Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones ...

Aplicaciones
y resolviendo la ecuación
z 3 − z 2 + z =0
obtenemos como posibles raíces 0 y 1±i√ 3
2 , por lo que el sistema será inestable en virtud del
Teorema 15. Además, podemos expresar la ecuación diferencial lineal que define el sistema
teniendo en cuenta que
de donde
X(z)
Y (z) =
z − 1
z 3 − z 2 + z
X(z)(z 3 − z 2 + z) =Y (z)(z − 1),
ydefiniendo x = L−1 [X] e y = L−1 [Y ] y sabiendo como se construye la función de transferencia,
tenemos que el sistema vendrá dado por las ecuaciones
x 000 − x 00 + x 0 = y 0 − y.
Para finalizar, podemos comprobar el carácter inestable del sistema de retroalimentación
del ejemplo anterior considerando la función rampa
cuya gráfica es
Entonces su Transformada de Laplace es
(
t si t ∈ [0, 1),
y(t) =
1 si t ≥ 1,
Y (z) = L[y](z) =L[th0(t)](z)+L[(t − 1)h1(t)](z)
= 1 e−z
−
z2 z2 =(1−e−z )/z 2 ,
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