Continuidad de funciones de varias variables.

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PROBLEMA 2.27 Probar que la aplicación · : R n → R es uniformemente continua. Solución Debemos probar que, para cualesquier par de puntos −→ x , −→ y ∈ R n , se cumple: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : −→ x − −→ y < δ =⇒ −→ x − −→ y < ε. Para ello, probaremos en primer lugar que −→ x − −→ y ≤ −→ x − −→ y . En efecto, como −→ x = −→ x − −→ y + −→ y ≤ −→ x − −→ y + −→ y =⇒ −→ x − −→ y ≤ −→ x − −→ y , −→ y = −→ y − −→ x + −→ x ≤ −→ y − −→ x + −→ x =⇒ −→ y − −→ x ≤ −→ y − −→ x =⇒ − −→ x − −→ y ≤ −→ x − −→ y , deducimos que − −→ x − −→ y ≤ −→ x − −→ y ≤ −→ x − −→ y , lo que equivale precisamente a −→ x − −→ y ≤ −→ x − −→ y . Utilizando esta desigualdad, basta tomar en la definición de continuidad δ = ε porque si −→ x − −→ y < δ, entonces −→ x − −→ y ≤ −→ x − −→ y < δ = ε, lo que prueba la continuidad uniforme de la función. PROBLEMA 2.28 Probar que toda aplicación lineal f : R n → R m es continua. 90
Solución Veamos en primer lugar que ∃M > 0 tal que f( −→ x ) ≤ M −→ x , ∀ −→ x ∈ Rn . En efecto, si { −→ e1, . . . , −→ en} es la base canónica de Rn y −→ n x = (x1, . . . , xn) = xi −→ ei , entonces f( −→ x ) = ≤ f n n i=1 i=1 xi −→ ei = n xif( −→ ei ) i=1 |xi| · f( −→ ei ) ≤ máx 1≤i≤n |xi| · Teniendo en cuenta que máx 1≤i≤n |xi| ≤ −→ x , deducimos que f( −→ x ) ≤ −→ x · n f( −→ ei ), i=1 n f( −→ ei ). lo que prueba la desigualdad deseada si llamamos M = n f( −→ ei ). Para probar la continuidad de f, sea ε > 0 arbitrario. Si hacemos δ = ε/M, de la desigualdad −→ x − −→ y < δ deducimos: f( −→ x ) − f( −→ y ) = f( −→ x − −→ y ) ≤ M · −→ x − −→ y < M · δ = ε. Deducimos así que la función es incluso uniformemente continua. PROBLEMA 2.29 Probar que todas las normas sobre R n son equivalentes. Solución Probaremos que la norma euclídea · 2 es equivalente a cualquier otra. Por la transitividad de la relación de equivalencia, esto basta para que dos normas arbitrarias sean equivalentes entre sí. Para ello consideramos la aplicación identidad f : (R n , · 2) → (R n , · ), con · arbitraria. 91 i=1 i=1 i=1
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