MOra0

96 Solución
Debemos expresar la ecuación dada en la forma ( ) ( )
2 2 2
x− h + y− k = r
2 2 1 1
x + y + x+ 2y+ =
2 16 0
2 1 2 1
x + x+ y + 2y=−
2
16
En donde podemos completar dos trinomios cuadrados perfectos, es decir:
⎛ 2
x + 1 1 2
1 1
x y 2y
1
2
+ ⎞
⎜
16
⎟
⎝
⎠
+ ( + + )=− + +
16 16 1
Para obtener:
2
⎛ 1 ⎞
⎜ x+
⎟ y
⎝ ⎠
+ ( + ) 2
1
4
= 1
Luego, la ecuación representa una circunferencia de centro en −
⎛
⎝ ⎜
1 ⎞
−
4 1 ⎟
⎠
, y radio 1.
97 Solución
Como los focos están ubicados en (2,2) y (10,2) entones el eje focal de la elipse es la recta
y=2 y tenemos una elipse horizontal.
Observe que la distancia entre los focos es 8 unidades y por lo tanto 2c = 8, es decir c = 4 y el
centro de la elipse se ubica a 4 unidades de cada foco y por lo tanto el centro de la elipse debe
ser el punto (6,2), es decir que (h, k) = (6,2).
Al ubicar en este punto el origen del sistema de coordenadas x’y’, obtenemos las ecuaciones
que relacionan los dos sistemas de coordenadas, estas son x’ = x - 6 y y’ = y − 2.
Red matemática antioquia - gobernación de antioquia
Con este par de ecuaciones podemos obtener las coordenadas de los focos y el vértice dado
en el sistema de coordenadas x’y’:
Focos (2 − 6,2 - 2) = (−4,0) y (10 − 6,2 − 2) = (4,0).
Vértices (0 − 6,2 − 2) = (−6,0).
Luego el otro vértice se encuentra en el punto (6,0) en el sistema de coordenadas x’y’ y en el
sistema de coordenadas xy en el punto (6 + 6,0 + 2) = (12,2)
En la figura se muestra la ubicación del sistema de coordenadas x’y’, los focos y los vértices.
Según sus coordenadas en el sistema x’y’ podemos concluir que c = 4 y a = 6. Por lo tanto
2 2
b= a − c = 36 − 16 = 20 y entonces la ecuación de la elipse, en el sistema de coordenadas x’y’, es:
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