Continuidad de funciones de varias variables.

Deducimos de este resultado que no existe el límite propuesto.
Las gráficas siguientes muestran diferentes curvas de nivel de la función
(las cuales tienden a cortarse en el origen) y la forma de la superficie,
donde se puede comprobar intuitivamente que el límite buscado no
existe.
(b) Comprobemos nuevamente la existencia de los límites iterados:
sen(xy)
lím lím
y→2 x→0 x
sen(xy)
lím lím
x→0 y→2 x
=
=
lím y = 2;
y→2
sen(2x)
lím = 2.
x→0 x
Para comprobar que, efectivamente, el límite de la función es 2, aplicamos
el teorema de la función intermedia. Como
y cos(xy) ≤ sen(xy)
≤ y si x > 0,
x
y ≤ sen(xy)
≤ y cos(xy) si x < 0,
x
y las dos funciones de los extremos tienen límite 2 cuando (x, y) →
(0, 2), resulta que la función propuesta también tiene límite 2.
(c) Al igual que en el apartado anterior, debido a que
−(x 2 + y 2
) ≤
(x2 + y 2 ) sen 1
xy ≤ x2 + y 2 ,
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