Continuidad de funciones de varias variables.

Por ser f lineal y de acuerdo al resultado probado en el problema anterior,
existe M > 0 tal que
−→ x ≤ M · −→ x 2.
También se probó en el ejercicio anterior que f es continua. Como además la
aplicación · : (R n , ·) → R es continua, la composición f es continua. El
conjunto B = { −→ x ∈ R n : −→ x 2 = 1} es cerrado y acotado, luego compacto.
Como toda aplicación continua sobre un compacto alcanza el valor mínimo,
existe una constante m = mín{ −→ x : −→ x ∈ B}.
Sea −→ x ∈ R n un elemento no nulo; entonces −→ x / −→ x 2 ∈ B, luego −→ x / −→ x 2 ≥
m, es decir
−→ x ≥ m · −→ x 2
(si −→ x = 0 esta desigualdad es obviamente cierta).
En definitiva, existen dos constantes m, M > 0 tales que
m · −→ x 2 ≤ −→ x ≤ M · −→ x 2,
es decir ambas normas son equivalentes.
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