Continuidad de funciones de varias variables.

PROBLEMA 2.8
x
Calcular lím
(x,y)→(0,0)
2 + y2 |x| + |y| .
Solución
En este ejercicio, el dominio de la función es S = R 2 \{(0, 0)} y consideramos
el subconjunto T = {(x, mx) : x ∈ R \ {0}}. Tenemos entonces
x
lím
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈T
2 + y2 x
= lím
|x| + |y| (x,mx)→(0,0)
2 + (mx) 2
|x| + |mx|
(1 + m
= lím
x→0
2 )x2 = 0.
(1 + |m|)|x|
De acuerdo con el resultado del problema 2.6, si existiera el límite pedido,
este debe ser cero. Debemos probar pues que
∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < x2 + y2 < δ =⇒ x2 + y2 < ε.
|x| + |y|
En efecto, como |x| ≤ x 2 + y 2 < δ, |y| ≤ x 2 + y 2 < δ y
x2 + y2 |x| + |y| ≤ x2 + y2 + 2|x| · |y|
=
|x| + |y|
(|x| + |y|)2
|x| + |y|
basta elegir δ = ε/2 para que x2 + y2 < ε.
|x| + |y|
= |x| + |y| < 2δ,
Será común en este tipo de problemas utilizar trayectorias del tipo y = mx.
Así, si el límite es el mismo para todas ellas, el resultado es un candidato a
ser el límite de la función, pero si dicho límite varía con cada trayectoria, la
función no tiene límite.
PROBLEMA 2.9
e
Hallar lím
(x,y)→(0,0)
xy − 1
sen x · ln(1 + y) .
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