La integral de Riemann - dmaii

122 Capítulo 6. La integral de Riemann
Este ejemplo y el anterior ponen de manifiesto la necesidad de hallar procedimientos indirectos
de cálculo que permitan evaluar cómodamente al menos integrales de funciones tan sencillas como
estas. Veremos algunos más adelante.
Ejemplo (una función acotada que no es integrable). Sea f : [0,1] → R la dada por f (x) = 1
si x ∈ Q y f (x) = 0 si x /∈ Q (la función de Dirichlet). Por la densidad de los racionales y de los
irracionales, en cualquier intervalo [xi−1,xi], asociado a cualquier partición P, f toma los valores 0
y 1, luego resulta que S( f ,P) = 1 y S( f ,P) = 0. Por lo tanto la integral inferior vale 0 y la integral
superior vale 1. La función de Dirichlet no es integrable-Riemann.
Nota (¿la integral es el área?). Dada una función f acotada y no negativa, ya hemos visto que
S( f ,P) ≤ A ≤ S( f ,P) para cada partición P, si A es el área de la región que limita la gráfica de f . Por
tanto A es una cota superior del conjunto de las sumas inferiores y una cota inferior del conjunto de
las sumas superiores, y entonces
b
b
Si f es integrable, los dos extremos de (6.1) coinciden con
a
b
f ≤ A ≤ f . (6.1)
a
a
f , así que el área A es igual a la integral.
Pero hay que señalar un matiz importante: mientras que la integral es un concepto que hemos definido
b
a
f (x)dx
a b
La integral y el área
rigurosamente, nos hemos valido de una noción intuitiva e ingenua de la medida de áreas.
6.1.2. Propiedades básicas de las sumas de Darboux
Lema 6.1.5. Sea f una función acotada en un intervalo cerrado y acotado [a,b]. Si P y Q son particiones
de [a,b] y P ⊆ Q (se dice en tal caso que Q es más fina que P), entonces
y en consecuencia
S( f ,P) ≤ S( f ,Q) ≤ S( f ,Q) ≤ S( f ,P),
S( f ,Q) − S( f ,Q) ≤ S( f ,P) − S( f ,P).