Continuidad de funciones de varias variables.

PROBLEMA 2.22
Estudiar la continuidad de la función
Solución
f(x, y) =
x 2 +y 2
x 2 +y
si x 2 + y = 0
0 si x 2 + y = 0.
En los puntos que no pertenecen a la parábola x 2 + y = 0, la función es
evidentemente continua. Para estudiar la continuidad en los puntos de la
parábola, distinguiremos dos casos:
i) En el origen la función no es continua pues:
lím lím
x→0 y→0
lím
y→0
lím
x→0
x 2 + y 2
x2 + y
x 2 + y 2
x 2 + y
= 1,
= 0.
ii) Fuera del origen la función tampoco es continua pues, si (x0, y0) =
(0, 0),
lím f(x, y) = ∞.
PROBLEMA 2.23
(x,y)→(x0,y0)
x 2 0 +y0=0
Estudiar la continuidad de la función
f(x, y) =
x
y
si |x| ≤ |y|
si x| > |y|.
Solución
La función es continua en todos los puntos (x, y) tales que |x| = |y|. Debemos
estudiar si lo es en los puntos de las rectas y = x e y = −x.
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