Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones ...

Transformada de Laplace
Proof. Tomamos
Z +∞
0
e −zt Z x
ha(t)f(t − a)dt = lim e
x→+∞
0
−zt ha(t)f(t − a)dt
Z x
= lim e
x→+∞
a
−zt f(t − a)dt
Z x−a
= lim e
x→∞
0
−z(s+a) f(s)ds
= e −za
Z +∞
e −zs f(s)ds,
haciendo el cambio de variable s = t − a. De aquí se obtiene inmediatamente (1.9).
Este resultado es útil para obtener la Transformada de Laplace de funciones continuas a
trozos. Por ejemplo consideremos la función
(
t si 0 ≤ t0.
1.4 Propiedades de la función Transformada de Laplace
En esta sección estudiamos la propiedades de la función Transformada de Laplace considerándola
como una función de variable compleja definida en un semiplano {z ∈ C :Rez>x},
x ∈ R. Dividimos la sección en tres subsecciones.
1.4.1 Derivabilidad de la Transformada de Laplace
Consideremos una función f ∈ E y su Transformada de Laplace
L[f] :{z ∈ C :Rez>ρ} → C.
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