Continuidad de funciones de varias variables.

PROBLEMA 2.17
Determinar los puntos de discontinuidad de la función
Solución
f(x, y) = x2 + 2xy + y2 x2 − y2 .
Debido a que D(f) = {(x, y) ∈ R 2 : x + y = 0, x − y = 0}, la función
es obviamente discontinua en todos los puntos de las rectas y = x, y =
−x.
Ahora bien, como
f(x, y) =
(x + y) 2 x + y
=
(x + y)(x − y) x − y
entonces lím
(x,y)→(x0,x0) f(x, y) (para x0 = 0) no existe.
si x + y = 0,
Sin embargo, lím
(x,y)→(x0,−x0) f(x, y) = 0 (para x0 = 0), por lo que la discontinuidad
es evitable en los puntos de la recta x + y = 0.
Por último, en el origen tampoco existe el límite de la función.
En efecto,
x + y
lím
x→0 x − y
y=mx
(1 + m)x (1 + m)
= lím =
x→0 (1 − m)x (1 − m) ,
resultado que, evidentemente, varía según el valor de m.
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