Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones ...

Transformada de Laplace
Proof. En primer lugar, existen números reales B y Ai > 0, i =1, 2, de manera que para
todo t ≥ 0 se verifica
|f(t)| ≤ A1e Bt y |g(t)| ≤ A2e Bt .
Entonces para todo t ≥ 0
|(f ∗ g)(t)| =
¯Z
¯
¯ t
¯
¯ f(t − s)g(s)ds ¯
0
≤
Z t
|f(t − s)||g(s)|ds
0
≤ A1A2e Bt
Z t
ds = A1A2te Bt ,
0
con lo que se ve fácilmente que e−zt (f ∗ g)(t) es absolutamente integrable para todo Re z>
B, conloqueL[f∗g](z) existe para todo z con Re z > B. Por otra parte, como las
funciones e −zt f(t) y e −zt g(t) también son absolutamente integrables para todo Re z>B,
por el Teorema de Fubini (ver [PiZa, pag. 187]) se tiene que
Z +∞
L[f ∗ g](z) = e
0
−zt
∙Z t
¸
f(t − s)g(s)ds dt
Z +∞ ∙Z t
0
=
e
0 0
−z(t−s) f(t − s)e −zs ¸
g(s)ds dt
Z +∞ ∙Z +∞
=
e
0 s
−z(t−s) f(t − s)e −zs ¸
g(s)dt ds
Z +∞ ∙Z +∞
=
e
0 s
−z(t−s) ¸
f(t − s)dt e −zs g(s)ds
Z +∞ ∙Z +∞
=
e
0 0
−zu ¸
f(u)du e −zs g(s)ds
Z +∞
= L[f](z)e −zs g(s)ds = L[f](z)L[g](z),
conloqueterminalaprueba.
0
La demostración de este resultado no la haremos a los alumnos, debido a que pensamos
que sus conocimientos le impedirán comprenderla completamente. No obstante la fórmula
será bastante útil en las aplicaciones.
1.3.5 Primer Teorema de Traslación
Fijemos un número complejo a yconsideremosf ∈ E. El primer teorema de desplazamiento
hace referencia a la transformada de la función e at f(t) yafirma lo siguiente.
Theorem 6 Bajo las condiciones anteriores
L[e at f(t)](z) =L[f](z − a) (1.8)
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