f ( x )

tại =

A. 3 .

4

x thì giá trị của biểu thức ( )

0

1

Câu 40. Cho hàm số ( )

⎧⎪ x + 3 − m khi x ≠ 1

= ⎪

⎨ x − 1

. Để hàm số liên tục

⎪ n khi x = 1

⎪⎩

m + n tương ứng bằng:

B. 1. C. − 1 .

2

3 2

x − x + x −

D. 9 .

4

f x

6 11 6

khi x ≠ 3

= x − 3

. Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x = 3

m

khi x = 3

?

A. m = 1. B. m = 2 . C. m = 3 . D. m = 0 .

cos3x

− cos 7x

Câu 41. Giới hạn lim

. Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x = 3?

x→0

2

x

A. 40 . B. 0 . C. − 4. D. 20 .

Câu 42.

A.

Tìm m để hàm số

3

m∈

1;

−

2

2

x − x −

2

khi x > −1

f ( x) = x + 1

liên tục tại x = − 1.

2

mx − 2 m khi x ≤ −1

m ∈ 1 . C. 3

m∈ −

2 . D. 3

m∈ −1; .

2 .

. B. { }

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

7

Câu 43. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số ( )

.

A.

1

m = . B.

6

Câu 44. Cho hàm số f ( x)

2

x + −

1

m = − . C.

6

2 24 khi x ≠ 0

= x

5

2a

− khi x = 0

4

liên tục tại x = 0 .

3

4

A. a = − . B. a = . C.

4

3

2

ax + − bx −

2

x − x +

2

f x x x

3 2

khi x < 2

= − 2

mx + m + 1 khi x ≥ 2

1

m = − . D.

2

liên tục tại điểm x = 2

1

m = .

2

. Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số f ( x)

4

a = − . D.

3

3

Câu 45. Cho hàm số f ( x) = ( a b c ∈ )

3

a = .

4

1 2 1

khi x ≠

4x

− 3x

+ 1 2

,

c

1

khi x =

2 2

, , R . Biết hàm số liên tục tại

Tính S = abc .

A. S = − 36 . B. S = 18 . C. S = 36 . D. S = − 18.

Câu 46. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Tìm a để hàm số ( )

Câu 47.

1

x = .

2

f x

2

x −1 khi x ≠ 1

= x −1

liên tục tại

a

khi x = 1

điểm x

0

= 1.

A. a = 1. B. a = 0 . C. a = 2 . D. a = − 1.

(THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

2

x

− x − 2

khi x ≠ 2

f ( x) = x − 2

liên tục tại x=2.

m

khi x=2

A. m = 3.

B. m = 1.

C. m = 2.

D. m = 0.

2

2x

− 3x

+ 1

khi x ≠ 1

= liên tục tại x = 1 thì giá trị m bằng

m

khi x = 1

A. 0,5 . B. 1,5. C. 1. D. 2 .

Câu 48. Để hàm số f ( x) 2( x −1)

Câu 49. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số ( )

2

x + x −

2

khi x ≠ 1

f x = x −1

. Tìm

3 m khi x = 1

tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián đoạn tại x = 1.

A. m ≠ 2.

B. m ≠ 1.

C. m ≠ 2.

D. m ≠ 3.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

8

Câu 50. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị của m

1− x − 1+

x

khi x < 0

để hàm số f ( x)

=

x

liên tục tại x = 0 .

1−

x

m + khi x ≥ 0

1+

x

A. m = 1. B. m = − 2 . C. m = − 1. D. m = 0 .

Câu 51. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho hàm số f ( x)

Câu 52.

Câu 53.

của a để hàm số liên tục tại x

0

= 0 .

A. a = 1. B.

1

a = . C. a = − 1 . D.

2

ax

e

−1

khi x ≠ 0

=

x

. Tìm giá trị

1

khi x = 0

2

2

ax − a − x −

1

a = − .

2

( 2) 2

khi x ≠ 1

(THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hàm số f ( x) = x + 3 − 2

. Có tất cả

2

8 + a

khi x = 1

bao nhiêu giá trị của a để hàm số liên tục tại x = 1?

A. 1. B. 0 . C. 3. D. 2 .

(THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Giá trị của tham số a để hàm số

x + 2 − 2

khi x ≠ 2

y = f ( x)

= x − 2

liên tục tại x = 2 .

a + 2 x khi x = 2

A. 1 4 . B. 1. C. 15

− . D. 4 .

4

Câu 54. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Hàm số f ( x)

2

x + khi x ≤

1 1

= liên tục tại điểm

x

+ m khi x > 1

x

0

= 1 khi m nhận giá trị

A. m = − 2 . B. m = 2 . C. m = − 1. D. m = 1.

Câu 55. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số

2x

+ 1 − x + 5

khi x ≠ 4

f ( x)

= x − 4

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số liên

a

+ 2 khi x = 4

tục tại x

0

= 4 .

A.

5

a = . B.

2

11

a = − . C. a = 3. D. a = 2 .

6

Câu 56. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Tìm tham số thực m để hàm số y = f ( x)

2

x + x −

12

khi x ≠ − 4

= x + 4

liên tục tại điểm x

0

= − 4 .

mx

+ 1 khi x = −4

A. m = 4 . B. m = 3 . C. m = 2 . D. m = 5 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

9

Câu 57. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Tìm giá trị của tham số m để hàm số

3x

+ 1 − 2

khi x ≠ 1

f ( x)

= x −1

liên tục tại điểm x

0

= 1.

m khi x = 1

3

1

A. m = 3 . B. m = 1 . C. m = . D. m = .

4

2

Câu 58. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số

x + 3 − 2

khi ( x > 1)

f ( x)

= x −1

. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số f ( x )

2 1

m + m + khi ( x ≤ 1)

4

liên tục tại x = 1.

0;1

0; 1

1

m ∈ 0 .

A. m ∈ { }. B. m ∈{ − }. C. m ∈ { }. D. { }

Câu 59. (THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tìm a để hàm số liên tục trên R :

2x + a khi x ≤ 1

f 3 2

( x) = x − x + 2x

− 2

khi x > 1.

x −1

A. a = − 2 . B. a = 1. C. a = 2 . D. a = − 1.

Câu 60.

Câu 61.

(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số

2

x − x − 2

khi x ≠ 2

f ( x)

= x − 2

liên tục tại x = 2 .

2

m

khi x = 2

A. m = 3 . B. m = 1. C. m = ± 3 . D. m = ± 1.

2

x + x +

4 3

khi x > −1

(THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Tìm m để hàm số f ( x) = x + 1

mx

+ 2 khi x ≤ −1

liên tục tại điểm x = − 1 .

A. m = 2 . B. m = 0 . C. m = − 4 . D. m = 4 .

3

x −8

khi x ≠ 2

f x = x − 2

. Tìm

2m + 1 khi x = 2

m để hàm số liên tục tại điểm x

0

= 2 .

Câu 62. (THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số ( )

A.

3

m = . B.

2

13

m = . C.

2

11

m = . D.

2

1

m = − .

2

Câu 63. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Cho hàm số

2

− x + 2x

+ 8

khi x ≠ − 2

f ( x) = x + 2

( m∈R ) . Biết hàm số f ( x ) liên tục tại x

0

= − 2 . Số giá trị

2 2

m x + 5mx khi x = −2

nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là

A. 3. B. 2 . C. 1. D. 0 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

10

DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG

Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số

Câu 64. Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên R ?

3

2x

−1

A. y = x − x . B. y = cot x . C. y =

x − 1

. D. 2

y = x − 1 .

Câu 65. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Cho bốn hàm số ( )

3

f1 x = 2x − 3x + 1,

3 1

2 ( ) = x +

f x , f ( )

x −

3

x = cos x + 3 và f4 ( x)

= log3

x . Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập R ?

2

A. 1. B. 3. C. 4 . D. 2 .

Câu 66. Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên R ?

2

x + 3

A. f ( x) = tan x + 5 . B. f ( x)

=

f x x

5 − x

Câu 67.

2

− x + x + x ≥

x + 5

=

x + 4

.

. C. ( ) = − 6 . D. ( )

2

3 khi 2

Cho hàm số y =

. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

5x

+ 2 khi x < 2

A. Hàm số liên tục tại x

0

= 1.

B. Hàm số liên tục trên R .

C. Hàm số liên tục trên các khoảng ( ;2), ( 2; )

D. Hàm số gián đoạn tại x

0

= 2 .

Câu 68. Hàm số nào sau đây liên tục trên R ?

−∞ +∞ .

4 2

A. f ( x) = x . B. f ( x) = x − 4x . C. f ( x)

x − 4x

x + 1

Câu 69. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số ( )

định nào đúng

A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn [ ]

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0 .

C. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc R .

D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1.

4 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

=

0;1 .

Câu 70. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hàm số f ( x)

đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số liên tục trên R .

B. Hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞; − 1)

và ( 1; )

C. Hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞ ;1)

và ( 1;+∞ ) .

D. Hàm số gián đoạn tại x = ± 1.

− +∞ .

f

x

. D. f ( x)

x − 4x

=

x + 1

4 2

2

x

khi x < 1, x ≠ 0

x

f x = 0 khi x = 0 . Khẳng

x khi x ≥ 1

sinπ

x khi x ≤1

= . Mệnh

x + 1 khi x > 1

.

11

Câu 71. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên

R ?

x

x

A. y = x . B. y = . C. y = sin x . D. y =

x + 1

x + 1

.

Câu 72. (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số f ( x)

số f có tất cả bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng ( )

sin x neu cos x ≥ 0

= . Hỏi hàm

1 + cos x neu cos x < 0

0;2018 ?

A. 2018 . B. 1009 . C. 642 . D. 321.

Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số

Câu 73.

Câu 74.

3

2 x − x −1 , x ≠ 1

Tìm m để hàm số y = x −1

liên tục trên R .

mx

+ 1 , x = 1

4

1

4

A. m = − . B. m = − . C. m = . D.

3

3

3

2

m = .

3

(KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho hàm số

3

4x

− 2

, x ≠ 2

f ( x) = x − 2

. Xác định a để hàm số liên tục trên R .

ax + 3 , x = 2

1

4

4

A. a = − 1. B. a = . C. a = . D. a = − .

6

3

3

2

x −1 khi x ≠ 1

f x = x −1

. Tìm m để hàm số f ( x ) liên tục trên R .

m

− 2 khi x = 1

A. m = 1. B. m = 2 . C. m = 4 . D. m = − 4 .

Câu 75. Cho hàm số ( )

Câu 76. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tìm m để hàm số

2

x + 2 x − 2 khi x ≥ 2

y = f ( x)

=

liên tục trên R ?

2

5x − 5m + m khi x < 2

A. m = 2; m = 3. B. m = − 2; m = − 3. C. m = 1; m = 6. D. m = − 1; m = − 6 .

f x

3x + a −1 khi x ≤ 0

= 1+ 2x

−1

. Tìm tất cả giá trị thực của a để hàm số đã cho liên

khi x > 0

x

tục trên R .

A. a = 1. B. a = 3. C. a = 4 . D. a = 2 .

Câu 77. Cho hàm số ( )

Câu 78. Cho biết hàm số ( )

3 2

x − 3x + 2x

khi x( x − 2)

≠ 0

x( x − 2)

2 2

f x = a khi x = 0 liên tục trên R . Tính T = a + b .

b khi x = 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

12

Câu 79.

A. T = 2 . B. T = 122 . C. T = 101 . D. T = 145 .

(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục trên

R

x −1

khi x > 1

f ( x)

= ln x

x−1 2

m. e + 1− 2mx khi x ≤1

1

A. m = 1. B. m = − 1. C. m = . D. m = 0 .

2

Câu 80. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 4 - 2018) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm

2 2

m x khi x ≤ 2

số f ( x)

=

liên tục trên R ?

( 1− m)

x khi x > 2

A. 0 . B. 2 . C. 3. D. 4 .

Câu 81. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Cho hàm số f ( x)

tất cả các giá trị của m để ( )

f x liên tục trên R .

A. m = 1. B. m = 0 . C. m = − 1. D. m = − 2 .

Câu 82. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm P để hàm số

Câu 83.

Câu 84.

Câu 85.

.

A.

5

P = . B.

6

1

P = . C.

2

2

x − x +

4 3

khi x > 1

y = x −1

6Px

− 3 khi x ≤1

1

P = . D.

6

x − m khi x ≥ 0

=

. Tìm

mx + 1 khi x < 0

1

P = .

3

liên tục trên R

ax + b + 1, khi x > 0

(THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Hàm số f ( x)

=

liên

a cos x + bsin x, khi x ≤ 0

tục trên R khi và chỉ khi

A. a − b = 1. B. a − b = − 1. C. a + b = 1 D. a + b = 1

3x

+ 1 khi x ≥ −1

(THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số y = , m là tham số. Tìm m

x + m khi x < − 1

để hàm số liên tục trên R .

A. m = 5 . B. m = − 1. C. m = 3 . D. m = − 3 .

(THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số

x + 1 −1

khi x > 0

f ( x)

= x

liên tục trên R .

2

x + 1 − m khi x ≤ 0

3

1

1

A. m = . B. m = . C. m = −2

. D. m = − .

2

2

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

13

Câu 86. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số ( )

Câu 87.

2

x + −

16 5

khi x ≠ 3

y = f x = x − 3

. Tập

a

khi x = 3

các giá trị của a để hàm số đã cho liên tục trên R là:

2

A.

5 . B. 1

5 . C. { 0 } . D. 3

5 .

(SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

2

x −16 khi x > 4

f ( x)

= x − 4

liên tục trên R .

mx

+ 1 khi x ≤ 4

7 7

A. m = 8 hoặc m = − . B. m = .

4 4

7

7

C. m = − . D. m = − 8 hoặc m = .

4

4

Câu 88. (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Nếu hàm số ( )

Câu 89.

Câu 90.

Câu 91.

Câu 92.

2

x + ax + b x < −

khi 5

f x = x + 17 khi − 5 ≤ x ≤10

ax + b + 10 khi x > 10

liên tục trên R thì a + b bằng

A. − 1. B. 0 . C. 1. D. 2 .

DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

Cho phương trình

4 2

2x 5x x 1 0 (1)

− + + = . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. Phương trình ( 1 ) có đúng một nghiệm trên khoảng ( 2;1)

B. Phương trình ( 1 ) vô nghiệm.

C. Phương trình ( 1 ) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng ( )

D. Phương trình ( 1 ) vô nghiệm trên khoảng ( − 1;1)

.

− .

0;2 .

(THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong

0;1

khoảng ( )

A.

x

x

2

2 3 4 0

x −1 − x − 2 = 0 .

− + = . B. ( ) 5 7

4 2

2017

C. 3x

− 4x

+ 5 = 0. D. 3x

− 8x

+ 4 = 0 .

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Cho phương trình

4 2

4x 2x x 3 0 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

+ − − = ( )

A. Phương trình ( 1 ) vô nghiệm trên khoảng ( − 1;1)

.

B. Phương trình ( 1 ) có đúng một nghiệm trên khoảng ( 1;1)

C. Phương trình ( 1 ) có đúng hai nghiệm trên khoảng ( − 1;1)

.

D. Phương trình ( 1 ) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng ( 1;1)

− .

− .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

5 3

Phương trình 3x

+ 5x

+ 10 = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây?

2; 1

10; 2

A. ( − − ) . B. ( − − ) . C. ( 0;1 ) . D. ( 1;0 )

− .

14

3

Câu 93. Cho phương trình 2x

8x

1 0 ( 1)

− − = . Khẳng định nào sai?

A. Phương trình không có nghiệm lớn hơn 3 .

B. Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt.

C. Phương trình có 2 nghiệm lớn hơn 2 .

−5; − 1 .

D. Phương trình có nghiệm trong khoảng ( )

Câu 94. Cho hàm số y = f ( x)

liên tục trên đoạn [ a;

b ] và thỏa mãn f ( a)

= b , f ( b)

a ≠ b . Khi đó phương trình nào sau đây có nghiệm trên khoảng ( a;

b ) .

A. f ( x ) = 0 . B. f ( x)

= x . C. f ( x)

= − x . D. ( )

Câu 95.

Câu 96.

= a với a, b > 0 ,

f x = a .

− 8 4 2 0

Cho số thực a , b , c thỏa mãn + a − b + c >

. Số giao điểm của đồ thị hàm số

8 + 4a + 2b + c < 0

3 2

y = x + ax + bx + c và trục Ox là

A. 2 . B. 0 . C. 3. D. 1.

(LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Cho các số thực a , b , c thỏa mãn

a + c > b + 1

3 2

. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x + ax + bx + c và trục Ox .

a + b + c + 1 < 0

A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 1. Theo định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn [ a;

b ] . Chọn: lim f ( x) = f ( a)

và lim f ( x) f ( b)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

+

x→a

Câu 2. Vì f ( a) f ( b ) > 0 nên f ( a ) và f ( b ) cùng dương hoặc cùng âm. Mà f ( )

[ a;

b ] nên đồ thị hàm f ( x ) nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên [ ; ]

f ( x ) = 0 không có nghiệm trong khoảng ( a;

b ) .

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

−

x→b

= .

x liên tục, tăng trên

a b hay phương trình

Chọn B

Vì theo định lý 3 trang 139/sgk.

Chọn B

Đồ thị là một đường liền nét, nhưng bị “gãy” tại điểm x = 0 nên nó liên tục tại điểm x = 0 nhưng

không có đạo hàm tại điểm x = 0 .

Chọn D

Vì lim y ≠ lim y nên hàm số không liên tục tại x = 1.

+ −

x→1 x→1

Chọn D

Khẳng định thứ nhất sai vì thiếu tính liên tục trên đoạn [ ; ]

DẠNG 2. LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Dạng 2.1 Xét tính liên tục tại điểm của hàm số

Câu 7. Chọn A

y 1 = 1.

Ta có: ( )

Ta có:

lim y = 1;

+

x→1

3

a b .

2

( 1− x)( 1+ x + x )

x→1 x→1 x→1 x→1

2

( )

1−

x

lim y = lim = lim = lim 1+ x + x = 4

− − 1−

x

− 1−

x

−

15

Nhận thấy: lim y y ( 1)

+

x→1

= . Suy ra y liên tục phải tại x = 1 .

Câu 8. Chọn D

2

x − 7x

+ 12

lim = lim( x − 4) = − 1 = y ( 3)

nên hàm số liên tục tại x

0

= 3.

x→3 x − 3 x→3

2 2 2

( x − 7x + 12) − ( 3 − 7.3 + 12) ( x − 7x

+ 12)

lim = lim = lim ( x − 4) = −1 y '( 3)

= −1.

x→ 3 x − 3 x→ 3 x − 3

x→

3

Câu 9. Chọn A

Tập xác định: D = R

Câu 10.

lim f

( x)

= lim

x→2

x→2

( )

f 2 = 4

x→2

( ) ( )

lim f x = f 2

Câu 11. A) f ( x)

x − 2

x + 2 − 2

= lim

x→2

( x − 2)( x + 2 + 2)

( )

− lim x 2 2

x→2

x

2

= + + = 4

Vậy hàm số liên tục tại x = 2 .

Chọn D

1

2x

−1 1

Tại x = , ta có: lim f ( x) = lim = 0 = f

3

2

1 1

. Vậy hàm số liên tục tại 2

x→

x→

x −1 2 x = .

lim

+

x→1

x

=

2

+ x + 1

x−1

2 2

( ) = +∞ suy ra ( )

f x

f x không liên tục tại x = 1.

2

x − x−2

B) f ( x)

=

2

x −1

x − 2

lim f ( x)

= lim

+ +

= −∞ suy ra f ( x ) không liên tục tại x = 1.

x→1 x→1

x−1

2

x + x + 1

C) f ( x)

=

x

2

x + x + 1

lim f ( x) = lim = 3 = f ( 1)

suy ra f

x→1 x→1

( x ) liên tục tại x = 1.

x

x + 1

D) f ( x)

=

x −1

x + 1

lim f ( x)

= lim

+ +

= +∞ suy ra f ( x ) không liên tục tại x = 1.

x→1 x→1

x−1

Dạng 2.1 Điểm gián đoạn của hàm số

2x

−1

Câu 12. Ta có y = không xác định tại x

0

= − 1 nên gián đoạn tại x

0

= − 1.

x + 1

Câu 13. Chọn A

3x

− 4

Ta có: y = có tập xác định: D = R \ { 2}

, do đó gián đoạn tại x = 2 .

x − 2

Câu 14. Chọn D

Vì hàm số y = x có TXĐ: D = R \ { −1}

nên hàm số gián đoạn tại điểm x

x + 0

= −1.

1

Câu 15. Chọn A

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

16

Câu 16.

Câu 17. * ( )

x − 3

Hàm số y = có tập xác định R

2

{ }

x −1

\ ± 1 . Do đó hàm số không liên tục tại các điểm x = ± 1 .

Hàm số xác định trên R

2 x

2sin

1−

cos x

1

Ta có f ( 0)

= 1 và lim f ( x)

= lim = lim 2 =

x→0 x→0 2

x 0

2

x

→

x 2

4.

2

f 0 lim f x f x gián đoạn tại 0 f x không có đạo hàm tại x = 0 .

Vì ( ) ≠ ( ) nên ( )

x→0

x = . Do đó ( )

1−

cos x

∀x

≠ 0 f ( x) = ≥ 0nên 2

f ( 2 ) > 0. VậyA, B,C sai.

x

f x liên tục tại x ≠ 0 và x ≠ 1.

* Tại x = 0

lim f ( x ) = lim ( − x cos x ) = 0 , ( )

2

x

lim f x = lim = 0 , f ( 0)

= 0 .

−

−

+ +

x→0 x→0

x→0 x→0

1+

x

lim f x = lim f x = f 0 . Hàm số liên tục tại x = 0 .

Suy ra ( ) ( ) ( )

* Tại x = 1

− +

x→0 x→0

2

lim f ( x)

= lim

−

−

x→1 x→1

1 + x

= 2

Suy ra lim f ( x) lim f ( x)

x

− +

x→1 x→1

1

, ( )

3

lim f x = lim x = 1.

+ +

x→1 x→1

≠ . Hàm số gián đoạn tại x = 1.

Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số

Câu 18. Chọn A

Hàm số liên tục tại x = − 2 khi và chỉ khi

Câu 19.

Câu 20.

Câu 21.

Câu 22.

Chọn C

Ta có f (1) = 2m

+ 1

x −1

x −1

Để hàm số liên tục tại điểm x

0

= 1thì

3

2

lim y = lim = lim( x + x + 1) = 3

x→1 x→1 x→1

Chọn B

Hàm số liên tục tại 1

2

x − 4

lim = lim m = m ⇔ m = −4

x + 2

x→−2 x→−2

f (1) = lim y 2m + 1 = 3 ⇔ m = 1.

x→1

x = − khi và chỉ khi lim y = lim y == y ( − 1)

2

( x a) ( x x ) y ( )

+ −

x→−1 x→−1

+ −

x→−1 x→−1

⇔ lim 4 + = lim + 3 + 2 = − 1 ⇔ a − 4 = 0 ⇔ a = 4 .

Chọn A

f 1 = m + 3.

Ta có: ( )

2

( x − 1)( x + 2)

3 2

x − x + 2x

− 2

2

lim f ( x)

= lim = lim = lim( x + 2)

= 3.

x → 1 x → 1 x −1 x → 1 x −1

x → 1

Để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 thì lim f ( x ) = f ( 1)

⇔ 3 = m + 3 ⇔ m = 0 .

Chọn A

x →1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Ta có:

lim

2016

x + x − 2

= lim

2018x

+ 1 − x + 2018

x→1 x→1

2016

( x − 1+ x − 1)( 2018x + 1 + x + 2018)

2017x

− 2017

17

Câu 23.

= lim

x→1

2015 2014

( x − 1 )( x + x + ... + x + 1+ 1)( 2018x + 1 + x + 2018)

Để hàm số liên tục tại 1

Chọn C

Ta có lim f ( x)

= lim

x→1

x→1

Để hàm số liên tục tại

0

1

Câu 24. Chọn A

lim f x f 1 b 3

−

x →−1

Câu 25.

Câu 26.

Câu 27.

Câu 28.

Câu 29.

2017( x −1)

x = ⇔ lim f ( x) f ( 1)

x→1

x −1

= lim

x 1 x→1

( ) = ( − ) = − ; f ( x )

Chọn D

f 3 = m

( )

− ( x 1)( x 1)

= ⇔ k = 2 2019 .

x −1

= lim

x→1

− +

x = khi lim f ( x) = f ( 1)

+

x →−1

3 − x

lim f ( x)

= lim = lim

x→3 x→3

x→3

x + 1 − 2

Để hàm số liên tục tại 3

x→1

1

⇔ a = .

2

1 1

= .

x + 1 2

= 2 2019

lim = a − 1 . Để liên tục tại x=-1 ta có b − 3 = a − 1 ⇔ a = b − 2

( 3 − x)( x + 1 + 2)

( x )

x − 3

x→3

x = thì lim f ( x) = f ( 3)

x→3

Suy ra, m = − 4.

Chọn B

lim f x = lim ax 2 + bx − 5 = a + b − 5 = f 1 .

Ta có: ( ) ( ) ( )

−

−

x→1 x→1

( ) ( )

lim f x = lim 2ax − 3b = 2a − 3b

.

+ +

x→1 x→1

= lim − + 1 − 2 = −4

Do hàm số liên tục tại x = 1 nên a + b − 5 = 2a − 3b a − 4b

= − 5 .

Chọn D

TXĐ: D = R

2

x − x

Ta có lim f ( x) = lim = lim x = 1

x→1 x→1 x −1

x→1

Và f (1) = m − 1.

Hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ m − 1 = 1 ⇔ m = 2

Chọn D

2

x − 3x

+ 2 ( x −1)( x − 2)

lim = lim

= lim ( x − 2 ) = − 1.

x→1

x −1

x→1

x −1

x→1 f x liên tục tại điểm 1 lim f x = f 1

Để hàm số ( )

2

⇔ m + m − 1 = − 1

2 m

= 0 (TM)

⇔ m + m = 0 ⇔ .

m

= −1 (L)

Chọn B

Ta có f ( )

2 = 4 + a .

Ta tính được f ( x)

x = cần: ( ) ( )

x→1

x + 2 − 4 1 1

lim = lim = lim = .

x → 2 x → 2 x → 2

x + 2 + 2 4

( x − 2)( x + 2 + 2)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Hàm số đã cho liên tục tại 2

x = khi và chỉ khi ( ) ( )

1 15

f 2 = lim f x ⇔ 4 + a = ⇔ a = − .

x→2

4 4

18

Câu 30.

Câu 31.

Câu 32.

Vậy hàm số liên tục tại x = 2 khi

Chọn D

Ta có

15

a = − .

4

( x − 2)( x − 1)( x + 2 + 2)

2

x − 3x

+ 2

lim f ( x) = lim = lim = lim x − 1 x + 2 + 2 = 4

+ + + +

x + 2 − 2

x − 2

x→2 x→2 x→2 x→2

( )

2 2

lim f ( x ) = lim m x − 4 m + 6 = 2 m − 4 m + 6

−

−

x→2 x→2

f m m

2

(2) = 2 − 4 + 6

( )( )

Để hàm số liên tục tại x = 2 thì

2 2

lim f ( x) = lim f ( x) = f (2) ⇔ 2m − 4m + 6 = 4 ⇔ 2m − 4m + 2 = 0 ⇔ m = 1

+ −

x→2 x→2

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn hàm số đã cho liên tục tại x = 2 .

Chọn A

Tập xác định D = R , x

0

= 1∈R .

Ta có f ( )

lim f

( x)

1 = 4 − m .

= lim

x→1 x→1

2

3x

+ 2x

−1 − 2

( x + 1)( x −1)

3x

+ 5

= lim = 1

( x + 1)( 3x + 2x

− 1 + 2)

x→1 2

Hàm số ( )

f x liên tục tại

0

1

Chọn D

- Ta có:

f − 1 = − m+ 2 .

+ ( )

+

( 1)

( )

lim f x = − m+ 2.

x→ −

+ lim f ( x)

( )

−

+

=

lim

( )

x→ −1 x→ −1

−

x

2

= lim

( x − 1)( 3x

+ 5)

( x + 1)( x − 1)( 3x + 2x

− 1 + 2)

x→1 2

x = khi và chỉ khi ( ) ( )

lim x = f 1 ⇔ 4 − m = 1 ⇔ m = 3 .

x→1

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

+ 3x

+ 2 x + 1 x + 2 x + 2 −1

2

= lim

= lim = .

−

−

x − 1 x→( −1)

x − 1 x + 1 x→ −1

x −1 2

- Hàm số liên tục tại 1 ⇔ f − 1 = lim f x = lim f x

−1 5

+ −

⇔ − m + 2 = ⇔ m = .

x→( −1)

x→( −1)

2 2

Câu 33. .

Chọn D

Tập xác định: D = R .

x = − ( )

2

x + 4 − 2

lim f ( x) = lim = lim

x x x

x→0 x→0 2

x→0 2 2

2

x + 4 − 4 1 1

= lim

= lim = .

x→0 2 2 x→0

2

x ( x + 4 + 2) x + 4 + 2 4

5

f (0) = 2a

− .

4

2 2

( x + 4 − 2)( x + 4 + 2)

( + 4 + 2)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

19

Câu 34.

Câu 35.

Câu 36.

Câu 37.

Câu 38.

Câu 39.

Hàm số f ( x ) liên tục tại

3

Vậy a = .

4

Chọn C

TXĐ D = R

f 1 = 2 + m .

Ta có ( )

lim f ( x)

= − + = 2 .

lim ( x

2 2x

3)

x→ 1

x→1

5 1 3

x = 0 ⇔ lim f ( x) = f (0) ⇔ 2a

− = ⇔ a = .

x→0

4 4 4

Hàm số liên tục tại

0

1 ⇔ lim f x = f 1 ⇔ 2 = m + 2 ⇔ m = 0 .

x = ( ) ( )

x→1

Chọn A

Hàm số liên tục tại x = 2 ⇔ lim f ( x) = f (2) .

x→2

2

x − 3x

+ 2

Ta có f (2) = a,lim f ( x) = lim = lim( x − 1) = 1. Do đó a = 1

x→2 x→2 x − 2 x→2

Chọn A

Tập xác định D = R .

3 − x

Ta có f ( 3)

= 3m

+ 2 và lim f

x

( x)

= lim = lim − ( x + 1 + 2)

= − 4 .

→3

x→3

x + 1 − 2

x→3

Hàm số đã cho liên tục tại điểm 3 ⇔ lim f x = f 3 ⇔ 3m

+ 2 = −4

⇔ m = − 2 .

Ta có lim ( ) = ( 4)

x = ( ) ( )

x→3

Chọn A

2

x −16

f x f = 4m + 1; lim f ( x)

= lim

( )

−

+ +

x→4

x→4 x→4

x − 4

= lim x + 4 = 8.

+

x→4

7

Hàm số liên tục tại điểm x = 4 ⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = f ( 4)

⇔ 4m

+ 1 = 8 ⇔ m = .

− +

x→4 x→4

4

Chọn A

2

x − 2x

x( x − 2)

Ta có lim f ( x)

= lim = lim = lim x = 2 .

x→2 + x→2 + x − 2 x→2 + x − 2 x→2

+

lim f x = lim mx − 4 = 2 m − 4

( ) ( )

−

−

x→2 x→2

Hàm số liên tục tại 2

Chọn D

f 1 n .

Ta có: ( ) =

2

x + 3 − m

lim f x = lim .

( )

x→1 x→1

Hàm số liên tục tại = 1

( x − 1)( x + 3 + m)

lim f x = lim f x ⇔ 2 m − 4 = 2 ⇔ m = 3 .

x = khi ( ) ( )

−

−

x→2 x→2

2

x + 3 − m

⇔ lim f x = f 1 ⇔ n = lim (1).

x ( ) ( )

x→1 x→1

( x − 1)( x + 3 + m)

⎡ m = 2

2

lim f ( x)

tồn tại khi 1 là nghiệm của phương trình: 1 + 3 − m = 0 ⇒ .

x→1

⎢ m = −2

⎢⎣

x − 1 1 1

+ Khi m = 2 thì ( 1)

⇒ n = lim ⇒ n = lim ⇒ n = .

x→1 x→1

x − 1 x + 3 + 2

x + 3 + 2 4

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( )( )

20

Câu 40.

Câu 41.

Câu 42.

Câu 43.

Câu 44.

Câu 45.

+ Khi = −2

1 ⇒ n = lim

m thì ( )

x→

1 9

Vậy m + n = 2 + = .

4 4

Chọn B

f 3 = m .

Ta có: ( )

1

1

x + 3 − 2

suy ra không tồn tại n .

3 2

x − 6x + 11x

− 6

2

lim f ( x)

= lim

= lim ( x − 3x

+ 2)

= 2 .

x→3 x→3

x − 3

x→3

Chọn B

cos3x

− cos 7x

2sin 5xsin 2x

Ta có: lim

= lim

= 2.5.2 = 20 .

x→0

2

2

x

x →0

x

Chọn A

Tập xác định D = R .

2

* f ( − 1) = −m − 2m

*

lim f 2 2

( ) lim ( 2 ) 2 −

x→−1 −

x→−1

2

x − x − 2 ( x + 1)( x − 2)

* lim f ( x) = lim = lim = lim ( x − 2) = −3.

+ +

x→−1 x→−1

x + 1 x→−1 + x + 1 x→−1

+

Hàm số liên tục tại x = − 1 khi và chỉ khi lim f ( x) = lim f ( x) = f ( − 1)

( x − 2)( x −1)

( − )

− +

x→−1 x→−1

m

= 1

2 2

⇔ −m − 2m = −3 ⇔ 2m + m − 3 = 0 ⇔

3 . m = −

2

3

Vậy các giá trị của m là m∈

1; −

.

2

Chọn B

2

x − 3x + 2 x −1 1

Ta có: lim = lim = lim = .

x →2 2

x − 2x x →2 x x 2 x →2

x 2

f

( )

2 = 3m

+ 1 .

1

Để hàm số liên tục tại điểm x = 2 ⇔ 3m

+ 1 = 2

Chọn D

+ Ta có f ( )

+ f ( x)

5

0 = 2a

− .

4

( x 4 2)

1

⇔ m = − .

6

2 2

x + 4 − 2 x

1 1

lim = lim = lim = lim .

x 0 x 0

2 =

→ → x

x → 0 2 2

x 0 2

x + + →

x + 4 + 2 4

Hàm số ( )

Chọn A

f x liên tục tại 0

5 1 3

lim f x = f 0 ⇔ 2a − = ⇔ a = .

x→0

4 4 4

x = khi ( ) ( )

2

2 2 2

2

2

ax 1 bx 2 ( ) ( )

Ta có

( ) ( )( )

( )

+ − −

ax + 1 − bx + 2 a − b x − 4bx

− 3

= =

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( ) ( )( )

3 2 2 2

4x − 3x + 1 2x − 1 x + 1 ax + 1 + bx + 2 2x − 1 x + 1 ax 2 + 1 + bx + 2

.

21

Câu 46.

Câu 47.

Câu 48.

( ) ( ) 2

2 2

a − b x − 4bx − 3 = m 2x

−1

m

= −3

1

Để hàm số liên tục tại x =

b 3

2 a b

⇔ = − .

+ 1 + + 2 ≠ 0

4 2

a

= −3

Khi đó

lim

2 2

ax bx x x

+ 1 − − 2 − 12 + 12 − 3

= lim

4x − 3x + 1 2x − 1 x + 1 − 3x + 1 − 3x

+ 2

( ) ( )( )

1 3 1 2

x→

x→

2

2 2

−3 −3

c

= lim = = − 2 = c = −4

.

1

x→

2

2 ( x + 1

3 2

)( − 3x + 1 − 3x

+ 2)

2

S = abc = −3 −3 − 4 = − 36 .

Vậy ( )( )

Chọn C

Tập xác định D = R .

f 1 = a .

( )

( )

Lời giải

2

x −1

lim f ( x) = lim = lim ( x + 1)

= 2 .

x→1 x→1 x −1

x→1

f x liên tục tại

0

1

lim f x = f 1 ⇔ a = 2 .

Chọn A

x = khi và chỉ khi ( ) ( )

x→1

2

x − x − 2 ( x − 2)( x + 1)

Ta có: lim = lim = lim( x + 1) = 3.

x→ 2 x − 2 x→ 2 x − 2 x→

2

Hàm số liên tục tại x=2 ⇔ lim f ( x) = f (2) ⇔ m = 3.

x→2

Chọn A

f 1 = m .

( )

( x)

( x − )

( x −1)( 2x

−1)

( x − )

2

2x − 3x + 1 2x

−1 1

lim f = lim = lim = lim = .

x → 1 x → 1 2 1 x → 1 2 1 x → 1 2 2

Để hàm số ( )

f x liên tục tại 1

Câu 49. Tập xác định của hàm số là R .

Câu 50.

Hàm số gián đoạn tại 1

( x − 1)( x + 2)

x = thì lim ( ) ( 1)

x→1

x = khi ( ) ( )

1

f x = f ⇔ m = .

2

2

x + x − 2

lim f x ≠ f 1 ⇔ lim ≠ 3m

x→1 x→1

x −1

( )

⇔ lim ≠ 3m ⇔ lim

x→1 x −1

x→1

x + 2 ≠ 3m ⇔ 3 ≠ 3m ⇔ m ≠1.

Ta có

1−

x

lim f ( x)

= lim m m 1

+ + + = + .

x→0 x→0

1+

x

1− x − 1+

x

−2x

−2

lim f ( x)

= lim

=

−

−

x→0 x→0

x

lim = lim

−

−

x→0 x→0

x 1− x + 1+ x 1− x + 1+

x

= −1.

( )

( ) ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

f

0 = m + 1

Để hàm liên tục tại 0

Câu 51. Tập xác định: D = R .

x = thì lim f ( x) lim f ( x) f ( 0)

+ −

x→0 x→0

= = ⇔ m + 1 = −1 m = − 2 .

22

ax

ax

e −1 e −1

lim f ( x)

= lim = lim . a = a .

x→0 x→0 x x→0

ax

1

f ( 0)

= ; hàm số liên tục tại

0

0

2

D = − 3; + ∞ .

Câu 52. Tập xác định: [ )

2

( )

lim f ( x)

= lim

x→1

x→1

x→1

ax − a − 2 x − 2

.

x + 3 − 2

( x − 1)( ax + 2)( x + 3 + 2)

= lim

x→1

x −1

.

= lim + 2 + 3 + 2 = 4( a + 2)

.

f

( ax )( x )

2

( 1) 8 a

= + .

Hàm số đã cho liên tục tại 1

x = khi và chỉ khi: lim ( ) ( 0)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

x→0

1

f x = f ⇔ a = .

2

2

x = khi lim f ( x) = f ( 1)

⇔ 4( a + 2) = 8 + a

x→1

Vậy có 2 giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại x = 1.

Câu 53. Ta có: f ( x)

( x − 2)( x + 2 + 2)

a

= 0

⇔ .

a

= 4

x + 2 − 2 x − 2 1 1

lim = lim = lim = lim = .

x → 2 x → 2 x − 2 x → 2 x → 2

x + 2 + 2 4

1 15

Hàm số liên tục tại x = 2 ⇔ lim f ( x) = f ( 2)

⇔ a + 4 = ⇔ a = − .

x→2

4 4

2

lim f x lim x 1 2 lim f x = lim x + m = 1 + m . Để hàm số liên tục tại x = 1 0

Câu 54. Ta có ( ) ( )

Câu 55.

+ +

x→1 x→1

thì ( ) ( )

+ −

x→1 x→1

= + = ; ( ) ( )

−

−

x→1 x→1

lim f x = lim f x ⇔ 2 = m + 1 ⇔ m = 1.

Lời giải

2x + 1 − x + 5 x − 4 1 1

lim f ( x)

= lim = lim = lim

=

x→4 x→4 x − 4 x→4 x→4

x − 4 2x + 1 + x + 5 2x + 1 + x + 5 6

f

( )

4 = a + 2 .

Hàm số liên tục tại

0

4

x = khi: lim f ( x) f ( 4)

x→4

Câu 56. Tập xác định: D = R .

Ta có:

2

x + x −12

+ lim f ( x)

= lim = lim

x→−4 x→−4

x + 4 x→−4

f − 4 = − 4m

+ 1.

Câu 57.

+ ( )

Hàm số ( )

⇔ m = 2 .

Ta có

lim

x→1

Với f ( 1)

f x liên tục tại điểm

0

4

( )( )

= ⇔ 1 = a + 2 ⇔

6

( x − 3)( x + 4)

x + 4

= lim − 3 = − 7 .

x→−

( x )

4

11

a = − .

6

x = − khi và chỉ khi lim f ( x) f ( 4)

x→−4

2

3x

+ 1 − 2 3x

+ 1−

2

3 3

= lim

= lim

= .

x − 1 x→1

x→1

( x − 1)( 3x

+ 1 + 2)

3x

+ 1 + 2 4

= m ta suy ra hàm số liện tục tại x = 1 khi

3

m = .

4

= − ⇔ − 4m

+ 1 = − 7

23

x + 3 − 2 1 1

2 1

Câu 58. Ta có lim f ( x)

= lim = lim = ; f ( 1) lim ( )

+ + +

x→1 x→1 x − 1 x→1

x + 3 + 2 4

= f x = m + m +

−

x→1

4

.

2 1 1 m

= −1

Để hàm số f ( x ) liên tục tại x = 1 thì m + m + = ⇔

4 4 .

m

= 0

Câu 59. Khi x < 1 thì f ( x) 2x a

−∞ ;1 .

Khi 1

x > thì f ( x)

liên tục trên khoảng ( )

= + là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng ( )

3 2

x − x + 2x

− 2

=

x −1

1;+ ∞ .

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 1, ta có:

f 1 = 2 + a .

+ ( )

+ ( ) ( )

lim f x = lim 2 x + a = 2 + a .

−

−

x→1 x→1

+ ( )

1;+ ∞ nên

là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng ( )

2

( x − 1)( x + 2)

3 2

x − x + 2x

− 2

2

lim f x = lim = lim = lim ( x + 2)

= 3 .

x −1 x −1

f x liên tục tại x = 1

x→1 + x→1 + x→1 + x→1

+

Hàm số f ( x ) liên tục trên R ⇔ hàm số ( )

⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = f ( 1)

⇔ 2 1 3

− +

x→1 x→1

a + = ⇔ a = 1.

Câu 60. Hàm số f ( x ) liên tục tại ⇔ lim f ( x) = f ( 2)

Câu 61.

Ta có:

x

lim

f

x

+

→( − 1)

x→( −1)

x→2

2

x + 4x

+ 3

lim f ( x)

= lim

=

+

x 1

x = lim mx + 2 = − m + 2 .

( )

−

→( − 1)

x→( −1)

f

( )

Câu 62. ( )

− 1 = − m + 2 .

−

( )

lim

+ x→( −1)

Để hàm số đã cho liên tục tại điểm x = − 1 thì

⇔ m = 0 .

f 2 = 2m

+ 1.

2

( x − 2)( x + 2x

+ 4)

+

2

x − x − 2 2

2

⇔ lim = m ⇔ 3 = m ⇔ m = ± 3 .

x→2

x − 2

( x + 1)( x + 3)

x + 1

= lim ( x + 3)

= 2 .

+

x→( −1)

( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( )

( )

+ −

x→ −1 x→ −1

Câu 63. TXĐ: D = R ; có: ( )

( ) ( )

lim f x = lim f x = f −1

⇔ 2 = − m + 2

3

x − 8

2

lim f ( x)

= lim = lim = lim ( x + 2x

+ 4)

= 12 .

x → 2 x → 2 x − 2 x → 2 x − 2

x → 2

11

Hàm số liên tục tại x

0

= 2 ⇔ f ( 2) = lim f ( x)

⇔ 2m + 1 = 12 ⇔ m = .

x→2

2

2

− x + 2x

+ 8

2

lim f ( x) = lim = 6, f 2 = 4m −10m

.

x→−2 x→−2

x + 2

m

= 3

2 2

Hàm số liên tục tại x

0

= − 2 khi và chỉ khi 4m − 10m = 6 ⇔ 4m −10m

− 6 = 0 ⇔

1

m = −

2

Mà m là số nguyên nên m = 3 .

DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG

Dạng 3.1 Xét tính liên tục trên khoảng của hàm số

Câu 64. Chọn A

3

Vì y = x − x là đa thức nên nó liên tục trên R .

24

3x

+ 1

Câu 65. * Ta có hai hàm số f2

( x)

= và f4 ( x)

= log3

x có tập xác định không phải là tập R nên

x − 2

không thỏa yêu cầu.

3

* Cả hai hàm số f1 ( x) = 2x − 3x + 1 và f3 ( x)

= cos x + 3 đều có tập xác định là R đồng thời liên

tục trên R .

Câu 66. Chọn D

x + 5

x + 5

Hàm số f ( x) = là hàm phân thức hữu tỉ và có TXĐ là D = R do đó hàm số f

2

( x) =

2

x + 4

x + 4

liên tục trên R .

Câu 67. Chọn B

2

+ Với x > 2 , ta có f ( x) = − x + x + 3 là hàm đa thức

hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng ( )

+ Với 2

2;+ ∞ .

x < , ta có f ( x) 5x

2

hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng ( ;2)

+ Tại x = 2

2

lim f x = lim − x + x + 3 = 1

( ) ( )

+ +

x→2 x→2

−

x→2

( ) ( )

lim f x = lim 5x

+ 2 = 12

−

x→2

= + là hàm đa thức

−∞ .

lim f ( x) ≠ lim f ( x)

không tồn tại lim f ( x)

+ −

x→2 x→2

x→2

hàm số gián đoạn tại x

0

= 2 .

Hàm số không liên tục trên R .

Câu 68. Chọn B

4 2

Vì hàm số f ( x) = x − 4x có dạng đa thức với TXĐ: D = R nên hàm số này liên tục trên R

Câu 69. Tập xác định D = R .

• Nếu x ≠ 0 , x ≠ 1 thì hàm số = liên tục trên mỗi khoảng ;0 , 0;1 và 1;+∞ .

2 2

x

x

• Nếu x = 0 thì f ( 0)

= 0 và lim f ( x) = lim = lim x = 0; lim f ( x)

= lim = lim x = 0 .

− − − + + +

x→0 x→0 x x→0 x→0 x→0 x x→0

Suy ra: lim f x = 0 = f 0 .

Do đó, hàm số y = f x liên tục tại x = 0 .

2

x

lim f ( x)

= lim = lim x = 1

− − −

1 1 1

• Nếu x =1 thì f

x→ x→ x

và

x →

( 1)

= 1

lim f ( x) = 1 = f ( 1)

.

x→1

lim f ( x)

= lim x = 1

+ +

x→1 x→1

Do đó, hàm số y = f x liên tục tại x = 1 .

Câu 70. Ta có: ( x )

+

x→1

x = 1.

Tương tự:

( )

x→0

Vậy hàm số y = f x liên tục trên R .

lim + 1 = 2 và lim sinπ x 0 lim f x ≠ lim f x do đó hàm số gián đoạn tại

( 1)

( x )

−

x→1

lim + 1 = 0 và

−

x→ −

( ) ( )

( 1)

= ( ) ( )

lim sinπ x = 0

+

x→ −

lim f ( x)

= lim f ( x)

= lim f ( x)

f ( 1)

( )

+ −

x→ −1 x→ −1

( )

x→−1

+ −

x→1 x→1

= − do đó hàm số liên tục tại x = − 1 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Với x ≠ ± 1 thì hàm số liên tục trên tập xác định.

;1

y f ( x )

( −∞ ) ( ) ( )

( )

( )

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng ( −∞ ) và ( )

1;+∞ .

25

Câu 71. Tập xác định của hàm số y

Câu 72.

x

x 1

= là \ { 1}

+

R .

Hàm số liên tục trên từng khoảng ( −∞ ;1)

và ( )

1;+∞ nên hàm số không liên tục trên R .

Vì f là hàm lượng giác nên hàm số f gián đoạn khi và chỉ khi hàm số f gián đoạn tại x làm

π

π

1 2018

cho cos x = 0 ⇔ x = + kπ

( k ∈Z ) ∈( 0;2018)

⇔ 0 < + kπ

< 2018 ⇔ 0 < +

2

2

2 k <

π

1 2018 1

⇔ − < k < − ⇔ 0 ≤ k ≤ 641.

2 π 2

Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số

Câu 73. Chọn A

3

2 x − x −1

+) Xét x ≠ 1, hàm số y =

x −1

+) Xét 1 y 1 = m + 1 và

x = , ta có ( )

liên tục trên khoảng ( −∞ ;1)

và ( )

3

( x − ) − ( x − )

1;+∞ .

3

2 x − x −1 2 1 1

2 2 1

lim y = lim = lim = lim − 1 = − 1 = − .

x→1 x→1 x −1 x→1 x − 1 x→1 3 2 3

x + x + 1 3 3

1 4

Đề hàm số liên tục tại x = 1 thì lim y = y ( 1)

⇔ m + 1 = − ⇔ m = − .

x→1

3 3

4

Vậy với m = − thì hàm số liên tục trên R .

3

Câu 74. Chọn D

Tập xác định của hàm số là D = R .

Nếu 2

x ≠ , ta có f ( x)

( −∞ ;2)

và ( )

Tại x = 2 , ta có:

f

( )

lim f

2 = 2a

+ 3.

( x)

x→2 x→2

2;+ ∞ .

( x )

3

4x

− 2

=

x − 2

. Hàm số f ( x)

3

4x

− 2

= lim

x − 2

2

3 3 3

( 4x − 2

) ( 4x ) + 2 4x

+ 4

= lim

2

x→2 3 3

( x − 2) ( 4x ) + 2 4x

+ 4

4( x − 2)

= lim

x→2

2

3 3

( x − 2) ( 4x ) + 2 4x

+ 4

4

= lim

x→2 2

3 3

4 + 2 4x

+ 4

1

=

3

3

4x

− 2

=

x − 2

xác định và liên tục trên mỗi khoảng

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Hàm số liên tục tại 2

x = khi và chỉ khi ( ) ( )

1 4

= ⇔ + = ⇔ = − .

lim f x f 2 2a 3 a

x→2

3 3

26

Câu 75.

Câu 76.

Câu 77.

Câu 78.

Vậy hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi

Do f ( x) ( x )

4

a = − .

3

Chọn C

2

x −1

lim = lim = lim

x→1 x→1 x −1

x→1

+ 1 = 2 nên hàm số liên tục tại x = 1 khi

lim f x = f 1 ⇔ m − 2 = 2 ⇔ m = 4 . Khi đó hàm số liên tục trên R .

x→1

Chọn A

TXĐ: R .

( ) ( )

2

+ Xét trên ( 2;+ ∞ ) khi đó ( )

f x = x + 2 x − 2 .

2 2

( 2; ): lim ( 2 2 ) 2 2 ( )

∀x ∈ + ∞ x + x − = x + x − = f x hàm số liên tục trên ( 2;+ ∞ ) .

0 0 0 0 0 0

x→x0

+ Xét trên ( −∞ ;2)

khi đó f ( x) 5x 5m 2

m

trên ( −∞ ;2)

.

+ Xét tại x

0

= 2 , ta có: f ( 2)

= 4 .

= − + là hàm đa thức liên tục trên R hàm số liên tục

( ) ( ) ( ) ( )

lim f x lim

2

x 2 x 2 4; lim f x lim 5x 5m 2

m

2

m 5m

10

+

x→2 +

x→2 −

x→2 −

x→2

= + − = = − + = − + .

Để hàm số đã cho liên tục trên R thì nó phải liên tục tại x

0

= 2 .

( ) ( ) ( )

m

= 2

.

3

2 2

⇔ lim f x = lim f x = f 2 ⇔ m − 5m + 10 = 4⇔ m − 5m

+ 6 = 0⇔ + −

x→2 x→2

m =

Chọn D

Hàm số liên tục tại mọi điểm x ≠ 0 với bất kỳ a.

Với 0 f 0 = a−

1;

x = Ta có ( )

( ) ( )

lim f x = lim 3 x + a − 1 = a − 1 ;

−

−

x→0 x→0

1+ 2x

−1 2x

2

lim f ( x)

= lim = lim = lim = 1;

x x

1+ 2x

+ 1

( 1+ 2x

+ 1)

x→0 + x→0 + x→0 + x→0

+

Hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 0 ⇔ a − 1= 1 ⇔ a = 2 .

Chọn A

f x liên tục trên R suy ra hàm số cũng liên tục tại x = 0 và x = 2 . Do đó

Vì hàm số ( )

( − )

( −1)( x − 2)

x( x − )

( −1)( x − 2)

x( x − )

3 2

x − 3x + 2x

x x

lim f ( x)

= lim = lim = f 0

x→0 x→0 x x 2 x→0

2

3 2

x − 3x + 2x

x x

lim f ( x)

= lim = lim = f 2

x→2 x→2 x x 2 x→2

2

( − )

2 2

Vậy T = a + b = 1+ 1 = 2 .

f 1 = 1− m .

Câu 79. Tập xác định D = R , ( )

Ta thấy hàm số f ( x ) liên tục trên các khoảng ( −∞ ;1)

và ( )

x −1

lim f ( x)

lim 1

ln x

+ +

x→1 x→1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( )

( )

x−1 2

= = , ( ) ( )

−

−

x→1 x→1

( x −1)( x − 2)

⇔ lim

= a ⇔ a = − 1.

x→0

x − 2

( −1)

x x

⇔ lim = b ⇔ b = 1.

x→2

x

1;+ ∞ .

lim f x = lim m . e + 1− 2 mx = 1− m .

Hàm số f ( x ) liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số ( )

⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = f ( 1)

.

+ −

x→1 x→1

⇔ 1− m = 1 ⇔ m = 0 .

f x liên tục tại x = 1

27

Câu 80. Ta có hàm số luôn liên tục ∀x

≠ 2 .

Tại 2 lim f x = lim 1− m x = 1− m 2 ;

x = , ta có ( ) ( ) ( )

( ) ( )

+ −

x→2 x→2

2 = 4m

.

2 2 2

2

lim f x = lim m x = 4m

; ( )

−

−

x→2 x→2

f

Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi

2 2

lim f x = lim f x = f 2 ⇔ 4m = 1− m 2 ⇔ 4m + 2m

− 2 = 0 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ +

x→2 x→2

Phương trình (1) luôn có hai nghiệm thực phân biệt. Vậy có hai giá trị của m .

R ⇔ f x liên tục tại x = 0 .

Câu 81. Hàm số f ( x ) liên tục trên ( )

lim

( ) lim ( )

f x x m m

+ +

x→0 x→0

( )

= − = − ; lim f ( x ) = lim ( mx + 1)

= 1 ; f ( 0 )

f x liên tục tại 0

−

−

x→0 x→0

x = ⇔ ( ) ( ) ( )

+ −

x→0 x→0

Câu 82. Hàm số y = f ( x)

liên tục trên R y f ( x)

lim f ( x) = lim f ( x) = f ( 1)

+ −

x→1 x→1

2

x − 4x

+ 3

lim f ( x) = lim = lim ( x − 3)

= −2

x −1

lim f x = lim 6 Px − 3 = 6 P − 3

+ + +

x→1 x→1 x→1

( ) ( )

−

−

x→1 x→1

f

( )

1 = 6P

− 3

Do đó lim f ( x) = lim f ( x) = f ( 1)

Câu 83. Khi 0

Khi 0

+ −

x→1 x→1

= − m .

lim f x = lim f x = f 0 ⇔ − m = 1 ⇔ m = − 1.

= liên tục tại x = 1

1

⇔ 6P

− 3 = −2

⇔ P = .

6

f x = a x + b x liên tục với x < 0 .

x < thì ( ) cos sin

x > thì f ( x) ax b 1

x = ta có f ( 0)

= a .

f ( x)

lim ( ax b 1)

b

Tại 0

lim

+

x→0

lim f

−

x→0

( x)

+

x→0

= + + liên tục với mọi x > 0 .

= + + = + 1 .

x→0

( a x b x)

= lim cos + sin = a .

Để hàm số liên tục tại 0

−

x = thì lim f ( x)

= lim f ( x)

f ( 0 )

+

x→0

−

x→0

Câu 84. Ta có hàm số liên tục trên các khoảng ( −∞; − 1)

và ( 1; )

Xét tính liên tục của hàm số tại x = − 1 .

y − 1 = − 2 = lim y và lim y = − 1+ m .

Có ( )

+

x→−1

−

x→−1

Để hàm số liên tục trên R thì ( )

Câu 85. Khi x > 0 ta có: f ( x)

Khi x < 0 ta có:

+ −

x→−1 x→−1

= ⇔ a = b + 1 ⇔ a − b = 1 .

− + ∞ .

y − 1 = lim y = lim y ⇔ − 2 = − 1+ m ⇔ m = − 1.

x + 1 −1

x

= liên tục trên khoảng ( )

2

f ( x) x 1 m

0;+∞ .

= + − liên tục trên khoảng ( ;0)

−∞ .

Hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 0 .

Ta có:

x + 1 −1 1 1

lim f ( x) = lim = lim = .

x

x + 1 + 1 2

+ + +

x→0 x→0 x→0

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

−

−

x→0 x→0

2

( ) ( )

lim f ( x ) = lim x + 1 − m = 1 − m = f 0 .

28

Do đó hàm số liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi 1 = 1− m ⇔ m = 1 .

2 2

Câu 86. Tập xác định D = R .

2

x + 16 − 5

Khi x ≠ 3 thì f ( x)

=

xác định và liên tục trên các khoảng ( −∞ ;3)

và ( 3;+∞ ) .

x − 3

2

x + 16 − 5 x + 3 3

Khi x = 3 thì f ( 3)

= a và lim f ( x)

= lim

= lim

= .

x→3

x→3

x − 3 x→3

2

x + 16 + 5 5

3

Hàm số đã cho liên tục trên R khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm x = 3 ⇔ a = .

5

2

x −16

Câu 87. *) Với x > 4 thì f ( x)

= là hàm phân thức nên liên tục trên TXĐ của nó f ( x)

liên tục

x − 4

4;+∞ .

trên ( )

*) Với x < 4 thì f ( x) = mx + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên R f ( x)

liên tục trên ( ;4)

Do vậy hàm số f ( x ) đã liên tục trên các khoảng ( 4;+∞ ) , ( −∞ ;4)

.

Suy ra: Hàm số f ( x ) liên tục trên R ⇔ f ( x ) liên tục tại x = 4 .

2

x −16

⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = f ( 4) ⇔ lim = lim ( mx + 1) = 4m + 1 ⇔ lim ( x + 4)

= 4m

+ 1

+ − + − +

x→4 x→4 x→4 x − 4 x→4 x→4

7

⇔ 4m

+ 1 = 8 ⇔ m = .

4

2

Câu 88. Với x < − 5 ta có f ( x) x ax b

−∞; − 5 .

Câu 89.

= + + , là hàm đa thức nên liên tục trên ( )

− < x < ta có f ( x) = x + 7 , là hàm đa thức nên liên tục trên ( − 5;10)

.

x > ta có f ( x) = ax + b + 10 , là hàm đa thức nên liên tục trên ( 10; +∞ ) .

Với 5 10

Với 10

Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại x = − 5 và x = 10 .

Ta có:

5 12 f 10 = 17 .

f ( − ) = ; ( )

lim f ( x)

lim

2

( x ax b)

−

−

x→− 5

x→−5

= + + = − 5 a + b + 25 .

( ) ( )

lim f x = lim x + 17 = 12 .

+ +

x→−5 x→−5

( ) ( )

lim f x = lim x + 17 = 27 .

−

−

x→10 x→10

( ) ( )

lim f x = lim ax + b + 10 = 10a + b + 10 .

+ +

x→10 x→10

Hàm số liên tục tại x = − 5 và x = 10 khi

5a

+ b + 25 = 12 − 5a

+ b = −13

a

= 2

⇔

⇔ a + b = − 1

10a

+ b + 10 = 27 10a

+ b = 17 b

= − 3

DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

Chọn C

f (0) = 1

Vì ta có: f (1) = −1.

f (2) = 15

f x = 3x − 8x

+ 4 .

−∞ .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 90. Xét hàm số ( )

2017

Hàm số liên tục trên đoạn [ 0;1 ] và f ( 0 ). f ( 1) = 4. ( −1)

= − 4 ( ) ( )

f 0 . f 1 < 0 .

29

2017

Vậy phương trình 3x

− 8x

+ 4 = 0 có nghiệm trong khoảng ( 0;1 ) .

Câu 91. Xét

4 2

f ( x) = 4x + 2x − x − 3 = 0 trên khoảng [ − 1;1]

.

Ta có f ( x ) liên tục trên đoạn [ − 1;1]

.

f ( − 1)

= 4 , f ( 0)

= − 3 , f ( 1)

= 2 f ( − 1 ). f ( 0)

< 0 , f ( 1 ). f ( 0)

< 0 .

Như vậy phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm trong khoảng ( − 1;1)

.

3

Mặt khác f ′( x) = 6x + 4x

− 1. Ta có f ′( − 1)

= − 11, f ′( 1)

= 9 f ′( 1 ). f ′( 1)

0

trình f ′( x) = 0 có nghiệm trong khoảng ( − 1;1)

.

2

f ′′( x) = 18x

+ 4 > 0 với ∀x

∈( − 1;1)

nên f ′( x)

là hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1)

phương trình f ′( x) = 0 có duy nhất nghiệm trên khoảng ( − 1;1)

. Do đó ( ) 0

nghiệm trên khoảng ( − 1;1)

.

Vậy phương trình ( 1 ) có đúng hai nghiệm trên khoảng ( − 1;1)

.

Câu 92.

Câu 93.

Câu 94.

Câu 95.

Chọn A

f x = 3x + 5x

+ 10

5 3

Đặt ( )

f ( x ) liên tục trên R nên f ( x ) liên tục trên [ −2; − 1]

( 1 )

f ( − 2)

= −126

Ta có:

f ( − 1)

= 2

Suy ra f ( −2 ). f ( − 1)

= − 126.2 = − 252 < 0 ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra f ( x ) = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( 2; 1)

Chọn C

f x = 2x − 8x

− 1 liên tục trên R .

Hàm số ( )

3

Do f ( − 5)

= − 211, f ( − 1)

= 5 > 0, f ( 2)

= − 1 < 0, ( )

nghiệm trên ( 5; 1 ),( 1;2 ),( 2;3)

− − .

− < . Do đó phương

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

f x = có tối đa hai

f 3 = 29 > 0 nên phương trình có ít nhất 3

− − − . Mà phương trình bậc ba có tối đa 3 nghiệm nên phương trình

có đúng 3 nghiệm trên R . Do đó C sai.

Chọn B

y f x x

a;

b .

Hàm số = ( ) − liên tục trên đoạn [ ]

f ( a) − a f ( b)

−b = − ( a − b )2 < 0 .

Suy ra: phương trình f ( x)

= x có nghiệm trên khoảng ( ; )

Chọn C

Đặt ( )

3 2

f x = x + ax + bx + c . Khi đó

( )

f ( )

f ( )

f x là hàm đa thức liên tục trên R .

2 < 0

− 2 > 0

( )

( )

a b .

f 2 = 8 + 4a + 2b + c < 0

f − 2 = − 8 + 4a − 2b + c > 0

f ( − 2 ). f ( 2)

< 0 đồ thị hàm số y f ( x)

trong khoảng ( − 2;2)

.

f ( 2)

< 0

đồ thị hàm số y f ( x)

lim f ( x)

= +∞

x→+∞

( 2;+ ∞ ) .

= cắt trục Ox tại ít nhất một điểm

= cắt trục Ox tại ít nhất một điểm trong khoảng

30

Câu 96.

( − ) >

f ( x)

f 2 0

lim = −∞

x→−∞

−∞; − 2 .

( )

Mà hàm số f ( )

Vậy đồ thị hàm số y f ( x)

đồ thị hàm số y = f ( x)

cắt trục Ox tại ít nhất một điểm trong khoảng

x là hàm bậc ba nên đồ thị của nó cắt trục Ox tối đa tại 3 điểm.

= cắt trục Ox tại đúng 3 điểm.

Vì hàm số đã cho là hàm đa thức bậc ba nên đồ thị hàm số liên tục trên R và số giao điểm của

đồ thị hàm số với trục Ox nhiều nhất là 3 .

Theo đề bài ta có lim y = −∞ , lim y = +∞

x →−∞

x →+∞

y ( − 1)

= a + c − b − 1 > 0 , y ( 1)

= a + b + c + 1 < 0 ,

Do đó hàm số đã cho có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng ( −∞; − 1)

, ( − 1;1)

, ( )

Từ đó suy ra số giao điểm cần tìm là 3 .

1;+∞ .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

31

TOÁN 11

ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA

1D5-1

PHẦN A. CÂU HỎI

Câu 1.

Câu 2.

(THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Phát biểu nào trong các phát biểu

sau là đúng?

A. Nếu hàm số y = f ( x)

có đạo hàm trái tại x

0

thì nó liên tục tại điểm đó.

B. Nếu hàm số y f ( x)

C. Nếu hàm số y f ( x)

D. Nếu hàm số y f ( x)

= có đạo hàm phải tại x

0

thì nó liên tục tại điểm đó.

= có đạo hàm tại x

0

thì nó liên tục tại điểm − x0

.

= có đạo hàm tại x

0

thì nó liên tục tại điểm đó.

1

∆y

Cho hàm số y = . Tính tỉ số

x

∆x

theo x

0

và ∆ x (trong đó ∆ x là số gia của đối số tại x

0

và ∆ y

là số gia tương ứng của hàm số) được kết quả là

∆ y 1

A. = −

∆ x x0

+ ∆ x

. B. ∆ y 1 =

∆ x x0

+ ∆ x

. C. ∆ y 1 =

∆ x x0 ( x0

+ ∆ x)

. D. ∆ y 1 = −

∆ x x0 ( x0

+ ∆ x)

.

Câu 3. Cho hàm số y = f ( x)

có đạo hàm tại x

0

là f ′( x0

) . Khẳng định nào sau đây là sai?

f ( x + x0) − f ( x0

)

f ( x0 + ∆ x) − f ( x0)

A. f ′( x0

) = lim

. B. f ′( x0) = lim

.

x → x 0 x − x

∆ x →0

0

∆x

f ( x) − f ( x0)

f (h + x0) − f ( x0

)

C. f ′( x0) = lim

. D. f ′( x0

) = lim

.

x → x 0 x − x

h →0

h

Câu 4.

Câu 5.

0

4

Số gia ∆ y của hàm số f ( x)

= x tại x

0

= − 1 ứng với số gia của biến số ∆ x = 1 là

A. 2 . B. 1. C. − 1. D. 0 .

1

Tính số gia ∆ y của hàm số y = theo ∆ x tại x

0

= 2 .

x

4 + ∆x

A. ∆ y =

2( 2 + ∆ x)

∆x

∆ y =

2( 2 + ∆ x)

1

∆ y =

( ∆ x) 2 . D.

Câu 6. (THPT Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y f ( x)

f ( x) − f ( 3)

Câu 7.

thỏa mãn lim = 2 . Kết quả đúng là

x→3

x − 3

f ′ 2 = 3 . B. f ( x) 2

A. ( )

′ = . C. f ′( x) = 3 . D. ( )

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y

∆y

gia của đối số tại x và ∆ y là số gia tương ứng của hàm số, tính

∆ x

.

A. 3x 2 − 3 x.

∆ x + ( ∆ x) 3

. B. 3x 2 3 x.

x ( x) 2

+ ∆ + ∆ .

C. 3x 2 + 3 x.

∆x − ( ∆ x) 2

. D. 3x 2 3 x.

x ( x) 3

+ ∆ + ∆ .

∆x

∆ y = −

2 2 + ∆ .

( x)

= xác định trên R

f ′ 3 = 2 .

3

= x + 1 gọi x

∆ là số

Câu 8. (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y = f ( x)

có đạo hàm

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

thỏa mãn ( )

( ) − ( 6)

f x f

f ′ 6 = 2. Giá trị của biểu thức lim

x→6

x − 6

bằng

1

A. 12. B. 2 . C. 1 .

3

3x

1 x

Câu 9. Cho hàm số f ( x)

= . Tính ( 0)

+

f ′ .

D. 1 .

2

A. f ′( 0)

= 0 . B. f ′( 0)

= 1. C. f ′( 0)

= . D. ( )

Câu 10. Cho hàm số f ( x)

Câu 11.

Câu 12.

3x

+ 1 − 2x

khi x ≠ 1

= x − 1

− 5

khi x

= 1

4

A. Không tồn tại. B. 0 C.

2

− +

. Tính '( )

f 1 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

1

3

7

− . D.

50

x 7x

12

khi x ≠ 3

Cho hàm số y = x − 3

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

− 1 khi x = 3

A. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x

0

= 3.

B. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại x

0

= 3.

C. Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại x

0

= 3.

D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x

0

= 3.

f ′ 0 = 3 .

9

− .

64

∆y

lim của hàm số

∆ x

( ) 3 1

→0

∆x

f x = x + theo x là:

3

A.

3x + 1

. B. 3

2 3x + 1

. C. 3x

2 3x + 1

. D. 1

2 3x + 1

.

Câu 13. Cho ( )

2018 2

( ∆ + 1) − ( 1)

f x f

f x = x − 1009x + 2019x

. Giá trị của lim

bằng:

∆x→0

∆x

A. 1009. B. 1008. C. 2018. D. 2019.

Câu 14. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số

2

x + 1, x ≥ 1

y = f ( x)

=

Mệnh đề sai là

2 x, x < 1.

f ′ 1 = 2 . B. f không có đạo hàm tại x

0

= 1.

A. ( )

C. f ′( 0)

= 2. D. ( )

f ′ 2 = 4.

Câu 15. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho hàm số f ( x)

nào dưới đây là sai?

f x liên tục tại x = 1.

A. Hàm số ( )

B. Hàm số ( )

C. Hàm số ( )

f x có đạo hàm tại x = 1.

f x liên tục tại 1

x = và hàm số ( )

f x cũng có đạo hàm tại x = 1.

2

3

− x

khi x < 1

=

2

. Khẳng định

1

khi x ≥ 1

x

2

D. Hàm số f ( x ) không có đạo hàm tại x = 1.

Câu 16.

2

ax + bx x ≥

khi 1

(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hàm số f ( x)

=

2x

− 1 khi x < 1

. Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x = 1 thì 2a + b bằng:

A. 2 . B. 5. C. − 2. D. − 5.

Câu 17. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Cho hàm số f ( x) x 1

khẳng định sai?

1 0

A. f ( ) = . B. f ( x ) có đạo hàm tại x = 1.

C. f ( x ) liên tục tại x = 1. D. ( )

= − . Khẳng định nào sau đây là

f x đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1.

Câu 18. (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x)

hàm số ( )

f x có đạo hàm tại x

0

= 0 . Hãy tính T = a + 2b

.

A. T = − 4 . B. T = 0 . C. T = − 6 . D. T = 4.

2

ax + bx + x ≥

1, 0

=

. Khi

ax − b − 1, x < 0

2 7

( x + 2012) 1− 2x − 2012 a

Câu 19. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) lim

= , với a là phân số tối

x→0

x

b b

giản, a là số nguyên âm. Tổng a + b bằng

A. − 4017 . B. − 4018 . C. − 4015 . D. − 4016 .

Câu 20. (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x)

Câu 21.

Khi đó ( 0)

f ′ là kết quả nào sau đây?

3 − 4 − x

khi x ≠ 0

= 4

.

1

khi x = 0

4

A. 1 4 . B. 1

16 . C. 1 . D. Không tồn tại.

32

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Hàm số nào sau đây không có đạo

hàm trên R ?

A. y = x − 1 . B.

2

y x x

= − 4 + 5 . C. y = sin x . D. y = 2 − cos x .

Câu 22. (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y f ( x)

2 f ( x) − xf ( 2)

Tìm

lim

x→2

x − 2

.

= có đạo hàm tại điểm x

0

= 2 .

A. 0 . B. f ′( 2)

. C. 2 f ′( 2) − f ( 2)

. D. f ( 2) 2 f ′( 2)

Câu 23. (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Cho hàm số f ( x)

hàm tại điểm x

0

= 0 là?

A. f ′( 0)

= 0 . B. f ′( 0)

= 1. C. ( )

( x ) 2

− .

−1 khi x ≥ 0

có đạo

x khi x 0

=

−

2 <

f ′ 0 = − 2 . D. Không tồn tại.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 24. (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số f ( )

trên đoạn [ a;

b ] và có đạo hàm trên khoảng ( a;

b ) . Trong các khẳng định

x liên tục

3

( I ) : Tồn tại một số c ∈ ( a;

b ) sao cho f ( c)

′ =

( ) − ( )

f b f a

b − a

( II ) : Nếu f ( a) = f ( b ) thì luôn tồn tại c ∈ ( a;

b ) sao cho ′( ) = 0

( III ) : Nếu f ( x ) có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( ; )

một nghiệm của f ′( x ) .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

.

f c .

Số khẳng định đúng trong ba khẳng định trên là

A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1.

a b thì giữa hai nghiệm đó luôn tồn tại

a x khi 0 < x < x

f x =

. Biết rằng ta

2

x + 12 khi x ≥ x0

luôn tìm được một số dương x

0

và một số thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng

Câu 25. (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho hàm số ( )

0

( )

0;+∞ . Tính giá trị S = x0

+ a .

A. S = 2( 3 − 2 2 ) . B. S = 2( 1+ 4 2 ) . C. S = 2( 3 − 4 2 ) . D. 2( 3 2 2 )

S = + .

Câu 26. (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số

2

x + ax + b khi x ≥ 2

2 2

y =

. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 . Giá trị của a + b bằng

3 2

x − x − 8x + 10 khi x < 2

A. 20 . B. 17 . C. 18. D. 25 .

PHẦN B. LỜI GIẢI

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Chọn D

Ta có định lí sau:

Nếu hàm số y = f ( x)

có đạo hàm tại x

0

thì nó liên tục tại điểm đó.

Chọn D

1 1 ∆x

∆ y = − = −

x + ∆ x x x x + ∆ x

.

Suy ra

0 0 0 0

∆ y 1 = −

∆ x x x + ∆ x

.

( )

0 0

( )

Chọn A

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm

Chọn C

4 4

∆ y = f ( x + ∆) − f ( x ) = ( − 1+ 1) − 1 = − 1.

0 0

Chọn D

1 1 ∆x

Ta có ∆ y = − = −

2 + ∆x ∆x ∆ x 2 + ∆ x

.

( )

Chọn D

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta có

f ( x) − f ( 3)

lim = 2 = f ′( 3)

.

x→3

x − 3

Chọn B

Ta có :

3 3 2 2 3 2 2

( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 3 . 3 . ( 3 3 . )

∆ y = f x + ∆x − f x = x + ∆ x + − x + = x ∆ x + x ∆ x + ∆ x = ∆ x x + x ∆ x + ∆ x

4

Câu 8.

Câu 9.

Câu 10.

Câu 11.

Câu 12.

∆y

∆x

x x x x x x x ( x) 2

.

Chọn B

y = f x có tập xác định là D và x0

∈ D . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

2 2 2

= 3 + 3 . ∆ + ∆ = 3 + 3 . ∆ + ∆

Hàm số ( )

f ( x) − f ( x )

lim

x→x0

x − x

0

0

thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại x

0

( ) − ( 6)

f x f

Vậy kết quả của biểu thức lim = f ′( 6)

= 2.

x→6

x − 6

Chọn D

Ta có: f ( )

Mà

( ) − ( )

f x f 0 3

′ 0 = lim = lim .

x→0 x

x→0

1+

x

3 3 3 3 3 3

lim lim 3; lim lim 3 lim lim 3

1+ x = 1+ x = 1+ x = 1− x = 1+ x = 1+

x

=

+ + − − + −

x→0 x→0 x→0 x→0 x→0 x→0

3

f ′( 0) = lim = 3.

x→0

1+

x

f ′ 0 = 3.

Kết luận: ( )

Chọn D

Ta có:

2

3x + 1 − 2x 3x + 1− 4x −4x

− 1 −5

lim f ( x)

= lim = lim = lim

= = f

x→1 x→1 x − 1 x→1 x→1

x − x + + x x + + x 4

( x ) ( x )

( 1)( 3 1 2 ) ( 3 1 2 )

Hàm số liên tục lại x = 1.

3x

+ 1 − 2x

5

f ( x) − f ( 1

+

)

x x

f '( ) lim lim x −

4 3 + 1 − 3 − 5

1 = = 1 4 = lim

x→1 x − x→1 x − x→1

2

1 1 4 x −1

2

( )

16 3 + 1 − 3 + 5 −9 9

= lim

= lim

= −

x→1 1

4 1 4 3 1 3 5 4 4 3 1 3 5 64

2

x→

( x − ) ( x + + x + ) ( x + + x + )

Chọn D

TXĐ: D = R .

2

x − 7x

+ 12

khi x ≠ 3

y = f ( x)

= x − 3

− 1 khi x = 3

2

x − 7x

+ 12

lim f ( x)

= lim

= lim ( x − 4)

= − 1 = f ( 3)

.

x→3 x→3

x − 3 x→3

2

f ( x) − f ( 3) x − 7x

+ 12 − 0

Đạo hàm của hàm số tại x

0

= 3 lim = lim = − 1 = f (3)

x→3 x − 3 x→3

x − 3

Suy ra: Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x

0

= 3.

Chọn B

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

∆y

Ta có: lim =

∆ x →0

∆x

Câu 13. Chọn D.

( + ∆ ) + − +

=

∆ x

∆ →0

( )

3 1 3 1

∆ x →0

lim

x x x

3

lim x 3 x + ∆ x + 1 + 3 x + 1

( 1)

3

=

2 3x

+ 1

.

5

Câu 14.

( ∆ + 1) − ( 1)

f x f

Theo định nghĩa đạo hàm ta có lim = f '( 1)

.

∆x→0

∆x

f ' x = 2018x 2017 − 2018x + 2019 f ' 1 = 2019 .

Mà ( ) ( )

f ( ∆ x + 1) − f ( 1)

Vậy giá trị của lim = 2019 .

∆x→0

∆x

f ( x) − f ( 1)

2x

− 2

lim = lim = 2;

−

−

x→1 1

Ta có

x −1 x→

x −1

2

f ( x) − f ( 1)

x + 1−

2

lim = lim = lim ( x + 1)

= 2.

+ + +

x→1 x −1 x→1 x −1

x→1

− +

f ′ 1 = f ′ 1 = f ′ 1 = 2. Suy ra hàm số có đạo hàm tại x

0

= 1. Vậy B sai.

Vậy ( ) ( ) ( )

2

3 − x

1

−

x→1 −

x→1

2

+

x→1 +

x→1

x

2

f ( x) − f ( 1)

1− x 1+

x

lim = lim = lim = −1

và

x→1 x −1 x→1 2 x −1 x→1

−2

Câu 15. lim f ( x)

= lim = 1 và lim f ( x)

= lim = 1. Do đó, hàm số ( )

Câu 16.

( ) ( )

( )

f x − f 1 1− x −1

lim = lim = lim = −1

x −1 x x 1 x

( − )

+ + +

x→1 x→1 x→1

lim

−

x→1

( ) − ( 1)

f x f 2x

−1− 1

= lim 2

−

= ;

x −1

x→1

x −1

( ) − ( 1)

2

f x f ax + bx − a − b

lim

= lim

+

+

x→1

x −1

x→1

x −1

= lim a ( x + 1)

+ b

+ = 2a + b

x→1

Theo yêu cầu bài toán:

Câu 17. Ta có f ( 1)

= 0 .

( ) ( )

lim

a x

= lim

+

x→1

. Do đó, hàm số ( )

2

( − 1) + b( x −1)

x −1

( ) − ( 1) ( ) − ( 1)

f x f f x f

= lim

x −1 x −1

− +

x→1 x→1

( ) ( )

f x liên tục tại x = 1.

f x có đạo hàm tại x = 1.

= lim

( 1) ( 1)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

+

x→1

⇔ 2a

+ b = 2.

f x − f 1 1− x − 0

f x − f 1 x −1−

0

lim = lim = −1

và lim = lim = 1.

−

−

+ +

x→1 x −1 x→1

x −1

x→1 x −1 x→1

x −1

Do đó hàm số không có đại hàm tại x = 1.

f 0 = 1.

Câu 18. Ta có ( )

lim f ( x)

= + + = 1 .

lim ( ax

2 bx 1)

+

+

x→ 0

x→0

lim

−

x→0

f

( x)

−

x→0

( ax b )

= lim − − 1 = −b

− 1 .

Để hàm số có đạo hàm tại x

0

= 0 thì hàm số phải liên tục tại x

0

= 0 nên

( 0) lim ( ) lim ( )

f = f x = f x . Suy ra −b

− 1 = 1 ⇔ b = − 2 .

+ −

x→0 x→0

2

ax − x + x ≥

2 1, 0

Khi đó f ( x)

=

.

ax

+ 1, x < 0

Xét:

2

f ( x) − f ( 0)

ax − 2x

+ 1−1

+) lim

= lim

( )

+

+

x→0

x

x→0

x

= lim ax − 2 = − 2 .

+

x→0

f ( x) − f ( 0)

ax + 1−1

+) lim

= lim

( )

−

−

x→0

x

x→0

x

= lim a = a .

−

x→0

x − a x + + b

x −1

6

Câu 19.

Câu 20.

Câu 21.

Câu 22.

Câu 23.

Câu 24.

Hàm số có đạo hàm tại x

0

= 0 thì a = − 2 .

Vậy với a = − 2 , b = − 2 thì hàm số có đạo hàm tại x

0

= 0 khi đó T = − 6 .

* Ta có:

2 7

7

( x + 2012) 1− 2x

− 2012

7

( 1−

2x

−1)

lim

= lim ( x 1− 2x

) + 2012.lim

= 2012.lim

x→0

x

x→0 x→0

x

x→0

* Xét hàm số y f ( x) 7

1 2x

f 0 = 1. Theo định nghĩa đạo hàm ta có:

= = − ta có ( )

7

( ) − ( 0) 1− 2 −1

f x f x

f ′( 0)

= lim = lim

x→0 x − 0 x→0

x

7

2 2 1−

2x

−1 2

f ′( x)

= − f ′

6

( 0)

= − lim = −

7 1 2

7 x→0

x 7

7

( − x )

2 7

( x + 2012) 1− 2x

− 2012 4024 a

= −4024

lim

= − a + b = − 4017 .

x→0

x

7 b

= 7

Chọn B

Với x ≠ 0 xét:

3 − 4 − x 1

f ( x) − f ( 0)

−

lim

= 4 4 2 − 4 − x 4 −

lim

= lim =

( 4 − x)

lim

x→0

x − 0 x →0

x

x→0

4x

x→0

4 x 2 + 4 − x

1

= =

lim

x→0

4 2 4

1 1

4 2 4 0 = 16

( + − x ) ( + − )

1

f ′( 0)

= .

16

( )

Chọn A

x

−1, x ≥ 1

1, x > 1

Ta có: y = x − 1 , do đó: y = khi đó: y′ =

1 − x, x < 1

− 1, x < 1

+

f ( x) − f ( 1)

x −1

Tại x = 1: y′ ( 1 ) = lim = lim = 1.

+ +

x→1 x −1 x→1

x −1

−

f ( x) − f ( 1)

1−

x

y′ ( 1 ) = lim = lim = −1.

−

−

x→1 x −1 x→1

x −1

+ +

y′ 1 ≠ y′

1 nên hàm số không có đạo hàm tại 1.

Do ( ) ( )

Các hàm số còn lại xác định trên R và có đạo hàm trên R .

Chọn C

f ( x) − f ( 2)

Do hàm số y = f ( x)

có đạo hàm tại điểm x

0

= 2 suy ra lim = f ′ 2

x→2

x − 2

2 f ( x) − xf ( 2)

2 f ( x) − 2 f ( 2) + 2 f ( 2) − xf ( 2)

Ta có I = lim

⇔ I = lim

x→2

x − 2

x→2

x − 2

2( f ( x) − f ( 2)

) f ( 2)( x − 2)

⇔ I = lim

− lim

⇔ I = 2 f ′( 2) − f ( 2)

.

x→2 x − 2 x→2

x − 2

Chọn D

Ta có: f ( 0)

= 1; f ( x) ( x ) 2

lim lim 1 1

+ +

x→0 x→0

Ta thấy f ( 0) lim f ( x) lim f ( x)

= − = ; f ( x 2

) ( x )

lim = lim − = 0 .

−

−

x→0 x→0

= ≠ nên hàm số không liên tục tại x

0

= 0 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

+ −

x→0 x→0

Vậy hàm số không có đạo hàm tại x

0

= 0 .

Chọn C

( )

.

7

1−

2x

−1

x

7

Câu 25.

Câu 26.

( I ) đúng (theo định lý Lagrange).

( II ) đúng vì với f ( a) = f ( b ) ,

theo ( I ) suy ra tồn tại c ∈ ( a;

b ) sao cho f ( c)

( ) − ( )

f b f a

′ = = 0 .

b − a

f α = f β = .

( III ) đúng vì với α , β ∈ ( a;

b ) sao cho ( ) ( ) 0

Ta có f ( x ) liên tục trên đoạn [ a;

b ] và có đạo hàm trên khoảng ( a;

b ) nên f ( )

đoạn [ α;

β ] và có đạo hàm trên khoảng ( α;

β ) .

Theo ( II ) suy ra luôn tồn tại một số c ∈ ( α;

β ) sao cho f ′( c ) = 0 .

Chọn B

+ Khi 0 x x0

< < : f ( x)

= a x f ′( x)

= . Ta có f ′( x)

xác định trên ( )

trên khoảng ( 0; x

0 ) .

2

+ Khi x > x0

: f ( x) = x + 12 f ′( x) = 2x

. Ta có f ′( x)

xác định trên ( ; 0 )

trên khoảng ( x +∞ ) .

+ Tại x = x0

:

lim

0 ;

( ) − ( )

f x f x0

a x − a x

= lim

x − x x − x

−

−

x→x0 x→x0

0 0

lim

2 2

( ) − ( ) x + 12 − ( x0

+ 12)

x→x0 + x→x0

+

0 0

0

2

a

x

( −

0 )

a x x

= lim−

x→x0

x

f x f x0

x − x

= lim

= lim+

x − x x − x

x→x0

x − x

Hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( )

f ( x) − f ( x ) f ( x) − f ( x )

lim

= lim

x − x x − x

0 0

x→x0 − x→x0

+

0 0

Khi đó f ′( x ) = = 2x

và ( )

0 0

2

a

tục trên khoảng ( )

x

0

0;+∞ .

a

Ta có 2x0 a 4x0 x0

2

x = ⇔ = ( 1 )

0

Mặt khác: Hàm số f liên tục tại x

0

nên

Từ ( 1 ) và ( )

2 suy ra x

0

= 2 và a = 8 2

Vậy S a x 0

2( 1 4 2 )

= + = + .

= lim

−

− x

x→x0

0

2 2

0

0;+∞ khi và chỉ khi

a

⇔ = 2x0

.

2 x

0

x liên tục trên

0; x nên liên tục

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

0

+

x→x0

x

a

0

x +∞ nên liên tục

a

= .

+ x0

2 x0

( x x )

= lim + = 2x .

0

a

khi 0 < x < x0

f ′ x = 2

x

nên hàm số f có đạo hàm liên

2 x khi x ≥ x0

+ = ( 2 )

x 12 a x

2

0 0

Chọn A

2

x + ax + b khi x ≥ 2

Ta có y =

3 2

x − x − 8x + 10 khi x < 2

2 x + a khi x ≥ 2

y′

= 2

3x − 2x − 8 khi x < 2

Hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 4 + a = 0 a = − 4 .

Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 thì hàm số liên tục tại điểm x = 2 .

0

8

Suy ra lim f ( x) = lim f ( x) = f ( 2)

+ −

x→2 x→2

4 + 2a

+ b = − 2 b = 2 .

2 2

Vậy a + b = 20 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

9

TOÁN 11

QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM – PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

1D5-2

Contents

PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1

DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM ......................................................................................................................... 1

DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP (đa thức, chứa căn, phân thức, hàm hợp) ...... 2

Dạng 2.1 Tính đạo hàm ................................................................................................................................................ 2

Dạng 2.2 Một số bài toán tính đạo hàm có thêm điều kiện .......................................................................................... 5

DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN .............................................................................................................................. 7

Dạng 3.1 Tiếp tuyến tại điểm ....................................................................................................................................... 7

Dạng 3.2 Tiếp tuyến khi biết hệ số góc, quan hệ song song, vuông góc với đường thẳng cho trước .......................... 9

Dạng 3.3 Tiếp tuyến đi qua một điểm ........................................................................................................................ 12

Dạng 3.4 Một số bài toán liên quan đên tiếp tuyến .................................................................................................... 13

DẠNG 4. BÀI TOÁN QUẢNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC .................................................................................................. 16

PHẦN B. LỜI GIẢI ....................................................................................................................................................... 18

DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM ....................................................................................................................... 18

DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP (đa thức, chứa căn, phân thức, hàm hợp) .... 19

Dạng 2.1 Tính đạo hàm .............................................................................................................................................. 19

Dạng 2.2 Một số bài toán tính đạo hàm có thêm điều kiện ........................................................................................ 20

DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN ............................................................................................................................ 23

Dạng 3.1 Tiếp tuyến tại điểm ..................................................................................................................................... 23

Dạng 3.2 Tiếp tuyến khi biết hệ số góc, quan hệ song song, vuông góc với đường thẳng cho trước ........................ 26

Dạng 3.3 Tiếp tuyến đi qua một điểm ........................................................................................................................ 33

Dạng 3.4 Một số bài toán liên quan đên tiếp tuyến .................................................................................................... 36

DẠNG 4. BÀI TOÁN QUẢNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC .................................................................................................. 45

Câu 1.

PHẦN A. CÂU HỎI

DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM

4

Cho hàm số y = . Khi đó y′ ( −1)

bằng

x − 1

A. − 1. B. − 2 . C. 2 . D. 1.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số f ( x)

1

36

2x

+ 7

= tại x = 2 ta được:

x + 4

11

3

2

2

6

2

A. f ′( 2)

= . B. f ′( ) = . C. f ′( ) = . D. ( 2)

5

f ′ = .

12

1

Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số y = x( x + 1)( x + 2)( x + 3)

tại điểm x

0

= 0 là:

A. y′ ( 0)

= 5 . B. y′ ( 0)

= 6 . C. y′ ( 0)

= 0 . D. ( )

Câu 4. Tính đạo hàm của hàm số y = x + x tại điểm x

0

= 4 là:

9

2

A. y′ ( 4)

= . B. y′ ( 4)

= 6 . C. y′ ( 4)

= . D. ( 4)

y′ 0 = − 6 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

3

2

5

y′ = .

4

π

Câu 5. Đạo hàm của hàm số y = 5sin x −3cos

x tại x0

= là:

2

A. y′

π

= 3. B. y′

π

= 5 . C. y′

π

= −3. D. y′

π

= −5.

2

2

2

2

5 3

( )

Câu 6. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho

f ' ( 1) + f ' ( − 1) + 4 f ' ( 0)

?

Câu 7.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 4. B. 7. C. 6. D. 5.

x + 2

Cho hàm số y =

x − 1

. Tính y′ ( 3)

A. 5 2 . B. 3

− . C.

4

Câu 8. Cho hàm số f ( x)

3 − 4 − x

khi x ≠ 0

= 4

1

khi x = 0

4

1

0

16

. Tính ( 0)

3

− . D. 3 2

4 .

f ′ .

A. Không tồn tại. B. f ′( ) = . C. f ′( 0)

= . D. ( 0)

Câu 9. Cho hàm số ( )

2

Câu 10.

f

x

=

3x

+ 1

x

+ 4

. Tính giá trị biểu thức ' ( 0 )

f .

A. − 3 . B. − 2 . C. 3 . D. 3.

2

1

4

f x = x + x − 2x

− 3 . Tính

1

f ′ = .

32

DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP (đa thức, chứa căn, phân

thức, hàm hợp)

Dạng 2.1 Tính đạo hàm

(THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Tính đạo hàm của hàm số

A.

2

y' 3x 2x

= + . B.

Câu 11. Khẳng định nào sau đây sai

3 2

A. y = x y ' = 1. B. y = x y ' = 3x

.

C.

Câu 12. Hàm số

A.

5

y x y ' 5x

= = . D.

3 2

y x x x

3

y x x

= + 2 + 1.

2

2

2

y' = 3x

+ 2. C. y' = 3x + 2x

+ 1. D. y' = x + 2 .

y x y x

4 3

= ' = 4 .

= − 2 − 4 + 2018 có đạo hàm là

2

′ = 3 − 4 + 2018. B.

y x x

2

′ = 3 − 2 − 4 .

y x x

2

C.

2

′ = 3 − 4 − 4 . D.

y x x

′ = − 4 − 4 .

2

y x x

Câu 13. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Đạo hàm của hàm số

3 2 2 3 2

y = − x + 3mx + 3 1− m x + m − m (với m là tham số) bằng

( )

2 2

2

A. 3x − 6mx − 3 + 3m . B. − x + 3mx −1−

3m .

2 2

2 2

C. − 3x + 6mx + 1−

m . D. − 3x + 6mx + 3 − 3m .

Câu 14. Đạo hàm của hàm số

A.

′ = − + . B.

3

y 4x 8x

Câu 15. Đạo hàm của hàm số

3 2 1

y x x

4 2

= − 4 − 3 là

′ = − . C.

2

y 4x 8x

x 5x

y x a

2 3

′ = − . D.

3

y 4x 8x

4 3

2

= + − 2 + ( a là hằng số) bằng.

A. 2x + 5x − + 2a

. B. 2x

+ 5x

+ .

2x

2 2x

C.

2x

+ 5x

− . D.

2x

3 2 1

3 2

2x

5x

2

Câu 16. Hàm số nào sau đây có đạo hàm bằng

+ − .

1

2x ?

3 2 1

A. f ( x) = 2 x . B. f ( x)

= x . C. f ( x) = 2x

. D.

3

Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số ( 5)

A.

C.

y

7 5

2 2 x

5 2

′ = x − . B.

y′ = 3x

− . D.

2 x

2 5

Câu 18. Đạo hàm của hàm số

1−

3x

y =

y = x − x .

A.

(

2

)

2

x + 1 x + 1

. B. ( x )

y

7 5

2 2 x

5

′ = x − .

y′ = 3x

− .

2 x

2 1

x + 3

là:

2

x + 1

1+

3x

2 2

+ 1 x + 1

. C. 1−

3x

2

x 1

′ = − +

2

y 4x 8x

1

f ( x)

= − .

2x

2

2x

− x −1

+ . D. ( x )

2

'

Câu 19. Cho hàm số f ( x) = x + 3 . Tính giá trị của biểu thức S f ( 1) 4 f ( 1)

= + .

A. S = 4 . B. S = 2 . C. S = 6 . D. S = 8 .

2

Câu 20. Cho hàm số y = 2x + 5x

− 4 . Đạo hàm y ' của hàm số là

4x

+ 5

A. y ' =

2

2 2x

+ 5x

− 4

. B. 2x

+ 5

y ' =

2

2 2x

+ 5x

− 4

.

2x

+ 5

C. y ' =

2

2x

+ 5x

− 4

. D. 4x

+ 5

y ' =

2

2x

+ 5x

− 4

.

Câu 21. Cho các hàm số u = u ( x) , v = v ( x)

có đạo hàm trên khoảng J và ( ) 0

nào sau đây sai?

+ 1 x + 1

.

2 2

v x ≠ với ∀x ∈ J . Mệnh đề

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

′

′ ′ . B.

A. u ( x) + v ( x) = u ( x) + v ( x)

1 ′

v′

( x)

= .

v

2

( x)

v ( x)

3

′ ′ ′ . D.

C. u ( x) . v ( x) = u ( x) . v ( x) + v ( x) . u ( x)

2 1

u ( x)

′

u′ x v x v′

x u x

=

v( x)

v x

( ). ( ) − ( ).

( )

2

( )

Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số y = x − .

x

1

1

1

1

A. y′ = 2x

− . B. y′ = x − . C. y′ = x + . D. y′ = 2x

+ .

2

2

2

2

x

x

x

x

2x

Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số y =

x − 1

2

2

A. y′ = . B. y′ =

x −1

x −1

( ) 2

( )

1

Câu 24. Hàm số y = có đạo hàm bằng:

2

x + 5

A. y ' =

1

. B. y ' =

2x

2

x + 5

2

x + 5

( ) 2

( ) 2

2

2x

− 3x

+ 7

. C.

Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số y =

.

2

x + 2x

+ 3

2

2

− 7x

+ 2x

+ 23 7x

− 2x

− 23

A. y′ =

. B. y′ =

2

2

2

2

x + 2x

+ 3

x + 2x

+ 3

C.

y′ =

( )

2

7x

− 2x

− 23

2

( x + 2x

+ 3)

D.

y′ =

( )

. C.

x x x

3 2

8 + 3 + 14 + 5

2

( x + 2x

+ 3)

2

( x −1) 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

y′ =

y ' =

−2

−1

2

( x + 5) 2

. D.

. D.

y′ =

y ' =

−2

( x −1)

2x

+ a

Câu 26. Cho hàm số f ( x) = ( a, b∈ R; b ≠ 1) . Ta có f '(1) bằng:

x − b

− a + 2b

a − 2b

a + 2b

−a

− 2b

A. . B. . C. . D. .

2

2

2

2

( b −1)

( b −1)

( b −1)

( b −1)

Câu 27. Cho f ( x)

= 1− 4x

+ . Tính f ( x)

−

A.

C.

1−

x

x 3

2 2

1 4x − . B.

− x − 3

1

2 1−

4x +1

D.

′ .

2 2

−

1−

4x

3

( x − ) 2

−2 2

+

1−

4x

3

Câu 28. Đạo hàm của hàm số ( )

2

A.

2

8x

+ 4x

−1

y ' = .

2

2 x + x

( x − ) 2

y = 2x − 1 x + x là

B.

2

8x

+ 4x

+ 1

y ' =

.

2

2 x + x

2

Câu 29. Đạo hàm của hàm số ( ) 7

y = − x + 3x

+ 7 là

.

.

C.

4x

+ 1

y ' = .

2

2 x + x

A. y ' = 7 ( − 2x + 3)( − x 2 + 3x

+ 7) 6

2

. B. y ' 7 ( x 3x

7) 6

D.

= − + + .

C. y ' = ( − 2x + 3)( − x 2 + 3x

+ 7) 6

2

. D. y ' 7( 2x 3)( x 3x

7) 6

= − + − + + .

−2x

.

.

2

( x + 5) 2

2

6x

+ 2x

−1

y ' =

.

2

2 x + x

.

4

Câu 30. Đạo hàm của hàm số y = x −

x bằng

A.

C.

2 2

3

2

2

1 2 2

2

x x . B. 2 2

y′ = 3

x −

x

y′ = 6 x + x −

.

2

2

1 2 2

2

x x . D. 1 2 2

y′ = 6 x − x −

x x

y′ = 6 x − x −

Câu 31. (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Đạo hàm của hàm số ( ) 1

2 3

A.

y′ =

2x

+ 1

. B. ( ) 2

y x 2 x 1

3

2

( x + x + ) 2 3

33

1

1

′ = + + . D. y′ =

3

C. ( ) 8

y x 2 x 1

3

1

′ = + + .

2x

+ 1

+ + .

3 2

2 x x 1

y = x + x + 1 là

Câu 32. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Đạo hàm của hàm số y = ( x 3 − 2x

2

) 2

Câu 33.

bằng:

5 4 3

A. 6x − 20x − 16x

.

5 4 3

B. 6x − 20x + 4x

.

5 3

C. 6x

+ 16x

.

5 4 3

D. 6x − 20x + 16x

.

(THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Đạo hàm của hàm số

2

( ) 2 3

f x = − x bằng biểu thức nào sau đây?

2

−3x

1

−6x

A. . B. . C.

2

2

2 − 3x

2 2 − 3x

2 2 − 3x

Dạng 2.2 Một số bài toán tính đạo hàm có thêm điều kiện

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2

. D.

1 3 2

Câu 34. Cho hàm số y = x − 2x − 5x

. Tập nghiệm của bất phương trình y′ ≥ 0 là

3

− 1;5 . B. ∅ .

A. [ ]

C. ( −∞; −1) ∪ ( 5; +∞ ) . D. ( ; 1] [ 5; )

−∞ − ∪ +∞ .

3x

2 − 3x

3 2

Câu 35. Cho hàm số y = x + mx + 3x

− 5 với m là tham số. Tìm tập hợp M tất cả các giá trị của m để

y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt:

A. M = ( − 3;3)

. B. ( ; 3] [ 3; )

C. M = R . D. ( ; 3) ( 3; )

Câu 36. Cho hàm số

3

y x x

M = −∞ − ∪ +∞ .

M = −∞ − ∪ +∞ .

= − 3 + 2017 . Bất phương trình y′ < 0 có tập nghiệm là:

A. S = ( − 1;1)

. B. ( ; 1) ( 1; )

C. ( 1;+∞ ) . D. ( −∞; − 1)

.

S = −∞ − ∪ +∞ .

′ > ?

A. − 1 < x < 0 . B. x < 0 . C. x > 0 . D. x < − 1.

4 2

f

Câu 37. Cho hàm số

( x) = x + 2x

− 3

f

. Tìm x để

( x) 0

Câu 38. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hàm số

3 2

y = ( m −1) x − 3( m + 2) x − 6( m + 2) x + 1. Tập giá trị của m để y ' ≥ 0, ∀x ∈ R là

2

.

5

A.

[3; +∞ ).

B. ∅ .

C.

[4 2; +∞ ).

D.

[1; +∞ ).

y = m + 2

3 3

2

x + m + 2 x + 3x − 1,

2

m là tham số. Số các giá trị nguyên m để

y′ ≥ 0, ∀x

∈R là

A. 5. B. Có vô số giá trị nguyên m .

C. 3. D. 4

Câu 39. Cho hàm số ( ) ( )

Câu 40. Cho hàm số ( )

3 2

( ) 0

f ′ x ≤ với ∀x ∈ R là

f x = − x + 3mx − 12x + 3 với m là tham số thực. Số giá trị nguyên của m để

A. 1. B. 5 . C. 4 . D. 3 .

Câu 41. Cho hàm số f ( x) = − + ( 3 − m)

x − 2 . Tìm m để ( )

A.

3

mx

2

mx

3 2

12

12

0 ≤ m ≤ . B. 0 < m < .

5

5

C.

f ' x > 0 ∀x ∈ R .

12

0 ≤ m < . D.

5

2

Câu 42. Cho hàm số f ( x) = − 5x + 14x − 9 Tập hợp các giá trị của x để ( )

7

A. ; +∞ .

5

Câu 43. Cho hàm số ( )

2

Câu 44.

Câu 45.

Câu 46.

Câu 47.

f x x 2 x

7

B. −∞; .

5

7 9

C. ; .

5 5

f ' x < 0 là

12

0 < m ≤ .

5

7

D. 1; .

5

= − . Tìm tập nghiệm S của phương trình f ( x) f ( x)

giá trị nguyên?

A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 .

3 − 2x

′

ax − b 1 a

(Thi thử SGD Hưng Yên) Cho = , ∀ x > . Tính .

4x −1 ( 4x −1)

4x

−1

4 b

A. − 16 . B. − 4 . C. − 1. D. 4 .

(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Cho hàm số

y x x

′ ≥ có bao nhiêu

2

= 1+ 3 − . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. ( y′ ) 2 + y. y′′

= − 1. B. ( y′ ) 2 + 2 y. y′′

= 1. C. y. y′′ − ( y′

) 2

= 1. D. ( y′ ) 2 y. y′′

1

+ = .

2

(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y = x − 1 . Nghiệm

của phương trình y′ . y = 2x

+ 1 là:

A. x = 2 . B. x = 1. C. Vô nghiệm. D. x = − 1 .

(THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho

= − 2 + 3 , y′ =

2

y x x

giá trị a.

b là:

A. − 4 . B. − 1. C. 0 . D. 1.

Câu 48. Cho hàm số

− + −

y =

2

x + 3

2

2x

x 7

. Tập nghiệm của phương trình y′ = 0 là

A. { − 1;3}

. B. { 1;3 } . C. { − 3;1}

. D. { 3; 1}

ax + b

. Khi đó

2

x − 2x

+ 3

− − .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

3 b

Câu 49. Cho hàm số f ( x) = ax + có f ′( ) f ′( )

x

1 1, 2 2

= − = − . Khi đó ( 2 )

f ′ bằng:

6

A. 12 5 . B. − 2

12

. C. 2 . D. − .

5

5

Câu 50. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

Câu 51.

Câu 52.

Câu 53.

Câu 54.

Câu 55.

Câu 56.

( −∞ − )

; 10 ?

x + 2

y = có đạo hàm dương trên khoảng

x + 5m

A. 1. B. 2. C. 3. D. vô số.

DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN

Dạng 3.1 Tiếp tuyến tại điểm

x + 1

(Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại điểm có hoành

2x

− 3

độ x

0

= −1

có hệ số góc bằng

A. 5. B.

1

− . C. − 5. D. 1 5

5 .

(THI HK I QUẢNG NAM 2017) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm có hoành độ x = − 1.

A. y = 4x

− 6.

B. y = 4x

+ 2.

C. y = 4x

+ 6.

D. y = 4x

− 2.

4 2

y = x − 4x

+ 5

4 2

(Quảng Nam-HKI-1718) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − 4x

+ 5 tại điểm

có hoành độ x = − 1.

A. y = 4x

− 6. B. y = 4x

+ 2. C. y = 4x

+ 6. D. y = 4x

− 2.

2x

+ 3

(THPT THUẬN THÀNH 1) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại điểm có hoành độ bằng

x − 2

3 , tương ứng là

A. y = 7x

+ 13. B. y = − 7x

+ 30. C. y = 3x

+ 9 . D. y = −x

− 2 .

(GIỮA KÌ I LƯƠNG THẾ VINH CƠ SỞ II 2018-2019) Cho hàm số

đồ thị là ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( )

M 1

1;

3 là:

C tại điểm

A. y = 3x

− 2 . B. y = − 3x

+ 2 . C.

2

y = x − . D.

3

1

= + − 2 + 1 có

3

3 2

y x x x

2

y = − x +

3

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3

y = x − 3x tại điểm có hoành độ bằng 2.

A. y = − 9x + 16 . B. y = − 9x + 20 . C. y = 9x − 20 . D. y = 9x −16

.

C : y = 3x − 4x

tại

Câu 57. (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

điểm có hoành độ x

0

= 0 là

A. y = 0. B. y = 3x

. C. y = 3x

− 2 . D. y = − 12x

.

7

Câu 58.

Câu 59.

Câu 60.

Câu 61.

Câu 62.

Câu 63.

Câu 64.

Câu 65.

(Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho hàm số

trình tiếp tuyến của ( C ) tại giao điểm của ( )

= − + 3 − 2 có đồ thị ( C).

Viết phương

3

y x x

C với trục tung.

A. y = − 2x

+ 1. B. y = 2x

+ 1. C. y = 3x

− 2 . D. y = −3x

− 2 .

(LÊ HỒNG PHONG HKI 2018-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

4 2

( C) : y = x − 8x

+ 9 tại điểm M có hoành độ bằng -1.

A. y = 12x

+ 14 . B. y = 12x

− 14 . C. y = 12x

+ 10 . D. y = −20x

− 22 .

x − 2

(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho hàm số y = . Viết phương trình tiếp

x + 1

tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành độ x

0

= 0 .

A. y = 3x

− 2 . B. y = −3x

− 2 . C. y = 3x

− 3 . D. y = 3x

+ 2 .

(Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên, năm 2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

− x + 3

hàm số y = tại điểm có hoành độ x = 0 là

x −1

A. y = − 2x

+ 3. B. y = −2x

− 3. C. y = 2x

− 3. D. y = 2x

+ 3.

(Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hàm số

thị ( C ) . Hệ số góc k của tiếp tuyến với ( )

C tại điểm có hoàng độ bằng 1 bằng

A. k = − 5 . B. k = 10 . C. k = 25 . D. k = 1.

3

y x x

(Trường THPT Thăng Long Lần 1 năm 2018-2019) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có hệ số góc là

A. − 1. B. 1 4 . C. 5

1

− . D. − .

4

4

= − 2 + 1 có đồ

− x + 1

y =

3x

− 2

x + 1

(HKI-Chuyên Long An-2019) Cho hàm số y = có đồ thị ( C ). Gọi d là tiếp tuyến của ( C )

x − 1

tại điểm có tung độ bằng 3. Tìm hệ số góc k của đường thẳng d .

1

A. − . B. − 2

C. 2 . D. 1 2

2 .

(Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa lần 2 -2018-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

2

y = x + x − 2 tại điểm có hoành độ x

0

= − 1.

A. x + y − 1 = 0. B. x − y − 2 = 0. C. x + y + 3 = 0. D. x − y − 1=

0.

Câu 66. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương thi thử lần 1 (2018-2019)) Hệ số góc tiếp tuyến tại A ( 1;0 )

Câu 67.

Câu 68.

3 2

của đồ thị hàm số y = x − 3x + 2 là

A. 1. B. − 1. C. − 3 . D. 0 .

x + 1

(Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Gọi I là giao điểm giữa đồ thị hàm số y = và

x − 1

trục tung của hệ trục tọa độ Oxy . Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại I là

A. − 2 . B. 0 . C. − 1. D. 2 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

(THPT Cẩm Bình 2018-2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

hoành độ x = 2 là

3x

−1

y = tại điểm có

x − 1

8

A. y = 2x

+ 9 . B. y = − 2x

+ 9 . C. y = 2x

− 9 . D. y = −2x

− 9 .

Câu 69. (THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )

Câu 70.

Câu 71.

Câu 72.

Câu 73.

Câu 74.

giao điểm của ( )

A. y x 3

H và trục hoành là:

= − . B. y ( x 1)

1

= − . C. y 3x

3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

H :

= . D. y 3( x 1)

= − .

x −1

y = tại

x + 2

(THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - Lần 1 - Năm học 2018_2019) Cho hàm số

y = −x

3 + 3x

2 + 9x

− 1 có đồ thị (C). Hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị (C) là.

A. 1 B. 6 C. 12 D. 9

(Bình Giang-Hải Dương lần 2-2019) Cho hàm số

tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm ( 1;4 )

M là

4 2

y = x + 2x + 1 có đồ thị( )

A. y = 8x − 4 . B. y = x + 3. C. y = − 8x + 12 . D. y = 8x + 4.

x + 1

(Thi thử lần 4-chuyên Bắc Giang_18-19) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y

x 1

có phương trình y = ax + b . Tính a + b

A. 9. B. 5. C. 1. D. − 1.

C . Phương trình

= tại điểm A ( 2;3)

−

(Thi HK2 THPT Chuyên Bắc Giang 2018-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

4 2

y = x − 6x

+ 5 tại điểm có hoành độ x = 2 .

A. y = −8x

− 16. B. y = 8x

− 19. C. y = − 8x

+ 16. D. y = 8x

+ 19.

x + 1

(THPT Trần Phú - Lần 1 - 2018-2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại

x − 2

điểm có tung độ bằng − 2 là

A. y = 3x

+ 1. B. y = −3x

− 1. C. y = − 3x

+ 1. D. y = − 3x

+ 3 .

Dạng 3.2 Tiếp tuyến khi biết hệ số góc, quan hệ song song, vuông góc với đường thẳng cho trước

3

Câu 75. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số f ( x) = x + 1sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x )

tại M song song với đường thẳng d : y = 3x

− 1?

A. 3. B. 2 . C. 0 . D. 1.

Câu 76. (HK1-Trần Phú Hà Nội-1819) Cho đồ thị hàm số y x 3 3x ( C)

( C ) song song với đường thẳng y = 3x

− 10 là

Câu 77.

= − . Số các tiếp tuyến của đồ thị

A. 2 . B. 1. C. 3. D. 0 .

(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho hàm số

y x x

3 2

= − + 3 − 3 có đồ thị ( )

1

tuyến của ( C)

vuông góc với đường thẳng y = x + 2017 là

9

A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3.

Câu 78. Cho hàm số f ( x) = ,( C ) . Tiếp tuyến của ( )

C . Số tiếp

2x

+ 1

x −1

C song song với đường thẳng y = − 3x

có

phương trình là

A. y = −3x − 1; y = − 3x

+ 11.

B. y = − 3x + 10; y = −3x

− 4.

C. y = − 3x + 5; y = −3x

− 5.

D. y = − 3x + 2; y = −3x

− 2.

9

2x

−1 Câu 79. Cho hàm số y = ( C ) . Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x + 3y

+ 2 = 0 tại điểm

x + 1

có hoành độ

x

= 0

x

= 0

A. x = 0 . B. x = − 2. C. . D.

x

= −2

.

x

= 2

Câu 80. Cho hàm số

y x x

3 2

= − 3 + 1 có đồ thị là ( )

C . Phương trình tiếp tuyến của ( )

thẳng y = 9x

+ 10 là

A. y = 9x + 6, y = 9x

− 28 . B. y = 9 x, y = 9x

− 26.

C. y = 9x − 6, y = 9x

− 28 . D. y = 9x + 6, y = 9x

− 26 .

Câu 81. Cho hàm số

y x x

3 2

= − 3 + 2 có đồ thị ( )

C . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )

C song song với đường

C biết tiếp tuyến

song song với đường thẳng d :9x − y + 7 = 0 là

A. y = 9x

+ 25 . B. y = −9x

− 25 . C. y = 9x

− 25 D. y = − 9x

+ 25 .

3 2

Câu 82. Cho hàm số f ( x) = x − 3x

, tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x

+ 5 của đồ thị hàm số

là:

y 9 x 3

y = 9 x − 3 . C. y 9x

5 y = 9 x − 3 D. y = 9x

+ 5 .

A. = ( + ) . B. ( )

= + và ( )

Câu 83. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) = 2x

+ 1 , biết rằng tiếp tuyến đó song

song với đường thẳng x − 3y

+ 6 = 0 .

1

1

1 5

1 5

A. y = x − 1. B. y = x + 1. C. y = x − . D. y = x + .

3

3

3 3

3 3

x + 1

Câu 84. Cho hàm số y = đồ thị (

x − 1

)

song song với nhau:

A. 1. B. Không tồn tại cặp điểm nào.

C. Vô số cặp điểm D. 2 .

C . Có bao nhiêu cặp điểm A , B thuộc ( )

x − m

Câu 85. Cho hàm số y = có đồ thị là ( m )

x + 1

có hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng d : y = 3x

+ 1.

A. m = 3 . B. m = 2 . C. m = 1. D. m = − 2 .

C mà tiếp tuyến tại đó

C . Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của ( )

C tại điểm

3 2

Câu 86. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x + 2x

song song với đường thẳng y = x ?

A. 2 . B. 4 . C. 3. D. 1.

1 3 2

Câu 87. Cho hàm số y = x − 2x + x + 2 có đồ thị ( )

3

10

tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = − 2x

+ là

3

A. y = − 2x

+ 2 . B. y = −2x

− 2 .

2

2

C. y = − 2x + 10, y = −2x

− . D. y = −2x − 10, y = − 2x

+ .

3

3

x

Câu 88. Cho hàm số y

3

tuyến có hệ số góc k = − 9 .

3

2

= + 3x

− 2 có đồ thị là ( ).

C . Phương trình các tiếp tuyến với đồ thị ( )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

C Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )

m

C biết

C biết tiếp

10

A. y + 16 = − 9( x + 3 ).

. B. y = − 9( x + 3)

. C. y − 16 = −9( x − 3 ).. D. y − = − ( x + )

16 9 3 .

3 2

Câu 89. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − 3x

+ 1 biết nó song song với đường thẳng

y = 9x

+ 6 .

A. y = 9x

+ 6 , y = 9x

− 6 . B. y = 9x

− 26 .

C. y = 9x

+ 26 . D. y = 9x

− 26 , y = 9x

+ 6 .

Câu 90.

Câu 91.

3 2

(THPT Minh Khai - lần 1) Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x + 2x

song song

với đường thẳng y = x ?

A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.

(Đề thi HSG 12-Sở GD&ĐT Nam Định-2019) Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số

song song với trục hoành là

A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1.

Câu 92. (Kinh Môn - Hải Dương L2 2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C )

Câu 93.

song song với đường thẳng ∆ : y = 3x

+ 2 là

A. y = 3x

+ 2 . B. y = 3x

− 2 . C. y = 3x

+ 14 . D. y = 3x

+ 5.

y = − x + 2x

4 2

2x

+ 1

: y =

x + 2

3 2

(Thi thử SGD Hưng Yên) Cho hàm số y = x − 3x

+ 2 có đồ thị (C). Tìm số tiếp tuyến của đồ

thị (C) song song với đường thẳng d: y = 9x

− 25.

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

C : y = 1 x − x + 2 sao cho tiếp tuyến tại M vuông

3 3

1 2

góc với đường thẳng y = − x + .

3 3

4

A. M −1;

2; 4

M

3

3

M −2; − 4 .

Câu 94. Tìm điểm M có hoành độ âm trên đồ thị ( )

3

. B. ( 2;0)

. D. ( )

2x

+ 1

Câu 95. Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = biết các tiếp tuyến đó song song với đường thẳng

x −1

y = − 3x

.

A. y = − 3x + 11; y = −3x

− 1. B. y = −3x − 6; y = −3x

− 11.

C. y = − 3x

+ 1. D. y = − 3x

+ 6 .

4 3 2

Câu 96. Cho đường cong ( C) : y = x − 3x + 2x

− 1. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường cong ( )

số góc bằng 7 ?

A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .

Câu 97. Cho hàm số

Câu 98.

4 2

y x x m

C có hệ

= − 2 + −2

có đồ thị ( C ). Gọi S là tập các giá trị của m sao cho đồ thị( C )

có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox . Tổng các phần tử của S là

A. 3. B. 8 . C. 5. D. 2 .

(Cụm liên trường Hải Phòng-L1-2019) Cho hàm số

3 2

= − 3 + 2 có đồ thị ( )

y x x

C . Tìm số tiếp

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

tuyến của đồ thị ( )

C song song với đường thẳng d : y = 9x

− 25 .

A. 1. B. 3. C. 0 . D. 2 .

11

3 2

Câu 99. (THPT Hai Bà Trưng - Huế - Lần 1- 2019) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x −3x − 12x

+ 1

song song với đường thẳng d :12x + y = 0 có dạng là y = ax + b . Tính giá trị của 2a + b .

A. − 23 hoặc − 24 B. − 23 . C. − 24 . D. 0 .

Câu 100. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Đường thẳng y = 6x + m + 1là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3

y x x

= + 3 − 1 khi m bằng

A. − 4 hoặc − 2. B. − 4 hoặc 0 . C. 0 hoặc 2 . D. − 2 hoặc 2 .

Câu 101. (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Tính tổng S tất cả giá trị của tham

f x = x − 3mx + 3mx + m − 2m

tiếp xúc với trục hoành.

số m để đồ thị hàm số ( )

3 2 2 3

4

A. S = . B. S = 1. C. S = 0 . D.

3

Dạng 3.3 Tiếp tuyến đi qua một điểm

Câu 102. (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018) Cho hàm số

tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm ( 1;0 )

A − ?

3 2

y x 3x 2x

A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .

2

S = .

3

= − + . Có tất cả bao nhiêu

Câu 103. (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Đường thẳng nào sau đây là tiếp

2

x

tuyến kẻ từ M ( 2; − 1)

đến đồ thị hàm số y = − x + 1.

4

A. y = − 2x

+ 3 . B. y = − 1. C. y = x − 3 . D. y = 3x

− 7 .

3 2

Câu 104. (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số ( )

đồ thị ( C ) . Biết rằng khi m = m0

thì tiếp tuyến với đồ thị ( )

đi qua A ( 1;3 ) . Khẳng định nào sâu đây đúng?

y = x + 3mx + m + 1 x + 1 có

C tại điểm có hoành độ bằng x

0

= − 1

A. − 1 < m0

< 0 . B. 0 < m0

< 1. C. 1 < m0

< 2 . D. − 2 < m0

< − 1.

x − 2

Câu 105. Cho hàm số y = có đồ thị ( C)

và điểm A( m ;1) . Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để có

1 − x

đúng một tiếp tuyến của ( C ) đi qua A . Tính tổng bình phương các phần tử của tập S .

A. 25 4 . B. 5 2 . C. 13 4 . D. 9 4 .

2

( b + 2) x

Câu 106. Cho đường cong ( C) : f ( x)

=

2

( a + 1) − x

, (với a , b là các tham số thực đã biết). Các tiếp tuyến của

2 2 2

đường cong ( C ') : y = f ( x ) đi qua điểm M (0;( a + 2) ( b + 2)) là

2 2 2 2 2

2 2 2 2

y = − ( a + 2)( b + 1) x + ( a + 2) ( b + 1) y = ( b + 2)[( a + 2) − ( a + 1) x] A.

2 2 2 2 2 . B.

2 2 2 2 .

y = ( a + 2)( b + 1) x + ( a + 2) ( b + 1) y = ( b + 2)[( a + 2) + ( a + 1) x]

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

C. y = ( a + 1)( b + 2) x ± ( a + 2) ( b + 2). D. y = ± ( a + 1)( b + 2) x + ( a + 2) ( b + 2).

Câu 107.

Cho hàm số

− x + 2

y =

x −1

có đồ thị (C ) và điểm A( a ;1)

. Biết

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

với mọi m,

n

giá trị m + n là:

∈ N

m và

n

tối giản ) là giá trị để có đúng một tiếp tuyến của (C ) đi qua A. Khi đó

12

a

m

n

= (

A. 2 . B. 7 . C. 5. D. 3.

Câu 108. (Thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 1 (13/4/2019)) Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3 2

y = x − 3x

+ 2 đi qua A (3 ; 2) ?

A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2 .

− x + 2

Câu 109. (Tham khảo 2018) Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) và điểm A( a ;1) . Gọi S là tập hợp tất

x −1

cả các giá trị thực của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của ( C)

đi qua A . Tổng tất cả các giá

trị các phần tử của S là

A. 1 . B. 3 2 . C. 5 2 . D. 1 2 .

Dạng 3.4 Một số bài toán liên quan đên tiếp tuyến

3 2

Câu 110. Cho hàm số y = x − 3x + 6x

+ 1 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất là bao

nhiêu?

A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.

x + 2

Câu 111. Cho hàm số y = có đồ thị ( C ). Đường thẳng d có phương trình y = ax + b là tiếp tuyến

2x

+ 3

C , biết d cắt trục hoành tại A và cắt trục tung tại B sao cho tam giác ∆ OAB cân tại O , với

của ( )

O là gốc tọa độ. Tính a + b.

A. − 1. B. − 2 . C. 0 . D. − 3.

2x−1

Câu 112. Cho hàm số y = có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại

x − 1

tại hai điểm A và B thỏa mãn điều kiện OA = 4OB

.

A. 2 . B. 3. C. 1. D. 4 .

3 2

Câu 113. Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − mx + (2m − 3) x − 1 đều có hệ số góc dương.

A. m ≠ 0 . B. m > 1. C. m ≠ 1. D. m∈∅ .

x + 2 1 . Đường

2x

+ 3

1 . Biết d cắt trục hoành, trục tung lần lượt

Câu 114. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần 2 năm 2018-2019) Cho hàm số y = ( )

thẳng d : y ax b

= + là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )

tại hai điểm A,B sao cho ∆ OAB cân tại O . Khi đó a + b bằng

A. − 1. B. 0 . C. 2 . D. − 3.

1 3

2 2

C mà tiếp tuyến tại A và B song

3 2

Câu 115. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương thi thử lần 1 (2018-2019)) Cho hàm số y = x − x + 2 ( C)

. Xét hai điểm A( a; y

A ) và B ( b; y

B ) phân biệt của đồ thị ( )

song. Biết rằng đường thẳng AB đi qua D ( 5;3)

. Phương trình của AB là

A. x − y − 2 = 0 . B. x + y − 8 = 0 . C. x − 3y + 4 = 0. D. x − 2y + 1=

0 .

Câu 116. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng, lần 1) Cho hàm số

x + 3

x 1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

thay đổi thuộc đường thẳng d : y 1 2x

tương ứng là A,

đường thẳng OH.

B. Biết rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là H. Tính độ dài

13

y

= −

có đồ thị là ( )

= − sao cho qua M có hai tiếp tuyến của ( )

C , điểm M

C với hai tiếp điểm

A. 34 . B. 10 . C. 29 . D. 58 .

Câu 117. (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Cho hàm số ( )

3 2

tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y f ( x)

biệt A ( 0;1)

, B , C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f ( x)

f x = x + 3x + mx + 1. Gọi S là tổng

= cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân

= tại B , C vuông góc với

nhau. Giá trị của S bằng

A. 9 2 . B. 9 5 . C. 9 4 . D. 11 5 .

f ( x)

+ 3

Câu 118. (Thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 1 (13/4/2019)) Cho hàm số y = f ( x)

, y = g ( x)

, y =

g ( x)

+ 1

.

Hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x = 1 bằng nhau

và khác 0. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. f ( 1)

> − 3 . B. f ( 1)

< − 3 . C. ( )

11

f 1 ≤ − . D. ( )

11

f 1 ≥ − .

4

4

x + 1

C tại M

x 1

C lần lượt tại A,

B . Diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB bằng.

Câu 119. Cho hàm số y = ( C)

. Điểm M thuộc ( C ) có hoành độ lớn hơn 1, tiếp tuyến của ( )

−

cắt hai tiệm cận của ( )

A. 4 + 2 2 . B. 4 . C. 4 2 . D. 4 + 2 .

Câu 120. (Đề Thi Thử - Sở GD Nam Định - 2019) Cho hàm số y f ( x)

hàm số y f ( x)

= , biết tại các điểm A, B,

C đồ thị

= có tiếp tuyến được thể hiện trên hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. f ′( xC ) < f ′( xA ) < f ′( xB

) . B. f ′( xA ) f ′( xB ) f ′( xC

)

C. f ′( x ) < f ′( x ) < f ′( x ) . D. f ′( x ) < f ′( x ) < f ′( x )

A C B

< < .

B A C

Câu 121. Cho hàm số y = x 3 − 3( m + 3) x 2 + 3 ( C ) . Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn qua A( −1; −1)

kẻ được hai tiếp tuyến đến ( C ) là ∆ : y = − 1 và 1

∆

2

tiếp xúc với ( C ) tại N và cắt ( C ) tại điểm

P ( P ≠ N ) có hoành độ là x = 3 .

A. Không tồn tại m . B. m = 2 . C. m = 0 ; m = − 2 . D. m = − 2 .

3 2

y = x + 3x

+ 1 có đồ thị ( C ) và điểm A( 1; )

nguyên của tham số m để qua A có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị ( )

Câu 122. Cho hàm số

S là

A. 9. B. 7 . C. 3. D. 5

m . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị

C . Số phần tử của

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

x + 1

Câu 123. Cho hàm số y = có đồ thị ( C ). Gọi d là tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có tung độ bằng 3. Tìm

x − 1

hệ số góc k của đường thẳng d .

14

A.

1

− . B. − 2

C. 2 . D. 1 2

2 .

Câu 124. (Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3 2

y = x − mx + (2m −3) x− 1 đều có hệ số góc dương.

A. m ≠ 0 . B. m > 1. C. m ≠ 1. D. m ∈ ∅ .

1

Câu 125. Cho hàm số y = x − 1

có đồ thị ( )

giác được tạo bởi ∆ và các trục bằng

C . Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( 2;1)

A. 3 . B. 3 2 . C. 9 . D. 9 2 .

. Diện tích tam

2x

+ 3

Câu 126. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = chắn hai

x + 2

trục tọa độ một tam giác vuông cân?

1 3

A. y = x + 2 . B. y = x − 2 . C. y = − x + 2 . D. y = x + .

4 2

Câu 127. (Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Gọi k1, k2,

k

3

lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị

f ( x)

các hàm số y = f ( x) ; y = g ( x)

; y = tại x = 2 và thỏa mãn k1 = k2 = 2k3

≠ 0 . Khi đó:

g x

f

1

≥ .

2

f 2

1

>

2

f 2

1

< .

2

f 2

1

≤ .

2

A. ( 2)

B. ( )

C. ( )

D. ( )

( )

2x

− 3

Câu 128. Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) và hai đường thẳng

1

x − 2

d : y − 2 = 0 và d : 2 0

2

x − = . Tiếp tuyến

của đồ thị ( C ) cắt các đường thẳng d1,

d

2

lần lượt tại A,

B sao cho độ dài AB ngắn nhất. Khi đó

độ dài của đoạn AB bằng

4

A. 2 2 . B. 2 . C. 3 2 . D. 4 2 .

Câu 129. (THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho hàm số

3

y = x − 2018x có đồ thị ( )

C . M

1

thuộc ( C ) và có hoành độ là 1, tiếp tuyến của ( C ) tại M

1

cắt ( C ) tại M

2

, tiếp tuyến của ( )

M cắt ( ) M ,…. Cứ như thế mãi và tiếp tuyến của ( C ) tại ( ; )

2

C tại

3

2019

2018xn

+ y

n

+ 2 = 0 . Tìm n

A. 675. B. 672 . C. 674 . D. 673.

Câu 130. Cho hàm số

n n n

C tại

M x y thỏa mãn

3

y = x + 1 có đồ thị ( C ) . Trên đường thẳng d : y = x + 1 tìm được hai điểm M1 ( x1;

y1

)

, M ( x ; y ) mà từ mỗi điểm đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến ( C ) . Tính giá trị biểu thức

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2 2 2

3 2 2 1

S = ( y1 + y2 + y1 y2

) +

5 3

15

A. 113

15

. B.

41

15

14

59

. C. . D.

15 15 .

Câu 131. (THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm học 2018 - 2019) Cho hàm số

có đồ thị là ( C ) . Gọi M

1

là điểm trên ( )

tại điểm M

2

khác M

1

, tiếp tuyến của ( )

( ) M −

cắt ( C ) tại điểm

C tại

1

n

n

C có hoành độ

1

1.

C tại

2

x = Tiếp tuyến của ( )

M cắt ( C ) tại điểm M

3

khác

2

n = . Gọi ( ; )

M khác M − 1

với ( 4,5,...)

n

3

y = x − 2019x

C tại

1

M cắt ( C )

M , tiếp tuyến của

x y là tọa độ điểm M .

2019

Tìm n sao cho 2019xn

+ yn

+ 2 = 0.

A. n = 675 . B. n = 685 . C. n = 673. D. n = 674 .

Câu 132. (Nho Quan A - Ninh Bình - lần 2 - 2019) Cho đồ thị

3

y = x − 2019x

có đồ thị ( )

điểm trên ( C ) có hoành độ x

1

= 1. Tiếp tuyến của ( C ) tại M

1

cắt ( C ) tại

2

của ( C ) tại M

2

cắt ( C ) tại M

3

khác M

2

…, tiếp tuyến của ( C ) tại M

n − 1

cắt ( )

M

n− 1 ( n = 4;5;6;... ) . Gọi ( n;

n )

M . Tìm n để x y

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

n

n

C . Gọi M

1

là

M khác M

1

, tiếp tuyến

C tại

2013

x y là tọa độ của điểm

n

2019

n

+

n

+ 2 = 0 .

A. n = 685 . B. n = 679 . C. n = 672 . D. n = 675 .

Câu 133. Cho hàm số y f ( x)

= có đạo hàm liên tục trên R, thỏa mãn ( ) ( )

2

n

n

M khác

2 f 2x + f 1− 2x = 12x

. Viết

phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x)

tại điểm có hoành độ x = 1.

A. y = 2x

− 6 . B. y = 4x

− 6 . C. y = x + 1. D. y = 4x

− 2 .

Câu 134. Cho các hàm số y = f ( x)

, y g ( x)

= ,

( x)

( )

f

y = . Nếu các hệ số góc của các tiếp tuyến của các đồ

g x

thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x = 2019 bằng nhau và khác 0 thì:

1

1

1

1

A. f ( 2019)

> . B. f ( 2019)

< . C. f ( 2019)

≤ . D. f ( 2019)

≥ .

4

4

4

4

DẠNG 4. BÀI TOÁN QUẢNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC

Câu 135. (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

3 2

s = t − 3t + 5t

+ 2 , trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi

t = 3 là

2

2

2

2

A. 24 m/s . B. 12 m/s . C. 17 m/s . D. 14 m/s .

2

Câu 136. (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Một chất điểm chuyển động có phương trình s = 2t + 3t

( t tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t 0

= 2 (giây) bằng

A. 22 ( m / s ) . B. 19 ( m / s ) . C. 9 ( m / s ) . D. 11 ( / )

m s .

Câu 137. (Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Một chất điểm chuyển động có phương trình

4 2

S 2t 6t 3t

1

m . Hỏi gia tốc của chuyển

= + − + với t tính bằng giây ( s ) và S tính bằng mét ( )

động tại thời điểm t = 3( s)

bằng bao nhiêu?

2

2

2

2

A. 88 ( m / s ) . B. 228 ( m / s ) . C. 64 ( m / s ) . D. 76 ( / )

m s .

Câu 138. (ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Một chất điểm chuyển động có phương trình

2

s = 2t + 3t

(t tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t 0 = 2 (giây)

bằng.

16

A. 22 ( m / s ) .

B. 19 ( m / s ) .

C. 9 ( m / s ) .

D. 11 ( m / s ) .

Câu 139. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Một chất điểm chuyển động có vận tốc tức thời

4 2

v t phụ thuộc vào thời gian t theo hàm số v( t) = − t + 8t

+ 500 . Trong khoảng thời gian t = 0

( )

đến t = 5 chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm nào?

A. t = 1. B. t = 4. C. t = 2. D. t = 0.

Câu 140. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Một chất điểm chuyển động thẳng được xác

3 2

định bởi phương trình s = t − 3t + 5t

+ 2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc

của chuyển động khi t = 3 là:

2

2

2

2

A. 12 m/ s .

B. 17 m/ s .

C. 24 m/ s .

D. 14 m/ s .

Câu 141. (THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019) Một vật chuyển động

1 3 2

theo quy luật s( t) = − t + 12t

, t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động,

2

s (mét) là quãng đường vật chuyển động trong t giây. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 10

(giây) là:

80 /

90 /

100 /

70 m / s .

A. ( m s ) . B. ( m s ) . C. ( m s ) . D. ( )

1 3 2

Câu 142. (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s = − t + 9t với t (giây)

2

là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong

khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc

lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

216 /

30 /

400 /

54 m/

s

A. ( m s ) . B. ( m s ) . C. ( m s ) . D. ( )

Câu 143. (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - Lần 1 - Năm học 2018_2019) Một vật chuyển động có

S = t 4 −3t 3 − 3t 2 + 2t

+ 1 m , t là thời gian tính bằng giây. Gia tốc của vật tại thời

phương trình ( )

điểm t = 3s

là

2

A. 48 m/s . B.

2

28 m/s . C.

2

18 m/s . D.

2

54 m/s .

Câu 144. (Bình Giang-Hải Dương lần 2-2019) Bạn An thả bóng cao su từ độ cao 10m theo phương thẳng

đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng 3 độ cao trước đó.

4

Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.

A. 70 m . B. 40 m . C. 80 m . D. 50 m .

1 3 2

Câu 145. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Một vật chuyển động theo quy luật s = − t + 3t + 20 với

2

t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di

chuyển được trong khoảng thời gian đó. Quãng đường vật đi được tính từ lúc bắt đầu chuyển động

đến lúc vật đạt vận tốc lớn nhất bằng

A. 20 m . B. 28m . C. 32m . D. 36m .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

17

PHẦN B. LỜI GIẢI

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM

Chọn A

4

Ta có y′ = − y′ ( − 1)

= − 1.

x −1

Ta có f ( x)

( ) 2

Chọn A

′ =

1

( x + 4) 2

1

f ′( 2)

= .

36

Chọn B

y = x x + 1 x + 2 x + 3 = x 2 + x x 2 + 5x

+ 6

Ta có ( )( )( ) ( )( )

2 2

( 2 1)( 5 6) ( )( 2 5)

⇒ y′

= x + x + x + + x + x x +

y′ ( )

Chọn D

⇒ 0 = 6.

1

1 5

Ta có y′ = + 1 ⇒ y′ ( 4)

= + 1 = .

2 x

2 4 4

Chọn A

Ta có: y′ = 5cos x + 3sin x y′

π

= 3 .

2

Chọn A

Phương pháp tự luận:

Tập xác định: D = R .

4 2

Ta có: f ' ( x) = 5x + 3x

− 2 .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f ' 1 = 6; f ' − 1 = 6; f ' 0 = −2 f ' 1 + f ' − 1 + 4 f ' 0 = 4.

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng Casio

d ( x 5 + x 3 − 2x − 3) d ( x 5 + x 3 − 2x − 3) d ( x 5 + x 3 − 2x

− 3)

Bấm

+ − 4 = 4 .

dx x= 1 dx x=− 1 dx

x=

0

Chọn B

x +

Ta có

2 −

y = y′

=

3

x −1 x −1

−3 3

y′ ( 3)

= = − .

4

( 3 −1) 2

( ) 2

Chọn B

3 − 4 − x 1 −

2 4 4 ( 4 )

1

( 0)

lim 4 4 − − x − − x

x

f ′ = = lim = lim = lim

=

x→0 x x→0 4x x→0 x→0

4x 2 4 x 4 2 4 x 16

Chọn C

Cách 1: Tập xác định D = R .

2

x

3 x + 4 − ( 3x

+ 1 ).

2

f ' =

x + 4

=

( + − ) ( + − )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( x)

12 − x

2 2

( x + 4

2

) ( x + 4)

2 3

18

Câu 10.

Câu 11.

Câu 12.

Câu 13.

Câu 14.

Câu 15.

Câu 16.

Câu 17.

Câu 18.

Câu 19.

Câu 20.

Câu 21.

Câu 22.

Câu 23.

3

f '( 0)

= .

2

DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP (đa thức, chứa căn, phân

thức, hàm hợp)

Dạng 2.1 Tính đạo hàm

Chọn B

2

Ta có: y ' = 3x

+ 2.

Chọn C

n

n−1 *

+) Ta có: y = x y ' = n. x , ∀n

∈ N do đó các mệnh đề A, B, D đúng.

5 4

Vì y = x y ' = 5x

nên mệnh đề C sai.

Chọn C

Chọn D

Chọn C

′

( )

′ = − − = − .

4 3 3

y x 4x 3 4x 8x

Chọn C

Ta có y′ = 2x + 5x

− .

2x

Chọn C

′ 1

Ta có f '( x) = ( 2x

) = .

2x

Chọn B

3 2 1

Ta có y = x x + ( x − )

Chọn A

Ta có

' 3 . 5

2

y′ =

Chọn A

2 3 1

x

2

+ 1 −

x

2

( x + 3)

x

1

2

x

+ 1

=

x

+ ( x )

Ta có: f ( x) x 2 3 f '

( x)

'

Vậy S f ( ) f ( )

Chọn A

= + =

= 1 + 4 1 = 4.

'

2

Ta có y ' ( 2x 5x

4 )

1 5 7 5 7 5

2 2 x 2 2 x 2 2 x

2 2 2 5

= 3 x x + x x − = x x − = x − .

1−

3x

+ 1 x + 1

.

2 2

x

2

x + 3

.

2

( ) '

2x + 5x − 4 4x

+ 5

= + − = =

x x x x

Chọn B

Chọn D

D = R \ 0

Tập xác định { }

1

Có y′ = 2x

+ .

2

x

Chọn C

2 2

2 2 + 5 − 4 2 2 + 5 − 4

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2x

−2

y = y′

=

x −1 1

( x − ) 2

.

19

Câu 24.

Câu 25.

Câu 26.

Câu 27.

Câu 28.

Câu 29.

Câu 30.

Chọn D

−2x

y ' =

2

x + 5

Chọn B

( ) 2

2 2

x ( 4x − 3)( x + 2x + 3) − ( 2x + 2)( 2x − 3x

+ 7

2

− +

) x − x −

y′

=

2

2

+ 2 + 3 2

( + 2 + 3)

( x + 2x

+ 3)

2

2x

3 7

2

x x x x

y = =

Chọn D

2( x − b) − 2x − a −a − 2b

Ta có: f '( x)

= =

2 2

( x − b) ( x − b)

Chọn D

1−

x

′

′ 1−

x

′

f ′( x)

= 1− 4x

+ = ( 1− 4x

) +

x − 3 x − 3

′ ′ ′

= +

( 1− 4x) ( 1− x) ( x − 3) − ( 1− x)( x − 3)

−2 2

= +

2 1− 4x

( x − 3) 2

1−

4x

( x −3) 2

Chọn A

( 2x

− 1)( 2x

+ 1)

2

Ta có: y ' = 2 x + x +

2

2 x + x

2 2 2

4x + 4x + 4x − 1 8x + 4x

−1 = = .

2 2

2 x + x 2 x + x

2

8x

+ 4x

−1

Vậy y ' = .

2

2 x + x

Chọn A

6 6

2 2 2

Ta có: y ' 7( x 3x 7) ( x 3x 7 )' 7( 2x 3)( x 3x

7)

Chọn A

= − + + − + + = − + − + + .

2 2

2 2 2 2 1 2 2

2

y ' = 3. x − ' x − = 6 x + x −

x x x x .

1

1 2 1

3 −

2

2x

+ 1

y′ = x + x + 1 x + x + 1

′

=

3

3 2

3 x + x + 1

Câu 31. Ta có ( ) ( )

( )

3 2 3 2

Câu 32. y′ = 2( x − 2 x ).( x − 2x )

′ = 2( x 3 − 2x 2 )( 3x 2 − 4x)

′ u′

Câu 33. Ta có ( u ) = .

2 u

2

( 2 3x ′

2

′ − ) −6x −3x

f ′( x) = ( 2 − 3x

) = = = .

2 2 2

2 2 − 3x 2 2 − 3x 2 − 3x

Dạng 2.2 Một số bài toán tính đạo hàm có thêm điều kiện

Câu 34. Chọn D

1 3 2 2

y = x − 2x − 5x y′

= x − 4x

− 5

3

7 2 23

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2

.

5 4 3

= 6 − 20 + 16 .

.

x x x

2

20

y′ ≥ 0 ⇔ x 2 −4x −5 ≥ 0 ⇔ x∈( −∞; −1] ∪ [ 5; +∞ ) .

Câu 35. Chọn D

3 2 2

y = x + mx + 3x − 5 y′

= 3x + 2mx

+ 3.

Câu 36.

Câu 37.

2

y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ′ > 0 ⇔ m − 9 > 0 ⇔ m < −3 ∨ 3 < m .

Chọn A

3 2

2

y = x − 3x + 2017 y′

= 3x

− 3,

y′ < 0 ⇔ x − 1 < 0 ⇔ − 1 < x < 1.

Chọn C

3 2

f ′ x > 0 ⇔ 4x + 4x > 0 ⇔ 4x x + 1 > 0 ⇔ x > 0.

( ) ( )

Câu 38. Chọn B

2

Ta có y ' = 3( m −1) x − 6( m + 2) x − 6( m + 2).

Câu 39.

Câu 40.

Câu 41.

Câu 42.

' 2

∆ = + .

y' 27m 54m

m

− 1 > 0

y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⇔ ⇔ m ∈∅ .

∆ ≤ 2 m ≤ 0

m > 1

'

y '

0 { − ≤

Chọn A

y ' = 3 m + 2

2

x + 3 m + 2 x + 3 ≥ 0 => m + 2

2

x + m + 2 x + 1≥

0 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Để phương trình ( 1 ) luôn thỏa mãn ∀x

∈ R

TH1: m + 2 = 0 => m = − 2 => y ' = 1≥ 0, ∀x

∈R ( Nhận)

m

+ 2 > 0 m

> −2

m

> −2

TH2: m + 2 ≠ 0 => m ≠ − 2 => => => 2 m 2

2 => − < ≤

∆ ≤ 0 m

− 4 ≤ 0 −2 ≤ m ≤ 2

Kết hợp hai trường hợp: m = −2; − 1;0;1;2 .

Chọn B

2

f x = − x + 3mx − 12x + 3 f ′( x) = − 3x + 6mx

−12

( )

3 2

2

a

< 0 − 3 < 0

f ′( x ) ≤ 0 với ∀x

∈ R ⇔ − 3x + 6mx −12 ≤ 0 với ∀x

∈ R ⇔ ⇔

∆′

≤

2

0 9m

− 36 ≤ 0

⇔ −2 ≤ m ≤ 2 . Vì ∈ Z m ∈ −2; −1;0;1;2

. Vậy có 5 giá trị nguyên m thoả mãn.

Chọn C

f ' x = mx 2 − mx + 3−

m

m nên { }

Ta có ( ) ( )

+ Nếu m = 0 thì f '( x)

3 0 x R

+ Nếu m ≠ 0 thì f '( x) mx 2 mx ( 3 m)

= > ∀ ∈ ( thỏa mãn)

= − + − là tam thức bậc hai,

m > 0 m

> 0 12

f '( x)

> 0 ∀x ∈ R ⇔

⇔ 0 m

2

⇔ < <

2

∆ = m − 4m( 3 − m)

< 0 5m − 12m

< 0

5

12

Vậy 0 ≤ m < .

5

Chọn C

9

Tập xác định: D = 1;

.

5

2

− 5x

+ 7 9

Ta có f ( x) = − 5x + 14x −9 f '( x)

= , ∀x

∈ 1; .

2

− 5x

+ 14x

−9

5

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

21

Câu 43.

Câu 44.

Câu 45.

− 5x

+ 7 < 0

− 5x

+ 7

7 9

f '( x) < 0 ⇔ < 0 ⇔ 9 ⇔ < x < .

2

− 5x

+ 14x

− 9 1

< x < 5 5

5

Chọn C

D = −∞;0 ∪ 2; +∞ .

Tập xác định của hàm số là: ( ] [ )

2

x −1

x −1 2 − x + 3x

−1

f ′ x = . Vậy f ′( x) ≥ f ( x)

⇔ ≥ x − 2x

⇔ ≥ 0.

2 2

x −2x

x − 2x x − 2x

2

− x + 3x

−1

2

3− 5 3+

5

x∈ −∞;0 ∪ 2; +∞ , ta có:

≥ 0 ⇔ − x + 3x −1≥ 0 ⇔ x∈ ;

2

x − 2x

2 2

Ta có: ( )

2

Với ( ) ( )

3+

5

Kết hợp với điều kiện x∈( −∞;0) ∪ ( 2; +∞ ) , ta có: x ∈

2; .Mà x∈Z nên suy ra x∈∅ .

2

Vậy S = ∅ .

Chọn C

1

Với ∀ x > , ta có:

4

6 − 4x

( ) (

2 4 1

3 2 3 2x ′

′

4x 1 3 2x)( 4x

1 − x − −

− x

′ − − − − − )

4x

−1

−4x

− 4

= = =

.

4x −1

( 4x

−1) ( 4x

−1) ( 4x −1)

4x

−1

a

Do đó a = − 4, b = 4 = − 1.

b

y = 1+ 3x − x

2

2 y. y′

3 2x

y = 1+ 3x − x

2 2

= − 2. ( y′ ) 2

+ 2 y. y′′

= − 2 ( y′ ) 2 + y. y′′

= − 1

Câu 46. Tập xác định của hàm số là ( ; 1) ( 1; )

Câu 47.

Câu 48.

D = −∞ − ∪ +∞ . Khi đó ta có

x

Nghiệm của phương trình y′ y = x + ⇔ x − = x +

x −1

Tuy nhiên do điều kiện xác định nên phương trình vô nghiệm.

Trình bày lại

2

. 2 1 . 1 2 1

2

Tập xác định của hàm số là ( ; 1] [ 1; )

D = −∞ − ∪ +∞ . Khi đó ta có

x 2

Nghiệm của phương trình y′ . y = 2x

+ 1 ⇔ . x − 1 = 2x

+ 1

2

x −1

⇔ x = 2x

+ 1 ⇔ x = − 1: Không thỏa mãn.

KL:phương trình vô nghiệm.

= − + ′ =

2

y x 2x 3 y

Chọn A

2

− x + 2x

+ 3

y′ =

2

2

x + 3

2

( x − 2x

+ 3)

2

2 x − 2x

+ 3

′

=

2x

− 2

2

2 − 2 + 3

x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( )

2

′ = 0 ⇔ − + 2 + 3 = 0 ⇔ = −1∨ = 3 .

y x x x x

x

=

x

2

y′ =

x

x

2

− 1

.

suy ra x = 2x + 1 ⇔ x = − 1 .

y′ =

x −1

x

x

2

− 1

.

.ĐK: ( ; 1) ( 1; )

− 2x

+ 3

x ∈ −∞ − ∪ +∞ .

a = 1; b = − 1.

22

Câu 49.

Câu 50.

Câu 51.

Câu 52.

Câu 53.

Câu 54.

Chọn B

f ′

1

( 1)

= 3a − b 3a

− b = 1 a = −

2 b

f ′

5

( x) = 3ax

−

2 b b .

x f ′ ( − 2)

= 12a

− 12a

− = −2

8

4 4

−

b =

5

b 2

f ′( 2 ) = 6a

− = − .

2 5

Chọn B

Tập xác định: D = ( −∞ − m) ∪( − m +∞ )

Ta có

y ' =

5m

− 2

( x + 5m) 2

5m

− 2 > 0

YCBT ⇔

− 10 ≤ − 5m

m∈Z m∈

1;2 .

Vì { }

; 5 5 ; .

2

⇔ < m ≤ 2

5

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn YCBT

DẠNG 3. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN

Dạng 3.1 Tiếp tuyến tại điểm

Chọn B

3

TXĐ: D = R \

2

−5

Ta có f '( x)

=

2x

− 3

( ) 2

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x

0

= − 1:

−5 −1

f '( − 1)

= =

5

( 2. ( −1)

− 3) 2

Chọn C

Ta có y

3

4x 8x

′ = − , y′ ( − 1)

= 4.

Điểm thuộc đồ thị đã cho có hoành độ x = − 1 là: M ( − 1;2 ).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại ( 1;2 )

y = y′

( − 1)( x + 1)

+ 2 ⇔ y = 4( x + 1)

+ 2 ⇔ y = 4x

+ 6.

Chọn C

Ta có y

3

4x 8x

M − là:

′ = − , y′ ( − 1)

= 4

Điểm thuộc đồ thị đã cho có hoành độ x = − 1 là: M ( − 1;2 ).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại ( 1;2 )

y = y′

( − 1)( x + 1)

+ 2 ⇔ y = 4( x + 1)

+ 2 ⇔ y = 4x

+ 6 .

Chọn B

x = 3 y = 9 ;

−7

y′ = y '

2 ( 3)

= −7

.

x − 2

M − là:

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( )

Phương trình tiếp tuyến tương ứng là ( )

y = −7 x − 3 + 9 ⇔ y = − 7x

+ 30 .

23

Câu 55.

Câu 56.

Câu 57.

Câu 58.

Câu 59.

Câu 60.

Câu 61.

Câu 62.

Chọn C

2

y ' = x + 2x

− 2

( )

y ' 1 = 1+ 2 − 2 = 1

Phương trình tiếp tuyến của ( )

C tại điểm

1 1 2

y = y '( 1)( x − 1)

+ = x − 1+ = x −

3 3 3

Chọn D

2

y′ = 3x

− 3

M 1

1;

3 là:

Ta có y ( 2)

= 2 và y′ ( 2)

= 9 . Do đó PTTT cần tìm là: ( )

Chọn B

Tập xác định D = R .

Đạo hàm y′ = 3 − 8x

.

= ′ − + ∆ : y = 3x

.

Phương trình tiếp tuyến: y y( ). 0 ( x 0) y( 0)

Chọn C

2

+) y′ = − 3x

+ 3

+) Giao điểm của ( C ) với trục tung có tọa độ là ( − )

+) Tiếp tuyến của ( C ) tại điểm ( 0; −2)

y = y′

( 0)( x − 0)

− 2 ⇔ y = 3x

− 2.

0; 2 .

có phương trình là:

y = 9 x − 2 + 2 ⇔ y = 9x

−16

Chọn A

Tập xác định R .

3

y′ = 4x − 16 x.

y′ ( − 1) = 12.

M( −1; y

0) ∈( C) ⇔ y0

= 2.

Tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại M( −1;2)

có phương trình là y = y '( − 1)( x + 1) + 2 ⇔ y = 12x

+ 14.

Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình là y = 12x

+ 14.

Chọn A

D = R \ −1

.

Tập xác định { }

y =

x − 2

x 1

y′

=

3

+ ( ) 2

y ( 0)

= − 2 , ( )

y′ 0 = 3

x + 1

.

phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành độ

0

0

⇔ y = 3x

− 2.

Chọn B

D = R \ 1 .

TXĐ: { }

−2

y ' = y '(0) = −2

.

2

( x −1)

Với x = 0 y = − 3 .

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = −2x − 3 .

Chọn D

2

Ta có y′ = 3x

− 2 .

= 3 −0 − 2

x = là y ( x )

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Hệ số góc k của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm có hoàng độ bằng 1 bằng k y′ ( )

= 1 = 1.

24

Câu 63.

Câu 64.

Câu 65.

Câu 66.

Câu 67.

Câu 68.

Câu 69.

Chọn D

Ta có:

y′ =

−1

( 3x−2) 2

.

1

Gọi M là tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung⇒

M ⎛

⎜0;

− ⎞ ⎜⎝ 2⎟⎠ .

1

Vậy hệ số góc cần tìm là: k = y′ ( 0)

= − .

4

Chọn B

Tập xác định: D = R \{ 1}

x 1

Với y = 3 , ta có:

+ = 3 3 x − 3 = x + 1 ⇔ x = 2 .

x −1

2

Ta có: y′ = − .

x −1

( ) 2

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

2

k = y′ ( 2)

= − = −2

.

2 −1

( ) 2

Chọn C

2

Đặt y = f ( x) = x + x − 2

Ta có y ' = f '( x) = 2x

+ 1

f '( − 1) = −1

Tại x

0

= − 1

y0

= f ( − 1) = −2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = − ( x + 1) − 2 ⇔ y = −x −3 ⇔ x + y + 3 = 0 .

Chọn C

3 2 2

y = f x = x − 3x + 2 f ' x = 3x − 6x .

( ) ( )

Hệ số góc tiếp tuyến tại ( 1;0 )

Chọn A

Tập xác định: D = R \{ 1}

Theo bài ra ta có ( 0; 1)

I − .

A của đồ thị hàm số

. Ta có

y′ =

−2

( x −1) 2

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại I là y ( )

Chọn B

Ta có y′ =

−2

, y′

2 = −2

. Khi x = 2 thì y = 5 .

( x−1)

2

( )

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

( )

y = −2 x − 2 + 5 ⇔ y = − 2x

+ 9 .

.

f ' 1 = 3.1 − 6.1 = −3

.

3 2

2

y = x − 3x + 2 là ( )

−2

′ 0 = = −2

.

( 0 −1) 2

3x

−1

y = tại điểm có hoành độ x = 2 là

x − 1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Chọn B

Giao điểm của ( H ) và trục hoành là điểm ( 1;0)

M .

25

Câu 70.

Câu 71.

Câu 72.

Câu 73.

Câu 74.

Câu 75.

Câu 76.

Ta có

y′ =

3

( x + 2) 2

1

y′ = .

3

nên ( 1)

1

⇔ = − .

3

Phương trình tiếp tuyến với ( H ) tại điểm M là: y = y′

( 1)( x − 1)

+ 0 y ( x 1)

Chọn C

Hàm số y = −x

3 + 3x

2 + 9x

− 1 có đồ thị (C) có tập xác định D = R

′ = − 3 + 6 + 9 = 12 − 3 + 1 ≤ 12

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( C ) là y x 2 x ( x ) 2

Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là 12

Chọn A

y′ = 4x 3 + 4x y ′ 1 = 8.

Ta có ( )

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là ( )

Chọn B

Điều kiện x ≠ 1.

−2

Ta có y ' = y '

2

( 2)

= −2

.

x −1

y = 8 x − 1 + 4 = 8x

− 4.

( )

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A ( 2;3)

là: ( )

Do đó a = − 2; b = 7 a + b = 5 .

Chọn B

y 2 = 2 − 6.2 + 5 = − 3.

Ta có ( )

4 2

3

y ' 4x 12x

y ' 2 = 4. 2 − 12.2 = 8.

= − ( ) ( ) 3

y = −2 x − 2 + 3 = − 2x

+ 7 .

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y y '( 2 ).( x 2) y( 2)

y = 8( x − 2)

− 3 = 8x

− 19.

= − + .

Chọn C

x + 1

Gọi M ( x0;

y

0)

thuộc đồ thị của hàm số y = mà y

0

= − 2.

x − 2

x0

+ 1

Khi đó = − 2 ⇒ x0 + 1 = − 2( x0 − 2) ⇔ x0

= 1 ⇒ M ( 1; − 2)

.

x0

−2

−3

Ta có y′ = , suy ra y′ ( 1)

=− 3. Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

x − 2

( ) 2

tại M ( 1; − 2)

là y = −3( x−1)

− 2 = − 3x

+ 1.

x 1

y = +

x − 2

Dạng 3.2 Tiếp tuyến khi biết hệ số góc, quan hệ song song, vuông góc với đường thẳng cho trước

Chọn D

3

; 1

f x = x 3 + 1 C .

Gọi ( )

M a a + là điểm thuộc đồ thị hàm số ( ) ( )

2

Ta có f ′( x) = 3x

phương trình tiếp tuyến của ( )

2 3

y = 3a ( x − a)

+ a + 1 ⇔ y = 3a 2 x − 2a

3 + 1( ∆ ) .

2

3a

= 3

∆//

d ⇔

− + ≠ −

3

2a

1 1

a

= ± 1

⇔ a = − 1.

a

≠ 1

C tại M là:

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Vậy, có duy nhất điểm M thỏa mãn yêu cầu là ( 1;0 )

Chọn A

M − .

26

Câu 77.

Câu 78.

Câu 79.

Câu 80.

Câu 81.

3 2

y = x − 3x y′

= 3x

− 3

Gọi ( ; )

M x y là tiếp điểm.

0 0

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x

− 10 nên

( )

2

f ′ x = 3 ⇔ 3x − 3 = 3 ⇔ x = ± 2

0 0 0

+ Với x0 2 y0

2

= = − : phương trình tiếp tuyến là ( )

= − 2 y = 2 : phương trình tiếp tuyến là ( )

+ Với x0 0

Chọn A

x ; y là tọa độ tiếp điểm.

Gọi ( )

0 0

y = 3 x − 2 − 2 = 3x

− 4 2

y = 3 x + 2 + 2 = 3x

+ 4 2

2

Ta có y′ = − 3x + 6x

.

Vì tiếp tuyến của ( C)

vuông góc với đường thẳng

1

1

y = x + 2017 nên y′

( x0

). = −1

9

9

2

x0

= −1

⇔ y′

( x 0 ) = −9

⇔ − 3x0 + 6x0

+ 9 = 0 ⇔ .

x0

= 3

Với x

0

= −1

y0 1

y = − 9 x + 1 + 1 ⇔ y = −9x

− 8 .

Với x

0

= 3

0

3

= , suy ra PTTT là: ( )

y = − , suy ra PTTT là: y ( x )

= −9 −3 − 3 ⇔ y = − 9x

+ 24 .

Chọn A

M x ; y là tiếp điểm của tiếp tuyến. Theo giả thiết ta có

Gọi ( )

0 0

−3

( )

( ) 2 x0

= 0

f ′ x = −3 ⇔ = −3 ⇔ x − 1 = 1 ⇔ .

x0

= 2

( x −1)

0 2

0

0

Với x0 0 y0

1

= = − : Phương trình tiếp tuyến: ( )

= 2 y = 5: Phương trình tiếp tuyến: ( )

y = −3 x − 0 −1 ⇔ y = −3x

− 1.

Với x0 0

y = −3 x − 2 + 5 ⇔ y = − 3x

+ 11.

Ta thấy cả hai tiếp tuyến đều thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn C

Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x + 3y

+ 2 = 0 nên hệ số góc của tiếp tuyến là

k = 3.

3

2 x

= 0

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y ' = 3 ⇔ = 3 ⇔ ( x + 1) = 1 ⇔

2

( x + 1)

x

= −2

x

= 0

Vậy hoành độ tiếp điểm cần tìm là: .

x

= −2

Chọn D

2

Ta có: y′ = 3x − 6x

Lời giải

′ = 3 − = −1

2

Hệ số góc: k = y ( x0 ) x0 6x 0

= 9 ⇔ x0 = 3; x0

Phương trình tiếp tuyến tại M ( 3;1)

: ( )

Phương trình tiếp tuyến tại N ( −1; − 3)

: ( )

Chọn C

y = 9 x − 3 + 1 = 9x

− 26 .

y = 9 x + 1 − 3 = 9x

+ 6 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Gọi ( ∆ ) là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) và ( ; )

2

y ' = 3x − 6x

x y là tọa độ tiếp điểm.

0 0

27

Câu 82.

Câu 83.

Câu 84.

Câu 85.

Theo giả thiết: ( ∆ ) song song với ( d ) : y = 9x

+ 7 k = k = 9 = y '( x )

x x

x

Với x0 1 y0

2

2

0

⇔ 3

0

− 6

0

= 9 ⇔

x0

=

= −1

= − = − : ( ) ( )

= 3 y = 2 : ( ) ( )

Với x0 0

Chọn B

2

f '( x) = 3x − 6x

3

∆ : y = 9 x + 1 − 2 = 9x

+ 7 (loại)

∆ : y = 9 x − 3 + 2 = 9x

− 25 .

2

x

= −1

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x

+ 5 nên 3x

− 6x

= 9 ⇔

x

= 3

x = −1 y = −4, f ' − 1 = 9 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 9x

+ 5 (không thỏa)

Với ( )

Với x = 3 y = 0, f '( 3)

= 9 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 9( x − 3)

Chọn D

Gọi M ( x0; y

0)

là tiếp điểm.

1

y = 2x + 1 y ' = f '( x)

=

2x

+ 1

1

Ta có x − 3y + 6 = 0 ⇔ y = x + 2 Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 3

3

1 1 1

⇔ f '( x 0) = ⇔ = ⇔

0

4

0

3

3 2x

1 3

x = y

1 1 5

= PTTT: y − 3 = ( x − 4) ⇔ y = x + .

+

3 3 3

Chọn C

Ta có

y′ =

−2

( x −1) 2

Giả sử A( x ; y ) và ( ; )

1 1

.

0

B x2 y

2

với x1 x2

≠ .

Tiếp tuyến tại A và tại B song song nhau nên y′ ( x ) = y′

( x )

( x 1) ( x 1)

2 2

⇔ − = −

1 2

x1 − 1 = x2

−1

⇔ x1 + x2

= 2

x1 − 1 = − x2

+ 1

;

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

∆

d

1 2

Vậy trên đồ thị hàm số tồn tại vô số cặp điểm A( x y ) , ( ; )

1 1

0

1 1

⇔ =

2 2

( x −1) ( x −1)

2 2

1 2

B x y thỏa mãn x1 + x2 = 2 thì các

tiếp tuyến tại A và tại B song song nhau.

x1 + 1 x2

+ 1 2x1x2

− 2

* y1 + y2

= + = = 2 . Như vậy x1 + x2 = 2 và y1 + y2 = 2 hay đoan thẳng AB

x −1 x −1

x x −1

1 2

1 2

có trung điểm là tâm đối xứng ( 1;1 )

Chọn D

Tập xác định: D = \{ −1}

Ta có:

y ' =

m + 1

R .

.

I của đồ thị.

( x + 1) 2

Gọi M ( 0; −m) ∈ ( Cm

) ; k là hệ số góc của tiếp tuyến của ( m )

Do tiếp tuyến tại M song song với d nên k 3 y '( 0)

3

C tại M và d : y = 3x

+ 1.

= ⇔ = ⇔ 1+ m = 3 ⇔ m = − 2

Chú ý: Do đặc thù đáp án của câu này nên trong quá trình giải khi ra m = − 2 thì ta chọn ngay

đáp án, tuy nhiên trên thực tế để giải toán thuộc dạng này ta cần chú ý sau khi tìm ra m ta cần

28

Câu 86.

Câu 87.

Câu 88.

phải viết phương trình tiếp tuyến tại M để kiểm tra lại xem tiếp tuyến có song song với đường

thẳng đề bài cho không vì khi hai đường này trùng nhau thì hệ số góc của chúng vẫn bằng nhau.

Chọn B

M x ; y là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x của đồ thị hàm số

Gọi ( )

0 0

y x x

3 2

= − + 2 , khi đó ta có:

2

x0

= 1

y '( x0 ) = 1 ⇔ − 3x0 + 4x0

= 1 ⇔ .

x0

= 1/ 3

Với

0

1

1;1

x = ta được M ( ) , phương trình tiếp tuyến: ( )

y = 1. x − 1 + 1 ⇔ y = x (loại).

1

1 5

Với x

0

= ta được ;

3

M

3 27 , phương trình tiếp tuyến: 1 5 4

y = 1. x − + ⇔ y = x − .

3 27 27

Vậy chỉ có một tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

Giả sử ( ; )

M x y là tiếp điểm

0 0 0

2

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M ( x ; y ) là: ( )

Hệ số góc của đường thẳng

0 0 0

10

d : y = − 2x

+ là − 2

3

Tiếp tuyến song song với đường thẳng d thì

2

x0

= 1

⇔ x0 − 4x0

+ 3 = 0 ⇔

x0

= 3

4

= 1, = , ' = − 2

3

* Th1: x y f ( x )

0 0 0

Phương trình tiếp tuyến: '( )( )

* Th2: x y f ( x )

= 3, = − 4, ' = − 2

0 0 0

f ' x = x − 4x

+ 1

x

0 0 0

− 4x

+ 1 = − 2

2

0 0

y = f x x − x + y

0 0 0

Phương trình tiếp tuyến: '( )( )

10

y = − 2x

+ (loại)

3

y = f x x − x + y y = − 2x

+ 2 (nhận)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

0 0 0

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = − 2x

+ 2

Chọn C

29

Câu 89.

Câu 90.

Câu 91.

Câu 92.

Câu 93.

2

2

+ Ta có y′ = x + 6x

, y′ ( x0 ) = −9 ⇔ x0 + 6x0 + 9 = 0 ⇔ x0

= − 3 ( y

0

= 16)

+ Vậy y = y′

( x )( x − x ) + y = − ( x + ) + hay y − 16 = −9( x − 3)

.

0 0 0

9 3 16

Chọn B

2

y′ = 3x − 6x

Gọi hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến ∆ là x

0

.

3 2

Tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số y = x − 3x

+ 1 biết song song với đường thẳng y = 9x

+ 6

2

x0

= −1

y′

( x 0 ) = 9 3x0 − 6x0

= 9 ⇔ .

x0

= 3

Với x0 1 y( 1)

3

= − − = − phương trình tiếp tuyến là ( )

Với x = y( ) = phương trình tiếp tuyến là ( )

y = 9 x + 1 −3 y = 9x

+ 6 (loại).

0

3 3 1

y = 9 x − 3 + 1 y = 9x

− 26 (thỏa mãn).

Chọn D

3 2

Giả sử tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x + 2x

tại M( x0; y

0)

có dạng: y = y′

( x0 )( x − x0 ) + y0

x0

= 1

2

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x nên y′ ( x0) = 1 ⇔ − 3x0 + 4x0

= 1 ⇔

1

x0

=

3

+ Với x0 = 1, y0

= 1 phương trình tiếp tuyến là y = x (loại)

1 5

4

+ Với x0 = , y0

= phương trình tiếp tuyến là y = x − hay 27x

− 27 y − 4 = 0.

3 27

27

Vậy có một tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn D

3

y′ = − 4x + 4x

.

Gọi ( ; )

M x y là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên có hệ số góc bằng 0 .

0 0

x0

= 0

3

Suy ra y′ ( x 0 ) = 0 ⇔ − 4x0 + 4x0

= 0 ⇔

x0

= −1.

x0

= 1

Với x

0

= 0 thì y

0

= 0 , tiếp tuyến là: y = 0 (loại).

Với x

0

= − 1 thì y

0

= 1, tiếp tuyến là y = 1 (thỏa mãn).

Với x

0

= 1 thì y

0

= 1, tiếp tuyến là y = 1 (thỏa mãn).

Vậy có một tiếp tuyến song song với trục hoành có phương trình y = 1.

Chọn C

C song song với : y 3x

2

Vì tiếp tuyến của đồ thị ( )

có

3

x

y ( x )

x

+

( x0

2)

( )

( )

( ) 2 0

′

0

= 3 ⇔ = 3 ⇔

2

0

+ 2 = 1 ⇔

x0

= −

x0 = −1 d : y = 3( x + 1) − 1 = 3x

+ 2 (Loại).

x0 = −3 d : y = 3( x + 3) + 5 = 3x

+ 14 (Nhận).

Chọn A

3 2

2

Hàm số y = x − 3x

+ 2 , có y ' = 3x − 6 x.

.

∆ = + nên gọi toạ độ tiếp điểm là ( ; )

= −1

.

3

M x y ta

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

0 0

30

Câu 94.

Câu 95.

Câu 96.

Câu 97.

Gọi M ( x ; y ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị ( )

0 0

k = 3x − 6 x .

2

0 0

Tiếp tuyến của ( )

C song song với đường thẳng y = 9x

− 25 khi

2

x0 = −1 y0

= −2

3x0 − 6x0

= 9 ⇔

x0 = 3 y0

= 2

+ Với M ( −1; − 2)

phương trình tiếp tuyến của ( )

+ Với M ( 3;2)

phương trình tiếp tuyến của ( )

Vậy tiếp tuyến của ( C ) song song với y 3x

1

Chọn B

Tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng

Ta có:

y x

2

'( ) = x − 1

Xét phương trình:

C là y = 9x

+ 7.

C là y = 9x

− 25.

C , khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là

= + là y = 9x

+ 7 , nên ta có 1 tiếp tuyến cần tìm

1 2

y = − x + nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 3

3 3

2 2 x

= 2

y '( x) = 3 ⇔ x − 1 = 3 ⇔ x = 4 ⇔

x

= − 2

Do M có hoành độ âm nên x = − 2 thỏa mãn, x = 2 loại.

x = − thay vào phương trình ( C) y = 0 . Vậy điểm M cần tìm là: M ( − 2;0)

Với 2

Chọn A

Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm

Tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y = −3x

suy ra hệ số góc của tiếp tuyến ∆ là k = − 3.

Tiếp tuyến ∆ tại điểm

0 ( 0

;

0 )

Ta có

y′ =

−3

( x −1) 2

.

−3

0

y′ ( x0 ) = k ⇔ = −3

⇔

2

( x0

−1)

x0

=

+ Với x0 = 2 y0 = 5 M

0 ( 2;5)

Tiếp tuyến ∆ : ( )

+ Với x0 = 0 y0 = −1 M

0 ( 0; − 1)

Tiếp tuyến ∆ : ( )

M x y có phương trình dạng 3( )

x

= 2

.

0

y = −3 x − 2 + 5 ⇔ y = − 3x

+ 11.

y = −3 x − 0 −1 ⇔ y = −3x

− 1.

Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là y = − 3x

+ 11 và y = −3x

− 1.

Chọn C

3 2

Ta có: y′ = 4x − 9x + 4x

y = − x − x + y .

0 0

3 2

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 4x − 9x + 4x

= 7.

Phương trình có 1 nghiệm nên có 1 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7.

Chọn C

Vì tiếp tuyến song song với trục Ox nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 0 .

⎡ x0 = 0 ⇒ y0

= m−2

' 3

Gọi tiếp điểm là M ( x0;

y0) ∈ ( C)

, khi đó y ( x0 ) = 4x0 − 4x0

= 0 ⇔ ⎢

⎣x0

= ± 1⇒ y0

= m−3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

31

Câu 98.

Câu 99.

Đề có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox thì

Vậy tổng các giá trị của m là 3+2=5.

Chọn A

Ta có:

′ = − .

2

y 3x 6x

Vì tiếp tuyến của ( )

⎡⎧ m = 2

⎢⎪

⎨ ⎢⎪

⎪⎩ m−3 ≠ 0

⎢ ⇔ m = 3; m = 2

⎢⎪ ⎧ ⎪ m = 3

⎢⎪⎨

⎢⎪⎩ ⎣ m−2 ≠ 0

C song song với đường thẳng d : y = 9x− 25 nên có:

⎡ = −

3x − 6x = 9 ⇔ x −2x− 3 = 0 ⇔ ⎢

⎣ x = 3

+ Với x = −1 ⇒ y( − 1) = − 2 .

2 2

x 1

Phương trình tiếp tuyến: ( )

+ Với x 3 y(3) 2

y = 9 x + 1 + 2 ⇔ y = 9x

+ 11.

= ⇒ = . Phương trình tiếp tuyến: ( )

y = 9 x− 3 + 2 ⇔ y = 9x− 25 .

Vậy chỉ có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B

Ta có: d :12x + y = 0 d : y = − 12x

. Hệ số góc của đường thẳng d là k = − 12.

3 2

Do tiếp tuyển của đồ thị hàm số y = 2x −3x − 12x

+ 1 song song với đường thẳng d nên hệ số

góc của tiếp tuyển là k = k = − 12.

y x x x y x x

tt

3 2 2

= 2 −3 − 12 + 1 ' = 6 −6 − 12 .

d

Giải sử M( x0; y

0)

là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến. Khi đó:

2

x0

= 0 M (0;1)

y '( x0) = 6x0 − 6x0

− 12 = −12

⇔

x0

1

= M

(1; −12)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M (0;1) là: y = −12( x − 0) + 1 = − 12x

+ 1.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M (1; −12)

là: y = −12( x −1) − 12 = − 12x

(loại do trùng với d ).

Vậy y = − 12x

+ 1, như vậy a = − 12, b = 1 2a + b = − 23.

Câu 100. Chọn B

3

C là đồ thị hàm số y = x + 3x

− 1.

Gọi ( )

Có

y

2

′ = 3x

+ 3.

2 x

= 1 y = 3

y ' = 6 ⇔ 3x

+ 3 = 6 ⇔

x

= −1 y = −5

M là: y = 6x

− 3 .

Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm ( 1;3)

Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm ( 1; 5)

M ′ − − là: y = 6x

+ 1.

m

+ 1 = − 3 m

= −4

Để đường thẳng y = 6x + m + 1 là tiếp tuyến của ( C ) thì ⇔

m 1 1

+ = m

= 0

Câu 101. Chọn A

Ta không xét m = 0 vì giá trị này không ảnh hưởng đến tổng S .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

d

32

m ≠ đồ thị hàm số f ( )

Với 0

( I)

x tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi:

( )

2

x

2

kx − 2k − 1 = − x + 1

x

( d ) là tiếp tuyến của parabol y = − x + 1 khi và chỉ khi

4

có nghiệm

4

x

k = − 1

2

x

= 0 x

= 0

x = 4 k

= −1

⇔

⇔

x

x = 4

k 1

. Vậy ( d ) : y = − x + 1 hoặc ( d ) : y = x − 3 .

= −

2 k = 1

2

Câu 104. Ta có: y′ = 3x + 6mx + m + 1.

Với x

0

= − 1 thì y0 = 2m

− 1, gọi B ( −1;2m

− 1)

AB = ( −2;2m

− 4)

.

Tiếp tuyến tại B đi qua A nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = − m + 2 .

Mặt khác: hệ số góc của tiếp tuyến là k = y′

( x 0 ) .

Do đó ta có: 3( x ) 2

0

+ 6m0 x0 + m0 + 1= − m0

+ 2

1

⇔ 3− 6m0 + m0 + 1 = − m0

+ 2 ⇔ − 4m0

= −2

⇔ m0

= .

2

Câu 105. Chọn C

1− x + x − 2 −1

f '( x)

= =

2 2

(1 − x) (1 − x)

x0

− 2 −1

Phương trình tiếp tuyến của ( C)

tại M ( x0; y

0)

: y − = ( x − x

2 0)

1 − x0 (1 − x

0)

33

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( x)

( x)

f = 0

f ′ = 0

2 2 2 3

x x − mx − mx + mx + m − m =

3 2 2 3

x − 3mx + 3mx + m − 2m

= 0 2 3 2 0

⇔

⇔

2

3x 6mx 3m 0

2

− + =

x − 2mx = −m

2 2 3 2 2

− mx + 2mx + m − 2m = 0 − x + 2x + m − 2m

= 0

− − + =

⇔ ⇔

2

⇔

2

2

x − 2mx + m = 0 x − 2mx + m = 0

x − 2mx + m = 0 2

m

= 1

( 1) ⇔ ( x + m)( 1− m)

⇔

x

= −m

Với 1 2 x = 1thỏa mãn yêu cầu bài toán.

m = thay vào ( )

2 1

Với x = −m

thay vào ( 2) − 3m + m = 0 ⇔ m =

3

1 4

Vậy S = 1+ = 3 3

Dạng 3.3 Tiếp tuyến đi qua một điểm

( I)

( )

có nghiệm.

( )

2

2x 2mx 2m 2m

0 1

Câu 102. Phương trình đường thẳng qua điểm A( − 1;0 ) có dạng: y = a ( x + 1)

= ax + a ( )

Đường thẳng ( )

d là tiếp tuyến khi hệ

− + = +

2

3x − 6x + 2 = a

3 2

x 3x 2x ax a

d .

có nghiệm. Dễ thấy hệ có ba nghiệm

( a;

x ) phân biệt nên có ba tiếp tuyến.

Câu 103. Phương trình đường thẳng qua M ( 2; − 1)

có dạng y = k ( x − 2)

− 1 = kx − 2k

− 1 ( )

d .

Tiếp tuyến đi qua A( m;1)

x − 2 −1

− = − x ⇔ − x + m + = x ≠

0

2

1 (m

0) 2 x

2

0

6

0

3 0(

0

1)(1)

1 − x0 (1 − x

0)

Để có 1 tiếp tuyến qua A( m;1)

phương trình (1) có 1 nghiệm x0 ≠ 1

3

m = 3

∆ = 0 2 m =

⇔

⇔

⇔ 2

∆ > 0;2 − 6 + m + 3 = 0 3

m < ; m = 1 m

= 1

2

2

3

S = 1;

2 . Ta có 2 3 13

1 + =

2 4

Câu 106. ChọnB

Bằng các phép biến đổi đồ thị ta nhận được đồ thị hàm số như hình trên. Dễ thấy hàm số chẵn nên

đồ thị hàm số nhận trục tung là trục đối xứng. Dựa vào đồ thị hàm số ta chỉ cần tìm tiếp tuyến khi

2

x > a + 1, tiếp tuyến còn lại đối xứng với tiếp tuyến tìm được qua trục tung.

2

2 2

2

( b + 2) x ( b + 2)( a + 1)

Khi x > a + 1, ta có y = ; y ' = −

. Tiếp tuyến của đồ thi hàm số có

2

x − ( a +

2 2

1) [ x − ( a + 1)]

dạng

2 2

2

( b + 2)( a + 1) ( b + 2) x0

y = −

2 2 ( x − x0

) +

( d ) .

2

[ x0 − ( a + 1)] x0

− ( a + 1)

Theo giả thiết M ∈ ( d)

suy ra

Vì

x

Câu 107. Chọn C

2

2 2 2

x0

= a + 2

2 2 2 ( b + 2)( a + 1) x0 ( b + 2) x0

+ b + = + ⇔

2 2 2 2

[ x0 − ( a + 1)] x0 − ( a + 1) x0 = a +

2

( a 2) ( 2) 2

a + 3

2

2

> a + cho nên x = a + , suy ra phương trình tiếp tuyến là

0

1

0

2

y b a a x

Tiếp tuyến đối xứng với ( d ) qua trục tung có phương trình

2 2 2 2

= ( + 2)[( + 2) − ( + 1) ].

y b a a x

2 2 2 2

= ( + 2)[( + 2) + ( + 1) ].

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

TXĐ: R \{ 1}

.

34

y ' = −

1

( x −1) 2

Tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ ( )

1

− x + 2

y = − x − x + ∆

( ) ( ) 0

( )

2 0

x −1

x0

−1

0

x x ≠ của (C ) có phương trình.

0 0

1

đt ( ∆)

đi qua A( a ;1)

( ) ( ) 2

1

x0

− 2

2x0 − 6x0

+ a + 3 = 0 (*)

1= − a − x

2 0

− ⇔

x0

−1

x0 −1

x0

≠

Có duy nhất 1 tiếp tuyến qua A pt (*)

có duy nhất 1 nghiệm khác 1

∆ ' = 0 3− 2a

= 0 3 m

⇔

⇔ a m n 5

2

⇔ = = + =

2.1 − 6.1 + a + 3 ≠ 0 a

− 1 ≠ 0 2 n

Câu 108. Chọn D

2

Ta có: y′ = 3x − 6x

Phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số tại M ( x ; y ) có dạng

= ′( )( − ) + ( )( )

y y x x x y

0 0 0

đi qua nên ta được phương trình

2 3 2

2 = 3x −6x 3− x + x − 3x

+ 2

( )( )

0 0 0 0 0

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

0 0

y = 3x −6x x − x + x − 3x

+ 2 (1)

2 3 2

0 0 0 0 0

⎡ x

3 2 2

0

= 0

⇔ 2x0 − 12x0 + 18x0 = 0 ⇔ 2 x0 ( x

0

− 3 x) = 0 ⇔ ⎢

⎣x0

= 3

+) x

0

= 0 thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến d là y = 2 .

1

+) x

0

= 3 thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến d 2

là y = 9 x − 25 .

Vậy có 2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua ( 3;2)

A .

Ta cũng có thể sử dụng đồ thị của hàm số để suy ra đáp án

Câu 109. Chọn C

−1

ĐK: x ≠ 1;

y'

=

( x −1)

2

Đường thẳng d qua A có hệ số góc k là y = k( x − a ) + 1

− x + 2

k( x − a) + 1 = ( 1)

x −1

d tiếp xúc với ( C ) ⇔

có nghiệm.

−1

k =

2

( 2)

( x −1)

−1 − x + 2

2 2

Thế ( 2 ) vào ( 1 ) ta có: ( x − a) + 1 = ⇔ − x + a + x − 2x + 1 = − x + 3x − 2, x ≠ 1

2

( x −1)

x −1

( )

⇔ 2x 2 − 6x + a + 3 = 0 3

Để đồ thị hàm số có một tiếp tuyến qua A thì hệ là số nghiệm của hệ phương trình trên có nghiệm

duy nhất ⇔ phương trình ( )

3 có nghiệm duy nhất khác 1

35

∆ ' = 9 − 2a

− 6 = 0

− + + ≠

2 6 a 3 0

3

2

a

=

⇔ 2x − 6x + a + 3 = 0 (3) ⇔

2

∆ ' = 9 − 2a

− 6 > 0

a = 1

2 − 6 + a + 3 = 0

−1

Cách 2: TXĐ : D = R \{ 1}

; y′ =

x −1

Giả sử tiếp tuyến đi qua ( ;1)

tuyến có dạng :

( ) 2

A a là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = x0

, khi đó phương trình tiếp

−1

− x + 2

y = x − x + d

( ) ( ) 0

( )

2 0

x −1

x0

−1

0

Vì A∈ d nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có :

( ) ( ) 2

−1

− x0

+ 2

2x0 − 6x0

+ 3+ a = 0( 1)

1 = a − x

2 0

+ ⇔

x0

−1

x0 −1 x0

≠ 1

1 có nghiệm duy nhất khác 1

Để chỉ có một tiếp tuyến duy nhất đi qua A thì phương trình ( )

∆ ′ = 9 − 2a

− 6 = 0

3

1 6 a 3 0

− + + ≠ a =

⇔

2 .

∆ ′ = 9 − 2a

− 6 > 0

a

= 1

2 − 6 + a + 3 = 0

Dạng 3.4 Một số bài toán liên quan đên tiếp tuyến

Câu 110. Chọn B

2

Ta có y′ = 3x − 6x

+ 6

Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiểm điểm M ( x ; y ) thuộc đồ thị hàm số là

0 0

2 2

( ) ( ) ( ) 2

k = y′

x = 3x − 6x + 6 = 3 x − 2x + 1 + 3 = 3 x + 1 + 3≥

3

0 0 0 0 0 0

Vậy hệ số góc lớn nhất là 3đạt được tại M ( 3;19)

.

Câu 111. Chọn D

⎧

3⎫

Tập xác định: D = R \ ⎪

⎨−

⎪

⎬.

⎪⎩

2

⎪⎭

−1

Ta có y′ = < 0; ∀x ∈ D.

( 2x

+ 3) 2

Tam giác ∆ OAB cân tại O , suy ra hệ số góc của tiếp tuyến bằng ± 1.

−1

Do y′ = < 0; ∀x ∈ D ⇒ k 1.

( 2 3) 2

tt

= −

x +

Gọi tọa độ tiếp điểm là ( )

−1

x0; y0 ; x0

∈ D , ta có: = −1 ⇔ x

2

0

= −2∨ x0

= −1.

( 2x

+ 3 )

● Với x0 = −1⇒ y0

= 1⇒ phương trình tiếp tuyến y = − x (loại vì A ≡ B ≡ O ).

● Với x0 = −2 ⇒ y0

= 0 ⇒ phương trình tiếp tuyến y = −x− 2 (nhận).

⎧ 1

Vậy ⎪a

= −

⎨ ⇒ a + b = −3.

⎪ ⎪⎩ b = −2

Câu 112.

Lời giải

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

0

36

Chọn A

Giả sử tiếp tuyến của ( C ) tại M ( x ; y ) cắt Ox tại A , Oy tại B sao cho OA = 4OB

.

0 0

OB 1

Do tam giác OAB vuông tại O nên tan A = = ⇒ Hệ số góc tiếp tuyến bằng 1 OA 4

4 hoặc 1

− .

4

1

1 1 ⎡ x0

= 3

Hệ số góc tiếp tuyến là f ′( x0 ) = − < 0 ⇒ − = − ⇔ .

2

2

( x0

−1)

( x0

−1)

4 ⎢

⎣x0

= −1

5 1 13

x0 = 3 ⇒ y0

= : d : y =− x + .

2 4 4

3 1 5

x0 = −1 ⇒ y0

= : d : y = − x + .

2 4 4

Câu 113. Chọn D

3 2

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − mx + (2m − 3) x −1tại tiếp điểm

( 0;

0 )

2

( )

M x y là:

y′ x = 3x − 2mx + 2m

− 3

0 0 0

3 0

Hệ số góc luôn dương ⇔ y′

( x ) ( ) 2

0

> 0, ∀x >

0

∈ R ⇔ ⇔ m − 3 < 0 ⇔ m∈∅

∆ ′ < 0

Câu 114. Chọn D

x + 2

Tập xác định của hàm số y =

2x

+ 3

là 3

D = R \ −

.

2

−1

Ta có: y′ = < 0, ∀x ∈ D .

( 2x

+ 3) 2

Mặt khác, ∆ OAB cân tại O hệ số góc của tiếp tuyến là − 1.

3

Gọi tọa độ tiếp điểm ( x0 ; y

0 ) , với x0

≠ − .

2

−1

Ta có: y′ = = −1 ⇔ x

2

0

= −2 ∨ x0

= −1.

2x

+ 3

( )

0

Với x0 = −1 y0

= 1. Phương trình tiếp tuyến là: y = − x loại vì A ≡ B ≡ O .

Với x0 = −2 y0

= 0 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −x

− 2 thỏa mãn.

Vậy d : y = ax + b hay d : y = −x − 2 a = − 1; b = −2 a + b = − 3 .

Câu 115. Chọn D

1 3 3 2 3 2

+ y = f ( x) = x − x + 2 f '( x)

= x − 3x .

2 2 2

3 2

Hệ số góc tiếp tuyến tại A( a; y

A ) của đồ thị ( C ) là f '( a) = a − 3a .

2

3 2

Hệ số góc tiếp tuyến tại B ( b; y

B ) của đồ thị ( C ) là f '( b) = b − 3b

2

( a ≠ b vì A và B phân biệt).

3 2 3 2

Mà tiếp tuyến tại A và B song song nên f '( a) = f '( b) ⇔ a − 3a = b − 3b

2 2

3 2 2

1 1 a

= b ( l)

⇔ ( a − b ) −3( a − b) = 0 ⇔ 3( a − b)

a + b − 1

= 0 ⇔ ⇔ b = 2 − a .

2 2 2 a

+ b = 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

37

1 3 3 2 1 3 3 2

+ A ; − + 2 ; ; − + 2

a 2 a 2 a B b 2 b 2

b

.

1 3 1 3 3 2 3 2 1

2 2

BA

a − b; a − b − a + b = ( a − b)( 2; a + ab + b − 3a − 3b

)

2 2 2 2 2

n a 2 + ab + b 2 − 3a − 3 b; − 2 = a 2 − 2a − 2; −2

.

véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AB là ( ) ( )

Phương trình đường thẳng AB đi qua

( )( )

1 3

2 2

2 3 2

a − 2a − 2 x − a − 2. y − a − a + 2 = 0 .

Mà đường thẳng AB đi qua D ( 5;3)

( )( )

2 a

= −1

1 3

2 2

1 3

2 2 5 2. 3

2

0

2 2

3 2

A a; a − a + 2 có véc tơ pháp tuyến n là

2 3 2

a − a − − a − − a − a + =

⇔ a − 2a

− 3 = 0 ⇔ .

a

= 3

Với a = −1, phương trình đường thẳng AB là x + 1− 2y = 0 ⇔ x − 2y + 1 = 0 .

Với = 3

a , phương trình đường thẳng AB là ( )

Cách trắc nghiệm

x − 3− 2. y − 2 = 0 ⇔ x − 2y + 1 = 0 .

Dễ thấy AB đi qua điểm uốn ( )

( 4;2) = 2( 2;1)

ID véc tơ pháp tuyến n của đường thẳng AB là n ( 1; 2)

Câu 116. Chọn D

M ∈ d : y = 1− 2 x M m;1− 2m

.

• ( )

I 1;1 đường thẳng AB trùng với đường thẳng ID .

• Phương trình đường thẳng đi qua M có dạng: y = kx + 1− 2m − km .

• Điều kiện để qua M có hai tiếp tuyến với ( )

C là:

x + 3

= kx + 1− 2m − km

x − 1

có 2 nghiệm phân biệt.

4

k = −

( x −1) 2

x + 3 4 4

⇔ = − x + 1− 2m

+

m có 2 nghiệm phân biệt.

2 2

x −1 x −1 x −1

( ) ( )

( )

2

⇔ mx + 2 2 − m x − m − 2 = 0 (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

m

≠ 0

⇔

m

≠ − 1

• Khi đó, 2 nghiệm của phương trình (*) là hoành độ của hai điểm A, B.

+) Cho 2 :

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

− .

m = 2x ( ) ( )

2 − 4 = 0 ⇔ x = ± 2 A 2;5 + 4 2 , B − 2;5 − 4 2

Phương trình đường thẳng AB: y = 4x

+ 5 .

x

= −1

2

5

+) Cho m = 3: 3x − 2x − 5 = 0 ⇔

5 A' ( −1; −1 ), B ' ;7

x = 3

3

Phương trình đường thẳng A’B’: y = 3x

+ 2 .

• H là điểm cố định nên H là giao điểm của hai đường thẳng AB và A’B’:

38

OH =

Câu 117. Chọn C

58

4xH − yH = − 5 xH

= 3

⇔ H

3xH − yH = − 2 yH

= 7

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f ( x)

( 3;7 )

= và đường thẳng y = 1 là:

3 2

3 2

x

= 0

x + 3x + mx + 1 = 1 ⇔ x + 3x + mx = 0 ⇔

.

2

x + 3x + m = 0

2

Để hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình x + 3x + m = 0 phải có hai nghiệm

2

3 − 4.1. m > 0 − 4m

> −9

9

m

<

phân biệt khác 0 ⇔

⇔

2

⇔ 4 .

0 + 3.0 + m ≠ 0 m

≠ 0

m

≠ 0

0;1 ; C x ; y , ở đó

Với điều kiện trên, hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt A ( ) , B( x y ) , ( )

x

B

,

C

x là nghiệm của phương trình

f ′ x = 3x + 6x + m .

Ta có: ( )

2

2

x x m

+ 3 + = 0 .

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f ( x)

2

2

k = f ′( x ) = 3x + 6x + m ; ′( ) 3 6

B B B B

C C C C

= tại B , C lần lượt là

k = f x = x + x + m .

Để hai tiếp tuyến này vuông góc thì k . k = − 1.

2 2

Suy ra: ( xB xB m)( xC xC

m)

3 + 6 + 3 + 6 + = − 1

B

( ) 2 2 2 2 2 2

x x x x mx x x x x mx mx mx m

C

⇔ 9 + 18 + 3 + 18 + 36 + 6 + 3 + 6 + = − 1

B C B C B B C B C B C C

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

B C B C B C B C B C B C

⇔ 9 x x + 18x x x + x + 3m x + x + 36x x + 6m x + x + m + 1 = 0 .

xB

+ xC

= −3

2 2

Ta lại có theo Vi-et:

. Từ đó x ( ) 2

B

+ xC = xB + xC − 2xBxC

= 9 − 2m .

xBxC

= m

9 2 18 3 3 9 2 36 6 3 2

2

m + m − + m − m + m + m − + m + 1 = 0 ⇔ 4m

− 9m

+ 1 = 0

Suy ra: ( ) ( ) ( )

9 + 65

m

=

8

⇔

(thỏa mãn).

9 − 65

m

=

8

9 + 65 9 − 65 9

Vậy S = + = .

8 8 4

Câu 118. Chọn C

f ′( x) [ g ( x)

+ 1] − g′

( x) [ f ( x)

+ 3]

f ′( 1) [ g ( 1)

+ 1] − g′

( 1) f ( 1)

+ 3

Ta có: y′ =

y′

( 1)

=

[ g ( x)

+ 1] 2

[ g ( 1)

+ 1] 2

Vì y′ ( 1) = f ′( 1) = g′

( 1)

≠ 0 nên ta có

f ′( 1) [ g ( 1)

+ 1] − g′

( 1) [ f ( 1)

+ 3]

g ( 1) + 1− [ f ( 1)

+ 3]

= f ′( 1)

⇔ = 1

2

g ( 1)

+ 1

g ( 1)

+ 1

[ ]

[ ] 2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

B

B

C

C

[ ]

g ( 1) + 1− [ f ( 1)

+ 3] = [ g ( 1)

+ 1] 2

2

( ) [ ( )] ( )

11

( )

1

f 1 = − g 1 − g 1 − 3 = − − g 1

4

+

2

2

39

( )

11

f 1 ≤ −

4

Câu 119. Chọn A

x + 1 −2

y = y ' =

2

( x ≠ 1)

.

x −1 x −1

( )

a + 1 ∈

a −1

Giả sử M a;

( C)

( 1)

2 2

( ) ( ) ( )

⇔ 2x + a −1 y − a + 2a

− 1 = 0 ∆ .

Hai đường tiệm cận của ( )

Ta có ( ) ( x 1)

∆ ∩ = tại

a > phương trình tiếp tuyến tại

C là x = 1; y = 1.

a + 3

A1;

a −1

, ( ∆) ∩ ( y = 1)

tại ( 2 1;1)

B a − .

2

2 4 4

−4 2 2

AB = ( 2a − 2) + = ( a − 1) + 4 = ( a − 1)

+ 4 .

a −1

a −1 a −1

( ,( ))

d O

∆ =

a

2

+ 2a

−1

( a )

4 + −1

Vậy S

( a )

∆OAB

4

.

( a )

− 2 a + 1

M : y = x − a +

a − 1

( ) ( )

2

a −1

2

( ) ( )

2 2

1 2 4

a + 2a −1 a + 2a

−1

a − 1 + 4 a − 1 + 2

= . − 1 + 4.

= =

2 a −1 4

4 + −1

a −1 a −1

= a − 1 + 2 4 4 2 ( a 1 ). 2 4 2 2

a −1 + ≥ + − a −1

= + .

Câu 120. Chọn D

Ý nghĩa hình học, đạo hàm cấp 1 của hàm số y f ( x)

hàm số y = f ( x)

tại điểm ( 0;

( 0 ))

= tại x

0

là hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị

x f x . Quan sát hình vẽ ta thấy hệ số góc tiếp tuyến tại A bằng 0

Hệ số góc tiếp tuyến tại B dương (tiếp tuyến đi lên từ trái qua phải);

Hệ số góc tiếp tuyến tại C âm (tiếp tuyến đi xuống từ trái qua phải)

Câu 121. Chọn A

Nhận xét: Đồ thị hàm số không thể có tiếp tuyến là đường thẳng song song với trục tung.

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng ∆ đi qua A .

y = k x + 1 − 1

Phương trình đường thẳng ∆ : ( )

Để ∆ tiếp xúc với ( C ) thì hệ sau phải có nghiệm:

3 2

x − 3( m + 3) x + 3 = k ( x + 1) −1 ( 1)

( I ) :

2

3x − 6( m + 3) x = k

( 2)

3 2 2

x − 3( m + 3) x + 4 = 3x ( x + 1) − 6( m + 3) x ( x + 1)

3 2

⇔ 2x − ( 3m + 6) x − 6( m + 3) x − 4 = 0 (*)

Một tiếp tuyến ∆ : y 1

1

= − , suy ra: k = 0

( )

x

= 0

2

3x − 6 m + 3 x = 0 ⇔

x

= 2( m + 3)

Với x = 0 , k = 0 thay vào (1), không thỏa mãn.

x = 2 m + 3 , k = 0 thay vào (1) ta được:

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Với ( )

40

( ) ( ) ( )

3 3 3

8 m + 3 − 12 m + 3 + 4 = 0 ⇔ m + 3 = 1 ⇔ m = − 2

Thử lại, với m = − 2 thay vào hệ (I), ta được:

3 2

x − 3x + 3 = k ( x + 1)

−1

2

3x − 6x = k

3 2 2 3 x

= 2

( )( )

x − 3x + 3 = 3x − 6x x + 1 −1 ⇔ x − 3x

− 2 = 0 ⇔

x

= −1

Với x = 2 k = 0 , tiếp tuyến: y = − 1.

Với x 1 k 9

= − = , tiếp tuyến: ( )

y = 9 x + 1 − 1 = 9x

+ 8 .

Với m = − 2 xét sự tương giao của đồ thị hàm số với đường thẳng ∆ : y = 9x

+ 8 .

2

Xét phương trình:

3 2 3 2 2

x

= −1

x − 3x + 3 = 9x + 8 ⇔ x − 3x − 9x − 5 = 0 ⇔ ( x + 1) ( x − 5)

= 0 ⇔

x

= 5

Tọa độ giao điểm còn lại có hoành độ bằng 5. Không thỏa mãn đề bài.

Câu 122. Chọn B.

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d qua A .

Ta có phương trình của d có dạng: y = kx + m − k .

d tiếp xúc ( )

C ⇔ hệ sau có nghiệm:

Để qua A có thể được đúng 3 tiếp tuyến tới ( )

⇔

y m y

CT

< < với ( )

3

CĐ

2

Ta có ′( ) ′( )

( ) ( )

3 2

kx + m − k = x + x +

f x = − 2x + 6x

+ 1.

f x = − 6x + 6; f x = 0 ⇔ x = ± 1.

f 1 = 5 = fCĐ; f − 1 = − 3 = fCT

.

Suy ra − 3 < m < 5 .

Vậy số phần tử của S là 7 .

Câu 123. Chọn B

Tập xác định: D = R \{ 1}

x 1

Với y = 3 , ta có:

+ = 3 3 x − 3 = x + 1 ⇔ x = 2 .

x −1

2

Ta có: y′ = − .

x −1

Câu 124. Chọn D

( ) 2

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

2

k = y′ ( 2)

= − = −2

.

2 −1

( ) 2

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số

( )

y′ x = 3x − 2mx + 2m−

3

2

0 0 0

2 2

k 3x 6x k 3x 6x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 125. Chọn D

( )

3

3 1 m = − 2x + 6x

+ 1 *

⇔

= +

= +

C thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt

3 2

= − + (2 −3) −1tại tiếp điểm M ( x ; y ) là:

y x mx m x

3 0

⇔ y x0 > 0, ∀x0

∈ ⇔ > ⇔ m − 3 < 0 ⇔ m ∈∅

∆ ′ < 0

Hệ số góc luôn dương ′( ) R

( ) 2

0 0

41

y ' =

−1

. Theo đề x ( )

( x −1) 2

0

y0 y x0

Suy ra pttt ∆ là: y = − x + 3 .

Tiếp tuyến ∆ cắt các trục ,

bởi ∆ và các trục tọa độ bằng:

Câu 126. Chọn A

2x

+ 3

Ta có y = ( C )

x + 2

D = R \ −2

TXĐ: { }

y ' =

1

( x + 2) 2

= 2; = 1; ' = − 1.

Ox Oy lần lượt tại ( 3;0 ), ( 0;3)

1 9

S = . OAOB . = .

2 2

Gọi phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) tại điểm ( ; )

1

2x0

+ 3

( d) : y = .

2

( x − x0

) +

x + 2

( x + 2)

0

Ta có ( d) Ox A( 2x 2

0

6x0

6;0)

0

A B . Do đó diện tích tam giác được tạo

M x y có dạng

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

0 0

2

2x0 + 6x0

+ 6

∩ = − − − ; ( d) ∩ Oy = B

0;

2

( x0

+ 2)

d chắn trên hai trục tọa độ tam giác OAB luôn vuông tại O

Ta thấy tiếp tuyến ( )

2x

+ 6x

+ 6

Để tam giác OAB cân tại O ta có OA = OB −2x − 6x

− 6 =

1

x

= −3

0

⇔ = 1 ⇔

2

( x0

+ 2)

x0

= −

1

2

2 0 0

0 0 2

( x + 2)

Ta có hai tiếp tuyến thỏa mãn ( d) : y = x và ( d) : y = x + 2 .

Câu 127. Chọn D

f ′( 2 ). g ( 2) − f ( 2) g′

( 2 ) k1. g 2 − k2. f 2

Ta có: k1 = f ′( 2)

, k2 = g′ ( 2)

; k3 = =

2 2

g 2 g 2

Mà k1 k2 k3

k

= = 2 ≠ 0 nên ta có:

2 k3. g ( 2) − 2 k3. f ( 2)

2

= f ( ) g ( ) g ( ) g

( )

g ( 2)

3 2

Câu 128. Chọn A

y′ = −

1

( x − 2) 2

*) A = d ∩ d1

. Tiếp tuyến tại điểm

( )

0

( ) ( )

( )

1 1 2 1 1

⇔ 2 = − . 2 + 2 = − . 2 1

2 2

− + ≤ .

2 2

( )

M

2x

− 3

0

x0;

( ) 0

2

x0

− 2

x ≠ của ( )

1

2x

− 3

d : y = − x − x + .

− 2

y

= 2

1

( ) ( ) 2x0

− 3

y = − x x

2 −

0 +

x0

− 2

x0

− 2

( ) ( ) 0

2 0

x − 2

x0

0

C có phương trình là:

42

1

2x

− 3

2 = − − +

( ) ( ) 0

x x

2 0

x − 2

x0

− 2 ( ) ( x x )

2 0

x − 2

0

( 2x

2;2)

A − .

0

*) B = d ∩ d2

1 1

− =

x − 2

x

= 2

1

( ) ( ) 2x0

− 3

y = − x x

2 −

0 +

x0

− 2

x0

− 2

1

2x

− 3 2x0

− 2

y = − 2 − x + ⇔ y =

− 2 x − 2

( ) ( ) 0

2 0

x − 2

x0

0

*) Suy ra: AB 4( x 2)

= − +

2

( x − 2)

0 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi 4( x 2)

4

Vậy min AB = 2 2 .

Câu 129. Chọn C

2

Có: y ' = 3x − 2018 .

0

2

2

− =

0

≥

0

( x − 2)

0 2

0

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

0

2x

− 2

.

0

B 2;

x0

− 2

( x0

− ) ( x − 2 )

2.2 2 .

Gọi d

n

là tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M

n

.

Có điểm 1 ( 1; 2017)

( ) ( )

d và ( C ) là:

Phương trình hoành độ giao điểm của

1

x

2

0

2

1

2

⇔ 4

0

= ± .

1 1

x = 2x

− 2

4

= 2 2 .

d : y + 2017 = y ' 1 . x −1 ⇔ d : y = −2015x − 2 .

3 3

x1

= 1

x − 2018x = −2015x − 2 ⇔ x − 3x

+ 2 = 0 ⇔ .

x2

= −2

M

2

−2;4028

d2 : y − 4028 = y '( − 2 ).( x + 2 ) ⇔ d2

: y = − 2006x + 16 .

Có điểm ( )

Phương trình hoành độ giao điểm của

2

d và ( )

C là:

3 3

x2

= −2

x − 2018x = − 2006x + 16 ⇔ x −12x

− 16 = 0 ⇔ .

x3

= 4

4; − 8008 d : y + 8008 = y' 4 . x − 4 ⇔ d : y = −1970x −128

.

Có điểm 3 ( )

( ) ( )

d và ( C ) là:

Phương trình hoành độ giao điểm của

3

3 3

3 3

x3

= 4

x − 2018x = −1970x −128 ⇔ x − 48x

+ 128 = 0 ⇔ .

x4

= −8

x1

= 1

x2

= −2

1 n

3

n 3

n

yn = xn − 2018x n

.

2

x4

= −8

...

2019 3 2019

Giả thiết: 2018x + y + 2 = 0 ⇔ 2018x + x − 2018x

+ 2 = 0

n−1

Suy ra ta có dãy ( x ) : x = 4 x = ( − 2 ) = − .( −2)

n n n n n

n−

( ) ( ) ( )

3 2019 3 2019 3 3 2019

⇔

n

= − ⇔

n

= − ⇔ − = − ⇔ − = ⇔ =

x 2 x 2 2 2 3n 3 2019 n 674 .

0

43

Câu 130. Chọn B

Giả sử M d : y x 1

∈ = + , ta gọi M ( a; a + 1)

. Đường thẳng ∆ đi qua M ( a; a + 1)

phương trình là: y = k( x − a) + a + 1.

Đường thẳng ∆ tiếp xúc với ( )

3

x + = k x − a + a +

3x

2

có hệ số góc k có

C khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

3 2

1 ( ) 1 g( x) = 2x − 3ax + a = 0 *

⇔

.

2

= k

3x

= k

C khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân

Từ M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến ( )

biệt ⇔ hàm số

( )

g x =

′

3 2

y g( x) 2x 3ax a

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

⇔ n = 674.

44

( )

= = − + có hai điểm cực trị x

1

,

2

2

2

0 ⇔ g ( x) = 6x − 6ax

= 0 có hai nghiệm phân biệt

1

2 x

= 0

Xét g '( x) = 0 6x − 6ax

= 0 ⇔ .

x

= a

a

≠ 0 a

≠ 0

a

= −1

Ta có: g(0) = 0 ⇔ − a = 0 ⇔ .

a 1

3 =

g( a) 0

= − a + a = 0

Suy ra: M1 ( − 1;0)

và M 2 ( 1;2 ) .

3 2 2 1 3 2 1 41

Vậy: S = ( y1 + y2 + y1 y2

) + = ( 0 + 2 + 0.2)

+ = .

5 3 5 3 15

Câu 131. Chọn D

M x ; y , với

Ta có ( )

n n n

Phương trình tiếp tuyến của ( )

đó

k

= 3x

− 2019 .

2

n−1 n−1

y = x − 2019 x , ∀n

≥ 1 .

3

n n n

C tại điểm M − 1

với 2

Mà M

n

∈ ( dn

− 1)

với n ≥ 2 nên ta có = ( − ) +

2

⇔ yn − yn− 1

= ( 3xn− 1

− 2019)( xn − xn−

1)

3 3 2

⇔ xn − 2019xn − xn− 1

+ 2019xn− 1

= ( 3xn− 1

− 2019)( xn − xn−

1)

n

y k x x y

n n−1 n n−1 n−1

x ,

2

2 2 2

( xn xn− 1)( xn xn xn− 1

xn− 1

2019) ( 3xn− 1

2019)( xn xn−

1)

2 2

( xn xn− 1)( xn xn xn− 1

2xn−

1)

0

⇔ − + + − = − −

⇔ − + − =

2

( x x ) ( x x )

⇔ − + 2 = 0

n

n n−1 n n−1

⇔ x − = (loại vì M ≠

1) hoặc x + 2

1

= 0 (nhận)

xn

− 1

0

⇔ x = − 2 với n ≥ 2 .

n

xn

− 1

n−

Suy ra x ( 2) x ( 2)

n

Hơn nữa:

n

1 n−

1

1

M

n −

n

xn

−

= − = − với n ≥ 1 (vì x

1

= 1).

2019

2019xn

+ yn

+ 2 = 0

⇔ + − + =

3 2019

2019xn xn 2019xn

2 0

( ) ( n−

2 ) = ( −2)

⇔ −

⇔ 3n

= 2022

3 1 2019

.

g x = hoặc

x thỏa mãn ( 1)

0

x và g ( x ) = hoặc ( )

1

0

n ≥ là ( ) ( )

n−1 n−1 n−1 n−1

g x = .

2

0

d : y = k x − x + y , trong

Câu 132. Chọn C

2

y′ = 3x

− 2019 .

3

Gọi M ( x ; x 2019x ) ( C)

− ∈ .

k k k k

Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M

k

là:

2 3

∆

k

: y = ( 3xk − 2019)( x − xk ) + xk − 2019xk

.

M = k + 1 ( C)

∩ ∆ , ( )

k

x ≠ k+ 1

x . k

Suy ra ( )( )

x − 2019x = 3x − 2019 x − x + x − 2019x

3 2 3

k + 1 k + 1 k k + 1 k k k

xk

+ 1

= xk

⇔ 2 2 2

xk + 1

+ xk + 1xk + xk − 2019 = 3xk

− 2019

⇔ xk

+ 1

= − 2xk

(vì x ≠ k + 1

x ) nên ( )

k

x

n

là một cấp số nhân với x

1

= 1, công bội q = − 2 .

n−1 n−1

3n−3 n−1

xn

= x1 ( − 2) = ( − 2)

. Suy ra y n

= ( −2) − 2019( − 2)

.

1

Do đó 2019 2 0 2019( 2) n

n

x y

( ) ( )

n−

( ) ( )

3 3 2013

n

2013 − 3 −3 n−1

2013

+ + = ⇔ − + −2 − 2019 − 2 + 2 = 0

⇔ − 2 = −2 ⇔ 3n

− 3 = 2013 ⇔ n = 672

Câu 133. Chọn D

n

2

Đạo hàm hai vế 2 f ( 2x) + f ( 1− 2x) = 12 x (1) ta có ( ) ( )

1

2 f ( 0) + f ( 1)

= 0

Thay x = 0, x = lần lượt vào (1) ta được

f ( 1)

= 2 .

2

2 f ( 1) + f ( 0)

= 3

1

4 f '( 0) − 2 f '( 1)

= 0

Thay x = 0, x = lần lượt vào (2) ta được

f ( )

2

4 f '( 1) − 2 f '( 0)

= 12

4 f ' 2x − 2 f ' 1− 2x = 24 x (2) .

' 1 = 4 .

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x)

tại điểm có hoành độ x = 1 là

( )

y = 4 x − 1 + 2 = 4x

− 2 .

Câu 134. Chọn C

f ( x)

f ′( x) . g ( x) − g′

( x) . f ( x)

Đặt h( x)

= . Ta có h′ ( x)

=

.

g ( x)

g ( x)

2

Các hệ số góc của các tiếp tuyến của các đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x = 2019

f ′( 2019 ). g ( 2019) − g′

( 2019 ). f ( 2019)

tương ứng là f ′( 2019)

, g′ ( 2019)

, h′ ( 2019)

=

( 1 ) .

g

( 2019)

2

g ( 2019) − f ( 2019)

Vì f ′( 2019) = g′ ( 2019) = h′

( 2019)

≠ 0 nên ( 1)

⇔ 1 =

( 2 ) .

g

( 2019)

2

( 2019)

Đặt t = g ( 2019)

thì ( 2 ) trở thành 1 t −

= f 2

( t ≠ 0)

.

t

2 1 1 1 1 1

f ( 2019)

= − t + t − + = −t

− + ≤ . Đẳng thức xảy ra

4 4 2 4 4

1

Vậy f ( 2019)

≤ .

4

2

1

⇔ t = (nhận, vì t ≠ 0).

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Câu 135. Chọn B

DẠNG 4. BÀI TOÁN QUẢNG ĐƯỜNG, VẬN TỐC

45

Câu 136. Chọn D

Ta có: s′ ( t) t 2 t a( t) s′′

( t) t a( )

= 3 − 6 + 5 = = 6 − 6 3 = 12

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm 0

2

Câu 137. Chọn B

a t = S = t + t − t +

′′

= t +

Ta có ( ) ′′ ( )

2 4 6 2 3 1 24 2 12

2

m/s .

t = (giây) là: v ( 2) = s′

( 2) = 11 ( m / s)

2

2

Vậy tại thời điểm t = 3 thì gia tốc của chuyển động bằng: a ( 3) = 24.3 + 12 = 228 ( m / s ) .

Câu 138. Chọn D

Phương trình vận tốc của chất điểm được xác định bởi v = s′

= 4t

+ 3 .

Suy ra vận tốc của chất điểm tại thời điểm 0 2

v 2 = 4.2 + 3 = 11.

Câu 139. Chọn C

t

= 0

3

Ta tính v′ ( t) = − 4t + 16t = 0 ⇔

t = −2( L)

t

= 2

v 0 = 500, v 2 = 516, v 5 = 75

Ta có ( ) ( ) ( )

Hàm số v( t ) liên tục trên [ ]

Câu 140. Chọn A

Ta có: Vận tốc của chuyển động v t s t t

t = (giây) bằng ( )

0;5 nên chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm t = 2.

2

( ) = '(t) = 3 − 6 + 5.

2

Gia tốc của chuyển động a( t) = v'(t) = 6 t− 6. Khi t = 3 a( t) = 12 m / s .

Câu 141. Chọn B

3 2

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là : v( t) = s '( t)

= − t + 24t

.

2

3

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 10 (giây) là: v( 10 ) = − 10 2 + 24.10 = 90 ( m / s)

.

2

Câu 142. Chọn D

Vận tốc tại thời điểm t

3 2

là v( t) = s′

( t) = − t + 18t

với t ∈ [ 0;10]

.

2

Ta có : v′ ( t) = − 3t + 18 = 0 ⇔ t = 6 .

Câu 143. Chọn B

Suy ra: v( 0) = 0; v( 10) = 30; v( 6)

= 54 . Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng 54 ( / )

S = f t = t − t − t + t +

4 3 2

( ) 3 3 2 1

f t t t t

3 2

'( ) = 4 − 9 − 6 + 2

2

a( t) = f ''( t) = 12t −18t

− 6

2

2

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 3s

là a (3) = 12.3 −18.3 − 6=

48 m/s .

Câu 144. Chọn A

3

Đặt h1 = 10( m)

. Sau lần chạm đất đầu tiên, quả bóng nảy lên độ cao là h2 = h1

.

4

3

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao h

2

, chạm đất và nảy lên độ cao h3 = h2

, rồi rơi từ độ cao h

3

và tiếp

4

3

tục như vậy. Sau lần chạm đất thứ n từ độ cao h

n

quả bóng nảy lên độ cao h = n+ 1

hn

4

. Tổng

quãng đường bóng đi được từ lúc thả đến khi dừng:

m s .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

46

h h 3

S = h1 + h2 + + hn

+ + h2 + h3 + + hn

+ ...

= + = h1 h1

m

3 3 + =

1−

1−

4

4 4

Câu 145. Chọn B

3 2

Ta có v( t) = s ' = − t + 6t . Ta đi tìm max v

2

( )

( t ) .

0; +∞

v' t = − 3t + 6 v ' t = 0 ⇔ t = 2

1 2

( .... ...) ( ... ) 4 70 ( )

( ) ( )

BBT

( )

( ) ( )

max v t = v 2 = 6 .

0; +∞

1 3 2

Vậy quãng đường vật đi được là: s = − .2 + 3.2 + 20 = 28m.

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

47

TOÁN 11

ĐẠO HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1D5-3

PHẦN A. CÂU HỎI

Câu 1. Cho hàm số ( )

2

u x có đạo hàm tại x là u′ . Khi đó đạo hàm của hàm số y = sin u tại x là

A. y′ = sin 2u

. B. y′ = u′

sin 2u

. C. y′ = 2sin 2u

. D. y′ = 2u′

sin 2u

.

Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số y = sin 2x − cos x

A. y′ = 2cos x + sin x . B. y′ = cos 2x + sin x .

C. y′ = 2cos 2x + sin x . D. y′ = 2cos x − sin x .

Câu 3. Đạo hàm của hàm số y = 4sin 2x

+ 7 cos3x+ 9 là

A. 8cos 2x

− 21sin 3x

+ 9 . B. 8cos 2x

− 21sin 3x

.

C. 4cos 2x

− 7sin 3x

. D. 4cos 2x

+ 7sin 3x

.

Câu 4. Tính đạo hàm của hàm số f ( x) sin x cos x 3

= + + là:

A. f ′( x) = sin x − cos x . B. f ( x) cos x sin x 3

′ = + + .

C. f ′( x) = cos x − sin x . D. ( ) sin cos

f ′ x = − x − x .

Câu 5. Đạo hàm của hàm số y = cos 2x

+ 1 là

A. y¢ = - sin 2x

. B. y¢ = 2sin 2x

. C. y¢ = - 2sin 2x

+ 1. D. y¢ = - 2sin 2x

.

Câu 6. Đạo hàm của hàm số y = cos ( 2x

+ 1)

là:

A. y' = 2sin ( 2x

+ 1)

B. y' = − 2sin ( 2x

+ 1)

C. y' = − sin ( 2x

+ 1)

D. y' sin ( 2x

1)

f x = sin x là:

Câu 7. Đạo hàm của hàm số ( )

2

A. f '( x)

= 2sin x . B. f '( x)

= 2cos x .

C. f '( x) = − sin ( 2x)

. D. f '( x) sin ( 2x)

= .

= + .

Câu 8. Tìm đạo hàm của hàm số y = tan x .

1

1

A. y′ = − . B. y′ = . C. y′ = cot x . D. y′ = − cot x .

2

2

cos x

cos x

Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số y = x sin x

A. y = sin x − x cos x . B. y = x sin x − cos x . C. y = sin x + x cos x . D. y = x sin x + cos x .

2

Câu 10. Đạo hàm của hàm số y = cos x + 1 là

x

2

A. y′ = − sin x + 1 . B.

2

x + 1

x

2

C. y′ = sin x + 1 . D.

2

2 x + 1

x

2

y′ = sin x + 1 .

2

x + 1

x

2

y′ = − sin x + 1.

2

2 x + 1

Câu 11. Đạo hàm của hàm số y = tan x − cot x là

1

4

4

1

A. y′ = . B. y′ = . C. y′ = . D. y′ = .

2

2

2

2

cos 2x

sin 2x

cos 2x

sin 2x

Câu 12. (KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Tính đạo hàm của hàm số

y = cos2x

.

1

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

A.

sin 2x

y′ = . B.

2 cos2x

−sin 2x

y′ = . C.

cos2x

π

Câu 13. Với x ∈ 0; , hàm số 2 sin 2 cos

2 y = x − x có đạo hàm là?

A. y′ =

cos x sin x

+ .

sin x cos x

B.

C. y′ =

cos x sin x

− .

sin x cos x

D.

sin 2x

y′ = . D.

cos2x

y′ =

1 1

+ .

sin x cos x

y′ =

1 1

− .

sin x cos x

−sin 2x

y′ = .

2 cos2x

3π

Câu 14. Đạo hàm của hàm số y = sin − 4x

2 là:

A. − 4 cos 4x . B. 4 cos 4x . C. 4sin 4x . D. − 4sin 4x

Câu 15. Tính đạo hàm của hàm số y = sin 2x − 2cos x + 1 .

A. y′ = − 2cos 2x + 2sin x . B. y′ = 2cos 2x + 2sin x .

C. y′ = 2cos 2x − 2sin x . D. y′ = − cos 2x − 2sin x

Câu 16. Biết hàm số y = 5sin 2x − 4cos5x

có đạo hàm là y′ = asin5x + bcos2x

. Giá trị của a − b bằng:

A. − 30 . B. 10 . C. − 1. D. − 9 .

Câu 17. Cho hàm số f ( x) = acosx + 2sin x − 3x

+ 1. Tìm a để phương trình f '( x ) = 0 có nghiệm.

A. a < 5 . B. a ≥ 5 . C. a > 5 . D. a < 5 .

Câu 18. Đạo hàm của hàm số y = cos3x

là

A. y = sin 3x

. B. y = − 3sin 3x

. C. y = 3sin 3x

. D. y = − sin3x

.

Câu 19. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho ( )

3

f x = sin ax , 0

2

A. f ′( π ) = 3sin ( aπ ).cos( aπ

) . B. f ( π ) 0

C. f ′( π ) = 3a sin

2

( aπ

) . D. f ′( π ) = 3 a.sin 2

( aπ ).cos

( aπ

).

′ = .

a > . Tính f ′( π )

Câu 20. (THPT THĂNG LONG - HÀ NỘI - 2018) Cho hàm số f ( x) = sin 2x

. Tính f ( x)

Câu 21.

A. f ′( x) = 2sin 2x

. B. f ′( x) = cos 2x

. C. f ′( x) = 2cos 2x

. D. ( )

cos 4x

(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính đạo hàm của hàm số y = + 3sin 4x

.

2

A. y′ = 12cos 4x − 2sin 4x

. B. y′ = 12cos 4x + 2sin 4x

.

C. y′ = − 12cos 4x + 2sin 4x

.

1

D. y′ = 3cos4x − sin 4x

.

2

′ .

1

f ′ x = − cos 2 x .

2

Câu 22. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Tính đạo hàm của hàm số ( )

2

.

A. f ′( x) = 2sin 4x − 3sin 3x

. B. ( ) 2sin 4 3sin 3

f ′ x = x + x .

C. f ′( x) = sin 4x + 3sin 3x

. D. ′( ) = 2sin 2 + 3sin 3

f x x x

f x = sin 2x − cos3x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2 2

Câu 23. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Cho f ( x) = sin x − cos x − x . Khi đó f '( )

A. 1− sin 2x . B. − 1+ 2sin 2x . C. − 1+ sin x.cos

x . D. 1+ 2sin 2x .

x bằng

2

π

Câu 24. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018)Tính f ′

2 biết ( ) cos x

f x =

1 + sin x

A. − 2 . B. 1 2 . C. 0 . D. 1

− .

2

Câu 25. (THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Cho hàm số y = cos3 x.sin 2x

. Tính

Câu 26.

y′ π

3 .

A. 1 2 . B. 1

− . C. − 1. D. 1.

2

(THPT HẢI AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018)Tính đạo hàm của hàm số

6 6 2 2

y = sin x + cos x + 3sin x cos x .

A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 .

Câu 27.

π

(SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKI I - 2018) Với x ∈ 0; , hàm số 2 sin 2 cos

2 đạo hàm là?

A. y′ =

cos x sin x

1 1

+ . B. y′ = + .

sin x cos x

sin x cos x

C. y′ =

cos x sin x

1 1

− . D. y′ = − .

sin x cos x

sin x cos x

PHẦN B. LỜI GIẢI

Câu 1. Chọn B

y′ =

2

sin u = 2sin u. sin u = 2sin u.cos u. u′ = u′

sin 2u

.

Ta có ( ) ( )

Câu 2. Chọn C

y = sin 2x − cos x y′

= 2cos 2x + sin x .

Câu 3. Chọn B

Ta có: y′ = 8cos2x − 21sin 3x .

Câu 4. Chọn C.

Câu 5. Chọn D

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

Câu 10.

Ta có y cos 2x

1 Þ y¢

= cos 2x + 1 ¢ = - 2x ¢ sin 2x + 1 ¢ = - 2sin 2x

.

= + ( ) ( ) ( )

Chọn B

y = cos 2x + 1 y' = − 2x + 1 '.sin 2x + 1 = − 2sin 2x

+ 1

( ) ( ) ( ) ( )

Chọn D

f ' x = 2sin x. sin x ' = 2sin x.cos x = sin 2x

.

( ) ( )

Chọn B

1

Ta có: y = tan x y′

= .

2

cos x

Chọn C

Áp dụng công thức tính đạo hàm của một tích ( u. v)' = u ' v + v ' u ta có

( x sin x)' = ( x)'sin x + x(sin x) ' = sin x + x cos x

Vậy y = x sin x y ' = sin x + x cos x

Chọn A

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

3

Câu 11.

Câu 12.

( )

2

′

2 x

2

y′ = − x + 1 .sin x + 1 = − sin x + 1 .

2

x + 1

Chọn B

1 1 1 4

y = tan x − cot x y′

= +

2 2

2 2 2

cos x sin x

= sin x.cos x = sin 2x

.

Chọn B

( cos2x)

′

−2sin 2x −sin 2x

Ta có: y′ = = = .

2 cos2x 2 cos2x cos2x

−sin 2x

Vậy y′ = .

cos2x

Câu 13. Chọn A.

Câu 14.

Câu 15.

Câu 16.

Câu 17.

Câu 18.

cos x sin x cos x sin x

Ta có: y′ = 2⋅ + 2⋅

= + .

2 sin x 2 cos x sin x cos x

Chọn D

Ta có

3

y sin π

4x sin π

4x sin π

= − = π

+ − = − − 4x = − cos 4x

y′ = ( − cos 4x)

′ = 4sin 4x

.

2 2 2

Chọn B

y′ = 2cos 2x + 2sin x .

Chọn B

a

= 20

Ta có y′ = 10cos2x + 20sin5x

. Suy ra: . Vậy a − b = 10

b

= 10

Chọn B

2 2

f '( x) = 2cosx − asin x − 3 = 0 có nghiệm ⇔ 4 + a ≥ 9 ⇔ a ≥ 5 ⇔ a ≥ 5 .

Chọn B

Xét hàm số

y = cos3x

.

Ta có y′ = ( cos 3x) ′ = − ( 3x)

′ sin 3x = − 3sin 3x

.

Vậy y′ = − 3sin 3x

.

f x sin ax f ′ x = 3a sin ax cos ax .

3

2

Câu 19. ( ) = ( )

( )

2

f ′ π = 3a sin aπ .cos aπ

= 0 .

f ′ x = x .

Câu 20. Ta có f ( x) = sin 2x

, suy ra ( ) 2cos 2

Câu 21. Ta có y′ = − 2sin 4x + 12cos 4x

.

f ′ x = 2sin 2 x. sin 2x ′ + 3sin 3x = 2.2.sin 2 x.cos 2x + 3sin 3x

= 2sin 4x

+ 3sin 3x

.

Câu 22. ( ) ( )

f x = sin x − cos x − x cos 2x x f ' x = 2sin 2x

− 1.

Câu 23. Ta có ( )

2 2

Câu 24. Ta có ( ) ( )

Câu 25. Ta có y ( cos3 x) .sin 2x cos3 x. ( sin 2x)

= − − ( )

cos x

1 π 1 1

f x = f ′ x = − f ′ = − = −

1+ sin x

1+ sin x 2 π

1+

sin

2

2

′ = ′ + ′ = − 3sin 3 x.sin 2x + 2 cos 3 x.cos 2x

.

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

Do đó

2 2

y π

′ = − 3sin π.sin π + 2cos π.cos π = 1.

3

3 3

4

3

Câu 26. Có: ( ) ( )

Câu 27.

= + − + + = 1.

2 2 2 2 2 2 2 2

y sin x cos x 3sin x cos x sin x cos x 3sin x cos x

y ' = 0 .

cos x sin x cos x sin x

Ta có: y′ = 2 ⋅ + 2 ⋅ = + .

2 sin x 2 cos x sin x cos x

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

5

TOÁN 11

VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO

1D5-4.5

PHẦN A. CÂU HỎI

DẠNG 1. VI PHÂN

Câu 1.

3 2

x x

Vi phân của hàm số y = − + 5x

+ 1 là

3 2

2

dy = x − x + 6 dx

. B.

A. ( )

C.

2

x x

dy

= − + 5dx

3 2

Câu 2. Tính vi phân của hàm số ( )

2

2

dy x x 5

= − + .

2

. D. d ( )

y = x − x + 5 dx

.

f x = 3x − x tại điểm x = 2 ứng với ∆ x = 0,1

A. df ( 2)

= 1. B. df ( 2)

= 10 . C. df ( 2)

= 1,1 . D. ( )

Câu 3. Vi phân của hàm số y = xsin x + cos x là

A. dy = (2sin x + xcos x)

dx . B. dy = xcos

xdx .

C. dy = xcos

x . D. dy = (sin x + cos x)

dx .

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Tìm vi phân của hàm số

A.

dy =

1

1+

x

2

y

2

= 1+ x .

dx . B. dy =

x

1+

x

2

dx . C. dy =

df 2 = − 1,1 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

2x

1+

x

2

dx . D. dy =

1+

x

D. Đáp án khác.

1

2

1+

x

4x

+ 5

Vi phân của hàm số f ( x)

= tại điểm x = 2 ứng với ∆ x = 0,002 là

− x + 1

A. df (2) = 0,018 . B. df (2) = 0,002 . C. df (2) = 9 . D. df (2) = 0,009 .

DẠNG 2. ĐẠO HÀM CẤP CAO

(Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho hàm số

y′′ của hàm số là

A.

C.

3 2

y′′ = 5x − 12x

+ 1. B.

2 3

′′ = − . D.

y 20x 36x

5 4

y x x x

2

dx .

= − 3 + + 1 với x∈ R . Đạo hàm

4 3

′′ = − .

y 5x 12x

3 2

′′ = − .

y 20x 36x

π

Câu 7. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = − 3cos x tại điểm x0

= .

2

π

π

π

π

A. y′′ = −3. B. y′′ = 5. C. y′′ = 0 . D. y′′ = 3.

2

2

2

2

Câu 8. Cho hàm số f ( x) = ( 3x

− 7) 5

. Tính f ′′ ( 2)

.

A. f ′′ ( 2)

= 0 . B. f ′′ ( 2)

= 20 . C. f ′′ ( 2)

= − 180 . D. ( )

Câu 9.

2

Cho y = 2x − x , tính giá trị biểu thức A = y 3 . y '' .

A. 1. B. 0 . C. − 1.

Câu 10. Đạo hàm cấp hai của hàm số

3x

+ 1

y = là

x + 2

f ′′ 2 = 30 .

A.

y′′ =

10

( x + 2) 2

B.

y′′ = −

5

( x + 2) 4

C.

y′′ = −

( x + 2) 3

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

5

D.

y′′ = −

10

( x + 2) 3

2

Câu 11. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos x là

A. y′′ = − 2cos2x

. B. y′′ = − 2sin 2x

. C. y′′ = 2cos2x

. D. y′′ = 2sin 2x

.

3 2

Câu 12. Cho hàm số y = x − 3x + x + 1. Phương trình y′′ = 0 có nghiệm.

A. x = 2 . B. x = 4 . C. x = 1. D. x = 3 .

f x = x . Khi đó

Câu 13. Cho hàm số ( ) cos

f

( 2017 )

( )

x bằng

A. sin x . B. − cos x . C. cos x . D. − sin x .

2

Câu 14. Cho hàm số y = sin x . Khi đó y ''( x ) bằng

1

A. y '' = cos2x . B. P = 2sin 2x . C. y '' = 2cos2x . D. y '' = 2cos x .

2

1

Câu 15. Cho hàm số y = − . Đạo hàm cấp hai của hàm số là

x

( 2)

2

A. y

3 .

( 2)

−

= B. y

2 .

( 2)

−

= C. y =

3 . D. y

x

x2

x2

( 2)

2

=

2 .

x

3

Câu 16. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x) = x + 2x

, giá trị của ( 1)

Câu 17.

Câu 18.

Câu 19.

Câu 20.

A. 6 . B. 8 . C. 3 . D. 2 .

(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Cho hàm số

y x x

f ′′ bằng

2

= 1+ 3 − . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. ( y′ ) 2 + y. y′′

= − 1. B. ( y′ ) 2 + 2 y. y′′

= 1. C. y. y′′ − ( y′

) 2

= 1. D. ( y′ ) 2 y. y′′

1

+ = .

2

( 3)

π

(THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y = cos x . Khi đó y

3 bằng

A. − 2 . B. 2 . C. 2 3 . D. − 2 3 .

(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hàm số

( )

y

2

= sin 2x

. Giá trị của biểu

3

thức y + y′′ + 16y′

+ 16y

−8

là kết quả nào sau đây?

A. − 8 . B. 0 . C. 8 . D. 16sin 4x .

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Cho hàm số

( 10)

π

y = sin 3 x.cos x − sin 2x

. Giá trị của y gần nhất với số nào dưới đây?

3

A. 454492 . B. 2454493. C. 454491. D. 454490 .

Câu 21. (THPT THĂNG LONG - HÀ NỘI - 2018) Cho hàm số f ( x)

A.

8

− B. 2 27

9 . C. 8

27

1

=

2x

1

− . Tính ( 1)

D.

4

− .

27

f ′′ − .

Câu 22. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số y = sin 2x

. Hãy

âu đúng.

y 2 + y′ = 4. B. 4y

− y′′ = 0. C. 4y

+ y′′ = 0 . D. y = y 'tan 2x

.

A. ( ) 2

2

Câu 23.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Đạo hàm bậc 21 của hàm số

f x = cos x + a là

A.

C.

( ) ( )

( 21

f )

( x)

= − cos

x + a +

π

2

( 21

f )

( x)

= cos

x + a +

π

2

. B. ( 21 )

( )

. D. ( )

( )

f x = − sin

x + a +

π

2 .

21

f x = sin

x + a +

π

2 .

Câu 24. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f ( x) ( 3x 2 2x

1) 9

Câu 25.

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

của hàm số tại điểm x = 0 .

6

A. f 0 = − 60480 . B.

( )

( )

( 6 )

( )

f 0 = − 34560 . C.

(SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Cho hàm số

A.

( )

( )

2018 2017

y π = 2 . B.

PHẦN B. LỜI GIẢI

DẠNG 1. VI PHÂN

Chọn B

2

( )

dy = x − x + 5 dx

.

Chọn C

f ′ x = x −

( ) 6 1

( ) ′( )

df 2 = f 2 . ∆ x = 11.0,1 = 1,1

( )

( )

2018 2018

y π = 2 . C.

y

( 6 )

( )

= − − . Tính đạo hàm cấp 6

f 0 = 60480 . D.

2

= sin x . Tính

( )

( )

( 2018 )

( π )

( 6 )

( )

f 0 = 34560 .

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

y

2018 2017

y π = − 2 .D.

Chọn B

dy = ( x sin x + cos x) ' dx = (1.sin x + x.cos x) − sin x dx = x cos xdx .

( )

Chọn B

2

2

′ 1+

x ′ x

Ta có dy = ( 1+ x ) dx = = dx .

2 2

2 1+ x 1+

x

Chọn A

9

f '( x)

= 2

( − x + 1)

.

4x

+ 5

Vi phân của hàm số f ( x)

= tại điểm x = 2 ứng với ∆ x = 0,002 là

− x + 1

df (2) = f '(2). ∆ x = 9.0,002 = 0,018 .

DẠNG 2. ĐẠO HÀM CẤP CAO

Chọn D

5 4

4 3 3 2

Ta có y = x − 3x + x + 1 y′ = 5x − 12x + 1 y′′

= 20x − 36x

.

Chọn C

y = −3cos

x y′ = 3sin x; y′′

= 3cos x .

π

y′′ = 0 .

2

Chọn C

( ) = ( 3 − 7) 5

f x x

( )

( )

2018 2018

y π = − 2 .

3

Câu 9.

Câu 10.

Câu 11.

Câu 12.

Câu 13.

Câu 14.

Câu 15.

f ′( x) = 15( 3x

− 7) 4

.

f ( x) 180( 3x

4) 3

Vậy f ′′ ( 2)

= − 180 .

′′ = − .

Chọn C

1−

x

−1

Ta có: y ' = , y '' =

2

2x − x 2x x

2

( − ) 3

Do đó: A = y 3 . y '' = − 1.

Chọn D

5 5 10

Ta có y = 3 − y′ = ; y′′

= −

x + 2 x + 2 x + 2

Chọn A

( )

( ) ( )

2 3

y ' = 2cos x. −sin

x = −sin 2x y′′

= − 2cos2x

.

Chọn C

TXĐ D = R

2

Ta có y′ = 3x − 6x

+ 1, y′′ = 6x

− 6 y′′ = 0 ⇔ x = 1

Chọn D

( n

Ta có ) nπ

cos ( x)

= cos

x +

2 , suy ra ( )

cos ( x)

= cos

x +

π

= cos

x + 1008π

+ = −sin

x .

2

Chọn C

2

y = sin x y ' = 2sin x.cosx = sin 2 x y '' = 2cos 2x

Chọn C

1

Ta có: y' = nên y

2

x

f ′ x = 3x

+ 2 , f ( x) 6x

Câu 16. ( )

2

Câu 17.

y = 1+ 3x − x

2

2

( ) ( x ) '

2

′′ = ( )

y = 1+ 3x − x

2 2

2017 2017

= −

2x

2

= − = −

4 4 3 .

x x x

f ′′ 1 = 6 .

2 y. y′

= 3− 2x

2. ( y′ ) 2

2 y. y′′

2 y′ + y y′′

= −

Câu 18. ( )

Câu 19.

+ = − ( ) 2 . 1

y′ = 2 cos x. − sin x = − sin 2x

; y′′ = − 2cos 2x

;

π

2

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

( 3)

( )

y = −4 − sin 2x = 4sin 2x

.

( 3)

π π

y = 4sin 2 = 2 3 .

3 3

2 1−

cos 4x

( 3)

Ta có: y = sin 2x

y = ; y′ = 2sin 4x

; y′′ = 8cos 4x ; y = − 32sin 4x .

2

( 3)

Khi đó y y′′ 16y′

16y

8 − 32sin 4x + 8cos 4x + 32sin 4x + 8 1− cos 4x

− 8 = 0

+ + + − = ( )

1

Câu 20. Ta có y = sin 3 x.cos x − sin 2x

= ( sin 4 x + sin 2 x)

− sin 2 x = 1 ( sin 4 x − sin 2 x)

2

2

Mặt khác theo quy nạp ta chứng minh được ( ) ( n ) n− sin ( 1) 1 n n

ax a sin

π

= − − ax

2

( 10

Do đó ) 1

( ) (( ) 9 10

( ) ( ) 9 10

y x = −1 4 .sin 5π

− 4x − −1 .2 .sin ( 5π

− 2x)

)

2

4

Câu 21.

1

= ( − 4 10 .sin 4x

+ 2 10 sin 2x)

2

( 10)

π

y ≈ 454490.13

3

1

Tập xác định D = R \ .

2

−2

f ′( x)

= , f ′′( x)

=

2x

−1

( ) 2

8

( 2x

−1) 3

8

Khi đó f ′′( − 1)

= − .

27

Câu 22. Tập xác định D = R .

Ta có y′ = 2cos 2x

và y′′ = − 4sin 2x

.

4y + y′′

= 4sin 2x − 4sin 2x

= 0 .

Câu 23. f ′( x) = − sin ( x + a)

= cos

x + a +

π

2

π 2π

f ′′( x)

= − sin x + a + = cos x + a +

2 2

...

( 21 ) 21π

π

f ( x)

= cos x + a + = cos x + a +

2 2

2 18

Câu 24. Giả sử f ( x) = a + a x + a x + ... + a x .

Câu 25.

Khi đó

( )

( )

0 1 2 18

6

= 6!. 2 12

6

+

7

+

8

+ ... +

18

f x a b x b x b x

.

( 6 )

( )

f 0 = 720a

.

2

Ta có ( 3x

− 2x

− 1) 9

2

= − ( 1+ 2x

− 3x

) 9 9

k

2

= −

C9

( 2x − 3x

)

k=

0

9 k

i

9 k

k i k −i

2

k i k− i i k + i

C9

Ck

( 2x) ( 3x

) = − C9

Ck

2 ( −3)

x .

= − −

k = 0 i=

0

Số hạng chứa

k = 0 i=

0

6

x ứng với k , i thỏa mãn

{ }

( k; i) ( 6;0 ), ( 5;1 ), ( 4;2 ), ( 3;3)

∈

0 ≤ i ≤ k ≤ 9

k

+ i = 6

( ) ( ) ( ) ( )

6 0 6 0 5 1 4 4 2 2 2 3 3 0 3

a6 = − C9C6 2 − 3 + C9C5 2 − 3 + C9 C4 2 − 3 + C9C3

2 − 3 = −84

( 6 )

( ) ( )

f 0 = 720. − 64 = − 60480 .

2 1−

cos2x

Ta có y = sin x = .

2

π

Khi đó y′ = sin 2x

; y′′ = 2.cos2x = 2.sin 2x

+

2

( n) n−1 ( n −1)

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

k

; y 2 2 .sin2 x 2 2 .sin ( 2x π )

π

y = 2 sin 2x

+ .

2

( )

2017π

π

Vậy y = 2 .sin 2. π + = 2 .sin 1010π

+

= 2

2 2

2018 2017 2017 2017

6

′′′ = − = + …

.

5

DAỴ KÈM QUY NHƠN OFFICIAL

6

logo

products

Resources

Company

Terms of service
Privacy policy
Cookie policy
Cookie settings
Imprint
Change language
Made with love in Switzerland
© 2024 Yumpu.com all rights reserved

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!