Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones ...

para todo z ∈ Df +Rea := {ω +Rea : ω ∈ Df}.
Proof. Sea Z +∞
0
e −zt e at f(t)dt = lim
x→+∞
de donde se deduce inmediatamente (1.8).
Transformada de Laplace
Z x
e −(z−a)t Z +∞
f(t)dt = e −(z−a)t f(t)dt,
0
A partir de este resultado podemos obtener las Transformadas de las funciones siguientes:
• f(t) =eat sin(ωt), ω ∈ R, cuya Transformada de Laplace para todo número complejo
z tal que Re z>Re a es
ω
L[f](z) =
(z − a) 2 .
+ ω2 • f(t) =eat cos(ωt), ω ∈ R, cuya Transformada de Laplace para todo número complejo
z tal que Re z>Re a es
z − a
L[f](z) =
(z − a) 2 .
+ ω2 • f(t) =e at sinh(ωt), ω ∈ R. SiRe z>|ω| +Rea, entonces
L[f](z) =
ω
(z − a) 2 .
− ω2 • f(t) =e at cosh(ωt), ω ∈ R. SiRe z>|ω| +Rea, entonces
• f(t) =e at t n con n ∈ N. Entonces
siempre que Re z>Re a.
L[f](z) =
L[f](z) =
1.3.6 Segundo Teorema de Traslación
z − a
(z − a) 2 .
− ω2 n!
(z − a) n+1
Sea ahora a>0 un número real y supongamos que f ∈ E está definida por f(t) =0para
todo t