La integral de Riemann - dmaii

138 Capítulo 6. La integral de Riemann
En algunas ocasiones, no es necesario calcular el valor exacto de una integral, sino que basta con
estimaciones aproximadas. Por ejemplo, de (6.2) se deduce que
a+1 x +
lím
a→+∞ a
√ x
x − √ dx = 1.
x
El corolario 6.2.14 puede mirarse como una lectura inversa del teorema 5.2.7 del valor medio del
cálculo diferencial. De hecho, otra demostración del corolario 6.2.14 consiste en aplicar el teorema
del valor medio a la función F : [a,b] → R dada por F(x) = x
a f , que es derivable y cuya derivada es
F ′ (x) = f (x) (según probaremos en el siguiente apartado).
Teorema 6.2.15. Sea f una función integrable en el intervalo cerrado y acotado [a,b], sea g una
función no negativa, integrable en el intervalo cerrado y acotado [a,b] y sean m, M tales que para
todo x ∈ [a,b] se cumple
m ≤ f (x) ≤ M.
Entonces existe µ ∈ [m,M] tal que
b b
f g = µ g
a
a
(el número µ es una especie de promedio ponderado de f respecto a la densidad de masa g).
Demostración. Puesto que g ≥ 0, se verifica
mg ≤ f g ≤ Mg.
Todas estas funciones son integrables, luego podemos poner
b b b
m g ≤ f g ≤ M g.
a a
a
Si b
a g = 0, cualquier µ ∈ [m,M] cumple la igualdad del enunciado. Si b
a g = 0, entonces b
a g > 0,
y basta tomar como µ el cociente entre b
a f g y b
a g.
Corolario 6.2.16. Sea f una función continua (y por tanto integrable) en el intervalo cerrado y
acotado [a,b] y sea g una función no negativa, integrable en [a,b]. Existe entonces al menos un punto
x0 ∈ [a,b] tal que
b
a
b
f g = f (x0)
a
g.
Demostración. La función f tiene máximo y mínimo absolutos sobre [a,b], por el teorema 4.2.8 de
Weierstrass. Si el máximo y el mínimo se alcanzan en c y d, respectivamente, podemos aplicar el
teorema 6.2.15 con m = f (c) y M = f (d). Por el teorema 4.2.10 de Darboux, hay al menos un punto
x0 ∈ [a,b] tal que f (x0) = µ, donde µ es el valor del teorema 6.2.15.
Proposición 6.2.17 (segundo teorema de la media del cálculo integral). Sean f y g funciones
integrables en un intervalo cerrado y acotado [a,b].
a) Si g ≥ 0 y es no creciente, existe x0 ∈ [a,b] tal que
b
a
x0
f g = g(a) f .
a