La integral de Riemann - dmaii

142 Capítulo 6. La integral de Riemann
(si a < b el término de la derecha es b
a | f |, como hasta ahora). En cuanto a la monotonía, notemos
que si 0 ≤ f ≤ g son funciones integrables podemos asegurar que
ya que si a > b esta desigualdad es a
b
a
b f ≤ a
b
c
cualquiera que sea el orden entre a,b y c.
a
f ≤
b
a
g,
g. Por último, si las integrales tienen sentido entonces
f +
b
c
b
f = f
a
Teorema 6.3.4 (teorema fundamental del cálculo integral (segundo)). Sea f una función integrable
en [a,b]. Definamos F : [a,b] → R mediante
Entonces:
a) F es continua en [a,b];
F(x) =
b) si f es continua en algún x0 ∈ [a,b], entonces F es derivable en x0 y
x
a
f .
F ′ (x0) = f (x0).
Demostración. a) La función f es integrable, así que está acotada; sea K > 0 tal que | f (x)| ≤ K para
todo x ∈ [a,b]. Veamos que para cada x,y ∈ [a,b], |F(x) − F(y)| ≤ K|x − y|.
Si x = y, no hay nada que probar. Si no, podemos suponer que x > y, por ejemplo. Entonces,
|F(x) − F(y)| =
x
a
y
f (t)dt −
a
f (t)dt
=
x
y
f (t)dt
≤
x
y
| f (t)|dt ≤ K|x − y|,
como queríamos probar. Ahora, dado ε > 0, tenemos: para cada x,y ∈ [a,b] con |x − y| < ε/K, se
cumple que |F(x) − F(y)| < ε. Es decir, la función F es continua en [a,b] (de hecho hemos probado
que es uniformemente continua).
b) Supongamos que f es continua en algún x0 ∈ [a,b]. Se trata de probar que
F(x0 + h) − F(x0)
lím
= f (x0).
h→0 h
Tanto si h > 0 como si h < 0,
x0+h x0
x0+h
F(x0 + h) − F(x0) = f (t)dt − f (t)dt = f (t)dt,
a
a
x0
luego
F(x0 + h) − F(x0)
h
− f (x0) = 1
x0+h
h x0
Entonces,
F(x0 + h) − F(x0)
h
f (t)dt − 1
x0+h
h x0
− f (x0)
1
=
|h|
x0+h
x0
f (x0)dt = 1
x0+h
[ f (t) − f (x0)]dt.
h x0
[ f (t) − f (x0)]dt
.