Soluciones y Explicación de los problemas ACM ... - ICPC Bolivia

Explicaciones a los problemas South American Regionals 2008 55
Análisis del Problema K
Uno de los primeros problemas de teoria de grafos es el de los puentes königsberg que nos dice
¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme,
cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?, donde la tierra firme
representan los nodos y los puentes los arcos del grafo.
En este problema el zapatero debe visitar una cuidad exactamente una vez, este paseo o rrecorrido
es conocido como camino euleriano, para que exista este rrecorrido en un grafo debe
cumplirse:
• No deben existir nodos aislados (grafo conexo).
• Si todos los nodos del grafo tienen grado par.
• Si tiene a lo mas dos nodos de grado impar.
• El grafo debe estar totalmente conectado.
En principio es necesario transformar el grafo que se nos proporciona, en uno en donde las
confederaciones representan un nodo y una ciudad representa un arco que es la conexión entre
dos confederaciones, si esta ciudad solo pertenece a una confederación debemos crear un ciclo
es decir duplicar la confederación o hacer una conexión entre a si mismo.
Tenemos un camino euleriano si todos los nodos están conectados, y deben existir a lo mas dos
nodos de grado impar.
n_imp = 0;//numero de nodos de grado impar
for (v = 1; v 2)) break;
}
if (n_imp > 2 || !connected(-1)) res = -1;
Si el grafo tiene grado par, tenemos un camino euleriano y la respuesta sera 0, que es el indice
del nodo inicial.
else if (n_imp == 0) {
if (connected (-1)) res = 1;//res-1 = 0
else res = -1;
}
Si existen nodos de grado impar, debemos iniciar nuestro recorrido en cualquiera de ellos, y
terminar el en el otro, si no podemos iniciar en cualquier nodo. El arco que esta conectado a
uno a uno de estos nodos con el menor indice es la respuesta, otra cosa que debemos tomar en
cuenta es que el nodo que elegimos al inicio no puede ser un puente en el grafo, a no ser de que
sea la única elección, con una simple búsqueda en profundidad es posible encontrar los puentes
del grafo.