Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones ...

Aplicaciones
Esta “función” puede obtenerse a partir del límite funcional obtenido a partir de la sucesión
∆ a (
1/(2n) si |t − a| < 1/n;
n(t) =
0 si |t − a| > 1/n.
Nótese que
Z +∞
∆ a n(t)dt =1,
−∞
por lo que se conviene formalmente que
Z +∞ Z +∞
δa(t)dt = lim
n→+∞ ∆a Z +∞
n(t)dt = lim
n→+∞
∆ a n(t)dt =1.
−∞
−∞
Además, si f ∈ E es una función continua en a, setieneque
Z +∞
f(t)δa(t)dt = f(a), (2.6)
−∞
cuya justificación formal puede hacerse a partir del Teorema del Valor Medio del Cálculo
Integral. De (2.6) obtenemos que para todo z ∈ C se verifica
Z +∞
L[δa](z) = e −zt δa(t)dt = e −az
y en particular si denotamos δ0 por δ, entonces
0
L[δ](z) =1.
La “función” delta tiene su aplicación en el contexto de las ecuaciones diferenciales lineales
con coeficientes constantes. Consideremos por ejemplo el problema formal de condiciones
iniciales (
y00 + y = δ(t);
y(0) = 0, y0 (0) = 0.
Aplicando formalmente la Transformada de Laplace obtenemos que
L[y](z) = 1
,
1+z2 de donde la solución
yδ(t) =sint
recibe el nombre de respuesta al impulso δ. Nótese que yδ no satisface las condiciones iniciales
del problema. Sin embargo esta solución es útil ya que si f ∈ E, lasoluciónde
(
00 y + y = f(t);
y(0) = 0, y 0 (0) = 0;
28
−∞