campo eléctrico y propiedades eléctricas de la materia - Novella

“libro_ffi” — 2008/8/5 — 9:06 — page 24 — #40
24 FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA
Este resultado se podía anticipar, ya que al
ser el campo eléctrico uniforme y exterior al
prisma (no hay cargas en su interior), el número
de líneas de campo que entran en esa
1.7. La ley de Gauss
superficie cerrada es igual al de las que salen
y, por tanto, el flujo eléctrico neto es nulo.
En el ejemplo 1.3 se ha visto que al no existir ninguna carga en el interior del prisma,
el flujo eléctrico es nulo. Este mismo resultado se obtiene para cualquier superficie cerrada
en cuyo interior no haya una carga neta. Por tanto, lo que interesa son los casos en los que
dentro de la superficie cerrada existe una carga puntual o una distribución de cargas con
una carga neta no nula; la relación que exista entre el flujo eléctrico neto que atraviesa la
superficie y la carga neta que hay dentro de ella se conoce como ley de Gauss y es una de las
leyes fundamentales de los campos eléctricos.
Para llegar a esta ley, considérese una esfera hueca de radio r y espesor despreciable y
una carga puntual q situada en su centro. A partir de la ley de Coulomb, el campo eléctrico
en cualquier punto de la superficie esférica debido a la carga q es:
E = k q
r 2
(1.18)
En este caso, las líneas de campo eléctrico son radiales, perpendiculares a la superficie en
todos sus puntos y dirigidas hacia fuera (ya que se considera que la carga q es positiva). De
esta forma, al aplicar la expresión (1.17), el flujo neto a través de la superficie esférica es:
ΦC =
En dA = E
dA = kq
r 2 (4πr2 ) = 4πkq (1.19)
y teniendo en cuenta el valor de la constante de Coulomb (k = 1/4πǫ0), resulta:
ΦC = q
ǫ0
(1.20)
Como se puede apreciar, el resultado es independiente del radio r de la esfera y depende
sólo de la carga q encerrada en ella. Este resultado obtenido para el caso particular de una
superficie esférica se demuestra que es válido para cualquier superficie cerrada, denominada
también superficie gaussiana, y constituye la ley de Gauss.
La ley de Gauss es, por tanto, la generalización del caso anterior y establece que el
flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta que se
encuentra en su interior dividida por la permitividad del vacío ǫ0. De forma integral, la ley
de Gauss se puede escribir como: