Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones ...

Transformada de Laplace
= lim
x→+∞
Z
γ1 ∙Z x
0
e (ω−z)t ¸
F (ω)dt dω,
aplicando el Teorema de Fubini. Por integración directa
Z
¡ ¢ (ω−z)x F (ω)
2πiL[f](z) = lim e − 1
x→+∞
ω − z dω.
γ 1
Para z fijo en el semiplano Re z > α, eltérminoe (ω−z)x converge uniformemente a 0 si
x → +∞ y el integrando converge a −F (ω)/(ω − z) en γ1.Así Z
Z
Z
F (ω) F (ω) F (ω)
2πiL[f](z) = − dω = dω −
γ ω − z 1
γ ω − z 2
Γ ω − z dω
Z
F (ω)
= 2πiF (z) −
ω − z dω.
Γ
Por otra parte, sea τ(t) =ρeit , t ∈ [0, 2π] una circunferencia de radio ρ >Ryconteniendo
a Γ. Entonces Z
Z
F (ω)
dω =
Γ ω − z τ
F (ω)
ω − z dω,
de donde ¯Z ¯¯¯
τ
F (ω)
ω − z dω
¯ ≤
M
|ρ| β 2πρ → 0 si ρ → +∞.
(ρ − R)
Así Z
F (ω)
dω =0
Γ ω − z
ycomoαera arbitrario, la fórmula L[f](z) =F (z) es válida para todo Re z>σ.
Remarquemos aquí que la condición (1.13) del resultado anterior se cumple para funciones
de la forma F (z) =P (z)/Q(z) donde P y Q son polinomios tales que deg Q ≥ 1+degP ,
donde deg P denota el grado de P . Así por ejemplo, la Transformada inversa de la función
F (z) = z
z2 +1
puede calcularse como
L −1 [F ](t) = f(t)
= Res(e tz F (z),i)+Res(e tz F (z), −i)
it i
= e
2i + e−it i
−2i =cost.
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