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Explicaciones a los problemas South American Regionals 2008 16 Análisis del Problema D Recordemos como pasar de una base x a base decimal, por ejemplo sea x = 2 base binaria, tenemos 10101111 y deseamos pasarlo a decimal: 1 ∗ 2 7 + 0 ∗ 2 6 + 1 ∗ 2 5 + 0 ∗ 2 4 + 1 ∗ 2 3 + 1 ∗ 2 2 + 1 ∗ 2 1 + 1 ∗ 2 0 el resultado de (1) es 128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 1 = 175 Sea x = 8 base octal deseamos obtener la equivalencia de 257 en base decimal: el resultado de (2) es 128 + 40 + 7 = 175 2 ∗ 8 2 + 5 ∗ 8 1 + 7 ∗ 8 0 Ahora un polinomio de grado n es una función P(x) de la forma: P(x) = � k=n k=0 ck ∗ x k - Definición de Horner P(x) = cnx n + cn−1x n−1 + . . . + c2x 2 + c1x 1 + c0x 0 Donde ck es una constante Como se aprecia existe una similitud entre la representación de un polinomio y la representación de una base x en base decimal. Siguiendo la descripción del problema tenemos al termino independiente 7 multiplicado por 1 o por B 0 , luego a 5 multiplicado por B y finalmente a 2 multiplicado por B 2 donde B = 8. En nuestro problema tenemos una ecuación de la forma P(x) = Q(x). El problema se reduce a buscar todas las raíces enteras del polinomio donde x es la base. El algoritmo es el siguiente: • Expander cada numero, ejemplo 432 = 4x 2 + 3x 1 + 2. • Multiplicar o sumar el polinomio en cada lado de la ecuación. • Igualar la ecuación a cero, P(x) − Q(x) = 0. • Y finalmente buscamos las raíces enteras del polinomio resultante. Tenemos 6 ∗ 9 = 42 Lo expandimos: 6x 0 ∗ 9x 0 = 4x 1 + 2x 0 Multiplicamos y sumamos: 54 = 4x + 2 Igualamos a cero: 54 − 4x − 2 = 0 → 52 − 4x = 0 Y encontramos que: x = 13 (1) (2)
Explicaciones a los problemas South American Regionals 2008 17 Programa C que soluciona el problema #include #include #include #define MAX 17 typedef struct { int c[MAX]; } poly; poly poly_add(poly A, poly B) { int i; poly R; for (i = 0; i < MAX; i++) { R.c[i] = A.c[i] + B.c[i]; } return R; } poly poly_mul(poly A, poly B) { int i, j, k; poly R; memset(&R, 0, sizeof(R)); for (i = 0; i < MAX; i++) { for (j = 0; j < MAX; j++) { k = i - j; if (k < 0 || MAX
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