Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones ...

Aplicaciones
2.2 Uso de la convolución
Otra forma de abordar el problema anterior, sin necesidad de tener que calcular la Transformada
de Laplace de la función coseno es la siguiente. Consideremos los cálculos realizados
anteriormente, pero sin obtener L[f](z) donde f(t) =cost. Nos quedará entonces la ecuación
algebraica
z 2 L[y](z) − 1+L[y](z) =L[f](z),
de donde
Entonces
L[y](z) = 1
z2 1
+
+1 z2 +1 L[f](z).
y(t) = L −1 [1/(z 2 +1)](t)+L −1 [L[f](z)/(z 2 +1)](t)
que era la solución obtenida anteriormente.
= sint +(L −1 [L[f](z)] ∗ L −1 [1/(z 2 + 1)])(t)
Z t
= sint + sin(t − s)cossds
=
=
0
∙ ¸t 1
sint + (cos(2s − t)+2ssin t
4 0
sint + t
sin t =(1+t/2) sin t,
2
Así, el uso del producto de convolución presenta una vía alternativa para la resolución
de estos problemas, aunque a veces el cálculo de las integrales que aparecen en el producto
de convolución pueden ser bastante complicado.
2.3 Sistemas de ecuaciones
Supongamosquetenemosunsistemadeecuacioneslinealesdelaforma
y 0 (t) =A · y(t)+f(t) (2.3)
donde A es una matriz cuadrada de n filas por n columnas con coeficientes reales, f =
(f1,f2, ..., fn) t donde fi son funciones dadas e y =(y1,y2, ..., yn) t es la función vectorial
incógnita. Supongamos además las condiciones iniciales
y(0) = y0
24
(2.4)