pensamiento ordinal y tecnología multimedia. capítulo homenaje a ...

PENSAMIENTO ORDINAL ELEMENTAL.
UN ESTUDIO CON MULTIMEDIA 1
P. Hernández
Dpto. de Didáctica de la Matemática
Universidad de Málaga
e-mail: phernandez07@gmail.com
J.L. González
Dpto. de Didáctica de la Matemática
Universidad de Málaga
e-mail: gmari@uma.es
21/07/2012
Resumen
La formación y evolución del pensamiento numérico y aritmético
elemental, desde la comparación de cantidades hasta el concepto de
número natural y las operaciones aritméticas con números naturales, ha
sido uno de los temas de mayor interés en la investigación en Educación
Matemática. Sin embargo, la mayoría de los estudios realizados se han
centrado en el aspecto cardinal del número natural, dedicando una menor
atención a los aspectos ordinal e inductivo, y han puesto en evidencia
serias limitaciones metodológicas debidas a la corta edad de los sujetos y
a las dificultades consiguientes para obtener información objetiva, válida
y fiable.
En esta comunicación se presentan las líneas generales y algunas de las
primeras conclusiones de una investigación orientada al análisis de la
evolución del pensamiento ordinal en las etapas prenumérica y
preinductiva en escolares de 3 a 7 años de edad. Para ello se ha empleado
una metodología basada en tecnología multimedia, el registro automático
y objetivo de la información y una reducción notable de la interacción
sujeto – investigador.
Se satisface con ello una triple finalidad:
1. Averiguar la pertinencia, validez y potencialidad de la tecnología
multimedia como instrumento de investigación en Educación
Matemática;
2. Comprobar su utilidad en investigaciones con sujetos de corta
edad;
1 Al Dr. D. Alfonso V. Ortiz Comas, primer director de la tesis en la que se basa este
trabajo y última tesis que dirigió. Por su valiosa ayuda, por su constante estímulo y
por su apoyo incondicional. Gracias, Alfonso, vives en nuestro corazón.
1

3. Indagar sobre las características y la evolución del pensamiento
ordinal en un entorno virtual lúdico, interactivo y adaptado a las
características psico-afectivas de los sujetos.
El instrumento utilizado está formado por una batería de tareas
multimedia organizadas de acuerdo con un modelo evolutivo de
competencias ordinales y elaboradas con la herramienta ―Macromedia
Director‖. La construcción de las tareas se ha realizado de acuerdo con
una teoría sobre realización de ítemes multimedia, para los que se
definen sus funciones epistémica, ontológica y onto-epistémica y a los
que se incorporan los principios constructivos del aprendizaje multimedia
de Mayer y otros autores. Los primeros indicios encontrados permiten
corroborar la pertinencia y utilidad de la metodología empleada y
muestran la existencia de patrones evolutivos que concuerdan con las
diferentes etapas del modelo propuesto y completan los resultados
obtenidos en anteriores investigaciones.
Palabras clave: Educación Matemática, Tecnología Multimedia, evaluación y diagnóstico
cognitivo, pensamiento numérico, desarrollo de conceptos y competencias matemáticas,
evaluación, niños, infantil, primaria, orden, número natural.
ORDINAL ELEMENTAL THOUGHT.
A RESEARCH WITH MULTIMEDIA
Abstract
One of the most interesting research field in Mathematics Education is
the formation and evolution of numerical and arithmetical thought from
comparison of quantities to the concept of natural number and arithmetic
operations with natural numbers. Nevertheless, many of the conducted
studies have focused on the cardinal aspect of natural numbers and have
devoted less attention to their ordinal and inductive side. Aditionally this
sort of studies shows some methodological limitations produced by the
age of infants which creates several difficulties to reach valid, objetive
and reliable information.
The main purpose of this paper is to present the master lines and first
conclusions of a research study on the analysis of ordinal thought
evolution in prenumerical and preinductive levels among three to seven
years old students. Our methodological scheme has been based on
multimedia technology, automatic and objetive record of the information
and an outstanding of interaction between students and researcher.
Therefore a triple finality is fullfilled:
1. To find out the accuracy, validity and possibilities of multimedia
technology as a mean in Mathematics Educations research.
2. To check its usefulness for infants.
2

3. To seek the features and evolucion of ordinal thought in a virtual,
ludic and interactive environment which have been adapted to the
psycho-affective characteristics of the infants.
Our method is based on a set of multimedia tasks that is organised
according to a evolutive model of ordinal competences and generated
with the tool Macromedia Director. These tasks have been conceived
according to our theory on the production of multimedia items. In this
theory the epistemic, ontological and onto-epistemic functions have been
redefined and some constructive principles about the multimedia
learning from Mayer and other authors have been incorporated. Our first
conclusions prove the usefulness of this methodology and show the
existence of solid evolutive patterns in different stages of the proposed
model. At the same time they are completing the previous research
results.
Key words: Mathematics Education, Multimedia Technology, cognitive diagnosis and
assessment, numerical thinking, development of mathematical concepts and skills, evaluation,
prekindergarden, infants, primary, ordering, natural numbers.
1 Introducción
La investigación psicológica o didáctica con sujetos de corta edad presenta
tradicionalmente inconvenientes de diversa índole relacionados con el lenguaje, la
motivación, los instrumentos y medios para la recogida de datos, la interpretación de las
respuestas o la interacción investigador-sujeto, entre otros factores. Tanto es así, que en
estos casos, además del problema específico de investigación, se ha prestar especial
atención a dichos factores para asegurar la validez y fiabilidad de los datos.
Por otra parte, las tecnologías de la información y la comunicación presentan cualidades
que pueden disminuir, o incluso eliminar, muchos de los inconvenientes indicados,
razón por la cual se vienen utilizando cada vez con mayor frecuencia en los estudios con
sujetos de mayor edad. Sin embargo siguen existiendo problemas para el
aprovechamiento de estos medios en las investigaciones con sujetos de menor edad,
razón por lo cual hemos realizado un análisis detallado de este problema en el estudio
que se presenta y hemos construido un instrumento metodológico que, a tenor de los
resultados, creemos que constituye una solución plausible aunque mejorable en estudios
posteriores.
3

El problema que se aborda 2 consta, por tanto, de dos partes diferenciadas:
• Estudiar la pertinencia, validez y potencialidad de la tecnología multimedia como
metodología e instrumento de investigación en Educación Matemática en el
intervalo de edad de 3 a 7 años, analizando, en particular, el comportamiento de
los sujetos y los efectos del registro automático y objetivo de la información y de
la reducción de la interacción sujeto–investigador.
• Utilizar tareas implementadas en un entorno tecnológico multimedia para
averiguar los niveles de competencias y capacidades prenuméricas y
preinductivas del pensamiento ordinal, como base de las nociones numéricas y
métricas elementales, y su ajuste a un modelo estabecido.
La segunda parte se orienta a los aspectos prenuméricos del Pensamiento Ordinal,
un tema poco tratado en las investigaciones psicológicas sobre el aprendizaje del
número y de la medida, y es continuación de los estudios de Ortiz (1997) sobre
razonamiento inductivo numérico, Fernández (2001) sobre relaciones lógicas ordinales
entre los términos de la secuencia numérica y González (1998) sobre el campo
conceptual de los números naturales relativos.
La primera parte se dedica al fundamento y desarrollo de una metodología y de un
instrumento multimedia adaptados al problema mencionado en el párrafo anterior y a las
características psico-afectivas de los sujetos. El interés en este aspecto se ha centrado en
la motivación y la comprensión de las tareas, la simplicidad de uso y de respuesta de los
sujetos, la recogida de la mayor parte de información objetiva posible y la reducción al
mínimo de la interaccion entre el sujeto y el investigador.
En los apartados que siguen se detallan brevemente los antecedentes y los
fundamentos teóricos, el modelo de competencias ordinales a contrastar, la metodología
y el diseño del estudio empírico. A continuación se analizan y discuten algunos de los
resultados obtenidos y se concluye el trabajo con las conclusiones que se deducen del
análisis de los resultados.
2 La presente comunicación se ha extraído del trabajo de investigación correspondiente a la tesis
doctoral Metodología Multimedia en la evaluación del Pensamiento Matemático Ordinal en
escolares de 3 a 7 años que se desarrolla en el Departamento de Didáctica de la Matemática de la
Universidad de Málaga.
4

2 Las capacidades y competencias ordinales elementales
Los conceptos ordinales que intervienen en la formalización del número natural
y de los conceptos de cantidad y medida son elementos esenciales en la construcción
formal del conocimiento matemático y en la formación del pensamiento matemático
infantil. Las relaciones entre dichos ámbitos están fuera de toda duda, por lo que el
estudio del desarrollo, la naturaleza y la evolución del pensamiento ordinal de los
sujetos se ha de fundamentar en un análisis previo sobre la epistemología del número
natural y la naturaleza y propiedades de la estructura de orden.
Consideraciones epistemológicas sobre los números y la estructura de orden
La importancia de las estructuras ordinales en Matemáticas es evidente si
tenemos en cuenta que los conjuntos , y son indistinguibles desde el punto de
vista cardinal (Hrbacek y Jech, 1999, p. 79 y ss.) y, sin embargo, tienen propiedades
ordinales que los distinguen claramente. Los tres son conjuntos inductivos y pueden
ordenarse linealmente 3 mediante los órdenes habituales, respecto de los cuales,
respectivamente, admite un buen orden, queda ordenado linealmente y , además
de quedar linealmente ordenado, es denso. Es decir, admiten estructuras ordinales
lineales no equivalentes, lo que singulariza la estructura y propiedades de cada uno de
ellos.
Por otro lado, salvo isomorfismos, es el “menor” conjunto inductivo que
admite un buen orden. Lo que caracteriza tanto al conjunto como, mediante las
funciones recursivas, a la propia aritmética natural, Hrbacek y Jech (1999) p. 49 y ss.,
destacando su interpretación como serie ordenada. Así mismo, los distintos tipos de
órdenes lineales para conjuntos finitos se corresponden con los números cardinales, esto
es, a cada tipo de orden lineal le corresponde un cardinal y recíprocamente, de lo que se
deduce la equivalencia y la doble interpretación cardinal y ordinal de los números
naturales.
3 Entendemos por orden lineal aquel para el cual todos los elementos del conjunto en el que está
definido son comparables
5

En relación con los orígenes y la evolución de los conceptos ordinales se
distinguen varias tendencias:
• La postura convencionalista basa la construcción del número natural en los
aspectos ordinales. El soporte inicial es la acción de contar y la verbalización de
la secuencia numérica. Los numerales y los signos numéricos son convenciones
que actúan mediante criterios determinados. La acción de contar es el mecanismo
para pasar de una serie de términos verbales a una serie de objetos tangibles y
concretos sobre los cuales pueden actuar los sujetos. Por lo tanto, hay una
relación clara entre los supuestos y principios del marco epistemológico
convencionalista y el conocimiento lógico que el niño debe imponer a los objetos
para inferir que uno es anterior o siguiente a otro.
• En la corriente logicista los trabajos de Dedekind, Peano, Russell, Hilbert, Gödel,
Skolem, Bernays y otros (véase Kneebone, 1963), fueron fundamentales para
aclarar la esencia inductiva y el doble caracter, cardinal y ordinal, del número
natural.
• Para la epistemología genética el número natural es síntesis de dos estructuras
operatorias: clasificación y seriación, lo que implica la doble naturaleza cardinal y
ordinal de este tipo de números. La estructura operatoria de seriación se basa en la
induccción y en la ordenación, por lo que la secuencia numérica en este modelo
se trata como una serie.
El orden y los conceptos de cantidad, número y medida
La estructura ordinal también juega un papel relevante en relación con los
conceptos de cantidad y medida (González, 1998, p. 174 y ss.). De hecho, la medida es
un isomorfismo de semimódulos que conserva el orden (Chamorro, C., Belmonte, J.M.,
1988, pág. 145), entre un conjunto de cantidades y un subconjunto de los números
reales. Según que el subconjunto sea , , o , la medida será natural, entera,
racional o real. En los tres primeros casos la medida se llamará discreta y en el último,
continua.
En lo sucesivo distiguiremos:
6

• Cantidad, como manifestación perceptible del estado o modalidad de una
magnitud discreta o continua.
• Número, como objeto matemático que permite, mediante la metrización,
trascender las limitaciones de las manipulaciones o experiencias empíricas
meramente cualitativas.
• Medida, como combinación o integración de los dos conceptos anteriores, en el
campo de aplicación concreta de la aparición del conteo y de la asignación de
números naturales a cantidades discretas en escolares de 3 a 7 años.
En cuanto al papel que desempeñan los conceptos ordinales en relación con la
cantidad, el número y la medida, y su génesis individual en los sujetos, seguimos el
análisis de González (1998), p. 175 y ss., a partir de la teoría de las formas conceptuales
de Stegmüller (1979). De dicho análisis destacamos las siguientes ideas que juegan un
papel destacado en el estudio realizado:
• Los conceptos métricos se generan en una síntesis entre los conceptos
comparativos y los números. Las medidas constituyen así elementos nuevos que
integran los aspectos cualitativos y cuantitativos de la realidad.
• La separación entre las cantidades (dominio de las experiencias físicas), las
medidas elementales y los números (dominio de las matemáticas), aunque formal,
conceptual y epistemológicamente correcta, no puede plantearse en términos
analíticos en los inicios de la educación del pensamiento numérico.
• En el ámbito de los fenómenos reales, los conjuntos numéricos constituyen
modelos matemáticos para determinadas cualidades metrizables y, al mismo
tiempo, las series ordenadas de estados de cantidades constituyen modelos
cualitativos, experimentales y manipulativos en términos didácticos, de
ejemplificación de los conjuntos numéricos. Ambos sistemas son isomorfos y se
sustentan mutuamente a nivel de la acción práctica y, posiblemente, a nivel de la
construcción de dichos conceptos por parte del sujeto individual.
• Desde el punto de vista del aprendizaje matemático cabría interpretar, en virtud
de los isomorfismos existentes, que debe darse una cierta simultaneidad en la
construcción individual de los conceptos comparativos, los conceptos numéricos
7

y los conceptos métricos. Las relaciones entre los tres son muy estrechas y no se
puede entender que se produzcan avances aislados en alguno de ellos sin afectar a
los demás.
• Puesto que los conceptos ordinales y comparativos están estrechamente
relacionados y ambos se encuentran en la base de los conceptos numéricos y
métricos, parece lógico conjeturar que la evolución individual de aquéllos va a
influir directamente en la evolución individual de los conceptos numéricos y, por
tanto, de los conceptos métricos.
En el estudio realizado se ha dirigido la atención hacia la evolución de los
conceptos ordinales en relación con los conceptos numéricos y métricos naturales
(enteros positivos), de manera que no se tiene en cuenta la aditividad de las medidas y
se tratan las magnitudes continuas como conceptos comparativos, centrándonos en la
aplicación y en la evolución del uso de la conservación del orden por los sujetos en la
práctica.
El número natural y el orden desde el punto de vista cognitivo
Las investigaciones cognitivas enfatizan los aspectos operativos y heurísticos del
número tomando como referencia su aspecto cardinal en detrimento del ordinal,
Fernández (2001) y Fernández y Ortiz (2008). Incluso las investigaciones dedicadas a la
ordinalidad tienen como soporte teórico la cardinalidad, centrándose, por ejemplo, en
conceptos tales como más que o menos que en lugar de anterior o siguiente, y
considerando el conteo como herramienta dirigida a la adquisición del número por
medio de la cardinalidad, (Gelman y Gallistel, 1978), sin tener en cuenta la integración
de su caracter inductivo con sus aspectos cardinal y ordinal.
En este sentido, de acuerdo con Fernández y Ortiz (2008), el conteo es una
estrategia de cuantificación aritmética que está vinculada a la construcción del concepto
de número, Serrano y Denia (1987), pero que es insuficiente para su conceptualización
desde un punto de vista matemático, es decir, para que se produzca la síntesis cardinal–
ordinal que da lugar al número natural desde el punto de vista matemático.
8

Por otra parte, el concepto de número ha sido también estudiado por la
neuropsicología moderna, que citamos aquí por su relación con la tecnología
multimedia 4 y que integra fundamentalmente tres campos y métodos de investigación, a
saber: congnitivo–conductales, estudio de lesiones cerebrales y técnicas de imagen
cerebral o neuroimagen, estando los dos primeros apoyados por el tercero.
Los supuestos básicos de estos estudios son similares a los de las teorías del
procesamiento de la información, Bechtel y Abrahamsen (1991), Clark (1989) citados
en Hardy y Jackson (1998) p. 320. En la actualidad estudian el origen así como las
funciones cerebrales y la localización de las capacidades numéricas y de otras
habilidades implicadas en niños de muy corta edad (Alonso y Fuentes, 2001).
De este campo de estudio nos interesa, entre otros, el trabajo de Dehaene (1997), en el
que, además de constatar el hecho de que hay pocos estudios sobre capacidades
ordinales en niños de corta edad, se aportan numerosos datos que apoyan la hipótesis de
la existencia de una relación profunda entre número y espacio. En relación con las
capacidades ordinales, el autor pone de manifiesto que las personas adultas tendemos a
representar mentalmente los números naturales en una línea recta orientada de izquierda
a derecha, desempeñando esta representación un papel importante en la intuición
numérica.
El estudio que se presenta tiene que ver con el origen de las relaciones ordinales
numéricas, para lo que tomamos en consideración los puntos de vista de la psicología
cognitiva (procesamiento de la información), del constructivismo y, más concretamente,
de la estructura de seriación piagetiana. En dicho marco se estudia la evolución de las
relaciones ordinales partiendo de conceptos topológicos o infralógicos de proximidad,
seriales desde el punto de vista espacio–temporal y analógicos (tamaños o alturas), hasta
alcanzar las relaciones ordinales en cantidades protonuméricas. Sostenemos, a modo de
conjetura, que una parte de dicha evolución se ajusta al modelo, basado en los de Ortiz
(1997) y Fernández (2001), que se describe acontinuación.
4 De los trabajos de Dehaene y Cohen (1995) se deduce que las actividades numéricas, por no hablar
de las actividades matemáticas en general, son formas de conocimiento superior cuya realización
requiere la colaboración de, entre otras, las áreas visuoespacial, linguistica, cuantitativa y lógica, de
las implicadas en los distintos tipos de memoria y en la coordinación de todas ellas, además de la
interacción de estas con las atencionales y motivacionales. Ello sugiere que la integración mediante
9

Modelo evolutivo de competencias ordinales
Las competencias ordinales de los sujetos entre 3 y 7 años se van desarrollando
y consolidando con la edad de acuerdo con los siguientes estados correlativos:
Estado 1: Orden topológico u orden lineal infralógico. De acuerdo con el análisis
de Ortiz y Fernández (op. Cit:) sobre los orígenes de la noción de número, el
dominio del espacio, al menos parcialmente, es una de las primeras destrezas
necesarias para poder establecer comparaciones que permitan determinar las
analogías y diferencias precisas para poder ordenar cantidades y abordar el uso de
sistemas numéricos posicionales.
Consideramos, pues, como aspecto básico y primitivo el de orden topológico u
orden de los puntos sobre una línea, el cual hace posible la construcción de las
referencias ordinales: anterior, posterior, hacia delante, hacia atrás, antes que,
después que, etc, en relación directa con la acción de contar.
Aquí tendremos en cuenta seriaciones basadas en aspectos eminentemente
perceptivos, no numéricos, en las que no intervienen las distancias y la línea no
tiene porqué ser recta.
Estado 2: Etiquetaje. Entendemos por etiquetaje la asignación de un símbolo, un
signo, una palabra o un concepto a cada elemento incluido en una serie. Se trata
de un proceso de localización y diferenciación en un contexto seriado.
Este estado puede interpretarse como el paso de los objetos a su simbolización y
de las colecciones de puntos a las colecciones de significantes. Los sujetos que
respondan con éxito a las tareas de esta categoría quedarán caracterizados
mediante la capacidad de asignar signos, símbolos o palabras a los elementos de
una serie, si bien esta asignación requiere de un doble proceso cognitivo: análisis
e identificación del patrón serial y aplicación práctica inductiva de dicho patrón
para continuar la serie.
Estado 3: Orden con cantidades continuas. En este estado trataremos el orden con
independencia de la situación de los objetos en el espacio, aspecto infralógico,
tecnología multimedia de toda esta información puede ser adecuado para sujetos de corta edad, tanto
10

haciendo intervenir las relaciones lógicas: más que, menos que, mayor que, menor
que, etc., referidas a la comparación de la cantidad continua más elemental, es
decir, de la longitud, sin que intervengan todavía aspectos numéricos.
Los sujetos que respondan con éxito a las tareas de esta categoría quedarán
caracterizados mediante la capacidad para ordenar longitudes, preludio de la
conservación del orden y de la comprensión de la medida.
Estado 4: Orden con cantidades discretas. En este último estado, trataremos el
orden referido a la cantidad discreta protonumérica, haciendo intervenir las
relaciones lógicas: más que, menos que, mayor que, menor que, etc., referidas a la
comparación y al orden entre cantidades discretas y cardinales de colecciones. Se
incluyen mecanismos para observar la influencia de distintas colocaciones o
constelaciones de objetos en su identificación y ordenación posterior.
Se pretende detectar en qué momento los sujetos comienzan a usar
espontáneamente el conteo como estrategia en la asignación de posiciones
ordinales y cuándo distinguen la cantidad discreta de la continua en las
ordenaciones.
Los sujetos que respondan con éxito a las tareas de esta categoría quedarán
caracterizados mediante la capacidad de establecer órdenes protonuméricos con
cantidades discretas. En este estado hay conservación del orden y se inicia la
síntesis cardinal–ordinal, es decir la comprensión del número y de la medida.
3 La tecnología multimedia como escenario e instrumento de
investigación
Los campos matemático, epistemológico y psicológico en los que hemos situado
la estructura de orden se han de complementar con un exámen de las numerosas
situaciones que conforman la fenomenología de estos conocimientos y con los
diferentes escenarios y contextos en los que aparecen.
en la investigación como en el aprendizaje.
11

Uno de dichos escenarios, que utilizaremos como soporte del estudio empírico,
lo constituyen los entornos virtuales que proporciona la tecnología multimedia: entornos
virtuales creados y ejecutados por un ordenador que incluyen todos o algunos de los
siguientes componentes multimodales: espacial y visual, lingüístico, audio, y gestual y
de movimiento. La Tabla 1, adaptada de Way (2003), incluye una muestra no exhaustiva
de ellos.
Modo espacial y visual
Formato y posición.
Ángulos y perspectiva.
Imágenes y sus relaciones con el
texto o con los sonidos.
Formas y tamaños.
Colores.
Sequencias de items.
Modo de audio
Música.
Sonido.
Silencio.
Diálogos y voces narrativas.
Expresiones, tono and timbre.
Modo lingüístico
Ausencia o presencia de
palabras.
Elecciön y uso de palabras.
Presentación del texto.
Símbolos e iconos.
Modo gestual y de movimiento
Movimiento: direccción and
velocidad.
Interacción dinámica: causa y
efecto.
Efectos de dramatización.
Expresiones faciales lenguaje
corporal.
Tabla 1: Modos y componentes de los entornos multimodales multimedia.
Pero en la investigación desarrollada, además de servir de escenario para la
interpretación y valoración de los comportamientos de los sujetos se ha utilizado la
tecnología multimedia como instrumento metodológico, por lo que tendremos en cuenta
las dos aproximaciones que define Mayer (2005, pp. 7–10): la centrada en el sujeto y la
centrada en la tecnología.
En relación con la primera, se han diseñado entornos virtuales lúdicos adaptados
a las características cognitivas y afectivas de niños de 3 a 7 años con intención de
averiguar algunas de las características del pensamiento ordinal en dicho tramo de edad.
Para ello se ha tenido en cuenta que los sujetos, en su interacción con los objetos
multimedia, ponen, o pueden poner, en juego varias formas de inteligencia o varios
aspectos de la inteligencia (Gardner, 1983): lingüística, lógico–matemática, cinestésica–
corporal, espacial, sonora, interpersonal e intrapersonal.
12

En cuanto a la implementación del instrumento multimedia se han tenido en
cuenta las teorías psicológicas de los dos primeros niveles que definen van Merriëmboer
y Kester en Mayer (2006):
• En un primer nivel, las teorías psicológicas que describen los sistemas de
memoria y los procesos cognitivos implicados en la manera en la que los sujetos
procesan diferentes tipos de información y cómo aprenden en diferentes sentidos.
En concreto la teoría del código dual de Paivio (1986), Clark y Paivio (1991), y
el modelo de la memoria de trabajo de Baddeley (1992) y (1997).
• En un segundo nivel, las teorías del diseño de los mensajes, que proporcionan
directrices para la elaboración de mensajes que contengan, por ejemplo, gráficos
y texto escrito, texto hablado y animaciones, etc. En concreto, la Teoría Cognitiva
del Aprendizaje Multimedia de Mayer (2001), el Modelo Integrado de la
Comprensión de Texto y Gráficos de Schnotz (2006), en Mayer (2006), y la
Teoría de la Carga Cognitiva de Sweller, Chandler y Sweller (1991), Sweller
(1999, 2006) en Mayer (2006).
En lo que se refiere al aspecto tecnológico, hemos aprovechado la potencialidad
del medio para el almacenamiento de la información que genera la interacción sujeto–
ordenador, con lo que, por un lado, se que facilita la obtención de resultados con un alto
grado de objetividad y, por otro, se reduce al mínimo la compleja interacción
investigador–sujeto en virtud del doble papel de los ordenadores actuales como
dispositivos cognitivos y como dispositivos de simulación integrados (Turkle, 1995).
Como dispositivos cognitivos extienden la cognición humana complementándola
y mejorándola (función epistémica), pudiendo llegar a establecer una colaboración tan
estrecha con ella, que puede hablarse de sistemas cognitivos híbridos 5 . Como
dispositivos de simulación, extienden el mundo a entornos virtuales y crean estructuras
y redes, que son extensiones del mundo físico, importantes para el conocimiento, el
entretenimiento, la actividad creativa, el aprendizaje y la actividad social (función
ontológica). La síntesis de ambas da lugar a funciones onto–epistémicas (Brey, 2005).
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En esta investigación, caracterizamos las tres funciones del siguiente modo:
• Las funciones epistémicas definen el problema cognitivo ordinal que tienen que
resolver los sujetos en cada caso, atendiendo al planteamiento de las relaciones
ordinales cuyo dominio queremos observar, a los parámetros que intervienen, así
cómo a los modos de registro e interpretación de las respuestas.
• Las funciones ontológicas establecen los entornos virtuales interactivos creados
para observar y evaluar las funciones anteriores; en nuestro caso, son los juegos
virtuales contextualizados que incluyen componentes visuoespaciales, sonoras,
psicomotrices y afectivo–emocionales 6 .
• Las funciones onto-epistémicas, como conjunción de las dos anteriores,
establecen el diseño y guían el desarrollo de los ítems concretos con los que el
sujeto va a interaccionar usando los tipos de inteligencia ya descritos. Esta
interacción es la que se registra, almacena y evalúa posteriormente.
En el apartado siguiente se describe el proceso seguido en la construcción del
instrumento así como las principales características del mismo.
4 Estudios realizados: diseño e instrumentos
Se han desarrollado dos estudios empíricos muestrales tratando de conjugar la
profundidad y la minuciosidad de los análisis con una cierta representatividad para
proporcionar una base sólida para futuros estudios de masas: un primer estudio de
carácter exploratorio y un segundo estudio en el que, conservando los aspectos
fundamentales del primero, se han realizado algunas modificaciones buscando una
mayor rigurosidad en la interpretación de los datos así como un aumento de la validez y
fiabilidad de los resultados.
5 Considérense, por ejemplo, la colaboración de los ordenadores en programas o en investigaciones
aeroespaciales, microquirúrgicas, genéticas o en física de partículas.
6 De hecho, para García y García (2001, p.328), “lo que se denominan funciones mentales superiores
tienen su origen intersubjetivo común en sutiles intercambios emocionales que constituyen el
cimiento de la actividad mental”.
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En ambos estudios se ha utilizado un cuestionario de tareas, implementadas en
un entorno multimedia, diseñadas para provocar las respuestas de los sujetos ante
diversas situaciones que requieren de determinadas capacidades y destrezas propias de
la estructura ordinal entre cantidades, medidas y números naturales; capacidades,
competencias y destrezas de las que se postula su evolución a lo largo del intervalo de
edad estudiado. Cada sujeto de la muestra responde a todas las tareas del cuestionario de
forma secuenciada utilizando sus capacidades cinestésicas de hacer clic y arrastrar y
soltar. El ordenador registra las actuaciones de los sujetos ante cada una de las
actividades de acuerdo con un programa exhaustivo de recogida de datos que se detalla
más adelante.
4.1 El cuestionario y las tareas
El instrumento utilizado consta de 22 tareas multimedia agrupadas en cuatro
categorías, basadas en algunos personajes y contenidos de la película “El libro de la
selva”de Walt Disney. En todas ellas se pide al sujeto que ayude al personaje principal a
realizar tareas que involucran diversas capacidades y competencias relacionadas con la
estructura de orden.
Las tareas de ambos estudios han sido similares en su presentaciń visual e
interactiva. Sin embargo, las utilizadas en el segundo estudio incluyen modificaciones
importantes orientadas a homogeneizar el número de ítems en las cuatro categorías,
reducir la carga cognitiva de cada una de ellas y de la prueba en su conjunto, mejorar el
registro, almacenamiento e interpretación de la información, comprobar la influencia de
la longitud de la prueba sobre los resultados y afinar las conclusiones. Las tareas de
etiquetaje se modificaron sustancialmente, acentuadose su caracter inductivo.
4.1.1 Diseño y construcción de los ítems
A partir de las consideraciones anteriores se ha construido cada uno de los ítems
siguiendo las fases que aparecen en la Figura 1.
15

En la fase de diseño (cuadro superior) se han tenido en cuenta: las características
de los sujetos del tramo de edad considerado, las formas de inteligencia que intervienen
en las actividades multimedia (Gardner, 1983), el concepto ordinal a estudiar (función
epistémica), el tipo de representación (descriptiva o icónica) a utilizar en función de las
características de los sujetos, el tipo de simulación o juego más adecuado en función de
los elementos motivacionales y afectivo emocionales (función ontológica) y la situación
problemática a la que el sujeto debe responder en su conjunto (función ontoepistémica).
En cuanto a la representación, hemos optado por el uso de ítems de naturaleza
no verbal y de representaciones de tipo icónico (Schnotz, 2006), de indudable utilidad,
por otra parte, para elaborar inferencias.
En la fase de construcción (cuadro inferior) se ha empleado la herramienta de
autor Macromedia Director y se han tenido en cuenta los principios del aprendizaje
multimedia (Mayer, 2006) 7 , las características de los elementos multimedia adecuadas
al estudio y a los sujetos (audio e interfaz visual), la integración de los elementos
estáticos y dinámicos en un formato adecuado y los medios de registro y
almacenamiento de información en una base de datos preparada para el análisis
posterior.
7 Principio Multimedia, de contigüidad Espacial y Temporal, de Coherencia, de Modalidad, de
Redundancia, de las Diferencias Individuales y de la Atención Dividida. El estado actual de la
evidencia empírica de los mismos puede verse en Mayer (Op. cit).
16

FASE DE DISEÑO
Consideración de la edad y de
las características cognitivas y
psicomotrices de los sujetos
Elección de la representación:
descriptiva versus icónica
Determinación de la
función epistémica
Determinación de la
función ontológica
Determinación de la
función onto-epistémica
Identificación de las formas de
inteligencia que intervienen
FASE DE CONSTRUCCIÓN
Principios del aprendizaje
multimedia aplicados al
desarrollo del ítem
Recogida y registro
de la información
Selección de elementos
multimodales multimedia
Almacenamiento
de la información
Integración y
desarrollo final del
ítem
Figura 1:Estructuras teóricas que intervienen en las fases de diseño y de construcción de los ítems.
Los ambientes multimedia generados incluyen todos o algunos de los elementos
multimodales enumerados, por canales, en la Figura 2.
17

Voz narrativa (VN)
Canal
auditivo
Texto hablado (TH)
Efectos de dramatización:
tono y timbre (ED – TT)
Mensaje afectivo hablado
(MAH)
Interacción dinámica:
causa y efecto (ID – CE)
Imágenes estáticas (IE)
Canal
visual
Imágenes movibles o en
movimiento (IM- IMT)
Símbolos e iconos (SI)
Efectos de dramatización:
expresiones faciales y
lenguaje corporal (EF - LC)
Figura 2: Elementos multimodales en los conjuntos multimedia.
Cada conjunto de tareas presenta una ventana o pantalla de introducción sin
registro de datos, dos ventanas para cada ítem (una de planteamiento y otra de solución)
y una ventana final para almacenar los datos. Los elementos multimodales detallados
anteriormente, se integran en cada tipo de ventana de la forma indicada en la Figura 3.
18

Figura 3: Elementos multimodales que intervienen en cada tipo de ventana.
Para cada tarea se elabora una ficha técnica en la que se detallan el audio y la
interfaz visual e interactiva que intervienen, el objetivo y una breve descripción (véase
la Tabla 2).
Tarea 4
Audio
“Mowgli quiere pasar junto a su amigo
Baloo. Arrastra y coloca los troncos que
necesita para conseguirlo”.
Función
Onto-epistémica
Interfaz
Objetivo
Función
Epistémica
Descripción:
Observar si el sujeto establece o no algún
orden por tamaños, las estrategias seguidas
y si discrimina o no el elemento sobrante,
cuando le pedimos que coloque tres objetos
lineales a elegir de entre cuatro, donde uno
de ellos (el más largo) no se halla en
correspondencia serial con ninguno de los
huecos a cubrir.
En esta tarea se ha mantenido el orden
decreciente en el tamaño de los huecos, por
tanto la estrategia decreciente coincide con
la estrategia de colocación izquierda–
derecha; de nuevo, es de esperar que sea la
más utilizada.
Pretendemos, además, determinar si la edad
del sujeto influye o no en la discriminación
del elemento sobrante.
Tabla 2: Ficha técnica 10. Cuarta tarea de orden con cantidades
19

4.1.2 Categorías y tareas
Las tareas se agrupan en los cuatro conjuntos o categorías que configuran los
cuatro aspectos del pensamiento ordinal cuya situación competencial se desea analizar,
véase el apartado 2:
Tareas de orden lineal infralógico
Se trata de juegos interactivos en los que el sujeto debe identificar, haciendo clic,
el camino correcto entre dos o más caminos dados en los que se disponen una
serie de frutas de acuerdo con determinados patrones seriales (función
ontológica), véase la Figura 4.
Se pretende observar y evaluar la capacidad de los sujetos para establecer un
orden lineal en un conjunto finito de elementos, considerando los conceptos
ordinales antes que y después que así como la identificación de series ordenadas
de tres y cuatro elementos, partiendo del primer elemento o bien de posiciones
intermedias.
Las 6 tareas de este conjunto, de naturaleza verbal, se presentan mediante
sucesivas interfaces y mensajes de audio. Sus objetivos (funciónes epistémicas)
son:
• Tarea 1: Conseguir que el sujeto se familiarice con el entorno y con las
acciones a realizar en las tareas posteriores.
• Tareas 2 y 3: Aplicar correctamente los conceptos antes que y después
que, respectivamente, a una serie topológica o espacio–temporal.
• Tareas 4 y 5: Identificar una serie completa de tres (primero–luego–
último) y cuatro (primero–después–luego–último) elementos ordenada
linealmente.
• Tarea 6: Identificar una serie completa de cuatro elementos partiendo de
posiciones intermedias (secuencia: después que–antes que).
20

Figura 4: Cuarto ítem de orden lineal.
Tareas ordinales con cantidades continuas longitudinales
En las tareas de esta categoría el sujeto debe arrastrar y soltar figuras que simulan
troncos hasta las posiciones correctas para ayudar al personaje principal a salvar
los huecos y poder reunirse con el personaje secundario que se halla al otro lado
del camino (función ontológica), véase la Figura 5. Troncos y huecos se hallan en
correspondencia serial de tipo ordinal por tamaños, la cual quedará fijada por la
función epistémica de cada ítem. En algunos ítems se incluyen piezas sobrantes
que no corresponden a ningún hueco y que el sujeto deberá discriminar e intentar
evitar su colocación incorrecta. El mensaje de audio es común para todas las
tareas: “Mowgli quiere pasar junto a su amigo Baloo. Arrastra y coloca los
troncos que necesita para conseguirlo”.
Se trata de tareas de carácter lógico en las que intervenienen las relaciones
ordinales: más que, menos que, mayor que, menor que, etc., referidas a la
cantidad continua. Para su correcta realización se han de emplear estrategias
basadas en la compensación de cantidades, las comparaciones analógicas
mediante la utilización de la antisimetría y la transitividad y la correspondencia
serial objeto–hueco; estrategias que pueden ser de dos tipos: ordinales (creciente,
decreciente e izquierda–derecha) y procedimentales (sistemática (compara los
tamaños de los objetos y los ordena usando una estrategia ordinal),
21

semisistemática (compara los objetos, descarta algunas opciones incorrectas y
comete algún error), no sistemática (procede por ensayo y error y no ordena los
objetos o comete demasiados errores)).
La categoría está formada por 6 tareas, cuyas funciónes epistémicas son:
• Tarea 1: Conseguir que el sujeto se familiarice con el entorno y con las
acciones a realizar en las tareas posteriores.
• Tarea 2: Ordenar por tamaño dos objetos lineales y observar las estrategias
que utiliza.
• Tarea 3: Ordenar por tamaño dos objetos lineales, a elegir de entre tres,
cuando el más corto no se corresponde con ninguno de los huecos a cubrir.
• Tarea 4: Ordenar por tamaño tres objetos lineales a elegir de entre cuatro,
cuando el más largo no se corresponde con ninguno de los huecos a cubrir.
• Tareas 5 y 6: Ordenar por tamaño más de tres objetos lineales cuando no
hay ningún tipo de sugerencia ordinal implícita en la colocación en los
huecos. Precisar el papel de la estrategia ordinal izquierda–derecha frente a
las estrategias creciente–decreciente y observar también las regularidades
que pudieran aparecer en las estrategias de resolución.
Figura 5: Sexto ítem de orden con cantidades continuas.
22

Tareas de etiquetaje mediante alternancias cíclicas
En las actividades de este conjunto el sujeto debe localizar las posiciones de
determinadas frutas escondidas por el personaje principal, siguiendo alternancias
cíclicas, en los peldaños de una escalera, haciendo clic sobre ellos (función
ontológica). Véase la Figura 6.
Se pretende observar y evaluar la capacidad para asignar nombres, símbolos o
posiciones (etiquetas) a los elementos de una colección seriada y estudiar la
aparición espontánea y la evolución de estrategias procedimentales (sistemática:
aplicar la alternancia en el color o en la posición; semisistemática: procedimiento
sistemático pero cometiendo un solo error; no sistemática: procede por ensayo y
error y comete más de un error).
El mensaje de audio es común para todas las tareas: “Fíjate bien en los escalones.
Cada uno tiene una fruta. ¿En qué escalones ha escondido Baloo los plátanos que
faltan? Haz clic donde tú creas que están”. Las funciónes epistémicas de las
tareas de esta categoría son las siguientes:
• Tarea Introductoria: Conseguir que el sujeto se familiarice con el entorno
y con las acciones a realizar en las tareas posteriores.
• Tareas 1 y 2: Detectar, respectivamente, una alternancia cíclica del tipo síno-sí-no-sí-no…,
y su contraria, y aplicarlas para etiquetar mediante el
color las posiciones en las que se hallan los elementos a localizar.
• Tareas 3 y 4: Detectar, respectivamente, alternancias cíclicas de los tipos
no-sí-no-no-sí-no-no… y sí-no-no-sí-no-no …, y aplicarlas para etiquetar
las posiciones en las que se hallan los elementos a localizar prescindiendo
del color.
• Tareas 5 y 6: Igual que las anteriores pero referidas a alternancias cíclicas
de los tipos no-sí-no-no-sí-no … y no-no-sí-no-no-sí ….
23

Figura 6: Cuarto ítem de etiquetaje.
Tareas de orden numérico con cantidades discretas
En esta categoría se proponen 8 tareas separadas en dos subconjuntos de 4.
En las 4 primeras, el sujeto debe arrastar y colocar varias cantidades discretas, de
una a cinco frutas, hasta sus posiciones correctas que se hallan en diferentes
conjuntos de huecos colocados en correspondencia serial numérica en otros tantos
arboles, véase la Figura 7 (a). El mensaje de audio es común para las cuatro
primeras tareas: “Mowgli quiere que coloques las naranjas en los árboles. Para
conseguirlo arrástralas hasta sus sitios. ¡Pero fíjate bien! ”.
Se pretende evaluar la capacidad de establecer órdenes lógicos en conjuntos de
cantidades discretas e indagar acerca de las edades en las que aparece
espontáneamente el conteo como estrategia dominante en la asignación de
posiciones ordinales. Se utilizan para ello distintas representaciones de cantidades
discretas así como la noción de cardinal a los solos efectos de comparación y
asignación de posiciones ordinales.
En las cuatro tareas restantes, el sujeto deberá arrastrar y colocar piezas que
simulan conjuntos de dos a seis escalones hasta formar una escalera que permita
al personaje principal subir por ella hasta alcanzar la fruta que se halla en una
posición elevada en el árbol, véase la Figura 7 (b). El mensaje de audio es en este
24

caso: “Mowgli quiere coger la fruta del árbol. Para conseguirlo, fíjate bien y
ayúdale, coloca las piezas que necesita”.
La correspondencia serial entre las piezas y los huecos puede establecerse
mediante el conteo o la repentización (subitizing) (estrategias numéricas), la
compensación objeto–hueco o la comparación de tamaños (estrategias no
numéricas), además de las estrategias propiamente ordinales: creciente,
decreciente o izquierda–derecha u otras estrategias procedimentales mixtas.
Las funciones epistémicas son las siguientes:
• Tarea 1: Conseguir que el sujeto se familiarice con el entorno y con las
acciones a realizar en las tres tareas siguientes.
• Tareas 2, 3 y 4: Determinar si el sujeto utiliza algún tipo de estrategia
ordinal, numérica o no numérica y procedimental cuando intervienen tres
grupos de frutas (tarea 2) o cuatro grupos de los que hay que elegir tres
(tarea 3) o cinco grupos de los que hay que elegir cuatro (tarea 4), y, en
estos casos, si es capaz de discriminar el elemento sobrante.
• Tarea 5: Conseguir que el sujeto se familiarice con el entorno y con las
acciones a realizar en las tres últimas tareas.
• Tareas 6, 7 y 8: Determinar si el sujeto coloca o no las piezas utilizando las
estrategias tipificadas, atendiendo tanto al progresivo número de escalones
como al número de bloques de los que consta cada pieza a colocar, en una
seriación sencilla 1–2–3, utilizando bien el conteo o bien la progresión de
tamaños de las piezas junto con la lateralidad izquierda–derecha (tarea 6),
en el orden secuencial 1–2–3–4 (tarea 7) o en el orden 1–2–3–4–5 (tarea 8)
y si es capaz de discriminar la pieza sobrante en cada caso.
25

Figura 7: Pantallas de planteamiento de tareas de orden con cantidades discretas:
(a) Tercer ítem; (b) Octavo ítem.
4.2 Recogida, organización y análisis de la información
La recogida de datos se ha realizado de manera mixta: una parte automática y
otra complementaria mediante entrevistas semiestructuradas. En la primera, la parte
principal del estudio, el ordenador recoge en registros preparados a tal efecto diversos
aspectos de las interacciones de los sujetos con la máquina a lo largo del desarrollo de
las distintas actividades. En la segunda, y sólamente para las actividades del último
conjunto, el investigador realizó una entrevista a cada uno de los sujetos participantes en
el estudio sobre las estrategias conceptuales numéricas (contar o subitizar) o no
numéricas (comparación o compensación) utilizadas o los procedimientos empleados.
A continuación se exponen brevemente los mecanismos de registro utilizados,
las variables empleadas y algunas consideraciones sobre el análisis de datos.
Registro de datos
Para las tareas de orden lineal infralógico y de etiquetaje se ha almacenado
toda la información sobre las interacciones sujeto–ordenador en los siguientes registros:
Localización: vij (orden lineal) y pij (etiquetaje) (caminos, o escalones sobre los que el
sujeto hace clic); números de intentos: nij; Registros temporales: ti. (tiempo, en
26

segundos, que tarda el sujeto en realizar cada una de las tareas) y Listas de acciones:
listaRi (lista de pares (vij, nij) (orden lineal) o (pij, nij) (etiquetaje)).
En las tareas de orden numérico con cantidades continuas y discretas se ha
almacenado la información, para cada conjunto, en los siguientes registros:
Localización de la acción: vij (si el sujeto ha movido o no en la i–ésima tarea la pieza
j–ésima; vpi (si el sujeto mueve o no la pieza sobrante); números totales de intentos: nij,
npi; identificación de intentos: eij (si el sujeto, en la tarea i–ésima, ha colocado o no de
forma incorrecta la pieza j–ésima) y epi (si el sujeto ha intentado colocar o no la pieza
sobrante); números de intentos erróneos, contradictorios y nulos: neijk, ncijk, nnij,
nepij, ncpij, nnpi, al colocar erróneamente piezas válidas (los tres primeros) o la pieza
sobrante (los tres últimos) o bien mueve las piezas sin llegar a colocarlas en ningún
hueco (intentos nulos); números totales de intentos no correctos: ieij, iei; Registros
temporales: ti (tiempo, en segundos, que emplea el sujeto en realizar cada una de las
tareas); Listas de acciones: listaRi, listaAci, listaei (secuencia total de intentos y
secuencias de intentos correctos y erróneos en las tareas).
Variables del estudio
Seguidamente se definen solamente las variables que intervienen en relación con
los resultados que se presentan y se describe la valoración realizada para cada conjunto
de ítems. Estos resultados son una pequeña parte del total de los resultados del estudio,
las demás variables, así como los resultados completos se encuentran en poder de los
autores y formarán parte de la memoria de tesis.
Variables en el orden lineal.. La valoración de estos cinco ítems se ha realizado
mediante la inspección de los valores recogidos en las listas de acciones(registros
listaRi). Se ha asignado el valor 1 cuando el sujeto resuelve correctamente el ítem y
el valor 0 cuando no es así. Estos valores se almacenan, según el ítem o tarea, en las
variables dicotómicas EvLi, variando i de 2 a 6.
La variable SumaL almacena la suma de los valores de las variables dicotómicas
EvLi. Por tanto, los valores posibles de SumaL varían, para cada sujeto, de 0 a 5.
27

Consideramos también la media de la variable SumaL por grupos de edad, que
llamaremos ML, y la edad característica en años de cada grupo de edad, que
llamaremos EDG (edad del grupo), cuyos valores son: 3,5; 4; 4,5; 5; …;7.
Variables en el etiquetaje La valoración de los seis ítems, al igual que en el
conjunto anterior, se ha realizado mediante la inspección de los valores recogidos
en las listas de acciones(registros listaRi). Se ha asignado el valor 1 cuando el
sujeto resuelve correctamente el ítem y el valor 0 cuando no es así. Estos valores
se almacenan, según el ítem o tarea, en las variables dicotómicas EvEi, variando i
de 1 a 6.
La variable SumaEt almacena la suma de los valores de las variables dicotómicas
EvEi convertidos a una escala de cinco unidades por razones de homogeneidad en
las longitudes de las escalas de los cuatro conjuntos. Por tanto, los valores de esta
variable varían, para cada sujeto, de 0 a 5.
Consideramos también la media de la variable SumaEt por grupos de edad, que
llamaremos MEt, así como la variable EDG, definida anteriormente.
Variables en el orden con cantidades continuas La valoración de los cinco ítems
se lleva a cabo mediante la inspección de los valores recogidos en las listas de
acciones (registros listaAci, listaei, listaRi), variando i de 2 a 6.
Hemos asignado el valor 1 a aquellos casos en los que el valor del registro
listaAci coincide con la lista correcta de los números correspondientes a los
troncos a colocar, ordenada de modo creciente o decreciente, y el valor del
registro listaei es vacío o solo contiene intentos nulos.
En los ítems cuarto, quinto y sexto, dada su mayor complejidad, hemos asignado
el valor 0,5 a aquellos casos en los que el valor del registro listaAci coincide con
la lista de los números correspondientes a los troncos a colocar, ordenada de
modo creciente o de modo decreciente, y el valor del registro listaei contiene un
solo solo intento erróneo, o bien ninguno y aparece un único error en el orden
creciente o decreciente de la lista listaAci. No se tienen en cuenta los intentos
nulos.
En todos los demás casos se ha asignado el valor 0.
28

Estos valores se almacenan, para cada ítem o tarea, en las variables EvNNi,
variando i de 2 a 6.
La variable acumulativa SumaNN almacena la suma de los valores de las
variables EvNNi. Por tanto, los valores posibles de SumaNN son enteros o
semienteros, varíando de 0 a 5.
Consideramos también la media de la variable SumaNN por grupos de edad, que
llamaremos MCC, y la variable EDG definida anteriormente.
Variables en el orden con cantidades discretas Al igual que en el conjunto
anterior, la valoración de los seis ítems se lleva a cabo mediante la inspección de
los valores recogidos en las listas de acciones (registros listaAci, listaei, listaRi),
variando i de 2 a 4 y de 6 a 8.
Hemos asignado el valor 1 a aquellos casos en los que el valor del registro
listaAci coincide con la lista de colocación correcta, ordenada de modo creciente
o decreciente, y el valor del registro listaei es vacío o solo contiene intentos nulos.
En los ítems del segundo al cuarto y en el séptimo y octavo, dada su complejidad,
hemos asignado el valor 0,5 a aquellos casos en los que el valor del registro
listaAci coincide con la lista de colocación correcta, ordenada de modo creciente
o de modo decreciente, y el valor del registro listaei contiene un solo solo intento
erróneo, o bien ninguno y aparece un único error en el orden creciente o
decreciente de la lista listaAci. No se tienen en cuenta los intentos nulos.
En todos los demás casos se ha asignado el valor 0.
Estos valores se almacenan, para cada ítem o tarea, en las variables EvNi,
variando i de 2 a 4 y de 6 a 8.
La variable acumulativa SumaCD almacena la suma de los valores de las
variables EvNi convertidos, de nuevo, a una escala de cinco unidades por razones
de homogeneidad en las longitudes de escalas de los cuatro conjuntos. Por tanto,
los valores posibles de SumaCD varían de 0 a 5.
Consideramos también la media de la variable SumaCD por grupos de edad, que
llamaremos MCD y, de nuevo, la variable EDG definida anteriormente.
29

Resaltamos que tanto para las variables acumulativas, como para sus medias por
grupos de edad se utilizan escalas de cinco unidades de longitud.
Análisis de la información
El análisis de la información se ha dividido en cinco partes, cuatro se
corresponden con cada uno de los conjuntos de tareas, y la quinta se dedica al análisis
global del conjunto de los 22 ítems que integran el estudio completo y al análisis
comparado de los resultados.
El análisis de la información para cada conjunto de tareas se realiza, a su vez, en tres
apartados:
• Evaluación de resultados.
• Estudio temporal.
• Estudio del número de intentos.
Y el análisis global en cuatro:
• Escalabilidad de los resultados globales.
• Estudio comparativo global.
• Estados de competencia ordinal.
• Estudio de los tiempos y número de intentos totales.
5 Desarrollo del estudio
Población y muestra
El estudio realizado es de tipo cualitativo y transversal, aunque se han aplicado
también técnicas estadísticas cuantitativas en el análisis de la información.
30

Como población se han considerado sujetos de ambiente urbano y clases media
y media–baja, sin conflictos ni marginación social, representativos de lo que
llamaremos sujeto urbano estándar.
La elección de la muestra se ha realizado del siguiente modo:
• En primer lugar se seleccionaron aleatoriamente dos centros de Málaga capital
que cumplían las condiciones siguientes:
• Existencia de un número grande de alumnos matriculados en los tres cursos
del segundo ciclo de Educación Infantil y en los dos primeros cursos de
Educación Primaria, que posibilitara elegir al azar una muestra de alumnos.
• Existencia en el Centro, bien de un aula de informática o bien de
ordenadores suficientes, que posibilitaran la realización de las tareas
multimedia destinadas a la selección de la muestra.
• En segundo lugar se realizó el muestreo estratificado en 8 grupos de edad, de 3
años y medio a 7 años en intervalos de seis meses y se aplicaron los siguientes
criterios para la elección de los sujetos:
• La mayor habilidad en las técnicas cinestésicas básicas en el uso del ratón:
movimiento, hacer clic y arrastrar y soltar 8 .
• La mayor proximidad de la edad del sujeto a la media de su grupo.
Esta última selección se realizó de modo intencional, con una fuerte componente
aleatoria.
Inicialmente se seleccionaron un total de 132 niños y niñas, 59 del primer centro
y 73 del segundo. Tras la realización de la tareas multimedia específicas para la
selección de la muestra, se seleccionaron finalmente 76 sujetos, 30 del primer centro de
entre tres años y medio y seis años de edad y 46 del segundo, 30 del mismo intervalo de
edad anterior y 16 de entre seis años y medio y siete años.
Finalmente, clasificamos los sujetos en 8 grupos de edad: 3AM, 4A, 4AM, 5A,
5AM, 6A, 6AM, 7A, cuyos datos figuran en la Tabla 9 3. Se ha elegido el tamaño de los
31

estratos de modo que sea posible observar tendencias evolutivas de modo cualitativo sin
renunciar al tratamiento cuantitativo estadístico, tanto en el contraste de hipótesis como
en el análisis de tendencias evolutivas, que permitan sentar las bases para estudios
cuantitativos posteriores.
GED N Media
3AM
4A
4AM
5A
5AM
6A
6AM
7A
10
10
10
10
10
10
8
8
Total 76
3.5500
4.0300
4.4960
4.9970
5.4940
5.8820
6.4638
7.0800
Error típico
de la media
.03578
.04326
.04167
.04648
.04812
.03702
.03669
.07375
Tabla 3: Parámetros estadísticos de la muestra.
Desviación
típica
.11314
.13679
.13176
.14697
.15218
.11708
.10378
.20860
Desarrollo de la prueba
Las pruebas se realizaron en cada Centro en una sala apropiada y dotada de una
mesa ámplia sobre la que se colocó el ordenador con las tareas a realizar y equipado con
los elementos multimedia necesarios. Se utilizó una pantalla de 17 pulgadas, un ratón de
tamaño adecuado y una silla regulable en altura.
Tras la presentación, cada sujeto realizó las tareas y conjuntos de tareas de modo
secuencial, sin limitación de tiempo, y hasta finalizar la última tarea o hasta el momento
en el que el sujeto expresó su deseo de no continuar. El orden seguido fue el siguiente:
tareas de orden lineal, de orden con cantidades continuas, de etiquetaje y de orden con
cantidades discretas. Aunque esta secuencia no coincide con las etapas del modelo
evolutivo, se siguió para intercalar las tareas en las que el sujeto debía hacer clic con
aquellas en las que debía arrastrar y soltar y evitar, así, el cansancio producido por la
repetición en bloques de la misma acción cinestésica.
8 Para ello realizaron un conjunto de tareas multimedia específicas, que se describe en la memoria de
tesis.
9 La abreviatura GED que aparece en la primera columna de la tabla siguiente se refiere a los distintos
grupos de edad.
32

En el cuarto conjunto se planteó a cada sujeto un cuestionario verbal con el fin
de detectar las posibles estrategias utilizadas en su resolución.
La intervención del investigador se limitó a:
• Prestar ayuda puntual en alguna dificultad en el movimiento del ratón, evitando
que llegara a salirse de la mesa o de un área que el sujeto no alcanzara
cómodamente.
• Indicar al sujeto que pasara el puntero del ratón sobre el icono de información de
las tareas, que repetía el mensaje de audio, en el caso en que no lo hubiera
entendido o quisiera volver a escucharlo.
• Insistir de modo totalmente imparcial en las cuestiones planteadas al niño en
forma audiovisual, repitiendo él mismo el mensaje de audio cuando lo consideró
conveniente.
• Realizar el cuestionario verbal.
• Anotar las respuestas verbales del sujeto.
• Registrar la información en el ordenador al finalizar cada conjunto de ítems.
6 Resultados y conclusiones
De los distintos tipos de análisis realizados, que se relacionan en el apartado 4.2,
nos interesa especialmente, por su relevancia y alcance y por constituir el asunto central
de la investigación, la descripción, comparación y evolución de las respuestas de los
sujetos por grupos de edad a las distintas tareas y conjuntos de tareas. Nos estamos
refiriendo a la parte que en la sección 4.2 se ha denominado el “estudio comparativo
global de los cuatro conjuntos de ítems”. De dicho análisis, entre otros aspectos, se
podrá deducir el grado de ajuste de las capacidades y competencias ordinales de los
sujetos de la muestra al modelo local establecido para la evolución del pensamiento
ordinal de 3 a 7 años como una de las referencias centrales del estudio. Para los demás
análisis nos remitimos a la tesis doctoral de referencia.
33

En los gráficos de la Figura 8 se representan las nubes de puntos de los valores
medios de las respuestas por grupos de edad a las tareas de cada uno de los cuatro
conjuntos de ítems. Con dichos valores medios se han realizado los correspondientes
ajustes mediante modelos inversos de regresión no lineal del tipo:
y a
cuyas curvas resultantes se incluyen también en los gráficos mencionados.
b
x
Como se puede observar, se trata de funciones caracterizadas por presentar una
asíntota horizontal en la recta y otra vertical en la recta .
Según el ajuste realizado, los modelos asignan una media de intentos correctos a
la edad media de cada grupo que se obtiene restando de una constante asintótica (nivel
máximo ajustado) una media de intentos erróneos que es inversamente proporcional a la
edad media del grupo. Por tanto, los intentos erróneos decrecen de modo inversamente
proporcional a las edades medias.
Los datos de los ajustes realizados se incluyen en las Tablas 4, 5 y 6 en las que
se detallan, respectivamente, los coeficientes de correlación de los ajustes realizados, los
datos del análisis de la varianza y los resultados de las estimaciones de parámetros en
cada caso. Resaltamos, en general, la bondad de dichos ajustes y la notable precisión
que se obtiene en varios de los conjuntos.
34

Figura 8: Ajustes mediante modelos inversos: (a) Medias en orden lineal; (b) Medias en etiquetaje;
(c) Medias en orden con cantidades continuas; (d) Medias en orden con cantidades discretas; frente al
promedio de los grupos de edad en los cuatro casos.
Variable R R 2 R 2
corrected
ML .885 .783 .746
MEt .932 .869 .847
MCC .989 .977 .974
MCD .963 .927 .915
Tabla 4: Datos de los modelos de ajuste.
35

Variable
ML
Total
Residual
Regression
Sum of
squares
2.555
.710
3.265
gl
1
6
7
Quadratic
average
2.555
.118
F Sig.
21.60 .004
MEt
Total
Residual
Regression
11.426
1.724
13.250
1
6
7
11.426
.287
39.78 .001
MCC
Total
Residual
Regression
3.149
.073
3.222
1
6
7
3.149
.012
259.78 .000
MCD
Total
Residual
Regression
4.580
.361
4.940
1
6
7
4.580
.060
76.22 .000
Tabla 5: ANOVA de los ajustes.
Variable Parameter Estimation Standard
error
ML
MEt
MCC
MCD
a
b
a
b
a
b
a
b
5.813
-12.196
7.577
-25.792
5.577
-13.540
5.858
-16.329
.540
2.624
.841
4.089
.173
.840
.386
1.870
t
Sig.
10.77 .000
-4.65 .004
9.01 .000
-6.31 .001
32.28 .000
-16.12 .000
15.23 .000
-8.73 .000
Tabla 6: Estimaciones de los parámetros e intervalos de confianza al 95%.
95% confidence
interval
Upper
limit
Lower
limit
4.492 7.133
-18.617 -5.776
5.519 9.635
-35.799 -15.785
5.155 6.000
-15.596 -11.484
4.917 6.800
-20.905 -11.752
Indicamos también que se ha comprobado la independencia de los valores
ajustados de los correspondientes errores en los cuatro casos, lo que apoya la relevancia
de los modelos de ajuste, que han resultado ser los más precisos para todo el conjunto
de tareas entre varios modelos estudiados.
Los datos anteriores nos permiten realizar un análisis comparativo detallado con
el que obtener información en el sentido de los supuestos teóricos establecidos en la
investigación. Para ello se representa en el gráfico de la Figura 9 (a) la gráfica de las
medias de las respuestas correctas (valores observados) por grupos de edad a las tareas
36

de los cuatro conjuntos de ítems y en la Figura 9 (b) los resultados de los cuatro ajustes
realizados (valores ajustados).
Figura 9: Comparativa entre las medias observadas y las ajustadas mediante modelos inversos: (a) Medias
observadas; (b) Medias ajustadas; en cada conjunto de tareas frente al promedio de los grupos de edad.
Como puede observarse en las figuras y en las tablas, son de destacar, entre otras,
las siguientes conclusiones:
En relación con las competencias ordinales analizadas:
• Se produce un aumento de las capacidades y competencias ordinales a
medida que aumenta la edad de los sujetos. La evolución es similar en las
categorías ligadas directamente a relaciones ordinales, como son: Orden
Lineal, Orden con Cantidades Continuas y Orden con Cantidades Discretas,
en las que, además, se confirma la bondad del modelo evolutivo propuesto.
La evolución de los resultados medios con los promedios de edad se
produce de acuerdo con el modelo de competencias ordinales propuesto,
salvo para las tareas de etiquetaje para los grupos de menor edad, en los que
se producen mayores diferencias.
• El modelo menos preciso en su conjunto, o “discordante” con respecto a los
demás, corresponde a las tareas de etiquetaje, para las que se observa una
variación brusca y un “salto” importante entre los cuatro y cinco años de
edad media, un salto que no se puede atribuir al azar. El análisis “a
37

posteriori” de las tareas de este grupo ha puesto de manifiesto la
intervención de capacidades recursivas ajenas a las propiamente ordinales
(identificar un patrón recursivo y aplicarlo para continuar una serie) y que
no son tan importantes en las otras tres categorías, lo que puede explicar las
diferencias detectadas.
• Las diferencias entre categorías son mayores en las edades inferiores de la
muestra, disminuyendo considerablemente en todos los casos a partir de los
cinco años de edad. La evolución se hace más lenta, moderada y próxima
con resultados medios por debajo del máximo valor de la escala a partir de
la edad mencionada, lo que está de acuerdo con la afirmación de Dehaene
(1997), en el sentido de que las competencias ordinales son de evolución
tardía, y con la lentitud y variabilidad individual constatada en torno a la
síntesis cardinal–ordinal y al desarrollo de las competencias numéricas
propiamente dichas.
• Las capacidades ordinales con cantidades continuas y discretas, en
promedio, presentan evoluciones similares y estrechamente relacionadas, lo
que es un hecho relevante para la didáctica del número. Si esto se confirma
en estudios específicos más amplios habría que recomendar un desarrollo
didáctico paralelo con ambos tipos de cantidades y medidas.
• En todos los casos, y especialmente en el Orden Lineal, se producen
oscilaciones en las respuestas que pueden ser debidas, entre otros factores,
a la evolución no homogénea del desarrollo del lenguaje dentro de los
grupos de edad, lo que viene a confirmar que la edad, con ser importante en
el estudio, no es el único factor evolutivo para el desarrollo de estas
competencias.
En relación con la metodología multimedia:
Desde el punto de vista de la relación entre el sujeto y el instrumento:
• La tecnología multimedia permite implementar tareas significativas
que facilitan el estudio del problema cognitivo planteado. En
38

particular podemos elegir un formato de juego, adecuado e
importante a estas edades 10 . Son escenarios virtuales lúdicos que
integran todos o algunos de los elementos multimodales citados en la
tabla de la sección 3, dotados de funciones onto–epistémicas, con los
que pueden interactuar los sujetos poniendo en juego sus capacidades
cognitivas, visuoespaciales, sensoriomotrices, sonoras y afectivo–
emocionales, así como diversas formas de la inteligencia. La
integración de esos elementos permite consegir escenarios de calidad
superior a la de otros que han venido utilizandose en investigaciones
con sujetos de corta edad, es decir, mejor adaptados a las
características cognitivas y psico–afectivas de los mismos.
• Permite la inclusión de las capacidades visuoespaciales en el
tratamiento del problema de investigación, como sugiere la
neurociencia y aconseja la etapa sensoriomotriz en que se hallan los
sujetos. Además de componentes racionales, pueden incluirse
también componentes afectivo–emocionales que proporcionan una
elevada motivación y un alto grado de atención en la realización de
las tareas 11 .
• En otros escenarios las acciones del sujeto se hallan mediatizadas por
el investigador, afectando a la imaginación y a la capacidad del
sujeto, y suelen reproducir el entorno y las actividedes escolares,
variando solo la función cognitiva. Sin embargo, el escenario
multimedia es dinámico, responde a las acciones del sujeto, extiende
su mundo cotidiano, introduce una función lúdica que trasciende el
entorno escolar habitual, incluye elementos afectivo–emocionales
adecuados, minimiza la intervención del investigador en las acciones
del niño preservando su atención y estimulando su imaginación.
Ofrece, en definitiva, nuevas funciones ontológicas y ontológico–
10 Según Vigotsky la importancia del juego reside en que la acción y el significado se pueden separar
para dar origen al pensamiento abstracto, (Bishop, 1999). También Hirsch (1998, p. 11), argumenta a
favor de este tipo de tareas.
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epistémicas, bien adaptadas al estado y al desarrollo cognitivo, que
favorecen la motivación del niño.
• Los sujetos han mostrado un gran interés y motivación, lo que
confirma la idoneidad del escenario para captar su atención y
conseguir su implicación y participación activa. Por otra parte, el
97,37%, de los sujetos completaron las tareas propuestas, lo que
confirma la buena adaptación de las mismas a las características
cognitivas y psico–afectivas de los sujetos de la muestra.
Desde el punto de vista de la investigación:
• Facilita la recogida y almacenamiento de información cuantitativa y
cualitativa en soportes y formatos que facilitan el tratamiento y el
análisis posteriores. Esta faceta de la investigación podría llegar a ser
complicada o impracticable en otros escenarios, obligando a la
intervención constante del investigador y produciendo pérdidas de
atención en los sujetos entrevistados.
• Permite reducir al mínimo la interacción del investigador con los
sujetos, con lo que la información recogida es objetiva y hace posible
que el investigador pueda observar los comportamientos y las
actitudes de los sujetos, en tiempo real, mientras realizan las tareas o
ítems.
• Haciendo uso del formato de páginas web conectadas a bases de
datos permite plantear futuros estudios de masas.
• La tecnología multimedia permite construir una metodología de
investigación pertinente y válida como metodología de investigación
en Educación Matemática con sujetos de corta edad y, posiblemente,
con sujetos de edades superiores.
11 Las habilidades visuoespaciales, sensoriomotrices, sonoras y afectivo-emocionales, tienen relación
con las habilidades innatas o primarias en el sentido de Geary (1995), citado en Geary (2006, p.
802).
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Agradecimientos
Este trabajo fue posible gracias a una licencia por estudios e investigación concedida a
P. Hernández por la Consejería de Educación de la Junta de Andalucía durante el curso
2007-2008.
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