CÁLCULO I - Universidad Técnica Particular de Loja

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
CARRERA:
Ingeniería en Informática
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
AUTOR (A):
Marco Vinicio Morocho Yaguana
C ÁLCULO I
Reciba asesoría virtual en: www.utpl.edu.ec
3
CICLO

CÁLCULO I
Guía Didáctica
Marco Vinicio Morocho Yaguana
© 2007, UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
Diagramación, diseño e impresión:
EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
Call Center: 593 - 7 - 2588730, Fax: 593 - 7 - 2585977
C. P.: 11- 01- 608
www.utpl.edu.ec
San Cayetano Alto s/n
Loja-Ecuador
Derechos de autor: 026656
Segunda edición
Séptima eimpresión
ISBN-978-9978-09-815-8
Esta versión impresa, ha sido licenciada por el autor con Creative Commons; la misma que permite copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra,
mientras se reconozca la autoría original, no se realicen obras derivadas ni se utilice con fines comerciales.
http://www.creativecommons.org/licences/by-nc-nd/3.0
Octubre, 2011

ÍNDICE
ITEM PÁGINA
INTRODUCCION .................................................................................................................................5
OBJETIVOS GENERALES ................................................................................................................5
CONTENIDOS ....................................................................................................................................5
BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................6
ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO .......................................................................................7
PRIMER BIMESTRE
OBJETIVOS ESPECIFICOS ..............................................................................................................9
CONTENIDOS .....................................................................................................................................9
DESARROLLO DEL APRENDIZAJE ...........................................................................................10
Módulo p Resumen de ecuaciones de la recta ...................................................................14
MÓDULO 1 Límites y sus propiedades ........................................................................................27
MÓDULO 2 La Derivada .....................................................................................................................45
SEGUNDO BIMESTRE
OBJETIVOS ESPECIFICOS ..............................................................................................................51
CONTENIDOS ....................................................................................................................................51
DESARROLLO DEL APRENDIZAJE ............................................................................................52
MÓDULO 3 La regla de la Cadena ..............................................................................................52
MÓDULO 4 Aplicaciones de la Derivada .....................................................................................62
ANEXOS ................................................................................................................71
F EVALUACIONES A DISTANCIA

PRELIMINARES Guía didáctica: Cálculo I
Introducción
El Cálculo pertenece al grupo de materias denominadas del “Área Matemática” propiamente dicha,
posee contenidos básicos indispensables a todo estudiante que se interese por las ciencias técnicas,
cualquiera sea su orientación ( Ingeniería informática, eléctrica, ciencias contables, administrativas,
económicas, actuariales, etc). Y se puede afirmar sin error que todo profesional técnico no podrá leer
con soltura la bibliografía actualizada de nivel superior, sin poseer los conceptos básicos del Cálculo.
Esta asignatura exige conocimientos de Álgebra y recordar los contenidos de Geometría. Debe
mencionarse que resulta imprescindible el conocimiento de elementos básicos de Geometría Analítica
del plano, para adquirir con provecho los conceptos de nuestra asignatura. La carencia en la mayoría de
los alumnos de estos tópicos dificultan la enseñanza y el aprendizaje de nuestra disciplina, aconsejando
que sea repasado convenientemente el módulo de preparación para el Cálculo.
Objetivo general
En este curso se pretende que el estudiante aprenda a utilizar el Cálculo en la solución de
problemas matemáticos que puedan presentarse a lo largo de sus estudios y en la carrera
profesional.
Contenidos
PRIMER BIMESTRE
Módulo p: Preparación para el Cálculo
P1 Gráficas y modelos
P2 Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio
P3 Funciones y sus gráficas
Módulo 1: Límites y sus propiedades
Módulo 2: Derivación
1.1 Una mirada previa al Cálculo
1.2 Cálculo de límites por medio de los métodos gráfico y numérico
1.3 Cálculo analítico de límites
1.4 Continuidad y límites laterales o unilaterales
1.5 Límites infinitos
2.1 La derivada y el problema de la recta tangente
2.2 Reglas básicas de derivación y ritmos o velocidades de cambio
2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior
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Guía didáctica: Cálculo I
SEGUNDO BIMESTRE
Módulo 3: 2.4 La regla de la cadena
2.5 Derivación implícita
Módulo 4: Aplicaciones de la derivada
Texto Básico
3.1 Extremos en un intervalo
3.2 Teorema de Rolle y teorema del valor medio.
3.3 Funciones crecientes y decrecientes. Criterio de la primera derivada
3.4 Concavidad y el criterio de la segunda derivada
3.5 Límites en el infinito
3.6 Análisis de gráficas
3.7 Problemas de optimización
Bibliografía
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja
PRELIMINARES
LARSON R., HOSTETLER R., EDWARDS B., Cálculo I, 8va edición, Editorial McGraw-Hill
Interamericana, México © 2006
Este libro se ha escogido por su interesante y clara exposición de los temas, un enfoque
moderno y desde luego sus múltiples aplicaciones del Cálculo en la solución de problemas
técnicos. El texto esta organizado en 9 capítulos, de los cuales nosotros vamos a revisar
solamente los tres primeros, como es ya tradicional en nuestro país al impartir esta
asignatura. El libro es bastante didáctico, y los conceptos fundamentales se exponen con
mucha claridad a lo largo de todo el libro comenzando por más sencillo hasta lo más
complejo. Además el texto le permitirá disponer de otros temas en los cuales Ud. puede
emprender individualmente.
Bibliografía Complementaria
1. Robert Smith y Roland Minton, Cálculo, Tomo 1, Primera Ed. McGraw-Hill, Bogotá, 2000.
Este libro es didáctico, tiene un enfoque moderno y muchas aplicaciones en la solución de
problemas técnicos del diario vivir. Este le puede servir como texto adicional.
2. Lara J. Arroba R. Análisis Matemático, Centro de Matemática de la Universidad
Central.1982.
En este libro se exponen los temas desde un punto de vista más formal, y le puede ayudar a
desarrollar más destrezas para el dominio de este apasionante tema de la matemática.
3. Purcell,E. Varberg, D. Cálculo diferencial e integral, Sexta Ed. Prentice Hall. México,1993.
Este texto también le puede servir en mucho por cuanto trae abundante información relacionada
con los temas que tratamos.

PRELIMINARES Guía didáctica: Cálculo I
En general cualquier libro sobre el tema le va a servir de mucha ayuda por cuanto como Ud.
conoce no hay libro malo, siempre se encuentra algo, siempre se aprende algo de cualquier libro.
F Recuerde que el verdadero estudiante Universitario, no debe conformarse o limitarse
exclusivamente al contenido programático de una asignatura.
Orientaciones generales
Para iniciarse en esta materia, permítame hacerle algunas sugerencias para el estudio. Es bien conocido
que el Cálculo es “ difícil “ para muchos estudiantes; le pido por favor que no se deje impresionar por esta
apreciación, pues varias de las dificultades con las que Ud. se topará no son precisamente del Cálculo sino
del álgebra, por eso le pido por favor que lea detenidamente el primer Módulo p (Preparación para el
Cálculo), el cual le va a ayudar mucho para recordar cosas que a lo mejor ya se olvidaron; en él se enfocan
aspectos del álgebra, geometría y la trigonometría que le van a ser útiles a medida que avance en el estudio
del Cálculo. De igual manera se revisan los conceptos de función el cual es clave para es estudio del
Cálculo, la composición de funciones, etc, pues el lenguaje del Cálculo es el lenguaje de las funciones.
En el Módulo 1, se introducen los conceptos de límites y continuidad, que son de gran importancia,
ya que el límite es la piedra fundamental sobre la cual se fundamenta el Cálculo. La idea de límite
nosotros la desarrollaremos de una manera intuitiva, sin llegar a formalismos que generalmente son
abstractos. Lo que se persigue es que se reconozca la importancia del concepto de límite en el Cálculo.
Así mismo en este módulo se analizan los conceptos de continuidad de una función, el cual es muy
importante al analizar problemas en donde se tiene como variable independiente al tiempo, al espacio,
etc, es decir a cantidades que no sufren saltos de ninguna especie.
En el Módulo 2, se introduce el concepto de derivada y se desarrolla las reglas para derivación de
funciones algebraicas, así como el concepto de derivación de funciones trigonométricas. El concepto de
derivada lleva consigo la definición de lo que es límite, así que primeramente introduciremos el concepto
de derivada partiendo de la idea de límite de la razón de incrementos, luego encontraremos reglas más
precisas para derivar funciones de cualquier tipo. En este sentido, el concepto matemático no significa
precisamente que haya dominado algunas fórmulas y pueda simplemente aplicarlos a los ejercicios que
más o menos se asemejan. Dominar significa que Ud. entiende el concepto y entiende porqué éste
es cierto. Quizá pueda desalentarse al saber que los Cálculos rutinarios resultan inadecuados para el
Cálculo. Sin embargo al estudiar el porque de los algoritmos, Ud. desarrollará sus habilidades para analizar
problemas y no resolverlos en forma mecánica. Preste atención a las demostraciones puesto que allí se
dan ideas que aparecen en las aplicaciones. Las demostraciones son importantes, no porque prueben que
un teorema es cierto; después de todo algunos de los teoremas han sido demostrados desde hace por lo
menos dos siglos atrás y por ahora, nadie esta cuestionando su validez. Las demostraciones le dan a Ud. la
oportunidad de repasar los conceptos básicos y reducir la tensión de memorizar y sobre todo le ayudarán
a desarrollar en Ud. un razonamiento formal lógico que es la piedra angular de toda la carrera.
El plan de trabajo de la materia esta hecho para que se abarquen los módulos p, 1, 2; en el primer
bimestre, mientras que los módulos 3 y 4 se los deja para el segundo bimestre, por esto le recomiendo
que confeccione un horario de trabajo diario o semanal para el estudio de esta materia de manera que
alcance a cubrir dichos módulos.
Un tiempo de seis horas por semana son más o menos aconsejables para asegurar un buen desarrollo
del curso.
En el Módulo 3 analizamos la derivación de funciones más complejas como son las funciones compuestas
para esto nos valdremos de la regla de la cadena para derivar las mismas. Aquí Ud. va a sentir realmente
el poder del Cálculo.
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Guía didáctica: Cálculo I
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PRELIMINARES
En el Módulo 4 usaremos la potencia del Cálculo para aplicarlo en problemas que requieran de
maximización o minimización problemas que a lo mejor Ud. Se topará en asignaturas como
comunicaciones, algoritmia, teoría de colas, etc. Así mismo nos ayudaremos del Cálculo para la
construcción de gráficos de funciones complejas y analizaremos sus puntos característicos. Desde luego
que así a simple vista no se ve la aplicación directa del Cálculo en la vida real, pero si Ud. piensa que
una función dada representa por ejemplo el costo de los materiales para cierto estudio de cableado
estructurado, entonces a Ud. lo que le interesará saber cuál es el momento en que esos gastos son
mínimos. De la misma forma Ud habrá visto en los supermercados que prácticamente todos los tarros
de conservas tienen el mismo porte. Estos dos ejemplos son aplicación directa del Cálculo.
A continuación se presenta un plan de desarrollo general del presente curso en semanas
Tema Tiempo
PRIMER BIMESTRE
Gráficas y modelos matemáticos
Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio
Semana 1
Funciones y sus gráficas Semana 2
Una mirada previa al Cálculo
Cálculo de límites por medio de los métodos gráficos y numérico
Semana 3
Cálculo analítico de límites Semana 4
Continuidad y límites laterales o unilaterales
Límites Infinitos
Semana 5
La derivada y el problema de la recta tangente Semana 6
Reglas básicas de derivación y ritmos o velocidades de cambio Semana 7
Regla del producto, del cociente y derivadas de orden superior Semana 8
SEGUNDO BIMESTRE
La regla de la cadena Semana 9
Derivación implícita Semana 10
Extremos en un intervalo
El teorema de Rolle y el teorema del valor medio
Semana 11
Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada Semana 12
Concavidad y el criterio de la segunda derivada Semana 13
Límites al infinito Semana 14
Análisis de gráficas Semana 15
Problemas de optimización Semana 16
Interactividad a través del Campus Virtual
Ingrese periódicamente al campus virtual que se encuentra en la siguiente dirección:
http://www.utplonline.edu.ec para familiarizarse con el tema y conocer sus compañeros.
Durante el semestre se planearán foros uno por bimestre, al cual es necesario y obligatorio intervenir.
F Antes de referirse a un ejemplo o resolver algún problema planteado, asegúrese que los
conceptos que le preceden estén asimilados y que el ejercicio simplemente sirva para
reforzar los mismos.

PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Cálculo I
1. Determinar los límites de una función.
2. Determinar la continuidad de una función en un punto.
3. Aplicar los teoremas sobre diferenciación a la derivación de funciones.
4. Aplicar el concepto sobre derivada para la solución de problemas en donde existen ritmos
de cambio continuo.
Contenidos
Módulo p: Preparación para el Cálculo
P1 Gráficas y modelos
P2 Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio
P3 Funciones y sus gráficas
Módulo 1: Límites y sus propiedades
Módulo 2: Derivación
PRIMER BIMESTRE
Objetivos específicos
1.1 Una mirada previa al Cálculo
1.2 Cálculo de límites por medio de los métodos gráfico y numérico
1.3 Cálculo analítico de límites
1.4 Continuidad y límites laterales o unilaterales
1.5 Límites infinitos
2.1 La derivada y el problema de la recta tangente
2.2 Reglas básicas de derivación y ritmos o velocidades de cambio
2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior
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Guía didáctica: Cálculo I
Desarrollo del aprendizaje
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PRIMER BIMESTRE
Se recomienda que Ud. distinguido estudiante, lea primeramente las páginas de 10 a 13 antes de iniciar
la lectura del texto, ya que revisamos un poco acerca de los número reales. Luego de que termine de
analizar estos tópicos; podemos iniciar la lectura del texto comenzando por la gráfica de una ecuación
en la página 2.
Propiedades de los números Reales
Sean a, b, c números reales, se tiene que:
ADICION MULTIPLICACION
1. Ley Clausurativa
a + b es un número real ab es un número real
2. Ley Conmutativa
a + b = b + a ab = ba
3. Ley Asociativa
a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c
4. Propiedad de Identidad
a + 0 = 0 + a , 0 es neutro aditivo a ⋅ 1= 1⋅ a , 1 es neutro multiplicativo
5. Propiedad de del Inverso
a + (−a) = 0 = (−a) + a , -a es el inverso aditivo
6. Propiedad Distributiva
a) a(b + c) = ab + ac
b) (a + b)c = ac + bc
7. Ley Cancelativa
Si a + b = b + c , entonces a = c
8. Ley de multiplicación por cero
a ⋅ 1
a
1
= 1= ⋅ a ,
a
Si a ⋅ b = b ⋅ c , entonces a = c
1 , es el inverso multiplicativo
a
a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0 Si a ⋅ b = 0 , entonces a = 0 o b = 0 o ambos son cero
Con estas propiedades y entendiendo que a, b, c representan cualquier número real podemos pasar a
revisar un poco la recta numérica:
Si a esta a la izquierda de b, se dice que a es menor que b y se escribe así: a < b .
Así de esa forma también se pueden tratar a las relaciones de mayor que (>) y de menor que (

PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Cálculo I
a) Si a < b y c es cualquier número real se tiene: a + c < b + c
b) Si a < b y c es positivo, entonces a ⋅ c < b ⋅ c
c) Si a < b y c es negativo, se tiene que a ⋅ c > b ⋅ c
Obsérvese la propiedad a indica que se puede sumar a ambos miembros una misma cantidad y esta
relación no se altera, (sigue siendo menor que).
La segunda manifiesta que se puede multiplicar por un número positivo, y esta relación no se altera
(sigue siendo menor que).
Mientras que al multiplicarse por un número negativo, esta relación cambia de sentido (cambia a
mayor que).
Existen algunas inecuaciones llamadas simultáneas como por ejemplo:
a < x < b lo cual significa que se da tanto que a < x y que x < b , fíjese que ese “ y “ es muy
importante por cuanto significa que el conjunto de valores que convierten en verdadero el enunciado
anterior esta en la intersección de los conjuntos determinados por las relaciones anteriores a < x y que
x < b o señalándolo de otra forma sería que a < x y x < b deben observarse al mismo tiempo.
Miremos el siguiente ejemplo:
Resolver la siguiente inecuación: −7 ≤ 2x + 1< 19
Del problema, se deduce que: a) −7 ≤ 2x + 1
b) 2x + 1< 19
Tomando la expresión a tenemos que: −7 − 1≤ 2x
Luego
−4 ≤ x
−8( 1
) ≤ 2x(1
2 2 ) ,
De la parte b igualmente tenemos:
2x + 1− 1< 19 − 1, luego se tiene que:
Finalmente se tiene que x < 9
2x( 1
) < 18(1
2 2 )
Es decir la solución esta en la intersección entre x < 9 y −4 ≤ x
La solución expresada como intervalo sería: ⎡
⎣ −4,9
)
Cuando se resuelven desigualdades que llevan fracciones, es necesario que estas estén relacionadas
con respecto de cero.
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Guía didáctica: Cálculo I
Miremos el siguiente ejemplo:
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PRIMER BIMESTRE
x − 1
Resolver la siguiente desigualdad: ≥ −1
x − 2
En este caso en necesario pasar el -1 a la izquierda, para no perder el hecho de que para que la
desigualdad tenga sentido, no debe existir la división por cero. Por eso se tiene:
x − 1
+ 1≥ 0
x − 2
Luego se tiene,
x − 1+ x − 2
≥ 0
x − 2
2x − 3
≥ 0
x − 2
Como podemos observar, para que este cociente tenga sentido, se debe considerar dos cosas: que
la razón entre estos dos números sea positiva, tanto numerador y denominador deben tener el
mismo signo y que el numerador sea cero, es decir 2x − 3 ≥ 0 y x − 2 ≥ 0 - ambos son positivos o
2x − 3 ≤ 0 y x − 2 ≤ 0 - ambos son negativos.
Sin embargo no se debe perder de vista que x-2≠ 0. (evitamos la división por cero).
De la primera relación, se tiene que: x ≥ 3
2
y x > 2
De la segunda relación se tiene:
x ≤ 3
2
y x < −2
De los diagramas realizados, se tiene el conjunto solución que es:
x ∈ ( −∞,3 / 2)
∪ ( 2,∞)
Una definición que se emplea muy a menudo en el Cálculo es el de valor absoluto, cuya definición es
como sigue:
⎧⎪
x si, x ≥ 0
x = ⎨
⎩⎪ −x si, x < 0
Esta definición requiere de interpretación y es la siguiente: ella dice, si x es un número positivo, entonces
tómese el mismo número y si este es negativo, entonces tómese el número cambiado de signo. Por lo
tanto podemos decir que el valor absoluto siempre es positivo.

Por ejemplo:
PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Cálculo I
Si x = 4, entonces 4 = 4 Hemos tomado el mismo número,
Si x = - 4, entonces −4 = −(−4) = 4 . Hemos tomado el número con el signo cambiado.
De igual forma se tiene para una función
⎧⎪
f(x) si, f(x) ≥ 0
f(x) = ⎨
⎩⎪ −f(x) si, f(x) < 0
La definición de valor absoluto, nos lleva a lo que conocemos como la distancia entre dos puntos.
Consideremos dos puntos ubicados en la recta real, entonces la distancia entre estos se representa
como a − b . Véase el gráfico.
Así mismo, el valor absoluto nos puede llevar a plantear desigualdades con valor absoluto.
Analicemos el siguiente ejemplo:
Resolver la siguiente desigualdad:
x − 2 < 5
Por la definición de valor absoluto se tiene dos alternativas:
x − 2 < 5 y − (x − 2) < 5
Es decir se tiene:
x < 7 y x > −3
Tratemos de llevar todas estas relaciones a la recta real,
Como vemos, hemos buscado el conjunto de números tales que la distancia hasta el punto 2 sea menor que 5.
Como resultado de todo este análisis tenemos que x ∈ ( −3, 7)
.
En el presente curso nos vamos a dedicar al estudio de las relaciones numéricas, para lo cual; como una
herramienta poderosa vamos a utilizar el plano Cartesiano.
Un punto en el plano suele escribirse siempre de la forma P(x, y), en donde x es la primera componente
y = f(x) y la segunda componente.
Muchas de las ideas del Cálculo se comprenden con la ayuda de gráficos, es por esto Ud. debe conocer
y realizar los gráficos de las funciones más conocidas.
Como por ejemplo: y = x 2 , y = x 3 , y = sin(x), y = cos(x) .
Algunos de los gráficos se dan en la página 22 del texto.
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Guía didáctica: Cálculo I
Módulo p
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PRIMER BIMESTRE
Lea detenidamente este módulo ya que aquí se explican algunas de las herramientas que utiliza el
Cálculo y que a lo mejor Ud ya los olvido.
Para confeccionar una gráfica en el plano cartesiano, hay que tener en cuenta algunos puntos
característicos de ésta, tales como puntos de intersección con los ejes, simetrías, puntos máximos y
mínimos, puntos de inflexión; estos tres últimos se los revisará en el segundo bimestre.
Estos tópicos los puede ver en las páginas 4-6 del libro texto.
Resumen de ecuaciones de la recta
Podemos resumir los varios tipos de ecuaciones de la recta usados, lo importante es reconocer cuales
son los datos con que contamos:
a) Ecuación de los dos puntos:
y − y = 1 y2 − y1 (x − x ) 1
x − x 2 1
b) Ecuación punto pendiente:
y − y 1 = m(x − x 1 )
c) Ecuación con ordenada en el origen
y = mx + b
d) Ecuación simétrica abscisa ordenada al origen.
x y
+ = 1, a,b ≠ 0
a b
e) Ecuación general de la recta
Ax +By + C = 0
F Debemos tener a mano las formas matemáticas de la ecuación de recta y los datos que se
necesitan para determinarla.
Ud debe conocer como se identifican rectas paralelas y rectas perpendiculares.
Se dice que dos rectas son perpendiculares mutuamente, si el producto de sus pendientes es menos
uno.
Así, si m representa a la pendiente de la recta L y m a la recta L , entonces se tiene que:
1 1 2 2 m1 .m = −1. O lo que es lo mismo m = −
2 1 1
m2 Analicemos el siguiente ejemplo:
Determinar la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta cuya ecuación es: 2x − y − 3 = 0 y
pasa por el punto P(-1, 2 ).

PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Cálculo I
De lo anteriormente señalado, se tiene: si m 1 y m 2 representan a las pendientes de esas rectas, entonces
m 1 .m 2 = -1.
Si hacemos que m represente la pendiente de la recta 2x − y − 3 = 0 , entonces m representará la
1 2
pendiente de la recta buscada, es decir m = − 2 1
m1 De la ecuación dada se tiene que, la ecuación es del tipo Ax +By + C = 0 en donde m = − 1 A
. Por
B
tanto, se tiene que m = − 1 A 2
= − = 2 .
B −1
Recordando que el producto de las pendientes es - 1, se tiene que m = − 2 1
2 .
Se conoce que el punto P(-1, 2 ) y la pendiente m = − 2 1
de la ecuación buscada por tanto utilizamos
2
la forma de la ecuación de la recta punto pendiente cuya forma es:
y − y 1 = m(x − x 1 ) ,
En donde las coordenadas x 1 y y 1 representan las coordenadas del punto conocido P, m representa su
pendiente y, x y representan a las coordenadas genéricas de la recta.
Sustituyendo los datos en la ecuación, se tiene: y − 2 = − 1
2 (x − (−1)) . De donde finalmente la ecuación
buscada es:
x + 2y − 3 = 0
Dibujando en el plano cartesiano, tenemos.
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Guía didáctica: Cálculo I
Funciones y sus gráficas
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PRIMER BIMESTRE
Muchas de las relaciones que se estudian en matemática son relaciones numéricas, es decir una
correspondencia que se establece entre los elementos de un conjunto con los elementos de otro
conjunto; podemos tener relaciones como “hijo de”, “padre de”, “perpendicular a”, “paralelo a”,
“cuadrado de”, en fin tenemos un gran número de relaciones, estas relaciones pueden ser de un
elemento a varios, de uno a uno, de varios a uno, etc. Dentro de este tipo de relaciones, existen las
relaciones que se establecen entre cada elemento de un conjunto con cada elemento de otro conjunto,
a este tipo de relaciones se las llama funciones.
Al conjunto del cual se toma los elementos para establecer la correspondencia, se denomina Dominio,
mientras que el conjunto para el cual se encontraron los elementos de correspondencia, se denomina
Recorrido.
F Para reconocer si una gráfica corresponde al de una función, lo que hace es trazar una
recta paralela al eje y, y si esta corta a la gráfica en un solo punto, entonces se trata de una
función. Caso contrario no lo es.
El éxito de aprendizaje del Cálculo tiene que ver el apoyo que se le de a las ideas de este, este apoyo
puede ser gráfico, numérico o analítico.
Si una función tiene la forma de:
f(x) = a n xn + a n−1 x n−1 + a n− 2 x n− 2 + a n−3 x n−3 + .......+ a 1 x + a o
En donde, a n y nson enteros, se dice que es una función polinómica entera.
Si una función tiene la forma
Tenemos algunos ejemplos:
f(x) = P(x)
, Q(x) ≠ 0 se denomina función racional
Q(x)
¿Indique a qué tipo de función pertenecen las siguientes funciones?:
f(x) = 5x5 − 4x 4 − 6 ……………… Polinómica
4 − x
f(x) =
3 + 7x 6
x 100 − 10x 17 ……………. Racional
+ x + 1
h(z) = −z − 17z5 + 5z 8 − 4z 10 + 3z 11 …. Polinómica
Ahora vamos a confeccionar algunas gráficas de funciones.
Revisar la página 22.
Graficar la siguiente función f(x) = x 2 − 4
Primeramente construimos una tabla de valores

PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Cálculo I
x -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
f(x) 8,25 5 2,25 0 -1,75 -3 -3,75 -4 -3,75 -3 -1,75 0 2,25 5
* La tabla de valores se puede calcular con la ayuda del Excel
** Los valores trazados con negrita son las intersecciones con los ejes
Seguidamente pasamos a revisar algunas otras funciones periódicas.
En todo fenómeno repetitivo (periódico o no periódico), las funciones seno y coseno siempre están
presentes, sobre todo en el campo de las telecomunicaciones, climas, etc.
Así tenemos a las funciones seno, coseno, impulso unitario y el tren de impulsos.
Impulso unitario
Seno Coseno
Tren de impulsos rectangulares
Las funciones impulso unitario y tren de impulsos, tienen dentro de su composición un número muy
grande de senos y cosenos.
El impulso unitario no es repetitivo mientras que el tren de impulsos es una función que se repite luego
se cierto tiempo.
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18
Guía didáctica: Cálculo I
¿Puede Ud pensar en otros tipos de funciones que se repiten luego de cierto tiempo?
Hay un grupo de funciones que suelen denominarse cuasi-periódicas aquí un ejemplo:
y = 5e−0.25t cos(10t)
El gráfico de la misma es:
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PRIMER BIMESTRE
Como Ud. observa, se trata de una función periódica, pero; en este caso las amplitudes van disminuyendo
conforme aumenta la variable independiente.
En general se dice que una función es periódica, si se cumple que f(x) = f(x + nT) , en donde T se
denomina período fundamental y n es un número entero.
Las funciones más usadas son el seno y el coseno, las cuales se las simboliza así:
sen(x) - se lee seno de x
cos(x) - se lee coseno de x
Así como a la función f se le asigna un argumento (x), el cual se escribe f(x); a las funciones trigonométricas
hay que asignárseles un argumento (x). De esto Ud. podrá darse cuenta que no se escribe simplemente
sen, cos o tan, sino sen(x), cos(x) o tan(x). Lo mismo ocurre con sus funciones inversas como sen −1 (x),
cos−1 (x), tan−1 (x) .
Existen dos unidades que se emplean para las funciones trigonométricas, estas son el grado y el
radian.
Una manera sencilla de transformar grados a radianes y de radianes a grados, es la siguiente:
Transformación de grados a radianes
Sea x GRAD un ángulo en grados, entonces:
x RAD = π
180 .x GRAD
Para transformar de radianes a grados
Sea x RAD un ángulo en radianes, entonces:

PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Cálculo I
x GRAD = 180
π .x RAD
Construyamos el gráfico de la función seno
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
f(x) 0 0.48 0.84 1 0.91 0.6 0.14 -0.4 -0.8 -0.97 -0.96 -0.7 -0.3 0.22 0.66
Si usa calculador verifique si las unidades son Rad o Deg. No confundir con la unidad Grad, que es otra
mediada de ángulos que divide a la circunferencia en 400 partes, esta unidad no la usaremos.
¿Al graficar la función f(x) = 10 −.05x cos(10x) , x en que unidades debe estar en grados o en radianes?
F Recuerde que el lenguaje del Cálculo es el de funciones, es por eso que si Ud. conoce el
gráfico de una función; puede más o menos predecir el comportamiento de ella y reconocer
algunas de sus propiedades.
Las funciones Exponenciales y las funciones Logarítmicas tienen especial importancia ya que mediante
este tipo de funciones son muy utilizadas en el Cálculo, cuyo análisis se realizará en el siguiente semestre
en Cálculo II.
Una vez conocido algunas de las funciones que se manejan en el Cálculo, pasamos a revisar algunas
operaciones que se pueden realizar con funciones. Es importante tener en cuenta los dominios de
definición de las funciones y sobre todo el dominio de definición de la resultante de una operación
dada entre funciones.
¿La función dada f(x) = 2 sen( x ) es una función potencial Respuesta ( ). ?
Transformación de funciones
Algunas funciones tienen la misma forma pero diferente posición respecto del plano cartesiano. Muy
importante para graficar una función es conocer los desplazamientos que esta puede tener en relación
con los ejes coordenados.
Analicemos un ejemplo:
Graficar la siguiente función:
f(x) = 0.5x3 − 2
Dibujemos primero el gráfico de x 3
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20
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De este gráfico podemos construir el gráfico de la función f(x) = 0.5x 3 − 2, sabiendo simplemente
que lo que ha hecho es multiplicarse por 0.5 en el eje vertical, y se ha desplazado dos unidades hacia
abajo.
Gráfico de f(x) = 0.5x 3
Gráfico de f(x) = 0.5x 3 − 2
Revisar la página 23, en donde se da una tabla de transformaciones de una función
El encontrar los puntos de intersección con el eje de las x, es resolver la ecuación f(x) = 0.
Para resolver la ecuación f(x) = 0, se puede utilizar diferentes métodos, tales como la factorización, por
tanteo, o algún método numérico, como por ejemplo el método de bisección, el método de Newton,
etc. En estos métodos el gráfico del polinomio da información muy importante para poder darse una
“semilla” inicial de la raíz. En general cualquier polinomio de grado n tiene n raíces, las cuales pueden
ser reales o imaginarias.

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Clasificación y combinación de funciones
Muy importante sino talvez el más importante, es el concepto de función compuesta para el desarrollo
del Cálculo.
El concepto de función compuesta debe estar claro ya que nos servirá de mucha ayuda para trabajar
con funciones mucho más complejas, derivar funciones más complejas, etc.
En la página 24 una breve clasificación de las funciones elementales.
Analicemos un ejemplo sobre funciones compuestas.
Sea f(x) = x 2 − 1 . y g(x) = 4 / x . Hallar la composición de:
a)
b)
a)
f g(x)
b)
g f(x)
f g(x) = f(g(x)) = f(4 / x) = (4 / x)2 − 1. Observe que el argumento de f(x) es la función g(x).
f g(x) = (4 / x)
2 − 1 =
16 − x2
. En este caso hemos resuelto la fracción
x 2
16 − x2
f g(x) =
x 2 , Por definición x 2 = x , entonces sustituimos en el denominador de la
función, lo que nos da finalmente:
f g(x) =
16 − x 2
x
g f(x) = g(f(x)) =
4
x 2 . Observe que el argumento de g(x) lo constituye la función f(x).
− 1
F Como puede observar, una función a su vez puede ser argumento de otra función.
Revise con detenimiento los ejemplos de las páginas 25-26 los cuales le darán una idea global
y clara de la composición de funciones.
IMPORTANTE:
f g(x) ≠ g f(x)
Revisemos algunos ejercicios adicionales
1. Verifique si la función y = x es una función par.
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22
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Sea
⎧⎪
x si x ≥ 0
x = ⎨
la definición del valor absoluto.
⎩⎪ −x si x < 0
Una función es par; si verifica que f(x) = f(-x)
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Gráficamente, la función debe ser simétrica respecto del eje de las y. Se tiene entonces que
f(x) = x si x ≥ 0 .
También podemos escribir f(−x) = −(−x) = x , si x < 0 .
Como f(x) = f(-x).
Por tanto f(x) = x es una función par.
Como se puede observar del gráfico, la figura es simétrica con respecto al eje de las y.
1
2. Encuentre el Dominio de la siguiente función t(x) =
x − 1 .
Para que la función tenga sentido, la cantidad subradical tiene que ser cero o mayor que cero ya que
solo para esos casos existe la raíz real par.
La función dada se puede escribir de otra forma: t(x) =
De lo que seduce que: x − 1> 0 , y x − 1≠ 0 , ya que de lo contrario, la función carecería de sentido.
De x − 1> 0 , se deduce que x > 1, a condición de que el denominador no sea cero, despreciamos la
igualdad.
Por tanto conjugando las dos condiciones anteriores se tiene que el dominio de la función es:
D t
= ( 1,∞ ) .
3. Para la función f(x) = x
encuentre f(1/x),
x − 1
Calculamos f(1/x):
1
x − 1

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f 1 ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ x ⎠
=
1
x =
1
− 1
x
1
x
1− x
indicadas. De lo cual resulta.
f 1 ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ x ⎠
= − 1
x − 1
x
1
= . Sustituimos en el lugar de x ponemos 1/x, y resolvemos las operaciones
1− x
1) Determine si las siguientes funciones son pares o impares
a)
b)
y = 1+ cos(x)
1+ x
y =
1+ x 2
2) Determine el dominio y recorrido de la siguiente función y = − x + 3
3) Determine cual de las siguientes relaciones son funciones:
a)
b)
c)
d)
4) Resuelva:
x − y2 = 0
x2 − 4 − y = 0
x2 + y 2 = 4
⎧⎪
x + 1 x ≤ 0
y = ⎨
⎩⎪ −x + 2 x > 0
a) Se desea construir una caja abierta con un cartón de 24 cm. de lado, cortando cuadrados iguales
en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. Encontrar una expresión para el volumen en
función de x y estimar las dimensiones de la caja que produce el máximo de volumen.
b) Un ganadero decide vallar un terreno de pasto rectangular adyacente a un río. Dispone de 100
m de valla y el lado que da al río no precisa vallar. Expresar el área (A) del terreno en función de
las dimensiones de los lados paralelos. Cuál es el dominio de A?
SOLUCION:
Actividades complementarias
a) Para determinar si es par una función, se debe determinar f(x) = f(−x)
f(x) = 1+ cos(x)
f(−x) = 1+ cos(−x) = 1+ cos(x)
f(x) = f(−x) Por tanto la función es par (no es necesario verificar si es impar)
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)
24
Guía didáctica: Cálculo I
1+ x
f(x) = . Verificamos si la función es par
2
1+ x
1+ (−x) 1− x
f(−x) = =
2
1+ (−x) 1+ x 2
f(x) ≠ f(−x) Por lo tanto no es par
Para verificar que la función es impar, se debe verificar que f(x) ≠ −f(−x)
1+ (−x) 1− x x − 1
−f(−x) = − = − =
2 2
1+ (−x) 1+ x 1+ x 2
f(x) ≠ −f(−x) Por consiguiente no es impar
Por lo tanto la función no es ni par ni impar.
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2) Para que la función tenga sentido, se tiene que dar x + 3 ≥ 0 . De esto se tiene que x ≥ −3, es
decir el dominio de la función es: D = ⎡−3,
∞
f ⎣ ) .
3) Para verificar gráficamente si una relación es una función, una recta vertical debe cortar la gráfica
de la relación en un solo punto.
a)
b)
x − y2 = 0 , si observamos la recta ha cortado en dos puntos a la gráfica, por lo tanto no
es una función
x2 − 4 − y = 0 , en esta gráfica vemos que la recta corta por un solo punto a las gráficas.
Por lo tanto si es una función.

c)
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d)
x2 + y 2 = 4 , En esta gráfica vemos que se trata de una circunferencia y la recta corta a la
curva en dos puntos, por tanto no es una función.
⎧⎪
x + 1 x ≤ 0
y = ⎨
. Esta relación esta definida en partes y se tratan de rectas, que como
⎩⎪ −x + 2 x > 0
uds. conocen son funciones.
4. a) De acuerdo a los datos del problema se tiene que:
Como se puede ver a los 24 debemos descontar los lados de longitud x
El volumen entonces se determina como V = x(24 − 2x)(24 − 2x)
Si graficamos la relación obtenida, se puede ver que el valor máximo se alcanza cuando x ≈ 4 , de
esto se puede encontrar el resto de dimensiones. Que son 16 cm. por cada lado y desde luego 4 cm
de alto. (Este es un problema típico de aplicación de la derivada)
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26
Guía didáctica: Cálculo I
b) Conocemos que todo el perímetro es 100 y esto es: 100 = 2y + x , de donde
es decir el área del terreno es
D A
= ⎡
⎣0,
100⎤
⎦
⎛100
− x ⎞
A = xy = x⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
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100 − x
y = ,
2
. El dominio de la relación obtenida es
Si graficamos esta relación tenemos que el valor máximo del área se la obtiene cuando x=50.

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MÓDULO 1 LÍMITES Y SUS PROPIEDADES
Para continuar con el desarrollo de la materia, entramos al concepto más importante y fundamental
dentro de toda la teoría del Cálculo, esto es el Límite.
Para esto, primero empezamos hablando de una manera intuitiva tratando de ubicarnos en el contexto
de todo el estudio del Cálculo. Para esto se requiere que ud lea las páginas de 42 a 44.
Cuando se habla de límite hay una idea de movimiento en variable independiente y dependiente,
fíjese cuando se dice “el límite de f(x) cuando x tiende a c”. Por eso debemos pensar en la variable
independiente esta se vaya moviendo hacia el punto donde se quiere calcular el límite tanto por la
derecha como por la izquierda de ese punto.
Lea detenidamente el análisis de los problemas de la recta tangente y el problema del
área en las páginas 45-46. Preste atención a la forma como uno se acerca al punto (se da
la idea de movimiento), no importa la forma de hacerlo.
Revise los ejemplos 1 y 2 de la página 49, en ellos nos explican que al aproximarse al punto, se lo
puede hacer de dos formas por la izquierda o por la derecha.
Y sobre todo que:
El límite de una función, no depende si la función esta o no definida en el punto, esta puede estar
o no definida en el punto.
Veamos otro ejemplo sobre lo dicho.
Calcular el límite de la función en el punto x = 3,
Lim
x →3
x
f(x) = Lim
x →3
2 − x − 6
x − 3
= Lim
x →3
f(x) = x2 − x − 6
x − 3
(x − 3)(x + 2)
. Hemos factorizado el numerador
x − 3
= Lim(x
+ 2) = 3+ 2 = 5. Hemos simplificado el término semejante.
x →3
x
Lim
x →3
2 − x − 6
= 5
x − 3
Se tiene que f(x) = x2 − x − 6
. Como puede observar, la función no esta definida para x = 3; pero
x − 3
calculando el límite, este es igual a 5.
IMPORTANTE:
F Se debe señalar que si bien no se dan el dominio de definición de las funciones, el dominio
de éstas será el conjunto donde las funciones tengan sentido.
Una observación muy importante es la siguiente:
Analicemos un poco más el ejemplo anterior:
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