campo eléctrico y propiedades eléctricas de la materia - Novella

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“libro_ffi” — 2008/8/5 — 9:06 — page 14 — #30 14 FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA 1.4.1. Ley de Coulomb La ley de Coulomb de la electrostática se puede enunciar mediante las siguientes afirmaciones: Dos cargas del mismo tipo (signo) se repelen, mientras que si son de tipos distintos se atraen. La magnitud de la fuerza de atracción o de repulsión es directamente proporcional al producto de sus cargas y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La dirección en la que se manifiesta dicha fuerza viene determinada por una recta que pasa por ambas cargas. o en forma matemática: F = k Q1Q2 d 2 (1.1) donde k es una constante de proporcionalidad de valor igual a 9,0·10 9 N·m 2 /C. Esta constante equivale a k = 1 4πǫ0 (1.2) donde ǫ0 es la denominada permitividad del vacío y su significado se tratará con más detalle en el Capítulo 3. El valor de la permitividad del vacío es ǫ0 = 8,854 · 10 −12 C 2 /N·m 2 . Debe observarse que la expresión (1.1) sólo permite calcular la magnitud de la fuerza de atracción o de repulsión (su módulo), por lo que si desea conocer la dirección y sentido de la fuerza resultante debe deducirse cualitativamente. En el caso mostrado en la Figura 1.6 puede observarse que, según la ley de Coulomb, las fuerzas sobre las cargas son de atracción por ser las cargas de signos opuestos. La fuerza sobre QA es idéntica a la fuerza sobre QB, pero de signo contrario, lo que resulta acorde con la ley de Newton de acción y reacción. yA yB Y A(xA, yA) rA QA xA rB FA rAB d FB QB xB B(xB, yB) Figura 1.6: Ley de Coulomb: atracción de cargas de signo opuesto y vectores de posición. X
“libro_ffi” — 2008/8/5 — 9:06 — page 15 — #31 CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO Y PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA 15 Para determinar la dirección y sentido de las fuerzas puede ser más adecuada la expresión siguiente: F = k QAQB d 2 uQA−QB (1.3) donde uQA−QB es un vector unitario (su módulo vale 1) que tiene la dirección de la recta que pasa por las cargas QA y QB y el sentido indicado por la ley de Coulomb, pero teniendo en cuenta el principio de acción y de reacción de Newton. Si se desea calcular directamente la fuerza FA sobre la carga QA, entonces el sentido de este vector unitario debe ser tal que “vaya hacia” la carga sobre la que se desea conocer la fuerza, esto es: FA = k QAQB d2 uQB−QA = k QAQB d2 uBA = k QAQB d2 rA − rB |rA − rB| (1.4) donde rA y rB son los vectores directores de los puntos en los que se encuentran esas cargas. Obsérvese que rA −rB no es unitario (tiene módulo igual a d), mientras que el término entre paréntesis en (1.4) sí lo es. Si se tiene en cuenta que d = |rA −rB|, entonces la ecuación (1.4) puede escribirse como: FA = k QAQB d 2 uBA = k QAQB |rA − rB| 3 (rA − rB) FB = k QAQB d 2 uAB = k QAQB |rA − rB| 3 (rB − rA) (1.5) En el ejemplo siguiente se aclarará el significado de los diversos elementos involucrados en esta ley, especialmente el formalismo matemático utilizado. EJEMPLO 1.1 Para las cargas QA y QB de la Figura 1.6, calcule la fuerza de atracción o repulsión en los casos siguientes: (a) Las cargas son QA = 7 µC, QB = 5 µC y están separadas por una distancia d = 3 m sobre el eje X. (b) En este caso valores de las cargas son QA = −7 µC y QB = 5 µC, estando situadas en los puntos P(x,y): A(−1,0) y B(2,0), de unos ejes coordenados con sus unidades indicadas en metros. (c) La carga QA está situada en A(−3,0) y tiene una carga de −7 µC, mientras que la carga QB está situada en B(0, 4) y tiene una carga de +5 µC. (d) Finalmente, suponga que las cargas son QA = +7 µC, QB = −5 µC y están situadas en los puntos A(−1,3) y B(2, −1). SOLUCIÓN Caso a: La figura siguiente muestra esta situación: FA QA d QB FB Aplicando la ley de Coulomb, se tiene: F = ke Q1Q2 d2 = ke 7 · 10−6 · 5 · 10 −6 32 = = 0,035 N donde se observa que se han tomado los valores absolutos de las cargas, pero se analiza la situación de forma cualitativa para deducir que la fuerza en este caso debe ser de repulsión y con dirección del eje X y de sentido positivo sobre la carga B y negativo sobre la carga A, o sea, FA = −0,035îN y FB = 0,035îN X
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