MOra0

9 Solución
Observemos que:
1
=
13 0,076923076923076923076923076923076923
Como los racionales son periódicos se observa que los dígitos periódicos son: 076923 y esos
100
6
llegar a 100 nos faltan 4 dígitos
6 dígitos se repiten después de la coma decimal indefinidamente formando en los 100 primeros
dígitos = 16,6 grupos. Cuando se está en el grupo 16 tenemos 16x6 = 96 dígitos y para
Entonces la suma es S = 16(0+ 7+ 6+ 9+ 2+ 3) + 0+ 7+ 6+ 9=
454
10 Solución
Sea A = 999! y B = 500 999
Veamos cómo es A B
A (500−
499) (500−
498) (500+
498) (500+
499)
=
×
× ..... ×
B 500 500
500 500
⎛
= − ⎛ 2 2 2 2 2
A
⎝ ⎜ 499⎞
⎞
⎜ ⎠
⎟ ⎟
⎝ ⎠
× ⎛
−⎛ ⎝ ⎜ 498⎞
⎞
⎜ ⎠
⎟ ⎟
⎝ ⎠
× ⎛
−⎛ ⎝ ⎜ 497⎞
⎞
⎜ ⎠
⎟ ⎟
⎝ ⎠
× ⎛
−⎛ ⎝ ⎜ 2 ⎞ ⎞
⎜ ⎠
⎟ ⎟
⎝ ⎠
× ⎛
−⎛ ⎝ ⎜ 1 ⎞ ⎞
1
1
1
.......... 1
⎜1
⎠
⎟
B 500 500 500
500
⎟
⎝ 500 ⎠
A
Cada factor de este último producto es . Por tanto <
B 1 y así A<
B
11 Solución
Cuando hacemos la suma después de los 9 primeros términos tenemos que, después del
décimo factorial n!, ellos tienen mínimo dos veces el número dos y dos veces el cinco, lo que
produce dos ceros al final, haciendo que estos términos no influyan en las últimas dos cifras
de la suma, por eso solo sumamos los primeros nueve factoriales y así obtenemos:
1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! + 8! + 9! = 1+ 2+ 6+ 24 + 120+ 720+ 5.040+ 40.320+ 362.880 = 409.113
n=
Es decir las dos últimas cifras de la suma ∑ =
n 1
1645
n! son 1 y 3.
100 problemas que todo bachiller debe entender y resolver
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