La integral de Riemann - dmaii

148 Capítulo 6. La integral de Riemann
f) Para cada x ∈ R, e x > 0.
g) La función exponencial es estrictamente creciente y convexa. En particular, es inyectiva.
h) Se tiene
lím
x→+∞ ex = +∞, lím
x→−∞ ex = 0.
En consecuencia, el conjunto imagen de la función exponencial es (0,+∞).
Demostración. a) Como L es derivable e inyectiva en el intervalo (0,+∞), su inversa exp es derivable,
según el teorema 5.1.7 de derivación de la función inversa. Además,
exp ′ (x) =
1
L ′ (exp(x)) =
1
= exp(x), x ∈ R.
1/exp(x)
Es decir, la derivada de la función exp es ella misma, luego resulta indefinidamente derivable
(igual a todas sus derivadas sucesivas).
b) Obvio.
c) Sea f : x ∈ R → f (x) = e x e −x ∈ R. Derivando de acuerdo con a),
f ′ (x) = e x e −x − e x e −x = 0,
luego f toma constantemente el valor f (0) = 1.
d) Fijado y, sea f : x ∈ R → f (x) = ex+y
e x ∈ R. Teniendo en cuenta a),
f ′ (x) = ex+y · e x − e x+y · e x
(e x ) 2
luego f toma constantemente el valor f (0) = e y .
e) Se prueba por inducción sobre n utilizando d).
f) e x = e x/2 2 ≥ 0 y e x = 0.
g) La derivada primera y la derivada segunda de la función exponencial (que son iguales a la
función exponencial) son estrictamente positivas.
h) Puesto que la función exponencial es estrictamente creciente,
e = e 1 > e 0 = 1,
luego líme n n = +∞. De nuevo por la monotonía de la función exponencial, esto basta para probar
que
lím
x→+∞ ex = +∞.
Finalmente,
lím
x→−∞ ex = lím
y→+∞ e−y 1
= lím = 0.
y→+∞ ey Del teorema 4.2.10 de Darboux (o de los valores intermedios) se sigue que el conjunto imagen
de la función exponencial es todo el intervalo (0,+∞).
En esta demostración se observa que todas las propiedades básicas de la función exponencial se
deducen realmente de a) y b), que en este sentido pueden ser consideradas sus propiedades fundamentales.
= 0,