La integral de Riemann - dmaii

156 Capítulo 6. La integral de Riemann
f)
R(x, a2 − (x + b) 2 )dx, donde R es una función racional. Se reduce a la integral de una
función de tipo trigonométrico mediante uno de los dos cambios x + b = acost, x + b = asent.
g) R(x, (x + b) 2 − a2 )dx, donde R es una función racional. Se reduce a la integral de una
función de tipo trigonométrico mediante uno de los dos cambios x + b = a
a
, x + b =
cost sent .
h) R(x, a2 + (x + b) 2 )dx, donde R es una función racional. Se reduce a la integral de una
función de tipo trigonométrico mediante uno de los dos cambios x + b = atgt, x + b = a
tgt .
i)
R(x, ax2 + bx + c)dx, donde R es una función racional. O bien se expresa como uno de los
tres tipos anteriores, o bien se reduce a la integral de una función racional mediante un cambio
de variable de Euler:
• √ ax 2 + bx + c = t ± x √ a, si a > 0;
• √ ax 2 + bx + c = tx ± √ c, si c > 0;
• √ ax2 + bx + c = t(x − u), si au2 + bu + c = 0.
j) x r (a + bx s ) p dx, donde r, s y p son números racionales. Solo se integran en los siguientes
casos:
• Si p ∈ N, se desarrolla (a + bx s ) p y es inmediata.
• Si p es un entero negativo, se hace el cambio x = tk , donde k es un denominador común
de las fracciones r y s.
r + 1
• Si
s ∈ Z, se hace el cambio a + bxs = tk , donde k es el denominador de la fracción p.
r + 1
• Si
s + p ∈ Z, se hace el cambio a + bxs = xstk , donde k es el denominador de la
fracción p.
6.7. Ejercicios
Ejercicio 6.1. Calcular las primitivas de las siguientes funciones:
1)
(1 + √ x) 3
x 1/3
2)
4) 4cos 3 x − 3cosxsenx 5)
7) x 5√ 1 − x 3 8)
(arcsenx) 2
√ 1 − x 2
sen3 x
√
cosx
1
x(x7 + 1)
3)
6)
1
√ x − x 2
10) arctgx 11) cosxlog(1 + cosx) 12) log 2 x
13)
cos2x
e x
14)
xarcsenx
√ 1 − x 2
9)
1
a 2 e x + b 2 e −x
1
senx + cosx
15) xtg 2 x