Continuidad de funciones de varias variables.

2. CÁLCULO DE LÍMITES.
Consideremos una función arbitraria f : R m → R n con dominio D(f) = D.
Sean S ⊂ D, −→ x0 ∈ R m , −→ y0 ∈ R n .
Diremos que lím
x→x0
x∈S
S es igual a −→ y0), cuando
f(x) = y0 (en palabras, el límite de f en −→ x0 a lo largo de
∀ε > 0, ∃δ > 0 : f(x) ∈ B(y0, ε), ∀x ∈ (B(x0, δ) \ {x0}) ∩ S.
Equivalentes a este enunciado son los siguientes:
∀ε > 0, ∃δ > 0 : f (B(x0, δ) \ {x0}) ∩ S ⊂ B(y0, ε);
∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < x − x0 < δ, x ∈ S =⇒ f(x) − y0 < ε.
Esta definición es una simple extensión de la definición usual de límite de
una función real donde se sustituye la distancia en R (dada por el valor
absoluto) por la distancia en cada uno de los espacios métricos R m y R n
(dada por la correspondiente norma euclídea).
Observemos que la definición no tiene sentido si x0 ∈ S ′ pues, en este caso,
(B(x0, δ)\{x0})∩S = ∅ y cualquier punto puede ser el límite de una función
en x0. En el caso de que S = D, y no haya lugar a confusión, escribiremos
simplemente lím f(x).
x→x0
Enunciamos a continuación las siguientes propiedades básicas del límite.
Teorema 1. Si existe lím
x→x0
x∈S
Teorema 2. Sea T ⊂ S ⊂ D. Entonces
lím
x→x0
x∈S
(ver problemas 2.6 y 2.8).
f(x), este límite es único.
f(x) = y0 =⇒ lím
x→x0
x∈T
f(x) = y0
Teorema 3 (Operaciones algebraicas con el límite.) Dadas dos funciones
f : D1 ⊂ Rm → Rn y g : D2 ⊂ Rm → Rn , y un conjunto S ⊂ D1 ∩ D2, si
lím f(x) = y1 y lím g(x) = y2, entonces:
x→x0
x∈S
x→x0
x∈S
(a) lím (f + g)(x) = y1 + y2.
x→x0
x∈S
(b) lím (λf)(x) = λy1.
x→x0
x∈S
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